О ПРИЕМЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ОТ НЕКОТОРЫХ ИСТОЧНИКОВ ВНЕЗЕМНОГО ПРОИСХОЖДЕНИЯ

С ПОМОЩЬЮ ГЕТЕРОДИННОГО ДЕТЕКТОРА

Б. БРАГИНСКИЙ, В. С. НАЗАРЕНКО

Московский государственный университет

Гетеродинный метод приема гравитационных волн, предложенный в работе [1], состоит в следующем.

Пусть механический квадруполь (в простейшем случае — гантель из двух масс т) находится в плоскости, нормально к которой распространяется монохроматическая гравитационная волна. Нетрудно найти, что в этом случае на гантель действует момент сил [2]

1

N = 4mR^to0 8^-) 2 sin 2ф sin соот,(1)

где (оо — частота волны; t — плотность потока мощности в волне вблизи детектора; G — гравитационная постоянная; R — радиус

Hl гантели (половина ее длины Z); ф — угол между вектором I и одной из двух взаимно перпендикулярных осей поляризации гравитационной волны.

Предположим, что гантель свободно вращается в указанной плоскости вокруг центра масс с некоторой частотой соР Тогда Ф = со^ + Фо и выражение (1) принимает вид

1

N = 2mR^to0 ^™^ ) 2 {cos (Qt — tp0) — cos [(coo + 2сох) т +

+ Ш(2)

где

Q = coo — 2co17 tp0 = 2фо.

Как видно из выражения (2), вращение гантели преобразует спектр действующего на нее момента гравитационных сил N — в нем вместо одной линии частоты соо появляются две с комбинационными частотами. Уравнение движения гантели без учета

затухания имеет в этом случае вид

2т/?2ф = 2mR2(o0B {cos (Qt — гр0) — cos [(соо + 2(0!) т +

+ Ш(3)

где

1

D / SnGt \ 2

D -— I " о I •

Представим его решение в виде

ф (т) = о^т + ф0 + Аф (т),(4)

где Аф (т) и будет представлять собой то возмущение, которое наложится на свободное вращение гантели в результате ее взаимодействия с гравитационной волной. Полагая, что до момента времени т = 0 возмущение отсутствовало, т. е. полагая начальные условия нулевыми:

Дф(О) = О, Аф(О) = О, двукратным интегрированием (3) по времени находим, что

Дф(т) = ®ов{-^^^^

_ COS ф0 — cos [((00 + 2ш1т) + гр0] )

(®о + 2^)2f

Например, при соо = 400 cek"\ Q = 10™4 сек™\

t = 1 • 10—7 эрг/сек • см2, Аф = 3 • 10~12 рад.

Таким образом, амплитуда угловых колебаний гантели, возникающих в результате взаимодействия ее с волной, благодаря преоб-

(

CDq \

в отношении-^2 Ь чем была бы амплитуда угловых колебаний гантели с частотой волны соо без такого преобразования, так как при известной частоте со о скорость вращения сох можно сделать очень близкой к ^-. В этом состоит важное преимущество детекторов гетеродинного типа. В частности, если указанные частоты — сох и -~- совпадают совершенно точно, то на гантель действует просто постоянный момент сил, равный 2mR2 ю0В cos ф0. В этом случае вращение гантели равномерно ускоряется (или замедляется):

А<р (т) = _^ll cos чр0,(6)

и взаимодействие детектора с полем волны осуществляется наиболее эффективно — эффект этого взаимодействия накапливается со временем.

Заметим, что при этом не только частота, но и фаза вращения ф0 относительно фазы волны должна быть выбрана оптимальным образом, чтобы cos ф0 « 1.

Из изложенного в п. 1 ясно, что предлагаемый детектор наилучшим образом может быть использован для регистрации гравитационного излучения от пульсаров, поскольку оно непрерывно и поскольку частота пульсаций и, следовательно, частота гравитационного излучения пульсаров (последняя вдвое выше первой) почти постоянна и измерена с высокой степенью точности.

Однако то обстоятельство, что частота излучения пульсаров все же изменяется со временем (уменьшается, хотя и весьма медленно), не позволяет обойтись приведенными выше простыми оценками отклика гетеродинных детекторов, особенно в тех случаях, если время измерения предполагается длительным. В частности, точный синхронизм вообще имеет место лишь в один какой-то момент времени.

Более строгое решение задачи о взаимодействии вращательного гетеродинного детектора с гравитационным излучением пульсара должно исходить из уравнения

Ф -|- 6ф = 2сооВ sin 2qrr • sin [со (т) т],(7)

л н

где о = 2/ддТ — декремент затухания для вращающейся гантели; со (т) — функция, описывающая изменение частоты излучения пульсара со временем.

Последнюю с достаточной для мыслимых интервалов времени измерения точностью можно представить в виде линейной функции

(0(т) = Юо(1

так как т* — постоянная времени затухания вращения пульсаров — весьма велика. Например, для пульсара NP0532 в Крабовидной туманности эта постоянная имеет порядок 1011 сек, а для многих известных в настоящее время пульсаров она еще больше [3].

Как и раньше, представим ф (т) — решение уравнения (7) — в виде сот + ф0 + Аф (т) и пренебрежем в левой части этого уравнения членом бф, а в правой — величиной 2 Аф (т) в аргументе sin 2ф (т). Первое пренебрежение оправдано в том случае, если постоянная времени вращающейся гантели много больше т*. Легко проверить, что это условие выполняется, например, если ротор массой ^10 кг и размерами приблизительно 10 см вращается в вакууме, соответствующем расстоянию от Земли порядка 1000 км (п = 105 см~3). Но тогда Аф (т) — возмущение, вызванное только взаимодействием с гравитационной волной, и его малость (см. п. 1) оправдывает второе допущение.

При таких упрощениях уравнение (7) принимает вид

Аф = 2сооВ sin (2сохт + ф0) sin (юот^~)»(8)

или

Аф = сооВ cos ( Qt^, Q = со0 — 2сох. (8')

В правой части последнего уравнения мы опустили высокочастотное слагаемое, поскольку ясно, что обусловленный им вклад в Аф(т) существенно меньше амплитуды низкочастотных осцилляций (см. формулу (5)).

Уравнение (8) удобно решать, введя безразмерную переменную:

(9)

при такой замене оно принимает вид

^2Дфdx2^2Дфdx2лт*В ”27"лт*В ”27"(10)(10)

^2Дфdx2

^2Дфdx2

лт*В ”27"

лт*В ”27"

(10)

(10)

а начальные условия по-прежнему полагаем нулевыми:

d (Аф)dxd (Аф)dxАф |х=х0 — 0.Аф |х=х0 — 0.

d (Аф)dx

d (Аф)dx

Аф |х=х0 — 0.

Аф |х=х0 — 0.

Здесь

^о —^о —т*2лсоот*2лсоо, I I Q2t*

^о —

^о —

т*

2лсоо

т*

2лсоо

О = фп Н7

то 14соо

Уравнение (10) решается двукратным интегрированием его по х от х0 до х. При решении использовались определения функций С (х) и 8 (х) — косинус-интегралов и синус-интегралов Френеля [4]:

С (х) = ^ cos -~- £2dt, 8 (х) = J sin -^- t2dt, х>0, оо

и свойства этих функций:

С(-х) = - С (х), 8(-х) = - 8(х\

^ С (х) dx = хС (ж) sin -5- ж2,

У 8 (ж) dx = xS (ж) + -~ cos ^- х2.

Первый интеграл уравнения (10) дает формулу для производной ^—; из нее для угловой скорости гантели во вращающейся системе отсчета, т. е. для вариаций частоты вращения детектора получаем

1

= ДЮ1 (т) = В2 (COS 6 VC ^ - С («о)] +

H-sinHS^)-^)]}.(И)

Второе интегрирование дает функцию отклика детектора:

Дф (ж) = —лт2^ cos Ъ [С (х) — С (ж0)] —

sin -—- ж2 — sin -~- ^| + -^^- sin b pc [S(x) —

— s (x0)] + -^- /cos -^-x2 — cos -y ^U.(12)

Это точное решение задачи, но оно не вполне наглядно. Удобнее анализировать асимптотику этого решения при х -^ оо, т. е. для больших т, которую можно получить, воспользовавшись приближениями интегралов Френеля [4]:

1тг г 11

С (х) = -х- + sin — х2о | —) ; v 72 12 I ля \ ж5 / J

^

1л 9 Г 1/ 1

= -оCOS -77- X2О —Т

22 ляI я6

Если положим, что и х0 ^ 1, т. е. что начальный момент времени соответствует достаточно большой расстройке Q = соо — 2^, то получим для А<р (т) следующее асимптотическое выражение:

1

А , X /8л2^ ^(00Т*\ 2./Q2T* л \

Аф W = (^) (т — т0) sin ^0 Н—^ + ^, где

т0 = Ц-(13)

Качественно картина взаимодействия идеального вращательного гетеродинного детектора с гравитационным излучением пульсара такова: вначале, когда частота излучения больше удвоенной частоты вращения детектора, возмущения движения гантели носят колебательный характер; частота этих колебаний равна частоте биений, амплитуда может быть оценена по формуле (5). По мере приближения частоты излучения к значению 2^ период биений и их амплитуда увеличиваются; в момент синхронизма гантель получает наибольший ускоряющий или замедляющий ее вращение импульс, который затем сохраняется, поскольку трение полагаем отсутствующим. После момента синхронизма т = т0 движение гантели будет представлять собой вращение с увеличенной (или уменьшенной) частотой (о^ Ao)x и с наложенными на это вращение осцилляциями с возрастающей частотой и уменьшающейся амплитудой и при т -^ оо описывается формулой (13). В соответствии с этой формулой

1

А / 8л2(г toox* \2 . / Q2t* л\м/х

Асо, = (^) sin ^0 +.(14)

Наибольший эффект достигается при условии, что начальный сдвиг фаз ф0 и начальная расстройка Q удовлетворяют уравнению

^ + ^-+-г = т + лп-<15>

Например, подставляя в формулу (14) данные пульсара NP0532: (о0 = 400 сек-S т* = 1011 сек, t = 1 • 10”7 эрг/сек • см^ [5], получаем, что при оптимальном фазовом соотношении скачок частоты вращения гетеродинного детектора под действием гравитационного излучения этого пульсара составит 8 • 10“^ рад/сек, при этом время, за которое это произойдет, порядка 104 сек (первый максимум функций С (ж) и S (я) достигается при х « 1; см. также (9) и (И)); а за время 105 сек А<р^8 • 10“и рад.

Аналогичным образом вращательный гетеродинный детектор должен взаимодействовать с гравитационным излучением от других источников с переменной частотой, например от двойных звезд, вращающихся по скручивающейся орбите [6]. Возникает следующий вопрос: на какой стадии эволюции таких бинарных систем легче обнаружить их гравитационное излучение обсуждаемым методом? Действительно, отклик детектора (13), (14) пропор- 1

ционален произведению рсо т*1 или, что то же самое, величине

to2 \"

г -г-, причем с ростом частоты обращения двойной звезды

\ ю /

увеличивается и мощность ее гравитационного излучения, и скорость изменения ее частоты.

Согласно Петерсу [7], средняя мощность гравитационного излучения двойной звезды с малым эксцентриситетом орбиты равна

п , х 32G*m2M2 (m 4- Л/)GmM

Р (я) =—L = V —,(lb)

v /5с5я5• 8аб ’''

где

256G3mM {т 4- М^

V5с5*

т и М — массы компонент звезды; а — радиус орбиты, который связан с частотой обращения со соотношением

(17)(17)G^m-y М')а3

(17)

(17)

Из-за потерь системой энергии и момента импульса за счет гравитационного излучения радиус орбиты уменьшается со временем по закону [7]

(18)(19)(19')(18)(19)(19')а4т = у (тк — т),

(18)

(19)

(19')

(18)

(19)

(19')

где тк — момент коллапса; т — текущее время. Из формул (16) — (18) легко найти, что

Р (со) = у— ,

7 Г BG^3 km 4- М)

• dwЗй)14^3

(О = —_ = у е

^ r 4G ^3 кт,-\- М^

Комбинируя две последние формулы с уравнением (15), находим, что отклик Ао^ вращательного гетеродинного детектора оказывается пропорциональным со’/», т. е. тем больше, чем ближе состояние двойной звезды к коллапсу. При этом, однако, следует иметь в виду, что в непосредственной близости к моменту коллапса, а именно за несколько циклов обращения до этого момента, предположения, при которых получены соотношения (16) — (18), перестают выполняться [8].

Если следовать модели, согласно которой пульсар — это вращающаяся нейтронная звезда, обладающая квадрупольным моментом, то его можно рассматривать не только как источник, но и как вращательный гетеродинный детектор гравитационного излучения, «настроенный» на частоту, равную удвоенной частоте его вращения. (Например, для пульсара NP0532 эта частота равна 60,4 аг^.) Следовательно, под действием гравитационного излучения от других источников, например упомянутых выше двойных звезд, должны происходить скачки частоты вращения пульсара. При этом, согласно п. 3, наибольший эффект следует ожидать для ко- роткопериодных пульсаров. Оценить его величину можно по формуле (14), беря в качестве т* — характеристики скорости измене- (0„„

ния частоты излучения со временем — величину — для двойной

(О

2mR2to0B2т№2mR2to0B2т№звезды. Затуханием же вращения «детектора» — пульсара — можно в данном случае пренебречь. Необходимо, однако, сделать следующее уточнение выражения для отклика детектора. При выводе соотношения (14) мы рассматривали детектор в виде гантели из двух точечных масс т. Для такого детектора отношение момента сил, вызванного гравитационным излучением, к моменту инерции

2mR2to0B2т№

2mR2to0B2т№

пропорциональнопропорционально= ю0В. Другой крайний случай —

пропорционально

пропорционально

аксиально симметричное тело, для которого это отношение равно нулю. Пульсар, по-видимому, можно рассматривать как трехосный эллипсоид с малым эксцентриситетом ц = -^-у^, где а и Ь — полуоси, перпендикулярные оси вращения. По оценке И. С. Шкловского [5], для NP0532 эксцентриситет ц порядка 5 • 10~4.

Делая мажорирующую оценку, считаем, что для трехосного эллипсоида с малым ц верна формула (14), помноженная на тр

Сделаем численную оценку возможного скачка частоты у пульсара NP0532 из-за взаимодействия его с гравитационным излучением двойной звезды, находящейся в центре Галактики (RQ «

104 псу компоненты которой имеют массу т = М = 10 М®. При таких массах излучение двойной звезды имеет частоту 60 si{

в момент времени, отстоящий достаточно далеко от момента коллапса, чтобы можно было пользоваться формулами (16) — (18). Полагая фазовые соотношения оптимальными, получим

Дю. 3 • 1СГ16

1сек.

или для изменения фазы за 105 сек Аф = 3 • 10“и рад.

Еще раз подчеркнем мажорирующий характер этой оценки. Наконец, пульсар может аналогичным образом взаимодействовать с гравитационным излучением другого пульсара, имеющего близкий период вращения; такие пары существуют [3]. При этом частота вращения обоих пульсаров должна плавно меняться с периодом, 2л

равным периоду биений ——* Делать какие-либо оценки в данном случае затруднительно; обнаружение этого эффекта, если он существует, по-видимому, возможно лишь после существенного повышения разрешающей способности методов измерения.

В заключение отметим следующее обстоятельство. Максимум мощности гравитационного излучения двойных звезд приходится на моменты времени, близкие к коллапсу. При этом частота излучения меняется настолько быстро, что при регистрации этого излучения узкополосным резонансным детектором в его полосу пропускания попадают лишь несколько циклов колебаний. Поэтому, как отмечали, например, Форвард и Берман [8], желательно было бы использовать либо широкополосный детектор с перестраиваемым узкополосным фильтром на выходе, либо узкополосный детектор с перестраиваемой резонансной частотой. Детектор гетеродинного типа принципиально может удовлетворить этому требованию. Мы не касались здесь вопроса о пределе чувствительности гетеродинных детекторов, определяемой флуктуационными воздействиями. Такой анализ для некоторых конкретных систем детекторов проведен в работе [2].

ЛИТЕРАТУРА

Брагинский В. Б., Зельдович Я. Б., Руденко В. Н. —ЖЭТФ (письма), 1969, 10, 441.

Брагинский В. Б., Назаренко В. С.— Вестник МГУ, 1971, 1.

Гинзбург В. Л., Железняков В. В., Зайцев В. В.— УФН, 201, 1969, 98.

Таблицы интегралов Френеля. Изд-во АН СССР, М., 1953.

Шкловский И. С.- АЖ, 1968, 46, 4.

Брагинский В. Б.— УФН, 1965, 83, 433.

Р е t е г s Р. С.— Phys. Rev., 1964, 136, В 1224.

Forward R. L., Berman D.— Phys. Rev. Letters, 18, 24, 1071, 1967.

ISOLATED SOLUTIONS IN GENERAL RELATIVITY

DIETER BRILL

Department of Physics and, Astronomy, University of Maryland, College Park, Maryland

INTRODUCTION

In recent years many features of the behavior of the classical gravitational field as described by Einstein’s theory have become increasin gly clear, not least thanks to classification schemes such as that of Professor Petrov. In many aspects gravitation appears analogous to a massless, self-coupled spin 2 system of ordinary Lorentz-covariant field theories. This analogy is most relevant in asymptotically flat spaces. However, the work of men like Einstein, Friedmann and Wheeler has emphasized that there are vast domains of applicability of general relativity beyond the class of asymptotically flat spaces. Important examples are (spatially) closed universes of various topologies. It is therefore enlightening to consider features of the gravitational field in such universes which have no analogy in ordinary field theory. Far from attempting any general classification, we give here only one such feature in a particular type of closed universe.

A physically meaningful solution in a classical field theory is usually one of a continuous set of solutions, which differ from the given one, e. g. by containing slightly more or fewer waves and particles. Only if this is true can a mathematically idealized solution be said to represent (approximately) some actual physical situation. For example, we must be confident that in the neighborhood of the Schwarzschild solution in general relativity there are solutions representing the same central body together with a number of small (test) masses. If it were not possible thus to perturb a given solution, the latter could never be observed via the standard method using test particles. In asymptotically flat spaces such perturbation of solutions is in general possible. However, for example, in the closed universe with the topology of a 3-torus («Г3») [1] there exist solutions which

cannot be perturbed. In this paper I give the simplest example of such a solution — the case of a flat T8 — and show that assuming the existence of small perturbations leads to a contradiction in second order. This then is an example of a new unexpected feature in a closed universe, which may require a redefinition of physically acceptable solutions of Einstein’s theory.

This proof is also interesting from the point of view of Mach’s principle, which finds the flat T8 physically unacceptable for a different reason. It has well-defined inertial frames, but contains no matter or asyinptotic region to explain the inertia. One might hope that these two unphysical features have a common cause, so that from the study of isolated solutions one may also learn something about Mach’s principle.

THE INITIAL VALUE PROBLEMS FOR THE FLAT 3-TORUS

It is most appropriate to discuss perturbation of solutions from the initial value point of view. Phenomena like instability and gravitational collapse remind us that small perturbations do not necessarily remain small for all times [2]; however, small perturbations of the initial data are physically reasonable. The characterization of a gravitational field in terms of the initial geometry (gtj) and extrinsic curvature ^5>> on some spacelike surface also admits a simple criterion for existence of solutions [3]: if the four initial value equations, or constraints, are satisfied there, a solution to the full set of Einstein equations always exists (at least for a finite proper time). We choose to describe the 3-torus in terms of a «plane» initial surface, whose intrinsic geometry is flat, and extrinsic curvature vanishes:

^ijO = gijb, Л^‘ = 0.(1)

The perturbed geometry is to be described in terms of the perturbed initial data,

6gtj = gij — glib. 6л v= nA(2)

These quantities have to satisfy the constraints,

R-T-T^-^(3a)

л^ = 0.(3b)

Here T is an abbreviation for g [л^* Лг;(лг )2Ь an(^ ^** is the matter energy density with respect to the initial surface; we assume T**0, and that it is quadratic in the matter field variab

les. Since T is of second order in бл^, and T** is of second order in the matter field variables, the first order perturbations satisfy 6R = 0 and бл^ = 0.(4)

(In this order of approximation covariant derivatives may be taken with respect to flat space.) These first order equations have nontrivial solutions; however, from the second order perturbation of Eq. (3a) we shall be able to derive a contradiction.

DECOMPOSITION OF FIRST ORDER PERTURBATIONS INTO INDEPENDENT COMPONENTS

Equations like (4) are easily solved by decomposing the variables into transverse and longitudinal components. The usual form of the decomposition, valid in asymptotically flat spaces, cannot directly be taken over into closed universes; however, one can show that any traceless tensor can be decomposed in the usual way on the flat 3-torus. For the extrinsic curvature, the traceless condition

gu^* = 6л? = 0 (5)

can be satisfied by a suitable choice of the initial hypersurface in the perturbed geometry — it merely requires that the perturbed initial surface have extremal total volume, as does the (plane) zeroth order initial surface of Eq. (1). We shall assume that this time coordinate condition (5) is satisfied, and decompose the tensor 6л^,

6л V = 6лУГГ + 6лj/> + 6л^ + ^- ^^г — V5V ’) 6л.(6)

Неге 6л^гг is both transverse, 6л^г|. = о(7а)

and traceless,

^бл^гг = 0;(7Ь)

the vector 6лi is a solution of the divergence of Eq. (6), 6л ^ = V^i + W (блф)(8a)

and the scalar 6л is determined by Eq. (5), - 26л^- = ?2бл.(8b)

Note that the non-unique, constant parts of 6 л* and 6л do not enter into Eqs. (6) or (8b), and that Eqs. (8) can actually be solved for 6л* and 6л because the source (бл^^ and 6л^ respectively) is orthogonal [4] to all harmonic forms (i. e., constants) of the operators involved (5).

We cannot similarly assume that the tensor 6gjj is traceless, and must therefore use the decomposition appropriate for an arbitrary tensor in T3,

6^ = ^ + ^Mi + 6g,Vi + 4 ^У^ - ViV,) 6g +

+4^- (9>

Here h is the constant

A = у g9^gyg 2 d?r.(10)

The proof that 6gt and 6g exist and that Eq. (9) uniquely defines 6g^ then proceeds analogous to the above argument for Eq. (8).

THE CONSTRAINTS EVALUATED TO FIRST ORDER

Since both T and T** of Eq. (3a) are quadratic quantities, the first order field equations are simply

6R = g^6R^ = 0,(Ila)

6л^ = 0,(11b)

where the covariant derivatives can be evaluated in the flat zeroorder geometry. The first order expression for the Ricci tensor, with 6gtj of Eq. (9) substituted into it, is

6Ry = - V26grr _ _*_ ^ + VjV,) V26g.

Thus the Eqs. (11) become

6R = - 2V2V26g,(12a)

бл^|> = 72бл* + V* (бл>|;) = 0.(12b)

Recalling that all boundary integrals vanish and covariant derivatives commute in the closed flat space T3, we find

ii

( 6g6Rg2 <Rr = 2 J ^6g)»g^ d»r = 0,(13a)

С блгбл^^ 2 d3r = _ i

= — j бЛг/j (бл^‘ + бл^/i) g 2 d?r = 0.(13b)

Since the integrands are positive definite we can conclude,

V26g = 0; бл^^ + 6л^ = 0.(14)

Thus the terms in 6g and бл* may be annuled in Eqs. (6) and (10), and the first order Ricci tensor is simply

6Ri5= -^6gTT.(15)

This is the complete solution to first order of the constraints.

A SECOND-ORDER CONSEQUENCE OF THE CONSTRAINTS

Since the first order terms of the constraints have been satisfied, we now consider the second order terms in the «Hamiltonian» constraint, Eq. (3a), integrated over the entire T3 (for reasons of later simplicity):

ii

°=62°=62^R-T-T^g2 d?r = 6 6(Rg2 )d?r —

°=62

°=62

- J блубдУ# 2 d?r - 62 J T^g2 d?r.(16)

The first term on the right can be considerably simplified:

ii

6(Rg2 ) = (Sg^Ry + gy6Ry)g2 •(17)

(Here the terms due to variations of g 2 vanish, in view of Eq. (Ha).) The second term on the right of (17) is well known to be a total divergence (Palatini identity) for first order perturbations of any metric. Hence its integral always vanishes, and this term does not contribute to the second variation:

ii

6 j 6Rd?r = ^ dgWRyg 2 d?r = — f bg4^gTTg 2 d?r =

= - J gikgilgmn^m^ng2 d?r.(18)

The last step follows from the orthogonality of the terms in the decomposition (9), partial integration with vanishing boundary terms in the closed space T3, and use of 6gi5 = — gihgjl6ghi (in order to preserve gihghj = 6}). When (18) is substituted into (16) the integrands on the right are seen to be negative definite. The total integral can vanish only if each integrand vanishes separately,

6^rT = 0 hence ML = 0; 6л^' = 0;= 0.

Thus we see that as a consequence of the constraint evaluated to second order, space is still flat (62?^ = 0, which suffices to establish flatness in three dimensions) and plane (6л^‘ = 0), and can contain no matter (62T** = 0). The unique continuation of these initial data is the unperturbed flat T3. Thus we have shown that small perturbations of this solution of Einstein’s equations are not possible.

DISCUSSION

Our analysis concluded that bR^ = 0, but has not excluded terms due to 6g\ or constant bg^TT ог д jn gq (Q) This is as it should be, because 6gl describe the effects on the metric coefficients of a small coordinate transformation, and the constants describe a change in

the overall dimensions of the flat 3-torus. Since flat ^’s form a 6 — parameter family of geometries (when viewed globally), these changes in the metric would be expected to be allowed by Einstein’s equations. We have shown Z3 to be isolated in the sense that no bona fide gravitational waves (non-constant 6gijTT, 6л^'тт) or matter can be introduced into it. There is a close connection between the present proof and the proof [3] of positive definiteness of gravitational energy: however, in the latter case a surface integral of a noncovariant quantity is involved, which does not necessarily vanish in a closed universe.

Many questions are left unanswered by the proof and discussion presented here. It should be possible to dispense with the coordinate condition бл| = 0; it also appears likely that T3 and other closed flat space — times are isolated not only to second order, but in at least a «finite» neighborhood. Finally, it would be interesting to characterize all isolated solutions — e. g., does T3 have «spectrum» of isolated solutions (up to scale changes)? The present proof applies only to closed flat spaces [5], since it relies heavily on properties such as changeability of covariant derivatives.

FOOTNOTES

One can think of T3 as a parallelepiped with opposite faces identified.

In fact, Hawking’s [1] «singularity theorem» for closed universes states that if a solution exists for T3 containing some matter (satisfying the energy condition), this solution would collapse or be otherwise incomplete.

For notation and background see, for example, references [2, 3, 4].

Orthoganality is defined via the usual scalar product, e. g. for i

two vectors 4Ъ Bi we define the scalar product (4, B) = ^AtB^ 2 d?r. If At is constant, its product with the source of Eq. (8a) vanishes ii

УЛгбл^и^2 d3r = ^4i|j filing - d?r = 0, since in the closed, space T3 there are no boundary terms in the partial integrations.

For a classification of such spaces, see Seifert [6] and Nowacki [7 ].

REFERENCES

Hawking S.— Proc. Roy. Soc., 1966 , 294A, 511 and 295A, 490.

Arnowitt, Deser and Misner, Chapter 7 in «Gravitation». L. Witten (editor), John Wiley, New York, 1962.

В r i 11 D. and Deser S.— Ann. of Phys., 1968, 50, 548.

В r i 11 D. and Gowdy R.— Reports on Progress in Physics, 1970/ 33, 413.

R h a m G. de. Varietes Differentiables, Hermann and Cie., Paris, 1955.

Seifert H.— Ber. Sach. Akad. Wiss. (Leipzig), Math.-Phys. Klasse, 1931, 83, 26.. .

Nowacki V.— Commentarii Mathematics Helvetici, 1934, 7, 81.

EXISTENCE AND UNIQUENESS FOR THE EINSTEIN — MAXWELL - LIOUVILLE SYSTEM

Y. CHOQUET-BRUHAT

Uni ver site de Parts, Faculte des Sciences, Department de Mecanique, Paris

INTRODUCTION

We intend to prove an existence and uniqueness theorem for the Cauchy problem relative to a collisionless, relativistic gas, moving under the action of its own average gravitational and electromagnetic fields, in the frame work of kinetic theory in General Relativity. A particular cases which enter in our theory are plasmas in special Relativity (take gravitational constant to be zero): the masses and charges of the particles take then a finite number of distinct values. Other models which obey our equations are clusters of stars, or clusters of galaxies, which are then the «particles» of the gas; it is appropriate in this case to take the masses of the particles (stars of galaxies) to vary between two positive numbers, and the charges to be zero. I have given previously ([5]) existence and uniqueness theorems for this last case, but the technique used (in some respects mathematically simple), of taking bounded parameters on the mass hyperboloid do not apply when an electromagnetic fields is also present (coefficients which are not differentiable in the above parameters appear then in the Liouville equation). We shall here take on this hyperboloid coordinates in which its image is the whole of Д3 and use a weight function to get convergent integrals.

Section 1 is devoted to a brief survey of kinetic theory in General Relativity. It is now a well known subject (cf [8], [11], [3], [9]...). The only discussion could be about the interpretation of the moment of order zero of the distribution function I think this quantity has a physical meaning («density of presence» of particles), and so has the distribution function itself.

Section 2 is devoted to the writing of the equations of Einstein and Maxwell in convenient coordinates, for an electromagnetic potential normalized by the Lorentz conditions. We also choose for the Liouville equation, in a local chart where the metric satisfy certain regularity hypothesis, parameters which will prove convenient on the mass hyperboloid. We finish section 2 in establishing inequalities («energy inequalities») valid for all regular solutions of these equations.

Section 3 is devoted to the proof of local uniqueness and existence theorems for the above equations, in these local coordinates. The existence proof is only sketched: a detailed proof, for the purely gravitational case, is given in [5].

Section 4 is devoted to a formulation of intrinsic and global results, along lines previously followed in other cases (see [4]).

Let us remark that our proof of uniqueness also implies the continuous dependence of the solution on the initial datas: this result is important from a stability point of view, since it implies that a small initial perturbation will stay small at least during some finite time.

KINETIC THEORY IN GENERAL RELATIVITY

Phase space, distribution function and Liouville equation. The space time M is a four dimensional, C°° manifold, endowed with a hyperbolic metric g time oriented. We will always choose the local coordinates #asuch that Xй is a time like variable, increasing towards the future, and х\ г = 1, 2, 3 spatial variables. The phase space is some subbundle of the tangent bundle to M, T (M).

X particle with a rest-mass m ^ 0 has at the point x its momentum p plying, in the tangent space at x to M on the mass-hyperboloid P^

gx(p, P^gae^p^pB = m2, p°>0.(1.1)

The phase space appropriate for such particles is the fiber bundle P (Af) with base M and fibers P (x).

The volume element in T (AT) is the 8-form 0 = q Д co where q and co are volume elements, respectively in M and T (#) given in local coordinated by

ii

T) = I g |2 Л, to = I g 12 d4p,(1.2)

where

d4x = da? /\ dx1 Д dx2 /\ da?,

d^p = dp0 К ^Р1 f\ dp? Д dp3.

The volume element in P (x) is given intrisically by a form co (Leray form) such that

d [4" (gapP“P₽ — W2)] Д to = to,

an expression of co is:

co = -1^— d^p, d?p = dp /\ dp A dp\(1.3)

Po

The volume element in P (M) is 0 = q Д co.

The form 0 = q Д co being of maximum rank, is closed on T ^MY and so is the form 0 = q Д co on P (71/).

The trajectory of a particle in T (71/) is an orbit of a vector field of the type:

x = \P% Q^.(1.4)

If the only forces acting on the particles are gravitational, through the metric of M and electromagnetic, through an electromagnetic field F, we have

Qa =(1.5)

where e is the charge of the particle.

When Qa is given by this equality, and in all cases where Qa = = — Гхц PKP^ + ^a> with qa pa = 0, the scalar gap (я) pap^ is constant on an orbit of X: if the particle has a rest-mass m its trajectory is on P (71/). It is well known and easy to verify that the exterior forms 0 and 0 are invariant under the vector field X, i. e. L denoting the Lie derivative

L^0=O, on T(MY(1.6a)

L^-0, on P(M\(1.6b)

We deduces from (1.6) and the fact that

Lx = dix + ixd,

that the forms ix® and ixS are closed and, respectively, elements of integral invariants 1 on T^M) and P (71/) for the trajectories of the vector field X. They may therefore be taken as volume elements on the quotient space of T ^M) (resp. P (71/)) by the one parameter group generated by X (i. e. the space of trajectories of X\ The 1-form т defining the measure of proper time on the trajectories of X being such that

ix^ = 1, we have

0 = т Д ixQ (resp. 0 = т A *x0)-

The distribution function. / ^x, p) is a scalar positive function on 7+ (71/) (i. e. T (71/) Q g (p, p) ^ 0) or on P (71/) (if we consider

only particles with a given mass). We remark that due to the previous considerations it is equivalent to interpret

/6 (respectively /0),

as giving the measure element for the mean «presence number» of particles (respectively with mass m) in phase space, and

/ix0 (respectively /ix0),

as the mean number of particle paths (respectively with mass m?) crossing a 7 (respectively 6) dimensional submanifold of T (M) (resp. P (M)): in the first case the «presence number» of particles in a region is to be interpreted as the sum of the proper times during which each trajectory of particle remains in the considered region.

Liouville equation. In a collisionless model the physical law of conservation of particles imposes to /0 to be invariant by the vector field X (condition equivalent to the fact usually written, that ^/0 is an invariant for the differential system generated by X\ and gives the Liouville equation for /:

U/ = p«^™ + Qa^ = 0.(1.7)

dx

Remark. The moment of order zero of the distribution function has a physical meaning: for instance, for particles of mass m (we take units such that m = 1 if m #= 0 to have a unified writing) since the mean «presence number» of particles in a region P (U) is:

f /Т) Л to = N = j ( j /w\ r],(1.8)

P(Z7)U \P(x)/

the function on U:

roW= $ 1®.t1-9)

P(x)

is to be considered as a proper density (it is a «density of presence» in space time).

On the other hand the mean number of trajectories crossing a 6-dimensionnal submanifold 2 in P (Л7) is, as usual

J fix(4K^ = Nx,(1.10)

P (2)

if we take 5 = P (S), 5 a 3-dimensionnal submanifold of the space time M we have, on 2 by a simple computation:

ix (n Л co) = ixx\ A to = р^па^8 Л co,

where t]s denote the volume element of 5 induced by M and na its normal (i. e. if s (x) = 0 is a local equation for 5 we have ds =

= ПаДхА, ds Л Лв = л)- Therefore equation (1.10) may be written: j tp^nato A T)s = ^P(S)

and

Ts^= J 1Р^п^ p (X)

is to be interpreted as the density of trajectories crossing.

The first moments of / define r and Ua (called usually proper density and macroscopic 4-velocity) by:

rUa = | jpP-to.

PW

If, for instance, we take in a point x an orthonormal frame with time like vector U (thus U° = 1), we have:

r(z) = rs^x),

where So is a hypersurface normal to U at x (i. e. na = 6a). All the notions considered are therefore perfectly coherent.

Equations of Einstein — Maxwell for a Vlasov model. We will suppose that the gravitational field g and electromagnetic field F are the average fields created by the particles. We will in this part consider a model with particles of n different kinds, i = 1, ..., m. The dynamical equations for the fields are then:

1°. Einstein equations

^ = к^ + %^(2.1)

with

yap 2 TA(2.2)

i=l

where S is the Einstein tensor of g, к the gravitationnal constant, т the Maxwell tensor of F and T^ the average stress energy tensor of the particle of kind i that is:

T?6 (x) = J fi (x, p) p“p₽(0i,

Pi (x)

where coj is the volume element of Pt written for instance:

i

" _ I o I 2 dp' A dp2 A dp3

and where Д is the distribution function of particles of kind i.

2°. Maxwell equations:

(^ VaF6v = 0,(2.3a)

a,3,v

v^ = Z = 2 Я(2.зь)

i=l

where J? is the average electric current due to the particles of kind г (mass m^ and charge e^ that is:

Л=е{ J /i(z, P)Pp<»i.(2.4)

Pt(x)

It is well known that if the function Д satisfies the Liouville equation (1.7) the following conservation equations are satisfied:

Va77p = ад and V«J? = 0

and thus, if each Д satisfies a Liouville equation:

Va (T"9 + Tap) = 0 and VaJa = 0.(2.5)

LOCAL THEOREMS

We will in this section prove local theorems, using harmonic coordinates and a vector potential normalized by the Lorentz condition. It follows from the conservation laws (2.5) that a solution of Maxwell — Einstein equations in harmonic coordinates, and for such a potential, satisfies the full tensorial Maxwell — Einstein equations if it satisfies the constraint equations on an initial 3-dimensional submanifold (cf. [2]).

Local equations for the fields. In harmonic coordinates^/7^ = = 0 Einstein equations (2.1) readdx = -^-

^/0 = - t^V + на» (gx^,= k^ + т^),

(3.1) where Ha$ is a rationnal function (with denominator a power of |g| = det (g0^)) of its arguments, gx^ and d^g^.

As usual the group (a) of Maxwell equations is solved, in an open set homeomorphic to R4 by setting:

Fa& = Vaq)3 — Vpq)a = daq)3 — d3q)a

if we impose to the vector potential <pa the Lorentz condition

Vaq)a = 0,

which reads in harmonic coordinates:

g^VX = 0

the Maxwell equations (6) can be written

g^W + PoP (?ц, д^ дрф° = J»,(3.2)

where PqP are rationnal functions (with denominator a power of |g|) of their arguments, g^ and d^g^.

To simplify the writing of the proof we will suppose that all the particles are of the same kind. The system considered for the unknown g®9, ф®, / is then the system of equations (3.1), (3.2) and the Liouville equation on P (M):

W + (?“ -^L = 0, ga^ = m\

T^ and J^ being given by:

T°^ (я) = ^ / (ж, p) p®pPco, J^ = e ^ f(x, p) p^(o.(3.4)

P*WP (x)

The extension of the results that we will obtain to the case of N different kinds of particles (i. e. N Liouville equations, T0^ and J^ given by (2.2), (2.3)) is trivial.

Liouville equation for a regular metric. Definitions.

1°. A metric ^ defined on an open set U of R4 will be said regular on U if g®^ is uniformly hyperbolic with x° = cte uniformly space-like, i. e. if there exist strictly positive constant M, a and b such that, on U

. . з . \^\<М, ^>а*, g№>a\ -g^X^b^W i=l

(44)

2°. Such a metric will be said Cm regular if more over, it is Cm on U and there exists M* such that

IjD^K^'; |«|<m(4.2)

фаи denotes a derivation of order |a| of u. A potential ф® is said Cm regular on U if it is Cm with

pVl<^', |a|<m.(4.3)

If g®^ is regular on U we can take on the hyperboloid P (x) for every x £ U, the pvs as independant parameters, p° being the positive solution of the quadratic equation

£a₽P“P₽ = m2.(4.4)

We will suppose in the following that m > 0 then p° is a C°° function of pi and g®$ (depending on x through g®0). We deduce from 4—4 dp0 Pi and dp® = _ _pV4^_ 6^Podxa^Po

If / (ж®, p^ = / (ж®, pi, p° (pi)) is the expression of a distribution function in the parameters ж®, pf on P (U) we have

at = atPtat

dp1 dp1Po aP° •

A straight forward computation shows that the Liouville equation reads then (if Q” is of the form — ГхцР^р11 + g“, with ^pa = 0)

P°-&- -^^т^-Т^=0'(4"5)

oxop

where, to avoid cumbersome notations, we have suppressed the bar above /, which will always in the following (unless otherwise specified) denote a function of ^* and p\

Fig. 1Fig. 1given coo. We denote by tot the hypersurface x0 = denote by (u)t the squaregiven coo. We denote by tot the hypersurface x0 = denote by (u)t the squareEnergy inequality for the fields. We denote by Q the part in the future (x° > 0) of a subset of U globally hyperbolic for all C°° regular metrics, admitting as a Cauchy surface a relatively compact subset coo with smooth boundary, of x° = 0: the existence of such domains is easy to prove for every

Fig. 1

Fig. 1

given coo. We denote by tot the hypersurface x0 = denote by (u)t the square

given coo. We denote by tot the hypersurface x0 = denote by (u)t the square

— t of Q by Qj the subset x° < t of Q. We of the usual L2 norm of a function и on co<

(u)t = f | и |2 d?x

and by Mt the square of the Sobolev norm ||w||t that is we set:

(«)} = U|u|2 + 2 |daup A.

tot Icc—0J

The corresponding quantities for tensors are obtained by taking the sum of the squares of the norms of their components, for instance

(^ = 2(^)5

we obtain bounds for (g){ and (<p)J supposed to be C2 regular, by using the classical energy inequalities for second order partial differential equations: we multiplyerespectively (3.1) and (3.2) by d^P and дофа and integrate over Q/ intersection of the past of co< with the future of coo for the metric g^ (we have Q/ cz QT, and coT cz tot for 0 < т < £ < 7). The boundary of Qt is the union of tot, coo and a «lateral» boundary which is generated by null geodesics of g^. We thus, get, denoting by Kv K2, ... constants depending only on

the bounds defining the regularity:

(g. Ф)} < ^1 (g, ф)о + <Кг + 2<) J U» ф)|+

0

+ Ka J (T, J^dx,

where we have set:

^ Ф)* = UYt + (ф)|>

(T, J)t^(T)t + (J)t.

Energy inequality for Liouville equation. Let us denote by tot = totxIP the image in the variables x^-, p1 of P (tot), fiber bunddie with basis coz and fiber ga^PaP^ = ^2, by Q< the image in the variab

les xa, pi of the subset of P (Q<) generated by the trajectories of the vector field X issuing from P (tot), and such that x° > 0:

The boundary of Q< is the union of tot a subset coo of coo, and a «lateral» boundary generated by trajectories of the vector field X. Let us remark on the other hand that Q< is not bounded: its domain at infinity is obtained for рг infinite.

If A is any C1 function on P (Q) = = Q we deduce from (1.6) and (1.7) that, if / £ C1 (Q)

UQif^-kUhM^

integrating both sides over Q/ and applying Stokes formula to the first we get:

f hftx9 = ^LJW-(6-1)

(6.2)(6.2)(6.3)(6.3)The part of the left hand side taken on the lateral boundary of Q< vanishes, and on a submanifold x° = т we have

(6.2)

(6.2)

(6.3)

(6.3)

^9 = P° I g I ^ A

Po

therefore, if the written integrals exists, (6.1) reads:

j hpp°1 g | d?x -^- = hf^ | g | d?x -^- -J- ®tw0

+ ^(L^fUl^x^-.

JPo

We are thus led, in order to insure the convergence of these integrals and also the finiteness of (T)t and (/)/ to the following.

Definition. A distribution function / (#% p^) on Q = Q xR3 is said to be regular of order N if there exists a constant M such that, for every x^Q

(f)N = j (vKpK)NfcPp < M,(6.4)

R*

where v^ is an arbitrary vector field on Q continuous, bounded and strictly time like for all regular metrics on Q. We can take for instance v^ = 6^ VxPx = p° (given function of the p1 on P (x)).

Remark. The definition of a regular distribution function does not depend on the choice of v^. if z^ is another field, continuous bounded and strictly time like for a regular metric, there exist positive constants Kx and K^ such that on Й (i. e. for {p*} £ R3, ж £ Q):

Kt<^<K4l 0<Kt

thus

^i U)n < (An < ^2 (/)w-

Let us take in (6.3)

A = (z\Px)N(6.4')

we have:

Lxh, = N (v^y*-' (pKp»V xvM + F^v^).(6.5)

Therefore, for a C1 regular metric and electromagnetic field, the integrals in (6.3) are convergent if / is regular of order N (recall that, on Q, ^— and— are uniformly bounded), and (6.3) leads to the ine- OPo Po quality:

U)nj < ^i (/)n,o + ^2 f U^N^di;

6 with

(hN.t = J кЙК^Х. tot

Local uniqueness theorem. We first complete the definitions of regularity for distribution functions by the following, which expresses that Д- decreases one order faster than / at infinity of R3 and dp

as fast: dxa

Definition. Distribution function / is said to be C1 regular of order N on Q = й x R3 if it is regular of order N and, moreover, 32

there exists a constant M' such that, for every я £ Q:

\ dp JN4-2

We will prove the local uniqueness theorem: Hypothesis (Q is a set of the type defined § 5.):

х^ and х<ра, 2g®P and 2<ра are two C2-regular metrics and vector potential on Q, V and 2/ two C1 regular distribution functions of order N on Q = Q x R3;

(^а6, ^a, xf) and (2ga3, 2q)a,2/) satisfy Einstein — Maxwell — Liouville equations (3.1), (3.2), (3.3), on (Q, Q);

on coo (x° = 0) we have

ig<xP = 2ga^, ^x^a^ — ^x^0^?

!фа = 2фа, 5хХфа = дх2фа

and on coo = coo X R3.

V =2/.

Conclusion. \Ne have in Q

l^aP —- 2ga$? 1фа = 2фа

and on Q:

V = 2A

Proof: Let us set

^^^^ — ^g^P = T<^, 2фа _ l^a = -фа

4-4 = F.

By substracting equations satisfied by (Tg, тф, Tf) and (2g, 2ф, 2/) we

get:

- 4- ^^f» —V ^^ ^+»h^ - ^^ - _fc(2TaB _1таВ) = aa₽(7.1)

2^м^а + Т^ц 1ф“ + Ч>^8^° +

+ (2р“Р _ ip“P) др ^р = Ь»,(7.2)

2Р° м + Р' i + 2Q я i = с(7.3)

with

ьа = »Ja — Va,(7.5)

с = - СР0 ~ W -Щт - (2<?‘ - ^ -^г •(7-6)

Let us recall that 4p° is on Q a C°° function of the p^s and ^P.

We apply to equations (7.1), (7.2) and (7.3) methods analogs to the ones previously given to establish energy inequalities, integrating products of these equations by doyap, dotpa and Fh respectively over domains the lateral boundary of which is generated by null geodosics of ^P, or orbits of the vector field 2X respectively. We thus obtain the inequalities (A'i always denote a constant depending only on the bounds in regularity definitions):

(Y. ^i < ^1 (V, Ф)о + (^2 + 2() J (y, 1|))^T +

*0

+ f («. b^dx(7.7)

0

and tt

(F)N,t <. K^F^n^ + Къ ^ (F)N,Tdx + KQ ^ (c)jv-2,T^T(7.8)

о0

to obtain this last inequality we have noticed that:

Po 2(Po)2 )

thus, taking A = ^p°)N:

f+ К» (c)N-2,r

on the other hand we deduce from the expression (7.6) of c:

C2 < к 2 (l Yap I2 (2p°)2 (-§-)2 + (I Y“B I2 + I Ma₽ I2 + a,P,v'

44WIW)42 № ’ dp / J

therefore if /x is C1 regular of order N:

(7.9)(7.9)d3pPo ’d3pPo ’(7.10)(7.10)(c)N-2,t < К (у, ф)т

(7.9)

(7.9)

d3p

Po ’

d3p

Po ’

(7.10)

(7.10)

we deduce also from (7.4) that

aaP = V pipa 2p6 £P + I у (2pa 2pP _ i^a lp^ JPo.'

is bounded by K),is bounded by K),R3R3

is bounded by K),

is bounded by K),

thus if TV > 6 (then the integral ~2 --^724— using Schwartz inequality.

|a“P l^/irnFh + ^S^PI2 a,p

with an analogous reasonning for &awe finally find:

(^> h)T <2 K^ (F)n^ “F ^4 (?» Ф)т*

From inequalities (7.7), (7.8), (7.9) and (7.10) we deduce an integral inequality for the function of t given by (у, гр)< + (F)Nit of the type

(?, Ф)< + ^N.t < ^1 {(Т* H +

t

+ (F)^.o) + (Я2 + ^зО J {(?* *Ф)т + (F^n^ ^

0

from which results, С (T) being a function of T bounded for bounded T vanishing for T = 0, and increasing with T. that for t С T we have

(Y, WJ + (F^t < С (Л {(y, гр)< + (F)^oh(7.11)

this last inequalities implies:

у = ip = F = 0 for t < T if

у = гр = F for x° = 0

that is, the uniqueness theorem.

Local stability. The inequality (7.11) implies also that yaP, фа and F are small (in the considered norms) for every bounded time, if they are so at time zero: this is, mathematically the continuous dependance of the solution of Maxwell — Einstein — Liouville equations upon the Cauchy datas-physically it expresses a local stability property: a perturbation in gravitationnal, and electromagnetic fields, and distribution function, small at time zero remains small for some finite time.

A global stability would result from the boundedness of С (T) as T tends to infinity: but this property has no reason to be true.

Local existence theorem. If Ta$ and J^ are supposed known the equations (3.1) and (3.2) are a classical system of quasi-linear second order partial differential equations, the characteristic cone of which is the one determined by the metric gap such a system has a solution (and only one) in a Sobolev class H^ (Q), p 2> 4, if Ta& and J^ are in H^ (Q) and if initial datas are given on a 3-dimensionnal differentiable relatively compact submanifold coo:

^ к € H^ (<oo), д^ |ю, £ Hц_1 (to0),

these initial datas being such that g^ is uniformly hyperbolic and coo uniformly spatial; Q is a relatively compact neighbourhood of 5, which is globally hyperbolic for the considered solution g^.

On the other hand when gXu and ф are given in H^ (Q) the equation (4.5) is a first order, linear, partial differential equation for / (#, p) the coefficients of which are polynomials in p, with coefficients in Яц-! (Q) (we know that Н^_\ (Q) is an algebra if p > 4): the classical results do not apply directly to such an equation on

Р (Й) = Й = Й X R3 (in particular its coefficients are unbounded on P (Q)). However it is very probably possible to prove an existence theorem in a «weighted» Sobolev space, H^n where the weight, (ихркУ\ ux stHctly time like, TV > 6 is the one previously introduced. This weight also insure the convergence of the integrals (3.4) giving the Ta& and Ja corresponding to the solution /. These T0^ and J^ will moreover belong to H^ (Q).

By an iteration procedure, or use of the Schauder fixed point theorem, like in [5], it is very probable that one can prove a local existence theorem of the following type.

Hypothesis:

g0^ and фа, g'a^ and ф'а are given functions on an open bounded subset coo of #° = 0 in R\ such that \ on coo

| ^аЗ — g«3 | ^ e — 6, 6 > 0

(e being such that these inequalities insure, for 6 > 0 the uniform hyperbolicity of g^, together with the uniform spatiality of coo). g0^ and <pa belong to the Sobolev spaces H^ (coo), g'a& and ф'а to

i (wo)-

/ is a given positive function on coo = coo X R3, in a Sobolev space Яц_1,tv (coo).

Conclusion:

If p > 6, the Einstein — Maxwell — Liouville system in local coordinates. (3.1), (3.2), (4.1) has a solution, g^ £ H^ (Й), фа £ £ Н^^, i^ ^ц—i (£2), where Q is a neighbourhood of coo, such that gaP, dogap, фа, дофа and / take respectively on coo the given values g0^, g^, фа, ф'а and /.

Q is globally hyperbolic for g0^, with coo a Cauchy surface, / is positive on Q.

I. INTRINSIC AND GLOBAL RESULTS

Constraint equations. It is well known [2] that from local existence and uniqueness theorems in harmonic coordinates and for an electromagnetic potential normalized by the Lorentz conditions, one deduces, via the conservation identities, local but intrinsic existence and uniqueness theorems in General Relativity, if the initial datas satisfy the constraint equations.

In the case of the Einstein — Maxwell system, with source terms generated by a distribution function, these constraints are :

S°i = ^iK - Vj^ = (пуЛ^ + 1^\(9.1)

So =L (R + H4-K^ = K (1- (I ^-Ц/^ + т^, (9.2) 7^ = 0,(9.3)

where g being the metric induced by g on the initial surface 8, К is the second fundamental form of S as submanifold of the space time M. The vectors e and h are tangent vectors to 8 related to the electromagnetic field on 8 by the usual relations:

е = гпЕ, h = in^F\(9.4)

where *F is the adjoint form of F in the metric g and n the normal vector to 8,

are the absolute swuare of their lengths.

The components Ta of the stress energy tensor of / can be written in terms where appear only geometric elements of 8:

Ti = р(х,р)"р,(о,(9.5a)

R3

1

To = f /(ж, p) { — g (p, "p^ + ?n2} 2 co(9.5b)

R3

by denoting / (x, p) the function on the tangent bundle to 8 defined by Цх, p) = Цх, p)° П-1,

where П is the isomorphism from P (x) to the tangent space to 8 at x given by the orthogonal projection.

In formulas (9.5a) and (9.5b) рг are the components of p = Пр and

i

to = | g [2 dsp.

Analogously

jo = e f(x, p)to.(9.6)

R3

It is also known [4] that one deduces from local results (by using the globally hyperbolic character of the domains of existence and uniqueness of the local solutions) a semi-local existence theorem (i. e. for an arbitrary initial manifold, not necessarily hemoemorphic ta R3) and a geometric global uniqueness theorem, in the class of maximal, globally hyperbolic space — times.

Global results. We will now give the formulation of these global results. We use the following definition of a Sobolev space Яц (Ю on a fiemanian manifold of dimension n, which is easily proved not to depend on the atlas chosen on V.

Definition, A tensor T is said to belong to H^ (F) if it belongs to H^ (U) for every relatively compact open set U of the charts of a given atlas of F; a tensor is said in H^ (U) if each of its components, in regular coordinates on U, are in H^ (ф (IT)), coordinates on IT being called regular if the subset ф (IT) of Rn, image of IT in these coordinates, is also relatively compact. The space H^n (P (F)) is analogous defined through the spaces H^n (ф (IT)), when F is a hyperbolic manifold.

When 2 is a manifold endowed with a negative definite metric g, H^n VT (2)) is to be interpreted as space of functions on T (5) which, on each domain IT relatively compact in a chart of an atlas on S are H^n (ф (IT)) where the weight function is written {— g(p, p) + m^N'2.

Theorem. Hypothesis:

Sis a three dimensionnal, C^2 manifold a) g is a uniformly negative definite riemanian metric on 2, К is a symetric, second rank tensor on 2.

"g^H^Y k^h^^y

e and h are two vector fields on 2,

/ is a positive function on T (2) (fiber bundle tangent to 2)

/е^лГО).

2°) g, k, e, h, and / satisfy the constraint equation (9.1), (9.2) and (9.3).

Conclusions if p > 5, TV > 6:

I. There exists a space — time M, on exterior 2-form F on M41 a positive function f on P (Af) (fiber space with base M and fiber the hyperboloid g (p, p) = m2, and a submanifold S of M such that:

1°. g, F, f verify the Einstein — Maxwell — Liouville system 1-7, 2-1, 2-3

g^H^MY F^H^MY tEH^N<PWY

2°. There exists a diffeormorphism A of 2 on S such that:

the image by A of g and К are the first and second fundamental forms of 5 as submanifold of M;

one has, on 5

A(e) = inF1 A(h) = inF,

where n denotes the normal to S in M and, as usual, *F the adjoint form to F;

the function / (ж, p') takes on P (5) the value:

/l p (S) = 7о(Л-1П),

where П denotes the orthogonal (in the metric g) projection from P (я) on the tangent space to S at x.

3°. M is globally hyperbolic, admits 5 as a Cauchy surface and is maximal.

II. Such a solution is unique (up to an isometry).

REFERENCES

В e 1 L. Kinetic theory of cosmology.— Astrophysical J., vol. 155, 1969, p. 83—87.

В r u h a t Y. Cauchy problem.— In «Gravitation and introduction to current research» L. Witten ed. J. Wiley. New York, 1962.

Chernikov A. N. The Relativistic Gas in the gravitational field.— Acta Physica Polonica 23, p. 629, 1963.

Choquet-Bruhat Y. and Ge г о ch G.— Global aspects of the Cauchy problem.— Comm. Maths. Phys. 1969; Probleme de Cauchy intrinseque en Relativite Generale.— C. R. Ac. Sc., 1969, 269, 747—748.

Choquet-Bruhat Y.— A theorem of uniqueness and local stability for Einstein — Liouville equations.— J. Math. Phys., 1970, 11, 3228—3244; Probleme de Cauchy pour le systeme integro differentiel d’Einstein — Liouville to appear in Sept. 1971 in «Annales de Plnstitut Fourier».

E h 1 e r s J. Relativistic Kinetic Theory, Mimeographed, Varenna, 1969.

L e г a у J. Hyperbolic differential equations, Mimeographed, I. A. S. Princeton, 1952.

Lichnerowicz A. et M а г г о t R. Proprietes statistiques des ensembles de particules en Relativite Restreinte.— C. R. Ac. Sc., 1940, 210, p. 759—761.

M a r 1 e C. Sur Fetablissement des equations de 1’hydrodynamique rela- tiviste.— Ann. Inst. Poincare, 1969, 10, p. 67—194.

P i c h о n G. Problemes Mathematiques de Г equation de Boltzmann re- lativiste.— Comm. Maths. Phys., 1970, 19, 3, p. 189—204.

S у n g e J. L. The Relativistic Gas, North Holland, 1957.

W h e e 1 e r J. Geometrodynamics, Academic Press, New York, 1962.

О СИНГУЛЯРНОСТЯХ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И космологии

В. Л. ГИНЗБУРГ

Физический институт им. П. Н. Лебедева АН СССР, Москва

Ряд решений уравнений общей теории относительности (ОТО), в том числе решения, отвечающие различным космологическим моделям и коллапсу достаточно массивных звезд, как известно, имеют сингулярности. Мы имеем здесь в виду «истинные» сингулярности, когда плотность р -> оо и (или) некоторые компоненты тензора кривизны Ншт ОО.

Как относиться к этим сингулярностям и обладающим ими решениям?

Наличие сингулярностей не лишает смысла и не делает противоречивыми соответствующие решения. Поэтому, видимо, нет вполне строгих оснований считать решения и модели с сингулярностями лишь ограниченно годными, приближенными и т. п. Тем не менее при появлении сингулярностей естественно возникает вопрос о законности использования теории (в данном случае ОТО) при сколь угодно больших значениях р и Кшт- Более того, если говорить о физической интуиции, являющейся продуктом накопленного физикой опыта, то наличие сингулярностей представляется явно неприемлемым. Наконец, под ОТО мы, как и обычно, понимаем построенную Эйнштейном классическую теорию гравитационного поля g^ а такая теория заведомо ограничена в связи с неуче- том квантовых эффектов, которые вблизи сингулярностей, вообще говоря, особенно велики. Таким образом, необходимость анализа пределов применимости ОТО в сильных гравитационных полях и особенно вблизи сингулярностей не вызывает сомнений.

Среди требований, на основе которых Эйнштейн пришел к уравнениям ОТО, фигурировало такое: эти уравнения не должны

содержать производных g^ по я* более высоких, чем вторые производные. Такое требование связано с нерелятивистским предельным переходом (или, формально, с переходом с -^ оо, где с — скорость света), когда считается справедливым уравнение Пуассона Аф = = 4лСр.

Отказ от соответствующих ограничений приводит к уравнениям для ^-поля:

^--t^ = xTi + A6?+< х = -^,(1)

где Ф? содержит более высокие степени и производные тензора Нтт (напомним, что R^ = g^Ritmh = Ruu, R = g^RihY Рассматривая Ф^ в качестве поправки, можно считать, что в первом приближении (с точностью до членов, пропорциональных R2 и т. п.)

г (2) = ЬПП^ ++ ILn^rli + Г ПтпПи +

+ HR^ + IRTRm^ + JR’S +KR\i + LR^, (2) причем все коэффициенты С, ..., L имеют размерность квадрата длины; помимо того эти коэффициенты, кроме двух, связаны между собой, если считать, что имеет место закон сохранения Ф^ = О (подробнее см. [1]); для простоты мы, однако, не будем вводить нескольких постоянных и символически запишем Ф^2) = PR2, где I — некая фундаментальная длина. В более общем случае, но также символически, можно записать Ф? = aPR2 + bl4R4 + ..., где a, b — некоторые безразмерные постоянные.

Если перейти теперь в уравнениях (1) к нерелятивистскому пределу (с -> оо), то для потенциала ф (полагаем g^ = 1 + 2 ф/е2) получится уравнение типа

А (1 + aЧ2^ + ЬЧ4^ + • • •) ф = 4л6р,(3)

где безразмерные постоянные а', 6' и т. д., вообще говоря, порядка единицы.

Не лишен любопытства вопрос о том, какая оценка для I вытекает из наблюдений (известные ограничения на уравнение типа (2), по-видимому, следуют также из соображений общего характера, например из требования об отсутствии решений с отрицательной энергией и т. п.). Предположим, в качестве примера, что поправка /2Аф составляет не более 1 % обычных релятивистских поправок порядка (ф/е2) ф. Тогда в применении к полю Солнца, когда I Ф |/е2Ю"6 (на поверхности Солнца

I ф I = -^®-~2 ■ КГ6^ и г2Аф < Iй Дг ,

имеем

l1!^ < Ю"2^ ~ 10~8, I < Ю‘г@ ~ 10’ см. (4)

гфс

Вполне возможно, что более тщательное рассмотрение движения планет и их спутников позволит заметно уменьшить оценку (4) для L С другой стороны, весьма вероятно, что фундаментальная длина I, если она существует, фигурирует не только в теории гравитации, но и в электродинамике. Вместе с тем, используемые сейчас уравнения квантовой теории поля, не содержащие длины Z, оказываются справедливыми, по крайней мере, до масштабов порядка 10”15 см. Следовательно, можно думать, что I < 10”16 см^ а границы ОТО определяются именно этой длиной Z. Длине Z отвечает плотность pz ^ -^- . Таким образом, в случае существования фундаментальной длины, решения ОТО, вероятно, пригодны лишь при

Р Pz -^г ^ Ю26 г • см-3 (при Z < 10”16 см). (5)

Говоря выше о фундаментальной длине Z, мы имели в виду длину, не связанную с квантованием гравитационного поля. Дело в том, что квантовые эффекты, если базироваться на ОТО, характеризуются давно известной гравитационной длиной

= 1.6 . 10-33 см. (6)

Этой длине отвечает время tg ^ lg/c ~ 10”43 сек и плотность

pg= “4“ = 5 • 1093 г • см-3- (7)

Значение длины lg в качестве некоторой границы между классической и квантовой областями, помимо соображений размерности, ясно из рассмотрения квантовых флуктуаций метрики; конкретно, в локально-инерциальной системе отсчета квантовые флуктуации 6git> в области с размерами L порядка 6gth ~ IglL (см. [2]). Отсюда можно сделать вывод, что классическое рассмотрение недопустимо в областях с размерами L или радиусом кривизны а, сравнимыми с lg. Фактически, однако, квантовые эффекты могут оказаться решающими гораздо раньше, например при а ^> lg. Такое заключение и, главное, связь между учетом квантовых флуктуаций и сказанным в п. 2 настоящей статьи ясны из анализа, проведенного в работе [1].

Будем считать gik полем, состоящим из «гладкой» части g}^ и быстропеременной (флуктуационной) части 6gth. Подставляя gih = gth + 6gih в уравнения Эйнштейна (уравнения (1) с Фг^ = 0), в силу нелинейности этих уравнении, для поля gu' получим уравнения (1), где тензор Ф* зависит от g^ и 6^. В космологии и теории коллапса такой член Ф^ обычно отбрасывают, считая, что распределение плотности (или, общее, тензор Т^) является «гладким» и поле bg^u = 0. Еще в классической области такой подход 42

не всегда справедлив; например, полем 6gth не всегда можно пренебречь при учете неоднородностей в распределении плотности вещества или при наличии гравитационного излучения. При переходе же в квантовую область поле б^ в первую очередь связано с нулевыми флуктуациями гравитационного поля. Число флуктуационных степеней свободы, если учитывать сколь угодно короткие волны, неограниченно велико. Поэтому даже при «обрезании» спектра флуктуаций на длине lg вклад Ф^ в уравнениях (1) оказывается очень большим. Этот вклад, однако, в основной своей части может быть учтен путем перенормировки постоянных х и Л в уравнениях (I). Тем самым, между прочим, объясняется то, что в настоящее время нет никаких оснований полагать Л = О, как это часто делается. Та часть Ф^, которая не сводится к изменению членов иТ^ и Л6?, в случае замкнутых однородных и изотропных (фридмановских) космологических моделей мал5 при условии р <^ pg. Однако прир ^ pg эта часть становится большой, что и указывает на непригодность (в применении к упомянутым моделям) уравнений ОТО (уравнений с Ф* = 0) при

Р > Pg ~= 5.1093 г • см-3.(8)

Заметим, что плотности pg отвечает радиус кривизны Вселенной ag ^ lg (точнее, под а понимается характерная величина, фигурирующая во фридмановских моделях и равная радиусу положительной кривизны в закрытой модели). Так, в модели с уравнением состояния р = 0 при малой плотности вещества и с уравнением р = -|- = Др при большой плотности радиус ag —10™5 — 10™6 см (предположено, что при малой плотности хре = а0а~3 с а^ Ю28 см\ Это не удивительно, поскольку, например, скалярная кривизна R = — хТ = — x7j = 0 при р = 8/3, несмотря на то, что отдельные компоненты тензоров Т^ и Нгмт могут быть большими. Оценка тензора Фгк для менее симметричных космологических моделей еще не произведена, но имеются все основания полагать, что роль Ф? не мала по крайней мере, когда характерные радиусы кривизны at ^ lg. Вместе с тем даже радиус at ~~ lg не является достаточно малым при рассмотрении осциллирующих космологических моделей [3—5].

Отметим, что учет квантовых эффектов в космологии, проведенный в работе [4], касается других сторон вопроса и, по нашему мнению [1 ], ни в какой мере не меняет сделанных выводов о непригодности уравнений ОТО при приближении к сингулярности при учете влияния фундаментальной длины I или, во всяком случае

(если фундаментальной длины Z>Zg не существует), при учете квантовых эффектов (конкретно, флуктуаций) в теории гравитации.

Наше мнение о существующей ситуации кратко можно сформулировать так. В настоящее время нет никаких оснований рассматривать появление сингулярностей в классических теориях гравитации (конкретно, в ОТО) как что-то большее, чем указания на неприменимость этих теорий. Независимо даже от вопроса о возможном существовании фундаментальной длины Z > lg уже учет квантовых флуктуаций приводит к обобщению ОТО в смысле появления членов с более высокими производными (уравнение (1)). Впрочем вопрос о пригодности подобных уравнений в квантовой области даже для квантовомеханических средних величин g^ остается открытым, и вполне возможно, что они пригодны лишь пока квантовые поправки достаточно малы.

Могут ли сингулярности сохраниться и в квантовой теории гравитации и, например, квантовой космологии? Поскольку такая теория в сколько-нибудь последовательной форме не построена, от ответа на этот вопрос можно было бы уклониться. Ноя думаю, что в условиях, когда для появления сингулярностей в квантовой области не видно оснований, нет также никакого смысла или оснований считать такую возможность сколько-нибудь реальной.

Как сказывается ограниченность ОТО вблизи сингулярностей на рассмотрении астрофизических проблем? В случае коллапса массы М квантовые эффекты сказались бы только тогда, когда плотность р достигала бы значений порядка pg ^ 1094 для зна- _ 2GM ы

чении радиуса г > rg = —^—• Но, очевидно, средняя плотность Мс®с**

тела массы М и радиуса rg порядка р — —Pg52^ /—г 8

лишь для массы М Mg — у -^- 10“° г. Таким образом, для изолированного тела квантовые эффекты в гравитации с точки зрения внешнего наблюдателя могут играть роль лишь для микрообъектов [6] или в задаче об антиколлапсе. В космологии, напротив, учет квантования (или же ограничений классического пространственно-временного описания, связанных с существованием фундаментальной длины Z > lg) представляется необходимым по крайней мере для всех моделей, обладающих сингулярностью в рамках ОТО (или других классических теорий гравитации). К такому классу относятся, видимо, все известные модели, согласующиеся с данными астрономических наблюдений [3—5]. Тем самым на ранних фазах космологической эволюции квантовое рассмотрение представляется обязательным. Разумеется, с уменьшением плотности (например, при р <^ pg) или с увеличением радиуса кривизны квантовые решения должны «сшиваться» с классическими или, можно сказать, переходить в них. Возможно, что известная проблема о «начальных» возмущениях, приводящих в дальнейшем к образованию галактик, связана как раз с квантовой фазой эволюции

космологической модели и характером ее перехода в классическую фазу эволюции. Независимо от того, справедливо или нет это частное предположение, создание квантовой космологии, по-видимому, является сейчас космологической проблемой номер один.

ЛИТЕРАТУРА

Гинзбург В. Л., К и ржн и ц Д. А., Л ю б у ш и н А. А.— ЖЭТФ, 1971, 60, 451.

Wheeler J. . Einsteins Vision. Springer — Verlag, 1968. (Русский перевод. Уилер Дж. Предвидение Эйнштейна. «Мир», М., 1970).

Лифшиц Е. М., Лифшиц И. М., Халатников И. М. — ЖЭТФ, 1970, 59, 314.

М i s п е г С. W.— Phys. Rev., 1969, 186, 1319, 1328.

Дорошкевич А. Г., Новиков И. Д.— АЖ, 1970, 47, 948.

М а р к о в М. А.— Ann. of Phys., 1970, 59, 111.

SELF-COUPLED SCALAR GRAVITATION

DESER i, L. HALPERN 2

Physics Department, Brandeis University, Waltham, Massachusetts; Physics Department, University of Windsor, Windsor, Ontario

ABSTRACT

The requirement in scalar theories of gravitation that the source of the field includes the trace of its own stress tensor is investigated in two models: (1) The geometrical Nordstrom theory, which is the conformally flat metric analog of Einstein’s theory. (2) The ostensibly non geometrical flat space system of Freund and Nambu. Both are derived in closed form as cubic self-interacting systems and shown to be equivalent.

INTRODUCTION

In a recent work [1] a simple closed form derivation was given of general relativity as a (flat space) self coupled spin two theory with its own stress tensor as source. An essential improvement of this derivation was the use of the first order formalism in which the affinity TgV and the deviation h^ of the contravarient metric density V—^^ from its Minkowski value t]^ are varied independently.

Starting from the free spin two action:

(1)(1)7» (h,^, r“v) = X- j ^ (r“v-a - Гцл) + ТГ №« - -W))^ ra = r&

(1)

(1)

it was shown that by adding to /0 the cubic term

к = x-1 J h^ (r“vra - r^rgv) d4(2)

the linearized Einstein tensor would have as its source the total stress tensor of the system. The sum /0 + Ix is, of course, just the Einstein action in Palatini form

Л> + Л = X-1 J V — g^R^x(3a)

with the geometrical definition. -q^v + h^ = V— g g^-

In this note we wish to show that the Nordstrom theory of gravitation [2] in the Einstein — Fokker form [3] may be derived in a similar way; here the metric is conformally flat (g^™ (1 + h) rjgv = = V— g g^) and the field equation determining is R = 0. The derivation will simultaneously provide us with an action principle for this theory, the absence of which was earlier thought to be one of its drawbacks. We will then show the equivalence of this model to a recent, seemingly quite different formulation of scalar gravitation given by Freund and Nambu [4].

NORDSTROM THEORY

Consider the quadratic action (1) of a free spin — two field, but with /^v replaced by fcq^, while keeping the full set of affinities r*v. We shall see that this is a’spin two’ formulation [1 ] of a free scalar field H, in that the resulting field equation is just □ h = 0. The field equations corresponding to this action

I»kK Г) = X'1 f тГ |A(r“v-a - Гцл) +

(ГцуГа ГрцГ^)! d4x(3)

are obtained by varying Г and h independently

r^v = “2“ (^u^.v + 6vA,|li Ли^* ),(4a)

n^v (Г) r^ (Г^.а - гцл) = X).(4b)

The first equation states that F^v is the linearized affinity of the metric ^т]^ or (1 + h) t]mv, the second that the linearized scalar curvature vanishes. Insertion of (4a) into (4b) then yields the free scalar equation RL (h) = — 3 □ A = 0, where □ = т^д^ (our signature + + +—).

We now demand that the h, field have as its source the trace of the stress tensor corresponding to the action (3). Since the latter is quadratic, a suitable cubic term Ix will have to be added, and so on with higher iterations, if necessary, in order to reach an action whose field equation is precisely □ h = —xT^, with T^ the full stress tensor of that action. However, just as in the Einstein case (1), we show that the following addition,

It = X-1 j At)^ (r“vra - r^r»v) d*x(5)

/ = 7» + л = X"1 C/ = 7» + л = X"1 Calready ’saturates’ this self-coupling requirement, so that the fully self-interacting theory is just cubic, with

/ = 7» + л = X"1 C

/ = 7» + л = X"1 C

(1 + Ц т^Т?^ (Г) d4x = X-1 J Rd^x (6) the constant X will be determined to be —6x. The field equations

corresponding to (6) are clearly

Г^ = “2“ (1 + ^) $ph^ 4~ б^к,ty, qinv^’ X (7a)

тГ (Г^.а - Ikv + Г^Га - r^rSv) ^ t№v (Г) = 0. (7b) The affinity F^v is now the full Christoffel symbol of the conformally flat metric ggv = (1 + &) qgv = V~ £ 8*™ and similarly it is the full scalar curvature which vanishes (we omit sources for simplicity). Together, Eqs. (7) are just those of Nordstrom’s theory, with the second order form given by Eq. (II) below.

Let us now compute the stress tensor corresponding to (6). This may be accomplished most easily by introducing an auxiliary metric ^v, according to the usual prescription q^ -> tp^ and setting xpuv = = q^v/ after the required differentiation defining the stress tensor:

As is well-known, one is free to prescribe the tensor behaviour of the field variables and in the auxiliary metric space of xp^; we take h to be a scalar and Г a tensor, in order to avoid covariant derivatives (/г;ц = H^. The stress tensor may then be read off by inspections [2] and its trace is just

т = тГ^ = 2X-*< {(1 + /г) Rw (Г) - да [(1 + /г) F“v] +

+ dv [(1 + ^)0).(9)

The field equations q^v R^ (Г) = 0 remove the first term on the right, while we recognize (1 + K) F^v from (7a), to be just the linear affinity (4a). We thus find, upon then inserting the latter, the desired self-coupling form [3].

h = -^XT(10a)

which implies

X = - 6x.(10b)

Thus, the scalar curvature has the familiar 1/6 coefficient associated with conformal invariance as well as the usual x™1 of Einstein theory. The sign of X has been chosen (with the usual x -> 0 convention) so that the stress-tensor of the scalar field has a positive energy density: straight — forward calculation yields 2xT00 = -^- [/г2 + + (Д/г)2] with this sign. The fact that the overall action (6) has the

opposite sign to that of Einstein theory may be traced to the well- known negative character of the lower spin (Newtonian) part of the metric field. Of course, a scalar theory always predicts attraction between positive masses anyhow. Quite apart from the self-coupling question, we note that we have in Eq. (6) an action for Nordstrom’s theory. This was made possible by use of first-order formalism in which the metric affinity relation (7a) is independent of the curvature field equation (7b). The resulting second order equation for A is obtained by inserting (7a) into (7b):

-1. Tjuvfl^ = □ к - -L (1 + hrS^Av = 0.(11)

In the absence of sources, this reduces to the simple d’Alembert form □ h = 0, in terms of (1 + h) = (1 + h) 2.

FREUND — NAMBU MODEL

In the above, the Nordstrom theory was derived in a geometrical framework in terms of spin two variables. It is also possible to make the same self-interaction requirement for a flat-space scalar field, as was done (in second order form) by Freund and Nambu [4]. We shall derive their model in first order form and then demonstrate equivalence to Nortdstrom’s theory. A free scalar field has the action

Zo = — J ^дцФ^ Л^л^л^ d4x(12)

whose independent variations with лц and Ф yields the familiar equations лц = дцФ, 5цл^ = 0, equivalent to □ Ф = 0. Let us now seek an action such that □ Ф = 0 has as source the (flat space) trace of its stress tensor. The most general massless scalar field action form consists in multiplying the ‘Hamiltonian’ л2 by an arbitrary function / (Ф)

Z = — j ^л^дцФ т^л^лv/| d4x.(13)

The field equations become

л№ =/"‘W(14a) du^ = -A-n4f (14b)

which combine to

O^^^XW(15)

on the other hand, the stress tensor corresponding to J is just

T’1'' = / л^ — -^-г^лХ /(16a)

so that

7^ = - /л2 = - Г1 (дцФ)2.(16b)

Comparison of (15) and (16b) then implies f is a constant, say f = 2g* Then we have [4] / = 1 + 2gO, and the action (13) is cubic [6]. In second order form, the above action and field equations read

= - 4- f (1 + З^Фг’ф.цФ,^^(i7a)

Ф = g (1 + 2§Ф)—1 (дцф)2 = - gn(17b)

which are just the results (6) of ref. [4]. Comparing Eqs. (11) and (17b) shows the equivalence of the two models with the identification

A = 2gO(18)

or more geometrically, g^ = (1 + 2gФ) t]uv- Note incidentally that while the full Ta is the source of □ Ф, the source of дцл^ is by (14b) —gn2 which is formally the free field’s Ta- In the Appendix we discuss another model, in which this situation is reversed and the full Ta is the source of Зцлц rather than □ Ф.

SUMMARY

The Nordstrom scalar theory of gravitation was derived in terms of the requirement of self-interaction within a geometrical framework akin to the corresponding treatment of Einstein theory. It was then seen to be equivalent to a flat space self-interacting scalar field model. It is perhaps important to stress that self-interaction is not a necessary requirement for scalar gravitation, whereas it is a consequence of the universality implied by the gauge invariant tensor field equations. However, once the self-coupling demand is made, the same one-step interaction process works in both cases. Tensor-scalar theories can probably be derived in a similar fashion as well.

APPENDIX

We have noted that the absence for scalar fields of the identities present in spin two systems means that self-coupling is not necessary. Even if it is demanded, this may be accomplished either as in text or, as suggested to us by Mr. J. Rawls, by having Ta be the source of дцлц rather than (7) of □ Ф. We summarize such a model here. Comparing Eqs. (14b) and (16b), we see that to havedun^ = — XT^, f must be proportional to /, so that / = exp (2ХФ). The resulting

form for (15) is then

(Al)(Al)Ф = X (даФ)2

(Al)

(Al)

in which the source of □ Ф now looks like the free fields T^. In terms of the full Ta of (16b), this reads

Ф = - Xe^T1"(A2)

The right-hand side is reminiscent of a model proposed by Walker [7].

FOOTNOTES

It is also possible to ‘hide’ the spin zero character of the theory altogether by keeping the tensor form of h^ but having as a field equation the vanishing of its Weyl tensor, which then implies that h^ = At]^. This is analogous to a ‘spin one’ formulation [5] in terms of a vector field which is curl-free; we do not develop this more covariant formulation as the present one is simpler.

We remark that the cubic term in I does contribute to T^ here’in contrast to the Einstein case.

The self-coupling interpretation of Nordstrom’s theory was also discussed (in second order formulism) by Kraichnan [6].

Setting the integration constant in unity, which corresponds to the unity in g^ = (1 + K) -qgv, recovers the free field action at g = o.

We could alternately have proceeded by iteration from (12) and discovered that a cubic term was sufficient.

Sign differences from ref. (4) are due to their opposite choice of T]gV signature. Note also the highly non-linear character of the second order action as against the cubic form of Eq. (13).

In general relativity, there is only one necessary way, since it is only the linearized Einstein tensor as a function of the metric which is identically conserved, but not the analog of дцлц, namely this same tensor expressed in terms of the affinity only.

REFERENCES

D e s e г S. Self-interaction and Gauge Invariance (to be published).

Nordstrom G.— Ann. d. Physik, 1913, 42, 856; 1914, 43, 533.

E i n s t e i n A. and F о 1 к e r A.— Ann. d. Physik, 1914, 44, 321.

F r e u n d P. G. 0. and Nambu I.— Phys. Rev., 1968, 174, 1741.

Deser S.— Phys. Rev., 1969, 187, 1931.

Kraichnan R. H.— Phys. Rev., 1955, 98, 1118; Appl. 11.

Walker A.— Nature, 1951, 169, 961.

КЛАССИФИКАЦИЯ ПЕТРОВА

И РЕКУРРЕНТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Р. КАЙГОРОДОВ

Казанский государственный университет

В статье рассматривается использование канонических типов Петрова [1] для определения метрик полей тяготения общего вида (Тщ =# 0) и пространств Эйнштейна (К^ = xgih, х — const), тензор кривизны которых удовлетворяет рекуррентному соотношению

Rijhl,m = РтпДгзЫ ^Pm ^ ^)*(1)

Во многих работах, посвященных изучению пространств вида (1) (и их обобщениям), часто с дополнительным требованием положительной определенности метрики, указываются их различные геометрические характеристики [2, 3, 6, 7], решаются вопросы существования различных векторных полей в таких пространствах, а также задачи, связанные с группами проективных и конформных преобразований, допускаемых рассматриваемыми пространствами [8].

Классификация А. 3. Петрова полей тяготения по трем типам позволяет провести в ортрепере подробный анализ структуры искомых пространств сигнатуры (Н), и решение задачи практи

чески достигается алгебраически.

Многие результаты оказывается возможным перенести на случай релятивистских пространств двухрекуррентной кривизны:

^ijkl^mn = ^тп^гзМ (^тп ^^ 0).(2)

Пространства (2) с положительно определенной метрикой, как это показано Лихнеровичем и Ротером [4, 5], являются непременно и пространствами рекуррентной кривизны (1). Этот результат имеет место для пространств 1-го типа и в случае неопределенной метрики (см. п. 4).

Прежде чем заняться конкретным определением метрик релятивистских пространств рекуррентной кривизны, отметим ряд общих теорем и соотношений, имеющих место для пространств (1) и (2) и используемых далее на протяжении всей статьи.

Теорема. Для всякого VN с условиями (1) вектор рт является градиентом; с условиями (2) тензор tmn — симметричный.

Действительно, из тождеств Риччи для любого Vn следует

RijM, [тпп] 4* Rhlmn, [г;] 4” Rmnij» [hZ] = 0,(3)

что эквивалентно в силу (1) соотношениям

Р^т.п^гЫ + P[iJ]^fe/mn + Р^НдКтпгз = 0(4)

-/ Л о л 4 ОTV (TV — 1) \

или в бивекторных индексах 1Л, Вп С = 1, 2,—— I

PaRbc + PbRca + PcRab = 0.(5)

Покажем, что рА = 0, когда Rbc N= 0. Если предположить противное, т. е. ра ^ 0 (а — фиксированный индекс), то из соотношения (5) при А = В = С = а получим Наа = 0, а при В = = С = а (Л — произвольно) — RaA = 0. Наконец, рассмотрение (5) для фиксированного индекса С = а (Л и В — произвольны) приводит к условию RAb = 0. Следовательно, Р[тп,п] = 0 — вектор рт-градиент. В случае пространств (2), очевидно, приходим к условию симметричности тензора tmn.

Итак, для пространств VN с условием (1) или (2) выполняется равенство Вцм, [mn] = 0, что дает следующие алгебраические соотношения, связывающие компоненты тензора кривизны:

RsjhlR-imn 4~ RishlR -jmn 4* RijslR -hmn + RijhsR • Imn — 0.(6)

К ним необходимо присоединить вытекающие из тождеств Бианки условия на вектор рт (тензор £mn) и тензор кривизны:

PmRijkl 4“ PhRijlm 4™ PlRijmh = 0,(7)

^mnRijhl 4“ ^hnRijlm 4“ ^InRiimh == 0.(8)

Ниже при рассмотрении неэйнштейновых и неконформноплоских пространств понадобится классификация тензора Вейля

(9)(9)СгзМ = R^hl ТУ 2 ^^^^ gilRjh 4“ §jlR^

(9)

(9)

§3h.Ril ^1) (TV2) (Sil^Jh gihgjl)

по трем типам. При N = 4 и сигнатуре (Н), согласно [ 1 ], имеем

I тип:

-«! 0 0 рх 00“

0 а2 00 р2 0

САв =

00а3 00р3

Рх00— ах00

1

0 р2 00 — а2 0

_0 0 рз 00 -а3_

«14- а2

+ «з = 0 1 .

/4 Л\

01 4" 02

+ Рз — 0 J

II тип:

2а 00- 2р

00-

0 а + 100

Р1

00 а —10

1Р

Сдв =

— 2р 002а

00

>

0 р10 -(а+1)0

_ 01р0

0— (а — 1)

III тип:

(Н)

- 0 -10 000“

— 100 00 -1

000 0 —10

Сдв =

000 010

.(12)

00-1100

_ 0 — 10 000_

В силу того

что для Ул с условием (1)

или (2) выполнено

RyM, [тип] = О, ТО, очевидно, выполнено И Сум, [mn] = 0 или в подробной записи

CyhlR-imn + C{smR • jmn 4“ CysiR .kmn 4* C y^sR. [mn = 0. (13)

Отметим также тот факт, что пространств Эйнштейна Gn с х ^= 0 рекуррентной кривизны любого порядка не существует, поскольку свертка условий рекуррентности с метрическим тензором приводит к противоречию.

В последующих трех параграфах решается задача нахождения метрик пространств ОТО с условиями (1), а в заключительном — проводится краткое рассмотрение релятивистских пространств двухрекуррентной кривизны.

1. ПОЛЯ ОБЩЕГО ВИДА, НЕ ЯВЛЯЮЩИЕСЯ КОНФОРМНО-ПЛОСКИМИ

1°. Пусть Сум в ортрепере имеет вид (10). Система (13) разбивается на три подсистемы:

{

(«20С1) R12mn 4” (Рг Pl) Rs^mn — 0,

(Р2Р1)^12тпп 4“ (^1^2) R^kmn = 0,

(«1 «з) Rsimn 4“ (Pl Рз) R^kmn — 0, (Pl Рз) Rstmn 4" (^3 ^1) R^^mn = 0,

{

(&3 OC2) R23mn 4” (РзP2) R^mn — 0,

(РзP2) R23mn 4“ (^2^3) R^mn = 0,

которые соответственно имеют следующие определители: △i = (ai аг)2 (Pi Р2)2,

A 2 —(а1 аз)2(Pl Рз)2>

Д3 =(а2 аз)2(^2Рз)2*

Необходимо рассматривать только тот случай, когда лишь один из определителей Ад равен нулю, а остальные отличны от нуля. Во всех других ситуациях приходим либо к плоскому, либо к конформно-плоскому пространству (изучение которого проводится в следующем параграфе).

Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что Аг = 0, а Д2 и А3 отличны от нуля.

Из систем (14) с учетом тождества Нгют = 0 следует, что в ортрепере отличными от нуля компонентами могут быть только ^3434 И ^1212* Соотношения (7) принимают вид

Р1Д34З4 = ^2^3434 = Рз^1212 = ^4^1212 = 0.(15)

Отсюда следует, что необходимо рассмотреть два случая:

Я1212 #= 0, остальные компоненты равны нулю;

Лз^ ^ 0, остальные компоненты равны нулю.

В случае 1) для векторов и1 = (0, 0, 1, 0), х? = (0, 0, 0, 1) имеем:

U'Rijhl = ^Rijhl = 0, НЧЦ = ~ 1, V^Vi = 1, игУг = 0.(16)

Но тогда из соотношений (1) и их дифференциальных следствий вытекает:

U^R^jM^mt = 0, . . • , ^Rijhl,mtl r 0, . ..(17)

^Ri3hltmx ~ 0> • • • > ^Rijhl^mu ...» тт = 0, • • •

Выполнение равенств (16) и (17) показывает, что искомые пространства допускают два поля ковариантно-постоянных ортогональных между собой векторов [9], один из которых является времениподобным, другой — пространственно-подобным.

Систему координат можно выбрать так [91, что

ds2 = — о2 (ж1, ж2) dx12 — dx2,2 — da?2 + dx?2 .(18)

Уравнения рекуррентности (1) дают следующий вид вектора рт:

Pm = 9т In —(о22 = я 2/2 ' #=•

В случае 2) искомые пространства также допускают два ковариантно-постоянных ортогональных между собою вектора, являющиеся пространственно-подобными. Метрика и вектор рекуррентности имеют вид

ds2 = — dx12 — dx22 — о2 (ж3, ж4) da?2 -f- dx4^

Рт^дт\п^.(19)

2°. Переходим к рассмотрению пространств второго типа. Условия (13) дают систему уравнений

(ЗоС 4“ 1) R12mn + Зр/?з47пп R2kmn = О,

ЗрТ?12тпп (За ~j— 1) Йз4тп Rsimn = О,

(1 — За) Нз^тп — ^Й24тп + ^З^тп = 0,(20)

(За — 1) 7?24mn — 3P^3imn -]- R\2mn — 0, **

R23mn ™ R14mn = 0.

Если стационарные кривизны не обращаются в нуль, то при анализе системы (20) приходим к противоречию.

Следовательно, пространств общего вида рекуррентной кривизны, относящихся ко второму невырожденному типу, не существует.

Для пространств вырожденного второго типа Петрова, когда

в матрице (И)

а = р = 0,

получим следующий

вид тензора

кривизны:

“0 00 0

0 О'

0Х 0 0

0 X

*

Нав =

0 0р 0

0 00 0

— р 0

0 0

(21)

0 0 -р 0

р 0

_0 X 0 0

0 х_

где X — ц = 2. Тождества Бианки дают соотношения

A (А + Р«) = И (Pi + Р^ = № = ^Рз = 0.(22)

**

Если X + 0, ц #= 0, то рт = (—а, 0, 0, а), ртрт = 0 и выполняются соотношения

P^Rijkl = 0, P^Ri3kl,mt ~ 0, • • • » P^Ri.jhl,mt, .... тТ = 0, .. .

Следовательно, вектор рекуррентности пропорционален изотропному и ковариантно-постоянному вектору.

В работе [10] показано, что в той системе координат, где изотропный ковариантно-постоянный вектор 1т = б™, метрика К4 имеет вид

ds2 = 2dxMx4 — а2 (ж2, ж3, ж4) dx22 — dx^2 +

+ 4(3 (ж2, ж3, ж4) dx2dx^ + 2у (ж2, ж3, ж4) dx^2.(23)

Условие того, что тензор Вейля для указанной метрики должен быть второго вырожденного типа, и рассмотрение уравнений рекуррентности (1) с использованием допустимых преобразований 56

координат приводит к следующим классам пространств рекуррентной кривизны:

ds2 = 2dx4dx4 - (ж3 + Df da?2 — da?2 +

(Аа?: + 2Вх3 + 2Q dz4\(24)

где D — произвольная функция от ж2, ж4, а Л, В, С — функции от ж2, х4 удовлетворяют уравнениям

Л = (&0 + кг cos 2х2 + к2 sin 2х2) еа W,

^22 + ^ — DA22 -4—^ D2A2 + DA -J- Dw(25)

C4 = DB21-I)24 k^ къ k2~ const;

ds2 = 2dz4z4 — dxa — da?2 + 4a?Fdx2dx4 +

+ [Лх®2 + 2 (Bx2 + C) a? + Dx22 + 2Ex2\ dx42,(26)

где С, E, F — произвольные функции от ж4, Л, В, D удовлетворяют следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

А4 = а(А + F2')-2BE1

В4 = AF — DF -\-a(J3 — F^ - F44,(27)

D4 = D + 2BF + F2 - 4FF4.

Если же X = 0 в соотношении (21), то лета о видеть, что в этом случае искомые пространства допускают два ковариантно-постоянных ортогональных между собой векторных поля, одно из которых является изотропным, а второе — пространственно-подобным.

Метрика и вектор рекуррентности имеют вид

ds2 = 2&1 dx4 — dx22 — dx?2 + 2y (ж2, ж4) dx42,

Pm = ^m ln Узз*(28)

Наконец, случай, когда р = 0, сводится к только что разобранному.

3°. При рассмотрении пространств третьего типа (12) соотношения (13) противоречивы — полей тяготения общего вида третьего типа с рекуррентной кривизной не имеется.

КОНФОРМНО-ПЛОСКИЕ ПРОСТРАНСТВА РЕКУРРЕНТНОЙ КРИВИЗНЫ

Тензор кривизны конформно-плоского пространства, как известно, можно представить в виде

Вгы = Lihgn — Lugjh + Ljigih — Ljhgu,(29)

где Lih = N_2 ^Bih 2^ — 1) ^ih)•

Условия Rijki, [mn] = 0 эквивалентны при N > 2 для (29) соотношениям Lth^mn^ = О или

LshR*imn 4" LisR.hmn = 0.(30)

Известно также [1], что при N = 4 и сигнатуре метрики (Р) симметричный тензор L^h может быть приведен

I.

Н«+Р) ]/2р/2р(а-р)Н«+Р) ]/2р/2р(а-р)(31)(31)е = ± 1.е = ± 1.

Н«+Р) ]/2р

/2р(а-р)

Н«+Р) ]/2р

/2р(а-р)

(31)

(31)

е = ± 1.

е = ± 1.

Соответственно тензор кривизны конформно-плоских пространств в ортрепере можно записать в четырех видах

I» Rab =

n. Rab =

Р — а — Xj•

•Р — а — Х2

• -Г2Р

К2р•

*

••

— 2а•

•.

•К2р

/2р•

ш. вАВ =

е — X — Хх•

•е — X — Х2

• а + Р + ^2

•е

ос + Р + Хх •

• X] + Х2

— е•“

$3)

*

...

— 2Х•

v ве

•е

— е•

• е + X 4- Х2

е 4™ X —}“ Хх *

•Хх 4- ^2_

е=±1;(34)

IV.

— (X 4“ \)••• — 1•

.— 2Х — 11••

Rab =

.-1 -2Х •••

1-2Х-•

-1.•.х + X,— 1

•••— 1X4~ ^vi

(35)

Из рассмотрения (30) и (7) приходим к выводу, что конформноплоские пространства рекуррентной кривизны могут принадлежать лишь к типу (34) вырожденному (К = Хх = Х2 = 0^, причем вектор рекуррентности пропорционален изотропному и ковариантно-постоянному и искомые пространства находятся в классе метрик (23).

Условия С^м = 0 и уравнения (1) с применением допустимых преобразований, существующих для (23) [10], приводят к следующим классам конформно-плоских пространств рекуррентной кривизны:

ds2 = 2dx'dx* — (ж3 + Л)2 dx^ — d^2 +

+ [fe^x32 + 2Ва? + 2С] dx12, (36) где k = const, А — произвольная функция от а?, х^, а В, С — функции от ж2, ж4, удовлетворяющие условиям

Вм + В = Аи + кАеа<х‘\

С2 = АВа; (37)

ds2 = Mx^dx* - da?2 — da?2-V 4Aa?dx2dx4 + + К^а(ж4) — Л2) (^2 + X22) + 2 (Л4х2 + В) a? + СхЧ dx*2, (38) где А, В, С — произвольные функции от ж4, к = const.

ПРОСТРАНСТВА ЭЙНШТЕЙНА РЕКУРРЕНТНОЙ КРИВИЗНЫ

Как уже указывалось, необходимо рассматривать лишь пространства Эйнштейна с х = 0. Компоненты тензора кривизны в ортре- пере имеют вид (10)—(12), где вместо САв нужно подразумевать Нав.

Исследуя соотношения (6) и (7),приходим к следующим выводам:

не существует пространств Эйнштейна рекуррентной кривизны, относящихся к I, II невырожденному, III типам Петрова;

единственными пространствами Эйнштейна с рекуррентной кривизной могут быть лишь пространства второго вырожденного типа. Вектор рекуррентности для них является пропорциональным изотропному и ковариантно-постоянному вектору. В системе координат, где рт = а (х) 6™, метрики искомых пространств

имеют следующий вид:

d? = 2&!<ir4 - (ж3 + Л)2 da?2 — da?2 +

+ (D^2 + 2Ся3 + 2D) d^2,(39)

где А — произвольная функция от х\ х\ а В, С, D — функции от х2 и х4 удовлетворяют условиям

В = ^kT cos 2х2 + к^ sin 2z2) еа

С22 + С = Л44 + -1- АгВг - ЗАВ,(40)

D2 =^Л2В2 + ЛС2,

fcD ^2— const;

ds2 = 2dx4dx4 — dx21 — dx9^ + 4o?Fdx2dx4 +

+ VAa?2 + 2 (Bx2 + C^a? + Dx21 + Ea?A dx12,(41)

где С, E, F - произвольные функции от ж4; Л, В, D — функции от ж4, связанные условиями

Л4 = а(Л + В2)-2ВВ,

В, = AF - DF + а (В - В4) + В44,(42)

А + D = — 2F2.

О ПРОСТРАНСТВАХ ДВУХРЕКУРРЕНТНОЙ КРИВИЗНЫ

Многие результаты, полученные в предыдущих пунктах, переносятся на случай пространств двухрекуррентной кривизны, поскольку для них имеют место, как и выше, условия (6), (8), (13).

Поэтому можно сформулировать сразу следующие выводы.

Теорема 1. Не существует пространств двухрекуррентной кривизны, относящихся ко II невырожденному и III типам по классификации Петрова для тензора Вейля.

Теорема 2. Конформно-плоские пространства двухрекуррентной кривизны могут принадлежать лишь к типу (34), где X = Хх = = Х2 = 0, причем tmn = lmln, где 1т — изотропный вектор, такой, что VR^ki = 0.

Теорема 3. Единственными пространствами Эйнштейна двухрекуррентной кривизны могут быть лишь пространства II вырожденного типа с тензором рекуррентности tmn = lmln, где 1т — изотропный вектор, такой, что DR^m = 0.

Что касается двухрекуррентных полей тяготения общего вида I типа, то можно показать, что они являются обязательно и рекуррентными пространствами (имеет место теорема Ротера, доказанная для пространств с положительно определенной метрикой).

Действительно, для двухрекуррентных пространств I типа необходимо рассматривать два случая: 1) и 2) из (15). В обоих случаях скалярная кривизна 7? у= 0 и она та же самая, что и для однорекуррентных пространств. Легко видеть, что

Рт =ДЛЯ (1),(43)

tmn = -^для (2).(44)

Дифференцируя (43)еще раз,получим

RR п

,тп,т ,п

Рт.п —^2

или, используя (44), tmn ~ Рт,п Н~ РтРп*(^)

Но в таком случае условия (2) имеют вид

Rijhl.mn = Pm,nRijkl “F PmPnRijkb

Последнее соотношение, очевидно, есть дифференциальное следствие (1).

ЛИТЕРАТУРА

П е т р о в А. 3. Новые методы в общей теории относительности. «Наука», М., 1966.

Ruse Н. S.— Jorn. of the bond. Math. Soc., 21, 1946.

R о ter W.— Bull. Acad, polon. sci., 1962, 10, 10.

R о t e r W.— Bull. Acad, polon. sci. Ser. Math. Phys., 1964, 12.

Lichnerovicz A.— Proc. Intern. Congr. Math., Cambridge, 1950.

Yamaguchi S., Matsumoto L— Tensor, 1968, 19, 1.

M a t h u r S. B.— Proc. Nat. Inst. Sci. India, 1968, A34, 1.

R о t e r W.— Zesz. nauk. Politechn. wroclawsk, 1968, 197.

Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия. ИЛ, М., 1948.

Кайгородов В. Р., Пестов А. Б.— В кн.: Гравитация и теория относительности, 6, Казань, 1969.

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НЬЮТОНОВОЙ ТЕОРИИ

X. П. КЕРЕС

Институт теоретической физики АН Эст. ССР, Тарту

В настоящей работе рассматриваются старые проблемы ньютоновой механики с новой точки зрения. Будем применять идеи и методы, позаимствованные из общей теории относительности, к теории тяготения Ньютона. Конечной целью наших исследований является обнаружение общих структурных черт теорий Ньютона и Эйнштейна. Мы знаем, что ньютоновая теория является строгим предельным случаем эйнштейновской теории [1—4]. Следовательно, принципы и соотношения общей теории относительности, которых предельный переход, приводящий к ньютоновой механике, не затрагивает, переносятся в ньютонову теорию без изменения. Естественно, что общерелятивистский подход облегчает найти общерелятивистские следы в ньютоновой механике. Не представляется невозможным, что некоторые трудные и пока нерешенные вопросы общей теории относительности могут быть изучены в рамках более простой ньютоновой теории.

НЕНАБЛЮДАЕМОСТЬ

НЬЮТОНОВОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

Инерциальные системы отсчета определяются на основе инерционных свойств материальных тел. Не следует смешивать инерциальные системы и привилегированные системы отсчета в каком- нибудь общем смысле, которые могут быть определены и по другим признакам.

Ньютон сформулировал основные законы движения для абсолютного пространства. Этот первоначальный вид законов движения можно сохранять в любом пространстве, если к «истинным» силам прибавить соответствующие «фиктивные» силы инерции. Очевидно, что по известному полю сил инерции можно определить 62

и такие пространства, где силы инерции отсутствуют. Но пространство с исчезающими силами инерции является инерциальной системой. Таким образом, задача определения инерциальной системы равносильна задаче отличения силы инерции от истинных сил.

Силовое поле тяготения точечной массы т, расположенной на оси х в точке х = ^ выражается так:

„ Gm / х —- gу z \

г 5— , , ,

IТ 1 г 1 r j 1

где г2 = (х — g)2 + у2 + z2. Если центр притяжения перемещается вдоль положительной оси х до бесконечности, причем масса т возрастает таким образом, что отношение m/g2 стремится к определенному пределу М, то в пределе получается однородное поле гравитационных сил F = GM (1, 0, 0), порожденное бесконечной массой, расположенной на бесконечности. Если же пространство движется равномерно ускоренно относительно инерциальцых систем, то в пространстве появляется однородное поле сил инерции. Никакие механические эксперименты, произведенные в сколь угодно больших конечных областях пространства, не позволяют нам установить, является ли наблюдаемое однородное силовое поле полем тяготения в некоторой инерциальной системе или полем сил инерции в ускоренно движущемся пространстве, либо же существуют одновременно и однородное гравитационное поле и однородное поле сил инерции, суммой которых является наблюдаемое однородное поле.

Таким образом, различение однородных полей сил тяготения и сил инерции невозможно. Тем самым и определение ньютоновых инерциальных систем невозможно; они оказываются объектами ненаблюдаемыми. В каждом пространстве можно предполагать существование любого однородного поля сил инерции, уравновешенного полностью однородным гравитационным полем. Равномерное ускорение пространства относительно инерциальных систем остается неопределенным.

По-видимому, установить различие между неоднородным полем гравитационных сил и полем сил инерции всегда возможно. В таком случае можно определить инерциальные системы в несколько обобщенном смысле; они двигались бы друг относительно друга не без ускорения, а равномерно ускоренно. Однако это не так.

До сих пор мы предполагали, что пространство является жестким, т. е. что расстояния между его точками не изменяются с течением времени. Согласно ньютоновским концепциям в жестких пространствах могут появляться гравитационные поля любой формы, но поля сил инерции — только специальной формы. Поэтому в конечных областях жесткого пространства совпадение по форме поля сил тяготения с полем сил инерции в общем невозможно.

В нежестких пространствах положение иное. Здесь возможны поля сил инерции любой формы. Увидим (см. 2, 6), что для

каждого гравитационного поля существуют такие пространства (в общем нежесткие), в которых силы инерции полностью уравновешивают поле тяготения на всем своем протяжении. Таким образом, на фоне пространств более общего типа различение неоднородного поля сил тяготения и поля сил инерции так же невозможно, как и различение однородных полей в жестких пространствах. Из всего этого заключаем, что различие между обоими полями, т. е. разница в их внутренней физической природе, вообще отсутствует. Сила тяготения и сила инерции — это два различных названия для одной и той же физической сущности. Существует лишь одно физическое поле, которое будем называть гравитационным полем.

Если это так, то силы инерции, наблюдаемые, например, в жестких пространствах, как гравитационные силы особой формы, не имеют никакого отношения к теоретическим «истинным» инерциальным системам. Последние остаются полностью неопределенными.

Относительно принципа эквивалентности имеются различные точки зрения. По нашему мнению, содержание принципа эквивалентности состоит в утверждении, что поле тяготения и поле сил инерции имеют одинаковую физическую природу, или другими словами, что тяготение и инерция сводятся к одному и тому же явлению. В таком виде принцип эквивалентности, основывающийся на экспериментальном факте равенства инертной и весомой масс, справедлив также в ньютоновой механике.

Если силы инерции принадлежат к числу гравитационных сил, то становится ясным, что ньютоново определение истинных сил тяготения не охватывает всех форм гравитационного поля. Здесь уместно вспомнить слова Эйнштейна, что понятие инерциальной системы становится бессодержательным, «если считать возможными любые гравитационные поля, простирающиеся сколь угодно далеко и не ограниченные предельными условиями» [5]. Мы понимаем гравитационное поле именно в таком общем смысле.

КИНЕМАТИКА НЕЖЕСТКИХ ПРОСТРАНСТВ

Пусть aj — три взаимно ортогональных единичных вектора с общей начальной точкой. Радиус-вектор

Г = у5а$,(1)

где z/j — три фиксированных действительных числа, определяет точку (г/). Множество всевозможных точек (г/) образует пространство, в котором определена прямоугольная декартова координатная система у*. Назовем его ^-пространством.

На базе данного ^-пространства можно определить другие пространства с помощью уравнений вида

у1 = у1 «, 6),(2)

где g* — три независимых параметра. Если параметры ^г фиксированы, то получим точку (g), движущуюся в ^-пространстве. Множество всевозможных точек (£) образует пространство, в котором определена координатная система ^. Назовем его ^-пространством.

Если два из параметров ^ сохраняют постоянное значение, а меняется только третий, скажем g\ то уравнение (2) представляет &-ю координатную линию. Через каждую точку (g) проходят три координатных линии. Их касательные векторы

Г г = y^s = ег(3)

образуют сопутствующий репер в точке (g). Взаимный с ним репер е? определяется соотношениями

et • ек = 6*(4)

Бесконечно малый вектор

dr = г, sdV = esd^s(5)

соединяет две бесконечно близкие точки (£) и (g + d^^ взятые в один и тот же момент времени. Квадрат его длины дается формулой

d^ = dr • dr = ^rsd^d^8,_

где

Vik = ei • eft.(7)

Если Чгь зависит от времени, то расстояние между точками (£) и (£ + d^ меняется с течением времени. В таком случае ^-пространство — нежесткое. Примером жесткого пространства является рассмотренное выше ^-пространство.

Рассмотрим дифференциальный оператор d как символическую линейную дифференциальную форму d£>s (djd^8) и определим внешний дифференциал от внешней дифференциальной формы 0 как формальное внешнее произведение d/\9. Например, если 0 = аД^8, имеем,

d Д 0 = ^ ^ Л (a5^s) = as,r^r Л <^5 = das Л d£- Вспомним основные правила внешнего дифференцирования:

а ^ (0Г + е2) = а л ех + а л 02;

а Л (^0) = aF Л 0 + Fa Д 0, где F = F^

ак (0х А 02) = (dЛ 61) Л 02 + (- 1)т01 Л (^ Л 02),

где т — степень формы 0Х.

В частности d /\d = 0, т. е. внешний дифференциал от полного дифференциала всегда равен нулю.

Вместо сопутствующего репера можно ввести любой другой репере*, присоединенный к точке (g). Если

е, =(8)

то равенство (5) можно записать в виде

dr = cose,,(9)

где со* = Csd^8. Отсюда вытекает

ds2 = ^s(°r(°s>(Ю)

причем

^=^ • (к-(Ц)

При переходе от точки (g) к (g + dQ репер ej испытывает изменение

de* = е* d£s = cofe*(12)

где coi — некоторые линейные дифференциальные формы.

Дифференцируя внешним образом уравнения (9) и (12) и принимая во внимание, что dr и de* суть полные дифференциалы, получаем в результате простого вычисления уравнения структуры пространства:

d Д со* + со* Д со8 = 0,(13)

d Л Ю1 + <^ Л ю£ = °-(14)

Если формы со* заданы, например, выражением линейного элемента (10), то формы со£ определяются однозначно из уравнения (13). Дифференцируя равенство (И) и исключая затем, дифференциалы реперных векторов с помощью соотношений (12), получаем

d^ = coift + coAi,(15)

где обозначено

ю« = р.юг<16>

С другой стороны, дифференцирование коэффициентов квадратичной формы (10) дает равенства

d^th =(17)

с коэффициентами Ьгьь симметричными относительно индексов i и к. Имеем, таким образом, дополнительное уравнение

О)гА + to кг = biMto8(18)

для определения форм coj. 66

Для решения уравнений (13) и (18) вычислим прежде всего

(/ Д СО* = C*sCOr Л (0s,(19)

откуда получим величины с^ антисимметричные относительно индексов г и к. Затем запишем

Ч = t>s(2°)

и подставим выражения (19) и (20) в уравнения (13) и (18). Получим следующие уравнения для неизвестных коэффициентов у^:

Yjh — Ту + 2Ч = °» № + Узм = bikj,(21)

где обозначено

^ = ^sTjr

Система (21) имеет однозначное решение

4^3 = "у (6i;h + bhji — bihj) + ci3h + ^^д — C^(22)

причем

Ciy = ^к.

В случае сопутствующего репера из равенства (5) видно, что go* = d£\ Поэтому d Д со* = 0, и следовательно, с<к = 0. Далее имеем у*Л = y.ft и = yihj. Обозначая здесь

^ = «,(23)

получим на основании формулы (22)

П» = 4" Т“ ^з«л +— УзкЛ

z 556

Рассмотрим теперь формы от четырех дифференциалов dt, d^.

Бесконечно малый вектор

dr — г,0 dt + г,з dgs t= eodt + esd^s(24)

соединяет точку (g), рассмотренную в момент t, с точкой (£ + d^), рассмотренной в момент t + dt. Вектор е0 = г0 представляет скорость точки (g) относительно ^-пространства. Если положить

е0 = a?seSl(25)

то равенство (24) можно записать в виде

dr = (oses,(26)

где w1 = ^dt + d^. Вместо уравнения (18) имеем теперь

toih + toki = i?tk,odt 4- ^ik,sd^8-(27)

Из двух уравнений (13) и (27) найдем

col = wVt + IW,(28)

и, кроме того, соотношение

Wi;h + Wk;i = р,0-(29)

Подставляя выражение (28) в уравнение структуры (14), получаем равенство, выражающее, что тензор кривизны пространства исчезает, и еще равенство

ш^-М = 0.(30)

Движение ^-пространства относительно некоторого ^-пространства описывается уравнением вида

X1 = X1 (£, g).

Пусть в течение времени dt точка (g) перемещается от точки (ж) к точке (ж + dx). Поскольку при движении координаты точки (£) сохраняют постоянные значения, то dx' = x^dt. Отсюда видим, что скорость точки ($) относительно ^-пространства

v = v8es(31)

&Х X

имеет компоненты и1 = х^0. В силу этого полный дифференциал dxi может быть записан в виде

dx1 = vx dt + x^d^8.(32)

Если в формуле (31) координаты ^ рассматриваются переменными, то она выражает поле скоростей в ^-пространстве, вызванное движением ^-пространства. Назовем его скоростью ^-пространства относительно ^-пространства.

Подставим значения дифференциалов dxi (32) в уравнение

dr = eodt + esd^8 = eQdt + esdx8.

££XX

Из полученного равенства вытекают, во-первых, соотношение между сопутствующими реперами, начальные точки которых совпадают в момент t,

= х\е8,(33)

6* х

и, во-вторых, равенство

у = е0 -е0.(34)

6Х 6X

Полагая

v = u8eS)(35)

ix 6

имеем в силу (31) и (33)

и1 = иЛх^(36)

и, следовательно,

(37)(37)Ut = VsX^

(37)

(37)

если Ui = psus.

точкеравно(38)в виде(39)точкеравно(38)в виде(39)За промежуток времени dt, когда точка (g) движется от (ж) к (х + dx), причем dx1 = v^dt, репер ei, присоединенный к (g), испытывает изменение, которое согласно формуле (28) d^i = w8- dtes

точке

равно

(38)

в виде

(39)

точке

равно

(38)

в виде

(39)

и может быть вычислено на основании формул (28) и (33) и det = dxses + Xs (wrdt + Г; dx^ ет.

6XXXX

Изменение репера е^ относительно ^-пространства получается, если репер вг считать неизменным с течением времени, т. е. если X

в правой части равенства (39) пренебречь членом x^u/sdter, или, X X

что то же самое, если от правой части равенства (38) вычесть указанный член. Итак,

drei^i = w^dtes — xsjjDTsdter. £6’6’ X * X

Но из формул (23) и (25) вытекает, что

д^ ’ !° ~ W^

д д^ х° Поэтому имеем, drel^i = 6д д^ х° Поэтому имеем, drel^i = 6илиилиs а= Xs. ’г дх8учитывая- 81 n dt,ЭХ1 ^s а= Xs. ’г дх8учитывая- 81 n dt,ЭХ1 ^е0 = Х8^т. XX Xравенство (34),е0 = Х8^т. XX Xравенство (34),

д д^ х° Поэтому имеем, drel^i = 6

д д^ х° Поэтому имеем, drel^i = 6

или

или

s а

= Xs. ’г дх8

учитывая

- 81 n dt,ЭХ1 ^

s а

= Xs. ’г дх8

учитывая

- 81 n dt,ЭХ1 ^

е0 = Х8^т. XX X

равенство (34),

е0 = Х8^т. XX X

равенство (34),

(40)(40)dfgi^i — U^~dt^^

(40)

(40)

Из соотношения (4) получим с помощью (40) аналогичную формулу для взаимного репера

(41)(41)dreie1 = — и1 dtes.

(41)

(41)

6 *s 6

Ускорение ^-пространства относительно ^-пространства а определяется равенствами

dreiN = adt, v = и, (t, g) es.(42)

gx6

Из этого определения вытекает, в силу формулы (41), что

adt = ^dus — Ur^^dt) es.

Принимая во внимание, что здесь du^ соответствует перемещению точки (g) за время dt, так что dut = u^odt, получим для составляющих ускорения а относительно репера е1 следующие выражения: ЪхВ

а» = «i,o — u»us;t = «1,05" («sUs),i-(43)

Дифференцирование равенства (7) дает, с учетом формулы (40),

(«i;A + «ft;i) dt.(«i;A + «ft;i) dt.

(«i;A + «ft;i) dt.

(«i;A + «ft;i) dt.

С помощью этой формулы можно придать равенству (40) вид

(45)(45)111I

(45)

(45)

^8 Л ^i,e) ^ Н й“ ^reZYsi ^S

22 В I 6

Второе слагаемое в правой части описывает относительную деформацию репера Ci. Первое слагаемое представляет, следовательно, движение репера |j без деформации, т. е. бесконечно малое вращение репера за промежуток времени dt. Таким образом, величина

^и =(46)

Вх 2

представляет относительную вращательную скорость репера е^

Назовем ^hi рассматриваемую как функцию от t, ^, вращатель- Вх

ной скоростью ^-пространства относительно ^-пространства.

Легко убедиться, что aj и Qift не являются независимыми

Вх Вх величинами, а связаны соотношением

"^“ (^k,i^г,к) = ^гй,О»(47)

Более того, имеет место равенство

d А 0 = a5dt л ^ + л d^(48)

Вх ВхВх

= -~ u&sdt + и^.(49)

Вх 2

Формула (48) показывает, что а^ и йгн являются составными частями одной и той же четырехмерной величины, представленной внешней квадратичной дифференциальной формой d/\9.

Вх

С целью доказать теорему сложения форм 0 запишем равенство (49) в виде

(50)(50)1

(50)

(50)

6 = -о- v • \dt + v • (dgsee), Вх 2 £х £х Вх £

или, в силу формулы (34),

= 4" (е0 — ео)2 dt + («о — ео) 1 №ез)-(51)

Если задано еще некоторое z-пространство, то имеем аналогичным образом

° = т (е0 — ео)2 & + (ео — ®о) • (^е$).(52)

хгх гх zх

Подставляя сюда выражение для dx*eS) вытекающее из равенства

X

dr = eodt + esd£,s = eodt + esdx\(53)

£*XX

и складывая затем уравнения (51) и (52), получаем

9 + 9 = -о" (е0 - е0)2 dt 4- (е0 - е0) • (с^'е,),

Ex хг5 г$ z8

т. е.

6 4-6 = 0.(54)

£х хг ^z

Это и есть закон сложения форм 9. Из него выводятся законы сложения относительных ускорений и вращательных скоростей. В самом деле, дифференцируя внешним образом равенство (54) и учитывая формулу (48), получим

аД1 Д ^s + &rsd^r Д dge + asdt Д dxs + ^T&dxT f\dx* = £x£xxzxz

= a5dt Д <^s + Д d^.

Внося сюда значения (32) для дифференциалов dx\ получаем равенство, из которого следует

di -j- di 2^2js^S == ^i»(^^)

£x xz xz ^x ^z

^№4" ^ih = ^ik>(56)

Ex xz $z

где__

at = a^j,Qj»,= Qrsxr,xx‘h(57)

XZxzxzxz

суть компоненты относительных ускорения и вращательной скорости относительно репера е\ между тем как di и Qife суть компо

ненты этих величин относительно репера е\ Составляющие и1 и и^

X относительной скорости v связаны формулой (36).

Если умножить равенство (32) на Vi и использовать формулу (37), найдем

v^dx8 = vsvsdt + и§<£?.(58)

С помощью этого соотношения можно выразить 0 как форму от дифференциалов dt, dx1

0 = vsv&dt + vsdx?.(59)

lx 2

Рассматривая здесь Рг как функцию от t, х\ продифференцируем внешним образом равенство (59), а затем исключим dx1 при помощи формулы (32). Из полученного равенства находим, сравнивая его с (48) и принимая во внимание формулы преобразования (57), что в координатной системе х' компоненты относительных ускорения и вращательной скорости выражаются через Рг следующим образом:

аг = Vi.o + -у- (р$р$)и — 2Qisps = Vi.o + uSv^s,(60)

lx2£x

—1

Qih = (vw — Vi,k\(61)

Поскольку

dv^

ST =

то равенство (60) можно записать в виде

^ = чт-ж^Ти6-<62>

Рассмотрим движение отдельной точки (g) = Р — \х (01. Тогда имеем и1 = х\ vt = Yis^% и формула (62) дает следующее выражение для ускорения точки Р относительно ^-пространства:

аг = -4- (YiSa:s)^Г511хтх8.(63)

Рх аг XX

Полагая в формуле (55) (£) = Р, z = х и х = £, получим правило сложения ускорений в виде

аг = аг + at — 2Qis^.(64)

Рх Р& £х £х

Из формулы (48) видно, что для того чтобы аг и Qik были

1х 1х

равными нулю, необходимо и достаточно, чтобы d /\ 0 = 0, т. е.

1х чтобы 0 была полным дифференциалом

0 = d^.(65)

1х

Отсюда следует, на основании формулы (49),

Ui = ф,', -у UjUs = Ф,о.(66)

Из этих равенств вытекает, что функция ф (£, g) должна удовлетворять уравнению

ф,0|-ТГ8ф,гф,5 = 0.(67)

Если ^-пространство движется относительно ^-пространства без ускорения и вращения, то будем писать для краткости g — х. Необходимым и достаточным условием этого служит равенство (65). Очевидно, g g. Из формулы (54) вытекает, что если g х и х z, то g z. Полагая в (54) z = g, получим 0 = — 0, от

куда заключим, что если g ~ х, то и х ^ g. Таким образом, отношение ^ ^ х удовлетворяет всем аксиомам равенства. Поэтому множество всех пространств распадается на классы так, что пространства одного и того же класса движутся друг относительно друга без ускорения и вращения. Назовем их нуль-классами пространств.

Нуль-классы можно найти различным образом. Исходя, например, из данного g-пространства, будем решать уравнение (67). По формуле (65) каждому решению соответствует форма 6, которая определяет ^-пространство, движущееся относительно g-пространства без ускорения и вращения. Всевозможные ^-пространства, определенные таким путем, образуют нуль-класс, к которому принадлежит также данное g-пространство.

Если g-пространство является жестким и g* обозначает прямоугольные декартовы координаты, то каждое линейное решение уравнения (67), и только такое, определяет постоянные и^ как это видно из (66). Соответствующее ^-пространство, движущееся относительно g-пространства с постоянной скоростью, очевидно жестко. Эти жесткие пространства образуют жесткое ядро рассматриваемого нуль-класса. Но поскольку уравнение (67) кроме линейных решений имеет и бесконечно много нелинейных, то наш нуль-класс содержит кроме жестких пространств еще бесконечное множество нежестких. Не существует нуль-класса, который состоит только из жестких пространств.

Исходя опять из данного g-пространства, рассмотрим теперь уравнение

d Д 6 = Л,(68)

где Л — некоторая заданная внешняя квадратичная дифференциальная форма, удовлетворяющая условию интегрируемости d Д Л = 0. Если 6 — одно частное решение этого уравнения, то Lx0

все его решения даются формулой

0 = 0 + dq).(69)

^Х £х0

В самом деле, из равенств d Д 0 = Л, d А 9 = Л, справедливых для Lx£х0

решений 0 и 0, вытекает d Д (0 — 0) = 0, прямым следствием £х0 Lx£х ъх0

которого является (69). Так как t/ф = 6 — 0 = 0 , то видим, что 6х &х0 хох

^-пространства, определенные уравнением (68), движутся относительно ж0-пространства, и, следовательно, относительно друг друга, без ускорения и вращения. Они образуют нуль-класс.

Заметим, что в формуле (69) ф не может быть произвольной функцией. Если

I о о о

0 = — ususdt + и^,0 = — u8usdt 4- usd^

^2Vo 2

то имеем согласно (69) оje о

Ui — Щ = ф,г, — ^U8US — ZZ5ZZS) = ф,0.

Исключая из этих равенств и^ получим уравнение для ф (t, £):

10

ф,оГ(70)

Равенство d /\ 0 = d Д 0 показывает в силу формулы (48), £х £х0

что ускорение и вращение ^-пространства относительно всех ^-пространств рассматриваемого нуль-класса одинаковы. Назовем их ускорением и вращением ^-пространства относительно данного нуль-класса.

3. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НЬЮТОНОВОЙ МЕХАНИКИ

Во второй части статьи мы видели, что ньютоновые истинные инерциальные системы являются ненаблюдаемыми объектами. Поэтому системы отсчета, примененные в физике и астрономии в качестве инерциальных, не могут быть истинными инерциальными системами ньютоновой механики. Они — привилегированные системы отсчета, выбранные для формулировки основных законов природы с точки зрения простоты и исторической традиции.

Обобщая понятие инерциальной системы, как оно фактически используется в физике, будем определять совокупность инерциальных систем как один из нуль-классов пространств. Какой нуль- класс именно — пусть остается открытым. Согласно этому определению инерциальные системы движутся друг относительно друга без ускорения и вращения. Ускорение и вращение любого пространства определяются относительно всего нуль-класса инерциальных систем (см. 2, 13).

Выбранная совокупность инерциальных систем служит базой для соответствующего представления ньютоновой механики. Ускорение и вращение пространства относительно нуль-класса инерциальных систем называются абсолютными по данному представлению. Имея понятия абсолютных ускорения и вращения, можно определить «силы инерции» в каждом пространстве. Но если часть

из гравитационных сил выделена в качестве сил инерции, то остальную часть гравитационных сил следует рассматривать как «истинные» силы тяготения. Таким образом, в каждом представлении ньютоновой механики имеются свои собственные понятия сил инерции и истинных сил тяготения. На этом базисе формулируются законы физики.

Представление ньютоновой механики, примененное в физической и астрономической практике, базируется на совокупности жестких инерциальных систем. Поскольку в этом представлении уравнения физики инвариантны относительно преобразований Галилея, то будем называть его Галилей-инвариантным представлением ньютоновой теории. Однако совокупность жестких пространств не образует полного нуль-класса (см. 2,12). В Галилей- инвариантном представлении ньютоновой теории только жесткое ядро известного нуль-класса принято за множество инерциальных систем. Не рассматриваются нежесткие инерциальные системы этого нуль-класса. В этом смысле Галилей-инвариантное представление является неполным. Свойство Галилей-инвариантности является следствием из упомянутой выше ограниченности понятия инерциальной системы. В представлении теории, основывающемся на полном нуль-классе инерциальных систем, такое свойство физических уравнений отсутствует.

Пространство называется свободно падающим, когда каждая из его точек движется так, как движется свободно падающая частица в данном гравитационном поле. Если в декартовом у-пространстве (см. 2, 1) гравитационное поле описывается потенциалом Ф (у, tY то свободно падающее ^-пространство характеризуется уравнением

a = gradO.(71)

Отсюда вытекает, что а^, = дФ/б/^ = Ф^, и поэтому, согласно формуле (48),

d Д 0 = dt Д dФ + Qr,< Л ^.(72)

SvSv

Так как теперь а^к = Ф.гь, то в силу формулы (47) имеем W *

^гА,0 = 0.(73)

Sy

Значит, Qih есть функция только от ^. Поэтому сопутствующий репер вг, присоединенный к фиксированной точке (g), вращается относительно у-пространства с постоянной скоростью Qih.

Рассмотрим нуль-класс ^-пространств, содержащий свободно падающее ^-пространство. Ввиду того, что ^ = 0, аг = Ф.г, из

xS Sv

закона сложения ускорений (55) вытекает

а, = Ф^ - 2Qis^.(74)

ху^у xS

Отсюда видно, что для того чтобы ^-пространство было свободно падающим, необходимо и достаточно, чтобы

Qis^ = 0.(75)

Если Qih =# 0, то ясно, что не всякое ^-пространство из рассматриваемого нуль-класса не удовлетворяет условию (75), т. е. не всякое ^-пространство не является свободно падающим. Только в одном частном случае, когда

^гк - о,(76)

нуль-класс ^-пространств, содержащий свободно падающее ^-пространство, состоит из одних только свободно падающих пространств. Обозначим этот однозначно определенный нуль-класс свободно падающих пространств через Хо.

Так как для каждого ^-пространства из нуль-класса Хо имеет место равенство d Л 9 = 0, а по (72) и (76) также d /\ 0 dt Д (/Ф, хббу

то, используя закон сложения форм 0 (54), получим

d Д 0 = dt /\ dФ(77)

ху

как уравнение вида (68) нуль-класса Хо. Сравнение этого уравнения с формулой (48) показывает, что

&гк = °*(?8)

Нуль-класс Хо не вращается относительно ^-пространства. Из уравнения (78) вытекает

v = gradq).(79)

ху

Поэтому, на основании формулы (59), и учитывая, что у^ = 6ift,

У

имеем1

9 =9-<P,s Ф,^ + Wys = ™

ху /1\

— ( Ф’О + Т Ф>^) dt + d^’(80)

где ф рассматривается как функция от t, у1. С другой стороны, уравнение (77) можно записать в виде

d Д (9 + Ф^) = 0,(81)

ху откуда следует

0 = - Фdt + d^.^

ху

Сравнение (82) с (80) дает

ф,0+4-=ф ^’ ^-(83)

В формулах (79) и (82) функция ф (£, у) должна быть рещением этого уравнения. Уравнение (83) служит для практического вычисления нуль-класса Хо.

Рассмотрим представление ньютоновой механики, когда за множество инерциальных систем принят нуль-класс Хо свободно падающих пространств.

Тогда точки одной инерциальной системы движутся относительно другой как свободно падающие частицы, с одной стороны, и без ускорения, с другой стороны. Следовательно, свободно падающая материальная точка движется относительно инерциального ^-пространства с нулевым ускорением:

at = -4- (Vi^5)4 4rs,iXrxs = 0.(84)

РхXX

Этот закон свободного падения имеет форму закона инерции. Значит, в инерциальной системе на свободно падающую частицу не действует никакая сила, или другими словами, в рассматриваемом представлении ньютоновой теории истинные гравитационные силы отсутствуют.

Из уравнения (84) видно, что гравитационное воздействие на частицу Р описывается величинами у^ и их первыми производ- х

ными. Следовательно, в инерциальной системе отсчета гравитационное поле представляется метрическим тензором угъ, шесть х компонент которого являются переменными поля.

Рассмотрим теперь некоторое неинерциальное ^-пространство. Если ^-пространство является инерциальным, так что согласно (84) а^ = 0, то по правилу сложения ускорений (64) имеем

Рх

йг -(- сц — 2Qis^s = 0,(85)

Р^ Lx £х'

или равносильно

4- (Т^5)4 W? = п + 2Q^,(86)

dz £2 555

где обозначены

Г} = — а, = — М{,о + Ц- (UsUs),i,(87)

^г/г = ^i/г =(^h,i Mj^).(88)

Как мы знаем из 2, 13, величины Г^ и Qih не зависят от конкретного выбора ^-пространства из нуль-класса Хо, они определяются относительно всего нуль-класса Хо. Поэтому мы пропустили х в качестве указателя при обозначении упомянутых выше величин.

В правой части уравнения (86) стоят силы инерции, вызванные абсолютными ускорением и вращением ^-пространства. Истинных сил тяготения нет. В то же время видим из уравнения (86), что в неинерциальном ^-пространстве величины у^ и ut служат переменными поля. Они удовлетворяют приведенным ниже уравнениям поля.

В любой момент времени ^-пространство является плоским. Для этого необходимо и достаточно, чтобы тензор Риччи, составленный ИЗ ^гк, равнялся нулю, т. е.

Pik = 0.(89)

Это — первое уравнение поля.

Принимая во внимание, что инерциальное ^-пространство не вращается относительно у-пространства, так что Q^ = 0,

Ху

и что, поэтому, по правилу сложения вращательных скоростей (56) имеем йгк = &гк, можем равенство (29) записать в форме

Sx ky

U2k;i = Ггк,(90)

где положено

Г{А = 4г Yih.O + ^гй-(91)

Так как в плоском ^-пространстве Юь-дэ — wk.^ = 0, то ковариантное дифференцирование уравнения (90) дает

Ггй;;Г jk;i = 9.(92)

Это — второе уравнение поля. Третье уравнение поля выводится из уравнения Пуассона:

div grad Ф = — 4nGp,(93)

или, вследствие формулы (71),

div а = — 4лСр,(94)

ху

если ^-пространство является инерциальным. Из закона сложения ускорений (55) следует

а^ = at — ах = at + Г^,(95)

ху ^у ^Х ^у 6

так как £1гк = 0. Здесь, на основании формулы (43), имеем ху

»г = 1Рг,0 — WsU)s;x.(96)

Применяя формулу (30), найдем

(1У{;й),0 = (u2i,0>,h — №,№*».(97)

Поэтому ковариантное дифференцирование уравнения (96), с учетом формулы (90), приводит к равенству

аг;к = (Ui),о “ П1\.(98)

61/65

Поскольку, в силу (91), имеем rih + Г^ = угй.о» то

(ГМ),0 ~ (VisTh)^ = (^is + Г«г) Гй + ?is (1\)>(Г

66 66666

Внося это выражение в формулу (98), получим, после умножения на yife,

Шуа = (П),0 + т(99)

Теперь из формул (94), (95) и (99) следует

(Г,*),о + Г^Г’ + Г'3 = — 4nGp.(100)

Е Е Е Е

Это есть третье и последнее уравнение поля. Можно показать, что система этих трех уравнений поля соответствует системе релятивистских уравнений поля Эйнштейна [4].

Пусть жесткое пространство с прямоугольной декартовой координатной системой g1 вращается относительно ^-пространства с постоянной угловой скоростью со, например, вокруг оси г/3:

у1 = g1 cos со/ — g2 sin со/, у2 = g1 sin со/ + g2 cos со/, у3 = g3.

Согласно Галилей-инвариантному представлению ньютоновой механики закон свободного падения у* = Ф^ записывается в g-пространстве в виде

£ = Ф?1 + со2^ + 2cog2, g2 = Ф,2 + co2g2 - 2cog\ g3 = Ф,3,

(101) где Ф = Ф (g, /). Здесь члены со^1 и co2g2 суть компоненты центробежной силы, a 2cog2 и —2(0^ — компоненты силы Кориолиса. В представлении ньютоновой теории, рассмотренном в предыдущем пункте, свободно падающая частица движется по закону (86), т. е. в данном конкретном случае по закону

£ = Г, + 2Qisg\(102)

Сравнивая уравнения (101) и (102), видим, что

фн + ю2!1 = Гр Ф,2 + to2g2 = Г,, Ф,. = Г.,

^12 =^23 ~ ^31 =

Таким образом, истинная сила тяготения, равно как и силы инерции по Галилей-инвариантному представлению, выражаются через полевые переменные и^ т. е. через решения уравнений поля. Это лишний раз доказывает, что силы инерции такие, как центробежная сила и сила Кориолиса, принадлежат к числу гравитационных сил.

В общем случае представление ньютоновой механики основывается на некотором произвольно выбранном нуль-классе инерциальных z-пространств. Пусть g-пространство является неинерциальным и пусть ^-пространство принадлежит к нуль-классу

Хо свободно падающих пространств. Из формулы (32) вытекает для точки Р равенство

х1 = V1 + х1^

которое представляет собой правило сложения скоростей, написанное в координатной системе х\ В системе координат g* запишем его в виде

^ = ^ + ^.(103)

Рх 1-х

Исключая величины и\ а^ Qift из уравнений (55), (56), (85) и (103), Вх £х &х

получаем закон свободного падения материальной точки Р в форме аг = Ег + Г* + 20^,(104)

Р8 Р 85

где

Ft = at — 2Qisps,(105)

Р хг хг Рх

Г* = - аг, Q*k = Qift.(106)

88*88*

При £ = z из формул (55) и (56) вытекают соотношения а, = — «I + 2Qi5Ms, &гк = —(107)

хггх хг гх хггх

По правилу сложения скоростей имеем

V1 — V1 + И1. Рх Рг гх

С помощью этих формул можно Ег выразить и так: р

Ег= —йг + 2Йг8и8рг.(108)

Ргх гх

Так как л; и йгк определяются относительно целого нуль-класса хг хг

z-пространств и at, Qib — относительно нуль-класса Хо (см. 2, 13), гх хг

то из формулы (105) следует, что Ег не зависит от выбора инерциаль- р

ного z-пространства, а из формулы (108) — что Ег также не зависит р

от выбора ^-пространства из нуль-класса Хо. Таким образом, Ft, р

зависит только от относительного движения двух нуль-классов и от движущейся точки Р, она не имеет никакого отношения к движению ^-пространства. Величины Г* и Q^, наоборот, являются ха- рактеристиками абсолютного движения ^-пространства.

Член Ff + 2QjS£s в правой части уравнения (104), составленный совершенно аналогично правой части уравнения (86), 80

представляет силы инерции по рассматриваемому представлению ньютоновой механики, между тем как вектор Ег п одинаковый для р

всевозможных ^-пространств, выражает истинную гравитационную силу, действующую на движущуюся частицу Р. Она зависит как от положения, так и от скорости частицы.

На основании формул (55) и (56) легко проверить, что

rik = Г*к + Qife, Г^ = Г* + Ег,(109)

£££££

где

Г^ =7ih,0 + SiA,(110)

Ег есть истинная гравитационная сила, которая действует на единичную массу, покоящуюся в ^-пространстве, и йш = ^гй, как составная часть силы Ft, является скоростью вращения нуль-клас- са инерциальных z-пространств относительно нуль-класса Хо. Подставляя выражения (109) для Г^ и Г; в уравнения (89), (92) и (100), моДшо получить уравнения поля для данного представления ньютоновой теории.

Если ^-пространство является свободно падающим и принадлежит к нуль-классу Хо, то в уравнении (104) имеем ^ = 0 и полу- р^ чим равенство

Е, + Г* + 2Qis£ = 0,(111)

р ь £

которое выражает, что с точки зрения общего представления ньютоновой механики, в частности и с точки зрения Галилей-инва- риантного представления, в свободно падающем ^-пространстве из нуль-класса Хо силы инерции полностью компенсируют истинную гравитационную силу. Поле истинных сил тяготения можно устранить на всем своем протяжении путем соответствующего выбора системы отсчета.

В пункте 3,1 мы назвали ускорение и вращение пространства относительно множества инерциальных систем абсолютными. Так как любой нуль-класс пространств может быть множеством инерциальных систем, то данное нами понятие абсолютного движения не имеет однозначного содержания. Смысл абсолютного движения зависит от выбранного представления ньютоновой механики. Нет абсолютного движения в каком-то универсальном смысле. Все механическое движение относительно. Это — общий принцип относительности ньютоновой механики. Он не затрагивает вопроса о ковариантности физических уравнений.

Заметим, что общий принцип относительности не отрицает существования предпочтительного движения какого-нибудь вида

вообще, он утверждает лишь невозможность привилегированных форм движения на основе инерционных свойств материальных тел. В этом смысле он является строго динамическим принципом.

ЛИТЕРАТУРА

Trautman А., С. R. Acad. Sci., 1963, 257, 617.

Dautcourt G.— Acta Phys. Polon., 1964, 25, 637.

Havas P.— Rev. of Modern Phys., 1964, 36, 4, 938.

К e p e с X. IL— ЖЭТФ, 1964, 46, 5, 1741.

Эйнштейн А. Творческая автобиография. «Физика и реальность», «Мир», М., 1965,155.

ALGEBRAIC APPROACHES TO GENERAL RELATIVITY

C. W. KILMISTER

King’s College, London

INTRODUCTION

General relativity is a field theory and indeed for many years consisted entirely of solving 10 field equations for 10 unknowns, the components of the metric tensor. The realisation that it was useful to study the algebraic structure of this theory we owe almost entirely to Professor Petrov. Of course some credit is also due to those who realised that the metric tensor was no true local field variable since, as a result of the .general covariance of the theory, it could be made to assume Minkowski form at any arbitrary point. This has the result that the local field variables are the components of the Riemann tensor and it is a satisfactory feature of the theory that this is measurable locally by means of the equation of geodesic deviation [1]. However it was A. S. Petrov who proved as early as 1949 [2] that the Einstein field equations imply that the Riemann tensor is always algebraically reducible to one of 3 canonical forms and the later demonstrations and extensions of this by others [3] have only emphasised the vital importance of the step forward that Petrov made.

Let us consider more closely Petrov’s achievement. The assumption of general relativity is that the results of observation (which up to now have been very largely astronomical) are to be represented by means of points of a differentiable manifold. The particular Riemannian manifold corresponding to one physical problem is then found by solving Einstein’s field equations. Each resulting solution of this amorphous theory can then be given a definite algebraic shape by Petrov’s classification, so that into a theory which we may provisionally call of an extremly «continuum type» Petrov has shown us how to read a definite algebraic structure. Gould more possibly be expected? It is the purpose of this paper to draw attention to some recent developments [4] which may serve to highlight Pet-

rov’s achievements from another point of view and to point a way forward. These developments are all concerned with algebraic approaches to general relativity. The plan of the paper is as follows. I begin by discussing reasons for expecting an algebraic approach to general relativity to be important; then I consider some examples of such approaches and what they have achieved. I then discuss the particular developments in [4] in more detail, criticising certain aspects of them and considering how they can be applied to general relativity.

MEASUREMENT THEORIES

What has been said in the last section emphasises that there is a most curious gulf between the observational material of general relativity, consisting as it does for the most part of lengthy painstaking astronomical observations, and the framework proposed for explanation of this material which begins at one step with the exceedingly sophisticated idea of a differentiable manifold. A manifold is a set of points with associated neighbourhoods such that every point has a neighbourhood homeomorphic to a Euclidean sphere. At least locally, then, a Euclidean map is assumed everywhere. This is a rather suspicious procedure from an operational point of view, because a Euclidean space is not at all an operationally determined object but an artificial device constructed by the Greeks.

Let us recall that all physical measurements are rational numbers but that once Pythagoras or his associates had discovered that ]/2 was not a rational number, some extension of the number field was necessary. The original rational numbers form a field which is totally ordered by magnitude and this ordering satisfies the axiom of Archimedes. The astonishing achievement of the Greeks was to construct from this field a larger one, the real number field, which was also totally ordered and Archimedean. Indeed they constructed the largest one possible, and so clever was their achievement that we have been hypnotized by it ever since and have come to regard the real number field as something about which no questions need to be asked.

In recent years such questions have been asked and answered in the form of non-standard analysis, where a new field is constructed which contains real numbers as a sub-field and is again totally ordered. This new field cannot satisfy the axiom of Archimedes since the real numbers form the largest field with that property but instead it contains both infinitesimals and infinite numbers. It is not my purpose in this paper to suggest that we need this field in any important way in general relativity but merely to say that, since the real number field is not realised not to be the unique generalisation of rational numbers that it was thought to be, it follows that the problem of constructing a framework in which to see rational

measurements in a more convenient way is wide open. The real number field no longer holds its unique position. It is essential, therefore, to begin at the other end with discrete quantities and see in what way the experimental results teach us to construct continuous ones. Such a beginning is valuable in general relativity because it also holds out the possibility of an explanation for the numerical values of the wellknown dimensionless constants.

Ideas of a discrete formulation of general relativity are not new but it must be stressed here that an arbitrary discreteness (for example, reconstructing of our analysis in a finite field of very large size) cannot be expected to lead to anything important. Indeed such attempts have been made before and nothing has come from them. What a needed is that discreteness should be introduced at a basic level and continuous space — time constructed from it by a recursive process, successive steps in the process producing better and better approximations to continuity. If this approximation can be carried out it ought to be possible to look on continuous space and time as convenient tools for carrying out mathematical investigations and no more. What is needed in order to introduce discreteness at such a basic level may be described as a measurement theory for general relativity. By a measurement theory I do not at all mean the kind of theory of errors which is considered by astronomers but rather an abstract measurement theory in the sense in which the word is used in quantum mechanics. Even there the intuitive picture of measurement theory is missing but sufficient is understood of it for many people to work in measurement theory and to have a fairly clear idea of whether or not a particular investigation is to be classed as measurement theory or not.

The nearest approach to a measurement theory in quantum mechanics in the sense in which I am using the word seems to be that of Mielnik [5]. He considers the following problem. Imagine that there is a light beam and a number of semi-transparent windows which can be placed in its way. If we are colour blind and have no colour sensitive detector, can we, by measuring the degrees of intensity in various sets of windows, find out which of the windows are genuine light filters absorbing photons according to definite rules as in quantum mechanics? He answers this question by giving a new definition of certain physical systems and a new idea of quantisation. In so doing he answers a number of related questions in the measurement theory of quantum mechanics, because, as is wellknown, the discussion of light carries over to a large extent to the discussion of other quantum particles. The general plan of his paper consists of firstly of introducing 3 abstract sets, one of beams, one of transmitters and one of detectors, and of setting up certain algebraic operations in these sets. These operations are originally defined for positive values of variables and extended in a natural way to positive and negative values and in this way he is finally led to a definition of a filter as a linear absorber which is minimally transparent in its own

field. It is not necessary for me to enter into more details about Mielnik’s extremely ingenious theory since it is evidently orientated specifically towards quantum mechanics. It is no criticism of his delightful paper to say tha.t because of this orientation he is rather fortunate. He is able to generalise in a rather direct manner from this one optical problem, and this problem in turn is clearly formulated and clarified by introducing only one concept — that of a filter — that was formerly used only in an intuitive manner in quantum mechanics.

MEASUREMENT IN GENERAL RELATIVITY

The problem in general relativity is by no means so clear cut. Before I go on to consider the attempts which have been made to construct such a measurement in general relativity it is interesting to consider one crude argument to show that such a theory has far-reaching consequences. Suppose that we are considering a theory of pure gravitation. That is to say we are considering the motion of test particles in gravitational fields only. Rigid bodies and rigid reference frames rely on other forces and must therefore be excluded. Let us ask ourselves how we can start setting up mechanics in such a situation. We have a cloud of particles and the relative positions of these particles change with time. Having set up some arbitrary criterion of simultaneity we order the successive states of this system and ask questions about how one state is succeeded by another in the ordering. An analogy is that of the cinema film. The ordered sequence of pictures of events is like the successive frames in the film. By looking at the film we can see whether one event happens before or after another. For the analogy to be a good one we must imagine that this is all we know. We have no rule about how quickly we are to look at successive pictures, so that it is best to imagine an old-fashioned projector with a handle to be turned manually. Moreover we have no scales of length or of permanent position for our camera so that in the analogy we must imagine the camera fixed to an aeroplane which is moving about in a random way and at the same time the lens of the camera is constantly being readjusted so that the picture is enlarged or made smaller. The analogy now shows us just how much of a framework a pure gravitational theory can provide. Evidently there are two alternatives open to us. Either we can adopt the view of most physical theories and introduce electromagnetic and quantum forces so as to be able to use rigid rods, other fields of force, etc., and then we can see that the film which we have taken is an imperfect record and that some of the pictures need to be enlarged, others made smaller and rotated before being compared with the next ones, or we can take the point of view of a pure gravitational theory, as general relativity claims to be, and accept this limitation of observation. In this case

it is still necessary to set up some kind of background coordinate system. In practice a few particles are selected for special attention and the rest are considered as background particles (think of the planets moving round the sun and the fixed stars). Before we postulate anything like a differentiable manifold, we must imagine simple observations of the relative positions of particles say, for example, in terms of betweenness relations. In order to proceed any further it is necessary to define amongst the background particles some particular ones which will serve as a standard of rest. If we choose these particles in the background as being at rest the distance between them will be said to remain constant and the corresponding Riemannian metric will be one possessing a one-parameter time-like group of motions. Accordingly it seems that, if we look on general relativity as a pure gravitational theory, even a very crude measurement theory argument singles out from the solutions of Einstein’s equations one particular sub-class as being physically the only ones possible. Of course, this does not prove that gravitational fields must have this characteristic, only that the particular way of setting up a pure gravitational theory which has been described leads to this very limited class of fields.

Still, this is of interest since the method is that employed in setting up Newtonian mechanics.

One final remark may be made about the necessity for a discrete description of the theory before space — time is constructed; this refers to recent investigations about causality. It is wellknown that there are various criteria of causality (for example, the absence of closed time-like geodesics) the details of which do not concern us here.

The idea behind all these is that no world-line should pass through the same point twice. This criterion has been divided [6] into that of chronology (no time-like closed curves) and causality (no null closed curves). But it proves possible to construct manifolds that ought physically to be described as non-causal, although they do fulfil the conditions: so instead it has been suggested [7] that one should consider strong causality (in which every point has a normal neighbourhood not met twice by any null curve) or stable causality, in which another causal metric exists which turns every null line into a time-like one.

Unstable properties can be of no physical importance (though they may be of importance as counter-examples of conjectures that are «true in general»). They can arise only because of the «finegrainedness» of the differentiable manifold description and ought to be excluded by an operational description that assumed less about the environment.

THE «ANALYSIS OF OBSERVATIONS»

As I remarked, Mielnik’s delightful measurement theory is very quantum mechanically based indeed, so that its details are of no use for our present problem. But there has recently appeared a paper [4] which affords more possibility of generalisation. This paper is a successor to two earlier ones [8], [9], one by each of the authors concerned, since it shows these two earlier papers have a common basis. The earlier paper of Atkin is specifically about quantum theory and is easily available so I need not describe it at any length here. It will be sufficient for our purpose to take Atkin’s contribution to the later paper. Bastin’s earlier paper may be described as being about cosmology in a rather general sense of the word; it is mainly concerned with problems of information loss in certain difficult experimental situations. Although it is not very relevant to the present problem it is necessary in order to understand the later paper [4] to give some description of the earlier work and this I shall do in Section 5. In later sections I shall then make a critical study of [4] so that in a final section I may give an example of how it could be used to formulate a measurement theory for general relativity.

In the present section I shall compare the new paper [4] with a paper [10] by Bastin and myself of almost 20 years ago, since there is an extraordinary close relation between the motive and content of the two. The earlier paper was intended as an approach to Eddington’s wave tensor calculus but I do not wish now to stress the connection with Eddington at all. Indeed I think that the fact that the algebraic structures (Clifford algebras) which have proved useful in various branches of physics appeared in Eddington’s work amongst other places merely shows that Eddington was particularly acute in his realisation of the kind of structures needed. It does not show that he was successful in using these structures. Let us accordingly put the ideas of Eddington entirely on one side and concentrate on the algebraic aspect of the paper mentioned, and in particular on its first four sections.

The paper itself, looking back on it after 20 years seems very uneven. The first four sections refer to physics in general and the remaining ones claim to be specifically about quantum theory. An inspection of these sections suggests that this claim is probably wrong. This is supported by the fact that the first four sections are based on the assumption that a complete description of an observation requires the incorporation of a variable which determines the scale in the experiment. Without going into technical details, this situation evidently has very much more in common with macroscopic situations than with quantum theory since, in quantum theory, Planck’s constant, the discrete masses and the particle charge automatically provide a scale for all experiments. It is not to be expected that a theory that emphasises the need for providing a scale variable on

each occasion will be specifically about quantum theory, if indeed it refers to quantum theory at all.

In the first 4 sections of the paper observables are defined as sets of real numbers, or as comparisons of these observables, where a comparison means a matrix which transforms one such set (written as a column vector) into another such set. Amongst the real numbers of the set it is required that there should be one which determines the scale of the system and is therefore invariant under those automorphisms of the matrix algebra which correspond to changes in the reference system. Some more technical conditions about the scale, which are not absolutely essential, but obviously rather convenient, lead very quickly to an argument showing that there is a suitable formulation of what is called in the paper a scale basis only if we are considering an even Clifford algebra [11]. The argument in the original paper was that this explained the importance of the Clifford algebras in Eddington’s fundamental theory. Now, however, I would prefer to say that this shows that the scale theory is to some small extent a measurement theory of general relativity. For to say that we have a Clifford algebra is essentially to say (as, for example, in the treatment in [12]) that we have a quadratic form. Then the theorems of Eddington and M. H. A. Newman [13] about the particular 4-dimensional case show that the quadratic form must have a 3 + 1 dimensional structure. In other words we have as a result of the scale analysis the necessity for a local Minkowski metric and so by the usual techniques a normal hyperbolic Riemannian metric in general. This leaves rather vague the precise connexions between the Clifford algebras and the usual tensor calculus, especially the exterior algebra [14] on the manifold. I defer some further remarks on this to the next section for reasons that will be apparent there.

The paper [10] has two important difficulties. The first one, which is met to a large extent in (4) is the assumption that the observables consist of sets of real numbers. Evidently if we have this much information, observation has already taken place so that our measurement theory is only getting to work when the important part of the process is over. Secondly, and here the difficulty is not fully resolved at present, the theory depends on the fact that we never consider observables just as they occur but always a sequence of observables, comparisons between observables, that is matrix operators, comparisons between these copiparisons and so on. This type of construction, in which, from an initial simple object, successively more complicated ones are constructed might be described as hierarchical and the important contribution of Bastin here and in later papers has always been to stress this hierarchical character of observation, although this hierarchical character is still not clearly understood.

DISCRIMINATION

It is now time to consider exactly what we want from an observation theory in general relativity. If we are not to set up general relativity by first postulating, in a non-operational way, a differentiable manifold or similar sophisticated framework, then we must claim that each observation constructs the physical universe as it goes along, to whatever extent we pursue that particular observation. We have to say the general lines on which this construction takes place and in the course of doing this suggest a mathematical framework to fit it. The mathematical problem here is then fairly clear but what is left outstanding are the physical problems, firstly of explaining how it is possible to have in such a theory the degree of consistency which is evidently present in the physical world except by having a background universe independent of observation, and secondly of explaining how these structures in the physical world become known to us as a result of observation. The paper [4] tries to answer both of these problems. Before we consider it however it would be as well to look at Bastin’s earlier effort [9] in this direction. The following formulation differs in certain important respects from Bastin’s but the main essentials are the same.

Let us first consider physical observations entirely in terms of discrimination between entities of a set S. Bastin introduces this set in a formal manner, but it could perhaps be motivated in more detail in the following way. Let g be the set of all physical observations of some very general type (For example, g might be all those observations made in experiments to observe elementary particles, or some general class of astronomical observations). By a discrimination ong is simply meant an investigation about whether two elements of g are the same or not. Since this is also a physical observation, it must belong to g, so that a discrimination is a binary operation,

8:GxG^G

with the property that the result of the operation on a pair of equal arguments is never the same as on a pair of unequal ones.

Suppose next that there is an equivalence relation on g, so dividing g into a set S of equivalence classes. (If g were the set of all observations of elementary particles, such an equivalence class might be that of all observations of protons). Let E be the projection operation which carries every element of g into its equivalence class in 5. Given E call the binary operation 83 a class operation if there exists a binary operation В on 8 such that

ExE

gxg-SxS

У 4E В |

G- 5

is a commutative diagram, and such that В is a discrimination on 8 (i. e. so that Bab is different from Bcc for any a, 6, c in 5 for which a + b\ In what follows, restrict attention to class operations.

It is imaginable that discrimination operations exist for which Bab =#- Bba, but it is an unnecessary complication to consider them. Accordingly I shall assume that Bab and Bba are always the same. Similarly for three elements a, b, c one could form Ba (Bbc) and Bb (Sac);but it is not necessary to go into the complications that arise if these are different. Hence I assume that

BaBbc = BbBac

and so, using the previous assumptions,

BaBcb = BBacb.

Accordingly the two assumptions taken together are the commutative and associative laws for S, and it is well-known that these are sufficient for any number of terms to be permutable, as with ordinary multiplication. Such an operation В is called a symmetric discriminator. It may be noted that for В to be symmetric it is sufficient but not necessary for 93 to be symmetric.

If Baa = c for some, a, c is called designated. There is only one designated member of 5, since if Baa = c and Bbb = d, then

Bed = BBaaBbb

= BBabBab

so that Bed is designated and since В is a discriminator, this means that c = d. Moreover, if Baa = c, it follows that BBaac = c, so that BBaca = c, or Bae = a. Similarly Bea = a. Hence c is a (left and right) unit, and it follows that S is an abelian group under B, in which every element is of order 2. Since S is enumerable (as with all sets of observations) it follows by a well-known theorem that it is a direct product of cyclic groups of order 2,

S = C2 X C2 X

An alternative, and more convenient, way of writing this is that a discrimination system is isomorphic to a set of column matrices over the field J^ of two elements, the zero vector corresponding to the designated value, and addition in J^ to discrimination. The group notation was already introduced by Bastin and myself in 1954 [5]; the column matrix notation was discovered independently by Bastin and Parker — Rhodes. It is more convenient here because I need to extend the above construction a little, and take note of the fact that was not a uniquely defined operation but depended on the equivalence relation on g. If the equivalence relation is changed, E will be changed; in the particular case (of most importance) in which the change of equivalence relation does not correspond to physical change, the new set S will be derived from the old by an automorphism. An automorphism of the addition algebra of column vectors of n elements over J2 is simply a linear operator i. e. a square matrix over J2. The square matrices again form a vector space, and so can be considered as a new set of column vectors, each of n2 elements, corresponding to a larger discrimination system.

I have now described enough of the mathematical apparatus of |9] for the reader to see how the characteristic hierarchical construction arises here. In [9], and, in a slightly different manner in (4), this hierarchical construction is shown to lead to the construction of certain significant numbers (especially 137 and 1037). This suggests that it is on generally right lines.

I conclude this section by remarking on the connexion mentioned above between the Clifford algebras, and the exterior differential calculus, and also between the Clifford algebras and the groups constructed in this section. Let us begin by going back to the way in which the metric is introduced in general relativity. The equation

ds2 = ga^dxadx^

defines the metric in terms of the coefficients of certain quadratic form and so far as the metric is concerned only the symmetric part of this form is of any importance. When this symmetric part satisfying

Sap — g^a

is taken, it is then found that an affine connection is defined in the space by means of the equations

gato = 0, where ga^ denotes Sap Гау£цр Гру^ац

and the whole of the apparatus of general relativity follows. To summarise: the symmetric part of the tensor gives the usual metrical geometry.

Turning now to the anti-symmetric part, that is, to a tensor satisfying

^ap = ^Pa

it is convenient to adopt as far as possible a similar analysis. However, multiplying this tensor by 2 vectors in the same way as the symmetric part would only give zero and accordingly a new kind of multiplication is introduced which is non-commutative. That is, one defines

ua Д u^ = — u^ /\ ua

and considers the so-called 2-form

aa^dx^- Д dx^.

By inserting more factors one can consider 3-forms, 4-forms etc., and we can also consider the particular case of the 1-form

aadx^

although the new kind of multiplication does not enter here. It will be clear that the exterior differential forms defined in this way are the appropriate ones for discussing just those properties of a tensor of rank 2 which have nothing to do with the metric. The next question 92

which arises is that of the derivative of an exterior differential form. This is naturally at our disposal, and we make the definition

d (a^dx^ = dax [\ dx1.

This definition requires justification, but it is easy to show that it does represent an operation which is independent of the coordinates.

In order to understand the importance of these definitions in the analysis of the space — time structure it is sufficient to notice that the invariant quantities defined here are exactly those strange invariant derivatives which arise independently of the affine connection. For example, taking the case of a 1-form, we have

d ^aadx^ = a^dx^ Д dxa

= A (aa,p — a^ dz» Д da»

and we know that

^a,P «p,a = ^a;P ^P;a»

so that the contents of the bracket is a tensor of rank two, though one independent of the affine connection.

The relation between the Clifford algebras and the groups introduced in [15] is clear. There is an obvious homomorphism, whose kernel is the cyclic group of order 2, which carries the multiplicative group of the nth Clifford algebra bn into one of the S groups (the operation being just «ignoring signs»)

b^S^C^.

This homomorphism does not have any simple relation to the other binary operation (addition) in the Clifford algebra, and indeed for our purpose this second operation is not of any significance.

The relation between the Clifford algebra and the exterior differential forms is more complicated. This relation requires for its expression the same idea of a quotient structure as has been used Earlier in this section but this needs to be formulated more generally. Suppose that we are given any set A and an equivalence relation R defined on A. It will be convenient, instead of using the relation explicitly, to talk in terms of the equivalence classes and to write, for the class of elements equivalent to x, Rx. In the investigation of g and 5, the equivalence relation was regarded as given, and the binary operation 99 was restricted to being a class operation. In the case of a given algebra it is the binary operation that is given, and the equivalence relation that needs to be restricted so that the quotient set has a binary operation defined in it corresponding to a binary operation defined in the original set.

For example let the original set A be a group. Suppose the equivalence relation is defined in the following way, that there is a subset of elements H and any two group elements x and у are to be counted as equivalent when they can be derived one from the other by means

of one of the elements \ by an equation of the form

У = hxx.

Since this is to be an equivalence relation it follows that

x g Rx, so I ^H,

z/£ Rx -> x^Ry i. e. у = hxx x = h^y,

(ш) У = ^i^ and 2 = b2y -+ z = (h2hx) x = h^c

and these conditions are exactly those necessary to make a subgroup of the original group. Now the condition that a binary operation should be able to be defined on the quotient set is

x* = h^x, y' = h2y -* HxxH2x = hxh3xy (say)

so xh2 = h^x, i. e. xH = Hx

and this is exactly the condition that H should be a normal subgroup, so that we have the usual quotient situation.

Let us now turn to the Clifford algebra and ask whether there is a quotient operation which preserves the addition but possibly not the other binary operation (multiplication). Let us limit ourselves to equivalence relations which are invariant under the automorphisms of the algebra; then it is easy to prove that the only such equivalence relation possible is

q = r -> tr, q = tr -> r.

Let us call this equivalence relation, and calculate the quotient structure

bjR.

This quotient structure is the exterior algebra used in the consideration of the differential forms. Having constructed a quotient structure it is useful to go back to consider the homomorphism of the Clifford algebras into the groups. We have evidently here another instance, although a simpler one, of a quotient structure, the equivalence relation here being that 2 basis elements are equivalent if they are either equal or differ only in sign. Accordingly we can summarise the conclusion in the form: that there are two quotient operations one of which carries the Clifford algebra into the exterior algebra, and one into the S-groups:

bn

Gn C^

That much remains to be done in clarifying the position of Clifford algebras in physics is obvious. Steps have been taken, particularly in the elementary particle field [16], but these developments do not concern us here.

6. INTRODUCTION TO THE USE OF HOMOLOGY THEORY

It is now time to turn to the recent paper [4] of Atkin and Basting to discuss how these ideas appear there. Since this paper is readily available, unlike [9], it is not necessary to describe it in detail here, and I shall content myself with an outline, in the course of which I can point to what seem to be unresolved difficulties or obscurities. The idea of discrimination is introduced again in the second section of this paper and is related to Atkin’s introduction of the Cech homology on a compact manifold. The authors wish to explain the discrimination process of [9] in terms of the determination of particular p-cycles in a simplicial complex. At this point a rather curious argument enters and it will be found to play an important part in the later sections of the paper. The authors attach to the set of observations which they call points an additional «point» which corresponds to the complement of the set. They contend that there is no mixture of types involved here. The additional point added, they contend, is the set of non-discriminable members and therefore is a unit set. This however is not sufficient for there to be no mixture of types, since the new point is a set (admittedly of one member). Probably not too much importance should be attached to this difficulty; the mixture of types involved probably has no serious consequences.

I have dwelt on this point at some length since it is not trivial. Not only is there a fairly close analogy to the idea of augmenting a simplex but it plays an important part in the later calculations. The section then continues by relating Bastin’s idea of discrimination to a 1-cycle and so is able to establish the connection between the number of objects that can be discriminated and the sum of the non-zero Betti numbers on the simplex. The set of physical objects is accordingly made to correspond to the set of homology groups. This is a very satisfactory situation in which, as far as I am aware for the first time, a genuine theory of observation has been constructed. But it is marred at the end of Section 2 by the following curious generalisation. Up till now the orientations of the simplexes have been ignored and so the homology theory is naturally the mod 2 theory. The authors then state that they will subsequently suppose the coefficients to be in the ring of integers, thus allowing for orientation and for the cohomology to play its usual part. This is evidently also a very important step for the measurement theory and they appeal to the universal coefficient theorem, to prove that there is no loss of information in doing this. While this is undoubtedly true it points to a considerable danger in the process, since although no information is lost, an appearance of information is gained. This means that, when one is using the theory over the integers, one must guard against assuming that every object constructed in the new theory will necessarily have a counterpart in observation.

Section 3 of the paper provides an alternative view of the hierarchic construction, which was carried out in [9] in terms of discrimination, and this view has the advantage of placing no reliance on the detailed algebraic structure, linearity and so on. The core of the paper however is to be found in section 4. This begins by referring to the «common backcloth» of observation that the observers assume. The authors propose to represent this backcloth by the base homology. This is evidently what is to correspond in their theory to the differentiable manifold in general relativity. Having done this one of the most valuable insights of the theory becomes possible. The cycles in the homology are associated with the physical concepts involved in measurement e. g., length, velocity etc. The cohomology then provides for a mapping of these cycles into integers. The value of the cocycle on a particle cycle will then correspond to the numerical magnitude of the physical quantity described by the cycle. In this way the authors are able to provide clearly distinguished mathematical structures for physical concepts on the one hand and their numerical values on the other. This is a very considerable step forward in measurement theory, where these two separate ideas are inextricably mixed.

Section 5 of their paper concerns particular applications of their ideas and it is here that I find the greatest difficulties in following them. It is not that the particular examples chosen are difficult but that they seem to have arisen somewhat by chance and are not sufficiently comprehensive to provide a sure guide in applying the theory in other contexts. The first case discussed is that of length measurement and an argument is given, which essentially appeals to the same construction as mentioned above, of adjoining the additional complement point, for interpreting lengths along a line as having the homology of the projective line rather than the original real line (with its trivial homology). Evidently the projective line plays an essential part in their theory; without the additional point all the homology groups become trivial. But at the same time the physical arguments justifying the projective line are not completely clear. If we accept however that the projective line is required in a length measurement, we can proceed to the third example and we now see a specific technique emerging. The diffraction grating is discussed by equating the homology of a certain plane when it is defined in one way, with its homology when it is defined in a different way. But it seems rather a fortunate chance that these two different ways of defining the plane are possible. The later cases considered in Section 6 of the paper relate to more detailed applications which do not concern us in general relativity.

1. COMPARISON WITH GENERAL RELATIVITY

Let us now try to use the argument of Atkin and Bastin to make our own deductions about the algebraic structure of general relativity and in this way hope both to understand their paper more fully and to have some insight into what lies behind the work of A. S. Petrov. We are concerned with an observer who throws out a cloud of dust particles. He must then measure the distance between the particle chosen as origin and various other particles. One such measurement corresponding as it does to a length measurement will give, according to Atkin and Bastin, a projective line. The homology is then

H = Ho ® Hx = J ® J.

According to (4) a measurement of velocity consists of both space and time measurements, in which the time measurement also corresponds to a projective line, and therefore a velocity corresponds to a base complex with homology, given according to the Kunneth formula by (17)

H = (J ф J) ® (J ф J) = J ф (J © J) ф J.

Now we have to consider the acceleration. Here the same argument is needed again. The original homology for the velocity has to be compounded with that for the time again and the corresponding homology structure for the acceleration then has the form

H ~ (J ® J^ ^ ^J ® (J ® J) ® J) =

= / ® (J ® J ® J) ® (J ® J ф J) ф J *

It must be emphasised that we have not made any assumptions about continuity, differentiability, existence of a metric, or any of the other usual facts needed for proving the complete equation of geodesic deviation. What we have done is to discuss the general structure of the homology required by the fact that we are considering acceleration. This structure corresponds to the homology groups

H^ = H^ = J ® e7 ® J

and H3 = J.

Suppose now that we appeal to the known form of the equation of geodesic deviation to this extent: that we take for granted that this acceleration has to be compared with the length between the particle and the observer. The remaining component which will generate such a base homology and which corresponds to the background field must be

н = h^hxa-h21

where /70 ^ J = J,

HL® J = J Ф J,

H^J = J.

Although this does not specify the homology of the background field uniquely, it does restrict it; in particular Hx is restricted not to be too simple.

Does the conclusion of this investigation agree with what we know of the rest of the equation of geodesic deviation? There the acceleration is actually compared with a term involving the curvature tensor, i. e. a quantity derived by performing two differentiations. At first sight the homology of the curvature tensor therefore appears to have the form:

H. = J,

H ± H^ = J ф J ф J,

H3 = J.

However the homology is isomorphic to the cohomology ([14], p. 459]) so that this would imply a 3-cocyle generator, corresponding to a second derivative. Now, in fact, in constructing the curvature tensor one subtracts two second (covariant) derivatives, so that the ordinary second derivatives cancel. Hence in fact H3 — Ф.

The reader may well ask why, if it is also the case that the first derivatives vanish, we have not H2 = Ф, which would be inconsistent with our result above. The answer is that we have here made no assumptions about the existence of a metric, or about its relation with the affine connection. In fact we know that

^;[JA] = RpjhAp — rPjk}A;P

where semi-colons denote covariant derivatives and square brackets antisymmetrising. Accordingly some 2-cocycle generator is to be expected, though our argument is not detailed enough to calculate it.

As far as it goes our investigation has therefore been very successful. We have shown that the arguments of Atkin and Basting can be carried over to general relativity and there they illuminate the structure of the equation of geodesic deviation. However, much remains to be done, and we may hope that more detailed investigations will throw more light on the algebraic structure of theory, and perhaps provide further opportunity for A. S. Petrov.

REFERENCES

Levi-Civita T.— Math. Ann., 1926, 97, 291.

Petrov A. S.— Utsch. sap. Kazansk., 1949, 110, 3.

N о r d e n A. P.—Utsch. sap. Kazansk., 1954, 114, 8; Geheni- au J.— Compt. Rend. Acad. Sci., 1957, 244, 723; Penrose R.— Annals of Phys., 1960, 10, 171.

A t к i n R. H. & В a s t i n E. W. — Int. Journ. Theor. Phys., 1970, 3, 449.

M i е 1 n i к В.— Commun. math. Phys., 1969, 15, 1.

Kronheimer E. & Penrose R.— Proc. Camb. Phil. Soc., 1967, 63, 481.

Hawк i n gS. W.— Proc.Roy. Soc. (A),1967, 300, 187.

Atк in R.H.— Il NuovoCimento, 1965,38, 496.

Вas ti n E.W.— Stadia Philos. Gandensia, 1966, 4,77.

Вas ti n E.W. & К i 1m i s t e r C.W.— Proc.Roy. Soc. (A),

1952 212 559'

Clifford W. K.— Amer. Jour. Math., 1878, 1, 350.

Che v a 1 ley С. C. The Algebraic Theory of Spinors. New York, 1954.

Eddington A. S.— Jour. bond. Math. Soc., 1932, 7, 58; N e w - m a n M. H. A.— Jour. bond. Math. Soc., 1932, 7, 93, and 1932, 7, 272.

С a r t a n E. Les Systemes differentiels exterieurs. Paris, 1945.

В a s t i n E. W. & К i 1 m i s t e r C. W.— Proc. Camb. Phil. Soc., 1954, 50, 278.

W e t J. A. de Group theoretical approach to the many-particle problem, Ph. D. thesis, the University of S. Africa, 1970; S c h r e m p E. J. General relativistic quark-like model of elementary particles, two lectures given at International Centre of Theoretical Physics, Miramare, Trieste, August 1970; Ramkrishnan A. et al.— Jour. Math. Anal. Appl. 27, 563, 1969 (a paper that points up the connexion between Lie and Clifford algebras, and refers to much earlier work).

Hilton P. J. and Wylie S. Homology Theory Cambridge, 1962.

О ВОЗМОЖНОСТИ ОБНАРУЖЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННЫХ ЭФФЕКТОВ ПОСРЕДСТВОМ СВЕРХРАССЕЯНИЯ

У. X. КОПВИЛЛЕМ

Казанский физико-технический институт АН СССР

В 1961 г. А. 3. Петров обратил наше внимание на то, что предложенная в работах [1, 2] идея о возможности детектирования и усиления сверхмалых деформаций кристаллов (фононный мазер- эффект) может быть использована для детектирования гравитационных волн (ГВ). Это предложение А. 3. Петрова оказалось весьма плодотворным и послужило стимулом появления серии работ, где рассматривались многие вопросы гравитационной физики:

теория квантовых счетчиков гравитонов, позволяющих регистрировать гравитоны на фоне гораздо более сильных квантовых шумов кристаллов [3—8]; 2) генерация гравитационных лучей при помощи лазеров [9, 10]; 3) превращение оптической энергии в гравитационную в системах, «замкнутых» относительно электромагнитного излучения [11]; 4) генерация ГВ магнитного типа при помощи спинов [12]; 5) превращение энергии гравитационного поля от вращающихся масс в электромагнитную энергию при помощи спинов [12]; 6) взаимодействие массовых квадруполей через поле виртуальных гравитонов [12]; 7) генерация сверхизлучения нейтронной звездой [131; 8) измерение фундаментальной длины при помощи фононного сверхизлучения [141; 9) возбуждение различных резонансов в твердых телах путем приложения периодических когерентных индукционных гравитационных полей [151; 10) теория сверхизлучательных счетчиков ГВ [16]; 11) поиски космических мазер-эффектов и космической реликтовой фазовой памяти [12, 13, 171; 12) теория квадрупольного детектора ГВ Земля — Луна и квадрупольных детекторов с перестраивающейся резонансной частотой [17]; 13) теория и эксперименты по модулированию полей гравитации полями ускорений [18, 19]; 14) поиск дипольного гравитационного и инерционного моментов электрического дипольного типа и вопрос о существовании отрицательных гравитационных и инертных масс [20].

Эти исследования показали, что системы спинов при температурах порядка 10™2 °К могут быть использованы для детектирования космического гравитационного излучения. И в лабораторных условиях возможна генерация большого числа гравитонов вплоть до оптических частот.. Однако очень большие трудности встречаются при создании приемников гравитационных волн, генерированных в лабораторных условиях. Это не противоречит предыдущему высказыванию о наличии большого количества «лабораторных» гравитонов, так как пока обнаружено только громадное число гравитонов космического происхождения. Можно также сказать, что для обнаружения влияния гравитонов на вещество необходимо экранировать детектор от воздействия гравитонов. Однако гравитоны трудно экранируемы, что воспрепятствует их обнаружению. Поэтому основная проблема современной экспериментальной гравитационной физики — это создание детектора «лабораторных» гравитонов.

В данной работе теоретически рассматривается возможность применения явления «сверхрассеяния» [21—26] для детектирования гравитонов и других гравитационных эффектов.

СВЕРХРАССЕЯНИЕ

Пусть о ос — сечение рассеяния некоторого объекта х на одной из N изолированных частиц некоторой квантовой системы. Будем говорить, что квантовая система nsN одинаковых частиц находится в сверх рассеивающем состоянии относительно объекта х, если сечение ахс этого процесса в этом состоянии возрастет до

Oxc-Na^^Nte', (1) где Кх — некоторая характерная длина волны объекта х, которая описывает пространственное распределение этого объекта; 50 — площадь сечения рассеивателя, перпендикулярная направлению распространения рассеянных объектов.

Для объектов с массой покоя т0 = 0 (фотоны, гравитоны, фононы) Хх является длиной волны соответствующего излучения ((105—10~8) ему Для объектов с массой покоя т0 #= 0 величина Хх является длиной волны де Бройля (для теплового нейтрона Хх = Хб ~ Ю~8 см). Если в соотношении (1) £ > N, то оно заменяется на V

Так как возможно N ^ Ю30, то 1030 > ^ > 1014 при50 ^ 1 см2 и Х^ > 10~8 см. Отсюда видно, что наблюдение «сверхрассеяния» представляет большой интерес. Действительно, минимальное сечение пт, которое может быть обнаружено экспериментально за максимально возможное время наблюдения tmn будет порядка

От (-^ mt ml иг) , (2)

где Im — максимальный поток; Nm — максимально возможное число частиц в детекторе. Взяв Nm = 1030, tm = 1 год 3,15 х X Ю7 сек, получим

0т ~ 1О-37/-1 [СЛ42]. (3)

Учет же сверхрассеяния дает

Ю-37^)-1. (4)

Отсюда при £ = 1030 и Im = 1010 см-2 сек~1 получим, что принципиально возможно детектирование физических процессов сечением ох 10™77 см2.

Физическая причина колоссального возрастания сечения рассеяния в процессах сверхрассеяния состоит в том, что все N частиц такого детектора без существенной разрушающей интерференции между собой пространственно-когерентно (одновременно) взаимодействуют с объектом х.

Основная трудность создания сверхрассеивающих мишеней и детекторов, а также наблюдения таких процессов состоит в получении соответствующего сверхсостояния с достаточно коротким Хх и удержании его в течение достаточно долгого времени. Интересно отметить, что «сверхрассеиваться» могут «кванты» нулевых колебаний физических полей, а также виртуальные кванты этих полей и виртуальные кванты нулевых колебаний физических полей.

«Сверхрассеяние квантов» нулевых колебаний состоит в том, что они могут только отобрать энергию от квантовой системы в виде сверхизлучения. Это связано с тем, что сами «кванты» нулевых колебаний не наблюдаемы, поэтому невозможно непосредственно убедиться в том, что они совершили акт сверхрассеяния. Что же касается сверхизлучения, которое служит индикатором «сверхрассеяния квантов» нулевых колебаний, то оно уже неоспоримо установлено экспериментально.

Действительно, Блохом было показано и экспериментально и теоретически, что ядерные спин-системы под действием импульсного или стационарного когерентного магнитного поля переходят в когерентное состояние и дают сигналы свободной и вынужденной блоховской магнитной индукции [27]. Если наблюдать этот эффект в волновой зоне, то мы обнаружим электромагнитное сверхизлучение [21, 28], которое указывает на то, что на когерентной ядер- ной спин-системе «сверхрассеиваются кванты» нулевых электромагнитных колебаний резонатора. Как правило, при этом £ > N и наблюдается охс — Nax 1023ох. В этих процессах энергия сверхизлучения, как уже отмечалось, черпается только из мишени.

Индикатором «сверхрассеяния виртуальных квантов» нулевых колебаний также служит сверхизлучение от некоторого квантового перехода | b > -> | а >, где соответствующие уровни Еь > Еа. Только в этом случае матричный элемент {а | J^ | Ь} этого перехода отличается от нуля только из-за виртуального участия других состояний |у> (у #= а, Ь).

Многоквантовое «сверхрассеяние квантов» нулевых колебаний приводит к тому, что мишень начнет испускать одновременно несколько когерентных физических полей.

«Сверхрассеяние квантов» нулевых колебаний отрицательной энергии, по-видимому, приведет к возрастанию и энергии и когерентности состояния мишени, т. е. будет наблюдаться «отрицательное сверхизлучение».

Рассмотренные теоретически в работе [291 сигналы световой индукции и светового эха на рубине являются индикаторами того, что в когерентной оптической системе ионов происходит «сверхрассеяние оптических квантов» нулевых колебаний электромагнитного поля. Экспериментальное обнаружение этого эффекта [30] является еще одним подтверждением существования процесса сверхрассеяния.

Что же касается гравитационного луча [9, 10], то его экспериментальное обнаружение означало бы детектирование «сверхрассеяния нулевых гравитонов», т. е. нулевых колебаний гравитационного поля. В принципе, при больших плотностях вещества возможно «сверхрассеяние нулевых колебаний» нейтринного и антинейт- ринного поля и его детектирование путем наблюдения нейтринного и антинейтринного сверхизлучения [31]. «Сверхрассеиваться» могут также нулевые колебания полей любых квазичастиц (фононов [32], магнонов [33], экситонов [28], поляронов, поляритронов, фокусонов, плазмонов и т. д.). В работе [9] было показано, что сверхрассеяние одновременно нулевых колебаний гравитационного поля и поля квазичастиц может облегчить детектирование нулевых колебаний гравитационного поля.

Совершенно новая ситуация возникает при сверхрассеянии объектов с ттг0 =/= 0, когда их свойства пространственной когерентности описываются волной де Бройля. Существующая теория сверхизлучения [21,32, 34] пренебрегала волной де Бройля атомов вещества, учитывая волновую природу только электромагнитного и звукового полей. Поэтому нетривиальны следующие вопросы:

можно ли в существующих формулах теории сверхизлучения подставить Хб вместо Хп, где Хп — длина волны физического поля; 2) как взаимодействуют между собой волны Хв и Хп; 3) могут ли волны де Бройля «записывать» информацию в квантовые системы и сами хранить «сведения» фазовой памяти?

Так как с точки зрения теории динамик квантовых систем [26, 35] нет какой-либо разницы между Хб и Хп (т. е. с точки зрения математики они неразличимы), то в теоретических работах [22—26] все эти вопросы получили утвердительный ответ, причем во все формулы Хб и Хп входят как равноправные величины. Первым экспериментальным подтверждением этих идей было обнаружение фазовой памяти электронного пучка [36, 37]: электронный пучок «запоминал» воздействие лазерного луча на пучок при прохождении его через пленку. Таким образом, если в переходе | 6 > -> | а > квантовая система излучает спонтанно объекты

c mQ^= 0, то пространственно когерентная квантовая система по отношению к Хб этих объектов будет сверхизлучать эти объекты. Это излучение будет свидетельствовать о наличии «сверхрассеяния» нулевых колебаний поля с ттг0 =£ 0 квантовой системой. В качестве перехода | b > -> | а > может послужить автоионизационный переход, который сопровождается испусканием электронов. Например, в качестве |6> можно взять состояние 12s2pr Р > гелия [39].

В настоящей работе рассмотрим «сверхрассеяние» нулевых колебаний на космических объектах и сверхрассеяние (без кавычек) реально существующих объектов на когерентных квантовых системах. Такой процесс может, например, привести к ускорению элементарных частиц [22—25], а также к возрастанию в N (X^S^1) раз эффективности квантового счетчика гравитонов. Мы изучим также возможность использования фазовой памяти волн де Бройля для наблюдения когерентных эффектов и излучения ГВ.

СВЕРХИЗЛУЧАТЕЛЬНЫЙ КОЛЛАПС СВЕРХПЛОТНОЙ ЗВЕЗДЫ

Вполне возможно, что в результате некоторой космической катастрофы некоторая подсистема сверхплотной звезды приобрела абсолютную температуру порядка 0° К. В принципе, это неустойчивое состояние звезды может «разрядиться» в виде самопроизвольного быстротекущего коллективного процесса с образованием импульса упругой, электромагнитной, гравитационной энергии или импульсного мощного потока элементарных частиц (нейтрино, электроны, протоны, нейтроны и т. д.). Такой процесс назовем сверхизлучательным коллапсом. Можно сказать, что сверхизлучательный коллапс возникает в результате рассеяния нулевых колебаний электромагнитного, гравитационного или упругого полей на звезде. Предположим, что в этих процессах законы сохранения импульса и момента импульса обеспечены за счет всей звезды как целой системы.

Рассмотрим сперва электромагнитный сверхизлучательный спиновый коллапс. Согласно работам [21, 34, 39] при длине волны излучения X > RQ (радиус звезды) сверхизлучательный коллапс происходит за время

«с~№1т1п^(5)

где т — время жизни верхнего спинового состояния частицы; N — число спинов в звезде.

Энергия И, излученная сверхизлучательным коллапсом, и мощность излучения W в момент максимальной активности запи-

сываются так:

& = Ntito0,(6)

=(7)

где coo — круговая частота излучаемых квантов.

Соответствующие формулы при X < Ro имеют вид

tc ~ г' Т In TV, § = №№ W = -L (Й<00) ^,

^ = ^ = ^ (12/лЛ^).(8)

Формулы (5), (7) и (8) получены без учета обратной реакции излучения на среду. Если обратная реакция очень велика, то процесс излучения приобретает осциллирующий характер и значительно удлиняется. Очевидно, что tc не может быть меньше времени прохождения светом расстояния Ro, г. е

> R^1 = t6.(9)

Средняя мощность, излучаемая при сверхизлучательном коллапсе, не может быть больше

Wo = g^1.(10)

Пусть масса звезды М = 1033 г и число частиц в звезде N = 1057. Для магнитного дипольного излучения

3о2

=• "Ef(2Ря) = "3Юо’<и)

где Со — скорость света и 0Я — ядерный магнетон.

Выберем Ro = X = 3 км, отсюда v = 105 сек-1 и т™1 — 5 х X 10“33 сек~Ч Далее /?соо = 6 • 10“22 эрг, § = 6 • 10зд эрг, t0 10“э сек и И^ — 6 • 1040 эрг • сек™к

В случае гравитационного сверхизлучательного коллапса магнитного типа имеем

т-1 ~ М^С?5,(И')

где кГ — гравитационная постоянная.

Далее получим т-1 ~ 10“69 сек-1, tc ~ Ю14 сек, v = 105 сек-1 и Wo 6 • 1021 эрг • сек.

В статическом магнитном поле 1012 гс круговая частота соо = = 1016 рад • сек™*, т™1 ~ 10“39 сек-^, § ^ 1046 эрг, t0 ^ 10+3 сек и Wo ^ 1043 эрг • сек-Ч

Наконец, рассмотрим гравитационный сверхизлучательный коллапс квадрупольного типа:

т-1 ~ k^tr^m^(12)

где т — масса ядра и Q0 — его квадрупольный момент. Для v = 105 сек™1 получим т ~ 10" сек, tc ^ 1044 сек. От электронных

квадрупольных моментов при со = 1016 рад • сек™1 и N = 1057 получим т 1040 сек, § <^ 1046 эрг, tc 105 сек и Wo 1041 эрг • сек™1.

В принципе может существовать также процесс сверхизлучательного упругого коллапса, когда вся потенциальная энергия спинов постепенно переходит в энергию упругих колебаний звезды. Используя данные работы [401, получим

-1 «о G2

где Со — скорость звука; 50 — плотность звезды; G — константа спин-фононного взаимодействия. Для значений соо = 1016 рад X X сек™1, G = 10~17 эрг] ед-. деф., Со = 3 • 1010 см • сек™1, 50 = = 1017 гсм-^ получим т ~ 1028 сек. Далее получим <0 ^ 10-5 сек и Wo 1051 эрг • сек™1.

Эти гипотетические примеры показывают, что сверхизлучательный коллапс при определенных условиях может служить источником мощного пульсирующего, импульсного или стационарного космического излучения.

СЕЛЕКТИВНЫЕ СВЕРХРАССЕИВАЮЩИЕ ЭКРАНЫ И СЧЕТЧИКИ ДЛЯ ГРАВИТОНОВ

Принцип действия сверхрассеивающих экранов и счетчиков гравитонов состоит в следующем. Рабочее вещество счетчика в результате спонтанного или вынужденного процесса переводится в сверхрассеивающее состояние и заключается в резонатор, по возможности исключающий нежелательные сверхрассеивающие или сверхизлучательные процессы. Такое вещество будет интенсивно неупруго рассеивать гравитоны, однако вероятности неупругого рассеяния с поглощением и исчезновением гравитонов примерно равны. Поэтому по состоянию счетчика нельзя судить о протекании этих процессов. Однако совершенно иначе обстоит дело со сверхрассеиванием частиц сшо^О (например, нейтронов) [23], так как в этом случае можно вынуждать частицу с т0 ^= 0 «сверх- рассеиваться» только с поглощением (или отдачей) энергии от рассеивателя. В двухквантовом процессе, когда одновременно «сверх- рассеиваются» (гравитон + частица т0 ^ 0), это свойство можно передать и гравитону. Отсюда возникает идея о возможности создания экрана или счетчика на двухквантовом сверхрассеянии для гравитонов определенной энергии.

Рассмотрим теперь более подробно схему работы таких приборов. Сверхрассеивающее состояние может образоваться самопроизвольно под действием спонтанных переходов. Пусть в начальный момент времени энергия системы частиц счетчика была равной

?n'^hto0. Далее одна из частиц спонтанно испустила с вероятностью 70 (^) в единицу времени в единицу телесного угла в направлении кх квант излучения. Вероятность последующего рассеяния гравитона с волновым вектором кг = к2

1

7 (&г) = 70 (кг){Л^Цехр (}ДЛг))с |2 +

+ jV —2},(14)

где д£ = к2 — кх и Qc — усреднение по положениям всех частиц в счетчике (см. в [34] формулу (92)).

Для эффективного спина R = -^ до предела возбужденной системы имеем полную энергию -у NtKoQ = тоКю31 откуда т0 = = -^-N. Подставляя это в (14), получим

I^ = 70(^){^ + W-2},(15)

а при 1^1, 1 fc21 <^ 1 г | —1 из (15) следует

7(^) = [2(^-1)]70(^(16)

Из формулы (16) видно, что из-за того, что система испустила квант излучения в произвольном направлении, вероятность рассеяния гравитона в любом направлении возросла в два раза. Действительно, после спонтанного перехода одной из частиц в системе осталось N — 1 возбужденных частиц, каждая из которых в среднем рассеивает в два раза сильнее, чем прежде. Этот результат можно обобщить: после того, как система испустила х квантов в произвольных направлениях, оставшиеся частицы в среднем будут рассеивать гравитоны во всевозможных направлениях в (х + 1) Раз сильнее, или

7 (Ах) ~ (х + 1) (N - х) 70 (fcr), х < 4 •<17>

Если же 1^1, ..., \кн\ > |г|—то вместо (17) получим

(18)

£и = х(Х<0,)У}’

где х — число квантов с волновым вектором ™\ испущенных системой до акта рассеяния гравитона с волновым вектором /с(0) = /сг; е — число квантов, испущенных системой в направлениях к ^ к0 до рассеяния гравитона, 70 (.к (0)) — вероятность рассеяния

гравитона обычной системой частиц; I (Й0)) — вероятность сверхрассеяния.

Рассмотрим следующий процесс. Пусть в системе из N одинаковых центров на переходе |л>«->|& > самопроизвольно образовалось сверхрассеивающее состояние для волнового вектора

ке = —— V^оНо» (°ьа = ^Еъ — £а) Еь > Еа, (19) со

где tltoba — энергетическое расщепление перехода |а><->|6>; с0 — скорость света в пустоте и скорость гравитационных волн в пустоте и веществе; е0 и ц0 — соответственно электрическая и магнитная проницаемость вещества из TV-центров. Отметим, что кг < ке при одинаковых частотах ГВ и электромагнитных волн.

Пусть теперь на этой квантовой системе одновременно рассеиваются некоторая элементарная частица с начальным импульсом ра и гравитон частоты vr. Предположим, что в этом процессе ^Е^ -|- kEr = ± tltoba 1(20)

где ^Е^ и \ЕГ — соответственно изменение кинетической энергии элементарной частицы у и гравитона в результате рассеяния; знак минус берется в том случае, когда в результате этого неупругого процесса система центров приобрела квант энергии tttoba; ^Ег < 0 означает, что гравитон поглощен системой центров.

Если рь и kto^ = Е^ — соответственно импульс частицы у после столкновения и Е^ изменение энергии при этом, то

(Ра — Рб) (2ту)-1 = Е4, Pb = Pa-V kp,(21)

Ар = — рь ± V Ръ + 2mvSv, ^^ — J^L.

Для свер^рассеяния необходимо, чтобы

+ Л/Су -f- кр = ке(22)

и выполнялось условие (20). Так как кг ^ ке при одинаковых частотах, то эти условия можно всегда выполнить.

Если в результате рассмотренного двухквантового сверхрассеяния гравитон Ер поглощается, то получим сверхрассеивающий экран для гравитонов энергии Ег с волновым вектором кг. Если же наблюдаем за рассеянными частицами у, то считая эти частицы у, обнаруживаем также гравитоны. В этом случае может быть ASr ^ 0. Подчеркнем, что знак величины А^г можно задать при помощи ^к^.

Вероятность в единицу времени двухквантового сверхрассеяния с детектированием рассеянной частицы у в телесном угле о можно оценить по формуле

(Ns с1

Р (кр) ~ WrWv (nrnv) ,(23)

к г/ г Г V/[(Av)2 + (v v v )2] р \/

где Wr — вероятность перехода | b > ^-* I а> в единицу времени под действием единичного потока гравитонов в одноквантовом режиме; gr — форм-фактор спектральной линии для этого перехода; Wp — вероятность перехода |6> <-> |а> в единицу времени с рассеянием в телесный угол о под действием единичного потока частиц у; gv — соответствующий форм-фактор; grv — форм-фактор двухквантового перехода; Av ^ g-1, | ^vv | = |A£*V|, п^ и пг — соответственно число частиц у и гравитонов кГ1 падающих в единицу времени на рассеиватель.

Для перехода | 6 > <-» | я > в оптической области с детектированием гравитонов при помощи рассеянных нейтронов и N = 1030 получим

Р (кт) < Ю-26 (и7иг) [сек-1 ],(24)

где мы использовали значения Wr = 10—40сек—4, Wv = 10“24 сек-1 и Av = 106 cen-V При п^ = 1015 и пг = 10й получим Р (кг) ~ 1 сек-'. Детектирование гравитонов посредством рассеяния электронов, в принципе, могло бы улучшить эту оценку в 108 раз, т. е. можно было бы использовать N ^ 1026, а при времени t = 103 и А 1023 (объем детектора ~ 1 см^.

КОГЕРЕНТНОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ВОЛН ДЕ БРОЙЛЯ

Поток изоэнергетических элементарных частиц (а также квазичастиц) сам по себе не является физическим полем с определенным параметром когерентности. Если, однако, промодулируем амплитуду всего волнового пакета волн де Бройля пучка частиц, то в течение времени фазовой релаксации Т^ волн де Бройля такой пучок представляет собой когерентное возмущение, которое может вызвать когерентные эффекты (например, возбудить когерентные ГВ) в веществе. О времени Т^ пока мало что известно. Можно только предполагать, что Т^ обусловлено: 1) сдвигом фаз волны де Бройля отдельных частиц относительно друг друга из-за различия скоростей отдельных частиц; 2) взаимодействием частиц с неоднородными внешними полями; 3) взаимодействием частиц между собой внутри потока и 4) взаимодействием частиц с веществом, в котором они генерируют когерентное поле. По-видимому, можно считать, что Т^ не будет меньше обычных времен Т^ для поперечных компонент электромагнитных и упругих мультиполей частиц.

Рассмотрим следующий эксперимент. Изоэнергетический поток частиц А 1см-2 • сектЧ проходит через тонкую пластинку, где он взаимодействует с некоторым когерентным внешним полем Е (cos tot — kr), где поле записано в равномерно движущейся с 109

частицами системе координат. Если у и А£ — соответственно параметр и время взаимодействия, то число уА№-1 = 0 описывает образование суперпозиционного состояния участка пучка М^ иМ, где и — скорость частиц. Можно показать [22—26], что, применяя n-кратное возбуждение пучка (прохождение через п пластинок), можно «заложить в память» волн де Бройля пучка волновой вектор (2п — 1) к. Плотность распределения массы в таком пучке неравномерна и, в принципе, возможно электромагнитным путем возбуждение квадрупольных колебаний в такой трубке из частиц, которые будут сопровождаться излучением когерентных ГВ. Кроме того, воздействие такого пучка частиц на вещество вызовет там также квадрупольные колебания атомов и молекул и соответствующее излучение ГВ. В отличие от электромагнитного и звукового возбуждения ГВ поток частиц обладает следующими преимуществами: практически не существует ограничений для правил отбора; можно генерировать ГВ очень высоких частот. В случае дискретного конечного спектра массовых квадруполей максимум генерации на квадруполях вещества будет наблюдаться при 0~-^-, где МАо — = sin20, а — сечение рассеяния на квадруполях, А^^ Т^. Если М = 10“6 сек, А = 1016 см~2 • сек-1 ио — 10“^ см-2, то sin2 0 = = 10“6 и в 1 сек получим К)5 гравитонов частоты 1018 сек~1 от мишени из 1023 активных ядер.

ГРАВИМАГНИТНЫЙ РЕЗОНАНС

Идея гравимагнитного резонанса (ГМР) состоит в следующем. В отсутствии спин-спиновых взаимодействий спины5 в статическом магнитном поле Но под действием переменного магнитного поля Ну cos wot (Ну I Яо) резонансной частоты й(оо = gz$H0 совершают резонансные переходы с изменением квантового числа на Ат = ±1. Если Н. направлено перпендикулярно силе тяжести, то эти правила отбора возмущаются взаимодействием градиента поля тяжести с квадрупольным моментом ядер молекул Qa\

~~ °’2 •10-5 ^РгУ(25)

где то — масса молекулы или ядра.

Для обычных молекул maQa ~ 10“39 гем2, $q ^ 10~44 эрг и это взаимодействие трудно обнаружить экспериментально. Однако для флюксойдов в сверхпроводниках II рода, которые обладают магнитным моментом, дают сигналы типа спинового эха и обладают макроскопическими размерами maQa 10“2° — 1О“30 гем2 и

3tQ~ io-24 - кг34 эрг, что уже может быть зафиксировано методами спинового эха или по сдвигу резонансной частоты или по нарушению правил отбора.

ВЫВОДЫ

Наше рассмотрение показало, что гравитационные эффекты очень малы. Однако при соответствующем развитии экспериментальной техники и удачном подборе объекта исследования такие эксперименты осуществимы в настоящее время. Особенно перспективными могут оказаться опыты по генерации и приеме гравитонов частоты у квантов и детектирование влияния поля тяжести Земли на макроскопические квантовые объекты: флюксойды в сверхпроводниках, вихревые нити в сверхтекучем гелии и дислокации в кристаллах.

ЛИТЕРАТУРА

12.

К о К о К о

п п п

вил вил вил

1963, 5, 6.

К К К Н

е е о а

л л л

е м е м е м

У. X., Корепанов В. Д.- ЖЭТФ, 1961, 41, 211.

У.

У.

X., Корепанов В. Д.— ФТТ, 1961, 3, 2014.

X., Шубина Р. В.— Изв. вузов, Физика,

с с е л ь с с е л ь

п г

2006. Коп 1535. Коп 201.

Наг 1967, Наг

в и

и

б

л л

А. А. е м

аров

р., р., У. в.

Копвиллем У. X.— ФТТ, 1962, 4, 2283. Копвиллем У. X.— ФТТ, 1963, 5, 667. X.— ФТТ, 1964, 6, 638.

Р.,

Ко ивиллем

У. X.- ЖЭТФ,

1963,

45,

в

в

и

и

и

б

л л е м

л л е м

аров

9, 66.

и б а р о в

1967, 5, 445. Копвиллем

У.

X.,

а

б и б

у л л и

н Б. М.— ФТТ,

1965,

7,

У. X.,

В.

В.

У.

юбилейной научной

Н

а

гиб

аров

В. Р.— ЖЭТФ,

1969,

56,

Р.,

Р.,

К о

п

вил

л е м У. X.— Изв. вузов, Физика,

Копвиллем У. X.— Письма

ЖЭТФ,

X., Нагибаров В. Р.— Тезисы конференции, посвященной ХХ-летию

докладов института.

13.

14.

15.

1—7 марта 1966 г. Изд. КФТИ АН СССР, Казань, 1966, стр. 50.

Копвиллем У. X., Нагибаров В. Р.— Там же, стр. 47.

К о п в

и л л е м У. X.— Там же, стр. 54.

Копвиллем У. X. Некоторые вопросы магнитной

радиоспектро-

скопии и квантовой акустики. Изд. КФТИ АН СССР, Казань, 1968,

16.

17.

18.

19.

20.

стр. 79. Копвиллем

У. X., Нагибаров В. Р.— Там же, стр. 83.

Нагибаров В. Р., Копвиллем У. X. Гравитация и теория относительности. Изд. Казанского университета, 1969, 6, 60.

У. X., Нагибаров В. Р.— ЖЭТФ, 1969,

Копвиллем 2021.

6.

Г о г и Г о г и

л е б а л е б а

2, 154.

н р н р

ищев-Кутузов В. А., Копвиллем У. X., Н о в В. Р., Смоляков Б. П.— ФТТ, 1969, И, 2813.

а -

ищев-Кутузов В. А., Копвиллем У. X., Н о в В. Р., Смоляков Б. П.— Изв. вузов, Физика, 1970,

Копвиллем У. X.— ЖЭТФ, 1962, 42, 1333.

Копвиллем У. X. Доклад на IV Всесоюзной конференции по физике электронных и атомных столкновений. Рига, 15—20 сентября 1969 г.

Копвиллем У. X. Вторая Всесоюзная конференция по теории твердого тела. Москва, 14—21 декабря 1969 г. Тезисы доклада, стр. 127. Изд. «Наука», М., 1969.

Копвиллем У. X. Световое эхо. «Наука», М., 1971.

Копвиллем У. X.— Тезисы IV Всесоюзной конференции по квантовой акустике. Ашхабад, 1969, стр. 48.

К о п в и л л е м У. X. Изд. ВИНИТИ, № 1093—69. Деп. 1969.

Bloch F.— Phys. Rev., 1946, 70, 460.

Копвиллем У. X. Исследования по динамике электромагнитного и звукового возбуждения квантовых систем. Изд-во Казанского университета, Казань, 1966.

К оп в и л л ем У. X., Нагибаров В. Р.— ФММ, 1963, 15, 313.

К u г n i t N. A., Abella I. D., Hartmann S. R.— Phys. Rev. Lett., 1964, 13, 567.

Копвиллем У. X., Михайлов В. В. Некоторые вопросы магнитной радиоспектроскопии и квантовой акустики. Изд. КФТИ АН СССР, Казань, 1968, стр. 108.

Копвиллем У. X., Нагибаров В. Р.— ФТТ, 1968, 10, 7 50.

К о и в и л л е м У. X.— ФТТ, 1967, 9, 1038.

D i с k е R. Н.- Phys. Rev., 1954, 93, 99.

Асадуллин Я. Я., Копвиллем У. X.— ФТТ, 1967, 9, 2737.

Schwarz Н., Hora Н.— Appl. Phys. Lett., 1969, 15, 349.

F a v г о L. D., F г a d к i n D. М., Kuo Р. К.— Phys. Rev. Lett., 1970 25 202.

Drake’ G. W. F.— Chem. Phys. Lett., 1970, 5, 189.

Нагибаров В. P., Копвиллем У. X.— ЖЭТФ, 1968, 54, 312.

К о п в и л л е м У. X., Нагибаров В. Р.— ФТТ, 1967, 9, 1287.

TWO ASPECTS OF NEUTRINO PHYSICS IN GRAVITATIONAL FIELDS

BRONISLAW KUCHOWICZ

Department of Radiochemistry and Radiation Chemistry, University of Warsaw, Warsaw, Poland

THE UNIQUENESS OF THE NEUTRINO

It is surely no exaggeration that the first and the last sections in Wheeler’s 1959 Varenna lectures [1] have both the same title: «The central position of the neutrino in elementary particle physics». The neutrino is the only Fermi field we know that is pure and truly basic. It has no mass, no charge, no magnetic momentum, probably no internal structure. Apart from the graviton, it is the elementary particle with the least number of interactions. It takes part only in the weak and gravitational interactions. The most significant property of neutrinos seems to be the extreme weakness of the interaction of the neutrinos with other particles. This feature makes the neutrino a most important particle both for cosmology and for the theory of stellar evolution. At some advanced stages in stellar evolution the neutrinos may carry away the major part of the radiant energy from the star; photons may be created much more abundantly within the star but the neutrinos leak out of the star with an incomparable ease and become thus the factor that determines the stellar rate of evolution. In cosmology, there exists an unverified possibility that the average neutrino energy density in the Universe may be larger than the rest energy of galactic matter.

Besides these «practical» reasons which point to the high importance of neutrino physics there are also other ones are intimately rooted in modern physics. If we want to understand the most essential properties of a Fermi field, it is natural to begin by studying the most simple field of such kind, the neutrino field.

We speak both of neutrinos as particles and of neutrino fields. The neutrino, transmitting energy from place to place with the velocity of light, seems to have much more of the character of a field

than of a particle. Both these aspects are of an equal importance. When dealing with processes in which neutrinos are produced or absorbed, the particle aspect gets ahead of the problem. It is so in calculations of the production rate of neutrinos in stars, in estimating the efficiency of solar neutrino detectors, in determining the equilibrium distribution of neutrinos at a given temperature. Another aspect of the neutrino problem, the field aspect, is brought to light e. g. in cosmological considerations on the «neutrino sea» in the Universe. This sea may be described by an all-permeating field. This should be, of course, a quantized field, yet there are difficulties in incorporating such a field into a curved space — time. The best theory of space — time we have now — general relativity theory — is of an essentially classical character; therefore it seems to be the easiest beginning to consider also a classical (i. e. non-quantized) neutrino field in the space — time.

The topics under consideration in this paper are the gravitational interactions of the neutrino. For our aims, throughout this paper, no difference between various kinds of neutrinos and antineutrinos will be made. The particle and the field aspects of neutrino physics in the framework of general relativity will be emphasized. These two approaches to the neutrino problem are mutually complementary and suited to cover different areas of applications to natural phenomena. A self-consistent synthesis of these two aspects is, so far, a program for future research which might comprise e. g. the study of a quantized neutrino field in curved space — time (perhaps also quantized?). But let us return, for the moment, to what has been done now.

NEUTRINO AS A PARTICLE IN GRAVITATIONAL FIELD

In a simplified phenomenological treatment the neutrino has the same properties as the photon: it is considered as a point particle with the speed of light. It turns even as if we had forgotten the one half spin of the neutrino. Such a model of the neutrino proved nevertheless useful in certain problems, e. g. in the question of geodesic motion in a given gravitational field. Until very recently, a study of such motion was made for external gravitational fields only, i. e. for fields outside a given matter distribution. A complete analysis is known since forty years [2] for the external Schwarzschild field which is the most important exact solution of Einstein equations for astrophysical applications. An investigation of geodesic motion of particles for an internal solution, i. e. inside a material sphere seemed to be uselless and absurd. The objections against such an investigation might have come from two sources. First, even massless photons

cannot go out freely from the stellar interior, not to speak of heavier particles. When photons, previously produced inside a star, are gradually leaking towards its surface, numerous interactions they suffer on the way (which are changing completely their number and spectrum) make it completely meaningless to try to consider even a small part of their trajectory like a geodesic line in a gravitational field. Such a treatment is in order when the photons escape into the External Schwarzschild field surrounding the star but here nothing new can be obtained since Hagihara’s fundamental paper [2]. The possibility to investigate geodesic motion in various internal fields may be of practical importance only for the neutrino, the particle with an extremely small interaction and hence an incredibly large mean free path which makes it probable that the neutrino can penetrate layers of superdense matter of a thickness of the order of pulsar diameters without practically any interaction process with matter. And since many processes of neutrino production (due to the Universal Fermi Interaction in extremely dense and hot matter in the final evolutionary stages of a star) are located inside superdense celestial objects which can be adequately described in the framework of general relativity, the latter theory may be of a high importance for the processes of neutrino emission.

Another objection against a study of the motion of particles in the internal gravitational fields which are essentially different from the well-known external Schwarzschild field could be justified by the fact that through almost half a century general relativity touched astrophysics only in a few points and no chance seemed to exist for observing some general relativistic effects in the internal gravitational fields. The effect of the internal fields on stellar structure could reveal itself only in a certain indirect mannerk, via a change of the luminosity, evolution rate etc. The last years of a rapid development of relativistic astrophysics brought here a change.

Perhaps even this very short analysis may explain us why the investigations on geodesic motion in various internal gravitational fields have begun as late as in the sixties, with the author’s considerations [3] on the motion of a neutrino inside a perfect fluid sphere described by the internal Schwarzschild solution. Too late it was found that such investigations are not only of a purely academic interest, that their results may contribute to the problem of neutrino cooling and observability of neutron stars. The results of a series of papers were summarized by the author in the papers [4, 5] where further references may be found. A general result is the fact that in a sufficiently large variety of static internal fields a stationary motion of the classical neutrino is possible. The neutrino trajectory can be confined to the interior of a very dense star, or it can extend partially into the surrounding space (with the neutrino periodically leaving the material sphere and entering it again). The results may be generalized to time-evolving metrics. The overall effect is some kind of accumulation of the neutrinos in the star (stemming from the space

curvature effect in the gravitational field of superdense objectx. This effect of gravitational trapping reduces, of course, the neutrino cooling rates of neutron stars obtained without any inclusion of gravitation [6]. The mechanism of neutrino accumulation for two specific types of neutron star models was investigated by Vilhu [7].

The above-mentioned mechanism of neutrino accumulation leads to a trapping of the «own» neutrinos of a star. Another mechanism of neutrino accumulation is provided by the gravitational lens effect. We mean here the internal gravitational field of a celestial object. In contrast to the case with an external field which condenses the light from a distant point source onto a semi-infinite line (and has no focal length, hence does not act exactly like a lens) it is possible to have here, for a particularly convenient configuration of the internal field, a real focussing. Since the particles to be focussed must go through the internal regions of the focussing object, this mechanism can be applied once again to neutrinos. Thanks to the vanishing interaction of neutrinos with matter such gravitational lenses can be characterized by a higher degree of transparency than usual optical lenses for photons. The focal length F of a star of total mass M and radius R was estimated by Zisman [8] who put emphasis on this question:

G is here the gravitation constant, and c — the speed of light. Aneutrino flux focussed by a star may be more intense than its own neutrino flux.

The two problems discussed above cannot exhaust, of course, the whole topic of the particle aspect of neutrino physics in the relativistic theory of gravitation. The reader may be referred, however, to the author’s recent survey [5] in which much more questions of related type are studied (e. g. the gravitational aspects of a neutrino «sea» in the Universe, quantum neutrino dynamics) and references to original papers are given. It seems to the author that these topics are more or less known to the reader and that in view of the lack of space it may not prove useful to repeat formulations from the article [5 J since the status of this area of research did not change much in the last two years. In contrast, interesting progress has been achieved in studies on the neutrino fields in general relativity, and it is worthwhile to be reported in the next chapter.

THE NEUTRINO FIELD IN GENERAL RELATIVITY AND ITS GEOMETRIC ASPECTS

In the fifties, the developments in the theory of elementary particles have established the usefulness of the two-component theory for the description of neutrinos. The progress in this area culminated in

1 It has to be added here that measurable effects are to be expected only in such objects like pulsars etc.

the theoretical study by Brill and Wheeler [9] on the two-component neutrinos in the theory of gravitation. This study closed a period of investigations along these lines.

The (not already new but now rapidly developing) line of research on the neutrino fields that may be recognized as dominating this area in the last few years consisted in numerous attempts to establish a completely geometrical theory of the combined system of equations for the gravitational and neutrino fields. It was aimed to obtain another kind of an «already unified theory», in parallel with the known case of the Rainich theory in which the content of the combined Maxwell — Einstein equations is expressed in a purely geometrical form One of the first attempts was performed by Bergmann [10] who tried to find the necessary and sufficient conditions for the Einstein tensor to be equal to the energy tensor of a two-component neutrino field. He derived a set of algebraic equations which allowed in principle to express the current vector of the neutrino field in the terms of the energy tensor, and hence in terms of the Einstein tensor. These equations could be solved, however, only in a special frame of reference. The author was forced to conclude his paper with the following words: «Although the results of this procedure are conclusive, it would be desirable, and it is essential for the Rainich formulation of the theory, to solve these equations in a covariant form, and this may well be possible with the help of more sophisticated methods».

Such methods have been provided by recent developments in general relativity: ray optics [11, 12, 13], complex vectorial formalism [14, 15], spin coefficient formalism [16, 17], spinor approach [18] and other techniques, which are adequately summarized in recent lectures [19, 20, 21]. Recent achievements in determining the geometric properties of neutrino fields in curved space — time arise from a consequent application of these new methods.

In addition to these geometric results there have been obtained also some results concerning the algebraic structure of the neutrino energy tensor. Also a plenty of exact solutions of the Weyl — Einstein equations were derived, in a major part for the so-called pure radiation fields. All these results will be systematically surveyed in this chapter.

Various forms of the Weyl equation for a two-component neutri- тго.The standard Dirac equation for a massless neutrino may be carried over easily into general relativity where it becomes:

?цф;ц = °- (3.1)

Here ф is a 4-component spinor, and the matrices уц obey

VMYv + ^?ц = 2^ (3 2) at every point. ф;ц is the covariant derivative of ф in spinor space, defined as in [9]. With the two-component restriction:

q> = _ У&Ф (3.3)

(3.4)(3.4)the self-dual antisymmetric tensorS^ and the complex vector H ^ can be associated with the neutrino field:

(3.4)

(3.4)

S^ = 71ф Mv(p’

#ц = р=-(фГцф — Ф'Ф.Д

The adjoint spinor <p and the charge conjugate spinor tpc are defined with the help of the operations of transposition of a spinor (symbol: ~ ) and of its Hermitian conjugation (+):

(3.5)(3.5)Ф = Л, Фс = СФФ = Л, Фс = СФwith the matrices po and C:with the matrices po and C:

(3.5)

(3.5)

Ф = Л, Фс = СФ

Ф = Л, Фс = СФ

with the matrices po and C:

with the matrices po and C:

Now Eq. (3.1) is equivalent [22] to the tensor equation:

(3.6)(3.6)S^ = H*.

(3.6)

(3.6)

Griffiths and Newing [23] expressed the latter equation also in the tetrad form:

(k^m^ — m^); v = ^k^.(3.7)

The tetrad of null vectors consists of two real vectors k^ and and of two complex vectors m^ and т^п which are one the conjugate of another. These vectors have the properties:

k^ = — m^m^- = 1, k^m,^ = n^m^ = m^m^ = 0, g^ = k^ + n^ — т^т^ — m^m^.^^

The same tetrad plays an important role in the 2-spinor formalism. The generally covariant Weyl equation has the form [9]:

омАфл;ц = о(3.9)

with the generalized Pauli matrices o^AA which enter the metric tensor together with the Levi-Civita symbols eab-

qIIAAqvBB еАВ8дВ = g^.(3.10)

Details about the 2-spinor formalism may be found in the paper [18, 19, 20].

A dayd of two basis spinors OA, lA in spin space, with the normalization

OALA = 1

gives rise to the following null tetrad in the vector space:

(3.11)(3.11)№ = ДОАО\ n^ = (Л AA ’AA *

(3.11)

(3.11)

m^ = a^AOALA, m* = <aLaOa

with the properties (3.8). This dyad is adapted to the neutrino field by the condition:

(3.12)(3.12)фА ^ = ф ^ 0А,

(3.12)

(3.12)

where Ф is a complex function; this means that OA is parallel to the neutrino field spinor ФА. Now the Weyl equation (3.9) is equivalent to the following two equations involving the function Ф defined in Eq. (3.12):

(3.13)(3.13)/)ф = (р — 8) Ф, 6ф = (Т — Р) Ф.

(3.13)

(3.13)

Here the Newman — Penrose differential operators [16] are used:

(3.14)(3.14)/)ф = k^ —— , Аф = n^ —— , dx^dx*

(3.14)

(3.14)

оф = m^ —— , оф = m^ —— Ox^dx^

p, e, etc. are the Newman — Penrose spin coefficients [16, 24].

Neutrino equations of the form (3.6) and (3.7) were used recently by Griffiths and Newing [22, 23, 25] while the Newman — Penrose form (3.13) was applied by Wainwright [24]. They all studied geometrical properties of neutrinos fields with the help of these equations. Their results will be reported in the next sub-section.

The neutrino energy tensor and various classes of neutrino fields. The energy tensor of the neutrino field is defined by

T^ = i |ацЛ^ (ФЛФА — Ф^ФЛ) + Gmaa (ФАф£ — ф£фЛ)Ь .’(3.15)

It was expressed in the tetrad form [24, 25]:

TviN = Ak^k^ 4" 2B [/с(ц^> 4- ^(g^v)] 4~

+ Ст^тх + C m^mv + Wn^m^ +(3.16)

4~ 2Dn^yTn^ 4~ 2Ек^тп^ 4” 2Ек^гп^

where the quantities A...E are defined in terms of the Newman — Penrose spin coefficients у, p, x, о, а, т (or their complex conjugates), the two differential operators from the right-hand side of Eq. (3.14), and the function Ф from Eq. (3.12). We have:

A = 2i [фАф — фАф — фф (у — у)],

В = ?Фц) (p — p) = 2софф,

С = 2гффо,(3.17)

D = — £ффх,

E = гф (6Ф + аф — 2тф).

The vectors кр are tangents to null curves which form the principal null congruence of the neutrino field. This congruence is geodesic if and only if x = 0; provided this occurs, the two other spin coefficients in (3.17) are related to the standard optical scalars: |o| is shear, and p = 6 + ico where 6 is the expansion and co is the twist. It should be remarked here that our sign of the twist is opposite to that adapted by Wainwright [24]. No definite result for the most general neutrino field, with the energy tensor (3.16) is available. It was possible, however, to derive some interesting results when additional assumptions concerning the neutrino field were introduced. In order to state explicitly these assumptions let us define first two physical quantities (see e. g. ref. 26): A. The energy density of a field (described by its energy tensor T^ at any event P with respect to an observer whose world line contains P is E (u) = Tp^u^u^ where u^ is the future-pointing velocity of the observer (at Py B. Energy flow in the field with respect to this observer is described by the vector Qp (u) = Tp^. With these concepts defined, the following three classes of neutrino fields are introduced which are listed below in the direction of diminishing generality:

Fields of class Ex satisfy the weak energy condition Ex; There is E (u) ^ 0 for all observers at eachevent P for which T^^Q. 2. Fields of class E^ satisfy the weak energy condition Ег: Qp (w) is a timelike or null vector for all observers at each event P for which T^ ^ 0. 3. Fields of class E3 satisfy the strong energy condition E3: E (u) > 0 and Qp (и) is a future-pointing timelike or null vector, for all observers at each event P for which Tp^ ф 0. Neutrino fields of class Eh belong, of course, also to class E^-v Fields of class Ex may be divided into two subclasses (at an event): E^ i. e. with positive energy density, and Ey_ i. e. with negative energy density. Wainwright [24] considered in detail the three energy conditions and derived the canonical forms of the energy tensor for neutrino fields of the three classes, while Griffiths and Newing [25] dealt only with neutrino fields of the subclass E1+, and thus their result is contained in Wainwright’s result for the class Ev In our presentation of the results we shall follow more closely Wainwright’s formulation. 3.2.1. Properties of neutrino fi e 1 d s о f class Ev A most important result is Wainwright’s Theorem 3.1. The principal null congruence of any neutrino field of class Ex is geodesic, and its shear and twist are restricted by 2 <4 0 where 2def = ao — 4co2.

A neutrino field was proved to be of class Ex if and only if there exists a null tetrad with respect to which its energy tensor assumes the form

Tp-v = Akpk^ 4~ 4Ффсо [^(j^/Zv) 4-

-f- мl(ц^7lv)] 4- 2^фФ ^зтПрШм — отпрпг^(3.18)

with 2 <: 0, Aco >- 0.

The first inequality above leads to the following interesting conclusion: If a neutrino field of class Ex is twistfree, it must be also shearfree. It reduces thus to a «pure radiation field» which has been already earlier the subject of some work [22, 27, 28, 29]. This special subclass of fields will be considered in the last subsection of this chapter.

The energy density satisfies the condition:

(sign co provided cot^O, sign^tz) Ig.gn — q

In case of not-twistfree fields the sign of the twist decides whether the field belongs to the subclass E^ or Ex_. In addition, one always has

\E(u)\ >2фф|со| (3.19) while in the case of twistfree fields there exist observers for whom | E (u)\ is arbitrarily small.

The following result is useful for a comparison between neutrino and electromagnetic fields:

If A + 0, then there does not exist any observer who could measure zero flow of energy in the field. Such observers exist in a non-null electromagnetic field.

Properties of neutrino fi e 1 d s о f class E^. X neutrino field is of class Ег if and only if there exists a null tetrad with respect to which its energy tensor assumes the form

Т’ц-у;== Ak^k-^ —{- 4ФФсо [^(ц/Zv) ~b* ^(ц^л?)] (3.20)

with Лео > 0.

Properties of neutrino fields of class E3. A neutrino field is of class E^ if and only if there exists a null tetrad with respect to which its energy tensor assumes the form (3.20) with

Л>0, co>-O, but not both zero. (3.21)

The P3 classification of the neutrino energy tensor. In the theory of electromagnetic fields in vacuum, the problem of the algebraic structure of the energy tensor T^ and of the field tensor F^ has been completely solved. A systematic presentation of results is given by Synge in Chapter IX of his book [26]. Let us summarize some of the results for our aims, emphasizing those aspects which may shed some light on the more complicated problem of the algebraic structure of the energy tensor for the neutrino field.

The eigenvectors gv of the energy tensor

^^v = Х^ц (3.22)

are called the principal directions of the energy tensor. There exist two double eingen values of the electromagnetic energy tensor: X = ± k. For a general electromagnetic field (/c #: 0) the principal

directions are confined to two mutually orthogonal 2-flats. The principal null directions lie in one of these 2-flats. For a null field (/c = 0), the energy tensor has one and only one principal null direction, and the totality of all principal directions form the 3-flat tangent to the null cone along the principal null direction.

The canonical form of the electromagnetic field at an event is different for the two cases under consideration. A field which is not null can always be reduced to a so-called electromagnetic wrench, with the electric and magnetic field vectors on the same line. Such a reduction cannot be performed for a null field which has electric and magnetic 3-vectors equal in magnitude and perpendicular; the latter field can be made as small (or as large) as we wish, by changing the frame of reference.

Investigations on the algebraic structure of Einstein equations were initiated by Petrov [30, 31, 32] whose classification scheme of the Riemann tensor in vacuum has been translated into the spinor formalism by Penrose [18]. The Petrov — Penrose classification was that of the tensor of conformal curvature (Weyl tensor Ж^ат). The latter tensor is equal to the Riemann tensor in vacuum, while in the presence of matter, i. e. when

^gv9“ Rgyw = T^(3.23)

the Riemann tensor involves also additional terms:

^ = ^-Ц-багМ + 4^<3-24)

where the traceless Ricci tensor is:

^gV = R»V ^~ £gV^(3.25)

and R^ is the Ricci tensor, R the scalar curvature. The Petrov — Penrose classification of the Weyl tensor was completed by a general classification by Piebanski [33] of the tensor U^ whose structure determines completely the structure of the energy tensor

^gv = ”4" ^gv ^gv«(3.26)

the eigenvalueis denoted bythe eigenvalueis denoted byT N N ST N N SIf the tensor U^ is considered as a 4 X 4 matrix, its discrete characteristics is provided by the eigenvalues with their multiplicities. The following convention was adopted by Piebanski:

the eigenvalue

is denoted by

the eigenvalue

is denoted by

T N N S

T N N S

If the eigenspace of an eigenvalue contains

a time-like eigenvector

at least one null eigenvector both time-like and null eigenvectors only space-like eigenvectors

The symbol of the algebraic type of a given U^ is now l^l^l ^2^ 2 1 tol ^2 )>

where the different eigenvalues together with their multiplicities n^ are included in the square brackets, while the indices of nilpotency qt of the terms (U — U^ from the minimal polynomial are given in the round bracket in the same order in which eigenvalues appear in the square bracket. Where there is no ambiguity the sum of the indices of nilpotency is given.

If we go from the object U^ to its spinorial image Uabcd, and then to its square

Qabcd = U^abURS (3.27) we find that the symmetrized object

V ABCD = Q( ABCD) (3.28) has exactly the structure of Weyl’s spinor [18] and hence the Petrov classification can be applied to it.

Many years ago Piebanski [33] proposed to make a systematic study on the possible identification of the known energy tensors with the algebraic types from his paper. Now such an analysis has been performed by Griffiths and Newing [25] for neutrino fields of subclass £i+; the results may be generalized to the class Ev They are presented in Table I which is a simplified version of the general scheme presented on p. 1001 in Piebanski’s paper [33]. Out of 16 various types from the P3 (Petrov — Penrose — Piebanski) classification scheme only 7 types actually remain (there are only 2 types in electrodynamics).

The types in Table I are divided by dashed lines into two classes according to the number of eigenvectors admitted by U^. The fields of class II do not admit a diagonalization of the tensor U^- The solid lines in Table I divide the types into 4 classes of the Petrov classification of the object Vabcd* Note that the classes [1—1—1—1] and [1—3] are here lacking.

The lines under 45° (from left to right) connect types with the same order of minimal equation while the arrows indicate the types which may be derived from a given one by the degeneration of the continuous parameters.

The number of possible types of neutrino fields diminishes when further restrictions are made. Thus fields of classes E^ and E^ may be only of the types [27 — 25 ]2, [47V ]2 and [27V — 25](2—1>. The last of these types is absent in the case of electromagnetic fields. Pure radiation field, like in the case of electromagnetic field, may be only of the type [47V ]2.

Pure neutrino radiation fields. According to Audretsch and Graf [29] pure neutrino radiation fields are defined as those solutions of the Weyl equation, whose energy flows pointwise in the same direction with the velocity of light — for all observers. The energy

tensor of such a field is

7\v = Ak^ (3.29) where the tetrad vector k^ is interpreted as a neutrino flux vector. A comparison of the inequality (3.19) with the inequality for the electromagnetic field:

E^>k (3.30) has led Wainwright [24] to regard neutrino pure radiation fields as analogues of the null electromagnetic fields.

An interesting theorem has been obtained independently by Griffiths and Newing [23] and by Audretsch and Graf [29]:

All radiation solutions of the Weyl equation possess a shearfree and twistfree geodesic congruence which is in addition hypersurface- orthogonal.

This is a strong theorem, and in order to emphasize this let us compare the situation with the null electromagnetic field. In the latter case the Mariot — Robinson theorem [34, 35] is valid:

The rays of a (source-free) electromagnetic radiation field are geodesic and shearfree. These rays are known to be twistfree for some simple solutions in flat space, yet this property has not been proved to be a general one.

Another interesting result was derived by Griffiths and Newing [22]: A spherically symmetric pure radiation field cannot be interpreted as neutrino radiation (for the two-component neutrino field). This may be regarded as a counterpart to the extension of Birkhoff’s theorem to electromagnetic-gravitational fields [36].

Various classes of pure neutrino radiation solutions have been arranged recently by Audretsch and Graf [29] in order of increasing specialization; the reader is referred to their original paper in which necessary conditions for planefronted waves, for planefronted waves with parallel rays (pp-waves), and for plane waves are given. An exact solution of the Weyl — Einstein equations is presented for neutrino pp-wave which is accompanied by a gravitational pp-wave.

Penney [28] obtained a peculiar neutrino pure radiation field which could be interpreted also as a spinorial description of a null electromagnetic field. Geroch’s metric [37] admitting a null electromagnetic field was interpreted by Griffiths and Newing [23] as admitting a neutrino pure radiation field. These (and presumably other) non-unique interpretations stem from the fact that all calculations performed are classical in scope e. g. no attempts were made to include the Fermi statistics for the neutrino. Thus Penney was forced to conclude with the words: «The two descriptions are equivalent until quantization is performed. We are in possession only of field properties, not particle properties».

4. PROBLEMS AND PROSPECTS

It is impossible to summarize adequately all the recent developments in the theory of neutrino-gravitational fields, especially since the achievements of the last years are accelerating the progress in this area. It is thus quite possible that answer to some of the questions in this chapter is already known by some theoretician or will be obtained till the time when this article will be published. It seems, howevdr, to be a duty to the scientific society to touch at least briefly some of the problems which are unsolved, as yet.

The well-known Goldberg — Sachs theorem [38] states: A vacuum metric is algebraically special if and only if it admits a shearfree null geodesic congruence. This theorem was generalized later by Robinson and Schild [39]. Szekeres [40] dealt with the problem what happens to this theorem when perfect fluid or electromagnetic field is present. He showed that when the Weyl tensor is algebraically special then the gravitational field no longer propagates along shear- free null geodesics as it does in vacuum. The shear and ray curvature of the propagation vector depend now on the dynamical and kinematical properties of the fluid, or on the optical properties of the electromagnetic field. An interesting result of Szekeres is that if the electromagnetic field is a null field then the gravitational field must be algebraically special. Now, the same follows for gravitational fields which have a neutrino field of class E2 as a source. It might be interesting to try to generalize the class of neutrino fields for which the statement above remains true.

The question of the neutrino «sea» in the Universe is closely related to the more mathematical problem of incorporating the neutrino field into various types of model universes. It was shown by Brill and Cohen [41] that, unlike the electromagnetic field, the neutrino field generates a curvature which is not consistent with the high degree of symmetry of a universe of the Taub type [42]. This result is for a homogeneous neutrino field in a certain type of homogeneous universe. What may occur in other cosmological models?

The extension of Birkhoff’s theorem to Weyl — Einstein fields was mentioned for neutrino pure radiation fields. Are further generalizations of this result possible, both in the directions of more complicated neutrino fields, and of other symmetries of the field?

A problem that inheres deeply in the classical approach to the neutrino field (also to the electromagnetic field) in general relativity is the possibility whether (and if so, then how) statistics can be incorporated into the theory. May be, this is the way to a revival of the neutrino theory of light. A counterexample is presented [41 ] to the «already unified» theory of gravitation, electromagnetism, neutrinos, and scalar fields. There remains, however, much light to be thrown upon the problem, especially from the standpoint of a theory with the correct statistics for the respective particle fields.

Much work, presumably, will be done in the future on finding exact solutions of Weyl — Einstein or Weyl — Maxwell — Einstein

equations. Let us hope that new interesting cosmological models may be obtained. It would be desirable to derive metrics for spheres of fluid radiating neutrinos, and to compare them with Vaidya’s radiating metrics [43, 44, 45]. There are already some beginnings of a study of the geometry of neutrino fields. Much work has to be done but it seems that adequate tools to perform it are available. The classification of neutrino fields given in Table I should be both extended and deepened. The study of the groups of motion of the energy tensor should be done (as it has been made for neutrino pure radiation fields by Audretsch and Graf [29]). It should be worth-while to find characteristic differences between gravitational fields which have a neutrino field as source, and those which have other sources (scalar, vector, and other fields).

In this outline of future developments of neutrino physics we have limited ourselves to the field aspects; some possible developments in the future studies on the particle aspect of the neutrino have been summarized in Table II of a previous survey [5].

The author is greatly indebted to Drs. J. B. Griffiths, R. A. Ne- wing and J. Wainwright for preprints of their recent work prior to their publication. The author is also indebted to Prof. J. Piebanski for calling his attention to the problem of the algebraic classification of the energy tensor.

The P3 (Petrov — Penrose — Piebanski) classification of neutrino fields of class Ex (adapted from [24])

The lines denote: -<degeneracy A -> 0; | — degeneracy 20; / — degeneracy a —> 0. The symbols of Petrov classes are

given in the respektive four rectangles confined by solid lines.

REFERENCES

Wheeler J. A., Neutrinos, Gravitation and Geometry, Rend. Scuola Int. «Е. Fermi» Corso XI, Varenna, 1959, p. 67 ff. (Bologna, 1960); also in J. A. Wheeler, Geometrodynamics (Acad. Press, New York—London, 1962); русский перевод: Гравитация, Нейтрино и Вселенная, ИЛ, М.,1962.

Hagihara Y.— Japan. J. Astron. Geophys., 1931, 8, 67.

Kuchowicz B.— Acta Astronomica, 1965, 15, 297.

Kuchowicz B.— Acta Phys. Polon., 1968, 33, 723.

Kuchowicz B.— Fortschr. der Physik, 1969, 17, 517.

Ba he a 11 J. N., Wolf R. A — Phys. Rev., 1965, 140, В 1452.

V i 1 h u O.— Astrophysics a. Space Science, 1968, 1, 301.

3 и с м а н Г. A. — Учен. зап. Ленингр. Педаг. Ин-та, 1966, 303, 51.

Brill D., Wheeler J.— Revs Modern Phys., 1957, 29, 465.

Bergmann O.— J. Math. Phys., 1960, 1, 172.

Jordan P., Ehlers J., Sachs R. K.— Abh. Akad. Wiss. Mainz, Math. Nat. KL, 1961, 1.

Sachs R. K.— Proc. Roy. Soc., 1961, A 264, 309.

Sachs R. K.— Proc. Roy. Soc., 1962, A 270, 103.

D e b e v e r R.— Cahier Phys., 1964, p. 303.

Cahen M., De be ver R., Def rise L.— J. Math. Meeh., 1967, 16, 761.

N e w m a n E. T., Penrose R.— J. Math. Phys., 1962, 3, 566.

N e w m a n E. T., P e n г о s e R.— J. Math. Phys., 1963, 4, 998.

Penrose R.— Annals of Physics, 1960, 10, 171.

P i r a n i F. A. E. Brandeis Summer Inst. Theor. Phys., 1964, Vol. I. Lectures on General Relativity Prentice Hall, 1965, p. 249 ff.

P e h г о s e R. Structure of Space — time. p. 121 ff. in «Battelle Rencontres. 1967 lectures», W. A. Benjmanin, 1968.

I s r a e 1 W. Differential forms in general relativity.— Commun. Dublin Inst, for Advanced Stud., Ser. A, 1970, 19.

G r i f f i t h s J. B., N e w i n g R. A.— J. Phys. A: Gen. Phys., 1970, 3, 136.

G r i f f i t h s J. B., N e w i n g R. A.— J. Phys. A: Gen. Phys., 1970, 3, 269.

Wainwright J. Geometric properties of neutrino fields in curved space — time, preprint, Univ, of Waterloo, 1970.

Griffiths J. B., N e w i n g R. A. Geometrical aspects of the two- component neutrino field in general relativity (preprint, Univ. Coll, of North Wales, 1970); J. Phys. A: Gen. Phys, (in print).

Synge J. L. Relativity: the Special Theory. 2-nd ed., North— Holl. Publ. Co., 1965.

Inomata A., McKinely W. A.— Phys. Rev., 1965, 140, 1467.

Penney R.— J. Math. Phys., 1965, 6, 1309.

Audretsch J., Graf W.— Commun. Mathem. Phys., 1970, 19, 315.

П e т p о в A. 3.— Учен. зап. Казанск. ун-та, 1954, 114, 55.

П е т р о в А. 3. Пространства Эйнштейна. Физматгиз, М., 1961.

Петров А. 3. Новые методы в общей теории относительности. «Наука», М., 1966.

Р 1 e b a n s к i J.— Acta Phys. Polon., 1964, 26, 963.

M а г i о t L.— Comptes Rendus, 1954, 238, 2055.

Robinson I.— J. Math. Phys., 1961, 2, 290.

Hoffmann B.— Quart. J. Math., 1932, 3, 226.

1962,1962,G e г о c h R. P.— Annals of Physics, 1966, 36, 147.

1962,

1962,

Goldberg J. N., Sachs R. K. Acta Phys., Polon.,

13.

R о b i n s о n I., Schild A.— J. Math. Phys., 1963, 4, 484.

Szekeres P.— J. Math. Phys., 1966, 7, 751.

Brill D., Cohen J.— J. Math. Phys., 1966, 7, 238.

T a u b A. H.— Ann. Math., 1951, 53, 472.

V a i d у a P. C.— Current Science, 1943, 12, 183.

V a i d у a P. C.— Nature, 1953, 171, 260.

V a i d у a P. C.- Phys. Rev., 1951, 83, 10.

КАРТАНОВА ПРОБЛЕМА И ВЕКТОРЫ СВЯЗНОСТИ В ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Л. Е. ЛЕВАШОВ

Белорусский государственный университет, Минск

ВЕКТОРЫ СВЯЗНОСТИ

Введение. При решении картановой проблемы [1 ], иначе, отделения в уравнениях общей теории относительности (ОТО) координатных эффектов от физических, должны быть сформулированы определенные физические положения. В первую очередь можно принять следующих два.

Первое положение. В уравнения должны входить физические величины, т. е. элементы, подчиняющиеся аксиомам линейного (векторного) пространства [1]. Лишь тогда уравнения могут быть интерпретированы в понятиях физического эксперимента.

Второе положение. В физических явлениях имеет место физический принцип дуальности (или двойственности): а) в каждом физическом явлении неразрывно между собою связаны два рода физических величин — полярные и ламеллярные (последний термин предложен В. Томсоном [2], lamella — пластинка, лат.); б) каждой величине одного рода соответствует, вообще говоря, однозначно, некоторая величина другого рода. Это соответствие в каждом частном случае имеет конкретный физический смысл и определяется в каждой точке посредством определенных физических условий.

Последовательный учет такой двойственности (implicite) требует представления физических величин не только в координатном обозначении, но и введении прямых образов [3], что в последующем изложении и предопределяет используемый математический аппарат и, в частности, введения векторов связности.

Расслоенное пространство — время. Одним из методов реализации первого из упомянутых выше физических положений является то, что изучаемую четырехмерную область пространства — времени рассматриваем как базу главного расслоенного

пространства. Этим реализуется основное положение Эйнштейна: в бесконечно малой области справедлива специальная теория относительности (СТО) [4]. В изучаемой области пространства — времени D вводится координатная система х^ с принадлежащей ей в каждой точке области системой базисных векторов е^, е^. (Величины, выражаемые в этих базисных векторах, будем обозначать греческими индексами.) Для выражения локальных свойств самого протекающего физического процесса в каждой точке рассматриваемой области D вводится локальное касательное пространство F (слой) с базисными векторами ек и 5К. (Величины, выраженные в этих базисах, будем обозначать индексами латинского алфавита.) Связь между обоими типами реперов определяется обобщенными коэффициентами Ламэ:

^ = ;А • ^, НХ = б£.(1)

Введем составляющие базисных векторовdet -_> det _

е^ = Ни 5-, 5Ц = h-e^(2)

кк

(черта над индексом означает, что по нему не следует суммировать). Индексы, помещенные под коренными буквами, будем называть подындексами. Они несут дополнительную информацию, определяемую конкретно в каждом случае. Для простоты, если это не ведет к недоразумению, они могут быть опущены. Если Лц = 6ц, то подындексы под базисными векторами — греческие; 5ц и 5^ суть прямые геометрические образы, полярные и ламелляр- к к

ные соответственно. При помощи этих составляющих базисных векторов определяются составляющие тензоров, в частности векторов, например

к

pH = ^ Шц = 1Р5ц.(3)

кк к

Фундаментальные тензоры. Существует два рода коррелятивности между полярными и ламеллярными величинами, определяемой двумя фундаментальными тензорами, антисимметричным и симметричным (соответственно полярными и ламеллярными). Антисимметричный тензор сохраняет афинные свойства и является следствием ориентируемости пространства — времени:

8[xXgvj = 4|е ^ехе^\ е[хх^] = 4!еe[x5x5u5v],(4)

klmnк I т пklmn к I т п

где е — в частности, четырехиндексные символы Леви — Чивита. В применении к релятивистской электродинамике такая коррелятивность рассмотрена в работах [5, 6].

Второй род коррелятивности дополняет аффинные свойства метрическими: вводятся симметричные фундаментальные тензоры кп

g^ = 2g e(llev); g^ = 2g ^’'X(5)

hr к nh n

У равнение линейной связности. Между слоями устанавливается линейная связность

6^ = Г^еЫх^ 6ец = T^e^dx^.(6)

s ft ks к s sk ks к s

Зариманова геометрия характеризуется тремя схоутенами [7] Cgv, 5gV и Qx^ и, соответственно, им коррелятивными.

Первый схоутен-тензор имеет вид

^gv — UV -Г 1 .. ks ks ks^ v

Применим соотношение дуальности не только в тензорной алгебре, но и в тензорном анализе. Запишем это следующим образом:

Т^^ = ^^тГ^,(8)

е. коэффициенты связности для полярных векторов дуальны коэффициентам связности для векторов ламеллярных. Тогда

^gv = 2g^°r (ag)v(9)

Такую связность будем называть С-ковариантной.

Второй схоутен-тензор кручения имеет вид

^gV = ^gV] + ^gV,(10)

(И)(И)где Q^v — объект неголономности. В дальнейшем он принимается равным нулю. Тензор кручения вместе с тензором Римана — Кристоффеля позволяет разделить коэффициенты связности на несущественные FgV и существенные Г^: тензор кручения и тензор Римана — Кристоффеля, образованные из Г^, равны нулю. Образованные же из FgV либо оба отличны от нуля, либо один из них. При этом [8]

(И)

(И)

где Vx — ковариантная производная относительно F^v. Наконец, в-третьих, фундаментальный тензор T)gv или T]hn

^x'Hu'v 5^ 0, Vx'Hu'v ^^ 0, T]y,v = const.(14)

При принятой сигнатуре

fen

= diag (— 1, 1, 1, 1)(15)

слои с фундаментальными тензорами (13) и (14) назовем СТОслоями. В общем виде, пока выбор Q*^ не уточнен, будем фундаментальный тензор обозначать ^хц- Представив тензоры «связности» как сумму симметричной и кососимметричной частей, разложим изменение базисных векторов 6^ и 6ец на вращение и sk sh собственно деформацию.

Кососимметричные тензоры связности. Рассмотрим бивекторы

Г[Хц] v^v = ®[Хц]-(16)

ks s ks

Вдоль каждого из четырех смещений dx^ базисный вектор е^ ис- sк

пытывает вращение, обусловленное бесконечно малым шестипараметрическим преобразованием Лоренца. В силу четырехмерности пространства — времени любой бивектор co^v] раскладывается в общем случае на два простых (однолистных)

^gv] = W[gV] + (0[Ц^; co^v] = 2со£[Ц^],(17)

0123 кпkn к п

где базисные векторы выбираются на основании соответствующих физических соображений.

Рассмотрим смещение dx^. Для гиперболической составляющей о

co^v] лоренцева преобразования имеем

01

«[gv^x] = о(18)

01 о

и простой бивектор (Of^vj может быть представлен в виде 01

4^V]/[g^V] ,(19)

01 оо

причем вектор /ц лежит в собственном пространстве слоя: о

f^ = 0.(20)

о о

(21)(21)Подындекс над коренной буквой / указывает направление смещения, которое вызывает вращение. Следовательно, в силу (19)

(21)

(21)

Fgva — 2ga [ц/у]. 10о

Из соотношения (20) следует, что в произвольной координатной системе при смещении dx^ вектор f^ образует три параметра оо

гиперболической части лоренцева преобразования. Для круговой составляющей при смещении dx^ имеем

о

totuv^A,] ^ 0.(22)

Следовательно,

F[gv] X = 6|LIVX%^ ^^[XVg],^^)

03о 230

где М — некоторый вектор. Подындекс под буквой М имеет то же о

значение, что и под буквой /. Для е^ имеем

&^ = g^r^vj oevdx°,(24)

оз30 J о

т. е. с течением времени базисный вектор е^ испытывает поворот з

в плоскости dx^dx^ вокруг оси dx^. Наложим на М^ условие 210

M^dx^ = 0.(25)

о о

Тогда вектор М^ при смещении dx^- образует три параметра кру0о

говой части лоренцева преобразования.

Таким образом, при смещении dx* векторы L и Мц образуют 000

шесть лоренцевых параметров и характеризуют своеобразное винтовое движение вдоль первого направления. Это аналог известной теоремы Шаля: произвольное перемещение твердого тела в пространстве эквивалентно винтовому движению.

Аналогично введем векторы /ц, /ц, /ц, Мц, Мц, Мц при условии 123123

= 0, M^dx^ = 0.(26)

Таким образом, 24 параметра /ц и Мц характеризуют лоренцевы S

преобразования при смещениях dx^.

S

Симметричные тензоры связности. Рассмотрим

r(xn)v^v = <O(Xu)-(27)

ks s ks

При каждом из четырех смещений dx^ репер, образованный ба

зисными векторами ^, может испытывать деформацию — относи- к

тельное удлинение и сдвиг. Поскольку в СТО-слоях физические базисные векторы взаимно ортогональны, то ограничимся диагональной метрикой. Тогда при смещении dx^ деформация сдвига

отсутствует. Из 40 коэффициентов связности F(^)V остаются

только 16 и мы можем положить

&“ = g^T^ ^dx9, Г(М0 v = — £ьцЩ.(28)

skк ккк

Таким образом, деформация относительных удлинений базисных векторов определяется четырьмя векторами связности П^. Подын- к

деке под буквой П указывает, какой йз базисных векторов испытывает относительное удлинение. Девиатор имеет вид

D^ = guv (тМхх^-ЗЩ^Ц.(29)

ks\ к s4 т т s /

Итак, коэффициенты связности выражаются посредством векторов связности /ц, М\ Пц [8, 10]:

r^lLiv = — 2gv [х/ц] + £Xgvo^ £ХцПу,(30)

ksssк

r^v = 6у/ц 4“ ^VjLl/^ 6цПу(31)

ksssк

Из последнего выражения следует: векторы связности, как и коэффициенты связности, по тому же признаку подразделяются на существенные и несущественные. В случае надобности будем их обозначать соответственно чертой сверху, либо символом Д

5х _ 5х еХр Г — С nvc?a:v), при х = к.(32)

к к х J к s 7

При С-ковариантной связности, в силу (9)

Сцх = — 26цПу.(33)

кк

Закон преобразования векторов связности. Коэффициенты связности преобразуются по закону

Г^ = Р^Р^Р^Г^ 4- Р^М-(34)

Следовательно, векторы связности преобразуются по неоднородному закону преобразования

/p' = Pp-/v + 7u-, М* = PS МГ -ум*', Пц-= 888886к

= P^DV + пц.,(35)

к к

где аддитивные члены /gS М^ и Пц. Если фундаментальный 88к

тензор g^ диагоналей, а деформация сдвига отсутствует, они находятся из соотношений

К. =-РХОМ>^ X'= s; nv = -P«dvPk, X* = к.

(37)(37)Поскольку

(37)

(37)

Ьь^т — * о ^[т-^ to]i

где Q^T — объект неголономности, то при голономных преобразованиях М^ = 0.

Проиллюстрируем соотношения (36) на примере полярной координатной системы. Предположим, что исходная система декартова. Тогда из (36) получаем, что полярная координатная система характеризуется векторами связности

nr = -_L, /r = --L.(38)

2г 2т

Итак, «векторы связности» при координатном определении вектора являются более сложными, чем векторы с геометрическими объектами. Однако при прямом, бескоординатном определении [3] они остаются векторами, чем и объясняется принятая в тексте терминология.

Релятивистский принцип Даламбера. Рассмотрим уравнение геодезической в СТО-слое. Вектора = dx^/dx касателен к мировой о о

линии. В силу (11) и (31) уравнение геодезической принимает вид

^Дцхх = — bf, b =(39)

00ОцО

Следовательно, для неизотропной и изотропной мировых линий, соответственно, получаем [9]

х^^хх = f\ х^-= 0.(40)

ооооо

Первое уравнение — это уравнение движения СТО. Второе — уравнение прямолинейной световой линии, что также соответствует СТО.

Таким образом, вектор связности /х есть вектор удельной силы, о

т. е. силы, отнесенной к единице инертной массы. Преобразуем теперь вектор /х согласно (36). Пусть это преобразование есть преобразование Лоренца, обусловленное переходом к ускоренной системе, движущейся вдоль dxx. Тогда

о

cdt •~

d1dx^,,,' dt (ip2)3/1 dt *' '

Подставляя в (35) и полагая результирующую удельную силу равной нулю, получаем релятивистский принцип Даламбера: в каждый момент сила /vs приложенная к точке, уравновешивается о

силой инерции fx» с продольной массой т = т0 (1 — Р2) 3/г. о

Таким образом, видим, что неоднородные преобразования (35) векторов связности могут иметь вполне определенный физический смысл и выражать, в частности, введение сил инерции. Аналогичное появление сил инерции при вращательном движении рассмотрено в 2, п. 4. Сравнивая, какую роль играют преобразования (36) в (38) и (41), видим, что эти преобразования либо, в первом случае, ведут только к несущественным векторам связности, либо, во втором — к векторам связности, имеющим определенный физический смысл.

РЕЛЯТИВИСТСКОЕ ВИНТОВОЕ ДВИЖЕНИЕ

Постановка задачи. Основные векторы связности при симметрии оо • т. Релятивистское винтовое движение может быть определено посредством векторов связности. Последние будем находить наложением соответствующих условий симметрии.

Рассмотрим слой, в котором каждый из двух простых бивек- торных листов F и F обладает симметрией оо . т, т. е. осью 0123

симметрии бесконечного порядка и плоскостями симметрии, проходящими через эту ось. Предположим, что в каждом из этих листов существует координатная система с диагональным фундаментальным тензором с сигнатурой соответственно 0 и +2. Рассмотрим сначала общие свойства листов F и F. Рассуждения 0123

будем вести для листа F, но с соответствующей заменой индексов 01

0 -> 2 и 1 -> 3 все изложенное в этом пункте будет иметь место для листа F . Для удобства положим х° = т; х1 = О, причем коор- 23

дината т лежит в плоскости симметрии. Поэтому эту координату будем называть радиальной. Тогда для нахождения связности необходимо определить шесть компонент векторов По, Щ, По,

0 О 1

Щ, А» /о- Из наличия плоскости симметрии следует, во-первых, 101

что базисный вектор 5° при перемещении по радиальному направле- о

нию не дает проекции на первое направление

б^1 = 0, Д = 0.(42)

00 о

Во-вторых, из наличия оси симметрии оо порядка следует, что базисный вектор е1 при перемещении вдоль первого направления 1 остается неизменным:

&1 = 0, П, = 0(43)

н1

и что базисный вектор е° при перемещении вдоль первого направо

ления также остается неизменным

6^ = 0, Щ = 0.(44)

10о

Далее, наличие оси симметрии требует

По = /о-(45)

11

Из соотношений (42), (44) и (45) следует (в предположении голо- номности системы) отсутствие кручения: 5^ = 0, Sol — 0. Предположим далее, что лист F плоский, т. е.

01

/?001 = 0,(46)

/?ioi = 0,(47)

7?оо1 = 0,(48)

Aioi = 0.(49)

Из выражений (46) и (47) при выше сделанных предложениях следует

ад = 0, ЗД = 0.(50)

о1

Из равенства (2.1.7)

По = - d0 In С, £ = f e^dx + J, ip = ( Пойт, С = const. 1"J о

(51) Следовательно, базисный вектор ^1 меняется вдоль радиуса по закону

е1 = ^^ е1 = const.(52)

111

В частности, если базисный вектор е° остается постоянным вдоль радиуса, то

П0 = 0, П0 = -4_^_А(53)

о1т+£1

Из (2.1.6), в силу (1.5.6), (1.6.2), (2.1.1) и (2.1.12), получаем

g^gn = А (т + 52,(54)

где к — некоторая постоянная интегрирования.

Таким образом, мы нашли определенные условия для фундаментального тензора g^. В согласии с (2.1.12) положим

g№ = ± 1 = kv(55)

Следовательно, gn = kkt (т + £)2.(56)

Осталось определить интеграционные постоянные к и kv

«Гиперболический» и «круговой» листы,. Вводим условие, уточняющее принятую симметрию оо • т. Для плоскости F, в ко- 01

торой е° и е1 суть временной и пространственный базисные векторы, о 1

в силу основных положений СТО особыми элементами являются две пересекающиеся прямые — изотропные, световые линии. Тогда согласно принятой сигнатуре

к = — 1, кх = + 1(57)

и вышевведенная координата т является соответственным временем, а координата Ф — быстротою.

Таким образом, основные положения: а) симметрия оо -т, б) диагональность фундаментального тензора, в) равенство нулю тензора Римана — Кристоффеля приводят к псевдоэвклидовой геометрии пространства Минковского с гиперболической тригонометрией. Существенным обобщением является, во-первых, возможность зависимости масштаба времени от времени, т. е. По ^ 0, что согласно о

(52) влияет на зависимость базисного вектора быстроты от времени, т. е. обобщению преобразований Лоренца. Во-вторых, постоянная интегрирования в (53) может быть отличной от нуля. Поскольку выбор особого элемента — предельной быстроты — зависит от постоянной £, то лишь при £ = 0 получим обычную псевдоэвцли- дову геометрию вакуума.

Рассмотрим плоскость F. Вводим условие, уточняющее приня- 23

тую симметрию оо • т. Для плоскости F, в которой е2 и е3 суть 2323

соответственно радиальный и угловой пространственные базисные векторы, особым элементом является либо точка, либо окружность. Тогда в (55) и (56) в отличие от (57) полагаем

к = -J- 1, кх = — 1(58)

и вышевведенная координата т становится радиусом-вектором г, а координата ft — углом ф полярной координатной системы.

Однако, вообще говоря, мы получили в листе F обобщенную 23

полярную координатную систему. Во-первых, при П2 =# 0 масштаб 2

радиуса вдоль радиуса не постоянен и, во-вторых, постоянная интегрирования £ в (51) может отличаться от нуля. Особым элементом вместо точки может быть окружность радиуса и, следовательно, основной коэффициент связности, характеризующий, например, решение Шварцшильда гз2 = —, заменяется на Г32 = —^—, rг rg

что встречается во многих решениях задачи гравитационного поля шаровой симметрии.

Векторы, связности, объединяющие гиперболический и круговой листы, при круговом движении. Требуется найти 16 векторов

связности

/2»/з»/о»fb^2>Щ,Щ»Щ>

00220022zkqv

/2»/з,/о»fb^2»Щ>По,Щ,

11331133

и 12 векторов М\ s

Далее в листе F наряду с полярными координатами т и А 01

удобно ввести декартовы х° = т ch -ft, х1 = т sh О*. Индексы в полярной системе будем в дальнейшем обозначать штрихами. Ось винта направлена по х1. Для нахождения 28 векторов связности наложим следующие условия.

1-е условие — ось винта, т. е. первое направление с базисным вектором остается при движении инвариантным: М1 = о

= М1 = М1. Следовательно, коэффициент связности Г230 = У230 2 з

есть тривектор, т. е. при вращении пространство — время обладает кручением

^23 ^ 0, ^оз ^ 0, 520 #= 0.(60)

Остальные векторы М^ при р =/= 1 равны нулю, s

2-е условие. Поскольку листы связаны движением, т. е. процессом во времени, то в (59) равны нулю восемь векторов связности, у которых отсутствует индекс 0.

3-е условие. В листе F сохраняется симметрия оо • т, 01

т. е. движение вдоль оси вращения инерциально и векторы связности листа F, полученные в § 2, п. 2, сохраняются неизменными.

01

4-е условие. Симметрия оо • т в листе F, оснащенном 32

временемж°, понижается до оо, т. е. исчезают плоскости симметрии, остается только ось симметрии бесконечного порядка. Следовательно, П3 = 0 и сохраняются П3 = 0, П3 = 0, /3 = 0.

0232

5-е условие. Вращение предполагается стационарным. Следовательно, По = 0, По = 0, /0 = 0, /0 = 0.

2323

6-е условие — постоянство радиальной фундаментальной скорости

Щ = П2.(61)

20

Действительно, при вращении из-за наличия центробежной силы инерции на основании принципа эквивалентности происходит изменение масштаба радиуса е2, зависящее от радиуса

2

бе2 = V^dx2 = — Пз^б/ж2.(62)

2222 2

Но с увеличением радиуса происходит изменение линейной скорости и, следовательно, изменение базисного вектора времени бе» = Г^Л:2 = — П^^2.(63)

2 000 0

Если в СТО-слое по условию фундаментальная скорость постоянна, то оба изменения должны быть согласованы между собой и получим условие (63).

7-е условие — отсутствие кручения в плоскостях dx3dx\ dx°dx\ dx2dx3:

S°№ = 0, 5§3 = 0, S^ = 0.(64)

Следовательно,

/2 = IL, /2 = IL, /3 = IL.

003300

Итак, поскольку вращение и, следовательно, появление центробежной силы могло нарушить пространственную геометрию в листе F, подлежат определению три вектора связности М1, 230

/2 и /2 как функций угловой скорости со = 4~ь" ~ ”^"- Для этого Q з(1XVC(lt

введем следующие условия:

8-е условие — условие эвклидовости

/?озо = 0.(65)

9-е условие — условие геодезичности

е2 = 0, ^ = 0,(66)

о о

где точка означает производную по собственному времени. Тогда из соотношений (65) и (66)

М^ = ^, Г320 = Уз20= - Д = 1-®2г2,(67)

0 АА

/2=4-’ /2=-4-<68>

0 А 3

Итак, найдены все векторы связности при релятивистском винтовом движении. Отличными от нуля оказались:

Центробежная сила инерции. Рассмотрим теперь винтовое движение в системе мгновенно содвижущейся по радиальному направлению dx2 со скоростью р = сог. Тогда в силу (36), где преобразование Р^ теперь трактуется как лоренцево преобразование, возникает центробежная сила инерции

к - „,.,, .(71)

о (1 — (О2Г2) и

которая и уравновешивает центростремительную силу /2*.

о

Аналогично, применив преобразования (36) к /2, получаем з

(72)(72)в содвижущейся системе

(72)

(72)

з2г К1 — ю2га

ГРАВИТАЦИОННЫЕ ПОЛЯ ШАРОВОЙ СИММЕТРИИ

Векторы связности во внешнем решении Шварцшильда, В этом решении координатная система связана с Солнцем как неподвижным гравитационным центром. В римановой геометрии при диагональном фундаментальном тензоре имеем

Пц = /ц=|-^lngu.(73)

Равенство/ц = Пц выражает, как выше было показано, отсутствие кручения. В решении Шварцшильда в обычных обозначениях получаем

А = П1 = - П, =In (1 - ^-),(74)

001 z \ г /

л

/1 = Щ = /1 = Щ =—.(75)

2233г

Характерно, что векторы связности разделились на координатные, несущественные (3.1.3), и полевые, существенные (3.1.3). При этом

Щ^-Щ.(76)

о

Тогда в силу (1.6.5) для радиальной составляющей уравнение геодезической принимает вид

х1 — гехх2х2 — Щя1#1 — p-evx°x° — 0,(77)

о

что в силу (74) и (75) совпадает, очевидно, с обычным выражением в решении Шварцшильда. Это — уравнение движения, записанное в системе отсчета, внешней по отношению к движущемуся телу. В решении Шварцшильда — в системе, связанной с Солнцем.

Радиальная фундаментальная скорость в этой системе может быть определена из следующих соображений. На бесконечно большом расстоянии от Солнца радарным методом связываются е1 и е°.

1 о

В точке поля, на расстоянии г от Солнца в силу (1.6.6)

е° = ^ ехр (— ( П-^г), е1 = е1 exp (— f П^г),(78)

о о v v о 711 х J 17

и в силу (74) базисный вектор ех с приближением к Солнцу растет,

1

а е° — уменьшается. В силу этого по отношению к этой базисной о

системе фундаментальная скорость с уменьшается:

с = с ехр [ — f (^ — П^ dr ] = с (1—) , с = const. (79)

L J о 1 Jг 1

Нахождение векторов связности в локальной сопутствующей системе (СТО-слое) из соответствующих векторов шварщиилъдова решения. Фундаментальный тензор в СТО-слое либо принимается в виде (см. (5))

rjnv = 2т) e(^v>; 11 = diag (— 1, 1, 1, 1)(80)

hn h п hn

(для простоты, в соответствии с обычным обозначением, цЦу = = diag (—1, 1, 1, 1), либо согласно формуле (1.6.6) записывается agv = т)цу ехр (— 2 j nvc?xv), р, = v = к,(81)

h s

где _. __

'Hinv == Л ^(u^v)» ^ц = const.

hn h п h

Связь между базисными векторами шварцшильдовой и локальной системами определим следующим условием. Введем бивектор

В^ = ^е^.(82)

010 0

Тогда предположим, что при переходе от шварцшильдовой системы к содвижущейся бивектор В^ остается инвариантным:

01

= (B^loc, (Мш = (/V^oc,(83)

01010 00 0

где

V^schw = g^ (/v)schw, (Aoc = auv Vv)ioc(84)

0000

Таким образом, векторы (/^)schw и (/ц)юс связаны между собойоо

лоренцевым преобразованием, определяемым некоторой радиальной скоростью

(/ц)юс = (/o)schw ch 'ft.(85)

о

Для определения О воспользуемся принципом эквивалентности: изменение базисного вектора е\ обусловленное силовым полем,

1

равно изменению, обусловленному лоренцевым преобразованием. Следовательно,

ch — ехр (— j П1с?г^.(86)

(/^)schw = (Г^ехр (— J П^г) *^^

Или в силу (74)

(А)1ос = — ^ф, ф = 1/1 — -^1 =

ОVГ

I mZ .1I1/ООх I г + г2 + 2 г3 ‘ * г

где <р — гравитационный потенциал в содвижущейся локальной системе. В силу отсутствия кручения, как и ранее, (^ = Пц.

о о

Вектор связности Щ в локальной системе будет определен ниже.

1

У равнение геодезических в локальной сопутствующей системе (СТО-слое). Рассмотрим уравнение геодезической линии — мировой линии движущегося тела. В этом уравнении подындексы у существенных базисных векторов — нули. Греческие же тензорные индексы принадлежат внешней координатной системе. Тогда уравнение геодезической для мировой линии принимает вид (40), в частности, уравнений Ньютона. В СТО-слое световая линия — прямая.

Итак, при решении Шварцшильда переход к СТО-слою приводит по форме к ньютоновой механике. При таком переходе к ньютоновым уравнениям вовсе не требовалось ни малости скоростей, ни малости гравитационного потенциала.

Следовательно, переход от шварцшильдова решения к ньютонову есть переход от рассмотрения движения в системе отсчета, связанной с Солнцем, к рассмотрению этого движения в локальной системе самого движущегося тела, т. е. СТО-слое. Для нахождения вектора Пх мы должны учесть (40), т. е. что в СТО-слое свет рас- 1

пространяется прямолинейно с постоянной скоростью. Следовательно, векторы связности Пх и Пх должны быть в каждой локаль-

о

ной системе равны друг другу

Пх = Пх(89)

о I

в отличие от шварцшильдова решения, где Пх = — Пх, что и вело о1

к (79).

Поскольку несущественные векторы связности /г и П± уже 2д

определены из условия симметрии, то для гравитационного поля шаровой симметрии для решения Шварцшильда оказываются найденными все векторы связности для СТО-слоя.

Обратная задача: нахождение векторов связности Шварцшильд ова решения из соответствующих векторов локальной сопутствующей системы. Сначала найдем векторы связности независимо от шварцшильдовой системы. Во-первых, по соображениям симметрии вводятся несущественные векторы связности (вообще говоря, в произвольной координатной системе, однако, для удобства, в сферической). Во-вторых, принимается фундаментальный

тензор (3.2.2), определяемый несущественными векторами связности. В-третьих, находится вектор связности Щ. Следуя методу,

1

развитому ранее [8—101, получаем

Щ--0Д(90)

11

где потенциал 0 находится из обобщенного уравнения Лапласа, 1

вообще говоря, Даламбера

VuVu0 - 0.(91)

1

Ковариантная производная, поскольку происходит смещение вектора VT0, включает лишь коэффициент связности Г}1. Определяя 1

постоянную интегрирования из принципа соответствия, получаем

е = 1п(1-— ) = -[—+—(92)

что отличается лишь коэффициентом 1/3 вместо 1/2 при от потенциала (88), полученного из шварцшильдова решения. Считая в локальной системе скорость света постоянной, из (89) определяем Пх в СТО-слое. В Сто-слое найдем Щ из (76). Наконец, учитывая оо

отсутствие кручения, находим fv Таким образом, все векторы о

шварцшильдова решения определены.

Энергия гравитационного поля в локальной сопутствующей системе. В виде иллюстрации вектора связности напряженности гравитационного поля Щ и неэвклидова характера геометрии, 1

найдем возможное значение тензора энергии-импульса гравитационного поля.

Исходим из функции Лагранжа

£ = 4-^vnjIv.(93)

Варьируя по фундаментальному тензору и воспользовавшись дифференциалами ЛИ, мы должны учесть характер неэвклидо- вости геометрии. Вводя тензор энергии-импульса в квазикласси- ческом виде

Т^ = n^Dv1- №ПХ,(94)

1 1

причем Tv -> 0 на границе области, получаем в силу (1.4.9)

Wuv + А- Т^а^ = о.(95)

Раскрывая ковариантную производную, получаем закон сохранения энергии-импульса

V%v = 0,(96)

где Vg — ковариантная производная относительно несущественных векторов связности. Чтобы тензор Т^ имел физический смысл тензора энергии-импульса, в уравнение (94) должен входить существенный физический вектор связности Пц, но не координатный, 1

как в (3). Критерием этого служит его основное, динамическое свойство: В СТО-слое имеют место соотношения

Пц = Пц = /ц.(97)

100

Поэтому, применив к вектору Пц неоднородные преобразования 1

и обратив его в нуль, мы также должны обратить в нуль и вектор силы /ц. Такое преобразование носит уже динамический хао

рактер, как это было видно, например, из (41), и связано с определенными энергетическими процессами. Произвольные же преобразования (36), не зависящие от вектора /ц, суть преобразования о

чисто координатные и на тензор энергии-импульса могут влиять лишь в виде однородных тензорных преобразований.

ВЫВОДЫ

Введение векторов связности позволило наметить один из возможных частных путей решения картановой проблемы: выражение решения уравнения Эйнштейна посредством поля локальных СТОслоев. Физические же уравнения в СТО-слое могут совпадать по форме с уравнениями СТО или дорелятивистской физики. В них входят только физические величины, прямые и косвенные и, следовательно, могут быть интерпретированы в понятиях физического эксперимента. Поэтому для решения картановой проблемы нужно сопоставить данное решение уравнения с соответствующими уравнениями СТО-слоя и попытаться вскрыть, какой конкретной координатной системе в уравнениях СТО-слоя соответствует эйнштейново решение. Тем самым этот путь, возможно, позволит сделать некоторый шаг в решении проблемы энергии гравитационного поля.

Попутно можно высказать такое предположение: классическая, дорелятивистская физика—это не обязательно физика малых скоростей и слабых полей, это и физика локального СТО-слоя.

Введение векторов связности позволило полностью обеспечить выполнение в релятивистской физике принципа двойственности.

ЛИТЕРАТУРА

Левашев А. Е.— Ann. d. Phys., 1966, 18, 209.

В jerkness V.— Met. Z S., 1900, 11, 481.

Левашев A. E.— Труды I республиканской конференции математиков Белоруссии, Минск, 1965, 366.

Эйнштейн А.— Собр. соч. Т. 1, 329.

Воронцов В. И., Левашев А. Е. Изв. вузов, Физика, 1966, 1, 68.

Левашев А. Е., Воронцов В. И.— Acta phys. polon., 1963, 23, 655.

К а г а н В. Ф. Геометрические идеи Римана и их современное развитие. М.— Л., 1933, 67.

Левашев А. Е., Иваницкая О. С.— Acta phys. polon., 1963, 23, 647.

Левашев А. Е.— ДАН СССР, 1934, 4, 31, 124.

Л е в а ш е в А. Е. — Wiss. Z S. Fr. Schiller Univ., 1968, 17, 173.

SHOCK WAVES IN RELATIVISTIC MAGNETOHYDRODYNAMICS

A. LICHNEROWICZ

College de France, Parts

INTRODUCTION

Hydrodynamics and Magnetohydrodynamics are, in this moment, very important in relativity from the mathematical and the physical point of view. The purpose of this paper is to sketch a rigourous study of the shock waves in relativistic Magnetohydrodynamics. I will show the simplicity of the relativistic theory, with respect to the classical theory. In my study, the relativistic form of the compressibility conditions for a fluid plays an important part. From these conditions and from the relativistic extension of the Hugoniot equation, it is possible to deduce completely the thermodynamics of the shocks.

THERMODYNAMICAL PERFECT FLUID

Let У4 be a space — time. We have on У4 an hyperbolic riemannian metric, with the signature +, which can be written in local

coordinates ds2 = ga^dx^dx^ (a, P = 0, 1, 2, 3). Let us consider in У4 an ideal fluid; the corresponding energy tensor is:

Tai = (P + P) “a“P — Pg^-(1.1}

where p is the proper energy density, p the pressure and ua the unitary 4-velocity, oriented toward the future; p includes a matter density and an internal energy density. We set:

p = c2r(l + -^(r>0)

where r is the matter density of the fluid and e its specific internal energy. Let us consider the scalar:

i = e+ y- = e + pF /where V = -~ j(1.2)

i is the specific enthalpy. I have introduced systematically the index of the fluid

7=1+4"(7>1).

The energy tensor can be written

(1.3)(1.3)Ta» = <+/^0 — pga6.

(1.3)

(1.3)

The proper temperature 6 of the fluid and its specific entropy 5 can be defined, as in classical hydrodynamics, by the differential relation:

©dS = de + pdV = di — Vdp = c^df — V dp.

Thus

(1.4)(1.4)c^dj — Vdp + QdS.

(1.4)

(1.4)

The thermodynamical variable т = fV plays an important part in the relativistic frame and corresponds to the classical specific volume. We consider т as a given junction of p and S, т = т (p, 5), which is the equation of state of the fluid.

ENERGY TENSOR FOR RELATIVISTIC M AG NETOH YD RO D Y NAM ICS

An electromagnetic field is defined by two skewsymmetrical 2-tensors H and G; H is the electric field-magnetic induction tensor. If *H is the dual tensor of H, the space-like vectors:

cp = uaHa^ bp = ua (*Я)ар

are respectively the electric field and the magnetic induction with respect to the time-like vector u, and u^b^ = 0. If p (a given constant) is the magnetic permeability of the fluid, bp = рЛр, where h is the magnetic field. The electric current is, grosso modo, the sum of two

where гр is the proper density of electric charge and a the conductivity of the fluid.

Magnetohydrodynamics is here the study of the properties of an ideal fluid with an infinite conductivity а = oo; and thus the product oe being essentially finite, we have necessarily in this case e = 0. The electromagnetic field is reduced to a magnetic field h with respect to the velocity и of the fluid. It is well-known that the energy tensor of the field is:

^ар — P j | h |2 (uaUp^- ga3 jhal

where \h^ — — h^h^ is strictly positive. The complete energy tensor is:

^ap — ^r1 +

with

THE MAIN SYSTEM

The differential system of the relativistic Magnetohydrodynamics is given by the following considerations. We assume, first, that the matter density r (which corresponds to the specific number of parti- cules) is conservative. If V is the operator of covariant derivation:

Va(m«) = 0(3.1)

Maxwell equations give only here:

Va {h^ - u^) = 0(3.2)

and the equations of relativistic dynamics are given by:

VaZap = 0.(3.3)

In general relativity, (3.3) are consequences of Einstein equations. We assume here that the space — time is a given background: the results are then available in the two frames of the special relativity and of the general relativity. The previous system implies (adiabatic flow)

U^daS = 0.(3.4)

Let 2 be a regular hypersurface with the local equation q) = 0. We set Za = 5a(p. The speed r2 of 2 with respect to the fluid is given by:

^uala^-lX

vx is < c if and only if ZaZa <; 0 (2 is time-like). If v is the sonic speed of the fluid, we have i^lc^ = 1/y with

Ap=-F(V-l).(3.5)

The characteristic manifolds (or waves) of the magnetohydrodynamic system are the tangential waves (zzaZa = 0), the magnetosonic waves solutions of:

P (I) = c^rj (y — 1) (i^Za)4 + ^rj +

+ pi | h |2 у) (uaZa)2 №1^ - pi (feaZa)2 №1^ = 0(3.6)

and the Alfven waves solutions of:

D (Z) ^ ^rj + pi | h |2) W)2 - pi (feaZa)2 = 0.(3.7)

Under the assumption v < с (tp < 0), (3.6) and (3.7) define speeds vMS, vMFt va with the inequalities:

vMS<^<i;^< c.(3.8)

If we set P = V c2rj + pi| Л |2/pi the equation (3.7) shows that the Alfven waves are generated by the integral curves of the vector fields: Aa = ^ua + fea, В — ua — fea, where A and В are timelike and oriented towards the future.

GENERAL SHOCK EQUATIONS

We assume always that the ga$ and their first derivatives are continuous.

A shock wave is a hypersurface 5 of F4 such that, through 2, ua, ha or one of the thermodynamical variables is discontinuous. I will show that, under the compressibility assumptions tp < 0, ts > 0, 2 is necessarily time-like. If ф = 0 is the local equation of 5, we set still la — даф- If we decompose u^ and h^ according to a tangential component and a normal component with respect to 2, we obtain:

= pt + -A- Z₽; hF = tp + -^l6 №Ц = Z^Zp = 0). (4.1)

Let у be a state of the fluid defined by the values of p, s, u^ h^ in x £2- We denote by y0 the state anterior to the shock, by yx the state posterior to the shock, by [ ф ] the discontinuity (^ — Qo of a quantity across 2.

The main system (3.1), (3.2), (3.3) is satisfied in the sense of the distributions. It follows by a classical argument the shock equations:

[rua]Za = 0; \hauF - uah^ la = 0; [Zap]Za = O. (4.2) From (4.2) if follows the invariance of the scalar:

а (у) = ruala,(4.3)

the invariance of the vector tangent to 2

=yhF(4.4)

and the invariance of the vector

^P (y) = (c2j + P "r ■ ) aru^ — ql^ — p № h^. (4.5)

If a = 0 (tangential shock), we have u^la = uaxla = 0 and 2 has a null speed with respect to the fluid in the two states. This case is trivial and we assume in the following part a + 0.

If we decompose W^ according to a tangential and a normal component, we obtain a scalar e and a tangent vector which are invariants across the shock. These different invariants give the following results: the two thermodynamical variables and the three scalars |^|2, uala, hala satisfy the five relations:

rTu^la = rou^la = a, (4.6)

' (4.7)' (4.7)(^q)2M _ ^Za^o2

' (4.7)

' (4.7)

aAriaAr0

91 — 7г— ai = q0^7- «О = е,(4.8)

.2 а2 2 ! о„

h-TTW-iHi-V^

= 7о--^-т2 + 2^^то-^Хо = Я,(4.9)

Х10с2 = Х0а2 = L,(4.10)

where

а = с2т —|лЯ, Х = |/г|2 + —Н(4.Ц)

these relations imply Д Q^^a) = 7о №)• The quantities (4.11) have the following properties: (ZaZa) X C 0 and X = 0 if and only if I is in the 2-plane (zz, 7z); ZaZa > 0 implies Я <; 0 and thus a > 0.

The tangential components of the velocity and of the magnetic field satisfy:

&) Л ~ №) «1 = №) ^0 - №) #0(4.12)

k^lh + И I fei I2) (u“Za) V? — (I Ql^la^ A =

= (c2^o/o + H I Ао I2 “oZa^o — 9- (A“Za) Zq.(4.13)

The determinant of the left members of (4.12), (4.13) can be written:

DT (Z) = W. + ti | ^ |2) ^uaM - H №)2 = a2ax

and we have the interpretation of an terms of the Alfven wave operator. If ах Ф 0 (4.12), (4.13) give г?, Zi in terms of quantities which are known according to the scalar equations.

Let us suppose that 04 — 0; 5 is then a time-like Alfven wave after the shock; from (4.10) it follows

a0 = 0 or Xo = 0.

An Alfven shock such that a0 = o^ = 0. An Alfven shock can be of the type A or В as an Alfven wave. Under the assumption Tp < 0 it is easy to prove that the two thermodynamical variables and the three scalars | Я |2, ualai hala are invariant across the shock; the direction of the tangential magnetic field after the shock is undetermined, but determines the direction of the tangential velocity according to the following condition: the vector Aa (resp Ba) is invariant in an Alfven shock of type A (resp B\

Finally, we have the following theorem.

Theorem: A shock wave'S, such thataQ—o^ = 0, is compatible with the Alfven waves if and only if 2 is an Alfven shock (a0 = ax = 0).

The cases 04 = 0, Xo = 0 (a0 ^ 0) and a0 = 0, Xi = 0 (ai Ф 0) are forbidden.

HUGONIOT FUNCTION FOR MAGNETOHYDRODYNAMICS

An initial state y0 of the fluid being given, we consider in the foliowin part the states у satisfying the conditions

H^-H^-H L(y) = L(y0) = L(5.1)

so that у (C2T_^)2•

ft is also convenient to introduce the variable

q = p+ and to substitute to the equation (4.8) the relation

Qi - 5o = -77- (4 - t0).(5.2)

Under the conditions (5.1), a thermodynamical state (т, ц) of the fluid defines ^for т 5^ ^j a point z of the plane (t, q). We have between the variables t,S and q the functional relationship:

q =+ P (T> $)•(^-3)

42 (c2t — цЯ)2 1 vv /

Let us introduce the Hugoniot function H (z0, z) which is a function of z for a given initial point z0:

H ^ z) = c2 (j2 — /0) — (T + To) (p — p0) +

+ (t-t0)-4h(x + X0-2-^].(5.4)

It is clear that H (z0, z0) = 0 and it is possible to substitute to (4.9) the «Hugoniot equation H (z0, zj — 0. Differentiating H (z0, z), we obtain according to (1.4):

dH = 2jQdS + (t — t0) dq — (7 — q0) dv(5.5)

In the case where we differentiate along the ray (z0, zj of the plane (t, q), we obtain

dH = 2j9dS(5.6)

and according to a straight forward calculus

T adS = ■du = dq^ЬЛ^

sa4alac2a4

ORIENTATION OF THE SHOCK WAVES

We assume in the following part that the function т (p, S) satisfies the following compressibility conditions

(нх) тр<о t;>o

and the convexity condition № v>o.

These conditions are the relativistic extensions of the classical conditions of Hermann Weyl. We have seen that тр < 0 expresses that v < c.

It is easy to show that, under the assumptions^^, ZaZa > 0 z=> P (Z) > 0. Moreover a is > 0 and, according to (5.7), dS/dq is > 0 along the ray (z0, zj. But, since H (z0, z0) — 0, H (z0, zj = 0 the function H (z0, z) is stationary in one point zs at least of (z0, zj and the same thing is true for S according to (5.6). Therefore ZaZa < 0. Theorem. 7/ the fluid satisfies the assumptions (Hx) the shock waves S are necessaruly time-like. If Vq and v^ are speeds of 5 with respect to the fluid before and after the shock, we have Vq -< c and v^ < c.

We know that X = k? >. 0 and (4.10) can be written kxax = /coao.

THERMODYNAMICS OF THE SHOCKS

The Hugoniot equation can be written:

H zi) = c2 0'1 — /0) —

— (To + 4) (p, — Po) + (Ti - To) 4 ^ ^1 ~ ^ = °-(7Л)

According to (1.4), we have:

c2/p=y>0 c2/;=0>O

and differentiating:

-^(е2/2) = 2т.(7.2)

From the compressibility assumptions (77J, (772) and from (7.1), it follows by integration of (7.2):

Theorem. Let us consider an effective shock which is not an Alfven shock. Under the assumptions (H^ and (H2) we have:

Sx 2> SQ, px > p0, ]\T> 7o> Ti < t0.(^*4

Assuming Sx^>SOl we shall prove for exemple that px > p0. If we suppose px <C p0, we have, integrating (7.2) for S — So:

c2 V (po, 8^ — 72 (plt So)} =

Po

= 2 J т (p, 50) dp < (p0 — р,){т (p0, So) + т (pv 50)} Pl

according to (H2y It follows, a fortiori:

C2 Ui — io) — (To + 4) (Pi — Po) > 0.

From (7.1) we deduce тх < т0, what is contradictory with px <C Po, Si > So and (,HX). The other proofs an similar. Therefore we have ai < a0. It is easy to show that a shock wave which is not an Alfven

shock wave is consistent with the Alfven waves if and only if аоах > 0. We obtain two types of shocks: the slow shocks for which ax < a0 < 0 and the fast shocks for which 0 < o^ < a0. Let us consider the main relation fcjaf = /coao. For a slow shock af > ao therefore k^ < k^ and then |^i|2 < |^o |2* For a fast shock, the previous inequality are contrary. We have

Theorem. In a slow shock, the magnitude of the magnetic field decreases; in a fast shock, it increases.

ISOTROPIC CURVES AND SPEEDS OF THE SHOCK WAVES

An initial state y0 being given, we consider in the following part the states у satisfying

H (у) = H ^y^ = H ka = koao with aa0 > 0.

In the plane (t, q) the straight т = -^- is forbidden. In this plane, the isotropic curve £ corresponding to the value S of the entropy is defined by:

— Ц&2а2

9 = (с2т — цЯ)2 + P <T’ ^

Differentiating two times along £, we obtain:

^—<2(8.2)

\ Л2(Tp)3

where:

Л2 /3

<? = V-3^A_(tp)>0(8.3)

according to the assumptions (Ях), (H2Y The curve £ is therefore convex.

Let A be a ray of the plane (t, q) issued from z0:

q — q0 = m (т — t0) dq = mdx

I will prove the following lemma.

Lemma. Under the assumptions (H^, (H^ we have at any point zs of \n where S is stationary

<0

( <Zt2 ^

Differentiating (8.1) two times along A, we obtain:

/ ps \f vp , ^ AI/ ij

X л2 /;I t' \ dp /J;l трт'jE

Let us consider a shock z0 -*- zv From the lemma, it follows that the point zs of the ray (z0, z^, where S (t) is stationary is unique

and corresponds to a maximum forS. For a fast shock (0 < o^ < a0), we have according to (5.7)

^<о^Р(Г).>о(-^х^рщ.со.

If we interpret the signs of a and P ^ we obtain.

Theorem. Under the assumptions (Hj, (H2), the speeds Vq and v^ of a shock wave S satisfy the inequalities:

1°) for a fast shock:

«MS7»S »MSi)MF*

Ч)^1 '

2°) for a slow shock pMS </</ pA yMF yS pMS pA pMF

Let us consider in the plane (t, q), the Hugoniot curve H defined by H (z0, z) = 0. From (5.5) it follows

2/0 -Vk + (t - T0) -g- - to - 9o) = 0(8.4)

and (dS/dx)H = 0 at z0. Differentiating (8.4), we obtain:

2ie (Я+2 НИ.. Ни Ий..-°

and (-7-9- I at z0. Thus H and the isotropic curve corresponding to ' dx

S = So have a contact of second order at z0 and we have at this point

Differentiating once again, we obtain at z0

2,-s|")-0

7 \ dx3 )н \ ^t2 JH that is:

( <PS \ _ /1/ d3S \ Q \

\ dx3 )h 2/0 (тр)3\ dP3 )н \ 2/0 Uo *

In the neighbourhood of z0, we have along H:

S — So = ("1^0")z (p - Po)3-<8'5)

We see that, for a weak shock, the increase of entropy is of third order in the shock strength (pT — p0).

HUGONIOT CURVE AND SOLUTION OF THE SHOCK EQUATIONS

We suppose, in the following part, that the function т (p, S) satisfies the assumptions (H^, (HJ for arbitrary large values of p and that when S = Sq and p -> 00, thenx ->■ 0. It is possible to prove that if

Vo < v^F < Vo (resp ^s < Vo < v^) the shock equations have one and only one solution such that vf < vf (resp v^ < vf).

Let us consider the branch of the isotropic curve £ corresponding to S = So which is such that т < т0 with aa0 > 0 Along ^ we have according to (5.5):

/ dH \. x ( dq \.-- x

- To)

and according to (8.2):

/ d^H \.<^q \_

= (T — To) "тг < 0.

\ dT2 /£0/ \ dT2 ^

Therefore, on the considered branch, (dHl(h\ is positive and H (z0, z) < 0.

Let us consider a ray A issued from z0 with slope m. It follows from (5.5) that along A:

(9Л)(9Л)I^L\ -2/e№ .

(9Л)

(9Л)

Let m0 be the slope of the isentropic curve £ at z0. From the convexity of £ and the previous assumption, it follows that if m < m0, A met

the considered branch of £ in on and only one point zA + z0 and

we have H (z0, z^) < 0. But along A, 5 (z0) = 5 ^a^ = 50 and 5 (t) it necessarily stationary on A between z0 and ^A at one (and only one) point z^ which is, according to the lemma, a maximum for 5 on A. We have (dS/dx^ < 0 at z0 and, according to (9.1),

(dH/dx)^ < 0 at z0. We see that there must be at least one point zx

on A between z0 and zA at which H (z0, zj = 0.

We know that on A, 5 increases from z0, to z^, rising to a maximum at z^ and after there is monotone decreasing. According to (9.1), the samething is true for H and the point zx is unique. Thus to every number m << m0 there corresponds a unique point zT on the Hugoniot

curve of z0 with tx < t0 (and axa0 > 0J such that m = qx — qofxx — t0. Form = -^4- < 0 z. satisfies (5.2) and H (z0, z.); z. being known,

тг px are known and fx is given for example by the Hugoniot equation. From (4.10), we deduce the value of l^l2, from (4.6) the value of Uy la and from (4.7) the value of h^la (which has the sign of holaY The general shock equations have a unique solution.

The condition сга?11а1а < пг0 is equivalent to

a0P (Z)0>0

that is to say v^F << Vo for a fast shock v1^8 < Vo for a slow shock. Our result is proved.

ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ И СИММЕТРИЯ РИМАНОВА ПРОСТРАНСТВА

М. Б. MEНСКИЙ

Всесоюзный научно-исследовательский институт физико-технических радиоизмерений, Москва

Общая теория относительности (ОТО) по существу родилась из принципа эквивалентности, т. е. из того экспериментального факта (или теоретического предположения), что в достаточно малой области движение пробной частицы во внешнем гравитационном поле достаточно мало отличается от свободного движения. В окончательной математической структуре теории этот принцип проявился в том, что в бесконечно малой окрестности первого порядка риманово пространство не отличается от плоского, а геодезические пространства — от прямых.

В ходе дальнейшего развития ОТО всегда существовало направление, в котором подчеркивалось значение этого приема — увидеть в римановом пространстве плоское. Причина этого, по- видимому, двоякая. Во-первых, операциональное обоснование ОТО (установление соответствия между математической структурой теории и явлениями, наблюдаемыми экспериментатором) может быть осуществлено лишь в терминах плоского пространства. Во-вторых, объединение ОТО и квантовой теории легче провести, пользуясь методами плоского пространства, так как для него квантовая теория детально разработана.

Этой цели — введения математического аппарата плоского пространства в ОТО — служат гармонические координаты Фока. Еще один подход развивает Петров [1]. Он использует так называемое квазигеодезическое отображение риманова пространства в плоское, при котором происходит «перекачка гравитационного поля в силу». Гораздо чаще используется иной путь, заключающийся в максимальном развитии математического аппарата, выражающего принцип эквивалентности.

Математически тот факт, что риманово пространство в дифференциальной окрестности первого порядка является плоским, сказывается в том, что в каждой точке можно построить касательное пространство. Обычно касательное пространство наделяется струк-

турой векторного пространства с внутренним произведением. Естественно возникает группа преобразований касательного пространства, сохраняющая эту структуру,— группа Лоренца.

Развитие простого понятия касательного пространства привело к таким направлениям в гравитации, как реперный формализм и подход к гравитационному полю как полю типа Янга — Миллса. Не так давно появилась работа Шювегеша [2], в которой на основе параллельного переноса касательного пространства формулируется некоторый принцип симметрии риманова пространства — времени и физических явлений, происходящих в нем. Одним из следствий этого принципа является инвариантность локальных физических законов относительно группы Лоренца.

Однако в касательном пространстве можно ввести естественным образом еще и аффинную структуру. Операция параллельного переноса обобщается при этом таким образом, что содержит сдвиги касательного пространства. Эти понятия, чрезвычайно простые и естественные с точки зрения математики, по-видимому, мало использовались в ОТО. В то же время физическая значимость этих понятий очевидна хотя бы потому, что законы движения пробных частиц в терминах аффинного касательного пространства оказываются буквальным повторением соответствующих законов для плоского пространства.

Ниже попытаемся обсудить понятие аффинного касательного пространства, аффинной связности и других с точки зрения их применения в ОТО. В частности, соответствующим образом будет расширен принцип симметрии, предложенный Шювегешем. Расширенный принцип симметрии включает неоднородные преобразования касательного пространства, что в общем случае приводит к инвариантности локальных физических законов относительно группы Пуанкаре. Таким образом, вывод, сделанный Шювегешем в одной из последующих статей [3], о том, что группа Пуанкаре может появиться лишь в пространстве с кручением, оказывается неверным.

Наиболее интересным, на наш взгляд, является применение аффинного касательного пространства и соответствующего принципа симметрии к построению квантовой теории частицы в римановом пространстве — времени (т. е. во внешнем гравитационном поле). На этом пути удается проанализировать понятия положения и импульса частицы, причем в определении импульса с необходимостью возникает неоднозначность, совершенно аналогичная той, которая имеет место в реперном формализме.

АФФИННАЯ СТРУКТУРА КАСАТЕЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА

В следующем разделе введем аффинное касательное пространство и параллельный перенос его с помощью аппарата расслоенных многообразий. Но поскольку этот аппарат слишком формален.

полезно предварительно дать более прозрачную интерпретацию соответствующих понятий.

Обозначим касательное пространство в точке х риманова многообразия V через Тх (нуль означает, что на нем введена лишь векторная структура и нет еще аффинной). Для любых А, В £ Тх определено их внутреннее произведение (Л, В) так, что форма (,) билинейна, симметрична и не вырождена (задание этой формы и есть задание римановой структуры в F). Совокупность четырех векторов п = \тц £ TQX | I = 0, 1, 2, 3}, ортонормированных в том смысле, что (Wj, Hj) = T]ij, где {цгД — тензор Минковского, образует ортонормированный базис или репер пространства Тх.

Пусть задана некоторая (кусочно-дифференцируемая и непрерывная кривая ^х (т) |0 < т <С 1} на V и вектор Ло £ Т°х (0). Тогда с помощью линейной связности однозначно определяется векторное поле А (т) на кривой {ж (т)}, такое, что А (0) = Ло. Вектор А (1) £ Тйх (1) называется результатом параллельного переноса вектора Ло в точку х (1) вдоль кривой {ж (т)}. Параллельный перенос есть линейное преобразование TQX (0) -> ^(ц, сохраняющее форму (,). В силу этого достаточно перенести в точку х (1) любой репер п^ = {^ (0)} пространства ^(О)- Тогда любой вектор А = пД^А' £ ^(о, при параллельном Переносе вдоль, той же кривой перейдет в А (1) = тц (1) Аг £ Тх (1). Компоненты вектора в параллельно переносимом репере сохраняются.

Построим аффинное пространство ТХ1 основанное на векторном пространстве Тх с репером п. Точками его будут четверки чисел £ == {^ I ^ = 0,1,2, 3), причем паре точек g, ^ £ Тх соответствует вектор А = ПгАг £ Zx, где Аг = £ч — ^, и обратно, точке £ £ Тх и вектору А = (Лг) £ Тх сопоставляется точка £ = {£г = = ^ + Лг} (говорят, что ^ получается сдвигом £ на вектор Л).

Определим теперь параллельный перенос аффинного касательного пространства Тх (0) вдоль кривой (ж (т)}. Для этого рассмотрим некоторое параллельное поле реперов на этой кривой {п (т)}, причем будем считать, что аффинная структура в Тх (Т) вводится как раз с помощью репера п (т). Пусть А (т) £ Тх^ — вектор, касательный к кривой {ж (т)} в точке х (т). Разложим его по реперу: А (т) = тц (т) Аг (т). Тогда, по определению, параллельное перенесение точки (0) £ Тх^ вдоль кривой ^х (т)} дает £ (1) £ Тх^э где Г (1) = ^ (0) - J А* (т) dz.

Выясним теперь смысл этой процедуры. Пусть £ = {^} £ М — точка пространства Минковского с фиксированным базисом. Про- т

ведем кривую {£ (т)} так, что ^д (?) = р (0) — ^ Аг (т) dx, в со-

ответствии с только что приведенной формулой. Тогда касательная к этой кривой | (т) имеет в фиксированном базисе компоненты

(т) = — Аг (т). Это и есть смысл параллельного переноса: кривая {g (т)} в М при каждом т направлена по отношению к фиксированному базису пространства М точно так же (с точностью до знака), как кривая {ж (т)} по отношению к базису п (т), естественным образом связанному с этой кривой.

Чтобы еще больше подчеркнуть естественность определенного так параллельного переноса, приведем очень простой и наглядный пример его применения. Предположим, что путешественник чертит план пройденного им пути, пользуясь обычными методами топографической съемки, т. е. отмечая на бумаге углы поворотов и длины пройденных в каждом направлении отрезков. При этом план чертится, естественно, на плоскости. Но если пройдены значительные расстояния, то сказывается кривизна земной поверхности. Действительный план пути можно было бы начертить на сферической поверхности (на глобусе), а плоский план — результат параллельного переноса касательной плоскости с аффинной структурой — заведомо искажает истинную картину. Характерная черта этого искажения состоит в том, что, пройдя замкнутый путь, путе- шесчвенник получит на своем плане, вообще говоря, незамкнутую кривую. (Это результат существования неоднородной группы голономии.)

Можно ли сказать, что из-за искажений так построенный план теряет всякую ценность? Нет, нельзя. Напротив, план любого пути вполне адекватен, потому что, имея этот план, начальную точку пути и начальную ориентацию плана, можно восстановить истинный путь однозначно. Но вот снять таким образом план местности невозможно, и это хорошо известно каждому, кто видел карту больших масштабов с нанесенными на ней параллелями и меридианами.

РАССЛОЕНИЯ НАД РИМАНОВЫМ МНОГООБРАЗИЕМ

Выше мы дали лишь некоторое представление о той дополнительной структуре, которую хотим ввести на римановом пространстве. Единственный способ охватить все стороны этой структуры и эффективно ею пользоваться состоит в переходе к более формальному языку расслоенных многообразий. Будем считать соответствующий аппарат известным читателю. Достаточно знать его в объеме книги Номидзу [4].

Пусть V — псевдориманово четырехмерное многообразие с сигнатурой (Н). Основой всех построений является расслоение ортонормированных базисов (реперов) над V. Обозначим его через N. Это главное расслоенное многообразие с базой V, канонической 160

проекцией ллг и структурной группой L (группа Лоренца). Связность в нем определяется однозначно требованием, чтобы кручение равнялось нулю.

Для построения других расслоений будем пользоваться следующими стандартными пространствами. Во-первых, пространство Минковского М, которое будет рассматриваться как аффинное пространство с подпространством векторов М° и определенной на М° билинейной формой (,) сигнатуры (Н). Далее, рассмотрим группу Пуанкаре Р как группу аффинных преобразований М, сохраняющих форму (,). В группе Пуанкаре выделим подгруппу Лоренца L и подгруппу трансляций D. Последняя изоморфна векторному пространству М°. Образ вектора £ £ М° при этом изоморфизме обозначим через ^d € D. Любой элемент р £ Р можно представить в виде р = l^D = №)dL где I £ L, ^D € D.

Касательное расслоение Т° можно определить как расслоенное многообразие со стандартным слоем М0, присоединенное к N. Тогда репер п £ N, лежащий в слое л^1 (ж) = Nx над точкой л € 7, можно рассматривать как биективное отображение М° на слой л^о1 (я) = Тх.

Обозначим п : £ £М° -> п£ £ Тх- Имеет место соотношение (nl)^ = п (1^). Если в М° выбран ортонормированный базис, то каждый вектор £ £ М° определяет четверку чисел {^|i = = 0, 1, 2, 3} (компоненты этого вектора). Тогда точку п^ £ Тх можно отождествить с касательным вектором п^ в точке ж ({мг} — векторы, составляющие репер). Связность в касательном расслоении Т° индуцируется связностью в N. Это значит, что если параллельный перенос репера п ^ Nx^ вдоль кривой {ж (т)} дает п' € AW то перенос касательного вектора п^ £ Тх^ вдоль той же кривой дает вектор пг^ £ Тх (1).

Аффинное расслоение Q определим как главное расслоенное многообразие на V, получающееся из N расширением структурной группы L до Р. Более подробно считаем, что L действует на Р как группа левых сдвигов, и строим расслоенное многообразие со стандартным слоем Р, присоединенное к N. Как обычно при переходе к присоединенному многообразию, репер п £ Nn определяет биективное отображение стандартного слоя Р на аффинный слой л^ М = Qx- Обозначим п : р g Р -> пр С Qx. Структурная группа Р действует в расслоении Q следующим образом: р0 : пр £ € Qx —> прр0 £ Qx, т. е. ее действие определяется на стандартном слое как правые сдвиги.

Связность на аффинном расслоении можно выбрать различными способами, но есть один выделенный способ — это аффинная связность, канонически присоединенная к линейной связности (т. е. к связности в N\ Определение ее можно найти в работе [4], мы же здесь опишем лишь одно свойство кривых, горизонтальных относительно этой связности (т. е. свойство параллельности пере- 6 2-27161

носа аффинного слоя). Всякую горизонтальную кривую {д (т)} в Q можно представить в виде q (т) = п (т) (£(т))д, где {п (т)} — горизонтальная (относительно линейной связности) кривая в N.

Наконец, последнее расслоение, которое нам понадобится,— это аффинное касательное расслоение. Определим его как расслоенное многообразие Т со стандартным слоем М, присоединенное к Q. Точка q £ Qx определяет биективное отображение стандартного слоя М на слой Лу1 (ж) = Тх. Обозначим q : £ g М q^ £ ТХ1 причем ^qp^ = q (p£). Представим q в виде q — пр. Тогда а = = q^ = п^\ где £ = р^. Видим, что элемент а £ Т имеет структуру ^» 6 € ^ в то время как элемент А £ Т° представляется в виде п^, £° М°. Следовательно, слой Тх можно считать касательным пространством ТХ1 в котором введена дополнительно аффинная структура.

Связность в аффинном касательном расслоении Т индуцируется связностью в расслоении Q, к которому оно присоединено. Именно, если точка q £ Q при переносе вдоль кривой {ж (т)} переходит в точку q* £ Q^ то q^ £ Т переходит в qr^. Вспомним, однако, что каждая горизонтальная кривая ^q (т)} в Q представляется в виде q (т) = п (т) (g (т))р, где \п (т)} горизонтальна в N. Отсюда следует, что горизонтальная кривая в Т имеет вид а (т) = = ”№ (£ (т)Ы = и(т) (£ (Т) + ^).

ГРУППОИД КРИВЫХ В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Рассмотрим множество всевозможных (кусочно-дифференцируемых и непрерывных) кривых у = {ж (т)} на римановом многообразии У. Условимся считать кривые одинаковыми, если они отличаются друг от друга только параметризацией, но не отличаются множеством входящих в них точек и порядком их прохождения. Условимся также выбрасывать из кривой участок, который проходится в прямом и сразу вслед за тем — в обратном направлении. Обозначим множество кривых с таким отождествлением через Г. Определим в нем операцию обращения, полагая в качестве обратной кривой то же множество точек, проходимое в обратном направлении. Наконец, определим композицию двух кривых как результат прохождения этих кривых одну вслед за другой. Ясно, что композиция определена лишь для таких кривых, что начало второй совпадает с концом первой.

В результате множество Г превращается в так называемый группоид Брандта (по другой терминологии — псевдогруппу), который отличается от группы тем, что бинарная операция в нем определена не для любых двух элементов. Роль единичных кривых в группоиде играют постоянные кривые х (т) = х = const (в отличие от группы в таком группоиде единичный элемент не единственен). Выберем произвольно некоторую точку х £ У. Множество

замкнутых контуров, проходящих через х, образует подгруппу Гх группоида Г.

Рассмотрим некоторую кривую у = {ж (т)|0 < т < 1}. Сопоставим с этой кривой изоморфизм у : Nx^ -^ Nхт, получаемый параллельным переносом вдоль у. Сделаем то же для каждой кривой из Г. Тогда группоид Г гомоморфно отображается на группоид Г^ изоморфизмов слоев в расслоенном многообразии N. При этом группа Гх отображается на группу голономии (однородную) Гх , изоморфную некоторой подгруппе группы Лоренца L.

В работе [2] Шювегеш предположил, что физические закономерности инвариантны относительно преобразований из группоида Г^. Следствием этого предположения является инвариантность относительно группы голономии Гх. В частности, если группа голономии изоморфна группе Лоренца, в качестве следствия получается инвариантность относительно группы Лоренца L, действующей в слое Nx.

Мы еще вернемся к требованию инвариантности. Пока же продолжим прежнюю линию рассуждений, но введем в рассмотрение аффинную структуру. Сопоставим каждой кривой у - {х (т)} £ Г изоморфизм у: Qx (о> -> Qx (i), определяемый как параллельный перенос аффинного слоя вдоль кривой у. Получаем гомоморфизм группоида Г в группоид PQ изоморфизмов слоев аффинного расслоения Q. При этом группа Гх замкнутых контуров отображается на неоднородную группу голономии Гх, изоморфную некоторой подгруппе группы Р.

Если теперь потребовать инвариантности физических законов относительно группоида Г$, то в качестве одного из следствий получается инвариайтность относительно неоднородной группы голономии. В невырожденном случае это сама группа Пуанкаре. Мы пришли, таким образом, к Пуанкаре-инвариантности, пользуясь тем же способом рассуждений, что и Шювегеш, и не отказываясь от предположения, что пространство — время — риманово пространство с римановой связностью. Вывод, сделанный в работе [3], о том, что группу Пуанкаре можно ввести, лишь предположив ненулевое кручение, оказывается неверным.

Уточним несколько отношения между группоидами Г, Г9 и Г\ Естественное отображение расслоения Q на расслоение N, при котором точке q = n^D £ Q сопоставляется точка п £ N, позволяет определить отображение Г9 -> Г^. При этом оно оказывается согласованным с двумя введенными ранее отображениями фд:Г->- -> Г$ и ф^ : Г -> Г^ в том смысле, что диаграмма

Г <Pq

4>N | \,rQг”

коммутативна. Каждое из отображений ф^ и фд обеспечивает некоторую классификацию кривых из группоида Г (некоторое разбиение его на классы эквивалентности). При этом классификация, связанная с отображением фд, является более детальной.

ПЛОСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Как уже говорилось, Шювегеш предположил [2] инвариантность физических законов относительно преобразований из группоида Г^. Очевидно, этому утверждению можно придать смысл только в том случае, если сами законы можно сформулировать исключительно в терминах слоя Nx или, что почти то же, в терминах векторного касательного пространства 1Х в точке х.

Но совершенно очевидно, что есть законы, которые для своей формулировки требуют выхода за пределы слоя Nx. Таков, например, закон движения пробной частицы по геодезической. Покажем, что в аффинном слое Qx или в Тх он, напротив, формулируется чрезвычайно просто. Если считать геометрию пространства — времени заданной (а мы все время предполагаем это), то по существу закон геодезических — это единственный закон, управляющий движением тел. Поэтому принцип симметрии, предложенный Шювегешем, находит естественное выражение только при введении аффинной структуры.

Покажем, что аффинное касательное пространство Тх в определенном смысле может служить моделью всего риманова многообразия V. Именно на нем однозначно моделируется любая кривая на V, проходящая через х.

Пусть у = ^ (т)|0 < т < 1} — кривая на У, и х (0) = х. Проведем горизонтальную кривую ^а (т)} с Т, накрывающую у. Как было показано в п. 2, она имеет вид а (т) = п (т) (£ (т) + g), где \п (т)} — некоторая горизонтальная кривая в N, накрывающая у. Кривая {а (т)| — это кривая в расслоении 7, пересекающая все слои ^Тх m 10 < т < 1}. Отобразим ее на кривую в слое Тх — Тх (0), выбрав эту кривую в виде ах (т) = п(£ (т) + £), где п = п (0). За счет произвольного выбора £ можно произвольно выбрать и начальное условие этой кривой ах (0). Легко показать, что выбор п в пределах слоя Nx не приводит к дополнительному произволу, так как при замене п на nl функция {£ (т)} меняется на {Z~^ (т)}. Сформулируем этот вывод в виде теоремы.

Теорема. Кривая у = {ж (т)} на V, проходящая через точку х, и точка а^ £ Тх аффинного касательного пространства в точке х однозначно определяют кривую {а (т)( на Т, такую, что а (0) = а0. Если эту кривую записать в виде а (т) = п^ (т), где п £ Nx, то кривая [п (т)£ (т)} в Т горизонтальна, если {п (т)[ — горизонтальная кривая, накрывающая у, с начальным условием п (0) = п.

Этот результат показывает, что аффинное касательное пространство Тх может служить моделью риманова пространства — 164

базы в смысле моделирования кривых, проходящих через х. Если зафиксировать одну точку ай £ Тх и считать ее изображением точки х F, то каждая кривая, проходящая через ж, однозначно отображается на кривую в слое Тх. При этом можно моделировать также любой пучок кривых, пересекающихся в х. Например, можно изобразить на Тх процесс столкновения двух частиц, распад частицы и т. п.

Можно ли на Тх моделировать кривые, не проходящие через ж? Очевидный путь, ведущий к такому моделированию, состоит в следующем. Пусть кривая у проходит через х'. Отобразим ее на Тх» и затем отобразим весь слой Тх. на Тх с помощью параллельного переноса вдоль некоторой кривой, связывающей хг с х. Получим модель кривой на слое Тх. Трудность, однако, состоит в том, что можно соединить х' в х различными кривыми, и в общем случае результаты моделирования будут различными — возникает дополнительный произвол.

Произвол этот легко проанализировать с помощью группы голономии. Для этого фиксируем одну из кривых у0 (ж, x'Y соединяющих х* с х. Тогда любую другую кривую с этим свойством можно получить как композицию у (ж, ж') = у (я) • у0 (ж, ж'), где у (ж) ^ Гх — замкнутая кривая, проходящая через х. Параллельный перенос вдоль у0 х') определяет некоторое фиксированное отображение у0 : Тх. -> ТХ1 а последующий перенос вдоль у (х) преобразует слой Тх в себя. Очевидно, это преобразование из группы голономии Гх. Но мы знаем, что такая группа изоморфна некоторой подгруппе группы Р. В случае, если пространство V не вырождено, группа голономии изоморфна группе Пуанкаре. В этом случае, следовательно, произвол в моделировании на слое Тх пучка, пересекающегося в х', сводится к произвольному преобразованию Пуанкаре.

ПРИНЦИП СИММЕТРИИ

Предположим, что экспериментатор, находясь в пространственно- временной точке х и наблюдая материальные частицы, проходящие через эту точку, установил ряд закономерностей. Эти закономерности можно сформулировать, указав, какие кривые или пучки кривых реализуемы с помощью тел, а какие запрещены. Ясно, что это можно сформулировать в терминах Тх. Предположим, что в точке х* находится другой экспериментатор (в частности, это может быть тот же самый, но находящийся в другой точке своей мировой линии), который установил закономерности, справедливые в точке х* (в слое Тх^. Могут ли они сравнить эти закономерности?

При переходе в бесконечно близкую точку трудности не возникает, так как на малых расстояниях пространство можно считать

плоским. При переходе в далекую точку по некоторой кривой у (ж, ж') интуиция, основанная на опыте работы в плоском пространстве, заставляет разбить кривую на малые участки, и при прохождении каждого из них считать пространство плоским. Такой метод сравнения явлений, происходящих в слоях Тх и Т^ математически описывается параллельным переносом вдоль кривой у (ж, х'\ Итак, экспериментаторы будут сравнивать закономерности, найденные в Тх и в Т^, совершая параллельный перенос у (ж, ж') : Тх» -> Тх. При этом они придут к выводу, что закономерности одинаковы, если для каждого допустимого пучка кривых в Тх. найдется допустимый пучок в ТХ1 такой, что при отображении у (ж, ж') они совпадают, и наоборот.

Предположим, что результат сравнения положительный, т. е. отображение у (ж, ж') : Тх, -> Тх переводит допустимые нучки в допустимые. Поскольку кривая выбрана произвольно, требуется провести сравнение еще и по другой кривой у' ^х. х'\ Если и в этом случае результат сравнения положительный, т. е. отображение у' (ж, ж') : Тх. —>- Тх переводит множество допустимых явлений в множество допустимых, то отсюда следует, что отображение у' (ж, х') • [у (ж, ж')]-1 : Тх Тх также переводит допустимые явления в допустимые. Но это элемент группы голономии Г*. Таким образом, нужно перебрать все возможные кривые между всеми парами точек.

Это рассуждение приводит нас к выводу: если физические законы, касающиеся явлений вблизи точки, формулируются в терминах аффинного касательного пространства ТХ1 то можно говорить о единых законах для всего пространства — времени V (т. е. о том, что законы в каждом Тх одни и те же) только в том случае, если эти законы инвариантны относительно Г° и в частности относительно каждой группы голономии Г?» х £ V.

Приведем два примера законов, формулирующихся в терминах Тх и инвариантных относительно группоида Г9.

Пробная частица, на которую не действуют никакие силы (кроме тех, которые обусловлены искривлением пространства — времени), движется в Тх по времениподобной прямой.

Если пучок кривых в Тх описывает некоторый процесс взаимодействия, происходящий в точке, то полный импульс частиц до взаимодействия равен полному импульсу частиц после взаимодействия. Под импульсом частицы здесь понимается произведение массы частицы на ее 4-скорость (т. е. вектор касательной к траектории, нормированный на единицу). Легко видеть, что второй из этих законов может быть сформулирован и в терминах векторного касательного пространства ТХ1 тогда как первый требует аффинной структуры.

Довольно очевидно, что принцип инвариантности относительности группоида Г$ справедлив. Однако по самому своему существу этот принцип охватывает лишь законы движения пробных частиц 166

в заданном пространстве — времени, поэтому круг применимости его в ОТО невелик. Но интересно применить его к задаче о квантовании частицы в заданном римановом пространстве — времени. В этом случае можно постулировать инвариантность относительно Г^ и описывать состояния квантовой частицы в терминах представления группоида Г$. Это позволяет более систематически подойти к вопросу о квантовании, в котором в противном случае неизбежно возникает большой произвол.

ЛИТЕРАТУРА

П е т р о в А. 3.— ДАН СССР, 1969, 186, 1302.

S й v е g е s М.— Acta Phys. Acad. Sci. Hung., 1966, 20, 41.

S u v e g e s M.— Acta Phys. Acad. Sci. Hung. 1969, 27, 261.

H о м и д з у К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. ИЛ., М., 1960.'

CLASSIFICATION OF SPACE-TIME CURVATURE TFNSOR IN THE CASE OF NULL ELECTROMAGNETIC FIELD

R. M. MISHRA

Banaras Hindu University, Varanasi

ABSTRACT

In this paper all curvature tensors which satisfy Einstein field equations in the case of null electromagnetic field have been enumerated and physical data have been expressed in terms of these curvature tensors.

PRE-REQUISITES

Let G be the gravitational (metric) tensor field of a relativistic Riemann space — time V4 with the signature (++H—) and let К (a vector valued trilinear function) be the corresponding curvature tensor. Let 'R given by

def ,def

'R (X, Y) = ^К) (ХУ) = G (R (X), Y) = 'R (У, X\ (1.1) be the corresponding Ricci tensor and r given by def ,

г = C^(1.2)

be the scalar curvature of V4.

Definition (1.1). All the equations containing X, У, Z, U, ... hold for arbitrary tangent vector fields X, Y, Z, U, ...

Einstein’s field equations are assumed in a certain general form

R^X) -A-rX = puVX)U + H(X) + pX.(1.3)

where p > 0 is the mass at rest of the test particle, U is the time-like velocity unit vector;

— 1 = G (u, и) = и (U),(1.4)

H is the moment energy tensor of the electromagnetic field ^(X, Y^—'k^Y, X),

which is supposed to be a null field; and p > 0 is the pressure which must not be confused with the hydrodynamic pressure. The electromagnetic field is said to be of

def

the first class if % = det | k\ + 0, < =£ 0,

def

where G (к (X), Y) = ’к (X, У),(1.5)

def ,

4L = Ctk (/c);(1.6)

(w) the second class if ® = 0, L = 0;

(ш) the third class if % = 0, L = 0, (/с (/с)) (X) 7^ 0;

(jy) the fourth class if ^k (к)) (X) = 0.

For the signature ( + + H—) or index of inertia 2 of G, the fourth class does not exist (Mishra. (1959), p. 9).

Classification has already been done for the non-null electromagnetic field, that is, for the first two classes (Hlavaty and Mishra (1971)). In this payer the classification will be completed /or the third class which constitutes null field.

For the null electromagnetic field, we can always find a set of two complex-conjugate null vectors a, a and two real null vectors 1 2

a, a all linearly independent such that (Mishra (1963)), 3 4

a)

к (a) = 1

1

—— егоа,c. c1..

/2 з

(1.7а)

b)

fc(a) =

3

o,

(1.7b)

c)

к (a) =

-^ (e~iaa + e^aV

(1.7c)

4

У 2i2

We have

'1ЦХ, Y)

= № Y)—Lg(X, У).

(1.8а)

In consequence of (1.7) and (1.8) we have (Mishra (1962), p. 160)

H (X, У) = A (X) А (У) = (G (a)) (X) A (Y) =

3

= (G (a)) (X) (G (a)) (У) = A (X) (G (a)) (У),(1.8b)

333

1234

where (Л, A, A, A) is inverse to {a, a, a, a}, such that 12 3 4

Л(а) = 74.(1.9)

If the Ricci tensor (1.1) does (does not) satisfy Einstein’s equations

we shall call it admissible (inadmissible). Its Weierstras's

c. c. after an equation means the equation and its complex conjugate.

characteristic Ch2 (with respect to G) will be termed admissible (inadmissible) C42-characteristic. If the curvature tensor has the property that its Ricci tensor is admissible (inadmissible) it will be termed admissible (inadmissible). Its Weierstras’s characteristic (with respect to e, proportional to Levi-Civita tensor) will be termed admissible (inadmissible) C/i4-characteristic.

Thus in this paper we shall obtain

all admissible Ricci tensors and their all admissible curvature tensors, that is, all admissible C^4-characteristics;

physical data

p, a, a, a,a, U, p

1234

explicitly as algebraic concommitants of admissible curvature tensors.

The continuity equation

div (p£7) = 0,(1.10)

is compatible with the field equations (1.3) if and only if the pressure p is constant along the trajectory of the test particles: (Mishra (1962), p. 162)

(Up) = 0.(1.11)

In this paper, we shall consider (1.11) instead of (1.10).

The classification of curvature tensor (with respect to the tensor e) has been performed in (Hlavaty and Mishra (1964)). We shall use these results in this paper. The orthogonal components of 'K given by

'К (X, У, Z, U) = G (К (X, У, Z), U),(1.12)

are

s))

where

//1414 1424 1434\\

P =(12414 2424 2434 I ],

\\3414 3424 3434//

//1423 1431 1412\\

Q = (( 2423 2431 2412 I, \Д3423 3431 3412// //2323 2331 2312\\

5 = 1(3123 3131 3112 , \\1223 1231 1212//

Q1 being transpose of Q and ijkl standing for ’K (e,, e,, eh, ei), {ei} being the basis of V4. From (1.1) and (1.12), we get the orthogonal components of 'R as

(('/?)) = ((16cl + 2bc2 + 3bc3 — 4bc4)).

This equation shows that the diagonal terms in Q have no importance for 'R. Therefore we shall symbolize them by *. The field equations (1.3) are equivalent to

R (X) — SxX = T (X),(1.13a)

where

4

T (X) = pu (X) U + A (X) a(1.13b)

з

and def л S^-^r + p.(1.13c)

The tensors R and T have the same eigen-vectors (with respect to Z4) and their eigen-values po and to are related by

Ta = pa — P,(1.14)

so that Ti = т2 = 0 and px = p2 that is, the eigen-value px is of multiplicity 2. Both tensors R and T have the same Cfe2-characteristic (with respect to Z4). Since the rank of is 2 the only CA2-characteristic which is admissible is T [(11) 11].

We will now display results which are necessary for later sections. The following Lemma which has already been proved (Mishra, 1962) will be used.

Lemma (1.1). Necessary and sufficient conditions for the Ch2- characteristic {(11) 11] of 'R to be admissible are

2р1>рз + р4.(1.15a)

4

(1.15 b) the least eigen-value corresponds to time-like eigen-vector v,

Pl = Ps > Рз > P4>(1.15c)

([(Pl — Рз) ^ + e (Pi — p4) y] (Рз + Pi) = °-(1-16)

34

When these conditions are satisfied

P = 2p!— Рз — P4, P= — ^(Рз+рД

A (X) = 1/ЗрГ^ЖЕК ^ (X) - ^ (X)),(1.17a)

'Р4/

m v та

12

A and A are obtained from these equations and (1.9) upto a factor eia, —Lз

“ (X) = l(2pi — Рз — Pi) (Рз — P4)l 2 t(Pi — Рз)u № +

4

+ 61(P1 — Pi) y POL(1.17b)

where v, v, v, v (v is time-like) are mutually orthogonal unit vectors, 1 2 344

such that v, v are in the pencil of eigen-vectors corresponding to the 14

double eigen-value px and v, v are the eigen vectors corresponding to the

3 4

12 3 4

eigen-values p3, p4 о/ R and ^v, v, v, v} is the inverse set.

We now enumerate all eleven possible types of C^4-characteristics

(1.18)(1.18)[g r s 1 .... 1] (1 repeated p times),

(1.18)

(1.18)

of the curvature tensor К of our relativistic space — time У4 by the following table:

N q r s p B.C.

D.C,

1 3 2 2 2 0 2

2

II 2 2 0 2 4

11

III 2 3 2 0 1 1

4

IV 3 3 0 0 2

1

V 4 2 0 0 1

1(1.19)

VI

2 0

0

4

3

15

VII

3 0

0

3

2

7

VIII

4 0

0

2

2

3

VIII

1 4 0

0

2

2

3

IX

5 0

0

1

1

1

X

6 0

0

0

1

0

XI

0 0 0

6

4

18

Total

23

63

The first column denotes the type of the C^-characteristic, the total number of numerals p, r, s which are different from 0 are indicated by the column headed by N, the column headed by q indicates the numeral q. The columns headed by r, s, p have similar significance. The columns headed by В. C. indicates the number of basic real and complex ^^-characteristic of the type under consideration. If a numeral is 0, it will be neglected in the C^-characteristic. Thus, for instance, Ch4-characteristic of the type IX will be written as [51].

We will always denote the eigen-values of the curvature tensor by

a, P, у, К p,, v.(1.20a)

When one of these igen-values, say X, is double, we write X instead of p, and so on. The order of eigen-values is the same as the order of numerals in the corresponding C\-characteristic. Thus for the characteristic [51], we write

a, a, a, a, a, v.(1.20b)

If an eigen-value, say jx, is complex and v its complex conjugate, we write

H = Hi + ^Нг, v = Hl — ^2, (Hl, H2 real, i = V — ^-

(1.21)(1.21)We will denote by Ax, (ж = 1, 2, 3, 4) a xXx determinant of the matrix

(1.21)

(1.21)

Therefore

^« = ^К-^ = т» (a) where def

'TQ^ Y) = G(T(X\ Y).(b)

We will now consider all the characteristics one-by-one. All these characteristics have been studied in (Hlavaty and Mishra (1971)) for the non-null field.

^-CHARACTERISTICS OF THE TYPE I

There are one basic real, two derived real and one complex characteristic of the type I, namely

[2 2 2],(a)

1(2 2)2],(b)(2.1)

[(2 22) J,(c)

[2 2 2],(d)

leading to the eigen-values

a, a, X, X, jx, jx,(a)

a, a, a, a, jx, p,(b)

a, a, a, a, a, a,a = 0,(c)(2.2)

a, a, \ + iX2, \ + iX2, \ — A2, Xx — A2.(d)

Theorem (2.1). Neither one of the Ch4-char act eristics (2.1) is ad

missible.

Proof. The matrices P, Q, S for C\-characteristics (2.1) (a), (b), (c) can be written as (Hlavaty and Mishra (1964), Theorems (2.2) and (2.3)),

P = ((£)), Q = Diag ((* * *)), S = Diag (1 1 1).(2.3)

Therefore, from (1.12), (1.13), (1.21) (a) and (2.3), we obtain

((Ж (p))) = Diag (( - (2 + p) - (2 + p) - (2 + p) p)), so that

Д 4 = — (2 + p)3 p.

Thus 0 is a single eigen-value and 2 is a triple eigen-value of 'R. The refore, 'R must have one of the following C/i2-characteristics

[(111)1], (1(111)], [31], |13],

All these four characteristics are inadmissible in view of Lemma (1.1).

Consider now (2.1) (d). From theorem (3.2) in (Hlavaty and Mishra (1964), Theorem (2.1)), we get for this

(2.4)(2.4)((^(p))) =((^(p))) =1- (1 + P)1- (1 + P)— P2уа— P2уа

(2.4)

(2.4)

((^(p))) =

((^(p))) =

1

- (1 + P)

1

- (1 + P)

— P

2уа

— P

2уа

Using (1.12), (1.13), (1.21) (a) and (2.4), we obtain

so that

A4 = -((l+p)2_l}{p2 + 472}.

Hence the eigen-values of 'R are

p = 0, — 2, 2i^ — 2iy2.

But according to Lemma (1.1), the complex conjugate eigen-values are inadmissible. Hence the characteristic (2.1) d) is inadmissible.

^-CHARACTERISTICS OF THE TYPE II

In Section 2, we developed steps in detail. We shall assume here and in subsequent text that the reader got acquainted with these details and therefore, we shall omit them.

There are one basic and eight derived real C^-characteristics of the type II, namely

[2 2 11] (a)

[(2 2)11] (b),[(2 2 1)1] (c),[(2 2 11)] (d),

[(2 2) (11)] (e),(3.1)

[(2 1) (2 1)] (f),[2(2 1)1] (g),[2(2 11)| (h),

[2 2(H)] (i).

We have

P = Diag (.. a), ^ = Diag (***), 5 = Diag(Ho),(3.2)

where a has been defined in (Hlavaty and Mishra (1964)).

Theorem (3.1.) Ch^-characteristics (3.1) are inadmissible.

Proof. Eigen-values of 'R are (Hlavaty and Mishra (1971), Theorem (5.1))

P = — (ст 4- 1), — (CT + 1), (CT — 2), o.

Assume first 4a2 ^ 1. Then — (a + 1) is a double eigen-value for A4, for all A3 it is at most simple and does not annihilate all A2. The remaining two eigen-values are simple. Therefore C^-characte- ristic of the corresponding tensor 'R, which is not, a priori, inadmissible is [(11) 11 ]. Since the eigen-value a which leads to the time-like eigen-vector, is not the least eigen-value, the condition (1.15) (b) of Lemma (1.1) is not satisfied.

Assume now 4o2 = 1. Then — (a + 1) is triple eigen-value for A4. Hence according to Lemma (1.1), it is inadmissible.

There are three basic and three derived complex characteristics of the type II, namely

[2211](a),[(21) (21)1 (b),(3.3)

[2211](a),[22(11)] (b),(3.4)

[2211](a),[2211] (b).(3.5)

Theorem (3.2). Ch^-characteristics (3.3), (3.4) and (3.5) are inadmissible.

Proof. The eigen-values for the characteristics (3.3) and (3.4) are given by (Hlavaty and Mishra, (1971), Theorems (6.1) (a), (e) p = — (ст4-1), — ct+1, ct± 2ta2,

that is, there are two real and two complex conjugate eigen-values. Hence the characteristics (3.3) and (3.4) are inadmissible.

Eigen-values of 'R corresponding to the characteristics (3.5) are given by (Hlavaty and Mishra (1971), Theorem (6.1) (d)

P = — (H2 + 1), ~ (H2 + 1)» — (Нг + 2), — Нг- Therefore ^^-characteristic of the corresponding tensor 'R which is not, a priori, inadmissible, is [(11) 11]. But in this case the condition (1.15) a, namely

2pi > p3 + p4,

is not satisfied, since 2px = —2 (p,2 + 1) = p3 + p4- Hence the characteristics (3.5) are also not admissible.

^-CHARACTERISTICS OF TYPE III

There are one basic and four derived real characteristics of this type, namely

[321] (a),(4.1)

[(32)1] (b),[3(21)] (c),[3(21)] (d),

1(31)2] (e).

Theorem (4.1). Ch^-characteristics (4.1) are inadmissible.

Proof. The eigen-values of 'R are of the form (Hlavaty and Mishra (1971), Theorem (7.1))

p=-i±(<j2+4-)/‘> ±У^-4-

We will consider the following case:

Case 1. o2 < у. In this case all the four eigen-values are different- two of them real and two complex conjugata.

Case 2. o2 = y. In this case the eigen-value are p = 0, 0, 0, - 2, that is, there is a triple eigen-value.

Case 3. o2 > -y. In this case all the four eigen-values are real and different.

In all the three cases given above the Lemma (1.1) does not apply.

^-CHARACTERISTICS OF THE TYPE IV

There are one basic real, one derived real C/i4-characteristics namely

I33'(5.1)

1(33)1 (b)

and one basic complex Cfe4-characteristic of the type IV, namely

[33].(5.2)

Theorem (5.1). Ch^-characteristics of the type IV are inadmissible.

Proof. For the characteristics (5.1), the eigen-values are given by (Hlavaty and Mishra (1971), Theorem (8.1))

p = 0, 0, o, a;

that is, there are two double eigen-values when cf =/= 0 or a quadruple eigen-value when a = 0. Therefore, Lemma (1.1) does not hold and the characteristic (5.1) is inadmissible.

For the characteristic (5.2), there are four different eigen-values- two real and two complex conjugate (Hlavaty and Mishra (1971), equation (9.6)). Hence Lemma (1.1) does not apply and the characteristic (5.2) is inadmissible.

^-CHARACTERISTICS OF THE TYPE V

There are one basic real and one derived real Cfe4-characteristics of this type, namely

(6.1)(6.1)[42](a),

(6.1)

(6.1)

[(42)] (b).

Theorem (6.1). Ch^-characteristic of the type V are inadmissible.

Proof. The eigen-values of fR are given by (Hlavaty and Mishra (1971), Theorem (10.1))

P = -2, -1, 4"(-1 ±^3).

There are four different eigen-values of 'R two real and two complex conjugate. Hence the Lemma (1.1) does not apply and the C/i4-characteristics (6.1) are inadmissible.

REAL ^-CHARACTERISTICS OF THE TYPE VI

There is one basic and eleven derived real Cfe4-characteristics of the type VI, namely

[21111] (a), [(21)111] (b), [(2111)1] (e), 1(21) (Ш)] (g), [2(111)1] (j), [2(1111)1 (k),[21111] (a), [(21)111] (b), [(2111)1] (e), 1(21) (Ш)] (g), [2(111)1] (j), [2(1111)1 (k),[(21) (11)1] (c),[(211) (11)] (h),[2 (11) (11)] (e).[(21) (11)1] (c),[(211) (11)] (h),[2 (11) (11)] (e).(7-1)[(211)11] (d),[2(11)11] (i),(7-1)[(211)11] (d),[2(11)11] (i),

[21111] (a), [(21)111] (b), [(2111)1] (e), 1(21) (Ш)] (g), [2(111)1] (j), [2(1111)1 (k),

[21111] (a), [(21)111] (b), [(2111)1] (e), 1(21) (Ш)] (g), [2(111)1] (j), [2(1111)1 (k),

[(21) (11)1] (c),

[(211) (11)] (h),

[2 (11) (11)] (e).

[(21) (11)1] (c),

[(211) (11)] (h),

[2 (11) (11)] (e).

(7-1)

[(211)11] (d),

[2(11)11] (i),

(7-1)

[(211)11] (d),

[2(11)11] (i),

Theorem (7.1). Chfcharacteristics (7.1) a), b), c) are inadmissible.

Proof. Eigen-values of rR corresponding to the characteristics (7.1) (a), (b), (c) are (Hlavaty and Mishra (1971), Theorem (11.1)) p = co4-o, co — cf — 1, —co + о — 1, —co — o. (7.2)

We will consider the following cases:

Case 1. (co2 - a2) (2co + 1) (2a + 1) ^ 0.

In this case there are four different eigen-values of 'R. Hence the case is inadmissible.

Case 2. co + a = 0.

In this case 0 is a double eigen-value for A4, for all A3 it is at most simple and does not annihilate all A2. The remaining eigenvalues are simple. Therefore, Cfe4-characteristic of the corresponding tensor rR, which is not, a priori, inadmissible is [(11) 11]. But none of the simple eigen-values leads to a time-like eigen-vector. Hence the condition (1.15) (b) of Lemma (1.1) does not hold.

Case 3. co = a.

In this case, the eigen-values of 'R are given by p — 2co, — 1, — 1, — 2co, that is, —1 is a double eigen-value for A4, for all A3 it is at most simple and does not annihilate all A2, whereas the remaining eigenvalues are simple. Therefore Cfe4-characteristic of the corresponding tensor'7?, which is not, a priori, inadmissible is [(11) 11] and Lemma (1.1) applies. But 2p4 = —2 and p3 + p4 = 0. Therefore the condition (1.15) (a) of Lemma (1.1) does not hold.

Case 4. 2co = —1.

In this case the eigen-values of 'R are given by

that is, a— is a double eigen-value for A4, for all A3 it is at most simple and does not annihilate all A2; whereas the remaining eigenvalues are simple. Therefore characteristic of the corresponding tensor rR, which is not, a priori, inadmissible is [(11) 11 ] and Lemma 3

(1.1) applies. But the least eigen-value — a^- does not lead to a time-like eigen-vector, tience the condition (1.15) of the Lemma does not apply.

Case 5. 2 co = 1

In this case, the eigen-values of rR are given by , 1131

P — о + 2 ’ a 2 ’2°2 *

The Cfe2-characteristic of fR not, a priori inadmissible is [(11) 11) 3

in this case also. But the least eigen-value aу does not lead to a time-like eigen-vector. Hence the condition (1.15) (b) of Lemma (1.1) does not hold.

Case 6. 2o = —1.

In this case, the eigen-values of rR are given by 113, 1

P = ®-—,2,-®+y.

Lemma (1.1) is not, a priori, inadmissible. But the least eigenvalue does not lead to a time-like eigen-vector. Hence the condition (1.15) (b) does not hold.

Case 7. 2a = 1.

In this case, the eigen-values of rR are given by ,1311

Lemma (1.1) is not, a priori, inadmissible. But none of the simple eigen-values leads to a time-like eigen-vector. Hence the condition (1.15) (b) of Lemma (1.1) does not hold.

Theorem (7.2). Ch^-characteristics (7.1) (d), (e), (i), (j) are inadmissible.

Proof. The eigen-values of rR are given by (Hlavaty and Mishra (1971), Theorem (11.8))

p = co, co — 1, —co — 1, —co.

We will consider the following cases:

Case 1. co (4co2 — 1) ^ 0.

In this case all the eigen-values are different. Therefore Lemma (1.1) does not apply and the case is inadmissible.

Case 2. co = 0.

In this case, the eigen-values of rR are given by p = 0, -1, -1, 0, that is, there are two double eigen-values of 'R. Therefore, this case is inadmissible.

Case 3. 2co = 1.

In this case, the eigen-values of 'R are given by _ 1131

p — 2 ’2 ’2 ’2 *

But none of the simple eigen-values leads to a time-like eigen-vector. Hence the condition (1.15) (b) of Lemma (1.1), which is not, a priori, inadmissible, does not hold.

Case 4. 2 co = —1.

In this case, the eigen-values of rR are given by _1311

2 12 ’2’2’

3

The least eigen-value— does not lead to a time-like eigen-vector. Hence the condition (1.15) of Lemma (1.1), which is not, a priori inadmissible, does not hold.

Theorem (7.3). Ch^-characteristics (7.1) ((), (g), (h), (k), (e) are inadmissible.

Proof. The eigen-values of rR corresponding to the characteristics (7.1) (f), (g), (h), (k), (e) are obtained by putting co = 0 in (7.2) (Hlavaty and Mishra (1971), § 11). They are

p = a, — a — 1, a — 1, — a.

We will consider the following cases:

Case 1. a (2a + 1) + 0.

In this case all the eigen-values are different. Hence this case is inadmissible. It may be noted that (7.1) (f), (h), (k), (e) are, a priori, inadmissible.

Case 2. a = 0.

In this case the eigen-values are given by p = 0, -1, -1, 0, that is, there are two double eigen-values. Hence this case is inadmissible.

Case 3. 2a + 1 = 0.

In this case C%4-characteristics (7.1) (f), (h), (k), (e) are, a priori, inadmissible. For C/i4-characteristic (7.1) (g),

=1_1_3_1

P ~2 ’2 '2*2’

that is p =|- is double for A4, it is at least single for all A3 and

does not annihilate all A2. Consequently, C/^2-characteristic of not

a priori inadmissible, is [(11) 11] and Lemma (1.1) applies. But the condition (1.15) (a) of the Lemma does not hold since

2pi = — 1 = p3 + P4-

COMPLEX ^-CHARACTERISTICS OF THE TYPE VI

There are two basic complex and four derived complex characteristics of the type VI, namely

[21111] (a),

[(21) Ilf] (b),[(211)11](c), [2(11)11] (d),(8.1)

12Ш1!(a),(&2)

|2(ll)(il)| (b).

Theorem (8.1). Ch^-characteristics (8.1) (a) — (d) are inadmissible.

Proof. The eigen-values of rR are given by (Hlavaty and Mishra (1971), Theorem (12.1))

p = co — p2)— co — p2 — 1, co — p2 — 1, — co — p2.

We shall consider the following cases:

Case 1. co (4co2 — 1) + 0.

In this case, the eigen-values are all different.

Case 2. co = 0.

In this case the eigen-values of rR are given by p = — p2,— p2 — 1, p2 — 1,— p2.

Thus, there are two double eigen-values.

Case 3. 2 co = 1.

In this case (8.1) (c), (d) are, a priori, excluded. For the Chx- characteristics (8.1) (a), (b) the eigen-values of rR are given by

3 1 1

P — 2^2’2P'2’2P'2’2P'2*

Since none of the simple eigen-values leads to a time-like eigenvector. Hence the condition (1.15) (b) of Lemma (1.1) does not hold.

Case 4. 2co = —1.

In this case also (8.1) (c), (d) are, a priori, excluded. For the Cfe4-characteristics (8.1) (a), (b) the eigen-values of 'R are given by _ _ 11 _3 1

P 2P'2»2P'2’2P'2’2P^2*

3

Since the least eigen-value — p,2does not lead to a time-like eigen-vector, the condition (1.15) (b) of Lemma (1.1) does not hold, though it is not, a priori, inadmissible.

In all the cases given above ^/^-characteristic for *R is inadmissible.

Theorem (8.2). Ch^-characteristics (8.1) (e), (f) are inadmissible. Proof. The eigen-values of ' R are given by (Hlavaty and Mishra (1971), Theorem (12.2))

p = — co — p2, — co — p2 — 1, — co — p2 — 1, — co — p2; that is, there are two double eigen-values. Consequently the corresponding Cfe2-characteristic for 'R is inadmissible.

REAL ^-CHARACTERISTICS OF THE TYPE VII

There are one basic real and six derived real Cfe4-characteristics of the type VII.

[3111] (a),

1(31)11] (6),[(311)1] (c),[(3111)| (d),(9.1)

[3(11)1] (e),[3(111)] (f),1(31) (H)] (g).

Theorem (9.1). Ch^-characteristics (9.1) (a) — (g) are inadmissible.

Proof. The eigen-values of ' R are given by (Hlavaty and Mishra (1971), Theorem (13.1)).

P = a + j4®2 + 4"’ a— |/‘ю2 + 4"’P = a + j4®2 + 4"’ a— |/‘ю2 + 4"’(9.2)(9.2)

P = a + j4®2 + 4"’ a— |/‘ю2 + 4"’

P = a + j4®2 + 4"’ a— |/‘ю2 + 4"’

(9.2)

(9.2)

We will consider the following cases:

Case 1. co2 < -y.

In this case, there are two real and two complex conjugate eigenvalues. Therefore the corresponding Cfe2-characteristic for 'R is inadmissible.

Case 2. co2 = -y.

In this case, Cfe2-characteristics (9.1) (b), (c), (d), (g) are inadmissible. For the characteristics (9.1) (a), (e), (f) the eigen-values of ' R are given by

p = o+l, o — l, — o, — o,

that is, p = —cr is double for A4, it is not at least single for all A3 and innihilates all A2. Consequently the corresponding Cfe2-charac- teristic is [112], which is inadmissible.

Case 3. <o2>4~. 2a ± ]/co2 + 4- ± ]/ ®2 - 4" * °-

In this case, C^-characteristics (9.1) (b), (c), (d), (g) for which W = 0, are, a priori, excluded. For the characteristics (9.1) (a), (e), (f) all the eigen-values (9.2) are different. Consequently the corresponding Cfe2-characteristic for 'R is inadmissible.

Case 4. co2 > -^-, 2o = Д/*co2 + -^- + j/"co2i- .

In this case, Cfe4-characteristics (9.1) (b), (c), (d), (g) are, a priori, inadmissible. For the characteristics (9.1) (a), (e), (f)

that is, p = 0)2 + 4 r 0)2 Г/ is ^ou^e ^ог ^4» it is not at least single for all A3 and annihilates all A2. Hence the corresponding Cfe2-characteristic for 'R, which is [112], is inadmissible.

Case5.co2 > -^- ,2o = "|/"co2 + -^Д/*co2^-,

Case6.co2 > -^-,2o = Д/*co2 + -^- +Д/"co2 ^-,

Case7.co2 > -^-,2o = — Д/"co2 + -^Д/"co2 + ^-.

Proofs of all thesecases follow the pattern of the proofof Case 4

and are inadmissible.

COMPLEX CHARACTERISTIC OF THE TYPE VII

There are one basic complex Ch4-characteristic of the type VII, namely

[3111] (a)(10.1)

and one derived complex Cfe4-characteristic of the same type,

[(31)11] (b).(10.1)

Theorem (10.1). Ch^-characteristics (10.1) are inadmissible.

Proof. The eigen-values of 'R are given by (Hlavaty and Mishra

<1971), Theorem (14.1))

p=—± j/to2+4"- —4-.<10-2)

We will consider the following cases:

Case 1. co2 < -~.

In this case, there are two real and different and two complexconjugate eigen-values. Consequently the corresponding C/i2-charac- teristic for ' R is inadmissible.

Case 2. co2 = -^-.

In this case Cfe4-characteristic (10.1) (b) for which W = 0 is, a priori, inadmissible. For Cfe4-characteristic (10.1) (a) the eigenvalues of 'R are given by

P = — H2 — i, — P2 + t - p2, — P2>

that is, p = —p2 is double for A4 it is not at least single for all A3 and annihilates all A2. Consequently the corresponding Cfe2-characte- ristic is [112] which is inadmissible.

Case 3.

In this case again, ^/^-characteristic (10.1) (b) for which W = 0 is, a priori, inadmissible. For C/i4-characteristic (10.1) (a) the eigenvalues of 'R given by (10.2) are all real and different. Consequently the corresponding Cfe2-characteristic for 'R is [1111], which is inadmissible.

(^-CHARACTERISTICS OF THE TYPE VIII

We shall consider the following one real basic, three derived real and one complex basic characteristic of the type VIII, namely

[411] (a),

[(41)1] (b), c) [(411)] (c),[4(H)] (d),(11.1)

[41 f] (e).

Theorem (11.1). Ch^-characteristics (11.1) are inadmissible.

Proof. The eigen-values of rR are given by (Hlavaty and Mishra (1971), Theorem (15.1))

p = o —1, о, — о + л» — о + л2»(H.2)

where л is an imaginary cube root of unity. Hence the corresponding C%2-characteristic [1111] for 'R is inadmissible.

(^-CHARACTERISTICS OF THE TYPE IX

We shall consider the following one basic real and one derived real characteristics of the type IX, namely

151,1 (a)(12.1)

[(51)]. (b)

Theorem (12.1). Ch^-characteristics (12.1) are inadmissible.

Proof. The eigen-values of' R are given by (Hlavaty and Mishra (1971), Theorem (16.1))

P4 + (1 - 2o2) p2 - 2ap + o4 + a2 - 4- = 0.(12.2)

We put

/ = a4 + a2Г + 4- ^ * 2°2)2 = 4 (8ct4 + 4q2 - 1)1

(a)

J “ _L (1 _ 2,=)- A.) - 4- - (i - 2„V -

= 4^-(-32a»-24a4 + 3a2-5).(b)(12.3)

Then

defл

^ = F — 27 J2 =(— 16a6 — Ila4 + 2a2 — 1).(12.4)

We will consider the following cases:

Case 1. A = 016a6 + Ila4 - 2a2 + 1 = 0.

In this case Descartes rule of signs indicates that a real root a2 is negative and there exist two complex conjugate roots. But since a2 is real, this case is inadmissible.

Case 2. A > 016a6 + Ha4 - 2a2 + 1 < 0.

Since one root a2 of A = 0 is real and negative and the other two roots a2 are complex conjugate, A can be written in the form

А = -(а2 + «2)Ка2-Р)2 + П

Hence this case cannot happen.

Case 5. A < 016a6 + Ila4 - 2a2 + 1 > 0.

In this case there are two real and two imaginary roots of (12.2). Hence this case is inadmissible.

^-CHARACTERISTICS OF THE TYPE X

There is only one ^/^-characteristic of the type X, namely

[6].

Theorem (13.1). Ch^characteristic (13.1) is inadmissible.

Proof. The eigen-values of 'R are given by (Hlavaty and Mishra (1971), Theorem (17.1))

(13.2)(13.2)(p + 1) (p3 + P2 + 2p + 1) = 0,

(13.2)

(13.2)

that is, there are two real and two complex conjugate eigen-values. Hence the corresponding Cfe2-characteristic for rR is inadmissible.

REAL ^-CHARACTERISTICS OF THE TYPE XI

There are the following one basic real and nine derived real Ch4- characteristics of the type XI, namelyThere are the following one basic real and nine derived real Ch4- characteristics of the type XI, namely[111111] (a), [(11)1111] (b), [(11111)1] (e),[(11) (1111)] (h),[111111] (a), [(11)1111] (b), [(11111)1] (e),[(11) (1111)] (h),[(111)111] (c),[(11) (11) 11] (f),[(111) (111)] 0),[(111)111] (c),[(11) (11) 11] (f),[(111) (111)] 0),[(1111)11] (d),[(11) (111)1](g),(14.1)[(11) (11) (11)] (j).[(1111)11] (d),[(11) (111)1](g),(14.1)[(11) (11) (11)] (j).

There are the following one basic real and nine derived real Ch4- characteristics of the type XI, namely

There are the following one basic real and nine derived real Ch4- characteristics of the type XI, namely

[111111] (a), [(11)1111] (b), [(11111)1] (e),

[(11) (1111)] (h),

[111111] (a), [(11)1111] (b), [(11111)1] (e),

[(11) (1111)] (h),

[(111)111] (c),

[(11) (11) 11] (f),

[(111) (111)] 0),

[(111)111] (c),

[(11) (11) 11] (f),

[(111) (111)] 0),

[(1111)11] (d),

[(11) (111)1](g),

(14.1)

[(11) (11) (11)] (j).

[(1111)11] (d),

[(11) (111)1](g),

(14.1)

[(11) (11) (11)] (j).

As we get admissible characteristics, we shall deal with this section in greater detail.In order to deal with all these characteristics simultaneously, we will putAs we get admissible characteristics, we shall deal with this section in greater detail.In order to deal with all these characteristics simultaneously, we will putdefdefdefdef2a = p — a, 2(o = X — y,2a = p — a, 2(o = X — y,def20 = v — pdef20 = v — pdet2a = 0det2a = 0def2co = X — adef2co = X — adef2co = 0def2co = 0def20 = — 2 (p, + 2a)def20 = — 6adef29 = — (a + j + p)def20 = — 2 (a + X)def20 = — 2 (p, + 2a)def20 = — 6adef29 = — (a + j + p)def20 = — 2 (a + X)(14.1) (a),(b),(c),(d),(e),(f),(g),(14.1) (a),(b),(c),(d),(e),(f),(g),

As we get admissible characteristics, we shall deal with this section in greater detail.

In order to deal with all these characteristics simultaneously, we will put

As we get admissible characteristics, we shall deal with this section in greater detail.

In order to deal with all these characteristics simultaneously, we will put

def

def

def

def

2a = p — a, 2(o = X — y,

2a = p — a, 2(o = X — y,

def

20 = v — p

def

20 = v — p

det

2a = 0

det

2a = 0

def

2co = X — a

def

2co = X — a

def

2co = 0

def

2co = 0

def

20 = — 2 (p, + 2a)

def

20 = — 6a

def

29 = — (a + j + p)

def

20 = — 2 (a + X)

def

20 = — 2 (p, + 2a)

def

20 = — 6a

def

29 = — (a + j + p)

def

20 = — 2 (a + X)

(14.1) (a),

(b),

(c),

(d),

(e),

(f),

(g),

(14.1) (a),

(b),

(c),

(d),

(e),

(f),

(g),

def2(0 = — 2adef2(0 = — 2a(h), (j),

def

2(0 = — 2a

def

2(0 = — 2a

(14.2) in one(14.2) in one(144) (i).

(14.2) in one

(14.2) in one

We consense the matrices P, Q, S belonging to (14.1) formula (cf. Hlavaty and Mishra (1964), Section 18).

P = S = Diag (- o, — (o, - 0), Q = (***).(14.3)

Theorem (14.1). Assume

(14.4)(14.4)((o2 — a2) (a2 — 02) (02 — (o2) =# 0.

(14.4)

(14.4)

Ch4-characteristics (14.1) are inadmissible.

Proof. From (14.2), we see that (14.1) d), e), f), g), h), i), j) are, a priori, excluded. For ^^-characteristics (14.1) a), b), c) the eigenvalues of *R are given by (Hlavaty and Mishra (1971), Theorem (18.1))

p = 0 4- CO — o, 0 4. о — (0, (0 4-0 — 0, — (0 — О — 0,

(14.5)

which in consequence of (14.4) are all different. Hence the corresponding Cfe2-characteristic [1111] of 'R is inadmissible.

Theorem (14.2). Assume

co = a^±0.(14.6)

Ch^-characteristics (14.1) b)—f) are inadmissible. Necessary and sufficient conditions that (14.1) a) is admissible are

0>(o>O (a);(14.7)

(14.7) (6) the least eigen-value — 2(o — 6 leads to time-like eigen-

4 vector v;

([0 — (o) v + e (0 + (0) v\ 0) = 0 (c).(1^-7)

34

When these conditions are satisfied

p = 4p = 40(a);

A (X) = У 63 - 0)2 (p (X) - 81p (X)) (b);(14.8)

A (X) = -1- У"(p (X) + 81p (X)) (c); 12

A and A are obtained from these equations and (1.7) and (1.9) upto a factor eio;

134

u^ = —±=-Y^-^v^ + ^^ + ^vW (d) (14.8) Z у

Proof. From (14.5) and (14.6), the eigen-values of are given by p = 0, 0, 2(0 — 0, — 2co — 0.

For the ^^-characteristics (14.1) (b) — (j), (о = о = 0; that is there are two double eigen-values of 'R. Hence the corresponding Cfe2-characteristic of 'R is inadmissible!

For the (^-characteristic (14.1), p = 0 is double for A4, it is at least single for all A3 and does not annihilate all A2. Therefore the corresponding ^^-characteristic for rR is [(11) 11] and Lemma (1.1) applies. Since the only single eigen-value which leads to a time-like eigen-vector is —2(o — 0, we have p4 = —2(o — 0. Consequently Pi = p2 = 9» Рз — 2(o — 0. The inequalities (1.15) a), c) lead to (14.7) a). Putting these values of pb p2, p3, p4 in (1.16) and (1.17), we obtain (14.7) c) and (14.8) respectively.

Theorem (14.8). Assume

(0 = — o.

Ch^-characteristics (14.1) are inadmissible.

Proof. We shall consider the following cases:

Case 1. (о = — о =/= ± 0.

In this case the eigen-values of *R are

p = 0 + 2(0, 0 — 2(0, — 0, — 0.

None of the single eigen-values leads to a time-like eigen-vector. Case 2. (0 = — a = 0.

In this case the eigen-values of *R are given by p — 3(0, — co, — co, — co.

Case 3. co = —cy = —0.

In this case, the eigen-values of ' R are given by, p = co, — 3co, co, co.

In Cases 2, 3 there is a triple eigen-value. Hence these cases are inadmissible.

Theorem (14.4). Assume

co = 0 7^ ± o.(14.9)

Ch^-characteristics (14.1) (a) — (j) are inadmissible. Necessary and sufficient conditions that (14.1) (a), b), (c) are admissible are

cy>0>O (a),(14.10)

(b) the least eigen-values — 20 —о leads to a time-like eigen- 4

vector v;

([(a — 0) v + e (су + 0) v\ • cy) = 0.(14.11)

34

When these conditions are satisfied

p = ^p = 4a (a);

4/ Z2 A2 34

A (X) = у(у (X) - 6Yv (X)) (b);(4.12)

3/" A ^4

A (X) = -g- у a2_Q2 (у (X) + t^y (X)) (c);

2.

A, A are obtained from these equations and (1.9) upto a factor eia;

134

“(X) = 2/50 Ka — e)y(X) + e1(a + e)v(X)] (d). (4.12) Proof. From (14.5) and (14.9), the eigen-values of 'R are given by p = 20 — о, о, o, — 20 — o.

For the characteristics (14.1) (b) — (j), co = 0 = 0 therefore the eigen-values of rR are given by p = 0, 0, 0, 0,

that is, there is a quadruple eigen-value. Hence ^^-characteristics (14.1) (b) — (j) are inadmissible.

For the characteristics (14.1) (a) p = о is double for A4, it is at least single for all A3 and does not annihilate all A2. Therefore the corresponding ^^-characteristic for 'R is [(11) 11] and Lemma (1.1) applies. Since the single eigen-value which leads to time-like eigenvector is — 20 — a, we have p4 = — 20 — a. Consequently, p4 = = p2 = o, p3 = 20 — o. The inequalities (1.15) (a), (c) lead to (14.10) (a). Putting these values of p1? p2, p3, p4 in (1.16) and (1.17), we obtain (14.11) and (14.12) respectively.

Theorem (14.5). Assume

co = — 0.(14.13)

Ch^-charact eri sties (14 JL) are inadmissible.

Proof. From (14.5) and (14.13), the eigen-values of ' R are given by p = — o, 20 + a, о — 20, — a.(14.14)

Since none of the single eigen-values leads to a time-like eigen-vector this case is inadmissible.

Theorem (14.6). Assume

a = 0 = ± co.(14.15)

Ch^-characteristics (14.1) are inadmissible.

Proof. In consequence of (14.5) and (14.15), there is a triple eigenvalues. Hence this case is inadmissible.

Theorem (14.7). Assume

o = -0.(14.16)

Ch^-characteristics (14.1) are inadmissible.

Proof. In consequence of (14.5) and (14.16), the eigen-values of *R are given by

p = 20 + co, — co, co — 20, — co.(14.17)

Here none of the single eigen-values leads to a time-like eigen-vector. Hence this case is inadmissible.

Theorem (14.8). Assume

(o = a = 0.(14.18)

Ch4-characteristics (14.1) are inadmissible.

Proof. In consequence of (14.5) and (14.18), the eigen-value of ?R are given by

p = co, co, co, — 3co;(14.19)

that is, there is a triple eigen-value. Hence this case is inadmissible.

COMPLEX ^-CHARACTERISTICS OF THE TYPE XI

Out of the twelve complex (^-characteristics of the type XI, we will first consider the following five:

[1111111 (a);

[(11) 11 if] (b), [(111) Hf] (c),[(1111)11] (d), (15.1)

[(И) (И) И] (e\

Theorem (15.1). Ch4-characteristics (15.1) are inadmissible.

Proof. The eigen-values of ’ R are given by (Hlavaty and Mishra (1971), Theorem (19.1))

p = p2 + co — o, — p2 + о — co, — p2 + co + o,

— p2 —co —o.(15.2)

The following cases will be considered:

Case 1. coo (g)2 — o2) #= 0.

The eigen-values of *R are all different. Therefore, this case is inadmissible.

Case 2. co = 0.

In this case the eigen-values of *R are given by

p = — p,2 — о, — p2 + a, — p2 + or, — H2 — or;

that is, there are two double eigen-values. Hence this case is inadmissible.

Case 3. о = 0.

In this case the eigen-values of rR are given by

p = — p2 + co, — p2 — co, — p2 + co, — p2 — co.

Again, there are two double eigen-values. Hence this case is also inadmissible.

Case 4. co = су.

In this case, the eigen-values of *R are given by

P = — 4 — 14 — b + 2(0» — P2 — 2(°;

that is, there are two different and one repeated eigen-values. Hence the corresponding characteristic not, a priori, inadmissible is [(11) 11] and Lemma (1.1) applies. But, since

2pi = — 2p2 = p3 + p4,

the condition (1.15) a) of the Lemma does not hold.

Case 5. co = — o.

In this case, the eigen-values of *R are given by

p = — p2 + 2co, — p2 — 2co, — p2, — p2.

But none of the single eigen-values leads to a time-like eigen-vector. Hence this case is inadmissible.

We will now consider the following four complex C^-characte- ristics of the type XI:

[11 fl 14](a),(15.3)

[(11)1111] (b),[1(11) (11)] (c),[(11)(11)(H)] (d).

Theorem (15.2). Chfcharacteristics (15.3) are inadmissible.

Proof. The eigen-values of rR are given by (Hlavaty and Mishra (1971), Theorem (19.2))

P = — P2 — ?2 - ^— P2 — ?2 + ^— P2 — ?2 + ^

— P2 - ?2 -

that is, there are two double eigen-values when |ы2 #= y2 and a quadruple eigen-value when |ы2 = y2. Hence this case is inadmissible.

We will now consider the following complex ^^-characteristics of the type XI:

[11 11 11] (a),(15.4)

[(11) (11) 111 (b), c) [(111) (Hl)] (c).

Theorem (15.3). Ch^-characteristics (15.4) are inadmissible.

Proof. In this case there is a quadruple eigen-value

P = — ^2 — ?2 " «2»

for (15.4) (a)

p = — P2 — 2tt2i

for (15.4) (b)

P = — 3a2,

for (15.4) (c). Hence the (^-characteristics (15.4) are inadmissible.

RECAPITULATION

We shall now recapitulate the results obtained in this paper. We find that in the null electromagnetic case, out of the eleven basic real, twelve basic complex, forty six derived real and seventeen derived complex, that is eighty six (^-characteristics of rR only one basic real (^-characteristics is admissible. In the following this admissible characteristic is given. Nasc stands for necessary and sufficient conditions.

1-characteristic: (14.1) (a) [111111].

When

X — у = 0 — a 7^ ± (v — p).

Nasc. 1) v — p > X — у > 0;

the eigen-value — X + у2" (v — p) leads to time-like eigen-vector z; of rR;

(I(V — H) — X + y) V + e (v — p, + X — V) Z2] (v — p,)) = 0. 34

Physical data:

p = 4p = 2 (v — p);

J № =_ 4

3/5 34

Л, A are obtained from these equations and the equations (1.7) and (1.9) describing the frame, upto a factor eio ;

+ ex (v — ц + X — у) г? (X)}.

When

X — v = v — p. ^ ± (P — a),

Nasc. 1) p — a > v — p > 0;

the eigen-value — v + p^- (P — a) leads to time-like eigen-vector v of fR;

(KP — a — v + p) v + в (P — a + v — p) у] (P — a)) = 0.

34

Physical data:

p = 4p = 2 (P — a),

(P-a)2-(v-p)2.4..

A№ = У —2(v-n) ^U ~ 8iy

A (X) = j/" 2{(p_ a)2—^v —p.)2} (у № + eiy W)’

2

A, A are obtained from these equations and (1.7) and (1.9) describing the frame upto a factor ^a;

u W - тр^=й^Г{ф - a - v + и) ^(X) + + El (P — a + V — p.) у (X)}.

REFERENCES

Mishra R. S. Einstein’s connections.—Tensor, N. S. 1959, 9 (1), pp. 8—43.

M i s h r a R. S. Einstein — Maxwell field equations. Third class, Rend. Circplo Mate, di Palermo, Serie II, 11, 1962, pp. 157—177.

M i shra R. S. Geometry of electromagnetic null field, Rend Circolo Mate, di Palermo, Serie II 12, 1963, pp. 155—171.

HlavatyV. and Mishra R. S. Classification of space—time curvature tensor III, Projective classification. Rend. Circolo Mate, di Palermo. Serie II, 13, 1964, pp. 1—47.

H 1 a v a t у V. and Mishra R. S. Classification of space — time curvature tensor. Final classification.— Journ. Math. Meeh, (under publication), 1971.

GRAVITY, INERTIA AND THE PHYSICS OF SOLIDS*

G. PAP IN I

Department of Physics, University, Saskatchewan, Regina Campus, Regina, Saskatchewan, Canada

INTRODUCTION

It is rather forceful to argue that, because of the smallness of the gravitational coupling constant, the physics of bulk matter is bound to play a role in the development of H^ field of gravity as gravitational effects can become significant in the laboratory only at the macroscopic level of matter. Although the ultimate answer to the problem of gravity may have to be found in the realm of elementary particles, the gravitational interaction is expected to become comparable in strength with the electromagnetic interaction only at energies of about 1030 eV. These energies are still far beyond our reach. In practice, the argument just presented rules out the possibility of observing the gravitational interaction at the quantum level for a long time to come. It would also seem to favour, in the eyes pf the interested researches, classical physics as a more natural and profitable environment for the study of gravity. This conclusion would indeed be too restrictive, as quantum effects can occur at the macroscopic level and do play a fundamental role in the physics of solids. It is, therefore, the broader field of modern solid state physics that may be expected to play a role in connection with gravity.

To our knowledge, gravitational effects in solids have been first studied, in recent times, in connection with experiments designed to test whether antiparticles fall up or down in the gravitational field of the earth [1]. More dramatically, however, the whole question of the relevance of solid state physics to gravity has been raised by the recent work of Dr. Weber aimed at detecting gravitational waves. Here, in fact, no meaningful interpretation of the experimental results would be possible without some form of understanding of the

Work supported in part by the National Research Council of Canada

solid state physics of the antenna either at the classical or quantum levels, or both. For instance, the importance of a correct estimate of the attenuation phenomena in the antenna can not be overemphasized as a lower sensitivity of the apparatus would lead to a corresponding higher estimate for the level of gravitational radiation in the Universe. This, as well as the possible occurrence of cooperative phenomena in the antenna or the existence of more efficient processes of conversion of gravitational energy inside solids, are examples of how necessary and profitable a study of solid state physics may be to the effect of measuring gravitational effects and testing gravitational theories.

Because the radiation problem, in its entirety, is so central to the phenomenon of gravity, it seems particularly appropriate to examine some of its developments in this volume, specially in view of Prof. Petrov’s fundamental contribution to the subject.

More generally, we wish to discuss in this paper some of the ways in which the modern physics of solids may play a role in the further understanding of gravity.

In what follows, the gravitational field is described by means of the linearized version of the general theory of relativity. The potentials hOi and h00 are, therefore, related to the components ggv of the fundamental tensor by

£gV = 'Hg'V + ^gV»

where t^v = (—1,1,1, 1) is the Minkowski metric, and -qgV small quantities [2]. Under the coordinate transformations

+(1)

where ^ are small quantities of first order, h^ transforms accor- ping to

^gv —> ^gv£g,v £v,g-(2)1

In terms of h^ and in linearized form, the Riemann tensor is given by

-SgvOT = “2" (^ga,vx 4™ ^VT,go ^va,gT ^gT,va)«

It is obviously invariant under (2).

SUPERCONDUCTORS IN WEAK STATIONARY GRAVITATIONAL FIELDS

Superconductors exhibit quantum phenomena on a macroscopic scale. They are in a sense ideal to illustrate what is outlined in the introduction.

The starting point for the study of superconductors in weak stationary gravitational fields within the frame of the BCS model [3]

is provided by the Hamiltonian [4]

н = 2 {~4r (p>- -r A ^ — mcho m)2+F m| +

(3) where

V (r,) = — eA0 — -g- mc^oo

and Vj contains the interaction responsible for electron pairing. 40 and A are the electromagnetic potentials. In writing (3) we have taken into account the fact that the superelectrons move at velocities low with respect to that of light and neglected the lattice relaxation [5]. Since for stationary fields h00 and h^ obey, under coordinate transformations of the type (1), gauge transformations formally identical to those of the electromagnetic field, the physics of the superconductor is affected by the gravitational field only through the substitutions

— A— A + mch0 = X,

Ccu

eA0 ^eA0 + -^- m^h^ = Xo.

The behavior of the superconductor can then be immediately read from (3). The following properties are appropriate extensions of those of the electromagnetic case. They can be obtained by applying the electromagnetic results to the potentials X and Xo.

A magnetic field H exists within the superconductor and is given by

curl X = ~ H + me curl h0 = 0.

The gravitational potential h00 induces an electric field inside the superconductor given by

grad Xo = eE + — me2 grad h00 = 0.

The flux of the field curl X through a multiply connected region of the superconductor is quantized in units of h/2.

These properties may be used in a variety of ways to detect gravitational effects. This follows from the fact that particle wave functions are affected by the gravitational potentials in the stationary field case, in the same way they are affected by the electromagnetic potentials [6].

Let us consider, for instance, a coherent beam of particles which is split into tow beams by a suitable device. Each beam then travels on the opposite sides of a body generating a field K^. The two beams are finally brought together at a certain point. The resulting interference pattern depends on the phase difference As of the two wave functions describing the separate beams. In the problem considered the solution of the Schroedinger eq. corresponding to the Hamiltonian

(3) can be written in the form ip = eisip0>

where гр0 is the wave function of the system when h0 = 0. The phase difference can be immediately calculated and is given by

As = ^- # h0 • dl.(4)

Г

If the particles now are superelectrons circulating in a loop of wire Г, the corresponding current is

Г

where L is the self-inductance of the circuit. It has been shown elsewhere [7] that measurable values of I can be obtained for a reasonable size of the apparatus, when h0 represents the Lense — Thirring field of the earth.

If the superelectrons move in an interferometer consisting of two Josephson junctions in parallel, then the total supercurrent flow through the pair of junctions is given by

Asi.

The use of this expression for IT is particularly interesting if we take the view of Mach that inertia depends on a mutual action of matter. Then rotation of the interferometer with respect to matter also generates a phase difference in the wave function of the superelectrons. If we assume h0 to be given by the Lense — Thirring field for a rotating sphere

thentheni 4 GM K, h0= R <*> ХГ

then

then

Nma^Nma^. 8л GM R3

Nma^

Nma^

As = —E5 • —77— •

5 c^t r3

where M and R are mass and radius of the sphere, co its angular velocity, N the order of multiplicity of the connected region, and a the dimension of the interferometer.

Measurable values of As can be obtained if h0 is supposed to be generated by the earth or our galaxy [8].

It is very comforting to note that when 7T is generated by the field

i (О X r h°c

which corresponds to rotation of the interferometer with the respect to the fixed stars (in the Machian sense), theory and experiment are in agreement. Analogously, rotation of a bulk specimen with respect to the distant stars yields a magnetic field inside the superconductor given by [10]

2znc H = о.

e

This value of H corresponds to the so — called London moment of rotating superconductors recently measured [11], which provides from the point of view of Mach, a verification of property 1).

SUPERCONDUCTORS IN WEAK QUASI-STATIONARY FIELDS

The extension of the previous treatment to time dependent fields presents a number of problems. First, the effect of the gravitational field on the lattice must be taken into account in addition to the direct coupling of the electrons to the gravitational field, then the effect of the lattice on the electrons. The theory must also be gauge invariant and covariant with respect to the transformations (2). These problems can be more easily solved if in addition to restricting ourselves to small velocities, we also consider quasi-stationary fields only. Since the characteristic frequency of a superconductor is the gap frequency coo ^ Ю11 Hz, fields with frequencies co <^ сой may be considered as quasi-stationary. There are certainly dynamical gravitational fields generated either in the laboratory, or according to present theoretical views, in space, which fall in this frequency range. A model can then be constructed to describe the behavior of the superconductor in quasi-stationary gravitational fields.

The effect of the field on the lattice can be described by means of a strain wave. The electrons in the superconductor are treated as a gas of charged particles directly coupled to the gravitational field, and the lattice as a background of positive charges capable of carrying the strain wave induced by the gravitational field. The strain wave generates in turn an electromagnetic field which drives the electrons and must be calculated self-consistently by means of the Maxwell eqs. If we neglect terms of order pih^ and higher, the coupling of the system of superelectrons to the gravitational field can be represented by

Я = 2 (1^г ^«^i ) + ^(6)

The strain wave induced by the gravitational field can be calculated by means of Weber’s antenna eq. [12]

11

Sih,oo = RiOhO + -y (p~1<r2M,b + -y (p“lc“2^j,j)»i,(7)

where s^k is the strain tensor, t^ the internal stress tensor and p the mass density. The effects of the strain wave are included by adding to (6) a term еФ, where Ф is the electric potential to be calculated self-consistently. This, as well as the procedure to be followed in solving the problem, can be better seen by assuming that the strain wave is represented by a velocity field v = xe1 (^—wt) t0 be determined in practice from the solution of (7). It also follows from (7) that v

is proportional to htn and that co is the frequency of variation of the gravitational field. The electromagnetic field can then be calculated as follows. The total current intensity inside the superconductor is represented by

J = Je + Nev.(8)

where Je is the electronic contribution and Nev the ionic one [13]. N is the charge concentration. By means of the definition

J (q, co) = о (q, co) E (q, co)

Je can be written in the form

J, = aE + Jn,(9)

where Jn represents the contribution due to the direct-coupling electron gravitational field. In order to treat the case of longitudinal and transverse phonons separately, we introduce the components of the electromagnetic field parallel and perpendicular to q. Since Jn arises from a scalar potential, Jn contributes only to the longitudinal components. More precisely its value is given by

Jn (q, co) = — iGe (q, co) qO (q, co), where

ф (q, “) = ~2- ~г" ^o <4, ^

and oe stays for the usual longitudinal conductivity.

The combination of the equations

-|L + div J = 0,

curl E = 4л6

with (8) and (9) yields in momentum space

(10)

From the Maxwell equations

curl E = -—- ,

c at

for both fields. It also follows that the dielectric constants of superconductors and normal metals are affected by a gravitational field.

The effect of the gravitational field on the lattice is reprented by a term proportional to ц the velocity field connected with the strain induced in the metal. In particular, since H L = (gc/Zco) ELl we can have radiation of electromagnetic energy, in the present approximation, only if v has a normal component, i. e. if the strain wave is transverse.

Superconductors and normal metals may be considered as devices suitable to transform gravitational radiation into electromagnetic radiation.

Equations (10) and (11) suggest that in principle gravitational waves could be detected by measuring the amount of electromagnetic radiation emitted by a metal sample.

THE EFFICIENCY OF THE CONVERSION GRAVITON—PHOTON IN SUPERCONDUCTORS

A gravitational wave detector based on the effect just described would consist essentially of a metal rod in a normal or superconducting state together -with the radio apparatus necessary to receive and amplify the induced electromagnetic waves. The efficiency of such a detector is here expressed in terms of 5, the ratio of the power absorbed by the receiver to ton the radiated gravitational power per unit area averaged over a sphere. We shall consider superconductors only.

In order to calculate the power delivered to the radio receiver, we follow essentially the method outlined in section 3. We assume in fact that temperatures are close to 0° К and that at low temperatures and frequencies London’s theory [15] describes the behavior of superconductors adequately. We, therefore, solve Maxwell equations in conjunction with the following constitutive eq.

J = - — A + Nev + Jn, me

where

jn = -^-gradA00.(12)

In deriving (12) we have made use of the eq.

E

l mc^ j 7

= - — grad/iOo

of section 2 and of London’s eq.

dj _ Ne^ „ dt m *

We have also assumed time dependences to be of the type e ы The magnetic field can be found by solving the eq.

□5— H =curl V,тс4c□5— H =curl V,тс4c(13)(13)

□5— H =curl V,

тс4c

□5— H =curl V,

тс4c

(13)

(13)

v is obtained from eq. (7), which, when the superconductor is capable of transverse vibrations in the s13-mode and is placed along the z — axis, becomes

^«13,00 + T]C2S13.O + -^- $13.3333 = с2^юзо = fe' (14)

with

«23G(02 ,

Eq. (14) corresponds to eq. (7) suitably modified to treat elastic rods [16].

In (14) E is Young’s modulus, I the rod moment of inertia with respect to the x and z/ — axes, 5 the rod cross section and t] a damping constant. For simplicity, we limit our calculations to one^ transverse component of strain only. From (14) we obtain

(15)(15)vx = — tcoAx = — 2i coe-iQt | — i -^- eikz +

(15)

(15)

+ -5- (— iRietqz + iRg— ^ + R^z — R4e-qz) where Дж is the displacement,

9 = ^ + гкг

and to a good approximation

\TEj * кг~^Ё^'

The R’s are known constants expressible in terms of kv ke and e. From (13) and (15) we obtain

Я

Mitome

У —”s13-

AlsoEx^AlsoEx^E,E,(О2ТП д2nNec2 .^2^00,3,(О2ТП д2nNec2 .^2^00,3,

Also

Ex^

Also

Ex^

E,

E,

(О2ТП д

2nNec2 .

^2^00,3,

(О2ТП д

2nNec2 .

^2^00,3,

so that the Poynting vector has the non-vanishing components Рг and Px. Since the power delivered to the radio receiver is

W = P^-4- r 4л

where у is the gain factor of the electromagnetic antenna, we have (16)

As an example we derive an expression for 5 in the case of a clamped- free rod vibrating in the transverse mode.

If the rod is fixed at z = 0 and free at z = I the resonance fre

quencies are given by the eq. [16]

(17)(17)cos kJ cos h^Z ~ — 1.

(17)

(17)

The lowest value for co given by (17) is

CO =CO =3,52 / EI V/tZ2 ps у3,52 / EI V/tZ2 ps у(18)(18)

CO =

CO =

3,52 / EI V/t

Z2 ps у

3,52 / EI V/t

Z2 ps у

(18)

(18)

and corresponds to kJ ^ 1,876. Given co and the metal properties, (18) determines I or s, but not both.

Рг can be easily calculated once the values of the R’s are known.

At kJ c^ 1.876 these are

(-M35 +10,183),

R3~ , -^^ , 0,049,

R^-r 7^k, 0,318.

At resonance we obtain from (16) and (19)

2 = TX10-2-^-.(20)

A similar calculation for Px yields a value of S which is a factor r)Z smaller.

We now wish to compare our S with that given by Weber [17] for a mass quadrupole detector

15л<гЛГсо/29 gc3 ’

where M is the mass of the detector and Q its quality factor. We regard (21) largely as a measure of the graviton-phonon conversion efficiency.

Expression (20) can be cast into the same form of (21) by defining the effective mass

M' = 3xlO-3T^^-.

We have here assumed that the Q’s appearing in (21) and Mr are identical. The ratios of (20) to (21) is thus given by

т = 2? x 10‘ v •<22>

Expression (22) indicates under what conditions the 2 for a detector based on the effect described in section 3 can exceed the value of 2Ш. It appears that this is possible for an appropriate choice of the metal, and of the geometric parameters.

CONCLUDING REMARKS

In the preceding sections, we have tried to show by means of examples how the modern theory of solids can help the physicist to devise experiments and ways to gain information about gravity. We have studied, in particular, the behavior of superconductors in stationary and quasi-stationary gravitational fields. We have also discussed the efficiency of the conversion graviton-photon as compared to that graviton-phonon, and its potential as a tool for detecting gravitational waves. The investigation of the applications of solid state physics to gravity is only at its beginnings and more results may be expected. An interesting aspect of the problem which has not been considered at all here and which has been barely treated in the literature is represented by the possibility of using gravitational fields, either stationary or dynamical, to study superconductors and solids in general. This possibility arises for superconductors from the fact that gravitational fields are not shielded to any appreciable extent and could, therefore, be used, in principle, to probe the interior of a specimen. If this were to prove possible, then one would have a very interesting situation indeed with solid state physics contributing to the physics of gravity and vice versa. Another proof, yet, of the unity of physics.

REFERENCES

S c h i f f L. I. and Barnhill M. V.— Phys. Rev., 1966, 151, 1067. Witteborn F. C. and Fairbank W. M.— Phys. Rev. Lett., 1967, 19, 1049.

The following notations will be used: Greek and Latin indices range over 0, 1, 2, 3 and 1, 2, 3 respectively. Indices preceded by commas indicate ordinary differentiation. Summation over repeated indices is understood m and e indicate mass and charge of the electron. G is the Newtonian gravitational constant.

Bardeen J., Cooper L. N. and Schrieffer J. R.— Phys. Rev., 1957, 108, 1175.

W i t t D. S. de — Phys. Rev. Lett., 1966, 16, 1092.

The relaxation of the lattice can be taken into account. Its main effect is a marked change in the intensity and sigh of the induced electric field. See Leung M — С, Pa pini G. and Rystephanick R. G. (to be published).

Pa p in iG.—N. Cim., 1967, 52B, 136.

Pa p in iG.—Phys. Lett., 1966, 23, 418.

Pa p in iG.—Phys. Lett., 1967, 24A, 32.

Zimmerman J. E. and Mercereau J. E.— Phys. Rev. Lett., 1965, 14, 887.

P a p i n i G.— N. Cim., 1966, 45, 66.

Hildebran t A. F. and Saff г en M. M.— Proc. Conf. Low Temp. Phys., 9th, Pt. A, 1965, p. 459.

King C. A. (Jr.), Hendricks J. B. and Rohrschach H. E. (Jr.) — Proc. Conf. Low Temp. Phys., 9th, Pt. A, 1965, p. 466.

Bol M. and Fairbank W. M.— Proc. Conf. Low Temp. Phys., 9th, Pt. A, 1965, p. 471.

D e W i 11 B. S. in Gravitation: An Introduction to Current Research, edited by W i t t e n L. New York, 1962.

К i t t e 1 1 C. Quantum Theory of Solids, Chapt. 17, New York, 1966.

See for instance: Rickayzen G. Theory of superconductivity, New York, 1965.

London F.— Superfluids, Vol. 1, New York, 1961.

L a n d a u L. and Lifshitz E. Theory of Elasticity, Oxford, 1959.

Weber J. in Relativity: groups and topology, edited by D e W i t t B. S. and DeWitt C. New York, 1964.

SPINOR CLASSIFICATION OF ENERGY TENSORS

ROGER PENROSE

Department of Mathematics, Birkbeck College, London

GENERAL THEORY OF SPINOR CLASSIFICATION

In view of Professor Petrov’s pioneering work on the algebraic classification of vacuum Riemann tensors [3] (or Weyl tensors) and of the additional insights which a spinor approach to this problem subsequently yielded, [1], [2], [4] it would seem appropriate to present, here, an extension of the spinor treatment having sufficient generality that it applies also to the classification of Ricci tensors.

The most straight-forward way to give an algebraic classification (with respect to the Lorentz group) of a symmetric two-index covariant tensor Lab would appear to be to treat it as a matrix and use the methods of matrix algebra. This approach has been used by various authors, the earliest known to me being that of to be completed later [6], [8]. The matrix approach does have certain disadvantages, however, when it comes to considering the question of the specialization of algebraic types into one another. The situation is similar to one which arose already in the standard Petrov classification of the Weyl tensor [3]. For example, while type Id is obviously a limiting case of non-degenerate type 7, (7 -> Id\ it is less obvious, in the matrix formulation, that the specialization can be achieved via a non-null type 77 as an intermediate stage: I -> II -> 7d. In terms of the spinor classification [1 ], both specialization schemes are equally obvious, being expressed, respectively, as [1111] ->[22] and [1111J-> [112]-> [22]. When applied to a tensor such as Lab, however, the spinor treatment yields a classification which is not nearly so transparent as it was in the case of the Weyl tensor. But it does not appear that this is really a drawback of the spinor technique

as applied to symmetric two-index tensors. It is rather that the spinor formalism reveals an essential complication which is already present for such tensors, but which is rather surprisingly absent in the case of the more complicated-looking four index Weyl tensor.

The spinor classification technique which I shall present has the advantage that it may be applied to any tensor or spinor quantity with any number of indices. However it involves some ideas taken from algebraic geometry which may be a little unfamiliar. These extra complications arise when one considers the classification of a symmetric spinor possessing both primed and unprimed indices, rather than (as was the case with the Weyl spinor) a symmetric spinor having one type of index only.

A motivation for considering the question of specializations is that often a algebraic condition on a tensor would imply, not that it belongs to a certain class a, but it belongs either to a or to the class of limiting cases of a i. e. to the class a, where a denotes the closure of the set a in an appropriately defined sense. For example, the condition that Lab should possess a real null eigen-vector is one which would cut across most classification schemes as they stand. If the notion of specialization is incorporated, however, then such conditions are easily expressed.

The particular choice of classification (into disjoint classes a, P,...) that I shall make, will be governed primarily by the following requirements.

Each class a shall form a connected manifold.

The closure a of a class a shall intersect each other class P either in p itself, or else in the empty set.

Each class a shall be invariant under local Lorentz transformations.

The requirement of connectedness in condition (a) is important for the idea of a specialization scheme to make complete sense. For otherwise, members of different components of a class might specialize in different ways and could not specialize into each other. The fact that a should iorm a manifold is, perhaps, less essential, but we would like to think that the «singular points» of a class and appendages of lower dimensionality should be considered as belonging to separate subclasses. Similarly, condition (b) seems desirable, since if /p y= a Q p^0 then a Q p should be considered as a separate subclass: «those P’s which are limiting cases of a’s». Condition (c) is of course essential for physical meaningfulness.

Consider the classification of some tensor or spinor quantity. Without loss of generality we may write all indices in a covariant spinor forms. Tensor indices are translated to spinor form [1, 4] by means of a quantity o^, which is a Hermitian (2 X 2) matrix for

Tensor indices range over the values 1, 2, 3, 4, and spinor indices over

each value of a, satisfying

gabOAP'^BQ' = Eab^P'QS(1-1)

where ^ab^ ^p'Q are skew-symmetric Levi-Civita symbols (components 0,1; —1,0) and which are used for lowering spinor indices according to the rule

^'.7 a = £B77*‘ £.ba, ^p'A = 4/.? ’ Eq'P'-

We shall consider the classification of a spinor гр..,, which is separately symmetric in all its unprimed and primed indices 3:

^ AB...LP'Q'...T — ^(AB...L)(P...T^^'^

(irreducible under the Lorentz group). For an unsymmetrical гр the classification problem reduces to that of the simultaneous classification of several spinors of the form (1.2), since any spinor is linearly expressible in terms of its symmetrical part, symmetrical parts of its contractions and £ spinors, e. g.

1 X'

ObABCP'Q' = ^ABC^P'Q'^ + -^"^(ABOX'^P'Q' +

+ -^-^AYkP'Q'^BC + ~y ^AYX'^BC^P'Q' +

.2 У,1 YX' r n

+ -y ayB(p#Q')C^c + -y aynx'tACtP'Q*

. 2 у r ,1 YX' r r

+ -y ayC(P'Q') V3AB + — OtYCX' xLABx^P'Q'•

For simplicity, however, the simultaneous classification of several symmetric spinors will not be considered here.

We shall be interested, in the first instance, in a classification of spinors (1.2) which is invariant under multiplication by a non-zero scalar:

гр.... -> Хгр....; X=0=O,(1-3)

then the classification of гр.... can be accomplished by examining the zeros of the form

^a...lp'...t'^.^L,4P(1-4)

for all complex £л, лР- The coefficients of the various powers of I, g2, т]г, л2' are the quantities (1.2). Each of £л, лР' can be used as the projective coordinates on a complex projective line. The expression (1.4) is then a quantity whose vanishing is a function of a point of each line, i. e. of the topological product ® of the two lines. The expression ^АлР = (^лг, £ХЛ2> ^Л1 > £2Л2) can be used as projective coordinates for the projective manifold ®, which represents this topological product. The coordinates xAP which are of the form

xAF =(1.5)

form the locus 93:

|хлр| = 0(1.6)

in the projective three-space whose projective coordinates are (x11, x12, x21, x22). Thus, 83 is the quadric surface

(1.7)

Any complex projective quadric surface is generated by two systems of straight lines. They are respectively given by (1.5) when Лр is constant and ^A varies or when ^A is constant and r]R varies. Clearly any two generators belonging to opposite systems will intersect in a unique point whereas no two distinct generators belonging to the same system can intersect.

Note that the vector equivalent of £лт]Р :

n“=GaAP^V(1.8)

is the general complex null vector, since (1.7) is simply

xAP xAp' = xqxq = 0(1.9)

where ж° = Oap'Xap'. Thus, any non-zero complex null vector can be represented up to proportionality as a point of the quadric 93- The real null vectors (corresponding to (1.8) when t]p' = ± |p) give a certain cross-section of 93: its reality section fR. The reality section will be a real quadric which is effectively an ordinary 2-sphere. This is the sphere of real null directions at a point — the «celestial sphere» — essentially a space-like cross — section of the null cone. (Corresponding future and past null directions are considered as the same direction.) Thus 93 is the «complexified celestial sphere».

Now the locus

^...LP'.-T'^?V' ... < =0(110)

is some complex curve p on 93. Thus our classification problem reduces to the problem of classifying curves on a projective quadric surface. The methods of algebraic geometry can then be used to achieve the classification. In the first instance, the curve can be broadly classified according to its orders (p, q) where p and q are the (correctly counted) number of respective intersections that p has with a general generator one or the other system on 93. In fact, it is clear from (1.10) that p and q are the respective numbers of unprimed and primed indices of грFor, if t]p' is constant, (1.4) become a homogeneous polynomial of degree p in (^, £2) which therefore has p roots (correctly counted) and similarly if ^A is kept constant and t]p' varies, we get q roots. Note that the (1,0) curves and (0,1) curves are the generators of the two systems on 93. (The total projective order of p is always the sum p + q.)

Secondly, the question of reducibility of the curve p, arises, i. e. is it the sum of two or more algebraic curves and, if so, what are their 206

orders? Reducibility of p corresponds to reducibility of the form (1.4). Clearly the curve p can only degenerate into two curves of orders (r, s), (£, u) if r + t = p and s + и = q. Note, in particular, that every (p, 0) and (0, g) curve is reducible to a set of generators of 93. In the case (4,0) the complete reducibility of (1.4) to linear factors is the basis of spinor classification of the Weyl tensor.

Thirdly, the classification can be refined by examining the multiple points of the curve (nodes, cusps, etc.) if any. Fourthly, questions of reality are also of great importance here. That is, we shall be interested in knowing what is the nature (in general topological) of the intersection of p with 91, i. e., of the set of real points of p.

CLASSIFICATION OF THE ENERGY TENSOR

The spinor equivalent of Lab is

LaBC'D' = OAC'OBD'Lab.(2.1)

The trace-free part Маь of Lab,

Mab == Lab - Lcgabt(2-2)

has a symmetrical spinor equivalent:

MabC'D* = L(abhc,d,)= Labc'd*|- L^^ab^C'd* =

= OAC'^BD'Mab(2.3)

and can therefore be classified according to the method of section 1. Now, since MAbc'D' has two primed and two unprimed indices, the curve p whose equation is

M^Mabc.b^^'^ = 0(2.4)

will be a (2,2) curve on 83 (an elliptic quartic). When t]c' = gc , we get the real points of the complex curve p, namely p Q 91. The curve p will have a real equation since Маь is real (Mabc'D* is Hermitian). This equation is

Маьхахъ = 0.(2.5)

where xQ is null (xAB' = £лт]в ) and so satisfies

gabX0^ = 0.(2.6)

By virtue of (2.6) we could replace (2.5) by the «more general» equation

LabXaxb = 0.(2.7)

In fact p is the general intersection of two projective quadrics (2.6) and (2.7) Equation (2.6) is simply the equation of 93 — or with real

coordinates, of the sphere 91. For general Lab, the curve p is the general quartic curve with real equation on the sphere 91. The real part of p, can consist of two separate pieces, of one piece, or of no piece at all. In more special cases p can acquire a double point or degenerate into several curves of lower orders.

To obtain the equation of p in an explicit form, put x1 = u, -x2 = v, a? = 1 — у (и2 + p2), ж4 — 1 + -^ (и2 + v2). Then (2.6) is automatically satisfied and p can be considered as having a Cartesian equation in the (u, p)-plane given by (2.5) or (2.7). In fact, и -and v are conformal coordinates for the sphere 91 which can be represented aS (1 + -^ (ZZ2 + У2)^ |zz, Z2, 1 (zz2 + r2)j.

Let us first consider the ways in which p can degenerate. Being a {2,2) curve on 93, we could envisage, in the first instance, a splitting up into (1,1) + (1,1), into (2,0) + (0,2), or into (2,1) + (1,0). The last possibility cannot arise here without a further splitting, however, since p has a real equation. For the complex conjugate of a (2,1) curve is a (1,2) curve, so p would also have to split up as (1,2) + (0,1). This would imply that the (2,1) part splits into (1,1) and (1,0) at least. If p splits into (2,0) + (0,2), then the (2,0) part must be the complex conjugate of the (0,2) part. But here again, further splitting occurs, since every (2,0) curve splits (1,0) + (1,0) and similarly for (0,2). If p splits (1,1) + (1,1) then two possibilities arise. Either each (1,1) curve has itself a real equation, or else each is the complex conjugate of the other. The further splitting of (1,1) into (0,1) + (1,0) is also possible. In every case the final result must be that all the irreducible parts either have real equations (and are (p, p,)) or they pair off into conjugate imaginary pairs ((p, q) + (q, p)).

Thus, there are four possible types of component to consider, namely,

<2 — irreducible (2,2) quadric with real equation,

C — irreducible (1,1) conic (circle) with real equation, В — pair of complex conjugate irreducible conics (1,1) + (1,1), X — pair of complex conjugate straight lines (1,0) + (0,1). The specialization possibilities are

Q-^CC

Q^B

B-^XX(2.8)

B-^C2

C-^X.

The distinction between CC and C2 is that the symbol C2 denotes a repeated conic while CC denotes a pair of distinct conics. Thus, if p is C2 we should have M = ^ас^^У^ L e- Mar = F(aFb? for some Hermitian FAc', whereas if p is CC, M ^ (Fлс ^т^') x

X (С'вп'^Ч0) i- е- МсАв = F(aGb) with Gbd' Hermitian and distinct from Fbd*. Note that case В is given when M = Фас^Ч0^ X (/WV) i. e. MCab = P(aPb)\ where PAc is not Hermitian. Clearly C2 is a limiting case of B. In case X, we have a form (Ja£>A) йсЧ0)- To get XX as a limiting case of B, put Pac =JaKc. Then M^ (JaKc^) Vb-Kd^^d^ l e. mAbcd- = = J^aKb^^cKDy (For general case B. PAC’ should be restricted not to split in this way.) It may be remarked, also, that when p is CX we get Mabcd' = J\aFb^cJd^ clearly a limiting case of CC. Of course, specialization

CC-^C2

XX-^X2 are also permitted as are any which could be compounded of specialization (2.8), (2.9), e. g.

Q -> CX. В -+ X2

(but clearly not В ->- CX\

This classification scheme is as yet much too crude to satisfy the conditions laid down in section 1. Consider the case C2. for example. The conic C can either have real points or not (according to whether it is a circle of real or imaginary radius). In order to pass continuously from the real case to the imaginary case, we must pass through the case X2 (X is a «circle» of zero radius). Thus the manifold of type C2 is not connected. A similar situation holds for type CX and CC.

In order to remedy the situation, it will be necessary first to make a sub-classification according to the number of distinct real pieces which are present for each component. Thus, type Q can be separated into three subtypes Q^. Qv Qo and C separates into two subtypes Cv CQ. The suffix in each case denotes the number of one- dimentional real parts possessed by the curve. (The nodal quartic (which resembles the symbol «оо» will be considered as a Qx curve, etc.) It will also be necessary to subdivide the types still further according to the real multiple point structure of p. (Fortunately the complex multiple -point structure need not be examined as it turns out to be determined by the reducibility and the real multiple point structure.) When this is done, the classification scheme obtained will satisfy all the conditions (a), (b), (c) of section 1. There are nine possible real multiple point structures to consider, namely n — real node with two real branches (double point);

i — isolated real node but with conjugate imaginary branches (double point);

nn — two real nodes with real branches;

it — two isolated real nodes;

с — cusp (double point with one branch and coincident tangents); т —- tacnode (double point with two branches — real or imaginary — and coincident tangents);

t — triple point (with one real and two conjugate imaginary tangents);

t°° — real curve of «tacnodes» i. e. a repeated real curve;

q — quadruple point (with two repeated conjugate imaginary tangents).

The specialization scheme for the real multiple point structure is given in fig. 1, where the vacant space at the top denotes the absence of real multiple points.

The various possible types are now as follows.

Dimension

8 Q^ Qu Qi

7 — Qxi, Qxn, Qi;

6 — Qxc, Bii, CxCxnn, CXCV В, CXC, CC;

5 _ Вт, СхСхт, CxXi, CXi;(2.10)

4 - C12X^t XXii;

3 _ c^, Ch

2 - X^q.

For conciseness and for later convenience, any suffix zero has been omitted from the symbols Q and C. Thus, Q and C above stand

for what we had earlier denoted by Qo and Co, respectively. The dimension figure at the left of (2.10) denotes the number of degrees of freedom of the curve p for each specified type. MQb has one more degree of freedom in each case (since it is determined by p up to proportionality) and Lab has just two more degrees of freedom. There is also the case of 0, not listed in (2.10), for which Mab = 0 (Lab oc gab). In this case there is no curve p (or we could say p = ®).

A few words of explanation for the list

are perhaps called for. Any quartic curve on ® which possesses more than one double point, ora tacnode, or triple or quadruple point must necessarily be reducible. Hence, we have Bii rather than Qii, etc. Furthermore, when p is reducible, there must be such a multiple point structure present, since the multiple points will be just the intersection points of the various components. However, these multiple points will not necessarily appear in the list (2.10) since in many cases they will occur in conjugate imaginary pairs (e. g. in the case CC there are two conjugate imaginary double points present). A tacnode occurs when two conics touch; a triple point occurs when a pair of conjugate imaginary lines intersect on a conic; an example of an isolated node is the isolated intersection point of a pair of conjugate imaginary

lines («point circle»); A quadruple point occurs at the intersection point of two pairs of coincident lines (repeated «point circle»).

The condition for xAB' = £лт]в' to be a multiple point of p is

Mabc'D'^^ =^вЛр',(2.И)

for some X (otherwise the left-hand side of (2.11) would determine the tangent to p at x^Y For a real multiple point t]c' = fc\ whence the Hermiticity of МАВС'О' allows us to write (2.11) as

MAbc-d^A№ = 0.(2.12)

Note that (2.11) is the condition that the null vector xQ be an eigenvector of MQb — or equivalently, an eigen-vector of LQb. Thus the real null eigen-vectors of Lab correspond precisely to the real multiple points of p.

The condition for a cusp (or tacnode or more special) is that (2.11) should hold (t]c' = |c) and in addition,

2X = | v|,(2.13)

where

Mabc'd'^A^ — ^c'^d*.(2.14)

The existence of relation (2.14) follows from (2.12). The condition for an isolated node is that (2.13) be replaced by 2X > | v| and for a node with real branches by 2X < | v |. For a triple point (or quadruple point), we have both of

Mabcd^ = 0,(2.15)

Mabcd^’ = 0(2.16)

holding. For a quadruple point,

Mabcd-^ = 0.(2.17)

Equation (2.15) by itself implies that p splits into a pair of conjugateimaginary lines intersectingat xAB'=^AfBandanother

curve(i. e. MABc'D' = ^аГвнс'ЪпУ Equation(2.16)byitself

implies that xAB' = ^^ is a real node at which the two branches intersect orthogonally (regarding 91 as a sphere) — or more special. It would have been possible to subdivide our types still further if we had considered such a node as being a distinct type of double point — this corresponds to the case when Маь is annihilated by a null vector. However, an infinite variety of further subdivision is always possible, since in general, p possesses two real projective invariants (on 83) one of which survives if p acquires one or two

nodes. These invariants could be specified as taking any value as desired. The invariants are essentially the ratios of the eigenvalues of MQb.

We now come to the complete picture of specialization for the

list (2.10). This is given in fig. 2. The diagram is somewhat complica

ted and it is fortunate that the whole specialization scheme can,

in fact, be summarized in a few comparatively simple rules.

A specialization is allowed only if it is permitted by the general scheme (2.8) and (2.9) for the components and by fig. 1 for its real multiple point structure, and it reduces the dimensionality.

If a component possesses no one-dimensional real part, then the corresponding specialized components can possess no one-dimensional real part which is not double. (Effectively this means that no numerical suffix can appear in the specialization of a component if none is present already— with the exception that C1T00 is a limiting case of Ут.)

The total number of one-dimensional real

parts (i, e. the sum of the suffix numbers) cannot change in a specialization unless the multiple point structure becomes more special. Furthermore, it cannot change by more than unity (either way) in a specialization (except if the specialization is achieved in more than one step). For the purposes of this rule, C^t°° is considered as having a single real part.

The specializations allowed by fig. 2 (and those compounded of such specializations) are then just those not forbidden by rules (i), (ii), and (iii), together with the final specialization X2q -^ 0.

It is perhaps worth mentioning the modification of fig. 2 that is necessary if we are interested in an absolute classification of Маь and not just a classification of the equivalence classes of Маь up to proportionality as has been done up to now. Effictively this means

a classification of Маь which takes into account its sign. In most cases it is not possible to change Маь continuously into — Маъ without specializing its type at some stage. The sign of Маь can be interpreted in terms of two regions into which the sphere 91 is divided by the real points of the curve p,. One region will be called the positive region — corresponding to the real null vectors xa for which Маьхао^ > 0 and the other region, the negative region — corresponding to Маьхахъ < 0. The sign of the region is reversed whenever the curve p is crossed — except that the sign does not change where p is double. (Thus, in case CiT00, the sign is the same on both sides of |1.)

Now, for each type, we define a positive and a negative version as follows.

. In the cases Q, Qi, Bit, ... and also CiT00 where no real non- mvltiple part of p is present, the positive versions ^+, Qi+, Bii+9 ..., C^H- are those in which the whole sphere 91, except for the multiple points of p, is a positive region. Similarly, for the negative versions Q—, Qi—, ..., essentially the whole of 91 is a negative region.

. In cases Q^ CXCV Qxi, CxXi one of the two regions is doubly connected (perhaps only because a point is missing), but not the other (which in the first two cases is disconnected). Q^, ..., CYxit 4* have positive doubly connected regions, while Q^, ..., Cxxi — have negative doubly — connected regions.

. One of the two regions for cases Qxn and CxCxx is disconnected. This disconnected region is positive for Qxn — and ^^tH- and negative for ^1^+ and CxCxx—.

. Of the two regions for case ^C, one is «thorn-like» and possesses a «sharp point»; the other is «heart-like». The «heartlike» region is positive for QXC-V and negative for QXC—.

. In cases Qv CXC, CxCxnn, CxXt, 0 the positive versions cannot be distinguished from the negative versions.

The complete specialization diagram can now be constructed as follows. Take two copies of fig. 2, a positively labeled copy and a negatively labeled copy. Identify &+, CXC-V, CxCxnn+, Cxxt+, 0+ respectively with Qx—, CXC—, etc. in accordance with (5) above. Replace the incorrect specializations C^H- -> С^т+у CiCi> CxCxx— by the correct specializations CV71+ -> CxCxx—, CXCX►- С’1С’1т+- The entire specialization scheme is now complete.

3. SOME PHYSICAL IDENTIFICATIONS

Suppose Lab is to be an energy-momentum tensor. Then on physical grounds we require

Labtatb > 0

for all time-like ta. We may further impose a condition such as

£a>0(3.2)

on the trace of Lab. Clearly (3.1) implies

ЬаЬПаПЪ ^> 0(3.3)

for all null nas i. e.

Mabnanb > 0(3.4)

for all null na. This in turn implies

Mabt4b>0(3.5)

for all time-like £a, since (3.5) can be obtained by adding six versions of (3.4) and using Mabgab = 0, in which na is, in turn, ta ± xa, ta ± ya, ta ± za, where xa, ya, za, ta form a pseudo-orthonormal tetrad. Clearly (3.5) and (3.2) together imply (3.1). Thus, we can take (3.4) and (3.2) to be physically reasonable conditions to be satisfied.

Now (3.4) is easily interpreted in terms of our refined classification scheme. The types which satisfy (3.4) are

Bit-)-, CXi4~» Bt-J-, XXU4-, ^2~i~i

^t°°+, XVb 0+ (3.6) namely the positive versions of those types possessing no numerical index, together with CiT°°+ (i. e. every real point of p must be multiple). The types which satisfy (3.4) with strict equality (with na ^ 0) are

(2+,CC+, B+, CH (3.7) in which cases p has no real point at all. In all cases in (3.6) except for type 0 with La = 0, the strict equality also holds in (3.1) (where tQta > 0).

The cases of Lab for dust or for perfect fluid is of some interest. In these cases the type is C2+ since Lab = TaTb + agab whence McAb = T^aTbv ta being time-like. An electromagnetic field can be of type XXiH or X2q+ according as it is non-null or null since MabC'D’ = ФавФсп', where флВ = J(aKB) or флв = J aJb respectively. The multiple points correspond to the principle null directions of the field.

Another interesting question is the asymptotic structure implied for the energy-momentum tensor of radiation (either electromagnetic or neutrino) when it is assumed that the appropriate «peeling off» property holds for the field. In this case we get, making appropriate assumptions,

Lab = Mab = u-2M^ + v^M^ + u^M^ +

where each Mab is constant along a null ray with an affine parameter r. We have, from the «peeling off» property,

^с-п-^бТ'Г = 0,

M^BC-Ty^f = 0,

M^bc-D^ = 0, M^D^f = 0,

M^BC’D^ = 0,

where ^ corresponds to the null direction of the null ray. We see from (2.4), (2.12), (2.15), (2.16), (2.17) that these are the respective conditions on MabC'D' (ос = 1, 2, 3, 4) for appoint of multiplicity at least 5 — a corresponding to the direction of the null ray.

REFERENCES

Penrose R.— Annals of Physics, 1960, 10, 171.

Penrose R. Structure of Space — Time, in Battelle Rencontres, ed. Witt С. M. de and Wheeler J. A. W. A. Benjamin Inc., New York, 1968.,

P e t г о v A. Z.— Sci. Not. Kazan State University, 1954, 114, 55.

P i r a n i F. A. E. Introduction to Gravitational Radiation Theory in Lectures in General Relativity Theory, Brandeis Summer Institute, Prentice— Hall, Inc,. Englewood Cliffs., 1964.

Piebanski J.— Acta Physica Polonica, 1964, 26, 963.

Churchill R. V.— Trans. Amer. Math. Soc., 1932, 34, 784.

W a 1 к e г R. J. Algebraic Curves. Princeton University Press, Princeton N. J., 1950.

P e t г о v A. Z. The Type of the Field and the Type of the Energy Momentum Tensor. Perspectives in Geometry and Relativity, Ed. B. Hoffman; U. B. Bloomington, 1966.

ОБ ОБОБЩЕННОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ ЭЙНШТЕЙНА

Г. С. СААКЯН

Ереванский государственный университет

Если проанализировать и оценить то, что сделано в общей теории относительности за прошедшие полвека после гениального открытия Эйнштейна, то можно говорить только о трех крупных вкладах, существенно дополнивших ее. Первым из них мы считаем решение Шварцшильда (внешнее решение уравнений Эйнштейна для сферически симметричного распределения масс). Второе — космологическое решение Фридмана. И третье — работы А. 3. Петрова по классификации пространств Римана — Эйнштейна по алгебраической структуре тензора кривизны и установление в результате этой классификации наличия трех разных типов полей тяготения, являющимися решениями уравнений Эйнштейна, а также класси-, фикация этих пространств по допускаемым ими группам движений (или более общим группам).

В настоящее время мы, конечно, не имеем оснований утверждать, что общая теория относительности уже является какой-то завершенной теорией, какими, например, являются ньютонова механика или же нерелятивистская квантовая механика. Пока что нет полной ясности и единого мнения в вопросе энергии гравитационного поля и гравитационных волн, что обусловлено невозможностью однозначного выбора выражения псевдотензора энергии- импульса поля. Но дело не только в этом. Нужно иметь в виду, что в этом вопросе важное значение имеет также другое обстоятельство, а именно — мы можем судить о совершенстве и полноте теории только в том случае, когда нам хорошо известны границы ее применимости. Область же компетенции теории может установить только новая более общая теория, содержащая в себе старую как предельный случай. С другой стороны, поиски новой теории оправданы, если имеются экспериментальные факты, не укладывающиеся в рамки существующей теории. Общая теория относительности предсказала три основных эффекта (отклонение луча света, красное смещение, прецессия перигелия орбит планет), которые согла-

суются с современными данными астрономических наблюдений. Нам кажется, что было бы неверно недооценивать и четвертый вывод о наличии сингулярности в решении уравнений Эйнштейна для сферически симметрического распределения масс при г = rg = = 2кМ/с2 (г — расстояние от центра распределения масс; М (г) — «масса», заключенная в сфере радиуса г). Этот вывод теории имеет Далеко идущие космогонические последствия и почему-то считается естественным и не вызывает никакого беспокойства. Он несовместим с предположением о наличии сверхплотных дозвездных тел, содержащихся в космогонической концепции В. А. Амбарцумяна, развиваемой им за последние два десятилетия. Мы, конечно, не можем без всякого критического анализа отвергнуть эту концепцию, так как она является разумной интерпретацией многочисленных фактов. Более того, ряд важных ее выводов уже подтвержден наблюдениями и даже успел стать привычным.

В отмеченном здесь противоречии может быть и имеются неясные моменты. Но нас беспокоит не только это обстоятельство. Возвращаясь к вопросу о границах применимости общей теории относительности, мы не можем так просто согласиться с важным выводом о действительном наличии сингулярности Шварцшильда, не имея соответствующих данных наблюдений. Не исключена возможность, что современная теория гравитации не применима для тех областей пространства, где имеются чрезвычайно большие концентрации масс, а именно для областей г < г^, т. е. может быть сингулярность Шварцшильда на самом деле не реальная.

Нельзя считать обоснованным и описание поведения Вселенной в целом уравнениями Эйнштейна (имеется в виду космология). Законы современной физики установлены для той части Вселенной, которая доступна нашему наблюдению. Нам не известно, останутся ли в силе основные законы физики для всей Вселенной. Следует усомниться и в их беспредельной применимости для недр ядер галактик и квазаров. Ведь не надо забывать, что большие количественные изменения, к тому же сопровождаемые изменениями в самих физических условиях, вызывают неузнаваемые изменения в законах физики. Хорошими примерами могут служить те колоссальные изменения, которые наблюдаем при переходе от механики частицы к статической физике или же от классической физики к квантовой. История развития физики учит нас быть осторожными при распространении уже известных методов описания в область вновь открытых и пока недостаточно хорошо изученных явлений.

Все это дает некоторое оправдание думать не только о таком развитии современной теории гравитации, при котором не затрагиваются ее основные положения, но и предпринять поиски, выходящие за ее рамки, хотя для этого в настоящее время не имеется сколь-нибудь четко выраженной экспериментальной базы. Может быть соответствующая экспериментальная база, подтверждающая безупречность или указывающая на неполноту теории Эйнштейна, появится не скоро, поэтому необходимо разведывать все возможные

пути, чтобы в нужное время сделать соответствующий выбор между ними.

Здесь остановимся на одном из мысленно возможных путей развития теории гравитации, базирующейся на идее Дирака [1 ] о медленном изменении гравитационной постоянной со временем, по мере изменения состояния Вселенной. Исходя из этой идеи Иордан предложил теорию [2, 3], в которой гравитационная постоянная считается функцией пространственно-временных координат к = = к (ж, z/, z, /). Удобно функцию к (ж, г/, z, Z) называть гравитационным скаляром. Теперь поле характеризуется одиннадцатью функциями пространственно-временных координат, а именно, компонентами метрического тензора gth и скаляром к. Следуя Иордану, этот вариант теории будем называть обобщенной теорией гравитации Эйнштейна. Позже этот вариант теории исследовался также в работе Бранса и Дикке [5]. В основу было положено следующее выражение действия [2]:

S = --^'jsxr'^R-^r^ + ^ih^y~gd£l, (1) где R —,скалярная кривизна пространства: Л — плотность функции Лагранжа для вещества X = Snklc2, Xt = дХ/ЗХ*; т) и £ — безразмерные постоянные параметры. Пользуемся обозначениями, принятыми в работе [4]; для квадрата четырехмерного интервала предполагается ds2 = gtkdxidxh. Принятое выражение для действия 5, помимо хорошо известных стандартных свойств, удовлетворяет следующим требованиям: при X = const оно совпадает с соответствующим выражением в теории гравитации Эйнштейна и, кроме того, не содержит новых размерных постоянных. Можно написать и другие выражения действия, однако они либо не дают лишенных сингулярностей решений для gth (х1) и X (х1), либо содержат лишенные физического смысла решения, не охватывающие всего интервала расстояний: 0 < г< со, в случае сферической симметрии. Добавление же члена типа аХп не изменяет положения дел, так как при этом очевидному граничному условию X (со) = = Х08л&0/е2 можно удовлетворить только при а = 0 (к0 = 6,67 х X 10™8 сл€3 г-1 сек-^ — обычная гравитационная постоянная). Таким образом, по-видимому, выражение (1) является единственно возможным, обеспечивающим на больших расстояниях от распределения масс асимптотический переход решений gik (xl), X (х1) к соответствующему ньютоновскому пределу.

При наличии электромагнитного, поля в выражении действия (1) в скобках нужно добавить следующие два члена:

+ (2)

где jh — четырехмерный ток; Ак — четырехмерный потенциал электромагнитного поля; F^k = Ak;j — At;k — тензор электромагнитного поля.

Подвергая произвольным вариациям функции g^, X, Ак и траектории частиц, из требования экстремума действия общеизвестным способом получаем уравнения гравитационного поля, электромагнитного поля и, наконец, гидродинамики:

Rih^gi*4^-T)(T)-l))^-i1^y- —

I 2 X2 ^ X ] ^ — c2 ihl

+ чto

c2r)г)X2 т) X ’ v '

(Х^^.^^ + П^Л,(5)

где X* = gihXk, Тгн — тензор энергии-импульса

Tik = (P + P) Ж — Pgik,(6)

P — давление; p — плотность полной энергии. Здесь гравитационное поле определяется уравнениями (3) и (4), движение вещества — уравнениями (5). Очевидно, уравнение (5) можно непосредственно получить также из уравнений (3) и (4). При наличии электромагнитного поля к приведенной системе добавляется следующее уравнение:

(7)

В этом случае уравнение (5) формально остается неизменным, но в нем под Л и Т? должна подразумеваться сумма соответствующих величин вещества и электромагнитного поля. Из (7) следует уравнение непрерывности

^.-A(1^ZW/‘) = O. (8) V —g дхя

Отметим, что для предельного перехода к уравнениям Эйнштейна необходимо в (3) — (8) положить одновременно с X = const также и ISI °°-

Итак, обобщенный вариант теории гравитации содержит два безразмерных постоянных параметра т) и £. Чтобы продвинуться дальше, необходимо как-то задать численные значения этих параметров. В первых работах Иордана предполагалось т) = 1. Позже в работах [31 и [5] до получения уравнений поля без особой мотивировки в выражении действия (1) принималось т) = —1. Приведенные выше уравнения обобщенной теории гравитации для произвольного т] были получены в работе [6].

Из уравнений (5) и (8) следует, что при ц у= —1 не выполняются законы сохранения энергии и электрического заряда в таком виде, в каком они известны до сих пор. При этом, очевидно, не будут сохраняться также число барионов и лептонов. По этой причине

работы Иордана, где принималось т] = 1, подвергались сильной критике. В работах же [3, 5], где уже был сделан правильный выбор, вопрос законов сохранения почему-то не рассматривался. Из уравнений (5) и (8) видно, что при т] = — 1 формулировка законов сохранения остается неизменной. Интересно отметить, что только в таком случае выражение (1) приобретает размерность действия. Таким образом, из соображений размерности и требования соблюдения прежнего вида законов сохранения однозначно следует, что т] = —-1. В результате в теории остается один неопределенный параметр £, о выборе значения которого речь будет идти ниже.

Подставляя в уравнения (3) — (5) значение т] = — 1, находим

1~k —4

Rik ~9" ^^ik + ^ — 2) “72172— * ~Y2h

XuAA#XuЛ

H ^“ j gik = “^2“ ^T^(9)

x,x' x[.

P + 3^45- + 2^ = C,(10)

P?;ft=0.(11)

Конкретные результаты, позволяющие проверить теорию, можно получить из рассмотрения внутренних решений поля, т. е. путем построения моделей небесных тел. Такая задача решалась в работе [7] для частного случая сферически симметрического распределения масс. Итак, рассмотрим статическое сферически симметрическое гравитационное поле. Квадрат четырехмерного интервала запишем в виде

ds2 = c2evdt2 — e^dr2 — г2 (d92 + sin2 0d(p2),(12)

где v и X — неизвестные функции г. Учитывая (12), после ряда преобразований, из выражений (9) — (И) находим

Р' - -18«кР^ +- 4" О’ +

X' = 16л^ I_ 1) х

|3—2Т2 — гк /к] г х ’

1 _ гкЧк „ _ г W^Qx

Х 2 — тк'/к2 — гк'/к ’

^ = 8л&»{(р-Р) - ^^[СР + (1 -9р])-

ех + 1 к’

г * к *

Здесь мы перешли от скаляра X к к = е2Х/8л, а штрих означает производную по г. Впредь будем пользоваться системой единиц с = к0 = 1; ^^/(ЗЗл2^3) = 1/4л, где тп — масса нейтрона. Обычно такая система единиц используется в теории сверхплотных небесных тел.

Эти уравнения не полны. В случае реальных небесных тел их необходимо дополнить уравнением состояния Р = Р (р, Т), уравнением переноса энергии, а также задать мощности источников внутренней энергии и коэффициент непрозрачности. Это чрезмерно сложная задача. Однако ее можно значительно упростить, заметно не искажая при этом наиболее важные характеристики небесного тела, какими являются его масса и радиус, если рассмотреть модели конфигураций, состоящих из вырожденных газовых масс. В этом случае давление зависит только от плотности энергии и система становится полной, если к ней добавим уравнение состояния Р = = Р (р). Ниже увидим, что наряду с обычными решениями имеются и такие, для которых М ^ М®. Поскольку в этом случае вещество сильно вырождено, упомянутое упрощение вполне оправдано.

Остается вопрос граничных условий. Здесь имеем дело с типичной краевой задачей. Нам необходимо задавать значения функций в центре и на поверхности конфигурации. Вопрос условий в центре будет обсуждаться позже, а пока рассмотрим условия на поверхности. Их можно сформулировать, если известно внешнее решение. Внешнее решение давно было найдено Гекманом (соответствующую ссылку можно найти в работе [2]). Правда, это решение относится к случаю т] = — 1, однако, как показано в книге Иордана [2}, путем простого преобразования из него можно получить решение для любого значения ц. В случае т] = — 1 имеем следующее решение Гекмана:

Кт (т h —’

С-Х/" = 4г [<0’5 + А) ^ - (°>5 - ^)(14)

^v = TV(1+2|3o)

к = Дот—^о/(1+2^°\

где т — переменный параметр; к0, г0 и р0 — постоянные интегрирования и h определяется соотношением

L2 к. 1Ро U + Роъ)/Л

" 4 2(1 + 2РО)2 '( ’

При ро = 0 решение Гекмана переходит в решение Шварцшильда, в этом случае № = 0,25. Для отрицательных значений ро имеем № > 0,25, а для положительных к? < 0,25. В работе [7] исследовался случай р0 < 0, h > 0,5 (решение Гекмана инвариантно относительно замены h на —А). При рассмотрении нерелятивист-

ского варианта теории было установлено наличие сингулярности во внутреннем решении, когда ро > 0, релятивистский варйант для этого случая не исследовался. Ниже увидим, что г0 > 0. В этом случае переменная т изменяется в интервале 0 < т < 1, причем функция г (т) является монотонно растущей: г (0) = Ои г (1) = со. При г -^ оо метрика асимптотически становится евклидовой: г -> оо, X -> 0, v -> 0, к к0. Из требования, чтобы на достаточно больших расстояниях обобщенная теория гравитации совпала с обычной, следует, что к0 = 1.

Сравнение решений Гекмана и Шварцшильда на больших рас- стояних дает одно соотношение между постоянными г0 и 0О,

r0 = 4W(l+2p0), (16) где М — масса небесного тела. Далее, рассматривая весьма разреженную конфигурацию, для которой применима теория Ньютона, путем сравнения с (14), на достаточно больших расстояниях Иорданом было найдено, что

Ро = 2£ — 3 * ^^

Таким образом, в теории остается неопределенным только один параметр, а именно £, значение которого можно найти путем сравнения выводов новой теории с экспериментом. Такое сравнение пока невозможно. Однако принцип соответствия позволяет установить некоторое разумное ограничение на значения |£| снизу (напомним, что при |£| -> оо обобщенная теория переходит в обычную). Рассмотрим три известных эффекта общей теории относительности» При этом оказывается, что красное смещение не дает ничего нового, а два других эффекта накладывают определенное ограничение на абсолютное значение £. Так, если потребовать, чтобы величина углового смещения перигелия орбиты пробного тела, вращающегося вокруг другого массивного небесного тела, с точностью до 2% (это именно та точность, с которой измерена прецессия перигелия Меркурия) совпала с результатом общей теории относительности Эйнштейна, то получим условие |40о/3| <С 0,02. Отсюда вытекает, что |^| >32. Следуя Иордану, впредь полагаем

£ = -30,

что соответствует 40о/3 « — 0,02. Этот выбор, конечно, совершенно произволен, но с целью получения конкретных результатов задание численного значения £ обязательно, поскольку уравнения (13) удается интегрировать только численно. Позже обсудим зависимость результатов от значения £. Напомним, что при £ > О в нерелятивистском случае были выявлены расходимости [8 ], а в релятивистском случае соответствующие исследования не проводились.

Во внешнее решение входит масса небесного тела М, понятие которой нуждается в уточнении. Это так называемая активная масса, измеряемая наблюдателем по ее гравитационному воздействию

на достаточно больших расстояниях, где имеет место закон Ньютона. Определение этой массы можно получить исходя из теоремы Гаусса, справедливой для статического поля [4]

У Ro V^"g dV=§ V~g gOTo^/cc = - 4лМ.

Из уравнения (9) имеем

R°o = &Цт°6 + ^±.т) - ^ .

Подставляя это выражение Ro в формулу Гаусса, находим

(18)

Для сферически симметрического распределения масс получаем

M = ~-j’t«3-C)P-3(l-£)P)K-Clil,+

+^-)т»/^'л'-<19>

Совершая предельный переход |£| -> оо, получим известную формулу Толмана

M = -L^P-3P)V”gdv

(при этом нужно помнить, что в выражении (19) использована система единиц с = к0 = 1).

Теперь мы уже в состоянии сформулировать граничные условия на поверхности конфигурации:

Р № = о,

о4КВМ

X (Я) = 2 In (2fe) — 2 In [(Я + 0,5) т? + (A — 0,5) т^], к^ = т^\

к' (R) = -^ . ^W^W,

где R — радиус конфигурации; т0 = т (R);

h = (4^2 _ ю^ + 7)VV(2 - 4у; В = (2^ - 1)/(2£ - 3);

а для численных значений этих величин имеем £ = - 30, h = 0,51234, В = 0,96825.

Для космогонических применений существенно то обстоятельство, что внешнее решение (14) не имеет особенности, присущей шварцшильдовому решению. Это свойство позволяет построить модели статических сверхплотных конфигураций с массами порядка галактической и даже большей.

Из вариационного принципа (1) видно, что переход к теории с постоянной к совершается подстановкой |£| -^ оо. Проанализируем поведение внешнего решения при этом переходе. Из выражений (14) легко заметить, что величина exw при г = О равна нулю, далее с ростом г она монотонно растет, в окрестности г = г0 достигает максимума, затем при г > г0 асимптотически приближается к значению е^^ = 1. С увеличением | £ | максимум ех растет и при £ —> — оо уходит в бесконечность. Величина же г0 при этом приближается к гравитационному радиусу rg = 2М и в пределе совпадает с ним. При г > г0 асимптотическое поведение дается шварцшильдовским решением е-Х = 1 — rg]r. Внутри же гравитационного радиуса ех ->- 0. Функция е^^, являясь монотонно растущей для конечных £, при £ -> — оо обращается в 1 — rglr вне гравитационного радиуса и в нуль внутри него. Что касается гравитационного скаляра к, то когда £ = — оо, имеем к (г) = (г/г0)4/з при г С rg и к (г) = 1 при г ^ rg. Для конечного значения £ скаляр к представляет собой монотонно растущую гладкую функцию, в центре же к (0) = 0. Как мы видим, вне сингулярной сферы шварцшиль- дово решение (14) переходит в шварцшильдово, а внутри его, т. е. при г < rg, оно не соответствует представлениям общей теории относительности. Нетрудно, однако, убедиться в том, что для корректного перехода к теории тяготения Эйнштейна необходимо помимо | £ | -> оо положить к = к0.

Анализируя поведение уравнений (13) в окрестности центра и требуя, чтобы все функции при г -> 0 оставались конечными, приходим к следующим двум ограничениям:

2/(0)-4-^(0) +S(0)-1 =0,(21)

5(0)[1-/(0)-5(0)] = 0, где

Для этих уравнений получаются следующие четыре решения (численные данные приводятся для £ = — 30):

Е (0) = 0, / (0) =(22а>

Е (0) = 0, / (0) = -1±4^L =- 4-;(226)

£ (0) = 1, / (0) = 0;(23а)

Z?(0) = 1 - А = 4|-,/(0) =А= —А.(236)

В соответствии с обозначением функции / (г), гравитационный скаляр в непосредственной близости от центра ведет себя как

А (г)-г™.

Видим, что в случаях (226) и (236) функция к (г) в центре расходится: к (0) = оо. Эти альтернативы не были исследованы. Случай (23а) дает решения, совпадающие с точностью до величин порядка 1/| £ | с соответствующими решениями, полученными ранее по обычной теории гравитации [9—12 ]. Иначе говоря, в этом случае для массы М (Р^) и радиуса R (Ро) с незначительным отклонением получаются прежние результаты.

Случай Е (0) = 0, / (0) = 0,2 подробно исследовался в работе [7]. Выясним поведение решений системы (13) в окрестности г = 0, когда Е (0) = 0, / (0) = 0,2. Имеем

Р (0) = Pwk = Ar^, Е (г) = ?(г) = Вт1-6, (24) где А и В — постоянные интегрирования, а центральное давление Рй является конечным числом, оно задается нами. Равенства (24) представляют условия в центре. Теперь уже задача интегрирования системы дифференциальных уравнений (13) полностью сформулирована, граничные условия заданы как в центре, так и на поверхности небесного тела.

Уравнения (13) возможно интегрировать только численно. Здесь мы не имеем возможности остановиться на математических деталях, но в общих чертах оно сводилось к следующему. Интегрирование проводилось от центра: задавалось Ро и методом проб, значения свободных параметров А и В выбирались так, чтобы на поверхности удовлетворялись граничные условия (20) (на самом деле, при численном интегрировании мы переходили к другим более удобным уравнениям, где приходилось иметь дело лишь с одним постоянным параметром, входящим в асимптотическое выражение для Е^ и поэтому процедура интегрирования значительно облегчалась).

Расчеты моделей конфигураций проводились для вещества, состоящего в одном случае из несжимаемой жидкости, во втором — из вырожденного идеального газа барионов и в третьем — из вырожденного реального газа барионов.

В случае моделей из идеального газа барионов никаких новых результатов не было замечено. Точнее, зависимости массы М, радиуса R и других характеристик от центрального давления Ро> с небольшим отклонением (порядка 1/|£| ^ 3%) получились такими, какими ранее мы имели по обычной теории гравитации. Результаты расчетов для моделей из несжимаемой жидкости приведены в табл. 1. Качественное поведение функции к (г), Е (г) и ё^ следующее. В центре всех моделей к (0) = 0, ё>^ — Е (0) = 0 (см. (24)). С удалением от центра к (г) монотонно растет, на поверхности переходит во внешнее решение и далее асимптотически приближается к значению к0 = 1 на бесконечности. Существенное отличие к от единицы получается внутри «гравитационной сферы» конфигурации г = rg. Для конфигураций с w = M]R > 1 функции e^W и ё^ также являются монотонно растущими от нуля до их значения на поверхности. Рассмотрим зависимость М (д0), где

go — ?olp- Как видно из табл. 1, масса является монотонно растущей функцией от qOl причем при стремлении q0 к значению, равному приблизительно 2,070, он?, круто поднимаясь, стремится к бесконечности. Напомним, что по теории Эйнштейна подобная картина не получается, так как здесь массы конфигураций порядка массы Солнца.

В табл. 2 приведены наиболее важные параметры моделей небесных тел, состоящих из вырожденного реального газа барионов.

Таблица 1

Наиболее важные характеристики моделей несжимаемой жидкости

Зо — Ро/ Ро

м

R

м

к (Я)

X (Я)

0,026

5,01-10~3

0,106

0,047

0,999

0,096

0,048

1,12-10~2

0,129

0,081

0,997

0,172

0,092

2,42-10—2

0,179

0,135

0,995

0,303

0,178

4,71 • 10~2

0,224

0,210

0,992

0,518

0,254

6,32-Ю”2

0,248

0,255

0,989

0,672

0,365

8,18-ю-2

0,271

0,301

0,986

0,861

0,520

0,102

0,295

0,345

0,982

1,078

0,752

0,125

0,322

0,388

0,977

1,346

1,030

0,151

0,356

0,425

0,972

1,637

1,323

0,185

0,406

0,456

0,966

0,960

1,580

0,232

0,484

0,480

0,960

2,301

1,761

0,298

0,598

0,498

0,952

2,617

1,886

0,391

0,764

0,511

0,944

2,876

1,994

0,617

1,174

0,526

0,931

3,045

2,047

1,217

2,262

0,538

0,912

2,615

2,065

2,426

4,427

0,548

0,893

1,618

2,067

3,078

5,581

0,552

0,886

1,206

2,068

4,851

8,702

0,558

0,874

0,382

2,069

7,595

13,47

0,564

—0,862

—0,924

2,069

9,700

17,12

0,567

0,865

—1,179

2,070

13,86

24,26

0,572

0,846

—1,605

2,070

62,46

105

0,592

0,808

—4,495

2,070

281

459

0,613

0,771

—7,389

2,070

1260

1990

0,635

0,736

—10,29

2,070

5710

8700

0,657

0,703

—13,18

2,070

5,23 -10s

7,16-105

0,729

0,612

—21,86

Уравнение состояния было взято из работы [13]. На рисунке изображена зависимость массы конфигураций от центрального давления, кривые 1 и 2 соответственно относятся к обычной и обобщенной теориям гравитации. Числами у некоторых точек отмечены значения параметра q0 = ^о/Ро- По осям шкала такая: если сторону квадрата принять за две единицы длины, то значение п откладывается величиной 2- 1 п 1 от отметки —сю, если п < 0, и от отметки оо, если лг > 0. По обычной теории Эйнштейна могут существовать статические конфигурации с любым значением давления Ро (если, конечно, не принимать во внимание вопросы устойчивости), но ограниченным значением массы и радиуса (М М^ R 10 км).

ооТ а б л и ца 2

Некоторые важные характеристики конфигурации, состоящих из реального газа барионов по релятивистской обобщенной теории гравитации

Ро

9о

R

м

w=M/R

м0

ЛМ0-»8

v(H)

Х(Я)

h (R)

2,23-10—3

0,038.

0,930

0,050

0,054

—

—

—0,124

0,122

0,998

1,59-10-2

0,11

0,827

0,122

0,148

0,136

0,143

—0,346

0,331

0,995

0,239

0,37

0,651

0,185

0,284

0,254

0,236

—0,834

0,793

0,987

1,64

0,67

0,500

0,180

0,366

0,342

0,251

—1,27

1,194

0,980

2,34

0,72

0,489

0,188

0,385

—

—

—1,32

1,313

0,978

3,05

0,75

0,490

0,200

0,407

0,485

0,310

—1,58

1,475

0,975

4,55

0,81

0,552

0,232

0,445

—

—

—1,96

1,815

0,969

5,73

0,84

0,610

0,290

0,474

1,22

0,658

—2,47

2,211

0,961

6,93

0,86

0,972

0,491

0,510

3,73

1,89

—3,56

2,855

0,945

7,39

0,87

2,20

1,17

0,533

21,5

10,7

—5,27

2,881

0,920

7,48

0,87

3,91

2,12

0,543

—

—

—6,12

2,128

0,902

7,49

0,87

16,9

9,51

0,563

1,36 103

6,72-102

—9,35

—0,444

0,862

7,51

0,88

74,9

43,7

0,583

2,63-104

1,30 104

—12,3

—3,33

0,823

7,52

0,88

3,27-102

197,0

0,604

5,11 105

2,52-10б

—15,2

—6,22

0,785

7,52

0,88

1,42-103

890,0

0,626

9,95 10б

4,91 10б

—18,1

—9,12

0,747

7,52

0,88

6,18-103

4010,0

0,648

1,92-108

9,46-107’

—21,0

—12,01

0,716

7,52

0,88

2,68-10*

1,81-104

0,671

3,71-109

1,83-109

—23,9

—14,91

0,684

Ро — центральное давление, р0 — плотность энергии в центре, q0 = Ро/Ро» R — радиус, М —масса конфигураций. w=M/R, Мо—собственная масса (масса без учета гравитации), N — число барионов конфигурации, v (Я) и К (R) — значения функций v = In g00 и X = In g^ на поверх- м ноет и (g00 и gTT — компоненты метрического тензора), k (R) — величина гравитационного скаляра на поверхности. Масса, радиус и давление у измерены в единицах 9,29 Mq, 13,7 км и 6,47 • 1038 дин «см—2 — соответственно.

При этом, когда Ро -> оо, функция М (Ро) приближается к значению, также близкому к массе Солнца, к конечному пределу стремится также радиус.

Из табл. 2 и рисунка видно, что при д0 ^ 0,5 результаты нового варианта теории мало отличаются от обычной, существенные же отклонения появляются лишь при q0 ^ 0,5. С возрастанием параметра (следовательно, и давления Ро) масса и радиус растут, но

Зависимость массы от центрального давления для статических сферических конфигураций, состоящих из реального газа барионов.

давление в центре достигает насыщения, т. е. оно не может иметь значения, превышающего 7,52 (т. е. 4,86 • 1037 дин • см-2). Если говорить об обратной зависимости Ро (М), то центральное давление с ростом массы растет и при М -> сю асимптотически приближается к пределу Ро = 7,52. При этом параметр q0 стремится к пределу, приблизительно равному 0,88.

Как уже было отмечено выше, существует также вторая линейная серия решений М ^Pq), R (Ро), соответствующая граничным условиям Е (0) = 1, / (0) = 0 (см. 23а)), которая с точностью 1/| £ | идентична с решениями теории Эйнштейна. В частности, кривая М (Ро) этих решений совсем незаметно отличается от кривой 1 рисунка. Таким образом, кривая массы М (PQ) (разумеется, также радиуса R (Ро)) и других интегральных характеристик) состоит из двух ветвей: нормальной, которая изображается кривой 7, и аномальной — кривой 2 рисунка. Аналогичная картина наблюдается и в случае моделей конфигураций, состоящих из несжимаемой жидкости. Имеется тесное сходство и между внутренними решениями функций v (г), Л (г) и к (г).

Нами были рассчитаны также конфигурации, состоящие из вырожденного идеального газа нейтронов. В этом случае кривые 228

М (Ро) и R (PQ) с точностью до величины порядка 1/| £| совпадают с соответствующими кривыми, рассчитанными ранее по обычной теории гравитации. Здесь не появляются какие-либо заметные отклонения от обычной теории и аномальная ветвь зависимости М (Ро) отсутствует. Чем объяснить такое отличие? Дело, конечно, не в химическом составе барионного газа: учет гиперонов и барионных резонансов не изменит общей картины. Здесь важная роль принадлежит параметру q0. Мы видим, что в случае идеальной жидкости или реального газа барионов новые результаты получаются при значениях параметра q0 ^ 0,5, а предельное значение qOl при котором получаются очень большие массы, равно 2,07 и 0,88 соответственно для идеальной жидкости и реального газа барионов. Для идеального газа нейтронов q <С V3, поэтому область q0 > 0,5, в которой следует ожидать заметные отклонения и появления аномальной ветви, здесь никогда не достигается. Заметим, что отношение Т^/Ро = 9о одновременно является важным параметром, характеризующим релятивистские эффекты: при q0 <^ 1 можно пользоваться нерелятивистской теорией гравитации.

С увеличением параметра q0 растут компактность конфигураций и) = М/R, масса, радиус и центральное давление (см. табл. 1 и 2). При этом одновременно происходит уменьшение гравитационного скаляра к (г), что способствует установлению гидродинамического равновесия для больших масс и давлений Р, меньших, чем это имеет место по обычной теории Эйнштейна. При массах, намного превышающих массу Солнца, в центральной области конфигурации уменьшение взаимного притяжения масс становится настолько эффективным, что центральное давление достигает насыщения и почти перестает расти при дальнейшем увеличении масс.

Приведенные выше конкретные данные относились к случаю £ = — 30. Важным является вопрос о том, что произойдет с полученными результатами при изменении величины С». Качественную картину эволюции результатов при изменении £ можно получить, не проводя новых расчетов, если изучить характер кривых на рисунке 1, а также данные, приведенные в табл. 1 и 2. Замечаем, что в своей начальной части кривые 1 и 2 касаются или, точнее, почти совпадают с соответствующей кривой по обычной теории, и по мере продвижения вправо, в сторону больших значений qOl отделяется аномальная ветвь кривой 2, которая дальше загибается кверху. Далее, поскольку при | £ | -> сю результаты обоих вариантов теории Эйнштейна совпадают, то из упомянутого характера линий с очевидностью следует, что при уменьшении 1£ | предельное значение q0 должно убывать, а при увеличении его это значение должно расти. При этом соответственно укоротятся или удлинятся совпадающие части нормальной и аномальной ветвей линии М (д0). Таким образом, при увеличении | £ | аномальная ветвь линии М (д0) должна смещаться вправо в сторону больших q^ и, следовательно, больших значений параметра Ро, и тем самым удлиняться совпадающие части. Средняя плотность вещества у конфигураций,

принадлежащих аномальной ветви, порядка ядерной. Видим, что при меньших плотностях (малых q0) большие массы не получаются: обобщенный вариант по своим результатам не отличается от обычного. Из изложенных выше рассуждений следует, что предельное значение qOl при котором получаются большие эффекты, должно зависеть от величины | £ |. При | £ | < 30 эффекты должны получаться и для меньших значений q0 и, в частности, может быть и в случае идеального газа барионов.

Конфигурации с w > 0,5 не имеют своего аналога в обычной теории. Они обладают очень большим гравитационным дефектом массы (см. табл. 2). На первый взгляд, казалось бы с увеличением массы М, вследствие уменьшения гравитационного скаляра к, дефект массы должен уменьшаться. Но дело в том, что убывание к (г) ни в коем случае не означает ослабление гравитационного поля вообще, даже можно утверждать обратное. В самом деле, нужно учесть, что с увеличением массы уменьшается не только функция к (г), но и компоненты метрического тензора gTT = ех и g00 = ev. Таким образом, уменьшение к сопровождается усилением искривления пространства, что равнозначно усилению гравитации.

В заключение хотелось добавить следующее. Мы далеки от мысли считать изложенную здесь теорию каким-то развитием современной теории гравитации. Может быть она совсем не верна, а может быть содержит в себе какие-то моменты истины. Основное рациональное зерно, которое, по нашему мнению, содержит в себе обобщенная теория гравитации Эйнштейна, состоит в том, что гравитационная постоянная может быть и не так уже строго постоянна, как это нам кажется. В самом деле, кто может утверждать, что во все времена и в самых глубоких недрах весьма массивных тел, какими нам представляются ядра галактик и квазары, закон тяготения Ньютона — Эйнштейна (а может быть и другие фундаментальные законы физики) не испытывает каких-либо изменений. Нам кажется, что в этих особых условиях необоснованно как утверждение о безупречности этого закона, так и обратное утверждение, поскольку оба они нуждаются в соответствующей экспериментальной проверке. Кому могла придти в голову мысль о том, что закон сохранения четности не является универсальным. С этой точки зрения изложенную здесь теорию нужно рассматривать как иллюстрацию того, что произойдет, если допустить, что гравитационная постоянная в недрах весьма массивных небесных тел является переменной. Она является хорошим примером того, какие значительные изменения могут вызвать даже малые изменения фундаментальных законов современной физики. Именно, выше речь шла о таком незаметном изменении закона тяготения в областях пространства, доступных нашему наблюдению.

Впрочем получены конкретные результаты, которые можно когда-либо сопоставить с данными наблюдений. Мы имеем в виду то обстоятельство, что уравнения обобщенной теории гравитации допускают статические решения с массами порядка галактической. 230

В изложенной теории плохо то, что ее результаты не радикально зависят от значения параметра £. Значения t, = — 30 было взято с таким расчетом, чтобы избежать противоречия с теорией гравитации Эйнштейна. Если в будущем окажется, что эффекты общей теории относительности с более высокой точностью согласуются с экспериментом, то это не будет означать катастрофы новой теории, если в этом случае взять большие значения |£| и если, конечно, при этом не будет пройдено максимально возможное значение параметра q.

Мыслим также и такой вариант теории, в котором не гравитационная постоянная, а скорость света в вакууме не является постоянной: со временем она совсем незаметно изменяется или же в весьма мощных гравитационных полях зависит от координат. Может быть, что одновременно и к, и с являются переменными величинами. Во всех таких отклонениях от современных представлений, по-видимому, нельзя посягать на безразмерные постоянные. В теории гравитации такой безразмерной постоянной является km^lQtc^ где 1г — постоянная Планка, а под т — можно подразумевать массу любой элементарной частицы (в данном случае, по- видимому, разумно взять массу нуклона). Поэтому при изменении к мы обязаны соответствующим образом изменить также одну из остальных величин. В этом смысле также изложенная здесь теория не является корректной и, снова повторяем, носит только иллюстративный характер.

ЛИТЕРАТУРА

D i г аJordJordD i г аJordJordс а ас а а4. Ландау Л.,M., 1967.4. Ландау Л.,M., 1967.Р. А. М.— Nature, 1937, 139, 323, Proc. Rog. Soc., 1938, 165,199. n P. Schwerkraft and Weltall, Braunschweig, 1955.n P.— Rev. Mod. Phys., 1962, 34, 596.Р. А. М.— Nature, 1937, 139, 323, Proc. Rog. Soc., 1938, 165,199. n P. Schwerkraft and Weltall, Braunschweig, 1955.n P.— Rev. Mod. Phys., 1962, 34, 596.Лифшиц М. Теория поля. Изд. пятое, «Наука»,Лифшиц М. Теория поля. Изд. пятое, «Наука»,В г а 1С а а ] 567.С а а 1 555.С а а181.J R.В г а 1С а а ] 567.С а а 1 555.С а а181.J R.n кn кккккs С., Dicke R. Н.— Phys. Rev., 1961, 124, 925.s С., Dicke R. Н.— Phys. Rev., 1961, 124, 925.я ня ня ня ня ня но Ро РГ. С.,Г. С.,Г. С.,Г. С.,Г. С.,Г. С.,Р еР е55, 374.10. Амбарцум55, 374.10. АмбарцумппяяhhннМнацаканянМнацаканянМнацаканянМнацаканянМнацаканянМнацаканянМ.М.М.М.М.М.i e m e г, V о 1 k о f fi e m e г, V о 1 k о f fВ. А., СаакянВ. А., СаакянГ.Г.А.— Астрофизика, 1968,А.— Астрофизика, 1968,А.— Астрофизика, 1969,А.— Астрофизика, 1969,А.— Астрофизика, 1968,А.— Астрофизика, 1968,445,5,3,3,G. М.— Phys. Rev., 1939,G. М.— Phys. Rev., 1939,С.— Астр, журн., 1961, 38,С.— Астр, журн., 1961, 38,11. Амбарцум11. АмбарцумяяннС а а к я н Г. С.,Саакян Г. С.,С а а к я н Г. С.,Саакян Г. С.,В. А., СаакянВартанян Ю.В. А., СаакянВартанян Ю.Г. С. —Астрофизика, 1965, 1, 7. Л.— Астр, журн., 1964, 39, 193.Г. С. —Астрофизика, 1965, 1, 7. Л.— Астр, журн., 1964, 39, 193.. Вартанян Ю. Л.— Сообщения Бюроканской обсерватории, 1963, 38, 55; см. также Nuovo Cim., 1963, 30, 82.. Вартанян Ю. Л.— Сообщения Бюроканской обсерватории, 1963, 38, 55; см. также Nuovo Cim., 1963, 30, 82.

D i г а

Jord

Jord

D i г а

Jord

Jord

с а а

с а а

4. Ландау Л.,M., 1967.

4. Ландау Л.,M., 1967.

Р. А. М.— Nature, 1937, 139, 323, Proc. Rog. Soc., 1938, 165,199. n P. Schwerkraft and Weltall, Braunschweig, 1955.

n P.— Rev. Mod. Phys., 1962, 34, 596.

Р. А. М.— Nature, 1937, 139, 323, Proc. Rog. Soc., 1938, 165,199. n P. Schwerkraft and Weltall, Braunschweig, 1955.

n P.— Rev. Mod. Phys., 1962, 34, 596.

Лифшиц М. Теория поля. Изд. пятое, «Наука»,

Лифшиц М. Теория поля. Изд. пятое, «Наука»,

В г а 1

С а а ] 567.

С а а 1 555.

С а а

181.

J R.

В г а 1

С а а ] 567.

С а а 1 555.

С а а

181.

J R.

n к

n к

к

к

к

к

s С., Dicke R. Н.— Phys. Rev., 1961, 124, 925.

s С., Dicke R. Н.— Phys. Rev., 1961, 124, 925.

я н

я н

я н

я н

я н

я н

о Р

о Р

Г. С.,

Г. С.,

Г. С.,

Г. С.,

Г. С.,

Г. С.,

Р е

Р е

55, 374.

10. Амбарцум

55, 374.

10. Амбарцум

п

п

я

я

h

h

н

н

Мнацаканян

Мнацаканян

Мнацаканян

Мнацаканян

Мнацаканян

Мнацаканян

М.

М.

М.

М.

М.

М.

i e m e г, V о 1 k о f f

i e m e г, V о 1 k о f f

В. А., Саакян

В. А., Саакян

Г.

Г.

А.— Астрофизика, 1968,

А.— Астрофизика, 1968,

А.— Астрофизика, 1969,

А.— Астрофизика, 1969,

А.— Астрофизика, 1968,

А.— Астрофизика, 1968,

4

4

5,

5,

3,

3,

G. М.— Phys. Rev., 1939,

G. М.— Phys. Rev., 1939,

С.— Астр, журн., 1961, 38,

С.— Астр, журн., 1961, 38,

11. Амбарцум

11. Амбарцум

я

я

н

н

С а а к я н Г. С.,

Саакян Г. С.,

С а а к я н Г. С.,

Саакян Г. С.,

В. А., СаакянВартанян Ю.

В. А., СаакянВартанян Ю.

Г. С. —Астрофизика, 1965, 1, 7. Л.— Астр, журн., 1964, 39, 193.

Г. С. —Астрофизика, 1965, 1, 7. Л.— Астр, журн., 1964, 39, 193.

. Вартанян Ю. Л.— Сообщения Бюроканской обсерватории, 1963, 38, 55; см. также Nuovo Cim., 1963, 30, 82.

. Вартанян Ю. Л.— Сообщения Бюроканской обсерватории, 1963, 38, 55; см. также Nuovo Cim., 1963, 30, 82.

DIE GRUN DGLEICH UNGEN

DER MAXWELL-THEORIE UND QUANTENTHEORIE

IN EINEM ROTIERENDEN BEZUGSSYSTEM

VON ERNST SCHMUTZER

Universitdt Jena, DDR

ABSTRACT

We use our 3-dimensional conceptions of the electromagnetic quantities [1] to represent the Maxwell theory and the Dirac theory for a rotating system of reference. The fundamental equations obtain additional terms which are calculated up to the first order in the angular velocity (analogous to the Coriolis terms of mechanics). The need for such an electromagnetic theory is obvious: Qur earth is a rotating laboratory. But also for investigations of the electromagnetic rield of stars (pulsars) our theory may be useful. The quantum theory in a rotating system of reference has applications in magnetic resonance physics, but also in the theory of superconductors.

METRIK IM ROTIERENDEN BEZUGSSYSTEM

Wir bezichnen die Groben im Inertialsystem mit einem Strich, diejenigen im rotierenden System ohne Strich. Da wir uns auf li- neare Glieder in der Rotationsgeschwindigkeit co (um die z — Achse) beschranken wollen, gilt:

x = x' cos (cof) + V sin (cof),

у = — x* sin (cof) + у cos (cof), c) z = z', d) t = f. (1) Daraus resultiert die Metrik im rotierenden Bezugssystem

W = W + W + (d^ - c* [1 - -^- (^ + y2)] x

X (c^)2 + 2(0 (xdy — ydx) dt.(2)

Im folgenden laufen griechische Indizes von 1 bis 3, lateinische von 1 bis 4. Im iibrigen halten wir uns sehr eng an die Bezeichnungsweise in unserer Monographie [1].

In der beabsichtigten Naherung ist:

gtiv = gUV = $UV, gU = gU = — ^ У- g24 = gM = -7- X, g34=^ = 0,g44 = g« = -l,g = -|gmn| = l.(3)

Die einzigen nichtverschwindenden Christoffel — Symbole sind:

I 1 I to ( 1 1 / ^ I <0 ( ^ 1JB2^

|24J = ~’ |14j ”^’(141“ c ’ (44J — c2 w

In der beabsichtigten Naherung folgt fiir den «metrischen Vektor»

g = e^ = 4- co x r mit gu = g*1g = e^ = 4- co x r mit gu = g*1^4цУ—§м^4цУ—§м= ^ц,= ^ц,(^y, Basisvektoren im rotirenden System). Weiter ist-*-*2 ■*a) div g = 0, b) rot g = — co.(^y, Basisvektoren im rotirenden System). Weiter ist-*-*2 ■*a) div g = 0, b) rot g = — co.(5a)(5b)(5a)(5b)

g = e^ = 4- co x r mit gu = g*1

g = e^ = 4- co x r mit gu = g*1

^4цУ—§м

^4цУ—§м

= ^ц,

= ^ц,

(^y, Basisvektoren im rotirenden System). Weiter ist

-*-*2 ■*

a) div g = 0, b) rot g = — co.

(^y, Basisvektoren im rotirenden System). Weiter ist

-*-*2 ■*

a) div g = 0, b) rot g = — co.

(5a)

(5b)

(5a)

(5b)

MAXWELL-THEORIE IN MEDIEN

In unserer Symbolik [11 lauten die Grundgleichungen der Maxwell- Theorie:

a) H™ = 4-7”* bzw, b) ^gH”^,, = -^/iA(6)

B^mn,h) ™ Bmn^ -j~ B^mvn -j~ B^j^.(7)

Die letzte Gleichung laBt sich durch

Bmn = An>m ^4m,n(8)

befriedigen.

Der Vorteil der von uns [1 ] eingefiihrten 3-dimensionalen Begriffe besteht gegeniiber anderen Vorschlagen (Z. B. Moller [2]) darin, daB unsere Begriffe bei bezugsinvarianten Transformationen, also bei Transformationen innerhalb eines Bezugssystems, sich wie 3-dimen- sionale GroBen transformieren. Diese Forderung scheint uns fiir die Pragung sinnvoller 3-dimensionaler Begriffe unumganglich zu sein. Mit diesem Argument gelangen wir zu den folgenden Verkniipfungen:

a) By. = E.gy Eyg. i^y^B^^ b) By^ = l/*g44 Ey\ (9)

H^ = - iewH„

Я»14 = - -2= ou + -J= swg^.(10)

V ^44Г ^44

Dabei besteht der Zusammenhang [1]

a) e^ = _ iK^euw, b) e,lvv4 = -7J=6,tvv.(11)

In der beabsichtigten Naherung wird

8|,vv = e^w == i^.(12)

Dabei ist Agvv das 3-dimensionale Levi-Civita — Symbol. Fiir die Zerlegung der Viererstromdichte gilt allgemein

a) iu = V— guf, b) p =—/4.(13)

cV — gM

Weiter folgen mittels der Zerlegung

(Лт) = (Лц, — <p),(14)

die Beziehungen

Е^= — -;=' (ф,ц + ^ц,4)>(15)

V ^44

^ = Г7Т7= &^ V K^V’V^V.v) V— £44 4"

V ^44

+ (ф>7 + ^тл) §ч — ($,v + A\4) £vL(16)

Mit Hilfe dieser 3-dimensionalen GroBen ergeben sich aus dem inhomogenen Maxwell-System (6b) bei Verwendung der Vektoren

H = e^. D = e^. j = ЗД7(17)

(Я7 = Ят, /ц = t^ und bei Beriicksichtigung des Zusammenhanges 74 = cp + g^p(18)

unter Verwendung von

rot H = ецД^Я^, div D = D\

*^- = ce^D^ , gxH = e^^g^H^ usw.,(19)

die inhomogenen Maxwell-Gleichungen

ft1 /dD r■*dH \

rot^ = —+ 7-g X —j =

In ahnlicher Weise folgern wir aus dem homogenen MaxwellSystem (7) bei Verwendung der Vektoren

E = e^, B=XBV(23)

{E^ = E"") die homogenen Maxwell-Gleichungen

t г 1 / dB .9e\

rot5= —— 1^— + gX—J =

1 дБ . 1 dF/o/

=(24)

div В = div (E X g) = -^- (to x r) rot E|- {toE). (25)

Damit besitzen wir das gesamte Maxwell-System in einem rotierenden Bezugssystem. Die erhaltenen Ergebnisse weichen von dem Losungs- versuch von Trocheris [3] wegen unserer neuartigen 3-dimensionalen Begriffsbildung ab. Auch gegeniiber Irvine [4], der von der Synge- schen Tetradeninterpretation ausgeht, bestehen charakteristische Unterschiede.

Die weiteren Rechnungen zeigen, daB die Materialgleichungen in 1. Ordnung nicht verandert werden, so daB auch im rotierenden Bezugssystem die Beziehungen

a) H = kB+^~vxE, b) D = eE-V^-vxB, (26)

-* г -*1 -*

c) 7 = о U? + — v x 5

gelten.

Die Spezialisierung auf das Vakuum bedeutet, daB wir in (20), (21), (24) und (25) E = D und В = H zu setzen haben.

Die Feldstarken und Potentiale sind gemaB (15) und (16) folgen- dermaBen miteinander verkniipft:

S^-grady--!-^-,(27)

В = rot A + g X I grad <p — -—I =

= rot A^-grad <p X (to X r)^- -^- x (to X r).(28)

Die Feldgleichungen fiir die Potentiale bekommen die Gestalt

- srad (div л=

= ——7— —К® X r)vllgrad<p + — -^-1 +

f 1Л A f 1 J- ^I

+ — (to X r) A<p + — div — +

.1.1 дА 1 0 rot A / Л zon\

+ — to X |grad<p + — —x (to xr), (29)

A ,1 d div A1 "t 7 ,

Аф + — = - p-7 (® X r); +

(30)(31)(30)(31)1-*-*9-

(30)

(31)

(30)

(31)

+ — co (r x rot rot Л)— co rot Л.

Aus den Transformationsformeln (1) resultieren gemaB

л —

m” dxm "’

die oft sehr niitzlichen Umrechnungsformeln vom Inertialsystem auf das rotierende System

Лг = Ay cos (co^) + Л2' sin (cof),

Л2 = — Ay sin (cof) 4- A^ cos (co/'),

Л3 — Л3', d) ф = q/ + -|- Лрсоу'^-A2'(ox'.(32)

in vektorieller Schreibweise resultiert fin* die Feldstarken:

E = E' 4- 4" B' x (r' x ro),(33)

B = B'-^-E' x {? x ®).(34)

Obwohl es sich bier um den Zusammenhang von einem Inertialsystem mit einem Nicht-Inertialsystem handelt, sind die Umkehrformeln in 1. Ordnung symmetrisch.

Nahere Rechnungen zu dem Gesamtkomplex sind in einer Arbeit von uns [51 enthalten.

QUANTENTHEORIE

Nach dem obigen Verfahren, also ausgehend von den allgemein- kovariant geschriebenen Grundgleichungen, wollen wir auch die Quantentheorie behandeln. Um das Spin-Phanomen richtig zu er- fassen, kniipfen wir an die allgemein-kovariante Dirac-Gleichung [1] an, die wir ohne Beschrankung der physikalischen Allgemeinheit wie folgt schreiben konnen fa =

Tk [V,A + 4 r (TM - Ve ^)) у - fa^^j + Y = 0.

Die nachfolgenden Rechnungen fiihren wir in unserer Standard-Dar-

stellung durch, in der /10\/ 0 am\

a) T = — a , , b) t™ = — i n(36)

\v — 1 /\v j

gilt. Dabei ist

YmYn + YnYm = 2gmn(37)

bzw. in zerlegter Form

a) GmPn 4“ OnPm " ^^mni b) pm(Jn 4“ Pn^m — 2gmn (38) mit

a) Cm = (9^ b) Pm = — ^mABY(39)

Im Inertialsystem gilt

YmYn 4- YnYm = 2rimn,(40)

wobei i)mn der auf die Galilei-Koordinaten x*. V •. ^, d' bezogene metrische Tensor im Inertialsystem ist. Die Dirac-Matrizen im Inertialsystem wahlen wir in der Gestalt

./ 0 оц\ ./0 1\

a) Yu = - Ч n a , b) V4 = i(41)

\ и ц v у\ 1 V у

mit

/0 1\/ 0 — i\ /10\

01 oj’°2 t о;,а“ = ^о—ij'

Eine geeignete Losung von (37) ist in 1. Naherung 000

а) Тц = Tn, b) тц = Tn + SnTt,„Оч

-(43)

o !оо

С) T4 - V» + — to (г X T), d) t4 = — T4-

Setzen wir diese Ausdriicke in (35) ein, so resultiert die durch die Rotation modifizierte Dirac-Gleichung

(44)(45)(44)(45)Tk (^,I> — ia^kt|)) + -^- т (сот) 'Ф + -^ ^ = 0

(44)

(45)

(44)

(45)

die wir auf die Schrodingersche Form

ЯгЬ = th.

mit dem Hamilton-Operator

H = — ttica^ (—^-гаЛц^ 4-

\/

+ ЙСО i [г X (grad — /аЛ]5- Та + ^ + P^o^

bringen konnen, wenn wir

«ц = 7t7u- «4 = 74. P = — i?4(46)

einfuhren und

g^ (-^nto^ = 4" ® ^ x ^rad — ia^)J(47)

beachten.

Es laBt sich nun zeigen, da im rotierenden System die Heisen- bergschen Vertauschungsregeln dieselbe Form wie im Inertialsystem besitzen, namlich

[ЗГц, Ы = о, [3Гц. 9ivJ = i^6Uv, [91ц, 9Ь| = 0.(48)

Damit rechtfertigen wir

^--т41Г»(49)

so daB man den Hamilton-Operator auch als

Я^а^йц- — 4J-ю/r x (Й- — ^ + 4-^) + \ c 1 I \ c )\

+ F + Pm0c2(50)

schreiben kann.

Die Dirac-Gleichung und ihre adjungierte halten wir filr das rotierende Bezugssystem noch einmal fest:

0co

7й (if,» — (аЛд-ф) + — h4r x (grad i|) — ia^ip) +

+ 4~77^) + -^4l = 0,(51)

(ф,ь + iaA^ уй r x (grad i|) + ia4^) y4 +

+-^77}—4r^ = 0"(52>

Der adjungierte Bispinor ist dabei durch

ip = /ip+y4(53)

definiert. Daraus resultiert die Kontinuitatsgleichung

(11)7^),„ = (хруйтр),Ле + — (r x grad (tpYi^)} = 0.(54)

Um der Verbindung zur Experimentalphysik naher zu kommen, gehen wir mittels der Zerlegung

^P=(55)

хф/

zur Zwei-Komponenten-Theorie fiber. Bei Verwendung der Verkniip- fungen v — X — ф (grope Wellenfunktion), p = X — ф (kleine Wel- lenfunktion) sowie

гтосЧгтосЧ

p = tpi^ h , v = г|)Пе h(56)

und

ф = -—xpi

gelangen wir, wenn wir bis zur Paul i-Naherung gehen, von (45) zu der neuen Bewegungsgleichung

Нф = Ш^-(57)

mit dem neuen Hamilton-Operator

H =(« + 3)! + v + И»? (в + ^в - A-«) -

-ш^х^ + ^-Л^.(58)

I \ c /J

Dabei ist

I*» -№

das Bohrsche Magneton, e = —e0 (e0 — (Elementariadung) und V = — eA4. Ffir die Stromdichte und Ladungsdichte im rotierenden System ergeben sich die Ausdriicke

/ = -^ . [ Ф+ grad Ф — grad Ф+Ф — 2ia (a + —- ■ g^ Ф+Ф i, ZA7loi\e / I

(60)

Р = еф+Ф.(61)

Da im Sinne der Ginsburg — Landau-Theorie der Supraleiter das Vektorpotential in der Stromdichte eing mit dem Gleichstrom-J osephson-Effekt verkniipft ist, so muB sich die Rotation eines Supraleiter gemaB der obigen Formel auf diesen Effekt auswirken. Insbesondere muB auch ein reiner «Rotations-J osephson-Effekt» existieren. Umgekehrt bietet dieser «Rotations-Josephson-Effekt» die MeB- moglichkeit von Winkelgeschwindigkeiten gegeniiber Inertialsyste- men bzw. kann er zur experimentellen Bestimmung von Naturkons- tanten benutzt werden. Ffir die Phasendifferenz beim Josephson- Effekt [6] folgt namlich aus der obigen Formel

<P(^1) — <P (Л) = ^-^A + g^ds =

Dabei ist ф0 = ^ das «magnetische FluBquant» und Zo = ^- das «Zirkulationsquant», das wir hiermit quantentheoretisch begriindet haben.

Ausgehend von korrespondentmapigen Uberlegungen, stieBen auf diesen Effekt kiirzlich auch Zimmermann und Mercereau [71, die ihn auch experimentell bestatigen konnten.

Es ist auch interessant, die obige verallgemeinerte Pauli-Glei- chung auf ein Magnetfeld der Art

A =г X Bo, div A = 0, rot A = Bo (So = Bo (f))

anzuwenden. Dann folgt als Bewegungsgleichung

АФ — ia (r x grad ф) (bo— co^ —

- 4 l^r2 - (ЗД21 ф - Иф -

2mopBft \

(63)(63)(5° “ "2^ to] Ф +

(63)

(63)

+ "t" l(®d № - r2 (50<0)] ф = -^ — .

Interessant daran ist, daB der Spin-Zeeman-Effekt durch die Wahi

« = ^8.(64)

kompensiert werden kann, so daB ein reiner Bahneffekt mit einem effektiven Magnetfeld von

В^ = -"Г-^^(65)

in Erscheinung tritt, wahrend fiir

der Bahn-Zeeman-Effekt verschwindet und der Spin-Effekt mit einem effektiven Magnetfeld von

wirksam wird.

In der magnetischen Kernresonanz bietet sich eine gute Anwen- dung der Gleichung (63) an, da dort rotierende Bezugssysteme, realisiert durch rotierende Magnetfelder, sehr aktuell geworden sind [8].

Auch die eben kurz skizzierten Rechnungen zur Quantentheorie findet man in einer Arbeit von uns ausfiihrlich dargestellt [9].

Der Zusammenhang von Magnetfeld und Winkelgeschwingkeit tritt bekanntlich in der Physik an verschiedenen Stellen hervor. Beim Barnett-Effekt kommt es zur Erzeugung eines Magnetfeldes durch die Spinausrichtung infolge der Rotation. In der Theorie elektromagnetischer Medien tritt der Nichols-Tolman-Effekt auf, bei dem die Rotation eines leitenden Mediums auf ein Magnetfeld fiihrt [10]. Aus Dimensionsgriinden haben die Verkniipfungsfaktoren, abgesehen von feinen Zahlen, immer dieselbe Struktur. Man muB aber beach ten, daB es dabei physikalisch um grundsatzlich ver- schiedene Dinge geht.

Der obige Zusammenhang zwischen Zeeman-Effekt und Rotation erinnert etwas an die Uberlegungen von Zeldovich [11], der kiirzlich gemaB den Lense — Thirring-Effekt einen Zeeman-Effekt voraussagte, der durch die Rotation groBer Massen bedingt ist. Mit der Erforschung des Lense — Thirring-Effekts auf der Basis der Supraleiter im Zusammenhang mit dem Machschen Prinzip be- faBten sich eben falls einige Autoren in den letzten Jahren [12].

LITE RATUR

Schmutzer E. Relativistische Physik, Teubne-Verlag Leipzig, 1968.

M d 11 e r C. The Theory of Relativity, As the Clarendon Press, Oxford, 1955.

Trocheris M. G.— Phil. Mag., 1949, 40, 1143.

Irvine W. M.— Physica, 1964, 30, 1160.

Schmutzer E.— Ann. d. Physik (im Druck).

Matisoo J.— IEEE Transactions on Magnetics, 1969, 5, 850.

Zimmermann J. E. und Mercereau J. E.— Phys. Lett,, 1965, 14, 887.

Rabi I. I., В 1 о c h F.— Rev. Mod. Phys., 1954, 26, 167; Phys. Rev., 1946, 70, 460.

Schmutzer E.— Annalen d. Physik (im Druck).

L a n d a u L. D. und L i f s c h i t z E. M.— Lehrb. d. theor. Phys., Rd. 8 (Elektrodynamik der Kontinua), Berlin, 1969, Ubersetzung aus dem Russischen).

Z e 1 d о v i c h Ya. B.— JETP Letters (UdSSR), 1965, 1, 40.

De Witt D. S., P a p i n i G — Phys. Rev. Lett., 1966, 16; Nuovo Cim, 45B, 1966, 66; Phys. Lett., 1967, 24A, 32.

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВА ТЕНЗОРА КРИВИЗНЫ

Г. А. СОКОЛИК, К. П. СТАНЮКОВИЧ

Всесоюзный научно-исследовательский институт физико-технических радиоизмерений, Москва

Ранее [ 1 ] в наших работах изучался произвольный тензор кривизны, понимаемый как совокупность зарядов, образующих некоторую алгебру Ли. Главной целью [1] являлось изучить алгебраическую модель гравитации, т. е. трансформационные свойства 7?аруб» проявляющиеся в линейном присоединенном пространстве, т. е. геометрия искривленного пространства отображается в линейное присоединенное пространство, натянутое на совокупность бивектора ЛаР.

Согласно работе [1], базис бивектора образует пространство представления GL (4) : (1100). Легко видеть, что в числе неприводимых представлений, на которое распадается прямое произведение двух бивекторов, содержится 20-мерное (1100) х(И00) = = (2200) + (2110) + (ИИ).

Базис (2200) выражается как комбинация бивекторов:

^аРуб = —у (2/z-aP^yd^ау^бР^аб^Ру) •(D

Отсюда следует тождество Риччи

-Яаруб ~ -Spayd, -^аруб ^ ^ydapi 2 -^а(руб) = ®* руб=сус/

Предлагаем интерпретировать тождества Риччи как соотношение зарядов:

R = -у- («1^1" + a2at — 2a3a^) и Р3 = -^- (a^at — a2at), g-p, + 4, полагая

^3№123 — ^0231),

Р3 — “J" ^0123, R = -у ^0312.(1)

Отметим, что бивектор кар, т. е. [feapl = [^ог 1 + l^L распадается в прямую сумму вектора и аксиала вг = К^ и ^ = hjk, что соответствует базисам сопряженных представлений GL ^CL L (4) = = (100) + (110). Точно так же и (2200) = (200) + (210) + (220), т. е. разложение представления GL (4) на представления GL (3) позволяет интерпретировать отмеченный А. Л. Зельмановым факт, что 20 существенных компонент 2?apV6 распадаются на группы компонент: Rotot» Ro-tjkRijkb преобразующихся по хронометрически инвариантной подгруппе группы общей теории относительности [2].

Иначе говоря,

/ 3 (Ь0МУ z\ ab) — I ~ от т I ,(^)

\ 2,/

т. e. разделение на хронометрически инвариантные подгруппы происходит, если 2?apV6 записывается в присоединенном бивектор- ном пространстве. При таком подходе 2?apv6 рассматривается как свернутое прямое произведение алгебры максимальной группы голономии (т. е. группой, алгебра которой образуется [^a^pl. Иначе говоря, именно группа голономии и осуществляет моделирование геометрии в окрестности точки (речь идет о дифференциальной геометрии) в пространстве, присоединенном в точке.

Такой подход позволяет, естественно, ввести операторы рождения и поглощения [^^"1 = —б^к- Трансформационно эквивалентные [/tapl = [aj + [ai4. Отсюда получим выражения для операторов заряда

Р_^_ = a^^", Р_ = a2ai", U^. = а^з";

(3)(3)(4)(4)U_ = a3ai", Va_ = а2аз", V_ = a.dat;

(3)

(3)

(4)

(4)

Rik — ^i^h? ^гк — &г ^к •

Тогда

Л+ 4’ P+;U+

z = р_, -p4-v-^ r+

_U_; V_; -R

Далее, пользуясь GL (4) ZD GL (3) zd GL (2) можно выделить в базисе (200) + (210) + (220) — (2200). Мультиплеты компонент R. соответствующие представлениям GL (2), (200) = (20) + + (10) + (00); (210) = (20) + (21) + (Ю) + (И); (220) = (20) +

+ (21) + (22), причем

(

m^gRig \Гици^тА

Pi Ра j = to —5) Pi р2 I, q /\ q /

(

т^зТПдХ/пг^^тзХ

Pi Ра I = (рх + Р2 - 25)1 Pi р2 I,(5)

q )\ q )

где 5 = -|- (mx + т2 + m8) (mi задают представления GL (3)).

Тогда возникают мультиплеты компонент 7?apV6, соответствующие различным значениям зарядов:

/-Яош;G = 1;Р3 =1 \

А = I Я0123;G = 0;Р3 =0 1 R = 0,

W0223;G = —1;Р^—— V

(^0112;G = 1; Р3 =\

у^0212; G = 0; Р3 =^—j

_f Ro33iiG = 0;P3=A. \

I ^0323;G = —1;P^ =^-у

S° = (/?020i; 2? = P3 = 0; G = 0).

В случае же сопряженных представлений (200) и (220) появляются дробные заряды:

^ОЮЬ

с-4;Р,-1

X =^0102;

Rq202;

^оюз; = "з"^о2оз; G =’^оюз; = "з"^о2оз; G =’

^оюз; = "з"

^о2оз; G =’

^оюз; = "з"

^о2оз; G =’

2 = (5озоз; ^ = -4; Рз = 0; ^ = 4)-

^312Ь

х = ^ЗЗЬ

^?2323;

G — ^_

_/ ^3112;

\ ^2312?

R = —4-

С другой стороны, поскольку 7?apv6 выражаются через а^.

сцаь и at at' их можно рассматривать как сложные состояния»

образованные произведениями а^ и at' соответствующими представлениями (100) и (110):

Приходим к своего рода гравитационному аналогу унитарной симметрии, причем триады а^ и at играют роль, аналогичную кваркам [41.

Заметим, что несмотря на очевидную аналогию спинорных объектов at и at кварков, их физическая интерпретация должна существенно различаться, так как трехмерные спиноры предлагаемой теории вводятся пространственно временной линейной группой GL (4) в касательном пространстве, присоединенном в точке F4, т. е. в рассматриваемом случае локализованная симметрия совпадает с группой общей ковариантности (т. е. с псевдогруппой).

При этом совершенно естественно, что аналоги электрического заряда и гиперзаряда G и R являются характеристиками гравитационного поля.

Соотношения (3) указывает на возможность формулировки алгебры Ли, связывающей различные компоненты Z?apV6.

Выражение Z?apV6 через а» и at образует алгебру присоединенной группы:

^ Ke^F (atat; a,tat; aiak)e~& Егк =

— F (aiak , a^ ак, a^a^*

В инфинитезимальном случае

6Elh = ^-^Esp,.

65y = ^ + ^B5p('

и

Cu = -^-V^Cip,(7)

где

Bi] — ^i^j 4 ^ij — ^i ^3 *

Отсюда

iRspumRojhA = SihRnmtu 4“ ^kjRsphu

jam = — cycl,

etu = cycl,

tsp = cycl,

IRoiOjRoilnA = 6tmRoiO3 + 6mjRoeOi

и, наконец,

№ioA)Z7nul = “у ^inRonOj + ^пзВопОг + бтпгВотОз 4*

4“ ^miRoiOm ^ieRoiOj 26j/7?o/oi)> где

emn = cycl.

Заметим, что в фоковском базисе

Л а^Ь™

Хп,т = П| 0 >

г==1 rni*m'i‘

([a, 6] = 0, [atat] = — 6ik; [Ьгб^] = — бгь).

Тогда

Егк == a^ak bkb^ е

В то же время в рассматриваемом случае расширение группы — не обязательно и Rab может быть выражены в терминах только at и aj". Тогда групповое пространство натягивается на Rab и образуется подобными преобразованиями: Rab = SRabS^.

До сих пор Raw трактовался как ток, образующий некоторую алгебру Ли. При изучении же пространства тензоров кри-

визна 7?a3vd представляется как форма n-й степени относительно тетрады еа (О (a, f = 1, 2, 3, 4), т. е. фундаментальными объектами будут в дальнейшем уже не бивекторы (алгебра группы голономии), а компоненты тетрад, на которых строятся простые бивекторы: 9ар G, ^) = eVa ^ ^j (/с).

Вводится метрика сигнатуры ( + + + —), нормы же векторов, образующих тетраду (не обязательно ортогональную), допускают следующие возможности [6]:

включающие изотропные веквключающие изотропные век(+ + + +), (+ + Ч—), (+ Н), (Ч\

включающие изотропные век

включающие изотропные век

(а такЩе все возможные сочетания, торы: (0±±±) и т. д.).

Имея в виду, что

гдегдеS T^w — А i;h=cyclS T^w — А i;h=cyclijkl \«Руб/’ijkl \«Руб/’(9)(9)

где

где

S T^w — А i;h=cycl

S T^w — А i;h=cycl

ijkl \

«Руб/’

ijkl \

«Руб/’

(9)

(9)

m(Mhl) n(O‘)n(AO . a№a№. 1 apvfi = Уар У7б + Uap Uv6 ,

^ 4° 4° 4’ e^ e^ e^ e^ ea (A:) ep (A:) ev (A:) e6 (A:) ea (0 ^p (0 ^v (Ac) e§ (Z) (ijkl1)

получим общую форму ДЛЯ 7?agv6> имея в виду

2 я®> = о, 2 в = 0.(10)

3v6=cycli;h=cycl

Симметрия и антисимметрия требуются для (ijkl) и (аРуб). Общее выражение для 2?аруб следует из разложения произведения слаюров GL (4);

(1000) х (1000) х (1000) х (1000) =

= (4000) + (ЗЮ0)3 + (2200), + (2И0)3 + (ИИ).(И)

[35][45][20][15][1]

Представление, соответствующее схеме Юнга Q, натягивается на базис:

apyfi 1 apyfi apyfi?

a руб — соответствуют внешнему F4, a ijkl — внутреннему 20-мер ному пространству геометрии.

Из формулы (12) можно вывести все выражения для тензоров кривизны, приведенные в работе [6]. Выражения для Ra^6X) через

компоненты тетрад [7] группируются по представлениям GL (3):

7® = бе^еМ; (200),

:(210),

п(ХХ) _ 1 ,d(2314)о(3124),

*42076 — g*42076)

R^ = 3T^-№,

^aiw являются, в известном смысле, аналогами операторов числа частиц Nt = а^.

При таком подходе, естественно, возникают аналогии G и R

во внутреннем пространстве:

Т//р(1234) . ™(2314)9/р(3124к

■^а07б — —g- (-* <2076 1 * (2076"* а07б )»

р1 /г>т(1234)/р(2314)>р(3124)\

1^(2 076 — ~0~ (^ (20761 (20761 (2076 /•

Это дает возможность и в случае внутренней группы говорить о корневых операторах и, как и выше, понимать заряды как суммы корней алгебры: g (± а) = ^ri (±а).

г

Таким образом, и в случае внутреннего пространства аналог заряда возникает при проведении к диагональному виду элементов алгебры Ли:

"^ Eijhies /* — “g- 6ie6j8 2~ ^je^js ~ “g" ^he^hst ijk = cycl.

Аналогично можно получить g (±а) и для R^j и Rum-

Классификацию, подобную приведенной выше, можно вывести также из группы SO^^ изоморфной SL4 (а также 5О(3>1), введенной в присоединенном бивекторном пространстве (1100)). Иначе говоря, новая классификация исходит из алгебраической модели, основанной на реперном расслоении, тогда как ранее мы исходили из касательного расслоения, т. е. из алгебраической интерпретации тензорного анализа. Такой тип расслоения (алгебраический анализ в бивекторном пространстве, присоединенном в точке произвольного пространства Эйнштейна), был использован для классификации полей гравитации А. 3. Петровым [13].

Разложения прямых произведений представлений SO (3,3) /1 1 1 \ можно осуществлять, пользуясь соответствием спиноров

и фундаментальных представлений GL (4) : (1000). Тогда из разложения

х (2000) - (4110) + (3210) + (2220) + (2211),(13)

170][64][10][6]

причем соответствующие полиноминальные базисы (а также соответствующие тензорные симметрии, заданные схемами Юнга)

имеют вид

^а^|3 ^v^а^|3 ^vПу . . . П4 хг ... х4У1 ••• У4 21 ... Z4Пу . . . П4 хг ... х4У1 ••• У4 21 ... Z4

^а^|3 ^v

^а^|3 ^v

Пу . . . П4 хг ... х4

У1 ••• У4 21 ... Z4

Пу . . . П4 хг ... х4

У1 ••• У4 21 ... Z4

пх .. . п4Ху . • • Х4Ут • • • У 4Z1 ... Z,пх .. . п4Ху . • • Х4Ут • • • У 4Z1 ... Z,Пу ... п4Ху . .. х4Пу ... п4Ху . .. х4У1 ••• У 4 2г ... z4У1 ••• У 4 2г ... z4СоответственноСоответственно[70][64][10][6].[70][64][10][6].

пх .. . п4

Ху . • • Х4

Ут • • • У 4

Z1 ... Z,

пх .. . п4

Ху . • • Х4

Ут • • • У 4

Z1 ... Z,

Пу ... п4

Ху . .. х4

Пу ... п4

Ху . .. х4

У1 ••• У 4 2г ... z4

У1 ••• У 4 2г ... z4

Соответственно

Соответственно

[70][64][10][6].

[70][64][10][6].

^a^[pZ/v]

пх...п4

Ху...х4

У1•••Ух

Z1...z4

£[at/P]^vZ/[6zv]

следует для SO (3,3):

(110) ® (111) = (221) + (210) + (111) + (100)

/11Ио,/11Ио/11Ио/11И

\222/^\222 /^\ 222 /\ 222 / ~

(222) + (211)3 + (200)2 + (1 Ю)3 + (000) = 28.

[35][45][20]|15][1]

Это дает нам возможность выразить Ra^ (в случае SO (3,3) описываемой 20-мерным представлением SO (3,3) : (200)) через еа (i), причем в отношении внутреннего пространства еа (/) ведут себя как спиноры SO (3,3) : (у у у) ^или ТВИСТОРЫ работы [14]).

Базис представления (200) имеет вид [8]

200

200

200“

20

9

20

20

20

20

^ч-^з

20

2

“ /6 ’

2

- /3 ’

2

_±2_

_± 1 _

_ 0 _

200

20

20

1

_1, о, — 1_

Х4Х4-;3:—

200

20

10 1

_1, 0, - 1_

_ ^+;3;-

(15)

- /з ’

~2/3 ’

“ 200 “

10

10 1

_1, 0, — 1_

^б^-^З;—

200

10

00

хъхй

—2 /3 ’

0

_ 0 _

4/3 ’

252588200200 ~2000/v000_ 0 _3_ /500.0_ 0 _200200 ~2000/v000_ 0 _3_ /500.0_ 0 _66

2

5

2

5

8

8

200

200 ~

20

00

/v

00

0

_ 0 _

3_ /5

00.

0

_ 0 _

200

200 ~

20

00

/v

00

0

_ 0 _

3_ /5

00.

0

_ 0 _

6

6

200

200

22

20

20

жз — Ч _

20

-/2

20

2“

2

0

_ 0 _

_ 0 _

200

200

20

20

20

-/10

00

0

0

_ 0 _

_ 0 _

*4~ *5

2 /3

Поскольку ^утт) Разлагается в прямую сумму пунктирных и непунктирных спиноров, получим, согласно работе [8]:

п п п

Т Т7

п т

^54,

к

Т

= -^- /(А — т) (/с + т + 2) х

S "2

п п п

Т ТТ

п п пУ ТУ

п т

Т У

пт.

ТТ1

к

2

2

т т

^65а = ^-а.

жа — 2 ^ар?а/р- ар

Легко видеть, что С^ определяются из (13) — (15). Полученный результат представляет физический интерес, так как возникает связь мультиплета гравитационных полей и некоторых спинорных частиц, заданных спинорами ф = ga + ^ и Ф' = /а + /а- Возможная интерпретация в этом случае могла бы связывать гравитацию с некоторым Ферми-полем.

Таким образом, новые объекты, аналогичные кваркам, в случае SO (3,3) заменяются обычными фермионами, которые и становятся в этом случае первичными объектами.

Возможна следующая трактовка алгебры 2?apV6- Введем [9] уравнение поля

в»^ + м = о,(16)

\ ох^х^ ох^их^ /

где Xj и Xj — сопряженные представления GLn\

i = 1, 2, ... , п.

Соотношения

\EihEje\ = О,

iPikPje] = ^)^Eie ^ХеЕ^

[ElhPje] = bh)Plei

[EihPje] = ^kjPie

разрешаются так:

Рih ~ ЬхО,^ , Рi^ = CLibk , Oih = й*г Ь^ -{- ttfo bi , Bih = Clibh 4" CLhbi^ Eik — diCbh 4” bibh",

где Eth — генераторы GL ^ ([^^"1 = \aiOk I = — Sik; [ab] = 0. Тогда BlkDih$ + ^охр — 0 инвариантно относительно GL (п) при условии, что \B\EmA = ghBm — gnBt

Таким образом, лестничные представления матриц, определяющих (16), могут быть выражены в терминах Rotoh В^ К^кг

Eiki Dik Rijkl*

Заметим, что для представления 2?apV6 в терминах SO (6) некомпактная сигнатура роли не играла. В то же время для ин-

/\/ ^г^к^ \

терпретации \Каь) =. . . I существенна именно некомпактная

ак /

зз

сигнатура 2 I фг I2 — 2 I ^ |2« Известно [10], что псевдокомпакт- г=1г=4

ная группа U (р, q) задается унитарным бесконечномерным представлением в гильбертовом пространстве, определяемом

где а^к — Бозе-операторы [а&] = 0.

В работе пользуемся конечномерным представлением SU (3,1), натянутом на бивекторы (010). Ее генераторы

=i0ai

Еог = “g” а + п(17)

Eik = (я вгка ^kia +)

(вгк — корневые генераторы G (3)).

Заряды задаются весовыми генераторами

ipGip и грРзЯр, где гр —

1 / /3 ^_

а \

- а+/

10

0

1

2

0

0

G =

0 -4

- 0

, Р3 =

0

_ 1 2

0 .

00

1_

2

0

0

0

В более общем случае

Тогда бесконечномерные унитарные лестничные представления задаются конечномерными представлениями SO (3,1):

Ек =1^-^, О') да3

Eik = Zi -д— + ^к — у^) —=-,

где ^ = xJk^\H\ = 7; V^ = (сУс0, и соответствуют (1100) = (100) + + (110).

Тогда

/° 7 \/О 0\

Еог = I (0 1» Его = I г л )

\о о /v

и

(вгк 0 \

Еш= о Ь^ = 6^

V кг / +_+~-

Вводя 7t = гр ^го^» ^г = фТ^оф, Егк = a^etkCL + ЪвкгЬ"^п а также добавочные лестничные операторы

+■ -/ 0 ^гг \-/0 0\

гр Siip и ^p Si^p, где ^ = n п и ^ =,

и /увгг V)]

представим Ногоз как хр^ог'Ф и гр+ 5^1р.

Аналогично Rtjki задается хр+^го^ и xp^SiXp, тогда как Roijk соответствует

Eik = -у (а-t«-к + bkbt\

Ранее [11 ] было введено понятие о новом физическом объекте «планкеон». Можно думать, что эта новая частица в каком-то смысле аналогична математическим объектам, представленным группой голономии и осуществляющим алгебраическую модель гравитации. В работе эти новые частицы связываются с Ферми- полями, что дает новую возможность физической интерпретации «планкеонов».

При этом возникает некоторое внутреннее пространство, натянутое на 20-мерные мультиплеты тензоров кривизны, понимаемые как базис представления CL (4). 20-мерное «пространство геометрии» до некоторой степени напоминает «суперпространство» Уилера [12].

ЛИТЕРАТУРА

Соколик Г. А., Станюкович К. Н. Тезисы международной конференции до гравитации GR5, Тбилиси 1968; Debever R.— С. R. Seance du 4-me Jani ver, 1959, 249, 17—44.

Зельманов А. Л.— ДАН СССР, 1956, 107, 815.

К е г г R., Goldberg L— J. Math. Phys., 1961, 2, 3, 332.

Gell-Mann M.— Phys. Rev., 1962, 125, 1067.

Гельфанд И. M., Ц е т л и н М. Л.— ДАН СССР, 1950, 71, 825.

Thompson I., Schrank G.— J. Math. Phys., 1966, 10, 4, 766.

Szekerg P — J. Math. Phys., 1966, 7, 4.

Гельфанд И. M., M и н л о с Р. А., Шапиро 3. Я. Представления группы вращений и группы Лоренца, М., 1958.

Соколик Г. А., Коноплева Н. А.— ДАН СССР, 1966, 169, 3. 10. Stoyanov D., Todorov I.— J. Math. Phys., 1968, 9, 2, 2196. 11. Станюкович К. П. Гравитация и элементарные частицы. «Наука», М., 1963.

У и л е р Дж. Предвидение Эйнштейна. «Мир», М, 1970.

П е г р о в А. 3. Новые методы в общей теории относительности. «Паука», М., 1966.

Penrose R.—J. Math. Phys., 1967, 8, 2, 345.

К ТЕОРИИ КЛАССИЧЕСКОГО РЕЛЯТИВИСТСКОГО УРАВНЕНИЯ ДИРАКА

л. л. СОКОЛОВ

Московский государственный университет

ВЫВОД УРАВНЕНИЯ

Классическое уравнение Дирака для точечного электрона за последнее время приобретает все большее и большее значение, поскольку оно является релятивистски инвариантным и с помощью его можно описать движение электрона в ультрарелятивистском случае с учетом силы радиационного трения.

Все эти вопросы приобретают не только чисто теоретический, но и большой практический интерес в связи с усиливающимся строительством электронных ускорителей со сверхвысокими энергиями (порядка одного и даже нескольких десятков гигаэлектронвольт).

В основу вывода уравнения Дирака положим уравнение

тожн = ^^Яцг.(1)

Здесь координаты электрона х^ = х, у, z, let, а тензор электромагнитного поля определяется равенством Нх — Я23 и т. д., Ех = tH14 и т. д.

В уравнении (1) электромагнитное поле Н^ создается внешними источниками (например, зарядами). Если же в уравнении (1) хотим ввести еще силу самодействия, то мы должны учесть электромагнитное поле Я^м, создаваемое тем же электроном, на который это поле действует.

Тогда уравнение (1) принимает вид

= ^ + Е^м,(2)

причем внешняя сила и сила самодействия соответственно запишутся

(3)(3)^Цу ^V^ILTVi

(3)

(3)

трсам е • jjcaM

Гц — "у gV •

(4)(4)Для определения силы самодействия воспользуемся уравнением

(4)

(4)

T^ = ^xvHc^ix).

x' (т')) dV,x' (т')) dV,Для определения потенциалов поля самодействия имеем уравнение Даламбера

x' (т')) dV,

x' (т')) dV,

□ <MW =

где

(5)(5)84 (x — x') = 8(r — r* (t')) 8 it — t' (t')),

(5)

(5)

аг' — собственное время электрона, производную по которому обозначаем точкой, т. е.

" _ ^'ц(т')Отсюда находимЛсцам(х)=-^" _ ^'ц(т')Отсюда находимЛсцам(х)=-^(6)(6)гдегдеG (ж — ж') = гриниан;U дхПх„G (ж — ж') = гриниан;U дхПх„6 (ж — я')6 (ж — я')172"172"оператор Даламбера. Определяя далее поле„сам _ Мм™ UV дх№оператор Даламбера. Определяя далее поле„сам _ Мм™ UV дх№x' (r')) dt',x' (r')) dt',(7)(7)□□д2дг^д2дг^дА^дх^дА^дх^(8)(8)(9)(9)(Ю)(Ю)с помощью формулы (4) найдем следующее значение для силы самодействия:с помощью формулы (4) найдем следующее значение для силы самодействия:х^х^ -^ 1 Gr (х х),х^х^ -^ 1 Gr (х х),uu(И)(И)х^ =х^ =^v (т)dx^v (т)dx(12)(12)

" _ ^'ц(т')

Отсюда находим

Лсцам(х)=-^

" _ ^'ц(т')

Отсюда находим

Лсцам(х)=-^

(6)

(6)

где

где

G (ж — ж') = гриниан;

U дхПх„

G (ж — ж') = гриниан;

U дхПх„

6 (ж — я')

6 (ж — я')

1

72"

1

72"

оператор Даламбера. Определяя далее поле

„сам _ Мм™ UV дх№

оператор Даламбера. Определяя далее поле

„сам _ Мм™ UV дх№

x' (r')) dt',

x' (r')) dt',

(7)

(7)

□

□

д2дг^

д2дг^

дА^дх^

дА^дх^

(8)

(8)

(9)

(9)

(Ю)

(Ю)

с помощью формулы (4) найдем следующее значение для силы самодействия:

с помощью формулы (4) найдем следующее значение для силы самодействия:

х^х^ -^ 1 Gr (х х),

х^х^ -^ 1 Gr (х х),

u

u

(И)

(И)

х^ =

х^ =

^v (т)dx

^v (т)dx

(12)

(12)

а функцию Грина, соответствующую запаздывающему потенциалу, представим в виде

(? = G1 + Ge,(13)

причем сингулярная Gx и несингулярные Go части функции Грина соответственно равны полусумме и полуразности запаздывающих

и опережающих решений (см. [1] § 17):

<14> где аргумент

U = (Жц — хц) (хи — хи) = /?2 — с2 (t — Г)2,

R = I г — г' I = У\хп — Х^ (Жп — Хп\(15)

Учитывая далее соотношения

— = 2^-^)-^,(16)

которые следуют из (15), можем силу самодействия представить в виде

Г^ = —^— J ^т' [a^v^v (Жц — Хр) —

— x^V^ — x^-^tG^G^.(17)

Введем новую переменную т";

V = т — т",(18)

область интегрирования по которой лежит около точки т, так как при наличии дельта-функции, зависящей от и —> 0, в конечном результате мы должны получить, что т" —> 0. Поскольку при вычислении подынтегрального выражения (18) можно ограничиться несколькими членами разложения по т"

Хр Хр = Хр (т) Хр (т Т ) =

= ^--1-^ + 4-^+(19)

Хц =хи(т — т") = Хц — т'Х 4- 4"х"2Хц + • • •,(20)

из последних соотношений, учитывая еще равенства

ХрХр =с2,

£рХр = 0,(21)

ХрХр -|- ХрХр = 0,

находимнаходим

находим

находим

^V^V (^ЦЯ») —— ^V*^|Ll (^v ""” *^v) —“

=- 4т"2^+4т"3 ^ - -4 ^) •<22)

Из выражения (19) можно написать соотношения, которые оказываются весьма полезными при вычислении функции и (см. (15)):

^ — ^ = /т" (1 —-^ — ^ = /т" (1 —-т"7 \2i )'т"7 \2i )'4 = Р(|т"|[1 —4 = Р(|т"|[1 —т"7 \i2^ /’т"7 \i2^ /’(23)(23)

^ — ^ = /т" (1 —-

^ — ^ = /т" (1 —-

т"7 \

2i )'

т"7 \

2i )'

4 = Р(|т"|[1 —

4 = Р(|т"|[1 —

т"7 \i2^ /’

т"7 \i2^ /’

(23)

(23)

где р = -чг — трехмерная скорость электрона, связанная с t соот

ношением1 =ношением1 =1/1^1/1^>о,>о,(24)(24)

ношением

1 =

ношением

1 =

1/1^

1/1^

>о,

>о,

(24)

(24)

которое следует из формулы (21). Отсюда функцию и можно представить в виде

(25)(26)(27)(25)(26)(27)и-сЧЧ^хЧ-^ (р|т"| + т"), причем ао 1ас

(25)

(26)

(27)

(25)

(26)

(27)

ди2т"с2дт" ’

а t — Г _ т" Т^Т“"МГ‘ Хотя соотношение (25) можно представить в виде и^—сЧ^(28)

при интегрировании по дельта-функции аргумент и лучше оставить в форме (25), которая позволяет проследить прохождение величины и через нуль при т" 0.

Подставляя (26) в (18) и воспользовавшись равенством

j dT"/(т") -^ = -^dV^G,(29)

имеем

FT = ^-J^"x

X -4^ + 4T"(^- "^^j^ + G,),(30)

причем для сингулярного и несингулярного гринианов соответственно находим

(G1 = 1 . 6(т"-р|т"|)±6(т" + Р1т" |)(31)

1со 8ясt'2₽ I т" I'V 7

Принимая во внимание соотношение

6(т"±0|т"|) =6(т"±0|т"|) =получаемполучаем1^11^16(Т")4лс | т" |6(Т")4лс | т" |5 (Г)1 ±3FT1 т"5 (Г)1 ±3FT1 т"(32)(33)(32)(33)

6(т"±0|т"|) =

6(т"±0|т"|) =

получаем

получаем

1^1

1^1

6(Т")4лс | т" |

6(Т")4лс | т" |

5 (Г)

1 ±3FT

1 т"

5 (Г)

1 ±3FT

1 т"

(32)

(33)

(32)

(33)

Подставляя (33) в (30), получим для силы самодействия следующее выражение:

гсам _ е2 " f 6 (т") dr"

+ 15" ~ "5" ®«^Ц .(34)

Заметим, что к первому члену правой части приводит гриниан Glt а ко второму — гриниан Go.

Выражение (34) следует строго из классической электродинамики и представляет собой силу самодействия точечного электрона. Член, пропорциональный яц, соответствует бесконечной электромагнитной массе. Для получения классического уравнения Дирака этот расходящийся член следует отбросить. Это можно сделать двумя способами. Во-первых, можем считать, что неполевая масса также содержит расходящийся члещ но уже отрицательный:

(35)(35)(36)(36)кван-кван-силысилынеполе2 Г 6 (т") dV

(35)

(35)

(36)

(36)

кван-

кван-

силы

силы

mЗе2 J |т"| ’

который в сумме с бесконечной электромагнитной массой

ал е2 Г 6 (т") dV

Зе3 J |т"|

дает наблюдаемую конечную массу тп0.

Этот способ напоминает собой перенормировку массы в товой теории поля.

Во-вторых, можем предположить, что при вычислении

самодействия следует взять лишь полуразность запаздывающих и опережающих потенциалов, т. е. положить гриниан

g = -^gt-g^ = gq.

Тогда расходящаяся масса (пропорциональная гриниану G^T должна вообще отсутствовать. Это можно сделать, например, с помощью введения второго поля (не максвелловского, частный случай решения Боппа — Подольского, когда массу частиц, образующих второе поле, следует положить равной нулю [1, § 34]). Для того чтобы оно могло оторваться от электрона, в его решении следует взять полусумму запаздывающих и опережающих

потенциалов. Тогда классическое уравнение Дирака для точечного электрона, в котором учитывается не только внешняя сила, но и сила самодействия, принимает вид

= 7- ХмН№ + ут0 (яц^- х^х^ ,(37)

где у = -у • -^-, а радиус электрона г0 = - ^а .

Это уравнение является релятивистски инвариантным. Из него автоматически следуют соотношения (21).

Попытки построить гамильтониан или лагранжиан, из которого можно было бы получить уравнение (37), пока что не привели к каким-либо результатам.

Возможно это и нельзя будет сделать, так как уравнение Дирака учитывает силу трения, приводящую к излучению, и поэтому представляет собой неконсервативную систему.

Уравнения Дирака (37) представляют собой новый тип уравнений, который не встречался до сих пор в механике. Особенность их заключается прежде всего в том, что они содержат третью производную по собственному времени. Кроме того, они являются еще и нелинейными. На возможных точных решениях хотя бы в некоторых частных случаях остановимся ниже.

ЭНЕРГИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ

Для исследования энергии излучения выпишем четвертую составляющую уравнения Дирака (ж4 = ict\

moct = -^- хпЕп + ут0 р£~i ^хпхп — A2) j.(38)

Если введем понятия трехмерной скорости

v = ^ = 4(39)

и трехмерного ускорения

(40)(40) du d^rw ~ "IT — IF'

(40)

(40)

которые выражаются через составляющие радиуса-вектора г (х^ х2, ж3), то легко найти следующие соотношения, имеющие место в общем случае:

.. .1

Хп = t = у^ | £2 »(^)

7 _ . W~ (1 — Р2)47 _ . W~ (1 — Р2)4= (yw) i4.= (yw) i4.

7 _ . W

~ (1 — Р2)4

7 _ . W

~ (1 — Р2)4

= (yw) i4.

= (yw) i4.

Отсюда для квадратов четырехмерной скорости ^ (времениподобный вектор) и ускорения wX (пространственно-подобный вектор) имеем

vX = сЧ^ — хпхп = с2 > О,

wX = хпхп — сЧ? = (ш2 —- |рм?|2) /6 > 0.(42)

Если для кинетической энергии электрона запишем выражение

8КИН = т.сЧ =(43)

то уравнение (38) будет описывать закон сохранения энергии

-Л=— = —д— < = е {уЕ) t + •ym0 (сЧ — tu^).(44)

Выражение м?внеш = е (vE) представляет собой работу, совершаемую внешними силами в единицу лабораторную времени {t = 1), а выражение

жпотерИ<- = _ ^ ^ _ ^(45)

потери энергии электроном при ускоренном движении.

Легко показать, что эти потери равны работе, совершаемой трехмерной силой трения

р = ^(г-^шА(46)

в единицу времени, т. е.

^потери = _ с ^^

Заметим, что потери энергии (45) содержат две части — обратимую

Wo6p< = — Vmoc2t(48)

и необратимую

Жизлг = ymjwl(49)

Обратимая часть, пропорциональная t, не может излучаться, так как являясь полным дифференциалом при интегрировании по собственному времени т между двумя крайними точками (т0 < tJ, в которых электрон движется с постоянной скоростью (Zo = tT = 0), она обращается в нуль независимо от того, двигался ли электрон в промежутке (т0 < т < тг) с ускорением или без него.

Необратимая же часть (пропорциональная w*^ всегда будет величиной положительной (т. е. характеризует потери энергии), если хотя бы в течение какого-то времени электрон двигался с ускорением, причем никакое дальнейшее его движение не сможет

восстановить эту энергию. Поэтому эту необратимую величину

(50)(50)жизл = утош4

(50)

(50)

можем интерпретировать как энергию излучения в единицу лабораторного времени (^ = 1).

Таким образом, имеем две величины, характеризующие потери энергии на самодействие jyn0TepH и Жизл.

Аналогичный результат может быть получен при выводе теоремы Пойтинга исходя из классической электродинамики

^потери = _ Д ^ &Х = ЖИЗЛ - ^- ( ЕЦ^Р_ ^51

J 7dt J 8л > \/

^изл = ^Ja^^.(516)

В нашем случае обе эти энергии будут равны:

pp-потери _ рризл

когда

t = 0,(52)

что эквивалентно в теореме Пойтинга — Умова условию

4 fP + «l№_ft(53)

dt J 8лv 7

Иными словами, РИизл характеризует излучаемую электроном электромагнитную энергию, которая никогда не может быть восстановлена, а Жпотери кроме этого излучения еще характеризует энергию электрического и магнитного полей, связанную с электроном, которая может и увеличиваться и уменьшаться. Эта энергия напоминает собой энергию, создаваемую электрическим зарядом и током.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ

Гиперболическое движение получается при действии на электрон постоянной силы, имеющей направление, совпадающее с направлением первоначальной скорости.

Если ось z направим по движению электрона, то уравнение Дирака (57), описывающее это движение, принимает вид

.../.. 1 *

Z = ctj + у ^ —zwt j ,

c"t = ж/ + у Ui1- iwt\,(54)

где четырехмерная скорость и ускорение соответственно такие:

с = сЧ2 — z2, иД = 22 — сЧ? > 0,(55)

а постоянная сила / связана с электростатическим полем

^Ех = Еу = 0, Ег = const) при помощи соотношения

j = —Ex.(56)

Частное решение уравнения (54) имеет вид 1

2 = с sh /т,(57)

i = ch /т.

Заметим, что к величине /т можем добавить постоянную Cv которую опускаем. Это легко сделать путем соответствующей перенормировки собственного времени.

В справедливости этого решения нетрудно убедиться, подставляя (57) в (54) и учитывая, что

и^ = с2/2, t = /2 ch /от, 2 = с/2 sh /от.(58)

Однако здесь возникает следующий кажущийся парадокс, на который обратил внимание еще Борн в 1909 г. [2, 3]: потери энергии электроном, вычисленные по формуле (45), обращаются в нуль:

^потери = 0,(59)

в чем нетрудно убедиться, подставляя (57) и (58) в формулу (45). С другой стороны, ускоренно движущийся электрон должен излучать, причем согласно формулам (50) и (58) для энергии излучения найдем значение

Жизл = ^m^f.(60)

Однако согласно только что проведенным исследованиям никакого парадокса в данном случае нет 2. В самом деле, это ясно, если учесть, что формула (60) характеризует только излучение, а формула (59) кроме излучения характеризует еще образование обратимого электрического и магнитного полей, пропорциональных

Н4].

ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Допустим, что электрон движется вдоль оси 2 под действием силы, зависящей от собственного времени т, т. е. для описания двйжения вновь можем воспользоваться уравнением (54), в котором следует

положить

/-/(4(61)

Тогда решение уравнения (54) ищем в виде

z = с sh q (т),

i = ch q (т).(62)

Отсюда легко показать, что при любых q выполняется соотношение с2/2 — z2 = с2,

из которого следует, что .1

== ch9-(63)

Далее, из (62) найдем следующие значения для трехмерных скорости у = ср и ускорения:

Р = thg, w == сд(1 — 02)‘Л,(64)

а для четырехмерного ускорения имеем

М24 = С2#2.(65)

Подставляя (62) в любое из уравнений (54), найдем следующее дифференциальное уравнение для определения величины q:

q — ^-f^Y(66)

Если положить / = 0 (движение по инерции), то решение однородного уравнения (66) принимает вид

= G + С/\(67)

т. е. наряду с движением по инерции (q = Сг) может появиться также самоускоряющее решение (q = С^у Поэтому мы должны выбрать начальные (точнее, граничные) условия таким образом, чтобы избавиться от этого самоускоряющего решения (см. [1, § 35]). Для этого наряду с обычными начальными условиями (координата и скорость)

= ^о’ z = zo> ~^“ = zo(68)

необходимо потребовать, чтобы после действия всех сил, ускорение обращалось бы в нуль, т. е. z^ = и) = 0 или согласно (64)

qx -> ©о = 0.(69)

В этом случае при движении по инерции последнее условие дает С2 = 0 и поэтому q = Cv т. е.

Р = th С\ = const.(70)

Найдем далее решение уравнения (66) при условиях (68) и (69). Искомое решение ищем в виде

q (т) = j / (V) G (т — т') dV,(71)

причем гриниан G следует определять из равенства

G — уё = 6 (т - т') = А- ^ е ^^dk.(72)

Гриниан как обычно представим как сумму сингулярной (G^) и несингулярной (Go) частей

G = Gx + Gy(73)

Сингулярная часть может быть найдена из правой части равенства (72) путем деления на оператор:

1 С pift(T-T')

Gt = 4- \ 4Гм-dk =

2л J ik — у (*&)2

,

—при т > т ,

='г-г(74)

2" + ^ при т < т ,

а несингулярная часть должна удовлетворять неоднородному уравнению

6-^ = 0, т. е.

6й = Сг^Сге”.(75)

Отсюда следует, что искомая величина q будет содержать две части:

q = qT + q% где

9Г = У (4 + Ci +/ W <К(76)

а

^^J^-^ + U + Qe v )/(tW-(77)

т

В решении (76) интегрируем по всем т' меньшим, чем время т, от которого зависит величина qr, и поэтому оно характеризует запаздывающее воздействие внешнего поля / (т') на электрон. Наоборот, в решении (77) интегрируем по всем т' большим, чем т, т. е. оно представляет собой опережающее воздействие.

Можно, конечно, избавиться от опережающего воздействия, полагая

01 = 4" и С2 = - 1.(78)

Однако в этом случае мы невольно сохраним после действия всех сил самоускоряющее решение.

(79)(79)В самом деле, выбирая дельта-образную внешнюю силу:

(79)

(79)

/ = Лб(т'),

действие которой прекращается в момент т > 0, найдем следую

щее значение для q:

( О( Опри т<0,при т<0,

( О

( О

при т<0,

при т<0,

(80)(80)

(80)

(80)

А (1 — е v ) при т > О,

т. е. после действия силы т > 0 электрон будет двигаться с ускорением.

Для того чтобы избавиться от самоускоряющего решения, наряду с начальными условиями, согласно которым при т = — со электрон покоится и находится в начале координат, т. е.

(81)(81)2 = 0, £ = т, 5 = 0 при т ОО,

(81)

(81)

введем также конечное условие, требуя, чтобы после действия всех сил ускорение обратилось бы в нуль, т. е.

5 = 0 при т -> оо.(82)

Удовлетворим последним условиям, если положим

^ = 4 - С2 = 0.(83)

Тогда для искомой функции q (т) найдем

ТооТ—Т'

q= \ t(т')dT' +) /(т')е v dT'-(84)

Определив величину 5, можем с помощью равенств (62) и начальных условий найти также значения для величин z и V.

= 0 j sh 5 (т') ch/, t = т + \ (ch 5 (т') — 1) dV. (85)

Сделаем некоторые выводы, которые следуют из уравнения (84).

Прежде всего заметим, что проблема Коши, имеющая место в случае классической механики (постоянные при интегрировании дифференциальных уравнений могут быть найдены только из начальных условий), в случае уравнения Дирака (классическое) не имеет уже места, так как наряду с начальными условиями необходимо также задать и конечные. Поэтому более правильно гово-

рить, что произвольные постоянные уравнения Дирака определяются из граничных условий [5].

Затем, как видно из формулы (84), опережающая часть внешней силы содержит лишь экспоненциально убывающий гриниан и поэтому практически электрон лишь за у секунд должен начать замечать появление внешнего поля. За это время электромагнитная волна пройдет расстояние

22 «о

Тс — з го — з ' т()С2 >(86)

которое можем интерпретировать как радиус электрона.

Таким образом, в теории точечного электрона Дирака радиус электрона вводится совершенно автоматически.

В частности, формула (84) при введении дельта-образной силы (79) дает решение

' т

= . де V при т < 0,^

А при т>0,

в котором после действия силы (т > 0) электрон начинает двигаться без ускорения (д = 0), т. е. в этом решении отсутствует само- ускоряющая часть.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ

ДЛЯ КОНЕЧНОГО ПРОМЕЖУТКА ВРЕМЕНИ

q =q =0 при т<0,0 при т<0,/от при 0<т<т0,/от при 0<т<т0,(88)(88)/ото при т>0,/ото при т>0,Допустим, что величина q изменяется по закону

q =

q =

0 при т<0,

0 при т<0,

/от при 0<т<т0,

/от при 0<т<т0,

(88)

(88)

/ото при т>0,

/ото при т>0,

где /0 = const и т0 = const, т. е. электрон движется по гиперболической траектории в течение времени т = т0.

Тогда для производных от величины q найдем

0 при т<0,

9 =9 =(89)(90)(89)(90)/о при 0<т<т0,

9 =

9 =

(89)

(90)

(89)

(90)

[0 при т>т0, 4 = /о [6 (т) — 6 (т — т0)].

Для внешней силы, которая вызывает подобное движение согласно (66), имеем

при т<0, при 0<т<т0, при Т > То.при т<0, при 0<т<т0, при Т > То./ W = — Т/о [6 W — 6 (т — т0) +

при т<0, при 0<т<т0, при Т > То.

при т<0, при 0<т<т0, при Т > То.

(91)

Полная энергия излучения в этом случае имеет вид тт

£ИЗЛ = ^dT = Г ^^ = оо

(92)sh /рТр /о(92)sh /рТр /ои при О<т<то, = тоус2/ок ог ^0 при т>т0, где t = LJ2J — лабораторное время при т < т0, а (0 = /о

(92)

sh /рТр /о

(92)

sh /рТр /о

лабораторное время полного действия силы. Для полной же потери энергии имеем

тт

^потери = [ jynorepn^ = _ ^ j ^ _ ^ ^ = Оо

= — moY S <с2 (/о ch /от — /о sh /от6 (то — т)) — 6

(93)(93)2., (О при 0<т<т0,

(93)

(93)

— ^4) ат = {0,2

l^oY^/o ПРИ т>то»

т. е. при действии внешней силы (0 < т < т0) потери энергии электроном равны нулю (внешняя сила с учетом опережающего воздействия компенсирует излучение). После же действия всех сил (т > тв) полные потери энергии будут равны полному излучению:

(94)(94)потери = ^изл прй т>То.

(94)

(94)

Наконец, найдем работу внешней силы, которая согласно (91) имеет вид тт

цвнеш _ т^с ^ xj ^ ^т _ m^j0 | (1 + уб (т0 — т)) sin /отйт = о6

при О<т<то,5

I (<о ~ 0 + Т^о °РИ т > то’

т. е. в итоге (т > т0) сохраняется полный баланс энергии: работа внешней силы равняется увеличению кинетической энергии электрона §кин = т0с2 ^to — 1) и энергии тлос2у/о^о» излучающую электроном в течение всего времени, при котором он двигался с ускорением:

евнеш £кин । «изл„/лс\

G =6+ G при Т > То.(УЬ)

ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА

В ПОСТОЯННОМ И ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ С УЧЕТОМ СИЛЫ ТРЕНИЯ

В случае постоянного и однородного магнитного поля, которое направим по оси z ^Нх = Н^ = О, Нг = Н) только одна составляющая тензора Н^ электромагнитного поля будет отлична от

нуля:

^12 —^2i — Н.(97)

Рассмотрим частный случай движения в плоскости ху.

Тогда вводя заряд электрона е = — £0 и новую переменную и = х + 1у,(98)

найдем из уравнения (37) следующие дифференциальные уравнения для переменных и и t = -^-:

U = i/oM + V (u — -^-,(99)

где

(10°)

а квадрат четырехмерного ускорения равен:

wt = и*и — сЧ\(101)

Решение уравнений (99) ищем в виде i = ch g, х = eshgcosq),(102)

у = c sh q sin ср.

Отсюда следует, что

сЧ^ — хй — уй = с2,(103)

и = с sh qe^,(104)

и)Х = с2^2 + с2ф2 sh2 q.(105)

Подставляя (104) и (105) в первое уравнение (99) и приравнивая нулю как вещественную, так и мнимую части, найдем два уравнения для определения неизвестных функций q и ф:

Ф = /о + ТФ + 2yg<p cth q,

(10b)

q = — усф2 sh q ch q + ^q.

В общем случае уравнения (106) аналитически решить практически невозможно. Поэтому найдем решение уравнения (106) с точностью до величины у.

Ф = /от + Cv

th g = С2е—V/”T .(107)

Не нарушая общности, можем положить коэффициент С\ = 0, а для определения коэффициента С2 учтем, что, как следует из

уравнений (102), трехмерная скорость движения и = с^ запишется в виде

Поэтому коэффициент С2 представляет собой скорость движения Ро — -у- электрона по окружности в момент времени т = 0. Отсюда находим

Р -- th q = 0„е т" , ch q = 2- ,

т

sh q =J^lJL^.,(ЮЭ)

причем постоянная т0, которую можем интерпретировать как время, имеет вид

_ 131 К 1010

v/2 - 2 ' 137 * н^ ~~ №

т. е. при магнитных полях порядка 105 гаусс время т0 становится порядка единицы.

По формуле (49) можем найти энергию, излучаемую электроном за время движения

§им = J H^dr.(111)

о

Учитывая, что

Жизл = Vznou>42,(Ша)

—2 —е То dr0(1 _ р^-гт/т.)*/.—2 —е То dr0(1 _ р^-гт/т.)*/.а значения для ^ и могут быть найдены соответственно по формулам (105) и (102), имеем в первом приближении

—2 —е То dr0

(1 _ р^-гт/т.)*/.

—2 —е То dr0

(1 _ р^-гт/т.)*/.

«изл оД2 С

G = утоС7оРо ] о

(l-$v’(l-$v’(112)(112)

(l-$v’

(l-$v’

(112)

(112)

т. е., как и следовало ожидать, вся кинетическая энергия будет излучена. После этого электрон должен остановиться. Для того чтобы получить полные потери энергии, мы должны к энергии излучения добавить еще выражение

goop = gnorepH _ §изл = ^^ (#"(0) _ #-(оо))1(ИЗ)

которое может быть вычислено по формуле (48).

Отсюда, учитывая равенства (102) и (110), найдем

(114)(114)^о^Ро уи^Г77* "V

(114)

(114)

Из этого выражения в случае ультрарелятивистской начальной энергии ро со найдем

(115)(115)80бру

(115)

(115)

8ИЗЛт0(1-р2) е

Далее, принимая во внимание соотношение (НО), а также связь начальной релятивистской энергии электрона

с магнитным полем

Е = e0HR,

где R — радиус орбиты, найдем следующий порядок для отношения (115):

«обр /\2о

-5— ~ —V R2H4 ~ 10-18Я2Я2,(116)

^изл I пг^ у’х 7

т. е. обратимой частью излучения при движении в постоянном магнитном поле мы практически всегда можем пренебречь и считать, что

jg потери ^изл

7. ДВИЖЕНИЕ ПО СПИРАЛИ

С КОМПЕНСАЦИЕЙ ПОТЕРЬ ЭНЕРГИИ НА ИЗЛУЧЕНИЕ

Как мы только что показали, при движении электрона в постоянном и однородном магнитном поле, направленном вдоль оси z,

Hx = Hy = ^Hz = H,(117)

учет радиационной силы трения приводит к потерям энергии и поэтому скорость, а вместе с тем и радиус окружности должны начать постепенно уменьшаться. Для того чтобы сохранить движение по окружности с постоянной скоростью (а в общем случае по спирали), мы должны приложить электростатические поля (при движении по спирали одно электростатическое поле должно быть направлено по окружности, а другое — вдоль оси z).

Эти электростатические поля также, как и магнитное (117), должны быть подобраны таким образом, чтобы на траектории движения не было никаких источников и зарядов, т. е. чтобы выполня-

лись условия

rot Н = div Н = rot Е = div Е = 0.(118)

Магнитное поле (117) удовлетворяет условию (118) во всех точках пространства. Соответствующие компоненты вектор-потенциала имеют вид

Ах =L уН, 4 = 4- хН, Аг = 0.(119)

Скалярный же потенциал электростатического поля выберем в виде

Ф = — A arctg + Bz = — Лф + Bz,(120)

где А и В — некоторые постоянные величины; ср = arctg -~ полярный угол в цилиндрических координатах.

Тогда для составляющих электростатического поля получаем

Ех = -^- = А4-^Ухг-^уг = А Л дхду г 1 уz/2 + ж2 ’

Е„ = - ^_ = - A^-W^+y2 = - А 2 f 2 . (121) ддудх ¥1 уу^ + ж2 ’ х 7

Ег = - В.

Отсюда легко показать, что div Е = 0 во всех точках пространства (зарядов нет), а отличной от нуля будет лишь одна составляющая ротора вдоль оси z (см. [1 ], § 9):

->/ ^2 д2 \

rotz Е = — АIn К^2 + У2 = — 2лЛ6(а:)6(у),

(122) которая на самой орбите (ж2 + у2 ^ 0) также обращается в нуль. Поскольку согласно уравнениям Максвелла

rotz Е ,(123)

cdt 1х 7

для получения электростатического поля Ех и Еу (см. (121)) можно, например, в центре круговой орбиты вдоль оси z создать магнитное поле, увеличивающееся пропорционально времени:

Hz = 2лЛе£б (ж) 6 (у).(124)

Другое электростатическое поле Ег = —В, являющееся постоянным, также удовлетворяет условию (118).

Коэффициенты А и В должны быть найдены из условия, чтобы радиационная сила трения не сбивала электрон с его траектории (движение по спирали), т. е. компенсировала потери энергии на излучение.

При наличии этих полей уравнение движения (37) может быть записано в виде

^ = — У/1 — if» ^^2 + ?(* —75-^4),

у = xft 4- if4 ^^2 + V ( У — -рг ш^ •

z = if3+ 7(2 —(125)

причем квадрат четырехмерного ускорения и скорости соответст венно равны:

w{ = х2 + у2 + 2? — сЧ\

с2 = сЧ2 — х2 — у2 — Z2, а для постоянных / имеем значение

4_ ^0^4 ^0^4 в0®

71 “ ^с ’—1 /3 — ^ •

Решение системы (125) ищем в виде

х = a cos сот, у = a sin сот, 2 = 6т, где а, со и b — некоторые постоянные величины. Подставляя (128) в (126), получаем

t = 4- (с2 + 62 + а2СО2)1/г = const.

(126)(127)(128)(126)(127)(128)(129)(129)/2 —/2 —/з/зуа2(р3 (с2 + а2(о2)уба2©4с2^уа2(р3 (с2 + а2(о2)уба2©4с2^(130)(130)Аналогично из (125) находим [3] /1 = 0,

(126)

(127)

(128)

(126)

(127)

(128)

(129)

(129)

/2 —

/2 —

/з

/з

уа2(р3 (с2 + а2(о2)

уба2©4

с2^

уа2(р3 (с2 + а2(о2)

уба2©4

с2^

(130)

(130)

Поскольку t = 0, то для работы радиационной силы (см. (45)), а также и для энергии излучения (см. (49)) найдем одно и то же значение

^потери = жизл = т^ю» = a2to4 (131)

и поэтому никакого «парадокса Борна» вопреки утверждению Гинзбурга [6] в этом случае возникнуть не может. Чтобы последнее выражение записать через трехмерную скорость, мы должны,

учитывая еще равенство (129) в уравнении движения (138), ввести лабораторное время t\

х = a cos <оо^,

z/ = asin(oo^,(132)

z = Ъ^

где

®о = -^.^о = 7--(133)

Отсюда легко найти составляющие трехмерной скорости (поперечную сРх и продольную ср и):

₽1=^,₽л=4-’(i34>

(135)(136)(135)(136)а также трехмерную скорость ср и инвариантную функцию от трехмерной скорости

(135)

(136)

(135)

(136)

Далее, принимая во внимание, что

найдем для энергии излучения выражение, полученное нами [7, 8], исходя из теории излучения классической электродинамики (см. (61)):2 4

(137)

з аЧ1 - $2

Последнее выражение определяет и потери энергии электроном, и энергию излучения, которые также равны мощности работы внешнего электростатического поля (магнитное поле работу не совершает):

фвнеш = т» ^ .^-^ + y3Z j = _ |уизл.(138)

В случае движения по окружности (6 = 0), имеем

{ = ^ = ^ + ^У\№ = е0На.(139)

Отсюда для постоянной А найдем

л=4--— рз(-А-У,(140)

3 л \ ^о^2 /

а для потока переменной части магнитного поля (24) (в центре орбиты), создающего ускоряющее электростатическое поле, йМеём

^HzdS=^-.^ (^у L(141)

S\'

Здесь 5 — элемент поверхности, где магнитное поле Нг должно достигать весьма больших значений, однако в виду точного решения задачи этот пример позволяет проанализировать некоторые принципиальные вопросы классической электродинамики и в особенности дираковской радиационной силы трения. На практике потери энергии на излучение чаще всего компенсируются электрическими полями, создаваемыми несколько другим способом, например, с помощью синхротронного ускоряющего устройства, когда это поле представляет собою бегущую волну.

ЛИТЕРАТУРА

Иваненко Д. Д., Соколов А. А. Классическая теория поля. М., 1949.

Born М.— Ann. d. Phys., 1909, 30, 1.

П а у л и В. Теория относительности, см. также стр. 139, 147, М., 1947; Fulton Т. R о 1 i с h F.— Annals of Phys., 1960, 9, 499.

Соколов А. А., Колесникова M. M.— Вестник МГУ, 1971, 2 94.

Соколов А. А.— Вестник МГУ, 1947, 2, 33; ЖЭТФ, 1948, 18, 3; см. также: Соколов А. А., Лысов Б. А., Колесникова М. М.— Труды по теории поля Московского общества испытателей природы, 1969, 1, 3.

Гинзбург В. Л.— УФН, 1969, 98, 569.

Соколов А. А., Тернов И. М., Багров В. Г., Гальцов Д. В., Жуковский Ч. В.— Zs. f. Phys., 1969, 211, 1. Изв. вузов, Физика, 1968, 5, 14.

Соколов А. А., Жуковский В. Ч., Колесникова М. М., Никитина Н. С., Ш и ш а н и н О. Е.— Изв. вузов, Физика, 1969, 2, 108; см. также: Соколов А. А., Гальцов Д. В., Колесникова М. М.— Изв. вузов, Физика, 1971, 4.

ON VARIATIONAL PRINCIPLES IN GENERAL RELATIVITY

Л. H. TAUB

University of California, Berkeley

INTRODUCTION

It is the purpose of this paper to discuss some general properties of variational principles and show how a form of the principle of equivalence may be used to obtain the general relativistic formulation of a field theory which is described in special relativity by a variational principle involving a Lagrangean function which is a scalar function in Minkowski space — time and which in turn depends on tensor fields and their first derivatives. We shall see that such a formulation involves two stress energy tensors, one a symmetric tensor which appears in the Einstein field equations and which may be called the gravitational stress energy tensor. The second called the inertial stress energy tensor is not necessarily a symmetric tensor and is defined in terms of the field tensor and its derivatives. In special relativity, it has a vanishing divergence as a consequence of the field equations. It is shown that the gravitational and inertial stress energy tensors differ by a tensor whose divergence vanishes when the special theory of relativity abtains. This latter tensor is the same one as was introduced by Rosenfeld and Belinfante in their discussion of conseration laws for field theories.

Given a four dimensional space — time with a metric tensor g^ and a tensor field Ф^’..^ (written as фА) defined over the space time. Let / be a scalar function formed from the metric tensor of the tensor field фА and the derivatives of these tensor fields.

I (g, ФА) = [ / V”g d4x,

V

where V is a fixed but arbitrary four volume in the space — time, is a functional of the metric tensor and the tensor field фл.

For given g^, I may be evaluated in any coordinate system in the space — time by using the assumed transformation properties of the function /. Thus under the

^ = x^ (x*^),

/ (x) = / (x (x*)) =/* (x*) and we may write

(g, ФА) = У / (a:) V— g d*x =

= J / (x ^x*^ V — g (x (x*)) Jd*x* =

= J /* W K=7i* ^*»(i.i)

where 'J is the Jacobian of the transformation of coordinates, that is

J = det ,

дх*^

we of course assume that J =4= 0, and V * is the same four volume as V but now expressed in the x*w- coordinate system.

If the tensor fields g^ (я) and фА (ж) are embedded in families of tensor fields gy^ Vх; e^ фА (я; e) such that g^ (x) = g^ (x; 0) and фл (x) = фА (x; 0) the functional / (g, фА) becomes a function of the parameter e. Thus we have

7 (e) = 7 (ggv (ж; e); фА (ж; e))-

An example of the embedding referred to above is given by

guv fc *) = guv (») + е/luv (ж), ФА (ж; e) = фА (ж) + ефА (ж), where hy^ is an arbitrary symmetric second order tensor field and гр^ is a tensor field with the same transformation properties as.

A variational principle is said to apply if

(4Ц = Z'(0) = 0 \ de )e=0

for arbitrary

(2£hi)=g- (0)

\ de )e=0' '

or

= Ф'Л (0) \ de )€=0'

or both.

EMBEDDINGS INDUCED BY COORDINATE TRANSFORMATIONS

Let ggV (#*) and фм (x*) be the components of fixed tensor fields gUv and фА in the x*^ coordinate system and let the equations of transformation to another coordinate system x^ depend on the parameter e, that is, let

x^ = x^ (x*\ e).(2.1)

Then since

S^v (*) = gax (x* (x))—- = g^ ^x; e)

ox

and

фа ф~С»">)

*ot...on дх^1дх^п дх*Х1дх*хт

~ фА (я; е)

the g^v and фА also depend on the parameter e. Such dependence will be said to be induced by the coordinate transformation (2.1). It may be readily verified that if

x^ (x*\ 0) = ж*^,

then

^v (^) = ^v ^«^(2-2)

where the covariant derivative is taken with respect to the metric

^v W = ^ (я*; о), and

ФЛ(0) = -АФл

°n £p I "VlPai+l--antai

~2C~2CГb;p

~2C

~2C

°”У; Tj.(2.3)

V-1PV+1--W ’ J''

These expressions for g^ (0) and ф л (0) when the e dependence is induced by a coordinate transformation will be used below.

When the volume over which / (e) is defined is independent of e. that is the limits of integration in the right hand side of the first of equations (1.1) are independent of e, then the limits of integration in the other integrals occurring in that equation depend on e. Thus if / (x) is a scalar function depending on the g^ (ж; e) whose dependence on is due only to the fact that this dependence has been induced

by a coordinate transformation then the expression for,

I (e) = ^ / Ki 44

depends on e only because the integrand depends on Whereas the equivalent formula

I^ = f f*Vpd4x*

V*

depends on e only because the limits of integration which determine the volume over which the integral is to be carried out depends on e. The integrand is by assumption independent of e. We may write the last equation for / (e) as

^ = 51* kx* ^ Vg* Iх* (*)) J-1 d4x

and now the integrand depends on e through the dependence of the functions x * (ж) on e. It follows then that

г (0) = - J №% V~g ^X.(2.4)

V

. THE PRINCIPLE OF EQUIVALENCE

If in the special theory of relativity a field theory can be described by a variational principle then there exists a scalar Lagrangian function which depends on the dependent variables of the theory and their derivatives. We shall assume that the dependent variables are given by fields which behave as tensors under Lorentz transformations. The case of spinor fields can be treated in a fashion similar to that described below. Thus we are considering the case where the function ^ is a scalar function of a tensor field and its derivatives under Lorentz transformations. We postulate that the dependent variables of the theory are tensors under general coordinate transformations in Minkowski space — time and write ^ in such a coordinate system as a function of the tensor field фА, its covariant derivatives and the metric tensor evaluated in the general coordinate system.

We now form the integral

I =ач.(3.1)

In this integral, the g^ are no longer assumed to be the metric of a flat space — time and hence one can compute a combination of it, its first, and second derivatives which is a scalar curvature of a space — time with metric tensor g^. The volume of integration entering on the right-hand side of equation (3.6) is an arbitrary one,

and к is a constant which may be related to the Einstein gravitational constant.

Next we form the function 7 (?) by embedding the tensor fields g^ and фА in I into the families g^ (x; e) and фА (ж; e) as discussed earlier and study the conditions for

Г(0) = 0.

We shall denote

6 J = Г (0) when

фм (0) = 0 and

6Ф7 = Г (0) when

(0) - 0.

In general we shall have

Г (0) = 6gI + 6ф/.

The general relativistic formulation of the field equations determining the field tensor фА will be given by

6ф7 = 0(3.2)

and the Einstein field equations for the gravitational field created by the sources dependent on the tensor field фА will be taken to be

6gI = 0.(3.3)

It is evident that the equations obtained from equations (3.2) are those that would hold in a general coordinate system in Minkowski space — time. Hence in view of the principle of equivalence which states that some non-galilean coordinate systems in Minkowski space — time are locally equivalent to the presence of gravitational fields, equations (3.2) should represent the equation determining the tensor field фА in general relativity.

In the subsequent discussion we shall see that equations (3.3) lead to the Einstein field equations in the form

Gnv = д^ _ _1_ glwR = _ kIn«(3 4)

and T^ will be a symmetric tensor determined from the tensor- field фА.

NOTATION

In order to avoid an excessive use of indices, we employ the following notation

фл^ф"-а«.(4.1)

The symbol ^ is to be read as «stands for.»

I V rTx^i -^i—lPai4-l“-an rai

(4.2)

where the comma denotes the ordinary derivative and

Гат = ^ ~2~ kgcK^ 4“ ^Хт.а gox^»

(4.3)

We also write хрл, and tp^ where

(4.4)

(4.5)

(4.6)

That is, the quantity given in (4.5) is a scalar and that in (4.6) is a vector.

We consider ^ as a function of three sets of variables: g^, фл and ФА;ц and define

^ = ^T'<4'8)

Pi -(4.9)

In each case the remaining two sets of variables are kept constant in the partial differentiations.

рРЛЦ __ 2рРЛЦ __ 2We also define

рРЛЦ __ 2

рРЛЦ __ 2

пт1---ттпР-(Т)а1---аг--1^аг4-Гot...on6

It follows from equations (4.3) that

(

jpP \i

-dr-V= ^ = ^ ^ + 8^° ■ g°^(4Л1)

and from (4.2) that

de / e_0 L\ ae /e=OJ;gde / e_0 L\ ae /e=OJ;g= (ф£)'-(фа'Ы= (ф£)'-(фа'Ы

de / e_0 L\ ae /e=OJ;g

de / e_0 L\ ae /e=OJ;g

= (ф£)'-(фа'Ы

= (ф£)'-(фа'Ы

where the variations are produced by varying the фА and the g^. Hence

Pa^Y -Р^(ФА');ц = = M^gKp№ wherePa^Y -Р^(ФА');ц = = M^gKp№ whereA, pXw (g^ 4- gx.g.p — g^.^^(4.12)A, pXw (g^ 4- gx.g.p — g^.^^(4.12)

Pa^Y -Р^(ФА');ц = = M^gKp№ where

Pa^Y -Р^(ФА');ц = = M^gKp№ where

A, pXw (g^ 4- gx.g.p — g^.^^

(4.12)

A, pXw (g^ 4- gx.g.p — g^.^^

(4.12)

(4.13)(4.13)(4.14)(4.14)(4.15)(4.15)(4.16)(4.16)

(4.13)

(4.13)

(4.14)

(4.14)

(4.15)

(4.15)

(4.16)

(4.16)

jj^Xpg _ 1 (pXpg । pP^g । p^gP ।

[ рРЦ^рЦР^pg^P) _ ^P^

It follows from this equation that

2Af^^p^pn _ ^ ^ppM*рХрц

I p^gp [ pPgX pgpb рцХр) _ yyXpg __ yy-Xgp

It is a consequence of the definition of the Ricci tensor, p । pppP pa

^gv — 1 ga,v 1 gv,a г 1 ga1 pv 1 gv1 pa and equation (4.11) that

( ^gV \D — p'O "P^

\аГ")е=^ —— 1 ga;v — 1 gv;a

and that

g^R^ = [(^Va -^^^gv^La-

THE EULER EQUATIONS

The relation between the energy-momentum tensor for the field which appears in the Einstein field equations and the variation of ^ with respect to the g^ was first pointed out by Hilbert [1] as is noted in Pauli’s classical discussion of the theory of relativity [21 where additional references may be found. In this section we shall derive the Einstein field equations and the equations that must be satisfied by the field.

It may be verified that

I' (0) = bgl 4- 6ф/ =

= - f (G^ + МП g^ + к (дАфА' + Р^л (Ф^П- V

{(gV - gWgV°) gpv ;p} ;a] V^g d^Z,(5.1)

where G^ is defined in equations (3.4), qA in (4.8) and P^a in equation (4.9).

It follows from equation (4.12) that equation (5.1) may be written as

Г (0) = J l(^v + ^ g^ + к ^дАФА + P»A ^A\№ V

+ kM^g^ - {(g^g^ - g^) g^p^y—g d4.

On integrating by parts this in turn may be written as

Г (o) = J {[G^ + ^J g^ +k(qA- P^ ФА]У~е(Рх V

+ J w™g\«+кР1ФА> - ^g^ -

V

g»*O g uv;pb У—"gd4, where the symmetric tensor

7^ = QUV _ M^o = T^(5 3)

and M^0 is defined by equations (4.10) and (4.13).

By requiring I' (0) to vanish for arbitrary variations which vanish on the boundary of the region V we obtain the Euler equations

G^ + kT^ = 0(5.4)

and

Fa = ^-P^ = 0.(5.5)

Equations (5.4) are the Einstein field equations with a matter tensor given by equation (5.3). Because this tensor arises from the variation of I with respect to the gravitational field g^ we call T^ the gravitational matter tensor. Note that even in the Minkowski space — time T^ is different from ©^ in a general coordinate system.

Equations (5.5) are the equations for the field фА. They may be obtained from the special relativity equations in a galilean coordinate system by replacing every ordinary derivative by a covariant one. They obviously reduce to the equations of special relativity in case the tensor g^ is the metric tensor of Minkowski space — time.

CONSERVATION LAWS

(n this section we shall use a technique similar to that of E. Noether [3] to relate the tensor T^ occurring above with a not-necessarily- symmetric tensor which will be called the inertial stress energy tensor and to derive various conservation laws. The inertial stress energy tensor of the field фА is defined by the equation

1°р=РОАФ^-б^(6.1)

and it is evident that in general

^up = ga^p ^ ^pu-

Further we see that as a consequence of the equations satisfied by the Ф field, equations (5.5), we have

tp;o = (P°A;a - Ча) Ф£ + P°A (Ф^ра - Ф^р) = Р°А (Ф?ра - Ф^р),

when ^ does not depend explicitly on the coordinates. In special relativity we have tp.o = 0. In general tp;a can at most depend linearly on P°Al фл and the curvature tensor in view of the Ricci identity. We shall evaluate this dependence in equation (6.7).

The computations carried out in the sequel make use of the fact that when g^ and ф'лаге given by equations (2.2) and (2.3), Г (0) must be given by equation (2.4) with That is, we must have

Г (°) = - J № - ^ ^);a Г- g<Px V

when equations (2.2) and (2.3) are substituted into equation (5.2). When the former equations are substituted into the latter one we use the identity

^^v - ^g^ - gPW ^;v + ^;ц);ра = - №.0, equation (26.1) and the definition

r^ = V— ° г—lvai+l ••• ^v i

ax... Qj-l^i+i~

। V F^1 *** T^-1VV+1 - ттфа1 — °n^РЦ

*T" Qi ... onT1 ... TJ—1PTJ+1 T77l

to obtain

Г (0) = - J [(2? - k^ ga]; a V^Px +

V

+ к J [(27^ + L^ ^ + РаФар^\ ^~gd*x

V

+ ^ j* G^ a£u;v 4™ ^P^);o V— £^4£>(6.2)

v

where №^° is defined by equation (4.14).

Note that

^v = 0

when equations (5.5) are satisfied.

Since the tensor N^° is antisymmetric in v and a we have

That is, or

In view of this equation and equation (2.4) we may write equation (6.1) as

J [(2rv + L^) ^,v + /дО^] V~gd4 +

V

+ f t(tp + ^v) gp];o V”gd4 = 0. V

On integrating this equation by parts we obtain

j (FaO^ - 2TP a - L°p,o) £p V^gd^x +

V

+ J [(2П + ^p + <p + N^) gpb K=gd*x = 0. V

When the tensor field фд is a solution of the Euler equations (5.5) the above equations become

2 J ^Uv V^gd4 + J [(t^ + та £РЬ V”g^x (6.3) V and

- 2 J T^^V^d^x + J [(2Tg + Z° + VV

A-N^^oV~g^(6.4)

Both equations must hold for arbitrary volumes and arbitrary vectors gu.

If £ц is a Killing vector, that is, satisfies

£iv,v + £v;u = 0

then equation (6.2) inplies for such vectors that

IUp + N^ £P];a = f<%P + A^^vl.a = 0.(6.5)

Killing vectors need not exist in a space — time satisfying the Einstein field equations. As is well-known there are ten linearly

independent Killing vectors in Minkowski space — time — the generators of the inhomogeneous Lorentz group. Equations (6.5) for these Killing vectors are the conservation laws of energy momentum and angular momentum discussed by Belinfante and by Rosenfeld. Since the tensor ^° satisfies these conservation laws, in special relativity, we may consider it as the inertial energy tensor.

Since equation (6.4) must hold for arbitrary vectors and arbitrary volumes, we must have

T^^ = 0(6.6)

and

2Tpa + tpO + Np<^ Q,(6.7)

Equation (6.6) is a consequence of the Einstein field equations. We have now shown that it follows from the invariance properties of ^ and the фл field equations, equations (5.1). Thus equations (6.6) and (6.3) hold in special relativity.

Equations (6.7) relate two energy tensors, the gravitational one Tu^ and the inertial one tp\

It follows from equations (6.6) and (6.7) that

fpo _ _ 7VpavL — AApav\ — L;va —;va \<зм) —^g g^

This equation, which may be derived directly from the definition of tpQ and equations (5.5), reduces to

tP°;o = 0

in the case of special relativity.

It should be noted that as a consequence of equation (6.6), equation (6.3) may be written as

J [(2П -к" + ^Vv.oV^g^x = 0 V

which in turn may be written as an integral over the hypersurface S boundary the volume F, namely

f [2^ + % + N^pn,,dS = 0,(6.9)

s

where ncdS is the element of volume in 5, and £p is an arbitrary vector. Equation (6.9) may be used to relate the time rate of change of the three-dimensional volume integrals of Tp and tp by choosing the hypersurface surface to consist of the hyperplanes t = constant and t + dt = constant.

GENERALIZATIONS

The results obtained above may be readily generalized to the case where there are a number of ф— fields present. In such a case for each such field there will be an associated T^ and a corresponding

. The right-hand side of the Einstein field equations will contain the sum of the T^ and this tensor will be related to the sum of the t^ by equations analogous to equations (6.6).

In case the ф — field is a spinor field a similar discussion to that given above can be made. The special relativistic Lagrangian must first be generalized by replacing ordinary derivatives of the spinor field by covariant ones. The variations in the metric tensor may be performed by varying the generalized Dirac matrices which satisfy the relation

Ym-Yv 4* YvYu = 2g^v.

It should be pointed out that if we define the scalar

H = Р°АФА0 -£ = H (Pa, Фа)

then equations (5.5) become

П;о = ~(7.1)

and

ф^ =.(7.2)

dP°Av

These two equations are similar to the Hamiltonian equations for particles.

Note, however, that H is not ^ nor t\ . Thus if in virtue of equations (7.1) we call H the Hamiltonian it is related to tp through the equations

Я = ^ + 3^.(7.3)

Thus the connection of the Hamiltonian with the stress energy tensor involves the Lagrangian function.

REFERENCES

Hilbert D.— Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, 1915, p. 395.

Pauli W. Theory of Relativity, Pergamon Press, London, 1958, p. 158.

Noether E.— Gottingen Nachtrichten, 1918, p. 235.

Rosenfeld L.— Acad. Roy. Belgique, 1940, 18, p. 6.

Belinfante F. J.— Physics, 1939, 7, p. 887.

KREUZEXPERIMENTE

IN DER ALLGEMEINEN RELATIVITATSTHEORIE UND DIE EXPERIMENTS ELE BESTIMMUNG DES RIEMANNSCHEN KRUMMUNGSTENSORS

H.-J. TREDER

Deutsche Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Zentralinstitut fur Astrophysik, DbR

ABSTRACT

The system of reference in a (infinitesimally small) laboratory is given by a comoving tetrad hB of the worldline ^ of L. Along ^ the tetrad undergoes Fermi — Walker-Transport. For physical quantities Л\ underlying the same law of transport along the curve ^, the measured values in AB = hBАг are constants. .

It L is moving freely in a gravitational field, then the transport law becomes that of Levi-Civita along the curve ^ which now forms a geodesic. By the Einstein principle of equivalence every physical system in such a forcefree laboratory L undergoes the same parallel transport. Therefore, the measured values AB are constants (if no additional forces influence this quantity).

If two similiar laboratories Ly and Ln are moving forcefree along two different geodesics ^i and ^n, and if the measured values of a physical quantity coincide at a common world-point PL of both geodesics, then they coincide also at any other common world-point Pi of these world-lines of Ly and Lyy But, is the measurement of the quantities of Ly is performed by the measuring device Myy of Lyy (an vice versa the quanitities of Lyy measured by the device Mi of Ly), then the values obtained by this crossing over will differ.

The difference of the values got by the cross measurement and the difference of these against the values in inner measurements of the laboratories are determined by the Riemannian curvature tensor and the surface included between the geodesics ^i and {£yy. Assume two satellites Ly and Lyy moving on a common circular Kepler orbit (radius r) around a centre of mass M in different direction the relative change ■ ^- of the values by cross measurement against

the values by inner measurement is proportional to the Schwarzschild constant a = -^ of the mass M to the number N of revolutions and to the reciproque of the radius of orbit:

AB r

The effect shows to be solenoidal. A special case is represented by the «geodesic precession».

Aus der Universalitat der Gravitation leitet die Einsteinsche Gravitationstheorie her, daB das Gravitationsfeld mit der metrischen Struktur der physikalischen Raum-Zeit identisch ist. Da aber alle Experimente in Raum und Zeit durchzufuhren sind, ist die Gravita- tionswirkung prinzipiell nicht eliminierbar, denn dies wurde be- deuten, das Laboratorium aus der Raum — Zeit herauszunehmen.

Die Universalitat der Gravitation bringt es andererseits mit sich, daB das Gravitationsgeld auf alle physikalischen Prozesse in der gleichen Weise einwirkt, unabhangig von Quantitat und Qualitat der am Froze beteiligten Teilchen und Felder. Lassen wir daher ein Laboratorium L sich mit seinem gesamten Inhalt im Gravitationsfeld frei bewegen, so ist ein Gravitationseffekt lokal nicht konsta- tierbar: alle Korper fallen in einem homogenen Gravitationsfeld gleich schnell. Erst, wenn die raumlichen Abmessungen oder auch die Zeitdauer der Experimente sehr groB wird, laBt sich in L iiber- haupt ein GravitationseinfluB in Form von Gezeitenwirkungen konsta- tieren. Die einzelnen Elementarprozesse im Laboratorium werden hiervon nicht beruhrt.— Um den technischen Komplikationen mit den Gezeitenkraften aus dem Wege zu gehen, denken wir uns unser Laboratorium geniigend klein (ein Beispiel fur ein solches Laboratorium ist ein Raumschiff auf einer ballistischen Bahn x). In einem frei bewegten Laboratorium ist also die Wirkung des Gravitations- feldes zwar nicht abgeschirmt, wohl alber durch die Tragheitskrafte voll kompensiert. Daher verhalt sich ein im gravischen Feld frei bewegtes Laboratorium L in bezug auf alle in L ausgefuhrten Messun- gen genau so, als wenn iiberhaupt kein Gravitationsfeld vorhanden ware [1].

Alle physikalischen MeBwerte sind skalare GroBen. Diese Skalare sind entweder die Werte von Invarianten, oder sie sind das Ergebnis der Projektion tensorieller GroBen auf ein gewahltes Bezugssystem, das mathematisch auf natiirliche Weise durch ein orthonormiertes Tetradenfeld hf (x) dargestellt wird.

Die MeBwerte ТвУД eines Tensors Th?., sind also gegeben durch die natiirlichen Komponenten dieses Tensors in bezug auf hf [5, 6]:

Tk:: = ht ... hhB ... n-. (iy

Hierbei genugen die Tetraden ht den Orthonormierungsbedingungen x

gih = /?i hh Т]аВ» Л-АВ “ ^А^В^гк(2)

(mit t)ab — Minkowski — Tensor).

Mit (2) sind auch alle Tetraden [5]

^ = mABht(3)

orthonormiert, fiir die die Koeffizienten-Matrix der Bedingung

toABto*cB = ^c = 6c(4)

geniigt, d. h. fiir die die Koeffizienten-Matrix сод ^ die Matrix von lokalen Lorentz-Rotationen am Punkt P = {^} ist.

Anschaulich bedeutet die Projektion der Tensoren Тгк\\\ auf die hf gemaB (1) das Anlegen von Etalons an die zu messenden GroBen. Die GroBen TB .*** sind die natiirlichen Komponenten der raum-zeit- lichen GroBen TV... in bezug auf ein vorgegebenes Bezugssystem \hA (^z)}. Alle Operationen sind jeweils fiir einen Weltpunkt P = = {xv, ^} erklart, der der momentalen Lage des Laboratoriums ent- spricht.

Das mit dem Laboratorium mitbewegte Bezugssystem, in dem also das Laboratorium selbst ruht, ist gegeben durch das begleitende (kanonische Frenetsche) Vierbein ht (s) der Weltlinie £1 : ^ = ^ (s) von L. Langs ^ gehen die instantanen Ruhsysteme von L allgemein durch einen Fermi — Walker-Transport auseinander hervor [4]:

hAiU = hA (и^и — иЧц-ди1) = 0(5)

f wo zzz = —— —- Tangentialvektor von ^V \ds/

Die Aussage, daB irgendwelche sich im Laboratorium defindenten Teilchen und Felder im Laboratorium ruhend mittransportiert wer- den, bedeutet, daB die betreffenden tensoriellen GroBen, die deren Physik, beschreiben, demselben Fermi — Walker-Transport wie L unterworfen sind, z. B.

\A;i — Ан (uu-i — uVi)] и = 0.(6)

Aus (5) and (6) folgt die Unveranderlichkeit der MeBwerte beim - gleichzeitigen Fermi — Walker-Transport sowohl der zu messenden GroBen als der MeBeinrichtung:

Л^ = -^Лв = 0.(7)

Gilt umgekehrt fiir die MeBwerte (7), so sind die physikalischen GroBen Аг und die Bezugstetranden hA demselben Fermi — WalkerTransport unterworfen.

Der Fermi — Walker-Transport bedeutet die Bewegung des Laboratoriums unter dem Einfliip einer nichtuniversellen Kraft

г I _к ~ u^u — ^ .

Die Wirkung einer solchen Kraft auf verschiedene physikalische Systeme ist aber im allgemeinen von der Struktur dieser Systeme selbst abhangig. Unter der Wirkung einer nichtuniversellen Kraft wer- den das Laboratorium L und die mit ihm verbundene MeBeinrichtung M einem anderen Transport unterliegt als die im Laboratorium be- findlichen physikalischen Teilsysteme.— Daher ist die Beziehung (7), die denselben Fermi — Walker-Transport von MeBinstrumenten und zu messenden GroBen voraussetzt, im allgemeinen verletzt.

Schirmt man das Laboratorium von alien nichtuniversellen Wechselwirkungen mit der Umwelt ab, so bleibt ein im Gravitations- feld kraftefrei bewegtes Laboratorium iibrig.

Fur ein kraftefrei bewegtes Laboratorium ist die Weltlinie ^ eine Geodatische, und der Fermi — Walker-Transport geht in den Levi-Civitaschen-Transport langs ^ liber [1], [3], GemoB dem Ein- steinschen Aquivalenzprinzip unterlieft der gesamte Inhalt des (abgeschirmten) Laboratoriums diesen Levi-Civita-Transport. Wir haben somit flir das Eigenbezugssystem des Laboratoriums (das sind die kanonischen begleitenden Tetraden der Geodatischen ^) die Gleichungen

Htlu1 = -^Ht = °(8)

und z. B. flir eine beliebige (ungestorte) vektorielle GroBe im Labcra- torium L

A*.u = ^-Al = 0(9)

Ds

so daB flir die Unveranderlichkeit aller MeBwerte in einem frei bewegten Laboratorium folgt

-^-A® = к^Л® + A^ ul = 0.(10)

Aus (10) folgt mit (8) wiederum (9), also der Paralleltransport von Аг langs der Geodatischen ^. DaB das kraftefrei bewegte Laboratorium in bezug auf seinen Inhalt ein kraftefreies Ruhsystem realisiert, spiegelt sich in den Fermi-Koordinaten des Laboratoriums wider. In den Fermi-Koordinaten ist die geodatische Weltlinie ^ des Laboratoriums durch die Gleichung

^ = 0 (v = 1,2,3)

beschrieben und es gilt

(^i^^v^o = Лг/ь (ГА/)^=0 = 0.

Das Laboratorium ruht also in Fermi-Koordinaten am Ort x° = 0 und ist dort kraftefrei.

Zwei Laboratorien L\ und Ln mogen sich zu einer Zeit t = tx am Punkte PY des Raumes befinden. Wir nehmen an, daB Ly und Lr im Sinne der speziellen Relativitatstheorievollig gleichartig sind und daB ferner — ebenfalls im spezielle — relativistischen Sinne — auch alle physikalischen Prozesse und MeBoperationen in Ly und Ln symmetrisch ablaufen.

Die Laboratorien Ly und Ln sollen dann auf zwei verschiedenen geodatischen Bewegungsbahnen ^i und ^ц bewegt werden, derart, daB sie sich zur Zeit t = Z2 am gemeinsamen Punkte P^ befinden. Am Punkte Px wurden innerhalb der Laboratorien Ly und Lyy Mes- sungen durchgefiihrt, die zur Bestimmung der Werte (Лв); und (Лв)п fiihren. Galt dann beim Vergleich der Messungen am Punkte Pv

кАв^ = ^и(11)

so gilt dies wegen (10) auch am Punkte Pyy, wie auch immer die Wege ^T und ^n gewahlt waren (vorausgesetzt ist nur die freie Bewegung der Laboratorien).

Wir andern nun das Experiment so ab, daB wir am Punkte Рг wiederum die Gultigkeit von (11) voraussetzen, aber nach der Bewegung zum Punkte P2 die Komponenten eines Vektors aus dem Laboratorium Lyy mit den MaBstaben hf aus dem Laboratorium Ly и

bestimmen. Diese Operation fiihrt zu Ergebnissen, die weder mit den EigenmeBergebnissen in Ly und Lyy noch untereinander iibereinstim- men, d. h. es gilt am Punkte P2

III

^Abt^A?)^(12)

III

Die Ungleichung (12) ist eine direkte Folge der Existenz eines Gravitationsfeldes, d. h. der Kriimmung der Raum — Zeit F4, und die Differenzen

^f>Ln - (Л‘^п(13a)

und

(Л^ - (Л1^(13b)

III

sind ein direkt von den gewahlten Wegen ^T und ^n abhangiges MaB f iir die Kriimmung der F4.

Um dies einzusehen, betrachten wir zwei infinitesimale Bewegungsbahnen ^i und ^n und denken uns diese durch Addition einer beiden Bahnen gemeinsamen Kurve ^ zu geschlossenen infinitesima- len Kurven ^T und ^n erganzt, die die Flachen dFy bzw. dFyy ein-

schlieBen und benutzen hierzu den symbolischen Kalkul von Levi- Civita [3].

Die Anderung \Аг des Vektors A bei dem Transport um ^T ist gegeben durch1

M1 = ^rUaV*.(14a)

Die Anderung der ^ begleitenden Bezugstetraden bei demselben Transport sei gegeben durch

AAf =-^-RktmdFtmhB.(14b)

Entsprechend ist die Anderung des Vektors Аг bei dem Transport langs ^n gegeben durch

АЛ’=LrUa^F1"1(15a)

IIII

und die Anderung der begleitenden Bezugstetraden durch

AAf = -^RkUmh^dFlm.(15b)

II2II

Fur die Anderung АЛВ der MeBwerte AB bei der Messung mit i

MaBstaben Mi aus dem eigenen Laboratorium finden wir (biszu Termen hoherer Ordnung)

(16)(17)(16)(17)A ^hB) = AXj/if + XjAAf = A M^ = g^ ^kB^ IIII

(16)

(17)

(16)

(17)

und somit (entsprechend der Konstanz der EigenmeBwerte):

NAB = 4- dplm (- R«mhi Ak + R^A') =

I 2 г

= 4- dplm (RMm + RhUm) hBtAk = 0

2 I

(denn fiir den Riemann-Tensor besteht die Symmetrie

f^ihlm = Rhilm)-

Werden hingegen die Messungen gekreuzt durchgefiihrt, so erhalten wir eine Differenz der MeBwerte. Fiir die Messung von GroBen aus Li mit den MeBgeraten Afn gilt:

^h^ + A^h? =L Ahh,?Rktm (dFlm - dFlm), (18a)

III2III

und fiir die Messung der GroBen aus Ln mit den Geraten erhalten wir den vorzeichengespiegelten Ausdruck

АЛ^ + A^hf = — 4- AkhBRk (dFtm - dFlm). (18b)

III2III

Fur die Differenz der MeBwerte bei Kreuzmessungen folgt also:

АЛ^® + АЗД — ЬАЪ? — A^h? =

III III

= - Akh?Rllm (dFlm - dFlm) =

III

= -Ahh?Rkim f ^m(19)

— Diese Differenz ist tatsachlich durch den Riemannschen Kriim- mungstensor Вы™ und damit durch das Gravitationsfeld gegeben.

Da das Vorzeichen der umlaufenen Flache dFlm vom Umlaufsinn abhangt, gilt fiir zwei Laboratorien Ly und Ln, die dieselbe Kurve, aber in entgegengesetzter Richtung umlaufen:

XA'h® + A^h? - NA^h? - A^h® = III III

= - 2AH^RXimdFlm.(20)

Ein Kreuzmessungsexperiment kann man also im Prinzip mit 2. Satelliten ausfiihren, die auf nahezu derselben Kepler-Bahn ein Schwerezentrum der Masse M am Ort = 0 in entgegengesetzten Richtungen (also rechtlaufig und gegenahufig) umlaufen. Der Aus- tausch der zu messenden GroBen soil jeweills im Moment der Gegeg- nung der beiden Satelliten erfolgen. Nehmen wir an, daB die beiden Satelliten Li und Ln vollig gleich sind, so ist die GroBe des Kreuzef- fektes leicht anzugeben:

Da der Effekt tensorieller Art ist, hangt seine GroBe zunachst von der Orientierung der zu messenden GroBen und der MeBeinrich- tung relativ zur raum-zeitlichen Kriimmungab. Sind diese Orientie- rungen so gewahlt, daB der Effekt maximal wirksam wird, so finden wir fiir das Verhaltnis der Differenz von KreuzgroBen und Eigen- groBen

ДЛ® = - Ak^RVimdFlm(21)

zu den EigengroBen

AB = kA^ = kAkh^u

sellst die Beziehung

-^- = -R‘MmdFtm.(22)

Fiir die nichtverschwindenden Komponenten des Riemannschen 294

Tensors des zentral-symmetrischen Gravitationsfeldes der Masse M gilt

Кут=-^г(23a)

Die in einem Umlauf zu umlaufende Flache ist wegen der nahezu kreisformigen Bahn 1:

dF=r\(23b)

Der relative Effekt der Kreuzmessung ist demnach gleich dem Verhaltnis des Schwarzschild-Radius a = jMc~- der Masse M zum Bahnradius r1:

\AB=AB-^-.(23c)

Wird nun aber dieseble kreisformige Kepler-Bahn von den Sa- gelliten W-mal umlaufen, so ist die umschriebene raum-zeitliche Hyperflache, die in (19) eingeht

dF=Nr(24a)

Der Effekt ist also proportional der Zahl N der Kepler-Umlaufe

bAB=NAB-^-(24b)

(Der Kreuzmessungs-Effekt verhalt sich also analog zu einem sole- noidalen Effekt in der Elektrodynamik.) 2

LITERATUR

Einstein A. Grundziige der Relativitatstheorie. 5. AufL, Berlin, Oxford, Braunschweig, 1969.

F о к к e r A. D. Time and Space, Weight and Inertia. Pergamon Press, 1965.

Levi-Ci/vita T. The Absolute Differential Calculus. London and Glasgow, 1928.

S у n g e J. L., Relativity: The General Theory. Amsterdam, 1960.

T r e d e r H.— J., Loretz — Gruppe, Einstein — Gruppe und Raumstruk- tur. In: «Entstehung, Entwicklung and Perspektiven der Einsteinschen Gravitations theorie». Berlin, 1960.

T r e d e r H.— J. Foundations of Physics, 1970, 1, 72.

СООТНОШЕНИЯ ДУАЛЬНОСТИ И ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ

Ф. И. ФЕДОРОВ

Институт физики АН БССР, Минск

В работах [1,2] показано, что с помощью самодуальных и анти- дуальных антисимметричных матриц в пространстве Минковского общему преобразованию Лоренца может быть придана предельно простая, удобная для применений форма. Этот подход был рассмотрен далее в работе [3]. Самодуальные и антидуальные матрицы могут быть введены также в римановом пространстве общей теории относительности, и с их помощью можно получить ряд сведений о структуре и свойствах тензора кривизны. Кроме того, ковариантное разделение любого антисимметричного тензора на само-ан- ти-дуальные части дает возможность по-новому подойти к изучению свойств бивекторного пространства. Общее рассмотрение относящихся сюда вопросов составляет содержание настоящей статьи.

ДИСКРИМИНАНТНЫЙ ТЕНЗОР И ОПЕРАТОР ДУАЛЬНОСТИ

(1.1)(1.1)Определим дискриминантный тензор обычным образом, добавив лишь множитель 1/2:

(1.1)

(1.1)

Щь^т —2 ^iMmi Т|^^т — y"g"

Здесь g = | gik | — детерминант ковариантного метрического тензора; &ihim — символ Леви-Чивита. В римановом пространстве И4 с сигнатурой (±±±±Т), которое мы только и будем рассматривать, тензор т] является чисто мнимым. Отметим свойства

Лшт = Л^гЬ, ч^Мт = Л^^» (I-2) = 6™ = ^ = _L (SmSn _ ^ (1 3)

б^бг = 6Г.(1-4)

^аы = Ат = 4" И» - АА 6^У = л[Ы].(1.5)

Всюду в дальнейшем используются следующие обозначения для индексов: a, b, с, d, е, ... = 1, 2, 3; к, I, т, п, г, s, ... = 1, 2, 3, 4; а, 0, у, е, р, а, ... = 1, 2, 3, 4, 5, 6 = (14), (24), (34), (23), (31), (12). Таким образом, тензору б^ можно сопоставить шестимерную квадратную матрицу 6 = (6$) (6« = 1 при а = 0, 6^ = О при а + Р)- При этом согласно (1.4)

б2 =6,(1.6)

откуда следует, что 6 является проективной матрицей, которую можно рассматривать как проективный оператор, выделяющий из любого тензора второй валентности его антисимметричную часть (см. (1.5), а также работу [4]). Как известно, след проективной матрицы равен размерности подпространства, на которое она проектирует. В данном случае 8р6 = б^ = 6, т. е. получим размерность пространства антисимметричных тензоров — бивекторного пространства. Если рассматривать 6 не на пространстве всех тензоров второй валентности, а на пространстве антисимметричных тензоров, то 6 будет единичным оператором.

Рассмотрим смешанный дискриминантный тензор

g — Л gVtgk'k — Л = Лгй/

Этот тензор, как следует из (1.3), обладает важным свойством

л№ = W'4mm = 61™(1.8)

или, если аналогично (1.6) ввести матрицу л = (л^) = (л«)>

Л2 = 6.(1.9)

Таким образом, в бивекторном пространстве квадрат смешанного дискриминантного тензора равен единичному тензору. Именно ради этого свойства необходимо введение 1/2 в определения (1.1).

С помощью тензора л каждому антисимметричному тензору Ак1 или Bhl можно сопоставить другой тензор

Ai = Л^м» go =(1Л0)

Будем называть антисимметричные тензоры Ац, В13 дуальными по отношению к тензорам А ^ Вгз соответственно. Вследствие (1.8) соотношение дуальности является взаимным, т. е.

Ам = л^, ^ = л^5у,(1.11)

следовательно,

AM=Ai5, ВУ = ВУ.(1.12)

Поскольку тензор т] чисто мнимый, то тензоры, дуальные к вещественным тензорам, также будут чисто мнимыми.

Очевидно, согласно определению (1.10) переход к дуальному тензору является линейной операцией, т. е.

&Aib 4“ ЬВгк = О-Агк + ЪВгк,

где a, b — скалярные множители. Легко видеть, что если два ковариантных антисимметричных тензора взаимно дуальны, то такими же будут соответствующие контравариантные тензоры и наоборот. Иными словами, соотношение дуальности сохраняется при переходе от ковариантных к контравариантным тензорам или наоборот [5]. Кроме того, поскольку все приведенные выше соотношения имеют тензорный характер, то они справедливы в любой системе координат. Поэтому соотношение дуальности двух тензоров имеет общековариантный смысл, так же, как, например, соотношение вида А= ± Вкг.

Соотношение дуальности, как видно из его определения (1.10)^ может быть распространено на любую антисимметричную пару индексов всякого тензора. Таким образом, если Тгк1тп = — тгкт1пг то тензор

тШтп = ^J^m'n(1 13)

будем называть дуальным исходному тензору по индексам 1т и обозначать это знаком — над соответствующей парой индексов.

Рассмотрим тензор

gijmn — ^гэ ghm^ln — gi[m5n]3 —

= “2“ ^imgjn gmgjmV(1.14)

обладающий свойствами

£гзтп = gjimn = gijmn) Л gijmn = 0.(1.15)

Аналогично определяется контравариантный тензор g^mn. Кроме того,

§гзтп = gmnij) §гзМ§к^тП = б^ » §гзтп^тП = 6(1.16)

и для любого бивектора Ам = —Atk имеем

gk!mMmn = Aht, gMmnAmn = Aw.(1.17)

Сравнивая соотношения (1.16), (1.17) с равенствами gu, = gM, gthgkt = si, gtkAh = Ai, gihgik = 4, видим, что ghimn есть не что иное, как ковариантный метрический тензор в бивекторном пространстве [6]. Таким образом, с помощью gkimn и ghlmn можем поднимать и опускать антисимметричные пары индексов в любых тензорах. В частности,

T\ijhigMmn - Л™(1.18)

Поэтому (см. (1.7), (1.8), (1.14))

hZhl т'п'ет'п'

ЛЬ'Л^тип — ЛуЛ^ gm'ngn'n — Ohl gm'mgn'n — ghlmn* (1.19) Можно отметить еще соотношение

л^™^(О0)

САМОДУАЛЬНЫЕ И АНТИДУАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ

Любые антисимметричные тензоры А^ Вгк можно однозначно представить в виде

Ащ = Агк + Aihl Bih = Вш + Bx\(2.1)

++-

причем тензоры

А1к = 4- (^ ± А^, Sih = 4 (Bih ±>)(2.2)

обладают свойствами

Aih = ±Aik, № = + В'\(2.3)

±±±±

Таким образом, операция дуальности не меняет тензоров А^ Вгк и меняет знак у тензоров Aik) Вгк. Ввиду этого тензор Aik (Вгк) ——++

будем называть ковариантным (контравариантным) самодуальным тензором, а тензор Л^ (52ft) — ковариантным (контравариантным) антидуальным тензором. В раскрытой форме определение (2.3) таких тензоров имеет вид

^А1т = ± Aik, ^В16 = ± В1т.(2.4)

±±±

Нетрудно убедиться, что операция комплексного сопряжения переводит самодуальный тензор в антидуальный и наоборот. Действительно, поскольку g < 0, то согласно (1.1), (1.7), (1.9)

*1т1т/г)

■Hih =— TjiA, Т]. =—Т].(2.5)

Поэтому взяв комплексное сопряжение от (2.4), получим

чМт = =F A,Ч^В4*1 = Т ВЧт,(2.6)

±±±±

Откуда и следует указанное выше утверждение. Таким образом,

А*ш = Alk,B*ik = В'*.(2.7)

±^±*

Легко видеть, что самодуальный (антидуальный) тензор линейно независим со своим комплексно сопряженным. В самом деле, предположив, что А^ — aAih, получим из (2.6), (2.4) А^ = 0. Отсюда ±±±

следует, в частности, что тензор Л^ не может быть ни вещебтвен- ± ным, ни чисто мнимым.

Рассмотрим тензоры

<2-8> ±2

которые, согласно (2.5), взаимно комплексно сопряжены: х^ = х^» —4-

Легко видеть, что согласно (2.2)

Аш = x^Atm,Bih =x^5Zm.(2.9)

±±±±

Вводя по аналогиис(1.9)матрицы х = (x^J), можем написать

±±

х = -^- (6 ± ц), х + х = 6.(2.10)

± 2+ -

Используя (1.6), (1.9), получим

х2 = х, хх = хх = 0.(2.11)

±± 4——Н

Согласно этим соотношениям х являются проективными опе- ±

раторами в бивекторном пространстве (пространстве антисимметричных тензоров). Будем называть х самодуальным проективным 4"

оператором и х антидуальным проективным оператором. Поскольку 5рц = т]^ = 0, то Spx =8р6 = 3. Итак, операторы х выде

ляют из шестимерного бивекторного пространства два трехмерных подпространства, ортогональных друг к другу в смысле второго равенства (2.11). Проективные операторы х можно, разумеется, применять не только к антисимметричным тензорам второй валентности, но и к любым тензорам, имеющим пару антисимметрич- 300

ных индексов ik. Таким образом, аналогично (2.1) можем написать

ггтпгМ eih ттпг'к'1 /ik ।\ mmni'k'l

1= Ovk’l = Wk' + X-г'к') 1=

+-

fpmmkl । rpmiiikl^ |2)

Тензоры

mnikl.

T ± = ^Г'М, TmnW = ^Tmuvk-i(2.13)

±±±

будем называть самодуальными (антидуальными) по паре индексов ik, отмечая это, соответственно, знаками + или — под парой ik. Определенное таким образом свойство самодуальности (антидуальности) сохраняется при поднятии и опускании индексов, а также в любой системе координат, ввиду тензорного характера всех соотношений. Следовательно, понятие самодуальности (антидуальности), как и разложения типа (2.1), (2.12), имеет общековариантный смысл. По сути дела самодуальность и антидуальность — особый вид симметрии тензоров, столь же существенный, как, например, свойство симметрии или антисимметрии по индексам.

Действительно, хорошо известно, что всякий тензор второй валентности однозначно и ковариантно разлагается на сумму симметричного и антисимметричного тензоров

Ам = А^ + A^b Bkl = B^ + B№,

причем

AhtBkt = Aw^ + Х[й;]Б[й'].(2.14)

Но, как следует из изложенного выше, всегда имеет место столь же однозначное и ковариантное общее разложение

Ahi = Аьо + Ащ + Аыь

gkl = ^кГ) | ^Цад | g№(2-15)

+

Согласно (2.4)

АыВк1 = - Ам ^пВтп) = - (АыЧ“п-) Втп = + —+—+—

= -Лтп5тп = 0,(2.16)

поэтому аналогично (2.14) имеем

Ам^1 = А№В^ + Л[Й/]У[Й,] + Л[й/]5[йг].(2.17)

+ +— —

Опуская либо поднимая индексы в соотношении (2.8), получим

Хул/ = 4- (gijhZ ± Цуй/). Х13Ы = 4“ kg4kt ± nyft'), (2-18)

причем х^ = x^/ij = — x7-ih/ и аналогично для контравариант- ±±±

ного тензора х.

В случае тензора ТШт = — TkUm = — Tikmi разложение (2.12) можно осуществить независимо по индексам ik и 1т (и аналогично по другим антисимметричным парам, если они имеются). В результате получим

ТШт = Т гк1т + Т ibim + Т гк1т + ТгМт-(2-19)

+ +н——ь—^

Рассмотрим такое разложение применительно к тензору 6,™ (1.5). Согласно (2.11), (2.12) и (2.13)

1т

^гк — %гк ^Гт'^Гк' — %гк %г'к' — %гк •(2.2U)

±± ±± ±±

1т

Итак, тензоры 6^ есть не что иное, как проективные самодуаль-

±

ные (антидуальные) тензоры х^. С другой стороны, из второго

±

равенства (2.11) следует

1т 1т

6^ = б£ = 0.(2.21)

Мы знаем, что поднятие и опускание пар антисимметричных индексов не меняет их самодуального или антидуального характера. Поэтому, опуская в (2.20), (2.21) индексы 1т, получим

giklm = ^iklmi §гк1т = 9.(2.22)

± ±±± V

Отсюда согласно (2.19) имеем

giklm = §гк1т Ч~ giklmi + 4--

что непосредственно подтверждается формулами (2.18).

Поскольку в самодуальном (антидуальном) бивекторном подпространстве имеется лишь три независимых бивектора, то возникает задача выделить из шести величин Akl (Aki) три независимых и выяснить, как остальные три выражаются через них. Для этого учтем, что самодуальные (антидуальные) тензоры удовлетворяют следующим условиям:

хук/Лы = 0, хУыАы = 0.(2.23)

+±±

Их справедливость следует из (2.9), (2.11).

Введем для любого антисимметричного тензора Akl обозначения Аа = Аа\ А® = 4- еаЬсАЬс, Аа = Ла4,

А • = 4 еаЬсАЬс; (Akl) = f Л“ \(2.24)

2\Аа)

Согласно (2.18), (2.23) имеем

(gijkl Т Л№) ^ = А^ Я~ 'HijhlA = 0.(2.25)

Давая здесь ij все возможные значения, получим с учетом (1.1) и (2.24)__

Аа = ± Vg А-, А. = ± Vg Аа.(2.26)

±±±±

Однако эти соотношения связывают разнородные компоненты: ковариантные с контравариантными, поэтому из них нелегко увидеть, каким образом три из шести различных компонент самодуального (антидуального) ковариантного (контравариантного) тензора выражаются через другие три, которые принимаются за основные. Чтобы выяснить это, воспользуемся блочным представлением матриц g^ gikim, W> Xikim и методами прямого тензорного исчисления [8].

Матрицу ковариантного метрического тензора представим в следующем блочном виде:

(£«.) = (, g = kih| = IvKYo” gV g).(2-27)

To/ где

V = (Tab) = (gab), g = (ga) = (gaO, Vo = Su-

Отметим, что в пространстве с сигнатурой (±±±Т) представление вида (2.27) однозначно определяется в любой системе координат ввиду выделенности четвертой координаты. В соответствии с (2.24) матрица (gikim) или (gap) выразится теперь с помощью четырех блоков — квадратных матриц размерности 3x3

g = g =g = g =(£ap) —(£ap) —a . \/ £1414 £1424 £1434 \

g = g =

g = g =

(£ap) —

(£ap) —

I > \gab) — I £2414 £2424 £2434 I ,a6\£S414 £3424 £8434/

(

£1423 £1431 £1412 \ £2423 £2431 £2412 I, £3423 £3431 £u412/

(£2323 £2331 £2312 £3123 £3131 £3112 £1223 £1231 £1212/(£2323 £2331 £2312 £3123 £3131 £3112 £1223 £1231 £1212/(2.28)

(£2323 £2331 £2312 £3123 £3131 £3112 £1223 £1231 £1212/

(£2323 £2331 £2312 £3123 £3131 £3112 £1223 £1231 £1212/

Знак тильды (^) обозначает транспонированную матрицу. Учитывая выражения (1.14), (2.27), получим

1 = /^ap\ =6 г£ VYgx л1 = /^ap\ =6 г£ VYgx л-/ л Ygx

1 = /^ap\ =6 г

£ VYgx л

1 = /^ap\ =6 г

£ VYgx л

£ =х -

\~ gX? у

Л = л = VoV — g, g = X+X_V 1 = V X+X_.

X± = Vg ± vgx-(2.29)

Здесь приняты следующие обозначения (см. [8]): g • g —диада ((g • g)ab = gagb, gx — антисимметричная матрица, дуальная трехмерному вектору g (gab = ^acbgcY Y = I Y I Y-1 ~ матрица, взаимная к у. Кроме того, в обозначениях (2.24)

М = /g^ 0) ,(n^) = yj^ о) = (W (2.30)

и, следовательно (см. (2.18)),

*\±Х± V / *\±Х± л

(2.31)

В результате первые уравнения (2.23) в обозначениях (2.24) принимают вид

лАТХ?А = 0, qz ^А + уА = 0,(2.32)

±±±±

где

А = (АА = А°).(2.32а)

±±±±

Второе из этих уравнений дает

А = р±А, р± = ± у~*Хт = ± Х-КЛ Р± = — Рт = — Р± ±±

(2.

и подстановка этого выражения в первое уравнение (2.32) приводит к тождеству. Можно также разрешить любое из уравнений (2.32) относительно А:

а = plX 𱑠= * * 7(Kg х+ + g-g?).(2.34)

±±YoF^ItI

после чего второе уравнение удовлетворяется тождественно. Таким образом, мы можем выбрать в качестве независимых величин либо А = (Л°), либо А = (Л°). Поскольку матрица р± проще, чем ±±±±

р±\ то в качестве основных величин, определяющих самодуальный (антидуальный) бивектор, выберем компоненты «вектора» Л.

±

С помощью выражений (2.29), (2.31) находим смешанные проективные операторы (2.8)

х = ±х = ±(х^) = (xap,g^) =-^^ „±±2/Ц±тх±(х^) = (xap,g^) =-^^ „±±2/Ц±тх±(х“) = (x“P'gp.p) = ±р± ±(х“) = (x“P'gp.p) = ±р± ±1_ Х± ± 2/g \± л Х±1_ Х± ± 2/g \± л Х±= X.±= X.±(2.35)(2.36)(2.35)(2.36)

х = ±

х = ±

(х^) = (xap,g^) =-^^ „

±±2/Ц±тх±

(х^) = (xap,g^) =-^^ „

±±2/Ц±тх±

(х“) = (x“P'gp.p) = ±р± ±

(х“) = (x“P'gp.p) = ±р± ±

1_ Х± ± 2/g \± л Х±

1_ Х± ± 2/g \± л Х±

= X.±

= X.±

(2.35)

(2.36)

(2.35)

(2.36)

Здесь и в дальнейшем всегда предполагается, что индекс, стоящий ближе к коренной букве (независимо от того, является он верхним или нижним), нумерует строки матрицы, а второй индекс — столбцы. При умножении матрицы на матрицу (или на вектор) предполагается, как обычно, свертка индекса столбца первой матрицы с индексом строки второй матрицы (или индексом вектора).

Любой тензор Tihim с двумя антисимметричными парами индексов можно представить в виде 6 X 6-матрицы

т = (Tihlm) = (^ца) = ^е v j ’ (2.37) где а, р, е, v — 3 X 3-матрицы, построенные из компонент Тгк1т аналогично (2.28):

а = (ТаЬу р - (Та6у 8 = (7ob)t v = ^. (2.38)

Согласно (2.13), (2.19), компоненты дуального разложения тензора Т могут быть записаны в виде

Т±± = (х^'Т^р.) = хТх, ± ±± ±Т±± = (х^'Т^р.) = хТх, ± ±± ±Т„=хТх.± тТ„=хТх.± т(2.39)(2.39)

Т±± = (х^'Т^р.) = хТх, ± ±± ±

Т±± = (х^'Т^р.) = хТх, ± ±± ±

Т„=хТх.

± т

Т„=хТх.

± т

(2.39)

(2.39)

Используя (2.35) — (2.37), получаем отсюда

ТТ_ 14g_ 14gа± ±a'x±‘v± YX± V±, YX±*a± Х± Vа± ±a'x±‘v± YX± V±, YX±*a± Х± V, а± = Р±Х± ± 9±,, а± = Р±Х± ± 9±,

Т

Т

_ 14g

_ 14g

а± ±a'x±‘v

± YX± V±, YX±*a± Х± V

а± ±a'x±‘v

± YX± V±, YX±*a± Х± V

, а± = Р±Х± ± 9±,

, а± = Р±Х± ± 9±,

(2.40)

j_/a± Taixv1?

4g I — 1 "— i " ~i—

(2.41)(2.41)\± тх± «± — тх± а±Хт Т

(2.41)

(2.41)

«± = Р±Х+Т q±,

Р± = Х±« ± ле, q± = (Х± Р ± nv) л.

Видим, таким образом, что при заданном метрическом тензоре, через компоненты которого выражаются величины у, л, х±, каждая из 6 X 6-матриц Т±±1 Т±^ определяется одной 3 X 3-матрицей а± или а±. Однако структура матриц Т±±1 Т±^ становится гораздо проще, если в пространстве бивекторов (Лм) = (Л°, Л°) совершить линейное преобразование к самодуальным (антидуальным) компонентам Л°, Л° согласно соотношениям (2.1), (2.24): Akl = Ahl + + А41, или А° = А° + Аа, А° = А° + Л°. Это преобразование, —4-—+—

согласно (2.32a), (2.33) имеет вид

(Аа\(+а\I1 1 \

=U гаА°’ ad=^ J - °=(^=L р-) •

"(2.42)

При этом инвариантная форма, построенная с помощью тензора Т,

(2.43)(2.43)F = Ta6 (vA^ (aBD^ = 1^4$ = T^A^,F = Ta6 (vA^ (aBD^ = 1^4$ = T^A^,F = TihlmA'hBtm = T^B6 принимает вид

(2.43)

(2.43)

F = Ta6 (vA^ (aBD^ = 1^4$ = T^A^,

F = Ta6 (vA^ (aBD^ = 1^4$ = T^A^,

где„

(ЗД = Т' = №^4) = аТа(2.44)

Осуществляя это преобразование над матрицами Т±±1 7±:f (2.40), (2.41), получим

о\ /о о \

^^о). r-=U-)’(2-45)

причем

т±± = а + 0р± — рте —p^vp*, т±т = а + Ррт —рте —pTvpT.

В результате матрица Т' (2.37) согласно (2.19), (2.45) принимает вид

г =.(2.47)

\т_+ т++/~'

Применим эти общие соотношения к тензору g = (gihzm) (см. (2.29)), для которого а = л, 0 = е = yg”, v = у. В результате получим в соответствии с (2.22), (2.22а)

Л. (g++ 0\2» /Т 0\А

- (о - КГ (о J ' г+-~8-+- 0. (2.48)

Обозначим D_^_ ф—) самодуальное (антидуальное) бивекторное подпространство. Согласно (2.48) матрица метрического тензора в бивекторном пространстве распадается на прямую сумму двух одинаковых матриц

к=Т^Ч(2-49)

в подпространствах D±. Таким образом, в каждом из этих подпространств существует своя инвариантная форма

F+ = hQb AaBb, F_ = hab AaBb.(2i50)

Очевидно, трехмерный симметричный тензор к (2.49) можно рассматривать как метрический тензор в 2)±-подпространствах. Действительно, если ввести матрицу преобразования координат (/?ь) — ^dx^ldxkY то бивекторы будут преобразовываться с помощью матрицы

(A) = (Р[кРт]) = (Р^, А'» = р^А6.(2.51)

Можно убедиться путем непосредственного расчета, что если осуществить преобразование (2.51) и соответствующее преобразование метрического тензора gth, то формы (2.50) остаются инвариантными, т. е.

F± =каЬАаВ^ =HabAaBb.

± ±± ±

С помощью ковариантного тензора каъ и обратного к нему кон- травариантного можно, как обычно, поднимать и опускать значки у любых тензоров в пространствах D±. Однако геометрически эти пространства будут отличаться от У3, поскольку компоненты векторов в них, роль которых играют Л°, Аа^ преобразуются по спе- + — #

цифическому закону (2.51): А,а = (р" + Р6Р±С) Ас.

±±

Заметим, что, поскольку g < 0, а матрица у/| Т | положительно определенная (см. [9]), то тензор к является отрицательно определенным. Это свойство имеет место как в сигнатуре ( + + + —), так и в сигнатуре (+). Раскрывая выражения (2.46) с учетом

(2.33), (2.29). получим

т±± = и +I ± Ki(<p + 9» т±т = н — в ± К^(ф —9,

(2.52) где__1--

н = а + TH (^(vg)x — (7g^е) — IFF (7g)x v (7g^’

^ = 777 vvv’ ф = IFF 7 (l 7'6 + v (7g)x)’

£ = "PTp" (I TIP — v) у.(2.53)

Представляя в форме (2.47) дискриминантный тензор т]шт, получим

Видим, что в таком представлении дискриминантный тензор лишь знаком при нижнем блоке отличается от метрического тензора gf (2.48). Умножая (2.54) на контравариантный тензор

g'-'»,^)•(2-55)

Д8 w т/

получим смешанный дискриминантный тензор

(2.56)(2.56)- -в Z1 °\ 1]' = (Па)= L _J.

(2.56)

(2.56)

Очевидно, что, в соответствии с определением (2.4), умножение этого тензора на самодуальные (антидуальные) «векторы» А из ± пространств D± сводится к умножению на ±1.

. ДУАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ТЕНЗОРА КРИВИЗНЫ

Рассматривая разложение (2.19) для тензора кривизны, легко убедиться, что свойство R\kim — Rimtk сохраняется для каждого члена разложения. Действительно, например,

Riklm = ^гк Kim Rvk'Vm' = ^lm ^гк Rl'm'Vk' = Rlmik* (3.1) + —+ ——+h

Для скалярной кривизны имеем

кгкг

R = RU = Rt + R7k,(3.2)

+—

кг

так как, аналогично (2.16), R^ = RX = 0. Как известно, в 74

справедливо соотношение 4iHlmRikim = 0 (см., например, [10]), поэтому согласно (2.8), (2.9)

= ^R^ = 4± < ) «^ =

= 4 (д т ^R»^ = ^R.(3.3)

Тензор Риччи Rkn = glmRkimn = Rnk аналогично (3.2) также ковариантно разлагается в сумму четырех слагаемых. Используя свойства дискриминантного тензора, можно убедиться, что

glmRMmn = gl^’C’R^-m'n- = 4 Rghn,(3.4)

glmRMmn = - g^i^mn'Rh'Vm-n = g‘m Rklmn,(3.5)

HHh

поэтому

Rkn = 4 Rg^ + ^Rklmn, k = Rk--Y R6k =

In 0,

= 2R-t, ^ = 0.(3.6)

+

Таким образом, из четырех слагаемых в разложении (2.19) для тензора кривизны Rkimn определяющей для тензора Риччи по

существу является лишь одна смешанная самодуальная (анти- дуальная) компонента К^тп (или R^imn ), если не считать скаля- н—— +

pa R.

Согласно [10, 11] тензор кривизны может быть разделен на две части

Rklmn = “2“ (^Ытп 4“ S^[mnY(3»7)

Sklmn — Rklmn i ^^i^*(3.8)

Как показано в работе [12] (см. также [10]), —Оо

Sklmn = 2 (Rk [m^n] I Rl [m^n] к)(3.9)

или, если использовать тензор (1.14), —0 s

Sklmn = ^R[lgk] smn*(3.10)

Легко видеть (см. (2.19), (2.3), (3.7), (3.8)), что +—

8klmn = 2 (Rklmn 4“ Rklmn) i 8^1тп = 2 (Rklmn + ВмтпУ (З.Н) + +—н—+ —

В работе [10] тензор 5(5) был назван самодуальным (антидуальным) +

тензором кривизны. По нашей терминологии 5 есть удвоенная сумма дважды самодуального и дважды антидуального тензора кривизны, а 5 — аналогичная сумма смешанных самоантидуальных и антисамодуальных тензоров кривизны. Нетрудно убедиться, что согласно (3.10), (3.11)

।——0 s0$

Rklmn = —£“ (8мтп + 8^1тт^ = R[lgkl Smn 4z T]hZs [nRm]i(3.12)

откуда, между прочим, сразу получается (3.5).

Таким образом, тензоры Rumn однозначно выражаются через ± + о

бесшпурный тензор Риччи R^, который в свою очередь согласно (3.6) однозначно выражается через любой из тензоров R^/mn- Сле- ± т

о

довательно, равенство R^ = 0 влечет за собой Rklmn — Rklmn = 0

+ -- +

и наоборот.

Уравнения Эйнштейна для гравитационного поля в пустоте о

имеют вид К™ = 0, что равносильно уравнениям R^ — 0 и R = 0. Выраженные через самодуальные (антидуальные) составляющие тензора кривизны эти уравнения имеют вид

(3.13)(3.13)1к

(3.13)

(3.13)

^klmn — Rklmn = 0, R = R^ = 0.

+ -- +±

Поэтому для гравитационного поля в пустоте тензор кривизны принимает вид

Rklmn ^ Rklmn 4” Rklmm(3.14)

+ +

причем оба слагаемых в правой части взаимно комплексно сопряжены и ограничены вторыми условиями (3.13). Случай пространства Эйнштейна: Rmn = kgmu [6] целиком сводится к первым уравнениям (3.13), т. е. отличается от случая гравитационного поля в пустоте лишь отсутствием условия R = 0.

Таким образом, мы можем интерпретировать уравнения Эйнштейна в форме (3.13) как условия дуальной приводимости тензора кривизны, т. е. возможности представления его в виде прямой суммы двух тензоров, определенных в трехмерных подпространствах D± (см. (2.45)).

Выполняя преобразования (2.39), (2.44), соответствующие разделению бивекторного пространства на самодуальное и антидуальное подпространства, согласно (2.45)—(2.47), (3.19) для тензора кривизны

R = (Яшт) = R = (~^, а = а, V = V,(3.15)

\р V/

получим т+_ = т,_ = 0, откуда следует (см. (2.52)) р = g, ф = g или

« + -|7]-(х + ^)№ v(vg)x = -уур yvy,

X = р (Yg)*,(3.16)

^ =(I УIР — (Yg)”v) у = <р =(3.17)

При этих условиях

M5++L).<ЗЛ8>

Т±± = 2 (g ± Kit) = -|jp У Igv ± Ki (ур — gxyv)l у =

= т±± = т + ?«(3.19)

Кроме того, равенство нулю скалярной кривизны R согласно (3.13) налагает дополнительные условия

ghlmnRhlmn = Sp ^-Ш±±) = Sp (gf~iR±±) = 0. ± ±

Раскрывая это соотношение с учетом (2.55), (3.18), (3.19), получим

(т±±)„ = Sp (ут±±) = y^-Sp (gvy ± Kg| УIР) = 0 или

5p(vY) = 5pp = 0.(3.20)

Всегда существует система координат, в которой во всем пространстве

g = 0, Ы = (тЧ £ = ?о1у1-(3.21)

W го/

В такой системе соотношения (3.16) — (3.19) существенно упрощаются и принимают вид

| V | а = v^vy, Ру = ?0 = ц = |л,(3.22)

т±± = 2(а±-^И).(3.23)

В локально-галилеевой системе координат (у = 1, у0 =—1) получим (ср., например, [13], § 92)

Wg = v = — а = v, р, = Р = р, Spa = SpP = 0, (3.24)

т±± = 2(а±ф), Д' = 2^ + ^_^).(3.25)

Итак, мы ковариантным путем пришли к тому представлению тензора кривизны, которое лежит в основе классификации полей тяготения по Петрову. Отметим, что представление вида (3.18) для тензора кривизны до сих пор получалось обычно лишь в локально-галилеевой системе координат [6, 7, 13] и в результате применения элементарных преобразований к матрице R. В отличие от этого более общее представление (3.18) не требует перехода к локально-галилеевой системе и выражается в функциональной зависимости от координат.

Все изложенное выше показывает, что разложение (2.19) тензоров на самодуальные (антидуальные) составляющие наиболее общим, естественным и прямым путем приводит к (3.18) и всем остальным соотношениям, играющим основную роль для классификации полей тяготения. Можно утверждать поэтому, что соотношения дуальности непосредственным образом связаны со структурой тензора кривизны и должны играть существенную роль в общей теории относительности.

ЛИТЕРАТУРА

Федоров Ф. И.— ДАН БССР, 1961, 5, 101.

Федоров Ф. И.— ДАН СССР, 1962, 143, 56.

Иваницкая О. С. Обобщенные преобразования Лоренца и их применение, Минск, 1969.

Б о г у ш А. А., Федоров Ф. И.— ДАН БССР, 1968, 12, 21.

Corson Е. Introduction to tensors, spinors and relativistic vawe equations, N. Y., 1953.

П e т p о в A. 3. Пространства Эйнштейна. Физматгиз, М., 1961.

П е т р о в А. 3. Новые методы в общей теории относительности. Физматгиз, М., 1966.

Федоров Ф. И. Теория упругих волн в кристаллах. «Наука», М., 1965:

Ф о к В. А. Теория пространства, времени и тяготения. Физматгиз, М., 1961.

L а п с z о s С.— Rev. Mod. Phys., 34, 379, 1962.

И. R a i n i с h G. Y.— Nature, 115, 498, 1925.

Einstein A.— Math. Ann., 97, 99, 1926.

Л а н д а у Л. Д., Лифшиц E. M. Теория поля. Физматгиз, М., 1967.

НЕОБХОДИМОСТЬ НОВОГО ОПЫТА ПО ПРОВЕРКЕ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

\б. м. чихачев\

Физический институт им. П. Н. Лебедева АН СССР, Москва

В двух статьях (в 1907 г. и 1911 г.) А. Эйнштейн предсказал эффект изменения частоты электромагнитных волн при их распространении в гравитационном поле [1, 2]. В настоящее время эффект подтвержден экспериментально с точностью приблизительно 1% [3, 4]. Поэтому следует вспомнить, какие выводы из него делал Эйнштейн, и решить, какой новый опыт нужно сделать для дальнейшей проверки теории.

Имея в виду распространение света из точки 52 в точку 51? неподвижные относительно системы координат К, находящейся в однородном гравитационном поле, Эйнштейн получил формулу для количественной величины эффекта

V1 = V2(l + (1)

где vx и v2 — частоты света соответственно в точках 5Х и 52; ф — разность гравитационных потенциалов в этих точках; с — скорость света. Далее он пишет следующее [2] :

«При поверхностном рассмотрении кажется, что уравнение (1) абсурдно. Возможно ли, чтобы при непрерывном переносе света от 52 в 5! туда прибывал свет с другим числом периодов в секунду, чем свет, вышедший из 52? Но ответ на это прост. Мы не можем v2 или vx рассматривать просто как частоты (числа периодов в секунду), так как мы еще не установили времени в системе К. v2 означает число периодов, отнесенное к единице времени часов U в 52, vx — число периодов, отнесенное к единице времени таких же точно часов U ^ Sv Ничто не принуждает нас к допущению, что часы, находящиеся при различных гравитационных потенциалах, долж-

вы рассматриваться как одинаково быстро идущие механизмы. Наоборот, мы непременно должны определить время в К так, чтобы число гребней волн и минимумов между ними, которые находятся между 52 и5п не зависело от абсолютного значения времени, ибо рассматриваемый процесс по природе своей стационарен. Если мы этого условия не выполним, то придем к определению времени, при применении которого время явно войдет в законы природы, что, конечно, неестественно и нецелесообразно. Итак, оба часовых механизма в 52 и 5Х не показывают правильного «времени». Если мы определяем время в 5Х часами U, то мы должны измерить время в 52 часами, которые идут в 1 + Д- раза медленнее, чем часы U, при их сравнении в одном и том же месте. Ибо измеренная подобными часами частота рассмотренного выше луча света, при его отправлении из 52, а именно

в согласии с формулой (1) равна частоте vx того же луча света при его прибытии в 5^.

Таким образом, Эйнштейн вводит собственное время, зависящее от величины гравитационного потенциала, различное в разных точках гравитационного поля.

Основанием для этого является очевидный постулат, утверждающий, что все периоды волн света, вышедшие из S2, и только они, обязательно придут в 51? иначе говоря, на пути из 52 к 5t периоды не исчезают и не создаются вновь. Поэтому частота волн света, равная числу периодов в единицу времени, может измениться только за счет изменения единицы времени.

Этот постулат отчетливо выражен в работе [5], где сказано следующее: «Из трех нижеследующих положений первое представляется само собой разумеющимся...

Если источником света (например, В) испущен сигнал в виде «цуга» (отрезка синусоиды) световых волн и этот сигнал улавливается приемником (например, Л) так, что он может сосчитать число принятых пульсаций — колебаний, то, каково бы ни было движение Л и В (и одно из них относительно другого), полное число волн, принятых и сосчитанных Л (за время всего цикла), равно числу волн, излученных В». Правда, в этом случае речь идет не о гравитационном поле, а о пустом пространстве специальной теории относительности. Но Эйнштейн получил формулу (1) на основании высказанного им принципа эквивалентности, согласно которому все физические законы, действующие в однородном гравитационном поле, тождественны физическим законам, действующим в равномерно ускоренной системе тел, движущейся в пространстве, свободном от гравитационных полей, при равенстве ускорений (силы тяжести и движения) в обоих случаях. Поэтому, если нельзя указать никакой причины, по которой периоды волн света могли бы

исчезать и создаваться в пустом пространстве, то такой причины не может быть и в гравитационном поле.

Таким образом, согласно Эйнштейну, изменение частоты света в гравитационном поле является чисто кинематическим эффектом [6].

Другим следствием принципа эквивалентности является то, что стационарность процесса распространения света будет иметь место только при точном выполнении указанного постулата. Это обстоятельство позволило Эйнштейну, в приведенной выше цитате, обосновать существование различного собственного времени в разных точках гравитационного поля, главным образом, ссылкой на необходимость выполнения условий стационарности процесса распространения света.

С точки зрения квантовой теории, луч света представляет собою поток фотонов. Энергия луча на длине I = сТ, где Т — время распространения света вдоль этой длины, выражается так:

Е = nh-v, (2)

где п — число фотонов на длине I луча света; К = 6,61 х X 10“27 эрг • сек — постоянная Планка; v — частота света. Число фотонов п при многократном повторении его измерения за время Т сильно флуктуирует, причем дисперсия п такая [7—9]:

(Ап)2 = п(1 + п-^У (3)

Здесь черта сверху обозначает среднее значение; т « (Av)-1 — время автокорреляции луча света; Av — ширина полосы частот света. Соответствующая формула для флуктуации энергии поля излучения была получена Эйнштейном еще в 1909 г. [10]. При неизменной средней мощности w — ^ луча света средние величины Е и п пропорциональны Т, вследствие чего второй член в скобках правой части (3) не зависит от Т и представляет собой среднее число фотонов на длине ст луча света.

Равенство (3) показывает, что флуктуации числа п больше тех, которые были бы при статистической независимости фотонов между собой (в этом случае было бы (Ап)2 = п). Распределение фотонов вдоль луча света не вполне хаотично, они имеют тенденцию группироваться, образуя длинные цуги когерентных волн со средней длиной когерентности, равной ст. Волны света могут быть описаны синусоидой, у которой амплитуда и фаза медленно (по сравнению с периодом волны) меняются со временем [11, 121. Разность фаз волн между двумя точками, расположенными вдоль луча света на расстоянии, превышающем длину когерентности, может быть любой, в пределах от 0 до 2л, а полное число периодов волн, укладывающихся на этом расстоянии, не имеет точно определенной величины. При уменьшении ширины полосы частот Av света длина когерентности ст растет и свет становится все более монохрома-

тичным. Но одновременно, согласно (2) и (3), растут флуктуации энергии света, если средняя мощность w остается неизменной. Поэтому представление о луче света как о неограниченном во времени и вдоль луча синусоидальном изменении напряженностей электромагнитного поля, в действительности, не реализуется.

Флуктуации энергии луча света уменьшаются при уменьшении его средней мощности и). Но при этом становится неопределенной фаза волны. Из квантовой теории следует, что число фотонов и фаза волны являются канонически сопряженными величинами, поэтому для них существует соотношение неопределенностей [13]:

АпАф > 1, (4)

где Nn — неопределенность в числе фотонов; Аф — неопределенность в измерении фазы волны (фаза измеряется в радианах). Для каждого отдельного фотона Ап = 0, поэтому его фаза полностью не определена. То же самое было бы при отсутствии флуктуаций энергии в луче света (если AS = 0, то Ап = 0 и Аф = = оо). Следовательно, большие флуктуации энергии и амплитуды волны света являются необходимым условием точного определения ее фазы и числа периодов (полной фазы) на любом, точно определенном отрезке длины луча света. С другой стороны, флуктуации амплитуды приводят к небольшим нерегулярным изменениям длительности периода волны, что в свою очередь приводит к флуктуациям разности фаз волн между двумя точками вдоль луча света, тем большим, чем больше расстояние между этими точками [И].

С точки зрения общей теории относительности вся эта картина распространения волн света не претерпевает изменений ни в каких своих деталях, независимо от того, распространяется ли свет в гравитационном поле или вне его. Изменение частоты света в гравитационном поле является следствием изменения собственного времени вдоль луча света, что характеризует метрику пространства — времени, но не внутренние свойства световых волн.

Наиболее точные количественные измерения изменения частоты в гравитационном поле были сделаны в упоминавшихся выше работах Паундом [3, 4]. Он использовал образцы кристаллов изотопа железа Fe57, охлажденных до температуры жидкого гелия, в качестве источников и резонансных поглотителей фотонов (квантов) узкой спектральной линии у-лучей, полученной Мессбауэром при ядерных распадах в кристалле [14]. Энергия каждого фотона была равна е = hv = 14,4 кэв, что соответствует частоте у-лучей v = 3,5 • 1018 гц. Источник и поглотитель у-лучей были расположены вдоль вертикальной линии на расстоянии около 20 м один от другого, так что изменение частоты в гравитационном поле Земли, в соответствии с формулой (1), составляло величину около | V2 ”—^ | » 2 • 10~15 или | v2 — vx | 5» 7000 гц. Так как измерения подтвердили эту величину с точностью приблизительно 1%, при совпадении знака изменения частоты, то можно считать, что в

измерении были использованы такие фотоны, которые определяли ширину полосы частот у-лучей, равную около Av » 70 гц. Соответствующее этому время автокорреляции имело величину т « « 1,4 • 10“? сек, а длина когерентности ст » 4000 км. Окончательный результат работы был получен путем усреднения многих серий измерений, общая длительность которых составила около половины всего времени опыта, проводившегося в течение 5 месяцев [4]. Число цугов когерентных волн, участвовавших за это время в получении окончательного результата, было больше, чем 108.

Измерение разности частот v2 — vT было проведено методом резонансного поглощения фотонов. Излученные возбужденными ядрами железа Fe57 в кристалле, без отдачи энергии излучателю, фотоны поглощались невозбужденными ядрами такого же кристалла, если оба они находились без движения в непосредственной близости один к другому. Поглощение отсутствовало, если расстояние по вертикали между покоящимися кристаллами было равно приблизительно 20 м, однако оно полностью восстанавливалось, когда один из кристаллов двигался вертикально, источник вверх или поглотитель вниз, со скоростью р « 6 • 10™5 см/сек. Возникающее здесь допплеровское смещение частоты ^- « 2 • 10“15 с точностью приблизительно 1 % компенсировало ее гравитационное изменение, которое поэтому определялось путем измерения скорости и.

Перемещение в гравитационном поле различным образом изменяет энергию фотона и разность энергетических уровней ядра железа Fe57, которая должна быть равна энергии излученного или поглощенного фотона. Именно это различие изменений энергий и соответствующих им частот было измерено в опытах Паунда. Однако опыты Паунда не дают никакой информации для экспериментального решения вопроса о том, действительно ли это различие является следствием изменения метрики пространства — времени, при перемещении в гравитационном поле, или же гравитационное поле влияет на внутренние свойства электромагнитных волн, например, изменяя разность фаз между цугами волн, на расстоянии, большем длины когерентности.

Если в действительности меняется не энергия фотона, а разность энергетических уровней ядра, то в потоке фотонов ничего не изменяется и гравитационное изменение частоты у-луча является следствием изменения собственного времени вдоль луча. Оно определяется энергией е0, равной разности энергетических уровней ядра, так как этой энергии е0 соответствует определенная частота v0 = е0Л“1волны, период которой, равный (v0)—1, может служить единицей измерения собственного времени. Это находится в соответствии с общей теорией относительности. В единицах собственного времени частота фотона и его энергия изменяются. Они неизменны в координатном времени.

Но возможно и другое объяснение. Если разность энергетических уровней ядра неизменна в координатном времени, то меняется энергия фотона в зависимости от потенциала гравитационного поля. В цуге когерентных волн, вдоль длины когерентности располагаются фотоны, имеющие разную энергию и частоту, в соответствии с формулой (1) . Это увеличивает ширину полосы частот цуга волн и уменьшает его длину. Если ст0 есть такая длина цуга и луч направлен вдоль ускорения g силы тяжести в однородном гравитационном поле, то ширина полосы частот Av в соответствии с (1) должна иметь вид

Av = v -^_ ,(5)

так как ф = £ет0. С другой стороны, время автокорреляции равно v0 « (Av)—\ поэтому

Очевидно, т0 есть наибольшее время автокорреляции луча, распространявшегося в гравитационном поле. Все другие причины, влияющие на ширину полосы частот луча, могут только уменьшить время автокорреляции.

Полоса частот (5) несимметрично расположена относительно частоты излучаемых фотонов. Она выше этой частоты, если направления луча и ускорения силы тяжести параллельны, и ниже, если они антипараллельны. Соответственно этому средняя частота луча будет увеличиваться в первом случае и уменьшаться во втором.

Таким образом, гравитационное поле изменяет статистические свойства луча согласно (3) и (6), увеличивает полосу частот, уменьшает длину когерентности и меняет среднюю величину частоты луча. Излученная электромагнитная волна, как функция времени t, не идентична той же волне в ее зависимости от координаты ^ в гравитационном поле, поэтому волна не может быть представлена как функция аргумента ^~j. Число периодов излученных волн

не равно числу периодов волн, принятых в другой точке гравитационного поля. Вместе с тем процесс распространения волн является стационарным.

Указанные изменения свойств луча являются результатом динамического взаимодействия гравитационного и электромагнитного полей. Гравитационное изменение частоты в этом объяснении должно быть квантовым эффектом.

Все это противоречит сильному принципу эквивалентности, по терминологии Р. Дикке, но не нарушает слабый принцип эквивалентности [15]. Существуют физические законы, различно действующие в однородном гравитационном поле и в равномерно ускоренной системе тел вне гравитационного поля, поскольку внутренние свойства потока фотонов в обоих случаях не одинаковы. Но нет никаких причин для нарушения равенства инертной и гравитационной масс фотонов. Это равенство для различных веществ и содержащейся в них энергии экспериментально подтверждено Этвешем [16] с точностью примерно 10“9 и Р. Дикке [17] с точностью приблизительно 10“11.

Если учесть уменьшение скорости фотонов в гравитационном поле (взаимодействие требует затраты времени) в предсказанном Эйнштейном [2] отношении 1 +-^-, что доказано экспериментально в опытах И. И. Шапиро [18, 19, 20] путем измерения времени распространения радиоволн, проходящих вблизи Солнца, то излагаемое объяснение гравитационного изменения частоты согласуется с экспериментально измеренным искривлением луча света вблизи поверхности Солнца [21, 22]. В этом случае угол поворота фронта волны определяется уменьшением длины волны света при приближении к Солнцу, что имеет место вследствие увеличения частоты или уменьшения скорости света. Каждая причина уменьшает длину волны в 1 + раз и определяет угол поворота, вычисленный Эйнштейном по принципу Гюйгенса [2]. Полный угол поворота в два раза больше этого и совпадает с его наблюдаемой величиной, а также с предсказанием общей теории относительности.

Таким образом, изложенное объяснение гравитационного изменения частоты электромагнитных волн, как квантового эффекта, согласуется с результатами опытов, в которых измерялись эффекты взаимодействия гравитационного и электромагнитного полей, так же, как это имеет место и для общей теории относительности. Поэтому для решения вопроса о физической природе гравитационного изменения частоты требуется новый опыт, результаты которого дали бы возможность выбрать одно из двух объяснений или же определить частичный вклад каждого из них в полный эффект.

Такой опыт предложен в работе [23]. Его сущность состоит в измерении разности чисел периодов электромагнитных волн, излученных и принятых в разных точках гравитационного поля. Эта разность должна равняться нулю в одном объяснении и быть вполне определенной, отличной от нуля величиной — в другом. Измерения предлагается проводить в диапазоне радиочастот. Для этого предлагается с помощью радиосвязи синхронизовать между собой два генератора радиоволн с высокостабильной частотой и затем дважды измерить разность фаз колебаний в обоих генераторах: один раз в начале опыта, когда генераторы расположены близко

один к другому, при одинаковых для них потенциалах гравита- ционцого поля, и второй раз в конце опыта при тех же условиях, но после того, как генераторы были разнесены в места с различными потенциалами гравитационного поля, оставались там длительное время и были вновь сведены в одно место без перерыва радиосвязи в течение всего времени опыта. Изменение разности фаз между двумя измерениями (равное нулю или нет) должно явиться основным результатом опыта. Точность измерения этого результата достаточно велика и пропорциональна времени нахождения генераторов в местах с разными потенциалами гравитационного поля, а также разности потенциалов. Промежутки времени, в течение которых измеряются разности фаз, не должны быть точно определены, так как измерения проводятся в условиях, при которых разность фаз не может изменяться. Если бы результат опыта не удовлетворял ни одному из двух объяснений, то это указывало бы на их совместное действие и позволило бы определить их относительное влияние. Теоретическая возможность одного частного случая такого рода обсуждалась в работе [24].

Другим опытом, направленным на решение той же задачи, было бы обнаружение различия собственного времени при разных гравитационных потенциалах. Предложенные в ряде работ [25—27], такие опыты требуют установки высокостабильных генераторов электромагнитных колебаний на космических аппаратах, использование их в качестве задающих устройств точных часов и сравнение больших промежутков времени, измеренных такими часами на космических аппаратах и на Земле. Такие опыты весьма трудоемки, и точность измерений в них должна быть значительно меньшей, чем в опыте, предложенном в работе [23]. До сего времени такие опыты выполнены не были.

Непосредственные измерения фазы излучаемых электромагнитных волн, с целью обнаружения или доказательства отсутствия различия их зависимости от времени t (в точке излучения), с одной стороны, и зависимости от расстояния ~ (с учетом уменьшения скорости в 1 + -^-раз) в гравитационном поле, с другой стороны, еще более затруднены. Для определения точности таких измерений в условиях опыта Паунда нужно учитывать, что интенсивность источника у-лучей была равна приблизительно 0,6 кюри (около 2,4 • 1010 фотонов в секунду), что поглотители у-лучей были расположены на площади круга с диаметром приблизительно 40 см и поэтому на них падала лишь малая доля из числа излучаемых фотонов и что у-переход 14,4 кэв Ее57 имеет время жизни 10™7 сек, которое равно среднему времени автокорреляции у-лучей [3, 4,14]. Тогда расчет по формулам (3) и (4), если принять, что неопределенность числа фотонов ^п в формуле (4) равна среднему квадратичному отклонению V (Ап)2 в формуле (3), показывает, что

принципиально достижимая точность измерения фазы значительно меньше той, которая необходима для измерения ожидаемого аффекта в таком опыте.

ЛИТЕРАТУРА

Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т. 1. «Наука», М., 1965, 65; Einstein А.— Jahrb. d. Radioaktivitat und Elektronik, 1907, 4, 411.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т. 1. «Наука», М., 1965, 165;

П а у н д Р. В.— УФН, 1960, 72, 4, 673.

Р о u n d R. V. and Snider J. L.— Phys. Rev., 1965, 140, 3B, B788.

Скобельцын Д. В. Парадокс близнецов в теории относительности. «Наука», М., 1966, 27.

Баранов А. Г.— В кн.: Эйнштейновский сборник. «Наука», М., 1967, 215.

Р и г с е 1 1 Е. М.— Nature, 1956, 17 8, N 4548, 1449.

Вик Д.— УФН, 1970, 101, 2, 303; Wick G.— С. — Suppl. al- Nuovo Cimento, 1966, 4j, 2, 309.

Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики. «Мир», М., 1970; К 1 a u d е г J.R., Sudarshan Е. С. G. Fundamentals of Quantum Optics, chapt. 3, W. A. Benjamin, inc., New York, Amsterdam, 1968.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов. T. 3. «Наука», М., 1965, 164; Einstein А.— Phys. Zs., 1909, 10, 185.

Ф р а н с о н М. и С л а н с к и й С. Когерентность в оптике. «Наука», М., 1967; Fran con М., S 1 a n s к у S.— Coherence en optique, Paris, 1965.

Бунимович В. И. Флуктуационные процессы в радиоприемных устройствах. М., 1951.

Г а й т л е р В. Квантовая теория излучения, гл. 2. ИЛ, М., 1956; Н е i t 1 е г W. The quantum theory of Radiation, Oxford, 1954.

Мессбауэр P. Л.— УФН, 1960, 72, 4, 658.

Д и к к e P.— В кн.: Гравитация и относительность, гл. 1. «Мир», М., 1965.

von Eotvos L., Pekar D., Fekete E.— Annalen der Physik, 1922, 68, 10.

Dicke R. H. Scientific American, 1961,205, 84.

S h a p i г о J. J.— Phys. Rev. Letters, 1964, 13, 26, 789.

Ш a n и p о И.—УФН, 1969, 99, 2, 319; Shapiro J. J.— Sci. Amer., 1968 219 28

Брагинский В. Б., Руденко В. Н.— УФН, 1970, 100, 3, 395.

Вавилов С. И. Собрание сочинений, Т. 4. Изд. АН СССР, М., 1956 7989

М и х а й л о в А. А.— АЖ, 1956, 33, 6, 912.

Ч и х а ч е в Б. М.— В кн.: Теория относительности и гравитация. Изд. МОИП, М., 1971, 68.

М инкевич А. В.— Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. наук, 1967, 3, 97.

S i n g е г S. F.— Phys. Rev., 1956, 104, I, 11.

Р у к м а н Г. И., Ю х в и д и н Я. А. Космические исследования, 1966, 4, 4, 644.

Чихачев Б. М.— В кн.: Гносеологические аспекты измерений. «Наукова думка», К., 1968, 214.

НЕКОТОРЫЕ ГЛОБАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ГРАВИТАЦИОННЫХ ПСЕВДОТЕНЗОРОВ ЭНЕРГИИ- ИМПУЛЬСА В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И ИХ ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИМЕНЕНИЯ

М. Ф. ШИРОКОВ

Московский авиационный институт

На основе анализа полноты и непротиворечивости системы уравнений (13), (16), определяющих течение процессов в любой физической систрме (газ, жидкость, электромагнитное поле и т. п.), доказано, что всегда существует такая система координат, в которой любые четыре компоненты всякого псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля i^ или tTk будут глобально равны нулю (уравнения (19) и (19а)).

Уравнения (19) и (19а) позволяют доказать следующие положения.

Все компоненты любого гравитационного псевдотензора tk или tTk не имеют определенного физического смысла не только локально, но и глобально.

Интегральный вектор энергии-импульса гравитационного поля в вакууме (Т1^ = 0, Яум =/= 0) с галилеевскими условиями на бесконечности всегда равны нулю.

Материальная система с галилеевскими условиями на бесконечности не может увеличить или уменьшить свою энергию за счет приобретения или потери только гравитационной энергии.

Указанные положения разъясняются на примере точных и приближенных решений уравнений тяготения Эйнштейна.

ЛОКАЛЬНЫЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ, ПСЕВДОТЕНЗОРЫ ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ

Как известно, локальные и интегральные законы сохранения в общей теории относительности (ОТО) для тензора энергии-импульса полей и частиц Тгк имеют следующий вид:

^ 1 дО^Т^ 1 dgmn

6хк V=i ' дхк 2 ‘ ^i *

Ту же формулу можно переписать в виде

-^(У^Т^ +<?) = 0,(2)

положив ^г1“ ^mn ттпп/о\

дхдх

Принимая во внимание уравнение тяготения

Gik = Rik^“ gikR = — Y^ih,(4)

уравнение (3) получим в форме

V— g ^mn z^mn/гх

В формулах (1) — (5) символ обозначает операцию ко-

вариантного дифференцирования; ^ — псевдотензор энергии-

^^ik гт «. По этой при- дхт^^ik гт «. По этой при- дхтимпульса гравитационного поля; обозначения других величин обычны и не требуют специального пояснения. Четыре уравнения (5) показывают большой произвол в выборе выражений для 16 компонент величин t^ как функций компонент метрического тензора

^^ik гт «

. По этой при- дхт

^^ik гт «

. По этой при- дхт

gik и его первых производных по координатам

чине многие авторы предложили много выражений для ^ или 1гк, используя вариационные методы (А. Эйнштейн, Р. Арновитт, С. Дезерт и Г. Миснер [1] и др.) или непосредственное сравнение с законами сохранения в виде равенства нулю свернутой ковариант- 671^§^гк

ной производной —г- или ——как это делают, например,

JI. Ландау и Е. Лифшиц [2].

Выбор функций

Л Л ~ ^тп \

\/

Лк /^тп \х

t = t gmn, . .(ba)

не имеет значения, если эти функции находятся в согласии с законами сохранения в форме (1) или в форме

Как отметил еще А. Эйнштейн [3], а также Д. Синг [4], запись законов сохранения (1) или (1а) в форме уравнений вида (2) обще- ковариантна, хотя входящие в (2) компоненты величин преобра-

зуются по другим законам, отличным от законов преобразования компонент тензора, вследствие чего величины tk или 1гк называются псевдотензорами. Общековариантность уравнений (2), хотя и не тензорная, позволяет, однако, применением теоремы Гаусса найти для систем, образованных материей, сосредоточенной вблизи начала координат, где Т^ Ф 0, или имеющих вакуумное гравитационное поле (Тщ = О везде) с тензором Римана Нцм — 0 вблизи начала координат, интегральные законы сохранения 4-вектора Pi импульса-энергии в виде

Рг = (К— gT\ + 4) dv = const. (7)

Вектор Pi общековариантный в отношении любых преобразований координат при соблюдении перехода их в галилеевские на бесконечности. Аналогичный сохраняющийся вектор Рг можно получить, используя псевдотензор вида tTk (см., например, работу [2]). В силу этих обстоятельств совершенно не важен выбор выражений (6) или (6а) для псевдотензоров tk или 1г\ если этот выбор сделан в согласии с законами сохранения (1) или (1а). Мы поэтому в дальнейшем изложении будем пользоваться псевдотензорами вида tk.

Как показано самим Эйнштейном, а затем его последователями, вектор Р\ определенный формулой (7), имеет непосредственный физический смысл коваринатора 4-вектора энергии-импульса системы в целом. В этом смысле псевдотензоры tk могут иметь конкретные физические применения для расчета интегральных величин импульса и энергии изолированных систем с галилеевскими условиями на бесконечности. Что же касается физического смысла локальных значений псевдотензоров tk , то на первый взгляд кажется, что компоненты ^, Для которых а, Р = 1, 2, 3, должны давать давление и тангенциальные натяжения самого гравитационного поля, а 4 — потоки и плотности гравитационной энергии в данной точке пространства-времени.

К сожалению, такого непосредственного физического толкования компонентам tk дать нельзя, так как всегда можно в данной точке пространства-времени соответствующим преобразованием координат сделать все компоненты tk равными нулю. Таким образом, оказывается, что всегда имеется такая система координат, в которой даже при несомненном наличии гравитационного поля в данном месте (Rijhi + 0) нет натяжений и энергии гравитационного поля. Наоборот, даже в плоском пространстве-времени при несомненном отсутствии гравитационного поля kR^x = 0) в данной точке в некоторой криволинейной системе координат компоненты tk могут быть равными нулю. Сказанное выше обычно трактуют как отсутствие физического смысла в локальном существовании гравитационного импульса и энергии. Тем не менее псевдотензор tk часто используют для расчета энергии-импульса

грайитационных волн, при квантовании полей тяготения, в астрофизике и т. п. Правомерность таких расчетов обычно мотивируется тем, что хотя локальные значения псевдотензора ti не имеют определенного физического смысла, но расчеты при помощи его глобальных величин имеют физический смысл. Поэтому, например, считается возможным рассчитывать глобальный поток гравитационного импульса и энергии, излучаемой материальным телом сквозь окружающую его поверхность 5, по формуле

= ^ £n6dS,(8)

S

где па — единичный вектор нормали к элементу поверхности ds.

В связи с этим возникает проблема изучения глобальных свойств псевдотензоров ^, что и рассматривается.

В заключение этого параграфа отметим попытки формулировки интегральных тензорных законов сохранения без введения псевдотензоров энергии-импульса, которые в некотором смысле должны заменять соотношения (7) А. Эйнштейна и других ученых. Так, следуя Ю. Сингу [4] (гл. III), можно сформулировать для полной энергии системы Е, сосредоточенной в пространственно-подобной поверхности 73, следующий закон сохранения:

Е= \ е (jV) G^N^,(9)

Va

где Nj — единичный вектор нормали к элементу поверхности (IV (инвариантный элемент 3-объема), а 4-вектор Хг удовлетворяет условию

Gy = 0(10)

Ьх3

Такой вектор всегда может быть найден различными способами, так как уравнение (10) содержит четыре неизвестных. Синг дает один из способов определения вектора Xj. По-видимому, 4-вектор ^ = G%(И)

можно истолковать как «ток энергии», хотя сам Синг не вводит такого понятия и не называет свой закон сохранения (9) законом сохранения энергии.

Другие ученые [5—7] пытаются применить идеи Синга к формулировке тензорных законов сохранения вида (9), истолковывая их как законы сохранения именно энергии, включая и гравитационную энергию. Так, Н. В. Мицкевич вводит сохраняющийся вектор тока энергии, аналогичный вектору Синга (11)

^ = 4^ + ^),(12)

где 1* — некоторый «вектор смещения», определение которого не совсем ясно; wT^ — правильный 4-вектор тока гравитационной энергии.

По Сингу, согласно (9), в вакууме (Т7^ = 0) при наличии гравитационного поля (Rijki + 0) wT^ = 0, а по Мицкевичу w1^ 4= 0 в противоречии с принципом эквивалентности. Поэтому известные мне попытки «офизичивания» идей Синга [5—7], особенно попытки И. Мицкевича, мне не кажутся удачными.

Вообще, пока наиболее реальный физический смысл в ОТО все же имеют дифференциальные и интегральные законы сохранения энергии-импульса, даваемые уравнениями (1), (2), (2а) и (7), то и проблема изучения свойств глобальных свойств псевдотензоров сохраняет физический интерес.

ГЛОБАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПСЕВДОТЕНЗОРОВ

Всякая физическая система (газ, жидкость, электромагнитное поле и т. п.) характеризуется т]-тензорными и скалярными величинами ф^... т (скалярные давления и плотности Р и s, 4-скорости и\ антисимметрический тензор ф^ электромагнитного поля и т. п.). Изменение полей этих величин в пространстве — времени, т. е. протекание физических процессов, определяется п-тензорными и алгебраическими уравнениями

, /^mn^ik ...г гч

/п I gibу > • • • » фгй ... г» у , • • • — 0. (13)

\дх5Эх1

Физическая система имеет тензор энергии-импульса

=(14)

законы сохранения которого (1) или (2) являются следствием уравнений (13) и могут быть записаны в форме (2).

В специальной теории относительности (СТО) проблема описания поведения физической системы определяется решением п дифференциальных и алгебраических уравнений (13) в той или иной криволинейной системе координат, определяемой метрическим тензором gmn. Это решение дает конкретные выражения для ф^... г как функций координат х\ В частности, в СТО всегда можно выбрать систему координат, в которой при мнимой координате времени

[0, i 4= к, Sih = <.

(1, i = к.

В ОТО к уравнениям (13) добавляются уравнения тяготения (4), которые при учете уравнения (14) примут вид

Gxk = Rik^- gikR =

dgmnдФш...т\

-, ..., — у(16)

Теперь уже gm являются также искомыми функциями координат, и поведение физической системы определяется решением уравнений (13) совместно с уравнениями (16), которые должны дать ^п + 10) величин ^т ... г и g^ как функции координат х1. Но, как известно, уравнение (16) содержит четыре тождества

Sxk

и поэтому система уравнений (13) и (16) определяет только (м + 6) величин фгь... т и gih и к ней необходимо добавить четыре уравнения так называемых «координатных условий»

фгп^гй, ^2 ) = 0’ (18) которые фиксируют выбор той или иной системы координат и делают систему уравнений (13) и (16) полной.

Нужно, чтобы уравнения (18) удовлетворяли двум требованиям: 1) должны быть не ковариантными; 2) не должны противоречить уравнениям (13) и (16).

Выполнение требования 1) необходимо потому, что если уравнения (18) будут тензорными, то они могут выполняться в любой системе координат и тем самым не будут осуществлять свою функцию фиксации определенной системы координат. Необходимость выполнения требования 2) не нуждается в пояснениях.

Если уравнения (18) удовлетворяют требованиям 1) и 2), то они вместе с уравнениями (13) и (16) образуют полную непротиворечивую систему уравнений и фактически из-за наличия тождеств (17) сводятся к (10 + и) уравнениям, определяющим поведение (10 + и) переменных фгь...г и gm как функций координат хЧ

Обратимся теперь к определению глобальных свойств псевдотензоров ti- Они являются следствием нетензорного характера ti. В силу этого обстоятельства можно обратить в нуль глобально, т. е. во всех точках пространства-времени, положив равными нулю любые 4 компоненты из 16 компонент $, избрав эти равенства в качестве координатных условий:

„ dgmn \ О HQ\

Чг) gmm т — Ч

где взятие индексов i и к в скобки обозначает, что в уравнениях (19) могут быть использованы любые четыре комбинации чисел Z и к попарно, например, положив г} = 0, zf = 0, 4 = 0, 4 = 0 и т. п. (^i, вообще говоря, несимметричная величина по индексам I и к).

Частным случаем уравнений (19) могут быть уравнения глобального обращения в нуль «потоков» и «плотностей» гравитационной энергии

it^mn, ^ = 0. (19а)

Соотношение (19) или (19а) как координатные условия вследствие их нетензорности автоматически удовлетворяют требованию 1), предъявляемому к координатным условиям. Остается доказать их непротиворечивость уравнениям (13) и (16), т. е. выполнение для них требования 2).

В уравнениях (13) содержится тензор gth и его производные по координатам. Эти уравнения вследствие их тензорной ковариантности выполняются при любом выборе метрики g^ т. е. в любых криволинейных системах координат, которые даже могут не удовлетворять уравнениям тяготения (4) или удовлетворять другим уравнениям, отличающимся от (4). Поэтому уравнения (19), накладывающие некоторые ограничения на выбор метрики g^ не могут противоречить уравнению (13), выполняющемуся в любой метрике. Следовательно, уравнения (19) не будут противоречить и уравнениям сохранения (1) или (2), являющимися следствием (13). Но уравнения (1) или (2) в силу тождеств (17) не противоречат уравнениям тяготения (4) или (16) и, следовательно, им не противоречат и уравнения (19).

Итак, возможность выбора координатных условий (19) и, в частности, (19а) доказана. Тем самым доказано существование в ОТО систем координат, в которых любые четыре компоненты псевдотензора ti глобально равны нулю. Доказательство возможности выполнения уравнений (19) и (19а) для псевдотензоров вида tTk может быть проведено аналогичным образом.

Поясним данное выше доказательство на одном из конкретных примеров физической системы в виде гравитационного поля, источником которого является электромагнитное поле без заряженных частиц. Величинами фгь...г в данном случае будут четыре компоненты вектора потенциала фг. Уравнения (13) и (16) и (19а) имеют вид

gmn Ii_ = 0,(13а)

1 / 9,»к'NAI \ дхпdxhj^- ’ <16а)дхр1 / 9,»к'NAI \ дхпdxhj^- ’ <16а)дхр8 ^хтЬхи 1v 7

1 / 9,»к'NA

I \ дхпdxhj

^- ’ <16а)

дхр

1 / 9,»к'NA

I \ дхпdxhj

^- ’ <16а)

дхр

2\ дхт дхг ,

1/ дфт5<р \ / дф

— 2jbgsngmP ( —L 1 _Е

4 6 6\ дхпдхт И дх8

ии(19а)(19а)/^sp \

и

и

(19а)

(19а)

9§sp—— можно взять дхТ9§sp—— можно взять дхТti I gmni« т I — Э,

9§sp

—— можно взять дхТ

9§sp

—— можно взять дхТ

где в качестве выражений 4 как функций gm;

любые функции этих величин, в том числе, предложенные, например , Эйнштейном.

Система 18-ти уравнений (13а), (16а) и (19а) вследствие наличия тождеств (17) сводится к 14 уравнениям, решение которых, в случае непротиворечивости (19а) уравнениям (13а) и (16а) должно опре-

делить 14 переменных gm и фг как функции координат ж\ Уравнения (13а) выполняются в любых криволинейных координатах, соответствующих любой метрике gm- Поэтому уравнения (19а), налагающие четыре ограничения на выбор gm^ не противоречат уравнениям (13а) и, следовательно, вытекающим из них законам сохранения (1) и (2). Но эти последние в силу тождеств (17) не противоречат уравнениям тяготения (16а) и поэтому уравнения (19а) не противоречат уравнениям (16а). Тем самым доказано для данной физической системы существование системы координат, в которой глобально выполняются уравнения (19а).

ФИЗИЧЕСКИЕ СЛЕДСТВИЯ, ВЫТЕКАЮЩИЕ ИЗ ГЛОБАЛЬНЫХ СВОЙСТВ ПСЕВДОТЕНЗОРОВ (19) И (19а)

Возможность выбора координатных условий (19) и (19а) позволяет доказать следующие положения, имеющие конкретный физический смысл.

Все компоненты псевдотензора $ энергии-импульса гравитационного поля не имеют определенного физического смысла не только локально, но и глобально.

Интегральный 4-вектор энергии-импульса гравитационного поля в вакууме (Т7^ = 0, йцм =£ 0) с галилеевскими условиями на бесконечности всегда равен нулю.

Материальная система с галилеевскими условиями на бесконечности не может увеличить или уменьшить свою энергию только за счет приобретения или потери только гравитационной энергии.

Доказательство первого положения состоит просто в ссылке на доказанное выше существование координатной системы, в которой выполняются глобально уравнения (19) и (19а). Ведь если возможность локального выбора системы координат, в которой tt = 0, считается доказательством отсутствия определенного физического смысла в локализации энергии-импульса гравитационного поля, то тоже самое имеет место и глобально, так как в силу уравнений (19) и (19а) любые 4-компоненты псевдотензора 4 могут быть преобразованием координат обращены в нуль во всех точках пространства-времени.

Второе положение может быть математически сформулировано для гравитационных полей в вакууме с галилеевскими условиями на бесконечности согласно (7) в виде уравнения

Pi = ( t\dv.(20)

Так как это уравнение общековариантно, то выполнение его в системе координат (19а) позволяет сделать вывод, что оно будет выполняться во всех координатах, переходящих в галилеевские на бесконечности, что и обеспечит выполнение второго положения.

Доказательство третьего положения состоит в следующем. Пусть некоторая материальная система с галилеевскими условиями на бесконечности имеет в момент t = 0 вектор энергии-импульса

Р^ = ^y_gT\-HV»- (а)

Затем по истечении некоторого достаточно большого интервала времени t = Т 2> 0 она излучила пакет гравитационных волн, с галилеевскими условиями на бесконечности, имеющий 4-вектор энер гии-импул ьса

Р\8) = J t^v.(g)

Пусть оставшаяся часть системы в момент t = Т также имеет галилеевские условия на бесконечности и 4-вектор энергии- импульса

р^ = $ V”gT\ + 4) dv.(6)

Тогда, как показали А. Папапетроу, Д. Гейслер и Г. Тредер [8|, в этом случае будет выполняться закон сохранения для величин (а), (6) и (g)

р(а) _ р^ = р^ = j

который в силу уравнения (20) примет вид

Р^ _ Р^ = о.(21)

Уравнение (21) и формулирует третье положение, правильность которого тем самым доказана.

Примеры. Можно на примере ряда точных решений показать выполнение координатных условий (19) и (19а) и положений 1, 2 и 3. Так, для известного решения Шварцшильда [9] псевдотензор Эйнштейна ^ равен нулю; для цилиндрических волн Эйнштейна — Розена в вакууме [11], как показали Вебер и Уиллер [10], ^ тоже равен нулю; псевдотензоры Эйнштейна и Ландау — Лифшица [2] для полученного Пересом [12] точного решения равны нулю.

В работе [13] показано, что условие (19а) будет выполняться для плоских гравитационных волн в приближении слабого поля в координатной системе, переход в которую может быть совершен несложным линейным преобразованием координат.

Выполнение положения 2, выражаемого соотношением (20), можно показать на примере точного решения Переса [12]

(22)(22)ds21 = dx^ + dy2 + d^ + / (dz + dt^2, f^f^y^^ 0»

(22)

(22)

fxx + fyy = — уГ33 = уГ34 =уГ44.

Возьмем в соответствии с (22) функцию / в виде

/ =^ Г = - 4- {In (а? + у»» е-

(х2 + </2)24 дхду 1 v м

(23) Она удовлетворяет уравнению

Ь + fw = - лб' (х) 6' (у) е- ^\(24)

где б' (ж) и 6' (у) — производные дираковской 6-функции по х и у.

Сравнение (24) с (22) показывает, что (23) является решением уравнения (4) с источниками:

- уТ33 = т^ = - ^Тм = - лб' (х) 6' (у) е-(25)

В соответствии с (22)

Т3 = - 71 = - Т| = Т44.(26)

Подставив (25) и (26) в (7), получим эйнштейновский 4-вектор в виде

P4 = ^t\dv, Pt=^dv, Pa=^-TM + ti3)dv,

Р4 = ^-Т44 + ^.

Но по (25)

T^dv = Tie™ (z+O1 у 6' (ж) 6' (z/) dv = О

и. учитывая, что согласно решению (22) псевдотензор Эйнштейна ^ = 0, найдем, что для решения (23)

Pi = ^ t\dv = О,

т. е. уравнения (20) и положение 2 точно выполняются.

В противоположность положению 2 и уравнениям (20) некоторые авторы (Вебер и Уиллер [10], Арки [15], Брилл [16] и др.) пытаются доказать существование решений уравнения тяготения (4) без материальных источников (7^ = 0) с галилеевскими условиями на бесконечности, для которых масса (или энергия) гравитационного поля не равна нулю и положительна.

Хотя доказательство положения 2 очень просто, оно является вполне строгим. Поэтому упомянутые выше попытки [10, 15, 16 и др.] не могут быть верными. Подобного рода некорректность может быть продемонстрирована на «точном» решении Брилла [16], по которому компоненты метрического тензора являются симметричными функциями времени L Начальные условия для этого решения задаются величинами gih в виде функций пространственных координат на поверхности t = 0. Тогда отличными от нуля величинами gik будут:

g« = -1 gn = gto = g№ = 1 fa У' ^ °)-(27)

Брилл показывает, что по этому решению для t = 0 асимптотическое значение при г = V ^ + У2 + z2 = оо интервала ds опре-

деляется выражением

d^ = - dt2 + (1 + -^) (dx2 + dy2 + dz2^ (28) где m* > 0.

Поэтому величина m* истолковывается как положительная масса (энергия) гравитационного поля без материальных источников. Однако нетрудно доказать, что по крайней мере асимптотическое решение Брилла (28) противоречит уравнению Эйнштейна (4). Для этой цели достаточно сравнить решение (28) с действительно точным решением Шварцшильда, которое асимптотически для г = со имеет вид

ds2 = - (1 + ^-) dt2 + (1 + ^^ (dx2 + dy2 + dz2\ (29)

Но это уравнение противоречит асимптотическому решению Брилла (28), которое оказывается противоречащим уравнениям тяготения (4) и поэтому неверно. Причина этого заключается в том, что решение Брилла для момента t = 0 удовлетворяет только части уравнений (4) /?? = 0. При этом остальные уравнения Ra = 0 системы (4) были отброшены.

Правильность уравнения (20) была продемонстрирована для решения (4) в виде пакета гравитационных волн в приближении теории слабого поля (14).

Интересно также, что положение 2 о равенстве нулю энергии вакуумного поля тяготения, доказываемое на основе интегральных общековариантных, но не тензорных законов сохранения (7), согласуется с тензорным законом сохранения Синга (9), если в уравнении, его выражающем, считать Е скалярной величиной полной энергии системы с галилеевскими условиями на бесконечности. Действительно, по (9) согласно (7) для вакуумного гравитационного поля Е = 0, так как по уравнению тяготения (4) в этом случае Cij = 0.

ВЫВОДЫ

Существование в эйнштейновской теории положений 1, 2 и 3 не является случайным и имеет обоснование в самой сущности этой теории. По сути дела в ОТО не существует вектора силы тяготения и тензора энергии-импульса гравитационного поля. С точки зрения ОТО, например, траектории планет являются кривыми (геодезическими линиями) свободного движения их в пространстве — времени без действия на них каких-либо сил. Представление о силах и энергии полей тяготения в ОТО является лишь способом истолкования кривизны пространства — времени на языке сил и энергий в плоском пространстве — времени. Именно по этой

причине силы и энергии выражаются псевдовекторами и псевдотензорами, а не истинными векторами и тензорами. В конечном итоге в ОТО это имеет место потому, что поля тяготения являются чисто геометрическими и поэтому их нельзя считать реальными физическими полями, подобными, например, электромагнитному полю.

ЛИТЕРАТУРА

А г п о w i t t DeserS. and Misner H.— The Dynamics of General Relativity, New York — London (1967).

Ландау Л., Лифшиц E. Теория поля. «Наука», М., 1967.

Einstein А.— Sitzungber. Prenss. Akad. Wiss., 1918, 1, 448.

С и н г Д. Общая теория относительности. ИЛ, М., 1963.

Денисов В. И.— Укр. геом. сборн., вып. 2, 1967.

Денисов В. И.— Укр. геом. сборн., вып. 3, 1967.

Коноплева В. П.— ДАН СССР, 190, 5, 1970.

Papapetrou A., Geissler D. and Т ге d ег Н.— Annal. of Phys., 1959, 2, 344.

Э. Schrodinger Е.— Phys. Zeitschr., 1918, 79, 4.

Weber J., Wheelen S.— Rev. Mod. Phys., 1957, 20, 509.

Einstein A., Rosen N.— Journ. Franklin D lhst.,1957, 225, 43.

Peres A.— Phys. Rev., 1969, 118, 1105.

Ш и p о к о в М. Ф.— ДАН СССР, 1970, 814.

Широков М. Ф., Будько Л. И.— ДАН СССР, 1967, 171, 320.

Araki М.— Annals of Phys., 1959, 7, 450.

В г i 1 1 D. R.— Annal of Phys., 1959, 7, 466.

EXPERIMENTAL TEST OF SYMMETRY OF GRAVITATIONAL RADIATION

J. WEBER

University of Maryland, College Park, Maryland 20742

ABSTRACT

Preliminary results are presented of an experiment to observe the symmetry of gravitational radiation. Coincidence experiments have been carried out between a disc and a cylindrical gravitational radiation antenna, and between two cylindrical antennas. Observations find no evidence for a scalar component. The observed symmetry is that of Einstein’s pure tensor field.

INTRODUCTION

Gravitational Radiation Coincidence Experiments [1] have been carried out employing two gravitational radiation antennas of cylindrical shape, at 1660 Hertz. These antennas are at opposite ends of a 1000 kilometer baseline, at Maryland and the Argonne National Laboratory. The radiation appears to come from the direction of the galactic [2] center. However, the antennas are quadrupoles and the direction opposite to that of the galactic center is also consistent with the cylindrical antenna data.

An antenna in the form of a disc has been developed. Its response to tensor components is very different from its expected scalar response. In the lower left corner of Figure I appear the tensor forces on four test particles in a plane transverse to the direction of propagation of a gravitational wave. Our disc is instrumented to operate in the radial mode at 1660 Hertz. Clearly the tensor forces will not excite this mode, for a direction of propagation parallel to the disc

axis of circular symmetry. The disc radial mode can however be excited by a gravitational wave with propagation vector parallel to the plane of the disc as shown. This follows because one pair of tensor forces is in the plane of the disc, but the oppositely sensed

ArgonneArgonneMaryland

Argonne

Argonne

Fig. 1.Disc, Cylinder, and Tensor Forces.Fig. 1.Disc, Cylinder, and Tensor Forces.

Fig. 1.

Disc, Cylinder, and Tensor Forces.

Fig. 1.

Disc, Cylinder, and Tensor Forces.

pair in normal to the disc plane and does not therefore cancel the effect of the first pair. If a scalar component [3, 4, 5] is present, it would be expected to excite the radial mode if incident along the axis of circular symmetry of the disc [6, 7, 8].

THEORY

We employ coordinates in which the earth’s polar axis is in the Z direction and the source is at spherical coordinates 0 and ф. The experiment is arranged so that the disc axis of circular symmetry is in the XY plane, making and angle 0 with the Z axis. The directivity function for the disc is then computed by taking the average of ROror over the disc, associated with the two polarizations of Einstein’s tensor theory and summing squares for an unpolarized source. The result is

F = sin4 0 [(sin2 0 + 2 cos2 0 sin Ф — sin2 Ф [1 + cos2 0])2 +

+ 4 (1 — sin Ф)2 cos2 0 cos2 Ф].(1)

For a galactic center declination of —30°

F = C7^) К3 + 2 sin Ф — 5 sin2 Ф)2/16 +

+ cos2 Ф (1 — sin Ф)2](2)

) does not exhibit front back 12 hour symmetry of the cylinder experiments, and we may understand from Figure 2 why this is the

case. The disc is suspended so that its axis of circular symmetry passes through the galactic center when the galactic center is on the meridian. But 12 hours later the earth’s rotation has placed the axis of circular

Center.

symmetry quite far from the galactic center. For this latter orientation the disc is shown as a dotted line and the galactic center views the disc almost end on.

EXPERIMENTS

Two experiments were operated simultaneously. For one a cylinder at the University of Maryland was operated in coincidence with a cylinder at the Argonne National Laboratory. As indicated earlier, the cylinder axes are horizontal and point east-west at each site. This experiment is therefore similar to the one reported earlier. For the same period the disc at Maryland was operated in coincidence with the cylinder at the Argonne National Laboratory.

Each coincidence involves two detectors which we designate by A and B. Coincidences are classified in accordance with the pulse amplitudes. It was shown earlier [2] that a statistical intensity can be deduced from the observations even though the signal to noise ratio is less than unity. Results for this kind of analysis of the present experiments will be published at a later date. In this paper conclusions will be drawn on the basis of numbers of coincidences. Each coincidence is described by two numbers, NA for channel A and NB for channel B. N Al NB are the number of times the peak recorder amplitude at coincidence is equalled or exceeded per day in the given channel. Only those coincidences are listed for which NA C 100 and NB <^ 100. The accidental ones are subtracted, nine for each bin. For the two cylinders the front-back 12 hour symmetry has been demonstrated in three independent six month experiments with peaks in the direction of the galactic center. To obtain better statistics for

this six month period the sidereal time 12—24 hours has been superimposed on the 0—12 hour sidereal time interval. For the disccylinder experiment the coincidence rate is considerably smaller than that for the two cylinders and a reduction of the number of histogram bins to three is even more essential. Since front-back symmetry is not

expected, as discussed earlier, right-left One histogram bin includes coincidences in the sidereal time segment 14—22 hours containing the portion in which the disc axis of circular symmetry sweeps by the galactic center. A second bin contains the segment 2—10 hours in which the disc axis remains quite far from the galactic center as shown by the dotted section of Figure 2. The third bin contains the right and left segments of sidereal time 22—02 and 10—14 hours.

It is clear from Figure 3 that for the disc-cylinder experiment a minimum is observed when the disc circular symmetry axis is oriented towards the galactic center. This minimum is 3 standard deviations from the mean. For the two cylinder

symmetry is employed.

MARYLAND CYLINDERARGONNE CYLINDERCOINCIDENCES

70

60

50

40

30

MEAN

GALACTICCENTER

MARYLAND DISCARGONNE CYLINDERCOINCIDENCES

Fig. 3.

Disc-Cylinder and Cylinder-Coincidences vs. Sidereal Time.

15

GALACTIC CENTER

/MEAN

20

10 -

О.

2 6 10 12 14 18 22

SIDEREAL TIME

0*L_l_J

048. 12

SIDEREAL TIME

experiment the anisotropy with peak towards the galactic center is reproduced for the fourth time.

For the disc — cylinder histogram the bin 14—22 hours containing the galactic center may be considered to be the scalar channel and the bin 4—8, 16—20 of the two cylinder histogram is properly the tensor channel. After subtraction of the accidentals the number of coincidences remaining in the scalar channel is zero, with a standard deviation of 3.0, the number remaining in the tensor channel is 65, with a standard deviation 8.5.

RADIO EMISSION

If observed coincidences are due to gravitational collapse, radio emission might be expected. In the absence of a theory, the available bandwidth for radio emission is the entire electromagnetic spectrum. Gravitational emission would be expected to be limited to a bandwidth less than 106 Hertz, since only large masses are involved. The large radio bandwidth for search is only partially compensated by the great sensitivity of Radioastronomy installations. Therefore the a priori probability for detection of gravitational collapse is expected to be smaller for radio search than for search by gravitational radiation detection.

CONCLUSION

Observations with a disc gravitational radiation antenna are described very well by Einstein’s tensor theory of gravitation and show no evidence for a scalar component in the radiation. Our present understanding of the origin of the radiation is not sufficiently great to conclude that this rules out the scalar tensor theory for it remains to be proved that the scalar tensor theory requires substantial amounts of energy to be radiated away in scalar form for those processes now being observed. I have benefited from enlightening discussions with R. H. Dicke and G. R. Ringo on the response of disc antennas to gravitational radiation. I thank D. J. Gretz for development of the axial suspension of the disc antenna and for construction of the electronics.

REFERENCES

Weber J.— Phys. Rev. Letters, 1969, 22, 1320; 1970, 24, 276.

W e b e r J.— Phys. Rev. Letters, 1970, 25, 180.

Bergmann P. G.— Annals of Math., 1948, 49, 255.

J о r d a n P. Schwerkraft and Weltall, Vieweg und Sohn, Braunschweig, 1955; Z. Physik, 1959, 157, 112.

В r a n s C. and Dicke R. H. 1961, 124, 925; Dicke R. H. and Goldenberg H. M.— Phys. Rev. Letters, 1967, 18, 313.

D i с к e R. H. Relativity Groups and Topology, Gordon and Breach Publishers, Inc., New York, 1964, p. 165.

W e b e r J. Relativity Groups and Topology, Gordon and Breach Publishers, Inc., New York, 1964, p. 875.

Robinson D. C. and Winicour J.— Phys. Rev. Letters, 1969, 22, 198.

CONSERVATION LAWS AND THE BOUNDARY OF A BOUNDARY

CHARLES W. MISNER, JOHN A. WHEELER

Department of Physics and Astronomy, University of Maryland, College Park, Maryland,, 20742;

Joseph Henry Laboratories, Princeton University, Princeton, New Jersey

ABSTRACT

The law of conservation of source strength follows from the field equations in both electrodynamics and geometrodynamics. The proof can be made to look merely computational in character in both theories. It is not. It has a geometrical origin. It follows from the principle that «the boundary of a boundary is zero». In electrodynamics a simplified application of the principle is easy to illustrate: «the magnetic charge is always zero». Proceeding by mere computation, one writes В = curl A and thereby guarantees div В (-div curl A) = = 0. However, analyzing the calculation in geometrical terms, one writes

magnetic \#

charge in = f В • cfS = f curl A • d2S = ( A • di = 0. volume V/oyqvoav

Here «V» means «boundary of V». The identical vanishing of the last integral has nothing to do with any special feature of the integrand. It follows instead from the fact that the range of integration is zero (vanishing of the boundary of a boundary: ddV = 0).

A second application of d2 = 0, and the most important in all of physics outside of general relativity, reaches out from three dimensions to four and from magnetic flux to electric flux. It determines the form that Maxwell’s equations must take to enforce conservation of electric charge. Finally no principle is more central than d2 = 0 to the formulation of Einstein’s theory. It strusctures the equations to enforce conservation of energy-momentum. We establish the connection between d2 = 0 and conservation in four steps: 338

We accept Cartan’s geometrical language for Einstein’s equations: The moment of the infinitesimal rotation defined by the curvature («moment of rotation», dP /\ R) equals the energy-momentum density (2) The creation of energy-momentum in ar element of 4-volume therefore equals the «moment of rotation» summed over the elements of the bounding 3-surface. (3) But the moment of rotation for each such 3-volume is defined as the sum of the moments of rotation taken for each of the 2-surface elements bounding this 3-volume. (4) The totalized creation of energy-momentum in the 4-volume therefore arises from the 2-dimensional boundary of the 3-dimensional boundary of the 4-volume, which automatically vanishes.

* * *

Symmetry and beauty in the solutions of Einstein’s equations are central themes in Petrov’s outstanding work, which we celebrate on this happy anniversary.

The symmetry and beauty of the structure of Einstein’s equations is the topic here insofar as it hinges on the principle that «the boundary of a boundary is zero» (Box 1). This principle is already the central element in Maxwell’s theory, and in such active fields of mathematics as homological algebra and algebraic topology. No principle turns out to be more central to the structure of Einstein’s equations and the Bianchi identities.

BIANCHI IDENTITIES IN BRIEF

Geometry gives instructions to matter but how does matter manage to give instructions to geometry?

Geometry conveys its instructions to matter by a simple handle: «pursue a world line of extremal lapse of proper time (geodesic)». What is the handle by which matter can act back on geometry? How identify the right handle when the metric geometry of Riemann and Einstein has scores of interesting features? Physics tells what to look for: a machinery of coupling between gravitation (spacetime curvature) and source of gravitation (matter; stress-energy tensor) that will guarantee the automatic conservation of the source. Physics therefore asks mathematics». What tensor-like feature of the geometry is automatically conserved»? Mathematics comes back with answer: «The Einstein tensor». Physics queries, «How does this conservation come about»? Mathematics, in the person of Elie Cartan, replies, «Through the action of the principle that the boundary of a boundary is zero» (Box 1).

Actually two features of the curvature are automatically conserved; or, otherwise stated, the curvature satisfies two Bianchi identi-

ties. Both features of the curvature, both «geometrical objects», lend themselves to representation in diagrams, diagrams moreover that show in action the principle that «the boundary of a boundary is zero». In this respect the geometry of spacetime shows a striking analogy to the field of Maxwell electrodynamics. In electrodynamics there are 4 potentials that are united in the 1-form A = Apdx^. Out of this quantity by exterior differentiation (for this and other details of the mathematics see for example Misner and Wheeler 1957) one forms the electromagnetic field F = dA.

This field satisfies the identity dF = 0 (identity, yes; identity leading itself to the definition of a conserved source, no). In gravitation these are 10 potentials (metric coefficients g^ that are united in the metric tensor g = g^dx^ ® dx^. Out of this quantity by two differentiations follows the curvature operator

R = 4"e^ Л e^dx" Л d?.

This curvature operator satisfies the identity dR = 0, where now «d» is a generalization of Cartan’s exterior derivative, described more fully in Flanders (1952) (again an identity; but again an identity that does not lend itself to the definition of a conserved source). In electromagnetism one has to go to the dual, *F, to have any feature of the field that offers a handle to the source, d*F = 4л*/. The conservation of the source, d*j = 0, appears as a consequence of the identity dd*F = 0; or, by a rewording of the reasoning (Box 1), a consequence of the vanishing of the boundary of a boundary. So in gravitation physics one has to go to the «doubl dual» (two pairs of alternating indices, two places to take the dual) ф = *R* of the curvature to have a feature of the field that offers a handle to the source: G = Tr(§ = (density of energy-momentum). The conservation of the source,

T = epT^dx\ is stated in the form d*T = 0 where

* T = epT^ V* dxv) = ецТи^32^

This conservation law arises as a consequence of the contracted Bianchi identity, d*G = 0, agin interpretable in terms of the vanishing of the boundary of a boundary.

BIANCHI IDENTITY dR = 0 AS MANIFESTATION OF «BOUNDARY OF BOUNDARY = 0»

If this the story of the two Bianchi identities in outline form, then it is appropriate to fill in the details. Figure 1 illustrates the Bianchi identity dR = 0. It says in brief, «the sum of the curvature-induced

rotations associated with the six faces of any elementary cube is zero». The change in A associated with transport around the perimeter of the indicated face evaluated to the lowest relevant order of small quantities is given by

— 64a = R^ (at x + Ax) Л^АуАг.(1)

The opposite face gives a similar contribution except that now the sign is reversed and the evaluation takes place at x rather than at x + Ax. The combination of the contributions from the two faces gives

A4x/Xy^(2)

when Riemann normal coordinates are in use. In such coordinates the vanishing of the total —6Ла contributed by all 6 faces implies R^yx;x + R^zx*^ + R^xy;z = 0.(3)

Here semicolons (covariant derivatives) can be and have been inserted instead of commas (ordinary derivatives) because the two are identical in the context of Riemannion normal coordinates; and in the covariant version (3) generalizes itself to arbitrary curv linear coordinates. Turn from an xyz cube to a cube defined by any set of coordinate axes and write Bianchi’s identity in the form

R^ [Mv,v] = 0(4)

(cf. Flanders 1952 for a reexpression of this identity in abstract coordinate-independent form, dR = 0). This identity occupies much the same place in gravitation physics as that occupied by the identity dF = ddA = 0 in electromagnetism:

F [x^v] = F [Xg;V] = 0.(5)

MOMENT OF ROTATION: KEY TO CONTRACTED BIANCHI IDENTITY

The contracted Bianchi identity, the identity that offers a «handle to couple to the source», was shown by Elie Cartan to deal with «moments of rotation» (Cartan, 1951; Wheeler, 1964). Moments are familiar in elementary mechanics. A rigid body will not remain at rest unless all the forces acting upon it sum to zero:

2 F(i) = 0.(6)

Although necessary, this condition is not sufficient. The sum of the moments of these forces about some point P must also be zero:

5 (p(j> — P) Д F(i) = 0.(7)

About exactly what point these moments «re taken happily does not matter, and this for a simple reason. The arbitrary point in the

vector product (7) has for coefficient the quantity 2Г°\ which already has been required to vanish. The situation is similar in the elementary cube of Fig. 1. Here the rotation associated with a given face is the analog of the force F(o in mechanics. That the sum of these rotations vanishes when extended over all six faces oi the cube is the analog of the vanishing of the sum of the forces F(l).

What is the analog for curvature of the moment of the force that one encountersin mechanics? It is the moment of the rotation associated with a given face of the cube. It will matter for the value of any individual moment with respect to what point P it is calculated. However, the sum of these moments taken over all 6 faces of the cube will have a value independent of the point P, for the same reason as in the case of mechanics. Therefore P can be taken where one pleases inside the elementary cube, or outside it. Moreover, the cube may be viewed as a bit of a hypersurface sliced through space — time. Therefore P can as will be off the slice as on it. It is only required that all distances involved be short enough so that one obtains the required precision by calculating the moments and the sum of moments in a local Riemann normal coordinate system. Thus arrive at a P-inde- pendent totalized moment of rotation (not necessarily zero; gravitation is not mechanics!) associated with the cube in question.

Now comes the magic of the «boundary of the boundary is zero». Identify this net moment of rotation of the cube, evaluated by summing individual moments of rotation associated with individual faces, with the integral of the source density-current (energy-momentum tensor *T) over the interior of the 3-cube. Make this identification not only for the one 3-cube, but for all eight 3-cubes (hyperfaces) that bound the 4-dimensional cube in Box 1. Sum the integrated source density — current *T not only for the one hyperface of the 4-cube but for all 8 hyperfaces. Thus have

(

source \p(source\

creation I =II current-I =

d * T / J \ density, * TJ 4-cube3-boundary

of this4-cube

(

net moment of rota-\ tion associated with = specified cube / these 8 bounding 3-cubes

____/ moment of rotation \

=I associated with specified 1.(8)

uace of specified cube / 8 bounding 6 faces 3-cubes bounding given 3-cube

(zero)

Let the moments of rotation, not only for the six faces of one cube, but for all the faces of all the cubes, be taken with respect to one and the same point P. Recall (Box 1) that any given face joins two cubes or hyperfaces. It therefore appears twice in the count of face once with one orientation («sense of circumnavigation in parallel transport to evaluate rotation») and once with the opposite orientation. Therefore the double sum vanishes identically (boundary of a boundary is zero!). Thus simply is established the existence of a new geometrical object, a feature of the curvature, that is conserved, and therefore provides a handle to which to couple a source. We have achieved our result. Now to translate it into standard mathematics!

CALCULATION OF THE MOMENT

OF ROTATION

It remains to find the tensorial character and value of the conserved Cartan moment of rotation that appertains to any elementary 3-cube.

The rotation associated with the front face Az/Az ey Д ez of the cube in Figure 1 will be represented by the bivector

/rotation associated \_ л _ »|Ьц u л

(with front AyAz face) =^Z(9)

(11 \

t, x + \xs у + -уAz/, z + у- Azi. This equation uses Riemann normal coordinates; indices enclosed by strokes as in | X|x | are summed with the restriction X < p. The moment of this rotation with respect to the point P will be represented by the trivector

/moment of rotation \ associated with =

\front Az/Az face /

= (Peenter of front P) A ®X A ^u^L2^ * Az/Az.(10)

Here neither Pcenter of front not P has any well defined meaning whatsoever as a vector, but their difference is a vector in the limit of infinitesimal separation, P = Pcenter of front — P- With the back face a similar moment of rotation is associated, with the opposite sign, and with Pcenter of front replaced by Pcenter of back- In the difference between the two terms the factor P is of no interest because one is already assured it will cancel out (Bianchi identity (4); analog of 2F(o = 0 in mechanics). The difference Pcenter or front — Pcenter of back г

has the value \xex. Summing over all six faces one has

/net moment of rotation \ associated with cube or =

\hyperface A^Az/Az /

ex A ex Д вц/?^ 'А^А^Д (front and back)

+ e?/ Л ex Л CyT?^ ’AzAzAy (sides)

+ e2 Л ex Л ецМ£ц ^xAyAz (top and bottom). (11) This sum we recognize as the value (on the volume element ex A ey A ezAa;Az/Az) of the 3-form

ev Л ex Д е№Я| $ |&v Д da» Д dx\ which can also be written as

dP л R(12)

Here

(IP = eodx°(13)

is Cartan’s ^j unit tensor and R is the curvature operator, treated as a bivector-valued 2-form

К = е!1ЛеЛ|Й!Л?(14)

Using the language of components as in (11) or the abstract language of (12), one finds himself dealing with a tri vector. A trivector can be left a trivector, as in quite another context an element of 3-volume on a hypersurface in 4-space can be left as a tri vector. However, there it is more convenient to take the dual representation, and speak of the element of volume as a vector e0 which is the dual of the tri vector ex A e2 Л ез-

So here it is more convenient to take the dual of the moment-of- rotation trivector, and end up speaking of the moment of rotation

in this language, / moment of rotation\

regarded as an ordinary I = eoG^d3^,(15)

\4-component vector/

where G°^ is the Einstein’s tensor

—1-6”/? = ^,(16)

with 6 = *R*(17)

or, in components,

= J.(18)

From the conservation law already established, one is assured that the moment of rotation is a conserved quantity; that is, that

G^O.(19)

This is the contracted Bianchi identity, the foundation for Einstein’s field equations.

The foregoing calculation may be summarized in shorthand form as follows. Introduce ^ as the duality operation on contravariant vectors, bivectors, etc. only, so ^ (ex Д e2 Д e3) = e0 but ^^dx2^ = dx2. Then equation 15 reads

(20)(20)momentmoment(21)(21)/moment of rotation \ = . (dp . R) = *G

(20)

(20)

moment

moment

(21)

(21)

\regarded as a vector/\ /

Now evaluate the generalized exterior derivative of this of rotation in three steps and find that it vanishes; thus:

step 1step 2step 1step 2d*G = d[★(dPЛ R)]

step 1

step 2

step 1

step 2

= *|d(dP Л R)]

= ^[^РЛК-йРЛ<Ж]

= 0. } step 3.

Step 1 uses the relation d^=^d. The star duality and the generalized exterior derivative commute because (a) applied to a contravariant vector d acts as a covariant derivative and (6) applied to a covariant vector or 1-form the star duality is without effect. Step 2 applies the standard rule for the action of d on a product (cf. Flanders 1952 for example). Step 3 deals with two terms. In the first we have d2P = 0 (the one of Cartan’s equations of structure that expresses the vanishing torsion of the covariant derivative). In the second term we have Ж = 0 (the full Bianchi identity).

Now reexpress this calculation in the language of «the boundary of a boundary». Follow the pattern of equation 8 but translate the words to formulas, item by item. Evaluate the amount of energymomentum created in the elementary 4-cube Q and find

(d*T = ^*T = * f</PAR = * f РДК = 0.(22)

QdQdQOdQ

step 1step 2step 3

Here step 1 is the theorem of Stokes. Step 2 uses Einstein’s equations to replace *T by *G = ^(dP /\ R). In the resulting integral the star can be treated as a constant and taken outside the sign of integration because the duality operation ^ involves only the metric, and the metric is locally constant throughout the infinitesimal cube over the boundary of which we integrate. Step 3 uses the formula d(P Д R) = dP Д R + P Д Ж(23)

and the theorem of Stokes. The culminating step is 4. It has nothing to do with the integrand (cf. (8) for interpretation). It depends solely on the principle dd = 0.

In summary, the Einstein theory realized the conservation of energy-momentum as the identity, «the boundary of a boundary is zero».

BOX 1. THE BOUNDARY OF A BOUNDARY IS ZERO THE IDEA IN ITS 1-2-3-DIMENSIONAL FORM

Oriented cube or approximation to a cube (3-dimensional).

Its boundary composed of 6 oriented faces, each 2-dimensional.

Orientation of each face indicated by arrow.

Boundary of any one oriented face consists of 4 oriented edges of arrows, each 1-dimensional.

Every edge unites one face with another. No edge stands by itself in isolation.

«Sum» over all these edges, with due regard to sign. Find any given edge counted twice.

once going one way, once going the other.

Conclude that the 1-dimensional boundary of the 2-dimensionai boundary of the 3-dimensional cube is identically zero.

THE IDEA IN ITS 2-3-4-DIMENSIONAL FORM

Fig. 2.composed of 8 oriented hyperfaces, each of them 3-dimensional (top hyperface with extension Д^ДуДз, for example; front hyperface with extension Д^ДуДз; etc.).Boundary of any one hyperface («cube») consists of 6 oriented faces, each 2-dimensional.Fig. 2.composed of 8 oriented hyperfaces, each of them 3-dimensional (top hyperface with extension Д^ДуДз, for example; front hyperface with extension Д^ДуДз; etc.).Boundary of any one hyperface («cube») consists of 6 oriented faces, each 2-dimensional.Oriented 4-dimensional cube or approximation theret Drawing to be considered as schematic and suggestive only, because of the insufficiency of the dimensions on a sheet of paper. Its boundary

Fig. 2.

composed of 8 oriented hyperfaces, each of them 3-dimensional (top hyperface with extension Д^ДуДз, for example; front hyperface with extension Д^ДуДз; etc.).

Boundary of any one hyperface («cube») consists of 6 oriented faces, each 2-dimensional.

Fig. 2.

composed of 8 oriented hyperfaces, each of them 3-dimensional (top hyperface with extension Д^ДуДз, for example; front hyperface with extension Д^ДуДз; etc.).

Boundary of any one hyperface («cube») consists of 6 oriented faces, each 2-dimensional.

Every face (for example the face Az/Az indicated by hatching) unites one hyperface with another (A^AyAz with AzAz/Az in the example). No face stands by itself in isolation.

«Sum» over all these faces, with due regard to orientation. Find any given face counted twice, once with one orientation, once with the opposite orientation.

Conclude that the 2-dimensional boundary of the 3-dimensional boundary of the 4-dimensional cube is identically zero.

THE IDEA IN ITS GENERAL ABSTRACT FORM dd = 0 (the boundary of a boundary is zero). IDEA BEHIND APPLICATION TO GRAVITATION AND ELECTROMAGNETISM

The one central point is a law of conservation (conservation of charge; conservation of momentum-energy).

The other central point is «automatic fulfillment» of this conservation law.

«Automatic conservation» requires that source not be agent free to vary arbitrarily from place to place and instant to instant.

Source needs tie to something which, while having degrees of freedom of its own, will cut down the otherwise arbitrary degrees of freedom of the source sufficiently to guarantee that the source automatically fulfills the conservation law. Give name «field» to this something.

Define this field and «wire it up» to the source in such a way that the conservation of the source shall be an automatic consequence of the «zero boundary of a boundary». Or, more explicitly:

Conservation demands no creation or destruction of source inside the 4-dimensional cube shown in the diagram. Equivalently, integral of «creation events» over this 4-dimensional region is required to be zero.

Integral of creation over this 4-dimensional region translates into integral of source density — current over 3-dimensional boundary of this region. This boundary consists of 8 hyperfaces each taken with due regard to orientation. Integral over upper hyperface («AaAz/Az») gives amount of source present at later moment; over lower hyperface gives amount of source present at earlier moment; over such hyperfaces as «А/АхАу» gives outflow of source over intervening period of time. Conservation demands that sum of these eight 3-dimensional integrals shall be zero.

Vanishing of this sum of 3-dimensional integrals states the conservation requirement but does not provide the machinery for «automatically» (or, in mathematical terms, «identically») meeting this requirement. For that, turn to principle that «boundary of a boundary is zero».

Demand that integral of source density — current over any oriented hyperface (3-dimensional region; «cube») shall equal integral of field over faces of this «cube» (each face being taken with the appropriate orientation).

Sum over the 6 faces of this cube and continue summing until the faces of all 8 cubes are covered. Find any given face (as for example the hatched face in the diagram) counted twice, once with one orientation, once with the other («boundary of a boundary is zero»). Thus have guaranteed the conservation of source: integral of source dencity — current over 3-dimensional boundary of 4-dimensional region is automatically zero, making integral of creation over interior of that 4-dimensional region also identically zero.

Repeat calculation with boundary of that 4-dimensional region slightly displaced in one locality (the «bubble differentiation» of Tomonaga and Schwinger) and conclude that conservation is guaranteed, not only in the 4-dimensional region as a whole, but at every point within it and, by extension, everywhere in spacetime.

RELATION OF SOURCE TO FIELD

One view: Source is primary. Field may have other duties but its prime duty is to serve as «slave» of source. Conservation of source comes first, field has to adjust itself accordingly.

Alternative view: Field is primary. Field takes the responsibility to see to it that the source obeys the conservation law. Source would not know what to do in absence of the field; would not even exist. Source is «built» from field. Conservation of source is consequence of this construction.

One model illustrating this view in an elementary context: Concept of «classical» electric charge as nothing but «electric lines of force trapped in the topology of a multiply connected space» (Weyl, 1924; Wheeler, 1955; Misner and Wheeler, 1957).

On any view: Integral of source dencity-current over any 3-dimensional region (a «cube» in simplified analysis above) equals integral of field over boundary of this region (the six faces of the cube above). No one has ever found any other way to understand the correlation between field law and conservation law.

ELECTROMAGNETISM AS A MODEL:

HOW TO «WIRE UP» SOURCE TO FIELD SO AS TO GIVE AUTOMATIC CONSERVATION OF SOURCE VIA «00 = 0» IN ITS 2-3-4-DIMENSIONAL FORM

Conservation means zero creation of charge (zero creation in 4-dimensional region Q).

Demands zero value for integral of charge density-current over

3-dimensional boundary of this volume; thus, QdQ

in the conventional component language; or in coordinate-free abstract language, with

* / = * K^dx' /\ dx2 /\ da? + * /023^° A ^2 A c^3

+ * 7оз1^° Л ^3 К dx' -V * l^dxQ Д dx' /\ da?, one has

0 = ^ d * 7 = ( * 7. QdQ

Fulfill this conservation requirement automatically («identically») through the principle that «the boundary of a boundary is zero» by writing Дл*/ = d*F\ thus,

4 л f * / = J d * F =* F = 0

6Q 6QOdQ (zero1)

or in component language write 4л^ = F^.^ and have

4л J fd3^ = f F^ v d3^ = J Р№^а = 0.

dQdQ60Q (zero!)

In other words, half of Maxwell’s equations in their familiar flat space form, div E = V • E = 4лр; curl B = Vx6 = £' + 4л/ «wire up» the source to the field in such a way that the law of conservation of source follows directly from «ддй = 0».

ELECTROMAGNETISM ALSO EMPLOYS «дд = 0» IN ITS 1-2-3-DIMENSIONAL FORM («NO MAGNETIC CHARGE»)

Magnetic charge linked with field via 4л/та^ = dF (cf. just above for translation of this abstract language into equivalent component language). Absence of any magnetic charge says that integral of jmQg over any 3-volume V is necessarily zero; or («integration by parts», generalized Stokes theorem)

0 = \dF = У F. v dv

In order to satisfy this reguirement «automatically» via principle that «the boundary of a boundary is zero», write F = dA («expression of field in terms of 4-potential») and have

^F = \ dA = I Л = 0.

6 VdV aav (zero!)

DIFFERENTIATIONDIFFERENTIATIONA (potential)F(field) = dAdF — 0 /identity based \on dd = 0A (potential)F(field) = dAdF — 0 /identity based \on dd = 0| /expressed as ' d * 7 = 0 I an identity\ based on dd = 0d*j = 0 or V • / = 0 «automatic»| /expressed as ' d * 7 = 0 I an identity\ based on dd = 0d*j = 0 or V • / = 0 «automatic»STRUCTURE OF GRAVITATION IN OUTLINE FORMSTRUCTURE OF GRAVITATION IN OUTLINE FORMDynamics of Maxwell (second order differential equation; wave equation) arises from a structure tied together with two differentiations; in outline form,

DIFFERENTIATION

DIFFERENTIATION

A (potential)

F(field) = dA

dF — 0 /identity based \on dd = 0

A (potential)

F(field) = dA

dF — 0 /identity based \on dd = 0

| /expressed as ' d * 7 = 0 I an identity

\ based on dd = 0

d*j = 0 or V • / = 0 «automatic»

| /expressed as ' d * 7 = 0 I an identity

\ based on dd = 0

d*j = 0 or V • / = 0 «automatic»

STRUCTURE OF GRAVITATION IN OUTLINE FORM

STRUCTURE OF GRAVITATION IN OUTLINE FORM

g (metric)

^/parallel transport; covariant derivative; ygeneralized exterior derivative

/full Bianchi \

dR = 0 I identity; based ] yon dd = 0/

* G = * Tr(§ = *T

I

/contracted Bianchi \

d * G = 0 identity; based ] yon dd = 0 J

d*T = 0 or V 7 = 0«automatic»

Figure 1. Combine rotations associated with each of the six faces of the illustrated 3-volume and end up with zero net rotation («Bianchi identity»).

Reason: Contribution of any face is measured by change in a test vector A carried in parallel transport around the perimeter of that face. Combine contributions of all faces and end up with each edge

traversed twice, once in one direction, once in the other direction (boundary (here 1-dimensional) of boundary (2-dimensional) of indicated 3-dimensional figure is zero).

Detail: The vector Л, residing at the indicated site, is transported parallel to itself over to the indicated face, then carried around the perimeter of that face by parallel transport, experiencing in the process a rotation measured by the spacetime curvature asso

ciated with that face, then transported parallel to itself back to the original site. To the lowest relevant order of small quantities one can write

(change in A) = — \y\zReyez • A in operator notation; or in coordinate language, — 6 Aa = R^ (at x -|- Аж) A^^y^z.

REFERENCES

С a г t a n E. Les identites de Bianchi. Chapter 8 in Lecons sur la geometrie des espaces de Riemann, 2nd, ed., Gauthier — Villars, Paris, 4951.

Flanders H. Trans. Am. Math. Soc., 1952.

M i s n e r C. W. and Wheeler J. A. Classical physics as geometry.— Ann. of Phys., 1957, 2, 525.

W e у 1 H. Was ist Materie, Springer, Berlin, 1924, 57—58.

W h e e 1 e r J. A. Geons.— Phys. Rev., 1955, 97, 511, 535—536.

W h e e 1 e r J. A. Gravitation as geometry.— Cartan’s construction for geometric tensor of vanishing covariant divergence, on pp. 78—81. A chapter in H — Y. Chiu and W. F. Hoffmann, eds., Gravitation and Relativity, Benjamin, New York, 1964.

СОДЕРЖАНИЕ

Алексей Зиновьевич Петров В. П. Шелест, К. А. Пирагас 5

О приеме гравитационного излучения от некоторых источников внеземного происхождения с помощью гетеродинного детектора

Б. Брагинский, В. С. Назаренко 9

Изолированные решения в общей теории относительности Брилл Д. ............................17

Существование и единственность решений для систем Эйнштейна — Максвелла — Лиувиля

Шоке-Брюа 23

О сингулярностях в общей теории относительности и космологии В. Л. Гинзбург . 40

Самодействующая скалярная гравитация С. Дезер^ Л. Халпен .. .46

Классификация Петрова и рекуррентные пространства

Р. Кайгородов .................. 52

Представления ньютоновой теории X. П. Перес 62

Алгебраические подходы к общей теории относительности С. Килмистер 83

О возможности обнаружения гравитационных эффектов посредством сверхрассеяния

У. X. Копвиллем100

Два аспекта нейтринной физики в гравитационном поле Б. Нухович .. . 113

Картанова проблема и векторы связности в теории относительности А. Е. Левашов 129

Принцип эквивалентности и симметрия риманова пространства М. Б. Менский.......... 157

Классификация тензора кривизны пространства — времени в случае нулевого электромагнитного поля

Р. Михира 167

Гравитация, инерция и физика твердых тел

Г. Папини 192

Спинорная классификация тензора энергии

Р. Пенроуз ................203

Об обобщенной теории гравитации Эйнштейна

Г. С. Саакян ........................... 216

Основные уравнения теории Максвелла и квантовая теория во вращающихся системах отсчета

Шмутцер ....................... • . . . 232

Алгебраическая теория пространства тензора кривизны

Г. А. Соколик^ К. П. Станюкович • • • 242

К теории классического релятивистского уравнения Дирака

А. А. Соколов ....................... • • • 255

О вариационных принципах в общей теории относительности

А. Тауб276

Решающий эксперимент в общей теории относительности и экспериментальное определение риманового тензора кривизны

Г. Тредер •. 288

Соотношения дуальности и тензор кривизны

Ф. И. Федоров . .. . . 296

Необходимость нового опыта по проверке общей теории относительности

|5. М. Чихачев^312

Некоторые глобальные свойства гравитационных псевдотензоров энергии-импульса в общей теории относительности и их физические применения

М. Ф. Широков 321

Экспериментальная проверка симметрии гравитационной радиации

Дж. Вебер .. 333

Законы сохранения и граница границы

В. Мизнер, Дж. А. Уйлер . . . 338

CONTENTS

Aleksey Zinovievich Petrov

U. P. Shelest, K. A. Piragas 5

On the detection of gravitational radiation from some astronomical sources with the heterodyne detector

. B. Braginskii, V. 5. Nazarenko 9

Isolated solution in General Relativity

Dieter Brill 17

Existence and uniqueness for the Einstein — Maxwell — Liouville system

. Choquet-Bruhat. 23

On Singularity in General Relativity and Cosmology

. L. Ginsburg 40

Self-Coupled scalar gravitation

S. Deser, L. Halpen 46

Petrov’s classification and Recurent Spaces

. R. Kaigorodov 52

Representations of the Newton Theory

P. Keres62

Algebraic approaches to General Relativity

Kilmister ...........................83

On Possibility of Detecting the Gravitational Effects by Super-Scattering

U. C. Kopvillem 100

Two aspects of neutrino physics in gravitational fields

Kuchowicz113

Kartan’s Problem and Connectivity Vector in Relativity

A. E. Levashov 128

Shock Waves in relativistic magnetohydrodynamics

A. Lichnerowicz147

Classification of space—time curvature tensor in the case of null electromagnetic field

R. Mishra 168

Gravity, Inertia and the Physics of Solids G. Papini192

Spinor Classification of Energy Tensors

R. Penrose ........................... 203

On a generalized Theory of Einstein Gravitation G. S. Saakian216

Die Grundgleichungen der Maxwell-Theorie und Quantentheorie in einem rotierenden Bezugssystem

Schmutzer232

Algebraic Theory of Space Curvature Tensor G. A. Sokollk, К. P. Staniukowtcz242

On Theory of the Classic Relativistic Dirack Equation

A. A. Sokolov ......................... 255

On variational prenciples in General Relativity

A. Taub ............................. 276

Kreuzexperimente in der allgemeinen Relativitatstheorie und die experi- mentelle Bestimmung des Riemannschen Kriimmungstensors

H.-J. Treder288

Relation of Duality and Curvature Tensor

I. Fedorov ............... . ........... 296

Necessity in a New Experiment for Verification of General Relativity |S. M. Chikhachov^312

Global Properties of Gravitational Energy-momentum Pseudo-Tensor in General Relativity and their Physical Aplication

M. F. Shirokov ......................... 321

Experimental Test of Symmetry of Gravitational Radiation

J. Weber 333

Conservation Laws and the Boundary of a Boundary

Misner, J. Wheeler ............. • • • • 338

УДК 53.082.1

О приеме гравитационного излучения от некоторых источников внеземного происхождения с помощью гетеродинного детектора. Брагинский В. Б., Назаренко В. С.— Гравитация: проблемы, перспективы, «Наукова думка». К., 1972.

Обсуждаются возможности гетеродинного метода приема гравитационных волн. Произведенные оценки позволяют сделать заключение, что предлагаемый детектор наилучшим образом может быть использован для регистрации гравитационного излучения от пульсаров.

Библиогр. 8.

УДК 251.266

Изолированные решения в общей теории относительности. Брилл Д.— Гравитация: проблемы, перспективы, «Наукова думка», К., 1972.

Рассматриваются вопросы, связанные с возмущением некоторых решений уравнений поля Эйнштейна. Хотя в ассимптотически плоском пространстве такое возмущение возможно, но, например, в замкнутой вселенной с топологией 3-тора существуют решения, которые не могут быть возмущены.

Библиогр. 7.

УДК 517.993

Существование и единственность решений для систем Эйнштейна — максвелла — Луивиля. Шоке-Брю а.— Гравитация: проблемы, перспективы, «Наукова думка», К., 1972.

Доказывается существование и единственность решения задачи Коши для релятивистского газа без соударения движущегося под действием его собственного среднего гравитационного и электромагнитного полей в рамках кинетической теории в ОТО.

Библиогр. 12. Рис. 2.

УДК 251.266

О сингулярности в общей теории относительности и космологии. Гинзбург В.— Гравитация: проблемы, перспективы, «Наукова думка», К., 1972.

Обсуждается вопрос о роли флуктуаций (в первую очередь речь идет о нулевых флуктуациях гравитационного поля) в общей теории относительности. В основном имеется при этом в виду изотропное и однородное космологическое решение для замкнутой вселенной. Вблизи сингулярности роль квантовых эффектов велика, и, следовательно, решение космологической проблемы, по-видимому, возможно лишь в рамках квантовой теории.

Библиогр. 6.

УДК 251.266

Самодействующая скалярная гравитация. Д е з е р С., X а л п е н А.— Гравитация: проблемы, перспективы, «Наукова думка», К., 1972.

Рассматривается нелинейная самодействующая скалярная теория гравитационного поля в плоском пространстве — времени. Рассмотрены два варианта такой теории: первый — скалярная теория Нордстрема в форме Эйнштейна — Фоккера и второй — скалярная полевая модель Фрейнда — Нашбу.

Библиогр. 7.

УДК 513.881

Классификация Петрова и рекуррентные пространства. Кайгородов В. Р.—• Гравитация: проблемы, перспективы, «Наукова думка», К., 1972.

Изучаются рекуррентные пространства У4 с сигнатурой гиперболического типа, используя алгебраическую классификацию А. 3. Петрова. Показано, в частности, что рекуррентные вакуумные поля тяготения могут быть лишь пространствами второго вырожденного типа. Особо изучается вопрос о рекуррентных конформно-плоских полях тяготения.

Библиогр. 10.

УДК 251.266

Представление ньютоновской теории. К е р е с X. П.— Гравитация: проблемы перспективы, «Наукова думка», К., 1972.

Анализируется вопрос о возможности разграничения в ОТО сил инерции и гравитационных, а также выявление общих структур ОТО и ее предельного ньютонова случая. В работе использован метод внешних форм Картана, с помощью которого классифицируются системы отсчета по внешним формам (объектам неголономности).

Библиогр. 5.

УДК 513.881

Алгебраические подходы к общей теории относительности. Килмистер С.-— Гравитация: проблемы, перспективы, «Наукова думка». К., 1972.

Сопоставляются некоторые результаты последних исследований с алгебраическими методами Петрова. Намечены перспективы дальнейшего развития этих методов.

Библиогр. 17.

УДК 531.7.08

О возможности обнаружения гравитационных эффектов посредством сверхизлучения. Копвиллем У. X.— Гравитация: проблемы, перспективы, «Наукова думка», К., 1972.

Обсуждается возможность применения явления «сверхизлучения» для детектирования гравитонов и других гравитационных эффектов. Хотя такие эффекты малы, однако при соответствующем развитии экспериментальной техники и удачном выборе объекта исследования, в работе делается вывод, что такие эксперименты осуществимы в настоящее время.

Библиогр. 40.

УДК 251.266

Два аспекта нейтринной физики и гравитационное поле. К у х о в и ч Б.*— Гравитация: проблемы, перспективы, «Наукова думка», К., 1972.

Работа представляет обзор современного состояния теории нейтрино в гравитационных полях. Автором различаются два важнейших, с его точки зрения, аспекта— нейтрино, как частица, и нейтрино, как поле в гравитационном поле. Основное внимание уделяется полевому описанию нейтрино в гравитационном поле. Здесь, в частности, привлекается классификация полей тяготения Петрова для классификации нейтринных полей.

Библиогр. 45.

УДК 53.08

Картанова проблема и векторы связности в теории относительности. Левашов А. Е.— Гравитация: проблемы, перспективы, «Наукова думка», К., 1972.

Обсуждается проблема Картана в ОТО. С этой целью для отделения физических эффектов от координатных предлагается для представления физических величин пользоваться не только координатным обозначением, но и введением прямых образов, что предопределяет введение векторов связности.

Библиогр. 10.

УДК 538.4

Ударные волны в релятивистской магнитогидродинамике. Лихнерович А.— Гравитация: проблемы, перспективы, «Наукова думка», К., 1972.

Дан краткий очерк строго математического изучения ударных волн в релятивистской магнитогидродинамике. Отмечается, что релятивистская теория является более простой и изящной, чем классическая.

УДК 513.881

Принцип эквивалентности и симметрия риманова пространства. М е н - ский М. Б.— Гравитация: Проблемы, перспективы, «Наукова думка», К., 1972.

В терминах аппарата расслоенных пространств формулируется принцип эквивалентности, и на основе анализа работ Шювегеша автор приходит в невырожденном случае к инвариантности относительно группы Пуанкаре. В отличие от Шювегеша, кручение при этом не вводится.

Библиогр. 4.

УДК 513.881

Классификация тензора кривизны пространства — времени в случае нулевого электромагнитного поля. Мишра Р.— Гравитация: проблемы, перспективы, «Наукова думка», К., 1972.

Перечислены тензоры кривизны, удовлетворяющие уравнениям поля Эйнштейна в случае наличия электромагнитного поля в пустоте. Выражаются физические величины через эти тензоры кривизны.

Библиогр. 5.

УДК 251.266

Гравитация, инерция и физика твердых тел. П а п и н и Г.— Гравитация: проблемы, перспективы, «Наукова думка», К., 1972.

Обсуждаются некоторые пути, по которым современная физика твердого тела может играть роль в понимании гравитации. Описывается гравитационное поле в линейном приближении, рассматриваются сверхпроводники в стационарном гравитационном поле.

Библиогр. 17.

УДК 518.831

Спинорная классификация тензора энергии. Пенроуз Р.— Гравитация: проблемы, перспективы, «Паукова думка», К., 1972

Развивается спинорное представление классификации Петрова пространств Эйнштейна и пространств общего вида, определяемых уравнениями Эйнштейна, с целью приложения последней для классификации тензоров Ричча.

Библиогр. 8. Рис. 1.

УДК 251.266

Об обобщенной теории гравитации Эйнштейна. Саакян Г. С.— Гравитация: проблемы, перспективы, «Паукова думка», К., 1972.

Обсуждается теория гравитации, базирующаяся на идее Дирака о медленном изменении гравитационной постоянной. Даны расчеты статических сферически симметрических конфигураций в рамках такой теории для случая несжимаемой жидкости, вырожденного идеального газа барионов, а также для вырожденного реального газа барионов.

Библиогр. 13. Рис. 1.

УДК 538.3

Основные уравнения теории Максвелла и квантовая теория во вращающихся системах отсчета. Шмутцер Е.— Гравитация: проблемы, перспективы, «Паукова думка», К., 1972.

Рассматриваются уравнения Максвелла и Дирака во вращающихся системах отсчета. Добавочные члены рассмотрены в линейном приближении, по угловой скорости. Обсуждается вопрос о кариолисовых силах.

Библиогр. 12.

УДК 513.881

19. Алгебраическая теория пространства тензора кривизны. Соколик Г. А., Станюкович К. П.— Гравитация: проблемы, перспективы, «Паукова думка». К., 1972.

Производится анализ групповых свойств тензора кривизны, при этом используется простой бивектор, построенный из тетрад Результаты работы могут оказаться полезными при поисках путей к построению объединенной теории гравитации и негравитационных полей.

Библиогр. 14.

УДК 538.3

К теории классического релятивистского уравнения Дирака. Соколов А. А.—. Гравитация: проблемы, перспективы, «Паукова думка», К., 1972.

Дается анализ релятивистских уравнений движения электрона в пространстве — времени Минковского, содержащих силу самодействия. Автор подводит итоги своим исследованиям по выводу 4-силы самодействия и разыскиванию частных решений.

Библиогр. 8.

УДК 513.3

О вариационных принципах в общей теории относительности. Т а у б А.— Гравитация: проблемы, перспективы, «Паукова думка», К., 1972.

Исследуются некоторые общие свойства вариационных принципов. Показывается, в частности, что вариационные принципы приводят к двум различным тензорам энергии импульса, один из которых симметричен, второй не обязательно является симметрическим. Обсуждаются законы сохранения в полевых теориях.

Библиогр. 5.

УДК 53.266

Решающий эксперимент в общей теории относительности и экспериментальные основы риманового тензора кривизны. Т р е д е р Г.— Гравитация: проблемы, перспективы, «Паукова думка», К., 1972.

Рассматриваются ассоциированные с циклом перемещения, обусловленные тензором Римана-Кристоффеля.

Отмечается, что «перекрестный эксперимент» может позволить измерить тензор кривизны пространства V4.

Библиогр; 6.

УДК 513.881

Соотношения дуальности и тензор кривизны. Федоров Ф. И.— Гравитация: проблемы, перспективы, «Наукова думка», К., 1972.

Исследуются свойства тензора кривизны при использовании самодуальных и анти- дуальных матриц, а также структура уравнений Эйнштейна. Общековариантным путем автор достигает такого представления тензора кривизны, которые лежат в основе классификации Петрова.

Библиогр. 13

УДК 531.7

Необходимость нового опыта по проверке общей теории относительности. Ч и х а - ч е в Б. М.— Гравитация: проблемы, перспективы, «Наукова думка», К., 1972.

Анализируются две трактовки эффекта изменения частоты электромагнитных волн в поле тяготения: 1) как проявление свойств внешнего поля тяготения, 2) как результат взаимодействия гравитационного и электромагнитного полей. Излагается идея эксперимента, позволяющая решить вопрос — какова из этих точек зрения имеет место.

Бибчиогр. 27.

УДК 251.266

Некоторые глобальные свойства гравитационных псевдотензоров энергии — импульса в ОТО и их физические применения. Широков М. Ф.— Гравитация: проблемы, перспективы, «Наукова думка», К., 1972.

На основе анализа полноты и непротиворечивости системы уравнений, определяющих течение процессов в любой физической системе (газ, жидкость, электромагнитное поле и т. д.), доказано, что всегда существует такая система координат, в которой любые четыре компонента всякого псевдотензора энергии импульса гравитационного поля будут глобально равны нулю

Библиогр. 16.

УДК 53.082

Экспериментальная проверка симметрии гравитационной радиации. Вебер Д ж.— Гравитация: проблемы, перспективы, «Наукова думка», К., 1972.

Приводятся предварительные данные эксперимента по исследованию направленности гравитационной радиации. Делается вывод о чисто тензорном характере гравитационного излучения.

Библиогр. 8 Рис. 3.

УДК 513 881

Законы сохранения и граница границы. Мизнер Ч ., Уйлер Дж. Гравитация: проблемы, перспективы, «Наукова думка», К., 1972.

Обсуждаются законы сохранения в электродинамике и геометродинамике. Указывается на геометрическое происхождение этих законов.

Библиогр. 6. Рис. 3.

ГРАВИТАЦИЯ

Проблемы, перспективы

Печатается по постановлению ученого совета Института теоретической физики АН УССР

Редактор Г. С. Мелъник

Художественный редактор К. Г. Лычаковский

Оформление художника В. Ф. Морозова

Технический редактор Б. А. Пиковская

Корректор Р. С. Коган

Сдано в набор 6.1.1972 г. Подписано к печати 8.VIII. 1972 г. БФ 32212. Зак. № 2—27. Изд. №269. Тираж 1750. Бумага № 1. Формат 60x90Vie* Печ. физ. листов 22,54-1 вкл. Условн. печ. листов 22,625. Учетно-изд. листов 21,27. Цена 2 руб. 39 коп.

Издательство «Паукова думка», Киев, Репина 3.

Киевский полиграфический комбинат Комитета по печати при Совете Министров УССР, ул. Довженко, 3.

1 These inequalities replace, for convenience in the proofs, the inequalities (4—1): they are, locally, geometrically equivalent to them; they are not a restriction on the generality of the Cauchy datas for a hyperbolic metric.

2 Supported by the National Research Council of Canada under grant 694.

= P + 4" (® lr X 71) + -7- (toH)7- (® x r) rot H, (21) aus denen die Kontinuitatsgleichung

-^ + div7+g-g- = -^ + div7+-^(tox7)-|- = o

(22) resultiert.

1 Мы пока не обращаем внимания на начальные условия. Этот вопрос будет рассмотрен нами ниже.

Kreisels, so entspricht unser Kreuzmessungs-Effekt gerade der geodatischen

Prazession von de Sitter und Fokker [2].

ЮЧ-1//

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

ACADEMY OF SCIENCES OF THE UKRAINIAN SSR INSTITUTE OF THEORETICAL PHYSICS

GRAVITATION

PROBLEMS

PROSPECTS

The book

is dedicated to the memory of Aleksey Zinovievich Petrov

PUBLISHING HOUSE «NAUKOVA DUMKA» • KIEV 1972

ГРАВИТАЦИЯ

ПРОБЛЕМЫ ПЕРСПЕКТИВЫ

Памяти

Алексея Зиновьевича

Петрова посвяи^ается

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКОВА ДУМКА» • КИЕВ — 1972

530.1 Г75

редакционная КОЛЛЕГИЯ:

член-корреспондент АН УССР

В. П. ШЕЛЕСТ (ответственный редактор), доктор физико-математических наук

А. Е. ЛЕВАШОВ, доктор физико-математических наук М. Ф. ШИРОКОВ, кандидат физико-математических наук К. А. ПИР АГ АС (ответственный секретарь)

Редакция физико-математической литературы

Зав. редакцией И. В. ЕВСЕЕНКО-МИСЮРЕНКО

2—3—2

148 — 72М

Эта страница пуста

АЛЕКСЕЙ ЗИНОВЬЕВИЧ ПЕТРОВ (1910—1972)

Лауреат Ленинской премии, академик АН УССР Алексей Зиновьевич Петров широко известен в научных кругах как крупнейший специалист в современной теории гравитации.

А. 3. Петров родился в 1910 г. в с. Кошки Куйбышевской области (бывшей Самарской губернии). После смерти отца он был взят на воспитание учительницей Е. В. Петровой. С 15 лет начал работать и только в возрасте 22 лет сдал экстерном экзамены за среднюю школу. В этом же году А. 3. Петров поступил на физико-математический факультет Казанского университета, который успешно окончил в 1937 г. Среди преподавателей университета были такие известные профессора, как П. А. Широков, Н. Г. Четаев, Н. Н. Парфентьев, Н. Г. Чеботарев, которые оказали огромное влияние на всю дальнейшую научную и научно-педагогическую деятельность А. 3. Петрова.

Круг научных интересов А. 3. Петрова определился со времени выполнения дипломной работы: всю свою научную деятельность он посвятил труднейшей проблеме современной теоретической физики — теории тяготения.

Здесь трудно дать сколь-нибудь полный обзор работ, выполненных А. 3. Петровым, и всей его многогранной научной, научнопедагогической и научно-организационной деятельности. Поэтому мы остановимся лишь на важнейших ее этапах.

Известному циклу работ А. 3. Петрова по алгебраической классификации полей тяготения, основанной на применении теории алгебраических и дифференциальных инвариантов и давно ставшей классической в этой области, предшествовала работа (1949), имеющая, казалось бы, чисто математический характер и посвященная одновременному приведению пары квадратичных форм к диагональному виду на вещественном пути, когда одна из этих форм не вырождена и имеет произвольную сигнатуру. В ней были даны простые и удобные для пользования канонические виды этих форм, в отличие от канонических форм, полученных ранее Диксоном (1909). Использовав этот результат и произведя отображение тензрра кривизны на шестимерное бивекторное пространство Ув,

A. 3. Петров в 1954 г. показал, что в случае полей тяготения в пустоте существует три и только три типа полей тяготения в смысле такой классификации. Для произвольных полей тяготения им была дана аналогичная классификация, в основу которой положен тензор Вейля. Доказано, что также существуют три различных типа полей тяготения, причем в случае свободных полей тяготения матрицы тензора кривизны в У6 в некотором каноническом ортре- пере имеют такой канонический вид:

где для Тх (первый тип)

/а,00 \/Pi00 \

Л/= | 0а20 ,N =I Ор20 ,

\00а3/уО0р3/

з з

2 а< = 2 Pi = О, 1=11=1

для Т4 (второй тип)

/а1 00\/р1 0 0 \

Л/= I О а2 + 1 0|, N= 10 р2 1 I,

\0 0a2 — V\° 1 Рг/

«1 + 2а2 = Pi + 2Р2 = 0,

для Т8 (третий тип)

/0 10\/000\

М= 1 00 ,TV =I о0-1 ].

\0 00/\0— 1о/

(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)В случае произвольных полей тяготения аналогичные канонические формы в F6 будут иметь место для матрицы тензора Вейля.

(1)

(2)

(3)

(4)

(1)

(2)

(3)

(4)

Работы, посвященные классификации полей тяготения по группам непрерывных преобразований Ли (группам движений, группам конформных преобразований, группам проективных преобразований), выполненные частично совместно с учениками, являются дополнением указанных выше работ. В основе их лежит единая идея — идея инвариантного описания полей тяготения, такой подход при современном состоянии теории, безусловно, перспективен.

Алгебраическая классификация полей тяготения, дополненная классификацией по группам непрерывных преобразований Ли, представляет мощный математический аппарат, позволяющий решать сложные математические и физические проблемы современной теории гравитации. Неудивительно, что эти работы послужили отправной точкой для многочисленных и обширных исследований математического и физического характера, выполненных как в Со-

ветском Союзе, так и за рубежом. Например, в работах Пирани, Бёля и других в основу теории гравитационной радиации была положена алгебраическая теория полей тяготения А. 3. Петрова. Идеи теории групп Ли были использованы в работах Траутмана, Денисова для построения сохраняющихся величин, что играет важную роль в вопросах о понятии энергии поля гравитации в рамках общей теории относительности и в проблеме квантования поля тяготения. Установлена связь между инвариантами Петрова и некоторыми топологическими характеристиками пространств.

Монографии «Пространства Эйнштейна» и «Новые методы в общей теории относительности», где подведены итоги основных работ А. 3. Петрова и его школы по алгебраическим, инвариантно групповым методам общей теории относительности, вошли в золотой фонд мировой литературы по современным проблемам тяготения. Первая из них вышла также на немецком и английском языках, готовится французское издание второй. Методам исследования полей тяготения А. 3. Петрова в физической энциклопедии «Hand Buch der Physik», т. 6 отведен специальный раздел. Термин «Тип Петрова» стал общепринятым в современной мировой литературе по теории гравитации.

Работы последних лет А. 3. Петрова и его учеников направлены на разрешение основных физических проблем теории тяготения (энергия поля гравитации, гравитационная радиация и т. д.) и насыщены глубокими физическими и математическими идеями. В монографии «Основы общей теории поля» вскрыты основные трудности современной теории гравитации и предложена новая теория для описания гравитационных явлений, в основе которой лежит теория наблюдаемых величин и которая устраняет некоторые из этих трудностей. Так, здесь, исходя из принципа Бора и теории измерений, А. 3. Петров приходит к выводу, что тензор кривизны пространства должен определяться полем бивектора следующим соотношением:

^?аЗ?б = ^аЗ^?б + И (РаЗ^Тб + РаЗ^Тб) + vFapFV6 +

+ Р (#ау£3б ^аб^Зт) + ^$a3vd? (5)

где X, р, v, р, т — некоторые скаляры; Кар — бивектор, дуальный к бивектору Гар; еаз7б — дискриминантный тензор. Показано, что алгебраические тождества и тождества Бианки, записанные для тензора кривизны (5), приводят к уравнениям типа Максвелла для бивектора V^ и очень жестко определяют метрику пространства.

Эти идеи привели А. 3. Петрова к общей теории моделирования гравитационных полей и к идее описания эйнштейновой теории тяготения в терминах плоского пространства. В цикле работ, посвященных этим проблемам, ему удалось показать, что поведение орбит планет и лучей в поле Солнца могут быть с наперед заданной

степенью точности описаны уравнениями движения типа Лоренца, а уравнения поля, которым удовлетворяет бивектор, есть уравнения Максвелла в плоском пространстве с «током» для поля. Показано, что энергия поля гравитации есть величина определенно отрицательная — вывод, полученный Петровым совместно с учениками при рассмотрении «максвелловой» линейной теории тяготения на фоне плоского пространства (к такому выводу в свое время пришел Дж. К. Максвелл).

3. Петрову принадлежит ряд оригинальных обзоров (по единым теориям поля, проблеме энергии поля гравитации, гравитационным волнам) и философских работ.

Характерной чертой работ А. 3. Петрова является ясность их физической постановки, строгая математическая формулировка, изящное и исчерпывающее решение вопроса. В постановке и решении проблем А. 3. Петрова никогда не стесняли рамки существующего математического аппарата. Если для решения поставленной задачи математический аппарат отсутствовал, то он сам его разрабатывал, исходя из физической постановки задачи — этим объясняется исключительная принципиальность решаемых им вопросов.

3. Петров известен не только как крупный ученый, но и как выдающийся педагог. Он создал и возглавлял в течение десяти лет единственную в Советском Союзе кафедру теории относительности и гравитации в Казанском университете, где были воспитаны высококвалифицированные кадры в области современной теории гравитации, а созданная им научная школа известна не только в Советском Союзе, но и за рубежом.

В последние годы А. 3. Петров руководил отделом теории относительности и гравитации Института теоретической физики АН УССР.

Неоценимый вклад в организацию и координацию работ по проблеме гравитации в союзном и международном масштабах вносил А. 3. Петров как председатель секции Гравитация Научно- технического Совета МВССО СССР и представитель от Советского Союза в Международном Комитете по гравитации и теории относительности (GRG).

За цикл работ «Инвариантно-групповые методы в теории гравитации» А. 3. Петрову в 1972 г. присуждена Ленинская премия.

В. П. Шелест, К. А. Пирагас