Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ГЛАВА I
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Раздел 1
МЕТОД КООРДИНАТ
Направленные отрезки
Одним из основных понятий аналитической геометрии является понятие направленного отрезка. Отрезок прямой, ограниченный точками А и В, называется направленным, если указано, какая из этих двух точек является его началом и какая — концом. Под направлением такого отрезка подразумевается направление от его начала к его концу. Будем обозначать направленный отрезок двумя буквами с общей стрелкой над ними. При этом сначала пишется буква, обозначающая начало отрезка, затем буква, обозначающая его конец.
Так, например, АВ означает направленный отрезок с началом А и концом В, а ВА означает направленный отрезок с началом В и концом А. Эти отрезки имеют одинаковую длину1) (обозначим ее АВ или ВА) и взаимно противоположные направления. Направленные отрезки используются во многих вопросах математики, физики и техники.
Возьмем произвольную прямую. На ней можно
установить два взаимно противоположных направ-Рис- 1-
ления. Выберем одно из них (любое) и назовем
его положительным (а противоположное направление — отрицательным). Положительное направление принято на чертеже указывать стрелкой (рис. 1). Прямая с выбранным на ней направлением называется осью.
Рассмотрим направленные отрезки, лежащие на данной оси. Выбрав единицу масштаба, можно определить длины этих отрезков. Величиной любого направленного отрезка, лежащего на оси, называется его длина, взятая со знаком плюс, если направление отрезка совпадает с направлением оси, и со знаком минус, если эти направления противоположны. Величину направленного отрезка АВ будем обозначать АВ.
В ряде случаев бывает удобно рассматривать также «нулевые» направленные отрезки, т. е. отрезки, у которых начало совпадает с концом. Длины и величины таких отрезков равны нулю, направления — произвольны.
*) Предполагается, что единица масштаба выбрана.
Из определения величины направленного отрезка следует, что величины отрезков АВ и В А данной оси отличаются лишь знаками, т. е.
АВ = — "ВА.
На рис. 2 изображены ось, масштабный отрезок и точки А, В, С и D, расположенные так, что Л5 = 2, ЛС = 3, AD= 1^2. Рассмотрим, например, направленные отрезки АВ, AC, BD и CD- Их величины соответственно равны:
АВ =2, АС = — 3, "BD=— 2+/2, CD = 3+/2.
Покажем теперь, что при любом расположении точек А, В и С на данной оси величина направленного отрезка АС будет равна сумме величин отрезков АВ и ВС;
АС = АЪ-\-"ВС.(1)
Это равенство называют основным тождеством.
Пусть сначала точки А, В, С различны. Тогда может представиться 6 случаев их взаимного расположения (напомним, что из трех элементов можно составить 3! = 1 • 2 ■ 3 = 6 перестановок).4с с > j
Чтобы доказать равенство (1),с
следует рассмотреть все шесть -оо—-о——*-д
случаев, изображенных наслучаев, изображенных нарис. 3 (I—VI). Для каждого случая имеем
случаев, изображенных на
случаев, изображенных на
AC = AB-VBC.
Непосредственно видно, что это тождество справедливо и в случае, когда некоторые из точек А, В, С совпадают.
Из основного тождества следует, что для любых точек Мх, Мг, ..., ..., Мп оси имеет место равенство:
++ += №(2)
В самом деле, на основании тождества (I) последовательно находим:ЛМТа + ЛЩ. = Л^К.
Л^2 + Л^з + Щ^ = .Щ^+Щ^:=М^
МхМа + Л42Л43 + Л43Л44 + М4Л45 = МХМ4 + Л44Л45 = МхМм
МХМ, -[- МаМа -J- Л43Л44 -(-...-[- Мп_х Мп — МхМп.
Координаты на прямой линии
Пусть дана некоторая прямая. Установим на ней положительное направление (прямая станет осью). Затем выберем на этой прямой произвольную точку О (начало отсчета) и зададим масштабный или, как его называют, единичный отрезок (отрезок, принимаемый за единицу 12
при измерении длин отрезков). Если на прямой выбрано направление, начальная точка О и единица масштаба, то говорят, что на этой прямой введена декартова система координат ). При этом сама прямая называется координатной осью, а точка О — началом координат.
Введение на прямой декартовой системы координат позволяет определить положение точек этой прямой с помощью действительных чисел.
Координатой любой точки М прямой в выбранной системе координат называется число х, равное величине направленного отрезка ОМ (рис. 4):
х = ОМ.
Иначе, координатой точки М прямой называется число, равное по абсолютной величине расстоянию точки М от начала координат, положительное, если направление отрезка ОМ совпадает с направлением координатной оси, и отрицательное, если направление отрезка ОМ противоположно направлению этой оси.
Тот факт, что точка М имеет координату х, будем обозначать так: М (х). Координата начала О равна нулю: 0(0).
омс в о £ А
———О——————о——*-— о о О о "I J? ■ .и,. „ е
Рис. 4.Рис. 5.
Если данная координатная ось расположена горизонтально, а положительное направление на ней выбрано слева направо (рис. 4), то любая точка М, лежащая справа от начала координат О, имеет положительную координату (х^>0), а любая точка М, лежащая слева от начала О, имеет отрицательную координату (х<0).
На рис. 5 точки Е, А, В, С имеют соответственно координаты 1, 3, — 1, —2, т. е. Е (1), Л (3), В(—1), С(—2). Отрезок ОЕ— масштабный отрезок.
Итак, если на прямой введена система координат, то каждой точке этой прямой соответствует определенное действительное число — координата этой точки.
Наоборот, каждое действительное число х является координатой одной и только одной точки данной прямой (в выбранной системе координат).
Для построения соответствующей числу х точки М достаточно построить направленный отрезок ОМ, величина которого равна числу х.
Таким образом, при помощи декартовой системы координат на прямой можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек прямой (координатной оси) и множеством всех действительных чисел: любой точке прямой соответствует определенное действительное число, а любому действительному числу — определенная точка на прямой.
В связи с этим в дальнейшем, имея в виду точки координатной оси, мы будем часто говорить о числах — их координатах. Например, говоря «дана точка», будем понимать, что дана ее координата; говоря, что надо «найти точку», будем искать ее координату; вместо того, чтобы на чертеже обозначать точку оси буквой, будем надписывать ее координату и т. д.
Считая заданной декартову систему координат на данной прямой, рассмотрим несколько задач.
Задача 1. Найти величину отрезка М^М^, зная координату хг его начала и координату х4 его конца.
Решение. По условию 0Мх = хь дЛ4.2 = х2. Используя основное тождество (§ 1,1), имеем
т^м^т^б^-ом;,
т. е.
ivum,=ом;-ом;.
Отсюда следует, что
М\М% = Хц — хх.(1)
Это равенство, как следует из доказательства, справедливо при любом расположении точек Мх и М».
Задача 2. Найти расстояние между точками Мх и М^, зная их координаты Xt и х2.
Решение. Расстояние между Мх и М» (обозначим его d) равно длине отрезка МхМг, следовательно, равно модулю величины этого отрезка. Таким образом,
d = | ха — Xj |(2)
или, что то же, d = \xx— х2|.
Например, если М^—8), Л4а(2), то d = M1Ma = [ — 8 — 2[=10. Пусть Мх и М%— две различные точки прямой, Мо — произвольная (отличная от Мх и М2) точка той же прямой. Отношением, в котором точка М6 делит отрезок МХМЪ называется число X, определяемое равенством
х=^^.,3.
М0М3х ’
Если точка Мо совпадает с началом отрезка Мх, то отношение считается равным нулю, если Мй совпадает с концом М^ — это отношение не определено.
Из определения следует, что число X положительное, если отрезки МхМй и Л4ОЛ42, имеют одинаковое направление (точка М» лежит внутри отрезка Л^Мз), и отрицательное, если отрезки МХМ6 и М6М; направлены противоположно (точка Мй лежит вне отрезка МХМ^.Х^
Задача 3 (задача о делении отрезка в данном отношении). Зная точки Мх (х,) и Л4з (х2) прямой и число Х(Х^— 1), найти точку М, делящую отрезок МХМ4 в данном отношении X.
Решение. Пусть х0 — координата искомой точки Мй.
По условию Х = М1Мо_, или, так как МхМ6 = хв— хх> М0Ма = ха— х0, М0Л12
Решая это уравнение относительно х0, находим
х0х0хх + Хх3хх + Хх31+Х •1+Х •(4)(4)
х0
х0
хх + Хх3
хх + Хх3
1+Х •
1+Х •
(4)
(4)
Таким образом, поставленная задача для любого отрезка МХМ% и любого числа X (X ^ — 1) имеет, и притом единственное, решение. Соотношение (4) называют формулой деления отрезка в данном отношении.
Примечание. Если Х = —1, то задача не имеет решения, так как в этом случае
что противоречит самой постановке задачи (отрезок МХМ»— не нулевой!).
Пример. Разделить отрезок МхМу Mt (1), М2 (5), в отношении Х = у.
Таким образом, точка M0(-^-j делит отрезок MtM2 в отношении у.
Частным случаем рассмотренной выше задачи является задача о делении отрезка МХМ» в отношении Х=1. В этом случае
= 1, мхм»= м»му
М0М2 ’02
т. е. точка Л40 является серединой отрезка МхМг.
Из формулы (4) получаем координату середины отрезка М1М»:
Так, например, серединой отрезка М^г, Mj (3), М2 (18), будет точка Мо (л:0),
3 4-18 21х0 — 2 — 2 .
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
В предыдущем параграфе мы рассматривали систему координат на прямой, позволяющую определять расположение точек на этой прямой с помощью чисел.
Покажем теперь, как с помощью пар чисел можно определить положение точек на плоскости.
Будем говорить, что на плоскости задана декартова прямоугольная система координат, если задай единичный (масштабный) отрезок, а также пара взаимно перпендикулярных осей и при этом условлено, которая из этих осей является первой и какая — второй.
Точку О пересечения этих осей будем называть началом координат, первую ось — осью абсцисс, или осью ОХ, вторую ось — осью ординат, или осью 0Y. Оси абсцисс и ординат называются осями координат. Обычно ось абсцисс располагают горизонтально, а ее положительным направлением считают направление слева направо, а ось OY — вертикально с положительным направлением снизу вверх ). Вместо того, чтобы рисовать стрелки, указывающие направления осей, принято в положительных направлениях ставить соответственно буквы X и Y (рис. 6).
Пусть М — произвольная точка плоскости. Опустим из точки М перпендикуляры на оси ОХ и 0Y. Точки пересечения этих перпендикуляров с осями координат обозначим соответственно через N и L (рис. 7).
XРис. '6.XРис. '6.Тис. 7.Тис. 7.
X
Рис. '6.
X
Рис. '6.
Тис. 7.
Тис. 7.
Абсциссой точки М будем называть величину отрезка ON оси ОХ, а ординатой — величину отрезка 0L оси 0Y. Пару чисел х, у, где
х = ON, y — OL,
Абсцисса х точки МАбсцисса х точки МРис. 8.Рис. 8.называют координатами точки М в выбранной системе координат. Тот факт, что точка М имеет координаты х и у, записывается так: М (х, у). При этом сначала пишется абсцисса, затем ордината точки М.
Абсцисса х точки М
Абсцисса х точки М
Рис. 8.
Рис. 8.
равна нулю тогда и только тогда, когда точка М лежит на оси OY. Ордината у точки М равна нулю тогда и только тогда, когда точка М лежит на оси ОХ.
У начала координат О (и только у него) обе координаты равны нулю.
Ось абсцисс делит плоскость на две полуплоскости — верхнюю и нижнюю. У точек М, лежащих в верхней полуплоскости, ординаты положительны, а у точек нижней полуплоскости — отрицательны.
ОсьУ точекОсьУ точекординат делитординат делитплоскость на две полуплоскости: правую и левую.
Ось
У точек
Ось
У точек
ординат делит
ординат делит
правой полуплоскости абсциссы положительны, у точек левой —
отрицательны.
Оси координат делят плоскость на четыре части, называемые четвертями, квадрантами или координатными углами. Нумерация четвертей указана на рис. 8.
Возможны следующие комбинации знаков координат:
Четверть
1
II
III
IV
X
+
—
—
+
У
+
+
—
—
Таким образом, каждой точке 714 плоскости соответствует пара дей* ствительных чисел (х, у) — координат этой точки. Наоборот, каждой паре действительных чисел (х, у) соответствует, и притом одна, точка М плоскости, для которой эти числа будут ее координатами.
Построение точки 714 по ее координатам (х, у) осуществляется следующим образом. На оси ОХ строится отрезок ON, величина которого равна х, на оси ординат строится отрезок 0L, величина которого равна у (при этом однозначно определяются точки N и L). В точках N и L восстанавливаются перпендикуляры к соответствующим осям. Точка пересе- 16
чения этих перпендикуляров имеет по определению координаты х и у, т. е. является искомой точкой М.
Таким образом, введение на плоскости декартовой прямоугольной системы координат позволяет установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек плоскости и множеством пар ) действительных чисел. Это соответствие дает возможность сводить изучение множеств точек плоскости к изучению множеств пар действительных чисел, т. е. применять к изучению вопросов геометрии алгебраические методы. Это же соответствие позволяет геометрически излагать ряд вопросов алгебры, математического анализа и других дисциплин.
Условимся в дальнейшем, вместо того чтобы говорить «дана плоскость, на ней введена декартова прямоугольная система координат с осями ОХ и 0Y» говорить короче: «дана плоскость XOY» и считать, что «дана точка М», если даны ее координаты (х, у) (под отысканием точки понимается при этом отыскание ее координат).
Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
Задача 1. Дана точка М (х, у). Найти точки, симметричные точке М относительно оси абсцисс, оси ординат и начала координат.
Решение. Обозначим искомые точки соответственно Mi(xlt yt), М3(х3, у^, М3(х3, у3) (рис. 9).
Так как точка Mi симметрична точке М относительно оси абсцисс, то обозначая через Ni и N проекции этих точек на ось абсцисс, а через Lj и L — на ось ординат, получаем: ONi = ON, 0Lx ——0L, т. е. xt = = х, у1 = — у, МДх, —у).
Рассуждая аналогичным образом, находим, что для точки Ма, симметричной точке М относительно оси ординат, х3 = — х, у3 — у, т. е.
Рис. 9.Рис. 10.
М3(—х, у), а для точки М3, симметричной точке М относительно начала координат, имеем х3 =— х, у3 =— у, т. е. М3(—х, —у).
Задача 2. Найти расстояние между двумя данными точками Mj (хъ yt) и М3(х3, у») плоскости.
Решение. Обозначим через Nt и N3 проекции точек Mi и Ма на ось ОХ, а через Lt и L3 — проекции Мх и Ма на ось 0Y. Обозначим затем через К точку пересечения прямых MxLi и M3N3 (рис. 10).
По теореме Пифагора
м,ма=Ум^л-км^.
Так как
MiK = \NJ^\ = \x1 — Xi\,
КМг = \LVL31 = | уа — Уг |,
то
М^М^ = /| х2 — -^i |2 ~Ы Уз — У1 |а
или, обозначая длину отрезка MtM^ через d:
d = P^x^x^+T^^yiF •(О
Эта формула позволяет, зная координаты точек Mt и М», определять расстояние между ними.
Пример. Найти периметр 2/, треугольника с вершинами Л1, (—6, —7), М2 (— 9, — 3), М, (3, 2).
Решение. Так как
M,M2 = /(-9 4-6)2 + (-3 + 7)2 = 5, М2М3 = /(3 4- 9)2 4- (2 4- З)2 = 13, М^ = /(—6—3)2 4- (—7 — 2)2 = 9 у2, то__
2р = 5-|-13-|-9/2=18-|-9/2.
отрезка М^М^, отношение Xотрезка М^М^, отношение XЗадача 3 (задача о делении отрезка в данном отношении). Пусть даны две различные точки плоскости Mt и М». Проведем через них прямую, выберем на ней направление и рассмотрим на ней точку Мй, не совпадающую с точками Мх и Мг.
отрезка М^М^, отношение X
отрезка М^М^, отношение X
Отношением, в котором точка Мй делит отрезок М^М», называется число X, определяемое равенством
(ИД*
Если точка Мй совпадает с точкой Mlt то считается, что Х = 0. Если точка М6 совпадает с точкой М», то отношение не определено. Для точек Л40, лежащих внутри положительно (про такие точки говорят,
что они делят отрезок ТИ^а внутренним образом), для точек М6, лежащих на прямой вне отрезка М^М^, отношение X отрицательно (говорят, что эти точки делят отрезок Л/Л/ в отношении X внешним образом). Так как точки Мх и М^ различны, то не существует точки М, для которой Х = —1 (см. стр. 15).
Рассмотрим теперь задачу о делении отрезка в данном отношении: зная точки Mt (xv yj и М»^, у^ и число Х(Х/— 1), определить на прямой МхМг точку Мй, делящую отрезок МХМ^ в отношении X.
Решение. Обозначим через хй и уй координаты искомой точки Л40, а через Nx, No и No— проекции точек Мь М4 и Л/ на ось ОХ (рис. 11).
Предположим, что прямая M^NU не перпендикулярна оси ОХ. Прямые NUN^ M^N^ и M6N6 параллельны, следовательно,
МгМ0 _ NJV.,
M0Ma N0N«*
Аналогичное равенство имеет место и для величин соответствующих направленных отрезков:
«Л _ ад
Л/М2 N„Na '
Так как точки Nb N2 и /Vo лежат на координатной оси — оси ОХ, то для нахождения координаты х0 точки Мй (она же — абсцисса точки применяем выведенную выше формулу (§ 2, 4):
(2)
В случае перпендикулярности прямой М^М^ к оси ОХ формула (2) справедлива, ибо тогда х0 = х1=х2.
Аналогично получаем
^-У^.(3)
Формулы (2) и (3) называются формулами деления направленного отрезка в данном отношении.
В частности, если Х= I, т. е. если
=1(та;=та;).
то точка Л40 есть середина отрезка МХМУ
Ее координаты:
(4)
8.-^.(5)
Пример 1. Даны две точки: Мг (— 8,13) и М2 (12, — 17). Разделить отрезок МХМ3 .3
в отношении Х =
Решение. Обозначая координаты искомой точки Мо через х0, у0, получим: чч
— 8+у-1213 —17
х0 =5— = - 2; Уо =5— = 4-
1+41+4
Пример 2. Найти центр тяжести однородного (по плотности) треугольника.Пример 2. Найти центр тяжести однородного (по плотности) треугольника.
Пример 2. Найти центр тяжести однородного (по плотности) треугольника.
Пример 2. Найти центр тяжести однородного (по плотности) треугольника.
заданного координатами своих вершин:
мг (хи уф Ml (Xa, Уд, М3 (х3, у3\
Решение. Центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан. Следовательно, для решения задачи достаточно найти точку пересечения двух любых медиан. Проведем медианы: M3N, MXL и обозначим искомую точку пересечения буквой К (рис. 12).
Найдем координаты точки N(xN,yN)— середины отрезка М^М2 по формулам (4), (5):
., ^1+^2...У1+У2
—2*—2-
Теперь будем искать координаты точки К(хк, у^ —точки, делящей отрезок M3N 2
в отношении X = у (на основании геометрических свойств медиан треугольника).
Используя формулы деления отрезка в данном отношении (2), (3), получим:
У I +х3 3 '2хх + х2 + х,.
ХК— Г+2—3:
v _i_2^-+>l..32У1+У2+У3
Ук— 1+2—31
Итак, + Х» + Х3 У1+Уг+Уз) з - з
Элементы теории проекций
Проекцией направленного отрезка МХЖ, на заданную ось I называется величина отрезка NXN^, где Nx и N^— проекции точек Мх и М» на ось / (рис. 13) ). По определению
npz МХЖЧ = NlNi.
Таким образом, проекция направленного отрезка на ось есть число (оно может быть положительным, отрицательным и нулем).
Рассмотрим на плоскости направленные отрезки
МХМ^, Л42Л42, ..., Мп_хМп
и составленную из них ломаную, обозначим ее МхМг ... Мп (рис. 14). Эту ломаную будем называть направленной, а точки Мх и Мп соответственно ее началом и концом.
Проекцией направленной ломаной линии МхМг ... М„ на заданную ось I называется проекция замыкающего эту ломаную отрезка МхМп на
ось I. Из этого определения следует, что проекция направленной ломаной на ось зависит только от положения начальной и конечной точки ломаной. В частности, проекция замкнутой направленной ломаной всегда равна нулю.
На основании тождества (§ 1, 2) непосредственно заключаем, что проекция любой направленной ломаной равна алгебраической сумме проекций ее звеньев.
В самом деле, если Nk обозначает проекцию точки Мк на ось /, k = 1, 2, ..., п, то
пр^^а ... М„ = NxNn,(1)
пргЛ41Л4а-}~ пргЛ4аЛ1з-[- ... -j- nptMn_xMn = NxN1-\- N^N3-y- ... -^ Nn_xNп, Так как правые части этих равенств равны (см. § 1, 2), то равны и левые:
пр;Л41Л4а ... Мп = пргЛ41Л42-[- пргЛ42Л4з-[- ... -[- прЕМп_хМп.
Угол между осями. Пусть на плоскости заданы две оси 1Х и /2, пересекающиеся в некоторой точке S. Под углом между этими осями, заданными в определенном порядке, понимается угол, на который надо повернуть вокруг точки S первую ось (/j) до совпадения ее положительного направления с положительным направлением второй оси (/2). Этот угол будем обозначать (/ь /2) и измерять в градусах или в радианах. Угол^, /2) будем считать положительным, если поворот оси 1Х до совпадения ее направления с направлением оси /2 производится против часовой стрелки, и отри
цательным — в противном случае. Величина угла между осями определяется неоднозначно, так как, повернув ось 1Х на 360° по или против часовой стрелки, мы получим прежнее ее положение. Если <р— какой-нибудь угол между осями Л и U, измеренный в радианах, то число <р + 26^, где к— любое целое число, также равно углу между этими осями.
Если оси /, и /а параллельны и одинаково направлены, то угол между осями считаем равным нулю (или 2кг.у а если оси /, и /а параллельны и противоположно направлены, угол между ними считаем равным it (или z-j-2fe^)').
Под углом между осью / и направленным отрезком МХМ4 будем понимать угол между осью I и осью, проходящей через точки Мх и М2 в направлении от Мх к М» (рис. 15). Угол между осью I и направлен
ным отрезком МХМ2 называют также углом наклона этого отрезка к оси / ■).
Проекция направленного отрезка на оси координат. Если направленный отрезок МХМ2 имеет угол наклона ф к некоторой оси I, то
пр/Л41Л4а = MiAla cos <р 3).(2)
Пусть на плоскости XOY даны точки Mv (хь у^, М2(х2, у^ и известен угол <р наклона отрезка МХМ2 к оси ОХ (рис. 16).
Проектируя отрезок MtM4 на ось абсцисс, получим: прохМхМ2 = NXN2 = МХМ2 cos <р.(3)
Проектируя отрезок МхМг на ось ординат, аналогично получим: проуМхМ2 = кхк2 = МХМ2 cos ^<р—‘^ = МХМ2 sin <р.(4)
Так как абсциссы точек Мх и N^, М2 и N2 соответственно равны, то на основании равенства (§ 2,1) можно записать, что
NxN2 = x2— хХ1(5)
а так как ординаты точек Мх и Lx, М2 и L2 соответственно равны, то аналогично можно записать, что
LXL2=у2 — ух.(6)
*) Заметим еще, что если угол между осями Z, и 12 равен ?, то после поворота оси Ц на угол а в направлении против часовой стрелки упомянутый угол «уменьшится» на а, так как станет равным ср—а, а после поворота оси U на угол а в направлении против часовой стрелки угол между осями Z, и 12 «увеличится» на а, т. е. станет равным ср + а.
2) Аналогично определяется угол наклона луча (полуоси) к оси I.
•) Эта формула допускает очевидное обобщение. Пусть 1Х и U две оси, ср угол между Z, и 14, Мх и М2 любые точки на /а, тогда пр^М^лТз = MlM2 cos?.
Обозначая длину отрезка МХМ» через d и используя равенства (5) и (6), запишем равенства (3) и (4) в следующем виде:
(7)(8)(7)(8)х2 — xx = d cos <р,У» — yi = d sin <р.
(7)
(8)
(7)
(8)
Формулы (7) и (8) выражают проекции произвольного отрезка на координатные оси через его длину и угол наклона отрезка к оси абсцисс *).
В случае, если х9— хх ^ 0 (отрезок МхМг не параллелен оси ординат), из соотношений (7), (8) вытекает равенство
tg?tg?Уа —У1Х2— Хх ’Уа —У1Х2— Хх ’(9)(9)
tg?
tg?
Уа —У1
Х2— Хх ’
Уа —У1
Х2— Хх ’
(9)
(9)
которое может быть использовано для определения угла наклона отрезка MxMi к оси ОХ по известным координатам начала и конца этого отрезка.
§ 6. Полярная система координат
В предшествующих параграфах для определения положения точки на плоскости использовалась декартова прямоугольная система координат. Существуют и другие системы координат, позволяющие определять положение точки на плоскости с помощью пар действительных чисел. К таким системам координат относится, например, рассмотренная ниже полярная система координат.
Возьмем на плоскости точку О и проходящую через нее ось ОР. Будем называть точку О полюсом, а полуось (луч), выходящую из точки О в положительном для оси ОР направлении,— полярной осью. Задание полюса О, полярной оси ОР и единичного (масштабного) отрезка ОЕ определяет на плоскости полярную систему координат.
Полярным радиусом любой точки М плоскости называется ее расстояние от полюса О, т. е. длина отрезка ОМ. Полярным углом <р точки Л4а) называется угол наклона направленного отрезка ОМ к по
лярной оси ОР (рис. 17). Угол © определяется с учетом знака и с точностью до слагаемого вида 21г-, где к— целое число (см. § 5). Обычно в качестве полярных углов точек плоскости берут так называемые главные их значения, т. е. значения, определяемые равенствами: 0^<p<^2z).
Числа р и <р, т. е. полярный радиус и полярный угол точки М, называются ее полярными координатами. Точка с полярными координатами р и <р обозначается так: М (р, <р) или (р, <р)).
Таким образом, любой точке М плоскости (кроме полюса) соответствует определенная (если берется главное значение полярного угла) пара действительных чисел — ее полярных координат. Для точки О (полюса) по определению первая полярная координата р равна нулю, а вторая — угол <р — не имеет определенного значения.
*) Эти формулы допускают следующие обобщения: если на какой-нибудь оси, наклоненной к оси ОХ под углом у, взяты любые точки Мх (хп у,) и М2 (х2, у2), то
х2 — х1 = М1М2 cos <р,
у2 —Jlj = МХМ2 sin ср.
Задание любой пары действительных чисел (р, <р), р^О, позволяет построить на плоскости одну (и только одну) точку М, для которой эти числа являются ее полярными координатами. Если р=0, то точка М совпадает с полюсом О. Если же р ^> О, то построение точки М сводится к построению отрезка ОМ, угол наклона которого к полярной оси равен <р ), а длина равна р.
, , Л 3~\ ,,/3 17я\
Пример. Построить точки 12, — 1, Ма 12,—^-1,» "J") 8 заданной
полярной системе коораинат.
Решение. Проведем через полюс О луч (полуось) под углом -^ к полярной (Зяп
оси (иначе, повернем полярную ось на угол вокруг точки О против часовой стрелки), затем отложим на полученном луче от полюса О (в положительном направлении) отрезок длины, равной 2. Его конец—точка Мх (рис. 18).
Для построения точки М, надо провести луч под углом —^- к полярной оси и отложить на нем от точки О две единицы масштаба.
Дляпостроенияточки Л43нужно провести луч,составляющий сполярной осьюугол
17лл/17л л .\
-г-или,чтотоже,-ттак как-т- = -г + 4я ,азатемотложитьнанемизточкиО
4’4\44 1 у
3 отрезок, длина которого -у.
Примечание. В некоторых случаях ограничение р5=0, накладываемое на полярный радиус точки, оказывается по тем или иным причинам неудобным. Иногда условливаются допускать значения р <^ 0, понимая при этом под точкой (р, <р) точку (| р |, <р-{-^).
Для построения точки (р, <р), где р<^0, нужно построить луч, имеющий к полярной оси угол наклона <р, а затем отложить от полюса на продолжении луча отрезок, длина которого равна | р |.
На рис. 19 построены точки Е и М с полярными координатами соот-
—2> z)-
Введение обобщенной полярной системы координат позволяет каждой паре действительных чисел поставить в соответствие одну определенную точку плоскости.
Связь между прямоугольными декартовыми и полярнымикоординатами
В некоторых случаях приходится пользоваться одновременно декартовыми прямоугольными и полярными координатами точек. В связи с этим представляют интерес формулы, позволяющие по декартовым координатам точки находить полярные координаты и наоборот.
Р=Кяа + у2,Р=Кяа + у2,COS ® =COS ® =X/^+72 ’X/^+72 ’sin <рsin <ру]/х2 + у2 "у]/х2 + у2 "(2)(2)
Р=Кяа + у2,
Р=Кяа + у2,
COS ® =
COS ® =
X
/^+72 ’
X
/^+72 ’
sin <р
sin <р
у
]/х2 + у2 "
у
]/х2 + у2 "
(2)
(2)
Рассмотрим на плоскости прямоугольную декартову систему координат XOY и полярную систему координат, у которой полюс совпадает с началом координат О, а полярная ось совпадает с осью абсцисс1).
Пусть М — произвольная точка плоскости (отличная от полюса),
х, у — ее декартовы координаты, а р,<р — полярные (рис. 20).
Так как
X.V
cos <р = —,sino = —,
р‘ р
то
x = pcos<p, y = psin<p. (1)
Формулы (1) выражают прямоугольные декартовы координаты точки М через поляр
ные координаты.
Далее, при любом положении точки М
ра = ха + уа.ра = ха + уа.Р2 = I ^|а +! У 1а, т. е.
ра = ха + уа.
ра = ха + уа.
следовательно,
Формулы (2) позволяют определить полярные координаты точки М по ее декартовым координатам.
Если точка Л4 не лежит на оси ОУ, то из формул (2) следует также соотношение
tg?=£.
Преобразование координат
Меняя направления осей, положения начала координат и полюса,
изменяя единицы масштаба, можно получать на плоскости различные декартовы и полярные системы координат. Фиксируем произвольную точку Л4 плоскости. В различных системах координат эта точка будет иметь, вообще говоря, различные координаты. Возникает вопрос: как связаны между собой координаты точки М в различных системах координат? Или иначе,
ммРис. 21.Рис. 21.каким образом, зная координаты точки М в одной системе координат, найти ее координаты в другой системе? Ответ на этот вопрос дают так называемые формулы преобразования координат. С формулами, связывающими декартовы и полярные координаты точки, мы познакомились в конце предыдущего параграфа. Ниже рассматриваются некоторые другие формулы
м
м
Рис. 21.
Рис. 21.
преобразования координат.
Поворот полярной оси. Рассмотрим две полярные системы координат с общим полюсом О, одинаковыми масштабными отрезками, но разными направлениями полярных осей ОР и ОР'. Обозначим через а угол, составляемый осью ОР с осью ОР' (рис. 21). Будем говорить, что полярная система координат с осью ОР' (новая система) получена из полярной системы координат с осью ОР (старой системы) поворотом оси вокруг полюса на угол а. Пусть М — произвольная точка плоскости, р, <р и р', <р'— ее старые и новые полярные координаты.
*) Единицы масштаба по осям декартовой и полярной систем координат считаются одинаковыми.
Очевидно, р = р\ ? = ®' + « или, что то же,
(1)(1)р'=Р,</ = ?—а.
(1)
(1)
Формулы (1) устанавливают связь между старыми и новыми поляр
ными координатами точки М.
Параллельный перенос осей прямоугольной декартовой системы координат. Рассмотрим две прямоугольные декартовы системы коорди-
Рис. 22.Рис. 22.х,х,дднат XOY и X'0'Y', у которых направления соответствующих осей одинаковы, масштабные отрезки равны, а начала координат О и О' различны (рис. 22).
Рис. 22.
Рис. 22.
х,
х,
д
д
В этом случае система координат X’O’Y' (назовем ее новой) получается из системы XOY (старой) параллельным переносом (параллельным сдвигом) осей координат^.
... . „ и У, у' — ее координаты в системах XOY и X'O'Y'. Спроектировав точку М на старые и... . „ и У, у' — ее координаты в системах XOY и X'O'Y'. Спроектировав точку М на старые иПоложение новой системы координат относительно старой в данном случае полностью определяется заданием координат нового начала О' в старой системе координат: О'(а, 6).
... . „ и У, у' — ее коорди
наты в системах XOY и X'O'Y'. Спроектировав точку М на старые и
... . „ и У, у' — ее коорди
наты в системах XOY и X'O'Y'. Спроектировав точку М на старые и
Пусть М — произвольная точка плоскости,
новые оси координат, получим точки N, L, N', U. При этом
х = ON, у = 0L, х' = O'N', if = O’L'.
Обозначая через А и В проекции точки О' на оси ОХ и OY и учитывая основное тождество, будем иметь:
Ж=ол+Ж
OL = OB4-BL
или, так как AN — O'N', BL —O’L'-.
ON = 0А ^-fyfF,OL-OB-VOTT.
Учитывая, что OA=a, OB = b, получаем формулы:
(2)
выражающие старые координаты точки М через ее новые координаты. При этом новые координаты точки выражаются через старые по формулам:
(3)(3)х = х — а,tf=y — b.
(3)
(3)
Равенства (2) и (3) представляют собой формулы преобразования координат произвольной точки М плоскости при параллельном переносе осей координат (коротко, формулы параллельного переноса осей координат).
Поворот осей декартовой системы координат. Даны две декартовы прямоугольные системы координат XOY и X'OY' с общим началом, одинаковыми масштабными отрезками и разными направлениями осей (ось ОХ составляет с осью ОХ’ угол а). Будем говорить, что новая система координат X'OY’ получена из старой системы XOY поворотом
*) Система XOY при этом также получается из системы XO’Y' путем параллельного переноса осей координат.
осей координат вокруг начала на угол а. Пусть М — произвольная точка плоскости, х, у и У, у' — ее координаты соответственно в старой и новой системах координат. Спроектируем точку М на оси координат, при этом
получена из полярной системы сполучена из полярной системы сON — x, OL = y, ON"' = x?, 0U —у (рис. 23).
получена из полярной системы с
получена из полярной системы с
Введем две вспомогательные полярные системы координат с общим полюсом О, с рассмотренным выше масштабным отрезком и полярными осями ОР и ОР', направленными соответственно по осям ОХ и ОХ'. Полярные координаты точки М в этих системах координат будем обозначать р, у и р', <р'. Так как полярная система координат с осью ОР' осью ОР поворотом оси ОР вокруг
точки О на угол а, то
Р = р', <? = <?' +а.
Применяя формулы перехода от полярных координат к декартовым, будем иметь:
x = pcos®, y = psin®,x' = pcos®', у' = р sin <р'.
Так как <р = <р'—|—а, то
х = р cos ('/ + а) = р (cos <p' cos а — sin ср' sin а) = x'cos а — у' sin а, у = р sin (ср' -[- а) = р (sin ср' cos а -}- cos ср' sin а) — у' cos а -I- х' sin а.
Окончательно получаем следующие формулы:
х = х' cos а — у'sin а,у = У sin а -[- у' cos а,
выражающие старые координаты точки М через новые.
Так как система координат XOY, в свою очередь, получается из системы X'OY' поворотом осей вокруг начала на угол — а, то из фор
мул (4), меняя соответственно обозначения координат, получим равенства
U = х COS а -[-у sin а, у' = — х sin а -{- у cos а, выражающие новые координаты точки М через старые.
Равенства (4) и (5) являются формулами преобразования координат произвольной точки М при повороте осей координат (для краткости их называют формулами поворота осей координату
Изменение начала и поворот осей декартовой прямоугольной системы коорди
нат. Рассмотрим две прямоугольные декартовы системы координат XOY и X'0'Y' с различными началами координат и различным направлением осей координат (но с одинаковыми масштабными отрезками!). Пусть новое начало О' в старой системе координат XOY имеет координаты а, Ь, а ось ОХ составляет с осью О'Х' угол а (рис. 24).
Введем вспомогательную систему координат X'OY", у которой начало О', а оси О'Х" и O'Y” имеют одинаковые направления с осями ОХ и OY.
Переход от системы координат XOY к системе X'0'Y' можно совершить последовательно, переходя от данной системы к системе X"O'Y" (параллельный перенос осей координат), а затем от системы X'0'Y' к системе X'0'Y' (поворот осей координат).
Обозначая через х, у; х', у* и х", у" координаты произвольно взятой точки М в соответствующих системах координат и используя выведенные выше формулы, получим:
x = x,,-La,y=yr-\-b,
x" = x'cosa— y'sina,у" = х'sin a-[-у'cos a.
Отсюда следует, что
х = х' cos a — у' sin a -]- а,у = х, sin ау'COS a-[-6.
Формулы (6) дают выражения старых координат точки М через новые.
Выражения новых координат точки М через старые х' = (х — a) cos a -{- (у — b) sin a, у' = —(х— a) sin a-{-(у — 6) cos а непосредственно следуют из соотношений (6).
Примечание. Формулы (6) и (7), как частный случай, включают с себя формулы (2), (3), (4), (5).
Пример. Зная координаты точки М (1,3) в декартовой системе координат XOY, найти ее координаты в новой системе координат Х'О'У, полученной из данной переносом начала О в точку О’ (2, — 1) и поворотом осей на угол -]~-^-.
Решение. Полагая в формулах (7) а = 2, Ъ = — 1, a = ^-, получим формулы преобразования координат, соответствующие данным условиям:
х’ = (х-2)-^-+Су+1)^-,
У=-(х-2) ^- + (у +1)^-.
Подставляя в них х—1, у = 3; найдем новые координаты точки М:
,. = -(1_2)^ + (3 + 1)>^ = 5-^.
Раздел 2
ЛИНИИ И ИХ УРАВНЕНИЯ
Линии и их уравнения
Об уравнениях, связывающих две переменные величины. Обозначим через хну переменные величины, каждая из которых может принимать различные действительные значения.
Рассмотрим уравнение:
^(х, у) = 0,(1)
где F (х, у) — выражение, содержащее х и у. Например, х—|—2у—|— + ху2 = 0 [здесь F (х, у) = х + 2у-|-хуг], (х + у)(х — у) = 0 [здесь F<x, у) = (х + у)(х —у)] и т. д.
Будем говорить, что числа х0, уо удовлетворяют уравнению (1), если подставив их вместо переменных х и у в выражение F (х, у), мы получим тождество
F (х6, уа) — 0.
Числа х0, у0 не удовлетворяют уравнению (1), если подставляя их вместо переменных х и у в левую часть этого уравнения, мы получим:
F(x6, уо)^О.
Например, числа х=1, у = 3 удовлетворяют уравнению Зх — у = 0, так как 3-1—3 = 0, а числа х = 5, у = 4 этому уравнению не удовлетворяют, так как 3-5 — 4^0.
Уравнению
F(x, у) = 0
может удовлетворять одна пара действительных чисел, несколько и даже бесчисленное множество таких пар.
Например, уравнению (х— 2)2 + (у— 4)2 = 0 удовлетворяет единственная пара чисел: х=2, у = 4, уравнению [(х—1)2 + (у + I)2] X Х[х2 + у2] = 0 удовлетворяют две пары чисел: х= I, у = — 1 и х = 0, у = 0. Уравнению х-[-2у—1=0 удовлетворяют пары чисел х=1, 1X у = 0; х = 3, у = —1 и вообще, всякая пара чисел х = х0, у = —, где х0 — любое действительное число.
Существуют уравнения, которым не удовлетворяет ни одна пара действительных чисел. Такими будут, например, уравнения х4-[-у'*-[- 1 = 0, sin (х + у) — 3 = 0.
Уравнение плоской линии. В аналитической геометрии линии рассматриваются как геометрические места точек, их составляющих. Например, окружность определяется как геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от некоторой фиксированной точки плоскости (центра окружности), биссектрису плоского угла можно рассматривать как геометрическое место точек, равноотстоящих от сторон этого угла и т. д.
В настоящем разделе будут изучаться только плоские линии (или, как их еще называют, плоские кривые), т. е. линии, лежащие в некоторой плоскости. Введение на плоскости системы координат (декартовой или полярной) позволяет положение точек плоскости однозначно определять заданием пар действительных чисел — их координат, а положение линий на плоскости определять с помощью равенств, связывающих пары чисел — координаты точек этих линий, т. е. с помощью уравнений.
Пусть на данной плоскости выбрана декартова прямоугольная система координат XOY.
Уравнение
F(x, у) = 0,(1)
связывающее две переменные величины х и у, называется уравнением линии L (в выбранной на плоскости системе координат), если координаты любой точки линии L удовлетворяют этому уравнению, а координаты точек, не принадлежащих линии L, этому уравнению не удовлетворяют.
Таким образом, уравнение линии L есть соотношение, связывающее координаты точек данной линии (и только этих точек). Это соотношение представляет собой аналитическую запись, т. е. запись с помощью «формулы», того свойства, которое выделяет среди всех точек плоскости 28
точки данной линии. Так как линия рассматривается как геометрическое место точек, то можно сказать, что уравнение линии представляет собой запись свойства, определяющего данное геометрическое место точек.
Так, например, окружность радиуса 7? с центром в точке О'(а, 6) определяется как геометрическое место точек плоскости, находящихся от точки О’ на расстоянии R (рис. 25).
Уравнение этой окружности имеет вид:
(х — а)а + (у — Ь)4 — R^O (2)
или, что то же,
(х — аУ-Ну — Ьу=^.(х — аУ-Ну — Ьу=^.(2')(2')
(х — аУ-Ну — Ьу=^.
(х — аУ-Ну — Ьу=^.
(2')
(2')
Действительно, пусть М (х, у)— любая точка окружности. Тогда ее расстояние от точки О' (а, Ь) равно числу R;
V(x — а)2 + (у — by = R.
При этом (х — а)3 + (у — ЬУ = R2, а значит, координаты точки Л4 (х, у) удовлетворяют уравнению (2). Пусть теперь М (х, у)—любая
точка, не принадлежащая данной окружности. Тогда ее расстояние от точки О' либо больше, либо меньше R:
V(x — a)2 + (y — b)'2>R или V (х —а)а+(у — 6)2</?.
Для такой точки
(х — a)2+(y — by^R* или (х — а)* + (у — by < R\
т. е. ее координаты не удовлетворяют уравнению (2). Следовательно, по определению, уравнение (2) есть уравнение данной окружности.
Рассмотрим пример на составление уравнения линии. Пусть требуется найти уравнение прямой, делящей пополам отрезок между точками А (1, 1) и В (2, —1) и перпендикулярной к этому отрезку (рис. 26).
Данная прямая представляет собой геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от точек А и В. Пусть М (х, у) — произвольная точка этой прямой. Тогда по условию
МА = МВ, т. е.
/(х-1)2 + (у-1)2 = у'(х-2)а + (у+1)а.
Упрощая полученное соотношение, приходим к уравнению — 2х + 4у + 3 = 0,
которому удовлетворяют координаты х, у точки М данной прямой.
Если точка М (х, у) не лежит на данной прямой, то либо МА > МВ, либо МА<^МВ. В обоих случаях координаты точки М уравнению— 2х-]-4у-|-3 = 0 удовлетворять не будут.
Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в выбранной на плоскости полярной системе координат.
Уравнение F (р, <р) = 0 называется уравнением данной линии в некоторой полярной системе координат, если координаты любой точки, лежащей на этой линии (и только они) удовлетворяют этому уравнению.
Пусть, например, требуется составить в данной полярной системе координат уравнение окружности, проходящей через полюс, с центром в точке О' (R, 0) полярной оси (рис. 27).
Пусть М—любая точка окружности, р и ® — ее полярные координаты. Рассмотрим треугольник ОМК, где К — отличная от полюса точка пересечения окружности с полярной осью. Так как угол ОМК прямой, то р = 2R cos у.
Уравнение p = 27?cos® или, что то же, р — 27?cos<p = 0 является уравнением окружности в выбранной полярной системе координат.
Действительно, координаты любой точки М (р, у) окружности удовлетворяют этому уравнению.
Если же точка М (р, ®) лежит вне данной окружности, то угол ОМК не будет прямым, т. е. соотношение р = 27? cos <р не будет иметь места.
Примечание. Если центр окружности радиуса R находится в полюсе О, то уравнение окружности, очевидно, имеет вид: р = R.
Исследуя уравнения линий в выбранных системах координат, можно делать различные заключения о расположении и свойствах этих линий. Таким образом, введение на плоскости системы координат позволяет изучение геометрических свойств линий заменить исследованием соответствующих им уравнений.
Так, для того чтобы ответить на вопрос, лежит ли точка Мо на данной линии, достаточно проверить, удовлетворяют ли координаты точки М6 уравнению этой линии в выбранной системе координат.
Пример. Точка Мо (4, 1) лежит на окружности радиуса /? = 3 с центром в точке О' (1,1), так как ее координаты 4, 1 удовлетворяют уравнению этой окружности: (х — I)2 + (у — I)2 = 9.
Действительно, (4—1)3 + (1—I)2 = 9. Точка Мх (—1, 3) на данной окружности не лежит, так как
(-1- I)2 + (3—I)2^9.
Задача о нахождении точек пересечения двух линий, имеющих в выбранной системе координат уравнения F (х, у) = 0 и Ф(х, у) = 0, сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих кривых, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:
F(x, у)=0,
Ф(х, у)=о.
Примечание. Решением системы уравнений (3) в алгебре называют всякую пару действительных чисел х = х0, у = уо, удовлетворяющую каждому из уравнений.
Система (3) может иметь одно решение х=хй, у = у6 [данные кривые пересекаются в одной точке Л40(х0, у0)], может иметь несколько и даже бесчисленное множество решений (кривые будут пересекаться соответственно в нескольких точках или в бесчисленном множестве точек. Может также случиться, что система (3) не имеет решения. В этом случае данные кривые не имеют общих точек, т. е. не пересекаются.
Пример. Требуется найти точки пересечения двух окружностей, имеющих в данной системе координат XOY центры О' (1, 2) и О'(1, 4) и радиусы Rt = 5, R2 = V«-
Составим уравнения этих окружностей:
( (х-1)2 + (у-2)2 = 25,
I (х-1)2 + (у-4)2=13.
Решая систему из этих двух уравнений, получим два решения:
х, = 4, Jij = 6 и х2 = — 2, у2 = 6.
Это значит, что данные окружности пересекаются в двух точках: Мг (4, 6) и М2 (— 2, 6).
Линия, определяемая уравнением. Пусть даны плоскость с выбранной на ней декартовой прямоугольной системой координат XOY и некоторое уравнение F (х, у) = 0. Рассмотрим на плоскости все точки (х, у), координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Полученное геометрическое место точек можно использовать для геометрической иллюстрации соотношения F (х, у) — 0.
Например, уравнению у — х = 0 соответствует на плоскости XOY геометрическое место точек М (х, у), у которых х — у. Этому условию удовлетворяют точки, лежащие на биссектрисе L первого и третьего координатного углов, и только такие точки. Следовательно, уравнение у — х=0 на плоскости XOY изображается прямой L.
Уравнению у = х2, т. е. у — х2 = 0, соответствует на плоскости геометрическое место точек М (х, у), у которых у = х2. Это геометрическое место точек представляет собой линию, называемую параболой. Ее свойства отмечались в элементарной математике и будут подробно рассматри
ваться ниже.
В рассмотренных двух примерах уравнениям вида F (х, у) = 0 соответствовали на плоскости XOY определенные линии, причем данные уравнения у—х = 0 и у — х* являлись уравнениями этих линий (прямой и параболы). Условимся и в общем случае называть линией, определяемой уравнением F (х, у) = 0 (в выбранной системе координат), геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. При этом с^мо уравнение F (х, у) = 0, в соответствии с ранее данным определением, называется уравнением такой линии.
Пример 1. Уравнению у = 0 соответствует на плоскости XOY геометрическое место точек М (х, у), у которых ординаты равны нулю. Такому условию удовлетворяют точки оси ОХ и только они. Следовательно, уравнение у —О есть уравнение прямой — оси ОХ. Аналогично
получаем, что х = 0— уравнение оси 0Y.
Пример 2. Уравнению y-i-х —0 соответствует на плоскости геометрическое место точек М (х, у), у которых у = — х (абсцисса и ордината равны по абсолютной величине, различаются по знаку). Такому условию удовлетворяют точки биссектрисы второго — четвертого координатного углов, и только они.
Таким образом, линия, определяемая уравнением у-j-x = 0, есть прямая (рис. 28).
Пример 3. Уравнению у2—х2 = 0, т. е. (у—х) • (у + х) = 0, соответствуют на плоскости точки (х, у), у которых у —х = 0 или у + х = 0. Учитывая рассмотренные выше примеры, заключаем, что линия, определяемая уравнением у2—х2 = 0, состоит из двух прямых—биссектрис первого—третьего и второго — четвертого координатных углов (рис. 29).
Пример 4. Уравнению (х— у2) • (х2 -|-у2— 4) =0 соответствуют на ллоскости точки (х, у), у которых х —у = 0 или х + у = 0 или х2 + у2 — 4 = 0 (х=у, х =— у или х2 + у2 = 4).
Таким образом, определяемая данным уравнением линия состоит из двух прямых и окружности (рис. 30) *).
Условимся в дальнейшем, как это принято в аналитической геометрии и других разделах высшей математики, вместо того чтобы говорить: «дана линия, определяемая уравнением F (х, у) = 0», говорить: «дана линия (или кривая) F (х, у) = 0».
тами и соединяем ихтами и соединяем их
тами и соединяем их
тами и соединяем их
Примечания: 1. Следует заметить, что линия, определяемая уравнением F (х, у) = 0, может отличаться от того, что мы интуитивно привыкли считать линией2). Так, например, уравнению (х—1)2-|- -)- (у -|- 2)2 = 0 соответствует на плоскости одна точка (линия, определяемая этим уравнением, — точка), уравнению (х2 + у2) ■ (х2 + У2—1) = 0 соответствует точка (0, 0) и окружность с центром (0, 0) радиуса 1 (линия — точка и окружность) и т. д.
Может оказаться, что не существует пар действительных чисел, удовлетворяющих уравнению F (х, у) = 0. Тогда на плоскости X0Y ему не соответствует ни одной точки. Будем в этом случае говорить, что уравнение F (х, у) = 0 определяет мнимую линию.
Например, уравнения х4 + у4 + 4 = 0, sin (х + + у)—3 = 0 не удовлетворяются ни одной парой действительных чисел, т. е. определяют на плоскости XOY мнимые линии.
Приближенное построение линии, заданной уравнением F (х, у) = 0, можно производить «по точкам». Рассматриваем систему значений переменной х: xlt х2, ..., хп, отыскиваем для каждого такого значения х те значения переменной у, которые совместно с этим х удовлетворяют уравнению F (х, у) = 0, наносим на плоскость X0Y точки с найденными координа- зной линией. Чем чаще взяты значения х, тем,
вообще говоря, точнее будет построена соответствующая линия.
Пример. Дано уравнение у2—х = 0, т. е. у2 = х. Так как рассматриваются лишь пары действительных чисел, удовлетворяющих уравнению, то следует брать х^0. Пусть Xj = 0, х2=1, х3 = 2, ...
Если х = х, = 0, то У1 = 0.
Если х = х3 = 1, то у| = 1, у2 = 1, у" = — 1.
Если х = х3 = 2, то уз = 2, т. е. у 3 = ^г, у3 = — ]/2" и т. д.
Наносим на плоскость ХО Y точки Л40 (0, 0), Мг (1, 1), Л12(1,—1), М3 (2, }^2), М4 (2,— 1^2) и т. д. и соединяем их плавной линией (рис. 31).
*) В этом случае говорят, что данная кривая распадается на три кривые.
Пусть теперь на плоскости введена полярная система координат.
Линией, определяемой уравнением F (р, <р) = 0, называется геометрическое место точек, полярные координаты которых (в выбранной системе координат) удовлетворяют уравнению F (р, ®) = 0.
Рассмотрим несколько примеров построения линий, заданных своими уравнениями в полярной системе координат, или, короче, своими полярными уравнениями.
Пример 1. Линия, определяемая уравнением р=а<р, где а — положительное число, называется спиралью Архимеда.
Для построения этой линии будем давать полярному углу <р различные неотрицательные значения и определять соответствующие значения полярного радиуса р. В таблице указаны значения угла <р, составляющие арифметическую прогрессию с разностью ^-, и соответствующие им значения р (они также составляют арифметическую прогрессию с разностью, „ ол\ равной 2).
0
2
к
Зя
7
2л
5я
"2
Зл
...
р
0
ак
2
ак
Зол т
2ол
"Т
Зол
...
Нанося на плоскость точки с найденными полярными координатами (р, <р) и соединяя их плавной линией, получим приближенно спираль Архимеда (рис. 32).
Исследуя уравнение р = Оф, а > 0, можно получить некоторые общие соображения, помогающие точнее построить спираль Архимеда. Так, например, поскольку
уравнение р = Оф удовлетворяется парой чисел (0, 0), заключаем, что спираль Архимеда проходит через полюс О. Далее, если угол ф возрастает, то пропорционально ему возрастает р.
Т. е., проводя плавную линию через намеченные выше точки плоскости, мы
должны вести ее так, чтобы ббльшим значениям ф соответствовали ббльшие значения р. Далее, из уравнения р = а^ следует, что для значений ср:
? = ?о> ? = ?о + 2^ <р = <ро + 4л, ср = ср0 -|- 6л, и т. д.
соответствующие значения полярного радиуса составляют арифметическую прогрессию:
р = Оф0, р = Оф0 + 2па, р = (Оф0 + 2ло) -|- 2ло, р = (оф0 -|- 4ло) + 2ла, ...
Это значит, что каждый луч, выходящий из полюса, спираль Архимеда рассекает на равные отрезки длины 2ло.
Пример 2. Линия р = а<р, где а<0, также называется спиралью Архимеда. Построение производится аналогично построению в предыдущем примере, но теперь для получения неотрицательных значений р приходится рассматривать у^О (рис. 33).
Пример 3. Линия Р=~ » где а>0, называется гиперболической спиралью. Для ее построения составим таблицу значений р и <р, <р>0,
а
удовлетворяющих уравнению р = —, и тем самым определим ряд точек этой линии.
6
Л
3
2
Зя
2л
5Т
...
р
6а
4а
За
2а
2д
Зя
а
2^
2а
5~
...
Учитывая, что при неограниченном возрастании <р полярный радиус р = — неограниченно убывает, заключаем, что при этом соответствующая точка М кривой неограниченно приближается к полюсу О. При стремле
нии f к нулю полярный радиус р неограниченно возрастает, т. е. соответствующая точка кривой неограниченно удаляется от полюса. Можно показать, что при этом точка М неограниченно приближается к прямой, параллельной полярной оси и отстоящей от /нее на расстояние а.
(x,p=a(+0SlP) Нанося на плоскость найденные выше
кДточки, получим приближенно гиперболическую
Хо]Р спираль (рис. 34).
У0 /Аналогичным образом производится по-
IУстроение кривых р = -^-, а<0, <р <0, (гипербо-
/лическаяспираль), р = ат, а^> 1 и 0 < а <4 (лога-
Рис. 38.рифмические спирали), р = а (1-|-cos<p), а^>0
(кардиоида) и др. (см. рис. 35, 36, 37, 38).
Алгебраические линии. Уравнение F (х, у) = 0 называется алгебраическим, если выражение F (х, у) есть сумма конечного числа слагаемых вида АУут, где к и т— целые неотрицательные числа, А—действительные числа. При этом наибольшая из сумм степеней к -}- tn называется
степенью уравнения.
Так, например, уравнения
х + у— 5 = 0, ху^Ч— x-[-3t/ = 0, х-у— х-]—г/-]-9 = 0
и т. д. будут алгебраическими. Степени их соответственно равны 1, 2, 8.
Уравнения х4~2у—1 = 0, sin(x— у) + х— у—1 и т. д. алгебраическими не являются.
Общий вид алгебраического уравнения первой степени:
Ах -[- By -{- С = 0,
где А, Ви С — некоторые числа, называемые коэффициентами уравнения.
Общий вид алгебраического уравнения второй степени:
Ах4-j-Вху-j-Су4-j-Dx-}-Еу-j-Г = 0,
А, В, С, D, Е, F — также числа, называемые коэффициентами уравнения, и т. д.
В аналитической геометрии обычно подробно изучаются алгебраические линии первого и второго порядков, т. е. линии, уравнения которых в некоторой декартовой прямоугольной системе координат являются алгебраическими уравнениями соответственно первой и второй степени.
Примечание. Уравнение алгебраической линии второго порядка в декартовых координатах удобно записывать в виде:
Ах1 + 2Вху + Су1 + 2£>х + 2Еу + Е = 0.
Это упростит в дальнейшем запись ряда преобразований.
Раздел 3
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
§ 10. Угловой коэффициент
В настоящем разделе будут рассматриваться прямые линии и соответствующие им уравнения.
Эти прямые будем считать лежащими в плоскости, в которой выбрана определенная декартова прямоугольная система координат X0Y.
Возьмем произвольную прямую. Углом наклона этой прямой к оси абсцисс называется угол, на который надо повернуть вокруг начала
ось абсцисс, так чтобы она стала параллельна данной прямой. Этот угол считается положительным, если поворот оси абсцисс совершается против часовой стрелки, и отрицательным — в противном случае. Очевидно, что угол наклона прямой к оси абсцисс определяется неоднозначно (если а — угол наклона прямой к оси абсцисс, то а -[- П", где п — любое целое число, также будет углом наклона (рис. 391. Тангенсы всех этих углов наклона равны между собой.
Тангенс угла наклона а прямой к оси абсцисс называется угловым коэффициентом этой прямой линии и обозначается буквой k; tga=k.
Если угол наклона прямой к оси абсцисс острый, то к^>0, если тупой, то к<^0 (рис. 40). Если прямая параллельна оси абсцисс, то^ = 0. Если прямая перпендикулярна к оси абсцисс, то об угловом коэффициенте прямой говорить не имеет смысла. Так как при а, неограниченно приближающемся к у, тангенс угла наклона неограниченно растет, то иногда говорят, что у прямой, параллельной оси OY, угловой коэффициент равен бесконечности.
Уравнение прямой линии с заданным угловым коэффициентом
Требуется составить уравнение прямой, не параллельной оси ординат, зная величину b отрезка ОВ, отсекаемого этой прямой на оси ординат, и угловой коэффициент к.
Пусть I— данная прямая (рис. 41). Установив на ней какое-нибудь направление, обозначим через а угол между осью ОХ и осью I. Для любой точки М (х, у) на рассматриваемой прямой имеем:
прох ВМ = ON = х,прок ВМ = BL = BO + OL = — b-\- у = у — b,а с другой стороны (см. сноску на стр. 21),прох ВМ = ВМ cos а,
прок ВМ = ВМ COS ^а — у) — ВМ sin а.
Следовательно, у — b = BM sin а=ВМ cos а tga = xtga X ИЛИ y = kx-\-b.(1)
Уравнению (1) удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на прямой, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на данной прямой. Уравнение (1) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. В этом уравнении х и у являются координатами произвольной точки прямой («текущими координатами»), а постоянные для данного уравнения величины b и к называются параметрами уравнения: к — угловой коэффициент, а b — начальная ордината.
Геометрический смысл этих параметров заключается в следующем: угловой коэффициент к равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс; начальная ордината b есть величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат.
Рассмотрим частные случаи уравнения прямой с угловым коэффициентом у — кх-^-Ь.
6 = 0, уравнение имеет вид:
у = кх.(2)
Соответствующая прямая проходит через начало координат.
к = 0, уравнение прямой имеет вид:
у = 6.(3)
Прямая (3) параллельна оси абсцисс и отсекает на оси OY отрезок, величина которого равна Ь.
Пример. У прямой, заданной уравнением у =— х + 3, начальная ордината 6 = 3, а угловой коэффициент k = t^a =—1, откуда (беря наименьшее положительное значение угла) получаем: а = -^-. Следовательно, прямая наклонена к оси
Зя абсцисс под углом а = -^- и отсекает на оси ординатм
отрезок, величина которого равна 3.
Если прямая параллельна оси OY и отсекает на оси ОХ отрезок, величина которого равна а, то координаты текущей точки М (х, у) прямой удовлетворяет уравнению—qа
х = а.(4)
Это уравнение и будет уравнением даннойРис‘ 42,
прямой (рис. 42).
Рассматривая полученные нами уравнения (1), (4), убеждаемся, что во всех случаях прямая может быть задана уравнением первой степени относительно переменных х и у.
Общее уравнение прямой и его исследование
Докажем теперь обратное утверждение, т. е. докажем, что всякое уравнение первой степени относительно х и у:
Дх + Ву + С = 0‘)(1)
определяет в прямоугольной системе координат XOY некоторую прямую.
Рассмотрим возможные случаи.
В Ф 0; А Ф 0; С Ф 0. Разделив все члены уравнения на В и опреЛ с
деляя на него у, запишем уравнение (1) в виде: у — —gX— ^-. Обозначая
-^=к.(2)
-^ = Ь.(3)
получим уравнение у = кх-\-Ь. Это уравнение прямой, угловой коэффициент и начальная ордината которой определяются равенствами (2) и (3).
В ^ 0; С Ф 0; Д = 0. В этом случае уравнение принимает вид By + С=0; у = — g. Это уравнение прямой, параллельной оси абсцисс и отсекающей от оси ординат отрезок, величина которого равна Ь, где Ь = —д.
Д#;0; С Ф 0; В = 0. Уравнение (1) принимает вид: Дх-|-С = 0; СС
х = —-д. Полагая а = — д , полученное уравнение запишем в виде х=а. Это уравнение прямой, параллельной оси ординат и отсекающей от оси абсцисс отрезок, величина которого а.
А Ф 0; В Ф 0; С —0. Уравнение (1) имеет вид: Ах-^Ву = 0\ АА
у = — g-x; или y — kx, где к =— ^-. Это уравнение прямой, проходящей через начало координат.
Предполагается, что коэффициенты А и В одновременно не равны нулю.
В ф 0; С = 0; Л = 0. Уравнение (1) имеет вид:
У = О.(4)
Это уравнение является уравнением оси абсцисс.
Л Ф 0; В = 0; С = 0. Уравнение имеет вид:
х—0.(5)
Это — уравнение оси ординат.
Таким образом, во всех случаях уравнение Лх + By + С = 0 является уравнением прямой линии. Уравнение Лх + By -[- С = 0, где Л и В одновременно не равны нулю, называется общим уравнением прямой. Итак, в прямоугольной декартовой системе координат всякая прямая может быть представлена уравнением первой степени, и, обратно, любое уравнение первой степени относительно х и у определяет прямую линию.
. Уравнение прямой проходящей через данную точкув данном направлении; уравнение прямой, проходящейчерез две данные точки; уравнение прямой в отрезках на осях
Решим несколько задач на составление уравнения прямой линии по различным данным.
Задача 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А40 (х0, Уо) и имеющей угловой коэффициент 1г.
Решение. Уравнение этой прямой можно записать в виде:
у = кх-^Ь,(1)
где b — пока неизвестная начальная ордината.
Так как искомая прямая проходит через точку Мй (х0, у0), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (1):
уй = кхй-\-Ь.(2)
Определяя b из равенства (2) и подставляя его в уравнение (1), получим искомое уравнение прямой:
у — у6 = к^х — х0').(3)
Уравнение (3) называется уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
Задача 2. Составить уравнение невертикальной прямой, проходящей через точки Л^ (хь у,) и М2(х2, у^.
Решение. Уравнение этой прямой можно записать в виде:
У — У1 = 1Цх — х0,(4)
где к—пока неизвестный угловой коэффициент.
Так как искомая прямая проходит через точку М»(х2, у^, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (4):
У» — У1 = к(х4 — Xi).(5)
Отсюда находим
(6)
Подставляя найденное значение к в уравнение (4), после преобразования получим искомое уравнение прямой, проходящей через точки Mi и М». Если ух ^ у2, то его можно записать в виде:
Уз— У1Хз — х/
Если ух = уа, то уравнение искомой прямой у = ух.
Уравнение (7) называется уравнением прямой, проходящей через две точки. Заметим, что равенство (6) позволяет определить угловой коэффициент невертикальной прямой по двум ее точкам.
Если х! = х5, то прямая, проходящая через точки Mi и М^, параллельна оси 0Y, ее уравнение имеет вид: х = хх.
на оси абсцисс отре- координаты точки Ана оси абсцисс отре- координаты точки АЗадача. 3. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси абсцисс отрезок величины а (а ^ 0), а на оси ординат — отрезок величины b, b Ф 0.
на оси абсцисс отре- координаты точки А
на оси абсцисс отре- координаты точки А
Решение. Пусть данная прямая отсекает зок ОА, а на оси ординат отрезок ОВ. Тогда
будут (а, 0), а координаты точки В будут (0, 6) (рис. 43).
Составим уравнение данной прямой, как прямой, проходящей через две точки А (а, 0) и В(0, Ь).
Подставляя координаты точек в (7), получим уравнение
у х — а b — а
или
^ + y=L(8)
Уравнение (8) называется уравнением прямой в отрезках. В этом уравнении х и у — текущие координаты, а и b — параметры. Заметим, что это уравнение удобно использовать для геометрического построения прямой. Откладывая на оси абсцисс отрезок, равный по величине а, на оси ординат отрезок, равный по величине Ь, и соединяя концы этих отрезков, получим искомую прямую.
14. Угол между двумя прямыми; условия параллельностии перпендикулярности двух прямых
Возьмем две прямые, не параллельные оси ординат: уравнение прямой Li пусть будет y = kxx-\-bX) где fe1 = tga1, а уравнение прямой L» у = к^х-1[-Ь», где /?2 = tga2, (рис. 44).
Определим угол наклона <р прямой L2 к прямой Lx, т. е. определим угол, на который надо повернуть прямую Lx, чтобы она стала параллельной прямой L2. Как и при определении угла между осями, угол ® считаем положительным в случае вращения прямой Lx против часовой стрелки и отрицательным — в противном случае.
На основании геометрических соображений устанавливаем зависимость между углами ab а2, <р:
«2=?+«1,«2=?+«1,® = а2 — aj.® = а2 — aj.
«2=?+«1,
«2=?+«1,
® = а2 — aj.
® = а2 — aj.
Если ср ^ у, то
tg<p = tg(a2 —ai),
1 Y 1 + tg «2 lg «1 ’
а значит,
tg<Ptg<PAg — Aj1 +^ А/Ag — Aj1 +^ А/(1)(1)
tg<P
tg<P
Ag — Aj
1 +^ А/
Ag — Aj
1 +^ А/
(1)
(1)
Формула (1) служит для определения угла между двумя неперпен
дикулярными прямыми.
Если прямые L, и La параллельны (и, в частности, совпадают), TO<p = 0Htg<p = 0. В этом случае в формуле (1) числитель в правой части должен быть равен цулю:
feg&1О
т. е.
(2)(2)кг = кх
(2)
(2)
и обратно, если прямые Lx и La таковы, что кх — ко, то tg® = 0, т. е. эти прямые параллельны.
Таким образом, равенство (2) является условием параллельности двух (невертикальных) прямых. Это условие параллельности прямых L может быть сформулировано так: если пря- уР ц мь1е параллельны, то их угловые коэффи-
' циенты равны, и наоборот.
Если прямые Lx и La перпендикулярны, jtт. е. ® = у, то
/“а = у + ai>tg а2 = — ctg ах,
у. е.
‘ ' / х1
Рис. 44.^2 й/^
Наоборот, если для прямых Lx и La имеем кг =— -, то tg о^ = = tg^-[-aiy т. е. <р = ^-, прямые Lx и La перпендикулярны.
Равенство (3) является условием перпендикулярности двух (невертикальных) прямых. Таким образом, условие перпендикулярности может быть сформулировано так: если прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, и наоборот.
Если уравнения прямых Lx и La даются в общем виде:
Д1Х —|— Вху —|— Сх = 0 и Дах —|— В^у —j— Са = О,
то на основании равенства (2) (§ 12) имеем:
кх =кх =А.в?А.в?к» —к» —Д2 *)В/Д2 *)В/
кх =
кх =
А.
в?
А.
в?
к» —
к» —
Д2 *)
В/
Д2 *)
В/
Подставляя значения кх и к^Подставляя значения кх и к^в равенство (1), получим:в равенство (1), получим:
Подставляя значения кх и к^
Подставляя значения кх и к^
в равенство (1), получим:
в равенство (1), получим:
tg<P =tg<P =(4)(4)А^В^ — АчВ^•^1^2 —I- ^!^2
tg<P =
tg<P =
(4)
(4)
В этом случае условие параллельности прямых записывается в виде: АХВ^—ЛаВ1 = 0,(5)
а условие перпендикулярности прямых — в виде:
ДА + ад = 0.(6)
Примечание. Как легко видеть, условия (5) и (6) остаются в силе и для прямых, параллельных оси ординат.
§ 15. Пересечение двух прямых
Прямые Lt и La заданы уравнениями: Л jX -)- ВхУ -р Сх = О, Лах —|— В^у —[— Са = О.
Требуется определить точку пересечения этих прямых.
Пусть АхВ»— А%Вх ^ 0. Тогда система (1) имеет единственное решение ):
уВхС2 BoCt АаСх АхСаА1Ва — АаВх' а — АхВ2 — АаВх"
Это значит, что прямые Lx и Lt не параллельны, пересекаются в одной точке. Ее координаты даются формулами (2).
Пусть теперь АхВо,— ЛаВ1=0. При этом возможны два случая. Либо, кроме условия АхВг — АгВх = 0, выполнено также условие AtC2 — ЛаС\ — 0 (а тогда и ВхС2— ВаС1 = 0), либо АхВ»— ЛаВ1 = 0, но АхС»— АгСх ^0 (или ВхС» — ВцСх ф 0).
В первом случае имеем А^ — ’^Ах, Во = у.Вх, Ca = p.Ci, откуда следует, что второе уравнение системы получается из первого умножением на число р.. При этом всякая пара чисел х, у, удовлетворяющая первому уравнению, удовлетворяет и второму, т. е. всякая точка прямой Lx принадлежит и прямой La. Это значит, что прямые Lt и Ц совпадают.
Равенства
Ла = рЛ1, Ba = pBi, Са = pCi,(3)
где р Ф 0 — некоторое число, обычно записывают в виде
Аг В2 ~ С2w
и называют условиями совпадения прямых.
Эти равенства (4) имеют смысл, если знаменатели отношений не равны нулю. В случае, если в каком-либо отношении знаменатель окажется равным нулю, то [см. (3)] равен нулю и соответствующий числитель. Можно договориться условия совпадения снова писать в виде (4), вычеркивая из этих отношений то, у которого знаменатель равен нулю, и приравнивая нулю его числитель.
Если же АХВ<! — ЛаВ1 = 0, но, например, АхС,— А2Сх^0, то, допустив, что система (1) имеет решение (х0, Уо), мы получаем противоречие.
Действительно, подставив в уравнения вместо х и у значения х0 и у0, умножив первое равенство на Ла, второе на Ах и вычитая из первого второе, получим CtAo— СаЛ1 = 0, что противоречит предположению.
Таким образом, в рассматриваемом случае система решения не имеет. Это значит, что прямые Li и La не имеют ни одной точки пересечения, т. е. они параллельны.
Таким образом, условия параллельности прямых:
AVB» — ЛаВ1 0, АхС2 — Л^ ^ 0
или BtC2 — В2Сх ^ 0.
Условие параллельности прямых обычно записывают в виде:
АхВх , Сх
А3Си
^При этом, если у отношения ^ или ^ знаменатель равен нулю, то равен нулю и числитель, и соответствующее отношение надо отбросить.)
Резюмируя, можно сказать, что прямые на плоскости либо пересекаются в одной точке, либо параллельны, либо совпадают.
Примечание. Если совпадающие прямые рассматривать как частный случай параллельных прямых, то условие параллельности прямых Lx и L2 будет иметь вид:
А = 51
Ад Вз
Нормальное уравнение прямой
Выведем сначала уравнение произвольной прямой L в полярных координатах.
Пусть / — ось, проходящая через начало О и перпендикулярная данной прямой L (направление I берется от О в сторону данной прямой1)), р— расстояние от О до данной прямой, а—угол между полярной осью ОР и осью / (рис. 45).
Для любой точки М (р, <р) на данной прямой L имеем:
npz ОМ = ON = р, но, с другой стороны,
npz ОМ = ОМ cos (<р — а) = р cos (а — а),
следовательно,
(1)(1)р cos (® — а) = р.
(1)
(1)
Так как точки, не лежащие на данной прямой L, этому соотношению не удовлетворяют, то (1) есть уравнение прямой L в полярных координатах.
Рассмотрим прямоугольную систему координат XOY и прямую L. Введя полярные координаты (взяв О за плюс и ОХ за полярную ось), получим уравнение (1) прямой L в полярных координатах. Это уравнение можно переписать в виде:
р COS <р cos а 4~ Р sin <р sin а — р = 0.
В силу формул, связывающих прямоугольную систему координат с полярной, имеем р cos <р = х и psin<p = y. Следовательно уравнение (1) прямой L в прямоугольной системе координат примет вид:
х cos а-|-у sin а — р = 0.(2)
Уравнение (2) называется нормальным уравнением прямой в прямоугольной системе координат.
В полученном нормальном уравнении прямой L числа р и а, где р— длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а а — угол наклона нормали / к оси абсцисс, являются параметрами уравнения.
Покажем, как привести уравнение прямой в общем виде к уравнению той же прямой в нормальном виде.
Возьмем уравнение прямой L
(3)(3)Ах-^-Ву -ф- С = 0
(3)
(3)
и уравнение (2) той же прямой в нормальном виде х COS а 4- у sin а — р = 0.
*) Если данная прямая проходит через точку О, то выбор направления оси / произволен.
После умножения уравнения (3) на множитель X, X ^ 0, получим:
(4)(4)ХЛх-{-ХВу + ХС = О.
(4)
(4)
При надлежащем подборе X уравнение (3) должно обратиться в уравнение (2). Следовательно, должны выполняться равенства: X Л —cos а; XB = sina; ХС = —р. Из первых двух равенств определим X, для чего каждое из них возведем в квадрат, а затем сложим:
Х2Ла -{- ХаВа = cosa а -[- sin2 а = 1.
Получим:
(5)
Для выбора в этой формуле знака перед квадратным корнем используем равенство ХС = — р. Если прямая L не проходит через начало координат, то р, как длина перпендикуляра, есть число положительное, следовательно, произведение ХС<^0, а для этого необходимо, чтобы X и С имели противоположные знаки. Следовательно, в формуле (5) знак перед корнем берется противоположный знаку С. Если же прямая L проходит через начало координат, то С=0, выбор знака X произволен.
Множитель X называется нормирующим множителем. Итак, для приведения общего уравнения прямой к нормальному виду надо найти значение X, а затем все члены уравнения умножить на X.
Расстояние от точки до прямой
С помощью нормального уравнения прямой можно определить расстояние от данной точки до данной прямой.
о (^о, Уо), лежащая вне прямой, г точки Мй до этой прямой.о (^о, Уо), лежащая вне прямой, г точки Мй до этой прямой.Пусть дается некоторая прямая L своим уравнением в нормальном виде х cos а-[-у sin а — р = 0 и точка М Требуется определить расстояние d о
о (^о, Уо), лежащая вне прямой, г точки Мй до этой прямой.
о (^о, Уо), лежащая вне прямой, г точки Мй до этой прямой.
Через точку Мй проведем прямую Lo параллельно прямой L и рассмотрим ее нормальное уравнение
х cos а0 -[- у sin а0 — рй = 0.
Так как точка Л4о(^о, Уо) лежит на прямой Lo, то
XgCOSao + i/osinao —ро = О.(1)
В зависимости от положения прямой L и точки М6 будем иметь:
и О лежат по одну сторону пря-и О лежат по одну сторону пря-рй = р -[- d; a0 = a, если точки Мв и О лежат по разные стороны прямой L (рис. 46),
и О лежат по одну сторону пря-
и О лежат по одну сторону пря-
Ро — Р — d; a0 = a, если точки Мй мой L и p^d (рис. 47),
p6 = d— р; a0=a-|-ir, если точки Мв и О лежат по одну сторону прямой L и ps^d (рис. 48).
Подставляя эти выражения для р0 и а0 в (1), получим:
(2)(2)± d = х0 COS a -|-1/0 sin a — р.
(2)
(2)
где в левой части берется знак плюс, если точки М6 и О лежат по разные стороны прямой L, и знак минус, если Мй и О лежат по одну сторону прямой L.
Отсюда следует, что для любого взаимного расположения точки Мо и прямой L
(3)(3)d = | х0 cos а -[- у0 sin а — р |.
(3)
(3)
Примечание. Назовем отклонением 6 точки Мо от прямой L число -V d, если точка Л40 и начало О лежат по разные стороны от прямой L(S = d'), и число —d, если они лежат по одну сторону от £(6 = — d). Тогда равенство (2) можно переписать так:
S = х0 cos а -|- у0 sin а — р.
Знак отклонения характеризует взаимное расположение точки Мо, прямой L и начала О.
Итак, чтобы найти расстояние от данной точки до данной прямой, надо уравнение прямой привести к нормальному виду, вместо текущих координат подставить в левую часть уравнения координаты данной точки и взять абсолютную величину полученного результата.
Если уравнение прямой дается в общем виде, то для решения задачи о нахождении расстояния от точки М0(х0, у0) до прямой Ах -}- By -)- С = О можно пользоваться формулой
д I Л*о + Ву0 + С |,^,
V А^В1 '1
Рекомендуем читателям, используя формулу (4), доказать, что биссектрисы углов, образованных прямыми
А^Х -|- В1У -|- Ci - 0, АаХ 4“ Bay + Са О,
имеют следующие уравнения:
Д^Х -}- В^у -|- CiАаХ -|- ВаУ Н~ Са/Л? + В^’
А- В.у А- Ci АцХ А- В^у А- ^2
Va^b* ~*
Уравнение пучка прямых
Возьмем на плоскости точку Мо (хй, у0). Через эту точку можно провести бесчисленное множество прямых. Совокупность всех прямых плоскости, проходящих через данную точку, называется пучком прямых (рис. 49). Точка Мй называется центром пучка. Любые две фиксированные прямые, принадлежащие пучку, называются образующими пучка прямых.
Поставим задачу: имея уравнения двух образующих пучка Lt и La: Л,х —[— В^у —[— Cj = О, Л 2х -j— В^у —[— Са = О,
найти уравнения других прямых пучка.
Составим уравнение
Л1Х -[- В^у -[- Ci -р X (Л2х -[- В^у -[- Q = 0,(1)
где X— параметр (произвольное число).
Уравнение (1), как уравнение первой степени, есть уравнение прямой при любом значении X.
Так как прямые Л^^ Bty 4-Cj = 0 и Л2х + В^у + Са = 0 проходят через точку Л40(х0, у^, то Л^ + В^ + С^О и Л2хо + В21/о + Са = О.
Следовательно, координаты центра пучка Л40(х0, у0) удовлетворяют уравнению (1) (при произвольном значении X). Это значит, что при каждом значении X уравнение (1) есть уравнение прямой данного пучка.
Чтобы выяснить, определяет ли уравнение (1) любую прямую, принадлежащую пучку, зададим произвольную точку N (т, п) и среди прямых,
имеющих уравнение (1), будем искать ту, которая проходит через эту точку.
Для этого в уравнение (1) вместо текущих координат подставим координаты точки N (т, п) и найдем соответствующее значение X:
1^im + В^п + Ct,п\
А2т А-В2п-V С2*v ’
Очевидно, что это значение X можно найти всегда, кроме случая, когда Л2/тг + В2« + Са = 0, т. е. когда заданная точка N лежит на образующей пучка — прямой
Л2х —|— В^ —|— Са — 0.
Следовательно, уравнение (1) определяет все прямые пучка, кроме второй образующей.
Уравнение (1) называют уравнением пучка прямых, заданного образующими.
Уравнение всякой невертикальной прямой, проходящей через точку /Ио (х0, t/о), можно записать в виде:
У — yo = k (х — х0),(3)
где к— угловой коэффициент этой прямой.
Каждая (невертикальная) прямая пучка с центром в точке Мй имеет уравнение вида (3) (при соответствующем этой прямой значении параметра к). Наоборот, всякая прямая, имеющая уравнение (3), принадлежит рассматриваемому пучку. В связи с этим уравнение (3), где к— параметр, называют уравнением пучка прямых с центром Мв(х6, у0).
Рассмотрим решения некоторых задач на прямую линию.
Задача 1. Зная уравнение прямой Зх—4у—60 = 0, определить: а) отрезки а и Ь, которые прямая отсекает на координатных осях; б) угловой коэффициент к прямой; в) расстояние данной прямой от начала координат.
Решение. Для ответа на первый вопрос приведем уравнение прямой
Зх—4у—60 = 0
к виду: ^ — ^=1. Отсюда следует, что а = 20, Ъ =—15.
3
Приводя данное уравнение к виду у = кх + Ь, получим у = ^- х—15, откуда ,3
находим к = -г.
И, наконец, для ответа на последний вопрос приведем уравнение прямой к нормальному виду, для чего все члены уравнения Зх—4_у— 60 = 0 умножим на нормирующий множитель X, определяемый формулой
Х =1-
± /9+ 16
Так как свободный член отрицателен, то X берется положительным, следова- .1
тельно, Х = -=-.
о
Нормальное уравнение данной прямой:
4-х — 4у —12 = 0.
Таким образом, р = 12, т. е. расстояние прямой от начала координат равно 12.
Задача 2. В треугольнике АВС, заданном координатами своих вершин: А (6, 4); В (— 9, 4); С (— 9, — 16),
найти: а) длину медианы АЕ, проведенной из вершины А; б) длину высоты ВО, опу
щенной из вершины В; в) точку пересечения медианы АЕ и высоты ВО.
Сделаем схематический чертеж треугольника (рис. 50). Сначала определим координаты точки Е, как точки, делящей отрезок ВС пополам:
т. е. Е (— 9, — 6).
Длину медианы определим по формуле расстояния между двумя точками А и Е:
АЕ = V (6 + 9)2 + (4 + 6)2 = /325.
Далее составим уравнение стороны АС, используя уравнение прямой, проходящей через две точки А и С, а длину ВО определим по формуле расстояния от точки В до прямой АС:
у+164-|-16ВОу+164-|-16ВО4х—Зу>—12 = 0,14-(-9)—3-4-121 ,пУ 16-|-9"4х—Зу>—12 = 0,14-(-9)—3-4-121 ,пУ 16-|-9"ИОИО
у+16
4-|-16
ВО
у+16
4-|-16
ВО
4х—Зу>—12 = 0,
14-(-9)—3-4-121 ,п
У 16-|-9"
4х—Зу>—12 = 0,
14-(-9)—3-4-121 ,п
У 16-|-9"
ИО
ИО
Затем составим уравнение медианы АЕ, используя уравнение прямой, проходящей через две точки А и Е:
у + 6х + 94 + 6 — 6-|-9’у + 6х + 94 + 6 — 6-|-9’2х— 3j> = 0.2х— 3j> = 0.
у + 6х + 9
4 + 6 — 6-|-9’
у + 6х + 9
4 + 6 — 6-|-9’
2х— 3j> = 0.
2х— 3j> = 0.
Уравнение высоты ВО составим по точке и угловому коэффициенту АС. Угловой 4
коэффициент прямой AC: kAC=-^, следовательно, угловой коэффициент прямой ВО, перпендикулярной к АС, равен
ь -3
rBD — “ "4 •
Уравнение прямой ВО имеет виц:
У— 4 = — -5-(х + 9), 3x + 4j’ + ll=0.(ВО)
Для определения искомой точки М пересечения медианы и высоты решаем совместно уравнения прямых АЕ и ВО. При решении системы находим, что
_ 33_ 22
^м—17 > Ум и*
Задача 3. Треугольник задан уравнениями своих сторон
(АВ) ... х —2у + 3 = 0; (BQ ... 5x+j> —7 = 0; (AQ ... 2х + 3>—21 =0.
Требуется найти точку, симметричную вершине В относительно основания АС.
Решение. Сделаем схематический чертеж треугольника АВС (рис. 51). Из вершины В опустим перпендикуляр BD на сторону АС и продолжим эту прямую на расстояние DM = BD. Очевидно, точка М и будет искомой.
Для определения координат точки В решим совместно уравнения сторон АВ и ВС:
х — 2у+ 3 = 0 ... (АВ),5х + у—7 = 0 ... (BQ,
откуда хв=1, ув = 2.
Составим уравнение прямой BD, как прямой, проходящей через точку В перпендикулярно стороне АС.
23
к АС = — у, следовательно, kBD = -^,
3
у—2 = -^(х— 1) ... (BD) или Зх—2у-|-1=0.
Найдем координаты точки D, как точки пересечения прямых АС и BD: 4х + Оу — 42 = 0 ... (ДС), 9х — бу + 3 = 0 ... (BD), откуда xD=3, yD = 5.
Для нахождения координат точки М используем формулы деления отрезка пополам, которые для данной задачи запишем так:
8 _ ХВ + ХМ _Ув+Ум
xd—2’ ^D—2"/
Подставляя в данные формулы известные коор- /'Х.
линаты точек В (1, 2) и D (3, 5), найдем искомые / координаты точки М:А °т>£
ХИ1 = 5= Ум —8-|
I
Задача 4. Найти прямую, которая проходит1
через точку пересечения двух прямых х-|-2у—19 = 0;4
2х—у—3 = 0 и находится от точки М (2, 3) на рас-"
стоянии 5 единиц.рИС- 51.
Решение. Используем так называемый метод‘
пучка прямых (заданных своими образующими). За образующие можно взять прямые, данные в условии задачи. Уравнение пучка прямых будет иметь вид:
х -|- 2у —19 + X (2х — у — 3) = 0, т. е.
(1 4-2Х)х-|-(2—Х)у—19 —ЗХ = 0.
Чтобы определить значения параметра X для искомой прямой, используем формулу расстояния от точки до прямой:
Д_ |Дх0 + Ду0 + С|
/АЧВа *
По условиям нашей задачи:
d = 5, Д = 1 + 2Х, В = 2 — X, С = — 19 — ЗХ, х0 = 2, у0 = 3.
Подставляя эти значения в приведенную формулу, получим следующее уравнение относительно параметра X:
J(1 + 2Х) 2 +(2—X) 3—19—3X1
“ V (14-2Х)= + (2-Х)=*
5/(1 -|-2Х)2-|-(2 — Х)2 = |2Х + 11|.
Возводя в квадрат и приводя подобные члены, получим квадратное уравнение относительно X: 121 X2—44Х-|-4 = 0.
Прежде чем решать это уравнение, обратим внимание на следующее. Искомый параметр X определяется из квадратного уравнения. При решении квадратного уравнения корни по своему характеру могут быть: 1) действительные и различные; 2) действительные и равные; 3) мнимые.
В зависимости от характера корней получим различные ответы на поставленную геометрическую задачу. Если корни окажутся действительными и различными, то существует два различных значения параметра X, удовлетворяющих условию задачи. Следовательно, данному пучку принадлежат две искомые прямые. Если корни окажутся действительными и равными, то существует одно значение параметра, т. е.
данному пучку принадлежит лишь одна искомая прямая. Если же корни уравнения окажутся мнимыми, то это означает, что действительных значений параметра X не существует и, следовательно, не существует прямой, удовлетворяющей условиям задачи.
2
Уравнение 121 X3—44X4-4 = 0 имеет единственный корень Х = уу. Следовательно, существует лишь одна прямая, удовлетворяющая условиям поставленной задачи. Подставляя найденное значение X в уравнение пучка, найдем уравнение искомой прямой, проходящей через точку пересечения данных прямых:
2
х-|-2у—19-|- ij(2x—у—3)=0 или Зх -|- 4у — 43 = 0.
Раздел 4
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Окружность и ее уравнение
В предшествующих разделах рассматривалась прямая линия, т. е. линия, уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат является алгебраическим уравнением первой степени.
Будем теперь рассматривать линии, уравнения которых в декартовой системе координат являются алгебраическими уравнениями второй степени, т. е. будем рассматривать алгебраические кривые второго порядка.
Уравнение одной из таких кривых — окружности
(х-а)2 + (у-6)2 = ^(1)
было выведено раньше.
Раскрывая скобки, запишем это уравнение в виде:
х2 + уа —2ах—26у+а2 + 62 —/?а = 0.(2)
Это уравнение окружности является частным случаем общего уравнения второй степени:
Ax2 + 2Bxy + Cy4 + 2Dx-i-2Ey + F = 0,(3)
соответствующим А = С^0; В = 0.
Обратно, если в уравнении (3) А = С^0; В = 0, то после деления на А оно примет вид:
а । t 20 .ЧЕ . F пх1Л"У1 + "д”х + ^4"У + д" — О,
т. е.
/, О\2 , ( х Е\» D2 , Е2 F
ИЛИ
(х-а)2 + (у-6)2 = р,
О , Е D2 . Е2 F где а = -д-, Ь = — - р =+
В случае р^>0 это будет уравнение окружности с центром (а, b и радиусом R=Vp; в случае р = 0 уравнению удовлетворяет единственная пара чисел (а, 6) (будем говорить, что «окружность выродилась в точку»); в случае р<0 уравнению не удовлетворяет ни одной пары чисел (окружность «Мнимая»),
§ 20. Эллипс и его уравнение
Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек Fx и Ръ называемых фокусами, есть величина постоянная ).
Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат X0Y так, чтобы фокусы эллипса Рх и Р» лежали на оси абсцисс, а начало координат делило бы расстояние между фокусами пополам. Обозначим Р^Рх — 2с. Тогда координаты фокуса Рх будут с, 0, а координаты фокуса Рг будут — с, 0 (рис. 52).
Возьмем произвольную точку М (х, у), лежащую на эллипсе. Соединим точку М с фокусами Рх и Р^. Длины отрезков MFb и МР» обозначим
соответственно через гх и г^. MFx = rx, MF^ = r^.
Числа гх и гг называются фокальными радиусами точки М эллипса. Из определения эллипса следует, что сумма фокальных радиусов каждой его точки есть величина постоянная.
Обозначим ее через 2а.
В силу нашего предположения 2а>2с или а">с. На основании определения эллипса, как геометрического места точек, можно утверждать, что для всех точек эллипса, и только для них, должно выполняться равенство:
(1)(1)г 1 —[— г2 — 2а.
(1)
(1)
Определим гх и га по формуле расстояния между двумя точками:
г2 = ]/(х-[-с)'2-|-уа .(3)
Подставляя найденные значения п и га в уравнение (1), получим:
У (х-су1-V-у» + уД^НУ^" = 2а.(4)
Уравнение (4) является уравнением эллипса. Однако полученная форма уравнения является неудобной для пользования, поэтому обычно уравнение эллипса дается в ином виде.
Пусть (х, у) — точка эллипса, т. е. равенство (4) имеет место.
Перенесем первый радикал из этого равенства направо и затем возведем обе части равенства в квадрат:
(х + с)а + уа = 4аа — 4аУ (х —с)а+уа + (х — с)а + у9,(5)
или
4сх = 4аа — 4а У (х— с)а + Уа; определим отсюда оставшийся радикал:
]/"(х —с)а + уа = а — ^ х.(6)
Возведем теперь обе части равенства (6) в квадрат: ха — 2сх -L са + Уа = аа — 2сх -j- х2
и умножим обе части полученного равенства на а'2: ааха + aV- + aV = а4 + <?х\
В результате преобразования получим:
(а2 — с2)ха + ау- = а2(а2 — с2).(7)
Так как по условию а^>с, то а2 — с2 )> 0. Обозначим разность а2— с2 (как величину положительную) через 62. Позже мы раскроем геометрический смысл положительного числа Ь, определяемого равенством
№ = а^ — с\(8)
Очевидно, что
№<а\
Вводя в равенство (7) 62 = а2 — с2 и разделив все на а262, получим: 62х2 + а2у2 = а262,
62
Пусть теперь х и у — любые действительные числа
Рассмотрим уравнение
(9)
По доказанному, всякая пара чисел х, у, удовлетворяющая уравнению (4), удовлетворяет и уравнению (9). Можно показать, что и, наоборот, всякая пара чисел х, у, удовлетворяющая уравнению (9), удовлетворяет уравнению (4) (для этого достаточно произвести сделанные выше выкладки в обратном порядке). Таким образом, уравнению (9) удовлетворяют координаты точек данного эллипса, и только они, т. е. уравнение (9) является уравнением этого эллипса.
Уравнение (9) называется каноническим уравнением эллипса.
§ 21. Исследование уравнения эллипса
Получив каноническое уравнение эллипса, приступим к изучению
формы эллипса. В уравнение эллипса обе координаты входят только в четных степенях, поэтому, если пара чисел (х0, у^ удовлетворяет урав
нению (9), то пары (х0, —у0), (—^о, Уо), (—-^о, —Уо) также удовлетворяют этому уравнению. Другими словами, если точка Мй (х0, у0) лежит на эллипсе, то точки Mi (хв, —у0), Л4а(—х0, у^, М3(—х0, —у0), сим
метричные точке Мй соответственно относительно оси ОХ, оси OY и начала О, также лежат на эллипсе. Отсюда следует, что эллипс является
как из центра проведем засечки на оси абсцисс. Нетрудно убедиться, что полученные точки Рх и F^ являются фокусами эллипса.
BxFx = a, ОВХ = Ь, следовательно, а2— 0Fx = № и на основании равенства (8) (§ 21) а2 —с2 = 62 имеем OFx=c.
Из канонического уравнения эллипса у2-[-^=1 выразим у через х:
(1)(1)у = ±^Уа»-х\
(1)
(1)
Так как изучение формы эллипса достаточно провести в первом квадранте, то в этом равенстве надо взять лишь знак плюс, т. е. у = = у V °2 — ^i и предполагать х^О.
При х=0 имеем у = Ь. Следовательно, точка Вх (О, Ь) лежит на эллипсе.
При возрастании х от 0 до а у убывает.
При х=а имеем у = 0. Следовательно, точка Л, (а, 0) лежит на эллипсе.
При х^>а у получает мнимые значения. Следовательно, точек эллипса, у которых х^>а, не существует.
Дадим переменной х несколько значений, 0<^х<а, и, получив соответствующие значения у, Ь^у^О, построим ряд точек, принадлежащих эллипсу. Учитывая высказанные выше соображения и соединяя найденные точки эллипса плавной линией, получим дугу эллипса ВХАХ в первом квадранте.
Произведя зеркальные отражения дуги ВХАХ относительно координатных осей, получим весь эллипс.
Отсюда следует, что эллипс представляет собой замкнутую кривую, не выходящую из пределов начерченного прямоугольника, с двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии.
Отрезок А^АХ и его длина 2а называются большой осью эллипса, отрезок ОАХ и его длина а называются большой полуосью эллипса. Отрезок В»ВХ и его длина 2Ь называются малой осью эллипса; отрезок ОВХ и его длина b называются малой полуосью эллипса. Длина отрезка Р^РХ, т. е. число 2с, называется фокусным расстоянием. Точки пересечения эллипса с его осями Ах, А», Вх, В^ называются вершинами эллипса, а точка пересечения его осей (как уже упоминалось) называется центром эллипса ).
Примечание. Если а — Ь, то уравнение эллипса имеет вид ^-{-^ = 1 или х24-у2 = а2. Это—уравнение окружности. Можно сказать, что окружность является частным случаем эллипса.
Сравнивая уравнение окружности радиуса а с центром в начале координат х2-[-у2 = аа или у = ± / а2 — х2 с уравнением (1), заключаем, что ордината точки эллипса и ордината точки окружности с той же абсциссой в той же полуплоскости (верхней или нижней) связаны зависимостью уэл.=— t/окр.- Это показывает, что эллипс можно рассматривать как «сплюснутую» окружность.
§ 22. Эксцентриситет и фокальные радиусы эллипса
Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большой оси эллипса. Эксцентриситет обычно обозначается буквой е;
25 = 6 или — = е.(1)
Так как у эллипса с<^а, то эксцентриситет эллипса меньше единицы. Определяя с из уравнения эллипса, получим для е2 следующее
с2 о? — 62 а? а?с2 о? — 62 а? а?выражение:
с2 о? — 62 а? а?
с2 о? — 62 а? а?
(2)
Из этого равенства видно, что чем меньше отношение —, т. е. чем больше эксцентриситет, тем эллипс становится более «вытянутым». Наоборот, чем больше отношение —, тем меньше эксцентриситет и эллипс является менее «вытянутым» (менее «сжатым»). Таким образом, эксцентриситет характеризует степень сжатия эллипса. В предельном случае, когда Ь — а, т. е. когда эллипс обращается в окружность, его эксцентриситет обращается в нуль.
Фокальные радиусы. Из равенства (6) § 20 имеем:
Г1 = У (X — с)2 + у2 = а — ^х,
но г1-[-га = 2а, следовательно, г^ = а-\- ^х. Таким образом,
л = а- х,
ra = a + ^x.(3)
Равенства (3) позволяют выражать фокальные радиусы точки М (х, у) через х (без радикалов).
Так как е = -^, то формулы (3) можно переписать так:
(4)(4)гх = а — ех,г1 = 'а-\- ех.
(4)
(4)
§ 23. Гипербола и ее уравнение
Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух данных, точек Рх и Р^, называемых фокусами, есть величина постоянная ).
Для вывода уравнения гиперболы возьмем систему координат X0Y так, чтобы фокусы гиперболы Рх и Рг лежали на оси абсцисс, а начало координат делило отрезок РйРх (FxFi = 2с) пополам (рис. 54). Тогда координаты фокуса Ft будут (с, 0), а фокуса Fa — (— с, 0).
Возьмем точку Л1 (х, у), лежащую на гиперболе, и проведем отрезки МРХ и МРг. Длину отрезка МРХ обозначим через гъ а длину отрезка МР, — через га:
МРх = гх, МР^ = г2.
точек гиперболы, и только дляточек гиперболы, и только дляПодставляя найденные значенияПодставляя найденные значенияг, и га в уравнение (1), получим:г, и га в уравнение (1), получим:
точек гиперболы, и только для
точек гиперболы, и только для
Подставляя найденные значения
Подставляя найденные значения
г, и га в уравнение (1), получим:
г, и га в уравнение (1), получим:
Числа гх и г4 называются фокальными радиусами точки М гиперболы. По определению гиперболы, для любой ее точки разность фокальных радиусов есть величина постоянная (обозначим ее через 2а). В силу нашего предположения 2а<2с или а<4.
На основании определения гиперболы как геометрического места
точек, можно утверждать, что для всех них, должно выполняться равенство:
га-г1=±2а.(1)
По формуле расстояния между двумя точками определим:
МЕх — гх и МР4 = гг;
гх = /(х — с)2 + у2, г4 =У(х + с)2 + у2.
(2)(2)]/ (х + of + у2 — / (х — с)2 —[—у2 = ± 2а.
(2)
(2)
Уравнение (2) является уравнением гиперболы. Так же как и уравнение эллипса, приведем уравнение (2) к более удобному виду, для чего уединим первый радикал и затем возведем обе части равенства (2) в квадрат. При этом
(х -[- с)2 -[- у2 = 4а2 ± 4а У (х — с)2 -[- у2 -[- (х — с)2 -[- у®, т. е.
4сх = 4а2 ± 4а У (х — с)2 -[- у2.
Отсюда
± /(х —с)2 + у2 = ^ х — а.(3)
Возведем обе части равенства (3) в квадрат:
х2 — 2сх -[- с2 -[- у2 = ^5 х2 — 2сх -|- а2
и освободимся от знаменателя. Получим:
а2х2 + а2с2 + aV = сЧ» + а\ т. е.
(с2 —а2)х2 —а2у2 = а2(с2 —а2).(4)
Так как по условию а<^с, то с2 — а2^>0. Обозначим с2 — а2, как величину положительную, через №. При исследовании уравнения гиперболы будет раскрыта геометрическая сущность положительного параметра Ь, определяемого равенством
с2— №=№.(5)
Подставив в равенство (4) № = №— а2, а затем деля все его члены на №№, получим:
№хг — aV = c?b\ т. е.
Уравнению (6) будут удовлетворять координаты каждой точки, лежащей на гиперболе. Можно показать, что координаты точек, не при-
надлежащих гиперболе, уравнению (6) не удовлетворяют. Следовательно, уравнение (6) является уравнением рассматриваемой гиперболы. Уравнение (6) называется каноническим, уравнением гиперболы.
§ 24. Исследование уравнения гиперболы
Получив каноническое уравнение гиперболы, приступим к изучению формы гиперболы. Прежде всего заметим, что в уравнение гиперболы обе координаты входят только в четных степенях. Следовательно, если некоторая точка М (х0, t/о) лежит на гиперболе, то на гиперболе будут также лежать точки Мг (х0, —у^\ УИД—х6, у0); М3(—х0, —у6у Отсюда следует, что гипербола является кривой, симметричной относительно обеих координатных осей и начала координат. Это позволяет изучение формы гиперболы ограничить первым квадрантом, а затем получившуюся кривую
с помощью зеркального изображения построить во всех четырех квадрантах.
В случае канонического задания гиперболы координатные оси являются
осями симметрии гиперболы, а начало координат центром симметрии. Точка пересечения осей симметрии называется центром гиперболы. Таким образом, гипербола, как и эллипс, — центральная кривая.
От начала координат на оси абсцисс вправо и влево отложим отрезок, длина которого равна а, и построим точки Л, (а, 0) и Ла(—а, 0), а на оси ординат вверх и вниз отложим отрезок
длины b и построим точки St (0, 6) и В9(0, —by Затем через точки Лп Ла, Вь В2 проведем прямые, параллельные координатным осям, до их взаимного пересечения и таким образом построим прямоугольник (рис. 55), который называют основным прямо
угольником гиперболы.
Раствором циркуля, равным расстоянию Л^,, из начала координат, как из центра, сделаем засечки на оси абсцисс. При этом мы найдем точки Fx и В2. Действительно, из прямоугольного треугольника ОЛ^р ОАх = а, ОВх = Ь. Следовательно, на основании равенства (5), § 23:
аа-[~6а = са, т. е. ВхАх=с.
уравнения гиперболыуравнения гиперболы(I)(I)Определим теперь у из канонического 2Ei_2i —1. а2-
уравнения гиперболы
уравнения гиперболы
(I)
(I)
у=±4 V^ — а1.
Так как исследование гиперболы будет вестись в первом квадранте, то в этом равенстве надо перед корнем взять знак плюс:
у=А/^^(2)
и рассматривать х^О.
При 0^х<^а у получает мнимые значения, следовательно, точек гиперболы с абсциссами х, 0^х<а, не существует.
Если х=а, то у = 0. Следовательно, точка Ах (а, 0) принадлежит гиперболе.
Если х>а, то у">0, причем при возрастании х возрастает и у. Когда х неограниченно возрастает, у также неограниченно возрастает. Следовательно, при неограниченном возрастании х ветвь гиперболы уходит в бесконечность.
Отсюда следует, что гипербола представляет собой кривую, состоящую из двух бесконечных ветвей) с двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, причем ни одной точки гиперболы не находится внутри
основного прямоугольника.
Отрезок Л2Д1 и его длина 2а называются действительной осью гиперболы, отрезок OAi и его длина а называются действительной полуосью гиперболы. Отрезок ВгВг и его длина 2Ь называются мнимой осью гиперболы; отрезок 0Bt и его длина b называются мнимой полуосью гиперболы. Длина 2с отрезка FJ\ называется фокусным расстоянием. Точки пересечения гиперболы с действительной осью Аг и А2 называются
вершинами гиперболы.
а2 Ь2 — ъа2 Ь2 — ъ(3)(3)Асимптоты гиперболы. Возьмем уравнение гиперболы в канонической форме:
а2 Ь2 — ъ
а2 Ь2 — ъ
(3)
(3)
и построим для нее основной прямоугольник (рис. 56). Асимптотами) гиперболы называются прямые, имеющие уравнения
ЬЬ
у = -х и у = — -х.(4)
Эти прямые являются диагоналями основного прямоугольника. Построим гиперболу -^ — ^-= 1 и рассмотрим какую-нибудь точку М (х, у), лежащую на гиперболе в первом квадранте.
Выясним, как в первом квадранте по мере возрастания х будет изменяться расстояние от точки М гиперболы до асимптоты у — ^х. Обозначим через N точку асимптоты с абсциссой х: N (х, У), где Y =^х. Тогда
——(5)
Так как а^х, то в скобках первое слагаемое всегда больше второго, следовательно, У — у > 0, а это означает, что при одной и той же абсциссе точка гиперболы лежит под соответствующей точкой асимптоты.
Преобразуя равенство (5):
MN — Y — у = —(х —— а^= —"■ .■=, (6)
9' а х х2 A-а2 х + Ух2 + a2 v ’
убеждаемся, что длина отрезка MN по мере возрастания х уменьшается, и когда х неограниченно растет, та MN стремится к нулю.
Так как MN больше расстояния МК от точки М до асимптоты, то при этом МК и подавно стремится к нулю.
Аналогичное рассуждение можно провести в любом квадранте. Отметим общее определение асимптоты какой-нибудь линии. Прямая L называется асимптотой линии С, если расстояние от точки М линии С до этой прямой стремится к нулю по мере неограниченного удаления точки М от начала координат.
„. b
Итак, прямые у = ± — х в смысле данного определения являются асимптотами гиперболы
При построении гиперболы обычно строят основной прямоугольник и проводят асимптоты, так как они позволяют точнее вычертить гиперболу.
Равнобочная гипербола. Возьмем каноническое уравнение гиперболы
xL_ yL — 1 о2 й2 •
В случае, когда а = Ь,В случае, когда а = Ь,уравнение гиперболы имеет вид-^- — ^-уравнение гиперболы имеет вид-^- — ^-1 или1 или
В случае, когда а = Ь,
В случае, когда а = Ь,
уравнение гиперболы имеет вид-^- — ^-
уравнение гиперболы имеет вид-^- — ^-
1 или
1 или
(8)(8)Гипербола, у которой полуоси а и Ь равны, называется равнобочной гиперболой. Уравнение (8) называется уравнением равнобочной гиперболы.Гипербола, у которой полуоси а и Ь равны, называется равнобочной гиперболой. Уравнение (8) называется уравнением равнобочной гиперболы.
(8)
(8)
Гипербола, у которой полуоси а и Ь равны, называется равнобочной гиперболой. Уравнение (8) называется уравнением равнобочной гиперболы.
Гипербола, у которой полуоси а и Ь равны, называется равнобочной гиперболой. Уравнение (8) называется уравнением равнобочной гиперболы.
ха —уа = а2.
Так как основной прямоугольник этой гиперболы является квадратом, то асимптоты равнобочной гиперболы будут перпендикулярны друг другу.
Сопряженная гипербола. Рассмотрим уравнение
(9)(9)х^ а2 — 62 ~
(9)
(9)
Представим уравнение (9) в следующем виде:
у2X№ау2X№а.3.3(Ю)(Ю)
у2X
№а
у2X
№а
.3
.3
(Ю)
(Ю)
Очевидно, что уравнение (10) представляет собой уравнение гиперболы, у которой действительной осью является ось ординат, а мнимой — ось абсцисс.
Построим основной прямоугольник, проведем асимптоты и построим гиперболу (9) (рис. 57). Далее в той же системе координат построим (пунктиром) гиперболу
а2 й2 — 1 •
^2 V2v2
Очевидно, что гиперболы= 1 и -^- —= — 1 имеют общие
асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.
Уравнение равнобочной гиперболы, асимптотами которой служат оси координат. Возьмем уравнение равнобочной гиперболы хг — уа = а2 и рассмотрим уравнение этой гиперболы в новой системе координат X'OY', полученной из старой поворотом осей координат на угол а = ^~ (рис. 58).
Используем для этого формулы поворота осей координат
Х = Усо5а—t/sina, у = Y sin а -]- у' cos а.
Подставим значения х, у в уравнение гиперболы х2— у^ = а?:
р cos ^—^ — tf sin (— ^-j J — [x' sin (— ^ + y' cos (— -^) J = a\ ^ ^ + У? — у (— ^ + У')2 = a2»
^=4-00
Обозначая -^- = c, получим xft/ = c.
Уравнение равнобочной гиперболы, для которой координатные оси ОХ и 0Y являются асимптотами, будет иметь вид:
ху = с или
У=4(12)
§ 25. Эксцентриситет и фокальные радиусы гиперболы
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к длине ее действительной оси:
2сс
■н—= е или — =е.2аа
Так как у гиперболы с> а, то эксцентриситет гиперболы больше единицы. Так же как и у гллипса, эксцентриситет характерузует отношение сторон основного прямоугольника, а следовательно, и форму самой гиперболы.
Фокальные радиусы. Из равенства (3) § 23 имеем (для правой ветви)
Г1= / (х —с)2 + уа = уХ —а,
но
га — г, = 2а.
Следовательно, с । га = — ха.
Таким образом, получаем формулы, выражающие фокальные радиусы любой точки М (х, у) правой ветви гиперболы через х;
сг, = — х — а,
ra = -^x + a.
Для левой ветви эти формулы примут вид:
Выражая формулы (1) и (2) через эксцентриситет, получим для точек правой ветви гиперболы
г, = зх — а, 1 та = sx -J- a, J для точек левой ветви гиперболы:
г, = — (ех — а), |га= — (ex + a). /
§ 26. Парабола и ее уравнение
Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Для вывода уравнения параболы за ось ОХ возьмем прямую, проходящую через фокус перпендикулярно директрисе. За положительное направление оси абсцисс возьмем направление от директрисы к фокусу.
точкуточкуЗа начало координат возьмем точку О, которая делит пополам отрезок от директрисы до фокуса. Длину этого отрезка, который называется параметром параболы, обозначим через р. Фокус F будет иметь координаты у , 0, а координаты точки оси ОХ, через которую проходит директриса, будут — у , 0.
точку
точку
резка, соединяющего .. _... .фокальным радиусом этой точки и обозначается через г (рис. 59).резка, соединяющего .. _... .фокальным радиусом этой точки и обозначается через г (рис. 59).Возьмем произвольную точку М (х, у), лежащую на параболе, соединим ее прямой с точкой F, а затем опустим из точки М на директрису перпендикуляр МК. Длина от- М (х, у) параболы с фокусом, называется
резка, соединяющего .. _... .
фокальным радиусом этой точки и обозначается через г (рис. 59).
резка, соединяющего .. _... .
фокальным радиусом этой точки и обозначается через г (рис. 59).
Согласно определению параболы
(1)(1)FM = KM.
(1)
(1)
Определяя FM и КМ по формуле расстояния между двумя точками, получим
РМ = У^х-^ -V-y\ КМ = У^ + ^)г + (у-у)2.
Следовательно,
У^-тУ+^/НуУ- и
Уравнению (2) будут удовлетворять координаты каждой точки параболы.
Приведем уравнение параболы к более удобному виду, для чего возведем обе части равенства (2) в квадрат:
х4 — рх+^- + уг=^- + рх + х\
Откуда у- = 2рх. (3)
Уравнение (3) называется каноническим уравнением параболы1'). Сопоставляя равенства (1) и (2), можно выразить фокальный радиус точки М (х, у) параболы через абсциссу этой точки:
(4)(4)г-^ + х.
(4)
(4)
Исследование уравнения параболы
Для определения вида параболы определим у из канонического уравнения параболы:
у = ± К 2рх.
*) Можно показать, что ему удовлетворяют только координаты точек, лежащих на данной параболе.
Из уравнения (3) § 26 следует, что х не может быть отрицательным. При х=0 имеем у—0, следовательно, точка 0(0, 0) лежит на параболе. Затем заключаем, что каждому значению х^>0 соответствует два значе-
кривую, расположеннуюкривую, расположеннуюния у, равных по абсолютной величине, но противоположных по знаку. Следовательно, парабола представляет собой
кривую, расположенную
кривую, расположенную
вправо от начала координат и симметричную относительно оси абсцисс (рис. 60). Из формулы (3) § 26 следует, что по мере возрастания х возрастает и |у|, и когда х неограниченно растет, то и у по абсолютной величине неограниченно растет.
У параболы, заданной каноническим уравнением y2 = 2px, осью симметрии является ось абсцисс. Точка пересечения параболы с осью симметрии называется вершиной параболы. В данном случае вершина параболы лежит в начале координат. Заметим, что у параболы одна вершина, у гиперболы — две, у эллипса — четыре. Проведем на рис. 60 фокальный радиус перпендикулярно оси симметрии и определим
его длину LF% по формуле (4) § 26. Так как абсцисса точки L равна у,
то r — р. Следовательно, число р равняется длине фокального радиуса,
перпендикулярного к оси симметрии. В связи с этим число р называют
фокальным параметром параболы.
Парабола, уравнение которой уг = 2рх, р^>0, является кривой, расположенной справа от оси ординат.
Кривая, уравнение которой у1 —— 2рх, р>0, будет также параболой. Вершина этой параболы лежит в начале координат, осью симметрии
является ось абсцисс. Все точки этой параболы лежат слева от оси ординат (рис. 61, а). Рассуждая аналогичным образом, заключаем, что уравнение х^ — 2ру, р^>0, является уравнением параболы, вершина которой лежит в начале координат, осью симметрии является ось ординат (рис. 61, 6). Эта парабола лежит выше оси абсцисс. Уравнение же вида хг =— 2 ру, р>0, является уравнением параболы, лежащей ниже оси абсцисс, с вершиной в начале координат. Осью симметрии этой параболы является ось ординат (рис. 61, в).
Примечание. Условимся, наглядности ради, говорить, что «ветви» параболы у3 = 2рх (р > 0) «направлены вправо», «ветви» параболы х2 = 2ру (р > 0) «направлены вверх» и т. д.
Общее свойство кривых второго порядка — эллипса,гиперболы и параболы
Директрисы эллипса и гиперболы. Построим эллипс, заданный кано- ническим уравнением Затем построим две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии — (рис. 62). Эти прямые, уравнения которых будут: ^ = “ и х = —у, называются директрисами эллипса.
При их построении следует учесть, что Y>a’ так как ЭксиентРиситет эллипса 1.
Правая директриса, уравнение которой x = ^, будет проходить правее
вершины эллипса Ль а левая директриса, уравнение которой х =— у, —
левее вершины эллипса Ла (рис. 62).
Построим гиперболу, заданную каноническим уравнением:
^1_^1— 1а2 Ь2 — ’
и две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и симметрично расположенные относительно центра на расстоянии, равном у (рис. 63).
Эти прямые (их уравнения х=Д- и х= —^ называются директрисами гиперболы (соответственно, правой и левой). При их построении следует учесть, что у <а, так как эксцентриситетгиперболы е> 1.
Правая директриса гиперболы ^х = —у будет проходить левее правой вершины гиперболы Ль а левая директриса гиперболы \х =— ^Д будет
Рис. 63.Рис. 63.проходить правее левой вершины гиперболы Ла (рис. 63).
Рис. 63.
Рис. 63.
С помощью директрис и эксцентриситета можно выявить общее свойство, присущее кривым второго порядка: эллипсу, гиперболе и параболе. Имеет место следующая теорема: отношение расстояний от произвольной точки М (х, у) любой из этих кривых до фокуса и до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету кривой. Докажем эту
теорема последовательно для эллипса, гиперболы и параболы.
Доказательство. Пусть у эллипса Fx— правый фокус, прямая DXL\ — правая директриса, F^— левый фокус, В^Ц— левая директриса (рис. 62). Возьмем на эллипсе произвольную точку М (х, у), соединим ее отрезками MF х и MF»^MFx = rx, MF^ = r^ с фокусами и опустим из нее перпендикуляры МКХ и МК» на обе директрисы (MKx = dx и MKa = da) и на ось ОХ. Требуется доказать, что
(1)(1)rv Г 2
(1)
(1)
На основании выведенных ранее формул имеем:гх — а — ex, r2 = а -|- ех,
dx=OLx — ON = — — х1),
d^ = L4O-VON= 1 + х.d^ = L4O-VON= 1 + х.(2)(2)
d^ = L4O-VON= 1 + х.
d^ = L4O-VON= 1 + х.
(2)
(2)
*) Здесь А’— основание перпендикуляра, опущенного из точки М на ось ОХ
Вычисляя отношения ^ и ^, получим:
г, а — ех (а — ех) е . г2 а + ех (^ + ех) е
d. аа — ex ’ d2 а ,а4- ех '
££
Таким образом, данная теорема для эллипса доказана.
Пусть у гиперболы Fx — правый фокус, DXLX — соответствующая ему правая директриса, F^— левый фокус, D^L»— соответствующая ему левая директриса (рис. 63). Возьмем на гиперболе произвольную точку М (х, у) и соединим ее с фокусами: FXM = гь F4M = г2, затем из точки М опустим перпендикуляры на обе директрисы: KiM=dx и KiM = d1. Требуется доказать, что
Применяя выведенные выше формулы, получаем:
гх — гх — а, г2 = ех -[- а,dx—~6N — OLx = x — — ,
и, следовательно,
Гх ех— а (ех— О) е Г2 ех + О (ех + а) е d,а ех — а ’ d3 , а ех А- а '
Xxj
е1 е
Таким образом, теорема доказана и для гиперболы.
Что касается параболы, являющейся геометрическим местом таких точек, которые равно удалены от фокуса и директрисы, то для любой точки параболы будет справедливо равенство -^-=1, где d расстояние от точки параболы до директрисы. Иначе, отношение расстояний от любой точки параболы до фокуса и до директрисы равно единице. По аналогии с остальными кривыми второго порядка, это постоянное отношение называют эксцентриситетом параболы. Следовательно, эксцентриситет параболы равен единице.
Таким образом, сформулированная теорема доказана для эллипса, гиперболы и параболы. Как будет показано в § 39 и 40, любая кривая второго порядка (если не считать случаев вырождения) является эллипсом, гиперболой или параболой. В связи с этим для рассмотренных выше кривых второго порядка можно дать следующее общее определение: кривые второго порядка суть геометрические места точек, отношение расстояний которых до фокуса и до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная е, причем у эллипса е<1, у гиперболы е^>1, у параболы е=1.
Полярное уравнение кривой второго порядка. Пользуясь общим свойством эллипсов, гипербол и парабол, выведем общее уравнение этих кривых второго порядка в полярных координатах при некотором специальном выборе полярной системы координат.
Пусть дана какая-нибудь из указанных линий (эллипс, ветвь гиперболы или парабола). Возьмем фокус F кривой (любой, если их два) и соответствующую ему директрису L. (Если рассматривается ветвь гиперболы, то берется фокус и директриса, ближайшие к этой ветви.)
Введем полярную систему координат так, чтобы полюс О совпал с фокусом F, а полярная ось была направлена по оси симметрии кривой в сторону, противоположную директрисе L.
Рис. 64.Рис. 64.с" \ Р 1^ + р = 1 илис" \ Р 1^ + р = 1 илир2 а2 — с2 Ь2р2 а2 — с2 Ь2Ъ2 а2 <гЪ2 а2 <г
Рис. 64.
Рис. 64.
с" \ Р 1
^ + р = 1 или
с" \ Р 1
^ + р = 1 или
р2 а2 — с2 Ь2
р2 а2 — с2 Ь2
Ъ2 а2 <г
Ъ2 а2 <г
Возьмем на кривой произвольную точку М (р, ф), соединим ее отрезком FM с фокусом и опустим перпендикуляр МК на директрису. Кроме того, из точки F проведем перпендикуляр FR к полярной оси до пересечения с кривой в точке R, а из точки R опустим перпендикуляр RQ на директрису (рис. 64).
Обозначим FR = p и будем называть это число фокальным парамет
ром.
На основании общего свойства кривых второго порядка
^ = е; FM = p; КМ = DF + р cos ?.
По тем же соображениям
^=е, откуда DF=^.
Подставляя найденные выражения для FM и КМ в равенство = е, получим:
Уравнение (3) называется уравнением кривой второго порядка в по
лярных координатах. При е <4 кривая является эллипсом, при е^>1 — ветвью гиперболы, при е=П—параболой.
Фокальный параметр р из уравнения параболы определяется непосредственно. Для того чтобы фокальный параметр выразить через параметры эллипса или гиперболы, следует заметить, что фокальный параметр р является ординатой точки кривой, абсцисса которой равна абсциссе соответствующего фокуса (в выбранной при выводе канонического уравнения соответствующей кривой системе ХОУ).
Подставляя вместо координат точки М (х, у) в уравнение эллипса
^-|-52 = 1 координаты точки (—с, р), получим:
С1_Р1 —а2 Ъ2 —С1_Р1 —а2 Ъ2 —илиилир2 с2 — а2 6^р2 с2 — а2 6^Ъ2— а2 а2 ’Ъ2— а2 а2 ’
С1_Р1 —
а2 Ъ2 —
С1_Р1 —
а2 Ъ2 —
или
или
р2 с2 — а2 6^
р2 с2 — а2 6^
Ъ2— а2 а2 ’
Ъ2— а2 а2 ’
откуда
(4)
Аналогично, подставляя в уравнение гиперболы координаты точки (с, р), получим:
откуда следует соотношение
В заключение рассмотрим несколько задач на кривые второго порядка.
Задача 1. Дано уравнение гиперболы 9х2—16уе=144. Найти длины ее осей, координаты фокусов, эксцентриситет; составить уравнения директрис и асимптот гиперболы.
Решение. Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду и определим как параметры гиперболы, так и расстояние с от начала координат до фокуса:
9х216у2_144144 —9х216у2_144144 —илиилих2 у216 — тх2 у216 — т
9х216у2_
144144 —
9х216у2_
144144 —
или
или
х2 у2
16 — т
х2 у2
16 — т
откуда о = 4, 6 = 3, с = ]/ о2 -|- 62 = 5, эксцентриситет е = ^ = ^-.
Действительная ось 2ц = 8; мнимая ось 26=6.
„16
Уравнения директрис: х=±у
3
Уравнения асимптот: у =*— х.
Задача 2. Составить уравнение эллипса, зная, что он проходит через точки /И, (2, 3) и Мг(1, ^^У
Х^ v2
Решение. Возьмем каноническое уравнение эллипса ^2 + 52 = 1 и вместо текущих координат подставим сначала координаты точки /И,, а затем координаты точки Л42. Из получившейся системы уравнений:
о2 ‘ 62’ о2^ 462
определим параметры эллипса о и 6. Обозначив
11
-5 = т, = о262’
сведем данную систему к следующей системе:
4m 9п = 1; m-|-.-=1.14л
Решая ее, получим, что 11
т~ 16’” —12’
откуда а2 =16, 62=12.
Следовательно, искомое уравнение эллипса будет ^ + у^ = ^
Задача 3. Дана гипербола х2—у2 = 8. Найти софокусный эллипс (т. е. эллипс, фокусы которого совпадают с фокусами данной гиперболы), проходящий через точку М (4, 6).
Решение. Обозначим параметры данной гиперболы через on 6n ct и найдем их, приведя уравнение гиперболы к каноническому виду:
J-^ = 1; al = &,62 = 8,С1=/8+8 = 4.
Так как по условию фокусы искомого эллипса и данной гиперболы совпадают, то для эллипса c = ct = 4.V2Рассмотрим каноническое уравнение эллипса ^2-b^2=l и подставим в негоТак как по условию фокусы искомого эллипса и данной гиперболы совпадают, то для эллипса c = ct = 4.V2Рассмотрим каноническое уравнение эллипса ^2-b^2=l и подставим в негокоординаты точки М (4, 6): -^ + р=1. У эллипса а2=624-с2 или 16, 36Подставляя это значение в уравнение эллипса, получим:+иликоординаты точки М (4, 6): -^ + р=1. У эллипса а2=624-с2 или 16, 36Подставляя это значение в уравнение эллипса, получим:+илиа2 = 62 + 16.а2 = 62 + 16.1,1,62= 18 + 30;62 = 48;(62^—12),а2 = 62 -4- с2 = 64.62= 18 + 30;62 = 48;(62^—12),а2 = 62 -4- с2 = 64.у2Искомое уравнение эллипса будет иметь вид: g^+^^l-у2Искомое уравнение эллипса будет иметь вид: g^+^^l-х2 у2Задача 4. Уравнение эллипса "д~Ь"з"==1 а системе координат вида р = -;.1 — в COS срРешение. Найдем из данного уравнениях2 у2Задача 4. Уравнение эллипса "д~Ь"з"==1 а системе координат вида р = -;.1 — в COS срРешение. Найдем из данного уравненияпривести к уравнению в полярнойпривести к уравнению в полярнойпараметры а, 6, с, затем найдемпараметры а, 6, с, затем найдемс62эксцентриситет е = — и фокальный параметр эллипса/? = - , а2 = 9, 62 = 5, с2с62эксцентриситет е = — и фокальный параметр эллипса/? = - , а2 = 9, 62 = 5, с2= 4, е == 4, е =
Так как по условию фокусы искомого эллипса и данной гиперболы совпадают, то для эллипса c = ct = 4.
V2
Рассмотрим каноническое уравнение эллипса ^2-b^2=l и подставим в него
Так как по условию фокусы искомого эллипса и данной гиперболы совпадают, то для эллипса c = ct = 4.
V2
Рассмотрим каноническое уравнение эллипса ^2-b^2=l и подставим в него
координаты точки М (4, 6): -^ + р=1. У эллипса а2=624-с2 или 16, 36
Подставляя это значение в уравнение эллипса, получим:+
или
координаты точки М (4, 6): -^ + р=1. У эллипса а2=624-с2 или 16, 36
Подставляя это значение в уравнение эллипса, получим:+
или
а2 = 62 + 16.
а2 = 62 + 16.
1,
1,
62= 18 + 30;62 = 48;(62^—12),
а2 = 62 -4- с2 = 64.
62= 18 + 30;62 = 48;(62^—12),
а2 = 62 -4- с2 = 64.
у2
Искомое уравнение эллипса будет иметь вид: g^+^^l-
у2
Искомое уравнение эллипса будет иметь вид: g^+^^l-
х2 у2
Задача 4. Уравнение эллипса "д~Ь"з"==1 а системе координат вида р = -;.
1 — в COS ср
Решение. Найдем из данного уравнения
х2 у2
Задача 4. Уравнение эллипса "д~Ь"з"==1 а системе координат вида р = -;.
1 — в COS ср
Решение. Найдем из данного уравнения
привести к уравнению в полярной
привести к уравнению в полярной
параметры а, 6, с, затем найдем
параметры а, 6, с, затем найдем
с62
эксцентриситет е = — и фокальный параметр эллипса/? = - , а2 = 9, 62 = 5, с2
с62
эксцентриситет е = — и фокальный параметр эллипса/? = - , а2 = 9, 62 = 5, с2
= 4, е =
= 4, е =
3 ’ Р~ 3 •
Искомое уравнение будет иметь видИскомое уравнение будет иметь вид5У5УР=-51g COS УР=-51g COS У
Искомое уравнение будет иметь вид
Искомое уравнение будет иметь вид
5
У
5
У
Р=-5
1g COS У
Р=-5
1g COS У
5 ИЛИ р = ,.
г 3 — 2 cos ср
При-При-Задача 5. Дано уравнение кривой в полярных координатах р = -j— вести его к каноническому уравнению в прямоугольных координатах.
При-
При-
сЪ
Решение. В данном уравнении е =— = 2, р =— = 3.
Так как эксцентриситет е>1, то данное уравнение является уравнением гиперболы, у которой р2 = с— а2. Таким образом, данные параметры могут быть записаны „ с „ с2—а2 „„
в виде системы двух уравнений — =2, — =3. Из -этой системы находим, что
о = 1, 62 = 3. Следовательно, искомое уравнение гиперболы имеет вид:
1 з —
Раздел 5
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 29. Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии,параллельными координатным осям
Поставим задачу: составить уравнение эллипса с центром в точке О (/и, п), оси симметрии которого параллельны координатным осям ОХ и 0Y и полуоси соответственно равны а и b (рис. 65).
Возьмем новую систему координат с началом координат в точке (У(т, и) с осями О'Х', O'Y', параллельными соответственно осям OX, 0Y. Тогда уравнение данного эллипса относительно новой системы координат
может быть записано в канонической форме:
(3)(3)Так как ^ = х— т и у' = у— п, то в старой системе координат уравнение эллипса запишется в виде
(3)
(3)
Если ось параболы параллельна оси ординат, то аналогичное преобразование уравнения параболы приведет к уравнению
(х — т^ = 2р(у — пу(5)
Исследование общего уравнения линии второго порядка,не содержащего члена с произведением текущих координат
Общее уравнение второй степени с неизвестными х и у имеет вид:
Ax4-2Bxy-\-Cy14-2Dx-V2Ey4-F = O.1')(1)
Если 6 = 0^, то уравнение (1) записывается в виде:
Лх2 + Су2 + 2Ох + 2Еу + Е = 0.(2)
В процессе исследования уравнения (2) рассмотрим следующие случаи:
Л>0, С>0 (случай Л<0, С<0 сводится к Л>0, С>0 путем изменения знаков перед всеми членами уравнения).
Преобразуем уравнение, дополнив до полного квадрата члены, содержащие х2 и х, и члены, содержащие у2 и у:
A^+2Dx + ^+C8’+2E8 + ^+F = S + t.А^ + ^х + ^+С^ + 2=8 + ^+$-Р,аИ+^+^-" + ?-р-
П2
вырождающейся в точкувырождающейся в точкуРассмотрим сначала случай, когда ;д + с—F — 0. Уравнение А ^+^) +^(у + "1) = 0 является уравнением кривой второго порядка.
вырождающейся в точку
вырождающейся в точку
Если
то исследуемому уравнению не удовлетворяет ни одной точки.
Рассмотрим, наконец, случай, когда -д Ч~£—F">0. 1огда иссле
дуемое уравнение можно переписать так:
или
(3)(3)
(3)
(3)
заклю-заклю-Сопоставив уравнение (3) с уравнением эллипса [(2), § 29], D2 Е2 чаем, что в случае, когда -т + т^—^^>0, исследуемое уравнение
заклю-
заклю-
*) См. стр. 35.
является уравнением эллипса. Центр этого эллипса находится в точке О' (т, п), т = — -^, п =— ^, оси симметрии параллельны координатным осям и квадраты полуосей соответственно равны:
а~А2'АС А’ АС 'С? С*
Таким образом, кривая второго порядка, определяемая уравнением Ax14-Cy%4-2Dx4-2Ey4-F = 0, в котором коэффициенты А и С одного знака, либо является эллипсом (действительным или мнимым), либо вырождается в точку.
Л>0, С<0 (случай Л<0, С>0 сводится к Л>0, С<0 путем изменения знаков перед всеми членами уравнения).
Повторяя преобразования, проделанные выше, приведем уравнение (2) к виду:
D2 E2
Если -д + с"— F = 0, то уравнение
Л(х+^-|С|(у + |у = 0
есть уравнение кривой второго порядка, распадающейся на две пересекающиеся прямые.
DB Е2
Если же д + ^ — F ^0, то уравнение (2) приводится к виду:
/ , D\2( , Е\2
Н^)У+е) -1(4)
D2 Е2F D2 Е2Fv ’
А2 + ЛС АД|С| + С|С||С|
Если -4 + ^— F>0, то уравнение (4) является уравнением гипер-
DЕ
болы, центр которой находится в точке О'(т, ц), т = —-д , п =—^ , оси симметрии параллельны координатным осям, а квадраты полуосей соответственно равны:
«_D2 . Е2 FD2 , Е2 F ,,
а Л2 + дС A’ b~AlCi~^C[Cl |С| (см- § 29, 3).
D2 Е2
Аналогично показывается, что в случае д-+с-— F<^0 уравнение (4) также будет уравнением некоторой гиперболы.
Таким образом, кривая второго порядка, определяемая уравнением Ах1-^-Су1-^-2Ьх-^-2Еу-\-F = 0, в котором коэффициенты А и С разного знака, либо является гиперболой, либо распадается на пару пересекающихся прямых.
Л>0, С = 0 (случай Л<^0, С = 0 сводится к этому). Уравнение (2) имеет вид:
Ax14-2Dx4-2Ey4-F = 0.(5)
D3D2
Преобразуя его, получим Лх24~2Ох-[--^- = — 2Еу —или> если
Е^О,
Уравнение (6) представляет собой уравнение параболы с вершиной DF D
в точке О' (т, п), где т = — -д, п =—гЕ-!-?^’ с осью симметрии, параллельной оси ординат, и «ветвями», направленными вверх, если — "д)>0, и вниз, если —-д"С0.
Если Е = 0, то кривая второго порядка имеет уравнение Ах24~ + 2Dx -I- F = 0, т. е.
( , D\» (ЕР F\ п
д) —— д) — °.(7)
па F
Если дз — л^®’ то кРивая распадается на пару параллельных оси ОУ прямых, имеющих уравнения
D .тП?F~
Х~ Д — У А2А
/ Л2 F\
(при— -^- = 0 эти прямые совпадают).
£)2 р
Если дз — д-<^0, то уравнению (7) никакого геометрического места точек на плоскости не соответствует (пара мнимых прямых).
Л=0, С>0, (случай Л = 0, С<0 сводится к этому), уравнение (2) примет вид:
Су2 + 2Dx 4- 2Еу + F = 0.(8)
Преобразуя его, получим (если D^Oy
/Р\2Л / F F2 \
\У 1 С) — ZCV^ 2D 2DC)*W
Уравнение (9) является уравнением параболы с вершиной в точке FЕ
О'(иг, п), гдет =— пк + плт;,« = — т^> с осью симметрии, параллельной оси абсцисс, и «ветвями», направленными вправо, если —2^2>О, и влево, если —2^<0. В случае, когда 0 = 0, кривая второго порядка имеет уравнение Cz/94-2Ey-[-7:’ = 0, т. е. уравнение
H94S-5)-0-
F
Если ^— с^®’ 70 кРивая распадается на пару параллельных оси ОХ прямых1), имеющих уравнения у = —-^ ± 1/ ^ — р F
Если ^— с^О» то данная кривая второго порядка является мнимой кривой (будем говорить, что она распадается на пару мнимых прямых).
Таким образом, кривая второго порядка, определяемая уравнением Ах2 + Су4 -у 2Dx -у 2Еу + F = 0, в котором или А или С равно нулю, либо является параболой, либо распадается на пару параллельных (или совпадающих) прямых, либо является парой мнимых прямых2).
Пример. Определить расположение и вид следующих кривых второго порядка: 1) 4х24-9у2 — 16x4- 18у — 11=0, 4х2 — 16х 4-16 4-9у2 4-18у 4-9 = 11 4-16 4-9, 4(х-2)24-9(у4-1)2=36, <£=2^-4-<^±-*21 = 1.
Ё^ F
*) В частности, если ^-2 — -^=0, то эти параллельные прямые совпадают.
Это уравнение эллипса, центр которого лежит в точке М (2, —1), а полуоси равны: а = 3, 6 = 2.
2х2 + Зу2 4- 16х — 18у 4- 59 = О, 2х2 4- 16х 4- 32 4- Зу8 — 18у 4- 27 = О, 2 (х 4-4)2 4-3 (у — 3)2 = 0, (Х4-4)2(у-3)2
5 “г 3
Это уравнение является уравнением кривой, выродившейся в точку М (—4, 3).
Зх2 —5у2 —18x4-20у —8 = 0,
Зх2— 18x4-27 —5y2 + 2Qy —20= 15,
3 (х —З)2 —5(у —2)2= 15, (х-3)2(у-2)2
53
Уравнение является уравнением гиперболы с центром в точке М (3, 2) и полуосями, равными: а=/5, 6=1^3.
Xs— у2 4" Юх-|-2у4-24 = 0, х2 4- 10x4-25 — у2 4- 2у — 1=0, (х4-5)2-(у-1)2 = 0.
Это уравнение является уравнением пары прямых у =— х—4, у = х-|-6, пересекающихся в точке М(—5, 1).
у2 — бу -|- 6х -|- 33 = О, у2 — бу 4- 9 = — 6х —24, (у-3)2 = -6(х + 4).
Это уравнение является уравнением параболы с осью симметрии, параллельной оси абсцисс, с ветвями, направленными влево, с вершиной М (—4, 3) и фокальным параметром р = 3.
х2-|-Юх —Зу4-31=0, х2 + Юх 4- 25 = Зу — 6, (х4-5)2 = 3(у-2).
Полученное уравнение является уравнением параболы с осью симметрии, параллельной оси ординат, с ветвями, направленными вверх, с вершиной /И (—5, 2) и 3 фокальным параметром р = -^-.
§ 31. Упрощение общего уравнения линий второго порядка
Рассмотрим теперь общее уравнение второй степени с двумя неизвестными:
Лх24-2Вху4-Су24-2Ох + 2£у4-В=0,(1)
где В Ф 0.
Постараемся так преобразовать это уравнение, чтобы в нем исчез член с произведением переменных. Этого можно добиться надлежащим поворотом координатных осей. Повернем координатные оси на некоторый угол а, величину которого обусловим впоследствии. Используя формулы поворота осей (см. § 8, 4), выразим старые координаты (х, у) через новые « У):
А ^xf cos а — if sin а)2 -[- 2В (^ cos а — у' sin а) (У sin а 4~ у' cos а) -|-
-|- С (У sin а -|- у' cos а)2 + 20 (У cos а — у’ sin а) -f-
-[- 2Е (х’ sin а-[-у' cos а) 4- F = 0.
Раскрыв скобки и сделав приведение подобных членов, обозначим коэффициент при хй через Аъ коэффициент при х'у'— через 2ВХ и т. д.
Тогда уравнение (1) в новой системе координат примет вид:
А ^ + 2Bxxfif + СхуА + 2Dxx? + 2Еху' 4-0=0.(2)
Подберем теперь угол а так, чтобы коэффициент Вх обратился в нуль, т. е., чтобы (С — Л) sin a- cos а-[- В (cos2 а—sin2 а) = О, т. е. (С — Л) sin 2а4-25 cos 2а= 0, т. е. (С— Л) 4-2Bctg2a=0 (учитывая, что sin 2а ^ 0, так как В ^ 0).
ОтсюдаОтсюда(3)(3)ctg2а — по •
Отсюда
Отсюда
(3)
(3)
При повороте координатных осей на угол а, удовлетворяющий (3), уравнение (1) приводится к уравнению вида (2) из § 30.
Все изложенное показывает, что кривые второго порядка (если не считать случаев распадения и вырождения) могут быть только эллипсами (в частности, окружностями), гиперболами и параболами.
Пример. Составить уравнение равнобочной гиперболы, для которой асимптотами являются прямые х = т, у = п, параллельные координатным осям.
Решение. Уравнение равнобочной гиперболы, для которой координатные оси ОХ и ОУ являются асимптотами, имеет вид: ху = с. Уравнение же равнобочной гиперболы, для которой асимптотами являются прямые х = т, у = п. параллельные координатным осям и пересекающиеся, очевидно, в точке О’ (т, п), являющейся центром гиперболы, может быть выведено с помощью формул параллельного переноса координатных осей (рис. 66).
Построим новую систему координат, беря за начало точку О' (т, п) и за оси О'Х', О'У асимптоты гиперболы.
Тогда по отношению к новой системе координат уравнение гиперболы будет иметь вид х'у' = с.
илиили(х — т) (у — я) = с(х — т) (у — я) = с(5)(5)ху — пх— ту + тп — с = 0.ху — пх— ту + тп — с = 0.(6)(6)При переходе к старой системе координат уравнение (4) преобразуется к виду:
или
или
(х — т) (у — я) = с
(х — т) (у — я) = с
(5)
(5)
ху — пх— ту + тп — с = 0.
ху — пх— ту + тп — с = 0.
(6)
(6)
Раздел 6
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 32. Определители второго порядка и их свойства
Пусть дана квадратная таблица из четырех чисел
(1)(1)Qi Ьха» bi
(1)
(1)
Будем называть такую таблицу матрицей, а составляющие ее числа ах, bx, Oi, bi — элементами этой матрицы.
Определителем (или, иначе, детерминантом) второго порядка, соответствующим матрице (1), называют число D, равное ахЬг — ajbx.
Обозначается определитель D символом
сц Ьх
Oi 6»
— axbi — Oibx«— axbi — Oibx«Таким образом, D— Ь?
— axbi — Oibx«
— axbi — Oibx«
ач Ьч
Например, -1 2Например, -1 21).4-3-2 = - 10,1).4-3-2 = - 10,5 О— 1 35 О— 1 3= 5-3 —(— 1) -0= 15= 5-3 —(— 1) -0= 15и т. д.и т. д.
Например, -1 2
Например, -1 2
1).4-3-2 = - 10,
1).4-3-2 = - 10,
5 О
— 1 3
5 О
— 1 3
= 5-3 —(— 1) -0= 15
= 5-3 —(— 1) -0= 15
и т. д.
и т. д.
Элементы а^ bx, ai и bi матрицы (1) называются также элементами определителя D. При этом принято говорить, что элементы ах и bt составляют первую строку, элементы а^ и Ь» — вторую строку определителя D, а элементы а^ ai и Ьх, Ь»— соответственно первый и второй столбцы этого определителя. Принято также говорить, что элементы аг и ba лежат на левой (идущей слева вниз), а элементы 61 и ai на правой (идущей справа вниз) диагонали определителя D.
Пользуясь этой терминологией, можно сказать, что определитель второго порядка равен разности произведений элементов, находящихся на левой и правой диагоналях.
Рассмотрим простейшие свойства определителей второго порядка.
Свойство 1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот.
Действительно, пусть
D=
Qi bx ai b»
, Dx =
ax Oi bx bi
Так как
D =
axbi —— a4bx,
а
Dx =
= axbi —
bxai = axbi
— a»bx.
то
D = Dx.
Примечание. Так как строки определителя можно, не меняя его значения, заменить столбцами, то, доказав справедливость некоторого предложения для столбцов определителя, мы тем самым докажем его и для строк. Исходя из этих соображений рассматриваемые ниже свойства определителей будут устанавливаться только для столбцов определителя (или только для его строк).
Свойство 2. При перестановке двух столбцов или двух строк определитель меняет только знак.
Доказательство. Пусть
a, btbx а,
tZa vaЬэ tZa
Тогда
D = axbi — aibx, Dx = Ьхаг — Ь^ = — (ахЬг — а^х)
т. е.
Dx = — D.
Свойство 3. Определитель, имеющий два одинаковых столбца (строки), равен нулю.
Действительно, если
D= °* °’ ,
«а а»
то
D = axai — axOi = 0.
Свойство 4. Если все эле?,тенты какого-либо столбца (строки) определителя умножить на одно и то же число т, то определитель умножится на это число.
Доказательство. Пусть, например, ах Ьхта, Ьх
D = и > Dx= ,.
a2 Ьгтаг о2
Тогда
Dx = (mai) Ь» — (та») bx=m (axbi — a.^) = mD.
тах Ьх шсц bsтах Ьх шсц bsСвойство 4 иногда формулируют следующим образом. Если все элементы какого-либо столбца (строки) определителя содержат общий множитель т, то его можно вынести за знак определителя. Так, например, по доказанному
тах Ьх шсц bs
тах Ьх шсц bs
at Ьх
а» Ь3 '
Свойство 5. Определитель, у которого элементы двух столбцов (строк) соответственно пропорциональны, равен нулю.
Действительно, пусть, например, ах Ьх D —, ,
а2 bi
причем ax = mbx, ai = mbi.
Тогда, на основании свойств 4 и 3, имеем:
mbx ЬхЬх Ьх
D = к к =т и = °-mb* b^Ь^ Ь^
Свойство 6. Если каждый элемент какого-либо столбца (строки) определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у одного из них элементами соответствующего столбца (строки) являются первые слагаемые, у другого — вторые. Остальные элементы у этих двух определителей те же, что и у данного.
Пусть, например,
Ci4~ai bx ci Ч- сг biCi4~ai bx ci Ч- сг biах Ьхах Ьх
Ci4~ai bx ci Ч- сг bi
Ci4~ai bx ci Ч- сг bi
сц bi ’ °г ai bi
Покажем, что D = Dx-\-Di. Действительно,
D — (ax 4-ax) bi — (Сг 4~ ^2) bx — (cxbi — aj)^ 4~ (axb3 — Cib^ — Dx -}- Di.
Свойства 4 и 6 выражают соответственно правило умножения определителя на число и правило сложения определителей.
Свойство 7. Определитель не изменится, если к элементам какого- либо его столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на одно и то же число.
Доказательство. Пусть, например, сх Ьхах -[- mbx Ьх
Ui biUi —|— mbi bi *
Покажем, что D = DX.
Действительно, на основании свойств 6 и 5, имеем:
ах Ьх ai biах Ьх ai bi11mbx Ьх mbi bimbx Ьх mbi bi= D-L0 = D.= D-L0 = D.
ах Ьх ai bi
ах Ьх ai bi
1
1
mbx Ьх mbi bi
mbx Ьх mbi bi
= D-L0 = D.
= D-L0 = D.
§ 33. Определители третьего порядка и их свойства
(1)(1)
(1)
(1)
Рассмотрим квадратную таблицу ментов матрицы):
ах Ьх ai bi а3 Ь3
(матрицу) из девяти чисел (эле-
Ct
Ci .
с3
(2)(2)Определителем третьего порядка, соответствующим матрице (1), называется число О, равное следующей алгебраической сумме произведений элементов матрицы:
(2)
(2)
ахЬ3с3 -|- bxCia3 4- cxciib3 — cxb3a3 — axCib3 — bxaiC3
Обозначается этот определитель третьего порядка символом
Cl 6i Ct а2 69 сг .
Оз 63 с3
«1 61 с, а2 62 с2 Оз 63 с3«1 61 с, а2 62 с2 Оз 63 с3Таким образом, по определению
«1 61 с, а2 62 с2 Оз 63 с3
«1 61 с, а2 62 с2 Оз 63 с3
— О162с3 —[— Ь\С^а3 —]— С1О26з — с^^Пз — а,с26з — 6iO2c3.
Числа аь 6П сх, а^, Ь^, с^ а3, 63 и с3 называются элементами определителя. Элементы оь 6Ь ct составляют первую строку определителя D, элементы а2, 62, с2 и а3, 63, с3— вторую и третью его строки, элементы аь а2, а3; Ьх, Ь», 63 и сь с2, с3 составляют соответственно первый, второй и третий столбцы определителя D. Будем говорить, что элементы аь 62, с3 лежат на главной левой, а элементы с^ Ь^, а3— на главной правой диагонали определителя.
Несмотря на то, что выражение определителя третьего порядка через элементы матрицы (1) является несколько громоздким, закон его составления оказывается весьма простым. Действительно, в выражение (2) со знаком плюс входят произведения элементов, лежащих по главной левой диагонали, а также произведения элементов, лежащих на параллелях к этой диагонали, с добавлением третьего множителя из противоположного угла матрицы (см. схему 1), а со знаком минус — произведение
Схема /Схема /
Схема /
Схема /
элементов, лежащих на главной правой диагонали, а также произведения элементов, лежащих на параллелях правой диагонали с добавлением третьего множителя из противоположного угла матрицы (см. схему 2).
Схема 2Схема 2
Схема 2
Схема 2
Это правило, называемое правилом треугольников или иначе, правилом Саррюса, позволяет сравнительно просто вычислять определители третьего порядка.
Пример 1.
1 — 1 23 — 1 121 41 — 1 23 — 1 121 4
1 — 1 2
3 — 1 1
21 4
1 — 1 2
3 — 1 1
21 4
= 1-(—1).4 4-(—1)-Ь24-3-1.2 —2-(—1)-2 —1-Ы —
— 3. (—1) .4 = —4 —24-64-4 —1 + 12=15.
Пример 2.
0 2 5— 10 7— 2 0 80 2 5— 10 7— 2 0 8Л1==(-1)1+1Л1==(-1)1+1Ьз Сз Ьз СзЬз Сз Ьз СзВз=(-1Г2Вз=(-1Г2a. Ciа» Сзa. Ciа» Сз
0 2 5
— 10 7
— 2 0 8
0 2 5
— 10 7
— 2 0 8
Л1==(-1)1+1
Л1==(-1)1+1
Ьз Сз Ьз Сз
Ьз Сз Ьз Сз
Вз=(-1Г2
Вз=(-1Г2
a. Ci
а» Сз
a. Ci
а» Сз
= 0.0-84-2.7. (— 2)4-5 -(— 1) - 0— 5-(— 2) - 0 —
— 2 - (—1). 8—0-7-0 = —28-|-16 = —12.
Рассмотрим снова матрицу
с$ bi Ciаз Ьз с»иа ba са
и соответствующий ей определитель
Qi bi Ci
<?2 Ьз С3 • а3 Ьз Сз
Минором любого элемента этого определителя называется определитель второго порядка, соответствующий матрице, полученной из данной вычеркиванием строки и столбца, в которых лежит указанный элемент.
Так, например, минором элемента а2 определителя D, лежащего во второй строке и первом столбце, является определитель
bi Ci
Ьз Сз ’
соответствующий матрице, полученной из данной вычеркиванием второй строки и первого столбца.
Для краткости обычно говорят, что минор данного элемента определителя D есть определитель, полученный из определителя D вычеркиванием строки и столбца, в которых лежит этот элемент.
Алгебраическим дополнением любого элемента определителя D называют минор этого элемента, взятый со знаком (—l)147, где i — номер строки, а /— номер столбца определителя D, в которых лежит данный элемент.
Обозначают алгебраическое дополнение элемента обычно большой буквой того же наименования и с тем же номером (индексом), что и у данного элемента.
Например, алгебраическое дополнение элемента ах обозначают Ль элемента ba — Ba и т. д.
Таким образом, по определению
D — axAx -j- агАз -}- а3А3) D = btBx -j- ЬзВг -j- b3B3, D — cxCx-\- C3C3 -j- caC3,D — axAx -j- агАз -}- а3А3) D = btBx -j- ЬзВг -j- b3B3, D — cxCx-\- C3C3 -j- caC3,
D — axAx -j- агАз -}- а3А3) D = btBx -j- ЬзВг -j- b3B3, D — cxCx-\- C3C3 -j- caC3,
D — axAx -j- агАз -}- а3А3) D = btBx -j- ЬзВг -j- b3B3, D — cxCx-\- C3C3 -j- caC3,
и т. д.
Теорема. Определитель D равен сумме произведений элементов любого его столбца или строки на их алгебраические дополнения.
Другими словами, имеют место следующие равенства:
D — ax A1 -1- bi Bi —j— cxCX)
D = ОзАз —j— ЬзВз —j— C3C3,(3)
D = uaA 3 “F baBa -[- c3C3.
Докажем, например, первое из равенств (3). Для этого преобразуем правую часть этого равенства:
О1Л1 4* GgAg -[~ GgAgGj • ( 1)1+1О1Л1 4* GgAg -[~ GgAgGj • ( 1)1+14^3 (- 1)3+14^3 (- 1)3+1bi Ci ba Cabi Ci ba CaЬа Cg63 C3Ьа Cg63 C3+ (Zg.(_ 1)3 + 1+ (Zg.(_ 1)3 + 1bl Cl ba Cabl Cl ba Ca— di (baCa — ЬаС») — Gg (&1C3 — baCi) 4“— di (baCa — ЬаС») — Gg (&1C3 — baCi) 4“
О1Л1 4* GgAg -[~ GgAgGj • ( 1)1+1
О1Л1 4* GgAg -[~ GgAgGj • ( 1)1+1
4^3 (- 1)3+1
4^3 (- 1)3+1
bi Ci ba Ca
bi Ci ba Ca
Ьа Cg
63 C3
Ьа Cg
63 C3
+ (Zg.(_ 1)3 + 1
+ (Zg.(_ 1)3 + 1
bl Cl ba Ca
bl Cl ba Ca
— di (baCa — ЬаС») — Gg (&1C3 — baCi) 4“
— di (baCa — ЬаС») — Gg (&1C3 — baCi) 4“
■j- da Ф\Са — baC^ — QibaCa — diCaba — Ь^а^Са 4“ Cidaba 4~ biCatta — CibaPa*
Сравнивая полученное выражение с выражением (2) определителя D, заключаем, что а1Л14-адЛд4-а3Лз = D.
Аналогично устанавливаются остальные равенства (3).
Запись определителя D по любой из указанных формул (3) называется разложением этого определителя по элементам соответствующего столбца или строки. Эти разложения удобно использовать для вычисления определителей третьего порядка.
Например, разложив определитель
7 0 13 5 &— 4 2 37 0 13 5 &— 4 2 3по элементам первой строки, получим:по элементам первой строки, получим:D = 7-D = 7-5 82 35 82 3+ 1"+ 1"3 5— 4 23 5— 4 2= 7(15— 16) 4-(6 4-20) = 19.= 7(15— 16) 4-(6 4-20) = 19.Для определителей третьего порядка остаются справедливыми свойства 1—7, рассмотренные в § 32 для определителей второго порядка. Доказательства этих свойств непосредственно следуют из теоремы о разложении определителя третьего порядка по элементам строк и столбцов и соответствующих свойств определителей второго порядка.Так, например, свойство 1, утверждающее, что определитель не измеДля определителей третьего порядка остаются справедливыми свойства 1—7, рассмотренные в § 32 для определителей второго порядка. Доказательства этих свойств непосредственно следуют из теоремы о разложении определителя третьего порядка по элементам строк и столбцов и соответствующих свойств определителей второго порядка.Так, например, свойство 1, утверждающее, что определитель не измеПустьG1 bx CiQi Gg G3D =Gg ba Ca, Di =bl ba baa3 ba CaCi Ca c3ПустьG1 bx CiQi Gg G3D =Gg ba Ca, Di =bl ba baa3 ba CaCi Ca c3нится, если его строки заменить столбцами, можно доказать следующим образом.нится, если его строки заменить столбцами, можно доказать следующим образом.Раскладывая определитель D по элементамРаскладывая определитель D по элементамba Caba C3ba Caba C3первого столбца:первого столбца:D — axD — axbi Cibx Ciba Ca 3 ba Cabi Cibx Ciba Ca 3 ba Caа определитель D; по элементам первой строки:а определитель D; по элементам первой строки:Di = aiDi = aiba baCa Caba baCa Ca— Oa— OabiCibiCibaCabaCa4~ аз4~ азbi baCj Cobi baCj Co
7 0 1
3 5 &
— 4 2 3
7 0 1
3 5 &
— 4 2 3
по элементам первой строки, получим:
по элементам первой строки, получим:
D = 7-
D = 7-
5 8
2 3
5 8
2 3
+ 1"
+ 1"
3 5
— 4 2
3 5
— 4 2
= 7(15— 16) 4-(6 4-20) = 19.
= 7(15— 16) 4-(6 4-20) = 19.
Для определителей третьего порядка остаются справедливыми свойства 1—7, рассмотренные в § 32 для определителей второго порядка. Доказательства этих свойств непосредственно следуют из теоремы о разложении определителя третьего порядка по элементам строк и столбцов и соответствующих свойств определителей второго порядка.
Так, например, свойство 1, утверждающее, что определитель не изме
Для определителей третьего порядка остаются справедливыми свойства 1—7, рассмотренные в § 32 для определителей второго порядка. Доказательства этих свойств непосредственно следуют из теоремы о разложении определителя третьего порядка по элементам строк и столбцов и соответствующих свойств определителей второго порядка.
Так, например, свойство 1, утверждающее, что определитель не изме
Пусть
G1 bx Ci
Qi Gg G3
D =
Gg ba Ca
, Di =
bl ba ba
a3 ba Ca
Ci Ca c3
Пусть
G1 bx Ci
Qi Gg G3
D =
Gg ba Ca
, Di =
bl ba ba
a3 ba Ca
Ci Ca c3
нится, если его строки заменить столбцами, можно доказать следующим образом.
нится, если его строки заменить столбцами, можно доказать следующим образом.
Раскладывая определитель D по элементам
Раскладывая определитель D по элементам
ba Ca
ba C3
ba Ca
ba C3
первого столбца:
первого столбца:
D — ax
D — ax
bi Cibx Ci
ba Ca 3 ba Ca
bi Cibx Ci
ba Ca 3 ba Ca
а определитель D; по элементам первой строки:
а определитель D; по элементам первой строки:
Di = ai
Di = ai
ba ba
Ca Ca
ba ba
Ca Ca
— Oa
— Oa
bi
Ci
bi
Ci
ba
Ca
ba
Ca
4~ аз
4~ аз
bi ba
Cj Co
bi ba
Cj Co
и учитывая, что определитель второгои учитывая, что определитель второгопорядка от замены строк столбпорядка от замены строк столбцами не меняется, получимцами не меняется, получим
и учитывая, что определитель второго
и учитывая, что определитель второго
порядка от замены строк столб
порядка от замены строк столб
цами не меняется, получим
цами не меняется, получим
Dx=axDx=axba CaЬх Ci, —Qiba Caba C3ba CaЬх Ci, —Qiba Caba C34"аз4"азbi Ci ba Cabi Ci ba Ca
Dx=ax
Dx=ax
ba CaЬх Ci
, —Qi
ba Caba C3
ba CaЬх Ci
, —Qi
ba Caba C3
4"аз
4"аз
bi Ci ba Ca
bi Ci ba Ca
Аналогично можно установить справедливость остальных свойств. Предоставим это читателю. Свойства определителей, в особенности свойство 7, в сочетании с теоремой о разложении определителя по элементам строк и столбцов, иногда позволяют значительно упростить вычисление определителя.
Пример. Вычислить определитель
D =D =3 4 152 8 164 20 73 4 152 8 164 20 7Вынося общий множитель элементов второй строки, а затем второго столбца, по-Вынося общий множитель элементов второй строки, а затем второго столбца, по-лучаем:лучаем:D = 8D = 83 1 151 1 84 5 73 1 151 1 84 5 7Прибавим теперь к элементам первой строки соответствующие элементы второй строки, умноженные на —1, а к элементам последней строки соответствующие элементы второй строки, умноженные на —5 *). По свойству 7 определитель при этом не изменится.Прибавим теперь к элементам первой строки соответствующие элементы второй строки, умноженные на —1, а к элементам последней строки соответствующие элементы второй строки, умноженные на —5 *). По свойству 7 определитель при этом не изменится.D = 8D = 82 071 18— 1 0 —332 071 18— 1 0 —33Разложив полученный определитель по элементам второго столбца, будем иметь:Разложив полученный определитель по элементам второго столбца, будем иметь:D = 8 • 1 - (— 1)2+2D = 8 • 1 - (— 1)2+2= 8(—66-|-7)=—472.= 8(—66-|-7)=—472.
D =
D =
3 4 15
2 8 16
4 20 7
3 4 15
2 8 16
4 20 7
Вынося общий множитель элементов второй строки, а затем второго столбца, по-
Вынося общий множитель элементов второй строки, а затем второго столбца, по-
лучаем:
лучаем:
D = 8
D = 8
3 1 15
1 1 8
4 5 7
3 1 15
1 1 8
4 5 7
Прибавим теперь к элементам первой строки соответствующие элементы второй строки, умноженные на —1, а к элементам последней строки соответствующие элементы второй строки, умноженные на —5 *). По свойству 7 определитель при этом не изменится.
Прибавим теперь к элементам первой строки соответствующие элементы второй строки, умноженные на —1, а к элементам последней строки соответствующие элементы второй строки, умноженные на —5 *). По свойству 7 определитель при этом не изменится.
D = 8
D = 8
2 07
1 18
— 1 0 —33
2 07
1 18
— 1 0 —33
Разложив полученный определитель по элементам второго столбца, будем иметь:
Разложив полученный определитель по элементам второго столбца, будем иметь:
D = 8 • 1 - (— 1)2+2
D = 8 • 1 - (— 1)2+2
= 8(—66-|-7)=—472.
= 8(—66-|-7)=—472.
§ 34. Применение определителей к исследованию и решению системлинейных уравнений
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Рассмотрим систему двух уравнений первой степени (линейных уравнений) с неизвестными х и у:
ахХ-\-Ьху = сх,а^х -[- Ьгу = сг.
Числа ах, Ьх, а2 и Ь^ называются коэффициентами, а числа сх и с2— свободными членами, или правыми частями системы (1). В случае, если с1=с2 = 0, система (1) называется однородной системой линейных уравнений, в противном случае, т. е. если хотя бы одно из чисел сх и с2 отлично от нуля,—неоднородной.
Решением системы (1) является всякая пара чисел х, у, обращающая оба уравнения системы в тождества.
Покажем, как применяются определители второго порядка для исследования и нахождения решений системы (1).
Умножим обе части первого уравнения системы (1) на Ьг, а второго — на Ьх и сложим полученные уравнения. При этом неизвестное у исключается и остается уравнение
(аА — афг) х = Ь^ — Ь^с^.(2)
а, Ьх а» 62а, Ьх а» 62Аналогично, исключая неизвестное х, приходим к уравнению фцЬъ — аф() у = ахсг — а2с,.(3)
а, Ьх а» 62
а, Ьх а» 62
составленному из коэфсоставленному из коэфРазность аф» — афц равна определителю
составленному из коэф
составленному из коэф
фициентов системы (1). Будем называть его Определителем системы (1) и обозначать через D. Разности Ь^Сх — ЬгС» и avCi — а^х равны соответственно
определителямопределителям
определителям
определителям
Сх Ьхйх Сх
, и
с2 о2сц, с%
так: «вычтем из первой строки вторую,
полученным из определителя системы (1) заменой столбца коэффициентов в первом случае при х, во втором — при у столбцом свободных членов системы (1).
Обозначим эти определители соответственно через Dx и Dr В новых обозначениях уравнения (2) и (3) запишутся в виде:
(4)(4)D • х = Dx,D-y = Dr
(4)
(4)
Если система (1) имеет решение, то это решение удовлетворяет и системе (4), так как система уравнений (4) является следствием системы (1).
Предположим теперь, что определитель D системы (1) отличен от нуля. Тогда, решая систему (4), находим ее единственное решение:
D ’D ’(5)
D ’
D ’
Подставляя эти значения х и у в систему (1), после несложных выкладок убеждаемся, что определяемые формулами (5) х и у являются решением системы (1).
Таким образом, если определитель системы (1) отличен от нуля, то система имеет, и притом единственное, решение. Его можно найти по формулам
называемым формулами Крамера.
Пусть теперь определитель D системы (1) равен нулю. При этом либо оба определителя Dx и Dy также равны нулю, либо хотя бы один из них отличен от нуля.
Если D = Dx = Dy = 0, т. е. если ахЬх—агЬ% = 0, Ьгсх— Ьхс» = 0, ахСъ — а3С1 = 0, то коэффициенты и свободные члены уравнений системы пропорциональны. Это значит, что одно уравнение системы (1), пусть, например, второе, получается из другого умножением на постоянный множитель, т. е. является его следствием. Тогда всякое решение первого уравнения будет решением второго, а значит, и системы (I).
Одно уравнение с двумя неизвестными
ахх-^Ьху = сх
имеет бесчисленное множество решений, так как одному неизвестному можно давать произвольные значения, а другое определять так, чтобы удовлетворялось это уравнение. Таким образом, в рассматриваемом случае система (1) имеет бесчисленное множество решений.
Если же 0 = 0, но среди определителей Dx и Dy хотя бы один, пусть Dx, не равен нулю, то система (1) решений не имеет.
Действительно, если 0 = 0, Dx Ф 0, то равенство О-x—Dx не может выполняться ни при каких значениях х, в то время как всякое решение системы (1), если бы оно существовало, должно было бы удовлетворять системе (4).
Итак, если определитель системы (1) не равен нулю (0^0), то система имеет, и притом единственное, решение; если же определитель системы О равен нулю, то система либо имеет бесчисленное множество решений, либо совсем не имеет решения.
( 2х — 10 и = 3,Пример 1. Система <имеет, и притом единственное, решение,I Зх -j- чУ ^ 1( 2х — 10 и = 3,Пример 1. Система <имеет, и притом единственное, решение,I Зх -j- чУ ^ 1так как D =так как D =2—10332—1033по формулам Крамера получаем:по формулам Крамера получаем:| = 36^0. Находя Dx = || = 36^0. Находя Dx = |з—ю13з—ю1319—_ 236’ у — 36’19—_ 236’ у — 36’I 2 3 I= 19, Dx= з 1 = — 7,I 2 3 I= 19, Dx= з 1 = — 7,
( 2х — 10 и = 3,
Пример 1. Система <имеет, и притом единственное, решение,
I Зх -j- чУ ^ 1
( 2х — 10 и = 3,
Пример 1. Система <имеет, и притом единственное, решение,
I Зх -j- чУ ^ 1
так как D =
так как D =
2—10
33
2—10
33
по формулам Крамера получаем:
по формулам Крамера получаем:
| = 36^0. Находя Dx = |
| = 36^0. Находя Dx = |
з—ю
13
з—ю
13
19—_ 2
36’ у — 36’
19—_ 2
36’ у — 36’
I 2 3 I
= 19, Dx= з 1 = — 7,
I 2 3 I
= 19, Dx= з 1 = — 7,
Пример 2. Система {Пример 2. Система {ний, так какний, так как1 —2— 241 —2— 24х— 2у = 1, о , ._ имеет бесчисленное множество реше— 2х + 4у = — 2гх— 2у = 1, о , ._ имеет бесчисленное множество реше— 2х + 4у = — 2гРешения этой системы — пары чисел х = 1 + 2<, у= t, где t— любое число.Решения этой системы — пары чисел х = 1 + 2<, у= t, где t— любое число.Пример 3. СистемаПример 3. СистемаDD1 25 61 25 6^0.^0.х 4- 2> = 1„„_ решений не имеет, такЗх-|-6у=5х 4- 2> = 1„„_ решений не имеет, такЗх-|-6у=5_ I 1 2 Iкак/)= 3 6 И_ I 1 2 Iкак/)= 3 6 И
Пример 2. Система {
Пример 2. Система {
ний, так как
ний, так как
1 —2
— 24
1 —2
— 24
х— 2у = 1, о , ._ имеет бесчисленное множество реше— 2х + 4у = — 2г
х— 2у = 1, о , ._ имеет бесчисленное множество реше— 2х + 4у = — 2г
Решения этой системы — пары чисел х = 1 + 2<, у= t, где t— любое число.
Решения этой системы — пары чисел х = 1 + 2<, у= t, где t— любое число.
Пример 3. Система
Пример 3. Система
D
D
1 2
5 6
1 2
5 6
^0.
^0.
х 4- 2> = 1
„„_ решений не имеет, так
Зх-|-6у=5
х 4- 2> = 1
„„_ решений не имеет, так
Зх-|-6у=5
_ I 1 2 Iкак/)= 3 6 И
_ I 1 2 Iкак/)= 3 6 И
Частным случаем системы (1) является однородная система линейных уравнений:
ахх —|— Ьху — О,а^х -]- Ь^у = 0.
Очевидно, что всякая однородная система имеет так называемое нулевое решение: х = 0, у = 0.
Учитывая проведенное выше исследование, заключаем, что либо эта система имеет единственное нулевое решение (D ^ 0), либо она имеет также бесчисленное множество ненулевых решений (0 = 0).
Однородная система двух линейных уравнений с тремя неизвестными. Однородной системой двух линейных уравнений с неизвестными х, у и г называется система уравнений вида:
(6)(6)ахх —|— bxy —|— CjZ — О,а^х —|— Ь^у —[— c^z = 0.
(6)
(6)
Числа аь bv сх, аг, Ь», са называются коэффициентами такой системы.
Решением системы (6) называется всякая тройка чисел х, у, z, обращающая оба уравнения системы в тождества. Предположим сначала, что хотя бы один из определителей, составленных из коэффициентов при неизвестных:
at ЬхЬх схсх ах
а» Ь»Ь% с^са а^
например, определительнапример, определитель«1 Ьх а» Ь2«1 Ьх а» Ь2Запишем тогда систему (6)Запишем тогда систему (6)отличен от нуля.в виде:отличен от нуля.в виде:
например, определитель
например, определитель
«1 Ьх а» Ь2
«1 Ьх а» Ь2
Запишем тогда систему (6)
Запишем тогда систему (6)
отличен от нуля.
в виде:
отличен от нуля.
в виде:
axx-^bxy = — cxz, cv^x —|— b^y = — c^zaxx-^bxy = — cxz, cv^x —|— b^y = — c^z
axx-^bxy = — cxz, cv^x —|— b^y = — c^z
axx-^bxy = — cxz, cv^x —|— b^y = — c^z
и дадим г произвольное численное значение. Этому значению г будет соответствовать единственное решение системы (7), определяемое, напри-
мер, по формулам Крамера:
1 — «12 »1 1
Cl 61 1
1 6, c, 1
1 — C2Z 62 1
C2 ^5 1
1 62 c2 I
'1 "16,1
01 t>i I
I «.б. 1
1 ^2 ^2 1
^2 ^2 1
I ^2 ^2 1
1 °1 CLZ I
Oi Cl 1
1 Cl ax 1
1 ^2 — CaZ 1
°г сг 1 ^
= | C2 Oi 1g
"16,x '
J 1til 6111
Oi 6, I ~
1 "2 62 11
Ог bt 1
1 "2 62 |
(7)
Найденные значения х и у вместе с взятым значением z составят решение системы (6). Так как значение г выбиралось произвольно, то
в рассматриваемом случае система (6) имеет бесчисленное множество решений. Совокупность всех решений системы можно записать в виде;
1 ^1 С1
с, ах
1 ^2 £*
И1 61
<» У
с, Ъ,
*
1 Яд Ь g
й^ Ьз
где г — любое число.
г
решенийрешенийОбозначим отношение I ^ ^ I через L Тогда совокупность системы (6) запишется в виде:
решений
решений
61 с, Ьг сг61 с, Ьг сгCj ах<4 а.Cj ах<4 а.t.t.«1 61аг Ь3«1 61аг Ь3где t— множитель пропорциональности — любое число.где t— множитель пропорциональности — любое число.В случае,В случае,еслиеслиах 61Ц2 6оах 61Ц2 6о— О, но— О, но61 схЬ^ с^61 схЬ^ с^^ 0 или^ 0 илиCi ахС2 ОзCi ахС2 Оз(9)(9)^ 0, рассуж^ 0, рассуждения отличаются от проведенных выше лишь переменой ролей неизвестных. Совокупность всех решений системы снова запишется в виде (9).Пусть теперь все три определителядения отличаются от проведенных выше лишь переменой ролей неизвестных. Совокупность всех решений системы снова запишется в виде (9).Пусть теперь все три определителяCi 61Оз 62Ci 61Оз 6261 схсх ахЬ3 с3с3 а^61 схсх ахЬ3 с3с3 а^
61 с, Ьг сг
61 с, Ьг сг
Cj ах
<4 а.
Cj ах
<4 а.
t.
t.
«1 61
аг Ь3
«1 61
аг Ь3
где t— множитель пропорциональности — любое число.
где t— множитель пропорциональности — любое число.
В случае,
В случае,
если
если
ах 61
Ц2 6о
ах 61
Ц2 6о
— О, но
— О, но
61 сх
Ь^ с^
61 сх
Ь^ с^
^ 0 или
^ 0 или
Ci ах
С2 Оз
Ci ах
С2 Оз
(9)
(9)
^ 0, рассуж
^ 0, рассуж
дения отличаются от проведенных выше лишь переменой ролей неизвестных. Совокупность всех решений системы снова запишется в виде (9).
Пусть теперь все три определителя
дения отличаются от проведенных выше лишь переменой ролей неизвестных. Совокупность всех решений системы снова запишется в виде (9).
Пусть теперь все три определителя
Ci 61
Оз 62
Ci 61
Оз 62
61 схсх ах
Ь3 с3с3 а^
61 схсх ах
Ь3 с3с3 а^
равны нулю. Тогда коэффициенты уравнений (6) пропорциональны, т. е. одно уравнение системы есть следствие другого. Решение системы (6) сведется к решению одного уравнения с тремя неизвестными. Такое уравнение имеет бесчисленное множество решений. Для их нахождения надо двум неизвестным придавать произвольные значения, а третье выбирать так, чтобы при этом удовлетворялось уравнение.
_, -( Зх — 2у + 12 = 0,,
Пример 1. Система <имеет бесчисленное множество ре-
I х + у — 5z = О
шений. Совокупность решений этой системы можно записать в виде:
— 271 —5— 271 —57^ -57^ -53131t, 2 =t, 2 =3 —2113 —211
— 27
1 —5
— 27
1 —5
7
^ -5
7
^ -5
3
1
3
1
t, 2 =
t, 2 =
3 —2
11
3 —2
11
или, что то же,или, что то же,
или, что то же,
или, что то же,
{ х = 3^, у = 22£, г = 51 } ,
где t — любое число.
лf х — 2у—3z = 0,
Пример 2. Система <„„ имеет бесчисленное множество ре-
I — 2х + 4у -|- 6z = О
шений. Так как второе уравнение системы — есть следствие первого, совокупность всех решений системы можно записать в виде:
{ х = It + Зи, у = t, z = u}, где t и и — любые числа.
Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Пусть дана система трех уравнений первой степени с неизвестными х, у и г:
cZ[X —|— bxy -I- схг — dx,■ а2х-|-62у-|-c2z = d2,(10)
. ч»х “h 63У -[- c3z = d3
Числа ax, bx, cx, a3, b^, сг, a3, bs, c3 назовем коэффициентами системы, а числа dx, d^ и d^ — свободными членами, или правыми частями, этой системы. В случае, если dx, d, и d3 равны нулю, система (10) называется однородной системой линейных уравнений, в противном случае, т. е. если хотя бы один из свободных членов системы отличен от нуля, — не-
однородной. Решением системы (10) является всякая тройка чисел х, у, г, обращающая уравнения системы в тождества. Система, имеющая решение, называется совместной.
Поставим своей целью исследовать систему (10), т. е. выяснить, при каких условиях на коэффициенты и свободные члены эта система имеет единственное решение, при каких условиях решений может быть больше одного и когда система вообще не имеет решений.
К исследованию и решению системы (10) можно, так же как и для изученных выше систем уравнений, применять теорию определителей.
Рассмотрим определитель третьего порядка, составленный из коэффициентов при неизвестных х, у и г:
D =D =ах Ьх сха3 Ь3 С2а3 &3 С3
D =
D =
Будем называть его определителем системы (10). Обозначим через А,, Л2, Лэ, Вх,..., С3— соответственно, алгебраические дополнения элементов ах, а», а3, Ьх,..., с3 этого определителя.
Умножим обе части первого уравнения системы на Ль второго — на Л2, третьего — на Л3 и сложим полученные уравнения:
(ctiAi -[- a3A3 -[- а3Л3) х -[- (^Л! -[- Ь3А3 -[- baA^ у -[-
~Н (ciAx + сзЛа 4-С3Л3) z = dxAx -[- d3А» -[- d3A3.(11)
На основании теоремы о разложении определителя по столбцов и строк, заключаем, чтоНа основании теоремы о разложении определителя по столбцов и строк, заключаем, чтоэлементамэлементама1Ах 4-ОзЛа-|-азЛз—а1Ах 4-ОзЛа-|-азЛз—ах Ьх Сх а3 Ь3 са а3 Ь3 с3ах Ьх Сх а3 Ь3 са а3 Ь3 с3= D.= D.
На основании теоремы о разложении определителя по столбцов и строк, заключаем, что
На основании теоремы о разложении определителя по столбцов и строк, заключаем, что
элементам
элементам
а1Ах 4-ОзЛа-|-азЛз—
а1Ах 4-ОзЛа-|-азЛз—
ах Ьх Сх а3 Ь3 са а3 Ь3 с3
ах Ьх Сх а3 Ь3 са а3 Ь3 с3
= D.
= D.
Коэффициенты при неизвестных у и г и правая часть уравнения (11) представляют собой разложения по элементам первого столбца определителей, которые получатся из определителя D, если в последнем вместо элементов аь а3 и а3 взять сначала Ьг, ba, Ь3, затем Сх, са и с3 и, наконец, dx, da и d3. Так как определители, содержащие одинаковые столбцы, равны нулю, то
Ьх Ьх Сх
Ь3 Ь3 С3 = ЬХАХ —|— Ь3А3 -J- Ь3А3 = 0,
Ь3 Ь3 с3
Сх Ьх Сх
с3 Ьа с3 = схАх -J-саАа -J- с3А3 = 0.
с3 Ь3 с3
Обозначая dtAx 4-d2Aa +d3A3 или, что то же, определитель
dx Ьх Схda ba Саd3 b3 с3
через Dx, запишем уравнение (П) в виде D-x = Dx.
Аналогичным образом из второго и третьего уравнений системы (10) получаем:
где
D • у = Dy, D • 2 = Dz.
йх dx Сх
Оа da С3
аз d3 С3
Dz =
Ох Ь4 dt
О» Ь3 da а3 b3 d3
Таким образом, можно утверждать, что если система (10) имеет решение, то это решение удовлетворяет также и системе
(12)(12)' D • x=Dx,D.y = D„,. D • г = Dz,
(12)
(12)
являющейся следствием данной системы.
Предположим теперь, что определитель данной системы D отличен от нуля (0^0). Решая систему (12), находим ее единственное решение:
О *Ом Dz
X=D’ У—D’ 2 = ^‘
Подставляя найденные значения х, у и г в уравнения системы (10), после несложных преобразований, использующих свойства определителей, убеждаемся, что каждое из этих уравнений обращается в тождество.
Так, например,
а, % + Ьх % + с, % = -1- № -^ЬхО„Л-схПД =
= у- [^ (dtA 1 4* daAa 4~ daAa) -[- bx (dxBx -[- daBa 4* daBa") 4-
4“ cx (djCt 4- d2Ca 4~ d3C3)] = -y- [d, (ахАх 4- bxBx 4~ciCi) 4~
4~ da (atAa 4~ bxBa -|-CiC3) 4~ da (аД 4~ bxBa 4- CiC3)].
Так как
ахАi —j— bxBx 4~ cxCx = D.
^i л 2 4“ bxBa 4~ ^1^2=== o,
M3 4~ ьхва 4~ cxca=о 4»
TO
a, ^ 4- b^ + c^ = ±. dxD = dv
Аналогично рассматриваются второе и третье уравнения.
Dx D„Х=Ч5'У=В'Dx D„Х=Ч5'У=В'Dz 2 D ,Dz 2 D ,Таким образом, если определитель D системы (10) не равен нулю, то система имеет единственное решение. Это решение можно найти по формулам
Dx D„
Х=Ч5'У=В'
Dx D„
Х=Ч5'У=В'
Dz 2 D ,
Dz 2 D ,
называемым формулами Крамера.
Здесь D — определитель системы, a DX) Dy и Dz — определители, полученные из D заменой в нем соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов данной системы.
(х-|-2у —2 = 1,
Пример. Решим систему: г —Зх -|- у 4" 2z = 0, ( х 4" 4у 4- Зг = 2.
Составляем определитель системы:
1 2 —1
= 30.= 30.—3 12
= 30.
= 30.
1 43
Ч Выражения а^г + 6iB2 + с^з и о,Лз + bxBa 4" сгС4 представляют собой разложения по элементам соответственно второй и третьей строк определителей:
0,6,6, о,6,с, в^ЬдСд
Так как у этих определителей по две строки одинаковые, то они равны нулю. 80
Так как 7)^0, система имеет единственное решение. Найдем его по формулам Крамера:
1 2 —1
1 1 —1
1 2 1
Dx =
0 12
= 5, Оу =
—3 02
= 13, Dz =
—3 1 0
= 1
2 4 3
1 23
1 4 2
следовательно,
Х~ D ~ 6 ’ "D — 30’ Z— D — 30'
Пусть теперь определитель D системы равен нулю. Если при этом, хотя бы один из определителей Dx, Dy, D2 отличен от нуля, то данная система решений не имеет.
Действительно, если 0 = 0, а, например, О^^О, то равенство D-x = Dx не может выполняться ни при каких значениях х, т. е. система (12) не может иметь решений. Так как всякое решение данной системы должно удовлетворять системе (12), заключаем, что данная система также не может иметь решений.
| к —У + 3z = 1» Пример. Система г lx — 2у -|- 4г = 3,
( —X + У2 = 0
несовместна, так как
1 —13
1 —13
D =
2—2 4
= 0, Dx =
3—2 4
= 4^0.
—1 1 —1
01 —1
В том, что эта система не имеет решений, можно убедиться и непосредственно. Действительно, если бы существовало решение системы { х0, у0, г0 ), то, подставляя эти числа в уравнения и вычитая из первого из полученных тождеств сумму второго и третьего, мы получили бы, что 0= — 2.
Не рассматривая в общем виде систем, у которых 0 = 0, Dz = 0, О„ = 0, Dx = 0, заметим, что в этом случае система (10) либо совсем не имеет решений, либо имеет их бесчисленное множество.
| х — у + г = 2,
Пример. 1. Система 1 2х— 2у + 2z = 4, ф = Dx = Dv = Dz = 0) решений не
( Зх — Зу + 3z = 5
имеет. Действительно, из первого уравнения следует, что х—y-|-z = 2, а из последнего— что х—у + 2 = 5/8, чего не может быть.
Г х —у + z =2,
Пример 2. Система ! 2х— 2у -|- 2z = 4, (D = Dx = Dv = Dz = 0)
( Зх — 3y J- 3z = 6
имеет бесчисленное множество решений. Совокупность всех ее решений можно записать так: { х = t, у = и, z = 2 — ( + м }, где t и и — любые числа.
Остановимся подробнее на изучении однородной системы линейных уравнений:
а^х —|— b^y -J- С\2 === О,
• а^х —|— bay -J- с^е = 0,(13)
. а^х И- b^y -[- с^г = О,
являющейся частным случаем системы (10). Очевидно, что всякая однородная система (13) имеет так называемое нулевое решение:
(х = 0, у = 0, г = 0),
т. е., другими словами, всякая однородная система линейных уравнений совместна.
В случае, если определитель D системы (13) не равен нулю, нулевое решение будет единственным решением системы. Это решение дают и формулы Крамера, так как у однородной системы Dx = Dy = D2 = 0.
Предположим теперь, что определитель D системы (13) равен нулю, но хотя бы один из его миноров отличен от нуля. Пусть, например.
Qi 6,Оз 6аQi 6,Оз 6а^0*).^0*).
Qi 6,
Оз 6а
Qi 6,
Оз 6а
^0*).
^0*).
Рассмотрим первые два (см. п. 2), система из этих множество решений, причем запишется в виде:Рассмотрим первые два (см. п. 2), система из этих множество решений, причем запишется в виде:уравнения системы (13). По доказанному двух уравнений будет иметь бесчисленное совокупность всех решений такой системыуравнения системы (13). По доказанному двух уравнений будет иметь бесчисленное совокупность всех решений такой системы
Рассмотрим первые два (см. п. 2), система из этих множество решений, причем запишется в виде:
Рассмотрим первые два (см. п. 2), система из этих множество решений, причем запишется в виде:
уравнения системы (13). По доказанному двух уравнений будет иметь бесчисленное совокупность всех решений такой системы
уравнения системы (13). По доказанному двух уравнений будет иметь бесчисленное совокупность всех решений такой системы
х=х=bi ctЬ2 с»bi ctЬ2 с»t.t.где t — любое число.Подставляя эти значения х.где t — любое число.Подставляя эти значения х.получаем:получаем:Ьх Ci6а СаЬх Ci6а Са^4~63^4~63<4 Щс^ g%<4 Щс^ g%О1 ^Оз 63О1 ^Оз 63(14)(14)у и г в третье уравнение системы (13),у и г в третье уравнение системы (13),Ct Qiса а2Ct Qiса а2“Н^З“Н^Зai bi а» biai bi а» bit=t=
х=
х=
bi ct
Ь2 с»
bi ct
Ь2 с»
t.
t.
где t — любое число.
Подставляя эти значения х.
где t — любое число.
Подставляя эти значения х.
получаем:
получаем:
Ьх Ci
6а Са
Ьх Ci
6а Са
^4~63
^4~63
<4 Щ
с^ g%
<4 Щ
с^ g%
О1 ^
Оз 63
О1 ^
Оз 63
(14)
(14)
у и г в третье уравнение системы (13),
у и г в третье уравнение системы (13),
Ct Qi
са а2
Ct Qi
са а2
“Н^З
“Н^З
ai bi а» bi
ai bi а» bi
t=
t=
= t-D = 0.= t-D = 0.G-l bi C, Og Ь^ Ca Оз 63 C3
= t-D = 0.
= t-D = 0.
Так как всякое решение первых двух уравнений системы (13) в рассматриваемом случае является решением и третьего уравнения, то при решении системы (13) третье уравнение следует отбросить, оно является следствием первых двух.
Пусть теперь 0 = 0 и все миноры определителя О также равны нулю. Тогда соответствующие коэффициенты уравнений системы будут пропорциональны, т. е. каждое из уравнений системы (13) получается из какого-либо одного, пусть, например, первого, умножением на некоторый множитель. Это значит, что решение системы (13) сводится к решению одного линейного уравнения с тремя неизвестными:
ахх -|- Ьху -|- с,г = О
(два других уравнения являются его следствиями).
В рассматриваемом случае система (13) снова имеет бесчисленное множество решений (два неизвестных берутся произвольно, а третье так, чтобы aiX4-biy4-C!2 = 0).
Таким образом, если определитель однородной системы (13) не равен нулю, то система имеет единственное нулевое решение. Если определитель этой системы равен нулю, то система имеет бесчисленное множество решений). Отсюда, как следствие, получается такое утверждение: для того чтобы однородная система (13) имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был равен нулю.
Пример 1. Система= 0, у = О, г = 0, так какПример 1. Система= 0, у = О, г = 0, так какх—у-j-я = О, 2х-|-Зу— z=0, имеет только нулевое решение х =
Пример 1. Система
= 0, у = О, г = 0, так как
Пример 1. Система
= 0, у = О, г = 0, так как
х -|-у -|- z = О
*) Переменив порядок следования уравнений и неизвестных, всегда можно ненулевой минор определителя D получить в левом верхнем углу.
Пример 2. Системарешений, так какПример 2. Системарешений, так как2х + У + За = О,
Пример 2. Система
решений, так как
Пример 2. Система
решений, так как
Зх + 2у -|- 5г — 0, имеет бесчисленное множество
D =2 1 33 2 55 4 9= 0D =2 1 33 2 55 4 9= 0Поскольку минорПоскольку минор2 13 22 13 2отличен от нуля, третье уравнение является следотличен от нуля, третье уравнение является след5х + ^У + 9г = О
D =
2 1 3
3 2 5
5 4 9
= 0
D =
2 1 3
3 2 5
5 4 9
= 0
Поскольку минор
Поскольку минор
2 1
3 2
2 1
3 2
отличен от нуля, третье уравнение является след
отличен от нуля, третье уравнение является след
ствием первых двух.
( 2х -4- V + Зг = О, Решая систему < „„, находим
J ( Зх4-2у 4-5г = 0,
х = — t, у = — t, z — t.
Совокупность всех решений данной системы:
где t—любое число.Пример 3. Система ний, посколькугде t—любое число.Пример 3. Система ний, поскольку{ X = — t, у = t, Z = t } ,
где t—любое число.
Пример 3. Система ний, поскольку
где t—любое число.
Пример 3. Система ний, поскольку
х + у — 2г = О,
Эх -|- Зу — 6г = 0, имеет бесчисленное множество реше- 4х + 4у — 8г = О,
1 —2
= 0.= 0.3 —6
= 0.
= 0.
4 —8
Так как все миноры определителя D равны нулю, решение системы сводится к решению одного уравнения:
х +у —2г = 0.
Совокупность всех решений данной системы:
где t и и — любые числа.
Применение определителей к решению некоторых задачаналитической геометрии на плоскости
Уравнение прямой, проходящей через две точки. Найдем уравнение прямой, проходящей через две точки Мх(хх, у,) и Л4а(ха, уа). Для этого запишем искомое уравнение в общем виде: х —[—St/—|—С = 0 (коэффициенты А, В и С пока неизвестны).
Пусть Л4 (х, у) — произвольная точка данной прямой. Так как точки Л4, Mt и Л4а лежат на этой прямой, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой:
(1)(1)Ах -\-By -ф-С = 0,Ахх + Вух + С = 0,Лха —|— Ву^ —J- С = 0.
(1)
(1)
Будем рассматривать эти соотношения как однородную систему линейных уравнений с неизвестными А, В и С. Для того чтобы система (1) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю:
х у 1
= 0.= 0.(2)(2)Хх У1 1
= 0.
= 0.
(2)
(2)
ха уа 1
Уравнение (2), устанавливающее зависимость между координатами произвольной точки М (х, у), линейно относительно х и у (в этом легко убедиться, разложив определитель по элементам первой строки), т. е. является уравнением прямой. Так как, подставляя вместо х, у соответственно хь 1/1 и х2, уч, мы получаем определители с двумя одинаковыми строками, т. е. равные нулю, то уравнение (2) является уравнением прямой, проходящей через точки M^Xt, у^ и Мч(Хч, уч), записанным с помощью определителя.
Пример. Составим уравнение прямой, проходящей через точки Mt (2, 5) и Мч (3, 7). Для этого подставим в уравнение (2) координаты точек Mt и Мг:
2. Площадь треугольника.2. Площадь треугольника.Найдем площадь треугольника, зная координаты его вершин: Мх (хь у^, Мч^ч, Уч) и М3(х3, у3). Искомая площадь S = -^- МчМз'к, где
2. Площадь треугольника.
2. Площадь треугольника.
МаЛ43 =
= Kto ~ х2)а + (уз — Уч)\ h = MxN, (рис. 67).
Составим уравнение прямой, проходящей через две точки М3 и М3 в виде (2)
х у
1 =0.1 =0.11Хч Уч
1 =0.
1 =0.
1
1
Х3 у3
Разлагая определитель по элементам первой строки, получим:
1,1хч.ХчУч
УзУз1 + У1X+XU
Уз
Уз
11%зЛз1/3
или, что то же;
х ^Ч — Уз) — У (Хч — х3) + (х2у3 — х3уч) = 0.
Найдем высоту h как расстояние отточки Мх до прямой, проходящей через точки М3 и М3:
h I X, (у- — У3) —у, (Ха — Л'8) + (х2у8 — Х3у2) | /(Х2— Х3)2 + (уа— Уз)2'
Тогда
S = "2" МчМэ • h = 2" I xt (уч — Уз) — У1 С^э — х3) -[- (х2у3 — х3у2)|
или, что то же,
Xt у, 1
(3)(3)1 хч Уч 1
(3)
(3)
2 х3 у3 1
Условие принадлежности трех точек одной прямой. Для того чтобы три точки М1(хь ух), Мч(Хч, уч), М3(х3, у3) лежали на одной прямой, 84
необходимо и достаточно, чтобы координаты точки Mt удовлетворяли уравнению прямой, проведенной через точки М» и М3 Записывая уравнение этой прямой с помощью определителя в виде:
х у 1
= 0= 0Хз Уз 1
= 0
= 0
Х3 Уз 1
и подставляя в него вместо х и у соответственно Xi и уь получим:
Х1 У1Хз УзХз УзХ1 У1Хз УзХз Уз111 =0.I1 =0.I(4)(4)
Х1 У1
Хз Уз
Хз Уз
Х1 У1
Хз Уз
Хз Уз
1
1
1 =0.
I
1 =0.
I
(4)
(4)
Это равенство представляет собой условие принадлежности трех точек одной прямой.
Условие, при котором три прямые пересекаются и одной точке.
Пусть даны уравнения трех прямых:
Л1Х 4~ В^у -j- С, = 0, АзХ 4~ Взу 4~ Сз = 0, Л зх —[— В3у —j- Сз = 0.
Если точка пересечения этих прямых существует, то ее координаты х0, уз должны удовлетворять системе трех уравнений:
(5)(5)f A vx -[- В^у -{- С, = 0,j ЛзХ 4“ Взу —|— Сз = 0,
(5)
(5)
Будем рассматривать систему (5) как однородную систему линейных уравнений относительно х, у, 1. Условием существования ненулевых ее решений является равенство нулю определителя системы (5).Будем рассматривать систему (5) как однородную систему линейных уравнений относительно х, у, 1. Условием существования ненулевых ее решений является равенство нулю определителя системы (5).Следовательно, условием пересечения трех является равенство:Следовательно, условием пересечения трех является равенство:прямых в одной точкепрямых в одной точкеAi Bi С{A3 Вз СзАз В3 СзAi Bi С{A3 Вз СзАз В3 Сз= 0.= 0.(6)(6)
Будем рассматривать систему (5) как однородную систему линейных уравнений относительно х, у, 1. Условием существования ненулевых ее решений является равенство нулю определителя системы (5).
Будем рассматривать систему (5) как однородную систему линейных уравнений относительно х, у, 1. Условием существования ненулевых ее решений является равенство нулю определителя системы (5).
Следовательно, условием пересечения трех является равенство:
Следовательно, условием пересечения трех является равенство:
прямых в одной точке
прямых в одной точке
Ai Bi С{
A3 Вз Сз
Аз В3 Сз
Ai Bi С{
A3 Вз Сз
Аз В3 Сз
= 0.
= 0.
(6)
(6)
§ 36. Определители высшего порядка и их свойства
Определители высшего порядка вводятся как обобщение понятия определителей второго и третьего порядков. Чтобы такое обобщение стало возможным, изучим структуру определителей, второго и третьего порядков и постараемся подметить закономерность в образовании этих определителей.
Будем обозначать элементы определителей одной и той же буквой с двумя индексами. Первый индекс будет указывать на номер строки, второй — на номер столбца, занимаемого данным элементом.
ииПри этом определители второго и третьего порядков запишутся в виде:
и
и
Оц 012 Cig
0-21 О22 023
ОцО-згОзз 4" О12О2зОз1 4“ ^21032013 — О1зО22Оз1 — О12О21Озз U33CI33CI11
Оз! O32 Озз
<^11 012
O21 О-зз
011022 ^12021
а соответствующие им матрицы — в виде:
Оц 012
О21 022
Оц 012 «13
^21 ^22 ^23
031 #32 ^33
Определитель второго порядка составлен из элементов матрицы, содержащей 2а элементов, а определитель третьего порядка — из элементов матрицы, содержащей З элементов. Каждый из этих определителей представляет собой алгебраическую сумму членов, причем у определителя второго порядка членов 2 = 2!, а у определителя третьего порядка 6, т. е. 31.
Каждый член определителя второго порядка есть произведение двух, а каждый член определителя третьего порядка есть произведение трех элементов соответствующей матрицы, причем в любом из этих произведений имеется по одному и только по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы *). Членами каждого из определителей являются все произведения указанного вида, какие только можно составить из элементов соответствующей определителю матрицы.
Для того чтобы установить общее правило расстановки знаков у членов определителей, нам придется несколько отвлечься от определителей и пополнить имеющиеся сведения о перестановках.
Перестановки. Рассмотрим п первых натуральных чисел 1, 2, 3, ..., п. Как известно, из этих чисел можно составить п\ перестановок2).
Будем говорить, что числа i и / в данной перестановке составляют инверсию, если t> j, а в перестановке число i стоит раньше, чем число/.
Так, в перестановке 1, 2, 4, 5, 3 числа 4 и 3, а также 5 и 3 составляют инверсию.
Подсчет числа инверсий в данной перестановке можно выполнять следующим образом: найти, сколько цифр написано впереди единицы, зачеркнуть единицу, затем подсчитать, сколько цифр осталось (не считая зачеркнутой) впереди двух, зачеркнуть цифру «два» и т. д.
Если перед единицей было тх цифр, перед двумя—тг цифр перед п—тп цифр, то общее число инверсий в перестановке равно: mi4-ma + ... + /n„.
Например, в перестановке 1, 3, 5, 4, 2 число инверсий t = 4 (перед единицей цифр нет), X, 3, 5, 4, 2, перед двумя — три цифры, X, 3, 5, 4, 2, перед тремя — нет, X, 3, 5, 4, 2, перед четырьмя — одна цифра, X, 3, 5, 4, 2, перед пятью — нет, итого <=04-34-04-1 4-0 = 4.
Перестановка называется четной, если число ее инверсий четное, и нечетной — в противном случае). Рассмотренная выше перестановка 1, 3, 5, 4, 2 — четная.
Вернемся к исследованию определителей. Для установления общего правила расстановки знаков членов запишем у каждого члена множители в порядке возрастания первых индексов.
011 CZ12021 022011 CZ12021 0220Ц022012021,0Ц022012021,(1)(1)
011 CZ12
021 022
011 CZ12
021 022
0Ц022012021,
0Ц022012021,
(1)
(1)
0Ц012013
„„„— 0Ц022033 Ч~ 012023031 4“ 013021032
U21UQQUp»_ ~~«««_ ~~
013022031 0120210330Ц023032-
031032033
Рассмотрим перестановки, составляемые вторыми индексами элементов членов, и подсчитаем в них число инверсий.
Для определителя второго порядка имеем перестановки 1, 2 (0 инверсий) и 2, 1 (1 инверсия). Для определителя третьего порядка — перестановки: I, 2, 3 (0 инверсий), 2, 3, 1 (2 инверсии), 3, 1, 2 (2 инверсии), 3, 2, 1 (3 инверсии), 2, 1, 3 (1 инверсия), 1, 3, 2 (1 инверсия).
Сопоставляя четность числа инверсий в этих перестановках со знаком соответствующего члена, заключаем, что и у определителя (1) (второго порядка) и у определителя (2) (третьего порядка) знак плюс имеют члены, у которых перестановка вторых индексов четная, и знак минус — члены, у которых эта перестановка нечетная. Установленную выше закономерность в составлении определителей второго и третьего порядков можно положить в основу обобщения понятия определителя.
Пусть дана квадратная таблица (матрица) из п2 чисел (элементов матрицы);
Си а12 ... а1п
(3)(3)Сз1 йа-2 — азп
(3)
(3)
Cni сла ... апп
Определителем п-го порядка, соответствующим матрице (3), называется число D, равное алгебраической сумме п\ членов, каждый из которых представляет собой произведение п элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы. Знак члена совпадает со знаком (— 1/, где / — число инверсий в перестановке вторых индексов элементов члена при условии, что первые индексы расположены в порядке возрастания.
Определитель D принято обозначать символом:
Си а« ... Ci„
Cai Саз ... Сап
ап1 ап» ••• С„„
Таким образом, по определению, определитель D есть число, равное сумме произведений: (—\у ayia^.. .anjn, где д, /2,..., jn— перестановка из чисел 1, 2,..., п\ t— число инверсий в этой перестановке, причем в сумму входят произведения указанного вида со всевозможными перестановками /!, /е, ...» "]п из чисел 1, 2, ..., п.
Данное определение включает в себя, как частный случай, введенные ранее определители второго (п = 2) и третьего (п = 3) порядков. При п = 1 матрица (3) состоит из одного элемента аи, соответственно определитель «первого порядка» считается равным числу ап.
Пример 1. Определить, с каким знаком в определитель пятого порядка входит член
вгзйзбвцйг^^.
Для определения знака этого члена располагаем в произведении элементы в порядке возрастания первых индексов:
п12й24Яз5П41п58
и рассматриваем перестановку вторых индексов: 2, 4, 5, 1, 3.
Так как она содержит 34-0-|-24-0 + 0 = 5 инверсий, знак члена совпадает со знаком числа (— I)5.
Пример 2. Вычислить определитель четвертого порядка
2 10 0
0132
D —0005'
— 12 0 0
Запишем определитель D в виде:
аг1 а1200
0^22ИздПо4
0 00л34
л41 n4s00
Каждый член определителя D есть произведение четырех элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца определителя. Всего таких членов будет 41=24. Выписывая ненулевые члены и учитывая их знаки, получим;
/) = ( I)2 <Z44<Z23<Z34<Z42 + (I)3 <Z12°23<Z34<Z41.
Подставляя значения элементов, имеем:
/) = 2 • 3 • 5 • 2 — 1 • 3 • 5 • (— 1) =75.
Для определения знака члена определителя не обязательно располагать элементы члена в порядке возрастания первых индексов. Об этом говорит следующая теорема.
Теорема. Знак члена a.^ig/g... аг ;д определителя п-го порядка совпадает со знаком (— l)s+<, где s — число инверсий в перестановке й, ia, .... in первых индексов, a t — число инверсий в перестановке /ь /а. • • • • in вторых индексов.
Дбказательство этой теоремы в данном курсе не рассматривается.
На основании этой теоремы в примере 1 для определения знака члена а12а8.а41а24а.о8 достаточно было рассмотреть перестановки 1, 3, 4, 2, 5 и 2, 5, 1, 4, 3 первых и вторых индексов элементов и подсчитать в каждой из них число инверсий. Так как s = 2, ( = 5, то знак члена совпадает со знаком числа (—I)7.
Предлагаемое обобщение понятия определителя на случай любого порядка п позволяет перенести на определители высшего порядка установленные ранее свойства определителей второго и третьего порядков. Не останавливаясь на доказательствах, перечислим эти свойства определителей любого порядка.
Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.
От перестановки двух столбцов или двух строк определитель меняет только знак.
Определитель, имеющий два одинаковых столбца (строки), равен нулю.
Если все элементы какого-либо столбца (строки) определителя умножить на одно и то же число т, то определитель умножится на это число [иначе, общий множитель элементов какого-либо столбца (строки) можно вынести за знак определителя].
Определитель, у которого элементы двух столбцов (строк) соответственно пропорциональны, равен нулю.
Если каждый элемент какого-либо столбца (строки) определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей. У одного из них элементами соответствующего столбца (строки) будут первые слагаемые, у другого — вторые. Остальные элементы у этих двух определителей те же, что и у данного.
Определитель не изменится, если к элементам какого-либо столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на одно и то же число.
Если исходить из определения, то для вычисления определителя п-го порядка нужно найти алгебраическую сумму пХ членов, что при п^>3, вообще говоря, весьма затруднительно (так, если п —4, то и! = 24). Применение свойств 1—7 позволяет упрощать вычисление определителей.
Условимся в дальнейшем для краткости выражения «умножим элементы столбца (строки) на число т», «прибавим к элементам столбца (строки) элементы другого столбца (строки), умноженные на число /и» заменять выражениями: «умножим столбец (строку) на число /и», «прибавим к столбцу (строке) другой столбец (строку), умноженный на число /и» и т. д.
Пример. Вычислим определитель
1
0 — 11
D- 3
23—1
0 — 11
0
14—1
Прибавляя к третьему столбцу первый столбец, а из четвертого столбца вычитая
первый столбец, получим:
10 00
_12 4—2
D =„-
3 0 2 —2
0 14—1
Вынесем за знак определителя общие множители
элементов из третьего и четвертого
столбцов.
1 0 0
0
1 2 2
2
£> = —2
3 0 1
2 ‘
0 1 2
1
Вычитаем из четвертого и третьего столбцов второй столбец. При этом
ООО2 0 00 1 2
1 1 О
Так как каждый член определителя содержит по одному множителю из каждой его строки и столбца, то, выписывая единственный ненулевой член определителя, мы получим:
D = — 2 [(— I)1 1-2-2- 1] = 8.
Рассмотрим матрицу из п1 элементов:
Си
Gia --
- аХп
a2i
0-22 . .
- О1п
a„i
а„2 -
• ^пп
и соответствующий ей определитель n-го порядка:
D =D =Сиа1а ..- dinЦ-21а22 - ■• СЦа«ШаП2 -* ^ппСиа1а ..- dinЦ-21а22 - ■• СЦа«ШаП2 -* ^пп
D =
D =
Си
а1а ..
- din
Ц-21
а22 - ■
• СЦа
«Ш
аП2 -
* ^пп
Си
а1а ..
- din
Ц-21
а22 - ■
• СЦа
«Ш
аП2 -
* ^пп
Минором любого элемента этого определителя называется определитель (п — 1)-го порядка, соответствующий матрице, полученной из данной вычеркиванием строки и столбца, в которых лежит указанный элемент1). Минор элемента аи будем обозначать Mtj.
Алгебраическим дополнением любого элемента а^ определителя D называется его минор Мц, взятый со знаком числа (— 1) .
Алгебраическое дополнение элемента а^ будем обозначать А^. Таким образом, Л,-у = (—Ху^Мц.
*) Будем в дальнейшем говорить, что минор элемента есть определитель, полученный и з данного определителя вычеркиванием строки и столбца, в которых лежит этот элемент.
Например, у определителя
123—1
4711 О
0—4 23
5872
алгебраическое дополнение элемента а82 = — 4 равно:
^32 = (-1)8+2^32 = (-1)8+21451453 —111 О723 —111 О72= —25.= —25.
^32 = (-1)8+2
^32 = (-1)8+2
1
4
5
1
4
5
3 —1
11 О
72
3 —1
11 О
72
= —25.
= —25.
Для определителей высшего порядка имеет место следующая теорема о разложении определителя по элементам столбцов и строк.
Теорема. Определитель D равен сумме произведений элементов любого его столбца (строки) на их алгебраические дополнения:
D — a\jAij-^cuijAoj-^...-^anjAnj, j—1, 2, ..., п,
D — а^Ац -[“ а-цАц -[“ • • • Ч- ainAin> i—Г 2, .... п.
Доказательство этой теоремы читатель найдет в любом курсе высшей алгебры.
Теорема о разложении определителей по элементам строк и столбцов позволяет вычисление определителя n-го порядка свести к вычислению определителей порядка п—1; те, в свою очередь, — к вычислению определителей порядка п — 2 и т. д.
Эта теорема, в сочетании со свойствами определителей, часто используется на практике для вычисления определителей. Для этого обычно, применяя свойства определителей, получают из данного определителя определитель, у которого все элементы какого-либо столбца (строки), кроме, может быть, одного, равны нулю, затем заменяют, на основании указанной теоремы, его вычисление вычислением одного определителя порядка, на единицу меньшего, и т. д.
Пример 1.
Пример 2. ОпределительПример 2. Определитель1 6, Ц1 6, Ц9 —133219 —133211...162...кпЬ2А21...162...кпЬ2А2
Пример 2. Определитель
Пример 2. Определитель
1 6, Ц
1 6, Ц
9 —1
33
21
9 —1
33
21
1...1
62...кп
Ь2А2
1...1
62...кп
Ь2А2
Ьп—^ Ьп"^ hn — l
••• Кп
называется определителем Вандермонда.
Для его вычисления вычтем из каждой строки предыдущую, умноженную на kv
11... 1
0 Аз Ад... Ад Aj
Vn =
0(^2—^!)^... (kn — к^кп
0 (^-к^к""2 ... ^-к^"2
Разлагаем Vn по элементам первого столбца:
Vn =Vn =ка — кг(ка — к,) к3(к^-к^к""2ка — кг(ка — к,) к3(к^-к^к""2кп — А,(кп — к^ кп■ (*»-W2кп — А,(кп — к^ кп■ (*»-W2
Vn =
Vn =
ка — кг
(ка — к,) к3
(к^-к^к""2
ка — кг
(ка — к,) к3
(к^-к^к""2
кп — А,
(кп — к^ кп
■ (*»-W2
кп — А,
(кп — к^ кп
■ (*»-W2
Вынося общие множители столбцов за знак определителя, получим
гдегдеVn — (к« к^ (к, к^ ... (kn ^1)^-1»
где
где
... 1
v ка ... кп' п-1 —
к^~2 ... к"”2
— определитель Вандермонда порядка п — 1. Применяя к нему проведенные выше рассуждения, придем к определителю Vn_a и т. д. Окончательно получим:
^п = (ка ^i) (^з—^i) ••• (кд к,) ^к3—ka) ... (кя— к^ ... (кя— кп_ф
Некоторые сведения о системах линейных уравнений
Решение многих математических и прикладных задач сводится к решению систем алгебраических уравнений первой степени относительно неизвестных, или, как говорят, систем линейных уравнений. При этом число уравнений может отличаться от числа неизвестных. Система из т линейных уравнений с п неизвестными хъ хахп имеет вид:
Яи-Хц + ОиХ2 4~... -|- аХпхп = 61,
<2з1^1 Ч~ ^З-^Э 4~ • • •-j-^In-^n = ^2>(I)
ЯтА + агА + • • • + атпхп —Ьщ*
Числа ап, аИ, .... атп называются коэффициентами системы (1). Первый индекс указывает на номер уравнения, в которое входит данный коэффициент, а второй индекс — на номер неизвестного, при котором этот коэффициент поставлен. Так, например, а^ — коэффициент из третьего уравнения при неизвестном х2.
Числа Ьх, Ьъ ..., Ьт называются правыми частями, или свободными членами, системы (1).
Система (1) называется однородной системой линейных уравнений, если все ее свободные члены равны нулю: Ьх = Ьг = .. , = Ьт = 0. Если хотя бы один из свободных членов системы не равен нулю, система называется неоднородной.
Решением системы (1) называется любая совокупность чисел хх, хъ .... хп, подстановка которой в уравнения системы обращает их в тождества. Систему, имеющую хотя бы одно решение, будем называть совместной (определенной, если решение только одно, и неопределенной, если решений больше одного). Если система решений не имеет, то говорят, что она несовместна. Очевидно, что всякая однородная система совместна, так как она имеет «нулевое» решение: Х! = 0, х2 = 0, .... хп = 0.
Частные случаи систем линейных уравнений (и —2, 3, т = 2, 3) рассматривались выше.
Для дальнейшего нам будут нужны некоторые сведения о системах линейных уравнений, имеющих одинаковое число уравнений и неизвестных.
Рассмотрим систему из п линейных уравнений с п неизвестными
011X1 + а12х2 +... + аХпхп = Ьь
(2)(2)o2iXj -]~ а22х2 -{-...-{- о2пх„ — 62,
(2)
(2)
oRiXi + а„2х2 +... + аппхп = 6,
коэффициентов системы:коэффициентов системы:Определитель и-го порядка, составленный из
коэффициентов системы:
коэффициентов системы:
Оц а12 • • • tilno2i О22 ... Огп
Oni оп2 ... апп
называется определителем системы (2).
Можно доказать теорему: если определитель системы (2) отличен от нуля, то эта система совместна и определенна, причем ее единственное решение может быть найдено по формулам Крамера:
ZVIХ1 = ^,ZVIХ1 = ^,~ D -~ D -х =^Dх =^D(3)(3)
ZVI
Х1 = ^,
ZVI
Х1 = ^,
~ D -
~ D -
х =^
D
х =^
D
(3)
(3)
Здесь Dj(j = 1, 2п) обозначает определитель, который получится из определителя D, если в нем элементы /-го столбца заменить свободными членами системы.
Доказательство этой теоремы аналогично проведенному выше доказательству ее частного случая для ц = 3 (см. § 35).
Пример. Система
Xi ~Ь 2х2 ~|- Зх8 — х4 ■= 1, х, — л-з + х4=0, 3Xj —^, + ^4 = z
ха +4х8— х4 = 4
совместна, так как n = m = 4,
12 3—1
10—11
3 0—11
0 14—1
Вычисляя Dv D^, De, Dit получаем
123—1113—1
0 0—1110—11
D,= n=—28, Da==38,
17 0 —113 7 —11
4 14 —10 44 —1
121—11231
100110—10
D,=„=—14, D4=„=14.
33 0 7143 0 —1 7
0 14—10144
„f719771
Следовательно, ^X! = -y, x2 = -^-, x3 = —, x4 = —— решение системы
Частным случаем системы (2) является однородная система линейных уравнений;
^цХ1 -|- а12х2 -]-...-]- аХпхп = О,
a2iXi -|- ti22x2 -[-...-[- а1пхп = 0,..
ал1Х1 -)- ап2х^-4-... + аппхп — 0.
Как уже отмечалось выше, всякая такая система имеет «нулевое» решение {х1 = 0, х9 = 0, ..., хп = 0}. Если определитель D системы (4) не равен нулю, то, как следует из сформулированной выше теоремы, это нулевое решение будет единственным1). Таким образом, для того чтобы система (4) имела ненулевые решения, необходимо, чтобы определитель системы (4) был равен нулю2). Можно показать, что это условие для существования ненулевых решений является также и достаточным.
*) Его можно получить, например, по формулам Крамера, так как в данном случае D, = 0, D» = 0Dn = 0.
8) Решение {xn х3, ... х„} называется ненулевым, если хотя бы одно из чисел хп ха, ..., хп отлично от нуля.
ГЛАВА 11
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Раздел I
ДЕКАРТОВА ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТВ ПРОСТРАНСТВЕ
Декартова прямоугольная система координат в пространстве считается заданной, если даны единичный (масштабный) отрезок, три взаимно перпендикулярные оси, пересекающиеся в одной точке (обозначим ее О и назовем началом координат) и указано, которая из этих осей является первой, какая второй и какая третьей. Первая ось называется осью абсцисс (осью ОХ), вторая — осью ординат (осью 0Y), третья — осью аппликат (осью OZ). Эти оси называются координатными осями.
Если не оговорено противное, будем считать, что ось абсцисс расположена горизонтально и направлена вперед, ось ординат расположена
горизонтально и направлена слева направо, а ось аппликат расположена вертикально и направлена снизу вверх. Положительные направления осей обозначаются стрелками или буквами (соответственно X, К и Z) (рис. 68, а)
Примечание. Система координат XYZ, изображенная на рис. 68, б, называется левой, в отличие от правой системы, в которой ось ОХ направлена вперед, а ось ординат — вправо.
Пусть М — произвольная точка пространства. Обозначим через N, L и К проекции точки М на оси координат (соответственно OX, 0Y и OZ). Точки N,L и К являются точками пересечения с осями координат плоскостей, перпендикулярных этим осям и проходящих через точку М (рис. 69).
Первой координатой, или абсциссой, точки М называют число X, равное величине отрезка ON, второй координатой, или ординатой, точки М, называют число у, равное величине отрезка OL, и, наконец.
третьей координатной, или аппликатой, равное величине отрезка ОК (рис. 69).
Если точка М имеет координаты х, у и г, то пишут М (х, у, г) или (х, у, z).
По определению координаты точки М есть координаты ее проекций на соответствующих осях. Точка О имеет координаты 0, 0, 0. Любая точка М, лежащая на оси ОХ, имеет ординату у и аппликату г, равные нулю. Соответственно для точек оси OY х = 0 и г=0, а для точек оси OZ х = 0 и у = 0.
Рассмотрим три взаимно перпендикулярные плоскости, проходящие через координатные оси. Плоскость, проходящую через оси ОХ и OY, обозначим X0Y,
точки М называют число г,
плоскость, проходящую через оси 0Y и 0Z, обозначим YOZ, а плоскость, проходящую через оси 0Z И ОХ, — ZOX. Эти плоскости называют координатными плоскостями.
Для точек, лежащих в плоскости XOY, аппликата г равна нулю. Соответственно для точек плоскости YOZ имеем х = 0, а для точек плоскости ZOX имеем у = 0.
Координатные плоскости делят пространство на восемь частей — октантов. Первым называется октант, у точек М (х, у, z) которого все коор
пересечении
лежащая в X, у И 2.
динаты положительны. Нумерация остальных октантов приведена на рис. 70.
Введение в пространстве декартовой прямоугольной системы координат позволяет каждой точке пространства поставить в соответствие упорядоченную тройку действительных чисел — координат этой точки. И наоборот, каждой упорядоченной тройке действительных чисел соответствует в пространстве единственная точка, для которой эти три числа являются ее координатами (в выбранной системе координат).
Для построения точки М по известным ее координатам х, у, г достаточно на оси ОХ построить точку N, для которой ON = х, на оси ординат найти точку L, для которой OL = y, на оси аппликат найти точку К> Для которой OK = z, и через точки N, L и К провести плоскости, перпендикулярные соответственно осям OX, OY и OZ. Точка М, этих плоскостей, будет иметь координаты
Вводя в пространстве
возможность
декартову систему координат, мы получаем
определить положение любой точки с помощью троек
чисел — ее координат.
Примечание. Для определения положения точки пространства можно, кроме декартовой прямоугольной системы координат, вводить также и другие системы. Некоторые из них (так называемые цилиндрическая и сферическая системы. координат) будут рассматриваться при изучении математического анализа.
Раздел 2
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Векторные и скалярные величины
Величины, встречающиеся в механике, физике и других прикладных науках, могут быть разделены на две категории. С одной стороны, существуют такие физические или механические величины, которые определяются только числовым значением (числом), например: масса, плотность,
температура, объем; с другой — такие величины, которые для своего определения требуют знания не только числового значения, но и направления, например: сила, скорость, ускорение. Величины первой категории называются скалярными; величины второй категории называются вектор
ными. Скалярная величина может быть задана числом, которое выра-
ккРис. 71.Рис. 71.жает отношение этой величины к соответствующей единице измерения.
к
к
Рис. 71.
Рис. 71.
Для отвлеченного изображения конкретных векторных величин (физических, механических и т. д.) употребляются векторы. Векторами называются направленные отрезки.
Вектор, как направленный отрезок, записывается в виде двух больших латинских букв со стрелкой наверху, причем первая буква обозначает начало
вектора, а вторая его конец, напри
мер; MW — вектор, у которого точка М является началом, а ^ — концом. Иногда вектор обозначают одной малой латинской буквой жирным
шрифтом.
Два вектора считаются равными, если они параллельны, одинаково направлены и имеют одинаковую длину 1).
Длина МЫ вектора МЫ называется его модулем. Модуль вектора а обозначают |а| или а.
Вектор 0, начало и конец которого совпадают, называется нулевым. Его модуль равен нулю. Нулевой вектор не имеет определенного направления.
На рис. 71 изображены шесть векторов, равных по модулю, но равными векторами можно назвать лишь АВ и CD; EF и МЫ:
AB = CD; EF = MW.
Векторы МЫ и KL равны по модулю, параллельны, но направлены в противоположные стороны; такие векторы называются взаимно противоположными.
*) В механике, физике и других прикладных науках рассматривают векторы связанные, скользящие и свободные.
Векторы называются свободными, если положение их начала не играет никакой роли. Свободные векторы называются равными, если они параллельны, имеют одинаковые длины и одинаково направлены.
Скользящие векторы—это такие векторы, которые считаются равными, если они не только имеют одинаковые длины и одинаково направлены, но и расположены на одной и той же прямой.
Связанные векторы — это такие векторы, которые считаются равными, если они не только имеют одинаковые длины и одинаково направлены, но и имеют одинаковое начало.
В дальнейшем изложении будем пользоваться только свободными векторами.
Линейные операции над векторами
Сложение векторов. Суммой векторов а и Ь, называется такой вектор с, начало которого совпадает с началом вектора а, а конец — с концом вектора Ь, при условии, что начало вектора b приложено к концу вектора а (рис. 72).
Покажем, что:
Сложение векторов подчиняется переместительному закону:
а —|— b=== b ~|- а(1)
для любых векторов а и Ь.
Приложив векторы а и b к одной точке О, построим на них параллелограмм (рис. 73). Тогда
а = ОК,b = KL,a^-b = OL,
Ь = ОМ,а = МЪ,Ь^а = бЕ.А
Следовательно, а + b = b + а./
Упомянутый параллелограмм может выро-- /
диться в отрезок или в точку. Это происходит°
в случае коллинеарности векторов а и b (дваРис. 72.
и вообще несколько векторов называются коллинеарными, если, будучи приложены к одной точке, они окажутся лежащими на одной прямой). Вырождение в точку произойдет, в частности, в случае нулевых а и Ь.
Сложение векторов подчиняется сочетательному закону. Это значит, что для любых векторов а, Ь, с;
(а + 6)4-с = а + (» + с).(2)
Приложив векторы а, Ь, с к одной точке О, построим на них параллелепипед (рис. 74).
Тогда_ „
а = ОК, b = KL,c — LM;
a^b — OL,b + c = KM,
(а-{-Ь)-{-с — бМ-, a-{-(b-{-c) — OM и, следовательно,
(а + 6) + с = а + (» + с).
В случае компланарности векторов (три и вообще несколько векторов называются компланарными, если, будучи приложены к одной точке, они окажутся лежащими в одной плоскости) параллелепипед может выродиться в параллелограмм, в отрезок или в точку. В частности, вырождение произойдет в случае коллинеарности любых двух векторов из векторов а, Ь, с.
Операция сложения векторов может быть распространена на любое
число слагаемых векторов.
Для того чтобы сложить п векторов а^ агап, надо к концу
первого вектора приложить начало второго, затем к концу второго век
тора приложить начало третьего и т. д. и, наконец, приложить к концу предпоследнего вектора начало последнего; тогда замыкающий вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, и будет являться вектором-суммой данных векторов. Из переместительного и сочетательного законов следует, что при сложении векторов можно любым образом переставлять и группировать слагаемые.
Вычитание векторов. Разностью векторов а и b называют вектор с, для которого с + b = а.
Непосредственно проверяется, что сумма вектора а и вектора, противоположного Ь, т. е. а-[-(—Ь\ есть разность векторов а и Ь. В самом деле,
[а + (— &)] + b = а + [(— Ь^ + 6]а + 0=а.
Этим существование вектора-разности доказано. Остается доказать его единственность. Пусть вектор с таков, что с-^-Ь — а. Тогда (с4-^) + + (-6) = « + (-»).
Преобразовывая левую часть равенства получаем: с + 1б + (-б)]=с + о=с.
Этим доказано, что только вектор а-|-(—Ь^ является разностью векторов а и Ь. В дальнейшем разность векторов будем записывать в виде а — Ь.
Для геометрического построения вектора-разности с двух векторов можно поступать одним из двух способов.
Первый способ: приложим к некого- рому началу вектор-уменьшаемое а и вектор-вычитаемое b (рис. 75) и из концауг
вектора-вычитаемого b к концу вектора-°
уменьшаемого проведем вектор с, который Ну и явится искомым вектором-разностью.
Второй способ: приложим к концу
вектора а вектор d, противоположныйРис. 76.
вектору b (т. е. равный вектору — 6), тогда вектор, соединяющий начало вектора а с концом вектора й, и явится искомым вектором с.
Умножение вектора иа скаляр. Произведением вектора а на скаляр X называется вектор, параллельный а, направленный, как а, если Х^>0, и противоположно, если Х<0, и имеющий длину |Х[ [а]. Произведение вектора а на скаляр X обозначается аХ или Ха. Если Х = 0, то по определению Ха=О.
Пусть дан некоторый вектор а (рис. 76) и требуется найти произведения За и — 2а.
Для получения произведения За на прямой, на которой расположен вектор а, в направлении вектора а отложим отрезок ОЛ4, длина которого равна утроенному модулю вектора а, тогда вектор ОМ = За, затем на этой же прямой в направлении, противоположном направлению вектора а, построим вектор ON, модуль которого равен двум модулям вектора a, ON — — 2а.
Умножение вектора на скаляр подчиняется сочетательному закону:
(3)(3)X ((ла) = (Хр.) а.
(3)
(3)
В самом деле, из определения операции умножения вектора на скаляр следует, что при X и р, отличных от нуля, векторы Х(ра) и (Хр)а па
Рис. 77.распределительным зако-Рис. 77.распределительным зако-раллельны и одинаково направлены (если X или р равны 0, то оба вектора нулевые). Так как
Рис. 77.
распределительным зако-
Рис. 77.
распределительным зако-
| X (ра) | = | Х| | ра | == |Х||р||а| = |Хр||а|,
то эти векторы имеют одинаковую длину.
Умножение вектора на скаляр подчиняется нам:
(X -}- р) а = Ха -}- у.а,X (а —|— ^) = Ха —|— Ху.
В самом деле, первое равенство следует из правила сложения направленных отрезков на прямой, несущей векторы, а второе — из свойств подобных фигур (рис. 77).
Основные теоремы о проекциях векторов
Проекцией вектора MN на ось называется величина отрезка M1N1, где Mt проекция начала вектора, a NT проекция конца вектора на эту ось.
Основные теоремы о проекциях векторов формулируются следующим образом.
Проекция вектора на какую-либо ось равна произведению модуля вектора на косинус угла наклона вектора к оси *).
Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций слагаемых векторов на эту же ось. (Доказательство проводится, как в § 5.)
Координаты и компоненты векторов
Координаты вектора. Введем в пространстве декартову прямоугольную систему координат XYZ. Возьмем произвольный вектор а, точку его приложения поместим в начале координат О, а конец его обозначим буквой М (рис. 78). Вектор ОМ будем называть радиусом-вектором точки М. Пусть координаты точки М будут соответственно: ON — x, OL = y, ОК = г. _
Спроектируем теперь вектор а = ОМ на координатные осн. Проекции вектора а на координатные оси называются координатами вектора а. Будем обозначать их X, Y и Z: пр оха = X, npoya = Y, npoza = Z. Тот факт, что координаты вектора а равны X, Y, Z, записывается следующим образом:
а {X, Y, Z}. (1)
Угол между векторами, лучами и направленными прямыми в пространстве определяют, как в стереометрии. При радианном измерении он удовлетворяет неравенствам: О^у^к.
Координаты х, у, г точки М (конца вектора а) соответственно равны координатам X, Y, Z вектора а, т. е.
(2)(2)Х — х, Y = у, Z = z.
(2)
(2)
Разложение векторов на компоненты по ортам в пространстве. Построим тройку векторов Z, j, к, удовлетворяющих следующим условиям: 1) начало каждого Из них лежит в начале координат; 2) по модулю они равны единице: |/|=1; |у| = 1; |й|=1; 3) вектор / — направлен по направлению оси абсцисс; j—по направлению оси ординат, к— по направлению оси аппликат.
Эти единичные векторы называются основными векторами, или ортами. Докажем следующую теорему: каждый вектор в пространстве может быть представлен как линейная комбинация ортов (основных векторов).
Линейной комбинацией нескольких векторов называется сумма произведений этих векторов на скаляры.
Возьмем произвольный вектор а \Х, Y, Z\, начало которого поместим в начале координат: а = 0М (рис. 79). Опустим из точки М на
плоскость XOY перпендикуляр МО, а затем из точки1 О опустим перпендикуляры DA на ось ОХ и DB на ось 0Y. Опустим также перпендикуляр МС из точки М на ось OZ. Возьмем три вектора О А, ОВ, ОС и сложим их:
ол+ ов=оо, оЬ^ос=бм. Очевидно, что
ОА +ОВ + ОС = ОМ.(3)
Так как вектор ОВ коллинеарен вектору j, то всегда можно подобрать некоторый множитель р, такой, что при умножении вектора j на этот множитель будет выполняться равенство
ов = м-(4)
Рассуждая аналогично, можно векторы ОА и ОС представить в виде:
ОА=М(5)
ОС = цк.(6)
Следовательно, равенство (3) можно записать так!
a = Xi-V-p.j-\-nk.(7)
Слагаемые Xz, yj, цк называются компонентами (или составляющими) вектора а. Тройка векторов i, J, к, по которым осуществлено разложение вектора а, называется координатным базисом.
Представление вектора в виде суммы компонент называется разложением этого вектора по базису i, J, к. Так как О A — Xi, где i— единичный вектор, то число X есть отношение ОА к единице измерения, взятое со знаком плюс или минус в зависимости от того, направлен ли отрезок ОА так же, как и вектор I, или противоположно ему. Другими словами, X есть величина отрезка О А оси ОХ, т. е. Х = ОА. Но О А есть проекция вектора а на ось ОХ. Следовательно,
X = О А = пр оха = X.
Аналогично получаем, что р. = У, "4 = Z, где X, Y, Z— координаты вектора а. При этом равенство (7) запишется следующим образом:
а = Xi -[- Y/-[- Zk.
Направляющие косинусы вектора
Модуль вектора. Пусть дан произвольный вектор а = Xi -[- У7-|- Zk, требуется определить модуль этого вектора.
построим на них прямоуголь-построим на них прямоуголь-Построим в системе координат вектор а и найдем его проекции Х — ОС; Y = ОВ; Z = OD иа координатные оси (рис. 80). Беря отрезки ОС, OB, OD за ребра параллелепипеда,
построим на них прямоуголь-
построим на них прямоуголь-
ный параллелепипед. Тогда ОМ = \а\, как диагональ прямоугольного параллелепипеда, можно выразить следующим образом:
или
\a\=VX4^-Y»^-Z\(1)
Формула (1) и определяет модуль (длину) вектора.
Направляющие косинусы. Обозначим углы, которые образует вектор а с координатными осями, соответственно через а, р, 7 (рис. 80).
Так как X, Y, Z являются проекциями вектора на координатные оси, то, следовательно, будут справедливы следующие три равенства:
X = | а | cos а,
Y = | а | cos р,(2)
Z = | а | cos 7,
а так как |а [ = У X2 -}- У2 -[- Z2, то
cos а = —^ - =,
У А2 + У2+ Z8
cos р = - Г -—-,(3)
Г УХ2 + У2 + Z2
Z
ух2 + У2 4- Z2
При этом cos а, cosp, cos 7 называются направляющими косинусами вектора. Покажем, что между углами а, р, 7 существует определенная зависимость. Для этого возведем все равенства (3) в квадрат и сложим их. Получим:
(4)(4)cos2 а -|- cos2 р -|- cos2 7 = 1,
(4)
(4)
§ 6. Линейные операции над векторами, заданнымив координатной форме
Прежде всего заметим, что проекция суммы векторов на любую ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. Как следствие из этого предложения и определения координат вектора вытекают следующие правила:
Два вектора равны, если равны их коордйнаты.
При сложении векторов, заданных в координатной форме, координаты их складываются: если
а = Xj/4- Kj/-|- ZiA; b = X,i -ф- У2/4~ Z^k,
TO
(fl! -ф- b) = Qtx 4~ X^ f 4" (K[ -ф- Y2) j'4- (Zt 4~ Z^ k.(1)
При вычитании векторов, заданных в координатной форме, координаты их вычитаются: если
fl! = Xxi 4~ Yjj -ф- Zxfe; b = X^i 4~ Y^j 4- Z^fe,
TO
(fl! — b) = (Xi — X2) / 4~ (^1 — y 2)74” (^1 — ^2) ^-(2)
При умножении вектора, заданного в координатной форме, на скаляр надо все координаты умножить на этот скаляр:
если а = Xi 4- Yj4- Zk, X— скалярный множитель, то
Ха = XX/ 4- XYJ 4- XZfe.(3)
Коллинеарность двух векторов. Пусть нам даны два ненулевых коллинеарных между собой вектора: а = Xxi -\- Y J -\- Z^ и b = X4-Y Y^j-^-Zik.
Если вектор b коллинеарен вектору а, то всегда можно найти такой постоянный множитель X, что ХЬ = а.
В координатной форме имеем:
хь=ХХ2/ 4- XYJ 4- XZ.k,
Векторы а н b равны, т. е. равны и их координаты, следовательно,
Xi = XXs; Yx = XY^ Zx = XZ2.(4)
Определяя X из каждого из трех равенств (4), можно составить пропорции
Наоборот, если координаты векторов а и b удовлетворяют условиям (5), то ХЬ — а, т. е. а и b коллинеарны. Равенство (5) является условием коллинеарности двух ненулевых векторов. Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.
Скалярное произведение векторов
В векторной алгебре рассматриваются два вида произведения двух векторов: скалярное и векторное. Результатом скалярного умножения двух векторов является число (скаляр); результатом векторного умножения
*) Эти равенства имеют смысл, если знаменатели отношений не равны нулю. В случае, если в каком-либо отношении знаменатель равен нулю, то равен нулю и числитель и соответствующее отношение надо отбросить.
двух векторов является вектор. Скалярным, произведением, двух векторов называется число, равное произведению их длин (модулей), умноженному на косинус угла ср между векторами )• Для обозначения скалярного произведения вектора а на вектор b употребляется одна из записей:
(a, by ab, at?.
Согласно определению имеем
(а, &) = |а||& | cos® или
(а, b) = ab cos ср.(1)
Очевидно, что скалярное произведение векторов а и b будет равно нулю, если хотя бы один из векторов а и b является нулевым вектором или если векторы перпендикулярны (ортогональны). Наоборот, если (а, 6) = 0, то либо хотя бы один из векторов а и b — нулевой, либо эти векторы перпендикулярны.
Заметив, что
| & | cos ср = праЬ,(2)
равенство (1) можно записать в виде:
(а, Ь) = | а | пра&.(3)
Таким образом, скалярное, произведение двух векторов равно длине одного вектора, умноженной на проекцию второго на направление первого.
Свойства скалярного произведения
Скалярное произведение подчиняется переместительному закону, т. е. (а, &) = (&, а) для любых векторов а и Ь.
Действительно,
(а, Ь) — | а 11 b | cos ср,(4)
(6, a) = |6||a|coscp,(5)
е. левые части равенств (4) и (5) равны.
Скалярное произведение подчиняется сочетательному закону относительно скалярного множителя, т. е. Q,a,b) = Ца, Ь) для любых векторов а и Ь и любого числа X.
Рассмотрим случай, когда Х^>0:
(Ха, &) = |д] пр6Ха = |6|Хпр6а = Х1 Ь\ пр6а = Х(а, &)(6)
или, иначе:
(Ха, d) = |Xa||6|coscp = X|a||6|cos<p = X(a, ЬУ
Аналогично рассматривается случай, когда Х<^0.
Скалярное произведение подчиняется распределительному закону, т. е. для любых векторов а, b » с
аф^-с^=аЬ-\-ас.(7)
Действительно,
а (Ь 4- с) = | а | пр» (Ь + с) = | а | (прЛ& + прас) = | а | пра6 Д- [ а | прас. (8)
Но так как
|а|пра6 = (а, &) и а npa f = (a, с),
то, следовательно, а(Ь4-с) = (а, 6) + (а, су
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля. Умножим скалярно вектор а на вектор а-.
^, а) = | а 11 а | cos 0 = | а [*.(9)
Левую часть равенства (8) принято обозначать (а)9 и называть скалярным квадратом вектора а. Тогда равенство (9) примет вид:
(a)a = W(Ю)
§ 8. Скалярное произведение векторов в координатной форме
Предварительно рассмотрим вопрос о скалярном произведении ортов. Так как разноименные орты перпендикулярны друг другу, а одноименные — равны, то
(Л O^y^l^i; U ^ = 1; (^^^(1)
(Л У) = 0; (/, А) = 0; (А, 9 = 0.
Таким образом, скалярное произведение одноименных ортов равно единице, а разноименных — равно нулю.
Возьмем теперь два вектора, заданных в координатной форме:
a = Xxi-VYj-VZxlt\ Ь = Х4-У Y^j-yz^k, и перемножим их скалярно. Правые части можно перемножить по правилу умножения многочлена на многочлен, так как скалярное произведение подчиняется распределительному закону:
(а, 6) = (Xxi + YJ + Zxk) (XJ + YU + Z^ =
= ХхХй (i, i) + XxY, (i, j) + XxZ, ^, k) + X^Y x (J, i) + YXY, (J, j) +
+ YXZ, (j, Ф + X.Zx Ik, i) + Y^Z, Ik, J) + ZXZ, (k, k).(2)
На основании (1) равенство (2) примет следующий вид:
(а, Ь) = ХхХ* + YxУ2 + ZXZ4.(3)
Следовательно, скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.
Приложения скалярного произведения
Задача 1. Найти угол между ненулевыми векторами а\Хх, Yx, Zx} и Ь\Хг, У2, Z^. Возьмем скалярное произведение и определим косинус угла ® между этими векторами:
(а, Ь) = | а 11 b | cos ®,
Используя формулы (1) (§ 5) и (3), выразим cos<p через координаты векторов:
cos ® =Х.адад + ад
* V х? + ^ + zx /х| + Ki+7i '
Если векторы а и b перпендикулярны, то cos ® = 0 и, следовательно, Х1Ха + У1Уа + 21Ха = 0,(6)
и наоборот, если XxX4-y YXY94- ZxZ4 = 0, то векторы а и b перпендикулярны.
Равенство (6) является условием ортогональности (перпендикулярности) двух векторов.
Задача 2. Найти проекцию вектора Ь\Хг, Уа, Ха} на вектор а\Хх, Уь ZJ. Из равенства (3) (§ 7) определяем искомую проекцию, а 104
затем результат по формулам (1) (§ 5) и (3) запишем в координатной форме:
(Д, &) = |а|пра&.
np«Z>np«Z>(а. Ь)(а. Ь)(7)(7)
np«Z>
np«Z>
(а. Ь)
(а. Ь)
(7)
(7)
или
пра& =пра& =X,X3 + У^2 + Z,Z2 rxi4-y^ + zt 'X,X3 + У^2 + Z,Z2 rxi4-y^ + zt '(8)(8)
пра& =
пра& =
X,X3 + У^2 + Z,Z2 rxi4-y^ + zt '
X,X3 + У^2 + Z,Z2 rxi4-y^ + zt '
(8)
(8)
Пример 1. Вычислить угол ср между векторами а {2, —3, 1} и Ь{5, 2, —4}. Решение. Находим угол по формуле (5);
2-5—3-2—1-4-
COS Ф =П a
/44-94-1 /254-4 +16 — ’2’
векторы а и b перпендикулярны.
Пример 2. Найти проекцию вектора b {5, — 7, 3} на вектор а {2, —2, 1}.
Решение. По формуле (7) имеем:
пГ11й = 2--5 + (-2)(-7)4-1-3_Q/44-44-1
§ 9. Векторное произведение
Векторным произведением неколлинеарных векторов а и b называется вектор с, длина которого равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, который перпендикулярен плоскости этого параллелограмма и направлен так, что если смотреть с его конца, то кратчайший поворот от вектора а к вектору b происходит против часовой стрелки (рис. 81). В случае, если векторы а и b коллинеарны, их векторным произведением называется нулевой вектор.
Векторное произведение вектора а на вектор b обозначается а X Ь или [а, 6].
Из определения следует, что если
с = \а, b},(1)
то
| с | = | а 11 b | sin ®,(2)
где ® — угол между векторами а и b ).
Если векторно умножить вектор b на вектор а, то получим вектор [6, а] (рис. 82), равный по модулю вектору [а, 6], но направленный в противоположную сторону.
Другими словами, вектор
[«,&]= — [&,«].(3)
Из равенства (2) вытекает,что векторное произведение векторов а и b есть нулевой вектор в том и только в том случае, если эти векторы
коллинеарны. Обращение векторного произведения в нулевой вектор есть условие коллинеарности двух векторов.
Свойства векторного произведения.
Для любых векторов а и b
[а, Ь\ =—[6, а].
Следовательно, векторное произведение не подчиняется переместительному закону.
Векторное произведение подчиняется сочетательному закону относительно скалярного множителя, т. е.
[Ха, &] = Х[а, &],(4)
[а, Х6] = Х[а, 6](5)
для любых векторов а и b и любого числа X.
Для доказательства этого свойства достаточно доказать равенство (4).
Справедливость равенства (5) устанавливается аналогичным образом.
Будем доказывать равенство (4), взяв Х^>0.
Пусть[Ха, b^ = c, а Х[а, 6] = d.
Докажем, что векторы с и d равны между собой.
Так как Х^>0, то направления векторов а и Ха совпадают. Следовательно, векторы с и d параллельны и имеют одинаковое направление.
| с | = | [Ха, Ь] | = | Ха 11 b | sin <р = X | а 11 b | sin ®,|d| = |X[a, &]| = X|а| |&|sinf,
где <р—угол между векторами а и Ь(Ха и 6), т. е. |c| = |d|. Итак, c = d, т. е. [Ха, 6] = Х[а, 6].
Таким же путем можно доказать равенство (4) при Х<^0.
Векторное произведение подчиняется распределительному закону:
[а, (Ь + с)] = [а, &] + [а, с](6)
для любых векторов а, b и с.
Доказательство этого свойства векторного произведения приводится В § II1).
Векторное произведение векторов в координатной форме
Рассмотрим сначала векторные произведения ортов. При векторном умножении одноименных ортов, как коллинеарных, очевидно, в результате будет получаться нулевой вектор:
[А /] = 0; [J, У] = 0; [А, А] = 0.(I)
При векторном умножении вектора i на вектор у получится вектор, расположенный перпендикулярно плоскости X0Y и направленный по направлению оси OZ. Модуль его будет равен единице, так как
|[^y]| = |/||y|sin^=l.
Следовательно, в результате умножения получим единичный вектор, направленный по направлению оси OZ, т. е. вектор к. Если [Z, j\ = k, то на основании равенства (3) § 9
[У, *] = — к.
Аналогично производится умножение других разноименных ортов:
L7. 1=*; [*,/]=—*;
\к, i\=j\ [А *]=—/•\к, i\=j\ [А *]=—/•(2)(2)
\к, i\=j\ [А *]=—/•
\к, i\=j\ [А *]=—/•
(2)
(2)
Возьмем теперь два вектора a = Xxi-\- Yxj-\-Zxk; b — XJ-^-Y<J-^- -^Z^k и рассмотрим их векторное произведение.
Так как векторное произведение подчиняется распределительному закону, то векторы можно умножать по правилу умножения многочлена на многочлен, строго соблюдая порядок расположения множителей. При умножении скалярные множители можно выносить за знак векторного произведения.
[й, 6] = [XV ~Н ^1/Н~ Zxk, Х^ "VY^j-{- Zok^—= X1X^\i) /]-[“ X1Y=S [/, У] 4- XxZ^ [£, А] -[- Y.X^j, z]-/-VVxYAj, JAA-VvZAJ, ajh-z.x,^, iW^v^.JAA-
(3)(3)-vzxz^k, А].
(3)
(3)
Используя равенства (1) и (2), упростим, а затем преобразуем правую часть равенства (3):
[<?, b^ = XxY%k — XxZ^j— YхХ^к -[- YxZj, -/ ZxX^j— Z^^i —
= i (Y^ - ZXY^ +j{ZxX^ - XxZ^ + к (XxY* - YxX^. (4)
Равенство (4) можно записать с помощью определителей:
[а,[а,ZxXxZ^X»ZxXxZ^X»XxYx X»Y,XxYx X»Y,или условно в видеили условно в виде[а, Ь\ =[а, Ь\ =i j к *)XxYxZx . X»Y%Z»i j к *)XxYxZx . X»Y%Z»(4')(5)(4')(5)
[а,
[а,
ZxXx
Z^X»
ZxXx
Z^X»
XxYx X»Y,
XxYx X»Y,
или условно в виде
или условно в виде
[а, Ь\ =
[а, Ь\ =
i j к *)
XxYxZx . X»Y%Z»
i j к *)
XxYxZx . X»Y%Z»
(4')
(5)
(4')
(5)
Равенство (5) дает выражение векторного произведения через координаты векторов.
Пример 1. Вычислить площадь S треугольника, построенного на векторах а {2, —3, 4} и Ь {1, —2, 5}.
Решение. Найдем сначала векторное произведение векторов а и Ь, и вычислим его модуль. Этот модуль численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах а и Ь. Площадь S данного треугольника равна половине площади этого
параллелограмма.
[а, »] =[а, »] =I jk
[а, »] =
[а, »] =
2—3 4 = —11 — 6/ — к, 1—2 5
| [а, &] | = /49 + 36 4- 1 = /86,5 = 1/86.
Пример 2. С векторами а {1, 2, 2} проверить ответ.Решение. НаПример 2. С векторами а {1, 2, 2} проверить ответ.Решение. Напомощью векторного произведения найти синус угла ср между и b {2, 3,1}, а затем с помощью скалярного произведения
Пример 2. С векторами а {1, 2, 2} проверить ответ.
Решение. На
Пример 2. С векторами а {1, 2, 2} проверить ответ.
Решение. На
основании формулы (2) (§ 9):
• I [а, 6} |sin о = ——
Y |а||»1 -
При этом
[а, 6] =
I j к
1 2 2 2 3 1
= —4/4-3/— к,
| [а, &] | = У^16 + 9 + 1 = 1^26,
sin ф
_ /26
— 3 /14*
По формуле (6) (§ 8) найдем
COS ф
2 4-64-2_ ГО 3/14 ~ 3/14*
Если задача сделана правильно, то найденные значения sin ф и cos ф должны удовлетворять основному тригонометрическому тождеству sin2 ф -|- cos3 ф= 1.
Проверка показывает, что это тождество выполняется.
§ 11. Смешанное произведение трех векторов
При последовательном умножении векторов а, Ь, с возможны сле
дующие три случая:
1) Сначала два вектора перемножаются скалярно (а, 6) = >-. После
дующее умножение будет являться уже знакомым нам действием умно
жения вектора иа скаляр: Хс. Этот случай не представит ничего нового.
2) Сначала два вектора перемножаются векторно [a, b\=d, затем полученный вектор d еще раз векторно умножается на вектор с. Такое умножение называется двойным векторным произведением и обозначается
следующим образом: [[а, 6], с].
а
Рис. 83.
В конце настоящего раздела мы вернемся к двойному векторному произведению.
3) Два вектора умножаются векторно: [a, b\ = d, а полученный вектор d скалярно умножается на вектор с. Такое умножение векторов называется векторно-скалярным, или смешанным произведением трех векторов, и обозначается так:
([а, Ь], с).
В результате скалярного умножения (d, с) получим некоторое число. Покажем, что, если векторы а, Ь, с некомпланарны, то это число равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с, взятому со знаком плюс, если взаимное расположение векторов а, Ь, с совпадает с взаимным расположением осей координат (OX, ОХ и 07^ и со знаком минус в противном случае.
Возьмем три некомпланарных вектора а, Ь, с, взаимное расположение которых совпадает с взаимным расположением осей координат, и на них как на ребрах построим параллелепипед (рис. 83). Так как d = — [а, Ь], то
|d| = |a| | Z>|sin<p = S, (1)
где S — площадь параллелограмма, построенного на векторах а и Ь. Теперь найдем скалярное произведение (d, с\.
(d, c) = |d| npjc,
(2)
*) В случае правой системы координат это означает, что если смотреть из конца вектора с, то кратчайший поворот от вектора а к вектору b происходит против часовой стрелки; при этом предполагается, что векторы а, b и с имеют общее начало.
проекция вектора с на d равняется высоте параллелепипеда Н (рис. 83). Следовательно,
(с, d^ = \d\-H.(Ъ)
Отсюда
([a, Z>], c) = (d, c^ = \d\-Н = S-Н = V, где V — объем параллелепипеда.
В общем случае
([а, 6], с) = ±У.(4)
Знак правой части равенства (4), как было указано, определяется взаимным расположением данных векторов.
Из определения смешанного произведения вытекает, что оно обращается в нуль в том и только в том случае, когда векторы компланарны.
Смешанное произведение векторов в координатной форме. Пусть даются три вектора в координатной форме:
я— Xxi + Y XJ 4~ ^А; & = Х2г-|-У2у-|-Z2£; c^Xii-^Y^j-^Z^h.
Требуется найти выражение смешанного произведения ([а, &], с).
Запишем сначала векторное произведение векторов а и b в координатной форме:
[а.[а.»] =»] =i j кXxYvZxX2y2Z2i j кXxYvZxX2y2Z2— Z— ZТеперь, используя формулу векторов [а, 6] и с:([а, ЬА, с)=Х., или([а.Теперь, используя формулу векторов [а, 6] и с:([а, ЬА, с)=Х., или([а.ViZ,ViZ,Z2X2Z2X2XxYxХаУ2XxYxХаУ2(5)(5)(3) § 8, найдем скалярное произведение(3) § 8, найдем скалярное произведениеKiZ, K2Z2KiZ, K2Z2+ Уз+ УзZ.X,Z.X,z,xz,x224~ 234~ 23XxYxХ2У2XxYxХ2У2ЬА, ^=ЬА, ^=XxYxZxX^Y.Z,XxYxZxX^Y.Z,(6)(7)(6)(7)
[а.
[а.
»] =
»] =
i j к
XxYvZx
X2y2Z2
i j к
XxYvZx
X2y2Z2
— Z
— Z
Теперь, используя формулу векторов [а, 6] и с:
([а, ЬА, с)=Х., или
([а.
Теперь, используя формулу векторов [а, 6] и с:
([а, ЬА, с)=Х., или
([а.
ViZ,
ViZ,
Z2X2
Z2X2
XxYx
ХаУ2
XxYx
ХаУ2
(5)
(5)
(3) § 8, найдем скалярное произведение
(3) § 8, найдем скалярное произведение
KiZ, K2Z2
KiZ, K2Z2
+ Уз
+ Уз
Z.X,
Z.X,
z,x
z,x
2
2
4~ 23
4~ 23
XxYx
Х2У2
XxYx
Х2У2
ЬА, ^=
ЬА, ^=
XxYxZx
X^Y.Z,
XxYxZx
X^Y.Z,
(6)
(7)
(6)
(7)
X3YA
Формула (7) дает выражение смешанного произведения в координатной форме.
Свойства смешанного произведения. Смешанное произведение трех векторов:
а\Хь YlfZx}; Ь{Х„ У2, Z2}; с {Х3, У$, Z3}(8)
подчиняется сочетательному закону:
([а, ЬА, с) = (а, \Ь, с])(9)
для любых векторов а, Ь, с.
Действительно, на основании свойства переместительности скалярного произведения имеем:
(а, [Ь, сА) = ([Ь, еА, а).(10)
Запишем правую часть равенства (10) в координатной форме, и дважды поменяем местами строки определителя:
([&, с], а) =([&, с], а) =X^Y^ X3Y3Z3 XxYxZxX^Y^ X3Y3Z3 XxYxZxX3Y3Z3XxYxZxX3Y3Z3X3Y3Z3XxYxZxX3Y3Z3XxYxZxx2y2z2.X3y3Z3XxYxZxx2y2z2.X3y3Z3(11)(11)
([&, с], а) =
([&, с], а) =
X^Y^ X3Y3Z3 XxYxZx
X^Y^ X3Y3Z3 XxYxZx
X3Y3Z3
XxYxZx
X3Y3Z3
X3Y3Z3
XxYxZx
X3Y3Z3
XxYxZx
x2y2z2.
X3y3Z3
XxYxZx
x2y2z2.
X3y3Z3
(11)
(11)
Сопоставляя правые части равенств (7) и (11), убеждаемся, что([а, 6], c) = (a, [6, с]).
В связи с этим смешанное произведение векторов а, Ь, с принято обозначать так: abc.
При круговой ) перестановке векторов-миожителей смешанное произведение не меняется, а при любой другой перестановке меняет знак:
abc = cab = bca = — Ьас =— cba=— acb.(12)
Это следует из предыдущего предложения и из правила перестановки множителей в скалярном и векторном произведении двух векторов.
Условие компланарности трех векторов. Как уже отмечалось, смешанное произведение трех компланарных векторов а\Хд, Уь Zt}; b {Ха, Y2, Za}; с\Хг, Ya, Z3} равно нулю:
abc = 0(13)
и наоборот, если смешанное произведение abc равно нулю, то векторы а, Ь, с компланарны. Таким образом, равенство
abc = 0
есть условие компланарности векторов а, Ь, с.
Используя формулу (7), можно условие компланарности трех векторов записать в следующем виде:
ХЛ^
(14)(14)X»YolZ2
(14)
(14)
X3Y3Z3
Пользуясь сочетательным свойством смешанного произведения и распределительным свойством скалярного произведения, легко доказать распределительное свойство векторного произведения.
Прежде всего заметим, что если векторы а и b таковы, что при всяком векторе d имеем ad=bd, то а=Ь.
В самом деле, из равенства ad—bd следует ad — bd=0 или, в силу распределительного свойства скалярного произведения,
(a — b)d = 0.
Беря d=a — b, получим (а — &)а = 0, но скалярный квадрат вектора равен нулю, только если вектор нулевой. Следовательно, а — Ь = 0, т. е. а = Ь.
В силу сделанного замечания для доказательства распределительного закона векторного произведения
[(а+ 6), с] = [а, сЦ-[Ь, с)] достаточно лишь проверить, что для любого вектора d выполняется равенство
[(а 4-6), с] d=([a, с] + [&, c^d.
Имеем:
[(« + &), с] d=(a-\-b') [с, d] = a[c, d]4~b[c, d] == [а, c]d4-[b, c]d=([a, сЦ-[&, c])d,
что и требовалось доказать.
Двойное векторное произведение. Приведем, без вывода, следующее выражение двойного векторного произведения:
[а, [6, с]] = Ь(а, с)—с (а, Ь).(15)
2,) и М^х», у», г^.2,) и М^х», у», г^.нии X, т. е. так, что М1Мй =Х. Последнее условие можно записать в Л4оА4знии X, т. е. так, что М1Мй =Х. Последнее условие можно записать в Л4оА4зформе:форме:
2,) и М^х», у», г^.
2,) и М^х», у», г^.
нии X, т. е. так, что М1Мй =Х. Последнее условие можно записать в Л4оА4з
нии X, т. е. так, что М1Мй =Х. Последнее условие можно записать в Л4оА4з
форме:
форме:
Доказательство этого равенства читатель найдет в более полных курсах.
Пример 1. Вычислить объем пирамиды, построенной на трех векторах:а {2, 3, — 1}, »{4, 5, 1} с{1, —2, 3}.
Решение. Найдем смешанное произведение данных векторов; его модуль равен объему параллелепипеда, построенного на данных векторах. Искомый объем пирамиды представляет одну шестую часть объема этого параллелепипеда.
abc =abc =„147
abc =
abc =
^пир 6 3•
Пример 2. Проверить, будут ли три данных вектора а {2, 1, 3} Ь {3, —2, 1}, с{1, 1, 2} компланарны.
Решение. Для этого достаточно проверить, выполняется ли условие (14)
компланарности векторов:
21 3
3 —2 1 = 2(— 4 — 1) — (6— 1)4-3(3 4-2)=— 10—5 4-15 = 0.
11 2
Раздел 3
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 12. Расстояние между двумя точками в пространстве
В пространстве даны две точки Мх (хь ух.
Требуется определить расстояние между ними.
Проведем радиусы-векторы гх и Га точек Мх и М» (рис. 84).
Пусть Г1 {хп ух, zx} и га {ха, уъ z^. Тогда МхМ^ = г^— гх, а координатами этого вектора будут х3 —хь уа —Уь za —Zp Следовательно,
|Га —Г1| =
= УТ^Г—У0М~^^(1)
Обозначая расстояние между Мх и Мй через d, получим:
d = / (х3 — х^2 + (у2 — yxf 4- (z3 — гх)\ (2)
Деление отрезка в данном отношении
Пусть даны две точки Мх (хх, ух, zx) и Л4а(ха, Уэ, 2а) (рис. 85). Установим на прямой 44^2 направление (например, от Мх к 442). Требуется найти на этой прямой точку М6 (х0, у0, z0), которая разделила бы отрезок МХМ^ в отноше
МхМй = ХМвМ»,
откуда следует, что
(1)(1)MxM6 = XMttMi,
(1)
(1)
Координаты векторов МхМй = гй— гх и ХЛ40Л42 = Х(г2— г^ соответственно равны:
х0 — хХ) уй — ух, z0 —z, и Х(х2 — х0), Х(у2 — у^, X(z2 — г0).
Так как у равных векторов координаты равны, то
х0 — хх = X (х2 — х^,
Ув — У1 = ЧУ» — Ув),(2)
z0 — 2t = X (z2 — z0).
Определяя x0 из первого из равенств (2), получим ^-Д^.(3)
Аналогичные выражения получим для ув и z0 Следовательно, v xi + Хх2 .V, + Ху2 . z, 4- Xz2
Х° — 1 + X ’— 1 + X ’ 2°1 + X •W
Формулы (4) и являются формулами деления отрезка в данном отношении.
В случае Х=1 получим формулы деления отрезка пополам: v ■’j+'i._У1+Т2._2хА-2»,г.
Хо —2 ’2— ’— 2 '
Раздел 4
ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ И ИХ УРАВНЕНИЯ
Уравнения с тремя неизвестными. Будем рассматривать уравнения вида F (х, у, z) = 0, где F (х, у, z)— какие-нибудь выражения, содержащие х, у и г.
Если выражение F ^х, у, z) есть сумма конечного числа слагаемых вида Ax?ymz\ где I, т и к — целые неотрицательные, а А—действительные числа, то уравнение- называется алгебраическим уравнением, а большее из чисел (l + т 4- /г) называется его степенью.
Алгебраическое уравнение первой степени относительно х, у и г имеет вид: Ах-V By-\-Сг-\-D = О (А, В, С, D — числа), алгебраическое уравнение второй степени относительно х, у, г запишется в виде:
Ах2 + By3 + Cz2 + Оху + Exz + Яг/z + Кх + Ly + A4z + ^ = О и т. д.
Поверхность и ее уравнение. В аналитической геометрии поверхность рассматривается как геометрическое место точек, ее составляющих.
Введем в пространстве прямоугольную декартову систему координат XYZ и рассмотрим какую-нибудь поверхность. Пусть Л4 — произвольная (или, как говорят, «текущая») точка этой поверхности. Положение точки М должно подчиняться определенному условию, характеризующему данное геометрическое место точек (данную поверхность). Так как положение точки М определяется ее координатами х, у, г, то условие, которому должно удовлетворять положение точки М, сводится к условию, которому должны удовлетворять координаты точки М, т. е. сводится к некоторому уравнению
F (х, у, z) = 0. (1)
Это уравнение F (х, у, z) = 0 называется уравнением данной поверхности, если координаты любой точки поверхности ему удовлетворяют, а координаты точек, не лежащих на поверхности, не удовлетворяют. 112
Таким образом, уравнением поверхности называется соотношение F(х, у, г) = 0, которому удовлетворяют координаты точек поверхности (и только они) *).
Рассмотрим пример на составление уравнения поверхности, заданной как геометрическое место точек. Сферой радиуса R с центром в точке О’ является геометрическое место всех точек пространства, находящихся от точки О' на расстоянии R.
Пусть в данной декартовой прямоугольной системе координат точка О' (центр сферы) имеет координаты а, b и с. Обозначим через М (х, у, г) произвольную точку сферы. Записывая условие, определяющее точки сферы, получим: O'M = R, т. е.
/ (х — а)2+(у — 6)2 + (г — cy = R, т. е.
(x-ay-V^y-b^-V-(2-cy = R\ (2)
Координаты любой точки М сферы удовлетворяют уравнению (2).
Если точка М (х, у, г) не лежит на данной сфере, то O’M^>R или O'M<^R, а значит,
(х - а)2 + (у - by + (2-Cy>R4 или
(X _ а)2 + (у - by + (2 — су < R\
Таким образом, уравнение (2) является уравнением сферы радиуса R с центром в точке О’(а, Ь, с).
Поверхности, имеющие в декартовой системе координат алгебраические уравнения первой и второй степени, будем называть алгебраическими поверхностями соответственно первого и второго порядков.
Уравнения и соответствующие им поверхности. Пусть дано некоторое уравнение относительно переменных х, у, г;
F(x, у, г) = 0. (3)
Рассмотрим в пространстве XYZ все точки (х, у, z), координаты которых удовлетворяют уравнению (3). Геометрическое место точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению F (х, у, z) = 0, будем называть поверхностью, определяемой в выбранной системе координат этим уравнением. При этом само уравнение F(x, у, z) = 0 будет уравнением такой поверхности. Это определение поверхности позволяет геометрически иллюстрировать различные уравнения, связывающие переменные х, у и 2, в связи с чем оно часто используется при изучении вопросов алгебры и анализа.
Ниже будут рассматриваться различные задачи, связанные с заданием поверхности ее уравнением. Условимся в дальнейшем, вместо того чтобы говорить «дана поверхность, определяемая уравнением F (х, у, а)=0», говорить короче: «дана поверхность F (х, у, z) = 0» и т. д.
Заметим, что данное выше «определение» поверхности может привести к геометрическим образам, весьма отличным от интуитивного представления о поверхности.
Уравнения линии в пространстве. Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, т. е. как геометрическое место точек, общих двум поверхностям2).
*) Строгое определение поверхности дается в специальной математической*) Строгое определение поверхности дается в специальной математическойПусть F (х, у, z) = 0 и Ф(х, у, 2) = 0— уравнения поверхностей, пересекающихся по данной линии L. Тогда координаты каждой точки линии L удовлетворяют обоим уравнениям.
*) Строгое определение поверхности дается в специальной математической
*) Строгое определение поверхности дается в специальной математической
литературе.
а) Строгое определение линии дается в специальной математической литературе.
Наоборот, каждая точка, координаты которой удовлетворяют обоим уравнениям, лежит на линии пересечения этих поверхностей.
f F (х, у, z) = О, Пару уравнений< _ .,„
( Ф(х, у, z) = 0
будем называть уравнениями линии L в пространстве.
Примечания: 1. Так как через линию в пространстве можно проводить различные поверхности, то можно в качестве уравнений линии брать уравнения любых двух поверхностей, пересекающихся по данной линии.
Определяя линию как геометрическое место точек (х, у, г) (пространства XYZ), координаты которых удовлетворяют уравнениям
F(x, у, г) = 0,Ф (х, у, z) = О
мы можем, кроме геометрических мест точек, которые мы интуитивно понимаем под линиями, получить мнимое геометрическое место точек [поверхности F (х, у, z) = 0 и Ф(х, у, z) = 0 не. пересекаются], одну, несколько или бесчисленное множество отдельных точек, и т. д.
Раздел 5
плоскость
§ 14. Нормальное уравнение плоскости
Возьмем в пространстве XYZ некоторую плоскость Р. Через начало координат проведем прямую (нормаль), перпендикулярную плоскости Р (К — точка пересечения этой прямой с плоскостью Р) и установим на
Рис. 86.Рис. 86.этой прямой направление от начала О в сторону плоскости Р (рис. 86).
Рис. 86.
Рис. 86.
Примечание. Если плоскость Р проходит через начало О, то на нормали устанавливаем любое из двух возможных направлений.
Пусть п — единичный вектор нормали, направленный в выбранную на ней сторону, а, р и 7 —
У углы наклона этого вектора к осям координат, а р— расстояние плоскости Р от начала координат. При этом
л {cosa, cosp, cos7}, а р = ОК.
Затем возьмем на плоскости Р произвольную («текущую») точку М (х, у, г) и соединим ее с началом координат. Радиус-вектор г точки М будет иметь своими координатами числа х, у, г:
(1)(1)(2)(2)г = ОМ {х, у, г}.
(1)
(1)
(2)
(2)
Спроектируем вектор г на вектор п. Очевидно, что пр„г=р.
Равенство (2) будет выполняться для всех точек, лежащих на плоскости Р.
Так как равенство (2) справедливо только для точек плоскости Р, то оно является уравнением этой плоскости. Так как (г, л) = |д|прлг= = пр„г, то уравнение плоскости Р можно записать в виде:
(г, я) = р или
(г, л)—р = 0.(3)
Уравнение (3) называется нормальным, уравнением плоскости в векторной форме. Зная координаты векторов г, п и выражение для скалярного произведения, можно записать уравнение (3) в координатной форме:
х cos а + у cos р + 2 cos 7 — р = 0.(4)
Уравнение (4) называется нормальным уравнением плоскости в координатной форме. Параметрами этого уравнения являются: р — расстояние плоскости от начала координат; а, р, 7 — углы, которые образует нормаль п с координатными осями.
Если плоскость Р проходит через начало координат, то уравнение плоскости запишется в виде: (г, л) = 0, т. е.
х cosa + У cos р + 2 cos 1 = 0.
Таким образом, доказано, что всякая плоскость в прямоугольной системе координат XYZ имеет уравнение первой степени относительное, У и z.
§15. Общее уравнение плоскости
Возьмем произвольное уравнение первой степени относительно е, у и г:
Лх4-Ву + Сг + О = 01)(1)
и докажем, что оно является уравнением некоторой плоскости.
Обозначим через N вектор с координатами А, В, С:
N{A, В, С},(2)
а через г—радиус-вектор точки М (х, у, z), координаты которой удовлетворяют уравнению (1). При этом
г^х, у, г}.(3)
Так как скалярное произведение векторов N и г равно
(N, г) = Ах -|- By + Сг,(4)
то уравнение (1) можно переписать в виде:
(N, г)+ 0 = 0.(5)
Умножая все члены уравнения (5) на некоторый множитель X, получим уравнение, являющееся уравнением того же геометрического образа:
(XN, г) + ХО = 0.(6)
Выберем теперь число X так, чтобы длина вектора п = XN была равна единице. Тогда
(ХМ ХМ)=1, X^N, M) = L Х = ±—=L=-.
V IN, N)
Знак числа X берем таким, чтобы произведение XD было отрицательным. Обозначим XD =— р, где р^>0. При этом уравнение (6) запишется в виде:
(л, г) — р = 0.(7)
*) Предполагается, что коэффициенты А, В и С одновременно не обращаются в нуль.
Как было показано в § 17, это уравнение есть уравнение плоскости, имеющей нормальный вектор п и находящейся от начала на расстоянии р.
Таким образом, данное уравнение первой степени относительно х, у, г: Ax + By + Cz + D = 0, есть уравнение плоскости.
Для приведения этого уравнения к нормальному виду достаточно умножить обе части уравнения на множитель X (нормирующий множитель):
*VN, N К^2 + 82+С2 выбрав перед корнем знак, противоположный знаку числа D.
Уравнение (N, г)+ 0 = 0 называется общим уравнением плоскости в векторной форме.
Так как вектор N коллинеарен вектору п, то вектор М{Л, В, С} расположен перпендикулярно к плоскости (N, г)+ 0 = 0, т. е. к плоскости
Лх + Ву + Сг + О = 0.
Уравнение Лх + By + Cz + 0 = 0 называется общим уравнением плоскости. Приведем его к нормальному виду:
+ у а2 4-в2 4-с?± /л2 + в2 + с2 у
+ —r с а Иг D = 0.(8)
л2 + в2 4-с2 |±/л24-в24-С2
Полученное уравнение должно иметь вид: х cos а + у cos р + z cos-? — р = 0.
Отсюда можно найти выражения для направляющих косинусов вектора N и расстояние р плоскости от начала координат:
А
(9)
+ у д^ + в2 4- с2'
cos р =
в
(Ю)
± У д2 4- в2 4- с? '
cos у —
с
(И)
± у а2 4-в2 4-с2 ’
— D
(12)
. У А2 4-В2 4-С2
(знак перед корнем противоположен знаку О).
Исследование общего уравнения плоскости
Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения плоскости:
Ах + By + Cz + D = 0.
0 = 0. Уравнение примет вид Лх + Ву +Cz = 0. Из равенства (12) § 15 следует, что плоскость проходит через начало координат (что видно и непосредственно).
С = 0. Уравнение принимает вид Лх+ By + 0 = 0. На основании равенства (11) § 15 можно утверждать, что угол между нормалью к плоскости и осью OZ равен у, следовательно, плоскость Ах-}-By + 0 = 0 параллельна оси OZ. Аналогично заключаем, что плоскость Ах-}-Сг-}- + 0 = 0 параллельна оси 0Y и плоскость By + Cz + D = 0 параллельна оси ОХ.
С = 0 и D = 0. Уравнение принимает вид Ах-\- By = 0. На основании равенств (11), (12) § 15 можно утверждать, что эта плоскость проходит через начало координат и параллельна оси 0Z, т. е. Ах4~Ву = 0 есть уравнение плоскости, проходящей через ось 0Z. Аналогично получаем, что Ax-4~Cz = 0 — уравнение плоскости, проходящей через ось ОУ, a By4~Cz = 0 — уравнение плоскости, проходящей через ось ОХ.
В = О, С = 0. Уравнение принимает вид Лх + О = 0 или х = =— ^-. Это уравнение плоскости, одновременно параллельной оси OZ и оси OY, т. е. параллельной координатной плоскости YOZ, аналогично DVV
у = — есть уравнение плоскости, параллельной координатной плоско
сти XOZ, а уравнение z =— g- есть уравнение плоскости, параллельной плоскости XOY.
В = 0, С=0 и 0 = 0, А Ф 0. Уравнение принимает вид Ах=0 или х = 0. Это уравнение координатной плоскости Y0Z. Аналогично у = 0— уравнение координатной плоскости Z0X, уравнение г = 0 — уравнение координатной плоскости X0Y.
Связка плоскостей и ее приложения
Через всякую точку пространства можно провести бесчисленное множество плоскостей. Совокупность плоскостей, проходящих через фиксированную точку Л40, называется связкой плоскостей с центром Л40.
Возьмем уравнение плоскости в общем виде:
(N, г) + 0 = 0,(1)
где N \ А, В, С}; г\х, у, г}, и фиксированную точку Мй с радиусом- вектором г0 {х0, у о, 20}.
Пусть плоскость (1) проходит через точку Мй. Тогда, подставляя в уравнение плоскости вместо текущего радиуса-вектора г фиксированный радиус-вектор г0, получим тождество:
(N, ro) + D = O.(2)
Вычитая из равенства (1) тождество (2), получим:
(N, (г-г„)) = 0.(3)
При всяком ненулевом векторе N это будет уравнение некоторой плоскости, проходящей через точку Л40, и уравнение всякой плоскости, проходящей через точку М6, можно записать в таком виде.
Уравнение (3) называется уравнением связки плоскостей. Так как вектор (г — г0) имеет координаты х— х0, у — уй, г —z0, то в координатной форме уравнение связки запишется в виде:
А (х — х0) + В(у — y0) + C(z — zo) = O.(4)
Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Составим уравнение плоскости, проходящей через точки Мь М^, М8, определенные соответственно радиусами-векторами:
r^Xi, у„ г^; га\хг, уъ г2}; г3{х3, у3, 23}.
Для этого воспользуемся уравнением связки плоскостей с центром в точке Mv:
(N, (г-г^-О(5)
и будем из этой связки плоскостей выбирать такую плоскость, которая проходила бы через точки Мг и Ма. Это приведет к соотношениям:
<N, (г2-г1)) = 0,(6)
W (Гз-г^^О.(7)
Каждое из равенств (5), (6), (7) представляет собой условие ортогональности векторов: г — г<, г^ — г<, Га— Гх к вектору N;
2V±(r —гО, N JL (га — г,), N JL (г3 — г^.
(8)(8)Но если три вектора ортогональны одному и тому же вектору, то эти векторы компланарны. Условием компланарности трех векторов
(8)
(8)
Рис. 87.Рис. 87.является равенство нулю их смешанного произведения. Следовательно,
Рис. 87.
Рис. 87.
(г — г,) (га — Г,) (Гз — Г,) = 0.(9)
Уравнение (9) является уравнением, пло- Y скости, проходящей через три точки. В координатной форме это уравнение будет иметь вид:
х — Xi У — У1X» — Xi уг — ухха — хх Уа — Ух
г — 2, 2а — 2.x 2з —Z1г — 2, 2а — 2.x 2з —Z1(10)(10)Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки Mx (1, 2, — 1), М3 (2, 2, 3), М8 (1, 0, — 2).
г — 2, 2а — 2.x 2з —Z1
г — 2, 2а — 2.x 2з —Z1
(10)
(10)
х — 1 у—2 г-|- 1104х — 1 у—2 г-|- 1104= 0, т. е. 8х + у — 2г —12 = 0.= 0, т. е. 8х + у — 2г —12 = 0.Используя уравнение (10), получим:
х — 1 у—2 г-|- 1
104
х — 1 у—2 г-|- 1
104
= 0, т. е. 8х + у — 2г —12 = 0.
= 0, т. е. 8х + у — 2г —12 = 0.
0—2— 1
Уравнение плоскости в отрезках на осях. Найдем уравнение плоскости, отсекающей на координатных осях отрезки, величины которых равны: а, Ь, с.
Очевидно, что точками пересечения плоскости с координатными осями будут точки (а, 0, 0), (0, Ь, 0), (0, 0, с) (рис. 87).
Используя уравнение плоскости, проходящей через три точки,
получим:
= 0,= 0,Ьс (х — а) -}- асу -|- abz = 0, bcx -|- асу -|- abz = abc,Ьс (х — а) -}- асу -|- abz = 0, bcx -|- асу -|- abz = abc,х — а у г— а b 0— а 0 с
= 0,
= 0,
Ьс (х — а) -}- асу -|- abz = 0, bcx -|- асу -|- abz = abc,
Ьс (х — а) -}- асу -|- abz = 0, bcx -|- асу -|- abz = abc,
(П)
Уравнение (11) называется уравнением плоскости в отрезках на осях.
Расстояние от точки до плоскости
Пусть дана плоскость Р своим уравнением в нормальном виде
(я, г) — р = 0,
где п {cosa, cosp, cos7}, г^х, у, z}, и точка Л40 с радиусом-вектором r0. Требуется определить расстояние от точки Мй до плоскости. Будем рассматривать случай, когда точка М6 и начало координат О лежат по разные стороны от плоскости. Проведем вектор OL, перпендикулярный плоскости, опустим перпендикуляр М6К из точки Мй на плоскость Р и введем еще два вектора: МуК и ОК (рис. 88).
Вектор ОК можно рассматривать как сумму двух векторов: 6К = ЖЛ-М._ (1)
Обозначив длину вектора AV? через d и замечая, что вектор М6К коллинеарен единичному вектору п, но противоположен ему по направлению, можем написать:
М»К = — nd,(2)
тогда
ОК = Го — nd.(3)
Так как ОК есть радиус-вектор точки К, лежащей на плоскости, то
Рис. 88.Рис. 88.расстояние от точки Мй до пло- в предположении, что точка 44 0расстояние от точки Мй до пло- в предположении, что точка 44 0можно в уравнение плоскости вместо текущего вектора г подставить вектор
Рис. 88.
Рис. 88.
расстояние от точки Мй до пло- в предположении, что точка 44 0
расстояние от точки Мй до пло- в предположении, что точка 44 0
ОК:
{п (г0 — nd)) — р = 0
или
(п, rJ — d — p — O,
откуда
d=(n, гй) — р.(4)
Равенство (4) позволяет определить скости Р. Формула (4) была выведена
и начало координат лежат по разные стороны от плоскости.
Если данная точка и начало координат лежат по одну сторону от
плоскости (рис. 89), то, проводя аналогичные рассуждения, получим:
d = — (n, г»)^-р.
Таким образом, в общем случае:
d=\(n, гв) — р\.(5)
Этот результат можно изложить так: чтобы найти расстояние от точки до плоскости, надо уравнение плоскости привести к нормальному виду и взять абсолютную
величину левой части уравнения, подста
вив в нее вместо радиуса-вектора произвольной точки плоскости радиус-
вектор данной точки.
Если точка Мй имеет координаты х0, ув, 20, а уравнение плоскости Р дается в виде: Лх-)- By-\-Cz-\-D = 0, то нормируя уравнение, а затем подставляя вместо текущих координат координаты точки Мо, получим формулу для определения расстояния от точки Л40 до плоскости Р в координатной форме:
(6)(6)^ I Ах0 -|- Ву» + Cz0 + D |У A3-VBa-VC3
(6)
(6)
Пример. Найти расстояние от точки М (5, 3, 2) до плоскости 2х— Зу -|- 6z -|- 4 = 0.
По формуле (6)
_ |2-5-3(-3) + 6.24-4| _5/4 4- 9 4- 36
Таким образом, расстояние от точки до плоскости равно 5 единицам.
§ 19. Угол между двумя плоскостями
Пусть даны две плоскости своими уравнениями (Nb г) + Di — 0... (Pi), W, r) + Da = 0 ... (Ра), где векторы М{ЛЬ Вь Ci} и Нг\Аъ В,, Са} соответственно перпендикулярны заданным плоскостям (рис. 90).Углом <р между двумя плоскостями будем называть любой из двух смежных двугранных углов, образованных этими плоскостями *).Обозначим угол между векторами Nx и N» через 9.Пусть даны две плоскости своими уравнениями (Nb г) + Di — 0... (Pi), W, r) + Da = 0 ... (Ра), где векторы М{ЛЬ Вь Ci} и Нг\Аъ В,, Са} соответственно перпендикулярны заданным плоскостям (рис. 90).Углом <р между двумя плоскостями будем называть любой из двух смежных двугранных углов, образованных этими плоскостями *).Обозначим угол между векторами Nx и N» через 9.(УоЛМ(УоЛМ11^111^1|М2||М2|. Углы 7 и 6, как следует из геометрических. Углы 7 и 6, как следует из геометрическихТогда cos 6Тогда cos 6ООРис. 90.Рис. 90.коллинеарны. Вколлинеарны. Всоображений, связаны равенствами <р = 9 или f = it — 6, следовательно, cos 7 = cos 6 или cos ^ = = cos (it — 9) = — cos 9.Отсюда cos<p —±cos9, t. e.соображений, связаны равенствами <р = 9 или f = it — 6, следовательно, cos 7 = cos 6 или cos ^ = = cos (it — 9) = — cos 9.Отсюда cos<p —±cos9, t. e.cos<p_± |Nj| !№|.cos<p_± |Nj| !№|.(1)(1)Равенство (1) позволяет определить угол между плоскостями, заданными в векторной форме.Если плоскости заданы уравнениями Л1Х + —]— Вху —|— Cxz —н Dx — 0 и А^х —|— В^у —|— C^z —|— О^ = 0, то формула (1) запишется в виде:Равенство (1) позволяет определить угол между плоскостями, заданными в векторной форме.Если плоскости заданы уравнениями Л1Х + —]— Вху —|— Cxz —н Dx — 0 и А^х —|— В^у —|— C^z —|— О^ = 0, то формула (1) запишется в виде:COS <р =COS <р =^1^2 Ч~ S|52 4~ С,С2^1^2 Ч~ S|52 4~ С,С2(2)(2)Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Для того чтобы плоскости Pi и Ра были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы векторы 2Vt {Ль Вх, Ci} и М{Ла, Ва, Са} были случае коллинеарности векторов их соответствующиеУсловия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Для того чтобы плоскости Pi и Ра были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы векторы 2Vt {Ль Вх, Ci} и М{Ла, Ва, Са} были случае коллинеарности векторов их соответствующиекоординаты пропорциональны:Л _^i = Cl2) А 2 В2 С2координаты пропорциональны:Л _^i = Cl2) А 2 В2 С2(3)(3)
Пусть даны две плоскости своими уравнениями (Nb г) + Di — 0... (Pi), W, r) + Da = 0 ... (Ра), где векторы М{ЛЬ Вь Ci} и Нг\Аъ В,, Са} соответственно перпендикулярны заданным плоскостям (рис. 90).
Углом <р между двумя плоскостями будем называть любой из двух смежных двугранных углов, образованных этими плоскостями *).
Обозначим угол между векторами Nx и N» через 9.
Пусть даны две плоскости своими уравнениями (Nb г) + Di — 0... (Pi), W, r) + Da = 0 ... (Ра), где векторы М{ЛЬ Вь Ci} и Нг\Аъ В,, Са} соответственно перпендикулярны заданным плоскостям (рис. 90).
Углом <р между двумя плоскостями будем называть любой из двух смежных двугранных углов, образованных этими плоскостями *).
Обозначим угол между векторами Nx и N» через 9.
(УоЛМ
(УоЛМ
11^1
11^1
|М2|
|М2|
. Углы 7 и 6, как следует из геометрических
. Углы 7 и 6, как следует из геометрических
Тогда cos 6
Тогда cos 6
О
О
Рис. 90.
Рис. 90.
коллинеарны. В
коллинеарны. В
соображений, связаны равенствами <р = 9 или f = it — 6, следовательно, cos 7 = cos 6 или cos ^ = = cos (it — 9) = — cos 9.
Отсюда cos<p —±cos9, t. e.
соображений, связаны равенствами <р = 9 или f = it — 6, следовательно, cos 7 = cos 6 или cos ^ = = cos (it — 9) = — cos 9.
Отсюда cos<p —±cos9, t. e.
cos<p_± |Nj| !№|.
cos<p_± |Nj| !№|.
(1)
(1)
Равенство (1) позволяет определить угол между плоскостями, заданными в векторной форме.
Если плоскости заданы уравнениями Л1Х + —]— Вху —|— Cxz —н Dx — 0 и А^х —|— В^у —|— C^z —|— О^ = 0, то формула (1) запишется в виде:
Равенство (1) позволяет определить угол между плоскостями, заданными в векторной форме.
Если плоскости заданы уравнениями Л1Х + —]— Вху —|— Cxz —н Dx — 0 и А^х —|— В^у —|— C^z —|— О^ = 0, то формула (1) запишется в виде:
COS <р =
COS <р =
^1^2 Ч~ S|52 4~ С,С2
^1^2 Ч~ S|52 4~ С,С2
(2)
(2)
Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Для того чтобы плоскости Pi и Ра были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы векторы 2Vt {Ль Вх, Ci} и М{Ла, Ва, Са} были случае коллинеарности векторов их соответствующие
Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Для того чтобы плоскости Pi и Ра были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы векторы 2Vt {Ль Вх, Ci} и М{Ла, Ва, Са} были случае коллинеарности векторов их соответствующие
координаты пропорциональны:
Л _^i = Cl2) А 2 В2 С2
координаты пропорциональны:
Л _^i = Cl2) А 2 В2 С2
(3)
(3)
Равенство (3) и является условием параллельности двух плоскостей.
Для того чтобы плоскости Pi и Ра были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы векторы Nx и N^ были ортогональны друг другу. В случае ортогональности векторов их координаты связаны соотношением:
Л1Л а —[—BiBa —[—CiCa = 0.(4)
Это равенство и является условием перпендикулярности двух плоскостей.
Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку /И (2, 3, 1) параллельно плоскости
5х — 4у + 7z — 43 = 0.
Составим уравнение связки плоскостей с центром в точке М:
А (х —2) 4- В (у 4- 3) 4- С (г — 1) = 0.
На основании условия (3) параллельности плоскостей можно написать
А _ В _ С
5 — —47
или
Д = 5/; В = — 4t; С = 41.
Подставим в уравнение связки плоскостей значения А, В, С:
5< (х — 2) — 4< (у 4- 3) 4- 71 (^ — 1) = 0.
Разделим обе части уравнения на t.
5 (х—2) — 4 (у 4-3) 4-7 (z — 1) = 0.
После алгебраического преобразования искомое уравнение плоскости будет иметь вид:
5х — 4у 4~ 7г — 29 = 0.
Примечание. Так как обе части уравнения можно сократить на коэффициент пропорциональности, то в дальнейшем мы будем в уравнение связки вместо неизвестных коэффициентов подставлять сразу величины, им пропорциональные.
Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Л4 (3,—4, 1) перпендикулярно двум плоскостям:
2х—3y4-4z—17 = 0 ... (PJ; 5х— у 4~2z 4-35 = 0 ... (Р2).
Составим уравнение связки плоскостей с центром в точке М (3, — 4, 1):
А (х- 3) 4- В (у 4- 4) 4- С (г — 1) =0.
На основании условий перпендикулярности искомой плоскости к плоскостям Pt и Р3 можно записать следующие равенства:
2Д—ЗВ4-4С = 0; 5А — В 4-2С = 0.
Из полученной однородной системы двух линейных уравнений с тремя неизвестными А, В, С можно определить их отношение
А тогда искомое уравнение примет вид:
2(х —3)— 16 (у 4- 4)— 13 (z — 1) = 0,2х — 16у — 13z —57 = 0.
Раздел 6
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Параметрические и канонические уравненияпрямой линии в пространстве
Параметрические уравнения прямой линии. Возьмем произвольную прямую и вектор s^m, п, р}, параллельный данной прямой (рис. 91). Вектор $ называется направляющим вектором прямой. Затем на прямой возьмем некоторую фиксированную точку Мй и произвольную точку М. Обозначим через Гр и г радиусы-векторы точек Мй и М. Очевидно, что три вектора г0, г и УИрУИ связаны соотношением
г — г»=ВД.(1)
Вектор МйМ, коллинеарный вектору $, может быть представлен как st, т. е. M6M = st, где t является параметром, принимающим различные значения в зависимости от положения точки М на прямой линии. Уравнение (1) можно записать в виде:
г—r^ — st
или
г=Го + $/.(2)
Так как этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки М прямой н не удовлетворяют координаты точки, не лежащей на этой
прямой, то уравнение (2) является уравнением прямой линии в пространстве. Полученное уравнение называется параметрическим уравнением прямой в пространстве в векторной форме.
Если точка М имеет координаты х, у и г, а точка Мй — координаты *о> Уо» zo.
то г=г\х, у, г}, го = Го{хо, у», г0}.
Уравнение (2) можно при этом записать в виде:
xz -j- yJ-\- zk = (хо -[- mt) z" -|- (Уо ~F п0У 4~ (zo “F pt) k. (3)
Так как у равных векторов соответствующие координаты равны, то • х = х0 -[- mt,
■ g = yo-W,(4)
г = z0 + pt.
Равенства (4) являются параметрическими уравнениями прямой в пространстве в координатной форме.
Канонические уравнения прямой линии. Исключая из равенств (4) параметр t, получим:
х —х0 _у—у0 _2 —20 1)_
т п р ' '
Этим равенствам будут удовлетворять координаты каждой точки, лежащей на прямой, и только они, т. е. равенства (5) являются уравне-
Рис. 91.Рис. 91.
Рис. 91.
Рис. 91.
ниями прямой линии в пространстве. Их называют каноническими уравнениями прямой, или уравнениями прямой в форме пропорций.
Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора $. Используя формулы (3) § 5, получим:
(6)(6)(7)(7)V т2 + п2+р2 ’ оп
(6)
(6)
(7)
(7)
COS Р = —====-,]Л т2 +п2+р2рcos т ■ ■ .
V т2 + п2 -|-р2
Из равенств (6) определяем: т: п: р = cos а: cos р: cos у.
Следовательно, числа т, п и р пропорциональны направляющим косинусам прямой. Их принято называть угловыми коэффициентами прямой в пространстве. В канонических уравнениях прямой (5) х, у и z являются координатами произвольной точки, а х0, уй и гй координатами фиксированной точки Л40, лежащей на прямой.
Заметим, что числа т, п и р одновременно обращаться в нуль не могут, так как вектор s не нулевой. Однако один или два угловых коэффициента одновременно могут обращаться в нуль. Если, например, т —О, то cos а —О, т. е. данная прямая перпендикулярна к оси абсцисс, и т. д.
Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две точки. Пусть дана некоторая прямая, проходящая через точку Mb радиус-вектор которой Г1 {xlf yi, г^, и через точку Мз, радиус-вектор которой г-Дх-ь уз, z2}. Требуется составить уравнения этой прямой.
Составим уравнения прямой, проходящей через точку Мх (хь уь zx) (рис. 92), в каноническом виде:
где $ \т, п, р} — направляющий вектор прямой.
Рассматривая векторы гь г» и МхМз, видим, что Л47М2 = г2— rv Координатами вектора г2— гх будут х2— хь уч— уь z2— гх.
Так как вектор г2— гх коллинеарен вектору 8, то их координаты пропорциональны, т. е.
Х5 Ху Уз У1 _ Zg 2,/дх
тпр *' '
Подставив в уравнение (8) вместо т, п и р величины, им пропорциональные, получим искомые уравнения прямой, проходящей через две точки:
Х—Х, _ y—yt _ 2—2, 1)/Jqx
Xa — Xx Уа—Уз Za — 4 *X J
Общие уравнения прямой в пространстве
Пусть заданы уравнения двух пересекающихся плоскостей:
<NX, г^Д-Вх = 0 и ЦЧз, /j-j-Da = O где
Nx {Л1, Вь Ci}; Ni {Л2, Вз, С2}; г^х, у, z\.
Тогда совокупность этих уравнений:
f (М, г) + А = 0,
I (2Va, г)+о2=о
можно рассматривать как уравнения прямой — линии пересечения этих плоскостей. Уравнения (1) называются общими уравнениями прямой в пространстве в векторной форме.
Выразив уравнения (1) в координатной форме, получим:
| Аух-р Вху + СхгД- Ох = 0,( Л зХ —|— В^у —|— C^z —|— D3 = 0.
Уравнения (2) называются общими уравнениями прямой в координатной форме.
Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду. Пусть даются уравнения прямой в общем виде:
f (М, r) + D. = 0,
1 ((V2, /*)-[-Dg = 0.
Уравнение^, г)-|-А = 0 есть уравнение плоскости Рь перпендикулярной вектору М{ЛЬ Въ Ct}; (W2, г) + О2 = 0— уравнение плоскости Рз, перпендикулярной вектору W2 (Л2, Вз, С2} (рис. 93). Уравнение ли-
х) См. сноску к стр. 102.
вии их пересечения можно записать в векторной форме: г=г0 + ^, где $ {/п, п, р} — направляющий вектор этой линии.
Найдем векторное произведение [2Vb ^g]:
\NX, 2Vg] =\NX, 2Vg] =i j AД1 Bx CiДд B^ Cgi j AД1 Bx CiДд B^ Cg= i= iBx C, Sg CgBx C, Sg Cg^* I k ^* ^* Дд + Дд Bg^* I k ^* ^* Дд + Дд Bg(3)(3)Из определения векторного произведения следует, что вектор [^, ^gl коллинеарен вектору $. Следовательно, координаты этих двух векторовИз определения векторного произведения следует, что вектор [^, ^gl коллинеарен вектору $. Следовательно, координаты этих двух векторовпропорциональны:т: п: р =пропорциональны:т: п: р =В, С,В, С,Bg CgBg CgCl Д1Cg Д gCl Д1Cg Д gAl BXД g BgAl BXД g Bg(4)(4)
\NX, 2Vg] =
\NX, 2Vg] =
i j A
Д1 Bx Ci
Дд B^ Cg
i j A
Д1 Bx Ci
Дд B^ Cg
= i
= i
Bx C, Sg Cg
Bx C, Sg Cg
^* I k ^* ^* Дд + Дд Bg
^* I k ^* ^* Дд + Дд Bg
(3)
(3)
Из определения векторного произведения следует, что вектор [^, ^gl коллинеарен вектору $. Следовательно, координаты этих двух векторов
Из определения векторного произведения следует, что вектор [^, ^gl коллинеарен вектору $. Следовательно, координаты этих двух векторов
пропорциональны:
т: п: р =
пропорциональны:
т: п: р =
В, С,
В, С,
Bg Cg
Bg Cg
Cl Д1
Cg Д g
Cl Д1
Cg Д g
Al BX
Д g Bg
Al BX
Д g Bg
(4)
(4)
Таким образом, в канонические уравнения прямой
х — х0 у — у0 Z — Zgт п р
п, р можно подставить числа, им пропорциональные, и получить уравнения
х —х0 у—у« z — z„,е,
I В, С, IС, Л, I IА В, I * v '
I Вз С2 IС3 А» | I Ад Вд |
Итак, чтобы от общих уравнений прямой
( А Хх -|- Вщ -|-С12-[- Dx — 0, ( Д gX —|- В%у —}- Сд2 —[— Од = О
перейти к каноническим уравнениям ^Л^- — =^~^2 = ~^^ т°й же прямой, надо найти какую-либо точку Мй(хй, уа, г0), лежащую на прямой, и вместо коэффициентов т, п и р подставить пропорциональные им числа (см. (4)).
Следует заметить, что при нахождении точки, лежащей на прямой, одау из координат можно задавать совершенно произвольно; целесообразно за точку Мй брать точку пересечения прямой с одной из координатных плоскостей, так как тогда хотя бы одна из координат этой точки будет равна нулю.
Пример. Уравнения прямой
J 2х — Зу 4- 5z + 7 = О,I х4-3у—4z —1 = 0
привести к каноническому виду.
За точку М0(х0, Уд, z0) возьмем точку пересечения этой прямой с плоскостью ЛОК, тогда ze = 0. Для определения х0, у6 будем иметь следующую систему:
f 2х0 — Зу0 + 7 — 0,X х0-|-Зуг0 —1=0.
Решая эту систему, найдем, что х0 = — 2; у?0=1.
Используя равенства (4) для нахождения отношения коэффициентов т, п и р, получим:
I — 35 115 2112 —31„
з—4Г| —43|=-3:13:9-
Следовательно, искомые уравнения имеют вид:
х -]-2 у— 1 z.
— "9*
§ 22. Угол между двумя прямыми
Углом между двумя прямыми в пространстве называют любой из углов, образованных двумя прямыми, проведенными из одной точки параллельно данным прямым ).
Пусть даны уравнения двух прямых:
(/1)...г=г1-Н»1Л
где г{х, у, 2}, Г1{хп уь z^, s^oii, пи pj, и
(/2)...г=г2 + $.2/,
где г2{х2, у,., z2}, s2{/n2, n2, р2}.
Обозначим угол между прямыми /, и /2 (рис. 94) через у, а угол между их направляющими векторами «х и $2 — через 9. При этом
Так как у = 9 или у = ^ — 9, то cosy = ± cos9. Следовательно,
cos<= = ±(2)
Если уравнения двух прямых даны в канонической форме:
х — хт y—yl z — zl mi”iЛ
X — Ха _у —у2 _ 2 — 22...
m2п.р2 ""'' ’
то формулу (2) можно записать в координатной форме:
сос?_—т^-уп^у-р^ -д.
K'nt + ^+pf/mi + «i+Pi
Формулы (2) и (3) являются формулами для определения угла между двумя прямыми в пространстве.
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве. Для того чтобы две прямые
Г=Г1 + ^...(/1)
ии
и
и
Г = Г2 -[- S^t... (/2),
где Si {/Их, «1, Pi} и $2 \тг, п^, р^ были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы их направляющие векторы $j и $2 были коллинеарны, т. е. соответствующие координаты векторов st и $2 были пропорциональны:
—lz=-=^-(4)
т2 ns р3 *' '
Условие (4) является условием параллельности двух прямых Zx и /2 в пространстве.
Для того чтобы прямые Zx и /2 были перпендикулярны между собой, необходимо и достаточно, чтобы параллельные им векторы $i и $2 были ортогональными.
Условие ортогональности двух векторов Sj и $2:
туп» -|- пуг» 4- ptpi = 0(5)
является условием перпендикулярности двух прямых Zt и Z2 в пространстве.
Пример 1. Найти уравнения прямой, проходящей через точку М (9, —13, 15) перпендикулярно двум прямым 1Х и 12:
х—3 у+4 гх+2 у—7 г
Составим уравнения любой прямой, проходящей через точку М:
х— 9 _ у + 13 _ z— 15g
т п р *'
Используя условие перпендикулярности искомой прямой сначала к прямой /п а затем к прямой /2, получим
2m — Зп -|- 5р = О,
4m + п — 2р = 0.
Из этой однородной системы линейных уравнений с неизвестными т, п и р найдем отношения неизвестных:
Подставляя в уравнения прямой (6) вместо т, п и р пропорциональные им величины, получим искомые уравнения:
х — 9у + 13г—15
~Г-24 ГТ-*
Пример 2. Составить уравнения прямой, проходящей через точку (8,—5,0) параллельно прямой
(2х — Зу 4-5z— 17 = 0,
"‘I х+ 4у — 2z + 8 = 0.
Составим уравнения любой прямой, проходящей через точку М (8, —5, 0):
х—8_у +5_ г.
т, пх рх*’
Обозначим угловые коэффициенты прямой I через т, п, р и найдем их отношения, используя равенства (4) § 21:
Так как у параллельных прямых угловые коэффициенты пропорциональны, то в уравнения (7) вместо тх, пх, рх можно подставить величины, нм пропорциональные. Получим уравнения
х — 8у -|-5 г
—14 — 9 — П’ которые и будут уравнениями искомой прямой.
Раздел 7
ПРЯМАЯ и плоскость
Угол между прямой и плоскостью
Углом межсу прямой и плоскостью называют любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Пусть дано уравнение плоскости Р:
(N, r)4-D = 0,где г{х, у, z} — текущий вектор, а вектор N{A, В, С} перпендикуляренк плоскости Р, и уравнение прямой I;
r = r»-Vst,
где вектор s ^т, п, р} параллелен прямой I (рис. 95).
Обозначим угол между векторами N и $ через 9, а угол между плоскостью Р и прямой I — через ®. Найдем косинус угла 6 между векторами N и s:
cos0 = _WA
1ЛГЦ8Г
При этом sin <р = ± cos 6. Следовательно,
sin <р =sin <р =-4- W s)I ЛГ| | S|-4- W s)I ЛГ| | S|(1)(1)
sin <р =
sin <р =
-4- W s)
I ЛГ| | S|
-4- W s)
I ЛГ| | S|
(1)
(1)
или, в координатной форме,
sin у = ±sin у = ±Am + Bn + СрVA2+B2-VC"S Vin^n2 +p2'
sin у = ±
sin у = ±
Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Для того чтобы плоскость (Р)...Nr~уD = 0 была параллельна прямой (/)... г= г0-р $/, необходимо и достаточно, чтобы векторы N\A, В, С?} и s {/и, п, р\ были ортогональны между собой.
Условие ортогональности двух векторов N и s может быть записано так:
(N, s) = 0
или так:
Am-у Вп-уСр = 0.(2)
Для того чтобы прямая / была перпендикулярна плоскости Р, необходимо и достаточно, чтобы вектор s был коллинеарен вектору N.
Условие коллинеарности двух векторов N и s может быть записано следующим образом:
[ЛГ, $] = 0 или
— = — = —.(3)
т п р' ’
Если уравнение плоскости дается в общем виде: Ах -[- By -[- Cz -{- D = О, а уравнения прямой — в каноническом виде:
х — х0 _у—Уо _z — z0 тпР *
то условием параллельности прямой и плоскости является равенство (2), а условиями перпендикулярности — равенства (3).
Пример. Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку М (2, —1,3) параллельно двум прямым:
, х — 2 _y + 17_z — 8
3—4—5
И
х + 8у — 14 z
—2— —3 — У
Напишем уравнение связки плоскостей с центром в точке Л4:
(4)(4)Л(л:-2)+В(у + 1)+С(с —3)=0.
(4)
(4)
Используем условие параллельности (2) плоскости Р к прямой lv а затем к прямой /3;
ЗЛ 4-4В —5С = 0,
2Л —ЗВ+ С = 0.
Из этой системы однородных уравнений определим отношения коэффициентов А, В, С и затем в уравнение (4) вместо коэффициентов А, В, С подставим пропорциональные им величины:
И (х — 2) + 13 (у 4-1)4-17 (z — 3) = 0,Ilx4-13y4-17z —60=0.
Точка пересечения прямей с плоскостью
Даны уравнение (N, г) + 0 = 0 плоскости Р, где М{Л, В, С}, г[х, у, г}, и уравнение r=r6-^-si прямой /, где s ^т, п, р\ и г0 {х0, Уо, ?оЬ
Пусть Мх— точка пересечения прямой I с плоскостью Р. Обозначим через значение параметра t для точки Л4Х.
Так как при этом значении параметра вектор г=г0-т$Л является радиусом-вектором точки, лежащей на плоскости, то, подставив его в уравнение плоскости (7Vr)-|-O = 0, мы получим: (2V, (r0 + s/j) + О = О, т. е.
MW s)+W r0)4-o=o,(1)
откуда, если (2V, s) Ф 0, определим
Подставляя значение tx в уравнение прямой /, найдем радиус-вектор гх точки пересечения прямой I с плоскостью Р:
rx = re-^-stx.(3)
Пусть теперь уравнения плоскости и прямой заданы в координатной форме:
(Р).„ Лх + Ву + Са + О = 0,
/ахо —- У У о _ £^_^2.
' ”* mп р *
Тогда, используя равенство (2), получим:
* ^о + ВУо + Cz0 + D
АтфВпфСр *
Затем, чтобы найти координаты точки Мх (хь уь zx) пересечения прямой с плоскостью, подставим найденное значение tx в параметрические уравнений прямой:
х$ == х0 —|— mt\,
У1 = У»-\-nti>(5)
• ^1=2о + р#1-
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Рассмотрим три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве.
(2V, $) Ф 0 (или, в координатной форме, Ат -[- Вп 4- Ср Ф 0). В этом случае параметр tx имеет единственное значение. Следовательно, прямая и плоскость пересекаются в единственной точке.
(N, s) = 0; (.N, г0)4~О^0 (или, в координатной форме, АтД- + Вп + Ср = 0; Ах6 + Вуй + Cz6 4-0^0). В этом случае не существует значений tle удовлетворяющих уравнению (1), т. е. прямая и плоскость не пересекаются. Условие (N, s) = 0 (Ат-\- Вп-^-Ср = 0) является условием параллельности прямой и плоскости.
(N, s) = 0; (N, ro) + D==O (или, в координатной форме, Ат-\- 4-Вп-т-Ср = 0; Лх04~Вг/о4~С2о4-0 = 0). В этом случае уравнению (1) удовлетворяет любое значение ^, т. е. прямая и плоскость имеют бесчисленное множество точек пересечения или, что то же, прямая лежит на плоскости.
Таким образом, условия
j (W, $) —0, /Ат-^-Вп-^Ср = 0\
((2V, Ло) 4~ 0=0. \Лх0 4~ Вуй 4~ Czo 4~ d=-o)(
можно назвать условиями принадлежности прямой плоскости.
Пример 1. Найти проекцию точки М (9, — 13, — 18) на плоскость Р
9x — 17y—15z 4-23 = 0.(7)
Для решения задачи составим уравнения прямой, проходящей через точку УИ перпендикулярно плоскости Р.
Уравнения всякой прямой, проходящей через точку М, будут иметь вид:
х — 9у +13z 4~ 13т п р *
На основании условий перпендикулярности прямой и плоскости ^ = ^ = —^ можно в уравнения прямой вместо коэффициентов т, п, р подставить пропорциональные им величины А, В, С:
х—9_y+13_z4-18
9 ~ —17 ~ — 15 *
Для нахождения проекции N точки М на плоскость надо найти точку пересечения плоскости (7) и прямой (8). По формуле (4) определяем
_81 4-221 4-270 4-23 _
81 4-289-1-225~ L
Отсюда координаты точки N (xN, yN, zN) определяются по формулам (5):
х^=9 —9 = 0,
Уц =— 13 -|— 17 = 4,
zN = — 18-|-15 = —3,
т. е. N (0, 4, — 3).
Пример 2. Найти расстояние от точки М (—2, 3, 4) до прямой
т x-3_y-y\_z — l
1 — 2 “ 1 *
План решения примера следующий:
Составим уравнение плоскости Р, проходящей через точку М перпендикулярно прямой /.
Найдем точку К пересечения прямой I с плоскостью Р.
Определим расстояние от точки УИ до прямой Z, как расстояние между Точками М и К-
Решение. Составим уравнение связки плоскостей с центром в точке УИ:
А (х 4-2) 4-В (у — 3) 4-С (z — 4) = 0.
Вследствие перпендикулярности плоскости Р и прямой I можно написать уравнение плоскости Р:
Для точки КоткудаДля точки Коткуда(х+2)+2 (у — 3) + (z — 4) = О, x+2y+z —8 = 0.
Для точки К
откуда
Для точки К
откуда
3—2+1—81+4+1
л:й = 3 + 1 —4,^ = -1+2=1,№ = 1+1 = 2.
МЛГ=/(4 + 2)2 + (1 — З)2 + (2 — 4)2 = 2 УГГ.
Заметим, что точка К является проекцией точки М на прямую I.
§ 25. Пучок плоскостей
Через всякую прямую в пространстве можно провести бесчисленное множество плоскостей. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком плоскостей.
Пусть дано уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей
Г Л1Х-[- Вху -]- CjZ -[- Dx = О,
[ ЛдХ —[— В^у —[— C^Z —[— Dg = 0.
Составим уравнение:
Ахх —[— Вху -J- Сх? -J- Dx —[— X (ЛдХ —[— В^у -}- C2z —[— D^ = 0,(2)
где X — произвольное число.
Прежде всего, очевидно, что при любом значении X уравнение (2) является уравнением плоскости, так как оно является уравнением первой степени.
Далее, каждая из плоскостей, определяемых при различных значениях X уравнением (2), проходит через прямую, заданную уравнениями (1).
Действительно, возьмем любую точку Л41(хь ух, Zx), лежащую на прямой, заданной уравнениями (1), и любую плоскость (2). Подставляя в уравнения (1) вместо текущих координат координаты точки Mt, получим:
J А хХх -[- ВхУх -|- CxZx -[- Dx = 0,
[ А$Хх -[- В^х Н~ C^Zx -[- D^ = 0, и следовательно,
AiXt -[- Вхух + CxZx -|- Dx -[- X (А^Хх -[- В^ -[- C^Zx -}- Dg) = 0.(4)
Уравнение (2) называется уравнением пучка плоскостей, проходящих через прямую (1). Число X иногда называют параметром пучка.
Следует сделать примечание, аналогичное примечанию к уравнению пучка прямых иа плоскости: уравнение (2) дает любую плоскость пучка, за исключением плоскости
А^х —|— Вгу —|— C^z -j- ZXg 0.
Пример 1. Найти проекцию прямой
(2х — Зу + 4z — 1=0,^’Дх+бу —2z + 3 = 0
на плоскость (Р)... Зх— 4у + z—8 = 0.
Составим уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую h
2х — Зу + 4z — 1 + X (х + 5у — 2z + 3) = 0(5)
или
(2 + Х)х + (5Х —3)у+ (4 —2X)z + (—1+ЗХ) = О.(6)
Из этого пучка плоскостей выделим плоскость, проектирующую прямую I на плоскость Р. Определим X, используя условие перпендикулярности плоскостей:
3(2 4-Х) — 4(5Х — 3) +(4 — 2Х)=0,
22
откуда ^ = jg- Подставив значение X в уравнение (5), найдем уравнение проектирующей плоскости Q:
22
2х — Зу 4-4z — 1 -|-^(х4-5у — 2z-|-3) = 0,
60х 4- 53у 4- 32г 4- 47 = 0.
Уравнения искомой проекции Z, можно записать как уравнения линии пересечения плоскостей Р и Q:
J Зх — 4у -|- х — 8 = О,1160х 4- 53у -|- 32z 4- 4? = 0.
Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
( 2х — Зу -|- 4z -|- 6 = О,t х 4-Зу —2г-|-2 = 0,
и удаленной на расстояние в 2 единицы от начала координат.
Составим уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую й
2х —Зу-|-4z 4-6-|-X (х-|-Зу — 2z-|-2) = 0(7)
или
(2 4-X) х 4-(ЗХ — 3)у-|-(4— 2X)z-|-6 4-2X = 0.
Для определения X используем формулу расстояния от точки до плоскости
I Лх, + ДУ1 + ^z, + ^ I/дзтр/Р+с2 'По условию
<Z = 2; xt=0; yt = 0; z1 = 0.
Следовательно,
2 =|64-2Х|
/(2 4- X)3 4- (ЗХ — З)2 4- (4 — 2Х)3 ’
1 ЗХ3—36Х4-20 = 0.(8)
Для определения X имеем квадратное уравнение. Если корни этого уравнения будут действительные и различные, то существуют две плоскости Pt и Р2, удовлетворяющие условию поставленной задачи; если корни будут действительные и равные, то имеется одна плоскость, удовлетворяющая условию; если корни окажутся мнимыми, то плоскости, удовлетворяющей условию, не существует.
Решая уравнение (8), находим, что Х, = 2; Х2 = ^. Подставляя поочередно в уравнение (7) значения X, и Х2, найдем уравнения двух плоскостей Рг и Р2, удовлетворяющих условиям задачи:
4x4-3^4-10 = 0,(Р,)
Збх — 9у 32z 4- 98 = 0.(Р2)
Раздел 8
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В настоящем разделе будут в основном рассматриваться поверхности второго порядка, т. е. поверхности, уравнения которых в прямоугольной системе координат являются алгебраическими уравнениями второй степени.
При рассмотрении вопроса о поверхностях могут быть поставлены две задачи:
Зная геометрические свойства поверхности, составить ее уравнение.
Имея уравнение поверхности, определить ее геометрические свойства.
Рассмотрим основные задачи первого типа.
§ 26. Цилиндрические поверхности
Поверхность, образованная прямыми линиями, параллельными фик
сированной прямой, называется цилиндрической поверхностью, или короче— цилиндром. Упомянутые прямые, из которых образованы цилинд-
рические поверхности, называются образующими этой поверхности.
Цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными данной прямой /, может быть получена так: через каждую точку некоторой линии С проводится прямая, параллельная прямой /, полученные прямые образуют цилиндрическую поверхность. Линия С называется направляющей этой поверхности. Очевидно, что всякая линия на цилиндрической поверхности, пересекающая все образующие этой поверхности, является ее направляющей.
ческая с образующими, если точка М (х0, у0, ?о)ческая с образующими, если точка М (х0, у0, ?о)параллельной 0Z гпараллельной 0Z гЕсли уравнение поверхности в прямоугольных координатах не содержит г, т. е. имеет вид Е(х, у) = 0, то эта поверхность цилиндри- параллельными оси 0Z (рис. 96). В самом деле, принадлежит рассматриваемой поверхности, то
ческая с образующими, если точка М (х0, у0, ?о)
ческая с образующими, если точка М (х0, у0, ?о)
параллельной 0Z г
параллельной 0Z г
для всякой точки К (х, у, z), лежащей на прямой, и проходящей через М, имеем: х—хй; у — у0; откуда следует, что координаты точки К удовлетворяют уравнению рассматриваемой поверхности. Это показывает, что рассматриваемая поверхность образована прямыми, параллельными оси 0Z, и, следовательно, является цилиндрической с образующими, параллельными 0Z.
Линия на плоскости XOY, имеющая уравнение F (х, у) = 0 (такое же, как уравнение рассматриваемой поверхности), является направляющей.
Аналогично уравнение вида F(y, z) = 0 есть уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси ОХ; уравнение вида F (х, z) = 0 есть уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси 0Y.
Рассмотрим теперь цилиндрические поверхности
второго порядка с образующими, параллельными оси 0Z, заданные в прямоугольной системе координат XYZ уравнениями:
Направляющей цилиндрической поверхности (1) на плоскости XOY xs у2
является эллипс, а сама поверхность ^ -[- ^ = 1 называется эллиптичес-
ким цилиндром (рис. 97). Направляющей цилиндрической поверхности (2) на плоскости ХОУ является гипербола, а сама поверхность ^—^2 = 1 называется гиперболическим цилиндром (рис. 98).
Направляющей цилиндрической поверхности (3) на плоскости ХОУ является парабола, а сама поверхность х = 2ру называется параболическим цилиндром (рис. 99).
§ 27. Конические поверхности
Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через фиксированную точку S, называется конической поверхностью, или короче— конусом. Упомянутые прямые, из которых образована коническая поверхность, называются образующими этой поверхности, а точка S — ее вершиной.
Коническая поверхность с вершиной S может быть получена так: через каждую точку некоторой линии С (не проходящей через S) и точку S проводится прямая; все эти прямые образуют коническую поверхность, причем линия С называется направляющей этой поверхности. Очевидно, что всякая линия на конической поверхности, пересекающая все образующие и не проходящая через вершину, является направляющей (рис. 100).
Если левая часть уравнения поверхности в прямоугольных координатах F(x, j>, z) = 0 есть однородная функция относительно х, у, z какой-нибудь степени1), то поверхность будет конической с вершиной в начале О. В самом
деле, если точка /Ио (х0, у0, z^ принадлежит рассматриваемой поверхности, то всякая точка М(х,у, г) лежащая на прямой, проходящей через точку Мо и начало координат, также лежит на этой поверхности. Действительно, так как для этой точки имеем
= -2_ =, т, е. х = 1 хв; у = Ху^; z =Xzw (где X— некоторое число) и,
■^о У» 20
следовательно,
F (х, у, z)=F (Хх6, Ху„, Xze) = Х" F (хв, у„ z6) = Хп -О = 0
(где п — степень однородности функции А).
Эго показывает, что рассматриваемая поверхность образована прямыми, проходящими через начало и, следовательно, является конической с вершиной в начале координат.
Линейчатые поверхности
Цилиндрические и конические поверхности являются частными случаями так называемых линейчатых поверхностей, т. е. поверхностей, образованных прямыми линиями (эти прямые называются прямолинейными образующими линейчатой поверхности).
Среди поверхностей второго порядка не только цилиндры и конусы второго порядка являются линейчатыми поверхностями. Можно показать, что изучаемые ниже однополостные гиперболоиды и гиперболические параболоиды также являются линейчатыми поверхностями.
Поверхности вращения
Поверхность, описываемая некоторой линией С, вращающейся вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращения с осью вращения d. Так как каждая точка линии С при вращении вокруг d описывает окружность, имеющую центр на прямой d и лежащую в плоскости, перпендикулярной к d, то можно сказать, что поверхность вращения с осью d есть поверхность, образованная окружностями, имеющими центры на оси d и лежащими в плоскостях, перпендикулярных d.
Если уравнение поверхности в прямоугольных координатах имеет вид F (х2 -}- у1, 2) = 0, то эта поверхность будет поверхностью вращения с осью вращения 0Z. В самом деле, если точка Мй(хй, уй, z^ лежит на рассматриваемой поверхности, то для всякой точки М (х, у, г), принадлежащей окружности, проходящей через точку Мй, имеющей центр на 0Z и лежащей в плоскости, перпендикулярной 0Z, имеют место равенства:
^ + f/2 = xo + f/o; 2 = 2о,
откуда видно, что координаты точки М удовлетворяют уравнению рассматриваемой поверхности. Это показывает, что наша поверхность образована окружностями с центрами на оси 0Z, лежащими в плоскостях, перпендикулярных 0Z, и, следовательно, она является поверхностью вращения с осью 0Z.
Аналогично уравнение вида F (у1 -[- г2, х) = 0 определяет поверхность вращения с осью вращения ОХ; уравнение вида F (х2 -[- z1, у) = 0 определяет поверхность вращения с осью вращения OY.
Таким образом, поверхности второго порядка, заданные следующими уравнениями:
(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)х3 +у3 . ?3
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
(2)
(3)
(4)
а3с3’
х3+у2г2_1
а3с3Ь
х3+у3z3_
а3с2
^+^ = 22,р
являются поверхностями вращения с осью вращения OZ. Они соответственно называются: (1) — эллипсоидом вращения, (2) — однополостным гипер-
болоидом вращения, (3) — двухполостным, гиперболоидом, вращения, (4) — параболоидом вращения.
Эти поверхности являются частными случаями поверхностей второго порядка, форма которых будет изучена в дальнейшем в § 30,
Метод сечений при исследовании формы поверхностей
Задачей предшествующих трех параграфов являлось составление- уравнения поверхности по ее геометрическим свойствам. В настоящем параграфе будем решать другую задачу, а именно, по данному уравнению поверхности будем определять ее геометрический вид. Для этого применим так называемый «метод сечений». Метод сечений заключается в следующем: исследуя вид поверхности, заданной своим уравнением, будем искать линии пересечения данной поверхности с различными системами плоскостей, в частности с плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Ряд таких сечений позволит определить вид поверхности.
Трехосный эллипсоид. Исследуем поверхность, заданную уравнением
Будем искать линии пересечения этой поверхности с плоскостями, параллельными плоскости XOY. Уравнения таких плоскостей:
z = h,(2)
где h — любое число.
Решая совместно уравнения (1) и (2), получим уравнения 1*2«2AS
7+^=1-7: ^=^(3)
которые являются уравнениями линии пересечения поверхности с плоскостью г = Н.
Исследуем уравнения (3) при различных значениях h.
Если \h О с (с>0), то 1—^<0, следовательно,<^ 0,
е. будем иметь уравнение мнимого места точек. Следовательно, точек пересечения поверхности с плоскостью z — h не существует.
v2
Если |й| = с, h — ±c, то= Линии пересечения (3) вы
рождаются в точки (х—0, у = 0, z = с) и (х = 0, у = 0, г = — с). Плоскости z=±c будут касаться данной поверхности.
Если |йКс, то уравнения (3) можно переписать в виде:
При указанных значениях /г линия пересечения есть эллипс. Чем меньше будет |/г|, тем с большими полуосями будут получаться эллипсы. Своего наибольшего значения полуоси достигнут тогда, когда й = 0. В этом случае уравнения (4) примут вид:
т+т=‘; *=°.
т. е. в сечении поверхности координатной плоскостью X0Y получится эллипс с полуосями а и Ь. Аналогичные результаты получатся и при сечении данной поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям XOZ и YOZ.'
Полученные линии пересечения позволят нам изобразить поверхность, которая называется трехосным эллипсоидом (рис. 101). Рассмотренный
ранее эллипсоид вращения является частным случаем эллипсоида (1).
Однополостный гиперболоид. Исследуем поверхность, заданную уравнением
Xs i У2 2s
Ищем линии пересечения поверхности плоскостями z = h, параллельными плоскости XOY. Совместное решение уравнений (5) и (2) дает уравнения
(6)(6)
(6)
(6)
линии пересечения поверхности плоскостями z = h. Запишем эти уравнения иначе:
(7)(7)
(7)
(7)
нение которой будет х=0. Совместное даст нам уравнения гиперболы:£__^_1 .62 с3 1 ’нение которой будет х=0. Совместное даст нам уравнения гиперболы:£__^_1 .62 с3 1 ’решение уравнений х = 0 и (5)решение уравнений х = 0 и (5)х = 0х = 0(8)(8)
нение которой будет х=0. Совместное даст нам уравнения гиперболы:
£__^_1 .
62 с3 1 ’
нение которой будет х=0. Совместное даст нам уравнения гиперболы:
£__^_1 .
62 с3 1 ’
решение уравнений х = 0 и (5)
решение уравнений х = 0 и (5)
х = 0
х = 0
(8)
(8)
Сечениями поверхности плоскостями, параллельными плоскости XOY,
являются эллипсы, полуоси которых достигнут своего наименьшего значе
ния тогда, когда /г = 0..По мере возрастания |й|, т. е. по мере удаления плоскостей от координатной плоскости XOY, полуоси эллипса будут увеличиваться.
Найдем линию пересечения поверхности (5) с плоскостью YOZ, урав-
— линии пересечения данной поверхности с плоскостью YOZ.
Аналогично, находя линию пересечения поверхности (5) с плоскостью XOZ, получим уравнения гиперболы:
а4а4^=1; у=о.^=1; у=о.
а4
а4
^=1; у=о.
^=1; у=о.
Найденные линии пересечения позволят изобразить поверхность, заданную уравнением -^- + -^^ = 1, эта поверхность называется одно
полостным гиперболоидом (рис. 102).
Рассмотренный ранее однополостный гиперболоид вращения является частным случаем однополостного гиперболоида (5).
заданную(9)заданную(9)
заданную
(9)
заданную
(9)
Двухполостный гиперболоид. Исследуем поверхность, уравнением
21 —_ 1
а2 т ci
Ищем линии пересечения поверхности (9) с плоскостями z = h, параллельными плоскости XOY. Совместное решение уравнения (9) и уравнения плоскости z = h дает:
ИЛИ
а2 Ту £
Z=K
х2 , у2№,,
а2 + 62С2*> 2
(10)
При |/г|<^с уравнения (10) являются уравнениями мнимого места точек, т. е. в этом случае плоскость не пересекает поверхность (9).
При /г = ±с уравнения (10) удовлетворяются точек: х = 0, у = 0, z = ±c; плоскости z = ±c касаются данной поверхности.
При |/г ]2>с уравнения (10) могут быть записаны так:
X2
° К1
У3
1; z = h. (11)
Уравнения (11) являются уравнениями эллипса, полуоси которого по мере возрастания \h\ (т. е. удаления плоскости z=\h\ от координатной плоскости) увеличиваются.
Найдем теперь линию пересечения поверхности (9) с плоскостью YOZ, уравнение которой будет х = 0.
Совместное решение этих уравнений показывает, что в сечении данной поверхности плоско- V2 Z2
стью YOZ лежит гипербола р — ^ =—1; я = 0 (с действительной осью OZy
Аналогично в сечении поверхности (9)
Рис. 103.
лишь координатами Z!
Xй Z2 плоскостью у = 0 получается гипербола ^^ = — 1; у = 0 (с действи
тельной осью OZy
Полученные линии пересечения позволят изобразить поверхность
х2 t у2 г2
"^""т""»2с2"
называемую двухполостным гиперболоидом (рис. 103).
Рассмотренный ранее двухполостный гиперболоид вращения является частным случаем двухполостного гиперболоида (9).
Эллиптический параболоид. Исследуем поверхность, заданную уравнением
^ + ^- = 22,где р>0; ^>0.(12)
1. Найдем линии пересечения этой поверхности с плоскостями, параллельными плоскости X0Y. Рассмотрим плоскость
z—h.
(13)
Совместное решение уравнений (12) и (13) дает уравнения
—+— 2/г;z=h.(14)
р 1 q
При /г <^ О эти уравнения являются уравнениями мнимого места точек, т. е. при /г <^ О плоскости z = h, параллельные плоскости XOY, данную поверхность не пересекают.
При /г = О уравнения (14) удовлетворяются лишь координатами точки (0,0,0); плоскость z = 0 касается данной поверхности.
При /г^>0 уравнения (14) можно переписать так:
=2=й,(15)
zph 1 zqh' '
т. е. в сечении поверхности плоскостями, параллельными плоскости XOY получаются эллипсы, полуоси которых возрастают по мере увеличения h.Найдем линию пересечения поверхности (12) с плоскостью YOZ, уравнение которой х = 0. Совместное решение этих уравнений показыт. е. в сечении поверхности плоскостями, параллельными плоскости XOY получаются эллипсы, полуоси которых возрастают по мере увеличения h.Найдем линию пересечения поверхности (12) с плоскостью YOZ, уравнение которой х = 0. Совместное решение этих уравнений показывает, что в сечении поверхности (12) с плоскостью YOZ получится бола (с осью симметрии OZ): уг = 2у2, х = 0.Аналогично в сечении поверхности (12) плоскостью у = 0 чается также парабола хг = 2рх, у = 0 (с осью симметрии OZYвает, что в сечении поверхности (12) с плоскостью YOZ получится бола (с осью симметрии OZ): уг = 2у2, х = 0.Аналогично в сечении поверхности (12) плоскостью у = 0 чается также парабола хг = 2рх, у = 0 (с осью симметрии OZYпара-пара-полу-полу-Полученные линии пересечения ляют изобразить поверхность^ + ^- = 22, р 1 qкоторая называется эллиптическим лоидом (рис. 104).Полученные линии пересечения ляют изобразить поверхность^ + ^- = 22, р 1 qкоторая называется эллиптическим лоидом (рис. 104).позво-позво-(12)(12)парабо-парабо-Рассмотренный ранее параболоид вращения является частным случаем эллиптического параболоида (12).Гиперболический параболоид. Исследуем поверхность, заданную уравнениемРассмотренный ранее параболоид вращения является частным случаем эллиптического параболоида (12).Гиперболический параболоид. Исследуем поверхность, заданную уравнениемР qР q(16)(16)где р и q имеют одинаковые знаки, рассматривать случаи, когда р>0 игде р и q имеют одинаковые знаки, рассматривать случаи, когда р>0 иБудемБудем.... ,q>0.1. Рассмотрим сечение поверхности (16).... ,q>0.1. Рассмотрим сечение поверхности (16)плоскостью XOZ: у = 0. В сечении плоскостью XOZ получается парабола х^ — 2рг; у = 0, направленная вверх, с вершиной в начале координат и с осью симметрии OZ.При пересечении поверхности плоскостями, параллельными плоскости XOZ (y = h')) будут получаться параболыплоскостью XOZ: у = 0. В сечении плоскостью XOZ получается парабола х^ — 2рг; у = 0, направленная вверх, с вершиной в начале координат и с осью симметрии OZ.При пересечении поверхности плоскостями, параллельными плоскости XOZ (y = h')) будут получаться параболы
т. е. в сечении поверхности плоскостями, параллельными плоскости XOY получаются эллипсы, полуоси которых возрастают по мере увеличения h.
Найдем линию пересечения поверхности (12) с плоскостью YOZ, уравнение которой х = 0. Совместное решение этих уравнений показы
т. е. в сечении поверхности плоскостями, параллельными плоскости XOY получаются эллипсы, полуоси которых возрастают по мере увеличения h.
Найдем линию пересечения поверхности (12) с плоскостью YOZ, уравнение которой х = 0. Совместное решение этих уравнений показы
вает, что в сечении поверхности (12) с плоскостью YOZ получится бола (с осью симметрии OZ): уг = 2у2, х = 0.
Аналогично в сечении поверхности (12) плоскостью у = 0 чается также парабола хг = 2рх, у = 0 (с осью симметрии OZY
вает, что в сечении поверхности (12) с плоскостью YOZ получится бола (с осью симметрии OZ): уг = 2у2, х = 0.
Аналогично в сечении поверхности (12) плоскостью у = 0 чается также парабола хг = 2рх, у = 0 (с осью симметрии OZY
пара-
пара-
полу-
полу-
Полученные линии пересечения ляют изобразить поверхность
^ + ^- = 22, р 1 q
которая называется эллиптическим лоидом (рис. 104).
Полученные линии пересечения ляют изобразить поверхность
^ + ^- = 22, р 1 q
которая называется эллиптическим лоидом (рис. 104).
позво-
позво-
(12)
(12)
парабо-
парабо-
Рассмотренный ранее параболоид вращения является частным случаем эллиптического параболоида (12).
Гиперболический параболоид. Исследуем поверхность, заданную уравнением
Рассмотренный ранее параболоид вращения является частным случаем эллиптического параболоида (12).
Гиперболический параболоид. Исследуем поверхность, заданную уравнением
Р q
Р q
(16)
(16)
где р и q имеют одинаковые знаки, рассматривать случаи, когда р>0 и
где р и q имеют одинаковые знаки, рассматривать случаи, когда р>0 и
Будем
Будем
.... ,q>0.
1. Рассмотрим сечение поверхности (16)
.... ,q>0.
1. Рассмотрим сечение поверхности (16)
плоскостью XOZ: у = 0. В сечении плоскостью XOZ получается парабола х^ — 2рг; у = 0, направленная вверх, с вершиной в начале координат и с осью симметрии OZ.
При пересечении поверхности плоскостями, параллельными плоскости XOZ (y = h')) будут получаться параболы
плоскостью XOZ: у = 0. В сечении плоскостью XOZ получается парабола х^ — 2рг; у = 0, направленная вверх, с вершиной в начале координат и с осью симметрии OZ.
При пересечении поверхности плоскостями, параллельными плоскости XOZ (y = h')) будут получаться параболы
г + y=h*
«ветви» которых также направлены вверх.
Рассмотрим сечение поверхности (16) плоскостью YOZ (х = 0). В этом случае получится парабола у2 =— 2qz; х=0 с вершиной в начале координат, с осью симметрии OZ, с «ветвями», направленными вниз, и как бы «сидящая верхом» на параболе xi = 2pz.
При пересечении поверхности плоскостями, параллельными плоскости YOZ^x=h\ получаются параболы, уравнения которых будут:
^ = -2q^z-^; x = h.
х2 = 2pz;х2 = 2pz;у = 0.у = 0.Эти параболы «ветвями» направлены вниз и вершины их лежат на параболе
х2 = 2pz;
х2 = 2pz;
у = 0.
у = 0.
Рассмотрим сечения поверхности (16) плоскостями z — h, параллельными плоскости XOY.
v2
При й=Ов плоскости z — h получится линия пересечения — —О, распадающаяся на пару пересекающихся прямых: X2_ = П. Х I ^ — л Vp V q ’ V р ~г Vq При й^>0 в сечении будут получаться гиперболы z=h, (17) 2ph 2qh ’> х /
действительными осями которых будут прямые, параллельные оси ОХ.
При /г<^0 уравнения (17) есть уравнения гипербол, действительными осями которых будут прямые, параллельные оси 0Y.
Совокупность линий пересечения данной поверхности плоскостями, параллельным координатным плоскостям, позволяет определить вид поверхности, заданной уравнением -^^- = 2z (рис. 105). Эта седлооб
разная поверхность называется гиперболическим, параболоидом.
Конус второго порядка. Исследуем уравнение поверхности
(18)(18)Xs . у2 Z2 а2»^-"?—
(18)
(18)
Так как левая часть уравнения (18) является однородной функцией относительно х, у, г, то согласно изложенному в § 27 уравнение (18) явля
ется уравнением конической поверхности с вершиной в начале координат.
Рассмотрим сечение этой поверхности плоскостями z=h, параллельными плоскости X0Y.
При й = 0 получаем уравнения
^+£=0; 2 = 0,^+£=0; 2 = 0,откуда следует, что линия пересечения поверхности плоскостью 2 = 0 вырождается в точку (0,0,0).
^+£=0; 2 = 0,
^+£=0; 2 = 0,
При h^0 в сечениях будем получать эллипсы:
с2 с2
Полуоси этих эллипсов будут возрастать при увеличении абсолютной величины h.
В сечении конической поверхности плоскостью XOZ (у = 0) полу
X2 а2X2 а2-^- = 0; у = 0,-^- = 0; у = 0,чится линия
X2 а2
X2 а2
-^- = 0; у = 0,
-^- = 0; у = 0,
распадающаяся на пару пересекающихся прямых:
у = 0,
У = 0.
Аналогично в сечении плоскостью YOZ (х=0) получится также пара пересекающихся прямых
=х = о,
о * с
А- —— — 0; х = 0.
6 с ’
Полученные линии пересечения позволят изобразить поверхность (рис. 106)
которая называется конусом второго порядка.
ГЛАВА HI
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Раздел 1ФУНКЦИИ
Числа
Как известно, числа появляются в результате счета и при измерении величин. Простейшим классом чисел является класс натуральных чисел. Натуральными числами называются числа 1, 2 = 1 -f- 1, 3 = = 2-}-1, • •• Натуральные числа или, что то же, целые положительные числа, а также целые отрицательные числа —1, —2, —3, ... и число О, взятые вместе, образуют класс целых чисел. Дальнейшим расширением класса целых чисел является класс рациональных чисел. Рациональным числом называется частное двух целых чисел при условии, что делитель отличен от нуля.
Каждое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной или бесконечной десятичной периодической дроби. Иррациональные числа записываются бесконеч-е
ными десятичными непериодическими”
дробями. Рациональные и иррацио- %g« х
нальные числа, взятые вместе, образуют класс действительных чисел1),Рис" 107‘
дальнейшим расширением которого является класс комплексных чисел. Комплексные числа — это числа вида x-\-iy, где х и у действительные числа, i=V—1.
Основные сведения о комплексных числах даются в главе V.
Числовая ось. Прямая, на которой выбрано начало отсчета О, направление и масштаб (отрезок, принятый за единицу длины, который обозначим через е), называется числовой осью.
Между точками числовой оси (рис. 107) и действительными числами устанавливается взаимно однозначное соответствие по следующему закону: действительному числу а соответствует точка М с координатой а. Точка М лежит справа от начала О, если а^>0, слева от О, если а<0, и, наконец, точка М совпадает с О, если а = 0.
При этом каждой точке N оси соответствует действительное число b — координата этой точки.
Имея в виду взаимно однозначное соответствие между действительными числами и точками числовой оси, вместо слова «число» часто говорят «точка» и наоборот.
ь) В нашем курсе мы не будем рассматривать теорию действительных чисел.
Множество (совокупность) всех чисел х, удовлетворяющих условию а<^х<^Ь, где а и b— некоторые числа, называется интервалом, (открытым интервалом). Интервал обозначается (a, by Множество всех чисел х, удовлетворяющих условию а^х^Ь, называется отрезком (замкнутым интервалом), или сегментом, оно обозначается [а, 6]. Если к интервалу (а, Ь) присоединить числа а и Ь, то получится отрезок [а, Ь]. Точки а и b называются концами интервала (а, 6) (отрезка [а, 6]).
Множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенствам а<^х^Ь или а^х<^Ь, называются полуинтервалами и обозначаются соответственно (а, 6], [a, by Совокупность всех действительных чисел обозначают (—со, + со). Совокупность чисел х, удовлетворяющих условию х^а, и совокупность чисел х, удовлетворяющих . нм условию х^>а, обозначают соответственно ох(—оо, а], (а, +оо), называют бесконеч-
о— ными полуинтервалом, и интервалом, и т. д.
°^ Все рассмотренные выше множества
Рис. 108.чисел будем называть числовыми промежут
ками, или, короче, промежутками.
Окрестностью точки на числовой оси называется интервал (открытый интервал), содержащий эту точку. Здесь имеется в виду любой интервал, как симметричный, так и не симметричный относительно рассматриваемой точки.
Абсолютная величина действительного числа. Абсолютная величина, или модуль, действительного числа а обозначается |а| и определяется следующим образом:
( а, если а^О,
I а] = ('( — а, если а < 0.
Например:] — 5,3] =5,3, ]-]-0,35] = 0,35, |—1,25] = 1,25, 10] = 0.
На числовой оси | а | есть длина отрезка ON, где N точка с координатой а (рис. 108).
Из определения абсолютной величины непосредственно следует, что |а| = | — а], а^|а|, — а^|а|.
Отметим также следующие свойства абсолютных величин:
Неравенство | а|<Л4 равносильно двум неравенствам: — М<^а<^_М.
Действительно, а ^ | а | С М, следовательно, а С М, — а ^ | а | С М, следовательно,— а < М, т. е. а >>—М. И окончательно, имеем — М С а С М.
Обратно, если —AfcocM, то |e|cM. Действительно, если о^0, то |а| = а и, учитывая правое неравенство, получим |o|cM; если а<0, то |д| =— о и, умножая левое неравенство на —1, получим:
| а | < М.
Аналогично доказывается, что запись |а|^7И равносильна записи: — М ^а^М.
Неравенство | а | <] М (| а | ^ М) означает, что число а принадлежит интервалу (—М, М) (отрезку [—М, М]).
Абсолютная величина суммы двух чисел не больше суммы абсолютных величии слагаемых: |а-[-6|^|аЦ-|6|.
Действительно, пусть а 4-6^0.
Как известно. а^| а |, 6^| b |, складывая эти неравенства, получим а + 6^| а |-|- + | 6 I. Но | а + b I = а 4- Ъ и, следовательно, |а4-6|^|а|4-|6|.
Пусть теперь а + ^сО. Так как —а^(а(, —b ^ | b |, то, складывая эти неравенства, имеем —(а 4- 6) ^ | a | 4*1 b |. Но | а 4~ 6 I = — (а + 6), поэтому окончательно, получим:
М4-6|^И4"1»|.
Это свойство легко распространяется на случай любого числа слагаемых. Так как | а-|-6-[-с-[- ... —}-fe —}-Z|^|а| —j-[6-4-с-4- ... + ^ + /1^ ^|а!-[-|6|-[-|с-[- ... -[-fe-[-/| и т. д., то
1а_1_6 + с+ +fe + /|^|a|_L|6|+|c|+ ... 4-|fe| + |Z|.
Абсолютная величина разности двух чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел: |а — 6|^|а| — |6|.
Действительно, рассмотрим равенство а = (а—6)+6-
По свойству 2)
I ° I = i (й 6) + 6 | ^ j л 6 | -|- | 6 |, откуда следует, что | о — 61 ^ | а ! — | 61
|а-6|^||а|-|6||.
По свойству 3)
R—6|^|a|—PIfa)
И
I а — 5 | = [ 5 — ti I ^ I г, | _ I д |.(б)
По определению абсолютная величина разности | <z 1—16| равна или |а|—|6| или ]6|— | а |. Учитывая соотношения (а) и (6), имеем:
IMI — |6Ц^1« — И
5) ab = ] а | | b |.
Свойства 5 и 6 непосредственно следуют из определения абсолютной величины числа.
Функции и их графики
При рассмотрении количественных соотношений реального мира приходится сталкиваться с численными значениями различных физических величин, как, например, времени, температуры, объема, длины, давления, плотности и пр.
В зависимости от рассматриваемых условий одни из величин имеют постоянные численные значения, у других эти значения меняются. Такие величины называются, соответственно постоянными и переменными в данных условиях1). Существуют величины, сохраняющие постоянные численные значения независимо от условий задачи, например атомная масса элемента, величина прямого угла и т. д. Такие величины называют абсолютными постоянными.
Внимательное изучение окружающих нас явлений показывает, что физические величины изменяются не независимо друг от друга, а так, что изменение численных значений одних из этих величин влечет за собой изменение значений других.
Математический анализ как раз и занимается изучением количественных соотношений совместно изменяющихся величин, отвлекаясь от их конкретного физического смысла.
В связи с этим в математическом анализе под переменной величиной (просто переменной) подразумевается отвлеченная, числовая переменная. Переменная (обозначим ее буквой х) считается заданной, если указано множество значений, которые она может принимать. Постоянную величину (просто постоянную) удобно рассматривать как такой частный случай переменной, когда множество принимаемых ею значений состоит из одного числа.
*) Величины, принимаюшие постоянные численные значения только в определенных условиях, называют параметрами. Так, например, в уравнении прямой у = кх-\-Ь числа к и b являются параметрами.
Одним из основных понятий математического анализа является понятие функции.
Переменная у называется функцией от другой переменной х, если каждому значению х из некоторого множества по определенному правилу или закону ставится в соответствие одно или несколько значений переменной у.
При этом переменная х называется независимой переменной, или аргументом, а переменная у — зависимой переменной, или функцией.
Множество значений, принимаемых переменной х, называется областью определения функции, а множество значений, принимаемых переменной у, называется областью изменения функции. В дальнейшем в основном будут рассматриваться множества, состоящие только из действительных чисел как для аргумента х, так и для функции у.
Если каждому значению х из области определения функции соответствует одно значение у, то функция называется однозначной. В противном случае — многозначной.
Приведем несколько примеров.
Очевидно, что если переменная х может принимать любое числовое значение, то переменные у = х\ y — cosx и другие будут функциями переменной х. Областью определения каждой из этих функций будет по условию множество всех действительных чисел. Область изменения функции у — х2 есть множество всех неотрицательных действительных чисел, а область изменения функции y = cosx состоит из действительных чисел, удовлетворяющих неравенствам —l^y^l.
Путь s, пройденный телом, падающим в пустоте, за время t, есть функция времени t, так как между переменными s и t имеет место соотношение
(где g— ускорение силы тяжести).
Область определения этой функции—множество значений t от / = 0 до t = tx, где tx— время, необходимое для падения тела. Область изменения функции дается неравенствами O^s^St, где S! —Каждому значению t из области определения соответствует определенное значение з.
Если каждому значению переменной х отрезка [—2, 2] поставить
V2
в соответствие те значения у, для которых= 1, т. е. поставить в соответствие у = ± 3 "|/" 1 — -^-, мы получим многозначную (двузначную) функцию х. Областью определения этой функции является отрезок [—2, 2], а областью изменения — отрезок [—3, 3]. В дальнейшем, если это специально не оговаривается, будут рассматриваться только однозначные функции.
Для того чтобы обозначить тот факт, что переменная у есть функция переменной х, обычно пишут:
f/ = /W. y = (pW> y = F^ и т. д.
Буквы f, <р, F и т. д. используются здесь для обозначения закона соответствия между аргументом х и функцией у. Иногда и закон соответствия и результат соответствия обозначают одной и той же буквой, например,
У = у(.х\
Запись /Дх0) обозначает, что берется частное значение функции f(x) при х = хй.
Например, если у = х2— 2x-j-3, где —оо <х<^ -f- оо, то /(х) —
= х”— 2x-j-3. При х = 2 мы имеем частное значение функции: /(2) = = 22 —2-2 + 3 = 3.
Для наглядного представления изменения функции в зависимости от изменения аргумента часто пользуются графическим изображением функции.
Рассмотрим на плоскости прямоугольную декартову систему координат X0Y. Значение аргумента х функции y = f(x) будем изображать точкой с абсциссой х на оси ОХ. Тогда область определения функции у = [(х) будет изображаться некоторым множеством точек оси ОХ.
Для каждой точки х0 этого множества построим на плоскости точку Мв с координатами (х0, у^, где у»=Нхв). Совокупность всех таких точек составляет график функции y = f(x) и служит для ее геометрической
Рис. 109.Рис. 109.место точек плоскостиместо точек плоскостииллюстрации (см. рис. 109). Таким образом, графиком функции y = f(x) на плоскости X0Y называется геометрическое
Рис. 109.
Рис. 109.
место точек плоскости
место точек плоскости
с координатами х, f (х), где переменная х принимает все значения из области определения функции.
Предположим для простоты, что область определения функции y = f(x) изображается некоторым промежутком оси ОХ. График такой функции представляет собой некоторую кривую. Ординаты точек этой кривой для различных значений х равны соответствующим значениям функции /(х).
Построение графика функции можно производить по точкам1). Для этого в данном промежутке берется ряд близких между собой значений х (например, хь х2хп\ вычисляются
соответствующие им значения функции у ^ух, уъ .... у^, затем строятся на плоскости точки (х„ ух ), (х2, у^(х„, у^ и через них плавно проводится кривая. Эта кривая приближенно изображает график данной функции. Чем чаще взяты точки хх, х2х„, тем, вообще говоря, точнее построенная кривая воспроизводит график функции.
Способы задания функций. Согласно определению, функция считается заданной, если задано множество значений, принимаемых независимой переменной (область определения функции), и задано правило, устанавливающее соответствие между значениями независимой и зависимой переменных. При этом никаких ограничений на характер этого соответствия не накладывается.
В математическом анализе функция преимущественно задается с помощью формулы, указывающей, какие действия надо произвести над аргументом, чтобы получить соответствующие значения функции. Такая формула называется аналитическим выражением функции, а способ задания функции с помощью формулы называется аналитическим способом задания функции.
Так, например, поверхность шара S есть функция его радиуса R. Ее аналитическое выражение:
S — ^-R4-, где 0<^/?<^ + оо.
Формула у = х-У ]/ха + 4 определяет функцию у для всякого значения аргумента х.
В частности, функция может быть задана и с помощью нескольких формул (разные формулы на разных частях области определения). Например, ха, —3<х<0,
0, (х-1)а,0, (х-1)а,O^x^l, 1 <х<10.O^x^l, 1 <х<10.
0, (х-1)а,
0, (х-1)а,
O^x^l, 1 <х<10.
O^x^l, 1 <х<10.
*) Ниже будут указаны более точные и совершенные методы построения графиков функций.
Область определения этой функции — множество действительных чисел
х, принадлежащих интервалух, принадлежащих интервалух<^10. Каждому значению х из
х, принадлежащих интервалу
х, принадлежащих интервалу
этого интервала поставлено в соответствие определенное значение функции. При этом f(—2) = (—2)2 = 4, f^ = 0, f(5) = (5—1)2= 16 и т. д.
При исследовании явлений природы иногда приходится встречаться с переменными величинами, зависимость между которыми устанавливается опытным путем. В таких случаях иа основании опытных данных составляются таблицы, в которых содержатся значения функций, соответствующие различным частным значениям аргумента. Этот способ задания функций называется табличным. Примеры табличного задания функций можно найти в любом техническом справочнике.
В ряде случаев, особенно при использовании самопишущих приборов, функция задается непосредственно графиком (графический способ задания функции). Например, кривые, появляющиеся на лентах осциллографа, могут представлять собой графики различных физических величин как функций времени. С этих графиков для любого момента времени можно «снять» (приближенно) значения функций.
Указанные выше три способа задания функции (аналитический, табличный и графический), являясь наиболее употребительными, не исчерпывают всех возможных способов.
В частности, можно задать функцию, описав словами, какие значения она принимает для различных значений аргумента.
Например, функция Е (х) («антье икс», ее иногда обозначают также символом [х]) определяется как наибольшее целое число, не превосходящее х. При этом £(!)=!, £(3,1) = 3, £(0,7) = 0, Е(— 0,5) = — 1. Другой пример — функция Дирихле, определяемая следующим образом: f (х) равна нулю для всех иррациональных, значений х и равна единице для всех рациональных значений х.
Примечание. Задание функции каким-либо способом не исключает возможности ее задания и другими способами. Функцию Е (х) и функцию Дирихле также можно задать аналитически. Ввиду сложности этого задания им обычно не пользуются. График функции Е (х) см. на рис. 110.
Остановимся несколько подробнее на аналитическом способе задания функции.
Начнем с примера. Формула 8 = 4^^ определяет площадь поверхности шара S как функцию радиуса шара R. По смыслу задачи эта функция определена в области всех положительных чисел 7?(0<^7?<^-[-оо).
Отвлекаясь от содержания задачи, рассмотрим формулу S = 4^/?2. Эта формула каждому значению переменной R, —оо<^^<^4"°°> ставит в соответствие определенное значение переменной S, т. е. определяет S как функцию R в области всех действительных значений R.
Таким образом, область определения функции S в формуле для вычисления площади поверхности оказалась лишь частью той естественной области, в которой формула S = 4^/?2 имеет смысл.
С такими явлениями приходится часто сталкиваться при решении конкретных смысловых задач.
В дальнейшем нам неоднократно придется рассматривать аналитически заданные функции в их естественных областях определения.
При этом естественной областью определения аналитически заданной функции мы будем называть совокупность всех действительных значений независимой переменной, для которых функция принимает действительные значения.
Так, например, для функции у = ^-^-^-естественной областью определения будет множество всех действительных чисел; для функции y=-j-^p- естественная область определения задается неравенствами — оо<х<— 1, — 1 <^х< 1, 1 <х<-[- оо; функция у = j/x определена для всех неотрицательных чисел, функция у = ]/1—х определена на отрезке [—1, 1] и т. д. *).
Условимся в тех случаях, когда функция задана аналитически и не указана дополнительно к формуле или смыслом рассматриваемой задачи ее область определения, подразумевать естественную область определения.
Понятие обратной функции. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой области. Возьмем какое-нибудь значение уй из множества значений этой функции. В области определения функции найдется одно или несколько2) значений аргумента х0, для которых функция принимает значение у0, т. е. f(x0) —у0. Поставим уй в соответствие все эти значения хв.
При этом каждому значению переменной у из множества значений функции y — f(x) ставится в соответствие одно или несколько значений х, т. е. на множестве значений функции y = f(x) задается однозначная или многозначная функция х=<р(у). Она называется обратной для функции у=Цх\
Областью определения обратной функции является область изменения данной функции.
Например, функция у = х3, —оо<х<-|-оо, имеет областью изменения все действительные значения переменной у. Для любого значения у из промежутка —оо <у <-[-оо существует одно значение х такое, что х3 = у. Это значение х равно лЛу.
Таким образом, х — Уу есть однозначная обратная функция для функции у = х3. Ее область определения —со <у <-|-оо, а множество значений: —оо<^х< -j-oo.
Функция у = х2 определена в промежутке —оо<х<^-[-оо. Ее область изменения: 0 $5 у <-[-оо. Для каждого значения у из этой области существуют два значения переменной х; х = -\- V~y и х =— W» таких, что х2 = у. Следовательно, функция, обратная к функции у = х\ будет двухзначной. Ее можно записать в виде: х = ±Уу. Область определения такой функции: 0^у<^-[-оо, область изменения: —оо<^х<^ + оо.
Рассмотрим теперь вопрос о графике обратной функции.
Данная функция y = f(x) и ее обратная функция х = <р(у) выражают, по существу, одну и ту же связь между переменными х и у, только в первом случае мы рассматриваем х как аргумент, у как функцию, а во втором случае—наоборот. Поэтому график обратной функции x = f (у) совпадает с графиком данной функции y = f(x) (рис. 111).
Если у обратной функции, так же как и у данной, аргумент обозначить через х, а значения функции через у, то она запишется в виде у = <р(х).
Функции х = <р(у), у = <р(х) различаются только обозначениями переменных. Поэтому, чтобы из графика функции х—у(у) [или, что то же, функции у = /(х)] получить график функции у = <р(х), достаточно поменять ролями оси ОХ и OY, т. е. повернуть плоскость чертежа вокруг биссектрисы первого координатного угла на 180°.
Таким образом, график обратной функции у = <р(х) симметричен графику данной функции y = f(x) относительно биссектрисы первого координатного угла (см. рис. 112, 113, 114).
Сложная функция. Пусть даны две функции и = <р(х) и y = F^u), причем множество значений первой функции входит в область определения второй. Тогда каждому значению х из области определения функции
значению и функция у= F (и) ставит в соответствие определенное значение переменной у, т. е. переменная у является функцией от х;
y = F^Y
Полученная функция от функции называется сложной функцией') переменной х. Функцию <р (х) называют при этом промежуточной переменной.
Например, если u = x2-[-l, y=V и> то Для всех значений х определена сложная функция у = j/x2-[-1. Здесь х2 —J— 1—промежуточная переменная.
Сложными функциями будут 2sinx, cos (2х — 3), tg^ и т. д.
*) Сложную функцию у = F(<? (х)) называют часто суперпозицией (наложением) двух функции: внутренней и = ч(х) и внешней у = F (и).
Неявная функция. Пусть дано уравнение, связывающее две переменные х и у. Если все его члены перенести в левую часть, оно запишется в виде:
F (х, у) = 0.
Может быть, это уравнение не удовлетворяется ни одной парой действительных чисел х и у. Таким, например, будет уравнение
^ + у2+ 1=0.
Может быть, уравнение удовлетворяется лишь одной парой действительных чисел, как, например, уравнение (х—1)2 + (у— 2)2 = 0, удовлетворяющееся только парой чисел х—1, у = 2. И, наконец, может быть, существуют различные пары действительных чисел (х, у), удовлетворяющие данному уравнению. Например, уравнению 2х—у —|— 1 = о удовлетворяют пары чисел (х, 1 -|—2х), где х— любое действительное число.
В этом последнем случае на уравнение F ^х, у) = 0 можно смотреть как на способ задания переменной у как функции от х. А именно, с по-
хРис. 115.хРис. 115.
х
Рис. 115.
х
Рис. 115.
мощью этого уравнения каждому значению х из некоторого множества ставится в соответствие одно или несколько значений переменной у [таких, что для них F (х, у) = 0].
Функция от х, определяемая уравнением F (х, у) = 0, называется неявно заданной этим уравнением. Так, уравнение 2х — t/ —[— 1 = 0 неявно задает у как функцию от х.
В ряде случаев, разрешив уравнение Fix, y) — G относительно у, удается получить явное задание той же функции. Например, уравнение 2х — у-|-1=0 неявно задает функцию у=\-\-2х\ уравнение х2-|- —[— t/2— 1=0 неявно задает двухзначную функцию у = ±]/1 —х2 и т. д.
Элементарные функции и их графики. Рассмотрим некоторые классы функций, наиболее часто встречающихся в математическом анализе.
Многочлены, или целые рациональные функции. Многочленом, целой рациональной функцией или полиномом относительно переменной х называется функция вида
y = a6xF -\-аххп *-]- ... 4-ап_хх 4~ и«> (1)
где а0, аь ... , ап — постоянные, называемые коэффициентами многочлена. Старшая входящая в многочлен степень переменной х называется степенью многочлена. Если а0 ф 0, то степень многочлена (0 равна п.
Область определения многочлена — все действительные значения переменной х.
При п = 0 имеем многочлен нулевой степени: у — ай> где а0— число. Эта функция сохраняет одно и то же постоянное значение для всех х. Графиком служит прямая, параллельная оси ОХ (рис. 115).
При п=1 имеем многочлен первой степени: у = аох-[-а1, его называют линейной функцией относительно х. Графиком является прямая, наклоненная к оси ОХ под углом ®, для которого tg® = a0, и отсекающая на оси OY отрезок, величина которого ах (рис. 116).
При п = 2 имеем многочлен второй степени: у = а^х1 + сцх + а.ъ который называют квадратичной функцией относительно х. Графиком квадратичной функции будет парабола с осью, параллельной оси ОУ1) (рис. 117 для а0>0).
Дробно-рациональные функции. Дробно-рациональной функцией относительно х называется функция, которую можно представить в виде отношения двух многочленов относительно х, т. е. в виде
аох" + а^"-1 + ... + ап
Ьлх™ЦгЬ1х™-' + ...+Ьт'
где а0, ... , ап, Ьв, ... , Ьт—постоянные.
Она определена для всех значений х, кроме тех, для которых знаменатель равен нулю.
Примерами дробно-рациональных функций являются
_ х — 1_х8 — Зх + 2_12x4-1
У х 4-1 ’ Ух3 — 9’ У х3 Зх — 1
И т» д.
Функция у = ь° ь1, где а0, ах, Ьй) Ьх— постоянные, причем Ь6 Ф О и айЬх Ф ахЬ6, называется дробно-линейной функцией от х. Это частный
случай дробно-рациональиой функции. Графиком такой функции является гипербола2) (рис. 118).
Алгебраические функции. Алгебраической называют функцию, полученную из аргумента и действительных чисел с помощью алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня), а также любую неявную функцию, связанную с аргументом алгебраическим уравнением какой-нибудь степени.
Из определения следует, что всякая рациональная относительно х функция (целая или дробная) яйляется алгебраической.
Алгебраические функции, не являющиеся рациональными, называют и ррациональными.
Примеры алгебраических функций:
у = Ух— 1 + у'х-[-3; у = (ty = 2^ — 11
\х+ У х/
функция y = f(x), заданная неявно уравнением х^у1 — 2ху4~3 = 0 и т. д.
Частным случаем алгебраической функции является степенная функция у=ха, где а — рациональное число (а = ^, где р и q—целые числа).
Если q— нечетное число, а р— любое число, то функция у-х* определена для всех действительных значений х (кроме х = 0 при а<0).
Если q— четное число, а р— нечетное число, то функция д=х определена для х^О при а^>0 и х^>0 при а<^0.
Графики некоторых степенных функций см. на рис. 119—124.
Трансцендентные функции. Трансцендентными функциями называются все функции, не являющиеся алгебраическими. К ним относятся,
в частности, степенные функции у=ха, где а—любое иррациональное число, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Рассмотрим графики некоторых из этих функций.
Показательная функция, т. е. функция вида у = ах, где а — любое положительное число, отличное от единицы, определена для всех значений х.
Графики показательных функций для случая a> 1 и 0<^а<1 даны на рис. 125, 126.
Логарифмическая функция, т. е. функция вида y = logax, где a>0, а^ 1, определяется как функция, обратная к показательной у = сс\
Область определения логарифмической функции — множество всех положительных значений аргумента х. График симметричен графику показательной функции у — ах относительно биссектрисы первого координатного угла (см. рис. 127, 128).
Тригонометрические функции
t/ = sinx, у—cosx, y = tgx, y=ctgx, y = secx, у — cosec x.
Здесь, как это принято в математическом анализе, каждое значение аргумента х есть отвлеченное число, представляющее собой радианную меру некоторого угла.
Функции y = sinx и y = cosx имеют областью определения все значения переменной х. Множеством значений каждой из этих функций будет промежуток: — 1 у^ 1.
Графики функции y = sinx и y = cosx (их называют соответственно синусоидой и косинусоидой1) см. на рис. 129.
Фунция у= tg х определена для всех значений х, кроме х = у (2&-|-1), к = 0. ±1, ±2, ... Множество значений: —оо<^у<^-[-оо.
График этой функции (тангенсоида) дан на рис. 130.
Функция y = ctgx определена для всех значений х, кроме х-кт, к=0, ± 1, ±2, ... Множество ее значений: — со<^у<Н-оо.
График функции y=ctgx [котангенсоида-) приводится на рис. 131.
Обратные тригонометрические функции.
= Arcsinx— бесконечнозначная функция, обратная для функции y = sinx. Область определения: —1 ^х^ 1, область изменения: —оо< <у< + оо.
Если каждому значению х, —l^x^l, поставить в соответствие значение у бесконечнозначной функции у —Arcsinx, удовлетворяющее
неравенствам: — у ^ у ^ ^ , то получится однозначная функция. Ее обозначают у = arcsin х и называют главной ветвью функции у = Arcsinx. На рис. 132 ее график выделен жирной линией.
Функция у = Arccos х — бесконечнозначная функция, обратная для функции y = cosx. Область определения: — 1^ ^х^1, область изменения: — оо< у <-[-оо. Поставив в соответствие каждому значению х из области определения функции у = Arccos х то из значений этой функции, которое лежит в пределах О^у^л, получим однозначную функцию, называемую главной ветвью функции у = Arccos х. Ее обозначают у — arccos х. График функции у = arccos х на рис. 133 выде
лен жирной линией.
На рис. 134, 135 изображены графики бесконечнозначных функций y = Arctgx и y = Arcctgx, определяемых как обратные функции для функций y = tgx и y = ctgx соответственно.
Области определения этих функций: —оо<^х<^ + оо, области изменения: — ОО <^ у< -]- ОО.
Если каждому значению х, —со < х < -j- оо, поставить в соответствие значение у функции у = Arctgx(y = Arcctgx), удовлетворяющее неравенствам — у <у < у (0 <2 у < л), то получится однозначная функция, называемая главной ветвью бесконечнозначной функции у —Arctgx (у = Arcctgx) и обозначаемая y = arctgx (у = arcctgx). График функции y = arctgx (y = arcctgx) на рис. 134 (135) выделен жирной линией.
Будем называть основными элементарными функциями алгебраические функции, задаваемые явно, а также перечисленные выше трансцендентные функции (у=х", а—иррациональное число, у=ах, y=logox, y=sinx, y=cosx,..., y = arcsinx, и т. д.).
Функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и применением конечного числа операций вычисления функции от функции, будем называть элементарными функциями.
Некоторые замечания о построении графиков функций
Четные и нечетные функции. Построение графиков функций облегчается, если функция является четной или нечетной.
Функция /(х), определенная на промежутке, симметричном относительно х—О, и, в частности, на всей числовой оси, называется четной, если для любого значения х этого промежутка /(—х)=/(х), и нечетной, если f (— х) = — / (х).
Например, функции /(х) = х24-2, <р(х)~ cosx, ф (х) = 2х -*- 2~х— четные. Функции / (х) = х3 -|- Зх3 + х, ®(х) = tg х, ф (х) = 2^ — 2-х — нечетные.
Заметим, что не всякая функция является четной или нечетной. Однако любую функцию, определенную в симметричном относительно х = 0 промежутке, можно записать в виде суммы четной и нечетной функции:
j ^ _ /(х)+/(—х) । /(х)—/(—х).
Из определения четной и нечетной функций непосредственно следует, что график четной функции симметричен относительно оси 0Y (рис. 136), а график нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 137).
Поэтому для построения графиков четной или нечетной функций достаточно построить их графики для неотрицательных значений х. Затем, 154
в случае четной функции, построить график, симметричный полученному относительно оси 0Y, а в случае нечетной функции построить график, симметричный полученному относительно начала координат.
Сложение графиков. Для построения графика функции у — f (х) + ©(х) при условии, что графики функций y — f(x) и у = <р(х) уже известны, можно воспользоваться сложением графиков, которое производится следующим образом. Возьмем какое-нибудь значение х из области опреде
Рис. 138.Рис. 138.
Рис. 138.
Рис. 138.
ления функций f(x) и <р(х) и произведем сложение направленных отрезков, величины которых равны значениям функций f(x) и <р(х) при рассматриваемом значении х. Взяв различные значения х, построим точки, принадлежащие графику суммы / (х) —|— <р (х).
Так, например, можно построить график функции у = х-\" (см. рис. 138).
Деформация графиков. Рассмотрим построение графиков функций f(x)-|-a, /(x-j-a), afM» f(ax) при условии, что график функции f(x) известен.
Задача 1. Зная график функции Цх), построить график функции f(x)-[-a.
Решение. Сложив графики функций у = Цх) и у = а, получим график f(x)4-a. Нетрудно видеть, что для построения графика /(x)-j-a достаточно сместить график функции /(х) в вертикальном направлении на |а| единиц масштаба — вверх при а^>0 и вниз при а<0 или, что то же, оставляя график функции f^x) на месте, сместить ось ОХ в вертикальном направлении на |а| единиц масштаба — вниз, если a )> О, и вверх, если а<^0.
Задача 2. Построить график функции /(х-[-а), если график функции f (х) известен.
Решение. Функция f(x-[-a) в точке х— а принимает такое же значение, как и функция f (х) в точке х. Поэтому для построения гра
фика функции Цх-\-а) нужно график функции f(x) сместить в горизонтальном направлении на | а | единиц масштаба — вправо при a < О, влево при а^>0. Или, если оставить график функции /(х) на месте, то следует сместить ось OY по горизонтали на | а | единиц масштаба — влево при а<0 и вправо при а^>0. Таким образом построен график функции z/ = loga(x — 1)4-2 (а>1) (см. рис. 139).
Задача 3. Построить график функции af(x), считая известным график функции /(х).
Решение. Пусть а>0 [при а<0 сначала построим график функции — f(x), симметричный графику функции Цх) относительно оси ОХ].
Для каждого х из области определения функции f (х) соответствующее значение функции f (х) умножается на одно и тоже число a(a>0).
Нетрудно видеть, что при а<4 эта опе- у Ирация геометрически представляет собой
«сжатие» графика функции /(х) в верти- кальном направлении, а при а>1 — /s^at^Vt «растяжение» графика функции /(х) в вер- /., тикальном направлении.
°/х Итак, для построения графика функ-
/ции af(x) (a>0) нужно график функ-
у7у ции / (х) деформировать в а раз вдоль
Iоси OY, т. е. «сжать» при а<1, «растя-
/нуть» при а^>1. Или, если оставить гра-
|фик функции f (х) без изменения, то нужно
Jизменить в а раз масштаб по оси 0Y,
а именно, уменьшить его при а^>1 и увеличить при а<1.
Рис. 139.Задача 4. Зная график функции
f (х), построить график функции f(ax).
Решение. Пусть а^>0 [при а<^0 сначала построим график функции f( — х), симметричный графику функции f(x) относительно оси ОУ].
Функция / (ах) в точке — имеет такое же значение, как и функция Цх) в точке х. Учитывая это, получим, что для построения графика функции f (ах) следует график функции f (х) деформировать в а раз вдоль оси ОХ, т. е. «сжать» при а)>1 и «растянуть» при а<4. Или, что то же, не изменяя графика функции f (х), изменить в а раз масштаб по оси ОХ: уменьшить при а<4 и увеличить при а>1.
Пример 1. Построим график функции у = 2ха + 4х-|-3. Для этого запишем у следующим образом:
у=2(х=4-2х + ■|) = 2[(х + 1)2+ 1] = 2(х4-1)3+1
и построение будем производить, например, в таком порядке:
1)у = ха, 2)у = 2х2, 3) у = 2(х + I)2, 4) у = 2(х+ I)2 + 1 (см. рис. 140)).
— 2x4-3— 2x4-3„-2x4-3Запишем у =— = — 2 4„-2x4-3Запишем у =— = — 2 411и будем производить построениеи будем производить построение
— 2x4-3
— 2x4-3
„-2x4-3
Запишем у =— = — 2 4
„-2x4-3
Запишем у =— = — 2 4
1
1
и будем производить построение
и будем производить построение
Пример 2. Построим график функции у
11(рис. 141), например, в следующем порядке:
1
1
=2) 3’ =3>3’=-2-1
Простая гармоника и ее график. На практике часто встречается функция вида:
у = А sin(<»x + a), где Д^>0 и <»^>0.
Известно, что такой функцией описывается закон гармонического колебательного движения. Эта функция называется простой гармоникой, число А
у = 3 sinу = 3 sinпостроим последовательнопостроим последовательнов виде:в виде:
у = 3 sin
у = 3 sin
построим последовательно
построим последовательно
в виде:
в виде:
называется амплитудой, о — частотой и а — начальной фазой. График простой гармоники можно получить из графика синусоиды путем деформаций.
И ПО-И ПО-Действительно, запишем у = A sin (о>х -[- а) = A sin^w ^х -[- —J следовательно построим графики функций:
И ПО-
И ПО-
1) y=sinx, 2) y = sinu>x, 3) у = sin ^<d ^х-[- ^],
4) у = Дsiп [<в ^x-|--^J = A sin (u>x-[-a).
Например, построим график функции у = 3 sin (2х 4“ !)• Записывая у
графики функций:
1) у = sin х, 2) у = sin 2х, 3) у = sin 2
j> = 3sin
Другое аналитическое выражение для простой гармоники. Так как A sin (шхД-а) — = Д sinacos ох-)-Д cos asina> х, то, обозначая Д sin a = a, A cos а = 6, получим: A sin (a>x-4-a) = acos<DX-[-6sin а>х. И обратно, если дано выражение acos<ox-[-6sincox, где а и Ъ— любые действительные числа, то, рассматривая для точки с прямоугольными координатами (6, а) полярные координаты (А, а) (рис. 143), получим а = Д sin a, b — A cos а и, значит,
a cos toX-^-b sin шх = А sin a cos wx-f- A cos a sin mx= A sin (u>x-[-a).
Таким образом, простые гармоники с частотой о> можно записать в виде a cos о>х -4- b sin о>х, где а и b — действительные числа.
Раздел 2
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 4. Основные понятия
Пусть каждому натуральному числу п поставлено в соответствие число хп, тогда говорят, что дана последовательность хь хг, ... ,хп,..., или короче: последовательность {%„}. Общий член последовательности ха является функцией натурального аргумента п, xn=f(n). Давая п различные значения: п=1, 2, 3получим последовательность значений этой функции:
/(1), /(2)fW, ...
Функцию / (и) можно задать как аналитически, так и любым другим способом.
Например, если х„ = ^-, то последовательность запишется в виде:ill 1* 2 ’ 3 ’ ‘’ п ’ *" *
Извлекая корень квадратный из двух с недостатком, получаем приближенные значения этого корня с точностью до 1, до ^, до и т. д., т. е. получаем последовательность Х! = 1, х2—1,4, х3=1,41,... Обращая простую дробь, например 1, в десятичную с точностью до одного, двух и т. д. знаков после запятой, 5?з г' также получаем последователь- 17£ х ность:
-5 -з -io 2 s в Х! = 0, х2 = 0,3 х3 = 0,33, .
Хэ X, 1г Г4 Х6х^ — 0,33 ...3,
Рис- 144.при этом в выражении хп циф
ра 3 повторяется (п— 1) раз. Таким образом, последовательность задана, если указан способ получения любого ее члена.
Приведем еще примеры последовательностей:
{х„} = {(— 1)"} или, что то же, — 1, 1, — 1, 1, — 1, ...;
2) {х„} =2) {х„} =sin и -^-1 или, что то же, 1, 0, — 1,0, 1
2) {х„} =
2) {х„} =
{х,,} = {(—1)" и} или, что то же, —1, 2, —3, 4, —5, ... ;
..f 1, при п — нечетном,
т. е. считая кажт. е. считая каж) если хп при ^— четном, то последовательность имеет вид 1, 0, 1,0, 1, ... ;
т. е. считая каж
т. е. считая каж
полагая х, = 0, х2 = 1, хп+г = хга + хп+1 (п = 1, 2, 3, ...),
дый член последовательности начиная с третьего равным сумме двух предшествующих ее членов, подучим: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
Геометрическое изображение последовательности. Построив на числовой оси точки с абсциссами, равными величинам соответствующих членов последовательности {х„}, мы получим последовательность точек, являющуюся геометрическим изображением данной последовательности.
На рис. 144 изображены соответственно последовательности
^»} = {У’ {^} = {(—!Г«}.
Ограниченные и неограниченные последовательности. Последовательность {х„} называется ограниченной, если существует число Л4^>0, такое, что для всех п выполняется неравенство
I^KVH.
Геометрически это означает, что все члены последовательности принадлежат интервалу (—М, М) (рис. 145, а).
Последовательность, не являющаяся ограниченной, называется неограниченной. Для неограниченной последовательности при любом М^>0 найдутся члены последовательности, которые лежат вне интервала (—М, М).
Следует иметь в виду, что в определении ограниченной последовательности ничего не говорится о величине М. Последовательность ограничена, если существует число (обозначим его М\ удовлетворяющее условию |х„|<;Л4 при всех п. Число М не обязано быть «наименьшим», удовлетворяющим этому условию.
Последовательность {х„} называется ограниченной сверху (говорят также — справа), если все ее члены меньше некоторого числа Л4, т. е. неравенство хп<^М выполняется при любом п, и ограничена снизу (слева), если существует число т, такое, что неравенство хп > т выполняется при всех п.
В случае ограниченности последовательности сверху все ее члены принадлежат интервалу (—оо, Л4), в случае ограниченности снизу —
.г-—^ Поспев.[х^-ограничена а1 -м 1 ' о м 'х
ПослеЭ.{хп}-ограничена сверхухПаслев{хп}ограничена снизу6) ^_
Рис. 145.
интервалу (т, -{-оо) (см. рис. 145, б, в). Из этих определений непосредственно следует, что если последовательность ограничена, то она ограничена сверху и снизу, если же последовательность ограничена только с одной стороны, то она может быть неограниченной.
Рассмотрим примеры. Последовательность {хп} = {п} ограничена снизу, но она неограниченная, последовательность {хп} = {— п} ограничена сверху, но не является ограниченной, и, наконец, последовательность (x„} = {(—1)”и} не ограничена ни сверху, ни снизу.
Последовательность {х„} = { у | — ограниченная, так как {х„ К 2 при любом п.
Последовательность {х„} = {<7”} (<?>!)—неограниченная, так как, положив q — 1-{-9 (6>0), получим:
^=(14-0)">1 + ц0
и, следовательно, при достаточно больших п ее члены будут больше любого наперед заданного числа. Но эта последовательность ограничена снизу, так как неравенство ^"^>1 справедливо при любом п.
§ 5. Предел последовательности.
Число а называется пределом последовательности {хп}, если для любого положительного числа е найдется такой номер N, что для всех п> N выполняется неравенство | а — х„ |< е. Следует обратить особое внимание на то, что е может быть любым положительным числом, в частности, и сколь угодно малым. Неравенство [а — х„| <^е можно записать в виде |хп — а|<е или —^<,хп— а<е.
Из определения предела следует, что если последовательность {хп} имеет пределом число а, то члены последовательности при всех ц^Л/1) удовлетворяют неравенствам а—е <^хп <а-|- е. Интервал (а — е, а-[-е)
^ При нацлежащем выборе N.
называют «s-окрестностью» точки а. Учитывая это, определение предела последовательности можно геометрически сформулировать следующим образом: число а является пределом последовательности {хп}, если, какова бы ни была e-окрестность точки а, начиная с некоторого номера все точки хп попадут в эту окрестность, т. е. вне интервала (а— е, а + е) останется лишь конечное число членов последовательности (рис. 146). Номер N, о котором говорится в определении предела последовательности, зависит от величины е. Тот факт, что последовательность {х„} имеет предел, равный а, записывают следующим образом: lim хп = а (Нт есть сокращение латинского слова limes, которое означает «предел»), lim хп = а или хп->а. В этом слу- п-*со
чае говорят, что последовательность о-e a ateх {х„} сходится (сходится к а), или
имеет конечный предел.
Рис. 146.Из определения предела последо
вательности непосредственно следует, что при отбрасывании, добавлении или изменении конечного числа членов данной последовательности получаются новые последовательности, обладающие следующим свойством: если сходится одна из них, то сходится и другая и их пределы равны.
Это свойство короче можно сформулировать так: две последовательности, отличающиеся между собой на конечное число членов, ведут себя одинаково относительно сходимости.
Рассмотрим примеры.
Последовательность {х„} = ^ ^ } (рис. 147). Докажем, что
lim^ = 0.
Действительно, возьмем произвольное положительное число е и определим соответствующий номер N так, чтобы при п> N выполнялось
I
/ ПЛ]1
О— < е, т. е. — < е. Это неравенство выполняется при
п 2> "7 > поэтому за N можно взять целую часть числа у. Тогда при всяком п^ N выполняется неравенство
к,Z,lsX7O Zs** хг
а это и означает, что предел по
следовательности {х„} —{^-^ |Рис. 147.
равен нулю.
Положив, например, е = 0,001, определим N = 1000, если е = 0 000001
то N = 1000 000.’’
xn = qn-».O при условии, что |?|<1.
Для доказательства возьмем любое число s^>0 и рассмотрим неравенство"
|0-»"|<е,
Чтобы не иметь дела с отрицательными значениями логарифма (так как I <7 К заменим это неравенство ему равносильным
М q IJ * •Тогда, после логарифмирования, получимn 1g > 1g —,
откудаоткудаВозьмемВозьмем'8 —п>—Г-
откуда
откуда
Возьмем
Возьмем
18 ГО
где Е I — целая часть числанеравенство |0— ^Ю, т. е. qn -где Е I — целая часть числанеравенство |0— ^Ю, т. е. qn -'84-'84-16 R116 R1. Тогда при n>N выполняется. Тогда при n>N выполняется3) хп =3) хп =I -i, если п нечетно,2, если п четно.п ’I -i, если п нечетно,2, если п четно.п ’Ле 4^1g iTl
где Е I — целая часть числа
неравенство |0— ^Ю, т. е. qn -
где Е I — целая часть числа
неравенство |0— ^Ю, т. е. qn -
'84-
'84-
16 R1
16 R1
. Тогда при n>N выполняется
. Тогда при n>N выполняется
3) хп =
3) хп =
I -i, если п нечетно,
2, если п четно.
п ’
I -i, если п нечетно,
2, если п четно.
п ’
4 7
Последовательность 2, у. -3. f, не имеет предела (см. рис. 148).
Действительно, при п нечетных члены последовательности «сгущаются» к точке 1, при п четных члены последовательности «сгущаются» к точке 2. И ни одно из чисел 1 и 2 не является пределом последовательности, так как, какую бы достаточно малую окрестность точки 1 (или точки 2) ~^ | ^р/
ни взять, вне ее содержится бес-зз z i
численное множество членов после-Рис. 148.
довательности.
) Последовательности {х„} = {(—1)"}, {хп} ={ sin п у | также не имеют предела.
Рассмотренные примеры показывают, что если последовательность сходится, то ее члены могут быть как больше, так и меньше предела. Например, у последовательности {х„} = { 4"}> сходящейся к 0 (см. пример 2, при 9 = ^, все члены последовательности положительны, а у последовательности {х„} = ( ^~Р ■ | (пример 2, при q =—^, сходящейся к 0, члены последовательности принимают как положительные, так и отрицательные значения. И, наконец, бесчисленное множество членов последовательности могут быть равными пределу, как это, например, будет для последовательности {х„}, определяемой условием
, если п нечетно,
, 1
, если п четно.
Здесь limx„=l.
Из двух членов сходящейся последовательности член с большим номером не всегда будет «ближе» к пределу этой последовательности.
Рассмотрим теперь следующие теоремы.
Теорема 1. Последовательность может иметь не более одного предела.
Пусть хп-*а, хп-*Ь (а^Ь). Возьмем число е^>0. Из того, что хп->а, следует, что |а — х„Ку при п^М^ Из того, что хп-*Ь, сле
дует, что \Ь — х„ К у при п > N^.
Тогда для n"2>N, где N большее из чисел N^ и Мг, выполняются оба неравенства. И, следовательно,
| а — b | = | (а — х„) 4- (х„ — 6) | ^| а — хп 14
4" кл — ^Ку + т^6' 1“ —6Ке-
Разность между числами а и b по абсолютной величине меньше любого положительного числа, следовательно, а = Ь.
Теорема 2. Если хп-а, то |х„|->|а|.
Действительно, для любого ej>0 неравенство |а — хп|<^е будет выполняться при n^NCs). Но по свойству абсолютных величин можно записать, что
«I — kJl^la — хп\,
и, следовательно, при n>N выполняется неравенство
||а| — |^11<е> т. е. |х„|->|а|.
Теорема 3. Если хп-*а, то последовательность {х„} ограничена.
Доказательство. Положим е= I, тогда найдется номер N такой, что для n^N \а — a„KL Следовательно, |а„| = |(ап—а) 4~а1 ^=\ап — а1 + 44яК1+1°1- Откуда |а„|<^|а|4-1 Для всех n^>N. Обозначая через М наибольшее из чисел [aj, |a2|I^l> laH~I> получим для всех п; |а„|^Л4, откуда следует, что последовательность {хп} ограничена1).
Заметим, что обратная теорема неверна. Из ограниченности последовательности ие следует ее сходимость, как это видно из рассмотренных
4— , если п четно,1 пjне имеет, если п нечетно,п4— , если п четно,1 пjне имеет, если п нечетно,пниже примеров:
4— , если п четно,
1 п
jне имеет
, если п нечетно,
п
4— , если п четно,
1 п
jне имеет
, если п нечетно,
п
Последовательность {х„}, хп =
предела, хотя | х„ | ^ 2 при всех п.
Ограниченная последовательность {хп} = { sin п у |, принимающая значения 1, 0, —1, 0, 1, О —1 ..., также не имеет предела.
Таким образом, ограниченность последовательности является необходимым, но не достаточным условием сходимости последовательности. Последовательность {х„}, не имеющая конечного предела, называется расходящейся. Следовательно, только что рассмотренные последовательности — расходящиеся. Последовательности {(—1)"}, {п2}, {п-|-^——}—также
расходящиеся.
Бесконечный предел последовательности
Бесконечно большие. Последовательность {хп} называется бесконечно большой, если для любого числа М^>0 найдется номер N, такой, что для всех n^N выполняется неравенство |х„|^>Л4. Геометрически это означает, что какое бы мы число М > 0 ни взяли, все члены последовательности {х„}, кроме конечного числа их, лежат вне отрезка [—М, Л4]. Номер N, начиная с которого выполняется неравенство |х„|^>Л4, вообще говоря, зависит от М.
Примерами бесконечно больших последовательностей являются последовательности {«}, {— и}, {(—1)"+1/г}. При этом члены первой последовательности принимают только положительные значения, члены второй
последовательности — только отрицательные значения. Члены же третьей последовательности по модулю неограниченно растут, принимая то положительные, то отрицательные значения.
Тот факт, что последовательность {хп} бесконечно большая, записывают следующим образом: хп-*со^хп стремится к бесконечности), или limx„ = oo (предел хп равен бесконечности), или limx„ = oo.
п ^ СО
Если условиться под окрестностью символа оо понимать совокупность значений х, удовлетворяющих неравенству |х|^>Л4, где М— некоторое положительное число, то получим следующее определение бесконечно большой последовательности: последовательность называется бесконечно большой, если в любой окрестности символа оо лежат
Рис. 149.Рис. 149.хх
Рис. 149.
Рис. 149.
х
х
все ее члены, кроме, быть может, конечного числа (рис. 149). Всякая бесконечно большая последовательность — неограниченная последовательность.
Иногда бывает важно выделить частные случаи, когда бесконечно большая последовательность {хп} при всех п или при всех п, кроме конечного числа, сохраняет знак. Если последовательность {х„}—бесконечно большая и ее члены, кроме, быть может, конечного числа, положительны, то говорят, что последовательность {хп} стремится к -[- оо, и пишут хп-*-^со, или limx„ = 4-oo, или Игл хп = -\-со. Если же члены бесконечно большой последовательности {х„}, кроме, может быть, конечного числа их, отрицательны, то говорят, что последовательность {хп} стремится к —оо, и пишут: хп->— оо, или Ишхл =— оо, или Игл хп ——оо. п —► оо
окрестность + со 'мX
окрестность - со
Рис. 150.
Отметим, что записи хп->-[-оо и хп-> — оо, являющиеся частными случаями (разновидностями) записи хл->оо, вводятся, когда желают подчеркнуть, что члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, сохраняют определенный знак.
Итак, по определению limxn = -|-oo, если для любого числа Л-1 найдется номер N, такой, что хп^>М для всех n">N и limxn =— оо, если для любого числа М найдется номер N, такой, что для всех n">N выполняется неравенство хп<^М.
В первом случае, начиная с некоторого номера, все члены последовательности лежат в интервале (М, -]-оо), во втором случае — в интервале (— оо, MY Будем понимать под окрестностью символа -|- оо совокупность значений х, удовлетворяющих условию х^>М, а под окрестностью символа — оо совокупность значений х, удовлетворяющих неравенству х<^М (рис. 150).
Тогда limx„ = -[-oo (Итхл =— оо), если в любой окрестности 4-оо (—оо) лежат все члены последовательности, кроме конечного числа их. Число членов, не попавших в выбранную окрестность, зависит от «величины» этой окрестности, т. е. от выбранного числа М.
Рассмотрим еще примеры бесконечно больших последовательностей:
{ хп } = { п- }, хп — со и хп —+ оо,
{ хп } = { (— 1)” п}, х„ — оо,
{ хп } = 11g ^1, хп — со и хп — со,
{^} = {tg(y + ^^)}, х„^оо,
{ хп } — | п + sin п -^-|, хп — оо и хп — + оо.
Теорема о том, что последовательность может иметь не более одного предела, остается верной и после введения бесконечных пределов.
Действительно, двух бесконечных пределов быть не может, а если допустить, что один предел конечен, а другой бесконечен, то придем к противоречию, так как наличие конечного предела последовательности дает ограниченную последовательность и, следовательно, она не может быть бесконечно большой.
Следует иметь в виду, что не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть последовательность {х„} =4 nv-^n}, общий член которой можно записать и так:
(
п при п четном,
1
— при п нечетном.
Эта последовательность неограниченная и не является бесконечно большой. Она не имеет никакого—ни конечного, ни бесконечного предела. Для неограниченной последовательности логически имеются две возможности: она или имеет бесконечный предел, т. е. является бесконечно большой, или не имеет никакого предела.
Выше была определена сходящаяся последовательность, как последовательность, имеющая конечный предел, в противном случае последовательность называлась расходящейся. Таким образом, последовательность расходится, если она не имеет предела или ее предел равен бесконечности.
Бесконечно малые
Последовательность {хп} называется бесконечно малой, или нуль- последовательностью, если limx„ = 0. Например, последовательности {хп} = | -^-1, {хп} = | sin ^-| — бесконечно малые. Последовательность {х„} = {0}, все члены которой равны нулю, также бесконечно малая. Общие члены бесконечно малых последовательностей будем обозначать буквами греческого алфавита, например ап, р„, 7„Из определения предела последовательности непосредственно получаем, что последовательность {а„} будет бесконечно малой, если для любого положительного числа е найдется число N, такое, что для n^>N выполняется неравенство |а„|<е.
Если Итх„ = а, то, как это следует из определения предела последовательности, разность хп— а = а„, где а„->0. Обратно, если разность хп — а = ап, где а„->0, то Итх„ = а. Таким образом, установлена связь между пределами сходящихся последовательностей и бесконечно малыми.
Теорема. Для того чтобы последовательность {хп} сходилась к числу а, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
^л = а + ал, где ал—>0.
Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими.
Теорема. Если последовательность {а„} бесконечно малая и все ее члены отличны от нуля, то последовательность {хп} —{-^-}— бесконечно большая, и обратно, если последовательность {х„}, хп Ф 0, бесконечно большая, то последовательность {art}=| —1 — бесконечно малая.
Действительно, пусть ап->0, тогда для любого числа 7И ^> 0 найдется номер ^, такой, что при п^> N выполняется неравенство | а„|<или
тогда для любоготогда для любого| хп | ^> — выпол| хп | ^> — выпол— 1 Д>Д4, т. е. хп = ——> оо. Пусть теперь хп->оо, ап Iап
тогда для любого
тогда для любого
| хп | ^> — выпол
| хп | ^> — выпол
числа е^>0 найдется число N, такое, что неравенство
няется при п ^> N, откуда получим,няется при п ^> N, откуда получим,что г-—. < е для всех п > N, т. е.
няется при п ^> N, откуда получим,
няется при п ^> N, откуда получим,
Например, последовательность {qn} (| q | < 1) — бесконечно малая, последовательность {Q"} (| Q | > 1) — бесконечно большая.
Операции над последовательностями. Суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей {х„}, ^уп\ называются соот
ветственно последовательности
{^ + УП}. {я„—_у„}, {х„.у„},
I Уп )
при делении следует сделать оговорку, что все члены последовательности- делителя отличны от нуля.
Произведение последовательности {хп} на число С можно рассматривать как произведение последовательности {хп} на последовательность {уп} = {С}, все члены которой равны С, в результате получим последовательность {Схп}.
Теоремы о бесконечно малых.
Теорема 1. Алгебраическая сумма двух бесконечно малых есть бесконечно малая.
Пусть а„ -> О и р„ -> 0. Докажем, что а„ ± £„ -> 0. Возьмем произвольное число е>0, тогда существует номер Мъ такой, что при n^N! имеем |а„Ку, и номер N^, такой, что при n^N» имеем |p„K-^-.
Обозначим через N наибольшее из чисел Мх и Na, тогда при n^>N выполняются оба неравенства и, следовательно,
|а„±М^|ап| + |М<у + |==-
Так как для любого числа е^>0, |а„±р„Ке при n^N, то последовательность {a„±pn}—бесконечно малая, что и требовалось доказать.
С помощью этой теоремы, если применить ее последовательно несколько раз, получаем, что алгебраическая сумма любого фиксированного числа бесконечно малых есть бесконечно малая.
Здесь очень важно помнить, что число слагаемых фиксировано. Теорема перестает быть верной, если число бесконечно малых слагаемых неограниченно растет. Например, в случае, когда имеется п слагаемых, равных — (— ~' oV то их сумма
—4-—, обозначим ее через хп, равна 1, и, следовательно, х„ —► 1, если
п
X3
слагаемых, равных —, будет п1, то их сумма хп равна п, хп = п и, следовательно, х„ —со.
Теорема 2. Произведение ограниченной последовательности и бесконечно малой последовательности есть бесконечно малая последовательность.
Пусть последовательность {хп} — ограниченная, а {а„} бесконечно малая. Докажем, что х„а„->0.
В самом деле, существует число М^>0, такое, что неравенство |х„КЛ4 выполняется при всех п. Возьмем любое число е Д> 0, ему соответствует число N, такое, что при п^ N 1а„| <^^. Тогда | х„а„ |< М ~ = а, т. е. Iхла«I<С® при п2>^> а эТо и означает, что хпап->0.
Следствие 1. Произведение сходящейся последовательности и бесконечно малой последовательности есть бесконечно малая последовательность.
Действительно, это утверждение получается сразу же, если учесть свойство ограниченности сходящейся последовательности.
Следствие 2. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Произведение любого фиксированного числа бесконечно малых — также бесконечно малая.
Заметим, что об отношении двух бесконечно малых, а также о произведении бесконечно большой на бесконечно малую ничего определенного сказать нельзя.
Рассмотрим примеры.
1.1)-„ = 1-0, ь=1-о,1.1)-„ = 1-0, ь=1-о,Ь=1_о.ап "Ь=1_о.ап "2) »П2) »П(-1)"п(-1)"п0, ря = -О,0, ря = -О,^ —(— 1)”—предела не существует. Рп^ —(— 1)”—предела не существует. Рп
1.1)-„ = 1-0, ь=1-о,
1.1)-„ = 1-0, ь=1-о,
Ь=1_о.
ап "
Ь=1_о.
ап "
2) »П
2) »П
(-1)"
п
(-1)"
п
0, ря = -О,
0, ря = -О,
^ —(— 1)”—предела не существует. Рп
^ —(— 1)”—предела не существует. Рп
1) аи=^ — 0, р„ = п —ОО, а„₽„ = 1 — 1.
=р„ = п2 —СО, а„р„ = га —СО.
яп = ^-'°> Рп = ” —с°, “А = у-*°-
/Пи
а„ = -—^>-0, ^П = п —>• со, а„^„ = (—1)" — не имеет предела.
§ 8. Теоремы о пределах
Теорема 1. Алгебраическая сумма, двух сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, ее предел равен соответствующей сумме пределов данных последовательностей.
Пусть хп ->а, уп-> Ь. Докажем, что хп ± уп _> а ± Ь. Действительно, хп = а + ап, где а„—>0, у„ = Ь-^п, где р„->0. Тогда х„ ± у„ = (а ± 6) + -|- (а„ ± р„). По доказанной теореме о сумме бесконечно малых последовательность {а„ ± р„} — бесконечно малая, окончательно получим
Ит(х„±у„) = а±Ь, т. е.lim (х„ ± у„) = lim х„ ± lim уп.
Если условия теоремы выполняются, то теорему будем формулировать короче: предел суммы равен сумме пределов *).
Теорема остается верной и в случае любого фиксированного числа сходящихся последовательностей.
пределовпределовТеорема 2. Произведение двух сходящихся последовательностей есть
пределов
пределов
сходящаяся последовательность, ее предел равен произведению
данных последовательностей.
Действительно,Действительно,x„ = a + «„, a„-*0x„ = a + «„, a„-*0Пусть хп -> а, уп->- Ь, докажем, что хпуп -> ab.
Действительно,
Действительно,
x„ = a + «„, a„-*0
x„ = a + «„, a„-*0
Уп — ^ 4“ Рл> Рп —>0.
Тогда x„y„=(a4-a„)(6-|-p„) = a6 + (ap„4-6a„ + a„p„).На основании
свойств бесконечно малых заключаем, что (аЗ„ 4- Ьап -ф- anp„) _> 0, т. е. последовательность {а^„-[-6а„-]-алр„} — бесконечно малая. Отсюда Yim^xny^ = ab, т. е. lim (х„у„) = lira x„ lira у„.
Если условия теоремы выполняются, то предел произведения равен произведению пределов2).
Теорема остается справедливой и в случае произведения любого фиксированного числа сходящихся последовательностей.
Следствие 1. Если последовательность {х„} имеет конечный предел, то при любом постоянном С имеем: Игл Сх„ = СИтх„, т. е. постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Чтобы доказать теорему о пределе частного двух сходящихся последовательностей, рассмотрим две леммы.
Лемма 1. Если limx„ = a, а ^ 0, то существует число ^^>0 и натуральное число N, такие, что при n^N выполняется неравенство | хп | > К. В этом случае говорят, что последовательность {хп} отделима от нуля.
Доказательство. По условию limxn = a, тогда как известно (теорема 2, § 5), lim|x„| = |a|^>0 и, следовательно, для любого числа е^>0, начиная с некоторого номера N = N(^\ т. е. для n"^>N, выполняются неравенства |а| — е<хп<;|а|4-е.
Возьмем е, удовлетворяющее условию 0<^е<^^. Тогда, учитывая левое неравенство, получим, что при n^N, | хп |^>^. Полагая К='~,
получим утверждение леммы.
В частности, из этой леммы следует, что если предел последовательности не равен нулю, то, начиная с некоторого номера, все члены после
довательности отличны от нуля.
Лемма 2. Если Иглхп = а, а#: 0, и все члены последовательнрсти отличны от нуля, то последовательность I ~ У ограничена.
Действительно, по лемме 1 существует число К^>0, такое, что при n^>N имеет место неравенство |х„|^>К, а следовательно, |-^-|<^. _,..,I 1 I I 1 II f 11
Если обозначим через М наибольшее из чисел — , — — , -tf,
I 1 I I А2 Ii W I* '
то |-^-|^7И для всех п?).
*) Заметим, что из существования предела суммы двух последовательностей не следует существование предела каждой последовательности, что легко видеть на примере последовательностей
{^}={(-i)R}. {.уа={^ + (-и™}.
Здесь хп +>'« = ^ -* 0, т. е. сумма { х„-|-у„ } имеет предел, а последовательности { хп }, {у„} не имеют пределов.
2) Для произведения можно сделать замечание, аналогичное замечанию в сноске1).
*) См. сноску на стр. 162.
Теорема 3. Если последовательности {х„} и {у„} сходятся, limx„= а, \imyn = b, причем уп^0, я=1,2, ... и b Ф 0, то последовательность |^| сходится и ее предел равен отношению пределов последовательностей {*„} и {</„},
Пусть limx„ = a, Yimyn = b. При этом упф0,п = 1, 2и b ^ 0. Докажем, что у- -> у.
Действительно, x„ = a + a„, a„-^0, y„ = b-\-^n, Р„->-0.
Тогда - 4 = 6 V ^^-^Таккакпосле-
Уп ь ЬупоупЬуп
довательность!—} ограничена (лемма 2), а 6а" Т---- -» 0 (см. теоремы 1
I Уп *о О
и 2, § 7), то последовательность {“^~~}—бесконечно малая (по теореме 2). Окончательно получаем, что
хпУпхпУпа"bа"bили Иглили Иглхп __ lim хпУп 1>ту„ "хп __ lim хпУп 1>ту„ "
хп
Уп
хп
Уп
а"b
а"b
или Игл
или Игл
хп __ lim хп
Уп 1>ту„ "
хп __ lim хп
Уп 1>ту„ "
О неопределенностях. При рассмотрении теорем о пределах мы не рассматривали последовательности, имеющие бесконечные пределы, а также случай, когда при отыскании предела частного предел последовательности, стоящей в знаменателе, равен нулю. Если обе последовательности {х„} и {уп } — бесконечно большие одного знака или одна из них бесконечно большая, а другая ограниченная, то их сумма {х„4-Уп}—бесконечно большая последовательность. Этот результат непосредственно вытекает из определения бесконечно большой. Если последовательности {хп} и {уп} — бесконечно большие разных знаков, то про последовательность {х„4-у„} ничего определенного сказать нельзя. Это следует из рассмотренных ниже примеров.
Примеры: 1) хп = п2 + п —►-|-со, Уп = ——со,хп ~ п2 —► + со, Уп = — п2+5 — — со,хп ~ п2 —► + со,Уп= — я2 + -^ — со,хп = п2 — + со,Примеры: 1) хп = п2 + п —►-|-со, Уп = ——со,хп ~ п2 —► + со, Уп = — п2+5 — — со,хп ~ п2 —► + со,Уп= — я2 + -^ — со,хп = п2 — + со,хл+у„ = п^со.Хп+Уп=5^5.,1 А^п+Уп = „ -*°-оо ^п+Уп = (—1)” — предела не имеет.хл+у„ = п^со.Хп+Уп=5^5.,1 А^п+Уп = „ -*°-оо ^п+Уп = (—1)” — предела не имеет.
Примеры: 1) хп = п2 + п —►-|-со, Уп = ——со,
хп ~ п2 —► + со, Уп = — п2+5 — — со,
хп ~ п2 —► + со,
Уп= — я2 + -^ — со,
хп = п2 — + со,
Примеры: 1) хп = п2 + п —►-|-со, Уп = ——со,
хп ~ п2 —► + со, Уп = — п2+5 — — со,
хп ~ п2 —► + со,
Уп= — я2 + -^ — со,
хп = п2 — + со,
хл+у„ = п^со.
Хп+Уп=5^5.
,1 А
^п+Уп = „ -*°-
оо ^п+Уп = (—1)” — предела не имеет.
хл+у„ = п^со.
Хп+Уп=5^5.
,1 А
^п+Уп = „ -*°-
оо ^п+Уп = (—1)” — предела не имеет.
Приведенные примеры показывают, что сумма двух бесконечно больших разных знаков может стремиться к любому числу, к бесконечности, а может вообще не иметь предела. В этом случае говорят, ч^о имеет место неопределенность. Ее называют «неопределенностью видаоо — оо».
«Раскрыть» эту неопределенность — значит в каждом конкретном случае, в зависимости от вида последовательностей {хп}, ^у„}, решить вопрос о поведении последовательности 1х„4-Уп}-
При рассмотрении последовательности {хп • уп} следует обратить внимание на следующую теорему: если последовательность {хп} отделима от нуля, а последовательность {уп} — бесконечно большая, то последовательность {хпуп}—бесконечно большая. Доказательство этой теоремы рекомендуется провести самостоятельно.
В частности, произведение последовательности, сходящейся к а (а Ф 0), и бесконечно большой последовательности есть бесконечно большая последовательность. В случае произведения бесконечно малой на бесконечно большую мы получим так называемую «неопределенность вида 0-оо», смысл которой «раскрывается» при рассмотрении поведения данных последовательностей. Примеры такого вида неопределенности были рассмотрены раньше. Если же обе последовательности бесконечно большие, то их произведение— также бесконечно большая последовательность.
1) хп = п —со, Ул = ^ — со, 2) хп = п -—-со, уп=2п — со, 3) хп = п —со,Ул = (-1)"п-1) хп = п —со, Ул = ^ — со, 2) хп = п -—-со, уп=2п — со, 3) хп = п —со,Ул = (-1)"п-При делении последовательностей могут встретиться «неопределенности» вида -^ и Ц. Выше было показано, что отношение двух бесконечно малых является неопределенностью. Отношение двух бесконечно больших—также «неопределенность», как это будет видно на примерах 1)—3). В этом также легко убедиться, если рассматривать отношение двух бесконечно больших как произведение бесконечно малой и бесконечно большой, которое, как известно, дает «неопределенность» вида 0 • оо.
1) хп = п —со, Ул = ^ — со, 2) хп = п -—-со, уп=2п — со, 3) хп = п —со,
Ул = (-1)"п-
1) хп = п —со, Ул = ^ — со, 2) хп = п -—-со, уп=2п — со, 3) хп = п —со,
Ул = (-1)"п-
£л = 1 1
Ул 2^2-
— =(—1)"—предела не имеет, со, у„ v
Рассмотрим еще следующие примеры.
Пример 1. Найти lim(]/n—yn-\-V). Здесь нужно раскрыть
я —(” +1)Уп + Уп + 1я —(” +1)Уп + Уп + 10.0.неопределенность вида оо —оо.
я —(” +1)
Уп + Уп + 1
я —(” +1)
Уп + Уп + 1
0.
0.
lim (/п— ]/ п-у 1 )= Втп -* соп —> 00
Пример 2. Найти Вт -^r^4^+i" ^ этом примере имеем неопре- со деленность вида — , «раскроем» ее.
Втл -► ооВтл -► ооп4 + 5н — 3 _п3 + 7п + 6п4 + 5н — 3 _п3 + 7п + 62 п12 п1— Вт п •Л —> ОО— Вт п •Л —> ОО5_П85_П82п32п3
Вт
л -► оо
Вт
л -► оо
п4 + 5н — 3 _
п3 + 7п + 6
п4 + 5н — 3 _
п3 + 7п + 6
2 п1
2 п1
— Вт п •
Л —> ОО
— Вт п •
Л —> ОО
5_
П8
5_
П8
2п3
2п3
Так как
то данная последовательность — бесконечно большая, т. е.
Вт -л —* соВт -л —* сооо.оо.п4 + 5я — 3п3 4- 7п 4- 6
Вт -л —* со
Вт -л —* со
оо.
оо.
§ 9. О переходе к пределу в неравенствах
Теорема 1. Если последовательность {х„} сходится и хп^0 при любом п, то Umx„^0.
Доказательство. Допустим, что Итх„ = а<0. Тогда для числа е^>0 найдется номер N, такой, что при n>N будет выполняться неравенство [а — хп\<^е, или, что то же, а — е <x„ <а-[-е.
Возьмем е, удовлетворяющее условию 0<^е<^Ц^. Тогда на осно
вании правого неравенства получим, что хп<Д<Ч> при n">N. А это
противоречит условию теоремы.
В частности, если последовательность {х„} сходится и при всех п выполняется неравенство хл^>0, то Итх„^0. Следует иметь в виду, что
предел последовательности может быть равен нулю, и в случае, когда все члены последовательности положительны, как, например, для последовательности | -^-}, предел которой равен нулю.
Следствие. Если члены сходящихся последовательностей {хп} и \Уп\ при всех п удовлетворяют условиям хп^уп (в частности, если хп<Уп\ то limx„^limy„.
Для доказательства достаточно рассмотреть последовательность \уп—хД, члены которой неотрицательны (положительны). Тогда по теореме 1
lim (z/„ — х„) = lim уп — lim х„ ^ О, следовательно, lim уп Нт хп.
Теорема 2. Если последовательности {х„} и {z„} сходятся и имеют равные пределы, Итх„ = Итгя = а, и если при любом п
Хп^Уп^п, то последовательность {уп} сходится и ее предел равен а.
Доказательство. Для любого числа е>0 найдется такой номер Мь что \а— х„Ке при п > N^ и такой номер N^, что, а — zn\<^s при n^Ni. При n^N, где N наибольшее из чисел Nt и N^, выполняются оба эти неравенства, откуда следует, что члены последовательностей {х„} и {z„} с номерами п^> N лежат между а—е и а-|-е. Так как уп при всех п лежит между хп и z„, то все члены последовательности {у„} с номерами n^N лежат между а — е и а-)-е, или, что то же,
а —е<у„<а-|-г.
Следовательно, |а — Уп\<^Л при n^N, т. е. \\туп = а.
Для равенства пределов двух сходящихся последовательностей {хп} и {уп } необходимо и достаточно, чтобы их разность была бесконечно малой.
Действительно, обозначим: хп— уп = 2„. Тогда Итх„— limуп = Нтгп. И, следовательно, Итх„=Иту„ лишь при условии: Нтз„ = 0, т. е. lzn} = {x„ — у„}—бесконечно малая последовательность.
Если сходящаяся последовательность {хп} имеет предел, равный а, а последовательность {у„} такова, что разность {уп — хп\ является бесконечно малой последовательностью, то уп-а. В самом деле, хп = а-^а.п, Уп = хп-\-^п, откуда у„ = а + (а„ + р„). Учитывая, что а„ + р„-> 0, получим уп-*а.
§ 10. Монотонные последовательности
Последовательность {хп} называется возрастающей, если хх<^х^<^ .. . < х„ < хп+1 < ...; неубывающей, если хх ^ х2 ^ ... ^ хп ^ хл+1 ^...; убывающей, если X! > х2 ^> ... ^> ^> х„+1 ^> .. . ; невозрастающей, если
Хх Х2 5=: . . . Х„ 5=: Хп^х ^S . . .
Все такие последовательности называются монотонными.
Из определения монотонных последовательностей непосредственно следует: если монотонно возрастающая последовательность ограничена сверху, то она ограничена, если монотонно убывающая последовательность ограничена снизу, то она ограничена.
Как известно, в случае немонотонной последовательности из ограниченности последовательности с одной стороны не следует ограниченность этой последовательности.
Теорема. Монотонная ограниченная последовательность сходится.
Доказательство этой теоремы будем вести на основании следующего свойства действительных чисел*): если последовательность отрезков
[аь 6,], [а2, 62][а„,Ьп], ...
такова, что каждый следующий принадлежит предыдущему dn^Cln^<bnvl^bn (п=1, 2,...)
(в этом случае говорят, что имеется последовательность вложенных отрезков), то существует по крайней мере одна точка В, общая всем отрезкам, an^^bn (п = 1, 2, ...).
Если же последовательность вложенных отрезков [«|, bj, [а2, Ь2], .. . , [а,;, Ьп], ... удовлетворяет условию Нт (Ьп— ап) = 0, т. е. длины отрезков стремятся к нулю, то такая последовательность отрезков называется последовательностью вложенных стягивающихся отрезков.
Лемма. Для последовательности вложенных стягивающихся отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам.
Эта лемма в дальнейшем будет неоднократно использоваться.
Доказательство. По упомянутому свойству действительных чисел для последовательности вложенных отрезков существует по крайней мере одна точка В, общая всем отрезкам.
Допустив, что существует еще точка ВД^^В), принадлежащая всем отрезкам, придем к противоречию, так как при всех п
Ьп-а^^-Ц
и, следовательно, lim(6„ — aR)^|^i—В | ^ 0, что противоречит условию.
Заметим, что лемма будет неверна, если вместо отрезков рассматривать интервалы. Например, для последовательности интервалов
(О, 1), (о,1),(о, 1)(0.1)
не существует точки, общей всем интервалам.
Доказательство теоремы. Пусть неубывающая последовательность хь хг,..., х„, ... ограничена сверху. Докажем, что она сходится и все ее члены не превосходят ее предела.
Так как последовательность ограничена сверху, то существует число М, такое, что хп<^М при всех п. Обозначим отрезок [хь М") через [a,, 6J, а его длину — через d. Разделим отрезок [а,, 6,] пополам, тогда в силу монотонности последовательности {х„} в одном из полученных отрезков содержатся все члены последовательности, кроме, возможно, конечного числа их. Рассмотрим этот отрезок и обозначим его через [а2, 62]. Разделим теперь отрезок [ог, Ь^ пополам, тогда в одном из полученных отрезков содержатся все члены последовательности, кроме, возможно, конечного числа их, этот отрезок обозначим через [а3, Ь3], и т. д.
Продолжая неограниченно этот процесс деления, получим последовательность [<Zi, 6|], [а2, 62], ... , [а„, 6„], . .. вложенных стягивающихся отрезков (так как длина отрезка [ап, Ьп], равная .^, стремится к нулю при неограниченном возрастании п). В каждом таком отрезке содержатся все члены последовательности, кроме, быть может, конечного числа их. На основании леммы существует единственная точка (обозначим ее через а), принадлежащая всем отрезкам.
Докажем, что хп -»- а. Возьмем произвольное число е ^> 0. Тогда в интервал (а — е, а-[-е) попадет отрезок [ай, Ь^ достаточно большого номера.
Вне этого отрезка содержится лишь конечное число членов последовательности {хп}. Следовательно, для всех членов последовательности, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство \хп— аКе, т. е. хп->а.
Докажем теперь, что при всех п выполнено неравенство х„^а.
Если допустить, что при каком-то значении пв х^^а, то для всех номеров т, больших щ., будет хт^ х„0 и, следовательно, хт — а^хПо — а, т. е. разность хт — а не стремится к нулю, что противоречит определе-
нию предела. Итак, для любого п имеем хп^а, что и требовалось доказать.
Пусть теперь последовательность {х„} невозрастающая и ограничена снизу. Докажем, что она сходится и при этом все члены последовательности не меньше ее предела.
Действительно, рассмотрим последовательность {— х„}. Она неубывающая, ограниченная сверху и, следовательно, сходящаяся.
Обозначим ее предел через — a, lim(—х^) =— а.
Так как для любого е^>0 существует число N, такое, что пpиn^>^ выполняется неравенство | — а — (— х^К/ или, что то же, |а— х„|<^е, то Итх„ = а. Для неубывающей последовательности {— хп} при любом п справедливо соотношение — хп^ — а, следовательно, для данной последовательности хп^а, что и требовалось доказать. Таким образом, доказана теорема о сходимости любой монотонной ограниченной последовательности *).
Отметим еще, что всякая монотонная последовательность имеет предел, конечный или бесконечный. В самом деле, если эта последовательность ограниченная, то по доказанной теореме она сходится, т. е. имеет конечный предел, если же последовательность не ограниченная, то, очевидно, ее предел равен оо(-[-оо для монотонно возрастающей и —со для монотонно убывающей последовательности)2).
Доказанная теорема о монотонных последовательностях практически во многих случаях позволяет установить существование предела последовательности.
С помощью этой теоремы, например, доказывается существование предела последовательности периметров (площадей) вписанных в окружность правильных n-угольников при неограниченном удвоении числа их сторон и периметров (площадей) описанных многоугольников.
§ 11. Число е.
Рассмотрим последовательность с общим членом xrt = ( 1-[--^Г
1+1)(1+v)
и докажем, что она имеет конечный предел. Для доказательства существования конечного предела этой последовательности достаточно показать, что последовательность {хп} — возрастающая и ограниченная сверху.
Доказательство. Пользуясь формулой бинома Ньютона, запишем:
п (п — 1) 1
1-2 п-
п(п — 1) (га — 2) ... [га — (А — 1)] 1
1 -2-3 ... кг?
п(п — 1) (га — 2) ... [га — (га — 1)] 1
1 -2-3 ... гап"
или, что то же,
iv^h-lk ,.fl-"-^).
га! \п J \п /\ R /
*) Мы считали известной лемму о вложенных стягивающихся отрезках, доказательство которой приводится в теории действительных чисел. Можно, приняв доказанную теорему за исходную, доказать эту лемму.
2) Заметим, что для неограниченных немонотонных последовательностей возможны два случая: или последовательность имеет бесконечный предел, или последовательность не имеет предела (см. § 6).
(1)
Покажем, что последовательность {х„}—возрастающая. Действительно, запишем выражение х„+, и сравним его с выражением хп;
— 5_L f 1—) ( 1—п +1)'• ГггЦ1 п+1^1д+i;---— 5_L f 1—) ( 1—п +1)'• ГггЦ1 п+1^1д+i;---„ +1, -t-(„ + 1}щ„ + 1; • • •„ + 1;-„ +1, -t-(„ + 1}щ„ + 1; • • •„ + 1;-
— 5_L f 1—) ( 1—
п +1)'• ГггЦ1 п+1^1д+i;---
— 5_L f 1—) ( 1—
п +1)'• ГггЦ1 п+1^1д+i;---
„ +1, -t-(„ + 1}щ„ + 1; • • •„ + 1;-
„ +1, -t-(„ + 1}щ„ + 1; • • •„ + 1;-
Каждое слагаемое в выражении хп+, больше соответствующего слагаемого в выражении хп, и, кроме того, у х„+1 добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность {х„} возрастающая.
Докажем теперь, что при любом п ее члены не превосходят трех: xn<S.
В самом деле,
Y / 1 _L 1Y / 1 _L 1! 1 I 1 I
Y / 1 _L 1
Y / 1 _L 1
1 2! "Г" 3!* *
Итак, последовательность {(1+^-) } — монотонно возрастающая и ограниченная сверху, следовательно, она имеет предел. Этот предел принято обозначать буквой е.
lim ( 1 -j) = е.
Из неравенства ( 1 4- —) <3 следует, что е^З. Отбрасывая в равенстве (1) все члены, начиная с четвертого, имеем:
и, переходя к пределу в этом неравенстве, получим е^2 + -1- = 2,5.
Таким образом, число е заключено между 2,5 и 3. О более точном вычислении числа е будет сказано дальше, при рассмотрении формулы Тейлора. Можно доказать, что число е — иррациональное и значение е = 2,71828 ... Заметим еще, что из теоремы о пределе монотонной после- довательности следует так же, что неравенство ( 1 -}- — 1 выполняется при любом п. Логарифмы чисел по основанию е называют натуральными логарифмами и обозначают 1п х. В теоретических исследованиях выбор числа е в качестве основания логарифмов удобен. В практических вычислениях иногда удобнее десятичные логарифмы. Установим связь между логарифмами с различными основаниями.
Возьмем за основания логарифмов положительные, числа а и b, а ^ I, 6^1. Пусть y = logax, тогда ау = х.
Логарифмируя это равенство по основанию Ь, получим:
у log6a = log6x
или
log6x = Iog6a-Iogox.
В частности, при х=Ь
log6a-logo6 = 1.
Обозначая через M=logba модуль перехода от одного основания к другому, получим:
log6x = Mlogax.
Полагая а = е, 6=10, заключаем, что связь между десятичными и натуральными логарифмами дается равенством
lgx = M In х,
где М = 1g е^0,43429.
Раздел 3
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
§ 12. Определение предела функции
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а.
т. е. в некотором интервале, содержащем точку а, кроме, быть может, самой точки а. В точке а функция может быть и не определена.
Число А называется пределом функции f^x) при х, стремящемся к а
(или в точке а), если для любого положительного числа е найдется такое
положительное число 8, что для всех х, удовлетворяющих условию 0<|х— а|<^,
выполняется неравенство |/(х) — А |<е, или, что то же: если для любого е>0 найдется 8^>0, такое, что для всех х, удовлетворяющих усло
вию
выполняется условиевыполняется условиеа — 8<х<а-{-8, х^а,Л-е<Нх)<Л+$.
выполняется условие
выполняется условие
выходят из е-окрестностивыходят из е-окрестностиЭто можно следующим образом иллюстрировать геометрически: возьмем е-окрестность точки А—интервал (А—е, Л-[-е) оси OY (рис. 151) и будем рассматривать все значения х из окрестности точки а, для которых соответствующие значения функции не точки А.
выходят из е-окрестности
выходят из е-окрестности
Рис. 152.Рис. 152.Из определения следует, что для любого е^>0 (подчеркнем, что положительное число е может быть сколь угодно малым) существует 8^>0, такое, что для всех точек симметричного относительно а интервала (а — 8, а 4-8), х^а, значения функции не выходят из е-окрестности точки А. Ясно, что 8 зависит от е, 8 = 8 (s), чем больше е, тем 8, вообще говоря, больше.
Рис. 152.
Рис. 152.
Если рассмотреть график функции, изображенный на рис. 152, то станет ясно, что эта функция не имеет предела при х — а.
Тот факт, что предел функции при х->а равен А, записывают так: Пт/:(х) = Л или fix')-* А при х->а.
х-»а
Только что рассмотренное определение предела функции в точке а будем называть первым определением или (е-8) — определением.
Пример 1. Докажем, что функция f(x) = 3x4~2 при х — 1 имеет предел, равный 5.
Для доказательства установим, что, какое бы положительное число е мы ни взяли, можно найти такое положительное число 8, что для всех значений х, отличающихся по абсолютной величине от числа 1 меньше чем на о, будет справедливо неравенство
| (3x4-2) — 5|<е.
Последнее неравенство можно записать, в виде 3]х—1|<^е или, что то же, |х—1|<у. Поэтому, если взять 8, удовлетворяющее условию О <^8^-^-, то 3x4-2 будет отличаться от числа 5 по абсолютной величине меньше чем на е при | х— 11 <8. А этой означает, что lim(3x-[- 2) = 5.
Л:-* 1
Пример 2. Докажем, что Ишх" = 0 (п— натуральное число).
х — о
Пусть е — произвольное положительное число, найдем соответствующее 8)>0, так чтобы для всех х из 8-окрестности точки х = 0 выполнялось неравенство | х" — 0 К е.
Нетрудно видеть, что неравенство |хп— 0| = |х|п<е выполняется для х, удовлетворяющих условию |x|<CV®"- И следовательно, если взять 8, исходя из условия 0 <8 ^ Vе. то получится, что неравенство |х”— 0Ке выполняется при |х — 0|<^8. Таким образом, limx” = 0.
Л'—> О
Определение предела функции в точке через предел последовательности. Число А называется пределом функции f (х) при х->а, если для любой последовательности значений аргумента х: х1( х2, ..., хп, ..., сходящейся к а, х„ Ф а, соответствующая последовательность значений функции /(Х^, f(x2), ..., f(x„), ... сходится к А.
При этом предполагается, что последовательность {х„} принадлежит области определения функции.
Докажем эквивалентность двух определений предела функции в точке.
Доказательство. Пусть А—предел функции /(х) при х->а в смысле первого определения. Возьмем произвольное число е^>0, ему соответствует 8 ^> 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<Дх— а|<о, выполняется неравенство | / (х)— А К г.
Рассмотрим любую последовательность {хп}, х„^а, сходящуюся к а. Тогда для указанного значения 8(8)>О), зависящего от е, существует число N, такое, что при n>N выполняется неравенство |х„— а|<^8. И следовательно, при п^> ^ будет выполняться неравенство |/(х„) — А |<е. Но так как е^>0 выбиралось произвольно, то это и означает, что f(x„)-*A. Итак, мы доказали, что для любой последовательности {х„}, хп Ф а, сходящейся к а, последовательность {/(х„)} сходится к А.
Обратно, пусть А — предел функции f(x) при х->а в смысле второго определения. Докажем, что А — предел /(х) при х->а в смысле первого определения.
Доказательство. Предположим, что это утверждение неверно, т. е. число А не является пределом функции /(х) при х->а в смысле первого определения. Тогда существует такое число е0^>0, что для каждого 8^>0 найдется число х (хотя бы одно), удовлетворяющее условию 0 <^ | х — а К 8, для которого выполняется неравенство | f (х)— А|2зе0.
Рассмотрим какую-нибудь последовательность положительных чисел Ч, о-2, -••, 8„, .... сходящуюся к нулю, например, {8П) = {-^-}. Тогда для каждого 8„ найдется свое хп, хпфа, такое, что \хп — а|<^8„, в то время как |f(x„) — А|^е0. Так как Ито„ = 0, то, переходя к пределу в неравенстве | х„ — а К 8„ получим, что lim | х„ — а | = 0, т. е. хп -> а. Но в то же время последовательность {/(хл)} не сходится к А (так как при
всех п имеет место неравенство /(х„)—Л|^е0). Полученное противоречие доказывает теорему.
Заметим, что если число А является пределом функции /(х) при х-*а, то говорят: функция f(x) при х-*а имеет конечный предел (равный Л).
Определение предела функции через предел последовательности, как это будет показано дальше, дает возможность из теорем, полученных для сходящихся последовательностей, получить соответствующие теоремы о пределах функций.
Это определение дает также возможность установить для некоторых функций, что они не имеют предела при определенном значении аргумента. Для этого достаточно или показать, что существует последовательность значений х, сходящаяся к рассматриваемому значению аргумента, для которой соответствующая последовательность значений функции не имеет предела, или показать, что существуют две различные последовательности, сходящиеся к рассматриваемому значению аргумента, для которых соответствующие последова- Птельности значений функции имеют различ-
^—— ...ные пределы.
‘"Пример. Функция /(x) = sin-^- не
_ _ имеет предела при х->0.
0Действительно, возьмем последова-
Рис. 153.тельность {х„} = {-^-} 5 -^0, f (х'п) =
= sin № = 0 -> 0.
{
212
(4^Tpip:p (4„ _[_ i)*^-*®’ ПРИ этом / (Xn) = sin(4n4-l)-^- = sin-^-= 1 -> 1.
Функция sin-^- при х->0 не имеет предела, так как по двум различным последовательностям значений х, сходящимся к 0, получаем различные пределы последовательностей значений функции. График функции /(x) = sin^- изображен на рис. 168.
Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности. Определим предел функции при стремлении аргумента к бесконечности. Число А называется пределом функции / (х) при х->оо, если для любого £>0 найдется такое число М^О. что для всех значений х, 1х|^>Л4, выполняется неравенство \А—/(х)|<^£ (ПРИ этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности оо]. Тот факт, что предел функции f(x) при х->оо равен А, записывают таким образом: Нт/:(х) = Л или fix')-*А
X -> оо
при х —> оо. Приведенное определение предела функции f(x) при х-*оо можно сформулировать еще и так: число А называется пределом функции f (х) при х—>оо, если для любого е^>0 найдется такая окрестность символа оо, что все значения функции /(х) в точках этой окрестности отличаются от числа А по абсолютной величине меньше чем на е. Если Пт7(х) = Л, то график функции f (х) асимптотически приближается
к прямой у —А при стремлении х к бесконечности как по положительным, так и по отрицательным значениям (рис. 153).
Аналогично определяются: Нт/(х) = Л и Ит/(х) = Л. В первом случае для любого числа е^>0 найдется такое М, что для всех х, х)>М, выполняется неравенство |Л—/WKe> во втором случае для любого числа е^>0 найдется такое М, что для всех х, х<_М, выполняется неравенство | Л — /(х) К е. 176
Число Л называетсяЧисло Л называется154.154.Рис.Рис.о] хо хРис. 155.о] хо хРис. 155.
Число Л называется
Число Л называется
154.
154.
Рис.
Рис.
о] хо х
Рис. 155.
о] хо х
Рис. 155.
Графики функций f(x) для каждого из указанных выше случаев изображены на рис. 154, 155.
Определение предела функции /(х) при стремлении аргумента к бес-
конечности можно также дать следующим образом.
пределом функции f (х) при х-*а (а — один из символов оо, -]- оо, — оо), если для любой последовательности {х„}, хп-*а, последовательность {/ (х„)} сходится к Л.
Эквивалентность двух рассмотренных определений предела функции при стремлении аргумента к бесконечности до-
казывается аналогично тому, как это делалось при х-*а, где а — число.
Замечание, приведенное в начале стр. 176, остается в силе и при х->а, когда а — один из символов оо, 4~оо, —оо.
Основные теоремы о пределах функций
Пусть а — число или один ИЗ СИМВОЛОВ ОО, -р-ОО, —оо.
Теорема 1. Предел постоянного равен этому постоянному:
limC —С.
Действительно, если f^ в окрестности а сохраняет постоянное значение, равное С, т. е. f(x) = C, то для любой последовательности {xj, хп-^-а (х^а, если а — число) будем иметь f(xn) — C-+С и, следовательно, limf(x) = HmC = C.
х —► ах —> а
Если функции /(х) и ср (х) при х-*а имеют конечные пределы, то справедливы следующие теоремы:
Теорема 2. Игл [/ (х) ± ср (х)] = lim f (х) ± Нт ср (х). х -> ах -* ах —* а
Теорема 3. Нт [/ (х) ср (х)] = Нт/ (х) Нт ср (х). х —* ах —> а х а
f(xx Пт/(х)
Теорема 4. Нт ■ ’- = х,^ а, . при условии, что Нт ср (х) # 0.
Заметим, что теоремы 2 и 3 верны также и в случае любого фиксированного числа функций, имеющих при х-*а конечные пределы.
Эти теоремы доказываются на основании соответствующих теорем о последовательностях.
Докажем, например, теорему 4.
Доказательство. Для любой последовательности {х„}, х^а, предел которой равен а, по условию /(х„)-*Л, ср(х„)->В, В Ф 0.
По теореме о частном сходящихся последовательностей имеем, что
Но так как последователь-Но так как последователь-последовательность { , . У сходится к
Но так как последователь-
Но так как последователь-
ность {х„}, хп ^ а, любая, удовлетворяющая условию хп->а, то, следованость {х„}, хп ^ а, любая, удовлетворяющая условию хп->а, то, следовательно,тельно,НтНтААUm /(х) х ^ аUm /(х) х ^ аВ lim ср (х1)*В lim ср (х1)*
ность {х„}, хп ^ а, любая, удовлетворяющая условию хп->а, то, следова
ность {х„}, хп ^ а, любая, удовлетворяющая условию хп->а, то, следова
тельно,
тельно,
Нт
Нт
А
А
Um /(х) х ^ а
Um /(х) х ^ а
В lim ср (х1)*
В lim ср (х1)*
Как следствие теоремы 3 получаем: limC/:(x) = Clim / (х), т. е. х ^ ах ^ а
постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Пример 1. Пусть Р (х) = ОдХ" + ахх?- -[- ... + <?„ — многочлен. Покажем, что НтР(х) = Р(а), где а—любое число.
Действительно, Итх = а (так как для любой последовательности л: —> а
{х„}, xn->a, f (х„) = хп -> а). Применяя теоремы о пределе произведения и суммы функций, получим:
limx" = Нтх-Итх- ... limx = (limx)" = a", х —► ах —► а х —* ах —>ах ^ а
lim Р (х) = lim (аох"-|-aix"-1 + ... + а„) = а^ (Нт х)" + ах (Нт х)"-14- х —► ах ах аа
+ ... -|-а„ = Р(Нтх) = Р(а).
х а
Таким образом, Нт Р (х) = Р (а), в частности Нт (х3-]- 5х-р 1) = (—1)3 + х -* ах —► — 1
+ 5(-l)j_I = _5.
Пример 2. Пусть Р(х)= ^ ^—рациональная функция, а — любое число и Q(a)^0. Покажем, что Нт£-^ = -£-^;.
В самом деле, как следует из примера 1, HmP(x) = P(a) и х а
lim Р (х)
HmQ(x) = Q(a). По теореме 4 имеем=^
х
Условимся говорить, что некоторый факт имеет место вблизи а, если этот факт имеет место для всех х некоторой окрестности а, кроме а.
Теорема 5. Если /(х)>0 (2а0) вблизи а и Ит/(х) = Л, то 4 2=0. х -* а
Теорема также верна, если знак Х^) заменить знаком <^(^).
Теорема 6. Если вблизи а выполняются неравенства
cp(x)^f(x)^<$-(x)
и
lim <р (х) = lim Ф (х) — Л,х ах а
то и Ит/(х) = Л.
л: —> a
Теоремы 5 и 6 доказываются на основании соответствующих теорем для последовательностей. Читателю предлагается самостоятельно провести соответствующие рассуждения.
Функция f (х) называется ограниченной вблизи а, если существует число М^>0, такое, что неравенство |f(x)KA4 выполняется вблизи а.
Теорема 7. Если функция /(х) при х-^-а имеет конечный предел, то она ограничена вблизи а.
Пусть Iim/(x) = A. Возьмем е = 1, тогда вблизи а выполняется
неравенство | / (х) — Л | <4. Так как | f (х) | = | [f (х) — А ] -ф- А | $5 | / (х) — — А 14-1 Л I, то вблизи а справедливо неравенство
'|/(х)|< 1-Н| Л |,
или, что то же, неравенство | f (х) | <^М, где М = 1 4" | А |. Следовательно, функция f (х) ограничена вблизи а.
Бесконечно малые функции и их свойства
Функция /(х) называется бесконечно малой при х—*а (а — число или один из символов оо, 4-оо, —оо), если limf(x) = O. х —► а
Пример 1. /(х') = хп (п—натуральное число) — бесконечно малая при х — О, так как limxra = 0 (см. пример 2, §12)*).
х —► О
Пример 2. Функция f(x) = sin х является бесконечно малой при х —>0, так как limsinx = 0).
х—О
Теорема. Для того чтобы функция Цх) при х-*а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи а выполнялось равенство /(х) = Л 4~а(х), где а(х)->0 при х->а.
Доказательство. Пусть Цх)— Л =<p(’x), тогда /(х) = Л 4~®(х).
Если Нт/(х) = Л, то для любой последовательности {х„}, х„ ^ а, предел х —► а
которой равен а, Цх^-^-А. Но / (х„) = А 4~® (хп), откуда, учитывая аналогичную теорему о последовательностях, получим <р (х„) -> 0. Следовательно, <р(х)->0 при х->а, т. е. <р (х) — бесконечно малая при х — а. Обратно, если f (х) = А -|-а(х), где а (х)->0 при х-^-а, то для любой последовательности {х„}, хп^а, предел которой равен а, имеем Цхп) = А 4-а(х„), причем а(х„)->0. Следовательно, f^x^-^A и, значит, Iim/:(x) = А.
х -* а
Теоремы о бесконечно малых.
Теорема 1. Сумма фиксированного числа бесконечно малых при х-*а функций есть функция бесконечно малая при х->а.
Теорема 2. Произведение фиксированного числа бесконечно малых при х-^-а функций есть функция бесконечно малая при х->а.
Теоремы 1 и 2 получаются из соответствующих теорем о пределах функций.
Теорема 3. Произведение функции бесконечно малой при х-*а на функцию, ограниченную вблизи а, есть функция бесконечно малая при х-* а.
Эту теорему можно доказывать на основании соответствующей теоремы для последовательностей.
Пример. Функция sin -^ является ограниченной вблизи х = 0, так как | sin-^|^:1 при х^О, х—бесконечно малая при х—О, следовательно, xsin^- — бесконечно малая при х^О.
*) Заметим, что хп (п— натуральное число) при х—1 не является бесконечно малой,так как limx"=l. Поэтому нельзя говорить, что /(х)—бесконечно малая, не х^ 1
указав, к какому значению стремится аргумент х, естественно, кроме случая, когда функция /(х) тождественно равна нулю.
Как следствие теоремы 3 получаем: произведение функции, имеющей конечный предел при х->а, на функцию бесконечно малую при х-*а является функцией бесконечно малой при х-*а.
Например: Р (х) sin х (Р (х) — многочлен) — бесконечно малая при х->0.
§ 15. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
Нам уже известно определение предела (конечного предела) функции f (х) при х —а (а — число или один из символов оо, -|-оо, —оо), а также известны основные теоремы о пределах. Определим теперь бесконечный предел функции f (х) при х->а (а — число).
Предел функции f (х) при х-*а (а— число) равен бесконечности, если для любого числа М^О существует число 8^>0, такое, что неравенство |f (х) | ^> М выпол
няется для всех х, удовлетворяющих условию
0<|х— а| <8.
Тот факт, что предел функции f (х) при х-*а равен бесконечности, обозначают так: Пт/(х) = ооили/(х)->оо х —> а при
Предел функции f (х) при х->-а равен —|—схэ (—оо), если
для любого числа М существует число 8^>0, такое, что /(х)^>Л4 (f (х) < М) для всех х, удовлетворяющих условию 0 <^ | х — а К 8.
Это соответственно, обозначают следующим образом:
Hmf (х) = —[—оо или f (х)—*■-[—оо при х-*а, х^ а
limf(x) =— оо или f(x)->— оо при х->а. х -* а
Графики таких функций изображены на рис. 156.
Определение бесконечного предела функции при стремлении аргумента к бесконечности. Предел функции f(x) при х—>-оо равен бесконечности (обозначают Ит/(х) = оо), если для любого числа М^О найдется число К^>0, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству | х | ^> ^ выполняется неравенство |f(x)|^>Al.
Предлагается самостоятельно сформулировать определение предела функции f(x), равного -j-oo(—оо) при х->а, если а — один из символов оо, + °°, — °°-
Определение бесконечного предела функции через последовательность дается так же, как и в случае конечного предела: Ит/(х) = Л (а — х -> а
число или один из символов оо, —]—оо, —оо и А—один из символов оо, —[—оо, —оо), если для любой последовательности {х„} (х„ ^ а, если а — число) предел которой равен а, последовательность {f(x„)} удовлетворяет условию /(х„)->Л.
Дбказательства эквивалентности двух определений мы не приводим. Функция f (х) называется бесконечно большой при х -* а (а — число или один из символов оо, -[-оо, —оо), если
limf (х) = А, х а
где А—один из символов оо, -|-оо, —оо.
Связь между функциями бесконечно малыми и бесконечно большими при х->а устанавливается теоремой: если функция f (х)—бесконечно 180
казательство следует из аналогичной Пример 1. f^ = x — бесконечно /(х) бесконечно / (х) = х — бесконечно /(х) = —бесконечноказательство следует из аналогичной Пример 1. f^ = x — бесконечно /(х) бесконечно / (х) = х — бесконечно /(х) = —бесконечномалая при х-а и f(x)^O вблизи а, то функция у^у— бесконечнобольшая при х->а и, обратно, если функция f(x)—бесконечно большая при х-*а, то функция у^— бесконечно малая при х->а (до" теоремы для последовательностей).
казательство следует из аналогичной Пример 1. f^ = x — бесконечно /(х) бесконечно / (х) = х — бесконечно /(х) = —бесконечно
казательство следует из аналогичной Пример 1. f^ = x — бесконечно /(х) бесконечно / (х) = х — бесконечно /(х) = —бесконечно
малая функция при х —-0; большая функция при х —0;
большая функция при х —► со; малая функция при х—►со;
(См. график функции /(х) = -^ на рис. 157).
Пример 2. lim ——— = 0 и lim — sin—= 0 (как произведение ограничен- >00 Xх-*со XX
ной функции на бесконечно малую).
Теорема о пределе сложной функции. Пусть u = <p(x), у = Ци'), причем область изменения первой функции входит в область определения
Рис. 157.Рис. 157.второй. Тогда можно рассматривать сложную
Рис. 157.
Рис. 157.
функцию y = f [<р (х)]. Область определения этой сложной функции совпадает с областью определения функции и = @(х).
ааи->Ьи->ЬТеорема. Если Игл о (х) = b, lim f (и) = Л
а
а
и->Ь
и->Ь
и, кроме того, Л = /(6), то сложная функция y = f[<p(x)] имеет предел при х-^-а, равный Л. (Здесь а — число или один из символов оо, 4~ оо, — оо, Л и b — числа.)
Доказательство. По условию <р (х) -> 6 при х->а, следовательно, для любой последовательности {х„}, хп Ф а, предел которой
равен а, последовательность {<р (х„)} имеет предел, равный b (при этом предполагается, что последовательность {хп} взята из области определения функции и = <р (х)).
Так как по условию еще /(«)->/(&) при и-*Ь, то для любой последовательности {«„}, ип Ф Ь, из области определения функции у = f (и), предел которой равен Ь, выполняется условие f (ип) Л = f (b).
Это условие выполняется и для последовательности {«„}, где ип = = <р(х„). Надобность в требовании <р(х„)^6 отпадает1), так как по условию Л =f(bY
Таким образом, для любой последовательности {х„}, предел которой равен а, последовательность {Hf(Xn)]} имеет пределом A = f(b), а это означает, что
lim f [<р(х)]=Л. с-*а
Теорема о пределе сложной функции дает возможность производить замену переменных в операции перехода к пределу. Пусть требуется найти lim^x). Предположим, что /(х) можно записать в виде /(х) — х—>а
= F[<p(x)], причем и = <р(х) при х->а имеет предел, который обозначим через Ь, и F(u) имеет при и-*Ь предел, равный F (Ь), тогда
ааlim f (х) = lim F (u) = F(b).
а
а
и-*Ъ
Пример 1. Найти Um sin х3. >0
^Решение. Положим и = х3. Тогда и—► 0 при х —О и sin и — sin 0 = 0 при
Следовательно, lim sin х3 = lim siniz = O. х->0и—>0
Пример 2. Найти lim In s'n x. x—>0 X
Решение. Положим u = -^-^, тогда ц —»■ 1 при x —► 0 (см. § 17). При u^ 1 функция In и —► In 1 = 0 *).
Следовательно, сложная функция In S‘" Х при х—>0 имеет предел, равный нулю:
lim lniS = o.Х-+0 х
§ 16. Односторонние пределы функции
Число А называется пределом справа функции f(x) при х-*а (в точке а), если для любого числа е^>0 найдется число 8^>0, такое, что неравенство |Л—/СОК6 выполняется для всех х, удовлетворяющих условию 0<х— а <8.
Аналогично определяется предел слева функции f (х) при х-^-а, если неравенство | f (х) — А | < е выполняется для всех х, для которых 0<а — х<8 (см. рис. 158).
Предел справа в точке а обозначается через f(a~rO), limf(x) или lim f(x).
х—*ах —►a-i-O
х*>а
Предел слева в точке а обозначается — f (а — 0), limf(x) или lim /(х).
*х^-ах-*а—0
Если а = 0, то обозначаются пределы справа и слева соответственно через /(—р-0), Н-0).
Если функция f (х) имеет предел при х->а, то, как следует из определения предела, существуют и односторонние пределы функции /(х) при х->а и f (a4-0) = f(a — O) — lim Цх).
Обратно, если односторонние пределы функции f (х) в точке а существуют и равны / (а -р 0) = f (а — 0), то limf(x) существует и limf(x) = = f(a + 0) = /(a-0).
Действительно, обозначим f (а-[-0) = f (a — 0) = А, тогда для любого числа £^>0 найдется число 8,^>0, такое, что неравенство |А—f(x)\<(_6 выполняется для всех х, удовлетворяющих условию 0<х — a<8b и число 8а>0, такое, что неравенство \А—Цх)\<^е выполняется для всех х, удовлетворяющих условию 0<а — х<о3. Следовательно, для всех х, удовлетворяющих условию 0 < | х — а | < 8, где 8 — наименьшее из чисел 8, и 82, имеет место неравенство |А—/WK6’ т. е. f(x)—*Л при х-*а.
Определение бесконечных пределов справа (слева) функции f(x) при х—»а предлагается сформулировать самостоятельно.
Пример 1. /(х) = —. В этом случае / (-|-0) =со, /(—0) = — со.
П р и м е р 2. f (х) = In х. Здесь /(-|-0)=—со, а /(—0) определить нельзя, так как функция In х не определена для отрицательных значений х.
Пример 3. /(т)=е1. В этом случае /(-|-0) =-|-со, /(—0) = 0. График 1
функции f(,x^ = ex изображен на рис. 167.
Определение одностороннего предела с помощью предела числовой последовательности дается так же, как и предела при х-*а, с той лишь разницей, что теперь рассматриваются хп^>а при всех п в случае правого предела и хп<^а при всех п в случае левого предела.
Заметим, что все теоремы о пределах функций остаются верными и в случае односторонних пределов.
§ 17. Некоторые замечательные пределы
Предел отношения многочленов при стремлении аргумента к бесконечности. Пусть P(x) = aox"4-a|X”-1 +--- + °n> Q(х) = 60^т + Ч-...Ч-6т (ао^О; бо^О). Тогда
НтХ->СОНтХ->СО"о+5+-"+^60 + ^ + • • • + J^"о+5+-"+^60 + ^ + • • • + J^ЛоVЛоV
Нт
Х->СО
Нт
Х->СО
"о+5+-"+^
60 + ^ + • • • + J^
"о+5+-"+^
60 + ^ + • • • + J^
Ло
V
Ло
V
Следовательно,Следовательно,( 0, если п<^т,Ит^-7^ = { если п = т, ] 6о’( оо, если п^т.( 0, если п<^т,Ит^-7^ = { если п = т, ] 6о’( оо, если п^т.
Следовательно,
Следовательно,
( 0, если п<^т,
Ит^-7^ = { если п = т, ] 6о’
( оо, если п^т.
( 0, если п<^т,
Ит^-7^ = { если п = т, ] 6о’
( оо, если п^т.
Примеры:Примеры:НтНт Х—*СОНтНт Х—*СОЗх" + 7х + 54х2 + 9х8 + 3Зх4 -|- 5х — 3Зх" + 7х + 54х2 + 9х8 + 3Зх4 -|- 5х — 334 '0.34 '0.
Примеры:
Примеры:
Нт
Нт Х—*СО
Нт
Нт Х—*СО
Зх" + 7х + 5
4х2 + 9
х8 + 3
Зх4 -|- 5х — 3
Зх" + 7х + 5
4х2 + 9
х8 + 3
Зх4 -|- 5х — 3
3
4 '
0.
3
4 '
0.
„ nsin х. sin х
Предел отношения —— при х-*0. Функция /:(х) = —чет
ная, так как.ная, так как.
ная, так как.
ная, так как.
По условию х—*0, следовательно, достаточно рассмотреть значения х, удовлетворяющие неравенствам 0<^х<^у.
Возьмем дугу окружности радиуса R и угол, радианная мера которого равна х (рис. 159).
п • МК * АТ
OA — R, sinx = -#-, tgx = -^-.
Очевидно, пл. Д ОАМ < пл. сект. ОАМ <пл. А ОАТ или ^-ОА-МК^ <гХ ОА • ЛЛ4<Г-у О А • АТ и 4-^2sinx<^i7?2x<^4-^2tgx, откуда получим sinx<x<4gx. Разделим эти неравенства на sin х (sin х^>0). Тогда , , х 1, \ sin х
[ << ——< и, следовательно, 1 2>>cosx.
sm х cos х ’’ х
Отношение Sl^х- приО<^х<^у заключено между 1 и cosx—>-1 при
х<0х<0
х<0
х<0
И окончательно ,.sin х ,
lim= 1. х-0 х
Следует иметь в виду, что предел функции -^^ при х-^-а, а^О, отли
—sin х 2sin х n
чен от единицы. Так, например, lim —— = — и lim—— = 0. л х ™ х_со х
2
П р и м е р ы. 1) lim х-»0П р и м е р ы. 1) lim х-»0^х _ X^х _ Xlim ./j^.-^lim ./j^.-^х—0 X COS Xх—0 X COS Xlimх—0limх—0/ sin х\ х/ sin х\ х—Ri-ccis xl—Ri-ccis xl
П р и м е р ы. 1) lim х-»0
П р и м е р ы. 1) lim х-»0
^х _ X
^х _ X
lim ./j^.-^
lim ./j^.-^
х—0 X COS X
х—0 X COS X
limх—0
limх—0
/ sin х
\ х
/ sin х
\ х
—Ri-ccis xl
—Ri-ccis xl
73 '73 'sin lx
7
3 '
7
3 '
lim ДИ2£ = lim lx x-o sm 3x x-+o q sin 3x
d 3x
limit -|—) = e. Как известно, lim (1 + —I = e. Докажем, что x—>co^ ^1rt^oo'
lim (1=e.
Действительно, пусть x> 1. Положим п = Е(х), тогда х = «4-а, где п — натуральное число, а а удовлетворяет условию 0^а<^1. При х -►-[- оо (п-*оо) имеют место следующие неравенства:
Как нетрудно видеть,
1 ,1 “
“г »+1
Откуда по теореме VI § 13 получим:
Пусть теперь х<^—1, положим х =— у. Тогда
при у-^-^со (х->— оо).
Учитывая оба случая, окончательно получим:
/1 \
Нт (1= е.
х->со \Л /
Если в этом равенстве положить — =« (а -> О при х -* оо), то оно запишется в виде
lim (1 4-а)" =е.
а-*0
Пример.
п
Нт п-*ооНт п-*оо= Пт п-*оо= Пт п-*оо
Нт п-*оо
Нт п-*оо
= Пт п-*оо
= Пт п-*оо
§ 18. Сравнение бесконечно малых
Пусть а(х), Р(х), 7 (х)—функции, бесконечно малые при х-^-а (а— число или один из символов оо, -[-оо, —оо). Для краткости условимся, опуская аргумент, обозначать эти функции просто а, р, 7.
Бесконечно малые функции часто сравнивают между собой по быстроте стремления к нулю. Так например, из двух функций а = х, Р = х10, бесконечно малых при х->0, х10 стремится к нулю «быстрее», чем х.
Уточним, какой смысл вкладывается в слово «быстрее».
Если предел отношения у при х->а равен нулю, то говорят, что а — бесконечно малая более высокого порядка, чем р (или р — бесконечно малая более низкого порядка, чем а)1).
Если предел отношения -|- при х-*а конечен и отличен от нуля, то а и р называются бесконечно малыми одного порядка. В частном случае, если этот предел равен единице, то бесконечно малые а и Р называются эквивалентными бесконечно малыми при х-*а. Тот факт, что а и р — эквивалентные бесконечно малые, записывают так: а^р.
Пример 1. «= sin х, ^ = 2х— функции, бесконечно малые при х—>0. Так как
12 •12 •lim ±= Нт ^ х—* 0 Р х —О ДХ
1
2 •
1
2 •
то а и р— бесконечно малые одного порядка.
Пример 2. а = sin х, р = х — бесконечно малые при х —- 0.
ПтД = Нт х->0рх->0 X
т. е. sin х ~ х при х —► 0.
Аналогично показывается, что tg х ~ х при х—>0.
Пример 3. а = х sin х, р = х.
Так как
lim 4= Ит sin х = 0,х->0р х—>0*
то а — бесконечно малая более высокого порядка, чем р, при х —<■ 0.
Бесконечно малая а называется бесконечно малой порядка k отно
сительно бесконечно малой р, если предел отношения ^ при х->а ко
нечен и отличен от нуля.
Например, a = xsinx, р = х— функции, бесконечно малые при х->0. При решении примера 3 установлено, что a— бесконечно малая более высокого порядка, чем р. Теперь мы можем сказать, что а. — бесконечно малая второго порядка относительно р, так как
,. а ,. X Sin X , hm-p^ hm—-^ = 1 v->0 г х-+0 x
Заметим, что не всякие бесконечно малые можно сравнивать между собой. Например, функции a=xsin-^ и р = х— бесконечно малые при х—>0, а отношение -|- = sin^ не имеет предела при х — 0. В этом случае говорят, что бесконечно малые аир несравнимы.
Отметим следующие свойства эквивалентных бесконечно малых:
a~a (Hm-?-=l).
Если a~p, то p^a.
( Пт —= lim — = 1V \x-» a a x—»a g / P
Если a~p и Р~т, to a~7.
• Ct « • / Ct P \i \
hm — = hm -5- • — = 1 • 11 .
Для приложений особенно важно следующее свойство эквивалентных бесконечно малых.
Если a~an р^р, и Игл= К, то и lim^- = K, т. е. предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их эквивалентными бесконечно малыми:
Ит-^- = Ит^. х а г х a ri
Действительно,
limх -* а Г1limх -* а Г1
lim
х -* а Г1
lim
х -* а Г1
Из свойства 4, в частности, следует:
а) если а^а, иа) если а^а, иlim-^- = K, то lim ^= Игл (так как Р^Р); х-^а гх^-а Р х-*а г
а) если а^а, и
а) если а^а, и
если р^р! и lim = К, то Ит-^ = Ит (так как а~а).
Таким образом, при нахождении предела произведения (частного) бесконечно малый сомножитель числителя (знаменателя) можно заменить эквивалентной этому сомножителю бесконечно малой.
Пример 1. Найти lim-^^-
х-.о sin Чх"
Так как tg5x~5x, sin7x~7x при х —>0, то, заменяя сомножители эквивалентными бесконечно малыми, получим:
lim te= lim — =—
х-,0 sin7x х->о Чх 7 '
Пример 2. Найти lim —
х -► о 1 — cos х ‘
Так как 1 — cos х = 2 sin2 у ~ 2 I у 1 при х —► 0, то
lim —= lim = lim2x = 0.
х — О 1 — COS Xх — О Х~ х -► О
2
Пример 3. lim х , = lim Д = со. х -► О sin х- X -> о х-
Если а и р — функции, бесконечно малые при х-*а, причем р — бесконечно малая более высокого порядка, чем а, то 7 = а-)-Р— бесконечно малая, эквивалентная а, так как
Игл — х-а аИгл — х-а а1.1.аа
Игл — х-а а
Игл — х-а а
1.
1.
а
а
В этом случае говорят, что а — главная часть бесконечно малой 7.
Например, х2-[-х— функция, бесконечно малая при х->0, х— главная часть этой бесконечно малой.
Заметим, что функции f (х) и <р(х), бесконечно большие при х-*а (а — число или один из символов 00, -j- 00, — 00), можно сравнивать,
при х — а.при х — а.аналогичным образом, рассматривая предел отношения но на этом мы останавливаться не будем.
при х — а.
при х — а.
Раздел 4
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
§ 19. Основные определения
Функция ^х\ определенная в точке х0 и некоторой ее окрестности, называется непрерывной в точке х0, если предел функции при х->хй равен значению функции в точке х0:
lim f (х) = /(х0),
Х-*Х^или, что то же,lim /(x) = f (lim х).х-*х0х-*хй
Таким образом, для функции, непрерывной в точке, знаки функции и предела можно переставлять.
Если функция f (х) определена в окрестности точки х0 (кроме, быть может, самой точки х0) и не является непрерывной в этой точке, то ее
называют разрывной в точке хй. В этом случае точку хв называют точкой разрыва функции f (х).
Учитывая данные выше определения предела функции в точке, получаем соответственно следующие определения.
Функция / (х) называется непрерывной в точке х0, если для любого числа е^>0 найдется такое число 8^>0, что неравенство \f(x)—/(х0)Ю выполняется для всех х, удовлетворяющих неравенству |х— х0|<^8.
Это так называемое (е — ^-определение непрерывности функции.
Функция f (х) называется непрерывной в точке х0, если для любой последовательности {х„} значений аргумента, сходящейся к х0, соответствующая последовательность значений функции {/(х„)} сходится к /(х0).
Из определения непрерывности функции f (х) в точке х0 и Теоремы § 14 получаем: для того чтобы функция f (х) была непрерывной в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности этой точки имело место равенство
f (x) — f М “F а W»
где а(х) — бесконечно малая при х->х0. Или, что то же, необходимо и достаточно, чтобы /(х)— / (х0) = а (х)-> 0 при х->х0. Это означает, что
для непрерывности функции в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы бесконечно малому изменению аргумента соответствовало бесконечно малое изменение функции.
На рис. 160 изображена функция, непрерывная в точке х0.
На рис. 161 изображена функция, имеющая разрыв в точке х0. Как видно, здесь не для всякого е^>0 можно найти соответствующее 8^>0.
Функция f (х) называется непрерывной справа (слева) в точке х0, если предел функции справа (слева) при х->х6 равен значению функции в этой точке. Таким образом, если f (хо-[-О) = / (х0), то функция f(x) непрерывна справа в точке х0, если же f(x0— O) = f(xo), то функция f(x) непрерывна слева в точке х0.
Заметим, что для односторонней непрерывности функции в точке х0 вовсе не требуется, чтобы функция была определена в окрестности точки х0. Достаточно потребовать, чтобы функция была определена в точке х0 и справа или слева от нее для значений аргумента, достаточно близких к х0 (в случае непрерывности справа — в правой полуокрестности точки х0 [х0, Хо-{-8), а в случае непрерывности слева — в левой полуокрестности точки х0 (х0 — 8, х0]). На рис. 162 изображены соответственно непрерывные функции справа и слева в точке х0.
Нетрудно видеть, что если функция f(x) непрерывна в точке х0, то она непрерывна слева и справа в этой точке. Заметим также, что определение непрерывности функции f(x) в точке х0 можно записать и так:
/ (х0 — 0)=/ (х0)=/ (х0 4- 0).
Свойства функций, непрерывных в точке. Рассмотрим следующие теоремы.
Теорема 1. Сумма, разность, произведение фиксированного числа функций, непрерывных в некоторой точке, непрерывны в этой точке.
Теорема 2. Частное от деления двух функций, непрерывных в некоторой точке, непрерывно в этой точке при условии, что знаменатель не равен нулю в этой точке.
Эти теоремы доказываются на основании соответствующих теорем о пределах.
Докажем, например, теорему 2.
Пусть f (х) и <р (х) — непрерывные функции в точке х0 и ф (х0) Ф 0. Тогда
Um / (х)„, ,
1 i m— 1^о__ _ / (хо)
х^х0 sW Нт <р(х)<р(х0) ’
X-*Xq
что и требовалось доказать.
Пусть теперь ц = ф(х), у = Ци), причем область изменения первой функции входит в область определения второй. Как известно, сложная функция у = /[ср(х)] будет определена в области определения функции
Теорема 3. Если ц = ф(х)— непрерывная функция в точке х0, ®(х0) = «0, а функция y = f(u) непрерывна в точке и0, то функция y=/[<p(x)] непрерывна в точке х0.
Короче, суперпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция.
Доказательство. По условию ф(х)— непрерывная функция в точке х0, следовательно, ® (х) -> ф (х0) = и0 при Х->Х0.
Функция /(«)непрерывнавточке«0,jj
следовательно, f (u)-> f (ы0)при« -> u0.iI
Применяя теорему определесложной1!
функции, получим:аъх
lim f[<p(x)]= lim f(«) = /(«0),Рис- 163-
X -> Хо« -+ «о
или окончательно lim f [<p(x)] = f [ф (х0)]. А это и есть определение не- X -> х0
прерывности в точке х0.
Определение непрерывности функции на интервале и отрезке. Функция /(х) называется непрерывной на интервале (а, 6), если она непрерывна в каждой точке интервала. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [а, 6], если она непрерывна на интервале (а, 6) и, кроме того, непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке Ь.
Заметим, что для непрерывности функции на отрезке [а, 6] ие требуется непрерывность этой функции на концах отрезка. В точках а и b требуется только односторонняя непрерывность функции: для левого конца непрерывность справа, для правого непрерывность слева (рис. 163).
§ 20. Непрерывность некоторых элементарных функций
Пусть f (х) в интервале (а, 6) сохраняет постоянное значение / (х) = С. Докажем, что / (х) — непрерывная функция на этом интервале.
Действительно, для любого х0 из интервала (а, 6)
lim f (x) = C = f (х0).
Х->Х()
Функция f(x) = x непрерывна для всех х, т. е. на всей числовой оси.
В самом деле, для любой точки х0
lim / (х) = х0 = /:(х0). X -* Хй
Используя теоремы о непрерывных функциях, получаем непрерывность на всей числовой оси функции f(x)=xn (п— натуральное число) и многочлена Р (х) = а^п -f- o^x"-1 -|- ... -|- a„.
Рациональная функция
Р W аохп-у а^х*-1 + ... +д„
QW ^х™ + б.х'”"1 + ... -уьт
непрерывна для всех значений х, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Таким образом, функция R(x) непрерывна в ее области определения.
Докажем, что sinx— функция, непрерывная на всей числовой оси.
Действительно, |sinx|^|x| для |х|^у (см. рис. 159). При |х|>-^-
также имеем | sin х | s^ | х |, так как |sinx|^l, ау^>1.
Следовательно, для всех значений х справедливо неравенство |sinx|^|x|. Так как для произвольной точки х0
..л . XХ„ X + Хп
тотоSin X — Sin Хо — 2 Sing—- COS —у--,
то
то
§ 21. Точки разрыва и их классификация
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, кроме, быть может, самой точки х0. Из приведенного ранее определения точки разрыва функции получаем, что точка х0 является точкой разрыва функции / (х), если выполняется одно из условий: или функция /(х)
определена в точке х0, но не является непрерывной в этой точке, или функция f(x) не определена в точке х0.
В первом случае точка х0 принадлежит области определения функции, во втором случае х0 не принадлежит области определения функции. Заметим, что для основных элементарных функций возможен только второй случай.
и слева в этой точке. разрыва второго рода.и слева в этой точке. разрыва второго рода.Пусть х0 — точка разрыва функции /(х). При этом х0 называется точкой разрыва первого рода, если функция / (х) имеет конечные пределы справа Во всех остальных случаях х0 называется точкой
и слева в этой точке. разрыва второго рода.
и слева в этой точке. разрыва второго рода.
Если х0 — точка разрыва первого рода функции /(х), то график этой функции в точке х0 может иметь лишь конечный скачок (см. рис. 164). Если же х0 — точка разрыва второго рода функции f(x), то по крайней
мере один из пределов справа или у слева в точке х0 не существует или f ,—.,□ равен бесконечности.
ох Пример 1. /(х) = -р—-
_1I Л ।
"’,. ,(1, если х > О,
или f 1’
' I—1, если х<0
Рис" ®"[эта функция часто обозначается через sign х
(знак х)]. График функции /(х) изображен на рис. 165. Здесь х = 0 является точкой разрыва функции /(х), в ней функция неопределена. Так как /(4-0) = 1, /(—0) =—1, то, следовательно, при х=0 функция имеет разрыв первого рода. Если доопределить /(х) в точке х = 0, положив /(0)=1, то функция /(х) в точке х = 0 будет также иметь разрыв первого рода, но теперь она уже будет непрерывной справа в этой точке [так как ^(-J-0) =/(0)]. Аналогично, если положить /(0) =—1, то функция будет непрерывна слева при х = 0 и, наконец, если положить/(0) равной какому-нибудь числу, отличному от 1 и —1, или/(х) не доопределять в точке х=0, то в этой точке функция/(х) не будет непрерывной ни справа, ни слева.
Пример 2. /(х) = Е(х) (см. ее определение в § 2), график Е (х) изображен на рис. ПО.
Функция Е (х) разрывна в каждой целой точке, т. е. при х = п(п — целое число), так как/(n -|-0) = п, f(n— 0) = ц — 1. Все эти точки являются точками разрыва первого рода. В каждой из них функция непрерывна справа.
Пример 3. /(x) = ^L (рис. 166).
г,„ .sin х
В точке х = 0 функция ——— не определена, но она имеет конечный предел в этой точке: Пт /(х) = 1. Следовательно, при х = 0 функция ^^ имеет разрыв
первого рода. Точка х = 0 в этом случае называется точкой устранимого разрыва. Достаточно доопределить функцию/(л) в точке х = 0, положив /(0) = 1, как разрыв устраняется. Итак, функция
/w=/w=sin хX1sin хX1при х ^0, при х = 0при х ^0, при х = 0непрерывна в точке х = 0. Она непрерывна случай устранимого разрыва есть частный пределы справа и слева конечны и равны, т. в этой точке.непрерывна в точке х = 0. Она непрерывна случай устранимого разрыва есть частный пределы справа и слева конечны и равны, т. в этой точке.на всей числовой оси. Заметим, что случай разрыва первого рода, когда е. существует конечный предел функциина всей числовой оси. Заметим, что случай разрыва первого рода, когда е. существует конечный предел функцииПример 4. /(%)= Д (рис. 157) в точке х = 0 имеет разрыв второго рода. Действительно, здесь / (+ 0) — -f- со, f (—0) =—со.Пример 5. Функция tg х (рис. 130) имеет разрывы второго рода в точкахПример 4. /(%)= Д (рис. 157) в точке х = 0 имеет разрыв второго рода. Действительно, здесь / (+ 0) — -f- со, f (—0) =—со.Пример 5. Функция tg х (рис. 130) имеет разрывы второго рода в точках22л = 0 — точкал = 0 — точкаразрыва второго рода.разрыва второго рода.Пример 6. f(x) = ex. Покажем, что _Это действительно так, потому что / (+ 0) = + со, /(—0) = График этой функции изображен на рис. 167.Пример 7. /(x) = sin—. Как было показано, эта функция не имеет пределаПример 6. f(x) = ex. Покажем, что _Это действительно так, потому что / (+ 0) = + со, /(—0) = График этой функции изображен на рис. 167.Пример 7. /(x) = sin—. Как было показано, эта функция не имеет пределапри х —► 0, следовательно, в точке х = 0 она имеет разрыв второго рода. Нетрудно видеть, что sinнечетная функция; она равна нулю в точках х = ™при х —► 0, следовательно, в точке х = 0 она имеет разрыв второго рода. Нетрудно видеть, что sinнечетная функция; она равна нулю в точках х = ™(А = ±1, ±2,lim sin —^ = 0.Пример(А = ±1, ±2,lim sin —^ = 0.Примервторого рода.второго рода....), I sin — =1 при—(Л = О, ±1, ±2,...). Кроме того,График sin — изображен на рис. 168.8. Функция Дирихле (см. § 2) разрывна в каждой точке, точки разрыва...), I sin — =1 при—(Л = О, ±1, ±2,...). Кроме того,График sin — изображен на рис. 168.8. Функция Дирихле (см. § 2) разрывна в каждой точке, точки разрыва§ 22. Свойства функций, непрерывных на отрезкеФункция f(x) называется ограниченной на промежутке, если существует число М > 0, такое, что для всех точек этого промежутка выполняется неравенство\т\<м.Это означает, что график функции на рассматриваемом промежутке не выходит из полосы —М<^у<^М (рис. 169).Рассмотрим основные теоремы о свойствах функции, непрерывной на отрезке.Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке.При доказательстве теоремы мы воспользуемся известным свойством: функция, непрерывная в точке х0, ограничена в некоторой ее окрестности.Справедливость этого утверждения следует из теоремы 7 § 13.§ 22. Свойства функций, непрерывных на отрезкеФункция f(x) называется ограниченной на промежутке, если существует число М > 0, такое, что для всех точек этого промежутка выполняется неравенство\т\<м.Это означает, что график функции на рассматриваемом промежутке не выходит из полосы —М<^у<^М (рис. 169).Рассмотрим основные теоремы о свойствах функции, непрерывной на отрезке.Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке.При доказательстве теоремы мы воспользуемся известным свойством: функция, непрерывная в точке х0, ограничена в некоторой ее окрестности.Справедливость этого утверждения следует из теоремы 7 § 13.
/w=
/w=
sin х
X
1
sin х
X
1
при х ^0, при х = 0
при х ^0, при х = 0
непрерывна в точке х = 0. Она непрерывна случай устранимого разрыва есть частный пределы справа и слева конечны и равны, т. в этой точке.
непрерывна в точке х = 0. Она непрерывна случай устранимого разрыва есть частный пределы справа и слева конечны и равны, т. в этой точке.
на всей числовой оси. Заметим, что случай разрыва первого рода, когда е. существует конечный предел функции
на всей числовой оси. Заметим, что случай разрыва первого рода, когда е. существует конечный предел функции
Пример 4. /(%)= Д (рис. 157) в точке х = 0 имеет разрыв второго рода. Действительно, здесь / (+ 0) — -f- со, f (—0) =—со.
Пример 5. Функция tg х (рис. 130) имеет разрывы второго рода в точках
Пример 4. /(%)= Д (рис. 157) в точке х = 0 имеет разрыв второго рода. Действительно, здесь / (+ 0) — -f- со, f (—0) =—со.
Пример 5. Функция tg х (рис. 130) имеет разрывы второго рода в точках
2
2
л = 0 — точка
л = 0 — точка
разрыва второго рода.
разрыва второго рода.
Пример 6. f(x) = ex. Покажем, что _
Это действительно так, потому что / (+ 0) = + со, /(—0) = График этой функции изображен на рис. 167.
Пример 7. /(x) = sin—. Как было показано, эта функция не имеет предела
Пример 6. f(x) = ex. Покажем, что _
Это действительно так, потому что / (+ 0) = + со, /(—0) = График этой функции изображен на рис. 167.
Пример 7. /(x) = sin—. Как было показано, эта функция не имеет предела
при х —► 0, следовательно, в точке х = 0 она имеет разрыв второго рода. Нетрудно видеть, что sinнечетная функция; она равна нулю в точках х = ™
при х —► 0, следовательно, в точке х = 0 она имеет разрыв второго рода. Нетрудно видеть, что sinнечетная функция; она равна нулю в точках х = ™
(А = ±1, ±2,lim sin —^ = 0.Пример
(А = ±1, ±2,lim sin —^ = 0.Пример
второго рода.
второго рода.
...), I sin — =1 при—(Л = О, ±1, ±2,...). Кроме того,
График sin — изображен на рис. 168.
8. Функция Дирихле (см. § 2) разрывна в каждой точке, точки разрыва
...), I sin — =1 при—(Л = О, ±1, ±2,...). Кроме того,
График sin — изображен на рис. 168.
8. Функция Дирихле (см. § 2) разрывна в каждой точке, точки разрыва
§ 22. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Функция f(x) называется ограниченной на промежутке, если существует число М > 0, такое, что для всех точек этого промежутка выполняется неравенство
\т\<м.
Это означает, что график функции на рассматриваемом промежутке не выходит из полосы —М<^у<^М (рис. 169).
Рассмотрим основные теоремы о свойствах функции, непрерывной на отрезке.
Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке.
При доказательстве теоремы мы воспользуемся известным свойством: функция, непрерывная в точке х0, ограничена в некоторой ее окрестности.
Справедливость этого утверждения следует из теоремы 7 § 13.
§ 22. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Функция f(x) называется ограниченной на промежутке, если существует число М > 0, такое, что для всех точек этого промежутка выполняется неравенство
\т\<м.
Это означает, что график функции на рассматриваемом промежутке не выходит из полосы —М<^у<^М (рис. 169).
Рассмотрим основные теоремы о свойствах функции, непрерывной на отрезке.
Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке.
При доказательстве теоремы мы воспользуемся известным свойством: функция, непрерывная в точке х0, ограничена в некоторой ее окрестности.
Справедливость этого утверждения следует из теоремы 7 § 13.
Доказательство. Допустим, что функция /(х) не ограничена на отрезке [а, 6]. Разделим отрезок [а, 6] пополам, тогда по крайней мере в одном из полученных отрезков эта функция не ограничена (в противном случае она была бы ограничена на отрезке [а, 6]). Рассмотрим отрезок, на котором функция не ограничена, обозначим его через [аь 6^. Дальше разделим отрезок [аь 6J пополам и выберем из полученных отрезков тот отрезок (обозначим его [а2, 62]), на котором функция не ограничена и т. д. Продолжая этот процесс неограниченно, получим последовательность [а, 6], [аь bt"\, ... , [ап, 6„], ... вложенных стягивающихся отрезков, на каждом из которых функция f (х) не ограничена.У1
По лемме о вложенных отрезках сущест- л/. вует точка 5, принадлежащая всем отрезкам.—
Функция /(х) непрерывна в точке 5, следова-Л
тельно, в некоторой окрестности точки 5 она1/
ограничена ). В эту окрестность, при достаточно ——+—I/
большом п, попадает отрезок [ап, Ьпу Следо- °\ I
вательно, на нем функция / (х) будет такжеV/
ограничена. Последнее противоречит выбору по- следовательности отрезков. Таким образом, теорема доказана.
Заметим, что теорема перестает бытьРис- 1691
верной, если функция непрерывна на интервале
или полуинтервале. Например, функция f (х) —^ непрерывна на интервале (0, 1), но не является ограниченной на этом интервале. См. рис. 157.
Теорема 2. Функция /(х), непрерывная на отрезке [а, 6], принимает на этом отрезке свое наибольшее и наименьшее значения, т. е. существуют такие точки ; и т] отрезка [а, 6], что f(;) = m, Ц^ = М и для всех точек этого отрезка выполняются неравенства
т^Цх) ^М.
Отметим, что свои наибольшее и наименьшее значения функция может принимать и несколько раз. Так, например, sinx на отрезке [0, 5-] несколько раз принимает значение 1 и — 1. Теорема перестает быть
верной, если вместо отрезка рассматривать интервал или полуинтервал, например, функция /(х) = х непрерывна на интервале (0, 1), но не принимает на этом интервале ни своего наибольшего, ни наименьшего значения (рис. 170).
Доказательство. Как следует из теоремы 1, функция f (х) ограничена на отрезке [а, 6], т. е. существуют числа с и d(c<^dy такие, что все значения / (х) на отрезке [a, b\ лежат внутри отрезка [с, dy
Разделим отрезок [с, d] пополам, тогда имеются две возможности: или все значения
функции f (х) принадлежат отрезку р, М^J, или хотя бы одно значение /(х) больше c~^d , т. е. лежит внутри отрезка ^—^d , dJ. Если выполняется первое условие, то возьмем отрезок с, —, если второе, то возьмем отрезок , d .
В любом случае выбранный отрезок обозначим через [сь dj. Аналогично определим отрезок [с2, d2] и т. д. Таким образом, получается последовательность вложенных стягивающихся отрезков [с^ dj, [с2, d2] [с„, d„], ... обладающих следующим свойством: для любого числа сосуществует хотя бы одно значение функции f (х), большее с„, и в то же время все значения функции /(х) не превосходят любого числа d„, т. е. f^^dn при любом п. По лемме о вложенных стягивающихся отрезках существует точка М, принадлежащая всем отрезкам. Нетрудно видеть, что М = limcrt = lim dn. Переходя теперь к пределу в неравенстве f^^dn, получим/(х)^Л4.
Докажем, что существует точка $ отрезка [а, 6], в которой значение функции равно М: f(z) = M.
Действительно, как следует из свойства последовательности {с„}, сп->М, существуют значения функции Цх), сколь угодно мало отличающиеся от М. Допустим, что функция /(х) ни в какой точке отрезка [а, 6] не принимает значение М. Тогда функция у (х) = д^у^ , непрерывная иа отрезке [а, 6], будет неограниченной на этом отрезке, что противоречит теореме 1. Следовательно, существует такая точка 5 отрезка [а, 6], что f(5) = M. Таким образом, доказано, что среди значений непрерывной функции, принимаемых на отрезке [a, Z?], имеется наибольшее. Докажем теперь, что среди значений непрерывной функции на отрезке [а, 6] имеется наименьшее. Действительно, рассмотрим функцию — /(х). Она непрерывна на отрезке [а, 6] и, следовательно, на этом отрезке в некоторой точке ц принимает свое наибольшее значение, обозначим его через —т. Отсюда следует, что функция /(х) на отрезке [а, 6] в точке т] принимает свое наименьшее значение, равное т.
Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции иа отрезке [а, 6] называется колебанием непрерывной функции на этом отрезке.
Прежде чем перейти к рассмотрению следующей теоремы, докажем лемму, на которую в дальнейшем неоднократно придется ссылаться.
Лемма. Если функция /(х) непрерывна в точке х0 и /(хо)^О, то существует окрестность точки х0, в которой функция сохраняет знак.
Доказательство. Допустим, что f(x0)>0. Тогда по определению непрерывности функции в точке х0 для любого числа е > О найдется число 8 > О, такое, что неравенство | / (х) — f (х0) | < е выполняется для всех х, удовлетворяющих условию |х— х01 <4 8 или, что то же, неравенства
(1)(1)f W — г <f (х) </ (х0) 4- е
(1)
(1)
выполняются для всех точек х интервала (х0— 8, х04-8). Выбирая г так, чтобы 0 < е 9 ■, и учитывая левое неравенство (1), получим / М 2> ^^-, откуда следует, что / (х) )> 0 для всех точек х интервала (х0 — 8, х0 —|—6), что и требовалось доказать.
Если же f(xoXO, то рассмотрим функцию —/(х). Так как — fto^O, то по доказанному существует окрестность точки х0, в которой — fW^O и, следовательно, /(х)<^0.
Теорема 3. Функция, непрерывная на отрезке [а, 6], принимает на этом отрезке все значения между любыми двумя ее значениями.
Рассмотрим значения функции в точках xt = а и х2 = р (а ^ а <4 р $5 Ь), и пусть, например, f(a)<f(P). Возьмем какое-нибудь число у. между Ж и j^Y
Достаточно показать, что на отрезке [а, р] существует хотя бы одна точка ^, в которой значение функции /(х) равно у.: t^ — V“
Докажем сначала предложение: если функция, непрерывная на отрезке [а, 6], на его концах имеет значения разных знаков, то на этом отрезке найдется точка 5, в которой функция обращается в нуль.
Пусть, например, /ДаХО, /Д6)^>0.
Допустим, что предложение неверно, разделим отрезок [а, />] пополам и выберем тот из полученных отрезков, на концах которого функция имеет значения разных знаков. Этот отрезок обозначим через [аь &Д. Разделим отрезок [аь ^] пополам и выберем из двух отрезков тот, на концах которого функция /Дх) принимает значения разных знаков, обозначим его [а2, ЬД и т. д. Продолжая этот процесс неограниченно,
ооРис. 171.Рис. 171.у№у№ГГполучим последовательность [а, 6], [аь ЬД,..., [ап, bn\, ... вложенных стягивающихся отрезков, причем на концах каждого отрезка функция имеет значения разных знаков. По лемме о вложенных стягивающихся отрезках существует точка с, принадлежащая всем отрезкам. Докажем, что /ДЕ) = О. В самом деле, если допустить, что /(0^>0, то по доказанной лемме существует окрестность точки Е, в которой /(х)Д>0. В эту окрестность, при достаточно большом п, попадает отрезок [а„, М, в котором, следовательно, /(х)^>0, а это противоречит выбору последовательности отрезков. Аналогично доказывается,
о
о
Рис. 171.
Рис. 171.
у
№
у
№
Г
Г
что /ДЕ) не может быть меньше нуля. Окончательно получаем, что /(;) = 0, причем точка 5 лежит на [а, 6], что противоречит допущению.
Таким образом, предложение доказано.
занному предложению существует на [а,занному предложению существует на [а,Докажем теперь теорему 3. Рассмотрим на [а, р] функцию ® (х) = f (х) — (Л. Тогда ср (а) =/Да) — р-<^0, ср (р) = f (Й) — р. > 0. По дока-
занному предложению существует на [а,
занному предложению существует на [а,
Р] точка с, в которой <р (?) = 0. Но <р (Е) = f (?) — pt, следовательно, f^ = p. и точка $ лежит на отрезке [а, р].
Таких точек, где значение функции равно р, может быть и несколько (см. на рис. 171 точки сь ^2, $э).
С помощью этой теоремы и теоремы 2 легко показать, что если функция f (х) непрерывна на отрезке [а, 6], то множество ее значений является от-
резком [/и, Л4], где т и М—соответственно наименьшее и наибольшее значения функции Цх) на отрезке [а, Ь].
Понятие о равномерной непрерывности функции. Пусть / (х) — функция, непрерывная на промежутке, и х0— какая-то точка этого промежутка. Так как /Дх) непрерывна в точке х0, то для любого е^>0 найдется 8^>0, такое, что | / (х)— f(xo)X£ ПРИ Iх— дК^1).
Ясно, что о зависит от е, но 8 зависит также и от рассматриваемой точки х0. При выбранном е)>0 определяется 8 ^> 0, вообще говоря, различное для различных точек рассматриваемого промежутка. Если график функции f (х) идет «круче» в окрестности рассматриваемой точки, то соответствующее этой точке 8 будет меньше, чем 8, соответствующее точке, в окрестности которой график /Дх) более «пологий» (см. рис. 172).
*) Если точка хй совпадает с одним из концов промежутка, то рассматривается ее полуокрестность.
Таким образом, при выбранном $>0 для каждой точки промежутка определяется соответствующее ей 8. Закрепим за каждой точкой свое положительное число 8. Если бы точек было конечное число, то из конечного числа положительных чисел 8 можно было бы выбрать наименьшее число. Выбранное число 8 было бы общим для всех этих точек в том смысле, что это 8, отвечающее выбранному е, зависело бы только от е и не зависело от х. Но из бесчисленного множества положительных чисел не всегда можно выбрать наименьшее число, как, например, среди членов последовательности 1,..., —, ... наименьшего нет.
Если допустить, что из всех значений 8, соответствующих точкам рассматриваемого промежутка, можно выбрать наименьшее число 8, 8 ^> 0, то тогда не будет необходимости закреплять «свое 8» за каждой точкой, наименьшее значение 8 будет общим для всех точек этого промежутка, т. е. 8 ие будет зависеть от х. И тогда для любых двух точех /их" рассматриваемого промежутка, удовлетворяющих условию |У— х"|<^8 (расстояние между которыми меньше 8), будет выполняться неравенство |/(^)—/(х’)|<е.
Предполагая, что такой выбор числа 8, 8^>0, общего для всех точек промежутка, возможен при любом е^>0, то мы придем к понятию равномерной непрерывности функции на промежутке.
Функция f(x) называется равномерно непрерывной на промежутке, если для любого е^>0 существует 8 ^> 0, такое, что для любых двух точек /их" этого промежутка, удовлетворяющих условию \/—х"|<^8 (или, что то же, находящихся на расстоянии, меньшем 8), выполняется неравенство
|/(/Н(/)|<6.
Теорема 4. Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.
Доказательство. Сначала докажем, что если /(х) непрерывна на отрезке [а, 6], то для любого е^>0 можно разбить отрезок [а, 6] на конечное число неперекрывающихся отрезков1), на каждом из которых колебание функции будет меньше е.
Доказательство от противного. Допустим, что существует число е^>0, для которого такое разбиение отрезка [а, 6] невозможно. Тогда разделим отрезок [а, 6] пополам и выберем тот из полученных отрезков, для которого такое разбиение невозможно и обозначим его [аь bj. (Если бы для каждого из двух полученных отрезков было возможно такое разбиение, то оно было бы возможно и для отрезка [а, 6]). Разделим отрезок [аь bt] пополам и выберем тот из полученных отрезков, для которого такое разбиение на частные отрезки невозможно, и т. д. Продолжая этот процесс, получим последовательность вложенных стягивающихся отрезков [а, ЬА, [аь Z>J, [а2, 6a], ..., [ап, b^, .... обладающих тем свойством, что ни один из них нельзя разбить на конечное число неперекрывающихся отрезков, так чтобы колебание функции на каждом частном отрезке было меньше е. По лемме о вложенных стягивающихся отрезках существует точка 5, общая всем отрезкам [ап, Ь„\. Так как функция f(x) непрерывна в точке В, то для рассматриваемого е (s^>0) найдется 8 ^> 0, такое, что |f(;)—fWKy для всех х из 8-окрестности точки 5 (или полуокрестности точки 5, если 5 совпадает с одним из концов отрезка [а, 6]). Тогда для любых двух точек / и х" рассматриваемой 8-окрестности $ будет выполняться неравенство
*) Два отрезка называются неперекрывающимися, если они или не имеют общих точек, или имеют только один общий конец.
т. е.
|/M-f(x')|<e.
В рассматриваемую 8-окрестность точки $ при достаточно большом п, попадет отрезок [а„, bnY и, следовательно, для любых двух точек х' и х" этого отрезка будет справедливо неравенство i /г(х')— /(х")Ке, т. е. колебание функции / (х) на отрезке [а„, Ь„] будет меньше е, а это противоречит выбору последовательности отрезков.
Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы, т. е. докажем, что функция /(х), непрерывная на отрезке [a, b\, является равномерно непрерывной на этом отрезке.
Действительно, какое бы е)>0 мы ни взяли, для него существует такое разбиение отрезка [а, 6] на конечное число отрезков, что колебание функции на каждом из этих отрезков меньше ^. Обозначим через 8 наименьшую из длин отрезков деления и рассмотрим любые две точки х и х" отрезка [a, by находящиеся на расстоянии, меньшем 8: ! х' — х" К 8. Либо эти точки принадлежат одному отрезку деления, либо принадлежат двум соседним отрезкам. В первом случае I/(х')—/(х")|<-|-<е. Во втором случае, обозначая через х0 общий конец соседних отрезков, получим:
= I If W - f (х0)] + [f (х0) - / (X-)] I ^|Ж)-/(х0)| +
+ №W(x")|<| + | = i.
Таким образом, для любого числа s^>0
найдется такое число 8 ^> 0, что для любыхРис. 173.
двух точек х' и х" отрезка [а, 6], расстояние
между которыми меньше 8, выполняется неравенство |/(х')—f (х") | < s, что и требовалось доказать.
Следует иметь в виду, что теорема перестает быть верной для функций, непрерывных на интервалах или полуинтервалах.
Пример 1. 3> = sin—. График этой функции изображен на рис. 168.
Функция sin -^ непрерывна на интервале (0, а), где а > 0, но не является равномерно непрерывной на нем.
Действительно, какое бы мы малое В>0 ни взяли, найдутся точки х' и х', достаточно близкие к 0, расстояние между которыми [ х1—х' | < В, но /(х’) = 1, а /(х') = —1 и, следовательно, |/(х')—/(х')1=2. Поэтому для е<2 не существует соответствующего положительного числа В.
Пример 2. У = ^; (см. рис. 173).
Функция -^ непрерывна на интервале (0, 1), но не является равномерно непрерывной на нем. Это следует из того, что, какое бы мы число В, В>0, ни взяли, существуют точки х', х', достаточно близкие к нулю, расстояние между которыми меньше В, а модуль разности |/(х')—/(х')| больше любого наперед заданного числа.
ГЛАВА IV
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Раздел 1
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
Приращение аргумента и функции
Рассмотрим функцию y = f(x).
Пусть х—некоторое значение аргумента, Цх)— соответствующее значение функции. От значения х переходим к другому значению аргу
мента xt. Разность х — хь обозначим ее Ах, называется приращением
аргумента. Будем предполагать, что Ах ^ 0. Значение функции, соответствующее значению аргумента хх — х + Ах, равно /(х-|-Дх). Разность /(х-|-Дх)— — Цх) называется приращением функции в точке х, соответствующим приращению аргумента Ах, и обозначается Ау или Af (х):
^y = f(x-\-Ax) — f(x).
В зависимости от вида функции ее приращение Ау может быть равно
нулю, положительно или отрицательно. Приращение аргумента также может быть различного знака. На рис. 174 Ах и Ау положительны.
Используя понятия «приращение аргумента» и «приращение функции», можно дать следующее определение непрерывности функции в точке. Функция /(х) называется непрерывной в точке х, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение
функции.
Задача о проведении касательной к кривой
Рассмотрим пару прямых с общей точкой М: неподвижную МТ и подвижную МЫ (рис. 175). При этом неподвижная прямая МТ называется предельным положением подвижной прямой МЫ, если угол <р между ними стремится к нулю. Пусть теперь М — некоторая точка кривой (рис. 176). Возьмем на этой кривой любую другую точку Ы и будем перемещать ее по кривой любым способом, неограниченно при- 198
Рис. 177.Рис. 177.
Рис. 177.
Рис. 177.
ближая к точке М. (Точка N неограниченно приближается к точке М,
если расстояние между ними стремится к нулю).
При этих условиях секущая MN, вообще говоря, меняет свое положение, вращаясь вокруг точки М. Если существует прямая, являющаяся предельным положением секущей MN при неограниченном приближении точки N по кривой к точке М, то эта
прямая называется касательной к кривой в точке М.
Таким образом, касательной к кривой в ее точке М называется предельное положение секущей MN при неограничен
ном приближении точки N по кривой к точке М. Следует иметь в виду, что кривая в ее точке М может и не иметь касательной. Этот случай изображен на рис. 177.
Рассмотрим некоторую плоскую кривую с уравнением у = f (х) и точку М (х0, у0) этой кривой. Пусть кривая в точке М имеет невертикальную касательную (рис. 178). Напишем уравнение этой касательной.
Значению аргумента х04-Дх соответствует f (х0 4~ Д х) = у0 4- д у и значит точка Д/(х0 + Дх, /(х04-Дх)) кривой. Соединив точки М и А/, получим секущую MN данной кривой. Уравнение секущей MN запишется в виде:
У —Уо = ^(х —х0),
где Ду = f (х0 4- Дх) — f(x0) — приращение функции в точке х0.
Пусть теперь Дх стремится к нулю, тогда точка N (х04- Дх, / (х0 + Дх)) по кривой стремится к точке М (х0, у0), секущая MN, меняя свое положение, будет стремиться занять положение касательной к кривой в точке М.
Обозначим через р угол наклона к оси ОХ секущей MN, а через а — угол наклона касательной к кривой в точке М. Если Дх-j-O, то р-*а и tg р -> tg а. Но tg р = ^, следовательно,
tga = lim
Ду Дх*
Таким образом, уравнение касательной к кривой в точке М (хй, у0) имеет вид;
У — Уо = Нт ^(х —х0).
И, следовательно, задача о проведении касательной к кривой в ее точке привела нас к вычислению предела отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.
Определение производной функции в точке. Геометрический и механический смысл производной
Пусть функция Цх) определена в некоторой окрестности точки х. Дадим аргументу х приращение Дх (при этом предполагается, что точка х-{-Дх принадлежит области определения функции). Тогда функция получит приращение Ду = /(х4-Дх)— f(x). Производной функции f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента ^т. е. ^ при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует и конечен.
Производная функции y — f(x) в точке х обозначается символами
у', f (х) или
J х < dx’ dx
или, что то же,или, что то же,Итак, по определению / = Пт
или, что то же,
или, что то же,
Дх—>0 дх
f(x) = Iim /(х+Дх)-/(х) ' V ’ д^о
Как следует из определения, производная функции Цх) в точке х есть число, зависящее от рассматриваемого значения х (но не зависящее от Дх). Рассматривая производную функции f (х) в различных точках х, мы будем получать, вообще говоря, различные значения.
Таким образом, производная f (х) является функцией переменной х, определенной в области определения функции f (х) или в части этой области).
Если фиксировать значение х, например положить х = х0, то производная функции f(x) в точке х = х0 обозначается: f(x0), у' (х0), у к = х0 d/(x0) ИЛИ ■ ;- —. dx
Геометрический смысл производной. Рассматривая задачу о проведении касательной к кривой, мы получили, что tga = lim ^ , т. е. tga = yz. Дх — 0 А*
*) Символы у* или f (х) (читаются: «игрек штрих» или «эф штрих от х») введены Лагранжей, а символы ^ или ^ (читаются: «де игрек по де икс» или «де эф по де икс») введены Лейбницем.
Лагранж (1736—1813) —французский математик и механик, Лейбниц (1646—1718) — немецкий математик.
Отсюда следует геометрический смысл производной функции f (х). Производная функции f(x) в точке х равна угловому коэффициенту касательной в точке М (х, /(х)) к кривой, заданной уравнением y — f(x) [или, что то же, к графику функции /(х)].
В дальнейшем для сокращения формулировок вместо точки кривой будем называть только ее абсциссу, так как ордината этой точки однозначно определяется ее абсциссой.
Пример. Найдем производную функции /(х) = х2 в точке х и выясним ее геометрический смысл.
Дадим х приращение Дх, тогда соответствующее ему приращение функции Ду запишется в виде:
Ду = / (х+ Дх) — f (х) = (х + Дх)2 — х2 == 2хДх -}- (Дх)2.
Откуда
^=2х+Дх
Дх 1
и, следовательно, у' —11m ~ = 2х или, что то же, Ах—* О
(х2)' = 2х.
Таким образом, производная функции х2 в любой точке х существует и равна 2х, т. е. производная функции х2 является функцией, определенной на всей числовой оси, равной 2х.
В частности, при х= 1 получим /'(1) = 2.
Рассмотрим параболу у = х2 (рис. 179). При х=1 у=1. Точка М (1, 1) лежит на параболе. Так как /'(1) = 2, то угловой коэффициент касательной к параболе в точке М равен двум и, следовательно, уравнение касательной к параболе в ее точке 7Й (1, 1) запишется в виде:
у — I=2(x — 1),
т. е.
у = 2х— 1.
Положив х = 2, циент касательной кПоложив х = 2, циент касательной кнайдем f(2) = 4, и, следовательно, угловой коэффи- параболе у = х- в точке N (2, 4) равен 4.
Положив х = 2, циент касательной к
Положив х = 2, циент касательной к
циент касательной к параболе вциент касательной к параболе вТаким образом, /'(х) = 2х при любом х определяет угловой коэффи
циент касательной к параболе в
циент касательной к параболе в
соответствующей точке этой параболы. В точке О (0, 0) касательной к параболе является ось ОХ.
Заметим, что нельзя определить касательную как прямую, имеющую с кривой одну общую точку. В рассмотренном выше примере ось OY, имея с параболой одну общую точку, не является касательной к этой параболе. Определение касательной к кривой в данной точке было дано в § 2.
Под углом между двумя кривыми в точке их пересечения понимается угол между касательными к этим кривым в рассматриваемой точке.
Решим такую задачу. Определить, под каким углом синусоида наклонена к оси ОХ в начале координат (см. рис. 180).
Решение. Как следует из геометрического смысла производной, угловой коэффициент касательной к синусоиде в точке х=0 равен
tga- = y |,= о.
Сначала найдем д' = (sinx)' в любой точке х. Дадим х приращение Дх, тогда соответствующее приращение функции будет Ay = sin(x-j-Ax) — — sinx.
/ = Ит = ИтДх—.О^^ Дх — 0/ = Ит = ИтДх—.О^^ Дх — 0sin (х + Дх) — sin хДхsin (х + Дх) — sin хДх
/ = Ит = Ит
Дх—.О^^ Дх — 0
/ = Ит = Ит
Дх—.О^^ Дх — 0
sin (х + Дх) — sin хДх
sin (х + Дх) — sin хДх
Итдх—>оИтдх—>о2 sin -^ cos2 sin -^ cos. Дх / , Дх’ sin cos х -4- -=-. Дх / , Дх’ sin cos х -4- -=-"Е.Дх —> 02д' = (sin х)' = cos х."Е.Дх —> 02д' = (sin х)' = cos х.
Итдх—>о
Итдх—>о
2 sin -^ cos
2 sin -^ cos
. Дх / , Дх’ sin cos х -4- -=-
. Дх / , Дх’ sin cos х -4- -=-
"Е.Дх —> 0
2
д' = (sin х)' = cos х.
"Е.Дх —> 0
2
д' = (sin х)' = cos х.
Дх
Или
д' = Пт -
Дх -. о
Окончательно получаем:
Положив х = 0, найдем y'|x=o = cos 0= 1.
Следовательно, tga=l, a=;p
Заметим, что при нахождении производной непрерывной функции (ниже будет показано, что только для непрерывных функций можно ставить XО
такую задачу) приходится раскрывать неопределенность вида -у, так как Ду-*0 при Дх-*0.
Уравнения касательной и нормали к кривой. На основании ранее приведенных рассуждений получаем, что уравнение невертикальной касательной к кривой у = /(х) в ее точке М (х0, у0) можно записать в виде:
У~ Уо = №) (х-—х0),где f' (х0) = у' U—х0 — производная функции /(х) в точке х0.
Нормалью к кривой в ее точке М называется прямая, проходящая через точку М перпендикулярно касательной к кривой в этой точке.
В силу условия перпендикулярности двух прямых можно записать уравнение нормали к кривой д = Цх) в точке М (х0, у0) в виде:
если f (Л / 0.
Пример. Написать уравнение касательной и нормали к синусоиде в точке х=^-.
Решение. При х=^-, y = sin ^ =, следовательно, точка ка
сания М имеет координаты х= -^-, д=^у-. Так как в любой точке х, (sin х)'= cos х, то при f' ^^ = J^ и уравнение касательной к синусоиде -/2"\„/2/2/
в точке Л1) имеет следующий вид: у—'— = 2— ^х — -^j.
Уравнение нормали к синусоиде в этой точке записывается в виде:
Односторонние производные функции в точке. Если рассматривать односторонние пределы отношения д^ при Дх->0, то по аналогии с опре-
делением производной функции в точке х, можно сформулировать определение правой (левой) производной функции / (х) в точке х.
Правой (левой) производной функции / (х) в точке х называется предел отношения ^ при Дх->0, Дх^>0 (Дх<0), если этот предел существует и конечен.
Итак, по определению правая производная функции f (х) в точке хесть число, равное Игл левая производная функции f(x) в точке х есть Дх—>0 Дх>0
число, равное Нт Дх — 0 Дх<0
Правая (левая) производная функции f (х) в точке х совпадает с угловым коэффициентом правой (левой) касательной к графику функции / (х) в точке х. Определить правую (левую) касательную к графику функции/(х) в точке х предоставляем читателю.
Говорят, что функция f (х) имеет производную на интервале (а, 6), если она имеет производную в каждой точке этого интервала. Функция f (х) имеет производную на отрезке [а, 6], если она имеет производную на интервале , ,
(а, Ь) и, кроме того, имеет правую производ-0 5Юs(t+^t)
ную в точке а и левую производную в точке Ь.
Механический смысл производной. ПустьРис‘ 181,
некоторая материальная точка движется прямолинейно и задан закон ее движения s = s^t), т. е. известно расстояние s точки от некоторого начала отсчета в каждый момент времени t.
Итак, в момент времени / пройденное расстояние равно s(/) (см. рис. 181), в момент времени /-рД/ расстояние равно з(/-1-Д/). За промежуток времени (?, ^ + д0 точка прошла путь Д5 = 5(/-{-Д^)— з(/). As
^— средняя скорость движения точки за промежуток времени [/, /-}-Д/].
Средняя скорость движения на различных промежутках различна. Чем меньше промежуток времени Д/, тем точнее средняя скорость движения «характеризует» это движение в момент времени t.
Поэтому предел средней скорости движения при стремлении Д/ к нулю называют скоростью движения точки в данный момент времени / и обозначают у(/):
y(^) = lim. ^.
Учитывая это, можно сказать, что производная t/ = lim характеризует скорость изменения функции в зависимости от изменения аргумента.
Необходимое условие существования производной.
Теорема. Если функция f(x) имеет производную в точке х, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. По условию в точке х существует производная функции f(x), т. е. существует конечный предел:
lim Zl£±A^ZM = т.
Из определения предела следует, что ^^ + Д^.~^^ = f (х) -[- а, где а-*0 при Дх->0, откуда Ду = f (х-Ч Дх) — /(х) = [/'(х)4-а] Дх. И, следовательно, Ду->0 при Дх->0. Это и означает, что функция f (х) непрерывна в точке х.
Таким образом, непрерывность функции в точке является необходимым условием существования производной функции в этой точке.
Заметим, что непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования производной этой функции в рассматриваемой точке. Функция может быть непрерывной в точке, но не иметь в этой точке производной. Например, у = |х|— непрерывная функция при х = 0 (график этой функции изображен на рис. 182). Дадим х = 0 приращение Дх. Функция у = |х| получит приращение
Ду =! Дх|.
д (1, если Дх>0,
При этом т-=\1 лследовательно, предела отно-
I — 1, если дх и.
шения ^ при Дх-0 не существует1). В точке х = 0 не существует касательной к графику функции г/ = |х|.
Заметим, что-функция у = |х| в точке х = 0 имеет правую и левую производные.
Действительно, Нт =1, т. е. правая производная в точке х = 0
Дх>0
равна 1; Пт — — 1, т. е. левая производная в этой точке равна — 1.
Дх->0
Дл*<0
В точке х—О существуют правая и левая касательные к графику функции |х|. В этом случае точка х = 0 называется угловой точкой графика | х |.
Заметим еще, что в определении производной речь идет о конечном пределе отношения ^ при Дх->0.
Если этот предел бесконечен, то говорят, что производная не существует. Геометрически мы имеем здесь случай вертикальной касательной (рис. 183).
Нахождение производной данной функции называется ее дифференцированием..
В этой главе рассматривается дифференциальное исчисление функции одной переменной, основная задача которого — вычисление производных, изучение их свойств и использование этих свойств для исследования функций.
Производные некоторых элементарных функций
Пусть функция у — Цх) на некотором интервале имеет постоянное значение, равное С:
у=с.
Тогда для любого х из рассматриваемого интервала Ду = 0, следовательно, ^ = 0, откуда получаем:
у' = Пт — 0,Дх-0Л(С)' = 0.
у = х. Пусть х — любое число1). Дадим х приращение Дх, тогда приращение функции Ду = Дх и Нт ^.= 1, (х)'=1.
у = х"(п— натуральное число).
Давая х приращение Дх, получим:
Ду = (х + Дх)" — х" = их”"1 Дх 4- ^^- х"’2 (Дх)2 + ... + (Дх)", откуда
^ = «д»-1 + ”(”~1) х"-2 Дх +... 4- (Дх)"-1.
И, следовательно, y'=lim ^ = пх"-1, т. е. (х")' = пх"-1.
у —sinx, y’ = (sin х)'= cos х (см. задачу § 3).
y = cosx. Дадим х приращение Дх, соответствующее приращение у:
Ду = cos (х 4- Дх) — cos х, п . Дх . /. Дх\
Д_ 2 sin sin I X +-у-
lim = Нт ~ v—
Дх — 0 ДЛ:Дх —0Дх
. Дх . (. Дх\
sm^- sin^x+T ,— Нт г= — sin х,
Дх —0 2
(cosx)'= —sinx.
Решение примеров на нахождение производных значительно упрощается, если использовать общие правила дифференцирования, к рассмотрению которых мы переходим.
Основные правила дифференцирования
Пусть функции u = f(x) и у = <р(х) имеют производные в точке х.
Производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т. е. (u ± у)' = и'± у'.
Действительно, пусть у = и±у. Дадим х приращение Дх, тогда функции и и у получат приращения, соответственно равные Ди и Ду, и функция у получит приращение Ду.
Новое значение функции и будет и 4- Ди, новое значение функции у будет у 4-Ди и, следовательно,
Ду : [(ц 4- Ди) ± (у 4- Ду)] — (и ± и) = Ди ± Ду.
При этом Ду Ди ! Ду ДхДх Дх
И
,.. /Ди , Ду\ ,. Ди , Ду
у = lim т- ±= Iim т- ± hm v-
(так как предел каждого слагаемого существует и конечен). Окончательно получим: у'= (и ± у)'= и'± у'.
Производная произведения. Докажем, что (uvy=u'a -}- vu.
Дадим х приращение Дх, тогда функции и, у и у = ии получат приращения. При этом
Ду (и -ф- Ди) • (и -{- Ди) — иу = у^и + и^и -- Ди • Ди,,. Дуf , Ду , Ди . \
Дх-0Дх Дх^оХ Хх Ьх 1 ^х )
Применяя теоремы о пределе суммы и произведения, будем иметь: lim ^ = Игл ^о+ lim ^u-J- Нт ^НтДи.
Дх^Оал Дх—>0 ах Ьх^Оах ^х-*0ах йх-»0
Учитывая, что lim ^=u', Нт Ди = 0 (так как функция и = »(х)
Дх — 0 йх^x— О
имеет производную в точке х, то она непрерывна в этой точке), получим:у'(ии)' = и'и -|- у’и,
что и требовалось доказать.
В частности, если у = С (С — const), то (Си)' = (С)' и -L Си' = Си, т. е. постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Пример!, у = 2х8 + 5х2 — 7,
У = (2х8)' + (5х2)' — (7)' = 2 (х8)' 4- 5 (х2)' — (7)' = 6х2 + Юх.
Пример 2. у = (7х2 + 5х — 3) cos х,у = (7х2 + 5х —3)' cos х + (7х2 + 5х — 3) (cos х)' = (14х + 5) cos х —— (7х2 + 5х — 3) sin х.
Формула дифференцирования произведения может быть обобщена на случай нескольких сомножителей.
Пусть и, у, w — функции, имеющие производные в точке х. Тогда (uuu>)'=[(uu)u>]'=(uu)':u4-(uu)a>'=(u'u -|- uu^w + uuw'=uruw -j- uu'w -|- uuud’.
Окончательно получим:
^uuwy = u'vw -{- uv'w -j- uuw'.
Аналогично для любого фиксированного числа сомножителей.
Производная частного. Рассмотрим функцию у = -^-. Предположим, кроме существования производных функций и и и в точке х, что функция и = <р(х) отлична от нуля в рассматриваемой точке х. Докажем, что при этом
/ и V а'у — у'м
\ у)у2 *
Действительно, приращение у, соответствующее приращению х, равно . и + Дии, уДи — иду
У у + Дууу(у-|-Ду)
И
Ди ДуДу .. У Дх М Дхдх-оДх дх^о у(у + ду)
Применяя теоремы о пределах частного и произведения и учитывая непрерывность функции и в точке х *), получим, что
В качестве примеров на дифференцирование частного рассмотрим вычисление производных тригонометрических функций.
,..,/ sin х\'( sin xY cos x—(cos x)’ sin x cos3 x + sin2 x
(tg)' = — =-5 -
\ WD A /AWO
— ——, t. e. (tg xX = sec2 x.
cos- x \ s /
q. . , у/cos xV (cos xy sin x — ( sin x)' cos x sin3 x + cos3 x '° *\ sin x)sin2 xsin2 x
= —^^-, T-e- (c^g^)r = — cosec2 x.
(secx)' = (—!—_ — (cos x) _ sm x(sec x)'= sec x tg x.
' X ' \COS x! cos-X COS2 XX 1°
(cosecxy = (J^y = -^^L = -^-,
' K '\ sin x / sin2 Xsin- X
(cosec x)' = — cosec x ctg x *).
IV. Производная сложной функции. Пусть y = f (ы), u = <o (x), причем область изменения второй функции входит в область определения первой. Тогда у является сложной функцией независимой переменной х, и — промежуточная переменная. Предположим, что функция <р (х) имеет производную в точке х, а функция f (и), рассматриваемая как функция независимой переменной и, имеет производную в точке и, соответствующей точке х.
Докажем, что
dy dy da
dxda dx
или, что то же,
y^f^u',(1)
т. е. докажем, что производная сложной функции по независимой переменной равна произведению производной этой функции по промежуточной переменной на производную промежуточной переменной по независимой переменной.
Доказательство. Дадим х приращение Дх, тогда и получит приращение Дм и у получит приращение Ду.
Запишем тождество
Ду _ Ду Дм
Дх Дм ‘ Дхw
и найдем его предел при Дх->0. Если Дх->0, то Д«->0, так как и = ® (х) — непрерывная функция в точке х. И, следовательно.
ИглДх->0ИглДх->0ДуДхДуДхlim НтДа —О Д“ Дх->0lim НтДа —О Д“ Дх->0ДмДхДмДх
Игл
Дх->0
Игл
Дх->0
Ду
Дх
Ду
Дх
lim Нт
Да —О Д“ Дх->0
lim Нт
Да —О Д“ Дх->0
Дм
Дх
Дм
Дх
или 5^ = ^ • 5^1 что и требовалось доказать.
Следует иметь в виду, что приведенные выше рассуждения верны лишь в том случае, когда при достаточно малых Дх соответствующие приращения Ди отличны от нуля [иначе тождество (2) теряет смысл]. Можно доказать, что формула дифференцирования сложной функции остается верной и в этом случае, но мы это доказательство опускаем.
Формулу (1) иногда записывают и так:
у' = Уи-и'
(в записи производной у’и значок «и» внизу подчеркивает, что дифференцирование у ведется по переменной и).
Рассмотрим примеры:
у = (2 4-х2)10. Полагаем у = и10, ы = 2-|- лс3, тогда у' = 10и°и’ = 10 (2 4- х3)°Х X (2 4-х3)’ = 20х(2 4-х2)9.
у = sin х3. Полагая у = sin и, и — х3, получим у' = ( sin и)' и' = cos и (х3)' = = 2х cos х3.
у= sin8 (2x4-3). Полагая у = и8, и = sin у, -о = 2х 4- 3, получим у' = (и8)'и' = = Зи3 ( sin уу = 3 sin3 (2х -к 3) cos у • у' = 3 sin3 (2х 4" 3) cos (2х 4- 3) • 2 = = 6 sin3 (2х -|- 3) cos (2х 4- 3).
При достаточном количестве упражнений необходимость в записи промежуточных переменных отпадает.
Дифференцирование сложной функции занимает центральное место в так называемой технике дифференцирования.
§ 6. Производная логарифмической функции
Логарифмическое дифференцирование. Рассмотрим функцию у = In х и докажем, что для любого х>0(1пх)'=~.
Действительно, ^=^+^.=^Д- = Ц-Ц^5^ 1П (1+^=
.. Дх\^"Т 1 .. AxW
XX
При этом y'=!im- Inflx=-^lim Infl-|-—V*.
Из соотношения lim f 1 4- —) X — e, учитывая непрерывность лога-
ДХ-.0 1x '
рифмиче:кой функции, получаем:
lim In f 1 -|- — V* = In lim f 1 -[- —V"’6 — lne= 1
Дх—>0 ''Дх—>0\/
и, следовательно, / = (1пх)' = -^.
Если же у = logo х (а ^> 0, а^ 0> то учитывая равенство \ogox =^2", получим: (lOgox)' = —jL^-.
Найдем теперь производную функции у=1п|х|. Эта функция определена при всех х, кроме х = 0. График ее изображен на рис. 184.
[ Inх при х>0, у=1п|х|= { , ,.
I 1п(—х) при х<0.
Так как (1пх)'=^ и [1п(—х)]' = ^_^ ^^ (последнее равенство записано на основании дифференцирования сложной функции, здесь и = — х), то окончательно получаем:
(1п1х|У = 1.
Учитывая полученное равенство, найдем производную функции t/=!n|f(x)| или, что то же, функции у = 1п|ы|, где и=Цху При этом предполагается, что функция /(х) не обращается в нуль в рассматриваемой точке х и имеет произвол- „
ную в этой точке.
Рис. 184.Рис. 184.Дифференцируя сложную функцию, получим:
Рис. 184.
Рис. 184.
у' = (1п | и |)'«'= — • и' =,
3ц/ (X)
т. е.
(1пН(х)|У=^.(1)
Отношение ущ называется логарифмической производной функции f(x\ Как это следует из равенства (1), логарифмическая производная функции равна производной логарифма модуля этой функции.
Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле:
(2)(2)f ^ = (\^\t^\1 tkxY
(2)
(2)
Для упрощения записи условимся при логарифмическом дифференцировании знак модуля у f(x) опускать.
Рассмотрим пример.
= (х —J)io^sin2К(1+хУ
Логарифмируя, запишем:
q
1пу= 101п (х— 1) + sinx— у In (1 +х2).
Дифференцируя, получим:УУДифференцируя, получим:УУ10,3 2х__ + cosx_n..__,10,3 2х__ + cosx_n..__,
Дифференцируя, получим:
У
У
Дифференцируя, получим:
У
У
10,3 2х
__ + cosx_n..__,
10,3 2х
__ + cosx_n..__,
откуда
y=l^=T+cosx
(Метод логарифмического дифференцирования в данном случае применим, если хф 1. Можно показать, что производная рассматриваемой функции существует при любом х, т. е. в области определения самой функции.)
Производные степенных и показательных функций
у = хе (а — любое действительное число).
При любом х, отличном от нуля,
1пу = а1пх,
(ха)' = ах""1 ).
В частности, при а ——1 имеем:
при «=2" получим:
'2 V х
Пример. y=V 2х2+ Зх + 7, (2х3+3х + 7)'4х + 3
2 /2x7+37+7 — 2 /2x7+37+? '
у = ах (а>0, а/1).
При любом х
In у = х In а,у = 1па; у' = 1па-у = ах\па,(ах)' = ах 1п а.
Положив а = е, получим ^еху = ех.
Пример 1. у = е5|п2д:, у’ = е51п2л: ( sinЗх)' = 2 sin х cos х esln2x = sin 2х е5"12^.
Пример 2. у = 21п7У = 2,п*(1пх)Чп2 = 21п*-^.
Производная показательно-степенной функции. Пусть u = f(x) и и = ср(х) — функции, имеющие производные в точке х, Цх)^>0. Найдем производную функции у = и°. Логарифмируя, получим:
lny = olnu,
— = и' In и 4- и —, откуда
у’= и” [цу + /1пы^ или
^й°У = vu^^u’ -[- u^uHn и.
Производные обратных функций
Производные обратных тригонометрических функций. Сначала рассмотрим производные обратных тригонометрических функций.
Пусть y = arcsinx(—1<х<1). Тогда x = sinу. Дифференцируя по х (—1<х<1), получим:
1 = cos у • у,
,1/ It 7t\
откуда у = cosу > причем у принадлежит интервалу у, ^j. Так как на этом интервале
cos у = /1 — sinaу = ]/1 — х'2cos у = /1 — sinaу = ]/1 — х'2(-1(-1хх1),1),
cos у = /1 — sinaу = ]/1 — х'2
cos у = /1 — sinaу = ]/1 — х'2
(-1
(-1
х
х
1),
1),
то, записав вместо cos у его выражение через х, окончательно получим:
(агК|пху=?_.(агК|пху=?_.(— 1 <х< 1).(— 1 <х< 1).
(агК|пху=?_.
(агК|пху=?_.
(— 1 <х< 1).
(— 1 <х< 1).
Пусть y = arccosx(— 1 <^х<^ 1), тогда x = cosy и дифференцируя по х (—1-\Л<^1)> получим
= —sin у • /.
Так как для всех у интервала (0, л) имеем siny^>0, то
sinj> /1—cos2y /1 — xs''
Пусть теперь у = arctg х (—оо <^х<^ + оо).
Тогда в результате дифференцирования по х, —оо<^х<^-[-оо, функции x = tgy получим:
1 = sec2y • у', откуда
у sec2 у l+tg2y 1+х2’ т. е.
(arctg х)'= ру^ (—оо<х<-|-оо).
Получить равенство
(arcctgx)' = —^^(—оо<х< + оо)
предоставляем читателю.
Пусть теперь требуется найти производную функции y = f(x) при условии, что обратная ей функция х —о(у) имеет производную, отличную от нуля, в соответствующей точке.
Для решения этой задачи дифференцируем функцию х = <р(у) по х. Тогда имеем: 1=о'(у)у'. Так как <р'(у)^О в рассматриваемой точке, то
,1
J ? (у)илиdy 1dxdx ’
т. е. производная функции, обратной данной, обратна по величине производной данной функции.
Используя этот результат, можно найти, например, производные обратных тригонометрических функций. Пусть y = arcsinx, тогда x = siny dy 1/ л л \
и = ПРИ У из интервала
Выражая, наконец, cosy через х, как это уже было сделано, получим:
(arcs in х)' =(arcs in х)' =1V 1 — X11V 1 — X1(—1<х<1).(—1<х<1).
(arcs in х)' =
(arcs in х)' =
1
V 1 — X1
1
V 1 — X1
(—1<х<1).
(—1<х<1).
Рассуждая аналогично, найдем производные arccosx и arctg х.
Пример 1. у = arctgех.
Пример 2. y = arcsin (1-j-lnx). ,_(1-Цпх)'1
1 — (1 +1пх)2 х V1 — (1 +1пх)2*
Заканчивая рассмотрение формул дифференцирования, отметим, что, пользуясь полученными формулами производных основных элементарных функций и правилами дифференцирования, можно найти производную любой элементарной функции, т. е. функции, которая получается из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и применением конечного числа операций вычисления функции от функции.
Таблица формул дифференцирования
1. у = С (С = const)
/ = 0
2. у=х
/ = 1
3. у = ха
y' = ax’-1
1
у = —
JX
У = —^2
У = Vx
У —2 /x
4. у = ах (а^>^, а Ф 1)
yr = ax\na
4=^
y'=^
5. y = logox(a>0, a^ 1)
, 1
У x In a
у = 1пх
, 1
У =x
6. t/ = sinx
y' = cos X
7. y = cosx
y'= — sinx
8. y=tgx
y' = sec2 x
9. y = ctgx
y' = — cosec2 x
10. y —secx
y' = sec x tg x
11. у — cosec x
y' = — cosec xctgx
12. y = arcsinx
,1
y/1—Xs
13 11.—дЯГОСПСУ
,1
JVX-x^
14. y = arctgx
У 1 +x2
15. y = arcctgx
,1
У —1 + X2
Замечания о дифференцировании неявных функций
Общее выражение производных неявных функций будет дано в гл. 7. Но уже теперь, используя дифференцирование сложной функции, для любой конкретно заданной неявной функции можно найти производную. (При этом предполагается, что производная этой функции существует). В качестве примера найдем производную у' функции у от х, неявно заданной уравнением
х + V ху +у = а.
Решение. Дифференцируя х + у^^ +у = а по х, получим соотношение
2 у ху из которого определим у’:
У + 2 v^y +У (х + 2 ^i) = О,, z У + 2 /^,
X + 2 V ху
Выражая Vху из уравнения через х и у;
V ху = а —х — у, получим:
...2а—2х—у
— 2а — 2у — х"
V2
Задача. Написать уравнение касательной к эллипсув его Т04*
ке М (х0, у0).
Как известно, уравнение касательной к кривой y=f(x) в ее точке М (х0, у0) записывается в виде:
У— Ув=Г (х«) (х—хе).
Уравнение эллипса можно рассматривать как неявное задание у как функции х. Дифференцируя -2 + ^=1 по х, получим:
откудаоткуда2х . 2у , а2 + Ъ2 У — °’
откуда
откуда
, Ь2хУ ~а2?-
Так как при х = х0 имеем по условию у=у0, то
., х Ь2х0
y=f {х°}=-^
Подставляя значение производной у в уравнение касательной, получим:
Ь2х0 , х
У —Ь = --2-- (^--*о)
или, что то же,
Ь2х„х + а2у0у = Ух2 + а=у2,откуда, после деления этого уравнения на произведение а2Ъ2, получим:
а2 ' b2 а2 Ь2
(последнее равенство записано с учетом того, что точка М (х0, у0) лежит на эллипсе). Окончательно уравнение касательной к эллипсу запишется в виде:
а2 62 —
Раздел 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Дифференциал функции
Пусть функция y — f(x) имеет производную в точке х, lim ^ = №-
Тогда ^ = /'(х) + а, где а->0 при Дх->0, и, следовательно, Ду = = f (х) Дх + аДх.
Приращение функции записано в виде суммы двух слагаемых. Первое слагаемое /' (х)Дх является при Дх->0 бесконечно малой одного порядка с Дх (при f (х)^0). Это слагаемое линейно относительно Дх; второе слагаемое аДх при Дх-> 0 — бесконечно малая более высокого порядка, чем Дх (с^- = а->0 при Дх->0у
Таким образом, первое слагаемое является главной частью приращения функции.
Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке х, если приращение функции в точке х можно записать как сумму главной линейной относительно Дх части приращения и бесконечно малой более высокого порядка, чем Дх, т. е. если Ду = АДх-)-аДх, где А—число, (А не зависит от Дх), а. —>-0 при Дх->0.
Из приведенных выше рассуждений следует: если функция /(х) имеет производную в точке х, то она дифференцируема в этой точке, причем A—f (х).
Справедливо и обратное утверждение: если f^ дифференцируема в точке х, то она имеет производную в этой точке.
Действительно, пусть Ду = ДДх-{-а, где А не зависит от Дх и а->0 при Дх—>-0.
Тогда ^- = Д-!-а, а значит, Нт -^=Д, т. е. Г(х) = Д.
Итак, понятия «функция, дифференцируемая в точке» и «функция, имеющая производную в точке» — равносильны.
Функция Цх) называется дифференцируемой на интервале, если она дифференцируема в каждой точке этого интервала или, что то же, если она имеет производную в каждой точке интервала.
Пусть функция /(х) дифференцируема в точке х.
Дифференциалом функции f (х) в точке х называется главная, линейная относительно Дх, часть приращения функции. Дифференциал функции у = Цх) обозначается через dy или df(x). Из определения следует, что
(1)(1)dy = f (х) Дх.
(1)
(1)
Разность Ду— dy = а Дх — бесконечно малая более высокого порядка, чем Дх.
Если у = х, то dy = dx = (х)' Lx = Дх (дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной). Учитывая это, запишем:
dy = f (х) dx. (2)
Следовательно, дифференциал функции / (х) в точке х равен произведению производной функции в этой точке на дифференциал независимой переменной.
« dyпроизводной ^ можно рассматривать« dyпроизводной ^ можно рассматриватьИз соотношения (2) производную /'(х) можно определить как отношение дифференциалов: f(x) = = ^-. Таким образом, символ
« dy
производной ^ можно рассматривать
« dy
производной ^ можно рассматривать
как отношение дифференциалов1).
Заметим, что dy зависит от х и Дх, y' = f'(x) зависит только от х.
Геометрический смысл дифференциала. Рассмотрим график функции у = Цх) (рис. 185). Из треугольника MLK имеем 7(L = dy = tgа-Дх или dy — y'Lx."
Таким образом, дифференциал функции /(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой
точке.
Свойства дифференциала. Пусть u = f(x), и = а(х)— функции, дифференцируемые в точке х. Непосредственно из определения дифференциала и свойств производных вытекают следующие свойства дифференциала.
d (и ± и) = (и ± и)' dx = и" dx ±ur dx = du± du, d (u ± и) = du ± du.
d (uu) = (uu)' dx = (u'u -f- uu') dx = udu -}- udu, d (uv) = udu -j- udu.
*) Принятая ранее для обозначения производной символическая дробь ^ после введения понятия дифференциала становится реальной дробью — отношением дифференциалов.
в3)в3)частности, если о = С (С = const), то d(Cu~) — Cdu.
в
3)
в
3)
и у— у и , ydu— udy ;dx=;У1у2и у— у и , ydu— udy ;dx=;У1у2ydu — udyydu — udyу
и у— у и , ydu— udy ;dx=;
У1у2
и у— у и , ydu— udy ;dx=;
У1у2
ydu — udy
ydu — udy
4) Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала. Пусть у = Цх), х = <?(/), т. е. у является сложной функцией независимой переменной t; х — промежуточная переменная. Предположим, что функция <р (О дифференцируема в точке t, а функция Цх^, рассматриваемая как функция независимой переменной х, дифференцируема в точке х, соответствующей точке t. Как известно, при этих условиях сложная функция у аргумента t имеет производную в точке t, т. е. является дифференцируемой в точке t. Ее дифференциал в этой точке будет иметь вид: dy = y't dt или, так как y't = f (х) <р' (/), то dy = f'(x) ^\f)dt= =f(x)dx, т. е.
dy = f (х) dx. (3)
Сравнивая равенства (2) и (3), замечаем, что форма (2) записи дифференциала не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.
Следует иметь в виду, что если х— независимая переменная, то йх = Дх, если же х зависит от другой переменной, то dx ^ Дх, т. е. форма (1) записи дифференциала инвариантной не является.
Из равенства (3) снова получаем выражение производной в виде отношения дифференциалов: f(x) = ^. Эта запись производной в виде отношения дифференциалов справедлива не только, когда х независимая переменная, как было получено выше, но также и в том случае, когда х зависит от другой переменной. Выражение производной через отношение дифференциалов в дальнейшем неоднократно будет использоваться.
Заметим, что из определения и свойств дифференциала следует также, что нахождение производных или дифференциалов по существу представляет собой одну и ту же задачу, поэтому она и называется дифференцированием.
Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Из определения дифференциала функции y = f(x) в точке х следует, что он зависит линейно от Дх и является главной частью приращения функции Ду. Само же приращение функции Ду зависит от Дх обычно более сложным образом. Например, если у = х3, то Ду —(х-}-Дх)3 — х3 = Зх'2 Дх + Зх(Дх)2-[-(Дх)3, в то время как йу = Зх2Дх.
Кроме того, для вычисления дифференциала можно воспользоваться равенством dy = f (х) dx. Поэтому во многих задачах вместо приращения функции в точке рассматривают дифференциал функции в этой точке, если /'(х)^0, полагая ^y^dy. При этом абсолютная погрешность dy равна [ ду — dy [. Она является бесконечно малой более высокого порядка, чем дх.
Относительной погрешностью dy называется |^^“|- Покажем, что относительная погрешность при условии, что f (х) ^ 0, также бесконечно малая при Дх->0.
В самом деле, | | = | _^^ при Дх->0.
Таким образом, если заменить Ду величиной dy. то не только абсолютная погрешность стремится к нулю при Дх->0, но также и относи- сительная погрешность стремится к нулю.
Перейдем теперь к рассмотрению примеров. Покажем, что если а очень мало, то можно использовать следующие приближенные формулы:
jTT+^ц-у,
1а
2 ’
In (1 -|- а) ^з а.
Действительно, возьмем у=У х. Тогда
Ду» - Ух + ^х — Vх ~ ^у,
Ух + ^х — Ух =s (Ух у ^x или
уX + ДХ — Ух = —U Ьх,
2 Ух
откуда, положив х=1, Дх = а, получим:
У1 + а = 1 + "2".
В частности, при а = 0,0003, найдем:
у 1,0003 = 1,00015.
Аналогично, рассматривая у = —— иу = 1пх, получим две другие приближен-
У х ные формулы.
Производные и дифференциалы высших порядков
Пусть y — f(x)—дифференцируемая функция на некотором интервале, тогда, дифференцируя ее, получим функцию y' — f'(x)— производную (первую производную). Допустим, что эту функцию можно дифференцировать в точке х рассматриваемого интервала. Производная функции f (х) в точке х называется второй производной функции f(x), или производной второго порядка в этой точке. Она обозначается: у", f" (х) или сГу d^f dx2 ’ dx2"
Таким образом, по определению, у” = (,{/)' или
d2y d / dy\dx2 dx \dx)’
Если функция f (x) дифференцируема на некотором интервале, то на этом интервале определяется функция f" (х).
Производная от второй производной, если она существует, называется третьей производной и т. д., п-й производной, или производной п-го порядка функции f (х) в точке х (на некотором интервале) называется производная от производной (п — 1)-го порядка в этой точке (на этом интервале), она обозначается: уи\ f(n} (х) или "^r- d dx^
Итак, по определению у{п- = (у(п~1>)' или, что то же, dny d / dn~ly \ dxndx \ dxn~l /"
Заметим, что при ra= 1, 2, 3 порядок производной обозначается штрихами, при га ^4 обозначается арабской или римской цифрами, записанными в скобках. Читается: d3y у"—«игрек три штриха» или —«де три игрек по де икс куб» и т. д.
Пример: у = х4 + 5х + 4, у = 4х8 + 5, у" = 12х2, у" = 24х, Уlv* = 24, у^^ = =3,(vn = - =0.
Вторая производная имеет простой механический смысл. Если задан закон прямолинейного движения s = f(t), то, как известно, ^=и(/)— скорость в момент времени /.
das dJ^l\ ^dta dt\dt] dt ’
но ^— среднее ускорение за промежуток времени (/, /4~д0> ^'^‘“ср- Предел среднего ускорения при Д/—-0 называется ускорением в момент . .. Ди Ду ,,, времени t: lim— = -гт — о> (г). д< о
Следовательно, ^( = “(0— вторая производная пути по времени, есть ускорение движения в момент времени t.
Примеры нахождения производных высших порядков.
у = ха, а—любое действительное число,
у' — ах““!, у" = а (а — 1) Ха-2, ..., у™ = а (а — 1) ... [а — (п — 1)] Ха-п.
у = ах, а > 0, а ^ 1,
у' = ах 1п а, у" = ах (1п а)2,..., у'т = ах (In д)п.
у = sin х,
у’ = cos х = sin ^х + ^,
y-=sin (* + y+j)(x + y)'=sin (х+|),
y"=sin (x + у + ^ (x + y) =sm (x + y),
И вообще
y<m = (sin xynl = sin ^x -|- у )
(при этом заданную функцию считают производной нулевого порядка).
у — cos х.
Замечая, что (cos х)'=— sin х =cos ^х + у), аналогично получаем: у<л* = = COS (х4-Пу)
Общие правила нахождения высших производных. Формула Лейбница. Пусть и = / (х) и и = ср(х) — функции, имеющие производные п-го порядка на некотором интервале. Отметим следующие свойства производных высшего порядка.
Постоянный множитель можно выносить за знак n-й производной. Действительно,
(Си)' = Сиг,
(Си)" = (Си')'= Си",
и вообще, (Cu)w=Cuw.
*) Нетрудно заметить, что функции ах, sin х, cos х имеют производные любого порядка на всей числовой оси, —со<х<со. Функция ха (а — любое действительное число) имеет производные любого порядка в области определения самой функции ха, кроме быть может (в зависимости от а), точки х = 0. Например, для функции 52
/(х) = х3, определенной на всей числовой оси, производная f(x) = jX3 определена ।
ю
(существует) при всех х, а /" (х) = у х определена (существует) при всех х, отличных от нуля, т. е. в точке х = 0 вторая производная этой функции не существует.
Производная я-го порядка алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных n-го порядка этих функций.
Действительно,
(« ± у)' = и'± у',
(и ± у)" = (и' ± v')' и" ± и” и вообще (u±y)(") = u(n> ±и(п).
Производная произведения.
(цу)' = u'v + uv',
(uv)" = (u'u 4- му')' = u"v 4- u'v’ 4- u'v' -^-uv" — u"v 4- 2u'v' 4- uv",(uv)"' = (u"y 4~ 2«V 4~ uv")' = u'"y + u"v' 4~ 2u"y' 4- 2u'y" 4-4“ u’v" 4“ uv'" = u"'v 4- 3u”v' 4- 3u'y" 4- uv’".
Нетрудно заметить, что в каждом из равенств(uv)' = u'v -\- uv',(uv)" = u"v 4- 2u'y' 4- uv",(uv)"' — u'"v 4- 3u"v' 4~ 3u'v" 4- uv'"
коэффициенты такие же, как и у двучлена, возведенного соответственно в первую, вторую, третью степени, а сумма порядков производных в каждом слагаемом одна и та же и равна порядку производной uv.
В общем случае
(ииУП> = U^V 4- nu^d 4- ^^Р^- U^v" 4- ... 4, п (п — 1) [у —(й — О!^»-»)^)! i „yw# 1
Эта формула п-й. производной произведения двух функций называется формулой Лейбница.
Пример, у = j ^_ ^ Найти yfV).
Заметим, что при решении можно использовать следующий порядок записи:
1и = х2
y(V) = — 1.2 • 3 - 4 • 5 (1 4- х)-6
5и = 2х
y<lv> = l -2.3-4 (14-х)-8
10 и" = 2
у'” = — 1 -2.3(1 4- х)-4
10и’" = 0
у" = 1 - 2 (1 4- х)-3
5 M(,v> = 0
y' = -(i4-x)"s
1 и^ = О
у = 0 4-х)-1
Тогда y(V) = — 5! х2 (1 4- хр6 + 10 • 4! х (1 + хр5 — 20 • 3! (1 + хр4. И окончательно
5! х2 , 10-4!х20-3!
— (1 4-х)6 + (1+x)s (14-х)4)'
Дифференциалы высших порядков. Пусть функция y — f(x) имеет производные n-го порядка на некотором интервале.
Рассмотрим дифференциал этой функции: dy — f(x)dx, где dx = Ьх— приращение независимой переменной. Если фиксировать некоторое значение Дх, то dy будет функцией только независимой переменной х, определенной на рассматриваемом интервале.
Дифференциал от dy называется дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции y = f(x), он обозначается d^ («де два игрек»).
*) Нетрудно видеть, что обе функции у и y(V) определены на промежутках (— со, — 1) И (— 1, 4- оо).
Итак, по определению d-y = d(dy), откуда, учитывая выражение дифференциала функции, запишем:
(Ру = (dyY dx = У (х) dx]' dx = /" (х) dx-.
Дифференциалом, третьего порядка функции у = [(х) называется дифференциал от дифференциала второго порядка этой функции, он обозначается <Ру. По определению dsy = ^yY dx = У (х) dx^Y dx=f" (x) dx\
(Py = f"^dx\
и вообще дифференциал n-го порядка функции y = f(x) определяется как дифференциал от дифференциала порядка (и—1) этой функции: dny = = d(dn-1yY
При этом dny = f<-n}(x)dxn.
Из полученного соотношения следует, что п-я производная функции равна отношению ее дифференциала п-го порядка к п-й степени дифференциала независимой переменной, и, следовательно, введенный ранее символ п-й производной ^£ становится реальной дробью — отношением дифферент циала dny к п-й степени dxxy
Заметим еще, что дифференциалы высших порядков (п^2) не обладают уже свойством, инвариантности, как это имело место для дифференциала первого порядка.
Действительно, пусть y — f]x), x = »(tY t — независимая переменная, т. е. у — сложная функция аргумента t. Кроме того, <р (/) — дважды дифференцируемая функция на некотором интервале изменения t, a f (х) — дважды дифференцируемая функция на соответствующем интервале изменения х.
Тогда по определению
<ру=[/ to j; dp=у (х) < w j; dp=vr to (?' w+r (x) /' (o ] dp,
откуда, (Py = f" (x) dx1 -[- f (x) d2x. Если же x—независимая переменная, то сРх = (х)" dx4 = 0 и d^y = f” (x) dx1.
Раздел 3
ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ
§ 13. Теорема Ролля. Теоремы Лагранжа и Коши
Теорема Ролля2). Если функция /(х) непрерывна на отрезке [а, 6], дифференцируема на интервале (а, Ь) и значения функции на концах отрезка равны, f (a) — f]b), то на интервале (а, Ь) существует точка ?, а<4<^&, в которой производная функции /(х) равна нулю, f ^ = 0.
Геометрический смысл теоремы Ролля: если условия теоремы выполняются, то на интервале (а, Ь] существует такая точка ;, что в соответствующей ей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси ОХ (рис. 186).
Заметим, что точек, в которых производная функции /(х) равна нулю^ может быть и несколько, теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.
*) Учитывая связь между производной n-го порядка и дифференциалом n-го порядка функции /(х), часто вместо слов «функция, имеющая производную n-го порядка» говорят, что функция п раз дифференцируема. Если n-ая производная функции /(х) непрерывна на данном промежутке, говорят, что функция /(х) на этом промежутке п раз непрерывно дифференцируема.
-) Ролль (1652—1719)—французский математик.
Доказательство. По свойству функций, непрерывных на отрезке, функция f (х) на отрезке [а, 6] принимает наибольшее и наименьшее значения, которые обозначим соответственно через М и т. Имеются две возможности: или М = т, или М Ф т. Рассмотрим их.Пусть М = т. Тогда функция f (х) на отрезке [а, 6] сохраняет постоянное значение и, следовательно, в любой точке интервала (а, Ь^ ее производная равна нулю. В этом случае за £ можно взять любую точку интервала (а, 6).Пусть теперь М ^т. Так как значения функции на концах отрезка равны, то хотя бы одно из значений М или т функция принимает внутри отрезка [а, 6]. Пусть это будет, наприДоказательство. По свойству функций, непрерывных на отрезке, функция f (х) на отрезке [а, 6] принимает наибольшее и наименьшее значения, которые обозначим соответственно через М и т. Имеются две возможности: или М = т, или М Ф т. Рассмотрим их.Пусть М = т. Тогда функция f (х) на отрезке [а, 6] сохраняет постоянное значение и, следовательно, в любой точке интервала (а, Ь^ ее производная равна нулю. В этом случае за £ можно взять любую точку интервала (а, 6).Пусть теперь М ^т. Так как значения функции на концах отрезка равны, то хотя бы одно из значений М или т функция принимает внутри отрезка [а, 6]. Пусть это будет, например, М. Обозначим через Е, а<3<^Ь, точку, в которой f(£)=M.Докажем, что f'(£) = 0.Действительно, так как М — наибольшее значение функции, то для любого Дх1)Д7е,) = ^ + Дх)-/С;)^0.мер, М. Обозначим через Е, а<3<^Ь, точку, в которой f(£)=M.Докажем, что f'(£) = 0.Действительно, так как М — наибольшее значение функции, то для любого Дх1)Д7е,) = ^ + Дх)-/С;)^0.При этомПри этомД/® (Дх |Д/® (Дх |^0, если Дх^>0,^0, если Дх^>0,^0, если Дх<0.^0, если Дх<0.(1)(1)Но, так как по условию производная в точке с существует, то, сле- Д/га довательно, существует нт—.Учитывая, что lim^Uo, Дх—0 Дл:Но, так как по условию производная в точке с существует, то, сле- Д/га довательно, существует нт—.Учитывая, что lim^Uo, Дх—0 Дл:д/гаДхд/гаДхзаключаем, что lim^-^- = 0, т. е. f (*) = 0, что и требовалось доказать.Дх-0заключаем, что lim^-^- = 0, т. е. f (*) = 0, что и требовалось доказать.Дх-0Рис. 187.Рис. 187.
Доказательство. По свойству функций, непрерывных на отрезке, функция f (х) на отрезке [а, 6] принимает наибольшее и наименьшее значения, которые обозначим соответственно через М и т. Имеются две возможности: или М = т, или М Ф т. Рассмотрим их.
Пусть М = т. Тогда функция f (х) на отрезке [а, 6] сохраняет постоянное значение и, следовательно, в любой точке интервала (а, Ь^ ее производная равна нулю. В этом случае за £ можно взять любую точку интервала (а, 6).
Пусть теперь М ^т. Так как значения функции на концах отрезка равны, то хотя бы одно из значений М или т функция принимает внутри отрезка [а, 6]. Пусть это будет, напри
Доказательство. По свойству функций, непрерывных на отрезке, функция f (х) на отрезке [а, 6] принимает наибольшее и наименьшее значения, которые обозначим соответственно через М и т. Имеются две возможности: или М = т, или М Ф т. Рассмотрим их.
Пусть М = т. Тогда функция f (х) на отрезке [а, 6] сохраняет постоянное значение и, следовательно, в любой точке интервала (а, Ь^ ее производная равна нулю. В этом случае за £ можно взять любую точку интервала (а, 6).
Пусть теперь М ^т. Так как значения функции на концах отрезка равны, то хотя бы одно из значений М или т функция принимает внутри отрезка [а, 6]. Пусть это будет, напри
мер, М. Обозначим через Е, а<3<^Ь, точку, в которой f(£)=M.
Докажем, что f'(£) = 0.
Действительно, так как М — наибольшее значение функции, то для любого Дх1)
Д7е,) = ^ + Дх)-/С;)^0.
мер, М. Обозначим через Е, а<3<^Ь, точку, в которой f(£)=M.
Докажем, что f'(£) = 0.
Действительно, так как М — наибольшее значение функции, то для любого Дх1)
Д7е,) = ^ + Дх)-/С;)^0.
При этом
При этом
Д/® (
Дх |
Д/® (
Дх |
^0, если Дх^>0,
^0, если Дх^>0,
^0, если Дх<0.
^0, если Дх<0.
(1)
(1)
Но, так как по условию производная в точке с существует, то, сле- Д/га довательно, существует нт—.
Учитывая, что lim^Uo, Дх—0 Дл:
Но, так как по условию производная в точке с существует, то, сле- Д/га довательно, существует нт—.
Учитывая, что lim^Uo, Дх—0 Дл:
д/га
Дх
д/га
Дх
заключаем, что lim^-^- = 0, т. е. f (*) = 0, что и требовалось доказать.
Дх-0
заключаем, что lim^-^- = 0, т. е. f (*) = 0, что и требовалось доказать.
Дх-0
Рис. 187.
Рис. 187.
Заметим, что каждое из условий теоремы является необходимым. Это подтверждается рассмотрением функций, графики которых изображены на рис. 187. [a) f (0) f (1); b^W не дифференцируема в точке х = 0; с) / (х) не является непрерывной на отрезке [а, 6]].
Нулем функции называется значение аргумента, при котором функция равна нулю.
Например, если /(х) = 1пх, то х=1—нуль этой функции; если f(x) = (x4-2)2, то х = — 2 — нуль функции.
Следствия теоремы Ролля
Если функция f(x) на отрезке [а, 6] удовлетворяет условиям теоремы Ролля, причем f(a)=/(6) = 0, то существует по крайней мере одна точка 5, а<Л<_Ь, такая, что f(^ = 0. Другими словами, между двумя нулями функции находится по крайней мере один нуль ее производной.
Если на рассматриваемом выше интервале (а, 6) функция /(х) имеет производные (и—1)-го порядка и п раз обращается в нуль, то существует по крайней мере одна точка интервала, в которой производная (п—1)-го порядка равна нулю. В самом деле, по следствию из теоремы Ролля функция f(x) обращается в нуль по крайней мере в (л—1)-й точке интервала (а, 6), f"(x) обращается в нуль по крайней мере в (п — 2)-х точках этого интервала и т. д., f*-n-^ (х) имеет по крайней мере один нуль на рассматриваемом интервале.
Теорема Лагранжа. Если функция /(х) непрерывна на отрезке [а, У] и дифференцируема на интервале (а, 6), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка 5, а<5<_Ь, такая, что
Или, что то же, если на некотором отрезке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.
Заметим, что теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа при условии, что f(a) = f(6).в/
Геометрический смысл теоремы Лагранжа.
Отношение ^ (^~ а ^ равно угловому коэф- ^Л-А/^
фициенту секущей АВ (рис. 188).[
Если функция f (х) удовлетворяет уело-|
виям теоремы, то на интервале (а, 6) суще- -у——-I—-
ствует точка 6, такая, что в соответствующей56
точке кривой у = / (х) касательная парал-Рис. 188.
лельна секущей, соединяющей точки A (a, f(a)),
B(b, f(b)) (рис. 188). Таких точек может быть и несколько, но, по крайней мере, одна всегда существует.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
(^) f С^) Усек. АВ-
Уравнение секущей АВ [по точке A (a, f (а)) и угловому коэффициенту] имеет вид:
У'Л^х-а),
при этом
F^)=f (х) - / (а) -Ш^1 (х - а).
Функция F (х) удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Действительно, она непрерывна на отрезке [а, 6] и дифференцируема на интервале (а, 6). Нетрудно проверить, подставляя х = а и х = Ь, что F(a) = 0 и F(b) = 0, т. е. F(a) = F(b).
По теореме Ролля существует по крайней мере одна такая точка ;, а<3<У, что F (;) = 0. Так как
то, следовательно, F^ = f(^^^Z^^ = 0- Откуда получаем:
/ (О — ъ—а ’ ЧТо и тРебовалось доказать.
Равенство
/№-/(«) = /'(':) (6-а),
a<^^<^b, называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений.
Так как точка ; лежит между а и b (рис. 189), то можно записать 5 = а —6 (& — а), где О<0<4.
Здесь (ЦЬ— а) является частью длины отрезка [а, 6]. Учитывая это, формулу Лагранжа можно записать в виде:
f^-f(a) = r4a^4b-a))(b-a),(2)
где 0 < 0 <Л •
Заметим, что полученная запись формулы Лагранжа справедлива и в случае Ь<^а. В самом деле, по доказанному имеем:
Ца) — f (b) = f'(^ (а — bY(Г)
где 5 = а4-0(Ь— а\ 0<6<С1 (если учесть, что b— а<0) (рис. 190).
Умножая равенство (Г) на — 1 и подставляя вместо $ ее выражение, получим:
f^-f^ = f4a^r4b-a)Hb-a'),О<0<1.
Таким образом, формула Лагранжа (2) справедлива как при а<^Ь, так и при а^>Ь.
b § а XРис. 190.b § а XРис. 190.-Ij—f
b § а X
Рис. 190.
b § а X
Рис. 190.
а £ b X
Рис. 189.
В частности, положив а = х, b = х-\- kx, получим равенство /(х-{-Дх)—f (х) = f (х -{- 0Дх) Дх или, что то же,
Ду = f (х + 0Дх) Дх.(3)
И, следовательно, ^ = f (х 4- 0Дх), где О<^0<^1.
производной в неко-производной в неко-Таким образом, отношение ^ равно значению торой смещенной точке.
производной в неко-
производной в неко-
Задача. Доказать справедливость неравенства ^-ц;-! ^ In (1 + х) ^ х.
Решение. Прежде всего отметим, что функция In (1 + х) существует при х> — 1. Применяя формулу Лагранжа к /(х) = In (1-|-х) на отрезке [0, х], получим:
НоНо1+х1+хлучим:лучим:In (1 + х)— In 1In (1 + х)— In 1х1 +6хх1 +6хГ+^ или 1п(1+х) = гт^Г+^ или 1п(1+х) = гт^<; х (равенство имеет место только при х = 0). Окончательно<; х (равенство имеет место только при х = 0). Окончательнопо-по-3^=5 1П (1 + X) ^ х.3^=5 1П (1 + X) ^ х.
Но
Но
1+х
1+х
лучим:
лучим:
In (1 + х)— In 1
In (1 + х)— In 1
х
1 +6х
х
1 +6х
Г+^ или 1п(1+х) = гт^
Г+^ или 1п(1+х) = гт^
<; х (равенство имеет место только при х = 0). Окончательно
<; х (равенство имеет место только при х = 0). Окончательно
по-
по-
3^=5 1П (1 + X) ^ х.
3^=5 1П (1 + X) ^ х.
(4)(4)Теорема Коши '). Если функции f (х) и ® (х) непрерывны на отрезке [а, 6], дифференцируемы на интервале (а, 6) и ф'(х)^0 на интервале (а, Ь), то существует по крайней мере одна точка 5, а<3<^Ь, такая, что
(4)
(4)
чФ^-ч Ф) Ч' (У ’
т. е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению их производных в точке L
Прежде чем непосредственно перейти к доказательству теоремы Коши, сначала докажем, что ® (Ь) — <р (а)0.
*) Коши (1789—1857)—французский математик.
Действительно, если допустить, что <р(6)— <р (а) = 0 или, что то же, <р (а) = <р (Ь), то по теореме Ролля для функции ® (х) найдется точка щ, а^Л^Ь, в которой ®'(т]) = 0. А это противоречит условию, так как ср'(х)^О на интервале (а, Ь).
Доказательство теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию
FW = f (х) - f (а) - ^Е^у [? (х) - <р (а)].
Нетрудно видеть, что эта функция на отрезке [а, 6] удовлетворяет условиям теоремы Ролля.
Действительно, функция F (х) непрерывна на отрезке [а, 6], дифференцируемая на интервале (а, Ь), кроме того, подстановка х = а и х = Ь дает Ё(а) = 0, F(b) = 0, т. е. F(a) — F(b). По теореме Ролля для функции F^x) существует точка 5, а<3<^Ь, такая, что Р'^ = 0.
Так как F' (х) = f (х) — ^~^®' (х), то
х ' х ' w) — w х 1
F^ = Q=f^F^ = Q=f^FW —fwFW —fw^ (<)•^ (<)•
F^ = Q=f^
F^ = Q=f^
FW —fw
FW —fw
^ (<)•
^ (<)•
Отсюда, учитывая, что /(^^0, получаем:
/WzVW _ /' (6)
? (6) — ? (й) V (У ’
что и требовалось доказать.
Доказанное равенство (4) называется формулой Коши. Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши (случай, когда <р(х) = х).
Может показаться, что формулу Коши проще получить из формулы Лагранжа следующим образом: записать равенство (1) сначала для функции/(х), а затем для функции ср (х) и разделить первое равенство на второе. Такое рассуждение ошибочно, так как точки $ в этих равенствах, вообще говоря, различны.
§14. Раскрытие неопределенностей
Пусть функции / (х) и ср (х) в точке а обращаются в нуль, f (а) = ^> (а) = 0. Тогда отношение теряет смысл при х = а, но предел отношения ГМ
при х-поможетсуществовать. Как уже говорилось выше (гл. III, § 8), '0
отыскание этого предела называется раскрытием неопределенности вида -у.
Следующая теорема, называемая правилом Л опита ля1), практически облегчает задачу нахождения этого предела.
(1)(1)Правило Лопиталя. Если функции f(x) и ср(х) дифференцируемы вблизи а, непрерывны в точке а, «' (х) отлична от нуля вблизи а и f (а) = <р (а) = 0, то предел отношения функций при х-*а равен пределу отношения их производных, если последний (конечный или бесконечный) существует:
(1)
(1)
x^at^X) х^аЧ (X)
Требования непрерывности/(х) и <р (х) в самой точке а и равенства /(ц)=ср(ц)=О можно заменить условиями: lim /(х) = lim <р (х)=0. Тогда, доопределив /(х) и <р (х) х—>ах^-а
в точке а, исходя из условий /(а)=Иш / (х) = 0, <р (я) = lim <р (х) = 0, получим х—ах—>а"
функции /(х) и <р (х), непрерывные в точке а и равные в этой точке нулю.
Доказательство. Применяя формулу Коши, получим:
?W —?(")f'©’
где с между а и х. Или, учитывая, что f (а) = ® (а) = О,
? (х)?' (?) *
Пусть при х->а отношение стремится к некоторому пределу. Так как с лежит между а и х, то при х-*а получим ?->а, а следовательно, и отношение ^ту стремится к тому же пределу. Учитывая равенство (2), получим: если при х-*а существует предел отношения
lim х-*аlim х-*а/(х)9 W/(х)9 Wlim^llim^l
lim х-*а
lim х-*а
/(х)
9 W
/(х)
9 W
lim^l
lim^l
а это и требовалось доказать’).
Правило Лопиталя можно применять и для отыскания одностороннего предела. В этом случае достаточно потребовать, чтобы функции /(х) и <р (х) удовлетворяли условиям теоремы, соответственно, в правой (левой) полуокрестности точки а.
Если же окажется, что f (х) и ®' (х) бесконечно малые при х-*а, то можно ставить вопрос о повторном применении правила Лопиталя. Иногда приходится правило Лопиталя применять неколько раз.
Пример 1.Пример 2.Пример 3.Пример 1.Пример 2.Пример 3.sin 7х 7 cos 7х 7 lim —д— = lim -—г?;- = -д-. х_о tg 2х x_0 2sec2 2х 2sin 7х 7 cos 7х 7 lim —д— = lim -—г?;- = -д-. х_о tg 2х x_0 2sec2 2х 2lim = 1. л:—о *lim = 1. л:—о *ех_ g-x _ 2х 11Ш :=х_о х— sin хех_ g-x _ 2х 11Ш :=х_о х— sin х111П —г-! д.^0 1 — COS X111П —г-! д.^0 1 — COS Xех—е-х lim= х—о sin хех—е-х lim= х—о sin хlimjr—оlimjr—оех-Уе~-cos хех-Уе~-cos х22
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
sin 7х 7 cos 7х 7 lim —д— = lim -—г?;- = -д-. х_о tg 2х x_0 2sec2 2х 2
sin 7х 7 cos 7х 7 lim —д— = lim -—г?;- = -д-. х_о tg 2х x_0 2sec2 2х 2
lim = 1. л:—о *
lim = 1. л:—о *
ех_ g-x _ 2х 11Ш :=
х_о х— sin х
ех_ g-x _ 2х 11Ш :=
х_о х— sin х
111П —г-! д.^0 1 — COS X
111П —г-! д.^0 1 — COS X
ех—е-х lim= х—о sin х
ех—е-х lim= х—о sin х
limjr—о
limjr—о
ех-Уе~-cos х
ех-Уе~-cos х
2
2
Докажем, что правило Лопиталя остается справедливым и при условии, что а — один из символов оо, -(- оо, — оо.
Предположим, что функции f (х) и ® (х) дифференцируемы вблизи а, <о (х) отлична от нуля вблизи а и lim f (х) = lim ® (х) = 0. Если перечисленные
*) Если при х —► а предел отношения таля неприменимо. При этом предел Например,*) Если при х —► а предел отношения таля неприменимо. При этом предел Например,^ (-И^ (-Ине существует, то правило Лопи-не существует, то правило Лопи-отношения функций может существовать.отношения функций может существовать.limх-0limх-0, . 1х2 sin —sin х, . 1х2 sin —sin х= lim= lim. 1 х sin — Xsin x. 1 х sin — Xsin x0,0,существует. Предел отношения произ-существует. Предел отношения произ-т. е. предел отношения функций при х —► 0 существует. Предел отношения производных этих функций не существует. Действительно, отношение производных равнот. е. предел отношения функций при х —► 0 существует. Предел отношения производных этих функций не существует. Действительно, отношение производных равно„ . 112xsincos —„ . 112xsincos —cos хcos х2х sin —. Первое слагаемое —^ ^ ■ при х —0 имеет предел, равный нулю.2х sin —. Первое слагаемое —^ ^ ■ при х —0 имеет предел, равный нулю.1 cos —,пх„1Второе слагаемое при х — 0 не имеет предела, так как cos — не имеет пре-COS XXдела. Убедиться в последнем предоставляем читателю.1 cos —,пх„1Второе слагаемое при х — 0 не имеет предела, так как cos — не имеет пре-COS XXдела. Убедиться в последнем предоставляем читателю.
*) Если при х —► а предел отношения таля неприменимо. При этом предел Например,
*) Если при х —► а предел отношения таля неприменимо. При этом предел Например,
^ (-И
^ (-И
не существует, то правило Лопи-
не существует, то правило Лопи-
отношения функций может существовать.
отношения функций может существовать.
lim
х-0
lim
х-0
, . 1
х2 sin —
sin х
, . 1
х2 sin —
sin х
= lim
= lim
. 1 х sin — X
sin x
. 1 х sin — X
sin x
0,
0,
существует. Предел отношения произ-
существует. Предел отношения произ-
т. е. предел отношения функций при х —► 0 существует. Предел отношения производных этих функций не существует. Действительно, отношение производных равно
т. е. предел отношения функций при х —► 0 существует. Предел отношения производных этих функций не существует. Действительно, отношение производных равно
„ . 11
2xsincos —
„ . 11
2xsincos —
cos х
cos х
2х sin —
. Первое слагаемое —^ ^ ■ при х —0 имеет предел, равный нулю.
2х sin —
. Первое слагаемое —^ ^ ■ при х —0 имеет предел, равный нулю.
1 cos —,
пх„1
Второе слагаемое при х — 0 не имеет предела, так как cos — не имеет пре-
COS XX
дела. Убедиться в последнем предоставляем читателю.
1 cos —,
пх„1
Второе слагаемое при х — 0 не имеет предела, так как cos — не имеет пре-
COS XX
дела. Убедиться в последнем предоставляем читателю.
выше условия выполняются, то предел отношения функций при х-*а равен пределу отношения их производных, если последний (конечный или бесконечный) существует:
Игл х-*аИгл х-*аfWfWlim х-^-аlim х-^-агм? W ■гм? W ■
Игл х-*а
Игл х-*а
fW
fW
lim х-^-а
lim х-^-а
гм
? W ■
гм
? W ■
Действительно, пусть, например, а — символ оо (рассуждения сохраняются и для символов —|—оо, —оо), ПОЛОЖИВ Х = у, получим, что у-* О при х->оо, и поэтому если существует предел отношения функций
f (х).„ у \ v)
при х->оо, то существует и предел отношения функции ' при у —
/ у-*0 и они равны. То же можно сказать и об отношении их производных.
Функции f(y)> <р(у) вблизи точки у = 0 удовлетворяют условиям доказанной теоремы, поэтому на основании равенства (1) имеем:
limХ-0limХ-0
lim
Х-0
lim
Х-0
откуда получим: lim = lim -г—.
Неопределенность вида —. Если lim/(x) = oo (или -]-оо, —оо),
lim<p(x) = oo (или —|—оо, — оо), где а — число или один из символов оо, х^а
I/(х)тт
। оо, —оо, то отношение при х-*а может иметь предел. Нахож- со дение такого предела называется раскрытием неопределенности вида —.
Если функции /(х) и <р (х) вблизи а дифференцируемы, f'(х) вблизи а отлична от нуля и lim f(x) = lim <р (х) = оо, то предел отношения функций х—»ах—*а
при х->а равен пределу отношения их производных, если последний (конечный или бесконечный) существует:
lim х^-аlim х^-а^=limSM х^а^=limSM х^аfM ?' W 'fM ?' W '
lim х^-а
lim х^-а
^=lim
SM х^а
^=lim
SM х^а
fM ?' W '
fM ?' W '
Доказательство этой теоремы мы опускаем.
Пример 1. lim !ЯД — ут _Д__ о.
Х-.4-СО X1
Пример 2. Пт — (а > 0, а > 1). х->ч-о° а
..Xе ..ах*"* v а (а— 1) х""9
-- Пт=(=-!) - [а-(«-1)]Х—
^(1ПД)"’
где п — наименьшее натуральное число, такое, что а — п^О и, следовательно.
lim -j- = 0.
Это равенство означает, что показательная функция с основанием, большим единицы, при х—►4-со растет быстрее любой положительной степени х.
Другие виды неопределенностей. Раскрытие неопределенностей вида О-со и оо — оо можно свести к рассмотренным выше случаям неопреде- „ 0 со ленностеи и —.
О со
Пусть, например, /(х)->0, <р(х)-*-оо при х-*а (а — число или один из символов, оо, —|—оо, —оо), тогда
О ।неопределенность вида -q,
неопределенность вида —.
Пример, lim х In х = lim —:— = lim— =;0.
Х>0Х>0 х Х>0^2
И, наконец, рассмотрим неопределенности вида 0°, 1го, оо°. Такие неопределенности встречаются при нахождении предела при х-*а функции у = Vf (X)V ^, fW^O вблизи а. Для нахождения предела прих->а такой функции достаточно найти предел при х-> а функции 1п у — <р (х) 1п/ (х). Действительно, если lim In у = А, то Мту = ел1).
х^-ах-*а
При отыскании предела In у при х-*а придется раскрывать неопре- лО оо
деленность вида 0-оо, которая приводится к виду -д- или —.
Пример, lim Xх.
о
х>0
Пусть 5 = Xх, тогда 1пу = х1пх.
lim In у =lim xlnx=0 х—ох—о
х>0х>0
(как было получено в предшествующем примере). И, следовательно,
lim у = lim Xх = 1. х—*0х~*0
хХ)хХ)
Формула Тейлора)
Формула Тейлора для многочлена. Пусть Р(х)— многочлен степени п:
Р(х) = а0 + а1х + а2х2+ ... +а„х",(а^О)
и а — некоторое число. Многочлен Р (х) по степеням х всегда можно записать по степеням разности х— а. Действительно, положим х— a = t (t — новая переменная), тогда х = /-[-а и
р (х) = Р (_t -[- а) = а0 -[- а.\ (t -{- а) -{- а» (t -[- а)2 + ... -|- ап (t -j- а)”.
Возводя слагаемые в правой части равенства в соответствующие степени и группируя члены с одинаковыми степенями t, запишем
Р (/ -[- о) ;= Со -[- C\t -[- Cgp -j- ... -[- cntn.
^ Если A—символ co или 4-co, то lim у = co, если A — символ—оо, то х-»а
lim у = 0.
X-.il
Откуда, возвратившись снова к переменной х, получим P(x)==c0H-Ci(x —а) + с2(х —а)2 + ... + с„ (х — а)"
— разложение многочлена Р(х) по степеням разности х— а.
Для нахождения коэффициентов ск (6 = 0, I, ..., п) этого многочлена будем Р (х) последовательно и раз дифференцировать. При этом
Р(х) = с0 + с!(х —а) + с2(х —а)а + с3(х —а)3+ ... + с„(х —а)", Р' (х) = Ct -}- 2ca (х — а) + Зс3 (х — а)2 + ... + псп (х — а)”-1, Р" (х) = 1 • 2 • с2 -|- 2 • Зс3 (х — а) -[- ... 4"(п — 1) псп (х — а)"-2, Р"(<)=Ь2.3.^+ ... +(п — 2)(п — 1)пс„(х — а)""3,
Pvn) (х)=1 • 2 - • • псп.
Полагая в этих равенствах х = а, получим:
Р (а) = с0, Р' (а) = сь Р" (а) = 2! ca, Р'" (а) = 3! с3, ..., Р^ (а) = п! сп,
П/ х Р'(«)Р"(в)Р’"(а)Р'пЧа)
откуда с0 = Р(а), с^-^, с3 = -^-, с3 = —.... сп = —^Л
Таким образом, коэффициенты многочлена выражаются через значения многочлена и его производных в точке а. Подставим их выражения в Р(х):
Р(х) = Р(а) + ^(х-а) + ^(х-а)2+ ... +^>(х-а)".
Полученное равенство называется формулой Тейлора для многочлена. Формула Тейлора дает возможность многочлен Р (х) по степеням х записать по степеням разности (х— а). Этой формулой удобно пользоваться при вычислении значений многочлена Р (х) для значений аргумента, близких к а. В этом случае, как легко видеть, начиная с некоторой степени х— а, слагаемыми, из-за их малости, можно пренебречь и тем самым упростить вычисление. При а = 0 коэффициенты многочлена Р (х) по степеням х выражаются через значения Р (х) и его производных в точке 0. В этом случае формула Тейлора для многочлена имеет следующий вид:
PW = P(0) + ^x+M^+„. + q^>y..
Формула Тейлора для произвольной функции. Пусть функция /(х) в некотором интервале, содержащем точку а, имеет непрерывные производные до (n-f-l)-ro порядка включительно.
Ставится задача: представить функцию /(х) на этом интервале в виде многочлена по степеням разности х— а и найти ошибку такого приближенного представления.
Рассмотрим многочлен Р (х)=f (а)-*-^-^ (х—а) -[-.. •+ —у^" (* — а)". Этот многочлен называется многочленом Тейлора п-й степени для функции f (х). Обозначим разность f (х) — Р (х) через Rn (х). Тогда f(x):=f(a)+^(x-a)+^(x-a)a + ...+^^(x-^^
(1)
Формула (1) называется формулой Тейлора для функции Цх) по степеням разности х — а или в окрестности точки а, при этом функция Р„ (х) называется остаточным членом формулы Тейлора.
Существуют различные выражения остаточного члена Р„(х), получим одно из них, наиболее часто встречающееся.
Будем искать остаточный член Rn^ в виде Rn (х) = _^_ ;(х—a)n+1, где Л4 = Л4(х) — некоторая, пока неизвестная, функция от х. Обозначим значение М (х), соответствующее значению х = Ь (Ь— любая фиксированная точка из рассматриваемого интервала), через Мй, тогда
R.W —STTjr*6—
И, следовательно,
i(bHm^b-aHf^b-aH.^
+Vw<6-‘,)W‘-<2>
Для определения Мй рассмотрим вспомогательную функцию
FtA=t «-[?« + ^(х-а)+^(х-«)= + .„ + £^-(х-а)" +
Непосредственная подстановка в выражение F (х) х = а и х = Ь показывает, что F(a) = 0 и F(b) = 0 [второе равенство получается, если учесть равенство (1)].
Функция F (х), как разность функции f (х) и многочлена, имеет на рассматриваемом интервале производные до (ц4~1)"го порядка включительно. Найдем эти производные.
F' (х) = Г to - [Г (а) +^(х - а) +... + g^(x - а)-1 + ^(х - а)"], F" ^ = Г W - [Г (а) +^ (х - а) +... + ^L {х _ аГ» _ц
+ (^ПГ^-аГ1]-(3)
FW (х) = ^ до _ ^(л) до + Мо (Х _ ^ ,F^ (x) = f^ ^ — М6.
Подставляя в выражения производных х = а, получим:
F (a) = F^=...= F^ ^ = 0.
Таким образом, функция F (х) удовлетворяет следующим условиям:
Р^а) = Рф) = 0 и P(a) = P4a)=... = Fw^ = 0.
Нетрудно показать, что существует точка $ между а и Ь, такая, что Р”+и (£) = 0. Действительно, так как F (а) = F (Ь), то по теореме Ролля существует между точками а и b точка ^ такая, что Р (4) —0. Учитывая, что Р(а) = 0 и Р (4) —0, на основании теоремы Ролля заключаем, что существует точка ^ между точками а и Еь а следовательно, между точками а и 6, такая, что F"^ = 0, и так далее. Продолжая аналогичные рассуждения, заключаем, что между точками а и b существует точка Е„, в которой выполняется равенство Fw (^ = 0.
ТаккакГ(п) (а) = 0 и F(n) (^п) = 0, то существует такая точка ^ между а и Хп, а следовательно, между точками а и Ь, что/?(”+1) (Е) = 0. Но^”"1"11 (Е) = = ^("+D (^ _Д4О, и, следовательно, Ma — f{n+l) (Е). Подставляя полученное значение Мй в равенство (2), получим:
fW = /№+^(6-a)4-^(6-a)»+... + ^^(6-a)"4- +^W(»-^+1.(3)
где $ — некоторая точка между а и Ь.
Учитывая произвольность выбора точки Ь, можно в равенстве (2) вместо точки b рассматривать произвольную точку х указанного интервала, и, записав вместо b число х, получим:
f № = ?(=) +О)+^(^-0)’ +
+ -.+^(х-аГ+^>-а)™(4)
где 5 — точка, лежащая между а и х.
Равенство (4) представляет собой формулу Тейлора [см. (1)] с остаточным членом:
*М=^(Х-°Г”(5)
где точка 5 лежит между а и х. Число 5 можно записать и так:
? = а-[-6(х— а),0<^6<Ч.
Формула (5) записи остаточного члена формулы Тейлора называется формой Лагранжа.
Если в формуле Тейлора (4) положить п = 0, то получим:
f(x') = f<a')-V^-(x — a')
или fSx^f[d)^ ^ это равенствО) как известно, является формулой Лагранжа.
Таким образом, формула Лагранжа является частным случаем формулы Тейлора.
Если же в формуле (4) положить п=1, то получим:
ZW = /(a)+^U-a)4-^-(x-a)’
или, что то же,
fW — f(a)=^p(x — a)4-£j^-(x — af.(6)
Обозначив х — а = ^х, получим f(x)— f (а) = А/ (а), f (а) (х— a)) = dHa') и, следовательно, на основании равенства (6): Af (а) ^ df (а); абсолютная погрешность такого приближения порядка (Ах)2 (точнее, порядка не ниже (Ах)'2).
Учитывая выражения для дифференциалов различных порядков функции Цх), можно записать формулу (4) в дифференциальной форме:
лНлХ_ df(a)_L<Tm ।। ^п/(а) , d^f©„
Ц 21"Г----Г„1(„4-1)! •v)
И, наконец, если положить в формуле (4) а = 0, то получим так называемую формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа:
где 0<6< 1.
Пример 1. Напйсать разложение функции f(x) = ex по формуле Маклорена для любого п.
Решение. f(x) =f (х) = ...=/<”■»> (х) = ех; /(0) =/" (0) = ...=/<"> (0) = 1. Тогда
^i + ^+^ + ^ + t^x"*1, где 5= 9л-, 0 < 6 < 1.
Если заменить функцию ех ее многочленом Тейлора степени п, то получим приближенное равенство:
(8)(8)
(8)
(8)
абсолютная погрешность которого равна
I Rn W II Rn W I№)!№)!| х |”+*.| х |”+*.
I Rn W I
I Rn W I
№)!
№)!
| х |”+*.
| х |”+*.
Если рассматривать функцию ех для —1 ^х^ 1, то
I Rn (х) | ^ (п _^ ^ < ^ ^ ^.
(В этом случае —1<5<1). Полагая в формуле (8) х = 1, получим приближенное значение числа е:
e^+i+l + .-. + l.
„,3
При этом абсолютная погрешность меньше ^-^-i"^.
Если требуется вычислить значение числа е, например, с точностью до 0,01, 3
то число п определяется из усиленного неравенства ^ "^ । ^ < 0,001 или (п + 1)1 > 3000.
И, следовательно, если взять и = 6, то требуемое неравенство удовлетворяется.
Пример 2. Написать разложение функции /(x)=sinx по формуле Маклорена.
Решение. Так как / (х) = sin х, то у (х) = cos х, f (х) = — sin х, /"' (х) =
= cos х,/*v (х) = sin х, ... , j*m = sin ух + n ^ при любом n.
Полагая x = 0, получаем /(0) = 0; / (О) = 1; /" (0) = 0; f" (0) = — 1;/IV (0) = 0,...
Нетрудно заметить, что числа 0, 1,0, — 1 будут периодически повторяться, и что значения производных четных порядков при х = 0 равны нулю.
Учитывая это, получим:
у8 у5уЗЛ—1
sinx = x-^ + a +••• + (-1)П+1(!ИУ^^^
где
ИИR-n (X)R-n (X)jrtan*» ^ (2п + 1)!jrtan*» ^ (2п + 1)!X2rt+1X2rt+1cos ;- (2»+ 1)1cos ;- (2»+ 1)1Х2П+1Х2П+1|^я|^|^я|^| X |2"+1(2«+1)Г| X |2"+1(2«+1)Г
И
И
R-n (X)
R-n (X)
jrtan*» ^ (2п + 1)!
jrtan*» ^ (2п + 1)!
X2rt+1
X2rt+1
cos ;
- (2»+ 1)1
cos ;
- (2»+ 1)1
Х2П+1
Х2П+1
|^я|^
|^я|^
| X |2"+1
(2«+1)Г
| X |2"+1
(2«+1)Г
Пусть требуется определить значения х, при которых приближенное равенство sin х = х — ^- справедливо с точностью до 0,0005. Так как | Rn (х) | = —^^-' | х р, то
найдем х из усиленного неравенства
< 0,0005 или | х Is < 0,06,
откуда с помощью логарифмирования получаем | х | < 0,57.
Пример 3. Написать разложение функции /(x)=cosx по формуле Маклорена. Так как / (х) =cos х, /' (х) =—sin х, f (х) =— cos x,f" (х) = sin x,/lv (х) =
= cosx, ..., /<п> (х) =cos ^х + п-^ при любом п, то /(0) = 1; У(0) — 0; f (0) = = — 1; У"(0) = 0; /v(0) = l; ...
Нетрудно заметить, что числа 1, 0, —1,0 будут периодически повторяться, при этом значения производных нечетных порядков при х = 0 равны нулю. И, следовательно,
cosx=1__+__„ ,+(_1)я ^_+^+1(х)>1)
где
^2л + 1 (Х)^2л + 1 (Х)у<2л+2) (g) (2ге + 2)1у<2л+2) (g) (2ге + 2)1хг"+г,хг"+г,^2п*1^2п*1(х\ +—v ’ - (2п + 2)!(х\ +—v ’ - (2п + 2)!х2п*2.х2п*2.
^2л + 1 (Х)
^2л + 1 (Х)
у<2л+2) (g) (2ге + 2)1
у<2л+2) (g) (2ге + 2)1
хг"+г,
хг"+г,
^2п*1
^2п*1
(х\ +—
v ’ - (2п + 2)!
(х\ +—
v ’ - (2п + 2)!
х2п*2.
х2п*2.
Раздел 4
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
Возрастание и убывание функций
Функция f (х) называется возрастающей на данном промежутке, если для любых двух точек X; и х2 этого промежутка из неравенства х,<^х2 следует неравенство f (х^ < / (х2) (рис. 191).
Из этого определения следует, что функция f (х) возрастает на данном промежутке, если для любых двух точек х и х-|-Дх этого промежутка знак приращения функции
Ду = 7 (х+Дх) —/(х)
совпадает со знаком Дх или, короче, если на данном промежутке приращение аргумента и соответствующее ему приращение функции — одного знака.
Функция f (х) называется убывающей на данном промежутке, если для любых точек xt и х2 этого промежутка из неравенства Xi<x2 следует неравенство / (х^ ^>/(х2) (рис. 192). Другими словами, функция убывает на данном промежутке, если на этом промежутке приращение аргумента и соответствующее ему приращение функции разных знаков (при этом х и х-[-Дх принадлежат рассматриваемому промежутку).
Необходимое условие возрастания и убывания дифференцируемой функции. Если дифференцируемая функция /(х) возрастает на данном промежутке, то в любой точке х этого промежутка f (х) 0. Если дифференцируемая функция /(х) убывает на данном промежутке, то в любой точке х этого промежутка f (х)^0.
Действительно, пусть, например, функция /(х) возрастает на данном промежутке. Рассмотрим на нем произвольную точку х. Дадим
х приращение Дх, соответствующее ему приращение функции Az/ одного знака с Ах, следовательно,
Переходя в этом неравенстве к пределу при Дх->0, получим:
lira ^=/,(х)^0.
Аналогично доказывается теорема и для убывающей функции f(x).
Заметим, что если промежуток содержит какой-нибудь свой конец (или оба), то для х, совпадающего с этим концом, рассматривается односторонняя производная функции /(х) (так как точки х и х-|-Дх берутся из рассматриваемого промежутка).
Геометрически утверждение теоремы означает, что в каждой точке графика возрастающей функции касательная или образует острый угол с осью ОХ или параллельна оси ОХ, а в каждой точке графика убывающей функции касательная или образует тупой угол с осью ОХ или параллельна оси ОХ. Например, функция у = х3 возрастает на всей числовой оси. Ее производная у = 3хг положительна всюду, кроме точки х = 0, при х = 0 имеем у’ = 0. Таким образом, касательная к кубической параболе в точке х = 0 параллельна оси ОХ, в остальных точках составляет острый угол с осью ОХ.
Достаточное условие возрастания и убывания функции. Пусть/(х)— дифференцируемая функция на некотором промежутке.
Если в каждой точке х данного промежутка /'(х))>0, то функция /(х) возрастает на этом промежутке. Если в каждой точке х данного промежутка f (х)<^0, то функция f (х) убывает на этом промежутке.
Доказательство. Пусть, например, на данном промежутке /' (х) > 0. Возьмем на нем две любые точки Xi и х2. Тогда по формуле Лагранжа
f (х.^ — f (Xi) = f (;) (х2 — х,),
где $ лежит между xt и х2. Так как f (Е)^>0, то знаки разностей х2 — Xj и f (х^) — f (xj совпадают, т. е. функция на данном промежутке возрастает.
Аналогично рассматривается случай, когда f(x)<^0.
Интервалы, на которых функция возрастает (убывает), называются интервалами монотонности функции. По доказанному у дифференцируемой функции f(x) на интервале возрастания f(x)^0, на интервале убывания /'(х)^О. Если производная f (х) функции f(x) непрерывна, то разделять интервалы монотонности могут лишь точки, в которых ^ (х) = 0, так как перемена знака непрерывной функции возможна лишь при переходе ее через нуль. Точка, в которой f (х) = 0, называется точкой стационарности функции f(x), так как в достаточно малой окрестности этой точки функция «близка» к постоянной («почти» не изменяется). Заметим, что не каждая точка стационарности разделяет интервалы монотонности, например, функции у = х2 и у = х3 имеют точку стационарности х = 0. Эта точка для у = х2 разделяет, а для у = х? не разделяет интервалы монотонности. Если не требовать непрерывности производной f(x) функции / (х), то интервалы монотонности могут разделять не только точки стационарности f(x). Например, для / (х) = | х | точка х = 0 разделяет интервалы монотонности, в этой точке производная функции f (х) не существует.
Ограничимся рассмотрением функций, дифференцируемых всюду, кроме, быть может, конечного числа точек, в их областях определения и имеющих не более конечного числа точек стационарности. Если f (х) — функция рассмотренного класса, то можно доказать ’), что ее интервалы
*) Доказательства этого положения не приводим.
монотонности разделяются или точками стационарности f(x), или точками, в которых производная функции /(х) не существует. Но не каждая такая точка будет разделять интервалы монотонности.
На рис. 193 отмечены точки хь х9, ..., х10, в которых производная равна нулю или не существует. Причем точки х9, х3, х4, х7, х9, х10 разделяют, а точки хь х5, х6, х8 не разделяют интервалов монотонности.
Учитывая сказанное, можно сформулировать правило исследования функций указанного класса иа возрастание и убывание.
Рис. 193.
Находим точки из области определения функции, в которых производная функции равна нулю или не существует. Эти точки называют критическими для функции f (х) по первой производной.
Критические точки разбивают область определения функции /(х) на интервалы, на каждом из которых производная f (х) сохраняет знак.
Исследуем знак f (х) на каждом из этих интервалов.
Если на рассматриваемом интервале f (х) ^> 0, то это интервал возрастания, если же Г (х)<^0, то это интервал убывания.
Пример 1. Найти интервалы монотонности функции /(х) = х + ^-.
Решение. Область определения функции состоит из интервалов (—оо, 0), (0, +°°)> т. е. функция определена всюду, кроме точки х = 0;убывает убывает
/ (х) - нечетная функция. Ее про-"Возростает _}*0} Тозрастает
изводная f (х) = 1 — —2 существует в области определения функ-Рис- 194.
ции /(х), /' (х) = 0 при х= ± 1.
Точки — 1,0, 1 разделяют область определения функции на интервалы, которые отмечены на рис. 194.
Учитывая нечетность функции /(х), замечаем, что достаточно исследовать знак /'(х) на интервалах (0, 1) и (1, -)-со).
(х-1)(х-Ц)
Результат запишем в таблицу:
0< х < 1
Г (X) < 0
/(х) убывает
1 < х < + со
Г (х) > 0
/(х) возрастает
Окончательно получаем: функция /(х) возрастает на интервалах (—со, —1), (1, 4-оэ) и убывает на интервалах (— 1, О), (0, 1).
Пример 2. Исследовать на возрастание и убывание функцию
/(х) = х1п х.
и возрастает на интер-и возрастает на интер-
и возрастает на интер-
и возрастает на интер-
X
/(X)
0<Л7< — е
—
убывает
1,
— < х < 4- со е
+
возрастает
Решение. Функция/(х) определена на интервале (0, -|- со). Производная f (x^ =
= In х + 1 существует на этом интервале, У (х) = О при х = — . Составим таблицу:
из которой видно, что /(х) убывает на интервале
( 1 .
вале I—, 4-со
§ 17. Экстремумы функции
Пусть функция /(х) непрерывна на некотором интервале (а, 6), содержащем точку х0. Точка х0 называется точкой максимума функции (х), если существует такая окрестность точки х0, что для всех х(х^х0) этой окрестности выполняется неравенство f (х)<^(х0). Точка х0 называется точкой минимума функции /(х), если существует такая окрестность точки х0, что для всех х (х ^ х0) этой окрестности выполняется неравенство f(x)>f(x0). Другими словами, х0— точка максимума (минимума) функции f (х), если приращение функции в этой точке при всех достаточно малых приращениях аргумента отрицательно (положительно).
Точки максимума и минимума функции называют точками экстремума ) функции.
Значение функции /(х) в точке максимума (минимума) называют максимумом (минимумом) функции, или экстремумом функции.
Функция f (х) на данном промежутке может иметь и несколько экстремумов, причем некоторые из минимумов функции могут быть больше некоторых из ее максимумов.
На рис. 195 изображен график функции у —/(х), у которой х, и х3— точки максимума, х2 и х4— точки минимума. Минимум функции в точке х4 больше ее максимума в точке хь
Последнее не противоречит определению экстремума функции, так как в определении экстремума сравниваются значения функции в точке и некоторой ее окрестности.
Заметим, что точки максимума (минимума) функции /(х) иногда определяют следующим образом: точка х0 называется точкой максимума (минимума) функции /(х), если существует такая окрестность точки х0, что для всех х этой окрестности /(х)^/(х0) (/(х) ^/(х0)).
В дальнейшем мы будем пользоваться ранее данным определением, т. е. рассматривать так называемый «строгий» экстремум. Заметим только, что все теоремы, которые будут доказаны для «строгого» экстремума, с небольшими изменениями легко можно перенести на случай «нестрогого» экстремума; предоставляем это сделать читателю.
Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.
Теорема. Если дифференцируемая функция /(х) имеет в точке х0 экстремум, то f(xo) = O.
Доказательство. Пусть, например, функция y = f(x) имеет в точке х0 максимум. Тогда Ay = f(x0-|- Дх)— f(x0)<^0 при достаточно малом Ах, а следовательно,
ДуДхДуДх<0 при Дх>0,^>0 при Дх<Д.
Ду
Дх
Ду
Дх
Переходя к пределу при Дх->0, получим:
Дж -. 0 ^хДж -. 0 ^хДх >0Дх >01- Ду 1™Дж -► 0 Д"^Дх < 01- Ду 1™Дж -► 0 Д"^Дх < 0
Дж -. 0 ^х
Дж -. 0 ^х
Дх >0
Дх >0
1- Ду 1™
Дж -► 0 Д"^
Дх < 0
1- Ду 1™
Дж -► 0 Д"^
Дх < 0
По условию /(х)— дифференцируемая функция в точке х0, следовательно, полученные пределы равны f (х0). Таким образом, имеем/'(х0) ^ 0 и fM^O, т. е. f(xo) = O.
Заметим, что равенство нулю производной в точке х0 является только необходимым условием экстремума дифференцируемой функции, но не достаточным, как это можно видеть на примере у = х3. Здесь в течке х = 0 у'=0, а функция у = х3 в точке х=0 не имеет экстремума.
Достаточные условия (первого порядка) существования экстремума.
Условимся говорить, что функция f(x) меняет знак с плюса на минус цри переходе через точку х0, если /(х)^>0 слева от точки х0, и /(х)<^0 справа от х0. При этом рассматриваются значения х из достаточно малой окрестности х0.
Аналогично определяется перемена знака функции с минуса на плюс при переходе через точку х0.
Теорема. Если функция f(x) непрерывна в точке х0 и некоторой ее окрестности, дифференцируема в рассматриваемой окрестности х0, кроме, быть может, самой точки х0, и ее производная f (х) при переходе через точку х0 меняет знак с плюса на минус, то функция f (х) имеет максимум в точке х0, если же производная при переходе через точку х0 меняет знак с минуса на плюс, то в точке х0 функция /(х) имеет минимум.
Доказательство. Пусть, например, при переходе через точку х0 производная f (х) меняет знак с плюса на минус. Тогда по формуле Лагранжа для любой точки х из рассматриваемой окрестности
f(x) — f (х0) = f ^ (х — х0),
где $ лежит между х и х0. Если х < х0, то ^ (Е) > 0 и f (х) — f (х0) < 0. Если же х>х0, то f (£)<0, и мы получим, что Цх)— f(xoXO.
Таким образом, в рассматриваемой окрестности точки х0 выполняется неравенство f (х) — f (х0) < 0, а это означает, что в точке х0 функция / (х) имеет максимум.
Аналогично рассматривается случай перемены знака f' (х) с минуса на плюс.
Из приведенного доказательства следует, что если производная f (х) не меняет знака при переходе через точку х0, то в этой точке экстремума нет (так как не сохраняется знак разности f (х) — f (х0) в окрестности этой точки). Будем рассматривать функции класса, описанного на стр. 232. Нетрудно видеть, что для каждой такой функции точка макси-
мума отделяет интервал возрастания функции Цх) (/'(х)^>0) от интервала ее убывания (f (х) <0), точка минимума отделяет интервал убывания от интервала возрастания. Таким образом, если функция исследована на возрастание и убывание, то точки экстремума выделяются автоматически.
В общем случае для нахождения экстремума функции рассматриваемого класса нужно: 1) Найти точки, принадлежащие области определения функции /(х), в которых ее производная f (х) равна нулю илине существует, т. е. найти критические точки функции по первой производной. 2) Исследовать знак f (х) в некоторой окрестности каждой критической точки. При этом, если f (х) меняет знак при переходе через такую точку, то функция f (х) в этой точке имеет экстремум. Если же знак f (х) не меняется при переходе через рассматриваемую точку, то функция f(x) не имеет экстремума в этой точке.
Нетрудно видеть, что на рис. 193 критические точки х5, х6, х8 не являются точками экстремума.
Пример 1./(х) = х1пх. Эта функция уже была исследована на возрастание и убывание (§ 16, пример 2). В точке х = -^ рассматриваемая функция имеет минимум, равный —^-. Построим график/(х) = х In х. Сначала определим знаки
функции. Функция /(х) = х1пх равна нулю при х=1. Область определения этой функции, х :> О, делится точкой х = 1 на интервалы (0, 1), (1,4-со). При этом
/(х)<0,/W>0,/(х)<0,/W>0,если еслиесли если0< х < 1,0< х < 1,1 < х < + со.1 < х < + со.
/(х)<0,
/W>0,
/(х)<0,
/W>0,
если если
если если
0< х < 1,
0< х < 1,
1 < х < + со.
1 < х < + со.
Найдем теперь пределы функции / (х), если они существуют, при х —► +оо и х ~— -|-0. Нетрудно видеть, что lim /(х) = 4"00 и **т fix')— **т х1пх =
>-|-оох—>0х—>0
х>0х>0
1ПХX -
= lim —— = lim :—=0.
х—>0 1х—>01
х>0 хх>0хй
Суммируя все сказанное, построим график функции /(х) = х1пх (рис. 196).
Пример 2. / (х) = х 3 (2 — х).
Функция /(х) определена при всех значениях х:
,, , .2 - 4, I 2 (2 — х) — Зх
f (x) = дХ 3 (2 —х) —х3
/’(х) = 0 при х=^. Не существует производной функции /(х) при х = 0. 236
Следовательно, критические точки функции /(х): х = 0 и х = ^ . Результат исследования запишем в таблицу:
X
— со < х < 0
х = 0
4 0<х< -=-
О
4
Х~ 5
4,
у < х <-|-со
У
—
не существует
+
0
—
У
убывает
/(0) = 0 минимум
возрастает
2
/4\6 / 4 X3
f\5/5^5)
максимум
убывает
Заметим, что/'(+0) = +оо, / (—0) =— со. Если учесть еще, что /(х) = 0 при х = 0 и х = 2, и определить знак f ^ в каждом из интервалов (—оо, 0), (0, 2) и (2, 4-оо), а также учесть, что /(х)—-со при х — оо, то график /(х) изобразится так, как это показано на рис. 197.
Достаточные условия экстремума функции, выраженные через производные высших порядков. Предположим, что функция f (х) в некоторой окрестности точки х0 п раз непрерывно дифференцируема, т. е. имеет непрерывные производные до п-то порядка включительно.
Теорема. Пусть f (хй) — 1" ^в) ==•.. = f^V^^O, a f(n} (х0) ^ 0. Тогда, если п — четное, то х0— точка экстремума функции [точка максимума при f(n) (х0) < 0 и точка минимума при fw (х0)> 0], если п — нечетное, то в точке х0 экстремума нет.
Доказательство. Используя формулу Тейлора (§ 15), представим функцию f(x) в окрестности точки х0 в виде:
f W = f (х0) +^ (х- х0) 4-.. .Ч-^^^ - ^Г1 +^г^ (^ -^о)", где $ лежит между х и х0.
Учитывая условия теоремы, получим
— f (х0) =^^ (х _ Хо)\
Так как функция /(л)(х) непрерывна в точке х0, то существует некоторая окрестность этой точки, в которой fw (х) сохраняет знак, т. е. знак fw (х) во всех точках этой окрестности совпадает со знаком fw (х0). Если рассматривать значения х из достаточно малой окрестности точки х0, то знак fw (Е) совпадает со знаком fw (х0).
Пусть п — четное число, тогда множитель (х— х0)га сохраняет знак в окрестности точки х0(х^х0); при этом он положителен. Следовательно, разность f(x) — f(x0) сохраняет знак в окрестности х0(х^х0), т. е. в точке х0 функция f (х) имеет экстремум. Кроме того, если ^п)( х0) > 0, то /(х)—/(х0)^>0, т. е. х0 — точка минимума функции f (х), если же f1”1 (хоХО, то f(x)—fM^O и в точке х0 функция имеет максимум.
Пусть теперь п — нечетное число. Тогда множитель (х— х0)” не сохраняет знака в окрестности точки х0(х^х0) (при х<х0 он отрицателен, а при х^>х0 он положителен), поэтому и разность f(x) — f(x0) не сохраняет знака в окрестности точки х0, а значит, функция в точке х0 не имеет экстремума.
Частный случай теоремы (л = 2). Если f (х)— дважды непрерывно дифференцируемая функция в некоторой окрестности точки х0 и если f(xo) = O, а /" (х0) ^ 0, то х0 является точкой экстремума функции. При
этом в точке х0 функция имеет максимум, если f* (х0) < О и минимум, если f (х0) > 0.
Рассмотрим пример. Найти экстремум функции /(х) = (х—3)2(х4-2)3. Эта функция определена при всех значениях х
f\x) = 2 (х — 3) (х + 2)’ + 3 (х 4- 2)2 (х — 3)2 == (х — 3) (х 4- 2)2 (2х 4- 4 + Зх — 9) = 5 (х — 3) (х 4- 2)2 (х — 1).
Производная f (х) существует при всех значениях х, поэтому экстремум функции / (х) возможен только в нулях ее производной, т. е. в точках хг= — 2, х« = 1, х8 = 3.
Определим знаки/" (х) в найденных точках стационарности. Так как /" (х) = = 5 [(х 4-2)2 (х 1) 4-2 (х - 3) (х 4-2) (х — 1) 4-(х - 3) (х 4-2)2] = 5 (х 4-2) [(х 4-2) X X (х — 1) 4- 3 (х — 3) (х — 1) + (х — 3) (х 4- 2)], то /" (— 2) = 0 и, следовательно, вопрос об экстремуме в точке хг = — 2 не может быть решен с помощью второй производной.
Для его решения нужно обратиться или к производным более высокого порядка в точке х, = — 2 или провести исследование знака первой производной в некоторой окрестности точки — 2.
Так как У (х) не меняет знака при переходе через точку х, =— 2, то в точке х, =— 2 экстремума нет.
В точке х2=1 _у''(1)<0, следовательно, в этой точке функция имеет максимум; при х3 = 3 у" (3) > 0, в точке х, = 3 функция имеет минимум.
§ 18. О наибольшем и наименьшем значениях функции
На практике часто встречаются задачи, в которых требуется найти
наибольшее или наименьшее значения функции на некотором промежутке.
Будем решать эту задачу по отношению к функциям класса, описанного на стр. 232.
Известно, что если функция непрерывна на отрезке [а, 6], то она принимает на этом отрезке наибольшее (наименьшее) значение. В этом случае наибольшее (наименьшее) значение функции на этом отрезке равно или одному из значений, принимаемых функцией Цх) в какой-
нибудь критической точке (т. е. в точке, в которой производная f (х)
равна нулю или не существует), принадлежащей интервалу (а, 6), или
одному из значений, принимаемых этой функцией на концах отрезка. Заметим, что критическая точка функции f(x), принадлежащая интервалу (а, 6), может не быть точкой экстремума этой функции даже в том случае, когда функция Цх) принимает в ней свое наибольшее (наименьшее) на отрезке [а, 6] значение. На рис. 198 точки х, c^x^d, e^x^b, удовлетворяют указанному условию. При этом в точках х, c^x^d, функция /(х) принимает наименьшее, а в точках х, е^х^Ь, наибольшее значение на от
резке [а, 6]. Если функция непрерывна на интервале, то она может не иметь на нем наибольшего (наименьшего) значения. Но если дифференцируемая функция на интервале (а, 6) имеет не более конечного числа точек стационарности и только один экстремум — максимум (минимум), то наибольшее (наименьшее) значение функции на
рассматриваемом интервале будет совпадать с максимумом (минимумом) этой функции.
Прежде чем перейти к рассмотрению задач на экстремум, сделаем несколько замечаний, упрощающих технику отыскания экстремумов.
Функции f (х) и f (х) -|- С, где С — постоянное слагаемое, имеют
экстремумы, и притом одноименные, в одних и тех же точках.
Функции Цх) и Cf(x), где С — постоянный множитель, имеют экстремумы в одних и тех же точках, причем одноименные, если С>0, и разноименные, если С<0.
Если на данном промежутке /(х)>0, то функции /(х) и ]//(х) имеют одноименные экстремумы в одних и тех же точках.
Задача 1. Из круга радиуса R (рис. 199) вырезан сектор, а из оставшейся части склеен конус. При каком угле вырезаемого сектора объем конуса будет наибольшим?
Решение. Образующая конуса равна R. Обозначив высоту и радиус основания соответственно через Н и г, получим выражение объема конуса V=-^ w2H.
Пусть х — угол оставшегося (не вырезанного) сектора. Выразим г и Н через х и R.
Длина окружности основания конуса равна 2ur = Rx, откуда г = ^^ и Я=
Объем этого конуса определяется по формуле:
1 R2xa R $ Я8 г лгтч2
Наибольшее значение объема (так как V>0) достигается при тех же значениях х, что и наибольшее значение функции
/ (х) = х4 (4m3 — Xs) = 4m2x4 — Xе.
Заметив еще, что по условию задачи 0<х<2т, найдем экстремумы функции /(х) на этом интервале:
/' (х) = 16т2х8— 6х5 = 0 при х = 0; х = ± 2m j/”^.
На интервале (0, 2m) лежит единственная точка стационарности х = 2т^|/~-|- функции f^.
Нетрудно убедиться в том, что функция / (х), а следовательно, и объем V имеют в этой точке максимум. Это утверждение можно получить также и непосредственно, если учесть, что / (0) = / (2m) = О, а /(х)>0 на интервале (0, 2m).
Так как точка экстремума одна и в ней объем имеет максимум, то наибольшее значение объема будет при х = 2т^/"^. И, следовательно, угол вырезаемого сектора должен быть равен 2m(1—Т/
у9
Задача 2. Из всех прямоугольников, вписанных в эллипс ^5+"^2=1, найти тот, площадь которого наибольшая (предполагается, что стороны прямоугольника параллельны координатным осям, рис. 200).
Решение. Так как прямоугольник вписан в эллипс, то одна его вершина, обозначим ее М (х, у), лежит в первой четверти. [Это утверждение следует хотя бы из того, что если вершина прямоугольника (х0, у0) лежит на эллипсе, то на эллипсе лежат и точки (—х0, у0), (х0,—у^), (—х0,—Уд)—остальные вершины прямоугольника.]
Тогда площадь прямоугольника S = 4ху = 4 ^ х^а2 — х2 = ^ V°2х2 — х4.
Очевидно, х изменяется на интервале (0, а) и на этом интервале S > 0, поэтому для решения задачи достаточно найти наибольшее значение функции /(х) = д3х2—х4 на рассматриваемом интервале.
Так как /'(х) = 2ах— 4х’ и /'(х) = 0 при х = 0; x=±^g—, то на интер,в V 2
вале (0, о) находится единственная точка стационарности х =——, которая является точкой максимума функции /(х) [хотя бы потому, что /(а) =/(0) = 0, /(х)>0 на интервале (0, а)], а следовательно, и точкой максимума площади S.
В этой точке S имеет наибольшее значение.
Таким образом, прямоугольник с наибольшей площадью будет иметь размеры: аЪ К 2
Знаиб — 4Знаиб — 4аУ 2 b ]/" 222аУ 2 b ]/" 222= 2аЬ.= 2аЬ.
Знаиб — 4
Знаиб — 4
аУ 2 b ]/" 2
22
аУ 2 b ]/" 2
22
= 2аЬ.
= 2аЬ.
Заметим, что наибольший по площади вписанный в эллипс прямоугольник имеет стороны, пропорциональные осям эллипса. При а = Ь эллипс становится окружностью, следовательно, из всех прямоугольников, вписанных в окружность, наибольшую площадь имеет квадрат.
§ 19. Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба
Любая прямая, не параллельная оси ОУ, разбивает плоскость на две области, из которых одна лежит выше, а другая ниже этой прямой (рис. 201).
Пусть в точке х0 кривая y = f(x) имеет касательную, не параллельную оси ОУ (т. е. tW—дифференцируемая функция в точке х0). Кривая называется выпуклой (вогнутой) в точке х0, если в некоторой окрестности этой точки кривая расположена ниже (выше) касательной, проведенной в точке х0.
На рис. 202 в точке хх кривая выпукла, в точке х3 кривая вогнута, в точке ха кривая не является ни выпуклой, ни вогнутой.
Рис. 201.Рис. 201.
Рис. 201.
Рис. 201.
Кривая называется выпуклой (вогнутой) на интервале (a, by если она выпукла (вогнута) в каждой точке этого интервала.
Пусть кривая y = f(x) в точке х0 имеет касательную, в частности, эта касательная может быть и вертикальной. (В последнем случае функция f (х) не дифференцируема в точке х0.)
Точка х0 называется точкой перегиба кривой y = f(x), если с одной стороны от х0 (в достаточно малой окрестности точки х0) кривая выпукла, с другой стороны от х0 кривая вогнута или короче, если в точке х0 кривая меняет выпуклость на вогнутость (или наоборот).
Из этого определения непосредственно следует, что касательная в точке перегиба кривой пересекает эту кривую. На рис. 202 х.2— точка перегиба кривой, на рис. 203 точки хь хй— точки перегиба, в точках х2, хв перегиба нет.
Заметим, что о точке перегиба кривой можно говорить лишь в случае, когда кривая имеет касательную в этой точке и в ее окрестности. (Например, точки ха, х4 рис. 203 не являются точками перегиба).
Теорема. Если функция f (х) в некоторой окрестности точки х0 дважды непрерывно дифференцируема и f" (х0) ^ 0, то необходимым и достаточным условием выпуклости (вогнутости) кривой y = f(x) в точке х0 является условие f" (х0) < 0 (Д (х0) > 0).
Доказательство. Запишем разложение функции /(х) в окрестности х0 по формуле Тейлора, взяв п=1:
/ W = f М + Ц^ (х — х0) 4-(х — х0)2,
где ? лежит между х и х0.
Как известно, касательная к графику функции fix') в точке х0 имеет уравнение
У —fM=f W(x —х0).
Из этих двух равенств получаем:
Укр Укас == ~Ji (^^о)2-
Знак разности укр— укас совпадает со знаком Д (£). Но по условию Д(х)— непрерывная функция в точке х0 и Д(хо)^О, следовательно,
в достаточно малой окрестности точки х0 функция f" (х) сохраняет знак. Будем рассматривать эту окрестность точки х0, в ней знак Д (;) совпадает со знаком f" (х0).
Учитывая, что (х— х0)2^>0 при х ^ х0, заключаем, что знак разности Укр — Укас совпадает со знаком f (х0). При этом, если f" (х0) < 0, то Укр — Укас<0 и, следовательно, кривая выпукла в точке х0, если Д (х0)^>0, то Укр — Укас Z> 0 и, следовательно, кривая вогнута в точке х0. Наоборот,
если кривая у = /(х) выпукла в
точке х0, то в некоторой окрестности этой точки укр— уКас<0 и, следовательно, Д(хоХО. Если кривая вогнута в точке х0, то в некоторой
ее окрестности укр— укас^>0 и, следовательно, Д(х0)>0.
Из доказанной теоремы непосредственно получаем необходимое условие точек перегиба кривой y = f(x). Если f (х)—дважды
непрерывно дифференцируемая функция на некотором промежутке, то в точках перегиба кривой у = /:(х), лежащих на этом промежутке, вторая производная функции /(х) равна нулю. Заметим, что не каждая такая точка является точкой перегиба кривой. Для функций х3 и х4 в точке х = 0 производные у" = 6х и у"=12х2 равны нулю. При этом для параболы у = х? точка х = 0 является точкой перегиба, а парабола у—х4 в точке х=0 перегиба не имеет.
Достаточное условие точки перегиба.
Теорема. Если в некоторой окрестности точки х0 вторая производная f" (х) непрерывна, всюду, кроме, может быть, самой точки х0 (в ней Д (х) может и не существовать), и при переходе через точку х0 вторая производная меняет знак, то х0 — точка перегиба кривой. (При этом предполагается, что кривая y = f(x) имеет касательную в точке х0.)
Действительно, если знак второй производной при переходе
через точку х0 меняется с плюса на минус, то это означает, что вогнутость кривой сменилась на выпуклость при переходе через эту точку, т. е. х0 — точка перегиба кривой. Аналогично точка х0 является точкой перегиба, если знак Д (х) изменился с минуса на плюс при переходе через точку х0. Заметим, что если Д(х) не меняет знака при переходе через точку х0, то в рассматриваемой точке перегиба нет.
Ограничимся рассмотрением кривых y — f(x), где функции /(х) в области их определения дважды дифференцируемы, кроме, быть может, конечного числа точек, и f" (х) имеют не более конечного числа нулей.
Тогда для кривой y = f(x) рассматриваемого класса при условии, что в каждой точке она имеет касательную, можно доказать ), что ее интервалы выпуклости и вогнутости разделяются или нулями f" (х), или точками, где f" (х) не существует.
Для кривых y = f(x) рассматриваемого класса можно сформулировать правила исследования на выпуклость, вогнутость и перегиб.
Находим точки, в которых /"(х) = 0 или вторая производная
Такие точки называются критическими точками функции f(x) по второй производной 4).
Эти точки разделят область определения функции f(x) на интервалы, в каждом из которых f' (х) сохраняет знак.
возможные случаи. При перегиба.возможные случаи. При перегиба.этомэтомЕсли в рассматриваемом интервале Г(х)2>0> то эт0 интервал вогнутости, если же Г (х)<^0, то это интервал выпуклости. Точки перегиба выделяются автоматически: они резделяют интервалы выпуклости и вогнутости. На рис. 203 графически иллюстрируются различные только точки Xt и х6 являются точками
возможные случаи. При перегиба.
возможные случаи. При перегиба.
этом
этом
Если же требуется найтиЕсли же требуется найтитолько точки перегиба кривой y = f(x), то
Если же требуется найти
Если же требуется найти
можно исследовать знаки /" (х) в окрестности каждой критической точки.
При этом окрестность рассматриваемой точки может быть как угодно большой, лишь бы в нее не попали другие точки, в которых возможен перегиб.
Пример 1. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой
у = хе~х.
Функция /(х) = хе~ж определена при всех значениях х:
f \х} = е~х — хе~х = (1 — х) е~х,f (х)= —e~xt\ — х) — е~х— — е-х (2 — х).
Вторая производная f (х) существует при всех значениях аргумента.
Найдем критические точки/(х) по второй производной:
/' (х) = 0 при х = 2.
Только в точке х = 2 возможен перегиб. Результат исследования запишем в таблицу:
X
У"
У
х < 2
выпукла
х = 2
0
точка перегиба
х > 2
+
вогнута
Нетрудно проверить, что график этой функции имеет вид, изображенный на рис. 204.
Пример 2. Какие условия нужно наложить на коэффициенты a, b, с, d, чтобы крив ая у = ах4 + йх3 + сх2 + dx + е имела точки перегиба?
Решение, у" = 12ах2 + 66х + 2с.
Кривая имеет точку перегиба, если квадратное уравнение бах3 4- ЗЬх + с = 0 имеет различные действительные корни, а это будет при условии, что 963 — 24сс > 0 или ЗЬ2 — Зас 21» 0.
Асимптоты плоских кривых
Понятие асимптоты уже встречалось при изучении гиперболы. Определим асимптоту кривой, заданной уравнением у = /(х). Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат или, что то же, когда расстояние точки от начала координат неограниченно растет. Не всякая кривая имеет асимптоту, например, эллипс асимптоты не имеет, парабола y = xi также не имеет асимптоты, так как при неограниченном удалении точки по параболе эта точка не может неограниченно приближаться к прямой (квадратичная функция растет быстрее любой линейной функции).
Пусть кривая y = f(x) имеет асимптоту (рис. 205).
Предположим, что эта асимптота не вертикальная. Тогда ее уравнение имеет вид: у = кх + Ь. При этом | укр — укас | = = MN = -^- (<£ NMP = ®). Так как угол cos <р наклона асимптоты постоянный, а МР->0 при неограниченном удалении точки М по кривой, т. е. при условии, чтох->оо (или
х ->-[- оо, или х->— оо), то Укр — yKac = aW, где а(х)->0 при х->оо (или х —> —|—оо, или х->— оо). Для упрощения в дальнейшем записанное в скобках будем опускать, имея в виду, что х может стремиться к бесконечности в одном или в двух направлениях. Таким образом, если у = kx-\- b — асимптота кривой у=/(х) при х-*оо, то справедливо равенство
f^ — ^kx-V-b) — »^,(1)
где а(х)->0 при х-*со.
Обратно, если при каких-то постоянных к и b имеет место равенство (1), то у = кх-^-Ь — асимптота кривой y — f(x).
Пусть кривая y = f(x) имеет асимптоту вида у = кх-\-Ь. Исходя из равенства (1), определим к и Ь. Для этого разделим равенство (I) на х и перейдем к пределу при х-*оо.
Получим:
х \' х) х *
Иш ^- — к = 0,X — оо х
откуда
fe = lim(2)
ж — оо х
Теперь из равенства (1) определим 6:
b = f (х) —кх — а(х)
или, после перехода к пределу при х->оо:
b — lim [f(x)— кх].(3)
X —* ОО
Наоборот, если существуют конечные пределы (2) и (3), то кривая y = f(x) имеет асимптоту у = kx-V b. Действительно, из равенства (3) следует равенство (1), на основании которого заключаем, что прямая у = кх-\-Ь — асимптота кривой y = f(x).
Итак, для того чтобы кривая y = f^ имела асимптоту у = кх-\-Ь, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы (2) и (3).
Например, кривая y = x-}-sinx не имеет асимптоты при х —оо, так .x + sinx
как не существует предела sinx при x-*oo(fe = Iim-• = 1).
х —» сох
Заметим, что если 6 = 0 и 6 — конечно, то асимптота у = Ь — горизонтальная (рис. 206).
Пусть теперь (рис. 207) кривая y = f(x) имеет вертикальную асимптоту х = а (<P = "g)- Тогда, как это следует из определения асимптоты, при х-*а (или х-ю с одной стороны) у неограниченно растет. [В этом случае расстояние точки (х, /(х)) кривой y = f(x) до асимптоты х=а,
равное |х—а,, стремится к нулю]. Если существует число а, такое, что при х-^а (или при х->ас одной стороны) у-*со, то х = а — вертикальная асимптота.
Итак, если точка неограниченно удаляется по кривой у = /(х), то эта кривая мсжгт иметь асимптоты в следующих трех случаях: х->ео, у-*Ь, тогда у = Ь—горизонтальная асимптота: х-*оо, у-^-со, тогда возможна наклонная асимптота. И, наконец, х-*а, у-^со, в этом случае х = а — вертикальная асимптота.
Рассмотрим примеры.
х2Зг + 4
Пример 1. Найти асимптоты кривой у =—х — 1—’
Вертикальной асимптотой будет прямая х=1, так как при х—>1 имеем у —► оо.
Все остальные асимптоты (если они есть) имеют уравнения вида: у = кх-\-Ь. Найдем к и 6:
.../(х)х2— 3x4-4
k= lim <-^= lim ;п— = 1
X —► ОО Xх —► ОО X (х 1)
,... .. , Г х3 — 3x4-41—2x4-4„
b= lim [/(х)— fcx] = lim —рх = lim —pi—= — 2,
х —* coх —* оо L X 1Jх —*■ оо X 1
V = x— 2 — асимптота данной кривой при х—>оо. Эта асимптота может быть полу- „, х2 —3x4-4
чена также выделением целой части из рациональной дроби j-—.
п их2 — ^*^ 4” 4 о ।2
Действительно, у =г— = х— 2 4г ,но г — 0 при х — со, сле-
J х— 11 х— Г х — 1
довательно, у = х — 2 — асимптота.
Заметим, что если кривая имеет уравнение у= @ ^, где Р(х) и Q(x)— многочлены, не имеющие общих корней, и многочлен Q (х) имеет действительные корни х„ х2, ..., Хд, то эта кривая имеет к вертикальных асимптот с уравнениями: х—хи х = х2, ..., х = хА. У кривой у = щ—' возможна также и горизонталь-
ная или наклонная асимптота при условии, что степень многочлена Р(х) ие больше (случай горизонтальной асимптоты) или на единицу больше (случай наклонной асимптоты) степени многочлена Q (х).
Пример 2. Найти асимптоты кривой у = ^Х . Функция /(х) = JjUL определена при х > 0. Вертикальной асимптотой этой кривой будет х = 0, так как при х —• 0 (х > 0) у —► — со.
Будем искать другие асимптоты. Определим
.1пх п .1пх „
й = lim —=6= hm = 0,
X—*4-СО ^X -* + ОО ^
таким образом, v = 0 — горизонтальная асимптота.
Заметим, что асимптота может пересекать кривую и даже в бесчисленном множестве точек. Например, кривая у = ^Х (см. рис. 166) имеет асимптоту у = 0, sin х _ так как lim —— = 0.
Эта асимптота в точках х = Лл(й = 0, ±1, ±2, ...) пересекает кривую.
Построение графиков функций по критическим точками асимптотам
При построении графика функции можно использовать следующую схему:
Найти область определения функции.
Проверить функцию на четность и нечетность.
Исследовать знак функции f (х) по ее критическим точкам, т. е. точкам, в которых f(x) —0 или имеет разрыв.
Найти асимптоты графика функции.
Исследовать функцию на возрастание, убывание и экстремум.
Исследовать график функции на выпуклость, вогнутость и перегиб.
Не всегда нужно точно следовать этой схеме, в частности, пункт 2 в какой-то степени определяется пунктом 1, а пункт 6 используется не всегда. Иногда пунктов 1—4 достаточно для построения графика функции.
Кроме перечисленных пунктов, хорошо также посмотреть, как ведет себя функция при стремлении х к «граничным точкам» области ее определения, а также посмотреть, под каким углом касательная к графику функции (если она есть) идет в точках пересечения его с осями координат, в частности с осью ОХ, т. е. в нулях функции f(x) и т. д.
Рассмотрим примеры на построение графиков функций.
Пример 1. / (х) = ^5^7[ •
Функция/(х) определена при всех значениях х, кроме х = ±1; /(х)— нечетная функция, так как /(—х) =— /(х). Следовательно, для построения ее графика достаточно исследовать функцию только для х^0. Будем рассматривать х^0. Функция /(х) равна нулю при х = 0; не существует при х = 1 и непрерывна в остальных точках, поэтому знаки / (х) определяются следующим образом:
X
0 < х < 1
1 <
С X <
:со
т
—
+
Следовательно, в интервале (0, 1) график функции /(х) расположен ниже, а в интервале (1, + со) выше оси ОХ (заштриховываем те части плоскости, где нет кривой). Асимптоты: х = —1, х=1—вертикальные и у = х— наклонная, так как / (х) = = х-|-^-^—j и ^a^_ ^ —>0 при х—<-со. Кроме того, график функции /(х) при х>1 выше асимптоты у = х (так как >0 при x>lj, а на интервале (0, 1) ниже асимптоты (так как /(х) < 0).
По этим данным уже можно представить характер графика функции f(xy Нетрудно видеть, если х0 (хо>О)— точка максимума (минимума) функции /(х)=^j, то точка, симметричная ей относительно начала координат, будет точкой минимума (максимума) этой функции. Найдем точки экстремума:
при х = 0;при х = 0;х=± V3.х=± V3., Зх2(х2 — 1) — 2х • х3 х2(х2 —3),,
при х = 0;
при х = 0;
х=± V3.
х=± V3.
J(х2—I)2(х2—I)2 ’
Будем рассматривать только х^О, тогда получим: х = 0 — точка перегиба графика функции / (•*) (8 силу симметрии графика относительно начала координат), в точке х=]/г3, как легко проверить, функция имеет максимум /(1/3)=——. График этой функции изображен на рис. 208.
Пример 2. /(х) = х2е-ж. Эта функция определена на всей числовой оси, она неотрицательна и обращается в нуль только при х = 0. Найдем асимптоты кривой
Рис. 208.Рис. 208.
Рис. 208.
Рис. 208.
у = х*е^ж. Вертикальных асимптот эта кривая не имеет. Нетрудно видеть, что при х—*— со кривая не имеет ни горизонтальной, ни наклонной асимптоты (так как
Пт /(х) = со и не существует конечного предела отношения при х—*— со), при х—>4-00 кривая имеет горизонтальную асимптоту _у = 0. (В этом случае й= Пт -^-=0; Ь= Пт ^- = 0.^
X —»-р СО 6Х->-рОО е/
Определим интервалы монотонности функции и исследуем функцию на экстремум. у = Чхе-* — х2е~х = х (2 — х) е-х.
Эта производная всюду существует и непрерывна; _у' = 0 при х = 0 и х = 2. Результат исследования запишем в таблицу.
X
— оо<х<0
х = 0
0< х < 2
х = 2
2<х<4-оо
У
—
0
+
0
—
У
убывает
/(0) = 0 минимум
возрастает
/(2) —4е-2 максимум
убывает
И, наконец, исследуем кривую у = х2е-х на выпуклость и вогнутость и найдем ее точки перегиба:
у” = (х2 — 4х + 2) е~х,
у* всюлу существует и непрерывна. Так как _у' = 0 при х = 2+ 1^2, то
У* = [х - (2 - /2)] [х - (2 + /2)] е-х.
Составим таблицу:
X
— со<х<
<2-/2
х=2—У2
2—/2<х< <24-/2
х=2-|-/2
24-/2<х<
<4-СО
У"
+
0
—
0
+
У
вогнута
у=(2— У^е-1--^-' перегиб
выпукла
^(г-ь/г)2^-^^2) перегиб
вогнута
На основании этой таблицы строим график функции f^ = x2e~x (см. рис. 209).
Пример 3. / (х) = У 8х2 — х4.
Область определения функции — совокупность значений х, удовлетворяющих условию 8х2— х4^0, откуда х2 (8 — x2)J> 0, х^^8, | х |<2/2. Следовательно, функция определена на отрезке [—2/2, 2/2]. Нетрудно видеть, что на этом
Рис. 210.Рис. 210.
Рис. 210.
Рис. 210.
отрезке функция /(х) неотрицательна, обращается в нуль лишь в точках х = 0, х= + 2 /2. В силу четности функции достаточно исследовать ее при 0^х^2 /2. Производная этой функции
,16х — 4х3_ 2х (х — 2) (х + 2)_ 2(х — 2) (х-|-2)
У — 2 /8х2 — х1 ~/8х2 —х4 ~У 8 —х2
Имеем Пт у = 2 У2. На интервале (О, 2У2) производная у равна нулю только х^ + о_
при х = 2. Левой производной при х = 2 У 2 не существует, так как limУ =—со.
_х—> 2 У2 — О
График функции/(х) в точке х = 2У2 имеет вертикальную касательную. В интервале (0, 2у2) имеется единственная точка х=2, в которой возможен экстремум. Исследуем функцию на возрастание, убывание и экстремум.
X
0<х<2
х = 2
2<х<2/2
У'
+
0
—
У
возрастает
/(2) = 4 максимум
убывает
По этим данным можно построить график функции, он изображен на рис. 210.
§ 22. Параметрические уравнения кривых
Рассмотрим геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнениям х = ^^, у = ^^), где <?(/) и ^(t) — непрерывные функции на некотором промежутке значений вспомогательного аргумента t, называемого параметром. Это геометрическое место точек называется непрерывной кривой, а записанные уравнения — параметрическими уравнениями этой кривой. Иногда от параметрического
задания кривой можно перейти к заданию ее уравнением y = f^xY Например, если для функции х = <р(0 существует обратная функция / = 9(х), непрерывная в соответствующем интервале значений х, то у = ф[9(х)] —f(x)— непрерывная функция в рассматриваемом интервале значений х. Обратно, уравнение кривой y = f(x) всегда можно, и не единственным способом, записать в параметрическом виде, в частности, положив x = t, получим y—f(t).
вать как параметрические _... ..,у = £6 и, следовательно, x = is, у = ^— другие параметрические уравнения той жевать как параметрические _... ..,у = £6 и, следовательно, x = is, у = ^— другие параметрические уравнения той жеПример. Рассмотрим уравнение параболы у = Xs. Положив х = — I, получим у = 14— совокупность этих двух уравнений, где —cocic-j-oo, можно рассматри- уравнения параболы. Или, положив x = ta, определим
вать как параметрические _... ..,
у = £6 и, следовательно, x = is, у = ^— другие параметрические уравнения той же
вать как параметрические _... ..,
у = £6 и, следовательно, x = is, у = ^— другие параметрические уравнения той же
параболы, — со С t •< -|- со.
Если кривая задана уравнением в полярных координатах р = р (9), то, используя связь между прямоугольными и полярными координатами, получим х—p(G)cos6, y = p(6)sin6—параметрические уравнения кривой, где роль параметра выполняет полярный угол 9. В механике обычно за параметр принимается время, в этом случае совокупность уравнений х = х^, y = y^i гДе t—время, называют уравнениями движения.
Примеры параметрических уравнений кривых.
Параметрические уравнения окружности. Пусть имеем окружность радиуса а с центром в начале координат (рис. 211). Возьмем за параметр / — центральный угол. Координаты любой точки этой окружности удовлетворяют урав-у
нениям
j x = acos^,/.—
(y = asin/, 0^/^2it,/ /
_LIi у \ которые, следовательно, и являются пара- 1 Г о 1 метрическими уравнениями рассматриваемой \\/
окружности.\7/
Исключая параметр t (возводя эти равен- \.7
ства в квадрат и складывая), получим х2-|-
4-у^ = а2—каноническое уравнение окружности.
Параметрические уравнения эллипса.Рис 212-
Рассмотрим две концентрические окружности
с центром в начале координат радиусов а и Ь. Пусть t — центральный угол. Обозначим соответственно через N и К точки пересечения радиуса с окружностями (рис. 212) и через М (х, у) точку пересечения прямой, проходящей через точку N параллельно оси ОХ, и прямой, проходящей через точку К параллельно оси OY.
Напишем параметрические уравнения геометрического места точек Л1 (х, у);
x = acos/,
y = bsmt, 0^/^2к.
Рассматриваемое геометрическое место точек является эллипсом, так v2
как, исключив параметр t из уравнений, получим: -^-4-^2-=! —каноническое уравнение эллипса.
Параметрические уравнения циклоиды. Циклоидой называется кривая, которую описывает некоторая точка, лежащая на окружности, когда окружность без скольжения катится по прямой.
Пусть окружность радиуса а катится по оси ОХ и в начальный момент выбранная точка М этой окружности находится в начале координат (рис. 213). Возьмем за параметр / угол поворота катящейся окружности:
t = ^.ACvM.
Выразим координаты х и у точки М через параметр /: х = ОВ = ОА — В A =at — a sin/ = a{t — sin/), аналогично получаем у = а—aeos/=a(l—cos/).
Итак,
х = а У — sin /),
у = а(1—cos/), —00 </<-[-00
— параметрические уравнения циклоиды.
Параметрические уравнения пространственной кривой. Геометрическое место точек пространства, координаты которых удовлятворяют урав
нениям
х = Ш, У = ^^, 2 = Ш ... (I), где t (/), у (/), <р (/) — непрерывные функции на некотором промежутке значе
ний /, называется непрерывной пространственной кривой, а совокупность трех уравнений (1) — параметрическими уравнениями этой кривой.
В качестве примера рассмотрим параметрические уравнения винтовой линии.
Пусть окружность радиуса а с центром в начале координат лежит в плоскости XOY. Рассмотрим точку М этой окружности, находящуюся на положительной части оси ОХ.
Винтовой линией называется траектория точки М, равномерно движущейся по окружности, когда плоскость окружности равномерно перемещается в направлении, перпендикулярном плоскости XOY (рис. 214).
Так как проекция точки М (х, у, г) на плоскость XOY равномерно движется по окружности, то, принимая за параметр / центральный угол АОМи получим:
x=acos t,у = asiv* t.
Так как плоскость окружности равномерно перемещается в вертикальном направлении, то аппликата точки М. пропорциональна / и третье параметрическое уравнение винтовой линии будет z = ct.
Итак, параметрические уравнения винтовой линии имеют вид:
x = acosZ, y = asint, z = ct (—оо<7<-|-оо).
§ 23. Производные функций, заданных параметрически
Рассмотрим кривую с параметрическими уравнениями х = у(/), у = ^^. Предположим, что уравнение этой кривой на некотором интервале изменения параметра t можно записать в виде: у = Цх). Если х = ^^, у = ^^—дифференцируемые функции на рассматриваемом интервале значений t и <р' (/) ^ 0 в этом интервале, то можно показать ), что для х = <^^ существует обратная функция / = 6(х), дифференцируемая в соответствующем интервале изменения х, а значит, у = ф [6 (х)] = = /(х)— дифференцируемая функция на рассматриваемом интервале изменения х. Ставится задача — выразить производную у' функции y = f(x) через производные х и у по параметру t.
Для решения этой задачи воспользуемся равенством У' = "^> вытекающим из инвариантной формы записи дифференциала. Так как dy = = ^'(t)dt, dx=<f y^dt, то, следовательно, /=^-^ или у' = ^, где че- срX
рез у, х обозначены производные у и х по параметру t.
Формула if = ^~ называется формулой параметрического дифференцирования.
Пользуясь этой формулой, можно при некоторых условиях на функции <р (/), ф (?) получить выражение производной у по х любого порядка через производные х и у по t. Например,
m
Таким образом, у х3
Пример. Найти у’ для функции: <’
( у = а (1 — cos t), графиком которой является циклоида.
Решение. Подставляя в формулу второй производной выражения производных х и у по t, получим:
„ а (1 — cos<)acos<—asin^-asinC11, t
а8 (1—cosi)8a (1 — cos tf 4а 2’
Пользуясь формулой параметрического дифференцирования, запишем уравнения касательной и нормали к кривой, заданной параметрическими уравнениями х = <?(?), у = ф(/), в ее точке М (х0, у0).
Как известно, уравнение невертикальной касательной к кривой, заданной уравнением y = f(x), имеет вид:
У — уа = у'(х — х»),где if = fr (х0) — значение производной в точке х0. Пусть точке М (х0, у^соответствует значение параметра ? —?0. Так как у — ^, то, следова-
тельно, уравнение касательной при параметрическом задании кривой имеет вид:
У — Уй = ^(х — х0),
т. е.
х — хе_у — уеjtу ’
где х, у— значения производных при t = te. И уравнение нормали в точке М (ха, у0) к кривой, заданной в параметрическом виде, запишется в виде:
У — У» = — у (х — хе), т. е.
х (х — х0) + у (у — у0) = О,
где х и у— значения производных при t — ta.
Пример. Написать уравнение (в прямоугольной системе координат) касательной к логарифмической спирали р = е6 в точке, для которой 6 = 0.
Решение. Параметрические уравнения логарифмической спирали записываются так: x = e8cos6, y = e8sin6. Точка касания /И имеет прямоугольные координаты (1, 0).
X = е8 (cos 6— sin 6), ^ = е8 (sin 6 -|- cos 0), при 6 = 0 х=у = \.
Уравнение касательной будет у = х—1 (см. рис. 215).
Если f(x) и ф (х)— функции, удовлетворяющие условиям теоремы Коши на отрезке [л, 6], то по формуле Коши
/(6)—/(a) _f(^ t^—S W <?' 6) ’
где $ лежит между а и Ь.
Задача. Убедиться в том, что теорема Коши имеет такой же геометрический смысл, как и теорема Лагранжа (рис. 216), если рассмотреть кривую с параметрическими уравнениями х = ф (t), у —f(t), a^t^b.
Уравнения касательной прямой и нормальной плоскостик пространственной кривой, заданной параметрически
Пусть точке М (х6, у6, г0) кривой с уравнениями x=f^, у = ^(^, 2 = ф(/) соответствует значение параметра t = ta. Дадим / приращение Д/, тогда ^ + д^ соответствует точка N (х04~Дх, y»-V^y, Zq-^z). Уравнения секущей МЫ, как уравнения пространственной прямой, проходящей через две точки, можно записать так:
х—х0 _у — Уо_г—2оДх Ду Дг *
Если разделить все знаменатели на Ы и перейти к пределу при А/ —• О, то получим уравнения
х — х0 _ у —уп _ 2— г0 х $ z касательной к пространственной кривой, заданной параметрически. При этом х, у, z вычисляются при значении t = t6, соответствующем точке касания М (х0, уа, г^. (Предполагается, что х, у, г существуют и не все равны нулю.)
Плоскость, перпендикулярная касательной к кривой и проходящая через точку касания, называется нормальной плоскостью к кривой в этой точке. Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости, запишем уравнение нормальной плоскости к данной кривой в ее точке М (х0, уй, г0)
х (х — х0) + у (у — у^ + 2 (г — г0) = 0.
Пример. Показать, что касательная к винтовой линии в любой ее точке образует постоянный угол у с осью OZ.
Решение. x = acosi, у = a sin ^, z = ct— уравнения винтовой линии. Тогда X =— asini, y = acost, z = c и уравнения касательной в любой точке винтовой линии запишутся в виде:
X—х Г—у = Z — z_— a sin t a cos t с '
где X, У, Z— текущие координаты точки касательной. Известно, что сс
cos у = _,. = .=.
V (—a sin ty2 + (acos t)2 + с2 V ч2 + b'2
Отсюда видно, что cos 7 не зависит от точки касания. Это можно иллюстрировать следующим образом: если представить себе винтовую линию навернутой на прямой круглый цилиндр, то винтовая линия пересекает все образующие этого цилиндра под постоянным утлом.
Кривизна. Радиус кривизны
Прежде чем определить кривизну кривой в точке, как характеристику «степени искривленности» кривой, определим положительное направление касательной к кривой и длину кривой.
Рассмотрим кривую, в каждой точке которой имеется касательная и, следовательно, нормаль.
Предположим, что положение касательной непрерывно изменяется с изменением положения точки кривой. Это означает, что для любого числа е^>0 для каждой точки М кривой существует 8-окрестность, такая, что для всех точек кривой, попавших в эту окрестность, угол между нормалями к кривой в этих точках и в точке М меньше, чем е. Такой кривой является, например, график непрерывно дифференцируемой функции f(x) или кривая, заданная параметрическими уравнениями х = ®(/), г/ = Ф(^), где <р (/) и ф (/) — непрерывно дифференцируемые функции параметра t и ®'(/), фЧО одновременно не обращаются в нуль.
Выберем на кривой определенное «положительное» направление, т. е. установим, какую из любых двух точек М и N этой кривой считаем первой, а какую второй. Так как положение точки на рассматриваемой кривой однозначно определяется значением параметра в случае параметрического задания кривой (значением х, если кривая — график функции /(х)), то обычно за положительное направление на кривой принимают направление возрастания параметра (возрастание х). По условию в каждой точке рассматриваемой кривой имеется касательная. До сих пор мы не различали взаимно противоположные направления на самой касательной по той причине, что угловой коэффициент для этих двух направлений один и тот же. Иногда бывает нужно выбрать одно из двух возможных направлений касательной.
Пусть М— некоторая фиксированная точка рассматриваемой кривой. Возьмем с положительной стороны от точки Л4 любую точку К этой кривой (т. е. точка М — первая, а К — вторая относительно выбранного направления) (рис. 217). Направление хорды МК, при стремлении точки К к точке М с положительной стороны, в пределе дает некоторое определенное направление касательной к кривой в точке М, которое называется положительным.
Пусть ® — угол между осью ОХ и положительным направлением касательной в какой-либо точке М кривой. При перемещении точки М по
кривой <р будет изменяться. Приращение Д® угла <р при переходе на кривой от точки М к точке N называется углом смежности дуги MN рас
сматриваемой кривой (рис. 218).
Дифференциал дуги. Рассмотрим дугу кривой, заданной уравнением у = Цху где /(х)— непрерывно дифференцируемая функция на некотором отрезке. И пусть А (а, /(а)), В(6, /(b))— точки этой дуги. Будем считать направление от А к В положительным. Разобьем дугу АВ на части точ
ками Мй, Ми Мъ ... , Мп, занумерованными в направлении от А к В (здесь Мв совпадает с А, Мп — с В). Соединив точки деления, получим ломаную Л40Л41 ... Мп, вписанную в дугу АВ (рис. 219). Дуга АВ называется спрямляемой, если существует и конечен предел периметров вписанных
в дугу АВ ломаных при стремлении к нулю наибольшей из длин звеньев этих ломаных. ~
В противном случае дуга АВ называется неспрямляемой.
Если дуга АВ спрямляема, то предел периметров вписанных в нее ломаных называется длиной дуги АВ. В § 12 гл. VI доказывается, что если f (х) — непрерывно дифференцируемая функция на отрезке [а, 6], то дуга АВ спрямляема, и дается формула для вычисления длины дуги. Там же доказывается, что предел отношения длины дуги к длине стягивающей ее хорды при стягивании дуги в точку равен единице, т. е. длины хорды и дуги — эквивалентные бесконечно малые. Длину дуги кривой будем обозначать через s. Тогда каждой точке М дуги можно поставить в соответствие число, которое будем обозначать также через s, равное длине дуги АМ, с определенным знаком: s^>0, если точка М (х, f (х)) лежит с положительной стороны от А (в данном случае х^а'), s<0,
если М (х, f (х)) лежит с отрицательной стороны от А (в данном случае х<^а\ и з —0, если М совпадает с А ’). Таким образом определяется возрастающая функция s = s(x) (так как точка кривой однозначно определяется ее абсциссой). Найдем выражение для ds^x). Дадим х приращение Дх, тогда s(x) получит приращение Дз = s (х -}- Дх)—s(x). Длины
хорды МЫ и |Дз|— эквивалентные бесконечно малые. Обозначая через МЫ длину отрезка МЫ, взятую со знаком плюс (минус), если Ы правее (левее) М, и учитывая, что Дз и направленная длина отрезка МЫ одного знака, получаем:
V Дз пт =-V Дз пт =-&х — оМЫ&х — оМЫ= 1= 1
V Дз пт =-
V Дз пт =-
&х — оМЫ
&х — оМЫ
= 1
= 1
(на рис. 220 Дх^>0). Так как МЫ = Д/ (Дх)2-[-(Ду)2, кроме того, знаки МЫ и Дх совпадают, то
Следовательно,
т. е.
ds 1
dx‘ KT+W
откуда получаем:
или, наконец, ds = ± V (dx)2-{- (dyf, при этом знак корня совпадает со знаком dx—Дх. Нетрудно видеть, что |ds| геометрически представляет собой длину отрезка МК касательной к кривой в точке Л4 (х, f (х)) (рис. 221), а запись lds' = y(dxy24~(dy)2 можно рассматривать как «теорему Пифагора» для, дифференциалов. Из йМКС получаем:
dx 1.v
соза = ч—= r, sina=-^- = —=--,
ds /1 + (У')2ds
при этом рассматривается положительное направление касательной.
Кривизна кривой. Радиус кривизны. Средней кривизной дуги МЫ называется отношение угла смежности дуги к величине Дз этой дуги:
MN ДЗ '
*) В дальнейшем под з будем понимать направленную величину.
Средняя кривизна характеризует среднюю скорость изменения угла смежности дуги вдоль этой дуги.
Величина средней скорости на различных участках дуги, вообще говоря, будет различной.
Кривизной к кривой в точке М называется предел средней кривизны
дуги MN кривой при стремлении точки N по кривой к точке М.
k = lim = Игл N^M^5Д^0Д5
или, если <р — дифференцируемая функция переменной s.
ъ—^
в ds'
В качестве примера покажем, что кривизна окружности радиуса R во всех ее точках постоянна и равна -4 (рис. 222). В самом деле,
MN MN ^ R*
откуда, переходя к пределу при N->M, имеем k = ^.
По аналогии с окружностью величину, обратную кривизне кривой в данной точке этой кривой (если к ^ 0), ^называют радиусом, кривизны кривой в этой
/V У1
точке и обозначают R: R — -^.
J^lЗаметим, что иногда полагают R =
/“Г^Т ^еРется абсолютная величина кри/визны) и радиус кривизны рассматри-
ЛN+M вается как положительная величина.
/ о 7У Найдем выражение для кривизны кри/вой, заданной уравнением у = Цх), где
Рис. 223.Цх)— дважды дифференцируемая функ-
_ ция. В этом случае (см. рис. 223) △ <р — угол смежности дуги MN, tg <р = г/ и, значит, <р = arctg г/ (так как рассматривается положительное направление касательной). Следовательно,
<1Х.
Учитывая, что ds = У 1 -j- (г/')2dx и ^=^, получим
6 =^(1)
[1 + (У)312
Иу,•
Из формулы для кривизны кривой непосредственно следует, что: 1) Знак кривизны кривой у = Цх) в данной точке совпадает со знаком второй производной функции f (х) в этой точке. 2) Кривизна прямой у = кх -|- b во всех ее точках равна нулю (у" = 0), что и естественно, если исходить из обычного представления о прямой. Кривизна кривой в точке перегиба также равна нулю, т. е. в точке перегиба кривая как бы выпрямляется. 3) Кривизна кривой в точке экстремума равна у".
Пример. Найти кривизну кривой у = In х в точке х=1.
Решение.
>U=I=1’
У" = — ^» ^"|х=1=-1,
.1 К2
следовательно, к =, =т—.
22
Кривизна кривой, заданной параметрическими уравнениями. Пусть х = <р(/), у = ^(Ь— параметрические уравнения кривой, где ф (t) и ф (/)— дважды дифференцируемые функции на некотором отрезке изменения t. Кроме того, предполагается, что эту кривую на рассматриваемом отрезке изменения t можно записать в виде: y = f(x). Используя полученную формулу для кривизны кривой, а также формулы параметрического дифференцирования, запишем:
xp — Jc$
t у" _ х8 _*9 — -У’
R—111 ’
u+zyri2 [*+(1У]2^2+9У
т. е.
fe^-^-^.,(2)
(Х=+^)2
Заметим, что, проводя преобразования, вместо )/’х2 = |Х|, мы записали X, а это означает, что равенство (2) получено в предположении X > 0 (х возрастает в некоторой окрестности рассматриваемой точки). Равенство (2) справедливо также и в случае, когда X < 0 (х убывает в некоторой окрестности рассматриваемой точки). Проверить это предоставляем читателю.
Соприкасающийся круг. Центр кривизны
Рассмотрим кривые с уравнениями у = Цх) и у = ф(х). Будем говорить, что эти кривые имеют в точке х0 соприкосновение нулевого порядка, если
/ (х0) = ф (х0), а
/ (^о) ^ ? (Xq)*
Геометрически это означает, что эти кривые пересекаются в точке х = х0 (рис. 224). Будем говорить, что кривые y = f(x) и у = ф(х) имеют в точке х0 соприкосновение первого порядка, если
/ (Xq) === ® (-^о)»
Г(хо) = <р'(Хо), а
Л(Х0)^ф’(Х0).
Геометрически это означает, что кривые (рис. 224) имеют общую точку х = ха и имеют общую касательную в этой точке.
Аналогично определяется соприкосновение n-го порядка в точке х0. В этом случае
f(x0) = v(x0),
f (х0) = ф'(х0),
(При этом мы предполагали существование в точке х0 производных тех порядков от функций / (х) и <р (х), которые фигурируют в соответствующих определениях.)
Рассмотрим пример. Если функция f(x) л 41 Раз непрерывно дифференцируема в точке х0, то график ее многочлена Тейлора
/?W=/W+4r1(^-^o)+ ... +-^^-(х-хог
ниже пниже псоприкосновениясоприкосновенияРис.Рис.224.224.а яа япрямая. Из всех прямых имеет порядок соприкосновенияпрямая. Из всех прямых имеет порядок соприкосновенияимеет с графиком функции f(x) в точке х0 соприкосновение n-го порядка, точнее, соприкосновение порядка не будет выше п, если f^1’(хо) = О, так как в этом случае/(п+1) (х0) — = Р'"*^ ^ = 0). таким образом, в достаточно малой окрестности точки х0 график многочлена Тейлора ц-й степени функции f (х) «наиболее тесно прилегает» к графику самой функции f(x) по сравнению со всеми другими графиками многочленов, степени которых не больше п.
ниже п
ниже п
соприкосновения
соприкосновения
Рис.
Рис.
224.
224.
а я
а я
прямая. Из всех прямых имеет порядок соприкосновения
прямая. Из всех прямых имеет порядок соприкосновения
Задача 1. Соприкасающ у = кх-\-Ь требуется найти ту, кото
с кривой y = f(x) в точке х0 не ниже первого.
Решение. Для определения двух параметров к и У запишем два условия, которые получаются из условий соприкосновения кривой y = f(x) и прямой y = kx-yb в точке М (х0, уйу.
f(x0) = fex04-6,f(x»)=k,
откуда определим:
Ь=ГМ
b=f (х0) — f (х0) х0.
Уравнение соприкасающейся прямой запишется в виде:
У=Г to х + f (х0) — f (х0) х6,
или
y—f^=r^Xg)(.X—Xg\
а это, как известно, уравнение касательной к кривой в точке х0. Таким образом, невертикальная касательная к кривой в данной точке обладает тем свойством, что она имеет наибольший, по сравнению с другими прямыми, порядок соприкосновения с кривой в этой точке.
Задача 2. Соприкасающийся круг1)- Рассмотрим совокупность всех окружностей (х— £)2 + (у — -qf = R\ Требуется определить параметры £, ц, R так, чтобы соответствующая окружность с кривой у = I (х) имела в точке М (х0, у0) соприкосновение порядка не ниже второго (по сравнению с другими окружностями плоскости).
Для определения трех параметров запишем три условия, которые получаются из условий соприкосновения данной кривой и окружности в точке М (х0, 1/о).
1-е условие. Окружность проходит через точку М (х0, у^, т. е.
(Хо-^ + (Уо-^)2 = /?2.(1)
Обозначим у‘д = /' (х0).
Дифференцируя по х уравнение окружности, получим:
2(х —$) + 2(у —^/^О, или
(х^) + (у-т])у' = 0.(Г)
2-е условие. Производные в точке М (х0, у0) равны, т. е.
Uo — ^) + (Уо — ч)Уо = О.(2)
Обозначим у" = )"(х0).
Дифференцируя равенство (13» получим:
+ (уТ + (у-^у'=о.
3-е условие. Вторые производные в точке М (х0, у0) равны, следовательно,
1 + (УбУ + (Уо — l) Уо — 0.(3)
Из системы трех уравнений (1), (2), (3) определим значения параметров 5, т], R:
(х0-У + (у0-ч)2 = /?а,(.Со —Е)4-(у0 —^ = 0,1 4“ (Уо)2 + (Уо — ч) у» = о.
Например,
из
уравнений (2), (3), предполагая,
Уо,
что
Уо ^ 0,
найдем:
(4)
откуда
*^, Уо>
-—и 1 l+w
■ц-у» 1J
(5)
Подставляя равенства (4) в
первое уравнение, получим:
3
RR(6)(6)-М)2]21^1
R
R
(6)
(6)
Из равенств (5) и (6) определяются координаты центра и радиус окружности, которая имеет наибольший, по сравнению с другими окружностями, порядок соприкосновения с кривой в данной точке М (х0, у^.
Окружность (х— £)2 + (У — т])а = ^2. где 5, ц, R определяются из равенств (5) и (6), называется соприкасающимся кругом кривой у=Цх) в данной точке М.
Заметим, что соприкасающийся круг кривой в точке М можно было бы определить как предельное положение окружности, проходящей через три точки кривой, при стремлении их к совпадению с точкой М (сравните с определением касательной).
§ 27. Круг кривизны кривой. Эволюта и эвольвента
Кругом^ кривизны кривой в ее точке М называется окружность, касающаяся кривой в этой точке и имеющая кривизну, равную кривизне кривой в этой точке.
*) См. сноску на стр. 257.
Нетрудно видеть, что окружностей, касающихся кривой в точке М, бесчисленное множество, достаточно взять любую окружность, проходящую через точку М, с центром на нормали к кривой в этой точке. Но по определению круга кривизны кривизна кривой в точке М равна кривизне соответствующей окружности, а это означает, что: 1) центр круга кривизны лежит на нормали к кривой в сторону вогнутости кривой, 2) радиус круга кривизны равен радиусу кривизны кривой в точке М:
з
П+Су')3]2 .
Учитывая сказанное, легко построить (рис. 225) круг кривизны кривой в точке М.
Центр круга кривизны кривой в точке М называется центром кривизны кривой в этой точке.
Теорема. Соприкасающийся круг кривой в точке М является кругом кривизны кривой в этой точке.
Действительно:
Обе окружности касаются кривой в точке М, следовательно, их центры лежат на нормали к кривой в точке М.
Их центры лежат на нормали в сторону вогнутости кривой, что следует из совпадения знаков вторых производных укр и уокр.
Радиусы этих окружностей также равны, как это следует из формулы (6) § 26.
На основании этой теоремы получаем, что координаты центра кривизны кривой определяются из равенства (5) § 26, т. е.
с 1 + (У)3 г
I l + w
11=уЧ—
Пример. Найти уравнение круга кривизны кривой у = In х в точке x = L Решение.
у = 1пх, у(1)=0,
У = ^, У(1) = 1,
У’=-^г, У'(1)=-К
Подставляя значения функции и производных при х = 1 в формулы для координат центра и радиуса, найдем:
5=1^у = 3, 1 = 0 — 2 = — 2, /? = 2}<2
и уравнение круга кривизны запишется в виде:
(х-3)= + (у + 2)2=8
(рис. 226).
Заметим, что если использовать следующие известные нам равенства:
= П+МРУ ’= П+МРУ ’. dy sin а = = ds. dy sin а = = dsУ/1+(У)2’У/1+(У)2’
= П+МР
У ’
= П+МР
У ’
. dy sin а = = ds
. dy sin а = = ds
У
/1+(У)2’
У
/1+(У)2’
COS а =COS а =dx1dx1
COS а =
COS а =
dx1
dx1
(2)(2)то формулы (1) координат центра кривизны можно записать в виде: 1 = х— 7?sina, -q = y-VRcOSa.
(2)
(2)
Заметим также, что равенства (2) можно получить и геометрически (см. рис. 227).
Эволюта плоской кривой. Если точка М (х, у) перемещается по некоторой кривой, то соответствующий ей центр кривизны, вообще говоря,
Если рассматривать хЕсли рассматривать х5 — хч=у5 — хч=у(1)(1)
Если рассматривать х
Если рассматривать х
5 — х
ч=у
5 — х
ч=у
(1)
(1)
тоже перемещается по кривой, которая называется эволютой данной кривой. Другими словами, эволютой плоской кривой называется геометрическое место центров кривизны этой кривой. Данная кривая по отношению к своей эволюте называется эвольвентой.
Рассмотрим теоремы, характеризующие свойства эволюты.
Теорема 1. Нормаль к данной кривой является касательной к ее эволюте.
Теорема 2. Модуль разности радиусов кривизны в любых точках
кривой равен модулю длины соответствующей дуги эволюты.
Например (рис. 228),
| Ri — -Ril — Сг С»,| R» — ^1 : С2 С3.
Эти свойства эволюты имеют следующие истолкования: если на эволюту *) натянута нить, то эвольвента) получается, как траектория конца нити при ее сматывании (или наматывании) при условии, что нить находится в натянутом состоянии. Даннная эволюта имеет бесчисленное множество эвольвент, причем любые две эвольвенты эквидистантны, т. е. имеют общие нормали и расстояния между ними по нормалям равны.
Как известно, равенства (1) и (2) определяют координаты центра кривизны кривой y = f(x). как параметр, то геометрическое место точек с коор
динатами (£, 7]) и есть эволюта рассматриваемой кривой. Таким образом,
параметрические уравнения эволюты записываются в виде:
-Х-Ж.у,}
I L+M2"Т у )
или в видеили в виде
или в виде
или в виде
(2)(2)^ = х — 7? sin а,T] = y-r^cosa.
(2)
(2)
При этом параметром в равенствах (1) и (2) может быть как х, так и любой другой параметр, от которого зависят х и у.
Доказательство теоремы 1. Дифференцируя равенства (2), получимт):
d^—dx — R COS ada — dR sin a,d^ = dy — R sin ada -[- dR cos a.
Ho
R COS ada = da= dx, da ds’
потомупотомуR sin ada = —da = dy,
потому
потому
(21(21d^ —— sin a dR, d-q = cos adR.
(21
(21
Предположим, что R монотонно вырастает или убывает, т. е. dR ^ О, тогда в результате деления равенств (2') имеем:
g = -ctgag = -ctga1tga1tga
g = -ctga
g = -ctga
1tga
1tga
или, что то же,
dq1
dl — — "dy"dx
А это и означает, что касательные к эволюте и эвольвенте в соответствующих точках взаимно перпендикулярны, что и требовалось доказать.
Доказательство теоремы 2. На основании равенств (2') запишем выражение для дифференциала дуги ds эволюты:
ds^d^d-t^dR,
= 1.= 1.(dsV . Ids откуда ^) =1и |^
= 1.
= 1.
Если, например, с возрастанием R длина дуги также возрастает, то 5^=1 и, значит, dR—ds, а следовательно), 7? = s —J—С, где С— любое число, т. е. произвольная постоянная. Из соотношения 7? = s4-C (С = const), получаем: ^R = ^s— приращение радиуса кривизны кривой равно приращению длины дуги эволюты (как по величине, так и по знаку).
Нетрудно заметить, что во всех случаях (при условии, что R изменяется монотонно) абсолютные величины приращений радиуса кривизны и длины дуги равны, что и требовалось доказать.
Заметим еще, что ^R и As имеют одинаковые знаки, если длина дуги эволюты, как функция радиуса кривизны, возрастающая, и имеют противоположные знаки, если длина дуги убывающая функция переменной R.
Пример. Написать уравнение эволюты кривой
{
Решение.Решение.х = а (cos t 4-1 sin f), у = a ( sin t — t cos Z).
Решение.
Решение.
{
X = a (— sin t + sin t 4-t cos t) = at cos t, у = a ( cos t — cos t + t sin Z) = at sin t,
y = ^- = tgt, 14- O')2 = sec21,
1it1itsec31 at 'sec31 at '
1
it
1
it
sec31 at '
sec31 at '
Уравнения эволюты: (sec31
I £ = a(cost + f sinO• tg Z = a cos Z,
. at sec21. ,
-q = a (sin t — t cos t) 4— = a sin t,
(sec8t*
t. e.
{
£ = a cos t, ц = a sinZ.
А это, как известно, уравнения окружности с центром в начале координат радиуса а (исключая параметр Z, получим $2 4-ц3 = л2).
Исходная кривая, следовательно, является разверткой окружности (рис. 229).
Заметим, что при решении этой задачи можно было бы сначала получить урав
нения эволюты в случае параметрического задания кривой, подставляя в равенство (2) у =£ иу"=-—^- , а потом уже решать эту конкретную задачу.
§ 28. Приближенное решение уравнений
Рассмотрим уравнение f(x) = 0 и пусть $ — его действительный корень, т. е. f($) = 0.
Геометрически равенство f(E) = O означает, что график функции f (х) проходит через точку Е оси ОХ. Далее мы будем решать задачу о нахождении с любой наперед заданной точностью при
ближенного значения корня $ уравнения Цх) = 0, а сначала рассмотрим
вопрос о так называемом отделении корней уравнения.
Отделение корней. Будем говорить, что корень Е уравнения Цх) = 0 отделен, если найден отрезок (обозначим его [a, 6]), в котором, кроме 6, нет других корней этого уравнения.
Задача отделения корней уравнения f(x) = 0 решается просто, если построение графика функции /(х) не представляет большой трудности. Действительно, имея график функции f (х), легко выделить отрезки,
в каждом из которых лежит только один корень рассматриваемого уравнения, или, иначе, выделить отрезки, на каждом из которых имеется только одна точка пересечения кривой y — f(x) с осью ОХ.
Заметим, что если f(x) = <p(x) — ф(х), то отделение корней уравнения /(х) = 0 сводится к выделению отрезков, на каждом из которых имеется только одна общая точка кривых У = <р(х), у — '^(х).
Отделить корни уравнения f(x) = O при условии, что f (х)— дифференцируемая функция, можно и не прибегая к построению графиков. Пусть на концах некоторого отрезка [а, 6] функция f(x) имеет значения
разных знаков.
Тогда по свойству непрерывных функций эта функция на интервале (а, 6) по крайней мере один раз обращается в нуль, т. е. уравнение /(х) = 0 имеет по крайней мере один корень.
Если производная f(x) сохраняет знак на отрезке [а, 6], то в силу монотонности функции /(х) уравнение f(x) — 0 на интервале (а, 6) имеет единственный корень.
Приближенное решение уравнений. Пусть корень 5 уравнения f(x) = = 0 отделен, т. е. имеется отрезок [а, 6], на котором, кроме 6, нет других корней этого уравнения. В этом случае числа а и b являются приближенными значениями корня 5 соответственно с недостатком и с избытком.
функции в зависимости отфункции в зависимости от
функции в зависимости от
функции в зависимости от
Рис. 230.
Будем искать теперь значение £ с любой требуемой точностью при следующих допущениях: функция f (х) имеет на отрезке [а, 6] непрерыв
ные производные до второго порядка включительно и, кроме того, производные f (х) и f" (х) сохраняют знаки на этом отрезке.
Из этих условий вытекает, что f (х) — монотонная функция на отрезке
[а, 6], и следовательно, на концах отрезка она имеет значения разных
знаков, а также что кривая y — f(x) выпукла или вогнута (в зависимости от знака f" (х) на рассматриваемом промежутке).
На рис. 230 изображены виды графиков знаков f' (х) и f" (х).
Будем определять корень 6 уравнения ^(х) —0 (предполагается что функция f (х) удовлетворяет перечисленным выше условиям) двумя способами: хорд и касательных. Смысл этих способов состоит в том, что точка пересечения кривой y = f(x) с осью ОХ заменяется точкой пересечения с осью ОХ соответственно хорды (в способе хорд) и касательной (в способе касательных).
Способ хорд. Запишем уравнение хорды АВ (рис. 231):
У~ /(<0 X — а
Л») — f(a)Ъ — а‘
Положив в этом уравнении у = 0, найдем хх— абсциссу точки пересечения хорды АВ с осью ОХ:
_^(6)-W)
1 /(»)-/(") *
Из условий, налагаемых на функцию f(x), следует, что а<^хх<^Ь. Обозначим через Ах точку кривой у = /(х), соответствующую х = хх. Рассмотрим хорду АХВ и найдем ее точку пересечения с осью ОХ:
'~ /№-/W '
при этом a<Xt <х2<6. Неограниченно продолжая этот процесс, определим последовательность {х„}, при этом
У Xn-J^ — bfUn-^п f(b)—f(xn_x) •
Последовательность {хп}— монотонная, ограниченная и, следовательно, сходящаяся. Можно доказать, что limxn = L Доказательство этого факта мы не приводим.
Способ касательных. Проведем касательную к кривой у = Кх) в точке В (рис. 232), т. е. в той точке, в которой знаки функций f (х) и f"^
YYсовпадают (касательная к кривой в точке А может пересечь ось ОХ за пределами отрезка [а, 6]), и найдем точку пересечения этой касательной с осью ОХ.
Y
Y
Уравнение касательной запишется в виде: у-т=г(Мх-ьу
Положив в этом уравнении у = 0, определим Xi — абсциссу точки пересечения касательной
-ЦЬ^-т ^х-ь\-ЦЬ^-т ^х-ь\xx — bxx — brw •rw •х с осью ОХ:
-ЦЬ^-т ^х-ь\
-ЦЬ^-т ^х-ь\
xx — b
xx — b
rw •
rw •
Значению хх соответствует пересечения касательной кЗначению хх соответствует пересечения касательной кточка кривой Вх(_хх, f(Xi)). Абсцисса точки кривой t/ = f(x) в точке Вх с осью ОХ будет
Значению хх соответствует пересечения касательной к
Значению хх соответствует пересечения касательной к
у _ у/(-^1)
Xl~Toxr
Продолжая этот процесс, найдем хп — хп_х— 4, Последовательность {х„}—монотонная и ограниченная, можно доказать, что ее предел равен I
На практике часто используют одновременно оба способа, одним
способом получают приближение искомого корня 5 с недостатком, а другим — приближение с избытком.
Каким именно способом получается приближение корня с недостатком, а каким — с избытком, зависит от вида графика функции Цх).
Если учесть, что каждая из последовательностей К«} и {-^п} — монотонная, то нетрудно подсчитать корень с заданной степенью точности, так как совпадающие знаки в приближениях хп и хп+1 (в прибли
жениях хп и хп+1) являются верными.
Пример. Решим приближенно уравнение х!пх=1. Сначала запи
шем эквивалентное ему уравнение 1пх=^- и построим графики функ
ций 1пх и -^ (рис. 233). Корень 5 данного уравнения находится в интервале (2, 3). Последнее также легко проверить, так как функция f(x) = = xlnx—1 при х = 2 отрицательна, f(2)<0, а при х = 3 — положительна, /(3)^>0. Убедимся еще в том, что производные f(x) и ГМ со" храняют знаки на отрезке [2, 3]. Далее, при 6 = 3 имеем / (3) ^> О,
Г$)">0 и п0 способу касательных получим
х, = 3 —3 — 0,473... 2,527,
ха = 2,527 —= 2,527 — 0,023...2,504.
/ (2,оЗ)’’’
Следовательно, £ = 2,5 (при этом мы допускаем погрешность, меньшую чем 0,1).
§ 29. Интерполирование функций
Решение многих вопросов, как теоретического, так и прикладного характера, приводит к следующей задаче: построить полином Р(х) степени не выше п, который в (м -)- 1)-й данных точках х0, хь х2, ... , хп принимает соответственно данные значения: у0, уь у»уп. Или, что то же, построить полином степени не выше п, график которого проходит через точки Мк^хк, ук) (6 = 0, 1и) (рис. 234).
Исторически эта задача возникла из практики составления и употребления математических таблиц. К ней обращаются также, если нужно дать приближенное аналитическое выражение функции (формулу) по известным значениям функции в некоторых точках.
Сначала решим частную задачу: даны точки х», хь Хо, ... , хп, построить полином Рк (х) степени п, удовлетворяющий условиям:
(0, Я! ^6,
R (1, т = к.
Г рафик полинома Рк (х) изображен на рис. 235.
Если эта частная задача будет решена, то полином, решающий общую задачу, будет записываться следующим образом:
р (х) = у»Р» (X) + yj\ (х) +... + упРп (х).
Действительно, при х = хк все полиномы Рт(х) (m^k) равны нулю, а Рк (хк) = 1 и, следовательно, Р ^х^ = ук.
Решение частной задачи. Так как полином Pk(x) степени п имеет п нулей в точках х0, хь ..., хк_ь хк+1, ..., хп, то его можно записать ) в виде:
Рк (х) = Л (х —х0) (х — х,)... (х — хк_0 (х — хк^... (х —х„).
Определим коэффициент Л, исходя из условия, что Pft(xft)=l:
Рк {хк) = I = Л (хк — х0) (хк — X,)... (х* — хк_0 ^хк — хк^ ..ЛХк — хп\ откуда
^.хк Хд) (хк хх^...^хк хк_х^хк Хд+1)... (хд хп)
Окончательно полином Рк^ запишется в виде:
р / _(X— х0) (х— X!)... (х— xk_Q (x—xk+s)... (х— х„)
’<хк—х0)(хк—х1)..Лхк—хк_1)(хк—хк+1)...(хк — хп)‘
Следовательно, полином Р (х), решающий поставленную выше общую задачу, имеет вид:
^W = 2 Уйfe=0^W = 2 Уйfe=0(х — х0) (х—х,)...(х—хй_() (х —xft+l)...(x—х„)
^W = 2 Уйfe=0
^W = 2 Уйfe=0
(xfe — х„) (хй — хО ... (х6 — хк_^ (хк — хк^) -Лкк— хп)
Этот полином называется полиномом Лагранжа.
Полином Р (х) имеет степень не выше п. Это следует из того, что
каждое слагаемое полинома имеет степень, равную п, но при сложении коэффициенты при старших степенях п могут взаимно уничтожаться. В частности, если все точки Мк(хк, у^), 6 = 0,1, ..., п, лежат на одной прямой, то Р (х) будет полиномом первой vили нулевой степени, последнее возможно
в случае, когда прямая параллельна оси ОХ.
Полином Р (х) по заданным условиям определяется единственным образом. В самом деле, допустим, что полином Q(x)
_степени не выше п решает ту же задачу.
Рис. 235.Тогда разность Р (х) — Q (х) = R (х) — по
лином степени не выше п, который обращается в нуль в (п -|- 1)-й точке xft(6 = 0, 1и).А это возможно
лишь при условии, что полином Rix') тождественно равен нулю, т. е. Р (х)
определяется однозначно.
Другой вид полинома Лагранжа. Рассмотрим полином А (х) степени п 4-1, определяемый равенством
(1)(1)А (х) = (X — Х0) (X — X!) ... (х — х„).
(1)
(1)
Легко показать, что
А' (хй) = V.xk — ^о) (^fe — ^i) • • • к» к — яй-1) (хк — хк^ ..Ахь — хп\
Учитывая это, можно записать полином Лагранжа в виде:
Р (х) = У ук -.V •(2)
Ук (x — xk)A’(xk)
Пример. Построим полином степени п ^ 2, принимающий в точках х0=1, Xi=3, х2 = 5 соответственно значения у0 = 2, уг = 1, у2 = 8.
Решение. По формуле (1) запишем:
Р м — о (х—3)(х —5)(х— 1)(х— 5)(х — 1)(х— 3)
w —(1 —3)(1—5)(3 — 1)(3 — 5)(5 — 1)(5 — 3) *
Преобразовав, получим:
Р(х) = х2 — у х + -^
Интерполирование функций. Пусть задана некоторая функция f(x) и точки: х0, хь ..., хп. Полином Р (х) степени не выше п, принимающий в данных точках те же значения, что и функция /(х), называется интерполяционным полиномом. Точки хк (6 = 0,1п) в этом случае называются узлами интерполяции. По определению интерполяционного полинома имеем:
Р(^) = /(^), 6 = 0, 1, 2, .... п.
Использовав выражение полинома Лагранжа в форме (2), получим так называемый интерполяционный полином Лагранжа:
P^ — ^t (хк) (х _ Д .P^ — ^t (хк) (х _ Д .(3)(3)
P^ — ^t (хк) (х _ Д .
P^ — ^t (хк) (х _ Д .
(3)
(3)
Вычисление значений этого полинома для значений х, не совпадающих с узлами интерполяции, называется интерполированием., или интерполяцией ).
График интерполяционного полинома пересекает график функции f(x) в узлах интерполяции (рис. 236).
Понятие о конечных разностях. Пусть f(x)— некоторая функция и h — число, отличное от нуля.
Выражение f (х + й) — f (х) называется конечной разностью первого порядка (первой конечной разностью) функции /(х) в точке х, она обозначается через Д/(х).
&f(x) = f(x+h) — f(x).
Из определения конечной разности непосредственно следует, что конечная разность суммы функций равна сумме конечных разностей слагаемых и что постоянный множитель можно выносить за знак конеч
ной разности:
Рис. 236.Рис. 236.д Vf W + ? Ml = Af W + Д(Р to-Д [Q (х)] = СД/(х).
Рис. 236.
Рис. 236.
Конечной разностью второго порядка (второй конечной разностью) функции f (х) в точке х называется выражение Д (Д/ (х)), она обозначается через Д^М-
Итак, по определению
Д7(х) = Д(ДГ(х)).
Тогда Д2/ (х) = Д (f (х + h) - / (х)) = Д/ (х + й) - Ц W = Н* + 2й)— f (х-[-й) —/(x-l-^-l-Vtx), откуда следует, что
ДV (х) = f (х + 2й) - 2f (х + й) + f (х).
Таким образом, конечная разность второго порядка функции f(x) в точке х, ^f(x), выражается через значение функции /(х) в точках х, х—|—й, х —|—2й.
Конечная разность третьего порядка функции /(х) в точке х обозначается через Д3/(х) и определяется равенством
Д3/(х) = Д(Д^(х)).
Нетрудно получить следующее выражение дз7(х) через значения функции f (х) в точках х, х4-й, х-[-2й, х-[-Зй:
д7 (х) = / (х + Зй) - 3/ (х + 2й) + 3/ (х + й) - f (х).
Конечная разность п-го порядка функции / (х) в точке х обозначается Д"/М и определяется равенством
Д”/(х) = Д (Д""7(х)).
Можно доказать, что Д”/ (х) выражается через значения функции f(x) в точках x-^-kh (й = 0, 1, .... п) следующим образом:
дл f W=S (- хГкск4 (х+йй).
Обратно, можно найти выражение значений функции / (х) в точках x-j-йй через конечные разности в точке х (при этом значение /(х) в точке х будем считать конечной разностью нулевого порядка в этой точке).
Действительно,
Hx-Vh) = f^-V^^,(4)
тогда Д/(х + /г) = Д/:(х) + Д2/:(х), откуда f (х 4- 2h) = f (х + /г) + Д/ (х) + 4-Д2/М или, учитывая равенство (4),
/ (х + 2/г) = / (х) + 2 Д/ (х) + Д2/ (х).(5)
Можно доказать, что при любом п
/(x + ^^SC^VM.(6)
к=0
Факториальные полиномы. Рассмотрим систему полиномов, определяемых равенствами:
Фо И = 1,
Фп W= l^Vx — х0) (х —х0 —/г) ... (х — х0 — п — \h\n=\, 2, 3, ...
(здесь п — 1 = ц — 1).
Эти полиномы называются факториальными.
Полином Фл (х) имеет степень п, его нули образуют арифметическую прогрессию с разностью К.
Докажем следующее свойство факториальных полиномов:
ДФ„+|(х) = Ф„(х)(7)
(рассматривается конечная разность в любой точке х при приращении, равном /г).
Действительно, так как Ф„+1 (х) = ^руг^ (^ — х0) (х — х0 — /г)... .. .(х— х0 — nh), то
дФп+1 W = у^руп^ [(^ + А — ХО) (х — х0)... (х — х0 — п — 1/г) —— (х — х0) (х — х0 — /г)... (х — х0 — п — 1/г) (х — х0 — nhy\ =
= (п + 1)! h™ (х — ^о) (я — ^о — й) • • • (х — х0 — п— 1/г) X
X [X 4-/г — х0 — (х — х0 — п/г)] = -^ (х — х0) (х — х0 — /г)...
... (х — х0 — п — 1/г) = Фп (х).
Что и требовалось доказать.
Разложение любого полинома по факториальным полиномам.
Сначала решим общую задачу. Пусть задана какая-то система полиномов Р0(х), Pt(x)РДх), степени которых равны их индексам. Докажем, что любой полином Р (х) степени п можно разложить по полиномам данной системы, т. е. можно определить числа ck(k = O, 1, ..., п) так, что при любом х будет выполняться равенство
Р (X) = сйРй (х) + С^! (X) + ... + спРп (х).
В самом деле, определим сп так, чтобы полином Р ^ — спРп^ имел коэффициент при х”, равный нулю. Этим условием сп определяется однозначно. Затем подберем сп_х так, чтобы полином Р (х) — спРп (х) — — cn-i^n-i (х) имел коэффициент при х”-1, равный нулю, и т. д. Наконец, определим с0 так, чтобы выполнялось равенство
р W — У ckPh (х) = 0.
6=0
Из приведенных рассуждений видно, что поставленная задача всегда может быть решена.
Разложим полином Р (х) степени п по факториальным полиномам. По доказанному
Р(х) = с0Ф0(х)4-с1Ф1(х)+ ... 4-с„Ф„(х).(8)
Определим коэффициенты скЦг = О, 1, 2, ..., га). Положив х = х0, из равенства (8) найдем Р(х0) = с0. Дальше, используя свойство (7) факториальных полиномов, получим:
Д Р (х) = ^Фо (х) 4" С2Ф1 to 4" • • • 4“ Cn^n-l W»
откуда, при х = х0, ДР (xe)=cv
Рассуждая аналогично, получим:
A2Pto = cAto + c3®i (я)+ ••• + с„Ф„_а(х), откуда, при х = х6, Д2Р(х0) = с2 и т. д. Окончательно имеем:
Д”Р (х) — с„Ф0 (х),
откуда при х = х0 Д”Р(х0) = с„.
Таким образом, коэффициенты разложения (8) определяются равенствами сй = ДкР(хп)(6 = 0, 1, 2, ... п) и разложение полинома Р(х) по факториальным полиномам записывается в виде:
Р to = р (Хо) 4- ДР (Хо) Ф, (X) + ^Р М фа to + ... + Д" Р to) Ф„ to (9) или, что то же, в виде:
р W = р to) + ДР to) ^^ + ^Р to) ^-^-.t^^ + ... +
илиили4- Д" Р (х0) (х ~— (Х - ^ ~ ^V - (-V — -^0 — « - 1 А) ,(10)
или
или
X
Р (х) = X8
ДР (х)
Д2Р (X)
Д3Р (х)
—2
—8
7
—6
6
— 1
—1
1
0
0
0
1
1
1
Пример. Разложить полином Р(х) = х3 по факториальным полиномам, взяв х0 = — 2, й = 1.
Решение. Составим таблицу для определения конечных разностей в точке х0 = — 2.
х3 = — 8ф0 (х) 4 7Ф, (х) — 6Ф2 (х) 4 6Ф3 (х)
я 01-7Х + 2(х4-2)(х4-1) , R (х 4- 2) (х 4- 1) х
х. = — 8 4- 7пь^р b^
Интерполяционный полином Ньютона. Рассмотрим интерполирование с равноотстоящими узлами (узлы интерполяции хй = х04" ^, 6 = 0, 1, ..., га образуют арифметическую прогрессию с разностью 6) и напишем полином Р(х) степени не выше «, удовлетворяющий условиям
р(хо4-^)=fto 4-^), 6=о, 1, 2, .... п, или, что то же, условиям
Д*Р(х0) = Д7(х0), 6 = 0, 1. 2, ..., п.
Как уже было указано ранее, такой полином Р (х) существует и единственен. Записав его с помощью равенства (10), получим:
p^=t(^0)4-ММ4.дV(х0)(^оН5 х^й)
[[ ^nj (^ ) (^ "^0)€^ ^о ^...(х Хо И 1А)(11)
Этот полином Р (х) называется интерполяционным полиномом Ньютона. Так как задача интерполирования с данными узлами интерполяции решается единственным образом, то полином Ньютона от полинома Лагранжа отличается лишь группировкой членов. В формуле Лагранжа каждое слагаемое представляет собой полином степени п, в формуле Ньютона степени полиномов-слагаемых возрастают. Нетрудно видеть, что если добавить новые узлы интерполяции, то в формуле Ньютона добавятся только новые слагаемые, тогда как в фор- Vмуле Лагранжа придется пересчитывать все
у-Р(х) слагаемые снова.
-_ 2^<^ч-р-г} На практике чаще применяется интерполи- Iрование с равноотстоящими узлами, так как
•Iтаблицы значений функции составляются обычно
I|для равноотстоящих значений аргумента, по11 скольку измерение какой-либо величины или, о х0 x0+h х что то же> составление таблицы значений функ- Рис. 237.ции производят, как правило, через одинако
вые промежутки.
В качестве примеров рассмотрим интерполирование с двумя и тремя узлами интерполяции, т. е. случаи линейной и квадратичной интерполяции.
Линейная интерполяция. Пусть известны значения функции f(x) в двух точках х0 и x6-\-h. Тогда из формулы (11) при п — 1 получаем
Графиком полинома Р ^ является прямая (рис. 237).Графиком полинома Р ^ является прямая (рис. 237).Р(х) = /(х0) + Д/(х0)^=^.
Графиком полинома Р ^ является прямая (рис. 237).
Графиком полинома Р ^ является прямая (рис. 237).
удовлетворяющие неравенствам х, пренебрегая погрешностью,удовлетворяющие неравенствам х, пренебрегая погрешностью,Будем рассматривать значения х, х0 < х < х0 -}- h, и для этих значений заменим функцию f(x) полиномом Р (х):
удовлетворяющие неравенствам х, пренебрегая погрешностью,
удовлетворяющие неравенствам х, пренебрегая погрешностью,
откуда
/(х)—/(х0) х—,.х0/(х„ + h)—f^x^ h ‘
х0 x0+hx0+2h хРис. 238.х0 x0+hx0+2h хРис. 238.Нетрудно видеть, что это равенство выражает так называемое правило пропорцио- О нальных частей, к которому обычно прибегают при работе с таблицами.
х0 x0+hx0+2h х
Рис. 238.
х0 x0+hx0+2h х
Рис. 238.
Квадратичная интерполяция. Пусть известны значения функции f(x) в трех точках: х0, х0 —}—/z, x0-|-2/z. Из формулы (11) при п = 2 имеем:
р (х) = f (ХО) + Д/ (х0) ^l£l + Д7 (х0)
Если заданные три точки не лежат на одной прямой, то графиком полинома Р (х) является парабола второй степени с осью симметрии, параллельной оси ОУ (рис. 238).
Заменяя функцию Цх) для значений х, удовлетворяющих условию х0 х s^ х0 -L- 2/z, интерполяционным полиномом Р (х), пренебрегая погрешностью, получим:
/ (X) = f W + д/ (х0) ^2^ + Д2/ (х0) U-x^x-x»-^,
Заметим, что в отличие от линейной интерполяции здесь появляется Дополнительное слагаемое A3f (хо) ^——.
Рассмотрим пример.
Вычислим lg10 12,7, используя пятизначные таблицы десятичных логарифмов натуральных чисел. Из таблицы логарифмов находим значение lg10 х при значениях х, равных 12, 13 и 14, и составляем следующую таблицу:
X
/W = lgi0X
Д/(х)
Д=/(х)
12
1,07918
0,03476
0,00257
13
1,11394
0,03219
14
1,14613
Тогда с помощью линейной интерполяции получим:
О 7 lg10 12,7 = 1,07918 4- 0,03476 •= 1,10351.
Если воспользоваться квадратичной интерполяцией, то появится еще одно слагаемое, равное — у 0,00257 • 0,7 • (—0,3) = 0,00027, и результат квадратичной интерполяции запишется в виде:
lg10 12,7= 1,10378.
Вопрос об оценке точности результата при интерполировании рассматривается дальше.
(
S \
£ ) =
s (s— 1) ($ —2)... ($— к — 1)
Если положить s = —^^, то формула (II) запишется так:р(х)=нх0)+(;)д/(х0)+(")д7м^... +
+ (n)A7W.(12)
Остаточный член интерполяции. Пусть задана функция f(x) и соответствующий интерполяционный полином Р(х) с узлами интерполяции xk(k = 0, I, .... о). Разность /(х)— Р(х) —Р(х) называется остаточным членом интерполяции. Оценим величину R (х) для значений х, отличных от узлов интерполяции.
Пусть х — некоторое фиксированное значение, не совпадающее с узлами интерполяции, х — переменное. Обозначим
А (х) = (х — х0) (х — хО ... (х — х„) и
Рассмотрим функцию
F (х) = R (х) — КА (х) =f (х") — Р (х) — КА (х).
Функция F (х) обращается в нуль в узлах интерполяции xft(fe = 0, 1п) и в точке х, что следует из равенства (13).
Обозначим через аир соответственно наименьшее и наибольшее из чисел х0, хь ..., х„ и х. По следствию из теоремы Ролля (гл. IV, § 13) существует точка 5, а<^<р, такая, что F(n*^ (£) = 0. Но F(rwVx') = = ^п^(х)— #(п+1)!3начит, f(n+1) (£)—^ (х)' (л-г 1)1 =0> откуда следует, что
<14>
где а<$<р.
Равенство (14) дает выражение остаточного члена интерполяции.
Заметим, что равенство (14) в предельном случае, когда все узлы интерполяции стремятся к совпадению с х0, дает выражение остаточного члена формулы Тейлора (гл. IV, § 15). И нетрудно показать, используя несколько раз теорему Ролля, что многочлен Тейлора функции f(x) в точке х0 является предельным случаем интерполяционного многочлена, когда все узлы интерполяции стремятся к совпадению с х0 (сделать это предлагается самостоятельно).
Если обозначить через Мп+1 наибольшее значение функции |f(n+1) (х) | на отрезке [а, р], то для остаточного члена интерполяции получаем следующую оценку:
В случае равноотстоящих узлов хь = хй-^кк (6 = 0, Iп)
Л (х) = (»+!)! 6"+1Ф„+1(х), и
|/?(x)j^A4„+I^+1|®n+iW|.
Если ПОЛОЖИТЬ 2 = 8, ТО
\R^\^Mn^hM |(„® ,)| -
В частности, при линейной интерполяции с узлами х0, x0-L/z для значений х из интервала (х0, х0-}-А) имеем:
| Я (х) I^W^sJi,
где М^— наибольшее значение If''^)! на отрезке [х0, х0 + 6]. Но так как
—- , где 0 <_s <; 1, то следовательно, — = -2—~
— 82 \S 2 )8 1
Оценка остаточного члена в случае линейной интерполяции имеет вид:
1^)]^.
Проводя аналогичные рассуждения в случае квадратичной интерполяции с узлами интерполяции х0, х0 + ^> x0-j-26 для значений х из интервала (х0, х0 + 26) можно получить следующую оценку остаточного члена:
|Я(х)|^^,
где Мз — наибольшее значение |f"'(x)| на отрезке [х0, х0-]-26].
ГЛАВА V
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Раздел 1
ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙИНТЕГРАЛ
Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Различные вопросы математики, естествознания и техники приводят к решению обратной задачи — восстановлению функции по заданным ее производной или дифференциалу.
Будем называть функцию F (х) первообразной (или примитивной) для функции f (х) на данном промежутке, если в каждой точке этого промежутка
F(x) = f(x)(1)
или, что то же, dF (х) = f (х) dx.(2)
Так, например, функция F(x) = sinx является первообразной на всей оси ОХ для функции f (х) = cos х, так как для любого х (sin х)' = cos х,
а функция 1п[х| является первообразной для функции ^ на любом промежутке оси ОХ, не содержащем точки х = 0, так как на нем (1п|х|)' = = ^. Отыскание по данной функции f (х) ее первообразной составляет одну из основных задач интегрального исчисления.
Естественно, возникают вопросы: у всякой ли функции существует первообразная и, если существует, то одна или их много?
Ответ на первый вопрос вытекает из доказанной ниже (гл. VI) теоремы: для всякой непрерывной на данном промежутке функции существует первообразная.
В дальнейшем изложении, не оговаривая этого особо, функции, для которых ищутся первообразные, будем считать непрерывными на рассматриваемых промежутках, а данные конкретные элементарные функции будем рассматривать только на промежутках их непрерывности.
Задача отыскания по данной функции f (х) ее первообразной решается неоднозначно: если функция F (х)— первообразная для f(x), то функция F(x)^-C, где С — любое число, также будет первообразной.
Действительно, если F (х)— первообразная, т. е. F (x) = f (х), то [Е(х) -{- С]' =F (х) = f(x) для любого числа С, т. е. F^-^-C—также первообразная.
Например, для функции f(x) = 3x2 функции F^=x?\ Ф(х) = = х3 — у; Ф (х)=х3 -[- ]/ 2 и вообще Р (х) = х3 -}- С, где С — любое число, будут первообразными.
Таким образом, если функция f (х) имеет одну первообразную F (х), то она имеет их бесчисленное множество.
Покажем теперь, что выражение F(x)-{-C, где С—произвольная постоянная, исчерпывает все первообразные для функции f(x) на данном промеж утке.
Лемма. Функция, производная которой на данном промежутке тождественно равна нулю, постоянна на этом промежутке.
Доказательство. Пусть для функции <р (х) во всех точках данного промежутка <?' (х) = 0. Тогда для любых двух его точек xt и х2 по теореме Лагранжа
? (*2) — ? (*1) = ?' ^ (^2 — ^1),
где $ — точка, лежащая между точками хх и х2. Так как <р'(Е) = О, то Ф (х,) = <р (х2). Функция, значения которой во всех точках промежутка одинаковы, постоянна, т. е. <р(х) = С, где С — некоторое число.
Теорема. Если F (х)— первообразная для функции f(x), то любая другая первообразная для /(х) (на том же промежутке) может быть записана в виде F (х) -|- С, где С — некоторое число.
Доказательство. Пусть Ф (х)— любая первообразная для f(x). Так как Ф'(х) = /:(х), то для всех точек х рассматриваемого промежутка
[Ф (х) - F (х)]' = Ф' (х) - Р (х) = f (х) - f (х) = 0,
а значит, функция Ф (х) — F (х) постоянна на этом промежутке: Ф (х) — — F (х) = С, где С — некоторое число. Отсюда следует, что Ф (х) = = F(x) + C.
Итак, если известна одна какая-либо первообразная F (х) функции f(x) (на данном промежутке), то совокупность всех ее первообразных охватывается выражением F (х) -{- С, где С — произвольная постоянная. Другими словами, выражение F(x)-]-C, где F (х)— какая-либо первообразная для f (х), а С — произвольная постоянная, дает все функции, имеющие производной функцию f (х), а дифференциалом f(x)dx. Это выражение называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом ^ f (х) dx (читается: «интеграл от эф от икс де икс»).
Функция f (х) называется при этом подинтегральной функцией, выражение f(x)dx— подинтегральным выражением, х— переменной интегрирования, символ ^ — знаком интеграла. Например, J ^-dx=ln |х|-[-С, Зх2 dx = х3 -[- С и т. д.
Таким образом, по определению
^ / (х) dx = F (х) -}- С,(3)
где F^x) — какая-либо первообразная для f(x), а С—произвольная постоянная.
Отыскание первообразной и отыскание неопределенного интеграла от данной функции /(х) называют интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подинтегральную функцию.
Например, ^e"Mdx=—ye'^-j-C, так как ^—^ е"2^-[-С^'= е-2\
Простейшие свойства неопределенного интеграла
Из определения неопределенного интеграла [см. (1), (2), (3)] непосредственно следует, что:
Производная неопределенного интеграла равна подинтегральной функции:
Дифференциал неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению:
d ^ f (х) dx^ = / (х) dx.
Неопределенный интеграл от производной равен самой функции плюс произвольная постоянная С:
^Р (x)dx = F (х) -[- С.
Неопределенный интеграл от дифференциала равен дифференцируемой функции плюс произвольная постоянная С:
\dF(x) = F(x)-{-C.
Каждое из свойств I—4 по-своему выражает тот факт, что интегрирование есть операция, обратная дифференцированию.
Постоянный множитель k(k^O) можно выносить за знак неопределенного интеграла:
kf (х) dx = к ^ f (х) dx.
Доказательство. Пусть F (х^— первообразная для /(х), т. е. Р (x^ = f (xY Тогда kF (х)— первообразная для функции kf(x):
(kF (х))' = kF (х) = kf (х).
Из определения интеграла следует, что
k f (х) dx = k [F (х) -[- С] = kF (х) -[- С, = kf (х) dx,
где положено ЙС = С, (так как k ^ 0, то Cx = kC — тоже произвольная постоянная) ‘).
Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций (если каждый из них существует):
5 [f () ± <р (*)] dx = f (х) dx ± <р (х) dx.
Действительно, пусть функции F (х) и Ф (х) являются первообразными для f (х) и <р (х):
H^^ftXY Фг(х) = <р(х).
Тогда функции F (х) ± Ф (х) будут первообразными для функций f(x)±<p(x).
Следовательно,
5 f (х) dx± 5 <Р (X) dx= [ F(x) + CJ ± [Ф (х) + С3] =
= [F (х) ± Ф (х)] + [С, ± С3] = [F (х) ± Ф (х)] + С == ^[/ (х) ± <р (х)] dx,
так как C=Ci±Ca (вместе с Ct и С2) — произвольная постоянная.
Примечание. Свойство 6 легко распространяется на любое число слагаемых.
Таблица основных интегралов. Приведем таблицу так называемых основных интегралов. Часть формул этой таблицы непосредственно следует из определения интегрирования как операции, обратной дифференцированию, и таблицы производных. Остальные формулы легко могут быть проверены читателем. Для этого, как уже говорилось выше, достаточно, продифференцировав результат интегрирования, получить подинтегральную '
V.
VI.
VII.
VIII.
X.
XI.
XII.
XII,а.
Иногда
СXй*1j xa dx=-^^-\-C, a — любое действительное число, а у— 1,j — = In I X I C,^exdx = ex-VC,{axdx=^—l-C, a">0, а Ф 1,Jin a l /’cos x dx = sin x -}- C, sin x dx = — cosx 4- C, sec2 x dx = tg x -f- C, cosec2 dx = —ctgx'4-С, C /* =larctg-4-C, a^O, J x2 + a2 a ° a 1’f Ax= arcsin — 4- C, a > 0,f v^=T=lnlx+/^—^l + c> a^°> у X ОГ »1 2 = In (x 4- /x2 + a2) 4- C, a 0.J ух2 + агк основным, или, как их еще называют, табличным, интег-СXй*1j xa dx=-^^-\-C, a — любое действительное число, а у— 1,j — = In I X I C,^exdx = ex-VC,{axdx=^—l-C, a">0, а Ф 1,Jin a l /’cos x dx = sin x -}- C, sin x dx = — cosx 4- C, sec2 x dx = tg x -f- C, cosec2 dx = —ctgx'4-С, C /* =larctg-4-C, a^O, J x2 + a2 a ° a 1’f Ax= arcsin — 4- C, a > 0,f v^=T=lnlx+/^—^l + c> a^°> у X ОГ »1 2 = In (x 4- /x2 + a2) 4- C, a 0.J ух2 + агк основным, или, как их еще называют, табличным, интег-ралам относят также следующие интегралы:
СXй*1
j xa dx=-^^-\-C, a — любое действительное число, а у— 1,
j — = In I X I C,
^exdx = ex-VC,
{axdx=^—l-C, a">0, а Ф 1,
Jin a l /’
cos x dx = sin x -}- C, sin x dx = — cosx 4- C, sec2 x dx = tg x -f- C, cosec2 dx = —ctgx'4-С, C /* =larctg-4-C, a^O, J x2 + a2 a ° a 1’
f Ax= arcsin — 4- C, a > 0,
f v^=T=lnlx+/^—^l + c> a^°> у X О
Г »1 2 = In (x 4- /x2 + a2) 4- C, a 0.
J ух2 + аг
к основным, или, как их еще называют, табличным, интег-
СXй*1
j xa dx=-^^-\-C, a — любое действительное число, а у— 1,
j — = In I X I C,
^exdx = ex-VC,
{axdx=^—l-C, a">0, а Ф 1,
Jin a l /’
cos x dx = sin x -}- C, sin x dx = — cosx 4- C, sec2 x dx = tg x -f- C, cosec2 dx = —ctgx'4-С, C /* =larctg-4-C, a^O, J x2 + a2 a ° a 1’
f Ax= arcsin — 4- C, a > 0,
f v^=T=lnlx+/^—^l + c> a^°> у X О
Г »1 2 = In (x 4- /x2 + a2) 4- C, a 0.
J ух2 + аг
к основным, или, как их еще называют, табличным, интег-
tg х dx = — 1 п | cos x | 4- C,
^ctgxdx = In |sin x|-|-C,
sec x с/х = In | sec x 4~ tg x | -|- C = In | tg ^ -{- -^ | + C,
1 cosec xdx = In | cosec x — ctgx | = In tg^ H-C.
Проверим, например, справедливость формул IX и XV.
Так как arctg —=-—= -5-4—то \ а ° л 1/ й 1 । Л а а тх
Далее, так как [In | secx4- tgx |4~С]' = --— _|_ ta х (tgхsecx4~sec2x)— = secx, то ^secxdx=ln|secx4~tgx|4-C.
Читателю рекомендуется самому проверить остальные формулы.
§ 2. Непосредственное интегрирование
Используя свойства неопределенных интегралов и таблицу основных интегралов, можно интегрировать некоторые элементарные функции (так называемое непосредственное интегрирование).
Рассмотрим несколько примеров.
(
1 х3 dx= -^ -у С (по формуле I).
1
4з
Г—-^-— Гл- з dx= —— |-С = —3 *—• + С (по формуле I).
J ху х JLух
3
( ..^1 = = arctg —^- + С (по формуле IX).
о Л -Г° у 5 V о
Г — rfX = In | х + J^x2 — 4 | + С (по формуле XII).
J ух2—4
^ 8 cos х dx = 8 ^ cos х dx = 8 (sin x + C^ = 8 sin x + С (здесь C = 8C,).
При решении примера 5 использовано свойство 5 о вынесении постоянного множителя за знак интеграла.
Для того чтобы проинтегрировать сумму функций или, как говорят, взять от нее интеграл, нередко приходится применять свойство 6, заменяя интеграл от суммы функций суммой интегралов от слагаемых.
С (бх3 —-— sin х^ dx = \ 5х3 dx — \ — dx— f sin x dx=5 C x8 dx —
J \ x /JJ x JJ
C dx C/5\
— 8 I — — l sin x dx = 1-^- x4 + С, 1 —8 [In lx | -|- Cs] —[— cos x-j- C3] =
5
= — a4 — 8 In | x | + cos x -|- С (no формулам I, Il и VI).
Здесь C=C, — 8C2—C3 — произвольная постоянная.
Примечание. При отыскании суммы интегралов обычно сразу пишут одну произвольную постоянную
7 С dx — 1 С Мх — 1 С 4-j-х2 — х2 _
• J л-2(44-х2)~ 4 J х2(4+х2)~ 4 J х2 (4 + х2) йХ-
f dx 1 С dx 111, х . _
= 4 J4-+^ = ~T-^-lTarCtST + C
(по свойствам 5 и 6 и формулам 1 и IX).
Функции, интегрируемые непосредственно, не исчерпывают даже основных элементарных функций, не говоря уже о сложных функциях. Так, например, среди табличных интегралов нет интегралов от 1пх, arcsinx, arctg х и т. д.
Задача интегрирования принципиально труднее задачи дифференцирования. В дифференциальном исчислении имелись конструктивное определение производной *) и ряд теорем, дающих правила дифференцирования суммы, произведения, частного, сложных и обратных функций. В интегральном исчислении неопределенный интеграл определяется не конструктивно, правил для интегрирования произведения, частного, сложной и обратной функций нет. Имеются лишь отдельные приемы, позволяющие интегрировать отдельные классы функций. Изучением таких приемов мы займемся ниже.
Замена переменной в неопределенном интеграле
Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла или интеграла, берущегося тем или иным известным приемом. Такой метод называется методом подстановки, а также методом замены переменной.
Рассмотрим функцию х = ^^, где ® (/)— строго монотонная и непрерывно дифференцируемая функция на некотором промежутке. Если на соответствующем промежутке изменения х функция / (х) интегрируема, то
Sj^dx^H^W^dt. (1)
Действительно, пусть F (х)— первообразная для /(х):
F(x) = f(x).
Тогда функция F(<p(t)) будет первообразной для функции f (® (0) ®' (t):
[^ (<Р (0)]' = F’x (<Р (0) ?' (О = 7 (<Р (0) ?' V) *)•
Отсюда следует, что
$ f (? (0) ?' (0 dt = F^ (0) + С = F (X) 4- С = ^ (X) dx.
Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
Заменяя по формуле (1) переменную интегрирования в интеграле ^f^dx некоторой функцией t: x—^^ty мы сведем нахождение этого интеграла к нахождению интеграла ^ f (<р (Z)) V (t) dt. Формально замена переменной выполняется так, как будто подинтегральное выражение f^dx есть произведение функции /(х) на дифференциал х:
f М — 7 (Т Ю). dx = d <р (0 = ^ (z) dt, т. е. f^dx^f^Cf^^dt.
Пусть, например, требуется найти интегралПусть, например, требуется найти интегралПосле нахождения интеграла ^ f (? (0) ?’ (0 dt надо вместо t подставить его выражение через х).
Пусть, например, требуется найти интеграл
Пусть, например, требуется найти интеграл
dx. Обозначим х=<+1,
тогда dx = dt.
= 1^ + 3# + 31п4|-1 + С = 1(х-1)2 + 3(х-1)+31п|х-1|-т1-г + С.
Замена переменной в неопределенном интеграле чаще производится по формуле (1), прочитанной справа налево:
V^ W) ^W dx=\t ^ dt.V^ W) ^W dx=\t ^ dt.(2)(2)
V^ W) ^W dx=\t ^ dt.
V^ W) ^W dx=\t ^ dt.
(2)
(2)
где t = ® (х).
При этом функция <р (х), взятая за новую переменную t, должна быть такова, чтобы обратная к ней функция х = ф(^) удовлетворяла высказанным выше условиям.
f х^йх3 х5 + 7 ’* x^dx _ I ХГ+?-f х^йх3 х5 + 7 ’* x^dx _ I ХГ+?-Рассмотрим несколько примеров.
f х^йх
3 х5 + 7 ’
* x^dx _ I ХГ+?-
f х^йх
3 х5 + 7 ’
* x^dx _ I ХГ+?-
Обозначим x5-|-7 = Z, тогда ax4dx = dt и, следовательно,
1 Т Sx4dx5" J ^11 Т Sx4dx5" J ^11 j^ = lln^|+C=|ln|x3 + 7|+C.
1 Т Sx4dx
5" J ^1
1 Т Sx4dx
5" J ^1
р exdx
| —. Обозначим ex = t, тогда exdx = dt и, значит,
J /4—е2х
р exdx О dt. t , _. ех , „
I —- = I .= arc sin -д- + C = arc sin -^4- C.
J j<4-^ J /4-i22 '2 *
i cos ax Дх, a^O. Применим подстановку ax = t, тогда adx=dt, icosaxrfx =
— \ cos a x • adx = — i cos t dt = — sin t 4- C = — sin ax + C.
a Ja Jaa
Аналогично берутся интегралы от еах, sin ax, tgax, ctgax и т. д.
В приведенных выше примерах метод замены переменной быстро привел к цели. Однако удачный выбор новой переменной обычно представляет известные трудности. Для их успешного преодоления необходимо хорошо владеть техникой дифференцирования, уметь «прикидывать», что даст та или иная подстановка, и твердо знать табличные интегралы.
Интегрирование по частям
Пусть функции и = ср(х) и о = ф(х) непрерывно дифференцируемы на некотором промежутке.
Интегрируя тождество
[<Р (х) ф (х)]' = ф' (х) ф (х) + ф (х) ф" (х), получим:
5 [<р (х) ф (х)]' dx = ф' (х) ф (х) dx + ф (х) ф' (х) dx, т. е.
ф (х) ф (X) = 5 у' W Ф (X) dx + $ ф (х) Ф' (х) dx, откуда следует, что
Ф (х) ф' (х) dx = ф (х) ф (х) — ^ ф (х) ф' (х) dx.(1)
Формулу (1) обычно записывают в виде:
^udv = uu— ^odu.(Г)
Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Правильнее было бы назвать ее формулой частичного интегрирования. При известных и и и она сводит нахождение интеграла от udv после частичного интегрирования к нахождению интеграла от odu. Иногда удается функции и и и выбрать так, что новый интеграл либо сам является табличным, либо сводится к табличным интегралам уже известными методами.
Рассмотрим ряд примеров.
^ хех dx. Полагаем х = и, exdx=dv. Тогда dx = du, ех=у и, значит, по формуле (1)
хех dx = хех — ех dx.
Интеграл в правой части равенства табличный:
^ех dx=ex + С.
Окончательно получаем:
$ хех dx = хех — ех -|- С,(Cj = — С).
Примечание 1. При отыскании и по известному du достаточно найти одну какую-либо первообразную. Нетрудно видеть, что прибавление к ней произвольной постоянной не меняет результата интегрирования, усложняя выкладки.
Примечание 2. Если в примере 1 положить ех = и, xdx = dy, то ха
exdx = du, у = 9 и, значит, по формуле (1)
У
х2 1 С
хех dx=-^ ех —^ I х2еХ dx-
Этот выбор и и dy неудачен, так как новый интеграл «сложнее» данного. В общем случае нельзя указать рецепта для выбора в подинтегральном выражении и и dy. Рекомендуется мысленно «прикидывать», что дадут те или иные обозначения.
Сdx
I х8 In | х | dx. Здесь удобнее положить и = In | х |, dy = х3 dx. Тогда du = — , х4
9 == — и, значит,
f х8 In 1 х | dx = In | x |C Xs dx = In | x | —+ C
J44 J4116•
Иногда для получения окончательного результата приходится несколько раз последовательно применять формулу интегрирования по частям
^х2 sin xdx. Пусть x3 = u, sin xdx = dv, тогда 2xdx = du, —cosx = 9, т. е. х2 sin xdx = — х2 cos х -|- 2 ^ х cos xdx.
Для нахождения интеграла ^xcosxdx положим х = и, cos xdx —dv, тогда dx = du, sinx = o,
x cos xdx = x sin x — ^ sin xdx = x sin x 4- cos x 4- C.
Окончательно получаем:
x2 sin xdx = — x2 cos x -|- 2x sin x + 2 cos x 4- Cv где C, = 2C.
Метод интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем метод замены переменной. Существуют, однако, классы функций, интегрируемых по частям. К ним относятся, например, функции вида Р^е1”, P(x)sinax, P(x)cosax, где a — любое действительное число, а Р (х) — любой многочлен.
Интегралы от этих функций берутся методом интегрирования по частям, если положить Р(х) = и, а оставшиеся «множители» взять за du. После однократного интегрирования по частям получатся интегралы того же вида, но степень многочлена Р (х) понизится на единицу. После n-кратного применения формулы (1) останутся интегралы ^еах dx, ^ sin ax dx и ^ cos ax dx, сводящиеся к табличным.
^ (x2—2x") e~x dx. Пусть x2 — 2x = u, e~x dx = dv, тогда 2 (x — \)dx = du, — e~x = y, t. e. ^ (x2 — 2x) e-x dx = — (x2 — 2x) e-x + 2 ^ (x — 1) e~x dx.
Полагаем x — 1 = u, e~x dx = dy, тогда dx = du, — e-x = y,
^(x— 1) e-x dx = — (x— 1) e-x 4- e-x dx = — (x— 1) e-x —e-x -^-C.
Окончательно получим:
$ (x2 — 2x) erx dx = (— x2 + 2x) e~x + (— 2x + 2) e~x —
— 2e~x 4 C! = — x^e"x 4- Cv
Интегралы вида ^ Р(х) ln|axl dx, где а — любое действительное число (а^ 0), а Р(х)— любой многочлен, также берутся методом интегрирования по частям, если положить
ln|ax|= и,Р (х) dx = do.
В конце данной главы будут дополнительно указаны некоторые классы функций, интегрируемых методом интегрирования по частям с последующим применением других методов и приемов.
Нахождение некоторых интегралов методом интегрирования по частям сводится к решению алгебраического уравнения, в котором неизвестным является искомый интеграл.
Пример. Найти ^ e-tx sin $х dx.
Пусть еах = и, sin^xdx — dv. Тогда aeaxdx = du, —-1 cos $х = v, т. е.
е°-х sinPx dx ==- еах cosе°-х sinPx dx ==- еах coseax cos px dx.eax cos px dx.Полагаем теперь еах = и, cos^x dx = dv. Тогда aeax dx = du, 4-sinBx = o, t. e.PC eax cos 8.x dx = 4- eax sin px1 eax sin px dx.JPP JПолагаем теперь еах = и, cos^x dx = dv. Тогда aeax dx = du, 4-sinBx = o, t. e.PC eax cos 8.x dx = 4- eax sin px1 eax sin px dx.JPP JТаким образом,l eax sin $x dx = — J- eax cos ₽x 4- ^ eax sinJPP"Таким образом,l eax sin $x dx = — J- eax cos ₽x 4- ^ eax sinJPP",2 p^ 1 eax sin px dx.,2 p^ 1 eax sin px dx.(2)(2)Примечание. Так как неопределенный интеграл равен какой-либо первообразной подинтегральной функции плюс произвольная постоянная, то один неопределенный интеграл считается равным выражению, содержащему другой интеграл, если разность между ними постоянна.Приводя подобные члены в равенстве (2) и учитывая сделанное выше примечание, получим:Примечание. Так как неопределенный интеграл равен какой-либо первообразной подинтегральной функции плюс произвольная постоянная, то один неопределенный интеграл считается равным выражению, содержащему другой интеграл, если разность между ними постоянна.Приводя подобные члены в равенстве (2) и учитывая сделанное выше примечание, получим:где Сгде СС.Р2а=4-р2С.Р2а=4-р2Л । “2\ С—рcos 8х-4-a sin Рх , _V + f) J 6 SU1 ₽ dx = —"— р?" + См.asinpx—pcospx _„ , „е sm рх dx =а^+р—~ е + С>Л । “2\ С—рcos 8х-4-a sin Рх , _V + f) J 6 SU1 ₽ dx = —"— р?" + См.asinpx—pcospx _„ , „е sm рх dx =а^+р—~ е + С>произвольная постоянная.произвольная постоянная.Раздел 2КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛАРаздел 2КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА§ 5. Комплексные числа и действия над нимиВ данном параграфе будут кратко изложены действия над комплексными числами, т. е. вопросы, в основном изучаемые в курсе элементарной математики.Комплексным числом г называют символ x-Uyi, где х и у — действительные числа. При этом х называется действительной частью комплексного числа, у — мнимой частью, i — мнимой единицей.Комплексные числа z1 = x14- yii и г2 = ха -[- у* называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:Х1=Х3, У1 = Уа.(1)В частности, комплексное число z = х -[- yi = 0 -[-10 тогда, и только тогда, когда х —0, у = 0.§ 5. Комплексные числа и действия над нимиВ данном параграфе будут кратко изложены действия над комплексными числами, т. е. вопросы, в основном изучаемые в курсе элементарной математики.Комплексным числом г называют символ x-Uyi, где х и у — действительные числа. При этом х называется действительной частью комплексного числа, у — мнимой частью, i — мнимой единицей.Комплексные числа z1 = x14- yii и г2 = ха -[- у* называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:Х1=Х3, У1 = Уа.(1)В частности, комплексное число z = х -[- yi = 0 -[-10 тогда, и только тогда, когда х —0, у = 0.
е°-х sinPx dx ==- еах cos
е°-х sinPx dx ==- еах cos
eax cos px dx.
eax cos px dx.
Полагаем теперь еах = и, cos^x dx = dv. Тогда aeax dx = du, 4-sinBx = o, t. e.
P
C eax cos 8.x dx = 4- eax sin px1 eax sin px dx.
JPP J
Полагаем теперь еах = и, cos^x dx = dv. Тогда aeax dx = du, 4-sinBx = o, t. e.
P
C eax cos 8.x dx = 4- eax sin px1 eax sin px dx.
JPP J
Таким образом,
l eax sin $x dx = — J- eax cos ₽x 4- ^ eax sin
JPP"
Таким образом,
l eax sin $x dx = — J- eax cos ₽x 4- ^ eax sin
JPP"
,2 p
^ 1 eax sin px dx.
,2 p
^ 1 eax sin px dx.
(2)
(2)
Примечание. Так как неопределенный интеграл равен какой-либо первообразной подинтегральной функции плюс произвольная постоянная, то один неопределенный интеграл считается равным выражению, содержащему другой интеграл, если разность между ними постоянна.
Приводя подобные члены в равенстве (2) и учитывая сделанное выше примечание, получим:
Примечание. Так как неопределенный интеграл равен какой-либо первообразной подинтегральной функции плюс произвольная постоянная, то один неопределенный интеграл считается равным выражению, содержащему другой интеграл, если разность между ними постоянна.
Приводя подобные члены в равенстве (2) и учитывая сделанное выше примечание, получим:
где С
где С
С.Р2а=4-р2
С.Р2а=4-р2
Л । “2\ С—рcos 8х-4-a sin Рх , _
V + f) J 6 SU1 ₽ dx = —"— р?" + См
.asinpx—pcospx _„ , „
е sm рх dx =а^+р—~ е + С>
Л । “2\ С—рcos 8х-4-a sin Рх , _
V + f) J 6 SU1 ₽ dx = —"— р?" + См
.asinpx—pcospx _„ , „
е sm рх dx =а^+р—~ е + С>
произвольная постоянная.
произвольная постоянная.
Раздел 2
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Раздел 2
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 5. Комплексные числа и действия над ними
В данном параграфе будут кратко изложены действия над комплексными числами, т. е. вопросы, в основном изучаемые в курсе элементарной математики.
Комплексным числом г называют символ x-Uyi, где х и у — действительные числа. При этом х называется действительной частью комплексного числа, у — мнимой частью, i — мнимой единицей.
Комплексные числа z1 = x14- yii и г2 = ха -[- у* называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:
Х1=Х3, У1 = Уа.(1)
В частности, комплексное число z = х -[- yi = 0 -[-10 тогда, и только тогда, когда х —0, у = 0.
§ 5. Комплексные числа и действия над ними
В данном параграфе будут кратко изложены действия над комплексными числами, т. е. вопросы, в основном изучаемые в курсе элементарной математики.
Комплексным числом г называют символ x-Uyi, где х и у — действительные числа. При этом х называется действительной частью комплексного числа, у — мнимой частью, i — мнимой единицей.
Комплексные числа z1 = x14- yii и г2 = ха -[- у* называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:
Х1=Х3, У1 = Уа.(1)
В частности, комплексное число z = х -[- yi = 0 -[-10 тогда, и только тогда, когда х —0, у = 0.
Если у = 0, то комплексное число имеет вид z = x-L0L Будем его сокращенно записывать г = х и называть действительным числом. Если х = 0 и у = 0, то комплексное число 2 = 0 —|—z'O сокращенно записывается в виде г = 0 и называется нулем.
Если х = 0, у^О, то комплексное число имеет вид г — 0-Lyi или, короче, z = yi. Его называют чисто мнимым числом. В частности, если х = 0, у=1, получаем комплексное число 04-b’ = t— мнимую единицу. Всякое число z = x-\-iy, где у Ф 0, называют мнимым числом.
Два комплексных числа x-^-yi и х— yi называются комплексносопряженными. Если z = x-\-yi, то сопряженное число х— yi принято обозначать z.
Суммой комплексных чисел Zi = хх 4~ уJ и г2 = х2 4- yj- называют комплексное число (xi -[- х^ 4- (У1 + Уз) i• Его обозначают zx 4* г2. Таким образом,
21 4~ 2t = (^i 4“ х») 4" (У1 + У^ ^^
При сложении комплексных чисел складываются их действительные и мнимые части.
Комплексное число z3 = x3 4- У^ называется разностью двух комплексных чисел zx = xx-^- yxi и г2 = х24- У^. если z34-z2 = z1. Разность комплексных чисел zx и гг обозначается гх—z2. Из определения следует, что
21 — z2 = (хх — х^ 4- (у! — у^ 1.(3)
При вычитании из действительной и мнимой части уменьшаемого соответственно вычитается действительная и мнимая часть вычитаемого.
Умножение двух комплексных чисел zx = хх 4- yxi и z2 = х2 -[- yj, вводится равенством
21 • z2 = (XiX2 — У1</2) 4~ (^ у2 4" х$Уд I-(4)
Из равенства (4) следует, что
i» = i.i = (p4- Н) (04- li) —— 14-0i = — 1.(5)
Нетрудно заметить, что с учетом того, что ia =—1, равенство (4) может быть формально получено по обычному правилу умножения двучлена на двучлен.
Действительно, (хх 4- ухЦ • (х2 4- УаО = xixa 4" У1У^ + Х\У^ 4" хзУ1г = = (XiX2 — уху2) 4- ^сху2 4- х2ух) I.
Если при умножении двух комплексных чисел zx и z2 получится некоторое число А 4- Bi, то при умножении сопряженных им чисел zx и г2 получится число сопряженное, т. е. А — Bi. Для доказательства умножим сначала число zx — xx-^-yxi на г2 = х2-^ул, а затем число 21= хх — yxi на г2 = х2— y2i:
212а = (xi4- ух^ (х2 4- у^ = (х,х2 — уху^ 4- ixxy2 4- х2у,) i = Л 4- Bi, zxzi = (Xi — ухЦ (х2 — yai) = (xiX2 — i/it/2) — (хху2 4- x2t/i) i = А — Bi.
Деление вводится как действие, обратное умножению. Частным от деления числа zx = xx-\-yii на число z2 = x24-y2i (z2^0) называют число z3=xa4-ysi, такое, что z3-z» = zx, т. е.
Х1 4" У У = (*з 4" УА <х» + УзО-(6)
Отсюда, на основании равенства (4), получаем:
хх = х2х3 — у1у3;ух = х1Уз + хзУ2-(7)
Решая систему (7) относительно х3 и у3, находим:
3—Х1+У1• ys~ xl+yi
(где х2 -р Уг ^ 0, так как по условию х2 4- y2i ^ 0).
Таким образом,
Нетрудно заметить, что равенство (9) может быть получено путем умножения числителя и знаменателя дроби ^* ^^' на число, комплексносопряженное знаменателю.
Возведение комплексного числа г в натуральную степень п рассматривается как частный случай умножения комплексных чисел:
zR = z-zг.
п раз
При этом, на основании равенства (5), получаем:
i2 ——1;р = ?^ =— i; i4‘ = i% .р =\,
и вообще i№=l, tw*x = l, ^п^ =—1, iiR+3 =— i, где n— натуральное число.
Примечание 1. Из данных определений следует, что вышеуказанные действия над комплексными числами производятся так же, как и над действительными двучленами, если при этом считать, что i4 = -L
Примечание 2. Если над несколькими комплексными числами совершается ряд алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целую положительную степень), в результате которых получается некоторое число А -[- Bi, то при совершении тех же операций над числами, сопряженными данным, получится число А— Bi, сопряженное числу A-\-Bi.
Это утверждение было доказано в случае умножения комплексных чисел. Таким же образом может быть оно доказано и для остальных операций.
Например, если - = А -|- Bi, то ^+^) г® = А — Bi. 2» 2g24 — 2g
Комплексные числа можно рассматривать как расширение множества действительных чисел. В самом деле, алгебраические операции над комплексными числами введены так, что совокупность всех «действительных» комплексных чисел (т. е. чисел вида z = xJriO или, короче, г=х) с указанными операциями над ними совпадает с совокупностью действительных чисел и известными действиями над этими числами.
Геометрическая интерпретация комплексного числа. КомплексноеГеометрическая интерпретация комплексного числа. Комплексное§ 6. Тригонометрическая форма комплексного числа
Геометрическая интерпретация комплексного числа. Комплексное
Геометрическая интерпретация комплексного числа. Комплексное
точкой с координатамиточкой с координатамии точками комплекснойи точками комплекснойчисло z = x-\-yi геометрически изображается х, у на плоскости XOY (рис. 239). Плоскость, служащая для изображения комплексных чисел, называется комплексной плоскостью. Так как каждое комплексное число z = х 4- yi определяется его действительной частью х и мнимой частью у единственным образом, то каждому комплексному числу будет соответствовать единственная точка в комплексной плоскости. Очевидно, что справедливо и обратное положение, а именно, что каждая точка плоскости XOY изображает единственное комплексное число. Следовательно, между комплексными числами
точкой с координатами
точкой с координатами
и точками комплексной
и точками комплексной
плоскости существует взаимно однозначное соответствие.
Если г1 = х1 + yxi— действительное число (т. е. i/i = 0, z1 = x1), то соответствующая точка лежит на действительной оси. Поэтому ось абсцисс называется действительной осью. Если комплексное число za = х» -]-y»i — чисто мнимое (т. е. ха = 0, z» = y»f), то соответствующая точка лежит на оси ординат. Поэтому ось ординат называют мнимой осью. ^
Если каждой точке г комплексной плоскости отнести вектор Ог, то появится возможность представлять комплексные числа векторами.
Тригонометрическая форма комплексного числа. Выберем на плоскости XOY полярную систему координат (рис. 239) так, чтобы полюс совпал с началом координат, а полярная ось пошла бы по положительному направлению действительной оси. Обозначим полярный радиус точки z=x-\-yi через р, а полярный угол через ®. Полярный радиус р называется модулем комплексного числа и обозначается | z |. Полярный угол ® называется аргументом комплексного числа и обозначается argz, если берется главное значение угла (0^argz<^2^), и Argz, если берется общее значение угла. Таким образом,
p = |z|. Arg z = ® -|- 2d?, (1)
где к — произвольное целое число, а <р — любое из значений аргумента z. Так как x = pcos®, а у = р sin ®, то
z = x-^-yi = p cos ® 4- ip sin <р,
(2)(2)z = p (cos ® —|— f sin <p).
(2)
(2)
\г\ = У^5\\г\ = У^5\Выражение (2) называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Очевидно, что
\г\ = У^5\
\г\ = У^5\
(3)
Например, 2 -{- 2 ]/3/ = 4 (cos у -j- г sin у).
Геометрическая интерпретация сложения комплексных чисел. Пусть в плоскости комплексной переменной даются два числа zx и z2 (рис. 240). Проведя радиусы-векторы точек zx и га, получим два вектора Ozx и Ога,
§ 7. Действия над комплексными§ 7. Действия над комплекснымикоторые соответствуют комплексным числам zx и za. При сложении комплексных чисел складываются их действительные и мнимые части, а при сложении векторов складываются соответствующие координаты. Это позволяет сложение комплексных чисел представлять в виде сложения векторов. Вектор Oz3, являющийся диагональю параллелограмма, построенного на векторах Огх и Ог», и представляет комплексное число: z$=z14-za.
§ 7. Действия над комплексными
§ 7. Действия над комплексными
числами в тригонометрической форме
Умножение комплексных чисел. Возьмем два комплексных числа в тригонометрической форме:
zi = Pi (cos <р! -|- i sin <pt) и z2 = p3(cos®2 + isin®2).
Перемножая их, получим:
ZiZa = pipa (cos у, -]— t sin <рt) • (cos <р2 -f— Z s in <pa) == pipa(cos<pi cos<pa +1 sin<pj cos ®2-j- icos<pa sin <p2 — sin®, sin®2) == PiP-2 [(cos ®! cos <pa — sin <p! sin ®2) -4- i (sin cpt cos ®a -j- cos ®! sin ®a)] == P1P2 [cos (®i -J- <pa) -[- i sin (®! -[- ®a)],
т. е.
(1)(1)ZiZ2 = pip3 [cos (co, + <pa) + i sin (®, + <p2)].
(1)
(1)
Таким образом, при умножении комплексных чисел модули их перемножаются:
I ZiZ21 — pipa — ] Zi | • | z21,
а аргументы складываются
(3)(3)Arg (ZiZa) = Arg z, + Arg z2.
(3)
(3)
Геометрическая интерпретация умножения комплексных чисел. Пусть
требуется умножить комплексное число zt —pt (cos ф1+ ? sin ф,) на комп
лексное число Za = pa (COS фа-|-i sin фа).
Комплексное число zt представляется вектором Ozb а комплексное число z2 представляется вектором Oz2. Чтобы построить вектор, изображающий комплексное число
z3—Zi • z2—pip2 [cos (ф1 —[—<p2) —[—i sin (ф1-|-фа)]>
надо вектор Ozi повернуть на угол ф2 против часовой стрелки, если ф2^0, и по часовой стрелке, если ф2 <С О, и «увеличить» его длину в р2 раз (рис. 241). Так как
1= Ь (cos у-[-г siny j, то умножение любого числа z на i можно рассма
тривать как операцию поворота вектора, изображающего число г на угол
у против движения часовой стрелки.
Деление комплексных чисел. Возьмем два комплексных числа Zi = pi (coSфl-^-isiпфl) и z2= р2 (cos ф2-[-i sin ф2) и разделим zx на z2.
Так как деление комплексных чисел рассматривается как действие, обратное умножению, то
It^^t008 (Vi — <рз) Ч-i sin (<pi — ®2)].(4)
Таким образом, при делении комплексных чисел модули делятся, а аргументы вычитаются:
==(5)
| 2з I р2 I 2з I
Arg = Arg zx — Arg z2.Arg = Arg zx — Arg z2.(6)(6)
Arg = Arg zx — Arg z2.
Arg = Arg zx — Arg z2.
(6)
(6)
Для построения вектора, изображающего комплексное число z3 = ^, надо вектор Огх повернуть на угол ф2 по часовой стрелке, если ф2^>0, и против, если ф2<^0, и «уменьшить» его длину в р2 раз.
Деление комплексного числа z на I можно рассматривать как операцию поворота вектора Ог на угол -^ по часовой стрелке.
Возведение в степень комплексных чисел. Возведение в степень п (где п — натуральное число) комплексного числа z рассматривается как n-кратное умножение г на самого себя.
Пусть z = p cos ф-]-г 51пф. Тогда
z” = z-z . . . . z = p-p . . . . [cos (ф -|-ф -|-...-]-ф) -[-г sin (ф -]-ф -[-...-|-ф)]> п разп разп разп раз
т. е.
z” = р” (cos га<р +1 sin n<p).
(7)
Таким образом, при возведении комплексного числа в степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на число, равное показателю степени:
|z"| = P" = |z|",(8)
Arg (z”) = п Arg z.(9)
Формулу (7) можно записать так:
[р (cos <р + i sin <р)]" = р” (cos п<р 4* i sin п^-(Ю)
В частном случае, когда р=1, формула (10) имеет вид:
(cos<p-|-/sin<p)” = cosn<p-[-Zsinn<p.(11)
Формула (11) называется формулой Муавра.
Пример. Выразить sin3<р и cos3<p через siny и cos<p. Применим формулу Муавра при п — 3:
(cos <р -|- i sin <р)3 = cos 3<р -[- Z sin 3®,
cos3 <p 4~ 3Z cos2 <p s intp — 3 cos <p sin2 <p — Z s in3 <p = cos 3? -|- Z sin 3<p, откуда
cos 3® = cos3 <p — 3 cos <p sin2 <p,
sin 3® = 3 cos2 <p sin <p — sin3 <p.
Извлечение корня из комплексных чисел. Пусть п — натуральное число. Корнем п-степени из комплексного числа w = г (cos 6 4- Z sin 6) называется комплексное число z = р (cos ср 4~ Z sin <р), для которого гп = ш. Обозначим его z=Vw.
По определению
р" (cos nep -|- Z sin п^) = г (cos 8 -|-1 sin 6).(12)
Два комплексных числа в тригонометрической форме могут быть равны только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на целое кратное 2тс:
р” = г; пу = 0 -|- 2^/г, откуда
Р = Уо(13)
Следовательно,
"/г (cos 0-|- Z sin 6) =V г fcos -'У-- 4- Z sin 8 ^^Y(15)
Давая к значения 0, 1, 2,..., (n—1), получим и различных значений корня. Для значений к = п, п 4- 1, ... или к = — 1, — 2,... и т. д. значения корней будут повторять полученные ранее значения.
ТТ, а• 6 +0• е „,
Например, при к = 0 имеем sin—= sm—. При к = п имеем . в -4- 2ля• Z 6 < п \-0
sin—!= sin — 4-2ic =sin— и т. д.
п\п ') п
Пример. Найти все значения у^1- Так как 1 = 1 (cos 0 4-/ ып 0), то 5/ /0-4- Ink . . О -|- 2тгА\
V i (cos 0 -|- i sin 0) = 1 I cos —l t Sm —L
& = 0, z0=l.
к=Л, Zj = cos-g-+ i sin -y.
n4- . . . 4тс
6tc5"'6tc5"'A = 2, z2 = cos -^ + i sin у
6tc
5"'
6tc
5"'
к = 3, z3 = cos у + i sin
.8л . 8it
a) к = 4, z4 = cos у +1 sin у.
0,0,причем одна из вершинпричем одна из вершинДадим геометрическую интерпретацию решенного примера. Модули всех найденных значений ^ 1 равны единице. Следовательно, точки z0, zu z2, z8, z4 лежат на окружности, радиус которой р = 1.
0,
0,
причем одна из вершин
причем одна из вершин
.._ 2тс 4я 6я 8я
Углы 0, у, у, у, у определяют аргументы соответствующих точек.
Построим точки z0, zu z„, z3, z4 и проведем радиусы-векторы этих точек (рис. 242).
Если соединить точки z0, zu z^ z3, z4 прямыми, то получится правильный многоугольник с вершинами в точках z0, zlt ..., z4.
Обобщая данный частный случай, можно сказать, что геометрически точки, соответствующие различным значениям корня n-й степени из комплексного числа w = г (cos 6 -{-г sin 6), располагаются в вершинах правильного n-угольника с центром соответствует числу / г I cos — +1 sin у).
Раздел 3
ОБЩИЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
§ 8. Интегрирование элементарных дробей
Элементарными дробями называются дроби следующих четырех типов: ) ох + » ’ ^ 7^+^"’ Ш) ах^А-Ьх-ус ’ V) (ох2 + 6х + су ’ ГДе т ип— натуральные числа (ш^2, п^2) и Ьг— 4ас<^0.
Выясним, как интегрируются элементарные дроби.
Интегралы I) ^ а^ь и II) j^^ys подстановкой t = ax-^b
сводятся к табличным интегралам:
I- (—= ——Inm + C = —ln|ax + 6| + C.(1)
J ах+b a J t a 111 а 111 1х '
1Т С dx — 1 С dt —!L С =
J (ах 4-b)"1 a J tm a(m — \}tm~l ~
— а(т— 1) (ох 4-6)'”-* С1^
Прежде чем рассмотреть вопрос о нахождении интеграла вида У“у^^упгу ^х, рассмотрим частный случай, когда Л4 = 0, ^=I, т. е. рассмотрим интеграл
’ " J ох2 + Ьх -|- с *
Преобразуем квадратный трехчлен ах4-^-Ьх-^-е:
ах1 -\- Ьх -\- с = -^- [4а2х2 + 4аЬх -{- Ьа + 4ас — &2] =^^-Кгах+^ + С^-Ь2)].
Тогда данный интеграл можно переписать в следующей форме:
dxах2 + Ьх + сdxах2 + Ьх + сdxdx(2ах4-6)24-(4ас —62) *(2ах4-6)24-(4ас —62) *
dx
ах2 + Ьх + с
dx
ах2 + Ьх + с
dx
dx
(2ах4-6)24-(4ас —62) *
(2ах4-6)24-(4ас —62) *
Обозначим и = 2ах-\-Ь (тогда du — 2adx),
4ас—&2 —s.(3)
Заметим, что по условию s^>0. Тогда
J
dx4а С du 2, и . п 2, 2ах + 6 ,
ах2 + 6х + с 2а J и2 + s у^аГС ® у^ + /ГаГС у$ 1 ‘
Таким образом, выделением квадрата двучлена интеграл III, а сводится к табличному интегралу.
Теперь рассмотрим интеграл III. Сначала преобразуем знаменатель так, как было сделано для частного случая, и применим подстановку (3). Тогда
оЩи—Ъ^ , N
С Mx + N , л С Mx + N4а 2а л_.
1гтЧ—;— dx = 4а l -75, ... , ,.dx = -^— —s-r-du=
J ax2 -|- bx -|- cJ (2ax -|- o)2 -|- (4ac — b2)2a J u- + s
1 СМи— Л46-}-2а?/ , M Г udu . 2aN — Mb P dua J и2 + s U a Ju2 + s ' a 3m2 + s’
К первому из интегралов применим подстановку Z = u2—{—s:
ах2 -|- bx + сах2 -|- bx + с, М С dtdx =I Т2а J t, М С dtdx =I Т2а J t2aN — Mb а2aN — Mb аduй^+Тduй^+Т
ах2 -|- bx + с
ах2 -|- bx + с
, М С dtdx =I Т
2а J t
, М С dtdx =I Т
2а J t
2aN — Mb а
2aN — Mb а
duй^+Т
duй^+Т
Нахождение интеграла III сводится к двум табличным интегралам II, IX.
Пример 1.Пример 1.7х—2Зх2 — 5х -|- 47х—2Зх2 — 5х -|- 4dx.dx.
Пример 1.
Пример 1.
7х—2
Зх2 — 5х -|- 4
7х—2
Зх2 — 5х -|- 4
dx.
dx.
СЧх — 2' — 3 Зх2 — 5х + 4СЧх — 2' — 3 Зх2 — 5х + 4Обозначим и = 6х—5, тогда du = 6dx, хОбозначим и = 6х—5, тогда du = 6dx, хи 4-5— б-и 4-5— б-и подставим в данныйи подставим в данный
СЧх — 2
' — 3 Зх2 — 5х + 4
СЧх — 2
' — 3 Зх2 — 5х + 4
Обозначим и = 6х—5, тогда du = 6dx, х
Обозначим и = 6х—5, тогда du = 6dx, х
и 4-5
— б-
и 4-5
— б-
и подставим в данный
и подставим в данный
Для решения примера 1 нам надо будет в знаменателе выделить квадрат двучлена. Для того чтобы упростить технические выкладки, полезно, если коэффициент при х2 не является квадратом целого числа, умножить предварительно числитель и знаменатель на учетверенный коэффициент при х2 (в данном случае на 12):
84х —24_, f 84х —24_,
36х2 —60x4-48 J (6х —5)2-|-23 dX‘
интеграл:
2-1п| н2 4- 23 1 4-2-1п| н2 4- 23 1 4-1 М4я 4-70 - 247 Г udu , 23 Г du
2-1п| н2 4- 23 1 4-
2-1п| н2 4- 23 1 4-
।234— arctgГ 3/235।234— arctgГ 3/2356 3 и2+23 dU~ 3 3 И2 4-23 ' 3 Ju2 4- 23
।23
4— arctg
Г 3/235
।23
4— arctg
Г 3/235
С =С =+ С= 1п | Збх2 — 60х 4- 48 I 4- arctg 6^_5 4/236_3/23
С =
С =
= -^- 1п | Зх2 — 5х 4- 41 4- ^р arctg 6х~5. 4- С,.
Примечание 1. Если у квадратного трехчлена ах2-/Ьх4-с
.о . п, Мх4-N
Ь1 — 4ас^>0, то дробь гтгчг^Х— п0 определению не является элементарной дробью, однако ее также можно интегрировать предложенным методом.
Пример 2. /= \ ——тг-r rJ х2 4- 6х — 40= х -|- 3, тогда du = dx, х = и — 3,Пример 2. /= \ ——тг-r rJ х2 4- 6х — 40= х -|- 3, тогда du = dx, х = и — 3,—; г——dx. Обозначим и = (х 4- З)2 — 49—; г——dx. Обозначим и = (х 4- З)2 — 491 =1 == ^- In I «3— 49 i= ^- In I «3— 49 i5u—15—3 ,, udu ,а С duи2-49 dU = 5 3 а2-49 ~ 18 ) и2-"49" =-ЧГ,П |-^т|+С = 4 Ш|х24-6х-40!-|1п5u—15—3 ,, udu ,а С duи2-49 dU = 5 3 а2-49 ~ 18 ) и2-"49" =-ЧГ,П |-^т|+С = 4 Ш|х24-6х-40!-|1пх — 4х -|- 10х — 4х -|- 10
Пример 2. /= \ ——тг-
r rJ х2 4- 6х — 40
= х -|- 3, тогда du = dx, х = и — 3,
Пример 2. /= \ ——тг-
r rJ х2 4- 6х — 40
= х -|- 3, тогда du = dx, х = и — 3,
—; г——dx. Обозначим и = (х 4- З)2 — 49
—; г——dx. Обозначим и = (х 4- З)2 — 49
1 =
1 =
= ^- In I «3— 49 i
= ^- In I «3— 49 i
5u—15—3 ,, udu ,а С du
и2-49 dU = 5 3 а2-49 ~ 18 ) и2-"49" =
-ЧГ,П |-^т|+С = 4 Ш|х24-6х-40!-|1п
5u—15—3 ,, udu ,а С du
и2-49 dU = 5 3 а2-49 ~ 18 ) и2-"49" =
-ЧГ,П |-^т|+С = 4 Ш|х24-6х-40!-|1п
х — 4
х -|- 10
х — 4
х -|- 10
Примечание 2. Интегралы от иррациональных функций вида также можно брать методом, аналогичным указанному для у ах2 -|- Ьх + с интеграла III.
ПримерПример3.3.3x4-4,—1— dx =VI — х2 4- 6х3x4-4,—1— dx =VI — х2 4- 6х3x4-4V16—(х—зу3x4-4V16—(х—зуdx.dx.
Пример
Пример
3.
3.
3x4-4,
—1— dx =
VI — х2 4- 6х
3x4-4,
—1— dx =
VI — х2 4- 6х
3x4-4
V16—(х—зу
3x4-4
V16—(х—зу
dx.
dx.
~,I n г С + 9 -j- 4« С udtt .
Обозначим и = х — 3, тогда du = dx, x = u4-3J=\ —•— du = 3 l —= +
' J у 16—z/2J у 16 —u3
+ 13 У ^ 1^ц.- = —3/16 —u2-|-13 arcsin -+ 4- C = —3/7—x2—6x4-
4-13 arcsin X — 4- C.
Прежде чем рассмотреть интеграл вида ^ ^ах^ЪхД,- с)п dx> Рас" смотрим случай, когда Л4 = 0, N=l, т. е. интеграл вида ^^„^.^yi
Как было показано, выделением квадрата двучлена и соответствующей заменой квадратный трехчлен ах^-^-ЬхД-с может быть выражен через квадратный двучлен ua-|-s.
г-гГ dx
Поэтому нахождение интеграла j (tiX2 4-6x4- с)” СВ°ДИТСЯ к нахождению интеграла
5 («2 4- $)" ‘^
Преобразуем предварительно интеграл (4)
Р du 1 Г S 4 «2 — «2 j If duIP u2du.-.
J (u24-s)" — “ J (u24-s)" aU— s j (u^s)""1 — s J (u2 4- s)" * ^
Интеграл J-^rq^yr будем брать по частям; для этого обозначим
dui = (м= 4Isf ’ “i = “« тогда du^du; Pt= j ^^у: =
2(ra — l)(u24-s)»-‘’
P u2du a.1 P du
J (u24-s)"— (2n— 2) (u2 4-$)"-* 2rz — 2j (zz24-s)"-* *
Подставим найденное значение интеграла в равенство (5):
du 1 Р du ।и1 Р du
(и2 4- s)" — s J (u24-s)n-‘ ~Г s(2ra — 2) (и2 4-s)n-‘— s(2« — 2)J (u24-s)"-* ‘
Приведя подобные интегралы, получим:
(7)(7)duи। 2п — 3 Р du
(7)
(7)
(и2 4- s)" s (2я—2) (u2-|-s)n-1 s (2га — 2) J (га2 -|- s)""1 *
Получившееся равенство позволяет интеграл ^ (У^зуТ выразить Р du
через интеграл 1 , g . n_t , т. е. понизить степень знаменателя в подин- J Iй т$)
тегральном выражении на единицу. Применяя формулу (7) последовательно
(п—I) раз, придем к табличному интегралу ^ ц^ $)‘
Формула (7) называется рекуррентной.
Пример s = 5, и = 3.Пример s = 5, и = 3.4.4.dx(^ + 5)»-dx(^ + 5)»-Применим формулу (7).Применим формулу (7).В данном случае и = х,В данном случае и = х,
Пример s = 5, и = 3.
Пример s = 5, и = 3.
4.
4.
dx
(^ + 5)»-
dx
(^ + 5)»-
Применим формулу (7).
Применим формулу (7).
В данном случае и = х,
В данном случае и = х,
С dxх ,3 С dx х .J (х2 4- 5)3 ~ 5-4 (х2 4-5)2 + Т7Г J (х2 4-5)2 — 20 (х2 4- 5)2 +, 3 f х ।1 С ^х ) _ х . Зх10 I 5 • 2 (х2 4- 5) + "УТ J x24-5f — 20 (х2 4- 5)2 + 200 (х2 4- 5)+ 20^ arctg7T + cС dxх ,3 С dx х .J (х2 4- 5)3 ~ 5-4 (х2 4-5)2 + Т7Г J (х2 4-5)2 — 20 (х2 4- 5)2 +, 3 f х ।1 С ^х ) _ х . Зх10 I 5 • 2 (х2 4- 5) + "УТ J x24-5f — 20 (х2 4- 5)2 + 200 (х2 4- 5)+ 20^ arctg7T + c++В общем случае интеграл \ ,\ndx берется следующим образом: преобразуют квадратный трехчлен и делают подстановку и = 2ах-^-Ь (du = 2adx, х = -^^\, s=4ac— №. ТогдаВ общем случае интеграл \ ,\ndx берется следующим образом: преобразуют квадратный трехчлен и делают подстановку и = 2ах-^-Ь (du = 2adx, х = -^^\, s=4ac— №. ТогдаС Mx + N йх==махп СMX + NdJ (ах2 4- Ьх 4- с)” “ЛJ [(2ах 4- й)2 4- (4ас — 62)]”Г М (и ^) । дг(4а)п |2а ~(4а)” f M | udu।~ 2а J(и2 4- $)”““ ~ 2а I 2а J (и2 4- s)” •. 2aN — Mb С du \"г 2а J (и24-з)”ГС Mx + N йх==махп СMX + NdJ (ах2 4- Ьх 4- с)” “ЛJ [(2ах 4- й)2 4- (4ас — 62)]”Г М (и ^) । дг(4а)п |2а ~(4а)” f M | udu।~ 2а J(и2 4- $)”““ ~ 2а I 2а J (и2 4- s)” •. 2aN — Mb С du \"г 2а J (и24-з)”ГВ последнем равенстве первый из интегралов подстановкой Z = u24~s ydtу <а второй берется по рекуррентной формуле (7).Пример 5.В последнем равенстве первый из интегралов подстановкой Z = u24~s ydtу <а второй берется по рекуррентной формуле (7).Пример 5.Зх 4” ^Зх 4” ^(X2 —4х4-7)2(X2 —4х4-7)23x + 5dx- [(x—2)24-3]2 ° '3x + 5dx- [(x—2)24-3]2 ° 'и = х—2, du = dx, x=u-L2;и = х—2, du = dx, x=u-L2;
С dxх ,3 С dx х .
J (х2 4- 5)3 ~ 5-4 (х2 4-5)2 + Т7Г J (х2 4-5)2 — 20 (х2 4- 5)2 +
, 3 f х ।1 С ^х ) _ х . Зх
10 I 5 • 2 (х2 4- 5) + "УТ J x24-5f — 20 (х2 4- 5)2 + 200 (х2 4- 5)
+ 20^ arctg7T + c
С dxх ,3 С dx х .
J (х2 4- 5)3 ~ 5-4 (х2 4-5)2 + Т7Г J (х2 4-5)2 — 20 (х2 4- 5)2 +
, 3 f х ।1 С ^х ) _ х . Зх
10 I 5 • 2 (х2 4- 5) + "УТ J x24-5f — 20 (х2 4- 5)2 + 200 (х2 4- 5)
+ 20^ arctg7T + c
+
+
В общем случае интеграл \ ,\ndx берется следующим образом: преобразуют квадратный трехчлен и делают подстановку и = 2ах-^-Ь (du = 2adx, х = -^^\, s=4ac— №. Тогда
В общем случае интеграл \ ,\ndx берется следующим образом: преобразуют квадратный трехчлен и делают подстановку и = 2ах-^-Ь (du = 2adx, х = -^^\, s=4ac— №. Тогда
С Mx + N йх==махп СMX + Nd
J (ах2 4- Ьх 4- с)” “ЛJ [(2ах 4- й)2 4- (4ас — 62)]”
Г М (и ^) । дг
(4а)п |2а ~(4а)” f M | udu।
~ 2а J(и2 4- $)”““ ~ 2а I 2а J (и2 4- s)” •
. 2aN — Mb С du \
"г 2а J (и24-з)”Г
С Mx + N йх==махп СMX + Nd
J (ах2 4- Ьх 4- с)” “ЛJ [(2ах 4- й)2 4- (4ас — 62)]”
Г М (и ^) । дг
(4а)п |2а ~(4а)” f M | udu।
~ 2а J(и2 4- $)”““ ~ 2а I 2а J (и2 4- s)” •
. 2aN — Mb С du \
"г 2а J (и24-з)”Г
В последнем равенстве первый из интегралов подстановкой Z = u24~s ydtу <
а второй берется по рекур
рентной формуле (7).
Пример 5.
В последнем равенстве первый из интегралов подстановкой Z = u24~s ydtу <
а второй берется по рекур
рентной формуле (7).
Пример 5.
Зх 4” ^
Зх 4” ^
(X2 —4х4-7)2
(X2 —4х4-7)2
3x + 5dx- [(x—2)24-3]2 ° '
3x + 5dx- [(x—2)24-3]2 ° '
и = х—2, du = dx, x=u-L2;
и = х—2, du = dx, x=u-L2;
Зи 4- 6 4- 5Зи 4- 6 4- 5uduudu(И= + 3)2 ““ — J (u24-3)2 1 t = и? -|- 3, dt = 2udu;(И= + 3)2 ““ — J (u24-3)2 1 t = и? -|- 3, dt = 2udu;4- 11 f^L_-r J (u2 4- 3)2 '4- 11 f^L_-r J (u2 4- 3)2 '4-11 J“ J <213.2 (u2 4-3)—arctg -Д= 4" C = 6/3/34-11 J“ J <213.2 (u2 4-3)—arctg -Д= 4" C = 6/3/3333311а11а2t T6(u24-3) ll(x-2),2t T6(u24-3) ll(x-2),2(х2 —4x4-7)6(х2 — 4x4-7)2(х2 —4x4-7)6(х2 — 4x4-7)11 , x —2 —r=r arctg ——— 6/3 /311 , x —2 —r=r arctg ——— 6/3 /3
Зи 4- 6 4- 5
Зи 4- 6 4- 5
udu
udu
(И= + 3)2 ““ — J (u24-3)2 1 t = и? -|- 3, dt = 2udu;
(И= + 3)2 ““ — J (u24-3)2 1 t = и? -|- 3, dt = 2udu;
4- 11 f^L_-r J (u2 4- 3)2 '
4- 11 f^L_-r J (u2 4- 3)2 '
4-11 J“ J <213.2 (u2 4-3)
—arctg -Д= 4" C = 6/3/3
4-11 J“ J <213.2 (u2 4-3)
—arctg -Д= 4" C = 6/3/3
3
3
3
3
11а
11а
2t T6(u24-3) ll(x-2),
2t T6(u24-3) ll(x-2),
2(х2 —4x4-7)6(х2 — 4x4-7)
2(х2 —4x4-7)6(х2 — 4x4-7)
11 , x —2 —r=r arctg ——— 6/3 /3
11 , x —2 —r=r arctg ——— 6/3 /3
Интегрирование рациональных функций
Разложение многочлена на линейные множители. Рассмотрим многочлен Р (х) степени п. Каждое действительное или комплексное число х, которое обращает Р (х) в нуль, называется корнем этого многочлена. Следовательно, корни многочлена Р^ являются решениями уравнения
Р(х) = 0. (1)
В высшей алгебре доказывается следующая основная теорема — теорема Гаусса, которую примем без доказательства: «Всякий многочлен степени не ниже первой имеет по крайней мере один действительный или мнимый корень».
В элементарной алгебре была доказана теорема Безу о том, что «если х, является корнем многочлена, то этот многочлен делится без остатка на х — х^.
Пусть Рп (х) — многочлен степени п;
Рп (х) = Спхп + Сп_^ + ... + С,х + Со.(2)
На основании теоремы Гаусса можно утверждать, что многочлен Рп (х) имеет по крайней мере один корень xv. Тогда, применяя теорему Безу, можно записать:
Р„(х) = (х-х1)Р„_1(х),(3)
где Рл_1 (х) — многочлен степени п—1. Продолжая аналогичные рассуждения, применяя последовательно теоремы Гаусса и Безу, можно получить, что
Рп 00 = (х — х,) (х — х2)... (х — х„) Ро (х),(4)
где Ро (х) — многочлен нулевой степени. Легко видеть, что многочлен Ро (х) равен Сп.
Таким образом приходим к выводу, что всякий многочлен Р„(х) степени п может быть представлен в виде произведения линейных множителей вида х — хк и постоянного множителя Сп — коэффициента при старшей степени х многочлена Р„(х):
Р„(х) = С„(х —х,)(х —х2) ... (х —х„).(5)
Если среди корней многочлена хь х2, ..., хп число а встречается т раз, то это число а называется т-кратным корнем многочлена. При т=\ число а называется простым корнем. Собирая вместе множители, соответствующие одинаковым корням, получим, что всякий многочлен может быть записан в форме:
рп 00 = С„ (х — х^ (х — х»У ... (х— х.)”,(6)
причем любой из показателей k, Iт может в частном случае равняться единице, а
к-^-1-\-...-\-т = п.(7)
Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Предварительно докажем следующую теорему: если комплексное число z — u-^-iv является корнем многочлена Рп (х) с действительными коэффициентами С„, Cn_tСо, то и сопряженное ему число z = и — iv также будет корнем этого многочлена. Действительно, так как z = u-]-iv является корнем многочлена РГ_ (х), то
Рп (2) = C„Z" + Са_^ + ... + Со = 0.
На основании свойств комплексных чисел можно утверждать, что
Рп^ — ^t?n 4“ CR_iZn-1 -[-... -[- Со = C„zn -[- C^z"-1 Д- ... —|— Со =
=с^Я=с^й=Ч7^Гте(8)
т. е. z— корень многочлена PizY Можно показать, что корни z и z имеют одинаковую кратность.
Рассмотрим произведение множителей с попарно сопряженными мнимыми корнями._
Пусть z = u-]-iv и z = u— iv являются корнями некоторого многочлена, тогда произведение (х — z)(x— z) можно преобразовать следующим образом:
(х — z) (х — z) = [х — (м-р w)l [х — (и — iy)J =
= [(х — «) — iv] [(х — и) -|- tu] = (х — иУ -f- v- = х2 — 2х« —j— ы3 —|— у2. (9)
Обозначим
— 2u = p; u^-Vv^q.(10)
(х— z)(x— z) = х1 + рх -)- q,(11)
где р и q— действительные числа j—^^О. Следовательно, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами.
На основании вышеизложенного всякий многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен как произведение линейных и квадратичных множителей с действительными коэффициентами следующим образом:
Р„(х) = С,Дх-аНх-^..(х + рх + 9)х...(х2 + ^^(12)
где а—|—р—|— ...-{-2Х-[- ... -[-2р. = ц, -^q<^0"^s<^0.
Разложение рациональной дроби на элементарные. Ранее указывалось, что рациональную функцию можно рассматривать как отношение двух многочленов1). Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знамена
теле. В противном случае рациональная дробь называется неправильной. Выделяя из неправильной дроби ее целую часть (путем деления числи
теля на знаменатель), всегда можно представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.
Пример. X2_|_3 = 1 + X2_|_3-
Так как интегрирование многочлена не представляет трудностей, то
достаточно научиться интегрировать правильные рациональные дроби. Сформулированная ниже теорема позволяет свести интегрирование любой
правильной рациональной дроби к интегрированию элементарных дробей.
Теорема. Если К^ = ъ^Г\— правильная рациональная дробь, знаменатель Р (х) которой представлен в виде произведения линейных и
квадратичных множителей (с действительными коэффициентами)
Р (х) = (х— а)а ... (х— 6)р(х2-}-рх + q)x ... (х2 + rx + s)812),(13)
то эта дробь может быть разложена на элементарные дроби по следующей схеме:
Q С^) =_ ^1 I^2I |Ад|1[В,
Р (х) х— а (х—ау """(%—ау "Т ••• т х—^ I- (х—by
। Мгх + N, . Л12х + Na .। МуХ + Nx
(х — Ь)9 х2 + рх + q (х2 + рх + qy(х -|- рх + qy
I Rix + Si I Rax + S2 I I Rp.x + S,t
’ ” X2 + rx + S (^-L rx + S)2 "T" " • • "г (x2 + rx -]- qy ’
где Л1Ла, Въ .... By .... Rb S,R^, S^— некоторые действительные числа 3).
Практически разложение конкретной правильной рациональной дроби на сумму элементарных дробей обычно производят методом неопре- Г \Х)
деленных коэффициентов. Для этого разлагают знаменатель Р (х) на произведение линейных и квадратичных множителей, записывают разложение дроби -р^ пр схеме (14) с неопределенными коэффициентами, затем при-
водят элементарные дроби к общему знаменателю Р(х) и приравнивают многочлен, получившийся в числителе, многочлену Q(x).
Для того чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при одинаковых степенях х у них были равны. Учитывая это замечание, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства, получая тем самым систему алгебраических уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов. Существование решения такой системы вытекает из сформулированной выше теоремы.
п„ .9х8 — ЗОх2 4-28х — 88
Пример. Дробьправильная.
Так как (х2— 6х + 8)(х2 + 4) = (х— 2) (х— 4)(х2 + 4), то
9х8—30х34-28х—88А , В , Сх + D
(х3 — 6x4-8) (х34-4) х—2+ х—4+ х34-4 ’
где А, В, С и D — пока неопределенные коэффициенты.
Приведя дроби в правой части равенства к общему знаменателю и приравнивая многочлен, получившийся в числителе, многочлену 9х3 — ЗОх2 + 28х — 88, получим:
Л (х — 4)(х2 + 4) +В(х — 2) (х2 + 4) + (Сх + О) (х2 — 6х + 8) = = 9х3 —30х2 + 28х —88,(15)
т. е.
(Л + В + С) х3 + (— 4Л — 2В — 6С + О) х2 + (4Л + 4В ++ 8С — 60) х + (— 16Л — 8В + 80) = 9х3 — ЗОх2 + 28х — 88.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х.
х3 х2Xх°х3 х2Xх°Л+ В + С = 9,
х3 х2
X
х°
х3 х2
X
х°
— 4Л — 2В —6С + О = —30, 4Л + 4В + 8С —60 = 28, — 16Л — 8В + 8О = —88.
Решая эту систему уравнений, находим:
Л = 5, В = 3, С=1, 0 = 2,
а значит, 9х3 —30х-|-28х—88 5.3. х-|-2
(х2 — 6х4-8) (х2 4-4)— х — 2“гх —4 "гх24-4"
Вместо того, чтобы сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях х, можно при нахождении неопределенных коэффициентов дать переменной х ряд конкретных произвольных значений (столько, сколько неопределенных коэффициентов) и получить таким образом систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Этот прием называется методом произвольных значений.
Так, в рассмотренном выше примере, подставляя в равенство (15) последовательно х = 2, х = 4, х = 0, х=1, можно получить систему уравнений:
— 16Л = —80,
40В =120,
— 16Л — 8В + 80 = —88,
— 15Л —5В-|-ЗС + ЗО = —81,
откуда Л = 5, В = 3, С = 1, 0 = 2.
Иногда для нахождения из равенства (15) неопределенных коэффициентов удобно применять комбинацию указанных выше методов, давая х ряд произвольных значений и приравнивая коэффициенты при некоторых степенях х.
В рассмотренном примере удобно, например, положив х = 2 их=4, найти А = 5, В = 3, а затем, приравняв коэффициенты многочленов при х3 и х2, получить уравнения:
Л4-В + С = 9 и — 4Л — 2В — 6С + О = — 30,
откуда определить С = 9— 5 — 3=1, D = —304~4Л + 2В-[-6С= 2.
Обобщая результаты предшествующих разделов, заключаем, что всякая рациональная дробь может быть проинтегрирована в элементарных функ-
циях.
правило для интегрирования рациональ- проинтегрировать рациональную дробьправило для интегрирования рациональ- проинтегрировать рациональную дробьСформулируем теперь общее ной функции. Для того чтобы (рациональную функцию), надо:
правило для интегрирования рациональ- проинтегрировать рациональную дробь
правило для интегрирования рациональ- проинтегрировать рациональную дробь
неправильная, то выделить изгде Т (х) — многочлен, —неправильная, то выделить изгде Т (х) — многочлен, —Qi (х)р^ представить в виде суммыQi (х)р^ представить в виде суммыЕсли рассматриваемая дробь -р^ нее целую часть:= Т (х) +,
неправильная, то выделить из
где Т (х) — многочлен, —
неправильная, то выделить из
где Т (х) — многочлен, —
Qi (х)
р^ представить в виде суммы
Qi (х)
р^ представить в виде суммы
правильная рациональная дробь.
Правильную рациональную дробь элементарных дробей по схеме (14).
Представить интеграл от данной дроби в виде суммы интегралов от целой части и от элементарных дробей и взять эти интегралы.
ПримерПример1.1.6х5 — 8х4 — 25х8 + 20х2 — 76х — 7Зх8 —4х2 — 17х-|-66х5 — 8х4 — 25х8 + 20х2 — 76х — 7Зх8 —4х2 — 17х-|-6dx = Ldx = LПодинтегральная дробь неправильная. Поэтому выделим сначала целую часть и проинтегрируем ее, а в оставшейся правильной дроби разложим знаменатель на линейные множители:Подинтегральная дробь неправильная. Поэтому выделим сначала целую часть и проинтегрируем ее, а в оставшейся правильной дроби разложим знаменатель на линейные множители:
Пример
Пример
1.
1.
6х5 — 8х4 — 25х8 + 20х2 — 76х — 7Зх8 —4х2 — 17х-|-6
6х5 — 8х4 — 25х8 + 20х2 — 76х — 7Зх8 —4х2 — 17х-|-6
dx = L
dx = L
Подинтегральная дробь неправильная. Поэтому выделим сначала целую часть и проинтегрируем ее, а в оставшейся правильной дроби разложим знаменатель на линейные множители:
Подинтегральная дробь неправильная. Поэтому выделим сначала целую часть и проинтегрируем ее, а в оставшейся правильной дроби разложим знаменатель на линейные множители:
7= У (2х* + 3 += 1х«+3х+j7= У (2х* + 3 += 1х«+3х+j20х2 — 25х — 25 \ уЗх’ — 4х2 —17x4-6
7= У (2х* + 3 += 1х«+3х+j
7= У (2х* + 3 += 1х«+3х+j
20х2 —25х —25,
(х4-2)(х — 3)(3х — 1) Ь
Выписываем оставшуюся подинтегральную правильную дробь и представляем ее в виде суммы элементарных дробей с неопределенными коэффициентами:
20х2 — 25х — 25 А ■ В С,.„.
(х-|-2)(х — 3)(3х — 1) — х4-2 ' х —3 ' Зх —Г'
Для нахождения коэффициентов Д, В, Св равенстве (16) приведем дроби к общему знаменателю и приравняем многочлены, полученные в числителях:
20х2 — 25х—25 = Д (х — 3) (Зх— 1) 4- В (х 4- 2) (Зх — 1) 4- С (х 4- 2) (х — 3).(17)
Для нахождения коэффициентов Д, В и С будем давать х произвольные значения. Этот метод быстро приводит к цели, если в качестве произвольных значений брать корни многочлена, стоящего в знаменателе, т. е. в данном случае — 2, 3, у. Подставляя последовательно эти значения в равенство (17), получим:
х = —2,105 = 35Д, Д = 3,
х = 3,80 = 40В, В = 2,
х = у,—280 = —56 С, С = 5.
Теперь, найдя коэффициенты Д, В, С, на основании равенства (16) представим интеграл от данной дроби в виде суммы интегралов от элементарных дробей и проинтегрируем их:
dxЗх—1dxЗх—120х2 — 25х — 25о (* dx , п (* dx , с f
dx
Зх—1
dx
Зх—1
(х-|-2) (х—3) (Зх—1) Х~3 J х + 2+ J "х^3+ J
5
^ з 1п | х 4~ 2 14" 21п । х — з 14—д’ ^ I ^х — ^ IЧ- ^
Окончательно имеем:
Z= -j- х8 + Зх 4- 31п j х + 2 | -j- 2 1п | х — 3 | 4- у In 1 Зх — 11 + С.
Пример. 2.Пример. 2.f 8х3—12х2 4-2x4-10
Пример. 2.
Пример. 2.
J (-^ + 3) (x I)3
Подинтегральная дробь правильная и знаменатель разложен на простейшие множители (линейные, простые и кратные). Будем решать пример 2 так же, как пример 1:
8х»—12х2 4-2x4-10 _ А В , С D
(х + 3)(х— I)3— х4-3 + х — 1 "^(х — 1)2"*"(х —I)8’
8х3 — 12х2 + 2х 4- 10= А (х — I)3 4- В (х + 3) (х — I)2 + С (х + 3) (х — 1) +4" D (х 4-3),х=1,8 = 4В, D = 2,
х = —3, — 320 = —64А, А = 5.
По исчерпании всех значений, являющихся корнями многочлена, стоящего в знаменателе, следует брать значения х, наиболее простые для подсчета. Возьмем, например, значения х, равные 0 и 2:
х = 0, 10=; —54-ЗВ —ЗС 4-6, В—С = 3,
х = 2, 30 = 5 4-5В4-5С4-10,В + С = 3,
откуда В = 3, С = 0.
С 8х8 — 12х2 4-2х-|-Юх . dx , „ dx . _ С dx
J(, + з№-п<-^-5)Тчч+2)<Т=1)» + 3) T=T =
= 5 in | x 4- 3| ^ ц2 -|- 3 in | x 11 -|- C.
„_ f 8x3 —2x24-13x —2
Пример 3. j (X2_|_2)(x24-1)4x"
Подинтегральная дробь правильная. Знаменатель разложен на простейшие множители, в данном случае простые, квадратичные.
Разложим подинтегральную дробь на элементарные:
8х8— 2х2-|-13х — 2 Ах+В . Cx + D.
(х3 4-2) (х2 4-1) — х24-2+ х2 + 1 *
В этом примере для нахождения коэффициентов А, В, С, D применим метод сравнения коэффициентов. Для этого в равенстве (18) освободимся от знаменателя и в правой части объединим члены при х в одинаковых степенях.
8х8 — 2х2 4- 13х — 2 = Ах8 4- Вх- 4- Ах 4- В 4-
4- Сх3 4- Dx1 4- 2Сх 4- 2D,
8х8— 2х24- 13х — 2 = (А 4-С) х8 4-(В 4-В) х34-
4-(A4-2Qx4-5-|-2D.(19)
В тождестве (19) коэффициенты при одинаковых степенях х будут равны, следовательно, получим систему уравнений:
А4-С=8, B+D = — 2, А4-2С=13, В4-2В = —2,
из которой определим коэффициенты: А = 3, В =—2, С = 5, D = Q.
(* 8х8 —2х24-13х —2 С Зх — 2, . f xdx
J (х2 4-2) (х2 4-1) J x2 + 2dx + 5 J х2+1 ”
= f In lx2 + 2|-^arctg-^ + |ln|x2+H+C.
у 2 у 2
Пример 4.
С Зх44-14х24-7х4-15
J (х4-3)(х24-2)2 dx-
Подинтегральная дробь правильная. Знаменатель разложен на простейшие множители, из которых один простой линейный, другой — кратный квадратичный. Раскладываем подинтегральную дробь на элементарные.
Зх4 4~ 14х2 4-7х-j-15 А Вх 4- D Мх 4- N(х 4-3) (х24-2)2x-j-3 + х24-2 +(х24-2)2-
Для нахождения коэффициентов сначала дадим х ряд значений (до исчерпания всех значений действительных корней знаменателя), а затем перейдем к сравнению коэффициентов:
Зх4 + 14х2 + 7х 4-15 = А (х2 4- 2)2 4- (Вх 4- В) (х 4- 3) (х2 4- 2) 4- (Л4х 4- /V) (х 4- 3).
При х =—3 имеем 363=121.4, Л = 3.
Далее найдем, что
2х2 4- 1х 4- 3 = Вх4 4- ЗВXs 4- 2Вх 4- бВх 4- Ох» 4- ЗОх2 4- 2Ох 4-
60 4- Mx3 4- Nx 4-змх 4-змоткуда В = 0, 0 = 0, M = 2, N= 1.
С Зх4 4- 14х2 4- Чх 4- 15 л о С dx , п f xdx , f dx
J(x 4-3) (x2 4-2)2x + 3+2j (^ + 2)2+j (^ + 2)=-
X1X
= 31п(" + 3)-^4-4(Р4^4-77Ггс^ + C-
Точно указать, какой из приемов нахождения коэффициентов рациональнее применять, нельзя, однако можно рекомендовать в случае линейных простых множителей пользоваться методом произвольных значений; в случае квадратичных простых множителей — методом сравнения коэффициентов; в более сложных примерах—комбинацией этих методов.
§10. Интегрирование тригонометрических выражений
Введем некоторые определения и условные обозначения. Будем называть многочленом или целой рациональной функцией относительно и и и сумму конечного числа слагаемых вида Cumvk, где т и к — натуральные, а С — действительные числа.
Рациональной функцией относительно и и и называется отношение двух многочленов относительно и и и.
г,sin8 х 4-cos х„ ,
Например, выражение о .-„г- . □ является рациональной функцией
относительно sinx и cosx.
В дальнейшем символом R (и, и) будем обозначать рациональную функцию относительно переменных и и и. Будем говорить, что функция R(u, и)—нечетная относительно и, если при замене и на — и функция R (и, v) меняет знак, т. е. R (— и, о) = — R (и, о).
Аналогично, если R (и, — и) = — R (и, о), то будем говорить, что такая функция нечетна относительно и. Будем говорить, что функция R (и, и) четна относительно и и и, если при одновременной замене и на — и, о на — и функция не изменяется, т. е.
R(—и, —и) — R (и, и).
Переходя к рассмотрению приемов интегрирования тригонометрических выражений, предварительно заметим, что любая тригонометрическая функция аргумента х рационально выражается через тангенс половинного угла. Действительно,
sm у cos у 2tgy
sin х == ,(1)
cos2 у 4- sin2" у l+tg32
cos2y-sin2y l-tg2J
COS x =xx ^T'^
c°s2 у 4" sin2 2l+tg2^"
a так как tgx, ctgx, secx, cosec x рационально выражаются через sinx и cosx, то они рационально будут выражаться и через tgy.
Теорема 1. Интеграл вида J R (sinx, cosx)dx подстановкой ^ = tg у приводится к интегралу от рациональной функции /, который, как было указано выше, всегда выражается в элементарных функциях.
Действительно, пусть
/ = tgj.(3)
Тогда на основании равенств (1) и (2)
•2/
sinx = T+p,(4)
cosx=yq-p.(5)
Определяя х и dx из равенства (3), найдем, что
x = 2arctg/; dx = ^t«.(6)
В подинтегральное выражение вместо sinx, cosx и dx подставим их значения, определяемые равенствами (4), (5) и (6):
У R (sin х, cos х) dx = j R ^1^72, { ^ ^2) ! ^2 ^ = J r (0 ^> где r(/) — рациональная функция t. Так как подстановкой t = tg ^ интеграл от любой рациональной относительно sinx и cos х тригонометрической функции приводится к интегралу от рациональной функции, то подстановка (3) называется универсальной подстановкой.
Сdx
Пример, j 9 + 8c0Sx + ^х-
Применим универсальную подстановку / = tg — :
dx(
’Mt
9 + 8 cos x + sin x J
I1, 8(1-/=)2£1
(l+OL9 1 i+<2 1 ! +^J
dt _of dt _ 1,„ / + 1 ,
<2_|_2<-|-17— 2 J(f + i)=_|-16 — 2g 4 + G
1 tgf + !
= -2 arctg^1- C.
Следует заметить, что хотя универсальная подстановка для интегралов вида ^7?(sinx, cosx)dx всегда приводит к цели, однако ее используют сравнительно редко, так как она часто приводит к громоздким выкладкам. Рассмотрим другие приемы интегрирования тригонометрических выражений, которые в частных случаях быстрее приводят к цели.
Теорема 2. Если функция R(sinx, cosx) нечетна относительно cosх, то интеграл ^7? (sinx, cosx^dx подстановкой / — sinx приводится к интегралу от рациональной функции.
Указанный в теореме 2 интеграл преобразуем: f п / •, , С R (sin х, cos х) ,
i 7<(smx, cosx)dx = 1 —!cosxdx.
J xJ cos x
Так как функция R(sinx, cosx) нечетна относительно cosx, товыра- R (sin x, cos x)
жение —1—^^ четно относительно cos x и может содержать cos x лишь в четных степенях. Следовательно, это выражение является рациональной функцией относительно sinx:
R (sin х, cos х) . .,
COSX2 = r (sinx),
т. e.
C R (sin x. cos x) , C x j 1 —!'-cosxdx= 1 r (sin x) cos x dx.
J cos XJ x
К последнему интегралу применим подстановку / = sinx, тогда dt = cos х dx:
R (sinx, cosx) dx—^ r (sinx) cos x dx = ^ r (/) dt.
Таким образом, указанная подстановка привела данный интеграл к интегралу от рациональной функции относительно t.
Теорема 3. Если R (sin х, cos х) имеет нечетный характер относительно sinx, то подстановкой Z = cosx интеграл ^R(sinx, cosx)dx приводится к интегралу от рациональной функции.
Теорема 3 доказывается так же, как теорема 2.
J
COS3 X
2 + sin х ^Х" Подинтегрзльнзя функция нечетнз относительно cos х. Применяя подстановку t = sin х (тогцз dt = cos х dx), получим:
С cos8 хf (1 — sin3x)fl—<3
J 2 -|- smxJ 2 + sm xJ 2 4-t
= J (-^ + 2-2^7)^=-^+2f-31n|2 + ^H-C = -|sin3x +
2 sin x — 3 In 12 4- sin x 1 -]- C.
Примечание 1. Теоремы 2и 3 обычно применяются при интегрировании произведения sinmxcos”x натуральных степеней cosx и sinx, когда или т или п (или тип) — нечетные.
Пример 2. У cos3 х sin5 xdx.
Подинтегральная функция содержит sin х в нечетной степени, поэтому применяем подстановку £=cosx; тогда dt —— sin xdx,
J cos3 x sin5xrfx = ^ cos3 x (1 — cos3 x)3 sin xdx = — ^ t2 (1 — t2)2 dt =
C1211
=) t2(l — 2t2 + t4)dt=— -^t« +t’xc=- у cos8 x 4~
i
-в- cos5 x=- cos7 X 4" C.
Пример 3. J cos7 xdx. Применим подстановку t — sin x, тогда dt = cosXdx, ^ cos7 xdx = J (1 — sin3 x)3cos xdx = ^ (1 — t2)8 dt =
= \ (1 — 3Z34-3i4 — t8)dt = t — *’ + |<s- у t2-VC= sinx—sin8x4-
1
у sin5 xу sin7 X 4" C.
Примечание 2. Интегралы от нечетных положительных степеней sec х и cosec х могут быть взяты с помощью подстановок, указанных в теоремах 2 и 3. Но так как для этих интегралов указанные подстановки приводят к громоздким выкладкам, их целесообразнее интегрировать по частям.
Теорема 4. Если функция R (sinx, cosx) имеет четный характер относительно sinx и cosx, то интеграл ^/?(sinx, cosx)dx подстановкой / = tg х приводится к интегралу от рациональной функции.
Преобразуем подинтегральную функцию:
R (sinx, cos х) = R (tg х cos x, cosx).
Правая часть последнего равенства, имея четный характер относительно cosx, может содержать лишь четные степени cosx, а так как cos2 х = sec*2 х = y^L 3 х > то вся подинтегральная функция является некоторой рациональной функцией от tgx, т. е. 7? (sinx, cosx) = r (tgx).
Умножим и разделим г(tgx) на sec2хи затем применим подстановку 7 = tgx, dt = sec1 xdx. Получим:
^7? (sinx, cos x) dx = r (tg x) dx =
= У тг+Ух se°a xdx= У ri (od<-
J sin3x 6 sin х cos х—locos2 X
Подинтегральная функция имеет четный характер относительно sin х и cos х. Разделив все члены числителя и знаменателя на cos2 х, применим подстановку t = tgx. Тогда dt = sec3 xdx,
fdx(* sec2 xdx _
J sin2 x 4“ 6 sin x cos x—16 cos2 xJ tg3x-|-6tgx—16
f dt _ f dt _ 1 |jtgx4-3 — 5| ,
J £2 + 6^— 16 — J (t + 3)2 — 2510 |tgx+34-5n °
। 1 i I tgx — 21
+ ioln| Pg x+"8 I + C
Примечание 3. Интегралы от целых степеней (больших единицы) tgx и ctgx и от положительных четных степеней secx и cosec х удобнее брать, используя соотношения: tg2x = sec2x—1 и ctg2х = cosec2х—1.
Пример 5. J tg4 xdx = ^ tg3 х (sec2 х— 1) dx = § tg2 х sec2 xdx —
— J tg2 xdx = J tg2 x sec3 xdx — ^ sec3 xdx -j- ^ dx = у tg3 x — tg x 4- x + C.
Пример 6. ^ ctg3 xdx = $ ctg x (cosec2 x — l)dx = § ctg x cosec2 xdx —— Jctg xdx.
t = ctg x, dt = — cosec2 xdx; тогда
У ctg3 xdx = — у tdt — у ctg xdx = — у ctg2 x — In | sin x I -|- C.
Пример 7. J sec8 xdx = ^ (1 + tg3 x)8 sec3 xdx.
Применим подстановку £ = tgx; тогда dt = sec2 xdx, sec8 xdx = 5 (1 + <2)3 dt = (1 + 3<2 + 3i4 + i8) dt =
= tg-r + tg8x4--|-tg5x+y tg7x4-C.
Примечание 4. Из подинтегральных функций, удовлетворяющих условиям теоремы 4, на практике часто встречаются произведения неотрицательных четных степеней sinx и cosx, т. е. функции вида sinmxcos”x, где т и п— четные неотрицательные числа. Интегрирование таких функций целесообразно производить, заменяя четные степени sinx и cosx синусами и косинусами кратных аргументов. Используем для этого известные формулы тригонометрии, которые запишем в следующей форме:
cos2 u = y (1-[-cos 2м),(7)
sin2u = y(l—cos 2м),(8)
sin2 u cos2 и = у sin2 2u = y (1 — cos 4м).(9)
Пример 8. J sin2 7x dx. Используем формулу (8):
CIC11
1 sin2 7x dx = -Fr l (1 — cos 14x) dx = -= sin 14x -I- C.
JJ2 Zo
Пример 9. ^ cos4 5x dx. Используем формулу (7):
У cos4 5xdx— у у (1 -|- cos 10x)2 dx = -1- J (1 -|-2cos Юх +
-|-cos2 Юх) dx = у у ^ 1 -|- 2 coslOx + у -|- у cos 20x) dx =
311
= y x + 2Q sin 10x+ 165 sin ^x + c-
Пример 10. § sin3 3xcos3 3x dx. Используем формулу (9):
У sin3 3xcos3 Зх dx = -|- ^ (1— cos 12х) dx = ^ х — ^ sin 12х + С.
Интегрирование произведения синусов и косинусов различных аргументов. При интегрировании произведения синусов и косинусов различных аргументов: sin pxcos qx, sinpxsinqx, cos pxcos q x можно использовать тригонометрические формулы, приводящие сумму или разность синусов или косинусов к виду, удобному для логарифмирования.
Так, например, учитывая, что sin(a-[-P)x4-sin (а—Р) x = 2sinaxcospx, можно представить интеграл ^ sinpxcos qxdx в виде суммы двух интегралов:
sinpxcos^xdx = y ^ sin(p-]-?)x^x4_y ^ sin(P — q)xdx. (10)
Аналогично:
^ cospxcos qxdx — ^ ^ cos (p-^-q^x dx -[- у ^ cos (p — q)xdx, (11) ^ sin pxsin qxdx — ^ ^ cos (p — q)xdx— ^ ^ cos (p + q)x dx. (12)
Пример 11. ^ sin lx sin 2x dx. Применим формулу (12):
CIfIf
I sin lx sin 2x dx = у \ cos 5x dx^ l cos 9x dx =
= X sin 5x — X sin 9x + C.
sin Юх [ cos 7x cos 4x] dx = -i-sin Юх [ cos 7x cos 4x] dx = -i-Пример 12. J sin Юх cos lx cos 4x dx. Применим сначала формулу (11), а затем формулу (10):
sin Юх [ cos 7x cos 4x] dx = -i-
sin Юх [ cos 7x cos 4x] dx = -i-
sin Юх cos 1 lx dx -|-
+\ sin Юх cos 3x dx =\ sin 21 x dx 4- -y l sin x dx +2 J4 J4 J+ sin 13x dx 4- 4- f sin7xdx =— 4 cos 21x^cosx—4; cos 13x —4 14 184452+\ sin Юх cos 3x dx =\ sin 21 x dx 4- -y l sin x dx +2 J4 J4 J+ sin 13x dx 4- 4- f sin7xdx =— 4 cos 21x^cosx—4; cos 13x —4 14 184452fIfIf
+\ sin Юх cos 3x dx =\ sin 21 x dx 4- -y l sin x dx +
2 J4 J4 J
+ sin 13x dx 4- 4- f sin7xdx =— 4 cos 21x^cosx—4; cos 13x —
4 14 184452
+\ sin Юх cos 3x dx =\ sin 21 x dx 4- -y l sin x dx +
2 J4 J4 J
+ sin 13x dx 4- 4- f sin7xdx =— 4 cos 21x^cosx—4; cos 13x —
4 14 184452
— ^cos 7x-|-C.
§ 11. Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование функций, рациональных относительно аргумента и корня из дробно-линейной функции.
Теорема. Интеграл вида число) подстановкойТеорема. Интеграл вида число) подстановкойn— натуральноеn— натуральное(1)(1)приводится к интегралу «рационализиру стоя».приводится к интегралу «рационализиру стоя».ототрациональной функции t или, как говорят,рациональной функции t или, как говорят,
Теорема. Интеграл вида число) подстановкой
Теорема. Интеграл вида число) подстановкой
n— натуральное
n— натуральное
(1)
(1)
приводится к интегралу «рационализиру стоя».
приводится к интегралу «рационализиру стоя».
от
от
рациональной функции t или, как говорят,
рациональной функции t или, как говорят,
tn — b . / tn — bV a—ctn* \a — ctn Jtn — b . / tn — bV a—ctn* \a — ctn JПУСТЬ ^ 7^ = 1' тогда сТ+Т^^
tn — b . / tn — bV a—ctn* \a — ctn J
tn — b . / tn — bV a—ctn* \a — ctn J
Следовательно,
j^^> у cx^_d j^X— j R^a_c£n. (j[a_ctnj j r^dt.
Следствие. Интеграл вида R (x, Vax + ^) dx подстановкой
^/ ax-\-b = t рационализируется.
Примечание. Если подинтегральиая функция является рациональной£г_
функцией относительно -——- , I,'и т. д., где р, д, г, s... — целые
\О /\ СХ О /
ах 4- Ъ
числа, то интеграл рационализируется подстановкой= tn, где п — наи
меньшее кратное чисел д, $,..., и т. д.
Пример.Пример.Применим подстановку у^ х—1=/,Применим подстановку у^ х—1=/,у^ X l-j-y^ X 1
Пример.
Пример.
Применим подстановку у^ х—1=/,
Применим подстановку у^ х—1=/,
(X — 1) (1 + ^X— 1) йХ"
тогда х—1=Z12, dx=\2t'Adt1
■%/ х— 1 + у^ х — 1(^W+Z^T)■%/ х— 1 + у^ х — 1(^W+Z^T)dx = 12dx = 12t“ (/« — Z3) Z13 (1 -f-Z2)t“ (/« — Z3) Z13 (1 -f-Z2)dt = 12dt = 12У(1+1У(1+1<2 + U<2 + Udt =dt =
■%/ х— 1 + у^ х — 1(^W+Z^T)
■%/ х— 1 + у^ х — 1(^W+Z^T)
dx = 12
dx = 12
t“ (/« — Z3) Z13 (1 -f-Z2)
t“ (/« — Z3) Z13 (1 -f-Z2)
dt = 12
dt = 12
У(1+1
У(1+1
<2 + U
<2 + U
dt =
dt =
= 6^x — 1 4- 12y<x= 6^x — 1 4- 12y<x— 1 — 6 In | -y' x— 1 4- 1 | — 12 arctg y' x— 1 4- C.
= 6^x — 1 4- 12y<x
= 6^x — 1 4- 12y<x
И. Интегрирование биномиальных дифференциалов. Биномиальным дифференциалом называется выражение хт (а 4- bxn)P dx, где in, п, р — рациональные числа.
Интеграл от биномиального дифференциала через элементарные функции выражается лишь в трех случаях: если в биномиальном дифференциале хт (а 4- bxnydx
р—целое, то с помощью подстановки у x = t, где X — общий знаменатель т и п, интеграл $ хт (а + bx^P dx рационализируется;
т + целое или равно 0, то подстановкой ]/"а 4- bxn = t (где s—знаме
натель р) интеграл \ xm (а + bxn)P dx рационализируется;
„ tn 4- 1 ।п/ ® 4~ Ьхп . .
—^|-р— целое или равно 0, то подстановкой I/ ——— = t (где s —
знаменатель р) интеграл ^ хт (а 4- bxn)P dx рационализируется *).
Академик П. Л. Чебышев (1821—1894) доказал, что во всех остальных случаях интеграл от биномиального дифференциала через элементарные функции не выра
жается.
III. Интегрирование функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена. Среди интегралов от иррациональных функций наибольшие практические применения имеют интегралы вида ^ R (х, ]/ ах1 -)- Ьх -ф- с) dx. Рассмотрим несколько способов интегрирования этих функций.
А. Тригонометрические подстановки. Как было показано ранее, квадратный трехчлен ахг -\-bx-\-c путем выделения полного квадрата и замены переменных может быть представлен в форме двухчлена вида ±и?±т4. Таким образом, достаточно ограничиться рассмотрением трех видов интегралов:
^R(u, ]/m2— u^du; ^^R (^u, ]/ m2 -|- u2) du; 3)^R (и, V u1—m^du.
Четвертая комбинация знаков (— u2 — /и2) приводит нас к подинтегральной функции, которая не существует в действительной области.
Теорема 1. Интеграл вида $/?(«,]/ щ2— u2) du подстановкой и = = ms\nt (и =/и cos/) сводится к интегралу от рациональной функции относительно sin/ и cos Л
Для доказательства применим, например, подстановку и = т sin/, т^>0, тогда du = tn cos /dt, f/zn2 — u2 = mcost,
R (и, V m? — u2) du = ^R^m sin /, m cos /) m cos / dt.
Теорема 2. Интеграл вида ^R(u,V m2 —|— u2) du подстановкой и = = mtgt (и = mctgt) сводится к интегралу от рациональной функции относительно sin/ и cos Л
Для доказательства применим, например, подстановку u = zntg/, от^>0, тогда du = т sec2t dt, V ^2 Ч- и2 = т sec t,
^R(u, V" т4 + ы2) du = ^ R (т tg t, m sect) msec4 tdt.
Теорема 3. Интеграл вида ^R(u, V и4— m4)du подстановкой u = — msect (и — m cosect) сводится к интегралу от рациональной функции относительно sin/ и cost
Для доказательства применим, например, подстановку u=msectl m^>Q, тогда du = т tg t sec tdt, V ^ — m3 = mtg/,
5 R (и, V «3 — m2) du — \R{m sec t, mAgf)mAgt sec t dt.
Интегралы от рациональных функций относительно sin/ и cos/, как известно, могут быть выражены через интегралы от рациональных алгебраических функций.
Пример 1. ^ V °а—х2 dx. Применим подстановку х = а sin t, тогда dx = = a cos t dt, У a2 — x2 = a cos t,
J V a2 — x2 dx = a2 J cos2t dt = ^- ^ (1 4- cos 2T) dt =
/12 д2д2 д2
— "n t "¥ -г sin 2/ + C = t + sin t cos t 4- G.
t = arcsin —, at = arcsin —, aВыразим теперь t, sin t, cost через x: sinZ = —; cos< = ———
t = arcsin —, a
t = arcsin —, a
%- arcsin —— V a2 — x2 4- C.
2 a 1 a T1
Пример 2. i ■ •. Применим подстановку x = atgt тогда dx =
J x4 У a2 4- x2
= a sec2t dt, V a2 4- x2 = a sec t,
Г dx Г a sec3t dt 1 Г cos8 # ^
J x4 У a2 4- x'2 — ' °4 tg4 / - a sec t — "a4 J sin4 T d —
1 С (1 — sin31) d sin t 1,1■ _
a4 J sin4 t3a4 sin81 ~r a4 sin t * "
Выразим из соотношения x = atgf функцию sin t через x: sin< = —■ X •у a2-|-x3
Тогда
Г dx = _ (a3 + х3)8/з V a1-yx2 c
J x4 )/ a2 4- x2Зв4^ ++ ‘
Пример 3. J—^-7~^7^- Применим подстановку x = 2sect тогда dx =
= 2 tg t sec t dt, Vx2 — 4 = 2 tg t
C= C 2tg£sec£dL= 1 r ctg4rff =
J x(x2—4)/2 J 2 sec t - 2° tg5132 J
=( ctg2 t (cosec2 t— 1) dt = — f ctg2 td ctg<—C cosec3T dt 4- 4- C dt =
uZ JOZ joZ Joz
= — 96 ctg8 ^ "*" 32 ctg ^ "*" 32 ^ + C*
Выразим ctg f и t через х: f = arcsec g-= arccos —,Выразим ctg f и t через х: f = arcsec g-= arccos —,ctg< =ctg< =2/x3^2/x3^
Выразим ctg f и t через х: f = arcsec g-= arccos —,
Выразим ctg f и t через х: f = arcsec g-= arccos —,
ctg< =
ctg< =
2
/x3^
2
/x3^
f dx11. 12 ,
Jx(x2-4)5/i~12 (x3 —4)8/2 ~^ 16 )/ x2 — 4 ”^32 arCC0S x + '
Б. Подстановки Эйлера.
Если a > О, то интеграл ^ R (х, yax3 + bx + c)dx рационализируется подстановкой 'У ах2 -|- 6х4-с = t ± х У а.
Если о<0, с>0, то интеграл ^Р(х, У ах2 4- 6х-|-с) dx рационализируется подстановкой У ах2 -|- bx -|- с = tx ± У^с.
Если а < 0, а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители а (х—xj (х — х^, то интеграл ^/?(х, У ах2 -|- bx 4- с) dx рационализируется подстановкой У ах2 + bx-\-с = t (х—х().
Следует заметить, что подстановки Эйлера имеют скорее теоретическое, чем практическое значение. Даже при несложных интегралах подстановки Эйлера нередко приводят к громоздким выкладкам. Поэтому в данном курсе эти подстановки подробно не рассматриваются.
В. Метод неопределенных коэффициентов. Вычисление интегралов вида ^ Р (х, V ах3-у Ьх-у o') dx часто сводится к вычислению интегралов следующих трех типов:
I.II. f Р (х) Vox3 4- Ьх + сdx,
J У ах2 4- Ьх + сJ1'
III. fdX,
J (x— а)л у ax3 4- 6x + c где P(x)— многочлен.
Покажем, что интегралы типов II и III могут быть сведены к интегралу типа I.
Для преобразования интеграла типа 11 достаточно числитель и знаменатель умножить на радикал Vox3-у Ьх-у с. Действительно,
Р (х) (дх2 4- 6х 4- с) У ах2 -уЬх-^-сР (х) (дх2 4- 6х 4- с) У ах2 -уЬх-^-сРг (х) dxУ ах2 4- 6х 4- с
Р (х) (дх2 4- 6х 4- с) У ах2 -уЬх-^-с
Р (х) (дх2 4- 6х 4- с) У ах2 -уЬх-^-с
Для приведения интеграла типа III к интегралу типа I применяют так называемую «обратную» подстановку х— a ==-!-, тогда dx =— ^-, 1 4“ «о х = —1,
С dx Сvndv
J (X —а)” /лх24-6х4-с J у2 -* f Л (14-ay)2 6(14~ аУ) . ~
у у2 * у '
Р, (у) du
J У агу2 -|- Ъ^и -|- ct ’
где аь 6i, Ci — коэффициенты трехчлена, полученные после приведения подобных членов, Р2(у) — многочлен.
Следовательно, интегралы типов II и III легко приводятся к интегралу типа I. Рассматривая интегралы вида ^ -^^=^=-, где Р (х) — многочлен, можно доказать, что
dxУ ах2 -|- Ьх-^-с 'dxУ ах2 -|- Ьх-^-с '(2)(2)—^^H= = Q(x)]/' аха + 6х + с + Х С
dx
У ах2 -|- Ьх-^-с '
dx
У ах2 -|- Ьх-^-с '
(2)
(2)
у ох —|— Ьх-^-Сv
где Q (х) — некоторый многочлен, степень которого ниже степени многочлена Р(х); X — некоторая постоянная.
Практически при вычислении указанного вида интегралов применяется метод неопределенных коэффициентов. Для этого записывают интеграл по формуле (2), в которой X—неопределенный коэффициент и Q^ — многочлен с неопределенными коэффициентами степени на единицу ниже степени Р (х).
Для нахождения неопределенных коэффициентов дифференцируют обе части равенства (2), затем умножают на Vах* + Ьх-)-с и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, определяют X и коэффициенты многочлена Q(x).
Заметим, что формулу (2) обычно применяют тогда, когда степень многочлена Р^ не меньше двух. Если Р (х) — линейная функция, то проще пользоваться методом, указанным в разделе интегрирования элементарных дробей.
У
3^3 -jx2 I J
——— dx. Применим формулу (2):
ух3 — 2х + 5
Г 3x8 ~ 7x3 + L dx = (Ах3 -I- Вх -I- О- У х3 —2х-4-5 4- X С —dx .(3)
J у хз_2х4-5J у" х3 —2x4-5
Продифференцируем равенство (3), затем умножим на V х2— 2х-|-5 и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, определим коэффициенты А, В, С, X: Зх8—7x24-J,=z^—2х-|-54—(Лх1.+ 5х +-9_(х—1) 4*
Ух2 — 2x4-5' /х3—2x4-5ух^-2x4-5’
Зх» — 7х3 4- 1 = 2Ах8 4- Вх3 — 4Ах3 — ЧВх 4- ЮАх 4- 5В 4- Ах8 -|- Вх3 Ц-Сх —— Ах2 — Вх — С 4- X,
А=1, В = — 1, С=—13, Х = —7.
Подставим найденные значения в равенство (3) и возьмем интеграл, находящийся в правой части:
fdx = (х3 — х — 13) У х2 — 2х-|-5 —
J У х3 —2x4-5’
— 7 In |х — 1 4- у х2 —2x-j-514- С.
П р и м е р 2. ^ (4х3 — 6х) У х3 4-3 dx.
Умножим числитель и знаменатель подинтегрального выражения на V г3 4- 3, а затем будем брать интеграл так же, как и в примере 1.
J /х3 -|- з
= (Ах3 4- Вх2 4- Сх 4- D) V ^ + 34- X С,
4х< —бх8-^!^—18х =2 2Вх у^^з + (Ах8 Ц-Вх2 А-Сх-УР)х ■
V х34-3
4х4 — 6х3 4- 12х3 — 18х = ЗАх4 4- 2Вх= 4- Сх3 4- 9Ах3 + 6Вх 4- ЗС 4- Ах4 4- Вх8 4-
4-Сх24-Ох-|-Х,
3Q
Л=1; В = —2; С = ~\ О = —6; Х = —у,
J (4х3 — 6х) V х2 4- 3 dx = ^х3 — 2х3 4- у х — 6^ У х3-|-3 —
—2" 1П'х "^~ V^' Н- з 14- С.
Пример 3.
^dx
Xs У 4х3 -П~'
Применив обратную подстановку х = -^-, dx =—^ , приведем данный интеграл к интегралу типа 1:
4dxXs У4х2 — i4dxXs У4х2 — i4osdv4osdv4y2dy/4^о2’4y2dy/4^о2’
4dx
Xs У4х2 — i
4dx
Xs У4х2 — i
4osdv
4osdv
4y2dy
/4^о2’
4y2dy
/4^о2’
J
4o-dv . . ,- . , f do
T4^- = A У 4=^ + И£±Ж^£) . X ,У 4 — у3у 4 — у3У 4 — о2
— 4у2 = 4А — Ао2 — Ао2 — Во -|- X,
А = 2, В = 0, Х = — 8.
Х = 2у У4 — у2 — 8arc sin-4- С =
2 У 4х2 — Х2 У 4х2 — Х8 arcsin тг- + С.2х 18 arcsin тг- + С.2х 1х3 У4х2— 12 т
2 У 4х2 — Х
2 У 4х2 — Х
8 arcsin тг- + С.
2х 1
8 arcsin тг- + С.
2х 1
Некоторые типы интегралов, берущихся методом интегрирования по частям
В § 4 рассматривались некоторые типы интегралов, берущихся по частям. После изучения основных приемов интегрирования различных элементарных функций область применения метода интегрирования по частям можно расширить.
Рассмотрим некоторые интегралы, берущиеся методом интегрирования по частям или сводящиеся после применения этого метода к интегралам, берущимся другими известными методами.
Пусть Р (х) и Q (х) — многочлены.
SP(x)ln|Q(x)|dx.(1)
Обозначим и = In |Q (х)|, dv — P(x)dx, тогда du = ^-^-, v = Px (х), где Рх to — многочлен, степень которого на единицу выше степени многочлена Р (х).
fPtolnjQtoldx-P.tolnlQtol- f(2)
Интеграл в правой части равенства (2) является интегралом от рациональной функции х и, следовательно, всегда может быть взят.
^ Р (х) arctg [Q (х)] dx.(3)
Обозначим и = arctg [Q(x)L dv — P (х) dx, тогда du = т^-У , о = Pi to,
J P (X) arctg [Q(x)] dx = Px (x) arctg [Q(x)] - J ^^Q^ '<4)
В правой части равенства (4) находится интеграл от рациональной функции х, следовательно, его всегда можно найти.
3.3.Р (х) arcsin х dx.Р (х) arcsin х dx.(5)(5)Обозначим и = arcsin х, dv = P (х) dx, тогда du =Обозначим и = arcsin х, dv = P (х) dx, тогда du =dxут^^dxут^^О = РХ (х),О = РХ (х),
3.
3.
Р (х) arcsin х dx.
Р (х) arcsin х dx.
(5)
(5)
Обозначим и = arcsin х, dv = P (х) dx, тогда du =
Обозначим и = arcsin х, dv = P (х) dx, тогда du =
dxут^^
dxут^^
О = РХ (х),
О = РХ (х),
Pt (х) dxУ\ — х2*Pt (х) dxУ\ — х2*
Pt (х) dx
У\ — х2*
Pt (х) dx
У\ — х2*
Р (х) arcsin xdx = Рх(х) arcsin х —
В правой части равенства (6) получается интеграл от иррациональной функции, берущийся, например, с помощью тригонометрической под-
становки. Следовательно, для интеграла вида (3) метод интегрирования по частям приводит к цели.
^“'[P^cospx-j-Q^sin^x)] dx,(7)
где Р(х) и Q(x)— многочлены.
Можно показать, что интеграл вида (7) также берется методом интегрирования по частям. При интегрировании в правой части получается выражение, «подобное» подинтегральной функции:
$ еах [Р (х) cos р + Q (х) sin рх] dx = еах [М (х) cos рх -[- ^ (х) sin рх],(8)
где М (х) и N (х) — многочлены степени не выше наибольшей из степеней Р (х) и Q (х). Записав в формуле (8) вместо М (х) и N (х) многочлены с неопределенными коэффициентами степени, равной большей из степеней многочленов Р (х) и Q (х), дифференцируя левую и правую части получившегося равенства, методом сравнения коэффициентов можно найти коэффициенты многочленов М (х) и N (х). Легко применяется этот прием для частного случая интеграла (7), а именно, для интеграла вида ^P^e^dx.
П р и м е р 1. $е2* [(17х—12) cos Зх4~ (7х 4- 5) sin Зх] dx. На основании равенства (8) запишем:
е2* [(17х — 12) cos Зх 4- (7х 4- 5) sin Зх] dx =
= е2* [(Дх -|- В) cos Зх 4- (Сх 4- В) sin Зх].(9)
Определим А, В, С, D:
е2А[(17х—12) cos Зх + (7х-|-5) sin Зх] = eSx ^(2Ах 4- 2В) cos 3x4-+ (2Сх + 2D) sin Зх + 4 cos Зх + С sin Зх + (ЗСх 4- 3D) cos Зх 4-+ (— ЗДх — ЗВ) sin Зх],
откуда Д = I, В = — 2, С = 5, D = — 3.
Следовательно,
е8х [(17х — 12) cos Зх 4- (7х 4- 5) sin Зх] dx =
= е2х [(х— 2) cos Зх 4- (5х — 3) sin Зх] + С.
Пример 2. 1= J е=ж (15х4 4~ 12х8 — 10х2-|-31х—18) dx. Применим метод неопределенных коэффициентов:
$ е5А (15х4 + 12Х3 — Юх5 + 31х — 18) dx = е5х (Ах» + Вх3 + Сх2 + Вх -|- Е), дифференцируем обе части равенства:
е«(15х*+ 12х3 — 10х24-31х — 18) =
= е5х (5Ах» 4- 5Вх3 4- 5Сх2 4- 5Вх 4- 5Е 4- 4Дх3 4- ЗВх2 4- 2Сх 4- D),
откуда Д = 3, В = 0, С = —2, В = 7, Е =— 5, следовательно, / = е5А"(Зх4— 2х24- 4-7х — 5) 4-С.
§13. Примеры интегралов, не выражающихся черезэлементарные функции
В предшествующих параграфах рассматривались классы элементарных функций, интегралы от которых выражаются через элементарные функции.
На практике часто встречаются и такие элементарные функции, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции. Интегралы вида ^ Р (х, ]/Р (х)) dx, где Р (х) — многочлен степени выше второй, в общем случае не выражаются через элементарные функции. При этом если Р (х) — многочлен третьей или четвертой степени, то они называются эллиптическими, если же степени выше четвертой, то — ультраэллипти- 306
ческами. В некоторых частных случаях интегралы вида \Rkx* VP{x])dx могут выражаться и через элементарные функции, они называются псевдоэллиптическими.
Из интегралов от трансцендентных функций, не выражающихся через элементарные функции и имеющих большое прикладное значение, следует указать интеграл Пуассона: е~ хМх, интегралы Френеля: ^ sinxMx, ^cosx2dx, интегральный логарифм: Jj^y и сводящийся к
Ге*.„С sin х ,„
нему интеграл I — ах, интегральный синус: iах и интегральный ко-
_ г хJ х
С cos х , синус: \ —— ах.
ГЛАВА VI
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Раздел 1
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Задача о площади. В плоскости XOY дана фигура ABCD, ограниченная отрезком [а, 6] оси ОХ, прямыми х = а и х — b и кривой y = f(x), где f(x)— непрерывная, неотрицательная на отрезке [а, 6] функция (рис. 243). Будем называть такую фигуру криволинейной трапецией с основанием [а, 6]. В частности, точка D может совпасть с точкой А, а точка С — с точкой В. Требуется определить площадь S этой криволинейной трапеции.
Для решения поставленной задачи можно поступить следующим образом. Разобьем отрезок [а, 6] оси ОХ на п частей точками хй = а, у
хь х2xn — b (x^^Xi^x^^... <^хп). Через точки деления проведем вертикальные прямые. При этом криволинейная трапеция ABCD разобьется на п криволинейных трапеций с основаниями [х0, xj, [хь х2], ..., txn-i> хп1- Взяв на каждом отрезке [Х;_ь х,], i=I, 2, ..., п, произвольно точку 5,-(x,_i ^ $z ^ х,), построим прямоугольник с основанием [х,_ь х,] и высотой f^-iY Его площадь равна произведению f(^)-(xf— х^).
Рассмотрим ступенчатую фигуру, составленную из прямоугольников с основаниями [х0, х^, [хь х2], ..., [хп_,, х„] (рис. 244). Ее площадь, равную сумме f fo)(х, — х0)-ф-f (12)(х3 — х,) + ... + f(U (х„ —х„_0, будем считать приближенно равной площади S криволинейной трапеции ABCD:
S (£i) (хх — х0) -[-/ ($2) (х2 — Xi) -[- ... -[-/ ($л) (х„ — х„_х)
или короче:
S= S/GJ^-x^)1).
i = I
Чем мельче отрезки деления, тем точнее эта ступенчатая фигура «изображает» криволинейную трапецию ABCD.
За площадь криволинейной трапеции естественно принять предел2), к которому стремятся площади построенных указанным образом ступенчатых фигур при неограниченном увеличении числа отрезков деления и стремлении к нулю длин отрезков деления.
Таким образом,
S = lim 2 Ц^Н, —х^
или, если обозначить xz — хг_г = Дхь
S = lim 5 f GJ Ихиz = i
Задача о работе переменной силы. Материальная точка перемещается под действием силы F, направленной вдоль оси ОХ и имеющей переменную величину: \F\ = f(x\ Требуется определить работу А, совершаемую силой F по перемещению единицы массы вдоль оси ОХ из точки х=а в точку x=b<a<_by Функцию f(x) предполагаем непрерывной на отрезке [а, 6].
Если бы величина силы F была постоянна, то работа (по определению) равнялась бы произведению величины силы на длину пути перемещения. В случае силы переменной величины работу можно определить следующим образом.
Разобьем отрезок [а, 6] точками х0 = а, хь х^, .... xn = b (x0<^Xi< <ха<\.. ^х^ на п отрезков: [х0, xj, [х1, ха], ..., [хп_и хп] и выберем на каждом отрезке [хг_ь хг], г=1, 2, .... п, произвольно точку 5г. Сила, действующая на отрезке [х,_ь хг], меняется от точки к точке. Но если длина отрезка мала, ее величина в точках отрезка [xz_b xz] мало отличается от ее значения в точке Нг, так как функция Цх) непрерывна. Поэтому работу Аь совершаемую силой F на отрезке [хг_п хД, естественно считать приближенно равной работе, совершаемой на том же участке постоянной силой величины Ц^у
A^f^)^.
Проведя такие рассуждения для каждого отрезка деления, получаем приближенное значение работы А силы F на всем отрезке [а, 6]:
А f GO Дх, + f GJ Дха +... + f (^ bxn=yj^^ Ьхь i - 1
Точное значение работы А получаем в пределе при неограниченном увеличении числа отрезков деления и стремлении к нулю длин отрезков деления. Таким образом,
A = lim Gz) Дх,-z = i
*) Символ 2 f(6,)(Xj — х,_0 обозначает сумму всех выражений вида z= I
f^£)Vxi— Xj.O, получаемых при Z=l, 2, ..., п.
Интегральная сумма. Определенный интеграл
Решение рассмотренных выше задач сводилось к отысканию пределов сумм специального вида при неограниченном увеличении числа отрезков деления и стягивании каждого из них в точку. Так как к нахождению такого рода пределов приводит огромное количество математических и прикладных задач, естественно изучить эти суммы и их пределы, абстрагируясь от их конкретного содержания.
Пусть на отрезке [а, 6] оси ОХ задана произвольная функция f(x)1). Разобьем отрезок [а, 6] на п частей точками х0 = а, хь х2,.... х„ = 6 (хо^х, <ха<^...<x„). На каждом из отрезков деления [х0, х^, l^i, я2],..., [х^, х„], внутри или на концах, выберем по точке. Обозначим эти точки соответственно ^ 52,..., £„ (х^ ^ ^:^ хь Z= 1, 2, .... п). Составим произведения значений функции /(х) в выбранных точках на длины соответствующих отрезков деления:
f(£№ —х0), f(^)(x2 —хО, ..., fMkXn — Xn-\Y
Сумма всех таких произведений
) (Х1 — ХО) + / &) (Х2 — хО + ... + f (Q (х„ — хп^ или короче:
5 f ЬХ; (ДХ; = хг — х^
называется интегральной суммой для функции /(х) на отрезке [а, 6]. Она зависит от способа разбиения отрезка [а, 6] на части [х0, xj, [х„ ха], ..., [x„_i, х„] и от выбора точек ^ $2, ..., ^ на этих частях. Таким образом, для функции /(х) на отрезке [а, 6] можно составить бесчисленное множество интегральных сумм.
Назовем шагом разбиения отрезка [а, 6] на части наибольшую из длин отрезков деления. Процесс, состоящий в неограниченном увеличении числа п отрезков деления и стремлении к нулю длин отрезков деления, полностью характеризуется словами: «шаг разбиения отрезка [а, &] стремится к нулю». При таком процессе как-то будут изменяться интегральные суммы.
Будем говорить, что интегральные суммы функции f(x) при стремлении шага разбиения отрезка [а, 6] к нулю имеют пределом число /, если для любого числа е^>0 существует число 8 ^> 0, такое, что все интегральные суммы с шагом разбиения, меньшим 8, удовлетворяют неравенству
|'-2Ш^|<е,i = 1
т. е. отличаются от числа / по абсолютной величине меньше чем на е.
Число /, если оно существует, очевидно, зависит только от вида функции /(х) и отрезка [а, 6] и не зависит от способов разбиения отрезка [а, 6] на части и выбора точек ^ на этих частях. Это число / и называется определенным интегралом от функции / (х) на отрезке [а, 6] и обозначается символом
6 f (х) dx а
(«интеграл от а до b эф от икс де икс»).
*) Заметим, что никаких ограничений на знак функции не накладывается.
Таким образом, определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [а, 6] есть число, равное пределу интегральных сумм при стремлении к нулю шага разбиения отрезка [а, 6]:
^f(x)dx = lim ^f^t)^ (X— шаг разбиения отрезка [а, 6]). aX—0i=1
При этом числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, отрезок [а, 6] — промежутком интегрирования, функция f(x) называется подинтегральной функцией, выражение f(x)dx— подинтегральным выражением, х— переменной интегрирования.
Условия существования определенного интеграла
Функция f(x), для которой на отрезке [а, 6] существует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке.
Естественно возникает вопрос: при каких условиях функция /(х), определенная на отрезке [а, 6], интегрируема на этом отрезке.
Заметим прежде всего, что всякая интегрируемая функция должна быть ограничена.
Действительно, если функция f(x) не ограничена на отрезке [а, 6], то для любого разбиения отрезка [а, 6] на части [х0, xj, [хь ха], ..., [x„_b Хп1 найдется хоть один отрезок деления [xfe_i, х,], на котором функция будет неограниченной. Зафиксировав точки ^, ..., ^,_i, $,+1, ..., составим сумму
S' = f (51) Ах, +... + f (!-,_,) Ax,_, + f (E,+.) Дх,+1 +... + f М Дх„.
Эта сумма не является интегральной, так как в ней отсутствует слагаемое, соответствующее отрезку [х,_ь х,].
В силу неограниченности функции Цх) на отрезке [х,_,, х,] соответствующую ему точку Е, можно выбрать так, что абсолютная величина произведения f (Е,) Ах, будет больше любого наперед заданного числа. В частности, точку Е, можно выбрать так, что сумма
S' + /(5fc)Ax„ т. е. интегральная сумма
будет по абсолютной величине больше любого наперед заданного числа.
Так как для любого разбиения отрезка [а, 6] на части найдутся интегральные суммы, сколь угодно большие по абсолютной величине, то не существует (конечного) предела интегральных сумм при стремлении шага разбиения к нулю.
Таким образом, необходимым условием интегрируемости функции на отрезке [а, 6] является ее ограниченность на этом отрезке.
Рассмотрим теперь достаточные условия интегрируемости.
Теорема 1. Если функция /(х) непрерывна на отрезке [а, &], то она интегрируема на этом отрезке.
Для доказательства этой теоремы введем понятия нижних и верхних интегральных сумм и изучим их свойства.
Пусть функция /(х) непрерывна на отрезке [а, 6]. Разобьем этот отрезок точками х^ — а^Хх^х^^ ... <^хп = Ь на и отрезков: [х0, xj, (х„ ха], ..., [х„_1, хпу Обозначим полученное разбиение через Т.
‘ На каждом отрезке [хг_,, xz], t = 1, 2, .... п, непрерывная функция (х) в каких-то точках принимает свое наименьшее (mJ и наибольшее (MJ
значения на этом отрезке. Выбирая эти точки за точки ^ при составлении интегральных сумм, получим интегральные суммы
па
5 = 2 mAxi И 5=2 ^гДхг.i=I1=1
Они называются соответственно нижней и верхней интегральными суммами функции /(х) для данного разбиения Т отрезка [а, 6]. Так как для каждой точки х отрезка [x,_i, х^ справедливы неравенства
т, ^ / (х) Мь
то любая другая интегральная сумма q= У f ^i) ^xt Для того же Раз' г = I
биения Т заключена между s и S:
s^a^S.(1)
Если функция /(х) неотрицательна на отрезке [а, Ь\, нижняя и верхняя интегральные суммы для данного разбиения Т имеют простой геометрический смысл. Рассмотрим на плоскости XOY криволинейную
с основанием [а, 6]. Аналогичнос основанием [а, 6]. Аналогичнотрапецию, ограниченную отрезком [а, Ь\ оси ОХ, прямыми х = а и х — b и кривой y — f(x). Произведение m^Xt равно площади прямоугольника с основанием [х^, х,] и высотой ть Этот прямоугольник «вписан» в криволинейную трапецию с тем же основанием. Сумма s = У, т,Дх;
с основанием [а, 6]. Аналогично
с основанием [а, 6]. Аналогично
i = i
представляет собой площадь составленной из таких прямоугольников ступенчатой фигуры, «вписанной» в данную криволинейную трапецию п
заключаем, что сумма 5=2 М^хг ; = 1
представляет собой площадь ступенчатой фигуры, «описанной» около криволинейной трапеции с основанием [а, 6] (см. рис. 245).
п
Любая другая интегральная сумма а = 2 f(^i)^xi Для того же 1=1
разбиения Т равна площади «промежуточной» ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников с теми же основаниями.
Нижние и верхние интегральные суммы функции /(х) обладают следующими свойствами.
Множество значений всех верхних и нижних сумм для любых разбиений ограничено.
Действительно, если обозначить через tn и М соответственно наименьшее и наибольшее значения функции /(х) на отрезке [а, 6], то для любого разбиения Т будем иметь:
пппп
Ш S ^Х^ Sт^ S MAXi ^M^ bxbi = 1i = 1i = Ii = I
t. e.
m (6 — a) ^ s S -с M (6 — a).
От добавления к данному разбиению Т новых точек деления нижняя сумма не убывает, а верхняя не возрастает.
Доказательство. Пусть к разбиению Т добавлена одна новая точка деления (добавление нескольких точек деления можно произвести, добавляя их по одной). Предположим, что эта новая точка х\ попала на отрезок lx,-,,, х,] (рис. 246). Обозначим через s и s'— нижние, а через S и S' верхние интегральные суммы для данного разбиения Т и полученного из него добавлением точки x’i разбиения Т\
—о&—§—о—оо^—о5—о—о—оо—ГО-
а=хах}6=хл
Рис. 246.
Рассмотрим суммы s и s'. Они отличаются между собой лишь членами, соответствующими отрезку (х.-.ц хг]: в сумму s входит слагаемое тгДх; (Дх, = хг—х,_,), а в сумму s' вместо него входит два слагаемых: m't^x't—x;_i)-)-ml(хг — x’i), где m’i и ml— наименьшие значения функции f(x) на отрезках [хг_ь X;] и [х;, х,]. Так как m't^mi, ml^mt, заключаем, что
m’i (x't — x,-_i) + ml (хг — x’i) Sa mt (xj — xui + x, — x/) = m^xt, а значит, s'^s.
Аналогично доказывается, что S'^S.
Нижняя сумма s любого разбиения Т не превосходит верхней суммы S' любого другого разбиения Т'.
Для доказательства этого утверждения рассмотрим разбиение 7", состоящее из всех точек, входящих в разбиения Т и Т. Это разбиение 7" можно получить как из разбиения Т, так и из разбиения Т добавлением конечного числа точек деления.
Обозначая через s" и S" соответственно нижнюю и верхнюю интегральные суммы для разбиения Т", на основании свойства 2 получаем:
s^s"^S"^S', т. е. s^S'.
Докажем теперь сформулированную выше теорему об интегрируемости функции /(х), непрерывной на отрезке [а, 6].
Рассмотрим последовательность разбиений Т^ 72, ..., Тп, ... отрезка [а, Ь], удовлетворяющую двум условиям: 1) каждое разбиение этой последовательности получено из предыдущего добавлением конечного числа точек деления, 2) шаг разбиения Тп (обозначим его Х„) стремится к нулю при п-*со.
Составив для каждого разбиения Тп нижнюю и верхнюю суммы s„ и So, получим две последовательности интегральных сумм:
5ь s2, ... , s„, ... ,
Si, S2, ... , S„, .
Из доказанных выше свойств следует, что последовательность нижних интегральных сумм монотонно возрастает (не убывает) и ограничена:
тф — a) ^s^s^ ... ^з^с.^сМф — а), а последовательность верхних интегральных сумм монотонно убывает (не возрастает) и также ограничена:
m ф — а) -С... Sn S2 ^S, -с М ф — а).
Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет конечный предел. Обозначим
lim s„= /, limS„ = 7.
П—КЮЛ—>00
Для любого разбиения Тп sn^I, T^Sn.(2)
Переходя к пределу в неравенстве
St^Sk
(см. свойство 3), справедливом при любых I и к, получаем неравенство
L^L
Сопоставляя его с неравенствами (2), заключаем, что для любого разбиения Тп
s^L^l^s^(3)
Покажем, что 1=1. Для этого, как следует из неравенств (3), достаточно доказать, что
lim(S„ —s„)=0.
Пусть е^>0— любое число. Функция /(х), непрерывная на отрезке [а, 6], равномерно непрерывна на этом отрезке. Значит, для числа ei = y-^ существует число 8^>0, такое, что \fW — Ц^'Н^6! Для любых двух точек х' и х" отрезка [а, 6], находящихся на расстоянии, меньшем 8.
Так как ИтХл = 0, то существует номер N, начиная с которого П-+СО
шаг разбиения Х„ меньше 8.
При n^>N
6л
s„ —S„= 5 (Л4г —m,) Дх1<е1 5 Дх( = е,(д —а)=е,i=li=l
откуда следует, что
lim (S„ —s„) = 0, л-юо
а значит,
1=1=1.
Покажем теперь, что по любой другой последовательности разбиений
удовлетворяющей условиям 1) и 2), последовательности нижних (si, si, ..., Sn, ...) и верхних (Si, Sg, ..., SA, ...) интегральных сумм имеют тот же предел I.
Пусть
lim s„ = lim S'n = Г.
n-*co п-*со
Рассмотрим последовательность разбиений отрезка [а, Ь]: Т"х, Т”_, ..., Th, ..., у которой каждое разбиение Th состоит из точек, входящих в разбиения Тп и Т'п. Эта последовательность так же удовлетворяет условиям 1) и 2).
Обозначая через sh и SA соответственно нижние и верхние интегральные суммы разбиения Th, на основании свойств интегральных сумм имеем;
Sn ^ Sn ===: Sn =£= Sn,(4)
Sn sn ^ Sn Sn.(5)
Переходя в неравенствах (4) и (5) к пределу при п-оо, видим, что
lim Sn= Игл S„ = I, lim s„ = lim S„ — Г,
n-WOOП—ЮОП-H»П-НЭО
t. e.
I = r.
Это число / является пределом любых интегральных сумм при стремлении к нулю шага разбиения X.
Действительно, пусть s^>0— любое число. В силу равномерной непрерывности функции f (х) на отрезке [а, 6] существует число 8^>0, такое, ЧТо i f (лО — f (х") К 6 ^1 </ для любых точек х7 и х" отрезка [а, 6], находящихся на расстоянии, меньшем 8.
Фиксируем какое-нибудь разбиение Т с шагом, меньшим 8. Рассматривая его как начальное в последовательности разбиений, на основании неравенств (3) *) будем иметь:
s^/^S,(6)
где
s = 2 и^Дх,, 5=2 М^х^i = 1i = I
Любая интегральная сумма о= 2 /(У ^xt Для того же разбиения i= 1
заключена в пределах s и 5 [см. (1)]:
s^a 5.
Сопоставляя неравенства (6) и (1), заключаем, что: пп
|a —Z|^S —s=2 (Л4; —mJAx^y^ ^ Д^ = е-i=ii=i
Так как Т — любое, достаточно мелкое разбиение, то отсюда следует, что
lima = I,х —о
т. е. функция f(x) интегрируема на отрезке [а, 6].
Сформулируем в заключение более общую теорему существования определенного интеграла.
Теорема 2. Если функция /(х) ограничена на отрезке [а, 6] и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек, то она интегрируема на этом отрезке.
Доказательство этой теоремы в данном курсе не рассматривается.
Возвращаясь к рассмотренным в § 1 задачам, видим, что:
Площадь S криволинейной трапеции, ограниченной отрезком [а, 6] оси абсцисс, прямыми х — а и х = Ь и кривой у = f (х), где /(х)— непрерывная, неотрицательная на отрезке [а, 6] функция, численно равна определенному интегралу от функции / (х) на отрезке [а, Ь]:
пЪ
S = lim 2 f (У Дх/ = ^ W dx.
х -► о 4 _ 1а
Работа направленной вдоль оси ОХ переменной по величине силы F(\F\=f(x'), гДе /(х) — непрерывная функция) по перемещению единицы
массы вдоль оси ОХ из точки х = а в точку х = Ь численно равна определенному интегралу от функции f^ на отрезке [а, 6]:
пb
Л = Игл 5 f &> kXi = V^ dx-X-> 0 i= 1a
Первая задача позволяет установить геометрический смысл определенного интеграла. X именно, определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции /(х) на отрезке [а, 6] численно равен площади криволинейной трапеции с основанием [а, 6], ограниченной сверху кривой y — f(x) (рис. 243).
Заключение о механической интерпретации определенного интеграла, вытекающее из результата второй задачи, предоставляется сделать читателю.
Дополнения к понятию определенного интеграла
6
При определении интеграла ^f(x)dx предполагалось, что нижний а
предел интегрирования а меньше верхнего предела Ь. Распространим определение интеграла на случай, когда а^>Ь. А именно, если /(х)— функция, интегрируемая на отрезке [6, а], то полагаем по определению, что 6а
^f(x)dx =— ^f^dx.(I)
ab
b
Примечание. Можно определить интеграл ^f^dx при а*>Ь а
и как предел интегральной суммы при стремлении к нулю шага разбиения промежутка интегрирования от х = а до х = Ь:
6п
^f(x)dx — lira 2 f(U д^. а* ~* 0 ё = 1
При этом точки деления х0 = а, хъ ха, ..., хп = Ь располагаются в направлении от а к Ь, т. е. Дхг=хг— х.^^О, /= I, 2, ... , п.
Если при построении интегральных сумм для интегралов ^ f (х) dx и а а
^f(x)dx, a>b, брать те же точки деления и те же точки ^, то соответствующие интегральные суммы будут отличаться лишь знаком, а значит, в пределе получится равенство (1), которое мы взяли за определение интеграла при а">Ь.
В случае, когда а — Ь, для любой функции f(x) полагаем, что
f (х) dx = 0. а
Свойства определенного интеграла
Установим, исходя из определения, некоторые простейшие свойства определенного интеграла. Будем при этом предполагать, что все рассматриваемые ниже функции на промежутках интегрирования удовлетворяют условиям теорем 1 или 2 и, следовательно, интегрируемы.
Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т. е.
бьб
^ f (х) dx — ^ f (t) dt = ^ f (“) du aaa
И T. Д.
Это утверждение непосредственно следует из определения интеграла как числа, равного пределу интегральных сумм. В случае неотрицательной подинтегральной функции утверждение 1 особенно очевидно, так как площадь соответствующей криволинейной трапеции не зависит от обозначения оси абсцисс.
Определенный интеграл меняет знак при перестановке пределов интегрирования, т. е. при а^6:
/ (х) dx = — ^ f (х) dx.аb
Доказательство следует из данного в § 4 дополнения к определению интеграла.
6
^х = Ь— а при а ^6. а
Действительно, если а<^Ь, то
Ьп
tdx = lim 5]Дхг=Ит(6— аЛ = Ъ— а.
ах-о
В случае tz^6 по свойству 2 имеем:
6а
dx =— ^ dx = — (а — 6) = 6 — а.
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т. е.
66
^kf (х) dx = к f (х) dx для любого числа к. аа
Действительно, для любого разбиения Т промежутка оси ОХ от х — а до х = Ь и любого выбора точек
Z=1i=l
Переходя к пределу при стремлении шага разбиения X к нулю, получаем:
\ kf (х; dx = lim Y kf (EJ Дх; = lim к Y f ^ Дх, =
"x —oi=ix — o i = I
= к lim 2 f (E,) Дх; = к t f (x) dx.
X->0; Ja
Определенный интеграл от суммы двух функций Д (х) и fa (х) равен сумме определенных интегралов от слагаемых, т. е.
666
$ Vh (х) + /а (х)] dx = ^ А (х) dx^b (х) dx.
ааа
Действительно, для любого разбиения промежутка от х = а до х — Ь и любого выбора точек 6г
2 [А CJ + А СЛ Д^ = 2 А ^ + 5 А С.) Дхг. i = li=li=l
Так как л6
Ит 2 А С.) A^i—S A (*) ^х, Х->0 ; _ Iа
Нт 2 А (А) Дх; = 5 А (х) dx,0 ;• = IД
то получаем, что
Ьп
S(A W+A W] dx= lim 2 [A Ci)+А С,)1 Д^-= аА -► 0 i = I
= Нт 2 А Ci) Дх; + Пт 2 А (А) Д^- = $ A W dx + 5 А (х) dx. * -* ° i = I^ -► 0 i = 1аа
Примечание. Свойство 5 имеет место для любого (фиксированного) числа слагаемых.
Если отрезок [а, 6] разбит точкой С на две части [а, с] и [с, 6], то bсb
^f (х) dx — ^f (х) dx + ^ f (х) dx. аас
b
Доказательство. Так как интеграл ^ f (х)dx, равный пределу а интегральных сумм, не зависит от применяемого при составлении инте- тральных сумм способа разбиения отрезка [а, 6] на части, можно рассматривать только те разбиения, в которые точка с входит в качестве точки деления. Тогда
S f ^ =S' f Ci) д^+S7 сг) ^i, i = l
где S' и 2" — суммы, соответствующие отрезкам деления, попавшим соответственно на отрезки [а, с] и [с, by
Переходя к пределу, при стремлении шага разбиения X отрезка [а, Ь] к нулю, получим: X _о, X —о. [а, с][с, 6]■
lim ^f^i^Xi^f^dx,
XVa7c?а
b
Jin^S' f Ci) Ах; = ^/(х)с?х,(c51c
a значит, bcb
^f (x)dx=^f (x) dx + ^f (x)dx. aac
Для любого расположения точек а, b, с ЬсЬ
^f (х)dx=^f (х)dx-^f (х)dx. аас
Для случая а<^с<^Ь свойство 7 доказано выше.
Пусть, например, a<^b<^c. Тогда, применяя к отрезку [а, с] свойство 6, получим:
f (х) dx = f (х) dx 4- f to dx.ааЪ
По свойству 2
сЪ
7 (х) dx = —^ 7 (х) dx,
Ъс
а значит, ЪсЪ
5 f (х) dx = ^ f (х) dx 4- 5 f to dx. аас
Аналогично доказывается свойство 7 для любого другого расположения точек а, Ь, с.
Изменение значений интегрируемой функции в конечном числе точек не влияет на величину интеграла.
Справедливость этого утверждения следует из интегрируемости данной и измененной функций, а также из того, что для любого сколь угодно мелкого разбиения отрезка интегрирования на части существуют интегральные суммы для этих функций, совпадающие между собой. Для построения таких сумм достаточно точки Ег выбирать так, чтобы они не совпадали с точками, в которых эти функции различны.
Примечание. Свойства 6—8 позволят в дальнейшем отыскание предела интегральных сумм (короче — вычисление интеграла) для функции, имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке интегрирования, свести к вычислению суммы интегралов от непрерывных функций.
Если всюду на отрезке [а» &] функция /(х)^0, то
§7 (х) dx^O. а
В самом деле, любая интегральная сумма
i =1
для функции 7(х) на отрезке [а, 6] неотрицательна, так как
7(^,)^0, ДХ;=Х;Х,-1>0, i=l, 2п.
Переходя к пределу в неравенстве
£76)Д^0,
получаем
^7(x)dxSsO. а
Геометрически утверждение очевидно.
Если всюду на отрезке [а, 6] то
66
5 71 to dx ^ 5 fl to dx.
aa
Действительно, так как на отрезке [а, &] ft (х) — fT (х) ^ О, то по свойству 9
StfaW—AWl^^O.
а
По свойствам 5 и 4 6б»
S t/a W — fi М ] dx = fi (я) dx — ^ А (х) dx. ааа
Следовательно, 6666
^ ft {х} dx — ^ft (х) dx 5$ 0, т. е. § A W dx ^ § А (*) dx. аааа
Для неотрицательных на отрезке [а, 6] непрерывных функций ft (х) и ft (х) утверждение 9 очевидно, так как криволинейная трапеция с основанием [а, 6], соответствующая функции ftW, содержит трапецию с тем же основанием, соответствующую функции ft (х).
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, 6], неотрицательна и не равна тождественно нулю, то
6 $7(x)dx>0. а
Доказательство. По условию найдется такая точка х0, а^Хд^Ь, что f (х0) > 0. В силу непрерывности функции f (х) на отрезке [а, 6] существует отрезок [а, р], содержащий точку х0, на котором 7М>^>0.
Используя последовательно свойства 6, 9, 4, 3, получаем, что &аР&Р
^7 (X)dx = ^f (х) dx -|- ^ f (х) dx -|- ^ f (х) dx 5= ^7 (х) dx Sa ааара
а)>°, т. е. 6 $7(х) dx^>0. а
Геометрически это утверждение очевидно.
Применяя свойство 11, можно доказать, что если функции /Дх) и 7а (х) на отрезке [а, 6] непрерывны и не тождественно равны, то из неравенства fi (x)^ft(x) вытекает неравенство 57i (х) dx<^ft (х) dx. аа
Для функции 7(х)> заданной на отрезке [а, 6], имеет место неравенство
|$7 (x)dx|=s5$|7(x)|dx аа
(модуль определенного интеграла от некоторой функции не превосходит интеграла от модуля этой функции).
Доказательство основано на использовании очевидных неравенств
справедливых для любого значения х отрезка [а, 6]. Интегрируя их почленно (см. свойство 10) и применяя свойство 4, получаем неравенства
— s I f W Idx ^ S f w dx ^ + 51 f (x) | dx,aaa
откуда следует, что 66
15 Hx^dx^^Hx^dx.aa
Обобщенная теорема о среднем. Если функции f (х) и ср (х) непрерывны на отрезке [a, Z?] и функция <р (х) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует точка 6, такая, что
ь6
5 f (х) ? (х) dx — f (?) ^ ® (х) dx.
Доказательство. Если ®(х) = 0 на отрезке [а, 6], то утверждение теоремы очевидно. Пусть теперь <р (х) ^ 0. Предположим, что на отрезке [а, 6] <р(х)^0 (для случая ®(х)^0 доказательство проводится аналогичным образом). Так как функция f (х) непрерывна на отрезке [а, 6], то она принимает на нем свое наибольшее и наименьшее значения (обозначим их соответственно М и /га), причем в любой точке отрезка [а, 6] m^f (х)^/И.
Умножив на <р(х) (®(х)^0!), получим неравенства
гагср (х) ^ f (х) <р (х) ^ Л4® (х).
Проинтегрируем эти неравенства по отрезку [а, 6]:
666
т 5 ® (х) dx $5 ^ / (х) ? (х) dx ^ М 5 ? (х) dx.(1)
ааа
Так как функция ® (х) не тождественно равна нулю, неотрицательна и непрерывна на отрезке [а, Ь^, то
6
5 ® (х) dx^>0 ). а
Разделим все части неравенств (1) на эту величину:
6
$/(x)?(x)dx
tn ^ 5_^ м.
5 о(х) dx а
Функция f^, непрерывная на отрезке [а, 6], между своими наименьшим и наибольшим значениями принимает все промежуточные, поэтому на отрезке [а, 6] найдется точка Ца^$^6), такая, что
6
$/(x)<?(x)dx
5 f (х) dx а
или, что то же,
66
^ f (х) <р W dx = f (?) ^ ® (х) dx '). аа
Это и доказывает утверждение теоремы.
В частном случае, если ®(х)=1, из обобщенной теоремы о среднем вытекает, что 66
^/ (х) dx = f (?) ^ dx, a^X^b.(2)
аа
Так как
6 dx = b — а, а
то равенство (2) запишется в виде:
^ f (х) dx = f (?) (b— a), a^X^b. а
Указанный частный случай также называют теоремой о среднем. Эта теорема о среднем может быть сформулирована следующим образом: определенный интеграл от функции /(х), непрерывной на отрезке [а, 6],
равен значению подинтегральнойравен значению подинтегральнойРис. 247.Рис. 247.функции в некоторой «средней» точке ? промежутка интегрирования, умноженному на длину промежутка интегрирования.
равен значению подинтегральной
равен значению подинтегральной
Рис. 247.
Рис. 247.
Если функция /(х) неотрицательна на отрезке [а, 6], это утверждение означает, что площадь криволинейной трапеции с основанием [а, 6], соответствующей функции f (х), численно равна площади прямоугольника с тем же основанием [а, 6] и высотой, равной значению функции f (х) в некоторой «средней» точке ? отрезка [а, 6] (см. рис. 247).
Примечание. Равенство
VWdx = f(5) Ф-а),
очевидно, имеет место и непрерывной на отрезкеочевидно, имеет место и непрерывной на отрезкев случае, когда а^>Ь, т. е. для функции /(х), [6, а]. При этом Ь^Х^а.
очевидно, имеет место и непрерывной на отрезке
очевидно, имеет место и непрерывной на отрезке
Определенный интеграл с переменным верхним пределом
Пусть /(х)— функция, непрерывная на отрезке [а, 6]. Тогда она непрерывна, а значит, интегрируема на любом отрезке [а, х], где а^х^Ь.
Интеграл ^ f (t) di) зависит от х, т. е. является функцией х, опре- а
деленной на отрезке [а, 6]:
5но^=фм.
а
*) С помощью дополнительных рассуждений можно показать, что такую точку $ можно найти внутри отрезка [а, 6].
Покажем, что функция Ф (х) дифференцируема на отрезке [а, 6]. Для этого фиксируем любую точку х отрезка и дадим х приращение Дх).
Функция Ф(х) получит приращение
ДФ(х) = Ф(х-|-Дх) —Ф(х) = § f(0^ —$f(0^- аа
Так как
^4-ДХXХ-т^Х
5 но^=^(О^+ S f(W аах
ТО
х4~Ддс
ДФ(х)= 5 f^dt
X или, по теореме о среднем,
ДФ (х) = / (?) Дх,(1)
где 5— точка, лежащая на отрезке с концами х и х-|-Дх.
Деля обе части равенства (1) на Дх и переходя к пределу при стремлении Дх к нулю, в силу непрерывности функции f (х) получаем:
Ит Д ^ = lim f^ = f(x).
Дх->0Ах->0
Следовательно, в точке х существует производная Ф' (х), причем ®,W=fW)-
Таким образом, доказана теорема: производная определенного интеграла от непрерывной функции /(х) по его верхнему пределу равна подинтегральной функции с заменой переменной интегрирования верхним пределом:
X
а
Аналогичным образом может быть доказана теорема о том, что про- 6
изводная определенного интеграла ^f^dt от непрерывной на отрезке
[а, 6] функции f (х) по нижнему пределу равна взятой со знаком минус подинтегральной функции с заменой переменной интегрирования на нижний предел:
6
Теорема о производной определенного интеграла по верхнему пределу позволяет доказать одну из основных теорем математического анализа— теорему о существовании первообразной.
Теорема. Для всякой функции / (х), непрерывной на отрезке [а, 6], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.
Действительно, для непрерывной на отрезке [а, 6] функции / (х), по теореме о существовании определенного интеграла, существует функция
ф(х) — (t)dt, a^x^b.а
Так как Ф' (x) = f(x), то эта функция является первообразной для функции f(x) на отрезке [а, 6].
Неопределенный интеграл от функции /(х) на отрезке [а, 6] связан с определенным интегралом с переменным верхним пределом соотношением
^f^dx^f^dt^C,а
где С — произвольная постоянная.
Формула Ньютона — Лейбница
Как было установлено выше, функция /(х), непрерывная на отрезке [а, 6], имеет на этом отрезке первообразные, причем одной из них является функция
Ф(х) = ^(0^.а
Пусть F (х)—любая первообразная для функции /(х) на том же отрезке [а, 6]. Так как первообразные Ф(х) и F (х) отличаются постоянным слагаемым, то имеет место равенство
^f(f)dt=F^x')-^-C, a^x^b, а
где С — некоторое число.
Подставляя в это равенство значение х=а, будем иметь:
Sf(0^ = F(a) + C, 0 = F(a) + C, С = —F(a). а
Таким образом, для любого значения х, а^х^Ь, \f(t)dt = F(x) — F(a). а
В частности, при х = Ь получаем: ь \f(t)dt = F(b)-F(a). а
Формула ь \f(x)dx = F(b) — F(a),(1)
а
выражающая определенный интеграл от непрерывной функции через неопределенный, называется формулой Ньютона — Лейбница.
Разность F (Ь) — F (а) принято условно записывать в виде:
F (х) £ ИЛИ [F (х) ]а.
Формула (1) или, что то же, формула
$f (x)dx = F(x)£ а
показывает, что определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной, вычисленных для верхнего и нижнего пределов интегрирования.
Формула Ньютона — Лейбница дает простой и удобный метод вычисления определенных интегралов от непрерывных функций, применимый в тех случаях, когда первообразная подинтегральной функции может
Рис. 248.Рис. 248.быть найдена в элементарных функциях.
Рис. 248.
Рис. 248.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Вычислить интеграл 2
(Зх2—V)dx. Так как одной из перо
вообразных для функции f (х) = Зх2 — 1 является функция х3—х, то применяя формулу Ньютона — Лейбница, получаем:
2
(Зх2 — 1) dx = [х3 — х], = о
= (23 — 2) — (О3 — 0) = 6.
Если вместо первообразной х3—х взять любую другую первообразную х3 — х 4- С, где С — число, то результат, как этого и следует ожидать, получится прежним:
2
^(Зх2 — l)dx=[x3—x + Q; = (23— 2 +С)-(О3— 0 + 0=6.
и
Пример 2.
у = arctg х^ = arctg 1 — arctg (—1)= у
Пример 3. Функция fe O^x^l, 1<х<3 разрывна на отрезке [0, 3] (рис. 248). 3
Используя замечание к свойству 8, можно свести вычисление интеграла ^fW dx к применению формулы Ньютона—Лейбница.
з1з13
( / (х) dx = ( / (х) dx + \ /(х) dx = ^ ех dx -|- (3 — х) dx— ооIоI
I
"х2 13О1
Зх- 2-ji=e-l+9-y-3+T = e+l.
I
Пример 4. Вычислим ^ /1 — xidx. Для этого находим первооб- о
разную функции j/1—х2 на отрезке [О, I]:
/1 — x^dx — ^ cos^tdt = ^ (1 + cos2/)d/ = y t + |- sin 2Г + С = = у arcsin х + у х /1 — х2 + С *).
По формуле Ньютона—Лейбница
4 "4 "1
4 "
4 "
V1 — х2 dx= | у arcsin х + у х
В примере 4 для нахождения определенного интеграла нам пришлось сначала с помощью замены переменной вычислять неопределенный интеграл, затем возвращаться к переменной х и лишь затем применять формулу Ньютона—Лейбница. Вычисление этого и ряда других определенных интегралов можно упростить, если использовать формулу замены переменной в определенном интеграле, которая выводится в следующем параграфе.
Замена переменной в определенном интеграле
6
Пусть требуется вычислить определенный интеграл ^f(x)dx от функа
ции /(х), непрерывной на отрезке [а, 6]. Имеет место следующее правило замены переменной.
Если: I) функция х = ф(/) непрерывна вместе со своей производной «'(/) на отрезке с концами / = а, / = р (а^Р) оси Ot; 2) при изменении / от а до р значения функции х = ф(/) не выходят за пределы отрезка [а, 6] и 3) <р(а) = а, <о$) = Ь, то
V (х) dx = ^f (ф (/)) ф' (t) dt.(1)
аа
Действительно, по формуле Ньютона—Лейбница
f (х) dx = F (b) — F(a), а
где F (х)— какая-нибудь первообразная для функции f(x) на отрезке [а, 6].
Так как при этом функция ^(ф^)) является первообразной для функции f (ф (0) Т7 (0» непрерывной на отрезке оси Ot с концами t = a и t — р, то по той же формуле Ньютона-Лейбница
V (? (0) ?' (0 — F (ф (Р)) — F (<Р (а)).
Учитывая условия ф(Р) = 6, ф(а) = а, заключаем, что
$ f (У (0) ?' W dt = F(b) — F (а), а значит,
^fO^dx^f^ (f))V(()dt. аа
Таким образом, если функция х = <о^ удовлетворяет указанным выше условиям 1, 2, 3, то подстановка х = ф(/) сводит вычисление определенного интеграла
/ (х) dx а к вычислению интеграла
^(ф ^W)dt.
“6
Примечание. Вычисление интеграла ^f^dx при а">b сводится а
к рассмотренному случаю, так как
6а
^f (х) dx = — ^ / (х) dx.
аЪ
1
Пример 1. Вычислить V 1 — dx.
Рассмотрим подстановку х = sin t. Здесь а = 0, р = у, функция х= sin t и ее производная на отрезке ^0, у] непрерывны, при изменении t от ( = 0 до < = -^-значения функции х= sin t не выходят за пределы отрезка [0, 1]. Применяя формулу (1), получаем:
1 "2 Т] Уя
( V1— х2 dx = ^ J^ 1— sin2t cos tdt = ^cos2tdt = у § (1+ cos 2£) dt= "^"-
оиии
Формула (1), прочитанная справа налево, позволяет также сводить вычисление интеграла ъ а
с помощью подстановки / = ф(х) к вычислению интеграла
V^dt, где а = ф(а), р = ф(6).
1
Пример 2. Вычислить J 4g^^1^.34 •
Применяя подстановку t = ex, находим а = е°=1, ^ = е‘ = е,
С ех dxС dtС dt
3 4e2*4-12ex + 34 — j № -|- 12* -|- 34 — 3 (2Z + З)2-|-25 •
Для вычисления полученного интеграла можно применить подстановку « = 2<-|-3: е2«+з
С dt1 f du 1. u |2«+3 i 2e + 3 л
3 (2z? + 3)2 + 25 — 2us4-25~10 arCtg 5 |s ~ 10 arCtg 540*
Таким образом,
i
C ex dx _ 1 2e-4- 3 л
3 4e2-4-12^ + 34 — 10 arCtg 540’
о
Примечание. При использовании формулы замены переменной в определенном интеграле необходимо проверять выполнение перечисленных выше условий.
Если эти условия нарушаются, замена переменной по указанной формуле может привести к абсурду.
Пример 3. dx = х |о = л.
С другой стороны,
С dx= С dx = С dx
J J sin2 х -|- cos2 х j cos2 x (1 -j- tg2 x) "
Подстановка tgx = < формально приводит к следующему результату:
ititо
0, т. е. л = 0.0, т. е. л = 0.С . Сdx С dt
0, т. е. л = 0.
0, т. е. л = 0.
3 Х 3 COS2 х (1 -I- tg2 х) 3 * + ооо
В данном случае подстановка tgx = Z неприменима.
§ 9. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
Пусть функции и = ср (х) и и = ф (х) непрерывны вместе со своими производными на отрезке [а, 6] ).
Проинтегрируем тождество
[<Р (х) • ф (х)]' = <р' (х) ф (х) -ф- ср (х) ф' (х)
в пределах от х=а до х=Ь:
ььъ
§ [ср (х) • ф (х) ]' dx = ^ ю' (х) ф (х) dx -|- ^ ср (х) ф' (х) dx.(1)
ааа
Так как функция ®(х)-Ф(х) является первообразной для функции [? М'Ф W]'» то по формуле Ньютона — Лейбница:
ъ
$ [? (х) • Ф WK^х = <Р (X) . ф (х) |“. а
Равенство (1) при этом запишется в виде: ьь
? (X) • ф (х) [^ = 5 v W Ф (х) dx + $ ? <х) Ф' (х)dxаа
или, что то же, в виде:
ъь
(2)(2)5 ср (х) ф' (х) ix = ф (х) • Ф (х) |* — 5 <р' W Ф W dx. аа
(2)
(2)
Соотношение (2) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.
Эту формулу обычно записывают более компактно следующим образом: ьь
udi) =№0 |* — ^ udu.
аа
Пример. Вычислить
"2
J х sin х dx.
Обозначая x = u, sin xdx = dv (тогда dx = du, — cosx = y), по формуле интегрирования по частям получим:
722""2^_
х sin хdx = — х cos х |2 -)- ^ cos x dx = ^ cosx dx = sinx I2 = 1.
0OU
Раздел 2
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
§ 10. Площадь плоской фигуры
Общие сведения. В элементарной геометрии дается определение площади треугольника, а также площади любого многоугольника как суммы площадей составляющих его треугольников.
Дадим определение площади любой плоской фигуры так, чтобы оно как частный случай включало в себя эти известные определения.
Пусть а — любая фигура, лежащая в плоскости XOY.
Всякий многоугольник Q, содержащий фигуру а, будем называть описанным около фигуры о, а всякий многоугольник q, содержащийся в фигуре а, будем называть вписанным в фигуру с (рис. 249).
Если существуют последовательности описанных и вписанных в фигуру а многоугольников (обозначим их соответственно Qn Q2, ..., Qn...
Рис. 249.Рис. 249.и qx, qy ..., qn, • ••), такие, что последовательности их площадей имеют общий предел (конечный)
Рис. 249.
Рис. 249.
lim пл. Qn — lim пл. qn = S, R-*ODП—ЮЗ
то фигура а называется квадрируемой, а этот общий предел площадей описанных и вписанных многоугольников называется площадью фигуры:
пл. c = S *).
Из этого определения, в частности, следует, что если существуют последовательности описанных и вписанных в фигуру о квадрируемых
фигур (необязательно многоугольников), площади которых имеют общий
(конечный) предел S, то фигура квадрируема и ее площадь равна этому числу S.
Можно также показать, что если фигуру а разбить на две части а( и а2 (рис. 250), то из квадрируемости любых двух из этих фигур сле
дует квадрируемость третьей, причем всегда ПЛ. с = ПЛ. $i -1~ ПЛ. с2.
Площадь криволинейной трапеции. Выше мы решали задачу о вычислении площади криволинейной трапеции, ограниченной снизу отрезком [а, 6] оси ОХ, сверху — — кривой у = f (х), где f(x)— непрерывная, неотрицательная на отрезке [а, 6] функция, слева и справа — прямыми х = а и х = Ь. Покажем, что такая криволинейная трапеция квадрируема и что данное ранее определение площади криволинейной трапеции совпадает с общим определением площади.
Рассмотрим любое разбиение Т отрезка [а, 6] на части [х0, Xi], [хь х2], ..., [х„_ь х„] (здесь а = х6, Ь — хп\ Обозначая через т; и Mt соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [хг_„ х,], составим для данного разбиения Т верхнюю и нижнюю интегральные суммы:
пп
S = 2 Mt Ьхьз-^пц Дхг.
i=ij=i
Эти суммы равны площадям ступенчатых фигур, соответственно описанных и вписанных в данную криволинейную трапецию (рис. 245).
По теореме существования определенного интеграла при стремлении к нулю шага разбиения отрезка [а, 6] получаем:
ппb
lim V Mt &Xi = lim V mi^Xt = \f (x) dx, х-о.УX^0#=Ia
Отсюда следует, что для любой последовательности разбиений отрезка [а, 6] с шагом разбиения, стремящимся к нулю, площади описанных и вписанных ступенчатых фигур (равные соответственно верхним и нижним интегральным суммам) стремятся к общему пределу, равному определенному интегралу:
f (х) dx. а
Таким образом, данная криволинейная трапеция квадрируема и ее площадь S вычисляется по формуле
6
S = ^Hx)dx(1)
а
или короче:
S : у dx.
Если функция Цх) непрерывная и неположительная на отрезке [а, 6], то / Iх) dx 0. а
Абсолютная величина этого интеграла равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху отрезком [а, b оси ОХ, слева и справа— прямыми х=а и х — Ь, снизу— кривой y = f(x) (рис. 251).
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, 6] и не знакопостоянная, то определенный интеграл ^/ (х) dx численно равен алгебраической а
сумме площадей криволинейных трапеций, лежащих над и под осью ОХ1). В эту сумму площади криволинейных трапеций, лежащих над осью ОХ, входят со знаком плюс, а площади криволинейных трапеций, лежащих под осью ОХ, со знаком минус (рис. 252).
Площадь фигуры ABCD, ограниченной слева неправа прямыми х = а и х = Ь, снизу и сверху — кривыми y = 's(x) и у = ф(х), где <р(х) и ф(х)— непрерывные функции на отрезке [а, 6], можно вычислить как разность площадей криволинейных трапеций LKCD и LKBA (рис. 253): ъь
S = ^ ф(х)dx — ^<р(х) dx,аа
т. е.
6
5 = $[ф(х) — <р (х)] dx.(2)
а
*) Предполагается, что число перемен знака у функции /(х) на отрезке [а, 6] конечно.
Площади квадрируемых фигур более сложного вида обычно вычисляются с помощью определенного интеграла после предварительного разбиения их на части указанного выше вида. При этом предполагается, что рассматриваемую фигуру можно представить в виде алгебраической
суммы конечного числа криволинейных трапеций.
Приведем несколько примеров на вычисление площадей плоских фигур.
Пример. 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у^^х, х = 3,у = 0 (рис. 254).
Так как данная фигура представляет собой криволинейную трапецию, лежащую над осью ОХ, то
з
S = \ у^ х dx = — х х I = 2^3 .
линиямилиниями255.255.Рис.Рис.у = х, у = Xй,у = х, у = Xй,Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной x = *Z (рис. 255).
линиями
линиями
255.
255.
Рис.
Рис.
у = х, у = Xй,
у = х, у = Xй,
Применяя формулу (2), получаем: 2
с Г s X Л Гх« X3!25
S= ) (x3-x)dx=|T -^=6-.
Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной осью ОХи кривой у = cos х, 0 ^ х ^ ™ (рис. 256).
неположительна, по-неположительна, по-Так как функция cos х на отрезке 0, -^- неотри-
неположительна, по-
неположительна, по-
цательна, а на отрезке лучаем:
22"2—^
2
2
С12I 2
одной аркойодной аркойcos х dx = sm х | — sin х | =3.
одной аркой
одной аркой
Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной осью ОХ и циклоиды: х = а (i — sin <), у = а (1 — cos t), 0 ^ t ^ 2л (рис. 257).
Применяя формулу (1), получим: 8= у dx.
о
Произведем в полученном интеграле замену переменной по формуле х = а (t— sint). Тогда (по условию) у = а (1—cos <). При х = 0 имеем ( = 0, при х=2м имеем
f = 2n. Таким образом, 1-а2я2я
S = ( ydx = ( а2 (1— cos t)s dt = a- ( (1 — 2 cos t + cos2 t) dt = 666
= a2 k — 2 sin t + 2"= a2 k — 2 sin t + 2"sin Itsin It2л02л0= Зла2.= Зла2.3. Площадь криволинейного сектора. Выведем Теперь формулу для вычисления площади криволинейного сектора.3. Площадь криволинейного сектора. Выведем Теперь формулу для вычисления площади криволинейного сектора.Введем на плоскости полярную систему координат и рассмотрим криволинейный сектор ОАВО, ограниченный двумя лучами ОА и ОВ,Введем на плоскости полярную систему координат и рассмотрим криволинейный сектор ОАВО, ограниченный двумя лучами ОА и ОВ,составляющими с полярной осью углы а и р (а<^р), и кривой АВ, уравнение которой в полярных координатах (с полюсом О) имеет вид: р = /(ф), где f (ф) — неотрицательная непрерывная функция для а^св^р (рис. 258).Определение площади такой фигуры можно произвести следующим образом.Разобьем угол АОВ лучамисоставляющими с полярной осью углы а и р (а<^р), и кривой АВ, уравнение которой в полярных координатах (с полюсом О) имеет вид: р = /(ф), где f (ф) — неотрицательная непрерывная функция для а^св^р (рис. 258).Определение площади такой фигуры можно произвести следующим образом.Разобьем угол АОВ лучамиф = ®о, Фо = а частей.ф = ®о, Фо = а частей.ф = ф!ф = ф!®1 \ ?2®1 \ ?2ф = ф„, где ®„ = р, на пф = ф„, где ®„ = р, на пОбозначим точки пересечения этих лучей с кривой p = f^) соответственно через До, At, ..., А„ (До совпадает с А, а Ап с В).При этом криволинейный сектор ОАВО разобьется на п криволинейных секторов. Углы Д0ОДЬ AxOA-i,..., An_tOAn соответственно будут равны:Дф^ф,— ф0, Дф2 = ф2 — ф„ .... Дф„ = <р„ —<р„_ьОбозначим точки пересечения этих лучей с кривой p = f^) соответственно через До, At, ..., А„ (До совпадает с А, а Ап с В).При этом криволинейный сектор ОАВО разобьется на п криволинейных секторов. Углы Д0ОДЬ AxOA-i,..., An_tOAn соответственно будут равны:Дф^ф,— ф0, Дф2 = ф2 — ф„ .... Дф„ = <р„ —<р„_ьДля каждого сектора ОАг_4 А,0, i = 1, 2, .... п, определив наибольшее и наименьшее значения функции р = /(®) на промежутке [ф,_ь фг]Для каждого сектора ОАг_4 А,0, i = 1, 2, .... п, определив наибольшее и наименьшее значения функции р = /(®) на промежутке [ф,_ь фг]
= a2 k — 2 sin t + 2"
= a2 k — 2 sin t + 2"
sin It
sin It
2л
0
2л
0
= Зла2.
= Зла2.
3. Площадь криволинейного сектора. Выведем Теперь формулу для вычисления площади криволинейного сектора.
3. Площадь криволинейного сектора. Выведем Теперь формулу для вычисления площади криволинейного сектора.
Введем на плоскости полярную систему координат и рассмотрим криволинейный сектор ОАВО, ограниченный двумя лучами ОА и ОВ,
Введем на плоскости полярную систему координат и рассмотрим криволинейный сектор ОАВО, ограниченный двумя лучами ОА и ОВ,
составляющими с полярной осью углы а и р (а<^р), и кривой АВ, уравнение которой в полярных координатах (с полюсом О) имеет вид: р = /(ф), где f (ф) — неотрицательная непрерывная функция для а^св^р (рис. 258).
Определение площади такой фигуры можно произвести следующим образом.
Разобьем угол АОВ лучами
составляющими с полярной осью углы а и р (а<^р), и кривой АВ, уравнение которой в полярных координатах (с полюсом О) имеет вид: р = /(ф), где f (ф) — неотрицательная непрерывная функция для а^св^р (рис. 258).
Определение площади такой фигуры можно произвести следующим образом.
Разобьем угол АОВ лучами
ф = ®о, Фо = а частей.
ф = ®о, Фо = а частей.
ф = ф!
ф = ф!
®1 \ ?2
®1 \ ?2
ф = ф„, где ®„ = р, на п
ф = ф„, где ®„ = р, на п
Обозначим точки пересечения этих лучей с кривой p = f^) соответственно через До, At, ..., А„ (До совпадает с А, а Ап с В).
При этом криволинейный сектор ОАВО разобьется на п криволинейных секторов. Углы Д0ОДЬ AxOA-i,..., An_tOAn соответственно будут равны:
Дф^ф,— ф0, Дф2 = ф2 — ф„ .... Дф„ = <р„ —<р„_ь
Обозначим точки пересечения этих лучей с кривой p = f^) соответственно через До, At, ..., А„ (До совпадает с А, а Ап с В).
При этом криволинейный сектор ОАВО разобьется на п криволинейных секторов. Углы Д0ОДЬ AxOA-i,..., An_tOAn соответственно будут равны:
Дф^ф,— ф0, Дф2 = ф2 — ф„ .... Дф„ = <р„ —<р„_ь
Для каждого сектора ОАг_4 А,0, i = 1, 2, .... п, определив наибольшее и наименьшее значения функции р = /(®) на промежутке [ф,_ь фг]
Для каждого сектора ОАг_4 А,0, i = 1, 2, .... п, определив наибольшее и наименьшее значения функции р = /(®) на промежутке [ф,_ь фг]
(обозначим их R{ и г^, построим круговые секторы радиусов R, и г, с тем же углом при вершине (рис. 259). Площади этих круговых секторов соответственно равны:
р2„2
"Г Mi и "у Mi-
Фигуру Q, составленную из всех круговых секторов радиусов Rb z=l, 2, ..., п, назовем описанной вокруг данного криволинейного сектора, она содержит этот сектор. Фигуру q, составленную из всех круговых секторов радиусов rb i=l, 2, ..., п, назовем вписанной. Эта фигура содержится в данном криволинейном секторе (рис. 260).
При этом
П р2п г2
пл. Q= ^ у Дфг, пл. q — ^ Д(Рг-i=i 'i=i '
Так как полученные суммы представляют собой интегральные суммы (верхнюю и нижнюю) для непрерывной на промежутке [а, р] функции ^^ то при стремлении наибольшего из углов деления (назовем его шагом разбиения указанного промежутка и обозначим через X) к нулю эти суммы стремятся к общему пределу:
Ит 2 2' ^i 1™ 2 Ч Д?- = И р (<р) d<?-
соответствующих описанных и вписанных фигур имеют общий предел, 0соответствующих описанных и вписанных фигур имеют общий предел, 0Отсюда следует, что для любой последовательности разбиений угла АОВ на части с шагом разбиения X, стремящимся к нулю, площади
соответствующих описанных и вписанных фигур имеют общий предел, 0
соответствующих описанных и вписанных фигур имеют общий предел, 0
равный у У f2 (®) dtp, т. е. следует, что данный криволинейный сектор есть квадрируемая фигура и что его площадь можно вычислять по формуле:
s = 4 ^^
или короче:
₽
S = ljp*d?.(3)
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой р = 1-|-cos <р (рис. 261).
Применяя формулу (3), получаем
s=4 ( (1 + C0S(?)2 d? = у-
Объем тела
Общие сведения. В элементарной геометрии дано определение объема любого многогранника как суммы объемов составляющих его пирамид. Если тело ограничено произвольной поверхностью, то его, вообще говоря, нельзя составить из конечного числа пирамид. Обобщим понятие объема на тела произвольной формы.
Рассмотрим в пространстве тело V. Всякий многогранник К, содержащий внутри это тело, назовем описанным, а всякий многогранник к, содержащийся внутри тела V, назовем вписанным в это тело. Будем говорить, что тело V кубируемо, если существуют последовательности описанных и вписанных в него многогранников: Kt, Кг, ..., Кп, • •• и Ч, к», ..., кпобъемы которых имеют общий (конечный) предел:
Пт об. Кп— Ит об. кп.
Л—>СОП—ЮЗ
Этот общий предел объемов описанных и вписанных в тело V многогранников называется объемом тела V.
Можно показать, что если тело V разбито на две части У, и И2, то из кубируемости любых двух из этих тел следует кубируемость третьего, причем об. И = об. V\4~o6. Иа.
Из данного выше определения следует, что если для тела V существуют две последовательности описанных и вписанных в него кубируе- мых тел (не обязательно многогранников), объемы которых имеют общий
(конечный) предел, то тело V также кубируемо и его объем равен указанному общему пределу объемов описанных и вписанных тел.
Примером кубируемого тела является цилиндр с любым квадрируемым основанием а (рис. 262).
Действительно, так какДействительно, так какРис. 262.Рис. 262.Так какТак какоснование цилиндра квадрируемо, существуют последо
Действительно, так как
Действительно, так как
Рис. 262.
Рис. 262.
Так как
Так как
вательности многоугольников, описанных и вписанных в фигуру о, обозначим их
Qi, Q2, .... Qn, — и qt, q^, .... qn, .... такие, что
lim пл. Qn = lira пл. qn = S. zz—юоп-»со
Рассмотрим последовательности многогранников
Кц ^2, •••> Кп, ••• И А1# Ао, ..., Ад, основаниями которых являются указанные выше описанные и вписанные в о многоугольники, боковые грани параллельны образующей цилиндра, а высоты равны высоте Н цилиндра.
находим по формуламоб. Кц = Н- пл. Qn, об. kn = H ■ пл. qn.lim Н • пл. Qn = lim Н • пл. qn —Н • S,находим по формуламоб. Кц = Н- пл. Qn, об. kn = H ■ пл. qn.lim Н • пл. Qn = lim Н • пл. qn —Н • S,га—>оога—>ооМногогранники Кп и кп будут соответственно описанными и вписанными в данное тело. Их объемы
находим по формулам
об. Кц = Н- пл. Qn, об. kn = H ■ пл. qn.
lim Н • пл. Qn = lim Н • пл. qn —Н • S,
находим по формулам
об. Кц = Н- пл. Qn, об. kn = H ■ пл. qn.
lim Н • пл. Qn = lim Н • пл. qn —Н • S,
га—>оо
га—>оо
то цилиндр с основанием о и высотой Н кубируем и его объем равен произведению площади основания на высоту.
при изучении кратных интеграловпри изучении кратных интеграловРис. 263.Рис. 263.Вычисление объема тела по известным площадям его поперечных сечений. Рассмотрим одну частную задачу на вычисление объема тела. Общая задача об объеме тела решается (см. разделы 3 и 4, гл. IX).
при изучении кратных интегралов
при изучении кратных интегралов
Рис. 263.
Рис. 263.
Пусть дано тело V, у которого площадь любого сечения а, перпендикулярного некоторой оси (примем ее за ось ОХ), известна как непрерывная функция х:
пл. a = S(x), a^x^b.
Абсциссы х = а и х — Ь соответствуют крайним точкам тела V (рис. 263).
стями, перпендикулярными оси ОХ, проектируется одно в другое на некоторую плоскость, перпендикулярную оси ОХ.Покажем, что V тело кубируемо и что его объем *) можно вычислить по формуле: V = S (х) dx.стями, перпендикулярными оси ОХ, проектируется одно в другое на некоторую плоскость, перпендикулярную оси ОХ.Покажем, что V тело кубируемо и что его объем *) можно вычислить по формуле: V = S (х) dx.Предположим, что тело V таково, что любая пара его сечений плоско
стями, перпендикулярными оси ОХ, проектируется одно в другое на некоторую плоскость, перпендикулярную оси ОХ.
Покажем, что V тело кубируемо и что его объем *) можно вычислить по формуле: V = S (х) dx.
стями, перпендикулярными оси ОХ, проектируется одно в другое на некоторую плоскость, перпендикулярную оси ОХ.
Покажем, что V тело кубируемо и что его объем *) можно вычислить по формуле: V = S (х) dx.
а
Для решения поставленной задачи разобьем отрезок [а, 6] точками х0=а, х,, ха, ..., хп = Ь (х0<^Xt<^...<^х„) на п частей и проведем через точки деления плоскости, перпендикулярные оси ОХ. При этом тело V разобьется на п «дисков».
Так как на отрезке [хг_ь xj функция S (х) непрерывна, то она принимает на нем наименьшее и наибольшее значения. Обозначим эти значения через иц и Mt.
Если все сечения г-го «диска» спроектировать на плоскость х = х;, то они будут содержать в себе сечение с площадью /и, и содержаться в сечении с площадью М,.
Построим на этих наименьшем и наибольшем сечениях цилиндры с образующими, параллельными оси ОХ, высоты Дх, = х;— хг_, (рис. 264). «Больший» из них будет описан около г-го «диска», а «меньший» — вписан в него. Объемы описанного и вписанного цилиндров будут соответственно равны:
М^Х; и т{ &хг.
Производя указанные построения над каждым из отрезков деления, получим описанное около тела V и вписанное в него тела, составленные из п цилиндров. Их объемы равны:
пп
^M^Xt и ^т^х^//
е=1/У
При стремлении к нулю шага разбиения X отрезка [а, Ь] эти суммы имеют общий предел:
пп
lim У М, ^Х(= lim У mt kxt = х^ох^о
6
= ^ S (х) dx.
а
Рассматривая последователь-Рис- 264.
ность разбиений отрезка [а, 6] на
части с шагом разбиения, стремящимся к нулю, заключаем, что существуют последовательности описанных и вписанных в тело кубируемых тел, объемы которых имеют общий предел.
Отсюда следует, что тело V кубируемо и его объем можно вычислять по формуле
V = ^S (x^dx.(I)
3. Объем тела вращения. Рассмотрим на плоскости XOY кривую3. Объем тела вращения. Рассмотрим на плоскости XOY кривуюа
3. Объем тела вращения. Рассмотрим на плоскости XOY кривую
3. Объем тела вращения. Рассмотрим на плоскости XOY кривую
у = /(х), где /(х)— функция, непрерывная на отрезке [а, 6]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основанием [а, 6] вращать вокруг оси ОХ, то образуется так называемое тело вращения (рис. 265). Это тело удовлетворяет всем высказанным при выводе формулы (3) § 10 условиям, причем 3^ = г.р^,
Применяя формулу (1), найдем объем тела вращения:Применяя формулу (1), найдем объем тела вращения:так как каждое сечение тела плоскостью х= const, перпендикулярной оси ОХ, есть круг радиуса £ = lf(x)l-
Применяя формулу (1), найдем объем тела вращения:
Применяя формулу (1), найдем объем тела вращения:
6
или короче:или короче:7 = ^ ^ f2 (х) dxа
или короче:
или короче:
Ъ
(2)(2)V —it ^ у2 dx.
(2)
(2)
а
Пример 1. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полученной вращением кривой у = х8, O^x^l, вокруг оси ОХ (рис. 266).
На основании формулы (2)
x° dx =
VVПример 2. Найти объем тела, в результате вращения вокруг оси ОХ у = а (I — cos i), 0 ^ i ё; 2л (рис. 267).Пример 2. Найти объем тела, в результате вращения вокруг оси ОХ у = а (I — cos i), 0 ^ i ё; 2л (рис. 267).ограниченного поверхностью, полученной одной арки циклоиды; х = a (t — sin t),ограниченного поверхностью, полученной одной арки циклоиды; х = a (t — sin t),2та\ у2 dx.2та\ у2 dx.Произведя в2яПроизведя в2яэтом интеграле2zэтом интеграле2zзамену переменной х = а (I — sin f), получим:замену переменной х = а (I — sin f), получим:V=m'V=m'— cos O’ dt = -а3 f [1 — 3 cos i + 3 LzL^Jl? -|- cos 7 (1 — sin3 0J dt =— cos O’ dt = -а3 f [1 — 3 cos i + 3 LzL^Jl? -|- cos 7 (1 — sin3 0J dt =
V
V
Пример 2. Найти объем тела, в результате вращения вокруг оси ОХ у = а (I — cos i), 0 ^ i ё; 2л (рис. 267).
Пример 2. Найти объем тела, в результате вращения вокруг оси ОХ у = а (I — cos i), 0 ^ i ё; 2л (рис. 267).
ограниченного поверхностью, полученной одной арки циклоиды; х = a (t — sin t),
ограниченного поверхностью, полученной одной арки циклоиды; х = a (t — sin t),
2та
\ у2 dx.
2та
\ у2 dx.
Произведя в2я
Произведя в2я
этом интеграле
2z
этом интеграле
2z
замену переменной х = а (I — sin f), получим:
замену переменной х = а (I — sin f), получим:
V=m'
V=m'
— cos O’ dt = -а3 f [1 — 3 cos i + 3 LzL^Jl? -|- cos 7 (1 — sin3 0J dt =
— cos O’ dt = -а3 f [1 — 3 cos i + 3 LzL^Jl? -|- cos 7 (1 — sin3 0J dt =
= м3= м33 . „sin3 ^Т2”„ „ .
= м3
= м3
-г sin zt 4- sin t=—= атс-л3.
413 Jo
§ 12. Длина дуги кривой
Общие понятия. В элементарной геометрии вводятся понятия длины отрезка, Длины ломаной линии (как суммы длин ее звеньев), длины окружности (как предела периметров правильных вписанных в нее
многоугольников при неограниченном увеличении числа их сторон) и ее частей. Основываясь на понятии длины отрезка, дадим определение длины произвольной плоской и пространственной кривой таким образом, чтобы оно включало в себя как частный случай уже известные определения.
Пусть АВ— несамопересекающаяся незамкнутая кривая на плоскости или в пространстве. Разобьем ее точками Л4Ь М», ..., Мп_х, занумерованными в направлении от А к В, на п дуг. Обозначим для удобства записи точку А через Мй1 а точку В через
Мп. Соединив точки деления, получим ломаную линию Мй Мх ... Мп, вписанную в дугу АВ (рис. 268). Ее длина р равна сумме длин всех
звеньев. Чем меньше длины звеньев, тем меньше ломаная Мй Мх ... Мп по своей форме отличается от кривой АВ. За длину s кривой АВ прини
мается предел, к которому стремятся периметры вписанных в эту кривую ломаных при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных [если такой предел (конечный) существует]. При этом число s
называют пределом периметров ломаных, вписанных в кривую АВ, при указанном выше процессе, если для любого числа s^>0 существует число 8>0, такое, что для любой вписанной в кривую АВ ломаной с длинами звеньев, меньшими 8, имеет место неравенство
I 8 — р | <е.
Отсюда следует, что число s не зависит от выбора вписанных в кривую ломаных, длины звеньев которых стремятся к нулю.
Те кривые, для которых этот предел s существует, называются спрямляемыми.
Ниже будут приведены достаточные условия спрямляемости кривых и выведены формулы для вычисления длин кривых.
Из данных выше определений следует, что если кривая АВ точкой С разбита на две части АС и СВ, то из спрямляемости любых двух из дуг АС, СВ и АВ следует спрямляемость третьей, причем всегда дл. АВ = дл. ЛС-[-дл. СВ.
Если кривая АВ замкнута или самопересекается, данное выше определение длины дуги не имеет смысла, / так как в этих случаях из стремления \ к нулю длин всех звеньев вписанных А в кривую ломаных не следует, что эти
ломаные по своей форме приближаютсяРис. 269.
к данной кривой (см. рис. 269).
Замкнутую, а также самопересекающуюся кривую АВ условимся называть спрямляемой, если ее можно разбить на конечное число спрямляемых дуг рассмотренного выше вида. Длину такой кривой полагаем равной сумме длин составляющих ее «простых» дуг.
Длина дуги плоской кривой. Рассмотрим в плоскости XOY кривую АВ1), заданную уравнениями в параметрической форме:
х = ®(0. У = Ф(О. а^^Р-х = ®(0. У = Ф(О. а^^Р-(1)(1)
х = ®(0. У = Ф(О. а^^Р-
х = ®(0. У = Ф(О. а^^Р-
(1)
(1)
Будем предполагать, что изменению параметра / от а к ₽ соответствует движение точки (х, у), x = «(t), y = <b(t), по кривой в направлении от А кВ. Если при этом функции ф (/) и ф (/) непрерывны вместе со своими производными на отрезке [а, р], то кривая АВ спрямляема и ее длина s вычисляется по формуле
₽ 5=^y2W+f2(Z) dL
Для доказательства высказанного утверждения разобьем дугу АВ точками Мх, ..., Мп_х, занумерованными в направлении от А к В, на части. Обозначим точку А через Мй, а точку В через Мп. Каждой точке МДхь у,) соответствует определенное значение параметра tp х^ = = ^^,), yi = ^(it)- Точки ^0 = а, tx, ..., tn=$ разобьют отрезок [а, р] оси О/ на п частей. Впишем в дугу АВ ломаную Мй Мх ... Мп. Длина р этой ломаной равна сумме длин составляющих ее звеньев:
пп
Р = 2 МХ_ХМХ = 2 V<Xi — Х1_ху-^<ух — У1_ху = i=l; = 1
= 5 /1т М - ? №-0Г + [Ч> (О - Ж-ОГ-
= 1
*) Кривая АВ предполагается незамкнутой и несамопересекающейся.
Применяя к разности в каждой квадратной скобке теорему Лагранжа, находим:
Р = S А'3 (тг) + 'Г (ТП Mi>i= 1
где
Полученная сумма не является интегральной (значения стоящих под корнем функций вычисляются в двух, вообще говоря, различных точках каждого отрезка деления).
п
Рассмотрим сумму р = 2 V^'2 Сч) + Ф'2 Сч)^ь являющуюся инте-
1 = 1
гральной суммой для функции ]/<р,а (0 +Ф'2 №, непрерывной на отрезке [а, р] оси Ot. Пусть наибольшая из длин звеньев ломаной р. стремится к нулю. Тогда шаг разбиения отрезка [а, р] также стремится к нулю1). При этом интегральная сумма р имеет предел, равный
₽
S/^to+W)^.
Покажем, что длина s ломаной Мй Мх ... Мп при стремлении к нулю наибольшей из длин ее звеньев имеет тот же предел.
Для этого достаточно доказать, что
Нт (р — р) = 0.
Оценим разность р — р по абсолютной величине:
Lp - р Н S [ i^hFHm - /№PF?WI ^ [ <
4=1
Пусть е^>0— любое число. Так как функция <!/(/) на отрезке [а, р]
непрерывна, то она равномерно непрерывна на этом отрезке, а значит,
что для любых двухчто для любых двухдля числа ^^ существует число 8^>0, такое,
что для любых двух
что для любых двух
точек 9, и 62 отрезка [а, р], находящихся на расстоянии, меньшем о,
выполнено неравенство
*) Доказательство этого утверждения читатель найдет в более полных курсах математического анализа (см., например, Фихтенгольц Г. М., Основы математического анализа, т. 1).
2) Мы воспользовались известным элементарным неравенством:
| /а2 4- й2 — V а2 + с21 ^ I 6 — с |,
которое можно доказать следующим образом:
|/ц5 4-С2 | =1^ — ^^ , = . =
/fl2 + &2+/fl2 + c2
= |6_с|_
11 /fl2 + 62 + /а2 + С2 11 у а2 4- b8 + Vа8 4- с2 '
так как | 6 | ^ J^a3 + 62, | с | ^ ]/а3 4- с2.
Выбирая число р. столь малым, чтобы шаг соответствующего разбиения отрезка [а, р] на части был меньше 8, получаем:
пп
Следовательно, limp= limp, т. е. р.—*0jx—>0
0
Нтр = 5/^(0 + Г(0^. Р-->0 а
Это означает, что кривая АВ спрямляема и что ее длина s может быть найдена по формуле 0
s = 5/^(0 + ^(0^(2)
или короче по формуле
s^V^ + ^dt.(2)
Примечание. Формула (2) верна и для замкнутой кривой, заданной уравнениями x = <p(Z), y = ^(t), а^/^р, при соответствующих условиях на функции ф(7) и ф(/).
Действительно, фиксируя точку t6, а<70<|3, разобьем соответствующей ей точкой М6 кривую на две дуги АпМ6 и МйтА (рис. 270). При этом /
<о ,₽ I\
«Лпм» = S Т^ + у'2 dt,sMomA = 5 /V3 + у^ dt, I)
0 "
SAnMomA = S Vx^ + ^ dt.Рис. 270.
Пример 1. Найти длину дуги одной арки циклоиды x=a(t— sin t), у = а (1 — cos t), 0^t^ 2л.
По формуле (2) имеем:
2л2л
s = o \ 1^(1 — cos i)2 + sin2 t dt = 2a С sin ^ dt = 8а.
Пример 2. Найти длину эллипса х = a cos t, у = b sin t, а > b.
По формуле (2), применяемой на этот раз к вычислению длины замкнутой кривой, получаем:
2л 2л 2л
s = \ У a2 sin2t -|- 62 cos2t dt = ( j/ а2 — (a2 — 6s) cos2t dt = a ( У 1 — e3cos21 dt.
где s = —эксцентриситет эллипса. Полученный интеграл-в элементарных
функциях не берется. Он называется эллиптическим интегралом второго рода.
Если кривая АВ задана уравнением у = Цх'), а^х^Ь, где функция Цх) непрерывна вместе со своей производной на отрезке [а, 6], то принимая х за параметр, из формулы (2) как ее частный случай получим формулу
6 6
s = ^ К1 + Р (^) dx, или короче s = ^ V1 -[- у'2 dx. (3) аа
Пример. Длина дуги полукубической параболы у = х2 от ее вершины до точки В (1, 1) вычисляется по формуле
.8 Г/ 913/13—8
S=) V * + 4 ^ = 27[Д1 + 4•
о
Пусть теперь кривая АВ задана уравнением в полярных координатах:
Р = Н?)> а^?^?.
где f (^— функция, имеющая для а^ср^р непрерывную производную.
Учитывая формулы x = pcos®, y = psin®, выражающие декартовы координаты точки через ее полярные координаты, получаем параметрические уравнения кривой АВ с параметром ® в виде:
х = f (<р) cos <р,у = f (<p) sin <р,а^ср^р.
При этом
^ = Г (т) cos » — f («) sin f, ^ = f («)sin<p + f(f)COSif,(^у+^ргм+гм.
т. e. s = VP (?) + P1 (?) ^? или короче
₽
s = $ /p2 + p'W(4)
Пример. Найти длину дуги кардиоиды р = а (1 — cos<p), а > 0. По формуле (4) имеем:
s = 2a^ /(1 —cos <р)2 + sin2 ср <fcp = 4а С sin у rfcp = 8a.оо
Длина дуги пространственной кривой. Рассмотрим кривую АВ, заданную параметрическими уравнениями:
х = ?(0> У = ф(О, z = X(0,а^^Р,
таким образом, что при изменении параметра t от а к р соответствующая точка кривой перемещается в направлении от Л к В. Тогда, если функции <р (/), ф (0 и х (0 непрерывны и имеют непрерывные производные на отрезке [а, р], то кривая АВ спрямляема и ее длина s вычисляется по формуле
s^Vx^-Vy^^dt.(5)
Доказательство этого утверждения аналогично рассмотренному выше доказательству формулы (2).
Пример. Найти длину дуги АВ винтовой линии
х = cos t, у = sin t, z = 2£, 0 eg t ^ я.
По формуле (5):
s = j / sin21 + cos2 t + 4 dt = / 5 л.
Дифференциал переменной длины дуги. Пусть АВ — плоская кривая, заданная уравнениями х=<р(/), у = ^^, а^/^р, и удовлетворяющая высказанным при выводе формулы (2) условиям.
Возьмем на кривой АВ точку М, соответствующую произвольному значению параметра /, а^/^р. Длина дуги АМ, вычисляемая, согласно (2), по формуле
зависит от положения точки М, т. е. является функцией t, a sg / sg [3: 5ЛИ — s (0- Так как подинтегральная функция непрерывна на отрезке [а, р], то переменная дуга s (/) имеет производную по t, равную, по теореме о производной определенного интеграла по его верхнему пределу, подинтегральной функции ]/ х'2 -ф- У'1 в точке t\
(6)(6)^=V^-Yy*\
(6)
(6)
Возводя это равенство в квадрат и умножая результат почленно на tdff, получим формулу
(7)(7)(ds)2=(dx)2+(dy)2
(7)
(7)
для вычисления дифференциала длины дуги.
В частности, если кривая А В задана уравнением y = f (х), а^х^Ъх\ то параметром является переменная х,
(8)(8)S (х) = ^ }/ 1 -ф- у'2 dx.а
(8)
(8)
Формулы (6) и (7) записываются в виде:
(63
(73(73(dsy = (dxy-^dy)\
(73
(73
Формула (73 допускает простое геометрическое истолкование: дифференциал длины дуги равен гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами | dx\ и | dy |, т. е. равен длине отрезка касательной, проведенной к кривой в точке М (х, у), от этой точки до точки с абсциссой х-ф-dx (рис. 271).
Используя выражение (8) длины дуги через интеграл, можно установить эквивалентность бесконечно малой дуги и стягивающей ее хорды.
Пусть М (х, у) — любая фиксированная точка кривой АВ, а А/(х-ф-Дх, у-ф-Ду)— переменная точка той же кривой (рис. 272).
3 Функция /(х) предполагается непрерывной на отрезке [а, 6] вместе со своей производной.
Покажем, что при стремлении точки N к точке М отношение длины дуги MN к длине хорды MN (обозначим ее /Л1Л.) стремится к единице:
Ит
N-»M
Действительно,
Smat^I^w $дм1~1 S ^^-гУ2^^ /1-j-у2 dx | =
аа
х-^Ьх
= | 5 /1+Г(х)йх|.
Применяя теорему о среднем, получим: sMN = ^Ж)\ Axl,
где 6— точка, лежащая на отрезке с концами х и х-}-Ах. С другой стороны,
W= /(M4W = У 1 + ^ I Ах|
или, по теореме Лагранжа,
^=/1+ГМ|Ах|,
где т] — точка, лежащая между х и х-[-Дх.
Если точка N стремится к точке М, то Дх стремится к нулю.
В силу непрерывности функции f (х)
lim Г (9 = Ит ГЫ=Г (х).
Ах-0Ах—>0
Таким образом, Нт Нт /ГТТ^-ГГТТ^ N—MlMN Дх-0 ]/Л +/'2 (ц) К1 +/'2(х)
В приближенных вычислениях для малых значений dx = kx вместо точного равенства (7') часто используются приближенные равенства (см. рис. 271, 272):
(Дз)2 ^ (Дх)2 4- (Ду)2 и (Дз)2 ^ W + W.
Примечание. Для пространственной кривой АВ, рассмотренной в п. 3, длина переменной дуги АМ вычисляется по формуле:
t
s(0=$ V^-Vy'^-V^dt,
а для дифференциала длины дуги имеет место соотношение
ds = V -|- (dy^ -j- (dz)2.
§13. Площадь поверхности вращения
Рассмотрим поверхность, образованную вращением кривой вокруг некоторой оси. Такая поверхность называется поверхностью вращения.
Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных *).
При определенных условиях, наложенных на кривую АВ, такой предел существует.
Покажем, например, что если лежащая в плоскости XOY кривая АВ, заданная уравнением y = f(x), a^x^b, где f(x)— неотрицательная функция, непрерывная вместе со своей производной, вращается вокруг оси ОХ, то площадь поверхности вращения существует и вычисляется по формуле
6
S = 2^f(x) /1+Г(х)йх(1)
или короче:или короче:а
или короче:
или короче:
6
(D(DS — 2ж У V1 + У"г dx.а
(D
(D
Для доказательства этого утверждения разобьем дугу АВ в направлении от А к В точками М^МгМ„‘) на п частей и впишем в эту дугу ломаную М^Мг ... Мп. Пусть х0 = a, xtxn = b— абсциссы вершин этой ломаной to^X!^ ... <^х„). При вращении ломаной
MgMt ... Мп вокруг оси ОХ получится поверхность, состоящая йз боковых поверхностей п усеченных конусов (рис. 273).
Рассмотрим г-й конус (рис. 274). Его высота равна Дхь радиусы оснований соответственно y£_t = f (хг-1) и yt — f (х^, образующая /(Х.-Х^+ЕИх^-Нх^)]2.
Площадь S; боковой поверхности этого конуса вычисляется по формуле
Так как число 2, как среднее арифметическое чисел
f(xz_i) и /(X;), заключено между ними, а функция f (х) на отрезке [а, 6] непрерывна, то существует точка т]г, х^^т^^х,, такая, что fhl)=№tiHVte>.
Применяя затем к разности fto)— f^x^ теорему Лагранжа, получим:
f to) — f <х^ = f &) (xt — x^, где S£— точка, лежащая на отрезке [х£_1, хД.
*) Здесь точка М6 совпадает с Л, а Мл — с S.
При этом
S; = 2т/ (т]г) /Т+ТЧи ^хь ^xi = xi~ xi-t.
а площадь 3 поверхности, полученной в результате вращения ломаной МоЛ^ • • • К, равна:
s=s 2^) ут^га^.
Сумма § не является интегральной. Рассмотрим «близкую» к ней интегральную сумму:
ё=1
для функции
2^(х> /т+m.
Так как функции f(x) и f(x) непрерывны на отрезке [а, Ь\, то функция 2^ W ]/1 + Р (х) также непрерывна на этом отрезке. При стремлении к нулю наибольшей из длин звеньев ломаной (обозначим ее у.) шаг разбиения отрезка [a, Z>] стремится к нулю.
Переходя к пределу, получим:
п6
Ит 2 2^^ /1 + Г ^ bxi = 2л^f (х) /1 +Р(х) dx.
I1-*0 ,= 1а
Можно показать, что сумма 3 стремится к тому же пределу.
Для этого достаточно доказать, что разность
5 2”/hi) К1+/'2&) Дх,-- 2 2”/Ki) УТ+Т^Кй Ах,(2)
стремится к нулю.
Так как функция У1 + /'2(х) непрерывна на отрезке [о, 6], то она ограничена на нем, т. е.
/1 + /'2(л-) < К, а^х^Ь, где К—некоторое число.
Пусть е>0—любое число. Из равномерной непрерывности функции /(х) на отрезке [а, 6] следует существование числа 8>0, такого, что для любых двух точек х' и х" отрезка [а, 6], находящихся на расстоянии, меньшем 6, выполнено неравенство:
I / (х’) — / (х ’) | < 2лу<(6 —ц) •
Выбирая длины звеньев ломаной столь мелкими, чтобы шаг разбиения отрезка [а, 6] был меньше 8, получим:
1527=/^:) У \^ Г k^Xxt- ^2uf^ /Г+ТЧМ Дх,к
2я 2|/м-/Ki) | гг+тчм дх,- < I
<- 2л К 2 I / hi) / Ki) | Дх,- с 2тс/С 2_ ^aj ^J ДXi = а.
Так как е>0 — любое число, то отсюда следует, что разность (2) при р —О стремится к нулю.
Таким образом, предел 8 площади поверхности вращения ломаной существует, причем
3= Ит 3 = 2л\ /(х)1/1 -Yf^^dx.
I1 '°а
Это означает, что существует площадь поверхности вращения кривой АВ и для ее вычисления применима формула (1).
Пример. Найти площадь поверхности шарового пояса.
Рассмотрим окружность радиуса R с центром в начале координат. Вращая вокруг оси ОХ дугу j>=]/r/<2— №, a^x^b, этой окружности, получим поверхность шарового пояса. Ее площадь равна:
6
5 = 2л^ / Я2 — х2 У\Jr^—7jdx = 2TR(b—a'). а
Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями x — «yt\ у = *(/), а <;/-ср, где ®(/) и ф(0— функции, имеющие непрерывные производные, то, производя в определенном интеграле (1) замену переменной по формуле х = ®(/), получим формулу для вычисления площади соответствующей поверхности вращения:
р
s = 2л у ф ^ У у2 (t) + ф'2 (/) dt.
Пример. Площадь поверхности, образованной при вращении вокруг оси ОХ одной арки циклоиды x = a(t— sini), > = а(1— cos t), 0^<^2л, равна:
2л
S = 2л а (1 — cos I) у а2 (1 — cos i)2 + a2 sin21 dt = о
2л
= 2к a2 ^ (1 — cos t) у2(1— cost) dt — о
оо
о
о
2233= 8л а2 — 2 cos -|- -|-= 8л а2 — 2 cos -|- -|-
2
2
3
3
= 8л а2 — 2 cos -|- -|-
= 8л а2 — 2 cos -|- -|-
64л а2
З- * о
Раздел3
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Приближенные методы вычисления определенныхинтегралов
6
Рассмотрим определенный интеграл ^f(x)dx от функции f(x), а
непрерывной на отрезке [а, 6].
Если функция Цх) задана аналитически и ее первообразная на этом отрезке может быть найдена в элементарных функциях, то вычисление 6
интеграла ^f(x)dx сводится к применению формулы Ньютона — Лейбни- а
ца. В тех случаях, когда функция /(х) задана графически или таблично, а также в тех случаях, когда первообразная аналитически заданной функции Цх) не выражается в элементарных функциях, для вычис-
6
ления интеграла ^f (х) dx применяются приближенные методы, выража- а
ющие этот интеграл через значения функции f (х), вычисленные для ряда значений независимой переменной х.
ь
Основная идея приближенного вычисления интеграла ^ f(x)dx за- а
ключается в том, что подинтегральную функцию Цх) заменяют другой, «близкой» к ней функцией, первообразная которой находится элементарным образом.
Пусть, например, известны значения функции Цх') в точках хв1
Xiхт отрезка [а, 6].
Возьмем в качестве функции, «близкой» к функции f(x), многочлен Р(х) степени не выше т, совпадающий с f (х) в точках хй, хь . .., хт. Этот интерполяционный многочлен можно записать в виде (см. гл. IV, § 29):
kI) (x._Xй')(Лi_y1)...(Лi—Xi_1^Xi_y.^1)...(x._Xmy
i=0
Полагая, что f (х)^Р (х), приходим к следующей формуле приближенного интегрирования:
^ f (х) dx ^ ^Р (х) dx.(1)
В случае, если функция /(х) на отрезке [а, 6] имеет непрерывные производные до порядка т 4-1 включительно, погрешность формулы (1) легко оценивается с помощью остаточного члена интерполяционной формулы Лагранжа (гл. IV, § 29):
ьь6
г = | ^ / (х) dx — ^ Р (х) dx ] = [ ^ [f (х) — Р (х)] dx | = ааа
Ъ
== I У 0я + 0- ^ "^ ^ ^^ * * * ^ ^) ^ | а
b
(^+1)1 У I <*~ Х°) (*~ *1) • • • U— ^m) I dx. а
Здесь 6—промежуточная точка отрезка [а, 6], а
Mm+i = max|/(m+1)(x)|.la, 61
В частности, если т = 0 и х6 = а, то Р (х') = f (а),
6 f(x)^f(a), $f(x)dx^/(a)(& —a),(2)
а причем
r^^b-af,(3)
где
Mi = шах | f' (x) |.
I». 6]
В случае, если функция f (х) неотрицательна на отрезке [а, 6], равенство (2) геометрически означает, что площадь криволинейной трапеции с основанием [а, Ь\, ограниченной сверху кривой у = f(x), прибли- 346
женно принята равной площади прямоугольника с тем же основанием и высотой f(a) (рис. 275).
В связи с этим формула (2) называется элементарной формулой п рямоугольников.
Полагая т=1, хй = а, xt = b, получаем интерполяционный многочлен Р^х) первой степени:
его график — прямая, проходящая через точки (a, f (а)) и (6, /(6)). При этом
6
У f (х) dx у Р (х) dx = /„'ь у (х — b) dx -ф-
6
+ ^У(^-«)^ = Т [fW-HWL а
т. е.
ь $/(^^-^№+/(6)].(4)
а
Погрешность формулы (4) оценивается неравенством bь
r^-^-y |(х — а^х — b) \dx = — >J(x- aHb — x)dx = -^-(b — а)3,
где Ма = тах|/:"(х)|.
1а. 6]
Если функция /(х) неотрицательна на отрезке [а, 6], то равенство (4) геометрически означает, что площадь криволинейной трапеции с основа-
ууРис. 275.Рис. 275.
у
у
Рис. 275.
Рис. 275.
нием [а, 6], ограниченной сверху кривой y = f(x), приближенно принята равной площади прямолинейной трапеции с основаниями /(а) и f(b) и высотой b— а (рис. 276).
Формула (4) носит название элементарной формулы трапеций.
Если /п = 2, х0 = а, хг =—^—, х2 = о, то интерполяционный много-
член имеет вторую степень: / ч + 6\ .
Р(х) = /(а)
2 . а + Ь' “2 .
а + 6 “2
(х — а) (х — 6)
2
+/W
(6 —а) 6
х 1
а + Ъ
Графиком такого многочлена является парабола второй степени с осью, параллельной оси 0Y, проходящая через точки
(a, f(a)), (-^4 Ч^^))’ ^b>f^-
При этом 66
^ / (х) dx ай ^ Р (х) dx =
ьf а +»
-y^AV-^y-1’^ <..-ЗЛ jo=—№=-»№+ аа
а
Произведя замену переменной x = a-[-z‘(6—а), получим:
У t (х) dx as 2f (a)(b — а
аО
— м (~2~) (b — a) $ < (? — 1) ^ + 2f (b)(b — а) уZ ^^) dt =
оо
= -^:£[На) + 4/(^) + Н6)].
Формула
yf(x)dx^^[/(a) + 4f(^) + f(6)](5)
называется элементарной формулой парабол.
Оценка погрешности формулы (5) дается неравенством
r^^y|(x —а) ^х—^5) (х — b^\dx = а
= ^ ф - а)4 у 1t ^t - A-) tf - 1) I dt = ^ (b - a)4,0
где
УИ3=тах|^"(х)|.
[а. Ы
Для функции f(x), неотрицательной на отрезке [a, 6], формула (5) геометрически означает, что площадь криволинейной трапеции с основанием [а, 6], ограниченной сверху кривой y = f(x), заменена площадью криволинейной трапеции с тем же основанием, ограниченной сверху параболой у=Р^ (рис. 277).
Элементарные формулы прямоугольников, трапеций и парабол дают 6
лишь грубое приближение интеграла5f (х) dx. а
Для получения более точных формул разбивают отрезок [а. 6] на части, интеграл ^ / (х) dx заменяют суммой интегралов по отрезкам деления, а
а каждый из полученных интегралов вычисляют приближенно по одной из указанных выше формул.
Общая формула прямоугольников. Разобьем отрезок [а. 6] точками x0 = a, хь •••, xB = b (Xo^Xi^ ••• <ухП = Ь) на п равных частей. 348
При этом
гдегде(6)(6)Рис. 277.Рис. 277.
где
где
(6)
(6)
Рис. 277.
Рис. 277.
f (х) dx — ^ f (х) dx 4- У f (х) dx 4- • • • + 5 f ^ ^х-
ах0xtхп_г
Применяя для вычисления каждого из интегралов в правой части равенства формулу (2), получим приближенное равенство:
У f (х) dx^ ^^- [у04-У1 + • • • + Уп-iL а
Уо = Цх»), yi=f(xi), уп_х=Цхп_х\ а 5—^
есть длина каждого из отрезков деления.
Эта формула называется общей формулой прямоугольников.
В случае, если /(х)^0 на отрезке [а, 6], формула (6) геометрически означает замену площади криволинейной трапеции с основанием [а, Ь"\, ограниченной сверху кривой y = f(x), площадью ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников (рис. 278).
Оценка погрешности в формуле (6) дается неравенством
^ — I У f(x)dx - [t/o 4“ У1 + " *' + Уп-111 а
Общая формула трапеций. Разобьем отрезок [а, 6] точками х0 = а, х„ •••, хп = Ь (хо^х,-^ ••• -\Х„) на п равных частей и обозначим соответственно через у0, ух, .. . ,уп значения функции / (х) в точках деления. Длины отрезков деления равны ? — а.
По свойствам определенного интеграла
Ъ*1*2Хп
[f(x)dx^^f(x)dx-[- ^(x)dx4- ••• 4- ^ f(,x)dx.
ах0xLха-1
^ = 1 pto^ = 1 ptoМ2 12п2М2 12п2(6-а)3,(6-а)3,
^ = 1 pto
^ = 1 pto
М2 12п2
М2 12п2
(6-а)3,
(6-а)3,
Применяя к каждому из интегралов в правой части равенства формулу (4), получим приближенную формулу:
(?)(?)У / (х) dx^ 6 2^а [у0 + Уп + 2 (у, -{-У» + ••• + Ул-01 > а
(?)
(?)
называемую общей формулой трапеций.
Погрешность формулы трапеций оценивается следующим образом:
dx2п— [Уо Н~ У” ~Н ^ (У1 + Уз + • • • 4- Уп-1)11 ^
где Л4о = тах| f" (х) [.
I».»]
Геометрически вычисление интеграла ^(x'jdx от неотрицательной а
функции по формуле трапеций сводится к замене площади соответству
ющей криволинейной трапеции площадью, составленной из прямолинейных трапеций (рис. 279).
Общая формула парабол (формула Симпсона). Разобьем отрезок [а, 6] точками х0 = а, хь ..., хгп = Ь, хй<^хх<^ ... <х»„, на 2п равных частей и обозначим через у0, уь ..., у$п значения функции Цх) в точках деления. При этом
^(х) dx = ^ f (х) dx~V ^ f (х) dx-y- . . . + ^ f^dx. аxaХгх-2п-2
Применяя к каждому из полученных интегралов элементарную формулу парабол (5), получим приближенную формулу:
ь
J /(х) dxя« Ь6п а [у0 + Узл + 4^У1 + Уз + - • • + Учп-^ + а
+ 2 ^Уз + У4 + • •. + Узл_з^ ,
называемую общей формулой парабол (см. рис. 280).
Погрешность общей формулы парабол дается неравенством
R — j J f (х) dx^— |^уо + Угп + 4(yi + Уз + • • • + Узл-i) +
+ 2 ^Уз + У4 + • • • + Уз»-®)] {« т^- ^Г"; = 1^ (6 ~ ^^
где
M3 = max|f"(x)|.
[а, 6]
Примечание. Если функция f (х) имеет на отрезке [а, 6] непрерывную производную четвертого порядка, то, как показывают более де
тальные исследования, погрешность общей формулы парабол можно оценить неравенством:
^^^^-“j3’ где М4 = max | fIV М | •
П р и м е р. Вычислим по формуле трапеций интеграл
^ e—^dx,
взяв п = 5. Так как
/(х) = е—х2, то /' (х) = — 2хе~ж$, f (х) — 2 (2х3 — 1) е-®.
На отрезке [0, 1] имеем |/"(х)|^2. Так как R^ ^2. (6 — а)8, то имеем
1
Следовательно, при вычислении интеграла ^ е—^dx по формуле трапеций значения о
функции е—^'в точках деления нужно вычислять не более, чем с тремя десятичными знаками.
N
X
—X2
-уЗ е х
0
0,0
—0,00
1,000
1
0,2
—0,04
0,961
2
0,4
—0,16
0,852
3
0,6
—0,36
0,698
4
0,8
—0,64
0,527
5
1,0
—1,00
0,368
Вычисления располагаем в таблицу:
1
У r^dx ^ _L [, ,000 + 0,368 +
+ 2 (0,961 + 0,852 + 0,698 + 0,527)] == А- [ 1,368 + 2 - 3,038] = 0,744 *).
1
В результате получаем е—^dx да 0,74 с точностью до 0,01. о.
Поставим теперь задачу: вычислить интеграл ^ e~x~dx по формуле парабол о
с точностью до 0,001.
Так как /v (х) = 4е— -t2 (4х4 — 12х2 + 3), то на отрезке [0, 1] |/lv (х)|^20 (так
как е—1, | 4х4 — 12х2 + 3 | ^5). Используя оценку R^ . (6 —л)5, получаем: ZooUTZ4
N
X
—X2
е~х"
0
0,00
—0,0000
1,0000
1
0,25
—0,0625
0,9394
2
0,50
—0,2500
0,7788
3
0,75
—0,5625
0,5698
4
1,00
—1,0000
0,3679
20_ 11000
2880ц4 < 1000 ’ " > 144 "
Для выполнения этого неравенства достаточно взять я = 2, т. е. 2п = 4.
\ e-^dx =[1,0000 4- 0,3679 + 4 (0,9394 + 0,5698) + 2 • 0,7788] = 0,7469.
о“
Таким образом, с точностью до 0,001
1
^e-x"dx = 0,747. о
Примечание. Если функция / (х) имеет на отрезке [а, Ь] непрерывные производные до четвертого порядка включительно, те, как следует из полученных оценок точности формул приближенного интегрирования, наиболее точные результаты при одном и том же значении п дает, вообще говоря, формула парабол, а наиболее грубое приближение — формула прямоугольников.
Раздел 4
ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Несобственные интегралы
Вводя определенный интеграл как предел интегральных сумм, мы предполагали, что отрезок интегрирования конечный, а подинтегральная функция ограничена на этом отрезке. Если хоть одно из этих условий не выполнено, данное выше определение теряет смысл. Рассмотрим некоторые возможные обобщения понятия определенного интеграла.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Пусть функция /(х) непрерывна на промежутке а^х^-]-00» тогда она непрерывна на любом отрезке [а,Ь], Ь^а, а следовательно, существует интеграл
6f (х) dx.
а
Этот интеграл является функцией своего верхнего предела Ь, определенной на промежутке а^Ь <^-[-оо. Если при 6 — 4-00 интеграл ^ / (х) dx стремится к конечному пределу, то этот предел обозначают а
co
символом $ f(x)dx и называют несобственным интегралом по бесконеч- а
ному промежутку (от а до бесконечности) от функции f (х). Таким образом, 4~ооъ
по определению \ ^Wdx = lim t f (x)dx, если этот предел существует а6—+юа
и конечен. В этом случае принято говорить, что несобственный интеграл f (х) dx существует или сходится.
ас
Если же при 6 — —[— оо не существует предела интеграла \ / (х) dx
4"03а
или этот предел бесконечен, то символу ^ f(x)dx никакого числового а
смысла не приписывают и, называя его снова несобственным интегралом, говорят, что этот несобственный интеграл не существует или расходится.
Аналогичным образом для функции /(х), непрерывной на бесконечном промежутке — со <х ^Ь, определяется несобственный интег- 6
рал1 § / (х) dx.
При этом
/(х) dx = lim f (х) dx,
—тоа——со а
если этот предел существует и конечен.
Для функции I (х), непрерывной на всей числовой оси, несобствен- +==
ный интеграл ^ f(x) dx определяется равенством:
^ f (х) dx = ^ f (х) dx4* ^ / (х) dx,(1)
где с — любое число, если каждый из интегралов в правой части равенства (1) сходится. При этом несобственный интеграл ^ f(x)dx называется
с+ ОО
сходящимся. Если хотя бы один из интегралов ^f^dx и § f{x)dx
— 00с
4-00 расходится, то несобственный интеграл f(x)dx называется расходя
щимся.
Из данных выше определений сходящихся несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования следует, что эти интегралы являются не пределами интегральных сумм, а пределами определенных интегралов с переменными верхними или нижними пределами при стремлении этих пределов к бесконечности.
Если функция f(x) непрерывна и неотрицательна на бесконечном
6
промежутке [а,-|-оо), то ^f^dx численно равен площади криволиней- а
ной трапеции, ограниченной снизу отрезком [а, 6] оси ОХ, сверху — кривой y — f(x), слева и справа — прямыми х = а и х — Ь. При возрастании b прямая х^Ь, ограничивающая эту криволинейную трапецию, двигается направо.
4-00
В случае, если при этом несобственный интеграл ^ / (х) dx сходится, его величину естественно принять за площадь бесконечной полосы,
ограниченной снизу осью ОХ, сверху — графиком функции y=J^x\ слева— прямой х = а (рис. 281).
Аналогичные рассуждения имеют место для интегралов вида:
Ь-|-оо
5 f (х) dx и ^ f (х) dx. — СО—ОО
Рассмотрим несколько примеров несобственных интегралов. + ооъ
п, С dxС dx.16,.. ,13
Пример!. \ т-г—г= hm 1 ——- = lim arctg х 0 = hm arctg 6 = 4-. * т x1 x ^-^^-co6—4-00
Пример 2. cos x dx расходится, так как о 6
cos х dx = sinx |g = sin b.о
Предела у функции sin 6 при b—»4-oo не существует, ii
Пример 3. f e2x dx = lim C e2x dx = lim 4- e-x H = Ja——oo Ja——oo^
— coa
= ^- lim (e2 — e2“) = 4-e3.z a-* — ooz
4-00+°°
Пример 4. J ex dx расходится, так как несобственный интеграл ^ ех dx — ооо
6 расходится: lim \ех dx= lim ех|б= lim (eb—1) = со.
6 — 4-ao Jб — 4-оо 1°6 — 4-ооv
о
Пример 5. Исследуем на сходимость интеграл вида I —, где а — некоторое число.
Если а^гЫ, то для любого 6>0
1 — a
lim
6—4-со
a >-1 , a < 1 .
Если а=1, то для любого 6>0
Таким образом, несобственный интегралТаким образом, несобственный интегралdxdxсходится при а > 1сходится при а > 1и расхо-и расхо-
Таким образом, несобственный интеграл
Таким образом, несобственный интеграл
dx
dx
сходится при а > 1
сходится при а > 1
и расхо-
и расхо-
дится при а ^ 1.
Определенные выше несобственные интегралы обладают рядом свойств, присущих обыкновенным определенным интегралам. В частности, для них можно получить обобщение формулы Ньютона — Лейбница.
Пусть, например, функция /(х) непрерывна на промежутке [а,-[-оо) и имеет на этом промежутке первообразную F(x\ Тогда для любого 6, а^Ь <^-{-00, по формуле Ньютона—Лейбница
6
\f^dx = F (6) — F (а) = F (.г) |». а
4-оо
Отсюда следует, что несобственный интеграл / (х) dx существует в том,
а
и только в том, случае, когда существует конечный предел F (Ь) при 6 -► 4~ °°- Если этот предел существует, то
+«
f(x)dx — lim F (6)— F (а).
а6-4-оо
Условимся сокращенно обозначать lim F (6) как Е(-|-оо).
Ь-* 4- оо
Тогда
V^dx-F^^-Fto-F^”. а
Эту формулу можно рассматривать как обобщение формулы Ньютона — Лейбница на случай несобственного интеграла.
Аналогично при выполнении соответствующих условий получаются формулы
6
5 f(x)dx = F(x)|Lco
и
V^dx^F^t.”
если под F (,— оо) понимать lim F(a).
Признаки сходимости несобственных интегралов будут рассматриваться в гл. X, § 3.
Несобственные интегралы от неограниченных функций. Пусть теперь функция Цх) непрерывна на полуинтервале [а, Ь) и не ограничена вблизи Ь.
Эта функция непрерывна, а значит, интегрируема на любом отрезке [а, 61], a^bi<"b.
Интеграл ^(х) ^ будет функцией своего верхнего предела, определенной на промежутке
а-С 61 <Ь.
bl
Если при bi-»- b — 0 существует конечный предел интеграла ^f (х) dx,
Ъ
то этот предел обозначают символом ^f^x)dx и называют несобственным.
интегралом от неограниченной функции f(x) по отрезку [а, 6].
Таким образом, ььх
\f{x}dx = lim \ f(x)dx,
если этот предел существует и конечен. В этом случае принято говорить, что несобственный интеграл /(х) dx сходится.
а
Если же при bi^-b — 0 предела интеграла ^f^dx не существует а
Ъ или он бесконечен, то символу ^(x)dx, который снова называют несоб- а
ственным интегралом, никакого числового смысла не приписывают, го- ъ
воря при этом, что несобственный интеграл ^f^dx не существует или а
расходится.
Аналогично для функции /(х), непрерывной на полуинтервале (а, 6] и неограниченной вблизи а, вводится понятие несобственного интеграла
f (х) dx. а
Полагают, что ьь
/ (х) dx = lim ^/ (х) ^х, а«1—»о + 0 а,
если этот предел существует и конечен.
Несобственный интеграл от функции Дх), непрерывной на интервале (а, 6) и неограниченной вблизи его концов а и Ь, определяется равенством
Ъсb
^ f (х) dx= ^ f (х) dx -[- ^ f (х) dx, аас
где с — любая точка интервала (а, 6), если каждый из несобственных с6
интегралов ^ f (х) dx и f (х) dx сходится. При этом несобственный интег- ь °с
рал ^f^dx называется сходящимся. Если хотя бы один из интегралов а сb6
^J^dx и ^f^dx расходится, то несобственный интеграл ^f^dx на- аса
зывают расходящимся.
Пусть теперь функция f (х) непрерывна на отрезке [а, 6] всюду, кроме некоторой точки с, а<^с<^Ь, и не ограничена вблизи с. Несобст- венный интеграл ^(x^dx определяется равенством а bob ^ / (х) dx = ^ f (х) dx -{- ^ f (х) dx, аас
ааесли каждый из интегралов в правой части равенства сходится. Если хотя бы один из этих интегралов расходится, то несобственный интеграл ^/(х) d-х называется расходящимся.
а
а
Аналогичным образом определяется несобственный интеграл по отрезку [а, 6] от функции, непрерывной на нем всюду, кроме конечного
числа точек, и неограниченной вблизи этих точек.у
Несобственные интегралы от неограниченных функций по конечному отрезку [а, 6], так же как и несобственные интегралы с бесконечными пределами, являются не пределами интегральных сумм, а пределами определенных интегралов с переменными верхними или нижними пределами.
Если функция /(х) непрерывна и неотрицательна на полуинтервале [а, 6), не ограничена вблизи b и несобственный ъ
интеграл ^f(x)dx сходится, то его вели- -д
а
тику можно принять за площадь бесконеч-Рис. 282.
ной полосы, ограниченной снизу отрезком
[а, 6] оси ОХ, слева и справа — прямыми х = а, х = Ь, сверху — кривой y = f(x) (см. рис. 282). Аналогично — для несобственных интегралов
другого типа.
I
Пример 1. Интеграл J ~, где а — положительное число, несобственный.
1
Для того чтобы исследовать его на сходимость, рассмотрим интеграл ;
О <4,^1. Если а т^1, то
J Ха1 — а1°11 — а '1 / ■
О1
Если а = 1, ТО
j T = hlx^=~ln°v
Переходя к пределу при а, —► 0 -|- 0, получаем:
dx х»dx х»Таким образом, несобственный интегралТаким образом, несобственный интегралсходится при а<] и расходитсясходится при а<] и расходится
dx х»
dx х»
Таким образом, несобственный интеграл
Таким образом, несобственный интеграл
сходится при а<] и расходится
сходится при а<] и расходится
при а ;> 1.
Ряд свойств, присущих определенным интегралам, распространяется и на несобственные интегралы от неограниченных функций. В частности, для этих несобственных интегралов имеет место обобщение формулы Ньютона — Лейбница.
Пусть, например, функция /(х) непрерывна на полуинтервале [а, 6) и не ограничена вблизи Ь. Обозначая через F (х) первообразную функции
f(x) на полуинтервале [а, b), по формуле Ньютона — Лейбница получаем:
61
V(x)dx=F(bx)-F<a) = F^ а
для любого Ьь a^bx<^b. Отсюда следует, что несобственный интеграл 6
^^dx существует в том, и только в том, случае, когда существует ко- а
нечный предел F $0 при bx-*b— 0. Если этот предел существует, то
6
\Ux^dx — lim F ^—F (а\ aьг-ь-о
Полагая F (6) равным пределу F (Ь^ при Ьх -+Ь— 0, т. е. доопределяя функцию F^x) в точке b по непрерывности слева, будем иметь:
6
\f(x)dx = F(b) — F (а) = F (х) \». а
Эта формула является обобщением формулы Ньютона — Лейбница на случай несобственного интеграла указанного вида.
Аналогично, если функция ^х^ непрерывна на полуинтервале (а, 6] и не ограничена вблизи а [или непрерывна на интервале (а, 6) и не ограничена вблизи а и Z>], то 6 \f(X)dx = F<x')\a, а
где F(x) — первообразная функции f(x) на полуинтервале (а, &] [на интервале (а, 6)] и под F(а) понимается предел F (х) при х-*а —[—0.
Пусть теперь функция /(х) непрерывна на отрезке [а, &] всюду, кроме точек cx,Ci, • • • , ст, и не ограничена вблизи этих точек.
Если существует функция F (х), непрерывная на всем отрезке [а, 6] и являющаяся первообразной для функции f(x) на промежутках [а, с^, 6
(сь са), ... , (ст, 6], то несобственный интеграл ^f^dx сходится и его а
вычисление можно производить по формуле
6
5f(x)dx = F(x) | ,а»
называемой формулой Ньютона — Лейбница.
Действительно, каждый из интегралов
f (х) dx, f(x)dx $ f (х) dx аciсщ
в данных условиях сходится и может быть вычислен по формуле Нью- 6
тона — Лейбница. Следовательно интеграл ^f(x)dx сходится, причем а
b
\ f (х) dx = \Р (cj - F (а)] + VF (с2)-F(cx)A +...^^-Р (cj] = а
= F(b)—F (а),
или, что то же,
f (х) dx = F (х) |\а
Примечание. Если функция F(х), являющаяся первообразной для функции f(x) на промежутках [а, с^, (сь с2)(ст, 6], на отрезке [а, 6]
6
не ограничена, то легко видеть, что интеграл ^f(x)dx не существует. а
Формальное применение формулы Ньютона — Лейбница в этом случае может привести к абсурдным результатам.
С dx
Например, интеграл 1 ^- расходится, так как расходится интеграл
1
о
Формальное применение формулы Ньютона — Лейбница в данном примере дает:
— 1—1
Это кажущееся противоречие объясняется тем, что первообразная F^ = = — ^ функции ^х^ = ^ не ограничена вблизи точки х = 0, принадлежащей отрезку интегрирования.
ГЛАВА VII
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Раздел 1
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Функции нескольких переменных
До сих пор мы занимались изучением функции одной переменной, т. е. изучением переменной, значения которой зависят от значений одной независимой переменной.
На практике часто приходится иметь дело с величинами, численные значения которых зависят от значений нескольких изменяющихся независимо друг от друга физических и геометрических величин. Изучение таких величин приводит к понятию функции нескольких переменных.
Начнем с простейшего случая, когда таких переменных две.
Переменная z называется функцией двух переменных х и у, если каждой паре чисел (х, у) из некоторого множества по определенному правилу или закону ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z.
При этом переменные х и у называются независимыми переменными, или аргументами, а переменная г— зависимой переменной, или функцией.
Множество пар чисел (х, у), для которых определена функция г, называется областью определения этой функции.
Множество значений функции г называется областью изменения этой функции.
В математическом анализе обычно рассматриваются действительные функции двух действительных переменных, т. е. функции, принимающие действительные значения на множестве пар действительных чисел ).
Если каждой паре чисел (х, у) из области определения функции соответствует одно значение г, то функция называется однозначной, в противном случае — многозначной. Так же как и для функций одного переменного, если не оговорено противное, мы будем предполагать, что рассматриваемые функции двух переменных однозначны.
Тот факт, что переменная г является функцией переменных х и у, обычно записывают в виде:
z=/(x, у), z=<p(x, у), z = Е (х, у)и т. д.
Буквы f, <р, F и другие использованы здесь для обозначения закона
соответствия между независимыми переменными t и I/ и зависимым переменным z). Частное значение функции z=/(x, у) прих=х0, у = у0 обычно записывают в виде: /(х0, у0) или z|x = Xo. _y = Jo.
Сам закон соответствия может быть задан произвольным образом (аналитически, т. е. с помощью формул, выражающих z через х и у, таблично, графически, словесным образом и пр.).
Математический анализ изучает преимущественно аналитически заданные функции.
Рассмотрим несколько примеров таких функций.
Если х и у могут принимать любые числовые значения, то переменные z = x~4-y~, z=X—х — у, z = In(1 -i-£-[-у4) и т. д. представляют собой аналитически заданные функции от х и у.
Область определения каждой из них — множество всевозможных пар чисел (х, у).
Объем конуса V есть функция его высоты Н и радиуса основания R. Ее аналитическое выражение: V = y zR^H. Область определения— всевозможные пары чисел (R, Н), где R">0, HJ>0.
Естественной областью определения аналитически заданной функции z = f (х, у) называется совокупность всех пар чисел (х, у), которым соответствуют действительные значения функции. Так, например, для функции г = 1п(ха+У—О естественная область определения состоит из всех пар чисел (х, у), для которых х2 + у2—1 j>0, т. е. х2 + 4-у2^>1, а для функции z=V^—х24-]/4— у2 естественная область определения состоит из всех пар чисел, для которых 1 — х2 О, 4 — у2^0, т. е. — 1 ^х^ 1, — 2^у^2.
Рассмотренная в примере 2 функция V =-|- -R^H имеет естественной
рбластью определения множество всевозможных пар чисел (R, Н).
В дальнейшем, если дополнительные ограничения на изменение независимых переменных постановкой задачи (как это было в примере 2)
Рис. 283.Рис. 283.не накладываются, под областью определения аналитически заданной функции будем подразумевать ее естественную область определения.
Рис. 283.
Рис. 283.
Выберем на плоскости прямоугольную систему координат XOY и будем изображать пары чисел (х, у) точками плоскости с координатами х, у. Тогда область определения функции Цх, у) будет изображаться некоторым множеством точек М плоскости, в связи с чем функцию двух переменных часто называют функцией точки М плоскости и обозначают z = f(M\ а ее область определения отождествляют с множеством изображающих ее
точек.
Так, для функции z = ln(x2-(-y2—1) область определения изображается множеством точек плоскости XOY, лежащих вне круга К с центром (0, 0) радиуса 1, поэтому мы будем говорить: функция z = ln(x2-|- + У2—1) определена вне круга К (см. рис. 283).
У функции z=V^—х2-}-]/4 — у2 область определения изображается множеством точек прямоугольника со сторонами х —± 1, у = ±2, поэтому мы будем говорить: функция z = ]/!—х24~]/4— у2 определена в прямоугольнике со сторонами х = ±1, у = ±2 (рис. 284).
Как известно, функция одной переменной может быть изображена некоторой кривой на плоскости, если рассматривать значения ее аргумента как абсциссы, а значения функции как ординаты точек кривой.
Подобным же образом функция двух переменных z — f(x, у) может быть геометрически изображена в виде поверхности.
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат XYZ. Область определения функции z = f(x, у) изображается некоторым мно
жеством точек плоскости XOY. Каждой точке Л40(х0, у^ этого множества поставим в соответствие точку пространства N6 (х0, у6, z0), аппликата которой равна значению функции в точке Мй: z0 = f(x0, у0). Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность. Ее естественно принять за графическое изображение функции z = f(x, у) (рис. 285). Итак, графиком, функции z=f(x, у) в пространстве XYZ является поверхность, представляющая собой геометрическое место точек (х, у, f(x, у)), когда точка (х, у) пробегает область определения функции.
Рис. 288.Рис. 288.
Рис. 288.
Рис. 288.
Например, для функции z = х2 -[- у2 область определения — вся плоскость, а изображающая ее поверхность — параболоид вращения (рис. 286); функция z = — |^1 — х2 — у2 имеет областью определения круг х2 4- у2 ^ ^ 1 и изображается нижней полусферой с центром О (0, 0, 0) радиуса R= 1 (рис. 287).
Познакомимся еще с одним способом геометрической иллюстрации функций двух переменных. Будем называть линией уровня функции z = f(x, у) геометрическое место точек (х, у) плоскости, в которых функция принимает одной тоже значение С.
Линию уровня можно построить, спроектировав на плоскость XOY множество точек пространства XYZ, лежащих в пересечении поверхности, изображающей функцию z = f(x, у), и плоскости z = C (рис. 288).
Уравнение линии уровня имеет вид: /(х, у) —С. Изменяя С, мы будем получать различные линии уровня для данной функции.
Если положить С = СЬ С2, ..., С„, ..., выбрав эти числа в арифметической прогрессий с разностью h, то мы получим ряд линий уровня,
по взаимному расположению которых можно судить о характере изменения функции (рис. 289). В частности, там, где линии гуще, функция изменяется быстрее (поверхность, изображающая функцию, идет круче), а там, где линии уровня располагаются реже, функция изменяется
Рис. 289.Рис. 289.медленнее (соответствующая поверхность будет более пологой). Кроме того, отметки на линиях уровня дают непосредственно значения функции в точках этих линий. Выбирая h достаточно малым, можно таким образом получить довольно точное представление о поведении функции.
Рис. 289.
Рис. 289.
Рассмотрим несколько примеров.
Функция г = х2 +у2 имеет линиями уровня окружности
х2+у2 = С, 0^С<4-оо.
Полагая, например, С = 0,1,2, 3,..., получаем соответствующие линии уровня, сгущающиеся с ростом С. При С= О окружность вырождается в точку (0, 0) (рис. 290).
Для функции z = х + у линиями уровня будут прямые х 4-у = С, — со < С< + со. Полагая С = 0, + 1, ± 2получаем ряд линий уровня (рис. 291).
Линии уровня часто используются при составлении географических карт (линии уровня — линии, в которых высота точек земной поверхности над уровнем моря одинакова), при составлении метеорологических карт (линии уровня — линии одинаковых температур (изотермы),
Рис. 290.Рис. 290.линии равного давления (изобары)) и т. д.
Рис. 290.
Рис. 290.
Понятие функции трех переменных дается аналогично случаю двух, переменных.
Переменная и называется функцией трех переменных х, у, z1), если каждой тройке чисел (х, у, z) из некоторого множества по определенному правилу или закону ставится в соответствие одно или несколько значений переменной и. При этом х, у и г называются независимыми переменными, или аргументами, а и — зависимой переменной, или функцией.
*) Обозначается u=/(ix,y, z), и = '?(х, у, z), u = F (x,y,z), u = u(x, у, z) и т. д.
Областью определения такой функции называют множество всех рассматриваемых троек чисел. Если функция задана аналитически, с помощью формул, под ее естественной областью определения подразумевают совокупность всех тех троек чисел (х, у, z), для которых функция принимает действительные значения.
Изображая тройки чисел (х, у, z) точками пространства XYZ, мы можем рассматривать функцию трех переменных u — f(x, у, z) как функцию точки М (х, у, z) пространства, а область определения функции трех переменных — как некоторое множество точек пространства.
Так, например, функция и = ^r= J 2 —- определена для тех точек пространства, координаты которых удовлетворяют неравенству 4—х2— у2— 22>0, т. е. определена внутри сферы х2 4- у- -[- z2 = 4, а функция и —х-\- у -L г определена во всем пространстве.
Изобразить функцию трех переменных с помощью графика в трехмерном пространстве нельзя. Для наглядного изучения функций трех переменных используются так называемые поверхности уровня функции.
Поверхностью уровня функции u = f(x, у, z) называют геометрическое место точек пространства, в которых функция принимает одно и то же значение С. Уравнение поверхности уровня: f (х, у, z) = С. Изменяя С, получаем различные поверхности уровня. По их взаимному расположению можно судить о характере поведения функции.
Определения функций двух и трех переменных легко переносятся на случай любого числа переменных. А именно, переменная и называется функцией п переменных х, у, z, ..., ш, если каждой системе из п чисел (х, у, z, ..., су) из некоторого множества по определенному правилу или закону ставится в соответствие одно или несколько значений переменной и. При этом переменные х, у, z, ... , w называются независимыми переменными, или аргументами, а переменная и — зависимой переменной, или функцией. Множество рассматриваемых систем из п чисел называется областью определения функции. Обозначаются функции п переменных в виде: u = f(x, у, г, .. ., w\ u — F (х, у, z, ..., су), и = и (х, у, z, ..., су) и т. д.
Так же как для п = 2 и п = 3, функции любого числа п переменных удобно рассматривать как функции точки п-мерного пространства. Будем называть точкой М п-мерного пространства всякую систему из п чисел (х, у, z, ..., w). Сами числа х, у, г, ..., су называются при этом координатами точки М. Совокупность всех таких точек составляет п-мерное пространство.
Расстояние между любыми двумя точками Л41(х], у„ z„ ..., хв,) и М2(х2, у2, z2, ..., w2) этого пространства определяется по формуле
М^г = KC^i — Х2)2’+ (У1 —У2)2 + 01 — 2г)3 + • • • + От — ^г)2.
При п = 1,2,3 это «расстояние» совпадает с обычным. В n-мерном пространстве можно ввести понятия «прямых», кривых и пр., так чтобы при и = 2,3, как частный случай, получались обычные определения.
Например, прямой, проходящей через точки Л^ (х„ у„ z„ ..., хв,) и M2 (x2, у», z2, ..., хв»), называют геометрическое место точек (х, у, г, ..., хв), координаты которых удовлетворяют уравнениям:
х — X, у — у, Z— z, хв — хв,
Х2—X,у»—у,zs — z, “‘ хв»— хв, "
Обозначая эти отношения через t, получаем уравнения той же прямой в параметрической форме:
х = х, + < (х2 — xj, у=у1 + ^(у2—yj,z = z, -|- t (z2 — z,), ..., хв = хв, -|- t (хр. — хв,).
Непрерывной кривой в п-мерном пространстве называется любое геометрическое место точек М (х, у, z,, хв), координаты которых удовлетворяют уравнениям:
x = x(t), у = у(О> z = z (t), ..., хв = хв (t), где х (t), у (t), z (t), ..., хв (t)— непрерывные функции параметра t, изменяющегося в некоторых пределах.
Мы будем в дальнейшем подробно рассматривать лишь функции двух переменных, имея в виду, что перенос полученных определений и результатов на функции трех и более переменных представляет собой, как правило, лишь технические трудности.
Понятие предела для функции двух и более переменных
Рассмотрим последовательность точек Mt (хп ух\ Ма(х2, уг\ ..., Мп(хп, уп\ ... плоскости XOY. Будем говорить, что эта последовательность точек сходится к точке Л40(х0, у0), если расстояние МпМй = = / (хп — -Ко) + (уп — Уо)2 стремится к нулю при п-*со *).
Совокупность точек плоскости, находящихся от точки Мй на расстоянии, меньшем 8, т. е. внутренность круга с центром Мй радиуса 8, называется ^-окрестностью точки Мв.
Таким образом, последовательность точек Мь М2 Л4„,... плоскости называется сходящейся к точке Мй, если в любой окрестности точки Мй лежат все точки последовательности, начиная с некоторого номера.
Обобщая данное ранее определение предела функции одного переменного с помощью предела числовой последовательности, дадим определение предела функции двух переменных.'
Пусть функция z — ^x, у) задана в некоторой окрестности точки Мв, кроме, быть может, самой этой точки.
Если для любой последовательности точек М^х^ у^, УИ3(лг2, у^, ..., МпСгя, у„), ... этой окрестности 2), сходящейся к точке /И0(х0, у0), соответствующая последовательность значений функции f(xb у,), f(x2, у2), ..., Цхп, Уп\ ••• имеет пределом одно и то же число А, то это число А называют пределом функции f(x, у) при х-*х0, у-*уй и пишут:
limf(xr, у) = Л или /(х, у)-* А при х-*х0, у->-у^.
Так, например, функция Цх, у) = х^-\-у2 определена во всей плоскости. Рассмотрим точку М0(1,2). Для любой последовательности точек (хь У1)> (^2, Уз), -.., (,хп>Уп)» •••» сходящейся к этой точке Ме, имеем:
Игл (^ + ун)=12 + 22 = 5, п-*со
следовательно,
Нт (х2 + у2) = 5.
Геометрически тот факт, что число А является пределом функции f (х, у) при х -> х0, у-> у0, означает, что, какова бы ни была последовательность точек плоскости Л4Ь М4, ..., Мп> ..., неограниченно приближающихся к точке М6, последовательность аппликат соответствующих им точек поверхности, изображающей функцию z = f (х, у), имеет пределом число А. При этом в самой точке Мо функция может быть не определена, а может быть определена и имеет любое значение, как равное А, так и отличное от него. Предел функции z = f(x,y) при х-*х6, у->у6 определяется поведением функции вблизи точки (х0, у0) и не зависит от значения функции в самой этой точке.
В рассмотренном выше примере мы имели:
Цх,у) = х^у\
f(l,2)=l2 + 22 = 5 и lim f (х, у) = 5;
1
для функции же <р (х, у), определяемой равенствами
(7 в точке (1,2),
( f (х, у) во всех остальных точках,
Ф(1,2) = 7, тогда как предел функции ^(х, у) при х->1, у->2 равен пределу функции / (х, у).
Приведем теперь пример функции, не имеющей предела при х —»х0, у—►у».
*
Функция 2= —у;р^2 , определенная всюду, кроме начала координат, при х—>0 у—>0 предела не имеет, так как, выбирая две сходящихся к точке 0(0,0) последовательности точек (х„ 0), (х2, 0),..., (х„,0),... и (0, у,), (0,у2),..., (0,у„),..., получим:
х= —00— у»
Пт—- = 1, Пт—-=—1.
л_,оохп+® л->ооО+Уп
Так же как для функции одной переменной, можно Показать, что данное выше определение предела функции двух переменных эквивалентно следующему определению предела: число А называется пределом функции f (х, у) при х-*х0, у->ув, если для любого положительного числа е существует число 8, 8 > О, такое, что для всех точек (х, у), отличных от точки (х0, Уо) и удовлетворяющих условию У (х — Х0)2-[-(у — У6Т<3, выполнено неравенство
^(х,у) — А |<е.
Геометрически это значит, что, каково бы ни было числовых), найдется столь малая 8-окрестность точки М0(х0, у0), что во всех ее точках М (х, у), отличных от Мй, аппликаты соответствующих точек поверхности, изображающей функцию 2 = /(х, у), отличаются от числа А по абсолютной величине меньше, чем на е.
Величина 8 зависит от е и при е, стремящемся к нулю, 8, вообще говоря, также стремится к нулю.
Будем называть функцию /(х, у) бесконечно малой при х -* х0, у -► у0, если
lim / (х, у) = 0.
ж — *0
У—Хо
Пользуясь любым из определений предела функции двух переменных, можно вывести основные свойства бесконечно малых функций, дать понятие порядка, эквивалентности бесконечно малых; доказать теорему о том, что разность между функцией, имеющей предел, и ее пределом есть бесконечно малая функция; доказать основные теоремы об арифметических операциях над пределами. Доказательства этих теорем аналогичны соответствующим доказательствам для функций одной переменной.
Не останавливаясь на понятии бесконечного предела функции двух переменных (его с успехом даст сам читатель по аналогии со случаем одной переменной), отметим, что в. дальнейшем, говоря о пределах, мы будем иметь в виду конечный предел.
Данные выше определения без труда обобщаются на функции трех и более переменных, теряется лишь их геометрическая наглядность.
Так, например, Ъ-окрестностью точки (х0, у0, z0, ..., ®0) n-мерного пространства называется совокупность точек (х, у, z, .. ., w), находящихся от точки (х0, у0, 20, ... , w0) на расстоянии, меньшем 8.
В случае п = 3 6 окрестность точки (х0,у0, z^ представляет собой внутренность шара радиуса 8 с центром в этой точке.
Для функции/(х, у, z, ... ,w), определенной в некоторой окрестности точки (х0, у0, z0, ..., wa) (кроме, быть может, этой точки), можно дать, например, следующее определение предела. Число А называется пределом функции /(х, у, г, ... , w) при х —► х0, у —► Уо, z — z0, ... , w—►w0> если для любого числа е>0 существует число 366
8 > О, такое, что для всех точек (х, у, г, ... , г») указанной окрестности, отличных от точки (х0, ум г0, ... , тид) и удовлетворяющих условию
/(х — х0) + (У — у0)2 + (2 — 20)2 + ... + (w — w0)2 < 8» выполнено неравенство
V(x, 5, 2, ... , w) —Л)<е.
§ 3. Непрерывность функций нескольких переменных
Функция z=/(x, _у), определенная в некоторой окрестности точки (х0, Л), называется непрерывной в этой точке, если
lim/(x, _y)=/(x0, ,у0).
х-»х0
У-*У»
Геометрически это означает, что при приближении точки М (х, у) по любой последовательности точек к точке Л4о(хо, у0) аппликаты соответствующих точек поверхности, изображающей функцию z=/(x, у), стремятся к аппликате поверхности в точке М6.
В дальнейшем нам часто придется пользоваться следующим эквивалентным данному выше определением непрерывности функции: функция f (х, у^ называется непрерывной в точке (х0, Уд)1), если для любого положительного числа е существует число 8 ^> 0, такое, что для всех точек (х, у), удовлетворяющих условию ]/(х—х^-^-Цу— Уо)2<^8, выполнено неравенство
Н(х» У) — f(xo,yo)|<e.
Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать, что для функций двух переменных сумма и произведение двух непрерывных функций есть непрерывная функция; частное двух непрерывных функций есть непрерывная функция в точках, в которых знаменатель отличен от нуля; сложная функция2), составленная из непрерывных функций, есть непрерывная функция и т. д.
Например, функции Цх, у) = х2 -[-у1, <р(х, у) = е*+^, F(х, у) = = sin (х®у2 -[- х — У + 1) непрерывны всюду, функция R (х, у) = х2+у2 —1„
= —— непрерывна всюду, кроме точек прямой х = у, ит. д.
Если функция /(х, у) определена в окрестности точки Мй(хй, у0) (кроме, может быть, самой точки М») и не является непрерывной в этой точке, будем называть ее разрывной в точке М6.
Например, функция /(х, y) = ^5q-p- разрывна в точке (0, 0), так как она определена всюду, кроме этой точки; функция
Цх, у) =Цх, у) =всюду, кроме точки (0, 0),всюду, кроме точки (0, 0),1 — в точке (0, 0),1 — в точке (0, 0),
Цх, у) =
Цх, у) =
всюду, кроме точки (0, 0),
всюду, кроме точки (0, 0),
1 — в точке (0, 0),
1 — в точке (0, 0),
будет разрывна в точке (0, 0), так как не существует предела этой функции при х->0, у-*0; функция
?(*, У^?(*, У^х2 + у2 — всюду, кроме точки (1, 2), 7—в точке (1, 2),
?(*, У^
?(*, У^
в точке (1, 2) разрывна, так как
Пт ®(х, у) = 5, а <р(1,2) = 7. х1
В гл. III, § 22 мы рассматривали свойства функций, непрерывных на отрезках (теоремы об ограниченности функции, о достижении наи-
больших и наименьших значений и т. д.). Аналогичные свойства имеют место для непрерывных функций двух переменных, если их рассматривать в так называемых замкнутых ограниченных областях, являющихся двумерным аналогом отрезка. Для того чтобы сформулировать эти свойства, введем ряд определений для множеств точек плоскости XOY.
Рис. 292.Рис. 292.
Рис. 292.
Рис. 292.
Множество точек плоскости называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, состоящей из точек того же множества.
Например, связным будет множество точек внутри круга, множество точек любой дуги / эллипса, множество точек кольца 1 ^х1 + у2 =с 4 (рис. 292) и т. д.
Множество точек, состоящее из трех отдельных точек, не будет связным. Несвязным будет также множество точек, принадлежащих двум кругам: х2 + у2^1 и (х— 2,3)2 + у2^1 (рис. 293) и т. д.Точка М называется внутренней точкой некоторого множества, если существует окрестность этой точки, состоящая из точек данного мно-Множество точек, состоящее из трех отдельных точек, не будет связным. Несвязным будет также множество точек, принадлежащих двум кругам: х2 + у2^1 и (х— 2,3)2 + у2^1 (рис. 293) и т. д.Точка М называется внутренней точкой некоторого множества, если существует окрестность этой точки, состоящая из точек данного мно-
Множество точек, состоящее из трех отдельных точек, не будет связным. Несвязным будет также множество точек, принадлежащих двум кругам: х2 + у2^1 и (х— 2,3)2 + у2^1 (рис. 293) и т. д.
Точка М называется внутренней точкой некоторого множества, если существует окрестность этой точки, состоящая из точек данного мно-
Множество точек, состоящее из трех отдельных точек, не будет связным. Несвязным будет также множество точек, принадлежащих двум кругам: х2 + у2^1 и (х— 2,3)2 + у2^1 (рис. 293) и т. д.
Точка М называется внутренней точкой некоторого множества, если существует окрестность этой точки, состоящая из точек данного мно-
Множество, каждая точка которого — внутренняя, называется открытым множеством.
Открытыми будут, например, множества всех точек, лежащих внутри круга, внутри двух непересекающихся кругов (рис. 294). Открытым будет множество всех точек плоскости, лежащих вправо от оси OY (рис. 295).
Множество точек прямоугольника —l^x^l, —2 $5у ^2 открытым не будет, так как принадлежащие ему точки прямых х=±1, у = ±2 не являются внутренними (рис. 296).
Связное открытое множество точек плоскости называется областью. Примеры областей: множества точек, лежащих внутри круга, прямоугольника, множество точек кольца Х^х^Ц-у^^^, множество точек (х, у) плоскости, для которых х>0, у>0 (рис. 297).
Точка М называется граничной точкой области, если в любой ее окрестности есть точки как принадлежащие, так и не принадлежащие этой области. Совокупность всех граничных точек области называется ее границей. Так, например, для области, состоящей из точек, лежащих внутри эллипса, границей будет сам эллипс.
Рис. ^97.
Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой областью. Замкнутыми областями будут, например, круг х24~у2^1; прямоугольник —l^x^l, —2^ys^2; кольцо 1 s^ х2 4~ у2 s^ 4; бесконечный сектор, состоящий из точек (х, у) плоскости, для которых х^О, у^О и т. д.
Область называется ограниченной, если она целиком лежит внутри некоторого круга с центром в начале координат.
В указанных выше примерах областей все области, кроме последней, ограниченные (рис. 297).
Пусть функция f(x, у) определена в некоторой области D (замкнутой или незамкнутой). Будем называть эту функцию непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой ее точке. При этом непрерывность в любой граничной точке области D определяется следующим образом: функция f(x, у) непрерывна в граничной точке Мй{хй, у0), если для любого положительного числа е существует число 8 ^> 0, такое, что для всех точек М (х, у) области D, удовлетворяющих условию К (х — х0)2 + (у — Уо)2 <8, выполнено неравенство | / (х, у) — / (х0, у0) | < е.
Функции, непрерывные в замкнутых ограниченных областях, обладают следующими свойствами.
Функция f(x, у), непрерывная в замкнутой ограниченной области, ограничена в этой области, т. е. существует число К, такое, что для всех точек области | / (х, у)\<К.
Функция f(x, у), непрерывная в замкнутой ограниченной области, принимает в этой области свое наибольшее и наименьшее значения. Это значит, что существуют числа т и М, такие, что для всех точек (х, у) области
т^^(х, у^^М,
причем в области имеются точки (хь yt) и (х2, у2), такие, что /(хп у^ = т, Цх», У^ = М- Здесь т— наименьшее, а М—наибольшее значения функции f(x, у) в данной области.
Функция Цх, у\ непрерывная в замкнутой ограниченной области, между любыми двумя своими значениями принимает все промежуточные, т. е. если А <^С<^В, где А и В — какие-то значения функции f(x, у) в данной области, то в этой области существует точка (х0, у0), в которой fto, Уо) = С.
Отсюда, в частности, следует, что если (хь уА и (х2, у^ — точки данной области, причем f(xt, У1Х0, a f(x2, у2))>0, то в области существует точка (х0, уо), в которой f(x0, уо) = О.
Если функция f(x, у) непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она равномерно непрерывна в этой области, т. е. для любого положительного числа е существует число 8 2> 0, такое, что для любых двух точек (хь у,) и (х2, у2) области, находящихся на расстоянии, меньшем 8, выполнено неравенство
1Дхь Уд ' Их», уд\<^
Доказательства перечисленных в пп. 1 — 4 теорем мы в нашем курсе не рассматриваем. Заметим только, что для функций, непрерывных в незамкнутых или неограниченных областях, указанные в пп. I, 2, 4 свойства могут не иметь места.
Понятия непрерывности функции в точке, в области и перечисленные свойства непрерывных функций двух переменных легко обобщаются на функции трех и более переменных.
Раздел 2ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ
§ 4. Частные производные
Пусть в некоторой (открытой) области задана функция двух переменных г = Дх, у). Возьмем произвольную точку М (х, у) этой области
Рис. 298.Рис. 298.и дадим х приращение Дх, оставляя значение у неизменным.
Рис. 298.
Рис. 298.
При этом функция f(x, у) получит приращение
Дхг = Дх4-Дх, у) —Дх, у).
Оно называется частным приращением этой функции по х (рис. 298).
_ Отношение
^x^x
дает среднюю скорость изменения функции z = /(x, у) по переменной х на участке от точки Л4 (х, у) до точки М' (х-[- Дх, у).
Предел этого отношения при Дх->0, если он существует и конечен, называется частной производной функции z — f(x, у^ по переменной х в точке (х, у). Этот предел характеризует скорость изменения данной функции по х в самой точке М, Частную производную по х от функции z = f(x, у) обозначают следующими символами:
dzдх ’dzдх ’2xi2xiд/(х,Ядхд/(х,Ядхfx (X, у).fx (X, у).
dzдх ’
dzдх ’
2xi
2xi
д/(х,Ядх
д/(х,Ядх
fx (X, у).
fx (X, у).
Таким образом, — Иглlim—/^ ^
дхДх—>0 ^Х Дх^О^Х
Аналогично, считая х постоянной и давая у приращение Ду, мы получим частное приращение функции z = f(x, у) по у:
byZ = f(x, у-[-Ду) —Дх, у)(рис. 299).
Предел отношения частного приращения функции по у к приращению Ду при стремлении последнего к нулю (если он существует и конечен) называется частной производной этой функции по у г точке (х, у\
Частная производная функции г = ^х, у) по у обозначается обычно одним из следующих символов:
dz ,Таким образом, dz^yz^- = iim -f—=ду ьу^о ^Уdz ,Таким образом, dz^yz^- = iim -f—=ду ьу^о ^Уд/(х, у)дуд/(х, у)дуlimДу^ОlimДу^Оfy (X, yYfy (X, yYf(x,y-¥^y)—f(x, у)f(x,y-¥^y)—f(x, у)byby
dz ,
Таким образом, dz^yz
^- = iim -f—=
ду ьу^о ^У
dz ,
Таким образом, dz^yz
^- = iim -f—=
ду ьу^о ^У
д/(х, у)ду
д/(х, у)ду
lim
Ду^О
lim
Ду^О
fy (X, yY
fy (X, yY
f(x,y-¥^y)—f(x, у)
f(x,y-¥^y)—f(x, у)
by
by
Эта частная производная численно равна скорости изменения по у функ
Рис. 299.Рис. 299.ции z = /(x, у) в точке М^х, у).
Рис. 299.
Рис. 299.
Значения частных производных fx^x, у) и Гу^х, у), естественно, зависят от координат х, у рассматриваемой точки М, т. е. частные производные fx^x, У) и ТДх, У), в свою очередь, являются функциями двух переменных, определенными в заданной области или ее части (если не во всех точках этой области существуют частные производные).
Вычисление частных производных по х (по у) от конкретных функций производится по известным для функ-
ций одной переменной правилам, так
как частная производная функции z = f(x, у) по х (по у) есть по определению обыкновенная производная функции z = f(x, у), рассматриваемой как функции одной переменной х (соответственно у) при постоянном
значении другой переменной.
Например, для функции /(х, у) = х* -|-ху14-у3 в любой точке (х, у) имеем fxk.x, у') = 2хЦ-у4, [’Лх, у) = 2ху-}-Зу2. В частности, %!, 2) =
7= 2 • 1 + 22 = 6, Г, (1,2) =
= 2.1-2 + 3.2а=16.
Частные производные функции двух переменных имеют простой геометрический смысл.
Рассмотрим в пространстве XYZ поверхность S, имеющую уравнение z = f(x, у). Эта поверхность изображает функцию у f(x, у).
Дадим переменным х и у значения х0, у0. По определению Гх (х0, уо) есть обыкновенная производная (по х) от функции одной переменной /(х, у0) при
х = х0. График этой функции мы получим в сечении поверхности S
плоскостью у = у0.
Так как производная функции одной переменной х в данной точке равна тангенсу угла наклона к оси ОХ касательной к графику функции в этой точке, заключаем, что Д (х0, у0) есть тангенс угла <р, составленного с осью ОХ касательной, проведенной в точке N6(x6, уй, f (х0, у0)) к сечению поверхности S плоскостью у = Уо (рис. 300).
Аналогично [у(ха, у0) есть тангенс угла 6, составляемого с осью OY касательной, проведенной в точке ^0 к сечению поверхности S плоскостью х —х0 (рис. 301).
Для функций любого числа п переменных частные производные вводятся так же, как и для функций двух переменных. А именно, част-
ная производная от функции u = f(x, у, z, .... ay) по любому из незави
симых переменных в точке (х, у, zш) есть предел отношения част
ного приращения функции вного приращения функции вРис. 301.Рис. 301.точке к приращению соответствующей независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует и конечен). Обозначения аналогичны приведенным выше.
ного приращения функции в
ного приращения функции в
Рис. 301.
Рис. 301.
Например, если u = f(x, у, z), то
di = Mx. У, z) = lim -^ =
Дг—0
_ |im /(X, .у, z +Az) —/(х, у, z)Дг->0Дг
Дифференцируемые функциинескольких переменных
Рассмотрим снова функцию двух переменных z = f(x, у) в некоторой
(открытой) области. Пусть (х, у) — точка этой области. Перейдем из точки (х, у) в какую-нибудь точку (х-^-Дх, у-[-Ду) той же области. При этом функция z = f(x, у) получит приращение
Аг = /(х + Дх, у + Ду) — f (х, у).
это приращение назы- в точке (х, у), соответ-это приращение назы- в точке (х, у), соответ-метрически Дг представляет собой разность аппликат точек поверхности z — f(x, у), соответствующих точкам (х, у) и (х-[- Дх, У+Ду) (Рис- 302).В зависимости от вида функции и величин Дх и Ду полное приращение функции может быть больше нуля, меньше или равно нулю.Если функция г = Цх, у) непрерывна в точке (х, у), то lim f (х-[-Дх, у-j-Ду) = f (х, у), Дх->0метрически Дг представляет собой разность аппликат точек поверхности z — f(x, у), соответствующих точкам (х, у) и (х-[- Дх, У+Ду) (Рис- 302).В зависимости от вида функции и величин Дх и Ду полное приращение функции может быть больше нуля, меньше или равно нулю.Если функция г = Цх, у) непрерывна в точке (х, у), то lim f (х-[-Дх, у-j-Ду) = f (х, у), Дх->0В отличие от частных приращений Дхг и Д^г вается полным приращением функции 2 = f (х, у) ствующим приращениям Дх и Ду независимых переменных. Гео-z
это приращение назы- в точке (х, у), соответ-
это приращение назы- в точке (х, у), соответ-
метрически Дг представляет собой разность аппликат точек поверхности z — f(x, у), соответствующих точкам (х, у) и (х-[- Дх, У+Ду) (Рис- 302).
В зависимости от вида функции и величин Дх и Ду полное приращение функции может быть больше нуля, меньше или равно нулю.
Если функция г = Цх, у) непрерывна в точке (х, у), то lim f (х-[-Дх, у-j-Ду) = f (х, у), Дх->0
метрически Дг представляет собой разность аппликат точек поверхности z — f(x, у), соответствующих точкам (х, у) и (х-[- Дх, У+Ду) (Рис- 302).
В зависимости от вида функции и величин Дх и Ду полное приращение функции может быть больше нуля, меньше или равно нулю.
Если функция г = Цх, у) непрерывна в точке (х, у), то lim f (х-[-Дх, у-j-Ду) = f (х, у), Дх->0
Ду-*0
т. е. lim Дг = 0, и, наоборот, если lim Дг = 0, то, как легко видеть, Ьх —>0Дх—>0
Д>,-*0Ду->0
функция z = f(x, у) непрерывна в точке (х, у).
Функция z = ^x, У) называется дифференцируемой в точке (х, у),
если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде:
Дг=Л(х, у)Дх4-5(х, у) Ду 4~ «1 Дх-ф- а2 Ду,(1)
где а, и а2 — бесконечно малые при Дх -> 0, Ду -► 0 (или, короче, при
p^/WTW-^o)1).
Соотношение (1) часто записывают в более сжатой форме:
Дг = Л (х, у) Дх-|-В(х, у)Ду-1-ар.(Г)
оа, Дх 4- а2 Ду „„
Здесь а : —у-> 0 при р 0.
При этом слагаемое А (х, у)Дх4-В(х, у) Ду, линейное относительно Дх и Ду, называется главной частью приращения, так как оставшееся слагаемое а, Дх--^ Ду, т. е. ар, есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Дх и Ду (или, короче, чем р).
Рассмотрим пример. Функция z = х^у будет дифференцируемой в любой точке (х, у), так как
Дг = (х -|- Дх)2 (у + Ду) — х2у = 2ху Дх + х2 Ду + 2х Дх Ду +у (Дх)2 -|- (Дх)2 Ду.
Здесь 2ху Дх + х2 Ду—главная линейная относительно Дх и Ду часть полного приращения функции, а слагаемое (2х Ду-|-уДх) Дх-]-(Дх)2 Ду есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с Дх и Ду.
Данное выше определение дифференцируемости для функции двух переменных является естественным обобщением определения дифференцируемости для функции одной переменной1).
В гл. IV было установлено, что если функция одной переменной дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна и имеет производную в этой точке. Последнее условие оказалось и достаточным, т. е. из существования производной функции одной переменной в данной точке следует дифференцируемость функции в этой точке. Выясним, как переносятся эти свойства на функции двух переменных.
Необходимые условия дифференцируемости
Теорема 1. Если функция z = f(x, у) дифференцируема в точке (х, у), то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Если функция z — Цх, у) дифференцируема в точке (х, у), то, как слудует из соотношения (1), ИтДа = 0, а это
Дх—*0
Д^ —* 0 значит, что функция /(х, у) непрерывна в точке (х, у).
Теорема 2. Если функция z = f(x, у) дифференцируема в точке (х, у), то она имеет в этой точке частные производные fx (х, у) и f'y (х, у).
Доказательство. Так как функция z = f(x, у) дифференцируема в точке (х, у), то для любых Дх и Ду (не выводящих за пределы рассматриваемой окрестности) имеет место соотношение (1). Полагая в нем Ду = 0, имеем Дхг = А(х, у)Дх-{-а1Дх, где а,— бесконечно малая при Дх->0.
Деля на Дх и переходя к пределу при Дх->0, получаем:
д^0 ^=i™0 [л <х- у>+а-]=л
Следовательно, в точке (х, у) существует, частная производная Гх(х, у) и fx(x, у) = А(х, у\
Аналогично доказывается, что в точке (х, у) существует частная производная 5(V, у) и что fy(x, у) = В(х, у).
Обратные утверждения к теоремам 1 и 2 неверны. Из непрерывности функции двух переменных в точке, а также из существования ее частных производных в этой точке еще не следует дифференцируемости функции.
Действительно, функция /(х, у) = х -|-у + V |х|-|у| непрерывна в точке (0, 0), так как /(0, 0) = 0 и Ит /(х, у) = 0, и имеет в этой точке частные произ- Дх—>0 Д^ —>0
водные:
fx (0, 0) = lim (° + Дх) + 0 + }< I Дх I. О — 0 _ t
дх—*оДх’
А(0,0)= пт оннд+_д^/оД^Ъ=о_ = 1
Д_у-»0Ду
Ее полное приращение в точке (0, 0) равно:
Дх = Дх + Ду + ]Л I Дх | • | Ду | .
Если бы функция /(х, у) = х+у+ У" |х|-|у| была дифференцируема в точке (0,0), мы имели бы Дх = 1 • Дх + 1 • Ду + а ■ р, где а—бесконечно малая при Р = "У (Д^)2 + ^У)2 - о.
Но у нас а • р = V I Дх I Ду I, т. е. а = 1^ I Ах ! I А-У I —. При ЛЮ^Ь1Х дх = д« г 1V (Дх)2 + (Ду)2у
имеем а = —а значит, а не является бесконечно малой при Дх —0, Ду —0.
V 2
Таким образом, функция /(х, у) = х +у + J^lx, • |у| в точке (0, 0) непрерывна, имеет частные производные и, тем не менее, не является дифференцируемой в этой точке.
Для того чтобы функция двух переменных была дифференцируема в данной точке, на нее, в отличие от функции одной переменной, надо наложить более жесткие требования, чем существование частных производных в этой точке.
Достаточные условия дифференцируемости
Теорема. Если в некоторой окрестности точки (х, у) существуют частные производные fx(x, у) и fy(x, у) функции z = f(x, у) и эти производные непрерывны в самой точке (х, у), то функция f (х, у) дифференцируема в этой точке.
Доказательство. Для любых Дх и Ду (не выводящих за пределы рассматриваемой окрестности) имеем:
Д2 = /(х + Дх, у-|-Ду) —f(x, у) =
= [Г(*4-Дх, уЦ-М)— f(x, у + Ду)] + [f (х, у + Ду) —f(x, у)].
Разность /(х-рДх, у-(-Ду)— f(x, у-(-Ду) можно рассматривать как приращение функции одной переменной х: f (х, у -(- Ду) при переходе от х к х-(-Дх. Так как на отрезке [х, х-(-Дх] (или [х-(-Дх, х], если Дх<^0) эта функция имеет производную, совпадающую с fx(x, у-у^у), то по теореме Лагранжа получаем:
Нх-[-Дх, у -(- Ду) — f (х, у + Ду^/^х + б! Дх, у-(-Ду)Дх, где 0<91<1.
Аналогично для второй разности получаем:
/(х, у-(-Ду) —f(x, у) = ^(х, у 4-62 Ду) Ду, где 0<9а<1.
Таким образом, Дг =/^ (х-|-9, Дх, у-]—Ду) Дх —|-/^ (х, у-(-92Ду)Ду, где О^Э!^!, 0<^92<^1.
Функции fx(x, у) и ^(х, у) непрерывны в точке (х, у), значит, lim /^(х-^Дх, у + Ду) = Д(^> У),
Ду->0
Нт 5(х, y-]-My) = fx(x, у).
Ах—>0
Ау_0 т. е.
^(х + ^Дх, y-L^ = fx(x, у) + аь 5(х, у + 9аДу) = /;(х, у)-^, где at и а2 — бесконечно малые при Дх->0, Ду->0.
Подставляя эти значения в формулу (2) для Дз, получаем:
Дз = /;(х, у) Дх+/;(х, у) Ду + а, Дх-|-ааДу,
где а, и а2 — бесконечно малые при Дх->0, Ду->0, а это и значит, что функция / (х, у) дифференцируема в точке (х, у).
С помощью только что доказанной теоремы мы можем устанавливать дифференцируемость для широкого класса функций.
Так, например, функция г=х4еяаУе в любой точке (х, у) дифференцируема, так как ее частные производные || = (2х-|-2х3у3) exV и = = З^у9 е*2^3 всюду непрерывны; функция z = Vx-Vy дифференцируема в каждой точке полуплоскости х —|— г/^> 0, так как там существуют и не- dz дг 1 прерывны ее частные производные, и т. д.
Понятие дифференцируемости для функций трех и большего числа переменных вводится совершенно аналогично рассмотренному выше случаю функции двух переменных.
Функция u=f(x, у, г, ..., го), определенная в некоторой окрестности точки (х, у, z, ..., го) ц-мерного пространства, называется дифференцируемой в этой точке, если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде:
Ди = А (х, у, z, ..., го) йх -|- В (х, у, г, ..., го) йу -|- С (х, у, г, ..., го) Да -|- ... + -|- М (X, у, Z, ..., го) Дго -|- ах Дх -|- а2 Ду + а3 Да -|- ... -|~ ага Д™1,
где и„ а», а3, ..., ап — бесконечно малые при Дх — О, Ду —0, Да —0, ...,Дго —0. Слагаемое 04 Дх-|-а2 Ду-|-<х3 Az-|- ••• “Г^Аго часто записывают в виде ар, причем для дифференцируемой функции а — 0 при р = V(Ах)2 + (Ду)2 + (Az)2 -|- ... 4- (Дго)2 — 0.
Имеют место следующие необходимые (теорема Г) и достаточные (теорема 2') условия дифференцируемости.
Теорема Г. Функция/(х,у, zго), кифференцируемая в точке (х, у, г, ...,го), непрерывна в этой точке й имеет в ней частные производные по всем независимым переменным.
Теорема 2', Если функция /(х, у, г, ..., го) в некоторой окрестности точки (х, у, z, ...,чи^ имеет частные производные по переменным х, у, г, ..., го и если эти частные производные непрерывны в самой точке (х, у, г, ..., го), то функция /(х, у, г, ..., го) дифференцируема в этой точке.
Доказательства этих теорем не содержат ничего принципиально нового по сравнению со случаем функций двух переменных.
Функция (любого числа переменных), дифференцируемая в каждой точке некоторой области, называется дифференцируемой в этой области.
Дифференциал
Если функция z=f(x, у) дифференцируема в точке (х, у), то, как было показано выше, ее полное приращение в этой точке можно представить в виде:
Д2=^(х, у)Дх + ^(х, у) Ду + а! Дх+а2Ду,
где ^ и а2 — бесконечно малые при Дх -> 0, Ду -> 0.
Главная, линейная относительно Дх и Ду часть приращения дифференцируемой функции z = f (х, у) в точке (х, у), т. е. fx (х, у) ^x-Vfv (х, у) Ду, называется ее полным дифференциалом в этой точке и обозначается df(x, у) или dz.
Итак, dz=f’Ax, y^x-Vf^x, у^у.
Например, если z = x^y, то в любой точке (х, у) dz = 2ху Дх -{- х2 Ду.
По определению разность между полным приращением и полным дифференциалом функции в данной точке есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Дх и Ду (чем р = ]/(Дх)2-[-(Ду)2):
Дг— dz = atAx-{-а2Ду или, что то же, Дг — dz = ap, где а1; а2 и а — бесконечно малые при р -> 0.
Этим широко пользуются в приближенных вычислениях, заменяя приращение функции z = f(x, у), которое может сложным образом зависеть от Дх и Ду, ее дифференциалом, зависящим от Дх и Ду линейно.
Пусть, например, нам известны значения дифференцируемой функции г = Цх, у) и ее частных производных fx (х, у) и fy (х, у) в точке (х, у; и требуется вычислить значение этой функции в точке (х-{-Дх, у —j— Ду).
По определению f (х -{- Дх, у -{- Ду) — f (х, у) = Дз.
Заменяя Дз полным дифференциалом dz, получаем:
/(х + Дх, у + Ду) — /(х, у)^/;(х, у) Дх4-5(х, у) Ду,
откуда:
/(х+Дх, у + Ду)^ f (х, у) + ^(х, у) Lx + fy (х, у) Ly.
Для достаточно малых Дх и Ду допускаемая нами погрешность может быть сделана сколь угодно малой.
4/
Рассмотрим пример. Вычислить приближенно г 0,98 у 1,053 . Рассмотрим .у ■12] — 2
функцию/(х,у) = V xyy3 = x3j4; ее частные производные /^.(х, у)=-^х Зу4 ,
1 --
f 'y(xi Д’) =-4X3 у 4 в точке х=1,у=1 непрерывны, т. е. функция дифферен-
цируема в этой точке.
Полагая Дх = —0,02, Ду = 0,05, имеем:
_ 2 i• 1 3 .1 4 (— 0,02) +_ 2 i• 1 3 .1 4 (— 0,02) +з /——
_ 2 i
• 1 3 .1 4 (— 0,02) +
_ 2 i
• 1 3 .1 4 (— 0,02) +
1 - — —11
+ 4-.13.1 4 (0,05) = 1—4-0,02+ 4-0,05=^ 1,006. 4' ’ '34
Данное выше определение полного дифференциала легко обобщается на случай дифференцируемой функции любого числа переменных. Полным дифференциалом такой функции в данной точке называется главная, линейная относительно приращений всех аргументов часть полного приращения функции.
Так, например, если ы = х2-{-У2 + хуз2, то в любой точке (х, у, з): du = (2х -[- уз2) Lx -[- (2у -[- хз2) Ду -[- 2хуз Дз.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданнойуравнением z=f{x, у). Геометрический смысл полного дифференциаладля функции двух переменных
Существует несколько эквивалентных между собой определений касательной плоскости к поверхности. Предлагаемое ниже определение яв
Рис. 303.разом точка N на поверхностиРис. 303.разом точка N на поверхностиляется естественным обобщением определения касательной (прямой) к кривой.
Рис. 303.
разом точка N на поверхности
Рис. 303.
разом точка N на поверхности
Пусть N0 — точка данной поверхности. Рассмотрим на поверхности другую, переменную, точку N и проведем секущую прямую N6N.
Плоскость, проходящая через точку No, называется касательной плоскостью к поверхности в точке Na, если угол между секущей NaN и этой плоскостью
стремится к нулю, когда расстояние NttN стремится к нулю, каким бы об- ни стремилась к точке М» (см. рис. 303).
Нормалью к поверхности в точке Мо называется прямая, проходящая через точку Ма перпендикулярно касательной плоскости к поверхности в этой точке.
Из определения следует, что у поверхности в данной точке либо есть и тогда только одна касательная плоскость, либо ее нет совсем.
Так, например, поверхность, заданная уравнением z=V"xF^tj1 (коническая поверхность), в точке О (0, 0, 0) касательной плоскости не имеет.
Покажем, что у поверхности, заданной уравнением z=f(x, у), где Цх, у) — функция, дифференцируемая в точке Л40(х0, у^, касательная плоскость в точке Ne (х0, уй, f (х0, у0)) существует и имеет уравнение
2 —/(х0, у0)=/Их0, УоНх — хо) + ^(^о, Уо)(у—Уо).(1)
Пусть Л/(х04~Ах, Уо + Ду, 20 + Аа)—текущая точка поверхности. Обозначим через <р угол между секущей N6N и плоскостью (1). Покажем, что при стремлении точки N к точке Мй угол ® или, что равносильно, sincp стремится к нулю. Этим и будет доказано, что плоскость (1) является касательной к данной поверхности в точке ^0.
Опустим из точки N перпендикуляр NK на плоскость (1) и перпендикуляр NM на плоскость X0Y. Л/, (х0 + Ах, у0-{-Ду, z) — точка пересечения перпендикуляра NM с плоскостью (1) (рис. 304). Тогда Z® = / TZ XT КТ I •<WWi w
= AKN«N, | sin <p | = ^<д^. При этом
мйм = уТмЧЛДу?=р,
NNt = | f (x0 + Дх, y6 + Ду) — zN11 = | f (Хо+Дх, y0 + Ay)—/ (x0, y0)—— fx (x0, Уо) Ax — f'y (x0, y0) Ду | = | Да — /; (x0, y0) Дх — fy (x0, y0) Ду |.
„ Дх и Ду, а значит, р стремятся„ Дх и Ду, а значит, р стремятсяРис. 304.Рис. 304.Если точка N стремится к точке N, к нулю.
„ Дх и Ду, а значит, р стремятся
„ Дх и Ду, а значит, р стремятся
Рис. 304.
Рис. 304.
Так как функция /(х, у) дифференцируема в точке (х0, уо), величина NN\ будет бесконечно малой более высокого порядка, чем р, т. е.
NN
отношение при N-*Na будет стремиться к нулю. Отсюда следует, что sin<p и сам угол <р стремятся к нулю, когда N М6.
Таким образом, мы доказали, что если функция z = f(x, у) в точке (хо, Уо) дифференцируема, то изображающая ее поверхность в точке Л/0(х0, уй, Цх», уо)) имеет невертикальную касательную плоскость.
Можно доказать и обратное утверждение: если в точке
Мо(хо, Уо, /(ХО, Уо))
поверхность, изображающая непрерывную функцию z=f(x, у), имеет невертикальную касательную плоскость, то функция / (х, у) в точке (х, у) дифференцируема.
По виду уравнения (1) касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z — f(x, у), в точке N6) легко написать уравнения нормали:
х —х0у—у0 _2 — 26
f'x (х0, Уе) f'y (х0, Уо) — 1 ' Составим, например, уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением z ^=25 — х2 —у2 в точке N6 (2, 3, 2}<3).
Так как частные производные дгх дгу
дх 1^25—х2—у2 И ду 1^25 — х2—у2 непрерывны в точке Мо (2, 3) и ее окрестности, то функция 2 дифференцируема в точке Мо, т. е. данная поверхность имеет в точке Ne касательную плоскость и нормаль.
Уравнение касательной плоскости:
г-2/3 =-Х^(х - 2) - V^-^,
уравнения нормали:
х — 2 у —3 _ 2 — 2/3" , т е х — 2 у — 3 _ 2 — 2/3
— /3“-/3—1’ ’ ' 2/33/36'
32
Выясним теперь геометрический смысл полного дифференциала функ-
ции двух переменных.
Пусть значит, чтоПусть значит, что- функция z = /:(x, у) дифференцируема в точке (х0, у0). Это поверхность, заданная уравнением z = f(x, у'), имеет в точке Мо(Хо, Уо, Кхй, Уй^ касательную плос-
Пусть значит, что
Пусть значит, что
кость. Ее уравнение можно записать в виде:
2 — Кхй, ув) = fx (Хо, ув) (X — Хо) ++ fy (хо, Уо) (У — Уо),
или, полагая х— х0 = Дх, у — у0 = Ду, в виде:
2—f (х0, y^fx (х0, у0) Дх+/ (хв, у^ Ьу.
В этом равенстве слева стоит разность аппликат точек касательной плоскости, соответствующих точкам (хо,Уо) и (х0-[- Дх, уо + Ду), а справа — полный дифференциал функции z = f(x,y) в точке (хо,уо).
Таким образом, полный дифференциал функции z = f (х, у) в точке (х0, у0) геометрически обозначает приращение аппликаты касательной плоскости к поверхности, изображающей функцию, в точке (х0, у0, f (ха, у0)) при переходе из точки (х0, у0) в точку (х0-|-Дх, уо-^Ду)1).
Для функции z = f(x, у), изображенной на рис 305, дифференциал dz в точке 7И0 отрицателен.
Производные сложных функций
Пусть z = f (х, у) — функция двух переменных х и у, каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимой переменной t; x=x(t), y = y(t)- Тогда z = f(x(Z), у(0)—сложная функция независимой переменной t; переменные х и у будут для нее промежуточными переменными.
Например, z= у arcsin Х~5 , где х—1— t, у=1-[-^,—сложная функция независимой переменной t.
Теорема. Если функции х (/) и у (?) дифференцируемы в точке t, а функция z = f(x, у^ дифференцируема в точке (х, у), где.х —х(/), у = у(/), то сложная функция z = / (х (/), у (/)) также дифференцируема в точке t, причем
dz dz dx .dz dy,.,
dtdx dt "T" dy dt ’'
в этой точке.
*) Напомним, что для функции одной переменной у=/(х) дифференциал в точке х0 представляет собой приращение ординаты касательной к кривой, изображающей функцию, в точке (х0, /(х0)) при переходе из точки хй в точку х0-|-Дх. 378
Доказательство. Пусть приращению Д/ переменной t в данной точке t соответствуют приращения Дх и Ду переменных х и у:
дх=х(^н-до — х((), Ду=у^4-ДГ)—у(<)-.
Приращениям Дх и Ду переменных х и у соответствует приращение функции z:
Д2=/(х+Дх, у 4-Ду) — f(x, у).
Так как эта функция дифференцируема в точке (х, у), где х = х(?), у = у (/), имеем:
Да=Д (х, у) Дх + /; (х, у) Ду 4- а,Дх 4- а2Ду,(2)
где а, и ^ — бесконечно малые при Дх -> 0, Ду 0.
Разделив на Ы, получим:
д^ = /х (X, у) д^-Д-/д, (х, у)-^-|-а! 1^4-02^.(3)
По условию Hm ^ = ^, Нт ^ = g в точке L
Кроме того, так как функции x(f) и у (/) дифференцируемы в точке /, то они непрерывны в этой точке, а значит, при Д/->0 мы имеем Дх 0, Ду О и, как следствие, о, -> 0, а2 -> 0.
Таким образом, при Д/->0 существует предел выражения, стоящего в правой части равенства (3), а следовательно, существует ^= lim ^, причем
^ = Г-1.х,8)т + ГЛх.А%.
или, короче, dzdz dx , dz dy di дх "di 3y di *
Например, если z = х sin у, где х = 1 + 3t, у = }^ 1 -|- I? , то для любого значения t имеем:
tГП^'tГП^'
t
ГП^'
t
ГП^'
В частности, если z = /(x, у), где у = ^ (х), то z = f (х, ® (х)) —сложная функция х. При выполнении соответствующих условий на основании формулы (2) получим:
dz dz . dz dy
dxOx dy dx *
dz
Производная ^, стоящая справа, есть частная производная функции
z = f(x, у) по х. Она вычисляется при закрепленном значении у. Произвол- ная у в левой части равенства есть полная производная z как сложной
11 4-ха11 4-хафункции х, зависящей от х явным образом и через посредство переменной у.
1
1 4-ха
1
1 4-ха
то для любого значения х имеем:то для любого значения х имеем:Например, если z = х-у5 -J- ехУ, где у
то для любого значения х имеем:
то для любого значения х имеем:
— = 2ху5 4-уехУ 4- (5х2у4 + хехУ) -^ ^^i'
Аналогичным рассмотренному выше образом решается вопрос о производной ^, когда и задается как дифференцируемая функция любого числа переменных, каждая из которых, в свою очередь, есть дифференцируемая функция t.
Так, в случае u = f(x, у, z), где х = х (f), у = у (0. z — z^t1), при выполнении соответствующих условий находим:
du ди dx , ди dy . ди dz dtdx dt-^ ду dt ' dz dt '
Рассмотрим теперь более общий случай. Пусть z = f(x,y)— функция двух переменных, аргументы которой х и у, в свою очередь, зависят от двух или большего числа переменных. Например, пусть
х — х(и, о), у—у (и, o').
Тогда z = f(x(u, o'), у (и, и)) будет сложной функцией независимых переменных и и и.
Если функции х (и, и) и у (и, v) дифференцируемы в точке (и, v), а функция z = f(x,y) дифференцируема в точке (х, у), где х = х(и, и), у—у (и, у), то сложная функция z = f(x(u, и), у (и, у)) дифференцируема в точке (и, и) ‘), причем ее частные производные в этой точке находятся по формулам:
dzdz dx t dz dydu dx du dy du ’
dz dz dx । dz dy do dx dody do"
Эти формулы получаем как следствие формулы (2), так как при dz (дг\,
нахождении ^ 1^1 z рассматривается как функция одной переменной и (и) при постоянном значении второй переменной.
К аналогичным выводам мы приходим и в случаях, когда число промежуточных аргументов или число независимых аргументов больше двух.
Инвариантная форма записи дифференциала
По определению, для любой дифференцируемой в точке (х, у) функции г=Цх, у)
двух независимых переменных
dz=fx(x, у) Дх + /;(х, у) Ду.(1)
Полагая, в частности, г = х(т. е. /(х, у) = х), получаем dz = dx= = 1-Дх-[-0-Ду, т. е. dx — йх.
Аналогично, полагая z = y, получаем, Что dy = ky.
Таким образом, дифференциалы независимых переменных совпадают с приращениями этих переменных, и мы можем записать дифференциал функции / (х, у) в виде:
dz = fx (х, у) dx + fy (х, у) dy или, что то же, в виде:
(2)
Эта форма записи дифференциала называется инвариантной, что объясняется приведенными ниже соображениями.
Пусть z = f(x,y), где х = х(ы, и), у — у(и, у),— сложная функция независимых переменных и и и.
Предположим, что функции х = х(и, и) и у = у (и, у) дифференцируемы в точке (и, и), а функция f(x,y) дифференцируема в точке (х, у), где х = х(и, и), у = у(и, v).
х) Доказательство дифференцируемости г мы опускаем, предоставляя его читателю.
Тогда сложная функция
г = Цх(и, о), у (и, и))
будет дифференцируема в точке (и, и).
При этом, согласно (2), dz = ^ du-^-^ du.
Применяя правила для вычисления частных производных сложной функции, получаем:
\дх ди 1 оу ди) 1 \дхдо 1 ду до ]
= д=(дх^дх X dzf^, ду \
дх \ди'доI ' ду \ди1 до /
Так как в скобках стоят полные дифференциалы функций х^и, и), у (и, и), то окончательно имеем:
dz = dxdy.
дх ' ду 3
Таким образом, и в том случае, когда х и у — независимые переменные, и в том случае, когда х и у — зависимые переменные, дифференциал функции z = f ^х, у) можно записать в форме:
dz = ^-dy.
дх ' ду 3
В связи с этим данная форма записи полного дифференциала и называется инвариантной.
Предложенная ранее форма записи полного дифференциала
dz = Дх -ф- Дудх 1 ду 3
не будет инвариантной, она может использоваться только, если х и у — независимые переменные, так как в противном случае
Дх ^ dx, Ду ^ dy.
Пользуясь определением полного дифференциала и инвариантной формой записи, можно получить ряд формул, аналогичных соответствующим формулам для функций одной переменной.
Пусть z = f(x, у) и z = <p(x, у)—дифференцируемые функции двух (независимых или зависимых) переменных х и у в некоторой точке (х, у).
Тогда в этой точке d(Cf)=Cdf (С — число), d (/ ± <р) = df ± d^, d^.^^df-^-Vf-dt?, dA —
Для функции любого числа переменных u=f(x, у, г, ..., w), отождествляя приращения независимых переменных с их дифференциалами, также можно дать так называемую инвариантную форму записи полного дифференциала:
. ди..ди, , ди. .. ди.
du = ч— dx -4- ч— dy -4- ч-dz -4-...-4- ч—dw.
дх'ду' dz11 dw
Она будет справедливойивтомслучае,когдах, у, г,..., то будут не незави
симыми, а промежуточными аргументами функции и.
Производная по направлению
Рассмотрим функцию
г = Цх, у)(1)
в некоторой области, содержащей точку (х, у), и единичный вектор л{cos а, со$Р{ любого направления. Для характеристики скорости изменения функции в точке (х, у) в направлении п введем понятие производной по направлению.
Перейдем из точки М (х, у) в точку TW/x-j-Ax, у 4-Ду) в направлении вектора п (рис. 306). Функция z = f(x,y) получит при этом приращение
A2 = f(x + Ax, у + Ду) —f (х, у).Разделив приращение функции на длину отрезка смещения ММЬ Laполучим отношениеПредел этого отношения при стремлении точки М к точке Мх, еслиA2 = f(x + Ax, у + Ду) —f (х, у).Разделив приращение функции на длину отрезка смещения ММЬ Laполучим отношениеПредел этого отношения при стремлении точки М к точке Мх, еслион существует и конечен, уон существует и конечен, уМ(х,у)М(х,у)и называется производной функции г = /(х, у) в точке М по направлению вектора п.Обозначается производная по направлению п следующим образом: ^-^“- или ^. Такими называется производной функции г = /(х, у) в точке М по направлению вектора п.Обозначается производная по направлению п следующим образом: ^-^“- или ^. Такимобразом,образом,Так скоростьТак скоростьпо определениюdz ..Lzмм™ WLz как отношение д^- дает среднюю изменения функции г на участке ММЪпо определениюdz ..Lzмм™ WLz как отношение д^- дает среднюю изменения функции г на участке ММЪООххРис. 306.Рис. 306.то его предел при ММх-*0 естественно принять за истинную скорость изменения функции г в точке М в направлении вектора п.то его предел при ММх-*0 естественно принять за истинную скорость изменения функции г в точке М в направлении вектора п.Обозначая через I и j единичные векторы в направлении осей ОХ и OY, видим, что если в данной точке существуют частные производ- dz dz.dz dz.ные и ^, то, полагая n=i, получим ^ = ^, а полагая n—j, dz dz получим ^=^.Предположим теперь, что функция z = f(x, у) дифференцируема в точке М (х, у). Обозначая ММХ через р, имеем:Дх = рсоза, Ду = рсо8р,Дг = 7(х4-Дх, у4-Ду)— f (х, у) = /;(х, у) Дх + ^(х, у) Ду + ар,Обозначая через I и j единичные векторы в направлении осей ОХ и OY, видим, что если в данной точке существуют частные производ- dz dz.dz dz.ные и ^, то, полагая n=i, получим ^ = ^, а полагая n—j, dz dz получим ^=^.Предположим теперь, что функция z = f(x, у) дифференцируема в точке М (х, у). Обозначая ММХ через р, имеем:Дх = рсоза, Ду = рсо8р,Дг = 7(х4-Дх, у4-Ду)— f (х, у) = /;(х, у) Дх + ^(х, у) Ду + ар,т. е.т. е.Дг = fx (х, у) р cos а + !'„ (х, у) р cos р + ар,Дг = fx (х, у) р cos а + !'„ (х, у) р cos р + ар,(2)(2)
A2 = f(x + Ax, у + Ду) —f (х, у).
Разделив приращение функции на длину отрезка смещения ММЬ La
получим отношение
Предел этого отношения при стремлении точки М к точке Мх, если
A2 = f(x + Ax, у + Ду) —f (х, у).
Разделив приращение функции на длину отрезка смещения ММЬ La
получим отношение
Предел этого отношения при стремлении точки М к точке Мх, если
он существует и конечен, у
он существует и конечен, у
М(х,у)
М(х,у)
и называется производной функции г = /(х, у) в точке М по направлению вектора п.
Обозначается производная по направлению п следующим образом: ^-^“- или ^. Таким
и называется производной функции г = /(х, у) в точке М по направлению вектора п.
Обозначается производная по направлению п следующим образом: ^-^“- или ^. Таким
образом,
образом,
Так скорость
Так скорость
по определению
dz ..Lz
мм™ W
Lz как отношение д^- дает среднюю изменения функции г на участке ММЪ
по определению
dz ..Lz
мм™ W
Lz как отношение д^- дает среднюю изменения функции г на участке ММЪ
О
О
х
х
Рис. 306.
Рис. 306.
то его предел при ММх-*0 естественно принять за истинную скорость изменения функции г в точке М в направлении вектора п.
то его предел при ММх-*0 естественно принять за истинную скорость изменения функции г в точке М в направлении вектора п.
Обозначая через I и j единичные векторы в направлении осей ОХ и OY, видим, что если в данной точке существуют частные производ- dz dz.dz dz.
ные и ^, то, полагая n=i, получим ^ = ^, а полагая n—j, dz dz получим ^=^.
Предположим теперь, что функция z = f(x, у) дифференцируема в точке М (х, у). Обозначая ММХ через р, имеем:
Дх = рсоза, Ду = рсо8р,
Дг = 7(х4-Дх, у4-Ду)— f (х, у) = /;(х, у) Дх + ^(х, у) Ду + ар,
Обозначая через I и j единичные векторы в направлении осей ОХ и OY, видим, что если в данной точке существуют частные производ- dz dz.dz dz.
ные и ^, то, полагая n=i, получим ^ = ^, а полагая n—j, dz dz получим ^=^.
Предположим теперь, что функция z = f(x, у) дифференцируема в точке М (х, у). Обозначая ММХ через р, имеем:
Дх = рсоза, Ду = рсо8р,
Дг = 7(х4-Дх, у4-Ду)— f (х, у) = /;(х, у) Дх + ^(х, у) Ду + ар,
т. е.
т. е.
Дг = fx (х, у) р cos а + !'„ (х, у) р cos р + ар,
Дг = fx (х, у) р cos а + !'„ (х, у) р cos р + ар,
(2)
(2)
где а— бесконечно малая при р->0. Деля на р и переходя к пределу при р-> 0, получаем:
или, короче.или, короче.d^ = fx (х, У) cos a + f; (х, у) cos Р
или, короче.
или, короче.
(3)(3)да dz , да п
(3)
(3)
_ = _ cos а _[_ _ Cos р.
Таким образом, для дифференцируемой функции знание частных производных (т. е. производных по двум взаимно перпендикулярным направлениям) позволяет непосредственно написать выражение производной по любому направлению.
Пример. Вычислить производную от функции z = x2+y2x в точке А (1, 2) по направлению вектора АВ, где В — точка (3, 0).
Решение. Находим единичный вектор п данного направления:
АВ = И— 2J, | АВ | = /8 = 2/Z
АВ _ X1 .П—\"АВ\ /Г У^АВ _ X1 .П—\"АВ\ /Г У^1„1
АВ _ X1 .
П—\"АВ\ /Г У^
АВ _ X1 .
П—\"АВ\ /Г У^
т. е. cos a = —-, cos В =-,
/2/2
dz о . „ dz п затем вычисляем частные производные = ах + У" и ^ = аху.
Так как в точке А g—= 6 , ^ = ^ , ю по формуле (3) получаем
дп у 2]Л2
Из формулы (3) следует, что при замене направления п на противоположное производная по направлению (для дифференцируемой функции) меняет знак.
Вектор с координатами ^, ^ в точке (х, у) называется градиентом функции z=f(x,y) в этой точке и обозначается grad/(х, у) или grad г.
По определению
, dz . , dz . gradz = ^z+
Записывая формулу (3) с помощью скалярного произведения, имеем для любого направления п
^ = (grad г, п) = пр» grad г = | grad г | • cos to,
где <о — угол между направлением п и направлением градиента в данной точке.
Из полученного соотношения следует, что производная функции по направлению будет наибольшей, если это направление совпадает с направлением градиента (<о = 0). При этом ^ = |grad^].
Таким образом, градиент дифференцируемой функции z = f(x, у) в каждой точке по величине и по направлению дает наибольшую скорость изменения функции в этой точке.
Аналогичным образом определяется производная по направлению для функции трех переменных u = f(x, у, г), выводится формула, связывающая производную по направлению n{cos a, cos р, cos?} с частными производными ди ди du ,,„ .
дЗс’ ду’ dz ДиФФеРенЦиРУемои Функции: ди ди „, ди „ о , ди
^ = ^COSa+^cosP + 5-zcosT, вводится понятие градиента функции и исследуются его свойства.
Неявные функции
В гл. III, § 2 мы ввели понятие неявной функции, заданной уравнением
f(x,y) = 0.(1)
Повторим вкратце основные определения.
Рассмотрим множество тех значений переменной х, для которых существуют значения переменной у, совместно с х обращающие уравнение (1) в тождество.
Если каждому значению х из этого множества поставить в соответствие те значения у, для которых F (х, у) = 0, мы получим однозначную или многозначную функцию y = f(x). Эта функция называется неявно заданной уравнением F ^ y) = Q, или, короче, неявной функцией.
Рассмотренное выше множество значений х является областью определения этой функции. Для любого значения х из области определения неявной функции имеем F (х, /(х)) = 0).
Так, например, уравнение х^-^у2— 1=0 определяет неявную функцию в области — 1 sgxsg 1: каждому значению х из этой области соответствуют два значения у (у = -[- V1 —хг и у =—у/1 —х2), таких, что х^ + у4 — 1=0.
Уравнение sin(xy) = 0 неявно задает у как бесконечнозначную функцию х на всей числовой оси. При этом х = 0 соответствуют все значения у, а любому х Ф о — значения
0
, я । я
Однако не всякое уравнение, связывающее переменные х и у, определяет неявную функцию.
Уравнения х2 + у2 + 4 = 0, sin(x-[-i/)— 5 = 0, ^ = 0 и т. д. не удовлетворяются ни одной парой действительных чисел х и у, т. е. не определяют никаких неявных функций.
Возникает задача о нахождении условий, накладываемых на функцию двух переменных F (х, у), при которых уравнение F (х, у) = 0 определяет неявную функцию y = f(x). Достаточные условия существования неявной функции, удобные для применения, содержатся в следующей теореме, которую мы приводим без доказательства.
Теорема 1 (теорема существования неявной функции).
Пусть:
функция F (х, у) определена и непрерывна вместе со своими частными производными F’x (х, у) и F, (х, у) в некоторой окрестности точки (^о, Уо),
F (х, у) в точке (х0, у0) обращается в нуль: F (х0, у0) = 0,
Fy^.y) в точке (х0, у0) отлична от нуля: F’y (х0, у0) ^ 0.
Тогда:
( х0 — 8<^х<^Хо + 8, ]
в некотором прямоугольникеД<^у<^у -|-Д j УРавнение
F (х, у) = 0 определяет у как однозначную функцию от х: y = f(x),
при х = х0 эта функция принимает значение у6: /(х0) = у0,
на интервале х0 — 8<^х<^х0-|-8 функция y — f(x) непрерывна и имеет непрерывную производную.
Геометрически это значит, что кривая, заданная «неявным» уравнением F^x,y') = 0, в прямоугольнике D представляет собой проходящий через точку (х0, у0) график однозначной, непрерывной и непрерывно-дифференцируемой функции у = Цху
Функция y = f(x), неявно заданная уравнением F (х, у) = 0, согласно теореме существования дифференцируема в окрестности (х0— 8, х0-{-8) точки х0. Найдем ее производную.
Так как в этой окрестности F (х, f(x)) = 0, то для любой ее точки х ^F(х, f (х)) = 0 или, что то же самое, ~^^" = 0> гДе У — 1(х)-
Вычисляя полную производную, получаем:
откудаоткудаFx^ У) + ^ИХ, У)У=0,
откуда
откуда
(2)(2)F'x^y) 1)
(2)
(2)
F’^x.y, '
Таким образом, мы можем найти производную неявной функции, не имея непосредственного явного задания самой функции.
Пример. Дано уравнение х4-[-у®-[-ех- = 0. Очевидно, оно удовлетворяется при х0 = 0, Уо = —1.
*) Функция F'y(x, у) в окрестности точки (х0, у0) непрерывна, F’ (х0, у0) ^ 0, следовательно, F^x, у) ^ 0 и в некоторой окрестности точки (х0, у0).
Функции F (х, у) = xi-}-№-|-е^, F'x (х, у) = 4х3 + уеху, Fy(x,y) = = Sy^-Lxe^ непрерывны в окрестности точки (0, — 1), причем F’y(0, —1) = = 4-5^0.
По теореме существования можно утверждать, что в некотором прямоугольнике { — 8 <х < 8, — 1 — Д <у < — I -{- Д} существует однозначная функция y — f(x), определяемая данным уравнением, такая, что f(O) = -L
Эта функция в окрестности —8<^х<^8 непрерывна и имеет непрерывную производную
, 4х3 + УеХу
У5у4 + хехУ"
В частности, в точке (0, — 1)
Пусть теперь дано уравнение
Р^х, у, z) = 0,(3)
связывающее значения трех переменных х, у и г. Рассмотрим множество тех пар чисел (х, у), для которых существуют значения г, обращающие совместно с х, у уравнение (3) в тождество.
Подставив каждой паре чисел (х, у) из этого множества в соответствие те значения г, для которых F (х, у, z) = 0, мы получим однозначную или многозначную функцию двух переменных:
г = Нх, у).
Областью определения этой функции будет множество всех пар чисел (х, у) (всех точек (х, у) плоскости ХОУ), для которых
F(x,y, f(x,y)) = Q.
Функцию z = f(x, у) мы будем называть неявно заданной уравнением (3), или просто неявной функцией1).
Примеры неявно заданных функций:
Уравнение x-{-y + z+l=0 определяет г как неявную функцию х и у во всей плоскости ХОУ. Каждой паре чисел (х, у) соответствует одно значение z: z= — 1 — х — у, такое, что
х+у+2+ 1=0.
Явное выражение данной функции: z = —1—х— у.
Уравнение x3 + y2 + z2—1=0 задает z как неявную функцию х и у в круге х3 -|-у2 ^ 1. Эта функция двузначна. Ее явное выражение z = ± К1 — хг — у2.
Уравнение yz = х In yz задает z как неявную функцию х, у. Можно показать, что эта функция не может быть задана в явной форме с помощью конечного числа элементарных функций.
Уравнение F (х, у, z) = 0 не всегда определяет z как неявную функцию х и у. Так, например, уравнение sin(x-]-y + 3z) = 4 не удовлетворяется ни одной тройкой чисел х, у, z.
Можно, однако, показать, что если в некоторой окрестности точки (х0, Уо, 20) функция F (х, у, z) и ее частные производные Р'Дх, у, z), Fv(x, у, z),F',(x, у, z) непрерывны, причем F (х0, у0, z0) = 0,
F'z (ха, у6, z0) ^ 0, то существует параллелепипед
О{х0 —8<х<х0 + 8, у0 — 8 <у <у0-,-8, z0 — Д <z <z0 + Д}, в котором уравнение (3) определяет г как однозначную непрерывную и
имеющую непрерывные частные производные функцию от х и у: г = = f(x, tfh удовлетворяющую условию f(x0, у^ = гй.
Частные производные такой функции вычисляются по формулам:
dz Fx (х, у, 2) dz F*s (х, у, z)
^хFz (х, у, г) ’ ^У*Рг (х, у, z)
Эти функции можно получить как следствие формулы (2), так как при
dz dz
вычислении частных производных ^- и -^ переменные у и х считаются
соответственно постоянными.
Геометрически высказанное утверждение означает, что поверхность, заданная уравнением F (х, у, z) = 0, в параллелепипеде D может быть задана уравнением z — f(x, у), где f(x, у) однозначная, непрерывная и имеющая непрерывные частные производные функция х и у. Точка (х0, Уо, 20), где z0 = f(x0, у0), лежит на этой поверхности.
Рассматривая уравнение F (х, у, z,..., w) = 0, связывающее значе
ния п переменных, мы можем аналогично тому, как делалось выше, ввести понятие неявной функции от п — 1 переменных, сформулировать условия ее существования, дать формулы для вычисления частных производных.
Общая теория неявных функций изучает и более широкую постановку вопроса, когда дается не одно, а несколько уравнений:
Fi (х, у, z, . . . , w) = 0,
Fa (х, у, zw) = О,
Fm (х, у, 2,..., w) = О, связывающих значения п переменных х, у, гчю, п> т.
При определенных условиях, наложенных на функции Ри Fa,..., Fm, эту систему, уравнений можно рассматривать как неявное задание т функций от п — т независимых переменных.
Остановимся подробнее на простейшем случае — системе из двух уравнений с тремя переменными:
( РЛх, У, z)=0,
I Fa (х, у, 2) = aU
Рассмотрим множество всех значений х, для которых существуют пары чисел у и z, обращающих совместно с х уравнения (4) в тождества.
Поставив каждому значению х из этого множества в соответствие значения X и z, для которых Fx (х, у, 2) = 0 и Fa (х, у, 2) = 0, мы получим две функции у=Л(х) и z=/2(x), которые неявно зсиЗаюпкя системой (4).
Имеет место следующая теорема:
Теорема 2. Если:
в некоторой окрестности точки (х0, у01 2о) функции Fx (х, у, г) и Fa (х, у, г) непрерывны и имеют непрерывные частные производные по х, у и г,
в точке (х0, Уо, z0) эти функции обращаются в нуль:
Ft (Хо, у о, zo)=O и Fs (х0, у о, zo) = O,
в точке (х0, у о, zo) определитель
dFt dFt dy dz dF„ dF2 dy dz ( «d(F F,)\
обозначим его ——А отличен от нуля, Vд (У, z) )3 ’
то:
в некотором параллелепипеде
х0 — 8 < х < Хо + В,
DDУо — Д<У СУо + А,Уо — Д<У СУо + А,
D
D
Уо — Д<У СУо + А,
Уо — Д<У СУо + А,
20 — Д < 2 < 20 + Д
система (4) определяет у и z как однозначные функции от х:У =Л (х), г =/s (х),
при х = х0 эти функции принимают соответственно значения у0 н z0: So =j\ kxob zo =Lfo (x0),
на интервале x0 — 8 < x < x0 -|- 8 эти функции Д (x) и /2 (х) непрерывны и имеют непрерывные производные.'
Выведем формулы для вычисления этих производных.
Если у=/,(х), z=/2(x), то в интервале (х0 — 8, х0 + 8) равенства F, (х, у, z) = 0, Fa (х, у, z) = О выполняются тождественно.
Дифференцируя их по х, получим:
Эта система линейных уравнений относительно неизвестныхЭта система линейных уравнений относительно неизвестныхds и охds и охд (Fv F.)„лителем, отличным от нуля в окрестности рассматриваемойРешая систему по формулам Крамера, получим:д (Fv F.)„лителем, отличным от нуля в окрестности рассматриваемойРешая систему по формулам Крамера, получим:dzдЗЕ с опреде"dzдЗЕ с опреде"точки.точки.
Эта система линейных уравнений относительно неизвестных
Эта система линейных уравнений относительно неизвестных
ds и ох
ds и ох
д (Fv F.)„
лителем, отличным от нуля в окрестности рассматриваемой
Решая систему по формулам Крамера, получим:
д (Fv F.)„
лителем, отличным от нуля в окрестности рассматриваемой
Решая систему по формулам Крамера, получим:
dz
дЗЕ с опреде"
dz
дЗЕ с опреде"
точки.
точки.
dFx dFt ду
dFi dz _n
дх ду дх
dz дх ’
dFa dFa ду
df3 dz _
дх ' ду дх
dz dx
^(F» Fa)д (Flt Fa)
dy d(x, z) dz d (y, x) dx d (Fu F^ ’ dx d(Fu F„) d(y, z)d(y, z)
Важно отметить, что все высказанные выше утверждения имеют локальный характер: речь идет все время лишь о некоторой окрестности рассматриваемой точки.
Примечание. Не следует смешивать вопрос о существовании неявных функций с вопросом о явном задании этих функций. Функция может существовать, но не выражаться в явной форме через элементарные функции. Приведенные выше теоремы дают достаточные условия существования неявных функций.
Рассмотрим теперь некоторые приложения теории неявных функций.
Касательная и нормаль к плоской кривой, заданной уравнением F^x, ,у)=0. Пусть плоская кривая задана уравнением F (х, у) = 0. Возьмем на ней точку (х0, у0).
Если в окрестности этой точки функция F (х, у) удовлетворяет условиям теоремы 1, то вблизи точки (х0, у^ кривая может быть задана уравнением у = ^х\ где /(х)—однозначная, непрерывная, имеющая непрерывную производную, функция. Отсюда, в частности, следует, что в точке (х0, у0) кривая имеет невертикальную касательную.
Ее уравнение у — у0 = ^ | (х— х0) или, так как
(х0. Уо)
dy |_dx I(^о. Уо)dy |_dx I(^о. Уо)Fх (х0, у0)Fy (х„, у„)Fх (х0, у0)Fy (х„, у„)то у—у0то у—у0Fx (х„, у») Fy (х„, у„)Fx (х„, у») Fy (х„, у„)(х —Хо).(х —Хо).
dy |_
dx I
(^о. Уо)
dy |_
dx I
(^о. Уо)
Fх (х0, у0)
Fy (х„, у„)
Fх (х0, у0)
Fy (х„, у„)
то у—у0
то у—у0
Fx (х„, у») Fy (х„, у„)
Fx (х„, у») Fy (х„, у„)
(х —Хо).
(х —Хо).
После элементарных преобразований получим уравнение касательной к кривой F (х, у) = 0 в точке (х0, у0) в виде:
(5)(5)F'x(xe, уд (х — х0) + Fy (х0, у0) (у — у0) = 0.
(5)
(5)
Учитывая условия перпендикулярности прямых, запишем уравнение нормали к кривой F (х, у) = 0 в точке (х0, у0) в виде:
Р>Лх6, Уо)(я —Хо) —/^(Хо, Уо)(у — Уо) = О ИЛИ=
Fx (хе, у,) Fy (х0, у0)
Если функция F (х, у) вместо условия Ру(_хй, у0) ^ 0 удовлетворяет условию F’x (х0, у0) Ф 0, то в некоторой окрестности точки (х0, у0) кривая FVX, У} — 0 может быть задана уравнением х = <р(у), где <? (у) — одно
значная непрерывная функция, имеющая непрерывную производную. Это значит, что в точке (х0, у0) кривая имеет негоризонтальную касательную. Ее уравнение, как легко видеть, снова запишется в виде (5). Точки, в которых ^(х0, у0) = F’y (х0, уо) = О, называются особыми точками кривой. В особой точке кривая может не иметь определенной касательной.
Так, например, кривая (х2-[-у2)2 = ^ ^Х/^ 'Х= 2а2(х2— у2) — лемниската Бернулли, в
ГJaV2 X точке (0, 0) касательной не имеет (рис. 307).
's>~—Частные производные функции F (х,у)=(х® -[- у2)2 — 2а2 (х2 — у2):
F'x (х, у) = 2 (х2 4- у2) 2х — 4а2х и Fy (х,у) = = 2(х2+у2)-2у + 4а2у
Рис. 307.в точке (0, 0) равны нулю, точка (0, 0) —
особая точка кривой.
Пример. Найти уравнение касательной и нормали к эллипсу -4"+:д-=1
Здесь F(x, У) = у + у — 1, F’x(,x, ^ = ^-, Fy(x, У) = у—функции, непрерывные всюду.
Точка ^jX 3,^—не особая, так как A^|Z3,— -^^О. Кривая имеет в этой
точке касательную и нормаль. Их уравнения соответственно запишутся в виде:
-^—(х—V 3)—у ^У + -|-) — 0 (уравнение касательной), . 3
х — V3 ^+2
—у^—=[~ (уравнение нормали).
~— з"
Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной уравнением F(x, у, г) —0. Пусть поверхность задана уравнением
F (х, у, z) = 0.
Возьмем на ней точку (х0, у0, 20).
Если в окрестности этой точки функция F (х, у, z) и ее частные производные F'x, F'y, F'z непрерывны, причем Fz (х0, у0, 20) Ф 0, то вблизи точки (х0, Уо, 20) поверхность можно представить уравнением z — f(x, у), где функция f (х, у) однозначна, непрерывна и имеет непрерывные частные производные. Отсюда, в частности, следует, что в точке (х0, у0) функция z — f(x, у) дифференцируема, т. е. данная поверхность имеет невертикальную касательную плоскость.
Уравнение этой плоскости, как мы знаем, имеет вид:
dz I .. , dz I ..
=|(х —х0)+^ | (у —у0).
(*о. З'о)(*о. >о)
ndz dz
Подставляя в него значения и :
dz, I _ _ Fx (х0, Уо, Zq) dz I _ _ F’y Uo, Уо, z0) dx I ~ F'z (x0, y0, z0) > dy I ~Р'г (x0, y0, z„) ’
Uo. .Vo)(*o. J'o)
после элементарных преобразований получим уравнение касательной плоскости к поверхности F (х, у, z) = 0 в точке (х0, у0, 20) в виде:
р'х(хй, у о, 20)(х — x0)4-F;(x0, ув, г0)(у — Уо)^-^^, Уо, 20)(г —20)=0. (6) 388
Уравнения нормали к той же поверхности в точке (х0, у0, z0) будут иметь вид:
Х — Х» _ У —Ур _ Z — Zo
Г, (х0, у», z0) Fy {xw уе, г„) Fz (х0, у0, z„) "
(7)
Если вместо условия F^x», ya, z0) Ф 0 выполнены условия F'x (х0, ya, го)фО или Р^х», уй, z0) ^ 0, то, рассуждая аналогичным образом, получим уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в том же виде (6) и (7).
Точка (х0, y6, z0), в которой Fx = F'y = F'z = 0, называется особой точкой поверхности. В этой точке поверхность может не иметь касательной плоскости.
Рассмотрим пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности х2+у2— z2 = 0 а точке N (0, 1, 1).
Здесь F(x, у, z) = x-+y2—z2, F'x (х, у, z) = = 2х, Fy (х,у, г) = 2у, Р'г (х,у, z) =— 2z — функции, непрерывные всюду, F’^ 0, 1, 1) =— 2^0, следовательно, в точке (0, 1, 1) можно провести касательную плоскость и нормаль к поверхности. Подсчитав Fx (0, 1, 1) = 0, Fy (0, 1, 1) = 2, Fz (0, 1, 1) = —2, получаем уравнения искомой касательной плоскости
2 (у — 1) — 2 (z — 1) = 0, т. е. у — z = 0, и нормали
х — 0 у — 1 2 — 1
О
2
—2 *
В точке О (0, 0, 0) Fx = Fy = Fz = 0, т. е. О — особая точка поверхности. В этой точке касательной плоскости и нормали к данной поверхности не существует (рис. 308).
3. Касательная прямая и нормальная плоскость
к пространственной кривой, заданной уравнениями Ft (х, у, z^ =0, F^x» у, з) = 0. При определенных
условиях уравнения касательной к пространственной кривой, заданной уравнениями в параметрической форме х = х (<), у =у ((), 2 = 2 (f), в точке M0(x0, Уо. z0) имеют вид:
х — х0=у—Уй=2 —20
dxdydz
dt~dtdt
(см. гл» IV, § 24).
Пусть теперь кривая задана как линия пересечения поверхностей Ft (х, у, z) = = 0 и Fa(x, у, z) = 0. Возьмем на этой кривой точку (х0, у0, z0). Если в окрестности этой точки выполнены условия теоремы 2, то вблизи точки (х0, у0, z0) кривая может быть задана уравнениями у =/, (х), z=/2(x), где Л (х) и /2 W—однозначные, непрерывные, имеющие непрерывные производные функции. Их производные определяются по формулам:
d(Fv Р»)д (Fu Fs)
dy д(х, z) dz д (у, х)dx д (Fu F„) ’ dx <ЦРи Fa) 'd (y, z)d (y, z)
Считая x параметром, запишем уравнения касательной к данной кривой в точке ^xoi Ум го):
х — Хо^ у —у0 _ z — z0dxdydz
dxdxdx
Подставляя значения производных, вычисленных в точке (х0, у0, z0), получим ( F, (х, у, z) = 0, уравнения касательной к кривойв точке (х0, у0, z0) в виде:
I F3 (х, у, г) = 0
Х~Х0 _ У—У„ 2—20о (,FU Fa) д (Г„ Fa) д (Fu Fs) •д (У» 2) д (z, х) д (х, у)
Уравнение нормальной плоскости к той же кривой в точке (х0, у0, z0) будет иметь вид:
д (7, F.),. . д (7, 7) .. . д (7, 7), х .
Здесь все коэффициенты вычислены в точке (х0, у0, z0).
Примечание. Точки, в которых= ^^Г1’ ^ = О, на-
д (у, z) d(z, у) д (х, у)
зываются особыми точками кривой. В этих точках кривая может не иметь определенной касательной.
§ Г2. Частные производные высших порядков
Если функция z = ^x, у) определена в некоторой области D, то ее частные производные f'x(x, у) и ^(х, у), в свою очередь, будут функциями двух переменных х и у, определенными в той же области D или ее части. Будем называть их частными производными первого порядка.
Частные производные по х и по у от функций 7(х, у) и /+х, у) в точке (х, у), если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции z — f(x, у) в этой точке и обозначаются следующим образом:
_ d3f (х, у),д2г
ЬДх,у)дх2
у)дхду.Худхду,
<52/(х, у) _ , _ д2г Тух{х,у)dydxZySдудх.
По определению
ГАх.
9W, У) _ д ( д/(х, у) \ дхдуду \ дх )1 А"
Частные производные второго порядка зависят от координат точки, в которой они вычисляются, т. е., в свою очередь, являются функциями двух переменных, определенными в области D или в ее части (если не во всех точках области D существуют эти частные производные).
Так, например, для функции /(х, у") = х4 + Зх^у* в любой точке (х, у) плоскости имеем:
fx(x, у) = 4х3 + 6хуа, f’y (х, у) = 6х2у,
ГхАх, у)=12ха + 6уа, f^x, у^=\2ху, f^x, у) = \2ху,Ых, у^ = 6хч.
В частности, f^(l, 2)= 12-1+6-4 = 36, /+(—1, 3) = 12-(—1)-3 = —36 и т. д.
Частные производные третьего, четвертого и пр. порядков и соответствующая символика вводятся аналогично.
Частная производная любого порядка, взятая по различным переменным, как, например, dsz daz dszd3z
дхду ’ дудх ’ дхдудх ’ дудхдх и т. д., называется смешанной.
Очевидно, что для функции двух переменных можно, вообще говоря, определить две частные производные первого порядка, четыре частных производных второго порядка, восемь — третьего и вообще 2т частных производных порядка т.
Для функции f (х, у)=х4 + 3х2у2 (см. начатый выше пример) имеем: ^з(х, у) = 24х, /^(х, y)=I2y, %„(х, у)=12у, fxy2 (х, у) — 12х, }ухДх, У) == 12у, fyxy^X, у) — 12х,
f^x(x, у) = 12х, №. у) = 0 И Т. Д.
Сравнивая между собой значения смешанных производных функции Цх, у) = х4-^-Зх-уг в любой точке (х, у), видим, что
fxy^X, y)=fyx(X, у),
f^y(X, у^^Дх, y^—fy^X, y\ fx>(X, y)=fyXy(X, y)=fytx(X, y), т. e. смешанные частные производные данной функции, отличающиеся лишь последовательностью произведенных дифференцирований, совпадают друг с другом. Это подмеченное на конкретном примере свойство имеет место для широкого класса функций, что подтверждается следующей теоремой.
Теорема. Если в некоторой окрестности точки (х0, у0) функция z = f(x, у) имеет смешанные частные производные fxy(x, у) и fyX(x, у) и эти производные непрерывны в самой точке (х0,у0), то они в этой точке равны:
fxy(xo, у^ = /уХ (х0, Уо).
Для доказательства рассмотрим вспомогательное выражение1):
A=f (х04~Ах, у0-[-Ду) — f^xe-^-^x, у0) — f (х0, Уо 4~ ДУ) 4“ / (Хо, Уо)а)-
Обозначив <р (х) = f (х, у0 4~ ДУ) — / (х, Уо), видим, что
А = 14(хо4-Дх, уо4- Ду) — /(х04-Дх, Уо)] — [f(x0, Уо 4- ДУ) — / (^о, Уо)] == <Р (Хо 4- М — <Р (Хо).
Применяем к этой разности теорему Лагранжа:
А = <?' (х0 4- 01дх) Дх, т. е.
А = [fx(Хо4~61Дх, Уо4~дУ)~fH-x^Mx, Уо)]Дх, где 0<6t<L
Справа в квадратных скобках стоит приращение функции fx (х0 + 01Дх, у) по у при изменении у от у0 до у0 4~ ДУ- Применяя еще раз теорему Лагранжа, получаем:
A =/xv(x04-9iAx, у0 4-0зДу) дхДу, где 0<^61<^1, 0<9а<Ч.
Аналогичным образом, меняя ролями переменные хну, находим: А=Л4(хо4-03Дх, у0 4-94Ду) ДхДу, где 0<63<1, 0<94<1, откуда следует, что
fху (хо 4~®1^Х, Уо 4~92ДУ) = fyx (Хо 4“ 0зАх, y0-L94Ay).
При Дх->0, Ду—>-0, в силу непрерывности смешанных производных в точке (х0, уо), получаем:
/4 У (Хо, Уо) = fyx (х0, уо).
Из доказанной теоремы вытекают два следствия:
I. Если смешанные производные второго порядка от функции z = = Цх, у) непрерывны в некоторой области, то они совпадают в этой области.
*) Предполагается, что точка (х0 + Дх, у„ -|- Ду) лежит в данной окрестности точки (х0, у0).
2) Выражение А можно рассматривать как частное приращение по х (по у) от частного приращения по у (по х) от функции z=/(x, у) в точке (х0) у0), когда переменным х и у даются приращения Дх и Ду.
Например, Дуг =/ (х„, у„ + Ду) —/ (х0, у0),
^х ^yZ^ = [/ (х0 + Дх, у„ + Ду) — / (х„ 4- Дх, у0)] —
— [/ (Хо, у О A-^—f (Хо, Уо)1 = А.
Очевидно, что
^х (V) = Ах <Ахг)-
Если функция г = Цх, у) в некоторой области имеет все частные производные до n-го порядка включительно и эти производные непрерывны, то смешанные производные порядка т, т^п, отличающиеся лишь последовательностью дифференцирований, совпадают между собой.
Действительно, если имеются две любые смешанные производные порядка т, т^п, отличающиеся друг от друга только последовательностью дифференцирований, то от одной из них к другой можно перейти рядом перестановок двух соседних дифференцирований. А каждая такая перестановка оставляет, по доказанному выше, производную неизменной.
Например, если ц^5, то
fxxyxy (X, у) = /хухху (X, у).
В самом деле, fxxy = (fx)xy == (fх)ух == fxyxi т. е. fxxyz=fxyx«
Дифференцируя обе части этого равенства сначала по х, потом по у, получаем:
fxxyxy (х, у) = fхухху (.X, у).
Таким образом, значительно сокращается число различных между собой частных производных порядка т, т^п. Если последовательность дифференцирований для функции f(x, у) безразлична, то любую частную производную порядка т можно получить, выполнив сначала все необходимые дифференцирования по х, а затем все положенные дифференцирования по у, т. е. любая частная производная порядка т такой функции может быть записана в виде:
dmz
дхк дут~к ’
где к — одно из чисел 0, 1, 2, ..., т.
Отсюда следует, что число различных частных производных порядка т у этой функции равно /п+ L а не 2т, как было указано раньше.
Примечание. Не следует думать, что смешанные производные любой функции не зависят от последовательности дифференцирований. Примеры показывают, что в случае, если смешанные производные не являются непрерывными, результат дифференцирования существенно зависит от последовательности дифференцирований.
Определения и обозначения частных производных высших порядков для функций трех и более переменных даются аналогичным образом. Остается в силе и теорема о независимости смешанных производных от последовательности дифференцирований при условии их непрерывности.
Например, если u=3^yiz, то в любой точке (х, у, z)
^=3xVz, | = 2^z, ^ = xV,
д2и c 2 д2и д2и с 2 д2и д2и 0 2 2
^— = 6ху2,= oxjyz, ч—5- == бХу И Т. Д.
дх2 у дхду дудх 3 ’ oxoz dzox 3
Дифференциалы высших порядков
Пусть z = f(x, у) — дифференцируемая в области D функция двух независимых переменных х и у. В любой точке (х, у) этой области, давая х и у приращения kx=dx и ky = dy, мы можем вычислить полный дифференциал:
dz = f'Ax, у) dx -ф- f'y (х, y^dy.
Будем называть его дифференциалом первого порядка. Он зависит от значений х, у, dx и dy, т. е. является функцией четырех переменных. 392
Закрепляя dx и dy, получаем функцию двух переменных х и у, определенную в области D.
Дифференциал от этой функции в любой точке (х, у) области D, если он существует, называется дифференциалом второго порядка от функции z = f(x, у) в точке (х, у). Обозначается d-z или d?f (х, у). Таким образом, (Pz = d (dz).
Аналогично определяются дифференциалы третьего, четвертого, ... , и-го порядков. При этом
dnz = d(dn-tz).
Если функция z = f (х, у) в области D имеет непрерывные частные производные до n-го порядка включительно, то и все дифференциалы, до n-го порядка включительно, в каждой точке области D существуют. Вычисляя их по известным правилам, получим:
dz = fx(x, у) dx + fy (х, у) dy,
d-z — dyx(x, y)dx-Hy(x, y)dy] = dfx(x, y) • dx Д-df'y (x, y)-dy =
= ГхДх, У) (dx)1-\-2^Xy(x, y) dx dy Д-fyi (x, y)(dy)\
diz = d(d-z) = d[f'Y(x, у^йх^-\-2ГхДх, у) dx dy ДДуЦх, y)(dyY] —= fx's (к, У) (dx)1 + 3/X (x, y) (dx)- dy 4-
Н-З^Хх, y)dx(dy)1Y-f^(x, y^dyY и т. д.
Назовем символической п-й степенью ^"1^dx Д-^ dy'j f (х, у) выражение, получающееся в результате возведения двучлена, стоящего в скобках, в обычную п-ю степень с последующей заменой степеней ^ и "^« умноженных на /(х, у), частными производными соответствующих порядков от функции /(х, у).
Тогда
(1)(1)dz = ^ ^Д-^^Нх, у),^^{-L^+Ty^f^’ ^*^z = (^ dx+^ ^ f Д- ^ и д-
(1)
(1)
Можно показать, что dnz = \^.dx-\--^dy^ f(x, у).
Определения и форма записи (1) дифференциалов высших порядков остаются в силе для функции любого числа независимых переменных.
Примечание. Если z = f(x, у)— дифференцируемая функция промежуточных переменных х и у, являющихся, в свою очередь, дифференцируемыми функциями и и V, то, определяя (Pz = d(dz), cPz-=d(d?z) и т. д., мы уже не получим указанных выше формул (1) для вычисления дифференциалов.
Так, например,
d1z = d\fx(x, y^dx-Yfy^x, у) dy] = df'x(x, y)dx^-
+ fx (X, у) d (dx) + dfy (x, y) dy -}- fy (x, y) d (dy) =
= f^ (x, y) (dx)1 + 2fxy (X, y) dx dy +
-НуДх, y)(dyY-Yfx(x, y)d?x-Yfy(x, y)cpy.
Здесь Дх ^ dx, ^y ^ dy, dx и dy не являются постоянными (постоянны du = ^u и dv = ^u).
Таким образом, указанная выше форма записи второго, третьего и т. д. дифференциалов инвариантной не является.
Формула Тейлора для функции двух переменных
Пусть функция z=f^x, у) имеет в окрестности точки (х0, у0) непрерывные частные производные до (zz-|-l)-ro порядка включительно. Дадим хй иу0 приращения ^x и Ду, йе выводящие за пределы данной окрестности, и рассмотрим вспомогательную функцию
F W =f(xa + t^x, у0 + t^Y
При постоянных хт у0, Дх и Ду это сложная функция переменной t, определенная в окрестности точки £ = 0*), имеющая в этой окрестности непрерывные производные до порядка п + 1 включительно. Применяя к ней формулу Тейлора (см. гл. IV, § 15), получим:
F(0 = /.’(0)4-F’(0)f4-^-^ + ... + ^^" +0)
где 0 < 6 < 1.
Так как F(t) = f(x0 + ^ йх, у0 Ц-t Ду), то
F' (0 = fx <х0 А-t^x, У» +1 by) ^x 4- fy (х0 4-1 йх, у0 4-t йу^йу =
= (^ ^Х "^ly ^]^х» + ^х, SoA-tbyY
F" ^ =fx% (х0 4-1 йх, у0 4- t йу) ^ху 4-
4- 2/^ (х0 4- t Ьх, у0 4- t Ду) Дх Ду 4-/^ (х0 4- ^ Дх, у0 4- ^ Ду) (Ду)2 =
= ^ Ьх + ^ ^ f (Хо 4- t йх, у„4-<Ду),
рт ^ = ^_ дх 4- ^- ду j / (х0 4- < Дх, у0 4-t Ду),
pnW ^ = (^ Дх + Ту ^Y^^6 +1 ^х’ у° 4"1 ^
Отсюда находим:
Р(0)=/(хо, у0),
F (0) = (^ ДХ + ^ ^У ) f {Хй'У^'
F" (0) = (^ ^х + ^ ^у ) ^(Х<” у^>
РП'(0) = Й ДХ+ Нх»' у^’
Л<п+1>(0<)=^дх4-^ду] /(х04-е<дх,у04-е<ду), о<е<1.
Найденные значения производных подставим в формулу (1), положив в ней предварительно <=1.
Учитывая, что F (1) =/(х0 4- Дх, у0 4- Ду), получим:
/ (х0 4- Дх, у0 4- Ду) =/ (х0, у0) 4- ^ Дх 4- ^ Ду^ / (х0, у0) 4
+ 2Т (^ дх+^ д^‘/^о, у«)+ - ++^(^дх+^ д^Г/(х°’ь)+
+ (^+1)г(^Дх + 5 ^) /(-^о + 6Дх,уо4-6Ду),0<6<1.
Эта формула называется формулой Тейлора для функции двух переменных.
При п = 1 она имеет вид:
/(х0 4- дх, у0 4- ду) =/(х0, у0) 4-/; (х0, у0) дх 4-4 (х0, у0) Ду 4
+ ^ Vf^ (х0 4- е Дх, у0 4- 0 Ду) (Дх)2 4-
4~ Уху (-^о + 6 Дх, у0 + 6 Ду) Дх Ду 4-
Н-/>(х04-едх, у„4-е Ду)(ду)4, о<6<1.(2)
’) Радиус этой окрестности больше единицы.
Формула Тейлора удобно записывается в дифференциальной форме:
Д/=/(х0 + ^х, у0 + Ду) —/(х0, у0) == df^x„ у0) + 1^/(х0, у0) + ... +1 d^^x0, у0) +
+ (^ ЦП)" dn*Vf ^ + 6 д^. Ь + 6 ^\ где 0 < 6 < 1.
Аналогичный вид имеет формула Тейлора для функций большего числа переменных.
Раздел 3
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 15. Экстремумы функций нескольких переменных
Пусть 2 = f (х, у)— функция двух переменных, определенная в некоторой области, (х0, у0)— точка этой области.
Точка (х0, у0) называется точкой максимума функции /(х, у), если всюду в некоторой окрестности этой точки
Нх, у)^!^, у^ (рис. 309).
Аналогично точка (х0, у0) называется точкой минимума функции /(х, у), если всюду в некоторой окрестности этой точки
Цх, у)^}^, у J (рис. 310).
Если существует окрестность точки (х0, у0), в которой / (х, у) </(х0, у0) (/(х, у)>/(х0, у0)), то точку (х0, у0) называют точкой строгого максимума (стро
гого минимума) функции /(х, у). В связи с этим определенные выше точки максимума и минимума называют иногда точками нестрогого максимума и минимума.
В дальнейшем, говоря о точках максимума и минимума, мы будем иметь в виду данные выше определения.
Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстремума.
Значения функции в точках максимума и минимума называются соответственно максимумами и минимумами, или, короче, экстремумами, этой функции.
Понятия экстремумов носят локальный характер: значение функции в точке (х0, у0) сравнивается со значениями функции в достаточно близких точках.
В данной области функция может совсем не иметь экстремумов, а может иметь несколько максимумов, несколько минимумов и даже бес
численное множество и тех и других.
При этом некоторые минимумы функции могут оказаться больше некоторых из ее максимумов (рис. 311). Не следует смешивать максимумы
некоторой окрестности х0 — 8 < х < х0 -|- 8некоторой окрестности х0 — 8 < х < х0 -|- 8и минимумы функции с ее наибольшими и наименьшими значениями.
некоторой окрестности х0 — 8 < х < х0 -|- 8
некоторой окрестности х0 — 8 < х < х0 -|- 8
Покажем, что если в точке экстремума (х0, у0) функции f (х, у) существуют частные производные этой функции: /;(х0, у0) и /;,(х0, у0), то они равны нулю.
Пусть, например, (х0, у0)— точка максимума. Тогда по определению существует окрестность этой точки, для всех точек (х, у) которой
Ж У^Нх», у»),
В частности, /(х, у0)^ f (я0, Уо) для всех х из точки х0. Это значит, что
функция одной переменной Цх, у^, дифференцируемая в точке х0, имеет в ней максимум и, следовательно, в этой точке выполняется необходимое
Тх^Хй, Уо) = О.Тх^Хй, Уо) = О.условие экстремума функции одной переменной:
Тх^Хй, Уо) = О.
Тх^Хй, Уо) = О.
Аналогично, рассматривая функцию f(x0, у), находим: fy^, у») = 0.
Таким образом, мы получаем необходимые условия экстремума функции двух переменных.
Теорема. Если функция f(x, у) в точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю: ^(Xq, Уо) = О, fy (х0, уо) = О, либо хотя бы одна из этих частных производных не существует.
Рассмотрим примеры.
Функция /(х, у) = х2+у2 имеет минимум в точке (0,0), так как /(0,0) = 0, / (Л, у) > 0, если х3 + у2 > 0. При этом f (х, у) = 2х, f^ (х, у) = 2у, т. е. fx (0,0) = = /^(0,0) = 0 (рис. 312).
Функция /(х,у) =—х2 имеет максимум в любой точке оси OY (рис. 313). В любой точке (0, у) оси ОУ
/х(°>У) = 0> /;(о,у)=а
Функция f(x, у) = 1—У"х2+у2 имеет максимум в точке (0,0), так как / (0, 0) = 1, / (х, у) < 1, если х2 + у2 > 0.
Частные производные функции f(x, у):
Гх (х, у)Гх (х, у)XXXXXX/у (Л, у)/у (Л, у)— УУ х2 +з>2— УУ х2 +з>2
Гх (х, у)
Гх (х, у)
X
XX
X
XX
/у (Л, у)
/у (Л, у)
— У
У х2 +з>2
— У
У х2 +з>2
в точке (0, 0) не существуют (рис. 314).
Пусть функция f(x, у^ задана в некоторой области. Будем называть ее критическими точками в этой области точки, в которых обе частные производные первого порядка одновременно равны нулю или хотя бы одна из этих производных не существует. Как было показано выше, экстремумы функции в данной области являются ее критическими точками. Однако не всякая критическая точка функции будет ее точкой экстремума.
Например, функция /(х, у) = ху имеет точку (0, 0) критической точкой, так как Л(0, 0)=/;(0, 0) = 0.
При этом f(0, 0) == 0, а в любой сколь угодно малой окрестности точки (0, 0) имеются точки, где f(x, у) > 0, и точки, где f(x, у)<0, т. е. в точке (0, 0) нет ни максимума, ни минимума функции. Поверхность, изображающая функцию / (х, у) = ху, есть гиперболический параболоид (рис. 315).
Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области надо всякую критическую точку функции в этой области подвергнуть дополнительному исследованию.
Наиболее употребительные достаточные условия экстремума для функции двух переменных формулируются следующим образом.
Теорема. Пусть в окрестности критической точки (х0, у0) функция /(х, у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение
D (х, у) = Г,-. 1х, у) • f;2 (х, у) - [f^ (х, у)р.
Тогда:
если О(х0, у0)>0, то в точке (х0, у0) функция /(х, у) имеет экстремум: максимум, если /^(Хд, у0Х 0, и минимум, если f£3 (х0, Уо)^>О;
если О(х0, у0)<0, то в точке (х0, у0) функция /(х, у) экстремума не имеет.
В случае, когда О(х0, уо) = О, экстремум в точке (х0, у0) может быть, может и не быть.
Доказательство. Рассмотрим приращение Дз, получаемое функцией z = /(x, у) при переходе от критической точки Мо (х0, у0) к произвольной точке М (х, у):
Дз= /(х, у)—/(х0, у0).
Чтобы выяснить, имеет ли функция f(x, у) в точке Мо экстремум, достаточно исследовать знак Дз. Если существует окрестность точки Мо, для всех точек М которой
Дз^О (Дз^О), то Мо — точка минимума (максимума) функции f(x, у). Если же в любой сколь угодно малой окрестности точки Мо найдутся точки, в которых Дз как больше, так и меньше нуля, то в точке Мо экстремума нет.
Для исследования знака Дз разложим функцию f(x, у) в окрестности точки Мо по формуле Тейлора, взяв и = 1 [(2), § 14]. Так как в точке Мо
Г, (-^0, Д’») =fy №, З’о) = О,
ТО
Д2 = у [/^ (-^о + 6 Д-к, д’»+6 Ду) (Д-^)5+2^ (-^о +0 Д-^, л + е Дз») Дх ^y 4-+^s (х„ + 6 дх, у>0 + 6 ьу) (д^)2],где 0<6< 1, Дх = х —х0, Дз, =3 —З'о-
Обозначим через А, В, С соответственно числа/£»(х0, З’о),/£j, (х0, _у0) и/’2 (х0,уд). Тогда
/ха С^о 4~ 0 Дх, З’о 4- 0 ^у) = А 4- а,
Гху (х0 4-6 Дх, з^ 4-6 Д30 = S 4- к f> (х0 4"0 Дх, З’о +0 дз0 = С 4- у, причем, в силу непрерывности частных производных второго порядка в точке Мо, при стремлении Дх и Ду к нулю а, р и у также стремятся к нулю.
Вводя новые обозначения, получим:
Дз = 1 {[А (Дх)2 4- 2В Дх Ьу 4- С (Дз-)2] 4- [а (Дх)24-2? Дх Ду, 4- у (Ду)2]}
или, полагая Дх = рсо$ер, Ду, == р sin у (здесь у— угол, составляемый вектором «сдвига» МЛ с осью ОХ, а р = / (Дх)2 4- (Ду)2 — величина сдвига):
р2
Дз =[(A cos2 у 4~ 2В cos у sin у 4~ С sin2 у) 4-
(acos2 у 4~ 2р cos у sin у 4- у sin2 у)].(1)
Пользуясь этим представлением приращения Дз, покажем, что характер критической точки Мо определяется знаком «дискриминанта» «квадратичного» трехчлена
Acos2 у 4-2В cos у sin у 4-С sin2у.(2)
Рассмотрим возможные случаи.
АС — В2>0.
Так как в этом случае А у£0, то трехчлен (2) можно записать в виде:
^- [(Acos ср 4-В sin ср)2 4- (АС— В2) sin2 ср].(3)
Выражение, стоящее в квадратных скобках, при всех значениях ср, 0^у^2л> положительно, как сумма двух неотрицательных слагаемых (A cos у-|-В sin у)2 и (АС—В2) sin2 ср, обращающихся в нуль при различных ср1). Следовательно, трехчлен (2) при всех значениях ср имеет тот же знак, чтр и число А. Обозначим через m наименьшее значение абсолютной величины этого трехчлена на отрезке [0, 2л]. В силу непрерывности трехчлена (2) как функции ср на отрезке [0, 2л] это значение т принимается при некотором ср, а значит, положительно:
A cos2 у + 2В cos у sin у -|- С sin2 у | ^ m > О, 0 ^ ср ^ 2л.
С другой стороны, так как а, р и у — бесконечно малые при р—0 функции р и ср, то из неравенства
a cos2 ф 4“ 2р cos ср sin ср 4- у sin2 у | ^ j а | -|- 2 | р I 4- I у |
следует, что трехчлен а cos2 ср 4-2р cos ср sin ср 4-у sin2 ср для достаточно малых р будет сколь угодно малым по абсолютной величине.
В частности, для достаточно малых р (а значит, | Дх j и | Ду, |) при всех значениях ср, 0^ у^2л,
| a cos2 ср 4- 2р cos ср sin ср 4- у sin2 ср | < т.
Возвращаясь к представлению (1), заключаем, что существует окрестность точки Мд, для всех точек М которой приращение Дз имеет один и тот же знак — знак трехчлена (2), совпадающий со знаком числа А.
Отсюда следует, что в точке Мо функция /(х, у) имеет экстремум: максимум, если А < О, и минимум, если А>0.
АС— 52<0.
В этом случае число А может быть как равно нулю, так и отлично от нуля. Если А = 0, то трехчлен (2) запишется в виде:
25 cos ф sin ф + С sin3 ср = sin ср [25 cos ср -|- С sin ср].(4)
Так как при этом 5^0, то можно найти Столь малый положительный угол ср,, что
| С | sin ср, < 2 | 5 | cos у,.
При у = ср, знак суммы 25 cos ср-]-С sin ср совпадает со знаком первого члена. При ф = ср3 = 2я — ф, знак первого члена и всей суммы остается прежним. А так как sin ф для углов ф, и ф2 имеет взаимно противоположные знаки, то и трехчлен (4) для Ф = Ф, и ф = ф3 имеет взаимно противоположные знаки. Поскольку трехчлен
a cos2 ф + 2^ cos ф sin ф -|- 7 sin2 ф
при достаточно малых р сколь угодно мал по абсолютной величине как для ф = ф„ так и для ф = ф2, то знак Да определится для этих ф знаком трехчлена (2). Следовательно, в любой достаточно малой окрестности точки Мо найдутся точки М (например, точки, лежащие на лучах ф = ф, и ф = ф2), для которых приращение Дз имеет взаимно противоположные знаки. В такой точке Мо экстремума нет.
Пусть теперь А^О. Запишем трехчлен (2) снова в виде (3):
-^- [(Acos ф -|- 5 sin ф)2 -|- (АС — в2) sin2 ф].
При ф = 0 этот трехчлен равен числу А. Для угла ф = ф3, определенного из условия:
A cos ф8 + 5 sin ф8 = 0,
трехчлен (2) равен:
1(АС-53) sin2 фз,
т. е. имеет знак, противоположный знаку А.
Учитывая, что трехчлен acos2 ф-|-2^cos ф sin ф-|-7 sin8 ф при ф = 0 и ф = ф3 для достаточно малых р сколь угодно мал по абсолютной величине, снова заключаем, что знаки Да будут взаимно противоположными вдоль лучей ф = 0иф = ф3в достаточной близости к точке Мо.
Следовательно, и в этом случае функция/(х, у) в точке Л40 не имеет экстремума. 3. АС —53 = 0.
Если АС — 52 = 0, то функция f(x, у) в точке Мо может как иметь, так и не иметь экстремума. Это подтверждается, например, рассмотрением функций f(x, у) = = х4+у4 и f(x,^ = x4—у4 в окрестности точки (0, 0).
Исследование прирашения Дз, основанное на использовании формулы Тейлора при ц=1, в этом случае, как правило, не приводит к окончательному результату, в связи с чем для исследования на экстремум функции f(x, у) приходится привлекать частные производные более высоких порядков. Ввиду сложности этого вопроса в данном курсе он не рассматривается.
Рассмотрим пример на нахождение экстремумов функции.
Функция f^x, у) — ху(\—х— у) определена всюду. Ее частные производные: fx(x, у) = у(\— 2х— у), fv(x, у) = х(1—х — 2у) существуют всюду.
Для определения критических точек функции решаем систему уравнений:
Г у (1 — 2х — у) — 0,
( х (1 — х — 2у) = 0.
Получаем точки 7И1 (0, 0), М3(0, 1), Л4$(1, 0), Л1Цу, у)*
Частные производные второго порядка
fMx« у) — — 2у, fxy(x, у) — 1—2х—2у, f^U, у) = — 2х
непрерывны всюду,
D (х, у) = 4ху — (1 — 2х — 2у)а.
Неравенства 0(0, 0X0, 0(0, 1X0, 0(1, 0X0 показывают, что в точках Мг, Мг, М3 экстремумов нет.
Вычисляя О^, -|-^ = -Ь^>0, заключаем, что в точке М4 функция f(x, у) имеет экстремум.
Так как f^y, -^<0, то М4— точка максимума,
Стах Ц3 ,9\33)—27’
Определения максимума и минимума и необходимые условия экстремума легко переносятся на случай функций трех и более переменных.
Пусть функция п переменных и=Дх, у, z, ..., w) определена в области, содержащей точку (х0, у0, z0, ..., w0). Точка (х0, у0, z0w0) называется точкой максимума (минимума) этой функции, если всюду в некоторой окрестности точки С^о. Л. г», — » ™о)
Д> у, 2, ... , ТУ) ^/(х0, у0, 2й, ... , 1У,ДДх, у, 2ш) 2=/(Х0, у0, z0то0)).
Если в точке максимума или минимума (короче, в точке экстремума) функция Дх, у, г, ... , ту) имеет частные производные первого порядка, то все эти частные производные равны нулю.
Таким образом, если функция Дх, у, г, ... , ту) в некоторой точке имеет экстремум, то либо в этой точке все ее частные производные первого порядка равны нулю, либо хотя бы одна из них не существует.
Достаточные условия экстремума для функций п переменных (и > 3) ввиду их сложности в данном курсе не рассматриваются.
§ 16. Наибольшее и наименьшее значения функции
Если функция z = f(x, у) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она принимает в этой области свое наиболь
шее и наименьшее значения.
Пусть (хь уО—точка, в которой принимается наибольшее значение, a (ха, у2) — точка, в которой принимается наименьшее значение функции / (х, у) в области D ‘). Это значит, что для всех уточек (х, у) области D
f(x, y^f^, у0 и 7(х, у)^/(х2, у^.
Рис. 316.Рис. 316.Точки (хъ уО и (х2, у2) могут лежать как на границе области D, так и внутри нее.
Рис. 316.
Рис. 316.
Если точка (хь у,) [также (х2, у2)] лежит внутри области D, то это точка максимума (минимума) функции Цх, у), т. е. критическая точка функции / (х, у) — внутри области D.
Поэтому для нахождения наибольшего и х наименьшего значений функции f(x, у) в области D нужно найти все ее критические точки внутри области D, вычислить значения функции в этих точках, затем найти наибольшее и
наименьшее значения функции на границе области Z? и из всех полученных таким образом значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Дх, у) = = ху(1 — х—у) в замкнутой области, ограниченной линиями х = 0, у-|-х = 2, у = 0 (рис. 316).
Исследуя эту функцию на экстремум, мы нашли четыре критические точки Mj (0, 0), М« (0, 1), М3(1, 0), М4 ^, ^, из которых лишь одна точка УиДу, Д^ лежит внутри данной области. Было установлено, что в этой точке функция имеет максимум, причем
2тах 27 •
Исследуем значения функции на границе области. Пусть В—точка (2,0), а С — точка (0,2).
На участке ОВ имеем у = 0, т. е. z = 0.
На участке СО имеем х = 0, т. е. z=0.
На участке ВС имеем у + х = 2, т. е. z = x(x— 2), причем 0^х^2.
Вычисляя ^ = 2х—2, получаем ^ = 0 при х=1.
Так как ^3 = 2>0, то х=1—точка минимума для функции z = x(x— 2), zmin
Учитывая, что zB = 0, zc — 0, заключаем: на участке ВС наименьшее значение функции z = xy (1 —х — у) равно —1, а наибольшее равно нулю.
Сравнивая найденные значения, приходим к выводу, что наибольшее значение функции z = ху (1 — х—у) в данной области достигается внутри области, в точке / 1 1 \1 „
3*. -д-); оно равно 2у. Наименьшее значение достигается на границе области, в точке (1, 1); оно равно — 1.
Условный экстремум
Выше ставилась задача Об отыскании максимумов и минимумов функций нескольких переменных. При этом на изменение независимых переменных не накладывалось никаких ограничений.
На практике часто приходится иметь дело с исследованием на экстремум функций нескольких переменных при наличии определенных условий на эти переменные.
Например, рассматриваются такие задачи: на поверхности, заданной уравнением F(x, у, z) = 0, найти точки, в которых данная функция /(х, у, z) принимает наибольшие и наименьшие значения по сравнению с ее значениями в близлежащих точках той же поверхности, или на кривой, заданной уравнениями Fг (х, у, z) = 0, Р4 (^, У, z) = 0, найти точки, в которых данная функция / (х, у, г) принимает наибольшие или наименьшие значения по сравнению с ее значениями в близлежащих точках той же кривой.
В обеих этих задачах экстремальные значения функции /(х, у, z) ищутся среди точек, координаты которых х, у и z удовлетворяют одному (Л(х, у, z) = 0) или двум (^(х, у, z) = 0, F2 (х, у, z) = 0) условиям, в связи с чем такие экстремумы и называются условными.
В общем виде задача иа условный экстремум может быть поставлена следующим образом.
Пусть в некоторой области заданы функция п переменных u=f(x, у, z, ... , то) и m уравнений (men), связывающих эти переменные:
Ft (^, У. z> • • • , то) = 0, F^ (х, у, z, ... , то) = 0,..., Fm (х, у, z, ... , то) = 0.
Эти уравнения называются уравнениями связи. Будем говорить, что в точке (хв, у0, z0, ..., то0), координаты которой удовлетворяют уравнениям связи, функция ц=/(х, у, z, ..., то) имеет условный максимум (минимум), если неравенства
/(х, у, z, ... , то)^/(х0, у0, z0, ... , то0) (/(х, у, г, ... , то)^/(х0, у0, zw ... , то0))
выполняются для всех точек (х,у, z,...,w) некоторой окрестности точки (х0,у0, z0,..., то0), координаты которых также удовлетворяют уравнениям связи.
Решить задачу на условный экстремум для функции u = f(x, у, г, ... , то) при наличии указанных уравнений связи—значит найти все ее условные максимумы и минимумы в данной области.
Рассмотрим подробнее задачу на экстремум для функции u=f(x, у, z) трех переменных, подчиненных двум уравнениям связи
Fi U, У, г) = 0, Fa (х, у, г) = 0.(1)
Здесь п=3, т = 2. Все рассуждения, проводимые нами в дальнейшем, будут справедливы для любых пи m (п > m).
Выведем необходимые условия для условного экстремума.
Пусть в точке M0(x0, у0, z0), координаты которой удовлетворяют уравнениям (1), функция u=f(x, у, z) имеет условный экстремум.
Предположим, что функции /(х, у, z), F, (х, у, z) и Fa (х, у, z) в окрестности точки (х0, у0, z0) имеют непрерывные частные производные первого порядка по всем аргументам и хотя бы один из определителей второго порядка, составленный из элементов следующей таблицы: dF, dFt dFt дх ду dz дР^ др» dPa дх ду dz
например,
дЦ^, Fs)д(у, z)
dF,dydF^dy
dF,dz
dF.dz
в точке Mo отличен от нуля.
Тогда в некоторой окрестности точки Мо на уравнения связи можно смотреть как на неявное задание однозначных функций у=^(х), z = ^(x) (непрерывных, имеющих непрерывные производные в окрестности х0 и таких, что <р(х0)=у0, ф(х0) = а0) и условный экстремум функции /(х, у, z) в точке Мо будет совпадать с безусловным экстремумом сложной функции u = f(x, ^(х), Ф (х)) в точке х0.
Отсюда следует, что если, разрешив систему (1) относительно переменных у и z, мы можем фактически найти явные выражения для функций у = ср (х) и z = ^i(x), то для отыскания точки Mo (х0, у0, z0) условного экстремума функции u = f(x, у, г) нам достаточно решить задачу на безусловный экстремум для функции tt=f(x, <р(х), ^(х)).
Пример. Найти экстремумы функции и = х2 + у2 + z3, если х, у и z удовлетворяют уравнениям x-J-^—3z-|-7 = 0, х—у 4 г— 3 = 0.
Разрешая уравнения связи относительно у и z и подставляя найденные значения у = 2х—1, z = x-|-2 под знак функции и, получаем функцию одной переменной х: и = х2 + (2х— I)3 + (х + 2)3.
Экстремумы этой функции совпадай! с условными экстремумами данной функции при наличии указанных уравнений связи.
Иссдедуем функцию ц = х3 + (2х—1 )3 -ф- (х + 2)3 на экстремум: и'=2х-{- 4-4(2х — 1) -|- 2 (х + 2), и' = 0 при хо = О; так как «'<0 при х<0 в и'>0 при х>0, заключаем, что при хо = О функция имеет минимум, причем пт;п=5.
Определив у0 = 2 • 0 — 1=—1, zo = O -|-2 = 2, мы можем сказать, что функция и = х2 4-у2-\-z2 имеет единственный условный экстремум в точке Л4о(О, —1, 2): Hmln
Геометрически полученный результат значит, что среди всех точек М(х, у, z^ прямой, заданной уравнениями х+У— 3z + 7 = 0, х—у + z— 3 = 0, ближайшей к началу координат (и — квадрат расстояния точки от начала координат) будет точка Мо (0, — 1, 2).
Возвращаясь к поставленной выше общей задаче на экстремум функции U=f(x, у, г) при наличии уравнений связи (1), укажем способ нахождения точки М0) не требующий фактического выражения переменных у и z через х из уравнений связи. При этом мы будем пользоваться только фактом существования неявных функций у = ср (х) и z = Ф (х).
Итак, пусть в точке Мо (х0, у0, z^ функция u=/(x, у, z) имеет условный экстремум или, что то же, в точке х0 дифференцируемая сложная функция и = /(х, <р(х), Ф (х)) имеет безусловный экстремум.
В такой точке х0 (см. необходимое условие экстремума для функции одной переменной) ^ = 0, откуда следует, что координаты точки /И0(х0, у0, z0) удовлетворяют соотношению
(2)(2)df .dfd^.Qf dz_Qdx ' dy dx' dz dx
(2)
(2)
Далее, так как в окрестности точки х0 имеют место тождества: Ft (х, ? (х), ф (х)) = 0, Fs (х, <р (х), ф (х)) = 0,
то, дифференцируя их по х, мы получим соотношения, которым также удовлетворяют координаты точки Мо:
dx ’ dy dx ' dz dx ’'
^2,^. dy_ ,dF^d£_ n...
dx dy dx' dz dx'
Из уравнений (3) и (4) мы можем выразить производные и 3- через х^ ил ил
у И Z *).
/пхdy dz
Соотношение (2), в котором ^ и — заменены их выражениями через х, у и z, их их
dzИ т— dxdzИ т— dxи два уравнения связи (1) представляют собой систему из трех уравнений с тремя
dz
И т— dx
dz
И т— dx
неизвестными х, у, z, которым, как мы показали, удовлетворяют координаты точки Мо условного экстремума.
Будем называть критическими точками для данной задачи точки (х, у, z), координаты которых удовлетворяют указанной системе из трех уравнений.
Таким образом мы получим необходимые условия для условного экстремума: если функции /, Fu F« удовлетворяют указанным выше условиям, то всякая точка Мо условного экстремума есть критическая точка для данной задачи.
Будет ли каждая критическая точка точкой условного экстремума и, если будет, то каков характер этого экстремума, — выясняется дополнительно, исходя из конкретного смысла задачи или каких-либо еще соображений.
Достаточных условий для условного экстремума ввиду их сложности мы не рассматриваем.
На практике для определения координат точек условного экстремума обычно применяется метод неопределенных множителей Лагранжа, к изложению которого мы переходим.
Умножим соотношения (3) и (4) на произвольные пока числа (неопределенные множители) X, и Х2 и сложим с соотношениями (2). При этом получим равенство
^1 дх^1 дх4dz4dzdFx , . dF. \ dz1 dz 2-di)dxdFx , . dF. \ dz1 dz 2-di)dxдрг \ dy2 ду ) dxдрг \ dy2 ду ) dx= 0,= 0,
^1 дх
^1 дх
4dz
4dz
dFx , . dF. \ dz
1 dz 2-di)dx
dFx , . dF. \ dz
1 dz 2-di)dx
дрг \ dy
2 ду ) dx
дрг \ dy
2 ду ) dx
= 0,
= 0,
справедливое в точке Л40(х0, у0, г^ условного экстремума.
Выберем теперь числа X, и Х3 так, чтобы вторая и третья скобки в точке Мо были равны нулю. (Это можнб сделать, и притом единственным образом, так как д (Рц F2)...
определитель g^ в точке /Ио отличен от нуля.)
Тогда первая скобка также будет равна нулю, т. е. в точке Мо будут выполнены соотношения:
2 —5— ", дуdz2 —5— ", дуdzdf,x ^idx ' 1 dx
2 —5— ", ду
dz
2 —5— ", ду
dz
ду+ 1 ду д/ , г dFt
Добавляя к ним уравнения связи F1=0, F2 = 0, получаем систему из пяти уравнений с пятью неизвестными х, у, z, Х„ Х2, которой при определенных значениях Х„ Х2 удовлетворяют координаты точки Mo (х0, у0, z0) условного экстремума.
В полученные по методу Лагранжа уравнения переменные х, у и z входят симметричным образом, что облегчает их запоминание.
Рассмотрим теперь вспомогательную функцию пяти переменных:
Ф (х, у, z, X,, Х2) =/ (х, у, z) + Ххрх (х, у, z) + X„Fa (х, у, г),
где X! и Х2— неопределенные числовые множители.
Полученная выше система из пяти уравнений может быть записана в виде:
^ = 0, ^ = 0, ^=0, ^- = 0, ^=0.
дх дудгоХ, ’ оХ2
Так как это — необходимые условия безусловного экстремума функции Ф (x,y,z, Х„ Х2), заключаем, что всякая точка Мо (х^Уо, z0) условного экстремума функции f^x, у, z) даёт при специально подобранных X, и X, критическую точку безусловного экстремума функции Ф (х, у, z, Хп Х2).
Аналогичным образом, решая задачу на экстремум функции п переменных
и =f (х, у, z, ... , и?)
при наличии т (т < п) уравнений связи
^ = 0, F2=0, .... Fm = 0,(5)
при определенных условиях на функции /, Fu Fa,..., Fm получаем необходимые условия для условного экстремума: если в точке (х0, у0, z0,..., w0) функция и =f(x,y, z, ..., w) имеет условный экстремум, то точка (х0,у0, z0,..., w0, Хп..., Хт) при некоторых значениях Хп Х2, ..., Хт будет критической точкой безусловного экстремума функции
Ф = f + XxFx + X2F2 + ... + XmF m.
Отсюда следует практическое правило для решения задачи на условный экстремум функции u=f(x,y, z, ..., и?) при наличии уравнений связи (5).
Составляем вспомогательную функцию:
Ф =f -V^iF i + X2Fa + ... + ^mFm-
Записываем необходимые условия экстремума такой функции: дФдФдФ5Ф5Ф5Фq
дхdydzднаdXtд\т'
Решая полученную систему уравнений, находим критические точки экстремума для функции Ф.
Если (х0) Л» 2о> •••■> wo> ^i, •••, ^т)— найденная критическая точка, то в точке (х0, у0, z0, ..., ту0) функция и=/(х, у, z, ..., ти), может быть, имеет условный экстремум. Это надо исследовать дополнительно.
Пример. Найти прямоугольный параллелепипед наибольшего объема, если его полная поверхность имеет площадь 2a.
Пусть длины сторон параллелепипеда равны х, у и г. Его объем V = xyz, а площадь поверхности S = 2(xy -|- xz +yz). Следовательно, требуется найти максимум функции V=xyz при условии ху + xz +уг— а = 0.
Составляем вспомогательную функцию:
Ф (х, у, г, X) = xyz -|- X (ху -\- хг-\-уг — а) и приравниваем к нулю все ее частные производные первого порядка:
yz -I- X (у -|- г) = О,(Г)
хг + X (х -|- z) = 0,(2')
^ + Х (х+у)=0,(3')
ху + xz +yz — a = 0.(4')
Учитывая, что х, у и г по смыслу задачи положительны, из соотношений (Г) и (2') получаем:
yz _ _ xz
У + г — x + z’ т. e.
yz (x4-z)=xz (y + z), z(x — y)=0, x=y;
Аналогично из соотношений (2') и (3') вытекает, 4Toy = z.
Подставляя в соотношение (4')
х=у = z, находим:
Зх2 = а, х = "|/"у =у = z ).
точка 1х0— у —,у0= у —, г» = у -g-J является критической точкой экстремума функции V. Так как поставленная задача имеет определенное решение, а критическая точка только одна, то в этой критической точке будет экстремум.
у у, его объему у, его объемСледовательно, искомый параллелепипед — куб со стороной
у у, его объем
у у, его объем
экстремума функции V определять не требуется.экстремума функции V определять не требуется.
экстремума функции V определять не требуется.
экстремума функции V определять не требуется.
для нахождения критических точек
ГЛАВА VIII
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯ
Раздел I
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.Основные определения
При решении многих геометрических и физических задач приходится отыскивать неизвестную функцию по данному соотношению между этой неизвестной функцией, ее производными и независимыми переменными. Такое соотношение называется дифференциальным уравнением, а отыскание функции, удовлетворяющей уравнению, называется решением, или интегрированием, данного уравнения.
Рассмотрим несколько задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.
Задача 1. Найти кривую, обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.
Пусть y = f(x)— уравнение искомой кривой, М (х, у) — произвольная точка кривой (рис. 317).
Угловой коэффициент касательной в этой точке равен у'. По условию АМ = МВ, т. е. ОР = РА = х, а значит, в любой точке М кривой tg /. МАР = — у' = -;", следовательно, у' = — —.
Мы получили соотношение, связывающее неизвестную функцию у, независимую переменную х и производную от у по х, т. е. получили дифференциальное уравнение относительно у. Этому уравнению удовлетворяет функция у = ~, где С—любое число1).
Действительно, если У = ^> то у = — -^-и — ^ =—^*
Таким образом, указанным выше свойством обладает бесчисленное множество кривых («семейство» кривых), различающихся значениями постоянной С. Это — семейство равносторонних гипербол, асимптотами которых являются оси координат.
Для того чтобы из этого семейства кривых выделить одну определенную кривую, достаточно задать точку (х0, г/0), через которую проходит эта кривая, и определить соответствующее значение постоянной С.
Например, через точку (2, 4) будет проходить та кривая семейства, для которой 4 = -^-, т. е. С=8. Уравнение этой кривой у = ^.
Задача 2. (задача о радиоактивном распаде). Экспериментальным путем установлено, что скорость радиоактивного распада в каждый момент времени пропорциональна наличному количеству радиоактивного вещества. При этом предполагается, что количество радиоактивного вещества в породе настолько мало, что не вызывает цепной реакции. Требуется найти закон распада вещества, т. е. найти зависимость количества радиоактивного вещества в породе от времени I.
dm dtdm dtРешение. Пусть т — количество радиоактивного вещества в породе в момент времени L Скорость изменения количества вещества равна ^-. Обозначив через k положительный коэффициент пропорциональности, запишем основной закон радиоактивного распада в виде:
dm dt
dm dt
km
(знак минус берется потому, что скорость распада отрицательна). Полученное соотношение представляет собой дифференциальное уравнение, связывающее искомую функцию т с ее производной-^-.
Действительно, -^- т. е.Действительно, -^- т. е.kCe kt, —km =— kCe~kt,kCe kt, —km =— kCe~kt,dmИГdmИГkm.km.Легко убедиться в том, что любая функция т = Ce~kt, где С — число, удовлетворяет этому уравнению.
Действительно, -^- т. е.
Действительно, -^- т. е.
kCe kt, —km =— kCe~kt,
kCe kt, —km =— kCe~kt,
dmИГ
dmИГ
km.
km.
Так как С — произвольное число, уравнение имеет бесчисленное множество решений, различающихся значениями постоянной С. Для того чтобы задача стала конкретной, достаточно указать количество радиоактивного вещества в породе в некоторый («начальный») момент времени 4. Пусть при t = t6 в породе имелось тй граммов вещества. Тогда из соотношения m6 = C6e"kt» определится соответствующая решению постоянная Сй = тйек1» и мы получим закон распада в виде:
т = тйе-к^'^.
С помощью этого соотношения можно определить период полураспада вещества Т, т. е. время, в течение которого количество вещества уменьшится вдвое.
Для этого положим т = -^-, a t—t0 = T.
2!L!L = me-kT е~кТ = —
„1п20,693
Постоянная к (коэффициент радиоактивности вещества) предполагается известной.
Если коэффициент радиоактивности к не известен, но известен период полу.1п2
распада вещества, то к = —7" и закон распада запишется в виде:
Задача 3. Материальная точка массы т движется прямолинейно, притягиваемая к неподвижному центру О силой, пропорциональной расстоянию от точки до этого центра. Найти закон движения точки.? г?
Примем точку О за начало, а прямую,у
по которой движется точка, за ось OYРис. 318.
(рис. 318).
Притягивающая сила Р =— ку, где у — координата точки т, а к — коэффициент пропорциональности (fe>0). Так как по второму закону Ньютона сила равна произведению массы т на ускорение-^-, мы получаем дифференциальное уравнение движения точки:
= — ку. at-
Это уравнение связывает искомую функцию у, ее вторую производ- ную-^- и независимую переменную — время t.
Легко проверить, что функция
y = Cxcos ]/"^-|-C3sin j/"^t
при любых значениях чисел Сх и С2 удовлетворяет уравнению. Постоянные Ct и С2, от которых зависит решение уравнения, определятся, если будут заданы конкретные «начальные» условия движения.
Пусть, например, известно, что в момент времени t = 0 материальная точка находилась на расстоянии Од от точки О и имела скорость и0.
Тогда, подставляя в соотношения
у = С1со8ш^4-С.251пш^, o>=j/'A>у' = — С^ sin ш/ -[- C2w cos u>t
вместо t значение / = 0, получим a0 = Ci, о0 = <вС2, т. е.
Г п Г уо
Таким образом, искомый закон движения имеет вид: у = <2g COS tot 4~ ^- sin tot.
Полагая Од = R sin a, ^- = R cos а, мы можем записать закон движения в виде:
у = R sin (а —}— ш/)
/1 Г 2 IJ\
(здесь R— I/ а,tga = —откуда заключаем, что рассматриваемое движение есть периодическое колебательное движение, R — ампли-
,ГТ,
туда, a—начальная фаза, ш= I/ — — частота колебания.
Дадим теперь точные определения основных понятий.
Обыкновенным дифференциальным уравнением п-го порядка называется соотношение вида:
F Vе» У» У’. ... УкпЪ=О»
где F — функция, определенная в некоторой области, х — независимая переменная, у — искомая функция переменной х, а д', у", ..., y^—ее производные.
При этом функция F может явно не зависеть от х, у, t/, .... у^1^, но обязательно должна зависеть от ум ).
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей входящей в него производной.
Так, например, уравнения
у' + ху —х2 = 0, ху'а + е* = 0, уу'—1 = 0, у'6-[-е?2 = 0
будут дифференциальными уравнениями первого порядка, уравнения ху" — l/a — У = 0, у"— У'=1 будут дифференциальными уравнениями второго порядка, уравнение у2 — у'"-|-хв=0 имеет третий порядок и т. д.
Решением дифференциального уравнения называется всякая функция у = <р (х), подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество.
Например, дифференциальное уравнение у"4-у = 0 имеет решением функцию y = cosx, так как если y = cosx, то у- —— sinx, у" =—cosx и —cosx-[-cosx = 0.
Решение дифференциального уравнения, заданное неявно соотношением Ф (х, у) = 0, называют интегралом этого уравнения.
График решения дифференциального уравнения называется его интегральной кривой.
Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной, и их геометрический смысл.
Основные понятия
Как уже было сказано, дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение между независимым переменным, неизвестной функцией и ее производной.
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка:
F^x, у, у') — 0.(1)
Если соотношение (1) разрешить относительно у', то получится уравнение вида:
y' = f(x, у).(2)
Оно называется дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.
Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, всегда можно записать в так называемой дифференциальной форме:
Р^х, y^dx-VQ^x, y)dy — 0.(3)
Действительно, если y' — f(x, у), To-^ = f(x, у), а значит, /(х, y)dx— dy = 0.
Наоборот, всякое уравнение вида (3), если Q (х, у) ^ 0, можно разрешить относительно производной:
^У _Р (х, у)
dxQ (х, у) ’
т. е. записать в виде: у' = Цх, у).
Выясним геометрический смысл уравнения (2).
Пусть х и у — декартовы прямоугольные координаты точек плоскости, а у = <р(х)— решение данного уравнения. График этого решения — интегральная кривая уравнения (2) — есть непрерывная кривая, в каждой точке которой имеется касательная. Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в ее точке (х, у) равен г/, т. е. равен ^х, у). Таким образом, уравнение y' = f(x, у) дает связь между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой в этой точке.
В каждой точке (х, у) области D, в которой определена функция f (х, у), мы можем вычислить у’, т. е. указать направление касательной к той интегральной кривой, которая проходит через эту точку*). Построив в каждой точке области черточку («стрелку»), наклоненную к оси ОХ под углом, тангенс которого равен /(х, у), получим так называемое «поле направлений» (рис. 319).
Задать уравнение у' = Цх, у) — значит задать в области D поле направлений ). Решить это уравнение — значит найти кривую, касательная к которой в каждой ее точке совпадала бы с направлением поля в этой точке.
Таких кривых будет не одна, а целое семейство (построение можно начинать с любой точки данной области). Чтобы выделить определенную интегральную кривую, нужно задать точку (х0, у0)> через которую должна проходить кривая. При
правую часть уравнения (2) через каждую точку области D будет проходить одна интегральная кривая.
Пример. Рассмотрим уравнение t/ = x-\-y.
Функция f(x, у^ = х-^-у определена всюду, следовательно, поле направлений для данного уравнения можно построить во всей плоскости. Для того чтобы упорядочить расстановку направлений поля, воспользуемся методом изоклин.
Изоклиной поля направлений называется геометрическое место точек, в которых направление поля одинаково.
Обозначим через а угол наклона к оси ОХ направления поля: tga = z/.
Изоклина, в точках которой а = 0, т. е. y' = tgO = O, имеет уравнение x-j- у = 0.
Изоклина, в точках которой а = ^, т. е. у' = tg ^- = ^-, имеет , КЗ
уравнение х-\-у = -у и т. д.
Чтобы по данному полю направлений начертить интегральную кривую, надо взять на плоскости XOY любую точку (х0, у0) за начальную точку и вести через нее линию так, чтобы она в каждой своей точке шла в направлении поля (рис. 320).
Примечание. Практически метод изоклин может быть использован для приближенного построения семейства интегральных кривых уравнения (2). При этом, чем больше построено изоклин, т. е. чем «гуще»
рассматриваемойиз рассмотрениярассматриваемойиз рассмотрения*) Если такая кривая существует.
рассматриваемойиз рассмотрения
рассматриваемойиз рассмотрения
указаны на чертеже направления поля, тем точнее можно провести интегральные кривые уравнения.
Метод изоклин позволяет представить взаимное расположение интегральных кривых уравнения.
Рассмотренные выше примеры, а также геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка показывают, что дифференциальное уравнение первого порядка вида у' = [(х, у) имеет, вообще говоря, не одно, а бесчисленное множество решений. Для того чтобы из этого бесчисленного множества решений выделить определенное решение, обычно приходится задавать значение искомой функции у0 при некотором значении аргумента х0. Пару чисел х0, у» называют начальными условиями, или начальными данными, решения. Геометрически зада-
Рис. 320.
ние начальных условий равносильно заданию точки (х0, у^ — «начальной точки» на плоскости XOY. Будем говорить, что решение у = <р(х) уравнения y’ = f(x, у) удовлетворяет начальным условиям х0, уй, если ? М = Уо. т. е. если график этого решения проходит через точку (Хо, Уо) )•
Отыскание решения дифференциального уравнения y’=f(x, у), удовлетворяющего заданным начальным условиям х0, ув, является одной из важнейших задач теории дифференциальных уравнений. Эта задача называется задачей Коши.
Естественно возникает вопрос, всегда ли существует решение задачи Коши и, если существует, будет ли оно единственным.
Ответы на эти вопросы дает теорема Коши — теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Приведем ее формулировку.
Теорема Коши. Если функция f (х, у) непрерывна в некоторой области D плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную по у, fy (х, у), то, какова бы ни была точка (х0, у0) области D, существует, и притом единственное, решение у = ®(х) уравнения у' = [(х, у), определенное в некотором интервале, содержащем точку х0, принимающее при х = х0 значение ®(х0) = у0.
Геометрически это утверждение означает, что через каждую внутреннюю точку (х0, уо) области D проходит, и притом только одна, интегральная кривая уравнения (рис. 321).
Из теоремы Коши следует, что в области D уравнение y' = f(x, у) имеет бесчисленное множество решений. Действительно, считая х0 постоянным и изменяя значение ув в некоторых пределах, получим для каждого значения у6 свое решение: у = ф(х, у0) (рис. 322),
Введем теперь следующие основные определения.
Функция у = ф(х, С), зависящая от одной произвольной постоянной С, называется общим решением уравнения y' = f(x, у) в некоторой области а, если она является решением этого уравнения для любого значения
постоянной С (или для любого значения С из некоторого множества) и если любое решение уравнения, лежащее в области а, может быть записано в виде у = ф(х, С) при конкретном значении С.
Равенство Ф(х, у, С) = 0, неявно задающее общее решение, называется общим интегралом уравнения (1) в области о.
Решения, получающиеся из общего при определенных значениях постоянной С, называются частными решениями данного уравнения. Аналогично определяются частные интегралы.
Геометрически общее решение (общий интеграл) уравнения (1) в области а представляет собой семейство интегральных кривых уравнения, обладающее тем свойством, что каждая интегральная кривая, лежащая в области а, принадлежит этому семейству кривых ).
Если при этом функция f(x, у), стоящая в правой части уравнения (2), в области а удовлетворяет условиям теоремы Коши, то через каждую точку (х0, у0) области а проходит одна определенная кривая семейства у = ф(х, С) (Ф (х, у, С) = 0). Соответствующее ей значение постоянной С можно определить, подставив координаты начальной точки (х0, уо) в уравнение у = ф (х, С) (Ф (х, у, С) = 0). Если у0 = ? (х0, Со) (Ф(х0, уо, Со) = О), то интегральная кривая, проходящая через точку (х0, Уо). будет иметь уравнение у = ф(х, Со) (Ф(х, у, Со) = О). Эта кривая будет изображать частное решение уравнения (1), соответствующее значению Со. Таким образом, для выделения из общего решения (интеграла) частного решения (интеграла) уравнения (2) достаточно задать его начальные условия.
Пример. Уравнение у' = 2]Лу разрешено относительно производной. Функции /(х, у) = 2Ку и f (х, у) = —т= определены и непрерывны для у>0. Следовательно, условия теоремы Коши для уравнения у = 2'Ку выполнены в верхней полу-
плоскости у > 0. Через каждую ее Точку проходит одно определенное решение уравнения.,
Проверим, что в этой области функция у = (х— С)2, где х— С>0, является общим решением уравнения.
Действительно, для любого значения С
у = 2^ — 0), 2}<у = 2(х — С), т. е. у = 2Уу.
Задавая любые начальные условия х0, у0, у0>0, можно подобрать значение Со:
Уо = (-^оQ', ^o = Ai У^Уо
и выделить из совокупности решений у = (х—С)2 решение у = (х—х„ + ^Уо)2, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
V ^=.х— С (рис. уравнения. ЗадаваяV ^=.х— С (рис. уравнения. ЗадаваяГеометрически общее решение данного уравнения в верхней полуплоскости представляет собой семейство правых «ветвей» парабол 5 = (у— С)2, х— С>0, т. е.
V ^=.х— С (рис. уравнения. Задавая
V ^=.х— С (рис. уравнения. Задавая
начальные условия х0, у0,начальные условия х0, у0,Рис. 323.Рис. 323.323). Каждая из этих «ветвей» изображает частное решение у0 > 0, можно из всего семейства выделить «ветвь» той параболы,
начальные условия х0, у0,
начальные условия х0, у0,
Рис. 323.
Рис. 323.
которая проходит через точку
(-^о. Уо\_
Примечание. Следует заметить, что найденные частные
всех есливсех еслирассматривать уравнениерассматривать уравнениеГГРис. 324.Рис. 324.решения уравнения не исчерпывают его решений. Так, например,
всех если
всех если
рассматривать уравнение
рассматривать уравнение
Г
Г
Рис. 324.
Рис. 324.
у = 2Уу в области у^О (а именно в этой области определена правая часть уравнения), то к найденному выше семейству интегральных кривых у = (х— С)2, х — С>0, добавится решение у = 0 (рис. 324), которое ни при каком значении постоянной С не получается из соотношения у = (х — С)31).
Это значит, что в области у^О функция у = (х—С)2, где С—произвольная постоянная, уже не является общим решением данного уравнения.
Основной задачей теории дифференциальных уравнений является отыскание всех решений данного дифференциального уравнения (в явной или неявной форме) и изучение свойств этих решений. Нахождение решений дифференциальных уравнений называют интегрированием этих уравнений.
§ 3. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка,интегрируемые в квадратурах
Рассмотрим некоторые, наиболее важные типы дифференциальных уравнений первого порядка, интегрирование которых сводится к вычислению одного или нескольких неопределенных интегралов. Действие вычисления неопределенного интеграла, чтобы не было путаницы с термином «интегрирование уравнения», будем называть квадратурой.
*) Интегральные кривые данного уравнения в области у ^2 О можно было бы также получить и путем «склеивания» частей оси ОХ (у = 0) с касающимися оси «ветвями» парабол:
f 0, х < Со,
Уравнения вида у=/(х), где f(x)—функция, определенная и непрерывная на некотором интервале а<^х<^Ь оси ОХ).
Как известно из курса интегрального исчисления, все решения этого простейшего дифференциального уравнения исчерпываются соосношением
(1)(1)У = $ / (*) dx + с.
(1)
(1)
где С—произвольная постоянная).
Геометрически это значит, что все интегральные кривые уравнения y' = f(x) в полосе \а<^х<^Ь, — оо<у<-|-оо} получаются из одной из них, например y = ^f(x)dx, сдвигом, параллельным оси OY. Задавая
в этой полосе любую точку Мй(хй, у0), можно определить постоянную Со так, что соответствующая интегральная кривая
У = ^ f (х) dx -[- Со проходит через эту точку.
Соотношение (1) представляет собой общее решение уравнения y’ = f(x) в данной полосе.
Пример. Правая часть уравнения у = 3х непрерывна в промежутке —со < х С + со.
Общее решение уравнения во всей плоскости XOY имеет вид _у = х3-J-С, где С — произвольная постоянная.
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям х0=1, у0 = 3. Для него 3=1+С0, Со = 2, т. е. у = х’ + 2.
Геометрически это значит, что из семейства кубических парабол у = хг + С, представляющего собой общее решение уравнения, выделена парабола, проходящая через точку (1, 3) — частное решение уравнения (рис. 325).
единственным образомединственным образомУравнения с разделяющимися пере-Рис. 325.
единственным образом
единственным образом
менными. Дифференциальное уравнение
t/=f(x, у) называется уравнением, с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде:
у' = <р(х).ф(у),(2)
т. е. если его правая часть есть произведение двух функций, одна из которых не зависит от у, а другая от х.
Предположим, что функции ® (х) и ф (у) непрерывны на интервалах a<^x<^b, c<y<^d и что
Ш^О.
Умножая обе части уравнения (2) на dx и деля на ф(у), запишем его в виде:
= <р (х) dx.ф(у) т \ /
(3)(3)При этом переменные разделяются: в одной части уравнения оказывается функция от у и дифференциал у, в другой — функция от х и дифференциал х.
(3)
(3)
Пусть Ф(у)=у;^^, Ф U) = ^ ® (х) dx на рассматриваемых интервалах.
Если у— решение уравнения (2), то, как следует из соотношения (3), на интервале а<^х<^Ь
4Ф(у) = 4Ф(х),
а значит, Ф (у) = Ф (х) Ч- С, где С — некоторое число.
Наоборот, если Ф (у) = Ф (х) 4- С, где С — любое число, то ЧФ (у) = = ^Ф(х), т. е. у — решение уравнения (2).
Таким образом, соотношение Ф (у) = Ф (х) 4-С, т. е.
где С— произвольная постоянная, охватывает все решения уравнения (2) в области \а<^х<^Ь, c<^y<^d\. Соотношение (4) представляет собой общий интеграл уравнения (2) в указанной области.
Пример. Уравнение у'= х (у2-]-1) есть уравнение с разделяющимися переменными. Функции ср(х) = х и ф(у)=у24~1 непрерывны всюду, у2 + 10.
Разделяя переменные
и интегрируя, получаем:
arctgy = y4-C(5)
— общий интеграл данного уравнения во всей плоскости XOY.
Разрешая соотношение (5) относительно у, находим общее решение уравнения в виде
, / х2 , -Л л X2тс
V —tg^y + CJ, —-^<.-^-ус<-^.
Задавая любые начальные условия х0, у0, можно из соотношения (5) определить Со:
arctg у0 = ^ 4- Со,Со = arctg у0 — ^
и, следовательно, определить соответствующий частный интеграл данного уравнения: arctgy = у 4- arctgy0 — ^
и частное решение: . /х2 ,.х§\
^ = tg ^4-arctgy0 —
Примечание. Выше предполагалось, что на интервале c<^y<^d функция ^(у) отлична от нуля. Если для у = уь c<^yx<^d, имеем Ф(У1) = 0> то функция — константа у = У1 также является решением уравнения (2), в чем легко убедиться, подставляя у = ух в уравнение. Решение у = ух не входит в соотношение (4), т. е. соотношение (4) в этом случае уже не будет общим интегралом уравнения (2) в рассматриваемой области.
Уравнения с разделяющимися переменными иногда задают в симметричной относительно х и у дифференциальной форме:
М (х) N (у) dx 4- Р (х) Q (у) dy = 0,(6)
где функции М (х), N (у), Р (х), Q (у) непрерывны соответственно в интервалах а с х < 6, с <у < d.
Для нахождения всех решений такого уравнения в области {а с х с 6, с су с d} достаточно разделить обе его части на произведение N(у)•Р (х) и проинтегрировать полученное соотношение:
J Р (х) d + J ^(y)
Если в интервалах а < х < 6, c<y<d функции Р (х) и N (у) отличны от нуля, то соотношение (7) является общим интегралом уравнения.
Если в уравнении (6) у считается искомой функцией, а х—аргументом и ^(y1) = 0, c-<y1<.d., то у=У1 — решение уравнения (6), не входящее в соотношение (7).
Если в уравнении (6) х—искомая функция, а у — аргумент и Р(х1') = 0, а < х, < Ь, то x = Xt — решение уравнения (6), не входящее в соотношение (7).
Однородные уравнения. Функция f(x, у) называется однородной п-го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения t имеет место тождество
Rix, ty) = tW, yY(8)
Например, /(х, у) = х3 + 3х2у— однородная функция третьего измерения относительно х и у, так как
Rix, ty) = {txf + 3 Цх^ ^ty) = t3 (x3 + 3x*y) = fif (x, y).
Аналогично устанавливается, что функции
f(x, у) = -8™-2, <р(х, У) = —У) = ~ + У2 In —-
' V > Xs -\-ху-^-у2 ’ т \’ т к ’ У/ у I у у
являются однородными функциями соответственно первого, нулевого и второго измерений.
Функции х3 — Зх2у-[-у, ех"у4”2, xsiny однородными не являются, так как для них условие (8) не выполняется ни при каких п.
Однородные функции, как следует из определения, обладают следующими свойствами:
Сумма однородных функций одинакового измерения есть однородная функция того же измерения.
Произведение однородных функций есть однородная функция, измерение которой равно сумме измерений сомножителей.
Частное однородных функций есть однородная функция. Ее измерение равно разности измерений делимого и делителя.
Дифференциальное уравнение у' = Цх, у) называется однородным, если его правая часть f(x, у) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.
Однородным будет также всякое уравнение вида:
Р^х, y)dx-\-Q(x, y)dy — 0,
где Р (х, у) и Q(x, у)— однородные функции одинакового измерения. В этом легко убедиться, разрешая уравнение относительно t/ (или х').
Покажем, что интегрирование однородного уравнения
l/=Rx, у)(9)
с помощью специальной подстановки сводится к интегрированию уравнения с разделяющимися переменными.
Действительно, так как f (х, у) — однородная функция нулевого измерения, то для любого t
Rtx, ty^Rx, у).
В частности, полагая /= —, получаем:
/(X, у) = /(1, ^.
Это значит, что правая часть уравнения (9) фактически зависит от одного аргумента — отношения^:
И*. У) = с?(у)«
т. е. уравнение (9) можно записать в виде:
(Ю)
Вводя новую неизвестную функцию и с помощью подстановки у = их, получим вместо (10) уравнение
и'х -{- и = <р (и)
или, что то же, уравнениеили, что то же, уравнение(Н)(Н)
или, что то же, уравнение
или, что то же, уравнение
(Н)
(Н)
Рис. 326.Рис. 326.
Рис. 326.
Рис. 326.
Это — уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции и.
Предположим, что функция ф (и) непрерывна на интервале а <^и<^Ь и ® (и) — и Ф 0.
Разделяя переменные в уравнении (11) и интегрируя, находим общие интегралы этого уравнения в областях \а<^и<^Ь, х^>0} и \a<jt<,b, х<0} в виде:
С du £ dx , г
J <р (и) — и ' х "г ’
где С — произвольная постоянная.
Заменяя в этом соотношении вспомогательную функцию и ее выражением через х и у, находим в квадратурах общие интегралы данного
уравнения в областях |а<^ у
Ь, х^>о| и {а<-^-<^6, х<о}
(рис. 326).
Примечание. Если<p(u)=u на интервале а<^и<^Ь, то
уравнение (9) имеет вид у'= Л, т. е. само является уравнением с разделяющимися переменными.
Если же ® (и) — и ^ 0 на интервале а<(_и<^Ь, но есть значение и = их, а<^их<^Ь, такое, что <р (и^ — Ui = 0, то и = «! — решение уравнения (11), а значит, у = и^х— решение уравнения (10), не входящее в найденную выше совокупность решений.
Пример. Уравнение у' = ^ ^1п ^ 4- 1^—однородное. Функция f(x, у) = = ^ ^1п ^ + определена в областях {х<0, у<0} и {х>0, у>0} ^там-^->0, т. е. In — имеет смысл).
хI
Полагаем ^ = и, у = их. При этом у' = и'х 4- и, и'х + и = и (In и + 1),и'х = и 1п и
— уравнение с разделяющимися переменными относительно и. Решая его в областях {«>0, х>0} и {«>0, х<0}, получаем:
du = dx 1П|1ПИ| = 1П|Х|_|_1П|С| с-^о,и In и X 911>
1пи = Сх, и = еСх.
*) При этом значения х, равные нулю, не рассматриваются.
Подставляя и = -^, находим ^ = еСх, у = хеСх— совокупность решений данного уравнения. Здесь С — любое отличное от нуля число.
При разделении переменных утеряно решение и=1, т. е.
у=х.
Так как его можно получить в виде у = хеСх при С = 0, заключаем, что у = хеСх, где С—любое число, — общее решение данного уравнения в областях {х>0, у>0} и {х<0, у<0}.
Примечание. Некоторые однородные уравнения проще решаются с помощью подстановки х = иу, которая, как легко убедиться, также приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.
Линейные уравнения. Дифференциальное уравнение у' = Цх, у) называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции у и ее производной у’, т. е. если оно может быть записано в виде:
y' + P(x)y = Q(x).(12)
Примеры линейных уравнений:
Уг + х2у = х5, у* -\-x-Vexy = 0, у' = у и т. д.
Если в уравнении (12) правая часть Q(x) не равна тождественно нулю, то это уравнение называется линейным неоднородным уравнением, или линейным уравнением с правой частью. Если же Q(x) = 0, то уравнение (12) называется линейным однородным уравнением, или уравнением без правой части.
Уравнение у' -*- Р (х) у = 0, полученное из уравнения (12) заменой функции Q(x) нулем, называется линейным однородным уравнением, соответствующим данному неоднородному уравнению.
Будем рассматривать линейное уравнение
y' + P(x)y = Q(x)
на интервале а<^х<^Ь непрерывности функций Р (х) и Q(x). Покажем, что такое уравнение интегрируется в квадратурах. Возьмем сначала линейное однородное уравнение
/ + Р(х)у = 0,(13)
соответствующее данному неоднородному.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, находим:
у = — Р (х) dx, In | у | = — у Р (х) dx + In | С |,y = Ce-$pWdx,
где С—произвольная постоянная, отличная от нуля.
При разделении переменных утеряно решение у = 0. Так как его можно получить из соотношения у = Се- ^ р w dx при С=0, заключаем, что соотношение
y — Ce~^p^dx,(14)
где С—произвольная постоянная, есть общее решение уравнения (13) в полосе ^а<^х<^Ь, —оо<^у<-}-оо).
Для отыскания решений линейного неоднородного уравнения (12) применим метод вариации произвольной постоянной. А именно, будем искать решение уравнения (12) в том же виде (14), что и решение соответствующего однородного уравнения. Тогда С придется считать не постоян-
ной, а функцией от х, С=С(х). Эта функция С(х) должна быть такова, чтобы при подстановке
y = C^e”^P^dx и y' = C<xV-^PWdx— C^P^e""^PWdx в уравнение (12), ано обращалось в тождество на интервале а<(_х<^Ь.
Для определения функции С (х) получаем уравнение с разделяющимися переменными:
C^e-$PWdx =Q^.
Интегрируя его, находим:
С (х) = $ Q (х) e$PW dx dx + С, где С — произвольная постоянная.
Таким образом, для любого значения постоянной С функция y = e4^)^($Q(x)efPw^dx + c)(15)
является решением уравнения (12).
Наоборот, так как функция e-Sp^dx отлична от нуля, любое решение уравнения (12) на промежутке а<^х<^Ь можно записать в виде:
а значит, в виде (15) при некотором значении постоянной С.
Следовательно, соотношение (15) является общим решением уравнения (12) в области {а<х<6, —со<^У < + °°}. Заметим, что общее решение линейного неоднородного уравнения (12)
y==e-fpW^($Q(x)JPW^dx + c) оказывается равным сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (Се~$ р(х)dx) и частного решения данного неоднородного уравнения (е~ f р^ dx • $ Q (х) Л Р(х) dx dx^3).
Рассмотренный выше метод вариации произвольной постоянной применяется обычно при отыскании решений линейных неоднородных уравнений.
Пример, у* — 2ху = (х -|- 1) ех$ — линейное неоднородное уравнение. Функции Р (х) =— 2х и Q (х) = (х -|- 1) е*2 непрерывны всюду.
Решаем сначала линейное однородное уравнение у' — 2ху=0, соответствующее данному уравнению:
^—2xdx, 1п|у | = х3 + In | С|, у=Сех\
Ищем общее решение данного уравнения в виде:
У = С (х) ех\
Тогда у'= С" (х) е*2 + С (х) • 2х^2. Подставляя у и у' в уравнение у’ — 2ху = = (х + 1) ех“, после приведения подобных членов, получим:
С (х) е^ = (х4-1)еЛ
-\PWdx = c^-\PWdx , где cw =-\PWdx = c^-\PWdx , где cw =откуда С'(х) = х4-1, С (х) =v '+ С, где С — произвольная постоянная.
-\PWdx = c^-\PWdx , где cw =
-\PWdx = c^-\PWdx , где cw =
*) Действительно, у =
'’ л f Р (х) dx
е 1
У
— J Р (х) dx
Это решение получается из общего при С = 0.
Общее решение данного уравнения во всей плоскости XOY имеет вид:
Уравнения, приводимые к линейным. При интегрировании некоторых дифференциальных уравнений первого порядка можно использовать следующее замечание.
Если функция у = ^(х, С) в некоторой области является общим решением уравнения
У =/(А у),
то выражение v (У) = ^(х, С) является общим интегралом дифференциального уравнения
»’W=/(, »(?))(16)
в той же области.
В справедливости этого замечания легко убедиться с помощью подстановки z = у (у) в уравнение (16).
В частности, если у' =/(х, у)— линейное дифференциальное уравнение:
у' + Р(х)у = (?(х),(12)
а у (у) — любая дифференцируемая функция у, то общий интеграл уравнения
»W + Р (х) о (у) = Q (х)(17)
в некоторой области запишется в виде о(у) = ^>(х, Q, где у = ^(х, С)— общее решение уравнения (12) в той же области.
Таким образом, решение любого уравнения о' (у)у' + Р (х) V (у) = Q (х) с помощью подстановки о (у) = z приводится к решению линейного уравнения.
Так, например, уравнение Бернулли, т. е. уравнение
у'+ Р (х) у = Q (х) уе,(18)
где а — любое действительное, отличное от нуля и от единицы число1), приводится к линейному после предварительного деления обеих частей уравнения на уа и последующей подстановки z =у1-“.
Действительно, если z=y1-“, то z' = (l —а)у~ау'. Подставляя z и z' в уравнение
y--y' + P(x)y*- = = Q(x), полученное из данного делением на у°, имеем:
r±-z' + P(x)z = Q(x),
или, что то же, г' + (1 — “) Р W z = (1 — a) Q (х).
Это — линейное уравнение относительно г. Если Р(х) и Q (х) непрерывны, оно интегрируется в квадратурах. Находя его общее решение и подставляя z=y1-a, получим совокупность решений уравнения Бернулли.
Примечание. Если а > 0, то к найденным решениям нужно добавить решение у = 0, утерянное при делении на у.
Пример. Уравнение БернулДи у'-|-ху =х8у3 (а = 3) после подстановки у-9 = z сводится к линейному уравнению г* — 2xz =—2х8. Решая его, находим z = x2-|-l-|- + Се*2, где С — произвольная постоянная. Совокупность решений данного уравнения: у-9 = X3 + 1 + Се*2 и у = 0.
Уравнения в полных дифференциалах. Рассмотрим уравнение первого порядка, заданное в дифференциальной форме:
М (х, у) dx -[- N (х, y)dy=0.(19)
Если левая часть уравнения (19) представляет собой полный дифференциал некоторой функции и (х, у) двух переменных, т. е. если М (х, у) dx -[- N (х, y^dy — du^x, у), то это уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.
Будем предполагать, что функции М (х, у), N (х, у) и их частные дМ (х.(х.vv
производные —^ "™ и —дхнепрерывны в некоторой односвязнои j
области а.
Ниже (см. гл. IX, §4) будет доказано, что для того чтобы уравнение (19) в области а было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в области а выполнялось условие
ЭМ (х, у)д^ (х, у)дудх
С помощью этого условия легко установить, является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах.
Так, например, уравнение (Зх2 + Юху) dx-[-(5х2—l)dy = 0 будет уравнением в полных дифференциалах во всей плоскости XOY, так как функции М (х, у) = Зх2 4-Юху, N (х, у) = 5хг—1 и их частные произ- дМ (х, у) . n дМ (х, у). пдМ дМ
водные —^-^=10х, —= Юх всюду непрерывны и =
Уравнение xydx— (5ху-[-l)dy = 0 не является уравнением в полных дифференциалах, так как (при выполнении прочих условий) нет области в плоскости XOY, в которой частные производные:
дМ , дМ -и
были бы тождественно равны.
Если уравнение
М (х, у) dx -|- N (х, y)dy = 0(19)
является в области а уравнением в полных дифференциалах, то его можно в этой области записать в виде:
du (х, у) = О, где и (х, у) — некоторая функция.
Пусть у = ?(х) — любое решение уравнения, лежащее в области о. Тогда du(x, <р(х))=)0, т. е. и (х, у) = С, где С—некоторое число.
Наоборот, для любой функции У = <р(х), неявно заданной уравнением и (х, у) = С, где С — число, имеем du (х, у) = 0, т. е. у = <р (х) — решение уравнения (19).
Следовательно, соотношение и (х, у) = С, где С — произвольная постоянная, является общим интегралом уравнения (19) в области а.
Пример. Уравнение [cos (х+у)+ 2]<fx+[cos(x + y)— 5]rfy = 0 является во всей плоскости XOY уравнением в полных дифференциалах.
Так как [cos (х + у) 4- 2] dx -|- [cos (х +у) — 5] dy = d [ sin (х -|- у) + 2х — 5у], то данное уравнение имеет вид:
d [ sm (х +у) + 2х — 5у] = 0.
Общим интегралом этого уравнения в плоскости XOY будет выражение sin (х-)-у) + 2х—5у = С, где С—произвольная постоянная.
Интегрирование уравнений в полных дифференциалах сводится фактически к отысканию функции и (х, у), дифференциалом которой является левая часть уравнения (19). В приведенном примере эта функция усматривалась непосредственно. В общем случае непосредственное нахождение функции и(х, у) представляет некоторые трудности, в связи с чем ниже (гл. IX, §4) будет указан специальный метод интегрирования полного дифференциала.
§ 4. Уравнения первого порядка, не разрешенныеотносительно производной
До сих пор мы ограничивались изучением уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной. Рассмотрим теперь уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной, т. е. уравнения вида:
F(x, у, У') = 0. (1)
Уравнение F (х, у, у') = 0 неявно задает в каждой точке (х, у) некоторой области плоскости ХОУ одно или несколько) действительных значений у'. Если построить в каждой такой точке отрезки с угловыми коэффициентами, равными значениям у' в этой точке, то получится так называемое поле направлений, определяемое уравнением F (х, у, у') = 0.
Проинтегрировать уравнение (1) — значит в явной или неявной форме
значит наити все кривые, ка-значит наити все кривые, ка-найти все его решения. Геометрически это сательная к каждой из которых в каждой ее точке совпадает с одним из направлений поля в этой точке.
значит наити все кривые, ка-
значит наити все кривые, ка-
Предположим, что в некоторой области D плоскости XOY уравнение F (х, у, у') = 0 неявно задает т различных действительных значений у':
(2)(2)y' = ft(x, У), У' = ЬЛх, у), y' = fm(x, yY
(2)
(2)
Пусть Ф1 (х, у. С)Пусть Ф1 (х, у. С)О,О,В этом случае поле направлений уравнения F (х, у, у') = 0 .в области D можно рассматривать как наложение т полей уравнений (2), разрешенных относительно производной. Все решения этих уравнений являются решениями данного уравнения в области D.
Пусть Ф1 (х, у. С)
Пусть Ф1 (х, у. С)
О,
О,
Ф-Дх, у, С) = О, ..., Фт (х, у, С) = 0 —
общие интегралы уравнений (2) в области D "^.Совокупность этих общих интегралов называют обидим интегралом уравнения F (х, у, у') = 0 в области D,
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Уравнение у'—2ху' = 0 не разрешено относительно производной. Разрешая его, получим у' = 0 и у' = 2х. Общие решения этих уравнений во всей плоскости XOY имеют вид: у = С иу2 = х2 + С (С — произвольная постоянная). Поэтому общий интеграл данного уравнения в плоскости XOY задается двумя соотношениями: у = С, у = х2-|-С. Определяемое данным уравнением поле направлений получается наложением полей уравнений у' = 0 и у' = 2х. Через каждую точку (х0, Уо) плоскости XOY проходят две интегральные кривые—прямая у=у0 и парабола у = х2 + С0, где С0=у0—х§ (рис. 327).
Пример 2. Уравнение у'—1=0 не разрешено относительно производной. Разрешая его относительно у', получаем три значения:
, , , —1 + /зг , — 1 — Vatу'=1, у' =, у =
— одно действительное и два мнимых.
Так как нас интересуют только действительные решения уравнения, рассматриваем лишь уравнение у’ = 1. Его общее решение во всей плоскости XOY имеет вид: у = х-|-С, где С — произвольная постоянная. Следовательно, все (действительные) решения данного уравнения охватываются соотношением
у = х -|- С, где С—произвольная постоянная.
Через каждую точку (х0, у0) плоскости XOY проходит одна интегральная кривая данного уравнения:
> = х + Со>
где С„—у0 — ха (рис. 328). g
Пример 3. Уравнение у’ —4уу' = 0 определяет в каждой точке верхней полуплоскости (у>0) три действительных значения у':
у' = 0, у< = 2уУ, /=—2/7
Решая эти уравнения, получим их общие интегралы в верхней полуплоскости: у = С, V У = х + С (х + С > 0), V у = — х -|- С (— х -|- С > 0),
где С—произвольная постоянная.
Следовательно, в верхней полуплоскости общий интеграл данного уравнения задается соотношениями:
у = С, Уу = х + С (х + ОО), /7= — х-^С (— х + ОО),
где С — произвольная постоянная. Через каждую точку (х0, у0) верхней полуплоскости проходят три интегральные кривые данного уравнения:
у=/, /7=-^—х0 +/7> /7= — х + х„ + /7
(прямая и «ветви» двух парабол) (рис. 329).
В нижней полуплоскости (у <; 0) уравнение/3—4у/ = 0 имеет лишь одно действительное решение относительно у':
/ = 0.
Общее решение уравнения у' = 0 в нижней полуплоскости имеет вид:
У = С,
где С—произвольная постоянная. Т. е. в нижней полуплоскости общий интеграл данного уравнения имеет вид
У = с,
где С—произвольная постоянная.
ная кривая — прямая у=у0.Примечание. Найденные выше р пывают всех его решений. Так, например, репные выше области, будет интегральной подстановкой в уравнение функции у = 0.ная кривая — прямая у=у0.Примечание. Найденные выше р пывают всех его решений. Так, например, репные выше области, будет интегральной подстановкой в уравнение функции у = 0.Через каждую точку (х0, у0) нижней полуплоскости проходит одна интеграль
ная кривая — прямая у=у0.
Примечание. Найденные выше р пывают всех его решений. Так, например, репные выше области, будет интегральной подстановкой в уравнение функции у = 0.
ная кривая — прямая у=у0.
Примечание. Найденные выше р пывают всех его решений. Так, например, репные выше области, будет интегральной подстановкой в уравнение функции у = 0.
мления уравнения у' —4у/ = 0 не исчер- прямая у = 0, разделяющая две рассмот- кривой уравнения, в чем легко убедиться Интегральными кривыми будут также параболы у>=(х-/С)2, С — произвольная постоянная, полученные путем «склеивания» в точках оси OY найденных выше интегральных кривых.
Уравнения вида F (х, у, у') = 0 лишь в простейших случаях удается фактически разрешить относительно у' и тем самым свести, как это делалось выше, их решение к интегрированию уравнений, разрешенных относительно производной. В связи с этим большой интерес представляют методы, позволяющие интегрировать некоторые группы таких уравнений, не разрешая этих уравнений относительно у'.
Один из таких методов — метод введения параметра — будет рассмотрен ниже на примерах неполных дифференциальных уравнений, т. е. уравнений, не содержащих явно одной из переменных.
Уравнение, не содержащее явно искомой функции, имеет вид:f(x, t/r) = 0.
Если это уравнение можно представить в виде:
*=/W).(3)
то все решения этого уравнения могут быть найдены с помощью одной квадратуры в параметрической форме.
Действительно, будем рассматривать производную уг как параметр: y' = t. Пусть y = to(x) — любое решение уравнения (3). Выражение х через параметр t для этого решения дается самим уравнением:
х=№
Найдем параметрическое выражение для у.
Так как у' = ^, то dy — y’dx. Заменяя у' и dx их выражениями через t: y' = t, dx = f(t)dt, получим:
dy = tf (t) dt, откуда, интегрируя, находим:
У = ^ tf (Л dt -{- С, где С — некоторое число.
Итак, любое решение уравнения (3) может быть записано в параметрической форме в виде:
х=ГЮ.
y=^tf (t)dt-\-C,(4)
где С — некоторое число.
Если из соотношений (4) исключить t, получится (в явной или неявной форме) решение у = о(х).
Непосредственной подстановкой в уравнение (3) убеждаемся, что для любого значения постоянной С соотношения (4) определяют решение этого уравнения.
Таким образом, соотношение (4), где С — произвольная постоянная, охватывает все решения уравнения (3).
Примечание. При решении конкретных примеров обычно используются не формулы (4), а сам метод введения параметра.
Пример 1. Уравнение х=у' 4 еУ' не может быть в элементарных функциях разрешено относительно у', но оно уже разрешено относительно х. Найдем его решение в параметрической форме.
Принимаем у' = t за параметр. Тогда x=-t4-^i dx = (1 + е*) dt, dy=y’dx, т. е. dy = t (1 + е^ dt,
_у=^(1-|-?) dt4-C = t4-te* — ez + C, где С — произвольная постоянная.
Совокупность решений данного уравнения в параметрической форме запишется в виде:
Г х = t + е1,
\у = 14-е^-1)4-С,
где С — произвольная постоянная.
Пример 2. Уравнение у* =х также можно решить методом введения параметра.
Пусть y' = t, тогда x = t^, dx = 1t dt, dy=y’dx, т. e. dy — li-dt, а значит, 2
y = -g-<3-|-C, где C—любое число.
Совокупность решений уравнения у'2 = х в параметрической форме записи имеет вид:
x = t2,
где С—произвольная постоянная.
Исключая параметр t, легко получить запись решений данного уравнения в форме:
з
2 +с.
Примечание. Данное уравнение у'2 = х можно решить и не вводя параметра t, так как оно легко разрешается относительно у1:
У = ± V х.
з
г—2 У
При этом dy = + V х dx, у = + — х + С. 3«
2 у
Соотношения у = ± -5- х -|- С представляют собой общий интеграл уравнения 2л
у' =х в полуплоскости X > 0.
Уравнение, не содержащее явно независимой переменной, имеет вид:
РкУ, У') = 0.
Если это уравнение можно разрешить относительно у.
y = fW,(5)
то его решения могут быть найдены с помощью квадратур в параметрической форме.
Действительно, пусть у = ? (х) — решение уравнения (5), вдоль которого у'^ const. Выбираем снова у' за параметр: у' = 1гу Тогда для данного решения
У = № dy^f^dt, dx = ^t=^dt,
а значит, х = ^-^ dt -[- С, где С—некоторое число.
Итак, любое решение уравнения (5) указанного вида можно записать в параметрической форме:
х = ^Ш-dt^-C, ■ y = fW где С — некоторое число.
Непосредственной подстановкой в уравнение (5) убеждаемся, что для любого значения постоянной С соотношения (6) определяют решение данного уравнения.
Таким образом, соотношения (6), где С — произвольная постоянная, охватывают все решения уравнения (5), кроме, может быть, решений, вдоль которых производная у' постоянна.
Если вдоль некоторого решения у = ф(х) производная постоянна, то это решение имеет вид у = ах -\- Ъ, где а и Ъ— некоторые числа.
Подставляя у в уравнение (5), получаем
ах -|- 6 = f(a), а = 0, b=f(O).
Таким образом, к соотношениям (6) в случае, когда /(0) имеет смысл, надо добавить решение у=/(0).
Пример. у=у' + 1пу' — неполное уравнение, не разрешенное относительно производной. Будем решать его в параметрической форме.
должна бытьпараметра t.должна бытьпараметра t.*) Функция /(<), как следует из приведенных ниже рассуждений, такой, чтобы функция ^ ^ была интегрируема в области изменения
должна бытьпараметра t.
должна бытьпараметра t.
Если вдоль некоторого решения производная у’ постоянна, ее нельзя принимать за параметр t.
Пусть у' = t—параметр. Тогда
у = < + 1п<, dy = ^1 + у) dt,
йх = Ч’ т. е. <^ = (1 + ^, а значит,
х = In t^" +С, где С — произвольная постоянная.
Соотношения
( X = In t — Y + С
1 У = t + In t, где С — произвольная постоянная, охватывают все решения данного уравнения. Метод введения параметра можно также применять к интегрированию некоторых групп полных уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производных.
Особые решения
Понятие об особых точках и особых решениях для уравнений, разрешенных относительно производной. Пусть дано уравнение у' — f (х, у). Обозначим через D область определения функции Цх, у). Будем называть внутреннюю точку (х0, у0) области D обыкновенной точкой уравнения y' = f(x, у\ если существует окрестность этой точки, в которой выполнены условия теоремы Коши. Через каждую обыкновенную точку области D (в указанной окрестности) проходит, и притом одна, интегральная кривая уравнения. Задача Коши, поставленная для обыкновенной точки уравнения, имеет, и притом единственное, решение.
Граничные точки области D, а также те внутренние точки, которые не являются обыкновенными, будем называть особыми точками данного уравнения. Так как в любой сколько угодно малой окрестности особой точки не выполнены условия теоремы Коши, через эту точку может не проходить ни одной интегральной кривой
уравнения, может проходить как одна, так и несколько и даже бесчисленное множество интегральных кривых. Задача Коши, поставленная для особой точки уравнения, может не иметь решения, может иметь как единственное, так и не единственное решение.
Пример 1. Для уравнения у* = ^ функция f (х, у^ = ^ определена всюду, кроме прямой х = 0. В левой (x<0) и правой (х > 0) полуплоскости выполнены условия теоремы Коши [функции f^x, у^ = ^ и f^ (х, у) =— непрерывны].
Следовательно, каждая точка (х, у), где х^О, — обыкновенная точка данного уравнения. Точки оси ОК (х = 0) являются особыми точками уравнения.
Совокупность решений уравнения у' = — с разделяющимися переменными: у = Сх, где С—произвольная постоянная, x<0 и х>0, геометрически представляет собой семейство лучей, выходящих из начала координат. При этом из особой точки (0, 0) выходит бесчисленное множество интегральных кривых, из остальных особых точек не выходит ни одной интегральной кривой данного уравнения (рис. 330).
Пример 2. Для уравнения у'= 3 у^р функция f{x, у) = 3|/^ определена
2 и непрерывна во всей плоскости XOY. Ее частная производная по у, fy =—3/ ,
непрерывна всюду, кроме точек прямой у = 0. Эти точки являются особыми точками данного уравнения.
Непосредственной подстановкой в уравнение у' = 3^/"у2 убеждаемся, что функции у = 0 и у = (х + С)8, где С — произвольная постоянная, являются решениями уравнения.
В каждой особой точке уравнения (х0, 0) нарушена единственность решения, так как через нее проходят по крайней мере две интегральные кривые — прямая у = 0 и кубическая парабола у = (х + С0)3, где Со = —х0 (рис. 331).
В отличие от предыдущего примера геометрическое место особых точек данного уравнения представляет собой интегральную кривую уравнения.
Будем называть решение уравнения y' = f(x, у) особым, если в каждой его точке нарушена единственность, т. е. если через каждую его точку, кроме него самого, проходит еще хотя бы одна интегральная кривая уравнения.
Для отыскания особых решений уравнения у' = Цх, у) в области D достаточно найти геометрическое место особых точек уравнения, непосредственной подстановкой в уравнение проверить, является ли оно или его части интегральными кривыми уравнения, и в случае положительного
Рис. 331.Рис. 331.ответа проверить, нарушается ли в точках этих интегральных кривых единственность.
Рис. 331.
Рис. 331.
ПримерЗ. Для уравнения y' = 3j/ys, как было установлено выше, геометрическое место особых точек — прямая у = 0 — является особым решением уравнения.
Пример 4. Уравнение у' = 3^Лу2 +1 особых решений не имеет, так как геометрическое место его особых точек—та же прямая у=0—интегральной кривой уравнения не является.
Пример 5. Уравнение
У kJ, У>°, у (О, у = 0
особых решений не имеет, так как геометрическое место его особых точек—прямая у = 0, хотя и является решением уравнения, но не будет особым решением (ни в одной его точке не нарушается единственности, так как остальные интегральные кривые уравнения, т. е. кривые
у = е^е , где С — произвольная постоянная, не пересекают прямой у = 0).
Огибающая однопараметрического семейства кривых. Рассмотрим уравнение
Ф(х, у, С) = 0, (Г) где С — переменная (параметр), изменяющаяся в некоторых пределах (в частности, от —оо до 4-оо).
Каждому значению параметра С, С = С0, соответствует уравнение Ф (х, у, Со) = 0, связывающее переменные х и у. Это уравнение, вообще говоря, определяет на плоскости XOY некоторую кривую. Множество всех таких кривых называется однопараметрическим семейством кривых, заданных уравнением (1).
Уравнение (1) называется уравнением этого однопараметрического семейства кривых.
Например, уравнение у — %-|-С —0, —оо < С <-|-оо, определяет семейство всех прямых плоскости XOY с угловым коэффициентом, равным единице; уравнение хг-^гуг = С, О^С^^00, определяет семейство концентрических окружностей плоскости с центром (0, 0) (рис. 332) и т. д.
При изучении некоторых семейств кривых существенную роль играет так называемая огибающая кривая.
Огибающей семейства кривых
Ф(х, у, С) = 0
называется кривая, которая в каждой своей точке касается некоторой отличной от нее кривой семейства и каждого куска которой касается бесчисленное множество различных кривых семейства.
Например, семейство синусоид y = sin (x + Q, —оо < С <-]-оо, имеет огибающую, состоящую из двух прямых у = ±1 (рис. 333), для семейства парабол у = (х — С)3, — со <_С<^-\- со, огибающей будет ось ОХ (рис. 334), а для семейства окружностей (х— С)3 + (у — ]/4 — С3)а=1, — 2^С^2, огибающая состоит из двух полуокружностей: у = ]/1— х3 и у = У^—х3 (рис. 335).
Следует заметить, что не всякое однопараметрическое семейство кривых имеет огибающую. Так, например, рассмотренные выше семейства прямых (у— х-{-С = 0) и окружностей (ха-}-уа = С) огибающих не имеют.
Предположим, что функция Ф (х, у, С), входящая в левую часть уравнения (1), имеет непрерывные частные производные по всем аргу
ментам. Можно показать, что если при этом семейство (1) имеет огибающую, то она входит в состав дискриминантной кривой семейства, т. е. кривой, уравнение которой получается после исключения параметра С из двух уравнений:
( Ф(х, у, С) = 0,
I Фс (х, у. С) = 0.
Помимо огибающей в состав дискриминантной кривой могут входить геометрические места особых точек кривых семейства, т. е. точек, в которых Ф,(х, у, С) = 0, ФИХ> У» Q = 0.
< Таким образом, для определения огибающей семейства кривых Ф (х, у. С) = О достаточно продифференцировать уравнение семейства по С, и затем из уравнения семейства кривых Ф(х, у, С) = 0 и полученного уравнения Фс(х, у, С) = 0 исключить параметр С.
Если во всех точках найденной при этом дискриминантной кривой или некоторых из составляющих ее кривых производная ФДх, у, С) или Ф„(х, у, С) отлична от нуля, то эти кривые будут составлять огибающую.
Рис. 336.Рис. 336.Если же в точках дискриминантной кривой (или кривой, входящей в ее состав) выполняются условия:
Рис. 336.
Рис. 336.
Ф* (х, у. С) = Ф; (х, у. С) = О, то соответствующая кривая есть геометрическое место особых точек и огибающей, вообще говоря, не является.
Пример 1. Дано семейство полукуби- ческих парабол:
(у—02 = (х—08,—оо < С <-|-со.
Запишем его уравнение в виде:
(у —Q2 —(х—03 = О
(Ф(х, у, 0 = (у — С)3 —(х — С)3), продифференцируем по С:
— 2 (у — Q + 3(x-0= = О
и исключим параметр С из этих соотношений:
Получим:Получим:(у — 09 — (х — 0» = О,— 2 (у — С) + 3(х— 02 = О.
Получим:
Получим:
х — С = 0, у — С = 0, т. е. у = х, и
484
х С д-, у С 2у, т. е. у х ^,
Дискриминантная кривая состоит из двух прямых: у = х и у = х — ^.
В точках прямой у = х имеем Ф^. (х, у, 0 =—3(х — 02 = О, Фу(х, у, 0 = = 2 (у—0 = 0, т. е. эта прямая является геометрическим местом особых точек кривых семейства — вершин полукубических парабол.
4
В точках прямой у=х — ^ имеем Ф^(х, у, 0 =—3 (х— 02 =— ^т^О. Эта прямая является огибающей данного семейства кривых (см. рис. 336).
Пример 2. Дано семейство кривых у = С(х—О2.—со<С<+со. Здесь Ф (х, у, 0=у —С(х-03.
Продифференцируем уравнение семейства по параметру С:
— (х — Q2 + 2С (х — Q = О, исключим С из соотношений:
у = С(х—Q3,
(х — 02 — 2С (х — 0 = 0. Получим:
х— С=0, у = 0 и
—х + 3С = 0, С=-^х, У — ^х$» т- е- дискриминантная кривая со-
4
стоит из прямой у = 0 (ось ОХ) и кубической параболы у = —х3.
Так как в точках прямой у = 0 Ф^, (х, у, С) = 1 ^ 0 и в точках кубической параболы у=^х8 также Фу^х, у, С) = 1^:0, то эти линии составляют огибающую данного семейства кривых (рис. 337).
В данном примере прямая у = 0, являясь составной частью огибающей, сама принадлежит рассматриваемому семейству кривых (С = 0).
Особые решения дифференциальных уравнений как огибающие семейства интегральных кривых. Если однопараметрическое семейство
интегральных кривых
Ф(х, у, С) = 0
дифференциального уравнения у’ = = f(x, у) имеет огибающую, то эта огибающая является особым решением данного уравнения.
Действительно, в каждой своей точке огибающая касается некоторой интегральной кривой. Это значит, что в каждой точке огибающей значения х, у и у\ соответствующие этой точке, удовлетворяют дифференциальному уравнению у' = Цх, yY т. е. огибающая семейства интегральных кривых сама является интегральной кривой уравнения t/ = f(x, yY
Так как через каждую точку огибающей, кроме нее самой, касаясь, проходит еще какая-то интегральная кривая семейства, то в каждой точке огибающей нарушена единственность решения, т. е. огибающая семейства интегральных кривых изображает именно особое решение данного дифференциального уравнения.
В случае, если функция Ф (х, у. С) имеет непрерывные частные производные по всем своим аргументам, для отыска-
Рис. 337.Рис. 337.ния особых решений уравнения у, = Цх, у) можно использовать указанный выше прием для определения огибающей семейства кривых как составной части дискриминантной кривой семейства.ния особых решений уравнения у, = Цх, у) можно использовать указанный выше прием для определения огибающей семейства кривых как составной части дискриминантной кривой семейства.Пример 1. Для уравнения у'= 3у/"у8 однопараметрическое семейство интегральных кривых может быть задано уравнением
Рис. 337.
Рис. 337.
ния особых решений уравнения у, = Цх, у) можно использовать указанный выше прием для определения огибающей семейства кривых как составной части дискриминантной кривой семейства.
ния особых решений уравнения у, = Цх, у) можно использовать указанный выше прием для определения огибающей семейства кривых как составной части дискриминантной кривой семейства.
у = (х 4- С)8, — со < С < -|- оо.
Дифференцируя уравнение этого семейства по С: 3(x + Q2 = 0
и исключая С из соотношений:
y-(x + Qs = 0,
3 (х + СУ = 0, получаем дискриминантную кривую: у = 0.
Так как в точках этой кривой Ф^(х, у, С) =1^0, заключаем, что у = 0— огибающая семейства интегральных кривых, т. е. особое решение уравнения у'^З^Су2 (рис. 331).
Определение особых решений уравнений, не разрешенных относительно производной, в данном курсе не рассматривается.
§ 6. Составление дифференциального уравненияоднопараметрического семейстра кривых
Поставим задачу в некотором смысле обратную задаче интегрирования дифференциального уравнения первого порядка. Дано однопараметрическое семейство кривых
Ф(х, у, С) = 0, требуется составить дифференциальное уравнение, для которого кривые этого семейства будут интегральными кривыми.
Координаты (х, у) точек любой кривой данного семейства удовлетворяют уравнению
Ф(х, у, С) = 0(1)
при соответствующем этой кривой постоянном значении С.
Рассматривая это уравнение как неявное задание у как функции х для каждой кривой семейства, продифференцируем его по х:
®H. у, С)+ф;(х, у, с)/=о1).(2)
Соотношению (2) удовлетворяют координаты точек (х, у^ и угловые коэффициенты касательных в этих точках к каждой кривой семейства при соответствующем этой кривой значении С.
Если теперь из соотношений (1) и (2) исключить параметр С, то получится соотношение
F(x, у, у') = 0,связывающее значения х, у и у' для точек любой из кривых семейства (I).
Это соотношение представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка, вообще говоря, не разрешенное относительно производной. Оно называется дифференциальным уравнением данного семейства кривых. Каждая из кривых семейства (1) будет интегральной кривой этого уравнения.
Дифференциальное уравнение семейства кривых обычно используется для изучения свойств, общих всем кривым данного семейства.
Пример 1. Составим дифференциальное уравнение семейства синусоид у = sin (х + С), — со < С < + со (рис. 333).
Дифференцируя уравнение семейства у = sin (х + С) по х (при постоянном значении С): у* = cos (х + С) и исключая из соотношений
у = sin (х-|-С),у' = cos/x -|- С)
параметр С, получим искомое дифференциальное уравнение
у=+уа=1.
Пример 2. Составим дифференциальное уравнение семейства
у — С = Сех, — со •< С •< + со.
Дифференцируя это уравнение по х:
У = Сех
и исключая С из соотношений:
у — С = Сех,у' = Сех,
находим
у — С—У, С=у—у, y^y—yv*
— дифференциальное уравнение данного семейства кривых.
§ 7. Задача об изогональных траекториях
Рассмотрим однопараметрическое семейство кривых, обладающее тем свойством, что через каждую точку некоторой области плоскости XOY проходит, и притом одна, кривая семейства.
Изогональной траекторией такого семейства кривых называется кривая, которая в каждой своей точке пересекает проходящую через эту точку кривую семейства под одним и тем же углом ш. В частности, если о = у, траектория называется ортогональной. Изогональных траекторий
к данному семейству кривых существует, вообще говоря, бесчисленное множество.
Поставим своей целью по данному уравнению семейства кривых
Ф(х, у, С) = 0 (1)
и заданному углу е> найти соответствующее семейство изогональных траекторий.
Пусть М (х, у) — любая точка изогональной траектории. Через эту точку проходит некоторая кривая семейства (1). Обозначим через а и <р углы наклона к оси ОХ касательных к изогональной
траектории и кривой семейства в точке М (рис. 338). Так как по условию а=<р-[-а>, то tga = tg (® -[-а>), т. е.
tgatgatg ? + tg а
tga
tga
tg у • tg <о ’
в случае, если а> # у, и tga = — ctg<p = — -±-
в случае, если и —у.
Учитывая геометрический смысл производной, заключаем, что в точке М
Уиз. тр. =L tg ®> Укр. == tg <р, т. е.
Уиз.тр.= ■■ !_^-—» K=tgto, если to#: у,и,1It
Уиз. тр. —гр , если (0 — .
"кр.z
Пусть теперь t[=f{x, у) — дифференциальное уравнение данного семейства кривых. Так как точка М принадлежит одной из кривых семейства (1), то в этой точке y'Kp. = f(,x, у), а значит, в той же точке
_Лх,у) + к
Уиз.тр,— l_ft/(X( ^
в случае, если ш # у, и
Уиз.тр.= 713ЕГуГ
в случае, если о> = у.
Полученные соотношения, связывающие х, у и if для любой точки М изогональной ф^ и ортогональной траекторий, являются дифференциальными уравнениями этих траекторий. Решая их, найдем семейства изогональных и ортогональных траекторий данного семейства кривых.Примечание. Если дифференциальное уравнение семейства (1) найдено в виде(я, У, у') = о,Полученные соотношения, связывающие х, у и if для любой точки М изогональной ф^ и ортогональной траекторий, являются дифференциальными уравнениями этих траекторий. Решая их, найдем семейства изогональных и ортогональных траекторий данного семейства кривых.Примечание. Если дифференциальное уравнение семейства (1) найдено в виде(я, У, у') = о,не разрешенном относительно производной, то так какне разрешенном относительно производной, то так как'.Уиз.тр. ^УКР- —1 _L bv'1 I 'Уиз.тр,'.Уиз.тр. ^УКР- —1 _L bv'1 I 'Уиз.тр,при в) = у, дифференциальные уравненияпри в) = у, дифференциальные уравненияизогональныхизогональныхортогональныхортогональныхтраекторий соответственно имеют вид:траекторий соответственно имеют вид:Пример 1. Дано семейство кривых у = = Се*, —со < С<-|-со. Найдем их ортогональные траектории.Для этого составляем дифференциальное уравнение данного семейства линий:Пример 1. Дано семейство кривых у = = Се*, —со < С<-|-со. Найдем их ортогональные траектории.Для этого составляем дифференциальное уравнение данного семейства линий:у = Сех,у’ = Сех,у = Сех,у’ = Сех,У' =У,У' =У,по, нему составляем дифференциальное уравнение ортогональных траекторий:по, нему составляем дифференциальное уравнение ортогональных траекторий:Решая полученное уравнение1), находим семейство ортогональных траекторий — семейство парабол:у = — х -|- С,— со <: С < -|- со (рис. 339).Пример 2. Дано семейство прямых, проходящих через начало координат: у=Сх, —со < С <-|-со. Найдем кривые, пересекающие прямые у = Сх под угломРешая полученное уравнение1), находим семейство ортогональных траекторий — семейство парабол:у = — х -|- С,— со <: С < -|- со (рис. 339).Пример 2. Дано семейство прямых, проходящих через начало координат: у=Сх, —со < С <-|-со. Найдем кривые, пересекающие прямые у = Сх под углом
Полученные соотношения, связывающие х, у и if для любой точки М изогональной ф^ и ортогональной траекторий, являются дифференциальными уравнениями этих траекторий. Решая их, найдем семейства изогональных и ортогональных траекторий данного семейства кривых.
Примечание. Если дифференциальное уравнение семейства (1) найдено в виде
(я, У, у') = о,
Полученные соотношения, связывающие х, у и if для любой точки М изогональной ф^ и ортогональной траекторий, являются дифференциальными уравнениями этих траекторий. Решая их, найдем семейства изогональных и ортогональных траекторий данного семейства кривых.
Примечание. Если дифференциальное уравнение семейства (1) найдено в виде
(я, У, у') = о,
не разрешенном относительно производной, то так как
не разрешенном относительно производной, то так как
'.Уиз.тр. ^
УКР- —1 _L bv'
1 I 'Уиз.тр,
'.Уиз.тр. ^
УКР- —1 _L bv'
1 I 'Уиз.тр,
при в) = у, дифференциальные уравнения
при в) = у, дифференциальные уравнения
изогональных
изогональных
ортогональных
ортогональных
траекторий соответственно имеют вид:
траекторий соответственно имеют вид:
Пример 1. Дано семейство кривых у = = Се*, —со < С<-|-со. Найдем их ортогональные траектории.
Для этого составляем дифференциальное уравнение данного семейства линий:
Пример 1. Дано семейство кривых у = = Се*, —со < С<-|-со. Найдем их ортогональные траектории.
Для этого составляем дифференциальное уравнение данного семейства линий:
у = Сех,у’ = Сех,
у = Сех,у’ = Сех,
У' =У,
У' =У,
по, нему составляем дифференциальное уравнение ортогональных траекторий:
по, нему составляем дифференциальное уравнение ортогональных траекторий:
Решая полученное уравнение1), находим семейство ортогональных траекторий — семейство парабол:
у = — х -|- С,— со <: С < -|- со (рис. 339).
Пример 2. Дано семейство прямых, проходящих через начало координат: у=Сх, —со < С <-|-со. Найдем кривые, пересекающие прямые у = Сх под углом
Решая полученное уравнение1), находим семейство ортогональных траекторий — семейство парабол:
у = — х -|- С,— со <: С < -|- со (рис. 339).
Пример 2. Дано семейство прямых, проходящих через начало координат: у=Сх, —со < С <-|-со. Найдем кривые, пересекающие прямые у = Сх под углом
Для нахождения изогональных траекторий, соответствующих углу <о = Д- (6 = 1), составляем дифференциальное уравнение семейства прямых:
у = Сх, у' = С, т. е. у = ^ (х^О),
по нему составляем дифференциальное уравнение изогональной траектории:
и решаем это однородное уравнение:
у = их, у' = и'х + и, и’х + « = ? "^ “, J— “- du = —,'1 — U ’ 1 + U2X ’
arctg и — ^ In (zz2 + 1) = In | x | + C,
arctg у — у In ^ +^3) + у In л:2 = In | л: | + C,
arctg ^ — C = In Ух2 + y2.
Переходя к полярным координатам: х = р cos <?, у = р sin <р, запишем решение в виде:
<р — С = 1пр,^ = е^с
или, полагая е—С = Сх, в виде р = С1е?. Это семейство логарифмических спиралей (рис. 340).
Приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка
Известные методы точного интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка (некоторые из них были изложены выше) пригодны лишь для сравнительно небольшой части уравнений, встречающихся на практике. В связи с этим большое значение приобретают методы приближенного ин
тегрирования дифференциальныхРис. 340.
уравнений.
В зависимости от формы, в которой они представляют решения, эти методы делятся в основном на три группы:
аналитические методы, дающие приближенные решения дифференциальных уравнений в виде аналитических выражений;
графические методы, дающие приближенные решения уравнений в виде графиков;
численные методы, дающие приближенные численные значения решений для указанных значений аргумента.
Эта классификация является в известной степени условной. Так, например, приведенные ниже графические методы дают одновременно способы численного решения и т. д.
Рассмотрим некоторые из наиболее употребительных методов приближенного решения задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка.
Метод последовательных приближений. Пусть дано уравнение tf = f(x, у),(1)
правая часть которого в прямоугольнике {|х— х0|^а, \у— у0|^6} непрерывна и имеет непрерывную частную производную по у. Требуется найти решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям х0, у0. По теореме Коши в некоторой окрестности точки (х0, у^ такое решение существует и является единственным. Рассмотрим вспомогательное уравнение
У=Уо + $ f(x, y)dx(2)
с неизвестной функцией у = у(х). Такое уравнение называется интегральным (неизвестная функцця входит под знак интеграла). Всякое непрерывное решение уравнения (2) (т. е. всякая непрерывная функция, обращающая это уравнение в тождество) является вместе с тем решением уравнения (1) с начальными условиями х0, у6.
Действительно, если у = у(х)— непрерывная функция, для которой
X
УМ^Уо +S Ж У W)dx,
то она дифференцируема:
X
у' w=^ (у» + У f (х> у ^dx)—f(x> у <х» )
и
■Го
У (ха) — у0 + 5 f (х, у (х)) dx = у0,
е. функция у — у^ удовлетворяет уравнению (1) и начальным условиям х0, у».
Таким образом, для решения поставленной выше задачи Коши достаточно найти непрерывное решение интегрального уравнения (2). С этой целью применим так называемый метод последовательных приближений. А именно, построим бесконечную последовательность непрерывных функций:
Уй (х) — ув,
XУ1(х)=Уо+ 5 fU. y»W,
X
У» (я) = Уо + $ f (х, У! (х)) dx,
Уп О) = Уо + 5 f (X, у„_1 (х)) dx.
называемых соответственно нулевым, первым, вторым, ... , п-м приближениями решения.
Можно показать, что для каждого значения х в некоторой окрестности точки х0 последовательность уДх), у2(х) уи(х), ... имеет
предел:
„Игл у„(х) = у(х),
причем функция у(х) непрерывна и является решением уравнения (2) в этой окрестности.
Отсюда следует, что решение у = у(х) уравнения д' = f (х, у) с начальными условиями х0, у0 в некоторой окрестности точки х0 может быть найдено с любой степенью точности, если положить
У<х^уп^, где п — достаточно большое число.
Метод последовательных приближений позволяет найти аналитическое выражение приближенного решения поставленной задачи Коши, т. е. является аналитическим методом.
Оценка погрешности, получающейся от замены решения у(х) его n-м приближением в окрестности х0— h < х < х0 -f-h, дается следующим неравенством:
\У^ — уп (х)|^\У^ — уп (х)|^МЬ№^Х eNh(п+1)!МЬ№^Х eNh(п+1)!
\У^ — уп (х)|^
\У^ — уп (х)|^
МЬ№^Х eNh(п+1)!
МЬ№^Х eNh(п+1)!
где M = max7(x, у^, N = max \f'y (х, у)| в прямоугольнике {|х— х0\^а, \у— Уо|^Ь}, a h — меньшее из чисел а и ^.
Пример. Найдем методом последовательных приближений я-ое приближение решения уравнения у'=у с начальными условиями 0,1 и сравним его с точным решением этой задачи Коши.
Функции f(x, у)=у и /^(х, у) = 1 непрерывны в любом прямоугольнике {|х|^ц, |у— 1 1^6}.
По определению
Уо=1,
yt (х) = 1 + Idx = 1 + х,
Уа(х) = 1 + С (1 + x)dx = 1 + х +■ gj , о"
y,3(x)=l + ^l + x + ^) dx=l+x + J + J,
X
1 +^ + - +рГП)т)^ = 1+^+^ + -+И’ о
Пусть а = 1, 6=1. Тогда М = 2, N=\, h = ^.
Если положить
^W^l + x+5-+...+^-
11
на интервале —-у < хс -^-, то допущенная при этом погрешность удовлетворяет неравенству
2•• //2
г31оп-н
В частности, если взять п = 4, то погрешность равенства уй уЗ у4 У<х)-1+х+^ + ^Т + 5
на интервале —у<х<-^-не будет превышать 0,001.
Интегрируя уравнение у =_у методом разделения переменных и определяя по начальным условиям 0; 1 постоянную С, получим точное решение поставленной задачи Коши: у = ех ).
Ниже, в гл. X, будет рассмотрен еще один аналитический метод приближенного решения задачи Коши, часто применяемый на практике — разложение искомого решения в степенной ряд с последующей заменой ряда его частной суммой.
Метод Эйлера. Как уже говорилось выше, уравнение y' = f(x, у) в области определения функции f (х, у) (обозначим ее через D) задает поле направлений. Найти графически решение этого уравнения с начальными данными х0, Уо — значит через точку Мв (х0, у0) провести кривую, касающуюся в каждой своей точке направления поля в этой точке. Метод Эйлера позволяет приближенно построить такую кривую, не строя предварительно поля направлений во всей области D.
Пусть требуется найти (графически) решение уравнения
(1)(1)y=f(x, у)
(1)
(1)
с начальными данными х0, ув для значений х, больших х0 (построение решения на участке, лежащем слева от х0, производится аналогично).
Возьмем последовательность точек х0, хъ х2,... на оси ОХ (х0 < ^Xt^Xa^...) и проведем через них вертикальные прямые (рис. 341). Подставив в правую часть уравнения (1) координаты точки Л40(х0, у0),
выходящей из точки Мх (хьвыходящей из точки Мх (хьвычислим угловой коэффициент касательной к искомой интегральной кривой в этой точке:
выходящей из точки Мх (хь
выходящей из точки Мх (хь
tga0=/^o=/:(^o, Уо).
Заменим на участке [х0, xj интегральную кривую отрезком касательной к ней в точке Мв, т. е. проведем из точки Л40 прямую в направлении поля в точке Мй до пересечения с вертикалью х = хх в некоторой точке Mi (хь у,). При этом
У1=: Уо Н~ / (Яо, Уо) (^i — ^о).
На участке [хь х2] заменим интегральную кривую отрезком МХМ2 прямой, У1) в направлении поля в точке Mv Этот
отрезок прямой будетотрезок прямой будета координата у2 точкиа координата у2 точкииметь угловой коэффициент
отрезок прямой будет
отрезок прямой будет
а координата у2 точки
а координата у2 точки
tga^y']^ =f (хь у О,
M^tx^ у^ определится по формуле
ya^yi + H^i. UiHxi — XiY
На участке [х2, х3] интегральную кривую заменим отрезком прямой Л42Л43, выходящим из точки Мг в направлении поля, и т. д. Указанный процесс можно продолжать до тех пор, пока мы не выйдем из области определения функции /(х, у).
Построенная таким образом ломаная линия M^MiM^..., называемая ломаной Эйлера, представляет приближенное изображение интегральной кривой уравнения (1), проходящей через точку (х0, у0).
Примечание. Построение ломаной Эйлера можно несколько упростить. Возьмем на оси ОХ слева от начала координат полюс Р на расстоянии РО=\ и будем откладывать на оси OY последовательно отрезки OAt, OAS) ОАг и т. д. так, чтобы О41=/(х0,у0), 043=/(х1,у1), ОЛ3=/(х2^у2) и т. д.
ОА
Прямая РАХ имеет угловой коэффициент —р-1 — /(х0, у0), т. е. звено МОМХ ломаной проводится параллельно прямой PAV Прямая РА2 имеет угловой коэффициент /(хь yj, т. е. звено МХМ2 ломаной проводится параллельно прямой РА^, и т. д. (рис. 342).
При построении отрезков РО и ОАИ ОА2,... можно пользоваться масштабом, отличным от принятого на осях координат.
Ломаная Л40Л41Л42 ..., вообще говоря, имеет с искомой интегральной кривой лишь одну общую точку Л4о(*о, Уо) и по мере удаления от этой точки отклонение ломаной от интегральной кривой может возра- 436
стать. Однако, если известно, что в некоторой окрестности точки (х0, у0) правая часть уравнения (1) удовлетворяет условиям теоремы Коши, то можно доказать, что последовательность ломаных Эйлера, проходящих в указанной окрестности через точку (х0,у0), при стремлении наибольшей из длин их звеньев к нулю стремится к этой интегральной кривой. Отсюда следует возможность представления в некоторой окрестности точки (х0, у0) интегральной кривой в виде ломаной Эйлера с наперед заданной степенью точности.
Метод ломаных Эйлера, рассмотренный выше как метод графического решения задачи Коши для уравнения y' = f(x, у), можно также использовать как метод численного интегрирования этого уравнения.
Пусть, например, требуется вычислить значения решения уравнения y' = f(x, у), удовлетворяющего начальным данным (х0, Уо) при х = хь х = хг, ..., х — хп, где х0< < xt < ха <... < х„ (для значений х, лежащих влево от х0, вычисления производятся аналогично). Рассмотрим ломаную Эйлера, соответствующую начальным данным (х0,
х^,..., хп. Обозначим через Мй (х0, у0), М^х^, ух), Мг(х2, у^, ... , Мп (хп, у^ вершины ломаной. Значения ординат вершин этой ломаной можно рассматривать как приближенные численные значения искомого решения данного дифференциального уравнения.
Вычисление ординат уь Уг, ..., у„ вершин ломаной Эйлера можно, не строя самой ломаной, производить последовательно по формулам:
У1 = Ув + f (xQ, ув) (х, — х0),y^yo-V-f^, у^^-х^,
yn=yn-i-Vf{xn^, yn-^kXn — xn_iY
На практике числа х0, хь х2,..., хп обычно выбираются так, чтобы они составляли арифметическую прогрессию с разностью h, т. е. так, чтобы
х1=х0-{-Л) х3 = х0-+-2й, ..., x„ = Xo + n/z,
где h — некоторое число, называемое шагом, вычисления.
Сами вычисления удобно располагать в виде таблицы, заполняя последовательно одну строку за другой.
X
у
f{x, у)
/(х, У) h
ха
Уб
/ (Хо, Уо)
f(xa, у0^ h
X,
У1
/(х„ У.)
Дхи y^h
Уз
/ (Хг, Уз)
/(xa, у2) h
Х3
Уб
Здесь yi = у0 + / (х0, y^h, y»=yi-Y-Hx!, y^h и т. д.
Пример. Чтобы иметь возможность сравнить приближенный результат с точным, рассмотрим уравнение у' = х + у, интегрируемое в квадратурах.
Пусть требуется определить численное значение решения этого уравнения с начальными условиями 0;1 при х = 0,5."
Интегрируя данное линейное уравнение методом вариации постоянных, получим:
^=^> ^ = dx, 1п|^| = х + 1п|С|, у = Сех
— решение соответствующего однородного уравнения,
у = С (х) ех, у' = С (х) ех + С (х) е*,
С (х) ех 4- С (х) ех = С (х) ех + х, С (х) = хе~х,
С^=—хе-х—е-х+С, у = Сех— х—1, где С — произвольная постоянная,— общее решение данного уравнения.
Используя начальные условия 0;1, находим С = 2. Значение решения у = 2ех— — х—1 при х = 0,5 вычисляем приближенно: у (0, 5)^ 1,797.
Проведем теперь вычисление значения у (0,5) методом Эйлера. Для этого разобьем отрезок [0, 0,5] точками хо = О, Х!=0,1, хг = 0,2, х3 = 0,3, х4 = 0,4, х5 = 0,5 на пять равных частей (шаг вычисления Л =0,1). Обозначая через у0, У^Уа, y»,yt, у., ординаты вершин соответствующей ломаной Эйлера, получим таблицу:
X
У
/(х, j) = x+y
/(х, у) • Л=(х+у)0,1
0
1
1
0,1
0,1
1,1
1,2
0,12
0,2
1,22
1,42
1,142
0,3
1,362
1,662
1,166
0,4
1,528
1,928
0,193
0,5
1,721
Найденное приближеннее численное значение решения у (0,5) равно 1,721. Ошибка не превосходит 0,08.
Практическая погрешность от вычисления численных значений решения уравнения y’ = f(x, у) методом Эйлера складывается из погрешности самого метода Эйлера, заменяющего точные значения решения приближенными, а также из погрешностей, допускаемых при приближенных вычислениях значений функции f (х, у) в вершинах ломаной и при приближенных вычислениях, связанных с округлениями чисел уъ у^,..., уп. Не имея возможности подробно останавливаться- на этих вопросах, отсылаем лиц, занимающихся приближенными вычислениями, к специальной литературе.
Следует отметить, что степень точности самого метода Эйлера вообще весьма невелика, в связи с чем для отыскания этим методом решения с наперед заданной степенью точности обычно приходится применять так называемые формулы пересчета каждого из значений уъ у»,..., уп.
Найденное значение ух уточняется тем, что в формуле у, = у0 —{— 4-f(x0, Уо)^ вместо у'6 = Цх6, у0) берется среднее арифметическое значений f(x0, ув) и /(х1( у^- В качестве уточненного значения ух берется значение
У1 —Уотg
затем находится значение производной у' в точке (х„ yj11). Заменяя /(х0, t/о) средним арифметическим значений /(х0,у0) и Цхи у,1'), находят второе уточненное значение yv
I /(-^о. ,Vo)+/(-Vi, У?1) ,„
У1 — У о ”т"2
затем третье:
,,(з>। f kx»i Vo) 4~ f kxv> Уг1) t.
У1 — Уо ।2п
и т. д., пока два последовательных уточненных значения ух не совпадут между собой в пределах заданной степени точности. Эти совпадающие значения у</> и у(1‘ + 1) принимаются за ординату вершины Мг уточненной ломаной Эйлера, соответствующей значению xv
Аналогичным способом уточняют значения у для хь ха, ... Так, например, за у^' принимают
Уч' — Ух + f (^i, Ух) к,
где У1 — найденное уточненное значение ординаты вершины ломаной с абсциссой xv
За второе уточнение у2 принимают
I /(%1- V1)+/(X2« У’) L
Уч —У1“12
за третье —
,,ГЗ>| /(-^1, -У1)/ кХ$, Уэ®’) f
У-2 — У1 "12“
и т. д., пока приближения у2 не совпадут в пределах заданной степени точности.
Если уточнение ординаты не приводит к цели, после нескольких уточнений уменьшают шаг К.
Вернемся к рассмотренному выше примеру.
Применяя формулы пересчета значений, получим:
У11’=У12’=1,100=у1,
yV’=yis’= 1,243 =у8, у'2’=у'” = 1,400= Уз, у<2'=у'з>= 1,585 =у4, У*52,=У63’= 1,799 =у5.
Найденное значение у5 отличается от значения у (0,5) =» 1,797 не более чем на 0,002.
Метод Адамса — Крылова. При построении ломаной Эйлера уравнения y, = f(x, у), соответствующей начальной точке (хй, у0) и системе значений х0, хь х2, ..., хп, кривая на каждом отрезке деления оси ОХ заменялась прямой, угловой коэффициент которой в одной из концевых точек отрезка совпадал с угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Замена интегральной кривой такой ломаной является довольно грубым приближением решения. Можно усовершенствовать этот метод, заменяя на отрезках деления решение не линейными функциями, а многочленами более высокой степени.
Пусть требуется найти решение уравнения
У* =4^, у)(1)
с начальными данными х0, уй.
Рассмотрим систему значений переменной х-. хй, хь хъ ..., хк>... (xo<^xi<^x2<^...<^xft<^...)1) и вычислим каким-нибудь способом (методом последовательных приближений, методом Эйлера или с помощью
формулы Тейлора) точные или приближенные значения искомого решения уравнения (1) у0, Уь Уэ, ...» У к в точках х0, хь х2, ..., хй.
Ломаной Эйлера (k-^l)-eo порядка, соответствующей уравнению (1), начальным условиям х0, у0 и системам чисел х0, хъ х2, ..., хк, хй+1,...; у0, у!ук, называется линия y = L(x), х^хк, составленная из дуг парабол (&4-1)-го порядка (точнее, дуг графиков многочленов степени не выше к-\- 1), получаемых следующим образом.
Рассматривается уравнение у' = р(х), где р^— многочлен степени не выше к, удовлетворяющий условиям:
Р(хк) = Цхк, ук\ p(xk_1) = f(xk_1, ук_д,..., рМ^Цх», у0У).
Решением этого уравнения с начальными данными хк, ук является многочлен степени не выше fe+1. График такого многочлена представляет собой параболу (fe-|-1)-го порядка, проходящую через точку (хй, уй) и касающуюся в этой точке направления поля данного уравнения y' = f(x, yY Линия y = L(x) на отрезке [хк, хй+1] совпадает с дугой этой параболы.
Затем полагается yk+i = L(xk+1) и рассматривается уравнение y' = q (х), где q (х) — многочлен степени не выше к, удовлетворяющий условиям
?(^fc+i) = /:Ufe+i, Уь+О- Ц^ = Нхк, У к)У<А) = Цхъ Уд.
При решении этого уравнения с начальными данными хй+1, уИ получится многочлен степени не выше fe-|— I. Его график — парабола (&4-1)-й степени — проходит через точку (хй+1, ук+д и касается в этой точке направления поля уравнения y' — f(x, у). Линия y = L(x) на отрезке [хй+1, хЙ49] совпадает с дугой этой параболы.
Затем полагается yk+i — L(xk+i) и т. д.
Вообще на отрезке [х„, х„+1], п^к, линия y = L(x) совпадает с дугой параболы (/г -|- 1)-го порядка, являющейся графиком решения уравнения у' = г(х) с начальными данными хп, уп, где г(х) — многочлен степени не выше к, удовлетворяющий условиям
rM = f(xn, уп\ г(хп_д = Цхп_ъ Уп-tY.... r(xn_k) = f(xn_kt уп_к\
Эта парабола проходит через точку (х„, у„) и касается в этой точке направления поля уравнения y' = f(x, у).
Построение линии y — L(x) указанным методом можно продолжать до тех пор, пока точка (х„, уп) не выйдет за пределы области определения функции /(х, у).
Линию y = L(x) можно рассматривать как приближенное изображение на участке х^хк интегральной кривой уравнения (1) с начальными данными х0, уо, а значения ординат вершин ломаной Эйлера (fe —I— 1)-го порядка можно рассматривать как приближенные численные значения решения уравнения (I) с начальными данными х0, у0.
Такой многочлен существует, и притом только один.
Действительно, полагая р (х) = а0 + агх 4-... + akxk, для определения коэффициентов многочлена а0, аи.... ак получаем линейную неоднородную систему уравнений:
й0 + й,х0 + ... + «к*» =Р (х0),
й0 + й^ + ... + »кХ1 =Р (х^,
»о + <iixk + • • • + »кхк =Р (хй), определитель которой
х0 ... х^
xt ... Xi
14
отличен от нуля. Такая система имеет единственное решение (гл. 1, § 37). Может оказаться, в частности, что многочлен р (х) будет иметь степень ниже к.
В случае, если числа х0, хь ха, ..., хк, ..., хп образуют арифметическую прогрессию с разностью h, можно дать удобные формулы для последовательного определения численных значений yft+1, yk+i, ..., по известным значениям х0, хъ ..., хк, хк+1, ... и у0, ух, ..., ук.
Вывод этих формул основывается на использовании так называемой второй интерполяционной формулы Ньютона.
Вторая интерполяционная формула Ньютона. Пусть х,„ xt,... , хп—узлы интерполяции, образующие арифметическую прогрессию с разностью к.
Рассмотрим систему факториальных многочленов, определяемых равенствами: фой (х) = 1, Ф1к (х) = J2EzL^SzL2E>i^^,(3)
О ^ i <£ к eg п.
Очевидно, что Ф,й (х) есть многочлен t-й степени, причем в любой точке х
^ik W = *i-1 к-х (х) *).
Пусть Р (х)—многочлен степени п, принимающий в узлах интерполяции х0, хп..., х„ заданные значения у0, уп ..., уя:
Р (-^л) =Ул> Р ^n-i) ^Уп—и • •• > Р(-^о)=Уо-
Обозначим через Со, Сц ..., Сп коэффициенты разложения многочлена Р(х) по факториальным многочленам ФОп (х), Фщ (х),..., Фяп (х), имеющим соответственно степени 0, 1, 2,..., п.
При этом
Р(х) = С0 + С1Ф1„(х) + С5Ф2„(х)+ ... +С„Ф„„(х),
ДР (х) = Ci + Сг^ш-! (х) +... + СпФп_х п-1 (х),Д'Р (х) =С2”Ь ... ”Ь С«Фл-2 п-2 (х))
Д"Р(х)=С„.
Полагая в этих равенствах переменную х последовательно равной хП) х^,..., х0 и учитывая, что Ф ,-й(х6) = 0, находим:
Р (-^n)= С0, кР (^л-1) = Ct, кгР (хя_3) = Са,..., ^пР (х0) = Сл
или, что то же,
Ул = G, Ay„_, = GU Ьауп_3 = С3, .... Дпу0 = Ся.
Подставляя найденные коэффициенты Со, Си ..., Ся в разложение Р (х), получим вторую интерполяционную формулу Ньютона;
р^ =Уп + 2.
Вернемся теперь к подсчету ординат вершин ломаной Эйлера (/г -|- 1)-го порядка в случае равноотстоящих значений х0, хь х2хк, ...
Пусть [х„, хя+11 — любой отрезок с номером п^к, а г(х) — соответствующий ему многочлен степени не выше к, фигурирующий в определении ломаной Эйлера y = L(x). Обозначим
г^^у'п, г(хя_,) = у;_!,..., г(х„_й) = у;_й
[по определению многочлена г(х)
y'n = tkXn, UnY y'n-i = f<xn_u уп_х^y'n-k = f(xn_k, уп_к)А
и запишем разложение многочлена г (х) по факториальным многочленам с помощью второй интерполяционной формулы Ньютона:
к
г^=8’п + ^ ^Уп-i l^ZZ^A^JEn^lf^^
i=l
*) Здесь ^Фik (х) = ФХк (х + Л) — Ф1Й (х). Справедливость данного равенства устанавливается непосредственным подсчетом разности, как это делалось в гл. X, § 29.
Интегрируя уравнение у' = г(х) на участке [хя, хя+1], получим:
Цк = Уп^~ Уп = 5 rkXW =хп
■*п+1к
= 5 [^+2
= УлА+2 TF" $ kx — xn^x — xn_xy.Ax — xn_i^dx=
=^■+2 -^l/2U(^+i)...(^+i-i)^=fy;+2 аА‘уЦн,i=l ’ djё = 1
где
1
a^-l-^-Ll)...^-!)^.
Таким образом, выведена формула
к
Уп^г = Уп-^к кУп + 5 А_,),i = l
позволяющая последовательно определять значения у^х, у^, ...для вершин ломаной Эйлера порядка 6-)-1. При 6 = 3 имеем
Уп^г = y»-Vh [Уп-1 + у АУ«-1 + ^^Уп-т. + 4 А3У«-з].
Предложенный метод графического и численного интегрирования уравнения у' = f (х, у) с начальными данными (хй, у0) называется методом Адамса—Крылова. При 6 = 0 из него как частный случай получается рассмотренный выше метод Эйлера.
Оценка погрешности при применении метода Адамса — Крылова довольно сложна, в связи с чем для получения нужной степени точности вычислений используется ряд специальных практических приемов, которые в данном курсе не рассматриваются.
Найдем, в качестве примера, методом Адамса — Крылова значение решения уравнения у' = х -|-у с начальными данными 0;1 при х = 0,5, взяв шаг вычисления 6 = 0,1.
Значения решения в точках хо = О,О, х1 = 0,1, х» = 0,2, х3 = 0,3, х4 = 0,4 определим методом Эйлера (см. п. 2):
у0 = 1,000, у х = 1,110, у2 = 1,243, у3 = 1,400, у4 = 1,585.
Значение у5 == у (0,5) найдем по формуле Адамса — Крылова (для 6=4):
J’s =Л + 6 [у; + МУз + a-^y'i + aa^y\ + й4Д4Л1, где
11
ai=^td(=l, а2=1р(Г+1)^ = Д,
11
°»=5l $ Ц< + 1)(< + 2)^ = |, *4=4 ? <(<+!)(< +2) (< + 3)d<=||l.
X
У
у' = ^+у
^y
ду
ду
ду
0,0
1,000
1,000
210
0,1
1,110
1,210
+ 23
233
+ 1
0,2
1,243
1,443
+ 24
+ 3
257
-
+ 4
0,3
1,400
1,700
+ 28
285
0,4
1,585
1,985
0,5
Вычисления удобно располагать в виде следующей таблицы *):
у, = 1,585 + 0,1 Г 1,985 +1 • 0,285 + А • 0,028 +• 0,004 +• 0,00з1 = 1,799.
Ito1 toО■ to\JI
При этомПри этомЕсли потребуется продолжить вычисления для хо=О,6, то надо внести в таблицу значение у5, дополнить остальные столбцы и определить у6 по формуле
При этом
При этом
У« =У» + А + j ^4 + 12 д‘^ + 8" Д ^ + 720 Д У J
и т. д.
§ 9. Применение дифференциальных уравнений первого порядкак решению некоторых задач механики и физики
Решение большого количества математических и физических задач приводит к составлению и последующему интегрированию дифференциальных уравнений первого порядка. Составление дифференциальных уравнений, особенно в задачах прикладного характера, обычно вызывает затруднения, так как для этого необходимо знание разнообразных физических законов и наличие известных навыков в переводе физических задач на математический язык. Универсального рецепта для составления дифференциальных уравнений не существует. В одних случаях полезно (особенно в задачах геометрического характера) использовать геометрический смысл производной от функции как тангенса угла наклона касательной к графику функции, в других — механический смысл первой и второй производных как скорости и ускорения процесса, иногда целесо-
образнее оказывается составить приближенные соотношения между бесконечно малыми приращениями искомых величин или дифференциалами этих величин и т. д.
Рассмотрим несколько задач на составление и интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка.
Задача об охлаждении тела. Ньютон установил, что скорость изменения температуры охлаждающегося тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды (температура среды считается постоянной).
Обозначим через Т температуру тела в момент времени t, а через Гср. — температуру окружающей среды (Гср. < Г). Скорость изменения температуры тела дается производной от температуры по времени. Следовательно, по закону Ньютона:
dT
где к— коэффициент пропорциональности, Л>0.
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя, получаем:
Т= Тц,. + Се-«
Для определения постоянной С необходимо задание начальных условий процесса. Пусть, например, в момент времени t0 температура тела равнялась То. Тогда
Го = Гср. + Сое-М% С0 = (Т„-Тср.) ек\
е. закон изменения температуры охлаждающегося тела имеет вид:
Г=Гср. + (Го-Г=р.)
Коэффициент к либо задается непосредственно, либо определяется с помощью дополнительного условия:
T\t=tl=Tv
Барометрическая формула. Найдем зависимость между высотой h над уровнем моря и давлением воздуха р.
Давление воздуха на горизонтальную площадку в 1 см1 определяется весом призматического столба воздуха, расположенного над этой площадкой. Пусть на высоте h над уровнем моря давление воздуха на горизонтальную площадку равно р. На высоте h + kh, ДЛ>0, давление воздуха равно р + &р, где ДрсО. Уменьшение давления численно равно весу столба воздуха, заключенного между площадками. Так как по закону Бойля — Мариотта плотность воздуха при постоянной температуре пропорциональна давлению, то на высоте h она равна кр, где к — коэффициент пропорциональности, к > 0, а на высоте h + Lh равна к (р + Др). Считая плотность внутри столба высотой ДЛ постоянной и равной некоторому ^среднему» значению плотности, т. е. Л(р + 6Др), 0<6<1, получаем соотношение
Др = — к (р -|- бДр) ДЛ,
точность которого повышается с уменьшением ДЛ ). Разделив обе части этого соотношения на ДЛ и перейдя к пределу при стремлении ДЛ к нулю, получим дифференциальное уравнение, связывающее величины Лир:
dp .
dh=~bp-
Решения этого уравнения имеют вид: р = Се~кк. Принимая давление на уровне моря (Л = 0) равным р0, запишем барометрическую формулу в виде: р=рое-”А или, разрешая относительно Л, в виде: Л = ^-1п^.
Эта формула позволяет судить о высоте места над уровнем моря, если известно давление р.
Задача о прожекторе. Определить форму зеркала, отражающего все лучи, выходящие из данной точки О параллельно данному направлению /.
Искомая поверхность есть поверхность вращения. Рассмотрим любую плоскость, проходящую через точку О параллельно I. Введем на ней систему координат, приняв точку О за начало координат и направив ось ОХ по данному направлению Т (рис. 343). Поверхность зеркала пересекает выбранную плоскость по кривой, уравнение которой p=f(sx\ Пусть М (х, у)— любая точка этой кривой, ML—касательная, MQ—нор
маль к кривой в этой точке. Так как угол падения луча равен углу отражения, имеем Z OMQ = Z QMN. Следовательно,
£ OLM = Z OML, OL = OM= V х? +у2, LP = х + /х^ТЛ ОБ =у,
tg Д МЕРtg Д МЕРУx-W^Уx-W^
tg Д МЕР
tg Д МЕР
Уx-W^
Уx-W^
Учитывая геометрический смысл производной у', получаем дифференциальное уравнение для определения искомой кривой:Учитывая геометрический смысл производной у', получаем дифференциальное уравнение для определения искомой кривой:х-Ц< х24->2'х-Ц< х24->2'Это—однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Выбирая х за неизвестную функцию, а у за аргумент, перепишем полученное уравнение в виде:Это—однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Выбирая х за неизвестную функцию, а у за аргумент, перепишем полученное уравнение в виде:Для решения уравнения применим подстановку х = иу, где и — новая неизвестная функция у. При этомdx , du dy U dy^'« + ^^ = « +/«ЧЛdu dy/ и2 + 1 — У ’In | u 4- /и2 + 11 = In |у | 4- In | С I, и 4- J^u2 + 1 = Cy — общий интеграл вспомогательного уравнения.Для решения уравнения применим подстановку х = иу, где и — новая неизвестная функция у. При этомdx , du dy U dy^'« + ^^ = « +/«ЧЛdu dy/ и2 + 1 — У ’In | u 4- /и2 + 11 = In |у | 4- In | С I, и 4- J^u2 + 1 = Cy — общий интеграл вспомогательного уравнения.
Учитывая геометрический смысл производной у', получаем дифференциальное уравнение для определения искомой кривой:
Учитывая геометрический смысл производной у', получаем дифференциальное уравнение для определения искомой кривой:
х-Ц< х24->2'
х-Ц< х24->2'
Это—однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Выбирая х за неизвестную функцию, а у за аргумент, перепишем полученное уравнение в виде:
Это—однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Выбирая х за неизвестную функцию, а у за аргумент, перепишем полученное уравнение в виде:
Для решения уравнения применим подстановку х = иу, где и — новая неизвестная функция у. При этом
dx , du dy U dy^'
« + ^^ = « +/«ЧЛ
du dy
/ и2 + 1 — У ’
In | u 4- /и2 + 11 = In |у | 4- In | С I, и 4- J^u2 + 1 = Cy — общий интеграл вспомогательного уравнения.
Для решения уравнения применим подстановку х = иу, где и — новая неизвестная функция у. При этом
dx , du dy U dy^'
« + ^^ = « +/«ЧЛ
du dy
/ и2 + 1 — У ’
In | u 4- /и2 + 11 = In |у | 4- In | С I, и 4- J^u2 + 1 = Cy — общий интеграл вспомогательного уравнения.
Так как и 4- V"и2 + 1 = Су, то,Так как и 4- V"и2 + 1 = Су, то,11т. е.т. е.— 1— 1Су*Су*
Так как и 4- V"и2 + 1 = Су, то,
Так как и 4- V"и2 + 1 = Су, то,
1
1
т. е.
т. е.
— 1
— 1
Су*
Су*
Складывая соотношения и + V иг +1 = Су и и — у и '2 4-1 = — ^, находим общее решение вспомогательного уравнения в виде:
и =
Общее решение данного уравнения получим, заменив функцию и ее выражением через х и у:
х = "^(су2—-^-у СУ = 2Сх4-1.
Таким образом, искомая кривая — парабола, в фокусе которой помещается источник света, а искомая отражательная поверхность — параболоид вращения.
Задача о колебаниях в электрической цепи. Электродвижущая сила Е включается в некоторый момент времени (< = 0) в контур, состоящий из последовательно соединенных катушки самоиндукции L и сопротивления Р. Требуется найти ток / в момент времени t, если в начальный момент времени он был равен нулю.
По закону Кирхгофа электродвижущая сила в цепи равна сумме падений напряжения на индуктивном и активном сопротивлениях:
Е = U-L + uRi где
UL = Ldi’ ur = rl
Таким образом,
4Ч'-Е-
Предположим, что электродвижущая сила меняется по закону: Е = В sin mt. Задача определения закона изменения тока в цепи сводится, таким образом, к решению линейного неоднородного уравнения:
di . R , В .,
di^-LI=-L Sm^
с начальными данными to = 0, /о = 0.
Решаем сначала однородное уравнение
dZ , Я
dt “г L
Его общее решение:
1 =1 =Се LСе L
1 =
1 =
Се L
Се L
Ищем решение неоднородного уравнения в виде:
I = C(t)e L .
Подставляя 1= С (t)e ь аГ=С(1)е —^ С (t) е ь в неоднородное уравнение, после упрощений получаем:
В
С' (^) = £ ^ SUI ^^ откуда
г . . _ Be (R sin u>t — Lu> cos oV)
G —R2 + to^L2+ G*
Таким образом,
I(t)=CeПостоянную Co определяем с помощьюI(t)=CeПостоянную Co определяем с помощью;in tot — L«s cos tot) R2 + to2L2 * начальных условий: С — BLto 0 — ^ -i- to"-L2 *
I(t)=Ce
Постоянную Co определяем с помощью
I(t)=Ce
Постоянную Co определяем с помощью
При этом
BLu> —В.
Z (t) — ^3 । щг^Т"64" pa ।^ S*11 ^^'t° C°S
Если обозначить
RLto.
,= COS a■ ■■ ■— = Sin a
V R2 + ^L2V R2 + to^L2
то закон изменения силы тока запишется в виде:
НП =НП =BLtoR2 4- <o2Z?BLtoR2 4- <o2Z?ВVR2 + to^L?ВVR2 + to^L?sin (tot 4- a).sin (tot 4- a).
НП =
НП =
BLtoR2 4- <o2Z?
BLtoR2 4- <o2Z?
В
VR2 + to^L?
В
VR2 + to^L?
sin (tot 4- a).
sin (tot 4- a).
Отсюда следует, что величину тока в цепи можно рассматривать как сумму двух слагаемых, одно из которых носит затухающий характер, а второе периодический. При больших значениях t ток в цепи фактически определяется вторым слагаемым, т. е. в цепи будут совершаться электрические колебания.
Раздел 2
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХВЫСШЕГО ПОРЯДКА
Дифференциальные уравнения высшего порядка. Общие понятия
Как уже говорилось выше, дифференциальным уравнением п-го порядка называется соотношение
F^x, у, у', ... , у^^О,(1)
связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные до п-го порядка включительно. Всякое дифференциальное уравнение порядка выше первого называется уравнением высшего порядка.
Так, например, уравнения у'"—1 = 0, ху*— 2у" + у"3 = 0, yv’ — — е^'" -[-1 = 0 — уравнения высших (соответственно третьего, второго и пятого) порядков.
В некоторых случаях уравнение (1) удается разрешить относительно у^, т. е. записать в виде:
yw = tlx, у, у'у^-1’).(2)
Такое уравнение называется уравнением п-го порядка, разрешенным относительно старшей производной.
Так же как и дифференциальные уравнения первого порядка, дифференциальные уравнения высших порядков имеют, вообще говоря, бесчисленные множества решений, каждое из этих решений изображается на плоскости X0Y некоторой кривой (интегральной кривой).
Дифференциальному уравнению второго порядка
?(х, у, у', y”) — Q(3)
легко дать геометрическое и механическое истолкования.
Кривизна кривой у = ср (х) в каждой ее точке вычисляется по формуле
а+уТ'8
Записав уравнение (3) в виде: р^- »•<‘+ »'’"’)=°’
видим, что дифференциальное уравнение второго порядка выражает зависимость между координатами точки интегральной кривой, угловым коэффициентом ее касательной и кривизной в этой точке. Интегральные кривые уравнения (3) — это кривые, которые в каждой своей точке имеют предписываемое уравнением соотношение между угловым коэффициентом касательной к кривой и кривизной.
Если независимую переменную (обозначим ее через () рассматривать как время, а искомую функцию у — как путь, пройденный прямолинейно движущейся точкой за время t, то дифференциальное уравнение
pU и ^ ^=0
V’ dt’ dt2) и'
выражает в каждый момент времени t зависимость между пройденным путем у, скоростью ^ и ускорением ^ движущейся точки. Решить такое уравнение — значит определить по указанной зависимости закон движения, т. е. дать соотношение у = <р(/), позволяющее в любой момент времени t определять положение движущейся точки. Уравнение (4) определяет, вообще говоря, бесчисленное множество решений (их называют движениями^. Для того чтобы из этого бесчисленного множества движений выбрать определенное, в механике обычно задают начальное положение точки, т. е. значение у при t = t6 (обозначим его у0), и начальную скорость, т. е. значение при t = t0 (обозначим ее у0).
Так, например, при решении задачи о притяжении материальной точки т неподвижным центром О (см. § 1) мы получили бесчисленное множество решений уравнения ту" =— ку (к — коэффициент пропорциональности) в виде:
у = С, cos mt + С2 sin mt, где ш=т/ —, a Ct и С2— произвольные постоянные.
Если в начальный момент времени (fo = O) точка т находилась от центра притяжения на расстоянии ц0(у0 = ц0) и не имела начальной скорости (у„ = 0), то постоянные С, и С2 однозначно определяются из соотношений
у = Ct cos u>t -|- Са sin u>t, Ct = a,„
y* =—Ci to sin mt -|- C2u> cos u>t, С2и> = 0, C2 = 0, и мы получаем конкретное колебательное движение:
у = а0 cos tot.
В связи с тем что дифференциальные уравнения широко применяются в механике, независимо от конкретного физического или геометрического смысла аргумента х и искомой функции у, числа х0, уй, у'„, представляющие собой некоторое значение аргумента (х = х0) и значения искомой функции (у = у0) и ее производной (у' = у'!>) при этом значении аргумента принято называть начальными условиями или начальными данными для уравнения второго порядка:
F(x, у, у1, 1Л = 0.
Говорят, что решение у = <р(х) этого уравнения удовлетворяет начальным условиям х0, у6, у'„, если <р(х0) = у0, ?'(хо) = Уо-
Геометрически это значит, что соответствующая интегральная кривая уравнения проходит через точку (х0, у^ плоскости XOY и имеет в этой точке касательную с угловым коэффициентом у'.
Не останавливаясь на механической и геометрической интерпретации дифференциальных уравнений третьего и более высоких порядков, заметим, что для отыскания конкретного решения уравнения третьего порядка
F (х, у, у', у", уг") = 0
достаточно, вообще говоря, задать значения у, t/, у” при некотором значении х = х0 (начальные условия х0, у», у’о, уё), для уравнения четвертого порядка — значения у, у', у", у"' при х = х0 (начальные условия х0, уа, У», Уё. Уё') и т. Д.
Для уравнения n-го порядка (1) или (2) начальными условиями называют систему из (n-f-l)-ro чисел х0, у0, у0, ... , у^-^, представляющих начальное значение независимой переменной х (х = х6) и значения искомой функции у и всех ее производных до (п— 1)-го порядка включительно при х = х0.
Решение у = <р(х) уравнения (1) или (2) удовлетворяет начальным условиям х0, ув, у’й> ... , у^-х\ если
? (Хо) = Уо, ?' W =у’о(х0) = у^-D.
Отыскание решения уравнения (1) или (2), удовлетворяющего заданным начальным условиям х0, у0, у'y(0"~1), называется решением задачи Коши для этих уравнений.
Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши для уравнения, разрешенного относительно старшей производной, даются теоремой, сформулированной по аналогии с теоремой Коши для уравнения первого порядка на геометрическом языке.
Теорема Коши. Если функция (п-[-1)-го переменного /(х, у, у', ... ... , у^п-1^ в некоторой областиD (п-f- 1)-мерного пространства непрерывна и имеет непрерывные частные производные по у, у', ... , у(л-1), то, какова бы ни была точка (х0, у0, у^, ... , у<"-1)) этой области, существует, и притом единственное, решение у = <р(х) уравнения
У(л)=/(х, у, !/У^'),
определенное в некотором интервале, содержащем точку х0, удовлетворяющее начальным условиям х0, у0, у', ... , у(ол-1).
Заметим, что единственность решения задачи Коши для уравнения n-го порядка (п>1) не означает, что через данную точку (х0, у0) 448
плоскости XOY проходит только одна интегральная кривая у = <р(х), как это имело место для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.
Например, для уравнения второго порядка с начальными условиями х0, У», Уо единственность решения задачи Коши нужно понимать в том смысле, что через точку (х0, у0) плоскости XOY проходит единственная интегральная кривая уравнения, касательная к которой в этой точке имеет угловой коэффициент у6. Через ту же точку (х0, у^ проходит еще бесчисленное множество интегральных кривых уравнения с другим наклоном касательной в этой точке.
Закрепляя значение х0 и варьируя в некоторых пределах значения У», Уо, ••• , С-1) [так чтобы точка (х0, у0, у^, ... , гД"-"1') принадлежала области D], для каждой системы чисел у6, у’е,... , t/(0"-1) будем получать свое решение уравнения (2):
У = ^кх, У», У», ... , У?-”).
Это говорит о том, что уравнение (2) имеет бесчисленное множество решений и что эта совокупность решений зависит от п произвольных постоянных.
К тому же выводу приводит решение задачи о составлении дифференциального уравнения семейства кривых, зависящего от п параметров, т. е. задачи, в некотором смысле обратной задаче интегрирования дифференциального уравнения.
Рассмотрим уравнение
Ф (^ у, Ci, С2, ... , Сл) = 0,(5)
где СД С2, ... , Сп— переменные (параметры), изменяющиеся в некоторых пределах. Каждой системе значений этих параметров С10, С20Сп6 соответствует уравнение Ф(х, у, С10, С20С„о) = О, связывающее переменные х и у. Это уравнение, вообще говоря, определяет на плоскости XOY некоторую кривую. Множество всех таких кривых называется семейством кривых, зависящим от п параметров, заданным уравнением (5), а само уравнение (5) называется уравнением этого семейства кривых.
Так, например, семейство всех невертикальных прямых плоскости XOY имеет уравнение у = Схх-\-Сч, Сх и С2— параметры. Каждой прямой этого семейства соответствуют определенные значения параметров С\ и С2.
Семейство всех окружностей плоскости X0Y имеет уравнение (х— СхУ-Ну— 0^ = 0^. Это семейство зависит от трех параметров Съ С2 и С3 и т. д.
Пусть требуется составить дифференциальное уравнение, для которого кривые семейства (5) будут являться интегральными кривыми.
Координаты точек (х, у) любой кривой семейства (5) удовлетворяют уравнению Ф(х, у, Сь С2, ... , С„) = 0 при определенных значениях Сь С2, ... , Сп. Рассматривая уравнение (5) как неявное задание у как функции х для этой кривой, продифференцируем его п раз по х. Получим соотношения:
Ф(х, у, Cj, С2, ... , С„) = 0,
^=фх+ф?у=о,
— ®хх + ФхуУ' -р ФухУ' + ФууУ" + ФуУ" = 0,
Исключая из них параметры Сь С2С„, придем к соотношению, связывающему величины х, у, t/, .... yw для любой из точек взятой кривой семейства:
F<x, у, у*у^ = 0.(6)
Так как кривые семейства (5) различаются значениями параметров Сь С2, ..., Сп, а полученное соотношение от этих параметров не зависит, то, рассуждая аналогичным образом для любой другой кривой семейства (5), снова придем к тому же соотношению.
Это соотношение, являющееся дифференциальным уравнением л-го порядка, называется дифференциальным уравнением семейства (5). Оно выражает общее свойство всех кривых семейства. Любая из кривых семейства (5), зависящего от п параметров, является интегральной кривой этого уравнения.
Составим, например, дифференциальное уравнение семейства окружностей радиуса R:
(х-СхГ + (у-С^ = Х2,(7)
зависящего от двух параметров С, и С2.
Для этого два раза последовательно дифференцируем по х уравнение семейства, считая параметры Сх и С2 постоянными, а у — неявной функцией х.
Получаются соотношения:
г^-сл-гсу-с^-у^о,
1+у" (у—С2)+у' =0.
Исключая из соотношений (7) и (8) параметры Сх и С2, находим:
"' У" ’* У" '
У'2у"2’
т. е. (1 + у'2)3 = R~y"2—дифференциальное уравнение данного семейства окружностей.
Дадим теперь определение общего и частного решений уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной.
Функция у=<р(х, Сь С2, ..., Сп), зависящая от п произвольных постоянных Сь С2, ..., Сп, называется обидим решением уравнения yw = = f(x, у, уу(л-1)) в некоторой области а плоскости XOY, если она является решением этого уравнения для любых значений постоянных Сь С2, .... Сп (или хотя бы любых значений этих постоянных из некоторого множества) и если любое решение уравнения, лежащее в области а, может быть записано в виде у = <р(х, Сь С2, .... С„) при конкретных значениях Сь С2, ..., Сп.
Решения, получающиеся из общего при конкретных значениях постоянных Сь С2Сп, называются частными решениями данного уравнения.
Неявно заданное общее или частное решение уравнения называются соответственно его обидим и частным интегралами.
Геометрически общее решение (общий интеграл) уравнения (2) в области а представляет собой семейство интегральных кривых, зависящее от п параметров, обладающее тем свойством, что каждая интегральная кривая, лежащая в области а, принадлежит этому семейству кривых.
При определенных условиях (см., например, условия теоремы Коши), каждой системе начальных данных х0, у6, уо, ..., у(оп-1), где (х0, Уо)^ любая точка области а, соответствует, и притом одно, решение уравнения (2), лежащее в области а. Если функция у = <р(х, Сь С2, ..., Сп) — общее решение уравнения (2) в области а, то существуют значения Сь С2, ..., С„, соответствующие этому решению, а значит, решение, определяемое начальными условиями х0, у0, уоУ(оп-1), будет частным решением уравнения (2).
Для выделения его из общего решения надо определить соответствующие значения параметров Сь С2, ..., Сп из соотношений:
Уо==ч?кхй> ^ь С2, ..., Сп),
Уо^р (х0, С1х С2, ..., С„),
уСл-ц^^п-ц^, с„ С2, ..., С„).
Аналогичные рассуждения проводятся для общего интеграла уравнения (2).
Определения общих и частных решений и интегралов уравнений высшего порядка, не разрешенных относительно производных, в данном курсе не рассматриваются.
Основная задача теории дифференциальных уравнений высших порядков— отыскание всех решений каждого данного уравнения и исследование их свойств — является в целом задачей значительно более сложной, чем интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка.
Уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка
Одним из основных методов, применяемых при интегрировании дифференциальных уравнений высших порядков, является понижение порядка уравнения, т. е. сведение уравнения путем замены переменных к другому уравнению, имеющему порядок ниже данного. Понижение порядка уравнения производят даже в тех случаях, когда получаемое при этом уравнение не интегрируется в квадратурах, так как чем ниже порядок уравнения, тем, вообще говоря, легче его решать приближенно численным или графическим методом. Следует заметить, что понижение порядка возможно далеко не для всякого уравнения, в связи с чем представляют интерес некоторые типы неполных дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.
Уравнения вида yn)=f(x), где f(x)— функция, непрерывная на некотором интервале a<^x<Jb оси ОХ, не только допускают понижение порядка, но и интегрируются в квадратурах.
Действительно, для любого решения у = <р(х) уравнения
УМ = Ж,(1)
лежащего в полосе \а<^х<^Ь,—оо<^у<^-[-оо}, последовательно интегрируя (и тем самым понижая порядок уравнения), получим:
y(n-D = ^(x) dx + Cb
y<n-2) = ^ ^ f(x) dx -[- С^ dx -|- С% = ^ dx ^ f (х) dx -[- Схх -[- С2,
У =^dx^dx ... Jf (х) dx + Ci ^х"_ ^ , + С2 ^ ^ + ••• + с«>(2)
где каждый из интегралов обозначает одну какую-либо первообразную для подинтегральной функции, а С1( С2, ..., Сп — некоторые постоянные.
Непосредственной подстановкой в уравнение (1) убеждаемся, что функция (2) при любых значениях постоянных Сь С2, .... Сп удовлетворяет уравнению (1). Отсюда следует, что функция (2) в указанной выше полосе является общим решением данного уравнения.
Пример. Дано уравнение у’ = ейх. Требуется найти его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
■*0 = 0, Уо = 1, ^ = — 1, Уо =0.
Так как функция f(x^ = e2x непрерывна всюду, общее решение уравнения в плоскости XOY получится путем трехкратного последовательного интегрирования соотношения у"' = е2х;
1х2
у. = _Д.е=Х+С1)^=_е2,+ С1 _+С2х + Сз.
Общее решение:
s = _L_e2x+Cl ^ + С2х + С3,
где Сц С2, Сз — произвольные постоянные.
Подставляя в выражения для у, у', у" начальные значения, получаем для определения постоянных Cv Сг, С8 соотношения:
l=-g- + C3, —1=-^--|-С2, 0 = -2-4-С1э
-157
откуда находятся Ct=g-, С2 =^-, С3 = ^~.
Искомое частное решение:
1 ,,125,7
у~ 8 е‘4Х4 Х + 8 "
Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка k—1 включительно, т. е. уравнения вида F (х, yw, y(k+i}, ..., у*"1) —О, допускают понижение порядка на к единиц.
Действительно, введем новую неизвестную функцию, положив yw = z. Тогда уи”л'1 = г', у^*^ = z", ..., у^ = г*п-к^ и уравнение F (х, yw, у^^у("))==0перепишется в виде:
F (х, z, z\ .... z(n-ft)) = 0.
Это дифференциальное уравнение порядка п— к<"п относительно неизвестной функции z. Таким образом, подстановка yw — z понижает порядок данного уравнения на к единиц.
Предположим, что полученное уравнение (п — к)-го порядка проинтегрировано и соотношение
Z = ’WC, Сь С2C„_ft),
где Сь С2, ..., Сп_к— произвольные постоянные, представляет совокупность его решений.
Тогда, подставляя вместо z его значение у^\ мы получим для определения совокупности решений данного уравнения уравнение рассмотренного в п. 1 вида:
UW = ф(х, С^Са, ..., Сп_ку
Интегрируя его последовательно к раз, получим совокупность решений данного уравнения:
У = <р (х, С^ С3, .... С„).
Пример. Дано уравнение у'" = ^-_. Определить его решения. Так как уравнение У"=^- не. содержит у и у, то порядок можно понизить, положив у" = z. При этом у"* = z', уравнение запишется в виде z’ = -^- . Решая его методом разделения переменных, получим:
-р-=-^-, In | z | = 1п | х | + 1п | С31, 2 = С,х, С^О.
Добавляя решение 2 = 0, утерянное при разделении переменных, найдем совокупность всех решений вспомогательного уравнения в виде:
z = Ctx, где С, — произвольная постоянная.
Подставляя у" вместо 2 в соотношение z = Ctx, для определения у будем иметь уравнение второго порядка:
у" = Сгх.
Интегрируя его, находим: у'= С,-^ + С2, у = Сг -^- + С2х + С3. Это соотношение будет обшим интегралом данного уравнения в областях
{х>0, —сосу <-|-Со} и {хсО, —со су < +со}.
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной, т. е. уравнения вида F (у, у', ..., yw) = 0, допускают понижение порядка на единицу, если за новую независимую переменную взять у, а за новую искомую функцию взять у' = р.
Действительно, применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем:
^У'^У . _dy_dp_.„ „w—dy"_ dy"dv _dxdy dxdy Уdx dydx^У'^У . _dy_dp_.„ „w—dy"_ dy"dv _dxdy dxdy Уdx dydx
^У'^У . _dy_dp_.„ „w—dy"_ dy"dv _
dxdy dxdy Уdx dydx
^У'^У . _dy_dp_.„ „w—dy"_ dy"dv _
dxdy dxdy Уdx dydx
Каждая из производных от у по х порядка т (1 ^ т ^ п) выражается через производные от р по у порядка не выше т—1. Подставляя их значения в данное уравнение, получим относительно новой неизвестной функции р дифференциальное уравнение порядка п—1:
Если это уравнение проинтегрировано и Ф (у, р, Сь С2,... ,Сп_^ = 0 — совокупность его решений, то для отыскания решений данного дифференциального уравнения остается решить уравнение первого порядка:
Ф(у, У, Ci, С2, ..., C„_i) — 0.
Пример. Найти решения уравнения уу"—у'2—4уу' = 0. Это уравнение второго порядка, не содержащее явно х. Обозначим через р=у’— новую искомую функ
-т- • р. В новых dy н-т- • р. В новых dy нцию, а у будем считать новой независимой переменной. Тогда у"
-т- • р. В новых dy н
-т- • р. В новых dy н
переменных данное уравнение имеет вид:
РУРУdp dydp dyра — 4ур = о,ра — 4ур = о,Т- ^P^Т- ^P^РР-4у =0.-4у =0.
РУ
РУ
dp dy
dp dy
ра — 4ур = о,
ра — 4ур = о,
Т- ^P^
Т- ^P^
Р
Р
-4у =0.
-4у =0.
■, у^О, однородное; пола-■, у^О, однородное; пола-dpл пdp .
■, у^О, однородное; пола-
■, у^О, однородное; пола-
гая р = иу, находим:гая р = иу, находим:Уравнение ур— 4у = 0, т. е. -^- = 4
гая р = иу, находим:
гая р = иу, находим:
«+-^--у = 44-и, du = ^-, к = 41п|у| + 41п|С,|,Р = 4у In | Cjy |,
где Cj — произвольная, отличная от нуля постоянная. Подставив р =, для опре
деления решений данного уравнения получим соотношение
-^- = 4yln|CLy|.
Интегрируя его, найдем семейство решений данного уравнения: In 11п |С^ 11 = 4х + Cs, где Сх и С» — произвольные постоянные.Интегрируя его, найдем семейство решений данного уравнения: In 11п |С^ 11 = 4х + Cs, где Сх и С» — произвольные постоянные.ТакТаккак совокупность решений уравнения рукак совокупность решений уравнения руdp "dydp "dyр- — 4ру = 0р- — 4ру = 0состоит изсостоит изрешений уравнения у -^р—4у = 0 и р = 0, то к найденному семейству решенийданного уравнения следует добавить решения уравнения у' = 0, т. е. у = С.решений уравнения у -^р—4у = 0 и р = 0, то к найденному семейству решенийданного уравнения следует добавить решения уравнения у' = 0, т. е. у = С.
Интегрируя его, найдем семейство решений данного уравнения: In 11п |С^ 11 = 4х + Cs, где Сх и С» — произвольные постоянные.
Интегрируя его, найдем семейство решений данного уравнения: In 11п |С^ 11 = 4х + Cs, где Сх и С» — произвольные постоянные.
Так
Так
как совокупность решений уравнения ру
как совокупность решений уравнения ру
dp "dy
dp "dy
р- — 4ру = 0
р- — 4ру = 0
состоит из
состоит из
решений уравнения у -^р—4у = 0 и р = 0, то к найденному семейству решений
данного уравнения следует добавить решения уравнения у' = 0, т. е. у = С.
решений уравнения у -^р—4у = 0 и р = 0, то к найденному семейству решений
данного уравнения следует добавить решения уравнения у' = 0, т. е. у = С.
Примечание. Если дифференциальное уравнение не содержит явно независимого переменного, искомой функции и ее первых к — 1 производных, т. е. если это уравнение имеет вид FVyw> У^*х\ •••, у'^^О, то порядок уравнения можно понизить на &+1 единицу, применяя последовательно сначала подстановку yw = z, где z новая неизвестная функция х, а затем выбирая z за новую независимую переменную, a z’ = p за новую искомую функцию.
Раздел 3
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙВЫСШЕГО ПОРЯДКА
Общие сведения о линейных дифференциальных уравненияхвысшего порядка
Дифференциальное уравнение п-го порядка
f (х, У, у'yw') = 0
называется линейным, если функция F(х, у, ф, ...» yw) линейна относительно искомой функции у и всех ее производных.
Следовательно, любое линейное дифференциальное уравнение п-го порядка может быть записано в виде:
Ло (х) у^ + Л, (х) у^ + ... + Ап (х) у + Л„+1 (х) = 0.(I)
В случае, если коэффициенты Л0(х), Л^х), ..., Л„(х) постоянны, уравнение (1) называется линейным уравнением с постоянными коэффициентами. Свободный член Л„+1 (х) при этом может быть как постоянным, так и зависящим от х.
Линейные дифференциальные уравнения принято записывать в так называемом приведенном виде:
yw + pt + -..-VPnWy = q (x).(2)
Для перехода от уравнения (1) к уравнению (2) достаточно разделить обе части уравнения (1) на Л„(х) и обозначить р, (х) = ^ ^, qW = _ — ^нДх), Уравнения (1) и (2) эквивалентны там, где Ло (х)^0.
Будем в дальнейшем рассматривать уравнение вида (2) с непрерывными на некотором интервале (а, 6) оси ОХ (конечном или бесконечном) коэффициентами рх (х), рг (х), ...,(х) и правой частью q (х).
При таких предположениях уравнение (2) в области \а<^х<^Ь, ОО < у <-[-00, ОО <у'<-|-ОО, .... —оо<у(п-1) < + °°} (п+1)- мерного пространства удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения.
Действительно, так как уравнение (2), разрешенное относительно старшей производной, имеет вид:
yW = — Р1 (х) у^ — ... —pn^y^-q (х),
то1) функция /(х, у, у, ..., у^^ — рх^У^ — ••• — pn(x)yJrq(x) непрерывна в этой области и имеет в ней непрерывные частные производные по у, у"у(п-1):
д// х,df. .
17 = — Рп^, = —P„-i(x), ^г, = — рг<х).
Отсюда следует, что всякая система начальных данных х0, у6, уо, .... У^-^, где а<х0<6, а уй, у’о, ..., у^-1'— любые числа, определяет в некоторой окрестности точки х0 единственное решение уравнения (2). Можно доказать, что это решение будет определено не только в окрестности точки х0, но и на всем интервале (а, Ь).
Уравнение (2) называется линейным неоднородным уравнением, или линейным уравнением с правой частью, если функция q^x) не равна
тождественно нулю. Если же у(х) = 0, то уравнение (2) называется линейным, однородным, уравнением, или линейным уравнением без правой части.
Линейные дифференциальные уравнения представляют наиболее простой и изученный тип дифференциальных уравнений высшего порядка. Это объясняется, с одной стороны, тем, что линейные уравнения обладают рядом свойств, значительно облегчающих нахождение и исследование решений, с другой стороны, тем, что решение целого ряда практических задач физики, механики, техники приводит к решению линейных дифференциальных уравнений. В случае, когда та или иная практическая задача приводит к более сложному, нелинейному уравнению, часто применяются приближенные методы решения, позволяющие заменить нелинейное уравнение «близким» к нему линейным уравнением.
Остановимся подробнее на изучении свойств решений линейных уравнений, а также рассмотрим методы построения их общих решений.
Линейные однородные дифференциальные уравненияс произвольными коэффициентами
Рассмотрим линейное однородное уравнение
У(п) + р1(х)у(”-1>+...+р„(х)у = 0(1)
с непрерывными на интервале (а, 6) коэффициентами.
По доказанному через каждую точку области а, представляющей собой полосу \а<^х<^Ь, —оо<у< + °о}, проходит решение уравнения (1), и это решение однозначно определяется заданием его начальных условий.
Обозначим через L(y) сокращенно результат применения к функции у совокупности операций, указанных левой частью уравнения (1):
Lkth=ywA-PxWy^H ..-А-Рп^У,(2)
и будем называть L(y) линейным дифференциальным оператором.
Линейный дифференциальный оператор L(y) каждой п раз дифференцируемой функции х ставит в соответствие некоторую функцию х.
Например, если L(y) = y"— 5ху' -[- х^у, то
L(^x) = 4e-x — (Охе^-^х^, L (х5) = 20х3 — 25х= + х1 и т. д.
Линейный дифференциальный оператор (2) обладает следующими свойствами.
Если у есть п раз дифференцируемая функция, а С— любое число, то L(Cy) = CL(y).
Действительно,
L (Су) = (Су)^ + рх (х) (Су)^ + ... + рп (х) (Су) == Cyw + рх (х)Су^ -}- ... + Рп(х)Су == С [yw + рх (х) у^ + ... + рп (х) у] = CL (у).
Если ух и у2 — п раз дифференцируемые функции, то
L (Ух + Уъ) = L (ух) + L (уг).
Действительно,
L (ух + у2) = (у. + У^ + Рх W (У* + У^"^ +-+Рп М (Ух + У-i) =— [У1П) + Рх (х) У^ + • • • + Рп (х) УхА + [!/?’ + Рх (х) У^~ч + -. • ++ Рп (х) У1А = L (Ух) + L (У-А
Примечание. Свойство 2 справедливо для любого конечного числа слагаемых.
Рассмотренное выше линейное однородное уравнение (1) с помощью оператора L(y) может быть сокращенно записано в виде:
L(y) = 0.(3)
Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами:
. Если функция i/t является решением уравнения (1), то функция Сух, где С— любое число, также является его решением.
. Если функции ух и уг являются решениями уравнения (1), то функция ух-\-у% также является его решением.
Эти свойства являются непосредственным следствием свойств линейного оператора L^.
На основании свойств 1 и 2 заключаем, что если yv, у„, ..., уп— п любых решений уравнения (1), то их линейная комбинация С1у14-С2у2 + -{-... + Спуп с произвольными постоянными коэффициентами Сх, С2,..., Сп также является решением этого уравнения.'
Естественно возникает вопрос, не будет ли эта линейная комбинация, зависящая от п произвольных постоянных, являться общим решением уравнения (1) в области а. Ниже будет показано, что при определенных условиях на решения ух, у», ..., уп выражение СхУх 4- С^ + + ... 4-Спуп действительно является общим для уравнения (1). Чтобы выяснить, каковы эти условия, введем понятие линейной зависимости и линейной независимости функций.
14. Линейная зависимость и линейная независимость функций.Определитель Вронского и его свойства
Рассмотрим систему из п функций ®i (х), <р2 (х),..., у„(х). определенных на одном и том же интервале (а, 6) оси ОХ).
Эти функции называются линейно зависимыми на интервале (а, 6), если существуют числа ап а2, ..., а„, не все равные нулю, и такие, что для всех х интервала (а, 6) тождественно выполняется соотношение
aiYi W 4“ аа?2 to 4“ • • • 4" ал?л (х) = 0.(1)
Если функции ф! (х), <р2 (х),..., <р„ (х) линейно зависимы на интервале (а, 6), то хотя бы одна из этих функций является линейной комбинацией остальных.
Действительно, в соотношении (1) есть коэффициенты, отличные от нуля. Пусть, например, «„ ^ 0. Тогда функция у„(х) есть линейная комбинация остальных функций системы:
<Рл to = ₽1®1 (X) + ₽2?2 W +• • -4" Pn-ifn-i to. где Pi = — ^, г = 1, 2п — 1.
Это утверждение можно принять за основное определение линейно зависимых функций. При этом данное выше определение станет следствием ).
Приведем несколько примеров.
Пример I. Функции ф! (х) = sin2 х, ф» (х) = cos2x, ф3 (х) = 1 линейно зависимы на любом интервале (а, Ь). Действительно, полагая а1=1, а»=1, а3 =—1, получим на основании известного тригонометрического тождества, что
1 • sin2x + 1 • cos2 х -|- (— 1) • 1 = 0.
Пример 2. Функции ^ (х) = sin2 х, ®2 (х) = х, <р3 (х) = cos2 х, ф, (х) = 1, <?ъ(х') = ех линейно зависимы на любом интервале (а, 6), так как, полагая «!=!, а2 = 0, а3=1. «4 = — 1, «5 = 0, получим:
1 • sin2 х + 0 • х + 1 • cos2 х -|- (— 1) • 1 + 0 • ех = 0.
Этот пример показывает, что если часть функций системы линейно зависима, то линейно зависимы и все функции.
Пример 3. Функции
?i W = V х, ф2 (х) = у , ф3 (х) = 0, ?4 (х) = х2
на интервале 0<х<1 линейно зависимы, так как, полагая «, = 0, «2 = 0, «3 = 2, «4 = 0, получаем:'
0 • Ух + 0.1 ф2 .ОфО .х2 = 0.
Примечание. Любая система функций, содержащая функцию, тождественно равную нулю, будет линейно зависимой.
Линейная зависимость двух не равных тождественно нулю на интервале (а, 6) функций ф, (х) и ф3 (х) равносильна пропорциональности этих функций.
Действительно, если а1ф1(х)-|-а2ф2(х) = 0, причем 04 у 0, то ф!(х) = = --ф2(х).
Функции <р! (х), <р2 (х) фп(х), определенные на интервале (а, 6)
оси ОХ, называются линейно независимыми на этом интервале, если из соотношения
«iYi W + «2+2 (х) +... + а„ф„ (х) = 0,
где аь а2, ..., а„—числа, следует, что а, = а2 =... = а„ = 0.
Если функции ф, (х), ф2 (х), ..., ф„ (х) линейно независимы на интервале (а, 6), то ни одна из них не является линейной комбинацией остальных.
Пример. Функции
Ф0(х) = 1, ф, (х) = х, ф2(х)=х2, ..., ф„(х)=х", где п — любое натуральное число, линейно независимы на всей числовой оси.
Действительно, если составить линейную комбинацию этих функций с коэффициентами «0, «„ ..., «„, то получится многочлен:
«0 + агх -|- «2Х2 -|- ... 4~ апХл.
Многочлен степени не выше п не может иметь более, чем п, действительных корней. Следовательно, тождественное равенство
«0 -|- oiX ~|- а^х- -|- •. • 4~ апхп = 0
возможно, только если
“о = 01 =...=«„=0.
Рассмотрим еще один пример линейно независимых на интервале (0, 2) функций.
Пусть
z X _ Г °,0<х<11J (х—I}1, OCX < 1,
?iW — |(х_ 1)4, l^x<2,—jo, 1 ^ х < 2 (рис. 344).
Если для любого значения х нз интервала (0, 2) имеет место равенство т^, (х) + + a2cps(x)=0, то, подставляя х = у, получим, что <р, ^у^ = 0, <р2 ^у^ = 2^, ^-О-Е + «2 • ^ = 0, т. е. а2 = 0.
Подставляя затем x=-g-, получим, что
*ЦгН' а1-й + о-о=о,а1 = о.
Таким образом, из тождественного равенства
ai?i W + “2?2 W = 0
следует, что а1 = а2 = 0. Это значит, что функции у, (х) и ф2 (х) линейно независимы.
Удобный аппарат для исследования некоторых систем функций на линейную зависимость предложен польским математиком Юзефом Вронским.
Пусть У1, у2, ..., у„— п функций, определенных и и—I раз дифференцируемых на интервале (а, 6).
Определитель n-го порядка
Ух
Уч
Уп
г=
yi
У»
Уп
У^~
■1)D
Уз
У^
называется определителем Вронского, или вронскианом, для этих функций. Определитель Вронского также является функцией от х, определенной на интервале (а, 6): W = W (х).
Так, например, если >\ = sin х, у2 = е~*> у3 = х3, то
sin хе~хх2
^(х) =^(х) =cos х—е-х2х
^(х) =
^(х) =
— sin хе~х2
Применение определителя Вронского к исследованию решений линейных однородных уравнений на линейную зависимость основано на следующих двух теоремах.
Теорема 1. Если функции уь у3, ..., уп линейно зависимы на интервале (а, Ь), то составленный для них определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю.
Доказательство. Так как функции ух, у», ..., уп линейно зависимы на интервале (а, Ь), то хотя бы одна из этих функций, пусть это будет уп, есть линейная комбинация остальных функций:
Уп — Р1У1 + Р2У2 + • • • + ^п-1Уп-11
где Pt, р2, ..., Р„_1 — некоторые числа.
Дифференцируя это тождество последовательно п — 1 раз, получим:
Уп = Pi У1 "т" РгУ^-Н • • • 4“ Р« — 'Уп — 1»
„(" — ОQ „V1-’) I о „(«-!) I I о „(я —1) Уп —Р1У1 j Р2У2 “Г —."гул — 'Уп — 1 ♦
Ух
Уч
... Уп
Г(х) =
У1
Уч
... У'п
Соответствующий данной системе функцийСоответствующий данной системе функцийпри этом запишется в виде:при этом запишется в виде:определитель Вронскогоопределитель Вронского
Соответствующий данной системе функций
Соответствующий данной системе функций
при этом запишется в виде:
при этом запишется в виде:
определитель Вронского
определитель Вронского
9',—’ «Г"... ИГ"
У1Уч• • • Pif/i+ учУч+... + $п-1Уп-1
У1Уч••• Р1У1+Р2У2+ ...4~?п-1Ул —1
Вычитая из элементов последнего столбца определителя соответствующие элементы первого столбца, умноженные на рь затем элементы второго столбца, умноженные на ра, и т. д., наконец, элементы (п—1)-го столбца, умноженные на p^-i), получим, что
УчУч... Уп-t О
УчУч... y'n-i О
у'Г^у^ ... у^’о
Теорема 2. Если ух, уг, .... уп — п линейно независимых на интервале (а, Ь) решений линейного однородного уравнения n-го порядка L(y) = Oa), то составленный для них определитель Вронского ни в одной точке интервала (а, 6) не равен нулю.
Доказательство. Допустим противное. Предположим, что существует точка х0, a<^xtt<_b, в которой определитель Вронского, составленный для функций ух, уч, .... Уп, равен нулю:
У1Мy»^... УпМ
У1МУчМ . ... у'п^
yt-1) Uo) Уч- *’ (х0)Уп~ °(х0)
Рассмотрим вспомогательную систему из п линейных однородных алгебраических уравнений с неизвестными аь ааа„:
а\У1 (х0) -|- лчУч (Xq) -[-...-[- а„у„ (х0) — О,
(2)(2)°ЧУ i (Хо) ~Н ачУч (Хо) -}-...-{- «-„Уп (Хд) — О,
(2)
(2)
&ХУХ ^ (Хо) “Ь «2У2' (Хо) -[-...-[- «-пУп (х0)0.
Эта линейная однородная система уравнений имеет ненулевое решение, так как определитель системы W (ха) (определитель из коэффициентов при неизвестных) равен нулю).
Обозначим через аХ) а.ч, .... ап — ненулевое решение системы (2) и рассмотрим функцию
У = ®1У1 + ачУч + • • • + 6-пУп-
Эта функция, являясь линейной комбинацией решений уравнения L(y) = 0, сама будет решением того же уравнения. Так как
У = ®1У1 + «аУз +... + а-пУт
У' = ®1У1 Ч- ®%У2 + • • • ~г S-пУп,
yt-n^a^"-1) 4- 5.^ - » +... + апу^~ ”,
то при х — хй имеем [см. уравнения (2)]:
У (х0) = <ЧУ1 (-^о) 'г- З-чУг (Xq) Н- • • • Н- ®пУп (Хо) = О,
У1 (х0) = 5.1У1 М “Г «зУз (х0) + • • • + «пУп (х0) = О,
У("- ” (Хо) = М<" - » (Хо) + а^" - ” (х0) +... + »пУп ” ’ (Хо) = 0.
Это значит, что решение у уравнения L (у) = 0 удовлетворяет начальным условиям х0, 0, О, ..., 0.
Всякое линейное однородное уравнение имеет так называемое тривиальное решение, т. е. решение, тождественно равное нулю: y = 6v). Это решение также удовлетворяет начальным условиям х0, 0, 0, ..., 0.
По теореме существования и единственности решения для уравнения £(у) = 0 задание системы начальных данных однозначно определяет решение, т. е. решение у должно совпадать с решением, тождественно равным нулю:
у = 0, или,что то же, а^,-[-а2у2-L... + ^чУп = 0.
Так как среди чисел аь а2а„ имеются отличные от нуля, то из последнего соотношения следует, что функции уь уъ ..., уп на интервале (а, Ь) линейно зависимы, что противоречит условию. Таким образом, предположение о том, что определитель U7 (л) может обращаться в нуль на интервале (а, Ь) отпадает.
Примечание. Если п — 1 раз дифференцируемые функции Уь Уз,..., уп линейно независимы на интервале (а, Ь), но не являются на нем решениями линейного однородного дифференциального уравнения, то составленный для них определитель Вронского может быть равен нулю как в отдельных точках интервала (а, 6), так и на всем интервале.
Пример. Как было установлено выше (см. стр. 457), функции
линейно независимы на интервале (0, 2). При этом
, . .( 0,0<х< 1,( 4(х — I)3, 0<х< 1,
— | 4(Х_ 1)3, 1 ^х<2,?2^(0,1^х<2.
Составим для них определитель Вронского:
^(х)^?^ <РНх)|’ I 4 (X) ^ (X) I
Для любого х, 0 с х < 1, имеем:
|0^^ = ,0|0^^ = ,0(х-1)44(х —I)3(х-1)44(х —I)3= 0.= 0.
|0
^^ = ,0
|0
^^ = ,0
(х-1)4
4(х —I)3
(х-1)4
4(х —I)3
= 0.
= 0.
Для любого х, 1^х<2, также получаем, что
W(x) =W(x) =(х —1)*0 1
W(x) =
W(x) =
4 (х — I)3 0 I 1
т. е. на интервале (0, 2) U7(x) = 0.
Из доказанных свойств определителя Вронского следует, что если Ух, Уч, .••, Уп — определенные на интервале (а, Ь) решения линейного однородного уравнения L(z/) = O, то составленный для них определитель Вронского либо тождественно равен нулю на интервале (а, 6) (решения линейно зависимы), либо не равен нулю ни в одной точке интервала (а, 6) (решения линейно независимы).
15. Структура общего решения линейного однородного уравнения
Фундаментальной системой решений линейного однородного уравнения n-го порядка на интервале (а, 6) называется всякая система из п линейно независимых на этом интервале решений уравнения.
Из теорем предыдущего параграфа следует, что, для того чтобы система решений ух, у^, ..., уп уравнения
У^ + аМУ^+.-. + РлМ^О(1)
была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был отличен от нуля хотя бы в одной точке интервала (a, by
Легко видеть, что уравнение (1) имеет на интервале (а, 6) бесчисленное множество фундаментальных систем решений.
Действительно, рассмотрим любую квадратную таблицу (матрицу) из п- чисел
йи 0x2 ... о1п021 °22 ••• й2л
аП1 °па ••• °пп
с определителем, отличным от нуля1). Затем закрепим в интервале (о, 6) любое значение х = х0 и обозначим через у!—решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям
У1 (x0) = eu, y'1(^) = aSl, ... , У?-° (х0) = ап1,
через у2—решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям
Узкх0) = вць у2(х0) = а,2, ... ,У(2”-1) М = "«2,
и т. д. и, наконец, через уп—решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям
Уп W = “in, Уп кх^ = aln, ..., у^" -') (х0) = апп.
По теореме существования и единственности для уравнения (1) такие решения существуют.
Так как, в силу выбора чисел a(-ft, i, й=1, 2, ..., п, определитель
Цц ДХ2 ... Цщ
^21 ^22 ••• ^2п
—
У1(-^о)УакХ»)...Упкх0)
У1 (-^о)У 2 (-^о)••• УпкХ<^ ^(Уц)
°П1 °П2 ••• °ПП
у'\"^ кх^ у{2 - ° кх») ™ У^”-1’ (о)
отличен от нуля, то решения уп уг, ...,ул линейно независимы на интервале (а, Ь), т. е. система функций уп у2, ..., уп будет фундаментальной.
1 о о ... ОО 1 о ... о1 о о ... ОО 1 о ... оС помощью фундаментальной системы решений можно решить поставленный выше вопрос о структуре общего интеграла линейного однородного уравнения (1) в области с\а<^х<^Ь, —оо<^у<^4-оо}.
1 о о ... О
О 1 о ... о
1 о о ... О
О 1 о ... о
Теорема. Если уь у», ..., уп — фундаментальная система решений уравнения (1) на интервале (а, 6), то линейная комбинация этих решений
У = Схух -[- С^ +... + Спуп,(2)
где Сь С2,.... С„— произвольные постоянные, является общим решением уравнения (1) в области а.
Доказательство. Так как ух, у%, .... уп— решения уравнения (1), то при любых значениях постоянных Съ С2С„ функция у = Ctt/t-|- + С5у» + ... + Спуп также является решением.
Для того чтобы доказать, что выражение (2) представляет собой общее решение уравнения (1) в области а, достаточно установить, что любое решение уравнения (1) в этой области можно задать в виде (2) при определенных значениях постоянных Сь С2,..., Сп.
Пусть у—любое решение уравнения (1) в области а. Закрепим в интервале (а, 6) произвольно точку х0, а<^хй<^Ь, и составим вспомогательную систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными Сх, С2, ..., Сп.
СхУх (х0) + С^ (х0) +... + Спуп (х0) = у (х0),'
Схух (х0) + С2у2 (х0) -{-...-[- Спуп (х0) = у’ (х0),
Cif/i” '(х0) + С2У2” * (-^о) + • • •-|~ С„</д” \л:0) = у(л *’(х0). .
Определителем этой системы является определитель Вронского W (х), вычисленный в точке х0. Так как решения ух, у^, .... уп линейно независимы, то W (х0) Ф 0, а значит, система имеет, и притом единственное, решение Сх, С», ..., С„*).
Рассмотрим решение, получающееся из выражения (2) при СХ = СХ, С2 = С2, .С„ = Сп:
= Схух -[- С2у2 +. • - + СпУп.
В силу выбора постоянных Сх, С2,..., Сп [см. уравнения системы (3)] получаем, что
У М— Схух (х0) -[- С2 у^ (х0) -[-... -|- Спуп (х0) = у (х0),
У (^о)== Схух (х0) -[- С^у^ (х0) -[-... -}~ Спуп (х0) = у (х0),
^ -1) (ХО) = ^ -11 (х0) + С^ - ” (х0) а-... + С^ -1) (х0) = ~у^ - »(х0),
т. е. решение у = Схух -[-С^-|-... + С„уп удовлетворяет тем же начальным условиям, что и решение у. Следовательно, по теореме существования и единственности решения уравнения (1) они тождественно равны, т. е.
У = Схух -[- С^у-2 -[-...-[- Спуп,
что и требовалось доказать.
Примечание. Из доказанной теоремы следует, что всякое решение уравнения (1) в области а является его частным решением. Таким образом, для отыскания общего решения уравнения (1) в области а достаточно найти п линейно независимых частных решений и взять их линейную комбинацию с произвольными коэффициентами.
Пример. Линейное однородное уравнение второго порядка у" — у = 0 имеет, как легко видеть, частные решения j^ = е* и уа = е-х. Эти решения на всей числовой оси ОХ линейно независимы, так как определитель Вронского
W(X) =W(X) =gX у X ех е-хgX у X ех е-х
W(X) =
W(X) =
gX у X ех е-х
gX у X ех е-х
т. е. отличен от нуля.
Общее решение данного уравнения (во всей плоскости XOY) можно, например, записать в виде: у = Схех + Сае^х.
§ 16. Нахождение общего решения линейного однородногодифференциального уравнения второго порядка
Как уже говорилось выше, интегрирование линейного однородного уравнения сводится к отысканию фундаментальной системы его решений. Однако даже для уравнения второго порядка с переменными коэффициентами эта задача в общем виде не решается, т. е. не удается получить ни одной фундаментальной системы решений ни в элементарных функциях, ни в квадратурах. В связи с этим представляет интерес следующая теорема.
Теорема. Если известно одно ненулевое решение у = ух уравнения
у' +Р1(*)/+р2(*)у=о,(1)
то общее решение этого уравнения в области {а<^х<^р, —^^У^Ч-00} может быть найдено с помощью квадратур.
Здесь а<^х<р— любой интервал, на котором коэффициенты рх (х) и р2(х) уравнения непрерывны, а частное решение ух не обращается в нуль.
Доказательство. Введем новую неизвестную функцию и, положив У=иух. Тогда у' = и'ух4-иу'х, у” = u"yx-V-2u'y'x^\-иу"х. Подставляя у, у' и / в уравнение (1), получим:
и*Ух + 2и'у'х + иух + рх (х) Yu'Ух + «уП + Pi (я) «Ух = О, т. е.
«*Ух + и' [2ух -[- рх (х) У1] + « [у' -|- Рх (х) Ух -|- Ра (х) у,] = G.
Так как yt— решение уравнения (1), то
Ух + Pi to у’х + Рг W ух = О,
а значит, уравнение (1) в новых переменных имеет вид:
и'Ух + «' [2у; + Рх (х) у^ = 0.
Порядок этого уравнения понизим, положив и' = г, где г — новая искомая функция:
z'yi + г [2у; + рх (х) Ух1 = 0.
Решая на интервале а<х<^р полученное уравнение с разделяющимися переменными, находим совокупность его решений в виде: z = Cl \ Pl (•*) Ахот—гг
— ^е^, где Сх — произвольная постоянная. При этом и =
= e~^P1^dx, т. е. и = Сх С 4 j P1 (х) dx dx С2, где С2— также про- У1J УГ
извольная постоянная.
Подставляя найденное значение и в формулу у — иух, получим совокупность решений уравнения (1):
y = Cxyx^e-VlWdxdx-V-C,yx.(2)
Эта совокупность представляет собой общее решение уравнения (1) в области {а<^х<^р, —оо<у<-}-оо}, так как решения
и у2 = у, \(Zx1)
непропорциональны, а значит, линейно независимы на интервале (а, Р).
Таким образом, если для конкретного линейного однородного уравнения второго порядка удается подобрать одно ненулевое частное решение, то общее решение уравнения находится указанным в доказательстве теоремы методом.
2
Пример. Уравнение у" + —у' + у=0—линейное однородное второго порядка.
Непосредственной подстановкой в уравнение убеждаемся, что функция у = ^"^ является его решением на любом интервале, не содержащем точки х = 0. Применим sin х._
подстановку у=—м> где и — новая искомая функция. В новых переменных данное уравнение запишется в виде:
sin х „ , „ cos х , А
и + 2и = О
х 1 х
или, если положить u' = z, в виде:
sin х , , n cos х Аz' + 2z = 0.хх
Интегрируя полученное уравнение на любом интервале (а, р), не содержащем точек х = кт, к = 0, ±1, ±2, ... , получим:
— dx, ln|z|=—21n|sinx| + ln|C1|,
2sin X
z = gj^y ■ где ^i — произвольная постоянная.
Подставляя z = u' и интегрируя снова, находим:
и’ = — г*а =— С. ctg х + С2, где С. и С2 — произвольные постоянные.
.sin х._, _ ._ cos х , „ sin х , л
Функция у = —— [ — Ct ctg х + С3], т. е. у = — Cj —— + С» —— будет общим решением данного уравнения в области
Линейные однородные уравнения высшего порядка с постояннымикоэффициентами
Выше уже отмечалось, что фундаментальные системы решений линейных однородных уравнений удается найти лишь для некоторых простейших типов таких уравнений. Одним из этих типов являются линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Покажем, что интегрирование линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами в элементарных функциях сводится к чисто алгебраическим операциям.
Пусть
у(")+С1у("-1)+...+С„У = 0(1)
или, короче,
Ш = 0,
где L (у) = yw + а1у^п~1'1 -[-... 4-йп1/,—линейное однородное уравнение с действительными коэффициентами.
’) Эти решения получаются из соотношения (2) соответственно при С, = 0 и С2 = 0.
Будем искать решения этого уравнения в виде у — екх, где к— некоторое число.
Так как y' = kekx, y'' = k*ekx, ... , y(") —/гпе6^, то
L (екх) = екх [fe” + а^"1 +... + ап\.
Многочлен F (k) = кп -ф- а^"-1 -[-...-[- ап называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения (1). Формально этот многочлен получается из левой части уравнения (1), если все производные искомой функции заменить соответствующими степенями к.
Для того чтобы функция у = екх являлась решением уравнения (1), необходимо и достаточно, чтобы
L 1екх^ = 0, т. е. ekxF (/г) = 0.
Множитель ^х отличен от нуля, следовательно, число к должно удовлетворять уравнению
(2)(2)F(fe) = 0.
(2)
(2)
Уравнение F(k) = 0 называется характеристическим уравнением (с неизвестной /г), соответствующим данному дифференциальному уравнению (1).
Таким образом, для того чтобы функция у = екх была решением дифференциального уравнения (1), необходимо и достаточно, чтобы число к было корнем соответствующего характеристического уравнения (2).
Характеристическое уравнение (2)
fe"-{-“i^”-1+ •. • +ап —0
есть алгебраическое уравнение n-й степени относительно к, следовательно, по основной теореме алгебры оно имеет п корней: къ кч, ... , кп. Каждому из этих корней соответствует решение дифференциального уравнения (1).
При изучении вопроса об общем решении уравнения (1) (во всей плоскости ХОУ) приходится рассматривать следующие возможные случаи.
Все корни характеристического уравнения (2) действительны и различны.
Функции y1 = ekix, у2 — ек^х, ... , уп = екпх являются по доказанному решениями дифференциального уравнения (1). Эти решения составляют фундаментальную систему решений (на всей числовой оси).
Для доказательства составим определитель Вронского:
где
11 ... 1
кх к^ ... кп^i-1 ^-I • • • ^п-1
— определитель, известный под названием определителя Вандермонда. Он равен произведению всевозможных разностей первых степеней входящих в него элементов (см. гл. I, § 36):
V = (fe2 —fei)(fe3 —^1) ... <кп — к^1к^ — к^ ... (кп — к^ ... ккп — кп-\У
Так как корни ku к», ... , кп различны, то определитель Вандермонда, а значит, и определитель Вронского, отличны от нуля.
Таким образом, в случае различных действительных корней 6Ь 6-2, ... , кп характеристического уравнения (2) решения
У1=е6^, уг = ек^хУ„ = ек"х
составляют фундаментальную систему, а значит, общее решение уравнения (2) можно записать в виде:
у = Cve^x + С0.е^х +... + С/п\
где Сп С2, ... , Сп — произвольные постоянные.
Пример 1. Дано уравнение у1' — Зу' + 2у = 0. Характеристическое уравнение имеет вид А2— ЗА 4" 2 = 0, его корни А, = 1, А2 = 2—действительные и различные, соответствующие частные решения уравнения: yt = ех, у2 = е2х. Общее решение: у = Ctex + С»е2х, где С] и С2 — произвольные постоянные.
Пример 2. Дано уравнение у"' —7у" -|- бу' =0. Составляем характеристическое уравнение: А3— 7А2-|-6А = 0, находим его корни Ах=0, А2=1, А, =6. Корни действительные и различные. Им соответствуют решения: у1 = 1, уа = ех, у3 = е6х. Общее решение уравнения: у = С, 4 Сгвх 4- Саевх, где С„ С2, С3 — произвольные постоянные.
Все корни характеристического уравнения действительны, но среди них встречаются кратные корни.
В этом случае среди чисел 6Ь 62кп различных корней будет меньше, чем п, и соответственно среди решений ек1Х, екзХекпх различных решений также будет меньше, чем п. Это значит, что система из этих решений уже не будет фундаментальной.
Для получения недостающих решений можно использовать свойства оператора:
L(y)=y(")4-a1y<"-1>4-... 4-a„y с постоянными коэффициентами.
Равенство L (е^) = ekxF (k) имеет место для всех значений числа /г. Продифференцируем его т раз по /г:
dmL (екх)дт [ekxF (А)]дктдкт *
При этом
Учитывая свойства производных, а также теорему о независимости смешанной производной от последовательности дифференцирований, получаем:
dmL (екх) _ (dmekx\W । „ / gmekx^n-i) (( gmekx
~ \дк™~/ "гa* \ дкт )+ • • • Ta« дкт =
/ gmehx \
С другой стороны, применяя правило Лейбница для вычисления производной порядка т от произведения двух функций, находим: дт\екхР^\ дтекх , дт-хекх , —1' 71 = -3 F (к\Д-т F №\ 4-
октдк^ х 7 1 okm 1 v / 1
+ ...(fe) =
= ekx V^F (k) 4- mx^F’ ^ 4- C^x^P' (6) 4- ... 4- Fw (6)].
Приравнивая полученные результаты, приходим к формуле
L (хтекх) = ^ [хтР (k) 4- тх^Р (6) 4- С^х^Р’ (6) 4- ... 4- Р™' (6)], (3) справедливой для любого натурального числа т и любого числа к. 466
Вернемся к поставленной выше задаче. Пусть кх — корень уравнения (2) кратности пц. Это значит, что характеристический многочлен F (k) можно записать в виде:
F (&) = (к — кхУ1! Ф (/г), где Ф (fet) ^ 0.
Так как всякий кратный корень многочлена является корнем кратности на единицу меньшей для его производной *), заключаем, что
F (/?,) = F (кх) = ... = Р-т1-^ (kx) = 0, а Я'”*' (кх) ф 0.
Подставляя в формулу (3) вместо к число кх, а вместо т последовательно числа 0, 1, 2, ... , т.х—1, получим, что L (х^6^) = 0. Это значит, что функции
ей^, х^хХ1 х^*, ... , Хт1-1ек1х
являются решениями данного дифференциального уравнения. Таким образом, корню кх характеристического уравнения (2) кратности иц ставится в соответствие ровно тх различных решений дифференциального уравнения.
Рассуждая указанным образом для каждого простого и кратного корня характеристического уравнения, составим систему из п различных решений дифференциального уравнения (1). Можно показать, что эта система решений будет фундаментальной на интервале — оо <х <-ф- оо. Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами дает общее решение уравнения (1) во всей плоскости.
Пример 3. Дано уравнение у" — 4у'-|-4у = 0. Его характеристическое уравнение к2— 4А-|-4 = 0 имеет кратные корни кх = к2 = 2. Соответствующие им частные решения уравнений имеют вид: уг = е2х, у„ = хё2х. Общее решение: у = Схе2хЦ- 4- Сахе2х, где С, и С2 — произвольные постоянные.
Найдем частное решение этого уравнения с начальными данными 0, —1, 1.
Так как у = Схв2х 4- Сйхе2х, то у1 = 2Сге2х 4- С2е2х (1 4- 2х).
При х = 0 имеем—1=Сц l=2Ct4-C2, откуда Ci =—1, С2 = 3.
Искомое частное решение имеет вид: у = е~2х 4- Зхс2х.
Пример 4. Дано уравнение yv— 9у'" = 0. Характеристическое уравнение имеет вид: А5 — 9й* = 0, его корни кх = ка = ка = 0, к4 = 3, к5 = — 3. Корень кг = 0 — трехкратный, корни й4 = 3, къ =— 3—простые. Соответствующие частные решения уравнения: у, = 1, у3 = х, у3 = х2, у4 = е3х, у5 = е-3\ Общее решение: у = Сх + + С»х-\-С3х2 4-С4езх + С5е-Зх, где Ct, С2, С8, С4 и С5 — произвольные постоянные.
Среди корней характеристического уравнения (2) встречаются мнимые корни.
В этом случае для решения вопроса о фундаментальной системе решений уравнения (1) требуется ряд элементарных сведений из теории комплексных функций действительного аргумента. Приведем необходимые сведения (подробнее эти вопросы изучаются в гл. X).
Если каждому значению действительной переменной х (из некоторого множества) поставлено в соответствие комплексное число у = и-^1о, то говорят, что задана комплексная функция действительного аргумента х и пишут:
y = f(x) или у = и (х) -ф- io (х).
При этом функции и (х) и о (х) называются соответственно действительной и мнимой частью функции y = f (х).
Для комплексных функций действительной переменной х можно ввести понятие предела, непрерывности, производной аналогично тому, как это делалось в действительном случае. Из определения производной, в частности, следует, что
у' = и’ (х) -ф- io' (х)yw = uw (х) -ф- ivw (х).
^Действительно, если F(k) = (k— кх)1”1 Ф (к), где ф(Й!)^0, то F (k) = = (к — й1)'”|-1 (т, Ф (к) 4- (к — fet) Ф' (6)] = (к — кхУ1!-1 Т (А), где Т (к,) = ш»Ф (kx) ^ 0. Это и значит, что к = кг — корень многочлена F" (к) кратности тх — 1.
Рассмотрим линейное однородное уравнение (1) с действительными коэффициентами:
L (У) = yw + Oiy^"1’ + ... + апу.
Комплексная функция действительной переменной у = и (х) -[- iv (х) называется решением этого уравнения, если
L(y) = 0, т. е. L (и (х) -Uiv (х)) = 0.
Подставляя у = и (х) 4- iv (х) в уравнение (1), получим:
(u 4~ ivxjw + ai (и + йУ)11П-п + ... + ап (ы -]- /и) =
= [и(га) -[- ахи^п-^ + ... + а„и] 4-1 [и(п) 4- Ч\^п~^ 4- ... 4- апу] =
= L(u)4-/L (v) = 0.
Так как комплексное число равно нулю только тогда, когда его действительная и мнимая части равны нулю, заключаем, что
L (и (х)) = 0 и L (и (х)) = 0.
Таким образом, если функция у = и (х) 4- iv (х) есть решение уравнения (1), то ее действительная и мнимая части также являются решениями уравнения (1).
Определим для любых действительных чисел аир комплексную показательную функцию действительного аргумента х равенством:
е<*+‘₽) х = еах (cos Рх4~ i sin рх).
В частности, если а —0, отсюда следует, что для любого действительного числа р имеет место равенство
е‘9х = cos Рх 4~ i sin Рх.
Подставляя вместо числа р число — р, получим равенство
6“'^=cos рх — i sin рх.
Из этих равенств как следствие получаем, что е^ + е-^. eiyc_e-Hiix
COS рх =, Sin Рх =^•
Функция е^"1"1^*' для любого значения х имеет производные всех порядков, причем:
^(«+гр) ,у — (а _|_ ^ 5(«+Ф)
(е(«+«₽) ху = (а _[_ /р)2 е( WP) х,
^«.Vi^xyn} ^ _|_ £-^п gt/w^x.
Вернемся к решению линейного однородного уравнения (1) в случае, когда среди корней его характеристического уравнения встречаются мнимые корни.
Пусть fe1=a14-t"Pi — простой корень характеристического уравнения (2). Так как это уравнение имеет действительные коэффициенты, то среди его корней найдется корень, комплексно сопряженный корню кх. Обозначим его через к^.
fe^a, —ip,.
Корням кх и к2 соответствуют комплексные решения y1 = et$i"1'£9i)x и у2 = е''а1”‘9^х дифференциального уравнения (1).
По доказанному действительные и мнимые части этих решений, в свою очередь, являются решениями уравнения (1). Так как
t/j^e’^cosPtX-l-je’^sinPiX, а ya = e®xcos PtX —ie®i* sinp^, то это значит, что функции
e^cos^x, e^sin^x и —e^i^sinp^
будут действительными решениями уравнения (1). Отбрасывая последнюю из них, получаем два действительных решения уравнения (1):
y1 = e®*xcosp1x и y2 = e®ixsinp1x, соответствующие двум простым комплексно сопряженным корням k\, 2 = = ^±1^, характеристического уравнения1).
Если число ^ = ^4-^1 — корень характеристического уравнения (2) кратности ть то комплексно сопряженное число k%==at— i^v также является корнем уравнения (2) кратности mt. Этим корням соответствует 2m! комплексных решений дифференциального уравнения (1):
е(“1+'31)* ^et^i+'Pil^ ... jj-mj-l e(“i+"?!)j:
е(«1-'Р1)*^(^-ip^x^.m,-! gfi^ip^x
По комплексным решениям, отделяя их действительные и мнимые части, можно составить систему из 2mt действительных решений того же уравнения (1):
e^^cos^x, xe^i^cos^х, ... , хт>-1 е®т* cos PjX, е®** sin PiX, хе®!*sinPjX, ... , xmi-1 e®ixsin^х.
Аналогичным образом поступаем с любой парой комплексно сопряженных корней характеристического уравнения.
Рассмотренные выше случаи позволяют сформулировать следующее общее правило решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение и отыскиваем все его корни.
Находим частные решения данного дифференциального уравнения; при этом:
каждому простому действительному корню к характеристического уравнения ставится в соответствие решение екх,
каждому m-кратному действительному корню к характеристического уравнения ставится в соответствие т решений:
екх, хекх, ... , хт"х екх,
каждой паре простых комплексно сопряженных корней a±ip характеристического уравнения ставятся в соответствие два решения: е®хсо$рх и e®xsinpx,
каждой паре m-кратных комплексно сопряженных корней а±?р характеристического уравнения ставится в соответствие 9т решений:
е®х cos рх, хеах cos рх, ... , х”1-1 е®х cos рх, e®xsinpx, xe“xsinpx, ... , xm-1e®xsinpx.
Можно показать, что полученная таким образом совокупность решений образует фундаментальную систему решений уравнения на участке — оо<^х<^-[-оо.
Составляем линейную комбинацию найденных решений.
Эта линейная комбинация решений с произвольными коэффициентами даст общее решение уравнения в плоскости XOY.
Пример 5. Дано уравнение У”—^ = 0. Характеристическое уравнение Л3— 1=0 имеет корни йх=1, й213 =—-у ± i ^ ■ . Этим корням соответствуют решения
, “Т Кз -у . ]/зу, = ех, у3 = е cos х; уа = е sin х.
Общее решение уравнения:
У = Сгех + е 2 £ С3 cos -^- х + Са sin ^^- х], где С„ С2, С8 — произвольные постоянные.
Пример 6. Если уравнение £(у) = 0 с постоянными коэффициентами имеет корнями характеристического уравнения числа &1)Si8)4 =—1, й51 8 = 2 4~ 3i, A?, s = = 2—3i, то общее решение этого уравнения имеет'вид:’’
у = Сге-Х 4- С3хе~х 4- С,хае-Х 4- С4х6е"х 4- Саеах cos Зх 4-
CgXe^cos Зх 4- С7еах sin Зх 4- С6хеах sin Зх, где Clt С3С8 — произвольные постоянные.
§ 18. Линейные неоднородные дифференциальные уравненияс произвольными коэффициентами. Структура общего решения
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение n-го порядка: y(") + Pi(x)y("-1)+ ... + p„(x)y = f(x),(1)
коэффициенты и правая часть которого непрерывны на некотором (конечном или бесконечном) интервале (а, Ь).
Обозначив через L(y) оператор
L (у) = yw + Pi (х) у1^ -V — А-Рп^у, можно записать уравнение (1) сокращенно в виде:
L(y) = f(x).
Выясним структуру общего решения этого уравнения в области а: \a<^x<^b, —оо<у <-[“оо}.
Теорема. Общее решение линейного неоднородного уравнения (1) в области а есть сумма любого его решения и общего решения соответствующего однородного уравнения в той же области.
Доказательство. Пусть У — какое-нибудь определенное решение уравнения (1) в области a : £(У) = / (х).
Обозначим через ух, у^уп фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения
L(y) = 0,(2)
соответствующего уравнению (1). Тогда общее решение уравнения L(y) = 0 в области а запишется в виде:
у=Схух -[- С^ ф- ... -ф- Спуп, где Сь С2С„ — произвольные постоянные.
Покажем, что выражение
+ Сху1 ф- С^у4 ф- ... ф- СпУп,(3)
зависящее от п произвольных постоянных, является общим решением уравнения (1) в области а.
Действительно, при любых значениях постоянных Съ С4, ... , Сп выражение (3) является решением данного уравнения, так как
L (У ф- С1ух ф- С^ -ф- ... ф- С„уп) = L (У) ф- CXL {у^ ф- C^L (уа) ф-...ф-ф-С„Т(у„) = £(У) = /(х).
Остается доказать, что любое решение у уравнения (1), лежащее в области а, можно записать в виде (3) при некоторых значениях Cj, С2, ... , С п.~
Так как у— решение уравнения (1), то L(y) = /(x). При этом разность решений у и Y уравнения (1) оказывается решением линейного однородного уравнения (2):
Ь(у-Г) = Ь(у)-Ь(П=Г(х)-^(х) = О,
а значит, она может быть записана в виде: С^-|-С^у^-{-...-{-Спуп при некоторых конкретных значениях Сь С2, ... , С„:
У — Y = С^у^ -{-... -j- Спуп.
Отсюда следует, что
У = Y -{- С1У1 + С2у2 + - • - + Спуп.
Примечание. Так как любое решение уравнения (I) в области а (включая и У) можно получить из общего решения (3) при специальных значениях постоянных, то каждое такое решение уравнения (1) будет для него частным решением. Поэтому доказанную теорему обычно формулируют так: общее решение линейного неоднородного уравнения в области а есть сумма любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения в этой области.
Пример. Уравнение у'" — 4у' = х— линейное неоднородное третьего порядка. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: y = Ct + С2е2х-|- + Cae~2. Частное решение данного уравнения: у =— ^- *). Общее решение данного уравнения (в плоскости XOY):
У = - у + С, + С2е2^ + Сае-“
где Сп С2 и С3 — произвольные постоянные.
При решении линейных неоднородных уравнений с комбинированными правыми частями иногда используется следующая теорема: если у, и у2— частные решения уравнений L^y) = ft(x) и L(y) = /:2(x) в области а, то У1 + У2 есть частное решение уравнения L (у) = fx (х) -ф- f2 (х) в той же области.
Доказательство вытекает из соотношений: L^yx^^ft^x), L(y^ = f2(x) и свойства оператора L(y):
L (th + УО = L (у,) 4- L (у^ = Д (х) + U W-
Пример. Дано уравнение у"+у = х— sin 2х. Рассмотрим два вспомогательных уравнения: у"+у = х иу"-|-у =— sin 2х.
Частные решения этих уравнений соответственно равны
у, = X, у2 = -3- Sin 2х.
Общее решение однородного уравнения у"-|-у = 0 имеет вид: у = С, sin х+ + C2cosx, где С, и С2 — произвольные постоянные.
На основании доказанных теорем, общее решение данного уравнения (в плоскости XOY) можно записать в виде:
у = х + -i- sin 2х + Cj sin х + С2 cos х.
Ниже мы остановимся подробно на некоторых правилах подбора частных решений линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами. В общем случае задача подбора частного решения представляет значительные трудности, в связи с чем становится интересным изучение так называемого метода вариации постоянных, позволяющего найти общее решение линейного неоднородного уравнения в квадратурах по известной фундаментальной системе решений соответствующего однородного уравнения.
Теорема. Общее решение линейного неоднородного уравнения (1): L (У) = у(п) + Pi W у^ -^.-.-^Рп^У = 1 (х)
в области а может быть найдено в квадратурах, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения в той же области.
Доказательство. Пусть ух, у^уп — фундаментальная система решений уравнения (2):
L(y) = O
на интервале а<^х<^Ь. Общее решение такого уравнения в области а запишется в виде:
У — Схух -[- С^у^ -j-... -)- СпУп или, короче, в виде:
У — 2 С^,t= 1
где Ct, С2, ..., С„ — произвольные постоянные.
Будем искать решение линейного неоднородного уравнения (1) в той же форме. При этом Cj, С2, .... С„ придется считать функциями от х:
У= ^Сх(х)ух.(3')
i = I
Подберем эти п неизвестных функций С\ (х), С2(х), ..., С„(х) таким образом, чтобы выражение (3') являлось решением уравнения (1). Для этого необходимо, чтобы на интервале (а, 6) тождественно выполнялось условие
С(2Сг(х)уг) = /(х).(4)
1= 1
Остальные (п— 1) условий, необходимые для определения п неизвестных функций, можно задавать произвольно, лишь бы полученная система оказалась совместной. Эти дополнительные условия будем подбирать постепенно таким образом, чтобы условие (4), получающееся в результате п
подстановки функции у = ^С, (х) yt и всех ее производных до п-го i = i
порядка включительно в уравнение (1), имело наиболее простой вид. Вычислим эти производные.
Если у = 2ci WУь то у'= 2 С(х)уЦ- ^С'х^уь В качестве t = I< = Ii = I
п
первого из дополнительных условий возьмем уравнение 2 ^ (х) ух = 0.
t = 1
При этом для у' получим выражение
У'=5СДх)У;,(5)
t= ।
которое имеет такой же вид, как и в случае постоянных Сг.
Для нахождения у" дифференцируем соотношение (5) по х:
У” = 2 Ci ^ y'i-V-^ С‘ (х) У’^
1 = 11 = 1
В качестве второго дополнительного условия берем уравнение
2 с;-to =о.
1 = 1
При этом
у" = У Ci(x)yi и т. д.
i= I
Последнее (п— 1)-е дополнительное условие налагается при (п— 1)-м шаге:
у^ = ^Оду?-^ 2с;МуГ2'-
1 = 11 = 1
Оно имеет вид:
2с;(х)уГ2* = о.
1 = I
При этом условии
У^-^ОДуП-(6)
i= 1
Дифференцируя соотношение (6) по х, находим:
1=11 = 1
п
Подставив выражение у = У С,- (х) уг и все его найденные произ- i= i
водные в левую часть уравнения (I), получим:
L ( 2 С, (х) у^ = 2 ОД у^ + 2 с; (х) уГ^ +
1=11=11=1
+ Рх to 2 Ct (х) «^ -V-.-A-PnW^Ct^ у, =
i = 1i = I
= 2 Ct (х) уН + 2 Ci (х) Vy?' + Рх (X) у(Г' +... + Pr. (X) Ух1 = i=l1=1
= у С\ (X) уГ^ + 2 Ct (х) L (yt) = 2 Ct(x) у\п^,
i = Ii = 1i = I
так как
L (yO = L (tji) = ... = L (y„) - 0.
Условие (4) [n-e условие для определения неизвестных функций Ci(x)> С2(х)С„(х)]при этом запишется в виде:
i= i
Таким образом, для того чтобы выражение
У= TiCtWyt
было решением уравнения (1), достаточно, чтобы функции С^^х\ С2(х), .C„(xj удовлетворяли условиям:
2 е» W у«=о> 2 ^ w У1 ~ о> • • •» i=iz=i
2 с; (х) уГ"=о,s с; (х)=f (х).
i=li=I
Эти условия представляют собой линейную неоднородную систему уравнений с п неизвестными функциями CJ (х), С2 (х)С„ (х). Запишем эту систему в «развернутом виде»:
Ci (X) у, + С2 (х) у2 -[-... -[- Сп (х) уп = О,
ci W У1 Н~ С3 (х) у3 4~...4- Сп (х) уп = о, (7) с; (х) и^+с; (х) у^ +... + с; (х) у^=о, сдх^ГН^уГ’Ч ... КЖ-1Ч(4
Так как определитель системы (7) является определителем Вронского W (х) для линейно независимых на интервале (а, Ь) решений у, (х), у2(х), .... уп(х) уравнения (2), то он отличен от нуля на этом интервале, а значит, система (7) имеет, и притом единственное, решение (его можно, например, определить по формулам Крамера).
Решив эту систему, получим:
Cj (х) = <pi (х), С3 (х) = <р2 (х), .Сп (х) = фп (х), откуда, интегрируя, найдем:
Ci (х) = <pi (х) dx -]~ G, С2 (х) = <р2 (х) dx -р С2, ...,С„(х)=$<р„ (х) dv-VCn)
где Сь С2, .... Сп — произвольные постоянные.
Таким образом, выражение
У = 2 [S^ Wx-\-Ci\yi = 2 yi^iWdx-V- 2 С^ (8) i = 1i— Iг = I
при любых значениях постоянных Сь С2, ..., Сп удовлетворяет уравнению (1).
Так как это выражение представляет собой сумму частного решения линейного неоднородного уравнения (I)1) и общего решения соответствующего однородного уравнения в области а, то оно является общим решением уравнения (1) в этой области.
Метод вариации постоянных пригоден для решения любого линейного неоднородного уравнения, у которого известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения. Однако, так как отыскание фундаментальной системы решений линейных однородных уравнений в общем случае представляет значительные трудности, на практике этот метод применяется при интегрировании линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.
Для решения линейного неоднородного уравнения (I) методом вариации постоянных рекомендуется:
п
*) Функция 2 у А <р,- (л-) dx, полученная из выражения (8) при Ct = Ca = ... i= I
= Crt = 0, является решением, а значит, частным решением уравнения (1) в области а.
Найти фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения (2) на том интервале, где непрерывны коэффициенты и правая часть уравнения (I).
Установить вид общего решения уравнения (2) в области а.
Записать общее решение уравнения (1) в той же форме (3'), но с переменными коэффициентами.
Составить для определения производных от этих переменных коэффициентов систему уравнений (7).
Решив систему и проинтегрировав найденные производные, найти переменные коэффициенты.
Подставить найденные коэффициенты в формулу (3').
Пример. Будем искать общее решение уравнения у'" 4-у' = ? ^ в области a{<z<x<6, —со<у< + со}, где (а, 6) — любой интервал, не содержащий точек йя, й = 0, ± 1, ±2, .... Соответствующее однородное уравнение у'"+у = 0 имеет фундаментальную систему решений: yt = 1, y2=cosx, y3 = sinx. Общее решение однородного уравнения:
у = Ct + С2 cos х + С3 sin х, где С„ С», Сз — произвольные постоянные.
Ищем общее решение данного уравнения в виде:
у = Ct (х) -|- С2 (х) cos х + Сз (х) sin х.
Для определения CJ (х), С’2 (х), Сд (х) имеем систему уравнений:
С; (л-) • 1 + С« (х) cos х + Сз (х) sin х = О,— С2 (х) sin х + Сз (х) cos х = О,— С» (х) cos х — Сз (х) sin х = - J—.'4 ' sin х
Решая эту систему, находим:
, .1, . cosх . ..
С, (х) ——., С2 (х) —., С3 (х)1.
sin Xsin X
Интегрируем полученные соотношения:
сг^ = f -^4-c^inltgf kc,,JЛ|^|
С2 (х) = j—^^rfx + c2 = —ln| sinx| + C2,
Сз (х) = — х + Сз, где С„ С2, С3 — произвольные постоянные.
Общее решение данного уравнения в области а запишется в виде:
у = 1п | tg ^-1 — cos х 1п | sin х | — х sin х -|- С, + С2 cos х + С3 sin х.
§ 19. Линейные неоднородные уравнения высшего порядкас постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
^У)=УМ + а1у(""1) +... + ani/ = f(x)(1)
с постоянными действительными коэффициентами и непрерывной правой частью f (х) на интервале (а, Ь).
Уравнение (I) всегда может быть проинтегрировано в квадратурах методом вариации постоянных, так как соответствующее однородное уравнение с постоянными коэффициентами
1(У) = 0(2)
интегрируется в элементарных функциях.
Остановимся на ряде случаев, когда уравнение (1) может быть проинтегрировано без квадратур, чисто алгебраическими методами.
Выше было доказано, что общее решение уравнения (1) в области а \а<^х<Ф, —схх^у^А00} может быть получено как сумма общего решения соответствующего однородного уравнения (оно легко находится) и какого-нибудь частного решения данного уравнения (в области а).
Оказывается, что если функция f(x) — правая часть уравнения (1) — имеет специальный вид, то частное решение уравнения (1) может быть найдено методом неопределенных коэффициентов.
Теорема 1. Если правая часть уравнения (1) имеет вид: f (х) = Р (х) еах,
где Р (х) = А^-V-AtxP-1 + ... + Лт — многочлен степени т, то частное решение уравнения (1) может быть найдено в виде:
y = ^Q(x),
где Q(x)— некоторый многочлен степени т, а г—число, показывающее, сколько раз а является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения (2) *).
Доказательство.
Пусть число а не является корнем характеристического уравнения
F(k) = 0
для уравнения (2), т. е.
Р(=)^0.
Покажем, что в этом случае существует частное решение уравнения (1) вида:
?=QW е™,
где Q (х) = BgXm + BiXm~l 4- • • • + Вт. Для этого достаточно показать, что коэффициенты Во, В„ ..., Вт многочлена Q (х) можно определить таким, образом, чтобы выполнялось тождество
£ (Q (х)г*х) = Р(х)еа<
Применяя свойства оператора L (у) и, в частности, формулу (3) § 17, находим:
L «? (х)е“) =е L {(Ввх™ + Вхх^ +... + В^ е^ =
= Вф (хтРх) + Вф (х^е^) +... + BmL ^ == В^ \xmF (а) 4- тхт~1Р (а) 4- C2mxm-2F" (а) 4-
... 4- Рт' (а)] 4- Bte« [xm~lF ^ 4- (rn — 1) хт"2Р (а) 4-
... 4- B<m-i> (а)] +... + Bme«F^ == e“ И»хт 4-4-... 4- Am\
Сокращая на eax, получаем тождественное равенство двух многочленов степени т. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, приходим для определения Во, Blt ..., Вт к системе линейных алгебраических уравнений
xm B»F (a) = А„, xm-i тВ0Р (а) 4- BtF (а) = Д„
X» BaF^4a) 4- В^™"1' (а) 4- ... 4- BmF ^ = Ат.
Значения неизвестных коэффициентов можно определить последовательно (найти из первого уравнения Во, подставить во второе уравнение, из второго уравнения найти ВИ подставить Во и В, в третье уравнение и т. д.). Так как В(а)^:О, таким образом определяются все коэффициенты.
Пусть теперь число а—корень характеристического уравнения Рф)=0 кратности г.
В этом случае В(а) = В' (а) =... = Р1^11 (а) = О, Рп (а) Ф 0, а значит, нельзя определить частного решения уравнения (1) в виде у = Q (х)е“х, где Q (х)— многочлен степени т:
L (.Q (х)е«) ^ еахР (х)
(справа имеем умноженный на еах многочлен m-й степени, а слева — степени т— r<m).
Для того, чтобы после подстановки в левую часть уравнения и сокращения на еах, там остался многочлен степени т, надо искать частное решение в виде:
у = xrQ (х)еах, т. е. в виде
у = (Soxm+^ + 51хт+г-1 +... + Втх^ ех,
где Во, Ви ..., Вт—некоторые числа. Теорема утверждает, что в таком виде решение найти можно.
Действительно, если
L [{В„х^ + B^r-i + ... + втх^ ^ =
= Вое*х \Сгт+гхт^гЧ«) + C^x^FWH^ +... + F^+H^j] +
+ B1^[C;+r_1xm-1^)(a)+ ...4- F('”+^»(a)]+...+
+ Вте«Р'л(а) = е« \Аохт + Агх^ +... + Ат], то, сокращая на еах и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в. левой и правой частях равенства, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения Во, Bv ..., Bm:
ХП1Ст^-АР^Ча) = ^g,
хт-‘ с^А^'Ч») + с^-А^ = а,
X»B0F<m+r'(a) + BtF' т^-‘ '(а) + ... + ВпАЧа) = Ат.
Так как Д(Л(а)^0, из этой системы можно последовательно определить Во, Bv ..., Вт. Таким образом, теорема 1 доказана.
При решении конкретных примеров нужно установить вид частного решения, записать его с неопределенными коэффициентами, а затем, подставив в уравнение (1), после сокращения на показательную функцию приравнять коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части равенства. Из полученной таким образом системы уравнений определяются все неопределенные коэффициенты.
Пример 1. Найти частное решение уравнения у—у = хе5х. Составляем характеристическое уравнение й2—1=0 для соответствующего однородного уравнения и находим его корни кг =—1, 62 = +1. Так как число а = 2 корнем характеристического уравнения не является, то г = 0. Степень многочлена в правой части равенства равна единице.
По доказанному, существует частное решение уравнения вида:
у = (ах + 6) е2х *).
Подсчитывая у' = (а + 2ах + 26) егх и у" = (2а + 2а + 4 ах + 46) esx и подставляя у, у’ и у" в уравнение, получим (после сокращения на е2х);
4а + 4ах + 46 — ах — 6 - х, откуда находим:
х За = 1, а = —,
4х" 4а+ 36 = 0,6 = —у.
Искомое частное решение имеет вид: у = ^-(3х— 4) е2*.
Пример 2. Найти общее решение уравнения у"—2у'+у = 3ех. Характеристическое уравнение 62— 26+1 = 0, его корни &!=!, 62=1. Общее решение однородного уравнения у"—2у'+у = 0 имеет вид: у = С1ех + С2хех.
Подберем частное решение данного уравнения. Так как число а=1 является двукратным корнем характеристического уравнения, то г = 2. Коэффициент при ех — многочлен степени т=0. Следовательно, частное решение уравнения можно найти в виде: у = ах2ех.
Подсчитывая у = (2ах + ах2) ех, у” = (2а + 4ах + ах^ ех и подставляя у, у' и у" в данное уравнение, получим (после сокращения на ех):
2а -|- 4ах + ах2 — 2(2ах -f- ах2) + ах2 = 3х2 а — 2а + а = О,х 4а — 4а = О,qх°2а = 3,а = —.
3
Искомое частное решение: у = -^х2ех. Общее решение данного уравнения можно записать в виде:
у = С^ + С2хех + у х2ех, где Си С3—произвольные постоянные.
Если а = 0, т. е. если уравнение (1) имеет вид L(y) = P(x), то частное решение уравнения находится в виде y = xrQ(x), где г —кратность нуля как корня характеристического уравнения.
Пример 3. Уравнение у'" —у' = х2 — 1 имеет числа кх = 0, й2> 3 = ± 1 корнями характеристического уравнения.
Частное решение этого уравнения можно найти в виде:
у = х (ах2 + bx -|- с) (т = 2, г = 1).
Действительно, если у = ах8 -|- 6х2 + сх, то
у' = Зах2 -|- 26х -|- с, у" = бах -|- 26, у'" = 6а.6а — Зах2 — 26х — с = х2 — 1,
Xs—За = 1,а =—у,
х—26 = 0,6 = 0,
х°6а — с =—1, с =—1.
Искомое частное решение: 1 .
У = — 3-х8— х.
Примечания: 1. Если правая часть уравнения (1) имеет вид Р (х) еах, где Р (х) — многочлен с комплексными коэффициентами и а — мнимое число, то, как следует из проведенных выше рассуждений, частное решение уравнения (1) может быть найдено в виде y = xreaxQ(x), где Q (х) — многочлен (с комплексными коэффициентами) той же степени, что и Р (х), г — кратность числа а как корня характеристического уравнения.
Применяя теорему (см. § 18) о частном решении уравнения (1) с комбинированной правой частью, заключаем, что частное решение уравнения вида:
лг
L^ = ЦРьМе^,i = 1
где Pi (х), ..., Pn(x)— многочлены, может быть найдено методом подбора как сумма частных решений вспомогательных уравнений
L(y') = Pi(x')eatx, /=1, 2N.
Так, например, для отыскания частного решения уравнения у"-\-у = х8—1+ + хе~2Х достаточно рассмотреть уравнения у"4-у = х8— 1 и у" ^-у = хе-2х, подобрать их частные решения:
у"-|-у = х3 — 1, 6lj2 = ±i, m = 3, а = 0, г = 0, у! = ах8 + bx2 + сх -|- d, у" +у = хе~2х, kt) 2 =_+ i, т=1, а = — 2, г = 0, уа = (ех + /) е-2х (отыскание неопределенных коэффициентов проводится указанным выше методом) н сложить результаты.
Частное решение данного уравнения имеет вид:
у = ах8 + 6х2 + сх -|- d -|- (ех -|- /) е2х.
Теорема 2. Если правая часть уравнения (1) имеет вид:
f (х) = еах [Pt (х) cos рх + Р2 (х) sin ^х],(3)
где Pi(x) и Р2(х) — многочлены степени соответственно тх и /и2, то частное решение уравнения (1) может быть найдено в виде:
у — х^ [Qt (х) cos рх -4- Q2 (х) sin ^х].(4)
Здесь Qi (х) и Q2 (х) — многочлены степени не выше т, где т — большая из степеней тъ пи, а число г показывает, сколько раз а -}- i? является корнем характеристического уравнения для уравнения (2).
Приведем схему доказательства.
Так как
е^ + г$ех . „ ei^_^i9xсоз рх =, sin Рх =,
то правую часть уравнения (1):
L^ =fW можно записать в комплексной форме:
Pi (х)е<а+г₽’* 4- Р3 (х) е^-^х,
где Pi (х) и Р» (х) — многочлены (с комплексными коэффициентами) степени т, равной большей из степеней Mj и т2.
По доказанному, частное решение такого уравнения (с комбинированной правой частью) можно найти в виде:
xr [Qi (х) е<а+г₽' * + Q2 (х) е^-ф’-Ч, где Qi (х) и 0а (х) — многочлены степени т, а число г равно кратности каждого из чисел а ± гр как корня характеристического уравнения £(у) = 0.
Подставляя вместо функций е^+ф^ и eta-iy х их значения: eax(cos рх -ф i sin рх) и еах (cos рх — i sin рх), после приведения подобных членов получим, что частное решение данного уравнения можно найти в виде:
у = хГе»* [Qx (х) cosp х -|- Q2 (х) sin рх], где Qi (xi и Q2 (х)— многочлены степени не выше т (с действительными коэффициентами). При этом степень хотя бы одного из этих многочленов будет равна т.
Примечание. Если правая часть уравнения (1) имеет вид: e^Pi (х) cos рх (или еахра (х) sin р х), то, как следует из приведенных выше рассуждений, частное решение надо искать в «полном виде»:
хге”Л" ]Qi (х) cos Рх + Os (х) sin рх].
При нахождении частного решения уравнения (1) с правой частью вида (3) можно использовать метод неопределенных коэффициентов. Для этого на основании теоремы 2 достаточно записать частное решение уравнения в виде (4), взяв в качестве Qi (х) и Q2 (х) многочлены степени т с неопределенными коэффициентами, подставить это решение в уравнение (1) и после сокращения на еох приравнять коэффициенты при подобных членах. Из полученной при этом системы уравнений определяются неопределенные коэффициенты.
Пример 1. у"— 9 = 3е1хс.№ х. Найти частное решение. Здесь й)>2 = +1 — корни характеристического уравнения, а = 2, Р=1, а-|-/р = 2-{-Z, г = 0 (число 2 -|-Z не является корнем характеристического уравнения) щ1 = та = 0. Частное решение ищем в виде: у = еах (a cos х -ф b sin х).
При этом
у' = [(2а -ф 6) cos х -|- (26 — a) sin х] егх,
У = [(46 + За) cos х -|- (— 4а -ф 36) sin х] евх.
Подставляя в уравнение у, у', у" и сокращая на eBX, получаем:
(46 + За) cos х 4- (— 4а -ф 36) sin х — a cos х — 6 sin х = 3 cos х-cos х I 46 + За — а = 3,46 + 2а = 3,
sin х I — 4а -|- 36 — 6 = 0, 26 — 4а = 0,
36
а~10’ Ь 10-
Частное решение:
3
= [q ^ (cos х + 2sin х).
Пример 2. Установим вид частного решения уравнения
у" — 4у' + 13у = е2х (х2 cos Зх + sin Зх).
Характеристическое уравнение к2— 4А—[- 13 = 0 имеет корни 61)2 = 2 + 3г. Правая часть уравнения удовлетворяет условиям теоремы 2. При этом а = 2, (3 = 3, г=1 (так как число 2 4-3/ один раз встречается среди корней характеристического уравнения), т, = 2, т2 = 0, т = 2.
Частное решение данного уравнения можно найти в виде:
у = хе2х [(ах2 + Ьх -|- с) cos Зх -|- (Zx2 + тх + п) sin Зх].
На отыскании неопределенных коэффициентов останавливаться не будем.
Примечание. Если правая часть уравнения (1) есть линейная комбинация функций, удовлетворяющих условиям теорем 1 или 2, то частное решение уравнения можно определить как сумму частных решений вспомогательных уравнений рассмотренного выше вида.
Например, частное решение уравнения у" +у = 1 -|- хе-х+ cos х + х sin 2х можно получить, сложив частные решения
= а, у2 = (6х +.) е~х, уг = х (т cos х +I sin х)и у4 = (рх + q) sin 2х + (sx + Z) cos 2x
вспомогательных уравнений
y"4-y = l, y"+y = xe-x, y"+y=cosx, y" + у = x sin 2x.
Применение теории линейных дифференциальных уравненийк исследованию некоторых колебаний
Рассмотрим ряд задач из теории колебаний, приводящихся к линейным дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами.
Задача о малых колебаниях Плоского математического маятника. Материальная точка массы m подвешена на нерастяжимой невесомой нити длины /. Если нить с грузом (маятник) отклонить от положения равновесия на угол ф0 и сообщить ей начальную скорость т>0, так чтобы вектор скорости о0 лежал в плоскости, проходящей через новое положение нити и положение равновесия, то маятник начнет колебаться, оставаясь в указанной плоскости. В этом случае положение маятника можно характеризовать величиной угла ср, показывающего отклонение маятника от положения равновесия. Найдем закон движения маятника, т. е. найдем закон, позволяющий определять положение маятника (угол ср) в любой момент времени t.
В условиях задачи материальная точка т движется по дуге окружности радиуса / с центром в точке подвеса нити. Обозначим через s величину дуги этой окружности, соответствующую углу ср: s = l^ (рис. 345). В каждый момент времени t на точку т действуют сила тяжести P=mg (ее касательная составляющая равна по величине mg sin ср и направлена в сторону убывания | s |), сила натяжения нити Т, направленная вдоль нити от точки m к точке подвеса нити (ее касательная составляющая равна нулю) и сила сопротивления среды, направленная по касательной в сторону, противоположную вектору скорости движения и пропорциональная „4s
по величине этой скорости, т. е. равная Р^, где р— коэффициент пропорциональности, р>0. На основании второго закона Ньютона получаем дифференциальное уравнение движения маятника:
Рис. 345.дно
m ^ = —mg sin <р — р ^.
Подставляя значение s(s = /cp) и обозначая у -у=ш, xl = 2X, запишем уравнение движения маятника в виде:
S+2xS+“2sin<p=o-(1)
Это дифференциальное уравнение называется уравнением свободных колебаний маятника.
В случае, если на материальную точку т действует внешняя возмущающая сила, величина которой зависит от времени, в уравнении движения маятника появляется свободный член:
^ + 2^4-ssin?=m^ + 2^4-ssin?=m(2)(2)
^ + 2^4-ssin?=m
^ + 2^4-ssin?=m
(2)
(2)
Это уравнение называется уравнением вынужденных колебаний маятника. Дифференциальные уравнения (1) и (2) не являются линейными, так как неизвестная функция ср находится под знаком синуса. Однако, если рассматривать малые колебания, то sin ср можно заменить на ср1).
Получаемые при этом уравнения
(3)(3)g + ^ + ^-o
(3)
(3)
ИИ§ + ^g + ^=/W§ + ^g + ^=/W(4)(4)
И
И
§ + ^g + ^=/W
§ + ^g + ^=/W
(4)
(4)
или, еслиили, если’ т^4dt2’’ т^4dt2’= 2Х, в виде:= 2Х, в виде:<Zydt<Zydt(5)(5)
или, если
или, если
’ т
^4
dt2’
’ т
^4
dt2’
= 2Х, в виде:
= 2Х, в виде:
<Zy
dt
<Zy
dt
(5)
(5)
называются дифференциальными уравнениями малых колебаний маятника.
Решения уравнений (3) и (4) дадут неточные, но практически вполне удовлетворительные приближенные значения отклонения маятника ср как функции времени t.
Задача о колебании груза, подвешенного на вертикальной пружине. Груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в ненагруженном состоянии равна I. Если пружину с грузом оттянуть или сжать (в вертикальном направлении) сообщив грузу некоторую начальную скорость 902), то он начнет совершать колебательные движения. Выясним, по какому закону будут происходить эти колебания, т. е. найдем формулу, выражающую отклонение груза от положения равновесия (точки О) в любой момент времени t, при условии, что масса пружины не учитывается.
Направим ось ОК вертикально вверх (от точки О к точке подвеса пружины). Пусть /0—статическое удлинение пружины, т. е. расстояние от конца нерастянутой пружины до положения равновесия груза, у0 — начальное отклонение, ay — отклонение груза от положения равновесия в момент времени t (рис. 346).
Действующая на груз сила равна сумме силы тяжести груза, направленной в отрицательном направлении и равной по величине Р, силы сопротивления среды, которая направлена в сторону, противоположную движению груза и по величине про- dy порциональна скорости движения , и силы натя
жения пружины. Сила натяжения пружины направлена по оси OY, ее величина, по закону Гука, пропорциональна удлинению пружины, т. е. равна с (;0—у), где с — постоянный коэффициент жесткости пружины.
На основании второго закона Ньютона получаем уравнение движения груза:.
т9 = СУ-^-р-^’
р
где т = —— масса груза, р—коэффициент пропорциональности, р.>0. Так как
вес пружины уравновешивается силой натяже-вес пружины уравновешивается силой натяже-в положении равновесия груза (у = 0) ния, то
вес пружины уравновешивается силой натяже-
вес пружины уравновешивается силой натяже-
Р=с1.
груза запишется в виде:груза запишется в виде:и, следовательно, уравнение движения
груза запишется в виде:
груза запишется в виде:
d’-ут dt2
Это уравнение называется уравнением -свободных колебаний груза, подвешенного на пружине.
В случае, если на пружину с грузом действует вертикально направленная внешняя сила, величина которой зависит от времени (например, сила, заставляющая периодически колебаться точку подвеса пружины), в уравнении движения груза появится свободный член f(t)z
(6)(6)g+ag + ^/fO.
(6)
(6)
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение называется уравнением вынужденных колебаний груза.
Задача о колебаниях в электрической цепи. Электродвижущая сила Е включается в некоторый момент времени (£ = 0) в контур, состоящий из последовательно соединенных катушки самоиндукции L, сопротивления R и емкости С (рис. 347).
Требуется найти величину тока 1 в цепи как функцию времени t, если в начальный момент времени величина тока в контуре и заряд конденсатора равны нулю.
По закону Кирхгофа электродвижущая сила в цепи равна сумме падений напряжения на индуктивном (и£) и активном (ц^) со
противлениях и емкости (ис):
Е = «£ + ы^ -|- uCi причем эти падения связаны с величиной тока / соотношениями:
uL = Ljt, uR= RI, ис=^ ( I^dt. о
Таким образом,
£ = £§ + /?/+1 L^dt,
откуда дифференцированием по t получается линейное дифференциальное уравнение относительно иензвестной функции /:
Обозначая ^- = 2X,Обозначая ^- = 2X,L— at*
Обозначая ^- = 2X,
Обозначая ^- = 2X,
= <o, запишем найденное уравнение в виде:
dE dt*dE dt*с?1 . т di g
dE dt*
dE dt*
- + 2X- + or7 =
В случае постоянной электродвижущей силы (Е = const) решение задачи об электрических колебаниях сводится к решению линейного однородного дифференциального уравнения:
(7)(7)d2/ , di , з
(7)
(7)
-+2Х-+<»8/=а
Если электродвижущая сила Е переменная, определение переменной величины тока в цепи сведется к решению линейного неоднородного дифференциального уравнения:
(8)(8)8 + аи+-''-/<'>.
(8)
(8)
где
Ввиду того что полученные при решении задач 1, 2 и 3 уравнения (3) — (8) отличаются между собой только обозначениями и конкретным физическим смыслом параметров и переменных величин, для решения каждой из этих задач достаточно решить уравнение:
с начальными условиями хо = О, у0) у, в общем виде, отвлекаясь от конкретного смысла переменных х и у и параметров Х(Х^О) и ш.
Будем называть уравнение
Й + 2Х^ + ^ = 0(9)
dx2 dx *х '
уравнением свободных колебаний, уравнение
S + as + *’s='^-<10>
где / (х) ^ 0, уравнением вынужденных колебаний, а решения этих уравнений — соответственно свободными или вынужденными колебаниями, или, короче, движениями. Решим эти уравнения и проведем некоторый анализ найденных решений.
Свободные колебания. Предположим сначала, что в уравнении (9) коэффициент X равен нулю, т. е. уравнение имеет вид:
3+^=о-(**)
Этот случай соответствует отсутствию силы сопротивления среды в задачах 1 и 2 и отсутствию сопротивления R в цепи в задаче 3.
Уравнение (11) является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, его характеристическое уравнение А3 -|- ш3 = О имеет
корни к = ±ад. Общее решение уравнения (11) (в области изменения х и у) представляет собой простую гармонику:
у = Ci cos шх + С, sin шх,
запишем эту гармонику в виде:запишем эту гармонику в виде:где C< и С-—произвольные постоянные. рр
запишем эту гармонику в виде:
запишем эту гармонику в виде:
Полагая р^С? 4-С| = A, sina = —! cos a =-4 ' 11А ’А’
у = A sin (и>х + a).
Постоянные Ct и С2 (соответственно Л и а) определяются из начальных условий движения:
С10=У0, С20=^-, Л= "j/"у2 +^ , 8Ш a0 = ^, C0Sa0 = -^.
Таким образом, в рассматриваемом случае движение представляет собой гармоническое колебание с амплитудой Ао, начальной фазой а0, частотой колебания ш и периодом колебания Т= — (рис. 348).
Частота колебания и период от начальных условий движения не зависят, они определяются параметрами колеблющейся системы *). Амплитуда колебания Ао и начальная фаза а0, наоборот, зависят от начальных условий движения.
Пусть теперь в уравнении свободных колебаний (9) коэффициент X больше нуля. Этот случай соответствует учету силы сопротивления среды в задачах 1 и 2 и сопротивления цепи в задаче 3. Составляя характеристическое уравнение
^3 + 2XA-j-o>3 = O, находим его корни
к112= — \ ± /X3 — ш3.
Если подкоренное выражение X3 — и? отрицательно (сопротивление среды в задачах 1 и 2 или сопротивление цепи в задаче 3 сравнительно невелики), то корни характеристического уравнения
61,2 = — X + Z J^ш3 — X3
будут комплексно сопряженными и общее решение уравнения (9) в области изменения х и у запишется в виде:
у = е-^* (С, cos j/w2 — X2 х + С2 sin J^io2 — X2 х),
где Ct и С2—произвольные постоянные.
Обозначив А = У С; + Q, sin а = ^-, cos а = -^ , о^ = ]А и2 — X2, получим решение уравнения (9) в форме:
у = Ае-“ sin (о^х -|- а).
Постоянные С,, С», а значит, А и а, определяются с помощью начальных условий.
В этом случае свободное колебание представляет собой затухающее колебание с амплитудой Ае-Хх, зависящей от х, монотонно убывающей с ростом х и стремящейся к нулю при неограниченном возрастании х (рис. 349). Частота колебания о, = J^™2 — X2 меньше частоты колебания, соответствующей случаю X = 0, но по-прежнему определяется самой колеблющейся системой и не зависит от начальных условий движе
ния (собственная частота). Период колебания Т= — также не зависит от начальных условий движения.
Примечание. Рассмотренный выше случай X = 0 получается как предельный из общего при X —* 0.
Если подкоренное выражение X3 — ш2 положительно (сопротивление среды в задачах 1 и 2 и сопротивление цепи в задаче 3 велико), то корни
къ а = — Х + /Х2-^
характеристического уравнения действительны, различны и отрицательны, решение уравнения (9) запишется в виде:
у = С16- (1 - Ум^, + ^ (Х + v^T^j х,
где Ci и С2 — постоянные, определяемые с помощью начальных условий.
В этом случае движение носит непериодический характер, причем величина у стремится к нулю при неограниченном возрастании х (рис. 350).
Если X2 — <о2 = 0, то kt, 2 = —X, т. е. решение уравнения (9) дается равенством:
у = С)е~'кх -|- С^хе-^*.
Движение снова непериодическое, величина у при неограниченном возрастании х стремится к нулю.
Вынужденные колебания. Рассмотрим уравнение вынужденных колебаний (10) в случае периодической внешней возмущающей силы, предположив для простоты, что Х = 0:
^ + «*Ъ = В sin ^х.(12)
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
Характеристическое уравнение имеет корни къ 3 = *»1, следовательно, общее решение соответствующего однородного уравнения, т. е. уравнения свободных колебаний: '^р+“2Х’ = 0, дается равенством:
у = A sin (ах + а),
где Лиа — произвольные постоянные. 484
Для нахождения частного решения неоднородного уравнения (12) рассмотрим отдельно два возможных случая.
Пусть <о^р, т. е. частота свободных (собственных) колебаний системы не совпадает с частотой возмущающей силы. Так как число ер не является корнем характеристического уравнения, частное решение уравнения (12) можно найти в виде простой гармоники:
уч = а cos рх -{- 6 sin рх.
При этом Уч = — ср sin рх -|- 6р cos рх, у" = — а^2 cos рх — 6р2 sin рх. Подставляя уч, Уч и у" в уравнение (12), получаем:
В • о^^sm рх.В • о^^sm рх.Таким образом, учТаким образом, учв = 0, Ь = -Д ш- —
В • о^^sm рх.
В • о^^sm рх.
Таким образом, уч
Таким образом, уч
Это частное решение определяет вынужденное колебание, создаваемое возмущающей силой. Вынужденное колебание имеет ту же частоту, что и возмущающая сила. Амплитуда этого колебания постоянна, но в случае близости частот и и р может быть велика даже при малой амплитуде возмущающей силы ). Общее решение уравнения (12) в данном случае имеет вид:
у = A sin (ах -{- а)у = A sin (ах -{- а). В . .1-^zz^sin^-. В . .1-^zz^sin^-
у = A sin (ах -{- а)
у = A sin (ах -{- а)
. В . .
1-^zz^sin^-
. В . .
1-^zz^sin^-
Для конкретного движения числа Айа определяются с помощью начальных условий движения.
В данном случае мы имеем сложное колебательное движение, получающееся от сложения собственных свободных колебаний системы и колебаний, обусловленных действием возмущающей силы.
Пусть теперь ш = р, т. е. частота собственных свободных колебаний системы совпадает с частотой возмущающей внешней силы.
Так как число ip = i<o является простым корнем характеристического уравнения £2-|-аг = 0, то частное решение уравнения
^-^-|-<о2у = В sin <ох(13)
будем искать в виде: уч = х (a cos tox -|- b sin шх).
Подсчитывая у, и у, и подставляя уч, у, и у" в уравнение (13), находим: « = -Д, 6 = 0, т. е.
В
Уч = — X— X COS tox.
Общее решение уравнения (12) в этом случае имеет форму:
(14)(14)у = A Sin (toX + а) — ^ X COS toX.
(14)
(14)
Постоянные Айа определяются из начальных условий.
Из соотношения (14) следует, что рассматриваемое движение снова слагается из двух колебательных движений—периодического колебания с частотой ш (свободного колебания) и колебания с той же частотой <о и возрастающей с ростом х по формуле 2^х амплитудой (вынужденного колебания). Даже в случае, если амплитуда внешней силы мала, амплитуда вынужденного колебания станет сколь угодно большой для достаточно больших значений х. Это явление неограниченного возрастания амплитуды колебания под влиянием даже малых периодических возмущающих сил называется в технике явлением резонанса. Наличие резонанса может привести к разрушению колеблющейся системы.
Примечание. Явление резонанса в рассмотренных выше примерах можно проследить на задачах 2 и 3. В задаче 1 уравнение (4) описывает действительные колебания маятника только для малых отклонений маятника.
Исследование решений уравнения (10) в случае X > О проводится аналогично изученным случаям.
Предоставляем это сделать читателю.
Раздел 4НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О НОРМАЛЬНЫХ СИСТЕМАХДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 21. Основные понятия
Совокупность соотношений вида:
Fi(x, уь у8, „., у„, у;, у;,..., у'п) = 0,
F^x, уи уч,.—, уп, yi Уъ,..., у'п) = Ъ,
F„(x, у„ у2,..., уя, у;, №..... Уп) = 0, где х— независимая переменная, а ух, у-г,..., у„ — искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.
Решением системы (1) называется всякая система из п функций уь у2,..., у„, подстановка которых в уравнения (1) обращает все эти уравнения в тождества.
Например, система из двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями у и к
z"—у(4 — х)у — z4-2x = 0,(2)
х2у' — 2z' — 6z + 4х = О имеет решение:
у = 3xs, z = х8 — х2.
Действительно, еслиу = 3х2, z = x8— х2, то у' = 6х, z' = 3x2— 2х и, значит,
Зха —2х —у (4—х)3ха—х’4-х» 4-2x = fi,6х»—2 (Зха — 2х>—6 (х8—х8) + 4х = а
Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций, называется нормальной системой дифференциальных уравнений.
Общий вид нормальной системы дифференциальных уравнений с п неизвестными функциями уь №»-•-» у„:
^=А к», Уь У», Уп),^ = fdx, Уъ У»,..., Уп),
^=tn^x, Ух, Уъ-.., Уп).
Эту систему можно рассматривать как обобщение одного дифференциального уравнения первого порядка (с одной неизвестной функцией), разрешенного относительно производной:
«У(4)
Как известно, решение уравнения (4) у = <р(х) геометрически представляет собой некоторую кривую (интегральную кривую уравнения), лежащую на плоскости XOY.
Аналогичным образом решение нормальной системы:
^ = Ь(х, у, 2),
т. е. пару функций у = <р1(х), г = ф2(х), можно рассматривать как некоторую кривую в пространстве XYZ трех измерений. Эту кривую называют интегральной кривой системы (5) в этом пространстве.
В случае п^>2 решение нормальной системы (3):
У1 = ф1(х), у2 = ?2(х),..., уп = <оп(х)
нельзя аналогичным образом изобразить кривой, не выходя за пределы трехмерного пространства.
Однако, обобщая геометрическую терминологию, по-прежнему будем считать, что решение
У1 = Ф!(х), уч = <?ч(х'), ..., уп = <?п(х)(6)
системы (3) представляет собой интегральную кривую системы (3), лежащую в (п-}-1)-мерном пространстве переменных х, ух, у», ..., ynxY
Условимся говорить, что решение (6) системы (3) удовлетворяет начальным данным х0, у10, умупв, если <pt(х0) =у№ ®чкХй)=Уч», ••• .... Sn (хо) = У по- Геометрически это значит, что интегральная кривая (6) проходит через точку (х0, ую, Учо, ..., у„о) (»+1)-мерного пространства.
Задача Коши для нормальной системы (3) и начальных данных х», ую, ..., У по ставится следующим образом: найти решение системы (3), удовлетворяющее начальным данным х0, Ую, .... упо-
Достаточные условия для существования и единственности решения задачи Коши даются следующей теоремой.
Теорема Коши. Если в некоторой области D («-{-1)-мерного пространства функции h^x, ух, у2у^, Ь(х, Ух, Уч,..., уп), ...,fn(x. Ух, у2>... .... уп) непрерывны и имеют непрерывные частные производные по У1, УчУп. то для любой точки (х0, у10, у20, ..., у„0) области D существует, и притом единственное, решение
У1 = ^№, Уч=Ч^у„ = ?я(х) системы
^=№ Уь УчУ„),
$Z=Mx, уъ у4у„),
^• = fn(x, ух, у», .... у„), определенное в некоторой окрестности точки х0 и удовлетворяющее начальным условиям
х», ую, Уча. •••, Упо-
Из теоремы Коши следует, что в указанной области D система (3) имеет бесчисленное множество решений. Действительно, изменяя значения ую, учо, .... у „о в некоторых пределах, для каждой системы чисел *о> Ую, Учо, .--, Упо получим «свое» решение системы:
У1 = <pi (-V, ую, Учо, • ••, Упо), Уч— ^ч^х, ухо, Учо, — •» Упо), • ••...» Уп = <?п(х, Ух», УчоУпоУ
Будем называть п функций, зависящих от п произвольных постоянных С„ Сч, ..., Сп:
Ух = ®i (х, Сх, Сч, ..., С,,), Уч = <ро (х, Сх, Со,..., С„), ...
• • • > Уп== ^пкх, Сх, Сч, ..., Сп)(7)
*) Задание нормальной системы уравнений (3) можно по аналогии с двухмерным случаем геометрически толковать как задание «поля направлений» в некоторой области (п + 1)-мерного пространства. Подробнее об этом см. в книге: И. Г. Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
обищм решением системы (3) в некоторой области а (п 4- 1)-мерного пространства, если при любых значениях постоянных Сь С2, ..., Сп (из некоторого множества) эти функции составляют решение системы и если любое решение этой системы, лежащее в указанной области а, может быть записано в виде (7) при некоторых значениях постоянных Сь С2,
Решения, получающиеся из общего при конкретных значениях постоянных Сь С2, ..., С„, будем называть частными решениями системы (3).
Если в области а выполнены условия теоремы Коши, то для нахождения частного решения, «проходящего через заданную точку (х0, у10, У20, . • •, У«о) области», достаточно разрешить уравнения:
<Pi (х0, С., С2С„) = у10,
<р2 (х0, Cj, С2, ..., С„) =у29,
^п С^о, Ci, С2, ..., С„) — упо относительно Сь С2С„ и подставить найденные значения постоянных в соотношения (7).
Нормальная система уравнений (3) в случае п = 3 допускает простую механическую интерпретацию.
Обозначим независимую переменную через t, а искомые функции через х, у и z и будем рассматривать / как время, а х, у и z как координаты движущейся частицы.
При этом решение
x=<Pi(/), У = <ра(О, £ = <Рз(0 системы
Й = Ь V» х, 9» ^,
^^Ь(1, x,y,z),(8)
= Ш х, у, г) определит положение движущейся частицы в любой момент времени t, т. е. определит закон движения частицы.
Кривая пространства XYZ, задаваемая уравнениями
x = ®i(0, У = <М0, 2 = <Рз(0>
будет траекторией движения, а производные ^, ^, ^ будут координатами вектора скорости движущейся частицы.
Таким образом, задать систему (8) — значит задать в пространстве XYZ (или некоторой его области) в каждый момент времени / компоненты векторов скорости движущихся частиц, или, короче, задать в каждый момент времени / поле скоростей.
Решить для системы (8) задачу Коши с начальными данными /0, х0, ув, z0 — значит найти закон движения той частицы, которая в момент времени t6 находилась в точке (х0, у6, z0).
При такой интерпретации система (8) называется динамической, пространство XYZ— фазовым, а решения системы (8) — движениями.
Если функции ft, f2 и f3, стоящие в правых частях уравнений (8), не зависят от I, движение частиц называется стационарным. При стационарном движении скорость частиц в каждой точке пространства XYZ не зависит от времени, т. е. является постоянной в течение всего времени. Движение будет установившимся. Если при этом функции Д, Д, и Д удовлетворяют условиям теоремы Коши, то через каждую точку фазового пространства будет проходить только одна траектория, так как 488
в любой момент времени в этой точке вектор скорости имеет одну и ту же величину и направление.
В случае нестационарного движения поле скоростей изменяется со временем и траектории движений могут пересекаться.
Аналогичным образом можно нормальную систему дифференциальных уравнений с любым числом п неизвестных рассматривать как динамическую систему, а ее решения — как движения в соответствующем фазовом пространстве п измерений.
Изучение нормальных систем и их свойств тесно переплетается с изучением дифференциальных уравнений высших порядков от одной неизвестной функции.
Всякое дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной:
У^^Цх, У, У?у^-0),(9)
может быть заменено эквивалентной ему нормальной системой из п дифференциальных уравнений.
Действительно, обозначим
У = 2Ь у’= z2у^^Зя
и будем рассматривать zb z2, ..., z„ как новые неизвестные функции от х. Эти функции связаны между собой соотношениями:
(Ю)dzn-t _dx —
%=Ux, 2b 22, .... z„),
составляющими нормальную систему дифференциальных уравнений.
Если 2Х, 222п — решение системы (10), то2х = у— решение уравнения (9) и, наоборот, если у — решение уравнения (9), то функции
21= у, 22 = у', ..., 2п = у^
удовлетворяют системе (10), т. е. составляют ее решение.
При определенных условиях справедливо и обратное утверждение: всякая нормальная система дифференциальных уравнений (3):
^=А (х, ух, У», . .. У„),
§=^(х, уь у2.... уп),
l^LAx, ух,у2Уп^
эквивалентна некоторому дифференциальному уравнению n-го порядка с одной неизвестной функцией, разрешенному относительно производной.
Действительно, дифференцируем по х обе части первого из уравнений системы: ^1,। d/i d9n
dx1 dx ' dvi dx ' ''" ' dyn dx "
„dy, dy,dyn
Заменяя, ... ,-=- их выражениями через x, yx, ...,yn, получим:
uXuX
dx2 dx ' dy i 1-r '" ’ dy„n или, короче,
^=Mx,yx,ya, ...,yn\
Дифференцируя это уравнение по х и используя снова уравнения системы, получим:
^ =Л (х, yv у»..., у„) и т. д.
Таким образом, будет составлена система уравнений: ^ =Л (X, у„ у2у„),
d3yx
dx2
/г (-^. У1>••• > Уп)<
^s^Mx, yvy» ...,ynY
Из первых (n— 1) соотношений неизвестные у2,у3, .«,уп, вообще говоря, выра- dy, d^y, —
жаются через х, у„, ^n_t*. Подставляя их значения в и-е уравнение,
мы придем к дифференциальному уравнению n-го порядка относительно неизвестной функции yt:
dnyt = .( dyt dn~ty1 dxa J\ ’ 5v dx 1 “* ’ dxn-L
(H)
Если y„ y2, .-, yn—решение системы (3), тоу( удовлетворяет уравнению (11). Наоборот, если у,— решение уравнения (И), то, находя у„ у,', • У1” — и подставляя эти значения в соотношения для у2, у8, ...,уп, найдем эти функции. Можно показать, что полученные таким образом функции у„ у2,..., у„ удовлетворяют системе (3).
Таким образом, в случае, если указанная выше система уравнений разрешима относительно у2, у3, ..., уп, то интегрирование системы (3) сводится к интегрированию дифференциального уравнения высшего порядка с неизвестной функцией у,.
Аналогичные рассуждения можно провести по отношению к любой другой из функций ys, у,, ...,Уп.
Сведение уравнений к ляется одним
Пример.
интегрирования нормальной системы дифференциальных интегрированию одного уравнения высшего порядка яв- из основных методов интегрирования нормальных систем. Решим систему уравнений:
dytdz
dx J 1dx1
Продифференцировав первое из уравнений по х-. d?ydy , dz dx2 dx'dx
dz
и заменив его значением, получим:
d2y dy_
dx3 dx
Подставляя вместо у + z из первого уравнения ^, приходим к линейному неоднородному уравнению второго порядка:
d-^У ndy dx2 dx
(12)
Решаем это уравнение: d2y
dx2
2^ = 0, к2 — 26 = 0, 6,=0, 63=2, dx13
у = Ct + С2е'зх— общее решение однородного уравнения.
уч = х (ах -|- 6) = ах2 + Ьх — частное решение неоднородного уравнения.
у'ч = 2ах-^Ь, у”=2а, 2а—2 (2ах -|- 6) = х, а=—^-, 6 =—^-,
З’ч=—^^(-^+1)>y-C. + C^-^x^ + D,
где Ci и Са—произвольные постоянные—общее решение вспомогательного уравнения (12).
Подставляя найденное значение у и у' = 2Сае2х^1- в первое уравне
ние системы, находим:
a^SC^-^-l-Cx-C^+l^+lx , т. е.
г = -С1 + С2^4-1(х»-х-1).
Семейство решений данной системы уравнений дается функциями: y-C. + C^-lxCr + l), г = -С1 + С2^ + ^(х2-х-1), где С! и Са — произвольные постоянные.
Примечание. После нахождения одной из функций выражения для остальных следует искать путем дифференцирования и исключения.
§ 22. Системы линейных дифференциальных уравнений
Нормальная система дифференциальных уравнений (3) называется линейной, если функции /^ /2, ..., /„ линейны относительно неизвестных функций. Таким образом, линейная система дифференциальных уравнений имеет вид:
У\ = Ри И Ух + Ри W У» + • • • + Рт (я) Уп + Ух М,
У» = Ри И У1 + Рад (х) уа +... + р2„ (х) уп + у2 (х), ; О)
Уп = Р„1 (х) у, + ря2 (X) у2 +... + рпп (х) уп + qn (х).
Легко видеть, что если функции рцМ» i,j=l, 2,...,п, и q{ (х), i = 1, 2,..., п, непрерывны на некотором интервале (а, 6), то правые части этих уравнений в области ^a<^x<^b, —оо <4 У1 < Ч-°°» —оо< <у2<-(-оо,..., —со<^у„<^ 4-со} непрерывны и имеют непрерывные частные производные по ylf у^,..., уп. Отсюда, на основании теоремы Коши, следует, что для любого значения х = х0, a<^x0<^b, и любых п чисел у10, Уад,..., Уп» существует, и при том единственное, решение системы (1), определенное в некоторой окрестности точки х0 и удовлетворяющее начальным условиям х0,Ую, у»», .... у„о-
Можно показать, что это решение системы определено не только в окрестности точки х0, но и на всем интервале (а, Ь).
Если на интервале (а, Ь) функции yt (х), у2(х), ..., у„(х) равны тождественно нулю, то система (1) называется линейной однородной; в противном случае, т. е. если хоть одна из этих функций не равна тождественно нулю, система называется линейной неоднородной.
Так же как и для линейных уравнений высшего порядка, существует хорошо разработанная теория линейных однородных и неоднородных систем дифференциальных уравнений, изучающая свойства решений, структуру общих решений этих систем уравнений, метод вариации постоянных для неоднородных линейных систем и т. д.
Рассмотрим подробнее линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для простоты записи ограничимся случаем и = 3.
Обозначая неизвестные функции независимой переменной х через у, z и w, запишем линейную однородную систему с постоянными действительными коэффициентами в виде:
5^ = ОцУ+й122 + С13®,
^| = а^у + a22z + a23w,(2)
57 = а^У + a32z + a^w.
Решения этой системы обладают следующими свойствами:
Если у, z, w— решение системы (2), то Су, Cz,Cw, где С — любое число, также есть решение системы (2).
Если У1, гь Wt и у3, z2, ш2— решения системы (2), то функции ух + Уз, ?i + 2з, ®i + ^з также будут составлять решение системы (2).
Справедливость этих свойств устанавливается непосредственной подстановкой в уравнения системы указанных функций.
Из свойств 1) и 2) следует, что если ух, 2П Wi; у.,, 22, w2 и у3, 23, ty3— решения системы (2), то для любых значений чисел С1( С2, С3 линейная комбинация этих решений Схух 4- С^ 4- С^, Cxzx 4~ C2z2 4-C3z3, Cxwx -4-С2ш2-[- C3w3 также является решением системы (2)1).
Будем искать ненулевые решения системы (2) вида:
у = аекх, z = ^x, w = ^x,(3)
где а., р, 7 и к — некоторые числа, которые надо подобрать так, чтобы функции (3) удовлетворяли системе (2).
Подставляя функции (3) и их производные в уравнения системы, получим (после сокращения на ек~ и переноса всех членов в одну часть равенства):
(Оц — /г) а -~- а12р -[- а137 = О,
<221а 4“ (^22 — &) Р 4~ С23"1:= 0,(4)
о^а + а32р + (азз — fe) 7 = 0.
Систему (4) будем рассматривать как однородную алгебраическую систему из трех уравнений с тремя неизвестными а, р и 7. Для того чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю. Таким образом, число к должно удовлетворять уравнению:
ахх — к<212<213С21cz22 — к#23= 0.а31<232а33 — кахх — к<212<213С21cz22 — к#23= 0.а31<232а33 — к(5)(5)
ахх — к
<212
<213
С21
cz22 — к
#23
= 0.
а31
<232
а33 — к
ахх — к
<212
<213
С21
cz22 — к
#23
= 0.
а31
<232
а33 — к
(5)
(5)
Уравнение (5) называется характеристическим (или вековым^ уравнением системы (2). Это — уравнение третьей степени относительно к. По основной теореме алгебры оно имеет три корня: кх, k3 и к3. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы (4) (обозначим эти решения соответственно ап рь 7^ а2, р2, 72 и а3, р3, 73), а значит, ненулевое решение данной системы дифференциальных уравнений (2):
yx=axeblX, zx = $xeklX, wx = txeklX,у3 = ааб^з^, z2 = p3eft2 w3 = 72eft=x,y3 = a3eft3* z3 = р3е6зД w3 = t3ek=x.
Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами:
у = Cxaxekix -[- Сйз.3ек^х -[- £3a3eksx,у = Cxaxekix -[- Сйз.3ек^х -[- £3a3eksx,w = Сх-^хек1Х 4- С^3екгХ 4- С3-^3екзхw = Сх-^хек1Х 4- С^3екгХ 4- С3-^3екзхг = CiP^i* + C»^ek«-X + Ca3aek»x,г = CiP^i* + C»^ek«-X + Ca3aek»x,
у = Cxaxekix -[- Сйз.3ек^х -[- £3a3eksx,
у = Cxaxekix -[- Сйз.3ек^х -[- £3a3eksx,
w = Сх-^хек1Х 4- С^3екгХ 4- С3-^3екзх
w = Сх-^хек1Х 4- С^3екгХ 4- С3-^3екзх
г = CiP^i* + C»^ek«-X + Ca3aek»x,
г = CiP^i* + C»^ek«-X + Ca3aek»x,
(по доказанному выше) также будет решением системы (2).
Если корни кх, к3 и к3 характеристического уравнения различны, то можно показать, что это решение будет общим решением системы (2) в области
{ — ОО<Х<Д-°О, оо<4У1<^4~со> •••> —оо<уп<-^-оо1[.
Примечание. Так же как и для одного линейного уравнения, устанавливается, что если
у = и + iv, z = s -\- it, w — p-]~ iq
— комплексное решение системы (2) с действительными коэффициентами, то действительные и мнимые части этих функций, т. е. и, s, р и у, t, q, также составляют решения системы (2).
В случае, если fe1-2 = a±ip — корни характеристического уравнения, то найденные указанным выше методом комплексные решения можно заменить действительными решениями, отделяя действительные и мнимые части составляющих их функций так же, как это делалось на стр. 469.
В случае кратных корней характеристического уравнения отыскание общего решения системы (2) значительно сложнее. Этот вопрос в данном курсе не рассматривается.
Пример 1. Найти общее решение системы: у' = z + w, 2' = 3у -^- ТВ,(6)
w’ = Зу + 2.
Ищем решение в виде: у = аекх, z = ^ekx, ® = -;екх. Подставляя эти функции в уравнения и сокращая на екх, получаем систему:
_ «6 4-0 + 7 = 0,
За — 06 + 7 = 0,(7)
За + 0 — 76 = 0.
Характеристическое уравнение системы (6):
— 6
1
1
3
— 6
1
= 0, т. е. 6?— 76—6 = 0.
3
1
— 6
Корни характеристического уравнения kY =—1, 63 =— 2, 63 = 3.
Подставляем 6t =—1 в систему (7):
= + Р + 7 = 0,За + 0 + 7 = 0,За + 0 + 7 = 0.
Третье уравнение отбрасываем (оно следует из первых двух), переносим 7 вправо и находим а и 0:
а = 0, 0= — 7, 7 = 7, где 7—любое число.
Полагая 7=1, находим решение системы (6): у, = 0, г, = — е-х, wl = е-х.
Подставляем 63 =— 2 в систему (7): 2=4- ^4- 7 = 0, За+ 20+ 7 = 0, з«+ 0 + 27 = 0.
Решая систему из первых двух уравнений: 2„+ 0 = -т, За + 20 = — 7, получаем а = —7, 0 = 7, 7 = 7, где 7—любое число. Полагая 7 = 1, находим решение системы (6):
у 2 = — а-2х, z3 = е-2х, w = е-2х.
Подставляем 63=3 в систему (7):
— За + 0+ 7 = 0,За — 30 + 7 = 0,За + 0 — 37 = 0.
Отбрасываем снова третье уравнение и решаем систему
-За+ р = -Т, За — Зр = — у.
2
Получаем р = у, я="з"7> Т = Т- Полагаем у = 3. Тогда а —2,'Р = 3, у = 3.
у3 = 2е8*, z3 = Зе8*, да3 = Зе8*.
Общее решение системы имеет вид:
у = — С3е"2* + 2С3е8*, z = — С^-* + С2е~2* + ЗС3е8*, да = С,е"* + С3е"=* + ЗС3е8*
Пример 2. dy т । -г- =— Ту + 2, dx х । >
V= — 1y — 5z. dx
Ищем решение в виде: у = аекх, z = $ekx. При этом получаем: а (й + 7) — р = О, 2а-}-р(й4-5)=0.(8)
Характеристическое уравнение:
т. е. й2 + 12й 4-37 = 0.
Корни й1)2 = —6±f— комплексно сопряженные.
ki——6 -|- t. Подставляя в систему (8), получаем:(1 + 0»-р = 0,2“ + ? (— 1 + О = О'
Второе уравнение — следствие первого. Из первого уравнения находим: Р = (1 + + е) а. Взяв а=1, имеем p=14-f, т. е. yt = el-8+il *, zt = (1 4- о ei-e+»x— решение данной системы.
к„ =— 6—I. Система (8) имеет вид: (1 — Г) а — р = 0, 2а4-р(— 1 — 0 = 0, откуда следует, что Р = (1—0а- Взяв а = 1, имеем р = 1—I, т. е.
у2 = е1-в-г> *, z2 = (1 — 0 е<-8-г>
Найдем действительные и мнимые части найденных функций: yt = a-8* cos х + ia-0* sin х, zx = а-8* (cos х — sin х) -|- ia-8* (sin х -|- cos .г), _у2 = a-0* cos х — ia-0* sin х, zs = а-8* (cos х — sin х) — ie-8* (sin х -|- cos х).
Действительные решения системы имеют вид: у, = ат8* cos х, Zj = а-8* (cos х — sin х), у2 = е~вх sm х, z2 = а-8* (sinx -|- cos х).
Общее решение (во всем пространстве XYZ): у_е-бх (Ctcos х -|- С3 sin x), z = a-8* [Ct (cos x — sin x) -|- C2 (sin x -|- cos x)].
ГЛАВА IX
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙМНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Раздел 1
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ
Интегралы, зависящие от параметров
Рассмотрим функцию нескольких переменных u = f(x, у, г, .... w), определенную и непрерывную в области a^x^b, c^y^d, t^z^m, ..., s^w^t.
Закрепив любые значения у, гw, мы получим функцию одной переменной х;
u = <p(x) = f(x, у, zщ), непрерывную, а значит, интегрируемую, на отрезке а^х^Ь. Интеграл от этой функции
РР
<р (х) dx = ^ f (х, у, z, ..., щ) dx, где а^а^Ь, а^^^Ь, зависит от выбранных нами значений у, z, .... щ, т. е. является функцией от у, z, w, определенной в области
с^у ^d, l^z^m, ..., s < w ^ t.
Обозначим ее через Fly, z, ..., ш). Таким образом, P Fly, г, ..., w) = ^f(x, y, zw^dx.(1)
Переменные у, z, .... w, от которых зависит подинтегральная функция и которые при интегрировании рассматриваются как постоянные, называются параметрами. Сам интеграл (1) есть функция этих параметров.
Так, например, интеграл ^ Vx + y dx = ^ [(1 + у)3/2—у8/2] есть функция одного параметра у, определенная на любом отрезке c^y^d, где с^О, или, что то же, для всех у^О.
Интеграл | -. .. .= In — - ■ -> — есть функция двух па-
J /х3+у2 + ?а—24-J/^+^ + z2з
—2
раметров у и г, определенная в любом прямоугольнике \с^у ^d, l^z^m\, не содержащем начала (у = 0, 2 = 0)^; интеграл
j sinx(^£+^dx т
есть функция трех параметров у, z, и, определенная для всех значений у, z и и. Этот интеграл в элементарных функциях не берется, если у2 -|- z2 -|- и2 ^ 0.
Поставим своей задачей изучение некоторых свойств функции F (у, z, .... су) по известным свойствам функции f (х, у, г, ..., w). Для простоты мы будем рассматривать интегралы, зависящие от одного параметра. Полученные результаты могут быть перенесены на случай любого числа параметров.
Теорема 1. Если функция f (х, у) непрерывна в прямоугольнике р
{а^х^б, c^y^d^, то функция F (у) = ^ f (х, y)dx, где а^а-^Ь, а^^^Ь, непрерывна на отрезке с=Су -С d.
Доказательство. Пусть а<р. Рассмотрим любое значение у, c^y^d. Дадим ему приращение Ду так, чтобы значение y4-ky не вышло за пределы отрезка [с, d], При этом функция F (у) получит приращение ДЕ:
ДЕ = Е(уД-Ду)—E(y) = $[f (х, уД-Ду)— Цх, y)]dx.
Пусть е — любое положительное число. Так как функция Цх, у) непрерывна в замкнутой области \а ^x^b, c^y^d^, то она равномерно непрерывна в ней, а значит, существует число 8, 8 ^> 0, такое, что
1Ж, У1) — Цхо_, у ^<7^
для любых двух точек (хь у0 и (х2, у^ области, находящихся на расстоянии, меньшем 8.
Выбирая | Ду | <^ 8, будем иметь:
Р|AE|^$|f(x^ У-V^ — Ux, y^dx^e,
откуда и следует, что функция F ^ непрерывна при любом значении у, c^y^d.
Случай а^>р сводится к рассмотренному простой перестановкой пределов интегрирования. Для а = р утверждение очевидно.
Из доказанной теоремы как следствие вытекает теорема о возможности предельного перехода по параметру под знаком интеграла.
Теорема 2. Если функция f(x, у) непрерывна в прямоугольнике {а^х^b, c^y^d}, то
рР
Игл ^(х, у) dx — limf(x, y)dx,у-^Уо аа J»—►J'o
где су0 Сd, a^a^b, а^^^Ь.
‘) Или, что то же, определенная для всех значений у и z, кроме y = z = 0.
Доказательство. Действительно, так как (по теореме 1) функция /Ду) непрерывна при у = у0, имеем:
lim 5 / (х, у) dx = lim F (у) = F (у^ = $ f (х, у0) dx =
У-Уо аУ^Уоа
Р
= § 1 im / (х, у) dx.
а Уо
Рассмотрим теперь вопрос о дифференцировании интеграла по параметру.
Теорема 3. Если функции /(х, у) и fy(x, у) непрерывны в прямо- р
угольнике {а^х^б, c^y^d\, то функция F (у) = ^ (х, y)dx, где
а^а^Ь, а^^^Ь, дифференцируема на отрезке [с, d], причем р
Р' (У) = S fy (х> УНХ-
Доказательство. Пусть а<^р. Для любого значения у, c^y^d, и приращения Ду (не выводящего за пределы отрезка [с, dj), получаем:
Р
Д/7 = F(у Д-Ду) — Z7 (у) = ^ [f (х, у + Ду) — f (х, y)]dx,
или, после применения теоремы Лагранжа, Р
Д/7 = ^ fy (х, у —|—ОДу)\ydx, где 9 = 9(х,у, Дх, Ду), 0<^9<^1.
Разделив обе части равенства на Ду, будем иметь: р
^=^ fy(x, y-V^dx, где 0<9<1.
Покажем, что при выполнении условий теоремы рР
lim \fy^x, у —|—ОДу) dx = \fy(x, у) dx.
*У-0 аа
Для этого достаточно показать, что для любого числа е )> 0 существует число в Д> 0, такое, что для всех Ду, | Ду |<^о, выполнено неравенство:
РР
|Vx(x. g-V^y)dx — ^'у(х, y)dx\<e.
Пусть г Д> О— любое число. Так как функция Щх, у) непрерывна в замкнутой области ^a^x^b, c^y^d^, то она равномерно непрерывна в ней, а значит, существует число 8^>0, такое, что для любых двух точек этой области (хь у^ и (х2, у2), находящихся на расстоянии, меньшем 8, выполнено неравенство
|/И^ь У1)— fy(x2, У2)|<т^.
Выбирая ] Ду ]<^8, будем иметь:
рР
|Vx(x* У + 6дУ)^х — Sf;(x, y)dx\ =
РР
= |W(X> у + 6АУ) — fy^x, y)]dx|^S|^(x, у-+-9Ду)—/;(х, y)|dx<e.
Отсюда следует, что для любого значения у, c^y^d, существует производная F' (у), причем
^(?)=VxU> ^dx-
Пусть, например, требуется вычислить производную функции РУ) = = ^ In (х2 Д- У2) dx при любом значении у, у^>0. о
Так как условия теоремы 3 выполнены, то при вычислении производной можно дифференцировать по у под знаком интеграла:
1х=1
^(y)=$^^dx=2j/.yarctgy| =2arctgy1). ох=о
Дифференцирование интегралов по параметрам иногда применяется для вычисления определенных интегралов.
Пример. Вычислим интеграл
1п (а2— sin2 6) d6 (а > 1).
Здесь 6'—переменная интегрирования, а — параметр,
In (а* — sin* 6) dd = F (а).
Так как условия теоремы 3 выполнены, для любого а>>1 имеем:
"2
F’ (д) = С —2ш/0_ _-,
J а2 — sin3 0"\Г а? — 1
откуда, интегрируя по а, найдем:
f(«)=Jf(«)=Jя daу а2 — 1я daу а2 — 1л!п (п+ Vа2 — 1) + С.л!п (п+ Vа2 — 1) + С.
f(«)=J
f(«)=J
я daу а2 — 1
я daу а2 — 1
л!п (п+ Vа2 — 1) + С.
л!п (п+ Vа2 — 1) + С.
Для определения постоянной С представим интеграл F (а) в виде:Для определения постоянной С представим интеграл F (а) в виде:"2F(a)=^ ^lnn34-ln^lо"2F(a)=^ ^lnn34-ln^lо2^)р6 = я1пд + Jln(l о2^)р6 = я1пд + Jln(l о_2!£il\d9.а /_2!£il\d9.а /ТогдаТогда
Для определения постоянной С представим интеграл F (а) в виде:
Для определения постоянной С представим интеграл F (а) в виде:
"2
F(a)=^ ^lnn34-ln^lо
"2
F(a)=^ ^lnn34-ln^lо
2
^)р6 = я1пд + Jln(l о
2
^)р6 = я1пд + Jln(l о
_2!£il\d9.а /
_2!£il\d9.а /
Тогда
Тогда
22ооsin2 6 а2sin2 6 а2d6,d6,
2
2
о
о
sin2 6 а2
sin2 6 а2
d6,
d6,
и, переходя к пределу при д-*--|-со, получим1) С=—л In 2. Таким образом,
2"
F (а) = у In (а2 — sin3 0) <f0 = тс In - ^ ^a .о
Рассматривая интегралы, зависящие от параметров, мы предполагали пределы аир постоянными. Однако в приложениях часто случается, что при различных значениях параметров интегрировать приходится в разных пределах, т. е. а и р сами являются функциями параметров.
Так, например, интеграл $ f(x, y)dx, где а^сЦу1) ^Ь, а^^у)^. “Су)
^о, есть функция параметра у:
5 Цх, y^dx=F^.
«О')
Эта функция при определенных условиях, наложенных на функции /(х, у), а (у) и р (у), будет непрерывна и дифференцируема на отрезке [с, d].
Теорема V. Если функция f(x, у) непрерывна в прямоугольнике {a^x^b, c^y^d}, а функции а (у) и р (у) непрерывны на отрезке РФ)
[с, d\, причем а^а^ ^Ь, а^Р(у) ^6, то функция F(y') = ^ f^x.y^dx непрерывна на отрезке [с, d].
Доказательства этой теоремы мы не рассматриваем, предоставляя его читателю.
Теорема 3'. Если функции /(х, у) и %(х, у) непрерывны в прямоугольнике {а^х^б, c^y^d}, а функции а (у) и р (у) дифференцируемы на отрезке [с, d], причем а^а(у)^Ь, а^р(у)^6, то функция
РФ)^(У) = $ ^х, y^dx
дифференцируема на отрезке [с, d], причем еоо
Р1У) = \ ГДх, y)dx + f(P(y), у)Р'(У)~/(«(у). yV^)- “Су)
Доказательство. Будем рассматривать F (у) как сложную функцию переменной у:
/?(у)=Ф(у, Р, а) = ^/(х, У^х, где а = а(у), р = Р(у).
значит,значит,а2)Н°— Н^ й3)12*а2)Н°— Н^ й3)12*
значит,
значит,
а2)Н°— Н^ й3)12*
а2)Н°— Н^ й3)12*
Так как Пт а—>-|-соТак как Пт а—>-|-со
Так как Пт а—>-|-со
Так как Пт а—>-|-со
2
1* С 1 Л Sin2 6 лА ПИ 11Ш I 1П 15— du = 0.
а—>4"00 J\/
О
Функция Ф (у, р, а) имеет непрерывные частные производные по а, р и у, т. е. дифференцируема по у, причем
При вычислении ^ переменные аир считаются постоянными, а значит, по теореме 3
^ = ^ fXx. tiW-
Далее, применяя теорему о дифференцировании определенного интеграла по его верхнему и нижнему пределам, получаем:
Та=Ц^Х У^Х==
Таким образом,
F'tiA=\fy<x, y)dx+f^, у)^Чу)—Г^. yV4yY
где р = Р(у), a=a(y).
Примеры.
3^4-1
Пусть F(y)= 1— dx, у^О.
ТогдаТогдаЗу2+1Зу2+1е(3у= + 1)уу»-^+т^-у^=е(3у= + 1)уу»-^+т^-у^=У2
Тогда
Тогда
Зу2+1
Зу2+1
е(3у= + 1)уу»
-^+т^-у^=
е(3у= + 1)уу»
-^+т^-у^=
lLУlLУх=у»х=у»^^ 6у __ ^П, [1 . бу 1 _ 3^
lLУ
lLУ
х=у»
х=у»
Зу2 + 1 УЬ^З^+1] у
х
Доказать, что интеграл -^- С/(Z)sin и (х— £) dt, где/(<)—непрерывная Функов
/ция, а ш = const, <о^:0, есть решение уравнения у”-|-ш2у = / (х). Интеграл
-V
-^- ^W s*11 “ (х—О dt является функцией параметра х, обозначим ее у (х). Дифференцируя этот интеграл по параметру х последовательно два раза, получим:
у' (х) = J / (i) cos ш (х — t) dt + -^/ (x) sin ш (x — x) = о
X
= ^ / (0 cos to (x — f) dt,
X
y" (x) = — to ^ / (<) sin ш (x — f\ dt + f (x) cos <o (x — x) = о
X
= — <0 ( / (<) sin d> (x — t) dt + f (x) = — <o2y (x) -|- / (x).
Подставляя у (x) и у1'(x) в уравнение у"-|-<о2у =/(x), получаем тождество — “2> (-^) + / W + “2у (^) = / W, /№=/ (х), откуда следует, что у (х)—решение данного уравнения.
Раздел 2
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГОИ ВТОРОГО РОДА
Криволинейные интегралы первого рода(по длине дуги)
Рассмотрим зада чу о нахождении массы материальной кривой. Эта задача естественным образом приведет нас к одному из обобщений понятия определенного интеграла — криволинейному интегралу по длине дуги.
Пусть вдоль некоторой кривой непрерывным образом распределена масса ’). Средней плотностью какого-либо участка такой кривой называют отношение его массы к длине, а плотностью распределения массы кривой в данной точке называют предел средней плотности участка кривой, содержащего эту точку, при стягивании последнего к данной точке.
Поставим своей целью определить массу материальной кривой АВ, если известна плотность распределения массы у. в каждой ее точке М1. У- = У (М).
Эту задачу можно решить следующим образом. Разобьем дугу АВ точками Mt, М^, .... Мп-1 на п дуг. Обозначим, кроме того, для удобства дальнейших записей, точку А через М6, а точку В через Мпг\
На каждой дуге М,_х М, выберем произвольную точку Nt и вычислим в этой точке плотность распределения массы кривой:
P-i = V-(NiV
Предполагая, что плотность во всех точках дуги М£_х М, постоянна и равна ее значению в точке Nb найдем приближенное значение массы т дуги М^Мр
m^^N^- bsb
где As; — длина дуги Мь
Так как масса т всей дуги АВ равна сумме масс ее частей:
пm=yimi,t = \
то
m (Л(;) Дзг.i=i
Полученная формула будет приближенной, так как плотность распределения массы на каждой дуге Ми ML в действительности, вообще говоря, не постоянна. Естественно ожидать, что чем меньше будут длины дуг деления, тем точнее будет это приближенное равенство. За массу кривой АВ принимают предел полученного приближенного значения при стремлении к нулю всех длин дуг деления:
m=lim ^wk^ й ksbz=i
К изучению пределов сумм указанного вида сводится большое количество задач механики и математики, в связи с чем представляется це
Провода, тросы, цепи И пр. часто рассматриваются в расчетах как материальные кривые (их толщиной пренебрегают по сравнению с длиной).
Точки Mo, Мх, ..., Мп считаем для определенности перенумерованными в направлении от А к В.
лесообразным исследовать эти суммы, отвлекаясь от их конкретного
содержания.
Рассмотрим в пространстве XYZ непрерывную спрямляемую кривую Л В, в точках которой определена произвольная функция /(х, у, z).
Разобьем кривую АВ точками Мъ .... Мп_ъ занумерованными для определенности в направлении от Л к В на п частей (рис. 351). Точку Л обозначим через М6, точку В через МпУ На каждой дуге Mi4 Mt выберем произвольную точку М, (^, тц, tz) и умножим значение функции f (х, у, z) в этой точке N, на длину As, дуги М^Мр.
Сложив все такие произведения, мы получим сумму:
Ж^)^.(I)
Z= 1
Ее называют интегральной суммой для функции f (х, у, г), заданной на дуге АВ. Интегральная сумма зависит от способа разбиения дуги АВ на части и от выбора точек Nt на этих частях.
Назовем шагом разбиения кривой Л В на части наибольшую из длин
дуг деления и обозначим ее через X. Рассмотрим процесс, при котором число п дуг деления кривой АВ будет неограниченно возрастать, а длины этих дуг будут стремиться к нулю. Этот процесс можно характеризовать словами: «шаг разбиения X кривой АВ стремится к нулю».
Если при стремлении к нулю шага разбиения X существует предел интегральных сумм, то этот предел называют криволинейным интегралом от функций f(x, у, г) по длине дуги АВ и обозначают символом:. \f^, у, z^ds^.
Криволинейный интеграл по длине дуги часто называют криволинейным интегралом первого рода в отличие от криволинейных интегралов второго рода (по координатам), с которыми мы познакомимся в § 3.Ниже будет показано, что если функция /(х, у, z) непрерывна на спрямляемой непрерывной кривой ЛВ3), то указанный предел сущеКриволинейный интеграл по длине дуги часто называют криволинейным интегралом первого рода в отличие от криволинейных интегралов второго рода (по координатам), с которыми мы познакомимся в § 3.Ниже будет показано, что если функция /(х, у, z) непрерывна на спрямляемой непрерывной кривой ЛВ3), то указанный предел сущеАВ
Криволинейный интеграл по длине дуги часто называют криволинейным интегралом первого рода в отличие от криволинейных интегралов второго рода (по координатам), с которыми мы познакомимся в § 3.
Ниже будет показано, что если функция /(х, у, z) непрерывна на спрямляемой непрерывной кривой ЛВ3), то указанный предел суще
Криволинейный интеграл по длине дуги часто называют криволинейным интегралом первого рода в отличие от криволинейных интегралов второго рода (по координатам), с которыми мы познакомимся в § 3.
Ниже будет показано, что если функция /(х, у, z) непрерывна на спрямляемой непрерывной кривой ЛВ3), то указанный предел суще
ствует, т. е. существует интеграл
$ t (х, у, г) ds.АВ
*) Можно перенумеровать эти точки и в обратном направлении.
Точное определение предела интегральных сумм аналогично соответствующему определению для определенного интеграла. А именно, число I называется пределом интегральных сумм (1), если для любого числа е > 0 существует число 8>0, такое, что для всякой интегральной суммы с шагом разбиения, меньшим 8, выполнено неравенство
Этот предел, как следует из определения, не зависит от способа разбиения кривой АВ на части и от выбора точек N; на этих частях.
*) При этом функция /(х, у, z)=/(M) называется непрерывной в точке Р кривой АВ, если для любой последовательности точек Р„ Р2, ..., Рп, ... кривой АВ, сходящейся к точке Р, выполнено равенство: lim/(P„) =f(P). Функция, непрерывная
в каждой точке кривой АВ, называется непрерывной на кривой АВ.
Сформулируем некоторые свойства криволинейного интеграла по длине дуги, непосредственно вытекающие из определения этого интеграла. При этом каждый из упомянутых ниже интегралов будем предполагать существующим.
Значение криволинейного интеграла по длине дуги не зависит от направления кривой АВ.
Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла.
Криволинейный интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций.
Если кривая АВ точкой С разбита на две части АС и СВ, то
5 f (х> У» z)ds = ^f (х, д, z) ds -ф- ^ / (х, у, г) ds.
АВассв
Если в точках кривой АВ
fi(x, у, z^Mx, у, z^, то
$ Ь(Х, у, z^ds^ $ f3(x, у, z) ds.
АВАВ
I $ Цх, у, z)ds|^ $ |f(x, у, г) | ds.
АВАВ
Если /(х, у, 2) = 1, то
ds = lim 2^si = S,
АВ0 i=i
где S — длина кривой АВ.
Теорема о среднем. Если функция f(x, у, г) непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой существует точка (£, ц, С), такая, что:
$ / (х, у, z}ds=f^, ч, Q-S,
АВ
где S—длина кривой АВ.
Возвращаясь к рассмотренной выше механической задаче, заключаем, что масса т материальной кривой АВ вычисляется по формуле
т = [л (х, у, z) ds,
АВ
где р. (х, у, z) — плотность распределения массы.
Выясним теперь, как связан криволинейный интеграл по длине дуги с обыкновенным определенным интегралом.
Пусть АВ — непрерывная спрямляемая кривая, а / (х, у, г)—функция, непрерывная на этой кривой.
Установим на кривой АВ определенное направление, например от Л к В. Тогда положение любой точки М (х, у, г) кривой АВ можно характеризовать длиной s дуги АМ:
x = x(s), y = y(s), z = z(s).
В частности, точке А соответствует s = 0, а точке В соответствует s = S, где S — длина кривой АВ. При этом на уравнения x = x(s), y = y^s), z = z(s), где s меняется в пределах от s—О до s=S, можно смотреть как на параметрические уравнения кривой АВ.
Функция /(х, у, z) = f(x(s), у (s'), z(s)) становится сложной непрерывной функцией параметра s, O^s^S. Обозначая через s, и аг зна-
чения параметра s, соответствующие точкам Mt и Nb si_1^ai^st, получим:
Hi, = ^Цх^), у^, г^Ь5ьi=l1=1
где Д$г = Si — S;_1 — длина дуги М^ Mi.
В правой части равенства стоит интегральная сумма для обыкновенного определенного интеграла от непрерывной функции f(x(s), y(s), z(s)) на отрезке O^s^S. Переходя к пределу при стремлении к нулю шага разбиения X кривой АВ, получаем:
$ Цх, у, z)ds=^(x(s), y(s), z(s))ds.(2)
АВО
Заметим, что эти рассуждения не только дают выражение (2) криволинейного интеграла по длине дуги через обыкновенный интеграл, но и доказывают существование криволинейного интеграла от функции / (х, у, г), непрерывной на рассматриваемой кривой АВ.
Пусть теперь кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = х(/), у = у(^, z = z^, а^/^р, где х^, у^, z^t]— непрерывно дифференцируемые функции любого параметра t (не обязательно длины дуги s), причем точке А соответствует ? = а, а точке В t = $. Установим на кривой АВ направление от Л к В. Тогда длина дуги АМ [М(х, у, г) — текущая точка кривой АВ] будет функцией параметра (:
t
s = s (0 = $ Vx'1 (О + у'2 (0 4- г'2 (0 dt.
Произведя замену переменной в правой части формулы (2), будем иметь: ₽
5 f (х, у, z] ds = \ f (х (0, у (0. г ^ /х'2 (г1) + у'2 (0 + г'3 (г1) dt.(3)
АВа
Если точке А соответствует большее значение параметра (/ = р), чем точке B(t = a), то, устанавливая на кривой АВ направление от В к Л и производя аналогичные выкладки, снова приходим к формуле (3), так как интеграл по длине дуги от направления кривой не зависит.
Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла по длине дуги надо, используя параметрические уравнения кривой, выразить подинтегральную функцию через параметр t, заменить ds дифференциалом дуги как функции параметра t и проинтегрировать полученное выражение по t в пределах от меньшего до большего значения параметра t для данной кривой.
Пусть, например, требуется вычислить интеграл ^ (х2 4->3 + з2) ds по одному
Ав
витку винтовой линии: х = cost, у = sin t, z = t, 0^i^2n (рис. 352).
По формуле (3) получаем:
2-
\ (х2 -|-у- -|- z2) ds — ( (cos21 + sin3 t +<2) V" (—sin <)2 + (cos <)2-|-1 dt=
AB6
_\
= /2 < (l+i2)di = 2/2z.
Если AB — плоская кривая, заданная уравнением у = <о(х), a^x^b, где <р (х) — непрерывно дифференцируемая функция, то, принимая х за параметр, как частный случай формулы (3) будем иметь формулу
6
$ f (х, у) ds = $ f (х, v W) /1 + ?'2 И dx.(4)
АВа
Пример. Вычислить интеграл ^ x2ds, где АВ—часть логарифмической кри- Ав
вой у = In х от х = 1 до х = 2 (рис. 353).
По формуле (4)
5 xMs=\x2"V 1+ * ^ = у (1+^)2=1(5]/5-2]/1).
АВf Г Лх=13
Криволинейный интеграл по длине дуги имеет разнообразные приложения в механике и математике. С помощью этого интеграла можно
вычислить массу материальной кривой, ее статические моменты относительно координатных осей и плоскостей, моменты инерции относительно координатных осей, найти координаты центра тяжести такой кривой, решить задачу о притяжении материальной точки материальной кривой и т. д.
Криволинейные интегралы второго рода
Прежде чем дать определение криволинейного интеграла второго рода, рассмотрим приводящую к нему задачу о вычислении работы переменной силы при перемещении материальной точки вдоль некоторой кривой.
Будем говорить, что в области V пространства XYZ задано силовое поле с напряженностью F, если в каждой точке М области определена сила F, действующая на единицу массы, помещенную в эту точку. При этом величина и направление силы F предполагаются зависящими только от положения точки М; F=F(M). Тогда проекции Р, Q, R силы F на оси координат будут функциями координат х, у, г точки Л4:
Р = Р^х, у, г), Q — Q(x, у, г), R — R(x, у, z).
Вычислим работу, совершаемую силой F по перемещению единицы массы вдоль непрерывной спрямляемой кривой АВ в направлении от А к В (короче, вычислим работу поля вдоль кривой АВ).
Из механики известно, что если перемещение прямолинейно, а действующая сила F постоянная по величине и направлению, то затраченная ею работа А равна скалярному произведению силы F на вектор смещения /:
А=(Л I).
В случае непрямолинейного пути перемещения и переменной силы F определение выполненной работы можно произвести следующим образом.
Разобьем кривую АВ в направлении от Л к В точками Мй, Мь ..., Мп, где точка Мв совпадает с А, Мп — с В, на п дуг.
Пусть хь уь г,- — координаты точки Мь На каждой дуге М^М^ возьмем произвольную точку N,^, 7];, С,). Предположим, что в точках дуги МИМ; действующая сила В постоянна и равна ее значению в точке Nb и предположим также, что под Действием этой силы материальная точка перемещалась не по дуге Mt_xMb а по отрезку M^Mj. (рис. 354).
Работу постоянной силы F(Nt) вдоль отрезка М^М, можно принять за приближенное значение работы А,- поля вдоль дуги МХ_ХМЬ
Таким образом, Af #=s=? (jF(A7j), Л4г_1УИ,-) или, так как вектор Ml_xMi имеет координаты:
Дх; = xz — xz_b Дуг = у; —yz_1( ^Zl = Zi — Z^b
то
^, ул^ + № ^. ^MiA-R^. чь t^zb
Считая, что работа А поля вдоль дуги АВ равна сумме работ вдоль п
ее частей: А= 2 Az, получаем:
A^S VP^b -Чь ^^i + Q^b 4, Q^i + R^b Ч/, W-
За кривойЗа кривойточное значениеточное значениеработы по перемещению единичной массы вдольработы по перемещению единичной массы вдольАВАВиз точки Аиз точки Аввна п2, ..Ni^bна п2, ..Ni^bдуг *). Черездуг *). ЧерезXi,Xi,п.п.На каждойНа каждойточку В принимается предел, к которому стремится найденное приближенное значение при стремлении к нулю наибольшей из длин дуг деления X:A=lim ^[Р(У ^ У^< + х-»ог=1+ $(У ti. Ч) ^У. + Рвь Чь У Добудем изучать пределы указанного вида, отвлекаясь от конкретного содержания рассмотренной задачи.Итак, пусть АВ — непрерывная кривая в пространстве XYZ (в частности, на плоскости XOYY а Р (х, у, z) — произвольная функция, определенная на этой кривой.Разобьем дугу АВ точками Л40, Мь „., Мп в направлении от А к Вточку В принимается предел, к которому стремится найденное приближенное значение при стремлении к нулю наибольшей из длин дуг деления X:A=lim ^[Р(У ^ У^< + х-»ог=1+ $(У ti. Ч) ^У. + Рвь Чь У Добудем изучать пределы указанного вида, отвлекаясь от конкретного содержания рассмотренной задачи.Итак, пусть АВ — непрерывная кривая в пространстве XYZ (в частности, на плоскости XOYY а Р (х, у, z) — произвольная функция, определенная на этой кривой.Разобьем дугу АВ точками Л40, Мь „., Мп в направлении от А к Вyb г, обозначим координаты точек Л4Ь i=@l,■'■'произвольную точ^уyb г, обозначим координаты точек Л4Ь i=@l,■'■'произвольную точ^удуге МмМх выберемдуге МмМх выберемтщ Q и умножим значение функции Р (х,тщ Q и умножим значение функции Р (х,величину Дхг = х, —х,_, проекции дуги 714Z_,MZ на Сумма всех таких произведений:величину Дхг = х, —х,_, проекции дуги 714Z_,MZ на Сумма всех таких произведений:у, z) в точке N; на ось ОХ.у, z) в точке N; на ось ОХ.
За кривой
За кривой
точное значение
точное значение
работы по перемещению единичной массы вдоль
работы по перемещению единичной массы вдоль
АВ
АВ
из точки А
из точки А
в
в
на п
2, ..
Ni^b
на п
2, ..
Ni^b
дуг *). Через
дуг *). Через
Xi,
Xi,
п.
п.
На каждой
На каждой
точку В принимается предел, к которому стремится найденное приближенное значение при стремлении к нулю наибольшей из длин дуг деления X:
A=lim ^[Р(У ^ У^< + х-»ог=1
+ $(У ti. Ч) ^У. + Рвь Чь У До
будем изучать пределы указанного вида, отвлекаясь от конкретного содержания рассмотренной задачи.
Итак, пусть АВ — непрерывная кривая в пространстве XYZ (в частности, на плоскости XOYY а Р (х, у, z) — произвольная функция, определенная на этой кривой.
Разобьем дугу АВ точками Л40, Мь „., Мп в направлении от А к В
точку В принимается предел, к которому стремится найденное приближенное значение при стремлении к нулю наибольшей из длин дуг деления X:
A=lim ^[Р(У ^ У^< + х-»ог=1
+ $(У ti. Ч) ^У. + Рвь Чь У До
будем изучать пределы указанного вида, отвлекаясь от конкретного содержания рассмотренной задачи.
Итак, пусть АВ — непрерывная кривая в пространстве XYZ (в частности, на плоскости XOYY а Р (х, у, z) — произвольная функция, определенная на этой кривой.
Разобьем дугу АВ точками Л40, Мь „., Мп в направлении от А к В
yb г, обозначим координаты точек Л4Ь i=@l,
■'■'произвольную точ^у
yb г, обозначим координаты точек Л4Ь i=@l,
■'■'произвольную точ^у
дуге МмМх выберем
дуге МмМх выберем
тщ Q и умножим значение функции Р (х,
тщ Q и умножим значение функции Р (х,
величину Дхг = х, —х,_, проекции дуги 714Z_,MZ на Сумма всех таких произведений:
величину Дхг = х, —х,_, проекции дуги 714Z_,MZ на Сумма всех таких произведений:
у, z) в точке N; на ось ОХ.
у, z) в точке N; на ось ОХ.
называется интегральной суммой для функции Р (х, у, z) на дуге АВ по переменной х.
Если при стремлении к нулю шага разбиения X кривой АВ такие интегральные суммы имеют предел, то этот предел называют криво-
линейным интегралом по переменной х от функции Р^х, у, г) по кривой АВ в направлении от А к В и обозначают символом
$ Р^х, у, 2)йх').(I)
АВ
п
Итак, ^ Р^х, у, z)dx = Iim 2 Р ^ь "Ль Сг)Дх,-, если этот предел суще- авь-о;=1
ствует.
Криволинейный интеграл по переменной х отличается от криволинейного интеграла по длине дуги тем, что при составлении интегральной суммы значение функции в точке Nz дуги M^Mt умножается не на длину дуги М^МЬ а на величину Дх; ее проекции на ось О№). Так как, в отличие от длины дуги, величина проекции дуги M-^Mt на ось ОХ существенно зависит от направления дуги и меняет знак при перемене направления, заключаем, что криволинейный интеграл по переменной х зависит от направления кривой АВ и при перемене направления кривой меняет знак на обратный:
5 Р (х, у, z)dx — — § Р (х, у, z) dxАВВА
(здесь АВ и ВА обозначают одну и ту же кривую, на которой в первом случае установлено направление от Л к В, а во втором случае — противоположное направление, от В к Л).
Аналогичным образом для любых функций Q (х, у, z) и R (х, у, г), заданных на кривой АВ, можно определить криволинейные интегралы по этой кривой в направлении от А к В по переменным у и г:
5 <Ш у, z)dy=lim 2 Q(^ тц, ^Az/^(2)
АВ^О <=1
S Р(х, у, z)dz=lim ^R^, ^ Q Az(,(3)
АВ-*0;^!
если эти пределы существуют. Криволинейные интегралы по переменным х, у и z называют криволинейными интегралами второго рода.
Сумму криволинейных интегралов
Р(х, у, z^dx, Q(X, у, z) dy, Р (х, у, z) dz
АВАВАВ
также называют криволинейным интегралом второго рода и обозначают:
Р(х, у, г) dx-pQ(x, у, z)dy-^-R(x, у, г) dz.(4)
АВ
Каждый из этих криволинейных интегралов существенно зависит от направления кривой, по которой производится интегрирование, и меняет знак при перемене направления пути интегрирования, т. е.
S =- 53)-
АВ ВА
Рассмотрим свойства криволинейных интегралов второго рода, непосредственно вытекающие из их определения. При этом каждый из встречающихся ниже интегралов будем предполагать существующим.
Постоянный множитель выносится за знак криволинейного интеграла:
^ kPdx = k ^ Pdx, ^ kQdy — k ^ Qdy, ^ kRdz — k ^ Rdz, АВАВ АВАВ АВАВ
где h — число.
Криволинейный интеграл от суммы двух функций равен сумме соответствующих интегралов от слагаемых:
(Pi + P^dx — ^ PYdx4- ^ P2dx,
АВАВАВ
5 (Qi + Qa)^ — 5 91^У ~г ^ Q^dy,
АВАВАВ
5 № + R») dz= 5 R\dz-V ^ R^dz.
АВАВАВ
Если кривая АВ точкой С разбита на две части, то криволинейный интеграл по всей кривой АВ равен сумме интегралов по ее частям:
АВ ас свАВ ас св
АВ ас св
АВ ас св
Криволинейный интеграл по замкнутой кривой L не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода кривой.
Действительно, выбирая точку А за начальную (точка А совпадает с конечной точкой 5), получаем (см. рис. 355):^ S + S ’ где
АтД1пА АтД! АхтгА
Л1 — любая точка кривой L, отличная А.
Выбирая теперь точку At за начальную (точка At совпадает с конечной точкой В^, получаем:
S = S + $ •
Л1ПДтД, AinA AmAi
Таким образом,
AxnAmAx АтАхпА
Криволинейный интеграл по замкнутой кривой L (по контуру L) обычно обозначают символом <^>. Кружок на знаке интеграла служит для L
обозначения контура. Направление обхода контура L задается дополнительно.
В случае, если L — замкнутая кривая без точек самопересечения, лежащая в плоскости XOY, условимся называть положительным направ-
*) Свойства 3 и 4 имеют место для криволинейных интегралов вида (1) — (4)
лением обхода контура L такое направление обхода, при котором движение происходит против часовой стрелки, т. е. так, что ограниченная контуром L часть плоскости остается слева (рис. 356). Противоположное направление обхода контура будем называть отрицательным. Соответствующие криволинейные интегралы принято обозначать символами:
L L
При отсутствии дополнительных указаний о направлении обхода контура L, лежащего в плоскости XOY, условимся подразумевать положительное направление обхода.
Если АВ — кривая, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси ОХ, то
Р (х, у, z) dx = 0. АВ
Действительно, в этом случае в соответствующей интегральной сумме все Дхг, г=1, 2, ..., п, равны нулю, а значит,
Р (х, у, z) dx— lim 2 р &> Чь ^ д xt = 0.
АВх —0 £=1
Аналогично для кривой АВ, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси OY ^OZ), получаем:
Q(x, у, z)dy = 0 (\R(x, у, z)dz — 0\ АВАВ
Сформулируем теперь достаточные условия существования криволинейных интегралов второго рода.
Будем называть кривую АВ гладкой кривой, если существуют параметрические уравнения этой кривой: х = х(^, у = у(^, z = zt^, tx ^t^ts., где х(/), у(/), z (t)— непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [/п /2]. Непрерывная кривая АВ называется кусочно-гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких дуг *).
Теорема. Если кривая АВ — кусочно-гладкая, а функции Р (х, у, г), Q(x, у, z) и R(x, у, г) непрерывны на кривой АВ, то криволинейные интегралы
Р (х, у, z) dx, Q (х, у, z) dy, R (х, у, z) dz, АВАВАВ
а следовательно, и криволинейный интеграл
Р (х, у, z)dx-\-Q (х, у, z)dy^-R (х, у, z) dz, АВ
существуют.
Доказательство этой теоремы в данном курсе не рассматривается.
Возвращаясь к рассмотренной выше задаче о работе поля F=Pi-\- -\-QJ-\-Rk вдоль кривой АВ, заключаем, что при определенных условиях2), наложенных на кривую и на функции Р (х, у, z), Q(x, у, z) и R(x, у, z), эта работа вычисляется по формуле
А = ^ Р (х, у, z) dx -[- Q (х, у, z)dy -\-R (х, у, z) dz. АВ
Вычисление криволинейных интегралов второго рода производится путем их преобразования в определенные интегралы.
*) Как следует из определения, всякую кусочно-гладкую кривую можно задать параметрическими уравнениями: х = х (<), у =у (<), 2=2(f), tx^t ^t2, где функции х (7), у (t), 2 (t) непрерывны на отрезке [<п <3], а их производные х' (t), у' (<), z’ (i) непрерывны всюду, кроме, может быть, конечного числа точек разрыва первого рода.
г) См., например, условия сформулированной выше теоремы.
Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = х(/), y = y(f), z = z(t), где х^у y(t), г (/) —непрерывно дифференцируемые функции t, изменяющегося в пределах от / = а до / = Р(а^>р илиа<^Р). Предположим, что точке А соответствует значение параметра t—a, точке В соответствует /=р, причем изменению / от а к р соответствует движение точки М (х^, у^, z (Z)) по кривой АВ в направлении от Л к В.
Тогда, если функции Р (х, у, z), Q(x, у, z) и R(x, у, z) непрерывны на кривой АВ, то криволинейные интегралы
Р (х, у, z) dx, Q (х, у, ^ dy и ^7? (х, у, z) dz,
АВАВАВ
определяемые как пределы соответствующих интегральных сумм, существуют и, следовательно, не зависят от способов построения этих сумм. Воспользовавшись этим, построим интегральные суммы специальным образом.
Разобьем отрезок с концами / = а и / = Р оси Of точками /0 —а. tt, ti, .... ^П = Р в направлении от а к р на и частей. Обозначим через 7И;(х;, yb z^ точку кривой А В, соответствующую значению параметра/^
^ = ^М. У,=У(^, Zi^z^t).
Точки Mtt, Мъ .... Мп разобьют кривую АВ в направлении от Л к В на п дуг. По теореме Лагранжа
ДХ; = Xi — X;_i = X (t,) — X (.ti-t') = х' (т() Ыь
где Mt = ti — tt_x, a ti — значение параметра 7, лежащее между ^_х и ti.
Пусть Ni(£i, ц,, Q—точка кривой Л В, соответствующая значению параметра / = т;: ^ = х(т,), "4i = y^i), ^i = z(x^. Эта точка лежит на дуге Mi_xMi.
Составим интегральную сумму для интеграла ^ Р (х, у, z) dx, исполь- АВ
зуя полученное разбиение кривой АВ на части М£_хМг (1—1, 2п) и выбранные точки Nt на этих частях. По построению имеем:
5 р&» Чь ^^i = s P^i)* У И.(5)
i=lt = l
Правая часть равенства представляет собой интегральную сумму для определенного интеграла от непрерывной функции Р (х (t), у (t), z (t^ ^ (t) по переменному t, изменяющемуся от t—a. до / = р. При стремлении к нулю шага разбиения рассматриваемого промежутка оси Ot, в силу непрерывности функций х* (f), у' (t), z? (t), будет стремиться к нулю шаг разбиения кривой АВ. Переходя к пределу в равенстве (5), получим формулу, выражающую криволинейный интеграл по переменной х через определенный интеграл:
$ Р (х, у, z)dx—\p (х(О, У (Г), Z (t))X? (t) dt.(6)
АВа
Аналогичным образом выводятся формулы:
$<2(*> У, z^dy = \Q(x(f>, y(t), z(t^yr (t'ldt,(7)
ABa
^R(x, y, z)dz—^R (x(t), y(t), z(t))^(t)dt.(8)
ABa
В общем случае получаем:
р
\Р dx-^-Qdy-Y-Rdz = '\lVPx,(t')-VQy' (^А"Р^ (t)]dt.(9)
АВa
Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла по переменным х, у и z по кривой АВ надо составить параметрические уравнения пути интегрирования, выразить формально под знаком интеграла переменные х, у и z, а также их дифференциалы dx, dy и dz через параметр, и затем вычислить от полученного выражения определенный интеграл в пределах изменения параметра от значения, соответствующего началу пути интегрирования, до значения, соответствующего концу.
Примечание. Выведенные формулы также имеют место, если кривая АВ кусочно-гладкая (а не гладкая, как предполагалось при доказательстве), а функции x(t\ y(f), z^ удовлетворяют указанным на стр. 509 условиям (см. сноску 1).
Рассмотрим несколько примеров на вычисление криволинейных интегралов второго рода.
Пример 1. Вычислить интеграл t х1 dx—yzdy-\-zdz вдоль отрезка АВ, АВ
соединяющего точки А (1, 2, — 1) и В (3, 3, 2).
Уравнения прямой АВ;
х — 1 у — 2 2 +1
или в параметрической форме: х = 1+2£, y = 2 + f, z =—1+3£.
Для отрезка АВ параметр t изменяется от (д=0 до tB=X. Следовательно,
1
\ х- dx — yz dy + z dz = U(1 + 2t)a • 2 — (2 +1) (— 1 + 3<) + (— 1 + 3t) 3]dt =
AB5
i
= f (5^ + 12«+l)tff = ^.
В данном примере за параметр также можно взять любую из переменных х,у или г. Например, выбирая за параметр у, запишем уравнения отрезка АВ в следующей
лежитлежитв плоскости, перпендику-X = х, у = 1 — X, 2 = 0.в плоскости, перпендику-X = х, у = 1 — X, 2 = 0.форме:
лежит
лежит
в плоскости, перпендику-
X = х, у = 1 — X, 2 = 0.
в плоскости, перпендику-
X = х, у = 1 — X, 2 = 0.
х = 2у — 3, у=у, г = 3у — 7,уд = 2<у^ув = 3.
yz dy + z dz =yz dy + z dz =aSaSПрименяя выведенную выше формулу, получим:
yz dy + z dz =
yz dy + z dz =
aS
aS
3
f [(2у-3)=2-у (3y-7) + (3y-7) 3\dy = ^.
Пример 2. Вычислить интеграл «у (х +у + -V z) dx по ломаной АВСА с вершинами Л (1, 0, 0), В (0, 1, 0), С (0, 0, 1) (рис. 357).
АВСА АВ ВС С А
виде: овиде: о(х +У + 2) dx = 0, так как путь интегрирования ВС
виде: о
виде: о
лярной оси ОХ. Уравнения отрезка АВ запишем в
Так как хд = 1, хв = 0, имеем § (х +у + z) dx = \ [х + (1 — x^dx = — 1.
АВ1
Уравнения отрезка СА запишем в виде: х = х,у= 0,2 = 1—х. Так как хс = 0, хл = 1, имеем:
1
t (х +у + z) dx = § [х + (1 — х)] dx — 1.
сдо
вврезультате получаем:
в
в
dx=—14-0 + 1=0.dx=—14-0 + 1=0.<£ (*+> + 2)
dx=—14-0 + 1=0.
dx=—14-0 + 1=0.
АВСА
В случае, если АВ— плоская кривая, заданная .уравнением y = f(x), f(x)— непрерывно дифференцируемая функция х, и функции Р ^х, у) и Q(x, _у) непрерывны на этой кривой, то, принимая за параметр х, из формул (6) — (9), как следствие, получаем формулы:
хв
\ Р(х, у) dx= ^ Р (х, f (х)) dx,(6')
АВхд
ХВ
Q (х, у) dy = $ Q (х, / (х)) f (х) dx,(7)
АВхд
5 Р (х, у) dx-V Q (х, у) dy =АВ
хв
= 5 [Р(х,f(x)) + Q(x, f^f'Wdx.(9')
ХА
Здесь хд и Хв — значения переменной х соответственно для точек А и В.
Пример 1. Вычислить интеграл: \ху dx— (х—у) dy по дуге АВ параболы Ав
у = ха, если хд = — 1, ха = —2. Принимая за параметр х, получим:
— 2
\ ху dx— (х—y^dy= § [х3— (х— x3)-2x]dx =
АВ— 1
—Li- 5 12-
Пример 2. Вычислить интеграл t ydx, если AOB— дуга параболы у2 = x, AOB
A.A.t ydx + t ydx. AO OBt ydx + t ydx. AO OBпричем A (1, — 1), В (1, 1) (рис. 358). Учитывая свойства криволинейных интегралов, получим:
A.
A.
t ydx + t ydx. AO OB
t ydx + t ydx. AO OB
Так как дуга АО имеет уравнение у = —Vх, O^x^l, причем xA = l, х0 = 0, дуга ОВ имеет уравнение y=Y х,
0043 *43 *О
0
0
4
3 *
4
3 *
1 ydx= IAOB I
Примечание. В данном примере проще рассматривать в качестве параметра у, видоизменив соответственно формулу (7'):
-г214
t ydx= 5 у-Чу rfy = —у3=4".
40В- I3 I 3
Рассмотрим коротко вопрос о связи криволинейных интегралов первого и второго рода. Пусть АВ — гладкая кривая, а функции Р (х, у, z), Q(x, У, 2) и Р (х, у, г) непрерывны на ней. Установим на кривой АВ направление от Л к В и выберем в качестве параметра длину s дуги АМ, где М (х, у, z) — текущая точка кривой. При этом зд —0, sb=S (S — длина дуги АВ) и параметрические уравнения кривой запишутся в виде:
x = x(s), y = y(s), z = z(s), O^s^S.
Если обозначить через а, р, 7 углы, составляемые с осями координат касательной к кривой АВ, направленной в сторону роста параметра s, то, как можно показать,
cosa = x'(s), cos р =z/'(s), cos 7 = z' (s) ’)•
Учитывая эти соотношения и формулы, выражающие криволинейные интегралы первого и второго рода через определенные интегралы, получим:
s^Р(х, у, z)dx=$P(x(s), у (s), АВОS^Q^x, у, z)dx=\Q(x(s), y(s), АВОS$Я(х, у, z)dx—^R(x(s), y(s), АВОs^Р(х, у, z)dx=$P(x(s), у (s), АВОS^Q^x, у, z)dx=\Q(x(s), y(s), АВОS$Я(х, у, z)dx—^R(x(s), y(s), АВОz (s)) х’ (s) ds = ^ Р (х, у, z) cos a ds, АВz (s)) if (s) ds — ^ Q (x, y, z) COS p ds,ABz (s)) z' (s) ds = ^ P' (я, У, z) cos 7 ds. ABz (s)) х’ (s) ds = ^ Р (х, у, z) cos a ds, АВz (s)) if (s) ds — ^ Q (x, y, z) COS p ds,ABz (s)) z' (s) ds = ^ P' (я, У, z) cos 7 ds. AB
s
^Р(х, у, z)dx=$P(x(s), у (s), АВО
S
^Q^x, у, z)dx=\Q(x(s), y(s), АВО
S
$Я(х, у, z)dx—^R(x(s), y(s), АВО
s
^Р(х, у, z)dx=$P(x(s), у (s), АВО
S
^Q^x, у, z)dx=\Q(x(s), y(s), АВО
S
$Я(х, у, z)dx—^R(x(s), y(s), АВО
z (s)) х’ (s) ds = ^ Р (х, у, z) cos a ds, АВ
z (s)) if (s) ds — ^ Q (x, y, z) COS p ds,AB
z (s)) z' (s) ds = ^ P' (я, У, z) cos 7 ds. AB
z (s)) х’ (s) ds = ^ Р (х, у, z) cos a ds, АВ
z (s)) if (s) ds — ^ Q (x, y, z) COS p ds,AB
z (s)) z' (s) ds = ^ P' (я, У, z) cos 7 ds. AB
Таким образом, криволинейные интегралы второго рода выражаются через криволинейные интегралы по длине дуги, т. е. первого рода.
Для общего криволинейного интеграла второго рода имеем формулу:
Р dx Д- Q dy Д- Р dz = ^ (Р cos а 4- Q cos р Д- Р cos у) ds ). АВАВ
§ 4. Условия независимости криволинейного интеграла (второго рода)от формы пути интегрирования
Пусть функции Р(х, у, z\ Q(x, у, z) и Р(х, у, z) непрерывны в некоторой области D пространства XYZ. Будем рассматривать в этой области только кусочно-гладкие кривые.
Возьмем в области D две произвольные точки А и В. Их можно соединять различными кривыми, лежащими в области D. По каждой из этих кривых интеграл^ Р dx Д- Q dy Д- R dz имеет, вообще говоря,
АВ
свое значение.
Вычислим, например, интеграл ^ х dx Д- ху dy Д- у dzпо отрезку
АВ прямой АВ, соединяющему точки А (1, 0, 0) и В(1, 1, 1) (рис. 359). Уравнения прямой АВ: —^— =
V — 0z — 0,
= г—=—;—, т. е. х= 1, y = z. 11 ’’ 3
Выбирая за параметр у, имеем:
1
х dx Д- ху dy Д- у dz = ^ 2у dy = 1. АВ0
Вычислим теперь тот же интеграл по дуге параболы АВ, заданной уравнениями х=1, г = уг (рис. 359). Выбирая за параметр у(х=1, у = у,
г = у*, уд = 0, ув—1), получим:
С х dx Д- ху dy Д- у dz = f (у Д- 2у^ dy = -|. дВо
Этот пример показывает, что значения интеграла ^ х dx Д- ху dy Д-у dz АВ
зависят от формы кривой, по которой производится интегрирование.
Можно, однако, привести примеры криволинейных интегралов, значения которых по любым кривым, соединяющим данные точки А и В,
будут одни и те же. Такими, как можно показать, являются интегралы:^(</2 + l)dx + (xz — 2)dy4-xydz, $ х dx -[- у dy -{- z dz и др.
АВАВ
Будем говорить, что интеграл ^Pdx-^-Qdy-^-Rdz в области D не АВ
зависит от формы пути интегрирования, если его значения по всевозможным кусочно-гладким кривым, лежащим в данной области и имеющим общее начало и общий конец, одинаковы. В этом случае при записи интеграла достаточно указывать лишь начальную и конечную точки пути интегрирования, в связи с чем приняты обозначения:
в<хв, ув, 2в'
^Р dx-^Qdy-V Rdz или §Р dx-\-Qdy-\-Rdz.
А(ХА, УА, 2А^
НезависимостьНезависимостьласти D от формыласти D от формыкриволинейного интеграла ^ Р dx -{- Q dy + R dz в об-АВкриволинейного интеграла ^ Р dx -{- Q dy + R dz в об-АВпутипутикривой L, лежащей вкривой L, лежащей винтегрирования равносильна равенству нулю этого интеграла вдоль всякой замкнутойинтегрирования равносильна равенству нулю этого интеграла вдоль всякой замкнутойhh°}°}D.D.областиобласти88361.361.этой области, имеемэтой области, имеемРис.Рис.Действительно, для любой замкнутой кривой L,Действительно, для любой замкнутой кривой L,лежащей влежащей в
Независимость
Независимость
ласти D от формы
ласти D от формы
криволинейного интеграла ^ Р dx -{- Q dy + R dz в об-АВ
криволинейного интеграла ^ Р dx -{- Q dy + R dz в об-АВ
пути
пути
кривой L, лежащей в
кривой L, лежащей в
интегрирования равносильна равенству нулю этого интеграла вдоль всякой замкнутой
интегрирования равносильна равенству нулю этого интеграла вдоль всякой замкнутой
h
h
°}
°}
D.
D.
области
области
8
8
361.
361.
этой области, имеем
этой области, имеем
Рис.
Рис.
Действительно, для любой замкнутой кривой L,
Действительно, для любой замкнутой кривой L,
лежащей в
лежащей в
® = J 4" J > где и В — две любые точки на кривой L (см. рис. 360).
L АтВ ВпА
Если интеграл t Р dx + Q dy + R dz в области D не зависит от формы пути АВ интегрирования, то
АтВ АпВ ВпААтВ АпВ ВпАе" J ‘ JАтВ ВпАе" J ‘ JАтВ ВпА0.0.
АтВ АпВ ВпА
АтВ АпВ ВпА
е" J ‘ J
АтВ ВпА
е" J ‘ J
АтВ ВпА
0.
0.
той кривой их любыми точках А итой кривой их любыми точках А иАтВпААтВпААт ВАт ВАт В АпВАт В АпВ
той кривой их любыми точках А и
той кривой их любыми точках А и
АтВпА
АтВпА
Ат В
Ат В
Ат В АпВ
Ат В АпВ
Наоборот, пусть интеграл ^ Р dx -\- Q dy ^- R dz равен нулю по любой замкну-
L
L в области D. Возьмем любые две точки А и В в области D и соединим двумя кривыми АтВ и АпВ. Если эти кривые пересекаются только в В, то, рассматривая замкнутую кривую АтВпА (рис. 361, а), получим:
Т. е.
Если же кривые АтВ и АпВ пересекаются в точках, отличных от точек А и В, рассмотрим третью кривую А1В, пересекающуюся с кривыми АтВ и АпВ только в точках А и В (рис. 361, б). По доказанному
АтВ А1В и в этом случае.АтВ А1В и в этом случае.АтВ АпВАтВ АпВ
АтВ А1В и в этом случае.
АтВ А1В и в этом случае.
АтВ АпВ
АтВ АпВ
Рассмотрим теперь условия, при которых криволинейный интеграл
Р dx -[- Q dy + R dz в области D не зависит от формы пути интегри- дв рования.
Теорема. Для того чтобы криволинейный интеграл ^ Р dx -[- Q dy 4~
АВ
-^-Rdz, где Р (х, у, z), Q(x, у, z), R (х, у, z)— функции, непрерывные в области D, в этой области не зависел от формы пути, необходимо и достаточно, чтобы выражение Р dx-\-Qdy-\-R dz было полным дифференциалом некоторой функции (в области D).
Доказательство. Достаточность. Предположим, что существует функция U (х, у, z), такая, что в области D всюду
? dx -j- Q dy -|- R dz = dU (х, у, z).
Покажем, что в этом случае в области D интеграл Р dx-[- Q dy -[- R dz
AB
не зависит от формы пути интегрирования. Пусть А и В — две любые фиксированные точки области D, АВ — любая кривая, соединяющая эти точки. Если х=х(/), y = y(f),
Рис. 362.Рис. 362.интеграл § Р dx -[-АВинтеграл § Р dx -[-АВz = z(t)— уравнения этой кривой, то
Рис. 362.
Рис. 362.
интеграл § Р dx -[-АВ
интеграл § Р dx -[-АВ
Р dx -[- Q dy -[- R dz =
AB 'в
= $ ^(x(/), y(0, z(0) =
<A
= U(x(tB), y(tB), Z(tB)) —
-U(x(tA), у^л\г^АЙ =
Предположим теперь, чтоПредположим теперь, что= u (xfl, Ув, ZB) — U (Хд, Ул, Za), т. e. интеграл зависит лишь от положения точек А и В и не зависит от формы кривой АВ.
Предположим теперь, что
Предположим теперь, что
Необходимость.
+ Q dy -{- R dz в области D не зависит от формы пути интегрирования. Фиксируем в области D точку А (х0, у6, z0), а точку В(х, у, z) рассматриваем как переменную.
(*. У. г)
Криволинейный интеграл ^ Р dx-}- Q dy -[- R dz будет зависеть (^0. З'О’ 2о)
(х.У.Оо. .Vo. 2о)(х.У.Оо. .Vo. 2о)от положения точки В(х, у, z), т. е. будет функцией переменных х, у, z, определенной в области D. Обозначим эту функцию через U (х, у, z):
(х.У.
Оо. .Vo. 2о)
(х.У.
Оо. .Vo. 2о)
Р dx -|- Q dy -[- R dz = U (x, y, z^
и покажем, что подинтегральное выражение
Р dx -{- Q dy -|- R dz
равно дифференциалу функции U (х, у, г) в области D.
Пусть В (х, у, z) — любая фиксированная точка области D. Дадим х приращение Дх. Тогда
(ж + Дх, у, г)
^7(хД-Дх, у, z)=^ Р dx-\-Q dy-\-R dz.
<.*о. Уо- 2о)
Так как величина криволинейного интеграла не зависит от формы пути,(А У. г)
будем рассматривать интеграл ^ по какой-нибудь кривой АВ, а
(хо, Уо- 2о)
(х 4- А, у, z)
интеграл ^— по кривой АВХ, состоящей из выбранной кривой АВ
и отрезка прямой ВВХ (Вх — точка с координатами х-[-Дх, у, z) (рис. 362). При этом
Дх U = U (х + ^х, у, z)—U (х, у, z) =^ Р dx 4- Q dy 4- R dz—
(Ло. Уо. *о)
(л, у, г)(л + Ах, у, z)
—^ Р dx -[- Q dy + R dz =^Р dx -р Q dy -ф- R dz =
(х0, Уо. 20)(Л, у, г)
(х + Ах. у, z)
=Р (х, у, z) dx,
(Л, у, Z)
так как отрезок ВВХ лежит в плоскости, перпендикулярной осям 0Y и 0Z. Выражая последний интеграл через определенный и применяя теорему о среднем к определенному интегралу, получим:
kxU = ^ R V» У> ^ dt = Р (х -|- 6Дх, у, z) Дх,
где 0^6^ 1. Деля обе части этого равенства на Дх, в силу непрерывности функции Р (х, у, z') будем иметь:
ПтИт Р(х4-6Дх, у, z) = P^x, у, z).
охо ^Х Д^->0
Аналогично доказывается, что
?44^=№ 8, г) и Ю<^ = R(x, 8. г).
Так как функции Р (х, у, z), Q(x, у, z) и R(x, у, z) непрерывны в об- dU ди dU ,.
ласти и, то частные производные д^ > ^ > дт функции и (х, у, z) непрерывны в той же области. Отсюда следует, что в каждой точке области D функция U (х, у, z) дифференцируема и что
dU (х, у, z) = P dx-\-Qdy-\-Rdz.
Выясним теперь, какие условия надо наложить на функции Р (х, у, z), Q(x, у, 2) и Р(х, у, г), чтобы выражение Р dx-\-Qdy -\-Rdz представляло собой полный дифференциал некоторой функции.
Ответ на этот вопрос дается следующей теоремой.
Теорема. Если функции Р (х, у, z), Q(x, у, z) и R(x, у, z) в области D \a^x^b, c^y^d, l^z^k}1) имеют непрерывные частные производные первого порядка, то, для того чтобы выражение Pdx4- 4-Qdy4-Rdz в этой области было полным дифференциалом некоторой функции, необходимым и достаточным является выполнение условий:
дР dQ дР dR dQ др...
ду дх ’ dz дх ’ dz ду' '
в каждой точке области D.
Доказательство. Необходимость. Предположим, что всюду в области D
Р dx-\-Qdy-\-Rdz = dU,
где U — некоторая функция переменных х, у, z. Тогда ^=Р, ^ —q, ^ = Р в каждой точке области, а значит,
д2Ц _дР УЦ _dQ.дх ду ду ’ ду дх дх’d4J__dP d4J__dR.дх dz dz ’ dz дх dx ’d-U _dQ d'-U _dRду dz dz ’ dz ду dy *
Так как частные производные функций Р, Q, R, записанные в правых частях этих равенств, в области D непрерывны, то по теореме о независимости смешанных производных от последовательности дифференцирований заключаем, что
dP__dQ dP_d_R dQ_dRду дх ’ dz дх ’ dz ду
в области D.
Как следует из доказательства, это утверждение остается в силе, если указанную в формулировке теоремы область D заменить любой областью пространства XYZ.
Аналогичным образом устанавливается, что если в некоторой области ц-мерного пространства функции
Р (х, у, г, ... , w), Q (х, у, z, ... , ту), ... , М (х, у, z, ... , и?) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка, то, для того чтобы выражение Р dx 4- Q dy 4-... + М дту было полным дифференциалом некоторой функции U(х, у, z, ... , ту), необходимо выполнение в этой области С^ условий:
dP_dQ дР^дМ ду дх ’ ■" ’ дту дх ’’
представляющих собой равенства смешанных производных второго поряцка от функции U (х, у, г, ..., ту), отличающихся лишь последовательностью дифференцирований.
Достаточность. Предположим теперь, что равенства (1) выполнены в каждой точке области D ^a^x^b, c^y^d, I ^z^,k\. Покажем, что существует функция U(х, у, г), такая, что выражение Р dx -[- Q dy -[- R dz является ее полным дифференциалом, т. е. такая, что ^=Р, ^=Q, ~ = R в каждой точке области D. Пусть (х0, у6, z0)— некоторая точка области D. Интегрируя первое из соотношений (1)пох, найдем функцию U (х, у, г), удовлетворяющую условию ^. = Р(х, у, z):
U (х, у, z)= $ Р(х, у, z)dx-j-<p(y, z).(2)
Здесь <р (у, z) — произвольная функция переменных у и z. В частности, ее можно считать дифференцируемой. Вычислим частные производные ^ и ^ от функции U (х, у, z), определенной равенством (2):
= т Р Vе, У> z) dx -4- и' (у,
^7 = 5: J P<x, y, z)dx-V-oz^y, z).
Применяя теорему о дифференцировании интеграла по параметру, получаем:
dU С дР(х, у, z) . ., ,. dU £ дР (х, у, z) . ,,,.
57= Jd^dx + ^y, 2), ^= J дг ^ + ?г(У, г),
*0^о
или, учитывая первые два из равенств (1):
g/= j dQ (х^у, z) dx _]_ ^ ^ Z)=Q(X, y, Z) — Q(xo, y, z) + ^,(y, z),57= f^^Г^-^Л-^^У. z)=fR(x, y, z) — R(x0, y, г^-Д^Су, z).
*o
Для того чтобы функция U (х, у, z) удовлетворяла условиям
37 = <Ж у, г) и ^ = R^x, у, z),
функцию <р (у, z) следует выбрать так, чтобы
^ЛУ, z)=Q(x0, у, г), ®;(y, z) = P(x0, у, z).(3)
Интегрируя по у первое из этих соотношений, находим:
У (У, z)=$Q(x0, у, г)с?у + ф(г),
Joгде ф(2) — произвольная дифференцируемая функция г. ОтсюдаV
^^Ы. z)=^Q(x0, у, z>dy-V^ =
>о
- ( 5SH^ dy +f (г) = f Wy^ dy + f И =
Xo>0
= R(xtt, y, z^ — R^, y0, z)—|—ф'(z) [мы применяли здесь снова правило дифференцирования интеграла по параметру и использовали последнее из условий (1) теоремы].
Функция <р (у, г) будет удовлетворять соотношению Д (у, z) = R (х0, у, z), если ф'(г)=Р(х0, уа, z), т. е. если ф (z) = ^ R (х0, у0, z)dz4-C, где С — произвольная постоянная.
Таким образом, найдена функция
U (х, у, г^^Р (х, у, z)dx^- ^ Q (х0, у, z) dy +
^0Jo
~н S ^ ^х®’ у®*z) ^2 “Ь ^’
Zo
где С — любое число, удовлетворяющая условиям dU п ,,dU\dU г-,.
^ = Р(Х, у,z),^- = Q(x,у, z).g^ = R(x,у, г).
Так как функции Р (х, у, z), Q(x, у, z) и R(x, у, z) непрерывны в об- „dU dU dU ,,, .
ласти D, то и частные производные ^, ^ и ^- функции и(х,у, z) не-прерывны. Отсюда следует; что функция U (х, у, z) дифференцируема иdU = Р dx -ф- Q dy -ф- R dz
в каждой точке области D.
Примечание. С помощью дополнительных рассуждений можно показать, что теорема имеет место во всякой области, в которой две любые кривые с общим началом и общим концом можно непрерывно деформировать одну в другую, не выходя за пределы области.
Предложенный выше метод доказательства теоремы (см. доказательство достаточности) обычно используется на практике для отыскания функции по ее полному дифференциалу или, как говорят, при интегрировании полного дифференциала.
Например, выражение (2лу3— 2г) dx + (Зх2у2 + 1) dy + (3—2х) dz является полным дифференциалом некоторой функции U (х, у, г) во всем пространстве XYZ, так как
^ (2ху« - 2г) = бху2 = А (Зху + 1),^3-2г)=-2 = ^(3-2х),1(3^ + 1) = 0=^(3-2л-)
во всех точках пространства.
Для определения функции U (х, у, г) имеем соотношение (2лу3 — 2г) dx + (Зх2у2 -ф- 1) dy -|- (3 — 2х) dz = dU, i. е. три соотношения вида:
(4)(4)ди „ . , , . ди „ „
(4)
(4)
= 2xys — 2г, 5— = Зх2у2 -4- 1,3— = 3 — 2х.
дхду ■' ' dz
Интегрируя первое из них по х, находим: U = x2ye— 2хг-|-<р(у, г), где ^(у, г) — любая функция у и z. При этом ^ = Зх2у2 + ф^, (у, z), ^ =—2х4-<р^(у, г). Сравнивая полученные частные производные с соотношениями (4), видим, что ^(у, г) = 1, ?г Су, г) = 3, откуда следует, что <р (у, z) =у + ф (z), где ф (г)— любая функция z,
Yz <У> = У («), Ф' (2) = 3, Ф (2) = 3z + С,
где С—произвольная постоянная.
Таким образом, U=x2y2— 2xz +у+ Зг -f- С, где С — произвольная постоянная, — искомая функция.
Частными случаями доказанных теорем являются следующие результаты.
Для того чтобы в данной области плоскости XOY криволинейный интеграл Р dxyQdy, где Р(х, у) и Q(x, у)— непрерывные функции, АВ
не зависел от формы пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы в этой области выражение Р dx Д- Q dy было полным дифференциалом некоторой функции U (х, у).
Для того чтобы в данной области ) плоскости XOY выражение Pdx-\-Qdy, где функции Р (х, у), Q(x, у) и их частные производные первого порядка непрерывны в области D, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно, чтобы в этой области выполнялось условие dP_dQ ду дх*
Рассмотренные в этом разделе теоремы позволяют легко и просто решать вопрос о зависимости или независимости криволинейного интеграла от формы пути интегрирования.
Так, например, интеграл \e>’dx—zdy-\-xyzdz в любой области зависит от формы АВ
пути, так как подинтегральное выражение не является полным дифференциалом. Здесь Р (х, у, zj^eV, Q (х, у, г^=— 2, R (х, у, г) = хуг и, например, ^ ^ ^.
Интеграл t (yz + 1) dx + (xz— 2) dy + xy dz не зависит от формы пути Интела
грирования, а зависит только от положения точек А и В, так как
^1+22 = г — д(хг — 2)д (yz + 1) _ д (ху) d(xz — Y) _ д (ху)
дудх ’ дг 5 дх ’ дгду *
Для вычисления этого интеграла при конкретно заданных точках А и В можно произвольно выбрать путь интегрирования (например, взять отрезок прямой АВ или ломаную со звеньями, параллельными осям координат, идущую от точки А к точке В), а можно отыскать предварительно функцию U (х, у, г), для которой dU = (yz -|- 1) dx Ц- + (xz — 2) dy -|- xydz, а затем вычислить интеграл по формуле
\Pdx + Qdy-VRdz= ( dU=U(xB, yB, zB) —ЩхД,уД, гд). ABAB
Вернемся к рассмотренной выше механической задаче. Как было показано, работа силового поля F=P (х, у, z)Z-[-Q(x, у, z^j-^R (х, у, z) к вдоль кривой АВ (при определенных условиях) выражается криволинейным интегралом по кривой АВ:
А = ^ Р dx -[- Q dy -|- R dz.
АВ
Силовое поле называется потенциальным в данной области, если в этой области работа поля не зависит от формы пути или, что то же, если циркуляция (работа) поля по любому замкнутому пути равна нулю.
По доказанному, для того чтобы поле в данной области было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы в этой области выражение Р dx -[- Q dy -[- R dz было полным дифференциалом некоторой функции U U, У, 2).
-Г ,дР до дР др до др
Таким образом, равенства === представляют
собой условия потенциальности векторного поля.
Функция U (х, у, г) называется силовой, или потенциальной, функцией поля.
В потенциальном векторном поле работа поля вдоль любого пути АВ вычисляется по формуле
А = У(хв, ув, zB) — U(xA, уД, гД),
т. е. равна приращению силовой функции поля при переходе из точки А в точку В.
Примером потенциального поля, как легко проверить, может служить любое центрированное поле F=f (г) г, где г = xl Ц-yJ Ц-zk — радиус-вектор точки М (х,у, z), г="уг x2A-y°A-z2—модуль этого радиуса-вектора, а /(г) — любая дифференцируемая функция г.
Раздел 3
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Задача об объеме цилиндрического тела
Двойные интегралы представляют собой одно из возможных обобщений понятия определенного интеграла на случай функции двух переменных. К введению этого понятия естественным образом приводит решение задачи об объеме цилиндрического тела.
Рассмотрим в пространстве XYZ тело V, ограниченное сверху поверхностью S, заданной уравнением z = f(x, у), где/(х, у) — непрерывная 520
функция, сбоку — цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси 0Z, снизу — областью а плоскости XOY (а — проекция поверхности S на плоскость Х0¥\ Будем называть тело V цилиндрическим телом с основанием а (рис. 363). Требуется вычислить объем этого цилиндрического тела *). Для решения поставленной задачи разобьем область а на п частей: Даь Да2Да„ и рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями Даь Да2, ..., Да„, ограниченные сверху кусками поверхности S. В своей совокупности они составляют тело V.
Для определения объема ДУ, столбика с основанием Да; возьмем в области Даг произвольно точку P^t, ч,) и построим цилиндр с основанием Даг и высотой hi=f(^.b ц,) (рис. 364). Объем этого цилиндра, равный произведению f (tb т]г) Да; ), можно принять за приближенное значе- 2 ние объема ДУ,-:
Производя указанные вычисления для каждой области деления и складывая результаты, получим приближенное значение объема данного цилиндрического тела:
п
i = l
Естественно ожидать, что точное значение объема цилиндрического тела равно пределу, к которому стремится найденное приближенное значение объема при неограниченном измельчении областей деления и, следовательно, неограниченном увеличении числа п областей деления:
п
V=Um^f^b т^).
i = 1
К вычислению пределов сумм аналогичного вида приводит большое количество математических и прикладных задач (некоторые из них ниже будут рассмотрены), в связи с чем представляет интерес их более подробное изучение.
Определение двойного интеграла
Пусть в замкнутой квадрируемой *) области а плоскости XOY задана функция /(х, г/)). Разобьем область а произвольно на п частей Да,, Дог, ..., Да„, так чтобы области Да,, Да,, ..., Да„ не имели общих внутренних точек (рис. 365). В каждой замкнутой области Даг (внутри или на границе) выберем произвольную точку Pt fa, т]г) и умножим значение функции f(x, у) в этой точке на площадь Даг. Сложив все такие произведения, получим сумму:
1 = 11 = 1(1)
1 = 1
1 = 1
которая называется интегральной суммой для функции Цх, у) в области а. Интегральная сумма зависит от способа разбиения области а на части Даь
Да,, ... , Да„ и от выбора точек Р; на этих частях, т. е. для функции f (х, у)
УУв области а можно составить бесчисленное множество интегральных сумм.
У
У
Прежде чем переходить к операции предельного перехода, введем понятия диаметра области и шага разбиения области. Диаметром замкнутой области (двухмерного или трехмерного пространства) называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области. Шагом разбиения области на конечное
X число частей называется наибольший
из диаметров областей деления.
Рис" "Обозначим через X шаг разбие
ния области а на части Да,, Да2, ..., Да„. Процесс, состоящий в неограниченном измельчении областей деления и соответственно в неограниченном увеличении числа п областей деления, удобно характеризовать словами: «шаг разбиения области а стремится
к нулю».
Если при стремлении к нулю шага разбиения X области а интегральные суммы (1) имеют предел, то этот предел называют двойным интегралом от функции / (х, у) по области а и обозначают символами:
$$Ж У^а или ^Ж y)dxdyy
Здесь f (х, у) — подинтегральная функция, а — область интегрирования, х и у — переменные интегрирования, da(dxdy) — элемент плыцади.
Таким образом, по определению
^Hx’ УНа = Hm 5 Цч, ч^°ьаX —> 0 £ ^_ |
если этот предел существует.
Функция [ (х, у), для которой существует двойной интеграл y^da>
называется интегрируемой в области а.
Условия существования двойного интегралаи его свойства
Естественно возникает вопрос, для всяких ли функций, и если нет, то для каких, существует по области а двойной интеграл.
Очевидно, что интегрируемая в области а функция должна быть ограничена в замкнутой области а, так как в противном случае за счет выбора точек Рг интегральную сумму можно было бы сделать сколько угодно большой по абсолютной величине, а значит, не существовало бы предела интегральных сумм при стремлении X к нулю ).
Сформулируем теперь достаточные условия существования двойного интеграла.
Теорема 1. Если функция f(x, у) непрерывна в замкнутой области а, то двойной интеграл ^ f (х, у) da существует.
Доказательство этой теоремы можно провести аналогично доказательству соответствующей теоремы для определенного интеграла.
Теорема 2. Если функция f(x, у) ограничена в замкнутой области а и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно-гладких линий, то двойной интеграл 55 / (х, у) da существует.
Доказательство этой теоремы в данном курсе не приводится.
Предполагая, что все встречающиеся ниже функции удовлетворяют условиям теорем (1 или 2) существования двойного интеграла в рассматриваемых областях, перечислим простейшие свойства двойного интеграла. Доказательства этих свойств непосредственно следуют из определения двойного интеграла. Читатель легко докажет свойства 1—7 по аналогии с соответствующими доказательствами для определенного интеграла.
Двойной интеграл 55/(х> y)dxdy не зависит от обозначения переменных интегрирования.
Постоянный множитель к можно выносить за знак двойного интеграла:
ЗДк*» у^а=к^Цх, у) da.
Двойной интеграл от суммы двух функций равен сумме двойных интегралов от слагаемых:
55 [А (х. У) + А (Я, у)] da = 55 А (X, У) da 4- 55 f^X, y^da^.
Если область а разбита на две области а, и а2, то
SV(X> y)da=^Hx’ y)da + ^f(x> y)d°3)-
CGjGg
Если всюду в области а /(х, у)^0, то
^f(X, y^da^O.
Если всюду в области а
h(x, y)^h(x, у),
§fi(x, y)da ^^f^x, у) da.
Если функция fix, у) задана в области а, то
^da = 6-
Действительно, так как в данном случае / (х, у, z) = 1 в области а, то для любого разбиения области а на части Да^ Да2, ..., Да„ получим:
п
55 da = lirn У Да; = Пт а = а.
„X —О £Т\х—о
Свойство 8 позволяет использовать двойные интегралы для нахождения площадей плоских фигур.
Геометрический смысл двойного интеграла
Вернемся к задаче об объеме цилиндрического тела. Так как рассматриваемая там функция /(х, у) непрерывна в замкнутой области а, то п
Игл 2 f<5b Hi) Ao; = \\Цх, у) da,
Х — °i=lа
ппппкаковы бы ни были точки Р{ (:г, -qj в замкнутых областях Ьаь Выбирая за Pt (Ег, т];) точки, в которых функция /(х, у) в областях Дог достигает своих наименьших (т,) или соответственно наибольших (Л4г) значений, будем, в частности, иметь:
п
п
п
п
55Ж у) da = Нт 2 теД®г = Нт 2 М^.
Vх-ог“!x-o; = i
Слагаемые тгДаг и M^at равны объемам цилиндров с основанием kab вписанных и описанных вокруг ограниченного сверху куском поверхности S цилиндрического столбика с тем же основанием Да£ (рис. 366).
Суммы 2 mA°i и 5 ^М равны соответственно объемам «вписанных» 1 = 1 1 = 1
и «описанных» вокруг данного цилиндрического тела V тел, состоящих из п прямых цилиндров. Так как при Х-*0 эти объемы имеют общий предел, данное тело кубируемо и его объем V равен двойному интегралу:
V = W^X> У^й°.
Отсюда следует геометрический смысл двойного интеграла: двойной интеграл ^Нх> У) da от неотрицательной, непрерывной в замкнутой области а
функции Цх, у) равен объему цилиндрического тела с основанием а в плоскости XOY, ограниченного сверху поверхностью г = Цх, у).
В частности, если f (х, у) = 1 в области а, то цилиндрическое тело представляет собой цилиндр с основанием а высоты h = 1 (рис. 367). Его объем численно равен площади основания а. Таким образом, мы получаем
Рис. 366.Рис. 366.ZZРис. 367.Рис. 367.уже известную формулу для вычисления площади области а с помощью двойного интеграла a = ^da или, что то же, a = ^dx dy.
Рис. 366.
Рис. 366.
Z
Z
Рис. 367.
Рис. 367.
Если неположительная функция /(х, у) непрерывна в области а, то, воспроизводя рассуждения, приведенные в начале главы, получим, что
взятому со знаком минус объему сверху областью а плоскости ХОУ,взятому со знаком минус объему сверху областью а плоскости ХОУ,0Z, ограниченных с одной сто-0Z, ограниченных с одной сто-двойной интеграл ^f^, у) da равен i цилиндрического тела, ограниченного снизу — поверхностью z — f (х, у), сбоку — цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси 0Z.
взятому со знаком минус объему сверху областью а плоскости ХОУ,
взятому со знаком минус объему сверху областью а плоскости ХОУ,
0Z, ограниченных с одной сто-
0Z, ограниченных с одной сто-
Предположим теперь, что функция /(х, у) непрерывна в области а, причем область а можно разбить на конечное число частей at, а2,..., ат, в каждой из которых функция f (х, у) либо неотрицательна, либо неположительна. Тогда, заменяя двойной интеграл от функции /(х, у) суммой интегралов по областям аь а2, ..., ат, заключаем, что двойной интеграл ^/(х, у) da равен алгебраической сумме объемов цилиндрических тел с образующими, параллельными оси
роны частями поверхности z = /(x, у), с другой стороны — соответствующими областями сь с2, ... , ат плоскости XOY. В эту сумму объемы тел, лежащих над плоскостью XOY, входят со знаком плюс, а объемы тел, лежащих под плоскостью XOY, входят со знаком минус (рис. 368).
Указанные соображения используются при вычислении объемов тел с помощью двойных интегралов.
Теорема о среднем
Так же, как и для определенного интеграла, для двойного интеграла имеет место так называемая теорема о среднем.
Теорема. Если функция f^x, у) непрерывна в замкнутой области а, то в этой области существует точка Р (£, ц), такая, что
^f(x, y^da=f^, f^-a.
Доказательство. Обозначим через т и М соответственно наименьшее и наибольшее значение функции /(х, у) в замкнутой области а.
Рис. 369.Рис. 369.Тогда для любой точки (х, у) этой области значения функции f(x, у) удовлетворяют неравенствам
Рис. 369.
Рис. 369.
m^f^x, у) ^М.
Интегрируя эти неравенства (см. свойство 4), будем иметь:
55 т do $5 55 / (х» У) da ^ 55 Mda,
7 или, так как^mda — m^da — ma,
55 Mda — Ma,
та ^ 55 f (х> у) da ^ Ма.
55/^’ У) da
Отсюда следует, что число - заключено между числами т и М:
55 7 (х, 2М=т ^ -^ М.
между своимипромежуточныемежду своимипромежуточныеФункция f(x, у), непрерывная в замкнутой области а, наименьшим и наибольшим значениями принимает все
между своимипромежуточные
между своимипромежуточные
значения. Следовательно, существует в области а точка Р (Е, ц), такая, что
55 da
—0= /(5, 4),
или, что то же,
55f(X, у^а=Ц^, 7]) а.
Для неотрицательной в области а функции f (х, у) теорема о среднем допускает следующее геометрическое истолкование: объем цилиндрического тела с основанием а, ограниченного сверху поверхностью z = /(x, у), численно равен объему прямого цилиндра с тем же основанием а и высотой, равной значению функции /(х, у) в некоторой точке Р области а (рис. 369).
Вычисление двойных интегралов
Вычисление двойных интегралов сводится к вычислению определенных интегралов.
Теорема 1. Если функция f(x, у) непрерывна в замкнутой области а, ограниченной линиями х = а, х= Ь (а <6), у = ®(х), у = ф(х) (®(х) и
ф(х)— непрерывные функции на отрезке [а, 6], причем <р(х)^ф(х) на этом отрезке) (рис. 370), то имеет место равенство
6 Ф W
^f(x, y)dxdy = ^ $ Цх, y)dy}dx,(1)
аа у (лг)
позволяющее вычисление двойного интеграла свести к последовательному вычислению определенного интеграла от определенного интеграла (или, короче, к вычислению повторного интеграла).
Повторный интеграл, стоящий в правой части равенства (1), обычно записывают в виде:
6 ф (л) ^dx /(х, y^dx. а ф(^)
Доказательство. Рассмотрим п равноотстоящих прямых х — х0, х=хь..., х = хп, где a = x0<^x1<\..<^x„ = 6, и п кривых, заданных уравнениями у = ?0(х), у='^ (х),... , у = <р„(х), где <рй (х) = ? (х)+ + — [ф(х) — с? (х)], 6 = 0, 1, 2,..., п. Функции <рй(х) непрерывны на отрезке [а, 6], причем в каждой точке х этого отрезка
<Ро (х) = <р (х) ^ <?1 (X) ^ ®3 (X) ^ ... ^ <р„ (X) = ф (X) (см. рис. 371).
Эта система линий разобьет область а на части. Пусть До/Й — область деления, для которой x£_t^x^xh фй-1 (х) ^у ^ <рй (х). Обозначим через mik и Mik наименьшее и наибольшее значения функции /(х, у) в этой области. Так как Дагй— замкнутая область, эти значения принимаются функцией f (х, у) в некоторых точках области Ьа1к, причем всюду в области Да/Й выполняются неравенства mik^f(x, y)^Mik.
Интегрируя их по у для каждого значения х, x^s^x^X;, получаем:
рйи
mik [ffeW — ^к-1 (х)] ^ 5 Нх- yVy^MikV^k^ — <рй_1(х)].(2)
Стоящий посредине интеграл представляет собой непрерывную функцию параметра х на отрезке [х^, х,]. Интегрируя неравенства (2) по х в пределах от х;_, до хг и учитывая, что ^ [®й (х) — ®й_1 (х)] dx = ^aik, где Да^ — площадь области Да;й, получаем:
xi"^к ^
mik ^=ikmik ^=ik^ \ dx f(x, y^dy^NVik^ik.xi-i^k-i^
mik ^=ik
mik ^=ik
Неравенства (3) имеют место в каждой области деления Xaik, i= 1, 2п, k=l, 2,..., п. Суммируя их по к от 6=1 до к = п, находим:
пxiф(х)п
2 mi^3ik^ $ dx S Нх’ у^у^И Mik^aik,
k=tx._t<р(х)6=1
так как
п xixi п Ч^
2 S dx S f(x’ y)dy= $ (2 5 f(x> y)dy)dx=
xi Ф(х)
= ^ dx ^ f(x, y)dy.
xi-l W
Суммируя полученные неравенства по i от i=l до i = n, имеем:
пп xi 4(х)п
У, mik^Oik^ 2 $ dx S Их, y^dy^ 2 Mik^ik, i,k—l^~lxi-i VWi,6 = l
или, что то же,
nb6 (x)n
2 mtk^ik^dx /(x, y)dy^ J] Mik^=ik-(4)
к = 1a 9 (x)l, к = I
nn
Суммы У mik^tk и У Mik^oik являются соответственно нижней
I, к — 1i, k— 1
и верхней интегральными суммами для функции /(х, у) и данного разбиения области а на части. Пусть п стремится к бесконечности. Можно показать, что при этом наибольший из диаметров областей деления kaik области а (обозначим его X) стремится к нулю1). Так как функция f (х, у) по условию интегрируема в области а, то при стремлении к нулю шага разбиения X области а эти суммы имеют общий предел:
Иш У mifeAaift = lim 2 МИД<з;к = ^Цх y)dxdy.
Х->° I, к= 1Х-*° ;, 6 = 1a
Из неравенств (4) следует, что этот предел совпадает с повторным интегралом:
Ь Ф(х)
\dx ^ /(х, y^dy,
а у(л;)
а значит, равенство (1)
Ь 4 (х)^f(x, y^dxdy^dx $ /(х, y^dyаа <р (х)
доказано.
При вычислении двойного интеграла с помощью повторного по фор- Ф(х)
муле (1) сначала вычисляется внутренний интеграл ^ f(x, y)dy при по-
V(x)
стоянном значении переменной х, в пределах изменения у (для области а) при постоянном значении х, а^х^Ь, затем полученная функция от х интегрируется по х в максимальных пределах изменения переменной х для области а.
Рассмотрим пример. Вычислить интеграл ЭД (х— у) dx dy, если область а ограничена линиями у» = 0, у = х2, х = 2 (рис. 372).
Так как область а и функция f (х, у) = х—у удовлетворяют условиям теоремы 1, получаем:
2№
ЭД (х— у) dxdy = ^dx^ (х —у1) dy =а00
Поменяв в предыдущих рассуждениях ролями переменные х и у, мы получим следующую теорему.
Теорема 2. Если функция f(x, у) непрерывна в замкнутой области а, ограниченной линиями у = с, y — d (с <^d), х=Ф(у), х = Ф (у) (Ф(у) и
Рис. 373.Рис. 373.
Рис. 373.
Рис. 373.
Ф (у) — непрерывные функции на отрезке [с, d], причем всюду на этом отрезке Ф (у) Ф (у)) (рис. 373), то имеет место равенство
d Ф(У)
(5)(5)^Дя, y)dxdy = ^dy Цх, y)dx,ас ф (j)
(5)
(5)
позволяющее сводить вычисление двойного интеграла к вычислению по
вторного интеграла.
При вычислении двойного интеграла с помощью повторного по формуле (5) сначала вычисляется внутренний интеграл
f(x, y)dx при постоянном значении перемен-
Рис. 374.формулу (5), получаем:Рис. 374.формулу (5), получаем:ф( у)
Рис. 374.
формулу (5), получаем:
Рис. 374.
формулу (5), получаем:
ной у, в пределах изменения х (для области а) при постоянном значении у, c^y^d, затем полученная функция от у интегрируется по у в максимальных пределах изменения у для об
ласти а.
Пример. Вычислить интеграл ЭД х dx dy по области а, ограниченной линиями у = — х, у = 1, у = х2 (см. рис. 374). Так как выполнены условия теоремы 2, применяя
х dx dy =х dx dy =1 1 /V2V3\ I 1
х dx dy =
х dx dy =
(У —У3) rf3' = 2"— "з) J) — 12-
Если функция f(x, у) непрерывна в замкнутой области а, удовлетворяющей одновременно условиям теорем 1 и 2, то при вычислении двойного интеграла ЭД/(х, y^do можно выбирать любой порядок интегриро-
вания (внешний интеграл брать по х, внутренний — по у или наоборот). Так, например, если граница области а каждой прямой, параллельной оси ОХ, и каждой прямой, параллельной оси 0Y, пересекается не более
чем в двух точках (см. рис. 375), то применимы обе формулы (1) и (5), т. е.
6 ф(х)
^f(x, y)dxdy —^dx 5 Цх, y)dy =
аа <р(х)
= \dy f (х, у) dx. С ф (У)
Если область а — прямоугольник со сторонами х = а, х = Ь, у = с и y=d, a f(x, у^ — функция, непрерывная в прямоугольнике \а^х^Ь, c^y^d}, то, применяя формулы (1) и (5), получаем:
» a
^Кх, y)dxdy — ^dx^f(x, y)dy —
<тас
а ь
= \dy\f(x, у) dx.
с а
В частности, если f(_x, y) = ft(x')-fi(y), то двойной интеграл по этому прямоугольнику оказывается равным произведению двух определенных интегралов: ь а6 a
55 f <х’ У) dxdy = \dx\^ (х) • fa (у) dy = $ f, (x) dx$ f3 (y) dy = аасас
bd
= (5A W^x).(5f3 UAdy).аc
Например, если a— прямоугольник co сторонами x=±l,y = ±2, то
2
При вычислении двойного интеграла по области а более сложного вида обычно применяется предварительное разбиение этой области на конечное число частей, удовлетворяющих условиям теорем 1 или 21), интеграл по области а заменяется равной ему суммой интегралов по ее частям, а каждый из полученных интегралов вычисляется по формуле (I) или (5).
Пример. Составить формулу для вычисления интеграла 55 f(x,у) dx dy по области о, ограниченной линиями х3+у2 = 2х, х2+у8 = 4х (см. рис. 376).
Разобьем область а на три части аг, а„, а3, как указано на рис. 376. Каждая из полученных областей деления удовлетворяет условиям теоремы 1. При этом область aj ограничена линиями х = 2, у = У2х — х1, y=V 4х— х2, т. е.
V 4л: — №
55У) dxdy = \dx ^/(х, у) dy.
°1О V2X —х2
Область а2 ограничена линиями х = 2, у =—У"4х— х2, у =— )/ 2х — х2, т. е.
— /2х — №
55 /х> У) dx dy=\dx 5/(х, у) dy,
°20— У 4х — л:2
и, наконец, область а3 ограничена линиями х = 2,у =—У4х —х2, у = 4-У 4х + х2, т. е.
4/47^x2
ЭД / U, у) dx dy = ^ dx $/ (х, у) dy.
°з2_ /4Х _ х2
Складывая эти интегралы, получим:
2/4х — *22— /2х — №
ЭД/(г, У) dx dy = ^ dx §/ (х, У) dy + ( dx Jj f^x, У) dy-\-
°®V lx — A-20_ У4Д. _ X3
У4х — *2
+ t dx J/ (х> У) dy-
— у 4л — л2
сторону вопроса перехода от двойного инте-сторону вопроса перехода от двойного инте-Рис. 377.Рис. 377.Приведем в заключение наглядный вывод формулы (1), основанный на геометрической интерпретации двойного интеграла. Этот вывод помо
сторону вопроса перехода от двойного инте-
сторону вопроса перехода от двойного инте-
Рис. 377.
Рис. 377.
жет уяснить геометрическую грала к повторному. Формула (5) может быть получена аналогичным образом.
Рассмотрим функцию /(х, у), непрерывную и неотрицательную в замкнутой области а, удовлетворяющей условиям теоремы 1. Тогда задача вычисления двойного интеграла
ЭД Ж У) dxdy
равносильна задаче нахождения объема V цилиндрического тела с основанием а, ограниченного сверху поверхностью z=f(x,y). Если функция /(х, у) такова, что любые два сечения этого тела плоскостями, перпендикулярными оси ОХ, проектируются на плоскость YOZ одно в другое, то объем тела V может быть найден по формуле (см. гл. VI, разд. 2, § II)
V = ^S(x)dx.(6)
а
Здесь S (х) — площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси ОХ в точке с абсциссой х, а^х^Ь. Это сечение представляет собой криволинейную трапецию. Спроектировав ее на плоскость YOZ, получим криволинейную трапецию, ограниченную снизу — отрезком [® (х), ф(х)] оси 0Y, сверху — кривой г = /(х, у) (где х—постоянная) (рис. 377). Площадь этой трапеции, равная S (х), находится с помощью определенного интеграла:
S(x) = $ f(x, у) dy.
pi<)
Подставляя значение S (х) в формулу (6), получаем знакомое выражение (1) двойного интеграла через повторный:
6 Ф (*)
$V(X’ У) da = Vх 5 ^х> У^У-аа у (х)
Примечание. Это геометрическое доказательство формулы (1) проПримечание. Это геометрическое доказательство формулы (1) проводится при дополнительных ограничениях на функцию f(x, у). Для произвольной функции /(х, у) доказательство формулы (1) было дано ранее.
Примечание. Это геометрическое доказательство формулы (1) про
Примечание. Это геометрическое доказательство формулы (1) про
Некоторые геометрические и механические приложения двойных интегралов
Как уже говорилось выше, двойные интегралы можно применять к вычислению площадей плоских фигур и объемов тел. Рассмотрим несколько примеров.
Рис. 378.Пример 1. Найти площадь области а,
ограниченной линиями y2 = x+l, х4-у=1 (рис. 378).
ZZРис. 379.Рис. 379.Рис. 380.Рис. 380.Область а представляет собой параболический сегмент, ограниченный слева дугой параболы х=у2— 1, справа—отрезком прямой х=1—у. Решая совместно уравнения параболы и прямой, находим ординаты точек их пересечения: у = —2, у = +1.
Z
Z
Рис. 379.
Рис. 379.
Рис. 380.
Рис. 380.
Следовательно,
11 -у1
а= ^ ^ dxdy = J dy ^ dx= ^ (2 — у—y-,)dy = ^-. а—1у2_ 1Д'2
Примечание. Если бы мы выбрали обратный порядок интегрирования, область а предварительно пришлось бы разбить на две части, так как эта область сверху ограничена линией, заданной двумя различными уравнениями (дуга параболы и отрезок прямой).
Пример 2. Найти объем тела V, ограниченного поверхностями у = х2, У=1. 2 = 0, г = х2Ц-у2 (рис. 379).
Так как данное тело представляет собой цилиндрическое тело с основанием а (см. рис. 379), ограниченное сверху параболоидом z=x34~y3, то имеем:
1'—— о
И = f f (х2 + у3) dx dy = 2 Г dy С (х2 -^у2) dx = 2 f ^ j>2 -H>2) dy = -^.
a00^и
Пример 3. Найти объем тела V, вырезаемого из бесконечной призмы с гранями х=+1,у> = ±1 параболоидами х2-|-у2 = 4— z, х3 -|- у3 = 4 (z + 2) (см. рис. 380).Объем тела V находим как сумму объемов И, и И2 его частей, лежащих соответственно над и под плоскостью ХОУ. При этомПример 3. Найти объем тела V, вырезаемого из бесконечной призмы с гранями х=+1,у> = ±1 параболоидами х2-|-у2 = 4— z, х3 -|- у3 = 4 (z + 2) (см. рис. 380).Объем тела V находим как сумму объемов И, и И2 его частей, лежащих соответственно над и под плоскостью ХОУ. При этом
Пример 3. Найти объем тела V, вырезаемого из бесконечной призмы с гранями х=+1,у> = ±1 параболоидами х2-|-у2 = 4— z, х3 -|- у3 = 4 (z + 2) (см. рис. 380).
Объем тела V находим как сумму объемов И, и И2 его частей, лежащих соответственно над и под плоскостью ХОУ. При этом
Пример 3. Найти объем тела V, вырезаемого из бесконечной призмы с гранями х=+1,у> = ±1 параболоидами х2-|-у2 = 4— z, х3 -|- у3 = 4 (z + 2) (см. рис. 380).
Объем тела V находим как сумму объемов И, и И2 его частей, лежащих соответственно над и под плоскостью ХОУ. При этом
Понятие двойного интеграла можно использовать для определения площадей не только плоских фигур, но и кривых поверхностей.
Будем называть поверхность S, в каждой точке которой определена касательная плоскость и, следовательно, нормаль, гладкой, если положение касательной плоскости непрерывно меняется с непрерывным перемещением по поверхности точки касания. Последнее означает, что для любой точки М6 поверхности и для любого числа е>0 существует такая 5-окрестность точки Мв, что для всех точек М поверхности, лежащих в этой окрестности, углы между нормалями в точках М и Мо меньше, чем е.
Пусть, например, поверхность S задана уравнением z =f (х, у), где f (х, у) — функция, имеющая непрерывные частные производные f’x(x, у) и ^.(х, у) в замкнутой квадратируемой области а — проекции поверхности S на плоскость ХОУ (рис. 381). При таких предположениях
поверхность S имеет непрерывно меняющуюся касательную плоскость и нормаль, т. е. является гладкой.
Для определения площади поверхности поступим следующим образом. Разобьем область а на п областей Даь Да2 Да^1) и обозначим через Д5; часть поверхности S, проектирующуюся на плоскость ХОУ в область Да;. При этом поверхность S разобьется на п частей: Д5, Д52,..., Д5„. В каждой области Дог возьмем произвольно точку Рг (^-, т]г), восставив в этой точке перпендикуляр к плоскости ХОУ до пересечения с поверхностью S, получим на поверхности Д5г точку Мг ^,ь ц,-, Ц\ Проведем в точке Mt касательную плоскость к поверхности и рассмотрим ту ее часть МГЬ которая на плоскость ХОУ проектируется в область Даг (рис. 382). В силу гладкости поверхности вблизи точки М, касательная плоскость мало отклоняется от поверхности Д5г, поэтому естественно считать площадь части Д5г поверхности приближенно равной площади части М\ касательной плоскости.
*) Предполагается, что области деления не имеют общих внутренних точек.
Проводя указанные рассуждения для всех областей деления и суммируя результаты, получим приближенное значение площади поверхности S в виде:
п
S^ 2 bTfi= 1
(Здесь ДТ; обозначает площадь плоской площадки ДТ,.)
За точное значение площади поверхности S по определению принимается число, равное пределу, к которому стремится полученное приближенное значение при стремлении к нулю шага разбиения X области а:
S = Нт У ДТг.
Покажем, что в наших предположениях этот предел существует. Обозначим через 7; острый угол, составляемый с осью 0Z нормалью к поверхности S, или, что то же, нормалью к плоскости ДТ, в точке М;. Так как область Даг есть проекция ДТг на плоскость ХОУ, их площади связаны соотношением
Рис. 382.A^i cos 7i =
Косинус угла 7; находим, используя уравнение нормали к поверхности z = f(x, у) в точке M^b 7]b ffo, т!;)) (см. гл. VII, § 7):
COS 7; =1—-—.
/1 + Л2 &, Ш) + fy ^» 1/) Следовательно,
ДЛ = Т^7 =Дб.,
а значит, s=Hm s
Под знаком предела стоит интегральная сумма по области а для функции ф(х, у) = /1 + f, (х, y) + fy(x, у)- Так как по Условию эта функция непрерывна в замкнутой области а, то указанный предел существует и равен двойному интегралу
ЭД V1 4- f, (х, у) 4- fy (х, у) dx dy.
Таким образом, мы получили формулу для вычисления площади поверхности S:
(1)(1)s = ЭД V1 4- f, (х, у) 4- fy (х, у) dx dy.
(1)
(1)
Примечание. Если поверхность S задана уравнением вида у = = f (х, г) или x = f (у, z), то за плоскость проекции берется плоскость ZOX 534
fx (х, у) =fx (х, у) =/; <х, у)/; <х, у)у•2 I „2 ’у•2 I „2 ’плоской фигуры (области) аплоской фигуры (области) а
fx (х, у) =
fx (х, у) =
/; <х, у)
/; <х, у)
у
•2 I „2 ’
у
•2 I „2 ’
плоской фигуры (области) а
плоской фигуры (области) а
или соответственно YOZ. Соответствующим образом видоизменяются определение площади поверхности и формула (1).
В более сложных случаях при определении площади поверхности предварительно разбивают ее на части рассмотренного выше вида и площадь поверхности S полагают равной сумме площадей ее частей. Поверхность S, имеющую определенную указанным выше образом площадь, называют квадрируемой.
Пример. Найти площадь части конической поверхности г=Ух -\-у2, вырезаемой плоскостями х = 0, у = 0, x-)-y=l, х-^-у = 2 и лежащей в первом октанте (см. рис. 383).
Так как функция f(x, у) = V х2 + у2 и область а, являющаяся проекцией данной части поверхности на плоскость ХОУ, удовлетворяют сформулированным выше усло-
виям, вычисляем площадь поверхности по формуле (1). При этом
т. е.
й5=У 2 5 =й5=У 2 5 =S =
й5=У 2 5 =
й5=У 2 5 =
= f К 2 1).
С помощью двойных интегралов можно вычислять ряд механических величин, связанных с непрерывным распределением массы вдоль плоской фигуры. Остановимся подробнее на определении массы, статических моментов, моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей и положения центра тяжести материальной
по известной плотности распределения массы2).
Все эти величины определяются одним и тем же способом: данную область разбивают на конечное число «мелких» частей; делая для каждой области деления упрощающие задачу предположения, находят приближенно искомую величину, а затем, переходя к пределу при неограниченном измельчении областей деления и, следовательно, при неограниченном увеличении числа областей деления, получают точное значение искомой величины.
Пусть, например, известна плотность распределения массы у. = у. (х, у) плоской материальной области а, расположенной в плоскости ХОУ. Будем считать у.(х, у) непрерывной функцией в замкнутой области а. Разобьем область а на п частей Доь Да2, ..., Да„, не имеющих между собой общих внутренних точек. В каждой области деления Даг возьмем произвольно точку Pi (^i, т]г) и предположим, что в пределах области Да; плотность распределения массы постоянна и равна ее значению в точке Р^ Если диаметр области Даг мал, то плотность распределения массы в точках этой области, в силу непрерывности функции у.(х-, у), мало отличается от ее значения в точке Р, и, следовательно, масса тг области Даг мало отличается от массы у. (Ег, ^ Даг фиктивной однородной области Даг с постоянной плотностью у. (5г, т;,). В связи с этим естест-
*) Площадь области а находим как разность площадей прямоугольных треугольников.
венно считать: m^^^t, ^if^i- Суммируя по всем областям деления, получаем приближенное значение массы т области а:
т^^у. к^ь ^> Дайt= I
причем погрешность этого приближенного равенства, вообще говоря, тем меньше, чем меньше диаметры областей деления.
За точное значение массы материальной области а принимается предел, к которому стремится полученное приближенное значение при стремлении к нулю шага разбиения X области а;
m=lim ^fo, 7],) Даг = ^ р. (х, у) da.
Х—0 , = 1а
Примечание. Из полученного равенства следует механический от непрерывной неотрицательной функции f(x, у). А именно, двойной интеграл ЭД f (х, у) da численно равен массе плоской материальной области а, если плотность распределения массы в этой области равна подинтегральной функции: y. = f(x, у).
Предположим теперь дополнительно, что масса т; каждой области Дог сосредоточена в точке Рг (5г, ц,), т. е. заменим материальную область а фиктивной системой из п материальных точек, имеющих (в сумме) ту же массу, что и область а.
Статические моменты Sx и Sy, моменты инерции Jx, Jv, а также координаты центра тяжести хс, ус области а естественно считать приближенно равными значениям соответствующих величин для указанной системы материальных точек, т. е. считать
sx2 w
i = 1
2
Z = 1
.2 ^imi
хс^^
2 m;
i = l
2Sy^ 22 ^(^ ^^i.
Z = IZ = IZ =* I
« 2 W &’ ^ ^=1, Jy^ 2 Vimi ^ 2 ^ £и 4) ^=1,
Z = Iz = 1Z = I
nnn
2 ^ ^ ^Да'S ^iS чи1 кч, ъ) ^=i
n’ЭСn• — n•
S Iх k^v -nd Да<2 mi2 Iх ('i* Ч») Да<
Z -= IZ = IZ — I
Точное значение каждой из этих величин определяем как предел соответствующего приближенного значения при стремлении к нулю шага разбиения X области а:
Sx = ^yv-kx, у) da, ^х=^У^кХ, у) da, ЭД хр. (х, у) daЭД И кх, у) da ” ’Sx = ^yv-kx, у) da, ^х=^У^кХ, у) da, ЭД хр. (х, у) daЭД И кх, у) da ” ’Sy = ЭД хр (х, у) da,/у=ЭДх3р.(х, у) da,
Sx = ^yv-kx, у) da, ^х=^У^кХ, у) da, ЭД хр. (х, у) da
ЭД И кх, у) da ” ’
Sx = ^yv-kx, у) da, ^х=^У^кХ, у) da, ЭД хр. (х, у) da
ЭД И кх, у) da ” ’
ЭД№ кх, у) da
Чс SS,х кх> У) da т *
В частности, если тело однородное, р. = const, то
^Xd.^Xd.ааWda yc= -Wda yc= -
^Xd.
^Xd.
а
а
Wda yc= -
Wda yc= -
J y8dy = lkR\ ОJ y8dy = lkR\ ОVR3—X3■( ^dy = ^kRSVR3—X3■( ^dy = ^kRSm = ^ ^ ку2 dx dy =m = ^ ^ ку2 dx dy =— R о— R оСледовательно,Следовательно,хс = 0,хс = 0,_ 32 _Ус— 15л R"_ 32 _Ус— 15л R"§12. Формула Грина — ОстроградскогоФормула Грина — Остроградского устанавливает связь между двойными и криволинейными интегралами (второго рода).§12. Формула Грина — ОстроградскогоФормула Грина — Остроградского устанавливает связь между двойными и криволинейными интегралами (второго рода).Рассмотрим в плоскости ХОУ область а, L(ABCDA), состоящим из кривых у = <р(х),Рассмотрим в плоскости ХОУ область а, L(ABCDA), состоящим из кривых у = <р(х),ограниченнуюограниченнуюнепрерывные функции х, а^х^Ь, причем <р(х)^ф(х)] и отрезков прямых х=а, х = Ь (см. рис. 385). В частности, отрезки прямых (AD и ВС) могут вырождаться в точки.Пусть функции Р (х, у) и ее част- дР (х, у)ная производная —^ --— непрерывны в замкнутой области а. При этих условиях существует двойной интеграл С С дР (х, у) , , \ \ —\^ - dx dy, причемнепрерывные функции х, а^х^Ь, причем <р(х)^ф(х)] и отрезков прямых х=а, х = Ь (см. рис. 385). В частности, отрезки прямых (AD и ВС) могут вырождаться в точки.Пусть функции Р (х, у) и ее част- дР (х, у)ная производная —^ --— непрерывны в замкнутой области а. При этих условиях существует двойной интеграл С С дР (х, у) , , \ \ —\^ - dx dy, причемYYЭР (х, у)ЭР (х, у)ъ Ф(х)$ dx j ^Ы-йу.ъ Ф(х)$ dx j ^Ы-йу.a PWВнутренний интеграл вычисляетсяa PWВнутренний интеграл вычисляетсяУ = ФМУ = ФМ[?М[?Мконтуроми ф(х) —контуроми ф(х) —4=^4=^Рис. 385.Рис. 385.приприпостоянном значениипостоянном значенииа^х^Ь, по формуле Ньютона — Лейбница:Ф (х)(dV = Р &> У) Г о=Р (X, Ф (х)) - Р (X, ср (х)).J оу|X=9Wа^х^Ь, по формуле Ньютона — Лейбница:Ф (х)(dV = Р &> У) Г о=Р (X, Ф (х)) - Р (X, ср (х)).J оу|X=9WX,X,
J y8dy = lkR\ О
J y8dy = lkR\ О
VR3—X3
■( ^dy = ^kRS
VR3—X3
■( ^dy = ^kRS
m = ^ ^ ку2 dx dy =
m = ^ ^ ку2 dx dy =
— R о
— R о
Следовательно,
Следовательно,
хс = 0,
хс = 0,
_ 32 _
Ус— 15л R"
_ 32 _
Ус— 15л R"
§12. Формула Грина — Остроградского
Формула Грина — Остроградского устанавливает связь между двойными и криволинейными интегралами (второго рода).
§12. Формула Грина — Остроградского
Формула Грина — Остроградского устанавливает связь между двойными и криволинейными интегралами (второго рода).
Рассмотрим в плоскости ХОУ область а, L(ABCDA), состоящим из кривых у = <р(х),
Рассмотрим в плоскости ХОУ область а, L(ABCDA), состоящим из кривых у = <р(х),
ограниченную
ограниченную
непрерывные функции х, а^х^Ь, причем <р(х)^ф(х)] и отрезков прямых х=а, х = Ь (см. рис. 385). В частности, отрезки прямых (AD и ВС) могут вырождаться в точки.
Пусть функции Р (х, у) и ее част- дР (х, у)
ная производная —^ --— непрерывны в замкнутой области а. При этих условиях существует двойной интеграл С С дР (х, у) , , \ \ —\^ - dx dy, причем
непрерывные функции х, а^х^Ь, причем <р(х)^ф(х)] и отрезков прямых х=а, х = Ь (см. рис. 385). В частности, отрезки прямых (AD и ВС) могут вырождаться в точки.
Пусть функции Р (х, у) и ее част- дР (х, у)
ная производная —^ --— непрерывны в замкнутой области а. При этих условиях существует двойной интеграл С С дР (х, у) , , \ \ —\^ - dx dy, причем
Y
Y
ЭР (х, у)
ЭР (х, у)
ъ Ф(х)
$ dx j ^Ы-йу.
ъ Ф(х)
$ dx j ^Ы-йу.
a PW
Внутренний интеграл вычисляется
a PW
Внутренний интеграл вычисляется
У = ФМ
У = ФМ
[?М
[?М
контуроми ф(х) —
контуроми ф(х) —
4=^
4=^
Рис. 385.
Рис. 385.
при
при
постоянном значении
постоянном значении
а^х^Ь, по формуле Ньютона — Лейбница:
Ф (х)
(dV = Р &> У) Г о=Р (X, Ф (х)) - Р (X, ср (х)).
J оу|X=9W
а^х^Ь, по формуле Ньютона — Лейбница:
Ф (х)
(dV = Р &> У) Г о=Р (X, Ф (х)) - Р (X, ср (х)).
J оу|X=9W
X,
X,
Аналогичным образом получается формула для вычисления полярного момента инерции области а:
Вычислим, например, координаты центра тяжести полукруга а, плотность распределения массы которого пропорциональна квадрату расстояния точки от диаметра этого полукруга.
Пусть ось ОХ проходит через диаметр полукруга а, а ось ОУ перпендикулярна оси ОХ в его центре О (см. рис. 384). При таком выборе осей координат плотность р.(х, у)=ку2 (к — коэффициент пропорциональности), хс = 0, ус = -^, где
R VRa — x3
Sx = У ^ ky2 dx dy = к ^a— R
R
Следовательно,ъ6
$$-^^dxdy== $ Р(х, '^W-^k
Интеграл ^ Р (х, 6 (х)) dx может быть заменен равным ему криволинейным а
интегралом Р (х, yjdx (см. § 3): DC
6
\Р^х, tb(x))dx= ^ Р (х, y)dx.
aDC
Аналогично
Р (х, ® (х)) dx = \ Р (х, у) dx.аАР
Таким образом,
С ( ^ ^ '^ dx dy = ^ Р (х, y)dx — у Р (х, у) dx. оDCАВ
Вычитая два равных нулю интеграла ^ Р (х, у) dx и ^ Р (х, у) dx по всDA
отрезкам ВС и DA, перпендикулярным оси ОХ, получим:
У ^ —^-^ dx dy = ^ Р (х, y)dx — ^ Р (х, у) dx — ^ Р (х, у) dx —
□осАввс
— ^ ^ (х> У) dx = — И Р (х, у) dx + ^ Р (х> У) dx + $ Р (я, у) dx -ф-
DAVflВСCD
+ ^ Р (х, у) dx].
DA
В квадратныхВ квадратныхРис. 386.Рис. 386.скобках имеем криволинейный интеграл по контуру L области а в положительном направлении *), т. е.J dPO^jAdxdg__ ^p^Xi y^dx, (])скобках имеем криволинейный интеграл по контуру L области а в положительном направлении *), т. е.J dPO^jAdxdg__ ^p^Xi y^dx, (])Формула (1), выражающая двойной интеграл по области а через криволинейный интеграл по контуру L этой области, выведена для областей специального вида. Легко видеть, что эта формула остается в силе для любой области а, которуюФормула (1), выражающая двойной интеграл по области а через криволинейный интеграл по контуру L этой области, выведена для областей специального вида. Легко видеть, что эта формула остается в силе для любой области а, которуюможно прямыми, параллельными оси 0Y, разбить "* " —можно прямыми, параллельными оси 0Y, разбить "* " —на конечное число частей ука-на конечное число частей ука-занного выше вида (рис. 386). Действизанного выше вида (рис. 386). Действительно,тельно,составляя для каждой областисоставляя для каждой областиласти а, а справа — взятыйласти а, а справа — взятыйделения равенство (1) и складывая почленно полученные равенства, будем иметь слева — двойной интеграл по всей об- со знаком минус криволинейный интегралделения равенство (1) и складывая почленно полученные равенства, будем иметь слева — двойной интеграл по всей об- со знаком минус криволинейный интегралпо контуру L области а, так как интегралы по всем вспомогательным отрезкам берутся дважды во взаимно-противоположных направлениях и в сумме равны нулю.по контуру L области а, так как интегралы по всем вспомогательным отрезкам берутся дважды во взаимно-противоположных направлениях и в сумме равны нулю.АналогичноАналогичноустанавливается формулаj j ^х ^ dxdy = ^Q (х, y)dy aLустанавливается формулаj j ^х ^ dxdy = ^Q (х, y)dy aL(2)(2)
В квадратных
В квадратных
Рис. 386.
Рис. 386.
скобках имеем криволинейный интеграл по контуру L области а в положительном направлении *), т. е.
J dPO^jAdxdg__ ^p^Xi y^dx, (])
скобках имеем криволинейный интеграл по контуру L области а в положительном направлении *), т. е.
J dPO^jAdxdg__ ^p^Xi y^dx, (])
Формула (1), выражающая двойной интеграл по области а через криволинейный интеграл по контуру L этой области, выведена для областей специального вида. Легко видеть, что эта формула остается в силе для любой области а, которую
Формула (1), выражающая двойной интеграл по области а через криволинейный интеграл по контуру L этой области, выведена для областей специального вида. Легко видеть, что эта формула остается в силе для любой области а, которую
можно прямыми, параллельными оси 0Y, разбить "* " —
можно прямыми, параллельными оси 0Y, разбить "* " —
на конечное число частей ука-
на конечное число частей ука-
занного выше вида (рис. 386). Действи
занного выше вида (рис. 386). Действи
тельно,
тельно,
составляя для каждой области
составляя для каждой области
ласти а, а справа — взятый
ласти а, а справа — взятый
деления равенство (1) и складывая почленно полученные равенства, будем иметь слева — двойной интеграл по всей об- со знаком минус криволинейный интеграл
деления равенство (1) и складывая почленно полученные равенства, будем иметь слева — двойной интеграл по всей об- со знаком минус криволинейный интеграл
по контуру L области а, так как интегралы по всем вспомогательным отрезкам берутся дважды во взаимно-противоположных направлениях и в сумме равны нулю.
по контуру L области а, так как интегралы по всем вспомогательным отрезкам берутся дважды во взаимно-противоположных направлениях и в сумме равны нулю.
Аналогично
Аналогично
устанавливается формула
j j ^х ^ dxdy = ^Q (х, y)dy aL
устанавливается формула
j j ^х ^ dxdy = ^Q (х, y)dy aL
(2)
(2)
, п, х дР функции Р(х, у), ^-, а. Тогда имеют местополучим формулу, п, х дР функции Р(х, у), ^-, а. Тогда имеют местополучим формулу(3)(3)
, п, х дР функции Р(х, у), ^-, а. Тогда имеют место
получим формулу
, п, х дР функции Р(х, у), ^-, а. Тогда имеют место
получим формулу
(3)
(3)
для случая, когда функция Q(x, у) и ее частная производная -^-непрерывны в замкнутой области а, ограниченной кривыми х = Ф(у), х = = Ф (у) (Ф (у) и Т (у) — непрерывные функции у для с $5 у d, Ф (у) ^Ф (у)) и отрезками прямых у = с и y = d (рис. 387).
Формула (2) также справедлива для любой области а, которую можно прямыми, параллельными оси ОХ, разбить на конечное число частей
указанного вида.
Пусть теперь область а одновременно удовлетворяет условиям, при
которых справедливы формулы (1) и (2), а Q(x, у) и -^ непрерывны в замкнутой области формулы (1) и (2). Вычитая почленно (2) из (1),
Эта важная формула, устанавливающая связь между двойным интегралом по области а и криволинейным интегралом по ее контуру L, называется формулой Грина—Остро- градского.
Формулы (1) и (2) можно рассматривать как ее частные случаи.
Примечание. Можно доказать, что формула Грина—Остроградского имеет место для любой области а, ограниченной кусочно-гладким контуром L.
Применим формулу Грина — Остроградского к вычислению площади области а указанного выше вида. Рассмотрим функции Р (х, у) = — у, Q^x, У) = 0- Тогда ^ = —L ^=^- По формуле (3) имеем:
j (0-j- V)dxdy=^ —ydx-^Ody.
Интеграл ЭД dx dy равен площади области а, следовательно, а = — у dx.
L
Полагая Р (х, у) = 0, Q(x, у) — х, аналогичным образом находим, чтоa = ^xdy.
L
И, наконец, взяв функции Р (х, у) = — ^ у, Q (х, у) = у х, получаем формулу
а = у xdy—ydx.
Таким образом, вычисление площади плоской области а с помощью криволинейного интеграла по ее контуру можно производить по любой из следующих формул:
ydx=^xdy=^^xdy—L£ydx=^xdy=^^xdy—L£у dx.у dx.
ydx=^xdy=^^xdy—L£
ydx=^xdy=^^xdy—L£
у dx.
у dx.
Вычислим, например, площадь, ограниченную эллипсом -^-4-^-=!, по формуле a=^xdy (рис. 388). Используя параметрические уравнения эллипса; x = acost, L
y = bsint, 0^£^2л, получаем:
2л2я
^ xdy= С a cos t b cos t dt = ^ ^ 0 + cos ^) dt = u ab.
L 0о
Замена переменных в двойном интеграле
Якобиан и его геометрический смысл. Пусть даны две плоскости с выбранными на них прямоугольными декартовыми системами координат U0V и X0Y. Рассмотрим две (ограниченные или неограниченные) области (о и а, лежащие соответственно в плоскостях U0V и X0Y, и предположим, что функции
х — ^(.и, у),
(I)
У = Ф(«> и) устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками этих областей. Это значит, что каждой точке (u0. Уо) области ш соответствует одна определенная точка (х0, ув), где x0 = <p(u0, у0), yfl = ^uei у0) области а, называемая образом точки (и0, Уо), и, наоборот, каждой точке (х0, Уо) области а соответствует одна определенная точка (и0, у0) области (о [именно та точка, образом которой является точка (х0, Уо)]- Будем говорить, что формулы (1) задают взаимно однозначное отображение области о на область а (и наоборот).
дх дх_ ди дуду ду дх дудх дх_ ди дуду ду дх дуПусть функции <р (и, у) и ф (и, у) непрерывны в области со вместе со своими частными производными первого порядка. Тогда определитель
дх дх_ ди ду
ду ду дх ду
дх дх_ ди ду
ду ду дх ду
<р«(“. у) ^и, у)
фй(“. 0 'Ми, у)
будет непрерывной функцией переменных и и у, определенной в области ш. Этот функциональный определитель, называемый определителем Якоби, или якобианом отображения (1), принято обозначать J (и, у) или символом ^ ^ ’ ^ , похожим на символ, обозначающий производную ).
Предположим, что в области со якобиан отображения (1) отличен от нуля (и, следовательно, в силу непрерывности сохраняет свой знак). Можно показать, что при отображении (1) линия будет отображаться в линию, область в область. В частности, если точка (и, у), в области со опишет замкнутый кусочно-гладкий контур в положительном направлении, то ее образ — точка (х, у) в области а — также опишет замкнутый кусочногладкий контур в положительном или отрицательном направлении.
Рассмотрим в области со любую область со', ограниченную кусочно- кладким контуром Р. Пусть и — и^, о — о^\ где а^^^р — параме-
трические уравнения контура Г'1), причем положительному направлению обхода контура Г' соответствует изменение параметра / от а к р. Обозначим через У область, в которую отображается на плоскость XOY область о/, а через U— кусочно-гладкий контур области а' (линия U получается в результате отображения линии Г7) (рис. 389). Параметрические уравнения линии L' имеют вид: х = <р («(/), и(0), У — ^ (,и V), U^)V т. е. х=х(/), у = y(t), а^/^р, причем изменению параметра t от а к р может соответствовать как положительное, так и отрицательное направление обхода контура L'.
Рис. 389.Рис. 389.
Рис. 389.
Рис. 389.
Выясним, как при отображении (I) изменяется площадь области со'. Будем исходить из формулы, выражающей площадь области У через криволинейный интеграл по контуру L' этой области:
а’а’xdy.xdy.
а’
а’
xdy.
xdy.
Применяя правило для вычисления криволинейного интеграла, на-; ходим, что ₽
а'X dy = Нг x(t) у' (<) dt
или, так как у' V) = % и' ^-^^-и'^, то
У = ± $ [х (0 ^ и' (О + х (0 ^- У (01 di.
Знак плюс имеет место, если положительному направлению обхода контура Г' при отображении (1) соответствует положительное направление обхода контура L' и знак минус в противном случае.
Полученный интеграл равен криволинейному интегралу:
& х du А-хdu.
j ди 1 до Г'
Следовательно, а' = + (£ хdu 4- х dv.
— j ди 1 до Г'
Интеграл по контуру Г' по формуле Грина—Остроградского преобразуем в двойной интеграл по области со':
а'= ± f С—
J J L ом \ ду) ду \ ди / J
Ш
дх ду , dav дх ду д-у "1 , , ди ду 1 ду ди ду ди ди ду J
Предполагая, что у функции у = 6 (и, и) смешанные частные производные второго порядка в области со непрерывны, а значит, не зависят от последовательности дифференцирований, находим:
— J J L ou ди dv ди ]'
или, что то же,
а' = ±^ J ^и, и) du du.(2)
Применяя к формуле (2) теорему о среднем, получаем соотношение
а' = ±/(у, v)co',(3)
где со’ — площадь области со', а (у., v) — некоторая точка этой области.
Так как площади а' и со' больше нуля, равенство (3) можно переписать в виде:
=' = 4 (у-, *) | со'.(4)
Соотношение (4) показывает, что коэффициент изменения площади области при отображении (1) равен абсолютной величине якобиана отображения в некоторой точке этой области:
-^ = Н(^^)1.(5)
где (у., и)—точка области со'.
На основании полученных результатов можно сделать некоторые заключения о величине и знаке якобиана отображения (1).
Пусть (и, и) — любая точка области ш, со' — область (с кусочногладкой границей), содержащая внутри точку (и, и), а а* — ее образ при отображении (1). Переходя к пределу в соотношении (5) при стремлении к нулю диаметра области со' и, следовательно, при стягивании области со’ к точке (u, V), в силу непрерывности якобиана J (и, и) получим равенство
lim-^- = | J(u, о)|,
из которого следует, что модуль якобиана отображения (1) в любой точке области со равен коэффициенту изменения площади бесконечно малой области, содержащей эту точку, при данном отображении.
Вернемся теперь к соотношению (2):
а' = ± ЭД J (и, и) du du.
По предположению якобиан J (и, и) в области о) сохраняет свой знак, следовательно, знак интеграла ЭД J (и, и) du du совпадает со знаком якобиана J (и, у). Так как величина площади о’ больше нуля, то знак плюс перед двойным интегралом берется, если J (и, и) в области со больше нуля и знак минус — в противном случае. Учитывая сделанные ранее замечания о знаке перед интегралом в формуле (2), заключаем, что если в области со якобиан отображения (1) положителен, то при отображе- 542
нии (I) положительному направлению обхода любого контура соответствует положительное направление обхода его образа, если же в области е> якобиан отображения (1) отрицателен, то положительному направлению обхода контура соответствует отрицательное направление обхода его образа.
Примечание. Якобиан отображения (1) можно рассматривать как некоторый двумерный аналог обыкновенной производной функции одной переменной.
Пусть функция у =f (х) непрерывна и дифференцируема на интервале (а, 6), причем производная /' (х) сохраняет на этом интервале свой знак. Эта функция устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками интервала (я, 6) оси ОХ и точками некоторого интервала (конечного или бесконечного) оси ОУ. Рассмотрим любой отрезок [а, р] на интервале (а, Ь). По теореме Лагранжа:
/№)-/(«)=/'® №-=), где ?—точка отрезка [а, 0].
Обозначив через 8 длину отрезка [а, р], а через d — длину отрезка, соответствующего ему на оси ОК), запишем теорему Лагранжа в виде: d=|/'(£)|-8, откуда следует, что
4-=1/'®1,
т. е. коэффициент изменения длины отрезка при отображении y=fO^ равен модулю производной в некоторой точке отрезка.
Стягивая отрезок [а, 0] к некоторой фиксированной точке х отрезка, в пределе [если /'(х) непрерывна] получим соотношение |/’(х) | = lim-^-.
Соотношение (6) является его обобщением на двухмерный случай.
Вывод формулы замены переменных в двойном интеграле. Рассмотрим двойной интеграл
SV^- y)dxdy(6)
от функции /(х, у), непрерывной в замкнутой области а, ограниченной кусочно-гладким контуром.
Предположим, что формулы
х = <р (и, и),
(7) У = <Н“» и)
задают взаимно однозначное отображение замкнутой области со плоскости UOV на замкнутую область а плоскости ХОУ, причем это отображение удовлетворяет всем условиям, указанным в начале параграфа.
Поставим своей целью заменить двойной интеграл (6) по переменным х и у (по области а) равным ему двойным интегралом по переменным и и и (по области со). Для этого разобьем область ш с помощью кусочногладких кривых) на п областей Дшь До>2, ... , Дш„. Образы этих кривых на плоскости ХОУ, в свою очередь, будут кусочно-гладкими кривыми. Они разобьют область а на п областей Даь Да2, .. . , Да„. Площади соответствующих областей Дсог и Даг связаны соотношением
Даг = | J (^;, \)| ДЮ;,
где Л4г(р-;, \)— некоторая точка области Дш,, a J (у-^ иг)— якобиан отображения (7) в этой точке (рис. 390). Обозначим через Р.^и "b) лежащий в области Да,- образ точки УИДр.,-, \) при отображении (7):
^ = <Р(Р-ь \), ^, = Ф(р-1. ^), <== 1, 2, п.
Для полученного разбиения области а на части Да,, Да2, ... , Дзл и специального выбора точек Рх, Рг, ... , Рп, на этих частях составляем интегральную сумму для двойного интеграла (6):
с = 1
По построению имеем:
S f ^ь Ъ) Д=,- = S 7 [<Р (р-i, ^), Ф (Р;, \)] I J fa, \) I Дмг (8) i = 1i = 1
В правой части этого равенства стоит интегральная сумма для двойного интегралапо области со от непрерывной функции
Рис. 390.
/(<р(и, у), <]>(«, y))|J(u, у)|. При стремлении к нулю шага разбиения Хш области со стремится к нулю шаг разбиения X, области а1).
Переходя к пределу в равенстве (3), получаем:
^f(x, у) dxdy = §f (<р (и, у), ф (и, yy)\J(u, v)\dudv. (9)
Эта формула и называется формулой замены переменных в двойном интеграле.
Примечание. Можно показать, что формула (9) имеет место также и в том случае, если отображение (7) области со на область а будет взаимно однозначным лишь для внутренних точек этих областей.
Пример. Найти площадь криволинейного четырехугольника, ограниченного линиями у = х, у = 2х, у = х2, y = ix2 (рис. 391). Формулы ^- = ц, ^ = у или, что и и?,
то же, х = — ,у = — осуществляют взаимно однозначное отображение данного криволинейного четырехугольника а плоскости XOY на прямоугольник со сторонами и=1, и = 2, у=1, у = 4 плоскости UOV.
Якобиан отображения
и_
V У2 и2
J (и, у) = „уо у2
В области со имеем: J (и, у) = ^>0. Следовательно, 24
И
.fС«2Сглfdv35
dx dy =1 1-т du dv =I u2duV.
JJv3Jу332
*) Это вытекает из равномерной непрерывности функций <р (и, у) и i (и, у) в замкнутой области со.
Переход в двойном интеграле к полярным координатам. Положение точки М (х, у) плоскости XOY можно однозначно определить заданием
пары чисел ри®, где р — длина радиуса-вектора ляемый этим радиусом-вектором с осью ОХ (®— полярный угол точки Л4) (рис. 392). Числа р и <р, как уже говорилось ранее, называются полярными координатами точки М. Они связаны с ее декартовыми координатами х и у соотношениями:
x = pcos<p, y = psin®.(10)
Будем рассматривать
ом,
На формулы х = р cos ®, у = р sin ®, где переменные р и <р изменяются в указанных выше пределах, можно смотреть как на задание отображения «полосы»
плоскости с прямоугольной системой координат рО® на всю плоскость X0Y. Это отображение взаимно однозначное всюду, кроме границы полосы Т. Действительно,
а ф—угол, состав-
каждой внутренней точке (р, <р),
0 <Ср <С"|- 00 > о
®<^2я, полосы Т соответствует одна точка (х, у) (где x = pcos®, y = psin@) плоскости XOY. Эта
ная полуось ОХ. При отображаются в одну
точка отлична от начала координат О (так как р # 0) и не лежит на положительной полуоси ОХ (так как ® ^ 0 и ® ^ 2л). Наоборот, каждой точке (х, у) плоскости X0Y, отличной от начала О и не лежащей на положительной полуоси ОХ, соответствует, и притом одна, точка (р, <р) полосы Т [именно та точка, у которой ри® — полярные координаты точки (х, у)]. Границе полосы Т при отображении (10) соответствуют начало координат О и выходящая из него положитель- этом все точки (0, <р), 0^ <р 2тс, плоскости рО®
0) плоскости X0Y, а каждые две
точку О (0,
Рис. 393.
точки (р, 0) и (р, 2^), 0<^р<^-[— оо, плоскости рО® отображаются в одну и ту же точку (х = р, у = 0) положительной полуоси ОХ.
Вычислим якобиан отображени.ч (10):
г,. д (х, у)
7(?’ '^ = д^~0
cos о — р sin ®
sin ®
= р. р cos Ф f
В каждой точке полосы Т [кроме граничных точек (0, <р), 0^®^2л] имеем:
J (р, ?) = Р>0.
Применяя выведенную выше общую формулу замены переменных в двойном интеграле к отображению (10) (роль переменных и и о играют полярные координаты р и ®), получим так называемую формулу перехода в двойном интеграле к полярным координатам:
$/(х, у) dxdy = ЭД f (р cos <р, р sin 7) р dp d-s.(11)
Здесь а — данная область плоскости XOY, а ш — область плоскости рО® ’), образом которой при отображении (10) является область а.
Из сделанного на стр. 544 замечания следует, что нарушение взаимной однозначности отображения (10) в указанных выше точках не влияет на справедливость формулы (11). Переход в двойном интеграле к полярным координатам обычно удобно использовать в тех случаях,
УУ
У
У
когда подинтегральная функция зависит от х2 -[- у2 или от arctg ^ , а также в тех случаях, когда граница области а содержит дуги окружностей и лучи, выходящие из начала координат.
Вычислим, например, интеграл ЭД ех2 +х= dx dy по четверти кольца 1^х2-]- + .V2^4, лежащей в первом квадранте (рис. 394, а). Производя замену переменных по формулам x = pcos<p, y = psin<p, получаем ЭД ех2 +-у2 dx dy = ЭД е^ pdp, где ш — область плоскости рО<р, образом которой является данная четверть кольца.
Так как при отображении х = р cos <р, у = р sin <р дуге AD окружности х2-)-у2 = 1 соответствует отрезок прямой р = 1, 0^<р^-^-, дуге ВС окружности х2 +у2 = 4—
отрезок прямой р=2, О^ср^у, отрезкам АВ (у = 0) и CD(x = 0)—отрезки прямых !р = 0 и !р = -^-(1 ^р ^2), то область и> представляет собой прямоугольник |1^Р^2, 0^<р^-^-| в плоскости рОр (рис. 394,6).
Переходя от двойного интеграла по переменным р и <р к повторному, получаем:
2"2
ЭД ех2 4Xs dx dy = dp ep2prfp =(е4 —е).
о01
Расстановку пределов при вычислении двойного интеграла в полярных координатах можно производить, используя чертеж области а на плоскости X0Y и геометрический смысл полярных координат.
Пусть, например, область а ограничена двумя кривыми, полярные уравнения которых р = й(ф) и р = Н (ф) (й (ф) и Н (®) — непрерывные функции ф, а^ю^р, причем й(ф)^Д(ф)), и двумя полупрямыми, выходящими из начала О под углами ф = аиф = рк оси ОХ (см. рис. 395, а).
Рис. 396.
Построим на плоскости рОу соответствующую область ш (рис. 395, б). По теореме 2 § 10 имеем:
р Я (о)
^f(x, ^ dxdy = ЭД f(p cos <p, р sin ®)рс!р^ф = ^ d<p ^ f (р cos ф, р sin ф) pdp.
асоa h (ср)
Те же пределы можно получить с помощью чертежа а, рассуждая примерно следующим образом. У внешнего интеграла пределами являются наименьшее (® = а) и наибольшее (ф = Р) значения полярного угла ф для точек области а. Для внутреннего интеграла имеем ф = const, а^ф^р. На плоскости X0Y точки, у которых ф = const, располагаются на полупрямой, выходящей из начала под углом ф к оси ОХ. Так как полярная координата р точки означает расстояние этой точки от начала О, то нижний и верхний пределы внутреннего интеграла равны соответственно расстоянию от начала О самой близкой и самой далекой точки области а, лежащей на проведенном луче ф = const. Эти расстояния равны й(ф) и Н (ф).
Аналогично в случае области а, ограниченной линиями, полярные уравнения которых ф=^(р), ф = С(р), p = r, p = R (r<^R, g(p)^G(p), g(p) и G (p) — непрерывные функции p, r^p^R) имеем (см. рис. 396):
R G(P)
ЭД f (x> У) dxdy = ^ pdp ^ /(p cos ф, p sin ф) d^. er g№
Пример. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями х24-у2=2у, 2=0, х + у-|-г = 4.
Так как данное тело представляет собой цилиндрическое тело, ограниченное сверху поверхностью z = 4—х — у (рис. 397), то имеем:
V = ^ (4 — х —у) dx dy,
где а—основание тела—круг х- -{- (у— I)2 ^ 1 в плоскости ХОК (см. рис. 398).
Переходя к полярным координатам, получаем:
^ = ^ (4 — р cos о — р sin <р) pd р dp =
it 2 sin у
= ^ dp ^ (4 — р cos у — р sin ф) р dp = 3-.
О о
Пример. Вычислить площадь части параболоида ;c2-|-y2 = z, вырезаемой цилиндром х2+у2=1 (рис. 399).
„dz _ dz „
Так как -v— = 2х,= 2у, то
,dx dy 3
S = ЭД V1 + 4х- + 4у2 dx dy,
где а—круг х2-|-у2^1 в плоскости ХОК.
Переходя к полярным координатам, получаем:
S = ЭД V1 + 4р2 pd р dp = ^ dp ^ р V1 -|- 4р2 dp = ^ (5 )^5 — 1).
ш00
Раздел 4
ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Задача о массе тела
В пространстве XYZ дано тело V, в каждой точке (х, у, z) которого известна плотность распределения массы
р-=р-(аг, у, zyy
Будем предполагать, что р. (х, у, z) — непрерывная функция от х, у, z. Требуется вычислить массу т этого неоднородного тела.
*) Cpedneu плотностью распределения массы в трехмерной области называется отношение массы, сосредоточенной в этой области, к объему области. Плотность pacnpedeлeнuя массы в данной точке М области есть предел средней плотности распределения массы в области, содержащей эту точку, при стягивании этой области к точке М.
Для решения поставленной задачи разобьем область V на п частей ДУЬ ДУ2,..., ДУ„, не имеющих общих внутренних точек). Выберем в каждой области ДУz (внутри или на границе) произвольно точку Mt^i, ту, С,-). Плотность распределения массы в такой точке равна р. (sz, т];, С;). Массу т, области ДУг естественно считать приближенно равной массе однородной области ДУ,- с плотностью распределения <л(;г, т;,, Q:
т^^^ь 7];, С,-) ДУ,-.(I)
Чем мельче область ДУ,-, тем меньше в точках этой области значения функции р.(х, у, z) отличаются от ее значения в точке М,, тем, вообще говоря, точнее это приближенное равенство. Суммируя значения масс т; по всем областям деления, получаем приближенное значение массы т тела V:
Щ-Пь Hi) ДУ,-.
i = I
Точное значение массы тела V принимается равным пределу, к которому стремится найденное приближенное значение при неограниченном измельчении областей деления и, следовательно, неограниченном увеличении числа областей деления (короче, при стремлении к нулю шага разбиения X области У).
Таким образом,
m= Нт 2 Р^;> ^о ^bVt-ь-о Я
Подобного рода пределы часто приходится рассматривать в механике и физике, в связи с чем представляется целесообразным их изучение.
Определение тройного интеграла и его свойства
Пусть в замкнутой, кубируемой) области У пространства XY Z задана произвольная функция Цх, у, z). Разобьем область У на п областей ДУЬ ДУ2, ..., ДУ„, не имеющих общих внутренних точек. В каждой области ДУi возьмем произвольно точку М,^,-, ци Cz). Значение функции f (х, у, z) в точке Mt умножим на объем ДУ,- г-й области и сложим такие произведения по всем областям деления. Полученная сумма п
S Н'и ^i’ ^) kVt называется интегральной суммой для функции f^x, у, г1) i = l
по области У. Для функции f (х, у, z) можно составить бесчисленное множество интегральных сумм по области У.
Если при стремлении к нулю шага разбиения X области У существует предел) интегральных сумм, то этот предел называется тройным интегралом от функции f (х, у, г) по области У и обозначается символами:
$f(x, У» z)dV или $f(x, У, z)dxdydz. ИV
При этом / (х, у, z) — подинтегральная функция, У — область интегрирования, х, у и z — переменные интегрирования, dV(dxdydz)—элемент объема.
Таким образом,
$Ж У’ ?МУ = Ит 2 f^, т]/, CZ)AVZ, VА — 0г=1
если этот предел существует.
Из определения следует, что тройной интеграл, так же как и двойной, не зависит от совершаемых при построении интегральных сумм разбиений области V на части и выбора точек на этих частях.
Тройные интегралы являются непосредственным обобщением двойных интегралов на случай трехмерного пространства.
Имеют место следующие достаточные условия существования тройного интеграла.
Теорема 1. Если функция /(х, у, z) непрерывна в замкнутой области V, то тройной интеграл $f(x, у, z)dV существует.
V
Обобщения теоремы 2 (см. § 7, разд. 3) на трехмерный случай в данном курсе не рассматривается.
Решение задачи о массе области V с помощью тройного интеграла запишется в виде:
m = $ р- (х, у, z)dV,v
где р. (х, у, г) — плотность распределения массы.
В этом и заключается механический смысл тройного интеграла от неотрицательной функции. Установить геометрический смысл тройного интеграла $/(х, У’ z)^ Для произвольной функции Цх, у, z), не вы- v
ходя за пределы трехмерного пространства, не представляется возможным.
В случае, если в области V
f(x, у, z)= 1, то
SSS<iV = Hm S ДГ,-Г.
V*-*0j = l
Таким образом, объем тела V можно вычислять с помощью тройного интеграла по формуле
v=5$$^=®^ dydz-VV
Перечислим простейшие свойства тройных интегралов от функций, непрерывных в рассматриваемых областях.
Тройной интеграл ^/(х, у, г) dxdydz от обозначения переменных v
интегрирования не зависит, т. е.
$/(х, У> z) dxdy dz=^f (s, t, и) ds dt du vv
и т. д.
Постоянный множитель можно выносить за знак тройного интеграла:
$^(х’ У» z)dy = fe%/:(x, у, z^dV, VV
где к — число.
Тройной интеграл от суммы двух функций равен сумме соответствующих интегралов от слагаемых:
ША<х’ У- z)+hC.x, у, z)]dV = ^[^х, у, z)dV + ^f.2(x,y, z)dV, vvv
Если область V разбита на две области /t и У2, то $Ж У, 2) dV = $J (х, у, z)dV + $/(х, у, z) dV. VИ!щ
Примечание. Свойства 3 и 4 верны для любого фиксированного числа слагаемых.
Если в области V f(x, у, Z)^0, до
^/(^ У, 2)^0. V
Если в области V h(x, у, z)^f2(x, у, г), то
$А(> У. z)dV ^^f2(x, у, z^dV. VV
|№^х>«’ ^^HS^^^- у> wv.
I vI v
Теорема о среднем. Если функция f(x, у, z) непрерывна в замкнутой области V, то в этой области существует точка М (£, ть дт такая, что %НХ> У- ^dV=t^, к], С) V, V
где V—объем данной области.
§ 16. Вычисление тройных интегралов
Вычисление тройных интегралов производится путем последовательного вычисления интегралов меньшей кратности.
Рис. 400.Рис. 400.Теорема 1. Пусть область V ограничена снизу и сверху поверхностями z = h(x, у) и г = Н^х, у), где h^x, у) и Н (х, у)—непрерывные функции в замкнутой области а плоскости X0Y, и цилиндрической поверхностью, у которой образующие параллельны оси Oz, а направляющей является граница области а (рис. 400). Тогда для любой функции f(x, у, z), непрерывной в замкнутой области V, имеет место формула
Рис. 400.
Рис. 400.
^ f (х, у, г) dx dy dz =
Н (х, у)
= 54 S Нх> У* ^dz^dxdy, (1) a h (X, у)
позволяющая свести вычисление тройного интеграла к вычислению двойного интеграла от определенного интеграла (короче, к вычислению повторного интеграла) ’).
Интеграл, стоящий в правой части равенства, обычно записывают в виде:
н (х, у^
55 dxdy 5 / (х, у, z) dz.
ah(x, у)
При вычислении тройного интеграла по формуле (1) с помощью повторного интеграла сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной г при постоянных х и у (х и у — параметры) в пределах изменения г (для области V) при постоянных х и у, а затем полученная функция х и у интегрируется по переменным х и у по области а.
Рис. 401.Рис. 401.
Рис. 401.
Рис. 401.
Если при этом область а плоскости X0Y ограничена линиями х = а, х = Ь (а<^Ь\ у = <о (х), у = ^ (х) [® (х) и Л (х) непрерывные на отрезке [а, Ь] функции, причем ®(х)^Ф(х)] (рис. 401), то, переходя от двойного интеграла по области а к повторному, получаем формулу
ь ф (х) Н (X, .у)
(2)(2)$ f (х, у, 2) dx dy dz = dx dy ^ / (x, y, z) dz,Vа ^(x) h{x, _y)
(2)
(2)
позволяющую вычисление тройного интеграла заменить последовательным вычислением трех определенных интегралов.
В частности, если область V— параллелепипед с гранями х = а, х = Ь (а^Ь), у = с, у = d(c<_d?), z = l, г = кЦ<^к\ то по формуле (2) имеем:
b d к
^Кх, у, z) dxdy dz—\dx\dy\f (х, у, z'tdz.
Vо с I
Для функции Цх, у, г), равной произведению функций, каждая из которых зависит от одного лишь переменного:
Цх, у, г^Ь^хИЦхуи^,
тройной интеграл по этому параллелепипеду V равен произведению трех определенных интегралов: bdк
$ f to У’ г) dx йУйг = \ ft to dx 5 Л (У) dy S fa to dz- Vact
Это равенство непосредственно следует из свойств тройных и двойных интегралов.
Пример 1. Вычислить интеграл П((х-|-у— z) dx dy dz по параллелепипеду,
ограниченному плоскостями x =— y = 0, y=l, 2 = 0, 2 = 2 (рис. 402).
По формуле (2) имеем:
^ (х -[-у — г) dx dy dz =
I I 2
z) dz =z) dz == ^ dx ( (2x + 2y — 2) dy =
z) dz =
z) dz =
— i 6
= ^ (2x—Y)dx =—2.= ^ (2x—Y)dx =—2.Пример 2. Вычислить интеграл yyj х dx dy dz по области V, ограниченной плоскостями х -Уу -\- z = '2.1 z=l, х=0, у = 0 (рис. 403).
= ^ (2x—Y)dx =—2.
= ^ (2x—Y)dx =—2.
Область V проектируется на плоскость XOY в треугольник а, ограниченный прямыми х = 0, у = 0, х-|-у=1. Применяя формулы 1 и 2, получаем:
Наряду с указанными выше формулами при соответствующих условиях имеют место формулы, получающиеся из них перестановкой переменных х, у и г.
В случае, если область V может быть разбита на части, удовлетворяющие условиям теоремы 1 или теорем, получающихся из нее перестановкой переменных х, у и г, вычисление тройного интеграла сводится к вычислению соответствующих интегралов по каждой из этих частей.
Пример 3. Составить формулу для вычисления тройного интеграла
^^ / (х, у, z) dx dy dz
по области V, лежащей в первом октанте и ограниченной поверхностями х = 0, у = 0, z = 0, Xs +у2 + г2 = 1, x2+y3 + z2 = 4 (рис. 404). Так как поверхность, ограничивающая область V снизу, задана двумя уравнениями (уравнение плоскости 2 = 0, уравнение сферы х4 +у2 + г2 = 1), разбиваем область V на две части цилиндрической поверхностью х2 Ц-у2 = 1.
Обозначим через аг часть круга х2-|-у2^1, а через з2— часть кольца 1 ^ ха + у3 ^ 4, лежащие в первой четверти плоскости ХОУ, а через V\ и Vs— части области V, проектирующиеся соответственно в ^ и з2. Тогда
^5/(х, у, z) dx dy dz = ^ft,x, у, z) dx dy dz + ^^/Vх, У, z) dx dy dz.
ViV»
Интегралы по областям Vt и V3 вычисляем, применяя формулы (1) и (2):
V4 — №— у2
^^ / (х, у, z") dx dy dz = ЭД dx dy ^/ (x, y, z) dz =
^1°1V 1 — Л2 — j2
/П^лЗ /4—j3
— \dx ( dy §/ (x, y, z) dz,
0 e
/4 —j2
ЭД^/(х, y, 2) dx dy d2=^^ dx dy ^ f(x, y, z)dz =
Vs"26
У4 —№^4- №— j22/4—№У 4 —№ —J2
Adx t dy (/ (x, y, z) dz 4- t dx \ dy )/ (x, y, z) dz.
0 VX — xa0100
Примечание. Для перехода от двойного интеграла по области а2 к повторному надо предварительно область а2 разбить на части а2 и а» (см. рйс. 405).
§ 17. Некоторые механические приложения тройных интегралов
К вычислению тройных интегралов приводят задачи, связанные с непрерывным распределением массы в пространственной области.
Если известна плотность распределения массы р = р.(х, у, z) области V пространства XYZ ^, то рассуждая так же, как в двумерном случае (§ 11), получим определения и формулы для вычисления статических
моментов области
V относительно координатных плоскостей: S^=^21A(X’ У' ^dV’
V
Sy2 = ^^(x> У> ^dV,
V
Szx = ^gv-(X, у, z)dV, V
моментов инерции относительно координатных осей:
^=SSS (^2 4-^2) Iх (^ У’ zw> Jy = \\\^-Y^wkx, У, z)dV, J= = $ ^ + У°111 (x> У’ z) dV’ V
координат центра
тяжести:
^ xp- (x, y, z) dV s
Xc $^ i" ^- У- z)dv m ^ № (^ У- 2) dv s
Uc 59 ^(x’ У’ z^dV m ’
555 ^x> y-z) m
*) Предполагается, что у(х, у, z) — непрерывная функция в замкнутой области V.
§18. Замена переменных в тройном интеграле
Для тройного интеграла имеет место следующее правило замены переменных.
Если функция f(x, у, z) непрерывна в замкнутой области V, а функции
х=®(«, у, су), у=<ь(и, v, су), г = /(«, у, су)(1)
имеют непрерывные частные производные в замкнутой области Т пространства UVW и взаимно однозначно отображают эту область на область V пространства XYZ, то имеет место следующая формула:
$/(я, у, г) dx dy dz =v
=\W ^ ^и>и> w^ $(и> у> т=\W ^ ^и>и> w^ $(и> у> тсу), /(и, у, су)) | У (и, у, су) j du dv dw,су), /(и, у, су)) | У (и, у, су) j du dv dw,(2)(2)где J (и, v, су)где J (и, v, су)д (х, у, 2) д (и, у, w)д (х, у, 2) д (и, у, w)дх дх дх ди dv dw ду ду ду ди dv dw да да да ди dv dwдх дх дх ди dv dw ду ду ду ди dv dw да да да ди dv dw— якобиан отображения (1).— якобиан отображения (1).
=\W ^ ^и>и> w^ $(и> у> т
=\W ^ ^и>и> w^ $(и> у> т
су), /(и, у, су)) | У (и, у, су) j du dv dw,
су), /(и, у, су)) | У (и, у, су) j du dv dw,
(2)
(2)
где J (и, v, су)
где J (и, v, су)
д (х, у, 2) д (и, у, w)
д (х, у, 2) д (и, у, w)
дх дх дх ди dv dw ду ду ду ди dv dw да да да ди dv dw
дх дх дх ди dv dw ду ду ду ди dv dw да да да ди dv dw
— якобиан отображения (1).
— якобиан отображения (1).
Подобно тому как в случае двух переменных модуль якобиана отображения равнялся коэффициенту изменени: модуль якобиана отображения (1) равен коэффициенту изменения бесконечно малого объема при отображении (1).
Примечание. Формула (2) остается справедливой также и в том случае, если отображение области Т на область V взаимно однозначно лишь для внутренних точек этих областей.
Остановимся подробнее на двух наиболее употребительных случаях замены переменных в тройных интегралах.
Переход в тройном интеграле к цилиндрическим координатам. Положение точки М (х, у, z) пространства XYZ однозначно определяется, заданием трех чисел р, <р, z, где р — длина радиуса-вектора проекции точки М па плоскость XOY, ® — угол, составляемый этим радиусом-вектором с осью OX, z — аппликата точки М (рис. 406). Числа р, <р, z называются цилиндрическими координатами точки М. Они связаны с декартовыми координатами точки М соотношениями:
x=pcos®, y = psin<p, z = z.(3)
По определению 0^р<^-[-оо, —oo^z^-J-00* Значение угла ® будем брать в пределах 0^®<2тс.
На формулы (3), где переменные р, <р, z изменяются в указанных пределах, можно смотреть как на задание отображения полосы {0^Р< +оо, 0 =с ® <: 2л, —оо <^z <+ о©} пространства с прямоугольной системой координат р<рг (рис. 407) на все пространство XYZ. Отображение (3) взаимно однозначно всюду, кроме границы этой полосы.
При этом отображении (3) плоскости р = Ро пространства p@z соответствует в пространстве XYZ цилиндрическая поверхность х2Ц- У2—Ро> а плоскости ср = ?0 и z = z0 пространства p®z отображаются в простран-
стве XYZ соответственно в полуплоскость, проходящую через ось 0Z под углом ®0 к оси ОХ и плоскость 2 —20 (рис. 408).Якобиан отображения:стве XYZ соответственно в полуплоскость, проходящую через ось 0Z под углом ®0 к оси ОХ и плоскость 2 —20 (рис. 408).Якобиан отображения:J (р,J (р,<Р, 2) =<Р, 2) =д (х, у, 2) д (р, «р, з)д (х, у, 2) д (р, «р, з)cos у sin <р0cos у sin <р0— р sin <р 0р cos <р 001— р sin <р 0р cos <р 001= р= рнеотрицателен в данной полосе (р = 0 тольконеотрицателен в данной полосе (р = 0 толькона границе полосы).на границе полосы).Применяя формулу замены переменных в тройном интеграле к отображению (3), получим так называемую формулу перехода в тройном интеграле от декартовых к цилиндрическим координатам:
стве XYZ соответственно в полуплоскость, проходящую через ось 0Z под углом ®0 к оси ОХ и плоскость 2 —20 (рис. 408).
Якобиан отображения:
стве XYZ соответственно в полуплоскость, проходящую через ось 0Z под углом ®0 к оси ОХ и плоскость 2 —20 (рис. 408).
Якобиан отображения:
J (р,
J (р,
<Р, 2) =
<Р, 2) =
д (х, у, 2) д (р, «р, з)
д (х, у, 2) д (р, «р, з)
cos у sin <р
0
cos у sin <р
0
— р sin <р 0
р cos <р 0
01
— р sin <р 0
р cos <р 0
01
= р
= р
неотрицателен в данной полосе (р = 0 только
неотрицателен в данной полосе (р = 0 только
на границе полосы).
на границе полосы).
\^\f (х, У, 2) dxdy dz — ^f (pcos®, psincp, z)p dp d-p dz. V r
Здесь T — область пространства p®z, образом которой при отображении (3) является область V.
Пример. Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями x-+y-=z, 2=1, в цилиндрических координатах.
Обозначим через Г область пространства ypz, ограниченную поверхностями p3=z, 2=1, ф = 0, р = 2™ (рис. 409). При отображении (3) ее образом в пространстве XYZ будет данная область V. По-
этомуэтомуРис. 408.Рис. 408.Примечание. Расстановку пределов при вычислении тройного интеграла в цилиндрических координатах можно производить, используя чертеж области V в пространстве XYZ и геометрический смысл цилиндрических координат.
этому
этому
Рис. 408.
Рис. 408.
Так, например, при расстановке пре
делов в полученном выше интеграле можно было рассуждать следующим образом. Так как область V на плоскость XOY проектируется в круг х2+у2= 1, то цилиндрическая координата <р точек тела изменяется в пределах от 0 до 2п. В сечении тела полуплоскостью <р = const, 0^<р^2л, получаем криволинейный треугольник (см. заштрихованную область на рис. 410). Для его точек цилиндрическая координата р изменяется в пределах от р = 0 до р = 1. Постоянному значению р, O^p^l в пространстве XYZ соответствует цилиндр
x2+y2 = P2- В пересечении этого цилиндра с заштрихованной в полуплоскости е = const областью получаем отрезок прямой, вдоль которого переменная z изменяется от значения z для точки, лежащей на параболоиде, до значения 2=1 (для точки, лежащей на плоскости z=l).x2+y2 = P2- В пересечении этого цилиндра с заштрихованной в полуплоскости е = const областью получаем отрезок прямой, вдоль которого переменная z изменяется от значения z для точки, лежащей на параболоиде, до значения 2=1 (для точки, лежащей на плоскости z=l).Рис. 409.Рис. 409.
x2+y2 = P2- В пересечении этого цилиндра с заштрихованной в полуплоскости е = const областью получаем отрезок прямой, вдоль которого переменная z изменяется от значения z для точки, лежащей на параболоиде, до значения 2=1 (для точки, лежащей на плоскости z=l).
x2+y2 = P2- В пересечении этого цилиндра с заштрихованной в полуплоскости е = const областью получаем отрезок прямой, вдоль которого переменная z изменяется от значения z для точки, лежащей на параболоиде, до значения 2=1 (для точки, лежащей на плоскости z=l).
Рис. 409.
Рис. 409.
Выражая эти значения z в цилиндрических координатах (z = p2, 2=1), окончательно получаем:
dz=^dz=^
dz=^
dz=^
Переход в тройном интеграле от декартовых к сферическим координатам. Сферическими координатами точки М (х, у, z) пространства XYZ называются числа р, <р, 8, где р— длина радиуса-вектора ОМ точки М, ® — угол, составляемый с осью ОХ проекцией этого радиуса-вектора на плоскость XOY, а 6—угол отклонения радиуса-вектора точки М от
плоскости X0Y (рис. 411). Задание этих трех чисел однозначно определяет положение точки Л4 в пространстве XYZ.
Сферические координаты р, ®, 8 точки М связаны с ее декартовыми координатами х, у, z формулами:
х = р cos 8 cos ®, у = р cos 8 sin <р, z = psin8.
По определению 0 s£ р < + оо. Значения углов $ и 8 будем брать в пределах: 0<®^2к, —^^9 <;^.
Формулы (4), где переменные р, ®, 9 изменяются в указанных пределах, можно рассматривать как задание отображения полосы
|о^р<^ + °°> 0^<р^2л, —У^0^^}
пространства с прямоугольными координатами р, ®, 9 (рис. 412) на все пространство XYZ.
Рис. 412.Рис. 412.
Рис. 412.
Рис. 412.
При этом отображении плоскости р = р0 пространства р®9 соответствует сфера х2-[-у2-[-z2 = ро в пространстве XYZ, плоскости ® = <ро— полуплоскость, проходящая через ось OZ под углом <р0 к оси ОХ, а плоскости 9 = 90 — круговой конус с вершиной О, образующие кото-
Рис. 413.Рис. 413.
Рис. 413.
Рис. 413.
рого наклонены к плоскости XOY под углом 90 (рис. 413). Это отображение взаимно однозначно всюду, кроме границы указанной выше полосы. Якобиан отображения:
J (р, <Р, 6)J (р, <Р, 6)д (х, у, z) д' (р, <р, 6)д (х, у, z) д' (р, <р, 6)COS 9 cos срcos 9 sin уsin 9COS 9 cos срcos 9 sin уsin 9— р cos 9 sin ср —р sin 9 cos <р р cos 9 cos <p — р sin 9 sin ®— р cos 9 sin ср —р sin 9 cos <р р cos 9 cos <p — р sin 9 sin ®Орcos 9Орcos 9= sin 9= sin 9— р cos 9 sin ср —р sin 9 cos <р рcos9cos® —рsin 9sin<р— р cos 9 sin ср —р sin 9 cos <р рcos9cos® —рsin 9sin<р+ pcos 9+ pcos 9cos 9 cos cp cos 9 sin ®cos 9 cos cp cos 9 sin ®— p cos 9 sin <p p cos 9 cos ®— p cos 9 sin <p p cos 9 cos ®
J (р, <Р, 6)
J (р, <Р, 6)
д (х, у, z) д' (р, <р, 6)
д (х, у, z) д' (р, <р, 6)
COS 9 cos срcos 9 sin уsin 9
COS 9 cos срcos 9 sin уsin 9
— р cos 9 sin ср —р sin 9 cos <р р cos 9 cos <p — р sin 9 sin ®
— р cos 9 sin ср —р sin 9 cos <р р cos 9 cos <p — р sin 9 sin ®
Орcos 9
Орcos 9
= sin 9
= sin 9
— р cos 9 sin ср —р sin 9 cos <р рcos9cos® —рsin 9sin<р
— р cos 9 sin ср —р sin 9 cos <р рcos9cos® —рsin 9sin<р
+ pcos 9
+ pcos 9
cos 9 cos cp cos 9 sin ®
cos 9 cos cp cos 9 sin ®
— p cos 9 sin <p p cos 9 cos ®
— p cos 9 sin <p p cos 9 cos ®
= p2 cos 9 sin2 9 -J- p2 cos3 9 = p2 cos 9.
В данной полосе якобиан отображения (4) неотрицателен и обращается в нуль лишь на границе полосы.
Применяя формулу замены переменных в тройном интеграле к отображению (4), получим:
$f (х, у, z) dxdydz—^f (р cos 6 cos <р, р cos 9 sin <р, р sin 6) ра cos 9 dp d<p d^, (5) vг
где T— область пространства p<?9, образом которой является область V.
Эта формула называется формулой перехода в тройном интеграле от декартовых к сферическим координатам.Z
Рис. 414.Рис. 414.V сверху, запишется в виде;V сверху, запишется в виде;При вычислении тройного интеграла в сферических координатах можно пользоваться чертежом области V в пространстве XYZ и геометрическим смыслом сферических координат.
Рис. 414.
Рис. 414.
V сверху, запишется в виде;
V сверху, запишется в виде;
Пример. Вычислить массу полушара V радиуса R, если плотность распределения массы в каждой его точке пропорциональна расстоянию точки от некоторой фиксированной точки О на границе основания полушара.
Выберем начало координат в точке О, а плоскость XOY в плоскости полушара так, чтобы центр шара лежал на оси ОУ (рис. 414).
Тогда уравнение поверхности, ограничивающей тело
х3+у3 + г3 = 2^у,
плотность распределения массы определяется формулой (л = k J^x2 4-у2 + z2,
а значит, определение массы полушара сведется к вычислению интеграла
т = к \\\ Vх2 4-у2 4-z2 dx dy da.
Применяя формулу (5), получим:
4k™R454k™R45х 22ficos6sinp
4k™R4
5
4k™R4
5
т = к С У С р • р2 cos 6 dp dm dO = к ^ dm ^ cos 0 d9 J p3 dp " j "000
Раздел 5
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА(ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ)
§ 19. Определение поверхностного интеграла первого рода
Поверхностный интеграл первого рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла, каким криволинейный интеграл первого рода является по отношению к определенному интегралу.
Пусть S — квадрируемая1) поверхность в пространстве XYZ, а F (х, у, z)— функция, определенная в точках этой поверхности. Разобьем поверхность S произвольно на п Частей Д£ь Д52, .^., Ь8п, не имеющих общих внутренних точек. На каждой поверхности Д5; выберем точку
*) В данном разделе всюду будут рассматриваться только квадрируемые т. е. имеющие определенную площадь, поверхности и их части.
М; (^, цг, ^ (рис. 415). Значение функции F(x, у, г) в точке М, умножим на площадь Д5г поверхности Д5г:
F^b 4г У^У
и сложим все полученные произведения. Сумма
2^, ць ^^Si
называется интегральной суммой для функции F (х, у, z) по поверхности S. Для данной функции F (х, у, z) можно составить бесчисленное множество интегральных сумм по поверхности S.
Если при стремлении к нулю шага X ) поверхности существует предел интегральных сумм, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода от функции F (х, у, z) по поверхности S и обозначается символом
^Е(х, у, z^dS. s
Таким образом,
^Е(х, у, z)dS —
S
еслиеслиэтот предел существует.этот предел существует.Из определения предела следует, что интеграл ^ F (х, у, z)dS не sзависит от способа разбиения поверхности S на части и от выбора точек Mt на этих частях.Примечание. Поверхностные интегралы первого рода часто называются поверхностными интегралами по площади поверхности S в отличие от поверхностных интегралов второго рода (по координатам), которые будут рассматриваться ниже.Легко видеть, что поверхностные интегралы первого рода обладают следующими простейшими свойствами:^dS=S.S^kF (х, у, z) dS = k^F (х, у, г) dS, где к — число.Из определения предела следует, что интеграл ^ F (х, у, z)dS не sзависит от способа разбиения поверхности S на части и от выбора точек Mt на этих частях.Примечание. Поверхностные интегралы первого рода часто называются поверхностными интегралами по площади поверхности S в отличие от поверхностных интегралов второго рода (по координатам), которые будут рассматриваться ниже.Легко видеть, что поверхностные интегралы первого рода обладают следующими простейшими свойствами:^dS=S.S^kF (х, у, z) dS = k^F (х, у, г) dS, где к — число.ssssЭД[Л(*, У- ^-VF-^x, у, z^dS — ^F^x, у, z)dS-[-ЭД[Л(*, У- ^-VF-^x, у, z^dS — ^F^x, у, z)dS-[-ssss^F2 (х, у, г) dS. s^F2 (х, у, г) dS. sЕсли поверхность S разбита на части St и S.2, то ^Е(х, у, z) dS = ^F (х, у, z) dS + ^Е (х, у, z)dS.Если поверхность S разбита на части St и S.2, то ^Е(х, у, z) dS = ^F (х, у, z) dS + ^Е (х, у, z)dS.55S1S1ели Fi (х, у, z) s^F^x, у, z), тоели Fi (х, у, z) s^F^x, у, z), тоS2S2SS55 Fi (х, у, z^dS. s55 Fi (х, у, z^dS. s= lim У F^i, ^ У ДУ,x—*o Я
если
если
этот предел существует.
этот предел существует.
Из определения предела следует, что интеграл ^ F (х, у, z)dS не s
зависит от способа разбиения поверхности S на части и от выбора точек Mt на этих частях.
Примечание. Поверхностные интегралы первого рода часто называются поверхностными интегралами по площади поверхности S в отличие от поверхностных интегралов второго рода (по координатам), которые будут рассматриваться ниже.
Легко видеть, что поверхностные интегралы первого рода обладают следующими простейшими свойствами:
^dS=S.
S
^kF (х, у, z) dS = k^F (х, у, г) dS, где к — число.
Из определения предела следует, что интеграл ^ F (х, у, z)dS не s
зависит от способа разбиения поверхности S на части и от выбора точек Mt на этих частях.
Примечание. Поверхностные интегралы первого рода часто называются поверхностными интегралами по площади поверхности S в отличие от поверхностных интегралов второго рода (по координатам), которые будут рассматриваться ниже.
Легко видеть, что поверхностные интегралы первого рода обладают следующими простейшими свойствами:
^dS=S.
S
^kF (х, у, z) dS = k^F (х, у, г) dS, где к — число.
s
s
s
s
ЭД[Л(*, У- ^-VF-^x, у, z^dS — ^F^x, у, z)dS-[-
ЭД[Л(*, У- ^-VF-^x, у, z^dS — ^F^x, у, z)dS-[-
s
s
s
s
^F2 (х, у, г) dS. s
^F2 (х, у, г) dS. s
Если поверхность S разбита на части St и S.2, то ^Е(х, у, z) dS = ^F (х, у, z) dS + ^Е (х, у, z)dS.
Если поверхность S разбита на части St и S.2, то ^Е(х, у, z) dS = ^F (х, у, z) dS + ^Е (х, у, z)dS.
5
5
S1
S1
ели Fi (х, у, z) s^F^x, у, z), то
ели Fi (х, у, z) s^F^x, у, z), то
S2
S2
S
S
55 Fi (х, у, z^dS. s
55 Fi (х, у, z^dS. s
|^F(x, у, z)dS| ^^|'F(x, У’ zHdS. ss
Теорема о среднем. Если функция F (х, у, z) непрерывна на поверхности S'), то на этой поверхности существует точка (;, т;, С), такая, что
F (х, у, z)dS — F (Е, к], С) • S, s
где S — площадь поверхности.
При этом предполагается, что каждый из рассматриваемых в свойствах 1—6 интегралов существует.
Условия существования и вычисление поверхностных интегралов первого рода
Приведем простейшие достаточные условия существования поверхностного интеграла первого рода.
Рис. 416.Рис. 416.Теорема 1. Если поверхность S может быть задана уравнением г = Цх, у), где функция f (х, у) и ее частные производные [Х(х, у) и ^ (х, у) непрерывны в замкнутой ограниченной области а — проекции S на плоскость ХОУ, а функция F (х, у, г) непрерывна на поверхности S, то интеграл
Рис. 416.
Рис. 416.
^(х, у, z^dS s
существует.
К использованию этих условий, равно как и условий, получающихся из них перестановкой переменных х, у и z, сводится большинство практически встречающихся случаев.
Вычисление поверхностных интегралов первого рода обычно производится путем их сведения к двойным интегралам.
S на части и любого выбораS на части и любого выбораПусть функция F (х, у, г) непрерывна на поверхности S, удовлетворяющей условиям теоремы 1. Тогда для любого способа разбиения поверхности точек Mt на этих частях
S на части и любого выбора
S на части и любого выбора
lim^F^, ту, Q kS^^Ftx, у, z) dS.
x-° i—IS
Построим интегральные суммы специальным образом. А именно, разобьем область о плоскости ХОУ на части Да,, Да2, ..., До„, не имеющие общих внутренних точек. Обозначим через Д5г часть поверхности S, проектирующуюся на плоскость ХОУ в область Дс; (рис. 416). При этом поверхность S окажется разбитой на п частей: Д5ь Д521 ..., Д5п.
Площадь каждой части Д5г может быть найдена по формуле (см. § 11)
AS2 = и 1 + ^2 (х, у)+/;а(х, у) dxdy.Да.
Применяя к двойному интегралу теорему о среднем, получим:
д sf=к 1+^ &, ^)+/;а &, iqj ^ь
где Р^, ^li) — некоторая точка области До..
Обозначим через М{ точку поверхности Д5г с координатами (^, т];, у, ^ = 1^, т]г), и составим интегральную сумму для интеграла от функции F (х, у, г) по поверхности S, соответствующую произведенному разбиению поверхности S на части и выбранным точкам УИ,, Z= 1, 2, ..., п, на этих частях.
По доказанному
IlF^, ^, Q^S^^F^,f^^l+f^^, ^-НуЧ^, чг)А<^.
i=ii=i
В правой части равенства имеем интегральную сумму для двойного интеграла от функции F (х, у, Цх, у)) - V 1-[-/^а(х, у) + /^2(х, у),
непрерывной в области о.
При стремлении к нулю шага разбиения области а шаг разбиения поверхности S (в силу непрерывности функций f'x (х, у) и fy (х, у)) также стремится к нулю. В пределе получаем формулу
^х* у, z)dS = §F(x, у, f (х, у)) /1 + fx\x, у) + fy’- (х, у) dxdy, (1)
выражающую интеграл по поверхности S через двойной интеграл по проекции поверхности S на плоскость XOY.
Примечание. Можно доказать, что интеграл по поверхности S существует и формула (1) имеет место также и в том случае, когда функции fx (х, у), fy (х, у) ограничены в области а и непрерывны всюду, кроме отдельных кусочно-гладких линий, а функция F(x, у, z) ограничена на поверхности S и непрерывна на ней всюду, кроме отдельных кусочно-гладких линий.
Рис. 417.Аналогично получаются фор
мулы, выражающие при соответствующих условиях интеграл по поверхности S через двойные интегралы по ее проекции на плоскости ZOX и YOZ.
При вычислении интегралов по поверхностям более сложного вида применяется предварительное разбиение этих поверхностей на части указанного вида.
Пример. Вычислим интеграл zdS по части поверхности конуса 2= Vх- -|-у3, 1 ^ 2 ^ 2 (рис. 417).
Поверхность S проектируется на плоскость XOY в область а, представляющую собой кольцо 1 ^ х2 4-у2 ^ 4. В этом кольце функции /(х, у) = у хи -(-^ fx (х, у) = = Х . f' (х, у) = ^непрерывны. Следовательно,
/х=+у2 ’ уК^+У2
т_
3 •
Некоторые приложения поверхностных интегралов первого рода
С помощью поверхностных интегралов первого рода можно определять массы, статические моменты, моменты инерции, координаты центров тяжести и тому подобные величины для материальных поверхностей с известной плотностью распределения массы *). Решение этих задач аналогично решению соответствующих задач для случая материальной кривой, материальной плоской и пространственной области.
Рассмотрим подробнее задачу о притяжении материальной точки материальной поверхностью S.
Как известно, по закону Ньютона материальная точка М (х, у, z) массы т притягивает материальную точку А (а, Ь, с) единичной массы с с силой, направленной от А к М и численно равной ^, где г=/(х— a)2-|-(z/— 6)2 + (z— с)2—расстояние АМ, а к коэффициент пропорциональности, зависящей от выбора основных единиц измерения. Так как направляющие косинусы вектора АМ равны —-—, —, ——, вектор силы имеет координаты
ктх аа, кт^^-, kmz~c.
Если точка А притягивается системой материальных точек Мх, М=, ..., Мп с массами тх, тг, ..., тп, то результирующая сила получается сложением отдельных сил притяжения. Проекции этой результирующей силы на координатные оси равны алгебраическим суммам проекций слагаемых.
Пусть теперь притягивающая масса т распределена непрерывным образом по поверхности S с плотностью распределения р. = р.(х, у, г\ Определим силу F {Р, Q, Р}, с которой эта материальная поверхность S притягивает единицу массы, помещенную в точку А (а, Ь, с), лежащую вне поверхности S.
Для решения поставленной задачи разобьем поверхность S на «частей Д5Ь Д5а, ..., ^Sn^, на каждой части Д5г выберем произвольную точку М^Ч,, т^, Q. Если диаметр поверхности Д5; мал, то плотность распределения массы в точках этой поверхности мало отличается от ее значения р(Ег, т];, сг) в точке М,. Массу тг поверхности Д5г естественно считать приближенно равной массе однородной поверхности Д5г с плотностью распределения p.(Ez, цг, Сг):
Чь QASZ.
Силу, с которой на материальную точку А действует поверхность Д5г, естественно считать приближенно равной силе, с которой на точку А действует масса т^ сосредоточенная в точке Мх. Ее проекции на оси координат соответственно равны:
5—।кт, ^i~c-1
riri
где
Г. = / & — С)2 + hi — ьу + (Сг — С)2,
или, если заменить массу mi ее приближенным значением,
W, Чь Q^pASz, ^Gb 11b У^Д5г, М^ь 1)ь У^рД5г,
*) Плотность распределения массы в точке М поверхности S определяется аналогично плоскому случаю.
Поверхности Д5Р Д5а, ..., Д$о не должны иметь общих внутренних точек.
При таких предположениях сила F оказывается приближенно равной силе, с которой на точку А действует фиктивная система из п материальных точек Мх, М^, .... Мп с массами ть тг, ..., тп, в сумме равными массе поверхности S, а значит, проекции Р, Q, R силы F на оси координат приближенно равны:
Пп
i=I‘i=l‘
п2^(У ^ Q-^ASZ.
Переходя к пределу при стремлении к нулю диаметров всех поверхностей деления, получаем точные значения проекции силы притяжения F на оси координат в виде поверхностных интегралов первого рода:
Р=УУ^(х, у, z)^dS, Q= f f М, У, zV-^dS,
Р=^кр.(х, у, z)^dS,
где r = V^x — a)2+(z/ — 6)2 + (z — c)2.
Раздел 6
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА(ПО КООРДИНАТАМ)
Поверхностные интегралы второго рода можно рассматривать как обобщение двойных интегралов, подобное тому, каким криволинейные интегралы второго рода являются по отношению к определенным интегралам. При изучении криволинейных интегралов второго рода рассматривалась направленная кривая, в соответствующих интегральных суммах значения функции в точках кривой умножались на взятые с определенным знаком длины проекций дуг деления на координатные оси. В двумерном случае понятие направленной кривой заменяется понятием стороны поверхности, а при составлении интегральных сумм значения функции в точках поверхности умножаются на взятые с определенным знаком площади проекций поверхностей деления на координатные плоскости.
Двухсторонние поверхности. Ориентация поверхности.
Возьмем на гладкой поверхности S1) произвольную точку М, проведем в этой точке нормаль к поверхности и выберем одно определенное направление нормали. Начнем теперь непрерывно перемещать точку М по замкнутому контуру, лежащему на поверхности S и не пересекающему ее границы, приписывая каждому из ее положений то из двух возможных направлений нормали, в которое непрерывно переходит исходное положение нормали2). В прежнее положение точка М вернется либо с тем же направлением нормали, что и исходное, либо с прямо противоположным направлением нормали (рис. 418).
Если на поверхности S есть хотя бы одна точка и хотя бы один не пересекающий границу поверхности контур, при обходе по которому
направление нормали в точке меняется на противоположное, то поверхность S называется односторонней. Примером такой поверхности может служить лист Мебиуса, модель которого изображена на рис. 419.
Если для любой точки поверхности S и любого замкнутого, не пересекающего границы поверхности S контура после обхода направление нормали не меняется, то поверхность называется двухсторонней, а совокупность всех точек поверхности с выбранными в них по непрерывности направлениями нормали называется стороной такой поверхности.
Рис. 418.
Для двухсторонней поверхности выбор направления нормали в одной ее точке определяет направления нормалей во всех точках поверхности, т. е. определяет сторону поверхности.
Примерами двухсторонних поверхностей могут служить любая плоскость, сфера, эллипсоид, параболоид, любая поверхность, задаваемая уравнением z = f(x, у), где Цх, у), fx^x, у) и fy(x, у) — функции, непрерывные в некоторой области а плоскости XOY и т. д. Данное выше
определение стороны поверхности полностью согласуется с интуитивным представлением о «верхней» и «нижней» сторонах поверхности z — f(x, у), о «внутренней» и «внешней» сторонах замкнутой поверхности, например сферы, эллипсоида и пр.
Пусть S — незамкнутая двухсторонняя поверхность, ограниченная контуром L, не имеющим точек самопересечения. Выберем определенную сторону поверхности. Будем называть положительным направлением обхода контура L то, при движении по которому по выбранной стороне поверхности сама поверхность остается слева (рис. 420).
Аналогично устанавливается положительное направление обхода для любого замкнутого контура (без точек самопересечения), лежащего на поверхности S. Направление обхода контура, противоположное положительному, называется отрицательным.
Двухсторонняя поверхность с установленным на ней таким образом положительным направлением обхода контуров называется ориентированной поверхностью. Если изменить сторону поверхности, то положительные и отрицательные направления обхода контуров поменяются ро
лями («поверхность изменит свою ориентацию»). Таким образом, выбор стороны поверхности определяет ее ориентацию и, наоборот, выбор положительного направления обхода контура L, ограничивающего поверхность, однозначно определяет ее сторону.
Рассмотрим теперь кусочно-гладкую поверхность S, т. е. поверхность S, состоящую из любого числа т двухсторонних кусков Sb S2,..., Sm рассмотренного выше вида, соединенных между собой по некоторым «ребрам» (рис. 421). В точках этих ребер касательная плоскость и нормаль к поверхности S может не существовать, т. е. данное выше определение двухсторонней поверхности к поверхности S, вообще говоря, неприменимо. Дополним это определение. А именно, будем называть данную поверх
ность S двухсторонней, если на контурах каждого из кусков Sb S2,..., Sm можно так задать направления обхода, что общие части этих контуров («ребра») будут описываться во взаимно противоположных направлениях. Выбирая направления обхода контуров Sb S2, ...» Sm указанным образом, мы тем самым на каждом из кусков Si, S2, ..., Sm определим сторону поверхности. Сторона поверхности S определится как совокупность сторон ее частей.
Определение поверхностных интегралов второго рода(по координатам) и их простейшие свойства
Рассмотрим в пространстве XVZ двухстороннюю поверхность S, состоящую из конечного числа кусков, каждый из которых либо задан уравнением вида z = f(x, у), либо является цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси 0Z1). Пусть R(x, у, z)— функция, определенная в точках поверхности S. Выберем определенную сторону поверхности S. Затем раз®бьем поверхность S на п частей ASb Д52, „., Д5„,
^ Предполагается, что эти цилиндрические куски поверхности на плоскость XOY проектируются в кусочно-гладкие кривые.
не имеющих общих внутренних точек и таких, что каждая часть Д5г целиком умещается на одном из указанных выше кусков поверхности S. Обозначим через (AS^ площадь проекции на плоскость АОУ поверхности деления Д5,-, взятую со знаком плюс, если на AS,- выбранная
сторона поверхности направлена в сторону возрастания z (иначе, если в точках AS,- выбранные направления нормалей составляют острые углы с осью 0Z), и со знаком минус, если на AS,- выбранная сторона поверхности направлена в сторону убывания z (выбранные направления нормалей в точках AS,- составляют тупые углы с осью OZ) (рис. 422). Если
поверхность деления лежит на цилиндрическом куске поверхности S с образующими, параллельными оси 0Z, то проекция ASZ на плоскость XOY
представляет собой дугу кривой, так что вопрос о знаке (ASZ)X1, в этом случае отпадает, (Д5г)^ = 0.
Возьмем на каждой части ASZ поверхности S произвольно точку МЦ ^ь т],-, ^,) и умножим значение функции R(x, у. z) в точке М, на (ASZ)^:
R^b Ъь Wi),y
Сумма всех таких произведений
^R^b 4.» ^i)№xy
называется интегральной суммой для функции R (х, у, z) по поверхности S по переменным х и у. Естественно, что таких сумм для заданной на поверхности S функции R(x, у, z) можно составить бесчисленное множество.
Если при стремлении к нулю шага разбиения X поверхности S интегральные суммы имеют предел ), то этот предел называют поверхностным интегралом, (второго рода) по выбранной стороне поверхности S от функции R(x, у, г) по переменным х и у и обозначают символом
$-R(x, у, z)dxdy.(1)
Так как символ (1) не содержит указания на сторону поверхности S, ее приходится задавать дополнительно. Таким образом,
у, z) dxdy^Um^R^, i]z, ^^Si),,, sа-*° i=l
если этот предел существует.
Аналогичным образом (при соответствующих условиях на вид поверхности S) определяются поверхностные интегралы второго рода по выбранной стороне поверхности S по переменным у и z (z и х) от функции Р (х, у, z) (Q(x, у, г)), определенной на поверхности S:
SV^’ U- ^) dy dz = \im^lP (^ь ць с£)(Д5^,г,(2)
уX—О Z=1
^Q(x, у» г) dzdx=\im ^Q^i, ц,-, Сг)(Д5г)^(3)
SХ—0 Z=1
Если поверхность S такова, что для функций Р (х, у, z), Q(x, у, z) и R(x, у, z), определенных в ее точках, существуют интегралы (1), (2) и (3), то можно ввести поверхностный интеграл «общего» вида по выбранной стороне поверхности:
55 Р (х, у, z) dy dz-^-Q (х, у, z^dzdx-\-R (х, у, z) dx dy. s
Он определяется равенством
^Р(я, у, z)dy dz-^Q^x, у, z) dz dx + R (x, y, z)dxdy = s
= ^P(x, y, z^dydz-V^Qtx, y, z) dzdx + 55R(x, y, z)dxdy. (4) sss
К вычислению поверхностных интегралов второго рода приводит, например, решение так называемой задачи о потоке векторного поля.
Если в каждой точке М (х, у, z) пространства XYZ (или некоторой его области) задан вектор скорости а = Р(х, у, z)i-{-Q(x, у, г^уЦ- -\-R(x, у, z^k проходящих через эту точку частиц движущейся жидкости *), то количество жидкости, протекающее за единицу времени через поверхность S (в выбранную сторону), равна интегралу
^Р(х, у, z)dydz-\-Q(x, у, z) dz dx + R (x, у, z)dxdy s
по выбранной стороне поверхности S.
Решение этой задачи в данном курсе не рассматривается, она обычно подробно изучается в теории поля.
Из определения поверхностных интегралов второго рода вытекают следующие их свойства).
Любой поверхностный интеграл (второго рода) изменяет знак при перемене стороны поверхности.
Постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного интеграла:
55 к Р dy dz = k 55 Р dy dz, s
§kQdzdx — k§Qdz dx, ss
§kRdxdy = k§Rdx dy, ss
где к — любое число.
Поверхностный интеграл от суммы двух функций равен сумме соответствующих интегралов от слагаемых:
55 (Pi + Р$) dy dz = 55 pi dy dz + 55 р» dy dz,sss
55 № + Q^ dz dx = 55 Qi dz dx -ф- 55 Qa dz dx, sss
55 (Pi + R») dx dy = 55 Rt dx dy -ф- 55 Ri dx dy. sss
Если поверхность S разбита на части Si и S2, то интеграл по всей поверхности S равен сумме интегралов по ее частям:
S Si Sg
*) Жидкость предполагается несжимаемой (имеющей постоянную плотность) в рассматриваемой области.
Если S — цилиндрическая дельными оси 0Z, то
S$№ У’ S
Если S — цилиндрическая дельными оси ОХ, то
S^P(x, у,
S
Если S — цилиндрическая дельными оси 0Y, то
^Q(x, у,
S
поверхность с образующими, парал- z) dxdy = 0.
поверхность с образующими, парал- z) dydz = 0.
поверхность с образующими, парал- z')dzdx=0.
§ 24. Существование и вычислениеповерхностных интегралов второго рода
Пусть S—двухсторонняя поверхность, заданная уравнением z=f(x, у), где /(х, у) — непрерывная функция в замкнутой области о — проекции поверхности S на плоскость XOY *), a R(x, у, г) — непрерывная функция на поверхности S. Выберем верхнюю сторону поверхности S.
Разобьем поверхность S сетью кусочно-гладких линий на п частей Д5Ь AS2, ..., ASrt. Проекциями этих линий на плоскость XOY область а разобьется на п областей, обозначим их соответственно Да;, Да2, ..., Да„ (рис. 423). Возьмем на каждой части Д5г произвольную точку М{ (сг, ц,-, С,) и составим интегральную сумму п ^R^b 4b ^^xv. i=l
Так как сторона поверхности выбрана верхняя, то (Д5г)лу = = Даг), а значит
^R^b Ы^)ху:= i=l
= 2№, Ч, f^b ^^ь <=!
В правой части равенства имеем интегральную сумму для двойного интеграла от непрерывной функции R(x, у, f(x, у)) по области а.
При стремлении к нулю шага разбиения поверхности S шаг разбиения области а также стремится к нулю. В пределе получаем формулу
^Я(х, у, z^dxdy = ^R^x, у, f (х, y))dxdy,(1)
Sа
выражающую интеграл по верхней стороне поверхности S по переменным х и у через двойной интеграл по ее проекции на плоскость XOY.
Примечание. Интегрирование по нижней стороне поверхности S сводится к интегрированию по верхней стороне после перемены знака перед интегралом.
*) Предполагается, что область а квадрируема.
Аналогичным образом устанавливается справедливость формул:
(2)(2)^Р(х, у, z)dgdz = §P (f (у, z), у, z)dydz SG
(2)
(2)
для функции P (x, g, z), непрерывной на двухсторонней поверхности S, заданной уравнением x=f(g, z^a — проекция поверхности S на плоскость YOZ, сторона поверхности S направлена в сторону роста х), и
(3)(3)^Q(x> У, 2)dzdx = ^Q(x, Цх, z), z)dzdx SG
(3)
(3)
для функции Q(x, у, z), непрерывной на двухсторонней поверхности S, заданной уравнением у = Цх, z) (а— проекция поверхности S на плоскость ZOX, сторона поверхности S направлена в сторону роста
ггпеременной yW Формулы (1), (2), (3) применяются при вычислении соответствующих поверхностных интегралов, а предложенный вывод этих формул дает одновременно доказательство существования рассматриваемых интегралов.
г
г
Рис. 424.Рис. 424.Пример 1. Вычислить интеграл ^J (z — R^dx dy по верхней стороне полусферы x2+y2+z2 = 2/?z, R^z^2R (рис. 424).Данную поверхность S можно задать уравнением z = R -|- ]/R3— х2—у4. Поэтому по формуле (1) имеем:Пример 1. Вычислить интеграл ^J (z — R^dx dy по верхней стороне полусферы x2+y2+z2 = 2/?z, R^z^2R (рис. 424).Данную поверхность S можно задать уравнением z = R -|- ]/R3— х2—у4. Поэтому по формуле (1) имеем:Рис. 425.
Рис. 424.
Рис. 424.
Пример 1. Вычислить интеграл ^J (z — R^dx dy по верхней стороне полусферы x2+y2+z2 = 2/?z, R^z^2R (рис. 424).
Данную поверхность S можно задать уравнением z = R -|- ]/R3— х2—у4. Поэтому по формуле (1) имеем:
Пример 1. Вычислить интеграл ^J (z — R^dx dy по верхней стороне полусферы x2+y2+z2 = 2/?z, R^z^2R (рис. 424).
Данную поверхность S можно задать уравнением z = R -|- ]/R3— х2—у4. Поэтому по формуле (1) имеем:
12 — x2 — y2) dx dy.
где а—круг х2+у2^/?2 плоскости XOY, в который проектируется поверхность S. Вычисляя двойной интеграл, получим:
SSе ое оР ) Р^Р = -2~'Р ) Р^Р = -2~'„R
S
S
е о
е о
Р ) Р^Р = -2~'
Р ) Р^Р = -2~'
Пример 2. Вычислить интеграл ЭД х dy dz -{-у dz dx -\-z dx dy по верхней стороне части плоскости х 4-2z = 2, лежащей в первом октанте, и отсекаемой плоскостью у = 4 (рис. 425).
По определению
При этомПри этомz dx dy.
При этом
При этом
41
х dy dz = ЭД (2 — 2z) dy dz = 2 ^ dy ^ (1 — z) dz = 4<71U G
*) Функция / предполагается непрерывной в замкнутой квадрируемой области а.
по формуле (2),
^у rfzdz = 0,
так как плоскость S параллельна оси ОУ,
У У z dxdy по формуле (1).
Следовательно,
та
42
dx dy = t dy \
dx = +-4
области —области —Рис. 426.Рис. 426.
области —
области —
Рис. 426.
Рис. 426.
Если двухстороннюю поверхность S можно разбить на конечное число кусков, каждый из которых либо задается уравнением вида z = f (х, у), где /(х, у) —функция, непрерывная в замкнутой квадрируемой
проекции соответствующего куска поверхности S на плоскость X0Y, либо является цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ, то интеграл по выбранной (любой) стороне поверхности S от непрерывной на поверхности функции R(x, у, z):
^R(x, у, z)dxdy s
существует и равен алгебраической сумме двойных интегралов по проекциям указанных кусков поверхности S вида z = f(x, у) на плоскость ХОУ1).
Справедливость этого утверждения вытекает из проведенного при выводе формулы (1) доказательства и свойств поверхностных интегралов. Аналогичные утверждения имеют место для интегралов вида
^Р (х, у, z) dy dz и ^ Q (х, у, z) dz dx.
s s
Пример. Вычислить интеграл ^J x2dy dz -{- z2dx dy по нижней стороне части конуса x2-|-y2 = z2, O^z^l (рис. 426).
По определению
z2dx dy.
Так как поверхность S задается уравнениями х = ± у г2— у2, то для вычисления интеграла и x2dy dz разбиваем ее плоскостью YOZ на две части: S, {х =
= -\-Уг2—у2} и S3{x =—Vz2—у2}. При этом
x2dy dz = tt x2dy dz -|- tt x2dy dz.
Проектируя Sj и S3 на плоскость YOZ в треугольник а (рис. 426), по формуле (2) получаем:
x-dydz = ^ (jY z2—у?у dy dz — ^(— V z2—y^dy dz = 0.
*) По каждому цилиндрическому куску S с образующими, параллельными оси OZ, интеграл R (х, у, z) dx dy равен нулю.
В случае, если поверхность S может быть задана уравнениемВ случае, если поверхность S может быть задана уравнениемграфа.графа.Доказательство формулы (4)Доказательство формулы (4)и ее частные производные ь (х, у) и fy (х, у) непрерывны в замкнутой квадрируемой области a — проекции поверхности S на плоскость X0Y, а функции Р (х, у, z), Q(x, у, z) и R (х, у, z) непрерывны на поверхности S, имеетместоследующаяформула:55 Р dy dz -{- Q dz dx -}- R dx dy = s= $$ (— Pp~ qQ-vR^dxdy, (4) dz dzгде p = g = ^, выражающая поверхностный интеграл общего вида по верхней стороне поверхности S через двойной интеграл по проекции поверхности S па плоскость X0Y.и ее частные производные ь (х, у) и fy (х, у) непрерывны в замкнутой квадрируемой области a — проекции поверхности S на плоскость X0Y, а функции Р (х, у, z), Q(x, у, z) и R (х, у, z) непрерывны на поверхности S, имеетместоследующаяформула:55 Р dy dz -{- Q dz dx -}- R dx dy = s= $$ (— Pp~ qQ-vR^dxdy, (4) dz dzгде p = g = ^, выражающая поверхностный интеграл общего вида по верхней стороне поверхности S через двойной интеграл по проекции поверхности S па плоскость X0Y.приведено в конце следующего параприведено в конце следующего пара
В случае, если поверхность S может быть задана уравнением
В случае, если поверхность S может быть задана уравнением
графа.
графа.
Доказательство формулы (4)
Доказательство формулы (4)
и ее частные производные ь (х, у) и fy (х, у) непрерывны в замкнутой квадрируемой области a — проекции поверхности S на плоскость X0Y, а функции Р (х, у, z), Q(x, у, z) и R (х, у, z) непрерывны на поверхности S, имеетместоследующаяформула:
55 Р dy dz -{- Q dz dx -}- R dx dy = s
= $$ (— Pp~ qQ-vR^dxdy, (4) dz dz
где p = g = ^, выражающая поверхностный интеграл общего вида по верхней стороне поверхности S через двойной интеграл по проекции поверхности S па плоскость X0Y.
и ее частные производные ь (х, у) и fy (х, у) непрерывны в замкнутой квадрируемой области a — проекции поверхности S на плоскость X0Y, а функции Р (х, у, z), Q(x, у, z) и R (х, у, z) непрерывны на поверхности S, имеетместоследующаяформула:
55 Р dy dz -{- Q dz dx -}- R dx dy = s
= $$ (— Pp~ qQ-vR^dxdy, (4) dz dz
где p = g = ^, выражающая поверхностный интеграл общего вида по верхней стороне поверхности S через двойной интеграл по проекции поверхности S па плоскость X0Y.
приведено в конце следующего пара
приведено в конце следующего пара
Примечание. Знак минус перед вторым интегралом появляется в результате перемены стороны поверхности
Вычислим теперь интеграл ^J z-dx dy по нижней стороне поверхности S. Так как поверхность S можно задать уравнением z = V х--\-у'-, то, меняя сторону поверхности и применяя формулу (1), получаем:
2s 1
z-dx dy = — J У (х2 + у2) dx dy = — J d^ ^ р3йр =-^
sa'oo
(здесь s'— проекция S на плоскость XOY).
x^dy dz -|- z-dx dy =.
Пример. Вычислить интеграл 55 — х dy dz -\- z dz dx -\- Mx dy по верхней стороне лежащей в первом октанте части плоскости 2х-|-Зу-|-z = 6 (рис. 427).
Так как для поверхности S
z = 6 — 2х — Зу, р = — 2, q = — 3,
то по формуле (4) подучаем:
5j — х dy dz -|- z dz dx + 5dx dy = 55 [2x — 3 (6 — 2x — 3y) -|- 5] dx dy =
= 55 (8x -|- 9y — 13) dx dy,
где a — проекция S на плоскость XOY Вычисляя двойной интеграл, находим:
6 -2л з з
5J—х dy dz -}- z dz dx + Mx dy = 5 dx (8x-|-9y—13) dy — з
= С(_™,= +58,_з)<,, = 3.J \ d d /
0
Аналогично применяются формулы, получаемые из формулы (4) переменой ролей переменных х, у и z.
§ 25. Связь между поверхностными интеграламипервого и второго рода
Пусть S — поверхность, заданная уравнением z = f(x, у), где функции f (х, у), fy(x, у), f'y(x, у) непрерывны в замкнутой квадрируемой области а — проекции поверхности 3 на плоскость XOY, а функция R (х, У, 2) — непрерывная на поверхности S. Выберем верхнюю сторону поверхности S.
Разобьем поверхность S сетью кусочно-гладких кривых на п частей ДЗЬ Д32, ..., Д5П. Проекциями этих линий область а разобьется на части, обозначенные соответственно Да,, До8, ..., Да„.
При этом
д5« = W 1 + Г (^ У) -г Г (х- У) dx ЙУ = Дет.
где Pt (li, цг) — некоторая точка области До;.
Обозначим через М^ь тц, (,), ^=1^^ ту), точку поверхности Д3;, соответствующую точке Р^ а через уг — острый угол, образованный нормалью к поверхности S в точке М{ с осью OZ. Тогда
Д5: = —-—Да-, Да-= cos тгД5-.
Составляя интегральную сумму для поверхностного интеграла второго рода по верхней стороне поверхности S, получим:
пп
^R^, ^, Ъ)№ху= 2 R^, -qi, Уд=.= «=1j=i
= S R^i. -qt, У cos т,Д£г.
i = I n
Сумма ^R^i, "qt, Усо$тгДаг является интегральной суммой для инте- i = i
грала первого рода по поверхности S от функции R (х, у, z) cos 7 [7 — угол, составляемый с осью 0Z нормалью в текущей точке М (х, у, z) к поверхности S в выбранную сторону поверхности].
При стремлении шага разбиения к нулю в пределе будем иметь
^/?(х. У, z)dx dy = ^R(x, у, z) cos 7^S.(1)
ss
Если рассматривается нижняя сторона поверхности S, то ^St)xy = = — Даг = cos 7;ДЗ,-, где через т, обозначен тупой угол, составляемый нормалью в точке М{ к ДЗг с осью 0Z.
Производя аналогичные рассуждения, получаем снова формулу (1):
55 R (х, у, z) dx dy — ^R (х, у, z) cos 7 dS ss
(7 — угол, составляемый с осью 0Z нормалью к поверхности S в выбранную сторону поверхности).
Если поверхность S — цилиндрическая с образующими, параллельными оси OZ, то формула (1) также имеет место, так как
55 R(x, у, z)dxdy = 0 и cos 7 = 0 s
(7 = ±у — угол, составляемый нормалью к поверхности S с осью OZ^. Если поверхность S состоит из конечного числа кусков указанного
вида, то, складывая левые и правые части равенств (1), составленных для ее кусков, получаем формулу
55 7? (х, у, z) dx dy=^R (х, у, z) cos 7 dS, ss
где 7 — угол, составляемый с осью OZ нормалью в текущей точке (х, у, г) к поверхности S в выбранную сторону поверхности.
Аналогичные формулы при соответствующих условиях имеют место для двух других типов поверхностных интегралов. Суммируя их, получаем формулу для поверхностного интеграла общего вида:
^ Р dy dz -^ Q dz dx -\- R dx dy = ^ (Р cos а. Q cos ^ 4- R cos 7) dS. (2) ss
Здесь cos a, cos p, cos 7 — направляющие косинусы нормали к поверхности S в выбранную (для интеграла слева) сторону поверхности.
Используя связь между поверхностными интегралами первого и второго рода, легко установить справедливость приведенной в конце предыдущего параграфа формулы (4):
55 Р dy dz -|- Q dz dx -|- R dx dy = 55 (—pP— qQ + R) dx dy, sa
выражающей поверхностный интеграл второго рода по верхней стороне поверхности S(2 = /(x, у)} через двойной интеграл по проекции этой поверхности на плоскость ХОУ.
Действительно, так как рассматривается верхняя сторона поверхности S, то направляющие косинусы нормали к поверхности в выбранную сторону соответственно равны:
— Р-—+ 1
COS а = •■ ,COS В = —■ ,COS 7 = —Л
V X^p^q^yx^p^q»/1+д2 + ?2
(см. гл. VII, § 7). Здесь p=fx<x,y\ q—fy(x,y).
При этом по формуле (2)
Выражая поверхностный интеграл первого рода через двойной интеграл по области a — проекции поверхности S на плоскость XOY (см. (1), § 20), получим требуемое равенство:
55 Р dy dz + Q dz dx + R dx dy = 55 (— Pp — 4Q + 7?)dx dy.
Sо
§ 25. Формула Гаусса — Остроградского
Формула Гаусса — Остроградского является аналогом формулы Грина — Остроградского. В то время как формула Грина — Остроградского связывает криволинейный интеграл второго рода по замкнутой
кривой с двойным интегралом покривой с двойным интегралом по:ой области, ограниченной этой кривой, формула Гаусса—Остроградского устанавливает связь между поверхностным интегралом (второго рода) по замкнутой поверхности и тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.
кривой с двойным интегралом по
кривой с двойным интегралом по
Рассмотрим пространственную область V, ограниченную снизу и сверху поверхностями S, и S2, заданными уравнениями z = h^x, у), z = H^x, у) [h(x, у) и Н (х, у) — непрерывные функции, h^x, у)^ ^Н(х, у)], сбоку — цилиндрической поверхностью S3, образующие которой параллельны оси OZ.
Предположим, что эта область V на плоскость XOY проектируется в квадрируемую область а (рис. 428). Пусть функция R(x, у, z) и ее частная производная непрерывны в замкнутой области V.
Тогда существует тройной интеграл С f Г 8R (х, у, z^ ^^у^г, причем
Н (х, .у)
У У Уdx dy dz = у У dx dy У -^^^-^- дг =
Vah{x, j)
= ^ R (x, у, H (x, y)) dx dy — ^ R (x, y, h (x, y)) dx dy.
Двойной интеграл $^(x’ У* И Vх» y^dxdy может быть заменен равным ему поверхностным интегралом ^^(х> У* z)dxdy по верхней стороне $2 поверхности Sa [см. (1), § 24].
Аналогично интеграл ЭД R(x, у, h^x, y^dxdy может быть заменен равным ему интегралом ЭД R (х, у, z) dx dy по верхней стороне поверх- 51 НОСТИ S1.
Следовательно,
У ^ у dRj^xXiJL dxdydz = ^ R (х, у, z)dxdy — у у R (х, у, г) dxdy.
Меняя в интеграле по Si сторону поверхности и добавляя равный нулю интеграл ЭДR(x, у, z)dxdy по «внешней» стороне поверхности S3, получим:.
S8
^^д^' ^ ^х dy dz = У У R dx dy -}-
-|- ЭД 7? dx dy -|- ЭД 7? dx dy = ^R dx, dy.Sis8s
где S — поверхность, ограничивающая область V. Интегрирование ведется по внешней стороне поверхности S.
Таким образом,
(1)(1)УУУ а/?(У’ 2) dxdydz=^R(x, у, z^dxdy. v
(1)
(1)
Формула (1) выведена для областей специального вида. Легко видеть, что формула остается справедливой для любой области V, которую можно разбить на конечное число областей рассмотренного выше вида. Применяя к каждой из областей деления формулу (1) и складывая результаты, получим слева тройной интеграл по всей области V, а справа — поверхностный интеграл по внешней стороне поверхности S, ограничивающей область V, так как интегралы по дополнительным «перегородкам» берутся по противоположным сторонам и взаимно уничтожаются.
Аналогичным образом (при соответствующих условиях) выводятся формулы:
У У У ^^Z’ 2) dxdydz= ^ Р (х, у, г) dydz,(2)
У У У ®2А^л^1А, dxdy dz — у У Q (х, у, z) dz dx.(3)
Складывая формулы (1), (2), (3) ), приходим к так называемой формуле Гаусса — Остроградского:
Она выражает поверхностный интеграл общего вида по внешней стороне замкнутой поверхности S через тройной интеграл по трехмерной области V, ограниченной этой поверхностью (рис. 429).
Рассмотренные выше формулы (1), (2) и (3) являются ее частными случаями.
Формулу Гаусса — Остроградского можно использовать для вычисле-
Рис. 429.Рис. 429.ния поверхностных интегралов по замкнутым поверхностям.
Рис. 429.
Рис. 429.
Пример. Вычислить интеграл ^x3dy dz -\-yzdz dx -|- zzdx dy по внешней сто- s роне сферы x--\-y2-\-z2 = R-.
Применяя формулу Гаусса — Остроградского, получаем:
5J x^dy dz -\-y^dz dx + z'dx dy =
= 555 (3л:2 -|- 3y= + 3z2) dx dy dz =
2п УR
= 3 V d$ 1 cos 6 d6 I p4 dp = —^—.
6_ £0
2
В качестве одного из применений формулы Гаусса — Остроградского рассмотрим задачу о вычислении объема тела с помощью поверхностного интеграла по внешней стороне поверхности, ограничивающей это тело.
Действительно, если область V имеет указанную выше форму, то, полагая
Р (х, у, z^ = x, Q(x, у, z)=0, R^X, у, Z) = О, по формуле Гаусса — Остроградского находим:
55 xdy dz = 555 dx dy dz = V.
SV
Меняя ролями x, у, z, получим также, что §ydzdx = V, ^zdxdy=V.
ss
Таким образом, имеют место формулы:
V = ^xdydz, V = ^у dzdx, V = §zdxdy,sss
выражающие объем тела через интеграл по внешней стороне его поверхности.
Взяв функции Р (х, у, z)=yX, Q(x, у, z) =-^-у, R (х, у, z) = ^ z, получим формулу, выражающую объем тела через поверхностный интеграл общего вида:
V =V =dx-\-zdxdy.dx-\-zdxdy.-^ у у х dy dz -[- у dzs
V =
V =
dx-\-zdxdy.
dx-\-zdxdy.
§ 27. Формула Стокса
Формула Стокса устанавливает связь между криволинейным и поверхностным интегралами (второго рода).
непрерывны в замкнутой квадрируемой кость XOY, L — кусочно-гладкий контурнепрерывны в замкнутой квадрируемой кость XOY, L — кусочно-гладкий контурПусть S — поверхность, заданная уравнением z — Цх» у), где функции Дх, у), ^(х, у), (Дх, у)"
непрерывны в замкнутой квадрируемой кость XOY, L — кусочно-гладкий контур
непрерывны в замкнутой квадрируемой кость XOY, L — кусочно-гладкий контур
Рис. 430.Рис. 430.области а — проекции S на пло< поверхности S, a I — его проекция на плоскость XOY (/ — контур области а) (рис. 430). Выберем на поверхности S определенную сторону, например верхнюю, и установим, соответственно положительное направление обхода контура L (см. § 22).
Рис. 430.
Рис. 430.
Пусть х = х^, y = y(t), ар, — параметрические
уравнения контура I области а, причем изменению параметра t от а к р соответствует положительное направление обхода контура /).
Тогда уравнения х = х(/), у = у^, г = Цх(Д, у^, т. е. г = г(/), а^/^р, будут параметрическими уравнениями контура L, причем изменению параметра t от а к р будет соответствовать также положительное направление обхода контура L.
Предположим, что функции Р(х, у, z), Q(x, у, z), R(x, у, z) непрерывны на поверхности S вместе со своими частными производными первого порядка.
Применяя формулу, выражающую криволинейный интеграл через определенный, получим:
Р (х, у, z)dx-{-Q(..^dy-irR(...) dz = L р
= pP(x(0, у(0,—
= ^Р(х^, У(П, f(x^, yV))*(t) + Q(...)!/(t)±
= SU^(^(O, У(П, 1Ш у^ДрРД.^х'^
+ [Q(...) + qR(--•)]у (0}dt= $[p(x, у, Дх, y)) +
+ pR (...)] dx + [Q(x, у, Дх, y^A-qRk-.-^dy, где
P=^. = fx(x, y), q = ^=fy(x, y).
По формуле Грина — Остроградского этот криволинейный интеграл может быть заменен равным ему двойным интегралом:
$${[<Ж у» f<x> уНчР^-У^-^р^, у, цх, у))-vpr(...)];}dxdy.
Так как
f^. -/М + ^С.-П.-^ + ^Р + Й^ + ^ге + ^Р'
[P(x, 8. Их, 9)) + pR(...)i;=^ + ^+|R + p^ + p^.
находим:
£ Pdx + Qdg + Rdz = J J[- p (| - ^ - ,(g - ^) + (g - ^)] dxdg. La
Интеграл в правой части равенства равен поверхностному интегралу общего вида по верхней стороне поверхности S [см. формулу (4) § 24]:
Ш
dRdQ\ ,, । jdPdRX, , . (dQdP\, ,
з}dy dz + з\dz dx 4-]dx dy.
dydz) J 1 \dzdx) ' \dxdy ]3
s
Таким образом, устанавливается следующее соотношение между криволинейным и поверхностным интегралами:
^Pdx + Qds + Rdx-W^-^dx + t^-^ LS
+(1)
1 \dx dy)3 ’' ’
Если переменить сторону поверхности S и соответственно изменить направление обхода контура L, то оба интеграла в соотношении (1) изменят знак. Отсюда следует, что соотношение (1) справедливо и в том случае, когда поверхностный интеграл берется по нижней стороне поверхности S, а криволинейный — по контуру L в положительном на выбранной стороне поверхности направлении.
Применяя свойства криволинейных и поверхностных интегралов, заключаем, что формула
^Pdx^-QdyA-Rd^^^-^dydz^-
L
. (дР дР\ , л t (dQ дР\ , л-Vkdi-d^)dzdx + Vd3c"-"^)dxd9
имеет место для любой незамкнутой, ограниченной контуром L поверхности S, состоящей из конечного числа поверхностей рассмотренного вида, а также для поверхностей, обладающих указанными свойствами,
*) При доказательстве этого соотношения для простоты предполагалось, что dpd~z dad2zdp da
-s—, t. e. 3—=-, и -4-, t. e. 3—5—, существуют и равны: -т- = -з-2-.
dy dx dy dx dydx J J r dy dx 578
нанаэтот контур. Сторона гэтот контур. Сторона гяв-яв-Рис. 431.Рис. 431.-И-Иху dx -Yy-dy -|- zdzху dx -Yy-dy -|- zdzх dx dy =х dx dy =x dx dy = Q.x dx dy = Q.
на
на
этот контур. Сторона г
этот контур. Сторона г
яв-
яв-
Рис. 431.
Рис. 431.
-И
-И
ху dx -Yy-dy -|- zdz
ху dx -Yy-dy -|- zdz
х dx dy =
х dx dy =
x dx dy = Q.
x dx dy = Q.
относительно других координатных плоскостей. Эта формула называется формулой Стокса. Она выражает криволинейный интеграл по контуру L
через интеграл по поверхности S, «натянутой» поверхности и направление обхода контура L взаимно определяют друг друга (см. § 22).
Частным случаем формулы Стокса (L — кривая в плоскости XOY, S — область пло-
скости XOY, ограниченная этой кривой) ляется формула Грина — Остроградского:
§Pdx^-Qdy=^ i^-^dxdy.
LS
Формулу Стокса можно использовать для вычисления криволинейных интегралов по замкнутым кусочно-гладким контурам.
Пример. Вычислим по формуле Стокса интеграл
ху dx +У2 ^У + 2 dz,
L
если L — окружность, заданная уравнениями лг2+у3=1, z=l, а в качестве поверхности S взят параболоид 2—z = х2 4-у2, натянутый на этот контур (рис. 431).
Выбрав на параболоиде верхнюю сторону поверхности, по формуле Стокса получим:
ГЛАВА X
РЯДЫ
Раздел 1
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Общие сведения
Если члены бесконечной числовой последовательности щ, и9 ип, ... соединить знаком +» то получится выражение
«1 -[- u2 -j-... + ип -[-...(1)
или сокращенно 2“«’ называемое числовым рядом. Числа щ, щ, .... п= I
ип, ... называются членами ряда, ип— общим членом ряда.
п
Назовем конечные с уммы Sn = щ + щ +... + ип = У, uk (п =
6=1
= 1, 2, 3, ...) частными или частичными суммами ряда.
Рассмотрим последовательность Sb S2,..., S„,... частных сумм ряда (1).
Ряд (1) называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм; сумма сходящегося ряда — предел последовательности его частных сумм.
Таким образом, по определению, если limS„ = S, то S — сумма ряда
и в этом случае записывают: S= 2 ип-
п= 1
Если же последовательность частных сумм ряда расходится, т. е. она или не имеет предела или ее предел равен бесконечности, то ряд называется расходящимся и ему не приписывают никакой суммы.
Пример 1. Ряд а -|- aq -|- aq- +... + Цп~1 +... называется рядом геометрической прогрессии со знаменателем q. Будем рассматривать случай, когда а^бО.
В этом случае
S„ = а + aq +... + aqn l = a —— = 1—
тогда:
а) при |g|cl Um S„ = p-^-^, т. e. ряд сходится и его сумма равна ° р^ = a4-aq + aq2 + ... + aqn-4-...,
,1
откуда, например, при а=1, 7= у, имеем:
2=1 +-g-+ 2= + ... + gn-i + •••;
в) при !д|>1 ряд расходится, так как lim Sn = со;
с) при 7=1 и 7 =— 1, получаем соответственно ряды:
а — a J- а — ... + (— 1 )л+1 а -}-...
Первый ряд расходится, так как Sn = an —<■ со. Второй ряд также расходится, так как
(а при п нечетном,” (О при п четном,
и, следовательно, последовательность {£„} не имеет предела.
Окончательно получаем, что ряд геометрической прогрессии сходится только ,а
при |7|<1 и его сумма равна
известно, возрастающая последовательность {xrt}, хп предел равен е:известно, возрастающая последовательность {xrt}, хп предел равен е:сходится и еесходится и ееПример 2. Ряд * + -^ + "з" + • • • + ^ + ••• называется гармоническим. Как /1
известно, возрастающая последовательность {xrt}, хп предел равен е:
известно, возрастающая последовательность {xrt}, хп предел равен е:
сходится и ее
сходится и ее
limlim= в,
lim
lim
при этом е >при этом е >откудаоткудаЛогарифмируя это неравенство, запишем:
при этом е >
при этом е >
откуда
откуда
п
-^- > 1п (п + 1) — In п.
Полагая я = 1, 2, ..., получаем:
у > In 3 — In 2
-i >1П4—1пЗ
^- > 1п (п + 1)— 1п п.
Сложив эти неравенства, получим:
S„>ln (»+1).
Следовательно, S„—-со, гармонический ряд расходится.
Заметим, что любую последовательность их, «а, ..., ип, ... можно рассматривать как последовательность частных сумм ряда
«1 -[- («а — Ui) -р («з — Wa) -[”••• + (un — un-i) 4~ • • •
Если последовательность {«„} сходится, то ее предел и есть сумма этого ряда.
Свойства рядов.
Сходимость или расходимость ряда не изменится (поведение ряда относительно сходимости не изменится), если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.
Это следует из того, что две последовательности, члены которых, начиная с некоторого, отличаются между собой на одно и то же число, ведут себя одинаково относительно сходимости, т. е. или обе сходятся, или обе расходятся.
Рассмотрим ряд Vun (для простоты записи пределы суммирования опускаем) и ряд, полученный умножением каждого члена ряда £ин на число с, т. е. ряд У,сип.
Теорема. Если ряд 2“п сходится и его сумма равна S, то и ряд 5с«п также сходится и его сумма равна cS.
Действительно, пусть S„ — частные суммы ряда 2ып, тогда S„—-S и, следовательно, cSn — cS, но cSn— частные суммы ряда ^сип, поэтому Цсип = с8.
Заметим: если ряд ^ип расходится, то и ряд ^сип, где с^О, также расходится. В самом деле, если допустить сходимость ряда ^сип и умножить его члены на у, то получится сходящийся ряд Цип, что противоречит условию.
Рассмотрим два ряда ^ип и 2уп- Ряды S(un —уп). полученные соответственно сложением и вычитанием членов этих рядов, имеющих одинаковые номера, или, что то же, полученные почленным сложением и вычитанием рядов 2 “п и 2 ип> называют соответственно суммой и разностью данных рядов.
Теорема. Если ряды 2ып и 2у« сходятся и их суммы соответственно равны S и а, то и ряд 2(ил + уп) сходится и его сумма равна S -[- а:
2(«п + Уп) = 2«п + 2у„-
В самом деле, пусть S„ и ап — частные суммы соответствующих рядов, тогда по условию Sn—>S, ап—>а и, следовательно, Sn + ап —► S-]-а. Учитывая, что S„ + o„— частные суммы ряда 2(un + yn)> получим:
2 (un + уп) = S -р а.
Таким образом, сумма двух сходящихся рядов является сходящимся рядом.
Разность двух СХОДЯЩИХСЯ рядов ^ип И 2уп есть РЯД сходящийся, так как ряд 2(“п— уп) является суммой двух сходящихся рядов ^ип и 2 — у„.
Сумма сходящегося и расходящегося ряда — расходящийся ряд. Действительно, пусть ряд 2un сходится, а ряд 2уп расходится. Тогда, допустив сходимость ряда 2(un + yn), получим, что ряд 2уп сходится [как разность двух сходящихся рядов 2(un + y«) и 2и«]> а это противоречит условию.
Общего утверждения относительно суммы двух расходящихся рядов сделать нельзя. В одних случаях сумма двух расходящихся рядов может быть сходящимся рядом, в других — расходящимся рядом.
При рассмотрении числовых рядов практически решаются две задачи: 1) исследовать, сходится или расходится ряд, другими словами, исследовать ряд на сходимость; 2) зная, что ряд сходится, найти его сумму.
Обе эти задачи не являются простыми. Как первая, так и вторая задачи практически не всегда выполнимы.
Учитывая, что любая частная сумма сходящегося ряда дает приближенное значение его суммы, на практике часто заменяют сумму ряда его частной суммой Sn. При этом производят оценку погрешности, происходящей от такой замены, точнее, оценивают разность Rn = S— Sn, называемую остатком ряда.
Мы будем решать главным образом первую задачу, т. е. будем исследовать ряд на сходимость.
Рассмотрим различные признаки сходимости рядов.
Критерий Коши. Сначала рассмотрим критерий Коши для последовательности, т. е. признак Коши, необходимый и достаточный для сходимости последовательности.
Для того чтобы числовая последовательность аь а2, ..., ап, ... была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого числа е^>0 существовал такой номер N, что при п> N и любом целом р^>0 выполнялось бы неравенство |а„+р— a„|<e.
Доказательство необходимости. Пусть ап-^а, тогда для любого числа е^>0 найдется такой номер N, что неравенство \а— <4 выполняется при п^> N. При n^N и любом целом р_>0 выполняется также неравенство
I “^n-t-рА \ "2~-
Учитывая оба неравенства, получаем:
I ^п+р “п I == I (^п+р“) ~Ь (&“п) I ^
I ап+р “ I I ° “n I "\ "2" Ч~ "2":= £>
следовательно, |ап+р— “пК£ при п>№ и любом целом р^>0, что и требовалось доказать.
Доказательство достаточности. По условию для любого числа е>0 существует натуральное число N такое, что при w>N и любом целом р>0 выполняется неравенство
I ап+р en I < 6 или, что то же, выполняются неравенства
“п — Е < о„+р < а„ + е.(2)
Возьмем ц = ДГ+1 и будем р давать последовательно значения, равные 1, 2, _ Тогда из неравенства (2) получим, что все члены последовательности, кроме, может быть, конечного числа их, принадлежат отрезку (ап—е, ап -|- е] длины 2а.
Таким образом, для каждого числа е>0 найдется отрезок длины 2е, которому принадлежат все члены последовательности, кроме, может быть, конечного числа их.
Пусть значения е образуют последовательность 1, ^-, Jj-, .„, —, ... Тогда для этой последовательности значений е определится соответствующая ей последовательность отрезков Д,, Д2, „., Д„, .„, длины которых стремятся к нулю (так как длина Д„ равна — L
Рассмотрим теперь последовательность отрезков Д', Д', .... Д^, .„ образованную по следующему закону: Д' = Др Д' — общая часть Д, и Д2, ..., Д„— общая часть Ди Д2, „., Д„ и т. д. (Д^ может выродиться в точку).
Последовательность {Д^} является последовательностью вложенных стягивающихся отрезков, обладающих тем свойством, что каждый из них содержит все члены последовательности, кроме, может быть, конечного числа их.
По лемме о вложенных стягивающихся отрезках существует точка, обозначим ее а, принадлежащая всем отрезкам. Нетрудно видеть, что число а и есть предел последовательности {ап}.
В самом деле, какую бы окрестность точки а ни взяли, в нее попадет, при некотором п, отрезок Д^, а следовательно, попадут все члены последовательности, кроме, может быть, конечного числа их.
Таким образом, Нтд„ = д, что и требовалось доказать.
Используя связь между числовыми последовательностями и числовыми рядами, можно сформулировать критерий Коши для ряда:
Для того чтобы ряд «, + «2-]-...-|-и„-]-... был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для любого числа е^>0 существовал такой номер N, что при u^>N и любом целом р>0 выполнялось бы неравенство
I “n+i + “п+а + - • • + “п+р I <С £
или, что то же, чтобы все достаточно далеко лежащие отрезки ’) этого ряда были по модулю как угодно малы.
Действительно, если применить доказанный критерий Коши для
*) Отрезком ряда называется сумма нескольких подряд взятых членов этого ряда.
последовательности к последовательности частных сумм ряда, а также учесть, что S„+p —S„ = «„+1 + «„+s + --- + “n+p, т° получим критерий Коши для ряда.
Следует иметь в виду, что пользоваться критерием Коши на практике обычно затруднительно, поэтому рассматривают более простые в смысле их практического приложения, но зато более «узкие» признаки сходимости рядов. Начнем их изучение с необходимых признаков сходимости рядов.
Необходимые признаки сходимости рядов
Если ряд ^ип сходится, то его общий член стремится к нулю:
—0.
Действительно, так как ряд 5Ы« сходится, то положив в критерии Коши р=\, получим: для любого е)>0 найдется N = N^, такое, что | w„+i |<^е при n~>N^, а это и означает, что ип —>0. Другое доказательство: по условию ряд £«п сходится, обозначим через S его сумму. Тогда Sn—>S и, следовательно, ип — 8п— Sn_x—.S— S = 0, ип — 0.
Заметим, что условие ип —>0 не является достаточным для сходимости ряда ^и^ как это легко видеть на примере гармонического ряда. Действительно, гармонический ряд ^ -^ расходится, хотя общий член ряда и„ = 1—0."=1
Таким образом, если общий член ряда 2ып не стремится к нулю, то ряд расходится. Если же обший член ряда стремится к нулю, то о сходимости ряда еще ничего сказать нельзя. В этом случае ряд нужно еще исследовать, применив другие признаки сходимости. Некоторые из них будут рассмотрены ниже.
Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.
Действительно, по определению сходящегося ряда последовательность его частных сумм имеет конечный предел, а значит, эта последовательность ограничена.
Заметим, что ограниченности последовательности частных сумм ряда еще недостаточно для сходимости ряда, так как ограниченности последовательности недостаточно для ее сходимости.
Например, ряд 1 — 1 -j- 1 — 1 -}-... + (—1)”+1 + --- расходится, так как последовательность его частных сумм {£„} расходится в силу того, что
( 0 при п четных,“1 1 при п нечетных.
Но последовательность частных сумм этого ряда ограничена, |S„K2 при любом п.
Ряды с неотрицательными членами
При изучении знакопостоянных- рядов достаточно рассмотреть ряды с положительными, точнее, с неотрицательными членами (в целях общности мы допускаем и существование членов, равных нулю). Действительно, ряды с отрицательными, точнее, с неположительными членами отличаются от соответствующих рядов с неотрицательными членами только множителем — 1, и вследствие этого такие ряды ведут себя одинаково относительно сходимости. Рассмотрим признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.
Теорема. Для сходимости ряда £ип с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены.
В самом деле, ограниченность частных сумм ряда является необхо-
димым условием сходимости любого ряда, и в частности, и ряда с неотрицательными членами.
Достаточность условия. Так как ряд £и„ имеет неотрицательные члены, то его частные суммы образуют неубывающую последовательность, Sn S„+1 при любом п.
По условию последовательность {£„} частных сумм ряда ^ип ограничена, а значит, по теореме о монотонных ограниченных последовательностях, она сходится, т. е. сходится ряд ^ип.
Например, ряд
2 + I2 "^ 22 + 23 + 2^+^ 4* • • • + 2” + п3 +
сходится, так как 2« + ^<-^г («=Ь 2, ...) и S„<-l~4--^-4-...4- + -2zr<^l, S„<1 при всех п.
Заметим, что ряд с членами произвольных знаков может расходиться по двум причинам: или частные суммы ряда не имеют предела, как, например, для ряда ^(—1)п+‘, или предел частных сумм ряда равен бесконечности, как, например, для ряда 2?". I?D>1-
Для ряда с неотрицательными членами в силу монотонности последовательности его частных сумм первое утверждение невозможно, так как последовательность частных сумм такого ряда всегда имеет предел, конечный или бесконечный. Таким образом, если ряд с неотрицательными членами расходится, то последовательность его частных сумм имеет бесконечный предел.
Признак (принцип) сравнения рядов с неотрицательными членами. Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:
Ы1 4- ui 4- «з4~ • • • 4~ Чп 4“ • • •» и„^0,(1)
yi 4~ у24-уз4-• • • 4- уп 4- • • •> уп(2)
Теорема. Если ип^ип при любом п, то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).
Доказательство. Обозначим через Sn и ап соответственно частные суммы рядов (I) и (2). Так как ряд (1) сходится, то его частные суммы ограничены, т. е. при всех п ап<^М, где М — некоторое число. Но S„^=„, поэтому частные суммы ряда (2) также ограничены, а этого, как известно, достаточно для сходимости ряда (2) с неотрицательными членами.
Если же ряд (1) расходится, то ряд (2) также расходится, так как, допустив сходимость ряда (2) получим по только что доказанному сходимость ряда (1), а это противоречит условию.
Таким образом, теорема полностью доказана.
Пример 1. Ряд —= + —5 + ... -4--:к ... расходится, так как -=> —,
г1п2 1 1пЗ 11 Inn 1 r’Inn п '
а гармонический ряд ^ 4- расходится. Л — I
Пример 2. Ряд ^ ■ ^„1 сходитси, так как сходится ряд геометрической
П = 1
ОО
прогрессии ^ ур, а члены данного ряда не больше соответствующих членов этого П = 1
ряда скопящейся геометрической прогрессии:
11
п2”2” *
На практике очень удобно пользоваться следующим следствием из признака сравнения рядов:
Если ип^>0, и„^>0 и существует
Нт — =1г, п—со
где h— число, отличное от нуля, то ряды 2Ы« и Sy” веДУт себя оди- каково относительно сходимости.
В самом деле, так как число h — отличное от нуля (й)>0), то существуют положительные числа Ai и Ла, удовлетворяющие условиям ^ <ft <^/z». Тогда по определению предела последовательности для всех п, кроме возможно конечного числа их, выполняются неравенства:
или неравенства
Л10»<«л<Мп.
Если ряд 2 у« сходится, то сходится и ряд ^h^Un и, следовательно, если учесть правое неравенство, сходится ряд 2 ип-
Если же ряд 2°л расходится, то расходится и ряд ^h^ и, если учесть левое неравенство, расходится и ряд 2 ип-
Например, ряд ^ 4-;^+...+ ^-^+... (й>0) (а>0) расходится, так как
Признак сравнения рядов может быть использован не только для исследования конкретно задаваемых рядов, а также и для получения практически удобных общих признаков сходимости рядов.
Признак Даламбера1). Если для ряда ^ип с положительными членами существует такое число q<3, что для всех достаточно больших п выполняется неравенство ^^^q, то ряд V,un сходится, если же для всех достаточно больших п ^-‘^ 1, то ряд 2“л расходится.
Доказательство. Пусть, например, для п^т выполняется неравенство ’^^^q или, что то же, неравенство un,x^:Unq. Тогда
“m+1 ^ Umq, ит^ “m+i9 ^ umq\
Сходимость ряда 2 цл вытекает из сходимости ряда геометрической прогрессии umq-[-и^4- 4-umqk-^... со знаменателем q„ 0<<7<4.
Если же ^^^l, то при достаточно больших п ип+1^ипу т. е. каждый последующий член данного ряда, начиная с некоторого номера, не меньше предыдущего, поэтому общий член ряда ип при а->оо не стремится к нулю, а значит, ряд 2 м» Расходится.
Следует иметь в виду, что условие Я"+1 ^ 7 (7 < 1) нельзя заменить условиемип
—— <1. В последнем случае ряд может быть и расходящимся, как это имеет место,
например, в случае ряданапример, в случае ряда
например, в случае ряда
например, в случае ряда
Для практического применения удобнее пользоваться следствием из признака Даламбера, или, как его иногда называют, предельным признаком Даламбера.
Следствие. Если существует lim^^^p, то при р<1 ряд схо- л—>оо ип
дится, при р> 1 ряд расходится, при р=1 признак вопроса не решает. (Заметим, что случай р = -[-оо включается в р^>1.)
Доказательство. Если р<1, то возьмем число q, удовлетворяющее условию р<С?<^1- Тогда для всех значений п, кроме, возможно, конечного числа, будет выполняться неравенство
^<4 (9<1),
и, следовательно, по признаку Даламбера ряд 2“« сходится. Если же рД> 1, то для всех п, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство-^^^ 1, следовательно, по признаку Даламбера ряд У.ип расходится.
ОО
Пример 1. Ряд ^ -^- сходится, так как
П=1
ил=у- и 11т п—>оо ипил=у- и 11т п—>оо ипНтЛ—>00НтЛ—>00(п 4- 1) 2" 2«+‘я(п 4- 1) 2" 2«+‘я
ил=у- и 11т п—>оо ип
ил=у- и 11т п—>оо ип
НтЛ—>00
НтЛ—>00
(п 4- 1) 2" 2«+‘я
(п 4- 1) 2" 2«+‘я
Пример 2. Ряд 1 -|- — + "2р+ ... +-^ + ... сходится, так как в этом случае
п! _ ..1(» + 1)1-Л^о * +п! _ ..1(» + 1)1-Л^о * +как этокак этонетрудно пронетрудно про1''
п! _ ..1
(» + 1)1-Л^о * +
п! _ ..1
(» + 1)1-Л^о * +
как это
как это
нетрудно про
нетрудно про
lira ^±1= lim
Пример 3. Для каждого изПример 3. Для каждого изП_ОО ^п п—*о
Пример 3. Для каждого из
Пример 3. Для каждого из
как это будеткак это будет.. Un-L1-J 1—г11
как это будет
как это будет
верить, lim = 1. При этом ряд у — расходится, а ряд у — П—*СО ^п
показано в § 3, сходится.
Признак Коши. Если существует такое число ^<^1, что для всех достаточно больших п выполняется неравенство ”/“«<?, то ряд ^ип сходится, если же для всех достаточно больших п Vun^ 1, то ряд У^и„ расходится.
Доказательство. Условие un^qn при 0<^t?<4 означает, что все члены ряда 2 и«> кроме конечного числа их, не превосходят членов ряда сходящейся геометрической прогрессии 5?”» а следовательно, ряд 2«« сходится.
Если V«nSs U то ы„^1, т. е. не выполнено необходимое условие сходимости ряда, ряд расходится.
Следствие. Если существует lim”^un = р, то при р< 1 ряд схо- п-^со
дится, при р2>1 ряд расходится, при р=1 признак вопроса не решает (случай р = 4-оо включается в р> 1).
Доказательство. Пусть р<П. Возьмем число q, удовлетворяющее условию р<^9<^1. Тогда для всех п, кроме конечного числа, выполняется неравенство un<^qn и, следовательно, по признаку Коши, ряд 2мл сходится.
Если же р>1, то начиная с некоторого номера имеем Vu„^>l или и„^>1, следовательно, не выполняется необходимое условие сходимости ряда, ряд 2“п расходится.
rrnV /2п2 + 1\га
Пример. Ряд / V сходится, так как п— I
V п Г—2n2 + 12.
Л™» ^Un — „^ Зп2 + 5 - 3 < Е
П р и м е р 2. Рассмотрим ряд.Для него
п= 1
lim nJun = Нт +=
п—*со \ П )
поэтому вопрос о сходимости данного ряда признаком Коши не решается. Нетрудно видеть, что этот ряд расходится, так как
ОО
Пример 3. Ряд ^ Ч сходится, как это будет показано в § 3, хотя, так же 1
как и в предшествующем примере,
п-юэ г ^п—*со L\ / J
(так как lim хх=1, см. § 14, гл. IV).
Как видно из предшествующих рассуждений, признаки Даламбера и Коши основаны на сравнении данного ряда с рядом геометрической прогрессии. Эти признаки не являются «чувствительными» к рядам, сходящимся «медленнее», чем геометрическая прогрессия. Для таких рядов рассматривают более сильные признаки, в частности интегральный признак, с которым мы познакомимся в следующем параграфе.
Несобственные интегралы
В § 15, гл. VI были рассмотрены несобственные интегралы с бесконечными пределами
/ (х) dx, / (х) dx, S ^ ^ ^х'а—со—оо
где /(х) — непрерывная функция соответственно на промежутках [а, +оо),
(—оо, 6], (—оо, +оо), а также интегралы вида ^ f (х) dx, где /(х) а
непрерывная, неограниченная функция на промежутках (а, 6], [а, 6), (а, 6).
'588
Будем изучать сходимость интегралов с бесконечными пределами вида ^ f(x)dx. Аналогичные рассуждения можно провести и для ин
Ь4-00
тегралов ^ f(x)dx и f(x)dx.
4-00
Как известно, несобственный интеграл $ f(x)dx называется сходя- а
b
щимся, если интеграл ^f(x)dx, а $5 £><-[-оо, при Ь — -[- оо имеет конеч- а
Ь
ный предел. Если же интеграл ^f(x)dx при Ь — -[-оо не имеет предела или а
4-оо имеет бесконечный предел, то несобственный интеграл ^ f (х) dx назы-
а
4-оо
вается расходящимся. Если интеграл ^ f(x)dx сходится, то его значение а
Ь принимается равным пределу интеграла ^^dx при &—»-f-oo: а
4*ооь
f(x)dx = Vim \f (х) dx.ab^V»a
Во многих задачах, связанных с несобственными интегралами, достаточно только выяснить вопрос о сходимости рассматриваемого интеграла и не требуется находить его значение.
4-00
Исследование на сходимость интеграла вида ^ f (х) dx имеет много а
общего с исследованием ряда на сходимость. ь
Действительно, по аналогии с рядами интеграл ^f(x)dx, a^b <^-\-со» а
называется частным, или частичным, интегралом несобственного инте- 4-00со
грала ^ f(x)dx. И тогда определение сходимости интеграла ^ f(x)dx аа
4-оо
принимает следующий вид: интеграл ^ f (х) dx сходится, если сходятся а
его частные интегралы, т. е. если частные интегралы имеют конечный предел при 6 —-}-оо. Если же частные интегралы расходятся, т. е. не 4-оо
имеют предела или их предел бесконечен, то интеграл f(x)dx назы- а
вается расходящимся.
Некоторые свойства несобственных интегралов.
Интегралы ^ f(x)dx и ^ / (х) dx, ах > а, при условии, что f(x)— аад
непрерывная функция на промежутке [а, +оо), ведут себя одинаково относительно сходимости. Это следует из того, что частные интегралы 66
^f(x)dx и ^ f(x)dx при любом Ь, Ь^а^ отличаются между собой иа аа,
одно и то же число.
4~СО4-00
Если интеграл ^ f(x)dx сходится и равен I, то интеграл ^ cf(x)dx, где с — число, также сходится и равен cl. Или, что то же, постоянный множитель можно вносить под знак сходящегося несобственного интеграла:
с Цх) dx = ^ cf (х) dx.аа
bb
В самом деле, по условию ^f^dx —♦ !, следовательно, ^cf^dx — b
— c^f(x)dx—^cl, что и требовалось доказать. а
+ со
Заметим, что если интеграл ^ f(x)dx расходится, то и интеграл а + оо
cf(x)dx (где с ^ 0) также расходится. а
+со
Действительно, допустив сходимость интеграла ^ cf(x)dx, получим „ .1 °
при умножении подинтегральнои функции на — сходимость интеграла +°°
f(x)dx, а это противоречит условию. а
4-оо4-00
Если интегралы ^ f^dx и j\ (х) dx сходятся и соответствен- аа
+ со
но равны / и 1Ь то интеграл ^ [f (х)-)-/! (х)] dx также сходится и равен а
I + /р Или, что то же, несобственный интеграл от суммы двух функций равен сумме несобственных интегралов от слагаемых, если сходится интеграл от каждого слагаемого:
4- оо4- оо4-00
^Е/М + Л^И^ ^ f^dx^- ^ fi^dx. ааа
Действительно, по условию
6
^ f (х) dx —• /, а b
^А (x)dx —А, а откуда, следовательно,
S(/:(^) + A(^)]^ = S /Ч^х + ^х^х —Z + Д. ааа
4-оо4-°°
Заметим, что если интеграл ^ f(x)dx сходится, а интеграл ^ fi(x)dx
расходится, то интеграл ^ [f (х)-|-А (х)] dx расходится, так как в проа
4*оо
тивном случае сходился бы интеграл ^ А (х) dx, будучи разностью двух а
сходящихся интегралов.
4-004-00
Если же интегралы ^ f(x)dx и § f^xjdx расходятся, то о схо- аа
4-со
димости интеграла [f(x)4Vi(x)] dx в общем случае ничего сказать а
нельзя, в одних случаях он может быть сходящимся, в других — расходящимся.
4-00
Критерий Коши. Для сходимости интеграла ^ f(x)dx необходимо и а
достаточно, чтобы для любого е^>0 существовало такое число А = A (s), что при любых р и q, р ">А, q^>A, выполнялось бы неравенство
q
| ^ / (х) dx [ < е.р
Доказательство необходимости. В самом деле, так как ъ
^ (х) dx —I, то для любого числа е^>0 найдется Д = Д(е), такое, что °ь
неравенство |/—^ /(х)dx|<4|- выполняется при любом Ь^А. В част- а
ности, это неравенство выполняется и при Ь = р и b = q, где р^>А, q^>A. Тогда имеем:
| f (х) dx| = | ^f (x)dx — ^f (x) dx| = ] ^ f (x) dx — /] + [/ — ^f (x) dx^ | paaaa
^|S ЛхМх —7[4-|7 —$f(x)dx|<|-4-^==e. aa
Окончательно получаем, что неравенство [^ f(x)dx <е выполняется при р
любых р^А, q">A.
Доказательство достаточности мы опускаем.
Необходимое условие сходимости несобственных интегралов. Если интеграл ^ f(x)dx сходится, то его частные интегралы ограничены, т. е. а
существует такое число М>0, что для всех Ь^>а выполняется неравенство
6
| ^ f (х) dx ^ <4 М. а
Это утверждение непосредственно вытекает из существования конечного предела частных интегралов.
Таким образом, если частные интегралы не ограничены, то несобственный интеграл расходится. Если же частные интегралы ограничены, то о сходимости несобственного интеграла еще ничего сказать нельзя: в одних случаях интеграл может сходиться, а в других — 4-00
расходиться. Например, у несобственного интеграла ^ cosxdx частные о
интегралы $ cos xdx = sin b ограничены, но они не имеют предела при о
6 — 4*00 (так как sin b при 6 — 4-00 не имеет предела) и, следовательно,
интеграл $ cosxdx—расходящийся. Аналогично получаем, что иите- о
+°°
грал sin х dx расходится, о
Несобственные интегралы от неотрицательных функций.
Теорема. Если подинтегральная функция Цх) на промежутке [а, +°°) непрерывна и неотрицательна, f(x)^O, то ограниченность частных интегралов является необходимым и достаточным условием сходимости интеграла
4-00 5 f(x)dx. а
Необходимость условия была только что доказана для интегралов от любых непрерывных функций.
Если же /(х) ^0, то это условие будет и достаточным, так как
6
в этом случае при b -ф- оо частные интегралы ^ / (х) dx возрастают и, оста- а
ваясь ограниченными, стремятся к конечному пределу1).
Принцип сравнения несобственных интегралов.
Теорема. Если функции f(x) и ?(х) непрерывны на полуинтервале [а, + оо) и удовлетворяют на нем условию 0 ^/(х) ^ © (х), то из сходимости интеграла 4-00
$ <р(х)<^Х(1)
а
следует сходимость интеграла
4-оо
$ / (X) dx,(2)
а
а из расходимости интеграла (2) следует расходимость интеграла (1).
Доказательство з»той теоремы аналогично доказательству принципа сравнения числовых рядов.
В самом деле, так как интеграл (1) сходится, то его частные интегралы ограничены. Но так как
»6
^/ (х) dx ^^ <? (х) dx,
аа
то, следовательно, ограничены и частные интегралы несобственного интеграла (2). А этого, как известно, достаточно для сходимости интеграла (2) от неотрицательной функции. Если же интеграл (2) расходится, то, допустив сходимость интеграла (1), получим по только что доказанному сходимость интеграла (2), что противоречит условию. Окончательно получаем, что интеграл (1) также расходится.
Следствие. Если /(х) и <р(х) непрерывные функции на полуинтервале {а, 4-оо) и
(3)(3)lim ^l=ft - + <»? (х)
(3)
(3)
(ft — число, ft 4^ 0), то интегралы ^ f(x)dx и ^ ® (х) dx ведут себя оди- аа
наново относительно сходимости.
*) Теорема существования предела монотонной ограниченной последовательности может быть обобщена на случай монотонной ограниченной функции.
Действительно, из условия (3) следует, что функции /(х) и ©(х) отличны от нуля при достаточно больших х. Если учесть первые два свойства несобственных интегралов, то станет ясно, что, не ограничивая общности рассуждений, можно предположить, что число й^>0, а функции f(x) и ^(х) положительны при х^а.
Это следствие доказывается аналогично тому, как это делалось в теории рядов (см. § 2). Действительно, если выбрать hY и Кг так, чтобы выполнялись условия O^hx^h-^h», и если учесть, что для всех достаточно больших значений х справедливы неравенства
*Х(хХ 21
а значит, неравенства
^i? W</U)<M (х), то на основании доказанной теоремы легко получить требуемое утверждение.
Предлагается самостоятельно провести эти рассуждения.
Пример 1. Интеграл вида \ — (а>0) сходится при а>1 и расходится при а
а^1. (Этот пример уже рассматривался в гл. VI, но в силу его особой значимости повторим еще раз приведенные выше рассуждения.)
Действительно, при а ^± 1
£-а+1 Г 0 При а > 1
Если учесть, что Um = (то получим сходимость
6-> + оо —ат* 14-со при а < 1, 4-00 f dx,,
интеграла I — при а > 1 и расходимость при а < 1. а
b
Приа=1 имеем ^ ^ = 1пх^ = 1п Ь— In а —-|-со при Ь —4-00 и, следовательно, а
+оо f dx интеграл I — расходится. а
+®
Пример 2. Рассмотрим интеграл от рациональной дроби \ R (х) dx, где
а
^(х)^(х)Q(x)’ Так какQ(x)’ Так какР(х) и Q(x) — многочлены, причем Q (х) не имеет корней при х^а
^(х)
^(х)
Q(x)’ Так как
Q(x)’ Так как
4-00
при х — 4~ со, то учитывая пример 1, получим, что интеграл ^ R (х) dx сходится лишь а
при условии, что т—п^2.
dx ,,—: (а2>1) сходится при а>1и расходится притак же, как и пример 1. Действительно, при адЫdx ,,—: (а2>1) сходится при а>1и расходится притак же, как и пример 1. Действительно, при адЫ4-00
dx ,,
—: (а2>1) сходится при а>1и расходится при
так же, как и пример 1. Действительно, при адЫ
dx ,,
—: (а2>1) сходится при а>1и расходится при
так же, как и пример 1. Действительно, при адЫ
Пример 3. Интеграл „а
а^1. Этот пример решается
ь
? dx _ (In х)~®+‘ I»(In 6)~®+1 (In а)~®+1
) X (In X)®— о: -]- 1 |о — а 4- 1— а 4" 1 "
Но так какНо так как
Но так как
Но так как
lim 0п / О ПРИ “>Lй-»+оо —а+11 + °°приа<1,
С иХ,,
то I —— сходится при а>1 и расходится при а < L
Ъ
Если же а =1, то \ —^— = In In 5 — Inln^z—> 4-со при b + со, следова- а 4-00 Г dx тельно, I ^■ расходится.
Пусть теперь f (х) — произвольная непрерывная на промежутке [а, -|-оо) функция, не обязательно знакопостоянная. Интеграл f(x)dx +°° называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл ^ | f (х)| dx. а + <»
Теорема. Если сходится интеграл $ |f(x)|dx, то сходится и инте- а +”
грал \ f(X)dx. а
4-ео
Действительно, применяя критерий Коши к интегралу § | f (х) | dx, а
получим: для любого е ^> О существует число А (е), такое, что при любых р и q, p<^q, удовлетворяющих условию р^>А, q">A, справедливо неравенство
।99
И |f (х) | dx|<e, а значит, и неравенство ^|f (х) | dx<e. рр
Но |^f (х) dx | s^ |f (х) | dx и, следовательно, |^f (x)dx|<e при р">А, ррр
q>A, откуда по критерию Коши получаем сходимость интеграла ^ f(x)dx, что и доказывает теорему.
-|~оо4“00^"^ dx (а>0) сходится, а интегралаа-|~оо4“00^"^ dx (а>0) сходится, а интегралааЗаметим, что сходимость несобственного интеграла от знакопеременной функции не влечет за собой его абсолютной сходимости, а для интегралов от знакопостоянных функций из сходимости интеграла следует его абсолютная сходимость. Например, можно показать, что интеграл sin х , dx расходится, т. е.
-|~оо4“00
^"^ dx (а>0) сходится, а интегралаа
-|~оо4“00
^"^ dx (а>0) сходится, а интегралаа
4-со
интеграл ^ si^ dx не является абсолютно сходящимся. Интеграл а
4*00
f sin х , ,I sin х I _ 1
\ ——ах (а)>0) — сходится абсолютно, так как— и интеграл
а
СХОДИТСЯ.СХОДИТСЯ.
СХОДИТСЯ.
СХОДИТСЯ.
Интегральный признак сходимости рядов с положительными членами. Если <р (х) непрерывная положительная убывающая функция на про
межутке [1, Н~оо), то ряд f (О + ? (2) + ••• + <Р (и) + .. .= 2® W и ин" п — 1
теграл ^ <p(x)dx ведут себя одинаково относительно сходимости. 1
Доказательство. Учитывая геометрический смысл определенного интеграла (рис. 432), запишем:
? (2)4-® (3) +... + <р (п)<\? (х) dx<<р (1) + <р (2) 4-.<р (п — 1) i
или
Sn-?(l)<5®(x)dx<S„_1,
1
где Sn — частные суммы рассматриваемого ряда.
VI
4-00
Если интеграл ^ <р (х) dx сходится, то его частные интегралы 1 п
<р (х) dx ограничены. Учитывая левое неравенство, получаем, что частные 1 суммы ряда также ограничены, а этого, как известно, достаточно для
СО
сходимости ряда с положительными членами, т. е. ряд 2?(п) сходится. п = 1
Д- 00п
Если же интеграл ^ a^dx расходится, то ^ <р (х) dx-* -[-оо при п-*оо 11
(как монотонно возрастающая неограниченная последовательность), и, учитывая правое неравенство, получим, что £„_!-> 4~ °0, т- е- РЯД
2?^) расходится. п — I
Пример L Ряд 1 -|- ^ + 1 -)-... 4-^- +••• сходится при а>1 и расхо- 4-со
дится при а^1 (так как ^ ^ сходится при а>1 и расходится при а-^ 1). 'i
В частности, при а = 2 получим сходящийся ряд
1 + 22 + 32 + • • • + д2 4~' • • >
при а = 1 получим известный расходящийся гармонический ряд, при “= 2 по;|учим расходящийся ряд
1 +L... +-Д= +...
/2/3 V п
Пример 2.Пример 2.2 п (1п п)а сходится ПРИ а > 1 и расходится при а ^ 1. Это п=2
Пример 2.
Пример 2.
следует из интегрального признака сходимости рядов, если учесть, что интеграл
С dx.
4 —г,г£ сходится при а> 1 и расходится при а ^ 1.
В частности, при а = 1 получаем расходящийся ряд
2 In 2 ' 3 In 32 In 2 ' 3 In 31 п In п1 п In п
2 In 2 ' 3 In 3
2 In 2 ' 3 In 3
1 п In п
1 п In п
И, наконец, сделаем несколько замечаний о сходимости несобственных интегралов от неограниченных функций. Не ограничивая общности рас-
Л
суждений, рассмотрим несобственные интегралы вида f (х) dx, где f (х)—■
а
непрерывная функция на полуинтервале (а, 6], неограниченная вблизи а. Теория этих интегралов аналогична теории несобственных интегралов с бесконечными пределами. В частности, принцип сравнения для таких интегралов можно сформулировать следующим образом.
(1)(1)Если функции /(х) и <р (х) непрерывны на полуинтервале (а, 6] и для всех точек х, лежащих на полуинтервале (а, Ь] вблизи точки а, выполняются условия O^f ^х) ^^^х), то из сходимости интеграла
(1)
(1)
<р (х) dxа
следует сходимость интеграла\Hx)dx,(2)аа из расходимости интеграла (2) следует расходимость интеграла (1).Следствие. Если /(х) и <р (х) непрерывные функции на полуинтервале (а, 6] и lim —h, где h— число, отличное от нуля, /г^О, х-а+О У Vх) 66то интегралы ^ f(x)dx и ^ <p(x)dx ведут себя одинаково относительно ааСХОДИМОСТИ. bПример 1. Интеграл j ^ —^др аВ самом деле, при а^1 6 С dx (х — п)-а+1 . х_ _,,j (х — а)х — а + 1 I — « + 1— “ + 1"а+еа-г«нт_!^1_=| 0 ПРИ “<1> е-»0 —«т* I —03 ПРИ ™>Ь «>0: сходится при а < 1 и расходится при а >» 1.следует сходимость интеграла\Hx)dx,(2)аа из расходимости интеграла (2) следует расходимость интеграла (1).Следствие. Если /(х) и <р (х) непрерывные функции на полуинтервале (а, 6] и lim —h, где h— число, отличное от нуля, /г^О, х-а+О У Vх) 66то интегралы ^ f(x)dx и ^ <p(x)dx ведут себя одинаково относительно ааСХОДИМОСТИ. bПример 1. Интеграл j ^ —^др аВ самом деле, при а^1 6 С dx (х — п)-а+1 . х_ _,,j (х — а)х — а + 1 I — « + 1— “ + 1"а+еа-г«нт_!^1_=| 0 ПРИ “<1> е-»0 —«т* I —03 ПРИ ™>Ь «>0: сходится при а < 1 и расходится при а >» 1.сходится при а < 1 и расходится при а^1.сходится при а < 1 и расходится при а^1.66Так какТак кактото6Г dx6Г dx
следует сходимость интеграла
\Hx)dx,(2)
а
а из расходимости интеграла (2) следует расходимость интеграла (1).
Следствие. Если /(х) и <р (х) непрерывные функции на полуинтервале (а, 6] и lim —h, где h— число, отличное от нуля, /г^О, х-а+О У Vх) 66
то интегралы ^ f(x)dx и ^ <p(x)dx ведут себя одинаково относительно аа
СХОДИМОСТИ. b
Пример 1. Интеграл j ^ —^др а
В самом деле, при а^1 6 С dx (х — п)-а+1 . х_ _,,
j (х — а)х — а + 1 I — « + 1— “ + 1"
а+еа-г«
нт_!^1_=| 0 ПРИ “<1> е-»0 —«т* I —03 ПРИ ™>Ь «>0
: сходится при а < 1 и расходится при а >» 1.
следует сходимость интеграла
\Hx)dx,(2)
а
а из расходимости интеграла (2) следует расходимость интеграла (1).
Следствие. Если /(х) и <р (х) непрерывные функции на полуинтервале (а, 6] и lim —h, где h— число, отличное от нуля, /г^О, х-а+О У Vх) 66
то интегралы ^ f(x)dx и ^ <p(x)dx ведут себя одинаково относительно аа
СХОДИМОСТИ. b
Пример 1. Интеграл j ^ —^др а
В самом деле, при а^1 6 С dx (х — п)-а+1 . х_ _,,
j (х — а)х — а + 1 I — « + 1— “ + 1"
а+еа-г«
нт_!^1_=| 0 ПРИ “<1> е-»0 —«т* I —03 ПРИ ™>Ь «>0
: сходится при а < 1 и расходится при а >» 1.
сходится при а < 1 и расходится при а^1.
сходится при а < 1 и расходится при а^1.
6
6
Так как
Так как
то
то
6
Г dx
6
Г dx
При а = 1 получимПри а = 1 получимьтеграл аПример 2.11= 2=р~2 ПРИьтеграл аПример 2.11= 2=р~2 ПРИС ^ J (х ^а)С ^ J (х ^а)ъС dx' (* — “) а+аъС dx' (* — “) а+арасходится.расходится.= In (6 — а) — In г — + со= In (6 — а) — In г — + сопри е —<■ 4" 0, т. е. ин-при е —<■ 4" 0, т. е. ин-IС dxИнтеграл j -^ (2_^у расходится, так как -р-^—^у : р оIС dxИнтеграл j -^ (2_^у расходится, так как -р-^—^у : р ох — 0.х — 0.
При а = 1 получим
При а = 1 получим
ь
теграл а
Пример 2.
11
= 2=р~2 ПРИ
ь
теграл а
Пример 2.
11
= 2=р~2 ПРИ
С ^ J (х ^а)
С ^ J (х ^а)
ъ
С dx
' (* — “) а+а
ъ
С dx
' (* — “) а+а
расходится.
расходится.
= In (6 — а) — In г — + со
= In (6 — а) — In г — + со
при е —<■ 4" 0, т. е. ин-
при е —<■ 4" 0, т. е. ин-
I
С dx
Интеграл j -^ (2_^у расходится, так как -р-^—^у : р о
I
С dx
Интеграл j -^ (2_^у расходится, так как -р-^—^у : р о
х — 0.
х — 0.
Знакопеременные ряды
Прежде чем рассматривать ряды с членами произвольных знаков, рассмотрим их частный случай, а именно ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, такие ряды называются знакочередующимися.
Знакомередующиеся ряды. Знакочередующийся ряд, если первый член положителен, можно записать в виде:
щ — и^ —|— и3 — и^ —|—.. * —р (— 0rt' * ^п “Н • ’ • 5 где ип ^> 0, и = 1, 2, 3,.. i
Признак Лейбница. Если у знакочередующегося ряда
«1 — Щ -{- Ua — «4+ (— l)rt+1 Un -р .. .(1)
абсолютные величины членов ряда убывают: их^щ^иа^... и общий член стремится к нулю, ип — 0, то ряд сходится.
Доказательство. Рассмотрим частные суммы ряда с четным числом членов:
S2„ = щ — и2 -[“ «з — ц4 ~г— + у2«-1 — Uin== (“1 — уз) -г (из — и0 + • • •
• • • + (“2п-1 — U=^.(2)
Так как каждая из скобок, в силу первого условия, положительна, то последовательность {S2„} возрастающая. Докажем, что она ограничена. Для этого представим S2„ следующим образом:
S2n = их — [(и2 — и3) -р («4 — и8) -|-... + (u2n_2 — Щп_х^ -[- щпу
Число, записанное в квадратных скобках, положительно, поэтому
$9п < ы1-
Итак, последовательность {S2„} монотонно возрастающая, ограниченная и, следовательно, сходящаяся.
Пусть lim Son — S.
Л-ЮО
Чтобы доказать сходимость ряда (1), нужно доказать еще, что последовательности частных сумм нечетного числа членов этого ряда также сходится и имеет предел, равный S.
Так как S2„+1 = S«„ + Щп+1 и щ^-^О (по условию), то limS2„ = S,
П—гСО
т. е. последовательность всех частных сумм ряда (1) сходится и, значит, ряд (1) сходится. Таким образом, теорема Лейбница доказана.
Заметим, что для суммы S ряда (1) справедливо соотношение 0<^S<^uv Действительно, частные суммы четного номера S2„ приближаются к сумме S, возрастая, следовательно, S^>S2n при любом п. Кроме того, S2„2>0 (»=1,2,...), как это следует из равенства (2), а значит, и 8^>0. Частные суммы нечетного номера S2n+1 можно записать в виде:
S'2Z<+i — Ui — («2 — и^ —... — («2га — и2.,+1).
Отсюда видно, что последовательность {S3n+1} монотонно убывающая и что S^t^Ut при любом п. Так как S<<S3n+1 при любом п, то, следовательно, S^u^ Суммируя сказанное, получаем: O^S^Ut.
Рассмотрим пример. Ряд 1—у + у — т + -" + ^—)"+1y+-- сходится, по признаку Лейбница. Этот ряд отличается от гармонического ряда только знаками членов четных номеров.
Отметим следующее свойство знакочередующегося ряда, (удовлетворяющего условиям признака Лейбница), имеющее большое практическое приложение.
Пусть ряд Ui — u3 —|—u3— u4-[-.., Д- (—l)”+1u„ + .... сходится и его сумма равна S, тогда
S = S„±(u„+1 —u„+2 + u„+3 —...).(21)
Разность S— Sn = Rn— остаток ряда, в свою очередь, является суммой знакочередующегося ряда и, следовательно, удовлетворяет условию l^nl^^n+i- Таким образом, заменяя сумму ряда его частной суммой, получаем ошибку, абсолютная величина которой меньше абсолютной величины первого отброшенного члена ряда.
Например, ряд 1 — Д + ^—7^ + -..+(—
сходится по признаку Лейбница. Если положить его сумму *) S, приближенно равной сумме первых шести членов этого ряда, то получим ошибку, абсолютная величина которой меньше, чем
13-з5 <9477<0,001,
Абсолютная и условная сходимость рядов. Возьмем какой-нибудь знакопеременный ряд
ut-}-u3-}-...-}-и„-}-...,(3)
т. е. ряд с членами произвольных знаков. Рассмотрим ряд, составленных из абсолютных величин членов ряда (3):
|ui|-[-1и3 |+ ...-}- | и„]-[- .„(4)
Теорема. Если ряд (4) сходится, то сходится и ряд (3).
Доказательство. Пусть ряд (4) сходится. По критерию Коши для любого е^>0 найдется число N, такое, что при п> N и любом целом р^>0 выполняется неравенство
lun+i I +1 ып+а| +••• +1^п+р I < е
По свойству абсолютных величин:
I ^п+1 Т ^п+2 + • • • + Un+p I ^ I Un+1 1 + I “n+2 Ц~ • • • + | Un*p |<Се> откуда получаем, что неравенство
I wn+i -[- u„+3 -]-...-[- u„+p | < e
справедливо при n^>N и любом p^>0, а значит, по критерию Коши, ряд (1) сходится.
Например, ряд
sin sin 3sin (2n — 1)
4 ,4 .,'4,
не является знакочередующимся, так как за каждыми двумя положительными членами следует два отрицательных члена, значит, признак
Лейбница к нему не применим. Но если рассмотреть ряд, составленный из абсолютных величин его членов, то получим ряд геометрической прогрессии
3-2 Т33.2 Т---"Тзп.2
знаменатель которой у < L он сходится, а значит, по доказанной теореме и данный ряд сходится и притом абсолютно.
Заметим, что из сходимости ряда (3) не следует сходимость ряда (4).
1 J(nzni
Например, ряд 1—у+з—•••+—„сходится, а гармонический ряд 1 + у + у +••• + у + расходится.
Ряд 2un называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд У | цд I, составленный из абсолютных величин его членов. Например, ряд 1—22+32—.*• + -— Ь — абсолютно сходящийся, так как ряд 1 + ^2 + у- + • • • + у + • • • сходится. Очевидно, для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.
Ряд ^ип называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд У|и„| расходится. Например, ряд I — ^ + ^ — ... + ^—^~ + --- при р^Л условно сходящийся, так как он сходится (по признаку Лейбница), а ряд из модулей его членов 1 + ^+^+ ...+ ^ + ... расходится.
Следует иметь в виду, что деление сходящихся рядов на абсолютно и условно сходящиеся весьма существенно. Оказывается, что основные свойства конечных сумм переносятся только на абсолютно сходящиеся ряды, тогда как условно сходящиеся ряды некоторыми из этих свойств не обладают.
Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.
Пусть ряд 5 й” имеет члены произвольных знаков.
Признак Даламбера. Если существует Игл ^£*д =р, то при р < 1 ряд п->оо1 “п I
У цд абсолютно сходится, при р>1 ряд расходится. При р—I признак вопроса не решает.
В самом деле, если р <^ I, то по признаку Даламбера для рядов с положительными членами ряд 21 Mn I сходится, а следовательно, ряд У цд абсолютно сходится. Если же р^>1, то |«„+i|^>|ura| при любом достаточно большом п, поэтому \ип\ не стремится к нулю, а значит, и ип не стремится к нулю, т. е. ряд ^ип расходится.
Если же р= 1, то в общем случае о сходимости ряда ничего сказать нельзя. Например, р=1 для расходящегося гармонического ряда ОООО
VIV (— *)"+11
^ —, а ряд ^-—^— абсолютно сходится, хотя для него также р= I.
п=1п = I
Признак Коши. Если существует lim V|«„| = Р, то прир<^1 ряд п-*со
У «л абсолютно сходится, при р > 1 ряд расходится. При р = 1 признак вопроса не решает.
Действительно, если р<И, то по признаку Коши для рядов с неотрицательными членами ряд У, | ип | сходится следовательно, ряд у «п абсо-
лютно сходится. Если же р^>1, то при любом достаточно большом п Vlunl2>L а значит, ]«„ |2> 1- Отсюда получаем, что |и„|, а следовательно, и ип не стремятся к нулю, т. е. ряд ^ип расходится.
Свойства абсолютно сходящихся рядов.
Теорема. Для абсолютной сходимости ряда У и„ необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в виде разности двух сходящихся рядов с неотрицательными членами.
Доказательство. Пусть ряд У«п абсолютно сходится. Обозначим через У ад РЯД> составленный из его положительных членов и нулей на местах отрицательных членов, а через ^Ьп— ряд, составленный из абсолютных величин отрицательных членов и нулей на местах положительных членов. Тогда ^lun="^l(a,l— Ь^. Ряды ^ап и ^6„ с не" отрицательными членами по признаку сравнения сходятся, так как выпол-. няются неравенства
ап^\ип\, Ь„^1и„\ (»=1,2,...)
Таким образом, необходимость условия доказана. Заметим, что в этом случае сумма ряда ^и„ равна разности сумм рядов
^а„ и £&„,. 5lun = 2l(an — bn) = 5lan — 5lbn.
Теперь докажем, что условие достаточно. Пусть У цп = у (сд— Ьп), при этом Уа„ и У ^п— сходящиеся ряды с неотрицательными членами. Тогда |«„|=]а„ —6„|^|а„| + |6„| = а„ + 6„, т. е. \ип\^ап-\-Ьп, и если учесть, что ряд У (ад + &д) сходится (как сумма двух сходящихся рядов), го получим сходимость ряда У, | ип |, т. е. абсолютную сходимость ряда У ыд, чт° и требовалось доказать.
Следствие. Условно сходящийся ряд является разностью двух расходящихся рядов с неотрицательными стремящимися к нулю членами. Действительно, У un = У (ал — 6„), причем ни один из рядов ^ап, ^Ьп не является сходящимся (так как разность сходящегося и расходящегося ряда — расходящийся ряд). Из условия сходимости ряда ^ип непосредственно следует, что «д -> О, а значит, ап 0 и Ьп -> 0.
Теорема о группировке членов ряда. В сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка, сохраняет сходимость ряда и величину суммы. Действительно, пусть ряд
Ux + U2~H. - • + Нп^Г • • •(б)
сходится и его сумма равна S. Рассмотрим ряд
(и1 + и2 + • • • + Ufe) + (uft+i + ик+й + ... + «,) + (uz+14- и№ +...
• • • + ит) + • • • ,(5')
полученный из ряда (5) группировкой членов при сохранении их порядка.
Последовательность частных сумм ряда (5') является частью последовательности {£„} частных сумм ряда (5). Но так как ряд (5) сходится, то Sn-*S и, следовательно, последовательность частных сумм ряда (5') сходится и имеет тот же предел S, т. е. ряд (5') имеет сумму, равную S. Заметим, что из сходимости ряда (5') не всегда следует сходимость ряда (5), т. е. в общем случае опускать скобки нельзя. В этом можно убедиться на примере ряда
(1-1) + (1-1)+...+ (1-1) + ...
Этот ряд сходится, так как его можно записать в следующем виде:
о^о + о + .„ + 0 + ..., в то время как ряд
1 — 1 + 1 — !+... + (— 1)л+1 + ... расходится.
Не доказывая, заметим, что если члены ряда (5) неотрицательны, ип ^0 (п= 1, 2, ...), то из сходимости ряда (5') следует сходимость ряда (5).
Теорема о перестановке членов ряда. Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.
Сначала докажем эту теорему для рядов с неотрицательными членами.
Пусть ряд
Ы1 + u2~t" ы3 + • • • + un + • • • ,Un^0,(6)
сходится и его сумма равна S. Произвольным образом переставляя его члены, получим ряд
ut + иг + и3 +; .. + ип +...(6')
Обозначим через Sn и S„ соответственно частные суммы рядов (6) и (6').
Рассмотрим S„, п — любое число. Так как каждый член ряда (6') является членом ряда (6), то можно взять к настолько большим, чтобы каждый из членов, входящих в S„, содержался в Sfc.
Нетрудно видеть, что тогда S„^Sft^S, т. е. частные суммы ряда (б') с неотрицательными членами ограничены и не превосходят S. Следовательно, ряд (6') сходится и его сумма, которую обозначим S', не больше S, S'^S.
Но ряд (6) можно рассматривать как ряд, полученный из ряда (6') в результате перестановки его членов, и, значит, по доказанному S ^ S'.
Сравнивая эти неравенства, окончательно получаем S = S', что и требовалось доказать.
Доказательство теоремы для абсолютно сходящихся рядов получается непосредственно. Действительно, пусть ряд У+n сходится и его сумма равна S, а ряд ^и'п получен перестановкой членов ряда £«„• По доказанной выше теореме ряды ^ип и £ип являются разностями сходя- дящихся рядов с неотрицательными членами: Sun = S(^n — b^, 2 + = S(an— bn\ S+ и ^Ьк— ряды, полученные перестановкой соответственно членов сходящихся рядов £ап и ^Ьп с неотрицательными членами.
Как уже доказано, ряды 2 + и ^Ьк сходятся и их суммы равны суммам соответствующих рядов ^ап и ^Ьп, т. е.
М = £ап, vb; = ^bn.
Следовательно, ряд У,и.к—УДа.к— Ь’^ абсолютно сходится (как разность двух сходящихся рядов с неотрицательными членами) и его сумма равна сумме ряда Sun> так как
5 ик = 2 (а; — Ьп) = s ак — 2 Ьк = 5 а„ — 5 ьп.
Таким образом, теорема полностью доказана. Заметим, что эта теорема не будет иметь места в случае условно сходящихся рядов. Убедимся в этом на примере. Как известно, ряд
1^ i ^L л_ । ( 1)” + 1 ।
сходится условно. Обозначим его сумму через S. В этом ряде сделаем следующую перестановку членов: за каждым положительным членом поставим следующие два отрицательных члена. Получим ряд
для которого можно доказать, что ои сходится. Тогда группируя его члены, получим ряд
который также сходится и его сумма равна сумме ряда (7').
Но ряд (8) можно записать в следующем виде:
24 I 68 1 1012 I 2 V 2^34 1 J ’
8 откуда следует, что его сумма равна у
Итак, перестановкой членов ряда (7) мы получили новый ряд, сумма которого в два раза меньше суммы данного ряда.
Как доказал Риман ), перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить сходящийся ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд. Доказательства этой теоремы мы не приводим.
И, наконец, формулируем теорему, доказательство которой мы опускаем, но на которую нам придется неоднократно ссылаться.
Теорема. При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда (при этом число групп может быть как конечным так и бесконечным и число членов в каждой группе может быть как конечным так и бесконечным) получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме данного ряда.
Теорема умножения абсолютно сходящихся рядов. Если ряды 2 ип п = I
со
и 2 ип сходятся абсолютно и их суммы соответственно равны S и о, п = I
то ряд, составленный из всех произведений вида UtUk Ц, 6=1, 2, ...), взятых в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и его сумма равна S • а — произведению сумм перемножаемых рядов.
Доказательство этой теоремы мы опускаем.
Ряд, составленный -из всевозможных произведений вида
UtUk (i, 6=1, 2, ...),
называют произведением абсолютно сходящихся рядов 2“» и £vn.
На практике часто умножение рядов производят по следующей схеме:
2 «» • 2 У,. = (“1-г«24-«з-Ь-.-гЫя-г...)(У1-гОе + у3-г...+ л = 1 Л = 1
+ • • • + ип -г • • •) = «1У1 + («1Уа + «2»1) + («1Уз + «з»2 + «зУ1) +
-|-...-{-...-{-...-j- («1У„ -р ЦоУл-1 + . . . + U„U1) -j- .. .
Следует иметь в виду, что если производить умножение условно сходящихся рядов только что указанным способом, то в результате умножения можно получить расходящийся ряд.
Ряды с комплексными членами
Пусть 2Ь 2$, z3, „., zn, ... (zn = xn^-iyn) — бесконечная последовательность комплексных чисел. Число г = х-\-1у называется пределом последовательности {zR}, если для любого числа е)>0 найдется такой номер ^ = ^(e), что при n">N выполняется неравенство |z— z„Ke.
Геометрически это означает, что для любого числа е)>0, начиная с некоторого номера, зависящего от е, все члены последовательности попадут в круг радиуса е с центром в точке z, вне круга останется лишь конечное число членов последовательности. Тот факт, что число z является пределом последовательности, записывают так: limz„ = z или zn-^z, и говорят, что последовательность {z„} сходится к г. В противном случае последовательность {zn} называется расходящейся. Так же как и для последовательности действительных чисел, доказывается, что сходящаяся последовательность комплексных чисел не может иметь более одного предела. Это утверждение можно доказать, например, используя теорему, устанавливающую связь между сходимостью последовательности {z„} и сходимостью действительных последовательностей
хь хг, ..., хп, ... (X„ = ReZ„)
Уъ Уг, Уп, ... Vjn=^mznyY
Теорема. Для сходимости последовательности {z„} необходимо и достаточно, чтобы сходились последовательности {х„} и {уп}.
Прежде всего заметим, что из определения модуля комплексного числа z = x-\-iy вытекают следующие неравенства:
|хКИ = /^+^<хЦ-|У| | |уК|2|=/х2 + уа^|хЦ-|у|)' которые в дальнейшем будут неоднократно использоваться.
Доказательство необходимости. Пусть z —lim zB. На основании (1) имеем:
k — Xn\^\z — 2„|, \у — У„|^|2 — Z№\.
Так как zn-z, то для любого е^>0 найдется номер N, такой, что неравенство \z — z„Ke будет выполняться для n^>N, откуда получаем, что
k — х„|<е, \у — уп\<б для n>N, а это и означает сходимость последовательностей {х„} и {у„} соответственно к х и у.
Доказательство достаточности. Пусть хп->х, у-^у. Рассмотрим z — x-\-iy. На основании неравенства (1) запишем:
|2 — zn\^\x — х„|-Цг/ — уп\.
По условию хп-*х, уп-*у, т. е. для любого числа е^О существует номер Nt, такой, что неравенство \х— хп Ку выполняется при n^>Nt и номер N%, такой, что неравенство \у— УпКу выполняется при n^N^. Тогда при n">N, где N— наибольшее из чисел Nt и N^, выполняются оба неравенства и, следовательно,
|2— 2„|<у + у=е hPH ^>N, т. е. последовательность {г„} сходится к z.
Критерий Коши. Для сходимости последовательности {z„} необходимо и достаточно, чтобы для любого числа е^О существовал такой номер N, что при n">N и любом целом р^О выполнялось бы iz^p— z„Ke.
Доказательство получается непосредственно, если учесть только что доказанную теорему, критерий Коши для последовательности действительных чисел и воспользоваться неравенствами:
I -^n+p^п 1 ^ I ^п+р 2п | ^ | ^п+р ^п I Ч~ 1 Уп+рУп I >
I Уп+р Уп I ^^ l^n+р^п I ^= l^n+p ^п I Ч~ I Уп+рУп I •
Предлагается привести эти рассуждения самостоятельно.
Рассмотрим ряд wt 4-^4“ ^зЧ~-- -Ч- ^«Ч-- •• (wn = un-riun) с комплексными членами.
Ряд 2 wn называется сходящимся, если сходится последователь- п = 1 п
ность {£Д, Sn= 2 wn> частных сумм ряда. к = 1
Если limS„ = S, то число S называется суммой ряда и в этом случае записывают: S= У, ш„. Если последовательность {£„} расходится, п = 1 то ряд называется расходящимся.
Ряду S^n с комплексными членами соответствуют два действительных ряда: £ип (u„ = Rety„) и ^vn (t>„=Imm„).
Теорема. Для сходимости ряда 31wn необходимо и достаточно, чтобы СХОДИЛИСЬ ряды Sun И И°п-
Из критерия Коши для последовательности с комплексными членами получаем критерий Коши для ряда с комплексными членами:
Для сходимости ряда V,wn необходимо и достаточно, чтобы для любого е)>0 существовал такой номер N, что при n^>N и любом целом р_>0 выполнялось бы неравенство
I Wn^t + Wn^ Ч-... Ч- Wn+p I < е.
Действительно, критерий Коши для ряда получается сразу же, если учесть, что
^п^р — S„ = Шп+1 Ч- СУп+»-|- .. .4" wn+p-
Пусть £|ш„|— ряд из модулей членов ряда ^шп. Так же как и для рядов с действительными членами, с помощью критерия Коши доказывается теорема: если ряд Sl^nl сходится, то сходится и ряд ^шп.
Ряд ^wn называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд StoJ, если же ряд Sl^nl расходится, а ряд ^wn сходится, то ряд V,wn называется неабсолютно сходящимся.
Легко видеть, что к рядам с комплексными членами применимы признаки сходимости Даламбера и Коши, сформулированные на стр. 599.
” Л -L. АП
Пример. Ряд У :—I—сходится абсолютно, так как, применяя признак п-\п'"
Даламбера к ряду из модулей его членов, получим:
п — ОО I ип I п —оо кп + 1) Н 1 + 1 l”п — оо ”+1 п—оо л+1
Теорема. Для абсолютной сходимости ряда ^wn необходима и достаточна абсолютная сходимость рядов У,ип и ^ип.
Легко доказать эту теорему, воспользовавшись неравенствами
|«л|^|^|^|иП1Ч-|иП|>
IУ J I w „ I ^ I ип IЧ-1 Уп I
и признаком сравнения для рядов с неотрицательными членами.
Из этой теоремы, а также из теоремы о перестановке членов абсолютно сходящихся рядов с действительными членами получаем теорему: в абсолютно сходящемся ряде ^wn любая перестановка членов ряда сохраняет абсолютную сходимость ряда и величину его суммы. Также можно показать, что в сходящемся ряде ^wrt любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка, сохраняет сходимость ряда и величину его суммы. В абсолютно сходящемся ряде £ш„ допустима любая перестановка и группировка членов ряда.
Не доказывая, заметим, что теоремы об умножении сходящегося ряда на число, в общем случае комплексное, о сложении сходящихся рядов и теорема об умножении абсолютно сходящихся рядов остаются справедливыми и для рядов с комплексными членами.
Раздел 2
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
§ 6. Сходимость и равномерная сходимость
Рассмотрим бесконечную последовательность функций
AM, АМ, АМАМ, ....(1)
непрерывных на некотором промежутке.
Положив х = х0 (х0 из рассматриваемого промежутка), получим числовую последовательность АМ), АМ), .... АМ), -•-, которая может сходиться, а может расходиться. Если эта последовательность сходится, то говорят, что функциональная последовательность (1) сходится при х = х0. (или в точке х0). Пределом этой последовательности будет число, зависящее от выбранного значения х=х. При одних значениях х последовательность (1) может сходиться, а при других — расходиться. Совокупность всех значений х, для которых последовательность (1) сходится, называется областью сходимости этой последовательности.
Так как для каждого значения х из области сходимости последовательности пределом будет число, то в области сходимости последовательности (А М} определяется функция ) (х) — предел функциональной последовательности. В этом случае говорят, что функциональная последовательность {А М} или, что то же, последовательность функций {А М}, сходится к функции ) (х) в соответствующей области и записывают так:
/ (х) = lin^f „ (х) или fn (х) / (х).
Пример 1. Рассмотрим последовательность
1, х, х2, ..., х"-1, ...
,(° ПРИ I х ! < 1,
hm хп-1 = <
П ООI 1 при х = I.
При х =—1 и ix|>l последовательность расходится, следовательно, областью сходимости является полуинтервал (— 1, 1]. Предельная функция:
= f ° ПрИ 1 <L
I 1 при Х= 1.
Пример 2. Последовательность {/п (х) } = { cos” х) сходится при всех значениях х, кроме х = (2й + 1)я (й = 0, ± 1, ±2,...), так как
( 0 при Хт^йп (й— целое),lim cos"x = <
n —> сопри х = 21г-к (й— целое).
Пример которойПример которой3. Для последовательности функций е~х, е 2Х,3. Для последовательности функций е~х, е 2Х,е пх,..., пределе пх,..., пределlim е-пх =П —► ООlim е-пх =П —► ООО при х > О, 1 при х = 0,О при х > О, 1 при х = 0,
Пример которой
Пример которой
3. Для последовательности функций е~х, е 2Х,
3. Для последовательности функций е~х, е 2Х,
е пх,..., предел
е пх,..., предел
lim е-пх =
П —► ОО
lim е-пх =
П —► ОО
О при х > О, 1 при х = 0,
О при х > О, 1 при х = 0,
областью сходимости является совокупность неотрицательных значений х, х^О.
Пример 4. Последовательность {/п (х)} = { п”хп} сходится только в одной точке х = 0 и ее предел в этой точке равен нулю, так как при любом х, отличном от нуля, начиная с некоторого п, выполняется неравенство |/гх!>1.
Ради простоты будем рассматривать сходимость функциональной последовательности иа отрезке, хотя все понятия и теоремы этого параграфа переносятся на любой промежуток.
Учитывая определение предела числовой последовательности, можно следующим образом определить сходимость функциональной последовательности.
Последовательность {fn (х)} сходится к f(x) па отрезке [а, 6], если для любого числа е(е‘^>0) и любой точки х из рассматриваемого отрезка существует номер N = N (е, х), такой, что неравенство
\fW-fn ИК®
выполняется при n^>N. Заметим, что при заданном е)>0 номер N зависит от е и рассматриваемого значения х отрезка [а, 6].
При выбранном е^>0 каждой точке отрезка [а, 6] соответствует свой номер и, следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка [а, 6], будет, вообще говоря, бесчисленное множество. Если из всех этих номеров можно выбрать наибольший (как известно, это можно сделать не всегда, если
чисел N бесконечное множество), то этот номер будет «годиться» для всех точек отрезка [а, 6], т. е. будет общим для всех точек этого отрезка.
Если для каждого е^>0 можно выбрать номер N, «годный» для всех точек отрезка [а, 6], то мы имеем так называемую равномерную сходимость последовательности на отрезке [а, 6]. Итак, последовательность {/„(х)} равномерно сходится к f (х) на отрезке [а, 6], если для любого числа е^О найдется номер N=N^, такой, что неравенство |/(х)—fntoKe выполняется при n"^>N для всех точек отрезка [а, 6].
Таким образом, для всех х отрезка [а, 6] выполняются неравенства fto-e</„(x)<f(x) + e(2)
при ц^>Лг(е). Пусть е — какое-нибудь положительное число; «s-полоской» графика функции / (х) на отрезке [а, 6] называется совокупность точек (х, у) плоскости, координаты которых удовлетворяют условиям: а^х^Ь, /(х) — e<y<f (х)+ е.
Если учесть неравенства (2), то равномерная сходимость последовательности {fn (х)} к функции f (х) на отрезке [а, Ь"\ геометрически означает: какую бы «s-полоску» графика функции /(х) ни взяли, графики функций /„ (х) при n>N на отрезке [а, 6] не выходят из этой полоски (рис. 433).
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Последовательность
sin х sin 2х sin пх
сходится на всей числовой оси к функции /(х) = 0, так как sin пх п•
пт— = 0,—оо<х< -+-оо.
Графики функций этой последовательности изображены на рис. 434.
Сходимость последовательности (3) — равномерная на любом отрезке [а, 6]. Действительно, рассмотрим какой-нибудь отрезок [а, 6] и возьмем е-полоску графика функции /(х) = 0 на этом отрезке. Нетрудно видеть, что графики всех членов последовательности, кроме, возможно, конечного числа их, на отрезке [а, 6] попадут в эту полоску. Равномерную сходимость последовательности (3) иа отрезке [а, 6] можно доказать и аналитически. В самом деле, возьмем любое числовых) и определим п
внутри е-полоски графикавнутри е-полоски графика
внутри е-полоски графика
внутри е-полоски графика
I л sin пх I -„I n sin пх I , 1
из неравенства О— Так как О— ^ —, т0 ПРИ п* удовлетворяющих усиленному неравенству -^-^е» n2>Y’ выполняется и исходное неравенство. Поэтому, для заданного е^>0 неравенство О— <^е выполняется для всех точек отрезка [а, о] при nj>N, где N— натуральное число, не меньшее угТ. е. N зависит только от е.
Последовательность |81 "^ | сходится равномерно и на промежутке — оо<^х<^Ц- оо.
Пример 2. Рассмотрим последовательность функций х, х2, х3,...,
хп,... на отрезке [0, 1]. В этом случае
,. .„(0 при 0^х<1,
г (х) — hm хп=Ц
п — а> ( 1 при Х = 1.
1]1]Последовательность {х”} на отрезке [О,
1]
1]
сходится неравномерно, так как, какую бы е-полоску (0<е<Х) графика функции f (х) мы ни взяли, графики всех функций последовательности иа отрезке [0, 1] выходят из нее (рис. 435). Но сходимость будет равномерной на любом отрезке [0, а] при а<Д. Действительно в этом случае для любого е^>0 графики всех функций последовательности {х”}, кроме конечного числа их, находятся
функции /(х) = 0. Здесь только лишь конечное число графиков функций последовательности {х"} пересекает прямую у = ^ на отрезке [0, а] (все остальные графики пересекают прямую у = е вне отрезка [0, а]).
Теперь этот же результат получим аналитически. Из определения равномерной сходимости последовательности непосредственно следует: если последовательность равномерно сходится иа отрезке [а, 6], то она равномерно сходится на любом промежутке, принадлежащем этому отрезку, в частности на интервале (а, 6) и на каждом полуинтервале с концами а и Ь. Поэтому достаточно показать, что последовательность {хп} сходится неравномерно на полуинтервале [0, 1).
Возьмем любое число е>0 и рассмотрим неравенство |0— х”Ке или, что то же, х"<^е, так как 0^х<1. Если х = 0, то неравенство
х"<'е выполняется при всех п, если 0<^х<^1, то, взяв обратное нера- венство1)и прологарифмировав его, получим:
n In —,
Xе
откуда определится
1п —
П>—р.
In —
Следовательно, если за N принять натуральное число» не меньшее
1п"Г
—(Л/ зависит от г и х), то в каждой точке интервала (0, 1) при n^N In — X
будет выполняться неравенство |0—хп\<^е.
Здесь N является функцией ей х, N = N (г, х), при х->1 ^->coи общего N для всех точек полуинтервала [0, 1) (или отрезка [0, 1]) выбрать нельзя. Таким образом, сходимость последовательности неравномерная на отрезке [0, 1].
Нетрудно видеть, что на отрезке [0, а], при а<Д, последовательности {хД сходится равномерно, в этом случае оказывается можно выбрать номер N, общий для всех точек отрезка [О, а], достаточно за N принять
1п р натуральное число, не меньшее —
1п — а
Критерий Коши равномерной сходимости последовательности. Для того чтобы последовательность функций Л (х), ^(х^ /„(х),...была
равномерно сходящейся на отрезке [а, 6], необходимо и достаточно, чтобы для любого числа е^>0 существовал такой номер N=N(e'), зависящий только от е, что при п^ N и любом целом р^>0 неравенство
\fa+P^ — f„(x)Ke выполнялось бы для всех х отрезка [а, 6].
Доказательство необходимости. По условию fn (х) — f (х) равномерно на отрезке [а, 6], следовательно, для любого числа е^>0 существует номер М = Л/(е), такой, что при п > N и всех х отрезка [а, Ь] выполняется неравенство
!f to-Л, to Ку-
Если п^> N и р — любое целое положительное число, то неравенство |/(х)— fnp(x) Ку также выполняется для всех х отрезка (а, £>].
Следовательно, для всех х отрезка [а, 6] при n^N и любом целом положительном р, имеем:
£. £2" + 2 e’£. £2" + 2 e’I f^p (я) — f„ to I = I Vfa.p W — f (х)] + [/ (х) — f„ (X) ] ! ^
£. £
2" + 2 e’
£. £
2" + 2 e’
^ I Up to — f W 1 + I f to — fa to i
T. e. Mn^pW — fn(x)\<e.
(4)(4)Доказательство достаточности. По условию для любого числа е^>0 найдется номер N, такой, что при n^>N и целом р^> 0 для всех х отрезка [а, 6] выполняется неравенство
(4)
(4)
I fn;p to— fa to Ку
Следовательно, условие (4) выполняется для каждого фиксированного значения х отрезка [а, 6]. Но при фиксированном х условие (4) является условием критерия Коши сходимости числовой последовательности, соответствующей рассматриваемому значению х. Учитывая это, получим, что последовательность {/„(х)} сходится в любой точке отрезка [а, 6], т. е. она сходится на отрезке [а, 6]. Пусть на этом отрезке lim fn (x)=f(x).
Чтобы доказать равномерную сходимость последовательности {fn (х)} на этом отрезке [а, 6], перейдем к пределу при р-^оо в неравенстве (4), которое выполняется при всех х отрезка [а, Ц.
Тогда получим неравенство | f (х) — fn (х) | $5 -|- <е, справедливое при n>N и всех х отрезка [а, 6], а это означает, что последовательность Un(xH сходится к функции /(х) равномерно на отрезке [а, 6].
Функциональные ряды. Функциональным рядом называется ряд
и1 (х) + ы2 (х) -f- • • . + «П (х) +. . .
или, что то же, У, «„(х), членами которого являются функции от х, п = 1
определенные на некотором множестве. Функция ип (х) называется общим членом ряда.
Частными (или частичными) суммами ряда У ип (х) называются п = I
функции Sn (х) = У uh (х) (п=1, 2,...).
к = I
Функциональный ряд У ип (х) называется сходящимся при х = х0 п = I
(в точке х0), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм:
У (х0), S2 (х0), ..., S„(x0),...
Или, другими словами, функциональный ряд 2 ип (х) сходится при п = I
х = х0, если сходится числовой ряд У ип(хйу Предел последователь- п = I
ности { Sn (х0)}, обозначим его f (х0), называется суммой ряда У ип (х) п = I
в точке х0. Совокупность всех значений х, для которых сходится ряд
, «„(х), называется областью сходимости этого ряда. п = 1
Учитывая определение сходимости ряда в точке, получим, что область сходимости ряда У ип (х) является областью сходимости последователь- п = 1
ности {Sn (х)} его частных сумм; сумма ряда (определенная в области его сходимости) является пределом последовательности частных сумм этого ряда.
Как и в случае последовательности, сходимость функционального ряда будем рассматривать на отрезке, помня, что в этом параграфе слово «отрезок» можно заменить словом «промежуток».
Пусть lim Sn(x)=/(x) на отрезке [а, 6], тогда /(х) = У ип(х) на п-*со
рассматриваемом отрезке. В этом случае говорят также, что функция f (х) разлагается в ряд на отрезке [а, 6].
Как было сказано, сходимость функционального ряда на отрезке [а, 6] означает, что для любого значения х отрезка [а, 6] соответствующий числовой ряд сходится. Поэтому для исследования на сходимость функциональных рядов можно использовать признаки сходимости числовых
рядов.
Рассмотрим примеры.
_, „VI sin пх
Пример 1. Ряд7 —^— сходится при всех значениях х, так как нера-
п = I со
I sin пх I _ 1,VI 1
венство—^—выполняется при любом значении х и ряд ? —^ сходится.
п = I
Следовательно, по признаку сравнения рядов данный ряд сходится на всей числовой оси.
ОО
Хп
Пример 2. Рассмотрим ряд >.
п = 1
Применяя признак Даламбера к ряду из модулей его членов, получим: v |Х|"+1”3,
hm . , '= I х .
п^оо (" + 1)3|^|"11
Следовательно, при | х | < 1 ряд сходится, при | х | > 1 ряд расходится.
Остается рассмотреть х=1 и х = —1, при этих значениях получаем соответ-
2
1 V (—1)"
^з и 7 пз > которые, как известно, сходятся. Окончательно п = I п = 1 ОО
Хп
получаем, что ряд 1 ^- сходится при |х|^1.
П = 1
Пример 3. Как известно, ряд геометрической прогрессии l+x + xs + ...+
-|-х”-1-|-... сходится только при |х|< 1 и его сумма равна -j—, т. е.
т±-=1+х + х= + ... + х"-+...
при | х | < 1.
Учитывая пример 3, получим, что ряд 2 еПХ1 всюду расходится, так как это п = 1
ряд геометрической прогрессии со знаменателем ех".
Ряд ^ ^—также ряд геометрической прогрессии, он сходится при х, удо- п = 1
влетворяющих условию |-L | < 1, т. е. когда |х|>1.
Область сходимости этого ряда состоит из двух интервалов: (—со, —1) и (1, +оо).
Пример 4. Ряд ^ ^ сходится при х > 1 и расходится при х ^ 1. Область п = 1
сходимости этого ряда — промежуток (1, + ср).
Ряд 2 ип to называется равномерно сходящимся на отрезке [а, &], п = I
если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда. Применяя критерий Коши равномерной сходимости последовательности к последовательности частных сумм ряда, получим критерий Коши равномерной сходимости ряда: для равномерной сходимости ряда 2 ип to на отрезке [а, 6] необходимо и достаточно, чтобы для п = I
любого числа е^>0 существовал такой номер N (е), что при п^ N и
любом целом р>0 неравенство | ип+1 (х) + «п+2 (х) + • • • + и^р (х) | < е выполнялось бы для всех х отрезка [а, 6].
Действительно, это получается сразу же, если учесть, что
Snip И — Sn (х) = ип+1 (х) + «п+2 (х) +... + ип+р (х).
Следует иметь в виду, что выделение из рядов сходящихся рядов равномерно сходящихся, как это будет видно дальше, является существенным, так как равномерно сходящиеся ряды «во многих отношениях» ведут себя так же, как конечные суммы, тогда как о рядах, сходящихся неравномерно, этого сказать нельзя.
Практическое применение критерия Коши для исследования ряда на равномерную сходимость затруднительно, поэтому рассмотрим простой и удобный, в смысле практического применения, достаточный признак равномерной сходимости ряда — признак Вейерштрасса *).
Сначала введем определение. Говорят, что функциональный ряд ООсо
2(X) мажорируется на отрезке [а, 6] числовым рядом 2 а«> если
л = 1Л = 1
неравенство | ип (х) \^ап выполняется при любом п и всех х отрезка [а, 6].
Признак равномерной сходимости Вейерштрасса. Если ряд У, и„(х) п = 1 на отрезке [а, 6] мажорируется числовым сходящимся рядом, то он равномерно сходится на этом отрезке).
Доказательство. По условию ряд У ап сходится, поэтому на п = I
основании критерия Коши для числовых рядов для любого е)>0 существует номер N, такой, что прип^Л/ и любом целом р">0 выполняется неравенство | а„+1 -j- а^ -)-... -|-ап+р | < е, т. е., так как ап 5г 0, неравенство cn+i + ап+% + • • • + ап+р
При n^N и всех целых р^>0
I un+i W + ип+^ (^uП+р(Х)|^
^ I ^л+1 W | -j- | Un+2 (х) | -|- ... —|— | Un+p (x) | ^ Сл+l 4~ Gn+a 4~ • • • 4~ ^n+p "\ e’
для всех x отрезка [a, 6]. А значит, по критерию Коши равномерной сходимости ряда, ряд У ип(х) равномерно сходится на отрезке [а, 6], п = I
что и требовалось доказать.
Нетрудно видеть, что если ряд У ип (х) на отрезке [а, 6] мажори-п = I
руется числовым сходящимся рядом, то он сходится на этом отрезке абсолютно.
равномерно сходятся на всейcos пх |1 „ |1|1п2 п2 И | л2 + х2|<й=’равномерно сходятся на всейcos пх |1 „ |1|1п2 п2 И | л2 + х2|<й=’2 cos пх yi 1 —й2— И п + х2
равномерно сходятся на всей
cos пх |1 „ |1|1
п2 п2 И | л2 + х2|<й=’
равномерно сходятся на всей
cos пх |1 „ |1|1
п2 п2 И | л2 + х2|<й=’
п = 1п = I
числовой оси, так как для всех х1— со С х с -f- со, а ряд ^ ^ сходится.
п = 1
*) Вейерштрасс (1815—1897) — немецкий математик.
00
Пример 2. Ряд ^ “Г равномерно сходится на отрезке [—1, 1], так как п = I
I I 1
г^з ^"^з ПРИ Iх 1^1- При lxl>L как было показано, см. пример 2 на стр. 610,
00
_^з расходится.
п = I
Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов
Теорема о непрерывности предельной функции. Если последовательность функций, непрерывных на отрезке [а, Ь]
AW, AtoAW, , равномерно сходится к функции /(х) на этом отрезке, то /(х)— непрерывная функция на отрезке [а, 6].
Доказательство. Возьмем произвольную точку х0 интервала (а, 6) и докажем непрерывность функции f(x) в этой точке.
По условию теоремы последовательность {А (х)} равномерно сходится к функции /(х) на отрезке [а, Ь], следовательно, для любого выбранного числа £^>0 найдется число п, такое, что для всех точек х интервала (а, 6) выполняется неравенство
l/W — AWKy-
В частности, оно выполняется и в точке х0 и в любой точке х0-|-Дх, принадлежащей интервалу (a, by
Так как fn(x)— непрерывная функция на отрезке [а, Ь], а следовательно, и в точке х0, то для выбранного числа е найдется такое число 8>0, что при |ДхК8 справедливо следующее неравенство
I а ад+^х) fn ад) । < "з" •
При этом
I f ад+м - f (х0) ।=। [/ ад+дх) - а ад+дх» + [а ад+дх) - а ад»+ + [А ад)—f ад)11 ^ । f ад+д^) — fn ад+ дх) । +
+ia ад+дх)-Аад)ЖАад)-^ад)1<у+|+|=е,
т. е. 1/ад + Дх) —/ад)|<£ при |Дх'<8.
Так как sj>0 выбиралось произвольно, то на основании полученного неравенства |/(х0 Д-Дх) — f(x0)|<As> справедливого при |Дх|<^8, заключаем, что f (х) — непрерывная функция в точке х0.
Учитывая, что х0 — любая точка интервала (а, Ь'), получаем непрерывность функции f (х) на интервале (а, Ь\ Так как условия теоремы выполняются на отрезке [а, 6], то нужно доказать еще непрерывность функции /(х) справа в точке х = а и слева в точке х — Ь.
Односторонняя непрерывность функции f (х) на концах отрезка [а, Ь] устанавливается так же, как и во внутренней точке этого отрезка, с той лишь разницей, что при доказательстве непрерывности справа в точке а рассматриваются ДхД>0, а при доказательстве непрерывности слева в точке b рассматриваются Дх<^0.
Таким образом, теорема полностью доказана.
Следует заметить, что условие равномерной сходимости в формулировке теоремы опустить нельзя, так как последовательность непрерывных на отрезке функций может сходиться к разрывной предельной функции на этом отрезке (см. {хД на [0, 1], рис. 435). Из того, что предельная 612
к (х) =к (х) =отрезке [а, 6].отрезке [а, 6].нана
к (х) =
к (х) =
отрезке [а, 6].
отрезке [а, 6].
на
на
функция последовательности непрерывных функций непрерывна на некотором отрезке, не следует равномерной сходимости этой последовательности на рассматриваемом отрезке, т. е. условие равномерной сходимости последовательности является только достаточным для непрерывности предельной функции.
В самом деле, рассмотрим последовательность функций {/„ (х)}, определенных на отрезке [0, 1] следующим образом:
О при х = 0 и y_t d <1, 2" при х = 1.
линейная на интервалах ^0, ^J и ^, -^г
Графики таких функций изображены на рис. 436. Последовательность {АМ} сходится на отрезке [0, 1] к функции f (х) = 0 неравномерно (так как, какую бы е-полоску (0<е<1) графика фун-
кции f(x)=0 на отрезке [0,1] мы ии взяли, графики всех функций последовательности выходят из нее), хотя предельная функция непрерывна на отрезке [0, 1].
Как следствие теоремы о непрерывности предельной функции последовательности получается аналогичная теорема для ряда.
Теорема. Сумма равномерно сходящегося на
СО
отрезке [а, Ь] ряда 2 ип(х) непрерывных функций п = I
есть непрерывная функция на отрезке [а, 6].
Действительно, последовательность {S„ (х)[ частных сумм ряда является последовательностью непрерывных функций на отрезке [а, 6], так как сумма конечного числа непрерывных функций на отрезке — непрерывная функция на этом отрезке.
Кроме того, последовательность (S„ (х)} равномерно сходится на отрезке [а, 6]. Поэтому на основании доказанной теоремы для последовательности заключаем, что сумма ряда — непрерывная функция
Заметим, что это свойство равномерно сходящихся рядов аналогично следующему свойству конечных сумм: сумма конечного числа непрерывных на отрезке функций — непрерывная функция на этом отрезке.
Рассмотрим теперь теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании рядов, отметив их особую значимость для приложений.
§ 7. Интегрирование и дифференцирование функциональныхпоследовательностей и рядов
Теорема. Если последовательность непрерывных функций
АМ, АМАМ,-
на отрезке [а, 6] равномерно сходится к функции /(х) на этом отрезке, то числовая последовательность
»»ъ
5А М dx, А М ^ 5А М dx, ...
ваа
6 сходится и ее предел равен ^f^dx: а
bb
Ит /„ (х) dx = ^ f (х) dx
или, что то же, 6»
lim fn (х) dx = \ Ит fn (х) dx.
П->СОцдЯ^-со
Таким образом, если условия теоремы выполняются, то знаки предела и интеграла можно переставлять.
Доказательство. Так как все функции последовательности {f„ (х)} непрерывны на отрезке и последовательность {fn (х)} равномерно сходится на этом отрезке, то по доказанной теореме f (х) — непрерывная функция на отрезке [а, 6]. А, как известно, интегралы от непрерывных функций существуют.
e6
Теперь докажем, что fn (х) dx -* f (х) dx.
аа
Действительно, по условию fn(x)-+f(x) равномерно на отрезке [а, 6], а это значит, что для любого числа е^>0 существует номер N, такой, что при n^>N для всех точек х отрезка [а, 6] выполняется неравенство \tW — L^\<-bTT-a.
Пусть п — любое натуральное число, удовлетворяющее условию n^>N. Тогда модуль разности интегралов оценивается следующим образом:
bbь
|^(x)dx—5f„(x)dx| = |$[f (х) — f„(x)]dx|^ ааа
Ъ
\fW— fn^\dx^ -Ф — а) = е.
Таким образом, 66
| f (х) dx — ^п (х) dx] <е при n>N. аа
Отсюда получаем:
ъь
Vn (х) dx-+\f (х) dx. аа
Заметим, что в случае неравномерной сходимости последовательности теорема может быть неверна, как это видно на примере последовательности {fn (х)} (рис. 326). Действительно, в этом случае при любом п V„ (х) dx= 1, но ^f (х) dx = 0 и, следовательно, предел последовательности оо
1
{^f„(x)dx} не равен интегралу ^f(x)dx. оо
Как следствие доказанной теоремы для последовательности получается следующая теорема для ряда.
Теорема. Равномерно сходящийся на отрезке [а, Ь] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т. е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [а, 6], сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.
Действительно, пусть f(x) = ut (х) + «2 to + • • • + «n (x) + • • • Ha отрезке [a, b], причем члены ряда непрерывны и ряд сходится равномерно на этом отрезке. Тогда Sn (х) — непрерывная функция на отрезке [a, b], Sn(xWto равномерно на отрезке [а, Ь], и по доказанной теореме для последовательности имеем:
66
(1)(1)lim $ S„ (х) dx = \f (х) dx. n—*-0° a
(1)
(1)
Но для конечного числа слагаемых интеграл от суммы функций равен сумме от интегралов Слагаемых:
66
^ 5„ (х) dx = ^ [uf (х) + «2 to + • • • + un to] dx = aa
bbb
=to ^+^ «2 to ^+• • •+Sto ^x. aaa
При этом равенство (1) запишется так:
б»66
lim ^ Ui (х) dx -[- ^ «2 to dx -|-... -[- $ un (x) dx^ = ^ / (x) dx
ti-»«> aaaa
или так:
6666
Ui (x) dx-[- ^ и^ (x) dx +... -|- § un (x) dx -}-... = ^ / (x) dx, aaaa
oobb
t. e. сумма ряда У, ^Un^dx равна ^f(x)dx или, что то же, п = \аа
oo bb оо
У, 5 ип W dx = 5 2 ип to dx.
п=I аа 1
Заметим, что полученное свойство аналогично свойству конечной суммы: интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых.
Пример. Ряд 1 + х + х3 + ••• + хп + ... сходится равномерно на отрезке Г 1 * 11„Г 1 1 1
— —, у , так как | х" | ^ ^ , т. е. данный ряд мажорируется на отрезке^ , у!
числовым сходящимся рядом ^ ^. Как известно, п=о
14-x4-x= + ... + x"4-... = p--ly npH |х|<1.
Интегрируя этот ряд на отрезке |^0, -^-j, получим:
22
С ^^^ С (1+х + х3+... + х«+ ...)dx
или
2
О
Перейдем теперь к дифференцированию последовательностей.
Прежде всего заметим, что если последовательность дифференцируемых функций ft(.x), fi^x), ..., fn (х), ••• равномерно сходится к фуик-
ции Цх) на отрезке [а, 6], то последовательность производных этих функций: ^ (х), f(x), ..., /п(х),... может не сходиться к функции f (х) на этом отрезке. Это подтверждается примером последовательности функций:
. sin 2х sin Зх sin пх
S1HX, S, 5, ... , ,
2оП
(рис. 324), которая сходится к функции /(х) = 0 равномерно на любом отрезке [а, 6] между тем как последовательность производных этих функций:
cos х, cos 2х,..., cos пх,...
расходится в точках х= (2/?-[-1) я (к— любое целое число).
Теорема. Если последовательность непрерывно дифференцируемых функций Л(х), f2(x) fn(x), ... сходится к функции f(x) на отрезке
[а, 6], а последовательность производных этих функций
ftW, f»WfU*),
равномерно сходится на этом отрезке, то ее предел равен f (х).
Итак, дано: fn(x) ->f (х) на отрезке [а, 6],
fn (х) -> F (х) равномерно на отрезке [а, 6].
Докажем, что F (х) = f (х) или, что то же, докажем, что Нт fHx) = f (х) = [ lim f„ (х)]'.
П—*СОп—*00
Таким образом, если условия теоремы выполняются, то знаки производной и предела можно переставлять.
Доказательство. Пусть х0 — какая-нибудь фиксированная точка отрезка [а, 6], а х— любая точка этого отрезка. Последовательность {fn (х){ равномерно сходится к функции F (х) иа отрезке с концами х0 и х, поэтому по теореме об интегрировании равномерно сходящейся последовательности имеем:
XX
5 fn (X) dx -> ^ F (х) dx
XqXq
ИЛИ
fП W — fn (х0) F(x) dx.(2)
Так как по условию последовательность {/«(х)} сходится к /(х) иа отрезке [а, 6], то
fn (х) — fn (х0) -> f (х) — f (х0).
В силу единственности предела последовательности, будем иметь:
f (х) — f (х0) = F (х) dx,
откуда на основании теоремы о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом окончательно получаем f (x) = F(x), что и требовалось доказать.
Нетрудно видеть, что теорема остается справедливой и в случае, если в ее формулировке заменить «отрезок» на «интервал».
Заметим, что условия доказанной теоремы можно несколько ослабить, заменив условие сходимости последовательности {/„ (х)} на отрезке [я, 6] условием сходимости этой последовательности лишь в какой-нибудь точке рассматриваемого отрезка.
Действительно, если с самого начала проследить доказательство этой теоремы, то нетрудно увидеть, что до соотношения (2) нигде не использовалась сходимость 616
последовательности {/„ (х)}. Если за точку х0 взять данную точку сходимости последовательности Vn W} и положить, что в ней предел последовательности равен A, fn {х„) — А, то из соотношения (2) следует:
fn ( v) — Л 4- F (х) dx,(3)
где х—любая точка отрезка [а, 6], а это означает, что последовательность {/„(х)} сходится на отрезке [а, 6]. Обозначим ее предел через /(х), тогда из соотноше
ния (3) получим / (х) = А + $ ^(х) dx (а ^х^ 6), откуда /'(х)=/г(х) на отрезке [а, 6], что и требовалось доказать.
Как следствие доказанной теоремы получаем теорему для ряда. Если члены ряда
Uito + «atoH- ••• -г«„ W4-...
— непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [а, 6] и ряд сходится к функции fix') на отрезке [а, 6], а ряд и\ (х) -{-и» (х) + ...-|- -гип (х) -j- ... равномерно сходится на этом отрезке, то его сумма равна f (х), т. е.
fW=Su«W-(4)
п = \
Заметим, что равенство (4) можно записать следующим образом:
(2)== Sto*(^)
п =1п —I
ОО
Если ряд 2 ип to иа отрезке [а, 6] удовлетворяет соотношению (5), то
говорят, что ряд этот можно почленно дифференцировать.
Таким образом, если условия теоремы выполняются, то ряд можно почленно дифференцировать.
Действительно, из условия теоремы получаем: S„ (х) -^-/(х) на отрезке [а, 6], и последовательность {S^ to} равномерно сходится на этом отрезке.
Так как
s;(x)=u; (х)-{-«г (х)-]-...+«; (х)
и по доказанной теореме для последовательности
s« to -* f to
на отрезке [и, 6], то окончательно получим:
2 u;(x)=f to, п= I
что и требовалось доказать.
Таким образом, если условия теоремы выполняются, то ряд ведет себя аналогично конечной сумме: производная суммы функций равна сумме производных этих функций.
„, п VI sin пх„„I sin пх I _ 1
Пример 1. Ряд 7 ;—сходится на всей числовой оси,так как ;—-
cos пхп- ’на всейcos пхп- ’на всейЛ= 1
cos пх
п- ’
на всей
cos пх
п- ’
на всей
для любого значения х. Обозначим сумму этого ряда через f(x). Ряд ^
п = 1
полученный из данного дифференцированием его членов, равномерно сходится
оз
мажорируется на проме-мажорируется на проме-„I cos nx I 1VI cos nx
мажорируется на проме-
мажорируется на проме-
числовой оси, так как ;—, т. е. ряд у 5—
я- я2’п-
П = 1
жутке (ОО, + ОО) ЧИСЛОВЫМ СХОДЯЩИМСЯ рядом 2 ~г-
Следовательно, по доказанной теореме:
cos п хcos п х
cos п х
cos п х
Пример 2. Рассмотрим пример всюду расходящегося ряда, для которого ряд из производных его членов равномерно сходится на всей числовой оси. Ряд ^ cos -^- п = 1 удовлетворяет этим условиям.
Действительно, он всюду расходится (так как общий член ряда cos ^—>cosO=
— I), а ряд из производных членов данного ряда / \^— равномерно сходится
на всей числовой оси (так как он мажорируется сходящимся рядом ^ ^.
п = I
Заметим, как и в случае последовательности, что если ряд сходится хотя бы в одной точке х0, а ряд из производных его членов равномерно сходится на некотором отрезке, содержащем точку х0, то ряд сходится на этом отрезке и можно показать, что сходимость будет равномерной на рассматриваемом отрезке.
Понятие о функциональных рядах в комплексной области
Комплексная переменная w называется функцией комплексной переменной (аргумента) z [обозначается ш=Це\ или ш = <р(г) и т. д.], если каждому значению г из некоторого множества комплексных чисел по определенному закону ставится в соответствие комплексное число—значение переменной w.
При этом множество значений, принимаемых переменной z, называется областью определения функции w = f(z)1).
В частности, областью определения функции су = /:(г) может быть вся плоскость, полуплоскость, круг, часть плоскости, ограниченная некоторой замкнутой кривой, и др.
Рассмотрим ряд
Ы1 (2) Ч- иг (2) +• • • 4~ ип (z) “Ь- ••(1)
ОО
или, короче, 2 ип U'). членами которого являются функции комплексной п = I
переменной z, определенные в некоторой области D. Возьмем какую- нибудь точку z0 из области D и подставим ее в ряд (I), тогда получим ЧИСЛОВОЙ ряд ^Un^ZeY Если ряд 2U«(Z°) СХОДИТСЯ> ТО говорят, что п =Iп=I
ряд (1) сходится в точке z0.
Совокупность всех значений z, при которых ряд (1) сходится, называется областью сходимости этого ряда.
*) Если вместо комплексной переменной z рассматривать действительную переменную t, то придем к понятию комплексной функции действительного аргумента t. 618
Таким образом, для каждой точки г области сходимости ряда (1) определяется число — сумма ряда, которая зависит от рассматриваемой точки z.
Следовательно, в области сходимости ряда (1) определится функция, обозначим ее через f(z),—сумма ряда (1). Таким образом, f(z) =
= У цп (z) в области сходимости ряда.
п= 1
Заканчивая на этом рассмотрение произвольных функциональных рядов, переходим к изучению специальных видов функциональных рядов, а именно, степенных и тригонометрических. Эти ряды, как наиболее изученные и наиболее простые в смысле их практического применения, получили широкое распространение.
Раздел 3
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Интервал сходимости и характер сходимости степенного ряда
Степенным рядом называется ряд вида:
а0 -г ai (2 — а) + а2 (z — ар 4-... 4-aR (г — а)” -}-...
или, короче, f]a„(2-a)",(1)
где а„(п = 0, 1, 2, ...) — комплексные числа, называемые коэффициентами ряда, а — некоторое комплексное число, z — комплексная переменная. Степенной ряд (1) называют еще рядом по степеням разности z— а.
Если а = 0, то получим степенной ряд вида
Sa«z"<2>
71=0
или ряд по степеням z. Ряд (1) приводится к ряду (2) с помощью подстановки г — а = /. По этой причине мы и будем сначала изучать
степенной ряд вида 2 ап^-
п = 0
Если допустить только действительные значения для коэффициентов ряда и переменной, то получим степенной ряд в действительной области,
или действительный степенной ряд, он имеет вид ^V”- п= 0
со
Будем сначала рассматривать комплексный степенной ряд У, anzn.
л=0
Область сходимости такого ряда устанавливается с помощью следующей теоремы Абеля ).
Если степенной ряд ^anzn сходится при z = z0 (z0 ^ 0), то он сходится, и притом абсолютно, для всех г, удовлетворяющих условию И < | 20 |.
Или, другими словами, из сходимости ряда в точке z0 следует его абсолютная сходимость внутри круга с центром в начале координат и радиусом |z0| (рис. 437).
Доказательство. Так как ряд ^апгЧ сходится, то anzna ->-0 и, п — 0
следовательно, найдется такое число Л4^>0, что при всех п будет выпол
— . Так как оно выполняется при— . Так как оно выполняется прилюбом z,любом z,няться неравенство \anz^ <М (члены ряда ограничены). Рассмотрим
— . Так как оно выполняется при
— . Так как оно выполняется при
любом z,
любом z,
тождество | anzn | = | anzn0 | то при любом z имеем:
|a„z"|<^|a„z"|<^
|a„z"|<^
|a„z"|<^
которого | 2 I <^ | z0 |, тогда — = ?, I 2о I| anzn \<^Mqn. Так как ряд У, Mqn п = 0которого | 2 I <^ | z0 |, тогда — = ?, I 2о I| anzn \<^Mqn. Так как ряд У, Mqn п = 0Пусть z — любое число, для
которого | 2 I <^ | z0 |, тогда — = ?, I 2о I
| anzn \<^Mqn. Так как ряд У, Mqn п = 0
которого | 2 I <^ | z0 |, тогда — = ?, I 2о I
| anzn \<^Mqn. Так как ряд У, Mqn п = 0
0<^?С1, и, следовательно,
(0<?<1) сходится, то по признаку сравнения рядов сходится и ряд
Рис. 437.Рис. 437.2 I апгП I или, что то же, ряд п = 0
Рис. 437.
Рис. 437.
2 anzn абсолютно сходится. л = 0
Но z выбиралось произвольно, лишь бы удовлетворялось условие |2|<|z0|. Учитывая это, заключаем, что степенной ряд У anzn абсолют- п = 0 но сходится в любой точке 2, удовлетворяющей УСЛОВИЮ |Z|<^|Zo|, что и требовалось доказать.
Следствие. Если степенной ряд расходится или иеабсолютно
сходится при z = zb то он расходится и при всех z, удовлетворяющих условию iz|^>|z!|. Или, что то же, из расходимости (или неабсолютной сходимости) степенного ряда в точке zt следует расходимость его вне круга радиуса | zx | с центром в начале координат (рис. 437).
В самом деле, допустив сходимость ряда в какой-нибудь точке z2, для которой Izal^lzJ, получим по теореме Абеля абсолютную сходимость ряда во всех точках z, для которых 121 <^| z31, в частности и в точке zb что противоречит условию. Следовательно, в точке z2 степенной ряд расходится. Полученное противоречие доказывает следствие.
Ниже будет рассмотрен вопрос об области сходимости степенного
ряда У a„z". 7^ = 0
Прежде всего заметим, что в точке z = 0 каждый степенной ряд сходится и его сумма равна а0. При этом возможны следующие случаи.
Степенной ряд У anzn может сходиться только в одной точке
л = 0
2 = 0.
Например, ряд У nnzn сходится только при 2 = 0, так как если п= I
2^0, то | nnzn | = (и | z |)" не стремится к нулю (п| z | > 1, начиная с некоторого п).
Степенной ряд может сходиться при любом значении 2, т. е. во всей плоскости.
Например, возьмем ряд 1+'п + '||_г----г^[_г •••• Так как
Иглп — ооИглп — оо, 1—-„ = 2 hm(n + 1)! |z 1 1 „^а, 1—-„ = 2 hm(n + 1)! |z 1 1 „^а1<» + О1<» + ООО1,1,
Игл
п — оо
Игл
п — оо
, 1—-„ = 2 hm
(n + 1)! |z 1 1 „^а
, 1—-„ = 2 hm
(n + 1)! |z 1 1 „^а
1
<» + О
1
<» + О
О
О
1,
1,
то по признаку Даламбера ряд сходится при любом z.
Степенной ряд может иметь точку сходимости, отличную от нуля, и точку расходимости. Например, ряд геометрической прогрессии 1+z-|-22+ ... 4-2"-|- ... сходится при z=y и расходится при 2 = 2.
О Г,Гд R Rg R/ XРис. 438.ОДИМОСТИ, ТО ПОЛОЖИМ Го =О Г,Гд R Rg R/ XРис. 438.ОДИМОСТИ, ТО ПОЛОЖИМ Го =Последний случай рассмотрим более подробно. Пусть степенной ряд ^апгп имеет точку сходимости, отличную от нуля, и точку расходимости, л = 0 следовательно, по теореме Абеля и следствию из нее существует бесчисленное множество точек сходимости и точек расходимости, в частности, существуют положительные точки сходимости и точки расходимости.
О Г,Гд R Rg R/ X
Рис. 438.
ОДИМОСТИ, ТО ПОЛОЖИМ Го =
О Г,Гд R Rg R/ X
Рис. 438.
ОДИМОСТИ, ТО ПОЛОЖИМ Го =
= -!- 2 ’’ R» = Ri' еслн же ‘ 2 1—точка расходимости, то положим r3 = rx, R3 = ^^1. Аналогично введем числа r3, R3 и т. д., получим две монотонные последовательности:= -!- 2 ’’ R» = Ri' еслн же ‘ 2 1—точка расходимости, то положим r3 = rx, R3 = ^^1. Аналогично введем числа r3, R3 и т. д., получим две монотонные последовательности:Возьмем какую-нибудь положительную точку сходимости гх и положительную точку расходимости Rx. Ясно, что rx < Rx (рис. 438). Если ^-^^- является точкой Г I рГ I р
= -!- 2 ’’ R» = Ri' еслн же ‘ 2 1—точка расходимости, то положим r3 = rx, R3 = ^^1. Аналогично введем числа r3, R3 и т. д., получим две монотонные последовательности:
= -!- 2 ’’ R» = Ri' еслн же ‘ 2 1—точка расходимости, то положим r3 = rx, R3 = ^^1. Аналогично введем числа r3, R3 и т. д., получим две монотонные последовательности:
ИИГ1^Г2^Г$^ ...
И
И
R1 R2 === Rs • •
Первая последовательность является последовательностью точек сходимости ряда, вторая — последовательностью точек расходимости ряда. Эти последовательности сходятся, как монотонные и ограниченные, при этом они имеют общий предел, так как Rn — r„ = ^„^1 -»0.
Обозначим через 7? = Iimrn = lim7?n и докажем, что в круге |z|<^7? ряд сходится, и притом абсолютно, вне этого круга, т. е. для |z ])>/?, ряд расходится.
Действительно, пусть точка г лежит внутри круга |z|<^P, тогда при достаточно большом п выполняется условие |z|<y„. Если учесть, что гп — точка сходимости ряда, то по теореме Абеля ряд абсолютно сходится в точке z.
Если же точка 2 лежит вне круга, т. е. | 2 [ Д>/?, то при достаточно большом п имеет место неравенство |zO??„. Так как в точке Rn ряд расходится, то по следствию из теоремы Абеля ряд расходится и в точке 2.
Таким образом, ряд сходится абсолютно внутри круга радиуса R с центром в точке z = 0 и расходится вне его. Этот круг называется кругом, сходимости степенного ряда. Говоря о круге сходимости, будем иметь в виду только внутренние точки этого круга. Радиус круга сходимости называется радиусом сходимости степенного ряда. О сходимости степенного ряда на окружности | z | = /? (R — радиус сходимости) в общем случае ничего сказать нельзя. Здесь, в зависимости от ряда, могут представиться различные случаи.
00
Таким образом, областью сходимости степенного ряда 2 ап2” п = 0 является круг радиуса R с центром в точке z = 0 (точнее, внутренность этого круга и, быть может, некоторое множество точек окружности | z | = R).
Если степенной ряд У anzn, как в примере 1, сходится только п =0
в одной точке (г —0), то полагают R = 0, если же степенной ряд сходится в любой точке z, то полагают R = co и говорят, что круг сходимости степенного ряда в первом случае вырождается в точку, а во-вто- ром случае является всей плоскостью.
Для практического определения радиуса сходимости степенного ряда в простейших случаях применяют признак Даламбера или Коши к ряду из модулей его членов. Последнее возможно, так как степенной ряд абсолютно сходится внутри круга сходимости и расходится вне его.
ПРПРример.ример.Найти радиус сходимости рядаНайти радиус сходимости рядае ш е н и е. Применяя признак сходимости Коши, имеем:е ш е н и е. Применяя признак сходимости Коши, имеем:
П
Р
П
Р
ример.
ример.
Найти радиус сходимости ряда
Найти радиус сходимости ряда
е ш е н и е. Применяя признак сходимости Коши, имеем:
е ш е н и е. Применяя признак сходимости Коши, имеем:
НтЪ/ |2i + -M"|z|2" = |z|4im|2» + l|=|2|4to V1 +4 = 2|г1=.
П-vOD Г IЛ IП-«-СП I«I |П-*СО V "
Если 2jz|2<l, то ряд сходится. Если 2|z|2_>l, то ряд расходится, следовательно, при |z| < у- ряд сходится, а при |2|>z— рЯд расходится, т. е. /? = г .
Если степенной ряд у ап2" сходится в круге радиуса R(R>0), л = 0
то его сумма является функцией, обозначим ее через f(z), комплексной переменной z:
Н2)==2а«г" и<£-
Если же z будет принимать только действительные значения z = x, то ряд 2а„хп будет сходиться в общей части круга сходимости и дей- п = О
ствительной оси, т. е. на интервале (—R, R) (о сходимости ряда на концах интервала ничего определенного сказать нельзя.) В этом случае сумма ряда является функцией действительной переменной х, которая может быть и комплекснозначной, т. е. может принимать комплексные значения, если не все коэффициенты ряда — действительные числа.
Если же и коэффициенты ряда и переменная z действительны, то ряд, как было уже замечено, называется действительным и его суммой является действительная функция действительной переменной, определенная в области сходимости ряда.
ОО
Для нахождения области сходимости действительного ряда У, апхп, л = О кроме определения интервала сходимости, нужно еще исследовать сходимость ряда на концах этого интервала, т. е. подставить в ряд значения х =—R, x = R и исследовать сходимость соответствующих числовых рядов.
Далее в этом разделе будут рассматриваться только действительные степенные ряды.
X Xйхп
Пример. Найти область сходимости ряда 1+-т- + -гг+ Н 12П
I X I ^+1 Ц Решение. Применяя признак Даламбера, получим: Игл . й=|х|, сле"
я-юо \п + 1) I х | довательно, ряд сходится при 1 х | < 1 и расходится при |х|> 1.
Таким образом, радиус сходимости ряда /?=1 и, следовательно, интервал сходимости (—1, 1). Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. Подставляя в ряд значения х=1 и х =— 1, получим числовые ряды
первый из которых — гармонический ряд—расходится, второй—сходится по признаку Лейбница. Следовательно, область сходимости является полуинтервалом I- 1. О-
Характер сходимости степенного ряда
Теорема. Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке, лежащем внутри интервала сходимости.
Действительно, пусть отрезок [а, 6] лежит внутри интервала схо
димости (— R, R) ряда 2 апхП- Тогда найдется такое число г, 0<^r<^R, я = 0
что отрезок [—г, г] будет содержать отрезок [а, 6]. Ряд У, апхп абсо- п = 0
лютно сходится при х = г, т. е. сходится ряд 21 ап IгП- Но для всех х п =-0
отрезка [—г, г] выполняется неравенство \апз^\^\ап\гп, которое озна
чает, что ряд 2 ^х" на отрезке [— г, г] мажорируется числовым схо- п =0
дящимся рядом.
ОО
Следовательно, по признаку Вейерштрасса ряд У, а„х” равномерно 0
сходится на этом отрезке, в частности, он равномерно сходится и на отрезке [а, Ь], что и требовалось доказать.
Заметим, что сходимость ряда на его интервале сходимости (—R, R)
может быть и неравномерной. Так например, ряд У хп на интервале схо- п = 0
димости (—1, 1) сходится неравномерно.
Как следствие доказанной теоремы и теоремы о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда (§ 6) получаем теорему: сумма степенного ряда является непрерывной функцией на интервале сходимости.
Действительно, пусть х0 — произвольная точка интервала сходимости ОО
ряда ^ап^. Рассмотрим какой-нибудь отрезок [а, 6], принадлежащий п —0
интервалу сходимости, внутри которого находится точка х0. СО
Ряд У апхп равномерно сходится на отрезке [а, 6], члены ряда и = 0
апхп (п = 0, 1, 2, ...) — непрерывные функции на этом отрезке, следовательно, сумма ряда — непрерывная функция на отрезке [а, 6]. В частности, сумма ряда — непрерывная функция в точке хв. В силу произвольности выбора точки х0 из интервала (—R, R) получаем, что сумма ряда — непрерывная функция на интервале сходимости.
Интегрирование и дифференцирование степенных рядов
Теорема. Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку [a, Z?], принадлежащему интервалу сходимости ряда.
В частности, степенной ряд можно почленно интегрировать в пределах от 0 до х, где |х|<^7? (Р— радиус сходимости ряда).
В самом деле, степенной ряд равномерно сходится на отрезке [а, 6], принадлежащем интервалу сходимости ряда. Заключение теоремы следует немедленно, если принять во внимание теорему (см. § 7) об интегрировании равномерно сходящихся рядов.
В качестве примеров на интегрирование степенных рядов рассмотрим разложение в степенные ряды функций arctgx и In(l-j-x).
Действительно,
arctgx= j^.о
Как известно,
(1)
при |х|<1. Подставляя в это равенство —х2 вместо х, получим равенство ! j^ ^i = 1 — xs+ ^4 — х6Ч-...+(—1 )"х2"-у-..., справедливое при |—х2[<^ I или, что то же, при |х[<^ 1. Если почленно проинтегрировать этот ряд в пределах от 0 до х, | х К 1, то получим:
^ = з^8х = х-| + 4г-^+... + (-1Г'рЬТ) + -.
о*
откуда
arctgx = x-^- + f-f+...+(-1)П+1^—г+... (|х|< 1). (2)
Так как In (1 -|-х) = IТак как In (1 -|-х) = IАналогично получим разложение в степенной ряд функции 1п(1-{-х).
Так как In (1 -|-х) = I
Так как In (1 -|-х) = I
, то, подставляя —х вместо х в равенство (1), о
получим:
Интегрируя полученное равенство в пределах от 0 до х, |х|<^1, запишем:
или
1п(14-х)=х-4 + ^-4(3)
при | х | < 1.
Ряд (3) является знакочередующимся для х из интервала (0, 1). А, как известно, для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница, ошибка при замене суммы ряда его частной суммой по абсолютной величине не больше абсолютной величины первого из отброшенных членов ряда, т. е. в этом случае ошибку можно оценить.
Но, несмотря на это, оказывается, что ряд (3) неудобен для вычисления логарифмов чисел, так как его члены медленно убывают. Для 624
вычисления логарифмов чисел применяется другой ряд, который мы и получим. Подставляя в ряд (3) —х вместо х, имеем:
1п(1-х) = -х-^^----^••• (И<0-(4)
Вычитая из ряда (3) ряд (4), получим:
Ь.. (|ж|<1).Ь.. (|ж|<1).1п(4У)=2^+24 + 2:? + ---+'2^Т
Ь.. (|ж|<1).
Ь.. (|ж|<1).
Если теперь положить х= ^у^1^) (гДе — натуральное число, следовательно, 0<^х<^1), то
14-х т 2^+ 1^4-1
1 — х~ 1— /V ’
2ЛГ+ 1
и тогда In ±= 2/v+ ] + 3(2/v4- I)3 + 5(2Л, + l)s + • • • • откуда
1п(^+1) 1П ^+2^4-1 + 3(22V4-1)3+ 5 (2W4-I)5 + ‘ • •^
Равенство (5) дает возможность последовательно находить логарифмы натуральных чисел. Не останавливаясь на этом, заметим только, что если заменить сумму ряда (5) какой-нибудь его частной суммой, то легко оценить величину остатка ряда. (Остаток ряда в этом случае равен сумме ряда с членами, меньшими членов ряда геометрической прогрессии со знаменателем ? =а известно, что сумма ряда дк4~ + ?ft+1 + - • • Равна т=^.)
Рассмотрим теперь дифференцирование степенных рядов.
Пусть степенной ряд
а0 + ахх + а»хч -[-...+ апхп -{-...(6)
сходится в интервале (—R, R), а ряд
ах + 2а2х 4~ За3х2 +... + Manx"-1 -}-...(7)
получен из ряда (6) дифференцированием его членов.
Лемма. Ряд (7) имеет тот же интервал сходимости, что и ряд (6).
Доказательство. Пусть х0 произвольная точка интервала сходимости ряда (6), т. е. |х0|<С^- Тогда возьмем число г, удовлетворяющее условию | х0 ] <^ г <^/?- Оценим модуль общего члена ряда (7) в рассматриваемой точке х0.
Нетрудно видеть, что |«а„х0| = |а„гп|^—.
ООоэ
Ряд 2 ап^ абсолютно сходится в точке г, т. е. ряд У, | ап | гп схо- п=0п = 0
дится, и, следовательно, общий член ряда | ап | г" стремится к нулю. Это значит, что члены этого ряда ограничены, \ап\гп <^М, где М— некоторое число.
Учитывая это, получим:
. n—1 п |I"-1
| ИС„Хо | М р^ .
” п I х ОТ-1
Ряд 2 ^4 —— сходится (на основании признака Даламбера), п = 1
Нт ^ = Нт J1±1LL^lL==-^"L<i.
л-»оэ мл л-.оэnrг
Используя признак сравнения рядов, получаем сходимость ряда сооо
У,) ngnxo~‘ | или, что то же, абсолютную сходимость ряда 2 папхп'л л —Iп = 1
в точке х0. В силу произвольности выбора точки хй из интервала (— R, R) заключаем, что ряд (7) имеет интервал сходимости, не меньший интервала сходимости ряда (6).
Докажем теперь, что интервал сходимости ряда (7) не больше интервала сходимости ряда (6).
Допустим противное, а именно, допустим, что ряд (7) сходится в интервале (—Rt, Ri), Rt^R. Тогда, так как ряд (7) степенной, то его можно почленно интегрировать в пределах от 0 до х, где IxKP,. Ряд, полученный в результате интегрирования, сходится в интервале (—Rx, Ri), он отличается от ряда (6) только постоянным слагаемым. Следовательно, и ряд (6) сходится в интервале (—Rx, R0, что противоречит допущению.
Таким образом, отвергая допущение, получим утверждение леммы.
Теорема. Степенной ряд в интервале сходимости можно почленно дифференцировать, т. е. если f (х) = а» -ф- ахх -ф- а2х2 -ф-.. . -ф- апхп -ф-. .. в интервале (—R, R), то f (х) — а, -ф- 2агх -ф- За3х2 -ф-... -ф- папх^ -ф-.... в том же интервале.
В самом деле, пусть х0— произвольная точка интервала (—R, R). Возьмем какой-нибудь отрезок [а, 6], внутри которого находится точка х0, принадлежащий интервалу (—R, R).
Ряд 2 а^ сходится к f(x) на отрезке [а, 6], ряд из производных п = 0
его членов равномерно сходится на этом отрезке [так как это степенной ряд с интервалом сходимости (—R, 7?)]. Тогда, по теореме дифференцирования функциональных рядов, сумма ряда из производных равна/'(х) на отрезке [а, 6], а следовательно, и в точке х0. Но так как точка х0 выбиралась произвольно из интервала (—R, R), то теорема доказана.
Применяя последовательно эту теорему несколько раз, получим:
Следствие 1. Степенной ряд в интервале сходимости можно почленно дифференцировать любое число раз, т. е. если / (х) = о0 + OjX-j- -ф- а2х2 -ф-... -ф- апхп -ф-... в интервале (—R, R), то
Р (х") = ах -ф- 2агх -ф- Зо3х2 -ф-.. . -ф- падХ1*-^ -ф-...
Г (х) = 2а3-\-2 ■За3х + ... + (п—1)папхп-°-
причем ряды, полученные в результате дифференцирования, сходятся в том же интервале (—R, R).
Следствие 2. Сумма степенного ряда — бесконечно дифференцируемая функция в интервале сходимости ряда.
Функция f(x) называется бесконечно дифференцируемой в точке (на интервале), если она имеет производные любого порядка в этой точке (на этом интервале).
Рассмотрим теперь степенной ряд по степеням разности z— а.
Oo + ajz —a) + a2(z —а)2 + . ..-ф-а„ (z — а)"-ф-...(8)
Как было указано, этот ряд с помощью подстановки z— a = z' приводится к виду:
(9)(9)Оо -ф- Oiz' -ф- а2 (z )2 -ф-. .. -ф- ал (z')n -ф-. ..
(9)
(9)
Если ряд (9) сходится в круге |z'|</? (7? — радиус сходимости ряда), то ряд (8) будет сходиться в круге | z — аКТ? с центром в точке а радиуса R и расходиться вне этого круга.
Если же коэффициенты ряда (8), число а и переменная z действительные, то ряд (8) примет вид:
2 а„ (х — а)".(8')
п — 0
И тогда подстановка х — а = х' преобразует этот ряд к виду
IX W (9')*Г--1
n=o~R 9 R л a-R a a+R X
При этом, если последний ряд схо-Рис- 439-
дится в интервале (—R, R^ (R— СО
радиус сходимости ряда), то ряд 2 ап (х — аТ будет сходиться в интер
вале (а — R, a-\-R), симметричном относительно точки а (рис. 439).
Учитывая это, заметим, что все сказанное о степенных рядах по степеням х остается справедливым и для степенных рядов по степеням разности х — а в соответствующих интервалах сходимости.
Ряд Тейлора. Основные разложения
Пусть функция f(x) является суммой степенного ряда по степеням разности х — а, сходящегося в некотором интервале:
f (x) = Oo-{-ai(x — а)-ф-а2 (х — а)2-ф- ... +a„ (x — а)"-ф-...
Тогда в интервале сходимости, который, как известно, симметричен относительно точки а, ряд можно почленно дифференцировать любое число раз.
Дифференцируя, получим:
f (х) = 1 • ах -ф- 2а2 (х — а) -{- За3 (х — а)2 -ф- 4а4 (х — а)3 + ... +-Vnan (х —а)""1-^. ..
Г (х) = 1 • 2а2 -ф- 2 • За3 (х — а) -ф- 3 • 4а4 (х — а)2 4-4-5а3(х — а)3-|-...++ п(п-1)а„(х-аГ2 + ...
Г(х)=1-2.3аэ + 2-3.4а4(х —а) + . ..+
1)(п — 2)ап(х — а)п-3Н-.. .
/ln) (х)= 1-2-3 ... иага-|-2 • 3• 4... (л-ф-1) art+1 (х —а)-ф-...
Полагая в этих равенствах х = а, получим:
f (a)=0®, f (а) = 1 • а„ Г (а) = 21а», Г (а) = З!а3,... , f^ (а) == п\ап
откуда находим:
Uq — lyClj) Q^—11, ug—2|»
Подставляя полученные выражения коэффициентов в ряд для f(x), запишем:
/(x)=f(a)^^(x-a)4-^-(x-ar-+... + ^^h(x-<4-. . .
Рядом Тейлора функции f(x) по степеням х— а или, что то же, в окрестности точки а называется степенной ряд вида:
f(a) + ^(x-a) + ^(x-a)2 + ...+-^b(x-a)n+...
(при этом предполагается, что функция /(х) бесконечно дифференцируема в точке а\
При а = 0 получим ряд по степеням х, который называется рядом Маклорена функции f(xY
Приведенными выше рассуждениями доказана теорема: если функция /(х) в некоторой окрестности точки а является суммой степенного ряда по степеням х— а, то этот ряд является рядом Тейлора функции Цх\
Из этой теоремы как следствие получается теорема единственности: если функция f(x) в некоторой окрестности точки а разложена в степенной ряд по степеням х— а, т. е. функция /(х) является суммой сходящегося в некоторой окрестности а ряда по степеням х— а, то такое разложение единственное. Или иначе: не может быть двух различных степенных рядов по степеням х— а, сходящихся к одной и той же функции.
В самом деле, это получается сразу, если учесть, что коэффициенты ряда выражаются через значения функции f(x) и ее производных в точке а.
Заметим, что при практическом применении этой теоремы, в частности при решении дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов, используют следующую формулировку этой теоремы: если имеются два тождественно равных сходящихся на некотором интервале ряда ) по степеням х— а, то коэффициенты этих рядов при одинаковых степенях х — а равны.
Таким образом, теорема единственности дает обоснование метода сравнения коэффициентов, который неоднократно использовался в курсе, в частности при разложении рациональной дроби на сумму элементарных дробей и при решении дифференциальных уравнений методом подбора.
До сих пор мы определяли область сходимости степенного ряда и выясняли свойства суммы ряда в его интервале сходимости. Будем решать теперь следующую задачу: дана функция и требуется разложить ее в степенной ряд. Отчасти такую задачу мы уже решали, когда с помощью интегрирования степенных рядов разлагали в ряд по степеням х функции arctgx и 1п(1-]-х). Как известно, если функция f(x) является суммой степенного ряда, то в интервале сходимости ряда функция f(x) имеет производные любого порядка. Отсюда следует, что ставить задачу о разложении функции f(x) в ряд по степеням х— а можно лишь по отношению к функции, имеющей производные любого порядка в некоторой окрестности точки а. Если еще учесть, что степенной ряд, сходящийся к функции f(x), является рядом Тейлора этой функции, то поставленная задача сводится к разложению функции /(х) в окрестности точки а в ряд Тейлора.
Пусть функция f(x) в некоторой окрестности точки а имеет производные любого порядка. Тогда для функции f(x) в окрестности а можно записать соответствующий ей ряд Тейлора: f(x)~f(a)4-^(x-a)4-Z^)(x-a)3+...+-^I^-(x--a)"4-. . .
(~— знак соответствия). Вместо знака соответствия можно записать знак = (знак равенства) в окрестности точки а лишь при условии, что ряд Тейлора функции f(x) сходится к этой функции в рассматриваемой окрестности точки а.
Заметим, что ряд Тейлора функции f(x) может и не сходиться к этой функции в окрестности рассматриваемой точки.
Например, функция /(х), определяемая условиями:
f(X) —f(X) —е *s при х^О,О при х = О,
f(X) —
f(X) —
бесконечно дифференцируема на всей числовой оси, при этом все ее производные в точке х = 0 равны нулю.
Действительно, если х^О, то /' (х) =—$~е х2 , дифференцируя эту функ
цию, найдем /" (х) при х ^ 0 и т. д.
Если же х = 0, то
1
О,О,О и т. д.,О и т. д.,_ ^)-Л2к= Ит =
О,
О,
О и т. д.,
О и т. д.,
Дх-fO“XДх->0 &Х
/"(0) = НтДх—О/"(0) = НтДх—О2 е (^)3 /'(Дх) —f'(0) . . Пт (Дх)3
/"(0) = Нт
Дх—О
/"(0) = Нт
Дх—О
Дхдх->о Дх
получим, что значения всех производных этой функции при х = 0 равны нулю.
Следовательно, функции /(х) соответствует ряд по степеням х, все коэффициенты которого равны нулю:
/ (х) ~ 0 4- 0 ■ х + ... +0 - х" +...
Его сумма при всех х тождественно равна нулю и, следовательно, равна функции / (х) только в одной точке, при х = 0.
Разность между функцией /(х) и частной суммой S„(x) ряда Тейлора функции Цх) называется остаточным, членом ряда Тейлора и обозначается Rn(xY-
Rn(x) = f(x) — Sn(x).
Как было показано (гл. IV, § 15), функция R^tx) имеет следующий вид:
R^=^t<»—r'.
где 5 лежит между а и х или, что то же,
5 = а4~6(х — а), О<0<1.
Если воспользоваться определениями сходимости и суммы ряда, то получим следующую теорему: для того чтобы ряд Тейлора функции /(х) сходился к ней в некотором интервале, необходимо и достаточно, чтобы в рассматриваемом интервале стремился к нулю остаточный член этого ряда.
Таким образом, задача разложения функции /(х) в степенной ряд сведена по существу к определению значений х, при которых 7?п(х) —0.
Основные разложения. Рассмотрим разложение функций 6х, sinx, cosx в ряды по степеням х. Для этого запишем ряд Маклорена, соответствующий функции /(х):
и исследуем, при каких значениях х остаточный член этого ряда
где точка ; лежит между 0 и х, стремится к нулю.
Действительно, пусть f^ = ex. Тогда f (x) = f'(x) = ... =f'”) (х) = =... — еЛ', откуда при х = 0 получаем: / (0) = /' (0) =... = ftn,(0) =... — 1, и, следовательно,
1 Т ц 1 2! ^'"^ п\' /
При этом остаточный член Rn^x) ряда (1) имеет вид:
RnW= (^1)Г^ • ™e ^=9х> °<9<ь
Доказав, что Rn (х) -> 0 при любом значении х, мы тем самым докажем, что в соотношении (1) вместо знака соответствия можно при любом х, —оо <^ х <^ —|—со, записать знак равенства.
Для этого сначала докажем лемму: для любого х, —оо<х< <-Роо, справедливо следующее равенство:
lim х”«-►СО Щ'
Доказательство. Применим признак Даламбера к ряду Так как
I Y I ^+11
^™ (ТТЖИ? = 1Х1 Ji™ (» + 1) = И • 0 = 0 < 1.
то рассматриваемый ряд сходится при всех значениях х, —оо<^х<^-|-оо, и, следовательно, при любом х общий член ряда -^--*-0, что и требова
лось доказать.
леммы заключаем, что при поэтому при любом хлеммы заключаем, что при поэтому при любом хУчитывая, что ^«с^е1*1, на основании любом значении х Rn (х) = -<—j—^х"*10,
леммы заключаем, что при поэтому при любом х
леммы заключаем, что при поэтому при любом х
Пусть теперь /(x) = sinx. Тогда
^ (х) = cos х, f" (х) =— sinx, f" (х) = — cosx, /1V (х) = sin х,..., fM (x) = sin ^x + n ^, ...,
откуда, полагая x—0, найдем:
/(0) = 0, f(0)=l, f(0) = 0, Г(0) = — 1, flv(0) = 0. ...
Следовательно, уЗ y5у2П—1
при этом
sin [5 +^ 41)-^-]
RnM =Щ I П1x":‘> где ^ = 6x, 0<6<l.1^1
| у irt+1
Но так как | Rn (x) |(^ 41) i ® ПРИ люб°м x> как это следует из леммы,
то при любом х: уЗ у5у2??—1
sinx = x-J-1 + f1-... + (-l)--^+...
Разложение cosx в степенной ряд можно получить, повторяя предыдущие рассуждения. Можно также получить разложение для cosx путем дифференцирования ряда для sinx.
Действительно, дифференцируя ряд для sin х, получим при любом х
у 9у 4 убу271
coSx=l-2^ + J-^ + ... + (-ir^r+...
gX g—x gX I g-X
Гиперболические функции. Функции 2— и —— называются соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом и обозначаются shx и chx (читаются соответственно: «синус гиперболический х», «косинус гиперболический х»).
Итак, по определению
ех_ g-хех4-е~х
sh х = —2 ch х = —2•
Тангенс гиперболический, обозначается thx (читается: «тангенс гиперболический х»), определяется равенством
., shx ех—е-хthx — -г— =——.
chx ех + е х
Из определения рассматриваемых функций следует, что они существуют при всех значениях х, кроме того, shx, thx — нечетные функции, a chx — четная функция.
Нетрудно получить основное соотношение:
ch2x — sh2x — 1.
Не останавливаясь на этом, заметим только, что название «гиперболические функции» указывает на связь этих функций с гиперболой, так же как название «круговые функции» указывает на их связь с окружностью.
Рекомендуется построить графики этих функций, при этом для построения графиков функций shx и chx можно использовать сложение графиков функций ех и е-х, а при построении графика функции thx—использовать ее нечетность, а также следующие ее свойства: 1) th0 = 0, 2) 0 < th х < 1 при х>0 и 3) thx —1 при X — -|- со.
Из определения функций shx и chx легко получить их разложения в степенные ряды.
Действительно, так как
(Г)
при любом х, то, подставляя —х вместо х, получим:
•2•2•П
•2
•2
при любом х.
Вычитая и складывая ряды (Г) и (1"), получим:
shx = x+£ + £shx = x+£ + £X2"-1,(2га — 1)!X2"-1,(2га — 1)!
shx = x+£ + £
shx = x+£ + £
X2"-1,
(2га — 1)!
X2"-1,
(2га — 1)!
(2/г)!
Суммируя полученное, мы можем записать следующие пять основных разложений, справедливых при всех значениях х;
В заключение заметим, что для практических приложений не всегда удобно производить разложение функций в степенные ряды непосредственно по формуле Тейлора. Это следует, во-первых, из того, что выражение производной любого порядка функции Цх) не всегда можно записать, а во-вторых, даже в том случае, когда такое выражение получено, исследование остаточного члена ряда, как правило, представляет большие трудности. Обычно при разложении функций в степенные ряды стараются обойтись без формулы Тейлора, используя известные разложения 2) и операции над степенными рядами. В частности, мы рассматривали интегрирование и дифференцирование степенных рядов, помимо этого на примерах гиперболических функций рассматривалось сложение и вычитание степенных рядов.
. Операции иад степенными рядами
Сложение, вычитание и умножение рядов. Даны два ряда
^пХ"(1)
п-= О
И
2 Ь„х\(2)
п = О
Пусть они сходятся соответственно в интервалах (—R, R) и (—Rb Rt) и их суммы соответственно равны /(х) и <? (х).
Суммой, разностью, произведением степенных рядов (1) и (2) называются соответственно ряды:
2 fo„±6„)x",(3)
п = О
аЙЬЙ -j- (а061 4- Gi&o) х 4~ (Со&2 Н~ сцЬх ~{- а^Ь^ х^ -]- ...-}-
-г ^абЬп + cixbn-x + • • • + anb^ +...(4)
На основании известных свойств числовых рядов получаем, что ряды (3) сходятся по крайней мере при тех значениях х, при которых сходится
*) При этом полагаем: 0! = 1! = 1.
-) Нам пока известен ряд геометрической прогрессии и пять основных разложений.
каждый из рядов (1) и (2). Другими словами, ряды (3) сходятся по крайней мере в меньшем из интервалов сходимости рядов (1), (2), и их суммы соответственно равны / (х) ± <р (х):
5 а„х"± 2 Ьпх" = 2 (а„±6„)х". л = Ол = Ол = О
Ряд (4) в силу абсолютной сходимости рядов (1), (2) в их интервалах сходимости сходится по крайней мере в меньшем из интервалов сходимости рядов (1) и (2), и его сумма равна произведению /(х)-<р(х):
2 ап^- 5 bnx" = (a04-a1x + a1x14-...4-anxn4-...) X л = О л = О
X (6о4-61Х-4-63х2-|-...4-6„хп + ...) = ао6о + (ао61 4-аЛ)х 4-
(а0б2 4- 01^1 4~ 02&о) г2 4-... 4- (со^п 4~ 0i^«-i 4~ • • • 4 0Л) х"+...
Не останавливаясь на этом, отметим только, что в результате рассматриваемых действий над рядами (1) и (2) может получиться ряд, который будет сходиться в интервале, содержащем внутри меньший из интервалов сходимости данных рядов (1) и (2). Но по крайней мере в меньшем из интервалов (—R, R) и (—Rt, R^ сходимость ряда всегда, имеет место.
Пример. Пусть у = сцх 4- а^х14- а^х3 4-... 4~ апх" 4~ • • • (0о = О), причем ряд сходится в некоторой окрестности х —0. Тогда в этой окрестности
у1 = (atx 4- а»х4 -[- а3х3 4-...) (ахх -}- а2х2 4- 0зХ + •••) =
= а,Х2 4- (Я1О2 4~ 0201) ^ 4“ (0103 + 0202 4- a30l) X* -f- ... =
= ajx2 4- 20^2 х3 + (05 4- 2O1O3) x4 4-.. •,
у3 = (a,x2 4- 20^2 x3 4- • • •) (0iX 4“ a2x2 + Сз-^ +=
= ajx3 + (а;а2 4~ 2а;а2) x4 -[-... =
= a?r4 -{- За^агХ4 4~ • • =
Разложение в степенной ряд уп (и — любое натуральное число) начнется с члена, содержащего х”.
Подстановка ряда в ряд.
Теорема. Если функция /(г/) разлагается в степенной ряд, сходящийся в некоторой окрестности точки у = 0, f (у) — с0 4-С1У 4^ С'2У'2 + ■ • • ... + спуп 4- • • •> и функция у —®(х) разлагается в степенной ряд по степеням х, сходящийся в некоторой окрестности х = 0, ®(х) = а1х4-02Г24- 4-...4-Сп-^"+ •••(? (0) — 0)> то сложная функция Д®(х)] в некоторой окрестности х = 0 разлагается в степенной ряд, причем это разложение можно получить, группируя члены с одинаковыми степенями х в разложении ')
f[tp(x)] = c04-c1 2 0^п4-02(2 апхП^ 4-..-4-cn(S 0»^")" 4" • • •л = Iл = 1л = 1
Доказательства этой теоремы мы не приводим.
Например, разложим In cos х в ряд по степеням х.
Решение. Ineos х = In [1 4 (cos х—1)] = In (1 + у), гяе y=cosx—1. Но так как
inо+з,)^-!^ +1^-1^+... (|у।<о
И
y=cosx — 1= — ^-^ + 5- X4 —...(|х|< + оо),
то, следовательно, lncos, = (-l*- + l,++
в некоторой окрестности х = 0.
Деление степенных рядов. Пусть в некоторой окрестности х = 0 сходятся ряды Од + а\Х +... -г а„х" -ф-... и Ьв 4- Ьр; + 6ах2 +... + Ьпх" -{-..., суммы которых соответственно равны f (х) и <р(х), причем 60 = V (0) 4 0. Обозначим через F (х) функцию, равную отношению сумм двух данных рядов:
™ 6о + б1^ + б2^ + ... + бп^+... — ^х)*
Используя сформулированную выше теорему о подстановке ряда в ряд, докажем, что существует окрестность х —0, в которой функция F ^ разлагается в степенной ряд, называемый рядом частным двух данных рядов.
Действительно,
F а° + а<х 4- • • • 4 апХп + • • • / (х) /(х) 60 4 й1Х 4 ••• 4 йпх” 4 •••9 W йо + ФМ’
где ф (х) = bvx 4- b.2x- 4- •.. + Ьпхп 4 • • • и ф (0) = 0.
Или, что то же,
йо 4 aiX 4 а«х2 4 • • • 4 апхп 4 • • •/ (х) ,1
йо + Ьхх 4 Ь2ха 4 .•• 4 Ьпхп + ...6о । । Ф (х)
Й»
_/(х)Г.Ф4) । 4(x)V1
ь» й0 1 \ й0 у
Последнее равенство записано по формуле суммы геометрической прогрессии, знаменатель которой q —— ^у^ • Такая запись возможна, так как ф(0) = 0 и, следовательно, существует окрестность точки х = 0, в которой имеет место неравенство 19 | =<^ 1. Учитывая, что ф(х) —
сумма степенного ряда, сходящегося в некоторой окрестности х = 0 (на основании теоремы о подстановке ряда в ряд), заключаем, что выражение в квадратных скобках можно разложить в степенной ряд, сходящийся в некоторой окрестности нуля. Умножая этот ряд на ряд для функции -у2-, тоже сходящийся в какой-то окрестности х = 0, получим степенной ряд, сходящийся в некоторой окрестности нуля.
Таким образом, доказана следующая теорема: частное двух степенных рядов, сходящихся в некоторой окрестности нуля, при условии, что свободный член ряда в знаменателе отличен от нуля, является степенным рядом, сходящимся в некоторой окрестности нуля.
Заметим, что в общем случае о величине этой окрестности или, что то же, о длине интервала сходимости частного двух степенных рядов ничего сказать нельзя.
Практически деление степенных рядов производят следующим образом: сначала записывают частное двух степенных рядов в виде степенного ряда, пока с неопределенными коэффициентами:
й0 + «1-Х + в2^= +••• + апХП + -.. „ t v I „2 t I „ .Л t
6о + 6^ + 62^ + ... + 6„Х" + ... ~
Затем, для определения коэффициентов c„(n = 0, 1, ...) используют равенство
°о 4~ а\х "Т ^я2 4~ • • • 4- апхП 4- • • •=(^ 4- ь^х 4~ ь^х1 4~ • • • 4~ ьпхп 4-...) XX (с0 4~ cix 4~ cix^ 4- • • • 4- спхП 4- • • •)>
из которого в результате умножения рядов и сравнения коэффициентов при одинаковых степенях х получают:
Со == ^осо«
а1 = 60С1 4“ ^1с0,
Са = Ьйсй 4~ Ь\С^ 4~ Ьгсй.
Из этих равенств последовательно определяют с0 (так как б0 ^ 0), сь сг и т. д.
Не доказывая, заметим, что деление степенных рядов можно производить так же, как и деление многочленов, расположенных по возрастающим степеням х.
Пример. Написать три члена разложения tg х в ряд по степеням х.
_. sin х .
Решение: tgx =. Как известно,
cos х
sin х = х — ^ + р^ —... (|лг|<4-со),
cosx=l —^4--^- —... (|х|<4-сс).
Тогда, производя деление рядов, как деление многочленов, получим:
х3 12х5
т. е. tg х = х -j- -g- 4- -yg—Ь-.- в некоторой окрестности х = 0.
13. Приложения степенных рядов
Степенные ряды находят применение в различных вопросах как приближенных вычислений, так и в приближенных методах анализа. Укажем на некоторые приложения степенных рядов: с помощью степенных рядов составляют, например, таблицы значений функций, в частности, приближенно, с любой заданной точностью, вычисляют значения таких констант, как тс, е и др.; с помощью степенных рядов вычисляют приближенные значения определенных интегралов (об этом будет сказано ниже) и т. д.
Как пример применения степенных рядов в приближенных методах анализа рассмотрим решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка вида: gw -т- Л W У^ + • - • -г fn-v И У -г fn W У = F (я)(1)
(с коэффициентом при старшей производной, равным единице).
Теорема. Если коэффициенты и правая часть дифференциального уравнения (1) разлагаются в степенные ряды по степеням х — а, сходящиеся в некоторой окрестности х = а, то решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
У(а) = Уо, УЧа) = УнУ^Ча^ Уn-i
(у0, Ун • • •, Уп-х — произвольно заданные числа), разлагается в степенной ряд по степеням х— а, сходящийся по крайней мере в меньшем из интервалов сходимости рядов для коэффициентов и правой части дифференциального уравнения.
Доказательство этой теоремы мы опускаем.
Практически решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда можно получить двумя способами: сравнением коэффициентов и последовательным дифференцированием.
Способ сравнения коэффициентов заключается в следующем: сначала записывают решение в виде степенного ряда с неопределенными коэффициентами:
у = а0 + а1(х — a)+a2(x — a)a + ... + a„(x — a)" + „.
Затем из начальных условий определяют значения коэффициентов а0, аь ..., ип-н После этого подставляют в дифференциальное уравнение вместо у и производных соответствующие степенные ряды, а также вместо коэффициентов и правой части записывают их разложения в степенные ряды по степеням х — а и производят действия над рядами. Затем сравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х— а. Из полученных таким путем уравнений определяют коэффициенты ряда.
Пример. Найти решение дифференциального уравнения у' — ху = О, удовлетворяющее начальным условиям z/(0) = 1, у' (0) = 0.
Записываем искомое решение в виде ряда: у = а0 + ахх -ф- сих1 -ф-... и из начальных условий определяем а0 и а<.
у(О)=1 = ао, а0=1;у'(0) = 0 = а,, а1==0.
Затем у = 1-ф а2.г-ф а3х3 ф-... подставляем в уравнение
2а2 -ф- 2 • Загх -ф- 3 • 4а4х2 +... — (х + а2х3 -ф- а^ -{-...) — 0,
откуда, сравнивая коэффициенты, получаем:
2а» = 0,а» = о;
2-За3=1,а3 = 2-Тз;
3-4а4 = 0,а{ = 0;
4-5а3 —а2,а^ = 0;
5 -6а6 = аа,йв = 2 - з • 5 • 6 "
(В этом примере нетрудно подметить закон образования коэффициентов, предоставляем это сделать читателю.)
Полученный ряд, как это следует из теоремы, сходится при всех значениях х.
При нахождении решения дифференциального уравнения способом последовательного дифференцирования разлагают искомое решение в ряд Тейлора ):
!/ = 0(а)+^-(х-аН^(х-а)Ч^
При этом первые п коэффициентов у (а), у' (а), ..., у(п-1) (а) заданы начальными условиями. Подставляя в уравнение (1) х = а, определяют у(п) (а). Последовательно дифференцируя уравнение (1) и подставляя х — а, определяют коэффициенты ряда искомого решения.
Пример. Найти решение дифференциального уравнения
у' — ху = 0.(2)
При начальных условиях z/(0)= 1, у'(0) = 0. (Это уравнение уже решалось методом сравнения коэффициентов.)
Запишем решение уравнения в виде:
у=у(0) + ^х4-ЧЖ^+ЧЖхз + _
По условию у(0)=1, у'(0) = 0.
Подставляя в дифференциальное уравнение х = 0, получим:
У’(0) = 0.
Будем теперь последовательно дифференцировать уравнение (2) и подставлять значение х = 0, тогда
у"' = д-^ху\у"'(0)=1;
уст^у'-фху",y(fv)(O) = O;
y(v) = 3y'4-xy"',y<v)(0) = 0;
yW = 4у"' 4. Ху^ yW) (0) = 4;
И, наконец, подставляя в выражение у полученные значения производ ных, запишем:
у8уО
У —273 + 2-3-5-6 Ч 1 •
Если коэффициенты и правая часть дифференциального уравнения (1) разлагаются в степенные ряды по степеням х— а, сходящиеся в некоторой окрестности х = а, то, как уже говорилось выше, любое в окрестности х = а решение уравнения (1) разлагается в степенной ряд по степеням х—а, сходящийся по крайней мере в меньшем из интервалов сходимости рядов для коэффициентов и правой части дифференциального уравнения (1).
Таким образом любое решение в окрестности х — а можно записать в виде степенного ряда по степеням х — а. При этом все коэффициенты ряда-решения будут выражаться через первые коэффициенты этого ряда, которые могут принимать любые действительные значения, т. е. являются произвольными постоянными общего решения дифференциального уравнения.
Биномиальный ряд. Рассмотрим дифференциальное уравнение
(l-f-x)/ — ау = 0(2')
(a — любое действительное число) и найдем его решение при начальном условии у (0) = 1.
Прежде всего отметим, что решением этого уравнения с разделяю
в виде: у'в виде: у'разлагается в окрестностиразлагается в окрестностищимися переменными, удовлетворяющим заданному начальному условию, будет функция у = (14-х)а. (Получить это предоставляем читателю.) Так как заданное дифференциальное уравнение (2') можно записать
в виде: у'
в виде: у'
разлагается в окрестности
разлагается в окрестности
! ^^ у = 0 и коэффициент утр^
х = 0в степенной ряд (радиус сходимости этого ряда, как известно, равен 1), то решение уравнения (2') можно искать в виде степенного ряда, при
этом радиус сходимости ряда-решения будет равен единице. Тогда ряд-
решение в силу единственности решения уравнения, удовлетворяющего начальному условию, и будет разложением в степенной ряд функции (1 + х)\
Итак, запишем искомое решение в виде ряда:
у = ав 4- а^ 4~ сих2 -}-... + aRx" 4- • - •
Подчинив у начальному условию, найдем у(0) —a0 = 1. Подставляя у в дифференциальное уравнение, получим:
(1 4- х) [й! 4- 2ачх 4- ЗозХ2 4-... 4- (п — 1) а^х"-2 4- папхп-х 4-...] —= a (1 -|- CiX 4- сцх2 -J- а3х3 4-... 4- а,№ -}-...)
или, расположив левую часть равенства по степеням х, имеем
Ci 4- (2а2 4- at) х 4- (За3 4- 2^) х2 4-... 4- [(п 4- 1) а„+1 4- иа„] х" 4-... == а (1 -[- OiX 4- а^х2 4- • • • + сспхп + •••)•
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем:^ = а,2а» 4- ^i== ®^ь
За3 —|- 2а» -— ССЦ-2,
(« + 1)ап+1 + »а„ = аап,
й! = а, а — 1а2 — —— а1а —2а3 — —у— агй! = а, а — 1а2 — —— а1а —2а3 — —у— агОткуда,
й! = а, а — 1
а2 — —— а1
а —2
а3 — —у— аг
й! = а, а — 1
а2 — —— а1
а —2
а3 — —у— аг
= (а— 1)1-2’
а (а— 1)(а— 2)
1 ■ 2 -3
а — п
« + 1 °"’
Таким образом,
ум ।। 2 г 1 .2 • 3। * * * ।
, a(a—!)...[« —(п —1)] „ ,
1Г-2-3 ... пХ
или, что то же,
(3)(3)„ У a (a — 1) (а —2) ... [а — (,г — 1)] „/ i .. | /- Г
(3)
(3)
П —0
Заметим, что сходимость ряда (3) при | х | < 1 можно получить также, исполь. зуя признак Даламбера. Действительно,
limп —* сlimп —* сi^C^^HlTT^LlizZ^LZ^— I , I iim lg—”1
limп —* с
limп —* с
(n+l)!|a(a-l)(a-2)...[a-(n-l)]||x|" '^Loo (» + 1)
при I X I < 1 ряд сходится, при | x | > 1 ряд расходится, т. е. /?=1.
Следовательно, при |а;[ <^ 1 справедливо равенство
(l+x)“=l+yx + ^-^2i-^x2 + ^—у±5дд2) хз_1_
a (a — 1) (a—2) ... [а — (га — 1)]rala (a — 1) (a—2) ... [а — (га — 1)]ral^ + --., (|x|^ + --., (|x|1).1).(4)(4)
a (a — 1) (a—2) ... [а — (га — 1)]ral
a (a — 1) (a—2) ... [а — (га — 1)]ral
^ + --., (|x|
^ + --., (|x|
1).
1).
(4)
(4)
Ряд (4) функции (1 -{-%)“ называется биномиальным рядом. При a целом положительном равенство (4) превращается в известную формулу бинома Ньютона, так как в этом случае все коэффициенты, начиная с некоторого, равны нулю.
Пример. Разложить функцию f (х) = arcsin х в ряд по степеням х.
„„„• С dx
Для решений этой задачи воспользуемся равенством arcsin х = I —■■ — ■ и
J /1 — х2
биномиальным рядом. Действительно,
1 .3-52-4.61 .3-52-4.6х’+ ... + (-!)«х’+ ... + (-!)«1 -3.5...(2га — 1) 2-4-6...2га1 -3.5...(2га — 1) 2-4-6...2гахп + ...хп + ...
1 .3-5
2-4.6
1 .3-5
2-4.6
х’+ ... + (-!)«
х’+ ... + (-!)«
1 -3.5...(2га — 1) 2-4-6...2га
1 -3.5...(2га — 1) 2-4-6...2га
хп + ...
хп + ...
при | х 1 < 1.
Заменяя в полученном равенстве х на — х2, имеем:
1/П^х21/П^х21 +тл'2+ ^т!^1 +тл'2+ ^т!^1 -3-52-4-61 -3-52-4-61 -3-5...(2га — 1)2-4-6...2га1 -3-5...(2га — 1)2-4-6...2гах2п + ...х2п + ...при |—х21 с 1 или, что то же, |х|<1.Почленно интегрируя этот ряд в пределах от 0 до х, |х|<1, получим:при |—х21 с 1 или, что то же, |х|<1.Почленно интегрируя этот ряд в пределах от 0 до х, |х|<1, получим:., 1 х3 , 1 • 3 х5 ,arcsin х = х-|-у • -3+275-5 + •••., 1 х3 , 1 • 3 х5 ,arcsin х = х-|-у • -3+275-5 + •••, 1-3-5...(2га —1)+2-4-6...2га, 1-3-5...(2га —1)+2-4-6...2гаХ2"*12га + 1Х2"*12га + 1при | х | < 1.Положив х = -^,при | х | < 1.Положив х = -^,определим:определим:62'23 ■ 2s т 2 ■ 462'23 ■ 2s т 2 ■ 415-2“15-2“
1/П^х2
1/П^х2
1 +тл'2+ ^т!^
1 +тл'2+ ^т!^
1 -3-5
2-4-6
1 -3-5
2-4-6
1 -3-5...(2га — 1)
2-4-6...2га
1 -3-5...(2га — 1)
2-4-6...2га
х2п + ...
х2п + ...
при |—х21 с 1 или, что то же, |х|<1.
Почленно интегрируя этот ряд в пределах от 0 до х, |х|<1, получим:
при |—х21 с 1 или, что то же, |х|<1.
Почленно интегрируя этот ряд в пределах от 0 до х, |х|<1, получим:
., 1 х3 , 1 • 3 х5 ,
arcsin х = х-|-у • -3+275-5 + •••
., 1 х3 , 1 • 3 х5 ,
arcsin х = х-|-у • -3+275-5 + •••
, 1-3-5...(2га —1)
+2-4-6...2га
, 1-3-5...(2га —1)
+2-4-6...2га
Х2"*1
2га + 1
Х2"*1
2га + 1
при | х | < 1.
Положив х = -^,
при | х | < 1.
Положив х = -^,
определим:
определим:
62'23 ■ 2s т 2 ■ 4
62'23 ■ 2s т 2 ■ 4
1
5-2“
1
5-2“
Это равенство дает возможность приближенно вычислить число ~.
Вычисление интегралов с помощью степенных рядов. В § 14 гл. VI были рассмотрены способы прямоугольников, трапеций, парабол для приближенного интегрирования. Здесь мы рассмотрим на примере интеграла
2
2
$ e^dx способ вычисления интегралов с помощью степенных рядов.
I2
Вычислим интеграл ^e-x2dx. Для этого разложим подинтегральную и
функцию в степенной ряд. Так как е'= 1+ ff + 2i' + ---+ ^Ч-••• ПРИ любом t, то, подставляя—х1 вместо t, получим:
у2 у4 убГ2Л
e-x2==1-Tr+lr-^+---+(-1>"^+--- (И<4-^)-
Почленно интегрируя, найдем:
с,2 . Г х3 । 1 х5 1 х? ,12
S6 йх I Х — 3 + 71 3" "3! 7 ' • • • ]о
_ 1 _ J_ J_ , 1 J1_1 ,
23 ‘ 23 ' 2! 5 ‘ 233! 7 " 27 1 ‘'
Получился знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница, следовательно, ошибка при замене суммы ряда его частной суммой по абсолютной величине меньше абсолютной величины первого из отброшенных его членов. В частности, положив, что интеграл равен сумме первых двух слагаемых, мы делаем ошибку, меньшую ^L • -^-<0,003. Отсюда следует, что, ограничиваясь только двумя слагаемыми, мы получаем приближенное значение интеграла с точностью до 0,01:
22
^ е~ х2 dx«» ~—• ^ или ^ е~ х2 dx ^ 0,46.
о“о
Раздел 4
НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙПЕРЕМЕННОЙ
§ 14. Показательная, тригонометрические и гиперболические функции
В § 11 этой главы были получены разложения функций е*, sin х, cos х, shx, chx в степенные ряды, сходящиеся при всех значениях х.
СО
(-1) (27+17
п = 0
cosx= 2 (-D (2^!- shx== 2 727Т¥’п=0п=0
2 S’
Если в правых частях записанных равенств под х ^"мак понимать комплексные числа, обозначив их через г, то получим ряды по степе- 640
ням г, сходящиеся, и притом абсолютно (как это следует из теоремы Абеля), при всех комплексных значениях z, т. е. во всей комплексной плоскости. Суммы рядов
СО 2 2П п\ * п=»0СО 2 2П п\ * п=»02 (-1)' л = 02 (-1)' л = 022Л+1(2п + 1)!22Л+1(2п + 1)!(D(2')(D(2')
СО 2 2П п\ * п=»0
СО 2 2П п\ * п=»0
2 (-1)' л = 0
2 (-1)' л = 0
22Л+1
(2п + 1)!
22Л+1
(2п + 1)!
(D
(2')
(D
(2')
(2п)!’(2п)!’г5”*1(2^+1)! ’г5”*1(2^+1)! ’(5')(5')
(2п)!’
(2п)!’
г5”*1
(2^+1)! ’
г5”*1
(2^+1)! ’
(5')
(5')
(3')
(4')
(2п)1
являются функциями комплексной переменной г, определенными во всей плоскости Z.
Естественно сумму ряда (Г) назвать показательной функцией комплексной переменной г и обозначить через е2, так как для действительных значений г, при z — х, сумма ряда (Г) равна ех. Аналогично суммы других рядов соответственно называют синусом, косинусом, синусом гиперболическим и косинусом гиперболическим комплексной переменной г и соответственно обозначают: sin z, cos z, sh z, ch z.
Итак, по определению для любого комплексного числа z
е —1 112! 1 3! 1 •••п! ’' '
71 = 0
м^=2-й+4--=2<-1)*(ЯтЬ-.<2>
п = 0
со
cos^l-^ + ^-.-.-^t-l)”^,(3)
71-= 0
СО
5Ьг = 2 + -зг + -5г+"-== 2 (2п-|- 1)! ’^
п — 0
chz= 1 +21- +“4f-|- ••• = 2 (2й)Г(5)
п = 0
Отметим еще раз, что для действительных значений z эти функции получают уже известные нам значения.
Изучение свойств рассматриваемых функций комплексной переменной z должно производиться на основании принятых определений, т. е. исходя из свойств рядов. Эти ряды дают возможность вычислить значение каждой из этих функций при любом определенном значении z, но обычно при вычислении значений этих функций используют их свойства, которые будут получены дальше.
Прежде всего, непосредственно из определения этих функций следует, что sin z и shz — нечетные функции (/(—z) =—f(z)), a cos z и ch z — четные функции (/ (— 2) — / (z)).
Формула Эйлера. Подставляя в равенство (1) iz вместо г и производя надлежащую группировку членов ряда, что возможно в абсолютно сходящемся ряде, получим:
1 ~ 2!“i~4T— -".(-Н—зг + зг —...) = COS24-Zsin 2.1 ~ 2!“i~4T— -".(-Н—зг + зг —...) = COS24-Zsin 2.
1 ~ 2!“i~4T— -".(-Н—зг + зг —...) = COS24-Zsin 2.
1 ~ 2!“i~4T— -".(-Н—зг + зг —...) = COS24-Zsin 2.
Равенство
(6)(6)eiz = cos 2 -4- i sin 2
(6)
(6)
называется формулой Эйлера. С помощью формулы Эйлера легко получить выражение sin z и cos 2 через показательную функцию. Действительно, подставляя в формулу Эйлера — z вместо z и учитывая четность cos 2 и нечетность sin 2, получим:
e-iz = cos 2 — i sin 2.(7)
Почленно складывая и вычитая равенства (6) и (7), найдем:
Эти формулы также называют формулами Эйлера.
Заметим, что формула Эйлера верна при любом комплексном значении z, в частности, при любом действительном значении z, z = x, она принимает вид:
е«х = cos х + i sin х.
Полученное равенство в теории дифференциальных уравнений фигурировало как определение чисто мнимой степени числа е.
Как следует из формул (8), функции sin z и cos z выражаются линейно через показательную функцию. Такая связь стала возможной только при выходе в комплексную плоскость.
Из формул Эйлера легко получить, что свойство ограниченности модулей функций sin 2 и cos 2, которое имеет место в действительной области, не сохраняется в комплексной области.
Действительно, при 2 = Z cosZ = -—i-L^i^ При z = iy cos iy = e~y + еУ
= —у— неограниченно растет, когда у-* со.
Рассмотрим еще одно приложение формулы Эйлера. Как известно, правая часть равенства 2 = г (cos о -}- i sin ®), где г — модуль комплексного числа 2, а <р — аргумент, называется тригонометрической формой комплексного числа 2. Учитывая формулу Эйлера, можно записать: z = re1-. Выражение г^” называется показательной формой комплексного числа z.
Связь между показательной и гиперболическими функциями. Известная связь между этими функциями в области действительных значений аргумента сохраняется и для комплексных значений аргумента.
В самом деле, положив в равенстве
77^
‘ И 21 * 3141 1 ‘> rz! ' *" *
z3 , z«z3 , z«п! 1 -п! 1 -— 2 вместо г, получим:
z3 , z«
z3 , z«
п! 1 -
п! 1 -
= 1 — — -1- —
1! 1 2!
откуда
И, следовательно, мы выразили гиперболические функции через показательную функцию:
shzshzez — e~z2ez — e~z2ch z =ch z =h£22h£22(9)(9)Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями.Связь между этими функциями устанавливается с помощью их выражений через показательную функцию, т. е. с помощью формул (8) и (9).Действительно,Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями.Связь между этими функциями устанавливается с помощью их выражений через показательную функцию, т. е. с помощью формул (8) и (9).Действительно,gizg-iz gizg-izsh iz =s= i^= t sin z.gizg-iz gizg-izsh iz =s= i^= t sin z.откуда следуетоткуда следуетch iz = cos z, shiz = i sinz.ch iz = cos z, shiz = i sinz.(10)(10)Подставляя в эти равенства iz вместо z, получим:Подставляя в эти равенства iz вместо z, получим:илии, значит,илии, значит,cos iz = ch (— z) — ch z,i sin iz = sh (— 2) = — sh zsin iz — i^hzcos iz = ch (— z) — ch z,i sin iz = sh (— 2) = — sh zsin iz — i^hzcos tz = chz, sin iz = i sh z.cos tz = chz, sin iz = i sh z.(ID(IDТеорема сложения для показательной функции. Теорема сложения является основой для изучения свойств показательной, а также тригонометрических и гиперболических функций. Ее можно сформулировать так: для любых двух комплексных чисел zx и z» выполняется равенствоezi+^2 — еч.ега.Теорема сложения для показательной функции. Теорема сложения является основой для изучения свойств показательной, а также тригонометрических и гиперболических функций. Ее можно сформулировать так: для любых двух комплексных чисел zx и z» выполняется равенствоezi+^2 — еч.ега.Как известно, для действительных значений zx и z2 это равенство справедливо.Как известно, для действительных значений zx и z2 это равенство справедливо.Доказательство. Так как ряды ег> = ^ ^-, е2- = ^. абсо- п = 0л = 0Доказательство. Так как ряды ег> = ^ ^-, е2- = ^. абсо- п = 0л = 0лютно сходятся, то их можно почленно перемножать. Умножая рядылютно сходятся, то их можно почленно перемножать. Умножая ряды^=1^=1b । ztц г?[1!2!1 3! 1b । ztц г?[1!2!1 3! 1е 2 1 4“ ц 4" Де 2 1 4“ ц 4" ДД л1 3! 1Д л1 3! 1I д" п\| z21 п\I д" п\| z21 п\
shz
shz
ez — e~z
2
ez — e~z
2
ch z =
ch z =
h£2
2
h£2
2
(9)
(9)
Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями.
Связь между этими функциями устанавливается с помощью их выражений через показательную функцию, т. е. с помощью формул (8) и (9).
Действительно,
Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями.
Связь между этими функциями устанавливается с помощью их выражений через показательную функцию, т. е. с помощью формул (8) и (9).
Действительно,
gizg-iz gizg-iz
sh iz =s= i^= t sin z.
gizg-iz gizg-iz
sh iz =s= i^= t sin z.
откуда следует
откуда следует
ch iz = cos z, shiz = i sinz.
ch iz = cos z, shiz = i sinz.
(10)
(10)
Подставляя в эти равенства iz вместо z, получим:
Подставляя в эти равенства iz вместо z, получим:
или
и, значит,
или
и, значит,
cos iz = ch (— z) — ch z,i sin iz = sh (— 2) = — sh z
sin iz — i^hz
cos iz = ch (— z) — ch z,i sin iz = sh (— 2) = — sh z
sin iz — i^hz
cos tz = chz, sin iz = i sh z.
cos tz = chz, sin iz = i sh z.
(ID
(ID
Теорема сложения для показательной функции. Теорема сложения является основой для изучения свойств показательной, а также тригонометрических и гиперболических функций. Ее можно сформулировать так: для любых двух комплексных чисел zx и z» выполняется равенство
ezi+^2 — еч.ега.
Теорема сложения для показательной функции. Теорема сложения является основой для изучения свойств показательной, а также тригонометрических и гиперболических функций. Ее можно сформулировать так: для любых двух комплексных чисел zx и z» выполняется равенство
ezi+^2 — еч.ега.
Как известно, для действительных значений zx и z2 это равенство справедливо.
Как известно, для действительных значений zx и z2 это равенство справедливо.
Доказательство. Так как ряды ег> = ^ ^-, е2- = ^. абсо- п = 0л = 0
Доказательство. Так как ряды ег> = ^ ^-, е2- = ^. абсо- п = 0л = 0
лютно сходятся, то их можно почленно перемножать. Умножая ряды
лютно сходятся, то их можно почленно перемножать. Умножая ряды
^=1
^=1
b । ztц г?[
1!2!1 3! 1
b । ztц г?[
1!2!1 3! 1
е 2 1 4“ ц 4" Д
е 2 1 4“ ц 4" Д
Д л
1 3! 1
Д л
1 3! 1
I д" п\
| z2
1 п\
I д" п\
| z2
1 п\
получим:
(
»8-у2у.у 5*2\/\
3! "T" 211! T 112! T 31/ 11 W" 1 (n — 1)! 11 “Г ‘ ‘' 1 n'.) 1
= I ~Kzi ~b 22) ~r 2f (zi “Г 2ZjZ2 -{- zl) -|-
~H 3f (z^ 4~ 3zjz2 -[“ 3ZjZ2 + Z2) +... ~|~
+ ^(^ + «2Г’г2 4-... + г?) + ...= 1 + (21 + 22)4-
T 2! "r 31 In! I e ,
(12)(12)^1 . ^2 — e21*®2.
(12)
(12)
Из теоремы сложения и формулы Эйлера (6) можно получить ряд свойств рассматриваемых функций.
Для этого сначала иайдем действительную и мнимую части показательной функции е?.
= е^*1- =ех • e‘v = ех (cos у + i sin у).
Следовательно,
Re (е2) = ех cos у,
Im (еД = er sin у
и модуль ^ запишется в виде |ег|=]/ ёгх (cos2 у -}- sin2 у) = ех или, что то же,
\ez\ = eRe^\(13)
Например, найдем | еи | и | ег21. Так как eto = еих*^ = е-^1*, то \ е1г \ = е^У.
Аналогично имеем е22 = ёх+‘-у)2 = ех2 — ^-Ь12^ и> следовательно, | ег21 = ех2~-''2.
Заметим, как следует из равенства /т (е2) = г* sin у, что функция г2 всегда принимает мнимые значения при условии у ^йл (й— любое целое число).
Если же у = йл (й — любое целое число), то функция ег принимает действительные значения, в частности, при й = 0 получим действительные значения для г и для функции ег.
Учитывая выражение для модуля ег, |ег| = ег, а также тот факт, что показательная функция ех при действительных значениях х в нуль не обращается, заключаем, что функция ег нигде в нуль не обращается.
Показательная функция^ является периодической функцией, ее период равен 2лг. Действительно,
^*№i _ ^ . e4ici _ ^ (coS 2д _[_ / sin 2л) = ^.
Из этого свойства показательной функции и формул (9) следует, что гиперболические функции shz и chz также являются периодическими функциями с периодом 2лг. Последнее означает, что значения функций е2, sh z, ch z в точке z и в каждой точке, получающейся из г сдвигом по вертикали на 2л (или на 2л6, k — целое число), между собой соответственно равны....
Функция ёг имеет период, равный 2л, так как е^2*^ = е,г-ечтЛ = егг. И, следовательно, учитывая формулы (8), получим, что функции sinz и cos г имеют период, равный 2л, т. е. свойство, ранее известное для тригонометрических функций в действительной области, остается справедливым и в комплексной области.
И, наконец, что, перемножая равенства (6) и (7), получим: (cos z -[- i sin z) • (cos z — i sin z) = elz • e~tz = 1 или, что то же,
cos2z + sin2z = 1.
Таким образом, основное равенство для тригонометрических функций сохраняется и при комплексных значениях аргумента.
Используя связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями и учитывая, что cos2 iz-V sin2 iz — 1, получим: ch2z + (ishz)2= 1 или, что то же, ch2z— sh2z=l. Это равенство является основным соотношением для гиперболических функций.
Рассмотрим ошибку, которую допускают при отыскании модуля функции еи, когда рассуждают так:
еи = cos z -|- i sin z, поэтому
| elz | = V cos2 z + sin2 z = 1
и получают результат, противоречащий уже известному:
| eiz | = e-v.
Действительно, сравнивая эти два равенства, получим, что при любом z, а следовательно, и при любом j> = /(z), справедливо соотношение е~У=1, что нелепо. Такая ошибка произошла за счет того, что «посчитали» функции cos z и sin z действительными при любых значениях z. На самом же деле функции cos z и sin z принимают действительные значения только при действительных значениях аргумента.
Это утверждение рекомендуется проверить самостоятельно, используя, например, формулы (8) или результаты следующего пункта.
Теоремы сложения для тригонометрических и гиперболических функций. Из теоремы сложения для показательной функции и формул Эйлера получаем:
gi(zt + z2) g— '(‘1 + г»)gizi . giza g— *2х . g— i=a
sin (z, + z^ =s=
(cos zt -|- i sin z^ (cos z2 + i sin z2) — (cos zx — i sin zt) (cos z„ — i sin z2) ‘21=
= sin Zi cos z2 4- coszj sin z3.
Таким образом,
sin (Zi 4- z2) — sin zx cos z2 4- cos zx sin z2.(14)
Аналогично имеем:
gi(2i + «2) I g—i(2i + z2)gizx . giz« I g—i2x .g—iza
cos (zx 4- z2) ==
(cos z, + i sin zj (cos z2 4"' s*n zs) + (cos zi — ^ sin zi) (cos za —1 ^ zs) "' 2—
= cos zx cos z2 — sin zx sin z2, t. e.
cos (zt 4- 22) = coszt cosz3 — sinz! sinz2.(15)
Равенства (14), (15) называются теоремами сложения соответственно для синуса и косинуса.
Заметим, что, используя равенства (15), (14), а также основное соотношение sin2 z 4- cos2 z = 1, можно показать, что основные формулы для тригонометрических функций, доказанные в действительной области, остаются верными и в комплексной области.
Подставляя в равенства (14) и (15) вместо zx и z2 соответственно izx и iz2 и учитывая формулы (И), получим теоремы сложения для гиперболических функций:
sin (tZi 4" Z22) = sin i (zx 4* 22) = sin izx cos iz2 4- cos izx sin Zz2,
i sh (zx 4- 22) = i sh zx ch z2 4- i ch zx sh z2 или
sh (2t 4-22) = shz1chz24~ch2lshz2.(16)
Аналогично получаем:
cos (izx -[- iz») = cos i (zx -}- 2a) = cos izx cos iz» — sin izx sin iz^ или
ch (zx -{- z^ = ch zx ch za -{- sh zx sh za.(17)
Равенства (16), (17) называются теоремами сложения соответственно для гиперболических синуса и косинуса.
Заметим, что из каждой формулы, справедливой для тригонометрических функций, можно получить соответствующую формулу для гиперболических функций, если использовать связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями, т. е. равенства (10), (11).
В качестве примера на теоремы сложения найдем Re (sin z),Im (sin z) и | sin 2 |.
Решение. Так как
sin 2 = sin lx -|- (у) = sin x cos iy -|- cos x sin iy = sin x ch у -J- i cos x shy,
TO
Re (sin z) = sin x chy, Im (sin z) = cos x shy и, следовательно,
| sin z j2 = (sin x ch y)2 -|- (sh у cos x)2 = sin2 x ch2 у + sh2 у cos2 x == sin3 x (1 -|- sh2y) -|- sh2y cos2 x = sin3 x + sh2y,
T. e. I sin z I = Jz^sin3 x + sh3y.
Из полученного равенства легко определить нули функции sin 2. Действительно, sinz = 0 при условии, что sinx = 0 и shy = 0, т. е. при х = йл (й— целое число) и у = 0.
Окончательно sin z = 0 только при г = й~ (й— целое).
Аналогично можно получить, что cosz = 0 только при г = -^- + &~(й—целое).
Учитывая выражение гиперболических функций через тригонометрические функции, можно также найти нули shz и chz. Рекомендуется проделать это самостоятельно.
Определение тригонометрического и гиперболического тангенса комплексного аргумента. Названные функции обозначаются соответственно tg г и thz и определяются равенствами:
, sin 2 1 elz— e~iz
®Zcos zi eiz -|- e~l< *
,, shz ez— e-z
(при этом предполагается, что cosz^O и chz^O).
Нетрудно установить, что между этими функциями существует следующая связь:
tg (iz) = i th z,th (iz) = i tg z.
§ 15. Некоторые многозначные функции комплексного аргумента
Логарифмическая функция. Логарифмом числа z по основанию е (обозначается Lnz) называется всякое число w, удовлетворяющее равенству е™ = г.
Из определения Ln z следует, что z ^ 0, так как показательная функция в нуль ие обращается.
Запишем z в показательной форме, а ш — в алгебраической форме: z = r^; w — u-^iv. Тогда по определению логарифма е"*1'0 = ге - или eu.eiy = rei,f.
Из равенства комплексных чисел следует равенство их модулей: eu = t, откуда и = 1пг, и соотношение между аргументами: и = @-}-2/гп (/г — любое целое число) и, значит,
w = In г + i (<р -)- 2fe~).
Обратно, при любом целом к записанное выражение, как непосредственно видно, является значением логарифма числа z. Итак, Lnz (при z ^ 0) имеет бесчисленное множество значений, причем все они получаются по формуле
Ln г 1п| z | -1- i (® -ф- 2къ)(k = 0, ± 1, ±2, ...)
или, что то же, Ln z = In | z 14- i Argz.
Так как в области комплексных значений каждое число, не равное нулю, имеет бесчисленное множество значений логарифма, то Lnz — бесконечнозначная функция, определенная во всей плоскости, кроме z=D.
Если рассматривать только действительные значения переменной z и функции, т. е. рассматривать логарифмическую функцию в действительной области, то она будет определена лишь для положительных значений аргумента (в этом случае <р = 0) и однозначна для этих значений. Для отрицательных же значений аргумента логарифмическая функция в действительной области не существует (в этом случае <р = к). И мы получили известное свойство логарифмов в действительной области, которое коротко формулируется так: отрицательные числа логарифмов не имеют.
Обозначим через lnz = In | z | -j-t®, где — z<^<p^z, и назовем это выражение главным значением, логарифма, тогда
Lnz = lnz Д-2ктл(k = 0, ±1, ±2, ...).
Пример 1.
Ln 1 = In 1 + i (0 -f- 2йя) = 2ктй
Ln (— 1) = In 1 4- i (тс + 2Ал) = (2Л + 1) тй
Еп(1+0 = 1пГ2 + / (-J + 2^.
Пример 2. Доказать основное свойство логарифмов
Ln (Zj • z2) = Ln Z! + Ln z2.
Действительно, из тождества e'"nz = z получаем eLnZ1 = z1, eLn 22 = z2. По теореме сложения показательной функции:
gLnzj + Lnza =eLn z, , gbnz2 _Zi ,
Ho eLn^ZvZ^ = z1-zs. Из сравнения этих равенств получаем:
gLn(zi-z2) _ eLn Zi + Lnz2
откуда Ln (z^o) = Ln z,-|-Ln z2 (если учесть, что равные значения показательная функция принимает лишь в точках, отличающихся между собой на число, кратное 2м).
Заметим, что запись Ln zx 4- Ln z2 следует понимать так: каждое значение Lnzt складывается с каждым значением Ln z2 и полученное таким образом множество комплексных чисел совпадает с множеством значений Ln (z, • z2).
Степенная функция с комплексным показателем. Степенная функция w = za (где а — произвольное комплексное число и z^O) определяется, равенством ^ = e“Ln\
Так как Lnz многозначная функция, то то же самое, вообще говоря, можно сказать и относительно функции z". Действительно, записав Lnz = Inz4~2feM, получим
2®5а ^п 2^ct In 2 + 2AkZ • а ga In 2. g2A«t • а
и если обозначить одно из значений za, при фиксированном z, через а'о, wtt = ealnz, то все значения za при этом значении аргумента определяются равенством
г1 = шое2*'' •".
Отсюда заключаем:
Если а — целое число, то e2kei • = = 1 и функция za имеет единственное значение. В частности, при а = 0 za=l.
Если а — дробное рациональное число, а —у ^причем ——несократимая дробь), то учитывая периодичность показательной функции, получим, что eZh'to = e " имеет только п различных значений, соответствующих, например, значениям fe = 0, 1, 2, ..., п— 1. В частности, ।
при т=\, получим гп = у г. Эта функция имеет п различных значений. (Этот результат был получен также в гл. V, § 7.)
Если же а — иррациональное или комплексное число, то можно показать, что функция za при фиксированном z имеет бесчисленное множество значений.
Пример 1. 1‘=е‘Lni = е*' 2fc~* = е~261: (fc = 0, + 1, ± 2, ...), в частности, при й = 0 1' = 1.
•.. . i •f + 26я^
Пример 2. i = e'Ln’ = e ' 2= е ' 2' (А = 0, ± 1, ± 2, ...).
Обратные тригонометрические функции комплексного аргумента. Обратные тригонометрические функции обозначаются
Arcsinz, Arccosz, Arctgz
и определяются следующим образом: w = Arcsinz, если sinty = z; w = Arccosz, если costy = z и w = Arctgz, если tgw = z.
Как известно, тригонометрические функции выражаются через показательную функцию, поэтому естественно ожидать, что функции, обратные тригонометрическим, будут выражаться через логарифм. Действительно, по определению w = Arcsinz, если z = sinay или
eiw — е"™
Z~ 2<’
откуда получаем:
e<iiw_2i2ei™_ 1==0.
Решая это квадратное уравнение относительно е™, имеем:
e™=iz-V V 1 — г2,
w = у Ln (iz -ф- ]/1 — z2) или, что то же,
Arcsin z = у Ln (Zz + )/1 — z2).
Все значения функции Arcsinz определяются этим равенством.
Так как выражение, записанное под знаком логарифма, отлично от нуля, то функция Arcsinz определена при всех значениях z. Arcsinz — бесконечнозначная функция, что объясняется двухзначностью корня и бескоиечнозначностью логарифма.
Аналогично получаются выражения через логарифм для функций: Arccos z и Arctg z. Действительно, w = Arccos z, если z = cos w — £фф-ф£ф”, откуда e2‘® — 2ze'®' -ф-1 = 0. Решая уравнение, найдем е'™ = г-ф-/z2— 1 и, следовательно,
ay— у Ln (z-ф ]/z2— 1).
Таким образом, все значения Arccosz определяются равенством
Arccos z = у Ln (z -ф- j/z2 — 1).
Это — бесконечнозначная функция, определенная при всех значениях г (так как выражение, записанное под знаком логарифма, в нуль не обращается). Бесконечнозначность этой функции объясняется двузначностью корня и бесконечнозначностью логарифма.
И, наконец, w = Arctgz, если z = tgw =
или
дЯш 1дЯ® _|_ [ >
откуда
-И® __ + tz _ i — z 1 — iz I -|- z "
И окончательно w = Arctg 2 =Ln $4—•.
° 2г I A- 2
Это — бесконечиозначная функция (за счет логарифма), определенная при всех значениях 2, кроме z = ±L
Пример. Найти нули sin z, т. е. определить z, при которых sinz = 0.
Решение. sinz = 0 при г = Arcsin 0= — Ln ('KD> откуда получаем две системы значений, которые обозначим (z^ и (z)2:
(z), = Д- Ln 1 = 4- Ikui = 2йт,7 ii
(z^ = 1 Ln (— 1) = 1 (я 4- 2k^ i = (2k + 1) те
или, что то же, sinz = 0 при z = ks (6 = 0, ±1, ±2, ...).
Обратные гиперболические функции. Обратные гиперболические функции обозначаются1) Arshz (арсинус гиперболический z), Archz (аркоси- нус гиперболический z), Arthz (артангенс гиперболический z) и определяются следующим образом: w = Arshz, если shty = z; w = Archz, если chw = z и w = Arthz, если thw = z.
Найдем выражения этих функций через логарифм.
gW g-W
По определению = Arshz, если z = shto =2 или г™—
— 2ze™— 1=0, откуда е® = z-|- /z2-ф-1 и, следовательно, ay = Arshz = = Ln (z -|- ]/z2 -[- 1).
Таким образом, Arshz — бесконечнозначная функция, определенная при всех значениях z. Она бесконечиозначна за счет двузначности корня и бесконечнозначности логарифма.
д'® _1_ д—®
По определению ш = Archz, если z = chw =—» и> проведя
аналогичные рассуждения, получим:
Arch z = Ln (z 4- V^ — 1 )•
gW g—w
И, наконец, если w = Arthz, то z = th ш = w ,, и, следовательно, 11e т =
можно получить: Arth z = у Ln *-—^.
Функция Arth z бескоиечнозначная (за счет логарифма), определенная при всех значениях z^±l.
Раздел 5
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Основные сведения. Тригонометрические ряды Фурьедля функций с периодом 2л
Функция f(x), определенная при всех значениях х, называется периодической, если существует такое число Т ^Т Ф 0), что при любом значении х выполняется равенство
/(x + n = f(x).(1)
Число Т в этом случае называется периодом функции. Как следует из определения периодической функции, для построения графика такой функции достаточно построить ее график на отрезке [0, 71] и периодически продолжить его на всю числовую ось (рис. 440). (Прибавление числа к аргументу функции означает сдвиг графика этой функции вдоль оси ОХ.)
Рис. 440.
Из определения также следует, что если Т — период функции, то ее периодом также будет пТ, где п — любое целое число. Обычно за период Т принимают наименьшее положительное число, удовлетворяющее равенству (1).
Отметим следующие свойства периодических функций:
Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодические функции периода Т.
Если функция f(x) имеет период Т, то функция f(ax) имеет пеТ риод —.
В самом деле, для любого х:
f [а (х + -f)] = № + Л = f (ах)
(умножение аргумента на число означает сжатие или растяжение графика этой функции вдоль оси ОХ).
Например, cos3x имеет период Т = ^, периодом sinnx будет Т = ^-.
Если f (х) периодическая функция периода Т, то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежутку длины Т (при этом предполагается, что эти интегралы существуют). Итак, докажем, что при любых а и b справедливо равенство
аЦ-Т6 + Г
§ / (х) dx = ^ / (х) dx аb
(геометрически для неотрицательных функций имеем равенство площадей, рис. 440). Действительно,
а + 7ВЬЦ-Та + Т
/ (х) dx = / (х) dx -{-• / (х) dx +/ (х) dx.
aabb + Т
Преобразуем теперь интеграл
а+г f (х) dx, b+т
полагая х = и-\-Т:
а + Таа
f(ix)dx = ^f(u^rT)du = \if(4u)du ь+ Т66
(при этом мы воспользовались периодичностью функции/(«)). И окончательно получаем:
а + Т66+7а6 + 7
/(х)dx = ^/(х)dx4- ^ f(x)dx-V-^f(x)dx= f(x)dx. aabbb
Тригонометрический ряд. Ряд Фурье. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:
у 4- (a, cos х -|- bx sin х) + (а2 cos 2х 4- 62 sin 2х) -[- -[-...-[- (а„ cos пх -\-bn sin пх) + ...
или, короче,
СО
^+2 Фп cos пх-^Ьп sin пх), п = 1
где а6, ах, Ьь а^, Ьг, ..., ап, Ьп, ...— действительные числа, называемые коэффициентами ряда ). Каждое слагаемое ап cos пх 4* bn sin пх (п = 1, 2, ...) тригонометрического ряда является периодической функцией периода 2тс ^так как у— имеет любой период, а период ап cos пх 4- 4~6„sinrtx равен ^, а значит, и 2тс). Каждое слагаемое an cos их-|- 4- bn sin пх ф = 1, 2, ...) является аналитическим выражением простого гармонического колебания A sin (их4~ <р), где A sin n^ = art, A cos п<о = Ьп, А — амплитуда, ср — начальная фаза. Учитывая сказанное, получаем: если тригонометрический ряд сходится на отрезке длины периода 2тс, то он сходится на всей числовой оси и его сумма f(x) является периодической функцией периода 2^. А также получаем, что в этом случае периодическая функция /(х) записана в виде суммы бесконечного ряда простых гармоник или, что то же, разложена в ряд простых гармоник.
Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [—тс, тс] (следовательно, и на любом отрезке) и его сумма равна /(х). Ставится задача: определить коэффициенты этого ряда.
Для решения поставленной задачи воспользуемся следующими равенствами:
г,( 0, т Ф п
\ cos тх cos пх dx = {
_я( тс, т = п, т, п — 0, 1, 2
г,( 0, тф п
\ sin тх sin пх dx = <
( тс, т = п,т, п = 0, 1, 2, ....
cosтхsinnxdx= 0, иг = 0, 1, 2, ..., п=1, 2, ...
Нетрудно убедиться в справедливости записанных равенств. В самом деле,
cos тх cos пх = у [ cos (m + ri) х + cos (m — n) х],sin тх sin пх = у [ cos (m — п) х — cos (m + п) х],cos тх sin пх = у [ sin (я -|- m) х — sin (п — т) х]
и, таким образом, все интегралы приводятся к интегралам вида:
§ cos kxdx и § sin kxdx, где й = 0, 1, 2, 3, ...,
cos кх dx =cos кх dx =sin кх dx =sin кх dx =х | = 2л, при к = О, sin кх I ” . ь А —-— = 0, при к ф О,
cos кх dx =
cos кх dx =
sin кх dx =
sin кх dx =
О,при 6 = 0,О,при 6 = 0,К ] — те
О,при 6 = 0,
О,при 6 = 0,
cos 6х 1"-. . а
—-—= 0, при к ф 0.
А также воспользуемся следующими свойствами:
Как известно, сумма равномерно сходящегося на некотором отрезке [а, 6] ряда непрерывных функций является непрерывной функцией на этом отрезке. Учитывая это, получим, что сумма равномерно сходящегося иа отрезке [— л, л] тригонометрического ряда — непрерывная функция на всей числовой оси.
Равномерная сходимость ряда У, ип (х) на отрезке [а, 6] не на- П = 1
рушится, если все члены ряда умножить на функцию <р (х), непрерывную на этом отрезке.
Действительно, применяя к ряду У, ип (х) критерий Коши равно- п= 1
мерной сходимости, получим: для любого числа е^>0 найдется такой номер ^ = ^(e), что при п^> N и любом целом р^>0 неравенство
I ип^ W 4- u«4-2 (х) 4- • • • 4- ип*р (4) I <46
выполняется для всех х отрезка [а, 6].
По условию <р (х) — непрерывная функция на отрезке [а, 6], следовательно, она ограничена на этом отрезке, т. е. существует такое число Л4^>0, что для всех х отрезка [а, 6] выполняется неравенство |<р(х)|^Л4. Тогда для ряда У <р(х)и„(х), полученного из данного умножением на п= 1
функцию <р (х), непрерывную на отрезке [а, 6], имеет место неравенство 4(4«п,1(4444^2(4т---т4^44Ю^ справедливое для всех х отрезка [а, 6] при п^> N и любом целом р^>0. А следовательно, по критерию Коши ряд У <р (х) ип (х) равномерно сходится на отрезке [а, 6], что и требовалось доказать.
В частности, равномерная сходимость на отрезке [—л, к] данного тригонометрического ряда ие нарушится, если ряд умножить на cosnx или sin пх.
Теперь перейдем к решению поставленной задачи. По условию
/ (х) = у -)“ (°icos х 4“ ^i sin х) 4~ (а2 cos 2х -[- Ьа sin 2х) 4-
4~... 4“ кап cos пх 4- Ья sin пх) 4- • • • >(2)
при этом ряд равномерно сходится на отрезке [—тс, тс]. Как было получено, /(х)— непрерывная функция на отрезке [—тс, тс], а следовательно, интеграл ^ / (х) dx существует.
В результате почленного интегрирования равномерно сходящегося ряда (2) получаем:
У f(x)dx = ^ У dx-^-^сц ^ cos xdx4-bt ^ sinxdxj +
-}- ^2 ^ coS 2х dx + b^ ^ sin 2х dx') -[-
■}-...+ (а„ ^ cosпхdx-[-bn ^ sin nxdx)-]-...=тса0
откуда
а0 = ^ У f W dx.
Умножая равенство (2) на cosnx и интегрируя его в пределах от —тс до тс, получаем:
У f (х) cos пх dx = у у cos пх dx -[- ^ ^ cos х cos пх dx -|-
+ 6, ^ sin х cos пх dx') -|- (^ ^ cos 2х cos пх dx -|-
&2 5 ^П ^х cos пх ^^ + • • • + (°я 5 cos2 пх ^х ~Ь
4~Ь„ ^ sinпхcosпхdx)-}-... = ^ап,
тогда
ап = -^ ^ f(x) cos nxdx (n=I, 2, ...).
Аналогично, умножая равенство (2) иа sin их и интегрируя его в пределах от —тс до тс, имеем:
f (х) sin пх dx = т:Ьп,
следовательно,
bn = ^ ^ f (х) sin пх dx.
Таким образом, получены следующие выражения для коэффициентов ряда:
“0 = ^- У fWdx,
а„ = 4. У f (х) cos пхdx (и=1, 2, ...),
Ьп = ^ У f(x)sinnxdx <п = 1, 2, ...).
Или, объединяя первые два равенства, запишем:
С 1 ап = — \ f(x)cosnxdx (n = 0, 1, 2, ...),
} (3)
Ьп = — 1 f(x)sinnxdx (п = 1, 2, ...).
Заметим, что в равенствах (3) пределы интегрирования можно взять от 0 до 2^ (на основании свойства периодических функций) или от а до a -j- 2-, где а — произвольное число.
Пусть f(x) — любая периодическая функция периода 2к, непрерывная на отрезке [—л, к] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого ряда.
Тогда для функции /(х) коэффициенты, определяемые равенствами (3), существуют и называются коэффициентами Фурье этой функции ’).
Рядом Фурье такой функции Цх) называется тригонометрический ряд. коэффициенты которого определяются равенствами (3). Из приведенных выше рассуждений непосредственно получаем: во-первых, если f(x) является суммой равномерно сходящегося на отрезке [—л, ^] тригонометрического ряда, то этот ряд является рядом Фурье функции f (х); во-аторых, не существует двух тригонометрических рядов, равномерно сходящихся на отрезке [—к, к] к одной и той же функции [см. равенства (3)]. Или, что то же, если функция f (х) разложена в равномерно сходящийся на отрезке [—z, к] тригонометрический ряд, то такое разложение единственное.
Пусть / (х) — любая периодическая функция периода 2л, непрерывная на отрезке [ — л, л] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода. Для такой функции Цх) можно записать соответствующий ей ряд Фурье:
Цх)~-^ + ^ (ancosnx-|-6„sinnx), n = l
коэффициенты которого определяются из равенств (3). Однако, как и в случае степенных рядов, нельзя утверждать, что ряд Фурье функции ^(х) сходится к этой функции.
Этот ряд может для некоторых значений х оказаться расходящимся, но если даже он и сходится, то это еще не означает, что его сумма равна f(x). Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то знак соответствия ~ заменяется знаком равенства, и в этом случае говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.
Можно доказать, что при некоторых условиях, налагаемых на функцию / (х), она разлагается в ряд Фурье. Опуская доказательства, сформулируем только некоторые достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье.
Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье. Прежде всего напомним, что точку х0 разрыва функции /(х) называют точкой разрыва первого рода, если существуют конечные пределы справа и слева функции f(x) в точке х0:
lim f (х) = f (Хо + 0) — предел справа, лс->Хо+О
lim f(x)=/(x0 — 0) — предел слева.
х->л0—о
*) Фурье (1768—1830)—французский математик.
Теорема 1 (Дирихле). Если функция /(х) имеет период 2тс и на отрезке [—тс, тс] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок [— тс, тс] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них /(х) монотонна, то ряд Фурье функции /(х) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f^ его сумма равна Цх), а в точках разрыва функции /(х) его f(x— 0)+/(х + 0),
сумма равна —^—-—!—-, т. е. среднему арифметическому предель
ных значений слева и справа. Кроме того, ряд Фурье функции /^сходится равномерно на любом отрезке, который вместе со своими концами принадлежит интервалу непрерывности функции /(х).
Функция, удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле (кроме условия периодичности), называется кусочно-монотонной на отрезке [—тс, тс].
Теорема 2. Если функция /(х) имеет период 2тс, кроме того, /(х) и ее производная /'(х) — непрерывные функции на отрезке [—тс, тс] или имеют конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции /(х) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции /(х) его сумма равна /(х), а в точках разрыва функции /(х) она равна — 2 " ——-.И, наконец, ряд Фурье функции /(х) сходится равномерно на любом отрезке, который вместе со своими концами принадлежит интервалу непрерывности функции / (х).
Функция /(х), удовлетворяющая условиям этой теоремы, кроме условия периодичности, называется кусочно-гладкой на отрезке [— тс, тс] ).
Следует иметь в виду, что существуют и другие достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье, но для решения практических задач обычно пользуются приведенными здесь признаками. Заметим, что сформулированные признаки между собой, вообще говоря, не сравнимы, так как существуют функции, удовлетворяющие теореме 1 и не удовлетворяющие теореме 2, и наоборот.
Например, функция /(х), определенная на отрезке [—тс, тс] равенством
/(х) =/(х) =х4 sin — при х ^ О,О при х = О
/(х) =
/(х) =
и подчиненная условию f (х + 2тс) =f(x), удовлетворяет условиям теоремы 2 и не удовлетворяет условиям теоремы 1. С другой стороны, существуют непрерывные на отрезке [—тс, тс] монотонные функции, не имеющие производных в бесчисленном множестве точек отрезка [— тс, тс], т. е. неудовлетворяющие условиям теоремы 2, но удовлетворяющие условиям теоремы 1, если подчинить их еще условию периодичности:
/(х-р2тс) =/(%).
Рассмотрим теперь вопрос о разложении в ряд Фурье непериодической функции, заданной на отрезке (интервале) длиной 2тс или меньше 2тс.
Пусть функция /(х) задана на отрезке [а, а-|-2тс] и является кусочно-гладкой или кусочно-монотонной на этом отрезке и, кроме того, /(а)=/(а-{-2тс). Периодически продолжаем эту функцию на всю числовую ось, т. е. подчиняем ее условию /(х-|-2тс) = /(х). Тогда полученную периодическую функцию можно разложить в ряд Фурье, который будет
сходиться к заданной функции f(x) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [а, а-4-2я].
Пусть теперь функция f(x), заданная на интервале (а, а 4-2т), удовлетворяет следующему условию: существует на отрезке [а, а -[- 2т] кусочногладкая или кусочно-монотонная функция, совпадающая с /(х) на интервале (а, а-]-2т). При этом условии функция, которая является периодическим продолжением функции /(х), разлагается в ряд Фурье, сходящийся к /(х) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей интервалу (а, а-[-2я).
Таким образом, задача разложения в ряд Фурье функции, заданной на отрезке (интервале) длины 2т, фактически ничем не отличается от задачи разложения в ряд Фурье периодической функции.
Если такая же задача решается по отношению к функции /(х), заданной на отрезке [а, а + Х] [интервале (а, а4-Х)]*), длина которого Х<42т, то она приводится к предшествующей задаче, если только продолжить функцию f(x) на интервал (а + Х, а + 2я) произвольным образом), но так, чтобы условия разложимости функции в ряд Фурье сохранялись и выполнялось равенство Ца4~ 2т) = f^a). (В случае функ
ции, заданной на интервале, естественно, последнее условие отпадает). Тогда полученная таким образом функция разлагается в ряд Фурье на отрезке [а, а —[—X] [интервале (а, а + Х)], так как сумма этого ряда на отрезке [а, а-|-Х)] [интервале (а, а + Х)] равна заданной функцииf(x) в каждой ее точке непрерывности.
Следует иметь в виду, что при Х<^2тг продолжение заданной функции f(x) на отрезок (интервал) длиной 2т возможно бесчисленным множеством способов, поэтому заданная функция в области ее определения бесчисленным множеством способов может быть разложена в ряд Фурье. Ясно, что суммы этих рядов будут различными функциями на отрезке [а, а 4-2т], но они будут совпадать с заданной функцией /(х) на отрезке [а, а—[—X] [интервале (а, а—|—X)], кроме, возможно, конечного числа точек разрыва /(х).
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию
Г х, О^х<я,W [О, — я < х < О,удовлетворяющую условию/(х-|-2я) = /(х) (рис. 441).
Решение. Функция /(х) удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, поэтому можно записать:
СО
/ (*) = у + 2 ("л cos пх + bn sin пх),
п= I
*) При соответствующих условиях на функцию / (х).
при этомпри этома0 = — \ / (х) rfx = — I х dx = — -n-— xООа0 = — \ / (х) rfx = — I х dx = — -n-— xООап= — j /(х) cos nxdx = — j x cos nxdx = — itоап= — j /(х) cos nxdx = — j x cos nxdx = — itо1 Г x sin nx I1 Cя L n|n jо 0cos mt — 1 (— 1)” — 11 Г x sin nx I1 Cя L n|n jо 0cos mt — 1 (— 1)” — 1(0(0., 1 cos nxsm nx dx = —5—=J n ” I о’0 при n четном,=2— j^ при n нечетном, при n четном,при n нечетном,., 1 cos nxsm nx dx = —5—=J n ” I о’0 при n четном,=2— j^ при n нечетном, при n четном,при n нечетном,bn = — I / (x) sin nx dx — — \ x sin nx dx = я Jя J— те0bn = — I / (x) sin nx dx — — \ x sin nx dx = я Jя J— те0cos nx dxcos nx dx
при этом
при этом
а0 = — \ / (х) rfx = — I х dx = — -n-
— xОО
а0 = — \ / (х) rfx = — I х dx = — -n-
— xОО
ап= — j /(х) cos nxdx = — j x cos nxdx = — itо
ап= — j /(х) cos nxdx = — j x cos nxdx = — itо
1 Г x sin nx I1 C
я L n|n j
о 0
cos mt — 1 (— 1)” — 1
1 Г x sin nx I1 C
я L n|n j
о 0
cos mt — 1 (— 1)” — 1
(0
(0
., 1 cos nx
sm nx dx = —5—=
J n ” I о
’0 при n четном,
=2
— j^ при n нечетном, при n четном,
при n нечетном,
., 1 cos nx
sm nx dx = —5—=
J n ” I о
’0 при n четном,
=2
— j^ при n нечетном, при n четном,
при n нечетном,
bn = — I / (x) sin nx dx — — \ x sin nx dx = я Jя J
— те0
bn = — I / (x) sin nx dx — — \ x sin nx dx = я Jя J
— те0
cos nx dx
cos nx dx
_ coshk _(—1)"+* b =^—\yw_nn * n n
И, следовательно, , . , я f 2, .\sin 2x , /21 .'
(1")(1")/ (x) = — 4- I—— cos x 4- sm x jH— gZ cos ^ + "J sm 3x sin 4x /2_ , 1 . _ \ ,
(1")
(1")
—+ -2^=08 5x4--^ sm5x 4...
Полагая в этом равенстве х = 0, получим:
°=i-4(1+^+^+---)»
откуда
со
^ — I)28
п= 1
Используя этот результат, нетрудно убедиться в том, что сумма ряда, записанного в правой части равенства (1"), при х = я (а следовательно, и при х = (2/г+1)я, f (я — 0) 4~ f (я 4~ ^)
22к — любое целое число) равна -у, т. е. равна — ——5—!——
2
2
Ряды Фурье для Четных и нечетных функций с периодом 2я. Прежде всего отметим, что в дальнейшем нам придется пользоваться следующим свойством интеграла по симметричному относительно х = 0 промежутку:
а^ f(x)dx =— аа^ f(x)dx =— аО, если f(x) — нечетная функция,
а
^ f(x)dx =
— а
а
^ f(x)dx =
— а
а
2^/(х) dx, если /(х) — четная функция, о
В самом деле,
f(x)dx= f (х) dx 4-\ f (х) dx.
— а—а6
Сделаем в первом интеграле подстановку х =— t, тогда
ОGаа
f(x)dx = — ^ / (— t) dt = 5 f (— 0 dt = ^ f (— x) dx, — aa00
при ЭТОМ
5 f^dx=\v^-\-H—x^dx.— a0
Если / (x)— четная функция, то /(—x) = /(x) и, следовательно,
^ f (x) dx = 2 ^ f (x) dx.
— a0
Если же /(x) нечетная функция, то /(—х) =— /(х) и, следовательно,
^ /(x)dx = 0.— а
Заметим, что произведение двух четных или двух нечетных функций — четная функция, а произведение четной функции на нечетную — нечетная функция.
Пусть теперь /(х)— четная периодическая функция с периодом 2л, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье. Тогда, используя только что полученное свойство интегралов, получим:
ап= — \ Цх) cos nxdx = —\ Цх) cos nxdx(n = 0, 1, 2,...),
— т.О
bn=-^ ^ /(х)sinnxdx = 0(n=I, 2,...).
Таким образом, ряд Фурье для четной функции содержит только четные функции — косинусы и записывается так:
ОО
/ (х) = ^ + 2 а„ cos пх,(3)
Д= 1
при ЭТОМ
ап = — \ f (х) cos пхdx (п —О, 1, 2,...).(4)
о
Рассуждая аналогично, получаем, что если /(х)— нечетная периодическая (Т = 2^) функция, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то
ап — ~ ^ f (х) cos nxdx = О (п = 0, 1, 2,...),
bn = — \ / (x)sin nxdx = у I/(х) sin nxdx (п= 1, 2,...).
Следовательно, ряд Фурье нечетной функции содержит только нечетные функции—синусы и записывается следующим образом:
/№= X ^„sinnx,(5)
п — 1 при этом
bn =-|- J /(х) sin nxdx (n=l, 2,...).о
Заметим, что если функция f(x) задана на отрезке [0, я] [интервале (О, тт)] и удовлетворяет в рассматриваемом промежутке условиям разложимости в ряд Фурье (см. п. 2), то в этом промежутке ее можно бесчисленным множеством Способов разложить в ряд Фурье. В частности, функцию f(x) можно разложить в ряд по косинусам или по синусам, для этого нужно только продолжить функцию /(х) на отрезок [—к, 0] [интервал (—к, 0)] соответственно четным или нечетным образом, т. е. подчинить, соответственно условию
/(—х) = /(х) или f (— х) = — f (х).
Пример 1. Разложить в ряд Фурье периодическую (Т=2~) функцию
. . Г —1на интервале (—я, 0),
1'[1на интервале (0, я)
(рис. 442).
Пусть в точках х = кт (к— целое число) значения функции равны 0, /(йя)=0. Сумма ряда Фурье для функции /(х) в этих точках также будет равна 0, т. е. будет
равна среднему арифметическому пределов слева и справа. Так как заданная нечетная функция /(х) удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, то
ОО/ to = 2 b"sin пх'п = 1
при этом 2 С2 Г
bn = — I / (х) sin пх dx = — । sin пх dx =О()
12
=cos пх = — (1 — COS тате)ПКЯТЕ х’
о
или, что то же, (0припчетном,
6„=—[1 — (-1)"]=I 4
птI—припнечетном,
(птГ
(2')(2')и ряд Фурье для функции /(х) запишется так:,, ,4 ( sin х , sin Зх , sin 5х ,\
(2')
(2')
/^ = т(—+-— +-3-+-- •
При х = кт (к = 0, + 1, + 2, ...) сумма ряда, записанного в правой части равенства, как уже отмечалось выше, равна 0. Полагая х = ^-, получим:
' (2ц—1)' (2ц—1)
' (2ц—1)
' (2ц—1)
2
” (_ 1)п+1 _ „
(2ц — 1) ■"' 4 *я= 1
Рекомендуется построить графики частных сумм Sj (х), S„ (х), S3 (х) ряда (2') и посмотреть, как они приближаются к графику функции / (х).
Пример 2. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию /(х) = хна отрезке [О, я].
Решение. Из условия задачи непосредственно следует, что нужно сделать четное продолжение заданной функции на отрезок [—я, 0]. Дальше периодически продолжить полученную таким образом функцию на всю числовую ось (рис. 443) и затем разложить эту функцию в ряд Фурье. Обозначим периодическую функцию, изображенную на рис. 443, через ср (х). Четная функция ср (х) удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, следовательно, по формулам (3), (4) имеем:
ОО
f№=^ + ^ а« cos”x’1
при этом
2 СJ 2 Г х sin пхап = — \ х cos пх dx = — о2 СJ 2 Г х sin пхап = — \ х cos пх dx = — о2= -2-(сОЗПЯ—1) =2= -2-(сОЗПЯ—1) =
2 СJ 2 Г х sin пх
ап = — \ х cos пх dx = —
о
2 СJ 2 Г х sin пх
ап = — \ х cos пх dx = —
о
2
= -2-(сОЗПЯ—1) =
2
= -2-(сОЗПЯ—1) =
2и-!)"-!] =2и-!)"-!] =при п четном,при п нечетном,при п четном,при п нечетном,
2
и-!)"-!] =
2
и-!)"-!] =
при п четном,
при п нечетном,
при п четном,
при п нечетном,
и окончательно получаем:
cos (2ц — 1) х (2n —I)2cos (2ц — 1) х (2n —I)2
cos (2ц — 1) х (2n —I)2
cos (2ц — 1) х (2n —I)2
На отрезке [0, я] функция ср (х) совпадает с функцией /(х) и, значит,
_я4 V cos(2n —1)х
2я Z (2ц —I)2,
Л =1
Следует иметь в виду, что нельзя забыть «приписать» условие О^х^я, иначе полученное равенство будет неверно, хотя бы потому, что сумма ряда—периодическая функция, а х — непериодическая функция.
Заметим еще, что функция ф(х) = |х| при —я^х^я и, значит, мы решили также задачу разложения в ряд Фурье периодической функции с периодом 2я, равной | х | на отрезке [—я, я].
§ 17. Тригонометрические ряды Фурье для функций любого периода
Пусть f (х) — периодическая функция периода Т — 2/ (/ — полупериод), кусочно-гладкая или кусочно-монотонная на отрезке [ — /, /]. Полагая x=at, получим функцию f(a/) аргумента t, период которой равен ^-\ Подберем а так, чтобы период функции /(а/) был равен 2я, т. е.
— = — = 2я, откуда а = — .
Тогда подстановка x = ^-t (сжатие или растяжение по оси ОХ) приводит к функции t^^ периода 2я. Эта функция удовлетворяет условию разложимости в ряд Фурье, так как она кусочно-гладкая или кусочномонотонная на отрезке [—я, я]. (Нетрудно видеть, что отрезку [—/, 1] значений х соответствует отрезок [— я, я] значений t).
Разлагая функцию f (у) в ряд Фурье, получим:
f ^ = у + 2 <а« cos nt + Ьч sin nt^п= I
при этом
ап= — ( /(—cos ntdt, п = 0, 1, 2,...,
bn= — ( f nt dt, n=l, 2,...
Исходя из равенства x = -^t, перейдем теперь снова к переменной х. Так как t=-^x, dt = ydx и пределам интегрирования по t от —те до те соответствуют пределы по х от — I до /, то ряд Фурье функции / (х) периода Т = 21 запишется в виде:
^х) = ^^^^апсоъ’^х^Ьпъ\^(3)
п = 1
при этом гг
ап=^--у ( / (х) cos у xdx = у ^ / (х) cos у xdx, п = 0, 1,...,
ii
Ьп=^ • у ^ /(x)sin у х dx = у ^ /(х) sin у xdx, п=\, 2,...
Рядом Фурье любой функции f(x) периода Т = 21, непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [— /, Z], называется тригонометрический ряд вида:
(У)(У)(4)(4)■7 + 2 o,cosyx + 6„sm7x),п= I
(У)
(У)
(4)
(4)
коэффициенты которого определяются равенствами:
«0 = 7- ( f(x)dx,
I
ап=^- У f (х)cos у xdx, п=\, 2,..., •
i
bn = -^ f f(x) sin у xdx, п=1, 2,...
—7.
Если f(x) — функция периода Т = 21, кусочно-гладкая или кусочно-монотонная на отрезке [—/, Z], то оиа разлагается в ряд Фурье, т. е. равенство (3) справедливо во всех точках непрерывности функции / (х).
В точках разрыва функции f(x) сумма ряда (3') равна 7(х-0) + /(х + 0)
2*
Ряд Фурье четной и нечетной функций любого периода (Т = 21). Пусть /(х) — четная, кусочно-монотонная или кусочно-гладкая функция
на отрезке [—/, /], тогда ее можно разложить на этом отрезке в ряд Фурье. По свойству интеграла по симметричному относительно х=0 интервалу получим Ьп = 0, п=1,2
2 С а0 = 7 j f(x)dx,
(5)
а„ = у f f (х) cos -^- xdx, и = 1,2, ... о)
Таким образом, ряд Фурье четной функции f^ периода Т = 21 запишется в виде:
СО
fM = ^- + ya„cos^x,(6)
n=I
при этом коэффициенты ряда определяются равенствами (5).
Если f(x)— нечетная функция, кусочно-монотонная или кусочногладкая на отрезке [—/, /], то а„ = 0, п = 0,1, ...,
i
Ьп= у ^ Цх) sin^ xdx, п=1,2 (7)
о
Ряд Фурье нечетной функции периода Т = 21 имеет вид:
fW = ^bnsin ^х,(8)
п = I
при этом коэффициенты ряда определяются равенствами (7). Следует иметь в виду, что все сделанные раньше замечания относительно раз
ложения в ряд Фурье функции /(х), заданной на отрезке [—тс, тс] [интервале (—тс, тс)], остаются справедливыми и для функции /(х), заданной на отрезке V-L Л [интервале (—/, /)]. Аналогично все сказанное о разложении функции на отрезке [0, тс] [интервале (0, тс)] переносится на отрезок [0, /] [интервал (0, /)].
Пример. Разложить функцию f(x) = x, —1 < х <; 1, периода Г=2 в ряд Фурье (рис. 444).
Решение. Функция /(х)— нечетная, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, поэтому на основании равенств (7) и (8) имеем:
/(х) = ^ Ьп sin /г л х (здесь I = 1), П=1 где
I
ГГ cos п it х 11 . 1 Г
Ьп = 2 \ х sin п я х dx = 2— х —— I + — 1 cos п я х d х
оо
I
[
cos л я 1II 2 cos п я
Sin^TTX — =
О
2= (—1)^+1, п = 1, 2, 3,.
и, следовательно,
. 2rsin;tx sin 2 я х . sin 3 тс х. ,sin п тс х ,'
2— +—3• • • + (-)" + 1—— + или иначе
2 Г sin тс х sin 2 тс х , sin 3 тс хх =2—3
откудаоткуда_ . . . + (_ 1)» + 1 ДЦДД^ + . . .] , — 1<Х<1._ . . . + (_ 1)» + 1 ДЦДД^ + . . .] , — 1<Х<1.В частности, при х = ^-В частности, при х = ^-
откуда
откуда
_ . . . + (_ 1)» + 1 ДЦДД^ + . . .] , — 1<Х<1.
_ . . . + (_ 1)» + 1 ДЦДД^ + . . .] , — 1<Х<1.
В частности, при х = ^-
В частности, при х = ^-
Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций.Минимальное свойство коэффициентов Фурье
Функции <р (х) и ф (х), определенные на отрезке [а, 6], называются ортогональными на этом отрезке, если ь 5<р(х) ^(x)dx = 0. а
При этом предполагается, что интеграл в левой части равенства существует. Для простоты будем рассматривать функции, непрерывные на отрезке [а, 6]. Последовательность функций
¥i W’ ^W,.. ., <р„(х), ...,(1)
непрерывных на отрезке [а, 6], называется ортогональной системой функций на отрезке [а, 6], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если ъ $<?ito<p/(x)dx = 0(гэ^/).1)
а
Всюду дальше будем предполагать, что среди функций последовательности (1) нет функции, тождественно равной нулю.
Пример. 1. Тригонометрическая система функций у, sin х, cosх, sin 2х, cos 2х,..., cos пх, sin пх,... ортогональна на отрезке [—тс, z], а следовательно, в силу периодичности этих функций — и на любом отрезке длины 2 тс. (Это утверждение получается сразу же, если обратиться к интегралам п. 1, § 1.)
Пример 2. Система функций sin х, sin 2х, ..., sin пх,... ортогональна иа отрезке [0, тс], так как при любых натуральных т и п, т ^ п,
С .., 1 Г sin (т — n) х sin (т + п) х 11” „
sin тх sin nxdx = к- — 1—J—-— = 0.
J2 L m — nin + n J о
Заметим, что в приложениях используются и другие ортогональные системы, отличные от тригонометрических.
Ортогональность системы (1) на отрезке [а, 6] не нарушится, если каждую функцию системы умножить на постоянный множитель, т. е. система
^i <pi (х), Х2 ф2 (х)к<?п(х),...(Г)
также ортогональна на отрезке [а, 6]. Действительно,
z>6
X; ф; (X) Ху фу (х) dX = X; Ху ^ ф£ (X) фу (X) dX = 0 (1 ф^ /). аа
Система (1) называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [а, Ь], если она ортогональна на этом отрезке, т. е.
6
5 ?< (х) ^) (x)dx=O, I Ф j, i, у = I, 2,. .., а
и нормирована, т. е.
$[<Pi(-t)]2dx= 1, t = 1, 2
или, что то же, если6S У; W Фу (х) dx = аНапример, система функций/2" •• о— sin х, I/ — sin 2х, . .тсг тс’или, что то же, если6S У; W Фу (х) dx = аНапример, система функций/2" •• о— sin х, I/ — sin 2х, . .тсг тс’11— sin пх, . ..— sin пх, . ..(2)(2)
или, что то же, если
6
S У; W Фу (х) dx = а
Например, система функций
/2" •• о
— sin х, I/ — sin 2х, . .
тсг тс’
или, что то же, если
6
S У; W Фу (х) dx = а
Например, система функций
/2" •• о
— sin х, I/ — sin 2х, . .
тсг тс’
1
1
— sin пх, . ..
— sin пх, . ..
(2)
(2)
ортонормированная на отрезке [0, тс].
В самом деле, эта система ортогональна (пример 2) и нормирована, так как
— J sin2nxdx= 1,п=1, 2
о
Заметим, что любую ортогональную на отрезке [a, Z?] систему (1) можно нормировать, если умножить каждую функцию этой системы на некоторый множитель, называемый нормирующим.
В самом деле, система функций
Mi (х), Х2ф2 (х),..., Х„ф„ (х), . ..(Г)
ортогональна на отрезке [а, 6]. Подберем теперь множители Х„ (о = 1, 2,...) так, чтобы выполнялось условие
S[^(x)]atix=l, о=1, 2,... а
Из этого условия определим
Х„ =Х„ =п = 1,2,...п = 1,2,...(3)(3)
Х„ =
Х„ =
п = 1,2,...
п = 1,2,...
(3)
(3)
I2 dx
Эти числа Хп(ц= 1, 2,...) называются нормирующими множителями (знак у корня можно брать любой), при таких Х„(»= 1,2,...) система (Г) будет ортонормированной.
Рядом по ортогональной системе (1) называется ряд вида:
2 ап ДО,п = I
где числа ап(п = 1,2,...) — коэффициенты ряда. Пусть функция f^ является суммой равномерно сходящегося на отрезке [а, 6] ряда по ортогональной системе (1):
/ (-Х) = а1 ?1 W Т а? ?1 М Н" • • • 4~ ап ?п (^ 4~ • • •
Определим коэффициенты этого ряда. Функция /(х), как сумма равномерно сходящегося на отрезке [а, 6] ряда непрерывных функций, является непрерывной функцией на этом отрезке. Умножая ряд на функцию ®^(х) (при этом равномерная сходимость ряда не нарушится) и интегрируя его почленно в пределах от а до Ь, получим:
»6
V W ^п () dx = ах \ <?! (х) ®„ (х) йх + аа
bb
+ tz2 ^ ®2 (х) ®„ (х) dx -|- ... + ... + ал S [фл (X)F dx -|- аа
Ъ
+ ... =а„5[ф„(х)]Чх,а
откуда ъ Vw^wdx
an = -b, »=1,2,...(4)
$ [<Рл (-x)]2 dx a
Если система (1) ортонормированная, то в этом случае
ап = 5 f W ^п W dx, и=1,2,...(4')
а
Пусть теперь f (х)— любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [а, б]. Рядом Фурье такой функции Цх) на отрезке [а, 6] по ортогональной системе ( V) называется ряд:
]ЕХ<р„(х),(5)
Л =1
коэффициенты которого определяются равенствами (4): n = I
Если ряд Фурье функции f(x) по системе (1) сходится к функции f (х) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [а, 6], то знак соответствия заменяется знаком равенства, /(х) = У^УпОР п = I
на отрезке [а, Ь]. В этом случае говорят, что функция / (х) на отрезке [а, Ь] разлагается по ортогональной системе (1).
Заметим, что если рассмотреть ортогональную на отрезке [—тс, тс] тригонометрическую систему функций:
у, cos х, sin х,..., cos пх, sin пх,...
и любую функцию /(х), непрерывную или имеющую конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [—тс, тс], то рядом Фурье функции /(х) по тригонометрической системе является тригонометрический ряд
у + Qi cos х -[- bY sin х -]- щ, cos 2x -[- Ьг sin 2x + • • •>
коэффициенты которого на основании формул (4) определяются равенствами:
/ (х) cos пх dx я
ап = ^^= ~ j* / to cos пх dx,
cos2 пх dx
$/(х) sin пх dx я
bn = Д^4= T J / to sin ИХ dx.
§ sin2 nx dx
Понятие о среднем квадратическом уклонении функций. Пусть f(x),
® (х), ф (х) — непрерывные функции на отрезке [а, 6], их графики изображены на рис. 445.
Прежде чем ответить на вопрос, какая из двух функций: <р(х) или ФМ— лучше приближает функцию /(х) на отрезке [а, 6], нужно сначала сказать, что принимается за
ном выше смысле одной функции от другой может быть и значительным, то тогда функция ф(х) дает лучшее, по сравнению с функцией ©(х), приближение функции Цх) на этом отрезке.
Определим теперь, что будем понимать под близостью функций в этом новом смысле.
Пусть на отрезке [а,д] имеем две непрерывные функции f^x) и <р(х). Разделим этот отрезок на п равных частей, точками xL (/ = 0,1,.. „п), при этом хв — а, хп = Ь. Разность Цхд— <p(xz) является ошибкой при замене функции /(х) функцией <р(х) в точке xz. Число 8„, определяемое равенством
п
1=1
называется средней квадратической ошибкой (или средним квадратическим уклонением) при замене функции Цх') функцией ©(х) или, наоборот, в рассматриваемых точках хь г= 1,2,.. „п1). Предел среднего квадратического уклонения при неограниченном измельчении отрезка [а, 6] называется средним, квадратическим уклонением функции <р(х) от функции f(x) (или наоборот) на отрезке [а, 6]. Среднее квадратическое уклонение будем обозначать через 8, тогда по определению
п
82 = Ит4-У[/(х,)-?(х;)р.
п—ОО п
Пусть6 ^ ° — Дxz<1= 1, 2, ••• , п), тогда —- = ^д- и 82 запишется
в виде:
п
^=b^ lim У VfM — ©(xz)]2Axz.гнсо?-
г = I
Так как предел суммы, записанной в правой части, равен интегралу ь
$ [/ () — У W]2 dx> то а
Ъ
82 = 5^ J Vf W — <? (х)]2 dx.
а
Заметим, что если ] / (х)— <p(x)|sgm, для всех х отрезка [а, Ь], то и среднее квадратическое уклонение 8^ т.
На основании выражения 82 через интеграл можно заключить, что среднее квадратическое уклонение функции <р (х) от функции / (х) может быть мало и в том случае, когда обычное уклонение функции ? (х) от функции f(x) значительное, но на небольших промежутках.
Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Пусть
?i to, ^W W. • • •
— ортогональная система функций на отрезке [а, 6]. Выражение ^ф^х)-)- п
+ сафа(х) + ... -^сп<?п№ = У1ск<?к(х>), где ск (k=\,2и) —числа, л=1
называется полиномом п-го порядка относительно заданной системы функций.
Пусть функция f(x) на отрезке [а, 6] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-го рода. Рассмотрим следующую задачу. п
Среди всех полиномов Рп (х) = У,ск <^к (х) порядка п найти тот, ко- fe=i
торый дает наименьшее среднее квадратическое уклонение от функции f (х) на отрезке [а, 6] или, другими словами, найти полином, который дает иаилучшее среднее квадратическое приближение функции на отрезке [а, 6].
Не нарушая общности рассуждений можно считать, что система функций <р! (х), <р2 (х), ... , <рп (х), .. . — ортонормированная на рассматриваемом отрезке, последнее всегда можно сделать, если умножить функции системы на нормирующие множители. Итак, задача состоит в определении коэффициентов ск (/г — 1, 2, и) полинома Рп^, при которых интеграл
6Ьп
$ If W — Рп W] dx^Vf W — 5 ск ^к (х)]2 dx aaк—1
имеет наименьшее значение *).
Преобразуем этот интеграл:
Ьп6пп
$ If W -^ск?к (х)]2 dx=5 {[f (х)]2 - 2f (X) 2 ск ^к (х) + [ 2 ск 'П (X)]2} dx= ак=\ак = Iк= 1
Ъп Ъ
= $[/(х)]2с?х —2 2 СкУ^^дх-^ак = 1а
п bb
+ 2 <v $ w Рdx+2 S ci си S у< w ^к м dx .2)
Л = 1ai<k а
b
Учитывая, что при любом к интеграл ^ f (х) wk (х) dx — ак, ак — коэффи- а
циент Фурье функции /(х) по данной ортонормированной системе, а также что
6
<рг (х) <ofe (х) dx = 0, i^k, i,k=l,2, .. . , п, а
И
Ъ
S [?&(х)]2 dx= 1, fe= 1, 2,,п а
(по определению ортонормированной системы), получим: Ьпbп
$ [f (^) — 5 Ск <?к (х)]Мх= ^ [f (x)pdx — 22 скак + ак=1ак= I
пbпп
^Ск^ [/№dx + 2 (ск —ак^ — 2ак\
к=1 ай = 1fe=l
Нетрудно видеть, что интеграл ^[f(x)— J^cfe <pft (x)]2dx будет минималь- а6 = 1
ным, когда ^(С6— akY — 0, т. е. при ск = ак, 6=1,2,.... п. 6=1
Таким образом, из всех полиномов n-го порядка относительно данной ортогональной системы на отрезке [а, 6] наименьшее среднее квадратическое уклонение от заданной функции f (х) на этом отрезке имеет полином с коэффициентами Фурье функции Цх) относительно данной ортогональной системы, т. е. п-я частная сумма ряда Фурье функции /(х) по этой ортогональной системе.
Таким образом, независимо от того, сходится ряд Фурье функции / (х) по ортогональной системе на отрезке [а, 6] к этой функции или нет, его п-я частная сумма дает наилучшее среднее квадратическое приближение функции f(x) на этом отрезке по сравнению со всеми другими полиномами порядка п относительно данной ортогональной системы.
Для ортогональной на отрезке [—к, к] тригонометрической системы:
..
у, cosx, 51ПХcos их, sinnx,...
тригонометрическим полиномом п-го порядка называется функция вида: п
V (ck cos 6х -[- dk sin 6х).
6=i
Из всех тригонометрических полиномов порядка п наименьшее среднее квадратическое уклонение на отрезке [— к, и] от заданной на этом отрезке функции /(х) имеет полином с коэффициентами Фурье этой функции, т. е. полином
п
-у- -|- 2 как coS 6х+ bk sin кх). к=\
Из проведенных выше рассуждений получаем, что
min [/ (х) — 5 ск <?к (х)]2 dx= $ [f (х) —ак=\а
пЪп
— S °б ?б (X)]2 dx = $ [f (х)]2 dx — 2 al,6=1а6=1
откуда, если учесть, что подинтегральная функция неотрицательна, имеем:
Ъп
S[f(x)pdx — 2^6^О ак—\
и, значит, £a^[f(x)]2dx.
6 = 1 а
Из этого неравенства, справедливого при любом п, следует сходи- СО
мость ряда ^ аб- Переходя в этом неравенстве к пределу при п—-оо, 6=1
получаем:
^al^WWYdx 6=1 а неравенство Бесселя1').
*) Бессель (1784 — 1846) — немецкий математик и астроном.
Нетрудно видеть, что неравенство Бесселя в случае ортогональной (но не ортонормированной) системы принимает вид:
со 26
4=1а
где Xfr— нормирующий множитель для функции <рд(х).
Если ряд Фурье функции f(x) по ортонормированной системе на отрезке [а, 6] равномерно сходится к функции f (х) на этом отрезке, то
Ьп
S [f W — S at ^ MP dx-*O
ак = 1
и неравенство Бесселя превращается в равенство: ^ab^VfWVdx. к = 1 а
В случае любой ортогональной системы это равенство принимает вид:
У [f(x)]4x.
Заметим, что из сходимости ряда J^al непосредственно следует, что л=|
ак->0, т. е. коэффициенты Фурье функции /(х) по любой ортонормированной системе стремятся к нулю.
§ 19. Комплексная форма ряда Фурье
Пусть / (х) — периодическая функция периода Т = 2к, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, тогда
СО
f (х) = у -ф- ^ (а„ cos пх -ф- bn sin пх),п = I
при этом коэффициенты ряда определяются равенствами (2) § 16. Преобразуем общий член ряда ап cos nx-\-bn sinпх с помощью формул Эйлера: ginx ' g-inx gin*е~*пх ginx Л_ g-inx
ап cos пх + bn sin пх = an^l bn^= an^
;k einx e inXan ^n Дпх । «n + i^n „-inx
2212"
Если положить:
— 2 '- °n ibn2’
_ an + ibn—2
или, что то же, с-п == СП1 то общий член ряда Фурье запишется в виде: ап cos пх -ф- bn sin пх = сп е1ПХ -ф- с_п е”*пх
и, таким образом, частная сумма ряда Фурье запишется так: NNN
^+2 ^cos пх+6nsin м)=со+2 ^с»е'пх+с-п^пх^ =2 c^inx*я=1я=1— N
Переходя в этом равенстве к пределу при N ->--[-со и обозначив
получим: NЯ+<»
f (х) = lim + У (а„ cos пх -{- bn sin ax') 1 = lim У спёпх = У спёах, со L “J N—,оо■
п=1—N—оо
т. е. Нх^ = УМпх.(1)
— 00
Найдем теперь выражения для коэффициентов сп. Действительно, если учесть выражения для ап и Ьп, то получим:
сп = Qn ~-^= -i- ^ ^ /(х) cos nxdx — I -i- ^/to sin nx dx^ =
XX
= "^r j f W (cos nx — t sin nx) ^x = 27 ^ / to e-£nx dx^, t. e.
cn = ^ H^^dx (»=L 2, ...),co="y- = ^r f KXW>
c_n = a"-^ ibn = у (y ^ /tocos rtxtix + Z^-^ f(x)sinnxdx) =
= 9Y ^ f Wt, cos nic-^-isin fix') d>c =-^7 ^ f(x)^nxdx (n=l, 2, . ..).
Нетрудно видеть, что при всех целых п справедливо равенство
cn = ^^/(x)^inxdx (п = 0,±1,±2. . .),(2)
при этом интегрирование можно вести по любому отрезку длины 2и. + °о
Выражение ^Сп6"1^ называется комплексной формой ряда Фурье функ-
— 00
цаи f{x).
Пример. 1) Записать ряд Фурье в комплексной форме для периодической функции/(х) периода Г=2я, определенной при 0 < х < 2т: равенством /(х) = е\
2) От комплексной формы перейти к действительной форме ряда Фурье функции f(xY
+ с°
Решение. 1) По формулам (1), (2) запишем:/(х) = 2 cne‘nxi при Э1ОМ
— со
2л2л2л
с„ = 4- \ f (х) e",rtxdx = ^- \ ex.e-‘nxdx = ^- \ eu-tn'xdx = Ziv JZiv JZu J
000
2л
= Д I =1.—1—(я = 0 ± 1 ±2 )
1 — tnI 2я 1 — inx * x ’> — >•
или, иначе,
e2” — 1 1 + in~ ST" 14-n2e2” — 1 1 + in~ ST" 14-n2(n = 0, ± 1, ± 2, . . .).(n = 0, ± 1, ± 2, . . .).
e2” — 1 1 + in
~ ST" 14-n2
e2” — 1 1 + in
~ ST" 14-n2
(n = 0, ± 1, ± 2, . . .).
(n = 0, ± 1, ± 2, . . .).
Подставляя c„ (n = 0, ± 1, . . .) в ряд для /(x), получим ряд Фурье этой функции
Отсюда следует, что
е2л —1е2л —1У einx'У einx'
е2л —1
е2л —1
У einx'
У einx'
Если учесть, что
an = 2Re(c„Y д = 0, I, 2, 6„ = — 2/т (с„), п = 1, 2
то найдем:
и, значит,и, значит,
и, значит,
и, значит,
Или, в другом виде,
при 0 < х С 2л.при 0 < х С 2л.в2"1 [" 1 , yi I cos пх п sin пх \1еХ = ”— [т+ZГ+^JJ
при 0 < х С 2л.
при 0 < х С 2л.
п = 1
Комплексная форма ряда Фурье для периодической функции периода Т=21. Пусть /(х) — периодическая функция периода Т = 21, удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье. Тогда подстановка х = ^ приводит к функции /^) с периодом 2^, разложимой в ряд Фурье. Для такой функции по формулам (1) и (2) имеем:
(-«)=2Сле<и<’ где с«=i У (тг)^п‘dt•
Переходя к аргументу х, с помощью подстановки t =-^-получим:
+ ” i 15- хfW=^cne 1,
при этом
1 dx
или окончательно
I. nit
(4)(4)с>1=т£^^е ' 1 dx-
(4)
(4)
+ co . n я
Выражение /c„e называется комплексной формой ряда Фурье этой функции ^(х).
§ 20. Задача о колебании струны
Рассмотрим применение рядов Фурье к решению задачи о колебании струны.
Пусть в состоянии равновесия натянутая струна длины / закреплена на концах.
Примем за ось ОХ направление струны и пусть х = 0 и х = 1—
ее концы.
Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и каждой ее точке сообщена некоторая начальная скорость, а затем ей предоставлена возможность колебаться свободно. Будем рассматривать малые колебания струны (длина струны, а следовательно, и ее натяжение по
Рис. 446.Рис. 446.стоянны), происходящие в вертикальной плоскости (т. е. рассматривать смещение каждой точки струны только в вертикальном направлении).
Рис. 446.
Рис. 446.
При сделанных выше допущениях можно показать, что функция и (х, /), характеризующая положение струны в каждый момент времени /, удовлетворяет уравнению1)
д2и а д2и "№—а "дЗ?'
где а — положительное число. (На рис. 446 изображен график функции и(х, I) при некотором значении t, ои дает форму струны в момент времени I?)
Уравнение (1) является линейным однородным уравнением с частными производными второго порядка. Наша задача — найти функцию и (х, t\ график которой дает форму струны в любой момент времени /, т. е. найти решение уравнения (1) при граничных условиях:
и(0, /) = 0, u(Z, /) = 0,
выражающих тот факт, что струнавыражающих тот факт, что струназакреплена на концах, и начальныхзакреплена на концах, и начальных
выражающих тот факт, что струна
выражающих тот факт, что струна
закреплена на концах, и начальных
закреплена на концах, и начальных
условиях:условиях:и (х, 0) = ® (х),и (х, 0) = ® (х),«Их> о^ФМ«Их> о^ФМ
условиях:
условиях:
и (х, 0) = ® (х),
и (х, 0) = ® (х),
«Их> о^ФМ
«Их> о^ФМ
[функции <р(х) и Ф(х) заданы]. Первое из условий (3) характеризует начальное положение струны, второе — характеризует начальные скорости ее точек.
Сначала будем искать решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям (2). Нетрудно видеть, что и (х, /) = 0 является ре-
*) Уравнение (1) мы приводим без вывода. Оно выводится в различных курсах механики, в более полных курсах математического анализа и в специальных курсах по уравнениям математической физики (см. Н. С. Кошляков и др. Основные дифференциальные уравнения математической физики).
шением уравнения (1), удовлетворяющим условиям (2). Будем искать решения, ие равные тождественно нулю, представимые в виде произведения
и (х, /) = X (х) Т (/),(4)
где Х(х) и Т (/)— дважды непрерывно дифференцируемые функции, соответственно зависящие от х, О^х^/, и /, —оо<^/<^ + °°- Так как функция и (х, t) не обращается тождественно в нуль, то и функции X (х), Т(£) также не обращаются тождественно в нуль.
Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает:
ХГ' = ааХ"Т,
откуда
X" _ Т"
X ааТ *
Левая часть этого равенства не зависит от /, правая — не зависит от х, следовательно, величина этих отношений — постоянная, обозначим ее через X:
X" _ Т" _, X — агТ
Из полученного соотношения имеем:
X" — XX = О,(5)
Т" — ХаЧ=О.(6)
Уравнения (5), (6) — обыкновенные линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, которым удовлетворяют искомые функции X (х) и Т (£).
Как следует из условий (2),
и (О, /) = X (0) Г (/) = О, откуда Х(0) = 0,u(l, t)= X (Г) T(t) = O, откуда Х(/) = 0
(если учесть, что функция Т (/) ие обращается тождественно в нуль). Таким образом, наша задача свелась к отысканию решений уравнений (5) и (6), не обращающихся тождественно в нуль. При этом функция Х(х) должна удовлетворять еще условиям:
Х(0) = 0, Х(/)=0.(7)
Используя условия (7), докажем, что X в уравнениях (5) и (6) отрицательное число.
Разберем все возможные случаи.
Пусть Х = 0. Тогда уравнение (5) примет вид: Х" = 0 и его общее решение запишется так:
X ^х') = С1х-\-С^.
Подчинив X (х) условию (7), получим:
Х(0) = Са = 0,
Х(/) = С,/ = 0,
откуда Ci = C2= 0 и, следовательно, X (х) = 0, что невозможно, так как мы рассматриваем решения, не обращающиеся тождественно в нуль.
Пусть Х^>0. Тогда, решив уравнение
X" — XX = О,
Г2Х = 0, г^ —± V^>
получим X (х) = С^1 х -[- С2е
и, подчинив X (х) условию (7), найдем, что Х(х) = 0.
Действительно, X(0) = Ct -[~С2 = 0, откуда С2 =— С1(
X (/) = С, Az - С^1 = С, ^ = о,
а так как / # 0, то последнее равенство возможно лишь при Ci = 0, а значит, С2 = О и X (х) = 0, а это невозможно.
Остается только последняя возможность: Х<^0. Если положить Х =— к, к^>0, то уравнения (5) и (6) запишутся в виде:
Х"^кХ = 0,Т"4-кааТ = 0.
Решая эти линейные однородные уравнения, для которых соответствующие характеристические уравнения имеют корни:
rli2 = ±t]/fe и г12 —± ia Vk ,
получим:
Х(х) — Сх cos/k x-[-C2sin V к х,7(^ = 0, cos aVk t + Da sin a Vk t.
где Ct, C2, Dj, O2 — произвольные постоянные. Подчинив X (x) условиям (7), найдем:
Х(О) = С, = О, X(/) = C2sin/Г/ = 0,
откуда [так как С2 ^0, в силу того что X (х) не обращается тождественно в нуль] sin V^ 1 = 0, т. е.
и, значит,и, значит,Vkl = nn: (п=1, 2, ...)
и, значит,
и, значит,
6 = ^(п=1, 2, ...).
Учитывая это, можно записать:
(»=L2,...)(»=L2,...)X (х) = С2 sin у- х, T^=DX cos^t^-D» sin ^
(»=L2,...)
(»=L2,...)
и, следовательно.
и(х, f) = X(x)T(O =
= ( A cos —— t-V- В sin —— t] sin — x, (n=\, 2, ••• ),(8)
где A — СгВх, В — C^D^.
Наоборот, при любом целом неотрицательном п и любых Л и В соответствующая функция и (х,^, определяемая равенством (8), удовлетворяет уравнению (I) (что легко проверить, подставляя эту функцию в уравнение) и начальным условиям (2).
Так как А и В любые и, вообще говоря, различные для различных значений п, то будем обозначать их соответственно через Ап и Вп. При этих условиях любое решение (8) запишется в виде:
ип(х, ^) = ^ЛП cos S5^t -[-Bn sin ~^t^ sin -y-x (»=I,2, ...), (S') где A„ и Bn — произвольные постоянные.
Попытаемся определить постоянные А„ и B„ (n= 1, 2, ...) таким образом, чтобы ряд
(Ап cos —— t -\-Вп sin ——nsin—^—х(9)
п = I
удовлетворял уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3).
Если ряд (9) допускает почленное двукратное дифференцирование по переменным х и /, то функция и (х, /), определяемая этим рядом, является решением уравнения (1), что легко проверить непосредственной подстановкой в уравнение. Функция и (х, £) удовлетворяет и условиям (2).
Поэтому наша задача свелась к определению таких коэффициентов Ап и Вп ряда -(9), которые бы обеспечили возможность почленного двукратного дифференцирования этого ряда и таких, чтобы функция и (х, /), определяемая равенством (9), удовлетворяла начальным условиям (3).
Итак, подчиним функцию и (х, /) начальным условиям (3), т. е. подберем Ап и Вп так, чтобы выполнялись условия
«(х, 0)= ^ A„sin-^-x = <p(x),(10)
п = I
«i(x, 0)= ^-^-5„ зш-^-х = ф (х).(11)
п = 1
Равенства (10), (11) являются соответственно разложениями функций о(х) и ф (х) на отрезке [0, /] в ряды Фурье по синусам. (При этом предполагается, что функции <р(х) и ф(х) удовлетворяют условиям разложимости в ряды Фурье на этом отрезке).
Тогда по формуле (7) § 17 коэффициенты рядов (10) и (11) запишутся так:
(n=L 2, ...)(n=L 2, ...)А„ = -у У <р (х) sin 2р х dx,оz
(n=L 2, ...)
(n=L 2, ...)
-j-Bn = — 1 ф (х) sin — xdx.о
Таким образом, решение задачи о колебании струны с заданными граничными и начальными условиями дается формулой
и^х, Ъ = ^Ап^^1 + Впык^1)ы^х,(12)
Я = 1
где
. (п=1, 2, ...). (п=1, 2, ...)Ап — y ^ ? (х) sin 7~ х ^х> о
. (п=1, 2, ...)
. (п=1, 2, ...)
$ ф (х) sin- х clx. о
Не останавливаясь на выяснении условий, которые достаточно наложить на функции <р (х) и ф(х), чтобы при соответствующих значениях коэффициентов Ап и Вп обеспечивалась возможность двукратного почленного дифференцирования ряда (9) или, что то же, ряда (12) по переменным х и t, заметим только: если функция <р(х) на отрезке [0, Z] имеет непрерывные производные до третьего порядка включительно и,
кроме того, ® (0) = <р(1) = 0, ^ (0) = у" (Z) = 0, а функция ф(х) на отрезке [0, /] имеет непрерывные производные до второго порядка включительно и, кроме того, ф(0) = 6(Z) = 0, то почленное двукратное дифференцирование ряда (12) по переменным х и t может быть обосн'овано.
§ 21. Интеграл Фурье
Пусть функция /(х) задана на всей числовой оси и на каждом отрезке [— Z, Z] (Z — любое число) она кусочно-гладкая или кусочно-монотонная1). Кроме того, предположим, что f(x)— абсолютно интегрируемая функция на всей числовой оси, т. е. несобственный интеграл
5 I/WI^
сходится. Как известно, такую функцию /(х) на каждом интервале (—Z, Z) можно разложить в ряд Фурье:
f(x)=-^-+ ^(^cos^^+^siH Т"х)> M<z- (О п = I
[в точках х разрыва функции f(x) сумма ряда равна — 2——г коэффициенты которого определяются равенствами (4) § 17:
i
ап= у ^ / (Z) cos-^ ZdZ,п — 0, 1, 2,..
i
6„=yp(Z)sin ^-tdt, n=l, 2, ...— i
Примечание. Для того, чтобы отличать х от переменной интегрирования, последнюю обозначили через t.
Выясним, как изменится правая часть равенства (1), если перейти к пределу при Z->4-oo. Для этого сначала преобразуем ряд, записанный в правой части равенства (1). Подставляя в него вместо ап и Ьп их выражения через интегралы, получаем:
ГМ=МНМ^1- p(0cos ^Z-cos-^x +-In=l -Z
I
+ У / (Z) sin у tdt • sin -y- x]— i
или, что то же,
ZW^pW^+l^ ( f(Z)cos^(Z-x)dZ.(2)
-ln=X-l
Равенство (2) имеет место для всех х, удовлетворяющих условию |xKZ, где Z— любое фиксированное число. Пусть теперь х— любая фиксированная точка, тогда, рассматривая в равенстве (2) различные значения I, Z^>|x|, перейдем в нем к пределу при Z->-j-oo.
Прежде всего замечаем, что при Z->-|-oo lim -L f(Z)dZ=O.
Z- + oo-
+ °°
Действительно, так как интеграл ^ |f(Z)|dZ сходится, то его частные интегралы ограничены, в частности, ограничены и интегралы, взя-
*) См. § 16, достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье.
тые по промежуткам, симметричным относительно точки х = 0, т. е. суще- ствует такое число Л1>0, что $ 1/(01^ ^М при любом L Так как
] 5 t^dt\^ 5 \f^\dt,—I
то, значит,
I $ f(t)dt\^M
и Игл 4гI f Hi) dt\ = O или, что то же, Игл 4г С / (t) dt = 0 .
+ооz-+oo £t
Таким образом, переходя в равенстве (2) к пределу при Z->-J-oo, получаем:
f(x)=^im -7-2 У f(^)cos-т" (^ —-к) <#.(3)
Пусть -2K—Un (последовательность \ип\ изображена на рис. 447), тогда Ди„ = «„+1 — ип = 4 и> следовательно, y = ~L- При /->оо, Д«„->0 и равенство (3) можно записать в виде:
f(x) = — lim” Дл«-°f(x) = — lim” Дл«-°ООI
f(x) = — lim” Дл«-°
f(x) = — lim” Дл«-°
(4)(4)У Ди„ V / (/) cos ип (/ — х) dt.л = I— I
(4)
(4)
Интегралы, входящие под знак суммы, являются значениями функции
Ф(«, х) = §f(t)cosu(t — x)dt
JL 431 JJLПЛlilt О U, U^ UgUn иРис. 447.JL 431 JJLПЛlilt О U, U^ UgUn иРис. 447.в точках последовательности {и„} при фиксированном х. Вследствие этого сумма в правой части равенства (4) внешне, в какой-то степени, напоминает интегральную сумму по переменной и ), составленную для промежутка 0 ^и <-|- оо . Примем без доказательства, что предел суммы, записанной в правой части равенства (4), равен интегралу
JL 431 JJLПЛ
lilt О U, U^ UgUn и
Рис. 447.
JL 431 JJLПЛ
lilt О U, U^ UgUn и
Рис. 447.
du ^ f(/)cosu(/— x^dt.
0— оо
Тогда в любой точке непрерывности функции f(x) будет выполняться равенство:
Цх^=4^ § du ^ f (t) cos и (t — х) dt4)(5)
0 —со
получитсяполучится22Ях-0)+Л£+0)\Ях-0)+Л£+0)\(в точке х разрыва функции ftx^ вместо /(х) в левой части равенства
получится
получится
2
2
Ях-0)+Л£+0)\
Ях-0)+Л£+0)\
Преобразуем теперь правую часть равенства (5), используя формулу для косинуса разности:
+ СО4- 004-00
Цх) = ^ du ^ у / (/) cos ut dt • cos их + -^- ^ fV) sin utdt • sin ux^
U'— 00—00
или, иначе,
+ ”
f(x) = [а (и) cos их -|-6 (u) sin их] du,(6)
о
где
«(«) = —j f (f) cos ut dt, |
i(7)
b (и) = -^ У f (t) sin ut dt. |— co)
Пусть Цх)— любая абсолютно интегрируемая на всей числовой оси функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на каждом конечном отрезке.
Интегралом Фурье этой функции называется интеграл
4-00
\ [a (u) cos их -[-6 (u)sinux] du, о
где а (и) и Ь (и) определяются равенствами (7), при этом записывают:
+ »
f(x) ~ ^ [a (u) cos их + b (и) sin их] du.о
Если в каждой точке непрерывности функции /(х) интеграл Фурье этой функции равен значению функции f(x), то знак соответствия ~ заменяется знаком равенства и говорят, что функция f(x) представима интегралом Фурье.
Двойным интегралом Фурье абсолютно интегрируемой на промежутке (—со, —|—оо) функции /(х), непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на каждом конечном отрезке, называется интеграл
4-оо 4-00
— I du 1 f (0 cos и (t — х) dt.
О —оо
Из приведенных рассуждений вытекает следующая теорема: если/(х) — абсолютно интегрируемая иа промежутке (— оо, -[- оо) функция, кусочногладкая или кусочно-монотонная на каждом отрезке [—I, I], то для этой функции справедливы равенства (6), (5) или, что то же, в этом случае функция /(х) представима соответственно интегралом Фурье и двойным интегралом Фурье.
Интеграл Фурье для четной и нечетной функций. Пусть /(х)— четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье.
4-00 I
Учитывая, что ^ = Игл ^ , а также свойство интегралов по снимет— оо Z—►4-со — 4
ричному относительно точки х = 0 интервалу от четных функций, из равенств (7) получаем:
+ оо2 Са(и) = — 1 f (t) cos utdt,b (u) —0.
Таким образом, интеграл Фурье четной функции / (х) запишется так: со f (х) = а («) cos их du,(9)
о
где а (и) определяется равенством (8).
Рассуждая аналогично, получим, что для нечетной функции / (х), удовлетворяющей условиям представимости интегралом Фурье, а(и) = 0, 4-00.
Z?(u) = -|-J / (/) cos ut dt,^
о
и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид: f(x) =b (и) sin их du,(11)
о
где b (и) определяется равенством (10).
Заметим, что если функция f(x) задана на промежутке [0,-[-оо) и удовлетворяет на этом промежутке условиям представимости интегралом Фурье (т. е. f (х) — абсолютно Yинтегрируемая функция на проме-
жутке [0,-[-оо) и кусочно-гладкая ••или кусочно-монотонная на любом
।1 отрезке [0,7]), то формула (9) про- 1 х должает функцию /(х) четным обра- •зом на всю ось ОХ, а формула (11)
Рис. 448.дает нечетное продолжение этой функ
ции /(х) на всю числовую ось.
Подставляя выражения а (и) и 6 (и) (формулы (8) и (10)) в равенства (9) и (11), получаем: 4~со4“со
2СС
Цх) = —1 cos их duIf(£) cos ut dt,(12)
о0
4-co4-00
/(x) = — I sinuxdu I / (t) sin ut dt.(13)
о0
Правые части равенств (12) и (13) для четной и нечетной функций, представимых интегралом Фурье, называются двойными интегралами Фурье соответственно четной и нечетной функций.
Пример. Представить интегралом Фурье функцию
" 1, /w=- 4" 1, /w=- 4о,о,|х|<1, |х! = 1, I х | > 1.|х|<1, |х! = 1, I х | > 1.
" 1, /w=- 4
" 1, /w=- 4
о,
о,
|х|<1, |х! = 1, I х | > 1.
|х|<1, |х! = 1, I х | > 1.
График этой функции изображен на рис. 448.
Решение. Функция/(х)—нечетная, она удовлетворяет условиям представимости интегралом Фурье. Учитывая это, на основании формулы (11) запишем;
/(х) = а (и) cos их du.
о
Применяя формулу (10), определим:
2 с
cos ut dt = — 1 cos ut dt =
О6
2 cos ut И=12 sin и
и < = 0и < = 0ии
и < = 0
и < = 0
и
и
и, следовательно.
ооsin a cosиsin a cosиих duих du
о
о
sin a cos
и
sin a cos
и
их du
их du
или, что то же,
22ооsin иcos их du = иsin иcos их du = и_1_2 ’_1_2 ’0,0,
2
2
о
о
sin и
cos их du = и
sin и
cos их du = и
_1_
2 ’
_1_
2 ’
0,
0,
В частности, при х = 0, получаем:
1=21=2ооsin и .du.иsin и .du.и
1=2
1=2
о
о
sin и .
du.
и
sin и .
du.
и
т. е.
sin U , It
du = -7-u2
Интеграл Фурье в комплексной форме. Пусть /(х)— функция, представимая интегралом Фурье, тогда на основании формулы (6)
+ со
/(х)=^ [a (u) cos ux-^-b (и) sin их] du,о
при этом по формулам (7) имеем:
+ <ю
а (и) = 2 У l^c.osutdt,
+°°
Z?(u) = 2 I f(t) sin utdt.
Преобразуем подиитегральное выражение, используя формулы Эйлера:
giux [ g-iuxgiuxg-iux
a (u) cos их -|- b (u) sin их = a (u)^|- b (u)^=
| e~iaxeiuxe*^ux
= a (u)ib (u)§=
_ a (u) — ib (u) tux , а (и) + ib (u) lux
—gH26 *
Если обозначить
c (u),
\u^0,a(u) + ib(u)= _
то подинтегральная функция запишется так:
a (u) cos их -ф- b (и) sin их = с (и) ё + с (— и) е-1“х
и, значит, 4-004-00
f(x)= ^ [а (и) cos их 4-6 (и) sin их] du = ^ [с (и) ernx 4~ с (—u)er,ax]du оо
или, иначе А
f(x)^ lim Uc(u)efM4-c(— u)e-lux]du.(14)
4 — +°° О
Преобразуем теперь частные интегралы, входящие в равенство (14):
АДА
[с («) е’ах 4- с (— и] e-ittX] du = ^ с(и) duxdu 4~ S с (— и) e'”“ ^и ==
оое
доА
= ^ с (и) eiuxdu 4- 5 с (и) ^du = § с (и) eiux du.о—А— А
А
(При этом мы учли, что интеграл ^(—u)e~,axdu с помощью подстановки о
о
— и —и примет вид ^ с (у) e'^dx, который, как известно, не зависит от —л
написания переменной интегрирования и поэтому может быть записан о
в виде c(u)eiuxdu.)
-д
Учитывая это, равенство (14) запишем следующим образом:
Аf (х) = lim c^^duА-+«-А
или, что то же,
4-оо
f (х) = $ c^^du.1)(15)
— СО
Найдем теперь выражение для с (и). Так как
-р 004“ 00
с (и) = ° ^ "4 16 ^ = у ^ J f (/) cos ut dt — i у У f (/) sin ut dt^ = — CO—00
4-004”00
= -^- У f (0 (cos ut — i sin ut) dt = -^ У f (!) e~iatdt,
то окончательно
(16)(16)c(u) = J f(t)e~iofdt.— 00
(16)
(16)
Равенство (16) получено при условии, что и^О, нетрудно видеть, что оно сохраняется и при и<^0. Действительно,
4-004-00
с(—и)=2—~~Т\Т V (t) cos ut dt-]-— \ f(t) smut dt \ =
— CO—co
4-004-00
= ^ У f(t)eiufdt = ± у f(t)e-^ 'dt. — 00—00
A
Из сравнения выражений для с (и) и с(—и) заключаем, что равенство (16) верно при всех действительных значениях и. Выражение c^u)e'uxdu называется интегралом Фурье в комплексной форме функции Цх\
Если выражение с (и) подставить в равенство (15), то получим:
/(x) = JL j e!ttXdu § f(t)e-iuidt
или после внесения е’их под знак внутреннего интеграла:
f(x) = l j du j f^e^^dt,(17)
А где наружный интеграл понимается как Нт \ .
Выражение -^ ^ du ^ ЦО ^ ^"^ ^ называется двойным интегралом
Фурье в комплексной форме функции Цх).
Преобразование Фурье. Пусть /(х)— любая абсолютно интегрируемая на всей числовой оси функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на каждом конечном отрезке. Преобразованием Фурье1) такой функции Цх) называется функция
+ со
F(u)= $ ^x)e-lttXdx.(18)
— ОО
Если f(x)— функция, представимая интегралом Фурье, то на основании равенства (17):
+ со
=$ P(u)^”du.(19)
— со
Равенство (19) называется формулой обращения преобразования Фурье, или- обратным преобразованием Фурье. Равенством (19) функция f (х) определяется через ее преобразование Фурье.
Таким образом, если рассматривать интегральное уравнение (19), в котором функция Цх)— заданная, а функция F^u)— искомая, то его решение определяется равенством (18).
Аналогично, если имеем интегральное уравнение вида (18), в котором Р(и)—заданная функция, а — f(x) искомая, то его решение определяется равенством (19).
Игнатьева Алла Венедиктовна,Краснощекова Таисия Ивановна,Смирнов Виктор Федорович
КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Редактор Тальский Д. А.Технический редактор Григорчук Л. А.
Корректор Шмелева И. С.
Т-12532. Сдано в набор I3/IV-64 г. Подписано к печати 25/IX-64 г. Формат70XI081/». Объем 42,75 печ. л. 59,85 усл. п. л. 49,37 уч.-изд. л. Изд. № ФМХ/132.Тираж 92 000 экз. Зак. 1000. Цена 1 р. 56 к.
Москва, И-51, Неглннная ул., д. 29/14Издательство «Высшая школа»
КУРСВЫСШЕЙМАТЕМАТИКИ
2) Точку М считаем отличной от полюса О.
(х-^^-”)1 — 1(2)
Рис. 65.Уравнение (2) является уравне
перестает быть уравнением второй степени.
*) Можно условиться короче говорить а из третьей строки—пять вторых строк».
*) Последнее особенно хорошо видно благодаря введенной выше системе двойных индексов элементов.
*) См. сноску на стр. 103.
*) Если плоскости параллельны, то угол между ними считаем равным нулю (или к).
s) См. сноску на стр. 102.
*) Не всякое аналитическое выражение задает функцию. Например, выражение V1—х2 + Vx3—9 в области действительных чисел никакой функции не определяет, так как не существует действительных значений х, для которых оно принимало бы действительные значения.
*) В примерах 1 и 2 доказано следующее: для рациональной функции /(х), целой
и дробной, при условии, что ее знаменатель отличен от нуля в точке а, справедливо
равенство
lim / (х) =/ (lim х) =/ (ц).
Взяв любое e^>0 и положив 8 = e, получим, что ] sin х — sinx0 |<^е при |х— хо|<4 Это и означает непрерывность функции sinx в точке х0.
Аналогично доказывается непрерывность функции / (х) = cos х в любой точке х0. Действительно,
л . X + xn . XХп cos х — cos х0 = — 2 sin —g—- sin —g—~ >
| cos x — cos x01 ^ 2 sin| x — x01.
И, значит, для любого e^>0 найдется 8(8 = e), такое, что при |х— х0КВ выполняется неравенство |cosx— cosx0Ke. Таким образом, функция / (х) = cos х непрерывна в точке х0 и, следовательно, непрерывна на всей числовой оси.
*) Рассматриваем достаточно малые Дх, такие, чтобы точка $-|-Дх принадлежала интервалу (а, 6).
*) В формуле (4') вместо п взято Чп -|- 1.
*) Эволюта (лат.)—кривая, которая развертывается.
*) Не ограничивая общности, можно считать, что эти многочлены не имеют общих корней.
*) Или на отрезке [6, а].
*) Условимся объем тела V обозначать той же буквой, что и само тело.
*) Или, что то же, если хп —► х0, Уп^Уо при п —>оо.
*) Функция снова предполагается заданной в некоторой окрестности точки Мо (х0, у0).
2) На интервале (а, 6) все коэффициенты уравнения £(у) = 0 предполагаются непрерывными.
*) Здесь, как и раньше, точка А обозначена через Мй а В—через Мп.
*) Определение объема тела см. в гл. VI, § 11.
*) В дальнейшем, если не оговорено противное, будут рассматриваться только
*) Согласно замечанию, приведенному в сноске *) на стр. 509, функции и (<) и о (t) можно выбрать так, что их производные и' (<) и o'(t) будут на отрезке [а, р] непрерывны всюду, кроме, может быть, конечного числа точек разрыва 1 рода.
остаются верными, если вместо отрезка рассматривать любой промежуток, как ко
*) Заметим, что ряд Фурье функции /(х) по данной ортогональной системе и по соответствующей ей ортонормированной системе один и тот же.
*) Рассматриваемый интеграл только на постоянный множитель отличается от 63.
6
индексам I, k, удовлетворяющим условию I с к.
*) Здесь несобственный интеграл понимается как lim § .
*) Преобразование Фурье функции /(х) называется также спектральной характеристикой функции f^x).
А. В. ИГНАТЬЕВА, Т. И. КРАСНОЩЕКОВА,В. Ф. СМИРНОВ
КУРС ВЫСШЕЙМАТЕМАТИКИ
ПОД РЕДАКЦИЕЙПРОФ. П. И. РОМАНОВСКОГО
ДопущеноМинистерством высшего и среднегоспециального образования СССРв качестве учебного пособиядля студентов высшихтехнических учебныхзаведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА>МОСКВА -1964
Переплет художника В, П. Заикина
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. Аналитическая геометрия на плоскости
Раздел 1. Метод координат 11
Направленные отрезки 11
Координаты на прямой линии 12
Прямоугольная декартова система координат на плоскости15
Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости17
Элементы теории проекций 20
Полярная система координат 22
Связь между прямоугольными декартовыми и полярными координатами 23
Преобразование координат 24
Раздел 2. Линии и их уравнения 27
Линии и их уравнения . . _. 27
Раздел 3. Прямая линия 35
Угловой коэффициент 35
Уравнение прямой линии с заданным угловым коэффициентом 36
Общее уравнение прямой и его исследование 37
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении; уравнение прямой, проходящей через две данные точки; уравнение прямой в отрезках на осях 38
Угол между двумя прямыми; условия параллельности и перпендикулярности двух прямых 39
Пересечение двух прямых 41
Нормальное уравнение прямой 42
Расстояние от точки до прямой 43
Уравнение пучка прямых 44
Раздел 4. Кривые второго порядка.48
Окружность и ее уравнение 48
Эллипс и его уравнение 49
Исследование уравнения эллипса 50
Эксцентриситет и фокальные радиусы эллипса 52
Гипербола и ее уравнение 52
Исследование уравнения гиперболы 54
Эксцентриситет и фокальные радиусы гиперболы57
Парабола и ее уравнение 58
Исследование уравнения параболы 58
Общее свойство кривых второго порядка — эллипса, гиперболы и параболы 59
Раздел 5. Общее уравнение линий второго порядка64
Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям 64
Исследование общего уравнения линий второго порядка, не содержащего члена с произведением текущих координат 65
Упрощение общею уравнения линий второго порядка. .68
Раздел 6. Определители и их применение к решению систем линейных уравнений 69
Определители второго порядка и их свойства 69
Определители третьего порядка и их свойства 71
Применение определителей к исследованию и решению систем линейных уравнений 75
Применение определителей к решению некоторых задач аналитической геометрии на плоскости 83
Определители высшего порядка и их свойства 85
Некоторые сведения о системах линейных уравнений ■ . .91
Гл ава II. Аналитическая геометрия в пространстве
Раздел 1. Декартова прямоугольная система координате пространстве 94
Раздел 2. Элементы векторной алгебры 96
Векторные и скалярные величины 96
Линейные операции над векторами 97
Основные теоремы о проекциях векторов 99
Координаты и компоненты векторов 99
Направляющие косинусы вектора 101
Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме 102
Скалярное произведение векторов 102
Скалярное произведение векторов в координатнойформе104
Векторное произведение 105
Векторное произведение векторов в координатнойформе106
Смешанное произведение трех векторов 108
Раздел 3. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве 111
Расстояние между двумя точками в пространстве. . . .111
Деление отрезка в данном отношении 111
Раздел 4. Поверхности и линии в пространстве и их уравнения 112
Раздел 5. Плоскость 114
Нормальное уравнение плоскости 114
Общее уравнение плоскости 115
Исследование общего уравненияплоскости 116
Связка плоскостей и ее приложения 117
Расстояние от точки до плоскости 118
Угол между двумя плоскостями 120
Раздел 6. Прямая линия в пространстве 121
Параметрические и канонические уравнения прямой линии в пространстве 121
Общие уравнения прямой в пространстве 123
.Угол между двумя прямыми 125
Раздел 7. Прямая и плоскость 126
Угол между прямой и плоскостью 126
Точка пересечения прямой с плоскостью 128
Пучок плоскостей 130
Раздел 8. Поверхности второго порядка 131
Цилиндрические поверхности 132
Конические поверхности 133
Линейчатые поверхности 134
Поверхности вращения 134
Метод сечений при исследовании формы поверхностей. .135
Глава III. Введение в анализ
Раздел 1. Функции 141
Числа 141
Функции и их графики 143
Некоторые замечания о построении графиков функций.154
Раздел 2. Числовыепоследовательности 158
Основные понятия 158
Цредел последовательности 159
Бесконечный пределпоследовательности 162
Бесконечно малые 164
Теоремы о пределах 166
О переходе к пределу в неравенствах 169
Монотонные последовательности 170
Число е 172
Раздел 3. Предел функции 174
Определение предела функции 174
Основные теоремы о пределах функций 177
Бесконечно малые функции и их свойства 179
Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми 180
Односторонние пределы функций 182
Некоторые замечательные пределы 183
Сравнение бесконечно малых 185
Раздел 4. Непрерывность функции 187
Основные определения 187
Непрерывность некоторых элементарных функций . . . .190
Точки разрыва и их классификация 191
Свойства функций, непрерывных на отрезке 192
Глава IV. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Раздел 1. Производная функции 198
Приращение аргумента и функции 198
Задача о проведении касательной к кривой 198
Определение производной функции в точке. Геометрический и механический смысл производной 200
Производные некоторых элементарных функций204
Основные правила дифференцирования 205
Производная логарифмической функции 208
Производные степенных и показательныхфункций ....209
Производные обратных функций 210
Таблица формул дифференцирования 212
Замечания о дифференцировании неявныхфункций....212
Раздел 2. Дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков 213
Дифференциал функции 213
Производные и дифференциалы высших порядков216
Раздел 3. Теоремы о среднем 219
Теорема Ролля. Теоремы Лагранжа и Коши 219
Раскрытие неопределенностей 223
Формула Тейлора 226
Раздел 4. Исследование функций и построение графиков. .231
Возрастание и убывание функций 231
Экстремумы функций 234
О наибольшем и наименьшем значениях функции238
Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба 240
Асимптоты плоских кривых 243
Построение графиков функций по критическим точкам и асимптотам 245
Параметрические уравнения кривых 248
Производные функций, заданных параметрически250
Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к пространственной кривой, заданной параметрически . .251
Кривизна. Радиус кривизны 252
Соприкасающийся круг. Центр кривизны 256
Круг кривизны кривой. Эволюта иэвольвента 258
Приближенное решение уравнений 262
Интерполирование функций 265
Глава V. Неопределенный интеграл
Раздел 1. Первообразная функция и неопределенный интеграл 273
Простейшие свойства неопределенного интеграла275
Непосредственное интегрирование 277
Замена переменнойв неопределенном интеграле278
Интегрирование почастям 279
Раздел 2. Комплексные числа 281
Комплексные числаи действия над ними 281
Тригонометрическаяформа комплексногочисла283
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме 284
Раздел 3. Общие приемы интегрирования 287
Интегрирование элементарных дробей 287
Интегрирование рациональных функций 290
Интегрирование тригонометрических выражений296
Интегрирование иррациональных функций 300
Некоторые типы интегралов, берущихся методом интегрирования по частям 305
Примеры некоторых интегралов, не выражающихся через элементарные функции 306
Гл ава VI. Определенный интеграл
Раздел 1. Определенный интеграли его свойства 308
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла 308
Интегральная сумма. Определенный интеграл 310
Условия существования определенного интеграла311
Дополнения к понятию определенного интеграла316
Свойства определенного интеграла 316
Определенный интеграл с переменным верхним пределом 322
Формула Ньютона—Лейбница 324
Замена переменной в определенном интеграле 326
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле 328
Раздел 2. Геометрические приложения определенного интеграла 328
Площадь плоской фигуры 328
Объем тела 333
Длина дуги кривой 336
Площадь поверхности вращения 342
Раздел 3. Приближенные методы вычисления определенных интегралов 345
Приближенные методы вычисления определенных интегралов 345
Раздел 4. Обобщение понятия определенного интеграла. . .352
Несобственные интегралы 352
Глава VII. Дифференциальное исчисление функций несколькихпеременных
Раздел 1. Функции нескольких переменных. Основные понятия 360
Функции нескольких переменных 360
Понятие предела для функции двух и более переменных 265
Непрерывность функций нескольких переменных367
Раздел 2. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных 370
Частные производные
Дифференцируемые функции нескольких переменных . .372
Дифференциал 375
Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной уравнением z=/(x, у). Геометрический смысл полного дифференциала для функции двух переменных . . .376
Производные сложных функций 378
Инвариантная форма записи дифференциала 380
Производная по направлению 381
Неявные функции 383
Частные производные высших порядков 390
Дифференциалы высших порядков 392
Формула Тейлора для функции двух переменных394
Раздел 3. Экстремумы функций нескольких переменных . .395
Экстремумы функций нескольких переменных 395
Наибольшее и наименьшее значения функции 400
Условный экстремум 401
Глава VIII. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Раздел 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 405
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Основные определения 405
Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной, и их геометрический смысл. Основные понятия 408
Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка, интегрируемые в квадратурах 412
Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной 421
Особые решения 425
Составление дифференциального уравненияоднопараметрического семейства кривых 430
Задача об изогональных траекториях 431
Приближенные методы интегрированиядифференциальных уравнений первого порядка 433
Применение дифференциальных уравнений первого порядка к решению некоторых задач механики и физики. . . .443
Раздел 2. Общие сведения о дифференциальных уравнениях высшего порядка 446
Дифференциальные уравнения высшего порядка. Общие понятия 446
Уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка 451
Раздел 3. Общая теория линейных дифференциальных уравнений высшего порядка 454
Общие сведения о линейных дифференциальных уравнениях высшего порядка 454
Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами 455
Линейная зависимость и линейная независимость функций. Определитель Вронского и его свойства 456
Структура общего решения линейного однородного уравнения 461
Нахождение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка 463
Линейные однородные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами 464
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами. Структура общего решения 470
Линейные неоднородные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами 475
Применение теории линейных дифференциальных уравнений к исследованию некоторых колебаний 480
Раздел 4. Некоторые сведения о нормальных системах дифференциальных уравнений 486
Основные понятия 486
Системы линейных дифференциальныхуравнений491
Гл а в а IX. Интегральное исчисление функций многих переменных
Раздел 1. Интегралы, зависящие от параметров 495
Интегралы, зависящие от параметров 495
Раздел 2. Криволинейные интегралы первого и второго рода• 501
Криволинейные интегралы первого рода (по длине дуги) 501
Криволинейные интегралы второго рода 505
Условия независимости криволинейного интеграла (второго рода) от формы пути интегрирования 513
Раздел 3. Двойные интегралы 520
Задача об объеме цилиндрического тела 520
Определение двойного интеграла 522
Условия существования двойного интеграла и его свойства 523
Геометрический смысл двойного интеграла 524
Теорема о среднем 526
Вычисление двойных интегралов 526
Некоторые геометрические и механические приложения двойных интегралов 532
Формула Грина—Остроградского 537
Замена переменных в двойном интеграле 540
Раздел 4. Тройные интегралы 548
Задача о массе тела 548
Определение тройного интеграла и его свойства549
Вычисление тройных интегралов 551
Некоторые механические приложения тройных интегралов 554
Замена переменных в тройном интеграле 555
Раздел 5. Поверхностные интегралы первого рода (по площади поверхности) 559
Определение поверхностного интеграла первого рода. .559
Условия существования и вычисление поверхностных интегралов первого рода 561
Некоторые приложения поверхностных интегралов первого рода 563
Раздел 6. Поверхностные интегралы второго рода (по координатам) 564
Двухсторонние поверхности. Ориентация поверхности. .564
Определения поверхностных интегралов второго рода (по координатам) и их простейшие свойства 566
Существование и вычисление поверхностных интегралов второго рода 569
Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода•573
Формула Гаусса — Остроградского 574
Формула Стокса 577
Гл а в а X. Ряды
Раздел 1. Числовые ряды 580
Общие сведения 580
Ряды с неотрицательными членами 584
Несобственные интегралы 588
Знакопеременные ряды 597
Ряды с комплексными членами• 603
Раздел 2. Функциональные последовательности и ряды. . .605
Сходимость и равномерная сходимость 605
Интегрирование и дифференцирование функциональных последовательностей и рядов 613
Понятие о функциональных рядах в комплексной области 618
Раздел 3. Степенные ряды 619
Интервал сходимости. Характер сходимости степенного ряда 619
Интегрирование и дифференцирование степенных рядов 624
Ряд Тейлора. Основные разложения 627
Операции над степенными рядами 632
Приложения степенных рядов 635
Раздел 4. Некоторые элементарные функции комплексной переменной 640
Показательная, тригонометрические и гиперболические функции 640
Некоторые многозначные функции комплексного аргумента 646
Раздел 5. Ряды и интеграл Фурье 650
Основные сведения. Тригонометрические ряды Фурье для функций с периодом 2я 650
Тригонометрические ряды Фурье для функций любого периода 660
Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций. Минимальное свойство коэффициентов Фурье 663
Комплексная форма ряда Фурье 670
Задача о колебании струны 673
Интеграл Фурье 677
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Математика, по определению Энгельса, есть наука, изучающая пространственные формы и количественные отношения реального мира в самом широком понимании этих слов.
Школьный курс математики (так называемая элементарная математика), как правило, имеет дело с постоянными величинами и неизменяемыми объектами. Курс математики (так называемой высшей математики), который предстоит изучать будущему инженеру, в основном имеет дело с переменными величинами, с процессами их изменения и их взаимозависимо- стями.
Основной курс высшей математики в высшем техническом учебном заведении по установившейся традиции слагается из элементов аналитической геометрии и математического анализа.
Предметом аналитической геометрии является исследование геометрических форм аналитическими методами. Положение геометрических объектов изучается аналитическими средствами (положение точек определяется координатами, положения линий и поверхностей определяются уравнениями).
В математическом анализе в основном изучаются переменные величины в их взаимозависимости, причем ведущую роль играют предельные переходы (основное понятие дифференциального исчисления — производная — появляется как предел некоторого отношения; основное понятие интегрального исчисления — интеграл — появляется как предел некоторой суммы).
Предлагаемое учебное пособие по основному курсу высшей математики для высших технических учебных заведений машиностроительного профиля составлено сотрудниками кафедры математики Московского авиационного института имени Серго Орджоникидзе: канд. физ.-мат. наук доцентом А. В. Игнатьевой, канд. физ.-мат. наук доцентом Т. И. Краснощековой и канд. пед. наук доцентом В. Ф. Смирновым.
А. В. Игнатьевой написаны гл. VI—IX, а также разделы I, 2, 6 гл. I и § 2 гл. Ill; Т. И. Краснощековой — гл. III (кроме
§ 2), IV, X; В. Ф. Смирновым — разделы 3 — 5 гл. I, гл. II и V.
Главы I—II, посвященные аналитической геометрии, следует в основном рассматривать не как курс аналитической геометрии, а как своего рода геометрическое введение к изучению курса математического анализа (главы III—X).
В настоящем учебном пособии излагаются только программные вопросы основного втузовского курса высшей математики. Различные дополнительные разделы математики, ныне входящие в программу отдельных втузов, сюда не включены.
Предлагаемое учебное пособие надо рассматривать как учебное руководство только по теоретической части основного втузовского курса математики. Для практических занятий учащиеся должны пользоваться рекомендованными сборниками задач.
Данное учебное пособие может быть использовано студентами дневных, вечерних и заочных втузов.
/7. Романовский