Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ГЛАВА I
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Периодические функции
Пусть / (ж) — функция, определенная на всей числовой прямой. Число Т называется периодом этой функции, если от прибавления его к аргументу величина функции не меняется, т. е. если для всех х имеем
Кх + П = Кху
Если Т есть период функции, то пТ, где п — любое целое число, есть тоже период рассматриваемой функции. Таким образом, всякое кратное периода есть период. Функция, имеющая период, отличный от нуля, называется периодической.
Легко видеть, что всякая периодическая функция, отличная от постоянной, имеющая хотя бы одну точку непрерывности, имеет среди своих положительных периодов наименьший. Тогда все прочие периоды будут кратны ему. Обычно, говоря о периоде функции, понимают под словом «период» наименьший из положительных периодов.
Если функция f^x) имеет период Г, то ф(я) = ftax) имеет период Т(а. В самом деле,
ф (х+4")= Яа (*+"т-У!=^ах+^= /(«^э=фм.
Если / (ж) имеет период Г, то интеграл этой функции, взятый в пределах, отличающихся на Г, не зависит от выбора нижнего предела интегрирования, т. е.
сН-ТТ
j^dx = f (х) dxсО
при всяком с. Действительно, пусть, например, 0< c<L Т. Тогда
с+ТТс+ТТсТ
$ = $ + $ =$+$ = $’ссТс0О
с+Т с учитывая, что вследствие периодичности, J = ^ т о
Ряды Фурье для функций с периодом 2л
Поставим задачу: разложить сложную периодическую функцию на простые периодические функции. Под «простыми периодическими функциями» естественно понимать простые гармоники, т. е. функции вида
A sin (<м + а)
или, что равносильно, функции вида a cos сож + 6 sin юх.
Эта простая гармоника имеет период 2л/й).
Если мы хотим разложить функцию с периодом 2л на простые гармоники, то их частоты следует выбирать так, чтобы каждая из этих гармоник имела 2л в качестве одного из своих периодов. Таким образом, частоты со следует брать так, чтобы п -^- = 2л (п—целое) или со =п, т. е. в качестве составляющих следует брать гармоники с целыми частотами.
Допуская в качестве составляющей еще постоянную, для которой всякое число служит периодом, приходим к такой задаче: разложить функцию / (х) с периодом 2л в ряд вида'
^ + (»icos х + ^sina:) + (a2cos 2а: + b2sin 2а:) + ...
... + (an cos nx + bn sin nx) + ... или, короче, в ряд вида
-у- + 2 (an cos пх + Ьп sin пх), п=1
где а0, ап Ьъ а2, 62,..., ап, 6П,... — некоторые постоянные (свободный член удобно записывать в виде а0/2 по причине, которая выяснится ниже).
Вычисление вспомогательных интегралов. Нам потре
буются интегралы
ТС cos пх dx,
► п — целое;► п — целое;
► п — целое;
► п — целое;
^ sinnzdor,
^ cos тх cos пх dx
—it
^ sin тх sin пх dx.^ sin тх sin пх dx.т,п — целые положительные.т,п — целые положительные.У sin тх cos пх dx,—ТСИмеем:У sin тх cos пх dx,—ТСИмеем:cosnxdx=cosnxdx=sin тгх ]«А/ , Ах—L = o("*°).sin тгх ]«А/ , Ах—L = o("*°).(1.4)(1.4)sVnnxdx——itsVnnxdx——it. х |”„ — 2л (п = О)} -^|:.-о<„*о), 0Г„ = 0 (п-0);. х |”„ — 2л (п = О)} -^|:.-о<„*о), 0Г„ = 0 (п-0);(12)(12)
^ sin тх sin пх dx.
^ sin тх sin пх dx.
т,п — целые положительные.
т,п — целые положительные.
У sin тх cos пх dx,
—ТС
Имеем:
У sin тх cos пх dx,
—ТС
Имеем:
cosnxdx=
cosnxdx=
sin тгх ]«А/ , Ах
—L = o("*°).
sin тгх ]«А/ , Ах
—L = o("*°).
(1.4)
(1.4)
sVnnxdx—
—it
sVnnxdx—
—it
. х |”„ — 2л (п = О)} -^|:.-о<„*о), 0Г„ = 0 (п-0);
. х |”„ — 2л (п = О)} -^|:.-о<„*о), 0Г„ = 0 (п-0);
(12)
(12)
(1.3)(1.3)(1.4)(1.4)
(1.3)
(1.3)
(1.4)
(1.4)
1 с
cosтх cos пхdx= -^ \ cos (тп — п) хdx-V
С I. X л (° t”1^”).
\ COS (/П + п) Ж ЯХ= <
Л1« И = ”)$
^ sin. тх sin nxdx= -^- \ cos(m — n^xdx— —tt— Л
—к- \ cos(m + n\xdx= i'
2 J„(я ^т = п>\
1 с
svo тх cos nxdx= -g- \ sin(m — п) xdx-V
sin(m + n)xdx =0,sin(m + n)xdx =0,(1.5)(1.5)
sin(m + n)xdx =0,
sin(m + n)xdx =0,
(1.5)
(1.5)
причем при выводе формул (1.3) и (1.4) использовалась формула (1.1), при выводе (1.5) использовалась (1.2).
Предположим теперь, что функция / (ж) оказалась такой, что для нее нашлось разложение в равномерно сходя- и^ийся ряд указанного выше вида:
/ (х) = -у- + 2 как cos ^ + bk sin кх\ (1.6)
Почленное интегрирование в пределах от — л до л (законное в силу предположенной равномерной сходимости) с учетом (1.1) и (1.2) дает;
/ (ж) dx =
Умножая (1.6) на cos пх и интегрируя почленно от — л до л, с учетом (1.1), (1.3) и (1.5), получим;
кя
\ /(x)cosnxdx=-у- \ cos пх dx +
+ 2 \ак ) cos кх cos nxdx -\-bk \ sinкх cos пхdx) = лап. к=1 ' -яЛ'
Аналогично, умножая (1.6) на sin пх и интегрируя почленно от — л до л и учитывая (1.2), (1.4), (1.5), получим:
/ (ж) sin пх dx = л6п.
Таким образом,
^о) / ($) ^1
(1.7)(1.7)—я
(1.7)
(1.7)
ап = — • \ /(ж) cos пх dx (n= 1,2,3,...),
—Яя
Ьп = — \ / ^ sin nxdx (тг = 1, 2,3,...).
Определение. Пусть / (я) — функция с периодом 2л, имеющая на сегменте [ — л, л] не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируемая на этом сегменте (тогда она будет абсолютно интегрируема на всяком сегменте). Рядом Фурье этой функции называется ряд
4-00
•у* + 2 (а™ COS пх + ^n sin их\ п—1
коэффициенты которого определяются по формулам (1.7). При этом пишут:
Цх) у- + 2 (an cos пх + bn sin пх\(1.8)
П=1
Примечание. Вместо функций с периодом 2л можно рассматривать функции, определенные лишь на сегменте [—л, л] и удовлетворяющие отмеченным требованиям. Определение ряда Фурье для такой функции будет то же самое.
Из определения ряда Фурье не следует, что функция должна в него разлагаться. Из сказанного выше следует только, что если некоторая функция допускает разложение в равномерно сходящийся ряд вида (1.8), то этот ряд будет ее рядом Фурье.
Легко проверить, что при умножении функции на число ее ряд Фурье умножается на это число; при сложении Функций их ряды Фурье складываются; для получения ряда Фурье функции / (х + с) следует в ряде Фурье Функции / (х) заменить х на х + с.
Доказательство разложимости функции в свой ряд Фурье в точках дифференцируемости. Имеем для любого я0:
an cos пж0 4- Ьп sin пж0 = — \ / (ж) cos nx dx • cos пж04-
—лл1 с+ -*- \ / (ж) sin nx dx • sin nx0=
—Л
Л
= — \ / (ж) (cos nx cos nx6 4- sin nx sin nx^) dx =
Л
1 c
= — \ / (ж) cos n (ж — ж0) dx;
—Л
N
Sn (#o) = -y + 2 (»n cos nx0 + bn sin пж0) =
П—1
=v $ /и[4" + 2 со8П^ж - «о)]^-
—ЛП=1
N
Заметим далее, что-^-+ Zi cos па является действи-
NNП=1 тельной частью выражения
N
N
11i—ei(2V+1>a
п=06
. ji^£^^llLzi£^l =
+ ц_ е<ер
1 д. l^z^lzL^lzif!^^^
(ПОЭТОМУ(ПОЭТОМУcos па =cos па =sin (N + V2) аsin (N + V2) а2 sin -у- а2 sin -у- а2 +(1 — cos а) + sin2 а
(ПОЭТОМУ
(ПОЭТОМУ
cos па =
cos па =
sin (N + V2) а
sin (N + V2) а
2 sin -у- а
2 sin -у- а
Следовательно, при любом ж0 имеем}
-я 2 sin -у (я — а?о)
= 4 /(»е + «)^Ц^<1® (1.8')
я2 sin -у х
(второй интеграл получен из первого заменой х на х^ + х с учетом периодичности /). Применяя эту формулу к случаю/ (я) = 1, получим:
(1.8")(1.8")
(1.8")
(1.8")
ЪЪcos -va — cos vbvcos -va — cos vbvVV4-*о4-*о
Ъ
Ъ
cos -va — cos vbv
cos -va — cos vbv
V
V
4-*о
4-*о
Умножая (1.8") на / ^х^ и вычитая из (1.8'), найдем при любом ^о:
лаsin I) х
Sn м — /(»•) =-^ \ I/ («О + *) —/ Ы] {— ^ж.
„2sin-yx
(1.8'")
Для дальнейшего нам потребуется.х
Лемма Римана. Если ф (ж) непреривна на сегменте [а, 5], за исключением, быть может, конечного числа точек, и абсолютно интегрируема на этом сегменте, то $ф(ж)sin vxda:—>0 при v -*- -р со. а
Доказательство. Так как ь
а
a cos va — b cos vb . sin *vb — sin va
VVV2
V
V
при v -> + оо, то лемма Римана верна для / (я) в 1 и / (х) = х и поэтому верна для любой линейной функции / (х) = Ах + В. Отсюда следует, что лемма верна для любой кусочно-линейной функции (т. е. функции, график которой есть ломаная линия), ибо если / (ж) кусочно-линей- на на 1а, Ь], то найдутся такие числа ск: а = с0 < q < < с2 < ... < сп =5$ Ь, что / (х) линейна на каждом [с^, cj; а тогда
ибо по доказанному каждое слагаемое правой части стремится к нулю. Далее заметим, что любая непрерывная функция на [а, 6] может быть как угодно хорошо аппроксимирована кусочно-линейной функцией. Действительно, если / (ж) непрерывна на [а, 6], то она равномерно непрерывна на [а, Ь], т. е. для любого в )> О найдется такое Л > 0, что при любых х* и х” на [а, 6] из | хм — х' | < ц следует | / (х") — f (#') | < в. Возьмем числа с0 = а < сх < < ... < си_х < сп =Ъ так, что все ск — ск_х < ц, и пусть <р (х) обозначает функцию, график которой есть вписанная в график функции / (х) ломаная, вершины которой имеют абсциссы ск* тогда для любого х на [а, ЪА будет | ср (ж) — — /(я) | < в, так как если число х попадает на частичный сегмент kw, cfe], то ф (х) лежит между ф (ск_г) и ф (ск) (ибо Ф линейна и, следовательно, монотонна на [с^, cfe]), поэтому число ф (х) — / (х) лежит между ф (сд^) — / (я) = = /(^i) — /(я) и ф(сд) — /(я) =t Xc^ — f^. модули которых < в, и поэтому тоже будет иметь модуль < в.
Теперь легко Показать, что лемма Римана справедлива для любой непрерывной функции / (ж) на [а, Ь]. В самом деле, по доказанному для любого в > О найдется так ая кусочно-линейная функция ф (х), что |ф(ж) — f(х)|< < "зр™ ^у на к, 6]. Так как для кусочно-линейной функции лемма Римана справедлива, то при достаточно большом v будем иметь:
в2 •в2 •sin ^хйхsin ^хйхь |^ф(х) а
в
2 •
в
2 •
sin ^хйх
sin ^хйх
но тогда
ьь
j / (х) sin vx dx ^ К [/ (х)— Ф (х)] sin vx dx + аа
b
+ |^(x)sinvxdx|<-^-^-(6- а) + -|- = в а
и, следовательно,
ь
sinтайх-^О при v-^ + oo.
Пусть теперь / (я) имеет одну точку разрыва с, а < < с < Ь. Так как / (я) абсолютно интегрируема на U, 6]f то для любого е > О найдется такое 6 > 0, что
с+8
( \t^\d,x<-^-.
с-8
ь|^ /(x)sinvxdxь|^ /(x)sinvxdxТак как лемма Римана для непрерывной функции справедлива, то при достаточно большом v будем иметь:
ь
|^ /(x)sinvxdx
ь
|^ /(x)sinvxdx
С—8
/ (х) sin vx dx | < -|-; а
но тогда
bс—5с+&
|j/(x)sinvxdx ^ J /(x)sinvxdxl + ) |/(x)|dx +
а* а‘ с—5
Ь\ /(x)sinvxdx <^-|-Ь\ /(x)sinvxdx <^-|-е , е3 + 3е , е3 + 3= 8}= 8}
Ь
\ /(x)sinvxdx <^-|-
Ь
\ /(x)sinvxdx <^-|-
е , е
3 + 3
е , е
3 + 3
= 8}
= 8}
ь
следовательно, f (х) sin vx dx-* 0 при v -^ + оо. Аналогии- а
ное рассуждение проводится в случае, когда / (х) имеет несколько точек разрыва на [a, 6J. Лемма Римана доказана.
Предположим теперь, что / (ж) дифференцируема в точке х0. Тогда из (1.8W) находим
Sjv («о) ~ / М = 4" t\ ^Цр^ sin / N + 4-) х dx,—л 2 sinя?
а так как
Дхо + я) —/ М _ /(Жо + д) —/(хо) X -*f^ . 1 = /'(Х0) 2sin~2”XХ2 sin х
при ж —> О, то после надлежащего доопределения в точке а:0 функция ф(х)= Z^Z^-T"^®0) становится непре- 2sin — х
рывной в этой точке и, очевидно, находится в условиях применимости леммы Римана на ( — я, я]. Поэтому
8n (х0) — / (х0) — — \ ф (я) sin / # + у) х dx—>0 при N—>oq —п
ъ следовательно, /(х0) = lim SN (х0).
N-h»
Итак доказана
Теорема. Если функция f (ж) с периодом 2л имеет на сегменте [ —-л, л] не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте, то эта функция разлагается в свой ряд Фурье в каждой точке, в которой она дифференцируема.
Примечание. Доказанное достаточное условие представимости функции своим рядом Фурье отнюдь не является необходимым. Представление функции своим рядом Фурье будет иметь место и при значительно более общих предположениях.
Отметим, например, без доказательства, что если /(ж) удовлетворяет условию Дирихле на [ — л, л], то / (х) разлагается в свой ряд Фурье в каждой точке непрерывности, а в ^/ (® — 0) 4- / (х 4- 0)
точках разрывах ряд Фурье сходится к —^-у^——' •
Говорят, что функция удовлетворяет условию Дирихле на некотором сегменте, если этот сегмент можно разбить на конечное число частичных сегментов так, что вну-
три каждого из них функция монотонна и ограничена. Таким образом, разложение рассматриваемой функции в ряд Фурье имеет место во всех правильных точках, т. е. в точках х, где
/(l)=Z£=®+Hi±w.
Пусть теперь / (ж), функция с периодом 2л, имеющая на сегменте [— л, л] не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируемая на этом сегменте, удовлетворяет на интервале (а, Р) условию Липшица (это значит, что для любых х' и х" на этом интервале | / (ж") — / (ж') | ^ ^ К | х" — х* |, где К—некоторая постоянная). Покажем, что тогда на каждом сегменте [а, Ь], где а < а < b < Р, ряд Фурье функции / (ж) равномерно сходится к этой функции (следовательно, если рассматриваемая функция непрерывно дифференцируема на некотором открытом интервале, то ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на всяком сегменте, содержащемся в этом интервале).
8 к (^о) —— / to8 к (^о) —— / toПусть д > 0 меньше чисел а — а, Р — 6, л. При а ^ ж0 ^ Ь в силу (1.8”) имеем
8 к (^о) —— / to
8 к (^о) —— / to
[/ (я0 + ж) — / (ж0)1 ^ПФ±%)* dx +
2 sin — х
—8к
+ ^~ § + "^А = А+^а+ ^8'
Так как при а ^ ж0 ^ b
5I С /(»о+®) —/(»о)—§2 sin ^- х5I С /(»о+®) —/(»о)—§2 sin ^- х8К \ j— Дх.—8 2 sin -£- х8К \ j— Дх.—8 2 sin -£- х
5
I С /(»о+®) —/(»о)
—§2 sin ^- х
5
I С /(»о+®) —/(»о)
—§2 sin ^- х
8
К \ j— Дх.
—8 2 sin -£- х
8
К \ j— Дх.
—8 2 sin -£- х
то при достаточно малом 6 будем иметь ^ | < е при а ^ ^ х^ ^ 6, где е > 0 произвольно мало. Далее в силу леммы Римана и ограниченности / на [а, 6]
sin vs ,sin vs, А
\/Wj—dx = f(x0)\j—dx-^v при v->oo
62 sin-g" xS 2 sin -^ x
равномерно при а ^ xQ ^ 6, и аналогичное относится к -8
J . Теперь очевидно, что для доказательства выше* —л
формулированного утверждения достаточно показать, что если В — Л < 2л и ф (ж) — фиксированная непрерывная функция на [Л, Б], то
в
7(ж0,v) = \/(ж0 -|-ж)ф(ж)81птж</ж —>0 при v—>0 а
равномерно при — оо ■< ж0 < + оо.
Продолжим ф (ж) до непрерывной функции с периодом 2л с сохранением максимума модуля, и пусть т = =тах |ф(ж)|. Легко видеть,что найдется такая непрерывная функция F (ж) с периодом 2л, что ^ | F (х) — / (ж) | dx < 8, где е > 0 произвольно мало. Переход от / к F изменит Цх0, v) меньше чем на ms, поэтому достаточно лишь показать, что в
/ (ж0, v) = ^ F (х0 + ж)ф (х) sm^x dx —>0 при v—> оо равномерно относительно х6. Замена х на х + ^- дает
В—к/»
^to,v)= — \ F (ж04-ж +-^-)ф Lr+ -^чзтгжйж = А—л/v ВАВ
= —— 71_|_tf2-^Jr3>
AA—n I'MB—it/v
откуда после почленного сложения в
^ to), V) = ^ ^(ж0 + ж) ф (ж) —
— F (xtt + X + -^-1 ф k+-^-)]sinvx^4- J2 + J3.
Но так как модули Js и Ja не превышают Mmnjv, где
М = max | F (ж) |, то остается лишь обнаружить, что
в
Г(х0 + х)ф(х) —
— f(х0 + х + -~-)ф (^ + "VJ sin v# d#-»0 при v-^ оо
равномерно относительно х^ но это непосредственно следует из ограниченности и равномерной непрерывности F и ф.
Из доказанного следует, что если / (я) удовлетворяет условию Липшица на всей числовой прямой, например является непрерывной функцией с периодом 2л, кусочногладкой на [ —л, л], то ряд Фурье для / (х) сходится к / (ж) равномерно на всей числовой прямой.
Функция / (ж) называется кусочно р раз (р > 0) непрерывно дифференцируемой на сегменте [а, 6], если внутри него, за исключением конечного числа точек, производные (х) (0 ^к ^ р) непрерывны, в исключенных точках имеют конечные левые и правые пределы, в точке а имеют конечные правые пределы, в точке Ь имеют конечные левые пределы. В случае р = 0 / (х) называется кусочно-непрерывной на [а, Ь], в случае р = 1 / (х) называется кусочно-гладкой на la, 6L
Пример. Составить ряд Фурье для функции х ф(ж) = -2" на (0,2л),
имеющей период 2л (в точках вида 2Ал, где к — целое, положим / равной л/2).
Имеем
2Л2л
<ю — — (= л; = J_ € JL. cos пх dx = 0
л J 2п л J 2
оо
2л
Ъ = — СJL sin пх dx =— — > 1),п л J 2n 4 M
о
следовательно, x л . sin2xsinns
На основании изложенного этот ряд сходится к ip (х) равномерно на каждом сегменте, не содержащем точек вида 2Ал, но в этих точках ряд сходится к л/2, следовательно, тожекф. Таким образом,
• Из этого примера видно, что ряд• Из этого примера видно, что рядsinns
• Из этого примера видно, что ряд
• Из этого примера видно, что ряд
sin пх всюду сходится ипsin пх всюду сходится ипвсюду ф(ж) = _ —^
sin пх всюду сходится и
п
sin пх всюду сходится и
п
притом равномерно на всех сегмен-
1 тах, не содержащих точек вида 2А:л.
Отметим еще1 что если функция / (я) с периодом 2л кусочно-гладка на [—л, л] и допускает лишь правильные разрывы, то ряд Фурье этой функции сходится к ней всюду (притом равномерно на сегментах, не содержащих точек разрыва). В силу изложенного в проверке нуждается лишь сходимость ряда Фурье к самой функции в точках разрыва а0. Если g (х) — функция аналогичного вида и такая, что g (^0 + °) — g (®е — °) = Н^О + 0) — / (я0 — 0), то / (я) — g (х) будет кусочно-гладкой и непрерывной в окрестности х0, следовательно, ее ряд Фурье сходится к ней в точке я0, а тогда ряд Фурье для / (я) будет сходиться к / (я0) в точке я0, если ряд Фурье для g (я) будет сходиться к g (^о), в точке я0. Но в качестве g (х), обладающей нужным свойством, можно взять С тр (я — я0) при надлежащем выборе числа С, где ф — функция, рассмотренная в предыдущем примере.
Пусть теперь / (я) — любая функция с периодом 2л, кусочно-гладкая на I — л, я]. Заменяя ее значение в каж- / (® — 0) + / (х + 0) дои точке разрыва х числом — 2• мы не из"
меним ее ряда Фурье, но сделаем все точки разрыва правильными. Следовательно, ряд Фурье функции / (я) в „/ (Х _ 0) 4- / (х + 0)
каждой точке я сходится к — J2 -—1—- .
Пусть функция / (я) с периодом 2л имеет непрерывные производные до p-то порядка включительно (р > 0). Обозначим через о^\ bn^ коэффициенты Фурье для/<т) (я) (т ^ р). Формула интегрирования по частям показывает, что
6<1)а(1)
""— , Ьп—
(ап, Ьп обозначают коэффициенты Фурье функции/ (я)). Последовательное применение этих соотношений показывает,
что
ап~ п ~ п» ~~ п» ~ п» ~
а® Ь<2>а<3>Ь<4>
т
п ПП2 ^ П8 П4 ” *
и вообщеaW&п Z1Z пт »^п = ±-^Ги вообщеaW&п Z1Z пт »^п = ±-^Гпри четномпри четномт^р,т^р,^n ZC пт , а^ к _ f « °п — HZ пт^n ZC пт , а^ к _ f « °п — HZ птпри нечетномт^.р.при нечетномт^.р.
и вообще
aW
&п Z1Z пт »
^п = ±-^Г
и вообще
aW
&п Z1Z пт »
^п = ±-^Г
при четном
при четном
т^р,
т^р,
^n ZC пт , а^ к _ f « °п — HZ пт
^n ZC пт , а^ к _ f « °п — HZ пт
при нечетномт^.р.
при нечетномт^.р.
Отсюда и из леммы Римана следует, что для коэффициентов Фурье р раз непрерывно дифференцируемой функции с периодом 2л имеем
(АЛ к (АЛ
^Запись un = o(vn')1 где Vn^O обозначает, что -^--^-0.)
Кроме того, заметим, что ряды2геР-11ап| и 2пР-1Р»
11
(р>1), или, что равносильно, ряды 2—™ и2—д—
11
сходятся. Это видно из неравенства-1-^-!-Л2 +-^-) и неравенства (1.58') в §13.
§ 3. Комплексная форма ряда Фурьедля функций с периодом 2s
Пусть / (ж) — функция, удовлетворяющая условиям определения § 2, и пусть ряд
-у- + 3 («пСОЗ пх + bnSin7M)
является ее рядом Фурье. Преобразуем общий член этого
ряда с помощью формул Эйлера (выражающих косинус и синус через показательную функцию). Имеем
- inx । -inxinx -inx ,-
а» cos пх + Ь„ sin пх = а„ -—^Ь Ъп -—=^
'Ifox -inx
е -V е ., е —е
—- Дп22—*
а^ ^П Апх । °п + ^п „-гпх inx । --inx где
, _ вп-йп .,_ an + ibn
Сп —2♦ с-п —2•
Полагая еще с0 = а0/2, получим для частичных сумм ряда Фурье выражение
^ + 2 kan^>snx + bH sin nx) =
П=1•
NN
- Co + 2 t»^” + c,^^ = 2 c^™. n=ln=—JV
Для новых коэффициентов cn получаем формулу (учитывая формулы для а„ и 6П).
и
= -^(— \ /(ж)cosпхdx— t — \ / (x)s\nnxdx\ =
•—я—л
лл.
= ^ \ / (ж) (cos пх — i sin пх") dx = -^ \ / (х) е Xdx (п>0)..
—Л—л
Непосредственно видно, что эта формула верна для п = = 0 и для и < 0 (последнее видно, например, из того, что с_п = сП1 где с обозначает число, сопряженное с).
По доказанному имеем в точках дифференцируемости}
N
Нх^ = lim[-y-+ S (®n cos + 6" sin по:)] =
IV—<»Lп=1J
N4-со
= lim 2 с^х = 2 <^п”п=-«-оо
^понимая 2 как^понимая 2 какN lim 2). ^—>00 эд’N lim 2). ^—>00 эд’
^понимая 2 как
^понимая 2 как
N lim 2). ^—>00 эд’
N lim 2). ^—>00 эд’
Итак, в точках дифференцируемости
М^с^,М^с^,(1.9)(1.9)
М^с^,
М^с^,
(1.9)
(1.9)
где
Си=^Нх^йх—иСи=^Нх^йх—и(к»0,±1,±2,...).(к»0,±1,±2,...).
Си=^Нх^йх
—и
Си=^Нх^йх
—и
(к»0,±1,±2,...).
(к»0,±1,±2,...).
Правая часть формулы (1.9) представляет собой комплексную форму ряда Фурье для функции с периодом 2л.
§ 4. Четные и нечетные функции
Пусть / ^ — функция, определенная на всей числовой прямой (или на каком-нибудь интервале с симметричными концами).
Функция / (х) называется четной, если для всех рассматриваемых значений х имеем / (— х) =f (х). Функция / (х) называется нечетной, если имеем / (— х) = — / (я).
График четной функции симметричен относительно оси ординат. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Линейная комбинация четных функций есть четная Функция, линейная комбинация нечетных функций есть нечетная функция (мы называем линейной комбинацией нескольких функций всякую сумму произведений этих функций на какие-нибудь постоянные).
Произведение нескольких функций, каждая из которых является четной или нечетной, будет четной или нечетной
функцией в зависимости от четности или нечетности числа нечетных множителей. В частности, произведение двух четных или двух нечетных функций есть четная функция, произведение четной и нечетной функций есть нечетная функция.
Если функция / (ж) интегрируема на сегменте I — ct с], то
сОс
J f (ж) dx = § / (х) dx + ^ / (ж) dx.
—С—Со
Но (при замене х на —х)
Ос
/ (ж) dx = ^ / (— ж) dx, —СО
следовательно,
сс
5 /(ж)йж=^(/(ж)+/(—ж>] д®,
—Со
откуда
tt^dx =tt^dx =2 $/^)^,О2 $/^)^,ОО,О,если / (ж) — четная, если / (ж) — нечетная.если / (ж) — четная, если / (ж) — нечетная.(1.10)(1.10)
tt^dx =
tt^dx =
2 $/^)^,О
2 $/^)^,О
О,
О,
если / (ж) — четная, если / (ж) — нечетная.
если / (ж) — четная, если / (ж) — нечетная.
(1.10)
(1.10)
Четные и нечетные функции являются узкими частными случаями функций, но тем не менее всякая функция / (ж) может быть представлена в виде суммы четной и нечетной функций. В самом деле, имеем:
/ ^ _ /<->+/<—> +Ж1Н! _ ф м+, и, где
ф И = /(-!+/(Т-) ; , И _ 'W-H—>
и, очевидно, ф (х) — четная функция, ф (ж) — нечетная функция. Если / (я) имеет период, то Ф (я), ф (а?) имеют такой же период.
Если функция / (ж) оказалась одновременно четной и нечетной, то / (—ж) = ± / (я), откуда / (ж) = —/ (ж) и, следовательно, / (ж) тождественно равна нулю. Тождественный нуль есть единственная функция, которая является одновременно четной и нечетной.
Отсюда легко заключить, что любая функция не может быть двумя разными способами представлена в виде суммы четной и нечетной функций. Действительно, если
/ (ж) = Ф1 to + Ф1 to) = ф2 to) + Фа to)
(где Ф1, Фа ~^ четные, фх, ф2 —• нечетные), то ф^ (а:) — ф2 (х) = ф2 to) _ ^ (ж); но левая часть этого равенства есть четная функция, правая же часть — нечетная, откуда фх (л) -* ф2 (ж) = ф2 (а;) -=• «— ф! (а:) = 0, сл едовательно,
Ф1to) = Ф2 to); Ф1 to = Ф2 to)-
Отсюда и из ранее сказанного видно, что всякая функция единственным способом может быть представлена в виде суммы четной и нечетной функций.
§ 5. Ряды Фурье для четных и нечетных функцийс периодом 2л
Пусть / (ж) — четная функция с периодом 2л, удовлетворяющая условиям определения § 2.
Для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы
кя
а0 =а0 =4" J /(ж)dx = 4"$/М^—яо
а0 =
а0 =
яя
an=~f ^ f(x)cosnxdx = -^-^/(о:) cos ио: do:, —лО
я*
6Л = -^- ^ / (ж) sinzu: dx = О(п = 1,2,3,...).
Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фуръе для четной функции с периодом 2л выглядит так$
t^ —Т + S °» cos тм:,(1.11)
гДеn=i
Яя
«о= -^-^f^dx, ап = -^-^f (х) cos nxdx (п = 1,2,3,...). оо
Пусть теперь / (ж) — нечетная функция с периодом 2 л, удовлетворяющая условиям определения § 2. Для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы
лте
а0 = — \ f ^ dx = 0; ап = — \ / (ж) cos пх dx = О
—л—л
(п= 1,2,3,...);
Ьп = -~ ^ /(^) sinпх dx = “^ /(ж)sinпхdx (n = 1,2, 3,...). —Я6
Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фуръе для нечетной функции с периодом 2л выглядит
так:
4-00
/(ж)~ 2bnSinna:, (1.12)
П=1
Рис. 1.Рис. 1.где
Рис. 1.
Рис. 1.
2 р
Ьп = — \ / (ж) sin пж <?ж
о
(n = 1,2,3,...).
Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию
/М-/М-— —на(— л,0),
/М-
/М-
лл ,
—на(0, л),
имеющую период 2л (в точках пл, где п — целое, полагаем / W = 0).
Очевидно, / ^ — нечетная функция (рис. 1), поэтому в силу (1.12) имеем:
лл
2 С л л If. л cos пх Iя
!> = — \ —- sin пх dx = -— \ sin пх dx = — —-1 =
п я J 42 J2п о
оо
_ cos 0 —cos ns1 — (— 1)” _ [“ при п нечетном**
^п^п(О при п четном;
значит, bt = 1, 62 = О, Ъ9 = 1/3, 6* = 0, ... и искомое разложение
есть
11
/ (я) = sin я + -у sin Зя 4- -у sin 5я + ., •
Отсюда при я = л/2 получим: ” — 1 ~~ + ”5 +• • •
Пример В. Разложить в ряд Фурье функцию / (я) = | я | на [—л, л], имеющую период 2л.
Очевидно, / (я) — четная функция (рис. 2), поэтому в силу (1.11) имеем:
2 52^1»
а0 = \ х ах== Л;
Л JЛ 2 [О
О
2 ?.2 / х sin пх cos пх \ Iя
an=—^c°sn»^=— /—— +-^-)|о =
О'
2 cos пл — cos 02(— 1)п — 1 _
= л п2 = Л п2 “
= j“лп2~ П1>И П НеЧеТН0М*
(О при п четном.
Следовательно, 44
Я1 = —, Л2 ~ 0, Оз = — ^^* , 04 == 0, . . .
и искомое разложение есть
л 4 /11\
/ (я) = -у — — ( cos я -J- -у cos Зя + -25" cos 5я + .,. j •
Отсюда, в частности, при я = 0 получим:
л л4 / . 111
°— 2яИ+^ + у + т»
откуда л2 111
8 —1+з*+5«+72
Зная сумму этого ряда, легко найти1111•^ = 1 + 2а + "да" 4" 4а 4* 5а 4* • • •
Имеем:
^-(14-4-4-^4-...)4-(^4-4- + ^4--)-
= '?-4-4''у‘
следовательно, 5 = л2/6, т. е.
§ 6. Ряды Фурье для функций с любым периодом
Пусть /(ж) — функция с произвольным периодом 2Z (где I есть полупериод). Полагая х = at, получим функцию / (at) с периодом 21/а. Выберем а так, чтобы 21/а = 2л, т. е. а = 1/п. Тогда подстановка х = lt]n приводит нас к функции f(ltln) с периодом 2л.
Предположим, что / (х) имеет на сегменте [ — I, И не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте. В силу § 2 имеем в точках дифференцируемости:
+”
^("n')=T‘ + 2 («п cos nt 4" &„ sin R0, где
«•-4S,(4)-i« «„-4^(4)”=”““ —те—те
те
Ъи = "Г /(^sinntdt (п = 1,2,3,...).
Возвращаясь как в ряде, так и в формулах для коэффициентов, от нового переменного t к старому перемен-
ному х и замечая, что t = у, di = -^- dx, получаем в точках дифференцируемости}
4-6°
(143)(143)(144)(144)/(з:) = -у + 21 ^пСОЗ у + Ьп ЗШ yj , где
(143)
(143)
(144)
(144)
fl°=4" $ f^^*
а* = -у $ f^cos^dx (п= 1,2,3,...);
bn^-L\f(x) sin-y dx ^ = 1,2,3,...).
Ряд (143) с коэффициентами, определяемыми формулами (144), называется рядом Фурье для функции / (ж) с периодом 21.
Ряды Фурье для четных и нечетных функций с любым периодом. В случае четной функции с периодом 21 все Ъп = = 0 и, следовательно, в ряде Фурье нет членов с синусами. Тогда получим (как в § 5) в точках дифференцируемости;
/to^+S^cos^,(145)
где
а0= -у^/(#) dx* ап = "у^/^) cos-у—da: оо
(п= 1,2,3,...)
В случае нечетной функции с периодом 21 все ап = 0 и, следовательно, в ряде Фурье нет свободного члена и членов с косинусами. Тогда получим (как в § 5) в точках дифференцируемости;
/(»)=26„sin^t(146)
П=1
где
bu = ^[-^t^sm^ax(п= 1,2,3,...).
о
Пример 1. Написать разложение в ряд Фурье нечетной функции с периодом 1. Здесь 22=1, и на основании (1.16) получаем: +<х>1/2
/ (ж) = 2 ^n s*n ^nTtxi гДе ^п = 4 J ^ ^ sin З^ля dx. П=1о
Пример 2. Разложить в ряд Фурье | sin х |. Очевидно, | sin х | есть четная функция с периодом л.'Здесь 2Z = л, и на основании (1.15) получаем: 4-00
| sin х | = -у- + 2 ап cos ^nx' n—1 где л/2
«о = — \ sin х dx= — (— cos х) = _; лало л
о1
л/2л/2
а = -А С sin х cos 2nx dx= — — C sin (2м — 1) x dx 4- n л ала
о0
+ A”f sin(2n + 1)xdx = A S^-D® Га-nJя 2n — 1 |o
2 cos (2n +1) ® I”/2 / — 11\
2«4-i |o = Л \ 2n — 1 + 2ra + l / —
"”* л 4n2 — 1 Следовательно,
, ..24 cos2nx
|sin»| — —л 2 4n« —1 “ n=l
“v-4'(4‘cos2x+'A"cos4a:+-^-cos6»+... у 4-00
Отсюда при x = 0 получаем: 0 = -А— -А 2 —^г—~, следовательно
Комплексная форма ряда Фурье для функции с любым периодом. Пусть / (х) — функция с периодом 2Z, удовлет- ’ воряющаяусловиям, указанным вначале параграфа. Тогда подстановка х = ZZ/л приводит нас к функции /(ZZ/л) с периодом 2л.
В силу § 3 имеем в точках дифференцируемости^
С" ~ 2л } 7 \ я Г at‘С" ~ 2л } 7 \ я Г at‘
С" ~ 2л } 7 \ я Г at‘
С" ~ 2л } 7 \ я Г at‘
Переходя как в ряде, так и в формулах для коэффициентов к старому переменному х и замечая, что t = пх,^ dt = -у- dx, получим в точках дифференцируемости:
4-00
/И = S Спв",(1.17)
— 00
где
(n = 0, + l,±2,...). (1.18)(n = 0, + l,±2,...). (1.18)Сп = "57 ^ Ц^ e"iUKXil d,x
(n = 0, + l,±2,...). (1.18)
(n = 0, + l,±2,...). (1.18)
Правая часть формулы (1.17), где коэффициенты определяются равенствами (1.18), называется комплексной формой ряда Фурье для функции с периодом 21.
Разложение в ряд Фурье функции, заданной на сегменте (—7, 7}. Если на полуоткрытом интервале длины 21, т. е. на интервале вида [а, а + 2Z) или (а, а + 211, определена какая-нибудь функция, то она может быть (единственным способом) продолжена на всю числовую прямую так, что получится функция с периодом 21. В самом деле, возьмем график заданной функции на упомянутом полуоткрытом интервале и присоединим к нему все его горизонтальные смещения на расстояния, кратные 21 (т. е. на расстояния 2п1, где п — произвольное целое число). Тогда получится график функции с периодом 21, совпадающей с заданной функцией на том интервале, где она была определена.
Отсюда и из сказанного ранее о разложении периодических функций в ряды Фурье следует, что если /(ж) имеет на [—I, 11 не более конечного числа точек разрыва и ( абсолютно интегрируема на этом сегменте, то внутри этого
2 П. И. Романовский
сегмента в точках дифференцируемости имеем;
(1.19)(1.19)(1.20)(1.20)пл® , ,. пл®
(1.19)
(1.19)
(1.20)
(1.20)
ап cos—j—Н onsm—у
где ti
а0 =-у \ f (х) dx; ап = у С / (ж) cos ^-dx — I— I
(и = 1,2,3,...); i
bn = -y j / (x) sin ~- dx (n = 1,2, 3,...).
Разложение в ряд косинусов функции, заданной на сегменте [0, Z], Если на сегменте [О, Z] определена какая- нибудь функция, то она может быть (единственным способом) продолжена на всю числовую прямую так, что получится четная функция с периодом 2Z. В самом деле, возьмем график заданной функции на этом сегменте, присоединим к нему фигуру, симметричную с ним относительно оси ординат. Затем к образовавшейся фигуре присоединим все ее горизонтальные смещения на расстояния, кратные 2Z. Тогда получится график четной функции с периодом 2Z, совпадающей с заданной функцией на сегменте [0, ZJ.
Отсюда и из сказанного ранее о разложении четных периодических функций в ряды Фурье следует, что если /(х) имеет на [0, Z] не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте, то внутри этого сегмента в точках дифференцируемости имеем разложение в ряд косинусов:
/to = ^+2«ncos-^,(1.21)
П=1 где
<ц = -yXf^dxx а» = -у^/(ж)cos-2ydx (1.22) 6о
(" = 1,2,3,...).
Разложение в ряд синусов функции, заданной на сегменте [0, ?]. Если на интервале (О, I) определена какая- нибудь функция, то она может быть (единственным способом) продолжена на всю числовую прямую так, что получится нечетная функция с периодом 21. В самом деле, возьмем график заданной функции на упомянутом интервале, присоединим к нему фигуру, симметричную с ним относительно начала координат, затем к образовавшейся фигуре присоединим все ее горизонтальные смещения на расстояния, кратные 2Z, и, кроме того, добавим все точки с координатами nl, 0 (где п — любое целое число). Тогда получится график нечетной функции с периодом 2Z, совпадающей с заданной функцией на интервале (О, Z).
Отсюда и из сказанного ранее о разложении нечетных периодических функций в ряды Фурье следует, что если / (^ имеет на (О, Z] не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте, то внутри этого сегмента в точках дифференцируемости имеем разложение в ряд синусов:
4-00
/(*)= SMin-^,(1.23)
П=1 где i
Ьп= A^/^sin^^ (п = 1,2,3,...). (1.24) О
На концах сегмента ряд (1.23) будет сходиться к нулю. Следовательно, если дополнительно потребовать, чтобы / (я) обращалась в нуль на концах сегмента [0, /], то разложение (1.23) будет иметь место еще на концах сегмента [0, /].
Уравнение свободных малых колебаний струныи его решение методом Фурье
Рассмотрим натянутую струну, расположенную вдоль оси абсцисс. Если струна совершает малые поперечные колебания (т. е. каждая точка струны может смещаться только в вертикальном направлении и, следовательно, сохраняет величину своей абсциссы) без воздействия внешних сил, то можно показать (отбрасывая малые величины высших порядков), что если и (х, t) обозначает ординату
точки струны с абсциссой х в момент t, то функция ы (ж, f) будет удовлетворять линейному однородному уравнению с частными производными второго порядка
(1.25)(1.25)d2u 3 д2кdt2 ~ а "№ *
(1.25)
(1.25)
где а — постоянное положительное число.
Если струна имеет конечную длину Z и ее концы с абсциссами 0 и Z закреплены, то мы получаем следующие граничные условия:
и (О, Z) =0; и (Z, Z) = 0.(1.26)
Будем сперва искать те решения уравнения (1.25)в об
ласти
0 ^ ж ^ Z, — оо < I < + оо,
удовлетворяющие граничным условиям (1.26), которые имеют специальный вид: X (х) Т (t), где X — дважды непрерывно дифференцируемая функция от х на [0, Z], не равная тождественно нулю, Т — дважды непрерывно дифференцируемая функция от Z, не равная тождественно нулю.
Вставляя и = X Т в (1.25), получим;
ХГ-аТТ,(1.27)
откуда после разделения переменных найдемз
(1.28)(1.28)X" _ Т""F ~ *^т
(1.28)
(1.28)
Так как левая часть не зависит от Z, а правая часть не зависит от #, то общая величина этих отношений есть некоторая постоянная X; поэтому
X" -XX - 0; Г — Ха^Т - 0.(1.29)
Строго говоря, формула (1.28) и, следовательно, формула (1.29) справедливы для тех ж, где X (ж) =£ 0, й тех «, где Т (Q =/= 0. Но там, где X (я) = 0, имеем в силу (1.27) X" (я) ^ 0 (ибо Т не исчезает тождественно), и там, где Т (t) = 0, имеем в силу (1.27) Т* (f) = 0 (ибо X не исчезает тождественно); поэтому равенства (1.29) справедливы для всех рассматриваемых х и L
Граничные условия (1.26) дают:
X (0) Т (2) = 0; X (I) Т (Z) = 0 .
X (0) = 0; X (0 = 0.X (0) = 0; X (0 = 0.(1.30)(1.30)и, следовательно (так как Т не исчезает тождественно),
X (0) = 0; X (0 = 0.
X (0) = 0; X (0 = 0.
(1.30)
(1.30)
Покажем теперь, что при X > 0 первое из уравнений (1.29) не может иметь на [0, Z] решений, не исчезающих тождественно и удовлетворяющих граничным условиям (1.30).
В самом деле, если бы при X > 0 нашлось такое решение, то в некоторой точке между 0 и Z оно было бы отлично от нуля, например положительно (в противном случае следовало бы заменить X на —Х); тогда наибольшее значение X на 10, Л должно было бы быть положительно и достигаться в некоторой точке ^ внутри этого сегмента. Но тогда
X (У > 0; X' (У = 0; X" (9 = XX (9 > 0
и, следовательно, в точке £ функция X должна иметь минимум, что нелепо. В случае X — 0 первое из уравнений (1.29) превращается в X" =0, следовательно, X линейна и при условиях (1.30) может быть только тождественным нулем. Итак, мы доказали, что X С 0, поэтому можно положить X = — ка, где к > 0.
Уравнения (1.29) принимают вид
X" + каХ = 0; Г + № = 0. (1.29')
Составляя и решая соответствующие характеристические уравнения этих однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, найдем:
X = Сг cos кх + Ct sin кх; Т = Dx cos akt + Dx sin akt,
где Cx, Сг, Dx, Dt — постоянные.
Граничные условия (1.30) налагают требования:
Сх = 0; Сх cos kl + Ct sin kl = 0,
откуда (так как Ct 4= 0, если Сх = 0) sin kl = 0; kl = пл (n —целое); ft = nn/Z; следовательно,
X = C^ sin -у-; T = Dx cos —^—H D2 sin—p- ,
откуда (полагая CtDx = A, CtDt = S)
/ A ЛЯЛt t * ЛЯа! \ • ЛЯХ еж и = ХГ = (Лсоз—j—Hfisin—pjsin—p-.(1.30)
Обратно, непосредственно проверяется, что выражение (1.30') при любых постоянных А и В удовлетворяет уравнению (1.25) и граничным условиям (1.26). Таким образом, общий вид всех решений уравнения (1.25), удовлетворяющих граничным условиям (1.26) и имеющих специальный вид и = X ^ Т (/), дается формулой (1.30').
Так как уравнение (1.25) и граничные условия (1.26) линейны и однородны, всякая линейная комбинация решений уравнения (1.25) с условиями (1.26) есть также решение уравнения (1.25) с условиями (1.26). В упомянутой линейной комбинации может участвовать не только конечное, но и бесконечное число функций, однако в последнем случае постоянные коэффиценты следует брать так, чтобы получающийся ряд и ряды, появляющиеся из него после однократных и двухкратных почленных дифференцирований по рассматриваемым переменным, были бы равномерно сходящимися (тогда законы однократные и двукратные почленные дифференцирования, с которыми придется встретиться при проверке выполнимости (1.25). Таким образом, выражения вида
4-00
и (ж, О» cos—^—h Bnsm —р- ) sin —j— (1.31) n=i ' '
при упомянутом выборе Ап и Вп будут решениями уравнения (1.25) с условиями (1.26). В частности, требования, предъявляемые к Ап, Вп9 выполняются, если сходятся ряды
2и2Мп|, 2«а|вп|.1 1
Предположим теперь, что для каждой точки струны известно ее начальное положение и начальная скорость. Тогда на и (х, t) должны быть наложены дополнительные ограничения вида
и (а:, 0) = ф (ar); и< (х9 0) = ф (х), (1.32) где ф (ху ф ^х) — заданные функции (причем ф (0) = -ф(0 =Ф (0) =ф(/) -0).
Условия (1.32) называются начальными условиями. Будем искать среди решений вида (1.31) такие, которые
удовлетворяют натальным условиям (1.32), т. е. подчиним функции
4-00
/ а V / 4 п^ i в • nnat\ . плх
и\х^ = Zj^nCos—j-4-Snsin—— Ism—— ,
ut (ж, 0 =
4-00
S
/ nna .. nnat . пла „ nnat X . плх
sinBn cos —j sin —
условиям (1.32).
Если ф (ж) иф (ж) на [О, Z] допускают разложения по синусам
ф(®)=2»«81п"^« ф (®) = 2 ^« sin ~т™11
и при этом числа Лп = ап, В^ = —^— 6П удовлетворяют требованиям, принятым при построении решений вида (1.31), то поставленная задача разрешима, ибо, определив тогда и (я, г) по формуле (1.31) с помощью этих Лп, Вп1 найдем, что и (х, 0) и ut (ж, 0) будут иметь на [О, Z] такие же разложения, как ф (х) иф (х). Так как эти разложения оказываются равномерно сходящимися, то формулы (1.24) применимы, и, следовательно,
л 2 \ • млх 1 2 С । \ . плх л
Ап="~\ T(^)sm -p-dz; Bn = —^^sm—p-dz. О о
В частности, ф (х) и и ф (ж) будут удовлетворять указанным требованиям, если нечетная функция с периодом 2Z, совпадающая с ф (х) на [О, Z], трижды непрерывно дифференцируема и нечетная функция с периодом 2Z, совпадающая с ф (х) на IO, Z], дважды непрерывно дифференцируема (см. сказанное в конце § 2).
Итак, при упомянутых требованиях, наложенных на ф (^) иф (х), задача о свободных малых колебаниях струны с закрепленными концами и заданными начальными положениями и начальными скоростями ее точек
разрешима и ее решение дается формулой 4-001
и^х^»(Лпcos—— + Впsin—— )sm-y~t
п=1'
где .2 С z х . пля ,„2 С , , v . ппх ,
А= — ^ф(®)8Ш—rdx,Вп = — yH^sin—rdx
оо
(и = 1,2,3,...).
(1.33)
Уравнение распространения тепла в стержне
Рассмотрим идеально тонкий однородный изолированный стержень, расположенный вдоль оси абсцисс. Из физических соображений следует, что если и (х, /) обозначает температуру точки стержня с абсциссой х в момент /, то функция и (х, /), выражающая закон распространения тепла в стержне, удовлетворяет линейному однородному уравнению с частными производными второго порядка
где а —постоянное положительное число.
Если стержень имеет конечную длину I и на его концах с абсциссами 0 и I поддерживается постоянная нулевая температура, то возникают граничные условия
и (0, t) = О и u (Z, f) = 0.(1.35)
Будем сперва искать те решения уравнения (1.34) в области
О <х < I, 0 < t< + оо, удовлетворяющие граничным условиям (1.35), которые имеют специальный вид X (х) Т (/), где X — дважды непрерывно дифференцируемая функция от х на [О, Л, не равная тождественно нулю, Т — непрерывно дифференцируемая функция от I на 10, + оо), не равная тождественно нулю.
Вставляя и = XT в (1.34), получим
XT8 «а^Т,
откуда после разделения переменных найдем (для тех xf где X 4 0 и тех I, где Т 4 0)
^„ т,X ” а^т *
Общая величина этих отношений есть некоторая постоянная X, поэтому
Xй -XX = 0; Г -ХаЧ = 0,(1.36)
причем (1.36) оказываются справедливыми для всех х на [0, Z] и всех t на [0, + со) (учитывая, что X и Т не равны тождественно нулю). Граничные условия (1.35) дают
X (0) = Х^ =0.(1.37)
Первое из уравнений (1.36) не может иметь при X > 0 решений, удовлетворяющих (1.37) и не равных тождественно нулю, поэтому X < 0 и можно положить X = — Л2, к > 0. Уравнения (1.36) принимают вид
X" 4- к2Х = 0; Г + к2а2Т = 0.(1.36'j
Общие решения этих уравнений имеют вид
X = Сг cos кх + С» sin кх; Т = Ве-к’аЧ.
Граничные условия (1.37) налагают требования
Сх = 0; Сх cos kl + Ca sin kl = 0,
откуда (так как С4 =/= 0, если Сх = 0) sin kl = 0, kl — пя (п — целое), к = ™, откуда (полагая CJ) =Л)
и = ХТ = Ае" 11 sin^-. (1.37')
Обратно, непосредственно проверяется, что выражение (1.37') при любом постоянном А и любом целом п удовлетворяет уравнению (1.34) и граничным условиям (1-35). Таким образом, общий вид всех решений уравнения (1.34), удовлетворяющих граничным условиям (1.35) и имеющим специальный вид u = X (х) Т (t), дается формулой (1.37').
Пусть теперь числа Л„ таковы, что числовой ряд ОО
2 М« 1 сходится. Тогда функциональный ряд 1 09 п*л*а2 , VI аН—* • пМ
2дАпе“ зш-у
равномерно сходится при t > 0 и ряды, полученные из него путем почленных дифференцирований любое число раз, равномерно сходятся при £>е, где е —любое положительное число. Отсюда следует, что в случае сходимости ряда
ОО
2М»1 функция 1 00_ п*л*а2
и(ж,#)=2лпе“ sin-у-(1.38)
1'
непрерывна при Z > О, удовлетворяет граничным условиям (1.35) и удовлетворяет уравнению (1.34) при £ > 0.
Предположим теперь, что в начальный момент каждой точке стержня придана начальная температура и требуется выяснить закон распространения тепла в стержне при условии, что на концах поддерживается постоянная нулевая температура. Тогда на и (я, ^) должно быть наложено начальное условие вида
и (ж, 0) = q> (ж) при 0 ^ ж ^ Z,(1.39)
где ф (я) — заданная функция, причем ф (0) = ф (Z) = = 0.
Будем искать среди решений вида (1.38) такие, которые удовлетворяют начальному условию (1.39), т. е. подчиним и (х, t) требованию (1.39).
Если ф (х) на [0, Z] допускает разложение по синусам
Ф (я) — 2 An sin -^- и при ЭТОМ ряд 2 I Ап | сходится, 11
то поставленная задача разрешима, ибо, определив тогда и (х, t) по формуле (1.38) с помощью этих АП1 найдем, что и (х, 0) будет иметь на [0, Z] такое же разложение, как ф (ж).
Применение формул (1.24) дает
Ап = — \ф (х) sin—у dx.о
В частности, ф (ж) будет удовлетворять указанным требованиям, если <р (я) на [О, Z] непрерывно дифференцируема.
Итак при упомянутых требованиях, наложенных на <р (х), задача о распространении тепла в стержне при постоянной нулевой температуре на концах и заданной начальной температуре в каждой точке стержня разрешима и ее решение дается формулой
00п2^2»2
и (х. t) = >| Апе 12 sin—р, 1
(1.40)(1.40)где
(1.40)
(1.40)
Лп = -p^(ir)sin yy-dx (п = 1,2, 3,...). о .
Принцип максимума для уравнения теплопроводности.
Если и (г, /) непрерывна на прямоугольнике
0<я<?; 0<Z< Т
и удовлетворяет уравнению ^ = а2 уу при 0 < я < Z; 0 < t ^ Т, то среди точек, где и (х, t) достигает максимального значения на упомянутом прямоугольнике, есть точка (ж0Д0), где либо хо = О, либо хй — 1, либо tQ = 0.
Доказательство. Допустим, что такой точки нет. Тогда максимальное значение М достигается в точке (#о> М, где 0 < х0 < I, 0 < to ^ Т, причем и (0, t) при 0 С t ^ Т, и (I, t) при 0 ^ t ^ Т, и (х, 0) при 0 < х ^ ^ будут < М. Пусть m — наибольшее из максимальных значений этих трех функций на упомянутых сегментах, тогда m < М. Рассмотрим функцию и (х, t) =и (х, t) + + k (t0 — t), где к > 0. Эта функция достигает своего наибольшего значения в некоторой точке (хх, t^ прямоугольника, и так как М = и (хо^ to) =и (хй1 t^), то и (хг, t^^M. ПриЛ< ”-”^т должны иметь 0 < ^ < I, 0 < tx < Г,
ибо в противном случае
М ^ v (жх, 4) = и (жх, 0) + к (t0 — t^ ^
^ и (жи 0) + к | to — tv | < tn +^ и (жи 0) + к | to — tv | < tn +М — тМ — тттТ = м.Т = м.
^ и (жи 0) + к | to — tv | < tn +
^ и (жи 0) + к | to — tv | < tn +
М — т
М — т
т
т
Т = м.
Т = м.
что дает противоречие. Необходимое условие максимума дает vxx fo, ^)0, vtlxu tj > 0 (= О, если tx < Т),
следовательно, ихх (^, ^) = vxx (хх, t^ ^ 0, ut (жт, ^) = = vt^xv ^) + к ^ 0, но это противоречит уравнению ди о д^и
-эГ = а^-’ ЧЛ-А-
Заменяя и на —и, получим такое же заключение о точках, где и достигает минимального значения.
Может существовать н е летворяющей требованиям: < х < I; 0 < t < + оо;Может существовать н е летворяющей требованиям: < х < I; 0 < t < + оо;Из сказанного вытекает следующая теорема единственности.
Может существовать н е летворяющей требованиям: < х < I; 0 < t < + оо;
Может существовать н е летворяющей требованиям: < х < I; 0 < t < + оо;
более одной и (х, t^ удов- и (ж, t) непрерывна при 0 ^ удовлетворяет уравнению
-^- = а2 -^ при 0<t<Z;0<Z<4- оо; и (я,0) = ф (ж) при 0 х ^ Z; и (0, /) = ф! (Q при 0 ^ Z < + оо; и (Z, 0 ~ ф2 (0 при 0 ^ ^ < + оо (где ф, фп ф2 — заданные функции на соответствующих интервалах).
В самом деле, если имеем две такие функции ах и t^, то v = tig —- их непрерывна при 0 ^ х ^ Z, 0 Z <; + оо удовлетворяет уравнению — = а8 -^ при 0 < х < Z, О <_ t < 4- оо; v (ж, 0) = О при 0 ^ ж ^ Z; у (О, 0=0 при 0 < t < + оо; v (I, 0=0 при 0 ^ t < 4- оо. При каждом Г )> 0 максимальное и минимальное значение у на прямоугольнике 0 ^ ж ^ I, 0 ^ t ^ Т достигается в точках, где либо ж = 0, либо ж = I, либо t = 0, но в этих точках у = 0, следовательно, у = 0 на упомянутом прямоугольнике, а так как Т > 0 произвольно, то у г О при 0 ^ ж ^ I, 0 ^ t < 4- оо и, следовательно, ut s у,, ч.т.д.
В частности, рассмотренная выше задача о нахождении непрерывной функции при 0 ^ ж ^ Z, 0 ^ t < 4~ оо, удовлетворяющей уравнению -^ =■ а8 -^- при 0 < ж < Z, О < t < 4- оо, удовлетворяющей граничным условиям
и (0, г) = w (Z, Z) = О при О ^ ^ < + оо и начальному условию и (х, 0) = ф (ж) при 0 ^ ж ^ Z, может иметь н е более одного решения.
§ 9. Интеграл Фурье
Отметим сперва некоторые вспомогательные факты.
4-00
Вычисление интеграла ^ s^х■ dx. Преобразуя двой-
о
ной интеграл от е-х,° sin х по квадрату (0 ^ х ^ <ц 0 ^ ^ у ^ а) двумя способами в двукратные интегралы и сравнивая результаты, получим
^ sin х dx о^ sin х dx оааа
^ sin х dx о
^ sin х dx о
ег9^ sin х dx.ег9^ sin х dx.$ е'жу dy = $ АУ $О00
ег9^ sin х dx.
ег9^ sin х dx.
Элементарное интегрирование дает:
о
С е^ sin xdx = кг ^ ^jr У sin а) J1+У2
о
Следовательно, aaaaf
Sin X 1 dxXSin X 1 dxX^ ax А-т -dy.
Sin X 1 dx
X
Sin X 1 dx
X
обооТак как *) модуль второго слагаемого левой части меньше 1/а, модуль второго слагаемого правой части меньше 2/а, то в пределе при а + оо получим:4-00 С sin X- 1 Л/ * / д \(1.41)ОобооТак как *) модуль второго слагаемого левой части меньше 1/а, модуль второго слагаемого правой части меньше 2/а, то в пределе при а + оо получим:4-00 С sin X- 1 Л/ * / д \(1.41)О*) Учитывая, что*) Учитывая, чтоIJ1 + У2 J 1 + У2 d
обоо
Так как *) модуль второго слагаемого левой части меньше 1/а, модуль второго слагаемого правой части меньше 2/а, то в пределе при а + оо получим:
4-00 С sin X- 1 Л/ * / д \
(1.41)
О
обоо
Так как *) модуль второго слагаемого левой части меньше 1/а, модуль второго слагаемого правой части меньше 2/а, то в пределе при а + оо получим:
4-00 С sin X- 1 Л/ * / д \
(1.41)
О
*) Учитывая, что
*) Учитывая, что
Поскольку -—^— четнаяфункция, из последней
= л.= л.формулы следует:
= л.
= л.
(1.4Г)
Лемма Римана для бесконечного промежутка. Если f (ж) имеет на каждом конечном интервале не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на (— оо, + °°)> то
-Н*
\ / (х) sin ах dx —> 0 при а—>+оо.
Доказательство. Возьмем с и d настолько близкими к — оо и + оо, чтобы сумма интегралов от |/ (ж)| по интервалам (—оо, с] и[й, + оо) была меньше е/2. Так d
как в силу леммы Римана (§2) ^ / (ж) sin ах dx —> 0 при с
а -** + оо, то при любом е > О найдется такое К > О, d
что |$/(я) sin axdxl<-^- при а > К. Тогда при а > К с
будем иметь:
4-00
| j / (ж) sin ах dx | ^
—оо сd4-°°
^ 5 1/(ж)1^ж + | j/C^sinaxdz] 4* ^ I / (ж) I ^ < 8; —оосd
следовательно,
/ (х) sin ах dx —> 0 при а-»+оо.
Достаточное условие представимости функции интегралом Фурье. Пусть / (ж) — функция, определенная на всей числовой прямой, имеющая на каждом конечном сегменте не более конечного числа точек разрыва и абсолют-
но интегрируемая на (— оо, + оо). Последнее означает, что несобственный интеграл
$ |/М1^
есть конечная величина (интеграл сходится).
Согласно сказанному в § 6 в каждой точке дифференцируемости ж0 функции / (ж) имеем (при I > | ж0 |):
4-00
/М = -^ + 2 («пcos-^ + b„sin-^\, n—1 ''
где коэффициенты определяются формулами (1.20). Следовательно,
/W = 2rV^dx+ S ("Г /(«)cos-^dx-cos-^- 4-
—Iи=1—Z
I
= 4[ДКаМх+ 2 4" ^^ 608 dx.
-i«=i -I
Полагая мп = ^ fтогда Дип=-^-; 4- = —Дкп\ по- лучим: Iоо I
^ж^ ™ "2Г \ /(^^ж + 4~ 2 д“п \ /(ж) cosun (х — Xq) dx.
При I -> -}- оо, очевидно,
i•^- ( / (x) dx -» 0i•^- ( / (x) dx -» 0"tf0\ / (») dx = 0."tf0\ / (») dx = 0.
i
•^- ( / (x) dx -» 0
i
•^- ( / (x) dx -» 0
"tf0
\ / (») dx = 0.
"tf0
\ / (») dx = 0.
Естественно предположить, что при I ->- -{- оо
СОI
2 Дип / (ж) cos un (ж — ar0) dx -»
П=1—I
-|-со 4-оо
•^ $ ^ $ / (я) cos и^х — х^ dx
(но это не очевидно!). Если это так, то полученное для / (ж0) выражение даст в пределе:
/ (^о) = ‘~ ^ du ^ / (я) cos и^х — хй) dx.
Покажем, что это действительно так.
Положим
а 4-оо
/ (а) = — \du \ /(ж)со8и(ж — x^dx. О —ОО
4-00
Так как |/(ж) cos и (ж — ж0) | < | / (ж) | и j |/(ж)|йж
сходится, то можно изменить последовательность интегрирования и мы получим:
4-ооа
1^ — -^- ^ f^dx ^cosu(x — xa)du =
—о.е
- ^Т/(ж) ^*--^-dx = 4-ТЦ®. + X) — dx
Я)X — XoTC J v417X
(последний интеграл получен из предыдущего эаменойж на ж0 -|- ж). Если / (ж0) = 0, то 21^t^l f (ж0) при х -^ 0, и, следовательно, функция <р (ж) =* HiLiiL после надлежащего доопределения в точке ж = 0 становится непрерывной в окрестности нуля и будет абсолютно интегрируема на (— оо, + оо), ибо при достаточно малом е она непрерывна на интервале (—е, е) и вне его |ф(ж)| ^ * ^ ^“Ъ??!
Следовательно, в силу леммы Римана для бесконечного промежутка, имеем:
I (а) = — ^ ф (ж) sin ах dx —» 0при а —» + оо.
В общем случае [когда значение / (ж0) может быть любым] положим:
{
НхА при ж0 — 1 ^ж^ж0 +1; _ п- f (ж) = 1^ — ф(ж).
О для других значении ж;
Тогда 4-оо4*00
т / хС Yх S1D ах **1। /। х SIB СХ 1
1^ = — ^ Т (ж0 + ж) —— d» + — ^ ip (ж0 + ж) —— dx.
По доказанному первое слагаемое правой части стремится к нулю при а -> + оо, ибо / (ж0) = 0, Второе слагаемое правой части равно
1а4*°°
М_ С ~Ldx = /м. С ^JL^^fWL С sm^-ax = Hxa\ я j жя J жя j ж '' ”
—1—а—оо
при а—* 4- ОО
(интеграл в средней части получен из предшествующего заменой ах на ж). Таким образом, в точках дифференцируемости ж0 функции / (ж) имеем:
4-00 4-оо
/(ж0) = lim/(a) =-^- ^ du ^ /(ж) cos и (ж — x^dx.
О —00
Заменяя хй на х и х на ^ доказанное предложение можно формулировать так:
Теорема. Если f(x) имеет на каждомконечном ин* тервале не более конечного числа точек разрша и абсолют* но интегрируема на (— оо, + оо), то в каждой точке х^ в которой f (я) дифференцируема, имеем:
/ (я) = А- ^ Ди ^ /(Qcosu (( — x)dt. (1.42) О —оо
Правая часть формулы (1.35) называется двойным интегралом Фурье функции / (ж).
Так как cos и (t — х) = cos w^-cos их + sin u£*sin их» то (после внесения множителя 1/л) внутренний интеграл в формуле (1.42) можно преобразовать так:
1 С1 С
— \ / (t) cos и (t — х) dt = — \ / (/) cos ut dt • cos их +
4"^- \ /(0 sinuf df-sin wx = a(u) cosu® + b(u) sinu®, — 00
где
i V
(1.43)(1.43)(1.44)(1.44)a (u) = — \ / (J) cos ut dt (и > 0),
(1.43)
(1.43)
(1.44)
(1.44)
4-00
6(w) =-~-/(t) sin utdt (n>0).
Тогда (1.42) принимает вид
4-00
/ (ж) = ^ [а (и) cos их + b (u) sin их^ du.о
Выражение, стоящее в правой части формулы (1.44), называется интегралом Фурье для функции / (ж). Таким образом, функция / (ж) представляется своим интегралом Фурье во всех точках дифференцируемости. Заметим, что это достаточное условие представимости функции своим интегралом Фурье не является необходимым, представимость интегралом Фурье будет иметь место и при более общих условиях.
Формула (1.44) показывает, что интеграл Фурье можно рассматривать как континуальный аналог ряда Фурье: вместо суммирования по индексу и, пробегающему целые значения, мы имеем интегрирование по непрерывно изменяющемуся переменному и; вместо коэффициентов Фурье, зависящих от целого индекса п, мы имеем функции а (и), Ъ (к) от непрерывно изменяющегося переменного п, определяемые формулами (1.43).
§ 10. Комплексная форма интеграла Фурье
Преобразуем подынтегральное выражение формулы (1.44) с помощью формулы Эйлера. Имеем:
а (и) cos их + b (u) sin их =
Дих 1 -тихДих «-тих
—to i-ti— + Ь („)-
eiux + e-iuxeto_e-iux
= а {и)уib (и)2 =
= а («) - ib (и) eiux + a^ + ib^ ^
= с (и) eiw + с (— и) <rtwc,
где положено
Тогда
х
[а (и) cos их + Ъ(и) sin их] di^ =
х
= J [с (и) е^ + с (— и) g-^] du = о
XX
= ^ с (и) etedu + ^ с (— и) e'^du = оо
Хох
= ^c^e^du-V ^ c(u)eiuxdu = ( c^e^du, О—х
X
так как после замены и на —и интеграл ^c^—^e^^du о
о
переходит в \ c^e^du»
Для с (и) получим выражение
с (М) = *21^1 = 4-004-00
= Д-(4г ^ f ^ cos utdt — I — ( f(t)sinutdt\ =
—оо—оо
= ^ ^ / (0 (cos ut -— г sin ut^ dt = ^ ^ / (t) e^iut dt (u > 0).
Непосредственно видно, что эти формулы верны й при и < О, например, из того, что с (— и) = с (и).
Из формулы (1.37) получаем теперь:
х
/(я) — Ит \ Vascos их + b(u^suiux\du —
Х-^оо^ X4~°°
= Пт ( с (и) eiux du = ^ с (и) eiux du Х-*+°° -X-оо
4~оох
понимая \какНт \ I.
‘JooД7
Итак, вточкахдифференцируемости функции / (ж)
4-90
/(«)= ^ с (и) eiwc du,(1.45)
—ОО
где
4-00
с^ = -^ 5 tktw^4t. (1.45')
Выражение для / (ж) в форме (1.45) является комплексной формой интеграла Фуръе для функции /(х).
Если в формуле (1.45) заменить с (и) его выражением, ' то получим в точках дифференцируемости функции / (x)s !>
(1.46)(1.46)^ж^~"5п ^ eluxrfu ^ t^V^dt—со—оо
(1.46)
(1.46)
или, после внесения е,ия под знак внутреннего интеграла,
4-004*00
/М —*^" ^ du ^ f ^ е^х^ dt. (1.46')
Правая часть формулы (1.46') называется двойным интегралом Фурье в комплексной форме.
Положив
4-00F^ = $ f^e-^dt,
формулу (1.46) можно переписать так:
4-00
f^ = -^- $ FW^du.(1.46")
§ 11. Интеграл Фурье для четныхи нечетных функций
Пусть / (х) — четная функция, удовлетворяющая условиям § 9. Тогда
4-оо4-оо
a(u) = — \ /(1)cosutdi = — \ /(Qcosutdtj
—ооО
+=»
6(u) = ^- \ /(Osinutdt = О,
—00
следовательно, интеграл Фурье (1.44) принимает вид
4-00
гдегде(147)(1.47')(147)(1.47')/(х) = j a (u) cos их du,
где
где
(147)
(1.47')
(147)
(1.47')
2 Сe(u) = — \ /(t)cosutd<.
о
Это—интеграл Фурье для четной функции f (х). Заменяя здесь а (и) его выражением, получим двойной интеграл Фурье для четной функции*.
-|-004“°°
/(^) = ”^ ^ cos их du ^ / (f) cos utdt. (1.48) оо
Пусть теперь / (х) — нечетная функция, удовлетворяющая условиям § 9. Тогда
а (и) = — \ / (<) cos ut dt = 0;
—CO
-f-oo4~°°
b(u) —— \ /(0sinutdt = — \ /(£) sin utdt;
следовательно, интеграл Фурье (1.44) принимает вид
4-ео
/ ^ = J & (u) sin их dut(1.49)
о
где
4-00
Ь (и) = С / (/) sin ut dt.(1.49')
о
Это — интеграл Фурье для нечетной функции / (х). Заменяя здесь Ъ (и) его выражением, получим двойной интеграл Фурье для нечетной функции!
j (х) = -~- ^ sin их du ( / (0 sin ut dt.(1.50)
оо
Формулы (1.48) и (1.50) можно перефразировать следующим образом.
Положим .4-со
Ф (х) = у / (0 cos xt dt. (1.48')
Тогда из (1.48) следует [если / (ж) —* четная функция, удовлетворяющая отмеченным выше условиям], что в точках дифференцируемости функции / (ж)
.+«*/ 2/(ж) = 1/ — \ ф(0совж£Л.
о
Называя выражение, стоящее в правой части (1.48'), косинус-трансформацией функции / (ж), приходим к закону взаимности: если ф (ж) есть косинус-трансформация четной функции / (ж), то / (ж) есть косинус-трансформация от <р (ж)-
Положим
(1.50')
о
Тогда из (1.50) следует [если / (х) — нечетная функция# удовлетворяющая отмеченным выше условиям!, что в точках дифференцируемости функции /
f^ = Vv $ ^wО
sin xt dt.
Называя выражение, стоящее в правой части (1.50')# синус-трансформацией функции / (ж), приходим к закону взаимности: если ф (ж) есть синус-трансформация нечетной функции / (ж), то / (ж) есть синус-трансформация от
Пример. Представить интегралом Фурье функцию
1^ =1^ =1£201£20при |х|<1,при |х|<1,При 1x^=1,При 1x^=1,припри
1^ =
1^ =
1
£2
0
1
£2
0
при |х|<1,
при |х|<1,
При 1x^=1,
При 1x^=1,
при
при
Функция f (х^ —< четная, следовательно, на основании (1.47) имеем:
/ (х) = ^ a (u) cos их du;о
2 Се 2 С ,2 sin uf |t=i 2 sin и
a (и) = —- \ / (f) cos ut dt = — \ cos ut dt— ——= ——*
x Л J v *Л JЛи |t=0 Ли
00
поэтому
*со
2 f sin и
\ —и—tosuxdu.
Таким образом,
sin и—— cos их du =sin и—— cos их du =(1.51)(1.51)если | х |< 1, 1
sin и
—— cos их du =
sin и
—— cos их du =
(1.51)
(1.51)
у , если | х | = 1,О, если | х | > 1.
Выражение (1.51) называется разрывным множителем Дирихле»
§12. Ортогональные системы функций
Будем рассматривать действительные функции ф (ж) на каком-нибудь интервале (закрытом, открытом или полуоткрытом) с концами а, b (а конечно или равно — оо, 6 конечно или равно + оо), на котором фиксирована некоторая положительная непрерывная функция р (ж) (весовая функция^» Будем предполагать функции ф (ж) непрерывными на рассматриваемом интервале и такими, что)
ь $[ф(^)12Р(®)^< + °о. а
Для таких функций ф (ж), ф (ж) положим
6
(ф, ф) = ^ ф (ж) ф (ж) р (ж) йж.а
Этот интеграл имеет смысл, так как | Фф | ^ -у (ф2 + ф2).
Определение. Функции ф (ж) и ф (ж) (удовлетворяющие указанным выше требованиям) называются ортогонамными относительно веса р (ж) на данном интервале, если
(Ф, гр) = 0.(1.52)
Ортогональность не нарушается при умножении функций на постоянные множители.
Определение. Функция ф (ж) (удовлетворяющая указанным требованиям) называется нормированной относительно веса р (х) на данном интервале, если
(ф, ») = 1. (1.52')
Не исчезающую тождественно ф (ж) можно сделать нормированной, умножив на подходящий постоянный множитель X ^нормиррюгций множитель). Этот множитель X следует выбрать так, чтобы (Хф, Хф) = 1, откуда
± /(ф- ф)'
Например, для х на [0, 11 при единичном весе
Рассмотрим бесконечную систему функций
Ф1 ф2 (Ж). —, фп(ж),...(S)
(удовлетворяющих отмеченным в начале параграфа требованиям). Назовем систему (S) ортогональной относительно веса р (х) на данном интервале, если все функции этой системы не исчезают тождественно и попарно ортогональны относительно веса р (ж) на рассматриваемом интервале, т. е. если
(фь фк) = 0 при г =4= к.
Назовем систему (S) ортонормированной относительно веса р (х) на данном интервале, если она ортогональная и все ее функции нормированные относительно названного веса на рассматриваемом интервале, т. е. если
О при 14= к, 1 при i = к.
(Фъ Ф1) =(Фъ Ф1) =Если некоторая функция / (ж) допускает разложение
(Фъ Ф1) =
(Фъ Ф1) =
1—1
го, умножая это равенство нафп (ж) р (а?) и интегрируя за- тем почленно в пределах от а до 6 (если это законно), по
лучим: (/, фп) = 2 »к^к, Фп) = «п(Фп, Фп), откуда к=1
(1.54)
Определение. Рядом Фурье какой-нибудь функции / (ж) (удовлетворяющей отмеченным в начале параграфа требованиям) относительно ортогональной системы (S) называется ряд
ОО
2 ^пфп (#))
коэффициенты которого определяются по формулам (1.54).
При этом пишут
/ ($) ~ 2 ^пфп ($)•1
Но из этого не следует, что / (ж) должна разлагаться в свой ряд Фурье.
Пример. На сегменте [—л, п, система функций 1
*2“ , cosх, sinх, cos2х, sin2х,... , cos nxt sin nx, ...(T)
ортогональна относительно единичного веса (см. вычисление вспомогательных интегралов § 2). Обозначая коэффициенты Фурье какой-нибудь функции / (ж) на [—л, л] относительно системы (Т) через
®0» ®1» ^h ®2» ^2» »••» ^П ^П, •••!
найдем по формулам (1.54):
С 1
р(я)—*
06 = ~^ё= "7Г ^ / (Х) ^z‘*
ап —ап —/ (ж) cos пх dx/ (ж) cos пх dx1 Г— \ / (ж) cos пх dx;1 Г— \ / (ж) cos пх dx;
ап —
ап —
/ (ж) cos пх dx
/ (ж) cos пх dx
1 Г
— \ / (ж) cos пх dx;
1 Г
— \ / (ж) cos пх dx;
> (п = 1,2,3,> (п = 1,2,3,1 f— \ / (ж) sin пх dx1 f— \ / (ж) sin пх dxcos2 пх dx
> (п = 1,2,3,
> (п = 1,2,3,
1 f
— \ / (ж) sin пх dx
1 f
— \ / (ж) sin пх dx
^ / (ж) sin пх dx
\ sin® пх dx
которые в данном случае превращаются в формулы (1.7) § 2.
Тригонометрические ряды Фурье являются частным случаем рядов Фурье относительно ортогональных систем функций.
Если функции, составляющие какую-нибудь ортогональную систему (S), умножить на какие-нибудь постоянные Хп Н= 0, то получим снова ортогональную систему. Коэффициенты Фурье какой-нибудь функции при этом разделятся на Хп [как видно из формул (1.54)1, члены же ряда Фурье не изменятся (^-ХпФп = а„фп). В слу- чае ортонормированной системы (S) формулы (1.54) принимают вид
an = (/,<р„)(П = 1,2,3,...).(1.54')
Ортогонализация системы функций. Пусть fv f»,... ■■■Л,-- бесконечная система линейно независимых функций (удовлетворяющих отмеченным в начале параграфа требованиям). Взяв произвольные действительные числа ^ik Ц^>к ■> 1), последовательно построим функции
Ф1 = /п
Фз = Х,1Ф1 4* f»«
фз = ^31Ф1 4" ^ззфз 4- /з,
Фп = ^П1Ф1 4* ^пЯфз 4" ••• 4- ^ПП-1 фп-1 4* /п»
По индукции видно, что каждая функция фп есть линейная комбинация функций Д, /2, ..., /п с коэффициентом 1 при /„, откуда следует, что функции фц ф2,..., фп,... линейно независимы. В частности, каждая ф„ не исчезает тождественно.
Покажем, что можно (единственным образом) подобрать числа Х^ так, что система функций фх, ф2,..., фп,... станет ортогональной относительно веса р (ж) на данном интервале (процесс построения таких фп называется ортогонализацией. системы линейно независимых функций /п).
Требование (ф2, фО = Х21 (фъ фР + (/2, фг) = 0 дает
, _ Му ФР(Фг ФР
Пусть теперь 1^ при f ^ п — 1 уже определены и фп... ...,Фп-1 попарно ортогональны. Тогда требования
п—1
(Фп, Фк) = S Хп< (Фь Ф*) + (/п, Фй) =
= ЬпИФь Фр + (/п, Ф») = о (ft = 1, 2,..., п - 1)
дают2’'”’п—^’ и таким образом
все Xi* при i ^ п определены и функции фп ..., ф„ попарно ортогональны. Итак, индукция проведена, и утверждение доказано.
Ортогональные полиномы. Наложим на весовую функцию р (ж) добавочное условие:
6
||ж|”р(ж)^ж<4-оо (и = 0,1, 2,...). а
Тогда функции 1, х, я?, ..., ж",... будут удовлетворять отмеченным в начале параграфа требованиям. Применяя процесс ортогонализации относительно веса р (ж) на рассматриваемом интервале к системе степенных функций 1, х, ж8,..., х*, .... получим последовательность полиномов
^0 (®), ^1 С®), Р8 (®)».«м Р» (®)>...
степеней 0, 1, 2,..., и,... с единичными старшими коэффи-
циентами, образующих ортогональную (относительно веса р (ж) на данном интервале) систему.
Отметим некоторые свойства этих полиномов.
Если Q (х) — произвольный полином степени m < л# то (Рп, 0 = 0, ибо, разлагая Q (ж) по полиномам Ро (ж),...
т
...,Рт (ж), получим Q (ж) = 2 скРк (ж) (сц — некоторые чис- к—о
ла), откуда
т
(Pn,Q) = SMPn.P^-O.к=о
Покажем, что полиномы Рп (ж) удовлетворяют простым рекуррентным соотношениям^ Очевидно, Ро (ж) = 1; Рг (ж) = ж 4- р0 (р0 — некоторое число). Разлагая при n > 1 полином Рп+1 (ж) — жР„ (ж) (его степень, очевидно, С») по Ро (ж),..., Рп (ж), получим
Рп+1 (ж) —" хРп (^) — 2 скРк (ж)к==0
(с» — некоторые числа), откуда при Z = О, 1,..., п
п
(Рh Рw-1^Рn) = 2 ^ ^Р^ Рк) ~ cl (Рh Рl)e
k=o
Но
(Ph Pn+l — жРп) = (Ph — хР^ = — (xPb Pn)f
что при Z < n — 1 равно нулю, следовательно, c<> — с£ = = ... = сп-2 = 0; затем, разлагая хРп_г по Р0)..., PUi найдем
(Хр^!, Р^ = ( 2 ДкРк + Р», Р^ = (Рп, Рп) > 0к=о
(dK — некоторые числа), поэтому сп^ < 0. Следовательно, полагая
^п-1 = ^ ОСп, Сп = Рп»
получим:
Рп+1 (®) “^ ®^п (®) = ^ ®пР»-1 (®) Ч~ РпРп t®)»ап )> 0 (п = 1, 2, 3,...).
Таким образом, всякий интервал и всякая заданная на нем весовая функция р (в) порождают такую последовательность положительных чисел аь а2, а8,... и такую последовательность действительных чисел 0О, Pi, Рг»--» 410 соответствующие ортогональные полиномы удовлетворяют соотношениям
РоИ = 1,
(1.55)(1.55)Р1(ж)=а: + Ро,
(1.55)
(1.55)
Pn+l (я) — (^ + Р„) Р„ (®) + «пРп-1 (ж) = О(« = 1, 2,3,...).
Отметим интервалы и заданные на них весовые функции, порождающие классические ортогональные полиномы
а
ъ
Р (*)
' Название полиномов
1
1
Полиномы Лежандра
1
1
VI —»3
Полиномы Чебышева 1-го рода
-1
1
VI — X»
Полиномы Чебышева 2-го рода
—1
1
(1-«)”(! 4-®)» а>-1; р>-1;
Полиномы Якоби
0
4-00
Полиномы Лагерра
0
+ ОО
®яе-х а> — 1;
Обобщенные полиномы Лагерра
'— ОО
4-00
е-«.
Полиномы Эрмита
Различные аналитические выражения для упомянутых в этой таблице полиномов мы здесь не рассматриваем.
Свойства нулей ортогональных полиномов. При любом интервале и любом заданном на нем весе нули ортогональных полиномов обладают нижеследующими свойствами:
Все нули полиномов Рп (ж) действительные, простые и лежат в интервале (а, Ь).
Доказательство. Пусть £n..., £т те из нулей рп (ж), которые действительны, лежат на (а, 6) и имеют нечетную кратность. Пусть Q (ж) = (ж — Ci)..- (s — £m)« Если т < п, то (Рп, Q) = 0, но это невозможно, так как PnQ сохраняет постоянный знак на (а, Ь). Следовательно, должно быть т = п. Отсюда видно, что Рп (ж) имеет на (а, 5) п нулей, поэтому все они простые и других нулей Рп (ж) не имеет.
Полиномы Рп (ж) с соседними индексами не имеют общих нулей.
В самом деле, из (1.55) видно, что общий нуль двух полиномов с соседними индексами был бы нулем всех полиномов с меньшими индексами (ибо все ап =/= 0), но это невозможно, так как Ро (ж) =1.
В каждом нуле полинома Р„ (ж) полиномы Рп+1 (ж) и Рп_х (ж) имеют разные знаки.
Это видно из (1.55) (ибо все а„ > 0).
Между всякими двумя соседними нулями полинома Р„ (ж) лежит один нуль полинома Рн_г (ж).
Доказательство. Доказываемое предложение справедливо при п = 2, ибо в нуле полинома Pv (ж) полином Р2 (ж) отрицателен, так как там Ро (ж), будучи тождественной единицей, положителен; следовательно, нули квадратного трехчлена Ра (ж) лежат по разные стороны от нуля линейной функции Рг (х). Предположим теперь, что доказываемое предложение справедливо для » — 1 (т. е. между всякими двумя соседними нулями полинома Pn_t лежит один нуль полинома Рп_2). В нулях полинома Pn_t значения Pn_j знакочередуются (в силу простоты нулей Рп_2 и в силу сделанного предположения), следовательно, на основании 3) значения Рп также знакочередуются. Отсюда видно, что между всякими соседними нулями полинома Рп_! находится нуль полинома Рп (что дает п — 2 нуля). Затем, правее большего и левее меньшего из нулей Рп_г найдется по нулю полинома Рп, ибо знакРп в названных нулях Рп_г противоположен тому знаку, какой имеет Рп соответственно вблизи b и вблизи а. Полученные п нулей полинома Р„ (ж) исчерпывают его нули и обеспечивают искомое взаиморасположение нулей Р^ и Рп. Итак, индукция проведена и предложение доказано.
. § 13. Минимальное свойство коэффициентов Фурье
Определение. Пусть / (я) и ф (я)— две функции (удовлетворяющие отмеченным в начале §12 требованиям). Среднеквадратическим уклонением f(x) от ф(х) относительно веса р (ж) на данном интервале называется число К (/ — ф, / — ф).
Пусть имеем какую-нибудь ортогональную (относительно веса р (х) на данном интервале) систему функций
Ф1 (ж), ф2 (ж),..., фп (®),—(S)
Линейные комбинации из п первых функций этой системы, т. е. выражения вида
С1Ф1 to + с2ф2 (ж) + ... + спфп (ж),
где с^ с2, ..., сп — любые действительные постоянные, назовем для сокращения обобщенными полиномами п-го порядка,
Экстремальная задача. Из всех обобщенных полиномов n-го порядка найти тот, который имеет наименьшее среднеквадратическое уклонение - от данной функции / (а?) (удовлетворяющей отмеченным в начале §12 требованиям).
Вопрос сводится к отысканию таких си ..., сП) для - пп
которых (/ — 2 с»Фь f — ^ С*Ф») ■ будет наименьшим.
Не нарушая общности, можем считать систему (S) ортонормированной (в противном случае путем умножения на нормирующие множители мы можем сделать ее таковой). Полагая, что индексы суммирования принимают значения 1, 2, ..., в и ак обозначают коэффициенты Фурье функции /, будем иметь:- ■
(/ - Зм», / - 3 М») = (A fi~^ckV, Ф») + Ккк•
+ 3mi(V»»Vi)-(M)-23m» + 34-
МЛ".кк
^ tit Л ~ ^1°^ "V 1^Аск—акУ* ■■ .. -t к"
Из полученной формулы
nпnп
(/ — 2 ^fr f — 2 tWfc) ^ (/> /) — 2 ак 4“ 2 (^ — ак)2 1111
(1,56) видно, что искомый минимум получается при ск = ан (к = 1, 2, ..., п\
Итак, из всех обобщенных полиномов n-го порядка наименьшее среднеквадратическое уклонение от данной функции / ^ имеет п-я частичная сумма ряда Фурье этой функции.
Из формулы (1.56) находим
пп
min (/ — 2СЛ. / — S сйФл) =
11
ппп
= (/ - S ^-. f - S «»ф») =(/./)- S4- (1.57) 111
Так как средняя часть формулы (1.57) неотрицательна, то П"СО
2^<(А /)> откуда следует, что ряд 2а& сходится и
11
имеет место неравенство Бесселя
(1.58)(1.58)h4 <(ЬП-
(1.58)
(1.58)
Учитывая неравенство —^ ^ -^- ^вп + -^-^» заклю-
00 I I
—— сходится. 1
Если система (S) ортогональная (но не обязательно ор- ’ тонормированная), то (1.58) следует заменить неравенств ] вом
(1.58')
3 И. И. Романовский
гдо Хк — нормирующий множитель для фд. (я) (ибо, беря Xkqxk вместо ф/., мы должны взять а^к вместо ак).
Из (1.58'), в частности, видно, что для всякой непрерывной на [—л, л] функции ряд 2(4+4) (где ап и Ьп определяются формулами (1.7) сходится и, следова- >• 11
Называя тригонометрическим полиномом п-й степени функции вида п
+ 2 кск cos кх + dk sin кх^ к=1
получим как частный случай решенной экстремальной задачи (когда в качестве системы (8) берется тригонометрическая система (Т)) следующий результат.
Из всех тригонометрических полиномов n-й степени наименьшее среднее квадратическое уклонение на [—л, л] от заданной на этом сегменте непрерывной функции / (ж) имеет тригонометрический полином
п
+ 2 (а* cos ^ + ^ sin кх), к=1
коэффициенты которого определяются по формулам Фурье (1.7) из § 2.
§14. Замкнутые системы функций
Система (S) функций, удовлетворяющих требованиям, отмеченным в начале § 12, называется замкнутой, если любая непрерывная функция / (х) на рассматриваемом интервале с концами а и 6 и такая, что
ъ
j [/ Wl2 Р (ж) dx < + оо,(1.59)
а
может быть как угодно хорошо аппроксимирована в среднем линейными комбинациями функций из (8). Это значит, что для любого е )> О найдутся номер N, такие
ф! (ж), ..., ф^ (х) из (S) и такие числа сг, ..., cN, что
bN2
Ял®)- s СкЧ’к (®)] Р М Дх < 8.
ай=1
Пусть, в частности, (S) есть ортонормированная система функций
Ф1 (я), ф2 (ж), ..., фп (ж),...
Тогда справедлива
' Теорема. Для замкнутости ортонормированной системы (S) необходимо и достаточно, чтобы для каждой непрерывной функции f (я), удовлетворяющей требованию
имели 2а^ = (Л /), где ап —- коэффициенты Фурье 1]
функции / (ж) относительно системы (S).
Иначе говоря, требуется, чтобы для всякой непрерывной функции, удовлетворяющей требованию (1.59), неравенство Бесселя (1.58) превращалось в равенство.
Доказательство. Если система (S) замкнута, то для любой непрерывной /, удовлетворяющей (1.59), левая часть формулы (1.57) при достаточно большом п будет как угодно малой, следовательно, правая часть также, поэтому соотношение (1.58) становится равенством. Обратно, если для некоторой непрерывной /, удовлетворяющей (1.59), соотношение (1.58) оказывается равенством, то при некотором п правая часть (1.57) будет как угодно малой, следовательно, средняя часть также и, следовательно, / как угодно хорошо аппроксимируется в среднем линейными комбинациями функций из (S), ч. т. д.
Следствие. В случае замкнутой ортогональной системы (S) разным непрерывным функциям, удовлетворяющим (1.59), отвечают разные ряды Фурье.
Доказательство. Систему (S) можно считать ортонормированной. Если ап — коэффициенты Фурье для f, Ъп — коэффициенты Фурье для g, то ак — Ьп будут
коэффициентами Фурье для / — g, но 2 (ап — V —
1
^ (/ ~ ^ / — g) ='0> поэтому, если ап = Ьп для всех и, то G — g. / — g) = 0, откуда j = g3 ч. т. д.
Заметим, что замкнутая ортонормированная система функций полна в том смысле, что ее нельзя расширить с сохранением ортонормированности, ибо если ф орто- 6о
гональна ко всем функциям системы, то (ф, ф) = 2^ — О 1
и, следовательно, ф ~ 0.
Последовательность непрерывных функций /п (я), удовлетворяющих требованию (1.59), называется сходящейся в среднем относительно веса р (х) к непрерывной функции / (ж), удовлетворяющей требованию (1.59), если (/ — /п,
/ —/п)->0. Ряд 2/п(ж), члены которого непрерывны и 1
удовлетворяют (1.59), называется сходящимся в среднем к $ (ж) относительно веса р (я), если последовательность частичных сумм зн (я) сходится в среднем к з (х).
Из (1.57) видно, что ряд 2апФп сходится в среднем 1
к /, если для / соотношение (1.58) есть равенство. Из доказанной теоремы следует, что ряды Фурье всех непрерывных функций, удовлетворяющих (1.59), сходятся в среднем к этим функциям, если (S) — замкнутая ортогональная система. Поэтому, если в случае замкнутости (S) ряд Фурье некоторой непрерывной /, удовлетворяющей (1.59), сходится в среднем к некоторой непрерывной /х, удовлетворяющей (1.59), то /1 = / (сходимость в среднем, как легко видеть, может быть только к одной непрерывной функции).
Если весовая функция р (х) на рассматриваемом ин
тервале с концами а и 6 такова, что \ р(я) dx < + оо (на-
а
пример, это будет, если рассматриваемый интервал есть сегмент), то равномерная сходимость будет частным случаем сходимости в среднем. Следовательно, если при такой весовой функции ортогональная система замкнута и ряд Фурье некоторой непрерывной функции, удовлетворяющей (1.59), равномерно сходится, то его сумма равна / (ж).
Замкнутость тригонометрической системы (Т). Рассмотрим на сегменте [—л, л] систему функций
1
-4-, cos х, sin ж,..., cos пх, sin пх,...(Т)
при весовой функции р (я) = 1 и докажем замкнутость этой системы.
Если / (х) непрерывна на [—л, л] и / (—л) = / (л), то / (я) после надлежащего продолжения становится непрерывной функцией с периодом 2л. Для всякого е > 0 найдется такая непрерывная функция ф (ж) с периодом 2л, кусочно гладкая на [—л, л], что |/ (х) — Ф (#)К е/2, но Ф (х) разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье, поэтому для частичной суммы Т (х) с достаточно большим номером будем иметь | ф (х) — Т (х) | < е/2 и, следовательно, | / (ж) — Г (я) | < е. Таким образом, всякая непрерывная функция на [—л, л] с одинаковыми значениями на концах этого сегмента равномерно с любой точностью аппроксимируется линейными комбинациями функций системы (Т). Для доказательства замкнутости системы (Т) остается лишь обнаружить, что всякая непрерывная функция гр (ж) на [—л, л] сколь угодно хорошо аппроксимируется в среднем непрерывной функцией на [—л, л] с одинаковыми значениями на концах этого сегмента. Пусть М = = max | гр (^ |, и пусть
гр (—л) при х = л,гр (—л) при х = л,/ ^ =/ ^ =линейна на [л —6, л],линейна на [л —6, л],гр (ж) при —л ^ х ^ л — 6,
гр (—л) при х = л,
гр (—л) при х = л,
/ ^ =
/ ^ =
линейна на [л —6, л],
линейна на [л —6, л],
где 0 < 6 < 2л. Очевидно,
(^-/Л-/) = $ (ф-/)Мл:<4М26,
те—8
что как угодно мало при достаточно малом 6. Это завершает Доказательство.
Системы функций, связанные с задачей Штурма — Лиувилля. Важными примерами замкнутых ортогональных систем функций являются системы собственных функций в так называемой задаче Штурма — Лиувилля.
Пусть на сегменте [0, П заданы непрерывно дифференцируемая функция р (ж) > 0, непрерывная функция q (х), непрерывная функция р (х) > 0. Рассмотрим лине йное дифференциальное уравнение второго порядка
(ру')' + (Хр — у) у = 0 (1.60)
и краевую задачу для него
(1.60')(1.60')У (0) - 0; у (I) = 0.
(1.60')
(1.60')
Те значения X, при коих эта задача имеет ненулевые решения’ называются собственными значениями, соответствующие ненулевые решения называются собственными функциями.
Две собственные функции, соответствующие одному собственному значению X, отличаются лишь постоянным множителем (пусть у и % — две собственные функции, соответствующие собственному значению X, тогда и = су, где с = г' (0)/у'(0)). Собственную функцию у, соответствующую собств енному значению X, нормируем требованием ^y^pdx = 1 и обозначим у\^ух определена с точностью о до знака). ч
Система функций ух (X пробегает все собственные значения) является ортонормированной с весом р на [0, IL
В самом деле,
(РУхУ + (Хр — р) Ух = 0; ^У + (цр — у) у1Л = 0, откуда, умножая эти равенства на у^ и у^ и вычитая, получим
кРУхУ У» — кРУ^ Ух = (Ц — X) рухур.,(Р кухуу. — yxyVW = (Н — X) рухУн*
о = (н — X) 5 УхУнР dx,
6
откуда j yxyv9 dx — $ при р, =/= X. о
Введем для дальнейшего на совокупности непрерывно дифференцируемых на [0, Z] функций следующие
функционалы?
G (У, z) = $ kpy'z' + qy^ dx,
О
G(y) = G (у, у) = J кру'1 + qy^ dx\ О
H (y, z) = $ yzp dx-,H ку) = H (y, y) = 5 y2p dx.
00
Если / (x) непрерывно дифференцируема на [О, Z] и /(0) = /(/) = 0, то
G (ук, f) = ^Н кУх, /), ибо
G кУх, /) = $ kPy'xf + qyxfY dx =
О
- РУх! Io — $ ккРУхУ — qyx\ fdx-X^ yxfp dx = XH кУх, f). 00
Следовательно, G (y%) = X; G (z/x> У\х) = 0 при X =j= ц.
Если q (ж) > 0 на [О, Z], то все собственные значения положительны, ибо тогда
гi
X = G (ух) = ^ (ру'х + qyx) dx > ^ qy\ dx > 0.
Оо
Формулируем без доказательства следующее предложение (которое можно доказать, пользуясь аппаратом вариационного исчисления).
Совокупность всех собственных значений образует возрастающую последовательность Хп Х2, ..., Хп, ..., имеющую пределом + оо. Функционал G (у), рассмотренный на классе дважды непрерывно дифференцируемых на [0, Z] функций, удовлетворяющих требованию у (0) = i/ (Z) = 0 и условиям Н (у) = 1, J y\jyp dx = 0 при ] <^ п, достигает о
минимума при у = ухп (и — любое фиксированное натуральное число).
Следовательно, для упомянутых у имеем G (у) > Хп.
Опираясь на это, покажем, что система функций у-кИ Уъ, Ухп, ... замкнута на [О, И.
Пусть / (ж) — дважды непрерывно дифференцируема на [О, I] и удовлетворяет требованиям / (0) = / (Z) = 0. Рассмотрим ряд Фурье этой функции
ООI
/ (Ж) ~ S °пУхп W;а« = $ {УхпР dx = Н U, уьп)
1о
N
и положим fN = f — 2°пУхп, тогда
1 N
6 Un) = <?(/ — 2 апУх„) =
1
IN2N2
$[р (^' - 2<МГхп) + q (f - 2»пУхп) "\dx = 011
NN
= G(f) + ^a^^J - 22^(7, y4) +
11
+ 2 2 aiakG^, yxk) =i<k
NNN
- G U) + 2 U - 2 2 a^KH и, y^j = G U) - 2 Ml
1
Так как Xn~> + oo, то найдется такое N0) что %n > 0 при n > N^. Пусть N )> N^ и положим
гn 2
6n = Я Un) = $ (/ — 2 »пУхп) p dx,01
тогда H Un/^n) = 1 (если 6^ =^=0), а так как еще
'Sy^-K2-?^^ T—'\yUNpdx = 0
a * °n °n J * 00
при i ^ N, то G Un/^n) > ^№+i> откуда
Nот- 244Nот- 244Ncm-hxx^2V+1Ncm-hxx^2V+1No^NVLNo^NVL
Nот- 244
Nот- 244
Ncm-hxx
^2V+1
Ncm-hxx
^2V+1
No
^NVL
No
^NVL
Следовательно, 61V-> О при TV-^oo. Этим показано, что всякая дважды непрерывно дифференцируемая на [О, Z] функция / (я), имеющая нулевые значения на концах этого сегмента, как угодно хорошо аппроксимируется в среднем линейными комбинациями функций ух. Но тогда этим свойством будет обладать и любая непрерывная функция на [О, ZL В самом деле, любая непрерывная на [О, Z] функция / (я) как угодно хорошо аппроксимируется в среднем на [О, Z] функцией <р (ж), определяемой таю
ф (х) =ф (х) =/ (ж) при 26 ^ х ^ I — 26,
ф (х) =
ф (х) =
Опри 0 ^ ж ^ 6 и при Z — 6 ^ ж ^ Z,
линейна на [6, 26] и на [Z — 26, Z — 6],
если только положительное число 6 достаточно мало, но непрерывная на [О, Z] функция, равная нулю вблизи концов этого сегмента, равномерно с любой точностью аппроксимируется дважды непрерывно дифференцируемой функцией на [О, Z], равной нулю на концах этого сегмента. Последнее вытекает из следующего легко проверяемого замечания: если функция ф (я) к раз (Л > 0) непрерывно дифференцируема на (— оо, + оо) и равна нулю вне сегмента [а, Ы, то Ф1(ж) = j ^)(t)dt при достаточно малом 6
х—8
будет к + 1 раз непрерывно дифференцируемой функцией на (— оо, + оо), равной нулю вне сегмента [а — е, 6 + + е] и удовлетворяющей неравенству | ф! (х) — Ф (я) | <С < е на (—оо, +оо), где е — произвольно заданное положительное число.
Таким образом, система собственных функций i/xn на [.0, Z] замкнута. /
Из замкнутости системы собственных функций у\и следует, что если ряд Фурье по этим функциям равномер? но сходится на [0, Z], то он сходится к порождающей его непрерывной функции.
Можно доказать, что если непрерывная функция / (я) кусочно гладкая на [О, П, то ряд Фурье этой функции по собственным функциям ухп сходится к / (^) при 0 < я <4.
§ 15. О решении методом Фурье некоторых задачдля линейных уравненийс частными производными второго порядка
д2м д^и
Уравнение колебаний струны -т^г = а2 -^, уравнение тепло- ди d2uд^и д^и
проводности —^ = a2 ^, телеграфное уравнение -^- = а2 “^2“+ -|-&2ы и многие другие являются частными случаями уравнений вида *) д2ы д^иЭиди
Л(^^ + сот^ + Щя)^ + Я(0^4Н^^ + ^^и^.
(1.61) Будем предполагать, Л, Р, Ft непрерывными на сегменте [0, fl; 6r, Е, Ей непрерывными на интервале /, где I есть либо вся числовая прямая, либо полупрямая z ^ Zo или Z < Zo, либо сегмент (будем предполагать, что 0 принадлежит /). Пусть Д — совокупность точек (ж, Z), где 0 < ж ^ Z, t принадлежит I.
Будем сперва искать на Д ненулевые решения уравнения (1.61), допускающие непрерывные частные производные первого и второго порядков ио х и по t, имеющие специальный вид X (х) Т (I) (тогда к будет дважды непрерывно дифференцируемой функцией на [О, fl, Т будет дважды непрерывно дифференцируемой функцией на/) в удовлетворяющие краевым условиям:
и (О, Z) = и (Z, Z) = О для всех /на I(1.61')
(тогда X (0) = X (Z) - 0).
Если и = X Т есть такое решение, то будем иметь
А {х)Х”Т+ С (Z) XT" + D (х)Х'Т+ Е ^ХТ' +
+ 1^ (ж) + f2 7)) хт = о, или
1 [Л (^Х" + D MX' + F^ (^Х]/1 + [С АТ" + Е ^Г + +F2(Z)/]X-0,
‘ откуда (для тех ж, где X ^= 0, и тех t, где Г #= 0)
| А (х) Х"-УР^ Xf + Fi (х)Х C(t)T" + E(Z) Tf + F^ (Z) T I *у— ,p A,
и, следовательно,
А (ж)Х" + D (ж)Х' + Fx (х)Х = XX,
С ^Г + Е ^Tf + F2 (ОТ = —XT,
где X — некоторая постоянная (эти соотношения справедливы для всех х из [О, Z] и всех t из I, учитывая, что X ф О, Т ф 0) или
А (я)Х" + D (х)Х' + [Л (ж) — Х]Х = 0,(1.62)
С (0Г + Е (фГ + [F3 (0 + МТ = 0.(1.63)
Обратно, если при некотором X дважды непрерывно дифференцируемая на [0, Z] функция X удовлетворяет (1.62) и условиям X (0) = X (Z) = 0 и дважды непрерывно дифференцируемая на I функция Т удовлетворяет (1.63), то и ~ XT будет искомого вида решением уравнения (1.61).
Замечание. Если А (ж) — 0, то X естественно предполагать лишь непрерывно дифференцируемым; если С (t) = 0, то Т естественно предполагать лишь непрерывно дифференцируемым; в этих случаях требования к и ослабляются.
Предположим теперь, что А (я) отрицательна и непрерывно
X
С D~A'
3 А ^^ дифференцируема на [0, Z). Беря р=е°, получим pD =
= (рЛ)'. Умножив (1.62) на — р и положив —рЛ = р, pFx = q, мы приведем уравнение (1.62) к виду
рХ" + р’Х’ + (Хр — q)X = 0 или
(pX'Y + (Хр — q^X = 0.(1.620.
Очевидно р (ж) — непрерывно дифференцируемая положительная функция на [0, Z]. Собственные значения задачи Штурма — Лиувилля для уравнения (1.62) образуют (как отмечалось в § 14) возрастающую последовательность М> М> •••> Хп, ..., причем Хп -» + оо. Пусть Х1? Х2, ..., Хп, ... будут соответствующие нормированные собственные функции.
Общий вид решений с разделенными переменными уравнения (1.61),- удовлетворяющих краевым условиям (1.6Г), на основании изложенного есть
Хп to Г ф,
где п — любое натуральное число и Т (Z) — любая дважды непрерывно дифференцируемая на I функция, удовлетворяющая уравнению
С ^Т” + Е (0Г + [Г2 (г) + ХП]Г - 0,. (1.63')
При проведении дальнейших рассмотрений выделим два случая: I) С (0 ф 0 на Г, II) С W ^ 0 на I, Е (t) ф 0 на I.
Пусть С (t) ¥= О на I, Г* и Т** — частные решения уравнения (1.63'), удовлетворяющие условиям
Т*п (0) = 1, Т* (0) = 0; Т~ (0) = 0, т“' (0) = 1.
Рассмотрим на Д функции вида
и (*, о - 2 х„ (х) их (о+в^т*; (0],(1.64)
где коэффициенты Ан и Вп таковы, что ряд (1.64) и ряды, полученные из (1.64) однократным и двукратным дифференцированием как tio х, так и по 1, сходятся равномерно при 0 < х < I и при t на J, где J — любой сегмент, лежащий на I. Пусть ЭС — класс таких функций и ^х, t). Их представимость в виде (1.64) единственна, ибо полагая < = 0 в разложениях и и щ, найдем, то
I3
Ап=^и (х, 0)ХЛ (ж) р (х) dx; Bn = ^ut^x, 0) Хп(х) р (ж) dx. (1.64') оо
Функции из класса ^С, очевидно, удовлетворяют уравнению (1.61) и краевым условиям (1.6Г).
Зададим теперь на [0, Z] непрерывные функции ф и ф, удовлетворяющие условиям ф (0) = ф (Z) = ф (0) = ф (Z) = 0, и будем искать и'хх, Z) из класса ^, удовлетворяющие начальным условиям
и (х, 0) = ф (х); ut (х, 0) = ф (х) при 0 < х < Z. (1.61^
Существование такой и вообще не гарантируется, но единственность (в классе St) гарантируется, ибо если и (х, t) оказалось искомым решением, то
iI
яп = ^ ф (х) хп (х) р (х) dx; вп = J ф (х) Хп (х) р (х) dx. (1.65) оо
Для существования искомой и достаточно, чтобы А^ Вп, определяемые формулами (1.65), удовлетворяли требованиям, цри которых по формуле (1.64) получаются функции класса ^С. В самом деле, тогда должно иметь место (1.64'), сравнение чего с (1.65) показывает, что выполняются равенства (1.61"), так как система функций Хп замкнутая. (Напомним, что в случае замкнутой ортогональной системы из равенства соответствующих коэффициентов Фурье двух непрерывных функций следует равенство самих функций).
Более наглядная информация о классе ^Г и, следовательно, о тех ф (х) иф (х), при которых поставленная для уравнения (1.61) задача разрешима, может быть получена при наличии оценок для Хп, Т^ Т^ и их производных. На выводе этих оценок мы не останавливаемся.
Примечание 1. Если уравнение (1.61) имеет вид (к которому, в частности, относится уравнение колебаний струны, рассмотренное в § 7)
д^ид-иди
"аТГ + Л (®) "^F +-° (®) "дТ" + ^ (®) “ = 0,(1.66)
где А (х) < О, F (х) ^ 0 и А (я) имеет непрерывную производную^ на JO, Z], то все Хп положительны и ряд (1.64) (при замене В^ ^Хп на Вп) принимает вид
2 хп (*) (Л„ cos 3<у + 5П sin /V). П=1
Пусть С (t) = 0 и Е (Z) 4= 0 на I. Уравнение (1.63) принимает в этом случае вид
Е (ОГ + VF2 ^ + WT = О, и пусть Тп (Z) — частное решение его, удовлетворяющее условию Тп (0) = 1. Рассмотрим на Д функции вида
Щх,^ = 2 АиХи^Тп^,Щх,^ = 2 АиХи^Тп^,(1.67)(1.67)
Щх,^ = 2 АиХи^Тп^,
Щх,^ = 2 АиХи^Тп^,
(1.67)
(1.67)
где числа А п и Вп таковы, что: 1) ряд (1.67) равномерно сходится при 0 < х < I и при t на J, где J — любой сегмент, лежащий на /; 2) ряды, полученные из (1.67) однократным и двукратным дифференцированием по х и однократным дифференцированием по Z, равномерно сходятся на всяком замкнутом прямоугольнике (со сторонами, параллельными координатным осям), лежащем в н у т р и А. Пусть SB — класс таких функций и (х, 0. Их представимость в виде (1.67) единственна, ибо, полагая t = 0 в разложении и (я, Z), найдем, что*
Лп = ^ и (х, 0) хп (х) р (я) dx. (1.67') О
Функции из класса ^, очевидно, непрерывны на А, удовлетворяют уравнению (1.61) внутри А и краевым условиям (1.6Г).
Зададим теперь на [0, Z] непрерывную функцию ф (ж), удовлетворяющую условию Ф (0) = ф (Z) = 0, и будем искать и (х, t) из класса SB, удовлетворяющую начальному условию
(1.6Г")(1.6Г")и (ж, 0) = ф (ж) на [0, Z].
(1.6Г")
(1.6Г")
Существование такой и вообще не гарантируется, но единственность (в классе SB'') гарантируется, ибо если и оказалось искомым решением, то
/
Аи = ^ ф (я) Хп (х) р (х) dx.(1.68)
о
Для существования искомой и достаточно, чтобы Лп, определяемые формулой (1.68), удовлетворяли требованиям, при которых по формуле (1.67) получаются функции класса S3. В самом деле, тогда должны выполняться равенства (1.67'), сравнение чего с (1.68) показывает, что должно выполняться равенство (1.61й"), так как система функций Хп замкнута.
Примечание 2. Если уравнение (1.61) имеет вид (к которому, в частности, относится уравнение теплопроводности, рассмотренное в § 8)
дид^иди _ х _
-5t--VA^-g^--VD^-^--\-F^u = 0,
трр А (х) < О, F (я) > О,-Л (ж) имеет непрерывную производную на [О, Ц, то все Хп положительны и ряд (1.67) принимает вид
n=i
ГЛАВА II
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Основные сведения из векторной алгебры
Вектором называется направленный отрезок прямой. Два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую длину, параллельны и одинаково направлены.
В печати векторы часто обозначают полужирными буквами. Например, буква а обозначает вектор в отличие от скаляра (числа) ).
Длину вектора а будем обозначать |а|.
Угол между векторами а и Ъ обозначим (а, 6). Угол между векторами берется в границах от 0 до л. Угол между а и 6 теряет определенность, если хотя бы один из векторов нулевой.
Проекцию вектора а на ненулевой вектор Ъ обозначим аъ. Имеем
аъ = | a |cos (а?^).
Суммой векторов а и Ъ называется вектор — диагональ параллелограмма, построенного на векторах а и 6, и обозначается а + Ъ. Сложение векторов подчиняется перестановочному закону а + Ъ = Ъ + а и сочетательному закону (а + 6) + с = а + (6 + с). Из этих законов следует, что при сложении векторов допустимы изменение порядка слагаемых и любая группировка слагаемых. Вычитание векторов есть действие, обратное сложению.
Произведение вектора а на скаляр X, обозначаемое аХ или Ха, определяется как вектор, параллельный а, одина- ’
ково или противоположно направленный, смотря по тому, будет ли X > О или <0, имеющий длину | аХ | = | а | | X |. Произведение вектора на скаляр подчиняется сочетательному закону аХ-р, = а -Хр (а — вектор, X и р — скаляры) и двум распределительным законам; (а + 6) X = аХ + + 6Х; а (Х+ р) = аХ + ар (а, б — векторы; X, р — скаляры).
Скалярное произведение двух векторов а и Ь есть скаляр, обозначаемый ab и определяемый формулой
ab = | а | | б | cos (а, 6).
Очевидно, аЪ = аъ | б |. Скалярное произведение векторов подчиняется перестановочному закону ab = Ьа и распределительному закону (а + Ь) с = ас + Ьс.
Векторное произведение двух векторов а и б есть вектор, обозначаемый [аб], имеющий длину, равную площади параллелограмма, построенного на а и 6, ортогональный плоскости этого параллелограмма и направленный так, что видимый из конца вектора lab] переход от а к 6 происходит в положительном направлении (в случае правой ориентировки). Векторное произведение двух векторов подчинено антикоммутативному закону lab] = — [ба] и распределительному закону 1(а + Ь) с] = lac] + [бе].
Произведение трех векторов а, 6 и с, обозначаемое (abc), есть скаляр, равный ±V, где V — объем параллелепипеда, построенного на векторах а, 6 и с, причем знак ± берется в зависимости от положительной или отрицательной ориентировки системы рассматриваемых векторов. При круговой перестановке множителей оно не меняется: (abc) = (Ьса); при перестановке двух множителей меняется знак: (abc) = — (бас). Произведение трех векторов равно смешанному векторно-скалярному произведению (абс) = = [аб] с = а [бс].
Рассмотрим прямоугольную систему координат в пространстве (правую). Пусть #, j, к — единичные векторы (орты), направленные по осям Ox, Оу, Oz. Пусть а — какой-нибудь вектор. Проекции его на Ох, Оу, 0^ (или, что то же, на г, j, к) называются его координатами. Координаты а обозначим ах, ау, а2. Два вектора равны тогда и только тогда, когда их координаты соответственно равны. Поэтому для доказательства равенства двух векторов до-
статочно установить равенство соответствующих координат.
Всякий вектор а может быть разложен по ортам: а = iax + jay + каг.
При сложении векторов координаты их складываются (при вычитании вычитаются), при умножении вектора на скаляр координаты умножаются на этот скаляр.
Выражение скалярного произведения векторов а и 6 через их координаты имеет вид
аЪ = axbx + ayby + azbz,(2.1)
что непосредственно получается, если а и 6 разложить по ортам, выполнить умножение полученных сумм и принять во внимание, что i2 = J2 = к? = 1, ij = jk = кг = 0.
Выражение векторного произведения векторов а и Ъ через их координаты имеет вид
[а&] = г[а&] = гау az by bzау az by bz^z ^x bz Ьх^z ^x bz Ьхax ay ^X byax ay ^X by(2.2)(2.2)
[а&] = г
[а&] = г
ау az by bz
ау az by bz
^z ^x bz Ьх
^z ^x bz Ьх
ax ay ^X by
ax ay ^X by
(2.2)
(2.2)
что непосредственно получается, если а и Ъ разложить по ортам, выполнить умножение полученных сумм и принять во внимание, что [ii] = \jjA = YkkA = 0 (нулевой вектор); VijA = *; VjkA = z; Yki\ = j\ [Jz] = — k\ {kj] = — z; YikA = —j.
Выражение произведения трех векторов а, Ь. с через координаты на основании сказанного имеет вид
аЪс = [able = [a&L^ + [^ly^i/ + Y«blzcz =аЪс = [able = [a&L^ + [^ly^i/ + Y«blzcz =#y az by bz#y az by bzcx +cx +^Z ^X^X ^Уbz bx Cy+ bx by Cz^Z ^X^X ^Уbz bx Cy+ bx by Cz^x b, cx^x b, cxay by Cyay by Cyа г bz ^zа г bz ^z(2.3)(2.3)
аЪс = [able = [a&L^ + [^ly^i/ + Y«blzcz =
аЪс = [able = [a&L^ + [^ly^i/ + Y«blzcz =
#y az by bz
#y az by bz
cx +
cx +
^Z ^X^X ^У
bz bx Cy+ bx by Cz
^Z ^X^X ^У
bz bx Cy+ bx by Cz
^x b, cx
^x b, cx
ay by Cy
ay by Cy
а г bz ^z
а г bz ^z
(2.3)
(2.3)
Векторные функции скалярного переменного
Пусть а (^) — вектор, зависящий от скалярного переменного t. Производная векторной функции а (^) определяется как вектор
« (0 = hm—дг2
jim а (t + Д<) — «■ (0 дг-н) Д(
если этот векторный предел существует (предел переменного вектора есть такой вектор, что длина разности между ним и переменным вектором стремится к нулю). Если вектор-функция а ^ имеет производную (дифференцируема), то она подавно непрерывна в рассматриваемой точке, т. е. а (^ + Д0 — а (t) стремится к нулевому вектору при Д/ -> ->0.
Правила дифференцирования векторных функций выводятся как правила дифференцирования скалярных функций в дифференциальном исчислении, Если а^, b (t) — дифференцируемые векторные функции, ф (0 —- дифференцируемая скалярная функция, то
(а (0 + Ъ (0)' = a* (fy + 6'(Z);
(2.4)
(а (?) ф (<))' = а' ^ ф (0 + а (Оф' (0;
(2.5)
(а (0 & (0)' = а* (0 Ъ^ А- а (0 &' (0;
' (2.6)
[а (0 6 (0К = [а' (0 6 (0] + [а (0 6' (0],
(2.7)
причем в левых частях (2.4), (2.5), (2.7) фигурируют производные векторных функций; в левой части (2.6) — производная скалярной функции; в правых частях (2.4), (2.5), (2.7) знак + обозначает сложение векторов; в правой части (2.6) знак + обозначает сложение скаляров.
Если а0 — постоянный вектор, ф0 — постоянный скаляр, то получаем ряд формул «вынесения постоянного множителя за знак производной» в произведениях трех типов (вектор на скаляр, скалярное произведение векторов, векторное произведение векторов):
(а (0 ф0)' = a* (tj ф0;
(2.5')
(аоф (0)' = аоф' (0;
(2.5")
(а0Ь (0)' = а0Ъ* $;
(2.6')
[а06 (0Р = 1»о6' (01-
(2.7')
Эти формулы получаются из (2.5), (2.6), (2.7), если учесть, что производная векторной постоянной есть нулевой вектор.
Производные высших порядков от вектор-функций определяются как результат последовательного дифференцирования.
Рассмотрим систему прямоугольных координат в пространстве. Каждой^ точке М (х, у, z) отнесем вектор
т = гх + jy + &я с такими же координатами. Такое соответствие между точками и векторами будет взаимно однозначным. Таким образом, каждой точке соответствует вектор, каждому вектору соответствует точка.
Векторное параметрическое уравнение г = г (Z) [г (£) — векторная функция одного скалярного переменного] после перевода на координатный язык дает три координатных параметрических уравнения
х = х kt\ У ~ У (О, 2 = 2 (/)
и изображает некоторую кривую в пространстве. Производная rf (t) будет касательным вектором к этой кривой.
Векторное параметрическое уравнение' г = г (и, р) [г (zz, к) — векторная функция двух скалярных переменных] после перевода на координатный язык дает три координатных параметрических уравнения
х = х (zz, р), у = у (zz, р), z = 2 (zz, р)
и изображает некоторую поверхность в пространстве.
Сопровождающий трехгранникпространственной кривой
Рассмотрим пространственную кривую, заданную векторным параметрическим уравнением г = г (s),
где за параметр взята длина дуги $, отсчитываемая от некоторой точки кривой (фигурирующая в этом уравнении вектор-функция предполагается трижды непрерывно дифференцируемой).
Касательный вектор т = у' (s) при таком выборе параметра будет единичным для всех точек кривой (ибо отно
шение хорды к дуге при стягивании последней в точку стремится к единице). Дифференцируя равенство г'2 ~ 1, получим г* г" = 0, следовательно, вектор г" ортогонален т.
Единичный вектор v =Единичный вектор v =(если г" — ненулевой(если г" — ненулевой
Единичный вектор v =
Единичный вектор v =
(если г" — ненулевой
(если г" — ненулевой
вектор) определяет направление главной нормали кривой (в рассматриваемой точке); единичный вектор р = [tv]
определяет направление бинормали кривой (в рассматриваемой точке). Три попарно ортогональных единичных
вектора т, V, 0 образуют сопровождающий трехгранник кривой (в рассматриваемой точке). Плоскости, проходящие через рассматриваемую точку кривой и перпендикулярные к т, v, 0, называются соответственно нормальной, спрямляющей и соприкасающейся плоскостями кривой (в рассматриваемой точке).
Заметим, что если^, е2, е3 — три попарно ортогональных единичных вектора и вектор а разложен по ним: а = с1е1 + с^ + с3е3(сг — скаляры), то, умножая это равенство скалярно на е^ получим ае^, = с^ (г = 1, 2, 3).
Разложим теперь производные векторов, образующих сопровождающий трехгранник, по векторам, его образующим;
т' = сит + c12v + с130;
V' = С21т + C22V + С2зР?
0' = с31Т + C32V + Сззр.
Дифференцирование равенств т2 = 1; v2 = 1; Р2 = 1 показывает, что сн = 0 (i — 1, 2, 3); дифференцирование равенств tv = 0; vf = 0; 0т = 0 показывает, что с^- + + сц = 0 (г, / = 1, 2, 3); наконец, из определения v видно, что с13 = 0; с12 > 0; следовательно, если обозначить с12 = к, с23 ^ х, то написанные выше разложения примут
вид
(2.8)(2.8)т' = Av,
(2.8)
(2.8)
v' = — Ат + хр, 0' =—- XV.
Формулы (2.8) называются формулами Серре — Френе* величины А и х называются соответственно кривизной и кручением пространственной кривой (в рассматриваемой точке). Обратные величины 1 /к и 1 /х называются соответственно радиусом кривизны и радиусом кручения кривой (в рассматриваемой точке).
С помощью (2.8) находим:
т* = т;
г" = т' = kv;
rm = kS + Av' = A'v + k (— kx + xP) =
= — A2r + k'x + Axp;
^y»y"^ — [yV'l rw = Ap (— A2t + A'v + AxP) = к2к;
следовательно, для кривизны и кручения пространственной кривой получаем формулы
Пусть теперь пространственная кривая задана векторным параметрическим уравнением
г = г (О
при любом выборе параметра t (фигурирующая в этом уравнении вектор-функция предполагается трижды непрерывно дифференцируемой). Пользуясь для обозначения производных по t точками и сохраняя для обозначения дифференцирования по s штрихи, будем иметь (учитывая правила замены переменных при дифференцировании, формулы Серре — Френе и свойства определителей) $
г = r's = st; г2 = s2;
г = r"s2 + r's = ks^ + st;
[rr] = fcs3P; [yr]2 == KV;
r = rws^ 4- 3r"ss + r’s;
(rrr) = ^r”rw) s6 = k^KS6;
отсюда вытекают формулы для кривизны и кручения пространственной кривой при любом выборе параметра (в точках, где г—ненулевой вектор):
^2 1^Р ^2^2 — (^ ^‘)2 (у у у) (у у у)
(£«2)3^2^3*[УУ]2 yly^ — ^у у^
(2.9') \
Скалярное поле. Градиент скалярного поля
Если каждой точке М некоторой области пространства отнесен скаляр ф (М), то образуется скалярное поле. Если задать систему прямоугольных координат (например, правую) , то каждая точка М будет иметь некоторые координаты х, у, z и функция точки ф (М) станет функцией трех переменных ф ^х, у, z).
Определение. Пусть п — какое-нибудь «направление» (п обозначает единичный вектор). Производной по направлению п в точке Мот скалярной функции ф называется предел (если он существует) отношения приращения ф при смещении точки М по направлению и к величине смещения точки М, когда последнее стремится к нулю. Производная по направлению п обозначается д^дп. Таким образом, по определению
дф _ Ит Ф^О-ФСМ)1т
где Мj лежит на луче, выходящем из М по направлению п.
После введения координат ф (М) становится функцией трех переменных ф (ж, у, г). Предположим, что эта функция дифференцируема в рассматриваемой точке, тогда
Ф (ж + Дж, у + Ду, и + Дг) —• ф (ж, у, г) =
= -g- ДЖ + 5- Ду + ^ Дг + 6 V№ + Ду2 + MS (2.10') и*иу
где 6 -> 0 при стремлении Дж, Ду, Дз к нулю. Если смещение точки происходит на расстояние р по направлению и, образующему с координатными осями углы а, р, у, то Дж = = р cos а, Ду = р cos р, Дг = р cos у, и правая часть (2.10') принимает вид
(4гcos а+■§■cos ^+4гcos т+6)р-у и*иу{
Деление на р и переход к пределу при р -> 0 приводит к формуле
^- = ^- cos а + -g- cos р + ^- cos Т. (2.10")
Определение. Градиентом скалярной функции ф в точке М называется вектор
^-l^^J^A-k^.(2.11)
Возьмем какое-нибудь направление п (п — единичный вектор); пусть а, р, у — его углы с координатными осями; тогда n = i cos а + ^ cos р + fc cos у. На основании фор-
мулы (2.1), выражающей скалярное произведение векторов через координаты, имеем:
grad фп = -~- cos а + cos В + cos г.
° т ЭхОу r Oz 1
Следовательно, учитывая (2.10"), получим!
^- = grad <pn = (grad Ф>„,(2.12)
т. е. производная по какому-нибудь направлению п равна проекции градиента на это направление. Отсюда получаем следующую инвариантную характеристику градиента! направление градиента характеризуется тем, что производная по этому направлению будет наибольшей (среди производных от ф в данной точке по всевозможным направлениям); длина градиента есть наибольшая из производных по направлениям в данной точке» Имеем
i^i=/(!MW+(W-ma^- ,213>
Поверхности уровня скалярного поля. Геометрическое место точек, в которых ф (М) имеет постоянное значение, называется поверхностью уровня. После задания системы координат уравнение поверхности уровня принимает ви^
Ф (я, У, z) = С.
Уравнения нормали к этой поверхности в точке xt yf a будут;
Л —х _ Y — y Z — zдфдфдф *
OxOyOz
Отсюда видно, что направление нормали совпадает с направлением градиента в рассматриваемой точке.
Формальные свойства градиента. Пусть ф и ф — два скалярных поля, имеющих градиенты; / — дифференцируемая скалярная функция одной или нескольких скалярных переменных (с надлежащей областью определения). Тогда
grad (ф + ф) = grad ф + grad ф,(2.14)
grad (фф) = ф grad ф + ф grad ф(2.15)
и
grad / (ф) = f (ф) grad ф,(2.16)
grad / (ф, ф) = ^- grad Ф + jp grad ф, (2.17) причем в правых частях (2.14), (2.15), (2.17) знак + обозначает сложение векторов и встречающиеся в правых частях (2.15), (2.16), (2.17) произведения суть произведения вектора на скаляр. В самом деле,
grad(ф + Ф) = <+.. .=
= (* S'+ • •+ + = grad Ф + grad
grad(фф) = »-^^-+ =i(S,|’+(pS')+-,,=
VwVwVw !
=t(tS-+',-)+v(/'S+,‘0=^8radv+v8radi*’;
grad/^) = 1-^- + ...=//' (Ф) ^ + ...=
= f M^S" + " •) = H<P)grad Ф;
grad/(v,^M + ...=^ + ^^
= дц4оч, \, sf_/ d^_\
dtp \ dsdip \ dx ’ * 7
= ^8га(1ф + ^81^ф.
Многоточия всюду обозначают, что следует вписать второе и третье слагаемые, аналогичные первому, получающиеся из него в результате замены г на j и к, а х на у и z.
Криволинейные интегралы
Дугу кривой называют гладкой, если функции, фигурирующие в ее параметрических уравнениях, непрерывно дифференцируемы. Дугу называют кусочно-гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких дуг.
Пусть Р (х, у, z) — непрерывная функция на кусочногладкой дуге АВ (рис. 3). Разобьем дугу АВ на части с помощью точек деления М^ ^х^ уг, z^. На каждой части МгМм возьмем какую-нибудь точку Nt (&, ц^, ^); значение рассматриваемой функции в этой точке умножим на
Дх» = xi+1 — Xj и составим сумму таких произведений
2р(|ь щ, ^)д^.
Если наибольшая из длин частей дуги АВ стремится
к нулю, то эта сумма стремится к определенному пределу, который называется криволинейным интегралом от Р (х, у, z) вдоль дуги А В по переменному х и обозначается знаком f Р (х, у, z) dx.
АВ
Совершенно аналогично определяются криволинейные интегралы по переменным у
5 Р Vх, У, г)^ = ИтЗ Р (li, Пг, £г) Д^Ь (2.18) АВг
(2.19)(2.19)(2.20)(2.20)$ Q (ж, у, Z) dy = Кт S <? &, Л1, W Ду»; АВi
(2.19)
(2.19)
(2.20)
(2.20)
J R (х, у, z) dz = Кт 2 Я (U П» Ci) ^, АВг
где Р, Q,где Р, Q,В — непрерывные функции на дуге АВ.
где Р, Q,
где Р, Q,
' Далее вводим понятие комбинированного
^ криволинейного интеграла
^ Р dx + Q dy + В dz = ( Р dx +
АВАВ;
+ J Qdy+ J /?dz.(2.21) АВАВ
Из определения криволинейного интеграла непосредственно следует, что при перемене направления дуги интеграл лишь меняет свой знак
(2.22)
Далее, если дугу разбить на части, то интеграл вдоль всей
дуги равен сумме интегралов вдоль ее частей, например (рис. 4),
S •<2123)
АВС АВ ВС
Отсюда следует, что интеграл вдоль замкнутой кривой не
зависит зависит кривой.зависит зависит кривой.откуда (так ковы)откуда (так ковы)АтВпА АтВ ВпААтВпА АтВ ВпАВпАтВ ВпА Ат ВВпАтВ ВпА Ат Вот выбора начальной точки, а лишь от направления обхода В самом деле (рис. 5),
зависит зависит кривой.
зависит зависит кривой.
откуда (так ковы)
откуда (так ковы)
АтВпА АтВ ВпА
АтВпА АтВ ВпА
ВпАтВ ВпА Ат В
ВпАтВ ВпА Ат В
как правые части этих равенств одина-
АтВпА ВпАтВ
Из определения криволинейного интеграла сразу следует, что постоянные множители выносятся за знак интеграла, интеграл суммы равен сумме интегралов. Из (2.18) видно, что Pdx — 0, если дуга АВ расположена в пло- АВ
скостил = const. Аналогично из (2.19) и (2.20) следует, что ( Qdy = 0, когда А В расположена в плоскости у = const, АВ
и \ R dz = 0, когда АВ расположена в плоскости z =
АВ = const.
Преобразование криволинейного интеграла в простой интеграл. Пусть даны параметрические уравнения дуги АВ;
х = х (0, 1
у ™ у (0, Пост z — z j
(мы предполагаем, что все три функции непрерывно дифференцируемы).
По теореме Лагранжа (рис. 6)'
А^ ^t^ = X ^нО ® (^г) ^ ^ (^i) (^i+1 — ^г) = ^ k^^^U где т^ лежит между t^ и t^.
Рис. 6.
Пусть М (xi, у^ Zj) — точка кривой, соответствующая значению параметра ^, Nt fa, т^, ^) — точка кривой, соответствующая значению параметра т^; тогда
S Р (U Лй Ci) А^ = 2 Р ^ (Ti), У (Ti)> 2 (Ti)] X* ^ мъ гг
откуда в пределе при стремлении к нулю наибольшей из разностей А^.
т
( Р (х, y,z)dx = ^ р [Я (О, У (0» 2 (ОЬ ^' W ^ =
АВt0
Т
-= § Р [ж (о, у (0, г (01«^ (0-
Заметим, что эти выкладки не только дают выражение криволинейного интеграла через простой, но и доказывают существование криволинейного интеграла [в случае непрерывно дифференцируемых х (0, у (г), 2 U)L если считать существование простого интеграла от непрерывной функции известным.
Аналогичные формулы имеют место для J Q dy, ^ R dz.
■АВАВ
Мы видим, что для преобразования криволинейного интеграла в простой интеграл следует взять параметрические уравнения пути интегрирования, затем всюду под знаком криволинейного интеграла заменить ж, у, z их выражениями через параметр и после этого рассматривать интеграл как простой по параметру, взятый в пределах изменения параметра.
Если, например, имеем дугу
9 = У^’\ хг<х<хм
Z = Z (#),]
то (беря х за параметр) получим:
Р (х, у, z) dx = ^ Р [ж, у (ж), z (х)] dx.
АВXi
Условие независимости криволинейного интеграла от формы пути. Будем говорить, что криволинейный интеграл
^Pdx-VQdy + Rdz (2.24)
не зависит от формы пути в некоторой области (в которой Р, Q, R предполагаются непрерывными), если этот интеграл, вдоль всяких двух кусочно-гладких дуг (лежащих в рассматриваемой области) с общим началом и общим концом, имеет одинаковую величину. В этом случае при обо
значении интеграла достаточно лишь указывать начальную и конечную точку пути (не называя самого пути) и упот- М2xz, y2f z2
реблять запись j или ^ (где выписаны координаты Ml501, V1, Z1
точек Mi и М^).
Если подынтегральное выражение в (2.24) есть полный дифференциал некоторой функции и (х, у, z^ то для какой-нибудь гладкой дуги М^М^ с параметрическими
уравнениями
^1 ^^ ^ ^^ ^2>^1 ^^ ^ ^^ ^2>х = х (О,у = у (0.Z = Z (t),
^1 ^^ ^ ^^ ^2>
^1 ^^ ^ ^^ ^2>
получим (учитывая свойство инвариантности дифференциального обозначения):
\ du (ж, у, z) = \ du \гД1\ y\t), z (01 =
М1м,
= и [ж(0, y(0. z (011 = и (^2, У2. z2) — и(хъ уъ Z^.'
To же будет для кусочно-гладкой дуги МгМ^ и следовательно, криволинейный интеграл не зависит от формы пути.
Обратно, предположим, что криволинейный интеграл (2.24) не зависит от формы пути и положим
X, у» X
и^у^ —^ Pdx + Qdy + Rdz.
Х0, Уо, Zo
Тогда
х-]-Дх, у, х
и(х-\- ^х,у, z) — u{x,y,z) =^ Pdx + Qdy + Rdz.
X, Ht z
Беря в последнем интеграле за путь интегрирования прямолинейный отрезок и преобразуя криволинейный интеграл в простой, получим:
х-^ДхuQc-\- Дж, у, z) — и(х, у, z) = ^ PQ,y,z)dt =X
= Р (х + ОДж, У, z) Ах (0 <^ 0 <£ 1). Так как
^±^У^1^± = Р(ж + 0Дж, у, z^P^x, У, Z)
ди ди п при Дх 0, то, следовательно, существует ^ и — — Р%
.„ди диди
Аналогично найдем, что существуют "^ > *57, причем ^- =* = ^, ^ = R. Отсюда видно, что
du (х, у, z) = Pdx + Qdy + Rdz,
. подынтегральное выражение в (2.24) есть полный дифференциал.
Итак, для независимости криволинейного интеграла от формы пути (в некоторой области) необходимо и достаточно, чтобы подынтегральное выражение было полным дифференциалом некоторой функции (в упомянутой области).
Заметим, что независимость криволинейного интеграла (2.24) от формы пути в некоторой области равносильна равенству нулю этого интеграла вдоль всякого замкнутого пути, лежащего в рассматриваемой области. В самом деле, пусть имеем независимость от
формы пути и АтВпА — какой-нибудь замкнутый путь; тогда (рис. 7)
$ = $ + S = $ ~ S =0-
АтВпА АтВ ВпА АтВ АпВ
Обратно, пусть имеем равенство нулю интегралов вдоль замкнутых путей, и пусть АтВ и АпВ — два пути с общим
Рис. 7.Рис. 8.Рис. 7.Рис. 8.
Рис. 7.Рис. 8.
Рис. 7.Рис. 8.
началом и общим концом; тогда (рис. 8)
Условия, при которых выражение Рйх + Qdy + Кй^ есть полный дифференциал. Если это выражение (предполагается, что Р, Q, И имеют непрерывные частные производные первого порядка) есть полный дифференциал некоторой функции и (я, у, z) (в рассматриваемой области), то
следовательно, д^и _ дР дх дуду’дЧdQдудхдх'следовательно, д^и _ дР дх дуду’дЧdQдудхдх'ди р ди ди ~ "ду ~
следовательно, д^и _ дР дх дуду’
дЧdQ
дудхдх'
следовательно, д^и _ дР дх дуду’
дЧdQ
дудхдх'
д^и _ dQ д^и _ dRду dzdz ’dz дхдх 1
д^и _ dR . д^и _ дРdzdyду *dxdzdz ’
откуда, учитывая независимость частных производных от последовательности дифференцирования, получаем?
дР dQ 1 ду “” дх *
(2.25)(2.25)9QдК .
(2.25)
(2.25)
dz <dy ’
dR дРдх dz \
Обратно, предположим, что равенства (2.25) выполнены (в рассматриваемой области). Пусть М^ (xQ, у0, z0) — фиксированная точка (рис. 9), М ^х, у, z) — переменная точка, MqKLM—трехзвенная ломаная, стороны которой последовательно параллельны осям Ох, Оу, Oz.
Положим
и (х, у, z) = Р dx + MoKLM
+ Q dy + H dz.
Применяя правило преоб
разования криволинейного интеграла в простой, находим:
и ^х, у, z) =
хуz
= ^Р^ у0, z0)dt + j ^(ж, t, z0)dt + ^ R(x, у, t)dt, х0Уоzo
откуда с помощью правила дифференцирования интеграла с переменным верхним пределом и правила дифференцирования под знаком интеграла с учетом (2.25) получаем!
иДх, у, z) =
У
= Р (ж, у^ z0) + ^ Qx (ж, t, z0) dt + J Hx (x, у, t) dt =
У»’ z0
Уz
= P (x, y0, z0) + J -Pv (^, t, z0) dt + p\ {x^ y, t) dt = VoZo
— P (ж, Уо» zo) ~b P (#» if zo) |<=v. И- P С31» Ui 0 |f=z« —
= P (ж, y0) Zo) + [P (Ж; y, Z0) — P (x, y6, Z0)] +
+ [P (», y, z) — P (ж, у, z0)] = P (x, y, z)|
г
«V &, y,z) = Q (ж, у, z0) + ^V (Ж, у, t^dt =■
20
z
= Q (%, У, z0) 4- $ <?z (ж, у, t)dt = Q (x, y, z0) 4- Q (x, y, t) |Йа=
= Q {x, y, z0)+[Q (x, y,z^ — Q (ж, у, z0)] = Q (ж, у, z); йг (x, y,z^ = R (ж, у, z)
и, следовательно,
du (ж, у, z) = Pdx + Qdy + Rdz.
Итак, для того чтобы выражение Pdx + Qdy + Rdz было полным дифференциалом (врассматриваемой области), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства
dP_=dQ_%дН _ дР
ду дх ’ dz ду ’ Эх dz
(в рассматриваемой области)..
В доказательстве теоремы о том, что если выполнены условия (2.25), то выражение Pdx + Qdy + Rdz есть полный дифференциал некоторой функции, молчаливо предполагалось, что в рассматриваемой области найдется такая точка М01 что для любой точки М рассматриваемой области трехзвенная ломаная M^KLM лежит в этой же области. С помощью дополнительных рассуждений можно показать, что теорема останется верной для всякой области, в которой любые два пути с общим началом и общим концом могут быть непрерывно деформированы один в другой, не выходя из области.
Векторное поле
Если каждой точке М некоторой области пространства отнесен вектор а (М), то образуется векторное поле.
Если задать систему координат (например, правую), то каждая точка М будет иметь некоторые координаты х, у, zh вектор-функция точки М становится вектор-функцией трех переменных а (ж, z/, z).
Криволинейный интеграл от вектор-функции. Пусть а (М) — непрерывная вектор-функция на кусочно-гладкой дуге АВ (рис. 10). Разобьем дугу АВ на части с помощью точек деления Af^ на каждой части возьмем какую- нибудь точку N^ значение рассматриваемой вектор-функ- ции в этой точке скалярно умножим на вектор М^М^х
li, ^ — координатыli, ^ — координаты
li, ^ — координаты
li, ^ — координаты
и составим сумму этих скалярных произведений
^aU^MiMuv
Если наибольшая из длин частей к нулю, то эта сумма стремится к определенному пределу, который называется криволинейным интегралом от а (М) вдоль дуги АВ и обозначается знаком $ а^М) dr (здесь dr АВ есть «ориентированный элемент дуги»).
Криволинейный интеграл от век- тор-функции легко выражается через обыкновенный криволинейный интеграл.
Зададим систему координат. Пусть г г — радиус-вектор и ^, у 4, Zi — координаты точки М^ It, 1 точки N^ тогда
2 ^ (^г) ^гМг*1 = 2 ^ (^> 4i» Si) ^^г = гi.
— 2 ^^ (Si? Лг> Si) ^*4 4” ^у (Si> Чг> Si) ^У1 4" ^z (Si> Лг> Si) A^ib г
откуда в пределе получаем:
\ a^M^dr =
АВ
= \ ах (ж, у, z) dж + ау (ж, у, z) dy + аг (ж, у, z) dz. (2.26) АВ
Это рассуждение не только дает выражение криволинейного интеграла от вектор-функции через обыкновенный криволинейный интеграл, но дает доказательство существования его, если существование обыкновенного криволинейного интеграла считается известным.
Если L — какой-нибудь путь в заданном векторном поле; то, рассматривая векторы а (М) как силы (тогда векторное поле становится силовым полем), найдем, ч^о скалярное произведение а (Мi) -М^М^ будет (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) работой силового
4 П. И. Романовский
поля при перемещении точки от положения М^ в положение М^х Складывая эти элементарные работы и переходя к пределу, найдем, что а (Af) dr будет работой силового
поля при перемещении точки по пути L. По этой причине криволинейный интеграл ( а (Af) dr называется работой
векторного поля вдоль пути L *). Работа векторного поля вдоль замкнутого пути называется еще циркуляцией векторного поля вдоль этого замкнутого пути.
Определение. Векторное поле называется потенциальным^ если работа этого поля не зависит от формы пути или, что равносильно, если циркуляция векторного поля вдоль каждого замкнутого пути равна нулю.
Из формулы (2.26) следует, что для потенциальности векторного поля необходимо и достаточно, чтобы криволинейный интеграл
axd^ + aydy + az dz
не зависел от формы пути. Из § 5 следует, что для этого необходимо и достаточно, чтобы выражение
axdx + aydy + azdz
было полным дифференциалом некоторой функции и (ж# у, z) ^силовая функция), иначе говоря, чтобы выполнялись равенства
^£_^»-п-П- 8а$ =°- (2-27)
dy dz 9 dz dx 9 dx dy
В этом случае работа поля вдоль пути МгМй равна
du (х, у, а)— и (М2) — и (Af х) = v (MJ — v (Af2),
М1М2
где v = —и называется потенциалом векторного поля. Таким образом, работа потенциального векторного поля равна приращению силовой функции или уменьшению потенциала.
Следствие. Для потенциальности векторного поля необходимо и достаточно, чтобы оно было полем градиентов некоторого скалярного поля.
В самом деле, если а = grad ф, то Эф Эф Эфа$ - Их •- "57 ’ ®z - "57
и, следовательно,
ах dx + аи dy + az dz = ^- dx + ^ dy + ^ dz = dtp (ж, у, z) есть полный дифференциал, причем ф играет роль силовой функции.
Обратно, если
axdx + aydy + аДх = dtp (х, у, z), то
Эф _ Эф Эф а* ~ 8х ’ av'—d^’
и, следовательно,
а = /"Й+^"^+*$ =grad<p’
что и требовалось доказать.
Пример. Пусть имеем какое-нибудь центрированное векторное поле (с центром О); это значит, что каждый вектор а (М) лежит на луче ОМ, причем длина и направление вектора а(М) зависят только от расстояния р = ОМ. Тогда
где / (р) — скалярная функция положительного аргумента (| а (М) [ = = 1/(Р)1).
Имеем
a^dx + a^dy + a^dz =
/(р). , /(р). , /(р).,Р/.
= —— ®<f®+—— ydy-V -— zdz = t^d? = dF (р), где F (p)=^/(p)<Zp, учитывая, что
р2 = хй + у2 -|- z4 р dp = s (йс + у dy + z dz.
Таким образом, центрированные векторные поля потенциальны.
Векторными линиями векторного поля а (Л/) называются такие кривые, которые в каждой своей точке М имеют направление вектора а (М). Эти линии определяются из системы дифференциальных уравнений
dx dy dz
Если С — какой-нибудь замкнутый контур в пространстве, то векторные линии, проходящие через точки этого контура, образуют поверхность, называемую векторной трубкой.
Поверхностные интегралы
Рассмотрим двусторонний кусок поверхности 8, который можно разбить на конечное число частей, каждая из которых либо изобразима уравнением вида z = / (х, у),
ььааРис. 11Рис. 11либо является частью ци- с линдрической поверхности с образующими, параллель- d ными оси Oz.
ь
ь
а
а
Рис. 11
Рис. 11
Выберем на 8 определен
ную сторону.
Заметим, что не всякий кусок поверхности является двусторонним. Легко дать пример односторонней поверхности. Взяв прямоугольник abed, (рис. И) и склеив стороны ah и cd так, чтобы d совпало с 6, с совпало с а, получим поверхность с одной стороной»
Пусть R ^х, у, z) — непрерывная функция на куске поверхности 8. Разобьем его (рис. 12) на части 8^ каждая из которых либо изобразима урав
нением вида z = f (х, у), либо принадлежит цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz. Возьмем на каждой части 8 г точку ^ ц^, ^).
если выбранная сторона поверхности на кусочке St обращена в сторону возрастания z, и знак —, если выбраннаяесли выбранная сторона поверхности на кусочке St обращена в сторону возрастания z, и знак —, если выбраннаяЗначение рассматриваемой функции в этой точке умножим на взятую с определенным знаком площадь проекции кусочка Si на плоскость Оху, причем берем знак+,
если выбранная сторона поверхности на кусочке St обращена в сторону возрастания z, и знак —, если выбранная
если выбранная сторона поверхности на кусочке St обращена в сторону возрастания z, и знак —, если выбранная
сторона поверхности на кусочке 5$ обращена в сторону убывания z. Если 5^ принадлежит цилиндрической по-
верхности с образующими, параллельными оси Oz, то вопрос о знаке отпадает, ибо площадь проекции равна нулю.
Эту площадь проекции 8^ на Оху с выбранным знаком обозначим ^S^xy. Теперь составим сумму упомянутых произведений
г
Если наибольший из диаметров кусочков 8г стремится к нулю, то эта сумма стремится к определенному пределу, который называется поверхностным интегралом от R^x, у, z) по выбранной стороне поверхности 8 по переменным х, у и обозначается знаком ЭД R (х, у, z) dx dy.
s
Аналогично определяются поверхностные интегралы по другим парам переменных (при аналогичных ограничениях, налагаемых на 8). Таким образом,
ЭД Р (х, у, z) dy dz =Пт^Р^тцЛО^, (2.28) Sг
ЭД @ (#» У> ^) ^2 ^ ^ ^mS Q (6г, Лг, 6г) (^Огх, (2.29) Sг
$R^, у, z^dxdy = Иш2 R (6г, Лг, £iHSiW (2.30) Sг
Далее вводим понятие комбинированного поверхностного интеграла
ЭД Р dy dz + Q dz dx-\- Rdxdy =
= ^Pdydz + ^()dzdx+ $Rdxdy. (2.31) sss
Из определения поверхностного интеграла следует, что при перемене стороны поверхности интеграл лишь меняет свой знак; если кусок поверхности разбит на части, то интеграл по всему куску поверхности равен сумме интегралов по его частям; постоянные множители выносятся за знак интеграла, интеграл суммы равен сумме интегралов.
Из (2.30) видно, что jj R dx dy = 0, если 8 есть кусок 8
цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz (в этом случае проекции St на плоскость Оху вырождаются в линии). Аналогично из (2.28) и (2.29) видно 1 что ^Pdydz=Ot если 8 есть кусок цилиндри- 8
ческой поверхности с образующими, параллельными оси О#; Q dz dx = 0, если 8 есть кусок цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Оу.
Преобразование поверхностного интеграла в обыкновенный двойной интеграл (частные случаи). Пусть имеем поверхность z = z (я, у). Пусть 8 — кусок рассматриваемой поверхности, А — его проекция на плоскость Оху
(рис. 13). Если на 8 выбрана сторона, обращенная в сторону возрастания z, то (рис. 13)
2^ (Si* Ли Si) (^Озсу " 2 ^ l^b Лг, 2 (Si> Лг)1 °и гг
откуда после перехода к пределу получаем;
R (ж, у, z) dx dy = \\R [х, у, z (ж, у)] dx dy.
Аналогичные формулы получаются для поверхностных интегралов по другим парам переменных. Итак,
$ Р (х, у, z) dy dz = $ Р \х {у, z), у, z] dy dz (2.32)
[где S — кусок поверхности х = х (у. z) и А — его проекция на Oyzl;
$ Q (х, у, z) dz dx = $Q [a?, у (z, x^ z] dz dx (2.33)
[где 8 — кусок поверхности у = у (z, х) и А — его проекция на Ozxl;'
$ R (х, у, z) dx dy = ^R [x, у, z (ж, у)] dx dy (2.34) 8 -A
[где 8 — кусок поверхности z = z (x, у) и A — его проекция на Oxy A. -
Заметим, что вывод формул, выражающих поверхностный интеграл через обыкновенный двойной интеграл, дает одновременно доказательство существования поверхностного интеграла, если существование обыкновенного двойного интеграла считать известным.
Преобразование поверхностного интеграла в обыкновенный двойной интеграл (общий прием). Пусть 8 — кусок поверхности, заданный параметрическими уравнениями
х = х (и, v), у = у (и, v), z = z (и, р),
где (и, г) пробегает область А на плоскости Они (функции, стоящие в правых частях, предполагаются непрерывными вместе с их частными производными первого порядка).
Предположим сперва, что кусок 8 может быть представлен уравнением z = / (я, у), где / — однозначная непрерывная функция, и пусть А — проекция 8 на плоскость Оху. Тогда
Z (и, 0 = f[x (и, р), у {и, у)].
В силу (2.34) и правила замены переменных в двойном интеграле (если соответствие между А и Л прямое, т. е*
сохраняющее направления обходе в)
$R^x, у, z)dxdy = ^R [*, У, /(^. У)1 dzdp =
SЛ
= $ R [^ (u, v), у (и, v), z (u, p)] 9Э^’Д du du. (2.34')
Эта же формула верна, если 8 окажется куском цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz, так как тогда обе части формулы равны нулю.
уравнение названной цилиндрической поверхности естьуравнение названной цилиндрической поверхности естьу = ф (х), тогдау = ф (х), тогдаПравая часть равна нулю вследствие того, что -^ ^- = 0. Последнее равенство легко обнаружить. Пусть, например,
уравнение названной цилиндрической поверхности есть
уравнение названной цилиндрической поверхности есть
у = ф (х), тогда
у = ф (х), тогда
у (и, и) = ф к (и, 0],
откуда
и, следовательно, в якобианеи, следовательно, в якобианед (ж, у) d (u, у)д (ж, у) d (u, у)строки пропорциостроки пропорцио
и, следовательно, в якобиане
и, следовательно, в якобиане
д (ж, у) d (u, у)
д (ж, у) d (u, у)
строки пропорцио
строки пропорцио
нальны.
В общем случае 8 можно разбить на части, подходящие под один из рассмотренных двух типов (мы ограничиваемся такими поверхностями 8). Тогда А разобьется на соответствующие части. Применив к каждой из частей формулу (2.34') и складывая полученные равенства, получим формулу (2.34') для всего куска 8.
а ^ ^ du du,д (и, у) ’а ^ ^ du du,д (и, у) ’Аналогичные формулы получаются для поверхностных интегралов по другим парам переменных. Итак,
а ^ ^ du du,д (и, у) ’
а ^ ^ du du,д (и, у) ’
% Р (х, у, г) dy dz = $ Р (х, у, z) S'А
$ Q (ж, у, z) dz dx=^Q (ж, у, z) у^’^ du du, SА
$Я(ж, у, z)dxdy = $Я(ж, у, z) 8д^У1 dudv, SА’
откудаоткуда^Pdydz + Qdsdx-V Rdxdy = ^Р ^’ ^ ВА^Pdydz + Qdsdx-V Rdxdy = ^Р ^’ ^ ВАРРГА ^^jJ^ I v д (и, у) 'гГА ^^jJ^ I v д (и, у) 'гfl^M-ldudv = $d (u, v) Jfl^M-ldudv = $d (u, v) Jдх ди дх "dvдх ди дх "dvQ R ду да ди ди ду да dv dt)Q R ду да ди ди ду да dv dt)dwdv(2.35)dwdv(2.35)
откуда
откуда
^Pdydz + Qdsdx-V Rdxdy = ^Р ^’ ^ ВА
^Pdydz + Qdsdx-V Rdxdy = ^Р ^’ ^ ВА
Р
Р
ГА ^^jJ^ I v д (и, у) 'г
ГА ^^jJ^ I v д (и, у) 'г
fl^M-ldudv = $d (u, v) J
fl^M-ldudv = $d (u, v) J
дх ди дх "dv
дх ди дх "dv
Q R ду да ди ди ду да dv dt)
Q R ду да ди ди ду да dv dt)
dwdv(2.35)
dwdv(2.35)
при надлежащем выборе стороны поверхности S.
Пусть, в частности, имеем кусок поверхности z = = / ^х, у), где х, у пробегают область А плоскости Оху. Тогда формула (2.35) дает (здесь х, у играют роль их у);
Р Q R
^Рdydz-\- Qdzdx + Rdxdy = $ 1 0 р dxdy = sа 0 1 q
(— рР — qQ + R) dx dyt(— рР — qQ + R) dx dyt(2.36)(2.36)
(— рР — qQ + R) dx dyt
(— рР — qQ + R) dx dyt
(2.36)
(2.36)
где p = -^, q = -^ и поверхностный интеграл берется по верхней стороне поверхности.
Формула Остроградского
Эта формула преобразовывает поверхностный интеграл по замкнутой поверхности в тройной интеграл по области, ограниченной этой поверхностью.
Пусть!) — замкнутая область, ограниченная замкнутой поверхностью S', а Р (х, у, z), Q (х, у, z), R (х, у, z) — непрерывные функции с непрерывными частными производными первого порядка на D.
Сперва предположим, что D ограничена снизу поверхностью z = zx (х, у), сверху — поверхностью z = z^ (ж, у), с боков — цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, вырезающей на плоскости Оху площадку А (рис. 14). Тогда 5 будет состоять из куска 5Х поверхности z = zx (xt у), куска 8й поверхности z = z^ (х, у), куска 5з цилиндрической поверхности с
образующими, параллельными оси Oz. Имеем:
■$^<tedy& = ^dxdy^dz = DAh
= $ [fl У. z2) — R (x, у, zj] dx dy =
.= ^ R dx dy + ^ R dx dy,
SiSt
где интегрирование происходит по нижней стороне 5Х и по верхней стороне 52.
Добавляя ^Rdxdy к правой части последнего ра- s3
венства, мы не нарушим его, так как \\ Rdxdy = 0;
следовательно,
= ^Rdxdy, DS= ^Rdxdy, DS(2.37)(2.37)
= ^Rdxdy, DS
= ^Rdxdy, DS
(2.37)
(2.37)
где в правой части интегрирование происходит по внешней стороне замкнутой поверхности 8.
В общем случае D можно разбить на конечное число частей рассмотренного выше типа (мы ограничиваемся рассмотрением областей Р, которые допускают такое разбиение). Применяя к каждой из частей формулу (2.37) и
^(dP , dQM\ Ox dy^(dP , dQM\ Ox dy, dR\. , , r-^jdxdydz,, dR\. , , r-^jdxdydz,(2.38)(2.38)
^(dP , dQ
M\ Ox dy
^(dP , dQ
M\ Ox dy
, dR\. , , r-^jdxdydz,
, dR\. , , r-^jdxdydz,
(2.38)
(2.38)
складывая полученные равенства, найдем, что (2.37) будет справедлива для рассматриваемой области (так как интегралы по перегородкам взаимно уничтожаются).
Меняя роли переменных, получим еще две аналогичные формулы:
Цdy dz = № Р dy dz; (2.37')
DS
^-^-d^dydz = ^Qdzdx. (2.37")
DsРис. 15.
Почленное сложение формул (2.37'), (2.37"), (2.37) дает нам искомую формулу Остроградского
Р dy dz + Q d2 dx + R dx dy =
где D — ограниченная замкнутая область в пространстве (рис. 15), 8 — замкнутая поверхность, ограничивающая D, и Р, Q, R— функции, непрерывные вместе с их частными производными первого порядка на D, причем в левой части формулы интегрирование происходит по внешней стороне поверхности 8.
Векторная запись формулы Остроградского.Дивергенция векторного поля
Поверхностный интеграл от вектор-функции. Пусть а (М) — непрерывная вектор-функция на двустороннем куске поверхности 8. При этом предполагается, что 8 имеет в каждой точке касательную плоскость, направление которой непрерывно зависит от точки поверхности (или же кусок 8 может быть разбит на конечное число таких частей). Выберем на 8 какую-нибудь сторону (рис. 16). Разобьем 8 на части; пусть площади этих частей будут St. На каждой, части возьмем точку Ni и построим вектор п^ направленный по нормали в точке Ni к выбранной стороне поверхности и имеющий длину | Hi | = 8^
Затем значение вектор-функции в точке М\ скалярно умножим на Hj и составим сумму таких скалярных произве- дений ^a^N^nv
Рис. 16.Рис. 16.Если наибольший из диаметров частей рассматривав- мого куска поверхности стремится к нулю, то эта сумма стремится к определенному пределу, который называется поверхностным интегралом от а (М) по выбранной стороне поверхности 8 и обозначается знаком $ а (М) d<o (здесь ей» есть «ориентированный элемент поверхности»).
Рис. 16.
Рис. 16.
Поверхностный интеграл от вектор-функции легко выражается через обыкновенный поверхност
ный интеграл. Зададим систему координат. Пусть ^ т]ь ^ — координаты N^ тогда
2 a {Ni) ^ = 2 [ая (St, rii, Si) (п<)я + ii
~Ь ®У (Si, Лй Si) (^i)y 4" ®z (Si, Лг> Si) (^i)zl*
Ho (nt)x, (,nt)v» (n^z c точностью до бесконечно малых высшего порядка равны соответственно (S^yz, (-Si^, (Si)xv; поэтому
lim 2 « W «i = H'm 2 kx(Si, Ль Si) (S^z 4- г i
+ ttv (£$, T]^ ^) (^i)^ + az (li, тр, 2г) (<5{)ху1 или
$ a (M) do = $ ax dy dz + ay dz dx + az dx dy. (2.39) s s
Одновременно мы получаем доказательство существования поверхностного интеграла от вектор-функции, считая, что существование обыкновенных поверхностных интегралов уже доказано.
Пусть а (М) — векторное поле и 8 — кусок поверхности. Если это векторное поле рассматривать как поле скоростей потока жидкости, то через элементарную пло-
щадку St (рис. 17) в единицу времени вытечет столб жидкости, объем которого есть
S.a (Ni)ni = I ^ 11 a (^i) I cos [пъ a (N^ = а (У,) nb
Следовательно,Следовательно,а (Л7) do есть количество жидкости,
Следовательно,
Следовательно,
Рис. 17.Рис. 17.протекающей через поверхность S в единицу времени. По этой причине поверхностный интеграл ^ a^M^dto называется потоком s
Рис. 17.
Рис. 17.
векторного поля через поверхность S ).
Дивергенция векторного поля и векторная запись формулы Остроградского. Если S есть замкнутая поверхность, ограничивающая
область D, то в силу (2.39) и (2.38) (интегрируя по внешней стороне поверхности) получим:
= ^axdydz + aydz dx + azdxdy =
ss
<2-39')
Определение. Дивергенцией векторного поля а ^М^
„zхЛда
в точке (ж, у, z) называется скаляр ^ ^ ^ у _р. ^ , обозначаемый символом div а. Таким образом,
, да9а__
div а =+ -А.(2.40)
дх 1 ду 1 dzv '
Вставляя этот символ в формулу (2>39'), получим:
$ а (М) dto = №^ div a dv.(2.41)
S^D
Эта формула, являющаяся векторной записью формулы Остроградского, показывает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность равен тройному интегралу от дивергенции поля по объему, ограниченному этой поверхностью.
Точки, в котдрых дивергенция положительна, называются источниками (в этом случае поток векторного поля через малую замкнутую поверхность, окружающую такую точку, положителен). Точки, в которых дивергенция отрицательна, называются стоками (в этом случае поток векторного поля через малую замкнутую поверхность, окружающую такую точку, отрицателен).
Инвариантное определение дивергенции. Формула Остроградского позволяет дать инвариантное (независимое от системы координат) определение дивергенции векторного поля. В области определения а (М) возьмем произвольную точку Мй и затем содержащее эту точку тело Dt ограниченное замкнутой поверхностью 8. Пусть V — объем D. Вычитая из (2.41) очевидное равенство
V div a (Af0) = ^ div а (М0) dv
D
и деля на Р, получим
JJ а (М) da
Рdiv a (Af0) = -у- ^ [div а (М) —• div a (M^}dv.
При стягивании 8 в точку Мо правая часть, как видно из теоремы о среднем для тройных интегралов, стремится к нулю.
Следовательно,
Jf а (М) da
div а (Л/о) = Ит——р(2.42)
при стягивании 8 в точку Мо.
Таким образом, дивергенция векторного поля в какой- нибудь точке равна отнесенному к единице объема потоку векторного поля через бесконечно малую замкнутую поверхность^ окружающую данную точку.
(2.43)(2.44)(2.43)(2.44)Формальные свойства дивергенции. Пусть а и Ь .— векторные поля, ф — скалярное поле. Тогда
(2.43)
(2.44)
(2.43)
(2.44)
div (а + &) = div а + div 6;div (фа) = ф div а + grad фа.
В самом деле, а (а + »)„a (а + 6 J
div(a + 6) = -A^ + ...--^^ + ...=
(да \/ db \
div (фа) =div (фа) == ("af + -) + № +-)= <4^“ + div»;
div (фа) =
div (фа) =
dx "dx ‘™ \ dx ' j '
+ Г^ «ж+ •..) = Ф div a + grad фа.
Многоточия всюду обозначают, что следует вписать второе и третье слагаемые, аналогичные первому, получающиеся из него заменой х на у И Z.
Соленоидальные векторные поля. Векторное поле а, для которого тождественно div а=0, называется соленоидальным.
Из (2.41) следует, что в случае соленоидального векторного
поля поток векторного поля че-рИСе <8.
рез всякую замкнутую поверхность равен нулю.
Если взять векторную трубку (рис. 18), провести два сечения ее SV и S2 и принять во внимание, что поток через боковую стенку всегда равен нулю, то приходим к такому заключению:
Если векторное поле соленоидально, то потоки векторного поля через различные сечения векторной трубки равны между собой.
Пример. Рассмотрим какое-нибудь центрированное поле (см. пример в концеЗ 6) а (М) = ф (р)г, где ф (р) = / (р)/р. Тогда:
div(V(p)y)=-A- (ф(р)г)ж+... =-^-(ф(р)») + ...=
ф' (р)-р+ Ф (?)] + ... = РФ'(Р)+Зф(Р).
Отсюда заключаем, что центрированное поле ф (р)у соленоидаль- нотолько тогда, когда функция ф (р) удовлетворяет дифференциальному уравнению
РФ' (р, + Зф (р) = 0.
Разделив переменные, получим -^ ^у- = — — ^ откуда In ф (р) = = —3 In р, + In с; ф (р) = с/р9, следовательно, / (р) = с/р2. Таким образом,центрированное векторное поле будет соленоидально только в том случае, когда длины векторов этого поля обратно пропорциональны квадратам расстояний точек приложения от центра.
. Формула Стокса
Эта формула преобразовывает криволинейный интеграл вдоль замкнутой пространственной кривой в поверхностный интеграл по поверхности, натянутой на эту кривую.
Пусть 8 — кусок поверхности, имеющий в каждой точке касательную плоскость^направление которой непрерывно
зависит от точки поверхности, или могущий быть разбитым на конечное число таких частей. Замкнутая кривая С, ограничивающая 5, предполагается имеющей в каждой точке касательную, направление которой непрерывно зависит от точки кривой (или же С состоит из конечного числа дуг, удовлетворяющих этому требованию). Пусть Р (ж, yt z)t Q (х, у, z), R (я, у, z) —- непрерывные функции,
имеющие непрерывные частные производные во всех точках поверхности 5 (и точках, достаточно близких к 5).
Пусть сперва кусок поверхности 5 может быть представлен уравнением я = / (я, г/). Пусть А — проекция S на плоскость Оху, Г — проекция С на плоскость Оху (рис. 19). Если
х = х (0Л у = у (0Jх = х (0Л у = у (0J^1 ^5 ^ ^2^1 ^5 ^ ^2
х = х (0Л у = у (0J
х = х (0Л у = у (0J
^1 ^5 ^ ^2
^1 ^5 ^ ^2
— параметрические уравнения Г (пусть возрастанию t отвечает обход Г в положительном направлении), то
tl < t^ t^tl < t^ t^х = х к^, )У = У (0» }2 = 2 (0, )
tl < t^ t^
tl < t^ t^
где 2 (0 — / [ж (0, У (01 будут параметрическими уравнениями С.
ттд/ а/
Полагая -^ = р, -^ = q и используя правило преобразования криволинейного интеграла в простой интеграл, можем написать:
^Pti + OdgA-RdiJ^P^ + Q^A-H^dt-
-S^ + p^t + W + s^t]»”
= ^ (Р + pR) dx + (Q + qR) dy, (2.45')
причем в последнем интеграле Р, Q, R следует понимать как
Р к, у, / к, y)L Q к, у, / к, y)L R к, у, / к, у)],
т. е. как функции двух переменных х, у.
Формула Грина, преобразовывающая криволинейный интеграл по замкнутому контуру в двойной интеграл по
области, ограниченной этим контуром дает;
(Р + pR) dx+(Q+ qR) dy =
1«> + qR^ - (^ + рЯ)«1 dx dy, (2/45")
но (используем формулу полной производной и полагаем
92/ ^ \
дх ду S)
^qR^-^-V-^p + sR + q^ + ^-py
(P+pR^ -— + — q + sR + p{— + — q^ откуда
(,Q + qR^x — (P + pR\ =
\dy dz ) P \ dz dx)q^\dx dy’
Из равенств (2.45'), (2.45"), (2.45'") и формулы (2.36)
(см. конец § 7) получаем искомую формулу Стокса;
Pd$ + Qdy + Rda =
где направление обхода контура С берется положительным для выбранной стороны поверхности. Но эта формула доказана пока лишь для куска поверхности специального вида.
Меняя роли переменных, получим формулу (2.45) также для поверхностей 8, изобразимых уравнением вида ж = t ку i 2) или уравнением вида у = / (z, х). В общем случае разобьем 8 на конечное число частей, каждая из которых изобразила либо уравнением вида х = / (у, zY либо уравнением вида у = / (z, х^ либо уравнением вида в = / (^, у) (мы ограничиваемся поверхностями 81 которые
могут быть разбиты таким образом). Применяя к каждой части формулу (2.45) и складывая полученные равенства (при этом интегралы по перегородкам взаимно уничтожатся), докажем справедливость формулы (2.45) для рассматриваемого куска поверхности. Теперь формула Стокса (2.45) доказана в общем виде.
. Векторная запись формулы Стокса.Вихрь векторного поля
Пусть а (М) — векторное поле, S — кусок поверхности, С — контур, ограничивающий его. Имеем в силу (2.26) и (2.45):
^ а (М) dr = ^ axdx + aydy + axdz = сс
СС Г / 9aZ\ 7 7/\ 7 7
S
^к^-^У®^t2-46^
Определение. Вихрем векторного поля а (2И) в точке ж, у, z называется вектор
обозначаемый знаком rot а (а также символом curl a).
Из формулы (2.39) находим:
$(1^-^)^г+(^--^)^ +
S
/ да да \СС
+ у -^^- J ах dy = \v (rot a)x dy dz.+ (rot a)y dz dx -f-
+ (rot a)z dx dy = ^ rot a d«>. (2.46")
- Из (2.46') и (2.46") находим.»
^ a (M) dr = jX rot a d®,(2;46)
причем направление обхода контура С берется положительным для выбранной стороны поверхности 5. Формула (2.46) является векторной записью формулы Стокса и показывает, что циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку вихря через поверхность, натянутую на этот контур.’
Инвариантное определение вихря. В области определения а (М) возьмем произвольную точку Мй и затем содержащую Мо плоскую площадку 5, ограниченную замкнутым контуром С и перпендикулярную произвольно заданному направлению п. Пусть б — площадь 5. Вычитая из (2.46) очевидное равенство
б [rot a (Af0)]n = $ rot а (Л/о) da>
и деля на о, получим
4- ^ а (М) dr — [rot а (М0)]п = и
= — \\ [rot а (М) — rot а (Мо)] дю.
При стягивании С в Мй правая часть, как видно из ее оценки, стремится к нулю, поэтому
.^а ^М) dr
[rot a (Af0)ln = lim -2—5
при стягиваний С в Мй. Следовательно:
Проекция вихря на какое-нибудь направление равна отнесенной к единице площади циркуляции векторного поля вдоль контура бесконечно малой площадки, содержащей рассматриваемую точку и перпендикулярной к выбранному направлению.-
Безвихревые векторные поля. Векторное поле а (М) называется безвихревым, если имеем тождественно rot а .= = 0.*
Из определения вихря видно, что для этого необходимо и достаточно, чтобы
^£_^L = 0^-— ^ п 9ач 8ах а
ду дг 1 dz Эх 1 дх ду *
Но эти условия [см. формулы (2.27) в § 6], как мы знаем, необходимы и достаточны для потенциальности векторного поля.
Итак, для того чтобы векторное поле было безвихревым, необходимо и достаточно, чтобы оно было потенциальным.
Таким образом, понятие безвихревого векторного поля эквивалентно понятию потенциального векторного поля.
Так как поле градиентов какого-нибудь скалярного поля ср потенциально, то получаем тождество
(2.47)(2.47)rot grad ф = О
(2.47)
(2.47)
Соленоидальность поля вихрей. Пусть а (М) — какое- нибудь векторное поле; тогда его вихри образуют некоторое векторное поле rot а. Это есть поле вихрей данного векторного поля. Поле вихрей всегда соленоидально. В самом деле,
div rot а = ^- (rot а)х + ^- (rot а)„ + ^ (rot а)2 =
Э / ЧЧ \ . d / 9ахда \ а / 8%Ч\ =
дх \ дуdz )’ ду\ dzдх dz \ dxду /
дН д^а., д^а д2а9 д^а., д^а_
дхду dxdz dy dz dxdy dxdz ду dz *
Итак, div rot а = 0.(2.48)
Формальные свойства вихря. Пусть а и Ь — векторные поля, ф — скалярное поле. Тогда
rot (а + 6) = rot а + rot 6;(2.49)
rot (фа) = ф rot а + [grad фа].(2.50)
В самом деле,
F м+ d(a + 6)v
rot (а+ 6)=^^^-2L
d(az + bz)дуd(az + bz)ду9(»У + М dz9(»У + М dz-т^Л + ... = rot а + rot 6;-т^Л + ... = rot а + rot 6;
d(az + bz)ду
d(az + bz)ду
9(»У + М dz
9(»У + М dz
-т^Л + ... = rot а + rot 6;
-т^Л + ... = rot а + rot 6;
/ Э (Фа), а (фа)„ \го1(Фа) = Ц^.V) + - =
/ а (фа ) а (фа ) \(. / да да\ )
-* V~S- - V14—5Г) + -} +
+ р ($ а>~^ а«) + -}-,"*• + Igrad фа).
Многоточия всюду обозначают г что следует выписать второе и третье слагаемые, получающиеся из первого круговой перестановкой по схеме
Операции второго порядка
Рассмотренные выше три операции первого порядка grad ф, div a, rot а, переводящие соответственно скаляр в вектор, вектор в скаляр, вектор в вектор, порождают пять операций второго порядка:
div grad ф, rot grad ф, grad div a, div rot a, rot rot a, из которых две тождественно нулевые [см. формулы (2.47) и (2.48)1:
rot grad ф = 0, div rot a == 0.
Введем еще операцию второго порядка, называемую оператором Лапласа^ идя скалярного поля ф и векторного поля а:
(2.51)(2.51)0^2 ду2 № ’
(2.51)
(2.51)
д Э2а , д2а . д2адж2 + dy2”^ dz2 .
(Дф есть скаляр4 Да — вектор). Очевидно, Да = ikax + jkay + ЛДаг.
Имеем;
div grad ф = -57 (grad ф)ж 4- -^ (grad ф)у + -^ (grad ф)г =
d / #Ф \ j / 9ф \ j9 / 9ф \ __ 93ф . 92ф . 92ф .
дх \ дх /9у \ 9у / * 9z \ 9z /9я29г/2 "^ 9г2
Следовательно, div grad ср = Дф.(2.52)
Имеем:
grad div а = (div а) + J 4- (div а) + к-^ (div а) = Uwv«
= г1= г1anatanatdxdy * dxdzdxdy * dxdz+ &+ &/ 92a^2a d2a'\ dxdy * 9г/2 * dydzd2ad2ad^a \dxdzdydz9z2 /*'/ 92a^2a d2a'\ dxdy * 9г/2 * dydzd2ad2ad^a \dxdzdydz9z2 /*'
= г1
= г1
anat
anat
dxdy * dxdz
dxdy * dxdz
+ &
+ &
/ 92a^2a d2a
'\ dxdy * 9г/2 * dydz
d2ad2ad^a \
dxdzdydz9z2 /*'
/ 92a^2a d2a
'\ dxdy * 9г/2 * dydz
d2ad2ad^a \
dxdzdydz9z2 /*'
= l\l_(^LVdy \ dx= l\l_(^LVdy \ dx8azdx8azdxdy / dz d^ax d^a^dy / dz d^ax d^a^rot rot a = i [^ (rot a)z — -^ (rot a)v] +
= l\l_(^L
Vdy \ dx
= l\l_(^L
Vdy \ dx
8azdx
8azdx
dy / dz d^ax d^a^
dy / dz d^ax d^a^
dx dy ~ dxdz • dy^
d2ad2a 02ad2ad2ad2a \
dx2dxdy* dx dzdx2dy2dz2 /“
= i (^ div a — Дах) + — = gra<i div a — ^a*
Многоточия всюду обозначают, что следует вписать второе и третье слагаемые, получающиеся из первого круговой передвижкой по схеме, показанной в конце § 11, Следовательно,
rot rot а = grad div а — Да. (2,54)
Символика Гамильтона.
Введем символический вектор (набла)v=^+^i+fe^’и при выполнении действий по правилам, установленным
дляреальныхскаляровивекторов, будемпонимать
888
под«произведениями»символов,—,—— наскаляр
дф дфду ’ dz "дф дфду ’ dz "охоу08
дф дф
ду ’ dz "
дф дф
ду ’ dz "
<р (х, у, z) соответственно скаляры ^-, Тогда
(здесь в левой части стоит произведение символического вектора на реальный скаляр);
= diva= diva^а = ^"к j ^ +16 "I?) &а* + jav + ка^ = дах ^ау ^аг дх + ду + dz
= diva
= diva
(здесь в левой части стоит скалярное произведение символического вектора на реальный вектор);
дОудхдОудх0ах \0ах \= rota= rota[ Va] = [(/ -^ + j ^ + к ^ (iax + jav + каД =
дОудх
дОудх
0ах \
0ах \
= rota
= rota
(здесь в левой части стоит векторное произведение символического вектора на реальный вектор).
Таким образом, три операции первого порядка, grad ф, div a, rot а, могут быть единообразно записаны с помощью символического вектора набла:
Vф = grad ф; Va = div a; [Va] = rot a. (2.55)
Тогда для операций второго порядка получим следующие равенства:
VVф = div grad ф = Дф; [ 77ф] = rot grad ф;
(2.56)(2.56)VVa = grad div a;
(2.56)
(2.56)
V [Va] = div rot a; [V [Va]] = rot rot a.
§14. Векторные операции в криволинейных координатах
Если каждой точке некоторой области пространства отнесена система трех чисел (и, v, w) так, что разным точкам отвечают разные системы (u, v, w), то мы скажем, что в рассматриваемой области пространства введены криволинейные координаты (и, и, и?). Геометрические места точек, где и = const, или и = const, или w = const, назовем координатными поверхностями, пересечения двух координатных поверхностей — координатными линиями.
Введем, далее, в рассматриваемой области пространства прямоугольные координаты х, у, z.
Тогда между прямоугольными координатами х, у, z и криволинейными координатами и, v, w точек рассматриваемой области пространства устанавливается взаимно однозначное соответствие, описываемое формулами вида
х = х (и, и, w); у = у (и, v, w); z = z (и, и, w), (2.57) где функции, стоящие в правых частях, однозначны, а также формулами вида
[и = и ^х, у, 2); v = и (ж, у, z\w = w(x,y,z), (2.58) где функции, стоящие в правых частях, также однозначны.
Будем предполагать, что функции, стоящие в правых частях (2.57), непрерывны, имеют непрерывные частные производные первого порядка и якобиан ^^’^^ не обращается в нуль (тогда он сохраняет постоянный знак, будем предполагать его положительным). При этих условиях функции, стоящие в правых частях (2.58), будут обладать такими же свойствами. В случае надобности можно дополнительно потребовать, чтобы функции, стоящие в правых частях (2.57), имели частные производные порядка выше первого.
Дифференцируя по и тождество
и [х (и, и, w), у (и, и, w), z (и, и, де)] = и, получимз
ди дх । ди ду , ди dz ,гд.
дх ди ду ди dz ди ~ ь
Аналогичные формулы справедливы для v и ш.
Пусть г = ix + jy + fcz (/, j, к — орты). Векторы dr dr dr,Г -
■^Г’ "дё’ Ito’ оче=идно, будутненулевыми [ибо
а^’^^ 4= О] • Длины этих векторов
называются коэффициентами Ламе\ каждый из них является функцией от и, v, w.
Единичные векторы
_ 1 dr ею " яш ^_ 1 dr ею " яш ^ 1 дг 1 drе“ ~е” “ яв а» ’
_ 1 dr ею " яш ^
_ 1 dr ею " яш ^
также являются вектор-функциями от и, v, w.
Определение. Система криволинейных координат называется ортогональной, если в каждой точке координатные линии попарно ортогональны.|
Таким образом, ортогональность системы криволи- ^ нейных координат обозначает, что в каждой точке век- | торы eu, е^ ew попарно ортогональны или, что равно- 1 сильно, в каждой точке попарно ортогональны векторы |
dr dr
du ’ dy ’ dw
Если криволинейные координаты введены лишь в некоторой части рассматриваемой области пространства, напрймер в окрестности некоторой точки, то говорят о локальной системе криволинейных координат.
Градиент в ортогональных криволинейных координатах. Пусть ф — скалярное поле. Если ввести криволинейные координаты и, и, w, то ф станет функцией переменных и, v, w.
Введем прямоугольные координаты х^ уг %. Известно (см. § 4), что
направлен по нормали к поверхности и = const, и поэтому в случае ортогональных криволинейных координат
grad u = Ли еи, где hu — некоторый скаляр; затем
■дТ = г1И*^Л-к^ = Ниеи.
Скалярное перемножение равенств
• ди , ■ ди । у ди** дх , • ду ■ dz тт
г"д^"^"ду^'к'дГ = киеи’г"дИ + ^-^ + йд7 = Ни®и
дает [если учесть формулу (2.59)]$
1 huHu1
откуда hu = -^—, следовательно, grad и = -—-. Аналогично и“и
grad и =, grad w = -^ .
го
Формула градиента сложной функции (2.17) дает:< grad <р (и, и, w) = -|^ grad и + ^- grad v + -^ grad го.
OUOUOU/
Изложенное показывает, что градиент скалярного
поля в ортогональных криволинейных координатах опре
деляется формулой
grad ф =
дфдф5ф
du.dv.dw
®и Ь &v ы ! ^w •
(2.60)(2.60)у" w
(2.60)
(2.60)
Дивергенция в ортогональных криволинейных координатах. Пусть а векторное поле. Если ввести криволинейные координаты и. и, w, то а станет вектор-
функцией переменных и, р,_
w. Систему криволинейных координат будем предпола
гать ортогональной.
Воспользуемся инвариантностью определения дивергенции (2.42) в произвольно взятой точке (u0, р0, w^^ беря в качестве замкнутой поверхности S оболочку криволинейного параллелепипеда 2) (рис. 20), ограниченного
поверхностями
и = zz0, v = vOl w = де0; и = u0 + Ди0, v = v0 + Др0 w = w0 + ^wQ,
где Ди0, Др0, Дгр0 стремятся к нулю.
Введем прямоугольные координаты, поместив начало О в точке (и0, ^о, ^о) и направив координатные оси по еи, ev, ew для этой точки. Тогда (если Н№ Н^, Н^ — значения коэффициентов Ламе для этой точки) имеем:
д(х, yt z) \kd (и, у, w) /од(х, yt z) \kd (и, у, w) /о" иО Оо н„йо о" иО Оо н„йо оОО^w0ОО^w0^иоН^дНу,о,^иоН^дНу,о,
д(х, yt z) \kd (и, у, w) /о
д(х, yt z) \kd (и, у, w) /о
" иО Оо н„йо о
" иО Оо н„йо о
О
О^w0
О
О^w0
^иоН^дНу,о,
^иоН^дНу,о,
Uo-h^Uo Wo+Avo Wo4-Awo
= \
JJJ d (U, у, W^
и»Votoo
= 11^11 в6Hro0^u0^v0^w0 + 8Ды0Др0Ди>0,
где е стремится к нулю вместе с Ди0, Др0, kw6. Затем (учитывая формулу 2.35),
Vo+Дуо Юо+Дмо
JССГ/dfду \
\\аа(д = \\ а, -х—, -т—)—
уJJLVд"^/(«н-ди.,!,.»)
§Уоtoo
—+ =
\ дУ dw /(uo,y,w)J
ГГ d / dr drI 1 A A A f
IL du \ ’ du ' dw / J(ue, VO, Wo) J 00°
+ s' Дм0Д1;0Дг^0,
где e' стремится к нулю вместе с Ди0, Др0, Дм;0.
Многоточие обозначает, что следует написать еще два слагаемых, получающихся из первого путем круговой перестановки букв по схеме
НОНОСледовательно, при стремлении Дм0, Др0, Дш0 к нулюСледовательно, при стремлении Дм0, Др0, Дш0 к нулюд / дг дг \1ди \а* ду * dw /J(uo, v0, w0) "^*”д / дг дг \1ди \а* ду * dw /J(uo, v0, w0) "^*”^uO^vO^wO^uO^vO^wO^иОО^иООи, таким образом,и, таким образом,
НО
НО
Следовательно, при стремлении Дм0, Др0, Дш0 к нулю
Следовательно, при стремлении Дм0, Др0, Дш0 к нулю
д / дг дг \1
ди \а* ду * dw /J(uo, v0, w0) "^*”
д / дг дг \1
ди \а* ду * dw /J(uo, v0, w0) "^*”
^uO^vO^wO
^uO^vO^wO
^иОО
^иОО
и, таким образом,
и, таким образом,
Г д1
(div а)0 =(div а)0 =^uO^vO^wO^uO^vO^wO
(div а)0 =
(div а)0 =
^uO^vO^wO
^uO^vO^wO
Изложенное показывает, что дивергенция векторного поля в ортогональных криволинейных координатах определяется формулой
div а =div а =ди ^аиН-оН^ + dy (avHwHu* + dw ^JWди ^аиН-оН^ + dy (avHwHu* + dw ^JW(2.61)(2.61)
div а =
div а =
ди ^аиН-оН^ + dy (avHwHu* + dw ^JW
ди ^аиН-оН^ + dy (avHwHu* + dw ^JW
(2.61)
(2.61)
Вихрь в ортогональных криволинейных координатах;
Пусть а— векторное поле. Если ввести криволинейные
вектор-функцией пере-вектор-функцией пере-координаты и, р, гр, то а станет менных и, р, гр. Систему криволинейных координат будем предполагать ортогональной.
вектор-функцией пере-
вектор-функцией пере-
Воспользуемся инвариантным определением вихря (см. § И) в произвольно взятой точке (и0, р0, гр0). Пусть S — криволинейный четырехугольный кусок координатной поверхности гр = zp0, ограниченный линиями
и = Uo, V = р0;
и = и0 + Др0, р = р0 + А^о?
и пусть С — контур S (рис. 21).
Введем прямоугольные координаты, поместив начало О в точке (u0, р0, zp0) и направив координатные оси по
ем, en ew Для этой точки. Имеем;
«о+Дио
adr =(«4^-) du-V
Vo-j-AvoIto
4- ^ (®4т) dv +(а4~')^“ +
£' /(twAu.,v,Wo)^Ди,'^ Л«, ®о+Д»а, w,)
(Uo+Au0, v, Wo)(Uo+Au0, v, Wo)(it, Vo+AVorWo)(it, Vo+AVorWo)(u0, Vo. Wo)(u0, Vo. Wo)Дм0Д v0 + еДи0Д v0,Дм0Д v0 + еДи0Д v0,
(Uo+Au0, v, Wo)
(Uo+Au0, v, Wo)
(it, Vo+AVorWo)
(it, Vo+AVorWo)
(u0, Vo. Wo)
(u0, Vo. Wo)
Дм0Д v0 + еДи0Д v0,
Дм0Д v0 + еДи0Д v0,
где e стремится к нулю вместе с Ди0, Ду0.
Затем, если А — проекция S на плоскость Оху и у — угол нормали с Oz, то
«<г|-Ди» е04-Д$е & ^Х’ ^
j J cos T JJ cos т
Аи»De
= ЯиоЯеоДиоДУо + 8'Ди0Ду0,
где в' стремится к нулю вместе с Ди0, Ду0, ибо
9 (ж, у) \ _ ^«о ®. а (и,») /о о Я,о
(соз у)0 = !•
Следовательно, при стремлении Дп0, Др0 к нулю
limlim\adrпл. S\adrпл. Sг а ( дг\ ^( JH1
lim
lim
\adr
пл. S
\adr
пл. S
[ дм \а dv / dv \а ди / J(«o> Уо, We>^uO^vO
Но
^ д^ (^и^и "Ь в^и ~Н ^Iti^w) ®тДV === ^цНу
и аналогично а-|^- = аиНи. Таким образом (см. §11), имеемз
Г дд 1
[ (rot а).), -йиОЯеО
и аналогичные формулы получаются для [(rot а)»!,, [(rot а)01и.
Изложенное показывает, что вихрь векторного поля в ортогональных криволинейных координатах определяется формулой
, dw IW Эи ^awHw^ , ди ^^t) ~ де ^и®^
+ ^ ЩЛ + еш*
(2.62)
Оператор Лапласа в ортогональных криволинейных координатах. Пусть ф — скалярное поле. Если ввести криволинейные координаты и. v^ w, то ф станет функцией переменных us v, w. Систему криволинейных координат будем предполагать ортогональной.
Согласно формуле (2.52) имеем:
Дф = div grad ф,
где Дф — оператор Лапласа, поэтому, пользуясь формулами (2.60) и (2.61), найдем, что оператор Лапласа в ортогональных криволинейных координатах определяется
формулой
d / Я.Я, ^ф \ d f "^w^u дф \^ / ^и^ d ^ф \
Дф =Дф =ди \ Ни ди ) * dv \ Н^ dv / + dw \ Н^ dw / WF~
Дф =
Дф =
(2.63)
которую, очевидно, можно переписать в виде
д2Ф л ди^ Дф = —- Н»д2Ф л ди^ Дф = —- Н»д2ф 52ф
д2Ф л ди^ Дф = —- Н»
д2Ф л ди^ Дф = —- Н»
"д^ , ~д^ , дф 1 а , нн
Я2 ‘ Я2 ~ ^м Я2 ди и
(2.63')(2.63'). Эф 1 д , ншнидф 1 д . нине
(2.63')
(2.63')
5у я2 Эу НЭш н8 Н
иw
Векторные операции в цилиндрических координатах.
Перейдем от прямоугольных координат х, у, 2 к цилин
дрическим г, ф, z по формулам ж = г cos ф, у = г sin ф, а = z (здесь г, ф, г выполняют роль и, г, ip).
Координатными линиями будут лучи с начальными точками на оси Ог и перпендикулярные к Ои, окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к 0^, с центрами на оси 0^ прямые, параллельные оси Oz (рис. 22).
Цилиндрическая система координат, очевидно, ортогональная. Коэффициентами Ламе в рассматриваемом случае будутз
нт = 1; яф = г; Нг = 1.
Пусть / — скалярное поле, а — векторное поле. Из формул (2.60), (2.61), (2.62), (2.63') получим выражения для градиента, дивергенции, вихря и оператора Лапласа
в цилиндрических координатах}
(2.64)(2.64), . df . д® , д/ grad/ = е^ + е,—+ег-^;
(2.64)
(2.64)
div а — — гdiv а — — гЧдгЧдг1 8% 8az . г дф ' dz ’1 8% 8az . г дф ' dz ’(2.65)(2.65)
div а — — г
div а — — г
Ч
дг
Ч
дг
1 8% 8az . г дф ' dz ’
1 8% 8az . г дф ' dz ’
(2.65)
(2.65)
/ дада> IL-■ф \ azдг/ дада> IL-■ф \ azдгРис. 23.Рис. 23.
/ дада
> IL-
■ф \ azдг
/ дада
> IL-
■ф \ azдг
Рис. 23.
Рис. 23.
/ 1 дагдаф
rot а — ег ^— -^8г
z \ г ' дг г дф
(2.67)(2.67)а2/।1дч а2/. 1а/
(2.67)
(2.67)
А/ = аг2'г2Эф2‘ аз2 гдг
Векторные операции в сферических координатах. Перейдем от прямоугольных координат я, у, я к сферическим г, ф, 9 по формулам
ж = г cos 6 cos ф, у = г cos 9 sin ф, z = г sin 9 (г, ф, 9 выполняют роль и, v, w\ Координатными линиями будут лучи, выходящие из начала, окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к Ох, с центрами на оси Oz, полуокружности с центрами в начале и диаметрами на оси Ох (рис. 23). Сферическая система координат, очевидно, ортогональная. Коэффициентами Ламе в рассматриваемом случае будут:
Нг = 1; Н^ г cos 9; Яо = г.
Пусть / — скалярное поле, а — векторное поле. Из формул (2.60), (2.61), (2.62), (2.63) получим выражения для градиента, дивергенции, вихря и оператора Лапласа в
5 П. и. Романовский
сферических координатах:
8/.
grad/= е^ + ^^^ё+ев^-,(2.68)
diva = —
.19вЧ.
11
d (a9 cos 0)
(2.69)
•г®
дт
1 rcosO dtp
1 r cos 0
30
rot a = ег
8aei
d (аф cos 0)
) +
\ Г COS0
dtp rcosO
d0
I , f 1 d°r 1 Э(ГавЦ !/1 9V«q)1 8аД
* ®v \ г 30 г 8т / "гв® \ г dr г cos 0 8ф / ’
(2.70)
М-ЦМК!±L ц. 1 Чсоз9*П а» г» Эг \ дгР г2 cos3 О Зф» ^ г® cos 0 30 Vs ° 30 / ‘
(2.71)
ГЛАВА III
НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯОБ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ
Комплексные числа
Если комплексному числу z = х + iy отнести точку на плоскости с прямоугольными координатами (ж, у), то между комплексными числами и точками плоскости (назовем ее плоскостью комплексного переменного) установится взаимно однозначное соответствие.
Если комплексное число z —действительное (т. е. у = 0, тогда z = я), то соответствующая точка лежит на оси абсцисс, и наоборот. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью. Если комплексное число z — мнимое (т. е. у ^ 0), то соответствующая точка лежит вне оси абсцисс, и наоборот. Если комплексное число z — чисто мнимое (т. е. х = 0, у ^ 0, тогда z = гу^ то соответствующая точка лежит на оси ординат, и наоборот (за исключением начала координат). Поэтому ось ординат называют мнимой осью.
Полярные координаты (г, ф) точки, изображающей рассматриваемое комплексное число z (если взять полюс в начале координат и направить полярную ось по оси абсцисс), называются соответственно модулем и аргументом комплексного числа z и обозначаются соответственно | z | и Arg z. Очевидно, | z | ^ 0, причем равно нулю только при 2 = 0. При z =^= 0 Arg z имеет бесконечно много значений, получающихся из какого-нибудь одного arg z по формуле Argz = argz + 2Ы (/с — произвольное целое число). При z = 0 Arg z не определен.
Формулы, связывающие прямоугольные координаты с полярными, показывают, что
| z I = К^2 + У2> Arg z = Arctg -^-
(причем, в последней формуле, очевидно, пригодны не все значения арктангенса). Из х = г cos ф, у = г sin ф находим:
z = г (cos <р + г sin ф).(3.1)
Выражение (3.1) называют тригонометрической формой комплексного числа z. Обратно, если комплексное число z записано в форме (3.1), где г, ф действительны, причем г неотрицательно, то г будет модулем, а ф — одним из аргументов числа z.
Если каждой точке М плоскости комплексного переменного отнести вектор ОМ, то появится возможность представлять комплексные числа векторами.
Сложение и вычитание комплексных чисел сводится к сложению и вычитанию соответствующих векторов. Отсюда следует, что для любых комплексных чисел Zx и z2
l*i + *2 |< | zj + |z2|,(3.2)
откуда, по индукции, для любых комплексных чисел z1? 22> •••> zn
|2i + Z2 + ...+ Zn |^| Zx | + | Z2 | + ... + |zn|. (3.2')
Из (3.2) следует, что
|Zx Z2 I ^ | Zx || z2 I,(3.3)
ибо из zx = (Zi — z2) + z2 no (3.2) находим |Zx | ^ | Zx— — z2 | + | z2 I, откуда следует (3.3). Заметим, что модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию между точками, изображающими эти числа.
При умножении комплексных чисел модули перемножаются, аргументы складываются. В самом деле, пользуясь тригонометрической формой комплексных чисел, найдем:
Zx = Гх (cos фх + £ sin фх); z2 = r2 (cos ф2 + г sin ф2); zxz2 = rxr2 [(cos фх cos ф2 — sin фх sin ф2) + i (cos фх sin ф2 + + sin фх cos ф2)] = ГхГ2 [cos (фх + ф2) + i sin (фх + ф2)1.
Отсюда следует, что при делении комплексных чисел модули делятся, аргументы вычитаются.
Из правила умножения комплексных чисел следует, что при возведении в степень с целым положительным пока-
зателем п модуль возводится в n-ю степень, аргумент умножается на п. Это приводит к формуле Муавра
(cos <р + i sin ф)п = cos пф + i sin пф. (3.4)
Раскрывая левую часть (3.4) по формуле бинома Ньютона и отделяя действительную часть от мнимой, получим формулы для косинуса и синуса кратных углов;
cos му = cosn ф —"Цру~^ cosn~2 ф sin2 ф + ...,
sin пф = п cosn-1 ф sin ф — п ^-^(з—— cosn"3 ф sin3 Ф + ...,
(3.4')
Тригонометрическая форма комплексных чисел приводит к простому правилу извлечения корней из комплексных чисел. Корень п-й степени из комплексного числа z =^= =/= 0 имеет п значений. Пусть z = г (cos ф + г sin ф) есть рассматриваемое комплексное число и w = = р (cos 0 + i sin 0) есть какой-нибудь корень п-й степени из него (т. е. число, удовлетворяющее равенству wn = z). Тогда
pn (cos nO + t sin nO) = г (cos ф + г sin ф),
откуда рп = г, п0 = ф+ 2&л, где к — некоторое целое число.
Следовательно,
м = ryn/cos JLi^ZL _|_ г sin Ф + ^.,\ # \пп /
Обратно, при всяком целом к последнее выражение является корнем п-й степени из z (ибо п-я степень его равна z). Но упомянутые выражения для двух значений к будут различными комплексными числами лишь в случае, когда эти значения к отличаются на число, не кратное п. Отсюда следует, что, давая к значения 0,1, 2, ..., п — 1, мы получим все значения у z и, таким образом, видим, что число этих значений равно п. Все значения ^я определяются формулой
У z = r^ cos h г sin-—-)(3.5)
(к = 0, 1, 2, ..., п - 1).
Соответствующие им точки лежат на одной окружности с
центром в точке 0 и делят ее на п равных частей. Следовательно, точки, изображающие значения корня n-й степени из комплексного числа, являются вершинами правильного n-угольника с центром 0.
В частности, при z = 1 (тогда г = 1, ф = 0) получим:
^l = Cos^ + isin^- (А = 0,1, 2, .... п-1). (3.5')
Пусть z = х + гу; тогда комплексное число 2 = х — — гу называется сопряженным для z. Точки, соответствующие z и z, симметричны относительно действительной оси. Очевидно, что комплексное число совпадает со своим сопряженным только тогда, когда оно действительное. Непосредственно проверяется, что сопряженные суммы, разности, произведения, частного равны соответственно сумме, разности, произведению, частному сопряженных, т. е.
Zj -j- Z2 = Z^-j- Z2J Zj —* Z2 =:= Zj — Z2^ 2^2 ^ Z^Z^)
/ 2i \ = Zi
Заметим еще, что zz = | z |2.
Ряды с комплексными членами
(3.6)(3.6)Пусть имеем бесконечную последовательность комплексных чисел
(3.6)
(3.6)
zn z2, .,., zn)
где zn = хк + гуп. Число z = х + iy называется пределом этой последовательности, если для всякого е > 0 найдется такой номер N что при п > N будем иметь | zn — z | < е. В этом случае пишут: zn -> z или Пш zn = = z. Геометрически это означает, что для всякого круга с центром z все члены последовательности, начиная с некоторого, лежат внутри этого круга. Последовательность комплексных чисел не может иметь двух пределов, следовательно, либо имеет один предел (тогда называется сходящейся^ либо не имеет предела (тогда называется расходящейся^
Для сходимости последовательности чисел . zn ~ хп + + iyn необходимо и достаточно, чтобы сходились последо
вательность чисел хп и последовательность чисел уп.
В самом деле, если последовательность zn = хп + iyn сходится к z = х + iy, то при п > ^ имеем | zn — z |< < е; но тогда подавно | хк — х | < е, | уп — у | < е и, следовательно, жи -> х, уп-> у. Обратно, если хп -> х, 8
Уп У, т° ПРИ и > Nt имеем ] ж„ — ж | < у= , при 8
п)> Na имеем | у„ — У | < "ру » поэтому при п^ N (где N — наибольшее из Nx и N^
|zn —z| = ^„ —ж)2 + (уп —у)2<е,
следовательно, zn z.
Критерий Коши. Для сходимости последовательности комплексных чисел zn необходимо и достаточно, чтобы для всякого 8 > 0 нашелся такой номер N^ что при п ^> N и р ^ О имели бы
I ^п+р zn I < е*
Этот критерий может быть доказан прямым путем, но его можно получить из критерия Коши для последовательностей действительных чисел (считая, что для них он был уже доказан). В самом деле, если для zn выполнено требование критерия Коши, то оно выполнено и для хп и уп, так как
I ^ПА-р ^П I ^ । ^П+Р 2П L I Уп+р Уп\ ^ I ^ПА-Р 2пЬ
Обратно, если требование критерия Коши выполнено для хп и для уП) то из
I ^ПАгР 2д|^^пА-р^nY + ^УпА-р Уп)
сразу усматриваем его выполнимость для zn.
Пусть имеем ряд с комплексными членами
«Ь + гг2 + ... + «ь + — или 2 wn, wn= unArivn. ^Л> n=l
Ряд (3.7) называется сходяирлмся^ если последовательность частичных сумм Sn = wx + ... + wn сходится.
Тогда ее предел S называют суммой ряда (3.7) и пишут 4-00
S »- 2 ^п- В противном случае ряд (3.7) называется
расходящимся. Из доказанного выше предложения для последовательностей непосредственно следует: для сходимости ряда с комплексными членами l^wn, где wn = = ип + ivK. необходимо и достаточно, чтобы ряды с действительными членами 2^п и S^n были сходящимися.
Из критерия Коши для последовательностей комплексных чисел непосредственно вытекает критерий Коши для рядов с комплексными членами: для сходимости ряда ^wn необходимо и достаточно, чтобы для всякого в )> 0 нашелся такой номер N, что при п^ N и р > 0 имели бы
I W^ + Wn^ + ...+ Wn*p I < 8.
В самом деле, достаточно лишь заметить, что
^п+р ^п = Wn*t 4* ^n+2 + •••4“ ^п^р*
Ряд с комплексными членами ^wK называется абсолютно сходящимся. если ряд 2 I wn\*сходится. Из критерия Коши сразу следует, что абсолютно сходящийся ряд сходится. Для абсолютной сходимости ^wK. где wn = ип + + wn. очевидно необходима и достаточна абсолютная сходимость рядов 2^71 И 2^, ибо
|^п | ]
ь, I t<|^n|<|Wn| + kn|.
Если ряд 2 wk абсолютно сходится, то при любой перестановке членов факт абсолютной сходимости и величина суммы не меняются. Это следует из последнего замечания, если считать, что для рядов с действительными членами теорема уже известна.
В абсолютно сходящихся рядах с комплексными членами разрешается любая группировка членов (в одну группу может попадать как конечное, так и бесконечное число членов). Этот факт можно установить прямым путем, но он получается как следствие, если для абсолютно схо-
дящихся рядов с действительными членами его считать из вестным.
Абсолютно сходящиеся ряды с комплексными членами можно почленно перемножать. Это можно доказать прямым путем, но этот факт получается сразу, если считать его уже установленным для рядов с действительными членами. В самом деле, пусть 2 ^п и S wn абсолютно сходятся, ^п = wn + iv^ Wu = u„ + iVn. Тогда 2“n. S^n, Sun, S^n абсолютно сходятся и затем
^wk^wt = C^jUk-v 1^иЛ(Уи’1i^v’A =
к lx кк 'x Il
— 2“*2“/—2уе2у<+ч2“*2и + 2^2^) = ktkt> k IKI
=2 uk“i — 2 vkVi+1 (2 u*^+2 w —
KJKJXKtlKJ z
= 2 \№ — vkv£ + i k^kVi + vkUi)\ = 2 »№•
KJKtl
Степенные ряды
Степенным рядом называется ряд вида
+°°
«О + а12 + «З2® + ••• + «п2” + — ИЛИ 2 «п2”, (3-8) п=0
где ан — любые комплексные числа, z — комплексное переменное.
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится для некоторого значения переменного, то он абсолютно сходится для всех значений переменного с меныиим модулем.
Это значит, что если S anZo сходится, |2|<|z0|t то ^апхп абсолютно сходится.
Доказательство. Так как ряд ^anZo сходится, то его члены стремятся к нулю и, следовательно, ограничены, т. е. найдется такое число К, что для всех п
I Яп^О К ^ •
Если I z КI z01, то число а = -тЩ- < 1 и
l«nZ"| = | <^(-L)"| = |anzon| ^-^<Kq".
Но числа Кд11 образуют убывающую геометрическую прогрессию, значит, ряд ^Кдп сходится, но тогда на основании принципа сравнения рядов с неотрицательными членами ряд Xl ^n2nl сходится,.следовательно, ряд ^а^ абсолютно сходится, что и требовалось доказать.
Следствие. Если степенной ряд расходится (или неабсолютно сходится) для некоторого значения переменного^ то он расходится для всех значений переменного с бблыиим модулем.
Это,значит, что если Svo расходится или неабсолютно сходится, |z| > | z0 |, то l^anzn расходится.
В самом деле, если бы ряд ^anzu сходился, то по теореме Абеля (так как | z0 | < I 2 I) РЯД 3 dnZo был бы абсолютно сходящимся, что противоречит условию.
Область сходимости степенного ряда. Рассмотрим какой-нибудь ряд, члены которого зависят от г. Те значения г, для которых рассматриваемый ряд сходится, называются точками сходимости ^го; те значения z, для которых рассматриваемый ряд расходится, называются точками расходимости его. Совокупность всех точек сходимости называется областью сходимости рассматриваемого ряда.
Теорема Абеля позволит решить вопрос об области сходимости степенного ряда.
Пусть ^а^ —- какой-нибудь степенной ряд. Логически возможны следующие три случая:
все положительные числа суть точки сходимости;
все положительные числа суть точки расходимости;
существуют положительные точки сходимости и положительные точки расходимости.
В первом случае в силу теоремы Абеля* данный степенной ряд сходится (абсолютно) для всех значений z (так как для любого комплексного числа z найдется положительное число большее, чем | z |). Следовательно, область сходимости есть вся плоскость комплексного переменного.
Во втором случае в силу следствия из теоремы Абеля данный степенной ряд расходится для всех значений z =^= О (так как для любого комплексного числа z =£ О найдется положительное число меньшее, чем | z |). Следовательно, область сходимости состоит из одной точки 0.
В третьем случае найдется положительная точка сходимости гг и положительная точка расходимости Д1е Если п 4- Ri п 4- Ri
-42Е—L есть точка сходимости, то положим г2 = ——~—-,
7*1 1 ~ R1
R^ = R^ если же —~—есть точка расходимости, то положим r2 = r1? R^ = ^-у^-. Таким же образом, исходя из г2, ^2, введем числа r3, R3 ит. д. В результате получим неубывающую последовательность положительных точек
сходимости
П < Г 2 < Г3 < ...
и невозрастающую последовательность положительных точек расходимости
Ri — п2п-1Ri — п2п-1причем Rn — гп =причем Rn — гп =0. Следовательно, обе назван0. Следовательно, обе названД1 ^ /?2 ^ Из 2^ •••>
Ri — п2п-1
Ri — п2п-1
причем Rn — гп =
причем Rn — гп =
0. Следовательно, обе назван
0. Следовательно, обе назван
ные последовательности имеют общий предел
lim rn = lim Rn = R.
Если | z | < R, то | z | < гп при достаточно большом п и, следовательно, в силу теоремы Абеля 2 есть точка сходимости. Если | z | > Я, то при достаточно большом п | z | > Rn и, следовательно, в силу следствия из теоремы Абеля, 2 есть точка расходимости. Таким образом, внутри круга радиуса R с центром 0 ряд сходится (абсолютно), вне этого круга ряд расходится. Вопрос о точках, лежащих на окружности, остается открытым. Область сходимости степенного ряда есть, таким образом, круг радиуса R с центром О (точнее, внутренность этого круга плюс, быть может, некоторое множество точек окружности). Этот круг называется кругом сходимости. Радиус его называется радиусом сходимости.
В первом и втором случаях следует считать соответственно R = оо и R = 0 (круг сходимости соответственно обращается во всю плоскость или вырождается в точку).
Во всех точках внутри круга сходимости степенной ряд абсолютно сходится.
Если в некоторой точке на окружности круга сходимости степенной ряд абсолютно сходится, то он сходится
абсолютно во всех точках окружности круга сходимости (ибо модули членов степенного ряда для всех точек этой окружности соответственно одинаковы).
Если в некоторой точке на окружности круга сходимости степенной ряд либо неабсолютно сходится, либо расходится, то в каждой точке этой окружности он либо неабсолютно сходится, либо расходится.
Рассмотрим теперь ряд
+ т+т + - + -^- + - ™ 2^- (3-8')
Полагая £ = 1/s, превратим этот ряд в степенной ряд 2&п£п с некоторым радиусом сходимости р. Тогда при о
15 | < р ряд сходится, при | £ | > р расходится. Сле- довательно^ ряд (3.8') при | z | > 1 /р
Рис. 24.Рис. 24.сходится, при | ^| <С 1/р расходится. Полагая г = 1/р, найдем, что область сходимости ряда (3.8') есть «внешность» круга (рис. 24) радиуса т с центром О (точнее, внешность этого круга, плюс, быть может, некоторое множество точек окружности). Сходимость ряда (3.8') во всех точках вне упомянутого круга —- абсолютная.
Рис. 24.
Рис. 24.
Рассмотрим теперь ряд, бесконечный в обе стороны,
Ооп о1
-•4—^ + ••• 4—г- 4—;—И ао + aiz 4- д2г2 4- •••
Z ‘Z2
••• + лп2п + ... (3.8")
или
4-00
2
Ряд, бесконечный в обе стороны, считается сходящимся, если сходится ряд, составленный из членов, лежащих правее некоторого члена, и ряд, составленный из членов, лежащих левее некоторого члена (очевидно, нет надобности
указывать номер этого некоторого члена, так как при другом выборе его упомянутые два ряда изменятся на конечное число членов и, следовательно, их поведение не изменится). Таким образом, ряд (3.8") сходится тогда и только тогда, когда одновременно сходятся оба ряда
4-00
«о + а^ + a2z2 + ... + а^ + ... или 2 а-^\
п=0
"Г" + ~F + ••• + "7Г + ••• или S ~г(или S anZn). ZП=12 х -001
Область сходимости первого из этих рядов есть внутренность некоторого круга радиуса R с центром О. Область
Рис. 25.Рис. 25.сходимости второго ряда есть внешность некоторого круга радиуса г с центром О. Если r<<R^ то общая часть упомянутых областей сходимости есть кольцо с центром О (рис. 25). В этом случае область сходимости ряда (3.8") есть кольцо, ограниченное двумя окружностями с центром О (плюс, быть может, некоторое множество точек, лежащих на ограничивающих окружностях). Это кольцо
Рис. 25.
Рис. 25.
называется кольцом сходимости ряда (3.8"). Внутри кольца сходимости сходимость ряда (3.8") — абсолютная. Если г > Я, то ряд (3.8") не имеет точек сходимости, если г = Я, то ряд (3.8") может иметь точки сходимости только на окружности радиуса г = R.
Рассмотрим степенной ряд
^о ~h ^i (2 — л) Ч~ ^2 (^ — °^ 4~ •••
... + Лп(з — »У + ... или... + Лп(з — »У + ... или^АДг-ау. ^т)^АДг-ау. ^т)
... + Лп(з — »У + ... или
... + Лп(з — »У + ... или
^АДг-ау. ^т)
^АДг-ау. ^т)
Полагая § = z — а, превратим этот ряд в ряд 2 ^«2” с о некоторым радиусом сходимости R. Возвращаясь к переменному z, найдем, что область сходимости ряда (3.8'”)
вать рядвать рядесть круг (рис. 26) радиуса R с центрам а (точнее, внутренность этого круга плюс, быть может, некоторое множество точек окружнос- лти). Этот круг называется кругом сходимости ряда (3.8"'), его радиус— радиусом сходимости (при R = + оо получаем всю плоскость, при R = 0 круг вырождается в точку а). Внутри круга сходи- Теперь будем расматри-
вать ряд
вать ряд
-+^^ + - + t^ + -4« + ^(«-“) + -
+ 00
... + Аи (2 — а)п + ... или 2 ^п (г — ау\ (3.8"")
Полагая ^ — z — а, превратим этот ряд в ряд ^ Ап£пе
Если он имеет кольцо сходимости г < | £ | < Я, то область сходимости ряда (3.8"") будет кольцом, ограниченным окружностями радиусов г и R с центром а (рис. 27). Это кольцо называется кольцом сходимости ряда (3.8""). Внутри этого кольца сходимость ряда (3.8"") — абсолютная.
Показательные, гиперболическиеи тригонометрические функциикомплексного переменного
Для любого комплексного числа z определим функции е\ chz, shz, cos z, sin z
как суммы тех степенных рядов, в которые разлагались эти функции, когда переменное z было действительным. Так как соответствующие степенные ряды были сходящимися на всей числовой прямой, то (в силу теоремы Абеля) они будут сходиться на всей плоскости комплексного пере-
менного. Таким образом, полагаем по определению для любого комплексного z:
п=о4-00
«Ь«-1+т + тг + -- 2^'.(8.10)
4-00
»3—2П+1
shz=z+ "зр + "sr + — = 2j ^ + ^j ;(3.11)
п=0
+ЗН!)"^;(3.12)
п—О
4- ооу2П+1
sinz^z~^ + ^ —... = 3 (^ir-^T^i^ (3е13)
Из этого определения видно, что для действительных значений z эти функции получают уже известные значения. Затем видно, что ch z, cos z — четные [т. е. обладающие свойством / (— z)=/ (z)], sh z, sin z — нечетные [т. e. обладающие свойством / (— z) = — / (z)].
Формулы Эйлера. При любом комплексном z в силу (3.9), (3.12), (3.13) имеем
1+ 2| + з| + 4| + 5| + -
л , . Z2 . Z3 , Z4 ,. Z6
— 1 -Viz — г 3| +"4р+ 1-5Г
/, Z2 , Z4\ X Л Z3 , Z5\
- -~"2Г+'4Г~ l\Z“ 3! -г 5!
= cos z + i sin z.
учитывая, что в абсолютно сходящемся ряде допустима любая группировка членов.
Таким образом, получаем формулу Эйлера
e»z = cos z + i sin z.e»z = cos z + i sin z.(3.14)(3.14)
e»z = cos z + i sin z.
e»z = cos z + i sin z.
(3.14)
(3.14)
Заменяя z на — z, получим:
e~iz = cos z — i sin z.-
Почленное сложение и вычитание двух последних равенств дает:
^iz ^- е-гг = 2 COS 2; Siz — вЧх = 2t Sin Z, откуда
J* I p-izAZ -tz
cos z =i; sin z =^•(3.14')
Эти формулы также называются формулами Эйлера.
С помощью формулы Эйлера (3.14) тригонометрическая форма комплексного числа (3.1) принимает вид
z = ге^,(3.15)
где г — модуль z, <р — аргумент z.
Выражение (3.15) называется показательной формой комплексного числа z.
Связь между показательной и гиперболическими функциями. Имеем при любом комплексном z в силу (3.9), (3.10), (3.11):
е —l+z + -2!" + -3f + -4y + -5r+ —
1 +^г + "4Г + -) + (2 + "зГ + "5Г+ ..J=chz4-shz.
Заменяя z на — z, получим:
е~г = chz — shz.
Почленное сложение и вычитание двух последних равенств дает:
ег + е~г = 2 ch z; ег — £-z = 2 sh z, откуда
ch z = e ^-—; sh z = e —^—.(3.16)
Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями. Из (3.10), (3.12) следует:
chZz = l + ^- + -^ + ... = l-^r + -^r + ...=cosz
и аналогичнои аналогичноcos fz = ch z.cos fz = ch z.
и аналогично
и аналогично
cos fz = ch z.
cos fz = ch z.
Из (3.11), (3.13) следует:
к .., l3z3 , l5Z5J z3 . z5 \. .
shiz = tz + -3r +‘^г + - = ^2”"зГ + ЗГ-" smz
и аналогично sin iz = i sh z.
Таким образом, ch iz = cos z, cos iz = ch z; ),~ ._
sh iz = i sin z, sin iz — i sh z. |
Формулы (3.17) также непосредственно получаются из (3.14') и (3.16).
Теорема сложения для показательной функции. Имеем, учитывая правило умножения абсолютно сходящихся
рядов;
ez*ez« = 2 мНоez*ez« = 2 мНо-2И i*Ln=o fc+Z=n-2И i*Ln=o fc+Z=n
ez*ez« = 2 м
Но
ez*ez« = 2 м
Но
-2И i*Ln=o fc+Z=n
-2И i*Ln=o fc+Z=n
2 "ШГ 2^ — 2 fc! (д _ *)[ 21га 6 — 21 C^iza — (Z1 + za)n k+/=n/f=o vk—о
(формула бинома Ньютона). Следовательно,
eziez2 = ^ — ^zY + z2)n = ew». n=0
Таким образом, доказана теорема сложения для показательной функции:
ех^гг = ^z^za(3.18)t
Отсюда видно, что показательная функция ег нигде в нуль не обращается. В самом деле, если бы eZi = 0, то для любого z ег = в2^^^1 = Ое2-21 = 0, но это нелепо, так как е° = 1.
Теорема сложения для тригонометрических функций.
Учитывая (3.14'), (3.18), (3-14), получаем:
z , _хetz'eiz* + e-1Z1e"<z-
COS Ux + Z2) ^21=
(COS 21 + t sin 21) (COS 22 + i sin 22) ,-2+
. (COS 21 — I sin 21) (COS 22 — I sin 22)
+ -- = cos Zi cos z2 — sin zx sin z2;
J(zi+z»>p-i(Zi+z4) J.Z1 1Z1p-izi-iz2
«in fa+zs) - 2_2;„
(cos zi + ^ sin 2i) (cos 22 + i sin 22)
“2i
(cos 2i — i sin 21) (cos 22 — i sin 22).
—-— - = sin Zx COS Z2 + cos zx sin z2.
Таким образом, доказаны теоремы сложения для косинуса и синуса:
cos (zx + z2) = cos Zi cos z2 — sin Zi sin z2; ) /0 4 n\
sin (zi + z2) = sin zx cos z2 + cos zx sin z2.J
Теоремы сложения для гиперболических функций.
Из (3.17) и (3.19) находим:
ch (Zi + г2) = cos г (zT + z2) = cos izx cos iz2 —1
— sin izx sin iz2 = ch zx ch z2 — I sh zxi sh z2 =
= ch zx ch z2 + sh zx sh z2;
,4 sin 1(214-22) sin 121 COS 122 + COS 121 sin 123 I (3.20)
Sh (ZX + Z2) = = :=
i sh 21 ch 22 + ch 2i i sh 23,•,11
=^y = sh zx ch z2 + ch zx sh z2.
Периодичность. Показательная функция ег имеет период 2лг. В самом деле,
ег*ш ~ е?еш — ez (COg 2л+ г sin 2л) = ег.
Отсюда следует, что ch z, sh z (как выражающиеся через ez) имеют также период 2л,1. Далее, функция егг имеет период 2л, так как
^i(z+2n) ^iz+2ni —= 5^z
следовательно, cos z, sin z (как выражающиеся через eu) имеют также период 2 л.
Некоторые многозначные функциикомплексного переменного
Логарифмы комплексных чисел. Число w называется логарифмом комплексного числа z (по основанию еу если ew = 2. Всякое значение логарифма числа z обозначим знаком Lnz. Пусть z=^=0 (нуль, очевидно, не имеет логарифма, так как показательная функция в нуль не обращается). Пользуясь показательной формой данного числа z, z = = re^ (г — модуль, ф — аргумент) и алгебраической формой искомого числа w^ w = и +. w, получим требование
^u+io __ г^ф или euetD __ re^^
откуда еи = г, и = ф + 2кл. (к — целое число) и, следовательно,
w = In г + I (ф + 2 Ал).
Обратно, при всяком целом к последнее выражение, как непосредственно видно, есть значение логарифма числа z. Таким образом, Ln z, где z=£=0, имеет бесконечно много значений, причем все они получаются по формуле
Ln-z = In г + г (ф + 2 Ал)(3.21)
(А — произвольное целое число) или
Lnz = In |z | + i Argz.(3.2Г)
Отсюда видно, что все значения Ln z получаются из какого-нибудь одного (Lnz)0 по формуле
Ln z = (Ln zj0 + 2 Ал/(3.21")
(А — произвольное целое число).
Легко видеть, что обычные правила логарифмирования остаются в силе.
Степени с комплексными основаниями и комплексными показателями. Пусть А и В — любые комплексные числа (где А Ц=Оу Полагают по определению
А® — ^НЬпА^
Отсюда видно, что эта степень, вообще говоря, имеет бесконечно много значений (так как Ln А имеет бесконечно много значений). В случае, когда В есть действительное целое число, значения показателя В Ln А правой части
отличаются между собой на кратные от 2 л/, и, следовательно, Ав имеет в этом случае одно значение.
Пример.
1г = егЬпг = е v 2' = е 2'
(А — любое целое).
Обратные тригонометрические функции. Пусть z — какое-нибудь комплексное число. По определению Arcsin z есть любое комплексное число w такое, что sin w = z. Следовательно, приходим к уравнению
?W _ r<w
ИЛИ
e2tw _ ^ize^ — 1 = 0,
решая которое, получим:
= iz + У1 — z2 ;
w = -у- Ln (iz + "У 1 — z2).
Таким образом, все значения арксинуса даются формулой , Arcsin z = -~- Ln (iz + УЧ — z2).(3.22)
Многозначность этой функции происходит от двух причин: двузначности квадратного корня,бесконечнозначно- сти логарифма. Выражение (3.22) имеет смысл для всех значений z, ибо выражение, стоящее под знаком логарифма, всегда отлично от нуля.
Далее, Arccos z есть любое комплексное число w такое, что cos о? = z, следовательно, получаем уравнение
ИЛИ
e2t*w _ 2ze^ + 1=0, откуда
eiw = z + f^z2 — 1; w = Ц- Ln (z + y^z2 — 1).
Таким образом, все значения арккосинуса даются формулой
Arccos z = -р Ln (z + l^z2 — 1).(3.23)
Многозначность этой функции происходит от двух причин: двузначности квадратного корня и бесконечнознач- ности логарифма. Выражение (3.23) имееет смысл для всех значений z, так как выражение, стоящее под знаком логарифма, имеет смысл для всех значений z и так как это выражение всегда отлично от нуля.
Рассмотрим еще Arctg z, определяемый как любое такое число w, что tg w = z. Имеем:
в™ _ e-W:= Zi ^w + e“w)
или
e2<w — 1
—1= tz:
62lW + i
следовательно,
14-iz I — 21 r I — 2
в»* = т.=—. w = Ln —.
— lz I + 2I 4-2
Таким образом,
Arctg z=-1-Ln 4^-.(3.24)
Многозначность этой функции происходит от многозначности логарифма. Выражение (3.24) теряет смысл при z = = ± L
Обратные гиперболические функции. По определению Arsh z есть любое такое комплексное число w, что sh w = = z. Имеем;
ew - e"w2 ~zили
52W _ 2zew — 1=0, откуда
ew = z + V ^ + 1; ю = Ln (z + V ^ + 1).
Таким образом,
Arshz = Ln (z + V z4 + !)•(3.25)
Далее, Arch а есть любое такое w, что eh w = а. Тогда ,ю I ,-ю
- ^ — = а; е™ — 2ге® + 1=0;
ew = а + V^ — 1;. ю = Ln (z + У а1 — 1), следовательно,
Archz = Ln(z + V аг — 1).(3.26)
Затем, Arth а есть по определению любое такое w, что th w = а. Тогда
6W — e-W С2Ю —1
ew+e-w -z; e2w + 1 -z;
e2W ^• w = Ln —J— .
— z21 — z
Следовательно, Аг1Ьг = -^-Ьпу±^.(3.27)
Это выражение теряет смысл при z = ± 1.
В теории аналитических функций многозначные функции целесообразно рассматривать как однозначные на некоторых многолистных поверхностях (так называемых римановых поверхностях). Не имея возможности привести здесь какое бы то ни было общее определение этих поверхностей, ограничимся примерами наглядного построения этих поверхностей для простейших многозначных функ- п ций Vz, Ln z.
Рассмотрим п экземпляров плоскости комплексного переменного z (которые занумеруем числами 1, 2, ..., п), разрезанных по положительной части действительной оси, и склеим их следующим образом: нижний край разреза первого экземпляра склеивается с верхним краем разреза второго экземпляра, нижний край разреза второго экземпляра — с верхним краем разреза третьего экземпляра ит. д., нижний край разреза (л — 1)-го экземпляра — с верхним краем разреза n-го экземпляра, наконец, нижний край разреза п-го экземпляра — с верхним краем разреза первого экземпляра (последнее склеивание невозможно сделать без пересечений). В результате получится и-листная поверхность, с точкой разветвления над 0. Описывая простой замкнутый контур, охватывающий точку О, мы после каждого обхода будем попадать на следующий лист и после п обходов придем в первоначальное положение, и-значную функцию п
V2 на обычной плоскости комплексного переменного можно рассмат-
ривать как однозначную на построенной м-листной поверхности, п
Это будет риманова поверхность для Vz.
Рассмотрим теперь бесконечное множество экземпляров плоскости комплексного переменного (пронумерованных с помощью всех целых чисел ^ 0) с разрезами по положительной части действительной оси. Для каждого целого п склеим нижний край п-го экземпляра с верхним краем (п + 1)-го экземпляра. В результате получим бесконечнолистную поверхность. Обходя замкнутый контур, охватывающий точку 0, в любом направлении любое число раз, мы будем всякий раз попадать на новые листы и никогда не вернемся в первоначальное положение. Бесконечнозначную функцию Arg z на обычной плоскости комплексного переменного можно рассматривать как однозначную на построенной бесконечнолистной поверхности. Тогда на этой же поверхности Ln z можно рассматривать как однозначную функцию (эта поверхность является римановой поверхностью для Ln z).
§ 6. Производная функции комплексного переменного
Производная комплексной функции действительного переменного. Пусть z (Q = а; (0 + гу (t) — комплексная функция действительного переменного I.
Эта функция называется непрерывной в точке Z, если для всякого в )> 0 найдется такое т) > 0, что при |А^| <2 < ц имеем | z (^ + АО — z (О | < е. Для непрерывности z (О в точке t необходима и достаточна непрерывность функций х (0 и у (t) в точке I.
Производная от z (О в точке t есть по определению
если он существует, и обозначается dz]dt или z' (0. Из определения следует, что для существования dz/dt необходимо и достаточно существование dx/dt и dyldt, причем
dz dx ] . dydt dt * 1 dt
Определение производной функции комплексного переменного. Пусть w = / (z) — функция комплексного переменного Z.
Эта функция называется непрерывной в точке z, если для всякого 8 > 0 найдется такое т) > 0, что при | Az | < ц
(если z + Az] входит в область определения функции) имеем | ^W |< 8.
Производная от w = / (z) в точке z (функция предполагается определенной в окрестности этой точки) есть по определению
lim = limAz-M)Az-H)lim = limAz-M)Az-H)/ (z + Az) — / (z)Az/ (z + Az) — / (z)Az
lim = lim
Az-M)Az-H)
lim = lim
Az-M)Az-H)
/ (z + Az) — / (z)Az
/ (z + Az) — / (z)Az
если он существует, и обозначается dw/dz или f. (z).
Для существования производной в точке z необходима непрерывность функции в этой точке.
Далее, будем говорить, что функция дифференцируема в точке z, если из приращения функции в этой точке
/ (z + Az) — / (z)
может быть выделена главная линейная часть, т. е. такая часть вида С Az (где С — некоторое комплексное число), что оставшаяся часть будет бесконечно малой высшего порядка относительно Az. Таким образом, / (z) дифференцируема в точке z, если существует представление
/ (z + Az) — / (z) ^ С Az + у (Az) Az,
где у (Az) -> 0 при Az -> 0.
Отсюда следует, что
а это значит, что в рассматриваемой точке / (z) имеет производную f (z) = С.
Обратно, если функция/(z) имеет производную в рассматриваемой точке, то
Z<i±^w_/-M + T(M,
где у (Az) -> 0 при Az -> 0, откуда
/ (z + Az) — / (z) = f (z) Az + у (Az) Az, и, следовательно, в рассматриваемой точке функция / (z) дифференцируема.
Таким образом, существование производной и диффе- ренцируемос№ в точке — явления эквивалентные.
Напоминание о полдом дифференциале функции двух действительных переменных. Функция и (х, у) называется дифференцируемой^ или имеющей полный дифференциал в данной точке xs у (функция предполагается определенной в окрестности этой точки), если из полного приращения функции в этой точке
и (х + Дх, у + Ду) — и (х, у)
может быть выделена главная линейная часть, т. е. такая часть вида ЛДх+ В^у (где А и В — некоторые числа), что оставшаяся часть будет бесконечно малой высшего порядка относительно V Дх2 + Ду2. Таким образом, и (х, у) дифференцируема в точке (х, у), если существует представление
и (х + Дх, у + Ду) — и (х, у) =
= А Дх + В^у + у (Дх, Ду) V ^ + Ау2> где
V (Дж, Ду) -» 0 при 55 - 0.
Тогда (беря Ду = 0)
и (х + Дх, у) — и (х, у) = АДх + у (Дж, 0) | Дх |;
м(х + Дж, у) —у) „ ,„. л
—д^= А ± у (Дх, 0) -^ А при Дх ~> 0,
откуда видно, что в рассматриваемой точке функция и (х, у) имеет частную производную по х, причем ди/дх = А. Аналогично обнаруживается существование частной производной по у и равенство ди/ду = В.
Таким образом, главная линейная часть полного приращения ди ди
функции и . х, у) равна Дх + Ду. Она называется полным дифференциалом функции и (х, у) в данной точке. Обозначая полный дифференциал знаком du, а приращения независимых переменных ди ди
знаками, dx и dy, получим формулу du = dx + dy.
Мы видим, что из существования полного дифференциала вытекает существование частных производных. Обратное неверно, т. е. может случиться, что частные производные в точке существуют, а полного дифференциала в этой точке не существует. Тем не менее, если частные производные существуют в окрестности рассматриваемой точки и, кроме того, в данной точке непрерывны, то в данной точке существует полный дифференциал.
В самом деле, используя формулу Лагранжа, получим:
Цх + Дх,у + Ду) — и (х,у) = [и (х + Дж,у + Ду) — и(х,у + Ду)] + (и (х, у + Ду) — и (х, у)] = и^ (х + 0Дх, у + Ду)Дх +
+ UV (ж, у + 01Ду)Ду == [ия' (х, у) + а]Дх + \и-у (ж, у) + Р1 Ду = = ^х (ж, у)Дх + иуг (х, у)Ду + аДх + рДу;
А 0. а)л Дж )
0<л < 1; л >->0 при У-»0.
01 PJAt/J
Но
I ^'^ |<1«1 + 1»Н0£}~0;
I у Д^2 + Ду2 IДу J
следовательно, м/(ж, y)Ax+uv' (х, y)hy является главной линейной частью полного приращения и, таким образом, полный дифференциал существует.
Необходимые условия дифференцируемости функции комплексного переменного. Пусть
W = / (z) = и (я, у) + tv (х, у)
есть функция комплексного переменного z = х + гу, дифференцируемая в данной точке z.
Так как в данной точке / (z) дифференцируема, то в этой точке и (х, у) и и (х, у) тоже дифференцируемы. В самом деле, если из приращения Д?у = / (z + Az) — / (2) может быть выделена главная линейная часть, то действительная часть и коэффициент при г в ней суть соответственно главные линейные части полных приращений
\и = и ^х + Дж, у + Ду) — и (ж, у) и
Ду = у (ж + Дж, у + Ау) — у (ж, у).
Если смещенная точка z + Az будет стремиться к z по горизонтальному пути, то в выражении
Az = Дж + гДу
следует положить Ду = 0; тогда
Aw Ам 4- ^Ау Ам , . Ay дм . , 5у Az АжАж ’ Аж дж ' дж
Если смещенная точка стремится к z по вертикальному пути, то в выражении
Az = Дж + г’Ду
следует положить Аж = 0. Тогда
Aw Ам + iAv _ Ду • ku dv . ди М Iky " ky 1 ду 1 ду
Следовательно, для существующей по условию производной f (z) получим выражения:
,г , хди dvdv.ди
J Wдж ‘ 1 джду1 ду ’
откудаоткуда(3.28)(3.28)du dp , до■ ди дх — ду ’ дх — ду *
откуда
откуда
(3.28)
(3.28)
Уравнения (3.28) называются условиями Коши — Римана.
Достаточное условие дифференцируемости функции комплексного переменного. Пусть и (х, у) и v (х, у^ дифференцируемы и удовлетворяют условиям Коши — Римана в данной точке. Тогда (ниже р} -> 0 при др}->0) имеем:
ди ди,
_ Ди + гДр _ ^А^-^Ау + аУД^АУ8 Az Аж + iAyАж + i Ay*
(
до dor\
"d? А» + "^ Ду + P КД^ + Ду^
**Да: -f- 1Ду
ди до (до ди \г —
_^Да:-^Ду-н(-07А* +э7Ау)+(“ + «Р) /Д^ + Ду* _ “Аж + iAy
("ЗГ + 1 '37)(Дж + £АУ) + (“ + £Р) /Ах2 4- ДуаДж j Ду
— ^“ । I <g + V ^ + А#а " дх ~* 1 дх ‘Аж + ДУ
Но
а+ад^+^^/зг+р^о пр- М-о,Аж + tAyI г 1 гДу J
следовательно,
Awди . . до
^г-^ Дгаж аж
т. е. f (z) существует.
Итак, для дифференцируемости функции комплексного переменного м; = / (z) = ^ (д:, у) + iv (х^ у) в данной точке необходимо и достаточно^ чтобы в этой точке и (х, у) и v (х, у) были дифференцируемы и удовлетворяли бы условиям Коши — Римана (3.28).
Для f (2) имеем формулы
/z / \ du ।/ ^ = *э^/z / \ du ।/ ^ = *э^. dv dy. . ди• ди.даdv.. dv
/z / \ du ।/ ^ = *э^
/z / \ du ।/ ^ = *э^
1 дхду ^ дудх1 дуду'1 дх •
(3.29)
Пример. Пусть / (z) — ez — ex cos у + iex sin у. Все условия, очевидно, выполнены, и из (3.29) получим f (z) = ег.
Производная сложной функции. Пусть w = = / (z), z = Ф (£); тогда w = / [ф (9L Из равенства
(3.30')(3.30')(3.30)(3.30)kw ^U) &Z
(3.30')
(3.30')
(3.30)
(3.30)
аГ = 'аГ^
при А£ -> 0 находим в пределе dw dw dz
предполагая, что ф дифференцируема в точке £, / дифференцируема в точке z = ф ©.
dz
Вывод формулы (3.30) является законным, когда -^ =£ 0, так как тогда при Д£ достаточно малом будем иметь Az =/= 0, и запись . dz
(3.30') имеет смысл. Если в данной точке-^- — 0, то доказатель
ство нуждается в поправках. Если существуют как угодно малые А?, для которых Az 4= 0, то из (3.30') следует, что при стремлении
А£ к нулю по таким * значениям отношение -^ стремится к
dw dz dw
*3—^ = -3—0 = 0.dz d^ dz
Для тех значений A£, для которых Az = 0, очевидно, Au? = = 0, поэтому, если существуют как угодно малые А£, для которых Az — 0, то при стремлении Д£ к нулю по таким значениям отноше- Au?kw
ние - д^- тоже стремится к нулю. Таким образом, ~д7~ стремится к dw'
нулю при А£ -> 0, поэтому-^ существует и равно нулю, а так как в рассматриваемом случае правая часть формулы (3.30) тоже равна dz
нулю, то формула (3.30) справедлива и в случае -^ = 0.
Формально техника дифференцирования элементарных функций комплексного переменного не отличается от таковой для функций действительного переменного, и мы не будем останавливаться на ней. Заметим еще, что если 2 (0 — комплексная функция действительного перемен-
ного, / (z) — комплексная функция комплексного переменного, то / [z (/)] будет комплексной функцией действительного переменного. Рассуждая, как при выводе формулы (3.30), получим
{/ к (£)]}' = f [z (^)] z' (0 (3.31)
в предположении существования производных, фигурирующих в правой части.
Аналитические и гармонические функции
Множество точек на плоскости называется открытым, если вокруг каждой его точки можно описать круг, целиком лежащий в рассматриваемом множестве. Открытое множество называется областью, если всякие две его точки можно соединить непрерывной дугой, лежащей в рассматриваемом множестве. Граничной точкой области называется точка, не принадлежащая области и такая, что в любой близости к ней имеются точки рассматриваемой области. Совокупность всех граничных точек области называется границей области. Если к области присоединить ее границу, то полученное множество точек называется замкнутой областью. Множество точек на плоскости называется ограниченным, если его можно поместить на некотором круге достаточно большого радиуса.
Примеры. Внутренность простого замкнутого контура есть ограниченная область. Внутренность простого замкнутого контура вместе с точками самого контура образует ограниченную замкнутую область.
Если С — простой замкнутый контур, Ct1 С^ ..., Сп — простые замкнутые контуры, лежащие внутри С, но вне друг друга, то множество точек, лежащих внутри С, но вне всех Сп С2, ..., Си, есть ограниченная область. Вся плоскость, полуплоскость, полоса между параллельными прямыми, внутренность угла дают примеры неограниченных областей.
Функция комплексного переменного / (z), определенная в области D и дифференцируемая в каждой точке этой области, называется аналитической в области D.
Функция двух действительных переменных и (х, у), определенная в области D, имеющая в этой области непрерывные частные производные до второго порядка
включительно и удовлетворяющая уравнению Лапласа
(3.32)(3.32)д2м . д^и . а
(3.32)
(3.32)
называется гармонической в области D.
Между аналитическими и гармоническими функциями имеется простая связь.
Действительная часть всякой аналитической функции есть гармоническая функция.
В самом деле, пусть
/ (z) = и (ж, у) + iv (ж, у)
есть аналитическая функция в области D. Будем предполагать, что и (х, yY v (ж, у) имеют непрерывные частные производные до второго порядка включительно в области D (заметим, что это предположение не является ограничением, ибо так всегда будет, но из самого определения аналитической функции этого непосредственно не видно). Дифференцируя уравнения Коши — Римана
ди ду ди _ ду_
дхду ’ ду.дх
соответственно по х и по у и учитывая независимость частных производных от последовательности дифференцирований, получим:
д^и. . д^и д I ди\ . д I ди\ д (^\\ ^ /ду \
дх2 * ду2дх \дх / ‘ ду \ду /дх\ду /ду \дх )
д2у дхду дх ду ’
следовательно, и ^х, у) есть гармоническая функция в области D.
Очевидно, v (ж, у) будет тоже гармонической, ибо является действительной частью для — if (z) = v (х, у^ — — iu (х, yY
В случае односвязной области D (область называется односвязной' если всякий непрерывный замкнутый путь, лежащий в этой области, можно непрерывной деформацией стянуть в точку, не выходя из области) справедливо обр атное предложение.
Всякая гармоническая функция в односвязной области D является действительной частью некоторой (однозначной) аналитической функции.
В самом деле, если и (ж, у) — гармоническая функция в области D, то можно найти такую функцию и (ж, у), которая связана с и (ж, у) уравнениями Коши — Римана
д»ди ди ди
"дх"ду ’ "ду “ "дх ’
п ди А ди если заметить, что выражения /* = — — и (2 = — удов-
30дР п
летворяют условию -^^- = 0, так как
3QЗР__М&Лд_(_ам \ = З3и3^ _ 0
8хду дх\дх)ду\ду ) Зх3Зу3
Следовательно, и (х, у) + iv (х, у) есть аналитическая функция комплексного переменного z = х + iy в области D.
Гармоническая функция и (х, у) называется сопряженной для гармонической функции и (х^у). Мы видим, что если и (х, у) — гармоническая, то выражение — ^dx + +-^-d!y является полным дифференциалом и задача отыскания сопряженной гармонической функции есть задача интегрирования этого полного дифференциала. Сопряженная гармоническая функция определена с точностью до произвольного постоянного слагаемого.
Интеграл функции комплексного переменного
Простой интеграл от комплексной функции действительного переменного. Пусть / (/) — ф (t) + гф (/) — непрерывная комплексная функция действительного переменного t на сегменте t0^t^.T (рис. 28).
Разбив этот сегмент на части с помощью точек деления ^ (^о < ^i < ...< Ц < ^+1 < ... < tn_1) и взяв на каждой части какую-нибудь точку тк1 составим сумму
п—1
где Д^ = tm - tk.
Тогда предел этой суммы при стремлении к нулю наибольшей из разностей Доесть по определению интеграл
равенстваравенстват^f(t)dt. Из
равенства
равенства
/о
Н-Нг £ 4Н-Нг £ 4Ч111—1Г^ Чм, Ч-iЧ111—1Г^ Чм, Ч-iРис. 28.Рис. 28.2 / ^^ ^к —к= S ф (тк)д^ + IS 1|) (Тк) Мк2 / ^^ ^к —к= S ф (тк)д^ + IS 1|) (Тк) Мк
Н-Нг £ 4
Н-Нг £ 4
Ч111—1Г
^ Чм, Ч-i
Ч111—1Г
^ Чм, Ч-i
Рис. 28.
Рис. 28.
2 / ^^ ^к —
к
= S ф (тк)д^ + IS 1|) (Тк) Мк
2 / ^^ ^к —
к
= S ф (тк)д^ + IS 1|) (Тк) Мк
ввпределе получим формулупределе получим формулутттJ / (i) di = $ ф (i dt + I ^ф (i) dt.tototoтттJ / (i) di = $ ф (i dt + I ^ф (i) dt.tototo
в
в
пределе получим формулу
пределе получим формулу
ттт
J / (i) di = $ ф (i dt + I ^ф (i) dt.
tototo
ттт
J / (i) di = $ ф (i dt + I ^ф (i) dt.
tototo
Определение интеграла функции комплексного переменного; его выражение через криволинейные интегралы и простейшие свойства. Пусть / (z) — непрерывная функция комплексного переменного на некоторой кусочногладкой дуге АВ (рис. 29). Разобьем дугу АВ нЖ части; пусть комплексные числа, соответствующие точкам деления, будут zk. На каждой части возьмем точку, соответствующую числу ^ (в качестве ^, в частности, можно взять zj, и обра- п—1 зуем сумму S/(WAzfc> гДе к—о ^к ” zk+l — zk*
Предел этой суммы (при стремлении к нулю длины наибольшей
из частных дуг) называется интегралом от / (z) вдоль дуги АВ и обозначается знаком
f^dz.(3.33)
Легко выразить этот интеграл через обыкновенные криволинейные интегралы [отсюда будет вытекать и факт существования интеграла (3.33), если существование криволинейных интегралов считать известным].
Полагая / (z) = и (ж, у) + iv (ж, у); гк = хк + iyk, бу- дем иметь:
( / (z) dz = lim 2/ (zk) Azt =
AB .к
= lim 2 Iм (жк, Ук) + iv^k, У/t)! (^k + iNk) -
к
= lim2 Im(Ч, Ук) ^k — и^к» Ук) МкА + к
+ i lim2 [у (^ь Ук) ^k + “ ^k, Ук) ^Ук] = к
= J и dx — v dy + г ^ v dx + и dy. ABAB
Таким образом,
( f^dz= ^ udx—vdy-Vt ^ vdx -Vudy. (3.34)
ABABAB
Из такжеИз такженепосредственного определения интеграла (3.33), a из формулы (3.34) вытекает, что при перемене на-
Из также
Из также
правления пути интегрирования интеграл заменяется про
тивоположным числом: ’ если путь разбит на ВА АВ
части, то интеграл по всему пути равен сумме интегралов по его частям; интеграл по замкнутому пути не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода (в случае простого замкнутого контура можно употреблять обозначения ^ и ^, причем £ = -#>: постоянные множители выносятся за знак интеграла; интеграл суммы равен сумме интегралов.
Преобразование интеграла функции комплексного переменного в простой интеграл от комплексной функции действительного переменного. Если
у =у(А, f
суть параметрические уравнения дуги АВ, то z = z (t), где z (^) = х. ^ + iy (fy есть комплексное параметрическое уравнение дуги АВ. Тогда интеграл от функции комплексного переменного (3.33) может быть преобразован в
6 П. И. Романовский
простой интеграл от комплексной функции действительного переменного по формуле
(3.35)(3.35)/ (z) dz = ( / [z (£)] z' (t) dt
(3.35)
(3.35)
ABtj
[предполагаем z (О непрерывно дифференцируемой функцией от d.
Формулу (3.35) можно вывести непосредственно, а также получить ее из аналогичного правила для обыкновенных криволинейных интегралов следующим образом:
L и dx — vdy + t вL и dx — vdy + t вt2t2t2t2
L и dx — vdy + t в
L и dx — vdy + t в
t2t2
t2t2
=U + ip) ^ +1 ^dt = G (2) A dt = $ /[z(m 2' $ at.
dz
Пример» Найти у "2 _ а , где С — круг радиуса R с цент- с
ром а = а + гр. Параметрические уравнения этого круга суть
х = а + R cos ф, у = р + R sin ф,
следовательно, комплексное параметрическое уравнение будет z = = а + гр + R (cos ф + г sin ф) или z = а + Re^» Поэтому
е dz Т tRe^V dm
ф г_а = ^ —^15 ” г j <^Ф =2яг- (3.36) Соо
Если целое число п ^ —1, то
фу - a)ndz = ^ (/?ei:p)n ^Re1^' d<^ =
8о
,(п+1)<ф 2”
* Яп+1< \ е<п+1>{ф</ф - яп+1г=0. (З-Збо
5 v (» + 1Х о
Таким образом, при целом п
-А-т (6 (г— a^dz = 2Л1 ir-А-т (6 (г— a^dz = 2Л1 irJO пф- 1, Ц п = — 1.JO пф- 1, Ц п = — 1.(3.36")(3.36")
-А-т (6 (г— a^dz = 2Л1 ir
-А-т (6 (г— a^dz = 2Л1 ir
JO пф- 1, Ц п = — 1.
JO пф- 1, Ц п = — 1.
(3.36")
(3.36")
Оценка модуля интеграла. Если на кусочно-гладкой дуге АВ, имеющей длину L, имеем^/ (z)| ^ М, где / (z) — непрерывная функция комплексного переменного на дуге АВ, то
12 / (zk) Дг J < 21 / (z„) 11 ^zk К М 21 bzk |.ккК
Но | Azfe | есть расстояние между точками zk и zH1 и, следовательно, 21 ^zk * есть длина ломаной линии, вписан-
ной в дугу АВ, поэтому 21। ^ ^
к
Следовательно, 12 / (zfc) Ь$к I < М L, откуда в пределе
- | $ /(z)dzl<AfL.АВ- | $ /(z)dzl<AfL.АВ(3.37)(3.37)
- | $ /(z)dzl<AfL.
АВ
- | $ /(z)dzl<AfL.
АВ
(3.37)
(3.37)
Таким образом, модуль интеграла от непрерывной функции комплексного переменного вдоль кусочно-гладкой дуги не превосходит произведения длины дуги на максимум модуля подынтегральной функции на этой дуге.
Предельный переход под знаком интеграла. Пусть
/1 (^), /2 (2), -., /в 00, -
есть последовательность непрерывных функций комплексного переменного z на кусочно-гладкой дуге АВ (длины L), равномерно сходящаяся к / (z) на этой дуге (это значит, что для всякого е > О найдется такой номер N, что при п> N для всех z на АВ будем иметь | /п (z) — / (z) | < е). Функция / (z) будет непрерывна на АВ (это доказывается так же, как в случае действительного переменного). Тогда
lim J /n(z)dz = ( f(z)dz.(3.38)
^**°° АВАВ
В самом деле, взяв е > 0, найдем такое N, что нри п > *>N будет |/п (2) — / (я) | < в для всех 2 на АВ» Тогда по (3.37) получим:
I $ k^dz — j /(z)dz| = I J [/n(z) —/(z)]dz |<eZ, ABABAB
при Ппри ПN.N.
при П
при П
N.
N.
что и доказывает (3.38).
Основная теорема Коши
Пусть функция w = / (2) = и (ж, у) + tv (ж, у) аналитична в односвязной области D. Предположим, что частные производные первого порядка от и (х, у). v (ж, у), существование которых вытекает из аналитичности / (2), непрерывны в области D (заметим, что это предположение не является ограничением, ибо так всегда будет, но из определения аналитической функции этого непосредственно не видно). Пусть С — какой-нибудь кусочно-гладкий замкнутый путь, лежащий в D; тогда в силу (3.34)
^ / ^ da = ^ и dx — v dy + i ^ v dx + и dy;ссс
но в силу условий Коши —- Римана имеемно в силу условий Коши —- Римана имеемди дхди дхdvНуdvНуд (— у) ди дх "~" ду ’д (— у) ди дх "~" ду ’; следовательно, выражения и dx —vdy. v dx +; следовательно, выражения и dx —vdy. v dx ++ udy являются полными дифференциалами в односвяз+ udy являются полными дифференциалами в односвязной области D. поэтому интегралы по замкнутому контуруной области D. поэтому интегралы по замкнутому контуру
но в силу условий Коши —- Римана имеем
но в силу условий Коши —- Римана имеем
ди дх
ди дх
dv
Ну
dv
Ну
д (— у) ди дх "~" ду ’
д (— у) ди дх "~" ду ’
; следовательно, выражения и dx —vdy. v dx +
; следовательно, выражения и dx —vdy. v dx +
+ udy являются полными дифференциалами в односвяз
+ udy являются полными дифференциалами в односвяз
ной области D. поэтому интегралы по замкнутому контуру
ной области D. поэтому интегралы по замкнутому контуру
С от них равны нулю и, следовательно, (р / (2) da = 0. Таким образом, справедлива следующая теорема.
Основная теоремаКоши. Если функция f (2) аналитична в односвязной области D, то интеграл от этой функции вдоль всякого кусочно-гладкого замкнутого контура. лежагцего в области D, равен нулю.
В частности, если С — простой замкнутый контур и / (2) аналитична внутри него и на нем, то
(3.39)(3.39)ф / (2) da = 0.
(3.39)
(3.39)
Теорема Коши для сложного контура. Пусть С — простой замкнутый контур и Си С^ ... ^С^ — простые замкнутые контуры, лежащие внутри С и вне друг друга. Пусть j (z) аналитична в области, заключенной между контуром С и контурами Сг, С^, ..., Сп, и на всех этих контурах. Тогда
ф f(z)dz = фf(z)dz +ф /(z)dz + ... + фf(z)dz. (3.39') с с, с8 сп
Рис. 30.Рис. 30.В самом деле, пусть, например, внутри контура О' (рис. 30) лежат два контура С" и С" и / (z) аналитична между контуром С и контурами С', С", а также на всех этих контурах. Проведя простые гладкие дуги kl, тп, pq, соединяющие С и С', С' и С”, С” и С, получим в силу основной теоремы Коши:
Рис. 30.
Рис. 30.
/ (z) dz = 0, qgKlrmntpq
J /(z)dz = O. khqpunmsZfc
Складывая эти равенства почленно и замечая, что по каждой из дуг kl, тп, pq интегрирование происходит два раза в различных направлениях, получим:
ф f (z) dz + ф f (z) dz + ф / (z) dz = 0 cc#C*
или
ф f(z)dz = ф/(г^г + ф/ (z) dz,cC'C"
В частности, если / (z) аналитична в окрестности точки а, кроме самой точки а, то интегралы по всем достаточно малым простым замкнутым контурам, окружающим а (взятым в одинаковом направлении, например положительном), равны между собой. В самом деле, пусть Сг и С2 (рис. 31) — достаточно малые контуры, окружающие а, и С8—контур, окружающий а и лежащий одновременно
внутри Сг и внутри С2. По доказанному
фf(z)dz = ф/(г) dz; $f(z)dz = ф f(z)dz, CiСзСгС»
откуда-
■ ф f(z)dz = ф/ (z)dz.С ।Сг
Формулу (3.39') можно переписать еще так:
ф/(z)dz + ф /(z)dz + ... + £/(z)dz = 0 сс.с„
ИЛИ
ф/(z)dz = O,(3.39")
Г
где Г есть сложный контур, составленный из наружного контура С и внутренних контуров СХ1 ..., Сп, причем поло-
жительное направление обхода Г обозначает, что ограничиваемая - область должна оставаться слева 4 (следовательно, обход наружного контура происходит в положительном направлении, а обходы ’ внутренних контуров происходят в отрицательном направлении).
путям, лежащим в D, от / (z) не зависит отпутям, лежащим в D, от / (z) не зависит отИнтеграл с переменным верхним пределом. Пусть / (z) аналитична в односвязной области D. Из того факта, что интегралы этой функции по замкнутым равны нулю, следует, что интеграл формы пути, а зависит лишь от
путям, лежащим в D, от / (z) не зависит от
путям, лежащим в D, от / (z) не зависит от
начальной и конечной точек пути. Поэтому при обозначении интеграла нет надобности указывать путь, а достаточно лишь называть начало zx и конец z^ пути, употребляя обозначение
2»
J f^dz.
21
Рассмотрим функцию (интеграл с переменным верхним пределом) г
Тогда
z+/iz+h
F^ + h^-F^ = J f®d& 1=-*-^; zz
z+hz+h
F (z 4“ ^^ k^ 1 C f Д*.^ („X_ ^ C r / „X
A ~ ” J J\£)^1 *VZ'T J /W^b?
zz
z+h
£^±]^i£^ _ z (z) = ^ (/ g) _ / (z)1 d^. z
Так как в точке z функция / непрерывна, то для всякого е > О найдется такое т] )> О, что при | £ — z | < rj будем иметь | / (£) — / (z) | < е. Веря в качестве пути, соединяющего z с z + 4, прямолинейный отрезок и пользуясь оценкой (3.37), получим при | h [ < ц:
откуда следует, что
,. F (z + А) — F (z),, х\\
hm —V= j (2) или F' (z) = / (z).
Таким образом, аналитическая функция всегда имеет первообразную. В качестве таковой может быть взят интеграл с переменным верхним пределом.
Лемма. Если Ф' (z) = 0 в некоторой области, то в этой области Ф (z) = const.
Полагая Ф (z) = и (ж, у) + w (х, у), найдем из условия Ф' (z) = 0, что дидидиdvл,
дхдудхду’
но тогда и = const, v = const и, следовательно,Ф (z) == const.
Из этой леммы следует, что всякие две первообразные от одной функции отличаются на постоянное. В самом деле, если F^ (z) = F^ (z), то
№ (Z) — Fx (z)}' = F/ (z) — F; (z) = 0,
и поэтому на основании леммы F^^ — Рх^ = const.
Обозначая знаком J / (z) dz любую первообразную для аналитической функции / (z), найдем на основании сказанного:
z$/(z)dz = $ /К)^ + С,Zo
где С — произвольное комплексное число.
Формально техника отыскания первообразных от элементарных функций комплексного переменного не отличается от таковой для функций действительного переменного, и мы не будем останавливаться на ней.
Изложенное выше доказательство существования первообразной остается в силе, если вместо требования аналитичности в односвязнрй области D потребовать, чтобы комплексная функция / (z) была непрерывной в некоторой области D и чтобы интеграл от / (z) вдоль любого кусочно-гладкого замкнутого пути, лежащего в D, был равен нулю. Но первообразная F (z) от / (z) как функция, имеющая производную в Р, является аналитической в D, поэтому / (z), как производная от аналитической функции в Р, сама будет аналитической в области Р (см. § 12). Следовательно, справедлива
Теорема Морера. Если непрерывная комплексная функция f (z) в некоторой области D обладает тем свойством., что интеграл от / (z) вдоль любого кусочно-гладкого замкнутого пути, лежагцего в D, равен нулю, то f (z) аналитична в области D.
Таким образом, основная теорема Коши обратима и имеет место.
Теорема. Чтобы комплексная функция / (z) в односвязной области D была аналитической в D, необходимо и достаточно, чтобы j (z) была непрерывной в D и чтобы интеграл от / (z) вдоль любого кусочно-гладкого замкнутого пути, лежагцего в D, был равен нулю.
Интегральная формула Коши
Пусть / (z) — аналитическая функция в области, ограниченной кусочно-гладким замкнутым контуром С (рис. 32), и на этом контуре. Фиксируем точку г внутри С и составим функцию
ф(£)„.Н0=1И.
Эта функция аналитична во всех точках внутри контура С и на нем, за исключением точки z. Однако при £ -> -> z имеем Ф (О -> /' (z), ПО-
этому если доопределить функцию ф в точке z требованием ф (z) = f (z), ТО ф (О станет непрерывной функцией в ограниченной замкнутой области, ограниченной контуром С, и, следовательно, будет ограниченной.
Таким образом, в рассматриваемой области | ф (С) | < < К, где К —* некоторое положительное число.
Пусть у — круг радиуса р с центром z, лежащий внут
ри С» По теореме Коши для сложного контура имеем!
#№ = #v(£№СY
но согласно правилу оценки модуля интеграла (3.37) имеем:
|фф(М|<2лр£,
следовательно, переходя к пределу прир —> 0 в последнем равенстве, получим:
ф<р(М=0, или
ИЛИ
с ъС ®
Но согласно теореме Коши для сложного контура и в силу (3.36)
С ЪY Ь
поэтому предыдущее равенство принимает вид: ^-^_-2ni/(z)=0,
откудаоткуда№-4г№-4г(3.40)(3.40)
откуда
откуда
№-4г
№-4г
(3.40)
(3.40)
Формула (3.40) называется интегральной формулой Коши и является центральной формулой теории аналитических функций. Из фор
мулы (3.40) видно, что значения аналитической функции внутри С вполне определяются значениями этой функции на С. Правая часть формулы (3.40) называется интегралом Коши.
рИСе 33Вместо простого замк
нутого контура С можно брать сложный контур Г, состоящий из наружного контура и нескольких внутренних контуров (рис. 33). Тогда в результате такого же рассуждения найдем, что если / (z) — аналитическая функция в области, ограниченной сложным контуром Г, и на нем, то для всякой точки z в этой области справедливо равенство
/и—А-ф-т^-(«»')
г ъ
Это — интегральная формула Коши для сложного контура.
§ И. Интеграл типа Коши
Пусть Г — кусочно-гладкая дуга (замкнутая или не-
замкнутая). Пусть ф (£) — непрерывная функция на Г (рис. 34). Тогда выражение
дуге
г имеющее смысл для всех г, не лежащих подынтегральное выражение будет непрерывной функцией от t), называется интегралом типа Коши. То же можно сказать о выражении более общего вида
(3.41)
тогда
ф(2)=^^^,(3-4Г)
где. К — натуральное число.
Покажем, что выражение (3.4Г) является аналитической функцией для всех значений z, не лежащих на формулу
на Г (ибо
Рис. 34.
дуге Г. Учитывая
ак — Ък = (а — 6) получаем:
(aw
Ф (zi) — Ф (z)
Z1 — Z
£ (£-2)
21 — Z
1 _ 1
=$ф (?)(iz2™^^"d£=
= $ф(0^^^^
(Ь — 21) (ь — Z)
Фиксируя z и полагая
(С - г)^1 + С - z)6"2 (С - Я) + ... + (С - zj)^1
можем написать:
г
Очевидно, У (£, zj есть непрерывная функция своих аргументов, когда £ лежит на Г и zT не лежит на Г.
Она будет равномерно непрерывной функцией переменных £, zb когда £ находится на Г, zt — на круге с центром z, не имеющем общих точек с Г (по теореме о равномерной непрерывности функции, непрерывной на ограниченном замкнутом множестве). Отсюда следует, что при zx -* z имеем Y (£, z^ -* Т (£, z) равномерно относительно £ на Г. Вследствие этого излагаемый ниже предельный переход под знаком интеграла является законным.
Переходя к пределу при ^ -> z, получим:
Нт Ф^)-^(Д = с ф ^ т (51 г)^
к
Учитывая, что Y (£, z) =— , и замечая, что
& —
ку ©а । ф© I
^-^dz [(^^ р
приходим к формуле
Ф' (z) = к^ гФ' (z) = к^ гФ©Ф©
Ф' (z) = к^ г
Ф' (z) = к^ г
Ф©
Ф©
Таким образом, Ф (z) имеет производную в каждой точке z, не лежащей на Г.
Итак, если <р (£) — непрерывная функция на кусочногладкой дуге Г, то функция ф(з)=^ ф®—^ являет- - z)
ся аналитической для всех значений z, не лежащих на Г, причем производная этой функции получается по правилу дифференцирования под знаком интеграла:
^^-S^I^t]^”^-^™"^ <3-42>
рL \Ъ /3р**/
Выражение для Ф' (z) имеет снова тип (3.41'), поэтому к нему применимо все сказанное о Ф (z). Отсюда
заключаем, что функция, определяемая формулой
Ф^ = \^7^
J (5 - 2)
для всех значений z, не лежащих на Г, имеет производные всех порядков, причем выражения для них получаются в результате последова тельных дифференцирований под знаком интеграла:
Ф<«(=)=^[^]«-
-tft+l)...»*"-!)1)-^^-. (3.43)
. Производные высших порядковот аналитической функции
Пусть / (z) — аналитическая функция в какой-нибудь области D. Пусть С — замкнутый контур, лежащий вместе со своей внутренностью в этой области. Для всех точек z, лежащих внутри этого контура, имеем на основании интегральной формулы Коши:
Но интеграл Коши, стоящий в правой части, является частным случаем интеграла типа Коши, следовательно, на основании изложенного в § И, / (z) имеет внутри С производные всех порядков, получающиеся на основании (3.43) по формуле
^-^-ф-^-К. (3.44)
Так как любую точку области D можно окружить замкнутым контуром, лежащим (вместе с внутренностью) в области Р, то приходим к следующему выводу: всякая аналитическая функция в какой-нибудь области имеет в этой области производные всех порядков, причем все они являются аналитическими функциями в этой области.
Следует заметить что функции действительно переменного таким свойством не обладают. Функция действительного переменного может иметь первую производную, но не иметь второй производной.
. Последовательности и рядыаналитических функций
Будем говорить, что последовательность функции
/1 (z), /2 (z),. . ., /п (z), . . . ,
определенных в некоторой области Л, сходится равномерно внутри области D, если она сходится равномерно на каждой ограниченной замкнутой области, лежащей в D.
Теорема. Если последовательность аналитических функций в области D
A (z)> /2 (2)> • • • 1 In (^)> • • •
сходится равномерно внутри области D к функции f (z), то f (z) — функция. аналитическая в области D, причем последовательность производных
fi k^, h (z),..., /„ (z),...
равномерно сходится внутри области D к производной предельной функции, т. е. к f (z).
Пусть С — замкнутый контур, лежащий вместе с внутренностью в D, и z — точка внутри С. Тогда по формуле Коши
С
Но /*.(£) -> / (О равномерно на С, следовательно, /п©. /О
Z £ —Z
равномерно на С (при фиксированном z); поэтому на основании правила предельного перехода (3.38)
. ~ Таким образом, внутри С предельная функция / (z) выражается интегралом типа Коши, следовательно, являет* ся аналитической. Но любую точку области D можно окру
жить таким контуром С, следовательно, предельная функция / (z) аналитична
во всей области О. Пусть теперь А — какая-нибудь ограниченная замкнутая область (рис. 35), лежащая в D, и С — замкнутый контур длины L. лежащий вместе с внутренностью в D и такой, что А лежит внутри С. Пусть 6 — расстояние между С
и А (т. е. наименьшее из
fw^ — f^fw^ — f^12л i12л itn © ДУ .1 А / © ДУ _tn © ДУ .1 А / © ДУ _12лг12лгЛ /п©-/©Л /п©-/©расстояний точек на С от точек в А). Имеем при z, лежащем в А [в силу формул (3.44) для п = 1]:
fw^ — f^
fw^ — f^
12л i
12л i
tn © ДУ .1 А / © ДУ _
tn © ДУ .1 А / © ДУ _
1
2лг
1
2лг
Л /п©-/©
Л /п©-/©
Но /п (£) -> / (£) на С равномерно, следовательно, для всякого е > 0 найдется такой номер N, что при п> N будем иметь |/л (£) — / (^) | < е при всех С на С. Тогда из последней формулы найдем (по правилу оценки модуля интеграла)!
\Ш-Г W<^
при п> N и любом z на А» Этим доказано, что fn (^-*f^ равномерно на любой ограниченной замкнутой области А, лежащей в D.
Замечание. Мы видим, что последовательность производных/п (z) находится в таких же условиях, как последовательность функций /л (z), поэтому к ней также применима доказанная теорема.
Рис. 36.Рис. 36.Таким образом, если последовательность аналитических функций /п (2) в области D равномерно сходится внутри D *f ^), то последовательность производных любого порядка от /п (2) равномерно сходится внутри D к производной такого же порядка от / (2).
Рис. 36.
Рис. 36.
Пусть теперь имеем функциональный ряд
сходитсясходится2ф„(з), члены которого суть аналитические функции в области D. Из доказанного следует, что если этот ряд равномерно D, то его сумма аналитична в D
сходится
сходится
и ряд можно сколько угодно раз почленно дифференцировать, причем все получающиеся ряды равномерно «ходится внутри D.
Аналитичность суммы степенного ряда. Пусть 2 Anzn — о степенной ряд и Я — его радиус сходимости. Пусть О < г < R. Точка г, как лежащая внутри круга сходимости (рис. 36), есть точка абсолютной сходимости степенного ряда, т. е. ряд 2 |Апгп| сходится. Но при Ml ^ г имеем |An2n| ^ |Апгп|, поэтому степенной ряд лАп2п равномерно сходится на круге |2| ^ г. Так как любая замкнутая область, лежащая внутри круга сходимости, может быть заключена в круг (2| ^г при надлежащем выборе числа г < Я, то приходим к следующему заключению: всякий степенной ряд равномерно сходится внутри круга сходимости.
Примечание. На внутренности круга сходимости сходимость может быть неравномерной.
Так как члены степенного ряда Anzn являются аналитическими функциями, то из доказанной теоремы следует, что сумма степенного ряда есть аналитическая функция внутри круга сходимости и что степенной ряд можно любое число раз почленно дифференцировать внутри круга сходимости. Следовательно, получающиеся в результате этого степенные ряды имеют не меньший радиус сходимости (на самом деле тот же радиус сходимости).
+ 00
Аналогично, степенной ряд 2 ^п (^ — ^Т равномерно о
сходится внутри круга с центром в точке а (рис. 37), а егосумма есть аналитическая функция внутри этого круга;
При £ на С имеем:1, 1£ — z (£ — а) — (z — а)При £ на С имеем:1, 1£ — z (£ — а) — (z — а)то последнее выражението последнее выражение
При £ на С имеем:
1, 1
£ — z (£ — а) — (z — а)
При £ на С имеем:
1, 1
£ — z (£ — а) — (z — а)
то последнее выражение
то последнее выражение
+ О0
ряд 2Л(*- аТ» имеющий кольцо сходимости (рис. 38)t
равномерно сходится внутри кольца и его сумма есть аналитическая функция внутри этого кольца. При этом законно почленное дифференцирование любое число раз.
. Ряд Тейлора
Пусть / (z) — аналитическая функция внутри круга с центром а (радиус которого может быть, в частности, равен + оо — тогда это будет вся плос
кость).
Пусть z — точка внутри данного круга и С — концентрическая окружность меньшего радиуса такая, что z лежит внутри нее (рис. 39). Пусть г = |z — а], р — радиус круга С. По формуле Коши
можно рассматривать как сумму убывающей геометрической 1z — а
прогрессии с первым членом и знаменателем ^ д . Таким образом,
1. z— а ,
।— а)п ।= (г — аУ1
Сходимость этого ряда равномерна по £ на С (при фиксированном z), так как этот ряд мажорируется числовой
S
rn
Умножая предыдущее равенство на / (£), интегрируя почленно по С и деля на 2лг, получим:
или
где
-1^00
/(Z)= s А^-аТ, п=0
А - 1 6
Яп 2ni y(g_e)n+i’
причем Г есть произвольно фиксированная окружность с
центром а, лежа щая внутри первоначально заданного
^-аГх^-аГханали-анали-круга (замена С на Г законна, так как тична между С и Г, включая их).
^-аГх
^-аГх
анали-
анали-
Итак, доказана следующая теорема.
Теорема. Всякая аналитическая функция f (z) внутри круга с центром а может быть разложена внутри этого круга в степенной ряд
t^- 2 A^-ayS(3.45)
О
коэффициенты которого определяются формулой
^-^i^T.^ <"-0' *' 2’---)-<3'46>
где Г — какая-нибудь окружность с центром а, лежагцая внутри данного круга.
Этот степенной ряд называется рядом Тейлора для / (z) в рассматриваемом круге.
Пусть функция / (z) разложена в круге с центром а
в какой-нибудь степенной ряд 2 ^к ^ — а^- ' Пусть
о
Г — концентрическая окружность меньшего радиуса. Тогда на Г этот ряд равномерно сходится. Умножая равенство / (z) =2 ^k (z ~ af на Цт , интегрируя затем (я —а)
почленно вдоль Г и умножая еще на ^, получим!
12л г12л г/ (z) dz(г — a)n+1/ (z) dz(г — a)n+1к—й Гк—й Г
1
2л г
1
2л г
/ (z) dz
(г — a)n+1
/ (z) dz
(г — a)n+1
к—й Г
к—й Г
учитывая, что в силу (3.36")
^^-аГ-'а.-^^-аГ-'а.-О кЦ=п^1 к = п.О кЦ=п^1 к = п.
^^-аГ-'а.-
^^-аГ-'а.-
О кЦ=п^
1 к = п.
О кЦ=п^
1 к = п.
Этим доказана единственность разложения аналитической функции в круге с центром а в степенной ряд по степеням z — а.
. Лемма. Пусть / (z) — аналитическаяс функция в области D, равная нулю в некоторой области d, содержагцейся-в D. Тогда / (z) тождественно равна нулю в D.-
Сделаем предварительное замечание. Из формулы (3.46) видно, что если функция аналитична внутри некоторого круга К и равна нулю в концентрическом круге к меньшего радиуса (рис. 40), то она равна нулю внутри круга К. В самом деле, взяв Г лежащим внутри меньшего круга к, найдем по формулам (3.46), что все Ап = = 0, но тогда по формуле (3.45) / (z) = 0 внутри К.
Рассмотрим теперь конечную цепочку лежащих в D кругов
К^^К^обладающую тем свойством, что центр каждого круга лежит внут-ри предыдущего круга, центр первого круга лежит в d, центр по-следнего круга лежит в произвольно выбранной точке я области Dt
Такую цепочку кругов можно, например, построить следующим способом (рис. 41). Соединим точку z0, принадлежащую области d, спрямляемой дугой Г с точкой z. Пусть положительно э число о меньше расстояния дуги Г до границы области D. Разобьем Г на конечное число частей с длинами, меньшими 6. Тогда цепочка кругов радиуса 6 с центрами в точках деления удовлетворяет всем нужным требованиям.
С помощью сделанного выше замечания найдем последовательно, что / (z) равна нулю внутри Kv внутри #2, ..., внутри Ки* Таким образом, для любой точки z области D получим f (z) = 0.
Легко видеть, что если / (z) — аналитическая функция в области D, не равная тождественно нулю, то вокруг всякой точки а области D можно описать такой круг, лежащий в D, что внутри этого круга, кроме, может быть, точки а, функция / (z) отлична от нуля.
В самом деле, опишем около точки а круг, лежащий в D. Согласно лемме в этом круге / (z) не может быть тождественно равна нулю. Следовательно, в разложении функции / (z) в этом круге в ряд по степеням z — а не может случиться, что все коэффициенты равны нулю.
-1-00
Пусть в упомянутом разложении f ^) — ^ Ак(2а)к о
первый из коэффициентов, отличных от нуля, есть Ап (п > 0), тогда
/ (z) = Л„ (z — а)" + Лп+1 (z — а)п+1 + . . . = (z — а)пф (z),
где ф (z) = Л„ + Лп+1 (z — а) +- . . .
Функция ф (z) непрерывна в точке а и ф (а) = Лп =/= О, следовательно, в достаточно малом концентрическом круге меньшего радиуса ф (z) =/= 0, а поэтому, за исключением, быть может, точки а, имеем в этом круге / (z) =^= 0.
Точка а называется нулем функции / (z), если / (а) = 0. Из последнего предложения следует, что если / (z), аналитическая в области D, не равна тождественно нулю, то все ее нули в области D изолированные (т. е. вокруг каждого из них можно описать такой круг, что других нулей в этом круге не будет). Кратностью нуля аналитической функции (не равной тождественно нулю) называется такое ns что разложение в степенной ряд в окрестности рассматриваемого нуля а начинается с л-й степени, иначе говоря, если в окрестности а имеем / (z) = (z — а)п ф (z), где аналитическая функция ф (z) такая, что ф (а) Ц= 0. Нули кратности 1 называются простыми, нули кратности 2 — двойными, нули кратности 3 —- тройными.
Теорема единственности. Если в области D дани две аналитические функции, совпадающие на множестве точек, имеющем хотя би одну предельную точку, лежащую в D, то эти две функции тождественно равни.
В самом деле, пусть а — упомянутая предельная точка. Тогда разность рассматриваемых функций обращается в нуль в точках, находящихся как угодно близко к а и отличных от а, но по доказанному этого не может быть, если рассматриваемые функции не совпадают тождественно.
Формула (3.46) для коэффициентов ряда Тейлора может быть переписана на основании формулы (3.44) в виде
^n = ^- (п = 0, 1, 2,...).(3.47)
Оценка модулей коэффициентов ряда Тейлора. Если на окружности Г модуль функции / (z) не превышает М, то, обозначая через R радиус окружности Г и оценивая интеграл в формуле (3.46) по правилу оценки модуля интеграла (3.37), получим:
Мп| = |^^(7Т^^^^ ^2лД=
Таким образом, получаем неравенства
(n = 0, 1, 2,...).(3.48)
Из (3.48) -непосредственно вытекает теорема Лиувилля: целая функция (т. е. аналитическая на всей плоскости , ограниченная на
всей плоскости, есть постоянная. В самом деле, пусть на всей плоскости
/(г) =2^";О/(г) =2^";О\Ш\^М.\Ш\^М.
/(г) =2^";
О
/(г) =2^";
О
\Ш\^М.
\Ш\^М.
1 иию^ --1 иию^ --1 ^/(5)^- 2лё iT^—z1 ^/(5)^- 2лё iT^—zС'С'/М*-5/М*-5
1 иию^ --
1 иию^ --
1 ^/(5)^
- 2лё iT^—z
1 ^/(5)^
- 2лё iT^—z
С'
С'
/М
*-5
/М
*-5
Тогда при любом R имеем | Лп | < -^-, откуда в пределе при
R -> оо найдем (при тг> 0) | Лп | < 0, т. е. Лп = 0. Следовательно, / (z) = Л о = const.
Из теоремы Лиувилля легко вытекает основная теорема высшей алгебры: всякий полином, отличный от постоянной, имеет по крайней мере один нуль. В самом деле, если бы полином Р (z) не имел 1
нулей, то р "^7 была бы целой функцией. Так как известно, что P(z)—> 1
оо при z —> оо, то ~рГ^ ПРИ z °°i откуда видно, что 1
-р"^ будет ограниченной на всей плоскости. Но тогда по теореме 1
Лиувилля р ^ = const и, следовательно, Р (z) = const, что про
тиворечит предположению.
. Ряд Лорана
Пусть / (z) — аналитическая функция внутри кольца (рис. 42) между двумя окружностями с центром а (если • радиус внутренней окружности равен О 0, то кольцо становится кругом с «выколотым» центром; если радиус внешней окружности равен оо , то кольцо становится внешностью круга; если упомянутое происходит одновременно, то кольцо становится плоскостью с выколотой точкой). Пусть Z —
Рис. aZ. точка внутри этого кольца, С и С' — концентрические окружности, лежащие внутри кольца и такие, что z лежит внутри С и вне С". По формуле Коши для сложного контура
Первое слагаемое правой части на основании выкладок § 14 представляется рядом
со
гдегделп = ^флп = ^фЙ-«)п+1’Й-«)п+1’
где
где
лп = ^ф
лп = ^ф
Й-«)п+1’
Й-«)п+1’
причем Г — какая-нибудь фиксированная концентрическая окружность внутри кольца.
Остается преобразовать второе слагаемое ^ ф ^ZT •
Положим (z — al = г и радиус круга С' обозначим через р, Тогда при £ на С' имеем:
1 =11
г_£г_а_й_а^- ^-^^^-^у
It — а I,
и так как ™ J =у <С 1, то последнее выражение
можно рассматривать как сумму убывающей геометри-
1
ческой прогрессии с первым членом ™ и знамена
телем ——■ • Таким образом,
а — ^ z — a' ^z — а)’2”'* * * * ^^^а^^***(z — df *
Сходимость этого ряда — равномерная по £ на С' (при фиксированном z\ так как этот ряд мажорируется чис- левой убывающей геометрической прогрессией З^Т" • Умножая на f (£), интегрируя почленно по С' и деля на 2лг, получим:
К '^Г -1f / © К -« -
4-00
= 2 А-Дг-аГ, П=1
где
^ 4fi«- «у-'* -af 1ё^&
[замена С на Г законна, так как /(£) (£ — а)71"1 аналитична между С* и Г, включая их].
Складывая разложения
1 Ж/М и 1 Ж/(М
2jti g £ — 22ш’ g? 2 — £ *
получим разложение / (z) в ряд по целым степеням z — а с показателями = 0. Этим доказана следующая теорема.
Теорема. Всякая функция / (z), аналитическая внутри кольца с центром а, может быть разложена внутри этого кольца в ряд
4-00
f^= 2 Лп(2-а)п,(3.49)
коэффициенты которого определяются формулой
А--^^^41 (” = 0’ ±1’ ±2,...). (3.50)
где Г — какая-нибудь окружность с центром а, лежагцая внутри данного кольца.
Этот ряд называется рядом Лорана для / (z) в рассматриваемом кольце.
Если функция / (z) разложена в кольце с центром а в 4-00
какой-нибудь ряд вида 2 ^п(2 — а)*\ то, рассуждая
дословно, как в соответствующем месте § 14, получим!
' А Ж Н^
где Г — окружность с центром а, лежащая внутри кольца.
Этим доказана единственность разложения аналитической функции в кольце с центром а в ряд по целым (^ 0) степеням z — а.
185185ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ§ 16]
185
185
ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
Оценка модулей коэффициентов ряда Лорана. Если на окружности Г» лежащей внутри кольца, модуль функции / (z) не превышает М, то, обозначая через R радиус окружности, получим как при выводе неравенств (3.48) аналогичные неравенства
|Л|<^ (и = о, ±1, ±2,...).(3.51)
. Изолированные особые точкианалитической функции
Точки, в которых нарушается аналитичность функции, называются особыми. Если в достаточной близости к особой точке а нет других особых точек, то особая точка а называется изолированной особой точкой. Если а есть изолированная особая точка функции / (z), то в достаточно малом круге с выколотым центром а функция / (z) будет аналитичной и, следовательно, разлагается в ряд Лорана
4-00
/(z) = S ЛИг-аД(3.52)
Логически возможны и исключают друг друга следующие три случая:
в разложении (3.52) нет членов с отрицательными показателями;
в разложении (3.52) есть лишь конечное число членов с отрицательными показателями;
в разложении (3.52) есть бесконечно много членов с отрицательными показателями.
В этих случаях особая точка а называется соответственно 1) устранимой} 2) полюсом} 3) существенно особой.
Члены разложения с отрицательными показателями п составляют главную часть / (z) в окрестности особой точки а.
Если а — устранимая, то в окрестности точки а
4-00
/(z)=SA(z-aA
О
следовательно, после над лежащего доопределения функции
в точке a If (а) = Л01 функция / (z) становится аналитической в точке а и «особенность устраняется». В достаточно малой окрестности устранимой особой точки функция / (z) ограничена. Обратно, если f (z) ограничена в некоторой окрестности изолированной особой точки а, I/ (я) К М, то эта точка есть устранимая особая. В самом деле, при п > 0 и достаточно малом R имеем в силу (3.51) |Л_П| ^ MRn, откуда при 7?0 в пределе полу
чим |Л_П| ^ 0, и, следовательно, А_п = 0.
Если а — полюс, то в окрестности а имеем:
4-00
№ = hA,Az-a)\
—п
A-n=h 0, откуда
Ф (2)
где
ф (^) — ^-» 4* -4-п+1 (^ — а) + . • . + Ао (z — а)п + • • .
/(z) = 7^V» где-(2 — ^Г/(z) = 7^V» где-(2 — ^Гесть аналитическая функция в окрестности точки а, при
/(z) = 7^V» где-(2 — ^Г
/(z) = 7^V» где-(2 — ^Г
чем ф (а) = А_п Ц= 0. Обратно, если
Ф (z) аналитична в окрестности а и ф (а) =^ 0, то а есть полюс п-го порядка для / (z) (п называется порядком по
люса а, полюсы кратности 1 называются простыми, полюсы кратности 2 — двойными, полюсы кратности 3 — трой
ными) .
Из такого выражения для / (z) следует, что при z -> а имеем / (z) -> 00. Таким образом, при стремлении неза
висимого переменного z к полюсу аналитической функции функция стремится к бесконечности. Легко видеть, что если а есть n-кратный нуль для/ (z), то а будет п-крат- 1
ным полюсом для у^у, так как из равенства / (z) =
= (z — а)п ф (z) [где ф (z) аналитическая в окрестности а, отличная от нуля в al следует:
1 _ 11
/ (2)(2 - а)п Ф (2)
(но аналитическая в окрестности а и отличается от нуля в а).
Если а — существенно особая точка, то в любой окрестности а значения функции / (z) как угодно близко подходят к любому комплексному числу (теорема Сохоц- кого). В самом деле, если бы в некоторой окрестности точ-
КИлабыКИлабы11а имели 1/ (z) — АI > 6, где 6 > 0, то г бы- бы ограничена вблизи а и, следовательно, а являлась устранимой особой точкой для —^ , поэтому
КИ
ла
бы
КИ
ла
бы
1
1
1 (2) — А1 (2) — А= ф (z), где ф (z) аналитична в окрестности а, но
1 (2) — А
1 (2) — А
тогда вокруг а имеем / (z) = 4 Н, откуда следует, что а является для / (z) либо устранимой особой точкой [если Ф (а) 4= 01, либо полюсом [если ф (а) = 0], что противоречит условию.
Справедлива более глубокая теорема Пикара, согласно которой 5 любой окрестности существенно особой точки аналитическая функция не только как угодно близко подходит к любому комплексному числу, но принимает все комплексные значения, кроме, быть может, одного.
Если в области D функция / (z) может иметь в качестве особых точек только полюсы, то / (z) называется мероморфной в области D. Пусть / (z) мероморфна в области D и а — какая-нибудь точка этой области. Тогда в окрестности точки а имеем:
/ (z) = (z—а)п ф (z),
где ф (z) аналитична в окрестности а и ф (а) 4s 0. Число п назовем порядком функции / (z) в точке а. Если п > 0, то а есть нуль n-го порядка для / (z); если п = 0, то / (z) не равна нулю в точке а; если п = — т < 0, то а есть полюс ап-го порядка для / (z). При умножении (делении) мероморфных функций порядки их в каждой точке складываются (вычитаются). •
Бесконечно удаленная точка. Если к плоскости комплексного переменного добавить один несобственный элемент, называемый бесконечно удаленной точкой оо, то получим полную плоскость комплексного переменного. Полная плоскость комплексного переменного в известном смысле слова подобна сфере. Это можно видеть с
помощью стереографической проекции. Пусть имеем сферу (рис. 43), касающуюся плоскости комплексного переменного в точке О (южный полюс). Соединив отрезком прямой северный полюс с точкой z, обозначим через М точку пересечения отрезка со сферой. Если каждому комплекс
Рис. 43.Рис. 43.ному числу z отнести соответствующую точку М, то между всеми комплексными числами и точками М сферы (кроме северного полюса) будет установлено взаимно
Рис. 43.
Рис. 43.
однозначное соответствие.
Добавляя несобственный эле
мент оо и ставя его в соот
ветствие северному полюсу, получим взаимно однозначное соответствие между точками полной плоскости комплексного переменного и точками сферы.
Окрестностью бесконечно удаленной точки назовем внешность какого-нибудь круга с центром О (чем больше радиус этого круга, тем «меньше» окрестность точки оо).
Пусть / (z) аналитична в окрестности бесконечно удаленной точки. Тогда вне некоторого круга с центром О она изобразится рядом Лорана
нр = S А-гк-нр = S А-гк-(3.53)(3.53)
нр = S А-гк-
нр = S А-гк-
(3.53)
(3.53)
Логически возможны и исключают друг друга следующие три случая:
в разложении (3.53) нет членов с положительными показателями;
в разложении (3.53) есть лишь конечное число членов с положительными показателями;
в разложении (3.53) есть бесконечно много членов с положительными показателями.
В этих случаях оо называется соответственно: 1) устранимой особой точкой; 2) полюсом; 3) существенно особой точкой. Подстановка z = 1/£ приводит изучение функции / (z) в окрестности точки оо к изучению функции / (1/^) в окрестности точки 0. Поэтому в случае устранимой особой точки оо функция / (z) стремится к конечному пределу при z-> оо (после надлежащего доопределения
функции в оо функцию следует считать аналитической в окрестности оо ); в случае полюса в оо функция / (z) стремится к оо при z ©о; в случае существенно особой точки в оо функция / (z) в любой окрестности оо как угодно близко подходит к любому комплексному числу.
Если в окрестности оо
причем Л-п =/= 0, то оо называется нулем п-го порядка для / (z).
§17. Вычеты
Пусть а — конечная изолированная особая точка аналитической функции / (z); тогда в окрестности точки а эта 4-00
функция изобразится рядом Лорана / (z) = 2 Лп(г-а)п.
Коэффициент при (—1)-й степени в этом разложении, т. е
Рис. 44.Рис. 44.число Л-!, называется вычетом функции / (z) относительно особой точки а. Вычет / (z) относительно а можно обозначать знаком Res / (z). а
Рис. 44.
Рис. 44.
Из формулы (3.50) при п = — 1 найдем:
^-i = 2Si^/(z)^ (3.54)
где у — достаточно малая окружность с центром а.
равен произведению 2л t на сумму вычетов относительно особых точек / (z), лежагцих внутри С.Пусть av а^, . . . ,ат (рис. 44) — особые точки / (z), лежащие внутри С, и ап а2, ..., ат — вычеты / (z)равен произведению 2л t на сумму вычетов относительно особых точек / (z), лежагцих внутри С.Пусть av а^, . . . ,ат (рис. 44) — особые точки / (z), лежащие внутри С, и ап а2, ..., ат — вычеты / (z)Основная теорема о вычетах. Если функция / (z) аналитична внутри замкнутого контура С и на немп за исключением конечного числа точек внутри С, mo^f(z)dz с
равен произведению 2л t на сумму вычетов относительно особых точек / (z), лежагцих внутри С.
Пусть av а^, . . . ,ат (рис. 44) — особые точки / (z), лежащие внутри С, и ап а2, ..., ат — вычеты / (z)
равен произведению 2л t на сумму вычетов относительно особых точек / (z), лежагцих внутри С.
Пусть av а^, . . . ,ат (рис. 44) — особые точки / (z), лежащие внутри С, и ап а2, ..., ат — вычеты / (z)
Y1Y1относительно них. Пустьу1$ у2> •••* Ym— окружности вокруг этих точек, лежащие внутри С и вне друг друга. Тогда по теореме Коши для сложного контура и в силу формулы (3.54) получим:
Y1
Y1
т
что и требовалось доказать.
Таким образом, для вычисления интеграла вдоль замкнутого контура С достаточно знать вычеты функции относительно особых точек, лежащих внутри С.
Вычисление вычета относительно простого полюса.
Пусть / (z) = “44, где ф (z), ф (z) аналитичйы в окрест- т
нести а и точка а есть простой нуль для ф (z). Тогда а будет простым полюсом для / (z) [если ф (а) 4= 0]- Имеем ф (z) = (z — а) ф] (z), гдефх (z) аналитична в окрестности а и фх (а) + 0. Тогда в окрестности точки а функция ^-^■ аналитична и
следовательно, вблизи точки а
Ф(а)
/ (z) = ■ — - У у. = -^- + Bl + в2 (z - а) +..
J \ / z — а 1|л (z) z — а 12 х
(3.55')(3.55')откуда
(3.55')
(3.55')
Но ф' (z) = фх (z) 4- (z — а) ф1 (z); ф' (а) = фх (а); следовательно,
(3.55)(3.55)Res/(z) = ^-.а К ' Ф (°)
(3.55)
(3.55)
Примеры.
Res ctg z = ResялRes ctg z = ResялCOSZ sinzCOSZ sinzResаResаегег$2 — д2 ~ [ 2z JZj=e$2 — д2 ~ [ 2z JZj=e= 1;е° 2а *= 1;е° 2а *
Res ctg z = Resял
Res ctg z = Resял
COSZ sinz
COSZ sinz
Resа
Resа
ег
ег
$2 — д2 ~ [ 2z JZj=e
$2 — д2 ~ [ 2z JZj=e
= 1;
е° 2а *
= 1;
е° 2а *
Вычеты логарифмической производной мероморфной функции. Пусть / (z) — мероморфная функция. Тогда логарифмическая производная будет также мероморф- ной, причем нули и полюсы / (z) будут простыми по- люсами для у^у-. В самом деле, имеем в окрестности точки ах
/ (z) = (z — a)n Ф (z);
Ф (z) аналитична, ф (a) =£ 0;
/' (z) == п (z — а)71-1 ф (z) + (z — а)пф' (z);
Г (2) __ n . ф^з) /(2) z — a ф (з)
Следовательно (учитывая аналитичность второго слагаемого правой части в окрестности а),
Res 7-^ = п.a /(z)
Таким образом, вычет логарифмической производной равен порядку данной функции в этой точке. Из этого замечания и из основной теоремы о вычетах вытекает (учитывая, что порядок в нуле n-го порядка равен п» порядок в полюсе m-го порядка равец^— т) следующая теорема.
Теорема о логарифмических вычетах. Если f (z) мероморфна внутри замкнутого контура и на нем» причем на контуре не имеет нулей и полюсов, то интеграл
с f^
равен произведению 2л t на разность между числом нулей функции f (z), лежагцих внутри С {считая каждый нуль столько раз» какова его кратность)» и числом полюсов функции f {z)» лежагцих внутри С {считая 'каждый полюс столько раз» какова его кратность).
Таким образом,
о^Фт^»#-^2Л< £ / (ж)о^Фт^»#-^2Л< £ / (ж)(3.56)(3.56)
о^Фт^»#-^
2Л< £ / (ж)
о^Фт^»#-^
2Л< £ / (ж)
(3.56)
(3.56)
где N — сумма кратностей нулей функции / (z), лежащих внутри С; Р — сумма кратностей полюсов функции / (z), лежащих внутри С.
Формула (3.56) легко обобщается. Заметим сперва, что если а — простой полюс для гр (z) и ф (z) аналитична в окрестности точки а, то
Res [Ф (я) гр (z)] = ф (а) Res гр (z).(3.55")
аа
В самом деле, в окрестности точки а имеем:
z — д’
где грх (z) аналитична в окрестности а,
Ф (z) Ф (z) = Т-^Ж^; Res ф (z) = фг (а);
Res [ф (г) ф (г)] = ф (а) фх (а); а
следовательно, равенство (3.55") справедливо.
Пусть / (z) удовлетворяет отмеченным выше условиям и ф (z) — какая-нибудь аналитическая функция в области, ограниченной контуром С, и на нем. Так как каждая особая точка логарифмической производной мероморфной функции есть простой полюс, то для всякой точки а, являющейся нулем или полюсом / (z), имеем:
Res [ф (z) ^] = ф (a) Res ^ = пф (а),
где п — порядок / (z) в точке а. Поэтому из основной теоремы о вычетах следует, что если ак — нули / (z), лежащие внутри С, тк — кратности их, Ьг — полюсы / (z), лежащие внутри С, nz — кратности их, то4
2Si Ф ф ^ ТиГ dz = 2 m^ <а^ - 2 п№ kbiY (3.56') СХ 1кI
При ф (z) = 1 эта формула обращается в (3.56).
Вычисление вычета относительно кратного полюса.
Пусть а есть п-кратный полюс для / (z). Тогда в окрест-
ности точки а имеем
[где q> (z) аналитична в окрестности точки а]; отсюда
(z - аП (z) = Л_„ + . . . +Л_Т (г - а^ +
+ (z — а)п ф (z)
в окрестности точки а. Дифференцируя это равенство п — 1 раз; получаем:
[(z - аУ! (z)]^ - (n - 1)! Л_х + [(z - аУ ф (z)]<^>.
Но для последнего слагаемого точка а является нулем, так ( как для (z — аУ ф (z) точка а является нулем кратности ; не ниже п (при каждом дифференцировании кратность нуля понижается на единицу), следовательно, в пределе при z -> а получим:
lim [(z — ayf (z)](n-1) — (n — 1)! Л_п z-*a откуда
Л-1 = pT^i Ю - «)"/ (z)!^.
Таким образом, если а есть n-кратный полюс для / (z), то
Res / (z) = (^iji 1™ 1(2 - «Tt (z)]^1'.(3.57)
Из этой формулы при n = 1 легко получить выведенную ранее формулу (3.55) для вычисления вычета относительно простого полюса.
Пример.
о 441. Г^-о71!^
Т (Z2 + !)П ~ уп- 1)![ (z2+ nn J =
4Г 11(^-1)
— 4„ л у» 11 m I„ I =2
(п — 1)! ^ [ (z + О J
р (— ll^n^ + D... (2п — 2)
“ (п-1)! %(z+i)2"-1
= hil22:il(i±2L_^L^ = А,ч=тх
(п — 1)! (гг)2*1'1i 22”-1 [(Л — 1)!р ' 1 ■ '
7 П. И. Романовский
Приложение вычетов к вычислены ю несобственных интегралов. Пусть / (z) — функция, имеющая выше действительной оси лишь конечное число особых точек а, 6, (рис. 45) и не имеющая особых точек на действительной оси. При 7?, достаточно большом, точки а, 6, ..., к будут лежать внутри верхнего полукруга радиуса R с центром 0. Имеем (С обозначает контур полукруга):
ф / (z) dz = 2л? [Res/ (z) + Res / (z) +... + Res f (z)]; (3.58') abk
HO
R
$f(z)dz — ^f^dx-V ^Hz)dz, c-RtR
где yr — верхняя полуокружность радиуса R с центром 0. Если при z —> оо ( в верхней полуплоскости) / (z)
стремится к нулю быстрее, чем f/z, т. е. если /(z)=-^-^- , где a (z) —> 0 при z-*- оо (в верхней полуплоскости), то
lim ( / (z) dz = 0.
r-*~4
|z| > А-, у > 0 (z = х + iy) имеем |а (z)| < е. Тогда|z| > А-, у > 0 (z = х + iy) имеем |а (z)| < е. ТогдаВ самом деле, для всякого в найдется такое А > 0, что при
|z| > А-, у > 0 (z = х + iy) имеем |а (z)| < е. Тогда
|z| > А-, у > 0 (z = х + iy) имеем |а (z)| < е. Тогда
| ^ / (z) dz | = | ^ —~ dz | ^ — n,R = ле,'‘rrR
что и требовалось доказать.
Следовательно, из (3.58') в пределе при R -* + оо по- +ооR
лучим (понимая \ как lim \ j:
4-со
( / (x)dx = 2л1 IRes/ (z) -|- ... 4- Res / (z)). (3.58)
-оо ■at
Итак, если / (z) аналитична в верхней полуплоскости у >0, за исключением конечного числа особых; точек, лежа* щих выше действительной оси, и если при z-> ор ^ верхней полуплоскости) / (z) стремится к нулю быстрее, чем 4-00
1/z, то ^ f(x)dx сугцествует и равен произведению 2л/ на. сумму вычетов / (z) относительно особых точек, лежащих в верхней полуплоскости.
В частности, если / (z) имеет в оо нуль кратности ^ 2, не имеет особых точек на действительной оси и имеет только конечное число особых точек выше действительной оси, то формула (3.58) применима.
" В частности, (3.58) применима, если / (z) есть рациональная дробь, в которой знаменатель не имеет действительных корней и степень знаменателя превышает степень числителя более чем на единицу.
4-00 (* dx Пример 1. Найти ^ "^73^ • Корни знаменателя суть±1± t
Следовательно,
4-00
С dx/11\
\ -zrVT — 2Л1 ( Res + Res ■ г) =
J ж4+ 4z44-4_1+i z4-r4 у
. /1 + i -i + П _ я
—2ль —16 + —16 /4е
С dx
Пример 2. Найти \ — . Корни знаменателя суть Jr
(ж2 4-1)"
(кратности w), следовательно, учитывая (3.57'), получаем:
dx1
(X2 + 1)п ~ 2яг ^ (z2 + 1)"
(2п - 2)!1-3. . ,(2п —3)
22п-2[(п —1)Ц2^ Я2-4. . . (2п —2)
Приложения основной теоремы Коши к вычислению несобственных интегралов. Не останавливаясь на общих соображениях, вычислим в качестве примера такого приложения интегралы Френеля
cos(.r2)dx; ^ sin(^2)d^.
оо,
Рассмотрим целую функцию еи\ По теореме Коши ин
теграл по всякому спрямляемому замкнутому контуру от этой функции равен нулю; в
- олвоИмеем- олвоИмеем\ + \ + j =0, ОА АВ ВО\ + \ + j =0, ОА АВ ВОчастности, равен нулю интеграл по контуру сектора АОВ (рис. 46). Следовательно,
- олво
Имеем
- олво
Имеем
\ + \ + j =0, ОА АВ ВО
\ + \ + j =0, ОА АВ ВО
R
e^dz = § e^ds.
оа о
Комплексное параметрическое уравнение дуги АВ есть i = Re^, 0 ^ ф ^ я/4; следовательно, л/4л/4
eiz*dz = j e^^iRe^dq) = IR^ e~R^nto+*R*^^ i AB00
откуда ^учитывая неравенство sin 6 >' ~ 6 при 0 < 0 < -~-j л/44-oo _ 4№p
|$ ^2Ш|< R ^В28$п^йф</? ^ e йф = -^- ABО0
и поэтому J e^2dz —> 0 при R co.
AB
Комплексное параметрическое уравнение отрезка OB есть
= р^1/4, О^р^Я;
следовательно,
в
^ eiz2dz = ^/4^ e~p2dp,о во
откуда [считая известной формулу (4.10) главы IV]
4-оо
^ е^ при Rоо.^ е^ при Rоо.e^d^ —► екг^ ^ e*^dp = ово
^ е^ при Rоо.
^ е^ при Rоо.
Из сказанного заключаем, что, переходя в равенстве С е^й^ — йк пределу при Я-> оо, получим:
ОАВО
ОО
О
О
причем попутно устанавливается сходимость этого несобственного интеграла.,
Отсюда, переходя к сопряженным величинам, найдем:
- ■ +°°.—•; *,1
J е^Уя = -L^-е-М^ = ^_у 2L (1 _ ^ (3.59') 0■ .
Отделяя действительную и мнимую части в;(3.59), получим:’'
cos (ж2) d^ =:-^ sin (я2) dx — ^ У^^ г (3.60) оо
откуда (вследствиёчетности подынтегральных функций)
^ cos(x2)da:= ^ sin (ж2) dx = ^^ *(3.60')
§ 18. Принцип аргумента
Пусть / (z) — мероморфная функция в области, ограниченной простым замкнутым контуром С, и на нем, не имеющая нулей и полюсов на С. Так как
4g-dz = Ln/(z), то
^-^-dz-[Ln/(Z)]c,
где правая часть обозначает приращение, которое полу*- чает Ln / (z), когда точка z описывает контур С в положительном направлении. Но
Ln / (z) = 1п|/ (z) | + iAig f (z)
и ln|/ (z)|, как непрерывная однозначная функция, после обхода С возвращается к своему первоначальному значению, поэтому
iLn/ (z)]c = ilArg/ (z)lc и
С другой стороны, по теореме о логарифмических вычетах
где N — число нулей и Р — число полюсов функции / (z), лежащих внутри С (с учетом их кратностей). Таким образом, получается правило, известное под названием принципа аргумента.
Если / (z) мероморфна в области, ограниченной простым замкнутым контуром С, и на нем и если f (z) не имеет на этом контуре нулей и полюсов, то разность между числом нулей и числом полюсов (с учетом их кратностей) функции j (^Y лежагцих ту три С, равна полному числу оборотов вокруг нуля, совершаемых вектором точки f (z), когда точка z описывает контур С в положительном направлении, т. е.
N - Р = -~-1 Arg /(z)]c.(3.61)
С помощью принципа аргумента легко доказывается Теорема Руше. Если f (z) и ф (z) — аналитические функции в области, ограниченной контуром С, и на нем и во всех точках контура С выполняется неравенство |/ (z)| > |ф (z)|, то / (z) и / (z) 4- <jp (z) имеют внутри. С одинаковое число нулей (считая каждый нуль столько раз, какова его кратность).
Доказательст во. Из условия теоремы видно, что / (z) и / (z) + ф (z) не имеют нулей на С, ибо при z на
с имеем |/ (z)| > |ф (z)| > 0; |/ (z) 4- ф (z)[ > [/ (z)| — _|ф(г)|>0.
Пусть N — число нулей функции / (z), лежащих внутри С, N — число нулей функции / (z) + ф (z), лежащих внутри С. По принципу аргумента имеем: N - 4- {Arg If « + Ф Wife - ± (Arg[/И (1 + tii>)]}c = = ^ I Arg / «|с + ^ [ Arg (1 + Ы3)]с = ^ | Arg / Wlo = N, учитывая, что j^Arg^l 4" y^^Jc = 0, ибо, когда точка % описывает С, точка 1 4- "у^у" описывает путь, лежащий внутри круга радиуса 1 с центром 1 (рис. 47), так как на С I ^/ч- |<" 1, что и требова- и лось доказать.
Отметим некоторые следствия из теоремы Руше.(\
Пусть / (z) — аналитическая —уjj—*~V
функция в области, ограниченнойуу
замкнутым контуром С, и на нем, не имеющая нулей на С. Тогда, если /п (z) (и = 1, 2, 3, . . .) аналитические функции в области, Ри<?- 47. . ограниченной контуром С, и на нем й fn(z)-^f (z) равномерно на С, то при п, достаточно большом, число нулей (с учетом их кратностей) функции /п (z) внутри С равно числу нулей (с учетом их кратностей) функции / (z) внутри С (теорема Гурвица).
В самом деле, очевидно, т = min | / (z)| > 0, ибо / (z) не имеет нулей на С, поэтому найдется такой номер Ns что при п> N и z на С будем иметь | /п (z) — / (z) | < m, но тогда в разложении /п (z) = / (z) + [/n (z) — / (z)] модуль второго слагаемого правой части будет меньше модуля первого для всех z на С, и, следовательно, по теореме Руше число нулей /п (z) внутри С будет равно числу нулей / (z) внутри С, что и требовалось доказать.
Пусть а — какое-нибудь комплексное число, a-точ
ками функции / (z) называются такие значения z, для которых значение / (z) равно а. Иначе говоря, а-точки
функции / (z) суть нули функции / (z) — а. Так как нули аналитической функции, не равной тождественно нулю, изолированы, то a-точки аналитической функции, не равной тождественно а, изолированы. Говорят еще, что a-точка функции / (z) имеет кратность п, если она есть я-кратный нуль для / (z) — а.
Пусть / (z) — непостоянная аналитическая функция и z0 — п-кратная a-точка этой функции. Так как а-точки изолированы, то на окружности у достаточно малого радиуса с центром z0 и внутри нее не будет находиться других a-точек. Тогда т = min | / (z) — а | >0. Если | b —
. — а| < т, то внутри у будет находиться (с учетом их кратностей) ровно п Ь-точек функции / (z). Действительно, f (z) —- b = [/ (z) — al + (a — b), причем на у имеем | а — Ъ | < | / (z).— а | , следовательно, по теореме Руше число нулей (с учетом их кратностей) функции / (z) — b внутри у совпадает с таковым для / (z) — а и, следовательно, равно п (внутри у функция / (z) — а имеет только один нуль, z0, и его кратность равна л). Заметим еще, что есди, кроме того, радиус р окружности у достаточно мал (чтобы f (z) =£ 0 при 0 < | z — z0 | < р), то / (z) обращается внутри у ровно п раз в b и все эти &-точки— простые (однократные).
Непостоянная аналитическая функция / (z) переводит открытые множества в открытые. В самом деле, если / (z0) = wOl то в силу вышеизложенного уравнение /(z) ^Wx имеет внутри как угодно малого круга с центром z0 решение, если только Wy достаточно близко к w^
Из последнего замечания следует, что если / (z) — непостоянная аналитическая функция в некоторой области, то в любой близости к каждой точке z0 этой области найдется такая точка z1} что | / (zj | > | / (z0) |. Отсюда вытекает принцип максимума модуля: если / (z) непрерывна в ограниченной замкнутой области и аналитична внутри этой области, то | / (z) | достигает своего наибольшего значения на границе области.
Из принципа максимума модуля непосредственно вытекает теорема: если последовательность функций /п (z), непрерывных в ограниченной замкнутой области и аналитических внутри этой области, равномерно сходится на границе области, то она равномерно сходится на всей
области. В самом деле, так как сходимость на границе — равномерная, то для всякого е > 0 найдется такой номер N, что при п > N, р > 0 будем иметь | /п+р (z) — /п (z) |< < s для всех z на границе области, но тогда по принципу максимума модуля это неравенство справедливо на всей области и, следовательно, в силу критерия Коши последовательность /п (z) равномерно сходится на всей области.
§ 19. Дифференцируемые отображения
Соответствие, по которому каждому элементу а множества А относится некоторый элемент Ь множества В (природа элементов множеств А и В безразлична), называется отображением множества А в множество В. Элемент 6^ соответствующий а, называется образом элемента а (тогда а называют прообразом элемента Ъу
Отображение,4 дифференцируемое вданной точке. ]^ будем рассматривать отображение области D плоскости комплексного переменного в плоскость комплексного'переменного. Такое отображение можно записать2 формулой w = / (z), где / (z) — комплекснозначная функция комплексного переменного z, определенная в области D. Его можно также записать формулами т
и'= и (х, у), v = v (ж, у), где и (ж, у) и и (х, у^ — действительная и мнимая части / (^ •+ iyV
Определение. Отображение Iй = “($’У}’ на- \v = v(x,^
зывается дифференирлруемым в данной точке рассматриваемой области, если и (ж, у) и v (ж, у) дифференцируемы в этой точке.
Таким образом, дифференцируемость отображения в точке ^xs у) означает возможность представлений (о полном дифференциале функций двух действительных переменных см. § 6):
Ди = А^х + В^у + 8j ^х, Ау) VДж2 + Ду2 , 1
Ди — СДж + ОДу + е2 (Дж, Ду) VДж2 + Ду2 , /
где 8] и е2 стремятся к нулю пригде 8] и е2 стремятся к нулю при/ Дж -> О, (Ду-^О/ Дж -> О, (Ду-^Ои где Л, В^и где Л, В^
где 8] и е2 стремятся к нулю при
где 8] и е2 стремятся к нулю при
/ Дж -> О, (Ду-^О
/ Дж -> О, (Ду-^О
и где Л, В^
и где Л, В^
С, D — некоторые действительные числа (эти числа одно- А ди п ди л dv значно определены, причем А =, В = С =,
D = ^-\ ду /
Дифференцируемое в точке (ж, у) отображение назы
вается невырождаюгцимся в этой точке,
Лемма. Если отображение, дифференцируемое и не- вырождающееся в точке М, переводит точку М в точку N, то точки, достаточно близкие кМ и отличные от М, перейдут в точки, отличные от N* .
Доказательство. Правило Крамера показывает, что если 5» Ц определить как функции от а, р из линейной системы
Л£ + Яц + а = 0,
С? + 5ц 4“ Р — 0>
то при ^р ^ д’ будем иметь |2 + ц2 -> 0, поэтому найдет- л Л а1 <б»
с я такое число о > 0, что при [| р | <^ о выполняется неравенство |2 + ц2 < 1._
Выберем теперь 6 > 0 так, чтобы при у Дж2 + Ду2 < 6 выполнялись неравенства
I ®1 К о, I е2 I < О.\
Тогда при 0 < V^ + Ау2 < 6 числа Дм, Дм одновременно не обращаются в нуль. Действительно, в противном слу- »ДжAv
чае числа t = —', п = —,- =- удовлет-
/Д^ + Дуз/Д^ + ДуЗ
воряли бы системе
А^ + 5ц + ех = оа
С^ + 5ц 4* 82 ■ 0, J где
I 81 | < о, | е2 | < ст, ^2 + г)2 = 1,
что противоречит определению числа а.
Пусть отображение w = / (г) дифференцируемо и не вырождается в точке z. Тогда в силу леммы найдется такое 6 > 0, что при 0 <| Дз | <6 будем иметь | Ди? | =/= 0.
Положим .
Дг = гу (г > 0; у =^ а + 70; | у [ = 1),Ди? = рХ (р > 0; X = ц 4- iv; | X | = 1).
Из (3.62) следует:
рр = Ага + Вг^ + гвр](3.63)
pv = Cra + Dr£ + re2,j
где
ех = ёх (га, гР), е2 = е2 (га, гр).
Возводя в квадрат и складывая, получим:
Р2 = г2[(4а + В^ + 81)2 + (Са + DP + е2)2],
Пусть ^ = | + in; I £| = 1- Тогда
Нш-^- = /(ZTFW+№W = Р^ (3.64) Г-Н) '
причем стремление р/г к р (5) равномерное относительно 5м Эту непрерывную положительную функцию р (5) от комплексного числа 5 с единичным модулем назовем индикатрисой растяжений рассматриваемого отображения в точке z.
Далее, умноя&я второе из равенств (3>63) на г и складывая с первым, получим:
рХ = т [(Л -}- гС)а -|- (2? -р iD)^ -f- 8j -J- is^L
Отсюда, учитывая (3.64), найдем:
Km X = H + ^^ + iS + ^n = g ^(з-65)
г-Н)Р Vb)
причем стремление X к q (5) — равномерное относительно 5- Эту непрерывную функцию q ^) от комплексного числа 5 о единичным модулем, значения которой суть комплексные числа с единичным модулем, назовем индикатрисой вращений рассматриваемого отображения в точке z.
Пусть 8 — произвольное отображение области D плоскости комплексного переменного в плоскость комплексного переменного, переводящее точку М в точку N.
Обозначим через Мг переменную у точку области D, отличную от М, и тучерез Nx ту точку, в которую перв
ую м ходит Мк при отображении 8.
у^.1 Пусть т — «направление», выхо-
^ящее из точки М. Будем говорить, „что отображение 8 имеет в точке М
Рис.1
по «направлению» m коэффициент искажения масштаба х, если (рис. 48)
приприМХ->М,МХ->М,/\ имеем(ММХ1т)^0/\ имеем(ММХ1т)^0NNXММуNNXММу^Х.^Х.
при
при
МХ->М,
МХ->М,
/\ имеем
(ММХ1т)^0
/\ имеем
(ММХ1т)^0
NNX
ММу
NNX
ММу
^Х.
^Х.
припри(МХ^М, \(Мл/^т)-^0(МХ^М, \(Мл/^т)-^0имеем (NN^ п^ —> 0.имеем (NN^ п^ —> 0.
при
при
(МХ^М, \(Мл/^т)-^0
(МХ^М, \(Мл/^т)-^0
имеем (NN^ п^ —> 0.
имеем (NN^ п^ —> 0.
В частности, если функция, осуществляющая отображение 5, непрерывна в окрестности точки М и если 8
имеет в точке М до «на
правлению» т коэффициент искажения масштаба
X, то всякая дуга, выходящая из М и касающаяся в этой точке луча т, переходит в некоторую дугу, выходящую из N, причем отношение хорд NN1/MM1 стремится к х, когда длина хорды ММг
стремится к нулю (рис. 49).
Если 5 таково, что при МХ1 достаточно близкой к Л/, точка Nx отлична от точки N, то будем говорить, что отображение 8 переводит «направление» т, выходящее из М, в «направление» п, выходящее из N, если (рис. 50)
В частности, если функция, осуществляющая отображение 5, непрерывна в окрестности точки М и если 8 переводит «направление» т, выходящее из точки М,
в «направление» п, выходящее из точки N, то (рис. 51) всякая дуга, выходящая из М и касающаяся в этой точ
ке луча т, переходит в некоторую дугу, выходящую из N и касающуюся в этой точке луча п.. *
Изложенное выше по-п /
называет, что если отобра-/
жение 8 дифференцируемо/
и не вырождается в точке><//^1
М, то 8 имеет в точке М по каждому «направле-^,
нию» т положительный коэффициент искажения?ис* 50.
масштаба и каждое «направление» т^ выходящее из М^ переводится в некоторое «направление» и, выходящее из N. Именно, по «направлению» т, образующему с действительной осью угол а, коэффициент искажения масштаба равен р {ега)
и «направление» т пере
водится в «направление» п, образующее с действительной осью угол Ь, определяемый из равенства е'ь = q^aY
Отображение, конформное в данной точке.
Теорема. Чтобы
дифференцируемое и невы- рождающееся в данной точке отображение имело в этой точке постоянную индикатрису растяжений^ необходимо и достаточно,
чтобычтобы(А = О, \В ^ - С(А = О, \В ^ - СилиилиU = -D.\В = С.U = -D.\В = С.
чтобы
чтобы
(А = О, \В ^ - С
(А = О, \В ^ - С
или
или
U = -D.
\В = С.
U = -D.
\В = С.
Доказательство. Если р (£) = const = р, то (Л? + Бц)2 + (С£ + Лц)2 = р^ =р^ (£2 + ц2)
при g2 + ц2 = 1. Умножая это равенство на любое R *> 0 и полагая X = R£, Y = R^ получим тождество
(Л X + В У)2 + ^СХ +-DY^ = р2 (X2 + У2)
ИЛИ
<Аг + с2 - № + ^АВ + CD^XY 4-
(В2 + /)2 _ р2) у2 = 0;
следовательно, все коэффициенты этой квадратичной формы должны быть равны нулю, откуда Л2 + С2 = В2 + D\ АВ + CD = 0 или
Л2 — В2 = В2 — С2, ЛВ = — CD.
Умножая второе равенство на 2г и складывая с первым, получим;
(Л + гВ)2 = (D - 1С)\А + IB = ± (В - ICY
_, (A = D, _ (A = —D,„,
Следовательно, либо A.g ^ либо А у _ у обратно,
(А = +Р,’
пусть 1 у — тогда
(Л В + Вц)2 + (СВ + Op)2 = US Т Сц)2 + кС^ ± Лт])2 =
= л2 + С2 при
В2 + п2 = 1.
Следовательно,
р (О = /Л2 + С2 = const = р, что и требовалось доказать.
Замечание. Если индикатриса растяжений постоянна, то индикатриса вращений имеет вид &В или к^ (к постоянно; | &| = 1). Обратно, если индикатриса вращений имеет вид kt, или kt, {к постоянно), то индикатриса растяжений постоянна.
щей теореме имеемщей теореме имеемВ самом деле, если р V^) = const = р, то по предыду- Л = ±В, D _ „ и поэтому
щей теореме имеем
щей теореме имеем
(Л + гС) в + (В + г£>)т] = (Л + iC)B + № С ± гЛ) г, = = (Л 4- (С) (В ± г-ц);
следовательно, q (В) = kt, или q (В) = kt,, где к = ^ "^ ^, j к | = 1. Обратно, если q (В) = kt, или q (В) — kt,, где
. к = const = кх + ik^ то, сравнивая действительные и мнимые части в равенстве
(Л + 1СП + (5 + ID)4 = р (0 (К + ^2) (g ± tT))
и рассматривая получающиеся соотношения как линейную однородную систему относительно g, ц (которые одновременно не обращаются в нуль), заключаем, что ее определитель равен нулю. Это значит, что F [р (0] = 0,
где
F^ =F^ =А — кхр В ± к^р С ^^Р В —|— кхр *
F^ =
F^ =
и таким образом значениями непрерывной функции р (0 могут быть лишь корни полинома второй степени F (р); следовательно, р (0 тождественно равно одному из этих корней.
Определение. Дифференцируемое и невырожда- ющееся в данной точке отображение называется конформным в данной точке, если в этой точке индикатриса растяжений постоянна (эта постоянная называется коэффициентом искажения масштаба в данной точке).
В силу предыдущего замечания индикатриса вращения конформного в данной точке отображения либо имеет вид kt, (тогда отображение называется конформным 1-го рода в рассматриваемой точке), либо имеет вид kt, (тогда отображение называется конформным 2-го рода в рассматриваемой точке).
Остановимся на геометрическом смысле введенных понятий. Пусть отображение ш = / (z), конформное в точке М, переводит точку М в точку N. Тогда (учитывая, что предельный переход в (3.64) равномерен относительно 0 ^~ ~»рприМ1->М (рис. 52), где р — коэффициент искажения масштаба в точке М.
Пусть тх и т^ — какие-нибудь «направления», выходящие из М под углами ах и аг к действительной оси. Им соответствуют «направления» пх и п^ выходящие из N под некоторыми углами ^ и Ь2 к действительной оси. В случае q (0 = kt, получаем (полагая к = егс):
е^х = ^(c-t-a^ е’^ ^ ^^"Н*2!, е^ ^®~^^ = ^(°2~в<1,
Рис. 54.Рис. 54.Рис. 55.Рис. 55.
Рис. 54.
Рис. 54.
Рис. 55.
Рис. 55.
поэтому (при надлежащем выборе Ь2) ■
Ь2 Ъг = я2 — сц или (рис. 53) --
fan п2) = ^mv т^.
Это показывает, что при конформном отображении 1-го рода углы между «направлениями» сохраняют величину и
ориентацию. В случае q (£) = к^ получим (полагая к = gibl == ^(С-вО* ^Ьг SS5 ^К0-^), ^i(bj—bl) ~; ^i(®i—О?)^ поэтому (при надлежащем выборе Ъ^
Ьд — b-f, == Hi $2
или (рис. 54)
(nt1 п^ = (тп2, mty •
Это показывает, что при конформном отображении 2-го рода углы между «направлениями» сохраняют величину,
но меняют ориентацию. Наконец (учитывая, что предельный переход в (3.65) равномерен относительно Q, находим, что (рис. 55)
М^М,
приприМ^М.М^М.
при
при
М^М.
М^М.
(ММ^ММ,)^
(верхний знак — для конформного отображения 1-го ро
да, нижний—для конформного отображения 2-го рода).
В частности, если / (z) непрерывна в некоторой' окрестности точки Л/, то в случае конформного отображения 1-го рода (2-го рода) в точке М две дуги, выходящие из М (рис. 56)
и пересекающиеся в этойрИСе gg* ’
точке под углом ф, переходят в две дуги, выходящие из пересекающиеся в этой точке под углом ф (— ф).
Заметим теперь, что условия
A =D,(А = — D,
В = — С и \В = С
являются условиями Коши—Rимaнa^ соответственно для
/ (z) и / (z) и что/ (z) и / (z) и чтоА = ± Р,
/ (z) и / (z) и что
/ (z) и / (z) и что
В = + С Условие невырождения
отображения состоит в том, чтобы А и С одновременно
не обращались в нуль, так как
А ВС DА ВС D= ±(^2 + С2)«= ±(^2 + С2)«
А В
С D
А В
С D
= ±(^2 + С2)«
= ±(^2 + С2)«
Поэтому из предыдущей теоремы и результатов § 6 непосредственно вытекает
Теорема. Для того чтобы отображение w = / (z) было конформным А-го рода А^ го ^танкер
необходимо и достаточно, чтобы / (z) (/ (z)) была дифференцируема в этой точке и имела в ней производную^ отличную от нуля.
Пусть / (z) дифференцируема в данной точке z и в этой точке /' (z) =/= 0, тогда отображение w = f (z) будет конформным 1-го рода в точке z, причем
р^/лЧ7^ = М 4-*С| = I/'(z)|;
= ™+-9. =, = е1 Аг® Iе (z)
Р I/'WI
Таким образом, выявляются:
геометрический смысл модуля производной:
Если в данной точке /' (z) =^ 0, то | f (z) | есть коэффициент искажения масштаба в этой точке отображения W = f (z);
геометрический смысл аргумента производной:
Если в данной точке f (z) 4= 0, то Arg/' (z) есть.угол, на который поворачиваются все «направления», выходящие из этой точки при отображении w = / (z).
В дальнейшем конформное отображение 1-го рода будем просто называть конформным.
Примечание. Если рассматривать отображение w ~ = / (z) области D полной плоскости комплексного переменного в голную плоскость -комплексного переменного, переводящее точку z0 в точку w01 то данное ранее определение конформности отображения в точке z^ теряет смысл, если хотя бы одна из точек з0, ш0 есть оо.
Если г0 конечно, ш0 = оо, то отображение w = / ^ называется 1
конформным в точке z0, когда отображение w = • конформно в точке z0.
Если z0 = оо, то отображение w = / (z) называется конформным в точке z0, когда отображение w — ,j (”s~) К0НФ°РМН0 в точке 0.
1
Пользуясь отображением w = —, можно говорить о «направлениях», выходящих из точки z = оо при помощи соответствующих «паправл ний», выходящих из точки w- = 0. Заметим еще, что с помощью стереографической проекции (см. $ 16) точку оо можно сделать равноправной с конечными точками.
Конформные отображения областей:
Общие замечания о действиях над отображениями. Пусть 8 — отображение множества А в множество В, Т — отображение множества В в множество С (природа элементов всех этих множеств безразлична). Тогда произведение TS отображений 8 и Т определяется как такое отображение множества А в множество С^ которое является результатом последовательного выполнения 8 и Т. Это значит, что (TS) (а) — Т [8 (а)] для всякого а из Л. Произведение отображений обладает сочетательным свойством
U (TS) = (UT) 8.
Если 8 — взаимно однозначное отображение множества А на множество В (это значит, что каждый элемент из В имеет ровно один прообраз в Л), то можно говорить об обратном отображении S”1 множества 5 на множество А (если каждому элементу из В отнести его прообраз в Л).
Если каждому элементу из А отнести этот же элемент, то пблучим тождественное отображение Е множества А на себя. Очевидно, S-1 8 = Е. Аналогично, 88~т — Е (здесь Е — тождественное отображение В на себя).
Если 8 и ^t — взаимно однозначные отображения А на В, Т — взаимно однозначное отображение В на С, то из TS = TSt следует 8 = S^ В самом деле, последовательно находим:
Т-1 (TS) = 77"1 (TS0,
(^Т^Т) 8 = (Т^Г) 8и
ES = Е8и.
8 Si.
Аналогично из TS = Тг8 найдем Т =. Ti.
Однолистные функции. Функция / (z), определенная в некоторой области, называется унивалентной на некотором множестве (входящем в область определения), если разным точкам этого множества отвечают разные значения функции.
Мероморфная (в частности, аналитическая) функция / (z) в некоторой области D называется однолистной в Dt если она унивалентна на D,
Если мероморфная функция / (z) однолистна в области D. то в каждой регулярной точке этой области производная отлична от нуля. В самом деле, если в некоторой точке z0 / (2о) = а> Г к^о) = 0, то z0 будет a-точкой кратности выше первой, а тогда в силу одного из следствий из теоремы Руше (см. § 18) при Ь, достаточно близких к а, / (z) более одного раза принимает значение Ь, что противоречит унивалентности.
• Однолистная функция / (z) в области D может иметь не более одного полюса, причем этот полюс может быть только простым. В самом деле, если z0 — полюс для / (z), то z0 — нуль для 1// (z), а так как 1// (z) тоже однолистна, то по доказанному z0 — простой нуль для 1// (z) и, следовательно, простой полюс для / (z).
Всякая аналитическая функция / (z) однолистна в достаточно малой окрестности каждой точки, в которой производная отлична от нуля.
В самом деле, пусть f (z0) =/= 0, тогда если бы ни в какой окрестности z0/ (z) не была однолистна, то нашлись бы такие последовательности точек ал и Ьл, что ал -» z0, *ЬЛ -*• -^zOl ап =£ Ьл, / (ал) = / (Ьл). Пусть тогда у — окружность с центром z0 и радиусом р, где р таково, что / (z) =/= / (z0) при 0 < | z — z0 | ^ р. Очевидно, / (z) —/ (z0) - имеет внутри у только один нуль (с учетом кратности) и не имеет нулей на у. Но / (z) — / (ал) -> / (z) — / (z0) равномерно на у, следовательно,— по теореме Гурвица — при п, достаточно большом, / (z) — / (ал) имеет внутри у тоже лишь один нуль (с учетом кратности), и мы получаем противоречие, ибо при достаточно большом п эта функция имеет внутри у нули ап и Ьп. • •
Всякая мероморфная функция однолистна в достаточно малой окрестности каждого простого полюса. В самом деле, если z0 — простой полюс для / (z), то z0 — простой нуль для 1// (z). По доказанному 1// (z) однолистна в некоторой окрестности точки z0, следовательно, / (z) однолистна в этой же окрестности.
Замечание 1. Если / (z) мероморфна в полной плоскости, то / (z) есть рациональная функция.
В самом деле, пусть zx, . . ., zn — полюсы / (z) (число их > 0 и, конечно, среди них может быть оо). Вычитая из / (z) сумму главных частей / (z) в полюсах zn . . . , zn, получим функцию, аналитическую в полной плоскости, но
таковая в силу теоремы Лиувилля является постоянной. Следовательно, / (z) равна сумме постоянной и своих главных частей в полюсах zx, . . ., zn.
Таким образом, / (z) рациональна.
Замечание 2. Если / (z) мероморфна и однолистна в полной плоскости, то / (z) есть линейная функция (т. е.
az + b \ вида ),
cz + d /
В самом деле, / (z) может иметь не более одного полюса и таковой может быть лишь простым. Как мы видели в предыдущем замечании, / (z) равна сумме постоянной и главных частей / (z) в ее полюсах; следовательно, в рассматриваемом случае / (z) может лишь иметь вид с + — ^ ~ (если есть конечный полюс а), с + &z (если оо есть полюс), Случай отсутствия полюсов не может представиться, ибо в этом случае / (z) была бы постоянной.
Итак, / (z) линейна. Заметим, что значениями / (z) будут все точки полной плоскости.
Отметим еще один факт, относящийся к однолистным функциям. Если / (z) однолистна в области, полученной выбрасыванием из D некоторого множества точек^ не имеющего предельной точки внутри Вл то после надлежащего доопределения в точках этого множества / (z) станет однолистной в области В.
> Действительное точки упомянутого множества являются изолированными особыми для / (z). Учитывая однолистность /i(z) и теорему Сохоцкого, легко заметить, что эти особые точки не могут быть существенно особыми, следовательно, в них / (z) естественным образом доопределяется и становится мероморфной в В. Если бы она в двух точках В принимала одинаковое значение а, то в любой близости к этим точкам она принимала бы любые, достаточно близкие к а значения, что противоречит однолистности / (z) в ее первоначальной области определения.
Конформное отображение области на область.
Определение. Взаимно однозначное отображение ш = / (z) области В на область А, конформное в каждой точке области В, называется конформным отображением области В на область А (речь идет об областях на полной плоскости).
Всякая мероморфная (в частности, аналитическая) однолистная функция / (z) в области D дает конформное отображение w = / (z) области D на соответствующую ей область значений функции / (z).
Это следует из того, что производная однолистной функции в каждой регулярной точке отлична от нуля (и возможный полюс — простой), и из того, что отображение конформно в точке, если выполняющая отображение функция имеет в этой точке отличную от нуля производную (или простой полюс).
Для практического построения конформных отображений областей полезна
Теорема. Если / (z) аналитична в области, ограниченной простым замкнутым контуром С, и на нем и если f (z) унивалентна на С, та w = / (z) будет конформным отображением области, ограниченной простым замкнутым контуром С, на область, ограниченную простым замкнутым контуром Г, который описывает точка f (z), когда точка z описывает С.
Доказательство. Пусть а — точка внутри (вне) Г. По принципу, аргумента число корней уравнения / (z).— а = . О, лежащих внутри С, равно
-^-(Arg [/(z)-a]}c,
а это число (из геометрических соображений) равно ± 1(0). Это показывает, что внутри С f (z) принимает ровно один раз каждое значение, лежащее внутри Г, и не принимает значений, лежащих вне Г. Так как множество значений / (z), когда z принимает всевозможные значения внутри С,— открытое, то значениями / (z) не могут быть точки контура Г (ибо в противном случае некоторые точки вне Г оказались бы значениями / (z), что невозможно). Итак, когда z пробегает все точки, лежащие внутри контура С, t (z) по одному разу пробегает все точки, лежащие внутри контура Г, что и требовалось доказать.
Линейные преобразования. Линейные преобразования
w =; РЧ^О(3.66)
сх + d ’ I с d I ~4'
являются единственными конформными отображениями полной плоскости на полную плоскость. Преобразование,
обратное линейному, также линейно, произведение линейных преобразований также является линейным преобразованием. Всякое линейное преобразование (3.66) определяется некоторой матрицей комплексных чисел (а Ь\
с отличным от нуля определителем, причем мат- у с d )
рицы
(а Ъ\ ЪЛ
,) и I I
\с а/ \сх dj
только тогда определяют одно линейное преобразование, когда их элементы пропорциональны. Если L определя- (а Ъ\
ется матрицей ; , то £-1 определяется матрицей d)
— с а\
,, . Линейное преобразование (3.66) называется
d — и 1
—\ где а 4=0,21 - 2+т;—\ где а 4=0,21 - 2+т;целым, если с = 0, дробным, если с =^= 0.
—\ где а 4=0,21 - 2+т;
—\ где а 4=0,21 - 2+т;
Заметим, что если w = ах у b =а^ У то w можно получить, исходя из" 2, так? w = azv
Заметим, что если ;
W =W =az у b cz у daz у b cz у d
W =
W =
az у b cz у d
az у b cz у d
ТО 1Р можно получить, исходя ИЗ 2, так? . d1be — ad.а
zi=z+—; z2 = —; zs =—^z2; w = z34-^-.
Из этих замечаний следует, что всякое линейное преобразование можно разложить в произведение линейных преобразований частных видов
w = z у a; w = аг (а =/= 0); w = — .
Еще заметим, что если число а =^= 0 представить в показательной форме а = Re^; то w = az можно получить, ис- ходя из 2, так: zt = е^ 2; w = Rzv Наконец, га = —
можно получить, исходя из 2, так: z1== — 7 w = Zv
Из сказанного следует, что всякое линейное преобразование можно разложить в произведение преобразований, каждое из которых относится к одному из пяти видов:
1
w = 2 + a; w = e^z; w — Rz; w = — ; w — z, (3.66')
где a = a + ф — комплексное число, у — действительное число, И — положительное число. Эти преобразования могут быть переписаны так (полагая z = х + /у, w = и + wY
Lu = х + а,(и = х cos Т — У sin у,
[ v = у + Р;(z; — я sin у + у cos у;
(3.66")(3.66")тж X
(3.66")
(3.66")
{и = Их, и ^Пр^5" » (ц = х, v = Ry; _ у . , |^=—у
I ^ + у2 ’
изнизываются соответственно: параллельным переносом, поворотом, подобием, инверсией, симметрией.
Окружностями (в широком смысле) на полной плоскости будем называть окружности^ й прямые. Через каждые три различные точки полной Йлоскостй проходит единственная окружность (в широком смысле).
Теорем а; Всякое линейное преобразование переводит каждую окружность (в широком смысле} в Некоторую окружность (в широком смысле);
Доказательство. Так как всякое линейное преобразование разлагается в произведение преобразований, относящихся к упомянутым выше пяти видам, то достаточно показать, что преобразования этих пяти видов переводят окружности (в широком смысле) в окружности (в широком смысле). Это очевидно для параллельного переноса, поворота, подобия, симметрии. Остается проверить это для инверсии. Уравнение какой-нибудь окружности (в широком смысле) можно записать в виде
А (х2 + у2) + Вх + Су + D - О
(Л, В, С, D — действительные числа; при Л 4= 0 — это
окружность, при А = 0 — это прямая). Из соотношений
и
И2 + У2 1
УК2 + У2
(преобразование, обратное инверсии, есть тоже инверсия) найдем, что образ этой окружности (в широком смысле) имеет уравнение
D (к2 + г2) + Ви + Си + А = 0
и, следовательно, тоже является окружностью (в широком смысле), что и требовалось доказать.
Всякое нетождественное линейное преобразование имеет либо одну, либо две неподвижные точки (т. е. точки, переходящие в себя).
В самом деле, в случае дробного линейного преобразо- az 4-Ъ
вания го его полюс и точка оо не являются не- cz + d
подвижными точками, а отличная от них точка будет не-
подвижной, если удовлетворяет уравнению z = -^ j - (рвадратное уравнение); в случае целого линейного преобразования w == az + b точка оо является неподвижной точкой, а-конечная точка будет неподвижной, если удовлетворяет*уравнению z = az + b (уравнение степени не выше первой).
Таким образом, нетождественное линейное преобразование в обоих случаях имеет либо одну, либо две неподвижные точки.
Теорема. Если zn z^ z3 — какие-нибудь три различные точки полной плоскости и wv w^ w3 — тоже какие-нибудь. три различные точки полной плоскости^ то существует единственное линейное преобразование, переводящее zlt z^ z3 соответственно в w^ w^ w3.
Доказательство. Сперва заметим, что не существует различных линейных преобразований L иМ, переводящих zn z2, z3 соответственно в w^ w^ w3l так кай в противном случае M-1L было бы нетождественным линейным преобразованием с тремя неподвижными точками 22, z3, что невозможно.
Непосредственно проверяется,, что линейное преобра-
зование £Z1,ZhZ„
где
Z3 ”ZjZ “— Z1
; если z z z конечны
Z3— Ziz—Z-2 ’d
Z3 — Z2
,если 2i = 00,
^Z„ z2, z3 ^ = '
Z — Z2 ’X
Z — Z1
.если = oo, /0
z3 — zi ’2’(0.0/)
Z — Z1
. Z — Z2 ’d’
переводит zx, z2, z3 соответственно в 0, оо, 1. Отсюда следует, что L^x^^LXb^ будет линейным преобразованием, переводящим z1? z2, z3 соответственно в wv w^, w3, что и требовалось доказать.
Понятие симметрии относительно прямой хорошо известно. Введем теперь понятие симметрии относительно окружности.
Определе ни е. Пусть С — окружность с центром О и радиусом R. Точкой, симметричной какой-нибудь точке Р относительно окружйости С, называется точка Р*, обладающая свойствами: 1) Р и Р* лежат на одном луче, выходящем из центра окружности С; 2) ОР -ОР* — = №.
Если Р совпадает с центром окружности С, то полагают Р* = оо, и обратно. Если Р* симметрична Р, то Р симметрична Р*.
Лемма. Если Р иР* — симметричные точки относительно окружности (в широком смысле) С, то всякая окружность (в широком смысле), проходящая через Ри Р*, ортогональна С. Обратно, всякая окружность (в широком смысле), проходящая через Р и ортогональная С, проходит через Р*.
Доказательство. Пусть (рис. 57) Г — окружность, проходящая через Р и Р*, и ОМ —- касательная к Г, проведенная из центра О окружности С. По известной теореме элементарной геометрии ОМ2 = ОР-ОР*. Но ОР ОР* — №, откуда ОМ = R. Следовательно, точка М лежит на С и Г ортогональна С.
Пусть (см. рис. 57) теперь Г — окружность, проходящая через Р и ортогональная С, М — точка пересечения С и Г,
Р* -— вторая точка пересечения Г с прямой ОР. Тогда ОМ будет касательной к Г и, следовательно, № = ОМ^ = = ОР *ОР*. откуда следует, что Р* есть точка, симметричная Р относительно С. Теорема становится тривиальной, если либо С, либо Г есть прямая, что и требовалось доказать.
Рис. 57.Рис. 57.Следствие. Пусть точки Р и Р* симметричны относительно окружности (в широком смысле) С; точки Q и Q* симметричны относительно окружности (в широком смысле) Г. Тогда линейное преобра- / зование, переводящее СвГи точку Р в точку Q, переведет точку Р* I в точку Q*.. V
Рис. 57.
Рис. 57.
Г, следовательно,Г, следовательно,В самом деле, в силу консерва- тизма углов окружности (в широком смысле), проходящие через Р и ортогональные С, перейдут в окружности (в широком смысле), проходящие через Q и ортогональные
Г, следовательно,
Г, следовательно,
точка пересечения первых Р* перейдет в точку пересечения вторых Q*.
Положим для всяких двух разных точек а, р
La^La^(3.68)(3.68)если а, р конечны,
La^
La^
(3.68)
(3.68)
если а = оо, если р = оо.
Очевидно La^ будет одним из линейных преобразований, переводящих а, р соответственно в 0, оо.
(3.69)(3.69)Положим еще для всякого К (отличного от 0 и оо)
(3.69)
(3.69)
Ч (2) == Кг.
Очевидно Lk есть линейное преобразование с неподвижными точками 0 и оо, и обратно, всякое линейное преобразование с неподвижными точками 0 и оо есть Lk при некотором К (это видно из выражения L0) оо, т, где у отлично от 0 и оо). Следовательно, всякое линейное преобразование, сохраняющее точку 0 и переводящее единичную окружность в себя, должно иметь вид Lk (иоо оо, как симметричная с точкой 0 относительно единичной окружности, сохраняется), причем, очевидно, | К | = 1.
Следовательно, линейное преобразование, переводящее единичную окружность в себя, сохраняющее центр и направление действительной оси, есть тождественное преобразование.
(6.70)(6.70)Замечание. Всякое линейное преобразование с двумя неподвижными точками а, р можно записать в виде
(6.70)
(6.70)
где К отлично от 0 и оо. Обратно, всякое преобразование (3.70) есть линейное преобразование с неподвижными точками 0 и оо.
' В самом деле, если L имеет неподвижные точки аир, то La ^LL^^ будет линейным преобразованием с неподвижными точками 0, оо, следовательно Ltt ^LL^ = Ьк, откуда умножением слева на £”^ и умножением справа на La ^ получим искомое равенство (3.70). *'’•.
• Обратно, L”^ LK La£ при всяком К, отличном от 0 и оо, будет линейным преобразованием с неподвижными точками а,р.
’ Для каждого нетождественного линейного преобразования’с двумя неподвижными точками К 4= 1 и определено с точностью др замены обратным числом (ибо при перестановке неподвижных точек К заменяется на А).. ,
Нетождественное линейное преобразование с двумя неподвижными точками называется гиперболическим, если К положительно, • эллиптическим, если |К| = 1, локсодромическим в прочих случаях. Нетождественное линейное , преобразование с одной неподвижной точкой называется параболическим. , •’ --Г\‘
, Т е орема. Дуешь D — одна из двух областей, на которые окружность (е 'широком смысле) С делит полную плоскосМъ, Р — точка в D, т — «направление», выходящее из Р; пуспгъ Д -^. одна из . двух . областей, на которые окружность; \в ш
Г делит полную плоскость, Q — точка в ^, п — «направление», выходягцее из Q. Тогда существует единственное линейноепреобразование, переводящее Область D в область k, точку Р в точку Qi «направление» т в «направление» п.1
. Доказательство. Сперва заметим, что внутренность или внешность окружности можно линейным преобразованием перевести в некоторую полуплоскость (для этого достаточно взять линейное преобразование, переводящее три разные точки окружности в какие-нибудь три разные точки, из которых одна оо). Заметим еще, что в частном случае, когда С и Г, упоминаемые в теореме, являются прямыми, найдется линейное преобразование, переводящее D в А и Р в Q, ибо легко получить линейное преобразование L, составленное из вращения, параллельного переноса и подобия, переводящее D в полуплоскость у *> 0 и точку Р в точку I, и аналогичное М, переводящее Д в полуплоскость у > 0 и точку Q в точку I, а тогда M-tL переведет D в Д и Р в Q.
После этих замечаний перейдем к доказательству теоремы. Пусть Lt ^М^ — линейное преобразование, переводящее D (Д) в некоторую полуплоскость Dt (Дх); оно переводит точку Р (Q) и «направление» т (п) в некоторые точку Рх (Qx) и «направление» mv (мх). Пусть N — линейное преобразование, переводящее внутреннность
§ 20] КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ 221 единичного круга в некоторую полуплоскость д; оно переведет точку О в некоторую точку R. Пусть Za (М^ — линейное преобразование, переводящее Рх (Д^ в д и Рг «у в R; оно переведет «направление» mt (^i), выходящее из Pi (<?i), в некоторое «направление» т2 (пг), выходящее из R. Преобразование L3 — N^E^L! (М3 = = N^M^ переводит D (А) во внутренность единичного круга, Р (Q) в его центр, «направление» иг (п) в некоторое направление т9 (п3), выходящее из центра. Пусть Т — вращение, переводящее «направление» ш3 в «направление» п3; тогда S = М^ TL3 будет искомым линейным преобразованием, переводящим D в А, Р в у, m в п. Остается показать, что не существует двух таких преобразо? ваний S и St. Пусть N — линейное преобразование, переводящее внутренность единичного круга в D, его центр в Р, «направление» действительной оси в «направление» тп. Тогда N^S^SN переводит внутренность единичного круга в себя, сохраняет центр и направление действительной оси, следовательно, будет тождественным преобразованием Е. Но из AT^S^SAT = Е (умножаем слева на N, справа на N-1 и, наконец, слева на Si) найдем, что S = Sf
Замечание. Если линейное преобразование L переводит окружность (в широком смысле) С в окружность (в широком смысле) Г и точку а, не лежащую на С, в точку р, то
'^ 8=8 ^*^К^аа*-
при надлежащем выборе К, где «♦ (Р*) — точка, симметричная а (р) относительно С (Г).
В самом деле, L^*, LL^* сохраняет точки 0 и ©о, следовательно, имеет вид LK. Из L^*, LE^* = Ек умножением слева на Е^ и умножением справа на Еаа* получим искомое выражение для L.
. JB частности, если Г есть единичная дкружность и Р = 0, то р* = оо; но t0 oo есть тождественное преобразование, следовательно, в рассматриваемом случае L = LKLaa* при некотором К. Заметим, что тогда при произвольном К это преобразование переведет а в О и С в некоторую окружность с центром 0. Поэтому достаточно потребовать, чтобы некоторое z0 на С переходило в точку с единичным модулем. Таким образом, общий вид всех линейных преобразований, переводящих С в единичную окружность и точку а, не лежащую на С, в 0, есть■
г.г1
. •L = LKLaa- 1^1= |£ea,(Zo)| •
где zo, — какая-нибудь, фиксированная точка на С. Иначе говоря, общий вид таких преобразований есть'
^аа* (я)
Пример 1. Найти всевозможные линейные преобразования, переводящие единичную окружность в себя и точку а в 0.
Здесь а* = 1/^, следовательно, искомые линейные преобразования будут:
. w = A’^^-> где |^|=1(3.72)
az — 1
(ибо если а= гегф , то -=- = -— е^ и можно взять z0 = е^). а т
Пример %. Найти все линейные преобразования, переводящие действительную ось в единичную окружность и точку а в 0.
Здесь а* = аг следовательно, искомые линейные преобразования будут:
z — a
w — K=-, где 1^1 = L(3.73)
Za;-
Конформные отображения односвязных областей.
Формулировка теоремы Римана — К аратео- дорй. Всякая односвяэная область на полной плоскости, кроме полной плоскости и полной плоскости с выколотой точкой, может быть конформно отображена на внутренность единичного круга.
Доказательство этой теоремы здесь не приводится. Из теоремы Римана — Каратеодори следует, что всякие две односвязные области D и Д, отличные от полной плоскости и полной плоскости с выколотой точкой, могут быть конформно отображены одна на другую. В самом деле, если S и Т— конформные отображения D и Д на внутренность единичного круга, то Т-г8 будет конформным отображением D на Д. Вопрос о том, насколько многообразны конформные отображения D на А, легко решается, если будет доказана
Лемма Шварца. Если / (z) внутри единичного круга аналитична, по модулю не превышает 1 и имеет нуль в точке О, то |/ (z)| ^ ^ | г | при ]z| < 1, причем либо ] / (z) | < | z | при 0 < | 2| < 1, либо t (z) = kz, где к постоянно и I к ] = 1.
/ (z)
Доказательство. Так как / (0) =■ 0, то — аналитична при |z| < 1. При | z | = г,где 0 < г < 1 имеем | ^^-| < -^, следовательно, по принципу максимума модуля || < "* при |z| < г.
Переход к пределу при г —* 1 показывает, что при |z| < 1 имеем I ~— ^ 1. Если в некоторой точке z» -^—| = 1, то —— = = const = к, где, очевидно, | к | ^ 1. В противном случае (а также в предыдущем случае, когда | к | < 1) имеем ~~ | < 1 при | z | < 1. Таким образом, либо / (z) = kz, где Щ = 1, либо | / (z) | < | z | при О < J z | < 1, что и требовалось доказать.
Следствие. Конформное отображение внутренности единичного круга на себя, сохраняющее точку О и направление действительной оси, есть тождественное преобразование.
В самом деле, если w = / (z) есть такое конформное отображение, то / (z) удовлетворяет условиям леммы Шварца, поэтому | / (z) | С I z I при | z | < 1. Но обратное отображение z—ф (и?) также удовлетворяет условиям леммы Шварца, поэтому | ф(w) | ^ w при | w | < 1. Полагая здесь w = /(z), получим | z | < | / (z) | при | z | < 1. Сравнение полученных неравенств показывает, что | / (z) | = | z | при | z | < 1. Следовательно, по лемме Шварца / (z) = kz, где [ Л: [ = 1. Учитывая, что направление действительной оси сохраняется, находим k = 1 и, следовательно, / (z) = z.
Из теоремы Римана — Каратеодори и предыдущего следствия из леммы Шварца вытекает
Теорема. Пусть D (А)—односвязная область, отличная от по,#' ной плоскости и полной плоскости с выколотой точкой, Р (Q) —1 точка в D (А), т (п) — ^направление», выходящее из Р (Q). Тогда существует единственное конформное отображение D на А, переводящее точку Р в точку Q и ^направление» т с ^направление» п.
Доказательство. Пусть S (Т) — конформное отображение области D (А) на внутренность единичного круга, существующее в силу теоремы .Римана — Каратеодори. Тогда точка Р (Q) и «направление» т (п) перейдут при этом в некоторую точку Рг (Qi) и некоторое «направление» тг (п^.
Пусть L — линейное преобразование, переводящее единичную окружность в себя, точку Pt в точку $х, «направление» тх в «направление» nv Тогда ^LS будет искомым конформным отображением D на А, переводящим точку Р в точку Q и «направление» т в «направление» п. Остается доказать единственность такого отображения.
Пусть S (Т) — конформное отображение D (А) на внутренность единичного круга, переводящее точку Р (0 в точку О, «направление» т (га); в «направление» действительной оси (существование отображения S (Т) доказано). Если теперь U — какое-нибудь конформное отображение D на А, переводящее Р в О и т в п, то TUS-1 бужт конформным, отображением внутренности единичного круга на себя, сохраняющим точку О и направление действительной оси. По следствию из леммы Шварца TUS-1 = Е (тождественное преобразование), следовательно, U = T^S, что доказывает единственность U.
Замечание. Если области D и А ограничены окружностями (в широком смысле), то всякое конформное отображение D на А будет линейным.
В самом деле, пусть 5 — конформное отображение D на А. Какая-нибудь точка М области D и выходящее из нее «направле- ние» т перейдут в некоторую точку N области А и выходящее из нее «направление» п. Но мы видели, что существует линейное преобразование L, которое, как и S, переводит D в. А, М в N, т в п, так как такое конформное отображение единственно, то 5 = L.
Формулировка теоремы о соответствии границ при конформном отображении. Если w = / (z) есть конформное отображение области D, ограниченной
простим замкнутым контуром С, на область А, ограниченную простым замкнутым контуром Г, то функцию f{z) можно так доопределить в точках контура С, что f (z) станет непрерывной функцией в замкнутой области, ограниченной контуром С, и соответствие w — f (z) окажется взаимно однозначным отображением замкнутой области, ограниченной контуром С, на замкнутую область, ограниченную контуром Г.
Доказательство этой теоремы здесь не приводится. Таким образом, всякое конформное отображение области,ограниченной простым замкнутым контуром С, на область, ограниченную простым контуром Г, индуцирует определенное взаимно однозначное соответствие между точками самих контуров С и Г.
§ 21. Задача Дирихле для кругаи свойства гармонических функций
Вывод вспомогательной формулы. При 0 ^ г < 1 и любом <р имеем
4+f rv~ = -4.+2;rV'»=—1-+—l^™
о1 Те
_1,1 — те^ _
(1 — те^ (1 — те~^2
. 1 —- г cos ф + tr sin <р 1 —- г2 + 2ir cos ф
~г 1 — 2r cos ф + г22 (1 — 2г cos Ф + г2) ’
откуда, переходя к действительным частям, получим
4-+ Sr-cos(3.74)
Интегральное представление гармонических функций* Пусть и (z) = и (х, у), где z = х + гу,— действительная непрерывная функция на круге | z | ^ Я гармоническая при | z | < R. Очевидно, и (Rei<p) будет непрерывной функцией от ф с периодом 2л. В силу § 7 гармоническая функция внутри круга является действительной частью некоторой аналитической функции внутри этого круга,
поэтому при | z | < Д и (z) = Re F (z), где F (z) = 2 An^u о
при | z | < Я, причем можно предполагать Im F (0) = 0. Введем числа a0, at, b19 . . . , an, bn, . . . , полагая
A» = ^-, An = au-iMn>0\
При 0 < г < Л и любом ф имеем
откуда после выделения действительных частей получим
и (г№) = -у- + 2 гП (an cos пф 4- Ьп sin пф), (3.75)
Сходимость этого ряда равномерна относительно ф при фиксированном г, следовательно, а0, апгп, Ъпгп (п > 0) являются коэффициентами Фурье для и (г^) как функции от ф.
Беря р между г и 7?, перепишем (3.75) в виде
) (М>л cos пф 4- b^ sin п^.) (М>л cos пф 4- b^ sin п^.u(r^) = -|- + 2(-^
) (М>л cos пф 4- b^ sin п^.
) (М>л cos пф 4- b^ sin п^.
Так как а0, апРп, Ьпр" (п > 0) являются коэффициентами Фурье для и (ре**) как функции от ф, то
лЛ,..
°о = 44 м (Ре<“) ^а;®"Р” “ 4* 5 и (pgto)cos 710 d«;
—л—л -
bnPn — 44 м (peta) sin па da(п > 0);
следовательно,.,
ЛООл
и ^гв^=4г Sы ^ре1а)d®+s (4Т (44м ^ре<а)х '—л'1 ' Н
,л*
X cos пи. da • cos пф 4—^ j и (ре^ sin па da • sin пф
С П. и. РомановскийС П. и. Романовский= 4г S “ (Ре<а) ^а + 2 (4"У 4" 5 “ ^peto)cos га (° — Ф)^а=
С П. и. Романовский
С П. и. Романовский
) cos п (а — ф)] и (peia) da =±
' "1 —(г/р)а
1-2^-cos (а— <р)Ч~
и (ре1а) da =
2л ^ р» —2гр cos +г»
Подынтегральное выражение в последнем интеграле является непрерывной функцией от р, а при г < р ^ R (г, ф фиксированы). Обозначим ее Ф (р, а). При р -> R Ф (р, а) —> -> Ф (Я, а) равномерно относительно а (ибо Ф равномерно непрерывна при rT ^ р ^ R, если г < гг < Я), следовательно г в пределе получим
(3.76)
Заметим, что при и = 1 эта формула принимает вид
я
—"srД'я^зяттгзТсГ^^^ аа-^'°>
Если и (z) =- и (х, у), где z = х + гу,— действительная непрерывная функция на круге | z — z0 | ^ Я, гармоническая при [ z — z0 | < Я, то и (z0 + z) непрерывна на круге | z | ^ Я и гармонична при | z | < Я, следовательно, на основании (3.76) имеем при 0 ^ г < Я и любом ф
и (z0 + re^ = ^- $ T^^iL^-v,» и^о ^Re^ do* (3.77) что и является искомым интегральным представлением* Отсюда при г = 0 получим
«М = -2^- J “(^е + Яе1») da = -А_ ^u(z)ds, ^Л13
где С — окружность | z — ze | = Д и последний интеграл берется по длине дуги.
О достижении крайних значений на границе и теорема единственности. Средним значением непрерывной функции / на спрямляемой дуге Г длины L называется число
f Ids
р, = —^у.Если/^р,наГ,тор,— />0, ^ (р —/)ds=O,
г
следовательно, / = р на Г. Это замечание далее используется.
Теорема. Если и ^\— действительная непрерывная функция в ограниченной замкнутой области А, гармоническая внутри А, то наибольшее и наименьшее значения и (z) на А достигаются в некоторых точках на границе этой области. Достижение наибольшего или наименьшего значения и (z) внутри k может иметь место только в случае^ когда и (z) есть постоянное.
Доказательство. Наибольшее значение и {z) достигается по крайней мере в одной точке на А. Если наибольшее значение и (z) на А достигалось в точке z0, лежащей внутри А, то оно достигается во всех точках каждого круга, имеющего центр z0 и лежащего внутри А. Это непосредственно следует из (3.77') и сделанного выше замечания. Возьмем теперь произвольную точку Z внутри А и рассмотрим цепочку кругов Kt1 К^ . . ., ^п, лежащих внутри А и таких, что z0 есть центр круга Ки центр каждого Kj (1 < 7 ^ т) лежит на К^, Z принадлежит Кт (построение аналогичной цепочки кругов рассмотрено при доказательстве леммы в § 14). Наибольшее значение и (z) на А достигается во всех точках всех кругов Kj и, в частности, в точке Z, но Z — любая точка внутри А, следовательно, и (z) постоянна внутри А, и следовательно, постоянная на А. Заменяя и на — и, придем к аналогичным заключениям о точках, где и (z) достигает наименьшего значения.
Примо ч а н и е. Из этой теоремы следует, что если «и г — непрерывные действительные функции на А, гармонические внутри А, и если на границе области А имеем и ^ и, то всюду на А и ^ » (ибо наименьшее значение и — и достигается на границе А, а там v — и >• 0). Далее, если на границе А имеем | и | < р, то всюду на А | и | ^ и (ибо из —v ^ и < v на границе А следует —р ^ и ^ и всюду на А).
Теорема единственности. Пусть ^ — ограниченная замкнутая область. Может существовать
не более одной действительной функции, непрерывной на А, гармонической внутри А и принимающей заданные значения на границе области А.
Доказательство. В самом деле, разность двух таких функций будет непрерывна на А, гармонична внутри А и равна нулю на границе А. В силу предыдущей теоремы эта разность тождественно равна нулю на А.
Решение задачи Дирихле для круга. Задача Дирихле в общем виде формулируется следующим образом. Пусть А — ограниченная замкнутая область, ф — непрерывная действительная функция на границе области А. Требуется найти непрерывную действительную функцию и на А, гармоническую внутри А и совпадающую с ф на границе Области А.
♦ Из теоремы единственности следует, что может существовать не более одной такой и.
Пусть / (а) — непрерывная действительная функция с периодом 2л, К— круг радиуса R с центром z0. Полагая z = z0 + г^1ф, где 0 ^ г < R, определим при | z — z0 | < Я функцию
-л
«Н = «^. + г^) = vj ^^.^.^—^^ f^da.
(3.78)
Выражение (3.78) называется интегралом Пуассона. Этот интеграл реализует решение задачи Дирихле для круга.
Покажем сперва, что и (z) является при | z — z0 | <С R действительной частью некоторой аналитической функции и, следовательно, будет гармонической функцией.
Имеем при 0 ^ г < R, учитывая формулу (3.74),
2(Я2 —2tfrcos(ot —ср) + г2) ~ Г гч , / т \2]"”
2 ^ cos (а - ф) +]
= 4" +2(4')cos n (°—ф)-
Затем, учитывая равномерную относительно а сходимость
встречающегося ниже ряда, получим
ц^=4" S t^^^^008^®-^]^"^01 =
= -4- $/Н^ + З^У'Т $/(a)cosn(a — <p)da =
—Л1 ' '— Л>
= -у + 2 Г" (й« C0S П^ + ^n sin ”?)>
где лл
а0 = — j / (a) da; an = ^- j / (a) cos тга da;
л
Ь» = —4г ^ f (a)sinnada (п>0).
Я" —л
Так как ап = о (1//?п), 6„ = о (!//?"), то ряд 2 ^n(z — z0)n,
где Ло = a0/2; Ап = ап — ibn (и > 0), сходится при I 2 — z0| < R и изображает при | z — z0 | < R некоторую аналитическую функциюF (z), причем, очевидно, Re F (z) = = и (z).
Теперь покажем, что для каждого ф0 и (z0 + гег<р) ->- r-^R.
**/(Фо) при! , Этим будет показано, что если доопре- 1Ф Фо
делить и (z) на окружности радиуса R с центром z0, положив при каждом ф0 u (z + Re^) = / (ф0), то и (z) станет непрерывной функцией на круге | z -^ z0 | ^ R.
Имеем, учитывая формулу (3.76'),
ы(г0 + г^)-/(ф0) =
1 РR2 г2
= 2л У № — 2Rr cos (a - ф) + г2 U— f (фо) 1=
Фо—2&+2ЛФ0+2&Фо—254-2П
2л )“ 2л ) + 2л }+
Фо—25 .Фо—25Ф(Н~25
где 0 -< 6 < л/2. Выберем 6 так, что | / (<р) — / (ф0) | < е/2
при ф0 — 26 ^ф <'ф0 + 26 (е > 0 произвольно мало), и рассмотрим функцию
_Riг2
ф(г’ V’a)= тгакг^^^а>~/^
очевидно, непрерывную и, следовательно, равномерно непрерывную на трехмерном замкнутом интервале
O^r^R
Фо —б<ф<Фо + 6
Фо + 26 ^^ п ^^ фо — 26 + 2л
ибо при этих значениях, г, ф, а знаменатель =/= 0, так как 6 ^J a — ф <^ 2л — 6^ и следовательно, знаменатель
*>№ — 2Rr cos 6 + г2 = (R — г)2 + 4Rr sin2 •— > 0.
По причине равномерной непрерывности на упомянутом трехмерном интервале найдется такое ц > 0, что
| Ф (г, ф, а) — Ф (Я, ф, а) [ < е/2 при
R — ч < г < R, фо — 6 < ф < Фо + б, фо + 26 < а ^ ^ Фо — 26 + 2л,
но Ф (JR, ф, а) = 0, следовательно, (Ф (г, ф, а) I < е/2 при упомянутых г, ф, а и, следовательно, | 721 < е/2 при 2? — т) < г < R, | ф — фо [ < 6.
Далее при г < R имеем
Фе+28я
I Z I / 8 С № — г» j / 8 * С _ 8
17i I 2 2л J Яа —2Яг соз(а —фЦ- ^"“^ 2 2л j — 2 • Фо—28—к
следовательно (рис. 58),
1Ы-Ы<«1Ы-Ы<«( R — Т) < г < R, при {.
1Ы-Ы<«
1Ы-Ы<«
1Фо —в<Ф<Фо + 6.
Этим доказано, что u (z0 + re1»)->/(ф0) при iC.Zlm* ‘
Таким образом, показано, что если на окружности |'Z — ze | = R произвольно задана непрерывная функ-
формулой (3.78), ес-формулой (3.78), ес-Рис. 58.Рис. 58.ция ф (z), то существует единственная действительная непрерывная функция u (z) на круге | z — z0 | ^ Д, гармоническая при | z — z0 | <Д и равная ф (z) при | z — z0| = = R. Эта функция определяется ли положить / (а) = ф (z0 + Re™Y Следовательно, задача Дирихле для круга разрешима.
формулой (3.78), ес-
формулой (3.78), ес-
Рис. 58.
Рис. 58.
Из сказанного в конце § 20 следует, что если А есть замкнутая область, ограниченная простым замкнутым контуром Г (на плоскости комплексного переменного z), К — круг Щ < 1, С — окружность |^| = 1 (на плоскости комплексного переменного £), то существует такое взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие
£ — £ (z) межДУ точками А и Я, при котором Г отображается на С (тогда обратное соответствие z = z (£) отобразит С на Г) и £ (z) является аналитической функцией внутри А. Пусть ф (z) — произвольная непрерывная действительная функция на Г, тогда ф [z (£)] будет непрерывной действительной функцией на С. Согласно изложенному существует непрерывная действительная функция у (Q на К, гармоническая внутри К и совпадающая сф [z Ш] на С. Тогда и (z) = v [£ (z)] будет непрерывной действительной функцией на А, гармонической внутри А и совпадающей с ф (г) на Г (заметим, что гармоническая функция от аналитической функции гармонична потому, что суперпозиция аналитических функций аналитична и потому, что гармоническая функция есть действительная часть аналитической функции).
Таким образом, задача Дирихле разрешается для в с я ко й замк- нутой области, ограниченной простым замкнутым контуром.
Свойства гармонических функций. Отметим предварительно некоторые неравенства. При 0 ^ г < Д и всяком ф ,
R—r = R2 —Ю—т^
R Л*r R^— 2Яг4-^^ R4— 2/?г созхр 4-гд
/" г2 — + г
Ri — 2Rr + ri R — r ' v ?
но левая часть при увеличении г уменьшается, а правая увеличивается, следовательно,
Л+р^ № —2Яг cosxp+r2 ^R — p при 0<Г^р<Я.
• (3.79')
Напомним (см. § 13), что последовательность функций в некоторой области D называется равномерно сходящейся в н у т р и Р, если она сходится равномерно на каждом ограниченном замкнутом множестве, содержащемся в D (для этого достаточно равномерная сходимость на каждом круге К, лежащем в D).
Теорема. Если последовательность функций uK (z), гармонических в некоторой области D, равномерно сходится внутри D, то предельная функция и (z) гармонична в области D.
Доказательство. Пусть К — круг с центром z0 и радиусом R лежит в D. Применим к ип (z) формулу (3.77). Так как на окружности круга К ип (z) -> и (z) равномерно, то предельный переход показывает, что и (z) представима внутри & интегралом Пуассона (3.78) с / (а) = = и (z0 + Re1^, следовательно, и (z) гармонична внутри К, но К — любой круг, лежащий в Р, следовательно, и (z) гармонична в области D.
Следствие. Если ряд с членами, гармоническими в области D равномерно сходится в н у т р и D, то его сумма гармонична в области D.
Теорема Г а р н а к а. Пусть vn (z) — положительные гармонические функции в некоторой области D.
Если ряд 2 vn (2) сходится хотя бы в одной точке об- 1
ласти D, то он равномерно сходится внутри D.
Доказательство. Пусть К — круг с центром z0 и радиусом R, лежащий в Р. Умножая неравенство
/?2 — г2_ R 4- г
Яа —2flrcos(a —<р) 4-г2’ ГДе
1
на g^- ип (z0 + Неш) и интегрируя по а в пределах от —л до л, получим, учитывая (3.77) и (3.77');
Vn (Zo + Те^ < 5±у vn (z0),
откуда следует, что если в точке z0 ряд 2 уп сходится, 1
то он сходится в каждой точке внутри К. Пусть Кх, К^, . . , , Кт — цепочка кругов, лежащих в Р и таких,
что точка сходимости z0 есть центр круга К^ центр каждого К) (1 < у ^ т) лежит внутри K^, Z лежит внутри Кт1 где Z — произвольно выбранная точка в D. В точ
ке Z в силу изложенного ряд 2 рп оказывается сходя- щимся, но Z — любая точка в D, следовательно, ряд
2 уп сходится в области D. Пусть К — произвол ь- н ы й круг с центром zx и радиусом р, лежащий в D, К — концентрический круг большего радиуса R^ также лежащий в D. Умножая неравенство
/?2 - Г2R^ — 2Rr cos (а — ф) + г2/?2 - Г2R^ — 2Rr cos (а — ф) + г2Д + рR — p1Д + рR — p1гдегде0<г<р0<г<р
/?2 - Г2
R^ — 2Rr cos (а — ф) + г2
/?2 - Г2
R^ — 2Rr cos (а — ф) + г2
Д + р
R — p1
Д + р
R — p1
где
где
0<г<р
0<г<р
на -^ yn (zt + Яе1а) и интегрируя по а в пределах от — я
до л, получим
у» (Zj + re^X ^^| vn (zj при 0<г<р,
следовательно, ряд 2уп (2) мажорируется на круге
К ЧИСЛОВЫМ СХОДЯЩИМСЯ рядом 2^М21)и,следо- вательно, равномерно сходится на К, но К — любой круг
в D, следовательно, ряд 2уп(2) равномерно сходится
1 внутри D.
Следствие. Если возрастающая или убывающая последовательность гармонических функций в некоторой области D сходится по крайней мере в одной точке этой области, то она равномерно сходится внутри D;
Теорема Лиувилля. Положительная гармоническая на всей плоскости функция есть постоянное.
Доказательство., Пусть и (z) > 0 гармонична на всей плоскости. Возьмем какое-либо число z = ге^. Умножая неравенства
R — гR^ — г2_ R + г
R + r^ R^ — 2Rt cos(ot —ф) + г2 ^ R^7 9 ГДе К ^ Г’
на -^- р(Яеи) и интегрируя по а в пределах от —л до л, получим
5^7 и <°> < у СХ т=7 и (°)’
откуда, в пределе при R ^> + сю и (0) ^ и (z) ^ v (О) , следовательно, и ^ = и (0) на всей плоскости.
Следствие. Если функция гармоническая на всей плоскости ограничена снизу или сверху, то она есть постоянное.
В самом деле, пусть и гармонична на всей плоскости; если и > с, то и — с > 0, и — с — const, и = const; если и < с, то — и > — с, — и = const, и = const.
Теорема (об устранимой особой точке). Если и (z) гармонична в области D, за исключением точки z0, лежащей e^D^ и и (z) ограничена вблизи z0, то и (z) можно так доопределить в точке z0, что и (z) станет гармонической на всей области D.
Доказательство. Пусть К — круг с центром z0 и радиусом Я, лежащий в D. Пусть zx — точка, лежащая внутри К и отличная от z0. Рассмотрим функцию U = 61а ~ , где г = ] z — z0 |, в — положительное число. Легко видеть, что U гармонична на всей плоскости,. кроме точки zOl и равна нулю при | z — z^ J = R. Пусть функция v (z) непрерывна при | z — zj ^ Я, гармонична при | z —- z0 | < Я и совпадает с и (z) при | z — z0 | = Я (таг кая функция существует, ибо задача Дирихле для круга разрешима). Так как и (z) ограничена вблизи zOl то w = = и — v ограничена при 0< | z — ze | ^ Я, и пусть | ш | <^ < М при этих z. Пусть р выбрано так, что 0 < р < ] zx~r —-s0|, s inМ. На кольце р ^ } z — z0 | ^Яфункция
w непрерывна, внутри кольца гармонична, при( z— ze| =Я w =0, при j z — ^.j = p ^|<;Л/<^81п у . Таким образом, на границе кольца | w | < U^ следовательно, Iw С&1) I ^ U (z^ = в In " , где гх = | zx — z0 ]. При е -> 0 получим в пределе w^ = О, и (z^ = и t^. Но zx —
любая точка внутри Ку отличная от z0, следовательно, и (z) = v (z) при 0 < | z — z0 | < R. Таким образом, полагая и (z0) = v (z0), мы сделаем и гармонической в D.
Доказанная выше теорема о достижении крайних значений на границе и теорема единственности остаются в силе, если вместо гармоничности и (г) внутри А требовалось лишь выполнение формулы (3.77') для всякой окружности, лежащей вместе со всей внутренностью внутри А.
Пусть D — произвольная область; и (z) — такая действитель- ’ ная непрерывная функция на D, что для каждой окружности. 6*, лежащей вместе со свеей внутренностью в D , выполняется формула (3.77'). Пусть К — круг, лежащий в Р, v (z) — непрерывная функция на К, гармоническая внутри К и совпадающая с и (z) на окружности этого круга. В силу теоремы единственности и = и на К, следовательно, и гармонична внутри Ку но К —- любой круг в Dy следовательно и гармонична в D. Таким образом, доказана
Теорема. Чтобы действительная функция на произвольной области D била гармонической у необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна eD и чтобы ее значение в центре каждого круга у лежагцего в D, равнялось среднему значению ее на окружности этого круга.
Гармоническая функция в некоторой области однозначно определяется своими значениями в какой-либо подобласти, т. е. справедлива
Теорема. Если на данной области имеем две гармонические функции, совпадаюицие на некоторой подобласти, то эти функции совпадают на всей данной области.
Доказательство, Достаточно показать, что гармоническая функция в некоторой области D, равная нулю внутри некоторого круга К, лежащего нР, равна нулю в области D. Пусть Z — произвольная точка в D, d — односвязная подобласть, содержащая К и Z. Пусть о — сопряженная гармоническая для и в d, выбранная так, что v (z0) = 0 (z0 — центр К). Из сказанного в конце § 7 следует, что и + iv будет аналитической функцией в d, равной нулю внутри Кп следовательно, в силу леммы § 14 и + iv = О на dy поэтому и ~ 0 на d. Но Z — любая точка в D, следовательно, и = 0 в области D.
Отметим еще следующее предложение.
Пусть и [z) — -гармоническая, функция в области D, отличная от постоянной. Тогда с любой близости К каждой точке Zo области D найдутся такие татки Z^ и Z^, что м («О < и («о) < “ (%)•
В самом деле, в противном случае для некоторой точки z0 в D найдется круг о центром zOt лежащий в D и такой, что для всех точек внутри К, и ^ < и (z0), или для всех точек внутри К, и (z)^ и (z0). Следовательно, и (z) = const ~ € внутри К, и (z) — С = О внутри К, и^ — С = 0 на Р, и (z) = С на Dy что дает противоречие.
ГЛАВА IV
О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ
Гамма-функция.
Гамма-функция, или эйлеров интеграл 2-го рода, опредзляется (для положительных значений независимого переменного s) формулой
■+оо
Г (s) = J е~хх8*г dx (s > 0).(4.1)
о
Интеграл в правой части является несобственным при верхнем пределе и, кроме того, в случае s < 1 несобственным при нижнем пределе. Сходимость интеграла (4.1; при всех s > 0 обеспечена, так как при х -* + оо показательная функция сх растет быстрее любой степенной функции и так как интеграл с нижним пределом 0 от z“a при а < 1 сходится...
Формула приведения для гамма-функции (первая основная формула). Интегрирование по частям дает:
4-о°
Г (s + 1) = j e~xx6dx = о
•4-00.
= — e~xxs |+“ + $ ^ а?-1е-хйх = зГ (з). '°о
Таким образом, получаем формулу приведения
.Г (s + 1) = зГ (з) (s > 0).(4.2)
Отсюда заключаем, что■
г (з) = (s - 1) Г (з — 1) - (з - 1) (з — 2) Г (з - 2) = . . . и вообще
Г (з) = (з - 1) (з - 2) . . . (з - к) Г (з - к) (к< s), (4.3)
а тогда при натуральном п
Г (n + 1) = п\п — 1) ... 2-1 Г (1);
но
4~оо
Г (1) = J e~xdx = - е~х |+°° = 1, следовательно,Л.
. г (п + 1) = 1-2-3 . . . п = nV _(4.4)
Формула приведения (4.2) позволяет выразить значения гамма-функции для любого положительного s через ее значения для s, лежащего между 0 и 1.
Второе выражение гамма-функции. Делая подстановку я = Z2, получим:' ''’
Г ($) = ^ е*хх^ dx = 2О■ о
, или, заменяя t на ж,. '
Этот интеграл является несобственным при нижнем пределе в случае р < 1 и несобственным при верхнем пределе в случае q<^
Д№М1 подстановку х = соз2ф, получим второе выражение для бета-функции:
«/2
В (р, д) = 2 С cos^"1 ф sin29“^ йф (р > 0, q > 0).(4.8)
о
Бета-функция может быть легко выражена через Г-функцию посредством формулы
в^’^“Г(р + ^ •(419)
Действительно, перемножая равенства
Г (р) = 2 e"xlx2p-1 dx; Г (?) = 2е-Уу24"1 dy
Оо
и переходя в получающемся двойном интеграле к полярным координатам
x = r cosф, | 3 (ж, у) у = г sin ф, | д(г,ф) = г
e-^^P-i^-idxdye-^^P-i^-idxdyполучим (рис. 59 и 60):
e-^^P-i^-idxdy
e-^^P-i^-idxdy
Г (р) Г (q) = 4
= ^й e"*Tt ^^^ cos223"1 ф sin29”1 ф dr <?ф =$
+оотс/2
= 2 ^ е”г4гйрлг9*х dr 2 J cos2W ф sin29”1 ф с^ф = Г (р 4- ^) В (р, q\ ои,
откуда и вытекает формула (4.9).
Из формулы (4.9) видно, что бета-функция симметрична: В (р, д) = В (д, р).
В случае натуральных тгц п из (4.9) и (4.4) следует:
(m — 1)! (n - 1)!(m + n — 1)! en/2(m — 1)! (n - 1)!(m + n — 1)! en/2л.л.но по (4.9)но по (4.9)оо|2|2В (тп, и) =- Затем в силу (4.8)в/— ^В V 2 ’ 2
(m — 1)! (n - 1)!
(m + n — 1)! e
n/2
(m — 1)! (n - 1)!
(m + n — 1)! e
n/2
л.
л.
но по (4.9)
но по (4.9)
о
о
|2
|2
’ 1 JJ .2’2
* / 1 \
откуда, учитывая, что Г (1) = 1, получим равенство Г (-2“)= V^* которое было использовано при выводе формулы (4.6). Так как из (4.5), как уже отмечалось, следует, что
то отсюда находим:то отсюда находим:гг^ж2 dx, о^ж2 dx, о
то отсюда находим:
то отсюда находим:
г
г
^ж2 dx, о
^ж2 dx, о
(4.10)(4.10)
(4.10)
(4.10)
J2
о или (учитывая четность функции е1^:
4-со
(4.101
Интеграл, фигурирующий в формулах (4.10) или (4.101, называется интегралом Гаусса.
Если р — любое положительное, п — натуральное, то из (4.9), (4.4), (4.3) находим:
Г(р)1-2...(п-1)
ь^’п>-Г(р + л) -(р + п-1)...рГ(р) “
1-2... (п —1)
~ Р(Р + 1) •* .(? + » —1) 1
Делая в формуле (4.7) подстановку ж = ^ ^ ^ (и меняя затем у на w), получим третье выражение для бета-функции:
В(р’9)= }(ТТ^^
(4.11)
откуда
в (s, 1 —
Лх
(0<$<1)
(4Л1')
или, учитывая (4.9),
о
Г(»)Г(1^)
х * ,г , _ dx
(412)
о
Вычисление интеграла
х8'1
Пусть сперва m — нечетное,Пусть сперва m — нечетное,
Пусть сперва m — нечетное,
Пусть сперва m — нечетное,
о
s — рациональное число вида m/n, где п — четное, m < п. Подстановка х = zn даст:
о
X
• т +«>— -1+°°w.
SxnСzm
ГП~ dx = п \ ——- dz =
1 +асJ1+zn
оо
п С zm^
2 \u,j»&
Используя правило вычисления несобственных интегралов с помощью вычетов (см. гл. III, § 17), получим:
2т-1Г’+ 2П2т-1Г’+ 2Пzm-i
2т-1
Г’+ 2П
2т-1
Г’+ 2П
—-dz = 2ni2Res
I -Гz ’а а
лежащие в верхней•= 0, имеющие поло-лежащие в верхней•= 0, имеющие поло-гт-1 где а =* полюсы рациональной дроби ,
лежащие в верхней
•= 0, имеющие поло-
лежащие в верхней
•= 0, имеющие поло-
1 + 2 полуплоскости, т. е. корни уравнения 1 + zn жительный коэффициент при I. Имеем:
п n+2k« t (2k+l)iti
^ ^ 1 = 1^ е”1* = е п = е те (А = 0,1п — 1).п
Из этих п значений "^—1 положительный коэффициент при г име- п
ют значения, соответствующие А = 0, 1,^ — 1. Следователь
но, все значения а суть
(2k+l)ni
а = е 1к=х^ЛJL— 1V
к2/
С помощью правила вычисления вычета относительно простого пб^ люса находим:
Zm-1 Г zm-l 1ат-п
^eS * 1 -n ^^ п е
а 1 *г z L nz J г=а
Таким образом, имеем при s = -£- (используя в процессе преобразований суммирование геометрической прогрессии и выражение синуса через показательную функцию по формуле Эйлера):
7 Ж8-1 n Т zm-1VI s’”-1 XI
О-оо ■:аа
п „’,(п+1) иг .
Г-1 t2**1)”1^ n) ^ (*»-«) ^^-^—(m-n) = ni е п= nt=
— (m-n) k=o1 —en
^(m-n)^(n-m)-^(n-m)
enen — e n
(p+i)^<”*-”) sin-2_(n—m)^<m-n) sin — (n— m) sin— ^sinn»enn
где e(r+1) 5"* T = I^";sin -2. (n - m),
— (m-n)2
en
и, следовательно, | у | 5=5 !• Но левая часть нашей цепочки равенств и коэффициент при у положительны, поэтому у = 1. Таким образом, имеем при з = min равенство
\ *—;— dx = 1. "":
J 1 + х sm ns ’
о
но левая и правая части этого равенства суть непрерывные функции й от s на интервале 0 < s < 1 (мы не останавливаемся здесь на обосновании непрерывности левой части), а так как каждое действительное число этого интервала можно представить как предел последовательности правильных рациональных дробей вида т/п, где п —• четное, т — нечетное, для которых упомянутое равенство доказано, то в пределе найдем справедливость его для всех s, 0 < $ < 1. Итак,
j Г + ж ^ sin ns оj Г + ж ^ sin ns о(О < s(О < s< 1).< 1).(4.13)(4.13)
j Г + ж ^ sin ns о
j Г + ж ^ sin ns о
(О < s
(О < s
< 1).
< 1).
(4.13)
(4.13)
Вторая основная формула для гамма-функции. Из (4.12) и (4.13) находим:
Г(б)Г(1—s) = ^ (0<»<1).(4.14)
Формула ^4.14) позволяет выразить значение гамма- функции для s, лежащих между 1/2 и 1, через ее значения для 5, лежащих между 0 и 1/2.
Гамма-функция как предел произведении.1 Учитывая, что f 1— — J —>егх при п^оо, найдем:
Г($) — ^ e^a^dx = liin ^1 — ^ ат5"1^оп-Н-оо о
(законность этого предельного перехода легко установить, но на этом мы не останавливаемся). Положим:
Jk(s) = ^(1 — у х^йх (0<fc<n; s>0). О
Интегрирование по частям дает?
Zk(s)= 1) — 4\(1) x8dx =
КХ'\ п /$ | -* ns j \ п /
0 о
значит, применяя последовательно эту формулу и учитывая, что
Z0(s) = L«-ld:C= -I = -, найдем:
^(•)-£^(Ч-1)-й7^ТГ^С + 2)-
~ ns «($ + <) »(®Ч-2) ^n-s(s + 3) =" - •
— Д ” — 11 т / г \ —
ns п ($ + 1)— ^*ti\S'Tn)
=1-2...n8
nns (s 4* !)• • • (s 4~ n 1) 8 + n5 (s 4" !)• • • (s 4*n) П *
Таким образом,. .
Г($) = lim ——l^JL—Z1s ($>0).(4.15)
Можно показать, что предел, стоящий в правой части формулы (4.15),, существует для всех комплексных чисел $ (конечный для всех s, отличных от нуля и отрицательных целых чисел). Выражение (4.15) может служить определением гамма-функции для любого комплексного значения s.
Если формула (4.15) принята за определение гамма- функции, то формулу приведения (4.2) можно доказать следующим образом:
Г(s + 1) = lim п,, л- ит =
V 1' n^oo G9 + l)(s + 2)...(s + n + l) ;
= lim= $Г (s).
n-^oo I s (s + 1) . . . (s + n)s + n + 1 J V '
Гамма-функция является аналитической на всей плоскости комплексного-переменного, за исключением точек 0,-1, —2, —3, ..., являющихся для нее простыми полюсами. Гамма-функция, как это можно установить, нигде в нуль не обращается.
Бесселевы функции с любым индексом
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Чтобы объяснить «происхождением бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве:
аам . д2» . а2м п о
(функции, удовлетворяющие этому уравнению, называются гармоническими^.
Если перейти к цилиндрическим координатам по формулам
х — г cos ф, У — г sin ф, z = z, то, согласно формуле (2.67), уравнение (4.16) принимает вид
д^и . 1 дм . 1 д-и , д2м папх
■^ + — зг + — э^ + -^г = а-<417)
Поставим задачу: найти все такие решения уравнения (4.17), которые могут быть представлены в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента, т. е. найти все решения вида
и = R (г) Ф (ф) Z (z)
(/?, Ф, Z предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми).
Пусть и есть решение упомянутого вида. Вставляя его в (4.17), получим:
7ГФ2 + у- Л'ФЗ + 4г R^"Z + КФ2" = О,
откуда (после деления на RФZ)
R" , 1 ^'1 Ф" ,2" а
R +гRФ’Z
Записав это в виде
. R”1R'1Ф"_Z”
RтR^Ф““Z. ’:
найдем, что левая часть не зависит от z, правая не зависит от г, ф; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная а. Отсюда
^- = а; Z"-aZ = 0;
R" 1 Д' 1 Ф" _ . R" . 1 R' ,1 Ф".
R т Rfl + r/f+°- ri Ф ’
r»R" + rR' + ar^R _ф"
R—Ф *
В последнем равенстве левая часть не зависит от ф, правая не зависит от г; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная Ь. Отсюда
-^_ = ь, Ф» + М> = 0;
= b, ^R" + rR* + (ar2 - Ь) /? = 0.
Таким образом, R, Ф, Z должны удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка
i3!?' + rR* + (ar2 — 6) Я = 0,..
Ф" + ЬФ = О, Z" — aZ = 0,1;
из которых второе и третье суть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, а первое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида.
Обратно, если R, Ф, Z удовлетворяют уравнениям (4.18), то и = RФZ есть решение уравнения (4.17). В самом деле, вставляя RФZ в левую часть (4.17) и деля затем на RФZ) получим:
R" , 1 R’ , 1 Ф" , 1” Rn х 1 R' b t „
+ гR ~+а
_ r^R" + rR' + (ar* — 6) R _ n
~r*R~ Ue
Таким образом, общий вид всех трех решений уравнения (4.17), которые являются произведением трех функций, каждая из которых зависит от одного аргумента, есть и = RФZ1 где R^ Ф, Z суть любые решения уравнений (4.18) при любом выборе чисел а, 6.
Первое из уравнений (4.18) в случае а = 1, Ь > 0 называется уравнением Бесселя. Полагая в этом случае b = v2, обозначая независимое переменное буквой х (вместо г), а неизвестную функцию — буквой у (вместо /?), найдем, что уравнение Бесселя имеет вид
ж2/' + хуг + (я2 — v2) у = 0.(4.19)
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играет большую роль в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие, называются бесселевыми, или цилиндрическими s функциями.
Бесселевы функции 1-го рода. Будем искать решение уравнения Бесселя (4.19) в виде ряда
4-00
У = 2
k=o
Тогда 4-00 $v = 2 (v +fe) ttk^* к—о 4-00
®V — 2 (v + A:) (v 4- А: — 1) ацХ^;
к=0 4“ со4~®о
(ж9 — Vs) у = 2 акж'1*т — V9 2 Oft®v+t = ■'
к=ок=о
4-004-00
= 2 вк-а®**"* — V9 2
к=2к=о
xV + ху' + (^ — V9) у = 4*004-00
= 2 К* + ^ — ^1^^ + 2 а-к-^ = к=ок=2
4~оо4*оо
= 2 A: (2v 4- А:) а^* + 2 вк-а^- к=ок=2
Следовательно, приходим к требованию
4-00
(2v +1) а^ + 2 Iй (2v + ^ °к + «fc-г] ^ = О К—2
или к бесконечной системе уравнений
(2v + l)ai = 0,|
A (2v 4* А) ак + «к-a = 0(^ = 2, 3, 4, ...),J
которая распадается на две системы:
(2v + 1) а, = О, 3 (2v Ч- 3) 03 -f- Si = О, - 5 (2v + 5) 0g -Ь а» = О,(2v + 1) а, = О, 3 (2v Ч- 3) 03 -f- Si = О, - 5 (2v + 5) 0g -Ь а» = О,2 (2v 4- 2) о2 + о0 = О, 4 (2v + 4) а4 + «2 — О, 6 (2v 4- 6) ов 4- «4 = О,2 (2v 4- 2) о2 + о0 = О, 4 (2v + 4) а4 + «2 — О, 6 (2v 4- 6) ов 4- «4 = О,
(2v + 1) а, = О, 3 (2v Ч- 3) 03 -f- Si = О, - 5 (2v + 5) 0g -Ь а» = О,
(2v + 1) а, = О, 3 (2v Ч- 3) 03 -f- Si = О, - 5 (2v + 5) 0g -Ь а» = О,
2 (2v 4- 2) о2 + о0 = О, 4 (2v + 4) а4 + «2 — О, 6 (2v 4- 6) ов 4- «4 = О,
2 (2v 4- 2) о2 + о0 = О, 4 (2v + 4) а4 + «2 — О, 6 (2v 4- 6) ов 4- «4 = О,
Первая из них удовлетворится, если взять ах = 0, аа = О, о$ = 0, ... Во второй системе Од можно взять произвольно; тогда о2, о4, а6,... однозначно определяются (если v не является целым отрицательным числом). Взяв
в° 2T(v4- 1) ’
найдей последовательно:
До 11
4(v + l) —2V+2 (v +1) Г (v + 1) “2V"*"21! Г (v + 2) ’
02__ 1 1 .
—4-2(v+2) ~ (v + 2) Г (v + 2) ~ 2V+42I Г (v 4- 3) ’
“в 4-3 (v+З)2^63! (v + 3) Г (v + 3) г^З! Г (v + 4)
и в качестве решения уравнения (4.19) получим ряд
= ф д — —I ■
2Т (v 4-1)2V+21! Г (v + 2)
1-= _W_ _^^.
2v+42! Г (v 4-3)Г(* + 1) IIГ (v 4-2)
(z/2)^4__ у . t W^
2! Г (v + 3)' к\ f(v+^ + l)’
4-00лй= 2(- i)ftk=g4-00лй= 2(- i)ftk=gЭтот ряд, формально удовлетворяющий уравнению (4.19), -сходится для всех положительных значений х и, следовательно, является решением уравнения (4.19) в области 0 < х < + оо (в случае целого v в области — ОО <; х < + оо). Функция
4-00
лй= 2(- i)ftk=g
4-00
лй= 2(- i)ftk=g
(4.20)(4.20)(я/г)^fcl Г (v 4- к 4-1)
(4.20)
(4.20)
называется бесселевой функцией 1-го рода с индексом v. Она является одним из решений уравнения Бесселя (4.19). В случае целого неотрицательного индекса п^ учитывая (4.4), получим:
A«-S(-v-^vrar <4-20') к=о'
и, в частности,
А^-ЗЬУ-^--(4.203
Общее решение уравнения Бесселя. В случае нецелого индекса v функции Jv (я) и J_v ^ являются решениями уравнения (4.19). Эти решения линейно независимы, так как начальные члены рядов, изображающих эти функции, имеют коэффициенты, отличные от нуля, и содержат разные степени х. Таким образом, в случае нецелого индекса общее решение уравнения Бесселя (4.1) есть
у = CXJ, (ж) + С^ (ж).(4.21)
Если v = — п (целое отрицательное число), то функция, определяемая формулой (4.20) (учитывая, что 1/Г($) равно нулю для 5 = 0, — 1, — 2, ...), принимает вид
k=nx
(4.20")
или, после замены индекса суммирования к на I + и,
-|-ОО
/-П (*)=(- 1)? 2 (- 1)« д^ПГ = (-1)" /„ И, (4.22)
откуда видно, что J_n (ж) удовлетворяет вместе с Jn (ж) уравнению Бесселя
я?у" + ху' 4- (а? — п^ у = 0.
Но формула (4.21) в случае целого v уже не дает общего решения уравнения (4.19).
Полагая
У. (ж) ^^LL (V _ не целое) (4.23)
и дополняя это определение для v = п (целое число) формулой
Уп(х) = ИтУДх),(4.23')
получим функцию У у (ж), удовлетворяющую уравнению
Бесселя (4.19) и во всех случаях линейно независимую от
J^ (я) (в случае v = п, где п — целое, этот факт, как и само определение Уп, нуждается в обоснованиях, но это мы оставляем в стороне). Функция Y^ (ж) называется бесселевой функцией 2-го рода с индексом v. Общее решение уравнения Бесселя (4.19) можно записать во всех случаях в виде
у = GJ. М + С^ (х). (4.24)
§ 3. Формулы приведения для бесселевых функций
, Имеем:
_ I XI (-l)e(«/2)2k
V ~ ^to r(v + k + l)’ x- 2V rtv + k+D*
a ЛЮ i ^(—i)e (®/2)2k-1
ax X* — 2V ~t (k — 1)! Г (v + k +1) *
a ЛИ _ i у (—1)'+1 v«№ux _ ax x- 2V ^ » r(v4-Z4-2) .
_ x "vt (-l)'(x/2)21_ Jw^
2V+1 zf0 Л Г (v + Z + 2)«W e
(4.25)(4.25)Следовательно, d (ж) A+i (ж) xdx x», ^+1
(4.25)
(4.25)
Тнким образом, операция-^^ (состоящая в дифференцировании с последующим умножением на 1/х), при- мененная к повышает в этом выражении индекс
v на единицу и меняет знак. Применяя эту операцию т раз, где т — любое натуральное число, получаем:
(4.25')(4.25')/ a \m j^=\_ = 22iH^L \xdx ) x^ '' х^т
(4.25')
(4.25')
Имеем!
т М _ о, У H^W^ _ 2» у.
х^дх)-д Д &| r(v + & + 1) -^ £*!(у + *)Г(у+*)’
dx ХЖ?АЖП -A Z1 мГ(у + *)-
k=0
k=o
Следовательно, ■^[я97Д4] ^"АД.-Дх).(4.26)!
Таким образом, операция ^-^, примененная к я Vv (я), понижает в этом выражении индекс у на единицу. Применяя эту операцию m раз, получаем:|
^^^j^x^=i"'mj4-m^-<4-26') 5
Из выведенных формул можно получить некоторые следствия. Используя (4.25), получим:
/ ^ V _ ^+1 . ^— ^+1 • f v т —i
\з? )х* ’ х*х* ’
=/v+l*4
Отсюда, в частности, следует, что Jo = — Л. Используя | (4.26), получим:1
(•Ж* J*) = Xv Jv~i> 5$^ J^ *4" V^v ^-Jv = Xv Jv~i^ Jv 4 ~ 3v ^^ Jv-1*-t
Почленное сложение и вычитание полученных равенств дает;
2Z у = J — J v+i;(4.27);
^-J^J^ + Ли.(4.28)■
Формула (4.28) позволяет выразить все бесселевы функ- - ции с целыми индексами через J^ Jv Действительно, из
(4.28) находим (полагая у = л — 1):’ *
откуда последовательно получаем:откуда последовательно получаем:
откуда последовательно получаем:
откуда последовательно получаем:
§ 4. Бесселевы функции с полуцелым индексов
Бесселевы функции, вообще говоря, являются новыми трансцендентными функциями^ не выражающимися через элементарные функции. Исключение составляют бесселевы функции с индексом »+ -у, где п — целое. Эти функции могут быть выражены через элементарные функции.
М г(& + -|-)М г(& + -|-)Имеем:
М г(& + -|-)
М г(& + -|-)
4-00 1 ^ " s 2 k=G
i-3.5...(2k + l)i-3.5...(2k + l)но в силу (4.6)
i-3.5...(2k + l)
i-3.5...(2k + l)
следовательно,
4-00+2**1
31. ^ = 2 611-3.5... (2*4-1)^ =
2 к=о¥
4-°°ъ. — 4- 2к
2. (гт 1)^ а? 2
*-0 2* " T-w , ,3.5 . (2& -i-1) /л
Но 2к&! 1-3-5 ... (2& + 1) = (2/с + 1)!, следовательно,
т/Т v (—I)6®26*1
Г Ito
«j/J-sin*. (4.29)
Далее, имеем;
2 к=о
jjML-J?*—11
но в силу (4.6)
г(‘+4)
2к
/л,
следовательно,
/ » \—4- + 8*
"а к7о kl 1-3-5... (26—1)Кл
*=» 22 61 1-3-5... (26 — 1) ]<л
Но 2*Л! 1-3-5 ... (2& — 1) = (2Л)!, поэтому
J х (ж) = V— S ^Йг- = ]/—cos х. (4.30) 2к=о
G помощью (4.25') находим:
•^ 1 (ж)^ 1 ^
( V 2/ 4 \п П^"2*
\xdx) Jl,
XйX й
но в силу (4.29)
J х (ж)
ххТ i /^ 2 sin ж £ “ Г 7л" х 1 2
х
х
следовательно, при целом положительном п
(4.29')
С помощью (4.26') находим:. . .
но в силу (4.30)
2
следовательно, при целом положительном п
Интегральное представление бесселевых функцийс целым индексом
Производящая функция системы функций. Рассмотрим систему 8 функций /п (^) (с любой общей областью определения), пронумерованных с помощью всех целых чисел:
/_2 (Ж), /_! (ж), /о (ж),(ж), /2 (ж),
Составим ряд
4-00
5 /п (^) $л>
где z — комплексное переменное. Предположим, что при каждом х (принадлежащем области определения рассматриваемых функций) этот ряд имеет кольцо сходимости^ содержащее внутри себя единичную окружность С (т. е. окружность с центром 0 и радиусом 1, рис. 61). В частности, это кольцо может представлять собой полную плоскость комплексного переменного без точек 0 и оо.
Функция
- 4- 00-
(4.31)
(где х лежит в области определения функций системы S,
а — рнутри кольца сходимости, соответствующего рас*•сматриваемому значению х) называет
ся производящей функцией системы S.
Обратно, пусть задана функция F (х, z), где х пробегает некоторое Множество, z находится внутри некоторого кольца, зависящего от х. с центром 0 и содержащего внутри себя единичную окружность (в част-
Рис 61 ности, эти кольца могут быть полной * / плоскостью комплексного переменного без точек 0 и оо). Тогда, если F (я, z) при каждом х аналитична относительно z внутри соответствующего кольца, то F (ж, z) есть производящая функция некоторой системы S функций. В самом деле, разложив при каждом х функцию F (х, z) в ряд Лорана
по степеням z
4-00
F ^Х, Z) — 2 /п (#) 2Пf
найдем, что система коэффициентов /л (х) этого ряда будет искомой системой 8. '
Формулы для коэффициентов ряда Лорана (см. гл. III, §15) позволяют выразить функции /л (х) рассматриваемой системы через производящую функцию. Применяя эти формулы и преобразовывая затем интеграл вдоль единичной окружности С (комплексное параметрическое уравнение которой есть z = е^ — л ^ <р ^ л) в простой интеграл, получим: ' '
м«» —яг»4^^ = 4; $ FAX, #П «-•••* (4.32)
Производящая функция системы бесселевых функций с целыми индексами. Покажем, что для системы бесселевых функций 1-го рода с целыми индексами Jn (ж) (га = О, 41» + 2, ...) производящая функция есты .
F (х% z) = е 2 V 2
Имеем:
К=0--1=0•
откуда после почленного перемножения этих равенств (умножаем абсолютно сходящиеся ряды, стоящие в правой части, и соединяем в одну группу члены, содержащие одинаковые степени ^ найдем:
Д (z~ т) _ у (- *)* W2)6*' 2'~* е- & МЛ
4-004-00= 2^2П=—со К>0 1^0 1—К=п= 2^2П=—со К>0 1^0 1—К=п(— l)k №k*1м л(— l)k №k*1м лV a? (-D*^)™* £/ 2j~И (» + *)!V a? (-D*^)™* £/ 2j~И (» + *)!
4-00
4-00
= 2^2
П=—со К>0 1^0 1—К=п
= 2^2
П=—со К>0 1^0 1—К=п
(— l)k №k*1м л
(— l)k №k*1м л
V a? (-D*^)™* £/ 2j~И (» + *)!
V a? (-D*^)™* £/ 2j~И (» + *)!
(так как в предпоследней внутренней сумме к и I были связаны зависимостью I — к = п, то мы могли положить I ==
= п + к, получив суммирование по одному индексу к). В последней внутренней сумме суммирование производится (к ^ О
по всем тем целым к, для которых |п ^ д. > О’ слеД°вательно»
при и > О это будет 2 5 при п = — т < 0 это будет
к—о•
2 • Таким образом, во всех случаях внутренняя сум- k=m. .
ма есть Jn (ж) в силу формул (4.20') и (4.20"'). Итак,
e*Vl *)=2/п(ж)зп,■ (4.33)
— СО
но это и доказывает, что г2 v z) есть производящая функция для системы Jn (ж).
Выведем некоторые следствия из формулы (4.33). Полагая б ней z = е^ получим:
4-00gtastnv 2 /п(ж) е4"»,
откуда после разделения действительной и мнимой части [учитывая, что J_n (ж) = (— !)"/„ (х)]
4-00
cos (ж sin ф) = 2 а (ж) cos пф =
4-00
=/о И + S IА («) +/-П («)1 COS Пф =
П*1
4-00
-= Jo (ж) + 2 2 ^ш (я) COS 2?пф;(4.33'j
4*00’ 4-оо
sin (я sin ф) = 2 Л (ж) sin пф = 2 [ Jn(*) —J_n tol sin пф=
—ооП=1
4-00
= 22 J«M (*) sin (2m +1) ф. (4.33")
Заменяя в (4.33') и (4.33") ф на-у- — ф, найдем:
cos (ж cos ф) = Jo М + 2 2 (~ 1)” Jam (®) cos 2тф; (4.33'") т=1
4-оо
sin (ж cos ф) = 2 2 (— 1)т J»m*i (X) cos (2т +1) ф. (4.33"") т=0
Интегральное представление Jw (зс). Так как, по дока- ванному, при /„ (ж) = Jn (ж) имеем F^x,z) = e»\ z J, то по формуле (4.32) получаем (используя в преобразованиях
e2е^Пфйф = -^ \ eix sin ф“^йф =e2е^Пфйф = -^ \ eix sin ф“^йф =формулы Эйлера);
e2е^Пфйф = -^ \ eix sin ф“^йф =
e2е^Пфйф = -^ \ eix sin ф“^йф =
(я) =
лЛлЛcos (ж sin ф — пф) йф 4*
лЛ
лЛ
+ г ^ \ sin (ж sin ф — пф) йф = — \ cos (х sin ф — пф) йф, —л ■о
где принято во внимание, что cos (х sin ф — пф) есть четная функция от ф, sin ^х sin ф — пф) есть нечетная функция от ф. Итак, доказано, что для любого целого числа и(^0)
Jn (#) = — \ cos (х sin ф — пф) йф. (4.34) о
•^0 to — ~^“^•^0 to — ~^“^Формула (4.34) дает представление бесселевых функций с целым индексом в виде определенного интеграла, зависящего от параметра х. Эта формула называется интегральным ; представлением Бесселя для Jn (ж), правая часть формулы называется интегралом Бесселя. В частности, при и = 0 найдем:.
•^0 to — ~^“^
•^0 to — ~^“^
cos (х sin ф) йф.(4.34')
о
Ряды Фурье—Бесселя,
Рассмотрим на каком-либо интервале I (конечном или бесконечном) два дифференциальных уравнения
/' + Р to у = 0, /' + Q to z - 0,(4.35)
где Р и Q — непрерывные функции на I. Пусть у и z —• ненулевые решения этих уравнений. Умножение на z и на у и последующее вычитание дают .
/'z — у/' = (y'z — yz')' = ft? — Р) yZ.
Пусть аир принадлежат I и у (а) = у (Р) = 0, тогда после интегрирования в пределах от а до р получим
V^i^-V^e^^VQ-P^zdx. (4.36) а
Если а и р - соседние нули решения у (ж), то между а и р у (я) сохраняет постоянный знак, пусть, например, У М > 0 на (а, Р) (в противном случае следует заменить у на — у), тогда у* (а) > 0, у* (Р) < 0 (равенство нулю исключено, так как у — ненулевое решение дифференциального уравнения второго порядка). Если на I Р (я) < < @ (я), то z должна по крайней мере раз обращаться в нуль между аир, так как иначе z сохранит постоянный знак на (а, Р). Пусть, например, z (я) > О на (а, Р) (в противном случае заменяем z на — z), и тогда из (4.36) получим противоречие, ибо левая часть ^ 0, а правая > 0. Таким образом доказана теорема сравнения Штурма: если Р (х) <Z Q (я) на рассматриваемом интервале I и если у и z — ненулевые решения уравнений (4.35), то между каждыми двумя соседними нулями у (х) находится по крайней мере один нуль г (х).
Из теоремы сравнения Штурма вытекают нижеследующие следствия. Если Р (х) < 0 на 7, то каждое ненулевое решение уравнения у" + Р (я) у = 0 может иметь на I не более одного нуля (это легко видеть, если положить @ (я) = 0 и взять z = 1). Если Р (х) < М^ на I (где М > > 0), то для всяких двух соседних нулей а и р (а < Р) каждого ненулевого решения уравнения у" + Р (х) у = 0 имеем р — а )> л/М (это легко видеть, если положить Q (я) = М2, взять z = sin М ^х — с) и заметить, что нулями z будут только числа вида с +-^-> & целое). Если Q (х) > т? на I (где т > 0), то для всяких двух соседних нулей каждого ненулевого решения уравнения z" + + Q (х) х = 0 имеем р — а <^ -^- (это легко видеть, если положить Р (аг) — т2 и взять у = sin т (х — с)). Из сказанного следует, что если т2 < Р (х) < М2 на I. то для всяких двух соседних нулей а и р (а < Р) каждого ненулевого решения уравнения у" + Р (х) у = 0 имеем -^- < р — а <
т е
Изложенное показывает, что если Р (х) непрерывна на, (а, + оо) и превышает некоторое положительное число вблизи + оо, то каждое ненулевое решение у (х) уравнения у" + Р (х) у = 0 имеет на (а, + оо) бесконечно много нулей. Если еще у (х) вблизи а не обращается в нуль, то эти нули образуют бесконечную возрастающую последовательность ХП) имеющую пределом +оо, а если, кроме того, lim Р (х) = с2, где i > 0, то ^п —>1.
Рассмотрим уравнение Бесселя
xV + жу* + (^ — v2) у = О
на интервале (О, + оо)- Подстановка у = х"1^ приводит к уравнению
\X® /
Очевидно, у и z имеют одни и те же нули. Так как Jv (ж) = . = ж^ (ж), где G4 — целая функция, то J, (ж) не имеет нулей на (0, е) при достаточно малом е > 0, и так как
1^— >1 при #->4-оо, то при каждом у нули
J4 (#) на (0, + оо) образуют бесконечную возрастающую поел едов ател ьность
Ху1, ^V2, • • • J ^vn, • • • ,
^vn+1 ^vn причем^
Если X > 0, то J4 (Xx) удовлетворяет уравнению
#V' 4- xyr + (X2#2 — v2) у = 0
на интервале (0, + оо). Подстановка у = х”1^ приводит
к уравнению
Z"+ U2 -Z"+ U2 -
Z"+ U2 -
Z"+ U2 -
и, следовательно, у х J^ (Хх) удовлетворяет этому уравнению. Таким образом, при любых положительных а и
Р имеем
и* + I ®2^— / “ = 0,гдеи = у xJ^ (аж),
v" + \^Р2^— ]и = °,гДеv = V^ (₽*),
откуда
u"v — uv" = (u'v — uv'Y = (P2 — a2) uv,
следовательно,
^u'v — up') |i = (P2 —- a2) §uvdx, где 0 < e <4.(4.37)
Пусть теперь v > — 1. Разложение uv по степеням x начинается с члена, содержащего x2v+1, разложение u'u — — uv* по степеням x начинается с члена, содержащего ж2^2, так как коэффициент при х^ равен нулю, что легко видеть, исходя из формулы (4.20). Следовательно, из (4.37) при е -> 0 получим
1
и' (1) v (1) — и (1) и' (1) = (Р2 — a2) ^ uv dx, о
т. е.
1
(ря - a2) J xJ» (аж) J, (Рж) dx = aJ, (а) Л (Р) — РХ (Р) Л (а),
(4.38)
откуда видно, что если аир являются разными нулями функции Д (ж), то
хJv (аж) J< (Рж) dx .= 0.(4.38')
о
Этим доказано, что при v > — 1 система функций
J4 (ХУ1Ж)| Jv (Ху^ж), ..., J^ (Xvn^), •••
на. интервале (0, 1) является ортдгоцальной относительно веса р (ж) = ж.
Переходя к пределу при £ -> а в соотношении
1xj4 (аж) J„ (Рж) dx = о1xj4 (аж) J„ (Рж) dx = о<(«)^(3)-^(Р)Л(а)З2 —а2<(«)^(3)-^(Р)Л(а)З2 —а2
1
xj4 (аж) J„ (Рж) dx = о
1
xj4 (аж) J„ (Рж) dx = о
<(«)^(3)-^(Р)Л(а)
З2 —а2
<(«)^(3)-^(Р)Л(а)
З2 —а2
и используя правило Лопиталя,'получим при всяком а > О
^,/.(^№-^5!^^(4.39)
О следовательно, если а является нулем функции Jv (ж), то
1
^ ж [Д (аж)]2 йж = 4" [ Д (а)]2.(4.39')
О
Таким образом, при каждом v )> — 1 всякой непрерывной функции / (я) на (0, 1], удовлетворяющей требованию
1
[/(^)12^^<С + 00, о
поставлен в соответствие ряд Фурье — Бесселя
t №) **^ 2 ^Jv (^VH#),t №) **^ 2 ^Jv (^VH#),(4.40)(4.40)
t №) **^ 2 ^Jv (^VH#),
t №) **^ 2 ^Jv (^VH#),
(4.40)
(4.40)
коэффициенты которого определяются формулами
^п —^п —2К(«)Г2К(«)Г/ (^) JV (^vn*^) •£ ^Хе/ (^) JV (^vn*^) •£ ^Хе(4.40')(4.40')
^п —
^п —
2
К(«)Г
2
К(«)Г
/ (^) JV (^vn*^) •£ ^Хе
/ (^) JV (^vn*^) •£ ^Хе
(4.40')
(4.40')
Можно доказать, что система функций J^ (Хмпх) на (0, 11, ортогональная относительно веса ж, замкнутая и, следовательно, к ней применимо сказанное в § 14. В частности, если ряд Фурье — Бесселя (4.40) равномерно сходится, то сходится к порождающей его непрерывной функ* ции / (ж).
Можно показать, что если v > — у и / (ж) непрерывная на (0, 1] и кусочно-гладкая на [0, 1] функция, то ряд Фурье — Бесселя этой функции сходится к ней при 0 < < ж < 1.
Асимптотическое представлениебесселевых функций с целым индексомдля больших значений аргумента
Пусть ф (х) — положительная функция и / (х) —- какая-нибудь (вообще комплекснозначная) функция, определенные для достаточно больших значений х. Запись
f (х) = О [ф (х)] при х ~> + оо
означает, что найдутся такие числа х0 и М, что при х > > х0 имеем | / (х) | < Мф (х).
Подобная запись употребляется и в других аналогичных случаях. Например, если Ф (/) — положительная функция и F (0 — какая-нибудь функция, определенные для достаточно малых положительных значений ^, то запись
F (f) = О [Ф (£)] при t -> О
означает, что найдутся такие числа е и М, что | F (/) | < < МФ (Q на (0, ч).
Вспомогательная лемма. Если f (t) дважды, непрерывно дифференцируема на [0, 1], то для функции
1
л*)=-£-\:^=/(<)<»
имеет место асимптотическое представление
у— f№ + °^-^ пРи ®-»+°о.
Докажем эту лемму. Заменяя на 1 — (, получим:
М ft л ) yt
^1^/(1-0-/(1)Л f ft^1^/(1-0-/(1)Л f ftat. (4.41)at. (4.41)
^1^/(1-0-/(1)Л f ft
^1^/(1-0-/(1)Л f ft
at. (4.41)
at. (4.41)
Рассмотрим интеграл, фигурирующий в первом-слагаемом правой части формулы (4.35). Заменяя xt на ^, найдем:
сГ е~и 1 С е"г *С е"^
\ <-— dt — у— \ р— dt — р— \ р— dt — р— \ 1 р-— dt, aVt Vx )Vt Vx J Vt Vx )Vt
но, заменив „ на ta (учитывая формулу (3.59') гл. Ill], получим:
J ^=rd« = 2е41* at = Vne"^'4.
Оо
Если ф (ж) положительна, убывает и стремится к нулю при х -> + оо, то ^ф(0соз^^и ^ ф (Osin t dt, а следовательно, XX
+оо
и ^ ф (0 е~^ dt суть О [ф (ж)] при х —► + оо (это видно из выкла- х
док соответствующего пункта следующего параграфа), поэтому
е~г17?“-°е~г17?“-°при X —> + 00,при X —> + 00,
е~г1
7?“-°
е~г1
7?“-°
при X —> + 00,
при X —> + 00,
откуда
<И = о(-^-)\ X I<И = о(-^-)\ X Iпри X —> +"оо.при X —> +"оо.
<И = о(-^-)
\ X I
<И = о(-^-)
\ X I
при X —> +"оо.
при X —> +"оо.
Итак, получаем асимптотическое представление:
(4.42)(4.42)
(4.42)
(4.42)
Рассмотрим теперь интеграл, фигурирующий во втором слагаемом правой части формулы (4.35). Имеем:
где
/(1^0^/(1) Г
о
е*ш ф {t) Vt dt.
^W =
/(1 — 0—/(1)
t
Очевидно ф (0 дважды непрерывно дифференцируема на ^0,1], но, как легко видеть, существуют Иш ф(0 и Иш ф' (0, поэтому ф(0 t-H)t-*O
(после доопределения в точке ( = 0) становится непрерывно дифференцируемой на сегменте [0,1]. Интегрирование по частям дает:
1е"ы ф (0 VI dt о1е"ы ф (0 VI dt о11
1
е"ы ф (0 VI dt о
1
е"ы ф (0 VI dt о
L_ ф (t) К? + -тг\ е"ы 1ф W ^Г dt.
IXIе)
оо*
где первое слагаемое правой части —-—ф(Лесть О (1/я) при
1х
а —> + оо, а интеграл во втором слагаемом несобственный при нижнем проделе) мажорируется интегралом
1
I [ф № УЦ' \ dt, -о
который сходится, так как
,1
_ Ф W ^ + 2 ^ (^
[ф W VtY =у== О (1/ УЪ при t - 0;
следовательно, второе слагаемое есть тоже О (1/х) при х —» 4 оо: Итак, имеем:
(4.43)(4.43)е ы —— 1- ^ ^ dt = О (1/х) при х -> Ц-оо. о
(4.43)
(4.43)
У^ХУ^Хf (1) 4* О (1/х) при х -♦ 4 °°«f (1) 4* О (1/х) при х -♦ 4 °°«(4.44)(4.44)Из (4.41), (4.42), (4.43) получаем искомое асимптотическое представление:
У^Х
У^Х
f (1) 4* О (1/х) при х -♦ 4 °°«
f (1) 4* О (1/х) при х -♦ 4 °°«
(4.44)
(4.44)
1 I е
— \ -л^_- / (0 dt я J VI —t
о г
Из этой формулы, переходя к сопряженным величинам, найдем еще.
1 сеИ^^
^jVr^/(n^^“^T“/(1) + 0(1/x) при ж-*+°°* <444')
Формулы (4.44), (4.44'). верны и для комплекснозначных функций / (^) == /3 (С 4- if4 (4) [ибо они верны для ft (t) и /а (i)]..
Вывод асимптотической формулы для Ju^xY В конце
1 р
§ 5 мы видели, что AiW-j^ \ e^8^”17^^. Заменяя ф на
Л
~2~ —Ф, получим:
-гптс/2-гптс/2e^cosw-in» rfq) =e^cosw-in» rfq) =
-гптс/2
-гптс/2
e^cosw-in» rfq) =
e^cosw-in» rfq) =
g-inn/2 регяС08 <р содПф ^Оg-inn/2 регяС08 <р содПф ^ОVi—ttVi—ttdtdt
g-inn/2 р
егяС08 <р содПф ^
О
g-inn/2 р
егяС08 <р содПф ^
О
Vi—tt
Vi—tt
dt
dt
—ТС
е-1пл/2 р
_ \ gwccosv (COS Пф ^ ^ sin п(р) ^ф =
(учитывая, что е^с08 $ cos /гф есть четная функция от ф, а ^ixcos<p gjn Лф есть нечетная функция от ф). Подстановка cos ф = t дает:
и, заменяя8 н первом^ из-этихл интегралов t на — t, получим:
~ \ е -г*^ = "^7 \ 6Л JЛ J-1 гО~ \ е -г*^ = "^7 \ 6Л JЛ J-1 гО/1— <2/1— <2dt +dt +
~ \ е -г*^ = "^7 \ 6
Л JЛ J
-1 гО
~ \ е -г*^ = "^7 \ 6
Л JЛ J
-1 гО
/1— <2
/1— <2
dt +
dt +
А. С еы уп(0 _Л J Vl — t^ оА. С еы уп(0 _Л J Vl — t^ о1 f е“ы Ти t)c?t ^i ”~ \ ,.—.=* - ..... =Г“ dt -j-л 3 /1 - t /i +1
А. С еы уп(0 _
Л J Vl — t^ о
А. С еы уп(0 _
Л J Vl — t^ о
С ^' TUW п ^V—tVTTt
m Tn(-/) Tnw
Так как ”7= и _r на [0, 1J имеют производные всех УД + <. У 1 + t
порядков, то к двум последним интегралам применимы формулы
(4.44') и (4.44), и мы получаем:
inn
•^П ($) = в 2
. Ул? /2 + /я» y2j+ \«/’
следовательно,
Итак, имеем искомое асимптотическое представление бесселевой функции 1-го рода с целым индексом для больших значений аргумента*. „ .
Л(^) = V -^г008^— (га+‘т)"Т'1 + °("г)<4-45)
при х-» + оо.
Эта формула показывает, что Jn (х) с точностью до слагаемого порядка — является затухающей гармоникой с волной постоянной длины и амплитудой, убывающей обратно пропорционально квадратному корню из абсциссы.
В частности,
/
2/л \/1\
COS\Х7- )+ О\)приX —>+ °°; ЛХ\4 /\X
(4.45')
М^- — К -^-cos U-V4-\ + О(4-) ПРИ +
.(4.45")
Графики этих функций изображены на рис. 62 и 63.
Интегральный логарифм, интегральный синус, интегральный косинус
-С Ах \ S1H X л С COS X л
Известно, что интегралы \ — , \ ах. \ ах не выражаются через элементарные функции и являются новыми трансцендентными функциями. Эти функции (определенные пока с точностью до произвольного постоянного слагаемого) обозначаются соответственно знаками И х^ si х, ci х.
Разложения в ряды. Делая в равенстве И х = ^ -^- подстановку х = е1^ получим:
Ие1=^4~^ = ^(_г+1+'4'+4г+--^^ =
= In f + С + ^ + "272Г + зТзГ + ••• (Z>°X
268 О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ [гл, rv откуда (после возвращения к старому аргументу ж) li;r = lnlns + C4ans + 3^4--^ + ^^ (*>1).*
(4.46) " Далее, откуда после почленного интегрирования находима5
—<4-47»
Наконец, . Г COS Ж , С / 1 X . 3?\ 7
С1Ж=)—dx=\\—-^+-«-Md:c’i
откуда после почленного интегрирования получаема»
cix = C + lnx—2$г+ "Йг —••• (*>0). (4.48) |
Добавления к технике интегрирования. Подстановка । х — а = t дает;5
е Л?
\- dx = еа dt = еа Н е1 = еа И е*-®.|
Интегрирование по частям дает формулу приведения) |
С е” , _е* ,1 t е* a 4
Цх-аГ(и -1) (iCг) ^_а^-х
Подстановка х — а = t дает);
С sin ж , С sin (t 4- а), .
\ dx = \4^— dt = cos а si t + sin a ci t =»
= cos a si (x — a) + sin a ci (ж— a);
C cos ж , f cos (t 4- a) j.
\dx = \4-!—- dt = cos a ci t — sin a si t =
J Ж — л J *
= cos a ci (ж — a) — sin a si (ж — а).
Интегрирование по частям дает формулы приведения
sin х л sin х f If cos х л
(ж _ 0)"ож-d (ж _ в)»-1 +) (ж _ аГх
cos х jcos x1 C sin s j
— ax — — "—• \ ■ — ax.
(x — a)(n — 1) (ж — a)n-1 n — 1 J ^ _ a)n~i
Учитывая, что всякая рациональная функция есть сумма полинома и простейших элементов вида А^х — а^, заключаем на основании установленных формул, что интегралы вида
^ R (х) exdx, ^ R (х) sin xdx, ^ R (я) cos х dx
станут «берущимися», если к элементарным функциям добавить интегральный логарифм, интегральный синус и интегральный косинус [если мы хотим оставаться полностью в действительной области, то ограничимся такими рациональными дробями R (х), знаменатели которых имеют только действительные корни].
О сходимости некоторых несобственных интегралов. Пусть / ^х) — положительная непрерывная убывающая функция при а х < + оо, стремящаяся к нулю при х -^ + оо. Тогда несобственные интегралы ^ / (ж) sin х dx;
а
4-00
J / (я) cos х dx сходятся. а
Не нарушая общности доказательства, можем поло- йсить а = 0 (в случае а )> О можно / (ж) доопределить на участке 0 ^ ж < а так, что при 0 ^ ж < + оо будут выполнены все поставленные условия), при Ъ > 0 имеем;
ьл—1(Л4-1)ль
^ / (ж) sin х dx = 2 $ / (^ sin z йж + ^ / (ж) sin ж dx, Оfc=o клпп
где п — наибольшее целое число такое, что пл ^ Ь. Очевидно, п —> 4-оо при b -> + оо. Подстановка х =* t 4* кя дает:
0Н-1)лл
$ / (ж) sin х dx == (— 1)* J f (it + Ал) sin t dt = (— 1)* ck, .
., кло
270 о НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ (ГЛ . IV где
ск = f(t + Ал) sin tdt > 0. о
Из убывания функции / (ж) следует, что при А < 7 имеем?
/ (t + Ал) > f (t + /л).
Умножая это неравенство на sin t и интегрируя от 0 до л, найдем ск > ci. Из того, что / (ж) -* 0 при ж -► + °° следует, что ск -*• 0 при А -> оо, ибо
ск < / (Ал) ^ sin t dt = 2/ (Ал), о
Далее,
ь
Iг (&) 1 = И / М sin ж <7ж I < 2/ (гея)1 пл1
и, следовательно, г(Ь) -> 0 при b -*■ + оо. Таким образом, bn—1
$/(ж)8шж^ж = 2 (-1)*ск + г(Ь), ок=о
где
е0>С1>сй> ...; сп 0; г (6) -> 0.
Принимая во внимание теорему Лейбница о знакочередующихся рядах, заключаем, что
lim \f (x)sixxxdx = 3(^ ^^ ь-н-со 50
и, следовательно, несобственный интеграл J f(x) sin х dx о
сходится, что и требовалось доказать.
-1-СО
Интеграл j / (х) cos х dx после подстановки х = 14- -у- а
приводится к предыдущему.
Нормировка интегрального синуса и интегрального косинуса. Из сказанного следует, что
f sin ж 1 С coss ,/ л\
\и \ ~—йх(а>0)
аа
суть сходящиеся интегралы. Поэтому si ж и ci ж при $ -> ->4-оо стремятся к конечным пределам. Нормировку si ж и ci ж (напомним, что эти функции определены цока с точностью до произвольного постоянного слагаемого) можно, например, определить требованиями si (4- оо) = 0;
ci (4- оо) = 0. Тогда (при а > 0)
• w sin i п, 1 zi• С cos 7, ।
si х = \ —-t— dt + Сг;ci х = \ —-—dt + С^
аа
ч-оо
81(4- оо)= ^ -^^4-^ = 0;
а
si ж =si ж =dt.dt.Укажем еще другую нормировку si ж, определяя ее требованием si 0 = О (для ci ж подобная нормировка не имеет смысла, так как ci ж —> оо при ж —> 0). Тогда
si ж =
si ж =
dt.
dt.
(4.49)
Учитывая, что (si ж)' = втж/ж, найдем, что si ж возрастает на (0, л), убывает на (л, 2л), возрастает на (2л, Зл), убывает на (Зл, 4л), ... в точках л, 2л,'Зл, 4л, ... имеет
Рис. 65.
4-оо
экстремумы. Учитывая, что ^ ™ - di = -^(см. гл. I, §9), о
заключаем, что si хл/2 при х+ оо. Кривая у = si я имеет горизонтальную асимптоту у = л/2, при х -^ + оо бесконечно много раз пересекает эту асимптоту находясь то выше, то ниже ее.
На рис. 64 и 65 изображены графики интегрального синуса и интегрального косинуса при нормировках si (+ оо) = = 0; ci (+ оо) = 0.
В случае нормировки si 0 = О изображенный на рис. 64 график интегрального синуса следует сдвинуть вверх на л/2.
ГЛАВА V
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
§ 1. Вспомогательные сведения об интегралах,зависящих от параметра
Замечания о несобственных интегралах. Если / (0 — комплекснозначная функция, непрерывная на сегменте [а, Ы, за исключением точки а (в которой она может быть не определена и вблизи которой может быть не ограниче- &ь
на), то по определению \/(0df = lim Xf^dt, если этот JЕ>0 5
аа+е
предел существует и конечен. Аналогично, если / (0 непрерывна на [а, Ы, за исключением точки 6, то по опреде- bb-s
этот Предел сущестэтот Предел сущестлению у (0 At = lim ^ / (0 dt, если
этот Предел сущест
этот Предел сущест
Ь ], за исключениемсЪЬ ], за исключениемсЪвует и конечен.
Ь ], за исключениемсЪ
Ь ], за исключениемсЪ
Если / (0 непрерывна на [а, ь
точек а и Ь, то по определениюточек а и Ь, то по определению^/(0d< = ^/(0^ + ^/(0^, аас
точек а и Ь, то по определению
точек а и Ь, то по определению
где а < с < Ь, если оба слагаемых в правой части имеют смысл (очевидно, это определение не зависит от выбора числа с).
Если / (0 непрерывна на [а, Ы, за исключением конечного числа точек^, с2, ..., ср, гдеа ^ сг < с2 < ... < Ср^С
bCi сеЬ
^ Ь, то по определению \ / (t) dt = \ + \ + • • • + \ , если
аa ciср
все слагаемые правой части имеют смысл.
Пусть теперь / (t) непрерывна на (а, + оо), за исключением, быть может, изолированных точек *). Тогда по +00I
определению / (0 dt = lim/ (0 dt, если все интегралы
а/00 а
а, существуют и если Пт хсуществуетиконе-
ааZ —> 4- ооа
а
а
чей. В этом случае несобственный интеграл ^ f(t)dt
называется сходящимся. *«>
Если интеграл ^ |/(0|^ сходится, то несобственный а
+60
интеграл ^/(0^ называется абсолютно сходящимся, а
Абсолютно сходящийся несобственный интеграл всегда +оо
сходится. Очевидно, ^ f^dt абсолютно сходится, если а
1/(0 I ^ ф (0 (при t^ а, за исключением, быть может, изолированных точек), где ф (0 — такая действительная +00
неотрицательная функция, что ^ ф (f) dt сходится. В этом а
случае говорят, что несобственный интеграл ^/(0^ а
-1-00 мажорируется несобственным интегралом Ф (О dt. а
Пусть / (/, р) при каждом значении параметра р в некоторой области D является непрерывной функцией от t на 1а, + оо), за исключением, быть может, изолирован-
♦) Мы говорим, что некоторый факт имеет место на некотором данном интервале, за исключением, быть может, изолированных точек, если на каждом сегменте, лежащем на данном интервале, может находиться не более конечного числа точек, в которых рассматриваемый факт не имеет места.
пых точек. Если при каждом значении р в D интеграл +ооI
^ f(t,p)dt сходится и ^H^p^dt при Z-> + oo стремится аа
к своему пределу равномерно относительно р в Z), то +00
несобственный интеграл ^ f^t, p)dt, зависящий от пара- а
метра р, называется равномерно сходящимся в области D. Достаточным условием равномерной сходимости интеграла, зависящего от параметра, является мажорируе- мость его сводящимся интегралом от некоторой неотрицательной функции. Если D — область на плоскости +00
комплексного переменного р, то f(t,p)dt будем назы-
а
вать равномерно сходящимся внутри области D, если он равномерно сходится на каждой ограниченной замкнутой области А, лежащей в D (см. гл. III, § 13).
Аналитическая зависимость от параметра.
Лемма. Пусть f (£, р) — непрерывная комплекснозначная функция двух переменных t9 р: действительного переменного t на сегменте [а, &] и комплексного переменного р в области В. Пусть эта функция при каждом значении t на [а, Ь] является аналитической функцией от р в области В. Тогда fp (t, р) обладает такими же свойствами и функция
абудет аналитической функцией ompeD, причем^(p)=$/p(t,p)rft.
а
Доказательство. Тот факт, что fp (t9 р) есть непрерывная функция от t, р, проверяется так: при 1п-И имеем / (tnip^ *♦/ (^ Р) равномерно внутри В (ибо / (/, р) равномерно непрерывна при t на [а, Ь] ир на Д, где Д—какая-либо ограниченная замкнутая область в В^ следовательно, в силу теоремы § 13 главы III имеем /р Vni р) -*fp U* р) равномерно внутри В» откуда видно, что при будем иметь
/р (fol Рп) Г* /р (?» р)«,
п-1
Далее, имеем F (р) = Ит 2 / №» Р) Д*к ПРИ max Ык -* О/С=0
(рис. 66), причем сходимость — равномерная внутри области D, Действительно,
п-1п-1 1к*1
^w-2/(<ьр)А<к = 2 $ fv.pHt-
к=ок==о 1к
n-i 1к*1n-i^4-1
-2 J /(‘к>р)^=2 J vv,p)-tvk.p^<tt. k=o tkk=otk
но /(t, p) равномерно непрерывна при t на [a, 6] и p на Д, где Д —* какая-либо ограниченная замк
нутая область в D, поэтому для
всякого (в > 0 найдется такое^н *
Я > о, что если |Atk | < т),, । t.. ।—р—I—t—»—I—I
то | / (t, р) — / («к, р) | < е при a t, 4г 4м 4н ^
Рис. 66.Рис. 66.любом р на Д будем иметь:любом р на Д будем иметь:^к ^ t < tk + Д^, р на Д,
Рис. 66.
Рис. 66.
любом р на Д будем иметь:
любом р на Д будем иметь:
следовательно, при max Ык < т) и
п-1
|^(р>-2/(‘ь^д^^в^-в),' •
к=о
п-1
что и доказывает равномерную сходимость 2 f Ук» Р) ^к к F (р) •л=о
внутри области D.
Наконец, в силу теоремы ^ 13 главы III F (р) будет аналитической функцией от р в области D, причем
d nl
^'(р) = Ит^-[ 2/(^•/’lA^]”
к=о •■.-
n-iь
■- lim S 4 <♦»' ^ Д{» =• S 4 <f’ Р)dt'
.k=0а
что и требовалось доказать.
Теорема. Пусть ) (<, р) — непрерывная компленснозначная функция двух переменных I, р: действительного переменного t на [а, + оо), кроме^ быть может, изолированных точек^ и комплексного переменного р в области D, Пусть, кроме того, эта функция при
каждом упомянутом значении t будет аналитической от р в области 4-сю
D. Предположим еще, что несобственный интеграл ^ / (t, р) dt на а
каждой ограниченной замкнутой области ^1 лежащей в D, мажорируется некоторым сходящимся интегралом от действительной 4-оо
неотрицательной функции. Тогда F (р) = ^ / (t, р) dt будет а
аналитической функцией от р в области D, причем
4-00
F’M = J /р (*, Р) <И-а
Доказательство. Если сегмент [c,d], лежащий на [л,+оо), не содержит упоминавшихся в тексте теоремы изолированных то- d
чек, то в силу леммы ^ / (t, р) dt будет аналитической функцией от р с d
в D, производная которой равна ^ fp (t, р) dt. Если с (или d) стре*с
мится к одной из названных изолированных точек со (или d^, то ddd0
в силу условий теоремы^/(i,p)di—>^/(i, р) di или к )равно- ССоС
мерно внутри D, поэтому в силу теоремы § 13 главы III производ- dd0dd6
ная от p (t, p) dt или ) будет равна fp (t, p) dt ( или ) . После c0cCoc
этого заключаем, что при любом I > а производная от / (i, р) dt а
I будет равна fp (i, р) dt. а I4-00
Наконец, в силу условий теоремы ^ / (i, р) dt -♦ ^ / (i, р) dt аа
равномерно внутри Z>, следовательно, в силу теоремы § 13 главы III производная от ^ /(^p)dt будет равна ^ fpkt>p)dt, что аа
и требовалось доказать.
§ 2. Преобразование Лапласа
Пусть / (/) — комплекснозначная функция, непрерывная на [0, + <х>), за исключением, быть может, изолированных точек. Если действительное число s обладает тем
+ОО
свойством, что несобственный интеграл |/(0|е“8М^
о
сходится, то числа, большие s, также им обладают. Отсюда следует (рассуждая, как в § 3 главы III при введении понятия радиуса сходимости степенного ряда), что либо найдется такое действительное число s0, что при $ > $0 упомянутый несобственный интеграл сходится, а при s < s0 расходится [число s0 назовем показателем роста функции / (0], либо для всех действительных s упомянутый несобственный интеграл сходится (тогда показатель роста функции / (0 считаем равным — оо), либо для всех действительных s он расходится [тогда показатель роста функции / (0 считаем равным + оо]).
Если показатель роста / (0 меньше + оо [будем говорить в этом случае, что / (0 имеет ограниченней рост], то / (f) абсолютно интегрируема на каждом сегменте [0, a]f где а > 0.
В качестве примера отметим, что если / (0 на [0, + оо) удовлетворяет неравенству | / (0 | ^ Me**, то / (0 имеет ограниченный рост и показатель роста О-В самом де^ +00
ле, тогда интеграл |/ (01e^s+8^d< при всяком е > О о
сходится, ибо он мажорируется сходящимся интегралом + ОО
( Me-«at = —.
J8
О
Если / (0 имеет ограниченный рост, то
F^^f^e^dtО
является аналитической функцией комплексного переменного р в полуплоскости Re р > s0, где s0 — показатель роста / (0 (число s0 называют еще абсциссой абсолютной
+оо
сходимости интеграла Лапласа ^ f^e^dt^. В самом деле, упомянутый интеграл равномерно сходится в каждой полуплоскости Re р > зг, где ^ > $0, ибо на ней он + 00
мажорируется сходящимся интегралом ^ |/(01^5,,^> о
значит, рассматриваемый интеграл подавно равномерно сходится внутри области Re р ^> s0 и, следовательно, по теореме § 1 является аналитической функцией в этой области.
Определение. Комплекснозначную функцию / (/), непрерывную на [0, + оо), за исключением, быть может, изолированных точек, и имеющую ограниченный рост, назовем оригиналом. Аналитическую функцию F (р) комплексного переменного р = s + /а, определенную фор- + оо
мулой F (р) = m)e~*pt(it при Re р )> s0, где s0 —- о
показатель роста / (0, назовем изображением оригинала / (t). Преобразование, относящее оригиналу / (/) его изображение F (р),
+00
F^^^f^e^dt,(5.1)
о
называется преобразованием Лапласа. При этом пишут:
/ (О ^ F (р).(5.2)
Употребляется еще обозначение
LV^A=^fWe-^dt(5.3)
О
(L — знак преобразования Лапласа).
Мы дали здесь более узкое определение оригинала, чем это принято в общей теории преобразования Лапласа, чтобы в дальнейших выкладках иметь дело лишь с такими понятиями интеграла, которые даются в элементарных общих курсах математического анализа. Такие оригиналы достаточны для практических надобностей.
Замечания. Если встречается надобность продолжить оригинал / (0 на отрицательные значения t, то полагают /(0 = 0 при t < 0.
Если Иш / (0 существует и конечен, то обозначим его t *1-0
/ (+ 0), если lim / (0 существует и конечен, то обозначим f-H-oo-
его / (+ оо).
Если / (0 — оригинал, то, очевидно, | / (0 | будет оригиналом с тем же показателем роста.
Линейная комбинация оригиналов, очевидно, есть оригинал. Если / (0 — оригинал, то, очевидно, / (а0(а — положительное число), if (0, / (^ — т) (т — действительное число), еХ1 / (0 (X — комплексное число) тоже будут оригиналами. -
Покажем еще, что если / (0 — оригинал, то ф(0 =
= y^du будет непрерывным на [0, + оо) оригиналом, о
( f(u)e~Sit du^( f(u)e~Sit du^Непрерывность ф (0 следует из абсолютной интегрируемости / на каждом сегменте [0, а], где а > 0. Далее, если $0 — показатель роста /, $х — положительное число, большее s0, s > slf то в случае / (0 > 0 имеемг
( f(u)e~Sit du^
( f(u)e~Sit du^
оо
4-оо ^е-(«-8>х ^ Цй) e-w du, ■о
4-оо откуда видно, что интеграл Ф (0 e~8t di сходится и ф о ' есть оригинал.
Если теперь / — комплекснозначная функция, то t |V(0K^|/(u)|du, •О:
но правая часть по доказанному есть оригинал, следовательно, ф (0 подавно оригинал, что и требовалось доказать..
Теорема. Если F (р) есть изображение, то F (р) -> -> 0 при Не р -> + °о.
Доказательство. Пусть в > 0. Возьмем ^ > > 0 настолько малым, чтобы
Тогда при s > 0 имеемз
$1/(01^' о$1/(01^' о
$1/(01^' о
$1/(01^' о
Пусть Re р = s > $1, где st — число, большее показателя роста / (t). Тогда
$ и^\е-Ч1= ^1)1)
< е-(*-«.)п ^ | д^ | е-^ at, О
что < у при $ достаточно большом.
Следовательно, при достаточно большом Не р = з имеем:
+001)+00
И(?)|<$ U^e-dt^ + $ <-|- + -|- = 6, ООD
что и требовалось доказать.
Примечание. Можно показать, что оригинал вполне определяется своим изображением (если функции, отличающиеся лишь в изолированных точках, считать эквивалентными). Если ограничиться оригиналами, дифференцируемыми всюду, за исключением, быть может, изолированных точек, то этот факт, будет следовать из теоремы обращения преобразования Лапласа, доказываемой в § 9.
Простейшие свойства преобразования Лапласа
Однородность. Если f (t) т=^ F (р), то X/ (/) ==$ XF (р) (X — любое комплексное число).
В самом деле,
L [X/ (0] = ^ X/ (0 е-^ dt = X^ ti^ e-pt dt = XL [/ (0L оо
Аддитивность. Если f it) ==t F ip), ф (/) ==.
Ф (p), TO
f (0 + ф (0 F ip) + Ф ip).
В самом деле,
L [/ (0 + Ф (01 = J [/ (0 + Ф (01 «~₽/ = 0
= \№ e-pt dt + J ф it) e-^ dt = LVf (01 + L [ф (01. оо
Подобие. Если / (0 f^ F ip), to
/ iat) f=s ^F^^ (a — любое положительное число).
В самом деле,
L [/(«<)] = t /(a0e-p,^ = 4-^ fit)e-W»dt = l-F(-F-Y о0
Дифференцирование оригинала. Если / (i) непрерывно дифференцируема на (0, + оо) и если f (Z) есть оригинал [тогда / (^) тоже оригинал и / (+ 0) существует], то из f ^ ^ F (р) следует;
f (0 pF (р) - / (+ 0).
В самом деле, интегрирование по частям дает при a >0
^fif)e-ptdl о^fif)e-ptdl оа
^fif)e-ptdl о
^fif)e-ptdl о
= / (а) е-^ - / (+ 0) + Р ^ / (0 е-« dt.
О
Если Re р больше показателей роста / (£) и f (/), то оба интеграла стремятся к конечным пределам при а-* + оо, следовательно, / (а) е”ра стремится к конечному пределу, но этот предел не может быть отличен от нуля (учиты- +00
вая, что интеграл вида <p(0df не может абсолютно схо- о
диться, если ср (f) при t —>■ + оо стремится к пределу, отличному от нуля). Таким образом, в пределе при а -> + оо получим
L If (01 = -/ (+ 0) + pF (р).
0 б о б щ е н и е. Если / (Z) п раз непрерывно дифференцируема на (0, + оо) и если /(п) (Z) есть оригинал [тогда / (Z), f (t), ..., /("-D (z) —тоже оригиналы и / (+ 0), f (+ 0), ..., /("-D (+ 0) существуют], то из/ (Z) = == F (р) следует:
^ЧЙ=Р^^ -/(+0)р”-’ -
-f (+ 0) р"-2 - ... -/<"-*) (+ 0).
В самом деле, это получается из свойства 4 по индукции. При n = 1 утверждение справедливо по свойству 4. Если утверждение справедливо для п — 1, то
/(п-D (Z) м р”"1 F (р) — / (+ 0) рп~2 —... — /t"-8)(+ 0).
Отсюда по свойству 4
л«> (z) н pYp^F (р) -/ (+ 0) р"-2 - ...
... -/п-2> (+ 0)1 - «г-1) (+ 0) =
= p”^G») ~/(+0)р”-1-...-/^(fO).
Умножение оригинала на минус аргумент (дифференцирование изображения). Если / (z) ;=! F (р), то
- tf (Z) F* (р).
В самом деле,
l[-z/(Z)J = \-tf^e-ptdt= А-^ f(t)в-*1 at = f-(р). оо
Обобщение. Если f (t) ^ F (р), то
(—l)n^/(z) ^ f^4pY
В самом деле, это получается из свойства 6 по индукции. При п — 1 утверждение справедливо по свойству 6. Если утверждение справедливо для п— 1, то
(_l)n-izn-1/(z)_.^(n-i)(p)>
откуда по свойству 6
(- 1)п/7 (z) IF ^ (р)]' = FW (ру
Интегрирование оригинала. Если / (Z) непрерывна на (0, + оо) и f (t) ^ F ^рУ то
В самом деле, пусть <р(0 = ^ f («) du =5 Ф (р), тогда
О
Ф (+ 0) = 0 и по свойству 4 имеем / (О ^ рФ (р); следовательно, рФ (р) = F (р); Ф (р) = ~~" •
Деление оригинала на аргумент (интегрирование изображения). Если /(ОД есть оригинал (тогда / (О тоже оригинал], то из / (О F< F (р) следует:
-Цг- Н С F^q)dq (где^ = lim CV1 V\ t) ReP-4-ео J /
ррр
В самом деле, пусть-^— $=« Ф(р), тогда по свойству 6 / (/) _=^ — Ф' (р); следовательно, — Ф' (р) = F (р). Интегрируя это равенство в пределах от р до Р, найдем]
р
Ф(Р)-Ф(Р) =^F(q)dq-,v
следовательно, в пределе при Re Р -> + оо [учитывая, что тогда Ф (Р)0] получим:
Ф(Р) = § Р(9)<^.р
Запаздывание. Если / (<) ?i f (р), то
/ (г —т) i=i e^F (р) (т г—любое положительное число). ^
В самом деле,
^[/(<-т)]= ^ f(t-^e-»ldt= f (I — х) e-pt dt =?
От
= ^ / (Z) е-*1^ dt = е-рЦ / (?) e~pt dt = е-^ F (р) * оо
Умножение оригинала на показательную функцию (смещение изображения). Если / (?) f=s F (р), то
ем f (t) ^ F (р — К) (X — любое комплексное число).
В самом деле,t
£[ем/(0]= ( f^^r^dt» ^ f^r^-^dt = F(p-K). J
00I
Свертка функций
Формула Дирихле. Пусть / (ж, у) непрерывна в треугольнике D‘t а ^ у ^ ж ^ Ь (рис. 67).
Преобразуя двойной интеграл
b xb xb bb b^/ (ж» y)dxdy двумя способами в двукратный и сравнивая результаты, получим искомую формулу Ди- рихле:
b x
b x
b b
b b
^ж^/(ж,у)<1у = ^dy^f(x,y}dx. (5.4) а а а у :^
Свертка функций. Пусть / (;) и ф (0 — непрерывный, | комплекснозначные функции на 10, + оо). Сверткой | функций / и ф называется функция, обозначаемая />Кф J
и определяемая равенством
(/^ф) (О = 5 / (“) ^(t — u^du.о
Это будет непрерывная функция на [0, + со). Очевидно.
При а > 0 с помощью формулы Дирихле находим;
(/ЖФ) (0 е~р< ^ = ^ е”' ^ ^ (“) Ф (^ — w) d« = ооо
= ^ / (u) du ^ ф (t — и) e"pl dt = ^ / (и) du ^ ф $ e~P<,+u) dt = оиОо
= ^f(u)e-pudu ф(0^~р<^; оо
следовательно, если записать внутренний интеграл а-иаа
^в виде^— ^ >получим формулу
Ооа-и
ааа
J (W (0 е"р< dt = ^ / (0 е"»' dt ■ ^ ф (f) е"»1 dt —
Ооо
аа
-Д^е-^йи J Ф(0^~р<^. (5.5)
Оа-и
Из (5.5) следует, что при / > 0, ф > 0 и действительном s
следовательно, при комплекснозначных / и ф и действительном
$ I (ЛКФ) (О | e-et dt < JI f (t) I e-$t dt JIФ (t) I e-8t dt, 000
откуда видно, что если / и ф — оригиналы, то / >|< ф — тоже оригинал, причем показатель роста / ф не более наибольшего из показателей роста/ и ф.
Свертка оригиналов.
Теорема. При свертывании оригиналов изображения перемножаются, т. е. если f (t) =± F (р) и ф (/) ==± г= Ф (р), то U * ф ) (z) F (р) Ф (j)Y
Доказательство. Для простоты мы имеем в виду лишь непрерывные на [0, + оо] оригиналы. Учитывая формулу (5.5), достаточно показать, что
а а
^/(w)e“pudw ^ ф (t) e-pt dt —> 0 при а—>+оо. О а-и
Пусть I/ (t) | н Fx (р) и | Ф (О I ^ Ф1 (р), тогда, если Re р = s больше показателей роста / и ф, то ^/(u^-^du ф (() ет1 dt |
о .-- а-и-:.:
■ <$|/(»)k-^du toW1^-£+ $ < .Оa-и. 0а/2
< Fx (s) $ IФ (О I ^d<+ Фх (s) $ | / (и)1 е”^ du, .а/2а/2.
что -> 0 при а ~> + оо, что и требовалось доказать. ,
Пример. Найти свертку fa и ^, где a > 0, р > 0. Имеем [делая в интеграле подстановку и = tv и учитывая формулы (&7) и (4ЭД:’’'"
1а>^= ^и^ У ” и^ du = t01*^1 ^ va (1 — ^ dv ='
оо
иг в частности, при целых «^^йца^вьтахтп4 п .'
'1-(т + п + 1)1 г * •
Формула Дюамеля. Пусть / (Z) — непрерывный на [О, + оо) оригинал, ф (z) — непрерывно дифференцируемая на [О, + оо) функция такая, что ф' (Z) есть оригинал. Из / (Z) ?=* F (р) и ф (z) ?=2 Ф (р) следует:
t
^f(u)y(t ~u)du ^ Р(р)Ф(р). О
Из правила дифференцирования интегралов, зависящих от параметра, следует, что левая часть непрерывно дифференцируема на [0, + оо), причем
-5T^f WvV — u)du = ^f (и) Ф' (t — u)du + f(t) ф (0). о0
Отсюда в силу свойства 4 § 3 получаем искомую формулу Дюамеля
/ (0 Ф (0) + J / (и) ф' (Z — и) du =* pF (р) Ф (р).(5.6)
о
§ 5. Оригиналы с рациональными изображениями
Изображения некоторых элементарных функций.
Изображения степенных и показательных функций. При а > — 1 степенная функция F является оригиналом с нулевым показателем роста, причем
4-оо
L (t*) = Za^ dt,о
что при положительных значениях р равно (после замены pt на Z)
4-00
€ t^e^1 dt = ^ (a У_ е
pa+1 Jpa+1
оr
Но как изображение 1\ так и правая часть последнего равенства аналитичны в полуплоскости Re р > 0, следовательно, совпадая в положительных точках, они (в силу тео-
10 П. И. Романовский
ремы единственности, см. гл. III, § 14) совпадают на всей полуплоскости Re р > 0 (заметим, что степенные функции рч =^LnP комплексного переменного р многозначны при нецелых у» но» рассматривая их на полуплоскости Re р > 0, мы всякий раз имеем в виду те их ветви, которые происходят от ветвей Ln р, совпадающих для положительных р с In р). Итак,
(«>-!). (5.7)
Так, при а = т (и? = 0, 1, 2, ...)
*(й-8>
и, в частности, при т = О
(5.9)
Из (5.8) по правилу смещения изображений (§ 3, свойство 11) находим при любом целом неотрицательном т и любом комплексном X
и, в частности, при т = О
(5.11)
Изображения тригонометрических и гиперболических функций. Имеем в силу (5.11):
sm<%—-^-^7=т-7+т) = 7чП-» <513)
ch t =4" f—Ц. + —LJ\ =.; (5.14)
22 \р — 1 * р 4- 1 /р — 1х'
Из (5.12) и (5.13) по правилу подобия (§ 3, свойство 3) находим:
cosp^-^pr? Sinp^-Д^,
откуда по правилу смещения изображений (§ 3, свойство 11)
atР—аat • Пл3
е COS pt ^„^а^рг! е 8т^^ ^p — tty^.y
Необходимое и достаточное условие рациональности изображения.
Теорема. Для того чтобы изображение было рациональной функцией, необходимо и достаточно, чтобы оригинал являлся линейной комбинацией функций вида t^e^ (т — целое неотрицательное, X — комплексное).
Доказательство достаточности. Если оригинал есть линейная комбинация функций tmex*, то в силу (5.10) изображение будет линейной комбинацией функций и> следовательно, будет рациональ- (Р — ной функцией.
Доказательство необходимости. Пусть изображение F (р) рационально. Так как по теореме § 2 F (р)0 при Кер + оо, то F (р) будет правиль
ной рациональной дробью. Пусть рк — ее полюсы, тг^ — их кратности. Тогда, разлагая F (р) на простейшие элементы, получим:
^(P) = SS-^к /=1 (р Р^)
где Мм — некоторые комплексные числа. Но из (5.10) видно, что
. ^ е^1
Отсюда
а так как оригинал вполне определяется своим изображением, то
/(>>-22^^
К 1—1
и, следовательно, является линейной комбинацией функций вида Zwex/, что и требовалось доказать.
Заметим, что всякая правильная рациональная дробь является изображением некоторого оригинала. Таким образом, с помощью преобразования Лапласа устанавливается взаимно однозначное соответствие между всеми функциями, являющимися линейными комбинациями выражений 1теХ1 и всеми правильными рациональными дробями.
Заметим, что класс функций, являющихся линейными комбинациями выражений вида ^е^, обладает следующими свойствами: операции линейного комбинирования, умножения на аргумент, умножения на показательную функцию, линейного преобразования аргумента, дифференцирования и интегрирования, примененные к функциям этого класса, приводят снова к функциям этого класса.
Нахождение оригинала по заданному изображению (когда оно рационально). Предыдущие выкладки показывают, что если F (р) — какая-нибудь правильная рациональная дробь, разложение которой на простейшие дроби есть
то
(5.16)
It /=1 v
будет оригиналом, имеющим изображение F (р).
В частности, если все полюсы F (р) — простые, то
Лр)-2-Д-; Mk = ResF^,
и для оригинала, имеющего изображение F (р), получим
формулу /(О=2^р<(5.17)
к
Заметим еще, что если
то соответствующим оригиналом будет
/ (z) = eat (М cos pz + N sin Pz).
Таким образом, нахождение оригинала по заданному рациональному изображению сводится к разложению правильной рациональной дроби на простейшие дроби.
Пример. Найти оригинал /(г), имеющий изображение
2рз+р2 + 2р + 2r VP) -^5 + 2р4 + 2р3•
Разложение на простейшие дроби дает: „12
- рз +р2 + 2р + 2» следовательно,
/ (f) = -g- + 2е 1 sin t.
§ 6. Приложения к решению линейныхдифференциальных уравнений с постояннымикоэффициентами и систем линейныхдифференциальных уравненийс постоянными коэффициентами
Из общего курса математического анализа известно» что все решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, правая часть которых есть линейная комбинация функций вида 1тем$ являются функциями такого же вида. То же относится и к системам линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, правые части которых являются линей- • ными комбинациями функций вида l™eKt. Но линейные ! комбинации выражений Zmex/, если их рассматривать на\
[О, + оо), являются оригиналами с рациональными изображениями. Это подсказывает нижеследующий прием отыскания решения названных линейных уравнений и систем линейных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям Коши.
Линейные дифференциальные уравнения. Требуется найти решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
а0^ + а^71-1) + ... + <м/ = / (О, удовлетворяющее начальным условиям Коши У (0) = с0; у' (0) = ct; ...; у(-Т1'1'1 (0) = Сп-И когда / (/) есть линейная комбинация функций вида Р"ех1. Пусть у ($ f± Y (р), / (z) ?=8 F (р). Тогда из рассматриваемого дифференциального уравнения и начальных условий Коши следует (в силу свойств 1, 2, 5 § 3):
«О <Р^ - Cop"'1 - . . . - Сп-х) +
+ ах ^^Y - сорп-г - ... - с„-2) +...
••• + «п-x кр^ — с0) + anY = F или
(«оРп + ахр"-1 + ... + ап) Y =
= Со (ДоР"*1 + «1РП“2 + • ••+ «п-1) +
+ Сх (аоРи-г + <ЧРп~3 + ••• + «п-з) + ••• + сп_ха0 + F, откуда
У ^) ” п / ко (аоР*1-1 + ... + «п-1) +
+ «1 («оРп~2 + ... + ап-г) +... + Сп-хво + F (р)]. (5.18)
Итак, изображение У (р) искомого решения у (<) находится по формуле (5.18). Разлагая правильную рациональную дробь Y (р) на простейшие элементы, найдем с помощью формулы^5.16) искомое решение у (<). В случае однородного уравнения имеем / (г) = 0 и, следовательно, F ^ е 01
Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и правой
частью, являющейся линейной комбинацией функций вида t™^, сводится к разложению некоторой правильной рациональной дроби на простейшие дроби.
Пример 1. Решить уравнение ут— У* -^ 6/ = 0 при начальных условиях у (0) = 15; у' (0) = 2; у" (0) = 56.
Здесь
у, x_ll<£lzijLzJl±l^^
рз — р2 — 6рР (Р + 2) (р — 3)
б 54
- р +р + 2 + р-3: следовательно,
у to = б + 5^ 4- 4^.
Пример %. Решить уравнение у” + у = cos t при начальных условиях у (0) = 0; у' (0) = 0.
Здесь
. Р/(Р2 + 1) Р 1 Г 11]
следовательно,следовательно,хкР)- р2 + 1 "(р2 + 1)2 ” 4i L(P —О2 ""(Р + О2 Г
следовательно,
следовательно,
свойств 1, 2, 4 § 3):
P^i — <?i 4* «п^ 1 + •••+ aXnYu = Fu
pY^ — сй -V- «21^1 + •••+ a,nYK = F^
pYK — cn + «nl^l + ••*+ anJ n = ^n,
или
(^и + p) Yx 4* ^12^2 + •••+ ainYn = ^i + ^i» ^21^1 + (°22 + p) Y^ + ••• + ^2nYn = ^2 + F^
^nl^l + ^2^2 + •••+ kn + P) Yn = cn + Fn.
Пусть
а11 4* P a12••• aln
A^21°22 4е P ••• tl^
&nl ®n2••• ^nn 4* P
и Луь (p) обозначает алгебраическое дополнение элемента /*й строки и Л-го столбца матрицы этого определителя. Тогда с помощью правила Крамера находим:
S [е5 + F^P>\ А.^Р)
УНР)-—А^ (fc = l,2,...,n). (5.19)
Итак, изображения Yк (р) функций ук (/), составляющих искомое решение рассматриваемой системы дифференциальных уравнений, находятся по формуле (5.19). Разлагая правильные рациональные дроби Yk (р) на простейшие дроби, найдем с помощью формул (5.16) искомые функции ук (t). В случае однородной системы все /к (г) = = 0 и, следовательно, все Fk (р) = 0.
Таким образом, решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и правыми частями, являющимися линейными комбинациями выражений вида tmexi) сводится к разложению нескольких правильных рациональных дробей на простейшие дроби.
Пример. Решить систему
V 4- 4у + 4z = 0, |z' + 2у + 6г = О )
при начальных условиях у (0) = 3; z (0; == 15.
Здесь
3 (р + 6) + 15 (—4) Зр—42811
г - р2 + 10р + 16 (р + 2) (р + 8) ~ р + 2 + р + 8 *
3 (—2) + 15 (р + 4)15р + 544 И
р2 + Ю/>+16 (р + 2) (р + 8) р + 2 ‘ р + 8’ следовательно,
•у^ = — 8е~2< + 11е~8(, z (£) = 4е~2/ + 11е”8(.
Приложение к решению линейных уравнений в конечных разностях с постоянными коэффициентами
Ступенчатые функции. Пусть Ап (п = 0, 1, 2, ...) — произвольная последовательность комплексных чисел. Функцию / (Z) на [0, + оо), определяемую равенствами
/ (г) = hu на \п, п + 1) (и = 0, 1, 2, ...), назовем ступенчатой функцией, порожденной последовательностью {Ап}.
Имеем
5|/(0|е-в'^ = S $ |Д0К’'^~
0k««o к
п—1к+1п—1
= 3lM $ е-'^^А^^^Ме-**- к«=окк=о
Для действительного s найдем в пределе при п-> + оо
$ I / (О I е^ at = ±=^ 21^1 ^(5.20)
ок=о
следовательно, несобственный интеграл в левой части и ряд в правой части либо оба сходятся, либо оба-расходятся.
Из (5.20) непосредственно вытекаетУ
Теорема. Чтобы ступенчатая функция, порожден* пая последовательностью {Ап}, была оригиналом, необходимо и достаточно, чтобы степенной ряд с коэффициентами hK имел отличный от нуля радиус сходимости [иначе говоря, чтобы числа у I An|(n = 1, 2, 3, ...) были ограничены в совокупности].
Пусть / (z) — ступенчатый оригинал, порождаемый последовательностью {Ап}; / (z) «=6 F (р). Формула (5.20) по- 09
казывает, что если степенной ряд 2 ^п^п сходится при 0
| 2 | < р, то F (р) аналитична при Re р > In -~ и тогда
4-00 -09 /С~Ь1
F(j)) = $ /(О^^-З J f^e"plat = Оk=o kJ'
^=0 кК=0
соР
Полагая Н(г) = ^h^, А^р) = ^—-— (это есть изобра- 0Р
жение ступенчатой функции бг (Z), порождаемой последовательностью 1, О, 0, ...), найдем
F (р) - Аг (р) Н (е-Р).(5.21)
Обратно, всякая функция вида At (р) Я (Г?), где Н (z) аналитична в окрестности нуля, является изображением ступенчатого оригинала, порождаемого коэффициентами разложения Н (z) по степеням х.
Примеры:
Если hu = п, то
z_ />-Р р-Р1
Н^ = У nzn = -jя ; F (р) —— =f.
о 1 — ZР ^ — ®~^ р (еР —11
Если hn =s (—1)п, то
_—.44 __ />"*Р41
Если hn = aJ\ то
в^-та rw- — T^-7^' о
Замечание. Если вместо ступенчатых функций рассматривать на [0, + со) функции / (/) более общего вида, определяемые равенствами
/ (/) = Апф (t — п) на [n, n + 1) (и = О, 1, 2, ...),
где ф (Z) — какая-нибудь фиксированная функция на 10,1), которая на этом интервале имеет не более конечного числа точек разрыва, не исчезает тождественно и абсолютно интегрируема (ступенчатые функции получаются при ф (/) = = 1), то формула (5.20) останется в силе при замене
— на \ | ф (01 e~st ^* а следовательно останется о
в силе вытекающая из этой формулы теорема (необходимое и достаточное условие, чтобы / (/) была оригиналом). Для изображения оригинала/ (Z) формула (5.21) остается в силе, 1
если Дх (р) заменить на ^ ф (2) е"^ dt.
о
Опережение функций. Если / (Z) определена на [0,4-оо), с>0, то функцию / (Z + c), рассматриваемую на [0, + оо), назовем опережением функции / (/).
Непосредственно видно, что всякое опережение оригинала является оригиналом с тем же показателем роста.
Если / (0 — оригинал, / (Z) $=$ F (р), с > 0, то
LUV-Vc^= J Ht-Vc^dt = еср J f^e^dt» Ос
= ecp[F (Р) - $ / (0 ^ ^] • (5.22)
Если /(^ — ступенчатый оригинал, / (Z) ==г Д^р)^^), где Н (z) аналитична в окрестности нуля, п — число натуральное, то (5,22) дает:
L {/ (< + «)} = епрДх (р) Я (е'р) - enp ^f (t) e-1* dt,
но'
пп—1 к-Нп—1
У / (П e-pl dt-^fQc^ e~pt dt = Дx (p) 5 / (A) e"^, k=o кk=o
следовательно
71—1
L U (t + n^ = Д, (p) Гenp H ^ -^tW *(П~Л,Р1 • (5.23) Lk=0J
Линейные уравнения в конечных разностях с постоянными коэффициентами. Пусть / (/) — какая-либо функция на [0, + оо). Положим Д/ (z) = / (z + 1) — / (z); AnHz) = == ДД71"1/ (z) (п = 2, 3, ...). Методом индукции (с исполь- вованием соотношения С£ + Сп’1 = С^х) легко пока- вать, что
△”/ (0 = 2 (-П”'* С«/ (‘ + к),(5.24)
/к=0
f(t + n)= 2 c^fd)(5.25)
к=о
(где А0/ = /).
Рассмотрим две задачи, в которых / (Z) обозначает какую нибудь заданную ступенчатую функцию на [0, + оо), а*, ^ь Ькэ pfe — какие-нибудь заданные комплексные числа.
Задача 1. Найти ступенчатую функцию у (Z) на [0,+ оо), удовлетворяющую уравнению
аоу U + п) + агу (Z + п — 1) + ...+ апу (z) = / (Z) (во =^ 0) и начальным условиям
У (0) = а0, у (1) = «1, ..., у (п — 1) = an_v
Задача 2. Найти ступенчатую функцию y(f) на [0, + оо), удовлетворяющую уравнению
60Дпу (Z) + ^Д'Л (Z) +...+ bny (Z) =/ (Z) (60 + 0) н начальным условиям
у (0) = Роз N (0) = Ри ^гу (0) = рп_и
Из (5.24) видно, что задача 2 равносильна задаче 1 (с надлежащими ак1 аА), а из (5.25) видно, что задача 1 равносильна задаче 2 (с надлежащими Ьк, |3 п). Задача 1, очевидно, всегда имеет единственное решение [дело сводится к рекуррентной системе уравнений для определения членов последовательности, порождающих искомую ступенчатую функцию у (/)], следовательно и задача 2 всегда имеет единственное решение.
Теорема. Если f (t) — ступенчатый оригинал., то решение задачи 1 (и, следовательно, решение задачи^ также будет ступенчатым оригиналом.
Доказательство. Пусть / (Л) = h^ у№) = ^А. По условию | hk | < pk (А = 1, 2, ...), где р > 0. Не уменьшая общности, положим а0 = 1. Пусть А — наибольшее из чисел jaj, ...,|ап|. Пусть q больше каждого из чисел i^liTKA = 1, ..., п); р; 1; пА+1; тогда | gk; < g* для всех k = 1, 2, 3, ... Действительно, для к ^ п это следует из определения q; для к = т (где т > п) это верно, если это верно для всех к < т, ибо из уравнения, которому удовлетворяет у (t) находим (беря t = т — п);
|?m | ^ I ^11 | gm-х | + ••• + | ^n I I gm-n | +
+ | hm-n \«пАА-1) qm^ < qm.
Таким образом, индукция проведена и теорема доказана.
Приложение преобразования Лапласа к решению линейных уравнений в конечных разностях с постоянными коэффициентами. Рассмотрим задачу 1 в случае, когда / (Z) есть ступенчатый оригинал. Тогда, по доказанному, решение у (t) также будет ступенчатым оригиналом. Пусть
Ш- Д1 (р) Н ^V у (z) ^ A, (р) G (e^Y где Н (z) — известная аналитическая функция в окрестности нуля; G (z) — искомая функция в окрестности нуля.
Переходя в уравнении задачи 1 к изображениям и учитывая при этом начальные условия и формулу (5.28), получим после сокращения на Ат (/?):
а0 \enpG (е р) — (а0^ ^р -|-... + ctn-з) ^р] +
+ Их [^<п UPG (е р) — (а0^(п*2)р + ••• + а-и-з) £Р1 +
откуда
(е Р) пр , ",««О (a0^ 1>Р ++ ®п-1) 4
V + +ап
4~ «itV 2'Р 4~ ••• 4- ®п-г) -Ь ••• 4* On-i®ol 6Р 4* Н (с р)} или (после умножения числителя и знаменателя на е~пр) G(e р) = —————[а0(а0 + ••• 4~ ®n-ie (п 1)р) 4- ао + -+апе
+ ахе р(а0 4- ... 4* яп-2е (" 2>Р) 4" •••
... + ап_16-(п-1)р а0 + e-np Н (е'р)].
Таким образом, если / (/) =s Дх (р) Н (е-р), то для решения задачи 1 имеем
у(0^ AiOW), где
(г) :—[«о («о 4" — 4~ ®n-iZn г) 4*
%4-- + enz
4- ®iZ (я0 4* ••• 4~ Яп-гз” 2) +... 4* On-xz” ^о -}- znН(z)]. (5.26)
Пример 1.
(у (< + 1) — У (0 = (а — 1)«р]*), 1У (0) = 1.
Здесь п = 1, а0 = 1, at = —1, а0 = 1;
00
Я(г) = (а—l)5"6zt = rzr^'rо
+ Z А А
G (z) =1— = —i— = 1 4- az + а»^ 4- ...
— 21 — az
Функция у (г) порождается последовательностью 1, а, а2, ...
у (t) = «И.
Пример Я.
|y(i + 2) = y(t+l) + y(t)i {у(0)=0,
I У(1) = 1.
Здесь п = 2, а0 = 1, ах = —1, а2 = —1, «6 = 0, aj = 1;
Н ^ - 0,
G(z) = TTr7^ = z4-z^ + 2z» + 3^ + 5z5 + ...
Функция у (() порождается последовательностью 0,1, 1, 2, 3, 5, ,,.
Замечание. Если
(о пр» и*-». („ _0. 1, 2, .„>, (1 при п = т
то
/ (/) = б, (/ - m), Н ^ = zm (jn = 0, 1, 2, ...).
Если /гп =; ±?.±^),mil^2- (п = 0,1, 2, ...)*), то
(a ^= 0; w == 0, 1, 2, ...),
откуда видно, что если / (Z) = [z + mFmW^, то
H (2) =~—- (X^=0; m = 0 J, 2, . ..).
Учитывая еще, что всякий полином m-й степени можно разложить по любым полиномам степеней 0, 1, ..., тп и что всякую регулярную в нуле рациональную функцию в результате выделения целой части и разложения остаточной правильной дроби на простейшие элементы можно представить в виде линейной комбинации функций вида
zm, * (а 4=0; т = 0,1, 2,...),
(a — z)m+1
приходим к предложению: для того, чтобы Н^, фигурирующая в формуле (5.21), была регулярной в нуле рациональной функцией, необходимо и достаточно, чтобы /(Z) являлась линейной комбинацией функций вида
Й! (Z - т^ Ы™ WH (X ^= 0; т = 0, 1, 2, ...).
Из сказанного в начале настоящего замечания легко усмотреть, как, зная такую/ (z), найти выражение соответствующей Н (z) и, обратно, зная рациональную и регулярную в нуле Н (z), найти выражение соответствующей / (z).
. Формула (5.26) показывает, что если Н^ рациональна, toG (z) тоже рациональна, поэтому, если правая часть рассмотренного выше уравнения в конечных разностях является линейной комбинацией функций вида 6j (z — т\ [z]mW^ (X 4s 0, т = 0, 1, 2, ...), то и решения этого уравнения при любых начальных условиях обладают этим свойством.
§ 8. Оригиналы с изображениями, регулярнымив бесконечности
О предельном переходе под знаком несобственного интеграла.
Теорема. Пусть jn (t) (n=l, 2, ...) —комплекснозначные непрерывные функции на [0, + оо), причем 1/п (01^ Ф (0> г9е <р (Z) — такая действительная неотрицательная непрерывная функция на [0, + оо),
что \ ф(^)^ сходится. Пусть затем fn^^fU^ на о
[0, + оо), и притом равномерно на каждом сегменте [0, а], где а > 0. Тогда
оо
Доказательство. Из условий теоремы видно, что / (Z) непрерывна и | / (Z) К^Ф (Z) на [0, + оо). Пусть е — произвольное положительное число. Так как несоб- +оо
ственный интеграл А ф(£) dt сходится, то найдется такое.
Й > 0, что ) <p(Qdt<-|-. Так как/„ (<)-*■ / (<) на [0, а] а равномерно, то.
аа
$/n(0^->$/(0 at :оо
и, следовательно, найдется такой номер N1 что при п> N будем иметь:
аа
|^n(f)^-S/(O^|<^-. оо
Следовательно, при п > N
—|—ОО*4“ОО6161- . .
Un(0^- J /(0й<|<|^№~У(<Йг]4- ОООО
-{-ооЦ^оо
+ | J /п(П^| + | J /(9<к|<-г + -г + -Г = 8’ аа
■что и требовалось доказать.
. Примечание. Теорема остается в силе, если fn (t) и ф (0 предполагать непрерывными на [0, + ©о), за исключением изо- лированных точек, и требовать равномерной сходимости /п (t) к f (t) лишь на каждом сегменте, лежащем на [0, + ©о) и не содержащем упомянутых изолированных точек.
Для этого в предыдущее доказательство нужно внести следующие изменения. Выберем а настолько большим и окружим попадающие на [0, а] точки разрыва настолько малыми сегментами, чтобы сумма интегралов от ф(£) по этим сегментам и по [а, + оо) была меньше е/З. После этого используем тот факт, что на оставшихся сегментах /п (0 —> / (^) равномерно.
В качестве приложения доказанной теоремы сделаем два замечания о свойствах изображений (когда оригинал удовлетворяет некоторым требованиям).
Замечание 1. Пусть / (Z) непрерывна на (0, + оо), / (+ 0) существует, |/ (Z) | ^ ф (z), где ср (Z) — неотрицательный непрерывный неубывающий на (0, + оо) оригинал. Тогда, если f (t) ^ F (р), то pF (р)*>- f (+ 0), если р > О^"^ + °°- 11 П. И. Романовский
В самом деле, пусть s — положительное число, большее показателя роста ф (z), и пусть р"> s. Тогда
ееpF<^ = P $ f^e^at^ f^y^f,оо
е
е
интеграл
сходится; / (//р) е~‘ -> / (+ 0) е~* прир-* + оо равномерно на каждом сегменте [а, 0], где 0 < а < 0 < 4- со. Следовательно, в силу доказанной теоремы
4~ОО4-00
pF^= J f^yyat-^ У^о)е-‘а1 = 1^о), Оо .
что и требовалось доказать.
Замечание 2. Пусть / (Z) непрерывна на (0,+ оо), / (+ оо) существует, | / (Z) | < ф (Z), где ф (Z) — неотрицательный, непрерывный, невозрастающий на (О, + оо) оригинал. Тогда, если/ (z) = F (р), то pF(j>y* —> / (+ оо), если р > 0 и р 0.
Сперва заметим, что показатель роста ф (Z), и подавно показатель роста / (Z), не более нуля ишотому F (р) имеет смысл при всех р > 0. Пусть 0 <. р < е, где 8 > 0. Тогда
4-оо4"°°
pF(p) = p ^ j^e'plat= ^ f^-Ly-‘at;оо
V° / Z \+°°
\ Ф (—) ^ At = 8 \ ф (Z) e~8t dt сходится; кроме того, оо
/^~~-^^-*/(+°°)^ при р—>0 равномерно на каждом
сегменте [а, Р], где 0<а<^р<^+ оо. Следовательно, в
силу доказанной теоремы
4-оо-J-0®
Р?<Р) = J /(-у)6"'^"^ ^ /(+°°)e’<df = /(+°°)» Оо
что и требовалось доказать.
Целые функции экспоненциального типа.
Определение. Целая функция / (z) комплексного переменного z называется целой функцией экспоненциального типа, если можно найти такие положительные числа С. о, что для всех комплексных значений z выполняется неравенство
|/(z) KtVW.
4-00
Лемма. Для того чтобы степенной ряд 2^2& о изображал целую функцию экспоненциального типа, необходимо и достаточно, чтобы для некоторых положительных чисел С, 8 выполнялись неравенства
\Ак\<С-1Г (£ = 0,1,2,...).
Доказательство необходимости. 4-00
Пусть / (z) = ^А^ — целая функция экспоненциаль- 0
ного типа. Тогда |/ (z) | < Се°^ при всех z, где С и о — некоторые положительные числа. В силу неравенства (3.48) для модулей коэффициентов ряда Тейлора (гл. Illg § 14) находим при всех R > О
\Ак\<^ (£ = 0,1,2,...).
Беря В = £/б (k = 1, 2, ...), получим:
\Ак\<^<^- (£ = 1,2,...),
поэтому, полагая 8 = ео, будем иметь?
- "ей
\Ак\<с4г (£ = 0,1,2,...).
Доказательство достаточности.
sr
Пусть | Л ft |<С -^- , где С и 8 — некоторые положительные числа. Тогда, очевидно, степенной ряд^А^ сходится для всех z и изображает целую функцию / (z), причем для всех z имеем:
!/(*)!< 21 Al |z|k< 2 с-15^ - ceSM,оо
что и требовалось доказать.
Заметим, что операции линейного комбинирования, умножения на независимое переменное, умножения на показательную функцию, линейного преобразования независимого переменного, дифференцирования и интегрирования, примененные к целым функциям экспоненциального типа, приводят снова к целым функциям экспоненциального типа.
Необходимое и достаточное условие регулярности изображения в бесконечности.
Теорема. Для того чтобы изображение было регулярным в бесконечно удаленной точке, необходимо и достаточно, чтобы оригинал являлся целой функцией экспоненциального типа.
Доказательство достаточноетц. Пусть оригинал / (/) есть целая функция экспоненциального типа [точнее, / (Z), заданная на [0, + оо), продолжаема до целой функции экспоненциального типа]. Тогда, в частности при Z > О, будем иметь:
+°°/(0 = 2 А^;о+°°/(0 = 2 А^;олкlAKC^OO^O).лкlAKC^OO^O).Очевидно, при Z > 0, Ke р = s*> 8 имеем:Очевидно, при Z > 0, Ke р = s*> 8 имеем:интеграл Се {*~®1 dt = сходится; 2• e'ptинтеграл Се {*~®1 dt = сходится; 2• e'pt
+°°
/(0 = 2 А^;о
+°°
/(0 = 2 А^;о
лк
lAKC^OO^O).
лк
lAKC^OO^O).
Очевидно, при Z > 0, Ke р = s*> 8 имеем:
Очевидно, при Z > 0, Ke р = s*> 8 имеем:
интеграл Се {*~®1 dt = сходится; 2• e'pt
интеграл Се {*~®1 dt = сходится; 2• e'pt
«**• / (0 е~р< равномерно на каждом [0, а], где а > (К Следовательно, на основании теоремы о предельном переходе : под знаком несобственного интегралаi
+» п4-00
0 0о
или гп
£ |^2 4tft]LI/ (01 ПРИ Re р"> S,
но
L [2 л,»-]-^(‘*>-3^1
'u оо0 "
следовательно, ;
+” ыл
£[/(01-S-iST при Rep>5,О ”
причем ряд в правой части сходится при | р |> 5 и изобра- ! жает аналитическую функцию в окрестности бесконечно ! удаленной точки. Это доказывает, что изображение F (р) после аналитического продолжения на окрестность бесконечно удаленной точки становится регулярным в ней и
+°° кХА
^(Pl-S-TT- при |Pl>S-k=0 Р
. Таким образом, если / (Z) —.целая функция экспоненциального типа и если ее разложение в ряд Тейлора есть
2 А^\ то изображение / (Z) определяется формулой
^(Р)=2т.(5.27)
К—О Р
Доказательство необходимости.
Пусть изображение F (р) оригинала / (Z) после аналитического продолжения оказалось регулярным в бесконечно t
удаленной точке. Лорановское разложение F (р) в окрестности оо [учитывается, что F (р)-^ 0 при Rep-> + оо] имеет вид
Л=1 Р
Пусть положительное число S лежит в области сходимости этого ряда. Тогда ряд 2“Т сх°Дится; следовательно, схо-
дится и ряд 3-^1 (ибо ^дится и ряд 3-^1 (ибо ^поэтому его чле-поэтому его чле-
дится и ряд 3-^1 (ибо ^
дится и ряд 3-^1 (ибо ^
поэтому его чле-
поэтому его чле-
ны ограничены, т. е, "-^ ? | < С, где С — некоторое поло-
жительное число, откудажительное число, откуда; следовательно,; следовательно,
жительное число, откуда
жительное число, откуда
; следовательно,
; следовательно,
В
2”|г ^ — целая функция экспоненциального типа. По до- о казанному
к\к*1 —0О Рк\к*1 —0О Р1 р1 р
к\к*1 —
0О Р
к\к*1 —
0О Р
1 р
1 р
отсюда (так как оригинал вполне определяется своим йзо- 00 в
бражением) заключаем, что / (t) — 2 ”^ *\ что и требова- о
лось доказать.
Заметим, что всякая регулярная в бесконечности аналитическая функция, равная нулю в бесконечности, является изображением некоторой целой функции экспоненциального типа.
Таким образом, с помощью преобразования Лапласа устанавливается взаимно однозначное соответствие между всеми целыми функциями экспоненциального типа и всеми аналитическими функциями, регулярными в бесконечно удаленной точке и равными в ней нулю.
Нахождение оригинала по его изображению (когда оно регулярно в бесконечности). Предыдущие выкладки показывают, что если F (р) — какая-нибудь аналитическая функция, регулярная в бесконечно удаленной точке и
равная в ней нулю, и если ее лорановское разложение в окрестности оо есть
то
m-i^-*m-i^-*(5.28)(5.28)
m-i^-*
m-i^-*
(5.28)
(5.28)
будет оригиналом, имеющим изображение F (р).
Изображения бесселевых функций. При v > 0 [см. гл. IV, § 2, формулу (4.20)1 функция
РР^^ fc!r(v + * + l)^^ fc!r(v + * + l)
Р
Р
^^ fc!r(v + * + l)
^^ fc!r(v + * + l)
будет целой функцией экспоненциального типа.
В самом деле, модуль коэффициента при (2,£ в правой части равен-
2?кк\ Г (v + к + 1) = ^кХ (у 4- к) (v + к — 1).. . (V +1) Г (v + 1) ^
^ Г (v + 1) 22к (М)2 ’ но 2ai (Л!)2 > (2ку. [Это неравенство проверяется методом индукции: при к = 0 оно верно; если оно верно для некоторого к, то переход кк + 1 сводится к умножению левой и правой частей соответственно на 4 (к + I)2 и (2к + 1) X X (2к + 2), но 4 (к + I)2 >(2^ + 1) (2к + 2), следовательно, неравенство будет верно и для к + 1.1 Таким образом, при всех комплексных t
к* \^1 XI I < 12к / «' 1
Л1 Г (V + А 4- 1) l^r(v+ 1)^ (2Л)! ^Г(у+ 1)
и, следовательно, J^ty/t4 — целая функция экспоненциального типа.
В силу (5.27)
^ ^ 22кМ Г (V + к + 1) р№^ *(5-29)
где v — любое действительное неотрицательное число. При v = 0 отсюда находим:
4-оо
но биномиальное разложение показывает, что
следовательно,
(5.30)
Покажем методом индукции, что
При п = О это следует из (5.30). Далее, в силу свойства 4 § 3
А (О — — А (0 ^А (О — — А (0 ^Р 41 = ^2+1^Р
А (О — — А (0 ^
А (О — — А (0 ^
Vp‘^ /р2 + <
и, следовательно, при и = 1 доказываемая формула также верна. Пусть теперь эта формула верна для всех неотрицательных целых индексов, меньших п (где л > 2); тогда [см. гл. IV, § 3, формулу (4.27)], учитывая, что Ju_x (0) = = 0, находим:
Л (0 = Л-2 (0 - З^ (О ^-
IУ р2 +1
гР(УрйЛ - р)"-1 _ ( У^уХ- р)п
/р2 + 1^-Ы
Таким образом, формула (5.31) доказана.
Рассмотрим теперь функцию
Г^Р^-^е-^ (» = 0,1,2,...).
Эта функция регулярна в бесконечно удаленной точке и F (оо) = О, следовательно, она является изображением некоторой целой функции экспоненциального типа / (/).
Так как
F(p\ = -1-e-VP = -L 5= У
то в силу (5.28)
+ СОи
/(0=2к—0
но [см. гл. IV, § 2, формулу (4.20')1
(2 /о = S
следовательно, f^ = t^jn^Viy
Таким образом,
Wn (2 /0 — -^ e-VP (n = 0,1,2,...)(5.32)
и, в частности, при п = 0
/0 (2/^=-1-6-1/».(5.33)
Изображения некоторых специальных функций
г1. Изображения логарифма и интегрального логариф
ма. Очевидно, Int есть оригинал с нулевым показателем роста. Пусть InZ ==* F (р); тогда (принимая во внимание свойства 6 и 4 § 3 и учитывая, что Hnz — Z^ О
при Z-* 0)'
t lnZ = — F'(p);
tint —t= — F' (p) —
(ZlnZ — Z)' = —pF'(p) —-yl
но (/ In t — ty = In/, следовательно,
-pF'^-^^F^,
pF4p) + F^ = --L,
VpFW = ".
■' C + pF (p) = — Ln p,
P(p) = _^_ £., p p
Полагая p = 1, найдем;
C = — F^ = - J In Z-e-'dZ = 0,577...0
Это число называется постоянной Эйлера. Можно показать, что
С = lim (1 + 4- + ... + 4—Ьп).П-*+С0 \п/
Итак,
(5.34)
где С — постоянная Эйлера.
Рассмотрим теперь И? (см. гл. IV, § 8). Имеем:
lie* =^-^-d< = ^6 Y1 ^"^ *n< = 5~^~--du + c + InZ, о
где с — произвольная постоянная. Но (учитывая свойство 9 и 8 § 3)
^-^f^^-)^ = Lnp-Ln(p-l),р
С eu—i Ди Ln р Ln (р — 1)
3 и ' . Р Р о
Следовательно, пользуясь (5.34), получим $
Иel =^2JL _ Ln(p —1) Ln рС РР Р Р р
Ln (р — 1) С — с — рр '
и при надлежащей нормировке интегрального логарифма будем иметь:
Ие»=-_5£1^Л.(5.35)
Изображения функций, связанных с интегралом вероятностей. Положим:
t
erf (Z) = -Дг \ du; Erf (Z) = 1 — erf (f).
' я о
Очевидно, erf (Z) есть непрерывная возрастающая функция на [0, + со); erf (0) = 0, erf (+ со) = 1, Erf (Z) есть непрерывная убывающая функция на [0, + со), Erf (0) = 1, Erf (+ оо) = 0. Рассмотрим функцию / (Z) = e'erf ОЛZ) (очевидно, это оригинал), и пусть / (z) r=s F (z). Учитывая, что [erf (<)]' =-^- е-*1, найдем:
f(O-^rt(ro + e'-jL.HrLr =
следовательно, после перехода к изображению (пользуясь свойством 4 § 3 и учитывая, что / (0) = 0), получим:
откуда’
Таким образом,
^ erf (VW-L-^,(5.36)
(р —1) V р
I
откуда по правилу смещения изображения (свойство 11 § 3)
|5-37)
Затем1
в* Erf (V7) = е< - е' erf (]<0—Ц1— L—
¥ 'Х¥ ' Р-1 (p-D/p р+Ур
и, таким образом, e-ErfO^)-^-^,(5.38)‘
р+Ур}
откуда по правилу смещения изображений
Erf(VO^ ^L .(5.39)
Р4-1 + Ур + 1
Изображения интегрального синуса и • интегрального косинуса. Имеем (на основании свойств 9 и 8 § 3)5
СОsin t С dq л .*
sm^^+i ? — ^ ) ril - Т - arct8 Р>
С sin u 11 / л .\
)— au^—^-атвору,
следовательно (при нормировке si 0 = 0),
/л arctg р^гр р •/л arctg р^гр р •(5.40)(5.40)
/л arctg р
^гр р •
/л arctg р
^гр р •
(5.40)
(5.40)
Далее (учитывая свойства 9 и 8 § 3),
cos f = _р. . ; cos # — 15=» ,р, .L-;
Ра +1р3 +1 р
cos t — 1С ( q 1 \ л т Vq^-V 11 ”
-г--5 ?+1-т ^ = ^-“тН =
= Ln -т==;
Гр3-М
С COS и — 1 ,1 т р
\аи = — Ln -7==-;
РКр2 + 1
, С cos *f cos * — 1 ,. , , .
cif = X—^—dt = \-—dt + Inf =
Ceos u — i , ,, , .
= \du + с + In t,
где с — произвольная постоянная; следовательно [принимая во внимание (5.34)],
ri#—zLnPLn(Ра + 1) । с Lnp С
pгрp p p
— Ln (P2 +1) C — c
~^pp *
поэтому при надлежащей нормировке интегрального косинуса будем иметь:
Ci^-L^t1)2рCi^-L^t1)2р(5.41)(5.41)
Ci^-L^t1)
2р
Ci^-L^t1)
2р
(5.41)
(5.41)
Изображения интегралов Френеля. Имеем (пользуясь свойствами 11 и8§ 3):
.1_ _.Г(У2) ..
Vt 1р'!* Vp ’
sin tVtsin tVt_ 1 ей —, /it /11_\ .
sin t
Vt
sin t
Vt
V"t ^i 2Z ^ уp — (уp q_ tj ’
i
C sin M JVw /11\
\ —7=- du 5=6 22L | —-;= ;
F и2ip \ Vp — iVp + i)
следовательно, полагая
(5.42)(5.42)8 (t) = А= ^ ^т^ du (синус Френеля), У 2л J У и
(5.42)
(5.42)
получим!
S^x^A—х’ 2 /2iS^x^A—х’ 2 /2iKp + t— /р —*Kp + t— /р —*/р3 + 1/р3 + 1(5.43)(5.43)
S^x^A—
х’ 2 /2i
S^x^A—
х’ 2 /2i
Kp + t— /р —*
Kp + t— /р —*
/р3 + 1
/р3 + 1
(5.43)
(5.43)
Далее (учитывая свойства 11 и 8 § 3), 1 . .
cos t _ 1etl + e и , Vit /1।1 е
У? У? 22 \ Vp —^ Vp + i'
С cos м 1. У л /1.1 V
J /и 2Р \/р—i /p + v
следовательно, полагая
(5.44)(5.44)(5.45)(5.45)Г cos u 1,av
(5.44)
(5.44)
(5.45)
(5.45)
\—т=гйи (косинус Френеля),
О “
получим!
С (о ^ А_ УрТу+УзА.
V ’2/2 р/р» + 1
§ 10. Формулы обращения
Преобразование Фурье и его обращение.
Определение. Пусть / (z) — комплекснозначная функция на (— оо, + оо), непрерывная всюду, за исключением, быть может, изолированных точек, и абсолютно интегрируемая на (— оо, + оо).
Преобразованием Фурье функции / (z) называется функция
+00
F^= ^f^e-^ dt.(5.46)
—СО
Преобразование Фурье функции / (Z) называют еще спектральной характеристикой функции / (Z). Легко видеть, что F (к) непрерывна на (— оо, 4- со) и
4-оо
И(»)1< $l/(O|dZ.
Теорема обращения преобразования Фурье. Если / (Z) удовлетворяет упомянутым в предыдущем определении условиям, то в каждой точке Z, в которой/ дифференцируема, имеет место формула обращения {обратное преобразование Фуръе)
4-со/^ = 2Г ywe^dt,4-со/^ = 2Г ywe^dt,(5.47)(5.47)
4-со
/^ = 2Г ywe^dt,
4-со
/^ = 2Г ywe^dt,
(5.47)
(5.47)
еде
VooаVooа
Vooа
Vooа
Это непосредственное следствие из формулы (1.46), доказанной в § 10 главы I.
Преобразование Меллина и его обращение. Пусть g (х)— комплекснозначная функция, непрерывная на (0, + оо) всюду, за исключением, быть может, изолированных то- 4-оо
чек. Если ^ х8*11 g (х) | dx (здесь s — действительное о
число) СХОДИТСЯ при S = $! и S = s2, то он сходится при всяком 5, лежащем между $х и $2 (это следует из того, что если$! <5 < s2, то Xs < я®1 при х < 1, Xs < х^ при я > 1). Отсюда легко заключить,что либо упомянутый интеграл при всех s расходится, либо найдутся такие а и b ( — оо ^ а ^ ^ 6 + оо), что при а < s < 6 упомянутый интеграл сходится, а при s < а и при s^> Ъ расходится. В последнем 4-со
случае (если "а •< Ь) интеграл Меллина J xP-1g (ж) dx О
имеет полосу абсолютной сходимости а < Rep < 6, причем в каждой полосе ах ^ Rep ^ Ьх (где а < ах < Ьх < 6) его сходимость — равномерная. Из теоремы § 1 вытекает,
что он изображает аналитическую функцию G (р) комп- t лексного переменного р = s + io в полосе а < Re/? < Ь.
Определение. Пусть g (х) г- комплекснозначная функция на (0, + оо), непрерывная, за исключением, быть может, изолированных точек, и такая, что соответствующий интеграл Меллина имеет полосу абсолютной ♦ сходимости а < Re/? < Ь. Преобразованием Меллина функции g (х) называется функцияfj
4-00
б(р)= j xP~1g(x)dx1(5.48)
о
аналитическая в полосе а < Rep < b.t
Замечание. Если преобразование Меллина функ- j ции g (х) есть G (р), то, при а < с < b преобразованием 1 Фурье функции e~ctg (е"1) будет G (с + iu).
В самом деле, с помощью подстановки х = e-t находим:
Ч-оо4-ооCI.
G (С -f- tu) = ^ 5-(c+iu)Z g ^-Z) dt = ^ e-ctg (e-f) e-iut Д! -ОО-ОО4
Теорема обращения преобразования Меллина. Если g (ж) 'удовлетворяет отмеченным в предыдущем определении условиям, то в каждой точке х, в которой g дифференцируема, имеет место формула обращения (обратное преобразование Меллина)*
С4-1оо
g^=^a j G(p)x-Pdp,(5.49)
гдеf
С4-100c4-ik
( = lim ,c-гоо ^~*4-oo c_^
причем c —• любое действительное число, удовлетворяющее неравенствам а < с < Ь.,
Доказательство. Если g (х) дифференцируема в точке х, то после подстановки х = еа функция e^g (е^1) j будет дифференцируема в соответствующей точке t, । но тогда в силу предыдущего замечания и теоремы об- I ращения преобразования Фурье найдем в упомянутой I
точке t
+00
e~ctg (е*9 = ^ ^ G (с + to) еы du,
+оо
g (е-<) = 2^~ G (с + to) e<c+i«>< du’,
следовательно, в рассматриваемой точке ж
c+ioo g^ =^i V G^x-Pdp;
с~гоо
что и требовалось доказать.
Обращение преобразования Лапласа.
Замечание. Если преобразование Лапласа функции / (Z) есть F (р), т. е.
+00
Ftf)=. ^«П*^(5.50)
О
то преобразованием Фурье функции e*atf (Z) будет F (а + ш), если а — действительное число, большее показателя роста / (Z). х
В самом деле,
F (а + ш) = ^ / (Z) в-(а+ы>1 di = ^ e*atf (Z) • e^^dt.
Теорема обращения преобразования Лапласа. Если f (t) — оригинал и F (р) — его изображение, то в каждой точке t, в которой f дифференцируема, имеет место формула обращения (обратное преобразование Лапласа)
a+too
/W = 2Si $ F^e^dp,(5.51)
а-гоо
где
a+iooa+ik
( = lim ( ,a—iao К-*+о» a—ik
причем а — любое действительное число, большее показателя роста / (Z).
Доказательство. Если / (Z) дифференцируема в точке t, то e*at f (z) тоже; следовательно, в силу предыдущего замечания и теоремы обращения преобразования Фурье найдем в рассматриваемой точке Z
+ОО
е~о</ (0 = ^ ^ ^ (® + iu) еы du,
4-со
/ (0 = ^- ^ (а + И е<«*^‘ du,
а+ioo
/(0-^ $ F^dp,
а-гсо что и требовалось доказать.
Достаточное условие для того, чтобы аналитическая функция была изображением
Теорема. Пусть F (р) — аналитическая функция в полосе Rep )> s0 и при всяком а^ $0*
+ 00
J | F (a + io) | da сходится,
F(p)-*O при Re р>а, |р|->+ос.
Тогда F (р) является изображением, причем оригиналом будет*
а+гоо tw = ^ S F^ePtaP» 'a—loo
где а — какое-нибудь действительное число, большее $0.
Доказательство. Сперва заметим, что определение / (z) не зависит от выбора числа а.
Действительно, интеграл от F (р) е^ по прямоугольнику, ограниченному прямыми s = a, s = ах, a = ± Ь, где ан аг больше $0, равен нулю по теореме Коши, но интегралы по горизонтальным сторонам стремятся к нулю
в силу условия 2) при b -► оо. Следовательно, в пределе найдем, что
a+ioo ai+ioo
а-гоо Gi-ioo
Из выражения для / (t) находим:
4-со
1/(01 <25-+
при всяком а > s0; следовательно, / (z) есть оригинал с показателем роста ^ s0. Пусть Rep0 > s0 и s0 < а < Rep0. Имеем: 4-оо4-ооа+1оо
/ (Z) е^ di = ^ ^ е-^ dt ^ F (р) е^ dp =
О0a-ioo
Ч-оо4-00
= А. ( e<«-Po)t dt С F (а + й) etot do = 2л JJ
--^(^0-0°
= ^- ^ F (а + го) do ^ e^1®-»»* dt, -ооО
причем изменение порядка интегрирования законно, так как при — оо < a < + оо, 0 ^ t < + 00 имеем:
F (а + го) 6а^”^1 | = (F (а + га) | e-(Rep°~o)S 4-004-00
а интегралы J | F (а + io) | do и ^ e-(Rep<>-a)' dt сходятся.
Но
4-00
С e(a+io-p,)t dt = ,
JPo — a — is ’
о
следовательно,следовательно,^t)e~P»dt^t)e~P»dt4-001 С F(a+i^2л j ро*— tt — i<3—004-001 С F(a+i^2л j ро*— tt — i<3—00a4-too da = 2Si ^ a-iooa4-too da = 2Si ^ a-ioo^(p)Po —P^(p)Po —Pdp.dp.
следовательно,
следовательно,
^t)e~P»dt
^t)e~P»dt
4-00
1 С F(a+i^
2л j ро*— tt — i<3—00
4-00
1 С F(a+i^
2л j ро*— tt — i<3—00
a4-too da = 2Si ^ a-ioo
a4-too da = 2Si ^ a-ioo
^(p)Po —P
^(p)Po —P
dp.
dp.
! > |ро I и CR —: дуга окружности | р | = Я, полуплоскости Rep > а, а ± гЬ — точки пе- окружности | р | = R с прямой Rep = а Внутри сегмента, ограниченного дугой CR
Пусть R лежащая в ресечения < (рис. 68). и прямойПусть R лежащая в ресечения < (рис. 68). и прямойRep = а,Rep = а,аналитическая функция р имеет только одну особую точку р0 (простой полюс); следовательно, по теореме о вычетах и правилу вычисления вычетов относительно простого полюса (см. гл. III, § 17) находим:
Пусть R лежащая в ресечения < (рис. 68). и прямой
Пусть R лежащая в ресечения < (рис. 68). и прямой
Rep = а,
Rep = а,
2«iA»p — po г р — р» с
-^(М
где С -— контур сегмента. Левая часть равна сумме интеграла вдоль хорды и интеграла вдоль дуги окружности. Первое слагаемое равно
a-{ba+ib
1 С F^dp1 С F^dp
2ni J Р — Ро2л< а Ро — Р
а+ibа-гЪ
а+гоо1 С F (р) dp2ni ) ро — Ра-гсаа+гоо1 С F (р) dp2ni ) ро — Ра-гса+СО= ^ / (0 е~Р»1 di. о+СО= ^ / (0 е~Р»1 di. ои при R -> + оо будет стремиться к
а+гоо
1 С F (р) dp2ni ) ро — Ра-гса
а+гоо
1 С F (р) dp2ni ) ро — Ра-гса
+СО
= ^ / (0 е~Р»1 di. о
+СО
= ^ / (0 е~Р»1 di. о
Покажем, что второе слагаемое- ^ ^при
CR
I 1 Г |2^ аСвI 1 Г |2^ аСвF (р) dpр — роF (р) dpр — роR ->+ оо будет стремиться к нулю. В самом деле, пусть М (R) — максимум модуля F (р) на CR) тогда
I 1 Г |2^ а
Св
I 1 Г |2^ а
Св
F (р) dpр — ро
F (р) dpр — ро
^- я^Й-i2яД = я V^i ^ W -* 0
2Л /I — I ро IК — J ро I
при /?-*• + оо, ибо по условию теоремы М (Л) -> 0.
Таким образом, равенство
+00
в пределе при Я-> + оо дает ^/(^е'Г®1 df = F(p0). Этим о
+00доказано, что при Rep > $0 имеем F (р) = ^ f^e*pt dtо
и, следовательно, / (2) и F (р), что и требовалось доказать.
Лемма Жордана.
Пусть Сн(п = 1,2, ...) — бесконечная система окружностей с центром О и неограниченно ^ возрастаюгцими радиусами, а — * какое-нибудь действительное число, Гп — часть окружности Сп, расположенная в полуплоскости Rep ^ а (рис. 69). Тогда,
если F (р) непрерывна на совокуп-Рис. 69.
ности дуг Гл и F (р) -> 0 при р
на Гп, р^ оо, то lim \ F (р) ept dp = О при каждом п-*оо Л
1 П t>0.
Доказательство. Оценим модуль интегралаt F^e^dp,
Г(Й,а)
где Г (Я, а) — часть окружности радиуса Я > | а| с центром О, расположенная в полуплоскости Rep ^ а, и F (р) — непрерывная функция на Г (Я, а), если <> 0 и |Я (р) | ^ е на Г (Я, а). Имеем (рис. 70);
2л-а2л-а
2л-а
2л-а
2я-аn-ате-а
^ гП gtflcose J0 = gfl J e-tHcos<p ^ф ,- 2efl ^ e-tHcosq> ^феаа-ло
0. Тогда
я-а
л/2
л/2л/2-а
^ e-iRsin«р^ф.р^ е(В81п»^ф
оо
Рис. 70.
л-а
4-00
Пусть сперва а )> л-атс/2
^-^Hcoscp ^ф ^ Оо
(в первом и втором интегралах правой части ф заменено соответ-
Я
ственно на -|— ф и -^ + ф).
Но
2
81Пф >
2 ’
О
\ е ” о
следовательно,
— tRv
arsin ^*
йф + ^ etR^5l^ =
_ я
— 2tR
/R arcs in
е R
~ аГ
учитывая, что 7? arcsin-^-= а
tR ^-iR \
а
arcsin -н-
R
Таким образом, при а > О
Г(В.а)
Если а^О, то ^ о
я /2
^ , и тогда о
J<-Ln.
Итан, во всех случаях, если | F (р) | -< ена Г (R, *а), то
(5.52)
Г(В,а)
1
где
Ц1,а) =Ц1,а) =при а^О.при а^О.
Ц1,а) =
Ц1,а) =
при а^О.
при а^О.
Доказываемая лемма непосредственно вытекает из неравенства (5.52), ибо если Ми есть максимум |F (р)| на Гп, то в силу (5.52)
К F (р) еР* dt | < МД (t, а),
но Мп -► 0, следовательно,
\ F (р) ept dt —> 0 при п -*4-оо,
что и требовалось доказать.
Следствие. Пусть F (р) — мероморфная функция на всей плоскости комплексного переменного р, обладающая свойствами;
пр и Rep > s0 она удовлетворяет условиям теоремы данного параграфам
существует система окружностей Сп с неограниченно возрастающими радиусами, не проходящих через полюсы и таких, что F (.р) О при р на Cw р -> оо.
Тогда F (р) является изображением, причем оригиналом будет; vn*4-00 vn
/(0= lim 2 Res[F(p)eP<]= 2 2 Res[F(p)eP<]
w-*00^! i>kn=i к=мп-14-1 Рк
(5.53) a>o),
где pv p^ ... — полюсы F (p), расположенные в порядке неубывания модулей, vn — число полюсов, лежащих внутри Сп, v0 = 0. В частности^ когда все полюсы простые, имеем'^
vn+соvn
/(t) = Iim 2^'ResF(p)= 23 ePk'ResF(p)
n-»ook=1 рйn=l lt-v^+1 Р/с
(/ > 0).(5.54)
Доказательство. В силу теоремы, доказан- ной в настоящем параграфе, F- (р) является изображением^ причем оригиналом будет:
a+ico
т—Еа $ FWiaP (<>0), а-too
где а — какое-нибудь число, большее s0. Пусть Гп — часть окружности Си, пробегающая в полуплоскости Rep а, и пусть а ± ibn — концы Г„. По теореме о вычетах (гл. III, §17)
a+ibtt
^ \ F(р)^dp + ^ V р(р) еР‘dp = 2 Res [^(р)е*].
аЧЬпГпК=1 р»
Если 1^ 0, то при «-* оо первое слагаемое левой части стремится к / (г); а второе слагаемое в силу леммы Жордана стремится к нулю, следовательно, в пределе получим искомую формулу (5.53).
Если полюс рй — простой, то
Res [F (р) ерг] = е^ Res F (р), РкРЦ
поэтому в случае, когда все полюсы рк — простые, формула (5.53) переходит в формулу (5.54), что и требовалось ч доказать.
Об одном обобщении преобразования Лапласа
Если в преобразовании Лапласа 4-00 ^(Р)= $ tw^dt о передать роль целой функции е^ некоторой другой функции Цр), удовлетворяющей надлежащим требованиям, то возникает преобразование вида
+«>
^(р) = J f^k^dt,о
которое мы ниже назовем ^-преобразованием функции / (/), употребляя при этом записи
4-00
/(t)^P(p); К [/(t)]= $ f(t) к (pt) at. о
Пусть к (р)— какая-либо отличная от тождественного нуля аналитическая функция в полуплоскости Re р > О, для которой существует ограниченная положительная невозрастающая функция х (s) на (0, + оо), стремящаяся к нулю при s -* + оо и удовлетворяющая неравенству
| к (з + io) | < X (s) при 0 < з < + оо, — оо < о < + оо.
Легко видеть, что если и ($) существует, то среди х ($), удовлетворяющих отмеченным требованиям, есть наименьшая. Будем предполагать х (s) наименьшей из возможных — тогда х (s) однозначно определяется по к (р). В случае к (р) = <ГР очевидно, что х (з) = = e~s.
Пусть / (I)— комплекснозначная функция на (0, + оо) (для простоты будем предполагать ее непрерывной). Если положитель- 4-00
ное число s таковр, что несобственный интеграл \ | / (0 | х ^st) dt о
сходится, то числа, большие $, обладают тем же свойством, откуда следует, что либо найдется такое положительное число $0, что при s >s0 упомянутый интеграл сходится, а при 0 < $ < so расходится (sq назовем показателем роста функции / (#)), либо упомянутый интеграл сходится при всех s>0 (тогда положим s0 = 0), либо упомянутый интеграл расходится при всех $ > О (тогда положим s0 = + оо). Из § 1 следует, что в случае s0 < + оо
4-00
Лр)= J fV)kU>t)dtо
будет аналитической функцией в полуплоскости Re р > з0. Функцию F (р) назовем к-преобразованием функции / (t).
При Rep -^ + оо имеем F (р) -* 0. Это легко обнаруживается с помощью теоремы, доказанной в начале § 8.
Рассмотрим некоторые свойства ^-преобразования,
Если / (t) 2^ F ( р), то X/ (г) ~ XF (р) (X — любое комплексное число). В самом деле,
-f-оо4~°°
К f X/ (t)] = ^ X/ (t) к (pt) dt = X ^ / (t) к (pt) dt = KK U (t)L оо
Если f (t)^ F (р), ф (t) 2J Ф (р), то / (t) + ф (t) 2; F (р) + + Ф(р).
В самом деле,
4-00
ЛС[/СО-Ь Ф W1 = $ [/(О + ф (t)U(pt)dt = о 4~оо4“°°
= J l(t)k(pt)dt^. J Ф(9Л(р0Л-ЛГ[/(0] + ^[ф(0].
оо
1/ р \
Если f Ц^^Е (р), то / (at) 2^ — F (~1(а — любое положительное число). В самом деле, *4*004-оо
С1 С / pt \1/ р \
K[f^\ = f^k^dt =— f^k^dt==—F^y
оо
Пусть / у) непрерывно-дифференцируема на (0, + оо), причем / (t) и tf (t) имеют показатели роста < + оо. Тогда из f (t) 2Х Р (р) следуют двойственные соотношения
- tf (0 ^ [pF (р)Г, [tf (01' ^ ~pPr (Р).
Доказательство. Пусть $0 — наибольший из показателей роста f^ и tf (t), пусть —• tf (t) ~ Ф (p). Тогда при $ > s0 имеем
-|~оо“Ь00
F^= J f^k(st^dt=-^- J f^y^dt, Оо
4-00
*f^ = J /(4-)* (О Л, о 4*оо4"°°
[«/■«=- ( ^f'^TptM1-— $ tf^k^dt^tb^, Оо
откуда видно, что [pF (р)]'= Ф (р) при Re p*>s01 ибо эти аналитические при Re р > s0 функции совпадают при р = s > s0. Таким образом, — tf (t) ~ [pF (р)Г, но тогда
[tf (ОГ = / W + tf (t)^F (р) — [pF (р)]' = — pF' (р). 1 с
5) Пусть/(г)и-£-\/(м)^и имеют показатели роста < + оо. °<оосо
С1 F ^,/с
Тогда из f ^2^F (р) следует~ j ^ ^ ^иj q\гдеj по'
ОРр
Р нимается как Ит^при ReP-»+°°). р
1 f
Доказательство. Полагаяф (t) = -у у (u) du с^ Ф(р), о получим [<ф (t)]' = / (t), откуда в силу свойства 4 р
F (р)С F (а}
-рФ'(р) ^F^, ^(р)-^-, OW-C-^-^-dq,
Ро
но Ф (р) —> О при Re р —» + оо, следовательно,
РоР
Пример 1. Если х (s) таково, что несобственный интеграл
s°x (s)ds (а > —1) сходится, то степенная функция ta имеет о
нулевой показатель роста, ибо при любом s > О
4-оо4-°°4-^
S
C ( t dt 1 f
tax(st)«= ^ ^—) «(0—= -^ir j t«x(t)dt<4-oo.
000
Пусть ta ~ F (p). Так как
4-004-00
F (s) = ^ tak (st) dt = "ц^ ^ tak (t) dt = ^— (С — постоянное),' оо
то F (p) = C/p^\ ибо обе части равенства аналитичны при Rep >0 и совпадают при положительных значениях р. Таким образом, 4-00
<° ^ ^f, где С = ^ tak (t) dt (a > — 1). Pо
Пример 2. Если x (s) такова, что несобственный интеграл 4-00
\ х (s) In s ds сходится, то логарифмическая функция In t имеет 1
нулевой показатель роста, ибо при любом s > О
(In t — In s) & (t) dt =(In t — In s) & (t) dt =Пусть In t ~ F (рУ Так как
(In t — In s) & (t) dt =
(In t — In s) & (t) dt =
F^ = \ntk^dt = -~* оо
Л Blns ,
то F (p) = Re p > О образом,то F (p) = Re p > О образом,= — + —-— (Л, В — постоянные), Л BLnp '
то F (p) = Re p > О образом,
то F (p) = Re p > О образом,
В Ln рРВ Ln рР^(Р)^у- +^(Р)^у- +— + —р— ’ и*° °6e части равенства аналитичны при и совпадают при положительных значениях р. Таким
В Ln рР
В Ln рР
^(Р)^у- +
^(Р)^у- +
4-0»+°°У
где Л = ^ Xsitk^dt, В=-» ^ Л (г) Л оо
Условие регулярности ^-изображения на бесконечности сходно с тем, что было в случае преобразования Лапласа. Соответствующие ^-оригиналы образуют класс целых функций, зависящий от к (р), который в случае к (р) = е"^ становится классом целых функций экспоненциального типа.
Наложим на х (s) следующее ограничение:
\ snx(s)ds<4-oo при n=0, 1, 2, ... о
4-СО
Тогда \ tUH (ts) dt < 4- оо при каждом s > 0, ибо о 4-е»4“°°4*°®
§ tnx(fs)dt = ^ ^-Ух^-у- — -^г § *"#(0Л< + «>.
00о
Введем в рассмотрение числа
+<»4-оо
Мп= tH^df, м\= ^ fv.^dt\ Оо
(очевидно, что М^ > 0).
Теорема. Если все Мп фО и числа г М^ | Afnf| ограничена в совокупности, то всякая функция F (р), регулярная в бесконечно удаленной точке и равная в ней нулю, является к-изображением некоторой целой функции f (ty
Доказательство. Пусть F (р) = 2 -^ ПРИ I РI > -Я» п 1
По условию VМп /1 Ми | < С при всех n (С — постоянное).
при s*>CR$при s*>CR$но, с другой стороны,но, с другой стороны,при любом #0 >0.при любом #0 >0.
при s*>CR$
при s*>CR$
но, с другой стороны,
но, с другой стороны,
при любом #0 >0.
при любом #0 >0.
Покажем сперва, что степенной ряд нечный радиус сходимости. Имеем
4-00
Так как левая часть-^0 (если s^CR), а \ х($0Л>О< то to
йп^оV а«+1 «П
—»0 и, следовательно, степенной ряд /I ( всюду
сходится и изображает некоторую целую функцию / (i).
Покажем далее, что несобственный интеграл
сходится при s > CR. Имеем при любом Г > О
5 21 мп ^^ ^s^ ^ — 2 | Мп 15 ^п^ ^s^ ^ ^ о ооо5 21 мп ^^ ^s^ ^ — 2 | Мп 15 ^п^ ^s^ ^ ^ о ооо<4-00<4-00
5 21 мп ^^ ^s^ ^ — 2 | Мп 15 ^п^ ^s^ ^ ^ о ооо
5 21 мп ^^ ^s^ ^ — 2 | Мп 15 ^п^ ^s^ ^ ^ о ооо
<4-00
<4-00
при s<.CRt
что и доказывает сходимость упомянутого интеграла. Этот интеграл
мажорирует несобственные интегралы
—|-оо—|-ОО
^ / (0 (РО dtt 5 ^N (О * (PZ) 41 (Р = $ + to), оо
где /^ (0 = 2 ~М™ " ^ ^ — любое натуральное число), и на каж- о
дом конечном сегменте [О, Г] /^ (0 равномерно стремится к t (0 при W —> оо, поэтому, на основании теоремы, доказанной в начале § 8,
4~оо4*°°
fN^k(pt)dt-» ^ j(t)k(pt)dt при Кер*>СНь оО
4-004-00 N а'
Но J tN^k^dt = ) 2 ^ ‘"’МрО» = О00
N *tf° '^
= V. —^1| \ tn к (pt) с?< = 2 -an+1- у что стремится к F (р) при nП+1
00ОР
4-00
N -» оо^ если |р|>Я. Этим доказано, что F (р) = \ / (0 к (pt) dt
о
при Re р*> CR^ учитывая, что С>1.
Из доказанной теоремы следует, что если к (р) таково, что все
п
\ sn х (s) ds < + 00»все Ми 4= 0 и числа V М^ / | Мп | ограничены
в совокупности, то каждая система комплексных чисел ап (1<п< < + оо), с ограниченными в совокупности -^ | ап |, порождает
целую функцию 2 ~^+1 ^ с
показателем роста
< + оо (при
этом разным системам комплексных чисел ап соответствуют разные целые функции). Класс этих функций назовем к-классом целых
функций. Соответствие 2
о
an+i
Мп
^ти
взаимно однозначно ото
бражает fc-класс целых функций на класс всех аналитических функций, регулярных в бесконечно удаленной точке и равных нулю в ней.
В случае к (р) = е^ имеем Ми = Мп = п! В этом случае Л-класс целых функций совпадает с классом целых функций экспоненциального типа, как это усматривается из § 8.
.ПРЕДМЕТНЫЙ
УКАЗАТЕЛЬ
Абсцисса абсолютной сходимости интеграла Лапласа 279
Лемма Римана для конечного интервала 15
f— Шварца 222
Векторная линия 99
—- трубка 100 Вихрь 115 Вычет 189
Нуль аналитической функции 181
Операции 2-го порядка 118
Оригинал 280
Гармоника простая 10
Градиент 86
с изображением регулярным в бесконечности 304
рациональным изображением
Дивергенция 109
Ортогонализация системы функций 59
Особая точка аналитической функции 185
Задача Дирихле 228
., полюс 185
*, существенно особая 185
устранимая 185
Изображение оригинала 280 Индикатриса вращений 203 — растяжений 203 Интеграл комплексной функции действительного переменного 160 криволинейный 89'
— от вектор-функции 97 — поверхностный 101.
от вектор-функции 108 — типа Коши 171 — функции комплексного переменного 160 Фурье двойной в комплексной форме 53 *— — -=■ —тригонометрической
форме 50 *для нечетной функции 54 —четной функции 54
— — простой в комплексной форме 52 —— тригонометрической
форме 50 Интегральный косинус 267 — логарифм 267 — синус 267
Отображение дифференцируемое 201
»— конформное области на область 213
1-го рода 207
— — 2-го рода 207
■— невырожденное 202
6—, реализуемое линейной функцией 214-
Период функции 9
Поверхность уровня 87
Показатель роста оригинала 279
Поле безвихревое fl6
— векторное 96
— потенциальное 98
— скалярное 85
— соленоидальное 111
— центрированное 99
Полиномы Лагерра 62
— Лежандра 62
■— Чебышева 62
— Эрмита 62
— Якоби 62
Порядок аналитической функции в точке 187
Поток векторного поля 109
Преобразование Лапласа 280
Координаты криволинейные 121
Косинус-трансформация 55
Коэффициенты Ламе 122
— — обратное 321
— Меллина 320
■обратное 320
— Фурье 318
обратное 319
Лемма Жордана 325
f Римана для бесконечного интервала 46
Принцип аргумента 198
— максимума для уравнения теплопроводности 43
*— —- модуля 200
. Производная вектор-функции ска- лярногошеремешяого 81
«— комплексной функции действительного переменного 151
«— по направлению 86
— функции комплексного переменного 152
Производящая функция системы бесселевых функций с целыми индексами 255
функций 254
Теорема Морера 168
— о -вычетах 189
логарифмических вычетах 191
— об устранимой особой точке гармонической функции 234
— Пикара 187
— Римана — Каратеодорп 222
— Руше 198
— Со ходкого 187
— сравнения Штурма 258
Точка бесконечно удаленная 187
Работа векторного поля 98
Разрывный множитель Дирихле 56
Ряд Лорана 184
— степенной 137
Тэйлора 179
Фурье в комплексной форме для функции любого периода 33 .периода 2л 25
нечетной функции любого периода 31
*периода 2л 28
епо ортогональной системе функций 58
*функции, заданной на сег
менте 33
।любого периода 31
1г периода 2Л 13
и четной функции любого периода 31
периода 2л 27
— Фурье — Бесселя 261
Свертка функций 286
Символика Гамильтона 120
Бинус-трансформация 55
Система функций задачи Штурма —
Лиувилля 69
— замкнутая 66
>~ — ортогональная 57
►ортонормир ованная 57
Сопровождающий трехгранник пространственной кривой 83
Спектральная характеристика 319
Среднеквадратическое уклонение 64
Сходимости кольцо 141
круг 139
радиус 139
Теорема Абеля 137
Гарнака 232
— Гурвица 199 единственности для аналитических функций 181
*гармонических функций 227
Коши 164
— для сложного контура 165
*— Лиувилля 181
*для гармонических функций 233
Уравнение колебаний струны 36
— Лапласа 158
■— теплопроводности 40
Условие Дирихле 18
— Липшица 19
■— независимости криволинейного интеграла от формы пути 93
Условия Коши — Римана 155
Формула Дюамеля 289
— Коши интегральная 170
— Остроградского 107
в векторной записи 109
—- Стокса 114
— — в векторной записи 115
— Эйлера 143
Функция аналитическая 157
— бесселева 1-го рода 247
— — 2-го рода 249
бета 237
— векторная скалярного переменного 81
«— весовая 56
1— гамма 236
— гармоническая 158 кусочно-гладкая 21
— кусочно-непрерывная 21
— мероморфная 187
— нечетцая 25
— однолистная 211
— периодическая 9
— ступенчатая 297
— целая 181
— — экспоненциального типа 307
— четная 25
Циркуляция векторного поля 98
Элементарные функции комплексного переменного
ь— ,гиперболические 143
_,логарифмическая 147
,обратные гиперболические 149
— тригонометрические 148
— — — показательная 143
— — —, тригонометрические 143
cos Na — cos (2V + 1) а
2 (1^ cos а)
7 ыf „ы cos ("arccost) _ы Т^
Jn^—_ у у1—^ dt- п у 7Т^^’
где Тп (t) = cos (n arccos /) есть, очевидно, полином и-й степей^ (полином Чебышева), так как из формулы Муавра видно, что cos пф есть полином n-й степени относительно cos ф. Но
у W 888 ^ &и — ^^) = -^ t sin t.
Системы линейных дифференциальных уравнений. Требуется найти решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
2/1 + «пУ1 + — + ^шУп = к М>
2/2 + «212/1 + •-+ М» «/2 (Z),
Уп + «шУ! + ...+ а™уп = fn (Z), удовлетворяющее начальным условиям Коши
У1 (0) = сх- у2 (0) = с8; ...; уп (0) = cnt
когда /к (Z) (к = 1, 2f ..., п) являются линейными комбинациями функций вида f^e^.
Пусть ук (Z) =* Yk (р), /к (z) ^ Fk (р) (к = 1, 2, ..., п), тогда из рассматриваемой системы дифференциальных уравнений и начальных условий Коши следует (в силу
Избранные главыВЫС ШЕЙ МАТЕМАТИКИОля инженеров и студентов втузов
П.И. РОМАНОВСКИЙ
РЯДЫ ФУРЬЕТЕОРИЯ ПОЛЯАНАЛИТИЧЕСКИЕИ СПЕЦИАЛЬНЫЕФУНКЦИИПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ЛАПЛАСА
ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ И СТУДЕНТОВ ВТУЗОВ
П. И. РОМАНОВСКИЙ
РЯДЫ ФУРЬЕ.
ТЕОРИЯ ПОЛЯ.
АНАЛИТИЧЕСКИЕ
И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
ИЗДАНИЕ ПЯТОЕ, ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерствомвысшего и среднего специального образования СССРв качестве учебного -пособия для студентоввысших технических -учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫМОСКВА 1978
517.2 Р 69
УДК 517.5
Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. Романовский П. И. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973.
Книга представляет собой учебное пособие для студентов втузов по некоторым разделам математики, входящим в настоящее время в программы значительного числа высших технических учебных заведений. Книга может быть также полезна аспирантам технических кафедр, преподавателям и инженерам,
Илл. 72.
Павел Игнатьевич Романовский
Ряды Фурье. Теория поля.Аналитические и специальные функции.
Преобразование Лапласа(Серия: «Избранные главы высшей математикидля инженеров и студентов втузов»)
М„ 1973 г., 336 стр. с илл.
Редактор В. В. Абгарян
Корректор Л. Н. БоровикаКорректор Л. Н. БоровикаТехн, редактор И. Ш. Аксельрод
Корректор Л. Н. Боровика
Корректор Л. Н. Боровика
Сдано в набор 10/Х 1972 г. Подписано к печати 5/II 1973 г. Бумага 84x108V*» Физ. печ. л. 10,5 Условн. печ. л. 17,64 Уч.-изд. л. 18,56. Тираж 39000 экэ.
Т-00751 Цеца книги 81 коп. Заказ Mi 1266
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы117071, Москва В-71, Ленинский проспект, 15
2-я типография издательства «Наука». Москва, Шубинский пер., 10
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к первому изданию6
Предисловие ко второму изданию .. . »7
Предисловие к пятому изданию7
Глава I. Ряды Фурье и интеграл Фурье *•••»•••9
Периодические функции 9
Ряды Фурье для функций с периодом 2л 10
Комплексная форма ряда Фурье для функций с периодом 2л. 23
Четные и нечетные функции.* . .25
Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом 2л 27
Ряды Фурье для функций с любым периодом . . •30
Уравнение свободных малых колебаний струны и его решение методом Фурье . •35
Уравнение распространения тепла в стержне *..40
Интеграл Фурье ..♦45
Комплексная форма интеграла Фурье ..*..»51
Интеграл Фурье для четных и нечетных функций,,53
Ортогональные системы функций , » •56
Минимальное свойство коэффициентов Фурье . • *64
Замкнутые системы функций 66
О решении методом Фурье некоторых задач для линейных уравнений с частными производными второго порядка.»,»»•<74
Глава II. Основы теории поля ..»•*•»•••••79
Основные сведения из векторной алгебры * • » » е79
Векторные функции скалярного переменного . • ,81
Сопровождающий трехгранник пространственной
кривой.........83
Скалярное поле. Градиент скалярного поля . . • •85
Криволинейные интегралы . » • ,88
Векторное поле..•»••••»»»96
Поверхностные интегралы ..»»»»»»•»100
Формула Остроградского 105
Векторная запись формулы Остроградского. Дивергенция векторного поля 107
Формула Стокса 112
Векторная запись формулы Стокса. Вихрь векторного поля » »,♦♦<••••»•••»»•»•«115
§ 12, Операции второго порядка • ••••#••••♦118
. Символика Гамильтона 119
Векторные операции в криволинейных координатах 121
Глава!!!. Начальные сведения об аналитических функциях 131
| 1. Комплексные числа•131
Ряды с комплексными членами ,».♦*...•134
Степенные ряды 137
Показательные, гиперболические и тригонометрические функции комплексного переменного . . . .142
Некоторые многозначные функции комплексного переменного *147
Производная функции комплексного переменного с 151
Аналитические и гармонические функции . . . , »157
Интеграл функции комплексного переменного . . »159
Основная теорема Коши164
Интегральная формула Коши169
Интеграл типа Коши 171
г Производные высших порядков от аналитической функции. 173
Последовательности и ряды аналитических функций 174
Ряд Тейлора . », .177
Ряд Лорана . . . 182
Изолированные особые точки аналитической функции .185
$ 17. Вычеты*.***>,,.*♦189
Принцип аргумента 197
Дифференцируемые отображения ...»>»,.♦201
Конформные отображения областей .......211
Задача Дирихле для круга и свойства гармонических функций ,, е 224
Глава IV. О некоторых специальйых функциях » е » ♦236
|1.Гамма-функция 236
Бесселевы функциислюбым индексом ..».«»243
Формулы приведениядля бесселевых функций,»249
Бесселевы функциисполуцелым индексом • •••251
Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом .. . 253
Ряды Фурье — Бесселя 257
I 7. Асимптотическое представление бесселевых функций
с целым индексом для больших значений аргумента 262
Интегральный логарифм, интегральный синус, интегральный косинус .#♦.«».>•267
Глава V. Преобразование Лапласа274
Вспомогательные сведения об интегралах, зависящих от параметра 274
Преобразование Лапласа. ♦279
Простейшие свойства преобразования Лапласа . е 283
Свертка функций ,»•<••••••*•*»»«286
Оригиналы с рациональными изображениями. ♦289
Приложения к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 293
Приложение к решению линейных уравнений в конечных разностях с постоянными коэффициентами 297
Оригиналы с изображениями, регулярными в бесконечности .. .. ....304
Изображения некоторых специальных функций . #313
'§ 10. Формулы обращения . 318
Достаточное условие для того, чтобы аналитическая функция была изображением 322
Об одном обобщении преобразования Лапласа . . .328
Предметный указатель*335
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Современное развитие техники предъявляет повышенные требования к математической подготовке инженера. Традиционный втузовский курс математики оказывается явно недостаточным при подготовке инженеров ряда специальностей. На некоторых факультетах многих высших технических учебных заведений в обязательную программу ныне включаются специальные (дополнительные) главы курса математики. Однако подходящей для студентов втузов учебной литературы по этим вопросам еще не хватает. Использование же только одних больших курсов и монографий затруднительно для студентов.
Практика показывает, что имеется большая потребность в небольших по объему, сжато написанных учебных пособиях, где в доступной для студентов форме и в определенной логической последовательности излагалось бы основное содержание дополнительных глав курса математики, ныне преподаваемых во втузах.
Настоящая книга имеет целью в сжатой, конспективной форме изложить некоторые из этих глав. Она возникла из книги «Дополнительные главы курса математики для радиотехнических факультетов» (Оборонгиз, 1954), явившейся конспектом лекций, читанных автором на радиотехническом факультете Московского авиационного института.
Предлагаемую книгу следует рассматривать как краткое учебное пособие для студентов высших технических учебных заведений по следующим разделам;
ряды Фурье и интеграл Фурье;
теория поля;
теория аналитических функций;
некоторые специальные функции;
операционное исчисление.
В книге не приводятся физические и технические приложения излагаемых теорий. Такие приложения можно найти в более подробных руководствах, например! в книге М. А. Лаврентьева и Б. В. Шабата «Методы теории функций комплексного переменного» (по аналитическим функциям, специальным функциям и операционному исчислению), в книге Г. П. Толстова «Ряды Фурье» (по рядам и интегралу Фурье).
В отдельных (немногих) местах книги, в целях большей стройности, изложены некоторые не обязательные для студентов факты, тесно примыкающие к излагаемым теориям.
Автор
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Во втором издании книги несколько расширен пара граф, посвященный ортогональным системам функций, и добавлен параграф, содержащий приложение преобразования Лапласа к решению линейных уравнений в конечных разностях с постоянными коэффициентами.
Исправлены замеченные опечатки
Автор
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
В пятое издание книги включено несколько новых параграфов и сделаны добавления к некоторым старым параграфам.
К § 2 гл. I добавлены доказательство простейшего достаточного условия равномерной сходимости ряда Фурье к порождающей его функции и доказательство связи между характером гладкости функции и быстротой стремления к нулю коэффициентов ряда Фурье.
В § 8 гл. I рассмотрено решение методом Фурье простейшей задачи для уравнения теплопроводности.
В § 14 гл. I введено понятие замкнутой системы функций, доказана замкнутость тригонометрической системы функций и изучена система функций, связанная с задачей Штурма — Лиувилля.
В § 15 гл. I рассмотрено решение методом Фурье некоторых задач для линейных уравнений с частными производными 2-го порядка, обобщающее изложенные в §§ 7 и 8 решения задач о колебании струны и распространении тепла в стержне.
К § 9 гл. III добавлено доказательство теоремы Морера и дано обращение основной теоремы Коши об аналитических функциях.
В § 21 гл. III дано решение задачи Дирихле для круга и изложены различные свойства гармонических функций двух переменных.
В § 6 гл. IV изложены краткие сведения о рядах Фурье — Бесселя с использованием теоремы сравнения Штурма для линейных однородных дифференциальных уравнений 2-го порядка.
В § 12 гл. V отмечены некоторые обобщения преобразования Лапласа, какие можно получить, если передать роль показательной функции каким-нибудь другим функциям, удовлетворяющим надлежащим требованиям.
Некоторые добавления сделаны и в других местах книги.
Автор