ВВЕДЕНИЕ

Математические задачи, возникающие в жизни и в практической деятельности людей, в технике и в науке, в том числе и в математике, весьма многочисленны и разнообразны.

Умение правильно ставить эти задачи, хорошо и быстро решать их высоко ценилось на всех ступенях культурного развития людей, особенно в эпоху научно-технической революции, когда математика проникает во все науки и во все сферы деятельности людей. Решению задач отводится много времени при изучении математики в школах и вузах.

Среди математических задач некоторые пользуются особой популярностью; им со временем присваивают эпитеты: «неподда- ющиеся», «коварные», «жемчужины математики», «великие», «неприступные крепости», «знаменитые» и т. п.

Особенно большое внимание привлекали к себе в течение многих столетий задачи, которые с давних времен известны как «знаменитые задачи древности». Под этим названием обычно. фигурировали три знаменитые задачи: 1) квадратура круга, 2) трисекция угла, 3) удвоение куба. Некоторые авторы с полным основанием причисляют к ним еще две задачи древности: 1) деление окружност# на равные части (построение правильных многоугольников), 2) квадратура луночек.

Все эти задачи возникли в глубокой древности из практических потребностей людей. На первом этапе своего существования они выступали как вычислительные задачи: по некоторым «рецептам» вычислялись приближенные значения искомых величин (площадь круга, длина окружности и др.). На втором этапе истории этих задач (VI в. до н. э. — VI в. н. э.) происходят существенные изменения их характера: они становятся геометрическими (конструктивными) задачами.

В Древней Греции в этот период им придали классические формулировки: 1) построить квадрат, равновеликий данному кРУгу; 2) разделить данный угол на три равные части; 3) построить ребро нового куба, объем которого был бы в два раза больше данного куба; 4) построить правильный п-угольник (разделить окружность на п равных частей); 5) построить пря-

молинейную фигуру, равновеликую данной круговой луночке. Все эти геометрические построения предлагалось выполнять с помощью циркуля и линейки.

• Простота формулировок этих задач и «непреодолимые трудности», встретившиеся на пути их решения, способствовали росту их популярности. Стремясь дать строгие решения указанных задач, древнегреческие ученые «попутно» получали многие важные результаты для математики, что способствовало превращению разрозненных математических знаний в самостоятельную дедуктивную науку (особенно заметный след в то время оставили пифагорийцы, Гиппократ Хиосский и Архимед).

Третий период в истории этих задач (VII—XVIII вв.) характеризовался тем, что центр интереса к ним переместился из Древней Греции сначала в страны Востока, а затем в. Европейские страны. В это время продолжалось применение и совершенствование методов древних греков при решении задач, которые стали уже называться «знаменитыми». Наряду с этим начался процесс сведения этих задач к алгебраическим уравнениям и применение аналитических средств для представления и вычисления некоторых искомых величин. В этот период число ученых, занимавшихся знаменитыми задачами древности, сильно возросло. Но наиболее существенное влияние на дальнейшее развитие их теории оказали результаты работ Л. Эйлера.

Новый этап (конец XVIII—XIX вв.) ознаменовался энергичным наступлением на трудности, преграждавшие пути к решению знаменитых задач древности, с помощью «оружия», появившегося к этому времени в математике, и покорением четырех из пяти «неприступных крепостей» (деление окружности на равные части, трисекция угла, удвоение куба, квадратура круга). Покорителями этих задач были Гаусс, Ванцель и Линдеман. На подступах-к штурму этих задач-крепостей большую роль сыграли Эйлер, Ламберт, Лежандр, Лиувилль, Г. Кантор и Эрмит.

Но история этих пяти задач не оборвалась на работах покорителей четырех из них.

В последние десятилетия получены многие новые способы точного и приближенного решения их. Советские математики Н. Г. Чеботарев и А. В. Дороднов покорили и пятую задачу, не поддававшуюся зарубежным математикам XIX и начала XX столетия, а Д. Д. Мордухай-Болтовской,.В. Ф. Каган, Н. М. Несторович, А. С. Смогаржевский и другие перенесли знаменитые задачи древности в неевклидовы геометрии и получили важные результаты. Многие советские математики дали новые способы решения этих задач в плоскости Евклида, активно популяризировали эти задачи среди молодежи.

Если в прошлом ведущую роль в разработке теории знаменитых задач древ!ности и их популяризации играли математики Древней Греции, арабоязычных и европейских стран (особенно Франции и Германии), то теперь эта роль бесспорно принадлежит советским математикам.

Указанная здесь периодизация истории знаменитых задач древности положена в основу конструкции данной книги, являющейся обработкой спецкурса «История и современная теория пяти знаменитых задач древности», читавшегося автором студентам мехмата РГУ (будущим учителям).

Данная книга во многом отличается от работ, посвященных истории знаменитых задач древности. В ней рассматривается не только история, но и современная теория и не трех, а пяти знаменитых задач древности.

В книге на основе анализа большого фактического материала рассматриваются и некоторые общие вопросы: о происхождении и стимулах развития теории этих задач, периодизация их истории, их роль в истории математики, в повышении интереса к математике у молодежи и в повышении математической культуры любителей математики. На основании работ арабоязычных математиков, переводы которых появились в последние годы, освещен их вклад в теорию знаменитых задач древности. Здесь впервые показана роль математиков нашей страны в развитии теории и в популяризации знаменитых задач древности.

В книге содержится большое количество задач, связанных со знаменитыми задачами древности, решение которых позволит лучше понять их теорию, а любознательным читателям может помочь стать и на «исхоженные тропы» в математике, а затем испытать и радость открытия нового. Судя по нашему опыту работы со студентами и школьниками, содержание большинства параграфов первых двух глав и некоторых параграфов последних глав доступно и школьникам старших классов. Студенты-математики, владеющие основами математического анализа, теории чисел, высшей алгебры и высшей геометрии, не только могут понять содержание всей книги, но и выйти за ее пределы, как это было со студентами РГУ, участвовавшими в спецсеминаре и писавшими дипломные работы на темы указанного спецкурса.

Отдельные части этой книги могут быть использованы при изучении общего курса истории математики, а также при изучении математики в школах, техникумах и вузах. Более полно может быть использована эта книга на факультативных занятиях в школах, при чтении спецкурса и проведении спецсемина-

ра в пединститутах и университетах на тему «История и современная теория знаменитых задач древности».

Возможно, что данная книга побудит некоторых молодых любителей математики заняться повышением уровня своей математической культуры, а некоторым «квадратурщикам» и «тресикционистам» поможет понять свои заблуждения, приводящие к напрасной трате времени на решение Этих задач циркулем, и линейкой,

В монографии дана затекстовая библиография. Цифры в квадратных скобках, разделенные запятыми, до точки с запятой указывают на источник, после точки с запятой — на его страницу.

Примечания к тексту, задачи, вопросы и рекомендации даны в конце каждой главы.

ПифагорАрхит Тарентский

ЕвклидЕвклидАрхимедАрхимед

Евклид

Евклид

Архимед

Архимед

Глава I

ЗНАМЕНИТЫЕ ЗАДАЧИ В ДРЕВНЕМ МИРЕ

Квадратура круга и луночек

Из числа многообразных математических задач, решавшихся в странах Древнего мира, пять задач привлекали к себе особое внимание. Эти задачи (квадратура круга, трисекция угла, удвоение куба, деление окружности на равные части и квадратура луночек) в разные периоды их многовековой истории существенно меняли форму и содержание и играли разную роль в математике. В этой главе мы рассмотрим только два первых периода их истории: в первом из них все эти задачи выступали как вычислительные,.го втором — как геометрические (конструктивные). В эти периоды наиболее популярной задачей была квадратура круга. Во втором периоде, когда главную роль в развитии теории указанных пяти задач играли древнегреческие ученые, с задачей о квадратуре круга была тесно связана и задача о квадрировании круговых луночек, которая еще не приобрела тогда своей самостоятельности.

О происхождении задачи

Задача о вычислении площади круга так же, как и другие математические задачи в Древнем мире, возникла из практических потребностей.

Но прежде чем возникла эта задача, человек должен был иметь представление, о «круглом» в отличие от «некруглого». Общение с природой и практическая деятельность людей сталкивали их с «круглым»: солнце," полная луна, в отличие от других ее фаз, волны на спокойной поверхности воды от брошенного в нее камня, поперечный разрез ствола дерева, линия, описываемая свободным концом1 натянутой веревки, привязанной

к дереву или колышку, круглый участок земли, окруженный водой, и т. п.

Подражая тому, что видели в природе, ц, убедившись на1 практике в целесообразности придания некоторым предметам, «круглой» формы или формы цилиндра и конуса, основания которых были тоже круглые, люди постепенно стали использовать «круглое» в предметах быта, хозяйственных постройках и орнаментах. Археологи установили, что еще в далекие от нас времена некоторые жилые помещения (шалаши, юрты и др.)1, водохранилища и зернохранилища, коляски, посуда, украшения имели своими элементами и «круглое»: полы жилищ, колонны,, купола, колеса2, днища, отверстия, круги и части кругов в орнаментах. По мере усложнения практической, деятельности и культурного развития людей появились необходимость и возможность приближенного вычисления площади «круглого»: участков земли, объемов водохранилищ и зернохранилищ цилиндрической формы, площади поперечного разреза дерева, а также вычисления длины линии, окружающей ствол дерева (толщину), длины обода колеса, толщины «круглых» колонн и длины линии, окружающей «круглое» поле, дно или отверстие.

Так, вероятно, из практических потребностей и возникла за-, дача о вычислении площади «круглого» и длины линии, окружающей это «круглое», а затем появились и абстрактные понятия «круг» и «окружность».

Как решали люди эти задачи в те далекие от нас времена, когда не быДо еще никакой письменности, трудно сказать. Здесь можно только высказать предположения. Толщину дерева и длину обода колеса (окружность) они могли, например, определить длиной шнурка, плотно охватывающего их. Площадь круга они, вероятно, вычисляли весьма приближенно, сводя ее каким-либо образом к вычислению площадей прямолинейных фигур. Для практики того времени такая точность могла быть вполне достаточной.

О способах решения этих задач мы узнали лишь после появления письменности. Наиболее древние из известных нам письменных памятников, в которых рассматриваются и эти задачи, относятся ко времени 1600—2000 гг. до н. э., т. е. эти документы появились на свет около 4 тысяч лет тому назад.

Рецепты древних египтян и вавилонян

В третьем тысячелетии до н. э. берега Нила и долину между Тигром и Евфратом населяли народы уже с достаточно высокой культурой. Под влиянием запросов усложнившейся хозяйствен-

«ой деятельности людей в период формирования рабовладельческого общества усилились темпы развития примитивной техники и накопления научных знаний, относящихся к области астрономии, механики и математики. Огромную -роль в накоплении научных знаний и в развитии общей культуры в Египте и Вавилоне в то время стала играть письменность, изобретенная еще в 4-м тысячелетии до н. э. Математическая культура древних египтян и вавилонян достигла наивысшей степени своего развития, по-видимому, в период с 21 по 16 в. до н. э. Сохранившиеся папирусы3 и глиняные дощечки4, на которых излагаются математические задачи и рецепты их решения, относятся в основном к указанному периоду; среди различных математических задач там встречаются и задачи на вычисление площади круга и длины окружности. ^

Математические знания древних египтян и вавилонян были ■рецептурными, бесформульными и безымянными5, тесно связанными с практикой.

Наиболее известным древнеегипетским папирусом с математическим содержанием является папирус Ахмеса (по имени переписчика) , или иначе «лондонский», так как он хранится в Лондонском музее. Ахмес переписал его около 1700 г. до н. э. с более древнего папируса. Этот папирус был найден в 1858 г., расшифрован и опубликован Эйзенлором в 1877 г. [117]. В ряде задач этого папируса требуется находить площади фигур и объемы тел. Так, в одной из задач требуется «найти площадь круглого поля, диаметр которого равен 9». Рецепт нахождения площади этого поля такой же, как и рецепт нахождения площади основания круглого цилиндра в задаче под № 41. В этой задаче дается «наставление, как вычислить круглый хлебный амбар в 9 и 10 локтей6, т. е. вычислить объем цилиндра, диаметр которого 9, а высота 10 локтей. Рецепт для вычисления круга такой: «От 9 отними 1/9, т .е. 1, в остатке будет 8. Умножь 8 на 8,-это даст 64». Затем, умножив это число на 10, они находили и объем «круглого амбара».

Если использовать наши формулы, то рецепт древних египтян для вычисления площади круга можно облечь в такую формулу

с ( 8 л УS«p= — d ,k 9 /

где d — диаметр данного круга, a S«p — искомая площадь круга...Этот рецепт можно истолковать так: если на 8/9 диаметра круга построить квадрат, то он будет равновеликим данному кругу (рис. 1). В действительности же площадь такого квадра-

та будет только приближенно равна площади данного круга. Мы можем теперь легко установить и степень точности этого рецепта. По рецепту древних египтян

/ в V256

1“ dl = лВ2, откуда л= — = 3,16,

в то время как действительное значение л= р^ j.

= 3,14159... Следовательно, ошибка, которую

они допускали при вычислении площади круга, мала, и для' их практических целей была неощутима. Но они, по-видимому, считали, что нашли способ точного вычисления площади круга7.

В другом древнеегипетском папирусе (Акмоминском) рассматривается круг, окружность которого есть среднее арифметическое двух окружностей с радиусами 5 и 10, и утверждается, что площадь этого круга будет среднее арифметическое кругов с радиусами 5 и 10.

Длину окружности Древние египтяне вычисляли по рецепту, укладывающемуся в формулу

/ 8 V

С= — 4d,\ 9 У

откуда следует, что л=3,16.

В вавилонских клинописных текстах, относящихся примерно к 1700—2000 гт. до н. э., встречаются тоже задачи, связанные с кругом и окружностью.

Словесные рецепты древних вавилонян для вычисления площади круга можно выразить современной формулой

где С — длина окружности. Чтобы прийти к такому рецепту, нужно было считать, что *

и что — =л=3 или г= — ; 2г6С2С= —. Следовательно, вавилоняне пола-и что — =л=3 или г= — ; 2г6С2С= —. Следовательно, вавилоняне пола-Sup = — Сг 2

и что — =л=3 или г= — ; 2г6

С2

С= —. Следовательно, вавилоняне пола-

и что — =л=3 или г= — ; 2г6

С2

С= —. Следовательно, вавилоняне пола-

с

тогда Skp= 2 6

гали, что л=3. Этот результат, как видно, менее точен, чем у египтян. Но многие ученые полагают, что вавилоняне имели более точное значение для л и некоторое представление о связи длины окружности с площ 1дыо круга [75].

В одном из.клинописных текстов, принадлежащих Британскому музею, который содержит 35 задач, относящихся к строительной технике и военному делу, две задачи связаны с элементами круга. В одной из них дается длина окружности и стрелка CD, требуется найти длину хорды АВ = а (рис. 2). Эта задача читается так: «60 — окружность, 2 — это то, на что я опустился (стрелка CD). Что есть линия раздела (хорда АВ)?»„ Дальше в тексте дан словесный рецепт нахождения хорды а, эквивалентный нашей, формуле a=Vd2—(d—2S)2=12, где d — диаметр круга, CD = S — стрелка. Во второй задаче даются окружность й хорда, требуется найти стрелку. Решение древних . вавилонян, данное в виде словесного рецепта, укладывается в нашу формулу

S= ^-(d—Yd2—a2).

В обоих задачах при длине окружности С=60 диаметр d принимается равным 20.

В дальнейшем многие народы при вычислении площади круга и длины окружности пользовались рецептами египтян и вавилонян.

О круговых луночках в древневавилонских текстах нам известно только то, что сообщает Нейгебауэр в своей книге [75; 189]. В тексте, который рассматривает Нейгебауэр, вычисляются площади симметричных фигур, на которые разбит квадрат (рис. 3). Эти фигуры встречались у вавилонян в орнаментах.

«г«г

«г

«г

В поврежденном тексте сохранилась только формулировка задачи. Нейгебауэр предложил свою реконструкцию вычисления искомой площади F, ограниченной дугами трех окружностей одинаковых радиусов, через площадь круга F« и площадь вписанного правильного шестиугольника Fg. Обозначив площадь выпукло-вогнутой луночки8 Xi, а двояко-выпуклой — Х2, он получает

121

” [Fx-f-Fg];Х2 = " F«— Fg;

.4252

F—3F*—2X2=Fk+2Xi=3F«— — F«+ —F6=—F«+ —F6- 3-333

Нейгебауэр считает, что у древних вавилонян «были все предпосылки для решения этих задач», и что «3 не было единственным известным вавилонянам приближенным значением для л», что видно и из рассмотренного здесь примера, так как при л=3 не получается точного значения площади круга.

•. Следовательно, и с «луночками» люди Древнего мира встречались на практике задолго до того, как древние греки пытались в V в. до н. э. найти с их помощью квадратуру круга. Но рецепты вычисления площадей луночек древними вавилонянами нам неизвестны. Если они и вычисляли площадь луночек, то, вероятно, приближенно, заменяя их площадями прямолинейных фигур. Формулы же Нейгебауэра для вычисления Xj и Х2 справедливы только Для рассматриваемого случая и предполагают умение находить площади круга и шестиугольника9.

Первые попытки квадратуры круга -в Древней Греции

Следы дальнейших попыток решения задачи о вычислении площади круга и длины окружности мы находим в Древней Греции. Здесь эта задача приобрела уже и теоретический характер и классическую геометрическую формулировку, а также были разработаны многие методы точного и приближенного ее решения. В отличие от безымянной и-рецептурной математики Древнего Востока, в древнегреческой математике уже в VI и V в. до н. э. появляется доказательство, а в истории математики сохранились многие имена древнегреческих ученых, занимавшихся решением и задачи о квадратуре круга.

Многочисленные попытки древнегреческих ученых V—III вв. ■до н. э. были направлены на поиски точных решений этой задачи.

Первыми учеными в Древней Греции, создавшими свои школы, занимавшиеся и математикой, были Фалес (конец VII — начало VI в. до н. э.) и Пифагор (VI в. до н. э^. Оба дни путешествовали по Египту и Вавилонии, знакомились с наукой этих стран.

Возможно, что там они знакомились и с рецептами древних египтян и вавилонян для вычисления площади круга. Различие рецептов египтян и вавилонян при решении одной и той же задачи могло заставить греков попытаться доказать, какой из этих способов вернее или оба неверны.

В школе Пифагора уделялось много внимания вопросам геометрических построений: решались циркулем и линейкой задачи на сложение и вычитание, умножение и деление отрезков, на построение среднеарифметических и среднегеометрических, на построение правильных фигур и на превращение одних прямолинейных фигур в другие10.

Некоторые последователи Фалеса и Пифагора пытались построить прямолинейную фигуру, равновеликую кругу. Об этом мы узнаем из трудов древнегреческих историков‘и из сохранившихся отрывков трудов отдельных математиков той эпохи. Так, например, древнегреческий историк Плутарх утверждал,, что Анаксагор из Клазомен (500—428 гг. до н. э.), последователь Фалеса, сидя в тюрьме за безбожие, занимался разными вопросами математики и в том числе «начертал квадратуру круга». Анаксагор, по свидетельству древнегреческих писателей, был «сведущим ученым». О глубоком понимании им некоторых идей математики можно судить и по его утверждению о том, что «среди малых величин не существует наименьшей, но уменьшение идет непрерывно; ибо существующее не может перестать существовать». Из этого видно, что Анаксагор действительно мог попытаться построить прямолинейную фигуру, равновеликую данному кругу. Но как он это делал, науке нейзвестно: его труды не сохранились, и нет никаких подробностей об этом у древних писателей.

О попытках Антифона, Бризона и Гинпократа решить эту задачу имеются более полные сведения. В «Истории геометрии» Евдема (IV в. до н. э.) содержались многие сведения о результатах работы его предшественников и современников. Из нее стало известно кое-что и о результатах первых попыток решения задачи о вычислении площади круга древнегреческими учеными. В частности Евдем писал, что «среди многих лиц, которые искали квадратуру круга, были Антифон и Гиппократ». Аристотель и его комментаторы указывали также, что квадратурой круга во второй половине V в. до н. э. занимался также и Бризон.

Антифон (V в .до н. э.) был в основном последователем древнегреческого материалиста Демокрита, сыгравшего заметную-

роль и в истории математики.

В «Истории геометрии» Евдем так описывал попытку Антифона сквадрировать круг: «Начертив круг, он вписал в него такой правильный многоугольник, который мы умеем вписать. Пусть это будет квадрат. Потом он разделил каждую сторону квадра

та пополам и через точки деления провел прямые, перпендикулярные к сторонам до пересечения с окружностью. Очевидно,, они делят сегменты круга на две равные части (рис. 4). Затем*

он соединил полученные точки с концами

сторон квадрата так, что получились четыре треугольника, и вся образовавшаяся фигура ’ стала правильным восьмиугольником...».

Продолжая дальше этот процесс, Антифон получил 16-угольник, 32-угольник и т. д. «Поступает он так, — продолжает Евдем, — пока не исчерпает весь круг.

И Антифон заключает, что таким обра- Рис- 4- зом будет вписан многоугольник, периметр которого можно рассматривать как длину окружности»11. Следовательно, Антифон считает, что можно получить многоугольник, равновеликий кругу. А так как в то время было известно, что любой многоугольник можно преобразовать в равновеликий квадрат, то вполне возможно, что Антифон думал, что ему удалось найти квадратуру круга с помощью циркуля и линейки.

Пифагориец Бризон (V в. до н. э.) при решении задачи о ’квадратуре круга не только вписывал в

круг, но и описывал около него соответствующие правильные многоугольники (рис. 5). Справедливо считая, что площадь круга больше площади вписанного и меньше площади описанного n-угольника12, он, однако, ошибочно утверждал, что площадь круга 8кр есть среднее арифметическое площади вписанного n-угольника (8п) и описанного n-угольника (8'п), т. е. ’

, Sn + S'nЬкр— 2-

Геометрическая формулировка задачи

Первые попытки решения задачи о квадратуре круга в Древней Греции хотя и отличались от рецептов египтян и вавилонян, но они были основаны тоже на «предположениях» и «допущениях». Антифон и Бризов, предложив свои способы квадратуры круга, не дали доказательства справедливости своих утверждений, а в дальнейшем они подверглись критике. Но многие ученые Древней Греции уже в V в. до н. э. приходили к убеждению о необходимости доказательства в математике13. В результате доказательного решения простейших геометрических задач на построение начала создаваться уже теория геометрических построений. Математическое мышление в этот период поднимается на новую ступень абстрактности. В связи с этим и задача о вычислении площади круга в V и IV вв. до н. э. приобрела уже черты теоретической задачи и как конструктивная задача стала популярной среди некоторых слоев населения Греции. В то время она получила вполне определенную формулировку: построить прямолинейную фигуру, площадь которой была бы равна площади данного круга, или построить отрезок прямой линии, равный длине данной окружности.

Следовательно, задача о квадратуре круга становится с этого времени задачей чисго геометрической, конструктивной. Теперь эта задача решается независимо от конкретных практических задач, но решения ее, естественно, кроме теоретического интереса, имели большое значение и для практики.

В этот период задачи «о квадратуре круга» и «о спрямлении окружности» выступают обычно еще как две различные задачи, хотя некоторые ученые начинают осознавать их тесную взаимосвязь и единство. .

С нашей символикой первая из этих задач формулируется как задача на построение стороны квадрата х=КУл, а вторая — построить отрезок прямой х=2лВ. Откуда видно, что при R=1 обе эти задачи, по существу, сводятся к построению отрезка, равного л, зная, который легко построить и отрезок Тл как среднее геометрическое между 1 и л. В Древней Греции общность этих задач выявлялась в другом направлении. Архимеду удалось доказать, что площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен радиусу этого круга, а другой — длине его. окружности. Возможно, что эту теорему знали еще и до Архимеда. В этот же период в истории квадратуры круга произошло еще одно важное событие: в школе Платона (начало IV в. до н. э.) дали «обоснование» необходимости решения всех геометрических задач, в том числе .и за-

дачи о квадратуре .круга, только циркулем и линейкой14. К указанным формулировкам задач стали добавлять «циркулем и линейкой». Задача о квадратуре круга формулировалась теперь так: построить циркулем .и линейкой квадрат, равновеликий данному кругу. Эта формулировка в дальнейшем считалась классической; она -была доступна для понимания сравнительно широкого круга людей. Однако многочисленные попытки решения этих задач циркулем и линейкой в V—IV вв. до н. э. наталкивались на непреодолимые трудности.

Простота формулировок этих задач, с одной стороны, и трудности, с которыми встретились при решении их, с другой,—возбуждали интерес к ним у многих ученых и дилетантов. Задача о квадратуре круга в конце V и в IV в. до н. э. стала популярной в Древней Греции15. Некоторые древнегреческие ученые, игнорируя требование «решать эту задачу только циркулем и. линейкой», искали новые средства. решения ее. Поиски новых кривых и механизмов для решения этой задачи нередко приводили к обогащению математики. Отдельным ученым того времени удалось получить важные результаты и при попытках квадри- рования криволинейных фигур циркулем и линейкой."

Гиппократовы луночки

Вторая половина V в. до н. э. в истории квадратуры круга занимает особое место: к этому времени относятся попытки Антифона и Бризона, Гиппий получает кривую, которую в IV в. использовали для спрямления окружности, многие ученые пытались осуществить квадратуру круга «по частям», т. е. через квадратуру сегментов, секторов, луночек и полукругов.

По свидетельству древних писателей в число этих .ученых входил и Гиппократ Хиосский. Он, по-видимому, принадлежал одно время к пифагорийской секте, но затем отошел от нее. По свидетельству Аристотеля Гиппократ из Хиоса был плохим купцом, но «весьма искусным геометром». Считают, что Гиппократ впервые попытался создать систематическое произведение по геометрии. Это сочинение Гиппократа не дошло до нас, но им, возможно,- пользовался Евклид при составлении своих «Начал». Гиппократ получил важные результаты и при решении задачи об удвоении куба (см. 41 стр.). Ученик Аристотеля Евдем (IV в. До н. э.) в своей «Истории геометрии» называл Гиппократа .Хиосского в числе занимавшихся квадратурой круга и утверждал, что он впервые доказал теоремы:

Площади кругов (подобных сегментов) относятся, как пло-

2 С. Е. Белозеров17

щади квадратов, построенных на их диаметрах (стягивающих хордах).

Вписанный в полукруг угол — прямой, в сегмент, больший полукруга, — острый, а в сегмент, меньший полукруга, — тупой.

Нам не известно; как он доказал эти теоремы16, так как труды его не сохранились, но Евдем и комментатор Аристотеля Симпликий (VI в. н. э.) свидетельствуют, что Гиппократ пользовался этими теоремами при квадрировании круговых луночек. Евдем и Симпликий утверждают, что Гиппократ Хиосский нашел три случая квадрируемых круговых луночек и рассмотрел квадратуру круга вместе с некоторыми луночками. Симпликий со ссылкой на «историю геометрии» Евдема писал: «Квадриро- вание луночек, которые из своего родства с кругом ранее считали замечательными фигурами, было впервые описано Гиппократом, и его изложение было найдено вполне правильным... Сначала он рассмотрел луночку, внешний обвод -которой составляет полуокружность..; после этого он начал разбирать случай, когда внешний обвод был больше полукруга... затем рассмотрел сегмент меньше полукруга...»17. Найденные Гиппократом Хиосским три случая квадратуры луночек при весьма ограниченных возможностях того времени свидетельствуют об исключительной глубине проникновения автора в сущность проблемы и об оригинальности его математического мышления.

- Первый случай квадрируемых луночек ■— это круговые луночки, у которых «внешний обвод полукруг АВС», а «внутренний обвод» — четверть круга АуС (рис. 6). Эти луночки и в наше время называются Гиппократовыми, Симпликий так излагает ход рассуждений Гиппократа в этом случае: «Он описал полу-

круг около прямоугольного равнобедренного треугольника и построил на основании-круговой сегмент, подобный сегментам, ' отсеченным сторонами прямого угла, и равный их сумме».

И дальше Симпликий утверждает: «Если теперь прибавить к тому и другому ту часть треугольника, которая находится над построенным на основании сегментом, то эта луночка АаВ^Су будет равна треугольнику (АВС). Таким образом, он легко квадрировал луночку, приняв, что ее внешний обвод—полуокружность». Так действительно мог сквадрировать эту луночку Гиппократ Хиосский. Но он мог рассуждать и несколько иначе, заметив, что площадь полукруга АВС равна площади сектора АОгСуА, а сегмент III у них общий, он мог показать, что площадь указанной луночки равна площади треугольника АОгС18.

В работах же по истории математики чаще всего излагают этот случай так [13, 58, 80, ...]: возьмем полукруг AaBi^C и впишем в него равносторонний треугольник АВС, затем на его катетах как на диаметрах, построим полукруги АаВ и ВЬС. На основании приведенной теоремы (1), площадь полукруга на гипотенузе АС равна сумме площадей полукругов на катетах АВ и ВС, а отношение площади первоначального полукруга к площади одного из полукругов (АаВ) равно 2 : 1. Отняв от равных равные (общие сегменты I и II), получим, что площадь треугольника АВС равна сумме площадей двух луночек АаВаА и ВЬСрВ или площадь одной из них-равна площади прямоугольного треугольника с вершиной в Оь Это тоже правильный способ квад- рирования луночек, «внешний обвод» которых есть полуокруж- л тт

ность, а «внутренние обводы» опираются на угол -у . Но в этом случае полуокружность, описанная вокруг равнобедренного прямоугольного треугольника, не является «внешним обводом»19. Затем Гиппократ Хиосский, как видно из предыдущего, искал квадрируемые луночки при условии, что «внешний обвод» больше полуокружности. По-видимому, в результате ряда попыток и некоторых теоретических соображений ему удалось обнаружить такую, луночку с внешним обводом больше полуокружности, для которой он построил равновеликую прямолинейную фигуру циркулем и линейкой. Этот случай квадрирования луночки и известен в литературе как второй случай Гиппократа.

Разные авторы по-разному излагают ход мыслей Гиппократа при квадрировании луночки в этом случае. Ван дер Варден [19], например, приводит соответствующую выдержку из Сим- пликия, позаимствованную последним из истории геометрии . Евдема. В ней говорится, что после разбора первого случая Гиппократ «начал разбирать случай, когда внешний обвод (ДАВС)

был больше полукруга. Он построил трапецию, три стороны которой были равны друг другу, но квадрат четвёртой, большей из двух параллельных сторон, был в три раза больше квадрата жаждой из остальных. Около этой трапеции он описал круг, а на большей ее стороне — сегмент, подобный круговым сегментам, отсеченным тремя другими сторонами».

Евдем не дает полного изложения этого случая. Но, очевидно, Гиппократ доказал, что площадь полученной таким образом луночки DAaBCpD равна площади трапеции DABC (рис. 7).

Доказательство это он мог провести и так: Snp cd : Sac ва = =DC2 : АВ2=3 : 1. Следовательно, площадь сегмента DCBD, хорда которого DC=73, равна сумме площадей трех сегментов, хорда каждого из которых равна единице. Если тецерь от площади сегмента DABC отнять площади указанных трех сегментов, то останется трапеция DABC, если от того же сегмента DABC отнять сегмент на DC, то останется луночка DpCaAD, которая будет равна трапеции DABC. Тем' самым циркулем и линейкой построена прямолинейная фигура (трапеция), равновеликая луночке. Именно так излагают этот случай Ван дер Варден [19] и Цейтен [93].

Некоторые авторы [14, 21 и др.] несколько иначе излагают этот случай квадрирования луночки. Они считают, что Гиппо- крат описал полукруг около трапеции,-стороны которой DC=73, 20

DA=AB = BC=1, потом на сторонах DA, АВ, ВС построил cei- менты, подобные сегменту DABC, и показал, что площадь сегмента DABC равна сумме площадей сегментов на DA, АВ, ВС. Если затем от равных отнять равные (площади сегментов, ограниченные DA, АВ, ВС и дугами основного круга), то от сегмента на DC останется трапеция DABC, которая будет равновеликой сумме трех луночек I, II, III. Чтобы сквадрировать одну из этих луночек, нужно разделить на три равные части площадь трапеции, а это возможно циркулем и линейкой20.

После этого, как утверждают писатели древности, Гиппократ «рассмотрел сегмент меньше полукруга» (рис. 8). Он нашел

Рис. 8. '

при этом луночку, для которой ему удалось построить равновеликую прямолинейную фигуру циркулем и линейкой. Этот случай обычно и называют третьим случаем квадратуры луночек. В историко-математической литературе ход рассуждений Гиппократа в этом случае тоже передается по-разному. Ващенко- Захарченко в «Истории математики» [21] этот случай излагает так. '

Гиппократ строит трапецию ЕКВН (см. р^. 8), в которой ЕК=КВ=ВН. 2Н:КВ=УЗ:У2. Затем он описывает около трапеции круг, доказывает, что сегмент ЕКВН меньше полукруга, описывает круг около треугольника EZH и показывает, что сумма двух сегментов на EZ и HZ равна сумме трех сегментов на ЕК, КВ, ВН. Доказав это, Гиппократ берет луночку EKBHZE и, отняв от нее сегменты на ЕК, КВ, ВН и добавив равные им- сегменты на EZ и HZ, показывает, что площадь луночки EKBHZE равна площади пятиугольника EKBHZE.

Более полное, близкое к изложению Евдема этого случая квадрирования круговой луночки дано у Цейтена [93; 60], Ван

дер Вардена [19; 187] и в комментариях И. Н. Веселовского к Сочинениям Архимеда [5; 535]. В частности, Цейтен приводит при этом «дословно отрывок из сообщения Евдема... с добавлениями Таннери»:

«Пусть дан круг, имеющий диаметром прямую АВ (=2г), а центром точку К. Проведем прямую ГД, перпендикулярную к середине прямой ВК, и между этим перпендикуляром и окружностью—прямую EZ, направленную к В и равную в степени полуторакратному радиусу^ =r ]/*~lJ. Проведем прямую ЕН параллельно прямой АВ. Соединим К с Е и Z. Пусть Н будет точкой пересечения прямой ЕН и продолжения прямой KZ. Соединим, наконец, В с Z и Н. Ясно, что одна из этих двух последних прямых будет продолжением прямой ЕН, упирающейся в В, и что другая — прямая ВН — будет равна прямой ЕК. Если допустить все это, то вокруг трапеции ЕКВН можно описать окружность. Построим теперь сегмент EZH. Тогда каждый из двух -сегментов на прямых EZ и ZH будет подобен каждому из трех сегментов на прямых ЕК, КВ и ВН. Если принять это, то получившаяся луночка будет равновелика прямолинейной фигуре, составленной из трех треугольников, т. е. пятиугольнику EKBZH...»21.

Судя по другим отрывкам из Евдема, приведенным в «Комментариях» И. Н. Веселовского [5; 537], Гиппократ доказал, что угол НКЕ тупой, или что сегмент ЕКВН меньше полукруга, также доказал справедливость высказанных выше «допущений»: «если допустить...», «если принять...» и др. Но и в этом случае остается неясным вопрос: как Гиппократ построил «вставку» EZB, удовлетворяющую указанным* условиям? Рассмотрев три случая квадрирования круговых луночек циркулем и линейкой, Евдем говорит далее: «Таким образом, Гиппократ нашел квадратуру для всякой луночки, будет ли ее внешняя дуга равна, больше пли меньше полуокружности». Симпликий, приводя эти «выдержки из «Истории геометрии» Евдема, широко использует ^Начала» Евклида для доказательства некоторых утверждений Евдема, оставленных без доказательства, и указывает на то, что комментатор Аристотеля Александр (III в. н.. э.) был не прав, утверждая, что Гиппократ нашел только квадратуру луночки, построенной на стороне квадрата fl-й случай)23.

Некоторые ученые думали, что, найдя квадратуру луночек с внешней дугой, равной, большей и меньшей полуокружности, Гиппократ будто бы считал, что он может сквадрировать любую луночку, а следовательно, и круг. Ему приписывали, в частности, такое «доказательство» квадратуры круга циркулем и линейкой. Возьмем полукруг ABCD с радиусом R и впишем в него

трапецию со сторонами АВ = ВС = CD=R (рис. 9) на этих сторонах -как на диаметрах, опишем полукруги. Площадь полукруга с диаметром AD=2R равна сумме четырех полукругов, построенных на сторонах, равных R ( (2R)2: R2=4 : 1). Очевидно, что площадь полукруга с центром 01 и трех луночек равна площади трапеции ABCD. Если бы Гиппократ Хиосский считал,

что* луночки, построенные на сторонах вписанного в круг правильного шестиугольника, квадрируемы, то тогда он действительно мог бы думать, что площадь полукруга на АО равна площади трапеции без суммы площадей трех указанных луночек, представленных в виде прямолинейной фигуры. Но Симпли- кий считал, что Гиппократ так не думал. Многие^современные авторы не без основания считают, что вряд ли Гиппократ Хиосский мог допустить такую ошибку. Насколько нам известно, нет никаких свидетельств того, что Гиппократ, найдя три квадрируе

мые луночки, сделал заключение, что «все луночки квадрируемые». Если бы Гиппократ действительно так думал, то он непременно бы показал, подобно рассмотренным трем случаям, как можно сквадрировать и луночку, построенную на стороне правильного шестиугольника. И он, по-видимому, пытался это сделать, но убедился в том, что эта задача «невозможная». Возможно, он решил убедиться в том, что рассмотренный им случай квадратуры круга с луночками не единственный. И его поиски привели к открытию еще одного аналогичного случая, представляющего интерес и указывающего на то,-что Гиппократ, очевидно, не считал, что все луночки квадрируемы и что ему удалось найти квадратуру круга циркулем и линейкой. Вот что писал Евдем об этом случае квадратуры Гиппократа: «Луночку вместе с кругом он оквадрировал следующим образом: пусть около центра К описаны два круга, причем квадрат диаметра внешнего в шесть раз больше квадрата диаметра внутреннего круга (рис. 10), Пусть во внутренний круг вписан шестиугольник ABCDEF и линии КА, КВ и КС продолжены из центра до пересечения с внешним кругом в точках А', В\ С'. Пусть на прямой А' С' будет описан сегмент, подобный тому, который отсекается А' В'. Вследствие того, что в квадратах прямая А' С' в три раза больше стороны А' В' шестиугольника, последняя в шесть раз больше АВ. Ясно, что построенный-на АС сегмент ра-

6'вей вместе взятым сегментам, отсечен

ным от внешнего круга прямыми X?W и В'С' и всем (вместе'взятым) сегментам, отсеченным от внутреннего1 круга сторонами шестиугольника. Поэтому луночка А'В'С'Р'А' будет меньше треугольника KWC как раз на (взятые вместе) сегменты, отрезанные от внутреннего круга сторонами шестиугольника.

Следовательно, луночка вместе с

рис юотрезанными шестиугольником сег

ментами равна треугольнику. И если к каждой из этих фигур прибавить шестиугольник, то выходит, что треугольник и шестиугольник вместе будут равны луночке с внутренним кругом. Так как упомянутые прямолинейные фигуры могут быть квадрированы, то можно также квадрировать круг вместе с луночкой» [19; 188]. Так Гиппократ Хиосский впервые -в истории нашей науки показал возможность квадратуры криволинейных фигур циркулем и линейкой. Это был важный шаг в развитии математики24. Гиппократ при этом, как видно, считал, что луночка будет квадрируемой, если циркулем и линейкой можно описать «внешний обвод» около некоторой прямолинейной фигуры, а «внутренний обвод» провести так, чтобы образовались подобные сегменты, квадраты хорд которых относились бы как 2 : 1, 3 : 1 и 3 : 2.

В дальнейшем, считая, что у квадрируемых луночек сектора дуг, ограничивающих луночки, должны быть равны, т. е. 8сектАа1ВО1 = 5сектАР1ВО2 (рис. 11), математики установили, R2 sin2a a что в этом случае справедливы равенства — = ^2р~"~

т0 тп

гДе Виг — радиусы дуг окружностей, а и р соизмеримые центральные углы этих дуг; 0 — общая наибольшая мера. С этой точки зрения можно сказать, что Гиппократ Хиосский положил начало теории квадратуры круговых замкнутых луночек, получив три вида квадрируемых луночек циркулем и линейкой, для которых m : и=2 : 1,3: 1 и 3 : 2.

Квадратура круга с помощью квадратрисы

Убедившись, что некоторые задачи, в том числе и квадрату- а круга, не поддаются решению циркулем и линейкой, древние греки, начиная с V в. до н. э., начали искать другие средства ре-

шения этих задач. Если при пересечении окружности и прямых не удавалось получить точки, расстояние между которыми давали бы искомые отрезки прямой, то казалось естественным привлечь к решению этих задач другие кривые, пересечения которых с прямыми и окружностями позволят получать (строить) и такие отрезки, которые трудно, а может быть, и невозможно построить только циркулем и линейкой. А то, что кроме окружности и прямой существуют и

другие кривые линии, в этом

они убедились еще в V в. до н. э., получив кривую с помощью специального механизма. В IV в. до н. э. число кривых и способы их получения расширились. Древние греки стали уже делить кривые на два класса: 1) «геометрические» кривые, получающиеся от пересечения некоторых поверхностей с плоскостями; 2) «механические» кривые, образуемые движением (с помощью механизмов). К числу первых из них относятся и конические сечения; попытки использовать «геометрические» кривые при решении квадратуры круга' тоже не приводили к цели. «Механические» кривые, хотя и были «под запретом» в школе Платона, все же использовались некоторыми учеными. Особенно успешно использовались квадратриса и спираль: с их помощью уда

лось спрямить окружность, а следовательно, и оквадрировать круг. Древнегреческий математик Папп (III в. н. э.) в своем сочинении «Математическое собрание» писал: «Для осуществления квадратуры круга Динострат (IV в. до н. э.), Никомед и другие более поздние математики пользуются некоторой кривой, которая в силу этого называется квадратрисой...» [5; 539], Дальше Папп описывает, как Гиппий получал эту кривую и как она была использована Диностратом для спрямления окруж

ности.

Квадратриса AFkM (рис. 12) — это геометрическое место точек (Fk) пересечения прямых AkBk с радиусами СЕк. Точки Fk можно представлять как точки пересечения равномерно движущейся стороны квадрата АВ и равномерно вращающейся стороны квадрата СА вокруг точки С; при этом АВ и СА приходят в положение CD одновременно25.

Рис. 12.

Для спрямления четверти окружности AErD (а следовательно, и всей окружности) достаточно указанной части квадратри- сы. Папп утверждал, что Динострат при этом пользовался основ

ным свойством этой кривой: AErD : CD : CM.(1)

Доказательство правильности равенства (1) ведется методом от противного, которым в то время широко пользовались. Проведем две концентрические окружности с AErD: одна из них проходит через точку Fr, лежащую' на квадратрисе, вторая — через точку I — основание перпендикуляра из точки Fr на CD.

Допустим сначала, что AErD : CD=CD : СК,(2)

где СК>СМ.

На основании того, что окружности относятся, как их ра

диусы, имеем AErD : LFr=CD : СК."(3)

Из (2) и (3) следует, что LFrK=CD = CA.(4)

Кроме того, по определению квадратрисы, AErD : ErD = = CA:FrI(5)

и AErD : ErD=LFrK: FrK..(6)

На основании (4) AErD : ErD=CA : FrK.(7)

Тогда Из (5) и (7) следует, что FrI=FrK, но это, очевидно, невозможно. Значит допущение, что AErD : CD=CD : СК не- - верно. Допустим теперь, что AE«D : CD=CD : CI,(8)

где С IZ.CM. Рассуждая аналогично предыдущему, Динострат и в этом случае пришел к противоречию, и, следовательно, предположение (8) тоже неверно. Из этого он сделал вывод: справедливо только равенство (1) и что длина четверти окружности

CD2

AEkD= — , а длина всей окружности см

У CD2

4AEkD=4 — .(9)

CD2

В правой части (9) CD и СМ — прямые линии; 4 тоже может быть выражено в виде отрезка прямой. Следовательно, с помощью квадратрисы может быть найден отрезок прямой, равный длине окружности.

Так впервые в истории математики было дано точное решение задачи о спрямлении окружности. Если верно предположение некоторых историков математики, что Динострат знал и теорему: площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен радиусу этого круга, а второй— длине его окружности, то тем самым Динострат не только спрямил окружность, но и мог точно оквадрировать круг.

С помощью квадратрисы решали задачу о квадратуре круга и другие древнегреческие математики.

Круг и окружность в «Началах» Евклида

В истории квадратуры круга большую роль сыграли и «Начала» Евклида (конец IV — начало III в. до н. э.). Это бессмертное произведение Евклида подвело итоги предшествующим открытиям в математике. В нем дано систематическое и строго ло-' гическое изложение геометрии и теоретической арифметики. Евклид дает здесь и многие из тех теорем, которыми пользовались раньше при квадратуре круга и луночек, о доказательстве которых мы узнаем только из «Начал» Евклида. Многие вопросы теории геометрических построений впервые систематизированы и изложены только в «Началах». Построения основаны у Евклида на постулатах, определяющих правила действий с идеальной линейкой и с идеальным циркулем; .

Правда, стремясь построить геометрию как «идеальную» науку, не связанную с решением задач практического характера, Евклид не ставит и не решает задачу о нахождении площади круга и о вычислении длины окружности, но в книгах I, III, IV, XII и других содержатся многие теоремы и определения, которые разъясняют и уточняют ряд неясных мест в работах пред-

шественников Евклида, связанных с квадратурой круга и луночек и со спрямлением окружности. Здесь даются, в частности, определения круга, окружности и частей круга, определяются подобные сегменты, указывается, как построить описанные и вписанные в круг правильные многоугольники, доказываются теоремы, на которые опирался Гиппократ Хиосский при квадри- рований луночек и др. Евклид при построении геометрии пользуется только циркулем и линейкой, т. е. выполняет требование Платона, к школе которого он принадлежал. Это, конечно, сужает его возможности постановки и решения конструктивных задач. Евклид, наверное, был знаком с постановкой и попытками решения пяти знаменитых в то время задач. В общем виде эти задачи Евклид не рассматривает, возможно, потому, что они не решались циркулем и линейкой, но некоторые частные случаи этих задач, которые решаются циркулем и линейкой, он, как будет видно из дальнейшего, рассматривает. После появления «Начал» Евклида ученые древности (Симпликий и др.), а также ученые средних веков и нового времени часто ссылались на определения и теоремы «Начал» при решении квадратуры круга, квадрирования луночек26 и других знаменитых задач древности.

Гюйгенс (XVII в.) при решении задачи о квадратуре круга широко использовал свойства подобных сегментов, рассмотренные в «Началах». В частности, «Начала» Евклида и труды Архимеда, которыми широко пользовались в древности, в средние века и в новое время, сыграли заметную роль и в популяризации многих конструктивных задач, связанных с пятью знаменитыми задачами.

Спрямление окружностис помощью спирали Архимеда

В III в. до н. э. древнегреческие ученые продолжали интересоваться квадратурой круга и спрямлением окружности. Особо выдающиеся результаты в этой области были получены одним из самых гениальных ученых древности Архимедом.

О результатах Архимеда, содержащихся в его знаменитом сочинении «Об измерении круга», речь будет идти в следующем параграфе; здесь мы остановимся только на спрямлении окружности Архимедом с помощью полученной им спирали27. Сочинение Архимеда «О спиралях» содержит решение ряда важных задач и доказательство нескольких теорем. Это первое сохранившееся сочинение, в котором речь идет и о спрямлении окружности, а следовательно, и о квадратуре круга.

Центральными предложениями работы' «О спиралях» яв-

ляются те предложения (XVIII—XX), в которых дается способ построения с помощью спирали отрезка прямой, равного длине окружности или дуге окружности. В частности, в теореме XVIII утверждается: «Если прямая линия касается спирали, описанной, в течение первого оборота, в конечной точке ее и если из точки, являющейся началом спирали, проведена некоторая прямая перпендикулярно к началу вращения, то проведенная прямая встретится с касательной, и прямая, заключенная между касательной и началом спирали-(прямая AZ.—С. Б.), будет равна окружности первого круга (т. е. окружности, описанной из точки А радиусом R=A0. — С. Б.) (рис. 13).

Рис. 13.

Архимед доказывает эту теорему методом от противного.

Допустим сначала, что длина окружности (С) меньше прямой AZ; возьмем тогда прямую AZb которая меньше AZ, но больше С, тогда Ав: AZi 1> Ав : AZ. Проведем теперь прямую AN так, чтобы выполнялось равенство NP:0P=A0:AZi илиNP : А0=0Р : AZ1<0P : С.

Так как А0=АР, то получим

АР + NP С + ©Р

АбС

Учитывая это неравенство и теорему XV сочинения «О спиралях», т. е. что «отношение дуги 0Р вместе со всей окружностью (С) к этой окружности будет тем же самым, как и АХ к А0», имеем AN : А0 <(С+©Р) : С=АХ : А0, и мы приходим к противоречию — AN < АХ.

Предположив затем, что длина окружности С > AZ, Архимед в результате аналогичных предыдущим рассуждений приходит тоже к противоречию. На основании этого он делает заключение: длина окружности C=AZ28. Таким образом, с помощью спирали Архимеда можно точно построить отрезок прямой, равный длине окружности 2лК, или при R= -у- , отрезок л.

Следовательно, отдельные попытки древнегреческих ученых (Динострат, Архимед) приводили, действительно, к точному решению задачи о спрямлении окружности. Эти решения были связаны и с обогащением математики новыми «механическими» кривыми.

«Измерение круга» Архимеда

Сочинение Архимеда «Измерение круга» [5; 266—270] сыграло особенно большую роль в истории квадратуры круга: методами Архимеда, примененными в этой работе при приближенном решении квадратуры круга, много сот лет пользовались математики разных стран, а некоторые результаты, содержащиеся в этом сочинении, используются и в наше время.

«Измерение круга» занимает менее пяти страниц. Но это произведение по праву считается классическим. Каждая из трех теорем, содержащихся в этой работе, представляет определенный вклад в математику.

Первая теорема. «Всякий круг равен прямоугольному треугольнику, причем- радиус круга равен одной из прилегающих к прямому углу сторон, а периметра— основанию треугольника».

Доказательство справедливости этой теоремы ведется методом от противного. Допустим^что круг АВГД (рис. 14) больше

Рис. 14.

треугольника Е. Впишем в него квадрат АГ, а затем 8-угольник, 16-угольник и т. д. Тогда должен наступить момент, когда 2п-угольник будет больше треугольника Е. Соединим середину стороны 2п-угольника с центром круга N. Эта линия, например NEn, меньше радиуса круга, а периметр 2п-угольника меньше окружности. Площадь многоугольника равна половине про-

изведения его периметра на NEn.* Но это произведение меньше половины произведения радиуса на длину окружности, т. е. площади треугольника Е. Тем самым Архимед пришел к противоречию. Допустим теперь; что круг меньше треугольника Е. Опишем квадрат, 8-угольник, 16-угольник и-т. д. до тех пор, пока 2“-уголыник не станет меньше треугольника Е. Но периметр описанного 2п-угольника больше‘Длины окружности. Площадь этого 2п-угольника равна половине произведения периметра на. прямую, соединяющую центр круга со срединой стороны 211г- угольника, (а это будет радиус круга AN). Следовательно, площадь 2п-угольника больше площади треугольника Е. И он снова приходит к противоречию. Из этого Архимед делает вывод: «Значит круг будет равен треугольнику Е».

Итак, доказано, что существует такой треугольник, площадь которого равна площади круга. Но отсюда, конечно, не следует, что тем самым решена проблема квадратуры круга с помощью циркуля и линейки, так как здесь не говорится и не доказывается, что катет треугольника Е, равный окружности, можно построить с помощью циркуля и линейки. Но _ Архимед умел спрямлять окружность с помощью спирали, а следовательно, можно сказать, что Архимед мог точно квадрировать круг29.

Вторая теорема30. «Периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше одной седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых».

В этой теореме/как видно, явно говорится о приближенном 10

выражении длины окружности через диаметр: 3~d <С|<.

3~d, где С — длина окружности, ad — диаметр круга, или, мы бы сказали, здесь указаны некоторые границы, в которых за- 10 С ключено отношение окружности к диаметру: 3 71 < d (=л)

<3 у*. Эта теорема и метод доказательства ее сыграли боль-, щую роль в истории математики вообще и особенно в истории квадратуры круга. А выражением — — л^З — = — ^3,14

и теперь широко пользуются для практических целей. Как же рассуждал Архимед при доказательстве столь важной теоремы в математике?

При освещении хода рассуждений Архимеда будем пользоваться символикой и опустим промежуточные (повторяющиеся) операции, которые читатель может провести сам. Обозначим OC=R, AC=2R=d, длину окружности — С, сторону правиль-

ного вписанного многоугольника — ап, описанного — bn, периметр правильного вписанного п-угольника — Рп, описанного— через Р'п.

*РпСР'п

Архимед показал, что из — <—<— d2Кd

10,1

при п=96 следует, что 3 — а <С < 3— d.

Для этого он рассмотрел сначала круг с радиусом ОС (рис. 15), взял сторону описанного шестиугольника ВВ' и сторону вписанного шестиугольника NN', тогда угол СОВ = 30°. Затем он положил ВВ1 = ОВ=306, тогда

=V3062—1532:153 :5? 265: 153.

Разделив угол СОВ пополам прямой OD и проведя соответст- вующие вычисления, он получил OD:DC> 1'349450.1'23409 « «591 — ’: 153. Продолжая делить углы пополам прямыми ОЕ,

OK, OL и вычисляя bn и P'n, он находит

R : — b24 > 1162: 153, R : P*24 > 1162 —: 7344,

2'88

R: P'48>2334— : 14688.4

И, наконец,

R: — b96 >: 4673 — : 153, R : P'96>4673 — : 29376;

2.22

P'96: 2R<29376 : 9347 <3 — . 7

Ho C=2nR < Р*9б, Следовательно, C: 2R=n еще меньше, чем 3 —.

Рассматривая затем круг с радиусом R=780 (рис. 16) и угол САВ = 30°, он вычисляет отношение (ае=СВ) : (АС = =2R) =780:1560. Затем делит углы пополам прямыми AD,

АН, АК, AL, вычисляет ап и Рп и -'находит

Рэе: АС ^ 6336: 2017 —.

4

10С1 31'

Следовательно, 3—<—=л <3—^ .

71d7

Таков вклад Архимеда в решение одной из интересных и

3 С. Е. Белозеров33

трудных задач в математике. Его метод (вписанных и описанных правильных многоугольников) для нахождения все более С

точного значения для — был основным почти 2000 лет.

Третья теорема. «Круг относится к квадрату своего диаметра (приблизительно) как 11 к 14».■

Доказательство этой теоремы опирается на предыдущую теорему. Пусть дан круг с диаметром АВ и СЕ — описанный квад

рат (рис. 17). Отложим CZ = 3 ~ АВ, тогда ~ CZAC«S«p.

7'•.

SAacd = SAacz,

22.

— SkP. 22

28

Но SkBCE= 4SAacd =Q Aa.cz

22

откуда ■

Skp:S«b« 11 : 1432. ■

Эта теорема оказалась важной и для практических целей и для самой математики. Следовательно, в этом небольшом по объему сочинении содержатся результаты, сыгравшие затем большую роль в истории математики вообще и особенно в истории квадратуры круга.

Архимед был первым ученым, поставившим проблему квадратуры круга и спрямление окружности на прочные научные основы. Он показал связь между этими двумя задачами и открыл перспективы беспредельного улучшения результатов при вычислении отношения длины окружности к ее диаметру.

Удвоение куба

О происхождении задачи

Задача об удвоении куба со временем тоже стала знаменитой. Эта задача первоначально формулировалась так: построить куб, объем которого был бы в два раза больше объема данного куба. В дальнейшем с помощью алгебраической символики эта задача была сформулирована следующим образом: дан куб с ребром а, построить новый куб с ребром х так, чтобы х3=2а3. Став затем одной из конструктивных задач, она сводилась к по-

зстроению отрезка прямой х=аУ2, а при а=1 — к построениюз

отрезка x=V2.

Как, когда и где впервые возникла эта задача, науке пока неизвестно. Можно только делать предположения по этому поводу. Нам думается, что эта задача могла возникнуть тоже задолго до того, как ею начали заниматься древние греки, как задача на построение. Эта задача могла возникнуть из практических потребностей: например, с учетом увеличения в два раза урожая в данном году нужно было увеличить в два раза объем: хранилища продуктов, имевшего форму куба, или увеличить в два раза вместимость водохранилища кубической формы, оставляя ту же форму его33.

О практическом и культовом происхождении задачи об удвоении куба говорят и легенды, связанные с этой задачей. .

В одной из них говорится, что Критский царь Минос34 приказал архитекторам воздвигнуть памятник своему сыну Главку. Архитекторы сделали памятник кубической формы с ребром, равным 100 локтям. Миносу понравилась форма памятника, но он счел его слишком малым и приказал его удвоить. Архитекторы долго бились над отысканием длины ребра нового куба, но не могли найти ее. Признав свое бессилие, архитекторы обратились за помощью к геометрам, но и геометры не могли решить этой задачи.

Вторая легенда тоже указывает на своеобразную связь этой задачи с жизнью.

Однажды на острове Делосе, находящемся в Эгейском море, вспыхнула эпидемия чумы. Жители Делоса обратились к знаменитому Дельфийскому оракулу, который служил при храме Аполлона в Дельфах, за помощью и советом. Для прекращения чумы оракул предложил делосцам удвоить . жертвенник богу

Аполлону (богу Солнца), имевший форму куба. Но чума не прекратилась и после того, когда был отдит такой же жертвенник, как первый, и поставлен на него. Тогда делосцы вновь обратились к оракулу с вопросом: почему не прекращается чума, хотя жертвенник всесильному Аполлону удвоен? Оракул им на это ответил: нет, вы не решили поставленной задачи, так как вы, удвоив объем, изменили форму жертвенника. Не меняя формы куба, делосцы не могли его удвоить и обратились за помощью к Платону35. Но он уклончиво ответил: боги, вероятно, недовольны вами за то, что вы мало занимаетесь геометрией.

С того времени задачу об удвоении куба стали называть еще -зделосской». Некоторые авторы полагают, что происхождение задачи об удвоении куба связано с желанием обобщить задачу об удвоении квадрата [97; 8]. Но если это верно, то и в этом случае рассматриваемая задача уходит своими корнями в Древний Египет. Древние египтяне умели увеличивать вдвое (приближенно) площадь любой фигуры, не меняя ее формы, пользуясь двумя локтями: в 28 и в 20 дюймов. Так как отношение этих локтей 28:20=1,4, то измерив стороны данной фигуры 20-дюймовым локтем, а затем увеличив их настолько, чтобы в новых (подобных) фигурах размеры сторон содержали столько же, но 28 дюймовых локтей, они тем самым увеличивали пло- . щадь фигуры, в том числе и квадрата, примерно в два раза.

Возможно, что в дальнейшем играло роль и «желание древних обобщить задачу об удвоении квадрата» и перейти от планиметрической задачи к стереометрической. Но такое желание могло возникнуть на достаточно высокой ступени развития геометрической алгебры, когда грекам было известно уже, что извлечение корня из произведения двух величин а Ь сводится к построению отрезка х=Уа Ь, т. е. среднего геометрического между отрезками а и Ь. В частности, при_Ь=2а они могли получить а : х=х : 2а, откуда х2=2а2 и х = аУ2. После этого могла возникнуть мысль о том, что извлечение кубического корня из 2а3, т. е.

з— '

построение х=аТ2 сводится к построению двух средних геометрических величин между двумя данными величинами. ,

Но чтобы прийти к выводу, что решение этой задачи сводится к построению двух среднегеометрических между отрезками а и 2а, т. е. а : х=х : у=у : 2а, для этого математические знания должны были быть уже на достаточно высоком уровне. В это время (V в. до и. э.) действительно намечен был указанный путь, как один из подходов к решению этой задачи, но возникла она, вероятно, значительно раньше как практическая задача.

' О том, кто и как пытался решать эту задачу в Древней Греции, мы знаем, главным образом, из комментария Евтокия к произведению Архимеда «О шаре и цилиндре», чем мы и воспользуемся в дальнейшем [5; 459].

. Первая известная попытка решения задачи

Хотя Евтокий в указанном комментарии и не называет имени Гиппократа в числе решавших задачу об удвоении куба, но это имя упоминается в письме к царю Птолемею, якобы написанному Эратосфеном, которое приводит Евтокий. Там говорится, в частности: «Первый Гиппократ Хиосский заметил, что если найти две средние пропорциональные между двумя отрезками, из которых больший в два раза длиннее меньшего, то можно будет удвоить и куб». Историки-математики почти единодушны в том, что Гиппократ был одним из первых греческих математиков, которые оставили след своих попыток решения этой задачи.

Очевидно, что в математику эта задача вошла раньше'. В V в. до н. э. эта задача была уже популярной, о ней слагали легенды, особенно после того, как убедились, что решить ее с помощью циркуля и линейки не удается.

Придя к необходимости построить отрезок прямой, равный

аУ2, Гиппократ Хиосский (около 420 г. до н. э.), вероятно, пытался сначала решить эту задачу с помощью циркуля и линейки. Но.убедившись в трудности решения ее таким путем, он попытался свести решение этой (стереометрической) задачи к задаче планиметрической.

Он показал, что эта задача будет решена, если удастся построить два отрезка х и у, которые связаны с данными отрезками а и 2а соотношением а: х=х : у=у: 2а, где а — ребро, данного куба, ах — ребро искомого куба. Как это он обосновал, нам не известно. Возможно, по аналогии с преобразованием квадрата в квадрат с удвоенной площадью, где . требуется построить один отрезок х, удовлетворяющий соотношению а:х = =х:2а. Но правильность этого утверждения Гиппократа легко доказывается с помощью нашей символики следующим образом. Из указанного соотношения можно получить такие" равенства: а:х = а:х; а/Х=х:у, а:х=у :2а; перемножив затем левые и правые части этих равенств, получим а3:х3 = = аху : 2аху, или а3: х3= 1.: 2, откуда и получается х3=2а3 и з _ ■'

х = аУ2. Из этого видно, что если бы удалось каким-то образом построить отрезок прямой х как одно из двух средних геометри-

ческих между а и 2а, то тем самым было бы найдено ребро искомого куба, объем которого был бы в два раза больше данного.

Нам не известно, пытался ли сам Гиппократ построить отрезки, удовлетворяющие уравнениям а : х=х : у=у: 2а, и если пытался, то какие результаты им получены. Но судя по тому, как высоко оценивали древние греки геометрические способности Гиппократа, а также на основании того, что ему удалось получить блестящие результаты в решении двух знаменитых задач древности, можно вполне допустить, что он положил начало применению метода «вставок» при решении этой задачи, и мог таким образом ее решить. Но если допустить,- что Гиппократу

удалось только свести задачу нахождения отрезка х=аУ2 к задаче нахождения вставок х и у, удовлетворяющих уравнениям а : х=х : у=у : 2а, то и тогда следует высоко оценить результаты попытки Гиппократа в решении, знаменитой задачи, ибо они открыли перспективы работы многих ученых в направлении отыскания различных способов построения отрезков х и у.

Решение Архита Тарентского

В конце V в. до н. э. в связи с изобретением стрёлометов и камнеметов возникла еще необходимость удвоения объема тя

жа, с помощью которого «стреляло» орудие, чтобы удвоить расстояние полета стрелы или камня. Это тоже могло способствовать развитию интереса к задаче удвоения куба. 'Одним из первых древнегреческих ученых, использовавших результаты Гиппократа Хиосского при решении задачи об удвоении куба, был

. Архит из Тарента. Он являлся извест

ным полководцем и крупнейшим математиком конца V в. до н. э.

Ёвтокий в указанных комментариях со.ссылкой на «Историю геометрии» Евдема так описывает решение задачи о построении двух средних геометрических Архитом. ,

«Пусть даны два прямолинейных отрезка АД и АВ (рис., 18). Надо между АД и АВ найти две средние пропорциональные. Около большей линии АД опишем окружность ABAZ, построим в ней хорду АВ, равную Г, и пусть она в продолжении с проведенной, в Д касательной к кругу пересечет в П.

Проведем прямую BEZ параллельно ПАО; представим Себе прямой полуцилиндр на полукруге АВА, и на АД вертикальный полукруг, лежащий в прямоугольнике полуцилиндра. Если мы будем вращать этот полукруг, оставляя его вертикальным по направлению от А к В, в то время как конец его диаметра А остается неподвижным, то он будет пересекать поверхность цилиндра и начертит на ней некоторую линию. С другой стороны, если, оставляя АА неподвижной, будем вращать треугольник АПА вокруг АА в направлении, противоположном движению полукруга, то прямая АП опишет коническую поверхность и в своем вращении встретится в некоторой точке (К) с линией на цилиндре, образовавшейся при вращении АКА'. Одновременно точка В тоже опишет полукруг на поверхности конуса. Пусть движущийся полукруг в месте пересечения этих двух линий будет иметь положение А'КА, а движущийся в противоположную сторону треугольник займет положение АХА и пусть точка пересечения будет К. Пусть BMZ будет .полукруг, описанный точкой В, a BZ — линия его пересечения с кругом BAZA.

Опустим из К перпендикуляр на плоскость полукруга АВА. Этот перпендикуляр попадет на окружность, так как цилиндр прямой. Пусть он будет KL Линия, проведенная из I к А, пересечет BZ в 0, а линия АХ пересечет полукруг BMZ в М. Проведем также прямые КА', MI и М0. Теперь, так как полукруги А'КА и BMZ перпендикулярны к плоскости круга ABAZA, то и общая линия их пересечения М0 будет тоже перпендикулярна к плоскости этого круга, так что М0 будет перпендикулярна к BZ. Таким образом, прямоугольник на 0В и 0Z и прямоугольник на 0А и 01. будут равны квадрату на М0. Треугольник AMI подобен MI0 и MA0, а угол AMI будет прямым. Также будет прямым и угол А'КА. Следовательно, КА будет параллельна MI, и получается пропорция Д'А:АК=КА:А1 = 1А:АМ, ибо треугольники AKA', AIK и AMI подобны. Поэтому-четыре линии А'А, АК, AI, АМ составляют непрерывную пропорцию, и АМ равна Г, так как она равна также АВ. Таким образом, для двух заданных прямых АА и Г найдены две средние пропорциональные АК и AI. Таково решение Архитом Тарентским задачи о построении двух средних пропорциональных для двух заданных отрезков прямой. Это действительно образец глубокого проникновения в сущность задачи и высокой степени развития пространственных представлений автора.

Вслед за Ван дер Варденом, из книги которого позаимствован текст доказательства Архита, мы, познакомившись с этим изумительным документом V в. до н. э., можем воскликнуть: «Разве это не замечательно?». Ведь при таком способе решения

Архит фактически ищет пересечение поверхностей тора, конуса и цилиндра36. Если, в частности, положить АА = 2а, Г=АВ== =АМ=а и переменные отрезки А1=х и АК=у, то можно сказать, что Архит нашел зависимость между этими отрезками в виде 2а : у = у : х = х : а. А это равносильно задаче х3 = 2а3. Следовательно, если АВ = Г=а есть ребро данного куба, то ребром нового куба х, объем которого в два раза больше данного, бу-

з

дет отрезок А1 = аУ2, Так появилось первое из известных решений задачи об удвоении куба.

Решения задачи в Древней Греции после Архита

Возможно, в связи с тем, что задача об удвоении куба продолжала привлекать к себе внимание ученых, а решение ее Ар- хитом представлялось им сложным, в Древней Греции продолжались поиски новых методов построения средних пропорциональных для двух данных отрезков.^

Евтокий в указанных комментариях, кроме решения Архита, приводит еще решения этой задачи Платоном37, Героном, Филоном, Аполлонием, Диоклом, Паппом, Спором, Менехмом, Эратосфеном, Никомедом. Каждое из этих решений [5; 460—479] связано с использованием какого-либо «механизма», отличного от циркуля и линейки, или линий, отличных от прямой-и окружности. Мы "рассмотрим здесь решения только некоторых из указанных авторов, хотя и тс, которые не будут рассмотрены, представляют интерес, и желающие могут с ними познакомиться в указанной книге.

Решения с помощью конических сечений

В IV в. до н. э. известными учеными Древней Греции, занимавшимися решением делосской задачи, были Евдокс и Менехм.

Евдокс при решении этой задачи использовал какие-то плоские кривые, но Евтокий не дал изложения этого способа38.

Что касается Менехма,.то Евтокий в своих комментариях приводит два решения его. Рассмотрим первое решение Менех- ма. «Пусть две заданные прямые АВ и ВГ будут перпендикулярны друг к другу (рис. 19). Пусть для. них Средние пропорциональные будут АВ и BE, так что ГВ относится к ВА как ВА к BE и как BE к ВА, т. с.

ГВ ВА _ БЕ

ВА " BE ~ ВА *

Проведем перпендикуляры AZ

ГВ АВ

и EZ, так как — = — , то вд BE

значит, прямоугольник между ГВ и BE, т. е. прямоугольник одной из заданных линий и BE, будет равен квадрату на ВД илина EZ, т. е.ТВ-ВЕ = ВА2= = EZ2. Так как прямоугольник между заданной линией и BE равен квадрату на EZ, то точка Z находится на параболе с осью BE. Затем, так как АВ относится к BE, как BE к

АВ BE

ВА, т. е. —=—-., то пря-

ВЕ ВД

моугольник между АВ и ВД, т. е. другой заданной линией и ВА, будет равен квадрату на BE или на AZ, т. е. АВ BA=BE2=AZ2, значит Z находится на параболе с осью ВА. Но она находится и на другой параболе с осью BE, значит точка Z известна. Затем, так как ZA и ZE перпендикулярны, то будут известны и точки А и Е.

Построение производится так: пусть две заданные прямые АВ и ВГ будут взаимно перпендикулярны; продолжим их из точки В до бесконечности. На оси BE построим параболу так, чтобы ее опущенные на BE ординаты квадрировались на АВ (т. е. ZE2=BE. ВГ или Х2=ВГУ). З’атем на реи АВ строим параболу так, чтобы ее ординаты квадрировались на АВ (т. е. ZA2=AB ВД или У2=АВ X). Обе эти параболы пересекут друг друга; пусть точка их пересечения будет Z. Проведем из Z перпендикуляры ZA и ZE. Так как в одной параболе проведена ордината ZE, т. е. АВ, то значит прямоугольник между ГВ и BE равен квадрату на ВД, т. е. ГВ ВЕ = ВД2, и поэтому ГВ относится к ВА как АВ к BE. Но АВ относится к BE как ГВ к ВА и,, следовательно, ГВ относится к ВД как ВД к BE и как BE к ВА, т. е.

ГВ _ ВА BEВА ” BE ~ ВД

что и требовалось получить.

Строится парабола при помощи «диабета», изобретенного нашим учителем милетским механиком Исидором и описанного

им в составленном им комментарии к работе Герона «О построении сводов» £5; 470].

Следовательно, в данном решении используются две параболы. Если перевести эту задачу на язык аналитической геометрии, то дело сводится к нахождению абсциссы точки пересечения двух парабол, уравнения которых у2=2ах и х2=ау; из вто- рого уравнения следует, что у= — , подставляем в первое

уравнение и получаем — =2ах или х3=2а3 и х=аУ2. Таким а2

образом, искомое ребро куба есть абсцисса точки пересечения двух парабол.

Второе решение Менехма аналогично первому. Но в этом случае он использует параболу и гиперболу, уравнения которых получаются тоже из равенства: а : х=х : у=у: 2d. Только в первом случае, мы бы сказали, он рассматривал, равенства а:х= =х : у и х:у=у:2а, откуда и получились уравнения х2=2ау и у2=2ах. Во втором случае надо рассматривать равенства х:у=у:2а и а:х=у:2а. Отсюда получаются уравнения параболы у2=2ах и гиперболы ху=2а2. Чтобы определить теперь искомую величину х, нужно найти точку пересечения этих кривых,

3 ,

абсцисса х этой точки и будет x=aV2 (рис. 20). Действительно, из второ'го уравнения, например, полу-

2а2

чим у= — , подставим в первое урав-

4а‘

нение и получим -^- =2ах, откуда

4а4=2ах3 и х3=2а3, следовательно, х = з

=а72.

. Таково по существу решение этой задачи Менехмом, хотя он, конечно, еще не пользовался той символикой, которую

используем теперь мы, а проводил свои рассуждения как в первом случае39.

Решение Эратосфена

Одним из знаменитых древнегреческих ученых III в. до н. э. занимавшихся и задачей об удвоении куба, был Эратосфен (276—194). Это был широко образованный человек, он оставил след своего творчества во многих областях знания. В области

математики его имя прочно связано со способом «высеивания» простых чисел — «решето Эратосфена», и с решением делосской задачи.

Задаче об удвоении куба он, как видно из дошедших до нас отрывков из его сочинений и свидетельств древних писателей, уделял большое внимание.

В храме царя Птолемея в Александрии на камне высечено решение Эратосфена задачи об удвоении куба и дана бронзовая модель его прибора — «мезолябия» («уловителя»), с помощью которого он находил (улавливал) средние геометрические.

В том же храме на мраморной доске высечена часть эпиграммы Эратосфена, содержащейся в «письме Эратосфена» к Птолемею в стихотворной форме:

«Если бы, друг, ты замыслил большое из малого сделать, Куб сотворить ли двойной иль перестроить,объем, Это возможно — и сени расширить, и яму просторней выроешь и водоем влагой наполнишь двойной.

Вот мой прибор: меж линеек две средние сразу отыщешь, Между краями других ты их отметишь концы.

Нужды тебе уж не будет в премудром цилиндре Архита, В конусе не для тебя высек триоду Менехм,<

И с богоравным Евдоксом изогнутых линий не надо, Циркулем вооружась, тонкий изгиб находить.

Сдвинув отважно линейки, легко мириады построить

Средних желанных твоих, с меньшей из данных начав.

Счастлив ты, царь Птолемей, — ты дал вечно юному сыну Равноблаженному дар сладкий для Муз и царей.

Зевс, бог вселенной! В грядущем пусть с милостью той же он примет

Скипетр от царской руки — и да свершится сие.

Тот же, кто жертву во храме великом увидит, да скажет:

— Дар этот Эратосфен людям, измыслив принес»:

Что же представлял прибор Эратосфена, и как же с его по мощью можно «мириады построить средних желанных»?

Рас. 21.Рас. 21.Бронзовая модель «мезолябия» Эратосфена состояла из трех треугольных или прямоугольных пластинок, которые можно передвигать вперед и назад между двумя рейками (рис. 21). Вот как описан прибор и действие с ним в указанной надписи в храме. «Для

Рас. 21.

Рас. 21.

двух данных отрезков найти две средние в непрерывной пропорции. Пусть будут даны линии АЕ и Д0; тогда я сдвигаю пластинки рассматриваемого инструмента так, чтобы точки А, В, Г, А лежали на одной прямой. Так как АЕ и BZ параллельны, то КА и КВ имеет то же отношение, как КЕ и KZ, а поскольку AZ и ВН тоже параллельны, то в том же отношении будет KZ и КН. Таким образом, КЕ будет к KZ как KZ к КН. Но так же относятся друг к другу и АЕ к BZ, а также и BZ к ГН. Совершенно также докажем что BZ относится к ГН как ГН к ©А. Таким образом, АЕ, BZ, ГН и А© образуют (непрерывную) пропорцию. Следовательно, для двух заданных (отрезков) найдены две средние пропорциональные.

Если же заданные отрезки не равны АЕ и А0, то мы получим средние пропорциональные, если сделаем АЕ и А© им пропорциональными; затем мы вернемся к первоначально данным и задание будет выполнено.

Когда требуется найти большее число средних пропорциональных, то мы возьмем в этом инструменте одной пластинкой больше числа средних пропорциональных, которые нужно построить. Доказательство остается тем же самым» [19; 317].

Следовательно, если даны две рейки АМ и ЕК, параллельные между собой и имеющие пазы, в которых могут передвигаться прямоугольники А/ A"i HAi и Аг^Аг" ©Аг, равные закрепленному прямоугольнику АВ, ZE, то прямые AZ, A'fH и А^О — диагонали этих прямоугольников. Положим АЕ=2а и Ав=а. Будем теперь передвигать подвижные прямоугольники так, чтобы точки А, А и точки пересечения диагоналей А/Н, и Аг'0 со сторонами BiZ и AiH, т. е. точки В и Г лежали бы на одной прямой.

Обозначим ГН через х- и BZ через у. Тогда

КА: КВ=АЕ; BZ = KE : KZ = KZ : KH = BZ : ГН = ГН : А0.

Вспомнив наши обозначения, мы можем записать

2а (АЕ) : у (BZ) =у : х (ГН) =х : а (АО) или

,а : х=х : у=у: 2 а.

Тем самым и решается задача о построении двух средних пропорциональных х и у для а и 2а. Если бы требовалось построить три средние пропорциональные, то следовало бы взять не две, а три подвижные прямоугольника, и провести дальнейшее рассуждение как указано выше41.

Трисекция углаи деление окружности на равные части

Возникновение задач .

можно разделитьможно разделитьРис. 22.Рис. 22.Деление любого угла на три равные части, или трисекция угла, тоже одна из древнейших задач. С этой задачей в древности были тесно связаны задачи деления окружности (или ее дуги) на равные части и построение правильных многоугольников. Происхождение этих задач тоже связано с практической деятельностью, в частности, уметь делить окружность на равные части нужно было при изготовлении колеса со спицами, деление угла или дуги окружности на несколько равных частей необходимо было также в архитектуре, в создании орнаментов, в строительной технике и в астрономии. Известно, что еще древние вавилоняне умели делить окружность или угол 360° на 6 равных частей. Следовательно, они могли разделить окружность и на три равные части. Вероятно, древние египтяне и древние вавилоняне умели делить прямой угол (четверть окружности) на три равные части. Для этого они могли поступить так: взять на одной стороне прямого угла отрезок ОЕ, построить на ОЕ равносторонний треугольник ODE, угол COD будет 60°, а угол AOD=30°, остается разделить угол DOE пополам, и тогда прямой угол АОС будет разделен на 3 равные части с помощью циркуля и

можно разделить

можно разделить

Рис. 22.

Рис. 22.

линейки (рис. 22). Таким же образом легко на три равные* части и угол СОВ=45° (восьмую часть окружности). Равносторонний треугольник ODE, построенный на отрезке ОЕ, взятом на ОС, дает угол DOB=15°, разделив угол AOD пополам, мы и решим поставленную задачу.

Древние египтяне и вавилоняне легко делили на три равные части углы 180° (полуокружность) и 360° (окружность).

разделить на триразделить на триВ дальнейшем было показано, что

разделить на три

разделить на три

все углы о= JL , где n=0, 1, 2можно

равные части с помощью циркуля и линейки41. Но не все углы можно разделить на три равные части и не на любое число равных частей можно разделить окружность с помощью циркуля и линейки. Доказано, например, что такие углы, как 120°, 60,

40, 20°, не поддаются трисекции с помощью циркуля и линейки, и таких углов тоже бесчисленное множество.

Следовательно, в общем случае угол ф нельзя разделить на три равные части с помощью циркуля и линейки. Это строго было доказано Ванцелем только в 1837 г. Но прежде чем ученые пришли к этому доказательству, прошло много сот лет со времени появления указанной задачи, затрачено было много труда на решение ее, получены были при этом многие методы и результаты, важные для математики.

Превращение в конструктивные задачи(пифагорийская школа)

Известно, что еще bVI—V вв. до н. э. геометрические задачи на построение занимали большое место в математических занятиях древних греков. Среди них были и задачи на деление окружности на равные части или построение равносторонних многоугольников, а также деление данного угла на равные части.

Еще в пифагорийской школе при изучении свойств правильных фигур и правильных тел ученые легко справлялись с по-' строением правильного 6-угольника, 12-угольника, 24-угольника..., квадрата, 8-угольника, 16-угольника...

Они умели с помощью циркуля и линейки строить и правильные 5-угольники, 10-угольники... Многие из них пытались также вписать в окружность правильные 7-угольники и 9-угольники с помощью циркуля и линейки, но здесь они наткнулись на трудность, которую не могли преодолеть. В связи с этим, вероятно, и возник уже в то время вопрос: можно ли разделить окружность на любое число равных частей или, что то же, построить правильный п-угольник?

Занимаясь задачей деления угла на равные части, они установили, что любой угол можно с помощью циркуля и линейки разделить на 2, 4, 8, 16..', т. е. на 2“ равных частей. Они знали некоторые углы, которые с помощью тех же простейших средств делятся на три равные части. Но, столкнувшись с углами в 60°, 40, 20, 18°.., которые не удавалось разделить на три равные части с помощью циркуля и линейки, они уже в V в. до н. э. начали искать другие способы решения этой задачи.

Вероятно, в то время им была уже ясна и связь между задачами деления окружности (или дуги окружности) и деления угла на равные части. Действительно, если бы можно было с помощью циркуля и линейки разделить угол в 120° на три равные части, то можно было бы и окружность разделить на 9 равных частей т. е. построить правильный 9-угольник, но это им 46

сделать не удавалось. Поиски других механизмов, отличных от циркуля и линейки, или использование линий, отличных от окружности и прямой, вскоре привели некоторых древнегреческих ученых к положительным результатам, что открывало перспективы дальнейших изысканий в этом направлении.

Некоторое представление о результатах работы древнегреческих ученых при решении задачи трисекции угла можно составить теперь по «Математическим коллекциям» Паппа42.

Папп говорит, в частности, о том, что для решения задач древними применялись окружность и линейка, в другом случае использовались конические сечения и, наконец, они пользовались такими кривыми, как спирали, винтовые линии, квадратрисы, конхоиды, циссоиды. Соответственно с этим задачи делились на плоские и линейные. Так как трисекция угла «является по природе телесной», поэтому «первые геометры и н^ смогли ее решить с помощью плоских построений, так как они не были еще знакомы с коническими сечениями», с помощью которых оказалось «возможным разделить угол на три равные части».

Папп говорит также, что для «древних геометров» было ясно, что «нет никакой разницы-— делить ли угол или дугу».

Но если деление угла или дуги окружности на три равные части, говорит Папп, есть задача «телесная», то «деление заданного угла или дуги в данном-отношении будет уже «линейной задачей». Папп рассматривает несколько приемов решения той и другой задачи, причем не всегда он указывает, кому эти методы принадлежат.

Он рассказывает и о делении угла (дуги) в данном отношении. С помощью квадратрисы можно разделить данный угол' в определенном отношении или на сколько угодно равных частей, в том числе и на 3.равные части. Этот способ деления угла на 3 равные части был одним из первых известных нам и принадлежал он, вероятно, Гиппию. '

Деление угла и дуги окружностис помощью квадратрисы

Как известно из предыдущего, Гиппий в V в. до н. э. построил квадратрису и использовал ее для деления любого угла на какое угодно число равных частей. Нам точно не известно, как решал эту задачу Гиппий с помощью своей квадратрисы. Но мы легко можем представить, как он мог это делать. Пусть квад- ратриса ВС построена и дан 2^ВАС = а (или дуга BF) (рис. 23). Требуется разделить этот угол (дугу) на три равные части. При решении этой задачи.поступаем так. Из точки С проведем

прямую CN, параллельную AD до пересечения с АВ. Теперь разделим отрезок NB на соответствующее число равных частей (в частности — -на 3): BBi = BiB2=B2N. Для этого на прямой NE от точки N откладываем и (=3) равных частей: NE3=EiE2= = Е2Е3..., соединяем точку Е] с В и из точек Е2 и Е3 проводим параллельные E2Bi и Е3В2 до пересечения с АВ в точках Bj и В2.

Из В) и В2 проведем прямые BiCi и В2С2 параллельно NC. Точки Ci и С2 соединим с точкой А и продолжим эти прямые до пересечения с окружностью BFK, тогда прямые ACi и АС2 разделят угол АВС = а на три равные части43, а точки на окружности Fi и F2 разделят дугу BF на три равные части. Доказательство вытекает из определения квадратрисы.

Таким образом, первое из известных точное решение задачи трисекции угла было произведено в V в. до н. э. с помощью механической (трансцендентной) кривой. За этим решением последовали и другие решения. Причем оказалось, что эта задача, так же как и задача об удвоении куба, решается и с помощью некоторых так называемых геометрических кривых (например, конические сечения, конхоида).

Папп приводит и другие методы трисекции угла без указания авторов и времени появления их.

Заметив, что «мы умеем делить прямой угол на три равные части», он говорит далее, что задача о делении любого угла на три равные части сводится к делению на три части острого угла, так как если он окажется тупым, то мы всегда можем выделить из него прямой, и остаток будет острый угол.

Метод вставок

В своих «Математических коллекциях» Папп показывает.

к чему сводится трисекция острого угла с помощью способа вставок. Изложение Паппа обычно дается в таком виде.

Пусть дан острый угол АВГ (рис. 24), из некоторой точки на одной его стороне, например из А, опустим перпендикуляр АГ на другую сторону угла, и, дополнив параллелограмм FZ, продолжим сторону ZA до Е. Точку Е на продолжении ZA выберем так, чтобы отрезок АЕ прямой BE1 был равен удвоенному отрезку АВ. Тогда он утверждает, что угол ЕВГ является третьей частью заданного угла АВГ. Доказательство это проводится так. Разделим ДЕ (пополам точкой Н и соединим А и Н, АН, -как -медиана прямоугольного треугольника ЛАЕ. будет равна ДН=НЕ. Значит, ДЕ вдвое больше 'АН. Но ДЕ также вдвое

больше и АВ; следовательно, ВА=АН и угол АВА=углу АНД. Но угол АНД вдвое больше угла АЕД или угла АВГ; итак, угол АВД вдвое "больше угла ДВГ. Теперь остается разделить пополам угол АВД, и угол АВГ будет разделен на три равные части.

Здесь все верно, но вопрос об определении положения точки Е на продолжении ZA остается открытым: найти «вставку» ДЕ=2АВ с помощью циркуля и линейки невозможно. Можно это сделать с помощью линейки с делениями. Папп предлагает это делать с помощью гиперболы и окружности44.

Возможно, что «метод вставок», который используется в этом случае, был известен еще в V и IV вв. до н. э. Некоторые же ученые приписывают его изобретение Архимеду.

Трисекция угла в работах Архимеда

Можно считать, что Архимед дал два решения рассматриваемой задачи: 1) с помощью его спирали угол можно, разделить на любое число равных частей; 2) с помощью предложения 8 «Книги лемм» угол делится на три равные части.

Рассмотрим сначала деление дуги АНГ (или угла большего л) в данном отношении (или на любое число равных частей).

В своем знаменитом сочинении «О спиралях» Архимед описал многие свойства своей спирали и сформулировал ряд предложений, которые дают возможность разделить любую дугу окружности в данном отношении, что, как мы знаем, равносиль-

49494 с. Е. 15елозеров

49

49

но делению центрального угла, соответствующего этой дуге, на любое число равных частей.

Допустим, что дана спираль (рис. 25) ВАГ. Радиусом ВГ построим окружность ГАН. Требуется разделить дугу АНГ в данном отношении. Пусть это отношение равно отношению АЕ к BE. Тогда из точки В радиусом BE опишем окружность. Она пересечет спираль в какой-то точке Z. Соединим В с Z и продолжим BZ до пересечения -с окружностью в точке Н. На основании свойства спирали,, выявленного Архимедом (предлож. XIV),

АВ : BE (BZ) =АНГ : ГН и АЕ : ВЕ=АН : НГ.

Но ДЕ : BE равно данному отношению; следовательно, и дуга АНГ разделена в заданном отношении. Таким образом, если отрезок АВ разделим на 3, 4, ... равные части и проведем соответствующие рассуждения и построения, то дуга АНГ (а следовательно, и соответствующий ей угол), разделится на 3, 4, ... равные части.

Второй способ деления угла на три равные части содержится в «Книге лемм» Архимеда.

Восьмое предложение «Книги лемм» гласит: «Если в круге как-нибудь проведена линия АВ (рис. 26) и продолжена на прямой, на ней отложена ВС, равная полудиаметру круга,, полученная точка С соединена с центром D круга и соединяющая прямая продолжена до Е, то дуга АЕ будет втрое больше дуги BF.

При доказательстве этого утверждения Архимед рассуждал так: Проведем EG параллельно АВ и проведем соединяющие прямые DB и DG. Так как два угла DEG и

DGE равны, то угол GDC будет вдвое больше угла DEG. И так как угол ВОС равен углу BCD, а угол CEG равен углу АСЕ, то угол GDC будет вдвое больше угла CDB и весь угол BDG втрое больше угла ВВС и дуга BG, равная дуге АЕ, будет

втрое больше дуги BF. А это и есть то, чего мы хотим. Таким

образом, Архимед доказал, что AE = 3BF?

Из доказательства Архимеда вытекает и такое доказательство деления угла на три равные части. Пусть требуется разделить на три равные части данный угол ADE. Из точки D, как из центра ,опишем окружность радиусом DE = DA. Продолжим ED и найдем точку С на ED такую, чтобы CB=DE и прямая СВ проходила через точку А. Тогда 2^BCD=— Z-АДЕ, что читатель может доказать сам.

На основании сказанного выше и был сделан вывод, что Архимед создал метод «вставок», хотя есть предположение, что им пользовался еще Гиппократ Хиосский.

Трисекция угла с помощью конхоиды

Во II в. до н. э. Никомед написал сочинение «О конхоидальных линиях». Прокл утверждает, что Никомед гордился открытием конхоиды и применил ее при решении двух знаменитых задач: при удвоении куба и трисекции угла. Конхоида некоторой кривой (прямой) — плоская кривая, получающаяся уменьшением (увеличением) полярного радиуса каждой точки кривой на одну и ту же величину46.

Как же с помощью конхоиды разделить данный угол на три равные части? Сохраняя ход мысли древних, но используя современную символику, задачу о делении данного угла РОМ (рис. 27) можно решить так: проведем прямую PM -L ОМ, отложим МК=20Р. Построим конхоиду имеющую в К точку, наиболее далеко отстоящую от прямой РМ так, чтобы РМ была для нее асимптотой. Проведем РЕ || ОК и соединим точку Е с точкой О. Тогда 2СЕОК=-g-Z-POM. Докажем это. По свойству конхоиды

ХЕ=МК=20Р. Пусть Н середина отрезка ХЕ, т. е. ХЕ=2ХН, треугольник ЕРХ — прямоугольный, РН — медиана, проведенная из прямого угла на гипотенузу, тогда РН=НЕ.

Следовательно, zCPEH = zLHPE=Z_MOX. Так как ОР = = -^-ХЕ и РН= т-ХЕ, то ОР = РН. Значит zLPHO=Z_POH. Но ^POH=zCPHO=2 zLHEP=2 Z_M0X=2 21НЕР.

Откуда следует, что АМОХ= -^-Z_MOP, что и требовалось доказать46.

Трисекция углас помощью конических сечений

Известно, что Менехм использовал конические сечения (параболы и гиперболы) для удвоения куба. Папп указал47 два способа деления угла на три равные части с помощью конических сечений [118; 235]. Один из этих способов с помощью нашей символики и аналитической геометрии можно изложить следующим образом.

Дан угол САВ (рис. 28), который нужцо разделить на три равные части. Выбираем на одной из сторон точку С и из нее опускаем перпендикуляр на другую сторону угла: Из'точки А радиусом AC=R описываем полукруг. На ZA и ZC строим прямоугольник ZCGA. Примем ZAD за ось OX, a ZC —за ось. ОУ и положим ZA=a, a AG=b. Из точки С, как из центра, радиу

сом 2й)Описываем окружность, уравнение которой (х—а)2+ Постройм теперь ветвь гиперболы, проходящей через точку G(o, b), для которой оси координат — асимптоты; уравнение ее будет xy=ab. Решив совместно уравнения (х—а)2+(у—Ь)2= =4R2 и ху=аЬ, найдем координаты двух точек пересечения. Взяв ту, у которой абсцисса больше, а ордината меньше, определим точку I. Опустим из этой точки перпендикуляр на ОХ, найдем точку F и, соединив ее с точкой С, получим

zLCFA= 2-<САВ48.з

Из сказанного о трисекции угла видно, что древние знали несколько способов деления любого угла на три равные части и деления его в данномЬтношении.

Деление окружности на равные части(построение правильных многоугольников)

Деление окружности на п равных частей равносильно делению угла 2л на п частей. Деление окруж)ноюти на 360 равных л.

частей легко сводится к делению угла —. на 60 частей или

— на 30 частей; деление же угла 45° на три равные части 6

сводится или к делению — части окружности на три равные части или всей окружности на 24 части.

Но задача о делении окружности на равные части естественно связывается и с построением правильных многоугольников. Разделив, например, окружность на 6 равных частей, тем самым можно вписать в круг правильный шестиугольник.

Еще в школе Пифагора умели с помощью циркуля и линейки строить правильные многоугольники с числом сторон. 2П, 2 “3, 2 “5, где п=1, 2, ... , т. е. они знали, как построить квадрат, восьмиугольник, .шестнадцатиугольник..., треугольник, шестиугольник, двенадцатиугольник, пятиугольник, - десятиугольник- Антифон, Бризон, Архимед и другие ученые строили правильные многоугольники подобного рода с большим числом сторон, а следовательно, они умели с помощью циркуля и линейки делить окружность на 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, ... равных частей. Эти задачи теперь успешно решают и наши школьники. Но если внимательно посмотреть на приведенный ряд чисел, то можно заметить, что в нем нет чисел 5, 7, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 20, ... Хотя задача построения правильных пяти-, десяти-, двадцати-, пятнадцатиугольников и оказалась трудной, но с ней, удалось справиться древним грекам тоже еще в школе Пифагора. Нам точно не известно, как строили правильный пятиугольник сами пифагорийцы, но достоверно известно, что пятиугольник («Пентагон») играл особую роль в -религиозно-мистической секте пифагорийцев.

В «Началах» Евклида, где систематизированы и результаты работ пифагорийцев, в предложении И четвертой книги поставлена задача: «В данный круг вписать равносторонний и равноугольный пятиугольник», а в 12 предложении «Около данного круга описать равносторонний и равноугольный пятиугольник». Здесь дано и решение этих задач. При решении первой из них Евклид строит равнобедренный треугольник ВЕС (рис. 29) так,- чтобы каждый из углов при основа'нии был в два раза больше

угла ВЕС (возможность построения такого треугольника он показывает в предыдущем предложении). Затем описывает около треугольника ВЕС круг BAEDC, где точки А и D делят дуги НЕ и СЕ пополам; соединив эти точки с вершинами В, Е и С, Е, получим пятиугольник BAEDC_ И Евклид обосновывает далее, что «пятиугольник BAEDC равносторонний и равноугольный»49.

Тем самым открывалась возмож

ность строить правильные много

угольники с числом сторон 5-2“. В дальнейшем были найщены и другие способы построения правильного пятиугольника. Так, например, Птолемей (II в. н. э.) стороны правильного в'писан-

ного в круг пятиугольника и десятиугольника предложил строить так: дан круг (рис, 30), радиус его О А делим пополам (точка С), из С, как из центра, радиусом CD описываем дугу DI. Птолемей' утверждает, что 01 есть сторона правильного десятиугольника, a ID — сторона правильного пятиугольника50.

Древние греки умели строить и правильный пятнадцатиугольник. Нам не известно, кто первый из древнегреческих ученых разделил окружность на 15 равных частей, не известно также, позаимствовал ли у кого Евклид или сам предложил им открытый способ решения этой задачи, но у него в «Началах» (предложение 16 четвертой книги) сформулирована такая задача: «В данный круг впи

сать пятнадцатиугольник равносторонний и равноугольный».нс. з .

Построив правильные треугольник и пятиугольник (рис. 31), Евклид замечает: если допустить, что круг разделен на 15 равных частей, то таких частей «в обводе АВС, являющемся третью круга, будет пять, в обводе же АВ, являющемся пятой частью круга, будет три; значит в остающемся обводе ВС равных долей будет две». Разделив затем дугу ВС пополам точкой Н, он заключает, что каждый из обводов ВН и НС будет пятнадцатой частью круга. Соединив точки В и Н, а также С и Н и откладывая равные отрезки в круге, мы получим правильный пятнадцатиугольник, вписанный в круг.

Правильные многоугольники с числом сторон 7, 9, 11, ... древ-

ние тоже пытались построить с помощью циркуля и линейки, но это им не удавалось. После этих неудачных попыток они стали искать способы построения правильных семиугольников, девятиугольников, с помощью других инструментов или линий, отличных от прямой и окружности51.

И на этом пути им удалось получить важные результаты. Мы здесь рассмотрим только деление круга на семь равных частей. Этот вопрос решен в сочинении Архимеда «Книга о построении круга, разделенного на семь равных частей» [5; 401—415].

Непосредственное отношение к интересующему нас вопросу имеют предложения 17 й 18 указанного сочинения Архимеда. В предложении 17 Архимед показывает, как можно данный отрезок разделить на три части в указанном отношении. Возьмем квадрат ABDC. Проведем диагональ ВС и прямую DFG так, чтобы площадь треугольника CDF равнялась площади треугольника AGH. Через точку пересечения диагонали ВС и прямой DFG проводим прямую KFL параллельно АС (рис. 32). Тогда, говорит Архимед, я утверждаю, что площадь прямоугольника АВ • КВ равна квадрату на GA, площадь GK-AK=KB2 и каждая из линий ВК и GA длиннее линии АК.

Доказательство: Так как CDFL=GAAH, то CD: GA=

=АН: FL. Так как треугольники GAH и GKF подобны треугольнику FLD, то АН : FL=GA : LD=GA : КВ. Следовательно, АВ : GA=GA : КВ. Точно также: FL : KF=LD : GK или GK : LD (KB)=KB:LC (АК). Откуда и получается AB-KB=AG2 и "GK-AK=KB2. Что и требовалось доказать. Таким образом, приняв линию BG (АВ) за хорду будущего круга, в который впишется правильный семиугольник, мы и разделим ее в нужном отношении точками К (D) и А (С). Затем Архимед переходит к основному предложение (18). В 18 предложений Архимед говорит: «Мы хотим построить круг, разделенный на семь равных частей»:

Строится этот круг так: берется некоторая прямая АВ — хорда будущего круга, в который будет вписан затем правильный семиугольник (рис. 33), делим АВ в точках С и D так, чтобы

AD CD = BD2; СВ BD=AC2.

Построим треугольник CED так, чтобы СЕ=СА и DE = DB. Полученная таким образом точка Е будет третьей вершиной треугольника АВЕ, около которого опишем круг, а прямая BE будет стороной семиугольника, вписанного в этот круг. Но то, что

BE — сторона семиугольника, надо доказать. С этой целью прямые ED и ЕС продолжаем до пересечения с окружностью в точках Н и G. Соединим прямой точки В и G, точку F — пересечения BG с ЕН соединим с точкой С. Треугольник АСЕ — равнобедренный. Угол САЕ, опирающийся на дугу BE, и угол СЕА— на дугу AG, равны между собой. А следовательно, равны между собой и дуги BE и AG. По построению AD-CD=BD2=DE2, т._е. AD : DE=DE : DC. Так как в треугольниках ADE и CDE угол D общий, а стороны, его заключающие, пропорциональны, то эти, треугольники подобны. Отсюда следует, что угол СЕ1)=углу DAE и дуги HG=BE=AG. Тогда линии АЕ и BG параллельны и Z.AEC=Z_ABG. Так как угол CGF равен углу CBF, как опирающийся на равные дуги, то и углы CED и DBF равны между собой. Так как DE=DB по построению, то BDE равнобедренный треугольник, a BF СЕ равнобедренная трапеция. Так как треугольники EBF и ЕВС равны, то и

BF=EC = CA, BD=DE, DF=CD, FE=CD+DB.

Из соотношения CB -BD=AC2=EC2 следует, что СВ :ЕС = ЕС :

BD или EF: FC=FC : ED; значит треугольники ECD и ECF с общим углом E будут подобны: FE-ED=EC2. Из подобия треугольников EDC и EFC получаем zlDCE=Z-EFB=Z_EFC= Z.EBC=Z.DCE=2 z^CAE.

Следовательно, дуга ЕА=2ВЕ. Из равенства углов DEB и

DBE заключаем, что НВ=АЕ=2ВЕ. Разделив Дуги ЕА и НВ пополам, получим еще четыре дуги, равные BE, а весь круг будет разделен на семь равных частей.

Таким образом, ряд важных задач, возникших в свое время из практических потребностей, древние греки подняли до уровня теоретических конструктивных задач и указали многие способы решения их52.

У других народов Древнего мира

Из сказанного в этой главе видно, что на первом этапе истории рассматриваемых задач заметный след оставили древние египтяне и вавилоняне, а во втором периоде в теорию этих задач внесли основной вклад древние греки.

Но с этими задачами в то время сталкивались и другие народы. Есть основания считать, что задачи о вычислении площади круга и длины окружности, деление на равные части угла и окружности пытались решать китайцы и индийцы, римляне,, предки народов, населяющих территорию СССР и др.

Так, например, знаменитый римский архитектор и строитель Витрувий (2-я половина' I в. н. э.) в книге «Архитектура» считал, что длина окружности при диаметре равном 4 будет 12—•

В известных китайских сочинениях, написанных в первых столетиях н. э., «Математика в девяти книгах» [71] и др. решались

■ '-С

и такие задачи, в которых нужно было уметь находить— =л.

d

Вот одна из задач: имеется круглое поле, обвод 300 бу, диаметр

~ ‘1 г d Cdокр = L, , ~2 ’ 4~ ‘1 г d Cdокр = L, , ~2 ’ 422100 бу. Каким будет поле?

~ ‘1 г d Cd

окр = L, ,

~2 ’ 4

~ ‘1 г d Cd

окр = L, ,

~2 ’ 4

2

2

Решаются такие задачи по рецептам:

d2, — -3, объем цилиндра находился по рецепту, который

можно выразить с помощью формулы Уц= —^ . Во всех этих

случаях получается л = 3, они получали и более точные значения

— 355

для л : V10, — и др.

сторона квадрата, 13сторона квадрата, 13621 = 3,004. В даль-225621 = 3,004. В даль-225В Индии, в сочинении «Правила вё- ревии» (VII—V в. до н. э.), дается, в частности, такой способ построения круга, равновеликого данному квадрату. Строим круг радиуса ОР (рис. 34), вписываем квадрат. Отрезок HP делим на 3 равные части: НК=— - HP, затем радиусом ОК проводим круг, утверждали, (без дока- - зательства), что этот круг равновеликий квадрату. В этом случае л равно 3,168. В других случаях индийцы полагали, что равновеликого кругу с диаметром d, равна

сторона квадрата, 13

сторона квадрата, 13

621 = 3,004. В даль-

225

621 = 3,004. В даль-

225

1= — d, а также считали, что л равно

нейшем в Индии были получены и другие результаты.

Предки народов Советского Союза в ту эпоху тоже решали задачи о вычислении площади круга и длины окружности, делений угла и дуги окружности на равные части, возникавшие в практике, пользуясь тоже некоторыми рецептами (см. IV главу).

Примечания к главе I

Из истории известно, например, что еще в каменном ' веке человек строил себе жилище в виде шалаша конической или полусферической формы. При этом люди фактически решали две конструктивные задачи: построение окружности, ограничивающей круглый пол шалаша, и деление окружности на равные части, чтобы наметить места, в которых будут воткнуты жерди или прутья, образующие остов шалаша.

Возраст колеса, найденного при раскопках в Болгарии, определяется с помощью радиоактивного анализа: 5830±-50 лет. Изготовление колес пред- полагало умение измерять длину обода (окружности) и деление окружности (обода) на равные части (для колес со спицами).

«Папирус» — особый род «бумаги», который египтяне изготовляли из растения папируса, росшего на берегах Нила, «писали» египтяне с помощью краски «иероглифами» (рисунками), затем иероглифическое письмо’было заменено иератическим (скорописью).

Древние вавилоняне «писали» на сырых глиняных дощечках, выдавливая палочкой, заканчивавшейся клинком, различные знаки, потому и письмо их называют клинописью.

Хотя науке известно имя математика Имхотепа — автора проекта и расчетов знаменитой ступенчатой египетской пирамиды, жившего около

3000 г. до н. э., но нам ничего не известно о «рецептах», по которым он вычислял «круглое».

Локоть — старинная линейная мера, немного менее 0,5 метра.

Науке пока не известно, как египтяне получили этот рецепт. Некоторые ученые полагают, что они при этом покрывали площади круга и квадрата одним—сплошным слоем мелких зерен и затем подсчитывали число их. А. И. Раик предложила свою реконструкцию получения египтянами этого рецепта- [86; 36].

Круговая луночка — часть плоскости, ограниченная дугами двух окружностей, имеющих общую хорду.

Рекомендуется читателям (особенно школьникам и студентам):

проверить рецепты древних, указанные в этом параграфе, установить степень точности их;

'm

С— ( = л)=3,14 и dС— ( = л)=3,14 и d2 следовало2 следовалобыбыквадрат, чтобы из SKP =квадрат, чтобы из SKP =. б) определить, на какой части диаметра круга — d надо построить

С

— ( = л)=3,14 и d

С

— ( = л)=3,14 и d

2 следовало

2 следовало

бы

бы

квадрат, чтобы из SKP =

квадрат, чтобы из SKP =

-dп

3,1415, (m < п — наи меньшие целые чи с л а);

выяснить, какая ошибка будет допущена, если принять пример правильного -12-угольника за длину окружности;

вычислить приближенные значения М и Х^ заменив луночки фигурами, ограниченными сторонами правильных 12-угольников, вписанных в данные круги;

1 д) подумать над возможными реконструкциями путей получения древними египтянами и вавилонянами рецептов для вычисления площадей круга и луночек, длины окружности, хорды и стрелки.

Рекомендуется:

тем, кто не знаком с решениями этих задач на построения, ознакомиться с ними по учебникам геометрии;

построить отрезок, равный У5 — УЗ;

превратить данный треугольник в равновеликий ему квадрат.

Вопрос о «совпадении» многоугольника с кругом, а Также и другие аналогичные вопросы математики и философии вызывали жаркие споры среди ученых Древней Греции. Например, Симпликий в комментариях к «Истории геометрии» Евдема писал по этому поводу, что «мы никогда не достигнем окружности круга, даже если бы деление продолжалось до бесконечности». Такого рода споры оказывали, по-видимому, влияние и на направление их исследований и на понимание необходимости строгих доказательств в математике.■

Развитие этих идей и идей Архимеда в дальнейшем привело к понятию определенного интеграла, способствовало появлению интегрального исчисления.1-

Предлагается:

а) установить величины ошибок при вычислении площади по способу Бризона при п=3, 4 и 6;

б)В)б)В)установить ошибочность утверждения, что «между площадями

б)

В)

б)

В)

правильных вписанного и описанного многоугольников среднепоо-

многоугольников с уд-Sn + Si/ *многоугольников с уд-Sn + Si/ *порциональная есть площадь описанного

многоугольников с уд-

Sn + Si/ *

многоугольников с уд-

Sn + Si/ *

военным числом сторон» [2'1, 41], т. е. что

построить циркулем и линейкой квадрат, равновеликий данному

правильному шестиугольнику.

Например, Демокрит говорил: «Найти одно научное доказательство для меня важнее, чем овладеть всем персидским царством»-.

До Платона при решении задач н-а построение пользовались тоже преимущественно циркулем и линейкой, но это объяснялось, по-видимому, тем, что долгое время известны были только эти «орудия геометрических построений». После того как в V в. до н. э. стали появляться и использоваться в геометрии некоторые новые кривые и механизмы их вычерчивания, циркуль и линейка оставались «более простыми приборами», а прямая и окружность — «более простыми линиями». Идеалист Платон, рассматривая геометрию как «идеальную науку», считал недопустимым решение ее задач с помощью «механических способов» (не циркулем и линейкой), так как, по его мнению, при этом «благо геометрии устраняется и разрушается, ибо мы снова низводим ее ^ к чувственному миру, вместо того чтобы поднимать и насыщать ее невещественными, мысленными образами точно так, как делает это бог...». В дальнейшем ученые пытались дать и рациональное объяснение предпочтению циркуля и линейки (окружности и прямой) по сравнению с другими кривыми. Окно из этик объяснений: прямая и окружность — единственные линии постоянной кривизны на плоскости.

О популярности этой задачи в Древней Греции в указанный период можно судить и потому, что почти все математики того времени занимались этой задачей, а также и потому, что об этой задаче говорилось даже в тр- ких сочинениях, как комедия Аристофана «Птицы» (415 г. до н.. э.). Один из персонажей, этой веселой комедии (Метон) рассказывает, как он распланирует воздушный птичий город: в середине города будет круглая базарная площадь; затем он говорит: «Возьму линейку, проведу прямую, и мигом круг квадратом обернется. Ну как на солнце. Хотя оно само и круглое, а ведь лучи прямые...» Метонова квадратура, конечно, только шутка, но то, что научная проблема стала забавой для театральной публики, говорит о популярности этой задачи.

Доказательства этих теорем даны Евклидом в «Началах» без ссылок на Гиппократа (см. предлож. 2 кн. XII и предлож. 31 кн. III). Предлагается сравнить доказательство Евклида с современным доказательством этих теорем.

Эти и следующие цитаты о Гиппократе в основном из Г 5; 530 и ел ].

Здесь заметим, что Гиппократ при определении квадрируемости луночек в основу клал подобие сегментов, в XVIII в. необходимым :и достаточным условием квадрируемости луночек считали равенство секторов, ограниченных дугами, образующими луночку, и вытекающее отсюда равенство msin2n@— nsin2m0*

при шип взаимно-простых целых числах, где ш0 = а и п0 = £ центральные углы дуг, образующих луночку. В дальнейшем были внесены уточнения в определения необходимых и достаточных условий.

С этой точки зрения Гиппократ нашел три случая квадрируемых луночек, для которых а : Р=ш0 : п0=ш : п=2 : 1, 3: 1 и 3 : 2.

Предлагается доказать, что:

площадь луночки

SАаВрСу ~S AOAAi =S АаВа +S BgCb (см' рис’ 6); "

площадь сегмента III равна сумме площадей сегментов I и П;

луночка Аа'ау' квадрируема, и площадь ее связана с площадью S AgBpCy (СМ- Р'ИС- 6)‘

Рекомендуется:

* а) построить циркулем и линейкой трапецию со сторонами 1, 1, I и УЗ и разделить ее на три равновеликие части; - .

" б) доказать, что:е

сегмент DABC больше полукруга или что угол DBC —- острый;

площади секторов DOiCBAD и DCVCBD равны; „ *

•3) площадь луночки DAaBCpD равна площади прямолинейной фигуры

DOa'COiD и что последняя, в свою очередь, равна площади трапеции DABC;-•т

площадь луночки DAaBCpD равна сумме площадей трех луночек I, II и III;

луночка D'DfiCC'a'D' будет квадрируемой;

существует определенная зависимость между площадями луночек, если продолжить аналогичные построения (в сторону увеличения и 'уменьшения радиусов).-

21 Сам Гиппократ, по-видимому, не указал, каким способом он пользовался при проведении «вставки» EZB. Цейтен [93] и Ван дер Варден [19] справедливо указывают, что построение EZB сводится к составлению и решению квадратного уравнения относительно ЕН=х или ZB=y. Следовательно, построение EZB, а значит и прямолинейной фигуры, равновеликой луночке, для которой ш : п=Э : 2, возможно циркулем и линейкой.

. Предлагается доказать:-

Что если обозначить ЕН через х, а ZB — через у, то уравнение, к которому сводится задача построения трапеции ЕКВН, будет

2x2 —Зх—3=0;

Что доказательство теоремы: «Луночка, для которой выполняется условие т:п=3:2, квадрируема циркулем и линейкой», можно на

. чать следующим образом: построить трапецию ЕКВН, где ЕК=КВ =

*। уэз

= ВН=1 и ЕН— —* , затем описать окружности вокруг тоа-

.4 .-

пеции ЕКВН и вокруг треугольника EZH.

'3) Как можно преобразовать фигуру EKBHZE в равновеликий квадрат;

будет ли квадрируемой луночка E1EHH1Z1E1., где ЕН = ЕЕ1 = ННь

Что сегменты на EZ и ZH подобны сегментам на ЕК, КВ и ВН, угол НВЕ — тупой, сектор EOiHBKE=сектору EO2HZE, отношение a : р—3 : 2.•

ЧТО Sл —- Sуо^но^К*

Вопрос о том, как удалось Гиппократу «напасть» на эти три случая квадрируемых луночек, остается неясным. Дальше будет показано, что с помощью алгебры удалось обнаружить еще два случая квадрируемых луночек (ш : п=5 : 1 и 5 : 3) и доказать, что этими пятью случаями и исчерпываются квадрируемые циркулем и линейкой круговые луночки.

Ошибки, связанные с историей и теорией квадратуры луночек, нередко встречаются и у современных авторов (см. гл. IV),

Рекомендуется:..

найти центр круга А'р'С' при построении сегмента А'р'С'В';

построить квадрат, равновеликий «луночке и кругу»;

доказать, что луночка А'В'С'0' не совпадает ни с одной . из трех . рассмотренных выше луночек и отдельно не квадрируется; ,

найти другие луночки, которые квадрируются вместе с кругом или с его частями._

На чертеже воспроизведена только часть кривой квадратрисы.

Рекомендуется:’-*

. а) восстановить всю эту кривую;х

найпи уравнение квадратрисы в декартовой системе координат

1 _

. ЛХл

y = xctg-—и в полярной системе координат Р=г“^^— , где r=AB, p = CFK) ф — угол- АСЕК;

построить механизм, осуществляющий построение этой кривой;

ответить на вопросы: достаточно ли знания способа спрямления окружности для квадратуры! крута? и как найти точку М?

См. комментарии Мордухай-Болтовского к «Началам» Евклида [44; 326, 330] и комментарии Веселовского к «Сочинениям» Архимеда [5; 528 и ел.].

Архимед рассматривал спираль как след равномерного движения точки в плоскости по прямой, в то время как прямая равномерно вращается вокруг точки А (см. рис. 13) как вокруг центра. Спираль Архимеда (современное уравнение р = аф), так же как и квадрагриса, «механическая» кривая.

Полное доказательство этой теоремы см. [5, 246 и сл.]. Рекомендуется:

а) получить уравнение спирали Архимеда и установить, где опа используется;

•б) построить прибор для вычерчивания спирали Архимеда и построения с ее помощью отрезка прямой, равного л.

Рекомендуется:

доказать эту теорему современными методами;

преобразовать площадь треугольника Е в квадрат.

В тексте, дошедшем до нас., она значится как 3-я теорема, но последовательность теорем была, очевидно, установлена после Архимеда ошибочно, так как логически она должна предшествовать следующей теореме..

Показать:

10 л 1

какое из чисел 3"^р или 3 —- ближе к истинному значению л;

какое должно быть п (число сторон многоугольников), чтобы получить л=3,141.

Показать, как можно улучшить отношение «круга» к квадрату его диаметра, меняя CZ.

Ван дер Варден [19; 222], в частности, утверждает, что эта задача «возникла как перевод вавилонского кубического уравнения x3=v на язык пространственной геометрической алгебры», но он не приводит фактов, подтверждающих это предположение.

Историки считают, что некоторые греческие мифы о Миносе «содержат в себе зерно исторической правды» (В. С. Сергеев. История Древней Греции, изд. 2, 1948, стр. 63).

Кстати заметим, что на основании подобных легенд некоторые древние и буржуазные историки математики без фактических оснований приписывали Платону многие открытия в математике.

М. Я. Выгодский в работе «Платон как математик» (см. сб. «За материалистическую диалектику в математике», 1934) убедительно показал несостоятельность такого взгляда на Платона.

Рекомендуется:

учащимся с помощью преподавателя построить модель механизма Архита и продемонстрировать на одном из занятий в кружке;

студентам — получить уравнения указанных поверхностей, уравнения линий пересечения поверхностей и координаты точки пересечения этих линий.

Решение, приписываемое Евтокием Платону, т. е. с помощью прямых

углов («плотничных угольников»), как утверждают Ван дер Варден М9; 225], Н. И. Веселовский [5; 479] и другие ученые, «.вне всякого сомнения* является подложным». Известно, что Платон резко порицал за такие «механические» решения этой задачи Архита, Евдокса и Менехма. Решение нами задач с помощью прямых углов см», гл. IV.

О. Беккер в книге Das mathematische Denken der Antike приводит способ построения двух средних пропорциональных, который Таннери приписывает Евдоксу, и рассматривает второй способ, который «/мог бы дать Евдокс».

Показать, какие следует взять уравнения параболы и гиперболы^ чтобы решить обобщенную задачу: увеличить (уменьшить) данный куб с ребром а в р раз?

Показать:

что построение трех средних пропорциональных между а и 2а приводит к задаче х4 = 2а4;

можно ли с помощью прибора Эратосфена решить обобщенную задачу удвоения куба: х3 = раэ?

Рекомендуется:

разделить угол ф=22,5° на три равные части;'

л

показать, какие углы кроме а = 77” можно разделить на три равные части циркулем и линейкой?

Выдержки из этой части труда Паппа приводятся в «комментариях к «Книге Лемм» Архимеда [5; 606].

Доказать, что прямые ACi и АС2 действительно делят угол ВАС = а на три равные части и что с помощью квадратрисы можно разделить угол а (дугу BF) на сколько угодно равных частей.

Рекомендуется:

показать, как это можно сделать и

попользовать конхои;у (см. стр. 51) для построения АЕ.

Предлагается:

построить прибор для черчения конхоиды;

получить уравнение конхоиды (х-а)2(х2 + у2) — d2x2=0 или. *

а i

р= ±а и. исследовать его.соэф

Ответить на вопрос: можно ли с помощью конхоиды -разделить* угол МОР на п равных частей (п2>3)?

Есть оснюва!ние полагать, что открытие конических, сечений и начало разработки их теории и приложений во многом обязано потребности решения указанных знаменитых задач древности. .

Рекомендуется, доказать справедливость этого утверждения.

Рекомендуется провести это доказательство самостоятельно.

Установить:

верно ли это утверждение Птолемея?

как связана задача о построении стороны правильного пятиугольника х с правилом «золотого сечения» отрезка а?

В дальнейшем (см. стр. 146), используя диофантов анализ, была разработана теория построения правильных многоугольников с числом сторон* N=0111^ где m и п2 — число сторон правильных многоугольников, построение которых известно. С точки зрения этой теории построение правильного» пятнадцатиугольника стало частным случаем (ni=3, п2=5).

Обосновать ответ на вопрос: с помощью каких кривых, рассмотренных ранее, можно разделить окружность на любое число равных частей?

О. ХайямО. ХайямА. ДюрерА. Дюрер

О. Хайям

О. Хайям

А. Дюрер

А. Дюрер

Ф. ВиетФ. ВиетИ. КеплерИ. Кеплер

Ф. Виет

Ф. Виет

И. Кеплер

И. Кеплер

И* Ньютон5 С. Е. БелозеровИ* Ньютон5 С. Е. БелозеровГ. ЛейбницГ. ЛейбницЛ. ЭйлерЛ. Эйлер

И* Ньютон

5 С. Е. Белозеров

И* Ньютон

5 С. Е. Белозеров

Г. Лейбниц

Г. Лейбниц

Л. Эйлер

Л. Эйлер

Глава II

ЗНАМЕНИТЫЕ ЗАДАЧИ ДРЕВНОСТИ !

В СТРАНАХ ВОСТОКА

И ЕВРОПЫ В VI—XVIII СТОЛЕТИЯХ

* (Продолжение наступленияна «неподдающиеся задачи»)

В ряде европейских стран, начиная с V—VI вв., а в Средней Азии с VII—VIII вв., на смену отжившему рабовладельческому строю приходит феодальный. Эпоха заката рабства и раннего феодализма в Европе характеризовалась также отсутствием необходимых стимулов, условий для развития науки, в том числе и математики. Но в силу неравномерности развития феодализма и некоторых специфических особенностей в ряде стран Востока в VI—XV столетиях проявлялся интерес к науке, особенно к астрономии и математике. Многие греческие ученые, особенно язычники, преследуемые христианской церковью, вынуждены были покинуть Родину и переселиться в страны Востока.

Ученые Индии, стран ислама и Китая в период средневековья общались с греческими учеными, непосредственно или через посредников, знакомились с результатами исследований ученых Древнего мира, и в частности с методами решения знаменитых задач древности.

Но ученые этих стран не ограничились изучением трудов древних греков: в некоторых областях математики (особенно алгебры и тригонометрии) они получили новые важные результаты и уделили много внимания геометрическим построениям с помощью различных средств, В частности, .в их трудах идеи и методы, связанные с решением знаменитых задач древности, получили дальнейшее развитие.

Когда в эпоху Возрождения в европейских странах вновь появились благоприятные условия для развития науки, европейцы позаимствовали многое из того, что было сделано и сохране-

но из открытий ученых Древнего 'мира и средних веков, в том числе и в решении знаменитых задач древности.

В период, рассматриваемый в данной главе, были созданы способы точного и приближенного решения этих задач, некоторые задачи приобрели новый характер и большую самостоятельность. К концу этого периода и в начале следующего была подготовлена почва для получения ответа на вопрос: возможно ли решение этих задач в общем случае с помощью циркуля и линейки?

В этот период значительно расширилась география мест, где занимались знаменитыми задачами древности, увеличилось число лиц, проявлявших интерес к этим задачам. Наступление на непокорные задачи продолжалось.

Квадратура круга и спрямление окружности

Еще в Древней Греции многие математики направили свои

усилия на вычисление длины окружности или отношения длины

окружности к диаметру ~ все с большей степенью точности

с помощью метода Архимеда, изложенного в «Измерении круга». В дальнейшем это направление долгое время являлось главным в истории квадратуры круга.

По мере развития алгебры и анализа на смену геометрическо- С

му методу вычисления — = л (вписывание и описывание пра- d

вильных многоугольников) пришли аналитические средства: бесконечные произведения, ряды и непрерывные дроби. Одновременно с этим некоторые математики начинают задумываться об арифметической природе числа л и предпринимают попытки, направленные на снятие завесы таинственности, окутывавшей это число. ’

В Индии

Индийские ученые в период средневековья внесли заметный вклад в развитие математики: они наряду с китайцами ввели в математику нуль, десятичную позиционную # систему, отрицательные числа, ввели современное обозначение чисел и рассмотрели отдельные вопросы, относящиеся к тригонометрии. Некоторые из индийских ученых занимались и вычислением длины

окружности. Математика у них выступала как часть астрономии. Наиболее известными астрономами и математиками Индии

эпохи средневековья Бхаскара.эпохи средневековья Бхаскара.Риг, 35.Риг, 35.являлись Ариабхатта, Брахмагупта и

эпохи средневековья Бхаскара.

эпохи средневековья Бхаскара.

Риг, 35.

Риг, 35.

Ариабхатта в произведении «Ариабхатиам» (ок. 500 г. н. э.) в ' частности с помощью 384-угольников получил приближенную длину окружности, откуда л = 3,1416..., т. е. более точное значение, чем у Архимеда и Птолемея.

Рассуждения Ариабхатты, приведшие его к этому результату, с помощью нашей символики можно изложить так: возьмем круг с радиусом МА=г, пусть сторона вписанного правильного п-угольника- АС=йп> сторона вписанного 2п- угольника АВ=а2п, апофема MD= =Р2» (рис. 35). ДАВЕоо AMBD.

Тогда г: р2п=а2п:— а», откуда 2<z2np2n =ran. Из прямо

угольного треугольника ADM получаем р22п=г2— — п22п. За-

ГОп

'менив из предыдущего 2рг” через——, получим

а42п—4r2a22n+г2а2п=0,

откуда "

а22п=2г2—rV4r2—а2п.

Если положить г=1, то получим а2гп=2—V4—aV В круге радиуса г=1 сторона вписанного квадрата a4=V2. Сторона вписанного 8-угольника а^— V" 2—V2.

Пользуясь полученной формулой, дающей выражение а2п че

Р16=16 У 2— V 24-V2,Р16=16 У 2— V 24-V2,Тогда .периметр, например,Тогда .периметр, например,Р64—64Р64—64Ариабхатта (VI в.)Ариабхатта (VI в.)приме-приме-рез ап, получим Ci6= V 2— V 2+V2, ti32= V 2—V24-/24-V2.

Р16=16 У 2— V 24-V2,

Р16=16 У 2— V 24-V2,

Тогда .периметр, например,

Тогда .периметр, например,

Р64—64

Р64—64

Ариабхатта (VI в.)

Ариабхатта (VI в.)

приме-

приме-

яял формулу для выражения стороны правильного 211-угольника (а2п) через сторону правильного n-угольника (о»), отправляясь от «6=1. Тогда Д12=Кг—УЗ, 024=1^2—к2+УЗ,- ,

#384—^ 2 } 2+ V 2+У ^vWwT

Следовательно, периметр 384-угольника Рз84=384аз84= = 6,2832... Разделив последнее число на диаметр BF=2, Ариаб- хатта и получает л=3,1416.

Брахмагупта (VII в.), полагая диаметр круга равным единице, получал Рп в виде Р]2=Т9,65, Р24=У9,81, Р48=У9,86, Рэе= =1'9,87,... С=л=У10 = 3,16... У Бхарары (XII в.) встречается С 377

—г—— =3,1416... Более точное значение л получали в Ин- d ieo.

дии путем разложения дуги окружности по степеням тангенса или котангенса, что было связано-с вычислениями в астрономии.

Свидетельство этого мы находим и в «Научном сборнике» Нилоканты (1502 г.). Правило вычисления дуги окружности дано в таком виде: «Возьми дугу окружности такую, что ее синус меньше косинуса. Умножь синус дуги на радиус и раздели на косинус. Это дает количество. Умножь это количество на квадрат синуса и раздели на квадрат косинуса, получишь второе количество. Повтори это, умножая на квадрат синуса и деля на квадрат косинуса, полученные количества раздели по порядку на нечетные числа, 1,- 3, 5, ... Если полученные количества'попеременно вычитать из первого и прибавлять к нему, то в конечном счете получишь дугу окружности». Это правило в нашей символике выглядит так:

rsinq>Г51п3фг$1п®ф

гф=—F — • •

созфЗсо83ф5cos5<p

или

tg3<p tg5фф=tgф- +

при ф== получается числовой ряд для вычисления л:

(1)

В «научном сборнике» дано л с десятью верными десятичными знаками1.

В странах ислама

Представители народов, живших в средние века в странах Среднего и Ближнего Востока, оставили тоже заметный след в истории математики вообще, и в частности в улучшении при- с

ближения значения —. =л.

d

В VII—VIII вв. н. э. арабы завоевали ряд стран в Азии, Африке и Европе и создали могучую Арабскую империю. В Арабской империи создались условия, способствовавшие развитию интереса к наукам, в том числе и к математике. В ряде городов существовали математические школы, особенно продуктивно работала Багдадская математическая школа. В начале здесь осваивалась математическая культура других народов. С греческого и сирийского языков были переведены на арабский язык произведения Евклида, Архимеда, Аполлония, Птолемея, Диофанта и др.2. Но затем представители многих покоренных народов и сами арабы стали получать оригинальные результаты в области астрономии и математики и публиковать их на арабском языке, ставшем официальным языком на территории всей Арабской империи.

Среди математиков того времени, писавших на арабском языке, было много и предков народов, населяющих наши среднеазиатские республики (узиеков, таджиков, туркменов, азербайджанцев). В частности, одним из выдающихся ученых первой половины IX в. был узбекский алгебраист Мухамед бен Муса ал-Хорезми. Он жил и работал при дворе халифа ал-Мамуны. Наиболее выдающимся его произведением по алгебре было «Хи- саб алджебр вал-мукабала» (830 г.). Оно положило начало существованию алгебры как самостоятельной ветви математики. Но в нем рассматриваются и некоторые вопросы геометрии, в том числе и вопросы, связанные с измерением площади круга и длины окружности. Ал-Хорезми-указывает, например, что сущест- вуют’три значения для выражения отношения длины окружности

С- 1,— 82832»

к диаметру: — —3 — , ИО и ,

d 720000

которые употребляются в астрономии. Он не отмечает, хотя это известно, что первое из них получил -еще Архимед, а два по-

следние были получены в Индии. Он замечает только, что все эти значения примерно равны между собой. Далее он утверждал, что площадь круга равна половине диаметра, умноженной •на половину окружности, так как площадь любого правильного многоугольника равна произведению полупериметра на полудиаметр описанного круга.

У ал-Хорезми имеется и «формула» для выражения площади круга через диаметр: в нашей символике это выражение таково

1 I! 1

Skp=(12d2d2.

72 7

Аналогичную «формулу» давал в1следует, что л=3 — . Наконец,Аналогичную «формулу» давал в1следует, что л=3 — . Наконец,свое время и Герои. Из нее в этом разделе «Алгебры»свое время и Герои. Из нее в этом разделе «Алгебры»

Аналогичную «формулу» давал в

1

следует, что л=3 — . Наконец,

Аналогичную «формулу» давал в

1

следует, что л=3 — . Наконец,

свое время и Герои. Из нее в этом разделе «Алгебры»

свое время и Герои. Из нее в этом разделе «Алгебры»

ал-Хорезми дается и правило вычисления площадей сегментов круга Si и S2 по дуге Z, хорде а и высоте меньшего сегмента h. а2

Причем сначала определяется диаметр d=Hh,

4h

а затем сегменты

а 42а 42_ d 1/ d

а 4

2

а 4

2

Si,2= ±

22 I 2

В IX в. бану Муса в «Книге измерения плоских и шаровых фигур» [6] доказывает, в частности, и такую теорему: «Для всякого круга плоская фигура из его полудиаметра на половину его окружности есть его площадь» (методом Архимеда). Как следствие этой теоремы получается теорема: «Плоская фигура из полудиаметра на половину какой-нибудь дуги равна площади сектора, ограничиваемого этой дугой и двумя, полудиаметрами, проведенными в ее концы». Затем доказывается теорема: «Для всякого круга отношение диаметра к его окружности одно и то же». И они показывают, что, используя вписанные и описанные 96-угольники, можно получить

171710с

1

7

1

7

3—< —

71d

Многие математики того времени, как, например, Абул-Вафа, ал-Хайям, ал-Бируни и другие, касались вопросов, связанных с величиной числа л, особенно при вычислениях в астрономии. Например, ал-Бируни в III книге «Канон Масуд», взяв отношение среднего арифметического периметров вписанного и описанного 180-угольников к диаметру, получил л = 3,1417... Ибн ал- Хайсам (965—1039) написал специальное сочинение «О квадра-

туре круга» [80], в котором он ставил вопрос о существовании прямолинейной фигуры, равновеликой кругу. На примере вписанного круга в луночку, площадь которой равна площади треугольника (1-й сл. Г. X.), он утверждал, что площадь круга как части луночки будет площадь части соответствующего треугольника с той же высотой, но с мейьшим основанием. Правда, он признавался, что ему пока не известно только, как построить это основание. Он обещал решить этот вопрос в дальнейшем, но, естественно, не решил его. Существенный вклад в проблему измерения круга внес один из самых выдающихся ученых тон эпохи Джемшид Гиясэддин ал-Каши (XIV—XV вв.), работавший в Самаркандской обсерватории Улугбека.

В знаменитом «Трактате об окружности» (1424 г.) ал-Каши дал замечательные образцы приближенных вычислений и впервые получил такую точность измерения окружности, которая дает для л 17 верных знаков и которой европейские математики достигли только в конце XVI века. Ал-Каши ставит задачу: выразить длину окружности через диаметр с такой точностью, чтобы погрешность в длине окружности, диаметр которой равен 600 000 диаметров земли, не превосходила толщины волоса (примерно 7г мм), т. е. разность периметров описанного и вписанного правильных многоугольников при г= 1 должна быть меньше — . Следовательно, задача состоит в том, чтобы най

ти стороны, их число и периметры описанного (Pi) и вписанного(Р2) многоугольников такие, чтобы длина окружности (ал-Ка-ти стороны, их число и периметры описанного (Pi) и вписанного(Р2) многоугольников такие, чтобы длина окружности (ал-Ка-ши полагает ее равнойши полагает ее равнойР.+Рг2Р.+Рг2удовлетворялаудовлетворялауказанномууказанному

ти стороны, их число и периметры описанного (Pi) и вписанного(Р2) многоугольников такие, чтобы длина окружности (ал-Ка-

ти стороны, их число и периметры описанного (Pi) и вписанного(Р2) многоугольников такие, чтобы длина окружности (ал-Ка-

ши полагает ее равной

ши полагает ее равной

Р.+Рг

2

Р.+Рг

2

удовлетворяла

удовлетворяла

указанному

указанному

. выше условию.

При решении этой задачи он идет путем, несколько отличающимся от пути Архимеда; в основу вычислений он кладет теорему: «Прямоугольник на радиусе ОА и на сумме диаметра АВ с хордой АС (рис. 36), дуги, меньшей 180, равен квадрату хорды AD (D — середина дуги ВС)». Так как сторона вписанного

n-угольника a = Td2—Сп2, то ал-Каши, прежде . всего, и находит хорды Сп, соответствующие дугам, получающимся при делении дуги 120° на 2П, пользуясь рецептом, содержащимся в указанной теореме, т. е.

iCn=Vr(2r+Cn-i).

Он показывает далее, что число сторон вписанного многоуголь

ника, удовлетворяющее Pi—Р2< — должно быть 3-228=

СО9

=805306368, т. е. сторона этого многоугольника должна быть хордой'дуги, равной 120°: 228, а это будет 1/60 одного градуса окружности, в 600 000 раз большей окружности большого круга 11

Земли, что не превосходит толщины- одного волоса: ~ • — • • 24-1012. (где 24-1012 — примерное число миллиметров в указанной окружности). Умело пренебрегая малыми разностями, ал-Каши получает приближенные оценки для хорд Си и сторон вписанных многоугольников а см. [103; 300—305]. Он доказывает, что требуемая точность измерения окружности будет достигнута, если в круг при г=60 вписать многоугольник со сто-

8• *

роной, не превосходящей — , а это получится, если дугу 120°

разделить на 228. Тогда число сторон будет N=3-228=

Pi + Р2 =805306368. Затем, вычислив Pi и Рг и приняв —-— =С, т. е. при радиусе г=1, он получает приближенное значение 2л=6,2831853071795865, а л=3,1415926535897932.

Леонардо Пизанский (Фибоначчи) вычисляет л с помощью 96-угольников, в чем чувствуется влияние Архимеда. Но он получает при этом результаты, которые укладываются в неравен- 144014401

ства — <л< — . Приняв — за среднее арифмети-

458 458 —

5

1

ческое — и — ; Леонардо Фибоначчи считает фактически

1440 л= -458 31440 л= -458 3864— =3,1418...275864— =3,1418...275

1440 л= -

458 3

1440 л= -

458 3

864

— =3,1418...

275

864

— =3,1418...

275

Рис. 37,Рис. 37,

Рис. 37,

Рис. 37,

В дальнейшем многие европейские ученые занимались квадратурой круга. Определенный след в истории квадратуры круга оставил и немецкий математик Николай Кузанский (1401— 1461). Начиная с 1445 г., он написал ряд произведений о спрямлении окр*ужности. Н. Кузанский был уверен в невозможности точной квадратуры круга и искал приближенное значение для С

— =л. Он получил, в частности, величину отношения окруж-

•144

ности к диаметру л= —— =3,142337, которая несколько 5784 .

точнее, чем 3 —, и дал способ приближенного вычисления

(спрямления) «любой» дуги окружности. Им получены некоторые значения для л и менее точные, чем у Архимеда.

Рассмотрим путь, по которому шел при этом Николай Кузанский. В основе его рассуждений лежал тоже метод Архимеда. Возьмем круг с радиусом ОА=ОЕ=г (рис. 37). Сторона квадрата, вписанного в не-

го AE=rV2. Отложим на про- должении О А отрезок АВ = =гУ2 и на ОВ, как на диаметре, построим новый круг с радиусом OOi = О[В=р. Тогда ОВ=ОА+АВ=г+г72= =г(1+72) =2р. Но. в круге радиуса р сторона вписанного правильного треугольника

ОС=ОП=ПС=рУЗ=^- (1+У2) УЗ.

Затем без каких-либо математических обоснований он считал, что — з -

2лг=ЗОС=ЗрУЗ = — гУЗ(Ц-У2).

Полагая г=1, он получает

л=^ (УЗ+Уб) =3,1357.

Приближенное решение Н. Кузанского задачи спрямления «любой» дуги окружности в нашей символике можно изложить так (рис. 38). Дан круг радиуса AO=r, ААОЕ — центральный угол=х, AD-LAB, EF-LAB, BC=r, EF=rsinx, АЕ=гх, OF=r cos х, AD : EF=CA : CF, CF=COH-OF=2r+r cos x, CA=3r.' -

Отсюда

EF • CA rsinx • 3r 3rsinx AD=- .

CF 2r + 2rcosx 2 + cosx

•3rsinx 5

Допустив, что AD=AE=rx, он получает AE=rx =.

2 + cosx

Во второй половине XV в. и в начале XVI в. жил гениальный ученый, художник и инженер Леонардо да Винчи (1452—1519). Считая квадратуру круга с помощью циркуля и линейки невозможной, Леонардо да Винчи предложил способ квадратуры круга с

помощью цилиндра, ширина

которого равна половине его радиуса. Если катить этот цилиндр ио плоскости, то-при полном обороте его прямоугольный след бу

дет иметь площадь, равную площади круга:

R2лВ- — = лВ2.

2

В конце XVI и в начале XVII в. европейскими математиками на пути применения метода Архимеда была получена такая

точность для отношения окружности к диаметру, которая превосходила результаты математиков стран Востока. Упомянем здесь результаты двух из них. А. ван Ромен с помощью 230- угольников получил в 1597 г. л с 17 верными десятичными знаками. Голландский математик Лудольф ван Цейлен (1539 — 1610) в 1597 г. с помощью 60-229-угольников получил 20 верных десятичных знаков для л, а в дальнейшем с помощью 262-угольников он получил л с 35 верными десятичными знаками. Это в то время произвело большое впечатление, и число л после этого часто стали называть «лудольфово число».

Голландский математик и инженер Адриан Меций (1571— 1635), так же как и Лудольф ван Цейлен, стремясь опровергнуть утверждение француза Симона Дюшена о том, что будто бы круг равновелик квадрату, сторона которого равна —

диаметра (откуда л=3,1425), в начале XVII в. получил ."для л

377 границы — и377 границы — и333—, а затем, 1С6333—, а затем, 1С6взяв среднеевзяв среднееарифметическоеарифметическое

377 границы — и

377 границы — и

333

—, а затем, 1С6

333

—, а затем, 1С6

взяв среднее

взяв среднее

арифметическое

арифметическое

числителей и знаменателей, он. переоткрыл одну из подходящих дробей при разложении л в непрерывную дробь —, дающую для л шесть верных знаков.

Хотя Лудольф и другие математики этого времени проделали колоссальную работу и получили с большой точностью л, но в их методах получения значений л не было ничего принципиально нового, да и точность такая не имела уже практического значения.

Принципиально новые шаги в истории квадратуры круга сделали в то время Виет, Кеплер, Снеллий и Гюйгенс.

И. Кеплер (1571—1630) — знаменитый астроном и математик. С необходимостью вычисления площадей, ограниченных кривыми линиями, в частности эллипсами, он встретился и в астрономии, в том числе и при -установлении законов движения планет. Что касается идей Архимеда, связанных с квадратурой круга, то это ему особенно было нужно при вычислении объемов некоторых тел вращения.

В широко известной книге «Стереометрия винных бочек» Кеплер писал: «Прежде всего потребовалось знание отношения окружности к диаметру. Архимед показал: отношение окружности к диаметру близко к отношению чисел 22 к 7». - Далее он говорит, что число Архимеда верное и что «если диаметр круга разделить на 20 000 000 000 000 000 частей, то таких частей в

окружности будет почти 62 831 853 071 795 862». Но если в этой работе Кеплер пользуется готовыми результатами для отношения длины окружности . к диаметру, то, как он сам сообщает, здесь, «з сочинении о движении Марса я показал, что длина эллиптической кривой относится к среднему арифметическому его диаметров, называемых прямой и поперечной осями, тоже почти как 22 к 7»6. Затем Кеплер рассматривает вторую теорему Архимеда из «Измерения круга». «Площадь круга при сравнении с квадратом диаметра имеет (к нему) отношение почти как 11 к 14». Доказательство Кеплера этой теоремы отличается от доказательства Архимеда. Кеплер использует здесь теорему Архимеда о том, что площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен длине окружности этого круга, а второй катет равен его радиусу. Причем справедливость последней теоремы он доказывает способом, отличным от способа Архимеда; Кеплер "говорит, что если ВС равна окружности I (рис. 39), то в ней столько же точек, как и в

окружности. Разбив круг на сектора (треугольники), в основании которых точки, сравним затем эти треугольники с соответствующими треугольниками, на которые разбивается треугольник АВС, в основании которых тоже точки (на ВС). Эти треугольники равны между собой, а следовательно, площадь круга равна площади треугольника АВС. Если диаметр круга равен 7, а /=ВС=22, то квадрат диаметра d2=49, ВЕ=ЕС=11,

АВ —3—. Площадь треугольника АВС, равная площади круга, равна и площади прямоугольника ADEB. Следовательно,

Sa abc=S □ adeb= 11 -3~ =38 ~уи S«p:d2«38 ": 49=77:

: 98 = 11 : 14.

В своих дополнениях к Архимеду Кеплер формулирует и доказывает ряд теорем, связанных тоже с квадратурой круга.

Например, «Площадь кругового сектора (составленного прямыми, проведенными из центра, и стягивающей их дугой) равна прямоугольнику, построенному на радиусе и половине дуги». «Площадь меньшего сегмента круга (части, отсеченной от круга прямой) меньше площади сектора на треугольник, ограниченный прямыми сектора и сегмента, а площадь большего сегмента на столько же больше площади «соответствующего сектора». Такого рода «дополнения» могли натолкнуть Снеллия, Гюйгенса и других на мысль об улучшении способа Архимеда при вычислении числа л. В работах Кеплера было показано, что результаты Архимеда можно получить и другими, более простыми способами. Идеи Кеплера сыграли в дальнейшем большую роль в развитии интегрального исчисления и тем самым способствовали созданию необходимых условий для окончательного решения задачи о квадратуре круга в ее классической формулировке.

рПольский математик Ко-

_—ханский (1631 — 1700) в ^х\*685 г. дал оригинальный при-

/>А -ем приближенного спрямления

/у4окружности. Пусть дана

I ,—~у1^4окружность ADC (рис. 40), ра-

ду' / ]/диус которой АВ —1. AI — ка-

/\/ j 1 у х^ сательная к окружности в кон- I /^ У—,X це диаметра круга АС. Из точ-

I ' Д/У4 ^ н 7 ки А, как из центра, радиусом У—хАВ описываем дугу EDB, а из

точки D, как из центра, тем же Ри'с- 40-радиусом АВ описываем дугу

ЕАВ. От точки пересечения BE и А1, т. е. от точки F, на прямой А1 откладываем отрезки FG=GH = HI=AB = 1. Соединяем точки С и I. Тогда

3,141533,3,141533,

3,141533,

3,141533,

т. е. отрезок С1«л — приближенно равен длине полуокружности АКС.

До Снеллия, пользуясь методом Архимеда, обычно считали, что для получения большей точности для л нужно брать п-уголь- ники все с большим числом сторон. Снеллий (1580—1625) в книге «Cyclometricus» (1621) пришел к правильному выводу о том, что «для приближенного вычисления длины дуги окружности с весьма большой точностью нет необходимости брать много-

Рис. 41.Рис. 41.

Рис. 41.

Рис. 41.

угольники с большим числом сторон». Так, например, у Архимеда 6-угольники для л давали границы 3 и 3,464, у Снеллия 6-угольники давали пределы для л: 3,14022 и 3,14160, а с помощью 96-угольников Снеллий получал границы: 3,1415926272 и 3,141928320. Правда, Снеллию не удалось доказать двух теорем, которые лежат в основании его исследований [80; 55].

Наиболее полно и доказательно провел исследования в'этом направлении нидерландский механик, физик и математик Христиан Гюйгенс (1629—1695). В 1654 г. появилось знаменитое сочинение Гюйгенса «О найденной величине круга» [80; 105— 166], ставшее классическим. Об этой работе Гюйгенса в-«Обзоре истории задачи о квадратуре круга от древности до наших дней» Рудио справедливо говорит, что она «не только составляет эпоху для теории измерения круга, но и принадлежит бесспорно к числу прекраснейших и важнейших работ, которые когда-либо были написаны по элементарной геометрии... она принадлежит к тем сочинениям, которые должны быть прочитаны каждым, кто интересуется историей математики». Гюйгенсу было только 25 лет, когда он написал это произведение, показав в нем научную зрелость. Мы, естественно, не можем здесь изложить содержание всей этой большой работы, включающей в себя 16 теорем и 4 задачи.

Рассмотрим в качестве примера только доказательство шестой теоремы и решение первой задачи Гюйгенса.

В шестой теореме утверждается, что .«всякий круг меньше

двух третей описанного около него равностороннего многоуголь ника, увеличенного на одну треть площади подобного ему впи санного многоугольника». До- г

кажем справедливость этой теоремы, для п=6. Доказательство для других п аналогично. Пусть дан круг с центром в точке А (рис. 41). Впишем и опишем правильные 6- угольники. Проведем радиусы. АВ и АС. Так как боковые стороны треугольника ВЕС, имеющего общее основание с сегментом BDC, касаются последнего, то этот сегмент на основании теоремы четвертой—менее двух третей треугольника ВЕС. Если теперь к треугольнику АВС прибавить 2/з тре-

угольника ВЕС, т. е. 2/3 разности между четырехугольником АВСЕ и треугольником АВС, то полученная площадь будет больше, чем круговой сектор АВС. Или иначе

2

8 А авс —|—-[Завес—8 Л авс] > Sabcd.

Откуда следует, что

'2‘1

SaBDC<28авес4- S △ ABC33

или площадь круга 21

SkP < — S6+ — S'6 (8'бпл.вп. в уГ.), что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь «задачу первую», которая читается так: «Найти отношение длины окружности к диаметру с какой угодно точностью».

Решение этой задачи: пусть радиус круга R=10 000, диаметр d=20 000 единиц, тогда сторона вписанного в круг 12-угольни- ка (вычисленная по формуле ai2=R V~2—V3) больше, чем

5176—, и Р12=12а12>62116— . Но Р6=60000, 82

1111

Pi2—Ре> 2116 —; — 2116— =705—, откуда имеем23S2

11_

— (Р12—Ре)>705—.Следовательно, Pi2+ — (Р12—Ре)>62822.

323

На основании седьмой теоремы можно утверждать, что дли

на окружностиС>Р12+—(Р12—Ре) >62822.Но 62822:

10_ 10

:20 000>3 — , a C:d>3— . С другой стороны, так как 7171

2

312<5176 —и сторона описанного 12-угольника bi2<5359, то 5

112

— Pi2«8ai2<41411—, —■ P'i2=4bi2<21436. Откуда — Р12+

53о

+ —-P'i2 <62847 —.По теореме 9 длина окружности

3.5

с11

с <62847 — и —<62847—/20 000 <62857— :20000 = 3 — .

5 d577

Следовательно, вписанные и описанные 12-угольники у Гюйгенса дают величину л с неменьшей точностью, чем 96-угольники v Архимеда. Это была вершина в применении геометрических С

методов при вычислении отношения — = л, на смену которым d

пришли затем аналитические методы.

Аналитические средства представления и вычисления С'

— =л. По мере углубления в существо проблемы квадратуры

круга математики, начиная с Архимеда, все яснее себе представляли, что дело сводится здесь, прежде всего, к определению с

отношения длины окружности к диаметру, т. е. — = л. Но если

до конца XVI—XVII вв. выражение этого отношения в работах некоторых (особенно индийских математиков) и выступало, с нашей точки зрения, в виде формул и рядов, то все же фактически все их рецепты «одевались» в основном в геометрическую «одежду», так как до XVII в. по существу еще не было ни формульной алгебры, ни анализа. Появление буквенной алгебры й анализа позволило дать аналитические средства (формулы, бесконечные произведения, ряды и непрерывные дроби) для вычисления л. Открытие формул, составленных из бесконечного повторения операций над известными числами, упрости

ло приемы вычисления л. ' „

Бесконечные произведения. Французского математика *Виета (1540—1603) считают основоположником буквенной алгебры; он же фактически был первым математиком, давшим формулу для вычисления л с какой угодно степенью точности.

Он исходил из следующей теоремы: Если в круг вписать два правильных многоугольника, из которых второй имеет вдвое больше сторон, чем первый, то площадь второго многоугольника так относится к площади первого, как радиус относится к апо

феме.

2R2—2R2R2—2R8181Пользуясь этой теоремой, можно получить вывод формулы Виеты. Пусть дан круг радиуса R. Впишем в него квадрат со стороной щ=КУ2, восьмиугольник со стороной #8=R ^2—V2 (рис. 42) и воспользуемся формулой

2R2—2R

2R2—2R

81

81

6 С. Е. Белозеров

S8SiS8Si2 .правые2 .правыеpOPipOPiS32S161S32S1612части полученных равенств2части полученных равенств>•16Ss>•16SsSan S?San S?San SnSan SnРис. 42.

S8

Si

S8

Si

2 .

правые

2 .

правые

p

OPi

p

OPi

S32

S16

1

S32

S16

1

2

части полученных равенств

2

части полученных равенств

>•16

Ss

>•16

Ss

San S?

San S?

San Sn

San Sn

По приведенной выше теореме получаем

КGP.КGP.R"RR"RИ если перемножим левые и то будем иметь

К

GP.

К

GP.

R"R

R"R

Ss Sie

s4s4или8211 =или8211 =2222S4 Ss •

s4

s4

или

8211 =

или

8211 =

22

22

приприл1п—►CoSxa—^Экр^ , 84 = 04=— 42л1п—►CoSxa—^Экр^ , 84 = 04=— 42

при

при

л1

п—►CoSxa—^Экр^ , 84 = 04=— 42

л1

п—►CoSxa—^Экр^ , 84 = 04=— 42

Эта формула Виета, полученная в конце XVI в., явилась пер* вым аналитическим выражением для числа л и первым приме* ром выражения числа в виде бесконечного произведения.

В XVII в. начал совершаться переход от феодализма к капитализму, появились благоприятные условия для развития астрономии и механики, что в свою очередь стимулировало создание математики переменных величин.

Появление анализа бесконечно малых в XVII в. оказало сильное влияние и на направление работ, связанных с квадра* турой круга.

Во второй половине XVII и в XVIII вв. главное внимание при решении задачи о квадратуре круга было обращено на разыскание аналитических выражений для отношения длины окружности к диаметру. И так как многим математикам на этом пути удавалось получать все новые и новые формы аналитического выражения для л, а возможности прежних элементарных методов были в работе Гюйгенса исчерпаны^ то методы анализа заняли в то время ведущее место.

Поскольку был уже известен пример Виета, то естественно было попытаться дать выражение для л в виде бесконечного произведения, освободившись только от иррациональных мно- житёлей, которыми неудобно было пользоваться при вычислении л. Первый результат в этом направлении был получен английским математиком Валдисом (1616—1703) в известной его работе «Aritmetica infinitomm» (1656).

При получении своей формулы Валлис, мы бы сказали, отправлялся от интеграла j ^(х—x2)*dx. Сначала он находит значения этого интеграла при целых положительных и получает

£<х - x2)”dx£<х - x2)”dx2n+i (2n)l2n+i (2n)l

£<х - x2)”dx

£<х - x2)”dx

2n+i (2n)l

2n+i (2n)l

Затем без каких-либо обоснований, по аналогии, Валлис рассматривает указанный интеграл для дробных и отрицательных п. Он получает, в частности,

Г1—1/1

L (X—Х2)2 dx= ' I .

Jo2 \7

Но этот интеграл, как известно, выражает площадь полукруга

с радиусом Н = — и центром в точке О I —»О 1 ..

Следовательно, л I / 1 . \ 241

— ~— —I , а —.= --о-.

82 2 * / л / J_|]

\ 2 /

/ 1 . \2

Пытаясь раскрыть смысл I у! I , Валлис использует интеграл

нГ, -\ч , piq!

| 11 — хр dx= ,

J°V 1 (р + q)!

который при Р= — и q=-r- совпадает с рассмотренным вы

ше, и путем мало обоснованных операций [см. 93; 275] получает «еравенства

П[(2п—-I)!]» -/" 2п > 2П[(2п,— 1)J]2 , Л2n + 1

П(2п!)*|/ 2п — 1 л "П(2п!)2|/ 2п

При увеличении п до бесконечности число соответствующих множителей в этих неравенствах будет возрастать, а множители

_ Г 2п/2П + 1V 2П— 1 и ]/ ~2п_ Г 2п/2П + 1V 2П— 1 и ]/ ~2пбудут стремиться к единице.будут стремиться к единице.

_ Г 2п/2П + 1

V 2П— 1 и ]/ ~2п

_ Г 2п/2П + 1

V 2П— 1 и ]/ ~2п

будут стремиться к единице.

будут стремиться к единице.

Тогда — будет пределом произведения

(2п — 1)8 л 2-2-4. 4 • 6 • 6 • 8 • 8 ...

П , а — = .

H=t (2п)821 - 3 • 3 • 5 • 5 • 7 • 7 • 9 ...

Это и есть формула, которая в наше время называется формулой Валлиса. Она находила и находит свое применение в науке, хотя л по ней теперь не вычисляют.

В дальнейшем эту формулу получали строго обоснованными способами. Так, например, Эйлер, используя разложение в бесконечное произведение

(х2 \ /X 2 \ /

1II 1—: I 1

л2 у ^4л2 у у

л

и полагая х = -— , получил

л _2-2-4 4-6-б-8-8...V ~ 1 3 • 3 • 5 • 5 • 7 ■ 7 • 9 ..л _2-2-4 4-6-б-8-8...V ~ 1 3 • 3 • 5 • 5 • 7 ■ 7 • 9 ..Откуда

л _2-2-4 4-6-б-8-8...

V ~ 1 3 • 3 • 5 • 5 • 7 ■ 7 • 9 ..

л _2-2-4 4-6-б-8-8...

V ~ 1 3 • 3 • 5 • 5 • 7 ■ 7 • 9 ..

Но в этом случае, как видно, надо знать разложение sinx в про* изведение. .

Затем формулу Валлиса стали получать в интегральном исчислении с помощью рекурентной формулы

1Л

1т—2 где 1т = Usin“xdx.тJ

Применяя эту формулу, получим гс(m — 1) НПрименяя эту формулу, получим гс(m — 1) НС2J sin“xdx=ОС2J sin“xdx=От!!(т — 1)1!т!!т!!(т — 1)1!т!!——(т — четное)——(т — четное)(т — нечетное)*(т — нечетное)*О

Применяя эту формулу, получим гс(m — 1) Н

Применяя эту формулу, получим гс(m — 1) Н

С2

J sin“xdx=

О

С2

J sin“xdx=

О

т!!

(т — 1)1!т!!

т!!

(т — 1)1!т!!

——(т — четное)

——(т — четное)

(т — нечетное)*

(т — нечетное)*

интервале от 0 до — имеем 2

sin2»+ix <sin2nx <sin2®_‘ х.z

Проинтегрировав эти неравенства от 0 до — , получим

2п!1(2п — 1)!! л (2п — 2)11

"— <<

(2п+1)!!2п!12(2n— 1)!!

[

toll Hi * Г ЗИП V J 1<1—<г 11- — . (2п1)!! J 2н+ 12[ (to — 1|Я j to

Так как при п—►°0 крайние выражения стремятся к одному пределу, то и получается формула

J^_hm Г 2н»12 1 8

2В—*°°[(2п—1)1! ] to + I

Ряды,. Более распространенной и удобной аналитической формой представления я оказались ряды.

Хотя фактическое пользование рядами можно усмотреть еще у Архимеда и особенно у индийских ученых, но создание основ теории рядов и систематическое использование их начинается только во второй половине XVII в.

Одним из первых математиков, прибегавших к иомоши числовых рядов, был английский математик Джемс Грегори (№35— 1675). Он дал числовой ряд для выражения я. Познакомившись с методами разложения*функций в ряды по работам Н. Меркатора и И. Ньютона, Грегори стал вычислять круговые функции с помощью рядов. В частности, получив в 1671 г. ряд

X3 X5

arctgx=x——4- -—...

и положив х= 1, он нашел ряд для вычисления л.

Этот ряд теперь обычно называют рядом Лейбница. Лейбниц (1646—1716), действительно, независимо от Грегори получил его в 1673 г.

Это был фактически первый ряд для вычисления я. И хотя он, как известно, медленно сходящийся ряд, все же нм пользоваться удобнее, чем формулой Валлиса и тем более — формулой Виеты.

Вскоре после появления ряда Лейбница математики получили другие ряды, более пригодные для вычисления я. Особенно большой вклад в разработку теории рядов внес И. Ньютон (1642—1727); он же дал и некоторые аналитические выражения с

для — =я. В частности, в работе «Метод флюксий и беско- d

печных рядов» Ньютон рассматривал ряды

XsXея11,1

arctgx=x1...и — — arctgx=I...

352х Зх1 . 5х>

При вычислении площади круга с диаметром d=l он отправляется от интеграла Jo Ух—x2dx. Разлагает в ряд подинтегральную функцию, интегрирует его и получает площадь круга, делит

ее на —d и получает длину окружности или 4

.4=3,14155926535897928 [79; 127].

Необходимость более точного и более быстрого вычисления л особенно ощущали астрономы. Так, по указанию Галлея англичанин Абрагам Шарп в начале XVIII в., занимаясь вычислением значения л, нашел 72 верных десятичных знака. С этой целью он использовал ряд, в который разлагается arctgx.

При х= 2= этот ряд

1л 1

arctg -= = — “ — УЗ6уз

сходится значительно быстрее, чем ряд Лейбница. Лондонский профессор астроном Мэшин в 1706 г., используя формулу

л11Г 1111

—=4arctgarctg — =4Р... —

5239[ 53 • 535 • 557 • 5’

_ " 1 1 _ 1 1

2393 < 2393 ' 5 • 239=7 • 239’

вычислил л со 100 верными десятичными знаками. Француз де Ланьи с помощью рядов в 1719 г. нашел 127 верных десятичных знаков числа л.

В XVIII и XIX вв. многие математики занимались нахождением новых десятичных знаков л. Причем отыскание все большего числа десятичных знаков числа л уже приобретало скорее спортивный, чем практический интерес, так как для практики такое большое число десятичных знаков не требовалось.

О вычислении л с помощью'рядов речь будет идти и в дальнейшем, особенно при рассмотрении результатов исследований этой проблемы Л. Эйлером (стр. 91). Теперь же мы остановимся еще на одной форме аналитического представления л, появившейся в математике тоже в XVII—XVIII вв. Речь пойдет о непрерывных дробях11.

Непрерывные дроби. В зачаточном состоянии непрерывные дробя встречаются уже у Бомбелли (XVI в.). В XVII в. ими

пользовались Валлис, Броункер и Гюйгенс, но теория этих дробей была создана в XVIII в. Л. Эйлером и Лагранжем. *

Броункер (1620—1684) впервые представил валлисово число

441

— в виде непрерывной дроби —

Сам Броункер не дал строгого доказательства справедливости

4

такого представления числа , но Валлис это убедительно обосновал.

В дальнейшем многие математики конца XVII и XVIII вв. использовали непрерывные дроби для представления с их по- * мощью чисел

л4л4л — е + 1

л

4

л

4

— л, Тл, е, ,е ,..

22

Но наибольший вклад в разработку и этой части математики внес Л. Эйлер.

Представление е и л в виде непрерывной-дроби тоже позволило вычислять с большой точностью эти числа и, кроме того, оно заставляло математиков задуматься над природой е и л и помогло решить некоторые важные вопросы проблемы квадратуры круга.

Число л в трудах Л. Эйлера

В XVIII в. основное направление в попытках решения задачи о квадратуре круга было аналитическое представление числа л и вычисление его все с большим числам верных десятичных знаков с помощью рядов, произведений и непрерывных дробей.

Очень многие математики XVIII столетия прилагали свои усилия к решению некоторых вопросов, связанных с квадратурой круга и с квадрированием луночек. Среди имен этих математиков встречаем Д. Бернулли, Крафта, Валлениуса, Ламберта, Лагранжа, Лежандра и др. Мы остановимся дальше на характеристике результатов работ только некоторых из них.

Особенно важные результаты для аналитического представления чисел е и л и для подхода к выяснению их арифметической природы были получены Л. Эйлером (1707—1783). Проблеме измерения круга Эйлер уделял много внимания. Одни из его результатов непосредственно относились к квадратуре круга, исключительно важное значение других из них было высоко

оценено и использовано для выяснения природы л только в. дальнейшем.

Выше было указано, что заслугой Эйлера является утверждение в математике обозначения отношения окружности к диа- С

метру -у буквой л. Он же ввел для обозначения основания натуральных логарифмов букву е.

Для решения некоторых вопросов принципиального характера, связанных с квадратурой круга, большое значение в дальнейшем имело то, что Эйлер создал элементарную тригонометрию как науку, изучающую свойства функций sinx, cosx, tgx,... Особенно важными оказались установленные им формулы е±и = С082±18№2,

Z , Z2где ^=1+—+ —+-

Открытие формул, связывающих показательные и тригонометрические функции, оказало большое влияние на всю математику. Формулы e±lz=cosz±isinz явились исходным пунктом всех, исследований природы л.

В частности формулы е'>л =—1,. e2ni = l, выражающие основную зависимость между е и л, послужили ключом для решения вопроса о квадратуре круга.

Роль Эйлера в истории квадратуры круга освещена в специальном разделе указанной работы Ф. Рудио [80] и в статье А. П. Юшкевича [105].

Эйлер на протяжении всего периода научной деятельности в той или иной мере интересовался этой проблемой. Академия наук несколько раз поручала ему критический разбор сочинений «квадратурщиков», утверждавших, что им удалось сквадриро- вать круг. Он рассматривал работы Григория из с. Винценты (1730), Лейстнера (1737), академического механика Брукнера (1738), архитектора Тибо из Авиньона (1750), Пишеля из Мита- вы (1754), церковного старосты Г. Варнгольца (1774), Робер- гера де Возанвилля (1780) и др. Указывая на ошибки в этих работах, иногда резко критикуя авторов за математическую безграмотность, Л. Эйлер вместе с тем часто сопровождал эту критику своими оригинальными изысканиями и рассуждениями в данной области. До Л. Эйлера, как известно, были получены многие важные результаты в измерении кругщ

Однако природа числа л оставалась столь же неизвестна, как и в древности, т. е. не известно было рациональное ли это число или нет; вопрос о возможности квадратуры круга с помощью циркуля и линейки оставался столь же темным, как и-

во времена Архимеда. Некоторые Академии объявляли премии за решение этой задачи и старались отвечать всем авторам «найденных квадратур круга», не была еще найдена и соответствующая формулировка вопроса, пригодная для научного исследования. Состояние анализа, алгебры и геометрии не позволяло еще окончательно решить знаменитые древние задачи. Эйлеру предстояло разобраться во многих неясных вопросах, связанных с квадратурой круга, и попытаться внести ясность в некоторые из них.

Уже в первом письме Эйлера к Гольдбаху (24/Х-1729 г.) выявлены некоторые новые свойства числа л. Рассматривая

f (п) =п! при п= — он получает

= yV-l In (—I)12,

что по его мнению равно^ стороне квадрата, равновеликого кругу с диаметром 1, т. е. ^L. «Из последнего ясно, — пишет Эйлер, — что природа вопроса не позволяет, численно выразить общий член» т. е. выразить Ул в виде рационального числа. Это, конечно, не было еще доказательством иррациональности числа л, но из этого видно, что уже в то время молодой Эйлер начинал понимать природу числа и трудность задачи квадратуры круга. В это время Эйлер, по-в,идимому, не исключал еще возможность точного выражения л с помощью простых иррациональностей и логарифмов рациональных чисел. Это видно из того, что когда он обнаружил в работе Григория из с. Винценты выражение для л в виде

3(1 + А) уз, /ИХ 5_

» где А = с I ’2(2А — 1)\ 5 /1п-^

то он писал Гольдбаху (15/VL-1730 г.): «Это выражение очень 22

близко к у- (и если бы оно оказалось верным, то конечно, это ’было бы большое открытие». Но в дальнейшем Эйлер обнаружил ошибку в этой формуле. Эйлер рассматривал и геометрические методы приближенного решения задачи, и механические способы квадратуры круга, но особенно много внимания он уделял аналитическим средствам представления и вычисления л, а

также выяснению природы этого числа. В письмах Гольдбаху (1730) Эйлер предлагал вычислять л с помощью ряда

„1 • х3 ,1 • Зх5

8=х+Ч-■ ■ ■ >

2 • 3b82 • 4 • 5b4

где b — диаметр окружности, х — какая-либо хорда; 8 — данная дуга;' при этом целесообразно брать хорды, соответствующие малым частям окружности, иррациональными. Он предлагал вычислять лис помощью выражения

х 4 • 16 • 36... (2п)8/~аГ+Т

411+п)9 . 25.49 (2п + 1)2 у 2п + 3 ’ которое, будучи больше л, приближается к этому числу по мере увеличения п. Эйлер использовал некоторые модификации рядов и бесконечных произведений для- представления л, полученных Грегори, Лейбницем и Ньютоном, а также изыскивал -сам новые средства для этого. Он стремился к более полному использованию аналитических средств, полученных им при разработке анализа, для вычисления л. Особое предпочтение при этом он отдавал «сильно сходящимся» рядам, т. е. таким рядам, у которых «всякий член много меньше предыдущего». Он предложил большое число рядов для вычисления л, но чаще прибегал к помощи рядов, получавшихся из разложения arctgx. Им был получен ряд формул, в том числе

л -1111

— =arctg — +arctg — =2 arctg —+arctg —, 423- 37

где ряд в правой части, в который разлагается сумма арктангенсов, быстро сходится. Он использовал также

л' 11

— =4arctgarctg — ;

46 56 239

л11’.

— =4arctg — —arctg — 4-arctg —

3-1 др.

Рассматривая

(1+az) (l-f-₽z) (l+yz)..- = l+Az+Bz2+Cz3+---, он говорит [102; 156], что А будет равно

•®4-P4~y4" • •,В = ар+ау+аб+ру+• • •, С=аРу+арб+• • •.

В частности, доказав, что

он полагает х2=л2г и получает

л2 л4/1\ /1\ /1\

1 Л_ —zHz24= (1+z) Ц- —z 1+ —z 1+ —г

3!5!V Д ” 4 Д *9 Д 16 /

Откуда следует, что

л23!л23!

л2

3!

л2

3!

Здесь же он получает ряд других формул:

22

1

1

, 1

1

• Л4 =

= 14™ —

—

-ь—+

5!

3

• 24

З4

44

24

1 „

1

1

л6 =

14~

н+

L . .

7!

3

2е

з6

46 ‘

26

3

1

, 1

1

—-.

Л8™

: 14—г"

44-

_|_ .

9!

5

28

з8

48

Эйлер дал множество разложений лив бесконечные произве

дения:

л

3

5

7

bi 4з_

1719

23

4

4

4

8

1212

1620

24‘ :

л2

_ 22

З2

52

72

Ы2

132

172

6

~ 3

2 • 4

4 • 6

* 6^8

10 • 12

12 • 14

16 • 18“'

22

З2

1

•=1+ ^

З2

22

1 З2

— 1

л4 24 З4 5474Г14

9О” ~ 2^13^— 1 ' 54 — 174 — 1 И4 — 1

16151615^ .г+д+...

16

15

16

15

80 62424 , 3*

Большим вкладом Эйлера является и разработанная им теория

непрерывных дробей, использованная затем и в качестве представления чисел е и л и в выяснении природы этих чисел,

Эйлер впервые ввел название «непрерывная дробь» и создал теорию непрерывных дробей. Особенно полно эту теорию он изложил во «Введении» [102; XVIII гл.]. Для получения приближенных значений л большую роль играют так называемые подходящие дроби, которые получаются из непрерывной дроби

<l!+ —j— » если последнюю обрывать на каком-то шаге

■ 42 +

Чз + ...

РпРп-1 Чп + Рп—2

Qn Qn—1 Qn + Qn—2

Так, например, известно, что У59=7+

Первые подходящие дроби в этом случае

2

з

Эйлер доказал теорему, устанавливающую связь между рядами я непрерывными дробями: «Если все члены ряда будут дробны- 11,11

ми числами, т. е. х= -—р —]-, х выразится та

кой непрерывной дробью х= —-—

Взяв ряд

л1I11

2=1р1_

43579

он получает

л I

'+25

+ 2ТТ

Беря обратную дробь, он получает

4

2 +

2+2~

что подтверждает правильность разложения Броункера. В чис- , .355'

ле подходящих дробей для л находится и значение — = 113

=3,1415929... Разлагая в непрерывные дроби числа (а и

b — целые), УО (D — не кратная степень п), е и л, Эйлер отме-' чал существенные различия в их разложениях и приходил к выводу о различии природы этих чисел. Но вклад Эйлера в решение задачи о квадратуре круга не ограничивался созданием теории аналитических средств, необходимых для выяснения природы числа л. Он разрабатывал и геометрические способы приближенного спрямления дуги окружности. Причем непосредственным поводом для разработки этих способов для него, так же как и для некоторых других математиков XVIII в., служили письма квадратурщиков, на которые Академии наук поручали им отвечать. Так, например, Л. Эйлер, при рассмотрении работы о квадратуре круга академического механика Брукнера не ограничился указанием на приближенное решение этой задачи автором и Гюйгенсом, но предложил и свой способ построения л, дающий более точное значение этой величины [105].

В отзыве на работу Брукнера (1738 г.) Эйлер дает слое построение и высказывает некоторые важные соображения об этой задаче.

Эйлер предлагает такое приближенное решение этой задачи: дана полуокружность ADB с центром в С, которая в точке D делится пополам, а в точке Е делится пополам дуга АО (рис. 43). На продолжении прямой АО откладываем DI = АО. Из точки I радиусом IE описываем окружность, которая пересе-

чет AD в точке G. На ЕС откладываем FH = FG, а на продолжен нии DA отложим АК=ЕН. И Эйлер утверждает тогда, что,

1К=ВПА=лй14.

В этом случае значение л равно 3,14149. Таким образом, Эйслер получает результат с погрешностью в 10“4, т. е. в 30 раз. меньшей, чем у Брукнера. Эйлер указывает, что есть способы (например, способ Меция), дающие возможность еще больше, приблизиться к истинной длине окружности, никогда не получая ее. Далее Эйлер дает построение для приближения лучше-, го, чем у Гюйгенса [35; 162] и получает л=3,1415916.

Способы Бюффона и Маскерони вычисления л

Французский естествоиспытатель Бюффон (1707—1788) в,. 1777 г. опубликовал оригинальный способ вычисления л, известный в литературе под названием «Задача Бюффона». Существо этого способа кратко можно изложить так. Лист бумаги (плоскость) разграфлен параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2а. На него бросается («наудачу») игла, длины 2/ (/<а) (рис. 44, а, б). Требуется^найти вероятность пересечения иглы с какой-либо из этих прямых.

При решении этой задачи обозначают через х расстояние от центра иглы до ближайшей параллели, а угол, составленный иглой с этой параллелью, через qp (см. рис. 44, а). Тогда х и ф вполне определяют положение иглы. Все возможные положения иглы определяются точками прямоугольника со сторонами а и

XXРис. 44.Рис. 44.

X

X

Рис. 44.

Рис. 44.

•л- (см. рис. 44, б). Из рис. 44, а видно, что для пересечения иглы

-с параллелью необходимо и достаточно, чтобы x^/sinq).

Из сделанных предположений следует, что искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной области на рис. 44, б к площади прямоугольника со сторонами а и л. Следовательно, вероятность

лj /sin<pdфр=-аллj /sin<pdфр=-ал2/ал2/алл=л=2/ар2/ар

л

j /sin<pdф

р=-

ал

л

j /sin<pdф

р=-

ал

2/

ал

2/

ал

л=

л=

2/

ар

2/

ар

А так как вероятность Р приближенно (в зависимости от числа бросаний иглы) равна отношению числа пересечений к числу бросаний иглы, то получается приближенная формула для вычисления числа л:

л~л~2/п ат2/п ат

л~

л~

2/п ат

2/п ат

где п — число бросаний иглы; т — число наблюдённых при этом

пересечений. Этот способ в дальнейшем проверялся многими ли

цами. Так, например, Лацдарини в 1901 г. бросал иглу 3408 раз и получил значение л=3,1415929.

Итальянский геометр Маскерони (1750—1800) в 1797 г. дал простой, и практически ценный прием приближенного спрямления окружности с помощью одного циркуля. Как это делается? Описываем окружность с радиусом г—1. Этим же раствором циркуля, начиная от некоторой точки окружности А (рис. 45), делаем засечки В, С, D. Тогда точки А, В,

C, D будут вершинами правильного шестиугольника. Из точек А и D, как из центров, радиусом AC = DB проводим дуги СЕ и BE. Затем из точки В, как из центра, радиусом BE проводим дугу ЕМ, где М — точка пересечения этой дуги с основной окружностью. Тогда•

АМ=у(К9—ЗУ6+К 1+У6 ^=1,5712- --«у л

(«точное» же значение — = 1,57079...).

Предположения о невозможности квадратуры кругас помощью циркуля и линейки .

Еще у некоторых ученых Древней Греции, по-видимому, возникали сомнения о возможности решения пяти конструктивных задач, в том числе и квадратуры круга, циркулем и линейкой. Это видао и из того, что многие из них искали новые средства (кривые, инструменты) для решения этих задач. В рассматриваемый период эти сомнения усилились. Повысился интерес к проникновению в сущность числа л.

Ал-Бируни (X—XI вв.) в «Канон Масуд» писал: «Окружность круга к его диаметру составляет отношение... но это отношение иррационально». Ал-Каши (XIV—XV вв.) в «Трактате об окружности», получив 17 верных знаков для л, вместе с тем указывал, что «всей истины этого (т. е. точного значения л — С. Б.) не знает никто, кроме Аллаха».

Нилоканта (XV—XVI в.в.) в «Научном сборнике» утверждал, что диаметр с окружностью «несоизмеримы» [103; 160].

Немецкий математик М. Штифель в «Общей арифметике» (1545) утверждал, что не существует «выражаемого и невыра- жаемого, т. е. рационального и иррационального (в виде ради- с

кала) числа для -у . Квадратура круга превосходит разум вычислителя из смертных людей».

Мысль о невозможности квадратуры круга циркулем и линейкой высказывали Леонардо да Винчи, X. Штурм, Гюйгенс, Грегори, Чирнгаузен, Ньютон и др.

Крафт (XVIII в.) в работе о квадратуре круга хотя и не утверждал, что она невозможна циркулем и линейкой, но считал, что «доказательство невозможности имело бы не меньшее значение, чем положительное решение».

Особенно большую роль в подготовке почвы для перехода к новому периоду в истории квадратуры круга сыграли результаты работ Эйлера, его предположения о характере числа л. Уже

97977 С. Е. Белозеров

97

97

в отзыве на работу Брукнера он писал: «Абсолютно невозможно, чтобы удалось найти совершенно точный способ спрямления дуги... и все прилагаемые к этому усилия, труд и затраты теряются впустую» [105; 177]. Во «Введении в анализ», (1748), говоря о круге с радиусом R=l, он утверждал: «Достаточно ясно, что окружность этого круга рациональными числами точно выразить нельзя» [102; 123]. В дальнейшем Эйлер приходит к вы

. с

воду, что число у- = л не выражается «обыкновенными иррациональностями», а должно быть отнесено «к гораздо более высокому роду иррациональностей, которого можно достичь только посредством бесконечного повторения извлечения корней, и поэтому геометрически нельзя добиться большего, чем непрестанно, все более близкое выражение истинного отношения окружности к диаметру» [105; 187]. ,

И после того как он получил представление л в виде, непрерывной дроби и сравнил его с разложением в непрерывную дробь алгебраической иррациональности, он писал в 1755 г.:*. «До сих пор представляется совершенно неясным, могут ли трансцендентные количества, включающие окружность .круга или логарифмы, выражаться через какие-либо радикальные, количества, ибо до сих пор невозможность этого никем не обнаружена. " Вместе с тем представляется вполне бесспорным, что окружность круга с диаметром d=l (С = л) не допускает выражения с помощью квадратных радикалов, так как иначе непрерывная дробь, равная л, должна была бы иметь периодические указатели, что однако никоим образом не. обнаруживается» [105; 188]. Если к этому добавить, как указывалось, что Эйлер утвердил обозначение -у через л, ввел обозначение основания натуральных логарифмов, через е, получил формулу е 1л4-1=0, кроме того, он начал делить иррациональности на «обыкновенные» и «трансцендентные» и т. д., то (становится ясно, что Эйлер понимал арифметическую природу числа л, хотя доказательства иррациональности и трансцендентности л было дано его последователями в следующий период истории этой задачи. . • .

Удвоение куба, трисекция углаи построение правильных многоугольников

Как видно из предыдущего, математики стран средневекового Востока и европейских стран эпохи Возрождения проявляли большой интерес к задаче о квадратуре круга. Но они проявляли интерес и к другим знаменитым задачам древности: удвое- 98

ние куба, трисекция угла, построение правильных многоугольников и квадрирование луночек. При этом они не только переводили соответствующие произведения древних на арабский и латинский языки и комментировали их, но и вносили свой вклад в разработку теории этих задач. В частности, они дали много новых геометрических способов точного и приближенного решения трех указанных задач, а также свели решение некоторых из них к отысканию численных значений корней кубических уравнений.

В странах ислама

Арабоязычные математики, переводя полностью или частично многие математические произведения древних греков на арабский язык и комментируя их, тем самым популяризировали результаты работ древнегреческих математиков -среди ученых стран ислама и сохраняли многие из этих сочинений древних греков для будущих поколений. Отправляясь обычно от результатов работ древних греков, арабоязычные математики вносили свой вклад и в теорию знаменитых задач древности.

Удвоение куба. Математики средневекового Востока, благодаря трудам древних греков, уже в IX в. были хорошо знакомы с задачами о построении двух средних пропорциональных между двумя данными величинами. Математики стран ислама знали, в частности, что Архимед встречался с необходимостью решать аналогичные задачи при установлении связи между объемами шара, конуса и цилиндра в произведении «О шаре и цилиндре» и при делении шара в данном отношении. Они были знакомы с некоторыми произведениями других древнегреческих ученых, в которых решалась задача об удвоении куба.

Познакомившись с. этими результатами,. они и сами внесли свой вклад* в создание новых способов решения этой задачи. Так, например, бану Муса (IX в-.) в «Книге измерений плоских и шаровых фигур» XVI предложение формулирует так: «Мы хотим найти две величины, находящиеся между двумя данными величинами так, чтобы эти четыре величины находились бы в непрерывной пропорции» [6; 410]. В этом и XVII предложении бану Муса подробно излагает способ построения отрезков х и у, составляющих с данными отрезками а и Ь непрерывную пропорцию а:х = х:у=у:Ь. Их способ напоминает способ решения с помощью двух прямых углов. Но некоторые новшества, внесенные бану Муса в конструкцию своего прибора, отличают его от способа древних15.

Абу-л-Вафа (X в.) в трактате «Книга о том, что необходимо ремесленнику из геометрических построений» [1; 56—130],

рассматривает многие задачи на построение,. знание которых может иметь значение и для практики. Он указывает также на связь некоторых знаменитых задач древности с практической деятельностью людей и дает способы решения этих задач.

В XXII предложении второй книги Абу-л-Вафа, говоря о построении дома кубической формы или шара, объемы которых в два раза больше данных, по существу решает задачу об удвоении куба и шара. Точнее говоря, он-рассматривает здесь обобщенные задачи: «Как построить квадратный дом с" равными длиной и шириной и высотой, являющийся удвоенным другим квадратным домом, или каким образом построить шар, являющийся другим шаром, или разделить -пополам или взять в

других отношениях...».

Рис. 46.Рис. 46.Он указывает при этом способ построения искомой величины, имеющий Сходство со способом, данным Героном в «Механике». Вот что он говорит о построении ребра искомого куба: «Построим линию АВ, равную длине дома или диаметру шара, nocTjWHM линию АС, равную удвоенной линии АВ под прямым углом, и дополним плоскую фигуру ABCD (рис. 46). Проведем диагональ AD, разделим ее пополам в точке F и продолжим линии DC и DB

Рис. 46.

Рис. 46.

в их направлениях. Установим край линейки на точку А и будем двигать ее по продолжениям линий DC и DB до тех пор, пока она не пересечет их в таких точках Е и G, что линии GF и EF будут равны. Тогда длина дома или диаметр шара есть линия ВЕ». Доказательство этого утверждения он сво- . дит к доказательству того, что АВ :

АС=АВ3: ВЕ3,16 откуда он и получает ВЕ3=2АВ3, т. е. если АВ есть ребро данного куба, то ВЕ—ребро куба, объем которого в два раза больше данного.

Трисекция угла. Задача о трисекции угла привлекала к себе внимание многих арабоязычных математиков в средние века. Она имела в то время большое теоретическое и практическое значение, в том числе и при составлении тригонометрических таблиц, которые были необходимы для астрономии и для геометрических решений некоторых практических задач. Действительно, значение sin 3° они могли легко получить, зная, как строится сторона правильного 15-угольника с центральным -, углом 24° в круге радиуса R=l; деля этот, угол повторно пополам, мы получим угол в 3° и соответствующую линию синуса.

В, как из центра, ра-В, как из центра, ра-Рис. 47.Рис. 47.Но чтобы получить sin Г, нужно умёть делить угол в 3° на три равные части.

В, как из центра, ра-

В, как из центра, ра-

Рис. 47.

Рис. 47.

Ал-Бируни (973—1048) рассматривает трисекцию угла в IV главе 3-й книги своего астрономического трактата «Канон Масуда» в связи с вычислением тригонометрических таблиц. Ал-Бируни приводит здесь 12 способов трисекции угла с помощью вставок17.

Но арабоязычные математики того времени, используя неко- ' торые способы деления угла на три равные части, принадлежащие древним, вместе с тем предлагали и свои способы.

Рассмотрим для примера некоторые способы трисекции угла, дополняющие известные способы древних греков. Один из таких способов изложен бану Муса в XVIII предложении {6; 415]. Пусть дан угол АВС (рис. 47). диусом BD проведем окружность DEGL, где BL — продолжение АВ и BGJ-AL. Соединим G и Е прямой и продолжим ее до пересечения с LA (точка Н). ^Отложим на GH отрезок GO = BD. Пусть теперь точка G движется по окружности к L, a GEH проходит, через Е до тех пор, пока точка О не окажется на. линии BG (точка Oi). Тогда G будет в Gi. Утверждается, что GiL= 1

"У DE. Бану Муса дает и доказательство этого предложения, но читатель может и сам попытаться предложить свое доказательство.

Абу-л-Вафа во 2-й главе [1] предлагает несколько способов деления угла на три равные части.

Один из способов, где он пользуется методом вставок, близок по существу к методу, рассмотренному на стр. 59.

Абу-л-Вафа дает здесь и способ деления дуги окружности на три равные части, основанный на предложении 26 третьей книги «Начал» Евклида- о равенстве дуг, стягивающих равные углы в равных кругах и предполагающий умение делить центральный угол на три равные части18.

Построение правильных многоугольников. Умение строить правильные многоугольники (делить окружность на равные части), как известно, было важно при решении многих задач

практического характера, а также в некоторых разделах науки. Арабоязычные математики уделяли s/той задаче много внимания. Правда, им не удалось, по сравнению с древними греками, расширить число правильных многоугольников, которые строятся циркулем и линейкой, но все же они дали некоторые новые способы построения правильных многоугольников с числом сторон п=3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15,..., а главное, они перевели некоторые из этих задач на язык алгебры. Их заслуга в истории этой задачи состоит также и в том, что они сохранили для нас некоторые произведения древних греков, посвященные решению задачи о построении правильных многоугольников.

Так, например, Сабит ибн Корра (826—901) дал обработку «Книги о построении круга, разделенного на семь равных частей» [5; 401—416], благодаря чему мы и знаем теперь о содержании сочинения Архимеда.

Много примеров на построение правильных многоугольников дано в трактате Абу-л-Вафа [1]. В третьей главе он показывает, как можно построить правильный п-угольнйк (п=3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) по данной стороне его. Для наших целей особый интерес представляет глава четвертая, в которой Абу-л-Вафа дает построение правильных многоугольников, вписанных в данный круг.

При построении правильных многоугольников Абу-л-Вафа использует «Начала» Евклида, где дано построение их при п=3, 4, 5, 6, 15, а также некоторые известные ему способы по- • строения арабоязычных математиков. Но он предлагает и новые способы построения некоторых правильных многоугольников (деление окружности на равные части). Рассмотрим один из его способов деления окружности на пять равных частей.

Пусть АВ—диаметр данного круга, a D—его центр (рис. 48).

Проведем отрезок AE-LAB и равный DA. Разделим DA пополам точкой G, проведем GE и отложим на- ней GH=AD. Разделим.ПН пополам в точке F, проведем FI-LGH. Примем точку Г за центр и на расстоянии DA отметим' М и L. «Тогда дуга LM — одна пятая круга».

Абу-л-Вафа строит различ- ; ные многоугольники, в том - числе 7- и 9-угольники.

Построение семиугольника, ^ вписанного в круг, как извест-

но, дано в [5; 401]. Абу-л-Вафа для решения этой задачи пред

лагает провести следующие построения.

ADC — диаметр в данном круге (рис. 49). Из точки А, как из центра, радиусом AD сделаем отметки на окружности В и Е, проведем BE, которая пересечет АС в точке G. Затем, из точки В, как из центра, отметим на дуге точку Н так, чтобы BH = BG. «Тогда дуга ВН — одна седьмая круга приближенно, а не точно».

Построение правильного девятиугольника Абу-л-Вафа предлагает осуществлять, пользуясь трисекцией

угла. Вот полное воспроизведение перевода 14-го предложения IV главы трактата Абу-л-Вафа» «Построение девятиугольника, вписанного в круг. Если он сказал: как вписать в круг равно

сторонний и равноугольный девятиугольник, то впишем в круг равносторонний треугольник, разделим каждую дугу на - три равные части и соединим места деления линиями. Получим равносторонний и равноугольный девятиугольник. Вот чертеж этого» (рис. 50).

Что касается деления трети длины ©окружности на три равные части, то автор предполагает, что читатель усвоил это раньше.

Ал-Бируни тоже не обошел задачу о построении правильных многоугольников. Особенно много места построению этих многоугольников он отвел в своем «Трактате об определении хорд в круге при. помощи Рис. 50.ломаной линии, вписанной в него» [3].

Говоря вообще об определении хорд круга, он подчеркивает, что это «важно для науки астрономии». Для определения хорд, говорит он, надо знать диаметр, который равен «семи двадцать вторых окружности». Здесь ой говорит и о некоторых хордах, являющихся сторонами правильных многоугольников. В частности,' он пишет: «Было доказано, что

хорда одной шестой окружности равна полудиаметру, это первая хорда в круге, которую мы знаем». Затем он переходит к «определению одной десятой круга», используя 2-е предложение 2-й книги «Начал». Для вычисления этой хорды или стороны правильного десятиугольника ал-Бируни предлагает «прибавить к произведению полудиамётра на себя четверть этого

произведения и вычесть четверть диаметра из корня из суммы», т. е.z

«10= |/R4 -^в2г -2R=R.

Здесь рассматривается также «определение хорды одной восьмой круга». Ал-Бируни предлагает для вычисления этой хорды» отнять половину диаметра из хорды четверти, умножить остаток на полудиаметр, вычесть произведение из произведения полудиаметра на себя и извлечь корень из остатка», т. е.

«8=К R2— (RV2—R) R= V R2—R2V24-R2=R V 2—V2~

Так решали арабоязычные математики некоторые задачи о делении окружности на равные части (построение-вычисление сторон правильных многоугольников)19.

Из сказанного видно, что арабоязычные математики больше, чем древние греки, склонны к алгебраизации этих задач. В частности, отрезки прямой линии ал-Бируни называет величинами, выражает их числами, чего не допускал Евклид.

Особенно важным шагом в их алгебраизации геометрии было сведение некоторых конструктивных задач к уравнениям.

Сведение некоторых конструктивных задач к алгебраическим уравнениям. Было время, когда древние греки вынуждены были облачать алгебру в геометрическую одежду. Теометричё- окая алгебра греков сыграла в свое время большую роль в развитии математики: она позволяла преодолеть некоторые трудности, связанные, в частности, и с иррациональными числами, й позволяла вносить в решение задач элемент наглядности, так как она оперировала с отрезками прямой и прямоугольниками, а не с числами.

Но эта форма в дальнейшем стала являться одним из тормозов развития математики, так как облечь в геометрическую форму уравнения 3-й и 4-й степени было уже очень трудно. Задача состояла в том, чтобы высвободить алгебру из крепких объятий геометрии, дать ей возможность развиваться, пользуясь специфическими для нее методами, оперируя числами. Это открыло путь к решению алгебраических уравнений более высоких степеней в радикалах.'

При этом оказалось, что многие геометрические задачи, которые удавалось свести на язык алгебры, легче можно было или решить или доказать неразрешимость их при тех ограничениях, которые накладывались на средства решения их (например, решение конструктивных задач только с помощью циркуля и линейки). Поэтому еще до появления символической алгебры от-

дельные древнегреческие ученые, и особенно математики стран средневекового Востока, начали сводить некоторые конструктивные задачи к алгебраическим уравнениям.

Первым из древнегреческих ученых, кто дал своеобразное сведение задачи удвоения куба к кубическому уравнению, был Гиппократ Хиосский (см. I главу). Правда, здесь еще не’было' полного сведения конструктивной задачи к уравнению. Но трактовка задачи. Гиппократом позволяла легко получить и кубическое уравнение, к которому сводится эта задача. Действительно, если написать а:х = а:х, а:х=х:у и а:х=у:2а и перемножить левые и правые части этих равенств, то получим а3:х3= = аху : 2аху или а3: х3= 1 :2, откуда и получаем х3=2а3. Сами древние греки, конечно, так не записывали задачу об удвоении куба не только потому, что у них не было символической алгебры, но и потому, что они не ставили вопрос об отыскании ариф-

3

метических значений корней уравнений и не считали V2 числом.

Пифагорийцы, по-видимому, умели решать задачу о делении отрезка а на две части так, чтобы прямоугольник, построенный на всем отрезке а и одной его части, был бы равен квадрату, построенному на второй части отрезка а. Эта задача связана с построением стороны - правильного пятиугольника и сводится к квадратному уравнению х2+ах—а2=0. Из этого также видно, что задача построения правильного пятиугольника разрешима циркулем и линейкой. Эта задача рассматривается в «Началах» Евклида (IV книга, 1-е предложение).

Задачу о делении шара в данном отношении Архимед сформулировал так, что легко после этого удалось свести ее тоже к кубическому уравнению х3—ах2+Ьс2=0, Действительно, формулировка Архимеда с нашей символикой записывается в виде пропорции (а—х):Ь=с2:х2, откуда й получается кубическое, уравнение х2 (а—х) =Ъс2.

Другие конструктивные задачи, в том числе и трисекция угла, построение правильных многоугольников и квадратура луночек были сведены к решению алгебраических уравнений в рассматриваемый нами период.

Хотя нам точно не известно, кто- и как впервые получил кубическое уравнение трисекции угла, но можно думать, что к этому уравнению арабоязычные математики приходили, используя известные в то время тригонометрические формулы. .

В частности, они могли прийти к этому уравнению, рассматривая данный, угол <р и cos ф как известные величины, а искомый Ф<р_

угол — и cosкак неизвестные величины. Тогда 33

фф

С08ф = 4С083 -—ЗСО8 е

33

Умножив левую и правую части полученного уравнения на 2 ф

и обозначив 2 cosq> через а, а 2 cos — через х, получим иско

мое уравнение х3—Зх—а=0. Есть основание думать, что уравнение трисекции угла было получено в XI столетии. В дальнейшем это уравнение получали многие различными способами. Так, например, ал-Каши (XIV—XV в.в.), пользуясь теоремой Птолемея и Евклида о равенстве произведений отрезков пересекающихся хорд круга, дал вывод уравнения трисекции угла. Ход его рассуждений можно изложить кратко так: дан полукруг радиуса R (рис. 51), дуги АВ, ВС и CD равны. На полудиамет

ре АМ строим другой полукруг с центром К. Проводим хорды АВ, АС и AD, тогда дуги AE=EG=GH. Если дана хорда АН, а искомая — хорда АЕ (хорда трети дуги АН), то по теореме Птолемея в четырехугольнике AEGH будет

АЕ2+АЕ-АН= AG2.(1)

По теореме Евклида AG=CG и AG2=BG (2R—BG).(2)

АВ2

•Кроме того, AB2=BG-2R, т. е. BG= —, и так как АВ=2АЕ, 2R

2АЕ2

то BG= —— . Подставим BG в (2), получим

4 ДЕ4

AG2=4AE2.(3)

R2

Из (1) и (3) получаем уравнение трисекции угла 4AE3+R2AH = 3R2AE. (4)

Положив, что АН соответствует углу 6а, дуга АЕ — углу 2а, AH = Rsin3a, AE = Rsina, получим известную теперь формулу синуса тройного угла.

sin 3a=3 sin a—4 sin3a.

Ал-Бируни и Абу-л-Джуб (XI в.) свели к кубическому уравнению х3—Зх+1=0 задачу о построении правильного девятиугольника. Вот как они пришли к такому уравнению. Пусть АВ=х (рис. 52) — сторона правильного 9-угольника; построим

равнобедренный треугольник АСВ, где ZBAC = ZABC=80°, АС=ВС = 1. Отложим AD=DE=EF=FC=AB=x.

Проведем AO-LBC, KF-LAC. Тогда

Z_ АСВ=ZB AD=20°, Z_D АЕ = ZAED= ZED A=60°,

ZEFD=ZFDE=40°, ZFED=100°, ZDAB=FEC=20°. .

Следовательно, AE = EF=FC=x, EC = 1—x. Рассмотрим теперь подобные треугольники. Из подобия треугольников АСВ и В AD следует

: х=х : BD.

х2 •

Следовательно, BD=x2, OD=OB= — . Из подобия же тре-

/ ' X2 \1 —- X

угольников АОС и FKC имеем 1 : I 1— — 1 =х: —

Откуда и получаем х3—Зх+1==0 [103].

Легко видеть, что уравнение для стороны девятиугольника является частным случаем уравнения трисекции угла х3—Зх— —tz=O. Это объясняется тем, что сторону девятиугольника можно, действительно, получить как результат деления угла вписанного правильного треугольника на три равные части.

Попытки решения этой задачи циркулем и линейкой не приводили к положительным результатам, как стало ясно в дальнейшем, потому что невозможно разделить угол в 60° на три равные части циркулем и линейкой. Или, иначе, эта задача не решается циркулем и линейкой, потому что она сводится к неприводимому уравнению 3-й степени, а корни таких уравнений, как будет видно из дальнейшего, нельзя построить циркулем и линейкой. Арабоязычные математики в средние века этого, конечно, не знали, но они были уверены, что такого рода задачи циркулем и линейкой не решаются, и они решали ихгс помощью конических сечений. Используя круг и равностороннюю гиперболу ал-Сиджизи (X в.), вероятно, впервые, решал задачу о • трисекции угла.

Особенно заметный вклад в разработку геометрической теории кубических уравнений внес знаменитый хорасанец Омар Хайям (XI в. ). Он определяет алгебру как науку о решении уравнений между целыми многочленами. Особое внимание Хайям уделяет решению кубических уравнений, в том числе уравнения х3 = а, где а является кубом некоторого числа, например, а=8, а=27... О численном решении кубического урав-

«невозмо'ж- искусством. нас, узнает«невозмо'ж- искусством. нас, узнаетнения общего вида он говорит, что такое решение но ни для нас, ни для кого из тех, кто владеет этим МЪжет быть, кто-нибудь из тех, кто придет после это,.,» [103; 252].

«невозмо'ж- искусством. нас, узнает

«невозмо'ж- искусством. нас, узнает

построению кубическихпостроению кубическихПоэтому Хайям прибегает к геометрическому корней и разрабатывает геометрическую теорию '

построению кубических

построению кубических

ММ%%уравнений. ’ Он рассматривает 14 видов кубических уравнений, корни которых строятся с помощью конических сечений; из них одно двучленное, шесть трехчленных и семь четы^ рехчленных. Так, например, трехчленное уравнение х3+р2х = Ь он приводит сначала к однородной форме x3+p2x = p2q, а затем решает его с помощью окружности x2+y2=qx и параболы х2 = ру. Абсцисса точки пересечения этих кривых будет решением указанного уравнения.

М

М

%

%

У Хайяма нет еще символики и он получает решение не путем совместного решения уравнений: x2+y2=qx;

х2=ру, а с помощью словесного выражения пропорций: так как для параболы

х у ’

х у

для круга — =, то

у q—х

Прибавляя к левой и правой части р2х, он получает x3+p2x = p2q.

Хайям утверждает, что у уравнения этого вида всегда есть один положительный корень. Рассматривая далее уравнение вида '^^

x3+a=bx (a=p2q, b=q2),

он решает его с помощью параболы х2=УЬу и левой ветви равносторонней гиперболы х2— х=у2. Абсциссы точек Пересе- ь

чения будут корнями рассматриваемого уравнения. Хайям указывал, что в этом случае могут быть два положительных корня, один (когда кривые касаются) и задача'может быть невозможной (когда кривые не пересекаются).

Затем он находит корни уравнения х3+а=сх2 с помощью э3 —

параболы у2=Уа (с—х) и гиперболы ху=Уа2, а также рассматривает и другие кубические уравнения, устанавливая при этом, сколько каждое из них имеет корней (положительных) и границы положительных решений.

Таким образом, Хайям создал геометрическую теорию кубических уравнений, которая проливала уже некоторый свет и на решение тех уравнений, к которым сводились задачи удвоения куба, трисекции угла, построения правильных семиугольника и Девятиугольника.

Развитие идей Хайяма приводило некоторых ученых стран Ислама к новым оригинальным методам решения кубических Уравнений. Например, ал-Каши дал итерационный метод реше-

X3 Q

ния уравнения х3—px+q=O или х = , которое содер

жит -и уравнение трисекции угла.

Рассматривая уравнения, имеющие весьма малый корень, можно пренебречь кубом для первого приближения. .Тогда

qq + a3q + Х23q + x3n-i

Xi» — = а, х2= —— , х3= —:, •••, хп= •••

РРРР

и этот процесс сходится..

Зная, например, sin За, можно с помощью этого Метода найти приближенное значение sina. Именно таким путем ал-Каши нашел sinl°=0,01745240643728..., что имело значение и для составления таблиц в астрономии.

Следовательно, арабоязычные математики, в том числе и предки народов, населяющих среднеазиатские республики, нетолько сохранили многое из наследства древних греков, но внесли и свой оригинальный вклад в теорию рассматриваемых задач.

В европейских странах

В эпоху Возрождения в ряде европейских стран (Италия, Германия, Франция, Англия и др.) начали появляться стимулы для освоения .наследства предшественников и для развития науки. Вновь появился интерес к математике, в том числе к рассматриваемым задачам.

Леонардо Пизанский, например, в «Книге квадратов» (ок. 1225 г.) пытался доказать неразрешимость уравнения х3+2х2+ + 10х=20 с помощью квадратных иррациональностей X кн. «Начал».

Первые существенные открытия европейцев (Ферро, Тарталья, Кардано, Феррари, Бомбелли, Виет) относились к алгебре и особенно к решению уравнений 3-й степени, к которым, в частности сводились и задачи удвоения куба, трисекции угла и построение сторон правильных 7- и 9-угольников. Эти задачи в то йремя решались точно и приближенно арифметически и геометрически.

. Трисекция угла. Европейские математики в рассматриваемый период предложили много способов трисекции угла. Мы воспроизведем здесь только некоторые из них. Знаменитый немецкий живописец, гравер, скульптор, архитектор и инженер Альбрехт Дюрер (1471 — 1528) был и математиком, написавшим ряд книг и по геометрии. Его книга «Руководство к измерению циркулем и линейкой» (1525) была фактически первым учебником по геометрии на1 немецком языке. В этой книге А. Дюрер дал такой

способ приближенного деления угла ASB на три равные части (рис. 53). Из вершины S произвольным радиусом описываем

окружность и соединяем точки пересечения сторон угла с окружностью хордой АВ. Делим эту хорду на три равные части в точках Ri и R2 (ARi = RiR2=R2B). Из точек А и В, как из центров, радиусами ARi=R2B описываем дугщ пересекающие окружность в точках Т] и Тг. Проведем RiSj

_LAB и R2S2-LAB. Радиусами

А81 = В8г проводим дуги, пересекающие АВ в точках Ui и U2. Дуги ATi, SiS2 и ТгВ равны между собой, так как 'стягиваются равными хордами. Чтобы найти точки трисекции угла xi и хг, Дюрер делит на три равные части отрезки R1U1 и R2U2 точками Pi, Vi и Р2, V2. Затем радиусами AVi и BV2 проводим дуги, которые пересекают окружность.в точках xi и хг. Соединив эти точки с 8, получим деление данного угла на три равные части с хорошим приближением к истинным величинам.

Р. Декарт (1596—1650) в своей знаменитой «Геометрии», положившей начало существования аналитической геометрии, много места отвел решению задач, которые сводятся к уравнениям 3-й и 4-й степени, с помощью конических сечений. Эти задачи, как указывает Декарт, могут быть сведены к двум задачам: трисекции угла и удвоению куба, т. е. к построению двух средних пропорциональных [37; 99—100]. Свой «Способ деления- угла на три равные части» Декарт начинает со сведения этой задачи к кубическому уравнению.

Рис. 54.Рис. 54.Пусть требуется разделить угол NOP (или дугу NGTP) (рис. 54) на три равные части. Проведем окружность радиусом ON=1 из вершины угла, как из центра. Пусть хорда NP=q, хорду трети дуги NGTP обозначим через Z. Допустим, что точки G и Т делят дугу NP на 3 равные части. Проведем ON, OG, ОТ, ОР и — GS||OT. Тогда из подобия треугольников NOG, RNG, RGS следует, что NO : NG=NG : GR : RS, или 1 : Z=Z : GR=GR : RS, GR = Z2, RS = Z3. Легко заметить, что NP=q отличается от 3^G=NG+ +.GT4-TP на величину, равную RS=Z3, т. е. q=3Z—Z3 или Z3—3Z+q—0. К этому уравнению и сводится задача о трисекции угла. Дальше рассматривается вопрос о построении корней

Рис. 54.

Рис. 54.

этого уравнения. Причем в этой кнйге Декарт утверждает, что с помощью только циркуля и линейки построить корни полученного уравнения невозможно, и вообще «телесные задачи нельзя построить без помощи конических сечений». Он даже пытался доказать невозможность решения этой задачи с помощью циркуля и линейки, но сделать это ему не удалось. Из конических сечений, используемых при решении «телесных задач», он предпочитал параболу. Именно с помощью пересекающихся параболы и окружности он находит корень полученного кубического уравнения, удовлетворяющий задаче деления угла NOP на три равные части [37; 100].

В XVII столетии трисекцию угла осуществляли разными способами и другие знаменитые ученые. И. Ньютон (1643—1727), например, использовал метод вставок, причем вставка строится с помощью конхоиды (рис. 55). ' .

’ Пусть АВ — хорда, стягивающая дугу AGB, которую требуется разделить на три равные части. Проведем диаметр АМС и прямую СВ. Между продолжением СВ. и хордой АВ вставим отрезок прямой DE так, чтобы DE=AC и продолжение DE проходило бы через центр круга М. Тогда точка G разделит дугу АВ

на две части: GB = — АВ, а следовательно, и Z_GMB = —

-з ■-з

Z.AMB. Докажем это: соединим точку В с точкой F (серединой DE). Тогда DF=FE=AM=BF (АВ-LDC), и потому Z_BMG= =СРВ=2^РПВ=2ф.

Следовательно, Z.BMA=Z_GMA4-Z.BMG= (ф+ф) +2ф,

-ZLBMA■

где ф обозначает угол FDB, а ф — угол ВСМ= .г

— 3/LBMG, что и требовалось дока-— 3/LBMG, что и требовалось дока-Z.BMA

— 3/LBMG, что и требовалось дока-

— 3/LBMG, что и требовалось дока-

Тогда Z-BMA=3<p+ —-—

В XVII—XVIII вв. некоторые математики делили угол на три равные части с помощью «улитки Паскаля» и с помощью кривых Чева, Чирнгауза, Кемпа и др.

Из методов, предложенных математиками XVIII в., для решения этой задачи рассмотрим только метод Клеро (1713 — 1765).

Дан Х-СВА (рис. 56). Из вершины

угла В каким-нибудь радиусом опи- ' B-^E шем окружность. Предположим, что с» к^х ^/^С прямые BE и BD делят указанный *"7\~ \Н^Д‘"*/\ угол на три равные части, AD, DE и / х. V/ X, \ , ЁС — равные хорды и DE — нормаль/xV<I

к отрезку диаметра BF. Тогда СЕ=I JgI

= ED=2EF. Точка Е будет лежать на \।/

одной из ветвей гиперболы, для кото- \(/

рой точка С — фокус, BF — директри- X. ।

са, тогда если А' — вершина, то.СА'=

2

СН, эксентриситет e = CE:EF=2.ри|с 56

Вершина второй ветви гиперболы в точке А, фокус в точке С', т. е. СА'=АС'. Следовательно, если из точки В данного угла АВС провести окружность, пересекающую стороны угла в каких-тО точках А и С, а затем построить гиперболу так, чтобы для одной из ее ветвей точка С была фокусом, а линия, делящая этот угол, пополам, была бы ее директрисой, то, соеди- о

пив точки А и С и отложив от С отрезок СА'= — СН (где Н середина АС), получим точку А', которая будет вершиной этой ветви гиперболы. Точка пересечения этой ветви гиперболы с

окружностью (т. Е) разделит дугу на две части, где ЕС=

~ АС, а следовательно, Z_CBE= — Z.CBA. Вершина вто- °з '

рой ветви гиперболы должна находиться в точке А, а фокус ее С — на продолжении СА, где АС'=А'С20.

Удвоение куба. Развитие учения об алгебраических уравнениях в XVI—XVIII вв. пролило свет и на уравнения, связывающие величину ребра нового куба (х) с ребром данного куба («). Появление общих формул (так называемые формулы Кар-

1131138 С. Е. Белозеров

113

113

дана) позволило рассматривать задачу х3=2а3 как задачу о нахождении арифметического значения корня кубического уравнения, хотя и прежний взгляд на эту задачу оставался в силе. . Кеплер при построении двух средних пропорциональных между а и Ь=2а использовал полученную им кривую — геометрическое место точек yi пересечения луча OS, вращающегося в плоскости вокруг точки О, на котором расположен один из катетов треугольника ОМВ с постоянной гипотенузой ОВ=Ь (=2а) с viyi-LOS. Уравнение этой кривой, как теперь известно, в полярной системе координат г=Ьсо$3ф, а в декартовой (х2+у2) = Ьх3 • ОМ—среднее пропорциональное между ОВ и Ov (MB-LOB). Зафиксировав луч OS в положении Oy0MoSo, где Оу0=ОА=а, и проведя yovo-LOSo, a VoMo-LOB, тогда по свойству кривой MoB_LOSo.'

Теперь очевидно а : OM0=OVo: 2а, О Vo: ОМ0=ОМ0: 2а, a:OVo=OM0:2a (рис. 57, а).-

Откуда и следует а: Ovo=Ovo : ОМо=ОМо: 2а.

Декарт рассматривал пример нахождения средних пропорциональных с помощью параболы х2=ау и круга

(

х —АУ 1 _ —У— а2 + Ь2 -

2 / V- 2 / — 4’

'- а х У г,"

которые можно получить и из — = — = — . При совмест-

•■х у Ь .

ном решении этих уравнений получаются две средние пропорциональные (координаты точки пересечения параболы и окружности) между а и b (в частности b=2a)."

Ньютон тоже проявил интерес к этой 1 задаче и указал спо- . соб построения двух средних пропорциональных [118; 211]. Он состоит в следующем. Даны два отрезка а и Ь. Пусть а—АВ, точка С делит отрезок АВ пополам. Из точки А как из центра,

- а

радиусом АС= -у-опишем окружность (рис. 57, б). Отложим отрезок CD=b. Соединим точки В и D, На продолжении CD отметим точку Е, чтобы отрезок EF (точка F на продолжении BD), продолжение которого проходит точку А, равнялся радиусу круга -р . Тогда, утверждает Ньютон, CD, DE, AF и АВ будут представлять геометрический ряд, т. е. b : AF=AF : DE=DE : а. Следовательно, отрезки DE и AF будут средними пропорциональными между данными отрезками а и Ь.*

В XVIII столетии интерес к этой задаче не ослабевал. Она включалась в число тех задач, за решение которых некоторые Академии наук назначали денежные премии. Большой поток «трудов» квадратурщиков, «кубатурщиков» и «трисекционистов», а также рост числа математиков, считавших, что решени^ этиг задач с помощью циркуля и линейки невозможно, вынудила

Академии во 2-й половине XVIII столетия отказаться от рассмотрения этих работ и отменить решения о премиях. Однако это могло только ослабить, но не заглушить интерес к.этим задачам, так как они оставались по-прежнему «неразгаданной загадкой». В это время продолжались поиски точных и приближенных решений задачи об удвоении куба с помощью различных средств21.

Построение правильных многоугольников. Задача построения правильных многоугольников (деления окружности на равные части) привлекала к себе внимание и европейских математиков в эпоху Возрождения. Кроме теоретического интереса, связанного с работами греков, решение этой задачи было важно

для некоторых ремесленников и особенно для развивавшейся в то время астрономии.

Древние греки и математики стран Востока, как видно из предыдущего, умели строить циркулем и линейкой многие многоугольники. Нахождение сторон некоторых многоугольников ани свели к решению квадратных и кубических уравнений.

Европейские математики в рассматриваемый период получили новые способы решения частных вопросов этой задачи и некоторые важные результаты для общей теории ее. Например, знаменитый немецкий художник Дюрер (1471—1528) с помощью циркуля постоянного раствора и линейки дал способ приближенного построения правильного пятиугольника и способ прибли- женного построения правильного девятиугольника, который известен под названием «Рыбий пузырь».

Способ Дюрера можно изложить кратко: циркулем постоянного раствора ОВ проводим окружность и тем же раствором проводим три дуги в этом круге, как указано на рис. 58. Затем

радиусом — ОВ проводим концентрический круг/ который пересечет две дуги в точках d и е. Хорда de и будет (приближенно) стороной правильного девятиугольника, вписанного во второй крут.

К построению 15-угольника в этот период стали подходить как к частному случаю, вытекающему из теории о том, что еслиК построению 15-угольника в этот период стали подходить как к частному случаю, вытекающему из теории о том, что еслиa s I? два целых взаимно простых таких целых положительных числаa s I? два целых взаимно простых таких целых положительных числаX равенство Ьх—ау=1 или аX равенство Ьх—ау=1 или а_Ув_Увчисла, то можно найти два х и у, что будет выполняться = —1 .Если = тоabчисла, то можно найти два х и у, что будет выполняться = —1 .Если = тоabФеррари (XVI в.) с помощью теоремы Птолемея задачу о построении правильного семиугольника свел к решению кубического уравнения х3—х2—2х+1=0. Вошла в употребление формула Шп= }/" 2—У4—д2п

К построению 15-угольника в этот период стали подходить как к частному случаю, вытекающему из теории о том, что если

К построению 15-угольника в этот период стали подходить как к частному случаю, вытекающему из теории о том, что если

a s I? два целых взаимно простых таких целых положительных числа

a s I? два целых взаимно простых таких целых положительных числа

X равенство Ьх—ау=1 или а

X равенство Ьх—ау=1 или а

_Ув

_Ув

числа, то можно найти два х и у, что будет выполняться = —1 .Если = то

ab

числа, то можно найти два х и у, что будет выполняться = —1 .Если = то

ab

(1) /(1) /

(1) /

(1) /

будет выполняться равенство

2л 2лх2лу

паb

2х 2л2х 2л2л

2х 2л

2х 2л

Если — рассматривать как n-ю часть окружности, а —и п'а b

— как а-ю и b-ю часть этой окружности, то, зная как делится окружность на а и b равных частей и подставляя вместо хну соответствующие числа, можно разделить окружность "на в равных частей или вписать правильный п-угольний.

v Например, если а=5, Ь=3, х=2, у=1, то, подставляя в (I)., получим

2л 4л2л

15 — 53 '

Следовательно, если А — начальная (нулевая) вершина пятиугольника и треугольника (рис. 59), то, соединив первую вершину вписанного в круг правильного" треугольника (F) и вторую — пятиугольника (С), получим сторону правил «юге 15-угольника. (FC).

Можно сторону 15-угольника получить, соединив точки D и G, так как точка G — вторая вершина треугольника

2л • 22л • 3

——,а D — третья вершина пятиугольника——

и выполняетсяи выполняется4лравенство —4лравенство —6л2л

и выполняется

и выполняется

4л

равенство —

4л

равенство —

- = —. Пользуясь этой теорией сторо- - 515

ну 20-угольника можно строить, соединив первые вершины квадрата и правильного пятиугольника, вписанных в данный

11*1

круг, так как— =, а

2045

сторону 30-угольника,—соединив вершины вписанных правильных пяти- и шестиуголь-

111 \ ,,

ников — =.Но эти \3056 /

Рис. 59.Рис. 59.многоугольники можно было строить и проще, зная что 20 = 22-5, а 30=2-15. Но те- перь становилось ясно, что Циркулем и линейкой можно

Рис. 59.

Рис. 59.

строить правильные n-угольники при п равном не только 2К, 2К-3, 2к-5, но и при п=2к-3-5 и вообще при п=2к аЬ, где а и Ь — взаимно простые числа и при условии, что а- и Ь-угольники строятся циркулем и линейкой. Правда, числа а и Ь пока ограничивались значениями 3, 4, 5 и 6 и их произведениями на 2К. Оставался открытым вопрос о возможности построения циркулем и линейкой правильных многоугольников с числом сторон п=7, 9, 11, 13, 14, 17, 19...

Назревала необходимость создания общей теории деления окружности на равные части циркулем и линейкой. В рассматриваемый период многое было сделано для подготовки почвы, для этой теории Лагранжем. Котес и Муавр обратили внимание на связь уравнения х°—1=0 с делением круга на и равных частей. Теорию многоугольников развивал и Мейстер (1724—1788). Но общей теории не было создано. Задача оставалась нерешенной2^.

Квадратура луночек

Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.) проявил интерес к квадратуре луночек, пытаясь с их помощью сквадрировать круг циркулем и линейкой. Хотя он и получил важные результаты (три случая квадратуры луночек, см. I гл.), но достичь своей цели он не мог. Столкнувшись с непреодолимой трудностью на этом пути и не оценив самостоятельное значение проблемы квадратуры луночек, в Древней Греции, по-видимому, охладели к ней.

В трудах арабоязычных математиков

Некоторые арабоязычные математики рассматривали круговые луночки, хотя существенно новых результатов они не получили. Например, Ал-Каши в трактате «Ключ к арифметике» дал такое определение луночки: «Луночка — плоская поверхность, ограниченная двумя дугами, не большими, чем половина окружностей двух кругов равных или разных, выпуклости которых направлены в одну сторону. Если же каждая из двух дуг больше половины окружностей, это называется подковой». («Историко-математические исследования» вып. VII, 1954, стр. 161). Дальше он говорит об их площадях: «Площадь луночки и подковы есть разность площадей двух сегментов, если вообразить линию, соединяющую их концы». Но здесь не рассматривается за-

дача о построении прямолинейной фигуры, равновеликой луночке или подкове.

Наиболее известный результат, связанный с квадратурой луночек, был получен в то время Ибн ал-Хайсамом (965—1039). Он написал специальную книгу «О луночках», в которой упоминает о результатах Гиппократа Хиосского и излагает полученные им новые результаты. Его результаты исследований свойств круговых луночек, по-видимому, не столь существенны, так как в истории математики сохранился только один случай квадратуры суммы двух круговых луночек, рассмотренный Ибн ал-Хайсамом в е го указанной работе. Этот же результат, как наиболее существенный ал-Хайсам изложил и в другой своей книге «Квадратура круга», которая Г. Зутером переведена на немецкий язык в 1899 г. Ибн ал-Хайсам доказал следующую теорему: «Сумма площадей луночек, образованных полукругами, построенными на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника, как на диаметрах, равна площади этого прямоугольного треугольника (рис. 60).

Доказательство его обычно изла-у

гают так. На гипотенузе и катетах данного прямоугольного треугольника АСВ строим полукруги. По теореме\

Пифагора АВ2=АС2+СВ2. Исполь-\

зуя известную теорему: площади кру- ( и • гов относятся как квадраты их диа- метров, получаемt

Sa« b = Sa3 c-j-Scy в.Рж. 60.

Если теперь от равных отнимем равные (заштрихованные общие сегменты), то от полукруга на АВ останется прямоугольный треугольник АСВ, а от полукругов на катетах останутся луночки 1 и 2. Следовательно, сумма площадей двух луночек 1 и 2 равна площади треугольника АСВ23. Эти луночки ал-Хайсама некоторые авторы ошибочно называют «луночками Гиппократа», а некоторые считают этот результат частным случаем первого случая Гиппократа. На самом же деле случай Гиппократа получается из теоремы ал-Хайсама, когда OC-LAB.

В трудах европейских математиков (XVI—-XVII вв.)

Европейские математики начиная с XVI—XVII вв. уделяли сравнительно много внимания и квадратуре луночек, получая порой существенно новые, важные результаты. Причем пробле-

ма квадратуры луночек выступает теперь как самостоятельная задача, независимая от квадратуры круга. Это, вероятно, можно объяснить тем, что в это время становится актуальной проблема нахождения площадей, ограниченных кривыми линиями и объемов тел, ограниченных различными поверхностями, создаются интеграционные методы. Наряду с другими средствами решения этих задач, математики использовали циркуль и линейку, выясняя их возможность при нахождении площадей криволинейных фигур.

В этот периодов число рассматриваемых луночек были включены и некруговые луночки, и так называемые открытые круговые луночки.

Одним из первых европейских ученых, рассматривавших квадрируемые криволинейные фигуры, был Леонардо ,да Винчи (1452—1519). В XVI в. оригинальные результаты в теории круговых луночек получил Виет. Затем вопросами, связанными с луночками, занимался Лионне (1600—1663), Леотауд (1595— 1672),ч Пардис (1636—1673) и другие малоизвестные ученые в истории математики. В XVII столетии «открытыми» луночками занимались Лейбниц, Чирнгауз, Валлис, Грегори, Лопиталь, Бернулли и др. В XVIII в. в истории квадратуры луночек оставили след своих исследований Гольдбах, Крафт, Д. Бернулли, Крамер и др.

Ленберг в 1754 г. начал изучать квадратуру эллиптических луночек. Особенно заметный вклад в теорию «замкнутых» круговых луночек внесли Уинквист (Валлениус?) и Л. Эйлер, рассмотревшие все пять случаев квадрируемых луночек.

В этом разделе мы остановимся на результатах исследований только некоторых из названных выше ученых.

Метод Виета. Французский математик Виет был одним из первых европейских ученых в разработке новой теории квадрируемых луночек. Он предложил новый метод квадратуры круговых замкнутых луночек. Основные результаты Виета, относящиеся к этой проблеме, содержатся в работе [145], появившейся в 1593 г, хотя при этом он использует теорему о хордах круга,, содержащуюся в работе 1591 г. [148]. Эту теорему можно сформулировать так: Если основные хорды круга с центром в О и диаметром AD=2r (рис. 61)

АВ0=BqBi = BiB2 = В2Вз = ВзВ4= * — уо,

а хорды ABi, АВ2, АВз, АВ4,... обозначим соответственно через Уь Уг, уз, У4,... и положим, что продолжения этих хорд

В2С1 = у0, ВзС2 = У1, В4Сз=у242,...

то получим -

Уо-У1=У1: (Уо+У2)=У2* (У1+уз)=Уз* (У2+У4)"" (1) Доказательство основано на свойстве подобных треугольников. Полагая, что основные хорды ABo==BoBl = '•• —у0 известны (выражены через г) и «противохорда» (B0D=x) тоже выражена че-

Рис. 61. -

рез г, Виет показывает, как Ук(к=1, 2, З/**) выражаются через Уо, х и г. У1 он находит из подобия треугольников AB0Bi и B0OD. Так как

: уо=х : г, то yi =у0 — . г-

А затем из (1) получаем-

х2 — г2х3 — 2г2х

'У2=Уо——;уз=у0—....(2}

Формулы (2) он использует при построении квадрируемых луночек.

При построении круговых луночек и прямолинейных фигур, равновеликих им, Виет полагает, что центральные углы дуг, образующих луночки, относятся как 2 : 1, 3 : 1, 4 : 1,— Разделив Дугу внешней окружности точками Вк на 2, 3, 4, — равные йасти, он соединяет точки деления хордами и получает прямолинейную вписанную в круг фигуру, у которой 2, 3, 4,— стороны равны, а одна сторона должна быть затем общей хордой двух дуг, обра-

зующих луночку, и отношение ее квадрата с квадратами других сторон должно равняться отношению центральных углов этих дуг.

Построив на этой хорде сегмент, подобный сегментам на других сторонах (хордах), получим его площадь, равную сумме площадей сегментов, хордами которых являются все остальные стороны фигуры. Тогда получается равенство площадей луночки и прямолинейной фигуры, вписанной в круг. Из этого Виет делает вывод — луночка квадрируема (без указания — с помощью каких средств). Он считал, что этот метод построения квадрируемых луночек общий. Вопрос о числе квадрируемых луночек Виет не ставит, но он, по-видимому, полагал, что их бесчисленное множество. В качестве примеров он рассматривает три задачи.

Построить квадрируемую луночку с помощью двух кругов, площади которых относятся как 2 : 1.

В этом случае, если радиус первого круга г, то радиус второго R=rV2. Отношение квадратов хорд подобных сегментов этих кругов равно отношению квадратов радиусов. Взяв окружность радиуса г он откладывает от точки А отрезки АС=СВ=у0 = =гУ2 и соединяет точки А и В. Противохорда х=ВС=гУ2,

АВ=у1=гТ,2- — =2г. ■

Следовательно, АВ — диаметр, угол АСВ — прямой, АВ2: АС2— =2:1. Если на АВ построить сегмент, подобный сегменту на АС или СВ, то площадь его будет равна сумме площадей сегментов на АС и СВ, и площадь луночки равна площади равнобедренного прямоугольного треугольника АСВ. Значит она квадрируема25.

Построить квадрируемую луночку с помощью двух кругов, площади которых относятся как 3:1. Следовательно, квадраты радиусов дуг этих кругов, образующих луночку, и их центральные углы должны относиться как 3: 1. Для построения искомой квадрируемой луночки и прямолинейной фигуры, равновеликой этой луночке, нужно взять окружность радиуса г, разделить часть этой окружности (начиная, например, от какой-то точки А) точками Вк на три равные части и соединить точки А и В2. При этом хорды

АВо=ВоВ1 = В)В2= у о,

а хорда АВ2=у2 должна быть общей хсрдой дуг, образующих луночку, и у22: у2о=3 : 1.

Следовательно, задача сводится к построению хорды АВо= =у0, удовлетворяющей этим условиям.

Виет предлагает находить АВ0, выражая через г, как среднее пропорциональное между г и [г+г(2—УЗ) ], где г (2—V3) есть разность между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, второй из катетов которого равен г, а ^противолежащий ему угол равен 30°, т. е. AB0=y0=r V 3—V3

Раствором циркуля гР^3—V3 от точки А отложимпоследова-

тельно хорды ABo=BoBi = BiB2 и соединим точки А и В2 (рис. 62). Хорда

X2 — г2

АВ2 = У2==Уо ~ :.(3)

Проводим диаметр АОВ. Противохор- да

В0В2=х2=4г2— (г К 3—У3)2=

= 4г2—3r2+r2V3^r2 (1-НЗГ

Тогда■

АВ2=У2=грЛ3—УЗ" X

х+=гУз

и АВ22:АВ2о=3: 1.

Следовательно, если второй круг с радиусом гУЗ расположить так, чтобы он проходил через точки А и Вг, то сегмент на АВ2 будет подобен сегментам ца АВ0, B0B] и B]B2, а площадь его будет равна сумме площадей этих трех сегментов. Полученная луночка, равновеликая фигуре AB0BiB2, квадрируема.

Третья задача у Виета читается так:

из двух кругов, площади которых относятся друг к другу как 4:1, образовать квадрируемую луночку.

В этом случае Виет вписывает в круг радиуса г пятиугольник, четыре стороны которого равны между собой: ABq=B0Bi = В1В2=В2Вз, а пятая АВз=2АВо. При выражении АВо через г ему приходится строить две средние пропорциональные.

Построив эту прямолинейную фигуру и поступая, как и в предыдущих случаях, он получает квадрируемую луночку.

Здесь мы имеем первый пример геометрической реализации •луночки, квадрируемой с помощью конических сечений. Огра- пичениость метода Виета в том, что для построения каждой из трёх рассмотренных им луночек и прямолинейных фигур, равновеликих им, он употребляет особый способ.

Правда, ему удалось сквадрировать и луночку m:n=4:l„ которую никто до этого не квадрировал; можно было бы таким образом сквадрировать и другие луночки, не квадрированные ранее. Но и в этом случае его способ применим только* для луночек, для которых m:n=m:l. Причем при увеличении m потребовалось бы прибегнуть к помощи алгебраических кривых более высоких порядков27.

Результаты исследований Виета все же оказали влияние на повышение интереса к этой проблеме у математиков XVII и XVIII столетий и на направление исследований некоторых из них. Здесь намечался уже путь сведения решения этой геометрической задачи к решению алгебраических уравнений.

Квадратура открытых луночек. В XVII в. математики инте

ресовались и замкнутыми круговыми луночками, хотя в этом столетии им не удалось получить принципиально новых' результатов для теории этих луночек.

Но в этом столетии в связи с разработкой интеграционных

методов и интегрального исчисления внимание математиков* было привлечено к так называемым открытым луночкам. Открытыми луночками, или криволинейными треугольниками, они называли площади, ограниченные дугами кривых (в частности, дугами окружностей) и отрезками прямых линий. Теорией этих луночек занимались Келлер, Лионе, Лейбниц, Чирн- гауз, Перкс, Валлис, Грегори, Лопиталь и др. В XVIII в. эти исследования продолжали Гольдбах, Д. Бернулли, Крафт, Эйлер и др. [148; 41 и сл.]. Считают, что первое общее исследование открытых луночек дал Крафт (там же). Hfe вдаваясь в подробности этих исследований, остановимся только на одном

частном случае квадрируемых открытых луночек, чтобы дать

некоторое представление об этих луночках и способах их квадратуры.

Рассмотрим первую луночку Гиппократа Хиосского, т. е. луночку, «внешний обвод» которой — полуокружность (рис. 63). В целом луночка, как известно,, квадрируема. Чирнгауз, который многое позаимствовал у Лейбница и Лионе, рассматривал открытые луночки BDE и DFE, получающиеся при пересечении луночки прямой DA, где А — центр «внутренней» дуги окруж-

пости, a D — произвольная точка на «внешней» дуге луночки» точка Е — точка -пересечения DA с «внутренней» дугой, точка Н — точка пересечения DA с диаметром (общей хордой) BF. Утверждается, что открытая луночка BDE равновелика △ АВС, где CDJ-OB. Сектор BOD равен сектору BAE, Z.BOD= =2Z_BAE, 2ВО2=ВА2=АЕ2, Sabo = Sabc4-Saco = Sabc4-Sado. Сектор BOD+S а аво = сектору BAE+S а апо4-8л-впе.

Откуда следует, что

Эл-ВрЕ = S Д АВв, а5л-ПГЕ =S д АСЕ.

Если точка D совпадает с точкой G, то площадь открытой луночки BGM = Sfl FGM=S Д BOG = S A FOG.

Перкс сквадрировал открытую луночку BDE несколько иначе: соединив точку D с точками В и F и при пересечении DF с дугой BEF, получил точку Р. Соединив точки В и Р (пунктирные линии), он получил сегменты на ВР и BD, которые оказались подобными^ и. сегмент на ВР больше сегмента на BD в два раза, т. е, площадь половины сегмента на ВР (BEN) равняется сегменту на BD, тогда 8о-лвпе = Sa bdn.

Эти исследования были успешно продолжены в XVIII в. В частности, была получена и такая важная теорема: если две окружности Ci и С2 с радиусами п и г2 пересекаются в точках А и В и если Pi на Ci и Р2 на С2> а круговые секторы, соответствующие дугам APi и АР2, равны между собой, то открытая луночка APiP2 будет квадрируемой28.

Квадратура некруговых луночек. Некруговые луночки — это плоские фигуры, ограниченные дугами двух каких-либо кривых, пересекающихся в двух точках. Они могут быть выпукло- вогнутые и двояко-выпуклые, алгебраические и трансцендентные, замкнутые и открытые, эллиптические, параболические, гиперболические... и смешанные. Из некруговых луночек математики XVIII столетия большее внимание уделили эллиптическим луночкам, как более «родственным» круговым луночкам. Наиболее заметный вклад в разработку теории квадратуры некруговых луночек, в том числе и эллиптических, внес Г. Крафт. В своей работе «О «квадрируемых луночках, образованных дугами различных кривых» (1738 г.) дал два метода квадратуры различных замкнутых и открытых некруговых луночек [131]. Шведский математик Ленберг в 1757 г. опубликовал специальную работу «Об эллиптических квадрируемых луночках», которая в 1759 г. была переведена на немецкий язык [136]. Здесь мы рассмотрим кратко некоторые вопросы теории квадратуры эллиптических луночек. Что же касается параболических луночек, то из теории, разработанной нами на основании теоремы

Архимеда о площади сегмента параболы, следует, что бесконечное множество их квадрируются циркулем и линейкой. Гиперболические же и смешанные луночки в данной книге мы не рассматриваем. Рассмотрим эллиптическую луночку AC2BDA, образованную пересечением двух эллипсов, расположенных как указано на рис. 64. Их общая хорда АВ. Площадь указанной луночки, как видно, равна разности площадей эллиптических сегментов

(4)

5э*л-АС2ВВА = ScerM АС2ВА—SperMADB А.5э*л-АС2ВВА = ScerM АС2ВА—SperMADB А.Следовательно, задача о квадратуре эллиптической луночки сводится к квадратуре разности сегментов эллипсов. Какие условия должны выполняться, чтобы эта разность квадрировалась циркулем и линейкой?

5э*л-АС2ВВА = ScerM АС2ВА—SperMADB А.

5э*л-АС2ВВА = ScerM АС2ВА—SperMADB А.

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим эллиптический сегмент А'С'В' (см. рис. 64), как результат афинного преобразования кругового сегмента A"C"B/Z. Эти эллипс и круг имеют общий центр О, одинаковую «высоту», т. о. высшие и низшие точки их, а также точки Pzz и Р' находятся на параллельных линиях хорде AZZAZBZBZZ и диаметру U^U'OV'V'7, где диаметр U'V' сопряжен с диаметром CZDZ. Пусть диаметр круга U/ZVZ/=S = 2г, а диаметр эллипса UzVz=2d. Так как эллипс получается из круга путем афинного преобразования, то

U"V" ; u'V'=A"B" : А'В'=8«егм л"с"в" : See™ л'с'в'=г: d (5). Если ^А"0В"=2ф, то хорда круга A"B"=2rsiiMp, хорда эллипса• J

А,В,= —A"B"=2dsin(p.(6)

Г

Сегмент круга

г2

А"С"В"= — (2ср—8Й12ф)=г2(ф—созф sinep)

эллиптический сегмент

d

А'С'В'= — -А^В'^агСф—С08ф8Шф)(7) /

г

(С — произвольная точка на прямой, параллельной АВ, если Р' остается на одной «высоте» с Р").

Возвращаясь к эллиптической луночке AC2BDA, площадь которой равна разности площадей двух эллиптических сегментов, заметим, что эта площадь может быть найдена, если нам известны ri, di, ф1 и гг, d2, ф2 для данных -эллипсов. Площадь указанной луночки в этом случае будет

8^л.ас2впа =r2d2 (ф2—С08ф2 этф2) —гidi (ф1—С08ф1 sin ф1)(8)

При этом выполняется равенство AB=2di s^i = 2d2 8Шф2. Но чтобы эллиптическая луночка (4) была квадрируема циркулем и линейкой, нужно, чтобы площадь ее (So-л-) выражалась или рациональным числом или через квадратичные иррациональности. А для этого необходимо и достаточно, чтобы

rldlфl==r2d2ф2, т. е. должны быть равны эллиптические секторы.

SceKTAC2BQ j А =: Зсект ADBO2A,

Тогда.f

Зэ*л = §фигАО1 ВО2А•(9)

Если потребовать, чтобы отношение двух центральных углов Ф1=пмо и ф2=пй) было отношением целых чисел, то из предыдущего имеем

di : d2 = sin no : sin mco— :

sinTi sin<p2

sin$i sincp2

i*i : r2=n sinmeo : m sin поз— :

/ф! ф2

Следовательно, если даны углы ф1 и ф2, меньшие л, отношение которых выражается рациональным числом, то можно определить отношения ri : Г2 и di : d2. Если же дана и общая хорда двух эллипсов, то можно определить di и d2. Рассмотрим в качестве примера эллиптическую луночку,.внешняя дуга которой является полуокружностью. Пусть ф1 = 30°, ф2=90°, di=4, d2=2, Г1=3, Г2=2, di : d2=4 : 2=2 : 1; Г] : г2=3 : 2. Площадь луночки

8».л=2.2- ——3-4. (— - —] =3уз;

2\ 622 у .

т. е. луночка квадрируема циркулем и линеикои.

Пять случаев квадратуры круговых замкнутых луночек. Ма тематики XVIII в. внесли заметный вклад в теорию эллиптических и открытых круговых луночек. Но наиболее существенным вкладом следует все же считать их результаты в области теории замкнутых круговых луночек: они впервые рассмотрели все пять случаев квадрируемых луночек и высказали предположение о том, что кроме этих случаев больше нет круговых квадрируемых луночек и что число случаев квадрируемых луночек можно увеличить, применяя при этом кроме циркуля и линейки другие средства. Остановимся кратко на некоторых из этих результатов. *

Даниил Бернулли (1700—1782) занялся разработкой метода построения луночек, равновеликих прямолинейным фигурам, вероятно; в связи с обращением Гольдбаха к его брату Нико

лаю с просьбой найти способ шего числа луночек.лаю с просьбой найти способ шего числа луночек.квадрирования как можно боль-

лаю с просьбой найти способ шего числа луночек.

лаю с просьбой найти способ шего числа луночек.

В работе «Математические этюды» [108] Д. Бернулли . рассматривал и замкнутые и открытые луночки. В основу своих исследований он положил лемму: Луночка ACBADA будет квадрируемой, если площадь сектора ACBOiA равна площади сектора AO?BDA (рис. 65). Это условие Д. Бернулли считал не только необходимым, но и достаточным для квадрируемости луночки. При этом условии указанная луночка равновелика четырехугольнику AOiBO2. И поэтому эту луночку Бернулли считал квад-

рируемой. Он предложил способ построения квадрируемой луночки, когда дана хорда дуги основной окружности (АВ = а). Если предположить, что луночка и равновеликая ей прямолинейная фигура построены и' если проведем OiM II АО2, то точка М разделит дугу АС так, что

АС : MC = Z.AOiC : AMOiC = AO22 : MO2i=AH2: MN2.

Если теперь дана окружность с радиусом AOi=r и полухорда АН, то можно найти NOi и построить MN, где точка М и будет делить дугу АС в указанном выше отношении.

Действительно, пусть CN = x, тогда NOi=r—х. Если взять отношение ш : n=2 : 1, 3 : 1, 4: 1, — , то

АН2 : MN2=2 : 1, 3: 1, - и AH2=2MN2, 3MN2, -

Пусть MN2= — АН2. Из △ MNOi следует

MN2+(r—х)2 = г2 или х2—2гх+“АН2=^0.

Отсюда находим x=CN, выраженный через известные г и АН. Тем самым определятся точки N и М. Соединив точки М и Oi и проведя АО2II MOi, находим центр и радиус другой окружности, дуга которой ADB вместе с дугой АСВ образует искомую луночку, а четырехугольник AOiBO2 будет равновеликий луночке.

Лемма Д. Бернулли стала в дальнейшем исходным пунктом в исследованиях проблемы квадрируемых луночек многих математиков.

Женевский математик Г. Крамер опубликовал в Мет. Ас. Berl. (1750) работу, посвященную квадратуре круговых луночек. Вилейтнер [24; 356] утверждает, что Крамер «установил общее уравнение, для таких луночек и привел уравнения, получающиеся отсюда для простейших частных-случаев. Уравнения эти, однако, оказались настолько сложными, что он смог найти лишь три луночки, бывшие известными уже Гиппократу».

Важным событием в Истории квадратуры луночек является получение всех пяти замкнутых круговых луночек, квадрируемых циркулем и линейкой.

Известные нам факты из истории луночек говорят о том, что впервые все пять квадрируемых круговых луночек рассмотрел финский математик из Выборга Уинквист (Wjinquist) в своей «Диссертации» [149]. Положительную оценку этой диссертации в то время дал М. Валлениус29. Вообще эта диссертация, по-видимому, была известна немногим математикам второй по-

1291299 С. Е. Белозеров

129

129

ловины XVI1I в., а затем' о ней и совсем забыли. Это видно иа того, что Клаузен в своей статье о квадратуре луночек в 1840 г. утверждал, что из пяти случаев квадратуры круговых луночек один был известен Гиппократу Хиосскому, а четыре случая впервые нашел он (Клаузен). Да и в наше время авторы книг и статей, в которых идет речь о квадрируемых луночках, обычно утверждают, что три случая квадрируемых луночек установил Гиппократ Хиосский, а два последние, т. е. m : n = 5: 1, 5:3, нашел Клаузен. Ошибочность этого утверждения очевидна, ибо в «Диссертации» Уинквиста и в одном из мемуаров Эйлера 1771 (1772) г., о котором говорится ниже, рассматриваются все пять случаев квадрируемых луночек.

точно.точно.Уинквист в своей статье утверждает, что в работах предшественников он встречал только два случая квадрируемых луночек, т. е. m: n=2 : 1, и 3 : 1, а три случая (ш : п=3 : 2, 5 : 1, 5:3) он нашел сам. Но это утверждение, как известно, тоже не

точно.

точно.

Каков же путь рассуждений Уинквиста при получении этих пяти и других луночек? Он, так же как и его предшественники, еще тесно связан с геометрией, хотя и сводит задачу к решению алгебраических уравнений, получаемых из геометрических соображений отдельно для каждого случая.

Он считал, что сектора, соответствующие дугам, образу

ющим луночку, равны между собой и что квадрируемая луночка ACBD (рис. 66) равновелика четырехугольнику АО1ВО2. Если радиус круга АО] = п известен и дано от

ношение между центральными углами секторов, например, Z-AOiB : ZLAO2B = m: п, то задача сводится к отысканию отрезка O1O2 и к построению треугольника АОрОг или четырехугольника АО^О? по трем сторонам. Ему необходимо при. этом выразить 2LO1AO2 через Z-AOyOj. Он показывает, что Z-OjAOy: Z-AO2O1 = = (m—n) : п. Переходя далее к рассмотрению частных случаев, он берет

m : n=2 : 1, 3 : 1, 3 : 2, 4 : 1, 5:1, 5: 3, 4: 3, 5 : 2.

В первом случае, очевидно, —-— = —==1, Ор совпадает

с Н, АО]=0]02=Г1, АО2=Г1У2, треугольник АОгВ_легко. строится. Из точки О?, как из центра, радиусом AO2=riV2 описывается дуга окружности ADB. Луночка ACBD равновелика треугольнику АО2В. Следовательно, она квадрируема..

В следующих случаях нахождение О,О2 требует несколько более сложных рассуждений, но принцип единый..

Рассмотрим второй случай, т. е. m : п=3 : 1. В этом случае з1■'

Z-OiAO2= ——Z-AO2O1. Разделим Z-O,AO2 пополам прямой

ДР (см. рис. 66). Тогда, так как АР биссектриса угла О,АО2, то

АО2: О2Р=АО, : О]Р..(11)

На основании свойства пропорции

(АО2+АО1) : (O1P+O2P)=AOi : О,Р.(12)

Из подобия треугольников О,АО2 и О,АР следует

АО, : O,P=OiO2: АО,.(13)

Так как О,Р-гРО2 = О,О2, то'.

(AO2+AQ1) : О,О2 = О,О2: АО,;(14)

OiO22=AO, • (AO2+AOi) =AO2,+AOiAO2. (15)

Воспользовавшись для этого-случая равенством АО22:АО2,= =3 : 1 или АО2=УЗ, АО,=УЗ г, и подставив в (5), получим

"О,О22=г21+13Т,-г, = г51(.1+УЗ)75

■ • OiO2=ri К 1+V&

Мы имеем теперь три стороны, выраженные через известную величину п. Построив треугольник АО1О2 и четырехугольник АО]ВО2, определим точку О2, из которой радиусом O2A=l/3ri опишем дугу ADB и получим луночку ACBD, равновеликую этому четырехугольнику. И, следовательно, луночка квадрируема.

32

Если же ш : п=3 : 2, то Z-O,AO2= —^— ZLAO2O,. По аналогии с предыдущим (АО2+О,О2) : АО,=АО, : О,О2. Так как AOi = n, то из АО, : АО2=У2 : УЗ находим АО?= j/"Д-г,.

OiO2=x находим из AO2i = O1O2(AO2+OiO2), т. е. из квадратного уравнения х2+ |//'"_|. г,х—г2,=0. Найдя отсюда х=О,О2, строим треугольник АО,О2 по трем сторонам-и четырехугольник-

AOiBO2, равновеликий луночке, ограниченной дугами окружностей с центрами в точках Oi и О2 и с радиусами ri и ^~-plt

Аналогичным образом он рассмотрел случаи m : n = 5 : 1 ц 5 : 3 и получил тоже квадратные уравнения для определения OiO2. Рассматривая случаи m : n=4: 1 и 4: 3, он получил для определения О]О2 кубические неприводимые уравнения, в случае m : п = 5:2 получается уравнение четвертой -степени/а при m:n = 6: 1 — уравнение пятой степени30. Последние уравнения он не смог свести к квадратным уравнениям, и луночки, соответствующие им, он не считал квадрируемыми.

Так были рассмотрены впервые все пять случаев квадрируемых луночек.

Как видно, некоторые из указанных математиков XVIII в. начинали понимать, что вопрос о квадрируемости круговых луночек упирается в решение алгебраических уравнений.

Но наибольшая ясность в этом вопросе в то время была у Л. Эйлера. Он первый и эту проблему перевел в разряд аналитических. На основании леммы Д. Бернулли о равенстве секторов дуг,- ограничивающих квадрируемую луночку, Эйлер получил уравнение

sin2m sin2n

где 2m и 2п — центральные углы дуг, от которого он и отправляется при определении квадрируемости луночек.

В мемуаре 1771 (1772)г. [112] Эйлер уже совсем не обра- m щается к чертежам, а исследует функцию f(m)= , ко-

sin2m

торая в пределах от 0 до а и от а до л меняется монотонно от

6?CL

00 до и от до °°. Мы будем рассматривать

sin2tzsin2a

функцию f(x) = —— и построим для наглядности ее график sin2x

(рис. 67) (у Эйлера его нет). Эта функция, очевидно, имеет минимум при х=а= — tgx, т. е. при х=а=66° 46' 54". Если те

перь значения х < а будем обозначать через п, а значения х > а — через. т„ то получим бесчисленное множество ординат

Рис. 67.

Пкткv

-и , которые равны между собой, т. е. для них

sin2n#sin2mK

выполняется условие [1], Среди значений пь и тк есть и такие, которым соответствуют луночки, квадрируемые циркулем и ли-

, есть такие., есть такие.ней-койней-койлл

, есть такие.

, есть такие.

ней-кой

ней-кой

например, при п— — и при ш = —

которые квадрируются с помощью конических сечений, и другие31.

Следовательно, условие (16) достаточное, чтобы луночка была квадрируема циркулем и линейкой только при дополнительных ограничениях, наложенных на п и ш.

Для математиков XVIII в. были не ясны еще вопросы: какие ограничения нужно наложить на п и ш, чтобы луночки были квадрируемы циркулем и линейкой, и каково количество этих луночек. Но они шли все же по правильному пути, отыскивая квадрируемые луночки среди тех, для которых пит целые числа или для которых m : п — рациональная дробь.

Эйлер и некоторые другие математики XVIII в: убедились, что и эти ограничения для тип недостаточны, чтобы получились луночки, квадрируемые циркулем и линейкой. Эйлер знал уже, что только та луночка квадрируема, для которой алгебраическое уравнение, полученное из (16), сводится к квадратному уравнению. Но для него не было ясно: какие же уравнения высших степеней сводятся, а какие не сводятся к квадратным уравнениям. Поэтому в то время ограничивались только небольшими числовыми значениями тип — уравнениями невысоких степеней, для которых сравнительно просто решался вопрос о сводимости уравнения.

Но чтобы перейти от уравнения (16) к алгебраическим уравнениям, Эйлер поступал следующим образом. Положив

.1и v

т= — vo и п= — тчо, он получает——

9JVO)

2sin2 — sin2 —

2

ИЛИ

И у1 — COS|4to 1 — COSVto22

(17)(17)т. е.

(17)

(17)

р(1—cosvcu) = v(l—cospco)

или

Р—V=p.COSV®—VCOSpto .(18)

Это и есть общее уравнение квадратуры луночек Эйлера, из которого получаются все пять случаев квадрируемых луночек при соответствующих значениях р и v. Чтобы перейти к чисто алгебраической форме урав-нений (17) (при различных р и v), Эйлер выражает косинусы кратных углов через косинусы поо- стых углов и вводит обозначения:

.coso)=z; cos2®=cos2®—sin2® =

■=2cos2®—l=2z2—1;

cos3to=cos (2®+®) =4z3—3z; cos4®=8z4—8z2+1;

cos5o)= 16z5—20z3+5z;

"cos6®=32z6—48z4—18z2—1..

Затем он рассматривает ряд конкретных случаев.

1

I. Пусть v = l и р=2, тогда п = — ®, т=®. Используя (18), получаем: l=2z—2z2+l или z2—z=z(z—1)=0, откуда zi=0 и z2 = l. При zi=cos®=0 имеем ®=90°, но ®=2п, следовательно, 11=45°, m= -у -2®=90°. Подставив полученные и заданные величины в (18) ив (16), мы видим, что уравнение (16) обращается в тождество и m : h = p : v=2 : 1. Следовательно, это и есть первый случай квадрируемой луночки (n:m = l :2). Второй корень z2=l Эйлер не рассматривает, так как случай z2=cos®=l (01

дает ®=0, п=—=0, т =— -2®=0, т. е. луночки в этом 22

случае не существует.‘

31

П. Пусть теперь v=l, р —3. Тогда. ш= — о, п= ~ <о и из (18) следует 3—l=3cos®—cos3®. Заменяя cos® через z, созЗсо через 4z3—3z, получим уравнение 2z3—3z+l=(l—z) • -(1—2z—2z2)=0 или 2z2+2z—1=0; откуда z112 = —-^ ~ =

«cosw. Корень 2з=1, как было указано выше, не соответствует никакой луночке, z2= —1—11 тоже не имеет геометрического

-1-УЗ- смысла, так как не может быть z2=cos® = —^ меньше

— 1. Следовательно, остается только zj = -ll—L =cosw. Найдя 2

1

отсюда (о и зная, что в этом случае ш=— и, п= — го, мы най- 22

дем тип, Для которых справедливо п: т=1 : 3 и выполняется условие (16). Следовательно, соответствующая луночка квадрируема (2-й случай Гиппократа).

Положим v=2, р=3. В этом случае т=3ю и n = w уравнение (18, б) после соответствующих подстановок l=6z2— —4—8z3+6z или 8z3—6z2—6z+4=2(l—z) (2—z—4z2)=0. Корень zi = l не рассматривается, корни уравнения 4z2+z—2=0 z2,3= —-— =cos®. В этом случае корни уравнения строят

ся циркулем и линейкой. Следовательно, можно построить costo, to, m и п, причем эти шип удовлетворяют уравнению (16) и отношение их рациональное число. Таким образом, при v=2 и р=3 луночка квадрируема.

Если же v=l и ц=4, то т = 2м, п= — to. Соответст- 2

вующее уравнение

3=4z—8z4+8z2—1 или 2z4—2z2—z—1 = (1—z) (1—2z2—2z3) =0. Ho zi = l не дает луночки, а уравнение 2z3+2z2—1=0 не приводимое. Следовательно, при v=l и р=4 нет квадрируемой луночки.

v=3, р=4; т=2ю и n= -g- «>. После соответствующих подстановок и преобразований приходим к неприводимому уравнению 6z3+2z2—4z—1=0, т. е. в этом случае нет квадрируемой луночки.

v=l и р=5. В этом случае уравнение (18) будет 4=5z— — 16z5+20z3—5z или 4z5—5z3+l=0, разделив его на 1—z, полу.-

/1 \251

чим I 2z24-z= — или 2z2-4-z=±

I242

2z2+z21 ~0.

22.

Откуда.

_V 5 + 4V5"-1'.•

O<ZI = C0SG) = — <1.

Следовательно, в этом случае луночка будет квадрируемой.

При v=2 и ц=5, п=<о, ш=-2- со задача сводится к ре

шению уравнения 16z4+16z3—4z2—9z—4=0, которое не сводится к квадратным уравнениям, корни его не могут быть построены циркулем и линейкой. В этом случае луночка ие квадрируема;

53

Если v=3 и ц=5, то ш= — о, п=— со. Соответст- г22.

вующее уравнение 2=80z3—30z—48z5. После деления на 1—z имеем 1 +16z+16z2—24z3—24z4 = (1+8z+6z2)2—60 (z+z2)2=0 или 6z2+8z+l = ±y60z2±y60z; отсюда при zi -

0<Zi = coso)=V^-^25-^5*

.6 —2У15'

случай благоприятный — луночка квадрируема.

v=4, ц=5. Уравнение 16z4+6z3—14z2—4z+ 1=0 луночка не квадрируема.•

Таким образом, Эйлер рассмотрел 9 различных луночек32 и показал, что пять из них квадрируемы циркулем и линейкой, а четыре — не квадрируемы. Правда, Эйлер не мог еще ответить на вопрос: есть ли квадрируемые луночки, кроме рассмотренных им пяти случаев?- Но он-предполагал, .что если квадрировать циркулем и линейкой, то их больше нет и утверждал, что число квадрируемых луночек может быть увеличено, если пользоваться при этом не только циркулем и линейкой.'

Таков вклад математиков в теорию квадратуры луночек в эпоху до конца XVIII в. При этом, кай видно, главная заслуга в сведении этой проблемы к исследованию корней алгебраических уравнений и в рассмотрении с этой точки зрения пяти случаев квадрируемых луночек принадлежит Л. Эйлеру, работы которого, посвященные этому вопросу, были опубликованы в изданиях. Петербургской Академии наук. Правильность предположений Эйлера доказали только советские математики.

Примечания к главе И

Ал-Каши еще в начале XV в. другим способом получил для л 17 вер- * «ных знако!в (см. стр. 72—73).

В Европе [I] был получен из разложения arctgx в ряд только во второй половине XVII в.

Рекомендуется:

получить формулы Ариабха.тты и Брахмагупты;

получить ряд (1) современными методами.

Ряд произведений Архимеда («Книга Лемм», «Книга о построении круга, разделенного на семь равных частей», «Книга о касающихся кругах» ’л др.) и ряд книг «Конических сечений» Аполлония, сочинений Птолемея и Диофанта дошли до нас только в переводах на арабский язык.

Рекомендуется:

установить, какое из этих значений более точно выражает число л. _ . а

сравнить их с У2 + ]'Э и с У31.

Рекомендуется:

показать, как эти формулы можно получить;

проверить, .верны ли эти формулы.

ллллРекомендуется установить величины ошибок при вычислении дуг

л

л

л

л

"X —— и Х= — методом Н. Кузанского.

46

Использ’уя это указание Кеплера, показать, что а) длина "эллипса с полуосями а = 4, Ь = 3 будет близка к среднему арифметическому двух окружностей с радиусами г4=3 и Гг=4;

) какими должны быть а = г4, Ь=г2. чтобы среднее арифметическое площадей кругов отличалось от площади эллипса не более чем на 0,1.

п! = 1, 2, 3, ... , п, п!! — означает произведение натуральных чисел, не превосходящих п и одной с ним четности.

Сравнительно недавно советские ‘ математики А. М. и И. М. Я гл ом получили формулу Валлиса элементарным способом (см. гл. IV). Предлагается •определить, сколько сомножителей нужно взять в формуле Валлиса, чтобы получить л=ЗД4.

Предлагается доказать сходимость этого ряда и указать, сколько сле- Лует взять членов ряда, чтобы получить л = 3,14.

Получить эти формулы.

Непрерывной или цепной дробью называется дробь вида

1

x = qi +

q2+_

-Я’ + —г—

Q4 + ...

-где через х обозначено рациональное или иррациональное число, qi —наибольшее целое в нем, т. е. qi^x<qi + 1. При х положительном и не рав-

ном qi можно положить x = qi 4-ном qi можно положить x = qi 4-— ,где—<1или Xi>l, xi=qi+ —— ,где—<1или Xi>l, xi=qi+ —Х1Х1XiXiХ2Х2

ном qi можно положить x = qi 4-

ном qi можно положить x = qi 4-

— ,где—<1или Xi>l, xi=qi+ —

— ,где—<1или Xi>l, xi=qi+ —

Х1

Х1

Xi

Xi

Х2

Х2

хг>1и т. д. Непрерывная дробь, записанная в виде несократимой дроби Рк рг(к<п), называется подходящей дробью порядка к.':

Фигурирующая здесь гамма-функция, введенная Эйлером, определяется со

формулой Г(х) = j sx-1e-sds . Если х=п — целое положительное число, то

Г(п) = (п — 1)! Основные соотношения для нее:

r(z + 1) = zf(z); F(z) Г(1 — z) = -r-^— smnz

Элементарный вывод этой формулы дан в статье [-106] (см. гл. IV этой книги).

Предлагается проверить эти утверждения.

Рекомендуется рассмотреть этот .способ и построить прибор для решения задачи об удвоении куба, используя описание его бану Муса.

Рекомендуется доказать справедливость этого равенства,

См. стр. 50, где дается пример решения, этой задача Архимедом с Помощью вставки.

Рекомендуется:

познакомиться с указанными трудами [1,6, 103];

попытаться самостоятельно восстановить опущенные доказательства указанных способов трисекции угла.

Рекомендуется:

при данной стороне а построить правильные многоугольники с числом сторо-н п=5, 7, 9;

установить величину ошибки при построении 7-угольника способом Абу-л-Вафа.

Рекомендуется:

найти корни уравнения, полученного Декартом;

по приведенным данным построить гиперболу, получить уравнения гиперболы и окружности, с помощью которых Клеро осуществил трисекцию угла, найти координаты точек пересечения их и сравнить с утверждением Клеро-.

3

Рекомендуется построить х = У2 с .помощью Декартова листа. х3+у3— Заху=0 и с помощью трезубца Ньютона ху=х3 + 1.

Рекомендуется:

у|ста-но1вить -величину ошибки при вычислении а^ способом Дюрера;

построить а? как корень уравнения Феррари с. помощью прямо-, угольников;

найти формулу для вычисления корней уравнения xn —I—0 при любых целых положительных п.-

Рекомендуется.:

выяснить, возможно ли сквадрировать каждую из двух луночек отдельно;

показать, как будет меняться площадь прямолинейной фигуры, равновеликой сумме луночек 1 и 2, если передвигать точку С по окружности АСВ, и будет ли эта величина (площадь) иметь минимум и максимум.

Рекомендуется показать, что точки Ск лежат на окружности с центром в точке N,

Рекомендуется по данному описанию восстановить чертеж.

АВ© можно выразить через радиус крута и таким способом: из АВг2: АВО2=3: 1 следует АВ22=ЗАВО2. По теореме Птолемея

• АВ12=АВО2 + АВоАВ2=АВЛ/ 1+У37" ВВп=г К И -U уз

Но из (2) следует ABi = yi=AiB0 • = АВО V1 -г V3, ВВ0 =г 1^1 + 43-

г

Из Л АВ0В получим *

АВ0= V 4г2 — г2(1 4^1/5^ =г V 3 — ]/3 и АВ2 =?3 г Z1 — }Т

Предлагается методом Виеты сквадрировать луночки m : n=5 : 1 и 6 :

Подробнее теория открытых луночек изложена в работе [148] и в IV главе данной книги.

Рекомендуется доказать самостоятельно эту теорему.

Мы не имели возможности познакомиться с этой «Диссертацией». Вопрос о ее авторе, судя по утверждению Вилейтнера [24] и Гофмана [148], не совсем ясен. Но мы будем считать, что автор ее Уинквист.

Рекомендуется построить прямолинеиные фигуры, равновеликие этим луночкам, методом Уинквиста.

Рекомендуется:

х

доказать, что функция Г(х) = достигает минимума при

s:n2x

m + п

х—m = n — а = 66°4'6'54". Найти f(a) и показать, что о-^=—~1

найти значения п три т = 30, 60, 135° и установить, будет ли три этом выполняться (1) и будут ли луночки квадрируемы циркулем и линейкой;

найти пит при tgm=y2. Будет ли эта луночка квадрируема;

будет ли квадрируемой луночка при п = 90° и m=30p (n:m=3: 1);

при каких значениях тип луночки будут алгебраические.

Рекомендуется:

а) -построить луночки, рассмотренные Эйлером, и равновеликие им прямолинейные фигуры. (Сам Эйлер не строил эти луночки);

) получить общее алгебраическое уравнение квадратуры круговых замкнутых луночек, продолжая подобно Эйлеру выражать cosnp, через косинусы простых углов и заменяя cosp, через z.

указать способы, позволяющие вычислять площади луночек, алгебраических и трансцендентных;

сформулировать необходимое и достаточное условие квадратуры алгебраических круговых замкнутых луночек: 1) циркулем и линеТр 1 кой, 2) с помощью других средств.

Глава III1

ДОЛГОЖДАННЫЕ РЕШЕНИЯ ЧЕТЫРЕХ

ЗАДАЧ.

ДАЛЬНЕЙШАЯ СУДЬБА ЗНАМЕНИТЫХЗАДАЧ ДРЕВНОСТИ

Из предыдущих глав видно, как в теченйе свыше двух тысяч лет шла атака на знаменитые задачи древности. За это время на дальних и ближних подступах к этим задачам-крепостям было получено много ценных результатов для математики. Но в эти первые три периода наступления на указанные задачи оставался открытым вопрос: возможно ли решение этих пяти конструктивных задач в общих случаях циркулем и линейкой?

. В дальнейшем стало ясно, что для покорения этих задач-крепостей нужно было более мощное оружие в виде новых разделов алгебры, теории чисел и математического анализа. В конце XVIII и в XIX столетиях это оружие появилось; с его помощью и началось покорение одной крепости за другой. Так в XIX в. были покорены четыре крепости из пяти, не сдалась в этом столетии только проблема квадратуры луночек. Это и была самая характерная черта следующего, четвертого, периода в истории знаменитых задач древности. В создании необходимых условий для окончательного штурма этих крепостей большую роль сыграли Ламберт, Лежандр, Лиувилль, Кантор и Эрмит. Непосредственными же покорителями четырех крепостей были Гаусс, Ванцель и Линдеман.х•

Но история знаменитых задач древности на этом не оборвалась. После решения задач деления окружности на равные части, трисекции угла, удвоения куба и квадратуры круга возникли следующие вопросы, связанные с этими задачами: упрощение полученных решений (доказательств), отыскание новых точных и приближенных способов решений, решение проблемы квадратуры круговых, замкнутых луночек с помощью циркуля и линейки и

конических сечений, создание теории квадратуры некруговых и» открытых луночек, обобщения некоторых из этих задач, перенос знаменитых задач в неевклидовы геометрии,' создание научной истории- их и др. В этих направлениях проводились исследования в XIX и XX столетиях, что и явилось характерной чертой пятого,, современного периода истории знаменитых задач древности.

В решении указанных вопросов • приняли участие Вейер- штрасс, Гильберт, Гурвиц, А. А. Марков, Н, Г. Чеботарев, А. В. Дороднов, Д. Д. Мордухай-Болтовской, Н. М. Несторович,. А. С. Смогоржевский и др. В этот период ведущую роль стали играть советские, в том числе ростовские, математики, характеристике результатов работ которых посвящена значительная часть четвертой главы этой книги: «Знаменитые задачи древности в нашей стране». .

Иррациональность чисел е и л

Первый, принципиально новый шаг в решении задачи о квадратуре круга был сделан во второй половине XVIII в. Ламбертом и Лежандром, доказавшими иррациональность чисел е и л.

По мере расширения аналитических средств для выражения и вычисления л математики все чаще задумывались над природой числа л.. Сравнивая, например, представления рациональных и иррациональных чисел и числа л в виде десятичных дробей, они замечали, что рациональные дроби всегда представляются конечным числом десятичных знаков (за исключением периодических), в то время как известные иррациональные числа' V2, ТЗ, У2,— и- число л выражаются неограниченным числом десятичных знаков. То же явление наблюдалось и при выражении этих чисел в виде непрерывных дробей. Отсюда, в частности, математики XVIII в. сделали вывод, что число л по своей природе скорее относится к иррациональным числам. Правда, у них не было в этом еще полной уверенности, так как в то время не было доказано, что число десятичных знаков этих чисел не может, оборваться на каком-то n-м десятичном знаке, где п достаточно большое. О чис-

nt.

лах вида VD, где D—целое положительное число, не являющееся n-й степенью целого числа, было доказано уже. что не может

“ р

быть равенства VD= —, где р и q—целые числа. Надо было до- 4

казать, что число л не может быть выражено в виде дроби —, q

если р и q целые числа. Эта задача оказалась более трудной,

* п — р

чем доказательство невозможности равенства VD = — . Но по- q

скольку предполагалось, что выяснение природы числа л прольет свет на трудности, связанные с решением задач о квадратуре круга, о спрямлении окружности и других задач, то эта проблема во второй половине XVIII в. стала актуальной. К этому же времени и число е стало играть большую роль в математике. После получения Эйлером формул

e±ix —cos х+| s|n x,

после установления связи между ей л в виде формулы ein =—1 и после разложения лиев непрерывные дроби встал вопрос и о выяснении природы числа е. .

Многие математики того времени пытались доказать иррациональность чисел е и л, но только Ламберту и Лежандру удалось дать это доказательство.

Результат Ламберта. Используя результаты Эйлера и других предшественников, Ламберт, Лежандр и Фурье строго доказали иррациональность чисел е и л. И. Г. Ламберт (1728—1777) из Мюльгаузена считал себя швейцарцем. Из простого ученика портного он вырос в одного из выдающихся ученых XVIII в. В 1765 г. он был приглашен в Берлинскую Академию наук.

В 1766 г. вышла в свет его знаменитая работа «Предварительные сведения для ищущих квадратуру и спрямление круга» [61].

Эта работа написана живо, читается с интересом и занимает в истории квадратуры круга видное место. В ней впервые было дано доказательство иррациональности чисел е и л. Начинает Ламберт свою работу с констатации факта, что и в то время продолжался поток работ «квадратурщиков» — дилетантов, которых он и пытался направить на «путь истинный». В начале статьи он говорит, что особенно полезно прочесть эту работу тем, кто- «затрачивает очень много времени и труда для отыскания квадратуры круга». Он так характеризует этих «искателей квадратуры круга»: «Таких искателей всегда будет достаточно, и если судить о будущих по их предшественникам, то это по большей части люди, мало смыслящие в геометрии и лишенные возможности правильно оценивать свои силы, Там, где им не хватает знания и понимания, где они не могут сделать с помощью* правильных

последовательных выводов, там жажда славы и денег создает софизмы, которые чаще всего не.отличаются ни особенной тонкостью, ни особенной замысловатостью [61; 169]. Далее Ламберт говорит: «До сих пор не исследовано, может ли отношение диаметра к окружности быть выражено рациональной дробью». Он указывает, что найдено много таких дробей, например, 1 : 3, 7 : 22, 106 : 133, 113 : 355..., но все они дают только приближенные значения. Если рассматривать разложение уисел в непрерывные дроби, то получается для л разложение, которое «совершенно уничтожает надежду определить отношение диаметра к окружности посредством целых чисел».

Но основная заслуга Ламберта в истории теории чисел и в истории квадратуры круга состоит не в том, что он высказывал сомнение в рациональности числа ли — , а в том, что он сфор- Л

мулировал и в основном доказал две теоремы об иррациональности чисел е и л1.

Природа числа е — основания натуральных («гиперболических») логарифмов — интересовала многих математиков XVIII в. Некоторые из них пытались представить это число в виде отно- а

шения рациональных чисел е= —. Под влиянием «Введения» Ь

Эйлера, где дано разложение в непрерывную дробь чисел е, е — 1

——• и др., Ламберт занялся выяснением природы этого числа

и пришел к выводу, что оно иррациональное. Он сформулировал такую теорему: «Если х есть отличное от нуля "рациональное число, то ех не может быть рациональным числом».

Отсюда вытекает, в частности, что натуральный логарифм рационального числа, отличного от единицы, не может быть числом рациональным,-При доказательстве указанной теоремы Ламберт говорит, что если бы число е можно было представить в виде рациональной дроби, то разложение е и других чисел, связанных с е, в непрерывные дроби где-то обрывалось бы. Но этого не происходит, так как разложения

14514510 С. Е. Белозеров

145

145

е — 1е -Л

и вообще

ех + 121

не обрываются. И Ламберт делает из этого правильный вывод: «Так как дроби продолжаются бесконечно,, то ни е; ни ех, если х целое число или дробь, не могут быть точно выражены рациональной дробью». Но это утверждение им не было строго доказано.

Затем он переходит к доказательству иррациональности числа л и формулирует следующую теорему: «Если х отличное от нуля рациональное число, то tgx не может быть рациональным числом». Но-если это верно для всех рациональных х,. то верно

и для х=1 и х= — .Ив этом случае Ламберт, используя раз

ложение в непрерывную дробь

tgx

х 3

7

х 9

получает непрерывные дроби:

tg 1 =

Отсюда он делает вывод: «Из того, что эти дроби бесконечны, следует, что если дуга круга содержится целое число раз в его радиусе, то тангенс се есть необходимо иррациональное число. Так как, если бы этот тангенс был рациональным, то дробь не могла бы продолжаться бесконечно и должна была бы прерваться». Но последняя часть этого утверждения, так же как и в предыдущем случае, принимается Ламбертом без доказательства.

Ламберт рассматривает далее, подходящие дроби для tg 1:

1 _ 31 _ 14 _ 3 । 1

~"Т7Г 2 • 9’ ' '.

1 _.6122 • 9‘ 9 • 61 ’

и обращается к рассмотрению бесконечного ряда:

. з 11,1tg 1 =IИг Н~ * “ ,

°22-9 .9-6161-540

1 _ 1431__ 95-14

,2 • 9 ~ 92 ’ 9 • 61 ” 619 " ’

который «сходится быстрее всякой геометрической прогрессии и имеет, как видим, иррациональную сумму... Точно так же обнаруживается, что не только тангенс дуги х=1 их — — , но и п.

m'

вообще тангенс каждой дуги — , имеющей рациональное отно- nw

темпе к радиусу, является иррациональным числом».

Из этого Ламберт делает такой вывод: «Так как тангенс каждой рациональной дуги есть число иррациональное, то, наоборот, также каждая дуга, имеющая рациональный тангенс, является иррациональной. Допустив противное; мы приходим к прютиво- • .л''л

речию. Известно, что tg — = 1. Следовательно, -— ил — "44

иррациональные числа». Но многие дуги,-как известно, соизмеримы со своим тангенсом. В этом случае, говорит Ламберт, они оба

не соизмеримы с радиусом. Допустив противное, приходим к противоречию. Сам Ламберт, вероятно, считал, что ему удалось строго доказать теоремы об иррациональности чисел е и л. Однако, как показал в дальнейшем Лежандр, существенные положения этих теорем не были Ламбертом доказаны.

Доказательства Лежандра и Фурье. Знаменитый французский математик А. М. Лежандр (1752—1833) продолжил исследования Ламберта, и в своей работе [61], появившейся в 1794 г., дал «Доказательство того, что отношение длины окружности к диаметру и квадрат его суть иррациональные числа» [63].

Лемма первая в этом произведении, которая восполняет доказательство Ламберта, сформулирована так: «Если в бесконечной непрерывной дроби m

m, n, m', n', т", и", —

суть положительные или отрицательные целые числа, если, кро- mт'ш"

ме того, каждая из дробей —-,—, — и т. д. менее единицы,

пп'п"

то значениенепрерывной дробииррациональноечисло».Вторая

леммаЛежандрачитаетсятак:«Еслипритекжепредположе-

„ mm'm"

ниях начальные дроби —, —, и т. д. имеют лроизЬоль-

пп'п"

ные значения, все же последующие менее единицы, то рассматриваемая непрерывная дробь равна иррациональному числу, в предположении, что она бесконечна».

При доказательстве их он делает допущение, что

'm В

m'

п + 77” т

где В и А целые числа, и приходит к противоречию. «Поэтому, — заключает Лежандр, — наше допущение, что значение непрерывной дроби равно рациональному числу -д- , ложно; Это значение непременно иррационально».

Доказав справедливость этих лемм, он рассматривает далее 148

основную теорему: «Если некоторая дуга соизмерима с радиусом, то ее тангенс не соизмерим с радиусом»2.

Доказательство этой теоремы опирается на известные в то время факты из теории рядов и непрерывных дробей, а также на указанные леммы и формулы, связывающие показательные и тригонометрические функции. Из этой теоремы следует также, что если тангенс какой-то дуги круга ^.например, -~ ) соизмерим с радиусом ^№~ =Q , то ^ не соизмеримо с радиусом, т. е. ил иррациональны.

Доказательство иррациональности числа е было дано в 1815 г. знаменитым французским ученым Фурье (1768—1830). В работе [114] при рассмотрении, этого вопроса он отправлялся от ряда

1 '1 . I-, 1 .1

е=ИНН+ “* Н +" ~~ F “*

I!2!3! - q! (q+l)!

р

Доказательство дано в таком виде: допустим, что е= — — ра- q

циональная дробь; перенесем в левую часть равенства все члены 1. m

ряда до — включительно и умножим равенство на q! Тогда q

/ р111i X ,

\ q1!2!3!q!

1,1

+ (q + 2)i J4

q!

Левая часть этого равенства p(q—1)!—q!—q!—-— —1—

— целое число, правая же часть

1

|+ ... < 1_ ... = q +1 = 1q+l (q + D (q + 2)q+l (ч + I)2,_ I ~~

q+l

дробь, и мы пришли к противоречию. Следовательно, число е — не рациональное, оно иррациональное.

Хотя доказательство иррациональности числа л не решало еще проблемы квадратуры круга, но оно все же существенно

продвинуло решение и этой задачи: был найден путь, идя по которому, можно было прийти к окончательному решению задачи. Идя по этому пути, т. е. изучая природу чисел е и л, математики скоро поняли, что для окончательного решения знаменитой древней задачи нужно было выявить, какого характера иррациональ- ^—3

ность этих чисел: такого же^как, например, V2, УЗ, или между иррациональными числами У2 и л есть существенная разница.

Теория Гаусса деления окружностина равные части

Первой из пяти «неподдававшихся задач-крепостей» сдалась задача о делении окружности на равные части. Это произошло в самом конце XVIII столетия. Победителем ее оказался студент Гаусс (1777—1856).

К. Ф.Таусс выходец из бедной семьи водопроводчика. Только благодаря своему таланту, упорству в работе и поддержке учителей ему удалось получить образование. Еще до поступления в Геттингенский университет Карл Гаусс увлекался искусством счета; по выражению Ф. Клейна «он беспрестанно считает с прямо- таки непреоборимым упорством и неутомимым прилежанием». Благодаря этому он достигает изумительной виртуозности в технике счета, что ему в дальнейшем очень пригодилось. Наряду с действиями над числами, Гаусс также проявляет большой интерес к бесконечным-числовым рядам. Изучая арифметико-геометрические средние, он уже тогда подметил некоторые важные свойства их. В 1795 г. он открыл метод наименьших квадратов. В то же время он проявил интерес и к некоторым вопросам алгебры: думал над основной теоремой алгебры и над решением уравнения хп—1=03. Не с меньшим интересом он занимался и филологией. В 1795 г. он стал студентом университета, продолжая колебаться в выборе науки, которой следует посвятить свою жизнь: математике или филологии. Но уже вскоре, на смену колебаниям пришло твердое решение: Гаусс избрал физико-математические науки своей специальностью. Одной из основных причин этого выбора, как он сам отмечал в своем дневнике, было решение им задачи о построении правильного семнадцатиугольника. Как это случилось? Гаусс продолжал заниматься группировкой корней уравнения х11—Г=0 на основании своей теории «первообразных корней». И вот однажды утром, проснувшись, он внезапно ясно и отчетливо осознал, что из его теории вытекает построение семнадцатиугольника. Это открытие произвело на него очень сильное впечатление: он окончательно убедился в своих

возможностях решать сложные математические вопросы и оставил мысль о «филологической карьере».

- В июне 1796 г. в «Литературной газете», издававшейся в Иене, Гаусс опубликовал заметку: «Новые открытия». В ней он писал: «Всякому начинающему геометру известно, чго.можно геометрически (то есть циркулем и линейкой) строить разные правильные многоугольники, а именно треугольник, пятиугольник, пятнадцатиугольник и те, которые получаются из каждого из этих путем последовательного удвоения числа сторон. Это. было уже известно во времена Евклида, и, как кажется, с тех пор было распространено убеждение, что область элементарной геометрии дальше hq распространяется: по крайней мере, я не знаю удачной попытки распространить ее в эту сторону. Тем более кажется мне заслуживающим внимания открытие, что кроме этих правильных многоугольников может быть геометрически построено еще множество других, например, семнадцатиугольник. Это открытие является собственно лишь следствием одной еще не совсем законченной большой теории. Как только она получит эту законченности, она будет предложена публике. .

К. Ф. Гаусс из Брауншвейга, студент-математик в Геттингене».

Теория построения правильного семнадцатиугольника и упомянутая Гауссом «большая теория» были опубликованы им в знаменитом большом сочинении «Арифметические исследования» [28] в 1801 г. Эти теории составляют седьмой раздел указанных исследований,.озаглавленный «Об уравнениях, от которых зависит деление круга». Здесь он подробно исследует уравнение хп—1=0, корни которого

2л к2 лк

xk = cos |-i sin(k = 0, 1, 2, ..., n—1)

n .n

соответствуют точкам деления единичной окружности на п равных частей. Особое внимание он уделил, в частности, рассмотрению уравнения

х17—1=0(1)

и его корней' •'

2 лк2 лк

xk = cos+isin,(2)

.1717

которые являются вершинами правильного 17-угольника. Гаусс обратил внимание на то, что при к=0 один из корней уравнения (1) будет х0=1 и что начиная с к=17 корни будут повторяться.

т. е. что различных корней у этого уравнения будет только 17 и что все они связаны между собой. При обозначении следующего корня (2) (при к=1) через е, т. е.

2л2л

8=созHsin —гь

1717

каждый последующий корень (на основании формулы Муавра) будет степенью е. Например, при к=2 будем иметь корень

2 • 2л2 • 2л■cosHi sin 17172 • 2л2 • 2л■cosHi sin 17172л.. 2л \2COS —’ +181П I =61717 /2л.. 2л \2COS —’ +181П I =61717 /

2 • 2л2 • 2л

■cosHi sin

1717

2 • 2л2 • 2л

■cosHi sin

1717

2л.. 2л \2

COS —’ +181П I =6

1717 /

2л.. 2л \2

COS —’ +181П I =6

1717 /

при к=3

3 • 2л3 • 2л /.2л2л \3

cosHsin -I cos +isin — I =e3

1717\17'17 /

T. e. корни уравнения (1) будут 1, e, e2, e3, e4, e5, e®, e7, e8,. 89 810, в”, 812, в’3, e14, e15, 816.

Так хкак ,...

-.„m • 2лm • 2л4

e17=l и 817~m=e“”=cos —isin ,

1717

то корни можно еще записать так: 1, 8, е2, е3, 84, е5, е®, е7, е8, 8~8, 8~7, 8~®, 8~®, 8~4, 8"3, 8~2, 8-1.

В уравнении (1):х17—1 = (х—1) (х16+х15+х14+х13+х,2+

Ч-Хп+х10+х94-Х84-Х7+х6+х5 +х4+х3+х2+х+1) =0

один из корней будет 1. Остальные же корни, по известной формуле Виеты, удовлетворяют условию

е+82+83-Н84тН854-е6+б7 +е8+89+810+811 + 8124-813+8144-

. +е15+е16= 8+82+е3+844-е5+е6+е7+е8+е~8+8""74-

+8-64-8-5+е-4+е-3+8-2+«-1=—1.(3)

Задача теперь сводится к тому, чтобы показать, что уравнение (3) разрешимо в квадратных радикалах.

Проведем сначала соответствующие рассуждения для пяти- и десятиугольников. В этом случае х®—1=0, один корень 1, сумма остальных 4 корней 8-Н82+е3-Не4=8-Не2+8~2+8-1 =—1.(4)

Тогда,82+е“2=у2—2.Тогда,82+е“2=у2—2.(6)(6)

Тогда

,82+е“2=у2—2.

Тогда

,82+е“2=у2—2.

(6)

(6)

(5).(5).Положим 8+8-l = y,

(5).

(5).

и относительно у получим уравнение у2+у—1=0, корни его

1 , V5 „ _J. _ V5■—г* — . У 2 ———— «2'2221 , V5 „ _J. _ V5■—г* — . У 2 ———— «2'222Подставляя yi в уравнеПодставляя yi в уравне

1 , V5 „ _J. _ V5

■—г* — . У 2 ———— «

2'222

1 , V5 „ _J. _ V5

■—г* — . У 2 ———— «

2'222

Подставляя yi в уравне

Подставляя yi в уравне

ние (5), получим е+ ~ =у + ~ 75

ИЛИ82— —+ —V5 ^84-1=0.

Откуда

Остальные корни находятся из этого. Таково алгебраическое решение уравнения (4), из которого видно, что корни его выражены конечной цепочкой квадратных радикалов. Геометрическое значение yi мы выясним, если рассмотрим

2л2л2л2л

У1=е4-в * = cospi sinpcos ——isin — = 5555

2л/ л2 л \л

=2cos— =2sin I=2sin — =Яю»5\ 25 / -10

t. e. yi — сторона правильного вписанного десятиугольника. Построив же десятиугольник, мы легко построим и пятиугольник.

Перейдем теперь к решению уравнения (3).

(7)(7)Положим 8+е24-84+884-е-1+8-2+е 4+е~8=т), | е3+85+86+87+8~34-8~5+8"6+8~7 =Т)1 / .

(7)

(7)

Сумма левых частей есть сумма всех комплексных корней уравнения (3) и должна равняться —1, так что г]+т|1 =—1- Произведение их при непосредственном перемножении ПП1 =—4. Это значит, что т] и гц должны являться корнями квадратного Уравнения

х2-рх—4=0.

Таким образом.Таким образом.— — —Г17 и ni=-V17.2222— — —Г17 и ni=-V17.2222Положим теперь s+84+8“1+e_4=z; e2+88+e~2H-8"8=zi;83+е5+е^+е-5=z2; 88+e7+e"6+e“7=Z3- -Положим теперь s+84+8“1+e_4=z; e2+88+e~2H-8"8=zi;83+е5+е^+е-5=z2; 88+e7+e"6+e“7=Z3- -(8)(8)Эти четыре равенства также содержат все комплексные 17-й степени из единицы.Складывая и умножая эти равенства, получим z+zi = T], zzi= — 1;г2+гз=Л1> z2zs=—1,значит z и zi — корни урапнения х2—т)Х—1=0, а ^2 и z3 —- корни уравнения х2—тцх—1 =0, т. е.Эти четыре равенства также содержат все комплексные 17-й степени из единицы.Складывая и умножая эти равенства, получим z+zi = T], zzi= — 1;г2+гз=Л1> z2zs=—1,значит z и zi — корни урапнения х2—т)Х—1=0, а ^2 и z3 —- корни уравнения х2—тцх—1 =0, т. е.корникорни(9)(9')(9)(9')22z=Н 2z=Н 2z2 =z2 =2' +L2' +LПоложим, наконец,zг+8-1=у, 84+е'4=уьоткуда находим, что y+yi = z yi будут корнями уравненияПоложим, наконец,zг+8-1=у, 84+е'4=уьоткуда находим, что y+yi = z yi будут корнями уравнения(10)и У1У —z2. Следовательно, у и(10)и У1У —z2. Следовательно, у и

Таким образом.

Таким образом.

— — —Г17 и ni=-V17.

2222

— — —Г17 и ni=-V17.

2222

Положим теперь s+84+8“1+e_4=z; e2+88+e~2H-8"8=zi;

83+е5+е^+е-5=z2; 88+e7+e"6+e“7=Z3- -

Положим теперь s+84+8“1+e_4=z; e2+88+e~2H-8"8=zi;

83+е5+е^+е-5=z2; 88+e7+e"6+e“7=Z3- -

(8)

(8)

Эти четыре равенства также содержат все комплексные 17-й степени из единицы.

Складывая и умножая эти равенства, получим z+zi = T], zzi= — 1;г2+гз=Л1> z2zs=—1,

значит z и zi — корни урапнения х2—т)Х—1=0, а ^2 и z3 —- корни уравнения х2—тцх—1 =0, т. е.

Эти четыре равенства также содержат все комплексные 17-й степени из единицы.

Складывая и умножая эти равенства, получим z+zi = T], zzi= — 1;г2+гз=Л1> z2zs=—1,

значит z и zi — корни урапнения х2—т)Х—1=0, а ^2 и z3 —- корни уравнения х2—тцх—1 =0, т. е.

корни

корни

(9)

(9')

(9)

(9')

2

2

z=Н 2

z=Н 2

z2 =

z2 =

2

' +L

2

' +L

Положим, наконец,z

г+8-1=у, 84+е'4=уь

откуда находим, что y+yi = z yi будут корнями уравнения

Положим, наконец,z

г+8-1=у, 84+е'4=уь

откуда находим, что y+yi = z yi будут корнями уравнения

(10)

и У1У —z2. Следовательно, у и

(10)

и У1У —z2. Следовательно, у и

х2—zx+z2=0,(11)

причем считаем у>Уь Из уравнения е+е-1=у находим

е= — ± — Уу2—4.

22

Этим и доказывается, что корни 17-й степени из единицы могут быть выражены с помощью квадратных радикалов.

Можно выяснить теперь , и геометрическое значение yi как корня уравнения

/. 8л8л \/У1=84+е| cos|-isin —| + (cosV 1717 /\/. 8л8л \/У1=84+е| cos|-isin —| + (cosV 1717 /\8л . 8лi sin —8л . 8лi sin —17171717

/. 8л8л \/

У1=84+е| cos|-isin —| + (cos

V 1717 /\

/. 8л8л \/

У1=84+е| cos|-isin —| + (cos

V 1717 /\

8л . 8л

i sin —

8л . 8л

i sin —

17

17

17

17

‘/ л 8л \л

= 2 sin= 2 sin — = «34.

\ 2 .17 /,34

Ho yi выражается через конечную цепочку квадратных радикалов. Следовательно, У! можно построить с помощью циркуля и линейки. Построив же 34-угольник, легко можно построить затем и 17-угольник. Так была решена задача о делении окружности на 17 равных частей. И в дальнейшем уже стояла задача реализовать это открытие, т. е. найти способ построения 17- угольника или деления окружности на 17 равных частей с помощью циркуля и линейки.

Решая задачу о возможности построения правильного 17-угольника циркулем и$ линейкой, Гаусс в это же время «замахнулся» и на более общую задачу: выяснить при каких значениях N можно циркулем и линейкой построить правильный N-угольник, а при каких N — нельзя. Или иначе, на какое число N равных частей можно циркулем и линейкой разделить окружность, а на какое число — нельзя. Так начала рождаться у Гаусса «большая» или общая теория.

С 1797 г. он начал печатать свою знаменитую работу «Арифметические исследования «(Disquisitiones arithmeticae) [28], которая полностью вышла в свет в 1801 г. Седьмой раздел этой большой работы, названный «Об уравнениях, от которых зависит деление круга», как раз и содержит «большую, теорию», о которой говорил Гаусс еще в газетной заметке в 1796 г.

•Речь идет здесь прежде всего об уравнении

xN — 1

х=—х^+х^Ч,- +1=0,(12).

х — I

которое в дальнейшем стали называть уравнением деления круга. Следовательно, геометрическая задача была сведена теперь к изучению корней уравнения (12).

Исследуя это уравнение, Гаусс-и получает условие, которому должны удовлетворять числа N, чтобы окружность делилась циркулем и линейкой на N равных частей. Задача эта и в такой постановке, как видно, была в то время не из легких, хотя некоторые важные результаты для исследований решений алгебраических уравнений и были уже получены математиками XVIII в., особенно Эйлером и Лагранжем.

Постановка этой задачи несколько упрощается, если учесть, что нет смысла рассматривать это уравнение при N составных. Действительно, если N—число сложное, то оно имеет простые множители, Ni, N2, ...Nr, т. е. N = Ni-N2,... №, и задача в этом случае сводится к делению окружности на Nb N2, ...Nr равных частей.

Вот почему Гаусс в своих исследованиях ведет речь об N простых, а также об N, множителями которых являются числа

2К и простые числа Pi, такие, что р— часть окружности можно построить .циркулем и линейкой. Так как в (12) N предполагается простым числом, то оно нечетное, a N—1 — четное.

Гаусс показывает далее, что многочлен в (12) неприводим в поле рациональных чисел, т. е. что это уравнение не имеет рациональных корней. Но оно имеет N—1 каких-то корней, множество которых Гаусс обозначает через й. Доказательство неприводимости х=0 в поле рациональных чисел в современной математике дается значительно проще, чем у Гаусса. Получив указанные результаты, Гаусс, показывает далее, что многочлен х во многих случаях можно последовательно свести к произведению двучленных множителей. Он писал: «Известно, что все усилия величайших геометров дать общее решение уравнений, степень которых превосходит четвертую, или ... найти способ сведения смешанных уравнений на двучленные, до сих пор были тщетны. Тем не менее несомненно, что существует сколько угодно смешанных, т. е. недвучленных уравнений любой степени, которые «допускают такое сведение к двучленным уравнениям...».

Свою цель дальнейшего исследования Гаусс видел в том, чтобы последовательно разлагать многочлен X на большее и большее число таких множителей, чтобы коэффициенты их определялись при помощи решения вспомогательных уравнений возможно более низших степеней, пока таким образом не придем к линейным множителям, т. е. к самим корням й.

И дальше он показывает, что если N—l=ain* a2B2,... a*" и П1+П2+...+nK=v, то «нахождение корней й сводится к последовательному решению v уравнений», из которых ni уравнений степени ai, п2 уравнений степени а2,..;, Пк уравнений степени a«.

Так, мы видели (см. стр. 179—180), что при N=17, N—1 = == 16=24 решение (12) свелось к решению четырех квадратных уравнений, а для N=37, где N—1=22-32, придется решать два квадратных и два кубических уравнения.

Основная теорема, доказанная здесь Гауссом, читается так: «Чтобы круг можно было геометрически разделить на N частей, нужно, чтобы N было равно либо 2, либо более высокой степени числа 2, или чтобы N было либо простым числом вида 2”4-1, либо произведением нескольких таких простых чисел, или чтобы N было произведением одного или нескольких таких простых чисел либо на 2, либо на более высокую степень 2». Итак, деление окружности циркулем и линейкой на N частей возможно тогда, когдаN=2KP1P2 — Рг,

где к=0, 1, 2..., a Pi — различные простые числа вида 2п+1. Из сказанного выше вытекает: деление окружности на Р равных частей, где Р — простое число, возможно только тогда, если р—1=2“, т. е. P=2n+L Но для того, чтобы число 2п+1 было простым, показатель п не должен иметь нечетных простых делителей. Допустим, что n=qni, где q нечетное, тогда 2п+1 = = (2n*)q-|-lq, это число делится на 2”‘4-1 и, следовательно, не простое. Значит, чтобы число Р=2П-М было простым, необходимо, чтобы показатель п был степенью двойки, т. е. п=2''. Тогда, если 22v +1 при соответствующих v будет число простое, то на это число можно разделить окружность циркулем и линейкой. Например, при v=0 получим Р=3, при v—1 — Р=5, v = 2—Р=17, при v=3 — Р=257,... Все многоугольники с указанным числом сторон строятся циркулем и линейкой.

Но мы знаем также, что циркулем и линейкой можно построить правильные многоугольники с составным числом сторон, если только можно построить правильные многоугольники с числом сторон, равным каждому из множителей этого числа. Например,

2К-3, 2к-5, 2к-3-5, 2к-17, 2к-3-5- 17,...

Следовательно, циркулем и линейкой можно вообще разделить окружность на N равных частей, если Н=2к-Р1Рг,... Рг, где к=0,1, 2, ..., a Pi — различные простые числа вида 22v +1.

Гаусс доказал, что это условие деления окружности на равные части необходимо. Что же касается того, что оно и достаточное, т. е. что ни при каких других Pt, кроме указанных, нельзя разделить окружность на равные части (построить правильный многоугольник) циркулем и линейкой, то хотя этого Гаусс не доказал, но он в этой же работе писал: «Хотя границы нашего сочинения не позволяют привести этого доказательства, мы думаем, что все же на это надо указать для того, чтобы кто-либо не пытался искать еще других случаев кроме тех, которые указаны нашей теорией, например, не надеялся бы свести на геометрические построения, т. е. на построение циркулем и линейкой, деление окружности на 7, 11, 13, 19, — частей и не тратил бы зря своего времени».

Учитывая то, что полученное Гауссом условие деления окружности не только необходимое, но и достаточное (хотя последнее было строго доказано в дальнейшем), основную теорему можно- сформулировать так: «Для того, чтобы можно было окружность разделить циркулем и линейкой на N равных частей, необходимо и достаточно, чтобы число N имело вид N= = 2К • PiP?,... Рг, где k=0, 1, 2, 3,..., a Pi — различные простые числа, каждое из которых имеет вид 22 v'+l, или Pi=l».

Таким образом; из общей теории деления окружности на равные части циркулем и* линейкой, созданной в основном Гауссом в самом конце XVIII в., следует, что окружность можно разделить на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 40, 12, 15, 16, 17, 20,..., 257,..., 65537,... равных частей, или можно построить правильнее многоугольники с указанным числом сторон. Из этой теории также вытекает, что окружность циркулем и линейкой нельзя, например, разделить на 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, ... равных частей. Причем числа 7, 11, 13, 19,... хотя и простые, но они не являются числами Ферма Pi=s=22^ +1; числа 9=3-3, 18=2-3-3, 25=5-5 содержат множители 3 и 5, являющиеся числами Ферма, но они повторяются; числа же 14, 21,... содержат множители 7, 11Л ..., которые не являются числами Ферма...

.Общая теория деления окружности на равные части Гаусса ■пролила свет на многие вопросы, остававшиеся загадками в тег чение многих сот лет. Гаусс оказался первым покорителем одной из пяти интереснейших и поучительных задач в истории нашей науки.

Доказательство Ванцеля невозможности удвоениякуба и трисекции угла.

В первой половине XIX в. некоторые знаменитые задачи древности продолжали привлекать к себе внимание отдельных математиков. В числе их был и молодой инженер мостов и шоссе П. А. Ванцель (1814—1848). Математикой Ванцель интересовался с раннего возраста. Еще будучи студентом он изучил некоторые работы Эйлера, Лагранжа и других математиков. Привлекла его внимание и знаменитая работа Гаусса «Арифметические исследования», особенно ее VII раздел. Это, по-види- мому, и способствовало развитию у него интереса к теории чисел, к алгебре, математическому анализу и к применению их в решении некоторых геометрических задач. Совсем еще, юным он зднялся выяснением условий, при которых геометрические задачи решаются циркулем и линейкой. В результате этих занятий в 1837 г. появилась его первая работа [20, 138], в которой он впервые доказал невозможность решения циркулем .и линейкой .удвоения куба и трисекции угла. Это был-важный вклад в математику: были покорены еще две «неподдававшйеся крепости». И победителем их был тоже юноша. П. Ванцель прожил короткую, но продуктивную жизнь; за 10 лет своей научной деятельности он написал и опубликовал в ведущих французских математических журналах свыше 20 работ и заметок. Некото-

рые его результаты вошли в золотой фонд математики [24]. В его подробной биографии, которую опубликовал Barre de Saint Venant в 1748 г. в 7 томе журнала Nouvelles Annales de Mathematiques, высоко оценивается деятельность Ванцеля в качестве репетитора и экзаменатора Парижской политехнической школы и 'результаты его исследовательской работы. И хотя первая его работа* долгое время не получала должной оценки, но теперь имя Ванцеля чаще всего -связывают именно с,задачами удвоения куба и трисекции угла. Эта работа Ванцеля занимает видное место в истории знаменитых задач древности.

В этой работе Ванцель указывает, что для того, «чтобы узнать, выполнимо ли построение некоторой геометрической задачи с помощью линейки и циркуля, должно определить, возможно ли будет корни уравнения, к Которому приводит задача, выразить через корни системы уравнений 2-й степени...». Уравнения же 2-й степени, о которых речь идет, можно представлять как выражения площадей прямолинейных треугольников, образованных линиями, соединяющими центры окружностей и точки пересечения прямых с окружностями и окружностей между собой. Тогда «главное неизвестное задачи мы найдем, разрешая ряд уравнений 2-й степени/ коэффициенты которых будут рациональными функциями данных вопроса и корней предыдущих уравнений». Рассмотрим далее систему уравнений:

x2i+Axi+B=0;]

x22+AiX2+Bi =0;|

•{(13)

X^n—j-j—Ап—2X11—i + Bn—2 = 0^ |x2n-|-An-iXn4-Bn-i=0,/

где А и В — рациональные функции данных задачи р, q, г, —, А! и Bi рациональные функции xi, р, q, г,... и вообще Аш и В™ — рациональные функции хь х?,..., хт, р, qСледовательно если А и В—рациональные числа, то в А! и В! входят корни квадратные из А и В, получающиеся при решении-первого уравнения относительно Хь который по условию входит в А] и В;. В А2 и В2 входят уже корни квадратные из Ai и Вц т. е. корни из квадратных корней и т. д. Если число квадратных уравнений в указанной системе доведено до минимума, то каждое из этих уравнений не будет удовлетворяться рациональной функцией данных количеств и корней предшествующих уравнений.

Если при этом «главным неизвестным» является хп из последнего уравнения системы^ то, решая это квадратное уравнение относительно хп, мы получим корни его, как квадратные

корни из An-i и Bn-t, в которые кроме р, q, г, — входят хь т. е. квадратные корни из р, q, г,..., х2 — квадратные корни из квадратных корней; х3, х*,..., xn-i — квадратные корни ... из квадратных корней.

Можно показать, что х« будет корнем уравнения степени 2п и что уравнение это будет неприводимым. Ванцель утверждает, что если мы перемножим два значения х», найденные из последнего уравнения системы (13), заменим при этом хп-i в Ап-! и Вп—1 поочередно корнями предшествующего уравнения, получим тогда многочлен 4-й степени относительно хп, коэффициенты которого выразятся рационально в функции xn-2, р, q, г, .... Заменив затем также хп-2 последовательно двумя корнями соответствующего уравнения и взяв произведение найденных двух значений, получим многочлен степени 23 относительно х™ с коэффициентами, рациональными относительно хп-3,..., xi, р, q,.... Продолжая дальше этот процесс, получим наконец многочлен с коэффициентами, которые будут рациональными функциями от р, q* г.... Этот многочлен степени 2", будучи приравнен к нулю, даст уравнение f(xn)=0 или f(x)=0, которое заключает в себе все решения вопроса.

Показав, таким образом, что система указанных квадратных уравнений равносильна уравнению степени 2П с рациональными коэффициентами и что, следовательно, решение указанного уравнения степени 2“ сводится к решению системы уравнений, он формулирует и доказывает далее теорему: «Уравнение f (х) = =0 степени 2?, дающее все решения задачи, разрешимой посредством п уравнений 2-й степени, будет непременно неприводимо», т. е. Оно не может иметь общих корней с уравнениями низших степеней, коэффициенты которых были бы рациональными функциями данных величин р, q, г,... Предположив, что это неверно, т7 е., что существует уравнение F(x)=0, корнями которого являются корни уравнения степени ниже степени f(x)=O, при условии, наложенном выше на коэффициенты уравнений, Ванцель показывает, что в этом случае F(x) обратится в нуль для 2“ значений хп, к которым приводит система всех уравнений или 2“ корней уравнений f(x)=O, т. е., если уравнение F(x)=0 с рациональными коэффициентами имеет один корень, общий с f(x)=Q, то оно допускает и все его корни, а это значит, что уравнение f(x)=0 неприводимо.

Эта теорема является центральной в указанном исследовании Ванцеля. Здесь, как видно, Ванцель не пользуется еще понятием числового поля, и способ рассуждений несколько громоздкий, но по существу и он пользуется своеобразной теорией полей.

Доказав указанную выше'теорему, Ванцель говорит далее, что «из этой теоремы непосредственно явствует, что всякая задача, которая приводится к неприводимому уравнению, порядок которого не есть степень 2-х, не может быть разрешена с помощью прямой линии и круга».

Так, задачу об удвоении куба, которая приводит к разрешению неприводимого уравнения вида х3—2а3=0, «нельзя решить с помощью элементарной геометрии». Задача о двух среднепропорциональных, сводящаяся к решению уравнения -а*

х3—ц2Ь=0, если,не является кубом, тоже не разрешима

циркулем и линейкой. Задача трисекции угла, как известно, сводится к решению уравнения

х3х+ —- а=0,-44

которое будет неприводимо при бесконечном числе значений а, в частности при а=1. Следовательно, и трисекция угла циркулем и линейкой в общем случае невозможна. Ванцель заключает: «Нам кажется, что еще не. было строго доказано, что эти знаменитые задачи древности не могут быть разрешены теми обычными геометрическими ‘построениями, с которыми их обыкновенно связывали»..,

Так, после долгих и упорных поисков были решены две из пяти рассматриваемых нами знаменитые задачи. Но на этом не оборвалась их история. В дальнейшем предпринимались попытки упрощения доказательства невозможности решения этих задач циркулем и линейкой с учетом новых достижений алгебры, искались новые методы и способы точного и приближенного решения этих задач. В новый период решалась обобщенная задача о трисекции угла х3=ра3, где р — любое число, а также задача о .полисекции угла.~

,Трансцендентность чисел е и л

Результаты исследований Лиувилля и Г. Кантора. Большую ясность в различие алгебраических и «не алгебраических» иррациональностей в XIX .в. внесли французский математик Лиувилль (1809—1882) и немецкий математик Г. Кантор (1845— 1918)....

Первый из -них начиная с 40-х годов занимался выяснением природы числа е и отысканием способа построения трансцендентных чисел.*

16116111 С. Е Белозеров

161

161

В работе «О классе трансцендентных количеств; которые не являются алгебраическими и не сводятся к алгебраическим иррациональностям», Лиувилль (1857) доказывает, что е и е не являются корнями уравнений ах2+Ьх+с=0 и ах4+Ьх2+с=О ни при каких целых значениях а, b и с.

Различие между алгебраическими и трансцендентными чис-. лами он сформулировал в виде таких теорем:

«Для любого действительного алгебраического числа а степени п > 2 можно подобрать положительное с, зависящее от а такое, что для всех рациональных чисел — будет иметь мес- q

то неравенство

Эти числа являются корнями алгебраических уравнений с рациональными коэффициентами. Для чисел же, не являющихся корнями алгебраических уравнений с рациональными коэффициентами, справедлива теорема: «Если для любого натурального п>1 и любого действительного с>0 существует хотя бы одна Рр Iс

рациональная дробь — =^0 такая, что а<<—- , то qq Iqn

вещественное число а — трансцендентное». Получив указанные выше теоремы, Лиувилль вместе с тем показал, что можно строить бесконечно много неалгебраических чисел.

В частности, он показал, что числа вида

11

1

1

.. =0,1100010...

и

(-1)п

23п

«выходят за пределы алгебраических чисел», т. е. являются трансцендентными.

Разделив таким образом все вещественные числа на два класса: алгебраические и трансцендентные и показав, как можно конструировать трансцендентные числа, Лиувилль не смог, однако, выяснить вопрос о природе чисел е и л и не смог ответить на вопрос: как «велики» классы алгебраических и трансцендентных чисел, хотя и знал уже, что тех и других чисел бесконечные множества.

Г. Кантор с,помощью разработанной им теории множеств

выяснил, какова мощность множества алгебраических и трансцендентных чисел.

В статье «О свойствах совокупности всех вещественных алгебраических чисел» (1873) и в других работах он показал, что множество всех .вещественных чисел несчетное, а множество алгебраических чисел — счетное. Отсюда следовало, по теории Кантора, что бесконечное множество трансцендентных чисел несчетное, т. е. это множество не эквивалентно множеству натуральных чисел, или иначе — члены этого множества нс могут быть пронумерованы, как в счетном множестве: ах, а2, а3> Результаты исследований Лиувилля и Кантора, конечно, не давали еще ответа на вопрос: какова природа чисел е и л. Но теперь стало для математиков яснее, что для доказательства трансцендентности иррациональных чисел е и л достаточно доказать, что они нр алгебраические.

Доказательство Эрмита трансцендентности числа е. Лиувилль доказал; что е и е2 не являются корнями квадратного уравнения с целыми коэффициентами

Co+cix+c2x2=0.

Естественным продолжением исследований Линвилля явилась в 1873 г. знаменитая работа «О-показательных функциях» [124]. Автором ее был выдающийся французский математик Ш. Эрмит (1822—1901). В этой работе Эрмит доказал, что е и е2 не могут быть корнями уравнения

Co+cix+c2x2+ +спхп = 0, -(15)

ни при каких целых коэффициентах с* (с0 и сп^О).

Идея доказательства Эрмита была естественна и проста: допустив, что е есть корень уравнения (15) и чтр это уравнение при х —е обращается в тождество

co+cie+c2e2+ +cnen =0,(15')

показать, что это приводит к противоречию, а следовательно, число е не является алгебраическим.

Но способ реализации этой идеи у Эрмита был далеко не самым простым из всех возможных.

В дальнейшем Гурвиц, Гордан, Поссе, Граве и другие сделали это доказательство таким, что его стали включать в курсы Дифференциального исчисления, но оно по форме существенно отличалось от доказательства Эрмита.

Чтобы сохранить основное из доказательства Эрмита и вмес- те с тем несколько упростить его, мы воспользуемся работами А. А. Маркова [69] и Гильберта [126], посвященными доказа-

Ml 4- 81 е— м

'Мг + 82Мп + 8п.

. е2—— ,... еп —,(16)

ММ

где М, Мь М2,...,

•81828п

Мп — целые числа, а— , ——

ммм

тельству трансцендентности чисел е и л. В этом случае, пока

зав, что

сколь угодно малые дроби, и подставив значения е, е2,... еп в (15'), получим*

(c0M+ciMi+С2М2++ спМп) +

"+(£181 + 0282+ ’” +Сп8п)=0.(17)

Если покажем теперь, что левая часть (17) не обращается в нуль, то придем к противоречию. С этой целью нужно найти такие М, Мк и ек, которые бы удовлетворяли указанным требованиям.'_

•, Эрмит нашел способ выражения этих величин в виде интегралов такого вида:

м=(18)

J(Р-1)!■V ’

ОО

(18а)(18а)„С хР-*[(х—1) (х — 2) (х —п)]Ре-= Мк = е \:dx,

(18а)

(18а)

. J -(Р-D! ‘

' Рх^Кх—1) (х —2)...gh ^eK I J(Р-1)1' Рх^Кх—1) (х —2)...gh ^eK I J(Р-1)1(х — п)]е~х(х — п)]е~хdx,dx,(186)(186)

' Рх^Кх—1) (х —2)...

gh ^eK I J(Р-1)1

' Рх^Кх—1) (х —2)...

gh ^eK I J(Р-1)1

(х — п)]е~х

(х — п)]е~х

dx,

dx,

(186)

(186)

где п степень уравнения (15), а р — некоторое простое число, на которое налагаются в -дальнейшем определенные условия. В этом и был ключ к доказательству Эрмита. При исследовании этих интегралов Эрмит использовал известную гамма-функцию: .

"~хр-1е-Чх=Г(р),

О

которая при целом р > 0 равна (р—1)!

Чтобы найти значение интеграла (18 а), преобразуем подынтегральное выражение

[(х— 1) (х—2) ... (х—п)]р= [хп—...+(—1)”п!]р=хпр—

+(-1)“(п!)р.

Теперь можно записать

ОО

e"xdx+Ptg‘P=-p+ie"xdx+Ptg‘P=-p+i——— f xP^’e^^dx, (18') (Р-1)! J

e"xdx+Ptg‘

P=-p+i

e"xdx+Ptg‘

P=-p+i

О

где ср — постоянные целые числа, коэффициенты в преобразовании множителя подынтегрального выражения

х^Пх—1) (х—2)?.. (х—п)]₽в многочлен.

Применяя теперь к каждому интегралу (18'),формулу

° ”х Р"'е-Х dx=(p—1)!

получим

-М=(—1)“ (п!)р+ Е^Ср^гЛ’(18")

р-Р+1 (р —4)!

где под знаком суммы все р > р. Следовательно,

(Р-1)!

— целые числа, содержащие и множитель р.

(р — 1)!

Значит

М=(—1)" (п!)р+р[ср+1+ср+2(р+1) +

+ср+з(р+1) (р-}-2) 4-... ](18'")

целое число. Теперь надо показать, что оно. отлично от нуля. Для этого достаточно доказать, что оно не делится на некоторое определенное число (нуль делится на всякое число!), например, на Р. Что касается второго слагаемого (18"'), то оно, как видно, делится на Р. Первое же слагаемое не будет делиться на Р в случае, если Р не входит в состав ни одного из множителей п!, т. е. сомножителей 1, 2, ..., и оно уже, наверное, не будет делиться на Р, если Р > п. Подобрав такое простое число Р>п, мы и получим в результате, что (—1)“ (п!)р, а значит и М, наверное, не будет делиться на Р, а следовательно, это целое число отлично от нуля.

Перейдем теперь к рассмотрению интеграла (18а). Введем под знак интеграла множитель е” и новую переменную £=х—к. При этих условиях

„ С №)Р-Ч№-1) (£+к—2) - £-($+k-n)]₽e-S

Мк= I d„

J(Р—1)!

О

Очевидно, что этот интеграл того же вида, что и для М.

После вынесения из-лод знака интеграла ^-— ^ он представится в виде суммы интегралов

у :”е-; ае, J g₽+i е-ё а^,..., ”^р’-1 е-: ае,

Ооео

помноженных на целые числа. Так как

1у*еЧ de=pl, J^p+1 е-? = (р+1)!=р! (.р+1), - Оо

то Мк можно записать в таком виде

Мк= —= рАк (к=1, 2, ,„п).

(Р-1)!

Таким образом, ®се целые числа Мк делятся на Р, а целое число

C0M+CiMi+ - +СпМ»,

наверное, не делится на р, так как при р>п и р>С0 С0М не делится на р и, следовательно, это число, отличное от нуля.

Остается еще рассмотреть интеграл (186): надо доказать, что, выбирая р достаточно большим, можно сделать

К

СхР-'Кх—1) (х —.2) ... (х—n)]Pe~x+kвк— I : dx,

J(Р-1)!

а следовательно, и Ciei+C2S2+ - +Спеи меньше сколь угодно малой 'положительной величины (для наших целей достаточно показать, что это будет правильная дробь).

Обозначим наибольшее абсолютное значение функции

х(х—1) (х—2) ... (х—п)

и функции

(х—1) (х—2) ... (х—п) е-х+к в промежутке (0, п)

соответственно через G и qK, т. е.

1х(х—1) (х—2) ... (х—n) I <G)/O^X< х

1(х-1) (х-2) ... (х—n) I <q« Ги Х^”Г

Тогда

(19)(19)f GP+-qK . Gp-^k 1dx =,

(19)

(19)

J (р-1)!(р-1)!

о

Числа G, дк, к, как видно, не зависят от Р. Выбирая Р доста*

GP-1

точно большим, получим значение дроби и числа ек

(р— 1)!

сколь угодно малыми. А так как

|С181 + С282+ •*• +Cn8n|<|ci||8il + Ic2l|82l++ kn||8n|^

^[lcil-l-qi+lc2l-2-q2+-+lcn|-n-qn] -.(20)

(P—1)1

и множитель в квадратной скобке — число постоянное, не за-

и левуюи левуювисящее от р, то можем правую, а следовательно, и левую часть (19), т. е. Iciei+c2€2+ ../ + с»еп| сделать сколь угодно

и левую

и левую

малой, в частности меньше единицы.

Итак, в первой скобке левой части (17) стоит целое число,, не равное' нулю, а во второй скобке — правильная дробь, и их сумма не может быть равна нулю. Таким образом, наше предположение о том, что е является корнем уравнения (15), приводит к противоречию. Следовательно, е не может быть алгебраическим, оно — трансцендентное.

Так был пролит свет на арифметическую природу числа

e=limП -> ооe=limП -> ооЭто важное открытие в теории чисел -сыгра

e=lim

П -> оо

e=lim

П -> оо

ло затем большую роль в различных разделах математики и в ее приложениях.

Доказательство Линдемана। трансцендентности числа л

«Ключ», найденный Эрмитом для доказательства трансцендентности числа е, оказался весьма .'полезным и для «открытия секретного замка», на который была закрыта тайна, окутывавшая много столетий число л. Не прошло и десяти лет после открытия Эрмита, как немецкий математик Ф. Линдеман (1852— 1939) в 1882 г. в работе «О числе л» [137], воспользовавшись методом Эрмита, доказал трансцендентность числа л. Тем самым было доказано, что невозможно построить сторону квадра-

та,^ равновеликого даному кругу, не только циркулем и лишней» кой, но и с помощью любой алгебраической кривой.

Однако, хотя «ключ» Эрмита оказался, для Линдемана и необходимым при доказательстве трансцендентности числа л, но к нему потребовалось добавить еще некоторые «ключики», чтобы открыть тот сейф, в котором хранилась отгадка на вопрос: какова природа числа л? «Сейф», в котором была спрятана эта отгадка, оказался менее доступен, чем в случае с числом е. Одним из этих «дополнительных ключей» оказалось равенство е /л+1=0, связывающее е и л.

Линдеман исходил из того,, что Эрмитом было уже доказа-

п

но: равенство 5 Скек=0 не может иметь место, если Ск и к 'к = О

целые рациональные числа. Обобщая эти результаты, Лин темам ■поставил вопрос: можно ли показать, что это равенство не будет выполняться и при условии, что Ск и к принимают алгебраические значения? Решая этот вопрос, Линдеман доказал теорему: равенство 2СкеЬк=0 не выполняется, если коэффициенты Ск представляют любые, а Ьк—различные между собой алгебраические числа. Тогда трансценА^ентность л является непосредственным следствием этой теоремы и равенства е*л +1=0. Действительно, если бы л было алгебраическим числом, то in было бы тоже алгебраическим, и тогда при Соеь»=1, Ciebi — =ein и ,ПрИ Ск—0 (к=2, 3, —) выполнялось бы равенство 1+е1л —0, что противоречило бы указанной теореме Линдемана. Из этого видно, что доказательство теоремы Линдемана и есть, по существу, доказательство трансцендентности числа л.

Доказательство самого Линдемана было строгим, но с методической точки зрения далеко не совершенным. Мы воспользуемся улучшенным доказательством Маркова и Гильберта, в котором остается «дух» Линдемана», но оно несколько проще и является точным обобщением доказательства трансцендентности числа е, приведенного выше.

При этом исходным пунктом доказательства является соотношение 1+е*л =0.

Если предположить теперь, что л является корнем некото-. рого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами f(x)=0, то in будет тоже корнем подобного уравнения. Действительно, если f(n)=0, то и f(n)f(—л)=0. Допустим теперь, что у=in,'тогда f(iy) f (—iy) =<р(у) =0 и коэффициенты ф(у) вещественные рациональные числа. Если ф(у)=0 имеет и корней: «ь а2,... ап, то среди них находится и корень in. С учетом (20) можно тогда записать: (l+eai) (l+eas) ... (l+ean)=0.

+ +(21>+ +(21>После перемножения получим

+ +

(21>

+ +

(21>

1 4- (eai-Ье^-Н ■■■ 4-е^п)4-(ea>+a2-j-e а1таз4~’" 4~е * ак | g« п-1+ «п^ + ••• 4-е ai+a<+ + «пQ

Если некоторые из показателей степени «ь а2,... аь+а2+ — + +ак обратятся в нуль, то к первому слагаемому прибавятся еще слагаемые е°=1, и первое слагаемое вместе с ними будет целым числом Со^О. Обозначив остальные показатели, не равные нулям, через Рь р2,... Pan, рк, запишем (21) в таком виде

Со+еР«+еР“+-+еР = 0, (22>

где рь р2, •■• , рк являются корнями некоторого уравнения с целыми коэффициентами. Действительно из уравнения с целыми коэффициентами, корни которого ai, a2,..., an можно, как известно, получить уравнение с целыми коэффициентами, корнями которого являются все двучленные суммы ai+a2, ai-j-аз, •-•, точно так же можно получить подобные уравнения для трехчленных сумм ai+a2+«3, ai4-a24~a4,..., и, наконец, для. суммы- ai4-a24“ ... -}- an.

Перемножая все эти уравнения, снова получим уравнение* с целыми рациональными коэффициентами, некоторые из корней которого могут' равняться нулям, а другие — будут Рь р2, ■" PN. Разделим затем это уравнение на неизвестное в степени, равной числу первых корней, получим для N величин Рк уравнение N-й степени с целыми коэффициентами и с постоянным членом, отличным от нуля:

ao+aix4-a2x24~ ... onxn =0, (23> где йд^О и on^O.

После этих предварительных замечаний доказательство трансцендентности числа л можно свести к доказательству частного случая теоремы Линдемана: равенство (22) не будет выполняться, если числа Рь р2,..,, Р« удовлетворяют уравнению (23). Доказательство этой теоремы сходно с доказательством трансцендентности е, хотя есть в них и существенное отличие.

Чтобы дать возможно лучшие приближения степеней еР« в- равенстве (22), подобно тому как были даны хорошие приближения для ек при помощи рациональных чисел, покажем, что

,еР1=МН^. о ^М2 + е2 epN =MN+eN м. м ’ ’ м ’

где знаменатель М — также обыкновенное целое число, ei, е2,. ..., ем — очень малые дроби. Но Mi, М2,..., Мм здесь представ-

ляют не целые рациональные, а целые алгебраические числа, т. е. числа, являющиеся корнями алгебраического уравнения степени N с целыми коэффициентами и с коэффициентом при х", равным единице. В этом и состоит усложнение предыдущего доказательства, хотя сумма всех чисел Mi, М2,..., Ми в данном случае равна целому рациональному числу.

Если теперь подставить в (22) вместо е^к значения из (24) и умножить на М, то получим

(C0M+Mi+M2+ ••• +Mn) + (6i+s2+ ■• +sn)=0.(25)

■ Можно затем показать, что Mi+M2+ — +Mn делится на некоторое простое число Р, а произведение СоМ не делится на него. Из этого будет вытекать, что первое слагаемое (скобка) — целое число, не делящееся на Р, т. е. отличное от нуля, а второе слагаемое при больших Р может быть правильной дробью. Это и приводит нас к противоречию и к заключению, что число л не является алгебраическим.

Для доказательства того, что М не делится на Р, мы должны рассмотреть в этом случае обобщение интеграла Эрмита, где вместо (х—1) (х—2) ... (х—п) рассматривается

(х—рО (х—р2) ...(х—рО (х—р2) ...[ao+aix+a2x2+ - +амхы),[ao+aix+a2x2+ - +амхы),(X—pN) =

(х—рО (х—р2) ...

(х—рО (х—р2) ...

[ao+aix+a2x2+ - +амхы),

[ao+aix+a2x2+ - +амхы),

(26) но, чтобы коэффициенты были целыми, необходимо взять в качестве множителя в М еще соответствующую степень on, т. е. положить

оо e-xxp-1dx

М= f 7 пГ [йо+я1Х+ ••■ +апхы]ран(Ы-1)р-1. .

Причем интегрирование здесь нужно вести с учетом, что х вообще комплексная переменная. Но подынтегральная функция аналитическая, для которой особой точкой (существенно особой) является только х=°°. Чтобы интеграл имел смысл, можно избрать путь интегрирования от 0 до Р« и затем вдоль прямой, параллельной вещественной полуоси, до °0. Развернув подынтегральное выражение по возрастающим степеням х, рассмотрим член, содержащий хр-1: оо е-ххр~1

dx = r<P) = (P—’).■(27)

Во всех следующих слагаемых под знаком интеграла входят хр и еще более высокие степени х, поэтому в них входят множите-

по

р!(р + 1)!

ли , , —, умноженные на целые числа и они

(р—1)!(р-1)!

все делятся на р. Из этого следует, что само М будет целым числом, не делящимся на Р, если на Р не будет делиться аор и 0N'(n-ixp-o ц0 так как aQ=£Q и дм^О, то этого легче всего добиться, положив р>а0 и р>ам. Выбрав р настолько большим, чтобы кроме этих условий выполнялось еще р>Со, тогда в (25) С0М не будет делиться на р.

При рассмотрении интегралов, выражающих Мк и ек, дело осложняется тем, что вместо целых чисел к входят 0к, которые могут быть комплексными, среди них должно быть и in. Эти интегралы имеют вид:

Ри e~xxP~*dx

8к=евк J —^y-[ao+aix+ +aNXN]paN(N-1)p*1.

Mk=eP“ f —-—— [ao+aix+.— +aNxN]paN(N~1,p-1.

В данном случае легче вычислить ®k, но и здесь необходимо учитывать, что интегрирование проводится в комплексной области. В частности, здесь используется теорема: модуль интеграла никогда не превосходит произведения наибольшего значения модуля подынтегрального выражения на длину пути интегрирования, которая в данном случае равна |р«|. Если максимум модуля lx(ao+aix4-‘"-+aNxN)aNN-4 в некоторой области, содержащей все точки 0k, умноженный на множители, не зависящие от р, обозначим через g, то верхней границей ве- gp-1

личин ек будут выражения ^_ р( , которые при увеличении р можно сделать сколь угодно малыми. А тогда и сумма ®i+ +«2+... +eN будет сколь угодно малой, в частности, меньше единицы.

При выяснении характера величин Мк нам придется прибегнуть к обобщению прежних рассуждений, так как в этом случае место рациональных чисел в интеграле Эрмита займут алгебраические числа.

Будем рассматривать всю сумму:

кNо °? e-xxP-‘dx

S Mk= S е“к J[a04-aix+"-+аыхм]раы<™-1.(28) k=ik-ipK(p—1)!

В соответствии с (26) заменим многочлен, стоящий в скобке.

через (х—Pi) (х—р2) ... (х—рк) и введем новую переменную £=х—Рк, которая пробегает все вещественные значения от О до °°. Тогда получим

NN ~ e~sd8

S Mk =2 f ±-^, (e+Pkp-i^kH?.)^..^ k = lk=i о

■-pN)PaNNP-l=J^^_^(^),

где■

N

ФЮ =2 онКР--(£+Рк)р-1(5+рк_Р1)р ...

k = l

- (£+pK-pK-l)₽- (^+>-Р^)Р. '

Каждый из коэффициентов этой суммы представляет симметрическую функцию величин рь р2 ря. Возводя в степени отдельные множители, можно убедиться, что эти функции будут рациональные функции от Рь р2,..., рм с целыми . рациональными численными коэффициентами. Но -иЗ" алгебры известно, что рациональные симметрические функции с рациональными коэффициентами от всех корней уравнения с рациональными численными коэффициентами представляют всегда рациональные числа. В нашем случае Ри, р2,..., PN суть все корни (23) и коэффициенты . многочлена ф(£) действительно рациональны. Но нам нужно, чтобы каждый из них был целым числом. И получим их таковыми с помощью степени числа ан, входящей множителем в подынтегральное выражение. Вводя множители *ан в скобки, запишем эту сумму так:-

■Я"

ф(£) = 2 (ам^+амр^р-Чаы^+амрк—aNpjp—.

к = 1.

••• (ам£4-аырк—аярк-ч)5 (ая£-|-аярк—аирк+^р —

— (ам£4-анрк—аяря)р.(28')

Коэффициенты этого многочлена относительно £ представляют целые рациональные симметрические функции с целыми рациональными коэффициентами от произведений аярь аяр2,..., ... акря. Но эти N произведений ашрк являются корнями уравнения, которое получится из (23) путем замены х через ^-, . as

X ,/ X \N-1/ X \ N '

flo+aiг •“ +aN-i ( — 1 Ьям I — I =0.(29}

. °NVN J\a.N /

Умножая это равенство на ам^-1, получим

t7oaNN~*+a1aNN~2x+ + ак-2акхм-2+ак-1 xN""!+xN=0,

(29')

т. е. уравнение с одними только целыми коэффициентами и коэффициентом 1 При высшем члене, корни такого уравнения называются целыми алгебраическими числами.

Но коэффициенты многочлена (28), стоящие под знаком ин

теграла, выражающего 2 Мк, удовлетворяют условиям тео- к = 1

ремы: целые рациональные симметрические функции, с целыми коэффициентами, от всех корней целочисленного уравнения с коэффициентом старшего члена, равным 1, т. е. от целых алгебраических чисел, сами представляют целые рациональные числа. Следовательно, можно записать

NОО.*

5 Mk= j±l^£ (Ао+М+ - +Anp-^np-1), k=i° (Р— 1)!

где Ао, Ai, •■• Анр-[ — целые рациональные числа. Если теперь проинтегрировать это выражение, пользуясь функцией Г, то по-

N

лучим 2 Mt в виде суммы слагаемых, в которые входят мно- к—л

жители Р!, (Р+1)!, (Р+2)!,..., так как каждый член содержит множитель t в степени выше Р. При делении этих членов на (Р—!)! останутся множители, Р, Р (Р+1),..., а другие множи-

N

гели Ao, Аь ... — целые числа. Из этого следует, что 2 Мк — к = 1

целое число, делящееся на Р. Но, как было показано, целое чис-

ло СоМ не делится на Р, а 2 ек — правильная дробь, поэтому к = 1

N

сумма С0М+ 2 Мк должна представлять целое число, не де- к —1

лящееся на Р, а равенство

NN

[СоМ+ 2 Мк]+ 2 8к=0к = 1к—1

не может иметь место, так как целое число, отличное от нуля, в сумме с дробью, меньшей единицы, не может обратиться в нуль.

Тем самым мы пришли к противоречию, предположив, что л является корнем алгебраического уравнения степени п с рациональными коэффициентами. Следовательно, л не алгебраическое, а трансцендентное число.

Так была покорена Линдеманом одна из очень «прочных крепостей» в науке. Это было большое достижение в математике. Оно, как мы увидим, нашло широкий отзвук в разных странах. Доказательство трансцендентности числа л, данное Линдеманом, даже несколько упрощенное, как видно, не такое уж «простое и наглядное», как это утверждает Ф. Клейн [54; 372]. Но и в таком виде оно доступно окончившим мехматы, физматы и некоторые технические учебные заведения.

Таким образом, XIX век и в истории пяти знаменитых задач древности оставил глубокий след: четыре из пяти в это столетие были решены, хотя история их на этом не закончилась. В частности, доказательство трансцендентности чисел е и л стимулировало создание обшей теории трансцендентных чисел и появление ряда работ, направленных на упрощение доказательства Линдемана.

Дальнейшее развитиетеории знаменитых- задач древности

Появление в XIX в. решений четырех классических задач древности некоторые ученые расценили как конец многовековой истории их. Они считали, что Гаусс, Ванцель и Линдеман своими открытиями написали заключительную главу истории четы- рех знаменитых задач древности.

Для других же ученых было ясно и тогда,.что решение этих задач хотя и очень важная, но не последняя глава в их истории. Действительно, уже вскоре после появления этих решений, рассмотренных в предыдущих разделах данной главы, ученые почувствовали необходимость уточнений и упрощений их. В дальнейшем стало ясно, что следует продолжать поиски новых методов и способов точного и приближенного решения этих задач в геометрии Евклида, найти решение пятой задачи —■ квадратуры круговых замкнутых луночек циркулем и линейкой, перейти к квадратуре этих луночек с помощью конических сечений, продолжить разработку теории некруговых и открытых луночек, перенести решение этих задач в неевклидовы геометрии, создать научную историю пяти знаменитых задач древности, разработать методику использования истории и современной теории знаменитых задач при изучении математики и истории ма-

тематики в школах и вузах, популяризировать эти задачи среди молодежи и среди всех любителей математики.

О важности вопросов, решение которых открывало новую страницу в истории знаменитых задач древности, можно судить, и по то,му, что им уделяли внимание такие ученые, как Вейер- штрасс, Гильберт, Клейн, Марков, Гурвиц, Поссе, Адлер Бернштейн, Чеботарев, Мордухай-Болтовской, Гельфонд, Ландау^ Лебег, Бибербах, Нивен, Несторович, Дороднов, Смогоржевский, Яглом и др.

В рассматриваемый период значительно увеличилось и число стран, представители которых принимали участие в популяризации и в разработке теории этих задач.

Создается, следовательно, новая глава истории знаменитых задач древности. Главными творцами этого периода в последние десятилетия стали многие советские математики, характеристике деятельности которых посвящена значительная часть четвертой главы этой книги. В этом разделе мы остановимся на, некоторых результатах работ зарубежных математиков XIX— XX столетий.

Новое доказательство иррациональности я. Из предыдущей главы .видно, что Ламберт и Лежандр при доказательстве иррациональности чисел е и л широко использовали непрерывные дроби. Они свели доказательство-иррациональности этих чисел к доказательству теоремы: ех и tgx ни при каких рациональных значениях х, кроме х=0, не могут быть рациональными. Отсюда вытекает и следующая теорема: если при каких-то значениях, х, ех и tgx будут рациональными, то эти значения х могут быть только иррациональными. Например: еша=а и если а—рациональное число, то /па будет- всегда иррациональным (за исклю- чением случая а=\у или tg-— = 1 — рациональное число, сле-

4 л

довательно, —иррациональное число.

Доказательства Ламберта и Лежандра громоздки, и естественно появлялось желание у многих математиков упростить эти доказательства. В начале этой главы мы привели изящное доказательство иррациональности числа е, полученное Фурье в начале XIX в. (см. стр. 149). Получить новое доказательство иррациональности числа л оказалось делом более трудным. Тем. не менее и для л некоторым математикам удалось .получить новые доказательства, которые, к сожалению, не всегда были более простыми, чем доказательство Лежандра.

Приведем здесь доказательство иррациональности числа л,

полученное американским математиком И. Нивеном в 1947 г. [18; 70].

а

Допустим, что л — рационально, т. е. ^=*^ , где а и b це- лые числа. Рассмотрим две функции:

f(x)= ^-W .(30)

п!

F(x) =f (x)-f"(x)+f<IVV)- ... + (-l)W(31)

Если раскрыть скобки в правой части (30), то это выражение можно записать* в виде

f(x) = '-S Gi-nX= xn+ Xn+1+"‘-t X2",n! i-nn!n!. n!

где ш — целые числа. Легко видеть, что

f (0) =Г (0) = - =f<n-n(0) =0f<k>(0)=— ak-n (h^k^2n); следовательно,n!

.f<»(o) — целое число при 0^j^2n.

Из (30) следует, что f(x)=f(n—х). Тогда при любом j р(х)=р(л—х) и f(i)(n)=f(i’(O) —

также целое число, а следовательно, F(0) и Р(л) — целые числа. Заметим теперь, что из равенства

-A [F'(x) sinx—F(x) oosx]=F"(x) sinx+F(x)sinx= f(x) sinx следует

]4(х) sinxdx=[F'(x) sinx—F(x) совх]0Я =Р(л)+Р(0), O'

т. e. что I — целое положительное число.

Лп^п

Но из (30) следует, что при 0<х<л, f(x) sinx < и что при возрастании п подынтегральная, функция и сам интеграл могут стать сколь угодно малыми: Это противоречие указывает на то, что л не может быть рациональным числом.

Из этого примера видно, что вопрос об улучшении доказательств, связанных с выяснением природы числа л, продолжает привлекать и современных математиков.

Дальнейшее развитие теории Гаусса. Теория деления круга Гаусса сыграла очень большую роль в развитии алгебры, теории чисел и геометрии. «Арифметические исследования» Гаусса, как известно (см. стр. 151), появились в 1801 г:, а в 1811 г. в связи с седьмым разделом ^тих «исследований» появилась работа Гаусса «Суммирование некоторых рядов особого вида». В начале этой работы Гаусс писал: «Среди наиболее замечательных истин, к открытию которых проложила путь теория деления круга, далеко не последнее место занимает изложенное в п.. Зоб «Арифметических исследований» «Суммирование...» [28; 594].

Для осуществления указанного суммирования Гаусс ввел особые тригонометрические суммы, называемые теперь суммами Гаусса. Академик И. М. Виноградов в статье «К. Ф. Гаусс» писал: «Дальнейшее обобщение этого исследования привело впоследствии к рассмотрению более общих тригонометрических сумм, которые являются сейчас одним из самых сильных средств аналитической теории чисел и способствовали доказательству важных теорем, касающихся обыкновенных целых чисел» [28; 876]. Исследованию и обобщению гауссовых сумм в XIX в. уделили некоторое внимание Лебег, Коши, Кронекер и Дирихле. В XX столетии важные результаты для теории чисел с помощью тригонометрических сумм получили Г. Вейль, Харди и Литтльвуд.

Но особо выдающиеся результаты в аналитической теории чисел методом тригонометрических рядов были получены И. М. Виноградовым; в частности, им была решена и проблема Гольдбаха. ‘

Теория деления круга Гаусса оказала большое влияние и на Галуа. И. М. Виноградов в указанной выше статье об этой теории писал: «Это исследование представляет собой частный, но вполне завершенный случай теории, построенной впоследствии Галуа, которая является одной из основных теорий алгебры» [28; 876]. Сам Галуа считал Гаусса одним из основных своих предшественников в создании теории групп. Б. Н. Делоне в статье «Работы Гаусса по теории чисел» [28; 879—976] говорит, что основная теорема теории Галуа есть непосредственное обобщение теоремы Гаусса, о чем упоминает и сам Галуа. И далее Б. Н. Делоне писал: «Галуа понял, что успех, теории деления круга Гаусса основан совсем не на том, что уравнение (деления круга. — С. 5.) Х=0 имеет весьма специальный вид, а на том, что оно нормальное, и не на том, что его группа весьма специальная (циклическая), а на том, что все ее последовательные делители суть нормальные дели-

17717712 С. Е. Белозеров

177

177

тели. Как только Галуа понял эти истинные причины успеха Гаусса, он построил свою общую теорию» [28; 965]. Галуа считал своим предшественником и Лагранжа, идея которого о роли теории подстановок в теории алгебраических уравнений использовалась и Гауссом, и Галуа.

Что же касается общей теории групп Галуа, то по»сле того как она была понята, оказала существенное влияние не только на алгебру, но и на всю математику. Идеи и методы теории групп проникли и в естествознание. Ученые многих стран конца XIX и XX столетий развивали и применяли теорию групп. Заметный вклад в теорию групп внесли и советские математики Н. Г. Чеботарев, И. Р. Шафоревич и др. Теория деления окружности на равные части Гаусса оказала влияние и на разработку некоторых вопросов геометрии, и на появление исследований, направленных на отыскание новых способов доказательства теоремы Гаусса и на отыскание значений vi, при которых Р1=

2 Vi

=24-1 будут простыми числами.

Под влиянием идей Гаусса Бахман опубликовал книгу «Die Lehre von der Kreisteilung»; Ришело в журнале Крелля (1832. IX) опубликовал большую статью, посвященную изучению и попытке реализации уравнения х257—1=0; профессор Гермес в течение 10 лет занимался построением правильного п-угольника при п=65537. Еще в XIX в. появились способы построения 17-угольника циркулем и линейкой Серре-Бахмана, Щтаудта, Жерара, Падоа и др. [2; 118]. Но эти способы существенно опираются на алгебраические исследования Гаусса уравнения х17—1=0. Проблема точного и приближенного построения правильных многоугольников с помощью различных средств привлекала и продолжает Привлекать многих ученых, в том числе русских и советских математиков (см. IV главу)., ,п

Вопрос о том, при каких значениях п числа Ферма: 4-1 будут простыми, играет, как известно, .важную роль в теории Гаусса. Сам Ферма считал, что все числа указанного вида простые, и подтверждал это, полагая n=0, 1, 2, 3, 4. При этом получаются соответственно числа 3, 5, 17, 257, 65537, которые действительно все простые, а следовательно, правильные многоугольники с таким числом сторон и с числом сторон N, являющимся произведением из 2к на каждое из нйх или на комбинации произведений из этих сомножителей, строятся циркулем и линейкой. Но уже Эйлер показал, что при п=5 получается 25 составное число 2 4~ 1=4-294967267, имеющее делитель 641. После появления теории Гаусса этот вопрос стал особенно актуальным. Некоторые математики и любители математики за- 178

трачивали много времени на выяснение того, какими' же будут числа 2^ +1 при различных п>5. Значительное облегчение в решение этого вопроса принесли ЭВМ.

К 1964 г. было показано, что все числа являются составными .при п=5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, ... 316, 452. До сих пор пока при п>4 не найдено ни одного простого числа Ферма. Был установлен критерий простоты Ри-1 чисел Рп=25е4-1. Это число будет простым, когда 3 2=

——1 (mod Ри). (Ш. Михелович. Теория чисел, стр. 236). Высказано" предположение, что число простых чисел Ферма конечно. Уточнению формулировки основной теоремы Гаусса и доказательству того, что полученное Гауссом условие деления окружности на равные части необходимое и достаточное, тоже уделяли внимание некоторые математики, в том числе и с. помощью теории групп. Одним из первых математиков, затрагивавших эти вопросы, был Ванцель [146]. Систематическое изложение результатов математиков XIX и XX столетий дано в книге А. Школьника [99].

Теперь теорема Гаусса читается так: «Окружность можно разделить на N равных частей (построить правильный N-уголь- ник) циркулем и линейкой в том и только в том случае, когда N — число вида

N = 2kPrP2 - Prn,

где к — целое положительное число или нуль, a Pi — различные между собой простые числа видаа 22“ + 1 или равны 1».

Такова завидная судьба теории деления круга, созданной юным Гауссом, оказавшей сильное влияние на развитие математики и не утратившей своего значения и в наше время.

Трисекция угла и удвоение.куба после Ванцеля. Доказательство Ванцеля невозможности трисекции угла (в общем случае) и удвоения куба циркулем и линейкой с точки зрения его строгости, по-видимому, не вызывало особых возражений. Но с точки зрения формы и доступности для читателей оно' было далеко не совершенно. Этим, вероятно, и объясняется медленное распространение среди математиков результатов работы Ванцеля в XIX в.

Необходимость более четкого доказательства решений задач, подобных трисекции угла и удвоению куба, сводящихся к решению уравнений 3-й и" более высоких степеней, по-видимому, являлась тоже одним из стимулов разработки новых разделов алгебры, в том числе и теории числовых полей, которая затем помогла получить более строгие и более доступные доказатель-

ства невозможности удвоения куба и трисекции угла. С этими доказательствами'теперь можно познакомиться по многим источникам, в том числе и на русском языке [2, 53, 58, 68, 85].

Не излагая (подробно теорию числовых полей, мы все же приведем некоторые данные, необходимые для (понимания современного доказательства невозможности решения рассматриваемых задач циркулем и линейкой. Уравнение удвоения куба

х3—2=0(32)

з

имеет корень Х!=У2 и два комплексных корня. Чтобы доказать, 3

что Х1=У2 нельзя построить циркулем и линейкой, надо дока-

3

зать, что У2 не может принадлежать ни одному из полей, построенных из рациональных чисел поля Fo путем последовательного «присоединения» квадратных радикалов. Ход построения полей Fn из Fo кратко можно описать т$к. Пусть поле рациональных чисел Fo содержит рациональные числа, в том числе а0> Ьо и кэ. Если над ними производить рациональные операции и извлечение квадратного корня, то получим числа вида ai+ +Ь1УкГ, в которых <21 bi, ki принадлежат полю Fo, a Ук1 не принадлежит этому-полю. Числа а1+Ь1Ук1 составляют поле Fi, включающее в себя, как подполе, поле Fo.

Такого же рода операции над ai+biVki приводят к чи1ола|м ^+Ь2Ук2, соответствующим полю F2 и т. д. Числа поля Fn-! будут tfn^+bn-) Vkn-h а числа поля Fn—^п+ЬпУкп^ где а^ bn и кп принадлежат полю Fn-b а Укп не принадлежит ему.

з

Обращаясь теперь к числу У2, являющемуся корнем (32), з —

покажем сначала, что число У2 не принадлежит полю Fo, т. е., *з

что это число иррациональное. Действительно, если число У2

з— р

рациональное, то У2 —гДе р и q целые числа, не имеющие

р3

общих множителей. Тогда 2= — или p3=2q3; так как в q3

правую часть входит множитель 2, то число- р3 четное, и само число р .— четное, ибо только четное число в кубе может дать четное число. Положим тогда р=2г и получим (2r)3=2q3, т. е. 8r3 = 2q3 или 4r3=q3. Но 4г3— четное число, а следователь-

но, q3 и q четные числа. Получается, что р и q четные, т. с. имеют общий множитель, а мы предположили, что они взаимнопростые числа. Мы пришли к противоречию, что указывает на

з рз

то, что У2^ —» т. е. юно иррациональное. Итак, У2 не принад- Q

лежит полю Fo. Но может быть корень уравнения х3—2 = 0 принадлежит какому-то полю Fn и не принадлежит ни одному из предшествующих полей, в _том числе и полю Fn-L Тогда х должен иметь вид x = pn+qnykn, где pn, qn и kn принадлежат полю Fn-1, a Укп не принадлежит ему. Но из алгебры известно, что если x = pn+q»Vkn есть решение уравнения (32), то его решением должно быть и число у = рп—qntkn [59]. Покажем, что это невозможно.

Действительно, если х принадлежит полю Fn, то х3 и х3—2 тоже принадлежат этому полю, так как здесь над х совершаются только рациональные операции. Следовательно,

хз_2 = а+ЬУкп,(33)

причем а и b можно выразить через pn, qn и кп из (p«+qnykn)3— —2 = лН-ЬУкп. Но так как и у='рп—qnykn должен быть решением уравнения (32), то он тоже содержится в поле Fn, а значит

уЗ_2=а—ьУкп.(33')

Но мы допустили, что x=pn+qnykn есть корень уравнения (32), т. е. (pn+qnykn)3—2 = 0, тогда из

(pn +qnykn)3—2 = «+ЬУкп

следует, что__

а+ЬУкп = 0.(34)

Причем последнее равенство должно иметь место только при — а

а=Ь=0, иначе Укп = принадлежал бы полю Fn-b чего не

ь

может быть. Но если а=Ь=0, то из (33') следует, что у3—2 = 0, т. е., что у=рп—q«Vkn есть решение уравнения (32). Однако х^у, так как разность х—y=2qnVkn могла бы обратиться в нуль только при qn = 0, но тогда х равнялся бы рп, т. е. относился бы к долю Fn-b что противоречит предположению.

Итак, предположив, что решение уравнения (32) принадлежит полю Fn, мы получили, что уравнение (32) имеет два различных решения -

x=pn+qnVkn иУ=РП—qnVkn.

Так как pn, qn и kn вещественные числа, то. оба корня должны быть действительными. На самом же деле у уравнения (32) есть только один вещественный корень, а два других корня мнимые.з

- 1 Мы пришли к противоречию. Значит У2, корень уравнения (32), не может принадлежать ни к какому полю Fn, а следовательно, задача об удвоении куба с помощью циркуля и линей-

з

ки не разрешила, Невозможность построения отрезка У2 с помощью циркуля и линейки следует теперь и из известной теоремы, относящейся вообще к кубическим уравнениям: «Если кубическое уравнение с рациональными коэффициентами не имеет рациональных корней, т. е. неприводимо в поле рациональных чисел, то ни один из его корней не может быть построен с помощью циркуля и линейки».

Эта теорема- легко доказывается с помощью теории полей и для уравнения

z3-|-az24-bz-|-c=0,(35)

где а, Ь, с — рациональные числа и связаны с корнями уравнения zb z2, z3 известными формулами. Предположив, что один из его корней, например zb—иррациональное число и строится циркулем и линейкой, мы должны тогда считать, что zi принадлежит полю Fn и не принадлежит Fn-b где п наименьшее число, при котором Fn содержит корень (35). Следовательно, zi=pn-f- -HqnVkn, a Z2=p”—qnykn тоже принадлежит Fn и является корнем (35). А так как

qn¥=0, Zi+z2+z3=—а и Zi-|-Z2=2pn,

то гз=—а—2рп, т. е. гз принадлежит Fn-b что противоречит предположению. Уравнение (32) относится именно к таким кубическим уравнениям. Следовательно, ни один из его корней, в

з—-

том числе и У2, не строится циркулем и линейкой. Эта же теорема дает ответ и на вопрос: при каких значениях а корни уравнения трисекции угла:

х3—Зх—<2—0,(36)

которое стали получать из сравнения вещественных частей разложения (cosa-f-sina)3, строятся циркулем и линейкой и при каких не строятся. Например, при а=1. уравнение х3—Зх—1=0 (36') не имеет рационального корня; следовательно, его корни

не строятся циркулем и линейкой, и угол <р=60° не делится циркулем и линейкой на три равные части.

Вопрос же о том, имеет ли данное кубическое уравнение с рациональными коэффициентами рациональный корень или нет — решает другая теорема. Эта теорема говорит о том, что если уравнение (35) имеет рациональный корень, то он будет целым числом и одним из делителей свободного члена. В нашем примере он мог бы, следовательно, быть или +1 или —1. Подставляя эти значения в (36'), убеждаемся, что эти числа не обращают уравнение в тождество. В уравнении (32) целыми делителями свободного члена являются ±1, ±2, ни одно из которых не является его корнем: следовательно, оно не имеет рационального корня, и ни один из его корней не строится циркулем и линейкой.

Таким же образом можно показать, что циркулем и линейкой не строится ни один из корней кубических уравнений

У3+У2—2у—1=0 и у3—Зу+1=0.

Следовательно, циркулем и линейкой нельзя построить правильные семиугольник и девятиугольник.

Невозможность трисекции угла и удвоения куба циркулем и линейкой после Ванцеля получали и как следствие теоремы, содержащей необходимое условие разрешимости в квадратных радикалах уравнения f(x)=O. Она читается так: «Для того чтобы неприводимое в Fo уравнение f(x)=O было разрешимо в квадратных радикалах, необходимо, чтобы степень его была степенью двойки» [99; 36]. Корни уравнения степени 2” строятся циркулем и линейкой, так как они принадлежат полю Р». Вопрос о неприводимости многочлена f(x) в поле Fo решается и с помощью критерия Эйзенштейна: f(х) =aox“+aixn-1+ ... +ап будет неприводимым в поле Fo, если существует простое число Р, такое, что «о не делится на Р, щ (1 = 1, 2...) делятся на Р и Дп не делится на р2. Например, хп±2.

Некоторые новые результаты получены и в других.направлениях. Было показано, что на три равные части делятся не только углы ~, но и множество других углов. Так, если I — какой-то отрезок прямой, который построен циркулем .и линейкой и если в (36) положить д=/3—3/, то (36) будет х3—Зх— —Z3-|-3Z=0 и х=/. Корень этого уравнения cos -^- — — и трисекция в этих случаях возможна.

Нами рассматривались обобщения задачи удвоения куба, полисекция углов, новые способы построения точного и прибли-

женного построения сторон правильных многоугольников (см. IV гл.).

О влиянии работы Линдемана. Доказательство трансцендентности числа л Линдеманом в 1882 ^произвело сильное впечатление на всех математиков, знакомых с историей задачи о квадратуре круга и понимавших существо трудностей, связанных с решением этой задачи. Доказательство Линдемана было признано верным по существу, но далеким от идеала по форме: оно было малодоступно для многих математиков.

С учетом важности результатов и с целью сделать их доступными для сравнительно широких крупов математиков и любителей математики Вейерштрасс, А. А. Марков, Гильберт, Гурвиц, Гордан, К. А. Поссе посвятили свои работы разбору и популяризации результатов Линдемана. Многие из них не только популяризировали результаты Линдемана, но и вносили свой вклад в метод доказательства трансцендентности чисел е и л и дополняли эти результаты новыми теоремами.

В отличие от «замедленной» реакции русских математиков на появление результатов Гаусса о делении круга и Ванцеля о трисекции угла и удвоении куба (юм. IV гл.), на появление работы Линдемана русские математики отреагировали «своевременно». А. А. Марков начал писать большую работу «Доказательство трансцендентности чисел е и л» [69] вскоре после появления статьи Линдемана и опубликовал ее в 1883 г. К/А. Поссе быстро отреагировал на появление работ Гурвица и Гордана, опубликовав в 1894 г. свою статью «О трансцендентности чисел е и л» [83].

Но наиболее широкий отклик на результаты Линдемана мы находим в работах немецких математиков.

К. Вейерштрасс (1815—1897) был одним из первых математиков, познакомившихся с открытием Линдемана, и именно он дал «путевку в жизнь» работе Линдемана, представив ее для печати в издании Берлинской Академии наук. Положительная оценка работы Линдемана Вейерштрассом — самым авто-, ритетным математиком того времени — сыграла немаловажную роль в привлечении внимания математиков к работе, еще малоизвестного ученого Линдемана.

Однако Вейерштрасс был не только «крестным отцом», давшим благословение статье Линдемана, открывшей новый этап в истории квадратуры крута, но и одним из первых математиков., приступивших к уточнению и расширению идей, содержащихся в работе Линдемана и к усовершенствованию доказательства основной теоремы о трансцендентности «Лудольфора числа».

В 1885 г. появилась большая статья Вейерштрасса под на-

званием «К мемуару Линдемана «О Лудольфовом числе» (Доказательство невозможности квадратуры круга)» [23, 139]. В этой статье он расширил содержание работы Линдемана, дав несколько новых важных теорем, связанных с доказательством трансцендентности числа л. В частности, им доказана такая теорема: «Если х есть какое-нибудь алгебраическое число, то выражение ех+1 не обращается в нуль».

Особенно большое значение он придавал теореме, которую» рассматривал и А. А. Марков в своей работе [69].

«Если Xi, х2,..., хг различные и yi, уг,..., уг — произвольные' алгебраические числа, то уравнение

2 у ех? =0(37)

р=1

может иметь смысл только при У1 =У2= “* — уг —О». Эта важная теорема содержит в себе как частные случаи трансцендент

ность е и л одновременно.

Вейерштрасс указал также, что из теоремы Линдемана следует трансцендентность sinx, если'х — алгебраическое число. Наконец, он сформулировал и доказал следующую теорему:

«Дуга круга, хорда которой, измеренная радиусом этого круга, имеет алгебраически выраженную длину, не может быть, выпрямлена геометрическим построением при помощи только алгебраических кривых и поверхностей; равно как соответствующий этой дуге кривой сектор посредством такого построения не может быть обращен в равновеликий квадрат».

Доказательство этой теоремы Вейерштрасс дает в таком виде: пусть круг имеет радиус R=l, а длина дуги х; тогда хорда о . х этой дуги y=2sm —, а площадь соответствующего сектора

1

о= — х. Если бы можно было получить отрезок, равный х, или

осуществить квадратуру сектора, то это означало бы, что между х и у существует алгебраическая зависимость, т. е. существовало бы алгебраическое уравнение между х и sin — , Но при на

шем допущении, что 2sin — — алгебраическое число, такого

уравнения не может существовать.

Особенно «урожайным» на работы о<б упрощении доказательств трансцендентности чисел е и л был 1893 г.

В этом году работу «О трансцендентности чисел е и л» [126]

опубликовал выдающийся (немецкий математик Д. Гильберт (1864—1943). Доказательство трансцендентности е и л Гильберта, хотя и не было еще простым, так как оно тоже существенно со

опиралась на свойства интеграла J z^e'Mz, все же давало о

значительные упрощения.

Это доказательство Гильберта в основном использовано и *Ф. Клейном в «Приложении» к книге «Элементарная математика с точки зрения высшей», переведенной и на русский язык в 1933 г. [54]. Ф, Клейн в этом приложении, названном «Трансцендентность чисел, е и л», сам указывал, что при доказательстве трансцендентности этих чисел он «пользовался теми существенными упрощениями, которые сделал в нем Гильберт в 43 т. Math. Annal. (1893)».

Сравнивая доказательства Эрмита-Линдемана и Гильберта, мы действительно можем отметить у Гильберта не только боль- шую систематичность изложения, но и большую ясность и некоторые упрощения в доказательствах.

В том же 43 т. журнала Math. Annal. были опубликованы работы немецких математиков А. Гурвица «Доказательство трансцендентности числа е» и Гордана «Трансцендентность е и л» [123,120].

. Гурвиц и Гордан впервые предложили доказательства трансцендентности этих чисел, без применения интегрального исчисления, без использования интеграла Эрмита. Их доказательства предполагают'только знание основ дифференциального исчисления и степенных рядов. После появления этих работ доказательства трансцендентности е и л стали считать элементарными, «общедоступными», хотя «простота» этого доказательства весьма относительна.

По,иски новых способов доказательства трансцендентности, числа л продолжались и в XX столетии, что видно и из книги Т. И. Дринфельда [43],. опубликованной в Харькове в 1952 г.

Вопрос о получении способа доказательства трансцендентности числа л, доступного для широких слоев любителей математики, остается актуальным и в наше время. В связи с появлением работы Линдемана и в связи с ее энергичной популяризацией усилился интерес и к результатам Лиувилля и Кантора: к разработке теорий алгебраических и трансцендентных чисел. •Эти теории благодаря трудам математиков многих стран, и особенно советских математиков ■ Д. Д. Мордухай-Болтовского, А. О. Гельфонда, Р. О. Кузьмина, Б. Н. Делоне и других, превра-

тились в самостоятельные ветви современной теории чисел (см. [29]).

Продолжением исследования Линдемана можно рассматривать и перенесение задачи о квадратуре круга в неевклидовы геометрии. Советские математики установили, в частибсти, что эта задача в плоскости Лобачевского становится алгебраической (см. гл. IV). '

Не прекращаются поиски способов точного (с помощью трансцендентных кривых) и приближенного построения отрезков, равных е и л. Последние годы начали прибегать к помощи ЭВМ для отыскания верных десятичных знаков л.

Таково влияние работы Линдемана «О трансцендентности числа л» на дальнейшее развитие математики. Распространение, мнения о невозможности решения задачи о квадратуре круга с помощью циркуля и линейки и с помощью любой алгебраической кривой привело к значительному сокращению числа так называемых «квадратурщиков», напрасно тративших много времени на построение квадрата, равновеликого данному . кругу, циркулем и линейкой. '

Новые способы точных, ■

и приближенных конструктивных решений- знаменитых задач древности

Доказательства невозможности решения задач об удвоении куба и квадратуры круга й задач деления окружности на равные части и трисекции угла в общем случае циркулем и линейной определили грани между двумя периодами в истории каждой из этих задач. -

' В предыдущих параграфах было показано, что история всех четырех задач не оборвалась на этих доказательствах. Работы покорителей этих задач вызвали новые исследования, уточнявшие и развивавшие результаты их исследований. Благодаря этим исследованиям математика обогатилась новыми важными результатами и целыми разделами. А доказательства невозможности решения указанных задач в новом периоде приобрели современный вид. Эти исследования продолжаются и в наше время, а следовательно, продолжается и история знаменитых задач древности. Но наряду с трудами, развивавшими идеи Гаусса, Ванцеля и Линдемана, продолжались -поиски новых способов точного и приближенного решения рассматриваемых четырех задач. Только в этот период математики, знакомые так или иначе с результатами открытий этих ученых, искали теперь уже не точные, а наилучшие приближенные решения с помощью циркуля и

линейки, а точные решения указанных задач они находили с помощью других средств. Таких решений в XIX и XX столетиях получено большое количество. Многие из этих способов рассмотрены в книгах [2, 118 и др.], а также в IV главе данной книги. Здесь мы остановимся только на некоторых результатах зарубежных авторов.

Квадратура круга и спрямление окружности. Решение этих задач было связано с точным и приближенным построением и вычислением числа л./

Приближенные построения л и Ул представляют не только теоретический, но и практический интерес. Для практических целей часто требуется иметь способ построения прямолинейного отрезка, приближенно равного окружности данного круга, или получить приближенное значение величины площади круга. Чаще и проще всего это выполняется с помощью циркуля и линейки. В рассматриваемый период особое внимание при этом обращалось на точность выполнения этих построений. Но как бы ни был хорош способ построения этих величин, он не дает точного построения, он допускает так называемую теоретическую ошибку 6ь Важно, чтобы эта ошибка была как можно меньше. И как бы тщательно ни выполнялось построение циркулем и линейкой, оно неизбежно тоже не абсолютно точно. Допускаемая при этом ошибка 62 будет тем больше, чем больше число примененных чертежных операций, особенно проведения прямых линий. С целью уменьшения полной ошибки 6=61+62 необходимо применять наилучшие из существующих способов и выполнять как можно тщательнее построения циркулем и линейкой. В конце XIX и в пачале^ХХ столетий появилось большое число работ, посвященных теории ошибок в применении к начертательной геометрии [2; 253], указывающих пути построения, ведущие к уменьшению вероятной ошибки и к увеличению точности.

Эти исследования показали, в частности, что к числу лучших из известных методов относится и метод Маскерони (см. стр. 96), где построение осуществляется одним циркулем. Он л"

дает величину — = 1,5707963. Теоретическая ошибка 61 при этом достигает 4-10~4, что при радиусе меньше 50 см дает вполне пригодные результаты для практики.

Известный итальянский математик Кремона (1830—1903) предложил такой сособ приближенного построения л. Возьмем круг с радиусом ОА=ОВ=В (рис. 68) и центральный угол АОС = 30°. Проведем касательную к кругу в точке А, и на ней от С отложим отрезок CD=3R. Соединим точки В и D. Тогда BD будет приближенно равна полуокружности. Действительно,

(9—УЗ)2' =9(9—УЗ)2' =9р р

(9—УЗ)2' =9

(9—УЗ)2' =9

АС = —УЗ, AD=3RУЗ и BD = R зз

= — V120—18T3 = R-3,141533, аДсэ=лВ=В-3,141592. 32

приведенный в книгеприведенный в книгеСледовательно, теоретическая ошибка 61 = 6-10"5 достигает допустимой для практики величины ошибки — мм лишь при 10

приведенный в книге

приведенный в книге

R—2 м. Построив отрезок, при- ближенно равный к, легко можно построить и отрезок, приближенно равный Ул, как среднее пропорциональное между л и 1.

Но существуют и другие спо-

собы построения Ул. Вот один из них, [118; 304].

Возьмем круг с радиусом OA=OB = R (рис. 69). На диамет-

ре АВре АВ3

ре АВ

ре АВ

и его продолжении отложим отрезки OD= — R, ОЕ = 5

—R и OF= — R. Проведем нормаль к АВ* в точке О. Построим полукруги, диаметры которых равны DE и AF. Тогда OG — среднее пропорциональное между OD и ОЕ, т. е.

ОН среднее пропорциональное_между ОА и OF, т. е.

OH = R Д.

V 2

1 огда

GH = OG+OH = R fl/"Д+1/ Д^В-1,77246«ВУл7\ |/10|/2 /

Точное же значение Ул= 1,77245... Следовательно, GH с точностью до ста тысячных является стороной квадрата, равновеликого данному кругу.

Точное спрямление окружности и квадратура круга возможны только с помощью трансцендентных кривых. Раньше было показано (ом. I главу), что точно спрямить окружность, т. е. построить отрезок, равный длине окружности, можно с по-

мощью квадратрисы и спирали Архимеда. В IV главе рассматривается пример спрямления окружности с помощью винтовой • линии.

Для построения л, —3 2л,...

Рис. 69.Со времени создания i менять определенное интегрирование и для вычисления длины кривых или дуг кривых 1= J.Vl+y'2 dx,. где y=f(x) — урав-Рис. 69.Со времени создания i менять определенное интегрирование и для вычисления длины кривых или дуг кривых 1= J.Vl+y'2 dx,. где y=f(x) — урав-можно использовать и графики тригонометрических и обратных функций. Но во всех этих случаях предполагается, что мы . каким-то образом умеем строить все указанные кривые.

Рис. 69.

Со времени создания i менять определенное интегрирование и для вычисления длины кривых или дуг кривых 1= J.Vl+y'2 dx,. где y=f(x) — урав-

Рис. 69.

Со времени создания i менять определенное интегрирование и для вычисления длины кривых или дуг кривых 1= J.Vl+y'2 dx,. где y=f(x) — урав-

интегрального исчисления стали при-

a

нение данной кривой, и стали говорить о спрямлении кривых, в том числе и окружности, с помощью определенного интеграла. Мы говорим теперь, что

чт dx о п

2R Г =2лП,Jr YR2-X2

и считаем, что нашли точную длину окружности. — «спрямили окружность». Но при этом вопрос о 'прямолинейном отрезке, равном длине окружности, не решается, при данном R мы не можем назвать и точное число, выражающее длину этой окружности, потому что не знаем точное значение л, выраженное, например, с помощью десятичных дробей.

Правда, теперь можно употреблять такие числа, которые с большой степенью точности, приближаются к л. Известно, например, что Шенке и Ренч -в статье «Вычисление числа л со 100.000 знаками» [142], опубликованной в 1962 г., сообщают, что ими с помощью ЭВМ в течение 8 ч. 43 мин. получено 100 000 десятичных знаков в числе л. При этом ими была использована формула Штермера (1896 г.):

л —24 arctg — +8 arctg — +4 arctg — .

8 57 239

, При составлении программы для машины, арктангенсы были предварительно разложены в ряды Тейлора. Полученное ими число верных знаков занимает 20 страниц петитом. Если бы

на этой же машине вычислять л с миллионом десятичных знаков, то она должна была бы работать непрерывно несколько, месяцев. Но теперь есть уже машины, которые значительно быстрее действуют.

Такая точность для л, конечно, не имеет практического значения, но для специалистов по теории чисел представляют не-- который интерес закономерности расположения цифр в десятичных знаках числа л.

Удвоение куба. После доказательства невозможности удвоения куба циркулем И линейкой (1837 г.) эта задача привлекала- к себе внимание не только тех математиков, которые стремились.

улучшить это доказательство, но и тех, которые искали новые- геометрические способы точного и приближенного построения

1'2. Из множества такого рода способов, найденных в этот период, мы приведем для примера только три.

Буонафальче в своих работах и совместно с Пиерачини в 1876 — 1878 гг. [118; 224 — 226] дал три способа решения задачи об удвоении куба. Приведем один из них. Пусть ABCD — грань куба с ребром АВ = 1 (рис. 70), диагональ квадрата BD= V2; разделим BD на 6 равных частей и отложим на AD одну из этих частей DE= 1_.Тогда ВЕ и будет отрезок,

близкий к величине ребра искомого куба х=72. Действительно,, ВЕ= |/" 1 + ^1L у = j/"Zt^L^ ^-Кз7—6У2= 1,2586

3 1

а точное значение V2 —1,25992 ..., т. е. ошибка около — . Это

1.С00 хорошая точность для практических целей.

Божали в 1884 г. [118; 226] показал, что Т2^ A. [OF+

1

+ВМ] (рис. 71), где ОР = ^ю= —^ » ОВ = 1 — ребро данного куба. Чтобы построить OF, опишем окружность с центром.

1

в С радиусом ОС=~ ОВ, возьмем CO-LOB, проведем ВСЕ и отложим BF = BE. Тогда OF= =аю, FM=as. Теперь на FB, как на диаметре, построим круг, который пересечет продолжение ОС в точке М. Соединим М с точками F и В, Так как

OF=o10= ^-1 =0,61803 ...и

2-

BM=VOB.BF= г/1. Г 1+1^±1 = 1,2720...,

2з—

3. Валлен в 1911 г. предложил3. Валлен в 1911 г. предложилследующее приближенное последующее приближенное поз— строение 12 яз— строение 12 я349 _ ТП~349 _ ТП~строим квадрат ABCN со стороной, равной 1 (рис. 72). На про- 5должении АВ отложим ВО=—• 9Проведем ON. На продолжении ВС откладываем CZ=1. На ON откладываем OZ' = OZ и из точки Z' проведем Z'QHNZ, соединим N и Q. Отложив ОЕ=1, проведем EU||NQ. Теперь видно, что/5 \2О№=12+ 14- — \9 /строим квадрат ABCN со стороной, равной 1 (рис. 72). На про- 5должении АВ отложим ВО=—• 9Проведем ON. На продолжении ВС откладываем CZ=1. На ON откладываем OZ' = OZ и из точки Z' проведем Z'QHNZ, соединим N и Q. Отложив ОЕ=1, проведем EU||NQ. Теперь видно, что/5 \2О№=12+ 14- — \9 /OQ : OZ= OZ': ON, OQ = !'—!, OU : 1=OQ : ON,OQ : OZ= OZ': ON, OQ = !'—!, OU : 1=OQ : ON,то -у- (OF-J-BM) = 1,-26003..., а У2= 1,25992...

3. Валлен в 1911 г. предложил

3. Валлен в 1911 г. предложил

следующее приближенное по

следующее приближенное по

з— строение 12 я

з— строение 12 я

349 _ ТП~

349 _ ТП~

строим квадрат ABCN со стороной, равной 1 (рис. 72). На про- 5

должении АВ отложим ВО=—• 9

Проведем ON. На продолжении ВС откладываем CZ=1. На ON откладываем OZ' = OZ и из точки Z' проведем Z'QHNZ, соединим N и Q. Отложив ОЕ=1, проведем EU||NQ. Теперь видно, что

/5 \2

О№=12+ 14- — \9 /

строим квадрат ABCN со стороной, равной 1 (рис. 72). На про- 5

должении АВ отложим ВО=—• 9

Проведем ON. На продолжении ВС откладываем CZ=1. На ON откладываем OZ' = OZ и из точки Z' проведем Z'QHNZ, соединим N и Q. Отложив ОЕ=1, проведем EU||NQ. Теперь видно, что

/5 \2

О№=12+ 14- — \9 /

OQ : OZ= OZ': ON, OQ = !'—!, OU : 1=OQ : ON,

OQ : OZ= OZ': ON, OQ = !'—!, OU : 1=OQ : ON,

откудаоткуда

откуда

откуда

343°- •

Так как =1,25992275 мало отличается от 72=1,2599200...,

то и отрезок OU очень близок к истинному значению ребра куба, объем которого в 2 раза больше данного куба.

Деление угла на равные части. Задача о делении угла ф на три равные части привлекала к себе внимание, вероятно, не меньшего числа ученых и любителей математики, чем задачи о квадратуре круга и об удвоении куба.

Отысканию способов приближенного и точного деления любого угла на равные части уделяли внимание многие математики XIX в. Не забывают эту задачу и математики нашего времени, Некоторые ученые и инженеры не только разрабатывали методы решения этой задачи, но и строили инструменты, позволяющие использовать эти методы в практических целях.

В XIX столетии и до появления работы Ванцеля (1837) и после того, как он строго доказал невозможность деления на три равные части произвольного угла с помощью циркуля и линейки, многие математики обращались к этой задаче с целью отыскания новых, более простых и более изящных методов решения ее. Одним из методов точного решения задачи трисекции угла является метод Шаля.

Шаль (1793—1880) — известный французский математик. Особенно заметный след своего творчества он оставил в области геометрии. Проявляя большой интерес к истории геометрии,, он не мог не обратить внимание и на знаменитые геометрические задачи древних. А заинтересовавшись этими задачами,"он предложил, в частности, свой метод трисекции угла. Мы укажем здесь только путь, по которому шел Шаль.

Если требуется разделить угол АОВ на три равные части (рис. 73), то поступим так: из точки О, как из центра, опишем окружность произвольным радиусом. В точке А проведем касательную к окружности. Затем построим произвольный угол ТАР2=ф и такой же угол ф=ВОР1, где Pi и Р2 — точки пересечения сторон углов с окружностью, а Р — точка пересечения сторон этих углов Между собой, описывающая некоторую кривую при изменении ф.

Очевидно, при любых Pi и Р2 zLAOP2=2Z.BOPi. Если точ-

19319313 С. Е. Белозеров

193

193

ки Pi и Р? совпадают в одной точке X, то Z_AOX=2Z_BOX. В этом случае Pi, Р? и Р сувпадают, и точка эта будет находиться на той кривой, которая при пересечении с окружностью и даст точку, делящую дугу АРВ на две .части, одна

из которых ХВ=-у х(р)В. Тем

самым задача оказывается .решенной. Более детальное исследование этого решения требует дополнительных построений и привлечения аналитических средств6.

. В нашем столетии некоторые математики продолжают проявлять интерес и к трисекции угла. Стараясь отыскать новые способы исследования, используют известные кривые, новые инструменты и новые разделы математики для точного и- приближенного решения этой задачи. Кроме методов, подобных методу Шаля, точного решения рассматриваемой задачи позволяют достичь и некоторые инструменты для деления угла на три равные части. Проблема трисекции угла имела и поныне имеет не только теоретическое, но и практическое значение. Решение этой проблемы, как показывает ее история, связано с использо- , ванием различных кривых. Необходимость же построения этих кривых (квадратриса, конхоида, улитка Паскаля, конические сечения и др.) заставила некоторых ученых и конструкторов создавать инструменты для вычерчивания этих кривых7.

Вместе с тем независимо от построения указанных кривых создавались инструменты, которые позволяли непосредственно точно или приближенно делить данный угол на три равные части. Мы здесь приведем описание некоторых инструментов, с помощью которых непосредственно можно точно разделить данный угол на три равные части.

Простой инструмент для деления произвольного угла на три равные части предложил немецкий ученый Фельдблюм (1899). Известному в то время инструмент для деления угла пополам он дополнил, и . получился прибор для трисекции угла. Из дерева или металла делаем указанные на чертеже линейки и скрепляем их так, чтобы сохранилась подвижность во всех указанных точках. Причем

АВ—ВС, CD=DA и BE—EF=FQ=QB.

Тогда BD будет биссектрисой угла АВС, а СВ — биссектрисой угла DBQ. Следовательно,

-^ABD=Z.DBC = ^CBQ и Z_ABD= ~ ^ABQ.

Поместив точку В нашего прибораg ^ -

в вершину данного угла и направив его звенья АВ и BQ по сторонам этого угла, мы получим его деление на три равные части прямыми BD и ВС (рис. 74).А

Сравнительно простым является и такой прибор: из дерева делается полукруг, к нему прикрепляются две деревянные рейки; одна из них DB—касательная к кругу в конце диаметра, вторая, один из краев которой совпадает с диаметром, проходит за окружность (в сторону первой рейки) на длину радиуса круга,

(рис. 75). Если требуется разделить (сравнительно небольшой) угол ABF на три равные части, то, поместив инструмент в плоскость чертежа, направляем касательную рейку через точку Bt одна сторона угла ABF должна касаться круга, и продвигаем прибор так, чтобы конец второй рейки (А) оказался бы на второй стороне данного угла. Тогда mi

и получим =Z_OBF8.и получим =Z_OBF8.zCABD = zLDBO

и получим =Z_OBF8.

и получим =Z_OBF8.

Рис. 75.Рис. 76.

Опищем еще устройство трисектора Амадори (1883 г.). Основные части этого трисектора — круг ABDSNMRC и передвижная линейка PQ (рис. 76), сделанные из дерева или жести. Круг может быть любого радиуса, линейка вращается вокруг точки Q так, чтобы точка Р передвигалась по диаметру CD, а Q передвигается в отверстии J- CD. Расстояние от Р до Q . должно равняться диаметру ifpyra CD. Чтобы разделить этим инструментом данный угол ROS на три равные части, мы делим его пополам линейкой LZ. Теперь располагаем прибор так, чтобы центр круга находился в вершине угла О, а диаметр CD являлся бы перпендикуляром к LZ. Тогда точка Q будет на LZ. Линейку PQ располагают так, чтобы ее ребро, на котором находятся точки Р и Q, проходило бы через точку R (точка пересечения стороны угла с окружностью). Линейка PQ при этом пересечет окружность еще в одной точке (А). Проведем диаметр через точки О и А, он пересечет окружность в точке N. Передвинем теперь линейку так, чтобы ее ребро PQ проходило через точку пересечения второй стороны угла с окружностью (S), это же ребро линейки пересечет окружность и в точке В. Проведем диаметр ВО, получим на окружности точку М. И тем самым угол ROS разделен на три равные части: Z.ROM= = zLMON=21NOS9.•

Кроме способов точной трисекции угла, в XIX—XX вв. разрабатывались также методы приближенного деления угла' на три равные части. Итальянский математик Е. Коминотто в своей книге «Приближенная трисекция угла» (1895) [103; 254] приводит ряд способов, дающих различные степени приближения при делении угла на три равные части, в том числе и свой "метод.'

центра, произвольным радиусомцентра, произвольным радиусомРис. 77.Рис. 77.Метод Коминотто состоит в следующем. Пусть требуется ' ' разделить на три части угол АВС (рис. 77). Из точки В, как из

центра, произвольным радиусом

центра, произвольным радиусом

Рис. 77.

Рис. 77.

описываем дугу АС. Делим радиус АВ на три равные части точками D и Е. Затем из точек В и Е, как из цент- 1 ров, радиусом, равным у АВ, описываем полукруги. На полукруге AD от - точки А откладываем дугу АН, равную дуге GD. Проводим прямую DH, отмечаем на ней точку I так, чтобы ID= =DA. Проводим прямую

FI, отмечаем на ней точку К так, чтобы FK=FA. Теперь проведем окружность, проходящую через точки А, I, К. Эта окружность пересечет дугу АС в некоторой точке Т. Утверждается, что

дуга АТ будет приблизительно равна ~ дуги АС или

z^ABT» — Z.ABC10.

з

В указанной работе Коминотто упоминает еще об одном, очень простом и достаточно точном, методе приближённой трисекции угла. Вот его описание. Пусть дан угол DBE, который нужно разделить на три равные части. Поступаем в этом случае так: из вершины угла произвольным радиусом R=BD= = ВЕ описываем окружность. Проведем биссектрису данного угла; она пересечет дугу DE в точке Н. Отметим на ее продолжении точку F так, чтобы BH=HF=R. Соединим точку F с концом диаметра D'. Прямая FD' пересечет окружность в точке G (рис. 78). Утверждается, что дуга EG будет приближенно равна -у- дуги DE или~с

Z.GBE» 4-^DBE. Возь-/<Z

мем для примера Z_DBC= -/

90° и посмотрим, какую точ- //7/^ \Н

ность при решении нашей - л " Z^ \ задачи дает указанный ме-^'^§д Л

тод. Если взять точку В за

начало прямоугольной сис-. Р»с. 78.

темы координат, DBD' — за

ось ОХ и положить R=l, то уравнение окружности будет х2+ у2=1, а уравнение прямой, проходящей через'точки D'(—1,0)

V2(x+1)■

и F(72,72), будет у= —— . Найдем абсциссу точки G, ре-.

П+1

шая совместно уравнения окружности и прямой, найдем х=0,49. Точное же значение х=0,5, ошибка не превышает 0,01°. Известны также методы Р. Монти [118; 258] и другие методы приближенного решения трисекции угла [112]. Из статьи Иглиша [45] видно, что Бибербах решал эту задачу с помощью циркуля и угольника. В конце XIX и в XX столетии появились и более общие методы деления, угла па три части и решения других знаменитых задач древности. Из этих методов особого внимания заслуживают метод номографии и метод последовательных

приближений. Основной вклад в развитие этих методов внесли советские математики (см. IV главу).

Деление окружности на равные части .(построение .правильных многоугольников). В XIX и XX вв. появилось много книг и журнальных статей, в которых рассматривались вопросы, связанные с делением окружности на равные части и с построением правильных многоугольников. Свои работы этой проблеме посвящали Бахман, Серре, Понселе, Штейнер, Шротер, Ф. Клейн, Штаудт, Гюнтш, Падоа и др. Мы остановимся только на некоторых новых результатах, полученных при решении- этой задачи в указанный период. Одним из важных результатов такого рода явился метод Штаудта.

Известный немецкий геометр X. Штаудт (1798—1867) дал изящные способы построения пяти- и 17-угольников. ' Способ Штаудта построения правильного 5-угольника можно изложить так. В Данном круге (рис. 79) проведем два взаимно перпенди

кулярных диаметра АВ и CD и в точках А, С и В проведем касательные к кругу. Отложим АК=2АВ. Прямая CiK пересечет окружность в точках Ni и N2, а прямые ANi и AN2 пересекут CD в точках тип. Проведем через точки тип прямые EF и ML, параллельные АВ. Точки С, Е, М, L и F будут точками деления окружности на 5 равных частей. Соединив эти точки, мы и получим правильный пятиугольник11.

Способ Штаудта построения правильного 17-угольника, тоже интересен, хотя сложнее, чем способ построения пятиугольника [см. 2; 198—213 и111; 177—188].

Рассмотрим построение 17-угольника с помощью циркуля и линейки, известное в литературе как «способ Серре-Бахмана». В этом случае так же, как и в других аналогичных, дается но- вый-способ построения корней указанной выше системы уравнений. Пусть ОА=1 — радиус окружности, которую надо разде-

лить на 17 равных частей (рис. 80). Прямах OX _L ОА и на

как из центра, радиусом ВА опишем окружность, Тогда

ВА=ВС= 60'=^-, ос=ов+вс=^^= ^-, ос'=ов+вс'=-.^П=Л Пусть теперь окружности с центрами в С и С' и радиусами СА и С'А пересекают положительное направление ОХ в точках D и D'. Тогда C'A=C'D' и CA=CD,

OD'=OC'+C'D'=1/ pL^-M-Z,

Г \ 2 /

OD=OC+CD= V + I/ "Т +1"=Z2.

Положим ОЕ=—1. Затем на отрезке DE, как на диаметре, строим полукруг, откладываем FG= — OD' и из точки G, как из центра, описываем окружность радиусом GF и получаем на оси ОХ точки пересечения Н и Н'. Тогда ОН4-ОН'=НН'= = 2GH'=OD'=Z, OHOH'=OF2=—OEOD = Z2, так как ОЕ=—1, а — ОЕ=1. Следовательно, эти отрезки ОН и ОН' должны быть корнями уравнения

х2—zx+z2=0, т. е. ОН=у, а,ОН'=уь

-L =- cos — = — ОН и OH'=yi — сторона правильного 217 о

21

34-угольника. Построим, наконец, OL= у ОН и в точке L проведем перпендикуляр к ОХ, ан пересечет окружность в точках 2 и 17 искомого 17-угольника.

Приведем описание одного геометрического способа построе-

ВВР$Р$Р.Р.Рис. 81.Рис. 81.Р« АР« Ам5 F о Е Njм5 F о Е Njния стороны правильного 17-угольника, принадлежащего Рич- манду (1893 г.). Возьмем полукруг с радиусом ОР0 (рис. 81), проведем О В _L ОРо. Отложим на ОВ отрезокО1 =—ОВ.

В

В

Р$

Р$

Р.

Р.

Рис. 81.

Рис. 81.

Р« А

Р« А

м5 F о Е Nj

м5 F о Е Nj

Соединим Ро с I. Проведем теперь IE так, чтобы Z_OIE = = ^-Z.OIP0, a IF — так, чтобы FIE=45°. На PoF, как на диаметре, построим полуокружность, точку пересечения ее с радиусом ОВ обозначим К.

Затем из точки Е радиусом ЕК опишем окружность. В точках ее пересечения с диаметром АР0, т. е. в N3 и Ng восставим перпендикуляры к АР0, которые пе-

ресекут первоначальную окружность в точках Рз и Ps. Утверж- 2

дается, что дуги P5P3=P$Pi равны — окружности, а хорда

PqPi= — Р1Р3—сторона правильного 17-упольника12.

- Интересный практический прием приближенного деления окружности на п равных частей (или по-

.строение п-угольника) был предложен Н. Бионом в его работе «О построениях и употреблении инструментов в математи-. кё». Этот способ состоит в следующем: в данном круге (рис. 82). проводим диаметр АВ, делим его на п частей (на нашем чертеже п=6) и строим на нем равносторонний треугольник АСВ. Затем, из точки С через вторую точку деления на диаметре проводим прямую CD. Тогда дуга AD будет n-я часть окружности, а хорда AD будет стороной правильного п-угольника13.

Теория квадратуры круговых замкнутых луночекв XIX и начале XX ст. -

Четыре знаменитые задачи-«крепости», как видно из предыдущего, пали под напором бурно развивающейся математики в XIX веке. Их дальнейшая судьба, как показано в этой части главы, хотя и была различной, но история каждой из них в своеобразном виде продолжалась и в XIX, и в XX столетии. Иной была судьба пятой задачи—квадратуры круговых луночек циркулем и линейкой: она оказалась самой «прочной крепостью», покорившейся только советским математикам: Н. Г. Чеботареву и А. В. Дороднову в 30—40-х годах нашего столетия.

Попытки же, направленные на покорение этой крепости, повторялись. О результатах некоторых из этих попыток, оставивших след в истории задачи о квадратуре луночек, и будет идти речь.в этом разделе.

В следующей главе будет показано, как'обогатили теорию квадратуры луночек советские математики.

О работе. Клаузена. В 1840 г. в «Журнале Крелля» была опубликована работа немецкого математика Т. Клаузена (1801— 1885) «Четыре новых случая квадрирования луночек» [115].

Автор ошибочно считал, что Гиппократ Хиосский рассмотрел только один случай квадрируемых луночек (m : n=2 : 1), а он (Клаузен) нашел впервые четыре новых случая квадрируемых круговых луночек:

m : n=3 : 1, 3 : 2, 5 : 1 и 5 : 3.

В действительности же Гиппократ Хиосский рассмотрел не один, а три случая (см. главу 1); все пять случаев квадрируемых луночек* рассмотрели математики XVIII столетия (см. главу II). И хотя Клаузен фактически только повторил то, что было известно Уинквисту (Валлениусу) и Эйлеру еще в начале второй половины XVIII в., все же его работа была шагом вперед в теории круговых замкнутых луночек. Мы изложим здесь кратко содержание указанной работы, сопроводив его чертежами, созданными нами, так как мы не имели чертежей Клаузена. Допустим, что секторы ADBO и АСВО' равновелики, ф=та, ф/=па, (рис. 83), тогдаг2ф=г'2ф'(38)

и MB=rsinma=r'sinna.~(39)

Откуда

гsin naг2sin2ngф1пап

г1sin ma ’г'2sin2maфmam

Следовательно, - -

m sin2na=n sin2ma, Ут sin па=Уп sin ma.(40)

Исследуя уравнение (40) при различ-

°ных тип, Клаузен указывает пять раз-

/^ ГХличных случаев квадратуры круговых

/-— -^—5>Алуночек.

I к \/^ ^ ^^Ас > I. Первый случай (когда т=2, п=1)

\0 х / «был известен Гиппократу». При этом

х. 90°/г'уравнение(40) решается действительно

xjyпросто:

0*У2 sina=sin 2a,

Рис. 83.или

sin a cos а=У2 sin a, откуда

cosa= V|- , а=45°=ф', 2<p'=90°, 2<p=4a= 180°.

Луночка в этом случае, как видно, строится легко.

Следующие четыре случая Клаузен рассматривает уже более подробно.

Бели щ=3 и п = 1, то уравнение (40) примет вид:

УЗ sin a=sin 3a;

V3 sin a=sina cos 2a+sin 2a cosa=sina cos 2a+2sinacos2a;

УЗ=СО8 2a+2cos2a=cos2a—sin2a+2cos2a= l+2cos 2a.

Откуда cos2a= -^- (УЗ—1). Таким образом, и в этом случае в решение входят только рациональные числа и квадратный радикал, а следовательно, луночку с центральными углами 2ф'«68,5° и 2ф« «205,6й можно построить с помощью циркуля и линейки, и ее площадь будет равна площади прямолинейной фигуры AOBOi А (рис. 84).

При ш=3 и п=2 уравнение (40) имеет вид:

Рис. 84.Рис. 84.илиили73 sin 2а=У2 sin За sin За _ Г з sin 2а V 2 ’

Рис. 84.

Рис. 84.

или

или

После ряда преобразований получим_

8 cos2 2a+2cos 2a—4=0, cos 2a=^^^,

а соответствующие углы секторов приближенно 107,2 и 160,9° (рис. 85).

Если ш = 5 и п=1, то уравнение (40) будет sin 5a.—

—— =^- sin За

Проведя соответствующие преобразования, Клаузен получает в

этом случае cos 2a = * 5+4/5 1, т, е

уравнение (40) разрешается с помощью конечной цепочки квадратных радикалов, а следовательно, разрешимо с помощью циркуля и линейки. Углы секторов в этом случае приближенно равны 46,9 и 234,4°. Площадь луночки ACBDA в этом случае (рис. 86) равна площади прямолинейной фигуры AOBOiA.

. V. Пятый случай: ш=5, п=3.

Тогда уравнение (40) тримет вид:

4cos22a+2cos2a~l2cos2a+l4cos22a+2cos2a~l2cos2a+lsin 5ц sin За

4cos22a+2cos2a~l

2cos2a+l

4cos22a+2cos2a~l

2cos2a+l

4/3 cos2 2а+2 (/3—/5) cos 2а— (75+73) =0. Откуда

•'-2(/з7+57+]/де^/Т++^^^cos 2а —4/3•'-2(/з7+57+]/де^/Т++^^^cos 2а —4/3

•'-2(/з7+57+]/де^/Т++^^^

cos 2а —

4/3

•'-2(/з7+57+]/де^/Т++^^^

cos 2а —

4/3

а углы секторов будут 100,8 и 168°. Площадь луночки в этом случае равна площади прямолинейной фигуры AOBOiA (рис. 87). В заключение своей небольшой по объему статьи Клаузен

отметил, что во всех четырех случаях уравнения (40) имеют только по одному пригодному корню. И, наконец, вслед за Эйлером^ но более решительно высказал важное предположение о том, что «едва ли .найдутся другие соотношения углов секторов, луночки которых могут быть квадрируемы с помощью циркуля и линейки». , -

Эта работа Клаузена сыграла все же положительную роль в истории квадри- рования луночек: результаты ее (в отличие от результатов работ математиков XVIII в., писавших на латинском языке) были широко известны, высказанное предположение Клаузена направило внимание математиков на поиски доказательства того, что, кроме указанных пяти случаев, нет других луночек, квадрируемых с помощью циркуля и линейки.

Результаты исследований Э. Ландау. В начале XX в. для

математиков, знакомых с сущностью проблемы квадратуры круговых замкнутых луночек, было уже ясно, что для ее решения необходимо обращаться за помощью не к геометрии, а к алгеб

ре, теории чисел и к .математическому анализу. Поэтому не приходится удив

ляться тому, что в 1903 г. появилась работа «О квадрируемых луночках» одного из известных специалистов в области теории чисел и теории аналитических функций Э. Ландау (1877 — 1938). Клаузен и другие предшественники Ландау считали, что для квадрируемости круговых замкнутых луночек необходимо, чтобы отношение m : п .было рациональным и чтобы соответствующие сектора, образованные дугами,

Рис. 87.Рис. 87.ограничивающими луночку, были бы равны или чтобы разность их площадей равнялась нулю.

Рис. 87.

Рис. 87.

Ландау решил проверить достаточность последнего требования. С этой целью он полагает, что

г2ф—г'2(р'=С,(41)

где С — алгебраическое число, не равное нулю и содержащее

квадратические иррациональности. Если общая хорда равна фф'

тог sirup=/sirup'=1 и ——— = С.(42)

’Т51П2ф31П2ф'

Пусть «=в!пф и b=sinq/ — тоже алгебраические числа, меньше или равные 1 и содержащие квадратические иррациональности.

ф'm

Полагая теперь, что= — = Р(43)

Фп

— рациональное число, Ландау показывает, что в этом случае С должно равняться нулю. Действительно, из (43) ф'=рф уравнение (42) будет

(43')(43')ФРФ1рс

(43')

(43')

=С или= — .

а2Ь2о2Ь2ф

1 рс

При с^О , —— vQ и ф= —алгебраическое

а2 ь2

число, не равное нулю, так как а, в, с и р — алгебраические числа. Но тогда по теореме Линдемана-Вейерштрасса (см. стр. 185) sirup фолжен быть трансцендентным числом, что противоречит предположению. Следовательно, с=0, и при неравновеликих секторах не может быть квадрируемых круговых замкнутых лу- ’

ночек.

Итак,— =0, откуда р= — , Vp or=b, Ур8Шф=вш рф. а2 Ь2я2

(44)

И задача о квадрировании луночек сводится к ответу на вопрос: при каких значениях р, входящих в (44), sirup и зтрф выражаются через рациональные числа или квадратические иррациональности. Ландау показывает, но это было известно и ранее, что 3-5_

при р=2, 3, ■—■ , 5 и— луночки будут квадрируемы. Для

него было ясно также, что отсюда еще не следует, что нет других значений, удовлетворяющих указанному условию, при которых будут получаться квадрируемые луночки.

Правда, Ландау в этой работе доказал одну достаточно общую теорему: «Если отношение двух центральных углов 2ф и 2ф' является простым числом, не принадлежащим Гауссовым числам 22V +1, то луночка не квадрируема». Но и эта теорема, как видно, не решала вопрос: существуют ли квадрируемые луночки, кроме известных 5 случаев. Неясным оставался и такой

вопрос: будут ли луночки квадрируемы во всех случаях, когда отношение центральных углов 2ф и 2ф' будет простым числом вида 22v+l. На последний вопрос дал отрицательный ответ болгарский математик Чакалов.

Вклад Чакалова в современную теорию квадратуры луночек, В 1929 и 1930 гг. болгарский математик Чакалов опубликовал работы, посвященные квадрированию луночек. Мы остановимся только на результатах его работы «К проблеме квадрирования луночек» [143].

В этой работе Чакалов дал ответ на вопрос, (поставленный в конце предыдущего раздела: он доказал, что при Р=2ф : 2ф'= =22?+1 = 17 луночка не будет квадрируема. Кроме того, он

/ sin m0 преобразовал уравнение квадратуры луночек / I sinn©

с помощью подстановки Гю =х, придав уравнению ясно выраженный алгебраический характер квадрирования:

n (xm—1)2—т (xn— 1) 2хт-п=0.(45)

говорил, что теорема Ландау для Р = 3 и Р=5говорил, что теорема Ландау для Р = 3 и Р=5Уравнение (45) будем называть уравнением Чакалова, Им пользовались Чеботарев и Дороднов. Обозначая центральные углы секторов через 2ф и 2ф' и через Р—простое Гауссово число, рав- Ф ное и — , он Ф'

говорил, что теорема Ландау для Р = 3 и Р=5

говорил, что теорема Ландау для Р = 3 и Р=5

соответствует случаям Гиппократа и Клаузена. Но эта теорема оставляет вопрос открытым для других простых гауссовых чисел, в частности и для Р=17.

Сначала Чакалов доказывает теорему: «Если отношение обоих Ф р

центральных углов ~ — —, где Р — простое не Гауссово

число и п — какое-нибудь число из 1, 2, 3... (Р—1), то соответствующие луночки не .квадрируемы». Предположив, что луночка при этом квадрируема, т. е. 0 удовлетворяет уравнению

(46)(46)sin р0

(46)

(46)

sin п0

а Р и и взаимно-простые, то эта алгебраическая задача сводится к тому, чтобы показать, что sin0 есть число, содержащее рациональные числа и квадратные корни из них.

Полагаяе^=х, у=х2 и z=y—1,

он получает из (46):

Ао/ vp—1/ vn—1

(х2р—1)2= — х2»-4”; п =рур-“' I У

п\ У-1 /' \y—1

=nz 2p-2+a1Z2p-3+ - +a2P-2 = 0,(47)

где ai, a2, ”• , a2P-2 — целые делящиеся «а Р числа, а п<р взаимно-простое с р; кроме того, свободный член a2p-2=np(p—п), делясь да р, не делится на р2. На основании критерия неприводимости Эйзенштейна полином (47) неприводим в области рациональных чисел и степень его не является степенью двойки. Следовательно, уравнение (47) неразрешимо в квадратных радикалах, и теорема доказана. Но из этой теоремы Ландау-Чака- лова еще не следует, что если р — простое Гауссово число, например, р= 17, а п= 1, 2,... 16 ...,- то луночка будет квадрируема. Чакалов и показывает дальше, что прир=17 и п=1, т. е. при

•- <p: q/=17 луночка не будет квадрируемой. Доказательство его громоздкое, и мы не будем его приводить здесь полностью. Укажем только, что, положив р = 17, п=1 и x=2cos20 в уравнении (46), он получает алгебраическое уравнение восьмой степени:

х8+«7—7х6—6х5+ 15х4+10х3—Юх2—4х+1—У 17=0(48)

и показывает, что уравнение, коэффициенты которого принадлежат полю k (V17), неприводимо в к (17) и неразрешимо в квадратных радикалах. Следовательно, верна теорема: «Круговая луночка, для которой (р:<р'=17, не квадрируема циркулем и линейкой».

Но и после работы Чакалова оставался открытым основной вопрос: есть ли,квадрируемые луночки, кроме известных пяти случаев? Окончательный ответ на него дали в 30-х — 40-х годах наши советские математики Н. Г, Чеботарев и А. В. Дородное (см. главу IV).

О популяризации знаменитых задач древностив XIX—XX столетиях

Судьба знаменитых задач древности на всех этапах их истории во многом зависела от состояния разделов математики, необходимых для решения актуальных вопросов теории этих задач, а также от внимания, которое уделяли им математики. После ре-

шения четырех знаменитых задач древности интерес к этим задачам во многих странах заметно усилился, возросло число работ, посвященных истории и теории их. Ограниченный объем книги не позволяет нам изложить и те неполные еще материалы, которые мы имеем для характеристики состояния популяризации знаменитых задач древности в XIX—XX столетиях во Франции, Германки, Италии, Англии, США и Болгарии. Весьма общее представление об этом можно получить, познакомившись со списком работ в конце книги и с названием некоторых статей, вышедших в этих странах и упомянутых в тексте15.

Более полное представление можно составить о популяризации этих задач в нашей стране (см. главу IV).

Интерес к пяти знаменитым задачам древности, как видно, не ослабел и после окончательного решения их в классической постановке. Новые вопросы и новые аспекты рассмотрения этих задач, возникшие после решений Гаусса, Ванцеля, Линдемана, Чеботарева и Дороднова, привлекли и привлекают к себе внимание математиков многих стран, в том числе и русских математиков. Но в последние десятилетия наиболее существенные результаты получены советскими математиками, они стали, действительно, главными творцами новой главы истории пяти знаменитых задач древности. Следующая глава нашей книги и посвящена характеристике результатов работы математиков нашей страны, особенно советских математиков.

Примечания к главе III

Из дальнейшего будет видно, что при доказательстве своих верных теорем Ламберт опирается на одно положение, как на «очевидный факт», хотя это положение должно було быть доказано.

Доказательство указанных лемм и теоремы см. [63].

На связь этого уравнения с задачей деления окружности на равные части обратили, внимание в Начале XVIII ст. Муавр и Котес,, но они не дали общей теории и не выяснили, каким должно быть п, чтобы корни ею строились циркулем и линейкой

4 е17-т^=е17е-т = е-т==|Со84 е17-т^=е17е-т = е-т==|Со8—ш2л\Г—ш2л \

4 е17-т^=е17е-т = е-т==|Со8

4 е17-т^=е17е-т = е-т==|Со8

2тл 2тл=cos — — isin " ’•

Доказательства теоремы теперь проводятся с помощью теоремы Безу и другими способами см. [18].

Рекомендуется определить кривую, которую опишет точка Р и получить ее уравнение, провести доказательство полностью.

Желательно построить:‘.

приборы для вычерчивания конических сечений, квадратри-сы, спиралей, конхоиды, цисои^ы, улитки Паскаля и других кривых, используемых при решении знаменитых задач древности.;

приборы, описание которых дано в настоящей работе, и передать их в математические кабинеты.

Доказать это равенство углов. Можно ли этими инструментами разделить данный угол на любое число равных частей?

Предлагается:'

построить такой трисектор;

доказать, что эти углы действительно будут равны между собой.

'10 Предположив, что LABC=180° и положив ' R=l, показать, что в этом случае значение хорды АТ, полученной указанным способом, отличается от истинного значения (АТ= 1) на величину, меньшую 0,04.

Читателям рекомендуется доказать это.

Рекомендуется доказать справедливость этого способа, воспользовавшись при этом тем, что tga и —ctga являются корнями уравнения:

, х2 + 2х ctg2a — 1=0.

Доказать, что этот метод Биюна дает возможность точно построить стороны правильных треугольника, квадрата, шестиугольника. Какова) ошибка- при п=10?..

Величина центральных углов в градусах указывается в этом случае и в дальнейшем приближенно.

В неполной библиографии работ немецких математиков, посвященных полностью или частично знаменитым задачам древности, переданной нам Лейпцигской библиотекой, указано свыше 200 работ.

А. Марков

Д Мор духам—Бол товской

Н. Чеботарев^

Н. Несторович

А. Смогоржевский

А. Дородное

Г л а в a IV

Знаменитые задачи древностив нашей стране

Досоветский период

В далеком прошлом

Предки народов, населявших нашу страну, в далеком прошлом сталкивались с необходимостью решать многие задачи, в том числе вычислять площади кругов и длины окружностей, делить окружности, углы и дуги окружности на равные части и удваивать объемы кубических тел. При решении этих практических задач они пользовались рецептами, аналогичными рецептам древних египтян, вавилонян и др. (см. I главу).

Восточные славяне, армяне, грузины, предки народов среднеазиатских и прибалтийских республик еще в Древнем мире общались с другими народами.

В средние века предки узбеков, таджиков, туркменов и азербайджанцев наряду с арабами играли ведущую роль в популяризации и развитии некоторых разделов математики, в том числе и знаменитых задач древности (см. II главу). Культура и наука предков русского народа после нашествия татар и монголов сильно отставала от развития культуры западноевропейских народов. Но к XVII в. положение несколько изменилось.

В рукописях XVII в.

Некоторые рукописи, дошедшие до нас из XVII в., говорят о том, что в это время среди русских были люди, знакомые с математической культурой своих предков и западноевропейских народов. Авторы отдельных рукописей рассматривали и некоторые знаменитые задачи древности. Ю. А. Белый и К. И. Швецов описали одну геометрическую рукопись первой четверти XVII в. [8].

Эта рукопись—первое из известных в России систематическое изложение элементов геометрии. Иван Елизаров при составлении этой рукописи использовал ряд математических книг западноевропейских авторов, изданных в XVI и в начале XVII, ст. и использовавших, в свою очередь, «Начала» Евклида и некоторые труды Архимеда. Например, определение круга и его частей дается в духе Евклида. О роли окружности («венца») в рукописи говорится: «Венец всем иным фигурам имеет начало, потому что есть ото всех чисче и мастеровитее и для того подобает быть первым». Далее говорится: «С-торона пятиугольника есть среднее геометрическое между его диагональю и большим отрезком диагонали, образуемым ее пересечением с другой диагональю».

В рукописи приводятся все три теоремы из «Измерения круга» Архимеда. Указывается, что прямоугольники со сторонами

1 лК ■ '

2лК и ~R, "У 11 2R равновелики с кругом радиуса R.

Находится площадь сектора, указывается, что площади кругов относятся, как квадраты их диаметров, а окружности — как радиусы. Решаются задачи: разделить прямой угол на три равные части, построить две средние пропорциональные между двумя данными величинами, разделить окружность на 2, 3, 4, 6 и 8 равных частей. Деление окружности на 7 равных частей рекомендуется произвести раствором циркуля, равным половине стороны вписанного правильного треугольника1. Поставлена задача: построить квадрат, равновеликий данной луночке (из приложенного рисунка в рукописи- видно, что рассматривался случай m : n=2 : 1).

Следовательно, в рукописи речь фактически идет о всех пяти знаменитых задачах древности.

Из рукописей XVII в., описанных В. В. Бобыниным, остановимся только на одной [13]. В этой рукописи содержатся землемерные задачи. Одна из статей в ней" озаглавлена: «Что какое место по округе ведать вдол и поперег». Рассмотрим некоторые задачи, в которых требуется находить площади круглых полей. «Было поле кругом 1488 сажен. И ты скажи: что в том будет четвероугольном сажен и что вереди круга в дол и поперег до околней меры мерою».

Безымянный автор требует в этом случае «учинить четверо- уголно», то есть превратить данное круговое поле в равновеликое ему квадратное поле. Словесный рецепт для решения задачи гласит: «...возми меры, что кругом ево будет сажен и ту окружную меру раздели на 4 части; а четвертым паем таковожь число умножь: столко в том поле четвероугольных сажен будет, единую

сажен не потеряешь». В нашей символике этот рецепт можно записать в виде формулы:

= лR2, откуда л = 4.= лR2, откуда л = 4.2лК.4

= лR2, откуда л = 4.

= лR2, откуда л = 4.

Другой рецепт можно записать (2К)2 = лН2 и тоже л=4. В. В. Бобынин полагает, что весьма неточные рецепты позаимствованы из источников древнего происхождения. В этой же рукописи рассматриваются задачи на вычисление площади круга, где значение л более точное. К одной из них дается такой рецепт решения:

«Где похощешь в такове круге познать дробные сажени, и ты прежде познай, что поперег будет сажен и из того поперечника вычти 8-ю часть, и что затем останется, то стало того круга четвергоуголная стена. И ты сторону стороною умножь, и что во умножении будет столко в том кругу дробных сажен». Переводя это на язык символики, можно записать

/7\2 49 ' о491

— . 2R ) =—К2=лК2=>л- —=3 —=3,0625.

\ 8/161616

В задаче о нахождении длины окружности с диаметром d — = 16 саж. рекомендуется 16 умножить на 22 и разделить нае7, т. е.

16 .2'22лR==50,2 саж., а л = 3,14.

7'

В этой же рукописи содержится рецепт превращения квадрата в равновеликий круг:

«А похощешь то четвероуголное место учинить кругло в цир- кал, чтоб мерою та(ково-ж было, и ты познай прежде что будет мерою накось из угла в угол. Мерою как бы стена 5 сажен. Приложи-ж 2, будет 7 сажен из угла в угол2. И ты ту меру" раздели на 5 частей и пятую часть вон вычти; останется 5 сажен и 3Д сажени, то поперег круга стало...» = > л3,189.

Рассматриваются также стереометрические задачи: найти объем цилиндрической житницы и бочки. При нахождении объема бочки рекомендовалось Сначала превратить ее в цилиндрическую по определенному рецепту, а затем — в «четвероугол- ную бочку».

Представляет интерес и рукопись первого курса лекций в России по философии, читанных Феофаном Прокоповичем в Киевской Академии в 1707—1708 гг.3. За счет устранения из программы отдельных вопросов схоластики Прокопович включил раздел по физике и математике. В 9-й главе рукописи этого 214

курса говорится «О преобразовании фигур одних в другие и об- о'атно, о кривой квадратрисе и о квадратуре круга». Он дает способ построения квадратрисы и применения ее при нахождении площади круга без строгого доказательства; упоминает при этом Динострата и Никомеда. О квадратуре круга Прокопович говорит, что эта задача широко известна среди математиков. Затем он рассматривает задачи о построении круга, равновеликого данному треугольнику, данному квадрату, сумме нескольких данных кругов. В 10-й главе он рассматривает задачи на построение овала, эллипса и спиралей. Лекции Прокоповича е то время, вероятно, играли заметную роль в популяризации теории геометрических построений и задач о квадратуре круга и циркуляторе квадрата.

Рассмотренные рукописи свидетельствуют о том, что в России того времени были люди, проявлявшие интерес и к знаменитым задачам древности.

В математических книгах Петровской эпохи

Л. Ф. Магницкий (1669—1739) —преподаватель Математико- Навигацкой школы, созданной в Петербурге по указанию Петра I в 1701 г. для «ради обучения мудролюбивых Российских отроков и всякого чина и возраста людей», издал в 1703 г. «Арифметику», [66], которую М. В. Ломоносов назвал «вратами в науку». Эта книга содержит не только вопросы арифметики, но и алгебры, тригонометрии, навигации и геометрии.

. Вторая часть книги «Арифметика» названа. «О геометрических чрез арифметику действуемых». Здесь указывается, как вычислять площадь круга, длину окружности, хорду круга-и др. При этом он говорит: «В колесах же пропорция архимедова диаметра ко окружности как 7 к 22». ,

Вот его рецепт для нахождения площади круга («суперфи- шш») по данному диаметру: «Если дан диаметр и нужно найти суперфицию, то умножь циркумференцию или окружение через диаметр, и произведение раздели через 4. И по разделению придет суперфиция».

«Арифметика» Магницкого долгое время была основной учебной книгой, с помощью которой русские юноши приобщались к основам математики и к некоторым знаменитым задачам Древности.

В 1708 г. появился первый учебник по геометрии на русском языке. Это был перевод книги А. Пюркенштейна, вышедшей в Зене в 1686 г. Переводчик назвал ее «Геометриа 1славенски зем- лемерие» и дал подзаголовок «Приемы циркуля и линейки или

избраннейшее начало во математических искусствах им же возможно легким и новым способом вскоре доступити землемерия и иных из оного происходящих искусств».

В 1709 г. она была переиздана с дополнением отдела «О превращении фигур плоских во иные такого же содержания» и главы о построении солнечных часов, написанной Петром I. В 1714 г. была издана в Петербурге «Геометриа практика» (четыре главы ) как дополнение к указанной книге. В 1725 г. появилось в России 3-е издание книги Пюркенштейна с добавлениями.

В этой книге уделено много внимания основным геометрическим понятиям и фактам, преобразованию плоских Фигур в равновеликие им, указаны приближенные способы деления окружности на п равных частей, даны способы вычисления площадей различных фигур, в частности сегмента и сектора круга.

И хотя во всех этих книгах, вышедших в России до открытия Петербургской Академии наук, нет еще строгих доказательств, нет выделения знаменитых задач древности в особый раздел и они даже так не называются, все же появление в России печатных учебников, в которых некоторые из знаменитых задач древности рассматривались уже как геометрические задачи, указывало о переходе этих задач и в России из числа сугубо практических в число геометрических, конструктивных задач.

Указанные выше рукописи и книги свидетельствуют также, что в России XVII и начала XVIII столетий увеличилось число людей, знакомых с математикой, в том числе и со знаменитыми задачами древности. И хотя в России еще не появились в то время оригинальные исследования теории этих задач, но в деле популяризации этих задач были сделаны важные шаги.

В XVIII столетии

После открытия Петербургской Академии наук (1725 г.) в России уделяли внимание знаменитым задачам древности, пожалуй, не -меньше, чем во многих западноевропейских странах. Большая роль в этом принадлежала математикам, приглашенным на работу в Петербургскую Академию наук: Гольдбаху^ Крафту, Д. Бернулли, особенно Л. Эйлеру и их русским ученикам. Во П главе указывалось уж? какой заметный вклад в теорию знаменитых задач древности внесли Эйлер, Д. Бернулли и. Крафт. Их труды [148, 119, 120; 129, 130, 131] служили эффективным средством популяризации этих задач.

Но популяризации знаменитых задач древности в России того периода способствовали также статьи, учебники и лекции, в которых излагалась история и теория этих задач.

■ В 1729 г. Г. Крафт опубликовал большую статью «О квадратуре круга, трисекции угла и удвоении куба» в «Приложении» к газете «Санктпетербургские ведомости» (№ 53, 57, 65—67, 69), издававшейся Академией наук. Это «Приложение»-журнал «Исторические, генеалогические и географические примечания в ведомостях». пользовался популярностью у сравнительно большой части русских читателей, и, следовательно, статья Крафта сыграла заметную роль в ознакомлении русских с тремя знаменитыми задачами древности. Крафт указывает, что эти задачи с помощью циркуля и линейки еще не решены. «Но если бы, — говорит он, — удалось найти квадратуру круга, то это имело бы большое научное-значение для геометрии и астрономии... В геометрии каждое изыскание многим другим помощь дает, и такие изыскания никогда так не чинятся, чтобы от оных другие пользы не происходили».

Он не утверждает, что решение этих задач невозможно циркулем и линейкой; но если бы удалось доказать, что в такой постановке решение их невозможно, то это имело бы не меньшее значение, чем положительное решение, «ибо в таких вещах почти все равно хотят предложенное решить, или невозможность решения доказать». Крафт говорит и о том, что занятия рассматриваемыми задачами, если они и не дают окончательного решения их, далеко не всегда являются бесполезными, ибо в науке часто открывают не то, что-искали, а то, что узнали «попутно». Точку зрения Крафта на три указанные задачи, по-видимо.му, разделяли и другие математики, работавшие в то время в Петербургской Академии наук. .-,

Вероятно, не без участия академических математиков решено было осуществить и первый перевод на русский язык «Начал» Евклида в переработке бельгийского математика А. Токэ (1654). Эта книга содержала много материала, связанного с измерением площадей и объемов. Токэ при переработке опустил некоторые трудные для понимания части' «Начал», но зато присоединил к этой книге-переделку ряда теорем Архимеда из сочинений «Об измерении круга» и «О шаре и цилиндре». В частности, здесь рассматриваются и приближенные значения отношения окружности к диаметру. ,

Первая часть этой переработки Токэ в переводе И. Струева вышла в России в 1739 г., а в 1745 г. вышла и вторая часть: «Архимедовы теоремы Андреем Таккветом езуитом выбранные и Г. П. Домке сокращенные, с латинского на русский язык хирур- гиусом Иваном Сатаровым преложенные»...

’ В 1740 г. для учащихся гимназии был издан на немецком языке учебник по геометрии, автором которого являлся Г. В.

Крафт. В 1748 г. эта книга была переведена на русский язык и издана в Петербурге под названием «Краткое руководство к теоретической геометрии в пользу учащегося в гимназии при императорской Академии наук Российского юношества, сочинено той же Академии наук членом Георгом Крафтом и переведено с немецкого языка переводчиком Иваном Голубцевым». В 1764 г. вышло 2-е издание этой геометрии.

По этой книге изучали элементарную геометрию многие русские юноши. В ней содержались не только определения и теоремы, но и доказательства последних. Из этой книги читатели узнавали кое-что и о знаменитых задачах древности. Здесь доказывается, например, что отношение длин окружностей равно отношению их радиусов и отношение площадей кругов равно отио- , шению квадратов их радиусов (или диаметров); находятся площади секторов и сегментов круга. Отношение диаметра к окружности принимается равным 113/355. .

Полагая диаметр равным ИЗ и окружность 355, Крафт рассматривает отношение площади квадрата, построенного на диаметре, к площади круга, и находит его равным

/113 \2 355

(ИЗ)2: .—.=452:355.

\ 2 / 113

Крафт приводит и теорему, принадлежащую Архимеду: «Площадь круга равна площади треугольника, которого основание есть окружность круга, а высота помянутого круга радиус». Доказательство этой теоремы дано в духе Кеплера [52]. Автор рассказывает здесь и о «Задаче делийской» — об удвоении куба, о легенде, связанной с ее возникновением, а также о построении куба, который был бы «втрое, вчетверо или в несколько раз более данного». Он указывает при этом, что корень квадратный из числа можно представить в виде отрезка ’прямой, который • можно построить циркулем и линейкой; корень кубичный из 2 тоже может быть представлен в виде прямолинейного отрезка, но построить этот отрезок с помощью прямой и цирцуля невозможно»... потребно к сему особливая кривая линия, а не круг, и того ради сия задача надлежит вышшей геометрии».

Некоторые преподаватели математики средних и высших школ на уроках и лекциях знакомили своих слушателей с постановкой этих задач и с характером трудностей, связанных с решением их. Эйлер своим ученикам (Котельникову, Волкову, Сафронову и др.) давал темы работ, связанные с квадратурой кривых, в том числе и круга. Таким образом, число русских, знакомых со знаменитыми задачами древности в XVIII в., становилось все больше. Отдельные русские читатели, знакомые с

«вышшей геометрией» и знавшие латинский и другие иностранные языки, могли знакомиться с историей знаменитых задач древности и по специальным работам зарубежных авторов [5, 37, 35, 61, 63, 102, 119, 120] и др. Особенно велика заслуга математиков, работавших в XVIII в. в Петербургской Академии наук, в разработке теории квадратуры замкнутых и открытых , луночек. .

Д. Бернулли впервые основным условием квадратуры круговых замкнутых луночек стал считать равенство секторов и дал свой метод квадратуры некоторых луночек (см. II главу). Л. Эйлер, исходя из равенства секторов, получил условие квад- mп

рируемости круговых замкнутых луночек sin2m- = —— , где тип — центральные углы дуг, ограничивающих луночки, перевел решение этой задачи на язык алгебры и получил квадратуры этих луночек; он рассмотрел 9 круговых луночек, показав, что из них циркулем и линейкой квадрируются только 5 (см. II главу).':■

Гольдбах еще до переезда в Россию вел оживленную переписку с Н. и Д. Бернулли о квадратуре луночек. Интерес к этой теме сохранился у них и после переезда на работу в Петербург. Внимание всех этих математиков, в том числе Крафта и Эйлера, привлекла задача Гольдбаха, относящаяся к открытым круговым луночкам: «Найти две луночки из двух пересекающихся между собой окружностей и выделить из этих луночек равные части так, чтобы отрезки прямых, отделяющие эти части, были равны между собой». Решение в частном случае нашел сам Гольдбах, общие решения нашли Д. Бернулли (геометрическое), Л. Эйлер (алгебраичеокое) и Г. Крафт с помощью интегрального исчисления. Отправляясь от решения этой задачи, указанные математики обогатили теорию квадратуры круговых открытых луночек, а Г. Крафт считается основоположником общей теории квадратуры этих луночек. Благодаря их трудам Петербургская Академия наук в XVIII в. играла ведущую роль в разработке теории квадратуры круговых замкнутых и открытых луночек.-

'В XIX столетии

Развитие математики XIX и в начале XX ст. в России характеризовалось тем, что ученики и последователи Л. Эйлера пропагандировали и развивали многие идеи своего учителя. В этот период жили и творили отдельные выдающиеся и гениальные русские математики, внесшие большой вклад в развитие ми-

ровой науки: Н. И. Лобачевский, М. В. Остроградский, П. Л. Чебышев, В. Я. Буняковский, О. И. Сомов, С. В. Ковалевская, А. А. Марков, К. В. Поссе, Д, А. Граве, Н. Е. Жуковский и др.

В это. время значительно увеличилось число русских мате- ■ матиков, проявлявших интерес и к знаменитым задачам древности. Ряд русских математиков внесли свою лепту в разработку новых методов и способов точного и приближенного реше- - ния этих задач. Многие русские ученые сыграли заметную роль в улучшении доказательств решения задачи о квадратуре кр)- га и в популяризации этих задач. Результатом этого в конце XIX и в начале XX столетий в разных городах России явилось большое количество статей, книг и брошюр, посвященных зна

менитым задачам древности. •

Остановимся только на некоторых фактах. Н. И. Лобачевский и П. Л. Чебышев, не занимаясь специально теорией знаменитых задач древности, были сами знакомы и знакомили с ними своих учеников. М. В. Остроградский и О. И. Сомов оставили свидетельства их глубокого понимания сущности этих задач. М. В. Остроградский, например, при рецензировании вступительной лекции капитана Клейгельса обратил внимание и на т-у часть лекции, где говорилось: «Архимед нашел, что отношение

10 А

окружности к диаметру заключается между 3 — и 3 —_. Сле

довательно, примем ли то или другое выражение, у нас ошибка будет одинакова. Вообще из этих двух принято первое, как 22

удобнейшее... Итак, — есть настоящее выражение величины, названной буквою л. По простоте своей оно предпочитается всем прочим, хотя есть и другие, более точные». Перечеркнув все это, М. В. Остроградский написал: «Здесь ошибка на каждом -сло- ' Т,10А 10

ве. Во-первых, если бы неточность выражений 3 — и 3 — была одинакова, то их полусумма представила бы истинное отношение окружности к диаметру, то "есть трансцендентное чис’22

ло л выразилось бы рациональным образом. Далее -у было

сперва приближенным отношением окружности к диаметру, потом настоящим, наконец, опять приближенным, ибо. сказано, что есть и другие более точные». ■ '

М. В. Остроградский и В. Я. Буняковский, рецензируя работы О. И. Сомова, где говорилось о спрямлении эллипса, писали, что эта задача имеет и практическое значение, а «знаменитая.

задача квадратуры круга и спрямление круга есть только частный случай вопроса о спрямлении эллипса». Когда же Сомову потребовалось построить прямолинейный отрезок, равный л, то он воспользовался методом Коханского (см. стр. 78).

С. В. Ковалевская познакомилась с квадратурой круга еще в детстве. Вспоминая о своих беседах по математике с любимым дядей П. В. Корвин-Круковским, она писала: «От него я услышала, например, в первый раз о квадратуре круга, об асимптотах, к которым кривая постоянно приближается, никогда их не достигая, и о многих других вещах подобного же рода, — смысла которых я, разумеется, понять не могла,, но которые действовали на мою фантазию, внушая мне благоговение к математике, как к науке высшей и таинственной, открывающей перед посвященными в нее чудесный мир, недоступный простым смертным». Ее учитель И. И. Малевич в одном из своих воспоминаний о С. В. Ковалевской писал: «...Когда дошли мы в геометрии до отношения окружности к диаметру, ученица моя, излагая данное при следующем уроке, к удивлению моему, пришла совсем другим «путем» и особенными комбинациями к тому же самому...».

Н. Е. Жуковский, со;здавая теорию обтекания крыла самолета воздухом, обращался к помощи и «гиппократовых луночек», рассматривал их как один из возможных контуров поперечного сечения крыла.

Проявление интереса нашими выдающимися ' математиками к знаменитым задачам древности и подчеркивание важности знакомства с их теорией привлекало к этим задачам внимание широких слоев русских . математиков, студентов и любителей математики.

Учитель М. В. Остроградского по Харьковскому университету Т. Ф. Осиповский в (разделе «Геометрия» своего «Курса математики» -рассматривал вопросы о квадратуре круга, конических сечениях и их приложениях, о циссоиде Диоклеса, спирали Архимеда и др. Ф. И. Петрушевский в 1823 г. перевел на русский язык и издал сочинения Архимеда: «Две книги о шаре и цилиндре», «Измерение круга» и «Леммы».

- Член-корреспондент Академии наук Н. Навроцкий, проявлявший интерес к истории математики, в двух своих книгах «О геометрическом решении уравнений высших степеней посредством кривой линии, называемой конхоидой...» (1827 г.) и «О спрямлении окружности» (1835 г.) рассказывает о применении конхоиды к решению задачи об удвоении куба и о легенде, связанной с .происхождением этой задачи. Он касается истории задачи о квадратуре круга, которая «более 2-х тысячелетий была пред-

метом усилия математических умов всех веков и народов». Указав, что отношение окружности к диаметру есть величина «несоизмеримая», за доказательством этого он отсылает читателей к книге «Монтюкла» [140]. Он рекомендовал заниматься поисками «новых способов приближенного решения этой задачи».

Более интенсивно работа по популяризации знаменитых задач древности в России развертывается с 60-х годов XIX столетия. В 1865 г. генерал-майор Полуэктов издал в Петербурге брошюру «Разделение углов на три равные части». Он ничего не говорит о невозможности решения этой задачи циркулем и линейкой и предлагает три способа деления угла на три части.

В книге Аничкова «Теоретическая и практическая геометрия» (1870) рассматривалась, в частности, задача о делении окружности на п равных частей при некоторых значениях п.

В 1883 г. была переведена на русский язык известная книга Шаля «Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов», где отводится много места и знаменитым задачам древности. В том же году вышла в свет первая часть «Истории математики» М. М. Ващенко-Захарченко, где рассматриваются знаменитые задачи древности.

Особенно большую роль сыграли работы А. А. Маркова и К. А. Поссе. А. А. Марков начал писать свою большую работу «Доказательство трансцендентности чисел е и л (невозможности квадратуры круга)» [69] вслед за появлением работы Линдемана [137] и издал ее в 1883 г. Автор стаТвил задачу «ознакомление русских "математиков с исследованиями Эрмита и Линдемана» в этой области. Но работа сыграла и другую важную роль — в ней дано более доступное доказательство теоремы: каковы бы ни были алгебраические числа «1, а2, — , ап и Аь А2, , Ап, где А^О, равенство нулю суммы Ate ‘ 2 +... +Апе невозможно. Он подчеркивает, что квадратура круга невозможна не только циркулем и линейкой, но и с помощью любой алгебраической кривой.

В этой же работе, по-видимому, впервые в России, указывается и на то, что «после работы Ванцеля .можно считать доказанной невозможность трисекции углов вообще и в частности невозможность трисекции угла в 60°».

Реакцией на появление работ Гильберта [126], Гурвица [127] и Гордана [123] была публикация в 1894 г. статьи К. А. Поссе «О трансцендентности чисел 1 и л» [83]. Он тоже видел цель этой статьи в том, чтобы «сделать усвоение столь важных результатов доступными большему кругу читателей». Используя результаты Гурвица и Гордана, Поссе дал более простое доказательство трансцендентности 1 и л.

Казанские математики А. В. Васильев, Д. М. Синцов и Н. И. Парфентьев в 1898 г. перевели на русский язык и издали «Лекции по избранным вопросам элементарной геометрии» Ф. Клейна с приложением мемуара Ванцеля [53], f^e в основном речь идет об истории и теории знаменитых задач .древности. Работы Маркова и Поссе и перевод указанных работ Клейна и Ванцеля позволили многим русским математикам и студентам познакомиться с современной теорией трех знаменитых задач древности.

Д. А. Граве популяризировал результаты работы Гаусса по теории деления круга на равные части. В статье «Гаусс» (Энц. слов. Брокл и Ефр. т. VIII, 1892) Граве, говоря о «Знаменитом трактате по теории чисел» Гаусса указывает, что он «содержит также прекрасную теорию двучленных уравнений, показывающую, между прочим, что можно при помощи циркуля и линейки вписать в круг правильный 17-угольник». Положительную роль сыграла и книга Граве «Энциклопедия математики (очерк ее современного положения)» 1912 г., где первая глава под названием «Невозможные задачи и их роль в математике» посвящена и знаменитым задачам древности. Он показывает их идейную сторону, т. е., если'идти правильным путем в решении этих задач, мы неизбежно придем к выводу, что решить их циркулем и линейкой невозможно». Он подчеркивает в частности, •что «задача квадратуры круга была первой задачей, вызвавшей к жизни начала интегрального исчисления».

Заметную роль в популяризации математических знаний в России того' времени сыграл научно-популярный «Журнал элементарной математики», переименованный затем в «Вестник опытной физики и элементарной математики» (с 1884 по 191>гг.). В нем принимали участие и видные русские -математики и учителя математики, публиковались отдельные статьи, посвященные истории и теории знаменитых задач древности. Например, в одном из номеров его С. О. Шатуновский изложил в популярной форме общие вопросы разрешимости конструктивных задач, в № 233 (1896) рассмотрел «Доказательства существования трансцендентных чисел». В. Ф. Каган опубликовал в этом журнале «Краткий очерк истории квадратуры круга» и «Новое доказательство трансцендентности чисел е и л (доказательство Валена)» [48]. А. Певцов в № 277 дал «Построение л с точностью до ~ » [82]. Аналогичную статью опубликовал

и А. Ефимов в № 296. .

О знаменитых задачах древности говорилось и во многих учебниках того времени. Билибин в 1886 г. в учебнике элемен-

тарной геометрии для гимназий и реальных училищ доказывает теорему об иррациональности числа л и пишет: «В новейшее время строго доказано, что число л не представляет корня какого ни есть алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами или, как говорят, число л есть число трансцендентное».

Большую роль в приобщении русских математиков и студентов к истории и теории знаменитых задач древности сыграли переводные книги, содержащие эти задачи: Вебер и Вельштейн «Энциклопедия элементарной математики» [22], Адлер «Теория геометрических построений» [2], сборник классических произведений «О квадратуре круга» со статьей Ф. Рудио [80], Ф. Кэ- джори «История элементарной математики с указаниями на методы преподавания» [60], вступительная статья А. В. Васильева ■к переводу «Начал анализа бесконечно-малых в элементарном изложении» Папелье и др. Интересные сведения из истории знаменитых задач древности в России читатель узнавал из работ В. В. Бобынина [13]. В учебнике Д. Гика «Элементы геометрий» (3-е изд., 1900 г.) рассматриваются задачи на построение правильных многоугольников и теорема о гиппократовых луночках, которая сформулирована так: «Сумма гиппократовых луночек, соответствующих двум катетам прямоугольного треугольника, 'равна площади этого треугольника».

Все указанные выше работы и даже брошюрки дилетантов свидетельствовали р все увеличивающемся числе русских математиков и любителей математики, проявлявших интерес к'знаменитым задачам древности. А это является одним из необходимых условий участия математиков этой страны в решении и некоторых вопросов теории знаменитых задач древности.

Многие русские ученые и инженеры внесли свой вклад в разработку новых методов в решении знаменитых задач древности. Мы назовем здесь только некоторые из этих результатов. Навроц‘кий в указанной выше работе предложил следующий метод приближенного спрямления окружности. Даны: радиус R, АВ и CD — взаимно перпендикулярные диаметры, AS = R, TZ=3R (рис. 88). Утверждается: ZD=nR4.

Буняковский в 1840, г. опубликовал работу «О правильных многоугольниках, вписанных и описанных около круга» [17]. Здесь он доказал, что не существует правильных вписанных многоугольников, кроме шестиугольника, и описанных многоугольников, кроме квадрата, стороны (периметры) которых соизмеримы с радиусом данного круга.

Инженер Бинг дал простой способ приближенного построения стороны квадрата, равновеликого данному кругу, известный 224

Рис. 88,Рис. 88,1^_« 0.886. 21^_« 0.886. 2

Рис. 88,

Рис. 88,

1^_« 0.886. 2

1^_« 0.886. 2

под названием «треугольник ринга». Пусть треугольник АСВ вписан в полукруг с радиусом R (рис. 89). Величина катета АС зависит от угла САВ=а (от положения С rfa окружности). Очевидно, существует такое значение а, когда АС2=лВ2. Приближенное значение а можно определить так:

АС2= (2R)2 cos2a « лВ2=> cos a=

По таблице находим а«27°36', пригодное для практических целей.

Инженер Абданк Абаканович изобрел интеграф, дающий возможность точного построения графика функции Х= arc sin у, а следовательно, построения отрезка прямой, равного л [53].

О. Й. Сомов в статье «Общий способ приближенного спрямления ‘кривых линий» [90], рассматривая

сравнительно малые дуги кривых

AS, в том числе и дуги окружности, доказал теорему: «Длина дуги равняется четырем третям хорды без одной шестой суммы проекций этой хорды на крайних касательных».

AS = — W-(«+a/).(1)

3.6

Если кривая — окружность, то а-\-а' — хорда двойной душ, и если А — хорда данной дуги, В — хорда половины этой дуги, то дуга

■(2)

22522515 С. Е. Белозеров

225

225

При Д8=20° и R=1b таблицах А=0,3472964 и В—0,1743114 и по (2). имеем Д5=0,3490649. Точная же величина этой дуги

1

0,34906585, т. е. ошибка менее —.

105

А. Орлов в книге «Руководство „к геометрическому линейному черчению», [81] рассматривает деление угла на три равные части. Он предложил для этого такой способ.

а

Известно, что =а+а2+а3+^4+ '"(1а1<1).

1 — а

Положив а= — ■, получим числовой ряд'

111'01

—11L -

344.4 t4 . 4 . 4

Если дана дуга (угол) mn, то будем делить ее пополам, половину опять пополам, половину половины дуги еще пополам и т. д., будем иметь

v 1 v 1 vv / i i "

— mn4mn+-— mn+" =mn{1h

4 .4243\ 442

H1- *" j = — mn.

43/3

JH. В. Бугаев в книге «Способ последовательных приближений» [16] дал метод, который советские математики использовали (см. стр. 230 и 239) для спрямления дуги окружности, для превращения прямолинейного отрезка в дугу окружности и для деления угла на три равные части с любой степенью точности.

В предреволюционные годы в журнале «Математическое образование» были опубликованы статьи Ф. Гусева «О вычислений числа л» [34], П. Долгушина «Определение длины дуги кривой», А. К. Власова «Квадратура круга и циржулятура квадрата» [26], в которой даны тоже новые способы решения указанной задачи. Академик Е. С. Федоров в 1910 г. в статье «О делении окружности на равные части лучами из одного центра» [91J

дал более точный, чем у Биона (см Ш главу), способ приближенного деления окружности на равные части.

Бион определял положение точки С на продолжении диаметра В'А' как вершину правильного треугольника, построенного на диаметре АВ. Федоров же положение точки С' на продолжении А'В' определил как точку пересечения В'А'' и D'C' (рис. 90), проходящей через середину радиуса ОВ и сер.едину дуги В'В. Тот и другой, разделив диаметр на п равных частей, затем проводили С (С') М через второе деление слева и тогда' хорда AF (AF') = ап.

Советский период

Коренные изменения условий„развития науки, в нашей стране после Октябрьской революции вскоре сказались и на развитии математики: советская математическая школа уже в 30-х годах оказалась в одном ряду с лучшими математическими школами других стран, а затем в некоторых разделах современной математики начала занимать и ведущее место.

Разработка теории и истории знаменитых задач древности — это маленький и, конечно, далеко не главный участок большоге математического фронта, на котором работала и работает все увеличивающаяся армия советских математике®. Но отрадно то, что и этот участок фронта оказался не забытым советскими„уче- ' ными. Они проделали заметную работу по популяризации исто- * рии и теории этих задач среди молодежи и любителей математики, сделали большой вклад в развитие теорйи знаменитых задач древности и внесли тем самым свою лепту, в-решение большой и сложной задачи, стоящей перед советскими математиками: догнать и превзойти науку капиталистических стран. В наше время невозможно написать научную историю знаменитых задач древности без анализа и должной оценки важных результатов работы русских и особенно советских математиков в этой области науки.

Популяризация знаменитых задач древности в Советском Союзе '

По мере того как в Советской России росло число лиц, приобщавшихся к математике, ощущался большой недостаток в учебной и научно-популярной литературе по математике и 'по истории математики. Усилился интерес к истории и к некоторым вопросам теории знаменитых з'адач древности. Этот интерес поддерживался на всех этапах развития советской науки и культуры. Свидетельством этого являются книги и статьи советских ученых, а также книги зарубежных авторов, переведенные на русский язык, содержащие элементы истории и теории этих задач.

Одной из первых книг такого рода была книга В. И. Лебедева «Знаменитые геометрические задачи древности» (1920 г.), предназначенная автором «юному любителю математики» и «пытливому учителю». Подчеркивая большую роль знаменитых задач древности, их истории и общей истории математики, В. И. Лебедев писал: «История дает возможность понять душу науки, вливая в нее жизнь и глубоко вскрывая ее сущность... История побуждает к творчеству и уже потому имеет огромную ценность для общего образования».

Вслед за ней появились книги Г. Н. Попова, С? Ф. Дашкевича, С. А. Богомолова, статьи Н. М. Несторовича и Б. С. Э., перевод книги А. Адлера и .др.

'Более интенсивно популяризация, этих задач проводилась в 30-е предвоенные годы. Особенно много книг, содержащих элементы истории и теории этих задач, было переведено в эти годы на русский язык (Вилейтнер, Цейтен, Декарт, Кеплер, Клейн, Адлер, сб. «О квадратуре круга» и др.).

х Большую роль в популяризации рассматриваемых задач в нашей стране сыграли и работы советских математиков: Н. Г. Чеботарева, Н, Ф^Четверухина, А. О. Гельфонда, Д. Д. Морду- хай-Болтовского и других, — содержащие важные результаты для современной теории этих задач. Из библиографии видно, что за последние двадцать пять лет литература^ игравшая роль в популяризации знаменитых задач древности, пополнилась многими книгами и статьями.

В послевоенные годы популяризация знаменитых задач древности в нашей стране заметно усилилась. Это видно и из того, что в этот период были переведены на русский язык работы Евклида^ Архимеда, Гаусса, Абул-л-Вафа, ал-Бируни, бану- Муса, О. Хайяма, Дж. Каши, Ван дер-Вардена, Куранта и Робинса. Стройка, Бурбаки и других, содержащие элементы

истории и теории этих задач. Появилась большое количество книг и статей советских авторов, в которых излагалась история и теория некоторых из этих задач. О широком размахе популяризации знаменитых задач древности в Советском Союзе говорит и тот факт, что сведения об этих задачах включались и в некоторые учебники, энциклопедии, в научно-популярные и молодежные журналы. Например, в самое последнее время в журнале «Наука и жизнь» (№ 10 и 11 за 1971 г.) и в журнале «Квант» (№ 5 за 1971 г. и № 1 за 1972 г.) опубликованы статьи о числе л, о круговых луночках и о делении окружности на равные части. Заметно увеличилось число авторов, пишущих об этих задачах. Огромный тираж такой научно-популярной книги, как «Три знаменитые задачи древности» В. Д. Чистякова, и многократное издание книги А. Г. Школьника «Задача деления круга» (пособие для учителей) тоже говорят о большом интересе у народа нашей страны к истории математики и особенно к истории и теории знаменитых задач древности5.

История знаменитых задач древности •в трудах советских математиков .

Перед советскими математиками и историками математики стояла и стоит задача — создание научной истории математики: общей, отдельных стран и отдельных ветвей математики.

Опираясь на глубокое изучение исторических фактов и на марксистско - ленинскую философию, советские ученые многое уже сделали в решении этой проблемы и заняли ведущее место в создании научной истории математики.

По истории знаменитых задач древности написано много книг и статей, начиная от Евдема и до наших дней [5, 48, 80, 96, 140 и др.]. Некоторые советские математики внесли уточнения в известные факты из истории этих задач [39], другие обнародовали неизвестные нам до того факты [1, 3, 6, 51, 105 и др.]. Все это важно для истории знаменитых задач древности.

Используя факты и имеющиеся работы по истории этих задач, советские ученые приступили к созданию научной истории знаменитых задач древности.

Нами были предприняты попытки решения некоторых вопро- , сов, имеющих важное значение при создании такой истории, которая бы «правильно и точно отображала процесс развития» теории этих задач. С этой целью решено рассматривать историю не трех, а пяти задач. Мы рассмотрели вопросы о происхождении, стимулах, основных этапах развития теории знаменитых задач

древности. Впервые проанализирован вклад ученых нашей стра- . ны в теорию, популяризацию и историю этих-задач.

Результаты этой работы частично отражены и в докладе автора «Из истории, знаменитых задач древности» на 6-м международном конгрессе математиков, и особенно .в данной книге6- Но работа по созданию научной истории знаменитых задач древности еще не закончена.

Вклад советских математиковв современную теориюзнаменитых задач древности

При характеристике роли советских математиков в истории . знаменитых задач древности особенно важно проследить, кто из них и какой вклад внес в современную теорию знаменитых задач древности. Советские математики, как будет видно из дальнейшего, добились заметных успехов в разработке теории всех пяти интересующих нас задач-и заняли в этом ведущую роль. Наиболее существенные результаты их исследования относятся к теории луночек. Но мы начнем с задачи о квадратуре круга.

Квадратура круга

Как видно из предыдущего, задача о квадратуре кр"уга привлекала к себе особое.внимание математиков и любителей математики. Не обошли ее стороной и математики нашей страны. Н. Ф. Четверухин (р. 1891 г.) в своей книге «Геометрические построения и приближения» [95] показал возможность широкого использования метода последовательных приближений для решения конструктивных задач, в том числе й задач о спрямлении окружности, о сгибании прямой в окружность и об удвоении куба. При этом он использовал и некоторые результаты Эйлера и Н. В. Бугаева [16] о применении алгоритмов при нахождении корней уравнений

f (х) =aoxn+aiXn-1 + ... +an-i х+йп=0, к которым сводятся конструктивные задачи.

Здесь же мы рассмотрим решение задачи о сгибании отрез- _ ка прямой в дугу окружности с данным центральный углом способом, примененным Н. Ф. Четверухиным в указанной книге.

Если искомая дуга равна отрезку прямой СВ0=х, а радиус дуги R=l, то величина соответствующего центрального угла тоже равна х. Построим угол DCB0= — (рис. 91). Прове-

дем биссектрису этого угла CBt и опустим на нее перпендикуляр из В. Тогда

CB2=xcos— cos —* 2223CB2=xcos— cos —* 2223CBi=x cos — .Биссектриса угла—, 2222

CB2=xcos— cos —* 2223

CB2=xcos— cos —* 2223

Продолжая деление углов пополам, будем иметь для биссектрисы

XXX

CBn=x cos—-cos —•** cos.

22.232n+i

Пусть точка D—предельная точка последовательности точек Во, Bi, ••• Вп.

Тогда CD=xcos —cos 2223—

Из формулы Эйлера для разложения sin х в бесконечное произведение, т. е.

ххх

sin х=х coscos — -cos, 22223

следует, что

= 2si*n — = CD.2

Следовательно, CD есть хорда искомой дуги окружности,- Взя*в теперь центральный угол COD=2Z_DCB0, опишем из точки О радиусом OD искомую дугу, длина которой может быть сколь угодно близка к данному отрезку СВ0.

Так решается задача, обратная спрямлению дуги окружности, или квадратуры круга.

В создании теории трансцендентных чисел, являющейся развитием идей Эрмита и Линдемана, советские математики А. О. Гельфонд, Д. Д, Мордухай-Болтовской, Р. О. Кузьмин, А. Б. Шидловский и другие сыграли решающую роль, что видно из монографии [29] ииз обзорных статей в сборниках «Математика в СССР за 30» и «... за 50 лет», а также из [47]. Ими изучены свойства различных трансцендентных чисел вида а ь решена 7-я проблема Гильберта. Их идёи получили развитие в трудах советских и зарубежных ученых.

В 1953 г. в «Успехах математических наук» была опубликована большая статья А. М. и И. М. Яглом «Элементарный вывод формул Валлиса, Лейбница и Эйлера для числа л» [106].

Авторы указывают действительно сравнительно простой способ получения формулы Валлиса: л _ 22446

™ —‘ "Г ' Т"" ~5* '' 7

(см. стр. 84—86), формулы Лейбница

~ =1?—к—L + —(см. стр. 86).

43’57

и формулы Эйлера -^- = 1 + "^ + "^ + "^ + — (см- СТР- 92) •

Мы здесь остановимся только на выводе формулы Эйлера7.

Авторы отправляются при этом от формул Муавра и Ньютона:

(cosa+i sina)” = cos na-j-i sin na=cosna+i c'ncos^'asina— —c2ncosn~2 sin2a—i‘c3nicosn-3asin3a + —(3)

Сравнивая мнимые части (3), получим\

sin no—c^cos”'-1 a sina—c3ncosn-3a sin3a+ +c5n'cosn“5a sin5a— —(4)

или

sinna=sinna[cIactgn-1a—c3n ctgn-3a+c5n ctg“-5a— ••] . (5)

Считая n—2m+l нечетным, a a— — = ——— , где k= n 2m + 1

— 1, 2, ..., имеем sinna=0, sina#0. Тогда из (5) следует, что множитель в скобке должен быть равен нулю, т. е.

C^m+fCtg2”^—C32m+lCtg2m~2a+C52m+lCtg2m_4a— ••• =0.(6)

Бели взять теперь уравнение

С*2Й + 1 хш—С32т+1 Хт-1+с52Ш+1 Хш~2— “ =Ю,/(7)

то из предыдущего следует, что корнями его будут

Xk=ctg2— =ctg2 ——— , k=.l, 2, — ,m.(8)

n2m + 1

Выразив сумму корней (7) через его коэффициенты, получим

л ,„ 2л ,„ тл Сп3 (п — 1) (п — 2)

ctg2bctg2Ь ••• +ctg2 — = —- — (9>

ППП Сп6

- Но так как ctg2a+1 = cosec2a, то будет верно равенство

„ л ,,2лтл (п — 1)(п — 2)

CSC2f-csc2h ... +csc2 — =г

nnnо

+^_=.(10)

Известно, что для углов первой четверти sinaCaCtga и величины эти положительны; следовательно,

тогда из (9) и (10) вытекает, что

4(п-!) (п-2)4(п-!) (п-2)<~(п—1)(п+1)<~(п—1)(п+1)

4(п-!) (п-2)

4(п-!) (п-2)

<~(п—1)(п+1)

<~(п—1)(п+1)

ИЛИ

(Н>(Н>где n=2m+L Но при стремлении mк бесконечности правая и левая частил2где n=2m+L Но при стремлении mк бесконечности правая и левая частил2му и тому же пределуму и тому же пределу66, откуда и, откуда и(а следовательно, и и) (11) стремятся к одно-получается формула'(а следовательно, и и) (11) стремятся к одно-получается формула'

(Н>

(Н>

где n=2m+L Но при стремлении mк бесконечности правая и левая частил2

где n=2m+L Но при стремлении mк бесконечности правая и левая частил2

му и тому же пределу

му и тому же пределу

6

6

, откуда и

, откуда и

(а следовательно, и и) (11) стремятся к одно-

получается формула'

(а следовательно, и и) (11) стремятся к одно-

получается формула'

Эйлера:

л2.11 , 1ч

— =1 + .1~ + *

622З2 42

Сам Эйлер, как видно из «Введения» (см. стр. 102, 152), получал эту формулу более сложным способом. Рассмотренный здесь вывод доступен даже школьникам. Им можно воспользоваться в кружковой работе со школьниками или при чтении факультативного курса по алгебре в старших классах.

Наряду с московскими, ленинградскими, казанскими и другими математиками заметный вклад в теорию знаменитых задач древности внесли ростовские математики. Д. Д. Мордухай- Болтовской (1876—1952) в первые годы Советской власти уделял много внимания решению сложных вопросов, связанных с

трансцендентными числами. В 1927 г/ он опубликовал большую работу «О некоторых свойствах трансцендентных чисел первого класса» [73]. В ней дан ряд общих теорем теории трансцендентных чисел, в том числе л публиковавшихся им. раньше. В частности, здесь доказывается теорема о необходимом и достаточном условии того, чтобы число а было трансцендентным, и дается классификация трансцендентных/чисел. А. О. Гельфонд в обзорной статье «Очерк истории и современного состояния теории трансцендентных чисел» (ж, «Естествознание и марксизм», 1930 № 5,) об указанной работе Мордухай-Болтовского писал: «Значение этой работы в-теории трансцендентных чисел очень велико, и знакомство с ней обязательно для всех интересующихся этими вопросами».

Д. Д. Мордухай-Болтовской был одним из первых советских математиков, начавших разработку конструктивной геометрии в. плоскости Лобачевского. Результаты его работ и работ В. Ф. Кагана послужили толчком и к разработке теории знаменитых задач древности в геометрии Лобачевского. Он подготовил к печати специальную статью «О лундчках Гиппократа на плоскости Лобачевского» (1950), но не, успел опубликовать. Особенно важные результаты содержались в его работе [72], посвященной 100-летию со времени появления геометрии Лобачевского. Основополагающее значение имела его теорема: «В пространстве Лобачевского с помощью циркуля и линейки возможны построения 2-го порядка и какого угодно класса».

Эта теорема открывала новую страницу в истории знаменитых задач древности, в том числе и задачи о квадратуре круга. Вопросы теории построения в плоскости Лобачевского привлекали его до последних лет жизни. На разработку этих тем он ориентировал и некоторых из своих учеников (Н. М. Несторович, К. К. Мокрищев). Основополагающую роль для теории геометрических построений в плоскости Римана играет и работа Д. Д. Мордухай-Болтовского «О штейноровских построениях на сфере» [74]. Здесь тоже доказана основная теорема для конструктивной геометрии на сфере: «Для того, чтобы на плоскости Римана было возможно построение с помощью циркуля и линейки, необходимо и достаточно, чтобы оно было построением 2-го порядка того или иного класса»8.

Опираясь на эти теоремы, математики, и особенно ростовские ученики и последователи Д. Д. Мордухай-Болтовского, заложили основы теории знаменитых задач древности в неевклидовых геометриях.

Решению задачи о квадратуре круга в геометрии Евклида и на плоскости Лобачевского посвящен ряд работ ученика Д. Д.

Мордухай-Болтовского, работавшего в Ростовском университете, Н. М. Несторовича (1891—1955). В 1923 г. он опубликовал статью «Квадратура круга и полисекция угла в 4-мерном пространстве» [72], содержащую оригинальный способ точного ре

шения этих задач.шения этих задач.Эти задачи он решает с по

шения этих задач.

шения этих задач.

мощью винтовой линии, взятой

-на прямом круговом цилиндре с радиусом основания и шагом АВ, равным R (рис. 92). Развернув вйрезанную-часть боко- . вой поверхности цилиндра, ограниченную окружностью основания, первым витком винтовой линии и АВ в плоскую фигуру, получаем прямоугольный треугольник, один из катетов которого R, а второй 2nR. Площадь этого треугольника 2tR.R

—-— равна площади круга

лВ2.

В дальнейшем Н. М. Несторович работал в области теории геометрических построений в плоскости Лобачевского. Например, в ДАН он опубликовал в 1940 г. большую статью «Геометрические построения в пространстве Лобачевского», а в 1948 г. — «О квадратуре круга и циркуляторе квадрата в пространстве Лобачевского». Содержание этих

и других работ он затеми других работ он затемвключил в монографию «Геометрические построения в плоскости Лобачевского» [76]. Эта монография наряду с монографией А. С. Смогоржевского (см. стр. 291) свидетельствовала об

и других работ он затем

и других работ он затем

успешном развитии некоторых идей Лобачевского советскими •

математиками. .

Используя указанную выше теорему Мордухай-Болтовского, И. М. Несторович доказывает ряд новых теорем и решает ряд задач на построение в плоскости Лобачевского. Перенеся некоторые знаменитые задачи древности, на плоскость Лобачевского, Несторович дал их решение.

Особенно детально исследовал он возможность циркулятуры квадрата, квадратуры круга и деления окружности на равные части. Задача о циркулятуре квадрата, как известно, сводится к построению такого радиуса круга (г), чтобы площадь этого круга

Зкр^лк^Ь2^

равнялась площади данного квадрата S«B=ik2(2n—5кв), где к — параметр пространства Лобачевского;

Skb — сумма внутренних углов квадрата, которая в геометрии Лобачевского меньше 2л. Следовательно, должно выполняться равенство

4nsh2o< =2л—Екв.•(12)

Если £кв=4л(о и (о — рационально или может быть построено из рациональных величин путем конечного числа извлечения квадратных корней, то уравнение (12) примет вид

4sh2—=2—со или sh —= 1 /~—— .(12')

2к2к |/24

На основании теоремы Мордухай-Болтов'ского можно тогда утверждать, что радиус круга, равновеликого данному квадрату — :

г—2kArcsh I/ J

может быть построен циркулем и линейкой. Значения со заключены в границах 0<со<2. В частности, при со=1 получается случай циркулятуры, рассмотренный еще Я. Больаи.

Следовательно, в геометрии Лобачевского задача о циркулятуре квадрата становится алгебраической и в бесчисленном множестве случаев она осуществима циркулем и линейкой.

Задача о построении квадрата, равновеликого данному кругу в плоскости Лобачевского, оказалась более сложной, чем ццркулятура квадрата, и класс квадрируемых кругов уже класса циркулятируемых квадратов.

Н. М. Несторович показал, что задача о квадратуре круга в плоскости Лобачевского эквивалентна задаче деления окружности.

Кроме того, Н. М. Несторович обратил внимание и на то, что так как сторона вписанного в окружность радиуса г правильного п-угольника определяется уравнением

е. амк г • л

sh — =sh —sin —,2кк п

то деление окружности на п равных частей циркулем и линей- л

кой возможно во всех тех ' случаях, когда sin — представ- п

ляет выражение, построенное из единицы при помощи конечного числа рациональных операций и извлечения квадратных корней.

л

В частности, так как значение sin ^- находится в результате решения цепи четырех квадратных уравнений, т. е. определяется построением 2-го порядка и 4-го класса, то из теоремы Мордухай-Болтовского следует, что циркулем и линейкой можно построить 34- и 17-угольники. Это построение впервые осуществил А. С. Смогоржевский [89]. Рассматривая задачу о квадратуре круга, Н. М. Несторович показывает, что она сводится к нахождению угла а квадрата, равновеликого кругу с радиусом г, который можно построить циркулем и линейкой. Угол а зависит от г и находится из Skb = Skp, т. е. из

' к2 (2л—2кв) =4лк2 sh2 —

2к

ИЛИ

(13)

4лзЬ2— = 2л—4а. 2к

г

Заменив в (13) sh2”

/ г

через 1

г

2

и

г г

+е-2«~через

2л fch — —1

\ к

Из (13х) находим

ch 2^’ ПОЛУЧИ,М

(131

лг

а=лch — •

2к

Но в геометрии Лобачевского

л

0^а<—.

2

(14)

Следовательно,

г

к

(15)

Из (14) видно, что для построения угла а искомого квадрата лГг

нужно построить угол Р= — ch —, где ch ^2.

Из теоремы о делении окружности известно, что с помощью циркуля и линейки можно разделить окружность (или угол 2л) 2л

на число и или построить углы, если n=2 Р1Р2... Ре,

где ш-0, 1,2,, a Pi=22^ +1 илиР1=1.

лг

Следовательно, угол Р= — ch — (а тем самым и 2к

угол а—л—Р) можно построить с помощью циркуля и линейки, если ch — удовлетворяет (15), т. е. является неправиль- к

ной дробью,, и в знаменателе дроби стоят числа Ферма. Следовательно, должно быть

где 0<ш<п и ш+п — взаимно-простые с п.

Так,.например, при п=3 и m= 1, 2 получимл 3 4- 1 ла=л" —

2

И

л а=л 2

при п=4 и m= 1, 2, 3 получим *" Злл *л

а=—г , , ;848

прип = 5, т= 1, 2, 3, 4, имеем

2лЗллл

а=—,—,—,—.

510510

Все эти углы можно построить циркулем и линейкой. Следовательно, с помощью этих же инструментов можно построить и квадрат с углом а, равновеликий кругу радиуса г, удовлетворяющему [13]..

После этих исследований стало ясно, что в пространстве Лобачевского задачи о циркулятуре квадрата и о квадратуре круга являются задачами алгебраическими и в бесконечном числе случаев разрешимы циркулем и линейкой. Но и в геометрии Лобачевского в бесчисленном числе случаев эти задачи не разрешимы циркулем и линейкой.

Например, при а= 1LLL квадрат, превращается в круг с 4

R - У 2 — уГ радиусом R, определяемым из формулы sh — — — ,

и потому строится циркулем и линейкой. Но квадрировать круг циркулем и линейкой с этим радиусом невозможно, так как

л /4 — |Т\ „уТ

.угол а=л— (—J =-1— нельзя построить циркулем и • линейкой.

Трисекция и полисекция угла

Эта задача тоже привлекала к себе внимание многих советских математиков и любителей математики-. Остановимся здесь на некоторых результатах, полученных при решении ими этой задачи...

С. Ф. Дашкевич в 1922 г. издал в Брянске брошюру «Деление угла на три равные части при помощи «трисекциона» [36]. Способ Дашкевича предполагал использование не только циркуля и линейки, хотя автор это не оговаривает. Конструкция этого «трисекциона» не безупречна, и он не нашел практического применения. Но появление этого сочинения свидетельствовало о том, что и в первые годы Советской власти проявлялся интерес к этой задаче. А в качестве поощрения за это изобретение автору был выдан . патент № 75968.

Л. А. Шрубко в статье «Трисекция угла», опубликованной в 1952 г. [100], с помощью метода последовательных приближений решает задачу с любой степенью точности.' Пусть требуется, например, разделить на три равные части

■угол АОВ (или дугу АВ, рис. 93). Делим его на три равные

части (приближенно, можно на глаз). Получаем дугу АН» —

3

АВ. На хорде АВ откладываем отрезок АК, равный хорде АН. Через точки Н и К проводим хорду HN, на продолжении которой отложим отрезок NM, равный диаметру окружности. Проведя прямую, проходящую через точку М и центр окружности до пересечения с окружностью в точке Сь будем иметь <АОС1» » -^- ААОВ, приближающийся к истинному углу АОС. Рас

сматривая теперь дугу ACi вместо АН и повторяя те же рассуждения, мы получим угол АОС2, не обозначенный на рис. 93, еще больше приближающийся к ААОС и т. д.9.

Известно, что для решения задач определенного типа (решение квадратных уравнений, вычисление площадей трапеций и др.) применяются специальные чертежи-номограммы. Создана ! наука номография. Л. С. Блох, применяя идеи руководителей советской номографической школы Н. А. и А. А. Глаголевых, в 1963 г. опубликовал главу «Применение номографии к решению задачи о трисекции угла» в книге В. Д. Чистякова [97]. Автор показывает сначала, как можно построить номограмму урав- нения трисекции угла

sin 3a=3sin a—4sin3a

с помощью циркуля и линейки, приняв за горизонтальную ось , sin а, а за вертикальную — sin За. Полученная таким образом кривая, выражающая зависимость sin За от sin а, позволяет разделить острый угол на три равные части [97; 75].Я

Затем в этой главе рассматриваются «Внутренние и внеш- Ж ние кривые трисекции углов первой четверти окружности», «Де- ■ ление угла на три равные части, пользуясь улиткой Паскаля», ■ «Номограмма для трисекции острых и тупых до 180° углов»10. ■ Мы же здесь в качестве примера рассмотрим только «Деление И угла на три равные части, пользуясь новой улиткой».Я

Новой улиткой автор называет кривую, напоминающую улит- ■ ку Паскаля, составляющую вместе с окружностью номограмму Ц трисекции угла (рис. 94). Геометрическое место точек этой кри- | вой получается следующим образом. Берется в качестве бази- | са круг с радиусом О А. Из О проведем радиусы О At и на про- | должениях их отложим отрезки A*Mk=AAk. Точки М* соеди- | ним плавной линией, это и будет новая улитка. Номограммой * трисекции угла САВ является в этом случае верхняя полуокруж- | ность и верхняя половина новой улитки. Соединим точку С с О. '-Э

Тогда Z_ACO = у Z.CAB11, Математики и студенты Ростовского университета тоже внесли свою лепту в решение задачи о трисекции и полисекции угла. Н. М. Несторович в упомянутой выше работе [77] (см. стр. 235) с помощью винтовой линии (см. рис. 92) деление угла AON на равные части свел к делению отрезка NP на равные части (N — точка пересечения стороны угла AON с -окружностью круга — основания цилиндра, ,Р — пересе-

чение перпендикуляра к плоско

сти основания в точке N с винтовой линией).

Если NM2=M2Mi=MiP, то, проведя на цилиндре окружности через Mi и М2 «параллельные» окружности ANC, получим точки их пересечения с винтовой линией (Pi и Р2). Опустив из них перпендикуляры на основание цилиндра, получим точки Ni и N2, соединив которые с точкой О, разделим угол AON на три равные части. Очевидно, что этим способом можно разделить угол AON на любое число равных частей.

В книге «Геометрические построения в плоскости Лобачевского» он показывает, что трисекция угла в плоскости Лобачевского аналогична этой задаче в плоскости Евклида.

Т(. К. Мокрищев в статье «О трисекции угла, отрезка прямой и треугольника в плоскости Лобачевского» (Уч. зап. Рост, пед. ин-та, 3, 1955) показал, что трисекция угла в плоскости Лобачевского такого же характера, как и в плоскости Евклида, т. е. в общем случае она не разрешима циркулем и линейкой, но существует бесчисленное множество углов, делящихся циркулем и линейкой на три равные части.

Рассмотрим еще некоторые результаты в решении этой задачи, полученные на кафедре высшей математики РГУ в последние годы12.

Из

(

фm \ Пфф

cospi sin — =cosnpin cos11-1 — X

' nn /' nn

24124116 С. Е. Белозеров

241

241

n(n — 1) (п — 2)n(n — 1) (п — 2)3!3!„ ффф

n(n — 1) (п — 2)

n(n — 1) (п — 2)

3!

3!

cos11 3 — sin3г *“ +insinn —- ппп

ПриПриф Ф

При

При

n=2m+l, — = —

n 2m + 1

=а=аи после замены степеней синусов через косинусы, получим cosn<p=bo cos2m+Ia+b2COs2n*~’ja+ *" Н— + •Ьгт-гсоб^+Ьгтсоз a. Обозначая

=а

=а

Фa=2cosw, x=2cos a=2cos2m + 1вместо bai их значения, получим уравнение поли-

и подставляя секции углаm X k=0и подставляя секции углаm X k=0(2m + 1)! (2m —к)!

и подставляя секции угла

m X k=0

и подставляя секции угла

m X k=0

x2m 2K + I—д —0

(2m —2к + 1)! (2m)! к!

для решения которого (с помощью ЭВМ БЭСМ-4) составлена программа.

*m

Если Ьг1 представить в виде 5 (—1)‘С‘кС2кгт+!, то

к=1

СО8ф = 22 (—.O’CkC^m+icos2”-^*.

*=оa

Обозначив cos а через у, а соз ф через а1, получим для n=2m+l ;; уравнение полисекции угла ф в таком виде

2 2 (—1)‘С1кС2к2т+1у2т-2‘+1_ai=o.(17)

1=0 к=1|

В частности при n=2m+l=3, т. е. т=1, из (17) получается |; уравнение трисекции угла у3—Зу—ai=0.|

Из (17) получается уравнение деления угла на 5, 6, 7... рав-1

ных частей. Подбирая затем значения а из интервала измене-' ■

ния cos ф такие, чтобы корни соответствующих уравнений строи-

Ф „ Ф 1 лись с помощью циркуля и линеики, построим cos — и —..<

При некоторых значениях at соответствующее уравнение будет|

иметь корни, строящиеся с помощью конических сечений, и угол j Ф будет делиться на и равных частей с помощью конических се- л чений. Нами получен ответ и на такой вопрос: какие углы (ду- | ги окружностей) вида ф= ~ л делятся на к равных частей | циркулем и линейкой?1

2421

_—.шл

Пусть ф — — , где тип взаимно-простые целые числа, п

тл

Тогда справедлива теорема: «Угол ф= — делится на К п

равных частей циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда ms

= — , где s и г — взаимно-простые целые числа и п . кг

г — число Гаусса».

Докажем необходимость этого условия. Допустим, что угол ф— ^ можно разделить циркулем и линейкой на К рав- п

ных частей, т. е. можно построить углы

Ф тл $л „ , 2Ьлз ,а= —• —— = — и 2аЬ=(п — целое).г пк кг

Нужно доказать, что г — число Гаусса.

Рассмотрим угол 0, как^ центральный угол единичной окружности, которому на окружности соответствует точка Z=e^. Но если можно построить угол 2а, то можно построить 2ns

а г

и точку комплексной плоскости Z=e'2 =е i. Так как

s и г взаимно-простые числа, то существуют такие целые числа 2Л5;

-—- i

h и f, что sh+rf=L Так как точка Z —е г может быть построена циркулем и линейкой, то может быть построена и

2лбЬZ^e г2лбЬZ^e г2лгГ2лгГеегг—i(sh+rf)—е—i(sh+rf)—е= е= е2лг2лг

2лбЬ

Z^e г

2лбЬ

Z^e г

2лгГ

2лгГ

е

е

г

г

—i(sh+rf)

—е

—i(sh+rf)

—е

= е

= е

2лг

2лг

Если Zo — вершина на вещественной оси, то Zi является вершиной правильного г — угольника и ее можно построить циркулем и линейкой, т. е. окружность можно разделить на г равных частей циркулем и линейкой, когда т — число Гаусса. Достаточ- m

ность указанного условия деления угла <р= — л на к равных п

частей можно доказать так: „Ш S

Пусть -— ~ — , где г — Гауссово число; нужно доказать, л-к г

что можно циркулем и линейкой построить угол £ =^; где 2л

а=“ Так как г — число Гаусса, то по теореме Гаусса окружность делится циркулем и линейкой на г равных частей, т. е. циркулем и линейкой можно построить угол a^^^L* Следова- г

тельно, можно циркулем и линейкой построить и угол а2лтлф

—S= —S = —= — t Теорема доказана.

22 гпкк

Вопрос о полисекции углов циркулем и линейкой в плоскости Лобачевского решается так же’ как и в плоскости Евклида. И вообще все конструктивные задачи, не зависящие от аксиомы о параллельности, в плоскости Лобачевского решаются так же, как и соответствующие им задачи в плоскости Евклида.

В плоскости Лобачевского циркулем и линейкой тоже строятся выражения рациональные и квадратичные иррациональности. И вопрос о разрешимости конструктивной задачи в плоскости Лобачевского сводится, следовательно, к вопросу о разрешимости в квадратных радикалах уравнения, к которому сводится задача.

Задачи о трисекции и полисекции угла в плоскости Лобачевского — задачи алгебраические — и решаются с помощью алгебраических средств.

Следовательно, результаты теории полисекции углов в плоскости Евклида переносятся без изменения в плоскость Лобачевского. Справедливым остается также и уравнение (17) полисекции угла <р. И при тех значениях а, при которых оно разрешимо в квадратных радикалах, возможна полисекция угла циркулем и линейкой. Это справедливо и для полисекции угла в плоскости Римана.

О трисекции угла в плоскости Евклида написано много книг, найдено много способов точного и приближенного деления угла на три равные части. Из результатов, полученных на нашей кафедре, назовем только некоторые.

Видоизменив метод Декарта и Слюза в использовании конических сечений F(x, у) =0 при трисекции утла, ищем такое уравнение окружности (х—а)2+(у—Ь)2=г2, чтобы абсцисса одной из точек пересечения окружности с коническим сечением удовлетворяла уравнению х3—2 = 0 или 4х3—Зх—h = 0. Тем самым задача сводится к нахождению таких а, b и г, чтобы выполнялось указанное выше требование. Причем для простоты уравне-

ние эллипса мы берем в виде х2+ Q—J = 1, уравнение параболы у=сх2, а гиперболы у= — . Давая затем с некото- рое числовое значение при решении системы уравнений для нахождении а, Ь и г, получаем решение задачи. Система уравнений для нахождения а, Ь, г получается в результате приравнивания коэффициентов в многочленах четвертой степени при одинаковых степенях х, один из которых получается в результате подстановки у, выраженного через х, из уравнений конических сечений в уравнение окружности, а второй — в результате доумножения х3—2 или 4х3—Зх—h на линейный множитель, где коэффициент при х подбирается так, чтобы члены с х4 после приравнивания многочленов уничтожились.

Применительно к трисекции угла эти рассуждения в случае F(x, у)=у—сх2=0 проводятся следующим образом: даны уравнения параболы

у=сх2(18)

и трисекции угла

4х3—Зх—h=0,(19)

eg,

где h=cosa, x=cos— . Нужно найти параметры а, b и г в

уравнении окружности

(х—а)2+(у—Ь)2 = г2(201

такие, чтобы абсцисса точки пересечения параболы и окружно

(21)(21)сти была x = cos —. Подставляя у=сх2 в (20), получим 3

(21)

(21)

с2х4+ (1—2сЬ) х2—2ax+a2+b2—г2—0.

Решив это уравнение, найдем абсциссы точек пересечения параболы и окружности. Но корни (21) зависят от a, b и г, которые мы и должны выбрать так, чтобы корни (21) были корнями и (19). Добиться этого можно, умножив (19) на — с2х и

приравняв левые части (19) и (21). Чтобы эти многочлены были равны, должны быть равными коэффициенты при одинаковых степенях х. Приравняв эти коэффициенты, получим систему

1—2сЬ=— ^с2, 2я= —с2, a24-b2—r2 = 0.44

откуда находимоткуда находим.3Ь= —с+.3Ь= —с+12с12с

откуда находим

откуда находим

.3

Ь= —с+

.3

Ь= —с+

1

2с

1

2с

Если с строится циркулем .и линейкой, то а, Ь и г тоже строятся циркулем и линейкой. Тем самым. будет определено и х. В частности, если с=2, а=90°, h=cos 90°—О, то b= 1, а=0, г=1. Тогда, подставляя найденные значения в (21), будем иметь

ауз

4х4—3x2=0, x=cos “ =cos 30°—-^ •

Это указывает на то, что в данном случае угол а делится на три равные части циркулем и линейкой13.

. Из кривых, которые нами использовались для деления угла на три равные части, рассмотрим только одну из так называемых кривых Шуте. Эти кривые — геометрические места точек, для которых ZLA'AP находится в определенном заданном отношении к углу РА'В (и к углу РА'А). Для различных значений этого отношения получаются различные кривые Шуте. Мы рассмотрим только ту из этих кривых, для которой Z.PAA'= ~

РА'В (рис. 95). Уравнение ее в Декартовой системе координат.

Зах2 — 2х3У2=,2х + аЗах2 — 2х3У2=,2х + агде а=АА'.где а=АА'.

Зах2 — 2х3

У2=,

2х + а

Зах2 — 2х3

У2=,

2х + а

где а=АА'.

где а=АА'.

Очевидно, что если эта кривая дана и требуется угол ф (Z.LMN) разделить на 3 равные части, то, поместив вершину его М в точку А' и направив одну из сторон (ML) по АВ, вторая сторона пересечет кривую в точке N и Z.NAM=-^- Z.NML (в силу основного свойства этой кривой). Можно предположить, что если z—P А А'— — Z-PA/B, то кривая Шуте будет иметь уравнение пятой степени и с ее помощью можно будет угол ф разделить на 5 равных частей. Если же ZJPAA'— — zlPA'B, то с nori

мощью соответствующей кривой Шуте можно будет разделить данный угол на п равных частей14.

Деление окружности на равные части

в неевклидовых геометриях

Задача о делении окружности на.равные части (построение правильных многоугольников) в неевклидовых геометриях была поставлена и решена советскими математиками Д. Д. Мордухай- Болтовским, Н. М. Несторовичем, А. С. Смогоржевским, сотрудниками и студентами кафедры высшей математики РГУ,

Н. М. Несторович на основании результатов Д. Д. Морду- хай-БолтовскоГо показал [76; 145], что эта проблема в плоскости Лобачевского имеет тот же характер, что и в геометрии Евклида. Он доказал также, что эта задача и задача о квадратуре круга эквивалентны между собой. Будучи алгебраическими, эти задачи в бесчисленных случаях разрешимы циркулем и- линейкой. А. С. Смогоржевский (1896—1969) впервые указал [89] способ построения в плоскости Лобачевского циркулем и линейкой правильных многоугольников, в частности он построил

правильные пятиугольник и семнадцатиугольник.

Способ построения правильных многоугольников Смогоржев-

ского по существу опирается на следующую теорему: в плоскости Лобачевского для любого п>6 сущест

ввРис. 96,Рис. 96,вует отрезок R, который является стороной правильного п-угольника, вписанного в окружность радиуса R., Доказательство: даны окружность с радиусом R и Д АОВ (AB=R) (рис. 96), высота его ОС, Z_AOB=cp. Из Д АОС имеем

в

в

Рис. 96,

Рис. 96,

RфRRф

(22)> I илиАВ бу-2л<р = — п(22)> I илиАВ бу-2л<р = — пch — =sh R sin —=2sh — sh —sin —22222

(22)

> I или

АВ бу-

2л

<р = — п

(22)

> I или

АВ бу-

2л

<р = — п

Но при R>0 ch —> I и, следовательно,ф

22sin —

2

sin —~ , откуда —. Известно, что хорда

дет стороной правильного n-угольника, если

13 случае, когда AB = R, — ^ ~ или <р/_ — . Таким обра

зом. чтобы существовала хорда AB=R, нужно, чтобы выполни-

2лл•

лось неравенство —— или п>6.

п 3

Это говорит о том, чти в геометрии Лобачевского существуют такие окружности, которые можно разделить на п равных частей циркулем раствора R.

Используя этот метод, А. С. Смого-ржевский в 1948 г. построил в плоскости Лобачевского правильный 17-угольник [89]. Построение очень громоздкое, мы его здесь не приводим.

Так был открыт путь построения правильных многоугольников (деления окружности на равные части) в геометрии Лобачевского.

Нам удалось показать, что при построении правильных многоугольников в плоскости Лобачевского можно пользоваться и другим способом, в основе которого лежит теорема: в плоскости Лобачевского можно построить правильный n-угольник циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда

n=2k или П = 2кР1Р2 “‘ Pm,

где k>0 — целое число, a Pi — простые различные числа Ферма:

pi=22V1 +1.

л

Действительно, из ДАОС имеем sh AC—sh R sin -— u .

Если радиус окружности R, в которую вписан п-угольник., л

выбран так, что shR=l, то shAC = sin . Откуда видно, что shAC будет квадратично-радикальным выражением одно- лл

временно с sin — , a sin — будет квадратично-радикаль- пп

ным в том и только в том случае, если п является Гауссовым чис- лом, что следует из доказательства соответствующей теоремы на плоскости Евклида.

Нами рассмотрено построение различными способами с помощью циркуля и линейки правильных многоугольников при п=3 , 4, 5, 6, 10, 15 и 17. Но наши построения в плоскости Лобачевского по сложности мало отличаются от построений А. С. Смогоржевского [89].

Мы попытались также перенести три знаменитые задачи древности и в геометрию Римана, где они до этого, по-видимому, никем не рассматривались. Здесь рассмотрим только некоторые

вопросы, связанные с построением правильных многоугольник * ков в плоскости Римана.

Легко показывается, что построение правильных многоугольников с числом сторон 2к и 3-2к осуществляется так же, как и в । плоскости Евклида и Лобачевского. Здесь оказывается справедливой и общая теорема: правильный многоугольник с числом сторон и может быть построен в плоскости Римана только в том; случае, если n=2kPiP2 ... Р^, где к>0 — целое число, Pi= 22n1 -j-1 — простые различные числа или равные единице.

- Доказательство этой теоремы: пусть хорда АВ — сторона»

2л -

правильного n-угольника, угол АОВ = — . Проведем tп

OC_LAB (см. рис. 96). Используя одну из формул тригонемет- ♦ .рии Римана, запишем

sin АС=sin R sin — .(23)<

л

Положив R = —-, получим sinAC=— sin —.(24Ь

62 п

? Из последней формулы видно, что sin АС является квадратично- । радикальным выражением одновременно с sin -^- , a sin — квадратично-радикальный в том и только в том случае, если а является Гауссовым числом, т. е. п=2кР1Рг "' Р®.

г Следовательно, если п — Гауссово число, то сторона правиль- л

ного n-угольника, вписанного в круг радиуса — , на основа- "6

нии теоремы Д. Д. Мордухай-Болтовокого, которая справедли- :ва и для плоскости Римана, может быть построена циркулем и;

р линейкой'6.

,Решение задачи о делении окружности

[на равные части в плоскости Евклида

Теория этой задачи продвинута основательно: создана общая теория, найдены многие способы точного и приближенного^ , деления окружности на равные части. И все же ряд вопросов этой проблемы остается нерешенным и в наше время. В последние годы некоторые из этих . вопросов привлекали внимание » нашей кафёдры и студентов, специализировавшихся при ней.

Нами получены новые результаты, некоторые из них приводятся* в данной книге.

Для деления окружности или дуги ее на п равных частей можно использовать квадратрису, спираль Архимеда, квадратри-

•су Чирнгауза и другие кривые. Мы рассмотрим здесь, как. можно с помощью косинусоиды и синусоиды построить стороны правильного n-угольника (точно и приближенно).

Первый способ. Пусть дан круг с радиусом R=1 и график 2л "функции y=cosx. На оси ОХ откладываем отрезок ОМ— ~—= и 4 л — ~ ~ (рис. 97). Величина этого отрезка, очевидно, будет

величиной и центрального угла ф, который соответствует стороне правильного n-угольника (ап).

Тогда17л1 ‘—- = — ~ — ON.242Тогда17л1 ‘—- = — ~ — ON.242Рис. 97.Рис. 97.Положим, в частности, п=8.

Тогда

17л1 ‘

—- = — ~ — ON.

242

Тогда

17л1 ‘

—- = — ~ — ON.

242

Рис. 97.

Рис. 97.

Чтобы построить теперь сторону 8-угольника, восстанавливаем перпендикуляр в точке М, который пересечет косинусоиду в л

точке D; перпендикуляр МВ=созф=со8 ~. Из точки D про

ведем прямую параллельно ОХ, которая пересечет окружность в точках аиЬ, а ОС—в точке Оь Тогда OOi=MD=.cosZ.OiOb. Следовательно, Z.Ob 0Ь=2др=(”) • а пРямая cb—ап

(а8). Второй способ. Рассмотрим тот же круг и график функции

y=2sinx. Отложим OMi= — ОМ и из точки Mi восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с синусоидой в точке Dp Пер- лендикуляр MiDi=2sin — . Но из треугольника СОЬ видно, что Cb(an)=2sin —. Следовательно, MiDi=Cb, т. е. является 2

-стороной п-угольника.

Третий способ — приближенного построения стороны л-угольника. Он основан на том, что при 0°<<р<30° дуга окружности и косинусоида «близки» друг к другу. Используя этот участок сближения окружности и косинусоиды, можно без косинусоиды, т. е. пользуясь только циркулем и линейкой, дать приближенное построение ап(п>15). Используя тот же полукруг

м рассматривая, например, угол СОС2= —- <30°, можно по

лучить приближенное значение а^ следующим образом. На ОХ л 3,14

строим отрезок, приблизительно равный — А — — 1,57.

Затем на ОХ откладываем отрезок ф= —= — — , В нашем п и 2

4 я л

случае <р= — • — = ~ . Из конца этого отрезка восстанав

ливаем перпендикуляр до пересечения с окружностью в точ-

Л

ке Ci; соединив Cj с О, получим угол COCi=<p= — , а хорда

СС1, очевидно, будет (приближенно) стороной 16-угольника. Заметим еще, что можно таким образом построить стороны п-угольников и при п<15; для этого нужно только построить сначала 14-, 16-, 18-, 20-, 22-угольники, а затем соединить их вершины через одну, и мы получим 8-, 9-, 10-, 11-угольники.

Что же касается 6-, 4- и 3-угольников, то их стороны легко строятся другими способами. Сторону 5-угольника можно построить способом Биона или способом Федорова.

' Однако наш способ имеет для других п преимущество по сравнению со способами Биона и Федорова17.

К решению вопроса о построении правильных многоугольников мы подходили и несколько иными путями: исследовали уравнения, к которым сводится задача построения сторон пра-

вильных п- у голыш ков, и строили их корни, дающие сторону’ правильного многоугольника, с помощью прямых углов.

По аналогии с тем, как это сделано у Адлера [2; 245] для многоугольников при п=5, 7 и 9, нами получены уравнения для построения сторон правильных многоугольников при п=11, п=19 и п=37 и с помощью прямых углов построены правильные многоугольники с указанным числом сторон.

Рассмотрим для примера построение правильного 11-угольника. Пользуясь методом спуска Гаусса при рассмотрении

х11—1=0,(25)

мы найдем уравнение степени не выше 5^-^—):

у5+у4—4У3—3у2+3у+1 =0,(26)

наибольший из корней которого

2л

У! =2 cos —11

(

2лк. \

Yk=2cos — , к=1, 2, 3, 4, 51 и позволит нам найти сторону правильного 11-угольника с помощью прямых углов.

Построим прямоугольную ломаную, с учетом величины и знаков коэффициентов (26) ABCDEFG (АВ = 1, BHJLAB„ tg<BAH=yi), представляющую уравнение (26) (рис. 98). Число прямых углов для определения корней уравнения меньше на единицу степени уравнения, в нашем случае надо построить четыре прямых угла, располагая их так, чтобы вершина Н лежала на продолжении ВС, вершина К — на CD, вершина L — на продолжении DE и вершина М — на продолжении EF. Концы этой разрешающей прямоугольной ломаной должны совпадать с точками А и G. Причем таких разрешающих ломаных в нашем случае будет пять (по числу корней), из которых нас интересует ВН — наибольший из всех корней. В том , что ВН—корень (26), убедимся, рассматривая подобные треугольники АВН, СКН„ 2 л

KDL, LME и MFG, А то, что BH = yi=2cos — , следует из построения этого отрезка.

Проведем теперь окружность единичного радиуса с центром- в точке В. Пусть ВР = РН. Восстановим перпендикуляр в точке Р к ВН, который пересечет окружность в вершинах Aj и Аю правильного 11-угольника.

2л2л

Действительно, так как BH = 2cos ~ , то BP = cos —,

а тогда из треугольника BAiP имеем PAi=sin^- . Следовательно, Ai является первой вершиной правильного 11-угольника. Соединяя точку Ai с точкой пересечения ВУ] с окружностью, получим А1Аг.=ац18.

Можно подойти к построению сторон правильного многоугольника, отправляясь от соответствующих уравнений, и таким путем. Например, уравнение для нахождения стороны правильного 9-угольника х3—Зх+1=0 можно записать в виде х2—3+ + — =0 или — =—х2+3. Положив у= —и у=—х2+3

XX х

Рис. 99.Рис. 99.и решив эту систему двух уравнений, найдем точку пересечения гиперболы и параболы. Абсцисса точки пересечения и будет стороной правильного 9-угольника19.

Рис. 99.

Рис. 99.

Ал-Бируни, решая задачу о построении правильных многоугольников, использовал вписанный в круг равнобедренный треугольник А|В]С для получения стороны AiBi=2x при AiC = BiC=l. Именно таким путем он свел задачи о построении сторон правильного 5-угольника ag и 9- угольника ад к решению алгебраических уравнений (см. стр. 107).

Мы показываем, что этот способ можно обобщить на случай любого правильного многоугольника с числом сторон п—4к±1 (четные значения п нет смысла рассматривать). Действительно, пусть требуется построить сторону правильного п-угольника— йп (при п нечетных). Положим, что мы каким-то образом построили треугольник AiBiC со сторонами AiC = BiC = l и AiBi = =ап=2х. Покажем теперь, что решение этой конструктивной задачи — построение правильного п-угольника — можно свести К построению корней алгебраического уравнения, степень которого не выше п — 1

Отложим

А1В2—В2А2=А2Вз=ВзАз=АзВ4= ••• ==B»As= AsBs+f=Bs+jAs+i =

= As+iBk+i(Bs+2) = Bk+iC=AiBi. (рис. 99)

Пусть

zLBiAiBi+i = ai,

ZAiBi+iAi+i = 0i.

Легко показать, что

4i — 3„ 4i — 1

ai=л, pi— л.

nn

Прип=4к+1 и i—к имеем р« = л. Два другие угла-

в треугольнике ВвА=В«+1 равны между собой и каждый из них. ЛЛ .

ук= — — е д это значит, что вершина Ak+i совпадает

4к+1и

4к—3

с вершиной С. Полагая n=4k—1, имеем ак = , а два-

4к—1

другие угла этого треугольника равны и каждый из них'

■ 4к—3

,*4к—14кл — л— 4кл + Зл 'Л я

Sk= — = : " — ,

22(4к—1)4к—1 п

т. е. вершина этого треугольника Bk+i совпадает с вершиной С^ Следовательно, -к-1•

А1А2+А2Аз+ ••• +AkC=AiC и S Bi-м В$+2=?=В1С i — 0

или, так как

лPiР1

AiAi+i=2AiBi+i sin—= 4xsin —, то

22

l=4x 2 или l=4x S sin ^

i=i 2i=i 2n'

И

- k 41-314 V 4i + I

l=4x 5 sin - или I—4x 2 sin——^

i=i 2ni=o 2n

Тогда, в случае n = 4k+l имеем "

k 4i _ lГ л kл

!4-4x 5 sin л= I cos ~ 2 sin 4i ——*

i = i2nL 2n i-1 2n

л kл T

—sin ~ 2 cos4i— I 4x.

2n2nj

С учетом того, что-

cos2mz= S (—l^C^mcos^-^-^sin^+'z

m-1

N sin2mz = 2 (—Ll)j С2^^т -cos2m+2j ^sin^z, j = 0

•а также, что

sin^ =x и cos — =У1—x2 , и, положив x2=y, получим 2n2n.

уравнение k 2i—1

4 22 (—l)sC2s+14i (1—у)21'Уи—

1 = 0 s — 0

—4 22 (—1)sC2s4i (1— y)2‘-y+i—1=0.(27)

i —1 s = 0

•Следовательно, степень уравнения (27) не выше 2k, т. е. не вы- п — 1

те ——. Рассматривая n=4k—1 аналогичным образом, получаем уравнение

4 2 [2l)sC2s+14i44 (1—y)2i~y+1+^^(28)

1 = 08 = 0

n — J

степень которого не превосходит 2k—1= —^— • Например, если n=4k—1=4-2—1=7 (k=2), то уравнение (28) будет

уз_у2_2у+1=0(29)

Некоторые из результатов, полученных нами, мы включаем в число задач для любителей математики (см. примечания к IV гл.).

Удвоение куба

Н. Ф. Четверухин в своей книге [95] при решении задачи удвоения куба применяет метод последовательных приближений. Суть этого метода состоит в нахождении приближенных значений корней уравнения

f (х) =aoxn+aixn-1+ ••• +an-1x+tin = 0.(30)

с помощью некоторого алгоритма.

Если конструктивная задача сведена к (30) и ак строятся циркулем и линейкой, а истинное значение корня (30) (х) точно циркулем и линейкой или не строится или строится с большим трудом, то мы можем взять приближенное значение корня (xi). Затем, пользуясь алгоритмом, получать лучше прибли- '256

жения к истинному значению корня (х), строящиеся циркулем и линейкой. Итак, пусть

х=Х1+(оь(31)

где о)1 — соответствующая погрешность. Тогда-

f (х) =f (Х1+о)1) =f (xi)+(0ifz(xi)+ ~ fz/(xi) + ...(32)

Умножив правую часть (32) на неопределенный множитель к и прибавив это выражение к правой части (31), получим

x=x1+kf(x1)+tol[kf'(x1) + l]+^(33)

Обозначив xi+kf(x]) через Fi(xi), а остальную часть (33) через юг, получим

-х = Р1(Х1)+<02.. (34)

Положив Fi(xi) =х2 и продолжая таким образом дальше, мы получим алгоритм для вычисления последовательных приближе

ний корня х. При малых <oi и при условии I • l+kf(xi) I <1 алго

ритм сходится к корню х.

Положив I l+kf'(xi) 1=0, найдем к=— . Внося най- ■-f'(Xl)*

денные значения к в (33), имеем

- f(xi)Г(хОсо,- f<”>(xO/о.х

f (xi) 2! f (xi)п! f (xi)

Обозначив в (35) Xi— f^ че_рез Рг(Х1), а остальную часть— f(x0

через <оз, получим•

х=Р2(Х1)+(оз. .(36).

Функция Fg(xi) =Хз дает алгоритм второго порядка. Fi(xi) и Рг(Х]) могут быть построены циркулем и линейкой, если к строится циркулем-и линейкой. -

Аналогичным образом можно построить алгоритм высших по-

17 С. Е. Белозеров_'257

рядков и получить последовательность Xi, X2 = Fi(xi), Хз = 1 = F2(xi),— сходящуюся к искомому х, если xi выбрано в об- .|

ласти сходимости алгоритма Fn(xi).j

Используя этот метод, Н. Ф. Четверухин решает задачу об удвоении куба, которая, как известно,, сводится к решению уравнения х3—ра3=0, и в частности — при а=1 и р=2, х3—i

—2=0.(30х)

Построим для этого полинома F2(xi). В этом случае

x=^-^2xi++®2,(31')

где 1 /О \toi2CDi®

T(2Xl+ =F2(X1), <02=- -- + гг •(32х)

3 Xxis /X!3xi2

Для удвоения куба этот алгоритм примет вид:

F2(x0 = y (х1+~)’(33х)

Выбрав начальное значение xi с погрешностью «и, строим циркулем и линейкой (32х), находим x2=F2(x!) с погрешностью (о2 и т. д. Реализо-

. вать построение искомого отрезка с помощью этого метода можно так.

Допустим, что требуется построить отрезок х,

з

если x = aV2 или отрезок з

х=У2. Алгоритм F2(xi) для этого уравнения имеет вид (33х).. Возьмем прямую СА и радиусом R=1 построим окружности с центрами в О, Оь О2. Пусть ОМ — ребро данного куба (рис. 100).

Через точку О проведем произвольную ось (OZ). Отложим OD = OB, где В — точка пересечения двух окружностей. Тогда OB=VO1O22—О2В2=У4=п'^з7'

Примем теперь отрезок AD=OA—OD=3—У3= 1,2678 за начальное приближенное значение х, т. е. за хь Так как искомая

-3_8

величина х=72= 1,25992..., то ошибка l(Oil< .

Подставив выбранное значение Xi в (32'), получим

F2(xi) =(2x1+ оТч)=Х2-

О \oXf—О /

Так как

x^=AD, то 3xi=ADi,3xi—3=ADj—AO=ODj.]

Соединив точки D! и Ci и проведя CD2||DiCi, имеем

1 :ODi = OD2: 1.

Следовательно,4''

Так KaK2x! = DD|, отложим D2D3=DDi=2xi и тогда

OD3=OD2+D2D3=2x1+ —Ц-;OD3: ОА= (2xi+ ——^ : 3,

откудаоткудаOD3ОАOD3ОА3x1—3\\3x1—3/

откуда

откуда

OD3

ОА

OD3

ОА

= — ^2X1 + —Ц-\=х2,3 \ЗХ!—3 /

проведя теперь прямую MN||AD3, будем иметь

ON _ OD3

ОМ — О А — Х2‘

Но ОМ=а, следовательно, ON=ax2. Погрешность второго при- 3 —

ближения со2=72—х2. Подставляя теперь в

Z1 - \

Х2= —( 2xi+- )

\ЗХ!—3 Л

вместо Xi величину 3—V3= 1,2678, найдем (о2<-^- .ЗначитON

есть ребро удвоенного куба с погрешностью меньшей- — а.

10s

Продолжая процесс дальше, легко заметить, что с увеличением п, мп быстро стремится к нулю, а хп — к истинному значению

з

ребра удвоенного куба: аУ2. Если же взять начальное значе- ние Xi=l — , то i®!^-^ • Мы ПРИ решении задачи, сводящейся к уравнению х3—2=0, использовали различные приемы.

Подобно тому, как это было показано при трисекции угла (см. стр. 244), берем одно из конических сечений, например, с

у= —и окружность (х—а)2+(у—Ъ)2=г2 и находим, такие х

значения а, Ь, г, чтобы при решении системы уравнений получить значение х, удовлетворяющее и уравнению х3—^=0. Но если при трисекции угла мы умножали х3—Зх—а на такой множитель, чтобы в левой части и правой части коэффициенты при х4 были равны, то в данном случае нужно умножить х3—2 на такой множитель, чтобы, приравняв этот многочлен четвертой степени многочлену, получающемуся при совместном решении уравнений гиперболы и окружности относительно X, коэффициенты при X4 были равны, и эти члены тем самым уничтожались бы.

При решении обобщенной задачи удвоения куба, которая, как известно, сводится к построению корня уравнения

х3—Ра3=0,

з —

т. е. отрезка прямой Х=аУР, мы исходим из того, что средства, пригодные для. построения двух средних пропорциональных х и у между двумя данными отрезками а и 2а, т. е. а : х=х : у= у: 2а, годятся для построения двух средних пропорциональных между а и ра, т. е. а : х=х: у=у : ра.

з—

Например, найдем отрезок х=аТР с Помощью мезолябия Эратосфена (см. стр. 43), взяв расстояние между параллельными планками не 2а, а ра. При использовании двух парабол вместо у=х2 и у2=2х следует взять у=х2 и у2=рх. Решая их

з— .

совместно, получим x=VP.

При удвоении куба мы использовали ряд кривых, о которых нам не известно, что они уже использовались при решении этой задачи. Назовем некоторые из них. Парабола Нейля

уЗ=Ьх2 будет иметь точки пересечения с прямыми х=±а, ко- з——

ординаты этих точек (±а, та2Ь). Положив Ь=2а, получим у^а^. Ордината точки пересечения «Локона Аньези» (кривой Верзиера)

ау2х2

у= и гиперболы „ — = 1,

3—.

будет у—12.

Кубика Чирнгауза 2 (2р+х)3=27р(х2+у2) и эллипс

/4 у

(х~ ; у

128р3+20а3*128р3+20а3

75р е 135р

3—

тоже имеют координаты точки пересечения х=аУ2.

В отличие от геометрического способа Диоклеса, используя уравнение циссоиды

/2А3— у

X х /.1—х

ее образующего круга

/1 \2Iу

( х— — ) +у2= ^ и прямой — — к

Современная теория квадратуры луночек

После того как задача о квадратуре луночек из числа конструктивных перешла в разряд алгебраических, после расширения понятия луночки и в связи с начавшимися попытками доказательства справедливости гипотезы о существовании только пяти видов круговых замкнутых луночек, квадрируемых циркулем и линейкой, развитие теории квадратуры луночек перешло в качественно новый период. Эта теория особенно успешно развивалась в XX столетии. Этот период в истории квадратуры луночек стали называть современной теорией квадратуры луночек. В предыдущей главе было показано, что из зарубежных матема: тиков в ее развитии оставили след Ландау, Чакалов и Вилейт- нер (Гофман).

Но основными творцами современной теории квадратуры луночек по праву следует считать советских математиков.

Покорение основной проблемы

Доказательство теоремы о существовании только пяти видов круговых замкнутых луночек, .квадрируемых циркулем и линейкой, стало, основной проблемой современной теории квадратуры круговых замкнутых луночек.

Попытки Ландау и Чакалова решить ее, как мы видели, не увенчались успехом. Чакалов даже пришел к выводу о том, что эта проблема не может быть решена при современном уровне математики. Это утверждение было высказано в 1930 г., а’в 1933 г. советский знаменитый алгебраист Н. Г. Чеботарев (1894—1947) опроверг его утверждение, получив основные результаты в решении этой проблемы [89]. Рассматривая эту задачу как чисто алгебраическую, используя теорию групп Галуа, р-адические ряды и другие результаты современной математики, Н. Г. Чеботарев указал основной метод решения этой проблемы, доказал -ряд теорем, необходимых для доказательства указанной теоремы, и, исследуя уравнение Чакалова [45; 46], он доказал, что при шип нечетных квадрируемыми луночками будут только те, для которых ш=3, п=1 и т=5, п=1,3. А. В. Дород- нов (р. 1908 г.), продолжив исследования своего учителя, в 1947 г.'доказал, что если одно из чисел (т, п) четное, а второе нечетное, то квадрируемые луночки будут только при т = 2, п=1 и при т=3, п=2. Тем самым была полностью’ доказана основная теорема теории квадратуры круговых замкнутых луночек и была покорена последняя из пяти знаменитых задач, не

поддававшихся усилиям математиков многйх поколений. Победителями этой проблемы, оказавшейся не менее трудной, чем проблема о квадратуре круга, были советские казанские математики Н. Г. Чеботарев и А. В. Дороднов.

Результаты Н. Г. Чеботарева и А. В. Дороднова, хотя и были по необходимости изложены в малодоступной форме для широкого круга читателей, произвели большое впечатление на тех математиков, которые смогли их понять и по достоинству оценить как научный подвиг.

Здесь мы не имеем возможности представить их результаты в той форме, в которой их изложили авторы; желающие могут познакомиться с ними по статьям Н. Г. Чеботарева и А. В. Дороднова [42] и по книге Н. Г. Чеботарева [94]. В более популярной, но не столь строгой форме с результатами их можно познакомиться по книге М. М. Постникова [85] и по результатам наших попыток популяризовать эти результаты, изложенные в этом разделе.

Мы в качестве примеров рассмотрим только два случая т=2, п=1 и т=3, п=1 и покажем, как из уравнения (45) при этих значениях тип вытекает, что луночки действительно квадрируемы. Подставляя в (39) т=2, п=1, получим

(х2— I)2—2(х— 1)2х=0.. ;

После сокращения на (х—I)5 имеем

х2+1=0; Xi,2=±i=cos 20±i sin 20, модуль которых

|±i| = lcos 20±i sin 201 = 1,cos 20=0, 20=2ф'=90°.

Так как отношение центральных углов в этом случае ф : ф'= =т0 ;.п0=2 : 1, то 2ф=2(2ф') = 180°.

Это и есть 1-й случай квадрируемой луночки. При т = 3, п=1 уравнение (45) после сокращения на (х—I)2 примет вид

х44-2х3+2х +1 = [х2+ (1 — У3")х+1 ] [х2 + (1 +У3х+1)] = 0.

Уравнение

х2+(14-УЗ) х+1=0 имеет вещественные корни

которые не дадут «действительной луночки», так как в этом слу-

чае в cos 20+i sin 20 мнимая часть равна нулю, т. е. sin 20 О и 0=0, Следовательно,

Ф=ш0=О и ф'^=п0=О.

Уравнение

х2+(1—V3)x+l=0

имеет комплексные корни'- т

Ixil = |x2l = |cos 20±i sin 20| = 1, откуда получается

V3—'1уз—я

cos 20= —g— ; 20=ф'=агссо8 —-— «68,5°;

Ф=3-20 = 3-68,5 =205,5°.

Так как отрезок прямой

cos 20= ——

строится циркулем и линейкой, то можно построить циркулем и линейкой углы 0, ф и ф'. Следовательно, луночка с этими центральными углами и прямолинейная фигура, равновеликая этой луночке, строятся циркулем и линейкой.

Из сказанного вытекает: круговые замкнутые луночки будут квадрируемы циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда уравнение (45) сводится к квадратному уравнению или имеет в качестве множителя многочлен второй степени, корни которого мнимые и абсолютная величина их Г.

Попытки популяризации результатов Н. Г. Чеботарева и А. В. Дороднова

Первым математиком, предпринявшим попытку популяризации результатов Н. Г. Чеботарева, был сам автор, изложивший' в 1934 г. для студентов и аспирантов (алгебраистов) свои результаты в более доступной форме в своей книге «Основы теории Галуа» [94]. В этой книге он дает справку из истории этой задачи, дает некоторые определения. и указывает на связь алгебры и геометрии, что облегчает несколько понимание его основной алгебраической части доказательства;

Раздел в книге М. М. Постникова «Теория Галуа» [85] тоже можно рассматривать как попытку популяризации результатов Н. Г. Чеботарева и А. В. Дороднова. Правда, здесь некоторые теоремы приведены без доказательства, но знакомство с приведенными теоремами и разбор всех пяти случаев квадрируемых луночек, получающихся из [41], позволяет понять основную идею Н. Г. Чеботарева.

Более подробно изложим здесь нашу попытку популяризации доказательства основной теоремы и геометрическую интерпретацию результатов Н. Г. Чеботарева и А. В. Дороднова.

Сведение задачи к построению угла р. Н. Г. Чеботарев и А. В. Дороднов задачу о квадратуре круговых замкнутых луночек рассматривали как чисто алгебраическую. Мы. тоже будем отправляться от уравнения Чакалова. Но мы будем рассматривать и исходное для него уравнение Эйлера

nsin2mp—msin2np=0 (37)

и сведем эту задачу к построению угла p.(cosp.), являющегося общей наибольшей мерой центральных углов дуг, ограничивающих луночку, т. е. наш подход к этой задаче будет более гео- метричен.

Известно, что круговая замкнутая луночка будет квадрируемой циркулем и линейкой, если корень уравнения (III, 45) x=cosp.‘ выражается в виде рационального числа или конечной цепочки квадратных радикалов. В этом случае x=cosp. (катет прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной 1), а следовательно, и угол ц строятся циркулем и линейкой. Построив затем центральные углы Чг=2ф=2тц и Чг'=2ф'=2п|1, мы построим искомую луночку и прямолинейную фигуру, равновеликую, ей.

Например, известно, что в первом случае Гиппократа Хиосского

Чг=2ф—180°, Т'=2ф'=90° (m:n=2 : 1)

их общая мера ^ = 90°. Построив такую круговую луночку, центральный угол одной ид дуг которой 90°, а второй — в два раза Дольше, получим квадрируемую луночку, так как в этом случае выполняется (37) и отношение m к п — рациональное число 2. Прямолинейная же фигура, равновеликая ей, — прямоугольный равнобедренный треугольник, гипотенуза которого — общая хорда дуг (диаметр круга). Понытаемся выяснить, при каких же значениях тип будет выполняться (40). Очевидно, что m и п могут, быть одновременно четными числами или нечетными, или одно из (т, п) может быть четное, а второе — нечетное. Если центральные углы дуг Чг=2ф=тц и Чг,=2ф'=пр, обра-

0‘0‘зующих луночку, разделим пополам, то в случае, если шип чётные, то ц содержится целое число раз в половинах этих углов:

0‘

0‘

m

o‘ *o‘ *O' Рис. 101, а, б, в.O' Рис. 101, а, б, в.(рис. 101, а)

o‘ *

o‘ *

O' Рис. 101, а, б, в.

O' Рис. 101, а, б, в.

В случае если m и п нечетные, то будет как на рис. 101, б; случай, когда одно из этих чисел четное, а другое нечетное, показан на рис. 101, в.

Если луночка квадрируема, то площади секторов АО Ат и АО'Вп равны между собой:

Пр, п

— тр, т

Кроме того, половина общей хорды дуг

АО = Г 8Шф = Г/81Пф/=>

На рис. 99, а звеньями ломаной, вписанной во внешнюю дугу, являются отрезки

АА1=А1А2 = ’*’ = AiAi+i = ”* —Am Am=AmAm — '“2“"7~2 ТИ

= ••• =Am-1Am(B).

Обозначим каждое из них через а, и их всего т. Звенья ломаной, вписанной во внутреннюю дугу

ВВ1=В1В2 = “ =Вп-1Вп(Ат) ,

и число их равно п. Все треугольники АнОА1, где i=l, 2,..., m, равны между собой так же, как и треугольники Bk-iO'Bk, где к=1, 2, ... ,п тоже равны между собой. Кроме того, треугольники Ai-iOAi и Bk-iO'Bk подобны между собой, как равнобедренные и имеющие при вершинах равные углы р. Из подобия треугольников и из предыдущего следует, что

AiO _ Ai-iAi г _а

ВкО Вк-1Вкг' V m а'

Положив для простоты а=1, получим а' =

Докажем теперь, что при выполнении всех указанных выше условий площадь луночки 8л будет равна площади многоугольника А0А1А2 - Am(Bn)Bn-1 ■•• В1В0. Обозначим площадь этой прямолинейной фигуры через S р , а площади подобных сегментов на а и а' соответственно S а и Sa. Из △ Ai-iOAi

&™2r sin —, r=2.&™2r sin —, r=2.а12sin -~ ’а12sin -~ ’p—sing Da = p—sing Da = ^2?„ u, „ ?8sin2^2?„ u, „ ?8sin2Sa =Sa =ц — sin иц — sin и228sin2 i 28sin2 i 2

&™2r sin —, r=

2.

&™2r sin —, r=

2.

а1

2sin -~ ’

а1

2sin -~ ’

p—sing Da =

p—sing Da =

^2?

„ u, „ ?

8sin2

^2?

„ u, „ ?

8sin2

Sa =

Sa =

ц — sin и

ц — sin и

2

2

8sin2 i 2

8sin2 i 2

ТО та2 = па^ И mSa = nSa,.ТО та2 = па^ И mSa = nSa,.a2 n

ТО та2 = па^ И mSa = nSa,.

ТО та2 = па^ И mSa = nSa,.

Так как — = — a'2 m

Отсюда

8л — 8™.

Следовательно, задача построения циркулем и линейкой квадрируемых луночек и равновеликих им прямолинейных фигур сводится к построению многоугольника Sm. Но для того чтобы построить такой многоугольник, достаточно построить циркулем и линейкой угол ц. Если бы мы знали, как для различных шил построить ц, то тем самым могли бы циркулем и линейкой для всех пяти случаев квадрируемых луночек единообразным способом построить и эти луночки, и прямолинейные фигуры, равновеликие им. Но как построить угол ц для различных луночек или различных шип, чтобы число этих углов ц в цент-

ральном угле 2ф было равно да, а в угле 2ф' равно и? В этом состоит теперь задача.

Очевидно, в зависимости от того, какими средствами будем пользоваться при построении угла р или cosp, мы будем получать различное число возможных случаев. Здесь рассмотрим только, при каких значениях тип возможно построить эти углы р циркулем и линейкой.

Сведение задачи о построении угла p(cosp) к алгебраическому уравнению, отличающемуся от (39). Построение угла р для квадрируемых луночек равносильно построению хорды а, которую мы принимаем за 1, и хорды а' = |/ _ а. Угол p(cosp) зависит от m и п, или от центральных углов Чг=2ф и Ч),,=2ф' или от общей хорды дуг, образующих луночку. Общая хорда AoA™ в свою очередь зависит от р, а и а', следовательно, от да и п. Обозначим эту неизвестную нам хорду AqAb "через 2у и выразим ее через р (cosp) и а, а также через р и а'. Полухорда у равна сумме проекций Ai-iAt на А0Ат( т. е. y=SAiRi= =aS созфк. При да нечетном

шж

У=~ 4-0 S совфк, при четном да y=a S созфк.

2к = 1.к = 1

Аналогичным образом выражаем у через а' и р в случае, когда н — четное и когда п — нечетное:

пп

22

y=a' S созф'к (при п — четном) и у= -SL-J-a' 2 созф'к,к = 12к = 1

(и— нечетное).

Обозначим условно выражение у через проекции а как у = = Р8т(со8фк), а через проекции а' как y=P8n(cosq/k). фк и qA могут быть кратными ц или ~ в зависимости от четности чисел шип. Мы имеем, следовательно, два уравнения с неизвестными ц и у. Так как каждое из этих уравнений выражает АоАщ

одну и ту же величину —- , то, вычитая одно из них из другого, получим

Рат(сО8фк)—Р®'п(С08ф'к) = 2 СкСОзкфк = 0,(38)

к—о

где в зависимости от четности и нечетности тип могут быть случаи.

m — нечетное и п — нечетное, тогда п —1ш—1

Ф=ки, S =, 8=

22

Со==—~— С1 = С2== С«' = Я—Cl', C» +i = Cs'+2= ■" =Cs = Q.

m — нечетное, п — четное,

Ф= —, S=m—1, S'=n.

2

Со=—, С2=С4= ••• =С«=я, С1 = С$= ■■• =С»'=—uf.

2

m — четное, п — нечетное•

фк= ~ к, S=m, S'=n—1,

Со——■ -^-, С1=Сз= ■■• =Cs=a, Сг=С4== Cs’ =—а'.

Преобразуем теперь (38). С этой целью рассмотрим (cos u+isinu)*. Применяя формулу Муавра и разлагая по формуле бином Ньютона, получим

S I—I (isinu)k cosn-k u=cos nu+isinnu, . k-i \ к у

где — = — биномиальные коэффициенты. . При-

к к!(п — к)!

равняем вещественные части равенства:

cosnu= S (—l)af— ^ cos” 2<х usin2a u= a-0\2a /

r<n>/ X

= S (—1)®( JLlcos K~8 a u(l—cos2u)a =

a=0X2a/

r(n) a/ n \ / a \

= 22(—l)a+4—)(—) z n-2(”-v) =

a=0 v=0\2a/\/

где z=cosu. (38')где z=cosu. (38')r(n)

где z=cosu. (38')

где z=cosu. (38')

= s' a=0

Следовательно, cos к<р из уравнения (38) может быть представлен в виде

coskv= 2 Z (-^GtXv) г""2'а=0 v = 0 *\2а/\ у /

и уравнение (41) запишется

222 (—1)? Ск (—)(—) zk~2v=0,(39)

к=0 а=0 v=0\2e/\v/

, Л(к—1

где k>2v, так как v<a^r(k) = I— при к нечетном

I-L- при к четном.

Уравнение (39) — алгебраическое уравнение относительно z, степень которого — верхний предел изменения к, т. е. s. И урав- нение (39) можно записать

5 А^ Z =0, где А=к—2v,а

х=о

c^(^Xv)'c^(^Xv)'r(s—%) r(X+2v)J

c^(^Xv)'

c^(^Xv)'

A,= Z Z (-1/

v=0 a=v

где

r(s—X) = Vmair(s—X) = Vmai(s — X) — 12(s — X) — 12

r(s—X) = Vmai

r(s—X) = Vmai

(s — X) — 1

2

(s — X) — 1

2

при s—X нечетном

,s—X

иr(s—X) = —" приз—X четном.

r(X+2v)• v zX+2y \ Z a \A

Обозначив числа S (—1) (—2a/\—) чеРез T v23» будем иметьv

r(s—X)x

AA = 2 (-l)"Cx+2, Tv . v=0

И окончательно получим уравнение

Sr(s—Л)

52 (-1)" Cx,2v TXV ZX=0,(40)

X=o v=0+z

где z=cosp. При m нечетном и п нечетном (m>n)

S=—,S'=С,-

2’2 .2

С1 = С2= *" =Cs = a—a , z — cos— •

2при m нечетном (четном) и п четном (нечетном)а / а1 \8=т—1, S'=n-1, Со=у(-Т),

Сг(С1) =С4(Сз) = ••• —Сз=а,С1(С2)=Сз(С4)= - =С==— a\a'Y

Уравнение (40) и есть то уравнение, решение которого должно дать корни, соответствующие квадрируемым луночкам, при условии, если оно неприводимо. Степень этого уравнения, как видно, определяется числом s. Мы предполагаем, что оно не должно быть больше 2, так как корни его должны строиться циркулем и линейкой.

Из предыдущего известно, что s связано с m и п такими pain—1

веиствами: s= —-— при шип нечетных и при ш>п, следо-

m — 1

вательно, —— ^2, откуда т^о, т. е. при т=5 п=1, 3,

а при т=3 п=1. При т четном (нечетном) и п нечетном (четном) s=m—1^2, т. е. ш<3. Тогда т=3, п=1, 2, а при т=2> п= 1.

Таким образом, мы получили все пять случаев квадрируемых круговых луночек циркулем и линейкой.

(m:n=2: 1, 3 : 1, 3 : 2, 5: 1, 5:3).

Отдельные места этой теории, как видно, еще требуют уточнений и более строгих обоснований.

Построение циркулем и линейкойквадрируемых круговых замкнутых луночеки прямолинейных фигур, равновеликих им

Посмотрим теперь, как можно воспользоваться полученными результатами при нахождении угла p(cosp=z) в пяти указанных случаях.

Пусть m=2, n=l, m : n=2 : 1. Тогда из предыдущего следует, что

цп — 1

z=cos—, s=m—1 = 1 s'=, а=1,

22

a'=V2; Со=—-^ , ^ = 1.

Находим

Ао=Со=— -^ , Ai = Ci = l.

Уравнение относительно cos -^- в этом случае примет вид cos-^- ~“^"=^’ откуда cos -^- = ~. и ц=90°,

т=3, п==1, т:п=3:1. Тогда в уравнении (40) будет

1уз”

z=cosp, s=l, s'=0, a'=УЗ, Cq—, C] = l.

r(l) v -o-.

Ao= 2 (—1) C2v K,v=0_

I—уз где г(1) =0 и Ао=СоТ°о= ——,

Ai= V (—1УС1+2мТ\ =CiT'o=l, так как г(0) =0, то Т'о=1. v=O

Следовательно, уравнение (40) в этом случае будет 1-УТ.уз~ 1

—hcosp=0 и cosp= -^— •

m=3, n=2, m : п=3:2.

Уравнение (40) в этом случае после нахождения коэффициентов будет

2cos-^--l/»lc„aL=o.

2 У 2,22

Действительно, в этом случае

s=2, s'=l, а=1, а'= 1/ ^-;

Со— “» Ci = — 1/ ^-, C2=l, z = cos “> Ao — Co—C2 =

I

22—1= — —;

2

2

2

Ai = Ci——V^-y , A2— 2C2— 2.

После подстановки этих величин в (40) мы получим указанное уравнение. Решая его относительно cos ~ э находим cos ~ -

Л ~ . /~

Г 2 у Т

= ^' . Второй же корень, модуль которого

4

больше единицы, не пригоден.

in —5, n = 1, m: п = 5: 1.

В этом случае

а=1, #'=1'5, s=2, sz=0, Со = —-—, Ci = С2= 1,

А о—Со—С2 =——^, Ai = Ci = l, А2=2С2=2, z=cosp.

Уравнение (40) примет вид

Aoz°+Aiz1 +A2z2 = 0

или__

о 11+У5

C0S2p+ 2 COSjul— —— =0.

Решая его, находим

• —1+}^5+4У1Г2 V

cosu= = .

44

Второй корень уравнения не подходит.

5/т = 5, п = 3, т : п = 5 : 3.

т—1*п—1# в / ~5~

z = cosp, s=—~ =2, s'= —2— 1, «=1, af= |/ — ,

18 С. Е. Белозеров273

гдеr(s—X) =гдеr(s—X) =r(s—X)'xC2=1,Aa = S (-1) Сх + 2Л- v —0r(s—X)'xC2=1,Aa = S (-1) Сх + 2Л- v —0s—л.—1 при s—Л нечетномs—л.—1 при s—Л нечетном-—— при-s—Учетном, Ao— 2 (—Ip C2vT^ ,2v=0-—— при-s—Учетном, Ao— 2 (—Ip C2vT^ ,2v=0HOHO1^=11^=1

где

r(s—X) =

где

r(s—X) =

r(s—X)'x

C2=1,Aa = S (-1) Сх + 2Л- v —0

r(s—X)'x

C2=1,Aa = S (-1) Сх + 2Л- v —0

s—л.—1 при s—Л нечетном

s—л.—1 при s—Л нечетном

-—— при-s—Учетном, Ao— 2 (—Ip C2vT^ ,

2v=0

-—— при-s—Учетном, Ao— 2 (—Ip C2vT^ ,

2v=0

HO

HO

1^=1

1^=1

Ai = S (-1)VC1+2X r(l)=0,v=0

ТогдаТогда

Тогда

Тогда

Зная числовые значения cosp для пяти квадрируемых луночек, перейдем теперь к построению циркулем и линейкой квадрируемых луночек и прямолинейных фигур, равновеликих им. Известно, что Гиппократ Хиосский показал, как строятся квадрируемые луночки и прямолинейные фигуры, равновеликие им в трех случаях (m:n = 2:l, 3:1, 3:2). В каждом отдельном случае, как видно из 1-й главы, Гиппократ применяет особый способ по

строения.

Наши соображения, изложенные выше, позволяют единообразным способом строить все пять квадрируемых луночек и прямолинейные фигуры, равные по площади этим луночкам.

Мы уже показали (см. стр. 267), что если луночка квадрируемы и если мы знаем, как построить угол ц — наибольшую общую меру центральных углов дуг, образующих луночку, те площадь многоугольника, «вписанного» в луночку, равна площади этой луночки.

Теперь мы знаем, чему равны косинусы углов ц для всех пяти случаев квадрируемых луночек. Причем из предыдущего раздела видно, что все эти косинусы углов ц представляют конечные цепочки квадратных радикалов. Следовательно, все отрезки прямой, равные этим косинусам, можно построить циркулем и линейкой.

Рассмотрим все пять случаев; эти задачи решаются циркулем с переменным раствором и линейкой без делений.

ш=2, п=1, р= -у-. Построим Z-COB = p=-y (рис. 102, а), строим а=СВ = 1, Радиусом ОВ описываем внешнюю окружность АСВ. Из точки В проводим BOi |)АС до пересечения с продолжением СО в точке Оь Эта точка — центр второй дуги луночки, а радиус ее OiB:

Z-COB—Z-ACB—zlAChBty') — -^; Z.AOB(4Q =л.

Л

Отношение— =2:1. Следовательно, построена

соответствующая луночка и прямолинейная фигура ДАСВ, площадь которого равна площади этой луночки.

ш=3, n—1, m: n=3: 1. На прямой РР' от точки О отло-

жим отрезок cosp— —$—_ = OL (рис. 102, б). Строим пря

моугольный треугольник OL.M так, чтобы ОМ=1, тогда Z_MOL—р. Теперь строим равнобедренный треугольник А2ОАз по данному углу р и основанию А2А3=а=1. Из точки О радиусом ОА2 опишем внешнюю дугу луночки и впишем в эту дугу три стороны многоугольника АзА2А1А0, где

A2A3=A2Ai = А1А0=а= 1.

Соединим точки Ао, Аз; Из точки А3 проведем АзО'||А2О и из точки Ad — прямую, параллельную А2А3 до пересечения с А3(У. Из точки О' радиусом АоО' опишем дугу «внутренней окружности». Луночка А0А1А2А3ВА0 удовлетворяет указанным требова-

ниям.и площадь ее зл равна площади построенной трапеции

А0А1А2А3..

т=3, п=2, т : п = 3 : 2.

Строим

(рис. 102, в).(рис. 102, в).

(рис. 102, в).

(рис. 102, в).

Затем строим равнобедренный треугольник А3ОА2 по углу ц при вершине и основанию А2Аз=1. Радиусом ОАз описываем внешнюю дугу окружности и вписываем в нее ломаную линию со звеньями

АзА2 = A2Ai = AiAo= 1.

Чтобы получить центральный угол внутренней дуги луночки, проведем из Ао и А3 прямые, параллельные прямым, соединяющим 'Середины AqAi и АгА3 с точкой О. Проведем AoO'HNiO и A3O,||N2O. Из точки их пересечения О' как из центра радиусом АоО'= р^4 ОАз опишем внутреннюю дугу окружности, середину которой В соединим с А» и Аз, тогда

8л =8мА0А1А2АзВА0.

m=5, n=l, m : n = 5 : L

Строим

2 ]/ У5(1+1/cosp= И Z_p (рис. 102, г),

равнобедренный треугольник А3ОА4 по углу при вершине (р) и основанию A5A4—I. Радиусом ОА3 описываем внешнюю окружность и вписываем в нее звенья ломаной

А5А4 — А4А3 = А3Аг —А2А1 = А[ Ад = 1.

Проведя из Ао прямую АО'||ОА2 и из As прямую AsO'HOAs, найдем центр внутренней окружности.. Радиусом О'Ао опишем дугу внутренней окружности и получим луночку, удовлетворяю-

'0,

Рис. 102.

тую указанным условиям. Соединив прямой точки Ао и А5, получим S-1 = 8А0АрХ2АзА4Л5.

т —5, п —3, т : п = 5 : 3.

Строим

I з у зД 2 1 V 3 ) cos р -

я угол A4OAs=p. Затем, как и в предыдущих случаях, строим равнобедренный треугольник по р и А4А5—я=1. Радиусом ОА5 описываем внешнюю дугу окружности и вписываем в нее

А5А4=А4Аз=А3А2=А2А1=А1Ао= 1. (рис. 102,5).

Проведя AsO'||A4O и AqO'HAiO, находим центр и радиус внутренней окружности. Проведя из точки О' как из центра радиусом О'Ао дугу, построим ^В2О'А5(Вз) =ц. Впишем в эту дугу ломаную, звенья которой

В3(А5)В2=В2В1 = В1Во(АоУ=а,= р^ у.

Получим искомую луночку, удовлетворяющую указанным условиям и прямолинейную фигуру, равновеликую этой луночке:

8л = 8™(АоА1А2АзА4А5(Вз)В2В1Во(Ао).

Построение указанных и других луночек и прямолинейных фигур, равновеликих им, возможно и другими единообразными способами.

Полученные нами результаты при ограничениях, наложенных на S (см. стр. 271 и 280), разумеется, не являются решением проблемы, а только иллюстрацией.

Квадратура круговых замкнутых луночекс помощью конических сечений

Задача эта была поставлена Н. Г. Чеботаревым в «Успехах математических наук» (1938, вып. 4). В терминах теории групп он сформулировал ее так: найти все значения тип, при которых группа Галуа уравнения

или какого-нибудь его неприводимого множителя f(x) имеет порядок, равный 2а-3 .

Иначе говоря, требовалось отыскать такие взаимно-простые целые числа m и п, чтобы корни неприводимого уравнения f(x)=O,

к которому сводится (40'), или являющегося множителем (40'), можно было построить при помощи конических сечений, т. е. решение (40') должно сводиться к решению уравнений 2-й, 3-й и 4-й степеней, корни которых строятся циркулем и линейкой и с помощью конических сечений.

Решением этой задачи занимались казанские математики. В 1940 г. А„ В. Дороднов защитил на эту тему кандидатскую диссертацию и в 1945 г. опубликовал большую работу «О круговых луночках, квадрируемых при помощи конических сечений» [41]. В 1957 г. под тем же названием появилась статья Л. М. Берковича [10].

m—пm—пПредставив (40') в виде

m—п

m—п

Дороднов рассмотрел один, из этих множителей и доказал предварительно ряд теорем. Затем, используя метод Чеботарева, А. В. Дороднов получил расширенный ряд значений тип (по сравнению с квадратурой циркулем и линейкой), при которых круговые замкнутые луночки квадрируются при помощи конических сечений. Число их увеличивается до 15, включая и пять видов, квадрируемых циркулем и линейкой.

iii=2,п = 1;6.т = 5,п=1;И.т=7,п=3;

т=3,п=1;7.т=5,п=2;12.т=7,п = 5;

т = 3,п=2;8.т=5,п=3;13.т = 9,п=1;

т=4,п=1;9.т = 5,п=4;14.т = 9,п=5;

т=4, п=3;10. т=7, п = 1;15. т=9, п=7.

. То^что случаев квадрируемых круговых замкнутых луночек всего 15, мы показываем, идя другим путем, используя наши ре

зультаты, изложенные выше (стр. 270). Уравнение 2 АХ г^= Х=о

= 0 — общее уравнение квадратуры алгебраических круговых

_m—1

луночек — имеет степень 8= , когда m и п нечетные и

2

S=m—1, когда одно из этих чисел четное, а другое нечетное.

Чтобы корни этого неприводимого уравнения строились с~ помощью конических сечений, необходимо и достаточно, чтобы S<4, так как только корни таких уравнений могут быть построены циркулем, линейкой и комическими сечениями. Следо-

m —1

вательно, при тип нечетных — — <4 или т<9, а при одном

из этих чисел четном m—1^4 или т^5. Зная, что тип взаимно-простые целые числа и n<m, надо теперь рассмотреть все возможные случаи. Как видно, m может принимать значения 2, 3, 4, 5, 7, 9, ап — 1, 2, 3, 4, 5, 7, а всего квадрируемых луночек с помощью конических сечений 15.

Используя из того же раздела метод единообразного построения квадрируемых луночек и прямолинейных фигур, равновеликих им с помощью построения угла p(cosp), мы можем построить все эти 15 луночек, пять из которых, как известно, строятся и с помощью циркуля и линейки.

Мы рассмотрим здесь для примера только случай m:n = =4: 1, который рассматривал еще Виет (см. стр. 123). Но наш метод построения не имеет ничего общего с методом Виета. Подставим значения т=4 и п=1 в уравнение квадратуры алгебраических луночек n(xm—1)—тхв"л (хп—1)2=0 и заменив х+ — через у, х2+ — через ) у2—2 и х3+ ~ через

X X2 х3

у3—Зу получим: у3+2у2—4=0. Разделив левую и правую часть

4

на у, получим у2+2у= :— = z. Затем находим точки пере- У

сечения параболы (у+1)2—l=z и гиперболы zy=4, у=4. Опустив из точки пересечения М перпендикуляр на оу, получим y=2cos20. Зная cos 20, мы строим луночку и прямолинейную фигуру, равновеликую ей так, как указано выше. Так же можно поступать во всех 15 случаях квадратуры луночек.

Таким образом, показывается, что . уравнение (40') есть уравнение квадратуры всех луночек, площади которых выражаются через алгебраические величины. Используя это уравнение, мы сквадрировали луночки m:n=6:l и 6:5 уже с по-" мощью других средств.

Заметим еще: так как-уравнение (40') получено из m sin20— —nsin2m0=O, а последнее получено из предположения, что сектора дуг, ограничивающих луночку, равны между собой, то можно утверждать, что у «алгебраических луночек», квадриро- вание которых сводится к (4Q'), сектора равны, и корни их

уравнений находятся с помощью алгебраических кривых соответствующих порядков или с помощью других методов, в том числе ЭВМ. Число таких луночек, очевидно, бесконечно ве

лико.

Что касается «трансцендентных луночек», то квадрирование их не сводится к (39'); их площади находятся по общим фор

мулам:

S« (вып- BorH ) = tt2S« (вып- BorH ) = tt2—- — —— +ctgp—ctga

S« (вып- BorH ) = tt2

S« (вып- BorH ) = tt2

sin2a sin2p

8л (ДВ.8л (ДВ.вып«) = д2вып«) = д2asin2aasin2aPsin2pPsin2p—ctga—ctgP—ctga—ctgP

8л (ДВ.

8л (ДВ.

вып«) = д2

вып«) = д2

a

sin2a

a

sin2a

Psin2p

Psin2p

—ctga—ctgP

—ctga—ctgP

или с помощью других средств, в том числе с помощью определенных интегралов.

Следовательно, круговая замкнутая луночка квадрируется циркулем и линейкой, если она алгебраическая, а ее уравнение' (40') будет квадратным или будет иметь множителем многочлен не выше второй, степени, имеющий комплексные корни, абсолютная величина которых 1.

Круговая замкнутая «алгебраическая луночка» квадрируется с помощью конических сечений, если (40') или какой-нибудь его неприводимый множитель будет не выше четвертой степени,, а его комплексные корни по абсолютной величине равны 1.

Следовательно, любая «алгебраическая луночка» квадрируется с помощью соответствующих алгебраических средств. Приближенное квадрирование их возможно с помощью тех средств, которые позволяют найти приближенные значения корней (40')24, в том числе и с помощью ЭВМ.

Круговые открытые луночки

Математики XVII и XVIII столетий, начавшие разработку теории квадратуры открытых -круговых луночек, ограничивались только квадратурой частей одной луночки (1-й случай Гиппократа Хиосского, см. II главу). В дальнейшем в связи с развитием интегрального исчисления вопрос о квадратуре криволинейных фигур, в том числе и открытых луночек, циркулем и линейкой перестал быть актуальным. Вилейткер и Гофман в своей работе [148] напомнили современным математикам о существовании этой проблемы и указали на то, что некоторые вопросы ее могут представлять интерес и для современной элементарной геометрии. Правда, сами они ограничились только изложением результатов Чирнгауза, Перкса, Лошигаля и Крафта, не рас-

-смотрев новых теоретических вопросов. Но их работа послужила толчком для работ некоторых студентов-дипломантов РГУ, которые под руководством сотрудников кафедры высшей математики получили, на наш взгляд, ряд новых интересных результатов. Изложим здесь некоторые из них.

Мы доказываем, что ту же открытую луночку, которую квадрировали Чирнгауз и Г тим способом. Пусть дана

:, можно сквадрировать и дру- чка Гиппократа ACBCiA (1-й случай). АВ-LCD. Возьмем на АСВ произвольную точку М и соединим ее с О и 01, соединим А и 01, на О А от точки N (рис. 103) отложим отрезок NT=NO и проведем TZ||OM. Тогда So-л-амв = Sao^t = = Sao1k. Но при этом следует рассмотреть случаи, когда NT=NA и NT>NA.2. Гиппократова луночка (1-й случай) может быть разделена лучами из той же точки 01 на п равновеликих частей, и каждая из этих частей, («открытая луночка») будет квадрируема. Действительно, (см. рис. 103). Высота этого:, можно сквадрировать и дру- чка Гиппократа ACBCiA (1-й случай). АВ-LCD. Возьмем на АСВ произвольную точку М и соединим ее с О и 01, соединим А и 01, на О А от точки N (рис. 103) отложим отрезок NT=NO и проведем TZ||OM. Тогда So-л-амв = Sao^t = = Sao1k. Но при этом следует рассмотреть случаи, когда NT=NA и NT>NA.2. Гиппократова луночка (1-й случай) может быть разделена лучами из той же точки 01 на п равновеликих частей, и каждая из этих частей, («открытая луночка») будет квадрируема. Действительно, (см. рис. 103). Высота этогоРис. 103.Рис. 103..известно, что-8л.АБво=8Ддд1а

:, можно сквадрировать и дру- чка Гиппократа ACBCiA (1-й случай). АВ-LCD. Возьмем на АСВ произвольную точку М и соединим ее с О и 01, соединим А и 01, на О А от точки N (рис. 103) отложим отрезок NT=NO и проведем TZ||OM. Тогда So-л-амв = Sao^t = = Sao1k. Но при этом следует рассмотреть случаи, когда NT=NA и NT>NA.

2. Гиппократова луночка (1-й случай) может быть разделена лучами из той же точки 01 на п равновеликих частей, и каждая из этих частей, («открытая луночка») будет квадрируема. Действительно, (см. рис. 103). Высота этого

:, можно сквадрировать и дру- чка Гиппократа ACBCiA (1-й случай). АВ-LCD. Возьмем на АСВ произвольную точку М и соединим ее с О и 01, соединим А и 01, на О А от точки N (рис. 103) отложим отрезок NT=NO и проведем TZ||OM. Тогда So-л-амв = Sao^t = = Sao1k. Но при этом следует рассмотреть случаи, когда NT=NA и NT>NA.

2. Гиппократова луночка (1-й случай) может быть разделена лучами из той же точки 01 на п равновеликих частей, и каждая из этих частей, («открытая луночка») будет квадрируема. Действительно, (см. рис. 103). Высота этого

Рис. 103.

Рис. 103.

треугольника (AOiB) равна R, а основание AB=2R. Разделим АС на п равных частей и соединим эти точки деления- (С») (к=1, 2, ... п) с точкой Оь Из точек Ск восстановим перпендикуляры к АВ до пересечения с дугой АСВ в точках Ак. Соединим Ак с Oi прямыми АкОь пересекающими дугу ADC в точках’ Вк. Тогда треугольники Ск-i О]Ск (с равными площадями) бу- .дут равновелики «открытым луночкам» Bk-iAk-iAkBk.

Следовательно, для гиппократовой луночки (1-й случай) справедлива теорема: «любой кусок» этой луночки, заключенный между двумя лучами, проведенными из Оь квадрируется циркулем и линейкой и площадь его равновелика соответствующему треугольнику.

Можно доказать, что если луч, пересекающий дуги гиппократовой луночки (1-й случай), не проходит через точку Оь то открытая луночка не квадрируема циркулем и линейкой.

Рассмотрим гиппократову луночку, для которой m : п= = 3:1. Возьмем на внешней окружности точку М. Из точки Оь

Мы доказыМы доказыпроводим OjE так, чтобы Z.AOiE = j_ Z-AOM.

Мы доказы

Мы доказы

ваем, что открытая луночка АЕМ будет квадрируема только в тех случаях, когда угол АОМ делится на три равные части циркулем и линейкой. Действительно, пусть луночка образована дугами окружностей с радиусом AO=r, AOi = R=rl3 (рис. 104). Возьмем точку М такую, чтобы угол АОМ=а<ф делился ла три равные части циркулем и линейкой.

Построим угол АО]Е = — — а. Тогда площадь сектора АОМ равна площади сектора АО[Е. Соединим точки М и Е. Рассмотрим открытую луночку АЕМ: So лав м = — БАдор—Smefo. Следовательно, луночка в этом случае квадрируема циркулем и линейкой.

Известно, что все углы ял

—вида -— (п=1, 2 ...)

22п

делятся на три равные тасти. Следовательно, открытых лу

ночек, квадрируемых цирку

лем и линейкой, в этом случае бесконечное множество. В случае, когда рассматривается луночка Гиппократа m : п—3 : 2, строим Z_AOiE = у- Z.AOM, соединяем М и Е, и открытая луночка АМЕ "будет квадрируемой.

Если квадрируемые луночки m : n=5 : 1 и 5 : 3, то угол АОМ следует брать таким, чтобы он делился циркулем и линейкой

,1з

на 5 частей,-тогда при углах AOiE равных — zLAOM и —-

Z-AOM будут получаться открытые луночки АЕМ, квадрируемые циркулем, и линейкой. Но здесь еще не все вопросы до кон- да выяснены.

Было бы, по-видимому,' интересно рассмотреть и вопрос о квадратуре открытых круговых луночек, получающихся как части луночек, квадрируемых с помощью конических сечений и с помощью других алгебраических средств. Класс квадрируемых ■открытых круговых луночек, очевидно, расширится, если при де-

лении угла АОМ на равные части прибегать к помощи средств, отличных от циркуля и линейки25.

Некруговые замкнутые и открытыелуночки

Из II главы известно, что луночки, ограниченные дугами «двух каких-либо кривых», впервые стали рассматривать математики XVIII в. Вилейтнер и Гофман напомнили об этих исследованиях и дополнили их своими результатами [148]. В этом резделе мы изложим отдельные результаты наших исследований.

О некоторых понятиях, связанных с некруговыми луночками. Некруговой замкнутой луночкой будем называть часть плоскости, ограниченной дугами любых двух кривых, имеющих общую хорду, которая в предельном случае может обратиться в нуль. Открытой некруговой луночкой назовем часть плоскости, ограниченной дугами двух кривых, которые могут иметь не более одной точки пересечения, и одним или двумя отрезками прямой. Очевидно, что определения круговых замкнутых и открытых луночек можно рассматривать как частный случай указанных здесь определений. При классификации этих многообразных луночек,. зависящих от характера плоских кривых, мы выделяем прежде всего луночки, ограниченные дугами конических сечений. Последние естественно разделить на эллиптические, параболические, гиперболические и смешанные.

Остальные некруговые луночки нами пока совсем не изучались. Некруговые луночки тоже делятся на алгебраические и трансцендентные. Некруговые трансцендентные луночки не квадрируются с помощью алгебраических средств.

Понятие квадратуры некруговых луночек циркулем и линейкой существенно отличается от аналогичного понятия для круговых луночек. Когда говорят о квадратуре круговых луночек, то имеют в виду построения и самой луночки, и прямолинейной фигуры, равновеликой этой луночке, только с помощью циркуля и линейки; в то. время как некруговая луночка строится не циркулем и линейкой. Следовательно, речь здесь идет о том, чтобы из числа некруговых алгебраических луночек, лостро-' енных не с-помощью циркуля и линейки, выделить те, площади которых выражаются рациональными числами или квадратичными иррациональностями, для которых только и можно циркулем и линейкой построить равновеликие квадраты.

Эллиптические луночки. Естественным обобщением круговых замкнутых и открытых луноуек явились эллиптические замкнутые и открытые луночки. Отправляясь от работ Крафта и 284

Ленберга (см. II главу) и от работы Вилейтнера и Гофмана [160], мы получили некоторые новые результаты.

При пересечении двух эллипсов в четырех действительных точках образуются четыре эллиптических замкнутых выпукло- вогнутых луночки. Но мы рассматриваем только те эллиптические луночки, которые образуются дугами двух эллипсов, пересекающихся в двух различных точках или в двух точках, слившихся в одну (касающихся изнутри). Эллиптические луночки могут быть выпукло-вогнутые и двояко-выпуклые, алгебраические и трансцендентные. Квадрируются из них циркулем и линейкой только те площади, которые выражаются рациональными числами и конечной цепочкой квадратных радикалов.

Используя метод афинных преобразований, мы показываем, что замкнутых эллиптических луночек, квадрируемых циркулем и линейкой, бесчисленное множество. Это следует из того, что пять видов круговых квадрируемых луночек при афин- ном преобразовании переходят в пять классов квадрируемых эллиптических луночек. Известно, что эллиптические луночки характеризуются шестью параметрами фь ф2, <^ь а2, ri и г2. Изменение даже одного или нескольких параметров приводит к луночкам, не получающимся из прежних никакими афинными преобразованиями. Следовательно, существует бесчисленное множество афинно-отличных квадрируемых луночек. 'Например, при ф1 = 90°, ф2 = 45° и при любых алгебраических ai, a2, ri и г2 можно доказать квадрируемость луночки Ленберга методом Вилейтнера-Гофмана.

Сравнительно просто доказывается неквадрируемость двояковыпуклых эллиптических луночек, для которых ф1 = р©, ф2= — q©, sin©, гь Ci, r2, С2 — .при афинном преобразовании эллипса в окружность являются алгебраическими числами. Вычисляя площадь этой луночки как сумму двух эллиптических сегментов, получим

Sa Л =С1Г1(ф1—8Шф1 СО8ф1) + С2Г2(ф2—ЗШф2 СО8ф2) .

Считая, что

АВ = 2С 18Шф 1=2С28Шф2 = 2, получаем

1

Ci= , С2= -,

51Пф181Пф2

откуда

с Г1Ф1. г2ф2.3 х

Ьэ.л.=Г1СО8ф1+ Г2СО8ф2(41)

81Пф18Шф2

(Sa. Л .+rtcosp0+r2cosq0 sinp0sinq0и©^ .(42)

ripsinq0+r2qsinp0

Так как числитель и знаменатель—числа алгебраические, то и 0 — алгебраическое число. Но 0 и sin0 одновременно алгебраические только при 0=0, что не дает луночки. Знаменатель (42) в нуль не может обратиться при 0^0, так как

ri р sin q©4-ro q sin p0>O (0<фь фг<л).

Теорема доказана.

Для выпукло-вогнутых эллиптических луночек, для которых sin©, ri, г2, Г1С08ф1—г2со8ф2 являются квадратично-иррациональными числами в силу [1], будут алгебраическими числами

Г1С18Шф1—Г2С2СО8ф2 и площади их

8э л. = пС1 (ф1—8Шф1 *СО8ф1)— Г2С2(ф2—8Шфг СО8ф2) =

= —Г1 С18Шф 1 СО8ф 1 + Г2С28Шф 2 ’ СО8ф2

квадратично-иррациональные числа; т. е. луночки квадрируемы. Необходимым и достаточным условием квадрируемости этих луночек является равенство площадей, соответствующих секторов или

г^ф^ГгСгфг.

Еще проще доказывается теорема о том, что в предельных случаях, т. е. когда второй эллипс касается первого в одной или двух точках, эллиптические луночки не квадрируемы. Проектируя круговые замкнутые квадрируемые луночки и открытые луночки, связанные с ними, и пользуясь теоремой о том, что при афинном преобразовании равные площади переходят в равные, показывается, что открытые круговые квадрируемые луночки переходят в квадрируемые открытые эллиптические луночки и наоборот. Можно* рассмотреть и те эллиптические луночки, которые получаются при афинном преобразовании из круговых луночек, квадрируемых с помощью конических сечений.

Параболические луночки. Нам неизвестны из литературы примеры квадратуры параболических замкнутых и открытых луночек. А между тем легко показывается квадрируемость широкого класса параболических луночек, если опереться на тео-

" 4

рему Архимеда: площадь сегментов параболы равна — площади треугольника с тем же основанием и с той же высотой, что и, сегмент. Действительно, если даны уравнения двух пара- 206

бол y2=pix и у2=р2х, пересекающихся в точках Mi (хь yj и М2 (х2, у2), в данном случае xi = x2 и yi=—у2. Проводя общую хорду М]М2, получим два параболических сегмента. Если пло-

44

щадь одного из них Sc = —SA, а площадь другого S'c = —S'a^. зз

то площадь параболической луночки Sn-л. равна разности пло- .4

щадей сегментов, т. е. Sn-n—Sc—S'c= — [SA—S'A]. Эта величина может быть построена циркулем и линейкой, если указанные треугольники строятся циркулем и линейкой, это спра- ведливо и для парабол с уравнениями более общего вида. Таких квадрируемых луночек, очевидно, бесконечное множество. Если провести теперь прямую, пересекающую дуги парабол, образующих луночку так, чтобы и координаты точек ее пересечений: были квадратично иррациональными величинами, то полученные открытые параболические луночки будут тоже квадрируемы.

Гиперболические луночки. Нам тоже неизвестны случаи,, чтобы рассматривались кем-либо вопросы, связанные с квадратурой гиперболических луночек. Мы пока не нашли ни одной гиперболической луночки, квадрируемой циркулем и линейкой.

Смешанные луночки. Эти луночки ограничены дугами раз- ' личных кривых. Они совсем мало исследованы. Известны частные случаи, когда луночка, ограниченная дугой эллипса и окружности квадрируема; открытая луночка, ограниченная дугой циклоиды и окружности, тоже квадрируема. Во многих случаях эти луночки не квадрируемы. Но общих теорем пока нет26.

Теория квадратуры круговых луночекв плоскости Лобачевского

Эта теория появилась совсем недавно, и создана сна исключительно советскими математиками.

Первые попытки рассмотрения круговой замкнутой луноч-. ки и квадратуры ее в плоскости Лобачевского были сделаны Д. Д. Мордухай-Болтовским и А. С. Смогоржевским. Д. Д. Мор- духай-Болтовской в начале 1950 года написал небольшую статью «О луночках Гиппократа на плоскости Лобачевского». В ней он показал, что круговая замкнутая луночка, ограниченная дугой данной окружности и дугой окружности, для которой сторона правильного шестиугольника, ©писанного в круг, является диаметром, будет в плоскости Евклида неквадрируемой, а в плоскости Лобачевского она может быть и квадрируемой,

в зависимости от R (ch R). Он показал, что в плоскости Лобачевского квадратура круговых замкнутых луночек связана с квадратурой круга более тесно, чем в плоскости Евклида. Но Д. Д. Мордухай-Болтовской не успел опубликовать эту работу, и рукопись ее хранится в Ленинградском отделении Архива АН СССР(ф. 821, on. 1).

А. С. Смогоржевский (1896—1969) .в своей книге «Геометрические построения б плоскости Лобачевского» (1951 г.) дал конкретный пример квадрируемой луночки в плоскости Лобачевского, подтверждающий теоретические соображения Д. Д. Мордухай-Болтовского. Он взял, в частности, квадрируемый круг

138+5

с радиусом R, для которого chR = ———t Те е.

88

m = 5-<n=8=23 — число Гаусса, Круг, построенный на стороне правильного вписанного 6-угольника, тоже квадрируемый. Тогда (рис. 105), обозначив площадь луночки 8л-, площадь большего круга—Si, меньшего—S2, площадь треугольника АОВ—о и угол 6-угольника — i|), он получает

68л-+81=382+6о=> 8л = — S2+o— — 8Ь

НО

Si = 4nsh2“- — 2л (ch R—1)= ”“, S2=4nsh2 — —

Зл

=2л (ch АМ—1) = — , 8б=6а=л(6—2)—6+

Следовательно, площадь каждой из шес-

_31

ти луночек ол-= — л—ф; для квадрируе- 48

, мости должно выполняться

S л. = 8кв = 2 л—4а.

Луночка считается квадрируемой, если угол равновеликого ей квадрата строится циркулем и линейкой. В данном 65.

примере угол квадрата а= лЧф

строится циркулем и линейкой, так как 192 — число Гаусса, а угол — ф получается из ф делением на 4 части. Следователь

но, рассмотренная луночка квадрируема. Так было положено начало квадратуры круговых луночек в плоскости Лобачевского.

По аналогии с примером А. С. Смогоржевского студенты РГУ сначала тоже ограничивались подбором таких числовых значений для chR, которые давали бы квадрируемые луночки. Таких примеров можно найти много. Затем мы перешли к решению некоторых теоретических вопросов и к систематизации тех результатов, которые представляли, бы более или менее стройную теорию квадратуры круговых луночек в плоскости Лобачевского. Здесь мы кратко излагаем основные результаты этих и&следований, о которых, нам думается, можно говорить уже как об основах теории квадратуры, круговых замкнутых луночек, более подробно этот раздел, возможно, удастся изложить в нашей книге «Луночки», которую предполагают издать через 2—3 года.

Классификация круговых луночек в плоскости Лобачевского. Круговая луночка в плоскости Лобачевского так же, как и в плоскости Евклида, есть часть плоскости, ограниченной дугами двух окружностей, имеющих общую хорду. Они могут быть выпукло-вогнутые и двояко-выпуклые, алгебраические и трансцендентные, квадрируемые и неквадрируемые циркулем и линейкой. Квадратура круговых луночек в плоскости Лобачевского существенно отличается от квадратуры их в плоскости Евклида. Под квадратурой луночки в плоскости Лобачевского понимается возможность построить циркулем и линейкой угол квадрата, равновеликого данной луночке. Число квадрируемых луночек в плоскости Лобачевского зависит от радиусов окружностей, образующих луночки и от класса (типа) луночки; оно бесконечно. Здесь необходима более детальная классификация круговых луночек. Назовем луночками первого типа выпукло-вогнутые луночки, внешний обвод которых—дуга окружности- большего круга (рис. 106); луночки второго типа—выпукло-вогнутые, внешняя дуга которых — дуга окружности, меньшего круга (II). Двояко-выпуклую луночку AAiBBi назовем луночкой третьего типа.

(43)289(43)289Но для .квадратуры луночек и указанная классификация недостаточна. Обозначив линию центра двух окружностей O1O2 через d, можно утверждать, что две окружности образуют луночки I, II и III типа, если

(43)

289

(43)

289

R—r=5d<R+r.

19 С. Е. Белозеров

рому классу (рис. 107, в),рому классу (рис. 107, в),

рому классу (рис. 107, в),

рому классу (рис. 107, в),

Очевидно, что круговые луночки в плоскости Лобачевского, так же как и в плоскости Евклида, можно характеризовать с помощью треугольника OiAO2. Луночки вообще характеризуются четырьмя параметрами: R, г, ф и ф (см. рис. 106). Но число независимых параметров, характеризующих луночки, может быть три и два, так как один из этих па

раметров можно выразить через остальные, а некоторые из параметров могут оказаться фиксированными.

Луночки, для которых R—r=d„ назовем луночными нулевого класса. Очевидно, что в нулевом классе могут быть только луночки первого типа. Это> луночки со сходящимися концами (рис. 107, а). Отнесем луночки, для которых AOiO2A> —'

(рис. 107, б),—к первому классу, если АО]О2А = — —ко вто

« л

при zLOiO2A< — — к третьему

классу (рис. 107, г).

Все луночки нулевого класса образуют двупараметрическое семейство, так как два параметра из четырех фиксированы

Ф=Ф = 2л.

Луночки первого «класса образуют трехпараметрическое семейство, так как параметры связаны соотношением

Фф

sh К sin — =sh г sin —.(44)

22

Луночки второго класса — двупараметрические, так как ф = л и

Ф shr=shRsin — .(45)

Все луночки третьего класса образуют трехпараметрическое семейство, так как их параметры связаны соотношением (44). Указанную классификацию круговых луночек можно считать абсолютной, так как она является общей для геометрий Евклида и Лобачевского. Только в геометрии Евклида (44) и (45) будут соответственно

ФФФ

Rsin— =rsin -—и r=Rsin—.

222

Квадратура луночек нулевого класса. Здесь справедлива следующая теорема: Для того, чтобы луночка нулевого класса, т. е. ограниченная касающимися изнутри окружностями радиусов R и г, была квадрируемой с помощью циркуля и линейки, необходимо и достаточно, чтобы chR и chr являлись рациональными или квадратично радикальными корнями неопределенного уравнения

m

где chR=x, chr=y, n — гауссово число, n>m — натуральные числа, (К — радиус кривизны плоскости Лобачевского полагаем = 1).

Доказательство: площадь луночки

8л=80—80 =4л [sh2 ——sh2— |=4nsh2 —,(46|

К К у 22 /2

где 8 Or— площадь круга с радиусом R, а

Р / Rг

sh у sh2 Чsh2 V ’

Условие известноУсловие известногде Р — радиус круга, равновеликого луночке (8 л-). Из (46) видно, что циркулятура луночки нулевого класса в плоскости Лобачевского (тоже и в плоскости Евклида) всегда возможна.

Условие известно

Условие известно

Рассмотрим теперь квадратуру круга с радиусом Р.

. квадрируемости круга в плоскости Лобачевского, как (см. стр. 281),

(47)(47)(48)(48)п+ш

(47)

(47)

(48)

(48)

Ch Р= —п

Из (46) следует, что

8л=4л^5Ь2 ^ —"?h2—) =2n(chR—ch г).

Из (46) и (47) получаем

„ <р/ m+па т

.8л =4л sh2— =2л(сЬР—1)=2л I1) =2л —.

2.\ т ) п

Следовательно, ch R—ch r= — n

m

или x—y= — n

Это необходимое условие квадрируемости круга с радиусом Р (и луночки 8л). Если наложить на R и г условие, чтобы chR и ch г принадлежали к величинам 2-го порядка и любого класса, то по теореме Мордухай-Болтовского при выполнении (48) и (47) луночка будет квадрируема циркулем и линейкой. Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что при каждом фиксированном m

значении — , где п>т>0, получается один квадрируемый

круг, радиус которого P=Arch .(49)

п

Угол квадрата, равновеликого данной. квадрируемой луночке, л П —ГП

В случае m=;n или — =1 уравнение -квадратуры круговых п

луночек нулевого класса х—у=1.

В этом случае площадь луночки 8л=2л, а соответствующий равновеликий ей квадрат асимптотический (а=0).

Если положить в (47) т=0, то радиус круга, равновеликого луночке Р —Arch —=Ar ch 1=0, луночка вырождается в п

окружность; при г=0 — в круг. Если уравнение квадратуры луночек (48) и его решения интерпретировать геометрически в евклидовой плоскости, то можно определить область значений

ГП

, при которых луночки нулевого класса будут квадрируемы п

(рис. 108)/Возьмем Декартову прямоугольную систему координат, в которой x=chR, y=chr, где х>у>1. Учитывая сказанное выше, будем иметь область значений chR и сЬт, при которых луночка квадрируема в виде полуполосы, ограниченной прямыми, уравнения которых

х—у=1,х—у=0иу=1.

Уравнение квадратуры луно

чек х—у= ™ при каждом фик- л

сированном значении — , где m

и п — целые числа есть уравнение прямой, параллельной биссектрисе х=у. Все эти полупрямые, проходящие через точки / m _ \

— и лежат в указанной по- \ П /

лосе и располагаются дискретно.

Рассмотрим теперь конкретный пример квадрируемой луноч

ки нулевого класса.

7474

Пусть chR=5, chr=— * Числа 5 и — являются корнями

m74

2Т ~ 17*

п=17=22 +1 — гауссово число, т=11 — простое целое число.

Практически циркулятуру луночки можно не производить, а искать сразу угол равновеликого «(квадрата»:

п—mл17—11 л _ Зл

06 n ' V ~ 47~ ~ ’ 17 *

Площадь квадрата

(

42л \22л

2л^-J = ——

что строится циркулем и линейкой.

Очевидно, что квадрируемых луночек нулевого класса бесчисленное множество. С квадратурой этого класса луночек тесно связана и квадратура кольца, образованного концентрическими или эксцентрическими окружностями27. Действительно, предельным случаем эксцентрического кругового кольца является (Круговая луночка нулевого класса. При перемещении меньшей окружности внутри большей площадь между окружностями (площадь кольца) не меняется. Следовательно, площадь кольца равна площади луночки нулевого класса. Вопрос же о возможности квадратуры в геометрии Лобачевского зависит лишь от площади фигуры. Таким образом, показывается, что задача о квадратуре кольца в плоскости Лобачевского равносильна задаче о квадратуре луночек нулевого класса. В плоскости же Евклида задача о квадратуре кольца циркулем и линейкой невозможна, так как она сводится к квадратуре круга.

Задачу о квадратуре луночек нулевого класса можно обоб- щить, если требовать, чтобы равновеликой фигурой луночек был не квадрат, а многоугольник с числом сторон N. Эта задача связана с обобщенной задачей .о квадратуре круга, т. е. с построением правильного многоугольника, равновеликого данному кругу, при условии, что многоугольник не является квадратом. Посмотрим, какому условию должны удовлетворять радиус круга R и число сторон правильного многоугольника N, чтобы круг был квадрируем циркулем и линейкой в этом смысле. Площадь правильного N-угольника

Sn = [(N—2) л—Na],

N-2 ,где a= ——/л (0^/<1),

Rа 8;-п=4л8Ь2 — .ок2

Так как Sn должна быть равна Sor , то

4nsh2-|- ={(N—2)л—Na],(50)

ИЛИ»с-

2 л (chR—1) = (N—2) л— (N—2) /л

N

2chR = —

N—22N—22I.I.,n—mЕсли 1 = , N — Гауссовоn,n—mЕсли 1 = , N — Гауссовоnчисло, n>m — натуральныечисло, n>m — натуральные2

N—2

2

N—2

2

I.

I.

,n—m

Если 1 = , N — Гауссово

n

,n—m

Если 1 = , N — Гауссово

n

число, n>m — натуральные

число, n>m — натуральные

числа, то

NN—2 n—mN

l<chR =< ;

22n2

(51)(51)-2chR=i+ —

(51)

(51)

При выполнении этих условий и при N — Гауссовом числе воз- можно построение правильного N-угольника, равновеликого кругу.

Переходя к обобщенной задаче о квадратуре луночек нуле- m

вого класса, мы вместо уравнения х—у= — рассматриваем п

уравнение4

где N — Гауссово число сторон правильного многоугольника. На основании обобщенной задачи о квадратуре круга можем утверждать: квадратура луночки нулевого класса возможна циркулем и линейкой в смысле обобщенной задачи, если вы-

N—2 m

полняется х—у= —— ♦ — и при условии квадратичной ради- 2 п

кальности х и у.

Область решений при этом изменится, так как теперь уравнения прямых, ограничивающих эту область, будутк

N—2

х—у=0, у=1, х—у= —— (рис, 109).

В качестве примера рассмотрим луночку нулевого класса

,103chR— —8,103chR— —845/

,103

chR— —

8

,103

chR— —

8

,chr= —— + у Ц-2У37.

Эти круги не квадрируемы и в смысле обобщенной задачи. Подставляем в (52):

•103,/451/. , a-,/7^— N—2 m— + I/ 1+2У37— V 1 + 2V37= -— — •81/8n•29N-2 mV ~ 2 * V•103,/451/. , a-,/7^— N—2 m— + I/ 1+2У37— V 1 + 2V37= -— — •81/8n•29N-2 mV ~ 2 * VЭто равенство выполняется три N=17, n=30, m=29:N—2m117—2S92n 230Это равенство выполняется три N=17, n=30, m=29:N—2m117—2S92n 230Следовательно,Следовательно,n—m11= = 1 уголn 30n—m11= = 1 уголn 30/лa= —(N—2) =/лa= —(N—2) =л34 ‘л34 ‘Площадь 17-угольникаS17=[(N—2) л—Na] =Площадь 17-угольникаS17=[(N—2) л—Na] =т. e. луночка в этом смысле квадрируема27.' Квадратура луночек 1, 2 и 3-го класса. Нами рассматривался вопрос о квадратуре луночек других классов и получены условия квадратуры этих луночек циркулем и линейкой. Рассмотрим для примера луночки Ьго класса 2-го типа (см. рис. 107, б). Ее площадьт. e. луночка в этом смысле квадрируема27.' Квадратура луночек 1, 2 и 3-го класса. Нами рассматривался вопрос о квадратуре луночек других классов и получены условия квадратуры этих луночек циркулем и линейкой. Рассмотрим для примера луночки Ьго класса 2-го типа (см. рис. 107, б). Ее площадья15л—17- —34я15л—17- —3429292Рис. 109.2Рис. 109.гRS2=2Vsh2— — 2ФзЬ2 — + [2л—Ф—(2л—ф)—2₽] =гRS2=2Vsh2— — 2ФзЬ2 — + [2л—Ф—(2л—ф)—2₽] ==фсЬг—ФсЬР—2р=фу—Фх—2р .=фсЬг—ФсЬР—2р=фу—Фх—2р .(53)(53)Обозначим

•103,/451/. , a-,/7^— N—2 m

— + I/ 1+2У37— V 1 + 2V37= -— — •

81/8n

•29N-2 m

V ~ 2 * V

•103,/451/. , a-,/7^— N—2 m

— + I/ 1+2У37— V 1 + 2V37= -— — •

81/8n

•29N-2 m

V ~ 2 * V

Это равенство выполняется три N=17, n=30, m=29:

N—2m117—2S9

2n 230

Это равенство выполняется три N=17, n=30, m=29:

N—2m117—2S9

2n 230

Следовательно,

Следовательно,

n—m1

1= = 1 угол

n 30

n—m1

1= = 1 угол

n 30

/л

a= —(N—2) =

/л

a= —(N—2) =

л

34 ‘

л

34 ‘

Площадь 17-угольника

S17=[(N—2) л—Na] =

Площадь 17-угольника

S17=[(N—2) л—Na] =

т. e. луночка в этом смысле квадрируема27.

' Квадратура луночек 1, 2 и 3-го класса. Нами рассматривался вопрос о квадратуре луночек других классов и получены условия квадратуры этих луночек циркулем и линейкой. Рассмотрим для примера луночки Ьго класса 2-го типа (см. рис. 107, б). Ее площадь

т. e. луночка в этом смысле квадрируема27.

' Квадратура луночек 1, 2 и 3-го класса. Нами рассматривался вопрос о квадратуре луночек других классов и получены условия квадратуры этих луночек циркулем и линейкой. Рассмотрим для примера луночки Ьго класса 2-го типа (см. рис. 107, б). Ее площадь

я

15л—17- —

34

я

15л—17- —

34

29

29

2

Рис. 109.

2

Рис. 109.

гR

S2=2Vsh2— — 2ФзЬ2 — + [2л—Ф—(2л—ф)—2₽] =

гR

S2=2Vsh2— — 2ФзЬ2 — + [2л—Ф—(2л—ф)—2₽] =

=фсЬг—ФсЬР—2р=фу—Фх—2р .

=фсЬг—ФсЬР—2р=фу—Фх—2р .

(53)

(53)

ТогдаТогда62= — (фу—Фх).

Тогда

Тогда

(54)(55)(54)(55)S2=2(62-p).

(54)

(55)

(54)

(55)

Для существования квадрата, равновеликого луночке, необходимо, чтобы

0<62—Р^л,(56)

так как 0<Зкв^2л. Из условия равенства площадей 82=8^ находим угол а:

а=^-у(62-р).(57)

Для квадрируемости луночки должно выполняться (56) и возможность построения луночки и угла (57). Луночка же, а следовательно R и г, могут быть построены циркулем и линейкой, если можно построить углы ф, Ф и 62 и если выполняется

(х2—l)sin2~ = (у2—1) sin2 -у,(58)

где x=chR, y=chr; Учитывая (54), можно по Ф, ф, и 62 определить х и у. Известно, что с помощью циркуля и линейки могут 2л

быть построены углы — ш, где п—гауссово число, a m^n—

п

натуральные числа.

Приходим к выводу: для того, чтобы числам Ф, ф и 62 соответствовала квадрируемая циркулем и линейкой луночка 2-го типа, необходимо и достаточно выполнение условий

,_m

Ф, Ф и б2 — углы Гаусса, т. е. вида 2л — , где m — натуральное число, n>m — Гауссово число,

0<62—Р^л.

(х2—1) sin2 -~- =(у2—1) sin2 -j- , х>у>1,

62= — (фу—Фх).

При этом угол р строится циркулем и линейкой в процессе- построения луночки. Аналогичным путем получены необходимые- и достаточные условия квадрируемости луночек 1-го типа. Ф, Ф, 61 — углы Гаусса;

0<6i—Р^л;

(х2—l)sin2 — = (у2—l)sin2-—, хиу>1;

61= ^- (Фх—ФУ).

В предельном случае: ф=ф=2л получим луночку нулевого класса, для которой б1 = л — и х—у= -^- . Необходимыми и достаточными условиями квадратуры луночек 3-го типа получены в таком виде:

Ф, Ф и б3 — углы Гаусса;

.л <бз+р^2л;

б3= ~(Фх+фу).

В предельном случае, т. е. при ф=2л и Ф=0, луночка вырождается в круг радиуса г, и указанное условие принимает вид:

' 6з — угол Гаусса

л<6з^2л.

Условие (58) выполняется тождественно

• бз = Л-у.

_n-i-mn+m

Получаем бз=л и chr= ~— условие квадри

руемости круга.

Луночки 2-го класса квадрируемы, если Ф — угол Гаусса,

1фф

.и система 6= — (фУ±Фх), (х2—1) sin2 — = (у2—l)sin2 —

разрешима. Особый интерес представляют те луночки 2-го клас

ф—Ф 28ф—Ф 28са, у которых меньшие окружности построены на сторонах правильных многоугольников, «писанных в большую окружность, как на диаметрах (см. стр. 288). Здесь справедлива теорема: при любом гауссовом N существует бесконечное множество луночек, квадрируемых циркулем и линейкой. Причем каждому N> 4 соответствует по одной луночке 2-го типа с равновеликими секторами. В геометрии Евклида, как известно, равенство секторов — необходимое условие квадратуры луночек. В геометрии же Лобачевского это условие не является необходимым. Но если можно построить циркулем и линейкой луночки с равновеликими секторами, то они квадрируемы. Условие равенства

ф—Ф 28

ф—Ф 28

секторов сводится к заданию 6г =

О квадратуре круговых луночекв плоскости Римана

Круговые луночки в плоскости Римана, насколько нам известно, еще никем не рассматривались. Применяя известную общую теорию построения на сфере [12, 74] и полученные нами результаты квадратуры луночек в плоскости Лобачевского, мы начали разработку теории квадратуры круговых луночек в плоскости Римана. Предварительно напомним некоторые сведения из сферической тригонометрии и рассмотрим вопрос о квадратуре круга в плоскости Римана, необходимые при квадрирова- нии круговых луночек в этой неевклидовой геометрии.

Плоскость Римана можно интерпретировать на верхней полусфере евклидовой сферы, тогда прямыми называют полуокружности евклидовых больших кругов. В этой геометрии стороны и углы прямоугольного треугольника АВС (рис. НО) связаны формулами:

са , bас .а

.cos —=cos — • cos —; sin —=sin — -sina; tg — = .

RR R RRR

bea

=sin — -tga=tg — -cosP; cosa = cos — *cosP;

(59)(59)Рис. НО.Рис. НО.c

(59)

(59)

Рис. НО.

Рис. НО.

cos— =ctga-ctgP,

где R — радиус кривизны плоскости Римана; в интерпретации на сфере и полусфере R числейно равен радиусу сферы: не ^нарушая общности, можно положить R—1. В этом случае меры отрезков на плоскости Римана численно равны мерам центральных углов. Длина прямой л

/ = Л, полупрямой <!= , ...

Длина окружности .на щади фигур: треугольника квадрата правильного N-угольникакруга радиуса RДлина окружности .на щади фигур: треугольника квадрата правильного N-угольникакруга радиуса RПЛО-ПЛО-плоскости Римана O=2nsinR;

Длина окружности .на щади фигур: треугольника квадрата правильного N-угольника

круга радиуса R

Длина окружности .на щади фигур: треугольника квадрата правильного N-угольника

круга радиуса R

ПЛО-

ПЛО-

SA=a+P+*y—л ;

8кв=4а—л ;

Sn=Nu— (N—2) л ;

S oR = 4 л sin2 — .

ТС

Квадратура круга с радиусом R^ — сводится к исследованию равенства Sop =SkB> т. е.

„ R4л sin2— =4a—2л.„ R4л sin2— =4a—2л.(60>(60>

„ R

4л sin2— =4a—2л.

„ R

4л sin2— =4a—2л.

(60>

(60>

Квадрат существует, если — <а<л, т. е. а=/—,

где 1 </^2. Тогда

4nsin2 —- = 2л/—2 ли

2

иcosR=2—/,(61)

где 0^cosR<l. Угол а в плоскости Римана может быть построен циркулем и линейкой в тех же случаях, что и в плоскостях Евклида и Лобачевского. В нашем случае следовательно, должно быть

л

где п — гауссово число, a m^n — целое число, и — <а<л.

Из (61) и (62) получаем п—m cosR =.(63)

Это и есть условие квадрируемости круга в плоскости Римана29. Переходя к квадратуре луночек в плоскости Римана, дадим прежде всего классификацию круговых луночек. Дуги двух

Л

окружностей О] (R) и 02(г), где R>r и OjO2=d^ — , образуют луночки, если

R—r^d<R+r.(64)

При выполнении

R+r+d^n(65)

окружности имеют две общие точки и классификация луночек будет та же, что и в плоскости Евклида и Лобачевского. Если же

R+r+d>n,(66)

то окружности имеют четыре точки пересечения, и в этом случае появятся еще две фигуры, которые назовем «двояковогнутыми луночками»; причем принадлежащую кругу большего радиуса отнесем к четвертому типу, принадлежащую же кругу меньшего радиуса — к пятому типу. Классы «двояковыпуклых луночек» — смешанные, остальные классы луночек определяются так же, как и в других геометриях (см. предыдущий раздел).

Модификацией луночек можно считать две «луночки», на которые разбивается плоскость Римана двумя пересекающимися прямыми (назовем их «линейными»), а также — круговые сегменты.

Нами рассмотрена квадратура всех указанных выше луночек на плоскости Римана. Здесь приводятся в 'качестве примеров только несколько случаев.

Наиболее простым случаем и в геометрии Римана является квадратура луночек нулевого класса (окружности касаются изнутри). Здесь справедлива следующая теорема: луночка нулевого класса, ограниченная дугами окружностей радиусов R и г, будет квадрируемой циркулем и линейкой в том и только в том случае, если cosR и cost являются рациональными или квадратично-радикальными корнями неопределенного уравнения

mу-х= - ,

где п — гауссово число, m — целое число и не больше п. Доказательство. Обозначив площадь этой луночки через 8л, имеем 8л = 80к—80Г =4л (^sin2 у—sin2 — ^ =4nsin2 у- ,(67)

где sin — =1/ sin2 —sin2 —> р — радиус круга, равно-

2 у22

великого луночке, который можно построить с помощью циркуля и линейки по заданным отрезкам R и г. Следовательно, диркулятура луночки нулевого класса в плоскости Римана, так же как в плоскости Лобачевского и Евклида, всегда возможна. Рассмотрим теперь квадратуру круга радиуса Р. Из (67) следует,

п—mcosP = ,

n

а из (67)

(

Rг \

sin2sin2 —)=2n(cosr—!COsR) =

22 /

P/n—m \m

=4nsin2 — =2л(1—icosP)=2n( 1—~ >T-e-

cosr—cosR = —(68)

n

или, вводя обозначения cosR = x и cosr = у, получаем

у—х — — .(69)

n

Это и есть необходимое условие квадрируемости круговой луночки нулевого класса. Если еще потребовать, чтобы cosR и cost принадлежали к величинам 2-го порядка и некоторого класса, т. е. выражались бы конечной цепочкой квадратных радикалов, то по теореме Д. Д. Мордухай-Болтовского их можно построить циркулем и линейкой. И луночка в этом случае квадрируема циркулем и линейкой. Теорема доказана.

m

Следовательно, при каждом фиксированном значении —

n—m получается квадрируемый круг радиуса P=Arccos

л n+m рат, угол которого а= — • ,cosr=l уравнение (69) примет видл n+m рат, угол которого а= — • ,cosr=l уравнение (69) примет видп однопараметрическое семейство луночек нулевого класса. Каждой луночке этого семейства соответствует один и тот же квад-

л n+m рат, угол которого а= — • ,

cosr=l уравнение (69) примет вид

л n+m рат, угол которого а= — • ,

cosr=l уравнение (69) примет вид

В случае. г=0 или

п—ш

1—Х = —или cosR=,пп

т. е. луночка вырождается в круг. В случае m=n, у—x=L Если г=0, R= —-, то луночка вырождается в круг радиуса

-тг , т. е. во всю плоскость Римана. При ш = 0 или у—х = 0 луночка вырождается в окружность. Легко показать, что область значений х и у (0^х<у<1); п^т>0, связанных уравнением

m

у—х= “, ограничена прямыми у=х, х=о и у=1. Очевидно, что квадрируемых луночек нулевого класса бесчисленное множество. С квадратурой этого класса луночек тесно связана и квадратура кругового кольца.

Квадрируемость луночек всех трех типов вытекает из теоремы: для того, чтобы луночка i-ro типа (i*=l, 2, 3) была квадрируемой циркулем и линейкой, необходимо и достаточно, чтобы 1) Ф, ср и Дг были углами Гаусса, т. е. углами, которые строятся циркулем и линейкой.-, где

I1

Д1=—(фу—Фх), Д2= — (Фх—фу) и Д3— — (Фх+фу),

(1—x) sin2 у-— (1—y2)sin2-y .

Луночка 4-го типа (рис. 11.1) определяется шестью параметрами. R, г, Ф, ф, T, t|), из которых только три независимы, так как. они связаны соотношениями

Рис. 111.

ФфЧ'Ч'

sinR-sin — =sinrsin— и sin R sin —=sin г sin —,(70)

2222

кроме того, ■О1Ог+О2О1 = л.

Площадь этой луночки

St=4nsin2-^2(Ф+ЧГ) sin2— —2(ф+ф) sin2 ~—Н

+ [Ф + Т+ф+^+2р+2у-4л] =

= [(Ф+ЧГ—2л) х+(ф-Н) у+2(р+у-л)] .(71)

Обозначим

Д<= ±[(ф+Т-2л) х+(ф+гр) у], тогда (71) принимает вид'

S4—2(A4+P+y—л),

С= —^~ (Д4~|-р-|-у), Д4 = Д3АВ-|-Д3СВ—лх

(Азав, Д3 для двояковыпуклой луночки с хордой АВ). Если Ф, ф и Д3ав заданы, то можно найти х и у, а затем и V, х) и Д3ав и Д4. Теорема может быть сформулирована так: луночка 4-то типа будет квадрируемой циркулем и линейкой, если 1) Ф, ф и Д4 — углы Гаусса, где

A4=A3ab+A3cd—лх= у- (Фх+фу) + —(Чх+фу)—лх,

(1—x2)sin2 — = (1— у2) sin2-77.

Условия квадрируемости луночки 5-го типа те же, только S5=2(A5+P+^— лу), A5=A3ab4-A3cd—лу,

а-у (Аз+Р+у)30»

Таков основной вклад советских математиков в современную # теорию квадратуры луночек. Здесь по необходимости дано крат-i

кое изложение их результатов. Более подробно этот вопрос рас-11

сматривается в нашей книге «Квадратура луночек» (история и современная теория), готовящейся к печати.

«Г«ГТаков долгий и сложный путь развития теории пяти знаменитых задач с древнейших времен до наших дней. Как видно, уже -многое сделано для создания научной истории этих задач, большой вклад внесен в современную теорию их. Однако многие вопросы истории и современной теории пяти знаменитых задач ожидают еще своего решения31.

«Г

«Г

Примечания к главе IV

Предлагается:

проверить справедливость формулировок этих задач;

найти ошибки, допускаемые ори этом.

Так находили диагональ квадрата и древние египтяне; задачи такого рода называют «циркулятурой квадрата».

Киевская Академия, основанная в 1631 году, явилась первым учебным заведением на Руси. Феофан Прокопович (учился в Киевской Академии и за. границей) — один из единомышленников Петра I. Выписки из рукописи, хранящейся в центральной научной библиотеке украинской Академии наук,, мне любезно предоставил С. Н. Киро.

Определить, чему в этом случае равно л.

Книги и статьи, о которых здесь шла речц, включены в биоблиографию. Многие книги и статьи, тоже содержащие элементы истории и теории знаменитых задач древности, не вошли в библиографию.

Наши студенты-дипломанты в качестве приложений к своим дипломным работам перевели на русский язык и частично комментировали статьи и брошюры [1ДО, 1115, 119,1126, 127, 1131, 1133, 136, 107, 442, 143. 14 8], опубликование которых после доработки' и комментирования тоже могло бы облегчить работу над совершенствованием истории пяти знамени.- тых задач древности. В переводах указанных работ особенно большое участие принимали Л. Мирошниченко, Л. Крючок, Л. Латка, А. Дубовая,, 3. Май, Е. Михайлова, Т .Руденко!, Д. Бровко.

Желающим познакомиться с их выводом формул Валлиса, Лейбница и других формул Эйлера рекомендуем обратиться к указанной статье [106]*

Эта теорема аналогична теореме: на плоскости Евклида циркулем и линейкой возможно построить конечную цепочку квадратных радикалов

(квадратическую иррациональность), или решить любую задачу своляшуюса к уравнениям 2-й степени.’ J

Рассмотреть теоретические основы этого метода по [1001 Поовепить эрот метод в случае LAOB=45°.«риверить

Рекомендуется:

а) познакомиться с этими способами по указанной книге [97];

:б) выяснить, есть ли среди этих способов пригодные для полисекции уг-- ла;

в) получить уравнения кривых, являющихся номограммами трисекции угла.

Доказать справедливость этого утверждения и установить, можно ли этим способом1 а) .разделить угол САВ на равные -части при п>3; б) разделить угол САВ=90° на 6 равных частей.

Здесь и в дальнейшем использованы некоторые 'результаты и наших студентов-дипломантов: А. Ясакова, В. Техликиди, Э. Хазизова, А. Дворникова, 3. Май, Л. Песчанской, Т. Руденко, Е. Михайловой,, О. Петровой, И. Кияновой, Д. Бровко.

Рекомендуется:

привести другие примеры (при различных С и а), когда а делится на три равные части, и показать, как можно осуществить это деле- х ние;

аналогичным образом использовать, вместо параболы эллипс х2+Ш2=1 (с>1)-

Показать:

цент-цент-равныхравныхв этойв этой«к» мы«к» мычто квадратриса Чирнгауза y = asin ^- позволяет делить ральный угол или дугу на равные части;

цент-

цент-

равных

равных

в этой

в этой

«к» мы

«к» мы

что кривые Шуте можно применить и для деления угла на п частей.

'Какие еще плоские и пространственные кривые, кроме-указанных книге, можно использовать для Трисекции и полисекции угла.

Здесь и в дальнейшем параметр пространства Лобачевского полагаем обычно равным 1.

Предлагается:

реализовать построение аю и а=, используя [89];

Установить., какая ошибка допускается при построении правильного 30-угольника методами Биона, Федорова* и указанным здесь.Предлагается аналогичным образом самостоятельно построить правильный 13-угольник, уравнение которогоУстановить., какая ошибка допускается при построении правильного 30-угольника методами Биона, Федорова* и указанным здесь.Предлагается аналогичным образом самостоятельно построить правильный 13-угольник, уравнение которогогиперболыгиперболызадачи обзадачи обзадача резадача репостроить правильный треугольник и квадрат.

Установить., какая ошибка допускается при построении правильного 30-угольника методами Биона, Федорова* и указанным здесь.

Предлагается аналогичным образом самостоятельно построить правильный 13-угольник, уравнение которого

Установить., какая ошибка допускается при построении правильного 30-угольника методами Биона, Федорова* и указанным здесь.

Предлагается аналогичным образом самостоятельно построить правильный 13-угольник, уравнение которого

гиперболы

гиперболы

задачи об

задачи об

задача ре

задача ре

Рекомендуется аналогичным образом рассмотреть (40') при т=3, п = 2; т=4„ п=4,3; т=5, п=Л„ 2, 3, 4 и установить, в каких случаях луночки квадрируются циркулем и линейкой.

Свойства этих чисел требуют специального исследования. Мы укажем здесь некоторые частные значения Т^ :

а) Т ^ =,L( по определению чисел ?J ); б) Т^=2^"Г;в) Т \=

= (Х+2)2Х-1;г)Р+у)(^+к\ k±2v/k+V)

77 Y==o / \2v+y/ k+v л

24 „Рекомендуется доказать:

неточность утверждений; что «равенство секторов или равенство

= —— небходимое и достаточное условие квадратуры кру- sin2a sin2^

говых замкнутых луночек циркулем и линейкой*»;

что среди двояковыпуклых луночек нет квадрируемых не только циркулем и линейкой, но и с помощью любых алгебраических кривых;

что площадь круга не исчерпывается «алгебраическими луночками»;

возможность апроксимировать круг квадрируемыми луночками с какой угодно степенью точности.

Выяснить:

есть ли среди «трансцендентных луночек» такие, сектора которых . равны;

есть ли среди луночек, представляющих видимую часть луны, Квадрируемые циркулем и линейкой или другими алгебраическими средствами;

какая существует связь между уравнениями квадратуры алгебраических луночек;

s

n(xm—I)2—тхт"п(хп—1)2 = 0 и SAeze=O.

/—О

Получить:

необходимое и достаточное условие квадратуры алгебраических лу* ночек;

сравнительно простые способы приближенного (но достаточно точного!) вычисления «площадей алгебраических» и «трансцендентных» луночек;-•

Сквадрировать луночки:

центральные углы дуг, которых 2ф=9О°,2ф'=ЗО° и 2ф = 90 ,

2ф'=60°;

m:n = 5:2, 6:L 7:2.

Рассмотреть все остальные случаи по аналогии с указанными и восстановить .опущенные доказательства.

Выяснить, существуют ли:

а) квадрируемые открытые луночки как части неквадрируемых круговых луночек.4'4

б)1 квадрируемые «луночки», ограниченные дугами трех, четырех,.*.’ пересекающихся окружностей.

Установить:.. _

каким условиям Должны удовлетворять открытые круговые и некруговые луночки, чтобы они были квадрируемы:

'циркулем и линейкой; 2) с помощью конических сечений;

могут ли быть выделены открытые луночки из трансцендентных кру-

Г01ВЫХ и некруговых замкнутых луночек, квадрируемые с помощью алгебоа- ических средств;р

существует ли связь между луночками, образованными коническими сечениями, с точки зрения их квадрируемости;

квадрируются ли открытые параболические и гиперболические луночки.

Сквадрировать открытые луночки:

как части гиппократовых луночек (пип—2:1, 3*:L 3:2), когда точка М на внешней окружности находится в середине дуги второго квадранта;

образованные гиппократовой луночкой (1-й случай, т. е. m: п===2: 1) и отрезком прямой О^М, проходящим через середину радиуса.

Рекомендуется рассмотреть:

будет ли луночка нулевого класса 'Квадрируемой, если

chR —3, chr=;

будет ли квадрируемым кольцо, образованное концентрическими ок. ружностями с радиусами R и г, если chR=5, chr=

найти, еще некоторые числовые значения x=chR и y=chr, при которых луночки нулевого класса квадрируемы.

Показать, будут ли квадрируемы луночки 2-го класса: а) при Ф= -5-

И 62= -2. или chR= A, chr= -L; б) Ф = -|-n, 52=3- л; в) chR= -g

355Dчи

и г = —; г) ф—л, Ф= -2- л; д) ф = л, Ф = е) Ф = -~; Ф— —i

2»322о -

с л 62= —

Попытаться:

найти самостоятельно примеры квадрируемых луночек;

выяснить, не существуют ли более простые условия квадратуры луночек в плоскости Лобачевского.

29 Рекомендуется на основании данной теории построить квадрат, равновеликий кругу, радиус которого R, и cosR=-~-e

. 30 Рекомендуется показать,, что площадь луночки нулевого класса

„|Ю+5У230+4^2

cosR= —— и cosr = — ‘ г -50 -.40

равна площади квадрата Skb.= -~ л,\

Доказать, можно ли сквадрировать луночки:

а) 2-го типа ф=л, Ф=—-

б) 1-го типаб) 1-го типаф=4^ ф=-|- я;ф=4^ ф=-|- я;

б) 1-го типа

б) 1-го типа

ф=4^ ф=-|- я;

ф=4^ ф=-|- я;

3-го типа Ф = ф=-^~ .

Для любознательной -молодежи назовем здесь еще несколько общих вопросов, решение которых -могло бы /восполнить пробелы в научной истории и в современной теории задач, рассмотренных в этой книге:

пополнять факты, относящиеся к знаменитым задачам древности из трудов ученых разных стран и эпох, не рассмотренных в историко-математической литературе. Поиски новых исторических фактов — одна из увлекательных задач для любителей истории математики;

анализировать, систематизировать и обобщать факты и выявлять закономерности в развитии теории этих задач в связи с общим развитием математики;

.более детально изучить вклад народов разных стран в развитие теории знаменитых задач и в популяризацию их;

развивать дальше современную теорию этих задач, решая те вопросы и конкретные задачи, которые поставлены в этой книге,, а так же и те, которые могут возникнуть у читателей -при знакомстве с современной теорией рассмотренных задач.

Более опытные читатели могли бы:

разработать методику использования элементов истории и современной теории пяти знаменитых задач древности на уроках (в лекциях) по математике и во внеучебное время в работе со школьниками и со студентами;

популяризировать ист'орию и современную теорию знаменитых задач древности, особенно среди молодежи (издание книг, статей, лекций и беседы) с целью повышения математической культуры и усиления интереса к математике молодежи.

ЛИТЕРАТУРА

Абу-л-Вафа ал-Буджанм. Книга о том, что необходимо ремесленнику из геометрических -построений. Сб. физико-математических наук в странах Востока, вып„ 1* (IV). М., 1966, стр. 56—<100* (вступит. статья и комментарии С. А. Красиковой).

Адлер* А. Теория геометрических построений. Пер. с нем. под. ред. и с прим. С. 6. Шатуновского, изд. 2. Одесса,, 4924.

Ал -Б и-.р у я и. Трактат об определении хорд в круге пр!и помощи ломаной линии, -вписанной в него. В сб/. «Из /истории науки и техники в странах /Востока», вып., 3. 1963,, стр. 198—144 (вступит, ст. Б. А. Розенфельда, С. А. Красиковой и Ml. М. Рожанской).

Аргунов Б. И. и Балк М. Б. Геометрические построения на плоскости*. Мм Учпедгиз, 1957.

Архимед. Сочинения. Перевод, вступительная статья и комментарии И. -Н. Веселовского. М., Физматгнз, 1962.

Б а н у Муса. Книга измерения фигур «Историко-математические жследова.ни1я» (ИМИ), вып. 16, -1965, стр. 380—417 (пер-, с арабского и прим. Джамиля аб-Даббаха).

Башмакова И. Г. Лекция по истории- математики .в Древней Греции. Историко-математические исследования, вып 41. М., Физматгиз, 1958, стр. *225—438.

Белый Ю. А. -и Швецов К. И. Об одной русской геометрической рукописи первой четверти XVII в. |(ИМИ), вып. 112. Мм 4954, стр. 485 (244.

Березин В. Н. Луночки Гиппократа «Квант», 1971, № 5, стр. 17—21.

Беркович Л. М. О круговых луночках, квадрируемых при помощи конических сечений. Уч. зап. Казанского ун-та, 417:2, 1957, стр. 7—10.

1. Блох Л. С. Применение номографии к решению задач о трисекции угла. В кн. В. Д. Чистякова' [97; 72—91].

•^.Богомолов С. А. Введение в неевклидову геометрию Римана. Л. -М„ ГТТИ, 1934.

Бобынин В. В. Очерки истории развития физико-математических знаний в России, т. 1, вып. 11. М., .1893.

Б о е в Г. П. Лекции по истории математики, ч. 1 (до начала XVIII в.); Изд-во Саратовского ун-та, 1956.

. Большая Советская Энциклопедия. Статьи: Квадратура круга. — Пи- — Трисекция угла. — Удвоение куба. Гиппократовы луночки. Неевклидовы геометрии и др., изд. ‘2. М., Ш95О-—4957.

Бугаев Н. В. Способы последовательных приближений. М.„ 1886.

Б у н я к о в с к и й В. Я. О правильных многоугольниках, вписанных и описанных около круга;

Бухштаб А. А. Теория чисел. М., 1966.

. В а н - д е р - В а р д ен Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта,, Вавилона и Греции. Пер. с голл. И. Н. Веселовского. М., Физматгиз, 1959.

В анцель Л. Исследование относительно средств распознать можно ли геометрическую задачу разрешить с помощью циркуля и линейки. При- лож. к книге Ф. Клейна [53].

В а щ е н к о - 3 а> х а р ч е н к о М. Е. История математики. Исторический очерк развития геометрии, т. 1. Киец. 1883.

Вебе-р Г. и Ведь штейн И. Энциклопедия элементарной математики. Руководство для преподающих и изучающих элементарную математику в 3-х томах. Пер. с нем. под ред. и с прим. В. Кагана,, т. 1. Элементарная алгебра- и анализ, изд. 2. Одесса, 4911.*

Вейерштрасс К. К мемуару Линдемана «О Лудольфовом числе. -(Доказательство невозможности квадратуры круга)». Пер. И. Л. Ска- лозубова под ред. А. В. Васильева-. Известия физико-м’атематического общества при Казанском ун-те, сер. 2, т. 4, 4(894 ((Приложение).

Вилейтнер Г. История математики от Декарта- до середины XIX столетия. Пер. с нем. под ред. А. П. Юшкевича. М„, Фи-эматгиз., 1960.

В л а с о в А. К- Квадратура круга и циркулятура квадрата». Математическое образование», 1916, № Г,7.

В ы г о д с к и й М Я. Арифметика- и алгебра* в Древнем одире. Огиз, 1941.

Г арднер М. Число Пи... «Наука и жизнь», 1971, № 14, стр. 111.

Г а ус с К- Ф. Арифметические исследования. В сб.: «Гаусс — труды по теории чисел», общая ред. акад. И. М. Виноградова,, коммент. Б. Н. Делоне, пер. В. Б. Демьянова. М„, Изд-во АН СССР,, 1(950, стр. 9—573.

Г е л ь ф о н д А. О. Трансцендентные и алгебраические числа. М,. 1952.

Г ин дик и-н С. -Г. Дебют Гаусса. «Квант», 1972, № 1, стр. 2—И.

Глейзер Г. И. История математики в школе. Пособие для учителей. М., '«Просвещение», 1964.

Граве Д. А. Невозможные задачи и их роль в математике Граве Д. А. Энциклопедия математики (очерк ее современного положения)- В кн.: Киец, 191-2, стр. 5—44.

Граве Д. А. Трактат по алгебраическому анализу, т. 2. Киев. Изд-во АН СССР» 4939.

34. Г у с е в Ф. О вычислении числа л. «Математическое образование», 1916, № 7., стр. 234—239.

.Гюйгенс X. Открытия о величине круга. В кн. «О квадратуре

круга». Пер. -с нем. под ред. и с прим. -акад. С. Н. Бернштейна. М -Л., ОНТИ, стр. 105—166.

Дашкевич С. Ф. Деление всякого угла на три равные части при помощи «т.рисекциона». Брянск, 1922.

Декард* Р. Геометрия. Пер. с франц., прим, и ст. А. П/Юшкевича. IM'.-Л, ОНТИ, Я938.

Делоне Б. Н. Работы Гаусса по теории чисел. В сб.: «Карл Фридрих Гаусс» (к 100-летию бо дня смерти). Под общей редакцией акад. И. М. Виноградова. М., Изд-во АН СССР, 1956,, стр. 13—Ы2.

Депм а н И. Я. /Победитель чисЛа л — Фердинанд Линдеман. Уч. зап. Ленинградского педагогического ин-та, т. 17, вьш. 2,, 1957, стр. 119—123.

Долгушин П. Определение длины дуги кривой. «Математическое образование, 1916, № 7, стр. 247—254.

Дородной А. В. О круговых луночках, квадрируемых при помощи конических сечений. Известия Казанского физ.-мат. об-ва при Казанском ун-те, т. 13„ сер. 3, 1945* стр. 95—426.

Дородно в А. В. О круговых луночках, квадрируемых при помощи циркуля и линейки. ДАН СССР, т. 8, 1947, № 6, стр. 965—968.

*413. Дринфельд Г. И. Трансцендентность чисел е и л. Изд-во Харьковского ун-та, 1952.

Евклид. Начала Евклида. Пер. с греч. и коммент. Д. Д- Морду- хай-Болтовюкого, кн. 1—<15. М., -Л„ Гостехиздат, 1948—1950.

Игош Р. О. О делении угла на три равные части и об удвоении куба при помощи циркуля и угольника. «Математика и физика в средней школе». 1935,, № 5 (пер. с нем.).'-

История -математики с древнейших времен до начала XIX ст. (в 3-х томах) под ред. А. 14. Юшкевича?, тт. 4., 2, 1970.

История отечественной математики (в 4^х томах). Изд-во АН СССР и АН УССР., 1966—1970. ;

Каган В. Ф. Краткий очерк истории задачи о квадратуре круга... («Вестник опытной физики и- математики»), 1892, № 426 и 12 7.

К а г а н В. Ф. Новое доказатёльство трансцендентности чисел е и' л (доказательство Валена). Одесса, 1901.

К ар деме кий Б. А. Деление окружности. «Математика в школе», 1953:, № 4.

. Ал-Каши. Трактат об окружности. ИМИ, был. 7, 1954,. стр. 327— " 379. Пер. Б. А. Розенфельда.

Кеплер И. Стереометрия винных бочек. М., ОНТИ, 1925.

Клей нФ. Лекции по избранным вопросам элементарной геометрии с приложением перевода мемуара Ванцеля [146]. Пер. с нем. Н. П. Парфентьева, под ред. Д. М. Синцова. Казань, 1898.

Клейн Ф. Трансцендентность чисел е и л. В кн/. «Клейн Ф, Элементарная математика с точки зрения высшей», т. 1. Арифметика. Алгебра. Анализ. Пер. с нем. Д. А. Крыжановского. Под. ред. В. Ф. Кагана, изд. 2, доп.^по 3 нем. изд. М. -Л.л Гостехиздат, 1953, стр. 352—372.

-55. Колосов А. А. Книга для внеклассного чтения по математике, в старших классах, изд. 2, 1963.

К о л ь м а н Э. Я. История :математики в древности. М., Физиат- гиз, 1961.

Креер Л. Н. Алгебраические числа и решение геометрических задач на» построение с помощью линейки и циркуля. «Математическое просвещение», вып. 3, 1935, стр. 32—45.

Кур ант Р. и Роббинс Г. Что такое математика. Элементарный очерк идей и методов. Пер. с англ, под ред. проф. В. Л. Гончарова. М. -Л., Гостехиздат, 1947.

К у р от А. Г. Курс высшей алгебры. М„ Физматгиз, 1963.

К э д ж о р и Ф. История элементарной математики. Пер. с англ, под ред. и с прим. И. Ю. Тимченко. Одесса, 1910.

Ламберт И. Г. Предварительные сведения для ищущих квадратуру и спрямление круга. В сб. fl 80; 169—196].

Лебедев -В. И. Очерки по истории точных наук,, вып- 4. Знаменитые геометрические задачи древности. Пг., 1920.

Лежандр А. М. Доказательство того, что отношение длины окружности к диаметру и квадрат его суть иррациональные числа. В сб. [80; 199—210].

Лейбниц. Избранные отрывки из математических сочинений (составил и перевел А. П. Юшкевич). Успехи математич. наук, т. 3., вып. 1(23), 1948.

Литцман В. Старое и новое о круге. Пер. с нем. В. С. Бермана. М,/Физматгиз,, 1960.

М агн ицк и й Л. Ф. Арифметика, сиречь наука числительная. 1703.

Малыгин К. А. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе. Пособие для учителей. М., Учпедгиз, 1958.

М а н и н Ю. И. О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки. Энциклопедия элементарной математики, кн. 4. М., Физматгиз, 1963, стр. 205—227. '-

Марков А. А. Доказательство трансцендентности чисел е и л (Невозможность квадратуры круга). По статьям Эрмита и Линдемана Спо., 1883.

Марк у ш е в и ч А. И. Замечательные кривые. М„ 1951.

«Математика в девяти книгах». Древнекитайский трактат. Пер. пре- дисл. и прим. Э. И- Березкиной. Историко-математические исследования, вып. 10. М., 1957, стр. 425—518'4.

Мордухай-Болтовской Д. Д. О геометрических построениях в пространстве Лобачевского. Сборник Jn memoriam Lobatscheuskii,- т. 2. Казань, 1927,, стр. 67—812.

Мордухай-Болтовской Д. Д. О некоторых свойствах трансцендентных чисел первого класса. Математический сборник, 34, 1927, стр. 55—100.* *

Мордухай-Болтовской Д. Д. О штейнеровских построениях на сфере. Математический сборник, т. 42(5), 1935.

Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук, т. Ч, 1937. Пер. с нем., предисл. и прим. С. Я. Лурье.

Несторович Н. М. Геометрические построения в плоскости Лобачевского. М.-Л-, ГИТТЛ, *1951.*

И е с т о р о в и ч Н. М. Квадратура круга и полисекция угла в четырехмерном пространстве: ^Ростовский-на-Дону научный вестник», 1923, № 2, стр. 39—42.

Н ес т о ip О1 в и ч Н. М. О несобственных треугольниках на сфере (плоскости Римана). «Известия Ростовского педагогического ин-та», 1940, № 10, стр. 158—179.

Ньютон И. Математические работы, пер. с лат., вводная статья и коммент. Д. Д. Мордухай-Болтовскюго. М.-Л., 4937.

О квадратуре круга. Сб. статей с приложением истории вопроса, составленной Ф. Руди о, пер. с нем. под ред. и с прим. акад. С. Н. Бернштейна. М., 1934.

Орлов А. Руководство к геометрическому линейному черчению, 1877.

Певцов А. Построение л с точностью до 10~4, «Вестник опытной физики и элементарной математики» № 277, стр. 12._

Поссе К. А. О трансцендентности чисел, е и л. Известия Спб. практического технологического ин-та', 1894, стр. 49—>60.

Попо® Г. Н. Очерки по истории математики. Для учащихся, студентов рабфаков и любителей математики. М.-Пг., 1923.

П о с т н и к о в М. М. Теория Галуа. М., Физматгиз, /1963.

р а и к А. Е. Очерки по истории математики в древности,, 1967.

Рыбников К. А. История .математики. Учебн. пособие для студ. ун-тов, т. К Изд-во Московского ун-та-, I960.

С а-в е лов А. А. Плоские кривые. М., 1960.

С м о г о р ж е в с к и й А. С. Геометрические построения в плоскости Лобачевского. М. -Л., 1951.

. .Сомов О. И. Общий способ приблизительного спрямления кривых линий. Записки импер. Акад, наук, т. 18, кн. 1, 1870, стр. 25—30.

Федоров Е. С. О делении окружности на равные части лучами из одного центра. Известия С.-Петербургского горного и.н-та, <19'10, т. 2, вып. 5, стр. 39*6."

Хинчи н А. Я. Элементы теории чисел. Энциклопедия элементарной математики, кн. 1. Арифметика. М. -Л„ Гостехиздат, 1951., стр. 255— 353.

Uей Тен Г. Г. История математики -в древности и в средние века. Предисловие М. Я. Выгодского. Пер. П. Юшкевича с- франц, изд., испр. М.- Л. Гостехиздат, 1982.

Чебот а рев Н. Г. Основы теории Галуа, т. b М., |ГТТИ„ -1934.

Четверухин Н. Ф. Геометрические построения и приближения. М, Учпедгиз, 1935.-.

Ч и с т я к о в В. Д. Математические вечера в средней1 школе. Пособие для учителей, изд. 2 и доп. М., Учпедгиз,, 1958.

Ч и с т я к о в В. Д. Три знаменитые ;задачи древности. Пособие для внеклассной работы. М., Учпедгиз, 1963.

Шафаревич И. О разрешении уравнений высших степеней, М.„ '1954.

Ш к о л ь н и к А. Г. Задача деления круга. Пособие для учителей, изд. 3. М., Учпедгиз, 1961.

Шрубко Л. А. Трисекция угла. «Известия АН К аз. ССР», № 115, сер. геол.., нып. 12» 1952. ctp’ 99—103.

Штейнер Я. Геометрические построения, выполняемые с помощью прямой и неподвижного круга. Пер. с нем. под ред. Д. М. Синцова. М., Учпедгиз, 1939.,

. Эйлер Л. Введение в анализ бесконечных малых, т. 1. Пер. с лат Е. Л. Пацановского. Ред. вступ. статья и ори меч. С. Я. Лурье. М.-Л., ОНТИ, 1936; т. 2, пер. с лат. и предисловие И. Б. Погребысского, 1957.

Юшкевич А. П. История математики в средние века. М., Физмат-

04^ Ю ш к е в и ч А. П. История математики в России до ,19Ь7 г. М^ ^Ю5 Ю ш к е в и ч А? П. Леонард Эйлер о квадратуре круга. Историко- математичеокие исследования, вып. 10. М.„ Физматгиз, 1957, стр. 159—210.

Яглом А. М). и Яглом И. М. Элементарный вывод формул Валлиса. Лейбница и Эйлера для числа л. УМН 6:5 (57) 1953. стр. 161—487.

Я 'К ° в к и н М. В. Численная теория приводимости многочленов. Изд-во АН СССР, 1959.

Ber.nulli D. Exercitationes quardam Mathematicae, Venetiis 1724.

Beu tel E. Die Quadratur des Kreises. Aufl. L—BM 1920.

Bieberbach L. Theorie der geometrischer Konstruktionen Basel, 1952.

Breidenbach W. Das Delische problem. Leipzig, 1952.

В r ei denb a ch W. Die Dreiteilung dee Winkels, Leipzig, 1951

Calo B. Ober die transzendenten Aufgaben, insbesondere fiber die Quadratur des Kreises. Fragen der Elementargeometrie, Bd. 2, Leipzig, 1907, S. 267—326.

Cantor G. Uber eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen. Journal fur die reine und angewandte Matematik, 1873, Bd. 77.

Clausen Th. Vier neue mondformige Flachen, deren "Inhalt quadrierbar ist. Journal ftir die reine und angewandte. Matematik, 1840, Bd. 21.

Conti. Aufgaben dritten Grades: Verdoppellung des Wurfels Dreiteilung des Winkels. Fragen der Elementargeometrie, Leipzig, 1907, Bd. 2. S. 189—266.

Eisenlohr A. Ein mathematisches Handbuch der alten Aegypter (Papyrus Rhind dps British Museum). Leipzig, 1877, 1891.

Enriques F. Die geometrischen Aufgaben ihre Losung und Losbbarkeit (2 tell — Fragen der elementargeometrie). Leipzig, 1907.

Euler L. Considerationes Cyclometricae. Novi Comm, Ac. Sc. Petr, 1772 (1771), t 16, p. 160—173.' ,

Euler L. Solutio problematis geometrici circa lunulas a circulis formatas. Comm. Ac. Sc Petr.. 1744 (1737).

Fourier. Melanges d’analyse algebrique, 1815.

Fuss P. H. Correspondance mathematique et physique de quelques celebres geometres du XVHI siecie. St. Petersb., 1843.

. Gordan. Transcendenz von 1 und. Math. Ann. 1893, Bd. 43, S. 222.

Hermite Sch. Sur la fonction exponentielle C—R., 1873, T. 77.

Hessenberg J. Transzendenz von 1 und. Leipzig, 1912.

Hilbert. Ueber die Transcendenz der Zahlen e und л. Math. Ann. 1893, Bd. 43, S. 216.

Hurwitz. Beweis der Transcendenz der Zahlen e. Math. Ann. 1893, Bd. 43, S. 220.

Katalog mathematischer und mathematisch-physischen Modelie. Apparate und Instrumente. Munchen, 1892, S. 227—230. 1

Krafft G. W. Dissertation de quadratura circuli praesertim Merkelina. Tubingae, 1752.

Krafft G. W. Peripheria circuli mechanice dupliciter rectificata. Comm. Acad. Petropol., t. 13, 1741—1743 (1751).

Krafft G. W. De lunulis quadrabilibus e variarum curvarum combinatione ortis., Comm . Acad. Sciences imper. Petropol., 1738, t. 6, p. 156—167.

Kubota T. Geschichtliches uber geometrische Konstruktionen. Jahresber. DMV. Bd. 37, S. 71—74 (1927).

Landau. Uber quadrierbare Kreisbogenzweiecke Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Geselschaft. 2. (1903), S. 1—6.

Lebesgue. Lecons sur les construction geometriques. Paris, 1950.

Legendre A. M. Elements de geometrie. Paris, 1794. (Note 4).

Lenberg P. Lehrsatz von elliptischen monden die sich quadrieren lossen.

Lindemann. Uber die Zahl л Mathem. Annalen, 1870, Bd. 20, S. 213—225.

L i о u v i 11 e J. Sur des classes tres etendues de quantites dont la valeur n’est ni rationelle algebrique ni meme reducible a des irrationnelles algebriques. Journal de mathematiques pures et appliquees. (1891) XV.

MararMukunda К. and R a j a g о p a 1 *C. T. On the Hindu quadratire of the Circle K. Balangadharan, Appendix, Journal of Bombay Branch of the Royal Asiatic Society, 1944, Vol. 20.

Mo nt u cl a. Histoire des recherches sur la quadrature du cercle, avec une addition concernant les problemes de la duplication du Cube 0t de trisection de I’angle... (1754) Paris, 183-1, 300.

Rudio F. Der Bericht des Simplicius fiber die Quadraturen des Antiphon und des Hippokrates. Leipzig, Teubner, 1907.

Shanks D. and Wrench J. In Calculation of л to 100.000 decimals «Math, compub, 1962, 16, N. 77, 76—99.

Tschakaioff L. Beitrag zum Problem der quadrierbaren Kreisbergenzweiecke. Mathematische Zeitschrift, 30, 552 (1929).

144. Tschebo t ar ef f N. G. Uber quadrierbare Kreisbogenzweiecke, 1, Mathematische Zeitschrift, 39 (1935), S. 161—175.

Viet e F r. Variorum de rebus mathematicis responsorum liber VIII, Turino 1593.

Wantzel. Recherches sur les moyens de reconnaitre si un probleme de geometric peut se resoudre avec la regie et le compos. Journal de Mathe- matiques pures et appliquees, 1837, I, serie, II, t. c. 366—372.

Weierstrass. Zur Lindemann’s Abhandlung «Uber die Ludol- phische Zahl». Sitzunggberichte der Kon. Preus. Academic der Wiss. 1885.

W i e 1 e i t n er H. und Hofmann J. Zur Geschichte der quadrierbaren Kreismonde. Wiss. Beilage zum Jahresber. d. neuen Realgimna- sium. Miinchen, 1933—1934.

W i j n q u i s t. Diss, gradualis lunulas quasdam circulares quadrabiles exhibens, Abo, 1766.

ОГЛАВЛЕНИЕ _

Введение . ’3

Глава I. Знаменитые задачи в Древнем мире »8

Квадратура круга- и луночек8

О происхождении задачи .8

Рецепты древних египтян и вавилонян9

Первые попытки квадратуры круга в Древней Греции ..13

Геометрическая- формулировка задачи ......16

Гиппократовы луночки17

Квадратура- круга с помощью квадратрисы ....24

Круг и окружность в «Началах» Евклида.27

Спрямление окружности с помощью спирали Архимеда . 28

«Измерение круга» Архимеда • ; . 30

Удвоение -куба35

О происхождении задачи •. . 35

Первая известная попытка решения задачи37

- Решение Архита Тарентского ..•38

Решения задачи в Древней Греции после Архита ... / 40

Решения с помощью конических сечений40

Решение Эратосфена ..42

Трисекция угла и деление окружности, на равные части .. .45

Возникновение задач* . . >. 45

Превращение в конструктивные задачи (пифаторийская школа).. *46

Деление -угла и дуги окружности с помощью квадратрисы .47

Метод вставок . 49

Трисекция угла в работах Архимеда *49

Трисекция угла с -помощью конхоиды51

Трисекция угла с помощью конических сечений52

Деление окружности на равные части (построение правильных многоугольников)j..*53

У других народов Древнего мира ..* •• . • • 57

Примечания к главе I *•• ^

Глава III. Знаменитые задачи древности в странах Востока и Европы в VI—XVIII столетиях,.........66

(Продолжение наступления на «нелоздающиеся задачи») •/ .. ’ 66

Квадратура круга и спрямление окружности67

В Индии . '.-67

В странах Ислама *70

В европейских странах",..70

Число л в трудах Л. Эйлера..-•.. ....-.88

Способы Бюффона и Маскеронивычисления л ...95

Предположения о невозможности квадратуры круга с помощью циркуля и линейкиг..97

Удвоение куба, трисекция угла и построение правильных многоугольников 98

В странах Ислама *....99

В европейских странах«...110

Квадратура луночек .118

В трудах ара-боязычных математиков ...... 118 В трудах европейских математиков (XVI—XVII вв.) ..1119

Примечания к главе II 138

Глава ,1И. Долгожданные решения четырех задач. Дальнейшая судьба знаменитых задач древности112

Иррациональность чисел е и л143

Теория Гаусса деления окружности на равные части ..•.. 150

Доказательство Ванцеля невозможности удвоения куба и трисекции угла 158

Трансцендентность чисел е и л,...161

Доказательство Линдемана трансцендентности числа л .» .167

Дальнейшее развитие теории знаменитых задач древности ..174

Новые способы точных и приближенных конструктивных решений четырех знаменитых задач древности187

Теория квадратуры круговых замкнутых луночек в XIX и начале XX столетия201

О популяризации знаменитых задач древности в XIX и XX столетиях 207

Примечания к главеIII ./208

Глава IV. Знаменитые задачи древности в нашей стране .... 21:2

Досоветский период8212

В далеком прошлом ..212

В рукописях XVII в. .1 212

В математическихкнигах Петровской эпохи.... 215

В XVIII столетии 8•••.216

В XIX столетии1

Советский период ^7

Популяризация знаменитых задач древности в Советском Союзе *228

История знаменитых задач древности в трудах советских математиков 229

Вклад советских математиков в современную теорию знаменитых задач древности 230

Квадратура круга . »*230

Трисекция и полйсекция угла 239

Деление окружности на равные части в неевклидовых геометриях 247

Решение задачи о делении окружности на равные части в плоскости Евклида .......... 249

Удвоение куба *256

Современная теория квадратуры луночек•262

Покорение основной проблемы262

Попытки популяризации результатов Н. Г. Чеботарева и

А. В. Дороднова 264

Построение циркулем и линейкой квадрируемых круговых замкнутых луночек и 'прямолинейных фигур, равновеликих им. 271

Квадратура круговых замкнутых луночек с помощью конических сечений .278

Круговые открытые луночки.281

Некруговые замкнутые и открытые луночки .284

Теория* квадратуры круговых луночек в плоскости Лобачевского •*287

О квадратуре круговых луночек в плоскости Римана .. 299

Примечания к главе IV ...304

Литература*1^98

Издательство РГУ

в 1975 г.

выпускает новую книгу:

1. Данилкин Н. П., Мальцева О. А. Ионосферные радиоволны (теория, алгоритмы, программа) (ТО п. л., ориентировочная цена — 60 коп.)

В книге рассматривается вычислительный аспект проблемы распространения электромагнитных волн в неоднородных анизотропных средах, преимущественно типа земной ионосферы. Приводится синтезированное Изложение теории, алгоритмов и программы расчетов, наиболее часто используемых в практических работах: вычисление фазового показателя преломления и поглощения электромагнитных волн в анизотропных плазмах различных типов, вычисление группового показателя преломления, расчет профилей ионосферы, вычисление траекторий распространения радиоволн в геометропти- ческом приближении и т. д.

Книга предназначена для инженеров и научных работников, занимающихся вопросами связи, распространения электромагнитных волн в плазме и физики верхних слоев атмосферы Земли и планет, для аспирантов и студентов старших курсов радиофизических, геофизических факультетов прикладной математики вузов.

Заказы просим направлять:

344069, Ростов-на-Дону — 69, Таганрогское шоссе, 106, база облкниготорга

^ОООФООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООФОООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООО

БЕЛОЗЕРОВ Семен Ефимович ■

пятьЗНАМЕНИТЫХ ЗАДАЧДРЕВНОСТИ '

(История и современная теория)

Редактор О. Ф. К а р т у ш и н а

Технический редактор Г. Я. Бочковая

Корректор Л. А. Гайдаш

Обложка Д. А. Морозова

Изд. № 88/798. Сдано в набор 01.12.73. Подписано к печати 13.03.75. ПК 27064. Формат 60x84 1 /16. Бумага тип. № 3. Объем 20,0 физ. л. л., 18,60 усл. п. л.» 19,88 уч.- изд. л. Тираж 12000 экз. Заказ № 2012. Цена 1 руб. 32 коп.

Издательство Ростовского университета, г. Ростов-на-Дону, 6, ул. Пушкинская, 160.

Адыгоблполиграфобъединение управления издательств полиграфии и книжной торговли Краснодарского крайисполкома, г. Майкоп, ул. Пионерская, 268.

(ллохраттк s’Арх^йгк'ApxoTagAbu-l-WafaOmar Khayyam I. AlkaschiI F. VieteR.DescartesD. BernoulliI LEulerA.Legendre(ллохраттк s’Арх^йгк'ApxoTagAbu-l-WafaOmar Khayyam I. AlkaschiI F. VieteR.DescartesD. BernoulliI LEulerA.LegendrenSin2me-mSin2ne~/ m м2m-П/ rnSin2me-mSin2ne~/ m м2m-П/ r

(ллохраттк s

’Арх^йгк

'ApxoTag

Abu-l-Wafa

Omar Khayyam I

. Alkaschi

I F. Viete

R.Descartes

D. Bernoulli

I LEuler

A.Legendre

(ллохраттк s

’Арх^йгк

'ApxoTag

Abu-l-Wafa

Omar Khayyam I

. Alkaschi

I F. Viete

R.Descartes

D. Bernoulli

I LEuler

A.Legendre

nSin2me-mSin2ne

~/ m м2m-П/ r

nSin2me-mSin2ne

~/ m м2m-П/ r

I руб. 32 коп.

В этом можно усмотреть зародыш понятия верхнего и ниж

него предела.

|ц_ —•

и решая их совместно, получим отрезок k=V2.

Можно удвоение куба осуществить также с помощью куби

ческой параболы, параболической и гиперболической спиралей

и других известных кривых. Особый интерес представляет получение для этой цели некоторых разновидностей кривых, не известных еще в математике. С задачей удвоения куба связано

обобщение этой задачи.

1. Если задача удвоения куба х3=2а3 просто неразрешима

Циркулем и линейкой, то обобщенная задача х3 = ра3, очевидно, при некоторых значениях Р разрешима циркулем и линейкой.

2. Обобщением этой задачи является и х11—рап=0, корнем которого является одно из п—1 средних пропорциональных между отрезками а и ра20.

С. Е. БЕЛОЗЕРОВ

(ллохраттк s’Арх^йгк'ApxoTagAbu-l-WafaOmar Khayyam I. AlkaschiI F. VieteR.DescartesD. BernoulliI LEulerA.Legendre(ллохраттк s’Арх^йгк'ApxoTagAbu-l-WafaOmar Khayyam I. AlkaschiI F. VieteR.DescartesD. BernoulliI LEulerA.LegendrenSin2me-mSin2ne~/ m м2m-П/ rnSin2me-mSin2ne~/ m м2m-П/ r

(ллохраттк s

’Арх^йгк

'ApxoTag

Abu-l-Wafa

Omar Khayyam I

. Alkaschi

I F. Viete

R.Descartes

D. Bernoulli

I LEuler

A.Legendre

(ллохраттк s

’Арх^йгк

'ApxoTag

Abu-l-Wafa

Omar Khayyam I

. Alkaschi

I F. Viete

R.Descartes

D. Bernoulli

I LEuler

A.Legendre

nSin2me-mSin2ne

~/ m м2m-П/ r

nSin2me-mSin2ne

~/ m м2m-П/ r

РОСТОВСКИЙ-HA-ДОНУОРДЕНА ТРУДОВОГО (КРАСНОГО ЗНАМЕНИГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

С. С. ЪелозероВ

ПЯТЬ ЗНАМЕНИТЫХ ЗАДАЧ ДРЕВНОСТИ история и современная теория

Издательство Ростовского университета

1975

УДК 070010

Печатается по постановлению Ученого советамеханико-математического факультетаРостовского-на-Дону ордена Трудового Красного Знаменигосударственного университета

Ответственный редактор Ю. П. Виноградов

С. Е. Белозеров. Пять знаменитых задач древности (История и современная теория). Издательство Ростовского университета, 1975.

320 стр.

В работе рассматривается история и современная теория пяти зна. менитых задач древности: квадратура круга, трисекция угла, удвоение куба, деление окружности на равные части, квадрировали е луночек. Наличие в монографии задач и вопросов, составленных автором, будет способствовать лучшему усвоению некоторых вопросов теории пяти знаменитых задач древности и может стимулировать любознательную молодежь на попытки самостоятельного решения еще нерешенных вопросов современной теории пяти задач древности.

Книга будет полезной для учителей математики, студентов и учащихся старших классов. Кроме того, ее можно использовать при изучении истории математики и некоторых разделов курса высшей математики. Она также может служить любителям математики для повышения уровня математической культуры.

0221—088

М 175(03)—75 30 Д°п —74

(6) Издательство Ростовского университета, 1975.