ПУТЬ В СОВРЕМЕННУЮ ФИЗИКУ

Перевод с английского

Ю. Г. Рудого

Под редакцией и с предисловием

А. А.Гусева

ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР" МОСКВА 1972

580 К85

Кемпфер Ф.

К35 Путь в современную физику, Пер. с англ. Ю. Г. Рудого. Под ред. и с предисл. А. А. Гусева. М., «Мир», 1972.

375 с. с илл. (В мире науки и техники)

Книга проф. Ф. Кемпфера представляет собой попытку перестроить методику изложения общей физики в соответствии с современными представлениями. Пользуясь весьма скромным математическим аппаратом, автор оригинально систематизировал, критически осмыслил и изящно изложил основные представления, на которых строится современная физика. Книга рассчитана на студентов младших курсов и школьников, ее с интересом и пользой прочтут научные работники, а преподаватели почерпнут в ней ценный методический материал, потребность в котором сейчас особенно велика в связи с начавшимся у нас в стране переходом на новые учебные программы.

2-3-2530

169-72

Редакция научно-популярнойи научно-фантастической литературы

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Наше первое суждение о книге формируется по названию. В оригинале эта книга называется ,,Elements of Physics”, что в буквальном переводе означает «Элементы физики», и можно подумать, что это либо краткое изложение общей физики, либо популярный ее вариант. Правда, на титульном листе есть подзаголовок ,,А New Approach” — «Новый подход». Но ему сначала не придаешь особого значения — уже на многих книгах в самых разных сочетаниях мелькали и «Элементарные физики» и «Новые подходы». Однако уже следующий шаг — просмотр оглавления — заставляет усомниться, так ли верно первое впечатление. А начав чтение, вы очень скоро понимаете, что это все-таки курс общей физики, но курс совсем необычный.

Действительно, основная особенность книги канадского физика-теоретика Ф. Кемпфера — ее нетривиальность. Она не похожа ни на одну известную книгу по общей физике.

Читателей-физиков это не очень удивит: они знакомы с изданным ранее в переводе учебником автора по квантовой механике (Ф. К е м п ф е р, Основные положения квантовой механики, И., изд-во «Мир», 1967), который существенно отличался от стандартных курсов как отбором материала, так и характером изложения. Поэтому склонность автора к нарушению традиций не так уж неожиданна. Однако как в первой, так и в настоящей книге Кемпфера это было не проявлением эксцентричности, а естественным желанием ученого критически осознать

настоящее, заглянуть в завтрашний день науки, попытаться предвидеть пути эстафетной передачи знаний.

Книга, предлагаемая ныне в русском переводе, не поддается привычной классификации. Да, это книга об общей физике, действительно элементарная (в ней не используется даже математический анализ, не говоря уже о более сложных разделах математики), но она не укладывается в прокрустово ложе стандартов научной или учебной литературы и тем более не является «занимательной» физикой. Причины появления такого «странного» курса физики лежат, разумеется, значительно глубже личных пристрастий автора. Они коренятся в той особой ситуации, которая сложилась в последние годы в физической науке.

Одной из характерных черт духовного мира сегодняшней науки — прежде всего физики (и пока в меньшей мере биологии) — является нетерпеливое ожидание великого открытия, революционного поворота, равного по значению созданию теории относительности и открытию квантовой природы микромира в начале нашего века.

Дело в том, что объем добытых знаний, особенно о так называемых элементарных частицах, и сведений о свойствах материи достиг гигантских размеров и породил множество проблем и загадок. Стало общепризнанным, что мы находимся накануне создания новой, более совершенной и глубокой физической теории материи. Хотя сейчас никто не может предсказать дату ее рождения, но нет сомнений в том, что открытие состоится. Видимо, оно будет не внезапным, а растянется на какой-то интервал времени; еще больший период займет становление новой теории. Параллельно неизбежно расширится ее применение, проникновение в технику. Ясно также, что это будет не «последняя» физическая теория материи. Очевидно, наконец, что все это явится лишь очередным этапом на пути бесконечного углубления в тайны природы, но этот этап будет длинным и, по-ви- димому, составит целую эпоху. В этой области прогнозирование дат и периодов времени было бы, конечно, пустым занятием.

Для современного развития науки характерно, кроме того, стремление к синтезу, попытки (и небезуспеш-

ные) объяснения все большего числа отдельных фактов на основе все меньшего числа так называемых «первых принципов», то есть фундаментальных закономерностей. (На ранних этапах наука, как известно, часто сводилась к фактографии или к попыткам создавать новую теорию для каждого отдельного явления.)

Еще одна характерная черта состоит в том, что уровень сегодняшней науки (не только физики) и темпы ее развития существенно опережают уровень ее преподавания. В целом эта ситуация оправданна и неизбежна, важно лишь следить за тем, чтобы отрыв не становился угрожающе большим.

Совершенно ясно, что преподаванию никогда не «угнаться» за наукой, если оно пойдет по пути механического нанизывания на пирамиду старых программ все новых и новых фактов и открытий. Необходим иной принцип, и он сводится к тому, чтобы время от времени останавливаться, дабы спокойно осмотреться и постараться заново осмыслить уже известное, воссоздать «большую науку» как бы в миниатюре, сохранив, однако, верность оригиналу. Важно также спрямить те подчас причудливые исторические зигзаги, которыми шла наука, не заставлять новое поколение учащихся проходить их вновь и вновь, как бы повторяя все заблуждения, но раскрыть внутреннюю логику науки и рассказать о тех ее достижениях, что сохранятся в будущем фундаменте будущей физики и в пределах своей применимости выдержат любые перевороты и потрясения. Так, величие Максвелла и открытых им уравнений не будет поколеблено, если обойти молчанием (хотя бы в общем курсе) ошибочные попытки их механистической интерпретации; более того, все чаще именно эти уравнения — венец электродинамики — сразу кладут в основу ее изложения (см., например, «Фейнмановские лекции»); по существу то же делает и Кемпфер (главы 14—17). Основная трудность на подобном пути состоит в том, что как раз наиболее компетентным лицам — активно работающим ученым — обычно некогда заниматься переосмыслением достигнутых результатов на уровне студенческой аудитории (в лучшем случае дело не идет дальше чтения спецкурса для аспирантов). Тем более ценны попытки ученых — к числу их, безусловно, относится и Ф. Кемпфер, — которые стремятся решить эту проблему.

Объективно процесс этот давно назрел, и наилучшее тому подтверждение — широко развернувшаяся в ряде стран, в первую очередь СССР и США, кампания по пересмотру и обновлению школьных и вузовских программ по физике. Эта кампания проходит под девизом — научить школьника, а тем более студента (будущего инженера или научного работника) основным физическим принципам, приучить его правильно мыслить на языке строго формулированных физических понятий, всегда помня об области их применимости, наконец, показать реальные возможности и границы сегодняшней науки, играющей роль надежного фундамента техники. Если учесть, что большинство студентов технических и естественных специальностей соприкасаются с физикой лишь на 1—2 курсах в условиях острого дефицита времени, то следует признать, что эти цели редко бывают достигнуты, и современный студент-нефизик уходит из вуза, так и не получив цельного представления о современной ему физике. В еще большей степени это относится к тем молодым людям; чье физическое образование практически заканчивается с получением аттестата зрелости.

Настоящая книга есть один из возможных путей решения этой задачи и одновременно попытка решить другую тесно примыкающую задачу — доступно и увлекательно рассказать о генеральных идеях физики, привить читателю-учащемуся интерес и вкус к познанию и исследованию, развить способность видеть и ценить красоту физического рассуждения, помочь понять единство и стройность физического мира и, наконец, еще раз опровергнуть ходячее представление о физике, как о наборе разрозненных фактов, формул и законов. Думается, нет необходимости обосновывать ценность подобного подхода как для становления общего мировоззрения, так и в более утилитарных целях. Уже сейчас необходимо готовить почву для того, чтобы будущие поколения успешно продолжили начатую в наше время научно-техническую революцию; для этого следует как можно раньше сформировать и сделать привычным для учащихся последовательный и стройный концептуальный аппарат современной физики, и в первую очередь — фундаментальные понятия релятивизма, принципы симметрии, вероятностный характер квантовых законов, дискретность динамических величин, полевую трактовку про-

цессов передачи взаимодействия и многое другое из ее богатого арсенала.

Задача, разумеется, не из простых, но попытки необходимы. В процессе ее решения должен быть осуществлен основной принцип преподавания: на высших ступенях обучения лишь углублять усвоенные ранее знания, то есть доучиваться, но не проучиваться. В противном случае большинство членов общества будут обречены на знакомство с физикой в лучшем случае на уровне XVIII— XIX веков, так никогда и не осознав по-настоящему ее сегодняшние триумфы, а тем более стоящие перед ней еще более грандиозные нерешенные проблемы. В современных условиях такие пробелы недопустимы.

Данная книга возникла из курса лекций, прочитанных автором для студентов гуманитарного колледжа, то есть для молодежи, которая выбрала себе профессию, относительно далекую от естественно-научных исследований и техники, и ясно, что усвоенные ими физические знания едва ли найдут непосредственное применение в их будущей деятельности И тем не менее они необходимы. Этот факт сам по себе симптоматичен. Он отражает возникшую общественную потребность. Сейчас физику и математику изучают в университетах и будущие экономисты, и лингвисты, и философы. Основы этих наук способствуют развитию творческого мышления и воображения; они стали непременным элементом- образования и мировоззрения специалиста в любой отрасли знания, а точнее — любого современного человека.

Первые главы книги (главы 1—9) посвящены в основном механике, в этом смысле начало книги традиционно (все курсы общей физики начинаются с механики), однако того же нельзя сказать о содержании этих глав, хотя здесь мы найдем и законы Ньютона, и законы Кеплера. Центральное место занимают не они, а основные для физики понятия: пространство событий и объектов, мировые линии, инерциальные системы отсчета, фундаментальные категории: расстояние, время, масса. Все это нужно как основа, как фонили, если угодно, как сцена, где будут разыгрываться главные события, рассказ о которых идет уже в полном разрыве с традициями; до самого конца книги читатель, ведомый автором, шагает по незнакомой стране, оставив далеко позади или в стороне почти все (но не все) то, чему его учили в школе Иногда читатель не

без удивления узнает знакомые «с детства» предметы, хотя они предстают в совершенно новом ракурсе и освещении; они становятся более рельефными, занимают именно свое, присущее им место. Можно сказать, что автор дает как бы объемную, стереоскопическую картину физики. Традиционная дорога (школьный учебник) — прежде всего феноменология: наблюдения, факты, явления, законы, объяснения, апеллирующие к наглядности, повседневному опыту, здравому смыслу и изредка — к микроструктуре материи. Исторически сложившаяся последовательность изложения материала тоже исходит из свойств и явлений нарастающей относительной сложности: от механического движения материальной точки к движению систем точек — тел, от механики к тепловым явлениям далее следуют электромагнетизм, оптика и, наконец, строение атома, атомное ядро, элементарные частицы (основные факты).

В этой книге все не так. Главный упор делается на другую, гораздо более могучую и более универсальную феноменологию: принципы симметрии.

Симметрия макроскопического физического мира, симметрия законов движения материи, связь этих симметрий с основными законами сохранения были подмечены уже давно. Сперва эту связь даже объявляли тривиальной и не придавали ей особого значения, но потом оказалось, что симметрийные свойства (как уже известные, так и открытые вновь) и соответствующие им законы сохранения внутренне присущи микромиру. Более того, развитие физики элементарных частиц в течение последних лет фактически проходило под флагом поиска новых, все более широких симметрий. Хотя и сейчас мы еще не знаем ответов на многочисленные «почему?» и «зачем?», принципы симметрии остались и, по-видимому, останутся неколебимыми. Достоинство и особенность книги Кемпфера состоят в том, что автор последовательно, на высоком научном уровне и при этом вполне элементарно рассказал об идеях симметрии и систематически продемонстрировал их применение для широчайшего класса свойств, явлений и процессов во всех областях физики — от загадочного микромира элементарных частиц до не менее загадочного макромира метагалактики.

На первый взгляд тяготеют к традициям разделы книги. посвященные теории теплоты (главы 12 и 22), но в

этих разделах наряду с первым и вторым началами термодинамики, тепловыми машинами, понятием к.п.д. и многим другим мы найдем отрицательные абсолютные температуры, проблемы заполнения энергетических уровней, квантовые переходы и т. д., подводящие нас, с одной стороны, к квантовой механике и квантовой оптике (и лазерам), а с другой — к симметрии явлений и законов, проблеме однонаправленности времени в макропроцессах ит. п., так что в действительности мы все время остаемся в основном русле повествования.

Совершенно новой для книги столь простого уровня представляется оригинальная полукачественная трактовка явлений интерференции света (глава 19), которая исходит не из волнового, а из корпускулярного (фотонного) их аспекта, и описание интерференции амплитуд вероятности, то есть фактическое введение волновых функций квантовой механики, минуя ее математический аппарат.

Физически просто, интересно и весьма нестандартно изложен далеко не простой вопрос о соотношении неопределенностей. В книге немало и других методических находок; при этом важно, что все делается «на глазах» у читателя. Весь путь от «высоких принципов» к вполне практическим задачам не требует предварительной подготовки, выходящей за рамки школьного курса, и может быть при желании и настойчивости тут же прослежен с карандашом в руках, так что сакраментальная фраза «можно показать, что ...» практически отсутствует. Блистательным примером такого рода является вывод ряда формул геометрической оптики непосредственно из вариационного принципа Ферма (глава 18), а также использование соотношений релятивистской динамики для анализа процессов столкновений (глава И).

Несмотря на несомненные достоинства, книга Кемпфе- ра все же не является полным элементарным курсом физики уже хотя бы потому, что в ней вовсе отсутствует многое из фактического материала, необходимого при любом подходе. Кроме того, автор подчеркивает, что он сознательно уклонился от попыток включать в книгу те вопросы, для изложения которых требуется привлечение понятий и трактовок, выходящих, по его мнению, за рамки элементарных; он избегает также давать псевдонаучные объяснения, создающие иллюзию понимания

(любимый прием безответственных популяризаторов, которые, не задумываясь, берутся за любую «модную» тему, привлекающую общий интерес).

Наряду с этим автор отразил и ряд других современных тенденций в преподавании физики. Так, он почти полностью отказался от описания каких-либо конкретных опытов (даже классических), схем и приборов: физика — наука прежде всего экспериментальная, и все это находится в компетенции лабораторного практикума и лекционных демонстраций (здесь, как нигде, верен принцип «лучше один раз увидеть...»); за этот счет изложение приобретает необходимую компактность и однородность. При этом, непосредственно в теоретический курс введены задачи и упражнения, следовательно, подразумевается его использование для активного усвоения материала, а не для легкого чтения. Основной текст весьма сжат, в нем сфокусированы основные идеи того или иного раздела, его «блок-схема»; в дополнение к нему исключительно продуманно подобраны задачи, каждая из которых раскрывает какой-либо еще, и чаще всего неожиданный, аспект изложенной в основном тексте темы. Будучи помножен на лаконизм и изящество изложения и тщательное исполнение иллюстраций, такой способ подачи материала во многом отвечает поставленным целям. Читатель знакомится не с частными фактами и открытиями, сколь бы важны они ни были, а с наиболее общими физическими идеями и представлениями, то есть с творениями человеческого разума, лежащими на вершине разворачивающейся спирали познания. Именно это обстоятельство подсказало и заглавие книги в русском переводе— «Путь в современную физику».

В целом эту книгу можно, вероятно, рассматривать как прообраз тех курсов физики, которые напишут в будущем, как одну из первых еще далеких от совершенства попыток создать такой курс. Она родилась из диктуемой всем ходом развития современной науки необходимости передать следующему поколению не только накопленные знания, но и результаты их систематизации и обобщения, то есть современное видение физического мира, столь отличное от того, каким оно было всего лишь 20—30 лет назад.

За период, прошедший с момента выхода американского издания, общеидейная сторона книги не только сохра-

нила силу, но и завоевала новые позиции. Однако отдельные иллюстративные примеры и фактические данные хотелось бы заменить более новыми. Некоторые моменты в изложении требуют пояснений. В ряде таких случаев в русском издании сделаны редакционные примечания. В нескольких (немногих) местах непринципиальные уточнения внесены непосредственно в текст без специальных оговорок.

К каждой главе книги автор рекомендует читателю дополнительную литературу. Это в основном статьи из научных или научно-популярных американских и английских журналов. Поскольку они малодоступны большинству читателей, мы сочли целесообразным дать свой список дополнительной литературы, помещенный в конце книги. В нем имеется несколько разделов, в которых указаны некоторые учебники, книги, брошюры и журнальные статьи, примыкающие по тематике к вопросам, рассмотренным в книге Кемпфера, но не всегда соответствующие принятому разбиению по главам. Когда адрес мог быть указан достаточно точно, после названия статьи в скобках указаны главы книги, наиболее близкие по теме. Читателям, пожелавшим углубиться в тот или иной вопрос, не составит труда выбрать для дополнительного чтения то, что их особенно заинтересует. Приведенный список, разумеется, не претендует на полноту, предпочтение отдавалось публикациям последних лет.

Нет сомнений, что знакомство советских читателей с книгой Кемпфера будет и интересным и полезным. Круг читателей книги весьма широк, указать какие-либо границы его трудно. Но одно очевидно: книга предназначена прежде всего для тех любознательных людей, которые хотят узнать о современных принципиальных идеях физики. Среди этих читателей будут и школьники старших классов, и их учителя, и студенты вузов и втузов, и их преподаватели, руководители семинаров, и лекторы, молодые и немолодые научные работники, и инженеры самых различных специальностей. Каждый найдет здесь для себя нечто новое и интересное. Будем надеяться, что среди них окажутся и авторы будущих наших отечественных оригинальных и полных курсов физики. Есть и еще один круг читателей— представители гуманитарных направлений и специальностей. Ведь именно для такого контингента были прочитаны автором лекции,

которые легли в основу книги. И для них, и для всех остальных знакомство с книгой, даже неполное, хотя бы частичное усвоение материала послужит расширению научного и общего кругозора, что само по себе, как всякое познание, всегда и неизбежно приносит хорошие плоды.

А. Гусев

ПРЕДИСЛОВИЕ

Широко распространено мнение о том, что граница, отделяющая область современных физических знаний от мира еще не познанных явлений, отстоит чрезвычайно далеко от элементарной физики. Согласно этому мнению, начинающий физик (или просто любознательный человек) должен переварить огромную массу фактов и идей (которые считаются хорошо понятыми), прежде чем он сможет по крайней мере осознать необходимость постановки тех или иных вопросов; это мнение все более укрепляется по мере небывалого совершенствования физических приборов и математического аппарата, которыми пользуется современный исследователь.

Цель настоящей книги состоит в том, чтобы напомнить о существовании нерешенных принципиальных вопросов в тех областях физики, которые по традиции считаются вполне элементарными и излагаются обычно в учебниках для начинающих (такова, например, механика Ньютона).

Несмотря на то что в этой книге содержится свыше ста численных примеров и упражнений (их решение мы предоставили читателям, ограничившись краткими указаниями или ответом), автор решительно отказался от обычного для элементарных курсов стремления научить читателя приемам и методам решения количественных задач. К сожалению, при этом часто достигается обратный эффект: вместе с умением «щелкать задачки» к начинающему физику приходит стойкое убеждение в том, что ничего общего с реальной действительностью они не имеют и элементарная физика бесполезна при решении практических задач.

При изложении каждой темы автор стремился быть максимально последовательным в выделении самого главного, и поэтому большая часть примеров и отступлений сосредоточена в специальных тематических дополнениях к каждой главе. Некоторые темы, содержащиеся в большинстве элементарных курсов, но не поддающиеся элементарному описанию, полностью опущены (например, магнитные свойства вещества). Во всех случаях, когда на принятом нами уровне можно было дать лишь псевдо- объяснение, автор отказывался от него вовсе.

Настоящая книга возникла из опыта преподавания физики в Университете Британской Колумбии лицам, не специализирующимся в этой области, поэтому пришлось ограничиться весьма скромным математическим аппаратом. Автор надеется, однако, что и студенты-физики смогут с пользой почерпнуть кое-что из этой книги в дополнение к своему более стандартному «интеллектуальному меню». Это особенно важно для тех, кто в процессе подготовки к экзаменам по своей обширной (и, без сомнения, очень важной) дисциплине рискует утратить интерес и вкус к глубоким нерешенным проблемам, которых так много в элементарной физике.

Среди моих коллег и друзей, которым я больше всего обязан формированию такого подхода к элементарной физике, мне хотелось бы выделить д-ра Луиса де Собри- но. Его критические замечания по поводу широко распространенных путей изложения законов Ньютона были особенно ценны для меня; именно он предложил использовать и различать термины «ньютоновская система отсчета» и «инерциальная система отсчета», которые приняты в этой книге; кроме того, из бесед с ним я узнал о ряде нерешенных проблем, связанных с необратимыми процессами.

Ванкувер, КанадаВанкувер, КанадаФредерик 4. КемпферФредерик 4. Кемпфер

Ванкувер, Канада

Ванкувер, Канада

Фредерик 4. Кемпфер

Фредерик 4. Кемпфер

Пространство событий в физике

Все физические явления в принципе можно разделить на отдельные события. Событие — это то, что происходит в пространстве и времени. Всегда можно задать осмысленный вопрос о том, когда и где произошло событие, если считать осмысленным всякий вопрос, на который, по крайней мере в принципе, можно ответить с помощью измерения.

Для того чтобы определить положение события в пространстве, требуется произвести три измерения и указать три числа — например, широту, долготу и высоту над поверхностью Земли. Это утверждение отнюдь не тривиально, кратко его выражают словами: физическое пространство трехмерно. Никто не знает, почему это так, хотя уже Аристотель (350 год до н. э.) пытался найти от-

Рис. 1. Декартова система координат.

Положение точки Р определяется тремя числами Рх , Ру , Рг , называемымиее координатами.

вет на этот вопрос. Математически можно представить себе пространства с числом измерений, большим или меньшим трех. Одно из крупных достижений математиков XIX столетия состояло как раз в изучении геометрии многомерных пространств, получившей наибольшее развитие в работах Гильберта (1862—1943); он показал, как построить геометрию в пространствах с бесконечным (и даже несчетным) числом измерений. По не известным нам причинам природа не воспользовалась ни одной из этих возможностей. В качестве арены, на которой разыгрываются физические события, она избрала пространство с тремя измерениями.

Три числа, фиксирующие положение события в пространстве, называются пространственными координата* ми. Современное понимание трехмерности физического пространства появилось, по-видимому, в XVII веке, прежде всего в работах математика Рене Декарта (1596— 1650), который изобрел для описания положения в пространстве прямоугольную систему координат (рис. 1). Любопытно, что в древности понятие размерности пространства не было широко признано, так как отсутствова-

ло понятие координат, тем не менее Евклид (около 300 года до н. э.) и его последователи неплохо разбирались в том, что сегодня называют трехмерной геометрией.

С другой стороны, вопрос «Когда произошло событие?» требует измерения и указания лишь одного числа. Другими словами, время одномерно. Это свойство реального мира настолько глубоко присуще нашему мышлению, что трудно даже вообразить себе гипотетический «мир» с числом временных измерений, большим одного.

Ось времени можно снабдить стрелкой, указывающей так называемое направление времени. Это фундаментальное свойство качественно отличает временное измерение от пространственных. Говоря о направлении времени, мы констатируем тот факт, что все наблюдаемые события происходят в определенной последовательности, а именно от прошлого к будущему. Для всех наблюдателей эта последовательность событий в данной точке пространства одна и та же. Если один из наблюдателей с помощью некоторого измерения приходит к заключению о том, что событие Л в некоторой точке пространства предшествует другому событию В в той же точке, то, очевидно, невозможно найти другого наблюдателя, который с помощью измерений того же типа воспринял бы события А и В в обратной последовательности. Это интересное свойство реального мира тесно связано с нашим пониманием причинности. Очевидно, всегда при наличии причинно-следственной связи между двумя событиями А и В мы можем однозначно указать, которое из них является причиной, а которое — следствием, причем, по определению, причина предшествует следствию. Мы не знаем ни одного наблюдателя, которому реальный мир представлялся бы кинолентой, прокрученной в обратном направлении.

Что же касается пространственных осей, то для них, по-видимому, не существует каких-либо выделенных направлений. Например, если один наблюдатель заключил, что событие А происходит одновременно с событием В и слева от него, то можно без труда найти другого наблюдателя, для которого событие В происходит справа от А: им может быть любой наблюдатель, который повернется относительно первого наблюдателя на 180° вокруг оси, перпендикулярной линии АВ (рис. 2).

Очевидно, что никакой поворот на 180° нельзя осуществить реально по отношению к оси времени. Приве-

Ось вращения

ААНаблюдатель 2Наблюдатель 2

А

А

Наблюдатель 2

Наблюдатель 2

Рис. 2. Относительность понятий «левое» и «правое».

Наблюдатель 1 считает, что А находится слева от В, а наблюдатель 2— чтоА находится справа от В.

денные соображения можно резюмировать так: понятия «правое» и «левое» для одновременных событий — понятия относительные, они зависят от наблюдателя, понятия же «прошлое» и «будущее» в данной точке пространства — понятия абсолютные: они одинаковы для всех наблюдателей.

На протяжении последних ста лет исследование природы направления времени привлекло внимание многих выдающихся физиков. Однако, несмотря на все усилия, найти удовлетворительное объяснение этого до сих пор не удалось, направление времени относится к обширному классу еще нерешенных проблем. В главах 6 и 16 мы увидим, что так называемые законы механики и электромагнетизма обладают ошеломляющим свойством — не различают направления времени, то есть симметричны по отношению к перестановке прошлого и будущего. В главе 13 мы рассмотрим некоторые попытки разрешить этот парадокс.

Определение реального местонахождения любого события требует определенного соглашения относительно используемых единиц измерения. Общепринятой единицей интервала времени является секунда; ее происхож-

дение связано с широко распространенным древним обычаем делить на равные промежутки естественную единицу времени —- солнечный день (сутки), так что

1 сут = 24 ч = 24 • 60 • 60 сек. (1.1)

Иногда полезно вспомнить о том, что

1 год ^ 3 • 107 сек. (1.2)

Знак « означает «приближенно равен». (В этой книге используется соглашение об изображении степеней числа 10, позволяющее компактно записать как очень большие, так и очень малые числа. Так, например, вместо 1 000 000 пишут 10е, вместо 100 —- 102, вместо 1 — 10°, вместо 1/1000 — 10“3 и т. д. Если два числа различаются множителем, приближенно равным 10, то говорят, что они отличаются на порядок величина. Аналогично множитель 100 соответствует различию на два порядка и т. д.)

Однако в отношении измерений длины столь же общепринятых единиц до сих пор не существует; только физики всегда пользуются метрической системой, в которой единицами служат метр (м) и сантиметр (см), причем

1 м = 102 см. (1.3)

Эта система также сложилась исторически: длина земного экватора была разделена примерно на 4 -107 частей, и эту часть назвали метром.

В атомной физике возникает необходимость дать специальные названия мельчайшим единицам длины и времени. Единица длины, равная 10~13 см, уже получила название ферми, тогда как для единицы времени, равной 10“23 сек, никакого названия еще не придумано.

На рис. 3 изображены интервалы длины и времени, поддающиеся физическому измерению. Обе шкалы охватывают около 40 порядков величины. Небезынтересно положение человека на этих шкалах. Обладая ростом порядка 102 см и продолжительностью жизни порядка 109 сек, человек находится в нижней половине шкалы длин, но в верхней четверти шкалы времени. Поэтому можно сказать, что по вселенским масштабам размеры человека малы, но время его жизни велико. На основании приведенной шкалы не следует делать поспешного заключения о том, что невозможны промежутки длины и времени, лежащие по обе стороны указанных пределов. Напри-

Ссек]Ссек]Сем]Сем]ВозрастВселеннойВозрастВселенной- - 10- - 10ппРадиус наблюдав - мои части вселеннойРадиус наблюдав - мои части вселеннойЮ21Ю21Массанаблюдав -мой Вселен-нойМассанаблюдав -мой Вселен-нойЮ 58Ю 58Жизнь '-IO9 человекаЖизнь '-IO9 человека- -10- -10- 10- 10- - 10 16- - 10 16Ростчеловека

Ссек]

Ссек]

Сем]

Сем]

ВозрастВселенной

ВозрастВселенной

- - 10

- - 10

п

п

Радиус наблюдав - мои части вселенной

Радиус наблюдав - мои части вселенной

Ю21

Ю21

Массанаблюдав -мой Вселен-ной

Массанаблюдав -мой Вселен-ной

Ю 58

Ю 58

Жизнь '-IO9 человека

Жизнь '-IO9 человека

- -10

- -10

- 10

- 10

- - 10 16

- - 10 16

масса человекамасса человекаВремя жизни частицы- резо- - - 10*гзВремя жизни частицы- резо- - - 10*гзнансананса, Радице А ядра водорода" - ^ (протона), Радице А ядра водорода" - ^ (протона)Массаядра водорода(протона)Массаядра водорода(протона)--Ю"'3- - 10” 3

масса человека

масса человека

Время жизни частицы- резо- - - 10*гз

Время жизни частицы- резо- - - 10*гз

нанса

нанса

, Радице А ядра водорода" - ^ (протона)

, Радице А ядра водорода" - ^ (протона)

Массаядра водорода(протона)

Массаядра водорода(протона)

Рис. 3. Масштабы времен, расстояний и масс, доступных измере-нию в настоящее время.

мер, открытым остается вопрос о том, конечно ли время существования физической Вселенной от ее рождения до настоящего момента. Аналогично нельзя ответить с уверенностью, имеются ли какие-либо физические пределы уменьшению измеримых промежутков длины и времени (правда, некоторые физики строят теории, включающие понятие «элементарной длины»).

Для полного описания события информацию о том, когда и где оно произошло, следует дополнить и ответом

на вопрос «Что произошло?» Для этого в механике приходится использовать еще одну единицу (несводимую, очевидно, к единицам длины и времени), а именно единицу массы. Точное определение этого понятия будет дано в главе 3; принятые физиками единицы массы в метрической системе — это килограмм (кг) и грамм (г), причем

1 кг = 108 г. (1,4)

Для предварительной ориентировки можно весьма неточно определить 1 г как количество вещества, содержащееся в 1 см3 воды при некоторых температуре и давлении. На рис. 3 представлена шкала масс, доступных измерению; она охватывает более 80 порядков величины. На шкале масс, как и на шкале расстояний, место человека в нижней половине.

Хотя масса электрона — легчайшей из известных элементарных частиц, вообще имеющих массу, — порядка 10'27 г, не следует считать, что невозможно измерить меньшую разницу масс. Например, недавно были открыты две элементарные частицы /Ли Kt — Я-мезоны (см. главу 23), у которых наблюдаемая разница в массах не превышала 10"32 г.

Система единиц измерения, в которой в качестве основных приняты 1 см, 1 г и 1 сек, называется системой СГС; система, основанная на 1 м, 1 кг и 1 сек, называется системой МКС (или СИ).

Весьма замечателен тот факт, что трех основных единиц измерения — длины L, времени Т и массы М и их различных комбинаций — вполне достаточно, чтобы описать все механические аспекты движения отдельных объектов. Не решен до конца вопрос о том, следует ли приписать другим физическим величинам, кроме длины, массы и времени (например, электрическому заряду), независимый физический статут. Далее мы расширим систему единиц с целью включения таких величин.

Комбинацию степеней L, Т и М, входящих в определение физической величины, называют размерностью этой величины. Например, как будет показано в главе 9, энергия физического объекта имеет размерность ML2T“S, а ее единицы таковы:

1 эрг =—(1.5)

сек2

в системе СГС,

Дж = 1 Вт • сек = 10"’ эрг = —к ■ • * м2.(1.6)

1 сек2

в системе МКС (СИ), где Дж означает 1 джоуль, а Вт ’Сек— 1 ватт на секунду.

Дополнения

Любое измерение времени основано на периодически повторяющемся процессе конечной длительности, так что промежуток времени между началом и концом процесса может быть использован в качестве стандартной единицы времени. Типичный пример — известные еще в древности песочные часы. Их применение в качестве стандарта времени основано на том, что повторение некоторого процесса (в данном случае вытекание песка через узкий канал под действием силы тяжести) не вносит каких-либо новых свойств, связанных с изменением длительности процесса.

Однако песочные часы как прибор для отсчета времени оказались бы совершенно бесполезными на спутнике, свободно обращающемся по орбите, — в этих условиях исчезла бы причина, вызывающая перетекание песка. Таким образом, одно из предположений, позволяющих использовать песочные часы по назначению, состоит в том, что сила тяжести производит неизменное действие на прибор. Можно, конечно, использовать песочные часы и для фиксации изменений локальной силы притяжения к Земле, но для этой цели необходимо сравнивать длительность перетекания песка с каким-либо другим стандартным процессом, длительность которого, по предположению, не зависит от силы тяжести (тем самым роль песочных часов как стандарта времени сводится к нулю).

Если еще поразмыслить над этими вопросами, можно заметить, что очень трудно (если вообще возможно) представить себе прибор для измерения времени, не опирающийся неявно на постоянство некоторого физического процесса, положенного в основу действия прибора. Научные представления о том, что может служить в качестве подходящих стандартов времени, не всегда основывались на безупречных рассуждениях. Например, в 1660 году Лондонское королевское общество направило на Канарские острова исследовательскую экспедицию, членам которой было поручено наряду с прочими научными изысканиями определить с помощью песочных часов, замедляется или убыстряется ход маятниковых часов на вершине горы по сравнению с уровнем моря.

Вращение Земли вокруг своей оси, которое во времена до Коперника описывалось как вращение небесной сферы вокруг Земли, вплоть до 1930 года служило в качестве стандарта времени, по которому сверялся ход часов различных типов. Очевидно, для той же цели можно использовать вращение Земли вокруг Солнца. По сей день Национальное бюро стандартов в Вашингтоне определяет секунду как «1/31556925,9747 часть тропического года для 1900 года января 0 в 12 часов эфемеридного времени». Ясно, что это определение, данное с 12 десятичными знаками, предполагает возможность установления длительности указанного года с точностью до 10-12.

В то же время точность, с которой можно установить продолжительность сидерического дня (промежутка времени между последовательными моментами прохождения «неподвижной» звезды через меридиан), зависит от точности определения положения звезды на небесной сфере. Лучшие из существующих астрономических инструментов могут надежно измерять углы до 0,1 дуговой секунды, что соответствует точности измерения сидерического дня до 1/360-60.60.10 « ЮЛ

Таким образом, продолжительность любого сидерического дня, насчитывающего около 10б сек, можно определить с помощью астрономических наблюдений с ошибкой, не превышающей 10-2 сек. Относительная точность измерения более длительных интервалов времени будет соответственно более высокой. Например, период в 30 лет, насчитывающий около 1014 дней, может быть измерен тем же методом с точностью до 10 "и. К концу XX века астрономы надеются измерить положения звезд с точностью до 0,001 дуговой секунды и повысить таким образом точность астрономических стандартов времени в сто раз.

Отсюда следует, что наблюдение каких-либо вариаций продолжительности сидерического дня (например, после усреднения по недельному циклу) требует неастрономических стандартов времени, которые могут обеспечить точность не менее 10“*°. С другой стороны, наблюдение секулярных изменений угловой скорости вращения Земли, то есть замедления или убыстрения этого вращения за период времени порядка столетия, требует использования стандартов времени, имеющих точность порядка ю-12.

В 1935 году физики были уверены в том, что маятниковые часы высокой точности могут служить в качестве стандартов времени; на этом основании Стойко в Париже приписал наблюдаемые сезонные отклонения хода этих часов от хода астрономических часов сезонным вариациям средней продолжительности сидерического дня, составлявшим около 2 -10-3 сек. Вариации такого порядка могут быть вызваны сезонными изменениями в распределении водных и воздушных масс по поверхности Земли. Во всяком случае, данная Стойко интерпретация основывалась просто на вере в превосходство маятниковых ча сов и возможность учета любого возможного влияния окружения (например, вариаций температуры) на их ход

Около 1950 года удалось достичь высокой степени совершенства нового типа часов, использующих не качания маятника, а колебания кристалла кварца; стало возможным регистрировать любые изменения в скорости вращения Земли с точностью до 10“3 сек. Измерения, проведенные различными экспериментаторами, подтвердили наличие сезонных вариаций сидерического дня порядка 2-10~3 сек.

В 1955 году атомные стандарты времени, основанные на колебаниях определенного типа в атоме цезия, позволили замечать любое отклонение от равномерности хода кварцевых часов с точностью до 10"10. Если принять, что атомные колебания не подвержены секулярным изменениям, нам следует использовать в качестве основы для определения секунды какую-либо хорошо известную атомную частоту. Например, можно определить секунду как интервал времени, в течение которого совершается 9 192 631 830 колебаний атома цезия. Это число с точностью до ±10 согласуется с наилучшими астрономическими определениями секунды. Несмотря на то что физики стремятся принять новые атомные стандарты времени, международное соглашение о том, какую именно из атомных частот следует выбрать для этой цели, еще не достигнуто.

В 60-х годах Рамсею (Гарвардский университет) удалось заставить колебаться атомы водорода с частотой примерно 1,4 -109 гц (колебаний в секунду), что позволило измерять время с точностью до 10"12. Водородные часы Рамсея могут быть использованы в качестве международного стандарта времени. Они сделали доступным измерение любого секулярного изменения скорости вращения Земли, которая, по мнению многих геофизиков, уменьшается из-за приливного трения.

Международное соглашение, касающееся стандарта длины и основанное на атомных измерениях, было установлено в 1960 году. Решено было определить метр как промежуток длины, в котором укладывается 1650763,73

длины волн оранжевого света, испускаемого атомом элемента криптона-86. Как и в случае атомного стандарта времени, выбор атомного стандарта длины основан на убеждении, что длина волны излученного атомом света не подвержена никаким секулярным изменениям. Указанное значение было выбрано потому, что его можно измерить с точностью до ~10‘9.

Принятая в настоящее время единица массы основана на вопиюще устарелом соглашении. По определению килограмм — это масса цилиндра, изготовленного из платино-иридиевого сплава и хранящегося в Национальном архиве Франции в Севре. Разумеется, физик предпочел бы определить килограмм, например, как массу определенного числа ядер водорода или протонов. Однако никакого международного соглашения по этому вопросу не предвидится, поскольку невозможно сравнить крошечные атомные массы с довольно большой массой в Севре с точностью, большей чем 10"6; в то же время сравнить массы одного порядка величины можно со значительно большей точностью.

Читателю рекомендуется приобрести некоторый навык в обращении со степенями целых чисел. В качестве упражнения переведите шкалы на рис. 3 от степеней числа 10 к степеням числа 2 (воспользуйтесь тем, что 10 = 23.32),

Оценки по порядку величины часто включают в себя простые геометрические рассуждения. Читателю предлагается оценить, например, долю солнечного света, попадающую на Землю. Даны: радиус Земли г = 6,4 -10е м и расстояние между Землей и Солнцем R = 1,5 ЛО11 м. (Ответил 4,5 • 10“10.)

ГЛАВА 2

Мировые линии объектов

Для каждого наблюдателя реальное пространство физических событий предстает в изобилии «населенным» объектами. Важно осознать, что к понятию идентифицируемого объекта мы приходим путем рассуждений. Подавляющее большинство событий, заслуживающих внимания, — события повторяющиеся. Например, то, что вы видите данную страницу текста, обусловлено огромным (но конечным) числом элементарных событий поглощения и испускания света, причем в местах поглощения вы видите темные буквы, а в других местах — белую бумагу. Очевидно, из-за несовершенства зрения и других органов чувств человеческий мозг воспринимает этот поток событий в среднем как непрерывное существование данной страницы текста. Без сомнения, такая переработка и усвоение повседневного опыта в терминах «объектов» — весьма важный процесс. Он позволяет нам экономно познавать окружающий нас мир. В частности, благодаря такому «огрубленному» восприятию мы можем графически описывать движение объекта в пространстве и времени непрерывной линией.

Людям весьма свойственно умение воссоздавать непрерывные изображения с довольно грубых шаблонов, таких, как мозаичные картины на телевизионном экране или газетной фотографии. Это явление привлекло внимание художников. В частности, у Сальвадора Дали есть картина, которая, по словам ее автора, «при рассмотрении вблизи воспринимается как абстрактная, при рассмотрении с шести футов зритель видит мадонну Рафаэля, а с расстояния сорока пяти футов на ней можно разглядеть ухо ангела размером в пять футов». Интересно поразмыслить над возможной биологической функцией такого ме-

Рис. 4. Запись истинных результатов наблюдения в виде последовательности отдельных событий (например, ряда положений паука, плетущего паутину).Рис. 4. Запись истинных результатов наблюдения в виде последовательности отдельных событий (например, ряда положений паука, плетущего паутину).Рис. 5. «Сглаженная» последовательность событий, изображенных на рис. 4, представляет собой непрерывную миро вую линию объекта.Рис. 5. «Сглаженная» последовательность событий, изображенных на рис. 4, представляет собой непрерывную миро вую линию объекта.

Рис. 4. Запись истинных результатов наблюдения в виде последовательности отдельных событий (например, ряда положений паука, плетущего паутину).

Рис. 4. Запись истинных результатов наблюдения в виде последовательности отдельных событий (например, ряда положений паука, плетущего паутину).

Рис. 5. «Сглаженная» последовательность событий, изображенных на рис. 4, представляет собой непрерывную миро вую линию объекта.

Рис. 5. «Сглаженная» последовательность событий, изображенных на рис. 4, представляет собой непрерывную миро вую линию объекта.

ханизма формирования понятий у нормальных людей, основанной на явлениях реального физического мира.

Рассмотрим в качестве простейшего примера движение только в одном пространственном измерении (назовем соответствующую ему ось осью ж) и изобразим (рис. 4) последовательные события, связанные с этим движением, в виде совокупности точек на двумерной поверхности, причем одна координатная ось (я) на этой поверхности относится к пространственному измерению, а другая (О — к временному. Таким образом, наблюдение события в точке Xq в момент времени t0 изобразится точкой на плоскости с координатами х и I.

С чисто «операциональной» точки зрения мы вообще не можем получить никакой другой информации о реальном физическом мире даже при условии абсолютного совершенства наших измерительных приборов. Однако в подавляющем большинстве случаев события следуют друг за другом практически непрерывно; поэтому, если даже временно отвлечься от несовершенства человеческих органов чувств, можно интерполировать наблюдения (например, истинную последовательность событий, изображенную на рис. 4) и ввести представление об «объекте»

Формально введение этого понятия сводится к замене истинной цепочки событий (рис. 4) непрерывной линией, изображенной на рис. 5, — так называемой мировой линией объекта.

Следует подчеркнуть, что предыдущие замечания нисколько не умаляют значения общепринятого понятия объекта; оно полезно, более того — незаменимо в классической механике. Физическая реальность, а также последовательность событий всегда считается безусловно существующей независимо от того, наблюдаем мы ее или нет. Единственная цель приведенных выше рассуждений состоит в том, чтобы показать возможность удовлетворительного определения понятия объекта. Это особенно

Рис. 6. Мировая линия объекта, движущегося с постоянной скоростью у = 2 м/сек и проходящего в момент / = О через начало координат х = 0.

важно потому, что в атомной физике понятие объекта по необходимости подвергается пересмотру ввиду принципиально скачкообразного характера элементарных процессов, Кроме того, следует иметь в виду, что нам придется по необходимости довольно смело строить абстрактные понятия объектов, заполняя неизбежные «пустоты» между событиями за счет собственного воображения.

Математически описать движение удается благодаря введению понятий скорости и ускорения. Особенно простой вид движения — это движение с постоянной скоростью (его можно назвать также движением с ускорением, равным нулю). Если по-прежнему ограничиться для наглядности одномерным случаем, мировая линия объекта, движущегося с постоянной скоростью, представится в виде прямой (рис. 6), Очевидно, что в этом случае пройденное объектом расстояние х пропорционально прошедшему времени /, так что все точки мировой линии удовлетворяют условию

£ = yf,(2.1)

где и — константа. Это уравнение предполагает выполнение условия х0 = 0 в начальный момент времени t0 = 0. Любое смещение начала координат, при котором положение объекта х0 Ф 0 при /0 = 0, может быть учтено с помощью более общей записи х = vt-Vx^ где v и х^ —- константы

Рис. 7. Определение мгновенной скорости вблизи некоторой точки мировой линии в общем случае ускоренного движения, v — Ат/At

По определению, отношение пройденного расстояния к промежутку времени t называется скоростью

V = -р!(2.2)

ее размерность LT'\ а единицы измерения м/сек или см/сек

Определение (2.2) можно приспособить и для более общего случая ускоренного движения Рассматривая достаточно малый промежуток времени (обозначим его Д£), можно всегда, и притом с любой желаемой точностью, заменить на нем истинную мировую линию небольшим отрезком прямой (рис. 7). Это позволяет нам приближенно определить скорость объекта на каждом промежутке времени Д/ в виде

где Дж — расстояние, пройденное объектом за время Д^

Таким образом, всегда можно приписать объекту «мгновенную» скорость и, которая в разные моменты времени может быть различной. Если мгновенные скорости возрастают со временем, то говорят, что имеется положительное ускорение; если же убывают, то ускорение отрицательно (его можно называть замедлением).

Мы подготовили теперь почву для того, чтобы констатировать следующий интересный факт: еще никому ни-

когда не удавалось наблюдать перемещение физического объекта относительно других объектов со скоростью, в какой-либо момент времени превосходящей значение

с = 3 • 108 м/сек = 3 • 1010 см/сек. (2.4)

Это один из основных фактов, наблюдаемых в природе, и у нас нет пока для него никакого объяснения. Установлено, что существуют физические объекты, движущиеся всегда со скоростью, в точности равной с. — таковы фотоны (или кванты света) и нейтрино (об этих объектах будет подробнее рассказано в главах 8, 10 и И); соответственно скорость с называют обычно скоростью света.

В приведенном утверждении очень важную роль играют слова «перемещение физического объекта». Дело в том, что нетрудно наблюдать чисто геометрические движения, происходящие со скоростью, превышающей скорость света. Например, тень от Земли на расстоянии в один световой год от Солнца мчится в пространстве со скоростью, большей с, однако, подумав, легко понять, что этот факт нельзя, использовать для передачи сигналов или переноса объектов с той же скоростью. По-видимому, более очевидный пример может представить наблюдение звездного неба ночью. Если вы быстро повернетесь на 360° вокруг собственной оси, большинство звезд в вашей системе отсчета совершит круговое движение со скоростью, значительно превосходящей скорость света. Но поскольку все без исключения относительные расстояния между звездами останутся при этом без изменения, можно сказать, что никакого перемещения одних «объектов» относительно других не произошло.

Ду е мДу е мПо аналогии с определением мгновенной скорости можно поставить в соответствие каждой точке мировой линии мгновенное ускорение а. Для этого надо вновь рассмотреть малый промежуток времени AZ, измерить изменение скорости Др за это время и определить затем ускорение как быстроту изменения скорости

Ду е м

Ду е м

(2.5)

соответственно размерность ускорения LT"\ а единицы измерения м/сек2 или см/сек2.

Зная о существовании предельной скорости с, можно задаться вопросом, существуют ли какие-либо экспериментально наблюдаемые ограничения на возможные значения ускорения объектов. Вся сумма экспериментальных фактов позволяет с уверенностью утверждать, что в настоящее время для такого рода ограничений оснований нет. Хотя числитель в формуле (2.5) не может превысить значение с, изменение Др может в принципе произойти за любой сколь угодно малый промежуток времени М и привести, таким образом, к сколь угодно большим значениям а.

Природа позаботилась о яркой иллюстрации ускоренного движения. Вблизи поверхности Земли все свободно падающие тела двигаются по отношению к центру Земли с примерно одинаковым ускорением, равным

а = g ^ 10 м/сек2 = 103 см/сек2. (2.6)

Постоянство ускорения означает, что скорость в любой момент времени нарастает с постоянной быстротой, так что в результате скорость пропорциональна времени, прошедшему с момента начала падения:

и = at, (2.7)

где а — константа.

Это уравнение предполагает, что в начальный момент fo = 0 скорость р0 = 0. Наличие начальной скорости можно учесть более общей формой записи и = at + р0, где а, и0 — константы.

Разумеется, в наш век, называемый космическим, читатель наверняка знаком по крайней мере с одним экспериментом, демонстрирующим независимость природы гравитации от свойств конкретных тел: все тела ускоряются одинаково независимо от их массы, размеров и начальной скорости.

Очевидно, выражение (2.1) для пройденного пути теперь, в случае а ^ 0, уже не применимо, поскольку скорость не является больше постоянной величиной. Не

Рис. 8. Мировая линия и траектория.а — мировая линия объекта, падающего с ускорением а = g «10 м/сек9 с на i чальной скоростью Vo — 0 (начальное положение объекта xo®=0); здесь х — | расстояние, пройденное объектом и отсчитанное вниз от точки х0; б — траектория падающего объекта, имеющего постоянную горизонтальную компоненту скорости, равную примерно 20 м/сек. Читатель, конечно, не спутает мировую линию («траекторию» в пространстве и времени) с обычной йространственной траекторией падающего объекта, изображенной на рис. 8. б.Рис. 8. Мировая линия и траектория.а — мировая линия объекта, падающего с ускорением а = g «10 м/сек9 с на i чальной скоростью Vo — 0 (начальное положение объекта xo®=0); здесь х — | расстояние, пройденное объектом и отсчитанное вниз от точки х0; б — траектория падающего объекта, имеющего постоянную горизонтальную компоненту скорости, равную примерно 20 м/сек. Читатель, конечно, не спутает мировую линию («траекторию» в пространстве и времени) с обычной йространственной траекторией падающего объекта, изображенной на рис. 8. б.

Рис. 8. Мировая линия и траектория.

а — мировая линия объекта, падающего с ускорением а = g «10 м/сек9 с на i чальной скоростью Vo — 0 (начальное положение объекта xo®=0); здесь х — | расстояние, пройденное объектом и отсчитанное вниз от точки х0; б — траектория падающего объекта, имеющего постоянную горизонтальную компоненту скорости, равную примерно 20 м/сек. Читатель, конечно, не спутает мировую линию («траекторию» в пространстве и времени) с обычной йространственной траекторией падающего объекта, изображенной на рис. 8. б.

Рис. 8. Мировая линия и траектория.

а — мировая линия объекта, падающего с ускорением а = g «10 м/сек9 с на i чальной скоростью Vo — 0 (начальное положение объекта xo®=0); здесь х — | расстояние, пройденное объектом и отсчитанное вниз от точки х0; б — траектория падающего объекта, имеющего постоянную горизонтальную компоненту скорости, равную примерно 20 м/сек. Читатель, конечно, не спутает мировую линию («траекторию» в пространстве и времени) с обычной йространственной траекторией падающего объекта, изображенной на рис. 8. б.

менее очевидно, однако, и то, что расстояние, пройденное объектом при постоянном ускорении за время /, должно определяться средней скоростью и^ за этот промежуток времени, то есть

ж = уср • I.(2.8)

Если, в частности, начальная скорость объекта и0 = 0 при t = 0, а в момент t объект набрал скорость и, то средняя скорость vcp = iy2, и следует ожидать, что связь между расстоянием и временем выразится формулой

(2.9)(2.9)1.1.в

(2.9)

(2.9)

х = —и! = — at,2 .2

если а — константа; мы учли здесь формулу (2.7). Итак, свободному падению тела вблизи поверхности Земли соответствует мировая линия, изображенная на рис. 8,а.

Можно учесть и наиболее общий случай отличной от нуля начальной скорости и^ 0 и отличного от нуля начального положения х^ ^ 0, записав вместо (2.9) выражение х = l/2 #Z2+tV+£0, где a, v0, z0— константы

Можно показать, что выражение (2.9) внутренне согласовано, если вычислить мгновенную скорость, пользуясь указанным на рис. 7 графическим способом. Малый промежуток длины Дж, пройденный за соответствующий малый промежуток времени Д^, можно получить, составив разность выражений ж+Дж = У^^+А^)2 и ж = = У2я/2. При этом мы получаем

Дж = -Lа [(( + д<)2 _t^=-La [2ZД< + (At)2], (2.10)

и, таким образом,

(2.11)(2.11)at + — а М.

(2.11)

(2.11)

Ы2

Выбирая промежуток Д/ достаточно малым, можно пренебречь вторым слагаемым в правой части (2.11), и мы получаем в результате, с учетом (2.7), что

АхAtАхAt^ at = у,^ at = у,(2.12)(2.12)

Ах

At

Ах

At

^ at = у,

^ at = у,

(2.12)

(2.12)

как и следовало ожидать.

Чтобы получить представление о порядках величин, связанных с ускоренным движением, представим себе межпланетную, «прогулку» на типичное для космоса расстояние 4«10п м в космическом корабле, способном развить ускорение, равное 1 g, то есть 10 м/сек2. Наиболее рациональный режим полета состоял бы в движении с ускорением 1g до середины пути (лежащей на расстоянии ж = 2 • 1011 и от его начала), а затем в движении с замедлением 1g до полной остановки в конечной точке пути Тогда, согласно формуле (2.9), для достижения средней точки пути понадобилось бы затратить время

t = /(2J7a)= V4 • 1010 = 2 • 106 сек = 2,5 сут, (2.13)

так что вся прогулка заняла бы около Т = 2^5 сут. Очевидно, максимальная скорость была бы достигнута

правлением v. По теореме Пифагора v = ^ v^ 4- v^^* где у* и <>у” декартовы компоненты вектора.правлением v. По теореме Пифагора v = ^ v^ 4- v^^* где у* и <>у” декартовы компоненты вектора.Рис. 10. Сумма и разность двух векторов.Рис. 10. Сумма и разность двух векторов.

правлением v. По теореме Пифагора v = ^ v^ 4- v^^* где у* и <>у” декартовы компоненты вектора.

правлением v. По теореме Пифагора v = ^ v^ 4- v^^* где у* и <>у” декартовы компоненты вектора.

Рис. 10. Сумма и разность двух векторов.

Рис. 10. Сумма и разность двух векторов.

в средней точке пути, причем согласно (2.7) она равнялась бы

^макс == ^ = 2 • 10е м/сек = — • 10~2 с, (2.14)

так что до скорости света нам было бы еще далеко.

Наверное, в этом месте (если не раньше) внимательный и вдумчивый читатель усомнится в возможности согласовать уравнение (2.7) с провозглашенным нами ранее существованием предельной скорости с. В самом деле, если бы уравнение (2.7) было безоговорочно справедливым, всегда можно было бы достичь скорости, превышающей с, при любом отличном от нуля ускорении, и для это-

Рис. 11. Равномерное дви-Рис. 12. Изменение скоро-жение точки по окружности сти Av = V2 — vi, происшедшее радиусом г с постоянным зна за время А/ (см. рис. 11). чением скорости у, но с изме няющимся направлением век тора v.Рис. 11. Равномерное дви-Рис. 12. Изменение скоро-жение точки по окружности сти Av = V2 — vi, происшедшее радиусом г с постоянным зна за время А/ (см. рис. 11). чением скорости у, но с изме няющимся направлением век тора v.

Рис. 11. Равномерное дви-Рис. 12. Изменение скоро-

жение точки по окружности сти Av = V2 — vi, происшедшее радиусом г с постоянным зна за время А/ (см. рис. 11). чением скорости у, но с изме няющимся направлением век тора v.

Рис. 11. Равномерное дви-Рис. 12. Изменение скоро-

жение точки по окружности сти Av = V2 — vi, происшедшее радиусом г с постоянным зна за время А/ (см. рис. 11). чением скорости у, но с изме няющимся направлением век тора v.

го понадобился бы лишь достаточно длительный промежуток времени.

(2.15)(2.15)Однако в главе 10 мы приведем соображения, показывающие, что уравнение (2.7) в действительности следует рассматривать как приближенное, тогда как точное уравнение, связывающее скорость и ускорение, имеет вид

(2.15)

(2.15)

У1^(а</с)8

где у, a. t означают скорость, ускорение и время, измеренные неподвижным наблюдателем, по отношению к которому движется данный объект. В приведенном примере с космическим кораблем выражение для максимальной скорости (2.14) нуждается в поправке порядка (а^/с)2^ «4/9-10~4, которой, разумеется, вполне можно пренебречь при практических расчетах. Однако в не столь отдаленном будущем человек сможет посылать ракеты на межзвездные расстояния, для преодоления которых придется двигаться с ускорением, возможно, более года В этом случае уже никак нельзя пренебрегать поправочным членом (at/c)2 и следует использовать точную формулу (2.15). Заметим, что когда с течением времени величина

at/c станет намного больше единицы (at ^ с), единицей можно будет пренебречь по сравнению с (at/c^ в знаменателе формулы (2.15); в этом случае мы получим предельную скорость и = с.

Для описания движения в пространстве двух и трех измерений необходимо наделить как скорость, так и ускорение свойствами векторов, то есть величин, характеризующихся как численным значением, так и направлением в пространстве. Полностью задать вектор в двух измерениях — значит задать пару чисел, называемых компонентами вектора; графически двумерный вектор изображается стрелкой (рис. 9). Аналогично трехмерный вектор определяется тремя числами — тремя компонентами. Сложение или вычитание пары векторов определяется как сложение или вычитание их компонент; графически каждая из этих операций сводится к проведению одной из двух диагоналей параллелограмма, Построенного на этой паре векторов (рис. 10, а,— в случае суммы и рис. 10,6 — в случае разности).

Очень простой вид ускоренного двумерного движения — это Д’вйжейие объекта по окружности радиусом г с постоянной по величине скоростью у, так что равномерно во времени меняется лишь направление вектора v Такое равномерное вращение требует постоянного ускорения а, все время направленного к центру окружности и равного по величине

а=—. (2.16) Г

Это можно усмотреть из следующих простых геометрических рассуждений. Пусть Vj и v2 — векторы скорости объекта в последовательные моменты времени t^ и t-^ так что за промежуток времени AZ = t^—tx объект пройдет расстояние, равное примерно vkt; тогда, как видно из рис. И, равнобедренные треугольники, образованные двумя радиус-векторами гт и г2 и отрезком иМ (рис И), а также тремя векторами vD v2 и Av = v2—Vj (рис. 12), подобны друг другу. Следовательно, имеет место равенство

(2.17)(2.17)Др рД<vг

(2.17)

(2.17)

из которого согласно определению ускорения (2.5) следу

ааДу Vй^tгДу Vй^tг(2.18)(2.18)ет, что

а

а

Ду Vй^tг

Ду Vй^tг

(2.18)

(2.18)

В этом случае вектор ускорения а постоянно направлен к центру окружности, потому что таково направление вектора Ду во все моменты времени.

Ускорение (2.18), называемое центростремительным, может быть создано, например, силой тяжести вблизи поверхности Земли. Соответственно можно заставить объект, находящийся в состоянии свободного падения, обращаться по круговой орбите вокруг Земли, если сообщить ему скорость

^орбит V ^& >(2.19)

где г — радиус Земли, а — ускорение свободного падения:

г ^ R ^ 6,4 • 10е м, а ж g w 10 м/сек2. (2.20) Это дает для орбитальной скорости значение

уорбит ~ )/ 64 • 106 = 8 • 103 м/сек = 8 км/сек^ (2.21) а для периода обращения по орбите — значение

гр 2tcV^ 4 ’ 104 КМ р ДАМО О/А

Т = -т— ~« 5 • 10d сек ^ 83 мин. (2.22)

v 8 км/сек

Дополнения ?

Идентификация объекта, то есть выделение свойств, отличающих его от всех других возможных объектов, сильно упрощается, если объект можно описать с помощью большого числа так называемых дихотомических величин,

которые могут принимать лишь одно из двух возможных значений. Принято говорить, что наблюдение, позволяющее приписать объекту одно определенное значение какой-либо из дихотомических величин, поставляет наблюдателю один бит информации.

Например, сообщение о том, является ли данный человек мужчиной или женщиной, содержит один бит информации. Идентификация конкретного человека среди 1 млрд, людей (1 млрд. = 1010 = 233*2 < 234) потребует, следовательно, как минимум, 34 бита информации. Эту информацию в принципе можно получить, задавая данному человеку вопросы типа «или-или», например: «Вы мужчина или женщина?», «Вы американский гражданин или нет?» и т. д. В гипотетической Вселенной, состоящей из 1080 = 2265’6 < 2266 различимых элементарных частиц, полное описание каждой частицы возможно при наличии 266 битов информации.

Таким образом, точное отождествление объектов в такой стационарной Вселенной, по-видимому, не составило бы непреодолимо трудной задачи. Однако, к счастью, реальный мир в силу своей грандиозной информационной емкости значительно интересней.

а) Действительно, у всех объектов существует гораздо больше свойств, или признаков, чем строго необходимо для идентификации этих объектов. Богатство мира заключено в его информационной избыточности. Очевидно, служащий полиции без особого труда извлечет из отпечатка пальцев те 34 бита информации, которые необходимы для установления личности преступника, однако эта информация составит лишь крохотную долю признаков, полностью характеризующих человека.

б) Большинство признаков — дихотомических (двузначных) или многозначных — не являются постоянными Реальный мир— не статичное образование: для поддержания постоянного уровня знаний о нем в каждый момент времени требуется в принципе непрерывный поток информации. Однако человеческий разум, пользуясь интерполяцией, вводит гораздо менее жесткое понятие объекта, не требующее его точной идентификации в любой момент времени. Так, например, несмотря на некоторые изменения одного или нескольких признаков (таких, как цвет волос или вес), мы все-таки узнаем своего знакомого спустя определенное время. Эта сравнительная легкость

опознавания образов людьми и животными иногда приводит и к недоразумениям.

Сколько битов информации необходимо, чтобы найти частицу диаметром 10 “8 см во Вселенной, диаметр которой 1027 см? Ответ — не менее 349 битов. К такому ответу можно прийти путем следующего рассуждения. Представим себе, что Вселенная разделена пополам, и произведем мысленный эксперимент, отвечающий на вопрос: «Находится или нет частица в данной половине Вселенной?»; повторим затем ту же процедуру для той половины, в которой обнаружена частйЦа, и будем проводить ее до тех пор, пока мы не локализуем ее в объеме диаметром 10“8 см. Число последовательных разбиений Вселенной, необходимое для такой локализации, как раз и дает число полученных в результате анализа битов информации.

Этот пример показывает, что сам процесс локализации объекта в малом объеме может сообщить объекту некоторое новое свойство, избыточное с точки зрения простой идентификации этого объекта. Действительно, если система, занимающая объем У, содержит N объектов, то для полной идентификации каждого объекта достаточно локализовать его в парциальном объеме V/N. Любая более точная локализация объекта введет, таким образом, избыточную в указанном выше смысле информацию.

Число свойств, или признаков, необходимое для исчерпывающей характеристики макроскопических объектов, всегда очень велйко (а иногда и бесконечно велико); во всяком случае, оценить его бывает достаточно трудно. Однако в атомной физике мы встречаемся с такими объектами (например, электронами — см. главу 20), которые, по-видимому, полностью характеризуются значениями (называемыми квантовыми числами) лишь небольшого числа признаков (не обязательно дихотомических). Поэтому становится вполне реальным с помощью немногих экспериментальных измерений установить полный набор всех возможных квантовых чисел, которые могут быть обоснованно приписаны данной атомной частице.

Пусть, например, частица полностью описывается четырьмя признаками А, В, С. D; рассмотрим две такие частицы. Ясно, что следующие два утверждения не долж-

ны по содержанию отличаться друг от друга; а) частица 1 обладает набором значений А1? В1? Cb Db а частица 2 — набором А2, В2, С2 и D2 и б) частица 2 обладает набором значений Av Вь Сг и Db а частица 1 набором А 2, В2, С2 и р2. Если это не так — значит, частицы 1 и 2 можно различить по какому-либо дополнительному признаку (кроме А, В, С и D), что противоречит исходному предположению. В этом смысле описание частиц 1 и 2 становится совершенно симметричным по Отношению к перестановке их «номеров» — разумеется, при условии, что известен полный набор признаков этих частиц.

Фундаментальное значение указанной симметрии (ее называют обменной симметрией) не было полностью осознано вплоть до 1926 года, когда В. Гайзенберг привлёк внимание к некоторым поразительным следствиям этой симметрии в атомной физике. До настоящего времени обменная симметрия успешно применялась для нескольких микрообъектов; ее более широкое использование сдерживается отсутствием экспериментальных критериев полноты набора признаков других объектов.

Звук от удара камня о дно колодца слышен спустя время Т = 4 сек после того, как он был выпущен из рук. Зная ускорение свободного падения g = 10 м/сек2 и скорость звука с = 320 м/сек, оцените глубину колодца d, пренебрегая сопротивлением воздуха., (Ответ: d — 70 м.)

Для простоты можно использовать тот факт, что в течение первых нескольких секунд свободного падения скорость падения v = gt много меньше скорости звука , с. Поэтому большая часть времени 7 = ^+G может быть отнесена за счет времени падения ^ = (2d/gy/^ а время ^2 d/c^ потребное звуку для распространения от дна до верха колодца, является малой добавкой к tv Пренебрегая членами порядка (t^/TY^ можно записать

г ^ = (Т — </« ?2 (1 _ 2^/7),

после чего нетрудно получить для неизвестной величины d выражение вида

сТ )2 6\ с )

(подстановка численных данных приводит к правильному ответу).

Читателю предлагается проверить, что, оперируя с точным выражением 1\ = (T—t^ мы получили бы квадратное уравнение для d; при этом арифметические расчеты сильно усложнятся, а точность ответа существенно не повысится.

Сколько оборотов в минуту вокруг своего центра должна совершать круглая платформа диаметром d = = 80 м, чтобы имитировать ускорение свободного падения g = 10 м/сек2 на своей периферии? (Ответ: 4,8 об/мин.)

Скорость объекта, описывающего траекторию в пространстве, может быть в любой момент времени разложена на векторную сумму горизонтальной и. вертикальной скоростей. Вблизи поверхности Земли под действием ускорения g = 10 м/сек2 изменяется только вертикальная скорость, горизонтальная скорость остается неизменной, если можно пренебречь сопротивлением воздуха.

Пусть, например, камень был брошен под углом 45° к вертикали и упал на Землю через 6 сек. Этих данных вполне достаточно для того, чтобы определить:

высоту, на которую он поднялся (.ответ; 45 м);

расстояние, которое он пролетел по горизонтали (.ответ: 180 м).

Действительно, высота зависит только от времени нахождения мяча в полете, что в свою очередь определяется только начальной вертикальной скоростью, а не углом, который образует траектория по отношению к поверхности Земли. Задание этого угла эквивалентно заданию горизонтальной скорости через начальную вертикальную скорость.

Земля обращается вокруг Солнца по почти круговой орбите радиусом D « 1,5 • 10й м с периодом обращения 1 год. Оцените а) скорость движения Земли (ответ: v w 3-104 м/сек); б) центростремительное ускорение Земли по направлению к Солнцу (ответ: а ^6-10"3 м/сек2)

ГЛАВА 3

Масса как мера гравитации

Одно из великих открытий, которым мы обязаны интуиции и воображению Исаака Ньютона, состоит в признании тяготения, или гравитации, в качестве общей причины столь разнородных на первый взгляд явлений, как падение тел вблизй поверхности Земли и движение ее спутников (например, Луны— рис. 13).

В этой главе нам будет удобно выразить центростремительное ускорение (2.18) через радиус орбиты г и время обращения по ней Т Подставляя для орбитальной скорости ее выражение и = 2 л г/7, мы получаем

(3.1)(3.1)обращения 7ПОВ вблизи » 6,4 • 10е м ) имеемобращения 7ПОВ вблизи » 6,4 • 10е м ) имеем4л2га =Г2

(3.1)

(3.1)

обращения 7ПОВ вблизи » 6,4 • 10е м ) имеем

обращения 7ПОВ вблизи » 6,4 • 10е м ) имеем

Для спутника с периодом поверхности Земли (ее радиус R

^пов m2 ' пов^пов m2 ' пов= g «г 10 м/сек2,= g «г 10 м/сек2,(3.2)(3.2)

^пов m2 ' пов

^пов m2 ' пов

= g «г 10 м/сек2,

= g «г 10 м/сек2,

(3.2)

(3.2)

что совпадает со значением (2.20).

С помощью астрономических наблюдений установлено, что расстояние от центра Луны до центра Земли d и время обращения Луны вокруг Земли Тд составляют соответственно

d ^ 3,8 • 108 м « 60Я, 7Л = 460 7ПОВ. (3.3)

Отсюда следует, что центростремительное ускорение, с которым Луна движется по своей орбите, составляет по порядку величины

4«2d4«2dаЛ — т2 ~1ЛаЛ — т2 ~1Л/ 60 \( \ 4602 ) \/ 60 \( \ 4602 ) \4п2ЯГ2 * нов4п2ЯГ2 * нов« -£-> 2,7 • 10~3 м/сек2. (3.4)« -£-> 2,7 • 10~3 м/сек2. (3.4)

4«2d

4«2d

аЛ — т2 ~1Л

аЛ — т2 ~1Л

/ 60 \( \ 4602 ) \

/ 60 \( \ 4602 ) \

4п2Я

Г2 * нов

4п2Я

Г2 * нов

« -£-> 2,7 • 10~3 м/сек2. (3.4)

« -£-> 2,7 • 10~3 м/сек2. (3.4)

Тл^278н7ч^ *\46QTcnym

Рис. 13. Масштабы расстояний от центра Земли до спутника и до Луны.

Спутник обращается по орбите вблизи поверхности Земли (г^Н) с периодом Тспут — 83 мин- Луна обращается вокруг Земли на расстоянии г = d = 60Н с периодом Тд= 4бОТспут

Заметим, что расстояние до Луны в 60 раз превосходит расстояние до искусственного спутника, в то время как ускорение свободного падения вблизи земной поверхности примерно в 602 раз больше орбитального ускорения Луны. Следовательно, гравитационное ускорение может объяснить движение как искусственного спутника, так и Луны, если предположить, что оно меняется обратно пропорционально квадрату расстояния до центра притяжения.

На основе подобных рассуждений Ньютон выдвинул универсальный закон гравитации (обычно называемый

также законом всемирного тяготения), который нам удобно сформулировать так: любой объект на расстоянии г от своего центра создает гравитационное ускорение

(3.5)(3.5)Gm

(3.5)

(3.5)

О ^

здесь множитель т называют гравитационной (или тяжелой^ массой объекта, a G — универсальной постоянной, численное значение которой зависит от выбора еди- / ниц измерения. Позднее мы уточним понятие «центр» объекта — в действительности здесь имеется в виду его центр масс. Пока достаточно принять, что существует некоторая точка, от которой следует отсчитывать расстояние г.

Закон притяжения Ньютона дает операциональное определение массы. Действительно, в принципе можно, например, измерить гравитационное ускорение, которое вызывается 1 см3 воды при определенных температуре и давлении; тогда всякому объекту, вызывающему такое же гравитационное ускорение, можно приписать массу в 1 г.

Гравитация оказывается слабейшим из всех известных в природе взаимодействий. Гравитационное ускорение, вызываемое массой в 1 кг на расстоянии 1 м от ее центра, согласно экспериментальным измерениям составляет исчезающе малую величину 6,67 -1041 м/сек2. Это в точности означает, что значение гравитационной постоянной G = 6,67 • 10“п м3/сек2-кг = 6,67 • 10"8 см2/сек2-г. (3.6) Вследствие малости константы G лабораторные эксперименты по ее определению принадлежат к классу чрезвычайно сложных. Практически во всех случаях используется прибор, в той или иной форме напоминающий классический прибор Кэвендиша (рис. 14), позволяющий в конечном счете наблюдать «падение» малой массы т^ на большую массу тх:

Однако здесь вдумчивый" читатель заметит (и будет совершенно прав), что в опыте Кэвендиша гравитационное ускорение создает не только масса тх в точке нахождения массы т2, но и, наоборот, масса т^ согласно закону тяготения Ньютона будет создавать ускорение в точке нахождения массы т1; Если расстояние между двумя массами равно г, то ускорения aj и а2, направленные 48

‘Z^/7///^

Рис. 14 Измерения G в опыте Кэвендиша.Рис. 14 Измерения G в опыте Кэвендиша.

Рис. 14 Измерения G в опыте Кэвендиша.

Рис. 14 Измерения G в опыте Кэвендиша.

Две малые массы т2 укреплены на стержне, подвешенном на упругой нити; две большие массы тх помещены вблизи масс тп2 с противоположных сторон стержня «Падение» массы т2 на тх наблюдается по измерениям угла поворота стержня как функции времени.

ГП 2

-—©

О/

Г

Рис. 15. Относительное ускорение масс mi и тй1 вызванное взаимным гравитационным притяжением.

Вектор &1 соответствует ускорению, которое создает масса тх в точке нахождения массы т2. вектор а2 — ускорению, которое создает масса т2 в месте нахождения массы тх

так, как показано на рис 15, будут равны соответственно

ах=-^.(3-7)

и

а2 =(3.8)

По существу единственное наблюдаемое ускорение. — это относительное ускорение а = аА—а2 двух масс по отношению друг к другу, причем в силу того, что а1 и а2 антипараллельны,

а = а, + а2 = ^1±^.(3.9)

Г2

Таким образом, наблюдение гравитационного ускорения двух масс в принципе содержит информацию лишь о полной массе системы ЛГ12 = тх + т^ определить же массы 7пх и тп2 порознь таким способом нельзя.

Однако в принципе опыт Кэвендиша все же позволяет измерить одну массу, если экспериментатор располагает тремя телами с массами т^ тп2 и т3. Измеряя последовательно три относительных ускорения (гпг относительно т^ то же для тх и ту т^ и т3), можно экспериментально определить три массы М12, М13, Л/23:

/^12 =+ ^2> М13 = пг1 + т31 М23 = т2 + т^ (3.10)

а затем выразить три неизвестные массы тХ1 т^и т3 через наблюдаемые массы М12, Л/13, М23:

^1~^" (^ 12 + ^13 ^2з)’

^2 " "2~(^23 + ^12 ^13^(3.11)

^з = —^— (М13 + М2з Л/12).

Астрономические наблюдения над системой из двух объектов часто обнаруживают, что масса одного из них (например, т^ значительно превосходит массу другого (тп2); тогда в первом приближении можно пренебречь ускорением массы т^ которое создает масса тп^ Например, ускорение Земли, которое вызвано действием Луны, по порядку величины составляет

а^ «3,3 • 10~5 м/сек2;(3.12)

оно значительно меньше, чем создаваемое Землей ускорение Луны; вычисление ад приведено в формуле (3.4). Для сравнения укажем, что ускорение Земли или Луны, вызванное действием Солнца, oq составляет величину порядка

а = - ™2™ » 6,0 • 10'3 м/сек2, (3.13) з

где D — радиус орбиты Земли, 7з — время ее обращения вокруг Солнца. Таким образом, орбитальное движе-

Рис. 16. Орбита движения планеты вокруг Солнца (согласно Кеплеру).

Если время перемещения планеты из А в В равно времени ее перемещения из С в D, то площади ABS и CDS равны.

ние Земли определяется в основном силой гравитационного притяжения Солнца, тогда как аналогичное воздействие со стороны Луны приводит лишь к малым отклонениям (возмущениям) этого движения.

Еще до Ньютона Кеплер открыл, что описание истинных орбит планет вокруг Солнца возможно на основе трех законов.

Первый закон Кеплерах любая планета движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой находится Солнце (рис. 16).

Второй закон Кеплерах радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, ометает за равные времена равные площади.

Третий закон Кеплерах отношение кубов больших полуосей орбит к квадратам периодов обращения для всех планет Солнечной системы одинаково.

Позднее Ньютон показал, что эти законы прямо следуют из его закона тяготения. Математическое описание эллиптических орбит выходит за рамки этой книги; мы разберем подробно лишь частный случай круговых орбит, когда длины большой и малой полуосей совпадают.

Закон гравитации Ньютона наделен почти магическим могуществом — ведь он позволяет измерять очень боль-

шие и (или) очень удаленные массы. Так, например, Земля создает на расстоянии R ^ 6,4-106 м от своего центра уже хорошо знакомое нам ускорение свободного падения g « 10 м/сек2; массу Земли легко найти при подстановке этих значений в уравнение (3.5):

g№ 10. 6,4 2 -Ю22 а ЛЛ24 zQ

тпд. = —— ^^ 6 • 1024 кг. (3.14)

5 G 6,67 • 10*11

Аналогично Солнце вызывает на расстоянии/) ^ 1,5х X Ю11 м от своего центра (точнее, в месте нахождения Земли) ускорение oq, найденное нами в (3.13); следовательно, масса Солнца равна

^О^О•э"1«•-о-(•.;)•■ 10“%2.10„ кг. (ЗЛ5)

^О

^О

G ~6,67 . 10'13

Закон гравитации Ньютона приносит прежде всего глубокое эстетическое удовлетворение, но, кроме того, он приобрел большое практическое значение в небесной механике, особенно в связи с появлением, искусственных спутников Земли; Для оценки радиуса орбит спутника с заданным периодом обращения по ней полезно вывести третий закон Кеплера из закона гравитации Ньютона для частного случая круговых орбит.

Если центростремительное ускорение а = 4л2г/Г2 обусловлено только силой гравитационного притяжения к центру и равно, следовательно, значению а^ = Gm!r\ то для всех концентрических круговых орбит мы получаем соотношение

4л2гGmглGm.

= ЙЛИ == const, 3.1b

Г2 г2Г24тс2

словесная формулировка которого совпадает с приведен ным выше третьим законом Кеплера (только г означает радиус круговой орбиты, а не длину большой полуоси). Пусть, например, R и Гпов означают, как в (2.20) и (2.22), радиус < орбиты и период обращения спутника вблизи поверхности Земли; тогда, пренебрегая влиянием Луны на движение спутника, получим

(3.17)

Рис. 17. Приливный эффект у двух наблюдателей 1 и 2 внутри космической капсулы длиной L.

Центр капсулы свободно падает по орбите; находясь в данный момент на расстоянии г от центра притяжения массы т. Орбитальное движение капсулы не обязательно вызвано лишь гравитационным притяжением массы т; оно может быть обусловлено действием ббльшей массы М. значительно удаленной от т.

где г — радиус орбиты спутника с периодом обращения Т = 24 час. Уравнение (3.17) позволяет получить оценку для

Г = (-2—YA R « (17,3/А R « 6,7 R. (3.18) \ ^пов /

Указанная круговая орбита представляет особенно большой интерес: спутник, запущенный на эту орбиту в экваториальной плоскости в направлении с запада на восток, «повиснет» неподвижно над данной точкой поверхности Земли вследствие ее суточного вращения вокруг своей оси. Преимущества целой сети таких стационарных спутников для целей сигнализации и связи совершенно очевидны,.

Хотя гравитационное ускорение Земли а^, вызываемое Луной, мало по сравнению с oq, вызываемым Солнцем, и во много раз меньше ускорения свободного падения g, именно действие Луны объясняет такое интересное и широко известное явление, как морские приливы и отливы. Для того чтобы разобраться в природе приливных явлений, рассмотрим космическую капсулу длиной L, «свободно падающую» на центр притяжения массы -т, обращаясь вокруг него по орбите с мгновенным значением радиуса г (рис. 17). Мы не требуем, чтобы движение.

капсулы было обязано исключительно притяжению массы — падение капсулы могут вызывать и другие, более удаленные массы. В любом случае наличие массы т вызовет ускорение капсулы как целого, равное

=(3.19)

Однако наблюдатель 1, находящийся у ближайшей к т стенки капсулы, получит ускорение av несколько большее ас ;

ai=7*^TW’(3120)

тогда как наблюдатель 2, находящийся у противоположной стенки, получит ускорение а2, несколько меньшее

a2=7-^T^"-(3.21)

Нт)

Соответственно наблюдатели 1 и 2 приобретут по отношению друг к другу ускорение а,—а2, причем каждый из них будет стремиться к перемещению относительно центра капсулы с так называемым приливным ускорением

Упрощая выражение (3.22), мы использовали предположение о том, что г » L. Таким образом, все приливные эффекты обратно пропорциональны кубу расстояния до центра притяжения.

Приливное действие Луны на Землю (рис. 18) получается при подстановке в формулу для аПрил удвоенного радиуса Земли 2R в качестве L, расстояния между Луной и Землей d = 607? в качестве г и гравитационного уско-

Орбита \Земли

Рис. 18. Приливное действие Луны на Землю (изображение не в масштабе).Рис. 18. Приливное действие Луны на Землю (изображение не в масштабе).

Рис. 18. Приливное действие Луны на Землю (изображение не в масштабе).

Рис. 18. Приливное действие Луны на Землю (изображение не в масштабе).

Земля вращается «под» приливной волной, стационарной относительно пря-мой, соединяющей Луну и Землю, так что очередные приливы в данной точ-ке наступают примерно через 12 ч.

рения а^ полученного в (3.12) в качестве oq . Тогда мы будем иметь

а, = а . — =« 1.1 • Ю-6 м/сек2. (3.23)

прилd 30v

С другой стороны, Солнце также вносит свой вклад в приливные явления на Земле; оценить его можно, подставляя в (3.22) в качестве aG ускорение а^, полученное в (3.13), а в качестве г — расстояние от Земли до Солнца D « 2,4-IO4 R:

гвао прил = ао ”вГгвао прил = ао ”вГ°о1,2 • 104°о1,2 • 104^ 5 • 10~7 м/сек?.^ 5 • 10~7 м/сек?.(3.24)(3.24)

гв

ао прил = ао ”вГ

гв

ао прил = ао ”вГ

°о

1,2 • 104

°о

1,2 • 104

^ 5 • 10~7 м/сек?.

^ 5 • 10~7 м/сек?.

(3.24)

(3.24)

Мы видим, что, хотя сила тяготения, действующая со стороны Солнца на Землю, почти в 200 раз превосходит силу тяготения со стороны Луны, приливное действие Солнца составляет менее половины приливного действия Луны.

Океанские приливы вызваны наложением обоих эффектов с преобладающим влиянием Луны. Точный расчет приливных явлений затрудняется тем, что ось собственного вращения Земли наклонена по отношению к плоскости ее орбитального вращения (плоскости эклиптики); это обстоятельство приводит к сезонному сдвигу высоты приливных волн. Другое затруднение состоит в том, что плоскость орбитального движения Луны также имеет наклон по отношению к плоскости эклиптики.

В литературе иногда можно встретить утверждение, что наблюдатель, находящийся внутри свободно падающей космической капсулы, не может отличить своего движения по орбите вокруг центра тяготения от свободного прямолинейного движения вдали от каких-либо притягивающих объектов. Если полностью пренебречь размерами капсулы, то есть строго положить L = 0 в уравнении (3.22), то это утверждение становится справедливым; более того, оно отражает чрезвычайно важное обстоятельство, которое мы подробнее рассмотрим в следующей главе. Однако любой реальный наблюдатель обладает конечными размерами L, и поэтому в принципе приливные явления всегда могут быть использованы для детектирования всех гравитационных ускорений, испытываемых капсулой. Исключительно интересно попытаться мысленно сконструировать автоматический прибор, который позволил бы астронавту в любой момент времени точно знать расположение и массы всех гравитирующих центров, влияющих на орбитальное движение космонавта

Дополнения

Глава 3 содержит достаточно сведений для оценки массы Луны. Это легко сделать, выразив сначала массу Луны т^ через массу Земли тб и использовав затем ее численное значение (3.14). (Ответ: т^ ^ 7 -1022 кг.)

Зная радиус Луны г0 ^ 1,74-10* м, интересно рассчитать следующие параметры орбитального движения спутника по орбите вблизи лунной поверхности: а) линейную скорость движения спутника (ответ: v^ 1,6х X 105м/сек); б) период обращения спутника (ответ: Т w ^ 7 -103 сёк), — чтобы затем сравнить их с соответствующими значениями (2.21) и (2.22) для спутника Земли.

Период обращения Фобоса — спутника планеты Марс — по орбите радиусом г = 9,4 • 10е м (отсчитанным от центра Марса) составляет Т = 460 мин = 2,76-10* сек. Определите с помощью третьего закона Кеплера массу планеты Марс. (Ответ: mj « 6,5-1023 кг.)

На прямой линии длиной d, соединяющей центры Земли и Луны, имеется точка, в которой ускорения, вызываемые тяготением этих планет, компенсируют друг друга, будучи равны по величине и противоположны по направлению. Обозначим расстояние от этой точки до Луны через d^ оно определяется из следующего условия:

Gm^ Gm^

(d —d^ ~ d2 *

Можно ожидать, что в силу малости отношения т^/т^ расстояние dT много меньше d (dT ^.dY тогда в первом приближении мы получим

Читателю предлагается решить уравнение для d^ точно и затем определить, заслуживает ли повышение точности результата затраты дополнительной работы по его получению.

Первый и второй законы Кеплера увидели свет в 1609 году в его сочинении «Новая астрономия». Уже в то время Кеплер, по-видимому, в основном правильно трактовал массу как меру тяготения; на это указывает следующее его утверждение: «Если два камня поместить [отдельно] в любой части мира ... подобно двум магнитным телам, [они] соединятся в некотором промежуточном месте, и каждый камень приблизится к другому на расстояние, пропорциональное массе другого камня».

Третий закон Кеплер впервые сформулировал 8 марта 1618 года, однако сначала он считал его неверным; виной тому была ошибка в вычислениях, приведшая к видимому расхождению с данными наблюдений. 15 мая того же года Кеплер повторил вычисления, которые превосходно согласовались с экспериментом, о чем говорится в его сочинении ,,Astronomia nova“ (1609).

Рис. 19. «Приливное» ускорение, которое испытывают два наблюдателя в космической капсуле, ориентированной вдоль траектории.

Пусть космическая капсула, изображенная на рис. 17, ориентирована так, что оба наблюдателя расположены вдоль, а не поперек ее траектории. Каков в этом случае приливный эффект? Внимательный анализ рис. 19 указывает на то, что полное ускорение а каждого наблюдателя можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие: аа , параллельную направлению ускорения всей капсулы в целом, и април , направленную к другому наблюдателю. Треугольник, построенный на векторах април и aG, подобен треугольнику со сторонами Ы2 и г, поэтому

°прил ^/2L

—i— = или а = а . .

aQ гПРИЛ 5 2г

Взаимное ускорение, испытываемое обоими наблюдателями, расположенными, как показано на рис. 19, стало вдвое меньше по сравнению с их расположением, указанным на рис. 17.

С точки зрения наблюдателя, находящегося в центре сферической космической капсулы, совершающей ор-

Рис. 20. «Приливное» квадрупольное поле, которое воспринимает наблюдатель внутри сферической капсулы, движущейся по орбите вокруг центра притяжения.

битальное движение, приливные эффекты удобно описывать полем ускорений, изображенным на рис. 20. Стрелки соответствуют ускорениям объектов на поверхности капсулы по отношению к наблюдателю в ее центре; следуя вдоль направлений, указанных стрелками, можно вычертить линии поля (или силовые линии) так, как это сделано пунктиром на рис. 20. Поля такого типа называют квадрупольными: силовые линии «входят» в сферу по направлению, связывающему одну пару противоположных полюсов сферы, а «выходят» из нее по направлению другой пары (соответствующие диаметры сферы взаимно перпендикулярны). В самом общем случае свободно падающий наблюдатель, чье движение обусловлено исключительно силами тяготения, может заметить вблизи себя гравитационное поле лишь квадрупольного типа.

Используя полученные в этой главе сведения, читатель сможет оценить максимальный приливной эффект, вызываемый Землей на поверхности Луны. (Ответ: ^прил ^ 2,6 -10“5 м/сек2.) Эта величина очень мала по сравнению с ускорением свободного падения на Луне,

составляющим около 1,6 м/сек2 = g/б. Однако представьте себе, что расстояние между Луной и Землей сократилось в 30 раз; тогда приливные эффекты усилились бы в (30)3 = 2,7 -104 раз и стали бы сравнимы по величине с лунным ускорением свободного падения — последнее привело бы к катастрофическим последствиям.

Возможно, что кольца вокруг Сатурна состоят из фрагментов его прежних спутников, разрушенных действием приливных ускорений.

ГЛАВА 4

Иерархия инерциальных систем отсчета

Когда мы пытаемся объяснить причины, вызывающие наблюдаемые ускорения, во всех случаях важно точно указывать систему отсчета (или систему координат), по отношению к которой измеряется ускорение.

Среди всех возможных систем отсчета можно выделить один класс систем, особенно удобных для измерения ускорений: это класс свободнопадающих систем отсчета. Любого наблюдателя, связанного с такой системой отсчета, мы будем называть инерциальным, а соответствующую систему отсчета (не вращающуюся по отношению к удаленным звездам), — инерциальной системой отсчета.

Из главы 3 следует, что при наличии гравитации инерциальные системы, находящиеся на некотором конечном расстоянии друг от друга, вообще говоря, двигаются по отношению друг к другу ускоренно. Например, система отсчета, связанная со свободно падающим вблизи поверхности Земли объектом, обладает ускорением по отношению к другой инерциальной системе, а .именно той, что связана со свободно падающим центром Земли. Обе системы отсчета движутся ускоренно по отношению к третьей системе, связанной с их общим центром масс; последняя в свою очередь обладает ускорением по отношению к свободно падающему центру Солнца и т. д. Можно сказать, что в мире существует целая иерархия инерциальных систем отсчета, причем каждая из них движется ускоренно по отношению хотя бы к одной из остальных.

Следует заметить, что расстояние между некоторыми инерциальными системами отсчета может оставаться неизменным, несмотря на его конечность. Например, еще Лагранжу (1736—1813) было известно о том, что если две массы ^ и т2 вращаются вокруг их общего центра масс под действием взаимного тяготения, так что расстояние

Рис. 21. Пять точек либрации ДЛЯ системы двух тел, вращающихся вокруг центра инерции С под действием взаимного притяжения.

между тпх и т2 остается постоянным (рис. 21), то существует пять так называемых точек либрации: LXl ... , Lb. Эти точки обладают тем свойством, что если поместить в одну из них небольшую массу м3, то она будет находиться в состоянии свободного падения и в то же время оставаться в покое по отношению к массам тх и^ тп2.Три точки либрации Lx , L2, Lb находятся на прямой, соединяющей массы тх и т^ а две дрУгие точки ь4 и L6 вместе с массами тг и тй образуют два равносторонних треугольника. Все точки либрации обладают, однако, ускорениями по отношению хотя бы к одной инерциальной системе. Например, по отношению к системе отсчета, связанной с центром масс С системы двух масс, все точки либрации вращаются, то есть движутся ускоренно.

Изучение орбитального движения относительно точек либрации, впервые начатое математиками Пуанкаре (1854—1912) и Ляпуновым (1857 1918) в прошлом^ столетии, оказалось задачей захватывающе интересной, но чрезвычайно трудной. В последние годы интерес к ней возобновился в связи с прикладными расчетами возможных орбит спутников в системе Земля Луна.

Все инерциальные наблюдатели обладают одним интересным и важным свойством — они в определенном смысле эквивалентны. Именно, если один из инерциальных наблюдателей предсказывает исход своих физических экспериментов на основе некоторых законов физики, то

Рис. 22t Два инерциальных наблюдателя А и В находятся в состоянии з окоренного движения по отношению друг к другу, за исключением момента, когда В проходит через точку А и относительное ускорение равно нулю.

и другой инерциальный наблюдатель придет к тем же самым выводам при постановке экспериментов того же типа. Другими словами, законы физики не зависят от того, кто из инерциальных наблюдателей их формулирует.

Примером такого универсального справедливого вывода из экспериментальных наблюдений служит первый закон движения Ньютона; в современной формулировке он гласит: «В данной точке пространства любые два инерциальных наблюдателя могут двигаться лишь с постоянной мгновенной скоростью относительно друг друга». Иначе говоря, в тот момент, когда две инерциальные системы совпадают в пространстве, их ускорение по отношению друг к другу всегда равно нулю. Рассмотрим, например, инерциального наблюдателя Л, находящегося в свободном падении (точнее, покоящегося) в центре Земли, пусть инерциальный наблюдатель В совершает колебательное движение в тоннеле, просверленном сквозь центр Земли (рис. 22). Оба наблюдателя все время ускоренно движутся по отношению друг к другу, за исключением того момента, когда наблюдатель В проходит положение А с данной мгновенной скоростью; в этот момент относительное ускорение обоих наблюдателей в точке А равно нулю.

Что касается практических применений понятия инерциальной системы отсчета, то всех наблюдателей, размещенных в лаборатории разумных размеров, можно рас-

сматривать как расположенных в одной точке пространства. Более того, если пренебречь собственным вращением Земли, любая лаборатория, находящаяся в определенной точке поверхности Земли, является в хорошем приближении инерциальной системой отсчета, во всяком случае по отношению к движениям в горизонтальной плоскости. Разумеется, такая лаборатория не является инерциальной системой отсчета по отношению к вертикальным движениям, поскольку реакция опоры (поверхности Земли), на которой стоит лаборатория, выводит ее из состояния свободного падения. Поэтому, если ограничиться наблюдением лишь горизонтальных составляющих движений, связанных со свободным падением (например, используя устройства, скользящие на воздушной подушке по поверхности «без трения»), можно с высокой точностью подтвердить первый закон Ньютона. Мы приходим, таким образом, к обычной формулировке этого закона, которая принята в большинстве учебников элементарной физики: объекты остаются в покое или сохраняют постоянную по величине и направлению скорость по отношению к любой инерциальной системе отсчета до тех пор, пока на их движение не будет оказано какого-либо воздействия (например, пока не появится трение или на пути объекта не возникнет препятствие).

Любая формулировка первого закона Ньютона, в которой опущены слова «по отношению к инерциальной системе отсчета», является совершенно некорректной. Например, неинерциальный наблюдатель, сидящий на карусели, отметит ускоренное движение наблюдателя, стоящего за оградой, хотя он никоим образом не воздействует на движение последнего.

Необходимо также иметь в виду, что обычная формулировка первого закона Ньютона верна лишь приближенно; она требует наличия идеальных условий, которые трудно' осуществить строго. Сам Ньютон идеализировал эти условия еще более и сформулировал свои законы движения в инерциальной системе отсчета специального типа, который получается, если мысленно отбросить (уда- лйть в бесконечность) все локальные центры тяготения. В полученной инерциальной системе полная сумма скоростей всех удаленных звезд остается постоянной величиной, и в этом смысле можно говорить о том, что указанная система отсчета не имеет ускорения «по отноше-

нию к удаленным звездам». Такие инерциальные системы здесь и далее будут называться ньютоновскими системами отсчета.

Во времена Ньютона движение каких-либо других звезд, кроме Солнца, было недоступно астрономическим наблюдениям. Соответственно Ньютон считал удаленные звезды «неподвижными» в избранной им системе отсчета, которую он представлял себе, очевидно, в виде некоего «абсолютного пространства», в которое «погружены» все звезды. В настоящее время физики скорее склонны принять точку зрения, согласно которой объекты являются первичными; именно они своими гравитационными полями создают локальные инерциальные системы отсчета, даже при отсутствии в этих системах локальных центров тяготения. Таким образом, можно считать, что удаленные звезды своим гравитационным воздействием создают те частные инерциальные системы отсчета, которые имел в виду Ньютон. Иначе говоря, не звезды «закреплены» в некотором «абсолютном» пространстве, а, скорее, то, что составляет инерциальную систему отсчета, «закреплено» (точнее, определено) суммарным гравитационным воздействием со стороны всех объектов Вселенной.

Теперь можно сформулировать и второй закон движения Ньютонах если наблюдается мгновенное ускорение а объекта массы т по отношению к локально инерциальной системе отсчета, это означает, что к объекту в точке его нахождения приложена сила

F = ma (размерность М1/М\ (4.1)

Таким образом, второй закон Ньютона может служить в качестве операционального определения понятия силы. Если измерять массу в килограммах, а ускорение а в метрах на секунду в квадрате, то полученная единица силы в системе СИ будет носит название ньютон (Н)

1 Н = 1 кг • 1м/сек2. (4.2)

Соответствующая единица в системе СГС — дина

1 дин = 1 г • 1 см/сек,(4.3)

причем

1 Н = 105 дин.(4.4)

Например, для того, чтобы сообщить космическому кораблю массой т = 103 кг ускорение а = g = 9,8 м/сек2 по отношению к локально инерциальной системе отсчета, потребуется сила (иногда в этом случае называемая тягой) порядка F = 9,8-103 Н. Поскольку любая локально инерциальная система на поверхности Земли имеет ускорение, равное g и направленное к центру Земли, сила F по величине как раз достаточна для того, чтобы удержать космический корабль на поверхности Земли. Вообще для удержания массы в 1 кг на земной поверхности по отношению к свободно падающей локально инерциальной системе требуется сила, равная примерно 9,8 Н. Таким образом, если вы хотите «почувствовать» единицу силы, подержите большое яблоко на руке: сила, с которой вы подействуете на яблоко, чтобы не дать ему упасть, составит что-то около 1 Н.

Однако второй закон Ньютона содержит нечто большее, чем просто определение силы. Он отражает следующий замечательный экспериментальный факт: если мы в ходе опыта сообщим объекту массой т ускорение а (сказав при этом, что опыт состоял в «приложении к объекту силы F = тпа»), а затем повторим опыт, лишь заменив объект массы т объектом массы т', то будет зафиксировано ускорение а' = (пг/т^а. Другими словами, масса объекта, введенная ранее как мера гравитационного воздействия со стороны объекта, может служить также в качестве меры инерции этого объекта, а именно, чем больше масса объекта, тем меньшее ускорение сообщит ему данная сила.

Указанная пропорциональность гравитационной и инертной масс хорошо подтверждается экспериментально, и в дальнейшем мы везде будем использовать этот термин в обоих значениях. Венгерский физик Этвеш (1848—1919) посвятил свою жизнь разработке экспериментов с целью проверки пропорциональности масс с максимальной возможной точностью. Хотя некоторые из его экспериментов допускают несколько противоречивое тол-

кование, Этвеш создал в своей лаборатории исключительно остроумные приборы для определения малых изменений сил гравитации.

Из принятой выше формулировки второго закона Ньютона следует, что невозможно описать наблюдаемое локальное гравитационное ускорение за счет локального действия какой-либо силы. По определению природа всех локально приложенных сил, вызывающих в соответствии со вторым законом Ньютона ускорения объекта по отношению к свободно падающей локальной системе отсчета, может быть любой, но не гравитационной. Например, природа силы, которую нужно приложить к объекту в месте его нахождения, чтобы воспрепятствовать его свободному падению, должна быть ^гравитационной. Однако, если допустить существование сил, действующих на расстоянии, можно посредством ряда вспомогательных рас- суждений придать смысл термину «гравитационная сила», как это сделал сам Ньютон. Но идея о «действии на расстоянии», или дальнодействии, совершенно противоречит духу современной физики; целесообразно отложить обсуждение этого вопроса до формулировки третьего закона Ньютона, данной в главе 5.

Дополнения

Центр масс С делит расстояние между двумя массами на рис. 21 на два отрезка гг и г2, причем г = гх+г2; массы тг и т2 могут под действием взаимного тяготения вращаться вокруг С по круговым орбитам с одинаковым периодом обращения Т. Действительно, центростремительное ускорение i^ /т\, необходимое для обращения массы тх вокруг С, обеспечивается гравитационным ускорением Gmjr^ которое создается массой т^, то есть

Gma

— = —— I

Г2

аналогично центростремительное ускорение ^/г2 массы т^ создается массой mti

р2 Gmx

Поскольку скорости иг и и^ равны соответственно 2л^/7 и 2itr^T, можно показать, что отношение отрезков т\ и г2 обратно пропорционально отношению соответствующих масс:

^1 т2

г3 тх

Существует по крайней мере 14 астероидов (малых планет, называемых «троянцы»), которые располагаются на орбите Юпитера так, что девять из них опережают Юпитер примерно на 60°, а остальные пять — отстают от него также на 60°. Это означает, что положение астероидов примерно совпадает с точками либрации L4, £б (рис. 21) системы Солнце — Юпитер. Существование этих групп означает также устойчивость положений £4 и £5 в этом случае. Точнее, любые малые возмущения со стороны других планет (например, со стороны Сатурна) заставляют астероиды в худшем случае совершать колебания вокруг точек £4и L5; в то же время положения LXl L^ и L3 всегда неустойчивы, то есть любое малое воздействие на астероид, находящийся в одной из этих точек, вывело бы его на траекторию, уходящую с течением времени все дальше от начального положения.

Математический анализ вопросов устойчивости исключительно сложен. Неизвестно, например, сохраняют ли устойчивость точки либрации £4, £а в системе Земля — Луна или воздействия со стороны Солнца делают их неустойчивыми; для разрешения этих вопросов могут потребоваться эксперименты с искусственными спутниками.

Эксперимент Этвеша основан на следующих соображениях. Для того чтобы объект удерживался на поверхности Земли, он должен испытывать ускорения двух типов:

ускорение af, направленное от центра Земли и равное по величине ^, для предотвращения падения тела;

центростремительное ускорение а2, направленное под прямим углом к оси вращения Земли для приведения объекта во вращение вместе с Землей вокруг оси, проходящей через Северный (N) и Южный (8) полюсы. Изучение рис. 23 показывает, что везде, кроме экватора (где а2 и а 2 оказываются направленными по одной прямой) и полюсов (где а2 равно нулю), результирующее ускорение а имеет горизонтальную компоненту.

Рис. 23. Два ускорения ai и аг, которые надо сообщить объекту, чтобы он находился в покое на поверхности Земли.

Очевидно, что ускорение а2 одинаково для всех объектов и имеет чисто кинематическую природу. Но предположим на минуту, что тяготение действовало бы на разные объекты по-разному, заставляя, например, алюминий и золото падать с несколько различными ускорениями ах (золото) ^ аг (алюминий). Тогда для удержания тела из золота и алюминия на поверхности Земли понадобились бы различные горизонтальные компоненты результирующего ускорения. Этот эффект можно было бы с высокой точностью измерить с помощью закручивания тонкой нити, на которой подвешен стержень с двумя массами из различных материалов (например, золота и алюминия) на концах.

В 1909 году Этвешу удалось установить, что любое существующее различие в гравитационном ускорении, созданном Землей, составляет для исследованных им веществ величину, не превосходящую 510~6. С тех пор эксперименты Этвеша были уточнены, особенно интересные результаты получил Р. Дике со своими сотрудниками в Принстонском университете. В 1964 году им удалось показать, что ускорения золота и алюминия относительно Солнца равны с точностью до 1041 *. Поскольку уско-

рение относительно Солнца для объектов, находящихся на поверхности Земли, составляет по абсолютной величине около 6-Ю"3 м/сек2 и меняет направление каждые 12 ч, приборы Дике должны были регистрировать относительные ускорения порядка 6*10“14 м/сек2. Читателю предлагается вычислить, какую скорость приобретет объект, двигаясь с таким ускорением в течение 6 ч. (Отп- вет: t;^l,3-10-9 м/сек.)

Наиболее точные современные определения локально инерциальных систем отсчета, то есть систем отсчета, в которых все наблюдаемые ускорения можно объяснить действием известных сил, основаны на наблюдениях за движением планет Солнечной системы. Ошибка в определении скорости вращения этой системы отсчета не превышает 0,4 дуговой секунды в столетие. Выбор этой системы основан лишь на экспериментально проверенной применимости к ней законов Ньютона, причем считается, что любое центростремительное ускорение планет полностью объясняется гравитационными ускорениями. Такое определение системы отсчета можно назвать «инерциальным».

Система координат, в которой удаленные, так называемые «неподвижные», звезды не обнаруживают систематического вращения вокруг какой-либо общей оси, может быть с помощью оптических наблюдений определена с точностью, исключающей такие вращения на угол, превосходящий 0,1 угловой секунды в столетие. Такая система координат в пределах экспериментальной ошибки совпадает с локально инерциальной, и это совпадение оправдывает приведенное в начале этой главы определение инерциальной системы как системы, «не совершающей вращения по отношению к удаленным звездам».

В этой связи читателю будет, по-видимому, интересно оценить угловую скорость «неподвижной» звезды, нахо- ч

менее попытки обнаружить различие продолжаются. Причина этого в том, что достоверное установление такого различия имело бы огромное значение для построения физической теории сил тяготения, пока не существующей. Последние эксперименты (1971 год), проведенные в Московском государственном университете В. Б. Брагинским с сотрудниками, с точностью до 1(Г12 показали опять-таки эквивалентность этих масс. При какой точности измерений может быть обнаружено такое различие, если оно существует, — неизвестно. — Прим. ред.

дящейся на расстоянии 104 световых лет ^ 1020 м и движущейся со скоростью порядка 104 м/сек. (Ответ: ^0,5 угловой секунды в столетие.)

Бейсбольный мяч массой т = 130 г пущен со скоростью 45 м/сек и остановлен игроком за время 3 «10“2 сек. Считая замедление во время ловли мяча постоянным, определите:

С какой силой воздействует мяч на руку игрока? (Ответ: 195 Н.)

На какое расстояние переместится рука игрока за время остановки мяча? (Ответ: 0,675 м.)

Локомотив, масса которого 1,5-104 кг, со скоростью 30 м/сек проходит закругление пути радиусом 300 м. Найдите силу, действующую со стороны рельсов на колеса локомотива в направлении к центру закругления и сравните ее с весом локомотива W. (Ответ: F ^ 4,5 * •104 Н=0,3 W.^

Вагонетке весом 2 • 104 Н сообщается ускорение, и от состояния покоя за 30 сек она достигает скорости 20 м/сек. Определите необходимую для этого силу и сравните ее с весом вагонетки. (Ответ: F = 1,3 *103 Н == = 0,07 ^.)

ГЛАВА б

Закон сохранения импульса

Понятие силы, введенное в главе 4, играет важную роль; именно оно позволило Ньютону впервые сформулировать свой третий закон движениях если одно тело, находясь в локальном контакте с другим, воздействует на него с силой F2, то и, обратно, второе тело воздействует на первое с силой Fx = — F2, то есть

Fj (со стороны тела 2) = —F2 (со стороны тела 1). (5.1)

Этот закон чаще выражают так: «Действие равно противодействию». Для правильного его понимания всегда следует иметь в виду, что действие и противодействие никогда не могут быть приложены к одному и тому же телу. Например, если вы, предотвращая падение какого- либо объекта, поддерживаете его с силой F, направленной вверх (как показано на рис. 24), то объект обязательно воздействует на вашу руку с силой W, называемой весом

J

F-сила, с которой рука действует на объект

Рис. 24. Определение веса.

’ W-m^-F-сила, с которой объект действует на руку

До столкновенияДо столкновенияПосле столкновенияПосле столкновенияРио. 25. Сохранение импульсаРио. 25. Сохранение импульсапри столкновении двух тел.при столкновении двух тел.

До столкновения

До столкновения

После столкновения

После столкновения

Рио. 25. Сохранение импульса

Рио. 25. Сохранение импульса

при столкновении двух тел.

при столкновении двух тел.

объекта. При этом сила W равна F по величине, но направлена в противоположную сторону, то есть

(5.2)(5.2)W = mg = — F,

(5.2)

(5.2)

Третий закон Ньютона, выраженный уравнением (5.1), является частным случаем гораздо более общего закона природы, называемого законом сохранения импульса^ последний проявляется в специальной форме (5,1) только в

том случае, если тела находятся в локальном контакте друг с другом. Пусть, например, мы наблюдаем за движением двух объектов массы т1 и т^ в ньютоновской системе отсчета, временно исключив из рассмотрения локальные гравитационные эффекты. Объекты сближаются и входят в некоторую область столкновения, показанную на рис. 25, со скоростями vx и v2, а выходят из неё, имея скорости vi и V2 соответственно. Во всех опытах такого типа (называемых опытами по рассеянию двух частиц.— Ред.) мы найдем, что векторная сумма величин тп^ и т^ч^ (называемых импульсами частиц) до столкновения неизменно равна векторной сумме импульсов т^ч^ и т^ч^ после столкновения, то есть

тхчг + m2v2 = т^ + т2ч’2 (размерность MLT^Y (5.3)

Важно, что в процессе столкновения может случиться так, что тела ни в какой момент времени не будут находиться в прямом, или локальном, контакте друг с другом; столкновение может быть вызвано каким-либо взаимодействием негравитационного характера, например электромагнитным (глава 14) или ядерным (глава 23).

Наиболее общий случай столкновения двух частиц может включать в себя даже их взаимные превращения, что особенно характерно для процессов столкновений в ядерной физике. При этом в области столкновения исчезают обе частицы с массами тх и т^ а вместо них возникают другие частицы с массами тх и т^] закон сохранения импульса приобретает более общую форму:

М^ + ™2V2 = ^1 Vi + W2V2 * (5.4)

Если столкновение происходит за счет прямого контакта двух тел, то третий закон Ньютона (5.1) можно получить непосредственно из закона сохранения импульса (5.3). Пусть контакт длился промежуток времени At За это время скорость тела массы тх изменилась на Дух = =¥/—¥!, а скорость тела массы тп2 — на Av2 = v2'—v2. Деля уравнение (5.3) наД^, можно записать

Величина Ау^Д^ равна по определению ускорению ах тела массы тх за время соударения, а Ау2/Д£ — ускоре-

нию а 2 тела массы тп2. Согласно второму закону Ньютона, из уравнения (5.5) следует, что сила Fx = mxav с которой тело 2 действует во время контакта на тело 1, и сила F2 = тп2а2, с которой тело 1 действует на тело 2, удовлетворяют уравнению (5.1)

F =F

Закон сохранения импульса позволяет дать операциональное определение системы отсчета, связанной с центром масс (или, коротко, системы центра масс — с.ц.м.). Представим себе на минуту, что, помимо удаленных звезд, определяющих ньютоновскую систему отсчета, в мире имеются всего два тела с массами mx и тп^ которые движутся по направлению друг к другу и «склеиваются» во время столкновения. Система отсчета, в которой покоится вновь получившееся тело массой тих+?п2, мы будем называть системой центра масс (с.ц.м.); отсюда следует, в частности, что полный импульс двух тел в их с.ц.м. равен нулю. Положения гх и г2 двух тел в с.ц.м. в любой момент времени (а не только при ^ = 12=0 Должны удовлетворять условию

mxrx + m2r2 = 0.mxrx + m2r2 = 0.(5.6)(5.6)

mxrx + m2r2 = 0.

mxrx + m2r2 = 0.

(5.6)

(5.6)

Действительно, только при выполнении этого условия закон сохранения импульса обеспечит равенство нулю полного импульса во все моменты времени. А именно, для любого промежутка времени At выполняется соотношение

тг -^- 4- т2 ^- = mjVj + mev8 = 0.(5.7)

В отсутствие локальных гравитационных центров система центра масс является ньютоновской системой отсчета; согласно первому закону Ньютона, она движется с постоянной скоростью (или покоится) относительно других ньютоновских систем отсчета.

Закон сохранения импульса дает нам простой способ сравнения неизвестной массы (например, т^ с известной массой тп2. Пусть массы покоятся в системе центра масс; отпустим соединяющую их пружинку или взорвем помещенный между ними небольшой заряд (рис. 26). Если отсутствуют какие бы то ни было силы трения, могущие

До ВзрыВаДо ВзрыВа

До ВзрыВа

До ВзрыВа

^Небольшой заряд

После взрываПосле взрываРис. 26. Расстояния, которые проходят два тела в системе центра инерции после взрыва небольшого заряда, помещенного между ними.Рис. 26. Расстояния, которые проходят два тела в системе центра инерции после взрыва небольшого заряда, помещенного между ними.

После взрыва

После взрыва

Рис. 26. Расстояния, которые проходят два тела в системе центра инерции после взрыва небольшого заряда, помещенного между ними.

Рис. 26. Расстояния, которые проходят два тела в системе центра инерции после взрыва небольшого заряда, помещенного между ними.

по-разному воздействовать на оба тела, то пройденные телами расстояния ^=(^1 и d2— jr 2j будут в любой момент времени определяться отношением

(5.8)(5.8)дх _ т2

(5.8)

(5.8)

6?2^1

Теперь настало время вновь вернуться к гравитационному взаимодействию двух тел, наблюдаемых в их с.ц.м., которая в отсутствие других близко расположенных гравитирующих тел является ньютоновской. В любой момент времени тела тпх и т2 обладают мгновенными скоростями vx и v2, а следовательно, и мгновенными импульсами рх = т^ и р2 = тп2т2. Закон сохранения импульса требует, чтобы в любой момент времени выполнялось следующее соотношение между изменениями импульсов обоих тел (Др1/Д^=т1(Дт1/Д/)=т1а2 для первого и Др2/Д£=тм2а2 для второго):

тхах=—тп2а2 (5.9)

(рис. 27).

Разумеется, у Ньютона не было оснований сомневаться в том, что сила может иметь смысл «действия на расстоянии»; поэтому закон сохранения импульса, выражен- 76

центр массцентр масса?а?

центр масс

центр масс

а?

а?

Рис. 27. Гравитационные ускорения двух масс mi и та относительно их центра инерции.

F- АР .At ’F- АР .At ’ный в (5.9), он интерпретировал следующим образом. Прежде всего он сформулировал свой второй закон, считая, что всякое изменение импульса объекта (который может состоять из одного или нескольких тел) вызвано действием силы, в точности равной скорости изменения импульса

F- АР .

At ’

F- АР .

At ’

(5.10)

при этом Ньютон не проводил различия между силой, действующей при локальном контакте или на расстоянии (как мы знаем из главы 4, закон (5.10) справедлив лишь для локальных сил). В частности, закон всемирного тяготения Ньютон сформулировал так: масса mv находящаяся на расстоянии г от массы тп2, действует на нее с гравитационной силой F2, равной

и направленной от /п2 к mv Если понимать силу таким образом, то равенство (5.9) выражает третий закон Ньютона в его обычной форме; при этом надо лишь отказаться от требования локального контакта тел при силовом воздействии. Действительно, подставляя в (5.9) в качестве аг гравитационное ускорение Gm^r^^ вызываемое у массы т1 массой тп2, а в качестве а^ — гравитационное ускорение Gm-Jr^ вызываемое у массы та массой mv получаем следующее соотношение:

F^-F^ (5.12)

т

Рио. 28. Объем, в котором находится масса /п, получающая ускорение а.

Рисунок поясняет различие г^ежду ньютоновским и современным представле-ниями о взаимодействии.

где Fx и Fa -* гравитационные силы, действующие на расстоянии г со стороны т^ на тг и со стороны тг на т^ соответственно.

Следует подчеркнуть, что все законы движения и закон тяготения в формулировке Ньютона справедливы лишь в ньютоновских системах отсчета, к которым относится, в частности, система центра масс двух тел в отсутствие других близко расположенных гравитирующих тел. Кроме того, эти законы требуют введения гравитационной силы, действующей на расстоянии.

Чтобы выявить различие между ньютоновским понятием действия на расстоянии и современным понятием локального взаимодействия, рассмотрим покоящийся в инерциальной системе отсчета объем, внутри которого находится объект массы т (рис. 28), и предположим, что наблюдается ускорение объекта а.

Ньютон описал бы это наблюдение так: «Импульс объекта р = wv меняется благодаря наличию внешней силы F, мгновенно действующей на расстоянии, причем F = др/Д/ = тпа».

Современный физик предложил бы другое описание: «Наблюдаемое изменение импульса объекта следует привести в соответствие, во-первых, с законом сохранения импульса и, во-вторых, с тем фактом, что никакое изменение импульса не может передаваться от точки к точке в инерциальной системе отсчета со скоростью, превосходящей скорость света. Отсюда мы должны заключить,

Рис. 29. Мгновенные значения магнитных сил, действующих между двумя электрическими зарядами, движущимися в плоскости рисунка.

Налицо явное нарушение третьего закона Ньютона, сформулированного в терминах дальнодействующих сил.

что, кроме данного объекта, в рассматриваемом объеме должно находиться еще что-то —назовем его полем, что в данный момент передает телу локально импульс, причем скорость этой передачи равна наблюдаемой величине др/Д/, а сумма импульсов Р(поля) + р(тела) в любой момент времени остается постоянной. Например, в случае электромагнитных взаимодействий любое наблюдаемое ускорение тела можно описывать на языке локальной передачи импульса при столкновениях тела с квантами электромагнитного поля, или фотонами, которые двигаются всегда со скоростью света и способны с той же скоростью переносить импульс от одного тела к другому».

Все эксперименты, проведенные к настоящему времени и включающие различные типы взаимодействий, убедительно подтверждают современную точку зрения на локальное поле как на переносчика импульса; исключение составляет пока лишь гравитационное взаимодействие. Действительно, если не учитывать импульс, сообщенный полю, можно прийти к серьезным противоречиям с третьим законом Ньютона. Например, как будет показано в главе 15, если два электрических заряда ^ и ^2 удаляются друг от друга так, что скорость vx параллельна линии, соединяющей заряды, а скорость v2 перпендикулярна ей (рис. 29), то существует магнитная сила Fx, с которой заряд е2 действует на ^посредствомполя, тогда как магнитная сила F2, действующая посредством поля на заряд е2 со стороны заряда ev равна в этот момент нулю. Таким образом, если формулировать третий закон Ньютона на языке дальнодействия, мы явно приходим к его нарушению. Противоречие снимается, если учесть импульс, сообщаемый электромагнитному полю в каж-

дый момент времени; в приведенном выше примере этот импульс передается заряду ev со скоростью FP

Что касается гравитационного взаимодействия, то вопрос о том, имеет ли смысл понятие гравитационного поля, передающего это взаимодействие посредством квантов (гравитонов), остается по ряду причин открытым до настоящего времени. Прежде всего, никогда не было достоверно установлено, что гравитационные эффекты не могут распространяться со скоростью, превышающей скорость света. Само существование гравитационных волн, аналогичных электромагнитным волнам, недоступно пока экспериментальному изучению ввиду чрезвычайной слабости всех гравитационных эффектов. Во-вторых, само понятие гравитационного поля, действующего в качестве «переносчика» импульса, может оказаться бесполезным, поскольку понятие силы тяготения, действующей на расстоянии и сообщающей телу импульс, имеет смысл лишь при описании в системе координат, не связанной с локальной инерциальной системой отсчета этого тела. В такой системе отсчета с помощью понятия поля могут быть описаны лишь гравитационные напряжения, которые проявляются в приливных эффектах (см. главу 3) и не приводят к изменению полного импульса. Соответственно в теорию, основанную на представлении о локальном взаимодействии, нельзя непротиворечивым образом ввести гравитоны в качестве переносчиков импульса. Это связано с тем, что по определению локально инерциальной системы импульс, сообщенный ей за счет гравитации, тождественно равен нулю. Другими словами, при попытке описания гравитации в локально инерциальной системе все гравитоны (за исключением ответственных за приливные эффекты) локально исчезают, то есть всегда могут быть исключены за счет преобразования к локально инерциальной системе отсчета. Это свойство,

по-видимому, делает гравитоны малопригодным понятием для описания закона тяготения Ньютона, а само их существование становится в высшей степени сомнительным.

Чтобы обойти трудность с введением силы тяготения, Альберт Эйнштейн (1879—1955) остроумно предложил рассматривать гравитационные эффекты, создаваемые массой т, как изменение геометрии пространства, окружающего эту массу, считая при этом, что движение любого тела под действием гравитации массы т происходит по кратчайшим (геодезическим) линиям в изменившейся геометрии.

Теория Эйнштейна в первом приближении согласуется с теорией тяготения Ньютона, однако она предсказывает и целый ряд особых эффектов высшего порядка, в том числе смещение перигелия планет в ньютоновской системе отсчета, а также отклонение лучей света, проходящих вблизи Солнца, в два раза превышающее предсказанное Ньютоном значение. Все современные наблюдения свидетельствуют в пользу теории Эйнштейна. Однако даже в теории Эйнштейна имеются сложные нерешенные вопросы, касающиеся существования гравитационных волн и возможности последовательного согласования геометрии пространства и понятия локального поля, способного к передаче импульса и наделенного другими механическими свойствами.

Итак, закон тяготения Ньютона можно рассматривать лишь в качестве первого приближения к описанию действительности. Однако не следует, по-видимому, полностью отбрасывать возможность реализации ньютоновского понятия «дальнодействия» — по крайней мере применительно к гравитации. Ньютоновские представления о силе оказались несостоятельными при описании электромагнитных и других сильных взаимодействий, однако не исключено, что они могут быть возрождены на современной основе в будущей, более совершенной теории гравитации.

Дополнения

Получив ученую степень в Кембридже в начале 1665 года, Ньютон (1642—1727) последующие два года провел на своей родине в Вулсторпе фактически в одино-

Рис. 30. Вклад двух элементов массы Земли Ami и Arns в полное гравитационное ускорение в некоторой точке над поверхностью Земли.

честве, так как в течение двух беспокойных лет (1665— 1666) университет был закрыт. Именно в это время он открыл закон всемирного тяготения. Как писал впоследствии (в возрасте 73 лет) сам Ньютон, в те дни он «был в расцвете сил для совершения открытий». Ньютон задержал публикацию своей работы по гравитации до 1687 года, когда вышел в свет его монументальный труд «Математические начала натуральной философии».

Точно установить даты открытия трех законов движения и имя их автора (если у этих законов вообще существует единственный автор) довольно трудно. Ньютон формулирует все три закона в первой книге «Начал», однако упоминает при этом более ранние работы Галилео Галилея (1564—1642), не указывая, правда, когда он впервые познакомился с ними. Читателю рекомендуется более подробно ознакомиться с биографией Ньютона.

Можно думать, что Ньютон отложил публикацию закона всемирного тяготения до того момента, пока не нашел удовлетворительного доказательства тому факту, что сферическое распределение масс в гравитационном отношении ведет себя точно так, как если бы вся масса была сосредоточена в центре сферы. Действительно, если любая малая масса Дш создает на расстоянии г гравита-

Рис. 31. Баланс импульса реактивного двигателя.

ционное ускорение Да = G&m/r\ направленное к мас- сеДтп, то ускорение свободного падения g вблизи поверхности Земли можно рассматривать как векторную сумму вкладов Дах = Gkmi/r^ &а2 = СДтп^гг, ... от различных элементарных масс kmv &т2 ... , составляющих в сумме полную массу Земли М (рис. 30). Заранее совершенно не очевидно, что все эти малые векторы складываются в один вектор g, направленный к центру Земли и равный по величине g = GMiR\ где М = Дттг14-Дтп2+ ... , a R — радиус Земли. В конечном итоге Ньютону удалось доказать это с помощью изобретенного им же исчисления; доказательство аналогичной теоремы для распределений электрических зарядов будет дано в главе 14 с использованием сравнительно более простого метода, принадлежащего математику Гауссу (1777—1855).

Возможно, наиболее замечательное применение третьего закона Ньютона — это ракетный двигатель. Его идея состоит в создании силы тяги, равной скорости изменения импульса ракеты, за счет выброса в противоположном движению направлении некоторого вещества (обычно продуктов сгорания ракетного топлива. — Ред.у^ в результате векторная сумма импульсов ракеты и выброшенного вещества остается постоянной.

Поскольку масса т ракеты меняется в процессе ее движения, удобно рассматривать небольшой интервал времени Д^, в течение которого происходит выброс небольшого (по сравнению с массой ракеты т в некоторый промежуточный момент в интервале ДО количества Дтп про-

Рис. 32. Схема, поясняющая перемещение люльки маляра.

дуктов сгорания. Тогда величина mA у правильно описывает изменение импульса ракеты при увеличении ее скорости на А и. Обычно ракетные двигатели конструируются таким образом, как это изображено на рис. 31; продукты сгорания выбрасываются из сопла со значительной постоянной скоростью w относительно ракеты; тогда импульс, уносимый продуктами сгорания за время А£, равен u?Am. Закон сохранения импульса требует, чтобы в любой момент времени выполнялось соотношение

ш&т = тАи;

деля его на А^, получаем уравнение движения ракеты

kmДу

ш= т= та,

ДгДг

где а — мгновенное ускорение ракеты.

Большинство ракетных двигателей сконструировано так, что и скорость выброса из сопла ip и быстрота расхода горючего кт/kt остаются все время постоянными. Это означает, что реактивная сила тяги та также сохраняет постоянное значение, и ее можно принять в качестве характеристики ракетного двигателя. Ясно, кроме того, что стартовое ускорение ракеты имеет наинизшее значение; ускорение ракеты возрастает по мере расходования топлива.

Для иллюстрации рассмотрим следующий пример. Пусть начальная масса ракеты т0 = 100 Т = 10s кг и соответственно стартовый вес W = mog = 10е кгм/сек2 = = 10® Н, и пусть ракетный двигатель содержит 80 Т =

— 8 -104 кг топлива, которое сжигается в течение 100 сек и выбрасывается в виде продуктов сгорания в количестве Ят!М = 8-102 кг/сек. Имея эти данные, предлагается ответить на два вопроса:

Какова минимальная скорость w выброса продуктов сгорания из сопла, необходимая для того, чтобы оторвать ракету от земли? (Ответ: w должна превосходить 1,25-103 м/сек.)

Какое ускорение получит ракета в последний момент перед полным выгоранием топлива, если скорость выброса продуктов сгорания из сопла w = 1,5 -103 м/сек? (Ответ: а = 60 м/сек2 = 6 g.)

Читателю рекомендуется проверить свое понимание третьего закона Ньютона, в особенности утверждения о том, что действие и противодействие никогда не могут быть приложены к одному и тому же телу, рассмотрев силы взаимодействия в простой механической системе, изображенной на рис. 32.

Считая, что вся система находится в равновесии, вес человека и пустой платформы равен соответственно WЧeл и Wпл, и пренебрегая весом веревок, определите:

Силу F, с которой человек действует на свободный конец поддерживающего троса в точке 1. (Ответ: F = =4(^+wn,1).)

Силу, с которой натянут поддерживающий трос в точке закрепления подъемника 2. ^Ответ: W4ea + WM — -F.)

Силу, действующую на ось блока в точке 3. (Ответ: Wчeл Wпл.)

Рассмотрите затем случай, когда человек, собираясь подниматься вверх с ускорением g/4, вытягивает трос в точке 1 с нужной постоянной скоростью. Определите для этого случая силы в случаях «а», «б» и «в». (Ответы: a) F' = 5/8F; б) W4e^-W„4 - F'; в) 5/4 (Wчeл + WJ.)

Если предыдущая задача покажется слишком трудной, читатель может попробовать свои силы на другой. Двигатель реактивного самолета, летящего со скоростью 200 м/сек, ежесекундно засасывает 100 кг воздуха, расходует 4 кг топлива и выбрасывает 104 кг продуктов сгорания со скоростью 500 м/сек относительно самолета. Определите силу тяги двигателя. (Ответ: 3,2 *104 Н.)

ГЛАВА 6

Симметрия по отношению к обращению направления движения

Законы движения Ньютона в определенном смысле не различают прошлого и будущего времени. Рассмотрим столкновение очень общего характера, при котором возможна передача не только импульса, но и массы; тогда в результате столкновения двух объектов А и В возникают два новых объекта С и D. Такие процессы происходят, например, в ядерной физике: «выстрелив» по ядру гелия атомом азота, мы получаем в результате их столкновения ядро водорода и ядро кислорода. В этом процессе можно выделить начальное и конечное состояния, следующие во времени одно за другим; начальное состояние характеризуется значениями импульсов рл и рв, а конечное — значениями рс и ро. Закон сохранения импульса накладывает на эти импульсы условие

Рл + Рв = Рс+ Ро- <6Л)

Если бы мы засняли весь процесс столкновения на кинопленку и затем прокрутили фильм в обратном направлении, то увидели бы на экране обращенный процесс, в котором поменялись одновременно как порядок следования во времени начального и конечного состояний, так и направления всех скоростей. Именно в обращенном процессе вслед за начальным состоянием с импульсами — рс и — рдна экране возникнет конечное состояние, характеризующееся импульсами — Ра> — Ps (рис. 33) Замечательно здесь то, что обращенный процесс физически так же возможен, как и прямой; он может быть реализован в природе без нарушения законов движения Ньютона. Действительно, закон сохранения импульса (6.1) выполняется независимо от того, какое состояние считать начальным, а какое — конечным; он не нарушается также при одновременном изменении знака у всех импульсов.

Рис. 33. Симметрия по отношению к обращению движения. Если в природе реально существует прямой процесс, то возможен и обращенный.

В современной физике наблюдается тенденция к признанию этой и ряда других симметрий в качестве фундаментальных принципов, которые невозможно вывести на основе каких-либо более первичных постулатов. Действительно, приняв принципы симметрии, мы налагаем сильные ограничения на результаты возможных экспериментов и получаем тем самым средства для их предсказания.

Все известные в настоящее время экспериментальные данные, за исключением некоторых редких видов распада элементарных частиц (например, долгоживущих нейтральных К-мезонов — см. главу 23), согласуются со следующим постулатом о симметрии: если какое-либо состояние или процесс встречается в природе, то для него существует обращенное состояние или процесс, который

также может реализоваться в природе. В формулировку постулата предусмотрительно включено слово «может». Хотя в соответствии со всеми законами природы обращенный процесс возможен всегда, его реализация может оказаться в высшей степени маловероятной. Например, для того чтобы обратить все движения человека, ныряющего в бассейн, молекулам воды пришлось бы устроить «заговор»: импульсы всех молекул, обычно распределенные по направлениям случайным образом, должны были бы выстроиться так, чтобы вытолкнуть человека из воды. И хотя такое обращение движений не противоречит ни одному из динамических законов, оно требует случайного упорядочения направлений импульсов молекул, а это событие имеет настолько ничтожную вероятность, что практически нет никаких шансов на его осуществление в природе.

Ввиду того что обращение всех движений в данном процессе означает обращение направления времени, следует заключить, что динамические законы природы не могут объяснить наблюдаемого в природе избранного направления времени —* по крайней мере постольку, поскольку сами законы удовлетворяют принципу симметрии по отношению к обращению движений (иногда его называют обращением времени). Соответственно за объяснением направления времени, то есть различия между прошлым и будущим, следует обратиться к другим закономерностям.

В главе 13 мы покажем, как можно попытаться использовать с этой целью законы статистики.

Разберем на примере следствия, вытекающие из симметрии по отношению к обращению времени. Рассмотрим для этого движение объекта, брошенного под углом к поверхности Земли и снова падающего на нее спустя 8 сек (рис. 34). Если заснять это падение на пленку и затем просмотреть эту пленку с конца, можно получить представление об обращенном процессе. Требование, чтобы такой процесс был возможен в природе, приводит к выводу о том, что время подъема объекта на максимальную высоту должно быть равно времени его падения (в данном случае 4 сек). И на самом деле, если бы, скажем, время подъема в действительном процессе было меньше времени падения, то обращенный процесс был бы вообще невозможен, так как для него время подъема должно

прямой процесспрямой процессОбращенный процессОбращенный процессРис. 34. Симметрия по отношению к обращению времени в случае падения снаряда.Время подъема должно быть равно времени падения.Рис. 34. Симметрия по отношению к обращению времени в случае падения снаряда.Время подъема должно быть равно времени падения.

прямой процесс

прямой процесс

Обращенный процесс

Обращенный процесс

Рис. 34. Симметрия по отношению к обращению времени в случае падения снаряда.

Время подъема должно быть равно времени падения.

Рис. 34. Симметрия по отношению к обращению времени в случае падения снаряда.

Время подъема должно быть равно времени падения.

было бы превосходить время падения, что противоречит предположению о действительно происходящем процессе.

Другой пример симметрии относительно обращения движения дает нам прецессия тяжелого вращающегося волчка. Пусть, например, при быстром вращении по часовой стрелке возникает прецессия волчка против часовой стрелки вокруг вертикальной оси (рис. 35) за счет

Прямой процессПрямой процессОбращенный процессОбращенный процессОсь прецессииОсь прецессии

Прямой процесс

Прямой процесс

Обращенный процесс

Обращенный процесс

Ось прецессии

Ось прецессии

Р и с. 35. Прецессия тяжелого вращающегося волчка и обращен-ный процесс.

Ось собственного вращения, ось, относительно которой приложен момент сил тяжести, и ось прецессии в обоих случаях образуют правовинтовую систему (направление всех осей вращения, по принятому соглашению, таково, что наблюдатель с конца оси видит вращение происходящим против часовой стрелки).

Рис. 36. Пример состояния, не обладающего симметрией по отношению к обращению времени.Если векторы v2, v, и s образуют правовинтовую систему в реальном состоянии, обращенное состояние не может реализоваться в действительности, поскольку v , v. и s образуют левовинтовую систему.Рис. 36. Пример состояния, не обладающего симметрией по отношению к обращению времени.Если векторы v2, v, и s образуют правовинтовую систему в реальном состоянии, обращенное состояние не может реализоваться в действительности, поскольку v , v. и s образуют левовинтовую систему.Обращенное состояниеОбращенное состояние

Рис. 36. Пример состояния, не обладающего симметрией по отношению к обращению времени.

Если векторы v2, v, и s образуют правовинтовую систему в реальном состоянии, обращенное состояние не может реализоваться в действительности, поскольку v , v. и s образуют левовинтовую систему.

Рис. 36. Пример состояния, не обладающего симметрией по отношению к обращению времени.

Если векторы v2, v, и s образуют правовинтовую систему в реальном состоянии, обращенное состояние не может реализоваться в действительности, поскольку v , v. и s образуют левовинтовую систему.

Обращенное состояние

Обращенное состояние

действия силы тяжести, стремящейся повернуть волчок вокруг некоторой оси в горизонтальной плоскости. Тогда требования указанной симметрии означают, что при тех же внешних условиях быстрое вращение против часовой стрелки должно приводить к прецессии по часовой стрелке; эксперимент полностью подтверждает это предсказание.

В последние годы предпринималось много усилий по обнаружению возможных нарушений симметрии относительно обращения времени в области ядерной физики. Например, нарушение симметрии было бы установлено, если бы удалось наблюдать такой распад вращающегося ядра на два различных объекта / и 2 (рис. 36), при котором скорости v2, V! и направление вращения s (взятые именно в этом порядке) образовывали бы всегда правовинтовую систему (определение право- и левовинтовой систем дано ниже в дополнениях). Обращение всех движений приведет в этом случае к состоянию, в котором скорость n^ =—v2, vx =—Vj и направление вращения s' = —s (обратите внимание на порядок) образуют левовинтовую систему, а это состояние по предположению не может осуществляться в действительности. Пока эксперименты такого типа дали отрицательный результат: состояния, изображенные на рис. 36, не наблюдались.

Не так давно в связи с наблюдением распада долгоживущего нейтрального ЛГ-мезона (каона) на два л-мезона (пиона) возникли подозрения, что в этом процессе нарушается симметрия относительно обращения времени. Однако интерпретация этого эксперимента основана на весьма туманных рассуждениях, так что не все специалисты согласны с тем, что в нем действительно имеет место такое нарушение.

Дополнения

Термин правовинтовая система, упомянутый при рассмотрении рис. 35, возник следующим образом. Договорились строить прямоугольную систему координат так, чтобы указательный, средний и большой пальцы правой руки былй вытянуты в направлении координатных осей х, у и z соответственно. Легко убедиться в том, что никаким поворотом руки нельзя перевести эту систему в левовинтовую, у которой вдоль осей х, у и z направлены указательный, средний и большой пальцы левой руки.

На рис. 35 дано упрощенное описание движения тяжелого волчка (достаточное, правда, для наших целей в этой главе). В действительности конец оси вращения волчка описывает довольно сложную кривую на сфере с центром в точке опоры волчка. Детальный характер этой кривой зависит от многих факторов — угловой скорости вращения волчка, его массы и т. д.; пример такого сложного движения изображен на рис. 37. Угол прецессии оси вращения волчка определяется лишь как среднее по периоду нутации; максимальное и минимальное значения этого угла ограничены двумя окружностями, изобра-

Рис. 37. Пример кривой, которую описывает конец оси вращения тяжелого волчка на поверхности сферы с учетом точки опоры волчка.

женными на поверхности сферы (рис. 37). Нутация (то есть периодическое изменение угла прецессии волчка) отсутствует лишь иногда при специально подобранных условиях.

Если совместить требование симметрии относительно обращения движения с требованием симметрии относительно поворота системы координат, можно обнаружить, что закон сохранения импульса следует дополнить еще одним законом сохранения. Убедимся в этом на следующем примере.

Рассмотрим частный случай столкновения между двумя телами А и В —- так называемое упругое столкновение, при котором тела не испытывают никаких внутренних превращений и их массы тд и тв не меняются в процессе столкновения. По определению в системе центра масс импульсы рл и рв до столкновения должны быть равны друг другу по величине, но противоположны по направлению. Закон сохранения импульса требует, чтобы то же самое выполнялось для импульсов рл и рв после столкновения (графически это изображено на рис. 38), но закон сохранения не содержит никакой информации ни о значении угла рассеяния (угла между векторами рл и рл), ни о величине рл по сравнению с рл.

л»л»

л»

л»

Рис. 39. Процесс, полученный путем обращения процесса, изображенного на рис. 38.Рис. 39. Процесс, полученный путем обращения процесса, изображенного на рис. 38.Рис. 38. Гипотетическое упругое соударение двух масс тА и тв при условии сохранения полного импульса, описанное в системе центра инерции.Рис. 38. Гипотетическое упругое соударение двух масс тА и тв при условии сохранения полного импульса, описанное в системе центра инерции.ДоДоР/^)Р/^)Рис. 40. Процесс, изображенный на рис. 39, с точки зрения наблюдателя, повернутого на угол тс—а вокруг оси, перпендикулярной плоскости соударения.Рис. 40. Процесс, изображенный на рис. 39, с точки зрения наблюдателя, повернутого на угол тс—а вокруг оси, перпендикулярной плоскости соударения.ПослеПосле/ Область ^ ——^Лстолкнобенидг* Та \Гр8

Рис. 39. Процесс, полученный путем обращения процесса, изображенного на рис. 38.

Рис. 39. Процесс, полученный путем обращения процесса, изображенного на рис. 38.

Рис. 38. Гипотетическое упругое соударение двух масс тА и тв при условии сохранения полного импульса, описанное в системе центра инерции.

Рис. 38. Гипотетическое упругое соударение двух масс тА и тв при условии сохранения полного импульса, описанное в системе центра инерции.

До

До

Р/^)

Р/^)

Рис. 40. Процесс, изображенный на рис. 39, с точки зрения наблюдателя, повернутого на угол тс—а вокруг оси, перпендикулярной плоскости соударения.

Рис. 40. Процесс, изображенный на рис. 39, с точки зрения наблюдателя, повернутого на угол тс—а вокруг оси, перпендикулярной плоскости соударения.

После

После

ПослеПослеРис. 41. Процесс, изображенный на рис. 40, с точки зрения наблюдателя, повернутого на угол а вокруг оси, совпадающей с вектором Рд№)-Рис. 41. Процесс, изображенный на рис. 40, с точки зрения наблюдателя, повернутого на угол а вокруг оси, совпадающей с вектором Рд№)-v^~^x у pswv^~^x у pswд»

После

После

Рис. 41. Процесс, изображенный на рис. 40, с точки зрения наблюдателя, повернутого на угол а вокруг оси, совпадающей с вектором Рд№)-

Рис. 41. Процесс, изображенный на рис. 40, с точки зрения наблюдателя, повернутого на угол а вокруг оси, совпадающей с вектором Рд№)-

v^~^x у psw

v^~^x у psw

Предположим теперь, что рассеяние на любой угол а всегда приводит к изменению величины рд по сравнению с рд, например, такому, что рд > рд(р = |р| ). Покажем, что требование симметрии одновременно по отношению к обращению движения и повороту систем координат несовместимо с этим предположением.

Рассмотрим обращенный процесс, изображенный на рис. 39. Если предположить, что он не зависит от ориентации наблюдателя, то можно произвести сначала поворот системы координат на угол л—а относительно оси, перпендикулярной плоскости столкновения (результат изображен на рис. 40), а затем еще один поворот на угол л вокруг оси, совпадающей с вектором рд (7?) (рис. 41). В итоге мы получим процесс, который отличается от исходного тем, что вопреки сделанному предположению значение рд (7?) после рассеяния не больше, а меньше начального значения рд (7?), то есть рд (7?)< рд (7?). Этот факт означал бы нарушение симметрии относительно обращения движения.

В этом случае имеется единственный способ спасти указанную симметрию: следует предположить, что в упругом столкновении вообще не происходит изменения величины импульса тела, то есть рд = рд при рассея нии на любой угол а. Как мы увидим ниже (глава 9), это условие как раз совпадает с тем, которое налагается законом сохранения кинетической энергии, всегда справедливым для упругого столкновения.

Законы сохранения не предсказывают конкретного значения угла рассеяния а в столкновении двух тел.

Вообще для любого набора начальных импульсов рл , рв , ... сталкивающихся частиц обычно имеется много наборов конечных импульсов рс, рр, ... , рс, рЬ ... и т. д., совместимых с требованиями законов сохранения. Для предсказания результатов конкретного эксперимента по рассеянию необходимо знать, что происходит в самой области столкновения.

Взаимодействия, ответственные за рассеяние атомных частиц, таковы, что в лучшем случае можно указать лишь вероятность рассеяния в состояние с определенным набором импульсов рс, Ро> ... . В этих условиях симметрия по отношению к обращению движения приводит к более конкретному утверждению относительно таких вероятностей перехода — т^ак называемому принципу обратимости*, вероятность любого процесса рассеяния из состояния с начальными импульсами рд , рв , ... в состояние с конечными импульсами рс, Ро, ... равна вероятности обратного процесса, в котором начальными импульсами являются — рс, — Ро, а конечными —рд , —рв (соответствующие процессы изображены схематически на рис. 33).

При некоторых довольно жестких условиях принцип обратимости может обеспечить выполнение так называемого принципа детального баланса — равенства вероятностей прямого и обратного процессов, если понимать под обратным процесс, в котором по сравнению с исходным изменена только последовательность начального и конечного состояний, в то время как направление всех движений сохранено неизменным.

Покажем, что из принципа обратимости, вообще говоря, не вытекает принцип детального баланса, то есть вероятности обращенного и обратного процессов (в указанном выше смысле) не равны друг другу. Рассмотрим для этого столкновение между сферическим телом А и несферическим телом В, поверхность которого, как показано на рис. 42, имеет выпуклую и вогнутую стороны. Если в исходном процессе тело В ориентировано так, что тело А соударяется с вогнутой стороной В. то это же будет справедливо для обращенного процесса. В обратном процессе тело А будет соударяться с выпуклой стороной тела В. В исходном процессе тело А в результате столкновения могло в течение некоторого времени двигаться

Рис. 42. Соударение между сферическим телом Л и несферическим телом В в системе центра инерции: прямой, обращенный и обратный процессы.

«внутри» В, составляя с ним как бы единое целое, и лишь затем покидать его, получая импульс рл; в обратном процессе контакт тел А и В может быть только мгновенным. Разумеется, нет никаких оснований считать вероятности этих двух процессов равными.

Читателю предлагается с помощью чисто геометрических рассуждений доказать следующую теорему: если сталкиваются две сферические, но вращающиеся частицы, у которых направления осей вращения в начальном и конечном состояниях лежат в плоскости, построенной на векторах импульсов, и если предполагается наличие симметрии столкновения по отношению к вращению системы координат, то принцип обратимости обеспечивает выполнение принципа детального баланса. (Для доказательства следует изобразить графически импульсы и направления осей вращения для исходного, обращенного и обратного процессов и затем заметить, что изображение обращенного • процесса можно получить, повернув изображение обратного процесса на угол л вокруг оси, перпендикулярной плоскости, образованной векторами импульсов частиц.)

ГЛАВА 7

Вращения по отношению к ньютоновским системам отсчета

Все давно привыкли к тому, что кажущееся вращение звездного неба объясняется вращением Земли вокруг своей оси. Но почему мы все-таки предпочитаем говорить, что Земля вращается относительно удаленных звезд, а не наоборот, удаленные звезды вращаются вокруг земной оси? Диктуется ли выбор системы отсчета, в которой большинство объектов не находится в состоянии вращения, соображениями значительного удобства или, помимо эстетических, имеются еще и другие, физические критерии, согласно которым собственное вращение Земли является «истинным», тогда как суточное перемещение звезд — «кажущимся»?

Эти вопросы содержат спорные аспекты, связанные с тем, что удаленные звезды считаются ньютоновской системой отсчета и вращение Земли и других планет по отношению к ним должно приводить к так называемым эффектам инерции. Такие эффекты могут быть обнаружены обитателями даже тех планет, на которых из-за постоянной облачности или по какой-либо другой причине не может развиваться оптическая астрономия (то есть, попросту говоря, никаких удаленных звезд не видно).

Теперь попытаемся выяснить, возможно ли в принципе ответить на вопрос о том, что же в действительности вращается, а что нет, или имеет смысл говорить лишь об относительном вращении Земли и удаленных звезд, так что выбор системы отсчета становится просто делом удобства. Прежде всего полезно перечислить некоторые эф-

фекты инерции, возникающие при вращении относительно ньютоновской системы отсчета.

Если объект массы т движется с постоянной скоростью v по окружности радиусом г (имея при этом центростремительное ускорение ац = и^/г) и если это вращение происходит относительно ньютоновской системы отсчета, на объект должна действовать центростремительная сила

(7.1)(7.1)Гу2

(7.1)

(7.1)

направленная к центру вращения.

Сила реакции, с которой объект действует на тела, сообщающие ему центростремительное ускорение, называется центробежной силой; по величине она равна Fu, но направлена в противоположную сторону — от центра вращения. Например, объект, находящийся на экваторе и движущийся вместе с Землей (период обращения Т = = 1 сут = 8,64-104 сек, радиус R = &,4-106 м), испытывает центростремительное ускорение

4тс2Д^24тс2Д^24 • 10 • 6,4 • 10е(8,64)2 • 1084 • 10 • 6,4 • 10е(8,64)2 • 108« 3,4 • 10"2 м/сек2.« 3,4 • 10"2 м/сек2.(7.2)(7.2)

4тс2Д^2

4тс2Д^2

4 • 10 • 6,4 • 10е

(8,64)2 • 108

4 • 10 • 6,4 • 10е

(8,64)2 • 108

« 3,4 • 10"2 м/сек2.

« 3,4 • 10"2 м/сек2.

(7.2)

(7.2)

Соответственно вес объекта W = mg уменьшается на величину центробежной силы Еп = тап) так что результирующая сила, с которой объект действует на опору, становится равной W’ = т ^g—a^. Этот эффект мал (ац с^ ~ 3,4-10~3g), однако его все же можно наблюдать — благодаря ему, например, Земля сплюснута вблизи полюсов и соответственно расширена вблизи экватора.

Объекты, падающие с некоторой высоты в любой точке Земли (кроме ее полюсов), отклоняются к востоку. Наглядно причину этого эффекта можно пояснить так. Пусть на экваторе стоит башня высотой h (рис. 43); скорость, с которой движется основание башни, иц = ^R/T, тогда как скорость ее вершины иц_^ = 2л (R+h)/T*t

Рис. 43. Отклонение к востоку объектов, брошенных с башни высотой h,.

обе скорости вследствие вращения Земли направлены с запада на восток. Следовательно, покоящийся на вершине башни объект имеет по отношению к ее основанию горизонтальную составляющую скорости, направленную к востоку и равную по величине

увост = Ун^п ^R 6=1 р *(^*3)

Пренебрегая медленным вращением вместе с Землей локальной горизонтали и вертикали, можно оценить смещение объекта к востоку за время его падения t;

й = ^вост * ^*(7.4)

Время падения t определяется только ускорением свободного падения g и высотой башни h — см. формулы (2.9) j и (2.13):I

t = V2Wg(7.5) J

Подставляя выражения (7.3) и (7.5) в уравнение (7.4), ) получаем

й«з;^1у2г§=ну^г8у2ын.(7.6)

Например, при высоте башни 100 м смещение составляет d 3 см.I

Плоскость колебаний свободно подвешенного маятника испытывает медленное вращение относительно поверхности Земли. Это явление было впервые замечено Вивиани (1622—1703) около 1650 года, однако оставалось неясным в течение двухсот лет, пока французский физик Фуко (1819—1868) не повторил этот эксперимент, дав его полное теоретическое объяснение. Легче всего понять поведение маятника Фуко в частном случае, когда он подвешен над Северным полюсом. При этом направление локальной вертикали относительно ньютоновской системы отсчета не меняется при вращении Земли с запада на восток, однако плоскость колебаний маятника, фиксированная относительно ньютоновской системы отсчета, совершает кажущееся вращение с востока на запад относительно земной поверхности, причем скорость этого вращения равна скорости вращения Земли.

В более низких широтах движение маятника Фуко осложняется прецессией локальной вертикали, происходящей вследствие вращения Земли. В результате скорость вращения плоскости колебаний уменьшается, и эффект полностью исчезает на экваторе. Поведение маятника Фуко — одно из проявлений более общего случая— эффекта Кориолиса^ к рассмотрению которого мы сейчас перейдем.

Свободно движущийся объект, имеющий перпендикулярную оси вращения компоненту скорости и, отклоняется по отношению к вращающейся системе координат. Например, если объект движется с Северного полюса по меридиану на юг, то по прошествии времени t он пройдет в радиальном направлении расстояние г = ut, однако по отношению к поверхности Земли объект покажется смещенным к западу на расстояние d, пройденное за время t точкой меридиана, отстоящей от полюса на величину г (рис. 44); именно

(7.7)

Таким образом, для вращающегося наблюдателя объект ведет себя так, как если бы он имел постоянное горизонтальное ускорение, называемое ускорением Кориолиса и равное

Р-8)

Рис. 44. Эффект Кориолиса, который испытывает объект, движущийся с Северного полюса на юг со скоростью и.Рис. 44. Эффект Кориолиса, который испытывает объект, движущийся с Северного полюса на юг со скоростью и.t =2 иt =2 и

Рис. 44. Эффект Кориолиса, который испытывает объект, движущийся с Северного полюса на юг со скоростью и.

Рис. 44. Эффект Кориолиса, который испытывает объект, движущийся с Северного полюса на юг со скоростью и.

t =2 и

t =2 и

Уравнение (7.7) можно рассматривать тогда как частный случай формулы (2.9).

Вводя понятие угловой скорости, измеряемой в радианах в секунду (рад/сек) и определяемой как

(о = -^- (размерность Г"1),(7.9)

можно записать выражение (7.8) в удобной форме:

aKop=2toU-(7-10)

Например, угловая скорость собственного вращения Земли равна

о) =« 7,3 • Ю'6 сек-1, (7.11)

8,64 • Ю4

так что ускорение Кориолиса на поверхности Земли никогда не превосходит

аКор«1,5.10-^.(7.12)

В частности, снаряд, движущийся со скоростью и = = 102 м/сек, обладает ускорением Кориолиса, равным «кор « 1,5.10-® g.

Если мы хотим обеспечить движение объекта массы т строго по меридиану, необходимо подействовать на него силой, направленной к востоку (западу), если тело дви- 102

3

Ось прецессии

Рис. 45. Гироскопический эффект, который испытывает велосипедное колесо, подвешенное так, что сила тяжести создает вращающий момент.

жется на юг, и к западу (востоку), если оно движется на север, соответственно в северном (южном) полушарии. На устройство, ограничивающее движение тела, само это тело будет воздействовать с равной по величине, но противоположно направленной силой — так называемой силой Кориолиса /кор = ^«кор- Например, река, текущая в северном полушарии с юга на север, за счет силы Кориолиса будет сильнее размывать свой правый (восточный) берег. Характер циркуляции постоянных течений в океанах и в атмосфере также определяется эффектом Кориолиса. Для быстро движущихся объектов (например, искусственных спутников Земли), орбита которых проходит в полярной плоскости (то есть перпендикулярно плоскости экватора), эффект Кориолиса сильно возрастает и его легко наблюдать по значительному отклонению орбиты этих объектов относительно Земли.

Вращение Земли по отношению к ньютоновским системам отсчета используется для целей инерциальной навигации с помощью устройства, называемого гирокомпасом и основанного на гироскопическом эффекте. Это легко продемонстрировать на следующем простом опыте (рис. 45). Пусть тело вращается вокруг оси 7 и на ось вращения действует сила, стремящаяся повернуть ее во-

Р ис. 46. Идея устройства гирокомпаса.

Вращение Земли с запада на восток создает вращающий момент вокруг осисевер — юг. Гироскоп будет прецессировать вокруг оси 3 до тех пор, покаось собственного вращения 1 не установится вдоль оси 2, относительно кото-рой сила создает вращающий момент. Таким образом, гироскоп стремитсяустановить ось вращения вдоль оси вращения Земли.

Рис. 47. Две половинки массы Земли подвергаются действию двух гравитационных сил притяжения Fi и F^ со стороны Солнца (Fi > F^Y

Результирующий момент этих сил приводит к прецессии оси собственного вращения Земли.

круг оси 2, перпендикулярной оси 7, в результате объект будет прецессировать вокруг оси 5, перпендикулярной обеим осям 7 и 2. Согласно принятым соглашениям, оси 7, 2 и 3 образуют правовинтовую систему. Итак, пусть тело закручено вокруг горизонтальной оси 7 и установлено так, что оно может прецессировать только вокруг вертикальной оси 3 (рис. 46). Тогда вращение Земли создаст вращающий момент, стремящийся повернуть ось 7 вокруг второй горизонтальной оси 2 до тех пор, пока ось 7 не установится вдоль оси 2, указывая при этом на север. В этом состоит идея гирокомпаса, однако осуществить ее на практике далеко не так просто (например, если требуется установить гирокомпас на корабле, подверженном качке). Гироскопический эффект находит целый ряд приложений и в. астрономии. Например, Земля сама является гироскопом, подверженным действию сил притяжения со стороны Солнца и Луны; эти силы создают вращающий момент вследствие сплющенной формы Земли, обязанной неравномерному распределению ее массы (рис. 47). В результате ось вращения Земли прецессирует вокруг оси, перпендикулярной плоскости эклиптики, с периодом 2,6 • 104 лет. Поэтому через 13 000 лет звездное небо будет казаться астрономам повернутым примерно на 46° по сравнению с его теперешним положением, однако спустя еще 13 000 лет картина полностью восстановится.

Если гироскоп закреплен так, что может свободно вращаться вокруг трех взаимно перпендикулярных осей, он будет сохранять направление оси собственного вращения по отношению к ньютоновской системе отсчета; поэтому нам будет казаться, что гироскоп движется относительно вращающейся Земли. Таким образом, ось вращения свободного гироскопа будет всегда направлена на одну и ту же звезду (если можно пренебречь собственным движением звезды в ньютоновской системе отсчета). Этот эффект можно использовать для ориентирования космических кораблей.

Последний пример снова приводит нас к вопросу о природе эффектов инерции. Если бы Земля была постоянно закрыта облаками, наблюдатель неизбежно попытался бы объяснить «странное» движение свободного гироскопа относительно Земли, привлекая идею Ньютона о существовании некоего таинственного абсолютного пространства, относительно которого вращается Земля. Действительно, любые попытки найти какую-либо видимую причину, вызывающую движение оси гироскопа, оказались бы тщетными. Однако, если бы облачность неожиданно пропала и обнаружились звезды, движение которых по отношению к Земле оказалось бы совпадающим с движением оси свободного гироскопа, наблюдатель с той же неизбежностью пришел бы к выводу о том, что причиной необъяснимого прежде поведения гироскопа являются звезды. Эта идея известна под названием принципа Маха; локальные инертные свойства любого объекта определяются, вообще говоря, распределением и движением масс во всей Вселенной.

Мах не указал, какого типа взаимодействия могут быть ответственны за свойства инертности. Время от времени делаются попытки поставить принцип Маха (который является пока не более чем программой) на количественную основу. Для этого конструируются космологические модели, в которых инертные свойства объясняются тем или иным видом взаимодействия между локальными объектами и удаленными звездами. В большинстве случаев в качестве такого взаимодействия используется гравитация, такой выбор весьма естествен ввиду неизменной пропорциональности инертной и гравитационной масс.

Однако каждый из этих подходов в определенном смысле ограничен. В частности, никому еще не удалось создать космологическую модель, последовательно учитывающую принцип Маха и принцип существования предельной скорости (равной скорости света в вакууме), с которой могут распространяться импульс и другие динамические величины. Кроме того, любое поле, которое призвано объяснять силы инерции (центробежную или кориолисову), неминуемо должно быть понятием в высшей степени фиктивным. В самом деле, при попытке описать такое поле в ньютоновской системе отсчета оно полностью исчезает во всем пространстве, то есть за счет указанного преобразования оно может быть исключено из рассмотрения.

Рис. 48. Зависимость центробежных эффектов от широты у.

Это свойство до известной степени присуще и статическому гравитационному полю, которое можно локально исключить путем преобразования к локально инерциальной системе отсчета. Наконец, сомнения в справедливости принципа Маха могут возникнуть в связи с законом сохранения момента импульса, которому посвящена следующая глава.

Дополнения

Центростремительное ускорение точки, расположенной на поверхности вращающейся Земли на широте ф, уменьшается в совф раз по сравнению с его значением ац на экваторе. Это происходит потому, что на этой ши- Еоте расстояние до оси вращения равно R cos ф (рис. 48). оответственно центростремительная сила равна Fu = = znaucos ф, и ее направление образует угол ф с вертикалью. Таким образом, линия отвеса на широте ф установится не по направлению к центру Земли, но в направлении результирующей силы W', равной векторной сумме силы притяжения W и центробежной силы Рц.

Читателям, которые предпочитают геометрический способ рассуждений, предлагается испытать свои силы

и наити выражение для угла а между линиеи отвеса и геометрической вертикалью, совпадающей с направлением радиуса сферического тела -— Земли

(Ответ:

Еп sin ср Ец sin ф ац

tg а = —7—=« —— =cos ф sin ф.)

6 W — Ец cos ф W g т т 7

Поскольку отношение a^/g « 3,4 • 10“, максимальный угол отклонения отвеса на широте 45° составляет величину порядка 1,7 -Ю"3 рад. Заметим, что горизонтальная составляющая центробежной силы равна Fu зтф = тацХ Х81Пф СО8ф.

Эффект вращения, который заставляет падающие тела отклоняться к востоку, можно проанализировать более точно, чем это сделано в примере б) главы 7, однако подобный анализ выходит за рамки этой книги. Для смещения d тела, брошенного с башни высотой Л на широте ф, вместо формулы (7.6) можно получить следующее выражение!

,21/2^

a = со cos ф у — .

Например, при ф = 40°, 1г = 100 м смещение составляет d = 1,6 см.

Кроме того, при падении тела в северном полушарии наблюдается небольшое кориолисово отклонение к югу, которое происходит благодаря тому, что начальная скорость тела относительно Земли направлена на восток. Однако этот эффект пропорционален о>2 и ввиду малости величины (о трудно наблюдаем.

Рис. 49. Циркуляция воздуха вокруг области низкого давления в северном полушарии (против .часовой стрелки).

Рис. 50. Прецессия лунной орбиты вокруг Земли за счет вращающего момента удаленного Солнца.

Стрелка а указывает линию пересечения плоскости .'лунной орбиты с плос костью эклиптики; эта линия прецессирует вокруг оси з.

такой же эффект имеет место при выпускании покоящейся массы воды из резервуара, причем в Австралии она движется по часовой стрелке, а в Англии — против нее.

Эффект Кориолиса способен привести к боковому износу рельсов на железной дороге, проходящей с севера на юг, особенно вблизи экватора. Пусть, например, поезд массой 500 Т = 5 -105кг, находясь на широте 60°, движется со скоростью и = 40 м/сек на север, так что компонента его скорости, перпендикулярная оси вращения Земли, составляет uv = 20 м/сек. Чему равно кориолисово ускорение поезда и с какой силой Кориолиса действует поезд на рельсовый путь ребордами своих колес? (Ответ; акор^ЗЛО"3 м/сек2, FKop = 1,5 *103 Н.)

Ось лунной орбиты вокруг Земли также прецессирует с периодом 18,6 года. Этот эффект имеет гироскопическую природу, механизм его таков. Плоскость лунной орбиты вокруг Земли наклонена к плоскости эклиптики (орбиты вращения Земли вокруг Солнца) под углом около 5°. С точки зрения наблюдателя на Солнце, усредняющего свои наблюдения за большие промежутки времени, масса Луны распределена по вращающемуся вокруг Земли кольцу, причем плоскость его вращения составляет 5° с плоскостью эклиптики. Гравитационное притяжение Солнца стремится вернуть это кольцо в плоскость эклиптики, что приводит к гироскопическому эффекту, который проявляется в прецессии оси вращения кольца вокруг оси 3 (рис. 50), перпендикулярной плоскости эклиптики. Следовательно, с тем же периодом прецессии будут вращаться и точки пересечения лунной орбиты с плоскостью эклиптики. Теперь можно понять, почему полное солнечное затмение является столь редким событием: оно требует, чтобы Луна пересекла плоскость эклиптики именно в тот момент, когда это пересечение окажется на радиус- векторе, соединяющем Солнце и Землю.

ГЛАВА 8

Закон сохранения момента импульса

К представлению о другой динамической характеристике объектов, называемой моментом импульса, можно прийти путем анализа следующего простого эксперимента (рис. 51). Протягивая через трубочку нить, на которой укреплено тело массы т, движущееся по окружности, мы можем изменять его расстояние г до центра этой окружности; при этом мы заметим, что скорость движения тела v изменится, но так, что произведение гр = г2<о останется неизменным. Другое такого же типа наблюдение составляет содержание второго закона Кеплера (его формулировка дана в главе 3). С другой стороны, если поддерживать значение радиуса г постоянным, произведение ги может измениться только в том случае, если существует мгновенная тангенциальная компонента Ft силы, дейст-

Р и с. 51. Простое экспериментальное проявление закона сохранения момента импульса.

Если центробежная сила, с которой масса тм действует на массу М, недостаточна для уравновешивания М, радиус г будет медленно уменьшаться. Можно заметить, что произведение гу = г2ш сохраняет постоянное значение.

J

Рис. 52. Определение вектора момента импульса J.

Вектор J параллелен мгновенной оси вращения, причем направление J связано с направлением движения тела правилом правого буравчика.

вующей на тело массы т; при этом возникает мгновенное изменение тангенциальной компоненты импульса ти.

Очевидно, имеет смысл ввести физическую величину, называемую орбитальным моментом импульса J относительно центра и равную

J = тги = mr^w (размерность ML2T^) (8.1) Здесь г — расстояние до центра вращения, v — компонента скорости в направлении, перпендикулярном г. Любое изменение вновь введенной величины можно описать как результат действия момента силы М, равного по абсолютному значению

М = rF(.(8.2)

Обе величины J и М изображаются обычно как векторы (рис. 52), причем мгновенное направление движения объекта связано с направлением J правилом правого винта; тем же правилом связаны между собой сила, действующая на объект, и создаваемый ею вращающий момент. По аналогии со вторым законом Ньютона можно сказать, что скорость изменения момента импульса равна приложенному моменту сил:

4г= М(8.3)

Это согласуется с разобранными выше примерами гироскопического эффекта (рис. 35 и 46).

В рассуждениях, которые привели нас к уравнению (8.3), таится соблазн рассматривать это уравнение как частный случай второго закона Ньютона Действительно,

приняв для орбитального движения определения (8.1) и (8.2), из того же закона можно вывести уравнение (8.3). Однако дело в том, что запись момента импульса в форме (8.1) не всегда справедлива. В частности, в атомной физике понятие момента импульса в качестве динамического свойства объектов возникло совершенно независимо от их механического движения; это свойство может проявляться по-разному, например в качестве спинового (или внутреннего) момента импульса элементарных частиц. Спину невозможно приписать наглядный смысл вращательного движения объекта конечных размеров, поскольку это неизбежно привело бы к движению материи со скоростью, намного превосходящей скорость света. Соответственно понятие вращающего момента имеет смысл более общий, чем определенный формулой (8.2). Его следует представлять себе как меру локальной передачи момента импульса, и только в частном случае орбитального движения это понятие допускает трактовку в качестве момента силы.

Свойство момента импульса проявляться в различных формах —- например, в форме орбитального или внутреннего момента импульса (спина) — аналогично свойству другой динамической характеристики объектов — энергии. Действительно, энергия (и это будет показано в следующей главе) может также проявляться в различных формах: кинетической, потенциальной, энергии покоя и т. д.

Второй закон движения Ньютона был истолкован нами как выражение закона сохранения импульса; с этой же точки зрения можно подойти и к анализу физического смысла уравнения (8.3). Его можно трактовать как количественное определение понятия вращающего момента; далее по аналогии с третьим законом Ньютона можно сформулировать независимый закон сохранения момента импульса: любое изменение полного момента импульса объекта (включая орбитальный и спиновый моменты) означает наличие в данной точке поля, способного к переносу орбитального и (или) спинового момента импульса и передающего его локально данному объекту, причем

J (поля) + J (объекта) = const. (8.4)

Следует еще раз подчеркнуть, что закон сохранения момента импульса, вообще говоря, не следует из законов

движения Ньютона: его надо рассматривать как один из основных законов природы, независимый от закона сохранения импульса. Только в частном случае движения точечных масс по окружности закон сохранения момента импульса вытекает из законов Ньютона.

Момент импульса обладает очень интересным свойством, которое впервые открыл Бор (1913 год): эта величина всегда оказывается квантованной. Последнее означает, что если измерять компоненту момента импульса (отличного от нуля) вдоль любой оси, то можно обнаружить наличие минимального значения момента импульса, не поддающегося дальнейшему уменьшению, точнее, любое изменение измеряемой компоненты может составлять лишь целое, кратное этой минимальной величине, которая обозначается буквой ft* и равна

h = 1,05 • 10“27 г • см2/сек = 1,05 • КУ*34 кг • м2/сек. (8.5)

Например, измерение любой компоненты спина электрона — самой малой электрически заряженной частицы — всегда приводит к одному из двух значений +ft/2 или —ft/2; разность между ними в точности равна h Кратко этот результат выражают словами: спин электрона равен ft/2.

Свойство квантования момента импульса является уникальным Другие динамические величины (например, импульс) также могут быть квантованы, и это можно обнаружить при соответствующих условиях, однако квантование не является категорическим требованием. Даже в атомной физике другие динамические переменные могут в принципе иметь непрерывный спектр возможных значений. Внутренний момент импульса служит также важным отличительным свойством, согласно которому все элементарные частицы разделяются на два основных семейства: все частицы, имеющие полуцелый спин У2й, 3/2ft, ... , называются фермионами, а все частицы с целыми спинами 0, ft, 2ft, ... — бозонами. Это деление связано с фундаментальным различием свойств этих частиц, мы обсудим этот вопрос более подробно в главе 23.

рис. 53. Сближение наблюдателем двух масс, вращающихся с угловой скоростью wi на расстоянии п от центра (описание в ньютоновской системе отсчета).

При этом не возникает никаких тангенциальных сил, момент сил равен нулюи момент импульса сохраняется.

Весьма поучительно разобрать эксперименты, в которых проявляется закон сохранения момента импульса, с точки зрения наблюдателя, вращающегося с угловой ско ростью («! относительно ньютоновской системы отсчета. Пусть, например, в системе отсчета, связанной с неподвижным наблюдателем О, два объекта с массами т/2 вращаются по окружности радиусом гх (рис. 53); тогда в ньютоновской системе отсчета имеется момент импульса, равный тг^^ Пусть теперь наблюдатель О сводит обе массы на расстояние г2 от центра окружности, как показано на рис. 53; тогда угловая скорость возрастет до величины ш2, так что в ньютоновской системе отсчета

JT = тД (ох = тг^ (о2 = JT (8.6)

Однако с точки зрения наблюдателя О', вращающегося относительно ньютоновской системы отсчета с угловой скоростью с^ (рис. 54), начальное значение момента импульса исчезает, Jx = 0; в конце эксперимента появляется момент импульса, равный J2 = ^г2о> , где со = (о2—Ох. Пользуясь уравнением (8.3), вращающийся наблюдатель должен предположить наличие какого-либо вращающего момента, ответственного за наблюдаемое изменение момента импульса. Действительно, необходимую для этого тангенциальную компоненту обеспечивает сила Кориолиса, с которой массы при сведении на расстояние г2 воздействуют на руки наблюдателя

Рис. 54. Эксперимент, изображенный на рис. 53, с точки зрения наблюдателя, вращающегося с угловой скоростью wj. Сила Кориолиса создает вращающий момент, причем МКор= АГ/At.

Этот опыт вновь демонстрирует фиктивную природу силы Кориолиса: ее можно рассматривать как формальную конструкцию, с помощью которой уравнение (8.3) можно распространить и на ньютоновские системы от-, счета. *

С операциональной точки зрения, по-видимому, пред-| почтительно принять постулат о существовании выделенных систем отсчета, а именно таких, в которых полный момент импульса Вселенной равен нулю, и отождествить их с ньютоновскими системами отсчета. Видимое совпадение этих систем с такими, в которых Вселенная не имеет выраженного крупномасштабного орбитального движения, может считаться проявлением того факта, что орбитальные и спиновые моменты всех объектов Вселенной, складываясь независимо друг от друга, дают очень малые ВеЛИЧИНЫ Jop6 И JcnHH > Причем Jop6 “Ь^спин ^ 0.

Дополнения

Закин сохранения момента импульса может создать трудности в работе космонавтов. Пусть космонавт, масса которого М = 100 кг, связан тросом с космической капсулой (радиус которой г0 = 2 м) и работает в открытом космосе на расстоянии г = 200 м от капсулы. Предположим, что он не заметил малой утечки из портативного ракетного двигателя, укрепленного за его спиной; пусть утечка вызывает тангенциальную силу тяги, равную Ft = 1 Н, и соответствующее тангенциальное ускорение,

равное at = F/M = 10“ м/сек = 10“ g. Этих данных достаточно для того, чтобы найти тангенциальную компоненту скорости и орбитальный момент импульса, приобретенные космонавтом относительно космического корабля через 5 мин = 300 сек. (Ответ: и = 3 м/сек, J = = 6-10 кг-м2/сек.)

Пусть теперь космонавт приближается к кораблю, постепенно выбирая трос. Закон сохранения момента импульса приводит к тому, что с уменьшением радиуса вращения космонавта его тангенциальная скорость возрастет (оставаясь все время обратно пропорциональной радиусу). Приблизившись к кораблю вплотную (то есть сократив радиус вращения до значения г0 = г/100), космонавт достигнет катастрофически большой тангенциальной скорости движения v0 = 100v = 300 м/сек, равной примерно скорости звука в воздухе. В этом случае космонавт не сможет попасть на корабль из-за резкого возрастания центробежной силы. Интересно рассчитать следующие величины:

центростремительное ускорение на расстоянии г= =200 м (ответ: ац = 4,5-10“2 м/сек2);

расстояние rg1 при котором центростремительное ускорение равно ац = 10 м/сек2 = g, так что центробежная сила (сила реакции, с которой космонавт действует на трос) равна весу W космонавта на Земле (ответ: г„ ^ « 33 м);

центростремительное ускорение и центробежную силу при г0 = 2 м (ответ: дц = 4,5-104 м/сек2, Рц = = 4500- W\

Таким образом, где-то между 30 и 20 м, отделяющими космонавта от корабля, он, по-видимому, полностью потеряет контроль над своей дальнейшей судьбой, трос будет со все возрастающей скоростью закручиваться вокруг корабля и в конце концов лопнет под действием центробежного натяжения, в результате чего космонавт будет запущен на собственную орбиту, став еще одним искусственным спутником Земли.

частица массой m2— на расстояние г2, полный момент импульса тела будет

J= ^г^ + таГз +

Сумму

0 = т^ + т^ + ...

называют моментом инерции тела. Для однородных (то есть имеющих всюду одинаковую плотность) и симметричных тел простой формы можно получить более удобные выражения для 0, однако методы такого расчета выходят за рамки нашей книги. Например, момент инерции твердой сферы радиусом Я, имеющей постоянную плотность и полную массу М и совершающей вращение вокруг оси, проходящей через ее центр, равен

0 = — MR4

5

Читателю предлагается, используя это выражение, оценить угловую и тангенциальную скорости точки на экваторе сферической элементарной частицы массой т = = 10~30 кг и радиусом г = 10“14 м, если считать применимым для этого случая уравнение (8.1) и рассматривать спин частицы J = й,/2 как результат ее вращения. (Ответ: (о = 1,25-1024 сек-1, и = 1,25-1010 м/сек, что намного превосходит скорость света в вакууме.)

Закон сохранения момента импульса означает, что направление и величина вектора J не меняются по отношению к ньютоновской системе отсчета, если на тело не действуют внешние силы (например, если тело свободно падает и можно пренебречь приливными эффектами). Это, однако, не означает, что в ньютоновской системе отсчета сохраняется неизменным также направление угловой скорости со. В действительности, за весьма редким исключением, мгновенная ось вращения <о прецессирует вокруг направления момента импульса тела, что приводит к «кувырканию» тела в полете. Читатель сам может убедиться в этом, наблюдая за падением на Землю спичечного коробка, щелчком подброшенного и закрученного вокруг главной диагонали (рис. 55).

Рис. 55. Угловая скорость со и момент импульса J свободно падающего спичечного коробка, закрученного вокруг главной диагонали.

Дальнейшие эксперименты со спичечным коробком или теннисной ракеткой покажут, что у этих тел существует по две так называемые главные оси инерции. совпадающие с осями симметрии. Эти оси обладают тем свойством, что вращение вокруг них устойчиво, то есть векторы (о и J совпадают по направлению в течение всего движения и никакого «кувыркания» не происходит. Вращение вокруг третьей оси симметрии неустойчиво; это означает, что если тело первоначально закрутить вокруг этой оси (w и J параллельны), то в процессе движения вектор <о начнет прецессировать вокруг вектора J со все возрастающей амплитудой, что неизбежно приведет к «кувырканию» тела в полете (соответствующие случаи движения изображены на рис. 56).

Орбитальный момент импульса спутника массой т. движущегося по круговой орбите радиусом г вокруг гравитирующего центра массой М. пропорционален квадратному корню из г. Это следует из закона всемирного тяготения Ньютона, согласно которому центростремитель-

УстойчибоУстойчибоНеусгпойчибоНеусгпойчибо

Устойчибо

Устойчибо

Неусгпойчибо

Неусгпойчибо

Рис. 56. Устойчивые и неустойчивые оси свободного вращения (главные оси инерции) спичечного коробка и теннисной ракетки

ное ускорение и^/т спутника равно GM/r\ так что иг = = ]/ GMr, а орбитальный момент импульса

/ = тит = mV GMr.

Интересно сравнить орбитальный момент импульса планеты Юпитер (т я IO"3 М, М я 2 -Ю30 кг, г я 8 -10й м) с собственным моментом импульса Солнца ^q= -^MR2^ (мы считаем Солнце твердым телом, масса которого равна М, радиус R « 7 -108 м, период собственного вращения — около 25 сут,, то естьо) « ЗЛО*6 сек*1). Простой расчет показывает, что полный момент импульса Солнечной системы связан в основном с движением массивных внешних планет — Юпитера и Сатурна. (Ответ: J^nvn ^ ~ 16 J©.)

Рис. 57. Эффект Тирринга.

Сфера массой М и радиусом R вращается с угловой скоростью <о по отношению к удаленным звездам; в результате вращения вблизи центра сферы создается центробежное ускорение, равное примерно <uar*(GM/c4RV

Если верна теория гравитации Эйнштейна, то вращение полой сферы массой М и радиусом R по отношению к удаленным звездам (то есть но отношению к ньютоновской системе отсчета) должно приводить к возникновению вблизи ее центра гравитационного эффекта, напоми; нающего проявление центробежных и кориолисовых сил инерции; этот эффект впервые был предсказан австрийским физиком Тиррингом в 1920 году Дело обстоит так, как если бы вращающаяся сфера слегка увлекала за собой локальную инерциальную систему в своем центре, заставляя ее вращаться с малой угловой скоростью относительно ньютоновской системы отсчета. Точнее, если сфера вращается с угловой скоростью ш (рис. 57), то объект, расположенный на расстояний г от ее центра и не вращающийся по отношению к удаленным звездам, испытывает центростремительное ускорение, равное

а — Ъ (о2 г,

где b GM/c^R, ас — скорость света

Для любой сферы разумных размеров множитель b очень мал, и поэтому эффект Тирринга никогда не подтверждался лабораторным экспериментом. Существует, однако, точка зрения, согласно которой для наблюдателя, вращающегося по отношению к ньютоновской системе отсчета, удаленные звезды напоминают гигантскую вращающуюся сферу, и этот факт привлекается для объяснения наблюдаемого центробежного ускорения а = <о2г.

Итак, попытка применить вычисления Тирринга ко всей Вселенной в целом вызывает возражения; тем более загадочным становится тот факт, что соотношение GM ^ с2 В (М — масса, В —- радиус сферы), по-види- мому, действительно имеет место для наблюдаемой части Вселенной. Попробуйте оценить, какое количество звезд (каждая массой 1,4-1030 кг) понадобится для этого, если радиус Вселенной В ^ 1026 м, с = 3 -108 м/сек. (Ответ: примерно 1023 звезд, что соответствует «1012 галактикам по «1011 звезд в каждой. Эта оценка приближенно согласуется с астрономическими данными.)

ГЛАВА 9

Закон сохранения энергии

Помимо импульса р и момента импульса J, объекты обладают третьей динамической характеристикой, называемой энергией Е. Это не вектор, а скаляр (число); энергия является мерой способности объекта производить работу. Значение термина «работа» в физике весьма отличается от его разговорного смысла. Если к объекту приложена сила F и под действием этой силы объект совершает перемещение d, то работой силы, произведенной над объектом, называется величина

W = Fdd (размерность ML2T-2Y (9.1)

Здесь d — величина перемещения, Fd — проекция вектора силы на направление перемещения. Работа измеряется в джоулях или эргах, мы обсуждали эти единицы в главе 1 — см. формулы (1.5) и (1.6).

Пусть, например, объект массой т первоначально покоился в инерциальной системе отсчета; подействуем на него постоянной силой F в течение времени I, то есть будем сообщать объекту все это время ускорение F/m. После прекращения действия силы окажется, что объект прошел путь d = У2 at2 в направлении действия силы и приобрел скорость, равную v = at. Работа, произведенная силой над объектом, равна

(9.2)(9.2)W = Fd = та • — at2 ~ — mv2.

(9.2)

(9.2)

22

На опыте наблюдается следующий замечательный факт: при полной остановке объекта в точности то же количество работы возвращается другому объекту, послужившему причиной остановки. Например, если автомобиль массой 103 кг, имея скорость 40 м/сек, врезается в стену, стене

передается 8-105 Дж работы. Из этого и аналогичных примеров выводится абстрактное понятие кинетической энергии, говорят, что объект массой т, движущийся со скоростью и, обладает кинетической энергией

Эта энергия не может быть ни создана, ни уничтожена, но может быть передана другим объектами (или) перейти в другие формы энергии при любом изменении скорости объекта. Однако утверждать с полной общностью закон сохранения энергии в механике можно, лишь если кинетическая энергия представляет собой не единственную форму, в которой может быть запасена возможная работа объекта.

Например, чтобы в ньютоновской системе отсчета поднять груз на высоту А над поверхностью Земли, преодолевая ускорение свободного падения g, потребуется совершить работу mgh, и потому объекту на этой высоте можно приписать потенциальную энергию*

Епот = mgh. (9.4)

Это понятие позволяет описать процесс падения объекта как процесс перехода потенциальной энергии в кинетическую, при котором полная энергия объекта остается неизменной, так что при падении на поверхность Земли кинетическая энергия объекта равна

ни? = mgh. (9.5)

Отсюда следует, что скорость в конце падения равна и = ^ghyh в полном соответствии с кинематическими рассуждениями, приведенными в главе 2. В середине прошлого века физики начали осознавать, что закон сохранения энергии можно перенести из области механики в другие области физики, если рассматривать, например, теплоту как еще одну форму энергии. Вскоре был вскрыт смысл понятия тепла, содержащегося в объекте: оно оказалось связанным с кинетической энергией неупорядоченного движения составляющих этот объект атомов или мо-

лекул. При случайном движении этих частиц по всем направлениям суммарный импульс объекта исчезает, тогда как наличие «обычной» кинетической энергии v!jnv^ в механике всегда связано с наличием у объекта суммарного импульса mv. Кроме того, позднее были обнаружены также и другие формы энергии, не связанные с движением объекта как целого. Примером может служить энергия покоя, связанная с массой т,

Sn0K = ^^ Iе — скорость света). (9.6)

Энергия покоя переходит в другие формы энергии, когда объект испытывает некоторые превращения (например, ядерные реакции), при которых масса покоя не сохраняется.

Открытие методов превращения части энергии покоя в полезную работу приобрело огромное техническое значение, и это связано в первую очередь с колоссальной величиной энергии покоя. В принципе из 1 кг массы можно получить работу

W = 1 . (3.108)2 = 9 • 1016 Дж = 2,5 . 1010 кВт-ч (9.7)

(с — 3 -108 м/сек; 1 Дж = (5/18) -10“* кВт-ч).

Другую форму внутренней энергии представляют собой различные виды химической связи в молекулах (преимущественно электромагнитной природы). Если для разрыва связи между составляющими молекулу частями необходимо совершить работу, то обычно говорят о наличии у молекулы энергии связи. Соответственно при образовании такой связи окружающим молекулу телам должна передаваться положительная энергия (например, тепло в большинстве окислительных процессов).

По аналогии с определением силы F, приложенной к объекту, как наблюдаемой скорости изменения его импульса (Др/А/ = F), и вращающего момента — как наблюдаемой скорости изменения момента импульса (Д1/А£= = М), можно определить приложенную к объекту мощность как наблюдаемую скорость изменения его энергии

(размерность ML^T^Y (9.8)

Единица мощности в системе СИ носит название ватта 1 Вт — 1 Дж/сек, 1 кВт = 103 Вт. (9.9)

Например, согласно уравнению (9.7), энергия покоя, заключенная в 1 кг массы, достаточна для того, чтобы обеспечить мощность в 10 кВт для 300 000 потребителей энергии в течение почти целого года.

В том случае, если энергия изменяется за счет работы силы, мощность можно представить в следующем виде:

Р = ^^- = ^У,(9.10)

то есть мгновенная мощность, сообщаемая объекту, равна произведению скорости объекта на компоненту скорости в направлении его движения.

Согласно современной тенденции, силу, как мы видели в главе 5, следует рассматривать как проявление поля, локально передающего импульс. Последовательно придерживаясь этой точки зрения, следует приписать полю, кроме импульса р (поля) и момента импульса J (поля), еще и энергию Е (поля), так что в соответствии с уравнением (9.8) всякое изменение энергии объекта следует рассматривать как локальную передачу энергии от поля к объекту; при этом в любой момент времени выполняется равенство

Е (объекта) + Е (поля) = const. (9.11)

Это равенство выражает закон сохранения энергии в его наиболее общей форме. Современный физик настолько глубоко уверен в справедливости этого закона, что всякий раз при отсутствии видимой причины изменения энергии вводит поле (если необходимо — нового типа), с помощью которого удается объяснить эксперимент в соответствии с формулой (9.11).

Известным примером такого рода является история открытия так называемого нейтринного поля. Около 1930 года весьма искусный и тонкий эксперимент привел к выводу о кажущемся несоблюдении закона сохранения энергии в радиоактивном распаде ядра висмута (210Bi), который превращается в ядро полония (210Ро), испуская электрон (г"). Суммарная полная энергия ядра 210Ро и электрона е" в различных случаях распада оказывалась разной, но она всегда была меньше энергии исходного ядра 210Bi. Баланс момента импульса, казалось, в этой реакции тоже нарушался, поскольку ядра 210Bi и 210Ро Являются бозонами с целым значением спина (в атомных

единицах ft), тогда как электрон является фермионом с полуцелым спином. Поскольку дробные значения орбитального момента импульса никогда не наблюдались, в этой реакции казался нарушенным также закон сохранения момента импульса. Доверие к законам сохранения надежно восстановил Вольфганг Паули (1900—1958), предсказавший в 1931 году существование нейтрино — элементарной частицы, предположительно лишенной массы, электрически нейтральной и несущей полуцелый спин. Паули предположил, что эта частица испускается вместе с электроном в радиоактивном распаде, унося энергию и момент импульса, которые считались «пропавшими» в реакции. Нейтрино можно рассматривать как квант соответствующего — нейтринного — поля в полной аналогии с фотоном — квантом электромагнитного поля.

Гипотеза Паули прошла убедительную экспериментальную проверку в 1956 году, когда физикам Лос-Аламосской лаборатории (США) удалось провести реакции с пучком нейтрино, полученным в ядерном реакторе. В настоящее время известно, что нейтринное поле, испускаемое при радиоактивном распаде ядер, состоит из двух типов полей. Кванты поля, возникающие при испускании положительных электронов (или позитронов е^, всегда имеют противоположные направления спина и импульса (являются «левовинтовыми») и называются нейтрино (v). У квантов поля, возникающих при испускании отрицательных электронов (^“), направления . спина и импульса всегда совпадают; эти частицы являются «правовинтовыми» и называются антинейтрино (v). Таким образом, в действительности при радиоактивном распаде 210Bi испускается антинейтрино; мы вернемся к этим интересным объектам в главе 23.

Большое число так называемых принципов, полученных обобщением опытных фактов для формулировки закона сохранения энергии, можно рассматривать в настоящее время как частичное проявление этого закона; сюда относятся принципы Архимеда и Бернулли, а также гидравлический принцип.

Вывод гидравлического принципа удобно проводить с помощью элегантного метода, используемого при решении задач с равновесием сил; этот метод известен под названием принципа виртуальной работы. В основе метода

I—Площадь ^1I—Площадь ^1Рис. 58. Вывод гидравлического принципа из закона сохранения энергии с помощью принципа виртуальной работы.Рис. 58. Вывод гидравлического принципа из закона сохранения энергии с помощью принципа виртуальной работы.

I—

Площадь ^1

I—

Площадь ^1

Рис. 58. Вывод гидравлического принципа из закона сохранения энергии с помощью принципа виртуальной работы.

Рис. 58. Вывод гидравлического принципа из закона сохранения энергии с помощью принципа виртуальной работы.

лежит расчет работы сил, которым мысленно предоставляется возможность совершить эту работу столь медленно, что все кинетические энергии при этом пренебрежимо малы.

Рассмотрим, например, два сообщающихся цилиндра, заполненных несжимаемой жидкостью и закрытых двумя поршнями, площади сечения которых равны соответственно Ai и А 2, а приложенные силы — ^ и F 2 (рис. 58) Задача состоит в том, чтобы определить, как сила F ^ сможет уравновесить силу Fv

«Несжимаемость» жидкости означает, что невозможно изменить занимаемый ею полный объем, так что сколь бы велики ни были силы, приложенные к стенкам сосуда, над жидкостью невозможно произвести никакой работы и, следовательно, сообщить ей внутреннюю энергию. Разумеется, это представление идеализировано и следовало бы, по-видимому, представлять себе жидкость со столь малой сжимаемостью, что изменением ее внутренней энергии для интересующих нас проблем можно пренебречь. Пусть вес жидкости временно отсутствует, так что единственные действующие на жидкость силы — это силы, приложенные со стороны стенок цилиндров.

Пусть теперь поршень сечением А, медленно переместится вниз на расстояние dv так что объем жидкости,

равный А^, пришел в движение; он должен «возникнуть» в другом цилиндре, причем в силу условия несжимаемости второй поршень будет поднят на высоту d2, так что

^"1 ^1 ”* ^*2 ^2* "^"1 ^1 ”* ^*2 ^2* "(9.12)(9.12)

^"1 ^1 ”* ^*2 ^2* "

^"1 ^1 ”* ^*2 ^2* "

(9.12)

(9.12)

Виртуальная работа, которую произведет поршень сечением Av равна WT = F^, а виртуальная работа, произведенная над поршнем сечением Л2, равна W2 = F2d2. Закон сохранения энергии требует, чтобы эти величины совпадали, то есть

FA-F^.(9.13)

Разделив (9.13) на (9.12), мы получим

Определив давление как силу, приходящуюся на единицу площади, содержание уравнения (9.14) можно выразить так: если к любой поверхности несжимаемой жидкости приложено давление Р = F/A, то оно передается одинаково всем поверхностям этой жидкости, а это и есть гидравлический принцип.

Небольшое размышление показывает, что слово «поверхность» вовсе не предполагает только внешнюю поверхность. Внутреннюю поверхность легко представить себе, например, с помощью изображенного на рис. 59 погруженного цилиндра, в который жидкость не попадает лишь благодаря наличию силы, изнутри компенсирующей давление, оказываемое жидкостью на стенки сосуда.

Вследствие гидравлического принципа давление Р жидкости на глубине А, обязанное весу жидкости, равно весу столба жидкости высотой h с единичным сечением, то есть

Р = Dhg. (9.15)

где D — плотность жидкости, измеряемая в кг/м3 в системе СИ.

На практике часто прибегают к образной формулировке закона сохранения энергии, известной как утверждение о невозможности создания вечного двигателя первого рода (то есть приспособления, предназначенного для по-

Рис. 59. Применение гидравлического принципа к внутренней поверхности.Рис. 59. Применение гидравлического принципа к внутренней поверхности.

Рис. 59. Применение гидравлического принципа к внутренней поверхности.

Рис. 59. Применение гидравлического принципа к внутренней поверхности.

лучения работы без затраты энергии в той или иной форме). Пример такого рода устройства, которое его автор мог бы запатентовать, показан на рис. 60. Деревянные планки, укрепленные на транспортерной ленте, вводятся без трения через клапан в сосуд с Водой; предполагается, что движущая сила создается благодаря плавучести дерева в воде.

Закон сохранения энергии следует понимать как символ крушения надежд у всякого, кто когда-либо пытался заставить работать устройство подобного рода.

В конкретном случае, изображенном на рис. 60, неосуществимость «вечного движения» можно привлечь для получения интересного следствия, касающегося плавучести и известного под названием принципа Архимеда. Если проследить за движением одной из планок массой т и объемом V в течение полного цикла «двигателя», то проигрыш в потенциальной энергии будет

^пот = (g — g') mh = FBm • h, (9.16)

где g — ускорение свободного падения вне сосуда, g' — эффективное ускорение свободного падения в воде, h — высота, на которой находится погруженное в жидкость тело. Выталкивающая сила, действующая на планку,

^выт ^ (£8 )>^выт ^ (£8 )>(9.17)(9.17)

^выт ^ (£8 )>

^выт ^ (£8 )>

(9.17)

(9.17)

Рис. 60. Гипотетический вечный двигатель первого рода.

ее можно представлять себе как «потерю веса» телом массой т при погружении.

Однако потенциальная энергия (9.16) не может быть преобразована в кинетическую, как хотел бы нас уверить изобретатель «двигателя», поскольку при проталкивании планки объемом V через клапан в жидкость нам пришлось бы совершать работу против сил давления жид- кости. В соответствии с определением давления как силы на единицу площади с учетом выражения (9.15) легко показать, что эта работа

W = PV = DVgK(9.18)

Если выполняется закон сохранения энергии, затраченная работа W в точности равна приобретенной энергии £пот. Приравнивая правые части (9.16) и (9.18), мы получаем

^Арх в ^^ ” (масса вытесненной воды) • g ==

= вес вытесненной воды.(9.19

В этом состоит принцип Архимедах на объект, погруженный в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной жидкости.

Проведем аналогичные рассуждения для случая жидкости, в которой изменение внутренней энергии невоз-

Рис. 61. Идеализированный случай течения жидкости без трения по трубе переменного сечения.

Давление ра жидкости при скорости и2 меньше, чем давление pt при скорости о,, если иа превосходит vt.

можно ни за счет возникновения турбулентности, ни за счет тепла, выделяющегося при трении жидкости о стенки трубы переменного диаметра (заметим, что в силу несжимаемости жидкости она движется по ней с переменной скоростью; рис. 61). Тогда мы приходим к принципу Бернулли*, если несжимаемая жидкость движется без трения, сумма давления и кинетической энергии единицы объема остается постоянной:

Р + Dv^ = const. (9.20)

Таким образом, увеличение скорости движения жидкости и сопровождается уменьшением давления, которое она оказывает на стенки сосуда.

Дополнения

Уровень жизни и благосостояния людей в первом приближении, по-видимому, зависит от потребляемой мощности в расчете на душу населения. Судя по современному потреблению энергии в странах, подобных США и Канаде, 10 кВт на душу населения могут удовлетворить потребность людей в промышленно развитых странах. В эту цифру включены все формы энергии, которые человек превращает в полезную работу, в том числе энергия, используемая при сгорании топлива в двигате-

лях автомобилей, станков и инструментов, а также получаемая при усвоении пищи. Если бы удалось стабилизировать численность населения планеты на уровне 9 • 109 человек, мы получили бы в качестве оценки необходимой человечеству мощности цифру 9-1010 кВт. Ресурсы, имеющиеся в настоящее время, все еще далеки от этой цифры. Согласно оценкам, полное потребление энергии в мире составляет в среднем около 3 • 109 кВт, что дает примерно 1 кВт в расчете на душу населения.

В связи с необходимостью увеличить потребляемую мощность в 30 раз возникает ряд вопросов, и в частности следующие:

Если необходимую мощность 9*1010 кВт предполагается получить исключительно за счет превращения в полезную работу ядерной энергии, какую массу покоя следует для этого ежесекундно превращать в другие формы энергии? (Ответ: 10~3 кг/сек = 1 г/сек.)

Возможным источником ядерной энергии является тяжелый водород, или дейтерий D, имеющийся в морской воде. В некоторых реакциях слияния ядер около 1/200 массы покоя дейтерия превращается в полезную энергию. Полный запас дейтерия в воде около 6«1016 кг. На ка кой срок хватит этого запаса, если расходовать его со скоростью 9*1010 кВт? (Ответ: 3*1017 сек « 1010 лет.)

Солнце, масса которого равна 2»1030 кг, является по существу гигантским ядерным реактором, в котором около 4 • 109 кг массы покоя ежесекундно переходят в другие формы энергии. Отсюда возникают следующие вопросы:

Считая, что никаких существенных изменений в устойчивости Солнца не произойдет до тех пор, пока около 1/1000 его нынешней массы покоя не «сгорит» в процессе ядерных реакций, оцените, как долго сможет Солнце поддерживать постоянный уровень мощности излучения? (Ответ: ^5*1017 сек ^ 1,7-1010 лет.)

Какова мощность Солнца в киловаттах? (Ответ: 3,6-1023 кВт.)

В дополнении 10 к главе 1 имеются данные, позволяющие оценить верхний предел солнечной мощности, которую можно получить на поверхности Земли. (Ответ: ^1,6 *1014 кВт.) Таким образом, одной лишь энергии Солнца с избытком хватило бы для удовлетворения энер-

гетических потребностей людей в предвидимом будущем. Действительно, большая часть потребляемой нами энергии сводится, в конечном счете, к солнечной энергии (например, мощность гидроэлектростанций, горючих ископаемых, пищи, дров.)

Для описания процессов с участием тепла или других форм внутренней энергии используют единицу энергии — калорию. определяемую как количество тепла, необходимое для того, чтобы поднять температуру 1 см3 воды от 14 до 15° С. Опытным путем можно найти эквивалент 1 кал в джоулях; 1 кал = 4,18 Дж. Пусть, например, космический корабль массой 103 кг после включения тормозных двигателей входит в атмосферу со скоростью 5-103 м/сек. Сколько калорий тепла должно выделиться и диссипировать (то есть бесполезно рассеяться) за время его спуска? (Ответ: ^3-109 кал.) Поскольку для испарения 1 кг воды достаточно около 5,4 • 105 кал, за счет выделившегося при спуске тепла можно было бы превратить в пар 5,5 т воды. Метеориты, как правило, входят в атмосферу со значительно более высокими скоростями, и потому не удивительно, что большинство из них полностью испаряется, не достигнув поверхности Земли.

Измерения физических свойств неуловимого нейтрино, само существование которого было надежно установлено лишь в 1956 году, подвергли испытанию искусство физиков-экспериментаторов. В 1958 году Гольдхаберу с сотрудниками удалось определить «закрученность», или спиральность, нейтрино с помощью остроумного эксперимента; его интерпретация основана на применимости законов сохранения. Использовалась ядерная реакция, в которой ядро европия (1б2 Ей) захватывает электрон (^~), превращаясь в ядро самария (162Sm) и испуская фотон (у) и нейтрино (v):

№Eu + -> l62Sm + 7 + v.

Известно, что у обоих ядер внутренний (спиновый) момент импульса отсутствует, так что полный момент импульса (в единицах ft) до реакции обязан в этом случае полностью спину электрона 1/2; после реакции этот момент импульса должен быть каким-либо образом распределен между фотоном и нейтрино. Кроме того, фотон и нейтрино уносят импульс, который в сумме с импульсом отдачи

Рис. 62. Баланс момента импульса в эксперименте Гольдхабера. Известно, что нейтрино может иметь проекцию гспина на направление своего движения, равную 4-1/2 или —1/2, тогда как проекция спина фотона на направление движения нейтрино может принимать значение 4-1 или —1. Тонкая стрелка соответствует вектору импульса, а жирные — компонентам момента импульса.

ядра самария должен давать нуль в системе центра инерции. Это означает, что величина импульса фотона будет зависеть от угла, который он образует с направлением импульса нейтрино. Поэтому прежде всего был построен детектор фотонов, который считал лишь фотоны в направлении, противоположном движению нейтрино (рис. 62).

Выберем направление движения нейтрино в качестве направления отсчета. Тогда закон сохранения момента импульса требует, чтобы проекция полного момента импульса на это направление равнялась бы +1/2 или —1/2 в зависимости от того, чему была равна до реакции проекция спина электрона на это направление (+1/2 или —1/2). Известно далее, что безмассовое нейтрино (его масса покоя равна нулю, см. главу И) может иметь лишь проекцию спина +1/2 или —1/2 на это направление (лево- или

правозакрученное нейтрино); в то же время фотон, также не имеющий массы покоя, может иметь лишь проекцию спина +1 или —1 на это направление (соответственно лево- или правозакрученный фотон).

При этих условиях очевидно, что единственный вариант, при котором спин нейтрино и спин фотона дадут при сложении +1/2 — если обе частицы левозакручен- ные, и —1/2 — если обе закручены вправо (это особенно ясно при изучении рис. 62). Таким образом, изучая за- крученность (спиральность) фотона (что можно сделать стандартными методами), можно определить и спиральность испускаемого одновременно с фотоном нейтрино. Гольдхабер обнаружил, что все фотоны, зафиксированные детектором, были закручены влево. Поскольку, как это известно из других экспериментов, в природе могут встречаться и фотоны, закрученные вправо, Гольдхабер сделал вывод о том, что видимое предпочтение в пользу левозакрученных фотонов следует приписать специфической левой закрученности нейтрино. По-видимому, существование правозакрученных нейтрино в природе запрещено.

Многие аэродинамические эффекты являются следствием принципа Бернулли. Например, большая часть подъемной силы дозвуковых самолетов объясняется за счет разности давлений по обе стороны плоскости крыла; профиль крыла выбирается таким, чтобы воздух двигался с большей скоростью над крылом, чем под ним. Аналогично траектория мяча «сухой лист», знакомая всем болельщикам футбола, также является следствием эффекта Бернулли. Движущийся шар за счет своего собственного вращения вызывает различие в скоростях потоков воздуха (а следовательно, и давлений воздуха) по обе стороны шара (рис. 63). Интересно найти соотношение между кинетической и потенциальной энергиями, полученными при взлете самолета, летящего на высоте 104 м со скоростью 200 м/сек. (Ответ: Екин =0,2 Еп0Т.)

Пусть турбина гидроэлектростанции расположена на 200 м ниже уровня воды в водохранилище. Скорость воды после прохождения турбины и = 30 м/сек. Какая часть энергии воды передана турбине, если пренебречь потерями на трение в подводящем канале? (Ответ: 31/40, если считать g = 10 м/сек2.)

Рис. 63. Обтекание воздухом крыла самолета и вращающегося бейсбольного мяча с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с ним (влияние турбулентности не учитывается).Рис. 63. Обтекание воздухом крыла самолета и вращающегося бейсбольного мяча с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с ним (влияние турбулентности не учитывается).

Рис. 63. Обтекание воздухом крыла самолета и вращающегося бейсбольного мяча с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с ним (влияние турбулентности не учитывается).

Рис. 63. Обтекание воздухом крыла самолета и вращающегося бейсбольного мяча с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с ним (влияние турбулентности не учитывается).

Частица массой т, движущаяся со скоростью и= = 2,1 -107 см/сек (ядерный «снаряд»), ударяет по покоящемуся ядру массой М = 6 т и поглощается им.

Какова скорость 7 получившегося после соударения составного ядра? (Ответ: V = 3 • 10е см/сек.)

Какая доля кинетической энергии «снаряда» потеряна при соударении? (Ответ: 6/7.)

Куда девалась кинетическая энергия?

ГЛАВА 10

Постоянство скорости света

В главе 2 мы уже говорили, что в природе существует предельная скорость движения любых объектов (или сигналов), равная с (скорости света в вакууме). На первый взгляд этот факт трудно совместить с правилом сложения скоростей в случае, когда сигнал испущен источником, движущимся со скоростью, много меньшей с. Если источник света движется навстречу наблюдателю со скоростью и, то, казалось бы, измеренное наблюдателем значение скорости света должно быть равным с + и, где с — скорость света, который испускает покоящийся источник.

Однако такое предположение не подтверждается. Об этом свидетельствуют различные эксперименты, и в част-

< К Землет (расстояние D)< К Землет (расстояние D)Рис. 64. Гипотетическая система двух звезд («двойная» звезда), а — звезды 1 и 2 обращаются вокруг общего центра масс (в плоскости рисунка) с тангенциальными скоростями v, = г2 —15 км/сек; б — график зависимости от времени расстояния А между звездой 1 и прямой, соединяющей Землю и центр масс двойной звезды. Пунктирная кривая соответствует гипотетическому случаю арифметического сложения скоростей звезды и испущенного ею света. Сплошная кривая соответствует реальным наблюдениям, выполненным на всех двойных звездах.Рис. 64. Гипотетическая система двух звезд («двойная» звезда), а — звезды 1 и 2 обращаются вокруг общего центра масс (в плоскости рисунка) с тангенциальными скоростями v, = г2 —15 км/сек; б — график зависимости от времени расстояния А между звездой 1 и прямой, соединяющей Землю и центр масс двойной звезды. Пунктирная кривая соответствует гипотетическому случаю арифметического сложения скоростей звезды и испущенного ею света. Сплошная кривая соответствует реальным наблюдениям, выполненным на всех двойных звездах.

< К Земле

т (расстояние D)

< К Земле

т (расстояние D)

Рис. 64. Гипотетическая система двух звезд («двойная» звезда), а — звезды 1 и 2 обращаются вокруг общего центра масс (в плоскости рисунка) с тангенциальными скоростями v, = г2 —15 км/сек; б — график зависимости от времени расстояния А между звездой 1 и прямой, соединяющей Землю и центр масс двойной звезды. Пунктирная кривая соответствует гипотетическому случаю арифметического сложения скоростей звезды и испущенного ею света. Сплошная кривая соответствует реальным наблюдениям, выполненным на всех двойных звездах.

Рис. 64. Гипотетическая система двух звезд («двойная» звезда), а — звезды 1 и 2 обращаются вокруг общего центра масс (в плоскости рисунка) с тангенциальными скоростями v, = г2 —15 км/сек; б — график зависимости от времени расстояния А между звездой 1 и прямой, соединяющей Землю и центр масс двойной звезды. Пунктирная кривая соответствует гипотетическому случаю арифметического сложения скоростей звезды и испущенного ею света. Сплошная кривая соответствует реальным наблюдениям, выполненным на всех двойных звездах.

йости астрономические наблюдения над двойными звездами. Схема эксперимента, убедительно опровергающего исходное допущение, изображена на рис. 64; положение орбит двойной звезды относительно звездного неба обнаруживает строгое постоянство.

Действительно, пусть две звезды, удаленные от нас на расстояние D & 100 свет, лет ^ 3-109 свет, сек ^ 9х X1014 км, обращаются вокруг своего общего центра инерции с периодом Г « 10 сут в плоскости наблюдения (рис. 64, а), причем линейные скорости звезд равны v = Pi = v2 = 15 км/сек. Если бы наше наивное допущение о сложении скоростей было верным, испускаемый звездами 1 и 2 свет проходил бы расстояние D с различными скоростями ст = с+и и с 2 = с—и, причем

сг— сй = 2и — 30 км/сек, или -^-^10“4. (10.1) с

Это означает, что световой сигнал от звезды 7 все время опережает световой сигнал от звезды 2, так что При достижении Земли это опережение составит

d^ D -^- « 3 • 105 свет, сек « 9 • 1010 км. (10.2) с

Иначе можно сказать, что каждые 104 сут свет от звезды 1 уходит вперед от света звезды 2 на одни сутки. Согласно (10.2), световой сигнал от звезды 2 должен казаться нам отстающим при удалении звезды 2 (и соответственно приближении звезды 7), причем максимальное запаздывание должно быть порядка

/ = — « 3.10б сек « 4 сут. (10.3) с

Спустя 5 сут (то есть спустя половину периода), когда звезды 7 и 2 поменяются местами, запаздывающим покажется уже световой сигнал от звезды 7, причем величина запаздывания снова будет определяться выражением (10.3). В этом случае наблюдаемое положение звезд должно было бы резко отличаться от той правильной картины, которая схематически изображена на рис. 64, б сплошной линией. Именно оно соответствовало бы нерегулярной пунктирной кривой на рис. 64, б, которая находится в явном резком противоречии с законами Кеплера. Однако

ни одно из наблюдений не подтверждает этих предположений.

Выйти из затруднения можно, предположив, например, существование некоторой выделенной системы отсчета, по отношению к которому определяется абсолютная скорость; одним из свойств среды является ее способность к передаче света со скоростью с. Идея среды подсказана аналогией с распространением звука; как известно, для этого необходима какая-либо среда —- переносчик (например, воздух), причем скорость звука в этой среде не зависит от скорости движения источника по отношению к ней.

Однако если бы такая среда — эфир — в самом деле существовала, можно было бы наблюдать изменение скорости распространения света при движении наблюдателя относительно эфира (это действительно имеет место для звука).

Остроумную попытку обнаружить указанный эффект для света, использовав скорость движения Земли по орбите, предприняли в 1887 году Майкельсон и Морли. Если бы, например, летом Земля находилась в состоянии покоя по отношению к эфиру, то зимой она двигалась бы по отношению к нему со скоростью порядка 50 км/сек. Детали этого знаменитого эксперимента будут приведены в конце главы (по этому вопросу существует также обширная литература). Нам достаточно сейчас отметить лишь отрицательный результат эксперимента Майкель- сона и Морли: они убедились в невозможности приписать Земле абсолютную скорость по отношению к какому-либо гипотетическому эфиру.

Временно отвлекаясь от усложнений, связанных с возможным наличием локального гравитационного поля, мы становимся перед необходимостью объяснить два следующих факта.

Факт 1. Скорость распространения света в вакууме имеет значение с ^ 8-108 м/сек, не зависящее от относительного движения источника и наблюдателя.

Факт 2. Не существует эксперимента, с помощью которого можно было бы установить наличие особой «истинно покоящейся» ньютоновской системы отсчета, по отношению к которой все остальные ньютоновские системы отсчета двигались бы с некоторой «абсолютной скоростью».

Последний факт называют иногда «равноправием инерциальных наблюдателей». Пусть в отсутствие локального гравитационного поля некоторый инерциальный наблюдатель О всегда будет находиться в покое относительно данной ньютоновской системы отсчета, тогда как любой другой инерциальный наблюдатель О' будет двигаться с постоянной скоростью и относительно О. Мы говорим, что два инерциальных наблюдателя равноправны (или эквивалентны), если они делают одинаковые выводы из экспериментов, проведенных при одинаковых физических условиях. Например, если наблюдатель О на основании своих наблюдений приходит к выводу о том, что любые часы, движущиеся вместе с наблюдателем О, отстают от часов О'в К раз, то к тому же выводу с необходимостью придет и наблюдатель О'. Точнее, по данным наблюдателя О', любые часы, движущиеся вместе с наблюдателем О со скоростью у, также будут отставать от часов О' и притом в то же число раз.

Итак, наблюдатель О описывает некоторое событие, указывая его координату х и время I; то же событие, по данным наблюдателя О', имеет координату х' и время I’. Образно выражаясь, можно сказать, что наблюдатели О и О' утверждают одно и то же на разных языках. Перевести описание события с одного языка на другой — значит «выполнить преобразование Лоренца». Отмеченный нами факт 1 можно выразить теперь более формально. «Скорость света в вакууме инвариантна по отношению к преобразованиям Лоренца».

Хотя первоначальные исследования в этой области принадлежат Лоренцу и Пуанкаре, только Эйнштейну в 1905 году удалось в полной мере выявить фундаментальные следствия инвариантности скорости света.

Следуя рассуждениям Эйнштейна, рассмотрим наблюдателя О, который описывает события в системе координат х, t (два других пространственных измерения у и z для простоты временно опускаются); мировая линия наблюдателя О совпадает с осью х = 0 (то есть с осью £), тогда как мировая линия светового сигнала, испущенного в момент t = 0 в точке х = 0 в положительном направлении оси х^ представляет собой прямую, уравнение которой имеет вид х = ct. Если использовать в качестве единиц измерения времени и длины соответственно 1 сек и 1 свет, сек = 3 • 108 м, мировая линия светового сигнала

Рио. 65. Мировые линии двух наблюдателей.

Ось х = 0 является мировой линией наблюдателя О, а линия л' = 0 — миро вой линией наблюдателя О', движущегося со скоростью v = а/5с относительно О. Для наблюдателя О все события, расположенные вдоль линии f — 1, являются одновременными (время отсчитывается от начального момента, когда оба наблюдателя встретились в точке х = х* =0).

образует угол 45° с обеими осями координат. Пусть наблюдатель О' движется с постоянной скоростью и = г/ъ с и встречается с наблюдателем О в момент времени t = 0; в этом случае мировая линия О' с точки зрения О представляет собой прямую х = % ct и наклонена по отношению к его мировой линии х = 0; с другой стороны, с точки зрения О', его собственная мировая линия описывается уравнением х* = 0.

Когда по часам наблюдателя О пройдет время t = 1, световой сигнал пройдет по его измерениям расстояние х = 1. Если отождествить пересечение пунктирной линии х = 1 и мировой линии х = 0 (рис. 65) с событием, происходящим в момент времени f = 1 (по часам наблюдателя О'), предположив при этом, что единицы длины у обоих наблюдателей совпадают, мы придем к противоречию с фактом 1. Действительно, по данным наблюдателя О', к моменту времени £ = 1 свет пройдет расстояние, рав-

ное 2/5 (а не 1, как утверждает наблюдатель О); отсюда наблюдатель О' должен сделать вывод о том, что скорость света меньше с.

Можно попытаться устранить противоречие, предположив, что часы наблюдателя О' отстают от часов наблюдателя О, и это свойство часов является фундаментальным; точнее, можно считать, что событию в момент f = 1 соответствует событие в момент t = 5/2 по часам О (оно соответствует пересечению сплошной мировой линии я = О и пунктирной линии t = 5/2 (рис. 65), поскольку именно к этому моменту световой сигнал, по данным О', пройдет расстояние, равное 1. Однако теперь мы придем к противоречию с фактом 2, так как наблюдатель О сочтет часы наблюдения О' отстающими (они показывают t’ = 2/5 при t = 1), тогда как с точки зрения О' часы О выглядят спешащими, что несовместимо с требованием равноправия двух наблюдателей.

Эйнштейн впервые ясно осознал, что все трудности такого типа обязаны молчаливому предположению о том, что понятие одновременности двух событий одинаково для обоих наблюдателей О и О'. Эйнштейн нашел смелый выход из тупика, предложив рассматривать одновременность событий как понятие, зависящее от состояния движения наблюдателя.

Именно согласно Эйнштейну все события, происходящие в момент £' = 1 (по часам О'), расположены на линии Г = 1, наклоненной по отношению к прямой £ = 1 (рис. 66). При этом прямая ^' = 1 пересекает мировую линию х = 0 наблюдателя О в момент времени t = Kt* = = К с К < 1, тогда как прямая t = 1 пересекает мировую линию х* = 0 наблюдателя О' в момент времени t' = Kt = К, где величина К одна и та же для обоих наблюдателей. Таким образом, равноправие наблюдателей О и О' восстановлено: наблюдатель О' считает, что часы О отстают в К раз, но то же самое утверждает и наблюдатель О по отношению к часам О'.

Оказывается, однако, что инвариантность скорости света влечет за собой еще одно важное следствие. Именно, по данным О', к моменту времени t ' = 1 световой сигнал пройдет расстояние, в точности равное х* = 1, так что линия х ' = 1 (имеющая смысл мировой линии всех событий, происходящих на расстоянии х' = 1 от наблюдателя О') должна быть параллельна х' = 0; ее пересечение

х = 0

Рис. 66. Мировые линии одновременных событий f = 0 и ^ ~ = 1 (с точки зрения наблюдателя О') и t =0, г = 1 (с точки зрения наблюдателя О), изображенные согласно рассуждениям Эйнштейна.

с линией V *= 1 должно совпадать с точкой пересечения линии ^ = 1 и мировой линии светового сигнала (рис. 66). Из симметрии построения на рис. 66 ясно, что прямая я' — 1 пересекает ось t = 0 в точке х = Кх' = К с введенным выше множителем К < 1. Это означает, что отрезок единичной длины, двигающийся вместе с наблюдателем О', представляется наблюдателю О укороченным в К раз. Никакого противоречия с требованием полного равноправия наблюдателей О и О' отсюда, разумеется, не возникает, поскольку согласно измерениям наблюдателя О' в момент времени t’ = 0 конец х = 1 отрезка единичной длины, двигающегося вместе с наблюдателем О , находится на расстоянии х' = Кх = К от общего для О и О' начала координат; последнее означает, что и для наблюдателя О единица длины сократится в К раз.

Остается, таким образом, найти значение К при заданной относительной скорости и двух наблюдателей. Распространенное рассуждение, призванное прояснить

Рис. 67. Расстояния, которые проходит световой сигнал, испущенный в момент t = 0 в точке Л и прибывший в точку В' в момент Z = 1, с точки зрения разных. наблюдателей.

интуитивное представление о происхождении множителя сокращения времени, состоит в следующем. Представим себе наблюдателя О' двигающимся вдоль оси координат х со скоростью и и посылающим световой сигнал в направлении оси координат у (перпендикулярно своему движению). С точки зрения наблюдателя О, когда наблюдатель О' пройдет расстояние А А * = р, световой сигнал распространится на расстояние А В' = с; сточки зрения наблюдателя О', световой сигнал распространится на меньшее расстояние А'В' — (с2—у2)1^ (рис. 67). Поскольку скорость света для обоих наблюдателей одинакова, то, очевидно, наблюдатель О' сочтет, что свету понадобилось большее время для распространения. Точнее, последовательность событий

испускание сигнала в А -> прибытие в В' происходит медленнее, чем последовательность событий

испускание сигнала в А* -> прибытие ь В*

в К раз, где

х_л^-12^ = )/^.(104)

Вообще если в системе отсчета наблюдателя О событие происходит в момент t в точке ж, то в системе отсчета наб-

людателя О' оно будет происходить в точке ж', определяемой выражением

Кх' = х — vt, или хг =•(10.5)

Наоборот, если в системе О' событие происходит в точке х' в момент t’, то в системе О оно имеет координату ж, определенную выражением

Кх = х' + vt', или х = ^-^ vt" .(10.6)

Применяя соотношения (10.5) и (10.6) к распространению светового сигнала, достигающего к моменту t точки х = ct (с точки зрения наблюдателя О) или точки х’ = ct’ к моменту tf (с точки зрения наблюдателя О'), получаем два уравнения

Kct' = (с — р)^; ^ = (с + у)^;(10.7)

перемножив эти уравнения, получаем KV = с2—у2, откуда сразу следует тот же результат, что и в (10.4);

В разобранном выше примере (рис. 66) мы должны заключить, что часы, движущиеся со скоростью и = 3/6 с, отстают от неподвижных в К = ]/1 — 9/25 = 4/б раза, а измерительная линейка, движущаяся с той же скоростью, во столько же раз укорачивается.

Поучительным применением этих открытий является знаменитый пример с близнецами, один из которых все время находится в одной и той же ньютоновской системе отсчета, тогда как другой отправляется в космическое путешествие, двигаясь со скоростью и — 3/бе в течение двух лет (по своим собственным часам), после чего он переходит в другую ньютоновскую систему отсчета и возвращается обратно с той же скоростью. Полное время, отсчитанное по часам космического путешественника, составляет четыре года, однако в точности такие же часы, оставшиеся у близнеца-домоседа, покажут, что между отправлением и прибытием прошло пять лет (в этом можно убедиться непосредственно, изучив рис. 68). Этот факт никак не противоречит принципу полной равно- 146

а-

Рис. 68. Мировые линии близнецов, не являющихся равноправными наблюдателями.

Один из них, движущийся со скоростью v = ®/5с, изменяет ньютоновскую систему отсчета при повороте на обратный курс в момент Г = 2 год. Четыре световых сигнала, испущенных близнецом О в моменты <=■ 1; 2; 3; 4 год, воспринимаются путешествующим близнецом О' в моменты Г =2; 2,5; 3; 3,5 год по его часам. Напротив, три световых сигнала, испущенных близнецом О в моменты Г = 1; 2; 3 год, воспринимаются близнецом О в моменты /= 2; 4; 4,5 год.

правности двух инерциальных наблюдателей, поскольку в одной точке путешествия странствующий близнец изменил свою ньютоновскую систему отсчета. Таким образом, близнецы не являются эквивалентными наблюдателями, и по эффектам инерции можно судить о том, кто из близнецов изменял ньютоновскую систему отсчета, а кто нет.

Содержание этой главы формально исчерпывается преобразованиями Лоренца для координат и времени;

х — vtа?' ф vt’

t — (р/с2) хГ ^ (р/с2) х’

V = __1LJ_, t = -LLJ_2_,(Ю.8)

/1-(р/с)2Vl-(vlc)»

Р и Се 69. Описание некоторого события двумя разными наблюда-телями.

в—-описание события и координатной системы (х', Г) наблюдателя О1 с точки зрения наблюдателя О, связанного о координатной системой (х, О; б — описание того же события и координатной системы (х, О наблюдателя О а точки зрения наблюдателя О'.

которые позволяют перейти от описания события с координатами (ж^) в системе О К координатам (#',£') того же события в системе О' (рис. 69, а) и наоборот (рис. 69, б).

Рассмотрим теперь объект, движущийся в системе О' со скоростью и, так что положение объекта в любой момент времени дается выражением

х'=ut\ (10.9)

В системе О тот же объект будет двигаться со скоростью w = x!t\ подставляя (10.9) во вторую пару уравнений (10.8) и разделив первое из них на второе, получим

(10.10)(10.10)IP = !

(10.10)

(10.10)

1 4> (uvl^

Формула (10.10) выражает знаменитую теорему о сложении скоростей, которая гарантирует, что, складывая любые две скорости, невозможно получить скорость,* превосходящую с. Это сразу видно из (10.10): если положить скорость и равной скорости светового кванта, и =с, то при любой скорости и мы всегда снова получим с.

Дополнения

Прибор Майкельсона — Морли (рис. 70) состоит из полупосеребренной стеклянной пластинки, которая расщепляет падающий на нее луч света на два — отраженный и преломленный, распространяющиеся под прямым углом друг к другу по направлению к двум зеркалам. После отражения от зеркал лучи вновь встречаются, и времена их распространения сравниваются друг с другом с помощью явления интерференции (см. главу 19).

Если бы существовал эфир, в котором скорость распространения света равна с, то разность между временами распространения света от S к Л и обратно (1д ) и от 8 кВ и обратно (ts ) должна была бы зависеть от скорости и прибора по отношению к эфиру. Пусть оба зеркала находятся на равном расстоянии d от пластины 8, и весь

—— Зеркало л

Лабающий сбетобой приокЛабающий сбетобой приок(лолупосеребреннар стеклянная пластинка)(лолупосеребреннар стеклянная пластинка)

Лабающий сбетобой приок

Лабающий сбетобой приок

(лолупосеребреннар стеклянная пластинка)

(лолупосеребреннар стеклянная пластинка)

Зеркало В

наложение разбеленных пумкоб

Рис. 70. Схема прибора Майкельсона — Морли, движущегося относительно гипотетического эфира со скоростью у, и соответствующие пути, проходимые светом.

прибор движется в направлении падающего пучка света со скоростью и относительно эфира. Ясно, что если и=0, то 1д =1в =2d!c. Однако, если z^O, путь света в эфире к зеркалу А и обратно состоит из двух равных гипотенуз (рис. 70), длина каждой из которых

так что время

2dt

^= '-='" — .

yc* — v*V1 - (р/0

С другой стороны, путь света в эфире к зеркалу В и обратно состоит из двух разных отрезков, длины которых равны соответственно

eV = d -V vV и ctn = d — vf^

где f, t" —времена распространения света от 8 к В и обратно, так что полное время распространения

tB = t' + t" = —— + —^— =-:.

ВС — У С ^ v 1 — (у/с)2

Времена 1д и ts различаются множителем р^1—(гл/с)2, точнее

Наблюдения Майкельсона и Морли показали, что разница времен 1а и 1в отсутствует._

(предполагается, что поезда стояли рядом на параллельных путях). Пусть теперь поезда двинулись навстречу друг другу.

Наблюдатель О, измеряя в данный момент времени t длину поезда, который ведет наблюдатель О', поступает со своей точки зрения совершенно правильно; однако с точки зрения наблюдателя О' он делает как раз то, что выше было признано непригодным —- именно он отмечает положение локомотива в момент ;Л0Ке, предшествующий моменту ^ваг, когда отмечается положение последнего вагона (в этом легко убедиться, еще раз посмотрев на рис. 66, где линии х’ = 1 и х* = 0 можно поставить в соответствие мировым линиям локомотива и последнего вагона поезда, который ведет наблюдатель О'). В точности те же рассуждения применимы и к тем измерениям длины движущегося поезда, которые будет производить наблюдатель О' (линии ж = 0иж = 1 на рис. 66 можно поставить в соответствие локомотиву и последнему вагону поезда, который ведет наблюдатель О). Таким образом, оба наблюдателя придут к одинаковому заключению о том, что длина движущегося мимо них поезда сократилась по сравнению со своим значением в состоянии покоя.

Одно из самых замечательных проявлений эффекта замедления движущихся часов с точки зрения неподвижного наблюдателя дают нам мю-мезоны (или сокращенно мюоны); они образуются в космических лучах в верхних слоях атмосферы и могут проходить расстояния вплоть до уровря моря, между тем среднее время жизни покоящегося мюона составляет всего лишь £о^2,2-1О~6 с, так что можно было бы ожидать его распространения на расстояния, не превышающие

ctQ = 3 • 108 • 2,2 • IO"6 = 660 м.

Можно представить себе, что время жизни мюона отсчитывается по «встроенным» в него естественным часам; поскольку мюоны движутся сквозь атмосферу со скоростями, очень близкими к скорости света, эти часы, с точки зрения покоящегося наблюдателя, покажутся отстающими, так что видимое среднее время жизни возрастет, что даст ему возможность преодолевать расстояния, значительно превышающие 660 м (разумеется, в системе отсчета, связанной с неподвижным наблюдателем). Пусть, на-

пример, наблюдатель на поверхности Земли, измерив среднее время жизни мюона, получил результат

t = (61/11) £0 = 1,22 • 10”5 сек.

Какова скорость мюонов по отношению к наблюдателю? (Ответ; =60/6iC-)

Примере «неравноправными» близнецами, который мы анализировали в этой главе (рис. 68), к сожалению, не всегда ясно интерпретируется в литературе по специальной теории относительности. Это дает повод к возникновению мнимых парадоксов, которые были уже давно разрешены Эйнштейном, Борном и другими учеными. Наиболее часто встречается неверное утверждение о том, что различие в показаниях часов при встрече близнецов полностью определяется наличием у одного из них ускорения в момент смены направления скорости. Очевидно, что это не так; действительно, если бы даже процесс уско-х рения сам по себе приводил бы к дополнительному сдвигу в показаниях часов близнецов, то этот малый сдвиг приобретал бы все меньшую роль по мере увеличения пройденного близнецом О' расстояния (в предположении о том, что для изменения знака скорости всегда используется один и тот же процесс). Существенная роль ускорения, которое испытывает близнец О', состоит в том, что в точке поворота он переходит в другую инерциальную систему отсчета, и с этого момента начинается другой отсчет времени.

Читателю настоятельно рекомендуется провести необходимые вычисления и выразить из формул (10.5) и (10.6) время t через I’ и х' (соответственно f через t и х), убедившись тем самым в справедливости формул (10.3). (Ответ;

t —(у/с2)^'^/ _(y/°2)х \

Большой космический корабль отправляется с Земли в межпланетное путешествие и достигает конечной скорости движения и = 4/бс относительно Земли. Затем корабль высылает вперед небольшую ракету-разведчика, которая движется относительно корабля также со скоростью и = Чъс. Какова скорость ракеты-разведчика относительно Земли? (Ответ; w = ^l^c.)

ГЛАВА 11

Абсолютный характер интервала и массы покоя

Низведение понятия одновременности из ранга абсолютных понятий в ранг понятий относительных — это цена, которую приходится платить за возможность глубже понять природу; в частности, нам удается установить действительно абсолютные свойства, которыми наделены события и объекты.

Так, например, два различных инерциальных наблюдателя О и О' в данный момент в одной точке пространства припишут данному событию различные координаты х, х* и времена ^, V соответственно; однако существует величина, характеризующая данное событие и принимающая одинаковое значение для обоих наблюдателей: это интервал I между мгновенным положением обоих наблюдателей и данным событием. Квадрат интервала

Р = сЧ^ — хй = с2 (Г)2 — (а/)2. (11.1)

Равенство левой и правой частей непосредственно следует из формул преобразований (10.8). Вообще квадрат интервала между любой парой событий с координатами (xv ^i) и (^2» ^2) или ^xi> h') и (^2^ ^2') равен

с2 ($г Z2)2 (хг х^ = с2 ( ^ ^)2 ^t х^» (11.2)

Величина Р не зависит от того, кто из двух наблюдателей, находящихся в ньютоновских инерциальных система^ отсчета, измеряет его. Соответственно пары событий можно абсолютно (или инвариантно^ разделить на два класса: события, для которых величина Р положительна, и события, для которых она отрицательна. В первом случае принято говорить, что события разделены времениподобным интервалом, во втором — что разделяющий события интервал пространственноподобен.

t I tf

Рис. 71. Разбиение пространства — времени на времениподобные и пространственноподобные области, с точки зрения двух инерциальных наблюдателей, О и О', находящихся в момент t = t'= О в одной и той же точке пространства х = х' = 0.

Вообще мир (или пространство событий), с точки зрения двух различйых инерциальных наблюдателей, находящихся в данный момент в одной и той же точке пространства, разделен на четыре области световым конусом (его образуют события, для которых интервал (11.1) равен нулю). Это прежде всего две времениподобные области: абсолютное будущее, содержащее все события, доступные физическому воздействию со стороны наблюдателей, находящихся в данном мгновенном положении, и абсолютное прошлое, включающее все события, со стороны которых наблюдатели могли в принципе испытать физическое воздействие. Существуют, кроме того, две пространственноподобные области; они включают в себя события, которые никогда не смогут повлиять на наблюдателей в их данном мгновенном положении, и причиной здесь является существование предельной скорости распространения сигналов — скорости света (рис. 71).

В самом интервале можно различить пространственноподобную и времениподобную компоненты, зависящие от состояния движения наблюдателей — это х и t соответственно. Такое разбиение интервала между событиями

очень похоже на то, как объекту приписывают динамические характеристики — импульс и энергию. Действительно, для наблюдателя О, покоящегося по отношению к объекту, все компоненты импульса объекта будут равны нулю, а энергия объекта будет включать лишь внутреннюю энергию. Наблюдатель О', движущийся относительно О, наделит тот же самый объект импульсом и кинетической энергией. Эйнштейн, используя в основном сообра-^ жения симметрии, заметил, что существует полная аналогия между координатой события х и его временем ct, с одной стороны, и между импульсом объекта р и его энергией Е/с — с другой. Эта аналогия позволяет непосредственно связать значения импульсов р и р' и энергий Е и Е*, которые приписывают одному и тому же объекту два ньютоновских инерциальных наблюдателя; эта связь имеет в точности вид (10.8)

, р — (у/о2) Ер' ^ (у/с2) Ег

Р = —1 Р =/ ",

V1 — (у2/с2)

Е'= В-р . Е = -(И.З)

/1 — (у2/(?2)/1 — (уа/с2)

Импульс и энергия объекта с массой покоя тп, движущегося со скоростью и, равны соответственно

/пу_тс2t ,

р = —„ .— > ^ = ——— "" " •(И.4)

Очевидно, что, как и в случае пространственно-временных координат события, импульсы и энергия не являются абсолютными свойствами объекта; их значение зависит от состояния движения наблюдателя. Однако существует величина, которая в соответствии с (11.3) одинакова для всех наблюдателей и потому представляет собой абсолютное свойство объекта:

Ш8-р8=(^-Y-w(И.5)

\ с /\ с )

Здесь налицо полная аналогия с интервалом — см. (11.1). С помощью уравнений (11.4) легко показать, что инвариантная величина (11.5) является не чем иным, как квадратом массы покоя объекта (с точностью до множителя с2)

V — р^тЧЧ (11.6)

Уравнения (11.3) и (11.4) изумительны по своей красоте и внутренней согласованности; вполне оценить их можно, лишь применяя сами уравнения к анализу конкретных физических задач. Рассмотрим, например, следующие задачи.

Пусть столкновение двух частиц 1 и 2 с одинаковыми массами покоя т описывается наблюдателем О, покоящимся относительно системы отсчета, связанной с центром масс частиц; тогда скорости частиц 1 и 2 равны vx = v и v2 = —v соответственно. Согласно (11.4), частицы обладают импульсами Pi и р2

тити— ту— туР1У1 - W. * Рй VA — <1WР1У1 - W. * Рй VA — <1W(11.4')(11.4')(причем Pi+p2 = 0) и(причем Pi+p2 = 0) иЕ^Е»Е^Е»энергиями тс2энергиями тс2/1 — (у2/с2)/1 — (у2/с2)(11.4")(11.4")

ти

ти

— ту

— ту

Р1У1 - W. * Рй VA — <1W

Р1У1 - W. * Рй VA — <1W

(11.4')

(11.4')

(причем Pi+p2 = 0) и

(причем Pi+p2 = 0) и

Е^Е»

Е^Е»

энергиями тс2

энергиями тс2

/1 — (у2/с2)

/1 — (у2/с2)

(11.4")

(11.4")

Эту же физическуюЭту же физическуюситуацию может описывать наб-

Эту же физическую

Эту же физическую

людатель О', связанный о частицей 1 и, следовательно, движущийся относительно наблюдателя О со скоростью и. В системе отсчета О' импульс частцы 1, как и следовало ожидать, равен нулю: согласно формулам преобразования (11.3),

1 уА-^Р)1 уА-^Р)(Н.7)(Н.7)

1 уА-^Р)

1 уА-^Р)

(Н.7)

(Н.7)

Импульс частицы 2, согласно тем же формулам, равен

Рг — tyW Ей— 2ти— 2mv

у 1 — (v2/^[КГ=П*^)121 “~ Wc^

скоростьюскоростьюЭтот результат полностью согласуется с теоремой о сложении скоростей (10.10), которая в данном случае утверждает, что частица 2 движется относительно частицы 1 со

скоростью

скоростью

(11.9)(11.9)2уw —

(11.9)

(11.9)

1 ^ W

С помощью несложных алгебраических выкладок мож

1 — (v/c^ i^(v/cy ’1 — (v/c^ i^(v/cy ’но показать, что

1 — (v/c^ i^(v/cy ’

1 — (v/c^ i^(v/cy ’

(11.10)

это позволяет записать импульс р^ в (11.8) в форме

— ти) ,(11.11)

соответствующей, согласно определению (11.4), движению частицы массой m со скоростью w. Энергии частиц 1 й 2, с точки зрения наблюдателя О, равны соответственно

^; =^; =Ei — vPi _У1 -(У2/с2)Ea — vp^Vi - Wca)me2Ei — vPi _У1 -(У2/с2)Ea — vp^Vi - Wca)me2m (б2 — у) ,= тс4 l—Wm (б2 — у) ,= тс4 l—Wme4 [1 ф (у/с)2]1 - Wme4 [1 ф (у/с)2]1 - WV1 — »г/с2V1 — »г/с2(11.12)(11.12)(11.13)(11.13)

^; =

^; =

Ei — vPi _

У1 -(У2/с2)

Ea — vp^

Vi - Wca)

me2

Ei — vPi _

У1 -(У2/с2)

Ea — vp^

Vi - Wca)

me2

m (б2 — у) ,

= тс4 l—W

m (б2 — у) ,

= тс4 l—W

me4 [1 ф (у/с)2]

1 - W

me4 [1 ф (у/с)2]

1 - W

V1 — »г/с2

V1 — »г/с2

(11.12)

(11.12)

(11.13)

(11.13)

в полном согласии с определением (11.4), энергии Е/ и Е^ — это энергии частицы, покоящейся относительно О', и частицы, движущейся относительно нее со ско- ростью U).

Уравнение (11.6) дает нам право рассматривать частицы с массой покоя, равной нулю (тп = 0), как объекты, не лишенные физического смысла.

Эти частицы могут обладать энергией Е и импульсом р при условии, что эти величины связаны соотношением Е = ср. Эйнштейн действительно выдвинул идею о том, что безмассовые частицы —- фотоны следует рассматривать в качестве переносчиков энергии, импульса и момента импульса в электромагнитных взаимодействиях. Из определений (11.4) с необходимостью вытекает, что частицы с нулевой массой покоя т = 0 могут обладать конечным импульсом р и энергией Е лишь при движении со скоростью, в точности равной скорости света и =с\ при этом, очевидно, ]/1—^v/сУ = 0. Кроме фотонов, такими частицами являются нейтрино и антинейтрино, они тоже способны к переносу энергии, импульса и момента импульса.

Применяя элементарные разложения

У1 — х =1— + ... и —-—= 1 + х +

21 — х

к определению энергии в (11.4) и ограничиваясь первыми членами при малых ж, можно записать

me21

Е = тс1 Нmv2 + ....(11.14)

/1 —У2/С22

Таким образом, пренебрегая членами порядка хМс1, мы получаем в качестве первого приближения для кинетической энергии (точное определение которой имеет вид

^иин=^-^покЬ(11.15)

ньютоновское значение mv\

Дополнения

Одна из так называемых элементарных частиц (см. главу 23) — пи-мизон (или пион^ имеющая массу покоя тк = 273тп5 (т^ — масса покоя электрона), нестабильна и распадается на мюон с массой покоя тр. = 207те и нейтрино (см. главу 23). Этих сведений достаточно для того, чтобы, пользуясь законами сохранения энергии и импульса, вычислить скорость Up. мюона в системе центра

масс. Очевидно, в кинетическую энергию мюона и нейтрино перешла часть энергии покоя пиона, соответствующая по (11.4) массе покоя т^—т^ = 66 те. Дальнейшее вычисление очень упростится, если воспользоваться общим соотношением между импульсом р, скоростью v и энергией частицы S', а именно р = (и/с^Е, вытекающим из определений (11.4). (Ответ:

(

22 \

—1/ 1 \ X

- С» С.

<wj 1

В числе приборов, используемых в экспериментальной ядерной физике, имеются так называемые ускорители, разгоняющие электрически заряженные частицы (например, ядра водорода, или протоны, имеющие массу М) до скоростей, близких к скорости света. Попадая после вывода из ускорителя на мишень, покоящуюся относительно лаборатории, пучок таких частиц обладает энергией, достаточной для того, чтобы вызвать различные реакции или взаимные превращения других частиц, Классическим примером является рождение пары протон — антипротон (с суммарной энергией покоя 2М) при столкновении налетающего протона с покоящимся* Полная энергия покоя всех частиц после реакции равна 4М, и потому суммарная энергия протона-снаряда и протона-мишени в системе их центра масс должна быть равна по крайней мере 4Мс\ так что каждый из них имеет энергию не менее 2ЛЛА

Согласно уравнению (11.6), это означает, что скорость налетающего протона и должна быть такой, чтобы в системе центра масс выполнялось соотношение

Ea =Ea =Me4Me4у i — v^ic1у i — v^ic1= 2 Мс\ или — = —с2 4= 2 Мс\ или — = —с2 4

Ea =

Ea =

Me4

Me4

у i — v^ic1

у i — v^ic1

= 2 Мс\ или — = —

с2 4

= 2 Мс\ или — = —

с2 4

В лабораторной системе отсчета, где протон-мишень покоится, налетающий протон имеет скорость w равную, согласно (11.9), w2 4(р2/с2)481

С2 [1 ^ (р2/с2)]249г7

Далее, с помощью уравнения (11.13) можно прийти к заключению, что рождение антипротона в этой реакции

возможно, если ускоритель способен разогнать протон в лабораторной системе отсчета до энергии, по крайней мере в 7 раз превосходящей энергию покоя протона

Мс2-

Е^—= 7Мс2.

У 1 — Wlc*

Рождение более массивных частиц при столкновениях протонов требует и больших значений энергии налетающего протона, причем необходимая энергия возрастает в большее число раз, чем масса покоя рождающихся частиц*. Например, для рождения пары ядер гелия и антигелия (суммарная масса покоя равна 6М) потребуется полная энергия, равная ^Мс^ в системе центра масс. Это означает, что энергия протона-снаряда равна

= 4 Мс2, то есть -2— = -^-

2с8 16

следовательно, в лабораторной системе протон должен быть разогнан до скорости

ш2 960, ri1

— = т0 есть VI — urlcF =

с2 961F31

Отсюда следует, что в этом случае энергия протона должна быть не менее?

fig = 81 МсЧi

Анализ понятий пространства и времени в главах Ю и 11 проливает свет на проблему реализации космических путешествий на межзвездные расстояния, составляющие по порядку величины несколько световых лет, или ^Ю16 м (расстояние, отделяющее нас от ближайших звезд), Ю4 свет, лет, или ^1020 м (расстояние до центра нашей Галактики) или, наконец, 106 свет, лет «1022 м (расстояние до других галактик). В любом случае ввиду ограниченной продолжительности жизни экипажа космический корабль должен быть способен приобрести скорость, близкую к скорости света.

Пусть нам удалось решить техническую проблему, и космический корабль движется в течение всего путешествия с ускорением а = g = 10 м/сек“2 (по измерениям экипажа корабля). После того как по земным часам пройдет время t, корабль достигнет скорости

gtV = ——

V1 + kgtW

(вывести эту формулу нетрудно, но этот расчет выходит за рамки нашей книги) и пройдет (по измерениям земного наблюдателя) расстояние

g \Г \ с )/

Следует помнить, однако, что время для экипажа космического корабля течет медленнее, то есть промежутки времени становятся короче. Можно показать, что в момент t по земным часам часы на корабле отмерят время

здесь In х — натуральный логарифм (по основанию е « ^2,7), для которого имеются подробные математические таблицы.

Если запланировано путешествие на расстояние D, идеальный режим движения сводится к движению с ускорением, равным g, в течение первой половины дистанции d = 4J) с последующим замедлением, также равным g, вплоть до полной остановки; полное время путешествия составит Т = 2^ по земным часам и Т* = 2^ — по часам

экипажа корабля. Применяя указанные выше формулы, можно составить следующую таблицу:

Пройденное расстоя-ние D=2d (метры)2dOie2-102и2-1022Пройденное расстоя-ние D=2d (метры)2dOie2-102и2-1022Время путешествияпо земным часамT=2t (годы)3,6 2,2*10 2,2.10еВремя путешествияпо земным часамT=2t (годы)3,6 2,2*10 2,2.10еВремя путешествияпо часам экипажаT'^t* (годы2,72029Время путешествияпо часам экипажаT'^t* (годы2,72029

Пройденное расстоя-ние D=2d (метры)

2dOie2-102и2-1022

Пройденное расстоя-ние D=2d (метры)

2dOie2-102и2-1022

Время путешествияпо земным часамT=2t (годы)

3,6 2,2*10 2,2.10е

Время путешествияпо земным часамT=2t (годы)

3,6 2,2*10 2,2.10е

Время путешествияпо часам экипажа

T'^t* (годы

2,7

20

29

Время путешествияпо часам экипажа

T'^t* (годы

2,7

20

29

Очевидно, что эффект замедления времени в движущейся системе отсчета позволяет в принципе не отказываться полностью от попыток реализации межзвездных или даже межгалактических путешествий. Однако многочисленные трудности технического характера при конструировании «звездолета» кажутся в настоящее время непреодолимыми.

Весьма интересно рассмотреть следующие вопросы. Пусть ядро с массой покоя т, движущееся со скоростью и = 8/6с, ударяется в точно такое же, но покоящееся ядро; пусть, далее, оба ядра движутся вместе, образуя новое составное ядро.

Чему равна скорость и’ составного ядра? (Ответ: t/= 5/^1/^ )

Чему равна масса покоя т' составного ядра? (Ответ: т' = (3/у^)т.)

ГЛАВА 12

Невозможность вечного двигателя второго рода

Кроме запретов, которые налагает закон сохранения энергии (глава 9), на пути создания любых машин, преобразующих теплоту и механическую работу (или другие формы энергии), лежит еще одно фундаментальное ограничение. Оно заключается в том, что невозможно построить тепловую машину, которая производила бы только полезную работу и при этом лишь отбирала бы тепло от одного и того же резервуара. Например, строго запрещено существование устройства, которое, будучи погружено в океан, преобразовало бы каким-либо способом тепловую энергию океана в другие формы энергии (такое устройство — «белый ящик», — в котором предусмотрен способ отвода энергии, схематически изображено на рис. 72). Указанное гипотетическое устройство, в котором никоим образом не нарушается закон сохранения энергии, называется «вечным двигателем второго рода» (в отличие от

Рис. 72, Схематическое изображение вечного двигателя второго рода.

1-й такт. Изотермическое расширение при температуре Тг; тепло Qt отбирается у термостата при этой температуре. В конце такта цилиндр (а вместе с ним рабочее вещество — газ) теплоизолируется, то есть выводится из теплового контакта с термостатом.

2-й такт* Адиабатическое расширение, сопровождающееся понижением температуры Тг Т2 (Тг > TJ без теплообмена с термостатом. В конце такта рабочее вещество приводится в тепловой контакт о термостатом при температуре Та*

3-й такт. Изотермическое сжатие при температуре Тг; тепло Q2 отдается термостату при этой температуре, в конце такта цилиндр вновь теплоизолируется.

4-й такт. Адиабатическое сжатие, сопровождающееся повышением температуры Т2 -> Ti (Тг < Тг) без теплообмена с термостатом. В конце такта рабочее вещество вновь приводится в тепловой контакт с термостатом при температуре Tv

Рис. 73. Четырехтактная тепловая машина, работающая по циклу Карно.

Согласно предположению Карно, расширение в первом такте и сжатие в третьем можно произвести столь медленно, чтобы температуры газа и термостата отличались бы не более чем на бесконечно малую величину (так что теплообмен оставался бы обратимым). С другой стороны, расширение во втором такте и сжатие в четвертом должны производиться очень быстро — адиабатически, то есть без теплообмена между газом и термостатом.

вечного двигателя первого рода, запрещенного законом сохранения энергии)*.

Невозможность вечного двигателя второго рода обусловлена тем, что передача тепла от резервуара с более низкой температурой к резервуару с более высокой температурой должна сопровождаться затратой дополнительной работы. В самом деле, если бы «вечный двигатель», изображенный на рис. 72, был осуществим, полученную с

* Напомним, что вечный двигатель первого рода — это тепловая машина, способная неограниченно долгое время совершать работу за счет энергии, создаваемой «из ничего». — Прим, peek

его помощью работу можно было бы обратить, например, на нагревание океанской воды. Суммарный эффект весьма напомнил бы замерзание воды в чайнике, стоящем на горячей плите: в результате передачи тепла от воды к плите последняя стала бы еще горячей. Всем хорошо известно, что такого рода факты в природе не встречаются.

Наиболее эффективное преобразование тепла в работу происходит с помощью обратимой тепловой машины, соединенной с двумя тепловыми резервуарами с температурами 7\ и ТТакая машина способна преобразовать в работу в лучшем случае лишь часть W полученного от резервуара количества тепла Qy при температуре Тг; разница энергий

Q.-Qx-W (12.1)

должна быть передана в виде тепла другому резервуару, находящемуся при температуре Т2. Тепловая машина называется обратимой если ни в одной из ее движущихся частей не происходит выделения тепла за счет трения и, кроме того, передача тепла между различными частями происходит изотермически^ то есть температуры этих частей отличаются не более чем на бесконечно малую величину.

Классическим примером такого идеального устройства служит тепловая машина, работающая по четырехтактному циклу Карно (поршень движется без трения в камере, заполненной газом в качестве рабочего тела, — рис. 73). Карно (1796—1832) обратил внимание на то, что коэффициент полезного действия такой машины зависит только от двух температур и не зависит от рабочего тела. Этот факт широко известен теперь как теорема Карно; он позволяет определить абсолютную шкалу температур с помощью следующих соотношений:

W = b=^Q, или <2, = -^—1У. (12.2)

Здесь Ту и Т 2 — абсолютные температуры. Множитель (7\— Т^/Ту носит название идеального коэффициента полезного действия и, очевидно, никогда не превосходит единицы. Измеряя коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей с разными тепловыми резервуарами, в принципе можно установить абсолютную шкалу температур экспериментально. Очевидно, что ко-

эффициент полезного действия обратимой машины стремится к единице по мере приближения температуры холодного резервуара к абсолютному нулю температуры О К= =-273 °C.

Весьма поучительно рассмотреть определение абсолютной шкалы температур (12.2) с другой точки зрения. Из опыта следует, что количество тепла Qv отбираемое данной обратимой машиной от более горячего резервуара, не зависит от того, что происходит с этим теплом в дальнейшем; таким образом, (^ одинаково для данного значения Тх и не зависит от Т2. Аналогично величина Q^ — одна и та же для данного значения Т2 и не зависит от Tv Если принять за основу этот эмпирический факт, то можно прийти к абсолютной шкале температур, введя прежде всего в качестве стандарта температуру Ts = 1°. Резервуар, находящийся при этой температуре, получает от данной машины стандартное количество тепла, например Qs = 5; далее температуру Т можно определить как температуру такого резервуара, у которого машина отбирает в Т раз большее количество тепла, равное Q = TS. Поскольку, по определению, это верно для всех температур, то, в частности,

Qi &

— = — = — = S.(12.3)

Лrsv 7

Применяя закон сохранения энергии к обратимой машине (для которой Qt = <22+Ю> можно записать (12.3) в виде

Qi = -^Qi-W ИЛИ W = h^Qv (12.4)

Подставляя (12.2) в (12.1), можно получить выражение для Qa через И7:

Qa =—h—W или W = 2l-.^ Q

Эти же соотношения выполняются и в том случае, если машина действует как тепловой насос с обратным по отношению к тепловой машине порядком операций; при этом уравнение (12.4) можно использовать для определения «коэффициента бесполезного действия» («КБД») теплового насоса в виде ^Тх—Т^/Т%. Чем ниже температура Т2 холодного резервуара, тем больше будут неизбежные

Р и в. 74. Блок-схема обратимой тепловой машины.

При подведении тепла Qt она преобразует долю (Tt—Tt)/T* в полезную ра боту Wjj при подведении извне механической работы W = t(T, — Т2)/Т2] Qt она действует как тепловой насос, сообщающий более горячему термостату добавочное тепло Q2. При этом важно, чтобы ни один из термостатов не на* ходился в прямом тепловом контакте ни о каким другим термостатов.

потери (а с ними и «КБД») насоса, это означает, что, по мере того как температура Г2 будет понижаться, для перевода количества тепла Q^ от резервуара Т^ к резервуару ?! понадобится все бдлыпая работа W (рис. 74).

Например, коэффициент полезного действия (КПД) паровой машины, отбирающей тепло от нагревателя с температурой Тг = 127 ®С = 400 К и отдающей тепло охладителю — окружающему воздуху с температурой Т^— =2 7 °C = 300 К, не может превзойти значения [(400— —300)/400] = V4. КБД холодильника, который отбирает тепло от морозильника при температуре Г2 = — 3 ®С и отдает его воздуху в кухне при температуре Тг = = 27 ®С = ЗООК, во всяком случае, не менее [(300—270)/ /270] = V9.

Сила теоремы Карно состоит в том, что содержащееся в ней утверждение не зависит от конкретного устройства обратимой тепловой машины. Все обратимые машины должны обладать одним и тем же коэффициентом полезного действия, не зависящим от рабочего вещества (например, в случае паровой машины этим веществом может быть газ, а в случае термоэлектрического преобразователя — электроны). Для доказательства достаточно лишь предположить обратное. Пусть существуют две различные тепловые машины 1 и 2, дающие работу FT и ^соответственно, причем, W > W. Соединив машины 1 и 2 так, как показано на рис. 75, можно возвратить машине 7

Рис. 75. Гипотетическая схема соединения тепловых машин.

Если бы существовали две обратимые тепловые машины 1 и 2 с различными КПД, их можно было бы соединить так, как показано на рисунке; в результате мы получили бы вечный двигатель второго рода. Во время его работы от термостата Тх тепло не отбирается, Qt — Qt — 0, тогда как от термоста

та Т2 отбирается тепло Q2 — Q2 = W — W.

произведенную ею работу W. Получившася в результате сложная машина произведет, таким образом, суммарную положительную работу W— W, отобрав ее в виде тепла от одного и того же резервуара Т2, что противоречит экспериментальному факту неосуществимости вечного двигателя второго рода. Чтобы избежать противоречия, следует отказаться от исходного предположения, то есть считать, что во всех случаях W = W.

На практике тепловые машины никогда не достигают идеального КПД обратимых машин. В реальных машинах неизменно происходят необратимые процессы (например, за счет трения движущихся частей), приводящие к выделению в машине некоторого тепла Q3. Поэтому более реалистичная схема тепловой машины включает дополнительный канал отвода тепла Q3 (указанный на рис. 76 стрелкой) и уменьшение за этот счет значения полезной работы от W до W' (рис. 76). Необратимость означает, что при проведении обратного цикла разность W'—W нельзя вернуть в виде полезной работы: если машина используется в качестве теплового насоса, требуется совершить добавочную работу W—W' с тем, чтобы «покрыть убытки» энергии, понесенные при необратимом выделении тепла Q3 в машине.

Предельный случай тепловой машины—это устройство, вовсе не заслуживающее такого названия: оно вообще не производит работы, и его КПД равен нулю, так что Q2=0>

Q3’W-W .Q3’W-W .ССW*(W-W )W*(W-W )((Q3»W-WQ3»W-W

Q3’W-W .

Q3’W-W .

С

С

W*(W-W )

W*(W-W )

(

(

Q3»W-W

Q3»W-W

Рис. 76. Схематическое изображение необратимого выделения

тепла.

В реальной тепловой машине (или тепловом насосе) всегда происходит некоторое необратимое выделение тепла Q3; оно уменьшает идеальный КПД теплового двигателя и увеличивает затраты работы на передачу тепла тепло

вым насосом.

Qs = Qv Если отводить тепло Q3 = (^ в резервуар Т2, то мы получаем пример чисто необратимого процесса. Если резервуары конечны, необратимый процесс перехода тепла от резервуара 7\ к резервуару Т2 приведет в итоге к установлению теплового равновесия между ними; это означает, что если первоначально температуры резервуаров были различны (Т^Т^, то в результате теплообмена они выравняются (рис. 77). В этом случае говорят, что два резервуара, первоначально не находившиеся в тепловом равновесии, приближаются к нему в процессе релаксации. После того как оба резервуара достигли теплового равновесия за счет теплового контакта, они могут обмениваться теплом лишь за счет флуктуаций} по

КонечноесостояниеКонечноесостояниеzx Qf St*zx Qf St*Начальноесостояние

Конечноесостояние

Конечноесостояние

zx Qf St*

zx Qf St*

Только малые флуктуации

Рис. 77. Схематическое изображение необратимых процессов. Два термостата, первоначально изолированные, достигают состояния теплового равновесия при тепловом контакте за счет процесса релаксации.

существу их можно рассматривать как один резервуар находящийся в равновесии при температуре Т.

Поведение физических систем в состоянии теплового равновесия (включая детальный учет флуктуаций) известно достаточно хорошо, и мы опишем его. Значение КПД обратимых тепловых машин, содержащих лишь единственный (нетепловой!) контакт между резервуарами, каждый из которых находится в тепловом равновесии при некоторой фиксированной температуре, также можно получить из теории теплового равновесия.

С другой стороны, попытки глубокого теоретического описания необратимых процессов натолкнулись на чрезвычайные трудности, которые до сих пор не удалось по-настоящему преодолеть. В основном эти трудности связаны с тем, что, на первый взгляд, невозможно согласовать выделенное направление времени, проявляющееся в необратимых процессах, с симметрией по отношению к обращению движения (глава 6).

С термодинамической точки зрения различие между обратимыми и необратимыми процессами можно сформу» лировать точно, введя понятие энтропии» Если назвать отношение

(12.5)(12.5)-^- = М

(12.5)

(12.5)

т

(где AQ — тепло, полученное в обратимом процессе от резервуара с температурой Г) энтропией AS, полученной от резервуара, то на основании (12.3) действие обратимых машин можно описать с помощью закона сохранения: в обратимых процессах энтропия сохраняется.

Действительно, в случае машины, работающей по циклу Карно, энтропия, полученная от резервуара равна S = Q^ в точности то же количество энтропии S = Q^T\ отдается резервуару Т2. Другими словами, по окончании обратимого цикла (например, цикла Карно) энтропия рабочего вещества не изменилась.

- Окончание цикла означает, что рабочее вещество вернулось в исходное термодинамическое состояние, с которого начинался цикл. Для данного рабочего вещества термодинамическое состояние характеризуется, вообще говоря, температурой Т резервуара, с которым у рабочего вещества имеется тепловой контакт, а также объемом V» занимаемым рабочим веществом. Если термодинами-

ческое состояние рабочего вещества известно, то в принципе можно вычислить и некоторые функции состояния, то есть величины, зависящие только от того, в каком термодинамическом состоянии находится вещество. Например, давление Р, которое рабочее вещество оказывает на стенки сосуда при данных V и Т, можно определить, если известно уравнение состояния вещества (такое вычисление проведено подробно для случая идеального газа в дополнении 1).

Из этих рассуждений следует, что энтропия S должна быть такой функцией термодинамического состояния, которую можно найти, если известны значения двух переменных, определяющих термодинамическое состояние (например, Г и F) данного вещества. Наоборот, известное значение S совместно с еще одной переменной, определяющей термодинамическое состояние (например, 7), можно использовать для нахождения других функций состояния (например, Р или 7).

Стоит подчеркнуть, однако, что не все физические ве- . личины являются функциями состояния в описанном выше смысле. Например, не имеет смысла говорить о содержании тепла Q в веществе в данном состоянии. Действительно, в цикле Карно количество тепла Qv сообщаемое рабочему веществу, превосходит количество тепла Q^ отбираемое от него. С другой стороны, полная внутренняя энергия вещества Е является функцией состояния. Закон сохранения энергии гарантирует, что полное изменение внутренней энергии в цикле Карно равно нулю; разность между входящим (QJ и исходящим (Q2) значениями тепла отдается окружению в виде работы W, совершаемой рабочим веществом.

Рассмотрим далее объект, в котором переход от одного термодинамического состояния к другому происходит за счет необратимого процесса.

В качестве одного из таких объектов можно взять газ, состоящий из молекул двух различных типов а и Ь, не реагирующих химически друг с другом. Предположим, что в начальном термодинамическом состоянии оба типа молекул разделены перегородкой. Однако обе половины сосуда находятся в тепловом контакте с одним и тем же резервуаром при температуре Т (рис. 78). Затем перегородка удаляется и молекулы получают возможность необратимо перемешиваться; в результате устанавлива-

начальное состояние

Рис. 78. Необратимое смешивание молекул двух различных типов при наличии теплового контакта с термостатом при температуре Г.

(Тип а обозначен точками, тип b — крестиками.)

конечное состояние

ется конечное термодинамическое состояние с той же температурой Т и тем же полным объемом V. Изменение термодинамического состояния сводится здесь к изменению самого вещества: первоначально имелось два различных вещества а и 6, а в конечном итоге получилось одно вещество — смесь молекул а и Ъ.

Что произошло с энтропией в этом процессе? На этот вопрос можно ответить, лишь если удастся изобрести последовательность обратимых процессов, с помощью которых вещество можно было бы перевести из данного начального термодинамического состояния в данное конечное состояние. Тогда на каждом из последовательных шагов можно было бы подсчитать изменение энтропии с помощью уравнения (12.5).

Для нашего примера такую последовательность можно подобрать, используя так называемые полупроницаемые перегородки, пропускающие молекулы лишь одного типа.

Предположим, что перегородка, разделяющая два

Стадия /Стадия 2

Рис. 79. Переход от начального термодинамического состояния к конечному.

Конечное состояние изображено на рис. 78; каждый этап перехода является обратимым. На первом этапе газам предоставляется возможность обратимо смешиваться между двумя полупроницаемыми стенками. На втором этапе смешанный газ обратимо расширяется до конечного объема V при постоянной температуре.

газа, состоящих каждый из молекул типа а и типа Ъ в начальном состоянии, представляет собой две полупроницаемые перегородки Л и S, пропускающие только молекулы типа а или типа Ъ соответственно; допустим, что части сосуда могут вдвигаться одна в другую, как показано на рис. 79, На первом этапе газам предоставляется возможность перемешиваться обратимым образом в пространстве между двумя полупроницаемыми стенками; в конечном состоянии возникает газовая смесь, занимающая лишь часть полного объема. На этом этапе тепло не отбирается от резервуара и не подводится к нему; полная энтропия вещества, заполняющего сосуд, остается неизменной. На следующем этапе полупроницаемые перегородки убираются и газовой смеси предоставляется возможность изотермически (в принципе обратимым образом) расширяться до тех пор, пока не будет достигнуто конечное термодинамическое состояние, такое, как изображено на рис. 78 справа. На втором этапе веществу в сосуде требуется сообщить некоторое количество тепла Дф, чтобы покрыть энергетические расходы по совершению работы W при расширении; при этом энтропия газовой смеси повысится на величину AS =AQ/T. Поскольку в необратимом процессе (рис. 78) тепло от резервуара не отбиралось, следует заключить, что в процессе необратимого перемешивания газов энтропия не сохранилась (точнее, возрастала).

Аналогичными рассуждениями, в основе которых всегда лежит предположение о том, что конечное термодинамическое состояние необратимого процесса может быть в принципе достигнуто последовательностью различных (но обратимых!) процессов, можно показать, что релаксационные процессы (например, изображенные на рис. 77) сопровождаются возрастанием полной энтропии рассматриваемого вещества. Это дает нам право считать возрастание энтропии в данном процессе критерием его необратимости. С точки зрения термодинамики не существует процессов, происходящих с уменьшением энтропии.

Важно понять, что измерение энтропии объекта требует, чтобы этот объект находился в термодинамическом

состоянии — все его части находятся в контакте с некоторым резервуаром тепла; иными словами, каждая часть объекта должна характеризоваться определенной температурой. Рассмотрим вновь начальное термодинамическое состояние двух разных газов (рис 78) и предположим, что перемешивание допускалось бы лишь после того, как стенки сосуда были бы теплоизолированы, (тем самым тепловой контакт с резервуаром был бы нарушен). С термодинамической точки зрения в этой ситуации нельзя ничего сказать об энтропии. Соблазнительно, конечно считать, что и при этих обстоятельствах перемешивание будет происходить практически точно так же, как и при наличии теплового контакта: газ займет тот же полный объем, он будет оказывать почти то же давление на стенки сосуда и будет обладать той же внутренней энергией. В действительности газ после перемешивания перейдет в некоторое механическое состояние (оно определяется координатами и скоростями всех молекул газа в данный момент времени), которое макроскопически будет, по-ви- димому, очень мало отличаться от конечного термодинамического состояния, в которое газ перешел бы, находясь в тепловом контакте с резервуаром. Однако указанное механическое состояние отличается от конечного термодинамического в одном отношении, весьма тонком с логической точки зрения, но приводящем к фундаментальным следствиям. Именно, если бы в данный момент времени каким-то образом удалось обратить все движения молекул, то изолированная газовая смесь вернулась бы в свое исходное несмешанное механическое состояние, которое она занимала до снятия перегородки; эта принципиальная возможность вытекает из симметрии законов механического движения по отношению к обращению времени (см. главу 6). Образно говоря, в изолированной механической системе память о начальном механическом состоянии «закодирована» в координатах и скоростях, которые молекулы имеют в следующие моменты времени. В то же время есть основания думать, что газовая смесь, находящаяся в контакте с резервуаром, уже не разделится вновь на компоненты, если бы даже удалось в какой-либо момент времени обратить движения всех молекул; можно сказать, что контакт с резервуаром «стирает» память о начальном термодинамическом состоянии.

Объяснение известного парадокса Лошмидта (которое ; будет дано в главе 13) связано как раз с различием в поведении изолированного объекта и объекта, находящегося в тепловом контакте с резервуаром.

Дополнения

Многие авторы определяют абсолютную температуру Т как меру средней кинетической энергии (-^ mv^ атомов массой тп, составляющих идеальный газ (газ считается находящимся в состоянии термодинамического равновесия с тепловым резервуаром при этой температуре); точнее,

(~-ти2 ) = const • Г.

Понятие идеального газа является абстракцией; оно возникает из представления о реальном газе, если мысленно пренебречь собственными размерами атомов и всеми взаимодействиями между ними (за исключением упругих столкновений атомов друг с другом и стенками сосуда). Выбор константы в данном выше определении температуры зависит от системы единиц. В системе СГС принято писать

const = -~к, где к = 1,38 • 10~16 эрг/К

(в системе СИ к — 1,38 -П)-23 Дж/К) и определять таким образом абсолютную шкалу температур в градусах Кельвина (К). Нетрудно показать (чего мы здесь делать не будем), что давление Р и объем V идеального газа, состоящего из N атомов, связаны друг с другом соотношением

PV == NkT.

Это так называемое уравнение состояния идеального газа} если использовать его совместно с законами термодинамики, то можно доказать, что КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно с идеальным газом в роли рабочего вещества, действительно равен (7\-—71 ^/Т\ (где Tv Т^ — температуры резервуаров); тем самым устанавливается тождественность кинетического и термодинамического определений абсолютной температуры.

Недостаток кинетического определения температуры Т заключается в том, что оно основано на абстрактном понятии идеального газа, которое никогда не реализуется в природе; кроме того, при очень низких температурах, близких к абсолютному нулю (7 = 0), согласно модели идеального газа все движения должны были бы прекратиться; таким образом, вблизи Т = 0 это определение совершенно неверно отражает действительность. Поэтому мы отдали в этой главе предпочтение термодинамическому определению температуры, несмотря на его сравнительно большую логическую сложность.

Другая шкала температур, известная под названием шкалы Цельсия (°C), восходит к исторически сложившемуся соглашению — считать в качестве нуля шкалы (0 °C) точку замерзания воды, а за 100 °C — точку ее кипения (в обоих случаях вода считается находящейся при нормальном атмосферном давлении). Для того чтобы сохранить разность между температурами замерзания и кипения воды равной 100°, и для абсолютной шкалы (К), было установлено международное соглашение считать

0 °C = 273,15 К:

при этом разность температур в один градус оказывается в обеих шкалах одинаковой.

Ввиду того что точка замерзания воды зависит от давления, X Международная конференция по мерам и весам постановила считать фиксированной точкой шкалы температур так называемую тройную точку воды

70 = 273,16 К.

При температуре, равной 70, лед, вода и водяной пар сосуществуют в равновесии друг с другом. По сравнению с точкой замерзания тройная точка обладает тем преимуществом, что она единственная, так как отвечает определенному значению температуры при определенном значении давления (рис. 80). Таким образом, градуируя погруженный в воду термометр при температуре 70, то есть отмечая его положение значением 273,16 К, уже нет необходимости одновременно измерять давление: в тройной точке оно всегда имеет определенное значение (в частности, для воды оно составляет 0,458 см ртутного столба).

Рис. 80. Фазовая диаграмма воды.

При давлении ниже 0,458 см рт. ст. вода как жидкость уже не существует ни при какой температуре; при повышении температуры она начинает испаряться непосредственно из твердого состояния, как только температура пересекает линию сублимации S. При давлениях выше давления тройной точки лед плавится, когда температура пересекает линию замерзания F; вода в жидком состоянии испаряется, когда температура пересекает линию испарения В.

Температурная зависимость давления, при которой существуют две фазы одного и того же вещества (например, льда и воды вдоль линии F на рис. 80, воды и ее пара вдоль линии В и льда и водяного пара вдоль линии 5), определяется следующей фундаментальной теоремой фазовых переходов: пусть Q — количество тепла, необходимое для перехода вещества из фазы I в фазу II при температуре Г (например, в качестве Q может фигурировать теплота плавления, испарения или сублимации, если фазы I и II являются соответственно жидкой и твердой, жидкой и газообразной, твердой и газообразной). Пусть, далее, Уг и Гц —- объемы, занимаемые фазами I и II вещества при температуре Г; тогда малое изменение температуры АТ1 вызовет малое изменение давления АР, причем

АРQ

АГ ~ (^п-V^T *

Рис. 81, Тепловая машина, работающая по циклу Карно. Рабочее вещество состоит из фаз I и II, находящихся в равновесии при температуре Т и давлении Р. Фаза I переходит в фазу II при отборе от термо стата теплоты перехода Q*

Это выражение имеет простой геометрический смысл производной, или тангенса угла наклона, линии раздела двух фаз (фазовой границы) на фазовой диаграмме рис. 80. В случае воды объем, занимаемый паром при испарении или сублимации, всегда больше, чем объем, занимаемый жидкостью или твердым телом; следовательно, (Уц — Vi)>0, и потому возрастание температуры приведет к возрастанию давления, при котором могут сосуществовать две фазы (одна из которых газообразная); этот факт отражен в положительном наклоне линий В и 8 на рис. 80. С другой стороны, тающий лед занимает больший объем, чем вода, так что (Уц—У i) < 0; поэтому давление, при котором лед начинает таять (плавиться), понижается с повышением температуры плавления, и это обстоятельство отражено на фазовой диаграмме рис. 80 отрицательным наклоном линии F.

Эта замечательная теорема верна для всех веществ; ее вывод с помощью теоремы Карно может служить иллюстрацией красоты и общности полученного Карно результата.

Рассмотрим вновь тепловую машину, работающую по циклу Карно (рис. 73), однако в качестве рабочего вещества возьмем вещество, допускающее сосуществование двух фаз I и II при данных температуре и давлении (рис. 81). Если при этих условиях тепло передается от резервуара

к веществу, фаза I будет переходить в фазу II и этот переход будет сопровождаться соответствующим изменением объема; обратный переход (конденсация) фазы II в фазу I требует передачи тепла от вещества к резервуару. Представим себе теперь следующий четырехтактный цикл.

1-й такт* Изотермический фазовый переход I -^ II при температуре Т = 7\+ДГ и давлении Р+ДР; при этом тепло Qi == Q отбирается от резервуара Тг и вследствие изменения объема Fn—Fi работа, произведенная над поршнем, равна (Р +ДР)(Гц—Fi) = Wv

2-й такт. Давление понижается на величину ДР до значения Р, и вещество адиабатически (то есть без теплообмена) релаксирует до температуры Т2 = Т; изменение объема при этом ничтожно мало, так что W. = 0.

3-й такт. Изотермический фазовый переход 11-^-1 при температуре Z2 = Г и давлении Р; при этом тепло Q2 отдается резервуару Р2 и за счет изменения объема работа, произведенная поршнем, равна P(Fn—Fi) = — W3 (это означает, что работа, произведенная над поршнем, равна +PF3).

4-й такт. Давление поднимается вновь на величину ДР, достигая значения Р +ДР; при этом температура Т адиабатически повышается до значения Т +ДР, причем изменением объема можно пренебречь (PF4 = 0), так что вещество возвращается в исходное состояние.

Согласно теореме Карно, суммарная работа, которую произведет тепловая машина за весь цикл, равна

W = Q —;

Т

очевидно, эта работа в точности равна полной работе, произведенной над поршнем за весь цикл:

W = WT + W2 + W3 + W4 = ДР (Fn - F^ .

Из этих двух уравнений немедленно следует и фундаментальная теорема фазовых переходов (или соотношение Клапейрона — Клаузиуса. — Ред.).

Рассмотрим следующий поучительный численный пример. При давлениях, когда температура плавления льда находится в окрестности 0° С = 273 К, 1 г жидкой воды занимает 1 см3, air льда — около 1,1 см3. Расплавить 1 г льда при этой температуре можно, затратив Q = 80 кал = 335 Дж = 3,35 »109 эрг. Насколько изменится температура плавления, если давление повысится на 106 дин/см2 ^ 1 атм? (Ответ: температура плавления понизится примерно на АТ 8 -10“3° С.)

ГЛАВА 13

Направление времени

Теоретическое предсказание наблюдаемого поведения систем в состоянии теплового равновесия является одним из триумфов атомной гипотезы строения вещества. Считая любой макроскопический объект состоящим из очень большого, но конечного числа атомов или молекул и применяя законы статистики, можно теоретически вывести поведение веществ в состоянии теплового равновесия. В частности, отсутствие больших флуктуаций в распределении температуры (соответствующих спонтанному уменьшению энтропии) у системы, находящейся в равновесии, может быть объяснено на языке теории вероятностей.

Если упрощенно описывать газ в состоянии теплового равновесия как собрание определенного числа быстрых молекул и равного числа медленных молекул, хаотически двигающихся внутри сосуда, то можно ожидать, что в любой достаточно большой части объема сосуда окажутся примерно равные количества молекул обоих типов (рис. 82). Даже проделав очень много наблюдений, в высшей степени маловероятно обнаружить когда-либо состояние, в котором все быстрые молекулы случайно собрались бы в одной части сосуда, а медленные — в другой (рис. 83). Вообще вероятность обнаружить газ в определенном состоянии пропорциональна числу способов, которыми можно осуществить это состояние. Особенно просто понять это на примере «дихотомических состояний», то есть когда могут осуществляться лишь два со-

Рис. 82. Вероятное распределение быстрых и медленных молекул по двум частям сосуда, соответствующее почти одинаковой температуре обеих половин.Рис. 82. Вероятное распределение быстрых и медленных молекул по двум частям сосуда, соответствующее почти одинаковой температуре обеих половин.Рис. 83. Маловероятное распределение быстрых и медленных молекул по ' двум частям сосуда, соответствующее большой разности температур между двумя частями сосуда.Рис. 83. Маловероятное распределение быстрых и медленных молекул по ' двум частям сосуда, соответствующее большой разности температур между двумя частями сосуда.

Рис. 82. Вероятное распределение быстрых и медленных молекул по двум частям сосуда, соответствующее почти одинаковой температуре обеих половин.

Рис. 82. Вероятное распределение быстрых и медленных молекул по двум частям сосуда, соответствующее почти одинаковой температуре обеих половин.

Рис. 83. Маловероятное распределение быстрых и медленных молекул по ' двум частям сосуда, соответствующее большой разности температур между двумя частями сосуда.

Рис. 83. Маловероятное распределение быстрых и медленных молекул по ' двум частям сосуда, соответствующее большой разности температур между двумя частями сосуда.

стояния: либо одно, либо другое (подробности см. в приложении I).

Пусть состояние, изображенное на рис. 82, возникло не в результате случайной флуктуации, а было исходным состоянием газа в двух (первоначально разделенных) сосудах, находящихся в равновесии при различных температурах и приведенных в тепловой контакт после снятия разделяющей их перегородки. Принято считать, что такой эксперимент представляет собой хорошую модель для наблюдаемых в действительности необратимых процессов, переводящих начальное упорядоченное состояние (рис. 83) в конечное неупорядоченное (рис. 82). При изучении необратимых процессов следует, однако, иметь в виду, что отождествление состояния теплового равновесия в одной из половин сосуда с состоянием, реализующимся (хотя бы в принципе) в той же половине сосуда за счет флуктуации совершенно другого равновесного состояния всего сосуда, является все же не более чем смелой гипотезой относительно возможных начальных состояний.

Поскольку при необратимом процессе энтропия возрастает, то именно энтропию обычно считают мерой неупорядоченности состояния (в указанном выше смысле). । Иначе говоря, энтропия должна быть количественно связана с числом возможных способов реализации данного состояния.

Чтобы найти эту связь, рассмотрим две различные системы, каждая из которых находится в тепловом равно- 182

'М.'М.N,AN,A

'М.

'М.

N,A

N,A

Рис. 84. Схема теплового равновесия двух систем.

Если две системы находятся в тепловом равновесии при одинаковой температуре Т, но в остальном являются полностью независимыми друг от друга, их ентропии сложатся. Число возможных состояний всей системы является произведением числа способов, которыми можно осуществить состояния первой и второй систем.

весии при одной и той же температуре Л пусть числа возможных способов реализации этих состояний равны соответственноNx nW2, а их энтропии — ^и^а (рис. 84). Если системы полностью независимы друг от друга, то их энтропии просто складываются:

S = ST + 53.(13.1)

Полное число способов (7V) реализации сложного состояния статистически независимых систем (находящихся при заданных условиях) дается, очевидно, произведением

N =NXNV(13.2)

Итак, если вообще существует какая-либо связь между S и N, то величина S должна быть пропорциональна логарифму N, поскольку функциональному уравнению / ($i ^2) = / (^1) + / (#2) удовлетворяет лишь логарифмическая функция / (х) = In х. Мы приходим, таким образом, к замечательному соотношению, впервые полученному Больцманом,

S = ftln^.(13.3)

Здесь к —^ коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц измерения. В системе СИ значение к равно (см. также дополнение к главе 12)

к = 1,38 • 10"23 Дж/К.(13.4)

К сожалению, эти соображения оказываются малопригодными при попытке ответить на два вопроса, поставлен-

ные самим фактом существования в природе необратимых процессов.

Почему состояние той части Вселенной, в которой мы находимся, очень мало напоминает состояние теплового равновесия?

Если начальное состояние, дальнейшая эволюция которого связана с необратимыми процессами, не является следствием статистической флуктуации, то почему мы всегда наблюдаем в этих процессах лишь возрастание энтропии и никогда не наблюдаем ее убывания?

Ни один из этих вопросов не представлял бы собой загадки, если бы действительное состояние нашей части Вселенной возникло в результате статистической флуктуации. Если бы нам это было достоверно известно, мы очень просто ответили бы на первый вопрос: значит, наша часть Вселенной пребывает в одном из многих возможных состояний теплового равновесия и наблюдаемое нами отклонение от него — кажущееся; оно обусловлено лишь тем, что вероятность данного состояния нашей Вселенной мала и это можно было бы обнаружить, если бы мы имели возможность наблюдать большую совокупность (ансамбль) вселенных, подобных нашей. Любая система, находящаяся в термодинамическом равновесии, с необходимостью осуществляет тесный контакт с тепловым резервуаром значительно больших размеров, чем сама система. Любое состояние системы можно рассматривать как возможное начальное состояние. Поскольку каждое такое равновесное состояние (сколь бы мала ни была его вероятность) симметрично по отношению к обращению времени, нам не пришлось бы ставить вопрос 2 в такой форме. Действительно, если в качестве исходного мы имеем состояние, симметричное по отношению к обращению времени, то энтропия не только будет с подавляюще большой вероятностью возрастать со временем, но само это состояние со столь же большой вероятностью возникло из предыдущего состояния с возможно большим значением энтропии. Другими словами, все равновесные состояния совместимы с принципом симметрии законов механики по отношению к обращению направления движе-

ния, поскольку любое случайно выбранное равновесное состояние будет (с подавляющей вероятностью) иметь значение энтропии, меньшее, чем предшествовавшее ему состояние и состояние, следующее за ним во времени.

Разумеется, если термодинамически равновесное состояние было выбрано в качестве начального, а затем система была изолирована от теплового резервуара (то есть заключена в адиабатическую оболочку), то последующее механическое состояние этой системы уже не может служить в качестве начального состояния при статистическом подходе — это состояние не отвечает более условию случайного выбора: оно явилось результатом эволюции системы из механического начального состояния под действием неумолимых законов механики.

Однако истинное состояние нашего мира, а также большинство начальных состояний систем, испытывающих необратимые процессы, не обладают симметрией по отношению к обращению времени — направление времени уже заложено в этих начальных состояниях, и флуктуационная теория возрастания энтропии в этих случаях неприменима.

Действительно, если бы высокоупорядоченное состояние, которое мы наблюдаем сейчас в доступной нам части Вселенной, было результатом статистической флуктуации, то существовала бы огромная вероятность того, что другие части Вселенной, которые мы не имеем возможности наблюдать, находятся в состоянии с большим значением энтропии и выглядят менее упорядоченными, чем наблюдаемая нами. Мы можем с полным основанием предполагать, что достижения в области астрономии будут продолжаться и далее, как это не раз случалось в прошлом, когда доступная нашему наблюдению часть Вселенной была значительно меньше; будут открываться все новые и новые удаленные части Вселенной, столь же далекие от равновесия, как и наша часть. Вся совокупность астрономических данных указывает на то, что по причинам, которые до сих пор не известны, Вселенная в целом находится в состоянии, весьма далеком от равновесия, и ранее также пребывала в таких состояниях в течение весьма долгого времени. Следует признать, таким образом, что в настоящее время не существует удовлетворительного ответа на первый из поставленных нами вопросов .

По мнению ряда авторов, нельзя ожидать, что Вселенная достигнет когда-либо состояния, близкого к состоянию теплового равновесия, которого, как принято обычно считать, достигает с течением времени всякая изолированная система, находящаяся в неизменном окружении. Дело в том, что Вселенная не является изолированной системой в неизменном окружении, так как всепроникающее и универсальное гравитационное поле представляет собой «окружение», которое в принципе не может оставаться постоянным во времени.

Но если бы даже удалось тем или иным образом решить первую проблему, вторая продолжала бы оставаться загадкой. Практически все начальные состояния (например, брошенный в стакан с теплой водой кубик льда) приготавливаются нами специально и потому не являются случайно выбранными из ансамбля возможных состояний (в данном случае начальное состояние приведет к необратимому процессу — таянию кубика льда). Следовательно, к этому случаю неприменимы и статистические рассуждения, согласно которым любое случайно выбранное состояние обладает (с подавляющей вероятностью) меньшей энтропией, чем «соседние» во времени состояния (как в прошлом, так и в будущем). По неизвестным причинам начальные состояния, приготовленные нами, содержат в себе тенденцию к переходу в состояния с большей энтропией (если предоставить им возможность самопроизвольного развития); в то же время законы механики не запрещают существования таких начальных состояний, которые, будучи предоставлены самим себе, эволюционировали бы в состояния с меньшей энтропией.

По мнению ряда авторов, наблюдаемое в лабораторных экспериментах направление времени тесно связано с направлением времени, характерным для Вселенной в целом; возможно, следует предположить существование некоторого взаимодействия (может быть, гравитации), наличие которого вообще делает в принципе невозможным строгую изоляцию системы, и именно это взаимодействие «диктует» направление времени во всех частях Вселенной. Однако далеко не всем импонирует идея о том, что явления, происходящие на Земле внутри изолированного сосуда (содержащего, например, воду и кубик льда), неразрывно связаны с тем, что происходит внутри другого изолированного сосуда с водой и льдом, расположенного

Рис. 85. Демон Максвелла, готовящийся открыть заслонку между двумя половинами сосуда, изображенного на рис. 82, в момент, когда быстрая молекула приближается к отверстию слева.

на некоторой планете в некоторой галактике. Эта группа ученых считает, что, по-видимому, причины существования направления времени возможно установить, рассматривая лишь сравнительно небольшие изолированные системы. Второй вопрос остается, таким образом, также открытым. Соблазнительно поразмышлять над тем, удалось ли бы найти выход из логического тупика, предположив, что энтропия строго сохраняется во всех процессах, включая необратимые. Чтобы вообще получить такую возможность, следовало бы открыть в природе некоторый объект, способный воспринимать и переносить отрицательную энтропию в ходе необратимых процессов; такой объект смог бы восстановить баланс энтропии во всей Вселенной, во многом аналогично тому, как предсказанное Паули нейтринное поле «спасает» законы сохранения энергии и момента импульса в некоторых ядер- ных процессах*.

♦ Вопрос о соотношении между необратимыми процессами в системах огромного числа частиц и направлением времени связан, с одной стороны, с теорией необратимых процессов, а с другой — с космологическими гипотезами о строении и эволюции Вселенной. Теория необратимых процессов, особенно ее статистический фундамент, находится лишь в начальной стадии своего развития, а космология как наука не располагает еще достаточным числом наблюдательных данных, хотя и не испытывает недостатка в гипотезах. Применение термодинамики (и введенного в ней понятия энтропии) к таким объектам, как Вселенная, спорно, ибо сейчас мы не располагаем хорошей моделью Вселенной. Поэтому рассуждения автора в этой главе отражают лишь его точку зрения (у которой есть свои сторонники и последователи). Но есть и другие точки

Дополнения

Преобразовать неупорядоченное состояние в упорядоченное (например, сложить по порядку колоду карт) может любой разумный человек. Аналогично с задачей преобразования вероятного распределения скоростей (рис. 82) в маловероятное (рис. 83) могло бы справиться, например, гипотетическое сверхразумное существо, известное под именем демона Максвелла и стоящее на страже у небольшой задвижки между двумя половинками сосуда (рис. 85). Роль демона состояла бы в том, чтобы быстро открывать задвижку при приближении к ней быстрой молекулы слева и медленной молекулы справа. В результате демону удалось бы отделить друг от друга быстрые и медленные молекулы гораздо скорее, чем это шло бы путем статистической флуктуации (в отсутствие задвижки).

Ясно, что демону не удалось бы успешно осуществить свою миссию, если бы он не мог отличать быстрые молекулы от медленных. В свою очередь такое знание требует ровно одного бита информации (определение см. в дополнении 1 к главе 2). Это привело некоторых авторов к тому, чтобы рассматривать информацию как источник отрицательной энтропии (или негэнтропии), которую демон Максвелла передает газу при каждом открывании задвижки (то есть при использовании одного бита информации). При таком подходе полная энтропия системы в процессе деятельности демона не обязана убывать, если считать самого демона и источник отрицательной энтропии частями системы. Этот подход можно сформулировать и количественно, сопоставив каждому биту информации отрицательную энтропию, равную

So=—А:1п2;

разумеется, негэнтропия также аддитивна и два бита информации эквивалентны

2S0 = — /с In 2 —/с In 2 = — &1п22;

зрения. Читателю следует иметь в виду, что по этим сложным вопросам на сегодня просто еще нет общепринятых бесспорных научных данных. Возможно, эти задачи еще не по плечу современной физике. Она уже может их поставить, но еще не может их решить. — Прим. ред.

вообще наличие п битов информации равносильно наличию отрицательной энтропии, равной

nS0 = —к In 2\

Из предыдущих рассуждений вытекает, что сверхразумный демон Максвелла всегда может получить информацию, необходимую ему для успешного выполнения работы. Однако с возникновением квантовой механики было установлено фундаментальное ограничение, которому подвержен любой демон. Именно, если температура газа, состоящего из N молекул массы тп, занимающих объем V, станет ниже критического значения

Го = —(—YA (к = 1,05 • 10"27 эрг • сек), тк \ V )

то демон вообще потеряет возможность с достаточной точностью различать быстрые и медленные молекулы и «виной» тому будет так называемый принцип неопределенности (см. приложение I)

Др Дж = тД v^x > к.

Он утверждает, что локализация молекулы в пределах Дж неизбежно приводит к неопределенности в значении ее скорости Д^^й/тпДж.

При температуре Г различие в скорости между самыми быстрыми и самыми медленными молекулами (см. определение кинетической температуры в дополнении 1 к главе 12) порядка ^кТ1тУ^. Ясно, что демон должен знать скорости молекул с большей точностью, то есть Ду С <: (кГ/тп)1/2. Однако если средняя скорость молекул равна у, а площадь задвижки d2, то каждую секунду в задвижку будет ударять примерно vdPN/V молекул, так что, чтобы открыть и вновь закрыть задвижку, демон будет располагать временем, не большим чем Д^ &V/vd2N сек. Неопределенность в локализации движущейся молекулы составляет Дж = vM ~ V/d*N, что тотчас же приведет к возникновению неопределенности в скорости, равной

Конечный размер отверстия d, закрытого задвижкой, также приведет к локализации частицы в процессе про-

хождения ею отверстия; чтобы обеспечить соответствующую неопределенность скорости A v, не превосходящую уже полученную выше для нее оценку, необходимо сделать отверстие размером не менее

Н .

тЛи

тогда получим следующее неравенство:

Др ^ —^У— или Ар > — (—\ h.

mW (Ау)8т \ V )

Подставляя его в правую часть неравенства (кТ/тУ/а^^и, находим оценку для температуры 2%, выЩе которой демон может действовать вполне успешно:

тк \ V /

Полезно оценить значение 70 для газа, состоящего из молекул гелия (т = 6,5 «Ю-24 кг) с плотностью около 1 г/см3. (Ответ: То = 3,5 К.)

В 1872 году австрийский физик Больцман (1844— 1906) впервые предложил статистическую теорию, цель которой заключалась в том, чтобы доказать, что маловероятное распределение (например, такое, как на рис. 83), будучи предоставленным самому себе, всегда переходит в более вероятное распределение (рис. 82). Известно, что коллега Больцмана Жозеф Лошмидт усомнился во всеобщей справедливости теоремы Больцмана; он указал на то, что если бы искусному экспериментатору удалось в некоторый момент обратить все движения в равновесном состоянии (которое возникло из неравновесного состояния в результате предсказанной Больцманом эволюции), то измененное таким образом равновесное состояние без дальнейшего вмешательства извне вернулось бы в первоначальное неравновесное состояние — разумеется, в процессе этого перехода энтропия стала бы меньше. Очевидно, этот контрпример к предложенному Больцманом доказательству, хорошо известный теперь как парадокс Лошмидта, основан на справедливости свойства симметрии по отношению к обращению движения: он требует, чтобы для каждого процесса, который может происходить в системе, приближающейся к равновесию, существовал обращенный пр оцесс.

Очевидцы вспоминали, что однажды Больцман, указав пальцем на Лошмидта, воскликнул: «А вы обратите импульсы!» Лошмидт не нашел ответа на эту реплику. С тех пор возникла масса опровержений парадокса Лошмидта, основанных на том, что одновременное обращение движений огромного числа молекул — задача, в принципе недоступная никакому самому искусному экспериментатору. Если Больцман в своем загадочном замечании действительно имел в виду именно это обстоятельство, то оно отнюдь не опровергает возражения Лошмидта. Уже имеются эксперименты, в которых осуществляется именно тот вид обращения движений, который имел в виду Лошмидт. Как показал в 1959 году Блатт, подобное обращение реализуется в экспериментах по так называемому спиновому эху (после того как американский физик Хан впервые провел этот опыт в 1950 году, он вошел в повседневную практику многих лабораторий). Поэтому, если бы следовало рассматривать газ, состоящий из частиц столь простой динамической структуры, как та, что рассматривается в экспериментах по спиновому эху, то даже Лошмидту удалось бы обратить все импульсы.

Для того чтобы убедительно опровергнуть возражение Лошмидта, следует иметь в виду, что точные начальные значения координат и скоростей остаются закодированными (посредством законов движения) во всех будущих значениях координат и скоростей молекул только в том случае, если газ полностью изолирован. В то же время определения и измерения температуры и (или) энтропии 8 требуют, чтобы газ находился в тепловом контакте с тепловым резервуаром (термостатом) при температуре Т, что нарушает условие изоляции. Но если газ находится в контакте с термостатом, то его молекулы в принципе будут подвергаться случайным изменениям своих координат и скоростей, которые разрушат закодированную память о начальном состоянии. Таким образом, если обратить все движения после того, как измерена равновесная температура Т и (или) энтропия 8^ газ не вернется в неравновесное состояние с меньшим значением энтропии; он перейдет в другие состояния, для которых энтропия будет равна 8 (или превзойдет это значение). Поэтому последовательные изменения энтропии никогда не обнаружат ее убывания, если даже включить эксперимент Лошмидта с газом в число возможных экспериментов.

ГЛАВА 14

Понятия заряда и поля

Огромное число электрических и магнитных явлений, разнообразие которых на первый взгляд подавляет, можно систематизировать, введя понятие электрического заряда. Вещество может стать электрически заряженным в результате простых манипуляций, известных еще в глубокой древности: например, стоит лишь потереть стекло шелком, и два одинаково обработанных куска стекла станут отталкиваться друг от друга. Описывая этот опыт, мы говорим, что вещество приобрело электрический заряд, а два заряда одного типа отталкивают друг друга. Это определение сразу резко разделяет понятия заряда и массы. Массу, ввиду ее гравитационного действия (см. главу 3), можно рассматривать как гравитационный заряд, и опыт показывает, что гравитационные заряды одного типа всегда притягивают друг друга.

Дальнейшие эксперименты с различными телами показывают, что существуют два вида электрических зарядов, причем заряды одного знака отталкивают друг друга, а разных знаков — притягивают. Подчеркнем еще раз, что этот факт резко отличается от факта существования только одного вида гравитационного заряда; все массы притягиваются друг к другу за счет гравитации, и никто еще не наблюдал проявлений «антигравитации», то есть статических сил отталкивания в инерциальной системе отчета, которые можно было бы интерпретировать как силы гравитационного происхождения.

Франклин (1706—1790) предложил принять соглашение, согласно которому все заряды одного типа (например, полученные при электризации стекла шелком) называются положительными, а заряды противоположного типа — отрицательными. В настоящее время известно, например, 192

что атомы состоят из положительно заряженного ядра, в котором сосредоточена практически вся масса атома и которое окружено облаком отрицательно заряженных электронов.

Аналогичная ситуация возникает и при изучении магнитных явлений, известных также в глубокой древности. Считалось, что существуют два рода магнитных зарядов, называемых полюсами, причем одинаковые полюсы отталкиваются, а противоположные — притягиваются. Условились называть полюс магнитной стрелки, обращенный к географическому Северному полюсу Земли, магнитным N-полюсом, а противоположный — магнитным б-полюсок!. Поведение магнитного компаса можно описать, считая, что Земля сама ведет себя подобно магниту, S-полюс которого расположен вблизи географического Северного, или N-полюса, и наоборот.

По-видимому, стоит заметить здесь, что еще очень мало известно о природе магнитного действия Земли. По всей вероятности, оно обусловлено сложной комбинацией гидродинамических явлений, а также магнитных и кориолисовых сил, осложненных наличием температурных градиентов.

Если электрический заряд и магнитный полюс покоят-' с я по отношению друг к другу, то между ними не действу-. ют никакие силы. Поэтому электричество и магнетизм представляются совершенно разобщенными явлениями до тех пор, пока рассматриваются лишь статические эффекты. Это обстоятельство заслуживает удивления ввиду близкой аналогии между этими двумя группами явлений, причем эта аналогия распространяется даже на количественный закон, определяющий величину силы между электрическими зарядами (или магнитными полюсами)., Этот закон, открытый экспериментально, известен как закон Кулона: сила, действующая двумя зарядами (^ и Q^, прямо пропорциональна произведению этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

(141)

Здесь К коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц (длины, заряда и силы). Сила

F — центральная: она направлена вдоль прямой, соединяющей заряды. В системе СГСЭ полагают

К = 1 (в системе СГСЭ); (14.2) при таком выборе единицей заряда в системе СГСЭ будет такой заряд, который на расстоянии в 1 см отталкивает равный ему по величине одноименный заряд силой в 1 дину.

1 дин = 1 ед. СГСЭд/1 см2, то есть

1 ед. СГСЭ?=1 (эрг • см)1/* — 1 г’/« см*/* сек"1. (14.3) Поскольку размерность силы MLT"4, то если К — безразмерный коэффициент, заряд имеет, очевидно, размерность M'^L'^T"1.

В системе СИ, где единицами силы и длины являются 1 ньютон (Н) и 1 метр (м) соответственно, в качестве единицы заряда используется 1 кулон (Кл)

1 Кл = 3 • 10® ед. СГСЭ9. (14.4) Поскольку 1 Н = 10® дн и 1 м = 102 см, то численное значение К в системе СИ равно

К = 9-10® (в системе СИ). (14.5)

Это означает, что два одноименных заряда по 1 Кл, разделенные расстоянием 1 м, отталкиваются друг от друга с силой 9-10® Н.

В точности тот же закон (14.1) справедлив и для магнитных полюсов; именно, сила взаимодействия магнитных полюсов Рх и Рг прямо пропорциональна произведению полюсов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

F = К -^-. (14.6)

Единичный магнитный полюс (единичный магнитный заряд) можно определить как 1 ед. СГСЭ или 1 Кл в системе СИ (аналогично тому, как это сделано для электрического заряда).

В чем же тогда разница между электрическими зарядами и магнитными полюсами? При попытке ответить на этот вопрос мы сразу сталкиваемся с одной из наиболее

глубоких загадок во всей современной физике: оказывается, что заряд квантован! Существует наименьший заряд, который в принципе нельзя разделить на более мелкие части; все заряды являются целыми кратными этого минимального заряда, называемого зарядом электрона и равного

е = 4,8 • 10"10 ед. СГСЭ^ = 1,6 • 10“19Кл. (14.7)

Причины квантования заряда (если они вообще существуют) совершенно неизвестны. Свойство квантования заряда представляет собой еще одно резкое отличие заряда от массы. Хотя, по-видимому, существуют элементарные частицы, массы которых также нельзя разделить на более мелкие части, однако массы других частиц, вообще говоря, не составляют целого кратного от какой-либо наименьшей массы.

Так называемые элементарные частицы либо несут в точности один заряд электрона, либо нейтральны. Мельчайшая из этих частиц — электрон; он обладает отрицательным зарядом Q = —е и массой те = 9,1 -10~29 г. Интересно сравнить силу гравитационного притяжения Fg = Gnfyr* с силой электростатического отталкивания Fe = КеЧг* между двумя электронами, находящимися на расстоянии г друг от друга. Используя систему СГСЭ, имеем

_»(4,3.10-..)-4.10„

Fq Gm?e 6,67 • 10-8 (9,1 . 10-28)2v 1

Этот результат указывает на чрезвычайную слабость гравитационного взаимодействия по сравнению с электрическим. Он дает возможность не учитывать, как правило, гравитацию при анализе сил, действующих между заряженными элементарными частицами.

Квантуются ли магнитные полюсы, неизвестно. В данном случае весьма интересны причины этого незнания: они следуют непосредственно из экспериментальной невозможности выделения изолированных магнитных полюсов; именно это обстоятельство позволяет все же проводить различие между электричеством и магнетизмом. Магнитные полюсы встречаются в природе лишь в виде диполей, то есть двух соединенных каким-либо естественным образом противоположных полюсов равной величи-

ны. Сколько бы раз ни разрезать магнитный диполь пополам, мы всегда получим лишь Ановую пару диполей с равными по величине полюсами. Даже электрон является настоящим магнитным диполем; единственная доступная измерению магнитная характеристика такого элементарного диполя — его дипольный момент

[л = Р1. (14.9)

Здесь I— расстояние между двумя полюсами величины Р, и в случае электрона вообще бессмысленно пытаться выделить эти факторы порознь (см. далее уравнения (14.16) и (14.17)). .

В 1931 году Дирак выдвинул теоретические предположения в пользу возможности существования квантованных магнитных зарядов — так называемых магнитных монополей, величина которых / связана с электрическим зарядом е соотношением

/ = 68,5- е. (14.10)

Предполагалось также, что если существует элементарная частица, подобная электрону, но несущая единичный магнитный заряд / вместо единичного электрического е, то их массы т^ и те должны быть связаны следующим соотношением:

-^- = (J-Y = (68,5)2« 4700. (14.11) те \ е /

Остроумные эксперименты по поиску этих гипотетических частиц проводились в последние годы на ускорителях в лабораториях высоких энергий ЦЕРН (Женева) и Брукхейвен (США), но все они дали пока отрицательные результаты: похоже на то, что магнитные монополи не существуют в природе*.

♦ Тщательный теоретический анализ, основанный на известных сегодня физических законах, показывает, что магнитные монополи Дирака, возможно, существуют в природе, поскольку их су ществование не противоречит тому, что мы знаем; очень хотелось бы их найти, ибо если будет достоверно установлено, что они есть, получит естественное объяснение факт дискретности электрического заряда. Этот результат, равно как и авторитет Дирака, поддерживают не прекращающиеся и по сей день усилия физиков-экспериментаторов обнаружить магнитный монополь. — Прим. ред.

Следуя Ньютону, который впервые выдвинул идею о дальнодействии применительно к гравитации, первые исследователи электрических и магнитных явлений также пытались сформулировать найденные ими закономерности взаимодействия электрических зарядов и магнитных полюсов в терминах дальнодействия. Позднее благодаря главным образом работам Фарадея (1791—1867) возобладал новый взгляд на эти явления; Фарадей отбросил понятия дальнодействия и ввел представление о поле, которое оказывает силовое воздействие локально. Интересно отметить, что представления Фарадея о поле появились раньше, чем была открыта конечность скорости распространения электромагнитных взаимодействий.

Фарадей рассматривал способность заряда Qt воздействовать на заряд Q2 с определенной силой как результат действия некоего агента, или посредника, называемого полем, который присутствует всюду в пространстве, даже в отсутствие заряда Q2. Наличие центральной силы, с которой заряд Qx— Q действует на находящийся на расстоянии 1 м от него единичный электрический заряд <22 = 1, считается доказательством того, что на расстоянии г от заряда Qx = Q имеется электрическое поле, равное

Е = ^-. (14.12)

Таким образом, во всех точках пространства (исключая точку, в которой находится сам положительный заряд) поле дается вектором, направленным от заряда, а в случае отрицательного заряда — вектором, направленным к нему. В самом общем случае электрическое поле Е действует на заряд q. с силой

F = 8Е. (14.12а)

Следя за направлением вектора поля, можно построить силовые линии, представляющие хорошую наглядную иллюстрацию рассуждений Фарадея (рис. 86). В точности те же понятия приложимы к магнитному полю, окружающему магнитный полюс Р и равному

В = ~; (14.13)

Рис. 86. Силовые линии электрического поля в пространстве между двумя равными по величине, но противоположными по знаку зарядами.

Рис. 87. Понятие потока вектора электрического поля.

Рис. 88. Поток поля, создаваемый зарядом Q.

Поток через поверхности, ограниченные сплошной и штриховой линиями,одинаков, так как обе поверхности охватывают заряд Q. Поток через поверх-ность, ограниченную пунктирной линией, равен нулю, так как эта поверхность не охватывает Q.

при этом силовые линии направлены от N-полюса к S-полюсу. Читатель может легко познакомиться воочию с магнитными силовыми линиями, используя железные опилки, хаотично рассыпанные на листе бумаги; если снизу к листу приложить полосовой магнит, то опилки расположатся вдоль силовых линий.

По определению, поля измеряются в единицах 1 дин/1 ед. СГСЭ^ (или гауссах) в системе СГСЭ и в ньютонах на кулон (Н/К) (в системе СИ).

Понятие поля позволяет дать простую и элегантную формулировку экспериментального факта существования в изолированном виде лишь электрических зарядов; для этого вводится вспомогательное понятие потока электрического или магнитного поля. В том случае, если небольшая площадка А пронизывается электрическим полем Е (постоянным в пределах этой площадки), существует компонента поля £х, нормальная к площадке А (рис. 87), и принято говорить, что имеется поток электрического поля через площадку, равный

Ne = ElA* (14.14)

Совершенно аналогично определяется и поток магнитного поля Nb = BlA . Поток N любого векторного поля можно изобразить наглядно графически с помощью N силовых линий, пронизывающих площадку Л, причем большая плотность силовых линий соответствует большему значению поля. Выберем, например, в качестве «площадки» поверхность сферы радиусом г, окружающей заряд Q (рис. 88); площадь этой поверхности равна 4кг2. Поскольку нормальная компонента Ех поля во всех точках поверхности дается уравнением (14.12), мы получаем, что поток электрического поля, создаваемого зарядом Q (источником потока), не зависит от радиуса сферы п

Ne = ^L. 4кг» = 4kKQ.

Можно рассматривать положительные заряды в буквальном смысле как источники, а отрицательные — как стоки потока электрического поля.

Очевидно, что никакая деформация сферы, окружающей заряд (например, указанная штриховой линией на рис. 88), не изменит величины полного потока через по-

верхность до тех пор, пока заряд будет оставаться внутри поверхности; дело в том, что силовые линии поля начинаются или кончаются только на изолированных зарядах. Применяя это рассуждение к системе зарядов Qv Q^ ... , каждый из которых дает вклад 4лК^1, 4дХ^2 , ... в полный поток через поверхность, окружающую все заряды, мы приходим к результату, известному под названием теоремы Гаусса; полный поток поля через любую замкнутую поверхность пропорционален полному заряду^ находящемуся внутри этой поверхности;

Ne (через замкнутую поверхность) = 4icKQ (внутри поверхности). (14.15)

Принято считать поток, вытекающий из поверхности, положительным, а втекающий — отрицательным. Уравнение (14.15) физически эквивалентно формулировке закона Кулона.

Факт отсутствия в природе изолированных магнитных полюсов можно интерпретировать теперь весьма элегантно: достаточно сказать, что полный поток магнитного поля через любую замкнутую поверхность равен нулю, то есть

Nb (через замкнутую поверхность) = 0. (14.16)

Другими словами, все магнитные силовые линии замкнуты и не имеют ни начала, ни конца; если определенное число магнитных силовых линий вошло в данный объем, то равное число этих линий должно где-либо в другом месте покинуть его.

Необходимо подчеркнуть, что понятие поля становится приближенным, когда мы экстраполируем его на области пространства атомных размеров. До тех пор пока не было оснований сомневаться в существовании сколь угодно малых зарядов, существовала надежда (по крайней мере в принципе), что поле, созданное зарядом Qn можно измерить с любой желаемой точностью. Для этого требовалось лишь поместить в исследуемую точку достаточно малый пробный заряд q <^ Q так, чтобы присутствие пробного заряда не могло существенным образом сказаться на поле заряда Q. Однако, как мы теперь знаем, заряд — величина квантованная, и потому само понятие поля электрона с зарядом — е (в особенности

Рис. 89. Магнитное поле на оси диполя.Рис. 89. Магнитное поле на оси диполя.

Рис. 89. Магнитное поле на оси диполя.

Рис. 89. Магнитное поле на оси диполя.

если представлять его с помощью картины силовых линий рис. 88) становится весьма рискованной абстракцией, с операциональной точки зрения оно и вовсе теряет смысл. В самом деле, наименьший пробный заряд, который можно использовать для измерения поля электрона, — это другой электрон; но присутствие второго электрона неминуемо приведет к резкому искажению измеряемого поля, и мы вообще не сможем наблюдать одновременно всю совокупность силовых линий, «порожденных» первым электроном.

В качестве примера расчета поля, обусловленного данным распределением зарядов (или полюсов), рассмотрим магнитный диполь, состоящий из двух разноименных полюсов, равных по величине Р и разделенных расстоянием d; будем считать, что справедлив закон Кулона (14.6). Поле на расстоянии г от центра диполя можно найти, вычислив результирующую силу, действующую на единичный N-полюс, помещенный в эту точку. По аналогии с вычислением приливной силы в главе 3 (рис. 17) рассмотрим сначала случай, когда пробный полюс располагается на прямой, соединяющей полюсы и называемой осью диполя (рис. 89). 8-полюс будет действовать на пробный полюс с силой Ръ = KP/[r—(d/2)]2, направленной к диполю, а N-полюс — с меньшей силой PN = /<Р/[г+ +(d/2)]2, направленной от диполя. Таким образом, результирующая магнитная сила в точке г направлена к диполю; считая d <^ г, получаем для этой силы выражение

В = F s — PN = KPВ = F s — PN = KP1 1

В = F s — PN = KP

В = F s — PN = KP

[Г- W2)]2 [Г* W2)F

КР 2rd ~ 2KPd

Рис. 90. Магнитное поле на линии, перпендикулярной оси диполя

Иными словами, на больших расстояниях r^> d поле диполя пропорционально дипольному моменту р, = Pd^ определенному в (14.9), и обратно пропорционально кубу расстояния. Легко показать, что этот результат справедлив для любых точек, расположенных произвольным образом относительно центра диполя (а не только на его оси); в общем случае, правда, направление силы не всегда будет параллельно вектору дипольного момента. Поместим, в частности, пробный полюс в точку, расположенную под прямым углом к оси диполя (рис. 90). Силы, действующие со стороны N- и S-полюсов, равны по величине Fn = Fs = KPIR\ но по-разному направлены; результирующая сила В удовлетворяет соотношению (BIF) = = (d/Z?) (мы использовали подобие треугольников, см. рис. 90). Считая приближенно, что г = (Z?2—-d2)1^^ R, имеем

B = I5_ = -E^«J^. (14.18) RR» г» ' ’

Картина поля во всех точках выглядит в точности так же, как поле электрического диполя, изображенное на рис. 86.

Сила, действующая между параллельными диполями, в отличие от силы взаимодействия диполя и точечного 202

Рис. 91. Тензорные силы между двумя параллельными диполями.Рис. 91. Тензорные силы между двумя параллельными диполями.

Рис. 91. Тензорные силы между двумя параллельными диполями.

Рис. 91. Тензорные силы между двумя параллельными диполями.

полюса представляет собой хороший пример так называемых тензорных сил; направление силы зависит от взаимной ориентации двух диполей. Если они расположены на одной прямой, между диполями действует сила притяжения, если на параллельных прямых — сила отталкивания (рис. 91).

В дальнейшем нам понадобятся еще две величины, характеризующие электрические заряды и связанные с ними поля:

Если через данную точку пространства за интервал времени t проходят электрические заряды и сумма их составляет Q. то говорят, что через данную точку протекает (средний) электрический ток

1 = -^. (14.19)

Единица тока в системе СИ носит название ампер (А), 1А = 1К/1 сек. (14.20)

(14.21)(14.21)Если при переносе заряда Q из одной точки электрического поля в другую требуется совершить работу W (независимо от пути, по которому происходит этот перенос), то говорят, что между этими двумя точками существует разность потенциалов. или напряжение

(14.21)

(14.21)

-7

Единица потенциала в системе СИ называется вольт (В), 1 В = 1 Дж/1 К,(14.22)

а в системе СГСЭ 1 ед. СГСЭу = 1 эрг/1 ед. СГСЭ^= 300 В.

Учитывая, что 1 Дж = 1Н-1 м, можно получить другое выражение для единицы напряженности поля:

1Н/1К=1В/1 м.(14.23)

Из определений (14.20) и (14.22) следует, что произведение тока на напряжение имеет размерность мощности

Z . Г = у-,(14.24)

так что в системе СИ

1 А • 1В = 1 Дж/сек = 1 Вт; (14.25) другими словами, если ток в 1 А создается разностью потенциалов в 1 В, то на это затрачивается 1 Вт мощности.

В атомной физике часто удобно использовать в качестве единицы энергии кинетическую энергию, которую приобретает частица с минимальным электрическим зарядом е^ разогнанная электрической разностью потенциалов в 1 В. Эта единица энергии называется электронвольт (эВ) и равна по величине

1 эВ = 1,6 • 10“19К • 1Дж/К =

= 1,6-10“19 Дж = 1,6*10~12 эрг. (14.26)

Дополнения

Отсутствие в природе магнитных монополей — огорчительный факт для физиков-экспериментаторов, которые продолжают тратить массу усилий (и денег) на создание сложных инженерных сооружений — ускорителей частиц. Именно наличие электрического заряда, равного в, позволяет разогнать заряженные частицы, то есть сообщить им кинетическую энергию. Если бы магнитные монополи действительно существовали, то ввиду большой величины магнитного заряда / = 68,5 в — см. уравнение (14.10) — их было бы удобнее разгонять с помощью магнитного поля В, действующего на магнитный заряд с силой F = /В. При перемещении заряда на расстояние d сила совершила бы работу Fd, так что магнитно заряженная частица приобрела бы кинетическую

энергию V2 тиЧ Пусть, например, магнитный заряд движется между полюсами электромагнита (разделенными зазором 102 см) в однородном магнитном поле 104 Гс. Какую энергию (в электронвольтах) смог бы сообщить монополю / такой предельно простой ускоритель? (Ответ: ^2»108 эВ). Таким образом, если бы удалось создать магнитные монополи и хранить их в подходящих условиях (например, в сосудах с магнитными стенками), то ускорение этих частиц до энергий порядка миллиардов электронвольт (БэВ) было бы доступно каждой вузовской лаборатории; в настоящее время, как известно, создание электрических ускорителей на подобные энергии требует усилий в общенациональном (а иногда и международном) масштабе.

Инженеры используют обычно «практическую» систему единиц (МКС или СИ), в которой электрическое и магнитное поля имеют различные размерности и единицы измерения. Единица напряженности электрического поля равна 1 Н/К = 1 В/м, тогда как для магнитного поля используется единица 1Вб/м2 = 1 Н/К-м-сек”1; здесь 1 Вб (вебер) — единица магнитного потока, а связь 1 А= = 1 К/сек следует из (14.20). Соответственно единица электрического заряда в системе СИ равна 1 К, тогда как напряженность магнитного поля — 1 А-м; закон Кулона в системе СИ записывается в виде F = KQiQJt^ для электрических зарядов и F = K'Q^Q^r^ для магнитных; здесь К=9 • 109, а К/ = 10-7 Вб/А • м, причем отношение К/К' не безразмерное: оно равно квадрату скорости света (К/К') = с2 = (3 -108 м/сек)2.

Сила взаимодействия электрических зарядов, они- $ сываемая законом Кулона, образует так называемое* центральное силовое поле, а тензорная сила взаимодействия диполей является примером нецентрального силового поля. Нецентральные силы встречаются также и в других видах взаимодействия неэлектромагнитного происхождения. В частности, все попытки описать наблюдаемое сильное взаимодействие между нуклонами (частицами, входящими в состав атомных ядер) на языке ядерных зарядов и поля ядерных сил требуют введения наряду с центральными также сложных нецентральных сил.

Если спины двух нуклонов (каждый спин равен 1/2 в единицах h) антипараллельны, то сильное взаимодейст-

Рис. 92. Возможные случаи отклонения рассеиваемого нуклона (в системе отсчета, связанной с нуклоном-мишенью).

Предполагается, что спины обоих нуклонов параллельны и составляют в сумме полный спин S=l. Отклонения зависят от относительной ориентации полного спина S и вектора орбитального момента импульса двух нуклонов.

вие между ними можно описать полностью на языке центральных сил. Однако, если спины параллельны (то есть в результате их сложения возникает суммарный спин 1 в единицах ft), взаимодействие приобретает черты нецентрального. Сила взаимодействия различна при трех возможных ориентациях суммарного спина относительно направления орбитального момента импульса двух ядер; это различие проявляется, например, в опытах по рассеянию двух ядер. Знаки сил зависят также от расстояния между нуклонами; в частности, если одно ядро рассеивается на другом (покоящемся) ядре, то могут представиться следующие случаи (рис. 92).

VV

V

V

Рис 93 Зависимость тока I от напряжения V при условии, что справедлив закон Ома I = V/R (Я — величина постоянная).

Полный спин параллелен вектору орбитального момента импульса. Нецентральная компонента силы взаимодействия обеспечивает умеренно сильное притяжение.

Полный спин перпендикулярен вектору орбитального момента импульса. Нецентральная компонента силы пая пмлдействия обеспечивает умеренно сильное отталкивание.

Полный спин антипараллелен вектору орбитального момента импульса. Нецентральная компонента силы взаимодействия обеспечивает сильное отталкивание.

Заметим, что эти особенности силы взаимодействия позволяют (по крайней мере частично) поляризовать пучок падающих нуклонов. Если смотреть сверху, то „все рассеиваемые нуклоны со спином вверх будут преимущественно отклоняться влево, а со спином вниз — преимущественно вправо при любой из двух возможных ориентаций спина ядра — мишени.

Если к концам проводника приложить разность потенциалов и и измерить затем ток I, протекающий по проводнику, можно убедиться, что во многих случаях ток пропорционален напряжению I~ V, или I = V!R (графически это изображено на рис. 93).

В этом случае говорят, что имеет место закон Ома; константа R называется сопротивлением проводника и измеряется в омах (1 Ом = 1 В/1 А). Следует иметь в виду, что определение сопротивления R в виде отношения

R = V/I само по себе еще не означает справедливости закона Ома; этот закон справедлив только при условии независимости R от V (или Z), что действительно имеет место во многих проводниках. Величина, обратная сопротивлению, то есть 1//?, называется проводимостью (или электропроводимостью).

Однако в ряде случаев закон Ома неприменим к описанию электрического тока в проводящих устройствах (например, при электрическом разряде в газе или в условиях вольтовой дуги между угольными электродами). В этих случаях ток зависит от напряжения значительно более сложным образом, так что сопротивление R оказывается функцией приложенного напряжения V. Считается, что зависимость Z от У в принципе можно получить на основе микроскопической теории проводников; подобный вывод весьма сложен и полностью выходит за рамки нашей книги. С этой точки зрения ясно, что «закон» Ома не является фундаментальным законом природы; существование столь простого соотношения (имеющего очень широкую область приложений в электротехнике) является скорее экзотическим.

Считая, что выполняется «закон» Ома, можно вывести две простые теоремы для электрических цепей, состоящих из обычных «омических» проводников — сопротивлений (рис. 94).

ЕслиЛГ сопротивлений Z?n R^ ... , RN соединены в цепь последовательно, то протекающий через каждый из них полный ток должен быть один и тот же;

Z1 = Z2 = • • • = I ы = I;

напряжения между концами каждого сопротивления должны складываться, давая в сумме приложенное напряжение

К1 + У2+.е.+Уд, = Г.

Применяя к каждому сопротивлению закон Ома, имеем ZXRX + Z2Z?2 + ... + InRn = I (Rx + R^ 4" • • • + Rn)=V. Определив теперь полное сопротивление цепи как R = = V/I, найдем, что оно равно сумме сопротивлений отдельных проводников:

R^R^ 4- R^ + • • • + Rn.

Рис. 94. N сопротивлений, последовательно и параллельно соединенных в электрическую цепь.

Если N сопротивлений Rb R^ ... , RN соединены в цепь параллельно, то напряжение на каждом из них равно приложенному напряжению

Токи через каждое сопротивление должны дать в сумме полный ток 7, текущий через всю цепь:

^1"Ь^т+ In = I.

Применяя к каждому сопротивлению закон Ома, имеем

++ —= 7 (— + —^+ —^=7.

я8Rn \Rt R»Rn)

Определив, как и ранее, полное сопротивление цепи R как отношение V/I (или, что то же, HR = НУ\ найдем, что обратное сопротивление (проводимость) цепи дается суммой обратных сопротивлений (проводимостей) отдельных проводников

1111

— = — + — Н+ —.

R Нг R»Rn

Читателю не составит большого труда ответить на следующие вопросы:

На колбе электрической лампочки нанесена маркировка 300 Вт, 110 В. Каково сопротивление ее нити накала? (Ответ: R = 40,3 Ом.)

Какой ток пройдет через лампочку при подключении ее к источнику напряжения? (Ответ: I = 2,73 А.)

Электрический утюг (мощность 750 Вт при питании от сети 110 В) и комнатный обогреватель (мощность 1000 Вт = 1 кВт при том же напряжении) соединены параллельно. Чему равно полное сопротивление цепи? (Ответ: R = 6,9 Ом.)

Какой ток заберет цепь от сети? (Ответа 15,9 А.)

ГЛАВА 16

Связь между электричеством и магнетизмом

Связь между электричеством и магнетизмом впервые была установлена датским физиком Эрстедом (1777— 1851), который заметил наличие магнитного поля В вблизи электрического тока 7; он экспериментально обнаружил, что магнитные силовые линии охватывают ток так, как показано на рис. 95 (направление тока и силовая линия образуют правый винт). Этот эффект удобно описывать количественно, вводя понятие циркуляции магнитного поля Св I оно определяется как произведение длины L замкнутого контура (петли) на компоненту поля В ц, параллельную контуру (предполагается, что Вй имеет постоянное значение во всех точках контура):

Св~кВ^ • £) замкнутого контура. (15.1)

Например, если магнитное поле В перпендикулярно направлению тока (что соответствует рис. 95), то циркуляция магнитного поля по окружности радиусом т равна Св = В-^г. Более точно открытие Эрстеда можно сформулировать так: циркуляция магнитного поля Св по замк-

+

Рис. 95. Круговое магнитное поле вокруг провода с током, впервые изученное Эрстедом.

Р и с.. 96. Магнитное поле соленоида (для упрощения рисунка не изображено магнитное поле, создаваемое подводящими проводами с током).

нутому контуру L пропорциональна полному току, пересекающему площадку Л, «натянутую» на этот контур:

Св = В ц . L = const • I = 4к^'7;(15.2)

коэффициент пропорциональности принято записывать в виде 4лК'. и величина К' зависит от выбора единиц измерения.

В системе СГСЭ, где ток I измеряется в 1 ед. СГСЭ^/сек, L в см, а 5 — в гауссах (1 Гс = 1 дин/1 ед. СГСЭ^),

К' = с"1 = (3 • 1010 см/сек)-1,

в системе СИ К' = 10е*7.

Таким образом, прямой (или линейный) ток создает циркуляцию, равную В ^птК'•!; это означает, что магнитное поле В обратно пропорционально расстоянию от линии тока В = 2KfUr.

Замечательным применением открытия Эрстеда является электромагнит. Его действие основано на пропускании тока по многочисленным петлям, свитым в катушку (соленоид), в результате чего в катушке возникает магнитное поле; при этом ток и магнитное поле образуют зацепляющиеся друг за друга петли, как показано на рис. 96.

Полученное в соленоиде магнитное поле эквивалентно магнитному полю, создаваемому магнитным диполем. Если п — число витков соленоида на единицу длины, то поле внутри соленоида пропорционально этому числу:

В = WnL (15*3)

Это следует непосредственно из уравнения (15.2), если применить его к замкнутому контуру со сторонами ^ l^ Z3, Z4, показанному на рис. 96 пунктиром. Если сделать стороны Z2 и Z4 достаточно длинными, то вклад в Св будет давать практически лишь поле вдоль lv Действительно, поле В падает с расстоянием как Г^ — см. уравнение (14.17), и вкладом в циркуляцию от поля вдоль Z3 можно пренебречь; вклад в циркуляцию от поля вдоль Z2 и /4 вообще равен нулю, так как у по*ля отсутствует проекция, параллельная Z2 и Z4. Таким образом, если В = Вц — проекция поля внутри соленоида на направление lv то Св = В^1Х = ^K'W) (полный ток, пересекающий ограниченную пунктирным контуром площадку, равен nlj); отсюда сразу следует выражение для поля (15.3).

Эквивалентность магнитного поля замкнутого кольца с током магнитному полю диполя навела французского физика Ампера (1775—1836) на мысль о том, что вообще все наблюдаемые в природе магнитные явления обусловлены элементарными токами (зарядами, циркулирующими по микроскопическим замкнутым траекториям). С помощью гипотезы Ампера действительно можно объяснить некоторые магнитные свойства атомов; в качестве элементарных токов следует рассматривать при этом движение электронов по внутриатомным орбитам. Существуют, однако, магнитные свойства, обусловленные спиновым моментом импульса, который является внутренним свойством электронов и не сводится ни к какому виду орбитального движения (см. главу 8). Поэтому с операциональной точки зрения предпочтительно принять в качестве исходного внутреннего свойства покоящихся элементарных частиц существование связанного с ним магнитного диполя; такой подход аналогичен принятию электрического заряда элементарных частиц в качестве присущего им внутреннего свойства.

Другим проявлением связи между электричеством и магнетизмом является существование силы, с которой

Рис. 97. Сила, действующая на положительный электрический заряд, движущийся поперек магнитного поля.

Векторы V, В, F (взятые именно в этом порядке) образуют правовинтовую ► систему.

магнитное поле действует на движущийся электрический заряд. Направление этой силы F всегда перпендикулярно как скорости у движения заряда, так и магнитному полю В, как показано на рис. 97; при этом векторы у, В, F, взятые в указанном порядке, образуют в случае положительного заряда Q правовинтовую систему. Величина силы зависит от угла между векторами v и В; в частности, она равна нулю, если у параллельно В, и достигает максимального значения, равного

F = Q (v/c) В (в системе СГСЭ), (15.4) если у и В взаимно перпендикулярны.

Константа в в уравнении (15.4) равна 3-1010 см/сек (скорость света), если сила измеряется в динах, Q — в единицах заряда СГСЭ, В — в гауссах, v — в сантиметрах в секунду.

Экспериментальный факт, отраженный в уравнении (15.4), служит основой для создания многочисленных технических устройств, предназначенных для преобразования электрической энергии в механическую (например, электродвигатель) или, наоборот, механической энергии в электрическую (например, электрический генератор или динамо-машина).

Если пропускать электрический ток по прямоугольной рамке, помещенной между разноименными полюсами

Источник тока

Рис. 98. Принцип устройства электрического двигателя.

Источник тока

Рис. 99. Принцип устройства электрического генератора.

магнита (рис. 98), то скорость v будет совпадать с направлением тока, а сила F будет направлена перпендикулярно рамке; эта сила приведет ее в движение и позволит получить от этого устройства механическую работу. С другой стороны, если заставить рамку вращаться (рис. 99) и сообщить тем самым электронам проводимости линейную скорость v, перпендикулярную рамке, то сила F будет направлена параллельно проводам рамки, ускоряя электроны и приводя к возникновению электрического тока (его нетрудно отвести от концов рамки в цепь).

Следует подчеркнуть, что во всех этих процессах магнитное поле не расходует своей энергии. Образно говоря, поле В играет роль катализатора, присутствие которого необходимо для взаимных преобразований электрической и механической энергий.

Содержание уравнения (15.4) можно интерпретировать иначе. Пусть проводник длиной I движется перпендикулярно магнитному полю В; на все заряды Q в проводнике действует сила F, то есть на всей длине проводника появляется электрическое поле Е = FIQ = (у!с)В. Для переноса единичного заряда вдоль I в направлении, противоположном действию поля, требуется совершить работу, равную EL Это означает, что между концами проводника, движущегося в магнитном поле, создается разность потенциалов

V = Е1 = — вг.(15.5)

с

Существование магнитного поля, создаваемого движущимся зарядом, а также силы, действующей со стороны данного магнитного поля на движущийся заряд, указывает на возможность объединения электрического и магнитного полей на основе более глубокого понятия электромагнитного поля, разделение которого на электрическую и магнитную компоненты зависит от состояния движения наблюдателя.

Оказывается, что наблюдатель О, покоящийся по отношению к заряду Q, зафиксирует наличие лишь кулоновского поля Е (магнитное поле В, с его точки зрения, полностью отсутствует), тогда как наблюдатель О', движущийся по отношению к этому заряду со скоростью v (например, вдоль оси х\ установит, что, кроме слегка деформированного электрического поля Е', имеется также магнитное поле В', компоненты которого перпендикулярны векторам Е и v. Этот факт можно рассматривать как частный случай значительно более общих формул преобразования полей

о- _ о о- _ В^М^Е,

ВХ ~ВХ> Ву— к »

В>-^В’-, х=|/1-^-,(15.7)

которые были открыты Лоренцем (1853—-1928), но впервые глубоко осознаны Эйнштейном. Уравнения (15.7) дают значения компонент магнитного поля В', которые измерит наблюдатель О', если в системе отсчета наблюдателя О существует электромагнитное поле с компонентами

Аналогично наблюдатель О, покоящийся по отношению к магнитному полю, может с помощью уравнения (15.4) описать силу, действующую на заряд Q, движущийся относительно него со скоростью v. Однако, с точки зрения наблюдателя О', движущегося вместе с зарядом, сила за счет магнитного поля не может быть причиной отклонения заряда, так как в системе О' скорость заряда и' равна нулю. У наблюдателя О' нет другого выхода, как отнести действие силы на покоящийся в его системе отсчета заряд за счет электрического поля Е'; его компоненты связаны с компонентами полей Е и В в си-

стеме наблюдателя О следующими формулами преобразований;

(15.8)(15.8)Ех = Ех,, Еу— (и/с)Вг15 и —иК

(15.8)

(15.8)

гЕг «^ (у/с) В у

Ьг —--

К

Если принять формулы преобразования полей (15.7) и (15.8), то окажется, что все законы, описывающие электромагнитное поле, выглядят совершенно одинаково для двух инерциальных наблюдателей О и О', описывающих одно и то же электромагнитное поле с помощью векторов Е и В или Е' и В' соответственно. Законы электромагнетизма не содержат информации, позволяющей приписать какому-либо инерциальному наблюдателю состояние «абсолютного покоя».

Именно эта отличительная особенность (или симметрия) законов электромагнетизма, впервые замеченная Лоренцем, была положена Эйнштейном в основу более общего принципа равноправия инерциальных наблюдателей при описании любых физических явлений (мы обсуждали этот принцип в гл. 10 и И). Примечательно, что знаменитая работа Эйнштейна, датированная 1905 годом, носит название «К электродинамике движущихся сред».

Создание ЭДС в замкнутом контуре, вращающемся в магнитном поле, (рис. 99), можно связать также с изменением магнитного потока через площадку, ограниченную этим контуром. Если в момент времени t = 0 рамка горизонтальна, так что магнитный поток через рамку равен нулю, то спустя время М одна из сторон рамки длиной I переместится на расстояние иМ; при этом проекция площадки на направление магнитного поля В будет равна Л = 2lvM; таким образом, поток через площадку изменится на величину Д7Ув = — В А = —21иМВ (здесь использовано соглашение о знаке потока: он считается отрицательным, если линии поля входят в площадку навстречу ее положительной нормали, и положительным в обратном случае). Поскольку, с другой стороны, циркуляция электрического поля в расчете на один ви-

ток рамки равна, согласно (15.6) и (15.5), Се = 2Z(z;/cyB, мы получаем равенство

СЕ =— (в системе СГСЭ). (15.9)

с М

Фарадей установил экспериментально, что соотношение (15.9), называемое законом индукции, справедливо во всех случаях. Всегда при изменении магнитного потока через площадку, ограниченную замкнутым контуром L, в контуре наводится ЭДС, величина ее дается уравнением (15.9); при этом не играет никакой роли, чем и как создано соответствующее изменение магнитного поля. Например, вместо того чтобы вращать рамку в постоянном магнитном поле, можно крепить ее и поворачивать магнитное поле.

Дополнения

В практической системе единиц СИ закон Эрстеда (15.2) требует значения константы К* = 10"7 Вб/А-м (в этой системе I измеряется в амперах, L — в метрах, В — в веберах на квадратный метр, причем 1 Вб/м = =10 Гс = 1 Н/А-м). Действительно, согласно (15.2), 1 ед. СГСЭ/см • сек создает поле (4к/3 • 1010) дин/1 ед. СГСЭ,, следовательно, 1 К/м-сек создаст [4тг/(3-IO10)]. [(3-109)/ /102] дин/1 ед. СГСЭ, = 4л ЛО"8 Гс = 4те -Ю"7 Вб/м2.

Уравнение (15.4) в системе СИ примет вид F = QvB, где F измеряется в ньютонах, Q — в кулонах, и — метрах в секунду, В — веберах на квадратный метр.

Рис. 100. Схема опыта, в котором изменение магнитного потока через поверхность, ограниченную электрическим контуром, не приводит к возникновению электродвижущей силы в контуре*Рис. 100. Схема опыта, в котором изменение магнитного потока через поверхность, ограниченную электрическим контуром, не приводит к возникновению электродвижущей силы в контуре*

Рис. 100. Схема опыта, в котором изменение магнитного потока через поверхность, ограниченную электрическим контуром, не приводит к возникновению электродвижущей силы в контуре*

Рис. 100. Схема опыта, в котором изменение магнитного потока через поверхность, ограниченную электрическим контуром, не приводит к возникновению электродвижущей силы в контуре*

лом и концом в точках а и Ь и проводящий цилиндр, помещенный в магнитное поле; проведем с этой цепью следующий эксперимент, состоящий из четырех этапов (рис. 100).

1-й этап: концевые точки а и b соединены так, что провод образует замкнутую цепь; намагниченный цилиндр находится вне этой цепи.

2-й этап: точки а и b приводятся в контакт с цилиндром.

3-й этап: точки контакта а и b медленно передвигаются вокруг цилиндра вдоль его поверхности, так что цепь все время остается замкнутой.

4-й этап: точки а и Ъ вновь соединяются с другой стороны цилиндра, так что последний оказывается внутри цепи и не имеет контакта с ней.

Если бы указанное «правило» было справедливо для этого эксперимента, следовало бы заключить, что в ходе эксперимента должно было проявиться наличие в контуре

медный диск

Рис. 101. Схема опыта, в котором электродвижущая сила возникает, несмотря на отсутствие изменения потока магнитного поля через ограниченную контуром поверхность.

(проводнике) ЭДС; в самом деле, между этапами 1 и 4 произошло изменение магнитного потока через контур. Однако эксперимент показывает полное отсутствие ЭДС (о ее появлении можно было бы судить по отклонению стрелки включенного в цепь измерительного прибора- гальванометра). Закон индукции Фарадея требует, чтобы изменение магнитного потока было обусловлено изменением магнитного поля, а не материала проводника. Поскольку магнитное поле в этом опыте не меняется, не следует ожидать появления ЭДС на основании закона Фарадея. Кроме того, поскольку в ходе опыта не происходит никакого движения зарядов в магнитном поле внутри цилиндра, не следует также ожидать появление ЭДС в соответствии с выражением для силы (15.4).

Другой поучительный пример нарушения «правила» дает нам устройство, известное под названием «диск Фарадея» (рис. 101). Оно состоит из немагнитного проводящего диска, вращающегося между полюсами магнита. Если собрать замкнутую цепь, присоединив скользящие

контакты проводника к оси вращения и периферии диска, можно наблюдать электрический ток в цепи. Это означает, что в цепи возникает ЭДС, хотя никакого изменения магнитного потока через контур вообще не происходит. Очевидно, таким образом, что эффект нельзя объяснить с помощью закона индукции Фарадея. Он следует непосредственно из закона для силы (15.4), так как именно эта сила, возникающая при движении электронов проводимости, увлекаемых диском, перпендикулярно магнитному полю обеспечивает необходимое для этого движения радиальное ускорение.

Диск Фарадея можно с успехом использовать и в качестве мотора. Питая диск электрическим током в радиальном направлении, можно создать силу, действующую на электроны проводимости в тангенциальном направлении; в результате диск придет в состояние вращения.

Читателю предлагается проверить, обладает ли диск Фарадея симметрией по отношению к обращению движения. Особое внимание следует уделить поведению магнитного поля В при обращении движений, имея в виду, что всякое магнитное поле может быть создано соответствующим замкнутым током. (Разумеется, ответ состоит в том, что диск Фарадея не нарушает симметрии по отношению к обращению движений.)

В главе И мы охарактеризовали две величины — интервал и массу покоя в качестве инвариантов, то есть величин, принимающих одинаковое значение для всех ньютоновских наблюдателей.

Электромагнитное поле также обладает двумя такими инвариантами ^ и 72:

l^E2 — 52 = ^ + ^ + £2 — В2 — В2У — В2

И

Z2 = Е - В = ЕХВХ + Е.В, + Е,Вг.

Пользуясь уравнениями преобразований (15.7) и (15.8), читатель может убедиться самостоятельно в том, что действительно Ег—52 = (£")2—(5')2 и ЕВ = Е'-В'.

Инвариант Е-В имеет смысл проекции вектора Е на вектор В; он равен нулю, если эти векторы перпендикулярны друг другу. Из инвариантности Z2 вытекает

Теорема 1*. если поля Е и В перпендикулярны в одной ньютоновской системе отсчета, то они перпендикулярны и во всех других ньютоновских системах.

Это же непосредственно следует и из инвариантности

Теорема 2: если в какой-либо ньютоновской системе отсчета Е ^ В, тоЕ' ^ В' ив любой другой ньютоновской системе отсчета.

Если Z2 =т^ 0, то всегда можно найти ньютоновскую систему отсчета, в которой поля Е и В параллельны, так что

/^^ — В2 и 1й = ЕВ;

в этой ньютоновской системе Е и В имеют определенные значения, выразить которые через инварианты 1Х и 12 предоставляется читателю.

С другой стороны, если 12 = 0, то всегда можно найти ньютоновскую систему, в которой равно нулю либо поле В (при 1г > 0), либо Е (при Z) < 0).

Магнитные свойства вещества весьма сложны. С феноменологической точки зрения принято различать три типа магнитного поведения веществ:

диамагнетизм, наблюдаемый, например, у висмута; этот металл отталкивается обоими полюсами магнита;

парамагнетизм, наблюдаемый, например, у твердого кислорода; это вещество, наоборот, притягивается любым полюсом магнита;

ферромагнетизм, наблюдаемый, например, у железа: оно сильно притягивается каждым полюсом магнита и, кроме того, остается постоянно намагниченным, если магнит убирается.

Все три эффекта требуют для своего объяснения привлечения квантовой механики, что полностью выходит за рамки нашей книги. Вместо псевдообъяснений, которые даются в большинстве элементарных учебников, мы сочли целесообразным упомянуть здесь лишь о существовании этих явлений. Мы надеемся, что у читателей появится желание предпринять интеллектуальное усилие и познакомиться с квантовой механикой, необходимой для истинного понимания магнитных явлений.

ГЛАВА 16

Симметрия по отношению к пространственному отражению

Законы механики обладают пространственной симметрией, которая аналогична симметрии по отношению к обращению времени, обсуждавшейся в главе 6. Зеркальное отражение любого процесса, происходящего с физическим объектом, является, вообще говоря, возможным для этого объекта. Операция зеркального отражения переводит правовинтовую систему координат в левовинтовую; таким образом, эта операция эквивалентна инверсии координат, состоящей в замене х на —х, у на —у, z на —z при описании данного процесса. Эта эквивалентность, очевидно, никак не связана с уже известной нам эквивалентностью относительно простого вращения системы координат.

Инверсию координат в трехмерном пространстве нельзя представить в виде последовательности вращений, и это должно быть ясно каждому, кто пытался путем поворотов точно совместить правую руку с левой. Единственный способ добиться этого состоит в том, чтобы поместить правую руку перед зеркалом; тогда ее изображение в точности совпадет с левой рукой. Напротив, любые повороты можно имитировать с помощью четного числа отражений в правильно подобранной системе плоских зеркал.

Следствия, вытекающие из симметрии по отношению к пространственному отражению, остаются иногда вне поля зрения именно в силу их большой общности. Рассмотрим например, прецессию тяжелого волчка (рис. 102). Оси собственного вращения S', момента внешней силы Т' и прецессии Р' (взятые именно в таком порядке) при зеркальном изображении процесса образуют правовинтовую систему, как и оси 8, Т и Р в исходном процессе. Это означает, что с реальным тяжелым волчком можно осуществить эксперимент, наблюдаемый в зеркале

Зеркало

Рис. 102. Явление прецессии тяжелого волчка и его зеркальное изображение.Рис. 102. Явление прецессии тяжелого волчка и его зеркальное изображение.

Рис. 102. Явление прецессии тяжелого волчка и его зеркальное изображение.

Рис. 102. Явление прецессии тяжелого волчка и его зеркальное изображение.

Векторы S', T', Р', равно как и векторы S, Т, Р, образуют правовинтовую систему. Поэтому оба процесса являются физически возможными для тяжелого, быстро закрученного волчка, поскольку правовинтовой характер системы осей собственного вращения, момента силы и оси прецессии вытекает из законов механики.

Эксперимент Эрстеда (рис. 95) на первый взгляд указывает, что законы электромагнетизма не обладают симметрией при отражении, или инверсии, координат. В то время как реальный магнитный диполь, расположенный над реальным проводом с током, отклоняется вправо относительно направления электрического тока Z, зеркальное изображение этого диполя отклоняется влево от I (рис. 103), так что зеркальный процесс, по-видимому, реально идти не может. Однако более внимательный анализ изображенного на рис. 103 процесса обнаруживает, что для указания направления «зеркального» тока Г, а также для указания полярности N\ S' изображения диполя в зеркале необходимо сделать определенное предположение относительно закона преобразования электрического заряда при отражении координат. Здесь имеются две возможности.

Пусть зеркальное отражение Q* заряда Q имеет тот же знак, Q' = Q. Тогда направления токов Г и I

Зеркало

Рис. 103. Кажущееся нарушение зеркальной симметрии в опыте Эрстеда.

одинаковы (в соответствии с обычным определением в качестве направления тока принимается направление от положительного конца проводника к отрицательному). Однако в этом случае полярность магнитной стрелки в зеркале будет противоположна полярности реального магнита, и дело здесь в том, что любой магнитный диполь экивалентен круговому току, направление которого меняется при отражении на противоположное (рис. 104). Отсюда можно заключить, что опыт Эрстеда обладает симметрией относительно отражения, поскольку как в

Зеркало

Рис. 104. Опыт Эрстеда и его зеркальное отображение в предположении о том, что заряд не меняет знака при инверсии координат.

Рис. 105. Опыт Эрстеда и его зеркальное изображение в предположении о том, что заряд меняет знак при инверсии координат.

реальном процессе, так и в его зеркальном изображении магнитный N-полюс отклоняется вправо от направления тока.

Пусть зеркальное изображение Q* и заряд Q имеют различные знаки, Q’ = —Q. В этом случае направления токов 1 и Г будут противоположны (если придерживаться прежнего соглашения о направлении тока). Однако круговой ток, соответствующий зеркальному изображению диполя, имеет теперь то же направление, что и реальный круговой ток (рис. 105); следовательно, полярности реального и зеркального магнитных диполей одинаковы. Легко видеть, что и в этом случае N-полюс магнита по обе стороны зеркала обнаружит отклонение вправо относительно направления «своего» тока; тем самым и в этом случае доказана зеркальная симметрия опыта Эрстеда.

Аналогичный анализ любых других электромагнитных явлений, в которых проявляется кажущаяся «закручен- ность», обнаруживает полную симметрию в закономерностях этих процессов по отношению к их отражению в зеркале. Зеркальное отражение любого реального электромагнитного процесса является возможным процессом и может иметь место в реальных электромагнитных полях. Более того, законы электромагнетизма обладают настолько высокой степенью симметрии, что с помощью чисто электромагнитных экспериментов вообще невозможно установить, является ли электрический заряд скаляром или псевдо-

скаляром (то есть величиной, не меняющей знака или меняющей его на обратный при инверсии координат).

Операцию инверсии координат с сохранением знаков всех зарядов принято называть просто инверсией, а ту же операцию с одновременной заменой знаков всех зарядов на обратные — комбинированной инверсией. Проведенный выше анализ опыта Эрстеда и аналогичных ему опытов можно резюмировать так: по отношению к электромагнитному полю операции простой и комбинированной инверсии являются разрешенными операциями симметрии.

До конца 1956 года большинство физиков (из числа тех, кто вообще размышлял над такого рода вопросами) считали, что на основании механических и электромагнитных данных симметрия по отношению к инверсии является универсально справедливым принципом. Поэтому столько удивления и даже замешательства вызвало открытие, сделанное в январе 1957 года By и ее сотрудниками в Колумбийском университете. Они показали, что в некоторых ядерных процессах, в которых проявляется так называемое слабое взаимодействие (р-распад), принцип симметрии по отношению к пространственному отражению не выполняется.

Идея эксперимента, проведенного By с сотрудниками, была высказана ранее Ли и Янгом, указавшими на отсутствие инверсионной симметрии в слабых взаимодействиях. Экспериментальная схема имела устройство для магнитного ориентирования радиоактивных ядер Со60 и счетчики частиц, регистрирующие направления вылета электронов из распадающихся ядер. Ошеломляющий результат состоял в том, что эти электроны вылетают преимущественно со скоростью v, антипараллелъной направлению магнитного момента ядра (рис. 106). Этот результат, очевидно, несовместим с принципом зеркальной симметрии, так как в зеркальном изображении процесса скорость V параллельна направлению магнитного момента ядра р/, то есть прямо противоположна тому, что наблюдается в реальном процессе распада ядра Со60. Если бы процесс распада обладал

ЗеркалоЗеркалое-е-ии6оСо6оСо

Зеркало

Зеркало

е-

е-

и

и

6оСо

6оСо

Рис. 106. Нарушение симметрии по отношению к инверсии ко-ординат при p-распаде ядер Со60.

f Зеркало

Рис. 107. Выполнение симметрии по отношению к комбинированной инверсии при ^-распаде ядер Со60.Рис. 107. Выполнение симметрии по отношению к комбинированной инверсии при ^-распаде ядер Со60.бОСа-коЬальгП'бОСа-коЬальгП'

Рис. 107. Выполнение симметрии по отношению к комбинированной инверсии при ^-распаде ядер Со60.

Рис. 107. Выполнение симметрии по отношению к комбинированной инверсии при ^-распаде ядер Со60.

бОСа-коЬальгП'

бОСа-коЬальгП'

АнтинейтриноАнтинейтринонейтринонейтрино

Антинейтрино

Антинейтрино

нейтрино

нейтрино

ии

и

и

Рис. 108. Закрученность (спиральность) нейтрино и антинейт-рино.

зеркальной симметрией, вероятности обнаружить электрон со скоростью v, параллельной и антипараллельной ji, были бы равны.

Однако наблюдаемый процесс распада ядер Со60 не противоречит принципу комбинированной инверсии. Действительно, операцию инверсии координат можно объединить с операцией замены всех частиц на античастицы имеющие электрический заряд противоположного знака; мы получим тогда процесс, изображенный на рис. 107 слева.

Согласно этому рисунку, комбинированное зеркальное отражение приводит к процессу распада ядер антикобальта (Со60), при котором из ядра вылетает положительно заряженный антиэлектрон (позитрон е^, скорость которого антипараллельна магнитному моменту ядра. К сожалению, реально осуществить такой эксперимент (и тем окончательно подтвердить или опровергнуть принцип комбинированной четности) еще никому не удалось. Это связано с тем, что энергия самых мощных современных ускорителей еще далеко не достаточна для синтеза ядер антикобальта. Существуют, однако, надежные указания на то, что результат эксперимента был бы именно таким, как показано на рис. 107 слева.

В настоящее время гипотеза о симметрии относительно комбинированной инверсии в процессе р -распада ядер Со60 является общепринятой. В ее пользу говорит существование нейтрино (см. главу 9), у которого вскоре после открытия By было обнаружено свойство закручен- ности (или спиральности); оно состоит в том, что спин нейтрино всегда антипараллелен направлению движения этой частицы (как показывает рис. 108, нейтрино является левозакрученной частицей). Сам факт закручен- ности нейтрино указывает на то, что эта частица не обладает зеркальной симметрией; ее зеркальное изображение

должно иметь правую закрученность (спиральность). Однако существование антинейтрино с экспериментально обнаруженной правой спиральностью (противоположной спиральности нейтрино) обеспечивает выполнение принципа комбинированной симметрии. Спин антинейтрино всегда параллелен направлению его движения.

Электронный р -распад любого ядра всегда сопровождается испусканием правозакрученного антинейтрино; позитронный распад ядра неизменно сопровождается испусканием левозакрученного нейтрино. Вследствие законов сохранения импульса и момента импульса во всех этих процессах электроны, испущенные, например, в р-распаде Со60, тоже обнаруживают преимущественное направление спиральности; этот эффект сам по себе мог бы быть истолкован как нарушение зеркальной симметрии в процессе распада. Экспериментально он проявляется в асимметрии двойного рассеяния электронов, полученных из радиоактивного источника; этот эффект наблюдался американским физиком Коксом еще в 1928 году, однако ему не придали тогда серьезного значения, так как вера в универсальную справедливость зеркальной симметрии была в то время непоколебимой.

Открытие By привело к критическому пересмотру всех принципов симметрии, считавшихся до того очевидными. Некоторое время существовала надежда на то, что симметрия по отношению к комбинированной инверсии и обращению времени является истинным и универсальным принципом симметрии в физическом мире. Но эта надежда серьезно поколеблена сейчас в опытах по неэлектронному распаду К-мезонов (позже мы займемся ими более подробно). Слабое взаимодействие, ответственное за эти распады, по- видимому, «пренебрегает» этими симметриями.

Законы электромагнетизма показывают, однако, что электромагнитное взаимодействие относится к принципам симметрии с должным уважением. Эти законы обладают симметрией не только к простой и комбинированной инверсии, но также и по отношению к обращению времени (то есть преобразованию t-> — t); для этого электрическому и магнитному полям следует приписать противоположные трансформационные свойства по отношению к обращению времени.

Дополнения

Весьма поучительно убедиться в том, что выражение для силы, действующей на заряд Q, движущийся со скоростью v в магнитном поле В, удовлетворяет принципам простой и комбинированной инверсии. Векторы v, В, F (взятые именно в таком порядке!) образуют правовинтовую систему, если заряд положителен. Зеркальные изображения силы в предположении о том, что заряд Q является скаляром или псевдоскаляром, изображены на рис. 109 и НО соответственно. Очень важно всегда помнить, что магнитное поле эквивалентно круговому электрическому току и преобразуется тоже соответственно. Легко видеть, что в обоих случаях векторы v', В', F'вновь образуют правовинтовую систему, если по-прежнему понимать подтоком движение положительных зарядов. Читателю предлагается самостоятельно проанализировать случай, когда зеркало расположено не в плоскости векторов v и F, как изображено на рис. 109, 110, а в плоскости векторов v и В.

Нарушение зеркальной симметрии в слабых взаимодействиях не сводится лишь к процессам с испусканием или поглощением нейтрино. Знаменитый пример представляет собой распад так называемой ламбда-частицы (А°) — см. главу 23 — на протон (р) и пи-мезон или пион (к"). Протон испускается преимущественно параллельно оси, вдоль которой ориентирован спин ламбда-частицы, а пион — антипараллельно этой оси (рис. 111). Зеркальное изображение процесса — это процесс, в котором протон испускался бы антипараллельно оси ориентации спина А°-частицы.

Законы электричества и магнетизма — все без исключения — удовлетворяют принципу симметрии по отношению к обращению времени. На рис. 112 изображены два процесса — прямой и обращенный, то есть полученный из прямого сменой направлений всех токов (предполагается, что обращение времени не меняет знака движущегося электрического заряда). Видно, что тройка векторов vR, BR и FR, равно как и тройка v, В и F, образует правовинтовую систему в случае положительного движущегося заряда. Вообще если заряд не меняет знака при об-

Рис. 109. Симметрия по отношению к инверсии в законе для силы (заряд считается скаляром).

Рис. 110. Симметрия по отношению к комбинированной инверсии в законе для силы (заряд считается псевдоскаляром).

Рис. 111. Отсутствие симметрии по отношению к инверсии координат в распаде ламбда-частицы Л° на протон р и пион тс".

Рис. 112. Симметрия законов электромагнетизма по отношению к обращению направления движения (на примере закона для силы в магнитном поле).

Заряд предполагается не меняющим знака при операции обращения времени.

ращении времени, то электрические поля также не меняют своего направления, тогда как магнитные поля меняют направление ha противоположное (они могут быть представлены соответственно расположенными замкнутыми токами).

Читателю не составит труда проверить, что если бы даже заряд менял знак при обращении времени (эту операцию можно было бы назвать «комбинированным обращением»), то векторы vR, BR и FR по-прежнему составляли бы правовинтовую систему.

ГЛАВА 17

Закон сохранения заряда

В электромагнитных явлениях, кроме уже знакомых нам законов сохранения импульса, энергии и момента импульса, проявляется еще и особый закон сохранения. Оказывается, что в любой замкнутой системе невозможно создать или уничтожить электрический заряд. Этот факт удобно сформулировать, пользуясь понятием потока электрического заряда, то есть тока через замкнутую поверхность. Если полный ток 7, протекающий в течение времени М через замкнутую поверхность (изнутри наружу), равен /, то закон сохранения заряда требует, чтобы за это же время произошло равное уменьшение полного заряда (—A Q) внутри этой поверхности (рис. 113).

(17.1)(17.1)AQ = 7 At.

(17.1)

(17.1)

Английский физик Максвелл (1831—1879) обратил внимание на то, что уравнение (15.2), описывающее резуль-

Р и с. ИЗ. Закон сохранения заряда.Р и с. ИЗ. Закон сохранения заряда.

Р и с. ИЗ. Закон сохранения заряда.

Р и с. ИЗ. Закон сохранения заряда.

Наличие результирующего электрического тока через замкнутую поверхностьдолжно компенсироваться уменьшением электрического заряда внутри этойповерхности.

Рис. 114. Ток смещения Максвелла.Рис. 114. Ток смещения Максвелла.

Рис. 114. Ток смещения Максвелла.

Рис. 114. Ток смещения Максвелла.

а — применение закона Эрстеда к току в цепи при разряде конденсатора; б — любое уменьшение заряда на обкладке конденсатора сопровождается пропорциональным уменьшением потока электрического поля через любую поверхность, охватывающую эту обкладку.

тат опыта Эрстеда, несовместимо с законом сохранения заряда, если применить его к току разряда заряженного конденсатора через замкнутую цепь (рис. 114, а\ Рассмотрим сначала открытую поверхность, изображенную на рис. 114, а, а затем замкнем ее так, чтобы она охватывала положительно заряженную пластину конденсатора (рис. 114, б). При этом длина L контура, на который «опирается» поверхность, стремится к нулю, и вместе с ней исчезает циркуляция магнитного поля по этому контуру. Уравнение Св = (^п!с)1 для открытой поверхности переходит в уравнение 0 = (кп/с)! для замкнутой поверхности; последнее уравнение говорит о том, что ток сквозь замкнутую поверхность равен нулю, но это противоречит уравнению (17.1) Очевидно, что в случае замкнутой поверх ности необходимо добавить член (4л/с) (Д@/Д0; для согласования с уравнением (17.1) следует написать

О = — 7 + — ^ •с о М

В силу уравнения (14.15) уменьшение заряда внутри замкнутой поверхности можно связать с изменением потока электрического поля через эту поверхность, 4л(Д(?/Д0 = ^ANz/ht. Действительно, при уменьшении заряда конденсатора электрическое поле между его пластинами, свя-

занное с потоком Ne через замкнутую поверхность, исчезает (рис. 114, бу Поэтому Максвелл предложил дополнить уравнение (15.2) еще одним членом:

Св (по замкнутому контуру) =

= — 7 + — (в системе СГСЭ). (17.2) сс М

Иначе говоря, даже в отсутствие электрических токов можно создать отличную от нуля циркуляцию магнитного поля по замкнутому контуру —- например увеличивая поток электрического поля сквозь поверхность, опирающуюся на этот контур. Во времена Максвелла это утверждение оставалось лишь гипотезой, предсказанием, тогда как остальные уравнения электромагнитного поля (14.15), (14.16) и (15.9)

Nf (через замкнутую поверхность) = 4zQ,

NB (через замкнутую поверхность) = О,

1 ANr

Се (по замкнутому контуру) —

с М

теоретически констатировали уже открытые экспериментальные факты. Полная система уравнений (17.2), (14.15), (14.16) и (15.9) известна теперь как система уравнений Максвелла.

С помощью математических операций (которых мы здесь делать не будем) из уравнений Максвелла можно, в частности, получить, что любое изменение электромагнитных полей распространяется в вакууме со скоростью с = = 3 -1010 см/сек. Максвелл прямым вычислением показал, что скорость, с которой распространяются в вакууме изменения электромагнитного поля, равна с = 3* . 1010 см/сек. Тот факт, что это число в точности совпадало с экспериментально измеренной скоростью света, Максвелл счел не случайным: он предположил, что по своей природе свет является электромагнитным явлением.

фундаментальное значение этого предвидения, в особенности для развития техники, хорошо известно; оно являет собой наиболее яркий пример того, сколь плодотворным может оказаться неуклонное следование внутренней согласованности во всех физических теориях. Именно требование выполнения закона сохранения заряда привело Максвелла к успеху.

Максвелловская теория света является вершиной классической теории электромагнетизма, основы которой были заложены Фарадеем. Максвелл и его последователи рассматривали поля Е и В как реальные физические понятия в том смысле, что они переносят в вакууме со скоростью с такие механические» свойства, как импульс, момент импульса и энергию, и могут обмениваться ими локально с другими материальными объектами (при условии, что эти объекты обладают электрическими зарядами); при этом силы, действующие на заряженные объекты со стороны электрических и магнитных полей, описываются формулами (14.12) и (15.4).

В высшей степени примечательно, что само электромагнитное поле не имеет электрического заряда и само не испытывает поэтому действия электромагнитных сил; в этом отношении оно отличается от переносчиков других типов взаимодействия. Например, гравитационное поле во всех полевых теориях само по себе является источником тяготения. Аналогично переносчики сильных взаимодействий, так называемые пионы, также сильно взаимодействуют ДРУГ с другом.

Существование астрономии (как оптической, так и радиоастрономии. — Ред.) обусловлено одним интересным фактом, вытекающим из уравнений Максвелла; мы приведем его здесь без доказательства: поля излучающего источника обратно пропорциональны расстоянию от этого источника. Таким образом, поле излучения спадает значительно медленнее, чем статическое кулоновское поле заряда (которое, как следует из (14.12), обратно пропорционально квадрату расстояния). Механические свойства, переносимые электрическими полями через пространство, пропорциональны квадрату этих полей и убывают, таким образом, обратно пропорционально квадрату расстояния от источника.

Особый интерес представляет распространение периодических изменений электромагнитных полей; при этом

имеет смысл говорить о частоте v (измеряемой числом колебаний в секунду) и длине волны К (измеряемой в сантиметрах). По определению длина волны и ее частота связаны соотношением

Л = с, (17.3) где с — скорость распространения волны.

Существует целый спектр электромагнитных волн, отличающихся между собой лишь длиной волны (видимый свет занимает в этом спектре очень узкую полоску длин волн от 3 • 10 “5 до 8 • 10“5 см). Кроме того, у электромагнитных волн наблюдаются картины интерференции, вполне сходные с картинами интерференции волн на поверхности воды или упругих волн в твердых телах. Эти факты привели в свое время к твердому убеждению, что распространение электромагнитных возмущений в буквальном смысле слова связано с реальными волнами; среда, в которой они распространяются, получила название эфира. Сам Максвелл приложил много усилий к тому, чтобы построить адекватные модели эфира и дать механическую интерпретацию электромагнитным полям. Одно из важных свойств электромагнитных волн, которое Максвелл надеялся описать в теории эфира, — их поперечный характер: векторы электрического и магнитного полей ориентированы под прямым углом друг к другу и к направлению распространения волны. Таким образом, при прохождении электромагнитной волны через данную точку пространства в данный момент времени можно связать с этой точкой три взаимно перпендикулярных вектора — именно, волновой вектор к в направлении распространения волны (величина |к| обратно пропорциональна длине волны X) и векторы электромагнитного поля Е и В. При данном к векторы Е и В могут быть ориентированы различным образом в плоскости, перпендикулярной вектору к; ориентация этих векторов определяет состояние поляризации волны (рис. 115).

Однако все попытки создать теорию света на основе понятия эфира потерпели неудачу; оказалось невозможным наделить эту гипотетическую среду требуемыми трансформационными свойствами, чтобы обеспечить постоянство скорости света (см. главу 10). В дальнейшем был открыт квантовый характер испускания и поглощения света; это привело к более современному взгляду на максвелловские полевые уравнения: мы считаем их одним из возможных 240

2

Рис. 115. Описание состояния плоскополяризованной электромагнитной волны.

способов описания процесса передачи электромагнитных взаимодействий с помощью элементарных частиц, лишенных массы покоя, — так называемых фотонов. Такое описание не содержит противоречий, если энергии фотона соотнести частоту соответствующей электромагнитной волны, импульсу фотона — ее волновой вектор, а моменту импульса — состояние поляризации волны (способ такого сопоставления мы рассмотрим подробнее в главе 19). В современном понимании понятие «волна» можно употребить в лучшем случае как аналогию, иногда полезную для геометрического построения картин интерференции; следует, однако, всячески остерегаться рассматривать электромагнитные волны только как реальные волны, распространяющиеся в данной среде. В действительности понятие волны является всего лишь удобным способом описания для амплитуды вероятности обнаружения фотона в состоянии с данными энергией, импульсом и моментом импульса (см. также главу 19). .

При классическом анализе уравнений Максвелла обычно делается допущение о существовании источников излучения, способных испускать когерентный цуг переменных электрических и магнитных полей (это изображено сим-

волически на рис. 116). Такой источник можно осуществить, например, в виде антенны передатчика, непрерывно питаемой переменным напряжением. Однако излучателями света видимого диапазона являются в большинстве случаев отдельные атомы; каждый из них может излучить, говоря языком Максвелла, волновой цуг с весьма ограниченной длиной когерентности (обычно порядка 102 см). Излучение различных атомов (например, расположенных на поверхности Солнца) происходит, как правило, одновременно, так что свет от обычных источников состоит из некогерентной суперпозиции (наложения) волновых пакетов, испущенных отдельными атомами. Только в последние годы благодаря изобретению лазера стало возможным «кооперировать» большие совокупности атомов; их действие напоминает действие радиопередатчика, и испущенный ими свет обладает гораздо большей длиной когерентности (см. главу 22, дополнение 3).

Еще до открытия электромагнитной природы света были обнаружены эффекты, которые привели к выводу о необходимости сопоставления любому монохроматическому световому сигналу характеристической частоты v, характеристической длины волны X, а также состояния поляризации. Эти наблюдения дали начало «волновой» теории света, и лишь значительно позднее была понята его электромагнитная природа. Однако еще задолго до этого большое число опытов с распространением света успешно описывалось на геометрическом языке в терминах световых лучей. Пригодность этого понятия не вытекает немедленно и с полной очевидностью из электромагнитной теории света. Однако, используя именно это понятие, геометрическая оптика дала начало развитию принципа нового типа, поз-

Р и с. 116. Когерентный цуг переменных электрических и магнитных полей.

водившего в конечном итоге более глубоко описать природу передающих взаимодействие «волн»; об этом принципе мы поговорим в следующей главе.

Дополнения

Определение (17.3) скорости волны в виде произведения частоты и длины волны является, строго говоря, определением фазовой скорости. Это скорость, с которой распространяется данное состояние или фаза волны (например, ее «горб») в пространстве; волна при этом считается бесконечно протяженной и имеющей строго определенную частоту V. В самом деле, если X — расстояние между двумя соседними горбами, то vX — протяженность волны, которая пройдет через данную точку за единицу времени.

Разумеется, определение (17.3) не зависит от природы рассматриваемой волны; оно в равной степени применимо, например, для звуковых волн, которые состоят из периодически чередующихся сжатий и разрежений некоторой среды (например, воздуха). Звуковые волны относятся к числу продольных, так как смещения молекул воздуха параллельны направлению распространения звуковой волны.

Численное значение фазовой скорости не обязано, однако, быть одним и тем же для всех длин волн, как это имеет место при распространении электромагнитных возмущений в вакууме. Так, поверхностные волны на воде, если длина их превышает 3 см (X ^ 3 см), распространяются с фазовой скоростью (Х#/2л)1/г; при этом поверхностное натяжение в качестве возвращающего фактора играет пренебрежимо малую роль по сравнению с силой тяжести. С другой стороны, в неглубоких сосудах (глубина которых а много меньше X) волны на воде распространяются с постоянной скоростью, равной (rig)1/2.

Некоторые землетрясения вызывают вертикальные смещения воды в областях, поперечные размеры которых превышают среднюю глубину океана ri. Возникающая при этом так называемая приливная волна будет распространяться в этом случае как раз со скоростью (rig)I/2. Интересно вычислить эту скорость для Тихого океана, средняя глубина которого порядка ri ^ 4 • 103 м, и оценить время 7, которое понадобится такой волне, чтобы преодолеть расстояние в 4000 км от эпицентра землетрясения на Аляс-

ке до Гавайских островов. (Ответы: и ^ 200 м/сек, что составляет около двух третей скорости звука в воздухе; Т 2-Ю4 сек си 5,5 ч.)

Распространение в среде звуковых волн, излученных объектом, движущимся относительно среды (например, воздуха), приводит к большому числу интересных эффектов. Рассмотрим прежде всего самолет, движущийся вдвое медленнее звука. На рис. 117 изображены последовательные положения самолета в данный момент (0), одну секунду назад (1), две секунды назад (2) и т. д., а также положения в данный момент фронтов звуковых волн ^, $2, $3, излученных самолетом 1, 2 и т. д. секунд назад. Видно, что эти фронты образуют последовательность непересека- ющихся эксцентрических сфер. По сравнению с последовательностью концентрических сфер, которые возникли бы в случае излучения неподвижным источником, расстояния между последовательными горбами сократились в области перед самолетом и удлинились позади него. Соответственно наблюдатель, к которому самолет приближается, услышит звук более высокой частоты (более высокого тона), чем в случае неподвижного источника: напротив, наблюдатель, от которого самолет удаляется, услышит звук более низкой частоты (тона). Это явление носит название эффекта Доплера в честь австрийского физика Христиана Иоганна Доплера (1803—1853), который открыл его и теоретически обосновал. Читателю предлагается сравнить длины звуковых волн перед самолетом и позади него, если длина волны от стационарного источника равна X. (Ответ: X' -ХГ^ Xм - ЗХ/2.)

Рассмотрим теперь самолет, движущийся со скоростью, вдвое превосходящей скорость звука в воздухе (рис. 118). В этом случае фронты звуковых волн, излученных 1/4, 1/2,1, 2, и т. д. секунд назад, образуют последовательность пересекающихся сфер, заключенных внутри описывающего их конуса, называемого конусом Маха. Вдоль образующей этого конуса различные волновые фронты взаимно усиливают друг друга, и в результате возникает так называемый фронт ударной волны, воспринимаемый наблюдателем как удар грома. Когда фронт ударной волны пройдет мимо наблюдателя, он вновь услышит звук от самолета, измененный за счет эффекта Доплера. Читателю предлагается с помощью рис. 118 вновь определить соотношение

Рис. 117. Фронты звуковых волн, излученных самолетом, летящим со скоростью, равной половине скорости звука; эти фронты образуют набор непересекающихся сфер с центрами в разных точках.

Рис 118. Фронты звуковых волн, излученных самолетом, летящим со скоростью, вдвое превышающей скорость звука; эти фронты пересекаются друг с другом, а их огибающая образует конус Маха.

между длиной волны звука от стационарного источника X и от сверхзвукового самолета Хш (Ответ: X'" =ЗЛ,.)

Эффект Доплера наблюдается и при движении источников света относительно наблюдателя. Частота света, воспринимаемая наблюдателем, к которому приближается источник, возрастает, что соответствует смещению цвета к зеленой части спектра; наоборот, частота света, излучаемого удаляющимся источником, оказывается меньше, что соответствует смещению цвета в красную часть спектра. Соотношение частот движущегося (у') и неподвижного (у) источников, излучающих в вакууме, дается соотношением

1 ± (г/с)

Здесь v — относительная скорость источника и наблюдателя, с — скорость света, знаки «+» или «—» соответствуют случаям приближения (удаления) источника. Наблюдение эффекта Доплера в спектральных линиях звезд и других астрономических объектах позволяет астрофизикам определить радиальные скорости этих объектов относительно нас. Некоторые удаленные объекты обнаруживают сильное красное смещение, что свидетельствует о том, что они удаляются от нас со скоростью, превосходящей половину скорости света.

Согласно одному (правда, не вполне достоверному) рассказу, однажды в техасский суд был доставлен нарушитель, обвинявшийся в проезде перекрестка на красный свет (у — 4,5 «10й сек-1). Нарушитель не признал себя виновным, сославшись на то, что вследствие эффекта Доплера он видел зеленый свет. Техасский судья был достаточно сведущ в физике, чтобы снять прежнее обвинение и предъявить нарушителю новый иск за превышение скорости. Может ли читатель рассчитать, с какой скоростью должен был приближаться к перекрестку шофер-нарушитель, если все, что он говорит, — правда? (Ответ: и =

^ 7с,25 ~ 300 млн. км/ч, что, пожалуй, многовато даже ПО техасским стандартам).

Поскольку ни один объект не в состоянии превзойти скорость света в вакууме, то в вакууме не существует никакого аналога конусу Маха. Однако в прозрачных веществах с показателем преломления п (см. главу 18) фазовая скорость света с меньше скорости света в вакууме с; поэтому, если заряженная частица (например, электрон) движется сквозь такое вещество со скоростью ип превышающей с', наблюдается эффект, аналогичный возникновению фронта ударной волны Маха, — этот эффект известен под названием излучения Черенкова*.

Угол, который образует черепковский конус с направлением движения частицы, зависит от и; черенковские счетчики, основанные на этом эффекте, являются широко распространенными приборами для измерения скоростей частиц высоких энергий.

ГЛАВА 18

Вариационные принципы

Представление о том, что свет распространяется в про* странстве по хорошо определенным прямолинейным траекториям -— лучам, обязано наблюдениям солнечного света в не совсем прозрачных средах (например, в слабом тумане). Следует всегда помнить о приближенном характере этого представления. То, что принято называть солнечными лучами, является результатом многократного рассеяния солнечного света на частицах пыли или мелких капельках воды: эти частицы сами служат новыми источниками света. Луч света в вакууме в принципе вообще невидим, и утверждение о том, что «луч» «бьет» наблюдателю прямо в глаза, означает, что наблюдателю локально пере- : дается импульс, энергия и момент импульса. Правда, если j как-либо отметить точки, в которых происходят элемен- тарные акты поглощения и рассеяния, испущенного источником света, получится простая геометрическая картина, во многом напоминающая пространственный луч. <

Распространение лучей света в прозрачных веществах j обладает интересной и важной экспериментальной особенностью: скорость света с' в этих веществах всегда мень- j ше ее значения в вакууме (с' <. с). Отношение этих двух скоростей носит название показателя преломления данно- 1 го вещества; он выражается формулойj

n — dc't(18.1)5

Вообще говоря, показатель преломления п зависит как | от частоты света, так и от состояния его поляризации; i поэтому в дальнейшем мы будем считать эти характеристи- ки света заданными.;

На границе, разделяющей два прозрачных вещества, любой пучок света расщепляется на два пучка — отраженный ^преломленный (рис. 119). Законы, определяющие

Рис. 119. Преломление и отражение света на границе раздела двух прозрачных сред с различными показателями преломления.

геометрию этих пучков, были известны уже очень давно; их можно сформулировать следующим образом.

Закон отражения. Угол падения, образованный падающим лучом с нормалью к поверхности раздела в точке пересечения с отраженным пучком, равен углу, который образует отраженный луч с той* же нормалью; оба луча и нормаль лежат в одной плоскости.

Закон преломления. Угол преломления р , образованный преломленным лучом с нормалью к поверхности раздела в среде с показателем преломления п2, связан с углом падения а в среде с показателем преломления пх соотношением

sin^ = ; (18.2) sin a na

оба луча и нормаль лежат в одной плоскости.

С помощью этих двух законов можно выполнить построение изображений в различных оптических приборах, таких, как отражающий телескоп, полевой бинокль, микроскоп; иногда (например, при наличии большого числа линз) такое построение становится громоздким.

Исключительная простота, с которой формулируются оба закона распространения световых лучей, иногда мас-

ооРис. 120. Закон отражения в формулировке Герона из Александрии с использованием вариационного принципа.Рис. 120. Закон отражения в формулировке Герона из Александрии с использованием вариационного принципа.

о

о

Рис. 120. Закон отражения в формулировке Герона из Александрии с использованием вариационного принципа.

Рис. 120. Закон отражения в формулировке Герона из Александрии с использованием вариационного принципа.

кирует интереснейшее экстремальное свойство этих лучей. На основе этого свойства можно вывести оба закона; на него еще в античные времена впервые обратил внимание Герои из Александрии.

Герои задался вопросом, какое свойство характеризует действительный путь, выбираемый лучом света при распространении от источника S к наблюдателю О с отражением в зеркале (рис. 120). Он заметил, что различные пути А, В, С, D... имеют, вообще говоря, разную длину; построив зеркальное изображение S' источника S, легко видеть, что расстояния Л', S', С", D', ... между S' и О равны соответствующим длинам путей А, В, С, D, ... . Один из путей, обозначенный на рис. 120 как 5', обладает особым отличительным свойством: он соединяет S' и О прямой линией. Следовательно, путь 6'(а вместе с ним и 5) является кратчайшим из всех, соединяющих источник S с наблюдателем О, при условии однократного отражения в зеркале. Из построения следует, что для этого пути (и только для него) угол падения равен углу отражения и оба луча вместе с нормалью лежат в одной плоскости. Таким образом, сформулированный выше закон отражения выполняется лишь для выделенного пути 5. Другими словами: действителънъгй путь, выбираемый светом при распространении

от источника S к наблюдателю О с отражением в зеркале, является кратчайшим из всех геометрически возможных путей.

Такая формулировка закона отражения света, данная рероном, знаменует собой возникновение в физике нового подхода, получившего название вариационных принципов. Идея любого вариационного принципа состоит в том, чтобы варьировать некоторую величину, характеризующую данный процесс (в рассмотренном выше примере этой величиной является длина пути, соединяющего S и О), и отбирать, если это возможно, из всех мыслимых процессов реализующийся в действительности процесс, основываясь на каком-то экстремальном свойстве характеризующей процесс величины (в разобранном случае — минимальной длины пути).

Пример, рассмотренный Героном, оставался единственным в своем роде в течение почти двух тысячелетий, пока в XVII веке французский математик Ферма не обратил внимания на то, что с помощью принципа Герона, переформулированного в терминах времени распространения света, можно объединить оба закона — отражения и преломления. Принцип Ферма гласит: действительный путь, по которому распространяется свет от источника S к наблю- людателю О, является кратчайшим по времени прохождения среди всех геометрически возможных путей. Эта формулировка включает в себя в качестве частного случая принцип Герона, так как в среде с постоянным коэффициентом преломления наикратчайший путь является в то же время и наибыстрейшим. Однако, если испущенный источником S свет достигает наблюдателя О, проходя через вещества с различными показателями преломления, возникает новая ситуация. Пусть, например, источник света находится в вакууме (п = 1), а наблюдатель в среде с показателем преломления nf > 1 (рис. 121). Среди всех геометрически возможных путей А, В, Сп D ... снова имеется кратчайший — он соответствует прямой линии В, связывающей S с О. Ясно, однако, что этот путь вовсе не обязательно соответствует и кратчайшему времени прохождения; действительно, «путешествуя» вдоль пути У, свет может лишь малую часть пути проходить в «быстрой» среде, а большую вынужден проходить в «медленной». Интуитивно ясно, что путь типа С может занять меньше времени, поскольку сокращается часть

Рис. 121. Закон преломления в формулировке Ферма с использованием вариационного принципа.

пути, проходимая в «медленной» среде. Полученный выигрыш во времени может даже перекрыть некоторое увеличение пути и времени прохождения в «быстрой» среде по сравнению с путем В. На основе своего принципа Ферма действительно удалось вывести закон преломления (18.2), графически эта ситуация изображена на рис. 121.

Открытие Ферма вызвало заметный прилив активности среди его ученых коллег. Стало модным формулировать различные философские концепции (иногда весьма сомнительные) в форме вариационных принципов. Позднее, в XVIII столетии, интенсивные поиски велись в более плодотворном направлении: законы механики Ньютона пытались заменить соответствующим вариационным принципом. В этом больше всего преуспели Мопертюи (1698—1759) и Эйлер (1707—1783); на основе их работ Лагранж (1736— 1813) впервые правильно сформулировал вариационный принцип в механике. Современная формулировка так называемого принципа наименьшего действия Лагранжа принадлежит Гамильтону (1805—1865); для случая одной частицы, движущейся под влиянием данного силового поля (позволяющего ввести понятие потенциальной энергии частицы в этом поле), принцип Лагранжа — Гамильтона можно изложить следующим образом.

Пусть частица перемещается вдоль мировой линии от мировой точки Яр ^ к мировой точке ж2, ^ (рис. 122).

Рис. 122. Принцип экстремального действия Лагранжа на языке мировых линий.

Тогда в каждой точке мировой линии частица будет иметь кинетическую энергию £*кин = -у mv2 и потенциальную энергию Епот, зависящую от ее положения. Для любого заданного малого промежутка времени Д^ можно составить разность Екин —Е пот, величину этой разности принято называть лагранжианом и обозначать символом L:

^ — ^кин — ^пот(18.3)

Произведение LAt называют элементарным действием за интервал времени Д/. Принцип Лагранжа — Гамильтона состоит в том, что из всех возможных мировых линий, соединяющих заданные мировые точки (соответствующие моментам времени tx и t^ Д/ = £2—^), действительная мировая линия характеризуется экстремальным значением величины полного действия (полным действием называется сумма всех значений LM на всем интервале времен от к до Ц\

Содержание этого принципа лучше всего иллюстрируется на примере орбитального движения одной частицы в Центральном силовом поле. Вблизи центра притяжения О можно изобразить большое число геометрически возможных орбит Л, В, С, ..., соединяющих две заданные точки и ж2 (рис. 123). Для вычисления L недостаточно знать форму этих орбит: необходимо в любой момент времени

Рис. 123. Принцип экстремального действия Лагранжа на языке орбит.

знать также скорость частицы, движущейся от я^ к х2. Ограничиваясь движениями с началом и концом в фиксированные моменты времени ^ и Z2> мы получаем в большинстве случаев единственную орбиту, для которой пол- | ное действие имеет экстремум.

Вариационный принцип Лагранжа легко допускает распространение на системы, состоящие из нескольких частиц. Такие системы удобно описывать на языке путей (траекторий) в абстрактном пространстве большого числа измерений. Рассмотрим, например, движение двух частиц в одномерном физическом пространстве (рис. 124, а). Пусть обе ; частицы в момент 1 = 0 начинают двигаться навстречу ■ друг другу, так что в момент t = Т они сталкиваются в точке х = 0. Математически это движение можно выразить

Рис. 124. Столкновение двух частиц.

а — в реальном физическом одномерном пространстве; б — в абстрактном трехмерном конфигурационном пространстве.

с помощью кривой в трехмерном пространстве с осями координат ^, z2, / (рис. 124, б). Такое абстрактное изображение движения системы называют «движением изображающей точки в конфигурационном пространстве». Рассматривая все возможные пути, соединяющие две заданные точки этого пространства, можно сформулировать принцип действия в следующей форме: среди всех возможных путей, изображающих движение двух частиц, действительный путь характеризуется экстремальным значением действия (суммы) величин LM = (Е^ —Е^ At по всему интервалу времени движения.

С помощью вариационных принципов можно сформулировать не только законы ньютоновской механики или геометрической оптики. Например, уравнения Максвелла, описывающие поведение электромагнитных полей в вакууме, эквивалентны требованию о том, чтобы плотность лагранжиана

£ = _|_(£2_52)(18.4)

давала экстремум для реально существующих полей (по сравнению со всеми геометрически возможными полями внутри данного объема за данный промежуток времени.

Дополнения

Путем подбора соответствующей формы отражающей поверхности или преломляющей границы раздела между двумя прозрачными средами всегда можно собрать расходящийся пучок световых лучей (испускаемых точечным источником Л), так, чтобы они вновь встретились в точке В — изображении источника. Анализ этого явления, лежащего в основе устройства большого числа оптических инструментов, особенно прост, если источник А расположен очень далеко. В этом случае можно считать, что все лучи от источника приходят в оптическую систему параллельно (это имеет место, например, для воспринимаемого нами света от удаленной звезды). Точка, в которой находится изображение источника, называется в этом случае фокусом оптической системы.

Рис. 125. Условие существования действительного фокуса (точки F, в которой пересекаются параллельно падающие на поверхность лучи).

Как для случая отражающей, так и для случая преломляющей поверхностей времена распространения между точками А и F (через точку Р), А’ и F' (через Р') и т. д. должны быть равны между собой.

Подбор поверхностей (линз или зеркал), фокусирующих падающий параллельный пучок света в данной точке F, можно производить, например, с помощью принципа Ферма. Рассматривая рис. 125, мы видим, что существует много путей, соединяющих источник света и фокус F и обладающих требуемым экстремальным свойством; точки Р, Р', ... отражающей или преломляющей поверхности должны быть расположены для этого так, чтобы времена распространения от А к F через Р, от 4' к F через Р’ и т. д. были равны друг другу. Это условие, как будет показано ниже, позволяет эффективно выполнить построение нужной формы поверхности.

Построение отражающей поверхности можно выпол- I нить с помощью простого механического устройства, изображенного на рис. 126. Отрезок гибкой проволоки закрепляется в двух точках F и А (точка А отмечается концом линейки, параллельной оси я); затем натянутая проволока плотно прижимается к линейке карандашом в точке Р. Если теперь двигать линейку параллельно оси у, кончик карандаша вычертит искомую поверхность в плоскости [ ху; действительно, расстояние от А до F через точку Р при | этих условиях остается все время постоянным (равным } длине отрезка проволоки).

Обозначая расстояние FP через Ь, проекцию отрезка b на ; ось х через а и расстояние от/7 до поверхности (отсчитанное j вдоль оси ж) через /, получаем соотношение а + 6 = 2/, выражающее постоянство длины отрезка проволоки; имеем также а = / —• х, откуда следует b = / + х. Посколь-

Рис. 126. Построение отражающей поверхности, гарантирующей постоянство расстояния от А до F через точку Р при параллельном смещении точки А.

Рис. 127. Преломляющая фокусирующая поверхность раздела двух сред с показателями преломления wi и «2-

Такая поверхность определяется следующим условием? время распространения от А до F через точку Р, равное (ntx + n2i>)/c, остается постоянным при параллельном смещении точки А вдоль оси у.

ку отрезки а, b и расстояние до точки Р вдоль оси у образуют прямоугольный треугольник, имеем

у2 = № — а2 = 4fx.

Последнее соотношение является математическим урав- i нением параболы в плоскости жу. Искомая поверхность | может быть получена вращением этой параболы вокруг \ оси ж.1

Параболические зеркала являются существенным элементом оптических устройств во всех применяемых в аст- : рономии телескопах отражающего типа.

Аналогичным образом можно выполнить построение преломляющей поверхности, разделяющей две среды с показателями преломления nY и п^ и фокусирующей параллельный пучок света, идущий из среды пп в точке F, находящейся в среде м2 и отстоящей от границы раздела на расстояние / вдоль оси х (рис. 127).

Принцип Ферма требует, чтобы время распространения от А к F через Р, равное ^пхх 4- п^!с, не менялось при различных положениях точки А на оси у. Для частного случая, когда точка А лежит в начале координат, это время равно nJ/с, так что мы получаем условие

пгж + ^2^ ~ п^Ь или ^ = / —— ж.

По теореме Пифагора (в которую войдет координата у) имеем

/ и2\

yi= № — U — xf = xi Ц- —1 +2/х (1— -^М.

\ и2/\ П2 /

Читателю предлагается изобразить соответствующую кривую на миллиметровой бумаге для случая, когда / = = 5 см, пх = 1, ^2 = 1,5. Как и в предыдущем случае, полная преломляющая поверхность получается вращением кривой вокруг оси ж.।

В принципе аналогичным образом можно построить отражающие и преломляющие поверхности, собирающие * лучи от источника А, расположенного на конечном удалении, в точке своего изображения В (рис. 128). Для отра- • жающей поверхности условие постоянства суммы расстоя- 258

Рис. 128. Отражающая и преломляющая поверхности.Лучи от точечного источника А собираются в точке В —его изображении.Рис. 128. Отражающая и преломляющая поверхности.Лучи от точечного источника А собираются в точке В —его изображении.

Рис. 128. Отражающая и преломляющая поверхности.

Лучи от точечного источника А собираются в точке В —его изображении.

Рис. 128. Отражающая и преломляющая поверхности.

Лучи от точечного источника А собираются в точке В —его изображении.

ний от Р до А и В сразу приводит к тому, что поверхность должна быть эллипсоидальной формы. Соответственно для преломляющей поверхности это условие равносильно соотношению (рис. 128)

пгЬх + п^ = п^г + п^у

Читателю предлагается с помощью теоремы Пифагора найти выражение для координаты у точки Р как функции х, nv п^ gv g^. (Ответ:

[(^2 + я2) ( ni — ^) + 2^ (g^f + g^V =

= 4n,n2 [(у2 4- X2) {«^ ( g^ + $ + gxga ( П1 + «!)) +

+ ^g^^ (n^n^ (n^ + n^. )

Заметим, что в частном случае при gx ~> 00 мы возвращаемся к выражению, уже полученному в дополнении 3.

Из предыдущего рассмотрения ясно, что точное геометрическое построение оптических систем, обладающих свойством формировать изображение, является весьма трудной задачей; требуемые формы отражающих и преломляющих поверхностей в этих оптических системах довольно сложны. На практике часто бывает достаточно построить такие поверхности лишь приближенно, придавая им сферическую форму; таким способом изготовляют, например, очковые линзы. Замена параболоида, эллипсоида и еще более сложной поверхности, найденной в дополнении 4, сферой приводит к искажению получаемого изображения, однако это искажение тем меньше, чем уже собираемый пучок лучей.

В действительности нет необходимости добиваться лока- лизации точки изображения на расстояниях, меньших, чем длина волны используемого света. Дело связано с тем, что сама геометрическая оптика, то есть описание распространения света на языке лучей, перестает быть справедливой, когда мы пытаемся построить изображение малого объекта, размеры которого меньше длины световой волны. «Виной» тому — явления интерференции и дифракции, о которых пойдет речь в следующей главе.

ГЛАВА 19

Интерференция амплитуд вероятности

В XX столетии возник существенно новый подход к описанию явлений распространения волн, в частности световых волн.

С экспериментальной точки зрения процессы испускания и поглощения света отдельными атомами можно подразделить на последовательные события, каждое из которых состоит в испускании или поглощении кванта света, или фотона. Измеряя изменения энергии, импульса и момента импульса, возникающие за счет таких процессов, можно получить подробную информацию об атомной структуре источника света и поглотителя; об этом пойдет речь в главе 20. Здесь нам вполне достаточно лишь самого факта, что атом способен воспринимать или отдавать энергию порциями 5; эти порции в принципе нельзя разделить на еще меньшие. Рассматривая лишь процессы испускания и поглощения, можно выражать этот факт следующими словами: атом может испускать или поглощать фотоне энергией Е.

В то же время энергия фотона Е, определяемая свойствами источника света, связана с круговой частотой со соотношением

Е ^ hm (Ji = A/2n, h, = 6,62 • 10 ~27 эрг «сек — постоянная

Планка). (19.1)

Круговая частота <о (измеряемая в рад/сек) отвечает некоторому колебательному движению, характеризующему распространение фотона. Безусловно, тот факт, что в процессе распространения фотона некоторая физическая величина колеблется (осциллирует), был осознан уже очень давно. Именно это привело к созданию так называемой волновой теории света, нашедшей свое наиболее яркое воплощение в максвелловской теории всепроникающего

Р п с. 129. Возможные пути, соединяющие источник света в точке S с точкой поглощения О.

эфира; согласно Максвеллу, эфир — это среда, в которой способен распространяться свет, причем волновое движение создается за счет механических напряжений (аналогично тому, как происходит распространение сейсмических волн в упругой среде — Земле).

В этой главе мы не будем использовать эти представления — они имеют теперь лишь исторический интерес. Напротив, мы с самого начала постараемся точно указать, что именно колеблется при распространении фотона — насколько вообще это позволяет сделать сегодняшнее состояние науки. Мы не будем, однако, пытаться описать здесь распространение особого вида излучения, а именно когерентного излучения, возникающего, например, в лазере; не представляется возможным также изложить на принятом уровне квантовую теорию когерентности.

Пусть фотон испущен источником в точке S, а в точке наблюдения О свет поглощается. Если мы хотим предсказать, попадет ли фотон в действительности в точку О, то в лучшем случае можем лишь указать вероятность Р такого события. В частности, случаи Р = 1 соответствуют достоверному попаданию фотона в точку О, а Р = 0 — столь же достоверному «промаху»; в общем случае значение Р заключено между нулем и единицей. Точное значение Р существенно зависит от геометрически возможных траекторий, соединяющих точки S и О (рис. 129).

Именно, каждому возможному пути (7,2,3,...) отвечает составляющая Р, описываемая комплексным числом cv с^ с3 ..м так что полная вероятность попадания фотона в точку О равна.

P = ki + ^2 + c3+ ...р. (19.2)

Все комплексные числа ct имеют одну и ту же абсолют- ную величину (модуль), то есть ,

| ci | = | с21 = | с31 = • • • , (19.3) однако фазы (аргументы) фр ф2, ф3, ... зависят от траек- тории.

Эта зависимость определяется очень простым правилом: если бы фотон распространялся по траектории с номером п, так что время распространения от S к О равнялось бы t , то этой виртуальной траектории соответствовала бы фаза ф^, пропорциональная виртуальному времени распространения

Ф„ = «гл. (19.4)

Коэффициент пропорциональности о> соответствует круговой частоте фотона, введенной в уравнение (19.1). Итак, если задать вопрос: «Что именно колеблется при распространении фотона?», большинство современных физиков ответит: «Колеблется фаза амплитуды вероятности». Здесь и далее термин амплитуда употребляется для обозначения величины, квадрат которой дает интенсивность (например, согласно уравнению (19.2)).

Поскольку для траектории длины Ln время распространения равно tn = Ln/c (где с, как обычно, обозначает скорость света) и, кроме того, со = 2ле/А (где А — длина волны, соответствующая частоте <о), то для фотонов можно записать соотношение

Ф„ = 2kLr/X. (19.5)

Принцип Ферма, содержащий всю геометрическую оптику, приобретает теперь дополнительное обоснование: для вычисления вероятности прибытия фотона в точку О существенно необходимо учесть все геометрически возможные траектории. Отбор истинной траектории из всей совокупности возможных реализуется с помощью интерференции амплитуд вероятности.

Эффект интерференции нетрудно продемонстрировать наглядно, если подбором соответствующих щелей и отверстий уменьшить число геометрически возможных траекторий, соединяющих точки S и О. На рис. 130 изображен наиболее простой (идеализированный) случай наличия лишь двух таких траекторий. Если фазы фх = 2^^/А и

Рис. 130. Условие интерференции с усилением на расстоянии яМакс от оптической оси дифракционной решетки с двумя щелями, разделенными промежутком d (поглощающий экран отстоит от решетки на расстояние D).

<р2 = 2 it£2/X различаются на целое число, кратное 2тс, то происходит интерференция с усилением. приводящая к максимуму вероятности

Р = (Ы + Ы)2 = 4К^

если же разность между Ф1 и ф 2 составляет полуцелое, кратное 2 к, происходит интерференция с ослаблением. приводящая к минимуму вероятности

p = (kil-l^l)2 = o.

Иначе говоря, если разность длин траекторий Lx — L^ равна

^i — L^ = nk (n — целое),(19.6а)

то мы получаем максимум вероятности обнаружить фотон в точке О, а если

Lt — L2 = — ^ X (п — целое), (19.66)

то соответствующая вероятность обращается в нуль.

На рис. 131 графически изображена вероятность обнаружить фотон на расстоянии х от оптической оси простейшей дифракционной решетки, образованной двумя щелями. Это означает, что если источник S испускает стационарный поток большого числа фотонов, интенсивность света, отмеченная на фотопластинке на расстоянии D от

рис. 131. Картина распределения интенсивности, возникающая при дифракции света на решетке с двумя щелями, изображенной на рис. 130.

решетки, будет пропорциональна указанной вероятности. Максимумы интенсивности расположены в точках с координатами

^ак= = -^; (19.7) а

действительно, условие интерференционного усиления (19.6а) с учетом подобия треугольников (рис. 130) означает, что хмакс Id = (nWdy Аналогично можно получить, что минимумы интенсивности располагаются между максимумами в точках

Если использовать дифракционную решетку со многими щелями, то можно получить экспериментально (и подтвердить теоретическим расчетом, который мы здесь не приводим) распределение интенсивности света, показанное на рис. 132; оно отличается от рис. 131 значительно более остро выраженными максимумами (пиками) интенсивности. Поэтому дифракционная решетка, рассматриваемая как оптический прибор, обладает большой разрешающей способностью , позволяя с высокой точностью определить длину волны X и частоту со фотона с энергией Е (для этого необходимо лишь точно измерить положение хмакс, а также величин D и d\

Картины интерференции, получаемые при помощи дифракционных решеток и других оптических приборов (интерферометров), построенных по аналогичному принципу, были получены еще в начале XIX столетия. Внешнее

сходство этих картин, например, с картинами волн на поверхности воды расценивалось как доказательство волновой природы света; такую догадку впервые высказал Гюйгенс (1629—1695) в конце XVII столетия. Действительно, с математической точки зрения явления интерференции при распространении фотонов совершенно аналогичны явлениям интерференции при распространении волн на поверхности воды. Не следует, однако, усваивать наивное представление о свете, как о простых колебаниях некой среды (эфира). Нелишне напомнить, что в случае фотонов распространяется не смещение частиц среды из положения равновесия, а абстрактная физическая величина — амплитуда вероятности попадания фотона в данную точку пространства. Соответственно максимально доступная и предельно полная информация о нахождении фотона в точке О состоит в указании полного набора амплитуд вероятности с1? с2, ..., определяющего состояние распространения фотона.

Вообще понятие амплитуды вероятности получило широкое признание в качестве основного при описании состояния распространения; оно допускает обобщение на все физические свойства объекта. Наиболее ясно это можно видеть на примере объектов, обладающих дихотомическим свойством (то есть таким, которое может принимать одно из двух возможных значений).

Примером дихотомического свойства, наиболее просто поддающегося демонстрации, является состояние полярн

Об

Рис. 133. Схема опыта по изучению поляризованного света. а — полное поглощение света двумя скрещенными поляризаторами, оптические оси которых взаимно перпендикулярны; б — частичное поглощение света двумя поляризаторами, оптические оси которых составляют друг с другом угол а =£ тс/2.

зации фотона. Существуют особые вещества (называемые поляроидами), в которых имеется так называемая оптическая ось (она показана на рис. 133 тонкой стрелкой). Если на пути света поместить два поляроида со скрещенными (то есть взаимно перпендикулярными) оптическими осями, то свет вообще не пройдет через эту систему. Этот эффект можно описать на языке фотонов следующим образом: каждый фотон, прошедший через первый поляроид — поляризатор, находится в определенном состоянии поляризации; через второй поляроид — анализатор — фотон пройдет с полной достоверностью, если оси поляризатора и анализатора параллельны. С полной достоверностью можно утверждать и то, что фотон не пройдет через анализатор, если ось последнего перпендикулярна оси поляризатора (рис. 133, а\

Рис. 134. Описание состояния поляризации фотона в направле нии а с помощью единичного вектора поляризации, имеющего компоненты ai и »2.

Пусть оси анализатора и поляризатора ориентированы под углом а друг к другу, причем а ^= О, л/2; тогда самое большее, что можно утверждать на основе эксперимента о «судьбе» одного отдельно взятого фотона, сводится к тому, что вероятность его поглощения анализатором равна cos^a (рис, 133, б).

Для описания указанных экспериментальных факторов на языке амплитуд вероятности удобно ввести систему координат, в которой оси 1 и 2 (рис. 134) составляют прямой угол и лежат в плоскости поляризации, перпендикулярной направлению распространения. Состояние поляризации фотона в направлении а удобно описывать с помощью вектора поляризации, имеющего единичную длину и ориентированного под углом а к оси 7. Тогда в направлениях осей 7 и 2 вектор поляризации имеет соответственно компоненты ах = cosa и а^ = sina. Эти компоненты вектора состояния можно интерпретировать как амплитуды вероятности обнаружить фотон, поляризованный в направлении осей 7 и 2 соответственно.

Действительно, если на пути фотона, состояние поляризации которого описывается числами ахяаг, поместить анализатор с оптической осью, параллельной оси 7, то

Рис. 135. Одно из возможных описаний состояния поляризации, изображенного на рис. 134, с помощью единичного вектора поляризации, имеющего компоненты a'i, а'».

можно обнаружить экспериментально, что вероятность прохождения фотона равна jail2 = cos2a; аналогично, если ось анализатора параллельна оси 2, соответствующая вероятность равна |a2|2 = sin2a.

Тот факт, что фотон непременно будет обнаружен в одном из возможных состояний поляризации — вдоль оси 1 или вдоль оси 2, учитывается так называемым условием нормировки вектора состояния. Оно состоит в том, что вектору состояния приписывается единичная длина, поскольку вероятности обнаружить фотон в состоянии с одной из возможных поляризаций должны давать в сумме единицу:

^1 + ^з I ai Р + I аз I2 cos2 a + sin2 a = 1- (19.9)

Разумеется, с таким же успехом можно было бы рассматривать состояние поляризации фотона по отношению к любой другой паре взаимно перпендикулярных осей U') и ^2’^ например повернутых относительно осей 1 и 2 на уголл/4, как это изображено на рис. 135. Обозначим через ах и «2 амплитуды вероятности обнаружить фотон поляризованным вдоль осей Г и 2'; тогда амплитуды аг

и а 3 можно рассматривать как линейные комбинации амплитуд ах и а2:

а\ = ^_ (tti — (?2^ а^ = j/""2" ^ "^ ^’(^.10)

и, наоборот,

a, =-^zrX^+ «2); й2 = — ~^г^ — а^'(19111)

так что соответствующие вероятности Pi и Р2 по-прежнему дают в сумме единицу

A-b/^W + W^i; (19.12)

соотношения (19.10) и (19.11) следуют из элементарных геометрических соображений.

Указанная суперпозиция амплитуд вероятности имеет, например, следующее экспериментальное следствие. Если точно известно, что фотон поляризован в направлении 1 (то есть = 1, а2 = 0), то

*1'—1

^1 = —— и а^ ,

уг ут

и вероятность обнаружить фотон поляризованным в направлении Г равна

р; = Ы2=-|-

Таким образом, если сначала поляризовать пучок фотонов в направлении 1, а затем поместить на его пути анализатор с оптической осью вдоль оси Г, то в среднем анализатор пропустит каждый второй фотон, уменьшив тем самым интенсивность пучка вдвое (рис. 136).

Если же оптическая ось анализатора расположена вдоль оси 2, то, поскольку п2 = 0, ни один фотон не пройдет сквозь анализатор, так что интенсивность пучка света уменьшится до нуля (рис. 133, а^.

Если сравнить уравнения (11.6), связывающие энергию Е и импульс р частицы, лишенной массы покоя (например, фотона),

с уравнением» выражающим связь между частотой о)= 2д v и длиной волны к= Х/2л,

w = c/K(19.14)

то напрашивается аналогия между импульсом фотона р и длиной волны к; используя соотношение (19.1), можно записать

р = h^.(19.15)

Опираясь на соотношение (19.15), заведомо справедливое для фотонов, Луи де Бройль в 1923 году выдвинул исключительно смелую идею о характере распространения любых частиц. Именно де Бройль предложил обобщить соотношения (19.1) и (19.15) на случай частиц с массой покоя т Ф 0, для которых связь энергии и импульса дается соотношением

Е = с VР^ + т2с^.(19.16)

Величины (о и % интерпретируются как частота и длина волны, определяющие некоторую фазу, которая в свою очередь характеризует движение частицы вдоль каждой из возможных для нее траекторий.

Рис. 136. Ослабление вдвое интенсивности поляризованного пучка света за счет второго поляризатора, ось которого составляет угол тс/4 = 45° по отношению к оси первого поляризатора.

Рис. 137. Графическое представление связи между энергией Е и импульсом р частицы с массой покоя т (она дается уравнением

Е = с^р2 + mMf/aY

Сразу очевидно, что распространение фазы само по себе не может быть отождествлено с движением частицы. Скорость распространения фазы

^аз = V = С 1/1 + (“У(19Л7)

р у \ р /

всегда больше скорости света с, и уже поэтому ее нельзя интерпретировать как скорость распространения какого- либо сигнала, не впадая в противоречие с принципами теории относительности. Де Бройлю удалось показать, что в действительности распространение энергии и импульса является следствием интерференции различных фаз, взятых вдоль всех возможных траекторий, так что скорость частицы всегда меньше с:

(19.18)

Графически скорость частицы рчаст и фазовая скорость Рфаз могут быть изображены как тангенсы углов ачаст я «фаз соответственно (рис. 137); значение tgaфaз определя-

ет наклон прямой линии, соединяющей начало,координат с точкой (5, р), лежащей на кривой Е = с^ + т^у/^ тогда как tg ачаст определяет наклон касательной к кривой в этой точке. (Значения этих величин совпадают лишь в пределе 0 или р->оо, когда кривая Е(р) асимптоти- чески приближается к линии Е = ср; в этом пределе Участ = ^фаз = £, и именно поэтому нет нужды различать эти скорости в случае распространения света в вакууме.)

Идея де Бройля положила начало энергичному развитию в середине 20-х годов XX столетия теории движения частиц; она нашла свое завершение в волновой механике, построенной Шредингером (1887—1961). Вместе с матрич- Ной механикой, развитой независимо Гайзенбергом и другими учеными, эти теории образуют основу современной квантовой механики.

В настоящее время физики рассматривают движение частиц (и тел) как распространение амплитуд вероятности; фазы этих амплитуд вероятности интерферируют таким образом, что в среднем обеспечивается выполнение основных законов классической механики.

Согласно гипотезе де Бройля, для частиц, имеющих отличную от нуля массу покоя (например, электронов), так же как и для фотонов, в принципе должны быть возможны эксперименты по интерференции с использованием дифракционных решеток. Такой эксперимент был впервые осуществлен американскими физиками Девиссоном и Джерме- ром. Если использовать, например, медленные электроны с кинетической энергией Е = 1,6 *10~п эрг (что соответствует приложенной разности потенциалов 10 В), то импульс этих электронов составляет

р = У^Е = 5,4 • Ю”20 ед. СГСЭ,

а соответствующая длина волны

Х= —= 1.2 • «И см.р

В качестве дифракционной решетки для таких коротких волн можно использовать поверхности кристаллов, атомы которых расположены на расстояниях того же порядка величины.

Дополнения

1. Имеется один очень интересный эксперимент, который подтверждает концепцию интерференции амплитуд вероятности, описывающих состояние поляризации фотона. Он проводится с участием третьего поляризатора, который помещается между двумя скрещенными поляризаторами (рис. 133, а), схема опыта изображена на рис. 138. До тех пор пока оптическая ось третьего поляризатора параллельна оптической оси одного из двух других поляризаторов, система поглощает свет полностью. Однако, если повернуть третий поляризатор так, чтобы его оптическая ось заняла промежуточное положение, можно наблюдать пропускание прибором определенного количества света. Интенсивность пропущенного света достигает максимума (равного одной четверти первоначальной интенсивности пучка, пропущенного первым поляризатором), когда оптическая ось третьего поляризатора составляет угол 45° с оптическими осями двух других поляризаторов.

На первый взгляд, это очень странно, ибо третий поляризатор не излучает света. Каким же образом его наличие приводит к пропусканию света системой, ранее полностью поглощавшей свет? Ответ на вопрос состоит в том, что для каждого фотона, поляризованного в направлении 1 (рис. 135), третий поляризатор исключает одну из компонент поляризации— именно компоненту «2» если его оптическая ось ориентирована вдоль направления Г. Но наличие этой компоненты необходимо для того, чтобы в результате ее интерференции с компонентой ai произошло полное погашение света (а2= 0 в опыте с двумя поляризаторами на рис. 133, а). Если же as = 0, то а2 становится отличным от нуля; а2 является в этом случае просто проекцией оставшейся компоненты а\ на ось 2, Действительно, если оптическая ось третьего поляризатора составляет уголл/4 с двумя другими осями, то в соответствии со вторым из уравнений (19.10) при

а. = —— , но ао = 0,/2

получаем, что а2= 1/2, так что вероятность обнаружить фотон, поляризованный вдоль оси 2, равна

P2 = |a2|2 = V4.

Рис. 138. Влияние третьего поляризатора, помещенного между двумя скрещенными поляризаторами (рис. 133, а) и имеющего направление оптической оси, повернутое на 45° относительно двух других оптических осей.

Этот вывод подтверждается наблюдением интенсивности пучка, поляризованного вдоль оси 2 и пропущенного системой, схематически изображенной на рис. 138.

Читателю предлагается найти выражение для интенсивности пучка, пропущенного системой, если оптические оси первого и третьего поляризаторов составляют угол а* ^Ответил /2= Zsin2acos2a.) Получить это выражение можно, если спроецировать единичный вектор, направленный вдоль оси 7, сперва на ось /', а затем еще раз— на ось 2 (рис. 134 и 135).

Рис. 139. Интерференция на отражающей дифракционной решетке под малыми углами (а, р < 1) на примере обычной грампластинки.

2. Изобретение лазеров сделало монохроматические источники света высокой интенсивности доступными каждой лаборатории. Достаточно тонкое кухонное сито может служить неплохой дифракционной решеткой для лазерного пучка; с ним можно получать очень интересные картины интерференции. Читатель без особого труда оценит расстояние D от сита с 60 дырочками на сантиметр, на котором ближайшие максимумы (рис. 130) будут отстоять друг от друга на 0,8 см (длина световой волны равна 6,7 -10“5см). (Ответ: D ^2 м.)

Поверхность любой грампластинки может также служить отражающей дифракционной решеткой; если смотреть на нее под очень малым углом, можно обнаружить по крайней мере 7—8 максимумов света, испущенного источником. Рис. 139 ясно показывает, что разница в длинах соседних путей, пройденных лучами света, равна d cos ^ — d cos а; для того чтобы интерференция привела к усилению, эта разность должна составлять целое число длин волн, то есть

d cos р — d cos а = пк.

Если свет падает на пластинку почти параллельно ее поверхности, так что оба угла а и 6 малы, их косинусы можно заменить приближенными выражениями cos хс£ с^ 1—я2/2, тогда углы Р, под которыми можно наблюдать максимумы дифрагированного света, определяются условием

Читателю предлагается оценить разность Д|3 углов, под которыми видны максимумы, соответствующие п = 0 и п = 1, если угол падения а = 10-1 рад с^ 5,7°, длина световой волны X = 6 -10~б см, а ширина бороздки пластинки д 1/20 см. (Ответ: Др с^ 1,2 -IO"2 рад ~ 0,7°.)

Прежде чем погрузиться в вычисления, рекомендуется обратить внимание на то, что Xd/a2 <^ 1, и поэтому к выражению

2пХ1^~2пХ1^~

2пХ

1^~

2пХ

1^~

можно применять приближенную формулу

2

Из соотношения (19.15) следует, что описывать движение с помощью взятых для всех возможных путей амплитуд вероятности (осциллирующих и распространяющихся в пространстве) можно не только для фотонов (этот случай изображен на рис. 129), но и для других объектов — электронов, бильярдных шаров и т. п. Возникает естественный вопрос: нельзя ли провести опыт по интерферен- , ции с бильярдными шарами, подобный опыту с фотонами на на рис. 130? Такой опыт в самом деле возможен при соблюдении определенных условий; именно, обе траектории должны быть возможными для любого шара из целого потока бильярдных шаров. Отсюда вытекает ряд требований к условиям эксперимента.

Источник бильярдных шаров должен испускать их в случайных направлениях; при этом каждый шар должен находиться в состоянии, сохраняющем полную неопределенность относительно того, в какую из двух щелей он направлен. Не следует даже наблюдать за тем, как бильярдный шар катится к «дифракционной решетке» — во всяком случае с точностью, достаточной для предсказания того, в какую именно из щелей он собирается попасть. Если не соблюдать это условие, то окажется, что сам акт наблюдения (измерения) нарушит необходимое для интерференции амплитуд вероятности отсутствие информации; действительно, если мы видим, например, что шар катится к щели Л то с этого момента путь через щель 2 не является более возможным, что равносильно закрытию щели 2.

Сами щели должны быть устроены так, чтобы, например, изображенный на рис. 130 путь от S к точке наблюдения х был действительно возможным. Этого можно добиться, сделав у щелей неровные края; тогда в результате соударения шара с краями щели шар сможет с равной вероятностью попасть в любую точку х экрана. Как и ранее, не следует наблюдать за шаром в то время, когда он катится между «решеткой» и экраном, с точностью, достаточной для определения того, из какой щели появился шар. Сам процесс измерения исключит в этом случае один из возможных путей, и, следовательно, одно из условий интерференции будет нарушено.

Пусть, однако, нам удалось соблюсти указанные условия. Они выглядят, правда, довольно странно, так как житейский опыт ассоциирует с бильярдными шарами представление об объектах, движущихся по определенным траекториям; нам трудно осознать ситуацию, в которой выбор шаром одного из двух путей является полностью случайным. Чему будет равно расстояние х между соседними максимумами на экране, удаленном от решетки на расстояние D = 104 см, если расстояние между щелями d = 10 см и используются бильярдные шары массой т = = 100 г, движущиеся со скоростью 10 см/сек? ^Ответ: х = 6,62-10”27 см.)

Фантастически малое расстояние между максимумами практически лишает нас надежды когда-либо наблюдать интерференцию амплитуд вероятности, используя бильярдные шары. Тем не менее большинство физиков склонны рассматривать данный выше анализ как адекватное описание физической реальности; у них имеется глубокая вера во внутреннее единство физического мира, в том числе в существование интерференционных эффектов у фотонов, электронов и других атомных частиц, для которых длина волны X = h/p может достигать больших значений при достаточно малых импульсах р.

ГЛАВА 20

Понятие об уровнях энергии

Дифракционная решетка, о которой шла речь в главе 19, — это один из многих оптических приборов, с помощью которых из светового пучка, излучаемого совокупностью атомов, можно выделять отдельные составляющие спектральные линии. Такая линия свидетельствует о наличии фотонов с характеристической частотой to.

Каждый химический элемент обладает характерным набором спектральных линий; поэтому, например, астроном может получить подробную информацию о химическом составе звездных атмосфер, используя разложение в спектр света, пришедшего от звезд.

Для неискушенного глаза детальное строение любого спектра представляется устрашающе сложным. Судя по виду спектра, даже такой простой физический объект, как атом водорода, состоящий из положительно заряженного ядра (протона) и отрицательно заряженного электрона, способен излучать или поглощать фотоны самых различных частот (это хорошо видно из рис. 140, изображающего последовательность спектральных линий водорода в видимой области).

Анализируя спектр в ультрафиолетовой и инфракрасной областях длин волн, можно обнаружить и там последовательности спектральных линий атомарного водорода. Большинство линий имеет тонкую структуру, то есть при

—|—ишди—L]1—1^ л и0 - 5СМ)

34467

Рис. 140. Спектральные линии атома водорода в видимойобласти спектра.

Рис. 141. Символическое изображение процессов излучения фотонов различных частот ш21, <^32 и w3i ПРИ переходах между тремя энергетическими уровнями Ei, Е^ Е3.

анализе спектра оптическими приборами большой разрешающей способности можно видеть, что каждая из них состоит на самом деле из нескольких линий.

Определенную информацию, которая содержится в спектре атомарного водорода, можно извлечь, если ввести понятие об уровнях энергии; оно сформировалось в первом десятилетии XX века в первую очередь благодаря работам швейцарского физика Ритца и датского физика Бора. Ритц обратил внимание на то, что если в спектре присутствуют две различные линии с частотами (о21 и <оз2, то часто можно обнаружить и линии с частотой (о31, равной сумме или разности частот (оз2 и (о 21; например,

o)gi = <о32 + о)2р (20.1)

Это открытие известно под названием комбинационного принципа Ритца. Его можно понять, если, следуя Бору, предположить, что присутствие любой линии в спектре (соответствующей, например, частоте <о21) свидетельствует о наличии в атоме двух уровней энергии (например, Е2 и Е^. Точнее, следует считать, что атом способен находиться в состоянии со значениями внутренней энергии, равными S2 или Ev Пусть Е2 > Ех; тогда при изменении внутренней энергии атома от Ег до Ех говорят, что атом совершает переход с уровня Е^ на уровень Еи причем освободившаяся энергия, равная разности внутренних энергий Е2— Ev излучается в виде кванта света (рис. 141), так что

Е^ — Ег = П^Р (20.2)

Наличие в спектре другой линии с частотой^, а также линии, соответствующей комбинации частот <о31 — см. (20.1)» — можно рассматривать как указание на то, что У атома существует третий уровень энергии Е^ Тогда о>32— эТо частота фотона, излученного при переходе с уровня Е на уровень Е^ а а>31 — частота фотона, излученного при прямом переходе с Ег на Ех (рис. 141). Полная аналогия с указанными рассуждениями сохраняется и при описании поглощения света; различие состоит в том, что поглощение вызывает переходы атома с более низких на более высокие уровни энергии.

Оказывается, что частоту любого фотона, излученного атомом водорода, можно количественно охарактеризовать двумя целыми числами. Это было известно еще в 1875 году Бальмеру (1825—1898), который открыл, что частота любой спектральной линии пропорциональна разности двух обратных квадратов целых чисел:

/ 11 \

№пп« = — const(п, п — целые числа).

\ и2(и')3 /

Эту эмпирическую формулу можно отождествить с формулой (20.2), если принять, что энергия n-го уровня атома водорода пропорциональна 1/п2, то есть

Еп = — const -i-.(20.4)

Число п называется главным квантовым числом энергетического уровня; в случае атома водорода оно может принимать бесконечный ряд целочисленных значений 1, 2,

Переходы со всех уровней с п ^ 2 в так называемое основное состояние с n = 1 образуют последовательность спектральных линий в ультрафиолетовом (УФ) диапазоне, известную под названием серии Лаймана. Линии видимого спектра (серия Бальмера)) образуются при переходах с с уровней п > 3 на уровень п = 2. Таким образом, как видно из рис. 142, главного квантового числа достаточно для характеристики «грубой» структуры спектра атома водорода (рис. 140).

Одним из триумфов квантовой механики было доказательство того, что уровень энергии номера п в соответствии с формулой (20.4) обратно пропорционален 1/п2. Это Удалось сделать, решив квантовомеханическое уравнение

а Энергияа Энергияn = 4n = 3n = 4n = 3Видимый спектрВидимый спектрЮэВЮэВУльтрафиолетовый спектрУльтрафиолетовый спектр

а Энергия

а Энергия

n = 4

n = 3

n = 4

n = 3

Видимый спектр

Видимый спектр

ЮэВ

ЮэВ

Ультрафиолетовый спектр

Ультрафиолетовый спектр

Рис. 142. Грубая структура энергетического спектра атома водорода (стрелки указывают возможные переходы между уровнями).

движения (так называемое уравнение Шредингера) для электрона, определяющее его механическое движение как частицы массой т в поле ядра (в данном случае — частицы с зарядом —е, притягиваемой протоном с массой М и зарядом +^ кулоновской силой F = е^/гй). Более подробное рассмотрение этого доказательства выходит за рамки нашей книги.

По-видимому, наиболее замечательной чертой квантовой теории является объяснение на ее основе устойчивости основного состояния атома водорода. Действительно, именно кулоновское взаимодействие между протоном и электроном не дает атому водорода распасться; оно обеспечивает отрицательную потенциальную энергию, которая в любом из связанных состояний с энергиями Еп превосходит по величине кинетическую энергию. Существование основного состояния является одним из наиболее важных проявлю

10 Лм

Рис. 143. Распределение заряда в атоме водорода в основном состоянии.

ний так называемых соотношений неопределенности (см. приложение I).

Основное состояние атома водорода можно наглядно интерпретировать как наличие сильно локализованного протона (диаметр которого менее 10”12 см), «окутанного» электроном, заряд которого распределен по области диаметром порядка 10"8 см (рис 143). Для того чтобы уменьшить потенциальную энергию электрона ниже значения, соответствующего Еь потребовалось бы приблизить электрон к ядру, то есть ограничить распределение электрона областью диаметром, меньшим 10"8 см. Однако такое ограничение положения электрона привело бы к возрастанию неопределенности в значении его импульса, а это в свою очередь — к возрастанию средней кинетической энергии, которое покрыло бы понижение потенциальной энергии.

По мере совершенствования оптических спектральных приборов и повышения их разрешающей способности обнаруживалось, что спектр атома водорода (а также и других атомрв) обладает тонкой структурой. Согласно опытным Данным, все линии спектра атома водорода состоят из мультиплетов различной сложности; тонкую структуру спектральных линий можно истолковать как тонкую струк- ТУРУ уровней энергии.

Тщательный анализ тонкой структуры уровней энер- гии атомов находился в центре всех теоретических и экспериментальных исследований первой четверти XX столе-

ВидсдерхуВид сбоку

Рис. 144. Распределение плотности электронного заряда в атоме водорода в состоянии с п = 2 и I = 1.

тия. Постепенно пришло четкое осознание того факта, что тонкая структура уровней энергии атома водорода обусловлена взаимодействиями магнитного происхождения. Точнее, тонкую структуру можно объяснить тем, что с движением электрона связаны магнитные моменты, а именно орбитальный и спиновый моменты импульса тогда как «грубая» структура целиком обязана наличию у электрона электрического заряда и связанному с ним кулоновскому взаимодействию.

Находясь на уровне энергии номера п, электрон способен принимать одно из п возможных значений орбитального момента импульса L, величина которого описывается квантовым числом I с возможными значениями от нуля до п — 1, а именно I = 0, ..., п — 1. Точнее говоря, электров обладает орбитальным (или побочным) квантовым числом I, если при измерении в направлении вектора L величина его проекции оказывается равной

L = lh (возможные значения I = 0, 1,..., п— 1). (20.5)

Наглядно можно представлять себе состояния электрона с Z =^= 0 в виде пространственных распределений заряда усложняющейся формы. Например, распределение плотности заряда электрона в состоянии сп = 2и/=:1 имеет форму «бублика», по которому циркулирует заряд вокруг вектора L (рис. 144).

Квантовая механика показывает, что в отсутствие магнитных взаимодействий энергия любого уровня зависит не от значения квантового числа Z, а лишь от главного кван-

тового числа п, согласно (20.4). Аналогичная ситуация имеет место и в небесной механике; согласно классическим уравнениям движения Ньютона, энергия планет, движущихся по эллиптическим орбитам, зависит только от величины большой полуоси и не зависит от эксцентриситета орбиты (который является как раз мерой орбитального момента импульсов).

Однако внутри атома всегда имеются магнитные взаимодействия, и причины этого заключаются в следующем.

Если электрон обладает орбитальным моментом импульса / =И= 0, у него имеется магнитный момент (согласно открытию Эрстеда, магнитный момент всегда возникает при круговом движении электрического заряда, см. главу 14); таким образом, атом в целом приобретает магнитные свойства.

Электрон всегда обладает спиновым моментом импульса S, который описывается спиновым квантовым числом 5 = 1/2. Именно при измерении спина в направлении S оказывается, что его проекция на это направление равна

(20.5')(20.5')О, /1

(20.5')

(20.5')

8 — sn \ только s = — к2

со спиновым моментом импульса неизменно связан собственный магнитный момент электрона.

Именно магнитное взаимодействие между орбитальным и спиновым магнитными моментами приводит к тому, что точное значение уровня энергии электрона зависит от взаимной ориентации этих двух векторов.

В частности, тонкая структура спектра атома водорода указывает на наличие определенного взаимодействия орбитального и спинового магнитных моментов. Именно, векторы L и S могут быть либо параллельны, либо антипа- раллельны. Соответственно в первом случае квантовое число/, описывающее полный момент импульса J, принима- ет значения

(20.6а)(20.6а)1

(20.6а)

(20.6а)

/ = /т = z + s = z + —,

если L и S параллельны; во втором случае / принимает значения

/ = y2 = Z—S= Z-,/ = y2 = Z—S= Z-,(20.66)(20.66)

/ = y2 = Z—S= Z-,

/ = y2 = Z—S= Z-,

(20.66)

(20.66)

Груба» структураГруба» структураn^Zn^ZТонка» структураi-O.j=s=’z1-1, J -l-s = ^Тонка» структураi-O.j=s=’z1-1, J -l-s = ^Расщепление ЗееманаРасщепление Зееманат’^2 лт’^2 л

Груба» структура

Груба» структура

n^Z

n^Z

Тонка» структура

i-O.j=s=’z

1-1, J -l-s = ^

Тонка» структура

i-O.j=s=’z

1-1, J -l-s = ^

Расщепление Зеемана

Расщепление Зеемана

т’^2 л

т’^2 л

777]~ J

Рис. 145. Схема энергетических уровней атома водорода: грубаяс ?г = 1 и с « = 2 — тонкая.

Показано максимально возможное расщепление уровней во внешнем магнитном поле (эффект Зеемана); тонкая структура изображена в большем масштабе, чем грубая.

если L и S антипараллельны (в обоих случаях I — квантовое число, характеризующее орбитальный момент импульса состояния электрона).

Указанное взаимодействие, называемое спин-орбиталь- ным, повлияет на энергию электрона. Вектор орбитального момента импульса можно представлять себе приложенным в месте нахождения ядра — точнее в центре движущегося кругового распределения заряда. Напротив, собственный (спиновый) магнитный момент локализован скорее на самом электроне. Таким образом, взаимодействие двух магнитных моментов соответствует взаимодействию двух параллельных магнитных диполей. Если их направления совпадают, диполи отталкивают друг друга (тем самым энергия электрона повышается), если же направления диполей противоположны, они притягивают друг друга, и энергия электрона понижается. Поэтому следует ожидать, что уровень энергии, соответствующий значению /г = Z + s, расположится выше, чем уровень энергии с 7 2 ~ ^ s-

На рис. 145 изображена тонкая структура основного состояния и первого возбужденного уровня атома водорода, обусловленная спин-орбитальным взаимодействием. На уровне с п = 1 орбитальный момент импульса вообще отсутствует — здесь допустимо лишь значение Z = 0;

поэтому полный момент импульса равен спиновому / = ^s^Vg, так что никакого изменения в энергии электрона не возникает, и уровень остается синглетным. На уровне с п = 2 допустимы два значения орбитального квантового числа: I = 0 и I = 1. В случае I = 0, так же как и в основном состоянии, никакого магнитного взаимодействия со спиновым магнитным моментом не возникает; по-прежнему у = s = V2, и значение энергии не меняется. Однако при Z = 1 возможны уже два значения полного момента импульса / = I + V2 = 3/2 и ] = I -г- М^ = V2; этим значениям соответствует повышение или понижение энергии электрона. В результате уровень с п = 2 расщепляется на три уровня, образуя триплет.

Данное выше объяснение этого эффекта на языке притя- Яхения или отталкивания магнитных диполей является, конечно, чрезмерно упрощенным; оно может служить, пожалуй, лишь для мнемонического запоминания. Многие теоретики считали, что в случае атома водорода два подуровня с п = 2 и / = V2, соответствующие значениям Z = 0 и I = 1, должны совпадать друг с другом. Лишь в 1947 г. Лэмбу и Ризерфорду методами радиоспектроскопии удалось индуцировать прямой переход между этими двумя подуровнями, показав тем самым их несовпадение. Основываясь на этом опыте, Бете заново пересмотрел теорию энергетических уровней электрона и действительно обнаружил так называемый радиационный сдвиг энергии, наиболее сильно проявляющийся в состояниях с Z = 0 и согласующийся количественно с экспериментом Лэмба и Ризерфорда. К сожалению, мы не можем вдаваться в подробности этих вычислений.

Итак, в самом общем случае можно обнаружить расщепление n-ного уровня энергии на 2п + 1 подуровня, образующих тонкую структуру. Задолго до того, как была по-настоящему понята природа тонкой структуры спектральных линий, голландский физик Зееман (1865—1943) установил экспериментально, что спектральные линии (а следовательно, и уровни энергии) обнаруживают расщепление на мультиплеты, если поместить атом во внеш- нее магнитное поле (например, помещая исследуемый образец между полюсами магнита). В самом общем случае Уровень с квантовым числом / полного момента импульса Расщепляется во внешнем поле на 2/ + 1 подуровней. dioT факт интерпретируется как указание на возможность

лишь 2/ + 1 ориентаций полного магнитного момента, связанного с J, по отношению к внешнему полю В. Удобно ввести для описания спектра магнитное квантовое число т, принимающее 2/ + 1 возможных значений

j-l^-j + l, _}• (20.7)

при данном т проекция полного момента импульса на направление В имеет значение

JB = mh. (20.8)

Зеемановское расщепление — максимально возможное для любого уровня энергии электрона; можно сделать вывод, что состояние электрона внутри атома полностью характеризуется четырьмя квантовыми числами п, I, j, т. Это следует понимать так, что для данного значения п существует п подуровней с различными I (от нуля до п — 1), для каждого I существуют два подуровня с различными/(/ = Z ± V2) и для данных Z и/ существуют 2/ + + 1 подуровней с различными т (от —/ до Л. В результате, как легко видеть, мультиплетность каждого «грубого» уровня энергии номера п оказывается равной 2пй (рис. 145).

В атоме водорода всегда имеется зеемановское по характеру расщепление уровней энергии электрона, вызванное внутриатомным магнитным полем В, создаваемым ядром атома водорода (протоном) в месте нахождения электрона. Соответствующая структура уровней энергии носит название сверхтонкой; магнитный момент протона исключительно мал по сравнению с магнитным моментом электрона, так что эффект расщепления электронных уровней незначителен. В частности, основное состояние атома водорода обнаруживает сверхтонкое расщепление, соответствующее двум подуровням, отвечающим параллельной или антипараллельной ориентации спиновых магнитных моментов протона и электрона. Переходы между этими двумя подуровнями сопровождаются испусканием или поглощением фотонов в радиочастотной области (соответствующей длине волны 21 см). Астрономические наблю-

дения показали, что водород в межзвездном пространстве действительно излучает эту длину волны с заметной интенсивностью; ее наблюдение с помощью радиотелескопов позволило детальна исследовать распределение водорода в нашей Галактике.

Дополнения

Во многих учебниках элементарной физики и химии дается «вывод» выражения (20.4) для энергии n-го уровня атомарного водорода на основе модели, предложенной в 1913 году Бором. Согласно Бору, атом водорода представляется в виде массивного, положительно заряженного ядра, вокруг которого по замкнутым круговым орбитам движется электрон (его движение вполне аналогично движению планет вокруг центра гравитационного притяжения — Солнца). Следуя провозглашенному нами принципу: отказаться от псевдообъяснений там, где принятый уровень изложения не позволяет дать настоящего объяснения, — мы исключили модель Бора из основного текста главы 20. Широко распространенный вариант этой модели неверно объясняет причину квантования энергии в атоме водорода, однако это обстоятельство никак не умаляет значения модели Бора — именно благодаря ей у многих физиков того времени впервые открылись глаза на квантовую природу атомных явлений.

Основной недостаток модели Бора, приводимый в большинстве элементарных учебников, состоит в смешении понятий квантования орбитального момента импульса и квантования энергии. Рассматривая лишь круговые орбиты радиусом г, Бор утверждал, что орбитальный момент импульса электрона массой т, движущегося по ним со скоростью и, должен быть квантован:

mvr ~ nh (п — целое число).

Второе соотношение записывалось на основании второго закона Ньютона, в котором роль центростремительной

силы mv^/r играет сила кулоновского притяжения е^/гЧ ти^ в2

гг2

Тогда для данного значения п можно вычислить величины г и V. rWе^

Гпй > ип ж •

Далее можно найти полную энергию электрона на n-й орбите, состоящую из кинетической энергии Екин = = V2mt;2 и потенциальной энергии £пот = —е^/г; легко убедиться в том, что полная энергия оказывается квантованной в полном соответствии с (20.4)

Еп = — mvn2гпЕп = — mvn2гпте4Hw"'те4Hw"'

Еп = — mvn

2гп

Еп = — mvn

2гп

те4

Hw"'

те4

Hw"'

В такой модели квантование энергии является слеЭст* вием квантования момента импульса, тогда как полный квантовомеханический анализ показывает, что эти две операции являются независимыми; в частности, энергия квантуется даже в том случае, если орбитальный момент импульса равен нулю. Это обстоятельство было частично учтено в модификации модели Бора, предложенной Зом- мерфельдом (1868—1951) в 1914 году. Зоммерфельд снял ограничение на круговую форму орбит, однако его модель также приводила к неверным значениям квантовых чисел и потому не будет рассмотрена нами.

Размеры атома водорода в основном состоянии (изображенном на рис. 143) можно оценить с помощью соотношения неопределенностей (приложение I), согласно которому частицу с импульсом р нельзя локализовать в объеме, линейные размеры которого г меньше, чем

г —.

Р

Задача состоит в том, чтобы найти значение радиуса ге, при котором полная энергия

Е = Е + Е = ——Е = Е + Е = ——й2^2/пг2 гй2^2/пг2 г

Е = Е + Е = ——

Е = Е + Е = ——

й2^

2/пг2 г

й2^

2/пг2 г

принимает наименьшее возможное значение.

Рис. 146. Энергия Е электрона в атоме водорода как функция расстояния г от ядра.

Предполагается, что величины г и р (р — импульс электрона) удовлетворяют оптимальному соотношению гр » Н» совместимому с принципом неопределенности.

То, что такой минимум существует, ясно из графика зависимости Е от г, изображенного на рис. 146. Вводя в качестве единицы длины h2/me2 так, что г = xh^/me^ где х — безразмерная величина, запишем безразмерную энергию е (энергию Е, выраженную в единицах me^/h\ Е = = emeVfo2) как функцию х:

Очевидно, минимальное значение е, равное —V2, достигается при х = 1. Следует ожидать поэтому, что радиус атома в основном состоянии составляет примерно

й2те% ’

энергия атома в основном состоянии равна

2 й2

Следует заметить, что этот результат численно совпадает с полученным в модели Бора при м = 1. Читателю предлагается вычислить г0 в см, Ео в эВ, используя табличные значения е, т^ h. Полезно вычислить также скорость электрона и = р/т и сравнить ее со скоростью света с. (Ответ: и с/137.)

Наконец,, можно оценить частоту у = E^/h и длину волны fc = ch света, с помощью которого можно «вырвать» электрон из атома, или, как говорят, ионизовать атом водорода. (Ответ: v « 1015 сек-1, К = 10~5 см.)

Знаменитый эксперимент, впервые поставленный в 1922 году Штерном и Герлахом, убедительно доказывает существование магнитного квантового числа т, принимающего в полном соответствии с формулой (20.7) только 2/ + + 1 значений в интервале от +/ до —/ Для данного значения полного момента импульса. Штерн и Герлах наблюдали отклонение атомов серебра в неоднородном магнитном поле, созданном с помощью полюсов электромагнита специальной формы (рис. 147; поле усиливается вблизи S-полюса).

Если атом серебра обладает магнитным дипольным моментом, связанным с магнитным моментом электронов, наличие неоднородного магнитного поля приведет к двум эффектам:

Рис. 147. Эксперимент Штерна и Герлаха.

Пучок атомов серебра, пройдя область неоднородного магнитного поля, осаждается на стеклянной пластине. Пучок разделяется на две компоненты.

оно ориентирует магнитные диполи атомов серебра в одном из 2/ + 1 возможных направлений;

оно действует на магнитные диполи атомов с силой, зависящей от ориентации диполей, приводя, таким образом, к разделению пучка на 2/ + 1 компонент.

Опыт Штерна и Герлаха ясно показал разделение пучка атомов серебра на две компоненты. Отсюда можно заключить, что эти атомы обладают квантовым числом полного момента импульса /, равным V2 (тогда число возможных ориентаций во внешнем магнитном поле 2/ + 1 = 2). Атомные магнитные диполи ориентируются лишь параллельно магнитному полю (что соответствует т = +V2) либо антипараллельно магнитному полю (соответственно т = — V2); как стало известно впоследствии, значение у =V3 совпадает со спиновым квантовым числом одного из электронов атомов серебра.

Аналогичные эксперименты были проделаны позднее с другими атомами, у которых значения / превышают V2; в этих опытах было также обнаружено расщепление атомного пучка на 2/ + 1 компонент.

ГЛАВА 21

Принцип запрета Паули

Сопоставляя состояниям электрона в атоме водорода четыре квантовых числа n, I, ] и т, можно получить полное описание всех возможных в этом атоме переходов меж- ду энергетическими уровнями (а следовательно, и линий в спектре излучения или поглощения). Однако если не учитывать некоторых ограничений, возникающих по отношению к атомам с более чем одним электроном, мы совершим ошибку, предсказав существование гораздо большего числа уровней, чем наблюдается в действительности.

Например, для атома гелия, содержащего два электрона, следовало бы ожидать существования двух типов основных состояний (оба электрона в том и другом состояниях обладают главным квантовым числом, равным единице, nf = n2 = 1, и соответственно нулевым орбитальным моментом импульса Zf = Z2 = 0);

синглетное основное состояние, в котором спины электронов антипаралл ел ьны: /х = +V2, т^ = +V2. Полный момент импульса такого состояния равен нулю, ; = 0, так что имеется всего лишь один уровень, соответствующий т = 0;

триплетное основное состояние, в котором спины электронов параллельны. В этом состоянии оба электрона имели бы одинаковый набор квантовых чисел nY = п2 = = 1, Zi = Z2 = 0, Д = /2 = V2, шх = ш2 = ±V2, так что полный момент импульса равнялся бы единице, / = = 1. Во внешнем магнитном поле такой уровень испытывал бы расщепление на 2/ + 1 = 3 подуровня, что соответствовало бы трем возможным ориентациям вектора I с т = +1,0 — 1.

Анализируя спектр гелия, можно, однако, заключить, что триплетное основное состояние в гелии не реализуется (по крайней мере, в качестве стационарного состоя-

ния). В самом общем случае стационарные состояния, в которых два или более электронов принимали бы одинаковый набор значений всех квантовых чисел, не реализуются в природе; причины этого нам неизвестны.

Мы сталкиваемся здесь с определенным принципом упорядочения огромной важности, которому подчиняется реальный физический мир. Этот принцип, называемый принципом запрета, был впервые открыт и сформулирован в 1925 году Паули; в современной формулировке он гласит: два электрона не могут обладать одинаковым полным набором квантовых чисел.

Для целей классификации возможных состояний электронов в атомах удобнее формулировать принцип Паули, пользуясь понятием чисел заполнения энергетических уровней. В отсутствие электронов можно считать, что положительно заряженное атомное ядро своим кулоновским полем создает определенные энергетические уровни, характеризуемые различными наборами квантовых чисел п, I, ], т. Представим себе, что при образовании атома, то есть, когда часть этих уровней заполнена электронами (в количестве, равном заряду ядра, выраженному в единицах заряда электрона), атом оказывается в каком-то квантовом состоянии с некоторым определенным значением полной энергии. При размещении электронов на различных допустимых уровнях следует соблюдать принцип Паули; именно, ни один энергетический уровень, соответствующий данному полному набору квантовых чисел, не может быть занят более чем одним электроном.

Теоретический расчет значений энергии атома, у которого электроны обладают квантовыми числами п^ 1г,

/т, mY и м2, Z2, /2» ^2» представляет огромные вычислительные трудности, так как следует учитывать не только взаимодействие электронов с ядром, но и взаимодействие их друг с другом. Однако принцип Паули позволяет без детальных вычислений получить информацию, достаточную для уяснения многих особенностей электронного строения атомов.

- На опыте свойства атомов, проявляющиеся в химических реакциях, обнаруживают определенную повторяемость; они систематизированы в знаменитой периодической таблице элементов Д. И. Менделеева (табл. 2).

В табл. 1 представлена последовательность элементов, у которых энергетические уровни заполняются электронами, начиная от основного состояния атома водорода (Z = 1) до основного состояния самых тяжелых атомов (таких, как уран с Z = 92) и более тяжелых; полный заряд электронов, заполняющих энергетические уровни в центральном кулоновском поле ядра с зарядом A-Ze^ равен —Ze. Поскольку в простейшем приближении энергия электрона на данном уровне определяется лишь главным квантовым числом п^ то можно рассматривать заполненные электронами оболочки увеличивающихся размеров. Каждому значению п соответствует полное число уровней 2п2, а это значит, что м-я оболочка способна вместить не более 2п2 электронов. В частности, на самой внутренней оболочке, соответствующей наинизшей энергии с п = 1, может располагаться не более двух электронов.

Вплоть до 18-го элемента таблицы — аргона 18Аг, содержащего 18 электронов, электроны заполняют оболочки в строгой последовательности снизу вверх. Однако с добавлением 19-го электрона положение меняется: спектроскопические данные об электронной структуре основного состояния атома калия 19К свидетельствуют о том, что добавленному электрону оказывается энергетически более выгодно занять место в оболочке с и = 4, хотя при этом 10 доступных уровней в оболочке с п = 3 остаются незаполненными.

Вообще заполнение внешних оболочек при наличии не полностью заполненных внутренних на протяжении периодической системы элементов происходит неоднократно. Так, например, атомы цезия 65Cs и бария б6Ва в основном состоянии содержат электроны в оболочке с п = 6, тогда

Таблица I

20302030до Число местдо Число мест

2030

2030

до Число мест

до Число мест

А Номер оболоики

10

См

3

'O bs

cc я 8

5

1

M i Ф

63 $

© s ©

3 Л И © Ф

3

5

Ф a

о

Ф ^M

5г

5C

^5

ST кЗ юХ

8 £

05 fe

5u

coS

со ю

00<

"и ь- О

t^>i

оз Й со Н

оо Л со Я

О со Д

coQ

U0 Л со Н

38

88 й s ®СП ^ 8 COCU

sg

йд

85

й 3

2и

2г

23

8 а

VI Ь

85

ОЗ (J

$8

со 5*

O5Z

^D

Q5 £

О л

05 ^-|

ooQ

S^

Sf Ф co CH

з£

r~Z

5 a.

CO ^

LO СП

832

co U

3S

So

о я

ИОСЯ

СМ оо Qu

^Ю

23

So

05 я

Sf 1-4

Sb

8

1

в

о я

CON Я о 8г

S 8 8S 8| 86 й> 89

V о СМ СП

00 'ТЗ sr о

9 < 9 £ ю Д ST ос

2^5

9Ё

СМ О

9 N

8щ

8о

ю Ф L* Си

8^

25

t-я

11

О 3 О 6N &S Я S % Ф

11

| 1!

1

s^4

uo J

00 <

в

^CQ

2s

88

8<Й

LQ Я

88S

-Я

« 3

= Z

2ьй

See

CQ /

8 /

Ch / /1

ЧН

CM

co

sr

ITS

со

г-

как у них пустуют 14 возможных уровней в оболочке с п = 4.

Группировка химических элементов в периодической таблице (табл. 2) отражает периодически повторяющиеся сходные химические свойства элементов при переходе от водорода к более тяжелым элементам. Сравнение табл. 1 и 2 показывает, что причиной сходного химического поведения элементов является сходство их электронной структуры. Изучая табл. 2, можно обнаружить целый ряд весьма интересных закономерностей.

Самим периодам, на которые можно разбить 103 элемента, соответствуют семь оболочек, содержащих электро- * ны. Элемент принадлежит к n-му периоду, если п — номер самой внешней оболочки, на которой в основном состоянии атома находится хотя бы один электрон.

Существуют восемь основных групп элементов, которые обозначают обычно цифрами I —VII и 0. Эти группы отличаются друг от друга по числу электронов на самой внешней оболочке; здесь имеются следующие правила:

атомы элементов, принадлежащих группе N (N = = I—VII), всегда имеют на самой внешней оболочке N электронов. В частности, элементы первой группы (кроме водорода) известны как щелочные металлы, а элементы седьмой группы — как галогены;

атомы элементов, принадлежащих группе 0, имеют по 8 электронов на самой внешней оболочке (кроме 2Не); они известны как инертные газы, поскольку весьма неохотно вступают в химические реакции с образованием связей.

Существуют также десять подгрупп так называемых переходных элементов, вклинивающихся между группами II и III в четвертом и более высоких периодах. Эти подгруппы отличаются друг от друга по числу электронов в предпоследней оболочке. Например, элементы 30Zn, 48Cd, 80Hg образуют подгруппу цинка; в этой подгруппе на последней (самой внешней) оболочке находятся 2 электрона, а на предпоследней — 18.

Имеются две группы редкоземельных элементов, также вклинивающихся в VI и VII периодах между первой и второй подгруппами переходных элементов. Редкоземельные элементы отличаются друг от друга по числу электронов в третьей от конца оболочке.

Из предыдущего ясно, насколько существенна роль

принципа Паули в многообразии возможных химических явлений. Мир в отсутствие принципа Паули был бы очень скучен и однообразен: у всех атомов в основном состоянии электроны скапливались бы вокруг ядра и образовывали одинаковое бесструктурное сферическое распределение заряда. Полностью потеряв весь свой зап^с энергии и орбитального момента импульса, все электроны перешли бы в конце концов на уровень с набором квантовых чисел п = = 1, Z = 0; лишь слабое подобие структуры могло бы возникнуть из-за наличия у электронов спина. Если число электронов нечетное, то полный момент импульса должен был бы быть полуцелым (во всяком случае, не меньше / = ^з), а если оно четное — то целым (в частности, и равным нулю, / = 0).

Первоначально сам Паули считал принцип запрета свойством электронов. Однако спектроскопические данные показали вскоре его применимость и к другим элементарным частицам. Так, например, наблюдаемые уровни энергии молекулы водорода, содержащей два электрона и два ядра атома водорода (или протона), можно объяснить, только если считать, что и протоны подчинены принципу Паули. Вообще, как правило, ядра атомов с нечетными массовыми числами (например, Н1, Не3, Li7 и т. д.) удовлетворяют принципу Паули, тогда как на ядра атомов с четными массовыми числами (такие, как Не4, N14, О16) он не распространяется. В настоящее время считается справедливым следующее правило: все частицы «элементарные» или «составные», обладающие полуцелым спином, подчиняются принципу Паули (такие частицы называются фермионами), к ним относятся протоны, электроны, нейтроны, нейтрино, ядра Не3 и т. д. Напротив, к частицам с целым значением спина принцип Паули не относится; частицы называются бозонами, и к их числу относятся, например, фотоны и ядра Не4 и др.

Не ясны окончательно пока ни истинная природа принципа Паули, ни то, справедлив ли он для всех известных в настоящее время элементарных частиц.

Дополнения

Если использовать в качестве единиц заряди массу ядра водорода (протона), то есть + ^ и тр1 то заряды и массы ядер других элементов выразятся в первом прибли- жении целыми числами —- заряд Z называют атомным номером, а массу А — массовым числом; например, для обычного гелия Не имеем Z = 2 и А = 4. В этой системе обозначений электрону можно было бы сопоставить Ze = = — 1 и Ае ^ 0 ввиду его пренебрежимо малой массы (^ ^ 0,5-Ю"3^). Сразу возникает вопрос, нельзя ли приписать различие между А и Z тому, что в ядре с массовым числом А и зарядом Z имеется А протонов единичной массы с зарядом +1 и (А -— Z) электронов с массовым числом, равным нулю, и зарядом —1; тогда полное массовое число ядра равнялось бы Л, а полный заряд А — (А — Z):

A — (A—Z) = Z.

Тогда, например, ядро обычного азота (А ~ 14, Z = = 7) должно было бы состоять из нечетного числа фермионов, а именно из 14 протонов и 7 электронов. Если бы это было так, то ядро азота было бы частицей с полуцелым спином, то есть фермионом, и должно было бы подчиняться принципу Паули. Эксперимент указывает, однако, на целочисленное значение спина ядра азота, а также несоответствие свойств таких ядер принципу Паули. Иначе говоря, ядро азота является бозоном.

Если не рассматривать ядро как самостоятельную элементарную частицу, то следует предположить наличие других частиц (кроме протона и электрона), которые могут входить в состав ядра и приводить к наблюдаемым значениям Z и А.

В настоящее время нет сомнения в том, что ядра «состоят» из протонов и нейтронов; нейтрон является фермионом с зарядом Z = 0 и массовым числом А — 1. Ядро азота представляется состоящим из 7 протонов и 7 нейтронов, что дает требуемые значения А и Z и обспечивает ядру азота бозонные свойства: оно состоит из четного числа (14) фермионов.

Принцип Паули играет, по-видимому, определяющую Роль в вопросе о том, почему нуклоны (протоны и Нейтроны) образуют или не образуют устойчивые ядра.

Сильное взаимодействие между нуклонами, ответственное за устойчивость ядра, зарядово-независимо и не сводится к взаимодействию электромагнитной природы. Это означает, что силы, действующие между двумя нейтронами или двумя протонами, а также между протоном и нейтроном, одинаковы (если пренебречь их электромагнитными свойствами). Поэтому на первый взгляд непонятно, почему существует устойчивое ядро, состоящее из нейтрона и протона (это ядро тяжелого водорода, или дейтерия), но не существует устойчивого ядра из двух нейтронов (динейтрон) или двух протонов (ядро 2Не2).

Ключ к разгадке лежит в спиновой зависимости статических ядерных сил. Эти силы являются силами притяжения лишь в том случае, если спины нуклонов параллельны; при антипараллельных спинах они сменяются силами отталкивания.

Очевидно, что образование устойчивого ядра требует наличия сил притяжения, а следовательно, спины нуклонов должны быть параллельны. Это не запрещено принципом Паули, если два нуклона отличаются по крайней мере одним квантовым числом (кроме спинового) — например, зарядовым числом, как это имеет место, если одна из частиц протон, а другая — нейтрон. И действительно, полный спин дейтрона оказывается равным 1, что указывает на параллельность спинов, каждый из которых равен V2.

Однако принцип Паули исключает из числа возможных состояниям которых два идентичных нуклона имеют параллельные спины (то есть обладают одинаковыми спиновыми квантовыми числами); следовательно, в этих случаях между нуклонами не могут существовать силы притяжения. Точнее, если амплитуда вероятности нахождения одного нуклона в данной точке пространства перекрывается с амплитудой вероятности нахождения в этой точке идентичного нуклона, между ними происходит интерференция с ослаблением во всей области перекрытия. Именно по этой причине в природе не существуют устойчивые динейтроны или ядра 2Не2.

Действие принципа Паули распространяется и на все макроскопические явления в твердых телах, в которых принимают участие электроны — например, на явление электропроводности. Уровни энергии, доступные электро*

ЭнергияЭнергия. межатомное расстояние. межатомное расстояниесвободные электронысвободные электроныСлабо обязанные электроныСлабо обязанные электроныГраница кристаллаГраница кристаллаЭлектроны с промежуточной сбязьюСильно обязанные электроны (низшее состояние)Электроны с промежуточной сбязьюСильно обязанные электроны (низшее состояние)рис. 148. Уровни энергии, доступные электронам в решетке из положительно заряженных ядер.рис. 148. Уровни энергии, доступные электронам в решетке из положительно заряженных ядер.Сплошные конусообразные линии указывают форму потенциальной энергии при условии, что ядра располагаются в определенных точках на оси «межатомное расстояние» Межатомное расстояние дается в единицах периода решетки.Сплошные конусообразные линии указывают форму потенциальной энергии при условии, что ядра располагаются в определенных точках на оси «межатомное расстояние» Межатомное расстояние дается в единицах периода решетки.W//#////aW//#////a

Энергия

Энергия

. межатомное расстояние

. межатомное расстояние

свободные электроны

свободные электроны

Слабо обязанные электроны

Слабо обязанные электроны

Граница кристалла

Граница кристалла

Электроны с промежуточной сбязью

Сильно обязанные электроны (низшее состояние)

Электроны с промежуточной сбязью

Сильно обязанные электроны (низшее состояние)

рис. 148. Уровни энергии, доступные электронам в решетке из положительно заряженных ядер.

рис. 148. Уровни энергии, доступные электронам в решетке из положительно заряженных ядер.

Сплошные конусообразные линии указывают форму потенциальной энергии при условии, что ядра располагаются в определенных точках на оси «межатомное расстояние» Межатомное расстояние дается в единицах периода решетки.

Сплошные конусообразные линии указывают форму потенциальной энергии при условии, что ядра располагаются в определенных точках на оси «межатомное расстояние» Межатомное расстояние дается в единицах периода решетки.

W//#////a

W//#////a

нам в кристалле (правильной решетке, образованной положительно заряженными ядрами), существенно отличаются от уровней энергии электронов в поле одного ядра (рис. 142). Только самые нижние уровни энергии заняты электронами, сохраняющими тесную связь со «своими» ядрами; более высокие уровни соответствуют электронам, более или менее свободно движущимся по всему кристаллу. Такие уровни энергии обычно объединяются в зоны (разрешенные зоны), схематически изображенные на рис. 148.

Принцип Паули ограничивает число электронов, которые могут занимать данную энергетическую зону; поэтому зона может быть заполнена целиком, и в ней не остается места для добавочных электронов. Будет ли проводить кристалл электрический ток при абсолютном нуле температуры, зависит, очевидно, от того, как заполнена наивысшая зона, в которой вообще имеются электроны. Для того чтобы электрон мог переместиться под действием приложенного электрического поля, он должен освободить занимаемый им уровень, заняв при этом ближайший пустой уровень.

Если зона заполнена целиком, перемещение возможно лишь путем обмена местами с другими электронами; в ре-' зультате такого обмена никакого результирующего тока не возникнет. Таким образом, кристалл с целиком заполненной верхней зоной (зоной проводимости) будет вести себя подобно изолятору; направленное движение зарядов под действием электрического поля, характеризующее проводники, может возникать лишь в тех кристаллах, где верхняя разрешенная зона (зона проводимости) заполнена лишь частично.

В некоторых веществах, например германии, две верхние разрешенные зоны разделены очень узкой запрещенной зоной, часто называемой энергетической щелью. При абсолютном нуле температуры нижняя зона заполнена электронами целиком, а верхняя совершенно пуста, так что вещество является изолятором. Однако при повышении температуры некоторые электроны могут «выплескиваться» из нижней зоны в верхнюю. В результате вещество приобретает способность проводить ток, причем его электропроводность растет с повышением температуры. Такие вещества называются полупроводниками. Их электропроводность обращается в нуль при абсолютном нуле температуры в противоположность обычным проводникам, у которых проводимость, вообще говоря, возрастает с понижением температуры.

ГЛАВА 22

Понятие температуры

Если система, состоящая из N объектов, находится в состоянии равновесия с тепловым резервуаром (термостатом) при температуре Г, то числа заполнения уровней энергии системы подчиняются очень общему закону, впервые открытому Больцманом (1844—1906). Проще всего сформулировать этот закон на примере идеализированной физической системы, в которой объектам доступны лишь три эквидистантных уровня энергии (рис. 149). Примером такой системы может служить, например, атом с магнитным моментом р, который обусловлен механическим моментом импульса, описываемым квантовым числом / = = 1. У таких магнитных моментов имеются 2/ + 1 = 3 возможные ориентации по отношению к внешнему магнитному полю В; они соответствуют трем возможным уровням энергии: 1) Ео = —у.В = —е, если р и В параллельны, 2) Ех = 0, если р и В перпендикулярны, и 3) Е^ =+ pS = = +£, если р и В антипараллельны.

Пусть теперь имеется N объектов, распределенных по трем уровням энергии Ео, Et1 Е^ с числами заполнения л0, ^i, ^2 соответственно, так что

N = п0 + п^ + п2 (22.1)

(N — заданное число объектов). Если предоставить систему самой себе и считать, что ее полная энергия зафиксирована

Е = п^Е0 + пгЕг + пйЕ^(22.2)

второе Возбужденное состояние („верхнее основное состояние ”)

Первое возбужденное состояние *

Основное состояние

Рис. 149. Числа заполнения уровней в системе, обладающей лишь тремя эквидистантными энергетическими уровнями.

Пг О^ ~ /

п^п^г

♦•n0-*nQ-f

Рис. 150. Наименьшее возможное изменение чисел заполнения, совместимое с требованием неизменности как N, так и Е.

то в системе, вообще говоря, будут происходить переходы между состояниями с энергиями £*0, Ev Е^ Эти переходы при сохранении постоянства значений N и Е будут происходить до тех пор, пока система не достигнет некоторого равновесного состояния. Предположим, что это равновесное состояние, характеризующееся, например, значениями чисел заполнения п0, пх и п2, является наиболее вероятным из числа всех возможных состояний. Вероятность того или иного состояния пропорциональна числу W способов его реализации ( см. приложение I), поэтому равновесным можно считать состояние, соответствующее максимальному значению W.

Из элементарной комбинаторики следует, что число W способов реализации данного состояния с числами заполнения уровней п0) nv п^ (рис. 150) равно

W =—.(22.3)

п9\ nJ п8!

Пусть максимуму W соответствуют определенные значения п0 = п0, п^ = пхи п2 = п^\ это значит, что небольшие изменения значений п0, п1 и м2 не меняют существенно значение W. Разумеется, такое изменение чисел заполнения должно быть совместимо с требованием сохранения неизменными N и Е. Легко видеть, что если в системе возможен лишь один тип перехода, изменяющий состояние, то указанное требование невыполнимо. Если состояние изменится, например, так, что nQ -> n0, n2 -> п2 — 1, ^ -> их + 1, то полное число объектов N сохранится, однако полная энергия системы Е понизится на величину е. Изменение чисел заполнения, сохраняющее не измененными одновременно значения N и Е, требует по крайней мере двух переходов (например, изображенных на рис. 150). Действительно, в этом случае малое изменение чисел заполнения

^о^^о — 1> ^i —^ ^i + 2, п2->п2— 1(22.4)

не приводит к изменению N и Е,

N^N. Е^Е.

Требование неизменности W при переходах (22.4) означает, что

-^1.=,(22.5)

«о! «1! п2! (Ло _ 1) । (П1 ^ 2) 1 (Пй - 1) 1

или

(ni + 2) (их+ 1) = п^

_ Если число заполнения пх намного превышает единицу, пх 5> 1, то в хорошем приближении можно написать

тц = попй> или(22.6)

и0 тц

Таким образом, мы приходим к знаменитой теореме Больцмана: в состоянии равновесия числа заполнения уровней энергии подчиняются экспоненциальному закону. Это означает, что числа заполнения, расположенные в том же порядке, что и возрастающие эквидистантные уровни энер-

иисла заполнения

Рис. 151. «Экспоненциальный» закон, определяющий заполнение энергетических уровней (для частного случая, соответствующего значению отношения т)пй = 1/2).

гии, образуют геометрическую прогрессию. Пусть, например, отношение ^к п^ равно V2; тогда отношение п^ к также равно V2, а отношение п^ к м0 составляет (V2)2 » = V4. Обобщая это рассуждение на случай системы с большим числом равноудаленных уровней энергии, можно получить экспоненциальную кривую распределения чисел заполнения (рис. 151), если соединить друг с другом точки, отвечающие значениям п (геометрическая прогрессия) при различных Е.

Можно дать также более общее доказательство теоремы Больцмана, не использующее специального предположения об эквивалентности энергетических уровней; такое доказательство, однако, выходит за рамки нашей книги.

До сих пор в наших рассуждениях мы никак не учитывали величины отношения чисел заполнения любых ДВУ* соседних уровней к и к + 1, а именно — больше или мень*

yie единицы отношение nh к nk+i. Пока можно лишь сказать, ЧТО последовательность чисел заполнения должна быть монотонной — убывающей, возрастающей или остаю- дейся постоянной по мере увеличения номера п (а следовательно, и значения энергии) уровня.

Оказывается, что отношение п"^ для любых заданных уровней Ех и Ей зависит от температуры системы, которую мы определили с помощью чисто термодинамических рас- суждений в главе 12. Именно, если привести систему в контакт с термостатом при температуре Т, то единичные переходы типа

п2->п2 —1, ^->^ + 1 (22.7) станут возможными; им будет соответствовать изменение энергии

^E = — ^

которое в данном случае также возможно. Дело в том, что энергия системы не должна теперь строго сохраняться, но может флуктуировать за счет теплообмена с термостатом. Из определения энтропии — см. уравнение (12.5) — следует, что соответствующее изменение Д@ = —&Е — количества тепла в термостате, находящемся в состоянии равновесия, будет сопровождаться изменением энтропии, равным

Д8 = ^- =тД8 = ^- =теТ"еТ"(22.8)(22.8)

Д8 = ^- =т

Д8 = ^- =т

е

Т"

е

Т"

(22.8)

(22.8)

(22.9)(22.9)(22.10)(22.10)

(22.9)

(22.9)

(22.10)

(22.10)

Это изменение энтропии, вызванное переходом (22.7), можно легко вычислить, используя связь (13.3) между энтропией 5 и числом W способов реализации данного состояния (22.3)

S = k In W,

так что

^ - 4 Г In / «_ ) _ 1„ /._ _ * ^ \И01 пх\ п21 у \ «о ! («1 + 1) 1 («2 — 1) I

= /с In ^1±1«А:1п4.Кгп2

Подставляя найденное значение Д5 в (22.8), получаем

1п^ = —. (22.11) п2

Выражение (22.11) положительно при любом конечном положительном значении температуры Т\ оно означает, что при этом условии п^ > п^, то есть числа заполнения монотонно убывают с ростом энергии уровня при любой положительной температуре Т.

Наше рассуждение ясно показывает, что если мы хотим реализовать равновесные состояния с пх <С п^ сохраняя соотношение (22.11), нам неизбежно придется ввести понятие отрицательной температуры. Подобные монотонно возрастающие последовательности чисел заполнения, описывающиеся отрицательной температурой, могут быть действительно реализованы в системах с конечным числом частиц N и конечной полной энергией Е; необходимо лишь, чтобы доступные уровни энергии были ограничены сверху. Чрезвычайно простой, но нетривиальный и поучительный пример такой системы описан в дополнении 1 к этой главе.

Соотношение (22.11) между числами заполнения любых двух уровней в равновесии при температуре Т было использовано Эйнштейном. С помощью этого соотношения он исключительно просто вывел выражение для плотности энергии так называемого излучения абсолютно черного тела в состоянии равновесия при температуре Т. Тело называют абсолютно черным, если оно способно излучать или поглощать свет всех длин волн; последнее равносильно наличию практически непрерывного распределения уровней энергии (энергетического спектра). Если поместить полое тело с черными (поглощающими) стенками в термостат при температуре Г, оно начнет заполняться излучением до тех пор, пока излучение не придет в равновесие со стенками (это означает, что число актов поглощения станет равным числу актов излучения). Наблюдая за излучением внутри тела через малое отверстие (не слишком сильно нарушая состояние равновесия), можно измерить спектр частот излучения абсолютно черного тела; зависимость плотности энергии от частоты имеет вид, изображенный на рис. 152. При малых частотах (Н<я<кТ) плотность 310

Частота сиЧастота сиРис. 152. Спектральная плотность энергии излучения абсолютно черного тела при двух значениях температур 7\ и Та (Т3 > Т^. При низких частотах (&<» < АТ) и w <о2Т. Частота, при которой спектральная плотность достигает максимального значения, пропорциональна температуре; полная энергия, излучаемая на всех частотах, пропорциональна Т*.Рис. 152. Спектральная плотность энергии излучения абсолютно черного тела при двух значениях температур 7\ и Та (Т3 > Т^. При низких частотах (&<» < АТ) и w <о2Т. Частота, при которой спектральная плотность достигает максимального значения, пропорциональна температуре; полная энергия, излучаемая на всех частотах, пропорциональна Т*.

Частота си

Частота си

Рис. 152. Спектральная плотность энергии излучения абсолютно черного тела при двух значениях температур 7\ и Та (Т3 > Т^. При низких частотах (&<» < АТ) и w <о2Т. Частота, при которой спектральная плотность достигает максимального значения, пропорциональна температуре; полная энергия, излучаемая на всех частотах, пропорциональна Т*.

Рис. 152. Спектральная плотность энергии излучения абсолютно черного тела при двух значениях температур 7\ и Та (Т3 > Т^. При низких частотах (&<» < АТ) и w <о2Т. Частота, при которой спектральная плотность достигает максимального значения, пропорциональна температуре; полная энергия, излучаемая на всех частотах, пропорциональна Т*.

энергии и излучения частотно оказывается пропорциональной квадрату частоты о2 и температуре Т;

и const • ^Т (Йо <^ йГ);(22.12)

максимум плотности энергии достигается при частоте о)макс , пропорциональной температуре Т,

^макс = const • Т\(22.13)

полная плотность энергии излучения (равная площади, ограниченной кривой и (о) на рис. 152) пропорциональна четвертой степени температуры Тх

^полн = const • Т\(22.14)

Эйнштейн показал, что эти экспериментальные закономерности излучения абсолютно черного тела можно связать с заполнением уровней энергии этого тела. Рассмотрим какие-либо два уровня энергии ^ и 62 (£2> Ег); пусть между ними происходят переходы с испусканием и поглощением фотонов частоты о

Йо -Е^Е^(22.15)

Рис. 153. Три типа переходов между двумя энергетическими уровнями. В отсутствие излучения происходят лишь спонтанные переходы с вероятностью Л. При наличии излучения имеют место индуцированное излучение и поглощение, идущие с равной вероятностью В.Рис. 153. Три типа переходов между двумя энергетическими уровнями. В отсутствие излучения происходят лишь спонтанные переходы с вероятностью Л. При наличии излучения имеют место индуцированное излучение и поглощение, идущие с равной вероятностью В.

Рис. 153. Три типа переходов между двумя энергетическими уровнями. В отсутствие излучения происходят лишь спонтанные переходы с вероятностью Л. При наличии излучения имеют место индуцированное излучение и поглощение, идущие с равной вероятностью В.

Рис. 153. Три типа переходов между двумя энергетическими уровнями. В отсутствие излучения происходят лишь спонтанные переходы с вероятностью Л. При наличии излучения имеют место индуцированное излучение и поглощение, идущие с равной вероятностью В.

Эги переходы способствуют установлению равновесия в излучении абсолютно черного тела. Пусть числа заполнения этих уровней равны ^ и л2 соответственно. При наличии п фотонов частоты со переходы между двумя уровнями (рис. 153) будут происходить следующим образом:

Процессы поглощения. Для описания скорости изменения числа фотонов п за счет поглощения Эйнштейн ввел вероятность индуцированного поглощения В; эта величина указывает вероятность поглощения фотона в течение одной секунды, если на уровне энергии Ег имеется всего один атом. Полное число процессов поглощения в единицу времени равно в этом случае

(Дп \Д/ /1(Дп \Д/ /1= Bnnv= Bnnv(22.16)(22.16)

(Дп \

Д/ /1

(Дп \

Д/ /1

= Bnnv

= Bnnv

(22.16)

(22.16)

Кп Хспонт .Д/А-Н 2Кп Хспонт .Д/А-Н 2(22.17)(22.17)

Кп Хспонт .

Д/А-Н 2

Кп Хспонт .

Д/А-Н 2

(22.17)

(22.17)

т0 есть пропорционально п2 — числу атомов в состоянии Е^

если в системе присутствуют фотоны, то существует вероятность индуцированного излучения В (в точности равная вероятности индуцированного поглощения В); таким образом, число актов индуцированного излучения в единицу времени составляет

Ап Хинд.М /2 1Ап Хинд.М /2 1= Впп^= Впп^(22.18)(22.18)

Ап Хинд.

М /2 1

Ап Хинд.

М /2 1

= Впп^

= Впп^

(22.18)

(22.18)

то есть пропорционально числу п 2 атомов в состоянии Е^ и числу п уже имеющихся фотонов.

Очень важным достижением Эйнштейна было то, что он ясно понял невозможность описать наблюдаемое частотное распределение энергии излучения абсолютно черного тела, не предположив существования процессов индуцированного излучения в присутствии других фотонов. Эта замечательная гипотеза Эйнштейна равносильна утверждению о том, что фотон частоты (о с определенной вероятностью вызывает переходы между двумя уровнями с соответствующей разностью энергий; при этом достаточно, чтобы по крайней мере один из них (все равно какой) был занят атомом. Остается лишь удивляться тому, что инженерам понадобилось свыше сорока лет для того, чтобы осознать и использовать практически «резонансное» явление, предсказываемое уравнением (22.18). В настоящее время оно нашло широкое применение в различного рода квантовых усилителях (мазерах и лазерах).

Полное число актов излучения в единицу времени описывается, следовательно, суммой двух слагаемых

Ап \А/ /21Ап \А/ /21= Лм2 + Впп^= Лм2 + Впп^(22.19)(22.19)

Ап \

А/ /21

Ап \

А/ /21

= Лм2 + Впп^

= Лм2 + Впп^

(22.19)

(22.19)

причем в состоянии равновесия выражения (22.19) и (22.16) должны быть равны

Вппг = Ап^ + Вппг.(22.20)

Это означает, что в состоянии равновесия число фотонов п (а следовательно, и плотность энергии и при частоте со) должно выражаться так:

(22.21)(22.21)п=-^

(22.21)

(22.21)

(П1/Ла)—1

Температурная зависимость отношения п^п^ дается формулой (22.11), Уравнение (22.21) правильно описывает наблюдаемое распределение энергии излучения по частотам (рис. 152), если считать, что отношение А!В пропорционально <D32

— = const • о)3.в— = const • о)3.в(22.22)(22.22)

— = const • о)3.

в

— = const • о)3.

в

(22.22)

(22.22)

Закон равновесного распределения числа фотонов (22.21) был получен Планком (1858—1947) еще до Эйнштейна в 1900 году. Планк использовал тогда физически менее ясное предположение, сводившееся в основном к дискретному характеру процессов поглощения и излучения, — так называемую квантовую гипотезу. Поэтому вывод Планка не дал ясного истолкования числителя в выражении (22.21), тогда как, согласно Эйнштейну, он имеет смысл отношения вероятностей спонтанных и индуцированных переходов.

Дополнения

Понятие отрицательной температуры проще всего можно усвоить на специальной модели, состоящей из N магнитных моментов [л (каждый из которых связан с моментом импульса и с квантовым числом / = V2), помещенных во внешнее магнитное поле В. Каждый магнитный момент может принимать лишь 2/ + 1 = 2 ориентации — параллельно или антипараллельно В; соответственно его энергия может принимать лишь два значения: Ех = —®/2= = -—\ьВ и 62 = +е/2 = +рь5 (рис. 154).

Состояние, в котором числа заполнения уровней энергии равны соответственно пх и пй = N — nv можно реализовать W способами, где

W = w =^ ,

П11 п21 пх 1 (W пх)!

Пг Е^Ф

f E^o

^^^^^П1 E^-qz

Рис. 154. Система, содержащая N = щ 4- п% объектов, способных занимать лишь два уровня энергии Ei и £2. Полная энергия при заданном способе заполнения щ о2 равная = (е/2)(и2 — щ).

Используя выражение для полной энергии Е (и условие 7^ + п2 = N)

££Е --^^Ч-п^ = A;- (N—2nJ, получим для пг

£

£

П1П1ЕЕ

П1

П1

Е

Е

теперь можно записать W в виде

Тогда энтропия S = kin Ж будет зависеть от; Е и N следующим образом:

S = N Г1п 2~- (1 — х) In (1 — х) —

7 (!+ ж) In (1 + ж)1; ж = -^-;2Ns

мы использовали здесь формулу Стирлинга In^! « я!п х, верную приближенно при больших х. Уравнение E^S") изображено на рис. 155; по определению температурой является производная

у1 ^^~ AS*'

Легко видеть, что до тех пор, пока Е < 0, температура остается положительной; она равна +0, если Е = = —We/2 и верхний уровень энергии вообще не занят.

Рис. 155. Зависимость энтропии 5 от энергии Е системы состоящей из N объектов, способных занимать лишь два уровня энергии 2?1 = —s/2 и Е^ — +е/2.

Производная этой кривой численно равна температуре системы Т. Видно, что состояния с отрицательной температурой лежат на шкале энергий выше состояний с положительной температурой*

Далее температура растет, оставаясь положительной и по достижении бесконечного значения при равном заполнении обоих уровней энергии (очевидно, при этом Е = = 0, а энтропия 8 = ЛЧп2). При положительных значениях Е (Е > 0) температура становится отрицательной, однако продолжает непрерывно расти: от минус бесконечности при Е = 0 до нуля (точнее, —0) при полном заполнении верхнего уровня (Е = 7Ve/2).

Вывод Планком закона излучения (22.21) обладает большим достоинством: он позволяет выразить коэффициенты пропорциональности в формулах (22.13) и (22.14)

через фундаментальные физические постоянные ft (постоянная Планка), к (постоянная Больцмана) и с (скорость света в вакууме). Вводя длину волны Хмакс, при которой плотность энергии излучения достигает максимума, Планк записал соотношение (22.13) в явном виде

л т 2тС Нс *Лмакс * *»

5 к

для соотношения (22.14) он получил

/7 _ к2 к4Г4 "" 15 сЗ^з

Согласно измерениям Рубенса и Курльбаума, константы, стоящие в правых частях уравнений, равны соответственно

2тС Нс Пл тг^^^^

0,29 см • К,=

Ь к15 с^Н3

= 7,6 • 10“ эрг-см”3 (К)""4.

Поскольку к тому времени скорость света была достаточно хорошо известна (с = 3-1010 см/сек), Планку удалось с помощью этих двух соотношений вычислить значение ft, а также получить для постоянной Больцмана оценку, значительно более точную, чем ранее известные.

Планк заслуженно гордился своим результатом, поскольку, зная постоянную Больцмана, можно найти точное значение числа Авогадро А (числа молекул в одном грамм- моле), используя соотношения А — Rik (здесь R — газовая постоянная, известная из тепловых измерений). Зная величину А, можно было точно определить и заряд электрона е, так как произведение Ае =F (известное под названием постоянной Фарадея и имеющее смысл полного заряда однократно заряженных ионов в одном моле) также было хорошо известно из макроскопических опытов по электролизу.

Читателю настоятельно рекомендуется выполнить вычисления Планка. (Вводя сокращенные обозначения а =

6 х 10“15 эрг/см3 (К)"4 и Ъ = 0,29 см «К, нетрудно получить следующий результат:

ь 54 • 15 • Ь4 • а ,54 • 3 • 63 • а

ft — ——————————— и И ■

частота нцкачкичастота нцкачки——Е3

частота нцкачки

частота нцкачки

(состояние, места- и)сильное к излучению

32частоты изг)

(состояние, мета стабильное к излу* чению частоты ы21у

Ш21

et

< осмо б ное состоя*ние)

Рис. 156. Три уровня энергии Ei, Е2, £3» необходимые для осуществления лазерного эффекта.

Далее остается лишь подставить значения а, b и с и вычислить значения А и к.

В усилительных устройствах, подобных уже упоминавшимся выше лазерам, используют эффект индуцированного излучения; для этого необходимо иметь вещество (например, рубин*), в котором электроны могут занимать по крайней мере три уровня энергии Е^ Е31 Е31 так что существуют по крайней мере три различных перехода, индуцируемых фотонами с частотами <о31, о)32, 00зз соответственно (рис. 156). Иногда бывает так, что существует очень большая вероятность спонтанного излучения с переходом с уровня Е3 на уровень Е^ (говорят, что уровень энергии Е3 нестабилен по отношению к излучению фотонов частоты <о32); в то же время вероятность спонтанного излучения с переходом с уровня Е^ на уровень Ег может быть очень мала (говорят, что уровень Е2 метастабилен по отношению к излучению фотонов частоты (о21). Тогда можно достичь высокой населенности уровня Е21 пополнив его за счет уровня Ev если направить на вещество поток света частоты <о31 (называемой в этом случае частотой накачки)} при этом произойдет индуцированное поглощение света, сопровождаемое переходами с

Ex на ^з» за которым очень быстро последуют спонтанные переходы с Е3 на Ег.

Создав в веществе инверсную населенность, мы по существу приготовили вещество к действию в качестве лазера. Поместим теперь вещество между двумя хорошо отражающими плоскопараллельными пластинами (зеркалами) j тогда любой спонтанно излученный фотон частоты со 21 получит большую возможность вызвать индуцированный переходе уровня ^зна уровень Ег. Этот переход приведет к появлению двух когерентных фотонов той же частоты. Далее, число индуцированных переходов начнет лавинообразно нарастать, так что окончательно весь запас энергии, сосредоточенный на уровне Е^, перейдет в энергию лавины фотонов с частотой <о21.

Полезно уяснить себе, что даже при температурах, которые интуитивно кажутся высокими (например, при температурах поверхности Солнца Т~ 6000 К), число Пт, атомов в возбужденном состоянии Е^ все еще значительно меньше числа атомов п^ на более низком уровне энергии Ех. Считая, что разность энергий уровней Ег —Ех = — г — Ь^ соответствует частоте видимого света (например, желтой линии v = 3*1016 сек”1), оцените с помощью уравнения (22.11) отношение заселенностей этих уровней. ^Ответил \ъ(пх/п^ ^ 3,7, то есть на каждый атом, находящийся на уровне Е^ приходится около сорока атомов на уровне Ev)

ГЛАВА 23

Иерархия так называемых элементарных частиц

Вероятности спонтанного и индуцированного излучения Л и S, о которых шла речь в главе 22, были введены Эйнштейном в 1917 году для описания переходов между электронными уровнями энергии в атоме. Задолго до этого и даже до того, как понятие об уровнях энергии получило современную формулировку, Беккерель (1852 — 1908), Пьер Кюри (1959—1906) и Мария Склодовская-Кюри (1867—1934) открыли явление радиоактивности — это про изошло между 1885—1900 годами. После работ Эйнштейна это открытие можно было истолковать следующим образом: 1) существуют уровни энергии, которые могут занимать не электроны, а другие частицы; 2) как и при излучении фотонов атомами, процессы спонтанного излучения при переходах из возбужденных состояний ядер в более низкие описываются вероятностью спонтанного излучения Л.

Дальнейшее развитие ядерной физики Резерфордом (1871—1937) и его последователями можно рассматривать теперь как сознательную попытку вызвать переходы между понимаемыми в широком смысле уровнями энергии; сюда относятся изменения и в таких свойствах, как электрический заряд Q и барионное число В (оно будет определено ниже); которые прежде не считали полноправными квантовыми числами, необходимыми для исчерпывающей характеристики материи вообще.

Самым прямым подтверждением вероятностной природы закона, определяющего спонтанный распад радиоактивных элементов (например, открытого супругами Кюри полония), является существование периода (или времени) полураспада. Время полураспада полония равно 140 сут; это означает,, что если в любой данный момент времени имеется образец полония, насчитывающий большое число атомов, то в течение 140 сут половина из них распадет- 320

Количество Ро

Рис. 157. Кривая распада большого количества атомов полония (период полураспада составляет 140 сут.).

ся. Этот процесс произойдет с подавляюще большой вероятностью, и его ход не зависит от предыдущей истории образца полония. Далее то же произойдет с оставшейся половиной атомов, так что через следующие 140 сут останется лишь четверть от их начального числа и т. д.

Таким образом, примерная судьба любого полониевого образца изображается гладкой кривой распада, изображенной на рис. 157; точки на графике показывают, какие количества полония остаются через равные промежутки времени, кратные периоду полураспада; видно, что эти количества образуют убывающую геометрическую про грессию, известную под названием экспоненциального за кона распада.

Эту кривую можно понять, если приписать каждому атому полония вероятность спонтанного распада, дающую данному атому равные возможности уцелеть или распасться в ближайшие 140 сут, начиная с данного момента; эта вероятность не зависит от предыстории атома. Соответственно если изображать точно «судьбу» образца, содержащего лишь малое число атомов, то будут обнаружены статистические флуктуации, характерные для всех вероятностных законов (рис. 158).

За открытием радиоактивности последовало возникновение ядерной физики как отдельной отрасли физики; ее становление ознаменовалось волнующими экспериментами, причем их логическая последовательность в первом приближении совпадает с последовательностью хронологической.

Между 1900 и 1910 годами Резерфорд впервые внес ясность в вопрос о природе «лучей», испускаемых естественными радиоактивными элементами. Он указал на положительно заряженное атомное ядро как на источник излучений, среди которых Резерфорд различал излучения трех типов — альфа, бета и гамма.

Альфа-излучение — дважды ионизованные атомы гелия (то есть ядра Не); их заряд равен +2е, а масса — примерно 4 атомным единицам массы. На современном языке это означает, что ос-частица обладает зарядовым числом Q = — +2 и барионным числом В = + 4. Таким образом, излучение ос-частиц эквивалентно превращению данного химического элемента в другой, расположенный на два места выше в периодической таблице. Обозначая символом q ( )в химический элемент, у которого зарядовое и барионное числа ядра равны соответственно Q и В, можно записать, например,, а-распад радия в следующем виде:

88Ra226 ^8JXn222 + 2He^

Бета-излучение — электроны с зарядом —е и пренебрежимо малой массой (в атомных единицах массы). Современный физик определил бы fl-частицы как частицы с зарядовым числом Q = —-1 и барионным числом 5=0. Соответственно (3-излучение эквивалентно превращению данного элемента в другой, расположенный на одно место ниже в периодической таблице. Имеется, например, следующая реакция:

ззВ^^ваРо^ + ^е0.

Гамма-излучение — фотоны с очень высокой энергией (превосходящей энергию видимого света более чем в 104 раз). Фотоны не имеют ни заряда, ни массы; соответственно испускание 7-лучей не связано с превращением элементов, но лишь с изменением их энергии. Такое излучение возникает при не очень высоких уровнях возбуждения атомного ядра (оно часто отмечается звездочкой). Например, можно написать

84Ро210->84Ро210 + ъ

а-частицы, испускаемые естественным радиоактивным источником, имеют обычно кинетические энергии порядка нескольких миллионов электронвольт (МэВ). Используя сс-частицы как снаряды, Резерфорд бомбардировал тяжелые атомы; по характеру рассеяния а-частиц он установил, что положительно заряженное ядро атома содержит практически всю массу атома, занимая при этом лишь малую часть его объема (это открытие было сделано в 1911 году). Сейчас известно, что диаметр ядра водорода (протона) составляет по порядку величины 10“13 см. Поскольку масса протона порядка 10"24 г, ядерная плотность составляет величину порядка

d ^ —10 4 - =. 1015 г/см3 = 109 т/см3.

(Ю-1з)з

Плотность такой огромной величины представляется на первый взгляд невероятной; не приходится удивляться, что свойства ядерной материи самым радикальным образом

отличаются от свойств обычной материи, плотность которой не превышает, как правило, 10 г/см3.

В 1919 году Резерфорду впервые удалось вызвать искусственно ядерную реакцию. Бомбардируя ядра азота а-частицами, он наблюдал в камере Вильсона следующую реакцию:

2He4 + 7N14^8O17 + 1H1;

по существу это означало превращение элементов Не и N в элементы О и Н. С точки зрения будущих инженеров- ядерщиков, стремящихся перевести часть потенциальной энергии, скрытой в ядрах, в другие полезные формы энергии, эта реакция совершенно невыгодна: она сопровождается увеличением потенциальной энергии примерно на 1 МэВ за счет потери кинетической энергии ядер, участвующих в реакции. Это свойство является общим для всех реакций, идущих с участием а-частиц, ввиду того, что а- частица — чрезвычайно сильно связанная система и распад ее на составные части в ходе ядерной реакции поглощает много энергии.

Ядерная реакция, сопровождающаяся выделением * кинетической энергии, была впервые осуществлена Кокрофтом и Уолтоном в 1932 году. Эти физики построили ускоритель частиц (электрический высоковольтный генератор) и бомбардировали ядра лития 3Li7 протонами 1Н1 с энергией 0,2 МэВ

3H^3Li7^2He4 + 2He4.

Их наблюдения показали, что в этой реакции действительно рождаются две а-частицы, которые разлетаются с • суммарной кинетической энергией, равной 18 МэВ. Открытие этой реакции вновь вызвало интерес к возможности использования потенциальной энергии ядер; большое число аналогичных реакций слияния было открыто и изучено в 30-е годы. Однако их практическое использование задержалось до начала 50-х годов. Причины этого были связаны, в частности, с двумя важными открытиями, о которых рассказано выше.

В 1938 году Отто Ган совершенно неожиданно обнаружил явление спонтанного деления ядер урана; это открытие на все последующее десятилетие направило основное развитие ядерной физики по новому руслу. Ранее, в 1932 году, Чэдвик открыл другую ядерную части-

ЦУ нейтрон с зарядовым числом Q— 0 и барионным числом В — +1; он наблюдал следующую реакцию;

2Не4+ 4Be9-^6Ci2^0n1.

Электрическая нейтральность новой частицы сделала ее особенно подходящим орудием для проникновения в глубь тяжелых ядер, имеющих большой положительный заряд. Попадание нейтрона в тяжелое ядро может иметь весьма серьезные последствия — например, вызвать его распад, как в реакции

о"1 + 92U235 -> 55Cs133 + 37Rb" + 40ni;

при этом продукты реакции приобретают кинетическую энергию порядка 200 МэВ. Мы не будем останавливаться на практическом использовании этой энергии, так как оно широко известно.

В ходе исследований в области ядерной физики в 30-е годы было обнаружено несколько новых атомных частиц, и среди них, помимо уже упомянутого нейтрона, были открыты позитрон (антиэлектрон) и мю-мезон (мюон). За этим скромным началом последовал целый ряд новых открытий, обусловленных созданием в конце 40-х годов и в 50-е годы новых мощных ускорителей частиц; к концу 60-х годов число так называемых элементарных частиц значительно превзошло 100. Их изучение составляет теперь одну из самых передовых областей в физике.

Многие из этих открытий были случайными. Поэтому давать их классификацию в историческом аспекте было бы крайне нецелесообразно; предпочтительнее дать описание всей иерархии частиц согласно логическому принципу и с использованием всей накопленной информации.

Лептоны. Существует семейство фермионов (мюон, электрон, нейтрино) со спином V2, не участвующих в сильных взаимодействиях, которые обусловливают устойчивость атомных ядер. Спектр масс этих частиц изображен на рис. 159; они носят название лептонов, так как являютг с я легчайшими из всех известных фермионов. Как мюон, так и электрон могут обладать электрическим зарядом

Рис. 159. Спектр масс семейства лептонов.

Кроме массы и спина, каждый лептон характеризуется двумя дихотомическими квантовыми числами: лептонным числом L и мюонным числом L , принимающими лишь два значения: + 1 или — 1.

Q= +1 или —1. Кроме того, отрицательно заряженным частицам [л~ и е" приписывается лептонное число (лептонный заряд) L = +1, а их античастицам;? и^+ - лептонное число L = —1. Не имеющие массы нейтрино существуют в двух формах: обычного нейтрино у и антинейтрино у; эти частицы испускаются соответственно вместе с позитроном или электроном при fl-распаде нестабильных ядер. Например, время полураспада свободного нейтрона составляет 12 мин; его распад протекает по схеме

п -> р + е~ + у.

С другой стороны, рождение или уничтожение мюона сопровождается появлением одного мюонного нейтрино у^

йли его античастицы ул . Например, сам мюон является нестабильной частицей, распадаясь по схеме

Р-+ е+ + ^ +

с периодом полураспада 1,5 - IO-6 сек (если он заряжен положительно); или по схеме

^ ~> е* + 7 + ^

с тем же периодом полураспада, если он заряжен отрицательно. Нейтрино обоих типов v и^ обладают определенной спиральностью; их спин и импульс всегда направлены антипараллельно, то есть эти частицы «закручены влево». Антинейтрино v и v^. «закручены вправо», то есть их спин и импульс всегда параллельны. На схеме, приведенной на рис. 159, указаны лептонные и мюонные числа, характеризующие членов семейства лептонов. Причина большой разницы масс электрона и мюона — одна из главных проблем, стоящих перед теоретиками, пытающимися понять структуру этих частиц.

Безмассовые бозоны. Считается, что эти частицы ответственны за перенос двух встречающихся в природе взаимодействий большого радиуса — электромагнитных и гравитационных. Известно, что электромагнитное взаимодействие переносится квантами электромагнитного поля — фотонами, которые существуют как свободные частицы, имеющие нулевую массу и спин. Фотон может обладать и определенной закрученностью, соответствуя право- и левоциркулярно поляризованному свету. Гравитационное взаимодействие, как считают многие физики, переносится квантами гравитационного поля —- гравитонами, которые (если они когда-либо будут экспериментально обнаружены, что очень сложно ввиду чрезвычайной слабости гравитационных сил) должны обладать нулевой массой и спином 2. Подобно фотонам, гравитоны должны обладать различной закрученностью.

Адроны. Это название дано частицам, участвующим в сильном взаимодействии короткого радиуса, которое, в частности, как уже отмечалось выше, ответственно за устойчивость ядер большинства встречающихся в природе атомов. Кроме спинового квантового числа J для классификации адронов нужны следующие квантовые числа.

яячетнаяифункция ДР-Нчетнаяифункция ДР-НРис. 160. Примеры функций, четных (а) и нечетных (б) по отношению к инверсии координат ж —> —х.Если А — четная функция, то при преобразовании х -* — х А ^ РА = А; если А — нечетная функция^ при х -* — х А ^ РА = — А.Рис. 160. Примеры функций, четных (а) и нечетных (б) по отношению к инверсии координат ж —> —х.Если А — четная функция, то при преобразовании х -* — х А ^ РА = А; если А — нечетная функция^ при х -* — х А ^ РА = — А.

я

я

четнаяифункция Д

Р-Н

четнаяифункция Д

Р-Н

Рис. 160. Примеры функций, четных (а) и нечетных (б) по отношению к инверсии координат ж —> —х.

Если А — четная функция, то при преобразовании х -* — х А ^ РА = А; если А — нечетная функция^ при х -* — х А ^ РА = — А.

Рис. 160. Примеры функций, четных (а) и нечетных (б) по отношению к инверсии координат ж —> —х.

Если А — четная функция, то при преобразовании х -* — х А ^ РА = А; если А — нечетная функция^ при х -* — х А ^ РА = — А.

Барионное число (барионный заряд) В. Это квантовое число отличает бозоны от фермионов и их античастиц (среди адронов). Адроны с барионным числом В = 0 являются бозонами и называются мезонами. Адроны с барионным числом В = + 1 или В = —1 являются фермионами и называются барионами и антибарионами соответственно. Например, в реакции

Р + /) -> 0)° -|- 1Т+ -]- л”

отрицательно заряженный антипротон р (В = —1) и положительно заряженный протон р (В = 4*1) аннигилируют, порождая три мезона (у каждого из них В— 0); нейтральный омега-мезон (а>°) и два противоположно заряженных пи-мезона (пиона) к+ и тС

Четность Р. Это квантовое число указывает на то, меняет или не меняет знак волновая функция (амплитуда вероятности) при инверсии координат. Если эта амплитуда вероятности является четной функцией (рис. 160, а), то говорят, что четность равна единице (Р = = 4-1); если же амплитуда вероятности— функция нечетная (рис. 160, б), то говорят, что ее четность равна минус единице (Р = —1). Нуклоны (протон р и нейтрон и) являются примерами частиц с положительной четностью (Р = 4-1), а пионы (к+, л0, к”) — с отрицательной (Р = =-1).

Изотопический спин, или и з о с п и н Т. Это квантовое число указывает на то, сколько различных значений 328

может принимать электрический заряд Q для данной частицы. Говорят, что изоспин частицы равен Т, если число таких значений равно 2Т + 1. Например, нуклон может иметь Q — +1 (если он является протоном) либо Q = О (если он является нейтроном); таким образом, он имеет 27 + 1 — 2 возможных значения электрического заряда и соответствует значению изоспина Г = V2. Пион является примером частицы с изоспином Т = + 1, так как он возникает в трех зарядовых состояниях л°,л+,л~ (то есть 27 + 1 = 3). Название «изоспин» обязано тому факту, что в сложных системах величина 7 складывается по тем же правилам, которым подчиняется сложение моментов количества движения (спинов) элементарных объектов, составляющих сложную систему. Например, пион (7 = = 1) и нуклон (7 = V2) могут объединяться в систему либо с изоспином 7 = 3/2 (в этом случае говорят, что их изоспины «параллельны»), либо с 7 = V2 (если их изоспины «антипараллельны»). Свойствами таких сложных объектов обладают барионы А и N* (см. схему на рис. 162); они имеют соответственно 4 и 2 возможных значения электрического заряда Q.

Гиперзаряд Y. Это квантовое число указывает, насколько смещен «центр заряда» данного семейства частиц от значения Q = 0. Принято брать в качестве Y удвоенное значение величины QC1 Y = 2 Qc. Например, возможными значениями заряда нуклонов являются Q = = +1 и Q = 0; следовательно, Qc = +V2, нуклонам следует приписать гиперзаряд < Y = 2QC = +1. Пион может принимать значения заряда, равные Q = +1, 0, —1, так что Qc = 0 и Y — 0; пион является, таким образом, примером частицы без гиперзаряда. Поскольку заряженные частицы и их античастицы всегда имеют противоположные электрические заряды, они имеют также противоположные значения гиперзаряда Y.

Наилучшие экспериментальные данные, имеющиеся в настоящее время, указывают на то, что грубая структура спектра масс адронов определяется их спином J и четностью Р. Эти основные уровни, символически обозначаемые Jp , имеют также и тонкую структуру, различающуюся значениями 7. А каждый уровень с данным 7 обнаруживает сверхтонкое расщепление на 27+1 подуровней, что позволяет различать массы частиц с разными значениями электрического заряда Q. Детальное строение спектра

Рис. 161. Спектр масс семейства мезонов.

В каждом столбце с данным Y частица обозначена слева соответствующейбуквой (название мезона) и значением изоспина Т (справа).

масс следует изучать порознь у мезонов и барионов.

Мезоны. На схеме, приведенной на рис. 161, изображен спектр масс покоя 36 известных мезонов. Два наинизших «грубых» уровня с Jp = 0“ и Jp = 1" обнаруживают расщепление на октет и нонет подуровней соответственно. Установлено, что существуют также уровни с Jp = 1+ и jp = 2+, однако не вполне ясно, являются ли полными соответствующий октет и нонет. Некоторые физики склонны рассматривать уровни 1+ и 2+ как возбужденные состояния основных уровней О’ и 1*; в пользу этой точки зрения говорит то, что мультиплеты 1+ и 2+ тоже состоят из 8 и 9 частиц соответственно. (Считая каждый уровень 1 ~ трехкратным ввиду трех возможных ориентаций спина J = 1 в пространстве (2/ + 1 = 3), мы получаем муль- типлетность основного состояния, равную 35 = 8 + 3-9.

Все мезоны являются нестабильными частицами; времена их жизни лежат в диапазоне от 1,8 -10~8 сек для заряженных пионовл+ и л ' до менее чем 10~lR сек для ч^-мезона. Различают нелептонные способы распада, такие, как

К0 -> ^+ + л” и лептонные распады

Барионы. На схеме, приведенной на рис. 162, представ- лены данные о спектре масс барионов и соответствующих им антибарионов. Определенно являются установленными октет уровней с Jp = V2+, синглет с Jp = V2~, декуплет с Jp = 3/2+ и октет с Jp = 3/2~. Все барионы, за исключением нуклонного дублета (N), нестабильны по отношению к нелептонным типам распада. Из нуклонов нестабилен нейтрон с зарядом Q= 0; он имеет время полураспада 12 мин, распадаясь по лептонной схеме

п -> Р + е" + v ;

таким образом, единственной истинно стабильной части- цейсреди адронов является протон.

Масса,103 МэВ

2,9 -

2,8-

2,7-

1,6 -

2,5-

2,4-

2,3-

2,2-

д 3/г

(Л^соотвстсгпвующал}^1/^, является синглетом )

N

Е 1

Е 1

Д 3/2

Л 0

N '/2

Е 1

2J -

2,0-

1,9-

1,8-

1,7 -

1,6-

1,5-

/,4-

1,3-

1,2-

1,1

1,0-

0,9-

Л 0

N'" Уг

Е 1

N1/2

а%

Е 1

= Уг

N '/2

Л 0

- Уг

N" уг

N" '/г

ГУ2

^»/2

8уровней^7А,Е,Е>

Jp=%+

N^

Q 0

Д' 0

л 3/г

N' Уг

Л' 0

Ло

-;/г

2" У2

Nf V2

Юуровней(А,Е,^,^)

Е 1

5° Уг

л 3/г

Л 0

8уробней(Н,А,Е,'Е)

¥^2

¥=0

Y—1

¥=-2

Рис. 162. Спектр масс семейства барионов.

Соответствующий спектр масс антибарионов можно получить, заменив Y на— У. Каждый уровень обозначен буквой, соответствующей названию бариона(слева) и величиной изоспина Т (справа).

Дополнения

Многие элементарные частицы вследствие их весьма короткого времени жизни (^10“22 сек) называются резонансами. Типичным примером является ро-мезон (р); на схеме рис. 161 ему соответствует уровень энергии 0,7 Бэв (Г = 1, Y = 0). Его заряженные «партнеры» (р±) рождаются при столкновениях достаточно энергичных заряженных пионов л ± с протонами (р*)

+ р+.

Поскольку р-мезон существует менее 10“22 сек, а затем распадается на два пиона (р± ->*л±+ л °), он не оставляет заметного следа в камере Вильсона; единственные частицы, наблюдаемые в ходе реакции,— это протон и пионы. Тем не менее существует важное различие между реакцией, в которой две частицы (л^ и р+) переходят в результате реакции непосредственно в три частицы (л^, л° и р^, и реакцией, содержащей на промежуточном этапе лишь две частицы (р± и р+\

।।।।।।Спектр энергий протона, рассеянного под углом а в прямом трехчастичном процессе.Спектр энергий протона, рассеянного под углом а в прямом трехчастичном процессе.Различие заключается в том, что если наблюдать протоны, рассеянный под некоторым углом а по отношению к налетающим пионам (рис. 163, а и б), и измерять их энергии, то в случае реакции с тремя частицами в конечном состоянии мы обнаружим в некотором интервале непрерывный спектр энергий протона (рис. 163, в): при данном угле а и при соблюдении законов сохранения импульса и энергии существует множество способов, с помощью которых можно распределить энергию между тремя частицами. Однако, если в результате реакции возникает система из двух частиц (рис. 164, а и б), законы сохранения энергии и

।

।

।

।

।

।

Спектр энергий протона, рассеянного под углом а в прямом трехчастичном процессе.

Спектр энергий протона, рассеянного под углом а в прямом трехчастичном процессе.

начальное состояние

Рис. 163.

Рис. 164. Спектр энергий протона, рассеянного под углом а в прямом двухчастичном процессе.

импульса допускают лишь одно значение энергии протона, рассеянного под углом а, так что спектр энергий становится узким пиком (рис. 16, в). Наблюдение пиков в энергии протонов, рассеянных под углом а, свидетельствует о существовании р-мезона.

На основании некоторых теоретических соображений была получена любопытная формула, описывающая спектр масс мезонного октета (рис. 161). Если обозначить через М^ массу частицы с изоспином Т, то эту формулу можно записать в виде

М2 (—^ = -5- М2(0) + — М2(1).\ 2 / 4 4

Читателю предлагается «предсказать» массу ^-мезона Af(O), если массу пиона М(1) = 0,137 ГэВ и массу /С-мезона, или каона, М(Ч2) = 0,496 ГэВ считать известными (все частицы входят в октет Jp = 0"). ^Ответа: АГ(О) = = 0,567 ГэВ, что отличается от экспериментально наблюдаемого значения 0,548 ГэВ не более чем на 4%.)

Предлагалось несколько различных формул, детально описывающих спектры масс барионов в пределах каждого мультиплета. Например, массы частиц, составляющих октет Jp = %* (в который входят нуклон N^T = V2), ламбда-частица Л (Г = 0), сигма-частица IL^T = 1) и кси-частица 2(7 = V2), по-видимому, удовлетворяют соотношению

1 / , х 3 . 1

— (jtin + ma ) =г — + — m^;

Здесь опять можно «предсказать» массу кси-частицы, если известны значения масс других членов октета: mN = = 0,939 ГэВ, тпд = 1,115 ГэВ; пг3 = 1,193 ГэВ. (Ответ: тз = 1,330 ГэВ; это значение отличается от найденного экспериментально менее чем на 1%.)

Для декуплета Jp = 3/2+, состоящего из резонансов А (шд = 1,238 ГэВ), 2(/ns = 1,385 ГэВ), Е (тп2 = 1,530 ГэВ) и омега-частицы Q(mo = 1,676 ГэВ), по-видимому, существует другое соотношение:

пи —— пи — то — т*

оно соответствует равноудаленности соседних уровней. Эта формула была предложена еще до открытия 2-частицы; с ее помощью было предсказано правильное значение массы этой частицы, подтвердившееся в эксперименте.

Формулы для октета и декуплета являются частными случаями формулы, предложенной С. Окубо и М. Гелл- Манном для массы m(Y, 71) бариона с гиперзарядом Y и изоспином Т в пределах мультиплета Jp ,

т(У,-Г) = а +6У + с ГтЩ + 1)-У21, L4

где а, Ь, с — феноменологические коэффициенты, определяемые из эксперимента.

Несмотря на очевидные успехи, эта формулы для масс — пока не более чем чистая эмпирика, и следует признать, что ясного понимания причин их справедливости (если они вообще существуют) пока нет*

Представляет интерес проследить развитие идеи о том, что каждой элементарной частице соответствует своя античастица (это общее свойство называется иногда сопряжением частиц). Существование положительно заряженного электрона (позитрона) было предсказано английским физиком Дираком в 1931 году; это было единственный выход из затруднений в развитой им ранее теории электронов. Позитроны действительно были обнаружены американским ученым Андерсоном на фотографиях космических лучей, полученных в камере Вильсона. В 1937 году голландский физик Крамере выдвинул идею «зарядового сопряжения» как общего свойства симметрии фермионов: каждый заряженный фермион должен обладать античастицей, отличающейся от частицы лишь знаком электричес-

кого заряда. В том же году американский физик Ферри обратил внимание на то, что из принципа зарядового сопряжения как свойства заряженных фермионов с необходимостью вытекает принцип сопряжения частиц и для незаряженных бозонов: электромагнитное поле, описывающее нейтральные фотоны, меняет знак, когда все его источники, состоящие из частиц, заменяются на источники из античастиц. Окончательное «освобождение» сопряжения частий от обязательного наличия электрического заряда произошло в 1955 году, когда Гелл-Манн и Пайс (США) указали, что при сопряжении частиц меняет знак также и гиперзаряд; так, например, электрически нейтральный /С-мезон К0 (Y — +1) отличается от своей античастицы К0 (Y = — 1) (см. уровни при энергии 0,496 ГэВ на рис. 161).

С тех пор все античастицы, предсказанные теорией и лежащие по энергии в пределах возможностей ускорителей частиц, были обнаружены экспериментально.

В связи с тем, что природа допускает сопряжение частиц в качестве их общего свойства, возникает вопрос о том, содержится ли во Вселенной равное количество материи и антиматерии, а если нет, то чем обусловлена подобная асимметрия (преобладание материи над антиматерией). Почти несомненно, что наша Галактика не содержит сколько-нибудь заметного количества антиматерии; ее наличие привело бы к реакциям аннигиляции с материей, которые можно было бы обнаружить по соответствующему излучению, однако эксперименты с использованием искусственных спутников не подтверждают этого. Разумеется, это не исключает возможности отдаленным галактикам состоять целиком из антиматерии. Поскольку видимый свет, излучаемый атомами, ничем не отличается от света, излучаемого антиатомами, не существует оптического способа выяснить наличие антиматерии во Вселенной. Однако радиоактивные процессы в антизвездах (звездах из антиматерии) отличаются от соответствующих процессов в звездах тем, что они сопровождаются излучением антинейтрино вместо нейтрино, а эти две частицы отличаются друг от друга знаком лептонного числа или направлением закрученности. Таким образом, если когда-нибудь удастся создать нейтринные телескопы, можно будет решить вопрос о существовании антизвезд в удаленных галактиках или целых антигалактик.

ГЛАВА 24

Законы сохранения и границы их применимости

Область явлений, в которой применима ньютоновская физика, может быть бегло очерчена, если проанализировать границы применимости законов сохранения энергии, импульса и момента импульса; других законов сохранения в ньютоновской физике не существует. В рамках ньютоновской физики этих понятий, очевидно, достаточно для полного описания кинематики материи во всех доступных ей формах; сохранение этих величин можно рассматривать как экспериментальный факт, наблюдаемый во всей дос- ступной для нас области Вселенной (из нашей преимущественной системы отсчета).

Кроме универсального гравитационного взаимодействия, известного еще Ньютону, позднее были открыты еще по крайней мере три типа взаимодействия (а именно электромагнитное, «сильное» и «слабое» взаимодействия, введенные для объяснения взаимопревращений элементарных частиц). Материю пришлось наделить дополнительными свойствами, не связанными с ее кинематическим состоянием, то есть покоем или движением в пространстве и времени. Некоторые из вновь введенных характеристик, по-видимому, обладают универсальным свойством сохранения независимо от вида взаимодействия, определяющего данный процесс; они всегда лишь переходят с одной формы материи на другую. Другие характеристики сохраняются, надо думать, лишь в некоторых процессах, вызванных одним или более (но не всеми) видами взаимодействий.

До начала нынешнего столетия законы сохранения энергии, импульса и момента импульса проверялись лишь в процессах с участием гравитационных и электромагнитных взаимодействий. Однако и с открытием сильных и слабых взаимодействий эти законы уцелели; именно вера в их

всеобщую применимость послужила инструментом открытия новых частиц (например, нейтрино; см. главу 9). Увеличение числа сохраняющихся величин началось с открытия закона сохранения электрического заряда (см. главу 17). Ввиду неделимости заряда электрона е этот закон можно сформулировать в терминах зарядового квантового числа (?, которое может принимать лишь целые значения, так что объект с зарядовым числом <2 характеризуется электрическим зарядом, равным Qe. Закон сохранения заряда формулируется так: сумма всех квантовых чисел Q в любой замкнутой системе остается постоянной. До настоящего времени не наблюдалось исключений из этого правила: по-видимому, заряд принадлежит к классу универсально сохраняющихся величин. Например, испускание ядром электрона е“^Q = —1) требует возрастания заряда этого ядра Q на единицу, как это имеет место в реакции

Со60 (Q = + 27) -> Ni60 (Q = + 28) + г (Q = — 1) ++ 4Q = 0).

Существуют по крайней мере три других квантовых числа (барионное число В, лептонное число L и мюонное число Lw^ которые также обладают свойством универсальной сохраняемости в следующем смысле.

Если каждому бариону (определение см. в главе 23, рис. 162) поставить в соответствие число У —+1, каждому антибариону — число В =—1, а каждой частице, не входящей в семейство барионов,— число В = 0, то сумма всех барионных чисел В в любой замкнутой системе остается постоянной во времени. Это означает, например, что ни в каком процессе бозон не может превратиться в два бариона, несмотря на то что в этом придуманном процессе законы сохранения энергии, импульса, момента импульса и электрического заряда будут соблюдены; однако можно превратить бозон с 5=0 в пару барион—антибарион (5 = =+1—1 = 0), если при этом выполняются все другие законы сохранения. Другими словами, рождение или аннигиляция бариона требует одновременного рождения или аннигиляции антибариона. Примерами могут служить рождение антинейтрона в реакции

р (5 = + 1) + р (5 = + 1) -> р (5 = + 1) +

+ р (В = + 1) + п (В = + 1) + п (5 = - 1),

а также аннигиляция антипротона р в реакции

~р(В= — 1) А-рф = + 1)-^к+(В = 0) + п-(В = 0) +

+ «°(В =0).

Аналогичная ситуация имеет место и для лептонов (в смысле сохранения лептонного числа). Разумеется, она не имеет никакого отношения к сохранению барионного числа. Приписав лептонное число L = + 1 нейтрино v, электрону е~ и мюону р.”, число L——1 соответственно антилептонам v, е+, р.+ (рис. 159) и L = 0 — всем частицам, не являющимся лептонами, можно следующим образом резюмировать результат многочисленных экспериментов: сумма всех лептонных чисел L в любой замкнутой системе остается постоянной.

Например, при распаде нейтрона вместе с электроном в испускается v — безмассовый фермион:

п-^р + е" + v,

и этим фермионом будет именно антинейтрино, а не нейтрино, поскольку последнее нарушало бы закон сохранения лептонного числа. Другим примером может служить распад так называемого позитрония — «атома», состоящего из электрона e~(L = +1) и позитрона e^^L = —1),— на два фотона ^(L = 0), согласно реакции

(Г + И 7 + 7-

Наконец, открытие второго типа нейтрино v^ (мюонного нейтрино), испускаемого при распаде мюона, например в реакции

!*“->*"+^+ \,

можно рассматривать как одно из многих следствий закона сохранения мюонного числа. Если приписать мюонное число L^ частицам рЛ, v^ , е~. a L^ =-—1 их античастицам (рис. 159), большое число известных фактов можно систематизировать, введя требование, чтобы сумма всех мюонных чисел L^ в любой замкнутой системе оставалась постоянной во времени. Например, никогда не наблюдался распад мюона р~ на электрон е~ и фотон у, хотя этот распад согласуется со всеми вышеперечисленными зако-

нами сохранения, но он противоречит закону сохранения | мюонного числа. Примерами реакций, в которых Lw со- ' храняется, могут служить реакции захвата

^ + п -> р + [Г и v^ + р -> п + рЛ

используемые для обнаружения мюонных нейтрино.

Все упомянутые выше законы сохранения не имеют исключений. До 1956 года считалось, что столь же универсален еще один закон сохранения — так называемый закон сохранения четности Р (ее определение см. на рис. 160).

Однако далее были открыты процессы, идущие при участии слабых взаимодействий и нарушающие инверсионную симметрию, о которой шла речь и в главе 16. Эти процессы «сыграли злую шутку» с понятием симметрии при отражении, так что четность Р стала свойством, сохраняющимся лишь в процессах сильного и электромагнитного взаимодействий. Таким образом, при электромагнитном распаде пиона л° на два фотона л° -> 2^ четность Р сохраняется, а при слабом распаде нейтрона п -> р + в" + + v нет.

Еще более узкой областью применимости обладает закон сохранения изоспина Т (определение см. в главе 23). Любой объект— элементарный или составной, участвующий в процессах с сильным взаимодействием, — можно охарактеризовать двумя квантовыми числами Т и Т3, где 2Т 4- 1 есть число возможных зарядовых состояний объекта, а Т3 — число, указывающее, какое из этих состояний реализуется. Квантовые числа изоспина аналогичны квантовым числам обычного спина J и J3, характеризующим число возможных пространственных ориентаций объекта (2J + 1) и то, какая именно ориентация реализуется (J3).|

Пусть объект состоит, например, из двух частиц: ’ а) нуклона с Tn = V2, так что имеется 2Tn+ 1 = 2 возможных зарядовых состояния (именно, протон с Т3 = V8 и нейтрон с Т3 = —V2), и б) пиона с Т^ = 1, так что пол- I ное число возможных зарядовых состояний равно 2 Т^ 4- 1 + 1=3 (именно,л+ с Т3 = +1,л° с Т3 = 0 и л* с Т3 = |

.j

Составная система может иметь, во-первых, изоспин, равный Т = Tn + TJ2 = 3/2; он соответствует четырем (271 + 1= 4) возможным значениям заряда системы — от 340

Q =+ 2 для pit* с Г3 = 3/2до Q = — 1 для nit" с Г3 = = — 3/2. Во-вторых, система нуклон — нион может иметь изоспин Т = Т^ — Tn = 1/2, здесь имеется лишь два (2Т-\- 1=2) значения заряда, а именно либо Q = + 1 для pi^ и шг+, либо Q = О для pit- или nit°. Подобное сложение изоспинов вполне аналогично сложению двух моментов импульса Jx = 1 и J2 = V2, в результате которого может возникнуть состояние с моментом импульса J = = Jx +/2 = 3/2или дублетное состояние с J = Jt — J2 = = Ч2 (это зависит от взаимной — параллельной или анти- параллельной — ориентации векторов JT и J2).

Экспериментальные данные по сильным взаимодействиям свидетельствуют о том, что изоспин сохраняется в этих и только в этих взаимодействиях. Точнее, квантовые числа Т и Т3 в любой замкнутой системе не меняются с течением времени, если рассматривать лишь сильные взаимодействия между компонентами этой системы. Например, электромагнитный распад к0-> 2^ нейтрального пиона (Т = 1, Т3 = 0) на два фотона ^Т = 0, Т = 0) является переходом, в котором квантовое число Т изменяется на единицу. Слабые взаимодействия нарушают закон сохранения как Т. так и Т3. Например, это имеет место при слабом распаде бариона S" (71 = 1, Т3 =—1)

£“ —> п + к“

на нейтрон п (Т = V2, Т3 = —-V2) и пион it" (Г = 1, Т3 == =—1), где как Т, так и Т3 изменяются на V2.

Наконец, существует закон сохранения гиперзаряда Y (его определение дано в главе 23), справедливый при сильных и электромагнитных взаимодействиях, но нарушающийся при слабых. Например, при слабом распаде бариона Л°(У= 0)

Л° -> р + л*

на протон р(У = 1) и пион д "(У = 0) гиперзаряд изменяется на единицу.

В табл. 3 дана сводка всех обсуждавшихся до сих пор законов сохранения и указаны области их применимости. При наличии такой «пестроты» неизбежно возникает вопрос: следует ли рассматривать все указанные законы сохранения как фундаментальные законы природы или можно найти меньшее число еще более глубоких принципов,

из которых можно вывести и законы сохранения и те частные ограничения, которым подвержены некоторые из них?

Таблица 3

Сохраняется во взаимо- действиях

Свойство

сильных

электромагнитных

слабых

Энергия Е

Да

Да

Да

Импульс р

»

»

»

Момент импульса J

»

»

»

»»J3

»

»

»

Барионное число В

»

»

»

Лептонное число L

»

»

Мюонное число L^.

»

»

»

Зарядовое число Q

»

»

»

Четность Р

»

»

Нет

Гиперзаряд У

»

»

»

Изоспин Т3

»

»

» Г

Нет

»

На этот вопрос по существу нет ответа и по сей день, хотя он находится в центре внимания многих физиков-теоретиков в течение ряда десятилетий. Современный подход к этой проблеме связан с работами немецкого математика Эмми Нётер (1883—1935), выполненными между 1910— 1920 годами; она открыла замечательную связь между свойствами симметрии физических объектов и законами сохранения. Нётер показала, что если на действие любого поля (см. главу 17) наложить требование неизменности при непрерывных преобразованиях симметрии, то существует характерная для этого преобразования сохраняющаяся полевая величина. Непрерывным является всякое преобразование, которое можно получить, последовательно производя преобразования, очень мало отличающиеся от тождественного (или единичного). Примерами непрерывных преобразований являются движение (трансляция) во времени, перемещения (трансляции) и повороты в пространстве.

Например, операция трансляции приобретает смысл операции симметрии, если ее применение к действию поля

не меняет величины действия — а следовательно, не меняет и законов, вытекающих из вариационного принципа для действия (см. главу 18).

Для самого существования физики как науки чрезвычайно важно, чтобы так называемые законы природы были инвариантны по отношению к трансляциям во времени. Если сегодня при заданных условиях эксперимент дает определенные результаты, то тот же эксперимент, повторенный при тех же условиях позднее, должен приводить в точности к прежнему результату. Если бы это было не так, книги по физике потеряли бы всякий смысл; мы считаем, однако, что содержащийся в них фактический материал сохраняет свое значение. Согласно теореме Нё- тер, указанная инвариантность связана с выполнением закона сохранения энергии; он является, таким образом, следствием симметрии по отношению к трансляциям во времени. Совершенно аналогично инвариантность по отношению к трем независимым пространственным трансляциям приводит в силу теоремы Нётер к трем законам сохранения для компонент импульса; инвариантность по отношению к пространственным вращениям можно рассматривать как причину существования закона сохранения момента импульса.

Разумеется, с эстетической точки зрения очень приятно объяснить динамические законы сохранения за счет наличия симметрий в пространстве и времени, однако со строго логической точки зрения теорема Нётер сводится по существу к тавтологии. Дело в том, что число операций симметрии (которые следует постулировать) в точности равно числу соответствующих законов сохранения, так что с равным успехом можно было бы постулировать непосредственно сами эти законы. Тем не менее теорема Нётер послужила мощным стимулом для большого числа остроумных попыток связать и другие законы сохранения со свойствами инвариантности по отношению к другим операциям симметрии (не обязательно в пространстве и времени). Например, в теории электромагнитного поля можно производить так называемое калибровочное преобразование потенциалов, оставляющее это поле инвариантным; многие авторы пытались интерпретировать закон сохранения электрического заряда как следствие этого особого свойства электромагнитного поля.

В последние годы значительное внимание уделялось дискретным операциям симметрии, таким, как отражение (инверсия) координат, которые в принципе нельзя получить за счет непрерывного перехода от операции тождественного преобразования. На эти операции симметрии и следствия из них теорема Нётер не распространяется. Некоторые из них, например симметрию по отношению к инверсии, можно истолковать как причину закона сохранения четности, который нарушается в слабых взаимодействиях (см. главу 16). Другие — как, например, симметрия по отношению к обращению движения (см. главу 6)— не приводят к существованию какого-либо сохраняющегося квантового числа, и физические причины этого в настоящее время еще не ясны. Итак, существуют операции симметрии, из которых не следует никакого закона сохранения, и в то же время имеются законы сохранения (например, В, L, L^), для которых связь со свойствами симметрии (если она вообще существует) остается пока скрытой.

ПРИЛОЖЕНИЕ I

Понятие вероятности в физике

Одна из основных целей теоретической физики состоит в развитии математического аппарата, позволяющего предсказывать результаты эксперимента. Замечательным примером здесь может служить механика Ньютона; в ней имеется ряд «законов», позволяющих предсказать будущее положение и скорость объекта, если известны действующие на него силы и, что очень важно, начальные условия; точнее, необходимо знать положение и скорость тела в некоторый начальный момент времени, Именно законы движения Ньютона совместно с его законом гравитации позволили астрономам вычислить и протабулировать будущие положения всех планет, обращающихся вокруг Солнца; при этом они использовали имеющиеся данные по наблюдениям положений и скоростей движения планет в прошлом.

Однако во многих областях физики мы встречаемся с ситуацией, в которой начальные условия для объектов частично или полностью неизвестны. Причины такого неполного знания могут быть весьма различны. В большинстве случаев это обусловлено сложностью объектов (если объекты макроскопические); тогда исчерпывающее задание начальных условий всех составных частей объекта становится практически невыполнимым.

Так, например, затруднительно применить законы механики Ньютона ко всей атмосфере с целью прогноза погоды, так как совершенно невозможно получить полную информацию о метеорологическом состоянии атмосферы в любой заданный момент времени. К счастью, синоптики, несмотря на ограниченность их знаний о состоянии атмосферы, в данный момент не считают ситуацию безнадежной, у них имеются записи погодили на основании

прошлых записей они могут сделать более или менее точные вероятностные прогнозы погоды.

Такой способ предсказания уходит своими корнями в глубокую древность. Например, если абориген данного края смотрит на небо, нюхает воздух и затем изрекает: «Быть завтра дождю», то, по-видимому, он хочет сказать этим (если его наблюдениям вообще можно доверять), что в прошлом при сходном состоянии неба и воздуха на следующий день чаще шел дождь, чем светило солнце. Прогноз делается, таким образом, на основании прошлых данных об относительной частоте выпадения дождя при наличии комплекса сходных условий погоды.

Синоптик, имеющий записи количественных данных, может облечь свое предсказание завтрашней погоды на основе сегодняшних условий в более точную форму: «С вероятностью 70% завтра будет дождь». Он имеет при этом в виду следующее: в прошлом в 70 случаях из 100 на следующий день шел дождь, если погода была сходна с сегодняшней с точностью до неизбежно неполного знания.

Очень важно подчеркнуть, что вероятностные утверждения могут иметь смысл даже если предполагаемая причина будущего поведения может в корне отличаться от истинной причины событий.

Например, в Древнем Риме были люди, которые, по преданию, обладали способностью предсказывать будущее, изучая внутренности убитых животных. Если бы кто-то из них вел систематические записи о том, как часто идет дождь, если печень убиенного ягненка находится слева, он мог бы с полным правом изречь закон: «Если печень ягненка оказалась слева, имеется вероятность 70% того, что завтра пойдет дождь». Разумеется, современный синоптик не преминет указать, что, по его данным, в Древнем Риме утренние дожди выпадали каждые 70 из любых выбранных наудачу 100 дней, так что умный римский пророк мог бы прийти к тому же заключению; для этого нужно было бы обратить внимание на то, что наутро дождь выпадал в 70 случаях из 100, в том числе и тогда, когда печень ягненка располагалась справа.

Уверенность современного синоптика в том, что завтрашняя погода зависит скорее от ее сегодняшнего состояния, нежели от расположения внутренностей животных, основана на том, что он имеет возможность увеличивать степень определенности своих предсказаний за счет все

более детального описания и классификации начальна условий погоды. Вообще если бы механика Ньютона бь#а в состоянии описать все физические процессы, формирующие погоду, то в предельном случае полной информаций0 ее начальном состоянии можно было бы создать карты п°' годы на все последующие века (сходные с теми картав положений планет, что созданы астрономами « небесн#* ми механиками)*.

Идея полной предсказуемости явлений природы и° данным начальным условиям в рамках ньютоновской мб* ханики настолько овладела умами многих физиков (особенно в XIX столетии), что они распространили ее л ga все остальные отрасли физики. С их точки зрения, обращение к вероятностным утверждениям представляет собой не более чем печальную и неприятную необходимость’ обусловленную исключительно ограниченной способность# людей к точности записей наблюдений и неумению вычис* л ять.

Однако в начале нашего столетия появились данный (прежде всего в области атомной физики), заставившие большинство ученых принять существование «законов црй, роды», которые формулируются сразу с использованием вероятностных понятий. Наиболее яркий пример такого закона дает явление радиоактивного распада некоторых атомных ядер. Эксперименты с атомами полония показы- вают, что любое взятое наудачу в данный момент ядро полония с вероятностью 50% не «выживает» более 140 дней, начиная с этого момента. Этот факт можно описать и по-другому, сказав, что наиболее вероятное поведение данного начального числа ядер полония — это распад половины этого числа в течение последующих 140 дней», или, короче: «...период полураспада полония равен 140 дням». Обращает на себя внимание тот факт, что, по-види- мому, предсказание этого будущего поведения ядер полония невозможно уточнить или улучшить. Положение физика-ядерщика отличается от положения синоптика: он не может распознать на каждом ядре полония те отличительные его свойства, которые заставляют именно это ядро распасться в течение ближайших 140 дней с вероятностью, большей или меньшей 50%.

* Очевидно, этого недостаточно, ибо надо знать еще и будущие изменения ряда внешних (для атмосферы) факторов — деятельности Солнца, процессов в гидросфере Земли и др. —- Прим. ред.

Для очистки совести следует сказать здесь о том, что определение вероятности как «относительной частоты» повторения, принятое большинством физиков, не свободно от недостатков и подвергалось критике в основном со стороны математиков. Такое определение по существу лишает нас возможности точно определить отличие корреляции от флуктуации. Например, если кому-либо удалось наблюдать распад половины взятого небольшого числа атомов полония в течение 138 дней, он посчитал бы такое явление подтверждением вероятностного закона распада ввиду того, что малое отклонение от среднего периода полураспада, равного 140 дням, можно считать флуктуацией, вообще характерной для вероятностных законов. С другой стороны, если бы в каком-либо эксперименте удалось наблюдать полураспад за 12 дней, экспериментатор заявил бы, пожалуй, о нарушении вероятностного закона и попытался бы интерпретировать этот факт как результат корреляции с причиной еще неизвестного происхождения; столь большое отклонение от среднего поведения (огромная флуктуация, возможная в принципе) является в высшей степени маловероятным явлением. Трудно найти непротиворечивый и однозначный критерий, позволяющий провести грань между наблюдениями, которые можно истолковать как флуктуации, и наблюдениями, указывающими на наличие корреляции. Большинство ученых полагается в этом вопросе на свой здравый смысл; ниже мы приведем пример одного правила, сформулированного Гауссом (1777—1855).

При попытке применить механику Ньютона в области атомных явлений с целью описать и предсказать движение элементарных частиц мы снова сталкиваемся с необходимостью использовать вероятностный язык ввиду очевидной и принципиальной невозможности одновременно и с одинаковой точностью определить начальное положение и скорость частицы.

Неопределенность Дж в положении и Д v в скорости частицы массой т (измеряемых одновременно) подчиняется соотношению неопределенностей, открытому Гайзенбергом в 1925 году

ДжДу > — , h ^ 10”27 эрг-сек. (Ш.1) т

Любое уточнение положения объекта, то есть уменьшение неопределенности Дж, должно быть оплачено возраста- 348

нием неопределенности Ар в результатах измерений скорости этого объекта.

К счастью, соотношение неопределенности не аннулирует применимость механики Ньютона для практических целей в астрономии и большинстве областей макроскопической физики. Пусть, например, нам удалось определить положение искусственного спутника массой т = 103 кг = = 10е г с точностью до атомного диаметра A# w 10“8 см. Это вызовет неопределенность в определении скорости спутника (неустранимую в принципе!), равную

Ду ^ _L_ «... 19L2-7 _ ^ 10*® см/сек. (Ш.2) тДж 10М0~8

Если бы даже спутник находился в полете в течение t « 1017 сек (то есть времени порядка возраста Вселенной), неопределенность его положения не превзошла бы Ах « kv-t 10~25 *101710"8 см, так что в конечном счете

смещение спутника от положения, предсказанного ньютоновской механикой, не превзошло бы двух атомных диаметров.

С другой стороны, если локализовать элементарную частицу массой т в пределах

Дж » г0 « А(Ш.З)

тс

с = 3-1010 см/сек » Скорость света

(что составляет, например, для электрона массой 10 ~27 г величину г0 « 10“и см), то мы полностью потеряем какую- либо информацию о скорости частицы, так как при этом А у си о. Таким образом, чем меньше масса частицы, тем более «подвижной» и «юркой» она становится при попытках ее локализовать.

В настоящее время для описания атомных явлений приобрела широкое распространение модификация механики Ньютона, называемая квантовой механикой. Она включает в себя математический аппарат, позволяющий предсказывать распределение амплитуды вероятности при заданном начальном распределении.

Смысл термина «распределение вероятности» проще всего пояснить на примере, связанном с наблюдаемым дихотомическим свойством объекта (то есть свойством, о котором всегда можно задать вопрос, есть оно у объекта или нет). Например, дихотомическим свойством обладают гра-

Распределение Вероятности

Рис. 165. Графическое сравнение истинной записи результатов 100 игр но десять бросаний игральной кости в каждом и вычисленной плотности вероятности.

g — число игр, в которых наблюдался искомый результат п (п-кратное вы кадение четной цифры на каждые 10 бросаний).

ни игральной кости; на них всегда выпадает либо четная, либо нечетная цифра. Если игральная кость сделана «без обмана», то вероятность выпадения четной цифры при бросании кости равна 50%, или 1/2.

Если бросить кость 10 раз подряд, причем обеспечить независимость каждого бросания от предыдущего, можно ожидать, что наиболее вероятным результатом игры окажется выпадение четного числа 5 раз. Это, конечно, не означает, что в игре действительно 5 раз выпадет четная цифра — ведь всегда существуют флуктуации! Например, результат 100 таких игр записан в таблице I и изображен на рис. 165.

Полезно сравнить действительный результат этой игры с наиболее вероятным, которого следует ожидать на основе 350

Таблш^а 1

Результаты 100 игр — 10-кратных бросаний кости

Число выпадений четного числа из 10 бросанийЧисло выпадений четного числа из 10 бросанийИстинный результат100 игр по10 бросанийИстинный результат100 игр по10 бросанийВероятность такогособытия в %Вероятность такогособытия в %

Число выпадений четного числа из 10 бросаний

Число выпадений четного числа из 10 бросаний

Истинный результат100 игр по10 бросаний

Истинный результат100 игр по10 бросаний

Вероятность такогособытия в %

Вероятность такогособытия в %

12345678910123456789100 I415 1922 23 И3 200 I415 1922 23 И3 200,11,04,411,720,524,620,511,74,41,00,10,11,04,411,720,524,620,511,74,41,00,1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 I

4

15 19

22 23 И

3 2

0

0 I

4

15 19

22 23 И

3 2

0

0,1

1,0

4,4

11,7

20,5

24,6

20,5

11,7

4,4

1,0

0,1

0,1

1,0

4,4

11,7

20,5

24,6

20,5

11,7

4,4

1,0

0,1

Всего 100Всего 100Всего 100Всего 100

Всего 100

Всего 100

Всего 100

Всего 100

теории вероятностей, так как в данном конкретном случае этот результат очень легко вычислить. Прежде всего следует установить, что если игра состоит из N бросаний, то имеется всего 2^ различных возможных последовательностей выпадения четных (Ч) или нечетных (Н) цифр.

Например, при трех бросаниях (табл. II) имеется 8 последовательностей: ЧЧЧ, ЧЧН, ЧНЧ, НЧЧ, ННЧ, НЧН, ЧНН, ННН.

Если в каждом отдельном бросании вероятность выпадения четной цифры равна вероятности выпадения нечетной (то есть составляет 1/2),то каждая последовательность имеет равную вероятность (V2)^.

В примере с тремя бросаниями эта вероятность равна (V2)3 = V8. Однако, записывая результат игры в табл. I, мы интересуемся лишь полным числом п выпадений четных цифр при N бросаниях независимо от порядка, в котором эти цифры появлялись.

Так, в примере с N = 3 имеются три последовательности ЧЧН, ЧНЧ, НЧЧ, в которых, с нашей точки зрения, результат один и тот же (п = 2), тогда как лишь в одной

Последовательность

Число четных цифр в ней

Вероятность выпадения п четных чисел

ЧЧЧ

^ = 3

7*

ччн

2

чнч

2

ч»

нчч

2

ннч

1

нчн

1

7s

чнн

1

НИИ

0

7,

Таблица II

Анализ игры из трех бросаний

последовательности ЧЧЧ п = 3. Поэтому можно ожидать, что результат и = 2 втрое более вероятен, чем результат п = 3; этот факт отражен в третьем столбце табл. II.

Вообще вероятность данного результата будет прямо пропорциональна числу различных последовательностей, в которых этот результат содержится. Вычислить вероятность данного результата означает, таким образом, подсчитать число возможных последовательностей, с помощью которых можно этот результат получить.

Получить п раз четные цифры при N бросаниях игральной кости можно Ьп способами, где bn=NM In^N— n)!] — биномиальный коэффициент; мы приходим к вероятности р^п) этого результата, разделив Ьп на общее число возможных последовательностей 2^

Р^ЧтГлЧЧт* (ШЛ)

\ 2 / п\ ^N — п) !

Тот факт, что соответствующая вероятность пропорциональна биномиальному коэффициенту, можно очень легко продемонстрировать с помощью простого устройства, в котором та же игра происходит автоматически. Устройство это состоит из колышков, вбитых в доску в треугольном порядке (так, как показано на рис. 166); когда маленький стальной шарик, скатываясь сверху, стукается о колышек, он с равной вероятностью отражается в сторону левого или правого колышка на один ряд ниже. Таким образом,

11

••

121

••

1331

•••

14641

• ••ее

151010, 5- 1

•ее е е

1615201561

е•••еее

17213535217 Г

•••••••

1828567056288 I

••••••••

193684126126843691

ееееееееее

11045120 210 25221012045101

• ееееееееее

Рис. 166. Модель треугольника Паскаля.

Каждый колышек на доске снабжен цифрой, указывающей число возможных способов, которыми стальной шарик может достичь его (такая система колышков эквивалентна треугольнику Паскаля для биномиальных коэффициентов). Вероятность подойти к колышку в 10-м ряду равна отношению биномиального коэффициента к аолному числу путей, ведущих к колышку десятого ряда (это число равно 210 — 1024). Таким образом, вероятность попадания к третьему колышку слева равна 45/1024, или 4,4%. Соответствующие вероятности выписаны в третьем столбце таблицы II и представлены графически пунктирной линией на рис. 165.

число способов, которыми можно достичь какого-либо колышка в TV-м ряду, равно сумме способов, которыми можно достичь двух колышков, стоящих над ним в (N—1)-м ряду. Это свойство как раз и определяет биномиальные коэффициенты, так что наше устройство является физической реализацией известного треугольника Паскаля.

Аналогом 100 игр с десятью бросаниями кости в каждой будет насыпание 100 стальных шариков в лабиринт из колышков и затем подсчет числа шариков, собравшихся под каждым из колышков в 10-м ряду. С помощью графика на рис. 165 можно установить вероятность прибытия стального шарика на колышек номера п (в процентах); она равна соответственно 1/1024=0,1; 10/1024=1,0; 5/1024=4,4 и т. д. (все вероятности указаны в третьем столбце табл. I). Графическое изображение этих вероятностей пунктирной линией на рис. 165 носит название распределения вероятностей для данной игры.

Сравнение расчетных вероятностей с реально полученными в эксперименте обнаруживает их различие, которое интерпретируется как флуктуация. Такие флуктуации типичны, и являются неотъемлемой чертой всех процессов, подчиняющихся вероятностным законам.

Если флуктуации очень велики или распределены не «случайно», но повторяются в определенном порядке (например, если действительный результат для п=5 всегда меньше, чем ожидаемое значение 24,6), можно подозревать наличие какой-либо неизвестной причины, которая изменяет случайный характер игры и нарушает ее вероятностную закономерность; в этом случае отклонения интерпретируются как проявление корреляций. Выше уже отмечалось, что трудно провести строгую границу между случайными допустимыми флуктуациями и проявлением корреляции.

Гаусс дал следующий рецепт, опирающийся на большой опыт изучения вероятностных задач. Пусть nv п^ и т. д. обозначают результаты первой, второй и т. д. игр, и пусть полное число игр равно G. Необходимо вычислить среднее значение п, которое обозначается п и определяется следующим образом:

— Пх 4- «2 > • • * -b nQ

П = (Ш.5)

(в примере табл. I ^=4,97). Затем следует вычислить среднее отклонение s, квадрат которого определяется следующим образом:

(П! —п)2^ >(nG~n)a

S2 (П1.6)

( в приведенном выше примере $2=2,57, так что $=1,6). Согласно Гауссу, наличия корреляции следует ожидать, если имеются игры, результат которых лежит вне интервала, ограниченного значениями и—3$ и п + 3$ снизу и сверху.

Применяя этот критерий к нашему примеру, следует ожидать наличия корреляции, если в какой-либо игре четные цифры выпали 0 или 10 раз. Согласно второму столбцу табл. I, такие результаты не наблюдались, так что общий результат эксперимента согласуется с интерпретацией наблюдаемых отклонений как флуктуаций.

ПРИЛОЖЕНИЕ II

Система комплексных чисел

Развитие и обобщение понятия числа, происходившее в течение многих столетий, вызвано желанием расширить круг математических операций, возможных в данной системе чисел.

Так, число единица (1) совместно с операцией сложения сразу приводит к системе положительных целых чисел, не имеющей верхнего предела. Однако эту систему необходимо расширить, включив в нее отрицательные числа, если мы хотим определить без ограничений операцию вычитания (можно переопределить затем вычитание как сложение отрицательных чисел).

Любое целое п можно изобразить геометрически как вектор в одномерном пространстве, причем длина вектора равна абсолютной величине числа (1п|) и вектор направлен вправо, если м> О, и влево—если п < О (рис. 167). Сложение чисел можно трактовать как сложение указанных векторов по обычному правилу: конец одного слагаемого следует соединить с началом другого, тогда вектор суммы соединит начало первого и конец второго слагаемого (см., например, рис. 168).

Введение операции умножения не потребует расширения системы целых чисел. Геометрически эту операцию можно изобразить очень наглядно, если ввести понятие фазы числа. Назовем фазой числа угол, который образует представляющий это число вектор с единичным век- тором+1. Тогда фаза любого положительного числа будет равна нулю, а любого отрицательного л | углы считаются измеренными в радианах, то есть в единицах длины дуги, измеренной вдоль окружности единичного радиуса (рис. 169).

Строго говоря, фазой положительного числа может быть любое кратное л четное число (в том числе...,—4л,

-6 *5 -4 ~3 -2 -10 *1 *2 *3 *4 *5 *6

Рис. 167. Графическое представление чисел +5 и —3 векторами в одномерном пространстве.

*5 -4-3 -2 -10 *1*2 *3 *4 *5

Рис. 168. Графическое представление суммы чисел (4-3—5+1) = = —1с помощью векторного сложения.

-3 -2-10-2*3

Рис. 169. Фаза любого отрицательного числа (например. —2) равна к (или любому нечетному кратному тс).

—2л, 0, 2л, 4л,...), а фазой отрицательного — любое кратное л нечетное число (в том числе...,—Зл,—л,л ,3л,...), однако для наших целей достаточно рассматривать лишь О и л соответственно.

Операции умножения можнопридать теперь геометрический смысл следующим образом: результат умноже- , ния двух чисел дает число, у которого длина вектора равна произведению длин векторов-сомножителей, а фаза равна сумме фаз этих векторов.

Видно, что при этом произведение четного числа отрицательных чисел дает число положительное (фаза его будет кратным л четным числом), тогда как произведение нечетного числа отрицательных чисел даст вновь отрицательное число (его фаза будет кратнымл нечетным числом).

Операцию деления нельзя определить без ограничений на системе целых чисел, если не расширить ее, включив все рациональные числа ( к ним относятся все числа, равные отношению каких-либо двух целых чисел п и тУ

г = —(п и т— целые);(ПП.1)

т

таким образом, система рациональных чисел определяется через арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления.

Уже в древности были известны операции, не относящиеся к числу арифметических, например извлечение квадратного корня из числа

х = V^w (ШЬ2)

Эта операция является частным случаем алгебраических операций. В самом общем случае можно определить алгебраическое число как решение уравнения

апхп + ап„ххп”х + • • • + агх + а0 = О, (ПП.З)

где а0, а^,.^ ап — целые числа. Пример (ПП.2) является частным случаем, который получается, если положить равными нулю все коэффициенты в (ПП. 3), кроме а0 и а^ и обозначить а=а0/а^ так что уравнение (ПП.З) запишется в виде

х^ — а-О, (ПП.4)

Возникает интересный вопрос: являются ли все алгебраические числа рациональными? Ответ на него был известен еще древним математикам: для включения в систему всех алгебраических чисел необходимо выйти за рамки системы рациональных чисел. Оказывается, что систему вещественных рациональных чисел необходимо дополнить в двух отношениях:

включить в нее вещественные, но иррациональные числа; необходимость этого диктуется уже операцией (П.П. 2), если в качестве а под радикалом может стоять любое целое положительное число. В частности, уже Пифагор знал, что квадратный корень из числа 2

x = V^* (ПП.5)

нельзя выразить рациональным числом.

Действительно, если бы существовали два целых числа п#и т* таких, что (2)1/г= пЧтЧ то после сокращения всех общих множителей у этих чисел мы получили бы уравнение 2тп2=м2, где т и п — целые числа, не имеющие общих множителей. Но это означает, что п2 является четным числом, а следовательно, п также число четное, так как квадраты нечетных чисел всегда нечетны. Тогда можно

Рис. 170. Графическое представление мнимой единицы I = ]/—1 в виде вектора единичной длины, направленного вдоль мнимой оси с фазой л/2

записать п=2с, где с — некоторое целое число, и мы получаем 2тп2=4с2, *или 2с2=?п2, откуда следует, что иг также должно быть четным числом. Но тогда у т и п имеется общий множитель, равный двум, что противоречит исходному предположению, эквивалентному рациональности (2)v2. Этого противоречия можно избежать, лишь считая, что (2у/2 нельзя выразить рациональным числом;

включить в систему чисел также так называемые мнимые числа; это требование вытекает из невозможности представить, например, квадратный корень из отрицательного числа каким-либо из определенных ранее вещественных чисел. Действительно, число

t = у— 1,(пп.б)

квадрат которого отрицателен

i2 = —1,(ПП.7)

не может быть ни положительным, ни отрицательным вещественным алгебраическим числом, так как квадрат любого вещественного числа положителен.

Ключ к геометрическому представлению единичного мнимого числа i лежит в геометрической интерпретации закона умножения чисел. Если мы хотим сохранить правило сложения фаз при умножении, то числу г следует приписать фазул/2 с тем, чтобы в соответствии с (ПП. 7) число г2 имело фазу л. Отсюда сразу следует способ изображения числа I в виде вектора единичной длины, направленного под прямым углом к оси вещественных чисел (рис. 170). Любое число, кратное i, можно изобразить теперь в виде вектора вдоль так называемой мнимой оси, пересекающей вещественную ось под прямым углом в ее начале О.

Требуя неограниченной применимости операций сложения (определенной как векторное сложение), неминуемо приходится расширить систему чисел и ввести систему комплексных чисел. Любой вектор на плоскости, образованной вещественной и мнимой осями, называется комплексным числом и обозначается с. Длина вектора называется абсолютной величиной (или модулем) с, а угол <р, образованный им с положительной вещественной осью, — фазой (или аргументом) (рис. 171).

Сложение комплексных чисел сх и с2 означает сложение соответствующих векторов: c=cY+c2 (рис. 172).

"Умножение комплексных чисел означает умножение их абсолютных величин и сложение фаз: модуль числа с—сгс2 равен |с|=|с1| • |с2|, а фаза (аргумент) ф = ф1+ф2 (рис. 173).

Особенно большой интерес в физике представляет квадрат абсолютного значения суммы двух комплексных чисел

P-l^ + cJ2. (ПП.8)

Р всегда является вещественным положительным числом. Если фазы чисел cY и с2 отличаются на кратное л нечетное число, Р достигает минимального значения, равного Р-^, — |с2|)2; в этом случае говорят, что ^ и с2 интерферируют с ослаблением. Но если фазы cY и с2 отличаются на кратное л четное число, Р принимает максимальное значение, Р= (|с1)+|^21)а и говорят, что q и с2 интерферируют с усилением.

В целях полноты следует упомянуть здесь о том, что алгебраические числа не исчерпывают всего многообразия возможных чисел, из которых состоит так называе-

ппинил wvw

Рис. 171. Плоскость комплексных чисел. Любое комплексное число с можно представить в виде вектора длины |с| с фазой у.

Рис. 172. Графическое (векторное) сложение комплексных чисел.

Рис. 173. Графическое представление умножения комплексных чисел.

мый континуум вещественных чисел. Существуют числа, которые невозможно представить в виде решения алгебраического уравнения (ПП.З), такие числа называют трансцендентными. Примером трансцендентного числа может служить число л = 3,14,..., равное по определению длине полуокружности единичного радиуса. Более того, немецкий математик Кантор (1845—1918) обнаружил, что почти все вещественные числа являются трансцендентными в следующем смысле. Согласно определению Кантора, множество вещественных чисел индентично множеству всех точек, составляющих одномерный континуум. Среди этих чисел алгебраические числа составляют счетное подмножество; это значит, что все его элементы можно расположить в определенном порядке xv х^... и сопоставить им таким образом целые числа 1,2,... ...,п,... (иначе говоря, перенумеровать алгебраические числа xv х^..., хп)...у В противоположность этому трансцендентные числа образуют несчетное множество, то есть не поддаются последовательной нумерации. Это открытие Кантора является одним из самых поразительных в построенной им теории вещественных чисел.

ЛИТЕРАТУРА

Глава II

Dirac Р. А. М., The Physicist’s Picture of Nature, Scientific American, May 1963, pp. 45—53.

Rogers T. A., Physiological Effects of Acceleration, Scientific American, February 1962, pp. 60—70.

Zimmerman E. J., The Macroscopic Nature of Space —Time, American Journal of Physics, 30 (1962), pp. 97—105.

Глава III

Christianson J., The Celestial Palace of Tycho Brahe, Scien- . tific American, February 1961, pp. 118—128.

Miller F., Kepler’s Third Law and the Mass of the Moon, American Journal of Physics, 34 (1966), pp. 53—57.

Pierce J. R., Communication Satellites, Scientific American. October 1961, pp. 90—102.

Глава IV

Richardson R. S., The Discovery of Icarus, Scientific American. April 1965, pp. 106—115.

Stewart A. B., The Discovery of Stellar Aberration, Scientific American. March 1964, pp. 100—108.

Глава V

Giannini G., Electrical Propulsion in Space, Scientific American. March 1961, pp. 57—65.

Глава VI

Weyl H., Symmetry, Princeton, 1952.

Глава IX

Brown T. M., Resource Letter on the Evolution of Energy Concepts from Halileo to Helmholts, American Journal of Physics, 33, (1965), pp. 759—765.

Lehninger A. L., How Cells Transforms Energy, Scientific American. September 1961, pp. 62—73.

Morrison P., The Neutrino, Scientific American, January 1956, pp. 58—68; Neutrino Astronomy, scientific American, August 1962, pp. 91—98.

R e i n e s F., Neutrinos, Old and New, Science, 141 (1963), pp. 778—783.

R e i n e s F. and S e 1 1 s h op J. P. F., Neutrinos from the Atmosphere and Beyond, Scientific American, February 1966, pp. 40—48.

Ruderman M. A., Astrophysical Neutrinos, Reports on Pro gress in Physics, 28 (1965), pp. 411—462.

S c h u r r . S. H., Energy, Scientific American. September 1963, pp. 110—116.

Глава X

BronowskiJ., The Glock Paradox, Sc tentific American^ February 1963, pp. 134—144.

Frisch D. H. and Smith J. H., Measurement of the Relativistic Time Dilatation, American Journal of Physics, 31 (1963), pp. 342—355.

Shankland R. S., Conversations with Albert Einstein, American Journal of Physics, 31 (1963), pp. 47—57; The Michelson — Morley Experiment, Scientific American, November 1964, pp. 107—114.

Глава XI

Good R. H., Massless Particles, American Journal of Physics, 28, (1960), pp. 659—666.

Holton G., On the Origins of the Special Thory of Relativity, American Journal of Physics, 28 (1960), pp. 627—636. Resource Letter of Special Relativity Theory, American Journal of Physics, 30 (1962), pp. 462—469.

Katz R., An Introduction to the Special Theory of Relativity, Princeton, 1964.

Smith J. H., Introduction to Special Relativity, New York, 1965.

Глава XII

Ferguson E. S., The Origins of the Steam Engine, Scientific American, January 1964, pp.98—107.

Klein M. J., Planck, Entropy and Quanta, The Natural Philosopher, Waltham, 1963, pp 81—108.

Kohler J. W. L., The Stirling Refrigeration Cycle, Scientific American, April 1965, pp. 119—127.

Wilson M., Count Rumford, Scientific American, October 1960, pp. 158—168.

Zemansky M. W., Temperatures Very Low and Very High, Princeton, 1964.

Глава XIII

Gold T., The Arrow of Time, American Journal of Physics, 30 (1962), pp. 403—410.

Jaynes E. T., Gibbs vs. Boltzmann Entropies, American Journal of Physics, 33 (1965), pp. 391—398.

Klein M. J., Entropy and the Ehrenfest Urn Model, Physica, 22 (1956), pp. 569—575.

Mayer J. E., The Death of an Ogre, in Isotopic and Cosmic Chemistry, Amsterdam, 1963, pp. 9—15.

Глава XIV

Anderson D. L., The Discovery of the Electron, Princeton, 1964.

В a r r E. S., Concerning the Naming of the “Practical” Electrical Units, American Journal of Physics, 29 (1961), pp. 532—539.

Barthold L. 0. and Pfeiffer H. G., High Voltage

Transmission, Scientific American, May 1964, pp. 38—47.

De S a n t i 11 a n a G., Alessandro Volta, Scientific American, January 1965, pp. 82—91.

Ford K. W., Magnetic Monopoles, Scientific American, December 1963, pp. 122—131.

Ma r s h a к R. E., The Nuclear Force, Scientific American, March 1960, pp. 98—114.

Глава XV

Bitter F., Ultrastrong Magnetic Fields, Scientific American, July 1965, pp, 65—73.

Cahill L. J., The Magnetosphere, Scientific American, March 1965, pp. 58—68.

К о 1 m H. H. a nd Freeman A. J., Intense Magnetic Fields, Scientific American, April 1965, pp. 66—78.

Kunz let J. E. and Tanenbaum M., Superconducting Magnets, Scientific American, June 1962, pp. 60—67.

Mathias В. T., Superconductivity, Scientific American, November 1957, pp 92—103.

S h a r 1 i n H. I., From Faraday to the Dynamo, Scientific American, May 1961, pp. 107—116.

Глава XVI

T r e i m a n S. B., The Weak Interaction, Scientific American, March 1961, pp. 72—84.

Weyl H., Symmetry, Princeton, 1952.

Yang C. N., Elementary Particles, Princeton, 1961

Глава XVII

Friedman H., X-Ray Astronomy, Scientific American, June 1964, pp. 36—45.

Murray В. C. and Westphal J. A., Infrared Astronomy, Scientific American, August 1965, pp. 20—29.

Van A 1 1 e n J. A., Radiation Belts Around the Earth, Scientific American, March 1959, pp. 39—47.

Waldron R. A., Waves and Oscillations, Princeton, 1964.

Wilson H. A., Sonic Boom, Scientific American, January 1962, pp. 36—43.

Глава XVIII

Wood E. A., Crystals and Light, Princeton, 1964.

Глава XIX

Franklin K. L., Radio Waves from Jupiter, Scientific American, July 1964, pp. 34—42.

Heirtzler J. R., The Longest Electromagnetic Waves, Scientific American, March 1962, pp. 128—137.

Pohl R. W., Discovery of Interference by Thomas Young, American Journal of Physics, 28 (1960), pp. 530—532.

S c h a w 1 о w A. L., Measuring the Wavelength of Light with a Ruler, American Journal of Physics, 33 (1965), pp. 922—923.

S h u г с 1 i f f W. A. and Ballard S. S., Polarized Light, Princeton, 1964.

Глава XX

A n g r i s t S. W., Galvanomagnetism and Thermomagnetism, Scientific American, December 1961, pp. 124—136.

Frisch 0. R., Molecular Beams, Scientific American, May 1965, pp. 58—74.

Giordmaine J. A., The Interaction of Light with Light, Scientific American, April 1964, pp. 38—49.

Kraushaar W. L. a nd Clark G. W., Gamma Ray Astronomy, Scientific American, May 1962, pp. 52—61.

Parks R. D., Quantum Effects in Superconductors, Scientific American, October 1965, pp. 57—67.

Reif F., Superfluidity and Quasi-Particles, Scientific American, November 1960, pp. 138—150; Quantized Vortex Rings in Superfluid Helium, Scientific American, December 1964, pp. 116— 122.

Wolfe R., Magnetothermoelectricity, Scientific American, June 1964, pp. 70—82.

Глава XXI

MacKintosh A. R., The Fermi Surface in Metals, Scientific American, July 1963, pp. 110—120.

Selig H., Malm J. G. and H. H. Claassen, The Chemistry of Noble Gases, Scientific American, May 1964, pp. 66—77.

Глава XXII

Bloom A. L., Optical Pumping, Scientific American, October 1960, pp. 72—80.

De Z a f r a R. L., Optical Pumping, American Journal of Physics, 28 (1960), pp. 646—654.

Gordon J. P., The Maser, Scientific American, December 1958, pp. 42—50

Klein M. J., Negative Absolute Temperatures, The Physical Review 104 (1956), pp. 589; Einstein's First Paper on Quanta, The Natural Philisopher, v. II, Waltham, 1963, pp. 59—83.

Leith E. N. andupatnieks J., Photography by Laser, Scientific American, June 1965, pp. 24—35.

Mayer С. H‘, The Temperatures of Planets, Scientific American, May 1961, pp. 58—65.

Miller S. E., Communication by Laser, Scientific American, January 1966, pp. 19—27.

Ramsey N. F., Thermodynamics and Statistical Mechanics at Negative Absolute Temperatures, The Physical Review, 103 (1956), pp. 20—28.

S c h a w 1 о w A L., Optical Masers, Scientific American, June 1961, pp. 52—Gl. Advances in Optical Masers, Scientific American, July 1963, pp 34—45.

Глава XXIII

Chew G. F., Gel l-M a n n M. a n d R о s e n f e 1 d A. H., Strongly Interacting Particles, Scientific American, February 1964, pp. 74-93.

Dyson F. J., Mathematics in Physical Sciences, Scientific American, September 1964, pp. 128—146.

Ford K. W., The World of Elementary Particles, Waltham, 1963.

Frisch D. H. and Thorndike AM., Elementary Particles, Princeton, 1964.

Fowler W. B. and S a m 1 о s N. P., The Omega-Minus Experiment, Scientific American, October 1964, pp. 36—45.

Graetzer G., Discovery of Nuclear Fission, American Journal of Physics, 32 (1964), pp. 9—15.

Hill R. D., Resonance Particles, Scientific American, January 1963, pp. 38—47.

Kay W. A., Recollections of Rutherford, The Natural Philosopher, v. I, Waltham, 1963, pp. 129—155.

Leachman R. B., Nuclear Fission, Scientific American, Au gust 1965, pp. 49—59.

Ledermann L. M., The Two-Neutrino Experiment, Scientific American, March 1963, pp. 60—70.

O'Neill G. K., The Spark Chamber, Scientific American, August 1962, pp. 36—43.

Penman S., The Muon, Scientific American, July 1961, pp. 46—55.

Rossi B., High-Energy Cosmic Rays, Scientific American, November 1959, pp. 134—149.

Telegdi V. L., Hypernuclei, Scientific American, January 1962, pp. 50—56.

Yang C. N., Elementary Particles. Princeton, 1961.

Глава XXIV

Feinberg G. and Goldhaber M., Conservation Laws. Scientific American, October 1963, pp. 36—45.

McCauley G. P., Parity, American Journal of Physics, 29 (1961), pp 173—181.

Wigner E. P., Violations of Symmetry in Physics, Scientific, American, December 1965, pp. 28—37

Приложение I

К a с M., Probability, Scientific American, September 1964, pp. 92—108

Приложение II

Cantor G., Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers, 1895—1897, New York, 1915.

D a n t z I g T., Number, New York, 1956.

Davis P. J., Number, Scientific American, September 1964, pp. 50—59.

Kamke E., Thory of Sets, New York, 1950.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Учебники, отражающие современные тенденции в преподавании общей физики

АхиезерА. И., Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Курс общей физики, ч. I, изд-во «Наука», 1971.

Китайгородский А. И., Введение в физику, Физматгиз, 1959.

О р и р Дж., Популярная физика, изд-во «Мир», 1969.

К ит т е л ь Ч., Найт У., РудерманМ., Механика, изд-во «Наука», 1971.

П а р с е л л Э., Электричество и магнетизм, изд-во «Наука», 1971.

Роджерс Э., Физика для любознательных, тт. 1—3, изд-во «Мир», 1970—1971.

Файнмановские лекции до физике, изд-во «Мир», тт. 1—9.

Яворский Б. М., Пинский А. А., Основы физики, изд- во «Наука», 1970.

П. Современная физика в целом и ее проблемы

Книги

Вайскопф В., Наука и удивительное, изд-во «Наука», 1965.

Компанеец А. С., Может ли окончиться физическая наука?, изд-во «Знание», 1967.

Месси Г., Новая эра в физике, Атомиздат, 1965.

П а й е р л с Р. Е., Законы природы, Физматгиз, 1959.

Фейнман Р., Характер физических законов, изд-во «Мир», 1968.

Статьи

Вайскопф В.. Современная физика в элементарном изложе- ' нии, УФН, 103, 1 (1971).

Вайскопф В., Связь между физикой и другими науками, УФН, 95, 313 (1968).

Вайскопф В., Физика в XX веке, УФН, 101, 279 (1970).

Гайзенберг В., Нелинейные проблемы в физике, УФН> 94, 155 (1968).

Гинзбург В. Л., Какие проблемы физики и астрономии представляются сейчас наиболее важными и интересными?, УФН^ 103, 1 (1971); Наука и жизнь, 2 (1971).

Дайсон Ф , Математика в физических науках, в сб. «Математика в современном мире», изд-во «Мир», 1967.

Дайсон Ф., Будущие физики, УФН, 103, 529 (1971).

Дирак П. А. М., Методы теоретической физики (Жизнь в физике, Вечерние лекции в Триесте), УФН, 102,'291 (1970).

Механика, теория относительности, гравитация и космология

Книги

Гинзбург В. Л., Современная астрофизика, изд-во «Наука», 1970 (к гл. 10, И).

Гуревич Л. Э., Ч е р н и н А Д., Общая теория относительности в физической картине мира, изд-во «Знание», 1970 (к гл. 3, 4, 7, 8).

Д ь ю р е л л К., Азбука теории относительности, изд-во «Мир», 1970 (к гл. 10, И).

Ландау Л. Д., Ру мер Ю. Б., Что такое теория относительности, изд-во «Наука», 1960.

С и а м а Д., Физические принципы общей теории относительности, изд-во «Мир», 1971 (к гл 3—8).

Соколовский Ю И., Элементарный задачник по теории относительности («Библиотечка ФМШ»), изд-во «Наука», 1971 (к гл. 10, И).

Скобельцын Д. И , Парадокс близнецов в теории относительности, изд-во «Наука», 1969.

Тейлор Э., Уилер Дж Физика пространства — времени, изд-во «Мир», 1970.

Уилер Дж., Предвидение Эйнштейна, изд-во «Мир», 1970 (к гл. 1, 2).

X а й к и н С Э., Что такое силы инерции?, Изд-во АН СССР, 1958.

Статьи

Борк А., Физика перед возникновением теории относительности, УФЯ, 94, 167 (1968) (к гл. 10).

Брагинский В., Руденко В., Релятивистские гравитационные эксперименты, УФН, 100, 395 (1970) (к гл. 3, 4)

Вик Г., Проблема измерений, УФН, 101, 303 (1970).

Фейнберг Дж., Частицы, которые движутся быстрее света. Природа, 1 (1971) (к гл 10).

Холтон Дж., Эйнштейн и «решающий эксперимент», УФН, 104, 2 (1971)

Теплота и необратимые процессы. Кванты, излучение и оптика, лазеры

Книги

Время и современная физика, Об., изд-во «Мир», 1970 (к гл 1, 2, 6, 13)

Жевандров Н Д, Поляризация света, изд во «Наука», 1969 (к гл. 19).

Земанский М , Температуры очень низкие и очень высокие, изд-во «Мир», 1968 (к гл 12, 13, 20, 22)

Компанеец А С., Законы физической статистики, изд-во «Наука», 1970 (к гл. 12, 13, 20, 22).

Кок У., Лазеры и голография, изд-во «Мир», 1971 (к гл. 18, 19).

Пирс Дж., Квантовая электроника, изд-во «Мир», 1967 (к гл. 20, 22).

С м о р о дине к ий Я. А., С о р о к о Л. М., Успехи голографии, изд-во «Знание», 1970 (к гл. 19).

Толанский С., Удивительные свойства света, изд-во «Мир»,

1969 (к гл. 18, 19).

Фриш С. Э., Современная оптика, изд-во «Знание», 1968 (к гл. 19, 20, 22).

Статьи

А з б а л ь М. Я., Диалог о температуре. Квант, 2 (1971), (к гл. 20, 22).

Денисюк Ю. Н., Образы внешнего мира, Природа,2 (1971), (к гл. 19).

Спасский Б. И., С а рангов П. С., К истории открытия теоремы Карно, УФН, 99, 347 (1969), (к гл. 12).

Фабрикант В. А., Парадокс и. И. Вавилова, Квант, 2 (1971), (к гл. 9, 19).

Элементарные частицы, принципы симметрии и законы сохранения

Книги

Вейль Г., Симметрия, изд-во «Наука», 1968.

Вигнер Е., Этюды о симметрии, изд-во «Мир», 1971.

Власов Н. А., Антивещество, Атомиздат, 1966.

Гарднер М., Этот правый, левый мир, изд-во «Мир», 1967.

Гельфер Я. М., Законы сохранения, изд-во «Наука», 1967.

Копылов Г. И., Всего лишь кинематика, Атомиздат, 1969.

Смородинский Я. А., Элементарные частицы, изд-во «Знание», 1968.

Форд К., Мир элементарных частиц, изд-во «Мир», 1965.

Фриш Д., Торндайк А., Элементарные частицы, Атомиздат, 1966.

Хилл Р., По следам частиц, изд-во «Мир», 1963. ш

Щ ё л к и н К. И., Физика микромира, Атомиздат, 1968.

С татъи

Вигнер Е., Симметрия и законы сохранения, УФК, 83, 4 (1964).

Вигнер Е., Нарушения симметрии в физике, УФН, 89, 3 (1966).

Паис А., Элементарные частицы, УФН, 97, 1 (1969).

Янг Ч., Закон сохранения четности и другие законы симметрии, УФН, 66, 1(1958).

Вопросы, примыкающие к затронутым в книге

Книги

Боровой А. А. и др., Законы электромагнетизма («Библиотечка ФМШ»), изд-во «Наука», 1970 (к гл. 14, 15, 17).

Зеель Ф., Строение атома и химическая связь, ИЛ, 1958 (к гл. 21).

Кац М., У л а м С., Математика и логика, ретроспектива и перспективы, изд-во «Мир», 1971.

Холден А., Что такое ФТТ, изд-во «Мир», 1971 (к гл. 19—22), Статьи

Б ёт е Г. А., Энергия на Земле и в звездах (Жизнь в физике, Вечерние лекции в Триесте), УФН, 102, 280 (1970).

Бромли Д., Атомное ядро, УФН, 97, 1 (1969).

Вайскопф В., Три этапа в познании строения вещества, УФН, 104, 131 (1971).

Гайзенберг В., Теория, критика и философия (Жизнь в физике, Вечерние лекции в Триесте), УФН, 102, 298 (1970).

Г о т т л и б М., Плазма, УФН, 97, 1 (1969).

Дайсон Ф., Математика и физика, УФН, 85, 2 (1965).

3 а й м а н Дж., Твердое тело, УФН, 97, 1 (1969),

Крамаровский Я. М., Чечев В. П., Изменяется ли заряд электрона с возрастом Вселенной?, УФН, 102, 141 (1971), (к гл. 14).

Смородинский Я. А., Закон Ома, Квант, 4 (1971), (к гл. 15).

Швингер Ю., Магнитная модель материи, УФН, 103, 2 (1971), (к гл. 14).

Сборники статей зарубежных ученых из серии «Над чем думают физики»

Физика атомного ядра, Физматгиз, 1962.

Элементарные частицы, Физматгиз, 1963.

Элементарные частицы, изд-во «Наука», 1965.

Физика атомного ядра, изд-во «Наука», 1966.

Квантовая макрофизика, изд-во «Наука», 1967.

Астрофизика, изд-во «Наука», 1967.

Физика твердого тела, изд-во «Наука», 1972.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора перевода ........... • • .5

Предисловие автора, в котором формулируются цели и задачи этой книги 15

Глава 1. Пространство событий в физике трехмерно по отношению к обычному пространству и одномерно по отношению к времени. Понятие пространства событий возникает при определении места и времени события (то есть того, где и когда оно произошло); для втого надо произвести три измерения длины и одно измерение времени. Кроме того, для полноты описания события необходимо гнать, чтб именно произошло, а для втого требуется измерение нового типа, несводимое к измерениям длины и времени. В заключение приведена шкала длин и времен, доступных экспериментальному определению е настоящее время............17

Глава 2. Мировые линии объектов вводятся в качестве логически необходимых понятий, позволяющих экономно и компактно описывать огромное число различных событий, соответствующих движению объектов. Определения мгновенной скорости и ускорения дополнены утверждениями о существовании предельной скорости и гравитационного ускорения. Описание движения по окружности на примере орбит спутников подводит к понятию массы (гл. 3) как меры гравитационного взаимодействия 29

Глава 8. Масса как мера гравитации Хотя эксперимент Кэвендиша с двумя массами и не позволяет определить каждую из них в отдельности, три опыта такого типа позволяют сделать это. Кратко формулируются законы Кеплера и объясняется природа приливного ускорения; показано, что приливное действие Солнца составляет менее половины приливного действия Луны, хотя гравитационное притяжение между Солнцем и Землей почти в 200 раз превосходит притяжение между Землей и Луной .....................46

Глава 4. Иерархия инерциальных систем отсчета в присутствии гравитации включает свободно падающие системы отсчета (движущиеся, вообще говоря, ускоренно по отношению

друг к другу, если их разделяет конечное расстояние^ Первый закон Ньютона вводится для инерциальных наблюдателей, находящихся в данный момент в одной точке пространства. Аналогично второй закон Ньютона формулируется в терминах ускорения по отношению к локально инерциальным системам отсчета. Указано, что обычная форма этих законов справедлива лишь при введении ньютоновских систем отсчета — идеализированных систем отсчета, которые получаются при мысленном удалении всех локальных гравитационных центров в бесконечность и двигаются, таким образом, без ускорения по отношению к удаленным (называемым условно неподвижными) звездам 61

Глава 5. Закон сохранения импульса вводится как обобщение третьего закона Ньютона, который в оригинальной формулировке Ньютона относился лишь к силам, возникающим при контакте двух тел. Утверждение о том, что единственный способ взаимодействия состоит в локальной передаче импульса, приводит нас к понятию поля.У казано на трудности, связанные с попыткой описать гравитацию в терминах локального поля ...............72

Главаб. Симметрия по отношению к обращению движения, на первый взгляд самоочевидная и малозначительная деталь, в действительности представляет далеко не тривиальное свойство природы. Эта симметрия позволила предсказать новые явления, получившие экспериментальное подтверждение. Однако, как показано в гл. 13, она приходит в противоречие с существованием выделенного направления течения времени 86

Глава 7. Вращения по отношению к ньютоновским системам отсчета приводят к наблюдаемым эффектам даже если непосредственно наблюдать удаленные звезды невозможно. Поставлен вопрос о природе инерции, как свойстве объектов 98

Главад. Закон сохранения момента импульса вводится как закон природы, определяющий локальную передачу другой динамической величины, присущей, помимо импульса, материальным объектам. Подчеркнуто, как важно обеспечить понятию момента импульса самостоятельное существование, независимое от орбитального движения объекта. В качестве примера разобрано понятие внутреннего момента импульса, ‘или спина, элементарных частиц. В связи с центробежным и кориолисовым эффектами вновь указано на нерешенные аспекты проблемы происхождения свойства инерции . , .111

Глава 9. Закон сохранения энергии, как и предыдущие два, вводится в качестве закона природы, определяющего локальную передачу еще одной динамической величины, присущей объектам и выступающей в разных видах — потенциальной энергии, кинетической энергии, энергии покоя. Приведены многочисленные примеры, когда закон сохранения энергии становился

i

I мощным орудием теоретического предсказания новых фактов, j в том числе существование нейтрино, принципы Архимеда и | Бернулли, действие гидравлических машин. Эмпирическое ! выражение закона сохранения энергии состоит в утверждении ।о «невозможности вечного двигателя первого рода». . . .123

IГлава 10. Постоянство скорости света наряду с хорошо ус-

I тановленным на опыте свойством равноправности инерциалъ- I ных наблюдателей заставляет пересмотреть понятие одновре- I менности. Результат оказывается поразительным: одновре- ’ менность событий зависит от состояния движения наблюда- । теля. Это «развенчание» абсолютного характера понятия 1 одновременности — цена, которую надо уплатить за приня- [ тие более фундаментальной идеи — абсолютного характера * интервала и массы покоя 138

IГ лава 11. Абсолютный характер интервала и массы покоя

। Разделение пространства — времени на пространственнопо- ; добные и времениподобные компоненты сопровождается анало- I гичным разделением импульса — энергии на импульсноподобные и энергетическиподобные компоненты; при этом естественным образом возникает возможность существования частиц с нулевой массой покоя ............153

Глава 12. Невозможность вечного двигателя второго рода ограничивает коэффициент полезного действия идеальных тепловых машин, преобразующих тепло в механическую работу, а также тепловых насосов, перекачивающих тепло от холодного резервуара к горячему с затратой механической рабо- I ты. Операциональное определение необратимых процессов неизбежно приводит к понятию направления времени . .163

Глава 13. Направление времени предстает глубокой загадкой ввиду его несовместимости с симметрией по отношению к обращению движения. Начальные состояния реально происходящих необратимых процессов практически никогда не являются результатом статистической флуктуа- 1ции;поэтому аргумент о временной симметрии этих началь-

।ныхсостояний несостоятелен, и приходится заключить,

Iчтов приготовленных нами начальных состояниях по неиз-

1вестным нам причинам заранее заложена жесткая «програм

ма» их неуклонного развития лишь в* одном направлении 181

Глава 14. Понятия заряда и поля, первоначально введенные для систематизаици большого числа электромагнитных явлений, привели в настоящее время к попыткам полного исключения из всех явлений понятия взаимодействия на расстоянии I и замене его концепцией «поля», осуществляющего локальное взаимодействие между «зарядами». Обращается внимание на нерешенные вопросы, связанные с понятием заряда; например, существование лишь одного типа гравитационного заряда при наличии двух типов электрического заряда, отсутствие в природе магнитных монополей •.192

Глава 15. Связь между электричеством и магнетизмом, открытая Эрстедом и Фарадеем, нашла свое наиболее полное воплощение в понятии электромагнитного поля; разложение его на электрические и магнитные компоненты зависит от состояния движения наблюдателя. Показано, что законы электромагнетизма не позволяют сделать заключение о том, что данный инерциальный наблюдатель находится в абсолютном покое. 211

Глава 16. Симметрия по отношению к пространственному отражению считалась универсальным свойством законов природы до тех пор, пока в 1956 году не были обнаружены ядерные процессы, включающие так называемое слабое взаимодействие, в которых это свойство нарушается. В связи с указанной симметрией обсуждается также опыт Эрстеда 225

Глава 17. Закон сохранения заряда. Показано, что именно этот закон, в частности, подсказал Максвеллу идею о возможном возникновении магнитной циркуляции в результате изменения электрического потока. Развитие этой идеи привело Максвелла к предсказанию периодических электромагнитных явлений, распространяющихся в пространстве. Вычисленное значение скорости распространения оказалось в точности равным ранее измеренной скорости распространения света; таким образом, полностью подтвердилась электромагнитная теория света Максвелла 236

Глава 18. Вариационные принципы. Изучены предпосылки их возникновения в древности и продемонстрировано их «могущество» при описании движения всех видов материи, включая свет. В связи с этим снова возникает вопрос: что же именно распространяется в волновом процессе? Ответ на этот вопрос может быть дан с помощью понятия интерференции амплитуд вероятности .........248

Глава 19. Интерференция амплитуд вероятности трактуется как черта, общая для всех возможных свойств материальных объектов. Указано, что понятие амплитуд вероятности можно использовать не только для описания состояния распространения фотона, но также и для описания его состояния поляризации. Именно последнее состояние ввиду его дихотомической природы особенно хорошо подходит для элементарного математического изложения явления интерференции . .261

Глава 20. Понятие об уровнях энергии вводится в качестве ключевого пункта для расшифровки и систематизации атомных спектров; оно позволяет также построить полную классификацию состояний электрона в атоме с помощью четырех квантовых чисел...............279

Глава 21. Принцип запрета Паули запрещает по неизвестным для нас причинам любой паре электронов находиться в состояниях

с одним и тем же полным набором квантовых чисел. Этот принцип — одно из наиболее могущественных когда-либо открытых проявлений порядка в природе. Показано, в частности, что именно принцип Паули лежит в основе классификации химических элементов в периодической системе Менделеева 294

Глава 22. Понятие температуры трактуется обобщенно, включая и случай отрицательных температур. Это дает возможность сформулировать и применять фундаментальную теорему Больцмана, которая устанавливает характер заполнения уровней энергии в системе из большого числа физических объектов с конечным числом доступных энергетических уровней. Именно на этом этапе целесообразно ввести идею Эйнштейна о вероятности перехода для таких процессов, как спонтанное испускание света, а также индуцированное испускание и поглощение света 305

Глава 23. Иерархия так называемых элементарных частиц раскрывается в историческом аспекте, начиная с открытия супругами Кюри радиоактивности и ранних исследований Резерфорда по ядерной физике. Классификация разросшегося семейства так называемых элементарных частиц на лептоны, безмассовые бозоны, мезоны и барионы приводит к появлению новых квантовых чисел и простых зависимостей в спектре масс частиц. Сделана попытка систематизировать существенные черты этого ^субъядерного^ мира, перечислив законы сохранения и границы их применимости 320

Глава 24. Законы сохранения и границы их применимости. Подчеркивается, что несмотря на многочисленные попытки связать законы сохранения с принципами симметрии, это связь еще не так прозрачна, как хотелось бы; природа большинства открытых к настоящему времени законов сохранения остается пока неясной. 337

Приложение I. Понятие вероятности в физике, первоначально введенное как печальная необходимость, продиктованная ограниченными возможностями людей оперировать со слишком большим числом данных, оказалось заложенным в самом фундаменте здания физики. Это стало особенно очевидным, например, после открытия закона радиоактивного распада, сама формулировка которого требует понятия вероятности.

В этом дополнении для удобства читателя собраны некоторые

элементарные сведения из математической теории вероятностей. 345

С аналогичной целью приведено и приложение II. Система комплексных чисел» имеющих многочисленные применения в физике, особенно при описании явлений интерференции . .355

Литература . 362

Дополнительная литература367

Ф. КЕМПФЕР

Путь в современную физику

Редактор А. Р. Велевфва

Художник Ф. Инфанта

Художественный редактор Ю. Л. Максимов Технический редактор Е. О. Потапенкова Корректор Н« И. Баранова

Сдано в набор 28/IX 1971 р.

Подписано к печати 27/1 1972 р.

Бумага М2. 84х lOS1/»»^^ бум. л.

19,74 уол/ печ. л. Уч.-ивд. л. 17,75 Иэд. М 12/6130.

Цена 84 коп. Зак. 696.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва, 1-й Рижский пер., 2

Ярославский полиграфкомбинат Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР.

Ярославль, ул. Свободы, 97.

ИЗДАТЕЛЬСТВО МИР

Цена 84 коп.

для ктодля ктокнига всех тех, хочет ближе познакомиться

для кто

для кто

с основными представлениями современной физики, научиться мыслить на ее языке, для тех, кто стремится осознать не только ее сегодняшние триумфы, но и всю грандиозность стоящих перед этой областью науки нерешенных проблем.

Путь в современную физику лежит через фундаментальные идеи релятивизма, принципиально вероятностный характер законов микромира, дискретность основных динамических величин, принципы симметрии и законы сохранения.

Все это я многое другое, что составляет богатый арсенал физических идей, оригинально систематизировал и в доступной форме изложил известный канадский физик-теоретик Фредерик А. Кемпфер.

В примере с генератором, изображенным на рис. 99, проводник имеет форму замкнутой рамки; в этом случае созданную разность потенциалов, называемую иногда электродвижущей силой (сокращенно ЭД С), можно описать с помощью циркуляции электрического поля:

ЭДС = Ся = E^L (по замкнутому контуру), (15.6) где L — полная длина контура, Е^ — компонента электрического поля, параллельная контуру. Таким образом, если рамка насчитывает п витков, то созданная в ней

ЭДС будет равна Се = (v/c^B ^In (мы учли, что Е^ отлично от нуля только на длине 21 для каждого витка). Например, если В = 104 Гс, и = 103 см/сек, I = 15 см, п = Ю2, то напряжение на выходе генератора будет равно СЕ = Ю2-104 -30 (103/3.1010) = 1 ед. СГСЭу = 300 В.

радея (15.9) на основе выражения (15.4) для силы, дейст

2) Процессы излучения. Излучение фотона при переходе атома из состояния с энергией Е^ в состояние с энергией Ех может быть вызвано двумя причинами:

а) даже при полном отсутствии других фотонов (п = = 0) существует вероятность спонтанного излучения Л, указывающая вероятность того, что находящийся в возбужденном состоянии Е^ атом излучает один фотон данной частоты (о в одну секунду; соответственно число актов спонтанного излучения в единицу времени будет равно

В МИРЕ НАУКИ И ТЕХНИКИ

Ф. КЕМПФЕРФ. КЕМПФЕРПУТЬ в СОВРЕМЕННУЮ ФИЗИКУ

Ф. КЕМПФЕР

Ф. КЕМПФЕР

F. A. KAEMPFFER

THE ELEMENTS OF PHYSICS

A NEW APPROACH

Braisdall Publishing Company A Division of Ginn and Company

WALTHAM—MASSACHUSETTS—TORONTO—LONDON

ф. КЕМПФЕР