ПРЕДИСЛОВИЕ к РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Среди направлений современной генетики и биологии в целом генетика популяций занимает особое место, представляя собой наиболее формализованную область исследования. Она буквально пронизана математическими методами и располагает целым рядом моделей, которые важны как в теоретическом плане, так и при анализе фактического материала. Без применения соответствующих приемов высшей алгебры, аппарата дифференциальных уравнений и прежде всего математической статистики невозможны ни полноценное изучение, ни работа с популяциями любых видов, будь то лабораторные, сельскохозяйственные или природные популяции животных и растений либо популяции человека — «нативные» или же вступившие в фазу урбанизации и широкой панмиксии.

В наши дни в связи с обострением проблем, касающихся биосферы, вопросы эволюции и стабильности популяций приобретают особое звучание: ' встает неотложная задача соотнесения темпов изменения окружающей среды с адаптационными возможностями популяций различных видов, возникает необходимость найти подходы к оценке и прогнозированию темпов мутационного процесса в популяциях человека, а также сохранить генетические ресурсы биосферы с помощью их консервации, рационального хозяйственного использования и разумного управления ими. .

Очевидно, в ближайшие годы следует ожидать возрастания общего интереса к проблемам генетики популяций и значительного притока в нее свежих сил. Эта тенденция уже ощутима, она находит отражение и в формировании новых исследовательских коллективов, и во все возрастающей интенсивности публикаций популяционно-генетических работ— как теоретического плана, так и посвященных изучению природных и экспериментальных популяций. Важное значение имеет и то обстоятельство, что за последние годы в нашей стране вышло несколько монографий по генетике популяций, написанных Н. П. Дубининым (1966), Н. П. Дубининым и Я. Л. Глембоцким (1969), Н. В. Тимофеевым-Ресовским, А. В. Яблоковым и Н. В. Глотовым (1973). Издательство «Мир» в 1966 г. перевело на русский язык книгу Эрлиха и Холма «Процесс эволюции», в 1972 г. — работу Л. Меттлера и Т. Грегга «Генетика популяций и эволюция» и в 1978 г. — Р. Левонтина «Генетические основы эволюции». В 1973 г. вышла книга П. Морана «Статистические процессы эволюционной теории».

Следует, однако, признать, что теоретическим основам популяционной генетики все еще не отводится должного места в программах высшей школы и на русском языке нет ни одной книги учебного характера,, всецело посвященной неформальному изложению математического ап-

парата и постановке соответствующих биологических задач. За рубежом такой книгой, по нашему мнению, является монография проф. Ч. Ли, вот уже более 25 лет читающего курсы биометрии и популяционной генетики студентам Питтсбургского университета (Пенсильвания, США) и ведущего плодотворные исследования.

Ч. Ли — автор шести книг и многих оригинальных публикаций, внесший большой вклад в развитие теории популяционной генетики. Им немало сделано для развития так называемого метода коэффициентов путей, создан удобный метод анализа родственных связей с использованием матриц условных вероятностей, детально исследована проблема устойчивости генетического равновесия и т. д. Над совершенствованием своей книги «Популяционная генетика», выдержавшей несколько изданий в США и других странах, Ч. Ли очень много и долго работал. Последней, наиболее основательной, редакции книга подверглась между 1969 и 1974 гг. и в 1976 г. была опубликована под названием «First Course in Population Genetics». Русский перевод этого издания и предлагается теперь читателю.

К достоинствам книги следует отнести исключительную последовательность в изложении материала и его доступность. В ней освещены практически все основные разделы генетики популяций. Ее можно использовать и как практическое руководство по математическим методам для биологов, и как вводный курс популяционной генетики для математиков. Педагогическая ценность книги чрезвычайно велика благодаря обилию упражнений в конце каждой главы. Вместе с тем надо подчеркнуть, что монография Ч. Ли — не просто учебное пособие; ее материал может служить фундаментом для понимания основных подходов и концепций генетики популяций; в ней очерчен круг проблем этой науки и указана соответствующая литература. Терпеливый читатель — биолог или маметатик, — изучив книгу, извлечет из нее много полезного.

Мы надеемся, что публикация русского перевода книги будет способствовать дальнейшему развитию в нашей стране исследований в области популяционной генетики в соответствии с теми задачами, которые поставлены сегодня перед этой наукой самой жизнью.

Ю. П. Алтухов, Л. А. Животовский

ПРЕДИСЛОВИЕ

Цель настоящего издания, так же как и изданий 1948 и 1955 гг., состоит в том, чтобы дать общее введение в генетику популяций для студентов-биологов, не имеющих специальной математической подготовки. В своей обзорной статье, опубликованной в 1967 г., автор писал: «В связи с тем, что в генетику популяций приходит все больше и больше математически подготовленных исследователей, можно предсказать ее бурное развитие, подобное тому, которое происходило в начале 30-х годов. Как ни внушительны успехи, достигнутые за последнее десятилетие, в предстоящие 10 лет можно ожидать еще большего!» Похоже, что это предсказание сбывается. Настоящее издание представляет собой попытку создать учебник, более полно отражающий все достижения и в то же время остающийся на уровне вводного курса. Чем дальше вглубь идет развитие той или иной науки, тем острее потребность в обобщающем элементарном курсе. Надеюсь, что эта книга окажется полезной в качестве введения в генетику популяций. .

Она не предназначена для какого-либо специального контингента читателей. Генетики, цитологи, антропологи, экологи и представители общественных наук могут почерпнуть из нее полезные сведения, имеющие отношение к их собственным исследованиям. Нет необходимости изучать все главы этой книги. Для специалистов по медицинской генетике не представляют особого интереса разделы, касающиеся самоопыления, скрещиваний типа братХсестра, автотетраплоидии и т. д., растениеводам же ни к чему останавливаться на разделе, посвященном системе групп крови АВО. Преподаватель, использующий эту книгу в качестве учебника, может без колебаний опустить некоторые главы или параграфы и добавить материал по собственному усмотрению. Специалисты по генетике человека, возможно, разочаруются, не обнаружив главы, посвященной менделевскому расщеплению в семьях. По мнению автора эта тема выходит за рамки основного содержания книги. Довольно подробное рассмотрение классического метода (метода максимального правдоподобия) анализа расщеплений дается автором в книге «Генетика человека. Принципы и методы» [374]. Более новый и простой метод оценки (в котором пренебрегают гомозиготами по редким рецессивным генам) и метод подразделения статистической информации по времени первого появления гомозигот были описаны автором в главе «Неполное биномиальное распределение», вошедшей в книгу «Математические аспекты генетики популяций» под ред. Доджимы [317].

Материал, добавленный в настоящее издание, отобран в основном по принципу общезначимости и простоты. Сложные специальные исследования здесь не рассматриваются, однако их можно найти по приведенным ссылкам. Вероятно, нет необходимости приносить извинения по

поводу того, что автор не включил в этот вводный курс обширные экспериментальные данные и наблюдения. Я уверен, что работа по анализу, интерпретации и обобщению экспериментальных исследований вскоре будет завершена специалистами. Конечно, без экспериментальных исследований теоретическая популяционная генетика быстро стала бы бесплодной; она лишь содержала бы упражнения для специалистов по прикладной математике, не представляя интереса для биологов. Чем скорее появятся работы по экспериментальной генетике популяций, тем более плодотворной будет эта наука.

Ч. Ч. Ли

Питтсбург, Пенсильвания Май 21, 1974

Большие популяциисо случайным скрещиванием

Усилия ученых, направленные на выяснение механизма наследственности, привели в самом начале нашего столетия к открытию и обоснованию законов Менделя. Эти законы были выведены из данных по отдельным семьям — исследования тех лет ограничивались анализом сходства и различий между родителями и их потомством. Опыты такого рода состояли, например, в скрещивании растений с красными и белыми цветками и определении соотношения между различными формами растений, выращенных из семян от такого скрещивания.

Генетика популяций в отличие от посемейного анализа рассматривает статистические следствия из законов Менделя, проявляющиеся в группе семей или особей. Предмет этой науки — явление наследственности на популяционном, уровне. Механизм наследственности здесь предполагается таким же, как и в менделевской генетике, но специалисты по генетике популяций изучают соотношения индивидуумов различных типов (например, растений с красными и белыми цветками), частоты различных типов скрещивания, соотношения различных форм, получающихся от каждого типа скрещивания, в популяциях; кроме того, их интересует изменение генетической структуры популяций в поколениях при различных условиях окружающей среды.

Жизнь отдельной особи ограничена во времени, и ее генотип сохраняется постоянным в течение всей жизни, маскируя мутации. Популяция в противоположность отдельной особи практически бессмертна; она может быть большой или малой по численности, иметь обширный или ограниченный ареал и от поколения к поколению может внезапно или постепенно изменяться по своему генетическому составу. Поэтому изучение генетики популяций неизбежно связано с изучением органической эволюции, которая с генетической точки зрения является не чем иным, как процессом кумулятивного изменения наследственных особенностей видов. Анализ следствий из законов Менделя в применении к длительно существующей популяции привел к выявлению определенных правил, или законов. Мы рассмотрим здесь только те из них, которые считаются твердо установленными.

Наше знакомство с популяционной генетикой мы начнем с описания самой простой и наиболее распространенной ситуации — судьбы аутосомных генов диплоидных организмов, размножающихся половым путем, в большой популяции со случайным (свободным) скрещиванием. Первое правило, установленное для такой популяции, явилось важной вехой в развитии популяционной генетики; именно оно будет предметом рассмотрения этой главы. Однако прежде чем обсуждать само правило, необходимо пояснить некоторые термины, постоянно используемые в нашей книге, но не всегда упоминаемые в учебниках по элементарной генетике.

2—322 '

ЧАСТОТА ГЕНА

Здесь и далее мы будем рассматривать только два аллеля (А и а), относящиеся к определенному локусу. Пусть из N диплоидных особей D несут только доминантные аллели (АА), Н гетерозиготны (Аа), a R обладают только рецессивными аллелями (аа); D+H + R = N. Для краткости обозначим такую группу особей следующим образом:

Ф, H,R).

Эти три символа ф, Н, R) соответствуют АА, Аа, аа. Наличие особей трех типов в данной группе обусловлено существованием только двух аллельных генов А и а. В сумме N особей несут 2N генов. Поскольку каждая особь АА имеет два гена А, а каждая особь Аа— лишь один ген этого типа, полное число генов А в группе составляет 2D + H. Следовательно, доля генов А равна

= 2D + Н = D+ 2 НР ~ 2N ~ N "

Это отношение называется частотой гена А. Аналогично определяется частота гена a; q = (H+2R)/2N= (1/2H+R)/N; так что p-yq=\. Например, в группе из 40 особей (2; 12; 26) р = (2 + 6)/40 = 0,20 и ^=(26 + + 6)/40 = 0,80.

Нередко фактические численности особей этих трех генотипов заменяют их долями от общего числа особей. Такая форма записи особенно удобна, когда имеют дело с большой по численности группой. В этом случае принимают D+HA-R=\, где D означает теперь долю особей АА в^группе, Н — долю особей Аа и 7? — долю особей аа. Отсюда следует, что p = DAН и q= -y-H+R. В таких обозначениях приведенную выше популяцию (2, 12, 26) можно представить в виде (0,05; 0,30; 0,65), где, как и прежде, р = 0,05+0,15 = 0,20 и ^ = 0,15+0,65 = 0,80. В последующих разделах мы будем рассматривать именно большие популяции, и символы D, Н и R будут обозначать доли (частоты) трех названных генотипов.'

СЛУЧАЙНОЕ СКРЕЩИВАНИЕ

В природе многие организмы — как животные, так и растения — скрещиваются случайным или близким к случайному образом. По формальному определению, случайный подбор пар у двуполых организмов означает, что любая особь одного пола с равной вероятностью скрещивается с любой особью противоположного пола. Другими словами, частота любого типа скрещивания определяется случайными событиями.

Таблица 1.1

Частоты случайных скрещиваний

Самки

Самцы

АА

D

Аа

Н

аа

R _

АА

D

№

DH

DR

Аа

Н

HD

Н2

HR

аа

R

RD

RH

R2

Так, если особи из популяции (D, Н, R) скрещиваются случайным образом, то частота скрещивания ААхАД для всей совокупности партнеров будет равна D2 (при условии, что частоты генотипов одинаковы для обоих полов). Различные типы скрещивания и их частоты приводятся в табл. 1.1. Следует, однако, подчеркнуть, что частоты, полученные теоретически, будут реализовываться только в очень больших по численности популяциях.

Как синоним случайного скрещивания иногда используют термин «панмиксия» и в этом случае говорят, что популяция является панмиктической.

ЗАКОН ХАРДИ—ВАЙНБЕРГА

Рассмотрим большую панмиктическую популяцию, в которой аллель А встречается с частотой р, а аллель а с частотой q; p + q—\. Если частоты трех генотипов, соответствующих данной паре аллелей, равны

D = р\ Н = 2р7, R = q\

то их пропорции в следующем поколении останутся такими же, как и в предыдущем. В этом случае говорят, что популяция (р2, 2pq, р2) находится в равновесии при условии случайного скрещивания. Под «равновесием» мы понимаем отсутствие изменений частот генотипов в последовательных поколениях одной популяции. Очевидно, что в этих условиях и частоты обоих генов также остаются неизменными. Существует немало и других типов состояний равновесия; некоторые из них мы рассмотрим в следующих главах. Особое состояние равновесия, обусловленное случайным скрещиванием, описывается с помощью закона, или правила Харди—Вайнберга (Харди и Вайнберг установили его независимо друг от друга в одном и том же 1908 г.; историческую справку можно найти у Штерна [598], который приводит в английском переводе важный раздел оригинальной работы Вайнберга). Для генетики популяций этот закон имеет фундаментальное значение, поэтому мы рассмотрим его подробно.■

Таблица 1.2

Типы скрещиваний и потомство в равновесной панмиктической популяции [644]•

Тип скрещивания

Частота скрещивания

Потомство

AA

Aa

aa

ААХАА

Р4

P4

0

0

ААхАа

^p^q

2p»q

2p3p

0

АаХАа

4pV

p-Q"

2p2p2

pV

ААХаа

2pV

0

2p2p2

0

АаХаа

4pq"

0

2рД

2pp3

ааХаа

q4

0

0

q4

Для популяции в целом

1,00

p2

2pq

q^

Если скрещивание осуществляется случайным образом, а популяция достаточно велика, частоты различных типов скрещивания можно очень просто определить, заменив D на р2 и т. д., как это показано в табл. 1.1. Если объединить реципроктные скрещивания (это допустимо,

поскольку мы рассматриваем аутосомные гены), то девять различных вариантов скрещивания можно подразделить на шесть типов. В табл. 1.2 даны частоты каждого типа скрещивания и соответствующие частоты потомков; из таблицы видно, что в поколении потомков получается то же соотношение (р2, 2pq, q2). Отсюда следует, что при отсутствии воздействий, нарушающих равновесие, генетический состав популяции во всех последовательных поколениях будет оставаться неизменным. Такое равновесие обусловлено симметрией менделевского механизма полового размножения.

В качестве примера рассмотрим большую панмиктическую популяцию (0,04; 0,32; 0,64), в которой р = 0,2 и # = 0,8. Читатели, встречающиеся с законом равновесия впервые, должны последовательно, шаг за шагом, выполнить все расчеты в соответствии с табл. 1.2 и самостоятельно убедиться в том, что частоты трех генотипов в поколении потомков действительно остаются такими же, как и в поколении родителей.

Таблица 1.3

Тип скрещивания

Частота скрещивания

Потомство

АА

Аа

аа

ААХАА '

D2

D2

0

0

ААХАа

2DH

DH

DH

0

АаХАа

Н2

—н2 4

—н2 2

ААХаа

2DR

0

2DR

0

АаХаа

2HR

0

HR

HR

ааХаа

R2

0

0-

R2

Для популяции в целом

1,00

/1 \2

D+ —Я

\2 /

Р1

2pq

/1\2

\^h+r)

q1

УСТАНОВЛЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ

Рассмотренная нами теорема утверждает, что популяция (р2, 2р#, #2) при условии случайного скрещивания равновесна. А что же происходит с популяцией, которая не находится в равновесии? Рассмотрим произвольную популяцию ф, Н, Ry, D, Н и R — три любых положительных числа, дающих в сумме единицу. Взяв из табл. 1.1 частоты различных типов скрещивания при случайном подборе пар, объединив реципрокные скрещивания и рассчитав, как это сделано в табл. 1.2, частоты потомков различных типов, мы найдем, что соответствующие частоты трех генотипов принимают равновесные значения (табл. 1.3). Таким образом, мы уже доказали вторую теорему, касающуюся больших панмиктических популяций: равновесие, при случайном скрещивании достигается через одно поколение и не зависит от первоначального состава популяции [649]. В символической записи эта теорема выглядит так:

Ф,н,кЫр2,2рд,д2).

Следует подчеркнуть, что в равновесной популяции частоты генотипов полностью определяются частотами генов. Таким образом, при случайном скрещивании произвольная исходная популяция (0,10; 0,20; 0,70)

с частотами р = 0,2 и <7 = 0,8 в следующем поколении превратится в популяцию (0,04; 0,32; 0,64), которая будет оставаться неизменной во всех; последующих поколениях до тех пор, пока подбор пар остается случайным. Действительно, все популяции с одними и теми же частотами генов (хотя частоты генотипов могут и различаться) при случайном подборе пар придут к одному и тому же равновесному состоянию. Поэтому при случайном скрещивании каждая из следующих популяций: (0,05;. 0,30; 0,65), (0,01; 0,38; 0,61), (0,18; 0,04; 0,78), (0; 0,40; 0,60), (0,20; 0;. 0,80) и т. д. превратится в популяцию (0,04; 0,32; 0,64). Читатель может убедиться в этом, проделав арифметические расчеты для одной из приведенных выше популяций, как это сделано в табл. 1.3. Поскольку при случайном скрещивании сразу же устанавливается равновесие, в большинстве случаев можно считать, что естественная популяция находится в равновесном состоянии, если в ней осуществляется случайное скрещивание, как мы увидим в следующей главе. Это положение имеет большое значение для решения практических задач.

СЛУЧАЙНОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ ГАМЕТ

Столь подробное рассмотрение вопроса о случайном скрещивании и наступающем в результате него равновесии понадобилось нам как для достижения большей ясности изложения, так и для того, чтобы исполь-

Рис. 1.1. Достижение равновесия за одно поколение при случайном скрещивании особей, эквивалентном случайному объединению мужских и женских гамет.Рис. 1.1. Достижение равновесия за одно поколение при случайном скрещивании особей, эквивалентном случайному объединению мужских и женских гамет.

Рис. 1.1. Достижение равновесия за одно поколение при случайном скрещивании особей, эквивалентном случайному объединению мужских и женских гамет.

Рис. 1.1. Достижение равновесия за одно поколение при случайном скрещивании особей, эквивалентном случайному объединению мужских и женских гамет.

зовать часть этого материала (в особенности табл. 1.2) в последующих главах. Однако сами равновесные соотношения, установленные Харди и Вайнбергом, можно получить гораздо более коротким путем, используя теорему, касающуюся случайного подбора пар. Интуитивно ясно, что суммарный результат случайных скрещиваний между особями и последующего объединения гамет, образуемых партнерами, эквивалентен случайному объединению гамет, образующихся в популяции. Этот принцип иллюстрирует рис. 1.1. ■

Одно это положение сразу приводит нас к выводам, полученным в двух предыдущих параграфах, ибо из него с очевидностью следует, что любая популяция (£), Н, R) при случайном подборе пар уже в следующем поколении превратится в популяцию (р2, 2pq, q^ и с этого времени будет неизменно пребывать в равновесном состоянии.

Приведенное положение понадобится нам в дальнейшем, когда мы будем иметь дело с множественными аллелями, полиплоидами и генами, сцепленными с полом, а также при рассмотрении любых ситуаций с во-

влечением более одной пары генов, когда полное перечисление всех возможных комбинаций генотипов партнеров становится слишком утоми- 'тельным. Определение состава какого-либо поколения с использованием этого принципа включает лишь рассмотрение суммарного образования гамет родительским поколением и последующего объединения этих гамет случайным образом.

КОМБИНАЦИИ РОДИТЕЛЕЙ, ДАЮЩИЕ ПОТОМСТВОС РЕЦЕССИВНЫМ ПРИЗНАКОМ

До сих пор мы рассматривали частоты различных типов скрещивания и соответствующих им потомков в панмиктической популяции. Рассмотрим теперь в некотором роде обратный вопрос. Пусть имеется группа особей определенного генотипа; какие комбинации родителей возможны для данных особей и какова их частота? Для примера рассмотрим возможные комбинации родителей для особей аа. Такими комбинациями могут быть только АахАа, АаХаа и ааХаа. Просмотрев последний столбец табл. 1.2, находим, что эти три комбинации имеют следующие частоты:

Доля

Комбинации родителей

Сумма

АаХАа

АаХаа

ааХаа

От общего числа скрещиваний

PV

W

q4

q1

От числа скрещиваний, дающих потомков аа

2pq

q2

1,00

Частоты в последней строке оказались такими же, как и частоты различных генотипов в популяции. Отсюда следует практический вывод о том, что если особи с рецессивным признаком составляют лишь небольшую часть популяции, то подавляющее большинство их является потомством от скрещивания АахАа. Например, альбинизм человека считается простым рецессивным признаком. В некоторых европейских странах он встречается в среднем приблизительно у одного из каждых 20 U00 человек (д2 = 0,00005). Следовательно, частота рецессивного гена альбинизма q равна приблизительно —=0,007. В то же время доля гетерозиготных индивидуумов в популяции намного выше и составляет примерно <2pq=—. Из всех альбиносов (0,993)2 = 98,60% являются потомками от браков АахАа, в которых оба родителя не альбиносы.

Приведенные выше выводы можно получить из вероятностных соображений, не прибегая к табл. 1.2. Так как сам факт появления особи аа подразумевает наличие по крайней мере одного гена а у каждого из ее родителей, можно сразу догадаться, что этими родителями являются особи типа ХаХХа; X обозначает здесь неизвестный ген. Далее, вероятность того, что случайно выбранный ген будет геном А, равна р, а вероятность того, что им будет ген а, равна q. Следовательно, вероятность того, что из двух неизвестных генов оба окажутся генами А, равна р2 и т. д. Таким образом, обращение с частотами генов как с вероятностями значительно упрощает расчеты во многих генетических задачах; в дальнейшем мы сможем неоднократно в этом убедиться.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РАВНОВЕСНЫХПОПУЛЯЦИЙ .

В популяции диплоидных особей доля гетерозиготных особей равна H = ‘2pq\ значение Н никогда не превосходит 0,5. Положив

=2^(1 -^=2-^ = 0,

dq dq

мы увидим, что Н принимает максимальное значение, равное 0,50, при p = q=—. Н может превышать как D, так и R [например, в популяции (0,36; 0,48; 0,16)], но никогда не превосходит D+R. Если частота одного гена более чем вдвое превосходит частоту другого, то доля гетерозиготных особей будет промежуточной между долями особей двух гомозиготных типов. Так, например, если р>^, что имеет место при р>2/3, то

р2 > 2pq > q\.

Другое свойство равновесной популяции состоит в том, что доля (или численность) гетерозиготных особей равна удвоенному корню квадратному из произведения долей (или численностей) двух гомозиготных форм, т. е.

V (DX/?)

Это свойство дает нам простой тест на равновесие; преимущество его состоит в том, что данное отношение равно 2 независимо от частот генов в популяции. Вышеупомянутое свойство можно также представить в виде

4DR = №.

В популяции со случайным скрещиванием частоты трех генотипов связаны между собой еще и таким соотношением:’

-4-.+—=i,

которое фактически эквивалентно выражению 4DR = № для двух аллелей, но легко может быть распространено и на большее число аллелей. Дробь DI^DA*-^-H^=Djp представляет собой долю аллелей А, находящихся в гомозиготном состоянии; аналогичные выражения существуют и для других аллелей.

Рассмотренные здесь свойства касаются частот генотипов. А теперь остановимся на одном свойстве, связанном с частотами скрещиваний. Обратившись ко второму столбцу табл. 1.2, мы увидим, что частота скрещиваний АаХАа вдвое превышает частоту скрещиваний ААХаа, причем это отношение совершенно не зависит от частот генов. Оно сохраняется таким в любой равновесной популяции независимо от того, поддерживается в популяции свободное скрещивание или нет (гл. 13).

ОТНОШЕНИЕ ЧАСТОТ ГЕНОВ

Введем обозначение u = p/q и разделим все члены соотношения Харди—Вайнберга на q2; тогда равновесную популяцию можно представить в виде (м2, 2м, 1). При этом сумма всех трех членов соотношения станет равной не 1, а (м + 1)2. При изменении р от 0 до 1 м изменяется от 0 до оо (оставаясь всегда положительным). Очевидно, что р=(м2 + и)/

/(u+l)2 = u/(u+1). Подобным же образом, z?=l/(u+l) и p\q = u\ 1. Используя такую систему обозначений и приняв, например, ц = 0,2/0,8 = = —, мы получим, что популяцию (0,04; 0,32; 0,64) можно представить как ^-^, -^-, 1). В конечном счете все свойства большой популяции со случайным скрещиванием, которые описаны в этой книге, можно легко выразить через и. Холдейн в своей ранней работе [196] использует и гораздо чаще, чем р и q. Формулы, применяемые в некоторых разделах генетики, особенно в тех, которые связаны с естественным отбором, при такой замене нередко значительно упрощаются.

ЗАКОН КАСТЛА

Не так давно появился ряд сообщений [395, 598,605] о том, что закон равновесия для популяций со случайным скрещиванием был установлен еще в 1903 г., т. е. за 5 лет до Харди и Вайнберга, Кастлом [57], но эта оригинальная работа была забыта его учениками и коллегами. Говоря кратко, Кастл показал, что если нет отбора, то популяции (АД, Аа, аа)

(1,2,1) (4,4,1) (9,6,1)

(16,8,1) (25,10,1) (36,12,1)

и т. д. будут оставаться неизменными в последовательных поколениях при условии случайного скрещивания. Кастл изучал в основном последствия отбора против рецессивных особей (гл. 21). Его главный вывод о стационарном состоянии в отсутствие отбора гласит: «С прекращением отбора порода остается в неизменном состоянии, достигнутом в процессе ее выведения, конечно, при условии, что все формы одинаково плодовиты и подвержены смертности в одинаковой степени». Как видно из сказанного, Кастл представлял популяции через соотношения генных частот, и его вывод фактически эквивалентен закону Харди—Вайнберга. Именно поэтому в 1968 г. Килер предложил восстановить в правах «закон Кастла», а в 1969 г. Мэнвелл и Бэйкер предложили термин «равновесие К—X—В» (по первым буквам фамилий Кастл, Харди, Вайнберг) .

ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОПУЛЯЦИЙ

В этом разделе мы рассмотрим два метода представления менделев- ской популяции с помощью диаграмм. Согласно первому из них (рис. 1.2), популяцию изображают в виде равностороннего треугольника. Разделим основание треугольника на два отрезка в отношении р : q. Через точку деления проведем прямые, параллельные сторонам треугольника. Площади полученных таким образом фигур относятся как р2 : 2р<7: q2. Малый равносторонний треугольник соответствует квадратичному члену для гомозигот, а параллелограмм — члену, представляющему собой произведение для гетерозигот. Для двух аллелей одинаково пригодны как треугольная система координат, так и обычная прямоугольная. Однако, как мы увидим далее (гл. 5), для множественных аллелей удобнее использовать первую.

Согласно второму методу, популяцию представляют точкой внутри равностороннего треугольника [99, 652], который образует систему треугольных координат. Пусть точка Р внутри треугольника на рис. 1.3 изображает популяцию (£>, Н, Р), и пусть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на основание треугольника, равна Н, т. е. частоте

гетерозигот. Аналогичным образом, пусть длины перпендикуляров, опущенных из точки Р на левую и правую стороны треугольника, соответственно равны D и Р. Из планиметрии известно, что сумма длин трех таких перпендикуляров, т. е. D-\-R + H, равна высоте равностороннего треугольника, которую можно принять за единицу. Таким образом, любую популяцию Р= ф, Н, Р) можно графически представить в виде

Рис. 1.2. Частоты трех генотипов в популяции со случайным . скрещиванием представлены в виде площадей трех частей равностороннего треугольника [327].Рис. 1.2. Частоты трех генотипов в популяции со случайным . скрещиванием представлены в виде площадей трех частей равностороннего треугольника [327].

Рис. 1.2. Частоты трех генотипов в популяции со случайным . скрещиванием представлены в виде площадей трех частей равностороннего треугольника [327].

Рис. 1.2. Частоты трех генотипов в популяции со случайным . скрещиванием представлены в виде площадей трех частей равностороннего треугольника [327].

Рис. 1.3. Популяция представлена точкой P~(D, Н, R) в треугольной системе координат.Рис. 1.3. Популяция представлена точкой P~(D, Н, R) в треугольной системе координат.

Рис. 1.3. Популяция представлена точкой P~(D, Н, R) в треугольной системе координат.

Рис. 1.3. Популяция представлена точкой P~(D, Н, R) в треугольной системе координат.

точки внутри равностороннего треугольника с D+H+P= 1. Популяция, представленная на рис. 1.3, примерно соответствует Р= (0,7; 0,2; 0,1). Треугольная система координат широко применяется и в других областях науки; для облегчения построения подобных графиков можно использовать бумагу, разграфленную на треугольники.

Если две популяционные точки Рх и Р2 лежат на одной прямой, соединяющей вершину с основанием треугольника (как показано на рис. 1.4), то отношение частот двух гомозиготных типов в обеих популяциях

будет одинаковым, т. е. Dx : RX = D2: R2. При этом частоты генов в популяциях разные.

Если две популяции Рх и Р2 находятся на одной прямой, перпендикулярной основанию, как это показано на рис. 1.5, то они имеют одинаковые частоты генов. Точки, изображенные на рис. 1.5, имеют следующие координаты: Рх= (0,11; 0,46; 0,43) и Р2= (0,28; 0,12; 0,60), а соответ-

Рис. 1.4. Если две популяции (Pi и /у находятся на одной прямой, соединяющей вершину треугольника с его основанием, то отношения D]R в этих популяциях одинаковы.Рис. 1.4. Если две популяции (Pi и /у находятся на одной прямой, соединяющей вершину треугольника с его основанием, то отношения D]R в этих популяциях одинаковы.

Рис. 1.4. Если две популяции (Pi и /у находятся на одной прямой, соединяющей вершину треугольника с его основанием, то отношения D]R в этих популяциях одинаковы.

Рис. 1.4. Если две популяции (Pi и /у находятся на одной прямой, соединяющей вершину треугольника с его основанием, то отношения D]R в этих популяциях одинаковы.

Рис. 1.5. Если две популяции представлены точками, лежащими на одной прямой, перпендикулярной основанию, то они имеют одинаковые частоты генов.Рис. 1.5. Если две популяции представлены точками, лежащими на одной прямой, перпендикулярной основанию, то они имеют одинаковые частоты генов.

Рис. 1.5. Если две популяции представлены точками, лежащими на одной прямой, перпендикулярной основанию, то они имеют одинаковые частоты генов.

Рис. 1.5. Если две популяции представлены точками, лежащими на одной прямой, перпендикулярной основанию, то они имеют одинаковые частоты генов.

ствующие частоты генов /?1 = 0,11+0,23 = 0,34 и /?2=0,28+ 0,06 = 0,34. Любая другая точка, лежащая на этой прямой, также будет иметь частоту гена р = 0,34.

Как уже говорилось, для равновесной популяции со случайным скрещиванием (D, Н, R) = (p2, 2pq, q2), а частоты генотипов связаны уравнением WR = H2, которое графически изображается параболой (рис. 1.6). Другими словами, парабола есть геометрическое место точек, представляющих собой популяцию (р2, 2pq, q2). Если опустить перпендикуляр из любой точки параболы на основание треугольника, разделив

тем самым основание на два отрезка точкой Т, то отношение длин лево

параболы изображает популяцию ^—-, 1параболы изображает популяцию ^—-, 1го и правого отрезков будет равно р : q. Обе боковые стороны треугольника являются касательными к параболе в ее конечных точках. Вершина

параболы изображает популяцию ^—-, 1

параболы изображает популяцию ^—-, 1

—;с частотами генов p = q =

24

2

Из § 4 нам известно, что любая произвольно взятая популяция (D, Н, Л) при случайном скрещивании в следующем же поколении примет вид (р2, 2рр, р2), где p = D+^-H представляет собой частоту гена в

обеих популяциях— (D, Н, R) и (р2, 2рр, р2). Это значит, что точка

Рис. 1.6. Точки, представляющие популяции со случайным скрещиванием, Р= = (р2, 2pq, q2), лежат на параболе H2=4DR.Точка, изображающая любую произвольную панмиктическую популяцию (Р, Н, R), через одно поколение опустится или поднимется по вертикали до параболы.Рис. 1.6. Точки, представляющие популяции со случайным скрещиванием, Р= = (р2, 2pq, q2), лежат на параболе H2=4DR.Точка, изображающая любую произвольную панмиктическую популяцию (Р, Н, R), через одно поколение опустится или поднимется по вертикали до параболы.

Рис. 1.6. Точки, представляющие популяции со случайным скрещиванием, Р= = (р2, 2pq, q2), лежат на параболе H2=4DR.

Точка, изображающая любую произвольную панмиктическую популяцию (Р, Н, R), через одно поколение опустится или поднимется по вертикали до параболы.

Рис. 1.6. Точки, представляющие популяции со случайным скрещиванием, Р= = (р2, 2pq, q2), лежат на параболе H2=4DR.

Точка, изображающая любую произвольную панмиктическую популяцию (Р, Н, R), через одно поколение опустится или поднимется по вертикали до параболы.

внутри треугольника на рис. 1.6, соответствующая произвольно взятой исходной популяции, будет смещаться к параболе по вертикали, так как точки на одной и той же вертикальной прямой будут иметь одну и ту же частоту гена. Следовательно, точки, находящиеся над параболой, будут опускаться по вертикали на параболу, а точки, находящиеся под параболой, — подниматься по вертикали до нее.

ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ

К. Пирсон [503] никогда не был убежден в универсальности мен- делевского наследования, сомневаясь, по-видимому, в дискретности природы «фактора» (гена). Однако он был хорошо знаком с моделью расщепления и рекомбинации генов. В 1904 г. он показал, что если особи поколения fJ—,—, — от исходной комбинации родителей ААХаа \ 424 )

размножаются путем случайного скрещивания, то состав следующего поколения должен быть тем же самым, что и в Р^.

Составьте таблицу величин (р2, 2pq, q2) для <7=0,007; 0,004; 0,001.

Если частота одного из генов столь мала, что частота другого аллеля близка к единице, частоты Харди—Вайнберга принимают предельные значения. Предположим, что q настолько мала, что величиной q2 можно пренебречь; наша равновесная популяция будет очень близка к популяции (1—2q, 2q, 0). При этом почти все рецессивные гены будут

находиться в гетерозиготном состоянии, а доля гетерозиготных особей будет приблизительно равна удвоенной частоте рецессивного гена [194, 465]. В случае с альбинизмом человека при q=0,007 доля гетерозиготных индивидуумов равна приблизительно // = 0,014 = —, о чем мы уже говорили в тексте.

Каким будет состав следующего поколения при случайном скрещивании, если исходная популяция имеет вид (0,16; 0,48; 0,36)? Проведите детальный расчет, следуя табл. 1.2.

Рассчитайте доли трех генотипов в следующем поколении для перечисленных ниже панмиктических популяций:

(0,25; 0,10; 0,65); (0,30; 0; 0,70); (0; 0,60; 0,40).

Укажите, какие из перечисленных ниже популяций равновесны, а какие нет. Для последних найдите состояние равновесия.

(0,50; 0; 0,50); (25; 10; 1); (0,36; 0,15; 0,49); fl, 1, — V\4 /

(0,09; 0,10; 0,81); (0,45; 0,45; 0,10); (0,22; 0,36; 0,42);

(0,5625; 0,3750; 0,0625).

принимает максимальное значение припринимает максимальное значение приПокажите, что если ввести и=— = —, то равновесная популяция примет вид (1, 2и, и2).

принимает максимальное значение при

принимает максимальное значение при

Покажите, что Н=

(и+1)2 и= 1.

Найдите процент гетерозиготных особей в популяции со случайным скрещиванием, в которой имеется 5% особей рецессивного фенотипа. Ответ: 2(1—КбД5) Х]/оМ=34,7%.

Если в популяции особи с доминантным фенотипом составляют 5%, то какой процент от общего числа особей должны составлять гетерозиготные особи? '

Ответ: // = 2(1—/0,95)Х К0,95 = 2 (0,02532) X (0,97468) =4,936%, в то время как доля особей АА составляет только (0,02532)2=0,064%. Таким образом, преобладающее большинство доминантных аллелей находится в гетерозиготном состоянии, и поэтому скрещивания АаХаа будут происходить гораздо чаще, чем ААХаа.

Рассчитайте доли генотипов в равновесных популяциях с <7 = 0,1; 0,2; ...; 0,9 и разместите соответствующие точки в равностороннем треугольнике подобно тому, как это сделано на рис. 1.3.

Из 14 345 лисиц, изученных Ромашовым и Ильиной [557], 12 лисиц были черными, 678 имели промежуточную окраску, а 13 655 лисиц— рыжими. Найдите частоты генов черной и красной окраски меха в популяции лисиц. Соответствуют ли наблюдаемые численности ожидаемым, исходя из закона Харди—Вайнберга? (Описание подходящего статистического теста приводится в следующей главе.)

Пусть х, у, z соответственно доли особей АА.Аа и аа в некоторой популяции; x+y+z= 1. Покажите, что

(2х + у) (у + 2z) = 4xz -угА- Чу.

Чему равно произведение (2х + у) (y + 2z), если в данной популяции подбор пар случаен и, таким образом, 4xz—t/2 = 0?

Если мы обозначим долю особей Аа в популяции (x+2y+z=l) через 2у, то многие математические выражения из этой и последующих глав упростятся. В этих обозначениях р = х+у и q=y+z, а уравнение

параболы (рис. 1.6), являющейся геометрическим местом точек, представляющих равновесные популяции, примет вид xz—у2 = 0. В более общем виде это уравнение можно записать так:

^- + ^-= 1.

x-Vy у+^

Дробь является долей одного из аллелей, находящихся в гомози-

х + у.

готном состоянии. Далее мы увидим, что это обозначение можно с успехом использовать и в случае множественных аллелей (гл. 5).

Зная, что pA-q=l, проверьте правильность следующих соотношений:

Р + 2g = 1 + q = 2 — р, р + pq+ q- = 1, 1 — 2g = р — q = р2 — g2, g(l— g) = p(l — p), p2 + g2 = (p — g)2 + 2pg,

p(l + g)= 1—g2, g3+pg2=(l—p)2, p3 + g3 — (p — g)2 = pq, 4-(l +g)2 = p(3+g), g + 4"P2 =44— + —=—.p q pqp(l + g)= 1—g2, g3+pg2=(l—p)2, p3 + g3 — (p — g)2 = pq, 4-(l +g)2 = p(3+g), g + 4"P2 =44— + —=—.p q pq(1 — 2g)2 = (1—2p)2= 1 —4pg,

p(l + g)= 1—g2, g3+pg2=(l—p)2, p3 + g3 — (p — g)2 = pq, 4-(l +g)2 = p(3+g), g + 4"P2 =

44

— + —=—.p q pq

p(l + g)= 1—g2, g3+pg2=(l—p)2, p3 + g3 — (p — g)2 = pq, 4-(l +g)2 = p(3+g), g + 4"P2 =

44

— + —=—.p q pq

Применение закона Кастла-Харди—Вайнберга

В предыдущей главе мы рассмотрели аналитическое выражение закона Кастла, или Харди—Вайнберга, а теперь рассмотрим его практическое применение. Мы .разберем несколько примеров и убедимся, что закон на самом деле выполняется в природе, а затем выведем ряд теорем, которые следуют из этого фундаментального закона.

ОТСУТСТВИЕ ДОМИНИРОВАНИЯ

Простейшим является случай, когда все три генотипа распознаются непосредственно. Примером такого рода служит система групп крови ?4N человека. Пусть а, b и с — наблюдаемые.численности особей генотипов AiAi, АИг и А2А2 соответственно в случайной выборке из п = а + + Ь + с особей. Такая выборка эквивалентна случайной выборке в 2л генов, из которых 2xi = 2a+b — это гены А^ а 2х2 = Ь+2с — гены А2. Все вышесказанное можно свести в следующую таблицу:

Генотип

Численность

Л1Л1 Л1Л2 Л2Л2 аbс

Сумма

п

Ген

Число генов

ЛхЛг

2хх = 2а + 6 2х2 = 6 + 2с

2а

Оценки частот генов Ai и А2 в данной популяции соответственно равны

,2а + 6 х,, _ Ь — 2с х2

2п п '2а п

с дисперсией выборки

(2v)(2v)V(^) = V(9') = ^-.

(2v)

(2v)

2п

Такая оценка является оценкой максимального правдоподобия частоты гена в популяции (упр.1 и 2).

Если выборка достаточно велика, то ожидаемые численности разных генотипов в выборке будут следующими:

АХАХА АА2А2Сумма

а' = пр1 = —b' = 2npq = -Х1Х2 с' = nq1 = -^- п ^ пап

Для того чтобы выяснить, соответствуют ли наблюдаемые численности

особей этих трех генотипов численностям, ожидаемым на основании закона Кастла (Харди—Вайнберга), можно использовать критерий хи-квадрат

%2 = (Д~ Д')2 + (»-6')2 + (С-С')2а' Ь' с'

с одной степенью свободы (потому что мы ввели два ограничения: a'-V -Vb'-Vc'=n и р = хх(пу

Поскольку генотип ДИ1 образуется в результате объединения гаметы Д1 самца с гаметой Ai самки и т. д., то наблюдаемые численности генотипов можно представить в виде таблицы сопряженности признаков (2x2), из которой можно рассчитать величину хи-квадрат:

Аллели

AiА2

Сумма

Ai

1 а—Ь

1

о + 2 ^

Аг

-yb + c

Сумма

"Ть+с

п

(4ас —Ь^_п__(2а+Ь)*(Ь+2с)* '(4ас —Ь^_п__(2а+Ь)*(Ь+2с)* '

(4ас —Ь^_п__

(2а+Ь)*(Ь+2с)* '

(4ас —Ь^_п__

(2а+Ь)*(Ь+2с)* '

В идентичности двух выражений для хи-квадрат (4 и 4') легко убе/ п .2ct -{- Ь\

диться с помощью подстановок а = пр2 (где р =—— 1 и т. д. 2п /

В качестве числового примера можно рассмотреть данные Райда [200а], который определил группы крови более чем у тысячи китайцев в Гонконге и получил следующие результаты:

Численность

Группа крови

Общая численность

М

MN

N

Наблюдаемая

342

500

187

1029

Ожидаемая

340,6

502,8

185,6

1029

р = 0,5753;

д= 0,4247;%2 = 0,032; уровень значимости 0,85

Почти полное совпадение наблюдаемых численностей с ожидаемыми показывает, насколько точно биологическое явление можно описать математически. Этого весьма простого примера вполне достаточно для того, чтобы уяснить себе важность аналитической обработки генетических данных.

§ 2. ОЖИДАЕМЫЕ ЧИСЛЕННОСТИВ МАЛЫХ ВЫБОРКАХ

Эффективный размер выборки в определенной степени зависит от частот генов. Если частота гена очень низка и величина q2 поэтому очень мала, выборка должна быть довольно большой, чтобы .в нее попали несколько особей аа. Выборка среднего размера может вообще не содержать особей аа. Изложенный ранее метод, связанный с использованием соотношения а'=пр2 и т. д., может быть применен только к большим выборкам или в тех случаях, когда частоты генов не слишком малы. Этим методом нельзя пользоваться, когда частота гена столь низка, что nq2-<l, т. е. при q<^l Vп-

Если выборка мала, то ожидаемые численности разных генотипов можно найти выборочным методом из популяций конечного размера с данной (наблюдаемой) частотой гена в выборке. Обратимся еще раз к выборке (1). Ее можно рассматривать как некую конечную совокупность (pool) 2п генов, из которой сделаны два последовательных выбора генов без возвращения. Вероятность выбора гена Ai в первый раз равна Х\]п; тогда вероятность выбора гена Ai вторично будет равна (2xt—1)/(2п—1). Таким образом, вероятность последовательного выбора двух генов Ai (т. е. генотипа AiAi) из такой фиксированной суммы генов будет равна %i(2xi—l)/n(2n—1). Умножив эту вероятность на п, получим ожидаемую численность генотипа AiAi в данной выборке. Аналогичным образом можно найти ожидаемые численности особей AtA2 и А2А2. Итак, [240, 329]:

А^ А^ А^ А2 А2 А2 Сумма

Xi (2X1— 1) 4х! х2 х2 (2х2 — 1) (5) 2п—1 2п — 1 2п—1 П

Обратите внимание, что в примере (5) получается несколько большая численность гетерозигот, чем в примере (3), и соответственно несколько меньшие численности гомозигот.

В приведенном выше рассуждении для совокупности 2м генов не принят во внимание пол. В действительности здесь имеются два набора генрв: один — из гамет п самцов, а другой — из гамет п самок. Обычно когда говорят, что генотип AiA2 имеется у а особей из выборки, то подразумевают, что в каждом из двух наборов содержится по крайней мере а генов Аь Точно так же наличие в выборке с особей генотипа А0А2 говорит о том, что в каждом из двух наборов присутствуют по крайней мере с генов А2. Далее, если b особей из выборки имеют генотип AiA2, т. е. содержат как b генов Аь так и b генов А2, то вероятности получения каждой особью одного из генов от одного пола и другого гена от другого пола равны. Обозначим через s численность гетерозигот, которые получили ген Ai от самцов, а ген А2 от самок. Остальные b—s гетерозигот получили ген Ai от самок и ген А2 от самцов. Все сказанное можно суммировать следующим образом:

. Наборгамет самцов(лаа + s(А^с + (6 — s)Суммап. Наборгамет самцов(лаа + s(А^с + (6 — s)СуммапНаборгамет самок(ЛАа + (6 — s)(А2)с + SСуммапНаборгамет самок(ЛАа + (6 — s)(А2)с + SСуммап

. Набор

гамет самцов

(ла

а + s

(А^

с + (6 — s)

Сумма

п

. Набор

гамет самцов

(ла

а + s

(А^

с + (6 — s)

Сумма

п

Набор

гамет самок

(ЛА

а + (6 — s)

(А2)

с + S

Сумма

п

Набор

гамет самок

(ЛА

а + (6 — s)

(А2)

с + S

Сумма

п

Величина s представляет = 0, 1, 2...& с вероятностями, чтоВеличина s представляет = 0, 1, 2...& с вероятностями, чтособой биномиальную переменную: s = / 1 1 1 V даваемыми разложением IИ—j , таксобой биномиальную переменную: s = / 1 1 1 V даваемыми разложением IИ—j , такE(s^^b,E(s^^b,

Величина s представляет = 0, 1, 2...& с вероятностями, что

Величина s представляет = 0, 1, 2...& с вероятностями, что

собой биномиальную переменную: s = / 1 1 1 V даваемыми разложением IИ—j , так

собой биномиальную переменную: s = / 1 1 1 V даваемыми разложением IИ—j , так

E(s^^b,

E(s^^b,

где Е — математическое ожидание. Вероятность получения гомозиготы AiAi при случайном объединении гамет от обоих полов представляет собой Следующую ожидаемую величину:

Вероятность (Дт AJ = Е (fl—+ 6—= Е (а2-V ab А~ bs — s^in1 =\ n / \ п /

Г/ 1\2

— (а + — b )— b /гг2.

2 /4 J

Умножив эту вероятность на п, получим ожидаемую численность особей AiAi в выборке. Таким же способом можно подсчитать численности AiA2 и А2А2. Каннинге и Эдвардс [55], введя Xi = a+— b и х2 =

=с-\-—Ь, представили ожидаемые численности разных генотипов в виде

A Alп 4пA Alп 4п(6)(6)Аг Д2 Д2 Д2 Сумма

A Al

п 4п

A Al

п 4п

(6)

(6)

2хг х2 । Ьп

п 2п п 4п

Сравнивая выражения (3) и (6), можно убедиться, что первые члены (6) представляют собой обычные ожидаемые величины для больших выборок, тогда как вторые члены дают отклонение от равновесных долей. Ожидаемые исходя из (6) численности гетерозигот оказываются несколько большими; это же относится и к (5). В табл. 2.1 приведены ожидаемые численности, полученные разными методами для малых выборок. Видно, что числа в столбце (5), рассчитанные на основе представления о едином наборе 2п генов, почти не отличаются от соответствующих цифр столбца (6), полученных исходя из представления о двух отдельных наборах по п генов в каждом. Из выражений (6) ясно видно, что даже при Ь=п отличие составляет только 1/2 гетерозиготы.

Таблица 2.1

Наблюдаемые и ожидаемые численности генотипов в малой выборке из популяции со случайным скрещиванием

Генотип

Наблюдаемая численность

Число генов

Частота гена

Ожидаемые численности

(3)

(5)

(6)

Л1 Лг

7

(ЛА 24

р = 0,60

7,200

7,077

7,075

Л1 Л2

10

(Л2) 16

q = 0,40

9,600

9,846

9,850

^2 ^2

3

3,200

3,077

3,075

Всего

20

40

1,00

20

20 '

20

ДОМИНИРОВАНИЕ

Если имеются только два фенотипа — доминантный и рецессивный, то определить частоту генов в выборке из панмиктической популяции довольно просто. Пусть D и R — наблюдаемые численности особей с доминантным и рецессивным признаками в случайной выборке из G особей (D4-R = G). Тогда частоту рецессивного гена (опуская штрих) можно записать как

q1 = RIG, q = VRIG, . (7)

V(9) = ^. (7v)

G 4G

Вывод этих формул для дисперсии приведен в упр. 3 в конце главы. Заметим, что выражения (7) справедливы только тогда, когда популяция достаточно велика и скрещивания происходят случайно; в противном случае доля рецессивных особей RjG ни в коей мере не может быть использована для оценки q2. Именно в этом состоит отличие данного выражения от формул (2), которые справедливы независимо от того, случайно скрещивание или нет.

Оценка частоты гена по двум фенотипам (D, R), конечно, менее точна, чем по выборке (а, Ь, с) без доминирования. Это отражается и на величине соответствующих дисперсий (7 v), которые всегда превышают дисперсию (2 у) при одинаковом размере выборок G = n. В этом проще всего убедиться, если записать (7 у) в несколько другом виде, заменив 2pq-\-p2 на 1—q2. Тогда, согласно [366], получим

V(7') = kr±2 = -W- + -£t . (7v) ’ 4G 2G 4G v '

Первый член этого выражения представляет собой (2 у), а из второго видно, что чем больше частота гена, тем больше приращение дисперсии.

Хотя RjG представляет собой несмещенную оценку q2, для малых выборок VRIG оказывается смещенной (заниженной) оценкой q. Холдейн [212] предложил ввести следующую поправку:

Эта поправка полностью не устраняет смещение, но значительно уменьшает его даже для очень небольших выборок, как это видно из табл. 2.2, где взята малая выборка (7=5 из популяции с с/2=0,5 и ^=0,7071 и использована поправка Холдейна. Выборочное распределение R дается формулой (^ + "у"У- Среднее значение <7 = 0,7054, полученное после поправки, ближе к истинному значению ^=0,7071 в популяции, чем среднее </=0,6806, полученное обычным способом.

Можно записать (7 у) и в другом виде, введя представление об эффективном размере выборки. Большая дисперсия (1—q^j^G для случая с доминированием эквивалентна дисперсии для выборки меньшего объема без доминирования. Пусть Ge будет эффективным разме-

'Таблица 2.2

Сравнение двух оценок частоты рецессивного гена в выборках (с 6 = 5 особям) из популяции с <72=О,5; <7=0,7071

Наблюдаемые численности особей

Число

с рецессивным признаком

выборок

V 6

V

0

1

0

0,2182

1

5

0,4472

0,4880

2

10

0,6325

0,6547

3

10

0,7746

0,7868

4

5

0,8944

0,8997

5

1

1,0000

1,0000

Сумма Среднее

32

0,6806

0,7054

ром выборки (эквивалентным размеру в случае без доминирования). Тогда мы получаем уравнение

которое даеткоторое дает* 4G 2Ge ’

которое дает

которое дает

Ge = G

Это означает, что информация, получаемая при каждом наблюдении в случае доминирования, составляет [2^/(1+^)] долю от соответствующей информации при отсутствии доминирования. Обратите внимание на то, что это отношение имеет тот же смысл, что и эффективность оценки, определяемая обычно как

ЭффективнЬсть = -^-/1—1. = 2,726/461 + <7 ‘

Если q близко к единице, доминирование не дает какого-либо отличия в эффективности.

ТИПЫ СКРЕЩИВАНИЯ; ОТНОШЕНИЕ СНАЙДЕРА

При наличии доминирования для проверки предположения о контроле некоторого признака одной парой аутосомных генов обычно требуются данные, охватывающие два поколения. Это предположение можно проверить, основываясь и на данных по одному поколению, а именно путем рассмотрения пар сибсов, согласно Коттермэну [73] и Райфу [543]. Эти методы мы рассмотрим несколько позже. При наличии доминирования имеется только три различных типа скрещивания. Обратившись к табл. 1.2, мы увидим, что первые три варианта скрещивания являются скрещиваниями типа ДоминантныйХДоминантный (ДомХДом); четвертый и пятый принадлежат к типу ДоминантныйХ ХРецессивный (ДомХРеи), а последний относится к типу Рецессив- ныйХРецессивный (РецХРец). Объединив два столбца с потомками ДА и Аа, можно получить долю особей с доминантным признаком. Тогда табл. 1.2 примет вид табл. 2.3, из которой видно, что в семьях ДомХ

ХДом отношение долей потомков с доминантным и рецессивным признаками равно (l-J-2<7) : q2, а в семьях ДомХРец— 1 : q. Доли особей с рецессивным признаком среди потомков семей этих трех типов равны соответственно

(9)(9)S2 =—q-—, 51 = -Д-, S0=l.

(9)

(9)

2(! + <?)= ’11-f- <7°

Эти соотношения получены Снайдером [58]. Читателю полезно запомнить, что S является первой буквой фамилии Снайдер, а индекс при S указывает на число доминантных родителей в семье.

Таблица 2.3

Типы и частоты скрещиваний и потомков от этих скрещиваний в панмиктической популяции при доминировании

Тйп скрещивания

Частота скрещивания

Потомки

с доминантным признаком

с рецессивным признаком

ДомХДом

(l-q^=p41+qy

P^+Sq)

pV

ДомХРец

2q^l-<f) = 2pq^(l+q)

2pq^

2pqS

РецXРец

ОТ = q4

0

q4

Для всех типов скрещивания

1,00

Р2 + 2pq

q2

Соотношения (9) представляют собой усредненные доли для различных менделевских расщеплений. Так, к примеру, в Si включены особи с рецессивным признаком, получившиеся в результате расщеплений 1:0 и 3:1, причем каждое из этих расщеплений берется с весом, соответствующим частоте скрещивания данного типа. Результирующая доля рецессивных особей является функцией частоты гена в популяции, так как доля гомозигот от числа доминантных гетерозигот и частоты скрещивания являются функциями частот генов. Очевидно, что S^c— и 5i<—, потому что лишь у части семей ДомХДом рецессив- 42

„1

ныи признак несет — потомства; другие же семьи этого типа совсем не 4,

дают таких потомков и т. д. Отношения S2 и Si меняются от признака к признаку в одной и той же популяции и от популяции к популяции для одного и того же признака в противоположность менделевским отношениям, постоянным для всех признаков и для всех популяций. Снайдер [583] удачно назвал S2 и Si «популяционными соотношениями» (population ratios).

Определив величину q (ее оценка производится из выборки), мы можем рассчитать теоретические доли потомков с рецессивным признаком от семей двух различных типов, сравнить их с наблюдаемыми величинами и таким образом проверить справедливость предположения о контроле этого признака одной парой аутосомных генов с отношениями доминирования.

Выборочные дисперсии S2 и Si можно очень просто найти с помощью дельта-метода, вспомнив, что, согласно формуле (7v), V(q') = = (1—^2)/4G. Далее мы имеем dS2ldq=2ql(1+<7)3ndS1jdq=ll (Д-\^2- Следовательно, для больших выборок

(9v)(9v)v(s.3) = №2

(9v)

(9v)

\ dq /G (1 + <7)e

у (S1) = V(q) = . (9v) \ dq ) 4G (1 +

Следует отметить идентичность этих выражений тем, которые приводятся в различных работах Снайдера. Единственное замечание, которое стоит сделать по поводу формул (9 v),' состоит в том, что G в них обозначает число независимых особей, учтенных при определении q.

Таблица 2.4

Наследование людьми способности ощущать вкус фенилтиомочевины (ФТМ) [583]

Число семей с соответствующим типом скрещивания

Число потомков

Наблюдаемая доля неощущающих потомков

ощущающих

неощущающих

сумма

425 (ОО X О)

929

130

1059

S2 = 0,123

289 (ОХ Н2))

483

278

761

Si = 0,365

86(НХН)

(б)2)

218

218

So = 1,000

800

1412

626

2038

Ч О — ощущающий.

2) Н — неощущающий.•

®) Такой результат может быть обусловлен незаконнорождением, усыновлением, ошибками в диагнозе и т. д. При анализе данных мы не принимаем его во внимание.

Для числовой иллюстрации метода Снайдера рассмотрим данные по наследованию человеком способности ощущать вкус фенилтиомочевины (ФТМ). В табл. 2.4 приведены данные для 1600 родителей, не находящихся между собой в родственных отношениях, и их 2038 детей, которые уже не являются независимыми ни друг от друга (так как среди них есть сибсы), ни от своих родителей. Поэтому наша выборка эквивалентна такой выборке, которая включает более 1600, но менее 3638 независимых индивидуумов. Все же в соответствии с поставленной целью мы можем, используя данные табл. 2.4 (в которой не приводятся численности отдельных групп сибсов и размеры этих групп), выбрать приближенный способ определения q, основываясь на данных для всех 3638 индивидуумов. Так, мы имеем здесь 2-86+289 родителей и 626 детей с рецессивным признаком. Поэтому q2 = 1087/3638 = = 0,2988, откуда q = 0,5466. Подставив эти значения в уравнения (9), мы получим следующие ожидаемые доли:

S2 = 0,125 и S1 = 0,353, что хорошо согласуется с наблюдаемыми значениями. Это подтверждает предположение о том, что способность ощущать вкус ФТМ является простым доминантным менделевским признаком. (С оговорками относительно применимости этого метода можно ознакомиться в гл. 10, а также в работе [359].)

ТИПЫ ПАР МАТЬ —РЕБЕНОК

Когда мы имеем дело с аутосомными генами, четыре типа пар родственников: отец—сын, отец — дочь, мать — сын и мать — дочь не отличаются друг от друга; наиболее общий термин для обозначения пар такого типа — это родитель — потомок (РП). Здесь, однако, мы используем термин «мать — ребенок» (МР), поскольку большая часть

имеющихся данных касается именно таких пар, и в этом случае мы точно указываем родителя. '

Рассматривая одну пару генов (без доминирования), можно представить себе девять типов пар (сочетаний) МР. Однако два сочетания (мать АА— ребенок аа) и (мать аа— ребенок АА) невозможны, так что в действительности существует только семь различных сочетаний. Частоты этих семи сочетаний в популяции со случайным подбором пар можно определить самыми разными способами. Проще всего переписать табл. 1.2, отделив при этом друг от друга реципрокные скрещивания между родителями так, чтобы получить в таблице девять различных скрещиваний, а затем выделить в ней три группы, соответствующие генотипу одного из родителей (скажем, матери). В результате мы получим приведенную здесь табл. 2.5. Все эти действия читателю следует проделать в качестве упражнения.

Если А доминирует над а, мы обнаружим только четыре фенотипически различимых сочетания МР. Их частоты даны в табл. 2.6, для составления которой были сложены частоты из табл. 2.5, соответствующие фенотипически неразличимым сочетаниям. Другая форма записи табл. 2.6 дана в упр. 10.

Таблица 2.5

Частоты сочетаний МР в популяции со случайным скрещиванием

■Таблица 2.6

Частоты сочетаний MP при наличии доминирования

Мать

Ребенок

Сумма

Мать

Ребенок

Сумма

АА

Аа

аа

А—

аа

АА

Р3

p^q

0

P2

А—

PU+pq)

pq2

P2+2pq

Аа

РгЧ

pq

qp3

2pq

аа

pq2

q3

q2

аа

0

pq1

q3

q2

Сумма

Р2

2pq

q2

1,00

Сумма

P2+2pq

q2

1,00

ОЦЕНКА ЧАСТОТ ГЕНОВ ПО ДАННЫМ ПАР МР

Предположим, что табл. 2.7 представляет собой сводку данных по группам крови человека, где а обозначает наблюдаемые численности пар МР, a ILa = G соответствует общему числу пар МР (включающих 2 G индивидуумов с 4 G генами). Мы можем определить частоты генов, основываясь исключительно на данных о G матерях или только на данных о G детях, однако при таком подходе отбрасывается информация, поставляемая другими G индивидуумами. Применяя противоположный подход, можно определить частоты генов из данных по суммарным совокупностям матерей и детей, представленных в табл. 2.7. Однако здесь- возникают трудности, связанные с тем, что эти 2 G индивидуумов не являются независимыми друг от друга, и поэтому в нашей выборке нет 4 G независимых генов; таким образом, в этом случае дисперсия оценок не равна pqlAG, как должно было бы следовать из формулы (2v). Поскольку каждый ребенок имеет общий ген со своей матерью, ясно, что на одну пару МР приходится только три независимых гена (хотя полное число генов равно, очевидно, четырем).

Наиболее подходящим методом определения частот генов из данных по парам МР является метод максимального правдоподобия (maximum likelihood method). Применяя его к известным численностям отдельных сочетаний («ь а2,.... а^ совместно с соответствующими им

Таблица 2.7

Ожидаемые численности различных пар МР

Мать

Ребенок

Общее число матерей

М

MN

N

М

«1

^2

0

Щ + а2

MN

а3

а4

«5

«3 Т-Щ + йд

N

0

а6

«7

а6 4- а7

Общее число детей

Щ-г^з

^2'i "^4"'i ^6

«5 + «7

G

вероятностями, приведенными в табл. 2.5, получим

£ = «i log р3 + (а2 + а3) log р2 q + а4 log pq + («5 + «в) N Р92 + «7 log 4’-

Это выражение можно существенно упростить, учитывая то, что logp2^ = 2 log р +log q и т. д„ так что все члены этого уравнения будут выражены через компоненты, включающие или log р, или log q. Объединив эти члены, мы получим, что

L = В log р + С log q, где 1'

В = За4 4- 2 (я3 4- я3) 4- «4 4- (р- 4~ ^6), а

С = (я2 4* «з) 4* а4 4* 2 (Ps + cig) 4~ Зя7.

Следует обратить внимание на то, что сумма Вр-С содержит утроенные а всех видов, за исключением ц4, которое в этой сумме только удвоено. Следовательно, В-рС=ЗС—а4. Положив dL!dp = 3 и разрешив это уравнение относительно р, мы получим

_ В _ Зен + 2 (а2 4- Дз) + а» 4" (“5 4" а»)С1 О')

И В-рС3G—a4’1 ’

==(10v)

Н G 3u — CI4

Выражение (10) содержит информацию о количестве независимых генов. Так, в каждом сочетании мать(М)—ребенок (М) имеются три независимых гена М, чему соответствует член Заь В сочетании мать (М)—ребенок(MN) ребенок получает ген М только от матери, а его ген N является независимым. Таким образом, из трех независимых генов этой пары здесь имеются два гена М, которым соответствует член 2а2, и т. д. Мы должны, однако, отметить, что сочетание мать (ММ) — ребенок (ММ) следует рассматривать так, как если бы здесь имелись только два независимых гена, один из которых —■ ген М; при такой комбинации мы не можем судить о том, какой именно ген получил ребенок от матери — М или N [75]. Теперь мы видим, что выражение (10) дает долю независимых генов М в совокупности из 3 G—сц независимых генов.

Поскольку каждая пара ММ—ММ обладает двумя независимыми генами и частота таких пар в популяции со случайным скрещиванием равна pq и поскольку пары всех других типов обладают тремя независимыми генами каждая, то в среднем на каждую пару МР будет приходиться 2р^ + 3(1—pq) =3—pq независимых генов. Максимальное значение pq равно V4; следовательно, на одну пару МР приходится минимум 3,00—0,25=2,75 независимых генов. В случае с группами

крови MN, когда р и q близки к -у, сочетания MN—MN встречаются в популяции чаще любых других, так что среднее число независимых генов на одну пару МР приближается к своему минимальному значению. При малых р или q среднее число таких генов, приходящееся на пару родитель — ребенок, очень близко к трем. Иными словами, родитель и ребенок в этом плане эквивалентны приблизительно 1—независимым индивидуумам.

ТИПЫ ПАР СИБСОВ

Типы пар сибсов определяются типом скрещивания родителей. Если, к примеру, родители типа ААХАа имеют двоих детей, вероятность получения пар сибсов АА—АА, АА—Аа, Аа—АА или Аа—Аа для 1 каждого из этих случаев равна —.

4

Если различать порядок рождения сибсов (первый ребенок, второй ребенок), то во всей популяции число типов пар сибсов будет равно девяти; в противном случае это число равно шести. Семьи трех типов: ЛАХ^А, ДДХ^ и ааХаа дают только пары из одинаковых сибсов, тогда как семьи ААХАа и ааХАа могут производить пары сибсов

четырех типов. Единственным типом семьи, способным дать все девять

пар сибсов, является тип АаХАа. Вероятности получения этих девяти пар

задаются девятью членами выражениязадаются девятью членами выраженияДД+—АаА\ 42ДД+—АаА\ 42—аа\. Поэтому—аа\. Поэтому

задаются девятью членами выражения

задаются девятью членами выражения

ДД+—АаА

\ 42

ДД+—АаА

\ 42

—аа\. Поэтому

—аа\. Поэтому

для читателя, уже получившего представление о популяциях со случайным подбором пар, наиболее прямой способ расчета частот различных типов пар сибсов в общей популяции состоит в использовании модифицированной схемы вычислений из табл. 1.2. Три столбца, соответствующих отдельным детям под общим заголовком «Потомки», заменяются девятью (или шестью) столбцами для пар сибсов; в эти столбцы вносятся частоты различных видов пар сибсов для каждого типа скрещивания. Суммируя частоты из столбцов такой таблицы, мы получим частоты типов пар сибсов в обычной популяции, которые приводятся в табл. 2.8.

Если А доминирует над а, то, не принимая во внимание порядок рождения, можно выявить фенотипически только три типа пар сибсов. Поскольку доминирование встречается в практических задачад довольно часто, мы приводим в табл. 2.9 результаты расчета частот пар

Таблица 2.8

Частоты типов пар сибсов в популяции со случайным скрещиванием

Полные сибсы

АА

Аа

аа

Сумма

АА

■^•рЧх + р?

у-р29(1+р)

тр¥

P2

Аа

-^-p2q(l + p)

pq(l + pq)

-ypq2(l + q)

^pq

аа

-^ pq2(l + ?)

Y^O+e)2

q2

Сумма

Р2

^pq

q2

1,00

Таблица 2.9

Частоты пар сибсов в популяции со случайным скрещиванием при доминировании

Тип скрещивания

Частота скрещивания

Тип пары,

Дом — Дом

Дом — Рец

Рец — Рец

ААХАА

Р4

Р4

0

0

АА X Аа

4р^

4р3<?

0

0

Аа X Аа

4p2q-

w.(Ay

w-2(4)(4)

/ 1 \2

АА X аа

2pV

2p2q2

0

0

Аа X аа

4pq3

/ 1 v

^pq3- ("Г/

(4)

/ 1 \2

4 pq3-

аа X аа

q4

0'

0

q4

Сумма

1,00

Su

Sio

Soo

сибсов этих трех типов: таблица служит также для иллюстрации методики, описанной в последнем параграфе. Для семьи АаХАа вероятности получения пар сибсов Дом—Дом, Дом—Рец и Рец—Рец соответственно равны — ,2— ■—■ и — . Само собой разумеется, что \ 4 /\ 4 / \ 4 /\ 4 /

суммы частот из столбцов для пар сибсов (Зц, Зю, Soo) можно также получить сложением частот фенотипически неразличимых пар, приведенных в табл. 2.8. Суммарная частота пар сибсов аа—аа во всей популяции, согласно табл. 2.8, равна

sOo = q4 + pq3 + 4" р2 92 = 4 92 (1 + qf.

44

При наличии доминирования частота фенотипически неоднородных (дискордантных) пар сибсов во всей популяции равна

S10 = {^4 W = 4 р^2 (3 + 9)1

Максимальное значение Зю равно 0,272335; оно достигается при q = =0,686. Следовательно, во всей популяции частоты фенотипически однородных конкордантных пар всегда выше частот неоднородных пар независимо от частоты данного гена. Разница между ними составляет

Su + Soo — Sio = 1 — 2S10 = 1 — р^2 (3 4- <7).

В § 4 отмечалось, что признаки, обусловленные одной парой аутосомных генов с доминированием, можно изучать на основании данных по парам сибсов, ничего не зная о родителях [73]. Для этого нужно просто сравнить наблюдаемые доли трех типов пар сибсов с их теоретическими частотами. Коттермэн [73] распространил этот метод на группы сибсов большего размера: из трех, четырех, пяти и т. д. сибсов. Однако в некоторых случаях данный метод не позволяет ответить на вопрос, какой из фенотипов является доминантным. Чтобы проиллюстрировать здесь этот момент, мы привели в табл. 2.10 ряд числовых значений Зц, Зю, 300 при различных значениях q. Обратите внимание на то, что соответствующие частоты трех типов пар сибсов при <7=0,60 и <7=0,80 практически совпадут, если величины Зц или 3Оо поменять местами; следовательно, без привлечения данных по родителям нельзя 3—322

Таблица 2.10

Частоты типов пар сибсов в популяции со случайным подбором пар при доминировании (из [543])

q

Su

-$10

Soo

Примечания

0,01

0,9998255

0,0001490

0,0000255

^ю-^оо — 6:1

0,10

0,983025

0,013950

0,003025

0,20

0,9344

0,0512

0,0144

0,30

0,858025

0,103950

0,038025

0,40

0,7584

0,1632

0,0784

0,50

0,640625

0,218750

0,140625

0,60

0,5104

0,2592

0,2304-

5ц и Soo при перестанов-

0,70

0,374025

0,27I9601

0,354025

ке практически совпада-

0,80

0,2384

0,2432

0,5184—

ют

0,90

0,111025

0,157950

0,731025

Sio:Su = 2:1

0,99

0,0101

0,0196

0,9703

1 Это значение близко к максимально возможному.

сказать, какой признак в данном случае является доминантным, а ка

кой — рецессивным.

Следует отметить, что при полном доминировании дискордантные

пары сибсов могут возникнуть в результате только двух типов скрещиваний: АаХАа и АаХаа (см. табл. 2.9). Этот факт можно использовать при анализе наследования редких признаков [546]. Если некоторый признак является редким, то по нему обычно невозможно подобрать однородные пары сибсов, поскольку вероятность отсутствия у обоих членов пары признака, присущего подавляющему большинству сибсов общей популяции, весьма мала. Однако мы можем сравнить

частоту дискордантных пар с частотой пар, конкордантных по редкому признаку. Если редкий признак рецессивен, то практически все дискордантные пары сибсов происходят от скрещивания АаХ^а, которое о / 3 \ / 1 \/ 1 \2,

дает 2 — — дискордантных пар и — конкордантных пар, обла-

X 4 / \ 4 /X 4 /

дающих редким рецессивным признаком (см. табл. 2.9). Поэтому во

всей популяции отношение частот пар сибсов этих двух типов должно приближаться к 6:1 (см. первую строку табл. 2.10, когда 9=0,01).

Если же редкий признак определяемся доминантным геном, то практически все дискордантные пары будут возникать от скрещивания АаХо-а. Среди пар сибсов, производимых такими партнерами, будет — неоднородных пар и — пар, члены которых обладают редким приз

наком, так что для всей популяции отношение частот пар сибсов этих двух типов будет близко к 2 : 1 (см. последнюю строку табл. 2.10, в которой 9=0,99). Таким образом, отношение частоты дискордантных

пар к частоте пар, конкордантных по редкому признаку, указывает на то, каким является этот признак — доминантным или рецессивным.

РАЗЛИЧИЕ В ЧАСТОТЕ ГЕНА МЕЖДУ ПОЛАМИ

В большой популяции со случайным скрещиванием частоты генов у самцов и самок равны. Если по тем или иным причинам в каком-либо поколении это равенство нарушается, то в дальнейшем при наличии

случайного скрещивания уже в следующем поколении оно восстановится. Однако в какой-то конкретной группе особей частоты генов у самцов и самок могут несколько различаться. Пусть (pi, pi) и (р2, q2)— частоты генов соответственно у самцов и самок. Тогда у потомства таких родителей частоты окажутся следующими:

АА Аа аа

Pi Рг РгЯг + 71 Яг Я1 Яг

Если бы у родителей частоты генов были равными р = -^-(р1+рг) и 7=^4714*72), т0 их потомство распределялось бы согласно обычному

биномиальному соотношению: р2, 2pq, q2. Следовательно, избыток гетерозигот, возникающий из-за неравенства частот генов у родителей [554] и равный

Pi 72 + Рг Яг — 2р7 = у (Pi — Р2)2,

сопровождается уменьшением частоты каждого типа гомозигот на ве

личину— (pi—р2У- В этом состоит еще одна из возможных причин из- 4-

бытка гетерозигот в некоторых выборках..

ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ

Имея в виду читателей, еще не знакомых с методом максимального правдоподобия, мы . очень кратко остановимся на общих принципах, лежащих в его основе, и в следующем примечании рассмотрим простой пример его применения. Предположим, что наблюдаемые численности особей в разных классах и соответствующие им вероятности следующие:

КлассIIIIIIСумма

Наблюдаемые численностища2азп

ВероятностиРг (6) Р2 (6) Рз (6)1

Методика применима к любому числу классов, однако мы не будем рассматривать ее в общем виде, а для облегчения задачи ограничимся тремя классами. Предположим, что вероятности «появления» классов Pi (6) (для краткости обозначаемые через Р^ являются функциями основного параметра 6, который мы и хотим оценить. Вероятность (Р) получения именно такой выборки будет:

Р (выборки) = —(Ргу (Р^ (Р3)\

«1! а2! а3!

Наша задача состоит в том, чтобы найти такую величину 6, при которой вероятность получения заданной выборки была максимально высокой, другими словами, нам нужно максимизировать Р (выборки).

Поскольку n!/ai! а2! #з!— величина постоянная, мы ее из всех дальнейших преобразований исключим и будем рассматривать лишь член, включающий Pi (6); он носит название функции правдоподобия, ее и следует максимизировать. Максимизация функции правдоподобия эквивалентна максимизации ее логарифма. Прологарифмировав функцию и приравняв ее производную по 6 нулю, получим

L = ах log Рх + а2 log Р2 + а3 log Р3, з*

dL _ gt / dPt \g2 / dP2 \ дз / dP3 \ _ q

de “ Pi V P2 \ de P3 de )‘

Для большинства задач аналитического решения этого уравнения относительно 6 не существует, но его можно найти с помощью различных численных методов. Решение уравнения dL[de=0 относительно 6 даст .А

искомую оценку параметра, которую мы обозначим через 6. В большинстве случаев такая оценка является смещенной, правда для больших выборок смещение весьма незначительно. Когда Рг является простой функцией 6, можно без труда вычислить непосредственно dPifdQ. Так, например, если Pi = 02, то с?Л/с?0 = 20. Дисперсия такой л

оценки К(0) определяется по формуле

1= Е (— d2L\

v (е) I Г

Математическое обоснование этой формулы выходит за рамки нашей книги. Однако некоторое неформальное, «на скорую руку», объяснение поможет читателю-биологу проникнуть в эту «тайну». Итак, положив /=1, 2, 3 и продифференцировав, получим .

Г 1 rf2 pi . dpi 1 dpiдо — pi ' de2 de ' P2 ‘ de 1/'

Подставив ожидаемое число nPj вместо наблюдаемого а,, получим

I de2 J de2 ц р, \ de /

Первый член правой части этого выражения равен нулю, поскольку 2Р3 = 1, откуда 2(dP3/c?0) =0 и 2(d2Pj[d§2) =0. Следовательно,

Величина I=ni известна как количество информации о параметре, даваемой выборкой из п независимых наблюдений; отсюда i определяется как количество информации, получаемой при одном наблюдении.

Покажем теперь, почему величина, обратная /, является дисперсией оценки. Пусть Т — оценка параметра 0. При больших выборках распределение величины Т близко к нормальному со средним значением 0 и дисперсией а2. Функция плотности равняется .

-(Т-в)’f = — е 20=;

Пренебрегая постоянным множителем и взяв натуральный логарифм функции правдоподобия, получаем

L = — (Т — 0)2/2а2,dL = Т — е d2L _ — 1de о2 ’d62 а2 '

Ha этом мы завершаем рассмотрение метода. Для более полного ознакомления с ним следует обратиться к учебникам по математической статистике.

Применим теперь метод, описанный в предыдущем примечании, к генетической выборке (1). Введем следующее соответствие между обозначениями:

Pi = р2, р» = ^pq, ps = q^.

Частота гена р играет здесь роль 6, т. е. того параметра, который мы хотим оценить. Вероятность получения выборки (а, Ь, с), согласно (1):

Р (выборки) = ^у ^pqY (q^ = pla^bа! 6! с!а! 6! с!

В логарифмической форме функция правдоподобия (если пренебречь постоянным множителем) сводится к выражению

L = (2а + 6) log р 4- (b + 2с) log q.

Отметив, что dpldp = \ и dq]dp=—1, мы получаем

dL __2a + b b+2c = Q 2а+ b

dp р q ’2п ’' "

И

1 .2а+66+2с 2п.

■ = Е P —— =, т.е. (2v)

V (р )\ dp2 ) р2 q2 pq

путем подстановки ожидаемых численностей £(2а+&) =2 пр и Е(_Ь+ 4-2 с) =2nq.,

Дельта-метод определения дисперсии. Как и в предыдущем случае, сначала мы кратко рассмотрим принципиальную основу метода, а затем перейдем к применению его к генетическим задачам. Предположим, что х и у — две переменные, причем y=f(x); малые приращения х и у связаны между собой следующим соотношением:

\ dx )

Возведя это выражение в квадрат, получим

Дисперсия у представляет собой ожидаемую величину квадратичного отклонения у, т. е. Е(ДуУ = V^yY а Е(\ху = V(x).

Введя в обе части равенства ожидаемые величины, мы получим

(

Ям \2 dx /

Очевидно, что для больших выборок эта зависимость носит приближенный характер, однако она весьма полезна для решения многих практических задач. С ее помощью можно рассчитать одну из дисперсий, когда известна другая.

Теперь рассмотрим генетическую выборку (D, Р) из популяции со случайным скрещиванием, где D-YR = G. Вероятность встретить особь с рецессивным признаком есть y=q\ а вероятность встретить особь, обладающую доминантным признаком, равна 1—у=\—q2. Здесь мы имеем дело с простой биномиальной переменной, выборочная дисперсия которой V^y') =у(1—y)IG. Следовательно, роль х здесь играет q; поэтому dyldx=dq2fdq=2q..

Таким образом,■

V№ = q-^^ = WV(q),О

=т.е. (7v)

Формулы для дисперсии (9v) выводятся таким же способом.

Для выборки из D доминантных и R рецессивных особей ф+ -\-R = G) q2—R!G или 1—q2=DjG. Покажите, что

w 4G 4Р 4G2 ’

из чего следует, что стандартная ошибка (SE, standart error) величины q равна

SE? =.

q 2G

Покажите, что оценка отношения частот генов и (см. гл. 1) в выборке из G особей (а, Ь, с) и дисперсии методом максимального правдоподобия приводит к формулам

2а+66 +2с’2а+66 +2с’У(Ы) = 1<Нд^’ 2GУ(Ы) = 1<Нд^’ 2G

2а+6

6 +2с’

2а+6

6 +2с’

У(Ы) = 1<Нд^

’ 2G

У(Ы) = 1<Нд^

’ 2G

Проверьте последнюю формулу с помощью соотношения

учитывая, что 1/(1—р) =1+ы.

Пусть D, R и Н — доли особей трех генотипов в выборке из G особей. Тогда ф D и ф R будут соответственно оценками р и q при условии, что скрещивание в данной популяции случайно, а сумма уФ + УФ должна быть близка к единице. Справедливость последнего утверждения служит критерием правильности предположения о том, что данный признак контролируется одной парой генов. Дисперсия этой суммы Е(/О+У^) равна-^- G [650].

Этот способ расчета, однако, менее эффективен, чем метод, предложенный в § 1. Если к тому же скрещивание в популяции не случайное, то УФ и ]/^ вовсе не являются оценками р и q. Однако выражения Д-|—^—Н и ^+~^~ Д по-прежнему дают наилучшие оценки частот

генов независимо от системы скрещивания.

У большинства человеческих рас частота гена М выше частоты гена N, так что отношение частот генов и больше единицы, но очень редко превышает два. Однако у айнов и австралийских аборигенов частота гена М очень низка, тогда как у эскимосов и индусов с очень низкой частотой встречается ген N. Ниже мы приводим результаты изучения чистокровных эскимосов из восточной и западной Гренландии [142]:

Район

Группы крови эскимосов

Общая численность

М

MN |

N

Восточная Гренландия

475

89

5

569

Западная Гренландия

485

227

21

733

Найдите частоты гена N в данных популяциях эскимосов. Достоверны ли различия этих частот?.

Наличие антигена Р в крови человека является простым доминантным менделевским признаком. Индивидуумов, обладающих этим антигеном, мы будем называть «положительными», а тех, у кого этого

антигена нет, — «отрицательными». Подобно этому, присутствие группоспецифического вещества в слюне человека также является простым доминантным признаком. Те' индивидуумы, слюна которых содержит это вещество, известны под названием «секретирующих» (+), тогда как индивидуумы, слюна которых не содержит этого вещества, называются «несекретирующими» (—). Ниже мы приводим таблицу, суммирующую результаты нескольких авторов [652], изучавших распространение этих двух признаков. Рассчитайте ожидаемые значения S2 и Si и сравните их с наблюдаемыми значениями (см. отношение Снайдера).

Наследование способности

Наследование антигена Рк секретированию

Число и типы семей

Дети

Число и типы семей

Дети

(-)

сумма

(-)

сумма

249[(+)Х(+)]

79

756

150[(+)Х(+)]

23

‘274

134[(+)Х(—)]

179

465

62[(+)Х(-)]

67

170

34[(—)Х(—)]

94

94

18[(—)Х(—)[

42

42

417

352

1315

230

142

486

9. В работе Винера [653] приводятся следующие частоты сочетаний мать — ребенок, изученных в отношении системы групп крови MN:

Мать

Ребенок

м

MN

N

Сумма

м

93

74

0

167

MN

69

151

60

280

N

0

59

50

109

Сумма

162

284

ПО

556

Определите частоты генов и рассчитайте их стандартные ошибки по формулам (10) и (10v).

Табл. 2.6 получена из табл. 2.5 путем сложения частот фенотипически неразличимых сочетаний. Ее можно получить и другим способом, приняв во внимание тот факт, что суммы, приведенные на «полях» таблицы 2x2, постоянны. Если мать имеет генотип аа, то вероятность того, что и ребенок ее будет обладать генотипом аа, равна при панмиксии q. Поэтому вероятность получения сочетания мать — ребенок аа—аа будет равна q3. Другие три частоты мы сможем получить путем вычитания известных частот из суммарных величин на «полях» табл. 2.6. Тогда таблица примет следующий вид:

Ребенок

Мать

А—

аа

Сумма

А— аа

1—2172 + 173

<72—<?3

q2 — q3 q3

1 — + q2

Сумма

I--?2

q2

1, 00

В таком виде эта таблица была приведена в 1940 г. в работе Фишера [169], который первым ввел взвешивание пар МР с помощью метода максимального правдоподобия. Вес каждой пары лежит между 1 и 2, изменяясь в зависимости от величины q, но для всех частот генов остается близким к 1,5. Иными словами, одна пара МР при оценке q равноценна приблизительно 1,5 независимым индивидуумам.

В течение последних лет в изучении генетики Rh-фактора крови человека были достигнуты значительные успехи. Однако в данном контексте мы можем все же считать, что этот признак контролируется одной парой генов с отношениями доминирования. Приводим здесь данные Бормана [32] по сочетаниям МР. Оценка q производилась как на основании данных по матерям и детям в отдельности, так и на основании объединенных данных по матерям и детям. В последнем случае </2 = 644/ /3980 = 0,1618, а </ = 0,40225. При расчете дисперсии V(</) по формуле (7) можно принять, что приближенно 0 = 1990-1,5 = 2985. (Для более строгих расчетов см. работы [75, 169].)

Мать

Ребенок

Rh (+)

Rh (-)

' Сумма

Rh (+)

1475

182

1657

Rh(—)

204

129

333

Сумма

1679

311

1990

Покажите, что при q2 = -~, т. е. при q = 0,707, частоты конкор- дантных пар сибсов двух типов равны между собой: Sh=Sqo=O,3643 и Slo = O,2714.

Объясните, почему следует ожидать, что 300Н—X—S\0=q2. Пока

жите, что это соотношение выводится из формул § 7.

Генетическая дисперсияи корреляции

Проблема наследования количественных (metrical, quantitative) признаков в менделевской популяции составляет столь обширную область генетики, что заслуживает не менее подробного рассмотрения, чем приведенные здесь классические законы Менделя. Настоящую главу можно рассматривать как введение в данный предмет и как основу для вывода в последующих главах ряда теорем, касающихся количественных признаков. Первые три параграфа посвящены линейной регрессии; приложения к генетическим задачам начинаются с четвертого параграфа. Специальные вопросы генетики количественных признаков рассмотрены в работах [144, 280, 440].

ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ

Прежде чем переходить к рассмотрению генетических задач, стоит, пожалуй, вспомнить некоторые общие свойства линейной регрессии. Все приведенные результаты должны быть известны читателю, знакомому с вводным курсом статистики, и мы суммировали их здесь только для облегчения расчетов и интерпретации корреляций между родственниками, о чем будет идти речь в этой главе.

Пусть (Хг, У,) — пары чисел. Каждую пару можно представить точкой на плоскости XY. Проведем прямую, отражающую распределение этих точек на плоскости. Ее уравнение имеет вид

L = a+b^X — X^, . (1) где L, в учебниках по статистике обычно обозначаемое через У, Y', Уо или У с другим индексом, называется предсказанным (predicted), рассчитанным (calculated), теоретическим (theoretical), соответствующим (fitted) или ожидаемым (expected) значением переменной У, определенным по уравнению (1) —уравнению линейной регрессии У на X. Величины а и b из (1) должны быть выбраны так, чтобы сумма квадратов отклонений D = Y—L была минимальной. Минимизировать надлежит следующую величину:

Q = ’£D1 = ’£(Y — Lf — 2[У — а — Ь^Х — Х)]2. (2) Положив dQ(da = 0 и dQ]db = Q, мы получим два «нормальных» уравнения

2D = 2 (У — £) = 2[У — a — Ь^Х — X)] = 0, (3) 2D(X — X) = 2 [У — a — Ь^Х — X)] (Х — X) = 0. (4)

Из них можно вывести все свойства линейной регрессии. Первое дает 4—322 . '

D=Y—Е = 0, или a = L=Y, и тогда уравнение (1) можно переписать в виде

L — L = L — Y = bkX — X\(5)

Подставляя в (4) Y вместо а, мы получим

2(У — У) (Х — X) — Ь2 (X—Х)2 = 0, откуда

b = ^(Y-Y)U-X) = Соу (У, Л)S(X-X)2ох '

b представляет собой тангенс угла наклона искомой прямой регрессии У на X. Возведя в квадрат обе части (5) и просуммировав, получим

2 (L — Lf = №^X — X)2,

2 у 22•/*7\

Ol = ь Ох.(7)

Последнее соотношение сразу же становится очевидным, если мы запишем уравнение (5) в виде L = bX4~const.

Следует отметить еще два свойства линейной регрессии. Одно из них состоит в том, что значения L и соответствующие им отклонения Z> не коррелируют. Из двух нормальных уравнений 2Z) = 0 и ^D^X—X) =0 следует, что ковариация для D и L также равна нулю:

2 (О —5) (L —Z) = Ь2О (X —X) = 0.(8)

Таким образом,

Y=L + D, (у2=а2+а2.(9)

Приведенное разложение дисперсии, как это было отмечено выше, широко применяется в генетике количественных признаков.

Найдем теперь корреляцию между истинным значением Y и значением, вычисленным на основании линейной аппроксимаций L. Ковариация этих двух переменных равна

Cov(F,L) = Е (У —У) (L —Z) = Е (L — Z+ D — Й) (L —I) =

■= Е (L — ЕУ = а1,

так как E(D—Д) (L—L) =0, согласно уравнению (8). Коэффициент корреляции между У и L равен

YL~ aY°L °Y°L °Y '

Поскольку L = bX+const, а коэффициент корреляции не зависит от единиц измерения и начала отсчета, то ryL = ryx. При рассмотрении генетических задач мы будем пользоваться как rYL, так и гУх.

§2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА РЕГРЕССИИВ ВИДЕ СРЕДНЕГО ТАНГЕНСА УГЛА НАКЛОНА

Выше мы показали, что тангенс угла наклона линии регрессии, определенный из нормальных уравнений, есть Ь = 2(У—У) (X—Х)/2(Х—• —X)2. Интуитивно, однако, неясно, почему отношение Cov (У, Х)/ах равно тангенеу угла наклона прямой на диаграмме разброса. В этом параграфе мы попытаемся дать непосредственную геометрическую интерпретацию Ь. Пусть Рг= (Xi, Уг), а С = (X, У) —соответственно произ-

вольная и некоторая фиксированная точки на плоскости (%, У). Тангенс угла наклона прямой, проведенной через эти точки, равен

Yj-Y

Xt-X ‘

На рис. 3.1 представлены два случая, когда расстояние PC одинаково, а тангенсы углов наклона сильно различаются. Значение тангенса в первом случае, когда длина основания треугольника меньше, определяется с меньшей точностью, чем во втором. Будем считать, что относи-

Рис. 3.1. Вес (to), соответствующий тангенсу угла наклона, равен квадрату основания треугольника, которое определяет величину тангенса этого угла [388, 388а].

Длины отрезков PC на обеих диаграммах одинаковы, а веса различны.

тельный вес данного тангенса пропорционален квадрату основания, которым этот тангенс определяется. Вес bi равен

Тогда средневзвешенный тангенс угла наклона отрезков PC равен [386, 387]

ь = Sb; Wj = S(rt -P) Ui-X)

S Ui — x)2’

что совпадает с величиной, полученной по методу наименьших квадратов (6).__

Введение центральной точки С=(Х, У) облегчает и упрощает алгебраические выкладки, однако не является необходимым для обоснования соответствия веса тангенсу угла наклона. Вместо введения фиксированной точки С можно взять любую возможную пару точек. При этом тангенс угла наклона отрезка PtPj будет равен

= ——— с весом wtj = (X — X-f.

Средневзвешенный тангенс угла наклона для всех пар точек будет равен

b = ^bjjWjj = Wi-YQ (X£-Xj),6„.

М/ . ^(Xi-XjP ;1 ;

4*

Это выражение идентично (6), поскольку как числитель, так и знаменатель (6") в п раз больше числителя и знаменателя (6), где п— число точек (упр. 3). ‘

§ 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА РЕГРЕССИИВ ВИДЕ КОНТРАСТА

Рассмотрим следующие выражения:'

Yi-Y„

3^4-2^-573,

^-ЗК^ЗУз-^.

Мы видим, что в каждом из них коэффициенты при У в сумме равны 0. Таким образом, все они являются разностью двух групп величин У, каждая из которых взята со своим весовым коэффициентом. Так, например, третье выражение означает разность (У14~ЗУз)— (ЗУ24-У4). В общем случае выражение

b = c1Y1A-c%Ya+...+ cnYn(11)

называется контрастом, если Ci4-...-Pcn = 0- Понятие контраста расширяет простые методы сравнения, основанные на разности У1—У2, определяемой только между двумя величинами. Контраст — это сравнение двух групп величин, причем любая величина любой группы берется с определенным весом. Вклад этого контраста в общую дисперсию в соответствии с общей теорией статистики равен

№ = (С1У1+...+ сп¥„)2(12

Очевидно, что умножение с на любую константу не повлияет на величину (12). Элементарное изложение метода использования контрастов в экспериментальной статистике можно найти в работе Ли [387].

Рассмотрим контраст для частного случая, когда У является линей- нор функцией X; /,

(13)(13)b = уг +... + jX^^L у,2 Ui — a)22 Ui — я)2

(13)

(13)

где Ci=Ui—X')j'X(Xl—ХУ и 5сг=0. Если Xt больше X, то его отклонение положительно, а если меньше, то отрицательно. Следовательно, контраст (13) является разностью между группой У, соответствующих большим, чем X, значениям X, и группой У, соответствующих меньшим значениям X, причем вес каждого члена группы пропорционален отклонению от X. Выражение (13) можно записать и таким образом:

b ^Ui-xWt _ ^Ui-xWi-Y')b ^Ui-xWt _ ^Ui-xWi-Y')2 Ui — xY2 Ui — xY2 Ui — xY2 Ui — xY

b ^Ui-xWt _ ^Ui-xWi-Y')

b ^Ui-xWt _ ^Ui-xWi-Y')

2 Ui — xY

2 Ui — xY

2 Ui — xY

2 Ui — xY

что в точности равно коэффициенту регрессии У на X [уравнение (6)]. Если мы имеем дело с популяцией, можно заменить 2(Х—X)2 на ох. Тогда, согласно уравнению (12), дисперсия, обусловленная контрастом, равна

62Sc?62Sc?6262= Ь^ = а2,= Ь^ = а2,т. е. (7)т. е. (7)

62

Sc?

62

Sc?

62

62

= Ь^ = а2,

= Ь^ = а2,

т. е. (7)

т. е. (7)

Таким образом, коэффициент регрессии У на X есть разность между двумя группами У, подразделенными и взвешенными в соответствии с их отклонениями от X.

ГЕНЕТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯИ ЕЕ КОМПОНЕНТЫ

Теперь, когда мы рассмотрели основные свойства линейной регрессии, мы сможем осмысленно и без труда применять ее для решения генетических задач. Рассмотрим популяцию со случайным скрещиванием в отношении одной пары генов (табл. 3.1). Пусть Х=2, 1, 0 — независимая переменная, представляющая генотипы ДА, Аа и аа соответственно. Значение X соответствует числу генов А в генотипе. Пусть У — некое среднее значение количественного признака для данного генотипа (среднее значение генотипа). Это значение есть среднее фенотипическое выражение генотипа без учета происходящих с течением времени воздействий окружающей среды. Если его значение для гетерозиготы находится точно посредине между соответствующими значениями для двух гомозигот, т. е. если 2У1 = Уз+Уо> то говорят, что между этими аллелями нет доминирования в отношении данного количественного признака. Величину У2—У1 = У1—Уо можно тогда рассматривать как эффект единичного генного замещения. В этом случае все точки (X, У) лежат на прямой и корреляция будет полной. Дисперсию У можно рассчитать из дисперсии X. В нашей прежней системе обозначений X=L, D = 0, оу=^а1; дальнейшего разложения дисперсии У мы не производим.

Таблица 3.1

Линейная регрессия генотипических величин У на дозу гена А в популяции со случайным скрещиванием

Генотип

Частота

Доза генаД X

Среднее значение признака У

Теоретическая величина L

Доминантное отклонение D

АА.

/2 = Р2

2

у2

l2 '

D.

Аа

fi = 2pq

1

Yi

к

Di

аа

Го = 9"

0

■ Го

- Lo

Do

Сумма

1

X

У

F = L

5 = 0

Перейдем теперь к общему случаю, когда У может принимать любые три значения, не связанные никаким соотношением (табл. 3.1). Найдем сначала линию регрессии У на X. Так как X — биномиальная переменная, мы имеем стандартные соотношения

X = 2р, Л = 2pq.(14)

Среднее значение и дисперсия произвольно взятых У равны

Y = pWa+2pqY1-VqW0)(15)

CT2y = SfK2—У2.(16)

Ковариация X и У равна

Cov (X, У) = 2 fXY - X Y = 2р2 Y, + 2pqYx - 2р W^pqY^qW^ =

= 2pq[p(Y2-Y^ + q{Yx-Y^.(17)

Таким образом, коэффициент регрессии У на X есть b-bxy-^^^-P^-Y^+qlY.-Y.v(18)

°х

Если тангенс угла наклона линии регрессии_известен, значения L можно сразу рассчитать из уравнения Е = У+Ь(Х—X). Однако на практике нам нужны не сами L, а дисперсии этих величин

g'^W^ 2pqb\(19)

где b дается формулой (18). Кроме того, поскольку L и D не коррелируют,

Оу = °L + °D"(20)

D=Y—L в литературе по генетике известно под названием «отклонение, обусловленное доминированием» — доминантного отклонения (dominance deviation). Любое соотношение, приведенное в этом параграфе, непосредственно следует из общих свойств линейной регрессии, рассмотренных в § 1. Вероятно, это самый простой способ изучения данного вопроса. Единственное упрощение здесь состоит в том, что X, являющаяся в общем случае произвольной величиной, в генетических задачах представляет собой биномиальную переменную.

Если расписать выражение для дисперсии У и ее компонентов (20), можно получить подробное выражение для Од, однако при этом приходится иметь дело со сложными алгебраическими выкладками. В одном из последующих параграфов мы приведем другой метод разложения дисперсии У, который позволяет получить такое выражение в один прием. И наконец, следует отметить, что между двумя компонентами дисперсии из уравнения (20) не существует какой-либо определенной зависимости, за исключением той, что в сумме они составляют дисперсию У. Если & = 0, то И£ =0 и Оу= Оу . В другом крайнем случае, когда 2У1 = У2+Уо, се>~^ и Оу — 0^1 Возможны также и любые промежуточные случаи.

ЧИСЛОВЫЕ ПРИМЕРЫ

Некоторые не рассмотренные нами детали метода регрессии гораздо легче уяснить на числовых примерах, чем из алгебраических выкладок, поэтому мы советуем читателю самостоятельно проделать,все расчеты и убедиться в справедливости наших рассуждений. В табл. 3.2 приведены данные для панмиктической популяции с частотами генов (р, q) = (0,6; 0,4) и средними значениями количественных ^признаков 8, 7, 1 для АА, Аа и аа соответственно. Cov(X, У) = SfXY — XY = 9,12 — — 7,68 = 1,44. То, что она оказалась равной Од = 1,44, в этом частном примере чистая случайность. Коэффициент регрессии d = Cov(X, У)/ /о^ = 1,44/0,48 — 3,00 и является мерой количественного изменения У при изменении X на единицу. В нашем случае X увеличивается на условную единицу при переходе от генотипа аа к Аа и от Аа к А А; поэтому величина b в генетических задачах совпадает с рассчитанной величиной аддитивного действия гена. Эти теоретические значения равны 2,8; 5,8.и 8,8 и за каждый шаг возрастают на Ь = 3 (рис. 3.2). В итоге разложение дисперсии будет таким:

Дисперсия

о£ = 4,32

Од = 1,44

а2у = 5,76

Проценты

75

25

100

Таблица 3.2

Разложение генетической дисперсии на аддитивную ^l )

и доминантную (од)

компоненты методом

линейной регрессии

Генотнп

г

X

Y

{XY

L

D

АА

0,36

2

8

5,76

8,8

—0,8

Аа

0,48

1

7

3,36

5,8

+ 1,2

аа

0,16

0

1

0

2,8

—1,8

Сумма

1,00

9,12

Среднее

1,20

6,40

7,68

6,40

0

X

Y

XY

L = Y

D

Дисперсия и нова-

0,48

5,76

1,44

4,32

1,44

риация

ах

4

Cov(X, У)

4

4

О

2

У

В генетических задачах значения компонент дисперсии как таковые не столь важны; решающую роль в генетике количественных признаков при решении практических задач селекции играет отношение о^/Цу . Читателю предлагается также проверить равенство rxy = ^yl = = 0,866, учитывая, что

Если мы заменим аллель А на а, так что прежний генотип АА превратится в аа (т. е. X = 2 перейдет в X = 0) и т. д., но сохраним его частоту или количественный показатель, то получим зеркальное отображение исходной популяции, как показано на рис. 3.3. Коэффициент регрессии, таким образом, станет равным —3, однако генетическая дисперсия и ее компоненты, очевидно, останутся прежними.

Поскольку L и D не коррелируют, мы можем изменить знак величин D из табл. 3.2. и, прибавив эти величины к L, получить новый набор У:

ГенотипНовые УГенотипНовые УааАаАА

Генотип

Новые У

Генотип

Новые У

4,64,69,6

как это показано на рис. 3.4. Очевидно, что эта популяция будет иметь то же самое среднее, ту же дисперсию и те же компоненты дисперсии, что и прежде. Точки, находившиеся выше линии регрессии, окажутся теперь ниже, на том же самом расстоянии от нее, и наоборот, что не сказывается на дисперсии. Это зеркальное отображение приведено на рис. 3.5. Все четыре популяции имеют одни и те же компоненты дисперсии. Заметим также, что D для двух гомозигот всегда имеют одинаковый знак, т. е. находятся по одну сторону от линии регрессии, тогда как точка, соответствующая гетерозиготе, имеет противоположный знак, т. е. расположена по другую сторону от линии регрессии. Для трех различных точек (каждая из которых взята с весом, соответствующим частоте) можно провести лишь одну линию регрессии.

МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ РАЗНОСТЕЙ

Для популяции с биномиальными частотами Ли [367] разработал общий метод подразделения дисперсии на компоненты, число которых равно степени бинома. Метод настолько прост, что лучше не объяснять его, а показать, как им пользоваться. В верхней части табл. 3.3 приво-

Таблица 3.3

Разложение дисперсии У методом последовательных разностей

Класс X

Частота /

Величина У

Последовательные разности

,г

ДУ

| Г

Д2У,

Д3У

3

Р3

Уз

Р3

ДУ2

2

3p3q

У2

^pq

ДУ1

р

Д2УХ

1

Д3У0

1

Зр<72

Ух

0

<73

Уо

q3

ДУ0

q

Д2У0

Сумма

Среднее

1

У = Р0

i

Pi

1

Р=

1

Рз

Для популяции диплоидных особей

Класс

Г

У

/'

ДУ

f"Д2У

ДА

р3

Уз

Да

^pq

Ух

р

У2-У1

1 У2-2У1 + У0

аа

q3

Уо

q

У1-Уо

Сумма

1

1

1

Среднее

У

ь

d

дится пример применения метода к более общему случаю — биному третьей степени, а в нижней части дается его приложение к популяции со случайным скрещиванием (бином второй степени). Записываем АУП = Уп+1 Уп и А2Уп = АУп+i АУп = (Уп+з—Уп+i) — (Уж— — Уп) = Уп+з— 2Уп+1+ Уп и т. д.; таким образом, А3У0 = Уз — ЗУ2 + + ЗУ1—Уо. Пусть f— это исходная биномиальная частота в разложении бинома степени п, a f — биномиальная частота в разложении бинома степени (п—1) и т. д. вплоть до (р + д)°=1. Среднее разностей i-ro порядка равно

=(21)

в частности для биномиального распределения третьей степени

Рз = Р (Г3 - 2У2 + Ух) + ? (У2 - 2УХ + Уо).

Можно показать, что приведенное ниже равенство является тождеством (У = Ро):

2 fY» = 02 + 3pq^ + 3pV0| + p»q^.(22)

Коэффициенты при членах_правой части тождества задаются разложением (1 + р^)3. Перенеся У2 — 0о в левую часть, мы получим три компоненты дисперсии У. Не представляет особого труда обобщить все проделанные рассуждения на случай бинома степени п.

Рассматривая популяцию случайно скрещивающихся диплоидных особей в отношении двух аллелей некоторого локуса, введем для удобства обозначения b = Pi и d = р2. Тогда (см. табл. 3.3)

Ь=р(У2-Ух)+^(У1-У0), d = У2 —2УХ + Уо, '(23) а», = 2pqb3 + р2 q» d2 = о2 + о2.(24)

Мы видим, что эти уравнения идентичны (18), (19) и (20); из них можно получить в явном виде выражение для о^ = p2q2d2.

Из проделанного выше анализа видно, что если b и d положительны, то следующие четыре популяции при любой частоте гена будут иметь одни и те же компоненты дисперсии:

(b, d), (b,— d), (—b, d), (—b,— d).

Кроме того, поскольку коэффициенты р? задаются разложением (1 + A-pq^, очевидно, что взаимная замена р и q не скажется на компонентах дисперсии, определенных данными абсолютными величинами b и d. В табл. 3.4 представлено восемь панмиктических популяций с одним и тем же средним, одной и той же дисперсией, с одинаковыми линейными и доминантными компонентами (Ь = ± 3, d = ±5). Четыре верхние популяции изображены на рис. 3.2—3.5.

Таблица 3.4

Восемь популяций с одинаковым средним (У=6,4), одинаковой дисперсией (<jy=5,76) и одинаковыми линейными и доминантными компонентами (о^ = 4,32;Од =1,44)

Частота гена (р, q) = (0,6; 0,4)

Частота гена (Р, Ч) = (0,4; 0,6)

У

ДУ

А2У

У

АУ

А2У

ДД

9,6

5

АА

4,6

0

Да

4,6

0

+5

Аа

4,6

—5

+5

аа

4,6

аа

9,6

ДД

8,0

1

АА

1,0

6

Да

7,0

6

—5

Аа

7,0

—1

—5

аа

1,0

аа

8,0

АА

4,8

—1

АА

11,8

6

Аа

5,8

—6

+5

Аа

5,8

1

+5

аа

И,8

аа

4,8

АА

3,2

—5

АА

8,2

0

Аа

8,2

0

—5

Аа

8,2

5

—5

аа

8,2

аа

3,2

И наконец, выясним, каков геометрический смысл величин р. Рассмотрим pt для биномиального распределения третьей степени из табл. 3.3. Можно показать, что коэффициент линейной регрессии У на X равен

Pi = Р2 (^з - П) + 2pq (У2 - У.) + q2 (^ - Уо),

где (Уз—У2) —■ тангенс угла наклона прямой, проведенной через точки (Х2, У2) и (Х3, Уз), так как значения X от точки к точке изменяются на единицу. Из рис. 3.6 видно, что каждая из разностей представляет собой тангенс угла наклона прямой, проведенной через две соседние точки, поэтому Pi есть средневзвешенная величина этих тангенсов. В § 2 мы показали, что в общем случае коэффициент регрессии является средневзвешенным тангенсом угла наклона прямых, проведенных через точку Pi — (Хц Уг) и центральную точку С = (%, У), или прямых, проведенных через все возможные пары точек. Однако для простого частного случая, когда точки распределены по биномиальному закону, коэффициент регрессии сводится к средневзвешенному танген-

су угла наклона прямых, проведенных через соседние точки, р более высоких порядков также можно представить в виде коэффициентов регрессии (тангенсов); так, Рг+i является, очевидно, коэффициентом регрессии Д'1 У на X для биномиальной популяции п — I. Для популяции со случайным скрещиванием диплоидных особей коэффициент регрессии (известный также под названием эффекта гена) равен средневзве-

Рис. 3.6. Линейная регрессия У на X для случая, когда величины У имеют биномиальные частоты, задаваемые членами разложения (р+^)п [367].

Коэффициент линейной регрессии равен средневзвешенному единичному приращению (У^^—У.): веса являются членами разложения {p+q')1 ^ . Уд, У2, У], Уо в этом частном случае имеют частоты р3, Зр2р, Зрр2, р3 соответственно. Коэффициент регрессии &=Р2(Уз—У2)+2р<7(У2—У1)+(?2(У1—Уо).

шейному разностей (ДД—Да) и (Да — аа), где символ генотипа имеет двойной смысл, обозначая также среднее значение количественного признака для данного генотипа, т. е. ДД = Уг и т. д.

МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Метод последовательного дифференцирования очень похож на метод последовательных разностей. Он основан на последовательном определении производных по р от среднего значения признака в популяции. Чтобы показать его общность, для начала мы опять воспользуемся биномом третьей степени.

У = рзуз + Зр» qY, + 3pq» Уг + q3Y0 = Ро,

= Y' = 3 Vp» (Y3 - Y^ + 2pq (У2 - Уг) + q2 (У, - У„)] =^ 3^, ар

= У" = 6 Vp (У3 - 2У2 + У,) + q (У 2 - 2У. + Уо)] = 6₽2, dp2

^ = Y'" = 6(У3 —ЗУ2 + З^-Уо) = 6₽3.

Подставив_эти выражения в (22), мы получим выражение для дисперсии через У, У', У", У"'.

Для частного случая популяции со случайным скрещиванием диплоидных особей имеем

Y = pW^2pqY^qW0,'

_ Y' = 2 [р (У2 - Y^ + q(Y1- У„)] = 26, ар

= Y" = 2(У2-2Ух+У0) = 2d, ар4

так что (24) превращается в

<4 = -у pq^T + -^P2q2 (У")2.(25)

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОПУЛЯЦИИВ ВИДЕ ДВУХ ЧАСТЕЙ

Популяцию со случайным скрещиванием, рассматриваемую в отношении двух аллелей некоторого локуса, можно подразделить на две части, p^AA-VpqAa и pqAa-Vq2aa. Пусть, как и прежде, У2, У1, Уо— средние значения количественных признаков для генотипов АА, Аа и аа соответственно. Заметим, что «размер» первой части равен р2 + р^ = = р, а второй — pq + q2 = q. Среднее значение признака для первой части равно mi — (р2У2+ р^У1)/р = рУ2 + ^Уь а второй — т2 = = рУ1 + ^У0. Эту ситуацию можно представить в виде следующей схемы:

ЧастиЧастиРазмерСреднее значение признака

Части

Части

s

ААр\ у*;ААр\ у*;Даpq, УзДаpq, УзРРАа pq, ^ilАа pq, ^ilааq\ Yoааq\ YoqqВся популяцияВся популяция11mi = р У2 + qYTт2 = pYt + qY0Y = pmY + qm2mi = р У2 + qYTт2 = pYt + qY0Y = pmY + qm2

АА

р\ у*;

АА

р\ у*;

Да

pq, Уз

Да

pq, Уз

Р

Р

Аа pq, ^il

Аа pq, ^il

аа

q\ Yo

аа

q\ Yo

q

q

Вся популяция

Вся популяция

1

1

mi = р У2 + qYT

т2 = pYt + qY0

Y = pmY + qm2

mi = р У2 + qYT

т2 = pYt + qY0

Y = pmY + qm2

Разность между средними значениями признака для частей

mi —т2 = р(У2—У1) + ^(У1 —Уо) = 6,(26)

что равно нашему коэффициенту регрессии (18) и названо в работе [164] «средним эксцессом». Чтобы показать, что разделение популяции на две части согласуется с понятием контраста, введенным в § 3, напомним, что X—2, 1, 0 с Х=2р и ox=2pq. После подстановки соответствующих выражений в (13) получим

b = A-VP42- 2р) У3 + 2pq (1 - 2р) Yx + q2 (0 - 2р) Уо] = ^pq

= № + qY^ — (рУ1 + qY^ = тг — п^.

Таким образом, мы видим, что для популяции со случайным скрещиванием контраст Ш\ — /п2 между двумя частями действительно эквивалентен коэффициенту регрессии и линейной компоненте дисперсии 2pq^mx— m2)2.

ЭФФЕКТЫ АЛЛЕЛЕЙ

Все вышеописанные методы применимы лишь в частном случае двух аллелей. Однако Кемпторн [280] модифицировал последний из них (представление популяции в виде двух частей) и распространил его на случай множественных аллелей. В данной главе мы рассмотрим этот общий метод для двухаллельной системы, а применение его к случаю множественных аллелей дадим в гл. 5. Модификация основана по существу на аналогии между менделевской популяцией и факторным экспериментом. Менделевскую популяцию можно представить в виде таблицы 2 X 2, в которой аллели выполняют роль анализируемых факторов.

А

а

Вес строки

Среднее по строке

Отклонение=эффект аллеля

А

Р2, г2

pq, Yi

р

тх

«! = «!—К

а

pq, У1

q2, Го

q

т2

O2=zn2—У

Вес, среднее, отклонения для столбцов и для строк одинаковы. Общее среднее равно У = ртх + qm2, а сумма отклонений средних по строкам равна нулю:

p^-V qaa = 0.■(27)

Дисперсия между строками

V (строки) = ра2 + ^а2

и, аналогично, между столбцами

V (столбцы) = ра2 + ^а2.

Общая дисперсия

■<^ = 2\ра2-^аГ\.(28)

Для того чтобы показать эквивалентность (28) и (19), заметим, что

«1 = тг - У = (pYa + qY^ - (р2 У3 + 2pq Yx + р2 Уо) =

= ^Р(Г2-У1) + 9(У1-УО)] = ^.

Подобно этому а2 = — pb, так что

pa2x + qa22 = p(qbY + q(pbY = pqb2 = ~o2L.(28')

Главным преимуществом этого метода является то, что теоретические аддитивные величины каждого генотипа выражены непосредственно через а:

АА: L^ = Y —|— сх^ —|— ах,

Аа: Lx = Y + ах + а2,

аа: Lti = Y + а2 + а2.(29)

Рассмотрев в качестве числового примера данные, приведенные в табл. 3.2, можно найти, что ai = + 1,2 и аг = — 1,8, откуда L равны 8,8; 5,8; 2,8. Именно поэтому ai можно назвать эффектом аллеля А и аг — эффектом аллеля а, аналогично влиянию (эффекту) фактора в экспериментальной статистике.

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КОНТРАСТЫ

В заключение коротко остановимся на общем методе разложения дисперсии — методе ортогональных контрастов, который широко используется в экспериментальной статистике. Элементарное введение в понятие и метод построения ортогональных контрастов можно найти у Ли (см. гл. 12 и 22 из [387]). С понятием контраста мы уже ознакомились выше (представление коэффициента регрессии в виде контраста и его приложение к двум частям менделевской популяции). В этом параграфе, следуя терминологии экспериментальной статистики, мы применим ортогональные контрасты к анализу влияния фактора на трех уровнях с равными интервалами, но неравным числом повторностей. Аналогия между такой экспериментальной ситуацией и менделевской популяцией ясна из табл. 3.5.

'Таблица 3.5

Аналогия между структурой эксперимента по изучению влияния фактора (на трех уровнях) с равными интервалами, ио неравным числом повторностей и структурой менделевской популяции с тремя генотипами. В двух последних строках даны коэффициенты двух ортогональных контрастов

Доза фактора А

Три уровня 210

Три генотипа

АА Аа аа

Обработка (генотипическое значение) Число повторностей (частота генотипа)

Ta Tt То fa fi fo

К2 Y, Ко р2 2pq q2

Линейный контраст (аддитивный эффект)

Квадратичный контраст (доминантный эффект)

СйС1Су

С^СуCq

2q q—p —2p

q2 —pq p2

Коэффициенты контрастов должны удовлетворять следующим условиям:

(30)(30)/г с2 + ^ ^ + /0 с0 = 0, /2 с2 + /, с] + /0 с' = 0,

(30)

(30)

fa С2 С2 + 1 С1 С1 + fo С0 С0 О'

Первые два равенства свидетельствуют о том, что сг, Ci и с0 действительно коэффициенты контрастов (11), а третье показывает ортогональность контрастов друг другу. Очевидно, что коэффициенты для менделевской популяции из табл. 3.5 удовлетворяют этим условиям. В экспериментальной статистике, если 9 есть контраст

(31)(31)9 — fa с2 Т2 + f\ сх Тх + focoTo,

(31)

(31)

то дисперсия, обусловленная этим контрастом, равна

(32)(32)62ssq =,

(32)

(32)

Sfc2 ’

где знаменатель является нормировочным множителем. Таким образом, коэффициенты контраста можно умножить на общий множитель,

популяции можно так-популяции можно так-не изменив при этом сумму квадратов. Например, коэффициенты (^2,

популяции можно так-

популяции можно так-

—pq, р2) второго контраста для менделевской

же записать в виде

1-721-72q 1 Рl—2

1

-72

1

-72

—, — 1, — , или — , — ,рq р2 2pq

Ясно, что изменение знака коэффициентов контраста также не скажется на сумме квадратов. Если частоты дополняют друг друга до единицы, сумма квадратов становится равной дисперсии. Используя теперь коэффициенты контрастов и генотипические значения, приведенные в табл. 3.5, мы получим

0 = 2pq [р О\ - KJ + q (Ki - Уо)] = 2pqb,

0' = р2 q2 [У2 - 2УХ + Уо] = р2 q2 d.

Преобразовав эти уравнения с помощью (32) в дисперсию и упростив выражения, мы найдем, что, как и прежде, о^ = 2pqb2 и а^ = p2q2d2. Этот метод подразделения полной дисперсии в простейшем случае однолокусной системы с двумя аллелями, очевидно, не имеет преимуществ перед другими методами, его возможности выявятся лишь при анализе двухлокусной системы (гл. 10).

КОРРЕЛЯЦИЯ МЕЖДУ РОДИТЕЛЯМИИ ДЕТЬМИ

Совместное распределение пар мать—ребенок в популяции со случайным скрещиванием уже приводилось нами в табл. 2.5, которая, таким образом, является таблицей корреляций между матерью (или отцом) и одним из ее (его) детей. Далее мы будем говорить о корреляции родитель—ребенок по аутосомным генам; вышеупомянутая таблица для удобства воспроизведена здесь под номером 3.6. Каждый генотип характеризуется как величиной X, так и величиной У. Поэтому существуют два типа корреляций родитель — ребенок — одна по их величинам X (гххг) и другая по Y (гут-У Рассчитаем вначале fxx*. Как для популяции родителей, так и для популяции потомков

X = 2р, о2х = 2pq.

Ковариация между X родителя и X' ребенка равна

Cov (X, X') = 4р3 + 4/?2 q + pq — (2р)2 = pq.(33)

Следовательно, коэффициент корреляции родитель—ребенок по величинам X равен

_ Соу(Х.Х')Cov(X.X')pq_ _ 1, .

хх' о(Х)о(Х')^2pq 2 ’4 '

поскольку в равновесной популяции о(Х) = о(Х/). Равенство (34) впервые было получено Вайнбергом [645, 646]. Наиболее примечательной чертой этой корреляции является ее полная независимость от частоты гена в популяции; это внутреннее свойство менделевского насле-

Таблица 3.6

Корреляция между родителями и детьми в популяции со случайным скрещиванием

Ребенок

Генотип

АА

Аа

аа

¥

У2

У1

¥q

Суммарная частота

X

2

1

0

АА

У2. . .2

Р3

р?

0

P2

Родитель да

У, . . . 1

p^q

pq

pq2

^pq

аа

у0. . . 0

0

pq2

q3

Суммарная частота

Р2

^pq

92

1

мости (и, следовательно, корреляция) для данной популяции варьирует от признака к признаку, а для данного признака изменяется от популяции к популяции.

§ 12. КОВАРИАЦИЯ МЕЖДУ РОДСТВЕННИКАМИ

При расчете корреляции между родственниками главная задача состоит в том, чтобы выразить ковариацию между родственниками через линейные компоненты дисперсии У. В данном случае ключевым выражением служит уравнение (35) Соу(У, У/)="а2> полученное с помощью элементарной алгебры. Воспользовавшись некоторыми результатами, полученными в предыдущих параграфах, мы можем не только сократить алгебраические выкладки, но и убедиться в общности этих результатов.

Возьмем родителя с генотипом АА. Все его гаметы будут типа (А). Его брачный партнер — выбранный случайным образом индивидуум с вкладом гамет р(А) и q(a). Следовательно, его потомство будет состоять из pAAyqAa со средним значением признака mv=pY2-\-qYv Возьмем далее родителя Аа, дающего гаметы (А) и (а) с частотами, равными -Z-. Эти гаметы также объединяются с гаметами случайно выбранного индивидуума р(А) и q(a). Следовательно, его потомки распределяются как -^-(рАA+qAa) и-~ (pAa-j-qaa) со средним значением-^-/nx+-Z-/n2. Подобно этому, среднее значение признака для потомков родителя аа равно m2=pYi4-qY0. Все эти данные суммированы в табл. 3.7. При расчете ковариации между родителем и потомком постоянным членом У как для обоих родителей, так и для потомка можно пренебречь, так что для всех них среднее равно нулю.

Cov (У, К') = р2 (2ах) ах + 2pq (ах + а2) -у (ах + а2) + ?2 (2а2)а2,

так как D не коррелирует с L. Поскольку pai+^a2 = 0 и (pai+^a2)2 = 0, вышеприведенное выражение сразу сводится к

(37)(37)Cov У, У') = pa2 + ga| == А-а^

(37)

(37)

Если мы в данном примере воспользуемся тем, что L—L = L—У=а<+ +aj, где i, / = 1, 2, и отметим, что среднее значение признака для потомства от любого родителя равно — (ai+a,), то все доказательство мож

но записать в одну строчку:

■ Cov (У, У') = E[(L — Z)+D]-y(L — L)=^-a[.(38)

Частота генотипа

Значение признака у родителя

Среднее значение признака у потомка

ЛЛ р2

У2 = L^ + D^ = У + ax + at! + D2

тг = У + «1

Аа 2pq

У1 = Li + Di = Y + ai + «2 + Dx

-у (mx4-m2)= У + 4 (“1+ “2)

аа q2

Yq = Lq 4~ Do = Y 4~ &2 4- 0C2 4- Do

т2 = У + «2

Таблица 3.7

Ковариация между родителем и потомком в популяции со случайным скрещиванием

Таким способом, по-видимому, проще всего получить желаемый результат. Полученное соотношение наглядно показывает один очень важный момент: отклонения, обусловленные доминированием, и, таким образом, доминантная компонента о^ не входят в ковариацию между родителем и потомком.

§ 13. ТРИ ЗВЕНА КОРРЕЛЯЦИИРОДИТЕЛЬ — ПОТОМОК

Приведенные выше выражения для внутрипарной корреляции родитель — ребенок в отношении величин У были получены чисто статистически. В этом параграфе мы представим другую интерпретацию, кото-

РодительРодитель1 Г = XX 21 Г = XX 2ПотомокПотомокРис. 3.7. Три звена корреляции междуродителем и потомком по количествен-ному признаку У.Рис. 3.7. Три звена корреляции междуродителем и потомком по количествен-ному признаку У.Цепь корреляции должна включать связь между генотипами (X) родителя и потомка.Цепь корреляции должна включать связь между генотипами (X) родителя и потомка.Таким образом,ГУХГХХГХУ аТаким образом,ГУХГХХГХУ а(родитель — потомок) =(родитель — потомок) =О,О,а?а?2 а,2 а,2 о^2 о^(по Ли [374, 396])(по Ли [374, 396])~ h2 2~ h2 2

Родитель

Родитель

1 Г = XX 2

1 Г = XX 2

Потомок

Потомок

Рис. 3.7. Три звена корреляции междуродителем и потомком по количествен-ному признаку У.

Рис. 3.7. Три звена корреляции междуродителем и потомком по количествен-ному признаку У.

Цепь корреляции должна включать связь между генотипами (X) родителя и потомка.

Цепь корреляции должна включать связь между генотипами (X) родителя и потомка.

Таким образом,

ГУХГХХГХУ а

Таким образом,

ГУХГХХГХУ а

(родитель — потомок) =

(родитель — потомок) =

О,

О,

а?

а?

2 а,

2 а,

2 о^

2 о^

(по Ли [374, 396])

(по Ли [374, 396])

~ h2 2

~ h2 2

рая не только интересна с познавательной точки зрения, но и позволяет сделать некоторые обобщения для более дальних родственников.

Значения X из табл. 3.6 задаются величинами генотипов ДА = 2,

Аа = 1, аа = О. Корреляция Гхх'=^-независимо от того, какие значения

(У) принимают эти генотипы. Это основное менделевское соотношение между родителем и потомком в популяции со случайным скрещиванием. Пусть теперь особи генотипа ДД = 2 развиваются, так что рассматриваемый признак принимает среднее значение Уа. Аналогично Аа=1 и аа = О принимают значения У1 и Уо. Мы можем рассматривать этот процесс просто как рост и развитие; не являясь менделевским, он может варьировать от признака к признаку и подвергаться воздействиям среды. Однако между X и У существует корреляция. Рис. 3.7 иллюстрирует соотношение между У родителя и У потомка через соответствующие им величины X. Приняв во внимание, что, согласно (10), Гху = Гьу = Ое!оу, мы можем убедиться, что корреляцию в паре родитель — потомок (36) можно записать в виде

ГУУ rYX ГХХ' rX'Y*ГУУ rYX ГХХ' rX'Y*L2 ayL2 ay(36')(36')

ГУУ rYX ГХХ' rX'Y*

ГУУ rYX ГХХ' rX'Y*

L

2 ay

L

2 ay

(36')

(36')

Из этого выражения видно, что корреляция пары родитель — потомок состоит из трех звеньев:

от У родителя к X родителя, от X родителя к X потомка, от X потомка к У потомка,

как показано на рис. 3.7. Эта оригинальная интерпретация была предложена Фишером [162; см. 396]. Одновременно и независимо от него Райт [661—664] разработал теорию коэффициентов путей, которую мы рассмотрим в гл. 14—15. Здесь же отметим лишь, что три «фактора» Фишера в уравнении (36) идентичны коэффициентам путей, определенным Райтом для такой же ситуации. С выражением (36z) вводится новое как для статистики, так и для генетики понятие о том, что коэффициент корреляции можно подразделить на несколько компонент, каждая из которых соответствует определенному звену биологических связей.

§ 14. КОРРЕЛЯЦИЯ МЕЖДУ ДРУГИМИРОДСТВЕННИКАМИ

Аналогичными методами можно получить и корреляцию между другими родственниками в популяции со случайным скрещиванием [280], однако в следующей главе мы воспользуемся для этой цели совершенно другим, более простым методом. Здесь же остановимся кратко на одном применении формулы (36'), а именно для установления корреляции между двумя родственниками по одной «предковой линии», такими, например, как прадед и его правнук. Эти отношения можно изобразить в виде следующей диаграммы:

^^Х^Х^Х

YК

Корреляция между этими родственниками по величинам У равна

Величины У для промежуточных родственников нас сейчас не интересуют. Показатель степени множителя (^-) равен числу поколений меж

ду двумя родственниками, а (-—)п есть корреляция между ними по величинам X, определяемая принципами менделевского наследования.

§ 15. ГЕНЕТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ ПРИ ПОЛНОМДОМИНИРОВАНИИ

Если средние значения количественных признаков для генотипов АА и Аа одинаковы, XYt = Y2—У1 = 0, то линейную и доминантную компоненты генетической дисперсии можно легко вычислить, используя метод последовательных разностей:

ЛЛ

Ла

р2

2pq

У1

У

Р 0 .

1

-(У1-Уо)

аа

q2

Го

q У1-У0

Таким образом, в соответствии с общей формулой (24) получаем »1 = ^pqb2 = 2pqq2 (У, — У„)2, o^p^q^^p^q^Y.-Y.y,(40)

u2Y = o2L + o2D = q2(l-q^^Y1-Yoy.

Очевидно, что при полном доминировании рассматриваемая популяция эквивалентна простой биномиальной популяции, в которой индивидуумы со значением признака У1 встречаются с частотой 1—q2, а со значением Уо — с частотой q2.

§ 16. ВЛИЯНИЕ СРЕДЫ

До сих пор в этой главе мы пренебрегали влиянием среды и принимали, что Уз, Уь Уо являются средними • значениями количественных признаков для генотипов АА, Аа и аа соответственно. Когда учитывают влияние среды, то делают допущение, что оно не коррелирует с генотипами; на практике это означает, что влияние среды на все генотипы одинаково. Такое допущение в лучшем случае является грубым приближением к реальной ситуации, поскольку известно, что разные генотипы реагируют на разнообразные условия среды по-разному. Однако для упрощения математического анализа мы все-таки примем это допущение. Пусть Е— влияние среды, а Р=¥+Е— действительное (фенотипическое) значение количественного признака особи. Так как У и Е не коррелируют, то .

о2 =o^+oi = ol+ob+aE- . (41) Вследствие принятого выше допущения Е не входит в ковариацию между родственниками; следовательно, корреляция для пары родитель — ребенок по их фенотипическим значениям Р равна

где отношение о^/Ор получило название «наследуемости» в узком смысле [414]. Это и есть та корреляция, которая действительно будет наблюдаться на практике.

§ 1,7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХВ РАЗНЫХ ШКАЛАХ

Если переменная У измеряется по какой-либо другой шкале, например как V У или log У, то меняются не только абсолютная величина дисперсии, но и относительные величины ее линейной и доминантной компонент. Это означает, что наследуемость признака варьирует в зависимости от шкалы, по которой он измеряется. Чтобы убедиться в этом, достаточно ознакомиться с примером, в котором не учитывается влияние среды.

/

АА 1/9

Аа

4/9

аа

4/9

Среднее

Полная дисперсия

Линейная компонента

Наследуемость

Y

16

4

1

4

20

16

.0,80

Vy

4

2

1

16/9

68/81

64/81

0,94

log У

1,2

0,6

0

0,40

0,16

0,16

1,00

С целью упрощения выражений, описывающих генетические соотношения для определенных признаков, специалисты по биометрии часто стремятся подобрать такую шкалу, которая позволила бы уменьшить компоненту генетической дисперсии, обусловленную доминированием (а также уменьшить взаимодействие между локусами, о чем пойдет речь в гл. 10). В приведенном выше примере log У — простейшая переменная, которую используют в тех случаях, когда действия генов мультипликативны, а не аддитивны.

ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Пусть (/i, d2... и xi, ха... — два числовых ряда. Если St/=O и Hdx = = 0, то YLdy=O, где у = аЦ-Ьх.

2 dy = Y d (д + bx) = aYLd-V bYLdx = 0.

2; Используйте следующие четыре пары (X, У) для проверки всех свойств линейной регрессии, рассмотренных в § 1:

X

Y

L

D

YL

LD

1

4

2

+2

8

+4

2

2

5

—3

10

—15

4

12

11

+ 1

132

+ 11

б

14

14

0

196

0

Сумма

Среднее

12 3

32

8

32

8

0

0

346

0

Рассчитайте величины и проверьте соотношения: 2У£ = 2£2, V(X), V(Y), Cov^, У), 6=30/10=3, V(L), V(D), V(Y) =V(L)+ V(D) и rYL=rYX= = 0,93.

Предположим, что имеется n точек и, таким образом, и (и—1)/2 возможных пар точек (хд у^ и (х,, у 4 при условии, что Kj. Тогда

2 (^ - «1^ kxi - ХА = 2 kUi xi + Ui xi ” Ut Xj - ys xt} = Ki

= n'2iUlxt-^2iy^^=n2i ^ - y) (x, - x).i

Заменив у на x, мы получим

2(^—хУ=п^^х1—хУ- i<ji

Для тех, кто встречается с этими выражениями впервые, лучше всего принять п=4, полностью выписать шесть произведений или квадратов величин, а затем просуммировать их.

В общей статистике величины D = Y—L обычно определяют вычитанием, так как соответствующие величины L легко рассчитать из найденного уравнения линии регрессии. Подобно этому, сг д= <Jy— сг^ также получается вычитанием, если известно а^. В частном случае популяции случайно скрещивающихся диплоидных особей мы получим выражение для о^ в явном виде, а затем покажем, что в этом простом случае можно получить выражения в явном виде и для индивидуальных D. Существуют только два независимых D. Вследствие коллинеарности L2—2Li+Ao = O. Из табл. 3.3

d = У2 - 2УХ + Уо = (Z,2 - 2LX + Lo) + фг - 2Пг + Do),

d= D^ — 2DX + Do,

Величина, которую надо минимизировать, равна

Q = о2, = ^ ф2 = р2 В2 + 2pqB2 + ^2 D2

Исключив Dx путем подстановки и положив dQ]dB2 = 0 и dQ/dBo = O, мы получим два уравнения

2р2 В2 + pqB2 + pqD0 = pqd,.

pqB2 + pqD0 + 2q2 Do = pqd,

из которых следует, что р2В2 = р2Ва. Покажите, что B2 = q2d, Вх =—pqd, BQ=p2d. Это согласуется с приведенным в тексте утверждением о том, что В2 и Во всегда имеют один и тот же знак, a Вх — противоположный им. При этих решениях мы имеем частное соотношение:

а2, = р2 q2 d2 = В2.

Проверьте эти результаты на числовом примере, приведенном в табл. 3.2. Эти выражения в явном виде для В идентичны тем, которые приводятся в работе [693], за исключением системы обозначений.

Те, кто не боится сложных алгебраических выкладок, могут проверить справедливость тождества (22). Если же читателя интересуют только генетические приложения, можно доказать более простое тождество для бинома второй степени:

^ ф» = У2 + 2pq№ + р2 q2 d2.

Смысл приведенных символов понятен из текста.

Дисперсия количественного признака, как и ее линейная и доминантная компоненты, варьируют с изменением частот генов в популяции. Рассчитайте величины /i2 = o^/a^ по данным, приведенным в следующей таблице, для четырех популяций с р = 0,2; 0,4; 0,6; 0,8:

Генотип

Y

I

II

III

IV

АА

8

0,04

0,16

0,36

0,64

Аа

7

0,32

0,48

0,48

0,32

аа

1

0,64

0,36

0,16

0,04

Примените метод ортогональных контрастов к популяции из табл. 3.2, для которой р = 0,60 и <7 = 0,40. Для числовых расчетов коэф-

фициенты контрастов можно считать целыми числами. Например, для линейного контраста (табл. 3.5)

^•Дя — руД—^ = 0,80:—0,20:—1,20 = 4:—1: —6.

Систематизируйте результаты и представьте их в виде таблицы:

лл

Ла

аа

Согласно (31) и (32)

Y\

f:

8 0,36

7 0,48

I

0,16

9

е»

2/с2

92/2 /с2

с:

4

— 1

—6

7,2

51,84

12

о£ =4,32

cr;

4

—6

9

—7,2

51,84

36

оЬ=М4

Оу =5,76

Метод ортогональных контрастов в применении его к панмикти- „1

ческой популяции с p — q= —дает следующие результаты:

Y

Уг

1

4

1

2

Ко

1

4

022 /С2

Линейная

+ 1

0

— 1

/ 1 V/\2]

Доминантная

+ 1

—1

+ 1

/ 1 \2/\2

Отсюда

А.гтод матриц перехода

В этой главе нам потребуются некоторые элементарные сведения из матричной алгебры. Тем, кто знаком с этим предметом, глава не покажется трудной. Если же математическая подготовка читателя недостаточна, ему следует максимально использовать свои знания из области генетики, так как большинство доказательств построено скорее на генетической, чем на математической основе. В любом случае для получения элементарных представлений о матрицах и приобретения необходимых навыков обращения с ними достаточно нескольких часов самостоятельной работы. В качестве доступного источника информации по этому вопросу можно порекомендовать книги Сёрла [566], Смита [571; т. 2] и Бэтшелета [18].

§ 1. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ;МАТРИЦА ПЕРЕХОДА

Обычно вместо абсолютных частот пар родственников, таких, например, как приведенные в табл. 2.5 частоты для пар родитель — ребенок и в табл. 2.8 для пар полных сибсов, удобнее пользоваться условными частотами или условными вероятностями, т. е. вероятностями для рассматриваемого родственника иметь генотип АА, Аа или аа при дан- ном (фиксированном) генотипе другого родственника. Эти три вероятности обязательно будут дополнять друг друга до единицы, так как рассматриваемый родственник должен иметь один из трех генотипов. В качестве примера рассмотрим пару дядя — племянник.

Племянник

/ АА Условие: дядя АА1 t22 Условие: дядя Да! <12 Условие: дядя аа \ t02/ АА Условие: дядя АА1 t22 Условие: дядя Да! <12 Условие: дядя аа \ t02Аа<21<и<01Аа<21<и<01аа \ Сумма строкаа \ Сумма строк<23I1<10I1<00 /1<23I1<10I1<00 /1(1)(1)

/ АА Условие: дядя АА1 t22 Условие: дядя Да! <12 Условие: дядя аа \ t02

/ АА Условие: дядя АА1 t22 Условие: дядя Да! <12 Условие: дядя аа \ t02

Аа

<21

<и

<01

Аа

<21

<и

<01

аа \ Сумма строк

аа \ Сумма строк

<23I1

<10I1

<00 /1

<23I1

<10I1

<00 /1

(1)

(1)

Здесь, например, /21 — вероятность того, что племянник будет иметь генотип Аа при условии, что его дядя имеет генотип АА; она называется вероятностью перехода от дяди «2» к племяннику «1» и т. п. Вероятности каждой строки матрицы удовлетворяют условию ++/21++= 1 и т. д. Такая таблица условных вероятностей называется матрицей перехода (или стохастической матрицей). Основным инструментом в этой главе будут именно такие матрицы, составленные для различных генетических задач.

Предположим, что вероятности перехода / из приведенной выше матрицы уже известны. Для того чтобы преобразовать матрицу перехода в матрицу абсолютных частот (совместное распределение) для пар

дядя — племянник, нам следует лишь умножить условные вероятности на «исходные» вероятности для дядей. В панмиктической популяции вероятности для дяди иметь генотипы АА, Аа и аа равны соответственно р2, 2pq и q2. Следовательно, элементы первой строки мы умножаем на р2, второй-—на 2pq и третьей — на q2; таким образом, девять элементов новой матрицы будут дополнять друг друга до единицы. Формально эта операция описывается так:

р20о\/О2pqОIIО092/\Исходное рас-пределениер20о\/О2pqОIIО092/\Исходное рас-пределение^22 ^21^2JЛг Л1 Ло ^02 ^01 ЛюУсловное рас-пределение^22 ^21^2JЛг Л1 Ло ^02 ^01 ЛюУсловное рас-пределениерЧм p4Y, рЧ^2pqti2 2pqtn 2pqti09%2 q^ai q2tooСовместноераспределениерЧм p4Y, рЧ^2pqti2 2pqtn 2pqti09%2 q^ai q2tooСовместноераспределение(2)(2)

р20о\/

О2pqОII

О092/\

Исходное рас-пределение

р20о\/

О2pqОII

О092/\

Исходное рас-пределение

^22 ^21^2J

Лг Л1 Ло ^02 ^01 Лю

Условное рас-пределение

^22 ^21^2J

Лг Л1 Ло ^02 ^01 Лю

Условное рас-пределение

рЧм p4Y, рЧ^2pqti2 2pqtn 2pqti09%2 q^ai q2tooСовместноераспределение

рЧм p4Y, рЧ^2pqti2 2pqtn 2pqti09%2 q^ai q2tooСовместноераспределение

(2)

(2)

Мы не будем приводить здесь всех выкладок, а просто отметим, что строки умножаются на соответствующие исходные вероятности. Заметим,. что эта операция обратима. Для того чтобы превратить таблицу совместного распределения в матрицу перехода, надо разделить все элементы первой строки на р2, второй — на 2pq и третьей — на q2. Таким образом, из одной матрицы можно получить другую и наоборот.

ИДЕНТИЧНОСТЬ ГЕНОВ

Еще одно понятие, которое понадобится нам для изучения более отдаленных родственников,— это фундаментальное понятие идентичности генов. Проблема идентичности и независимости генов возникла во второй главе при попытке оценить частоты генов из данных по сочетаниям мать—ребенок. Теперь настало время рассмотреть этот вопрос более формально. ■

Пусть X— ген некоторого локуса, им может быть аллель А или аллель а. Говорят, что ген X существует в двух -возможных состояниях: в состоянии А с вероятностью р и в состоянии а с вероятностью q. Если оба гена одного локуса — Xv и Ха— находятся в состоянии А или в состоянии а, то говорят, что они находятся в одном и том же состоянии. Привычным термином «генотип» обозначают как раз те состояния, в которых существуют два гена данной особи; это понятие не содержит никаких сведений о происхождении генов.

Если некоторый ген произведён другим геном в процессе деления с последующей передачей потомку, то принято говорить, что два данных гена идентичны по происхождению [422]. Например, ребенок, один из родителей которого имеет генотип XiX2 (здесь неважно, каким генотипом обладает сам ребенок), с необходимостью получает от этого родителя или ген Хь или ген Х2 (и никогда не получает оба гена вместе). Ген ребенка Xi происходит от гена Xi одного из родителей; следовательно, эти два гена идентичны по происхождению. Идентичные гены, не претерпевшие мутаций, обязательно будут находиться в одинаковом состоянии. Подобную идентичность генов можно проследить на протяжении любого числа поколений.

Кроме того, возможен случай, когда родитель с генотипом XiX2 имеет двух детей, каждый из которых получил от этого родителя ген Хп тогда гены Xi детей также идентичны по происхождению, поскольку оба они произошли от одного и того же гена Х4 их родителя.

Каждый диплоидный индивидуум несет по два гена. Два «кровных» родственника, которые в большинстве случаев имеют один идентичный ген, называются однолинейными (unilineal) (или родственниками по одной линии). Родитель и потомок всегда обладают одним 5-322

идентичным по происхождению геном и, следовательно, представляют наиболее важный тип родства по одной линии. Бабка (дед) и внук (внучка), дядя и племянник, двоюродные сибсы, полусибсы и т. д.— все это родственники по одной линии.

Два родственника, которые обладают двумя идентичными по происхождению генами, называются двулинейными (bilineal) (или родственниками по двум линиям); наиболее важной их разновидностью являются полные сибсы. Пусть первый ребенок родителей XiX2XX3X4 имеет генотип ХхХ3. Их второй ребенок также может получить от одного из родителей ген Xi, от другого — ген Аз; в результате это приведет к формированию генотипа ХхХ3. В данном случае в отношении рассматриваемого локуса X эти два сибса в точности подобны идентичным близнецам. Но если второй ребенок получает от одного родителя ген Х2) а от второго — ген Х4, что приводит к формированию генотипа А2А4, то эти два сибса в точности подобны двум независимым друг от друга (в отношении локуса А) индивидуумам, так как они не имеют ни одного идентичного по происхождению гена. И наконец, если второй ребенок имеет генотип А]А4 или А2А3, то сибсы имеют один идентичный ген, и отношение между ними подобно отношению между родителем и по' томком. Другой важный тип родства по двум линиям в популяциях . человека — родство двойных двоюродных сибсов, чьи родители являются членами двух групп сибсов.

Содержание этого параграфа вкратце сводится к следующему: однолинейные родственники могут иметь, а могут и не иметь один идентичный по происхождению ген. Двулинейные могут иметь по два иден- дентичных по происхождению гена, по одному такому гену или не иметь их вообще. Все эти случаи будут детально обсуждаться в последующих параграфах. Более подробно и широко вопросы, затронутые в этой главе, рассмотрены в работе [542]. Специальные вопросы идентичности генов по происхождению изложены в работе [281].

МАТРИЦЫ ПЕРЕХОДА/ТО

Итак, согласно вышесказанному, два родственных диплоидных индивидуума могут иметь в одном локусе 1) по два идентичных по происхождению гена, 2) по одному идентичному гену или 3) не иметь ни одного идентичного гена. Для популяции со свободным скрещиванием мыслимы только эти три возможности. Прежде чем рассматривать связи между определенными родственниками,, целесообразно составить три основные матрицы перехода. Они соответствуют ситуациям, определяемым числом идентичных генов, которыми обладают два родственника. Эти матрицы следующие [410]:

р qт = \ч^ vaV о рр qт = \ч^ vaV о р(р2 2pq q2\ О - р» 2pq q2 I\p2 2pq q2/(р2 2pq q2\ О - р» 2pq q2 I\p2 2pq q2/(3)(3)/1 0 0\

р q

т = \ч^ va

V о р

р q

т = \ч^ va

V о р

(р2 2pq q2\ О - р» 2pq q2 I

\p2 2pq q2/

(р2 2pq q2\ О - р» 2pq q2 I

\p2 2pq q2/

(3)

(3)

/ = I 0 1 0 , \0 0 1/

В первой матрице / даются вероятности перехода для двух родственников (при заданном генотипе одного из них) в случае, когда они несут идентичные пары генов. Генотипы этих индивидуумов одинаковы: если данный родственник имеет генотип АА, то и другой также должен иметь генотип АА и т. д., других возможностей здесь нет. Третья, матрица, О, дает условные вероятности того, что два родственных индивидуума не будут иметь ни одного идентичного гена, т. е. между ними нет генетического родства. Независимо от генотипа одного инди-

видуума вероятности появления генотипов (ЛА, Аа или аа) у другого индивидуума остаются равными р2, 2pq и q2 соответственно.

Вторая матрица, Т, дает вероятности перехода от одного родствен

ника к другому, когда они несут по одному идентичному гену, и, веро

ятно, требует краткого пояснения. Допустим, что данный родственник имеет генотип АА. Другой родственник должен иметь один из этих

генов плюс ген, выбранный случайным образом из популяции. Их общий ген будет А, а случайный выбор другого гена в соответствии с частотами p(A)+<?(a) даст для генотипов АА, Аа и аа условные ве

роятности р, q, 0. Если задан родственник с генотипом Аа (вторая строка Г), другой родственник обязательно будет иметь идентичный ген А

или ген а с вероятностью — в каждом случае. Вторым геном, как и

прежде, является ген, выбранный из популяции случайным образом. Вероятности перехода рассчитываются так:

ЛЛ

Аа

аа

Общий ген Л

I тр

I т9

0

Общий ген а

0

I

1

2 9

Один общий ген

1

Тр

1

2

1

т9

Это есть вторая строка матрицы Т. Третью строку получаем таким же образом.

Введение трех основных матриц (3) облегчает отыскание общего распределения и корреляции между родственниками любого типа в панмиктической популяции, так как при этом требуется всего лишь выразить отношения между ними через матрицы I, Т, О.

§ 4. РОДСТВЕННИКИ ПО ОДНОЙ линии

Как отмечалось выше, родственники, которые обладают не более чем одним идентичным геном, называются однолинейными. Наиболее

часто изучаемый тип таких родственников — это пары родитель — потомок, которые всегда имеют по одному идентичному гену. Матрицей перехода для такой пары служит просто матрица Т: это можно проверить, обратившись к табл. 2.5. Разделив строки на р2, 2pq, q2 соответственно, мы получим условные вероятности Т. И наоборот, умножив строки матрицы Т на р2, 2pq, q2, мы получим частоты. Любая

пара родственников, имеющих один идентичный ген и описываемая мат-

11

рицей Т, коррелирует с гХх= — и гуу= > согласно предыдущей

главе. Следует отметить, что Т дает вероятности перехода от ребенка к родителю, так что эту матрицу можно использовать двояким образом.

Рассмотрим далее вероятности перехода от деда (бабки) к внуку (внучке). Если дед имеет генотип АА, то вероятности появления соответствующих генотипов у родителя (матери или отца) даются элементами первой строки матрицы Т. Вероятности того, что при каждом

генотипе родителя ребенок получит генотип АА, задаются элементами первого столбца матрицы Т. Таким образом, условная вероятность того, что внук будет иметь генотип АА, равна сумме произведений соответствующих элементов первой строки и первого столбца матрицы Т, а именно:

(Р, 9, 0)(Р, 9, 0)= р2 + -1- pq = у р + у р2.

(Р, 9, 0)

(Р, 9, 0)

0

Аналогичным образом можно показать, что условные вероятности получения внуками различных генотипов при заданном генотипе деда определяются элементами матрицы, полученной в результате умножения Т-Т = Т2. Маркировка и установление происхождения генов показывают, что пара дед—внук (внучка) с равной вероятностью может иметь как по одному идентичному по происхождению гену, так и не иметь ни одного. ' Поэтому

Т2 = — Т + — О,(4)

что можно легко проверить прямым умножением Т на Т. Поскольку Т представляет собой матрицу перехода от ребенка к родителю и наоборот, то Т2 дает также условное распределение генотипов для полусиб- сов, поскольку они имеют одного общего родителя. Из приведенного выше соотношения видно, что громоздкая операция перемножения матриц сводится к простому сложению. Дальнейшие рассуждения показывают, что

Т3 = — Т + —О; Т4 = — Т+— О,(5)

88

и в общем виде

грП*^-1 / 1грП*^-1 / 1

грП*^-1 / 1

грП*^-1 / 1

где п+1 есть число поколений между двумя родственниками. При больших п

Т^О.

Другими однолинейными родственниками являются группы сибсов; соотношения между полными сибсами мы рассмотрим в следующем параграфе.

ПОЛНЫЕ СИБСЫ

Чтобы упростить запись, обозначим родителей А1А2 и Х3Х4 через соответствующие индексы, а именно (1,2) и (3,4). Символ X обозначает ген локуса (А, а); им может быть А или а. Здесь нас больше всего интересует именно идентичность определенного гена (обозначенного номерными знаками 1, 2, 3, 4), а не его состояние или фаза. В такой системе обозначений четыре возможных генотипа детей этих родителей выглядят следующим образом: (1,3), (2,3), (1,4), (2,4). Так как формирование генотипов второго ребенка происходит независимо

от образования генотипов первого, возможны 16 следующих пар ' сибсов:

(1,3)

(2,3)

(1,4)

(2,4)

(1,3)

оба

ОДИН

ОДИН

ни одного

(2,3)

один

оба

ни одного

один

(7)

(1,4)

один

НИ одного

оба

один

(2,4)

НИ ОДНОГО

один

ОДИН

оба

Слово в каждой ячейке таблицы означает число идентичных генов у данной пары сибсов. Четыре пары, расположенные по главной диагонали (от верхнего левого угла к нижнему правому), имеют по два идентичных гена, например (1,3) и (1,3) и т. д. Эти два сибса, подобно идентичным близнецам, обязательно должны иметь одинаковые генотипы и, таким образом, одни и те же значения У. Четыре пары, расположенные по другой диагонали (от верхнего правого угла к нижнему левому), напротив, не имеют ни одного идентичного гена, например (1,3) и (2,4) и т. д. Эти сибсы в отношении рассматриваемого локуса подобны неродственным индивидуумам, поскольку все четыре гена (1, 2, 3, 4) выбраны из популяции случайным образом. Все остальные восемь пар имеют по одному идентичному гену. Генетические взаимоотношения между такими сибсами те же самые, что и между родителем и ребенком, которые также имеют по одному идентичному гену. И наконец, отметим, что таблица (7) приведена здесь для полноты, а не по необходимости. Если мы рассмотрим любую строку или столбец, например первую строку для сибса (1,3), то увидим, что один из четырех возможных сибсов имеет два идентичных гена, двое несут по одному идентичному гену и один не имеет ни одного. В более сложных случаях требуется только точно задать генотип одного родственника и перечислить соответствующие возможности для другого. Вероятности перехода для полных сибсов даются матрицей [410]

s=T/ + tt + T0’ (8)

где I, Т, О —матрицы (3). Умножив первую строку S на р2, вторую — на 2рд и третью — на q2, мы получим совместное распределение для полных сибсов, приведенное в табл. 2.8. Если два сибса имеют по два идентичных гена, то их ковариация будет такой же, как и дисперсия.

Если они имеют по одному идентичному гену, их ковариация равна

— ®L2 L— ®L2 Lкак было показано в предыдущей главе для пар родитель —

— ®L

2 L

— ®L

2 L

ребенок. Если у них нет ни одного идентичного гена, то их ковариация равна нулю. Следовательно, ковариация между полными сибсами

равна

(9)'О')(9)'О')Cov (сибсы) = -1- а2 + -|- М- а2

(9)'

О')

(9)'

О')

2

D"

Разделив все члены уравнения на ау, мы получим корреляцию между полными сибсами

(Ю)(10')(Ю)(10')11

(Ю)

(10')

(Ю)

(10')

г (сибсы) = — Н—

2 а2г 4 4 ’2 а2г 4 4 ’44

2 а2г 4 4 ’

2 а2г 4 4 ’

которую другим способом впервые получил Фишер [162]. Корреляция между полными сибсами обычно больше корреляции между родителем и ребенком; ее минимальное значение равно -^- независимо от вели

чины У. Если <4= 4 й 4=0, то корреляция для полных сибсов такая же, как для родителя и потомка, и обе они равны Уг. Полные сибсы названы двулинейными родственниками, так как они могут иметь по два идентичных гена. Условные вероятности для таких родственников содержат компоненту V, а ковариация между ними — член 4.

ФОРМАЛЬНОЕ РАССМОТРЕНИЕ МЕТОДАКОВАРИАЦИЙ

Метод ковариаций включает нахождение среднего значения количественного признака для одного сибса, когда среднее значение этого признака для другого сибса задано (см. выше), с последующим расчетом ковариаций из таких парных величин, как это проделано нами для пары родитель — потомок в табл. 3.7. Однако алгебраические выкладки для полных сибсов значительно более громоздки, чем для пары родитель — ребенок. Здесь мы покажем, что при использовании формального метода ковариаций для полных сибсов выкладки можно значительно сократить, применив метод ITO. Предположим, что задан сибс с генотипом ЛА и средним значением У2. Для того чтобы найти среднее значение генотипа парного сибса, мы просто берем первую строку матрицы S и для каждого элемента (частоты) матрицы проставляем соответствующую величину У:

Значения для другого сибса из этой пары

Заданный сибс

у2

У1

уо

У2

У!

у0

у2

У1

Ео

АА,

е2

1

4

0

0

Т"

1

Т9

0

1

4

Р2

1

1

4

-У

Аа,

Ут

0

1

4

0

1

тр

1

4

1

Т9

1 4

р2

“И

1

4

92

аа,

Уо

0

0

1

4

0

1 тр

1

т9

1

4

Р2

1

4

-92

Умножив каждое значение У на соответствующую ему частоту и просуммировав, мы получим среднее значение генотипа другого сибса:

Среднее для сибса (при заданном У2) =

= -1[У2+2(рУг+^1)+П(12)

4

Имея в виду, что mi =pY2-Vq^\ = У+ai и £2=У+2а1 (см. предыдущую главу), мы можем переписать (12) в виде

Среднее для сибса = — [У2 + 2 У + L2],(12')

Если задан сибс генотипа Аа со средним значением Уь то среднее значение для генотипа другого сибса можно рассчитать таким же образом, взяв вторую строку S, и т. д. При расчете ковариации постоянную величину 2У в (12') можно опустить. Полученные результаты суммируются следующим образом:

Частота

Первый сибс

Среднее для второго сибса

Р2

У2

4 \/

2 pq

Ei

т(™)

92

У»

Таким образом, ковариация между полными сибсами равна

Cov (сибсы) - 4 "У gl = ™ а1 + 4"а» ’

что идентично (9). Итак, мы видим, что ковариацию между полными сибсами можно прямо получить, исходя из соотношения S=^4^+ +Тт+Т°) , или вывести, применив метод ковариаций и беря различные строки матрицы S.

ДРУГИЕ ОДНОЛИНЕЙНЫЕ РОДСТВЕННИКИ

В § 4 мы показали, что связь однолинейных по предковой линии родственников, разделенных п поколениями, характеризуется матрицей перехода Тп. Существуют, однако, родственники, связанные как по предковой линии, так и через группу сибсов. К ним принадлежат, например, дядя и племянник, поскольку дядя — это родной брат отца (или матери) племянника, или, наоборот, племянник — это сын брата (или сестры) дяди. Переходной матрицей условных вероятностей для таких родственников будет поэтому TS и ST соответственно. Можно показать (см. прим. 5), что

TS = ST = Т2.(14)

Это равенство означает, что генетические соотношения для пары дядя—племянник такие же, как для пары дед—внук и для полусибсов. Хотя S сама по себе не равна Т, в паре с Т она «подобна» Т. Рассмотрим, далее, двоюродных сибсов — этот часто встречающийся тип однолинейных родственников. Двоюродный сибс (first cousin) (кузен) — это ребенок полного сибса родителя другого ребенка; поэтому матрицей перехода будет 1ST. Из (14) следует, что

TST=T3 = ^T+^O(15)

Таблица 4.1

Условные и совместные распределения вероятностей генотипов для пардвоюродных сибсов в популяции со случайным скрещиванием

Условное распределение, Т3 = —Т 4- —О

44

АА

Аа

аа

Сумма

АА

1з „

' 13

П я + V 2W

44

1

Аа

4 \ 2 J 4

1 / 1 \ . 3 „

4 \ 2 )44

1 / I \ ,3 .

4 ( 2 9/ + 4

1

аа

13

— р+—-2рд

44

— q + — q2 4 44 4

1

Совместное распределение

АА

■Аа

аа

•

АА

“ Р2 (Р + Зр2)

4

-у p^yp + 3p2j

-^-92(0+Зр=)

4

р2

Аа

-у р2 (? + 6Р4)

1/1\

— pq^— + 6pqj

<?2 (Р + брр) 4

2pq

аа

(0 + 392) 4

-у Pq Ч + Зр2)

(р+Зр2) 4

q2

Сумма

Р2

2pq

92 .

1,00

/ 1 Vг (двоюродные сибсы) = 1~ I №/ 1 Vг (двоюродные сибсы) = 1~ I №(16)(16)и корреляция между двоюродными сибсами равна

/ 1 V

г (двоюродные сибсы) = 1~ I №

/ 1 V

г (двоюродные сибсы) = 1~ I №

(16)

(16)

8 4

В табл. 4.1 даны условные и совместные распределения для двоюродных сибсов. Все это, конечно, можно отнести также и к парам прадеды—правнуки или к любым другим родственникам, эквивалентным тем, которые разделены тремя поколениями.

ДВОЙНЫЕ ДВОЮРОДНЫЕ СИБСЫ

Если члены одной группы сибсов вступают в брак с членами другой группы, то их дети называются двойными двоюродными сибсами (double first cousin) (рис. 4.1). Этот тип двулинейных родственников не настолько часто встречается в популяциях человека, чтобы его стоило подробно исследовать. Мы рассмотрим его лишь затем, чтобы продемонстрировать возможности метода ПО. Совместное распределение для двойных двоюродных сибсов было получено в работе [162] весьма трудоемким способом. Если, однако, мы установим идентичность генов, то такое распределение можно получить более коротким путем, используя матрицы перехода. На рис. 4.1 выписаны все возможные генотипы одного из двойных двоюродных сибсов при любом заданном

генотипе другого сибса пары. Реализация этих возможностей дает в одном из 16 случаев двоюродных-сибсов, имеющих по два идентичных гена, в шести — по одному и в девяти — не имеющих ни одного идентичного гена. Следовательно, условные вероятности задаются соотношением

(17)(17)S2 = — 7 + — Т + — О.

(17)

(17)

16161-6

Заданный 1,51,5 ; 1,6 ; 1, 7; 1,8;2,5; 2,6; 2,7; 2,8;3,5; 3,6; 3,7; 3,8;4,5; 4,6; 4,7; 4,8.Заданный 1,51,5 ; 1,6 ; 1, 7; 1,8;2,5; 2,6; 2,7; 2,8;3,5; 3,6; 3,7; 3,8;4,5; 4,6; 4,7; 4,8.Рис. 4.1. Генетические взаимоотношения между двойными двоюродными сибсами.Рис. 4.1. Генетические взаимоотношения между двойными двоюродными сибсами.

Заданный 1,51,5 ; 1,6 ; 1, 7; 1,8;

2,5; 2,6; 2,7; 2,8;

3,5; 3,6; 3,7; 3,8;

4,5; 4,6; 4,7; 4,8.

Заданный 1,51,5 ; 1,6 ; 1, 7; 1,8;

2,5; 2,6; 2,7; 2,8;

3,5; 3,6; 3,7; 3,8;

4,5; 4,6; 4,7; 4,8.

Рис. 4.1. Генетические взаимоотношения между двойными двоюродными сибсами.

Рис. 4.1. Генетические взаимоотношения между двойными двоюродными сибсами.

Цифрами 1 8 обозначены восемь генов двух бабок и двух дедов, являющихся членами обеих

семей. Четыре пары цифровых обозначений для родителей указывают на возможную для них в соответствии с происхождением генов генетическую конституцию. Для любого данного кузена (например, 1, 5) возможны 16 кузенов, из которых один идентичен ему (1, 5), трое имеют ген 1 и не имеют гена 5, трое имеют ген 5, но не имеют гена 1; итого — шесть возможностей иметь по одному идентичному гену. Остальные девять генотипов при заданных условиях независимы [410].

Ковариация для таких кузенов равна

Cov (двойных двоюродных сибсов) = -^ Су + ^- f-y- а^ = -^- g2l + -^ а^.(18)

Корреляция между двойными двоюродными сибсами, как и обычно, равна ковариации (18), деленной на дисперсию.

РОДСТВЕННИК РОДСТВЕННИКА

Матрица перехода Т дает условные вероятности пар родственников, обладающих одним идентичным геном, поэтому ее можно применить к «переходу» как от родителя к ребенку, так и от ребенка к родителю. Таким образом, родство полусибсов (имеющих одного общего родителя) описывается матрицей Т2. Из рис. 4.2 видно, что индивидуумы X и У— полусибсы и У и Z — также полусибсы. С первого взгляда 6—322

может показаться, что родство X и Z описывается матрицей Т--Т2 = = Т\ однако это неверно. Индивидуум X — ребенок родителей (1, 2) и (3, 4), тогда как Z— ребенок родителей (5, 6) и (7, 8). Поэтому они не обладают идентичными по происхождению генами. В общем случае родственник родственника не обязательно является родственником в генетическом смысле. Не следует применять матрицу Т вслепую, в от-

(1,2)(1,2)(5,6)(5,6)Рис. 4.2. Независимость между индивидуумами X и Z.Из родословной видно, что К иРис. 4.2. Независимость между индивидуумами X и Z.Из родословной видно, что К иУ, а также У и Z— полусибсы, однако X и Z не имеют ни одУ, а также У и Z— полусибсы, однако X и Z не имеют ни одного идентичного по происхож-дению гена [410].ного идентичного по происхож-дению гена [410].

(1,2)

(1,2)

(5,6)

(5,6)

Рис. 4.2. Независимость между индивидуумами X и Z.

Из родословной видно, что К и

Рис. 4.2. Независимость между индивидуумами X и Z.

Из родословной видно, что К и

У, а также У и Z— полусибсы, однако X и Z не имеют ни од

У, а также У и Z— полусибсы, однако X и Z не имеют ни од

ного идентичного по происхож-дению гена [410].

ного идентичного по происхож-дению гена [410].

рыве от ее биологического смысла. Как мы увидим позже (гл. 14), правила применения матрицы Т те же, что и правила использования коэффициентов путей. '

ФАКТОРИЗАЦИЯ МАТРИЦЫ Т

Рассмотрим еще раз взаимоотношения в парте родитель—ребенок. Матрица Т дает условные вероятности для ребенка иметь тот или иной генотип при заданном генотипе родителя. Другими словами, Т ' есть

.1

матрица перехода от генотипа к генотипу, а Гхх="^ корреляция генотипа с генотипом, как это показано на рис. 3.8. Введем теперь про- .межуточный переход, который мы до сих пор опускали, — связь между родительскими гаметами. Пусть 732 — матрица перехода (3 строки, 2 столбца) от генотипа к гаметам, а Т23 — матрица перехода (2 строки, 3 столбца) от гамет к генотипу.

И) (а)

АА / 1 0 \дд да аа

Т32= Аа I — — I, 7\3 = (Лур q °У (19) 1 22 I(а) \0 р q)

аа \ 0 1 /

Первая матрица, Г32, дает вероятности формирования заданным генотипом двух типов гамет; они определяются менделевским расщеплением, не зависящим от частот генов. Вторая матрица, 723, дает вероятности появления при случайном скрещивании различных генотипов с участием гаметы каждого заданного типа. Если задана гамета (А), то ее случайное объединение с генами (гаметами), имеющими в популяции частоты р(А') и <7(а), приводит к появлению потомков рАА, qAa и не дает потомков аа. Объединяя эти два процесса, мы получаем

(20)(20)

(20)

(20)

т. е. прежнюю матрицу Т из (3). Таким образом, матрицу Т можно представить в виде произведения двух сомножителей, каждый из которых соответствует некоторому генетическому процессу. Кратко это можно записать так:

(генотип -> генотип) = (генотип -> гаметы) (гаметы -> генотип). (21) Поскольку Т является произведением двух сомножителей, соответствующую корреляцию Гхх=— также можно представить в виде произведения двух величин. Умножая первую, вторую и третью строки Т32 соответственно на р2, 2pq и q2, а первую и вторую строки Т23 соответственно на р и q, мы получим совместные распределения для двух случаев.

(Д) (а)

АА Аа аа

ДД

Аа

р2 0

pq pq

И)

(а)

р2 pq 0

0 pq q2

(22)

аа

0 q2

Видно, что эти две таблицы идентичны. Пусть, как и раньше, генотипам ДД, Аа и аа соответствуют величины Х=2; 1; 0, и пусть для гамет (Д) и (a) G = l; 0. Для распределения гамет средняя величина и дисперсия равны G=p и Ga=pq, а для частного распределения генотипов X —2р иа x=2pq. Ковариация между G и X равна Gov (X, G) =2р2+ -\-pq—2p2=pq, так что корреляция между G и X

ли - ил- ,,,

V Qg'^x ^ pq'2pq 2

В соответствии с общей схемой (21)

V 2 V 22.

Таким образом, мы подразделили Т и гХх на два множителя. Связь этих множителей с коэффициентами путей мы рассмотрим в гл. 15.

МАТРИЦА ПЕРЕХОДА ДЛЯ ГАМЕТ

Обычно мы считаем поколения от генотипа родителя до генотипа потомка, но можно, если это удобно для наших целей, вести такой счет от гаметы родителя до гаметы потомка, т. е. (гамета-агамета) = (гаме- та->генотип) (генотип->гамета). Используя (19), матрицу перехода от гаметы к гамете можно определить как

(25)

Тогда 13\

р + т q \

; Т^^ Г = 0м,(26)

3 „1 „ I \р q

— р ~^p + qj

что аналогично Тп->0 [см. уравнение (6)]. Умножив первую и вторую строки Т22 на р и q соответственно, мы получим совместное распределение гамет, разделенных одним поколением.

А а

p-v — pq —pq

11,2

— pq —pq-Vq^

Рq I

Можно показать (гл. 15), что гаметой потомка всегда равнаМожно показать (гл. 15), что гаметой потомка всегда равна1 *= Cov(G.G') = 2 РЧа£ pq 2 '

Можно показать (гл. 15), что гаметой потомка всегда равна

Можно показать (гл. 15), что гаметой потомка всегда равна

корреляция между гаметой родителя и

— независимо от того, имеет ли место 2

случайное скрещивание или инбридинг. Ряд авторов [49, 106, 247, 324, 542] описали применение метода ITO к более сложным ситуациям.

ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ

Принципиальным результатом, полученным в этой главе, является равенство

P=Lt^1cj.

22

Хотя из генетических соображений оно почти очевидно, читателю следует проверить его, перемножив матрицы.

Используя равенство Т=Т33=Т32Т23, покажите что

222200Т2 — кТзг Т2^ (Т32 Т^ — Т32 (Т,23 Т32) Т'23 —

2

2

2

2

0

0

р А— q — q \

22 \(Р q 0 \ _Lr,JL0

111 П п л /22

-^р —p+qj^pq/

Предельное значение Тп при неограниченном возрастании п мо

жно также записать в виде

/ р2 2pq q2 р2 2pq q2\ р2 2pq q2/ р2 2pq q2 р2 2pq q2\ р2 2pq q2= 0.= 0./ ! ° \

/ р2 2pq q2 р2 2pq q2

\ р2 2pq q2

/ р2 2pq q2 р2 2pq q2

\ р2 2pq q2

= 0.

= 0.

I 11 | (р q \(р q 0\

I 2 2 I \р q / \° р q) \ о 1 /

Выпишем подробно матрицу перехода для полных сибсов S =

— Z+— т+— О 424

т +у,,+"

1 2 тр*

— q + 2

12

тр+

12

т+т+

уР».

1

4

<7 +

12

1 2

-Тр’

уР +

уР».

—+ — 42

q +

1 2 т9

Умножьте ее строки на р2, 2pq и q2 соответственно и сверьте результат с совместным распределением для полных сибсов, приведенным в

Рис. 4.3. Корреляция между некоторыми родственниками при различных величинах наследуемости.

Если в результате сверхдомииирования ft2=0, то полные сибсы в любом случае будут по-прежиемуиметь корреляцию 0,25 (благодаря вкладу доминирования в их ковариацию), тогда как другие род*ствеиники не будут коррелировать. Быстрее всего с увеличением наследуемости возрастает корреля*ция в паре родитель — ребенок.

Проверьте равенство ST=T2 прямым перемножением матриц SXT и затем покажите, что

ST —ST ——о\т = та4/—о\т = та4/—/ + —т + ,

ST —

ST —

—о\т = та4/

—о\т = та4/

42

Воспользуйтесь тем, что IT = Т и ОТ=О.

Последовательно применяя основное соотношение 72=-^-Т+ + -^-0, можно легко получить выражение для Т3, Р и т. д. Напримерз

р — рт —Т + — о\т — — Т2+— о = ——o')

\ 22)222 \ 22 )

+ ±о=^-т + — о.24^4

Корреляции для родственников четырех наиболее распространенных типов в популяции со случайным скрещиванием приведены на диаграмме рис. 4.3. Если флуктуации условий среды не принимаются во внимание, то корреляция зависит от показателя наследуемости h2=G'LlG-Y.

В предыдущей и настоящей главах (обозначив пары родитель — ребенок через Р, С и полных сибсов через С, С) мы нашли, что

Gov ф,С) = у ol, Gov (С, С) = у ol + yoL

Отсюда путем вычитания получаем

од = 4 [Gov (С, С) — Gov (P.QL

Это один из способов оценки о^ из определенных эмпирическим путем ковариаций.

ГЛАВА 5

Множественные аллелии группы крови

Многие теоремы и следствия, выведенные в трех предыдущих главах, применимы и к множественным аллелям. Для целого ряда задач наибольший интерес представляет случай трех аллелей; его мы и рассмотрим здесь наиболее подробно.

РАВНОВЕСНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

При наличии трех аллелей, А, а' и а, встречающихся с частотами р, q и.г соответственно (p+q-\-r=V), доли шести генотипов в большой панмиктической популяции равны

/А a' aV _ АА Аа' Аа а'а' а'а аа ... \ р + q + г ) р" + 2pq + 2pr + <72 + ^qr + г2

Правило Кастла (Харди — Вайнберга) к случаю множественных аллелей впервые прямо применил Вайнберг [см. 598]. В том, что приведенные доли генотипов действительно являются равновесными, можно убедиться разными способами. Например, можно выписать, как это было сделано в табл. 1.2, двадцать один возможный тип скрещивания и все типы потомков с соответствующими им частотами. При этом суммарные частоты каждого из шести типов потомков окажутся как раз такими, какие приведены выше. Таблица, включающая двадцать одно скрещивание, слишком длинна, чтобы полностью приводить ее здесь. Отметим только, что из нее можно вывести ряд следствий, точно так же как из табл. 1.2 было выведено множество свойств, относящихся к случаю с двумя аллелями. Гораздо легче убедиться в том, что (1) является состоянием равновесия, если определить вначале соотношение различных типов гамет, продуцируемых популяцией, а затем использовать принцип эквивалентности случайного скрещивания особей случайному объединению гамет (гл. 1, § 5). Так, например, общее число гамет А в популяции (1) составляет p--A-pq-A-pr=p\ аналогичное соотношение можно получить и для численностей гамет других типов.

Если исходная популяция не находится в равновесии, то, как и в случае трех аллелей, уже через одно поколение случайное скрещивание приведет к установлению равновесия (1).

• Очевидно, что все упомянутые выше свойства присущи и системам с более чем тремя аллелями. В общем виде при наличии к аллелей мы будем иметь к гомозиготных и

гетерозиготных генотипов; полное число генотипов будет равно

+ \ 2 / t 2 / ~ 2 '

Если частоту гена Д{ обозначить через qt^qi = \, г = 1, 2, ..., к^ то равновесные доли генотипов в панмиктической популяции будут определяться соотношением

(2 4i 4? = 2 ^ Ai Ai + 2 2 4i qj Ai А}. (Г) ' < i i<j

Приведенное выше соотношение (1) является частным случаем (1').

Следует помнить, что законы Менделя позволяют рассматривать любую группу аллелей как один аллель. Поэтому мы всегда можем обращаться с к аллелями как с двумя аллелями, отграничивая, скажем, аллель Ai от всех остальных к— 1 аллелей. Если же, к примеру, мы не хотим делать различия между аллелями а' и а из соотношения (1), то можно рассматривать (<?+г) как частоту лишь одного аллеля (а'+ +а). Таким образом, соотношение (1) примет вид, характерный для двухаллельной системы:

А А Аа',Аа а'а',а'а,аа

p^ + 2p(q + r)+(q + r)\ (1") С другой стороны, некоторые закономерности наследования при наличии множественных аллелей можно вывести из соответствующих свойств двухаллельных систем путем подразделения частот.

При наличии доминирования в случае трех аллелей выявляется менее шести различных фенотипов. Рассмотрим наслёдование окраски у кроликов; этот случай наследования, обусловленного тремя аллелями, был изучен раньше других. Сплошная окраска (Д) доминирует как над гималайской (а', окраска тела белая, но уши, нос, кончики лап и хвоста пигментированы), так и над белой (а, альбиносы) окрасками; гималайская окраска доминирует над белой. Если кролики скрещиваются случайным образом, то доли трех фенотипов в популяции должны быть следующими: особи со сплошной окраской (p24-2pq4-2pr), особи гималайской окраски (<?24-2 qr) и альбиносы г2.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ ГЕНОВПО ВЫБОРКАМ

Если все генотипы различимы, то оценить частоты генов очень просто. Так, например, частота гена At будет равна доле особей AHi плюс половина долей всех гетерозиготных особей, содержащих Дц

Процесс определения частот генов в случайной выборке и проверку того, насколько существенно они отклоняются от равновесных соотношений Вайнберга (1), лучше всего проиллюстрировать на следующем примере. У Drosophila pseudoobscuta хромосомы третьей пары весьма изменчивы в отношении порядка расположения генов. Известно более семнадцати различных типов размещения генов (являющихся по отношению друг к другу одиночными или множественными инверсиями). Добжанский и Квил [118, 119] воспользовались этим фактом в своем первом исследовании генетики природных популяций D. pseudoobscura. Эти исследователи собрали случайные выборки мух в горных лесах Долины Смерти на территории Калифорнии и Невады. Данные, полученные ими для Грейпвайна (одной из нескольких горных вершин, на которых они собирали материал), приводятся в табл. 5.1. Три типа хро-

Таблица 5.1

Распределение типов хромосом у 115 особей D. pseudoobscura из Грейпвайиа [118, 119]

Численность

«Генотип»

Сумма

ST/ST

AR/AR |

СН/СН |

ST/AR

ST/СН | AR/CH

Наблюдаемая

12

27

3

36

10

27

115

Ожидаемая

10,65

29,76

4,02

35,60

13,10

21,87

115

Частоты хромосомST—0,3043; AR—0,5087; CH—0,18701,00

Х2=2,63 с тремя степенями свободы; уровень значимости — между 0,3 и 0,5.

мосом третьей пары D. pseudoobscura обозначены здесь как ST — Стандарт, AR— Эрроухед и СН — Чирикахуа. Частоту хромосомы ST, к примеру, определяют так:

= ,2.12+36 + 10 = 70 =

2-115 230

частоты хромосом AR и СН находят подобным образом. Расчет ожидаемых численностей мух в табл. 5.1 основан на распределении (1); так, ожидаемое число особей ST/ST равно 115-(0,3043)2= 10,65 и т.д. Наблюдаемые и ожидаемые численности хорошо согласуются друг с другом, из чего следует, что в природе эти мухи скрещиваются случайным образом.

Если каждый генотип отличим от другого, метод определения частот генов сводится к простому подсчету генов в выборке. Эти оценки имеют простую биномиальную дисперсию: '

т = v(/) = ^-^-. (2) Zu Zu Zu

§ 3. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА§ 3. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВАРАВНОВЕСНОГО СОСТОЯНИЯРАВНОВЕСНОГО СОСТОЯНИЯ

§ 3. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА

§ 3. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА

РАВНОВЕСНОГО СОСТОЯНИЯ

РАВНОВЕСНОГО СОСТОЯНИЯ

и, таким обраи, таким обраВ системе с множественными аллелями суммарная доля гетерозиготных особей в отличие от двухаллельной системы может превышать 50%. Например, при трёхаллельной системе доля гетерозиготных особей равна ‘Z^pq-Vpr-Vqr^ =2у. Нетрудно показать, что у принимает 11

и, таким обра

и, таким обра

максимальное значение, равное— , при p=q=r= —

зом, максимальная доля гетерозиготных особей в популяции со случайным скрещиванием равна — , или около 67%. Обратите внимание на

то, что в примере, приведенном в табл. 5.1, доля гетерозигот составляет 36+10+27 ко/ к 1

=63,5%. Рис. 5.1 показывает, что минимальная доля гомозигот 115

Р2+92+г2 составляет 3(—-) — — .

Из соображений, аналогичных тем, которые сформулированы в § 7 и упр. 15 гл. 1, следует, что доли зигот в равновесной популяции с множественными аллелями также можно связать одним уравнением. Пусть qt — частота аллеля Аг (t=l, ..., &). Пусть далее zu—доля особей АгАг, а 2zw(i</) —доля особей AtAj, так что SzH+2Szц=\. Частоты генов равны тогда <7i=Szo. Так, к примеру, ?i = zn+zi2+...-|-zife. Дробь 1

zalqt является долей генов Д, находящихся в гомозиготном состоянии, от общей частоты этого аллеля. Сумма таких долей всех аллелей в популяции со случайным скрещиванием равна единице [357]. Таким образом, мы получаем уравнение

Zji |Z22 _|_ , _|_ гкк _ J(3)

<71?2"" qk '

Для трехаллельной системы популяция (включающая шесть генотипов) может быть представлена точкой в пятимерном пространстве; рас-

РЧгРЧг

РЧг

РЧг

1/9

1/9

1/9

1(3

1(3

Рис. 5.1. Доля гомозигот в системе с несколькими аллелями минимальна при равенстве частот аллелей.

На схеме показан случай, когда частоты для трех аллелей равны р, р, г. Доля гомозигот p^+q^+r1 равна сумме площадей трех квадратов, изображенных в верхней части рисунка. Когда p^q=r=—f

доля гомозигот равна ——Ь — +— = —, как показано в нижней части рисунка. Когда р, q и г не 9993

равны друг другу, сумма площадей квадратов, изображенных в верхней части рисунка, всегда боль-ше суммы площадей квадратов в нижней части рисунка [см. 362].

стояния от этой точки до шести «сторон» будут долями генотипов. Уравнение (в котором zn+z12+zi3=qi и т. д.)

2Ц|г22|_Z33_ J^/^

Zii + Z12 4-Z13Z12 + Z22 4-Z23Z13 + Z23 4-Z33

задает в этом пространстве некоторую поверхность — геометрическое место точек, представляющих все равновесные популяции (аналогично параболе в треугольнике на рис. 1.6). Уравнение (3) нетрудно обобщить и на случай инбридинга (гл. 13).

§ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ ГЕНОВПО ТРЕМ ФЕНОТИПАМ

При наличии доминирования типа сплошная окраска — гималайская — альбинизм (А>а'>а, где знак > означает «доминирование над») в системе выявляются три фенотипа:

Генотип

Фенотип

(АЛ, Аа', Аа) Сплошная окраска

(а'а', а'а) Гималайская окраска

(аа) Альбинизм

Сумма

Частота

НаблСэдаемая численность-

р2+2р?+2рг а

д2Л-2дг b

г2

с

1,00 G

где р, q и г — частоты генов А, а' и а. Поскольку р = 1—q—r, то нам нужно определить только q и г.

Из таблицы (4) мы получаем следующие зависимости:

<<+г)"=‘-^-С-(5)

Отсюда оценки л ч / £/ । ч / b *4" с

r=V^- <!+r-Vo

и

^-/ф-/^'-« + И- '-/Ф- (6)

Если рассматривать особей со сплошной и гималайской окрасками как один доминантный тип, а альбиносов — как рецессивный, то мы получим

Е(И =Е(И =1 — г24G1 — г24G(7)(7)

Е(И =

Е(И =

1 — г24G

1 — г24G

(7)

(7)

Аналогичным образом, если объединить гималайский тип с альбиносами и рассматривать их как один рецессивный тип, а особей со сплошной окраской — как доминантный, то

4G4G(8)

4G

4G

Выражение для дисперсии q' несколько сложнее, чем простые стандартные уравнения (7) или (8), и отличается от них наличием дополнительного члена. В следующем параграфе мы покажем, что

W) =W) =1 —, д — г4G "Г4О(^+г);1 —, д — г4G "Г4О(^+г);(9)(9)

W) =

W) =

1 —, д — г

4G "Г4О(^+г);

1 —, д — г

4G "Г4О(^+г);

(9)

(9)

Рассмотренный в этом параграфе простой пример поможет нам перейти к более сложному случаю с четырьмя фенотипами.

§ 5. ПРИБЛИЖЕННАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ДИСПЕРСИИ

Предположим, что в популяции численности G (G достаточно велико) наблюдаемые численности и частоты разных классов следующие:

Класс

Вероятность

Наблюдаемая численность

Наблюдаемая частота

Производная функции (10)

I

^(O, • - - )

«i

fl = o,i/G

dt = 99/dfi

II

p^e.. - . )

a2

fa ~ u^/G

ds = d9/df2

Сумма

i

G

1,00

и мы хотим оценить некоторый параметр 0 с помощью следующей функции:

6 = Ш,/2,...,6),(10)

где ф— дифференцируемая функция. Дисперсия такой оценки для больших выборок равна примерно

V(0) = -Msf jdl-^fjd /);(11)

суммирование производится по всем классам. Эту формулу предложил Фишер [см. 174а, а также 572]. В простых случаях можно получить выражение для 1/(0) в явном виде, заменив наблюдаемые значения fj на ожидаемые (в соответствии с параметрами популяции). В более сложных случаях, когда V(0) в явном виде получить довольно трудно, ее численное значение всегда можно найти, приближенно вычислив dj = =dd/dfj. По определению частная производная

j . 50 Ф (fi,. • •, fj Л- ^j, • • •) Ф (fi- • • •, fj, ■ ■ ■)(12)

где Aj — сколь угодно малое приращение fj, например, 1/G. Рассмотрим в качестве примера систему (4)

Сплошная окраскаГималайская окраскаАльбинизм

k = a[Gk = b]Gf3=c!G

и оценочную функцию (6) для q (которая играет роль параметра 0)

4=Vb^c-V^=kuJr!i^~^(б,)

Частные производные имеют вид:

dx = dqldk = 0,

d^dqldt^^Ah-V^ ,(13)

d3 = dq?dfs ^.L^+Fr^-^f;^.

Возведя их в квадрат, мы получим'

sf, d^ = ^ f2 (f2 + kF1 + ~f3 [(f2 + LF1 + fr1 - 2 (f2 + Ft г v] =

44222 '/2 "г /3

Если наблюдаемые / заменить ожидаемыми [т. е. /2+^3 заменить на (9+г)2 и т. д.], то это выражение сведется к

Таким же образом можно найти, что

^fj^j (/2^/3) g ^з g

Отсюда дисперсия оценки равна

= 1= ?2 + (9') 4G 4G (д + г) ’

что фактически представляет собою формулу (9). Аналогично получают целый ряд других формул для дисперсии. В упр. 10 мы ознакомимся с другими видами выражения (11) и другими примерами его применения. ■

ГРУППЫ КРОВИ АВО ЧЕЛОВЕКА

Описание механизма наследования групп крови АВО можно найти почти во всех учебниках генетики, поэтому нет необходимости подробно разбирать его здесь. Напомним только, что Бернштейн [24, 25] выдвинул объяснение этого механизма, предположив существование трех аллелей: А, а' и а. Аллель А, ответственный за синтез антигена А, доминирует над аллелем а (не способным к образованию какого-либо антигена); аллель а', вырабатывающий антиген В, также доминирует над а. Аллели А и а' не доминируют друг над другом («кодоминантны») и вырабатывают антигены независимо один от другого, так что гетерозиготные индивидуумы Аа' обладают антигенами обоих типов." Поэтому в популяциях человека представлено четыре различных фенотипа (группы крови), которые встречаются со следующими частотами (р, q, г — частоты генов А, а' и а соответственно):

Генотип

Аа' | АА, Аа

а'а',а'а |аа

Группа крови Частота

АВ

2pq

А Р2 + 2рг

в q2 + 2qr

О

А

Отметим, что эти частоты симметричны в отношении р и q. На рис. 5.2 приведена диаграмма, представляющая доли четырех фенотипов и трех частот генов. Разделим основание равностороннего треугольника на три отрезка в отношении p;r;q. Через точки деления проведем две прямые, каждая из которых параллельна одной из сторон треугольника; таким образом, весь треугольник разделится на четыре части; их площади пропорциональны частотам групп крови АВ, А, В, О, согласно левой диаграмме рис. 5.2. Точку пересечения двух прямых, отмеченную на диаграмме, можно рассматривать как популяционную точку для частного случая трех аллелей; длины перпендикуляров, опущенных из этой точки на три стороны треугольника, пропорциональны р, q и г. Разделив части треугольника А и В на области, соответствующие «го-

мозиготным» и «гетерозиготным» долям, получим правую диаграмму рис. 5.2, на которой, таким образом, графически представлены частоты шести разных генотипов. На этой диаграмме каждый равносторонний треугольник соответствует квадратичному члену (например, р2), а каждый параллелограмм — члену-произведению (например, 2pqY При р :

Рис. 5.2. Фенотипические (слева) и генотипические (справа) частоты в системе АВО 'человека.

: г: 9=25 : 62 : 13 (ситуация, изображенная на этой диаграмме) большинство индивидуумов с группами крови А и В являются гетерозиготами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ ГЕНОВСИСТЕМЫ АВО

Различие между частотами групп крови (14) и частотами типов окраски у кроликов (4) состоит в том, что здесь фенотипически проявляется одна из гетерозигот (группа крови АВ) с частотой 2pq. В этой главе мы рассмотрим несколько простых методов определения частот генов системы АВО, отложив рассмотрение метода максимального правдоподобия до следующей главы. Придерживаясь системы обозначений, принятой в (4), для четырех групп крови можно составить следующую таблицу:

Группа крови

АВ

X

в

О

Сумма

Частота

2р7

Р2 + 2рг

q2 -|- 2qr

Г2

1

Наблюдаемая численность

h

а

b

С

G

Очевидно, здесь имеются только два независимых параметра, поскольку р+9+г=1- Простые, хотя и неэффективные оценки р, q и г, приводимые здесь, дают значения этих величин, в сумме не обязательно составляющие единицу. Однако мы дадим метод коррекции, с помощью которого эти предварительные оценки можно сделать эффективными. Выпишем, согласно (15), следующие теоретические зависимости:

г2 = C/G = О',

(q + ry = (b+c)/G = B' + 0',(16)

(р + г)2 = (а + c)/G = А' + О',

где А', В', О'— наблюдаемые доли особей с группами крови А, В и О в выборке. Отсюда получаем следующие оценки частот генов [23]:

г' = р'б7,

р' = 1—КВ' + О',(17)

q'= 1—+ О'.

Дисперсию этих оценок можно легко определить методом, описанным в § 4. Таким образом, по аналогии с (7) и (8),

у= 1 -(4 +г)2 = р(1-р) , _Р1

Р '4G2G4G ’

V (q') = 1 — Cp + '-)2 = ^G-q). +ц? )

'4G2G4G ’'

4G 2G4G '

На практике выражениями (17) или (17v) непосредственно не пользуются, поскольку получаемые с их помощью значения величин не дают в сумме единицы. Пусть p'+p'+r'+D^ 1, так что

D= 1-(/+/ +/).(18)

Подставляя сюда значения р', q' и г' из (17), получаем

D = КВ' + О' + ]/А' + О' — рСУ — 1.(19)

Если D положительно, это означает, что грубые оценки (17) занижены и их нужно увеличить, а если отрицательно, то оценки завышены и их, напротив, нужно уменьшить. Бернштейн [24] и Стивенс [600] показали, что скорректированные оценки

р = (i + 4 °)/А

J=(i+44^>(20)

r=(i+44 4+4°)

практически эквивалентны тем, которые получаются методом максимального правдоподобия. Записав выражение (18) как р'+р' + г'+ +4о=12*^’ мы ПОЛУЧИМ> что сумма скорректированных оценок

p-w + r = (i + 4D)(i—гр) = 1-4р2’(21)

т. е., как правило, почти всегда равна единице, поскольку D обычно мало. Выражения для точных дисперсий таких скорректированных оценок (20) довольно сложны, но поскольку оценки близки к оценкам максимального правдоподобия (которые будут введены в следующей главе), мы с полным основанием можем использовать их дисперсию в качестве хорошего приближения. В своей работе Ли [400] составил таблицу дисперсий оценок максимального правдоподобия; часть ее воспроизведена в табл. 5.2

По аналогии с (17), Винер [652] предложил следующие оценки:

г" =

р" = У Д' + О'

-W,

(22)

^ = у В' + О'

-W.

Выражения для дисперсии этих оценок аналогичны

формулам (7) и

(9), а именно:

V(O = -

1 — г2

4G ’

!"р2 ' Р“Г

V1 —1

9 —г

4G4G (р + г)

4G .

4G (9+г)

Таблица 5.2

Дисперсия оценок частот генов системы АВО, полученных по методу

максимального правдоподобия (в

сокращенном виде

из [401])

I. Значения V(p). Чтобы найти V(9), надо поменять местами р и q

р9 = 0,10

9 = 0,20

9 = 0,30

0,060,0291

0,0291

0,0291

0,070,0338

0,0338

0,0338

0,080,0384

0,0384

0,0384

0,090,0430

0,0429

0,0429

0,100,0475

0,0475

0,0475

0,110,0520

0,0519

0,0519

0,120,0564

0,0563

0,0563

0,130,0607

0,0607

0,0606

0,140,0651

0,0650

0,0649

0,150,0693

0,0692

0,0692

0,160,0735

0,0734

0,0733

0,170,0777

0,0776

0,0775

0,180,0818

0,0817

0,0815

0,190,0859

0,0857

0,0855

0,200,0899

0,0897

0,0895

0,210,0938

0,0936

0,0934

0,220,0977

0,0975

0,0972

0,23.0,1016

0,1013

0,1009

0,240,1054

0,1050

0,1046

0,250,1091

0,1087

0,1083

0,260,1128

0,1124

0,1118

0,270,1164

0,1159

0,1153

0,280,1200

0,1194■

0,1188

0,290,1235

0,1229

0,1221

0,300,1'270

0,1263

0,1254

'0,310,1304

0,1296

0,1287

0,32.0,1337

0,1329

0,1318

0,330,1370

0,1361

0,1349

0,340,1403

0,1392

0,1379

0,350,1435

0,1423

0,1408

0,360,1466

0,1453

0,1437

0,370,1497

0,1483

0,1465

0,380,1527

0,1511

0,1492

0,390,1556

0,1539

0,1518

0,400,1585

0,1567

0,1543

Таблица 5.2 (продолжение)

Р

Л

II. Значение У(г). Если p<q, то р и q следует поменять местами

°,02°>040,060,080,100,120,140,160,180,200,220,24

0,02 0,04 0,06

0,08 0,10 0,12 0,14

0,16 0,18 0,20 0,22

0,24 0,26 0,28 0,30

0,32 0,34 0,36 0,38

0,40

0,0194-——————

0,02870,0376————' —_____

0,03780,04630,0546————

0,04670,05480,06270,0704————

0,05540,06310,07060,07790,0850—————

0,06390,07120,07830,08520,09190,0984

0,07220,07910,08580,09230,09860,10470,1106—————

0,08030,08680,09310,09920,10510,11080,11630,1216————

0,08820,09430,10020,10590,11140,11670,12180,12670,1314———

0,09590,10160,10710,11240,11750,12240,12710,13160,13590,1400——

0,10340,10860,11370,11860,12330,12780,13220,13630,14020,14390,1474—

0,11070,11550,12020,12470,12900,13310,13700,14070,14430,14760,15070,1536

0,11770,12220,12650,13060,13450,13820,14170,14500,14810,15020,15380,1563

0,12460,12870,13250,13620,13970,14300,14610,14910,15180,15430*15660*1587

0,13130,13490,13840,14170,14480,14770,15040,15290,15520,15740,15930,1610

0,13780,14100,14400,14690,14960,15210,15440,15650,15850,16020,16170,1631

0,14410,14690,14950,15190,15420,15630,15820,15990,16140,16280,16390*1649

0,15010,15250,15470,15670,15860,16020,16170,16310,16420,16510,16590*1665

0,15600,15790,15970,16130,16270,16400,16510,16600,16670,16730,16760,1678

0,16160,16310,16450,16570,16670,16750,16820,16870,16900,16920,16910,1689

Они эквивалентны выражениям, приведенным Бойдом [38]. По Винеру дисперсия оценки р и q несколько выше, чем по Бернштейну, поскольку последняя включает только одну наблюдаемую величину: К В'+О', а первая — две: КВ'+СУ—КО'. Оценки Винера, как и Бернштейна, в сумме не дают единицы. Пусть p"4-q"+r"+W=l, так что

W= l-(p" + q"+r").(23)

Подставляя сюда р", q" и г" из (22), получаем

Г = 1 + Кб7— К А' + О' — КВ' + О'.(24)

Сравнивая это выражение с (19), имеем

•W = — D.(25)

Бойд [37] указывает, что оценки (22) Винера, подобно оценкам Бернштейна, также можно скорректировать и получить эффективные оценки:

Р =(1-^1^'' + ^),

? = (1^)(/ + W'),(26)

А /1\ /1\

г=Ц1

поскольку р' по Бернштейну равно p"+W и т. д.

§ 8. ЧИСЛОВОЙ ПРИМЕР

Таблица 5.3

Частоты групп крови у 6000 китайцев (данные собраны на донорском пункте в Кунминге, Юннань, Китай; с разрешения д-ра Ч. С. Фаня, 1944, неопубликованные данные)

Группа крови

Наблюдаемая численность

Частота

Оценка по Бернштейну (17)

Оценка по Винеру (22)

Скорректированная оценка (20) или (26)

V Частота

АВ

А

В

607

1920

1627

Л

О

1846

0,3077

0,5547

г' = 0,5547

г" = 0,5547

г = 0,5535

А+О

3766

0,6277

0,7923

q' = 0,2077

q" = 0,2061

9 = 0,2075

в + о

3473

0,5788

0,7608

р' = 0,2392

р" = 0,2376

Л

р = 0,2390

G

6000

—

—

1,0016

D = —0,0016

0,9984

Г = 0,0016

1,0000

В табл. 5.3 приведен пример применения рассмотренного выше метода. По формуле (7) получаем оценку Бернштейна

р' = 1—КО,5788 = 1 — 0,7608 = 0,2392 и т. д.

По Бернштейну D =—0,0016, тогда 1 + —^-D= 1—0,0008 = 0,9992. Скорректированная оценка, согласно (20), будет равна

р = 0,9992-0,2392 = 0,2390 и т. д.

Оценка Винера, согласно формуле (22),

р" = КО,6277 — КО,3077 = 0,7923 — 0,5547 = 0,2376 и т. д.

Отклонение от единицы равно W =—Z) = 0,0016. Заметим, что

р" + W = 0,2376 + 0,0016 = 0,2392 = р'.

Таким образом, скорректированные оценки (20) и (26) равны друг другу. Отметим также, что поправка к оценкам р и q весьма незначительна; наиболее велика она для г. Следовательно, в отдельных случаях, когда делать поправку необязательно, можно принять г'=1—р'—q'.

ААД

При коррекции оценок р и q можно просто взять г=1—р—q, поскольку сумма оценок оказывается очень близкой к единице (см. последний столбец табл. 5.3).

Дисперсии скорректированных оценок можно найти из табл. 5.2; приведенные в ней данные относятся к выборке размером G = l. Чтобы получить дисперсии для выборки размера G, нужно разделить АА

табличные величины на G. Например, для р=0,2390 — 0,24 и 9=0,20 А

Е(р), согласно табл. 5.2, равна 0,1050. Разделив это число на G = 6000, АА

мы получим дисперсию для р. Чтобы найти V^q), в табл. 5.2 следует АА

поменять местами р и q. Тогда для 9=0,2075~ 0,21 и р=0,20 мы мо

А

жем взять приблизительно величину 0,0936. Дисперсии г приведены во АА

второй половине табл. 5.2. Для р=0,24 и <7 = 0,21 надо взять среднее между числами 0,1476 и 0,1507, т. е. 0,1491. Дисперсии и стандартные ошибки будут следующими:

v(p) = 0,1050/6000 = 0,000 0175,SE (р) = 0,0042,

7(91 = 0,0936/6000 = 0,000 0156,SE (9) = 0,0039,(27)

V (г) = 0,1491/6000 = 0,0000249,SE (г) = 0,0050.

Метод получения выражений для дисперсий оценок максимального правдоподобия рассмотрен в следующей главе.

§ 9. ТИПЫ СКРЕЩИВАНИЯИ СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ ИМ ПОТОМСТВО

Выпишем все возможные в отношении шести генотипов варианты скрещиваний и соответствующие им типы потомков. Внесем в этот список частоты всех скрещиваний и потом объединим их по десяти фенотипически различным типам браков, распределив также шесть генотипов потомков по четырем группам крови. После всех операций получим данные, представленные в табл. 5.4. Разделив доли потомков на частоты соответствующих браков, мы найдем доли потомков различных типов, произошедших от любого из данных вариантов скрещивания. Например, в скрещиваниях АХА доля потомков с группой крови О равна

Таблица 5.4

Частоты типов скрещивания и соответствующих потомков

Тип скрещивания

Частота скрещивания

Потомство

0

A

В

AB

0X0

г4

r4

ОХА

2ргЧр + 2г)

2pr3

2pr2 (p + r)

охв

2qr2 (q 4- 2r)

2qr3

2qr2 (q 4- A

ОХАВ

4pqr2

...

2pqr4

2pqA

АХА

p4q + 2A2

pM

P2(p4-r)(p+3r)

АХВ

2pq (p А-2г’) (q A* 2r)

2pqr2

2pqr (p 4- A

2pqr (q 4- r)

2pq (p+A (q+A

ВХВ

q4q-V2r')2

q^r1

q4 (q+A (q+^r)

АХАВ

4pWA-2A

-..

2p2q (p 4- 2r)

2p2qr

2p4q (p 4- A

В ХАВ

' 2pq"- (q + 2r)

2pq2r

2pq4q+2r)

2pq2 (q 4- r)

АВХАВ

4p2q2

p^q2

P4q4

2p2q2

Сумма

1,00

r2

P24- 2pr

q2 4- 2qr

2pq

г2Цр + 2г)2, тогда как при скрещивании АхО доля потомков с рецессивным признаком равна г/(р+2г). Поскольку эти отношения касаются двух связанных аллелей А и а, то они эквивалентны отношениям Снайдера S2=72/(p+2 7)2 и Si=<7/(p+2 q) для двух аллелей при наличии доминирования (гл. 2, § 3), за исключением того, что здесь рА-г^М. Эти обобщенные отношения Снайдера являются функциями частот генов; исключение составляют отношения для следующих типов скрещивания с достоверно известными генотипами обоих родителей:

ОхО->О; ОхАВ-> —А + —В; АВ хАВ^ — А + — АВ + — В. 22424

Отметим также, что ни одно из скрещиваний, в которых один родитель имеет группу крови О, не дает потомков с группой крови АВ. И наоборот, в скрещиваниях, в которых один родитель имеет группу крови АВ, не будет потомков с группой крови О. Если какой-нибудь антиген отсутствует у обоих родителей, то их дети, очевидно, не могут обладать этим антигеном. Таким образом, от скрещиваний АХА и АХО не может родиться ребенок с генотипом В или АВ. Следовательно, скрещивание Ах В — это единственный вариант скрещивания, в котором могут рождаться дети всех четырех групп. В сущности он включает четыре генотипически различающихся типа скрещивания, из которых только один — AaVa'a — может давать детей любой группы (—ОНА + '\ 4 4j

+ 4b + -tabV■

44/

Если в табл. 5.4 различать реципрокные скрещивания, то образуется шестнадцать соответствующих фенотипических вариантов; четыре из них принадлежат к типу ОХ (О, А, В, АВ), другие четыре — к типу АХ (О, А, В, АВ) и т. д. Разделив эти шестнадцать типов скрещивания на четыре класса в соответствии с фенотипом (группой крови) одного из родителей, мы получим частоты пар родитель — ребенок в отношении групп крови АВО (нижняя часть табл. 5.5). Это классический способ вывода таких частот. Однако табл. 5.5 можно получить и методом ITO, изложенным в гл. 4. Переходная матрица для пары родитель — ребенок выглядит следующим образом:

АВ

АА

АО

вв

во

ОО

1 1

1

1

1

1

АВ

2 р+2 9

2 Г

Т9

— г

2

0

АА

q

Р '

г

0

0

0

m АО

Т=

1

т9

1

тр

0

1

Т9

1

— г

2

(28)

вв

р

0

0

q

Г

0

1

1

1

1 1

1

во

0

2 9

2^2 9

2 Г

ОО

_0

0

р

0

q

Г

Генотип

Ребено

к

Мать

АВ

AA

AO

BBBO

00

АВ

pq (р + ?)

p2q

pqr

pq2 pqr

—

АА

p^q

p3

p^r

——

АО

pqr

p-r

pr (.P 4" 4

—pqr

pr2

ВВ

pq2

—

—

q3q2r

—

ВО

pqr

—

pqr

q2r qr (q + r)

qr2

ОО

—

—

pr2

—qr2

r3

Фенотип

AB

A

В

0

АВ

pq (p + q)

pq (p + r)

pq to + 4

—

А

pq Ip + 4

p {p2 + 3pr + r2)

pqr

pr2

В

pq lq + 0

pqr

q to2 4- Sqr + r2)

qr2

О

—

pr^

qr2

r3

Таблица 5.5

Частоты пар родитель — ребенок по системе групп крови АВОЧастоты пар родитель — ребенок по системе групп крови АВОУмножив первую, вторую и т. д. строки на 2рд, р2 и т. д., мы получим абсолютные частоты пар родитель — ребенок в популяции, приведенные в верхней части табл. 5.5. Объединив элементы с одинаковыми фенотипами, получим частоты пар родитель — ребенок в отношении групп крови (нижняя часть табл. 5.5). Частоты пар сибс — сибс в отношении групп крови можно получить и методом ПО.

Частоты пар родитель — ребенок по системе групп крови АВО

Частоты пар родитель — ребенок по системе групп крови АВО

§ 10. ПОДГРУППЫ ГРУППЫ КРОВИ А

Аллель А, который мы рассматривали в предыдущих параграфах, в действительности представляет совокупность нескольких аллелей, так что группу А можно подразделить на подгруппы Аь Аг, А3 и т. д. Аллели А3, А4 и т. д. встречаются в популяциях человека очень редко, в связи с чем в этом параграфе мы ограничимся аллелями Ai и А2. Аллель А] доминирует над аллелем А2, так что гетерозиготный индивидуум AiA2 относится к подгруппе Аь Следовательно, группа АВ также содержит две подгруппы — AiB и А2В. Пусть pi и р^— частоты аллелей Ai и А2 соответственно; тогда pi + pz = p—-полная частота аллеля А. Частоты индивидуумов шести групп во всей популяции будут, таким образом, следующими (см. также рис. 5.3):

Генотип

Ata' А^а’

-^41-^41, 4^/12 4^о

a/ a', a' a

aa

Группа крови

Частота

AiB А2В

Ai

a2

в

0

2pi9 2p„q

2pq

Pl + 2ptp2 + 2P1r

P2+2p2r

q" + 2qr

r2

P2 + 2pr

Отсюда Ai+A2+O= (/ч+р'г+г)2, А2+О = (р2+г)2. Неэффективные оценки частот аллелей, согласно [648], равны

р = К(А + О)-КО,р = К(А + О)-КО,(29)(29)Р1 = Г(А1 + а2+о)-Г(а2 + о)

р = К(А + О)-КО,

р = К(А + О)-КО,

(29)

(29)

р2 = К(А2 + О) — КО

^ = К(В + О) — Ко и Г=/О.

В качестве примера рассмотрим данные Тэйлора и Прайора [612].

Группа крови

Сумма

AiB

а2в

Ai

а2

В

О

Численность

4

2

124

26

29

160

345

Частота

0,0116

0,0058

0,3594

0,0754

0,0840

0,4638

1,00

= КО,8986 —КО,5392 = 0,2136

’ р = 0,2669,

р2 = КО,5392 — КО,4638 = 0,0533 J

q = V0,5478 — К0,4638 = 0,0591, г = 0,6810.

Сумма этих четырех частот равна 1,0070. Чтобы сделать ее равной единице, мы можем принять г=1—pi—р2—q. Эти оценки вполне правомочны, но весьма приближенны. Их можно использовать как предварительные оценки для метода максимального правдоподобия. Хотя применение метода максимального правдоподобия к оценке параметров Pi, р2 и q не требует ничего принципиально нового, соответствующие арифметические расчеты очень трудоемки; кроме того, приходится проводить систематизацию по Стивенсу [600].

Рис. 5.3. Шесть фенотипических частот в системе AiA2BO человека [372].

Применение анализа частот генов групп крови в судебной медицине и антропологии рассмотрено в работах [34, 479, 580, 585, 652, 653].

§ 11. СИСТЕМА ГРУПП КРОВИ MNS

Система групп крови MNS контролируется четырьмя основными аллелями (двумя парами тесно сцепленных локусов). Мы не будем рассматривать второстепенные аллели, определяющие слабые реакции. Представим четыре аллеля и их частоты следующим образом:

MS mtNS «!Ms m2Ns «2MS mtNS «!Ms m2Ns «2М т N пМ т N птг + «1 = 1 — s

MS mt

NS «!

Ms m2

Ns «2

MS mt

NS «!

Ms m2

Ns «2

М т N п

М т N п

^2 Ч~ ^2 = ^

т+ п = 1

(30)(30)Случайное объединение гамет дает стационарное распределение десяти генотипов. Если использовать четыре антисыворотки, то удается различить девять фенотипов, поскольку два генотипа—MS/Ns и Ms/NS:—неразличимы. В отсутствие сыворотки анти-s удается выявить только шесть фенотипов: три S-положительных и три S-отрицательных (внутренний треугольник на рис. 5.4). Частоты и соответствующие наблюдаемые численности этих фенотипов представлены в табл. 5.6, где D= =D1-\-D2-\-D3— общая численность S-положительных, a R = R1-JrR2-\- -V-Rs — общая численность S-отрицательных (ss) индивидуумов; />+ -VR = G — общая численность индивидуумов в выборке. Общая численность индивидуумов М-типа равна Di+Rv=Gi, и т. д.

(30)

(30)

Из наблюдаемых численностей шести фенотипов необходимо далее определить частоты генов. Решая эту задачу, Бойд [35] провел числовые расчеты по методу максимального правдоподобия, а Де Гроот [101] с помощью репараметризации нашел матрицу, обратную информационной, и получил выражения для дисперсий оценок в явном виде. К сожалению, эти выражения слишком сложны, чтобы ими можно было пользоваться в повседневной практике. В то же время есть ряд простых, но неэффективных оценок [470а, 655]. В этом параграфе, следуя за Де Гроотом и Ли [102], мы пойдем компромиссным путем. Метод, который мы рассмотрим, арифметически так же прост, как и метод, предложенный иммунологами, и при этом почти так же эффективен, как ,ц метод максимального правдоподобия; к тому же он приводит к очень простым выражениям для дисперсий в явном виде.

Таблица 5.6

Теоретические частоты и наблюдаемые численности шести фенотипов по системе MNS

Фенотип

Частота Численность

MS m2 + 2тхт2 Dr

MNS

Sm^ + 2(m1n3 + + rn^

Ds

NS n2 + 2n1n2

D3

S-положительные 1—(m2 + n2)2 = 1—s2 D

Фенотип

Ms

MNs

Ns

S-отрицательиые

Частота

m2

2m2n2

n2

[(m2 + n2)2 = s2

Численность

^1

Rs

Rs

R

Суммарная частота

- m2

2mn

n^

1,00

Суммарная численность

Gi

g2

G3

G

Рис. 5.4. Шесть фенотипических и десять генотипических частот в системе MNS человека [372].

, Начнем с суммарных -величин, приведенных в табл. 5.6. Из нижней строки таблицы можно оценить суммы m = mi+m2 и «=«14-^2, не используя данные по типам S. Имеем:

щ' = 2Gi + G2 , = G2 + 2G32G 2G ‘

При этом, как обычно, дисперсия V(m') =V^п'^ — mnIZG. Аналогичным образом из последнего столбца табл. 5.6 можно оценить сумму $=т2+ +«2, исходя из общей численности S-отрицательных индивидуумов и не используя данные по типам MN.

(32>

с дисперсией У(&') = (1—s2)/4G для рецессивного гена. Остается решить вопрос о том, как разделить группу s на т2 и и2. Заметим, что вторая строка табл. 5.6, в которой представлены все возможные среди S-отрицательных индивидуумов MN-типы, содержит элементы с т2 и п2 в таком же виде, что и нижняя строка с т и п. Следовательно, s можно подразделить на т2 и п2 следующим образом:

Обратившись к нашей первоначальной схеме (30), мы увидим, что величины mJ и п' можно получить путем вычитания. Таким образом мы получим оценки частот всех четырех аллелей. Дисперсии таких оценок имеют следующий вид [102]:

, г М - V М + JfcpL , (34)

. vto=V(n9 + 2S0kpL,

Таблица 5.7

Оценки частот генов и их дисперсий для системы MNS у бенгальцев из Дакки,Восточный Пакистан [35]. Штрихи при обозначениях оценок для удобства опущены

S +S —СуммаS +S —СуммамMNNСуммаDx = 44Ri = 35D2 = 62/?2 = 47D3 = 21R3 = 2\D= 127R= 103мMNNСуммаDx = 44Ri = 35D2 = 62/?2 = 47D3 = 21R3 = 2\D= 127R= 103Gx = 79 G2 = 109 G3 = 42 G = 230Gx = 79 G2 = 109 G3 = 42 G = 230D]G = 1 — s2 = 0,5522 ^/G = $2 = 0,4478s = 0,6692D]G = 1 — s2 = 0,5522 ^/G = $2 = 0,4478s = 0,66922(79)4- 1092(230)2(79)4- 1092(230)= 0,5804,= 0,5804,109 + 2(42)2(230)109 + 2(42)2(230)= 0,4196= 0,4196

S +

S —

Сумма

S +

S —

Сумма

м

MN

N

Сумма

Dx = 44

Ri = 35

D2 = 62

/?2 = 47

D3 = 21

R3 = 2\

D= 127

R= 103

м

MN

N

Сумма

Dx = 44

Ri = 35

D2 = 62

/?2 = 47

D3 = 21

R3 = 2\

D= 127

R= 103

Gx = 79 G2 = 109 G3 = 42 G = 230

Gx = 79 G2 = 109 G3 = 42 G = 230

D]G = 1 — s2 = 0,5522 ^/G = $2 = 0,4478

s = 0,6692

D]G = 1 — s2 = 0,5522 ^/G = $2 = 0,4478

s = 0,6692

2(79)4- 1092(230)

2(79)4- 1092(230)

= 0,5804,

= 0,5804,

109 + 2(42)2(230)

109 + 2(42)2(230)

= 0,4196

= 0,4196

Ъ- 47 4*2(21) 2(103)n2 = $6 = 0,2891 nt = fi — n2 = 0,1305Ъ- 47 4*2(21) 2(103)n2 = $6 = 0,2891 nt = fi — n2 = 0,13052 (35) + 47

Ъ- 47 4*2(21) 2(103)

n2 = $6 = 0,2891 nt = fi — n2 = 0,1305

Ъ- 47 4*2(21) 2(103)

n2 = $6 = 0,2891 nt = fi — n2 = 0,1305

а = ——— = 0,5680, 2(103)

ma = sa = 0,3801,

mt = m — m2 = 0,2003,

0,3801-0,2891 ,0,3801)2 0,5522)„

V m,) = —:’H~ = 0,000727, SE = 0,0270

v 27206412,,,

0,3801-0,2891(0,2891)2(0,5522)

У (n,) = —::+ —= 0,000645, SE = 0,0254

27206^412,,,

0,4196-0,1798

У (m,) = 0,000727 — —:= 0,000563, SE = 0,0237

' 17460

0,5804-0,1586

У (щ) = 0,000645 — — —2= 0,000445, SE = 0,0211

В табл. 5.7 рассмотрен числовой пример применения этого метода. В верхней части таблицы приведены экспериментальные данные и расчеты nV, п' и s', основанные на суммарных значениях. В средней части таблицы даны оценки частот четырех аллелей. Для удобства мы рассчитали сначала

(2Ri + Ra\ _ h,_(Ra + 2R3\

\ 2^ у .\ 2R )

а затем, воспользовавшись формулами (33), получили т*2 и пу В нижней части таблицы даны дисперсии оценок. В табл. 5.7 приведены все 7—322

расчеты, и она может быть использована как схема при соответствующих вычислениях. Численные значения из табл. 5.7 отличаются от результатов Бойда [35], полученных более сложным методом максимального правдоподобия, всего лишь на 0,0001 для частот генов и на 0,000001 —для дисперсий; стандартные же ошибки совпадают. С другими методами можно ознакомиться в работах [59, 101, 470а, 570а, 655].

§ 12. НЕДОСТАТОК МЕТОДОВ,КОТОРЫЕ ПРИВОДЯТ К НЕЭФФЕКТИВНЫМ ОЦЕНКАМ

Рассмотренный нами пример с группами крови MNS (табл. 5.6) показывает, что метод, предложенный Де Гроотом и Ли [102], дает такие же эффективные оценки, как и метод максимального правдоподобия. Что же касается методов, дающих неэффективные оценки, то их нельзя применять к очень малым выборкам, где наблюдаемые данные могут не соответствовать генетической модели. Для иллюстрации этого положения рассмотрим следующий пример: '

М

MN

N

Сумма

S +

1

2

6

0 = 9

Из (32):

S —

6

8

2

R = 16

S2 = R1G = 0,64

Сумма

7

10

8

G = 25

s =/0^4 = 0,80

2(7)+ 10 Из (31):т' =— = 0,48

’2(25)

,2 (6) + 8„

Из (33): т. = ' 7—-0,80 = 0,50

’22(16)

Полученный результат (m'>m7) неверен, поскольку для генетической модели zn=m1+zn2>m2. Все неэффективные методы оценки должны применяться лишь при достаточно больших выборках.

§ 13. ДИСПЕРСИЯ КАК ПРОИЗВЕДЕНИЕДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ВЕЛИЧИН

Предположим, что X и У — независимые величины. Обозначим их средние и дисперсии через X, У и V(X^, У (У).'

У (XY) = Е (XY — ХУ)2 = Е (Х2У2) — X2У2 = Е (X2) Е (У2) —

— Х2У2= [Х2 +У(Х)] [У2 + У(У)]—Х2У2 = Х2У(У) + У2У(Х) +

+ У(Х)У(У).(35)

Если У(Х)У(У) мало по сравнению с другими членами выражения, то мы получим обычно применяемую приближенную формулу

У (ХУ) = X2 У (У) + У2 У (X).(36)

В качестве примера рассмотрим оценку величины т2 для системы групп крови MNS. Прежде всего оценим s через s'= VRJG, дисперсия которой y(s') = (l—s2)/4G. s' нужно подразделить на две части — т' и п'2. Пусть действительные доли в популяции равны

«2ft «2s’s’«2ft «2s’s’а + & = 1.а + & = 1.(37)(37)

«2ft «2

s’s’

«2ft «2

s’s’

а + & = 1.

а + & = 1.

(37)

(37)

Согласно табл. 5.7, их оценки (фактически один параметр) равны

(38)(38)2Rj + ^2 у Ra 4" 2R3

(38)

(38)

2R ’~ 2R

с обычной биномиальной дисперсией

(39)(39)У(аЭ = У(У) = —=;

(39)

(39)

2R \ s J \ s ) 2R

Оценки s' и а' статистически независимы, поскольку s' получено из элементов второй строки конечных величин табл. 5.6, а а' — на основании данных, заключенных «между строк». Применяя приближенную формулу (36), получим

У (т2 = У (s а = s У а + а У (s = s —- —И —- =

v 7!'■ 7\ s )\ s ) 2R \ s ] 4G

т3 п,2Rт3 п,2Rт2т24R4R

т3 п,2R

т3 п,2R

т2

т2

4R

4R

где замена 4Сз2 = 4Д произведена для удобства. Это одна из формул дисперсии (34).

§ 14. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ПРИЗНАКИ

Если в системе с множественными аллелями для гомозиготного генотипа Л^ значение количественного признака равно Ун (его частота Pi ), а для гетерозиготного генотипа Лг Л, — Уг7 (его частота 2 рг р^, то линейная компонента дисперсии У по всей популяции получается путем построения соответствующей гиперплоскости в многомерном пространстве [280]. Саму линейную компоненту можно очень просто рассчитать, воспользовавшись методом разбиения на части, описанным в § 8 и 9 гл. 3. Мы ограничимся рассмотрением метода в применении его к трехаллельной системе. Пусть pb р2, ра—частоты аллелей А, Л2, Л3 в популяции со случайным скрещиванием; pi+p2+ps=l. Разделим эту популяцию на три части соответственно трем аллелям, как показа» но ниже.

Л1 А3 А3Л1 А3 А3Среднее для аллелейСреднее для аллелейОтклонениеОтклонениеmi — рУп + рУ 12 + рУ ismi — рУп + рУ 12 + рУ is«1 = Шу —У«1 = Шу —УРАРгРАУ12У 22УззРАРгРАУ12У 22УззPi РА РА У11 У12 У13Pi РА РА У11 У12 У13ЛзЛзРА РА Рз У13 Угз УззРА РА Рз У13 Угз Уззт2 — Р1У12 + РУ 22 4" РУ 23т2 — Р1У12 + РУ 22 4" РУ 23«2 = т2—У«2 = т2—Ут3 — РУ 13 + рУ 23 + РУ 33У = Pi™! + р,т2 4- р3т3т3 — РУ 13 + рУ 23 + РУ 33У = Pi™! + р,т2 4- р3т3а3 = т3—У^■pi СЦ == ба3 = т3—У^■pi СЦ == б

Л1 А3 А3

Л1 А3 А3

Среднее для аллелей

Среднее для аллелей

Отклонение

Отклонение

mi — рУп + рУ 12 + рУ is

mi — рУп + рУ 12 + рУ is

«1 = Шу —У

«1 = Шу —У

РА

Рг

РА

У12

У 22

Узз

РА

Рг

РА

У12

У 22

Узз

Pi РА РА У11 У12 У13

Pi РА РА У11 У12 У13

Лз

Лз

РА РА Рз У13 Угз Узз

РА РА Рз У13 Угз Узз

т2 — Р1У12 + РУ 22 4" РУ 23

т2 — Р1У12 + РУ 22 4" РУ 23

«2 = т2—У

«2 = т2—У

т3 — РУ 13 + рУ 23 + РУ 33

У = Pi™! + р,т2 4- р3т3

т3 — РУ 13 + рУ 23 + РУ 33

У = Pi™! + р,т2 4- р3т3

а3 = т3—У^■pi СЦ == б

а3 = т3—У^■pi СЦ == б

Дисперсия «строки» равняется 5ргос? . Если эту популяцию далее «подразделить» на несколько столбцов, то средние значения столбцов и их 7*

дисперсии будут такими же, как и для строк. Следовательно, линейная компонента равна

о1 = 25рга2 =22рг ^-Уу.о1 = 25рга2 =22рг ^-Уу.(40)(40)

о1 = 25рга2 =22рг ^-Уу.

о1 = 25рга2 =22рг ^-Уу.

(40)

(40)

Тогда наблюдаемую величину У можно представить через линейное (аддитивное) значение и доминантное отклонение в виде

Уг. = У + аг + а,. + 6г/.(41)

Выражение имеет такой же вид, как и для двух аллелей. Мы не станем рассматривать этот вопрос дальше, поскольку при наследовании количественных признаков очень редко бывает известно число участвующих локусов и тем более число аллелей в локусе. Достаточно знать, что дисперсию для системы множественных аллелей можно подразделить на линейную и доминантную компоненты фактически таким же образом, как и для двухаллельной системы; корреляцию между родственниками и наследуемость тоже можно рассчитать аналогичным способом. Однако в дальнейшем при рассмотрении вопросов, связанных с отбором, нам еще представится случай вернуться к формуле (40).

ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ

Для каждой из следующих популяций постройте равносторонний треугольник, аналогичный приведенному на рис. 5.2. Что можно сказать относительно долей индивидуумов четырех групп крови? Каков процент гетерозиготных индивидуумов в фенотипических группах крови А и В?

р

q

Г

АВ

А

В

О

0,30

0,10

0,60

0,060

0,450

0,130

0,360

0,2265

0,2265

0,5470

0,103

0,299

0,299

0,229

0,25

0,25

0,50

0,125

0,3125

0,3125

0,250

0,33 .

0,33

0,33

0,222

0,333

0,333

0,111

Генотип

Частота

Потомство

О

А

В

AB

АА X ВВ АА X ВО АО X ВВ АО X ВО

2pV 4p2qr 4pq2r 8pqr2

2pqr2

2pPqr

2pqr2

2pq2r

2pqr2

2p2q2

2p2qr

2pq2r

2pqr2

Разделив частоты различных потомков на частоты соответствующих им пар родителей, приведенные в табл. 5.4, мы получим доли потомков различных типов для каждого данного типа скрещивания. Так, в семьях ВХАВ доли детей четырех типов будут следующими:

(О): нуль; (А): —А—;(В):^;(АВ):-^Д_;

2 (9 + 2г)22 (д 2г)

Прямое перемножение показывает, что 72^=-^-Т4—^-0 (где О состоит из шести одинаковых строк с элементами 2pq, р2, 2pr, q2, 2qr, г2), образуя независимую матрицу. Фактически все зависимости, приведенные в гл. 4, выполняются и в случае множественных аллелей. Матрица перехода для родственников есть £=—/——74—— О. Выпи-

424

сав тридцать шесть элементов этой матрицы и перейдя от них к абсолютным частотам, мы получим частоты пар сибс — сибс в популяции (стр. 102). Объединив одни и те же фенотипы, мы получим частоты различных пар полных сибсов по группам крови. Из этой таблицы можно также получить результаты, приведенные в работе [546] для случая доминирования А над а' и а.

Для освоения метода, рассмотренного в § 13, разберем оценку частоты р по Бернштейну для системы АВО.

p=i-VMT0,

др _ др _1_ f ■

dfB ” dfo- 2 VB +'

Производными более высоких порядков пренебрегаем. Покажите, что

=—г(<? + г)21

G [ 44J

эквивалентно формуле (8).

Тейлор и Прайор [612] приводят следующие данные по системе АВО для англичан:

(АВ): 6; (А): 179; (В): 35; (О): 202; сумма: 422.

Найдите частоты генов и их стандартные ошибки. •

Ответ: по Стивенсу [600] р=0,2516±0,0157; р=0,0500±0,0076; г = 0,6984 ±0,0167..

Полные сибсы

АВ

АА

AO

BB

BO

00

АВ

— pq (1+р + 9 + 2р?)

— pW + p)

~|~Ж(1 +2p)

-ypq2(l +q)

у py(H-29)

1 ~pqr2

АА

-j-pW+p)

J-p2(1+p)2

4

"P8r(l + P)

-^p2qu

~p2qr

pSf2

4

АО

-у pqr^X^

~^р2г(1 + pj

~|- pr (l+P+r+2pr)

~РЧгг

~pqr(l+2r)

-^-ргЧШ)

ВВ

-—pq^a + q)

T^r

~q4XA-q^

4

-~-q2r(l+q)

4

ВО

~pqr(l^-2q)

-yp^qr

-~ pqr (1 + 2r)

~qarU4-q')

-y qr (l+q+r+2qr)

~-qr20+r)

ОО

1 2

— pqr»

-^pr8(l+r)

4 4

~Yqr2(l+r)

г2 (1 + f)2 4

8. Борман в своей работе [32] приводит следующие данные:

Мать

Ребенок

Сумма

О

А

В

АВ

О

622

227

43

0

892

А

223

596

28

19

866

В

56

29

58

22

165

АВ

0

34

23

10

67

Сумма-

901

886

152

51

1990

Он оценил частоты генов по данным, касающимся только матерей. Если мы проведем оценку частот, основываясь на данных по 1990 парам мать — ребенок с использованием приведенных в табл. 5.5 вероятностей образования этйх пар, то оценки максимального правдоподобия и их стандартные отклонения будут следующими (в качестве нулевого приближения взяты оценки Бормана):

Нулевое приближение

Поправка

Частоты после введения поправки

Стандартное отклонение

р = 0,27108

4-0,00069

0,27177

0,00657

q = 0,06008

—0,00465

0,05543

0,00380

г = 0,66884

4-0,00396'

0,67280

0,00708

Рассчитайте ожидаемые численности пар мать — ребенок, используя оценки частот генов после введения поправки. При этом %2 будет равен 17,25 с И степенями свободы.

9. Оцените частоты генов, основываясь на приведенных здесь данных Уэллиша и Томсена [648].

Группа

Сумма

AjB

а2в

Ai

А2

В

О

Численность

10

5

139

42

32

162

390

Частота

0,0256

0,0128

0,3564

0,1077

0,0821

0,4154

1,00

Ответ; Р1=О,2146; р2 = 0,0787; 9=0,0608; г=0,6445; сумма = 1,0007.

Приближенную формулу Фишера для дисперсии (11) можно представить в несколько ином виде. Возьмем производную от 0 не по /, а по а:

,6060 р дв

6// а \ да

Подставив ее в формулу (11), получим

1/(0) = и—.(И)

(\ да; )\\ да; / / J

Если [,■ заменить на a^G, то формула сведется к.

V(0)= ZaJ— V — (SaJ—W/g.(11")

\ daj /\\ da; J J!

Когда ожидаемые величины f, и dejda, заменены наблюдаемыми, в формулу для дисперсии входят только параметры популяции и она становится такой же, как и формула (9) § 5. Однако при расчетах некоторые специалисты по прикладной статистике и научные работники в этой области предпочитают пользоваться формулой (П"), выраженной через непосредственно наблюдаемые численности. В качестве примера рассмотрим функцию

6 = log——— = log а — log b — log с + logd,

be

где (a, b, c, d) = (ab a2, a3, a4)—наблюдаемые численности четырех классов или фенотипов. дЪ/да^ равны

1— 1— 11

а ’ b ’ с ’ d ’

так что Sa, (56/da,) =0 и формула (И") переходит в

Это стандартная формула, применяемая на практике при решении разнообразных генетических задач, таких, например, как оценка силы сцепления по четырем фенотипам или оценка относительного риска из таблицы 2X2, получаемая при ретроспективном исследовании (оба вопроса не рассматриваются в этой книге). По последнему вопросу читатель может обратиться к работам [71а, 212, 332, 374, 657а], где формула для дисперсии выведена с помощью элементарной математики, без применения формулы Фишера.

ГЛАВА 6

Метод максимального правдоподобия

В связи с тем, что метод нахождения оценки максимального правдоподобия для одного параметра должен быть знаком студентам-биологам, имеющим некоторую подготовку по статистике, мы довольно свободно использовали его в предыдущих главах. Метод оценки двух или большего числа параметров, по-видимому, менее известен —■ именно по этой причине в гл. 5 были опущены некоторые детали технического характера. Вместе с тем нам кажется целесообразным посвятить систематическому изложению этого вопроса отдельную главу, но так, чтобы не знакомый со статистикой читатель мог пропустить ее и перейти к следующему разделу, не теряя нити изложения. В случае необходимости такой читатель позже может обратиться к этой главе за справкой. Здесь мы не будем излагать этот вопрос в абстрактной математической форме, а просто продолжим разбор конкретных примеров из популяционной генетики для иллюстрации метода.

§ 1. ТРИ ФЕНОТИПА, ДВА ПАРАМЕТРА

Вернемся к примеру с окраской кроликов.

Фенотип

Сплошная окраска

Гималайская окраска

Альбинизм

Сумма■

Вероятность

[ 2рд + р2 + 2рг

11-Q

у2 + 2qr Q — R

г2

. R

1О)

Наблюдаемая численность

а

b

С

G

Для упрощения алгебраических выкладок введем обозначения

R = ra И Q = <q-Vrf,(2)

что позволяет оценивать Q и R. Используемые здесь математические выкладки чрезвычайно просты, и мы приведем их целиком, чтобы проиллюстрировать общие принципы метода максимального правдоподобия. Логарифмической функцией правдоподобия будет

L = alog(l — Q) + 61og(Q — R) + clog^,(3)

^= — a i 6dL— ~ 6 _LC|

dQ1—Q'Q—R’OR Q—RR'B V '

Положив dL/dQ = 0 и dL/dR = Q и решив уравнения, получим

R' = — .(5)

GG

Чтобы найти дисперсию этих оценок, возьмем вторые производные: d2L — а .—• b 6-L b ■

dQ8 ~ (1 — Q)2 + (Q - R)» ’ oQoR ' (Q-RP ’

— = ■ =-6+(6)

OR"- (Q — R^ R2'

Теперь следует получить их ожидаемые величины. Для этого нужно заменить наблюдаемые численности на соответствующие им ожидаемые, т. е. а заменить на G(1—Q), b— на G(Q—7?) и с — на G(Q— —7?). Изменив теперь знак в получившихся выражениях, мы определим количество информации о каждом параметре как отрицательные значения ожидаемых величин вторых производных. Таким образом,

QQ (dQ2)1 — Q^Q—R’ w \5Q5R ) Q— R’

,„ / d2L \ G Gm

^\ dR1 ) Q— R R

Представив эти величины в виде таблицы, мы получим так называемую информационную матрицу

,Iqq IqrA

77•

\ QR RR/

Используемый здесь символ I не следует смешивать с применяемым в алгебре символом для единичной матрицы. Определитель матрицы равен

А = |/| =А = |/| =^QQ ^QR^QR ^RR^QQ ^QR^QR ^RR= I J /2QQ RR QR1= I J /2QQ RR QR1(9)(9)

А = |/| =

А = |/| =

^QQ ^QR

^QR ^RR

^QQ ^QR

^QR ^RR

= I J /2

QQ RR QR1

= I J /2

QQ RR QR1

(9)

(9)

Последний и, как правило, наиболее трудный этап состоит в получении матрицы, обратной информационной. Элементами обратной матрицы являются дисперсии и ковариации полученных нами оценок, поэтому обратная матрица называется дисперсионно-ковариационной. Если мы имеем дело с матрицей 2X2, то (см. упр. 1)

Pqq ^qr\ tf^RR ^qr\j__/V(Q') Cov(Q\7?')\ \Wrr) "VW4 ^ov(Q',7n VW

На этом и завершается процесс нахождения оценок максимального правдоподобия. В нашем частном примере точные выражения для Iqq, Iqr и Irr уже даны формулами (7). Подставляя (7) в (9) и (10) и упрощая выражения, мы получим искомые формулы для дисперсии. Поскольку, согласно (7),

7 L G(l-7?) J . GQ

9Q ll-QHQ-RV RR (Q—R)R’ мы имеем

A = loo — Iqr =~ t1!)

QQ RR QR ^—QXQ — R^R

ИЛИ

v (Q') = -^-= Q(1G—^ ,Cov (Q'JT) = -^ = d pt* ,

V^ =V^ =!qq _K(1-R)Д — G!qq _K(1-R)Д — G

V^ =

V^ =

!qq _K(1-R)

Д — G

!qq _K(1-R)

Д — G

Приведенное выше рассмотрение в отношении параметров Q и ^ носит вполне завершенный характер. Мы получили точные выражения как для оценок (5), так и для их дисперсий (12). Однако в большинстве случаев не удается получить ни того, ни другого и приходится прибегать к численным методам. Этот вопрос мы рассмотрим несколько позже. Что же касается вероятностной модели (1), то поскольку нас интересуют величины (р, q, г), а не Q и R, можно воспользоваться одним из двух следующих способов. Первый из них состоит в том, что все операции проделывают прямо с q и г, не используя Q и R, как мы и поступим позднее, рассматривая систему АВО. Другой подход состоит в преобразовании полученных здесь соотношений, в которые входят Q и R, таким образом, чтобы они были выражены через q и г. Это будет сделано в следующем параграфе.

§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЕЛИЧИН И ДИСПЕРСИЙ

Рассматриваемый в этом параграфе метод преобразования результатов представляет собой обобщение дельта-метода (гл. 2). Рассмотрим уравнения (2): R=r2 и Q= (g+r)2. Элементарный расчет дает

dR = №\dr=(2r)dr,(13)

\ дг /

dQ = dr + dq = 2 (q + r) (dr + dq). \ dr J \ dq )

Будем считать, что для больших выборок все приращения (dR, dQ, dr, dq) малы и E(dr)2 = V(r'), E(dq) (dr) = Cov (д', г') и т. д. Возведя обе части (13) в квадрат или перемножив эти два выражения и вычислив математические ожидания, мы сразу получим (опуская для простоты штрих)

V(R) = 4r2 V (г),

Cov (Q,R) = 4r(q + г) [V (г) + Cov (q,r)),(14)

V (Q) = 4 (q + г)2 [V (r) + V (q) + 2Cov (g,r)l.

Дисперсия" и ковариация в левой части известны [соотношения (12)]. Теперь нетрудно определить дисперсию и ковариацию частот генов. Используя (2) и (12), мы найдем (читатель может убедиться в этом), что

V (г) = 1^,’ 4G

Cov (q, г) =q—- ,(15)

W 14G №(q-V^ ’' ’

4G 4G(g+r)

Отметим, что приведенное здесь выражение для V (q) идентично тому, которое было получено другим методом в предыдущей главе (см. также упр. 3). Поскольку р=1—(g+r), то

V(p) = V(g + r) = V(g)+ V(r)+2Cov(g,r).

Подставив сюда выражение (15), мы получим соотношение

(16)(16)V(p) = ^^\

(16)

(16)

которое также хорошо согласуется с соответствующим выражением, полученным ранее (гл. 4).

§ 3. ЧЕТЫРЕ ФЕНОТИПА, ДВА ПАРАМЕТРА

Примером такого рода может служить система групп крови АВО человека, рассмотренная в гл. 5. Для удобства воспроизведем здесь еще раз вероятностную модель этой системы.

Фенотип

АВ

А

в

О

Сумма

Вероятность

^pq

р2-У2рг

q^2qr

Г2

1

Наблюдаемая численность

h

а

6

С

G

(17)

Впервые метод максимального правдоподобия для оценки частот генов системы АВО применил Стивенс [600]. Если пренебречь членами, не содержащими частот генов, то логарифмическая функция правдоподобия будет иметь вид

L = h log pq + a log р (р + 2r) + b log </(</ + 2r) + с log г2 =

= (а + h) log р + ф + /г) log q + a log (р + 2r) + b log ф + 2r) +2с log г. (18) .

Из трех параметров р, q и г первые два можно считать независимыми и их следует оценить. Третий параметр г = 1—р—q; тогда dr/dp = — 1, dr/dq ——1 и частные производные L по р и q будут равны

6Lа-У ha2b2cдрРp + 2rq У 2rrdL_ b-У h2ab2cdqqp+2rq-У 2rr6Lа-У ha2b2cдрРp + 2rq У 2rrdL_ b-У h2ab2cdqqp+2rq-У 2rr(19)(19)

6L

а-У h

a

2b

2c

др

Р

p + 2r

q У 2r

r

dL

_ b-У h

2a

b

2c

dq

q

p+2r

q-У 2r

r

6L

а-У h

a

2b

2c

др

Р

p + 2r

q У 2r

r

dL

_ b-У h

2a

b

2c

dq

q

p+2r

q-У 2r

r

(19)

(19)

Оценки р и q мы получим, решив совместно уравнения дЬ[др = 0 и dLldp = Q. В данном случае, однако, решений в явном виде не существует; воспользуемся поэтому итерационным методом, взяв в качестве нулевого исходного приближения величины р0, Ра и г0, составляющие в сумме единицу. Если эти величины близки к истинным, то при подстановке их в (19) производные будут сравнительно невелики. Пусть, на

пример,

(20)(20)

(20)

(20)

Индекс 0 указывает на то, что производная (19) вычислена при (р, q, г) = (р0, qo, го). В частности, для примера, приведенного в табл. 5.3, имеем

h

a

b

c

G

a + h

b + h

607

1920

1627

1846

6000

2527

2234

Предположим, что исходные величины равны

(РоЛо, г0) = (0,24; 0,21; 0,55) и р0 + 2г0 = 1,34; р0 + 2г0 = 1,31.

Подставив их в (19), получим

—1 = ^ = _ Ю0,4,(—\ =К„ = —182,3.(21)

др /оk dq /04

Следующий шаг состоит в том, чтобы найти вторые производные (с обратным знаком):

— d»L

а + h ,

a +

4b

2C

др»

”+

(p+2r)® '

(q+2r)»

— d»L

_ b-V- h. .

4a,

b

(22)

dq»

q2

(p + 2r)»

(q+2r)»

r2

— 52L 2а ^26. 2с

dpdq (р 4- 2г)2 ' (q + 2г)2 г2

Заменим наблюдаемые численности на ожидаемые, например a-^-h на G(p24-2pr4-2p7) = Gp(p+2r+2^) =Gp(2—р). Если разделить это выражение на р2, то первый член правой части уравнения (22) примет вид G(2—p)/p = 2G/p—G и т. д. Полученные таким образом ожидаемые величины равны

'\ др» ]\ Р ' р+2r rq+2г]\ р (р + 2r) (q + 2г)/ ’

_/—d2L\ ^/2 + 9 4р q \ _ r)rJ4pq+4r—3p»q—2pr\

\ dq» ]( q p+2r q + 2г)\ q (p+2r) (q + 2r) / ’

= E ( ^ = 2G ( p I । i 2G ( ^ + 4r

\ dpdq ) [p + 2r q + 2r /\(p + 2r) (q + 2r)) '

Эти выражения эквивалентны тем, которые приводит Стивенс [601]. Матрицей, обратной информационной, является дисперсионно-ковариационная матрица:

^рр Ipq^рр IpqI V1*pq | ^qq /I V1*pq | ^qq // Iqq — Ipq\ 1 = / V (p^^(p,q)\X—^q ^p? N \Cov(p,q) V (q) /'/ Iqq — Ipq\ 1 = / V (p^^(p,q)\X—^q ^p? N \Cov(p,q) V (q) /'(24)(24)При упрощении алгебраических выражений полезно обратить внимание на то, что (1—р)(1—q^=pq-\-r и (р+2г) (р+2г) =рр4-2г2+2г. Наиболее громоздкой операцией является вычисление определителя (А) информационной матрицы. Подставив выражения (23) в матрицу (24), мы найдем, чтоПри упрощении алгебраических выражений полезно обратить внимание на то, что (1—р)(1—q^=pq-\-r и (р+2г) (р+2г) =рр4-2г2+2г. Наиболее громоздкой операцией является вычисление определителя (А) информационной матрицы. Подставив выражения (23) в матрицу (24), мы найдем, чтоA = Z / — Р — lG2(4(w+'')(P+2r)(q+2r)\16G2(p<?4-r)РР 44 pq ( pq(p4-2r)4q + 2r)» ] pq (р + 2г) (q + 2r)A = Z / — Р — lG2(4(w+'')(P+2r)(q+2r)\16G2(p<?4-r)РР 44 pq ( pq(p4-2r)4q + 2r)» ] pq (р + 2г) (q + 2r)(25)(25)Используя этот определитель, Де Гроот [100, 101] получил точные выражения для ковариации и дисперсий:Используя этот определитель, Де Гроот [100, 101] получил точные выражения для ковариации и дисперсий:v^ = ^k-3p + o(j (v^ = ^k-3p + o(j (pq + г J ’ pq 1 pq + г J ’pq + г J ’ pq 1 pq + г J ’V(9) =V(9) =(26)(26)~ А АгСоу(/М)=5{4 —OU I~ А АгСоу(/М)=5{4 —OU IПолезно иметь также выражение для дисперсии гПолезно иметь также выражение для дисперсии гА АА А АА Аv (г) =V (р 4-7)= v (р)+ V (д')+ 2 Cov (р, q),А АА А АА Аv (г) =V (р 4-7)= v (р)+ V (д')+ 2 Cov (р, q),(27)(27)которое представляет собой сумму четырех элементов матрицы (24). Чтобы было легче сравнивать эти выражения для дисперсий со стандартными формами, Ли [356] переписал соотношения (26) и (27) в следующем виде:которое представляет собой сумму четырех элементов матрицы (24). Чтобы было легче сравнивать эти выражения для дисперсий со стандартными формами, Ли [356] переписал соотношения (26) и (27) в следующем виде:

^рр Ipq

^рр Ipq

I V1

*pq | ^qq /

I V1

*pq | ^qq /

/ Iqq — Ipq\ 1 = / V (p^^(p,q)\

X—^q ^p? N \Cov(p,q) V (q) /'

/ Iqq — Ipq\ 1 = / V (p^^(p,q)\

X—^q ^p? N \Cov(p,q) V (q) /'

(24)

(24)

При упрощении алгебраических выражений полезно обратить внимание на то, что (1—р)(1—q^=pq-\-r и (р+2г) (р+2г) =рр4-2г2+2г. Наиболее громоздкой операцией является вычисление определителя (А) информационной матрицы. Подставив выражения (23) в матрицу (24), мы найдем, что

При упрощении алгебраических выражений полезно обратить внимание на то, что (1—р)(1—q^=pq-\-r и (р+2г) (р+2г) =рр4-2г2+2г. Наиболее громоздкой операцией является вычисление определителя (А) информационной матрицы. Подставив выражения (23) в матрицу (24), мы найдем, что

A = Z / — Р — lG2(4(w+'')(P+2r)(q+2r)\16G2(p<?4-r)

РР 44 pq ( pq(p4-2r)4q + 2r)» ] pq (р + 2г) (q + 2r)

A = Z / — Р — lG2(4(w+'')(P+2r)(q+2r)\16G2(p<?4-r)

РР 44 pq ( pq(p4-2r)4q + 2r)» ] pq (р + 2г) (q + 2r)

(25)

(25)

Используя этот определитель, Де Гроот [100, 101] получил точные выражения для ковариации и дисперсий:

Используя этот определитель, Де Гроот [100, 101] получил точные выражения для ковариации и дисперсий:

v^ = ^k-3p + o(j (

v^ = ^k-3p + o(j (

pq + г J ’ pq 1 pq + г J ’

pq + г J ’ pq 1 pq + г J ’

V(9) =

V(9) =

(26)

(26)

~ А Аг

Соу(/М)=5{4 —

OU I

~ А Аг

Соу(/М)=5{4 —

OU I

Полезно иметь также выражение для дисперсии г

Полезно иметь также выражение для дисперсии г

А АА А АА А

v (г) =V (р 4-7)= v (р)+ V (д')+ 2 Cov (р, q),

А АА А АА А

v (г) =V (р 4-7)= v (р)+ V (д')+ 2 Cov (р, q),

(27)

(27)

которое представляет собой сумму четырех элементов матрицы (24). Чтобы было легче сравнивать эти выражения для дисперсий со стандартными формами, Ли [356] переписал соотношения (26) и (27) в следующем виде:

которое представляет собой сумму четырех элементов матрицы (24). Чтобы было легче сравнивать эти выражения для дисперсий со стандартными формами, Ли [356] переписал соотношения (26) и (27) в следующем виде:

АV(P) =АV(P) =pG—P) , Р2 /| , Г \2G T8G V1" pq-V г] ’

А

V(P) =

А

V(P) =

У(Й =У(Й =9(1 —?) 2G9(1 —?) 2GГ pq + гГ pq + г(28)(28)

У(Й =

У(Й =

9(1 —?) 2G

9(1 —?) 2G

Г pq + г

Г pq + г

(28)

(28)

у м = ^‘-J). + U-')8 + (р-9)2.\

2G 8G 8G \pq+rj

Значения этих величин, рассчитанные для G=l, приведены в табл. 5.2. Для ряда популяций человека г намного больше р и (или) q, а отношение г/(рр+г) лишь немногим меньше единицы. Например, для Англии, где р — 0,25, р ~ 0,05 и г —0,70, отношение rl(pq-\-r) больше 0,98, так

что У(р) лишь немногим меньше дисперсии (16)•

vД = 1 -(1+г)2- = pO^EL , Pi-4G2G 4G ’

полученной для системы без кодоминирования (т. е. в случае, если бы мы не могли отличать группу крови АВ). Если р действительно мало, то дисперсия будет лишь немногим больше отношения р(1—pM^G, которое представляет собой стандартную дисперсию в отсутствие доминирования.

Итак, мы нашли формулы для-дисперсии оценок, однако сами оценки нам еще не известны. Выше мы просто взяли численные значения ро, qo и г0 и получили Кр и Кд. В следующем параграфе рассмотрен способ уточнения исходных величин р, q и г.

§ 4. ПОПРАВКИ И ИТЕРАЦИЯ

В этом параграфе мы не будем пользоваться точными выражениями для дисперсий (28), поскольку в общем случае их получить невозможно. Точно так же, как мы вычисляли первые производные (dL/dp)0=Kp и (dL/dq)0=Kg при (р0, qo, г0), мы можем вычислить и вторые производные и найти численные значения (22) и (23). Таким образом, взяв первоначальные значения (р, q, г) равными (0,24; 0,21; 0,55) и приняв G = 6000, по формулам (23) мы получим

/рр = 60922, /„ = 68 403, lpq = 16 073. (29)

Эти численные значения следовало бы записать как Црр^о и т. д., чтобы подчеркнуть, что они рассчитаны для (р0, qo, Го), однако мы обойдемся без строгих обозначений, поскольку все ясно из контекста.

В соответствии с (24), взяв матрицу, обратную информационной, мы получим дисперсионно-ковариационную матрицу

/ V^ Cov(p,p)\ 76°922 16073V = ( 17,5 -4,1\ 10_6 \Cov(p,y) V^ / (.16073 6 8 403/ \—4,1 15,1/ ’

V(г) = 24,9-10~6 [сумма элементов матрицы (30)]. Все эти расчеты сделаны для нулевого приближения (0,24; 0,21; 0,55). Теперь мы покажем, как можно получить более точные значения р, q и г. Предположим, что р и q — точные значения оценок, т. е. такие, при которых 9Ц.др = 0 и dL/dq=Q. Тогда можно записать, что р=р04-6р и q=qo~V Н-6р. Если отклонения 6р и 6р малы, то, согласно формуле Тэйлора,

дЧЛ R п oq = 0, dpdqUдЧЛ R п oq = 0, dpdqUdL (9L \ . / d8L \ о .

дЧЛ R п oq = 0, dpdqU

дЧЛ R п oq = 0, dpdqU

— = — + ор +

др .А др)» \др2 )0

dL (dL \ , / d2L \ о , / d8L \ о А = Ч- 00 + 6(7 = 0.

5? Л dq )в \дрдд)в р \ др8 /0.

Индекс 0 означает, что производная определена при (ро, ^о, /о)- Преобразовав выражения, получим

/— дЧД ,/— d2L \ с (dL \

6р +8^= — Ь(32)

\ др2 /0( dpdq /о ( др /0

/— d2L \ ,, d2L \ , (dL \

ОР + О<7 = .

.\ dpdq Jg ( dq2\ dq /0

Используя ожидаемые величины, перепишем уравнения (32) в матричной форме:

Ар ^рч \ (^Р \ = / ^р \(33)

Умножив обе части на матрицу, обратную информационной, получим

/бр\/ V (р) Cov (р, 7)\ / Кр \(34)

\б^/\COV(P, у) У (у) A^q/

Переведем матричное уравнение (34) в обычные уравнения. Тогда

6р = V (р)-Кр + Cov (р,7) «Кф(35)

67 = Cov (р, q>Kp + V lq> Kq.

Величины в правой части уравнений (35) были получены нами при выбранных исходных значениях р, q и г. Подставляя численные значения из (21) и (30) в (35), мы найдем искомые поправки:

бр = {(17,5) (— 100,4) + (— 4,1) (— 182,3)} 10~6 = —0,0010,(36)

bq = {(— 4,1) (— 100,4) + (15,6) (— 182,3)} 10~6 = — 0,0024.

Уточненные оценки равны

Р1 = Ро + бр = 0,2400 — 0,0010 = 0,2390,

^ = ^4- 6^ = 0,2100 — 0,0024 = 0,2076,' (37)

г, = г0 + бг = 0,5500 + 0,0034 = 0,5534,

бг определяется из условия 6p+6^+6r=0. Другими словами, п = 1— —Pi—qv Теперь (ръ qx, rt) можно использовать в качестве новых приближенных величин для второго этапа расчетов и т. д. Однако в этом частном примере полученные нами значения (37) совпадают со значениями, приведенными в предыдущей главе, и можно считать их оценками максимального правдоподобия с дисперсией (30).

ДРУГАЯ ФОРМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯИНФОРМАЦИИ

Обратимся снова к преобразованиям, проделанным нами в § 3; отметим, что, использовав равенства log р^=log p-^log <7 и logp(p+2r) = = logp+log(p + 2r) и т. д., мы уже упростили логарифмическую функцию правдоподобия и получили из нее выражения для первых производных (19). В свою очередь из формул (19) были выведены вторые производные (22), и, наконец, заменив наблюдаемые численности на ожидаемые, мы получили /рр, Ipq, Iqq (23). Возможен, однако, и другой путь, более короткий, чем первый. В нем используются непосредственно частоты классов (фенотипов) без каких-либо упрощений. Прежде чем

продолжить рассмотрение метода, сделаем несколько предварительных замечаний. Если обозначить через Рх, Ра, Рэ, • •. вероятности «появления» классов (каждая вероятность есть функция параметров 0Ь 02, ..., которые нужно оценить), то

Р1 + -Р2 + -Р3+...= 1,

^1 ] дР^ । д^з ।_

50{50,-50,-

(38)(38)5^1 + 0^2 , 5=Р3 ।

(38)

(38)

50?50? Т 50?""

дЧЧ + д2Р2 ч. 5^з,=0

50,50/50(50/50(50/‘

Мы используем эти равенства при получении производных более высоких порядков. Пусть ар «2, «з, • • • — наблюдаемые численности классов. Тогда логарифмической функцией правдоподобия"будет

L = a1logP1 + a2logРй + а3logР3 + ...,(39)

а ее производные по какому-либо параметру 6, (для удобства опустим далее индекс I, пока не получим окончательное выражение) равны

5Ь _ Qi dPi , а2 5^2 ।/лпх

50 Pi 50 Р2 50’

d2L502 = “тd2L502 = “тр _^l?Pi "1 50250 50р _^l?Pi "1 50250 50(41)(41)

d2L

502 = “т

d2L

502 = “т

р _^l?Pi "

1 50250 50

р _^l?Pi "

1 50250 50

(41)

(41)

Подставив вместо наблюдаемых а, ожидаемые GP; и переменив знак, получим

(42)(42)

(42)

(42)

Суммирование здесь производится по классам. Однако, согласно (38), первая сумма равна нулю, и, следовательно, мы получаем простую формулу .

Подобно этомуПодобно этому(43)(44)(43)(44)

Подобно этому

Подобно этому

(43)

(44)

(43)

(44)

Применим теперь два последних выражения к системе групп крови АВО, где требуется оценить два параметра 0i=p и 02=^. Производные соответствующих вероятностей приведены в табл 6.1.

Поскольку r= 1—р—q, dr]dp=—1 и dr]dq=—1. Воспользовавшись выражением (43) и вспомнив, что (p+2r) (^+2г) =р^+2г+2г2, получаем

4pq + 4г — 2qr — 3pq2 "Р (.Р + 2г) (q + 2r) ]’(23') что согласуется с уравнением (23). Выражение для Iqq аналогично (23'), только р и q в нем поменялись местами. Воспользовавшись формулой (44), получим4pq + 4г — 2qr — 3pq2 "Р (.Р + 2г) (q + 2r) ]’(23') что согласуется с уравнением (23). Выражение для Iqq аналогично (23'), только р и q в нем поменялись местами. Воспользовавшись формулой (44), получимррррр(р +р(р +4^'4^'+ — =2G+ — =2G

4pq + 4г — 2qr — 3pq2 "Р (.Р + 2г) (q + 2r) ]’

(23') что согласуется с уравнением (23). Выражение для Iqq аналогично (23'), только р и q в нем поменялись местами. Воспользовавшись формулой (44), получим

4pq + 4г — 2qr — 3pq2 "Р (.Р + 2г) (q + 2r) ]’

(23') что согласуется с уравнением (23). Выражение для Iqq аналогично (23'), только р и q в нем поменялись местами. Воспользовавшись формулой (44), получим

рр

рр

р(р +

р(р +

4^'

4^'

+ — =2G

+ — =2G

Класс (группа крови)

Рк

аРк др

дРк дд

/ дРк \ /

\ др Д

дРк\ дд /

АВ

2рд

2д

2р

4рд

А

Р^А-^Рг

2г

—2р

—4рг

В

дЧ-2дг

—2д

2г

—4дг

О

г2

—2г

—2г

4г2

Сумма

1

0

0

—

Таблица 6.1

Производные частот классов (групп крови) по р и д для системы групп крови АВО человека

4рг

Р(р + 2г)

4дг , 4г2 "I _ ^ Г Зрд + 4г д (д + 2г) г2 J [(р + 2 г) VH"2r)

/ = с№РЧ L2pq/ = с№РЧ L2pq(23')(23')что также согласуется с уравнением (23). Таким образом, с помощью формул (43) и (44) можно получить информационные элементы 1РР, IPq, Iqq другим способом. Остальные выкладки по определению оценки остаются прежними. 1

/ = с№

РЧ L2pq

/ = с№

РЧ L2pq

(23')

(23')

«НЕПОЛНЫЙ» МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО .ПРАВДОПОДОБИЯ

Если- процесс получения оценки максимального правдоподобия слишком сложен, можно пойти обходным путем, рассматривая вопрос в два или более этапов и (или) объединяя определенные статистические наблюдения, что связано лишь с небольшими информационными потерями. Примером этому может служить простой метод оценки частот четырех аллелей системы группы крови MNS, рассмотренный в предыдущей главе. Процесс нахождения оценки разбивают на два этапа. Сначала оценивают суммы т=тг-\-т2 и n=«i+n2 только из данных по М, MN и N, не рассматривая типы S. Затем объединяют данные по индивидуумам S+ из табл. 5.6 и получают только четыре фенотипа:

М MN N

S+

D

1— (m2+n2)2=l—s2

S—

т2

^1

2т2п2 R»

П2

R3

(m2+n2)2=s2 R

(45)

К этим данным применим теперь метод максимального правдоподобия.

L = (2^ + Рг) log /тг2 + (2?2 + 2/?3) log/г2 + D log (1 — s2)+ const. (46) Заметим, что функция L зависит только от т2 и п2.

dL = 2Rt + R2 _ 2Ds dL = R2 + 2R3 _ 2Dsdm2 m21 — s2 * dn2 n21 — s2 '

Приравнивая эти выражения к нулю и решая, получаем

2R1 + R2 R2 + 2/?3 _ 2R = 2Rfil2tl2Ш2 -р tl2 S

ИИ(s')2 = (m' + и')2 = RIG, s' = m' + »' = ]/"RIG,(49)

И

И

,/ /27? iH- T?2 \ л //, /T?2 H- 27?з \#«,/глх

m = s —L = s a , n9 = s = s b .(50)

2\ 2R )2\ 2R )'

Таким образом, мы получили те же результаты, что и в предыдущей главе.

Вычислим теперь вторые производные. Подставив ожидаемые численности и изменив знаки, мы получим

— d2L \26s26(1 +s2)

(51)(51)дт2дт2 j т2 1 — s2 ’

(51)

(51)

\ дт2дп2I 1 — s2 ’

f —дЧ, \ 2Gs , 26 (2 + s2) I — ~].

\ dn2dn2 / n2 1 — s2

Определитель информационной матрицы равен

НИ 2 12И12 ^22НИ 2 12И12 ^22862s2m2n2 (1 —s2)862s2m2n2 (1 —s2)(52(52

НИ 2 12

И12 ^22

НИ 2 12

И12 ^22

862s2

m2n2 (1 —s2)

862s2

m2n2 (1 —s2)

(52

(52

Теперь можно получить выражения для дисперсии оценок. Например, используя равенство R=Gs2, найдем, что

V =1^-= 1 — т24 _ т2п2 , sm2 (1 —sm^,53.

( 2' Д 4R 4R 4R4R *V

Это выражение идентично выражению

«2 Q — д2)4^«2 Q — д2)4^

«2 Q — д2)

4^

«2 Q — д2)

4^

полученному в предыдущей главе (§ 13) другим методом, что можно показать с помощью простых алгебраических преобразований. Дисперсия’

V (m') = V ^т' — т^ = V (т') + V (m') — 2Cov (/п', т^

находится аналогичным образом. Подробно это рассмотрено в работе Де Гроота и Ли [102].

ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ

Нахождение матрицы, обратной данной, — это, как правило, трудоемкий процесс с многочисленными арифметическими выкладками. Существенно облегчает эту задачу использование быстродействующих компьютеров. Однако «обращение» матрицы 2X2, которой мы пользовались при оценке частот генов АВО, —простая и легко запоминающаяся процедура. Если

А = (а то А-1 =(с d)А = (а то А-1 =(с d)I d — b\(—с а)I d — b\(—с а)1Д ’1Д ’

А = (а то А-1 =(с d)

А = (а то А-1 =(с d)

I d — b\

(—с а)

I d — b\

(—с а)

1

Д ’

1

Д ’

где \=ad—be — определитель матрицы. Обратите внимание на то, что элементы а и d поменялись местами, а b и с остались на своих местах, но поменяли знаки. ■

Тем, кто знаком с матричной алгеброй, предлагается проверить следующие соотношения (здесь aJrb-\-c-\-d= 1):

-+4а b— 1b-+4а b— 1b00— 1b1 । 1b с— 1С— 1b1 । 1b с— 1СОО— 1с11с d— 1с11с d'а (1—а)'а (1—а)а (с + d)а (с + d)adada(c+d) (a+b)(c+d) d(a+&) ■a(c+d) (a+b)(c+d) d(a+&) ■adadd^a + 6)d^a + 6)d(l — d).d(l — d).Указание: равенУказание: равенопределитель Матрицы, к которой нужноопределитель Матрицы, к которой нужнонайти обратную,найти обратную,

-+4

а b

— 1b

-+4

а b

— 1b

0

0

— 1

b

1 । 1

b с

— 1

С

— 1

b

1 । 1

b с

— 1

С

О

О

— 1

с

11

с d

— 1

с

11

с d

'а (1—а)

'а (1—а)

а (с + d)

а (с + d)

ad

ad

a(c+d) (a+b)(c+d) d(a+&) ■

a(c+d) (a+b)(c+d) d(a+&) ■

ad

ad

d^a + 6)

d^a + 6)

d(l — d).

d(l — d).

Указание: равен

Указание: равен

определитель Матрицы, к которой нужно

определитель Матрицы, к которой нужно

найти обратную,

найти обратную,

А= —

abed.

Алгебраическое дополнение первого элемента равно

b -Т с ~V dbedb -Т с ~V dbedb + c — 1beс

b -Т с ~V dbed

b -Т с ~V dbed

— 1 с + dсcd

Вместо формулы (2) можно использовать следующие соотношения (опустив для удобства штрихи):

r=V"R,q=V"Q _V"r.

Отсюда

dq = f—] dQ + (—\dR =•

\dR)2 К Q2 V R

Возведя обе части в квадрат, перемножив эти два выражения и вычислив математическое ожидание, получим

V^ = ®,

' 4R

+2 Cov (Q, ^)

4<24* 4/qIV’

CovM=-^M-М.

4R

Подставив из (12) V(Q), ¥(Д) и Cov (Q, R) и упростив выражения, мы опять получим формулы (15). Например:

2^d-Q) _

4G 4G 4gV”qV^

=29 — 92 = 1—92 +?~г= 1 Г2 _ ср _ 2г "

4G (?+ г) 4G 4G 4G (?+ г) 4G [q + г

Последнее выражение приведено в работе Бойда [38].

Четыре фенотипа, три параметра (четыре аллеля). В этом разделе мы рассмотрим несколько примеров применения метода максимального правдоподобия. Предположим, что существуют четыре аллеля с отношениями доминирования Ai>A2>A3>A4, встречающиеся с частотами р, q, t, г соответственно (выражение Аг>А, означает, что аллель А{ доминирует над аллелем AJ. Тогда возможны четыре фенотипа, кото-

рые при случайном скрещивании будут встречаться со следующими частотами:

Фенотип

Ах-

а2

Аз—

а4

Сумма

Частота

l-Gz+^+O2 1—Q

q2+2qi4-2qr Q—T

t2^2tr T—R

г2

R

1

1

Наблюдаемая численность

«1

пг

п3

п4

G

Произведем подстановки

. Д = г2, Т = ^ + г)2, Q = (9 + 7 + г)2. Логарифмическая функция максимального правдоподобия и ее первые производные равны'

L = пг log (1 — Q) + n2 log (Q — Т) + п3 log (Т — ^) + п4 log R,dL _ — nv n2 dL — п2 д ”з dL _ — п3 п4dQ~ 1 — Q + Q — Т ’ dTQ — T ' Т — R’ 0R~ Т — R +‘

Положив эти производные равными нулю и решив уравнения, мы получим оценки•

»з+ "1_ п2 + п3 + п4

G ’4G ‘

Чтобы найти дисперсии этих оценок, нам потребуются вторые производные, которые лучше расположить в следующем порядке:

d2L

— Пу

,— «2

(Q- ту ’

d2T

n2

,^ = o,

dRdQ

5Q2

(i-Q)2

dTdQ

' \Q-^Ty

дгь

n2

d2L _

— n2

d2Ln3

dQdT

"■(Q-T1)

2 *ЭТ2 -

№-ту

1 yr—Ry'

dTdR (T ^ Ry

d2L

= o,

d2L

na

d2L

— «з _i — ”4

-RyR2 ‘

dQdR

dTdR (T

— RV ’

dR2 (T

Подставив вместо наблюдаемых численностей ожидаемые и изменив знак, мы получим информационную матрицу

(0 =(0 =1 — Q Q — Т Q—T

(0 =

(0 =

— GG G —G

Q—T Q— Т+Т — R Т— R

О

Т — R T—R R

V(R) = ^L_R1iCov (T, R) = (1=Ж .V(R) = ^L_R1iCov (T, R) = (1=Ж .Прежде чем приступать к нахождению обратной матрицы, читателю полезно вновь обратиться к соотношению, полученному в упр. 2, приняв во внимание, что (1—Q) + (Q—Г) + (Т—^)4-^=1. Сопоставляя соответствующие члены обеих матриц, получим ■

V(R) = ^L_R1i

Cov (T, R) = (1=Ж .

V(R) = ^L_R1i

Cov (T, R) = (1=Ж .

Cov (Q, Г) = ЫШ!, Cov (Q, R) = ЖЖ

Следующая задача — вычислить дисперсии найденных частот генов с помощью обычного дельта-метода.

dQ = 2 (7 + t + г) [dq + dt + dr], dT = 2(t + r) [dt + dr],

dR = 2r [dr].

Возведя обе части уравнений в квадрат или попарно их перемножив и вычислив ожидаемые значения, мы получим следующие шесть уравнений:

У(Я) = 4г2 [V (г)],

Cov (Т, R) = 4r(t + г) [У (г) + Cov (/, г)],

У (Т) = 4 (/ + г)2 [У (0 + У (г) + 2 Cov (/, г)],Cov (Q, R) = 4r (q + t + г) [У (г) + Cov (/, г) +Cov [q, r)l,Cov (Q, T] = 4 у + r) (7 + t + г) [У (r) + У (0 + 2 Cov (t, r) + Cov [q, r) ++ Cov (q, 01,

V (Q) = 4 (q + t + г)2 [У (r) + У (/) + 2 Cov (/, r) - 2 Cov (q, r) + 2 Cov (q, t) + + V(q)L

Величины в левых частях уравнений известны; эти шесть уравнений можно решать в том порядке, в каком они записаны. Из первого мы получим У (г); подставив его во второе уравнение, найдем Cov ((, г) и т. д.

Cov У,г] =—-,

' 4G 4G V + г) гуу=Х^1_;L=1I

’ 4G 4G у + г)

Cov (q, г) =—,

4G 4G(9 + / + r)(/ + r) ’

Cov (9, t] = ———,

4G 4G(9+/ + r)(/ + r)у (7) =+ »-^ + rL_

4G 4G (</-Н +г) и, наконец, из последнего уравнения найдем

у (Р) = у (7 + t+r] = 1=-Я =

4G4G

Отметим, что, если положить /=0, выражения для дисперсии и ковариации, включающие 7 и г, сведутся к тем, которые мы привели выше для случая трех аллелей.

В свою очередь можно осуществить обратное преобразование:r = V-R,t = V^r -V"R, q = V"Q-V^r,dr= dR_ ,dq = -^_^.

2V R2V T 2V R 2V Q 2V T

Таким путем мы сможем проверить полученные выше соотношения. К примеру,

v ( X = y(Q) , ИЯ _ 2Cov(Q, 7) = 1 -Q 1.1-72(1-Q) 7

4Q 474 у Q у 7 4G 4G 4оУ оУ Т

д — / — гд — / — гПроизведя подстановку и упростив выражение, получим соотношение

д — / — г

д — / — г

4G 4G (д + i + г) ’ совпадающее с приведенным выше. Рассмотрим еще один пример:

Cov (q, r) = E (dq-dr) = ^^_Cov(7^) = (1 - Q^ _ (1-7^ =Cov (q, r) = E (dq-dr) = ^^_Cov(7^) = (1 - Q^ _ (1-7^ =4VQRг Г1 — Q4VQRг Г1 — Q4'K?’^1 — T 14'K?’^1 — T 14GVQR4GVQR4G VtR4G VtR

Cov (q, r) = E (dq-dr) = ^^_Cov(7^) = (1 - Q^ _ (1-7^ =

Cov (q, r) = E (dq-dr) = ^^_Cov(7^) = (1 - Q^ _ (1-7^ =

4VQR

г Г1 — Q

4VQR

г Г1 — Q

4'K?’^

1 — T 1

4'K?’^

1 — T 1

4GVQR

4GVQR

4G VtR

4G VtR

, 4G Lk q v т.

Произведя подстановку и упростив выражение, найдем

Gov (q, г) = -^

что также совпадает с полученным нами ранее соотношением, если принять во внимание, что (^+<+г) = V Q и (<+r) = V Т. Читатель может самостоятельно проверить и другие соотношения.

ГЛАВА 7

Гены, сцепленные с полом

Так называемые сцепленные с полом гены локализованы в половых хромосомах. Далее мы всюду будем считать, что гомогаметный пол (XX) женский, а гетерогаметный (XY или ХО) — мужской (X обозначает здесь половую хромосому).

РАВНОВЕСНАЯ ПОПУЛЯЦИЯ

Можно убедиться в том, что популяция

и ?и ?ДА Аа аа\рй ^pq q* /ДА Аа аа\рй ^pq q* /(1)(1)

и ?

и ?

ДА Аа аа\рй ^pq q* /

ДА Аа аа\рй ^pq q* /

(1)

(1)

при панмиксии является равновесной. Отметим, что для удобства мы рассматриваем совокупности самцов и самок как две «популяции», в каждой из которых частоты различных генотипов в сумме равны 1. Отметим также, что частоты генов у самцов и самок в состоянии равновесия равны друг другу. В табл. 7.1 приведены шесть типов скрещива-

Таблица 7.1

Равновесие по сцепленным с полом генам

Мать

Отец

Частота

Аа

Дочери

Аа

aa

Сыновья

A

a

АА

X

А

Р3

Р3

0

0

P3

0

АА

X

а

Р2Р

0

p3q

0

P2q

0

Аа

X

А

2р29

p3q

P3q

0

p3q

p3q

Аа

X

а

2pq3

0

pq3

pq2

pq3

pq3

аа

X

А

pq3

0

pq3

0

0

pq3

аа

X

а

q3

0

0

q3

0

q3

Сумма

1,00

р2

2pp

q3

p

q

ния с соответствующими частотами и определенными типами потомков (отдельно потомки мужского и отдельно — женского пола); из этой таблицы можно вывести ряд свойств признаков, сцепленных с полом.

ДОСТИЖЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ

Поскольку хромосомные наборы самцов и самок асимметричны, равновесие в какой-либо произвольно взятой популяции не устанавли-

вается, как правило, за одно поколение, но все-таки достигается довольно быстро; приближение к нему носит колебательный характер.

Представим исходную популяцию в виде

Z' = (р, р) и (г, 2s, t),

где p + p = r + 2s + <= 1. При расчете частот особей различных генотипов в следующем поколении мы используем принцип, отражающий эквивалентность свободного скрещивания между особями случайному объединению гамет (гл. 1). Итак, самки продуцируют два типа яйцеклеток: (г+з)Л и (s++)a. Объединение этих яйцеклеток с У-спермиями дает потомков мужского пола с таким же соотношением особей по признаку А. При объединении яйцеклеток с Х-спермиями (p-A-Vq-a) получается потомство женского пола, и, стало быть, следующее поколение представляется в виде

Z = (r + s, s+f) и [p(r + s), p(s + 0 + p(r + s), ^(s + f)].(2)

Выражения Z и Z' (символ co штрихом относится к предшествующему поколению) фактически являются рекуррентными уравнениями, связывающими смежные поколения (см. приложение о рекуррентных последовательностях). Приведенные в табл. 7.2 данные можно получить путем повторного применения этих уравнений.

Таблица 7.2

Приближение к равновесию для генов, сцепленных с полом

п

Самцы

Самки

d—Яхх Ях

А

а

АА

Аа

аа

0

0,40

0,60

0,50

0,40

0,10

—0,30000

I

0,70

0,30

0,28

0,54

0,18

+0,15000

' 2

0,55

0,45

0,385

0,480

0,135

—0,07500

3

0,625

0,375

0,34375

0,48750

0,16875

+0,3750

4

0,5875

0,4125

0,3672

0,4781

0,1547

—0,01875

5

0,60625

0,39375

0,3562

0,4814

0,1624

+0,009375

6

0,596875

0,403125

0,3619

0,4794

0,1587

—0,00469

7

0,60156

0,39844

0,3591

0,4803

0,1606

+0,00236

8

0,5992

0,4008

0,3605

0,4798

0,1597

—0,0012

9

0,6004

0,3996

0,3598

0,4800

0,1602

+0,0006

10

0,5998

0,4002

0,3601

0,4800

0,1599

—0,0003

ОО

0,6000

0,4000

0,3600

0,4800

0,1600

0

Отметим некоторые свойства соотношений между Z и Z'. Во-первых, как можно легко убедиться, частоты генов у самцов некоторого поколения равны частотам этих генов у самок предшествующего поколения. Во-вторых, поскольку появление самок в равной степени обусловлено как спермиями, так и яйцеклетками, частота генов у этих потомков равна средней величине от частот генов их родителей мужского и женского полов (упр. 2). Эти два замечания можно формально записать так (табл. 7.3.):

= q',+(3)

• x«xx1 "xx 2lxx}1x /

где qx и qxx — частоты генов у «гаплоидных» самцов и «диплоидных» самок соответственно; величины, относящиеся к предшествующему по-

Таблица 7.3

Связи между частотами генов у самцов и самок в последовательных поколениях свободно скрещивающихся особей для локусов, сцепленных с поломСвязи между частотами генов у самцов и самок в последовательных поколениях свободно скрещивающихся особей для локусов, сцепленных с полом

Связи между частотами генов у самцов и самок в последовательных поколениях свободно скрещивающихся особей для локусов, сцепленных с полом

Связи между частотами генов у самцов и самок в последовательных поколениях свободно скрещивающихся особей для локусов, сцепленных с полом

колению, помечены штрихом. Эти соотношения легко запомнить, и они еще не раз пригодятся нам в дальнейшем.

В-третьих, если частоты генов у самцов и самок не равны, то их разность уменьшается вдвое за каждое поколение:

d = qxx-qx = —7^xx-^ = --Yd'-(4>

Это показывает также, что изменение частот генов носит колебательный характер: если в одном поколении q у самок больше, чем у самцов, то в следующем поколении последняя величина будет больше первой.

Рис. 7.1. Колебательный характер приближения к равновесию для генов, сцепленных с полом, в панмиктической популяции.На график нанесены значения q для самцов из табл. 7.2. q для самок можно получить, заменив по осн ординат, на которой отложено количество поколений, п иа я—1.Рис. 7.1. Колебательный характер приближения к равновесию для генов, сцепленных с полом, в панмиктической популяции.На график нанесены значения q для самцов из табл. 7.2. q для самок можно получить, заменив по осн ординат, на которой отложено количество поколений, п иа я—1.

Рис. 7.1. Колебательный характер приближения к равновесию для генов, сцепленных с полом, в панмиктической популяции.

На график нанесены значения q для самцов из табл. 7.2. q для самок можно получить, заменив по осн ординат, на которой отложено количество поколений, п иа я—1.

Рис. 7.1. Колебательный характер приближения к равновесию для генов, сцепленных с полом, в панмиктической популяции.

На график нанесены значения q для самцов из табл. 7.2. q для самок можно получить, заменив по осн ординат, на которой отложено количество поколений, п иа я—1.

В-четвертых, мы видим, что хотя частоты генов у самцов и самок, взя

тых по отдельности, меняются от поколения к поколению, общая часто-

та этого гена для всех Х-хромосом (безотносительно к полу) остается постоянной во всех поколениях. Перекрестная передача генов от одного пола к другому не влияет на относительные частоты Л и а. В алгебраической форме это можно записать так:

9 = Y (9х + 2^) = Т № + ^М = const- (5)

Через достаточно большое число поколений частоты генов у представителей обоих полов сравняются (d->0); q станет их общим равновесным значением. Мы можем представить выражение (5) в форме

?х~ 9= ~ 2(?хх —?), (6)

откуда видно, что для любого поколения отклонение qx от равновесного значения вдвое больше отклонения qxx, лежащего, кроме того, по другую сторону от равновесного значения. Объединив это выражение с равенствами (3), мы получим

чХх-ч =—^- ^хх-чУ ч,-ч=--^ <ч;-чу (7)

Для обоих полов отклонение от равновесия уменьшается вдвое за каждое поколение свободного скрещивания с переменой знака на противоположный. Все вышеприведенные свойства можно вывести из табл. 7.2. Наглядно они представлены на рис. 7.1.

НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ

У самок частота гена qxx в любом поколении равна среднему арифметическому между частотами генов двух предшествующих поколений самок, т. е., согласно формуле (3),'

Чхх=^ кчУЛч^у^

Поскольку qxx в следующем поколении становится равным qx, отсюда •следует, что серии значений qx для последовательных поколений имеют одинаковые свойства. Таким образом, последовательные значения q для любого из полов образуют своего рода «рекуррентные последовательности» (см. приложение о рекуррентных последовательностях). Это свойство позволяет найти значение q для любого поколения, не рассчитывая его для промежуточных поколений..

Общую частоту гена для обоих полов можно записать следующим образом:

—19

Ч = -^9x + —9xx = qxx — — d = qx + —d,(9)

двухрас-d=0двухрас-d=0где d=qxx—qx— начальная разность между частотами гена у полов. Другими словами, q равно — расстояния (d) от qxx и — 33

двух

рас-

d=0

двух

рас-

d=0

стояния от qx (см. также рис. 7.1).

Из всего вышесказанного следует, что если s-\-t=q, так что

для исходных частот генов среди самок и самцов, то равновесие установится через одно поколение. Например,

(0,70; 0,30) X (0,50 ; 0,40; 0,10) ->(0,70; 0,30) и (0,49; 0,42; 0,09). (10)

Сравнивая этот результат с данными по двум первым поколениям (табл. 7.2), мы видим, что при перекрывании поколений скорость достижения равновесия будет увеличиваться, хотя окончательное значение q не обязательно будет равно задаваемому формулой (5); оно зависит от степени и характера перекрывания (см. также упр. 7).

ПРИЛОЖЕНИЯ

Рецессивные, сцепленные с полом, признаки. Доля сцепленных с полом рецессивных признаков всегда больше среди самцов, чем среди самок. Общеизвестно, например, что у мужчин слепота к красному и зеленому цветам встречается гораздо чаще, чем у женщин. Если частота рецессивного гена цветовой слепоты равна q, доля мужчин с цветовой слепотой от их общего числа также равна q, тогда как доля женщин, обладающих цветовой слепотой, от общего числа женщин будет равна только q2. Так, например, если <7=-jy > т0 Ч2—"™-

Отношение численностей этих двух рецессивных фенотипов равно

Доля индивидуумов с рецессивными признаками, получающихся от скрещивания данного типа. Метод Снайдера для расчета доли рецессивных индивидуумов в скрещиваниях определенного типа можно применить и к анализу генов, сцепленных с полом. Однако от браков отдельных типов рождаются дети, из которых рецессивным признаком обладают или все, или никто. Для других типов скрещивания их доля изменяется в зависимости от q. К тому же у потомков мужского и женского пола эти доли обычно различаются, поэтому их следует вычислять отдельно. Так, например, все потомки женского пола от скрещиваний, в которых оба родителя обладают доминантным признаком. (ЛЛ+Ла)ХЛ тоже будут обладать доминантным признаком, в то же время среди потомков мужского пола доля индивидуумов с рецессивным признаком будет равна

(11)

Vp=+2W^ 1 + р' ' '

что соответствует выражению для Si, полученному для аутосомных генов в скрещиваниях ДомХРец (гл. 2).

Редкие гены. Поскольку отношение численностей самцов и самок с рецессивным признаком равно 1 : q, то если рецессивный ген редок, число самцов с рецессивным признаком во много раз превосходит число самок. Действительно, если q очень мало, то q2 будет столь небольшим, что едва ли вообще будет существовать хоть одна самка, гомозиготная по рецессивному гену. Рецессивные гены самок практически полностью будут замаскированы в гетерозиготном состоянии. По-видимому, именно так и бывает при гемофилии — одном из наиболее известных сцепленных с полом рецессивных признаков человека. У женщин гемофилия встречается чрезвычайно редко.

Напротив, самки, обладающие доминантным признаком, всегда многочисленнее аналогичных самцов, какой бы ни была частота гена. Отношение первых к последним равно (p2+2pq^ : р= (1+?) : 1. Если доминантный ген редок (q->l), это отношение приближается к 2:1, т. е. в популяции в целом обладающие доминантным признаком самки вдвое многочисленнее доминантных самцов. "

Частоты скрещивания. В гл. 1 мы отмечали, что в равновесной популяции скрещивания АаХАа происходят вдвое чаще скрещиваний ДЛХ««- Аналогично для генов, сцепленных с полом, можно показать, что независимо от их частоты в любой равновесной популяции скрещивания АаХА происходят вдвое чаще скрещиваний ААХа, а скрещивания АаХа— в два раза чаще скрещиваний ааХА. В панмиктических популяциях частоты скрещиваний четырех вышеприведенных типов равны 2p2q, p2q и 2pq2, pq2 соответственно (как показано в табл. 7.1).

§ 5. КОРРЕЛЯЦИЯ МЕЖДУ РОДИТЕЛЯМИИ ДЕТЬМИ

Для аутосомных генов корреляции между родителем и потомком и между сносами одинаковы и равны —. Однако для генов, сцепленных с полом, наличие асимметричных хромосомных наборов у самцов и самок делает необходимым различение родственников по полу. Существуют четыре типа пар родитель — потомок: отец — сын, отец — дочь, мать — сын, мать —дочь. Подобно этому существуют три типа пар сибсов: два брата, две сест’ры и брат — сестра. Эти семь типов родственников следует рассмотреть по отдельности.

Таблицы корреляций для них составляют тем же методом, что и в гл. 2. Как и прежде, мы выписываем шесть типов скрещивания с соответствующими им частотами. Для каждого типа скрещивания получаем вероятности различных сочетаний детей. После этого одинаковые сочетания группируем друг с другом. Все эти операции проделаны в табл. 7.4. Очевидно, что между отцом и сыном не существует никакой

Таблица 7.4

Совместные распределения пар родитель — ребенок по локусу, сцепленному с полом (исходя из данных табл. 7.1)

Мать—сынА аМать—сынА аААР3Р2А0Аар2аРАPq2аа0РА1А3ААР3Р2А0Аар2аРАPq2аа0РА1А3Мать—дочьАА АА ааМать—дочьАА АА ааАА Аа ааАА Аа аар2ОРАРАОq2р2ОРАРАОq2

Мать—сын

А а

Мать—сын

А а

АА

Р3

Р2А

0

Аа

р2а

РА

Pq2

аа

0

РА1

А3

АА

Р3

Р2А

0

Аа

р2а

РА

Pq2

аа

0

РА1

А3

Мать—дочь

АА АА аа

Мать—дочь

АА АА аа

АА Аа аа

АА Аа аа

р2О

РАРА

Оq2

р2О

РАРА

Оq2

А

Р2

РА

0

а

' 0

РА

А2

Отец—дочь АА Аа ааОтец—дочь АА Аа ааОтец—сын

Отец—дочь АА Аа аа

Отец—дочь АА Аа аа

Ар2pqаРА<72Ар2pqаРА<72А а

Ар2pq

аРА<72

Ар2pq

аРА<72

корреляции по сцепленным с полом генам, поскольку сын получает от своего отца У-хромосому. Корреляция для пары мать — дочь такая же, как и в случае аутосомных генов, потому что дочери получают от отцов (как и от матерей) гены А и а с частотами соответственно р и q. Две корреляции для пар отец — дочь и мать —сын одинаковы. Генетические корреляции для всех четырех пар следующие:

Мать — дочь: г = — ;

2

Мать — сын: г = V1/2 = 0,707;

(12)(12)Отец — дочь: т = У1/2 = 0,707;

(12)

(12)

Отец — сын: г = 0.

§ 6. МЕТОД ПО

Метод переходных матриц (гл. 4) можно с успехом применить и к генам, сцепленным с полом. В этом случае вместо одной матрицы Т, используемой для аутосомных генов, применяют четыре переходные матрицы, составленные для пар родитель—ребенок.

Мать — дочь Мать — сын

Отец — дочьОтец — сынОтец — дочьОтец — сын' _ Р Я 23— п\° р' _ Р Я 23— п\° рqq.qq.

Отец — дочьОтец — сын

Отец — дочьОтец — сын

' _ Р Я 23— п

\° р

' _ Р Я 23— п

\° р

q

q.

q

q.

Заметим, что переходная матрица для пары мать —дочь, 733, равна матрице Т для аутосомных генов. Как и раньше, буквой О с соответствующими индексами обозначается матрица «независимости».

(р2 2pq q^V ^pq q^i(р2 2pq q^V ^pq q^iр р рр р рq\q • q)q\q • q)(14)(14)

(р2 2pq q^V ^pq q^i

(р2 2pq q^V ^pq q^i

р р р

р р р

q\

q • q)

q\

q • q)

(14)

(14)

В такой системе обозначений переходная матрица для пары отец — сын 722 = 022, что говорит о независимости генотипов отца и сына. Как и для 7, здесь тоже имеются четыре переходных матрицы для сибсов в соответствии с тем, что данный сибс может быть мужского или женского пола. Для пар сестра — сестра, сестра — брат, брат — сестра, брат — брат соответственно эти матрицы следующие:

$зз — ~ Лз 4“Тзз,$зз — ~ Лз 4“Тзз,S32— ~Тз2 4—О32,S32— ~Тз2 4—О32,

$зз — ~ Лз 4“Тзз,

$зз — ~ Лз 4“Тзз,

S32— ~Тз2 4—О32,

S32— ~Тз2 4—О32,

$23— ~ ^23 + ~ О23,$23— ~ ^23 + ~ О23,S22— ~J^A ~ ^22*S22— ~J^A ~ ^22*(15)(15)

$23— ~ ^23 + ~ О23,

$23— ~ ^23 + ~ О23,

S22— ~J^A ~ ^22*

S22— ~J^A ~ ^22*

(15)

(15)

Сестра — сестра

АААааа

Сестра — брат Aa

АА

-^-р^ + р) "^Р^0

AA

-ур2^?) ^p2q

Аа

123

-^pq ~ ра2

Aa

-^PA(l+2p) -^-pq (l+2<7)

аа

0 "^pq^

aa

ypq2 "^q2 (1 4- <7)

Брат — сестра

АААааа

Брат — брат Aa

А

—р2(1+р) -ypq(l+2p) ~^Pq2

A

po+p) -^-pq

а

-yp2q ~^pq(i+2q) -yq^o+q)

a

11

-^pq y<7(i4-<?)

Таблица 7.5

Совместные распределения полных

сибсов по генам, сцепленным с полом

Коэффициенты в линейных выражениях для каждого из S обозначают характер родства. Так, например, S22 = — /гг-^— О22 означает, что два брата либо имеют по идентичному гену, либо оба гена у них независимы. Выписав условные вероятности (15) и умножив строки на начальные вероятности, мы получим совместные распределения полных сибсов в отношении сцепленных с полом локусов (табл. 7.5). Генетические корреляции между полными сибсами будут следующими:

„з

Сестра — сестра: г = — ;

Сестра — брат: г=—-— = 0,35355,. 2]/ 2

Ьрат — сестра: г =;

Брат — брат: г =-^-.(16)

Матрица условных вероятностей и корреляция между

Родитель — ребенок

Мать — дочь

Мать — сын

7зз

1

Г= 2

732

Полные сибсы

Сестра — сестра

Сестра — брат

^зз = “^ 7зз Н — Узз

3 г =

4

S32 = "^ 732 + “^ O32

2 V 2

Со стороны матери

Бабка — внучка

Бабка — внук

Тзз Таз = "^ Т33 + “^ Озз

1 г = —

4

7зз7 32 = ^ 732 + "О?,г

2 k 2

Со стороны отца

732 Тзз = 733

1

Г =

2

7з2 722 = O32

Со стороны матери

Тетка — племянница

Тетка — племянник

S33 Т33 = — 733 + — O33 44

'3

г = —

8

S33 732 = — 732 + — О 33

44

Г 4 И 2

Со стороны отца

S32 Тгз = — Т33 Н—— O33

1

4

S32 7гг = О.з2

г = 0

Матрицу условных вероятностей для других родственников можно получить перемножением соответствующих матриц, как и в случае аутосомных генов. Правда, типов родственных связей для генов, сцепленных с полом, существует во много раз больше, чем для аутосомных генов, поскольку всех рассматриваемых индивидуумов надо дифференцировать по полу. Здесь нет необходимости перечислять всех близких родственников; мы проиллюстрируем данный метод, рассмотрев пары дед—внук и родственников типа дядя—племянник. Для каждого варианта существует восемь различных типов родства. Результаты представлены в табл. 7.6, где сделано допущение, что старший родственник задан.

Из средней части табл. 7.6 видно, что всюду, где последовательные поколения представлены двумя мужчинами (например, звено отец— сын), результатом будет матрица О, что свидетельствует о независимо-

Таблица 7.6

родственниками по сцепленным с полом признакам

Отец — дочь

Отец — сын

723

722

г = 0

Брат — сестра

Брат — брат

S23 — g 723 + С

^23

^22 — g ^22+”Оз2

2 V 2

1

г = — 2

Дед — внучка

Дед — внук

7гз 733 — g 723 +

Р23

72з 732 — 2 ^22+ g

О 22

1

1

Г 2 V 2

* — 2

^22 723 — О23

722 722 = О22

г = 0

г = о :

Дядя — племянница

Дядя — племянник

S23 733 —723 +

44

O23

1з

$23 732 — . /22 +

44

О22

4 И 2

1 г =

4

S22 Т23 = — 723 + —

O23

$22 7*22 ~ О22

2 V 2

Г = 0

сти между такими родственниками. Однако дед с материнской стороны 1

и внук связаны генотипическим родством и с вероятностью — имеют

идентичный ген. Вспомним (гл. 4), что

" 1

0 '

р

q

0 '

1

1

" р

q

0 "

1

1

1

т т =

* 32^ 2d

2

2

. 0

Р

q.

2

2

= ^зз = т.

(17)

_ 0

1 _

_ 0

Р

q _

Для сцепленных с полом генов выражение имеет следующий смысл: отношение между бабкой со стороны отца и внучкой такое же, как между матерью и дочерью, как будто бы отца как промежуточной ступени и не было. Конечно, это объясняется тем, что отец всегда передает те же самые гены Х-хромосомы, которые он получил от своей матери. Это произведение двух переходных матриц эквивалентно «факторизации» матрицы Т для аутосомных генов, происходящей в два этапа; на первом этапе определяется вероятность того, что какой-либо ген будет передан от родителя к потомку, а на втором — вероятности образования трех генотипов, если один ген задан.

Корреляции для сцепленных с полом генов находятся так же, как и раньше, только в данном случае имеются четыре основные корреляции, соответствующие компонентам Таа,-Тз2, Т2а и Т22. Если нет доминирования,

гт = —, г„ = rT = 1 / — , гт = 0. (18) 1 зз 2 32 -3 I/ 2 -2

Так, например, поскольку переходная матрица для родных сестер есть S33=—/334—— Таа, корреляция между родными сестрами по сцепленным с полом генам равна ■

^"(сестры) g 2 \ 2 / 4 " ‘ '

Другой пример — пара дядя (с материнской стороны)—племянница; пе- 13

реходная матрица в этом случае равна—Т2з-\О23 (табл. 7.6),корре-

44

ляция составляет —гт^ = — I/ — . Найденные этим способом корреляции полностью совпадают с теми, которые получаются классическим методом или методом коэффициентов путей.

Для доминантных сцепленных с полом признаков фенотипические корреляции для каждой из четырех матриц Т будут следующими:

(20)(20)г* = —q— г* = г* = 1 / —<?- г* = 0

(20)

(20)

Таким образом, фенотипическая корреляция между родными сестрами

равна

(21)(21)г* JL, 1\

(21)

(21)

22 U Д-<7/

л между дядей (со стороны матери) и племянницей

(22)

Отметим, что для сцепленных с полом генов независимо от того, есть доминирование или нет,

гтм = гт,2 = гКг '(23)

Доминирование, однако, не влияет на корреляцию между двумя родственниками мужского пола.

Для количественного признака, контролируемого сцепленным с полом локусом, компоненты дисперсии и ковариации, связанные с ковариацией между родственниками, были получены Боидером [31].

§ 7. СУММАРНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯМЕЖДУ РОДИТЕЛЯМИ И ДЕТЬМИ

Как мы видели, для сцепленного с полом локуса существуют четыре типа пар родитель—ребенок с различными коэффициентами корреляции [табл. 7.4 и (12)]. Однако суммарная (по всем детям и родителям) корреляция между родителями и детьми остается равной-у-, т.е. такой же,

как и для аутосомного локуса [511, стр^106]. Чтобы убедиться в этом, рассчитаем сначала отклонения d=X—X отдельно для женщин и муж

чин:

Женщины

f

X

a

Мужчины

f

X

a

АА

Р2

2

2q

Аа

2pq

1

q—p

A

p

1

q

(24)

а

q

0

—p

аа

q2

0

—2p

1

Х=2р

2fd=O

1

X=p

^a=o

С учетом этих отклонений из четырех частей табл. 7.4 можно составить одну общую корреляционную таблицу по типу табл. 7.7. Величины, подчеркнутые одной чертой, относятся к сочетаниям мать—дочь, двумя — к

сочетаниям отец—сын, а остальные — к сочетаниям отец—дочь и мать— сын. Общая частота в этой сводной таблице равна 4. Из частного распределения и основных данных табл. 7.7 можно найти, что

3

Дисперсия = —РЯ, Ковариация = — pq,(25)

так что общий коэффициент корреляции между родителями и детьми

т (родители — дети) = -ут (родители — дети) = -у(26)(26)

т (родители — дети) = -у

т (родители — дети) = -у

(26)

(26)

для всех (р, р). Алгебраические выкладки существенно упрощаются, если к каждому отклонению, включенному в табл. 7.4, прибавить (р—р), что не меняет коэффициент корреляции. Тогда мы получим

ЛЛЛАаааа

+ 1+р0-q— 1

Если рассмотреть полностью симметричный случай, т. е. р=р=-у, а отклонения d заменить на 2d (что тоже не повлияет на корреляцию), то соответствующие величины для генотипов будут следующими:

ААААаааа

+2-Ц0—1—2

9—322

Таблица 7.7

Объединенная таблица четырех типов пар родитель — ребенок для сцепленного » полом локуса в панмиктической популяции (с любезного разрешения проф. Л. Пенроуза, 1957, личное сообщение)

d

АА 2д

А д

Аа q—p

а

—Р

аа

-2р

Сумма

АА

2<?

Р3

р2

Р2А

' 0

0

2р2

А

q

P2

рд

рд

0

2р

Аа

q—p

р2д

РА

рд

рд

рд2

4рд

а

—Р

0

£1

рд

<L

д2

2д

аа

~2р

2

0

рд2

д2

д3

2д2

Сумма

2р2

2р

4рд

2<?

2q2

4

т. е. аллель А как бы имеет величину +1, а аллель а — величину —1. В общем случае подобные «величины» аллелей (А, а) берутся равными (9, —pV

Четыре таблицы для детей одних родителей (т. е. для пар сестра— сестра, сестра—брат, брат—сестра, брат—брат) можно скомбинировать таким же образом; в этом случае общая корреляция также равна —.

§ 8. ВЫБОРОЧНЫЕ ОЦЕНКИ ЧАСТОТ ГЕНОВ

Рассмотрим сначала простой случай без доминирования, когда все три генотипа самок различимы. Пусть наблюдаемые численности в выборке самцов для (гаплоидных) генотипов А и а будут Dx и Ri соответственно (Z>i+^i =^1). Аналогичным образом пусть наблюдаемые численности в выборке самок для генотипов АА, Аа, аа, будут соответственно £>2, Н2 и R2 (D2A-H2+R2=N) ■ Предположим, что эти две выборки независимы. Частоту аллеля а можно оценить отдельно из данных по Ai самцов и А2 самок; можно найти и одну суммарную оценку его частоты по объединенной выборке. В любом случае она основывается на простом подсчете генов (эквивалентном оценке методом максимального правдоподобия) :

По самцам■ Ri91 = ^’По самцам■ Ri91 = ^’По самкам„ _ Н2 + 2^2922А2По самкам„ _ Н2 + 2^2922А2СуммарнаяRi + Н2 + 2R2912 ~Ai + 2А2СуммарнаяRi + Н2 + 2R2912 ~Ai + 2А2(28)(28)

По самцам■ Ri

91 = ^’

По самцам■ Ri

91 = ^’

По самкам

„ _ Н2 + 2^2

922А2

По самкам

„ _ Н2 + 2^2

922А2

СуммарнаяRi + Н2 + 2R2

912 ~Ai + 2А2

СуммарнаяRi + Н2 + 2R2

912 ~Ai + 2А2

(28)

(28)

Поскольку оценки получены прямым подсчетом генов, то все дисперсии биномиального типа:

/V^2/V2^*1 ~Г" ^<*2

Если оценки проводятся отдельно по двум полам и мы хотим узнать, значимо ли их различие, то нам следует найти дисперсию разности qx— q2. Когда самцы и самки принадлежат к двум независимым выборкам,

V (<71 ~ 9=) = V (91) + V (q2) =

LZIV 2 J

Поскольку истинная величина q неизвестна и к тому же она может раз-

личаться для двух разных полов, то для численных расчетов мы воспользуемся следующим соотношением:

V Vh — q^ =+ ^О-^)(30)

Тогда величина (^i—^г)2/^(<71—^2) распределена по х2 с одной степенью свободы.

Рассмотрим теперь случай с доминированием, который относится, конечно, только к самкам. Пусть теоретические частоты (или вероятности) и наблюдаемые численности будут следующими:

Самцы

Самки

Генотип

А

а

Сумма

А—

аа

Сумма

Частота

1—q

q

1

l~q2

чг

1

Наблюдаемая численность'

Di

Ri

Nx

Da

Ra

Na

Как и раньше, q можно оценить по данным для каждого пола отдельно.

qi = RM, V(qx^ = q(l-qyNx,

(31)

q, = УЖ, V Ж = (1 - qW.-

Для расчетов дисперсию разности (qi—<72) можно представить в виде

У(дх-д^ = у(д1) + у^ = чЖ^^-=^.(32)

^14/V2

Как можно получить общую оценку по данным для двух полов, если между ними нет различия по частоте гена?

Рассмотрим некоторые моменты определения такой оценки и ее дисперсии; этот вопрос имеет практическое значение, поскольку у человека известно большое число сцепленных с полом локусов, и по многим из них есть доминирование. Логарифмическая функция правдоподобия для суммарной оценки имеет следующий вид:

L = Lx (для самцов) + L^ (для самок) = Dx log (1 — q) +

+ Rx log 7 + O2 log (1 — У2) + Ra kg q2 + const,

dL dLx J dL2 — Dx। Rx। D^ ( 2^)। 27^2(33)

dqdq dq1 — q q 1 — q^ q

Приравняв производную к нулю и умножив на (1—q2)q (чтобы избавиться от знаменателя), получим квадратное уравнение

(^ + 2jV2) q2 + Dxq - (Rx + 2/?2) = 0, решение которого

= -£L+jZ£f+4(Ay:2^^

7122№ + 2^2)’

есть искомая оценка. Она всегда лежит между qx и <72. Прежде чем определять дисперсию, найдем вес IF, или информацию, которая обратна 9*

дисперсии. Взяв вторую производную d2Lldq2, изменив ее знак и заменив наблюдаемые численности на ожидаемые [т. е. заменив Z)2 на У2 (1— —q2)], мы получим вес, или информацию

21У2(1-^) + 4^9у + 2_JV1_+^_=+1-^29(1-9)!-<?’12121У2(1-^) + 4^9у + 2_JV1_+^_=+1-^29(1-9)!-<?’121

21У2(1-^) + 4^9у + 2_JV1_+^_=+

1-^29(1-9)!-<?’121

21У2(1-^) + 4^9у + 2_JV1_+^_=+

1-^29(1-9)!-<?’121

где ITj — вес выборки самцов и W2 — вес выборки самок. Таким образом, дисперсия оценки равна

(36)(36)V Ы) ==*= -J^S_ .

(36)

(36)

Г Гх+Г, ^/9(l-9)+W2/(l-92) IVx (1+9) + 41V29

Для расчетов, по-видимому, удобнее получать вес W из (35), а не из (36). Как и следовало ожидать, если А]=0 и оценка делается только по данным для самок, выражение для дисперсии сводится к V (^2). Если ^2=0 и мы имеем только выборку самцов, то дисперсия равна V (qi). Естественно, V(^i2) меньше, чем V(^i) и V(q^.

ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ

Выписав для популяции (1) шесть типов скрещивания с соответствующими частотами и потомками (самцами и самками отдельно), покажите, что она находится в равновесии.

Частота гена у потомков женского пола равна среднему между частотами генов у их родителей. Используя выражения для Z и Z', покажите, 4TO-y[p(s+/)+<7(r+s)]+<7(s+/)=^-(<7+s+/).

Рассчитайте для исходной популяции (0,50; 0,50) и (0,40; 0,50; 0,10) доли самцов и самок, обладающих различными генотипами, в следующих десяти поколениях, считая, что скрещивание осуществляется случайно. Какие частоты являются равновесными? Если равновесие аналогично приведенному в табл. 7.2, то объясните, почему это так.

Каковы частоты генотипов в десяти последовательных поколениях, если исходной является популяция (0;1) и (КО; 0). Покажите, что /21 \/441 \

предельным состоянием является) и ; —; — L Это «общий

случай», который рассматривал Дженнингс [256].

Доля индивидуумов с рецессивным признаком для определенного сцепленного с полом признака равна среди самок 19,39%. Каков процент самцов, обладающих данным признаком? Ответ: 44%.

Какой будет доля индивидуумов с доминантным признаком среди самок, если частота доминантного, сцепленного с полом гена р = 0,003? Рассчитайте отношение долей самок и самцов, обладающих доминантным признаком.

Допустим, что индивидуумы первых двух поколений (Zo и Zb см. первые две строки в табл. 7.2) скрещиваются случайным образом. Покажите, что поколение их потомков будет сходно с поколением Z3 (а не Z2). Этот пример показывает, что перекрывание поколений ускоряет достижение равновесия.

Пусть А доминирует над а; покажите, что частоты различных типов пар сибсов по сцепленным с полом признакам таковы, как в приведенной ниже таблице. Проверьте численные значения некоторых величин [543].

р

Два брата

Две сестры

Один брат, одна сестра

Su

1 Трх

Х(1+р)

Sio

pq

Soo

1

Х(1+?)

Su

1 ТРХ

X (3-р»)

Sio

pqa

Sqo

1

— 92Х

X (1+9)

Su

1 у РХ Х(2-9=)

Sio

pqx

Х(1+9)

Soo ^"92Х Х(1+9)

0,20

0,120

0,160

0,720

0,296

0,128

0,576

0,136

0,288

0,576

0,40

0,280

0,240

0,480

0,568

0,144

0,288

0,328

0,384

0,288

0,80

0,720

0,160

0,120

0,944

0,032

0,024

0,784

0,192

0,024

Предположим, что для доминантного сцепленного с полом локуса по самцам и самкам имеются выборки одинакового объема (А^ = =^2=^) и оценки частоты рецессивного гена сделаны отдельно по каждому полу. Тогда формулы (31) приобретают вид

V (91) =V (92) =.

Nv 4N

При каком значении q эти дисперсии будут равны? В каком случае V(qi) будет больше V(92)? Постройте и проанализируйте кривые у= = 9(1—9) и ^= Vi (1—q^.

Ответ: q = — .

3

Пусть имеются следующие наблюдаемые данные в отношении некоего рецессивного сцепленного с полом признака:

СамцыDx Rr Nt35 15 50СамцыDx Rr Nt35 15 50СамкиDa Ra Na66975СамкиDa Ra Na66975

Самцы

Dx Rr Nt

35 15 50

Самцы

Dx Rr Nt

35 15 50

Самки

Da Ra Na

66975

Самки

Da Ra Na

66975

Определите частоту рецессивного гена из суммарных данных по самцам и самкам. Рассчитайте ее дисперсию и стандартную ошибку. Ответ: О1+4(^]+2^2) (7?i+27?2) =27625; ]Л27625= 166,2; 942 = 0,328; V(9i2) = =0,001776; SE = 0,042.

ПРИЛОЖЕНИЕ.

РЕКУРРЕНТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Вопрос о рекуррентных последовательностях рассмотрен здесь по двум причинам. Во-первых, частоты сцепленных с полом генов в смежных поколениях при свободном скрещивании образуют рекуррентные последовательности. Во-вторых, и это более важно, мы встретимся в данной книге с рядом других последовательностей сходной природы, когда будем рассматривать последствия инбридинга. Знание настоящего вопроса чрезвычайно облегчит понимание последующих глав.

Последовательность■

и0, иъ иа, и8,..., ип ...

называется рекуррентной, если каждый ее член является одной и той же линейной комбинацией некоторых предшествующих членов. Простейший пример — это последовательность.

m„+2 = 4+i + «V '

Константы b и с известны под названием коэффициентов рекуррентной последовательности (scales of relation). Для последовательности этого типа, зная два ее первых члена и коэффициенты, можно выписать все последующие члены. И наоборот, если даны несколько первых членов последовательности, можно найти ее коэффициенты, решая следующие два уравнения:

и2 = Ьих 4- си0,иа = bu2 + cuv

Выражение для общего члена нужно потому, что, во-первых, из него можно получить любой член последовательности, не рассчитывая всех предшествующих членов, и, во-вторых, из такого общего выражения можно найти предельное значение ии при п-^-оо. Чтобы получить выражение для ип, нужно доказать следующие три утверждения.

Утверждение I. Сумма соответствующих членов двух рекуррентных последовательностей с одними и теми же коэффициентами образует рекуррентную последовательность с теми же коэффициентами. Пусть

хп = Ьхп_, + схп_у уп = byn_Y + cyn_Y

Складывая эти два выражения, получим '

Un = Хп + Уп^Ь К-1 + ^-1) + С К-2 + Уп-^ = Ьип-\ + CUn-2"

Итак, любая линейная комбинация хп и уи обладает теми же самыми коэффициентами.

Утверждение II. Любук) геометрическую прогрессию можно записать в форме рекуррентной последовательности с двумя или большим числом коэффициентов. Например, n-й член геометрической прогрессии х, хХ, хХ2, хХ3, ..., в которой X— постоянная, можно также записать в виде

ип == К-1 — и„-1 + ип-х = (Х — 0 ип-х + Х“„-2.

откуда видно, что это рекуррентное соотношение с коэффициентами Ь — Х—1, С = Х. С ДруГОЙ СТОрОНЫ, ПОСКОЛЬКУ UTt = XUn-i = X2Un-21 то мы .можем записать его и как

и = — Хи . + —Хаи 2

-с коэффициентами Ь= -~Х, с=^~'1-2-

Утверждение III. Для любой рекуррентной последовательности с двумя коэффициентами можно найти две соответствующие геометрические прогрессии с теми же самыми коэффициентами. Пусть исходное рекуррентное соотношение будет, как и раньше, ип = Ьип_х4-сип_2. Тогда любая геометрическая прогрессия с теми же коэффициентами b и с удовлетворяет рекуррентному соотношению

хХ" = Ьх^ + схХп-\

которое приводит к уравнению

X2 — ЬХ — с = 0.

6 — К(62 + 4с)26 — К(62 + 4с)2Два его корня равны

6 — К(62 + 4с)

2

6 — К(62 + 4с)

2

^ _ 6 +К (62 + 4с)

12

Следовательно, две геометрические прогрессии со знаменателями Х1ИХ2, представленные в рекуррентной форме, имеют те же самые коэффициенты b и с, что и исходная рекуррентная последовательность.

Выражение для общего члена рекуррентнойпоследовательности

С помощью этих трех теорем можно найти выражение для общего члена рекуррентной последовательности. Предположим, что несколько первых членов рекуррентной последовательности «о, «ь «2, «з,... известны и, таким образом, известны также коэффициенты b и с. Первый шаг состоит в том, чтобы найти знаменатели для двух геометрических прогрессий, которые имели бы те же самые коэффициенты b и с. Пусть эти прогрессии будут, скажем,

х хХь хХ],..., хХ",...,

у ухг, у^,.„, уХ",...

с произвольными у и х. Складывая соответствующие члены этих двух последовательностей, мы получим другую рекуррентную последовательность, коэффициенты которой, согласно теореме I, также равны b и с. Поэтому и-й член нашего исходного ряда можно записать в виде

«п = хХ? + у^.

Поскольку первые члены а известны, х и у можно найти, решая два уравнения для «0 и «I (т. е. положив и=0; 1):

Uq = х А" У", tty = хХ^ + уХ2.

Теперь выражение для ы„ полностью определено. Мы доказали здесь известную теорему о том, что любую рекуррентную последовательность можно представить в виде суммы соответствующих геометрических прогрессий.

Вышеприведенное доказательство можно, очевидно, распространить и на рекуррентные последовательности более высокого порядка; так, например, если рекуррентное уравнение имеет вид «п+з=6ып+2+сып-ц + A-dun, то общий член можно представить в виде суммы соответствующих членов геометрической прогрессии с теми же самыми коэффициентами

ип = хХ? + уХ" + аХ3,

где Хь Х2, Хз — знаменатели трех геометрических прогрессий. Они являются корнями уравнения

Хз- ЬХ2 — сХ — d = 0.

Численные значения х, у, z можно определить по тем нескольким первым

членам последовательности, которые нам известны.

Пример 1. Рассмотрим последовательность q для самцов из табл. 7.2. Несколько ее первых членов известны, и мы уже видели из (8), что ее рекуррентным уравнением является ии=—ип-Н «п-2 с коэффици

ентами Ь=— и с=—. Знаменатели двух соответствующих геометрических прогрессий с теми же самыми коэффициентами будут тогда равны

Следовательно, общее выражение для частоты генов у самцов имеет вид «п = ^(1)"+ у(— У1-

Для определения численных значений х и у мы воспользуемся значениями и для первых двух поколений (соответствующих n=0; 1), т. е.

п0 = 0,60 = х + у, их = 0,30 = х+у(—).

Решив эти уравнения, получим х=0,40 и у=0,20. Окончательное выражение для «„ этой частной последовательности равно

ип = 0,40 + 0,20ип = 0,40 + 0,201 \"2 / '1 \"2 / '

ип = 0,40 + 0,20

ип = 0,40 + 0,20

1 \"

2 / '

1 \"

2 / '

Таким образом, «8=0,4008, «д = 0,3996 и т. д.; предельное значение рав

но 0,40. Если в каком-то поколении ип будет больше 0,40, то в следующем поколении оно станет меньше 0,40 (максимум наполовину). Отрицатель

ный корень Х2 =^- обусловливает колебательный характер последо

вательности: ее члены принимают попеременно то большее, то меньшее значения относительно предельного.

Пример 2. Одна из наиболее часто встречающихся в генетике последовательностей — последовательность Фибоначчи

1 1235813

* 2’ 4’ 8’ 16’ 32’ 64'

Знаменатель каждого следующего члена удваивается, а числитель равен сумме двух предшествующих числителей. Иными словами, рекуррентное уравнение имеет вид.

1, 1к 11 \

п+22 "+14 п (24 /

Знаменатели двух соответствующих геометрических прогрессий можно найти из уравнения X2^-Х ^ = ^- Таким образом,

4-+1^(1/4+1)4-+1^(1/4+1)у-]/(1/4+1)у-]/(1/4+1)

4-+1^(1/4+1)

4-+1^(1/4+1)

у-]/(1/4+1)

у-]/(1/4+1)

Следовательно, n-й член последовательности Фибоначчи представляется в виде

Используя первые два известных члена этой последовательности для определения численных значений х и у, получим

Uti=\ = x^y, M1=J_ = -Lx(l +^5-) + Л_у(1 -^5").

Решение дает

Итак, выражение для общего члена последовательности имеет видИтак, выражение для общего члена последовательности имеет видип =< —з•V~5 (\4/\4/ Jип =< —з•V~5 (\4/\4/ J

Итак, выражение для общего члена последовательности имеет вид

Итак, выражение для общего члена последовательности имеет вид

ип =< —з•

V~5 (\4/\4/ J

ип =< —з•

V~5 (\4/\4/ J

приприПоскольку ^1=-^- (1 +Кб) =0,809 и Х2 = -^-(1 — Vб) =—0,309, то

при

при

достаточно больших п V2 будет мало по сравнению с X” и «п+1~0,809«„.

Таким образом, каждый следующий член последовательности Фибоначчи будет меньше предыдущего приблизительно на 19,1%. Предельное значение un равно нулю, поскольку абсолютные значения обеих X меньше единицы._

Пример 3. Рассмотрим последовательность

j 1729437

’ 18 ’ 36 ’ 648 *'

Рекуррентная связь между ее членами не столь очевидна, как в предыдущих случаях. Однако ее, как и ранее, можно легко установить, решив уравнения и2 = Ьи1 + си0 и т. д. Таким образом, .

291736 ~ 18291736 ~ 18437 _ 29648 ~ 36437 _ 29648 ~ 3617181718получаем о = 1, с = —36получаем о = 1, с = —36

2917

36 ~ 18

2917

36 ~ 18

437 _ 29

648 ~ 36

437 _ 29

648 ~ 36

17

18

17

18

получаем о = 1, с = —

36

получаем о = 1, с = —

36

Следовательно, un+2=un+1——un. Определив b и с, можно обычным 36

способом, по уравнению X2—6Х—с=0, найти знаменатели двух соответствующих геометрических прогрессий, т. е.

5 гоо 51 ~2~ "б"’Далее обычным способом находим выражении для и^.5 гоо 51 ~2~ "б"’Далее обычным способом находим выражении для и^.численные значения х и у в общемчисленные значения х и у в общем

5 гоо 5

1 ~2~ "б"’

Далее обычным способом находим выражении для и^.

5 гоо 5

1 ~2~ "б"’

Далее обычным способом находим выражении для и^.

численные значения х и у в общем

численные значения х и у в общем

«0 = х + у = 15,117иу = — х + — у = —6618«0 = х + у = 15,117иу = — х + — у = —66187 откуда х= — , у =О7 откуда х= — , у =О-16-16

«0 = х + у = 1

5,117

иу = — х + — у = —

6618

«0 = х + у = 1

5,117

иу = — х + — у = —

6618

7 откуда х= — , у =

О

7 откуда х= — , у =

О

-1

6

-1

6

Следовательно, общий член последовательности будет иметь вид

7 Г 5 \«1 Г 1 \«7/5 \"+1/ 1 \я-Н

U- = — •

66 Г 6^6/56 у 6 /

Предельное значение ип при zz^oo равно нулю.

Пример 4. Очевидно, что коэффициенты определяют лишь соотношения между соседними членами рекуррентной последовательности, а общее выражение для n-го члена зависит как от коэффициентов, так и от начальных членов последовательностей. Две рекуррентные последовательности с одними и теми же коэффициентами могут иметь разные общие члены:

un=Xi X] Д-у^Т^, vn=X2^i //2^2,

где и^ и ит — общие члены двух рекуррентных последовательностей с одними и теми же коэффициентами b и с. Обратите внимание, что Xi и Х2 в обоих случаях одинаковы, однако Хх, Ух отличаются от х2, у2, поскольку они определяются начальными членами последовательностей и и и соответственно. Для примера рассмотрим последовательность, у которой рекуррентное уравнение такое же, как и для последовательности Фибоначчи (tin+2=— «п+Н-Un) 24

J 235813

’ 2 ’ 4 ’ 8 ’ 16 ’ 32

Xi и X2 остаются теми же, что и раньше, поскольку они определяются 10-322

только b и с. х и у находим по двум первым членам последовательности x-Vy=\, -^х (1 +Г5~) +^- у (1 -Г5") = 1,

откуда

5+ 3]/"5 .10’5+ 3]/"5 .10’5 —3]/"5105 —3]/"510

5+ 3]/"5 .

10’

5+ 3]/"5 .

10’

5 —3]/"5

10

5 —3]/"5

10

Читатель может сравнить это выражение с выражением из примера 2. Пример 5. Рассмотрим последовательность

113511

2 ’ 4 ’ 8 ’ 16 ’ 32 ’‘

1 с =—,21 с =—,2т. е. те же, что и в примере Lт. е. те же, что и в примере LНетрудно определить, что Ь=^-,

1 с =—,

2

1 с =—,

2

т. е. те же, что и в примере L

т. е. те же, что и в примере L

Следовательно, знаменатели соответствующих прогрессий должны быть такими же: Xi = 1 и Хз = —. Покажите, что общий член последователь-

ности равен

ип = х X? + у X" =+ -ММ .

О О \2 /

Каково предельное значение ип?

Пример 6. Рассмотрим две последовательности

„816248416,1826378626

и: 0, — . — , , у : 1, —, — , ■, 1 *• • •

36721296 2592 ,36721296 2592

Покажите, что их общие члены имеют вид

1 7 5 \«1 / 1 \»1 / 5 V ,1 / 1 уг

3 \ 6 У 3 \ 6 у п ■ 2 \ 62 \ 6 У

Каково приблизительное соотношение между двумя последовательными членами при достаточно большом и? Каковы предельные значения и« и ип? ■

ГЛАВА 8

Автополиплоиды

Полиплоиды очень широко распространены в мире растений, особенно среди покрытосеменных. Многие новые виды (и даже роды) возникли посредством тетраплоидии, амфидиплоидии и полиплоидии более высоких порядков. Полиплоидные формы обычно приспособлены к более экстремальным условиям, чем их диплоидные родственники, и, таким образом, имеют большое практическое значение.

По происхождению полиплоиды можно грубо подразделить на два класса. При скрещивании двух различающихся разновидностей или видов с «I и п2 парами хромосом образуется гибрид, обычно содержащий И1+м2 хромосом. Если эти хромосомные наборы удваиваются, так что гибрид содержит 2 (ni+пг) хромосом, образующих ги+иг гомологичных пар, то такой гибрид называется амфидиплоидом; в принципе он 'все еще обладает диплоидной природой. В более общем смысле говорят, что удвоение хромосом различных наборов приводит к образованию аллополиплоидов.

Если, с другой стороны, удваиваются хромосомы одного набора и, таким образом, индивидуум содержит 4и хромосом, образующих п гомологичных четверок, то говорят, что он является автотетраплоидом, принадлежащим к более общей категории автополиплоидов. Полиплоидные формы могут спонтанно появляться в природе и искусственно создаваться под действием высокой температуры, облучения и некоторых химических веществ типа колхицина. Искусственное удвоение хромосом делает возможным множество скрещиваний, включающих виды с различными числами хромосом.

Некоторые организмы являются полиплоидами смешанного типа; одни хромосомы у них находятся в диплоидном состоянии, а другие — в тетраплоидном и т. д. В этой главе мы рассмотрим только автополиплоидов с четным числом хромосомных наборов [195].

§ 1. ОБРАЗОВАНИЕ ЗИГОТОЙ ГАМЕТПРИ СЛУЧАЙНОЙ СЕГРЕГАЦИИ ХРОМОСОМ

Рассмотрим сначала простейший случай — автотетраплоидию. Для краткости обозначим генотип ААДА через А4, АААа через А3а и т. д. Поскольку четыре члена четверки (скажем, 1, 2, 3, 4) гомологичны друг другу, три типа расщепления—1, 2 и 3, 4; 1, 3 и 2, 4; 1, 4 и 2, 3 — равновероятны. Следовательно, при случайной сегрегации хромосом образование гамет у автотетраплоидов будет следующим:

А4-^-все (ДА)А4-^-все (ДА)Лз0^А(ЛЛ)+_1.(Ла)Лз0^А(ЛЛ)+_1.(Ла)а4 -> все (аа)а4 -> все (аа)Аа3 -у (аа) + -^- (Да)Аа3 -у (аа) + -^- (Да)(1)(1)

А4-^-все (ДА)

А4-^-все (ДА)

Лз0^А(ЛЛ)+_1.(Ла)

Лз0^А(ЛЛ)+_1.(Ла)

а4 -> все (аа)

а4 -> все (аа)

Аа3 -у (аа) + -^- (Да)

Аа3 -у (аа) + -^- (Да)

(1)

(1)

(1)(1)Л2й2_> Л (ЛЛ) + А. {Аа) + Д_ (йй)

(1)

(1)

Эти соотношения гамет справедливы для генов, примыкающих к центромере.

Когда рассматривают полиплоиды более высокого порядка, разобранный выше метод перечисления генотипов становится слишком громоздким. Ниже мы приводим общий метод получения гаметических соотношений в предположении, что сегрегация хромосом в мейозе является полностью случайной. Рассмотрим 2т-плоидную зиготу с набором Ата2т-т. Каждая из ее гамет будет нести ш факторов. Общее число способов образования гамет равно числу сочетаний из 2m по т, т. е. |2m^ = (2m) !/т! т!. Далее, число способов, которым можно выб- \ т /

рать / предметов из Т, равно I I, а число способов выбора m—/ из 2m—Т равно рт — Л. Следовательно, число способов,- которым мож- \ ш — t /

но образовать гаметы (Дгат"г) из зигот Ата2т-т, равно ^ ^2m ^; таким образом, вероятность получения гаметы с / генами А равна

1Т\12т—Т\

р ,т ~ = A

/2т \

\ m /

Придавая / все возможные значения, можно с помощью этого выражения получить доли гамет различных типов, образуемых зиготами данного типа. Так, например, октоплоидная зигота А5а (для которой 2т=8, Т=5) продуцирует гаметы в соотношениях, приведенных в табл. 8.1. Сумма Р(Т, I) для всех возможных значений / равна единице; таким образом, ,

(3)(3)S(T\ (2m — Т\ = (2т\ (Д Д m— t) \mj

(3)

(3)

Таблица 8.1

Образование гамет зиготой А5а3 при случайной сегрегациихромосом

IIГаметыГаметыЧисло способовЧисло способовСуммаСумма

I

I

Гаметы

Гаметы

Число способов

Число способов

Сумма

Сумма

4321043210Ни одного (невозможно)1Ни одного (невозможно)1

4

3

2

1

0

4

3

2

1

0

Ни одного (невозможно)1

Ни одного (невозможно)1

А4

Отметим, что гаметические соотношения всегда симметричны, посколь- (ТХ(Т \

=). Так, в табл. 8.1 они составляют 1:6:6:1. Если типы об-

t) \T-tl

разующихся гамет известны, то мы непосредственно можем установить результат скрещивания между двумя данными зиготами путем случайного объединения их гамет.

§ 2. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ

Равновесные доли пяти генотипов в панмиктической популяции автотетраплоидов задаются членами разложения (р+^)4. Таким образом, эту популяцию можно записать в виде .

(4)(4)/ Л4 Л3а Л2 а2 Ла3 а4 \\р4 + 4р3 q + 6р2 у2 Л 4pq3 + q4 /

(4)

(4)

Чтобы убедиться, что Z действительно находится в равновесном состоянии, отметим, что общий выход гамет в соответствии с выражением (1) равен

(5)(5)G = p2 (Л Л) + 2 pq (Аа) + q1 (аа\

(5)

(5)

Свободное объединение этих гамет опять приводит нас к Z (4); таким образом, популяция действительно находится в равновесии.

Докажем теперь общую теорему о том, что равновесные доли зигот авто-2т-плоидной популяции со случайным скрещиванием задают

2т\.т)2т\.т)ся членами разложения (p-Vq')2m и соответственно доля зигот Лта2т-Г

2т\.т)

2т\.т)

в популяции равнав популяции равнаpTq2m-T. ^ак следует из приведенного выше

в популяции равна

в популяции равна

простого примера, для этого нам нужно показать, что выход гамет в такой популяции задается членами разложения (,p + q)m, поскольку случайное объединение этих гамет опять приведет к распределению, характерному для родительской популяции. Таким образом, мы должны показать, что доля гамет (Л<ат-<), образуемых популяцией, равна ^ ptqm~t.

Обсцая доля гамет (Atam-t) (при фиксированном /), образуемых всей популяцией (особями различных генотипов, т. е. при изменяющемся Т), будет суммой по всем возможным Т

(6)(6)m±t

(6)

(6)

Р (Л') = ^ /^ рТ qM X Р (Т, о) .' T=t u

Если записатц выражение (2) для PkJA через факториалы, мы получим у

Р (Д') = - VрТ qlm-T =

т

=pt qm-t S (т -1)p7^1 qm~™=(7)pt- • <6') T

Сумма по всем возможным T, которое изменяется от t до m-Vt (или, другими словами, Т—t изменяется от 0 до т), в правой части этого выражения равна просто (<7+р)т=1. Теорема доказана.

§ 3. ПРИБЛИЖЕНИЕ к РАВНОВЕСИЮ

Если исходная популяция не находится в равновесии, то она не придет к нему за единственное поколение свободного скрещивания. Скорость приближения к равновесию зависит от степени полиплоидии: чем она выше, тем ниже скорость. Далее мы будем рассматривать популяцию автотетраплоидов. Предположим, что некоторая популяция образует следующие гаметы:

б0 = х(АА) 4- 2у(Аа) + г(аа),(7)

где x+2y+z=\. Частота А равна р = х-\-у, а частота а — q=yA-z. При случайном скрещивании образуется поколение

'Z=(A4Аа3(8)

\х2 4ху 4у22хг 4рг z2/

Из (1) следует, что доля гамет (АА) в этой популяции будет равна х2 + —-(4ху) + —(4y2 + 2xz). Аналогичным образом можно записать доли гамет (Аа) и(аа). Упростив выражения, получим, что выход гамет в популяции (8) будет следующим:

(АА)(Аа)

хг = х + у (у2 — xz), 2ух = 2у — ^- (у2 — xz),

(аа)

^ = ^ + ~(y2 — xz).(9)

Доли гамет любого данного и следующего за ним поколений связаны между собой рекуррентными соотношениями. Введем величину у2—xz=d. Тогда, как следует из (9), для следующего поколения

/2 V /2<^ = у] ~ Хх z, = I у — — d I — (х + —/2 V /2<^ = у] ~ Хх z, = I у — — d I — (х + ——= — d. (10)3/3—= — d. (10)3/3(z +

/2 V /2

<^ = у] ~ Хх z, = I у — — d I — (х + —

/2 V /2

<^ = у] ~ Хх z, = I у — — d I — (х + —

—= — d. (10)

3/3

—= — d. (10)

3/3

Следовательно, через п поколений свободного скрещивания

(11)(11)1,/ 1л

(11)

(11)

= — а„ , = — а^ 0 при ц оо.

3п-1 I 3 |г

Заметим, что хотя доли гамет от поколения к поколению изменяются, частоты генов остаются постоянными; таким образом, Xi + yv = x+y = p

и т. д. Это позволяет нам выразить доли гамет через частоты генов и d.

(12)(12)d = у2 — xz = у2 — (р — y)(q — у) = у — pq. Следовательно,

(12)

(12)

Уп = РУ + dn = РУ + (у)" pq

Хп^Р — Уп = Р — ^PХп^Р — Уп = Р — ^P(13)(13)

Хп^Р — Уп = Р — ^P

Хп^Р — Уп = Р — ^P

(13)

(13)

9/ 1 \П J 9

2n = q — yn = q —^j d~*q

Эти предельные величины являются долями гамет в равновесном состоянии. Величину d=y2 — xz можно рассматривать как показатель отклонения от равновесия. За каждое поколение случайного скрещивания она уменьшается на две трети, и таким образом популяция очень быстро приближается к состоянию равновесия. Окончательные

Таблица 8.2

Приближение к равновесию популяции автотетраплоидов, в которой р = О,ЗО; 9 = 0,70

Случайная сегрегация хромосом

п

зиготы

гаметы

d

А4

А3 а

A4v

Аа3

а4

(ЛА)

(Да)

(аа)

0

0,1300

0,1600

0,0600

0,0800

0,5700

0,2200

0,1600

0,6200

—0,1300

1

0,0484

0,0704

0,2984

0,1984

0,3844

0,1333

0,3333

0,5333

—0,0433

2

0,0177

0,0888

0,2533

0,3555

0,2844

0,1044

0,3911

0,5044

—0,0144

3

0,0109

0,817

0,2583

0,3946

0,2545

0,0948

0,4104

0,4948

—0,0048

4

0,0090

0,0778

0,2622

0,4061

0,2448

0,0916

0,4168

0,4916

—0,0016

5

0,0084

0,0764

0,2638

0,4098

0,2417

0,0905

0,4190

0,4905

—0,0005

6

0,0082

0,0758

0,2644

0,4110

0,2406

0,0902

0,4196

0,4902

—0,0002

ОО

0,0081

0,0756

0,2646

0,4116

0,2401

0,0900

0,4200

0,4900

0

Случайная сегрегация хроматид

0

0,1300

0,1600

0,0600

0,0800

0,5700

0,2314

0,1371

0,6314

1

0,0536

0,0635

0,3111

0,1732

0,3987

0,1604

0,2192

0,5604

2

0,0257

0,0896

0,2577

0,3129

0,3141

0,1401

0,3198

0,5401

3

0,0196

0,0896

0,2536

0,3454

0,2917

0,1343

0,3314

0,5343

4

0,0180

0,0890

0,2533

0,3541

0,2855

0,1327

0,3347

0,5327

5

0,0176

0,0888

0,2533

0,3565

0,2837

0,1322

0,3356

0,5322

6

0,0175

0,0887

0,2533

0,3572

0,2832

0,1321

0,3359

0,5321

ОО

0,0174

0,0887

0,2533

0,3575

0,2830

0,1320

0,3360

0,5320

доли как зигот, так и гамет в равновесии полностью определяются исходными частотами генов. В табл. 8.2 приведен пример установления равновесия в автотетраплоидной популяции с р=0,30 и ^=0,70. Доли гамет в последовательных поколениях можно получить путем повторного применения формул (9) или, проще, формул (13)—без расчета этих долей в предшествующих поколениях.

Следствие. Из всего сказанного выше следует, что в любой произвольной автотетраплоидной популяции, продуцирующей гаметы так, что d=y2— х2=0, равновесие установится в следующем же поколении. Так, например, популяция, состоящая из 50% А^сс и 50%Аа3 (неравновесная), образует гаметы */4 М^+УгИаО-НМ»»). Доли зигот в следующем поколении будут равновесны: (1, 4, 6, 4, 1)/16.

СЛУЧАЙНАЯ СЕГРЕГАЦИЯ ХРОМАТИД

У диплоидных особей сегрегация хроматид, независимо от того, происходит ли она совершенно случайно или является «эквационной», дает те же результаты, что и сегрегация хромосом для любого числа локусов. Каждая гамета, образующаяся после мейоза, получает одну из четырех хроматид. Однако у автополиплоидов картина иная. В этом

параграфе мы рассмотрим случайную сегрегацию хроматид у автотетра- плоидов как пример существенно нового типа равновесия. При таком механизме гамета может получить две сестринские хроматиды из восьми имеющихся.

Применив рассмотренный выше метод, определим сначала выход от каждого генотипа. Число способов, которым можно выбрать две хроматиды из восьми, равно ^ ® )=28. Запишем генотип автотетраплоида ААаа в виде

АА аа\( АА АА

или

АА аа)\аа аа

Здесь указаны не только восемь хроматид, но и то, как образована данная зигота: две хромосомы слева унаследованы от матери, а две правые— от отца. Происхождение и соотношение гамет, образуемых индивидуумом, приведены в табл. 8.3. Для вывода последующих формул нет необходимости различать гаметы по происхождению, однако это поможет нам выяснить различие между механизмами хромосомной и хроматидной сегрегации. Отметим, что из двадцати восьми возможных гамет четыре получают сестринские хроматиды, а оставшиеся двадцать четыре несут несестринские хроматиды. Если не считать гамет, представленных сестринскими хроматидами, то расщепление здесь будет таким же, как и при случайной сегрегации хромосом (1). Суммарный выход гамет (последний столбец табл. 8.3) у зиготы АА]аа такой же, как и у зиготы Аа)Аа. Выход гамет у зиготы Аааа можно получить из данных по зиготе АААа, взаимно заменив символы Айа.

Таблица 8.3

Образование гамет автотетраплоидами при случайной сегрегации хроматид

Зигота ->

гаметы

Несестринские хроматиды

Сумма

Сестринские хроматиды

Сумма

материнского происхождения

половина на половину

отцовского

происхождения

материнского происхождения

отцовского

проис

хождения

/ АА АА

\/ АА

4

8

0

12

2

1

15

-* Аа

0

8

4

12

0

0

12

\ АА аа

/X аа

0

0

0

0

0

1

1*

/ АА аа\

/ АА

4

0

0

4

2

0

6

-* Аа

0

16

0

16

0

0

16

\ АА аа /

\ аа

0

0

4

4

0

2

6

/ АА АА

V лл

■ 0

4

0

4

1

1

6

Аа

4

8

4

16

0

0

16

\ аа аа

/X аа

0

4

0

4

1

1

6

Каждый генотип

4

16

4

24

2

2 '

28

Пусть исходные доли гамет, как и раньше, равны х(АА) +2у(Аа) + +z(aa). Тогда доли гамет в следующем поколении будут определяться соотношением (8). Используя сегрегационные соотношения, приведенные в последнем столбце табл. 8.3, найдем доли гамет, образуемых популяцией (8).

Xi = х2 + у (4ху) + у (4//2 + 2хг) + у (4z/z)2о2о20

(14)(14)2У1 = у (4ху) + у (4^ + 2xz) + ^ №

(14)

(14)

+ у (4Z/2 + 2XZ) +(4^) + г2

2о2020

Приняв во внимание, что x+2y+z=l, х+у=р, y+z=q и что частоты аллелей Айа остаются постоянными из поколения в поколение, мы получим из (14) рекуррентные соотношения между долями гамет в двух последовательных поколениях (см. также упр. 5 к гл. 7). Для сравнения приведем в новом виде и рекуррентные соотношения при сегрегации хромосом [185].

Сегрегация хромосом, (9)Сегрегация хроматид, (14)+-Н12 „= у Хп + — р1241= — х„+ —р^-У—р2^+112= у(2уп) + у (2W)2, 4= —(2уп)+— (2р?)/7++1= уг"+у42241= у z„ + у?+у qСегрегация хромосом, (9)Сегрегация хроматид, (14)+-Н12 „= у Хп + — р1241= — х„+ —р^-У—р2^+112= у(2уп) + у (2W)2, 4= —(2уп)+— (2р?)/7++1= уг"+у42241= у z„ + у?+у q(15)(15)

Сегрегация хромосом, (9)

Сегрегация хроматид, (14)

+-Н

12 „

= у Хп + — р1

241

= — х„+ —р^-У—р

2^+1

12

= у(2уп) + у (2W)

2, 4

= —(2уп)+— (2р?)

/7

++1

= уг"+у42

241

= у z„ + у?+у q

Сегрегация хромосом, (9)

Сегрегация хроматид, (14)

+-Н

12 „

= у Хп + — р1

241

= — х„+ —р^-У—р

2^+1

12

= у(2уп) + у (2W)

2, 4

= —(2уп)+— (2р?)

/7

++1

= уг"+у42

241

= у z„ + у?+у q

(15)

(15)

Скорость приближения к равновесию для случайной сегрегации хроматид равна 2/7 на поколение по сравнению с 1/3 для случайной сегрегации хромосом. При п->оо компоненты хп, 2уп, 2П обращаются в нуль, так что предельные (равновесные) доли гамет будут равны

А л1АдА д1

х = — Р+~^Р> ^У = ^^РЯ), z = -^q2 + -^q;(16)

65555

л л л равновесные доли зигот задаются членами разложения (x+2y+z)2. Это совершенно новый тип равновесия по сравнению со старым (рД-qV- Нижняя половина табл. 8.2 является числовым примером для той же исходной популяции, что и верхняя.

Аналогичный анализ, основанный на предположении о том, что сегрегация хроматид происходит всегда путем эквационного деления [176], приводится также в работе Гейринджер [185]. Для гексаплои- дов равновесные доли гамет представляются многочленом третьей степени из частот генов. Однако в действительности гены, находящиеся вблизи участков прикрепления к веретену, обычно расходятся в результате сегрегации хромосом, тогда как гены, расположенные на концах хромосом, — в результате сегрегации хроматид; таким образом, большинство расхождений относится к промежуточному типу между этими крайними случаями. \

ГЕНЕТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ

Пусть Уд, У3, Уг, У1, Уо — средние значения признаков для автотетра- плоидных генотипов А4, А^а, А2 а2, А а3, а4 соответственно. Для простоты предположим, что хромосомы сегрегируют случайным образом, так что генотипы распределены по биномиальному закону (р + 9)4. Тогда

генетическую дисперсию можно определить методом последовательных разностей (гл. 3). В табл. 8.4 АУ0=У1—Уо и т. д. представляют собой разности первого порядка, А2У0 = АУ1—АУ0=У2—2У1 + У0 и т. д. — разности второго порядка, а разности третьего и четвертого порядков выглядят следующим образом:

А3У1 = У4-ЗУ3 4- 3Y.-Y.,

А3У0 =У3 —'ЗУ2 4-ЗУг —Уо,

А4У0 = У4 — 4У3 + 6У2 — 4Уг + Уо.(17)

Таблица 8.4

Метод последовательных разностей

У /

АУ fl

А2Уft

дзу /з

Д4У к

у4 р4

Уз 4р39

У 2W

У1 4pq3

Y6 q4

У4-У3 Р3

У3-У2 Vq

У2-У1 Зр92

У1~Уо ?3

У4-2У3+У2 р2

Уз-ЗУз + УУ 2pq

Y2 — 2Y1-~Y0 q-

Д3У1 р

ДЗУ0 q

А4У0 1

0о

Pi

02

Зз

04

Исходные значения У имеют распределение (р+7)4. Разности первого порядка берутся с весами, определяемыми членами разложения (р+7)3, разности второго порядка — членами разложения (р+7)2, разности третьего порядка — членами разложения (р+7)1 и разности четвертого порядка — членами разложения (р+7)° = 1.

Величины р являются взвешенными средними таких разностей. Следовательно,

Р2 = Р2 (^4 - 2У3 + У2) + 2р7 (У3 - 2У2 + УО + 72 (У2 - 2YX + Уо). (18) Прямой подстановкой можно убедиться, что следующее выражение является тождеством [367, 368]:

S/У2 = р2 + 4р7р2 + 6pVP2 + Wp| + ^^2,(19)

где ро=У представляет собой среднее значение количественного признака для популяции. Коэффициенты пяти членов (19) определяются разложением' -

(1 + рр)4 = 1 + 4р7 + 6р272 + 4р373 + р474.(20)

Перенеся р2 в левую часть, мы получим компоненты дисперсии:

о^ =4 pq 02 (обусловлена эффектами одного гена)

о| =6 p^q1 Pg (обусловлена эффектами двух генов) ■ а3=4р3р303 (обусловлена эффектами трех генов) ^=P4q4^ (обусловлена эффектами четырех генов)

Оу =2/У2—У2 (суммарная генетическая дисперсия)

Заметим, что термин «доминирование», применяемый для диплоидов, не адекватен такому же термину для тетраплоидов. Любая из компонент

дисперсии может варьировать от 0 до Оу. Несколько числовых примеров и специальных случаев рассмотрены в работе [368]. Более общий метод разложения генетической дисперсии применительно ко множественным аллелям был дан Кемпторном [278]. Им же получена ковариация между родственниками в популяции со случайным скрещиванием.

(22)(23)(22)(23)Cov (родитель—потомок) = ~^~ о2 Н—^- о2>

(22)

(23)

(22)

(23)

Cov (полные сибсы) = — о2 + — о2 Н—— о2 + — а^. 291236

Разделив ковариацию на общую генетическую дисперсию о2,, мы полу

чим соответствующую корреляцию между родственниками.

ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ

По данным Винга (цит. по [195]), у японского хмеля Humulus japonicus растения женского пола имеют генотип XX, тогда как растения мужского пола обладают генотипом XXX, где X обозначает половую хромосому. В отношении генов, сцепленных с полом, первые обычно диплоидны, а вторые являются автотриплоидами и дают два типа пыльцы — XX и X. Когда яйцеклетка оплодотворяется Х-пыльцой, она развивается в женское растение; при оплодотворении пыльцой XX получается мужское растение.

Гетерозиготные мужские растения ААа и Ааа при случайной сегрегации хромосом дают следующие гаметы: -

121

ААа

Ааа

— (ЛЛ)+ — (Ла)= — (XX)—гаметы, дающие мужские растения 662

211

—1 (Л)+ — (а)= ~~ (X)—гаметы, дающие женские растения 662

211

— (Az)+—(аа)= — (XX)—гаметы, дающие мужские растения 662'

121

— (Л)+ — (а)= — (X)—гаметы, дающие женские растения 662

Среди потомков от любого скрещивания численности мужских и женских растений одинаковы, поскольку одинаковы численности пыльцевых зерен (X) и (XX). Особенности расщепления для двенадцати типов скрещивания отражены в табл. 8.5.

Используя данные табл. 8.5, покажите, что популяция

(р2,2pq, q^ XX и (р3, ^q, 3pq\ q3^ XXX

равновесна при случайном скрещивании. Отношение долей «рецессивных» растений двух полов равно q1 : q3 = 1 : q. Если начать с произвольной популяции, то равновесие за одно поколение не достигается, однако скорость приближения к нему очень велика.

Пусть исходная популяция состоит из особей А2а2. Рассчитайте доли гамет и зигот в нескольких последующих поколениях, предполагая, что имеет место случайное скрещивание. Составьте таблицу отдельно для хромосомной и хроматидной сегрегаций. Чему равны равновесные доли?

Случайная сегрегация хромосом

п

А

Аза

А^а?.

Ааз

а4

(А4)

(4а)

(аа)

1

4

1

0

0

0

1

0

0

6

6

6

1

8

18

8

1

2

5

2

36

36

36

36

36

9

9

9

2

4

20

33

20

4

13

28

13

81

81

81

81

81

54

54

54

1

4

6

4

1

1

2

1

16

16

16

16

16

4

4

4

Случайная сегрегация хроматид

3

8

3

0

0

0

1

0

0

14

14

14

9

48

82

48

9

27

44

27

196

196

196

196

196

98

98

98

2

9

24

34

24

9

3

4

3

100

100

100

100

100

10

10

10

Таблица 8.5

Расщепление в потомстве японского хмеля (при случайной сегрегации хромосом)

Скрещивание

Потомство 9

Потомство о’

?Хс?

АА;Аа:аа

ААА: ААа: Ааа: ааа

ААХААА

1

1

ААхААа

2 : 1

1 : 2

ААхАаа

1 : 2

2 : 1

ААХаай

1

1

АахААА

1 : 1

1:1

АаХААа

2:3:1

1:3:2

АахАаа

1:3:2

2:3:1

АаХааа

1 : 1

1 : 1

ааХААА

1

1

ааХААа

2 : 1

1 : 2

ааХАаа

1 : 2

2 : 1

ааХааа

1

1

му белыми являются растения только генотипа а4. Если в природной популяции растения с белыми цветками составляют 25%, то чему равна частота рецессивного гена и каковы доли растений с «желтыми» генотипами? Проделайте расчеты как для хромосомной (I), так и для хроматидной (II) сегрегаций.

Д4

А3а

А2а2

Аа3

а4 |

(ДД)

(Да)

(аа)

q

I

0,00736

0,07107

0,25736

0,41421

0,25000

0,0858

0,4142

0,5000

0,7071

II

0,02226

0,10468

0,27226

0,35080

0,25000

0,1492

0,3508

0,5000

0,6754

Если х+2 //+2=1, х-\-у=р и y-\-z=q, то

р2 = х2 + 2хг/ + уг = х (х + Чу + z) — xz + у2 = х — хг + у2.

Найдите соответствующие выражения для q2 и pq.

Рекуррентное соотношение для гамет при сегрегации хромосом, согласно формуле (9), можно записать в виде

хг = х + -у ^ — xz) = у х + у (х + р2 — xz) = у х + у р2.

Найдите соответствующие рекуррентные соотношения для ух и гх.

Рекуррентное соотношение для гамет при сегрегации хроматид, согласно формуле (14), можно переписать в виде

Хт = у (7х2 + \Ьху 4- 6z/2 + 3xz + pz} =

2х2 + 4xz/+ 2xz

1717= y (2x + 4p2 + p).= y (2x + 4p2 + p).+ 4x2 + 8xy + Ay2

1

7

1

7

= y (2x + 4p2 + p).

= y (2x + 4p2 + p).

+ x2 + Чху+ xz

+ xy + 4y2■ + yz

Найдите соответствующие выражения для 2ух и 2Ь

8. Пусть p = q=-^ в каждой из следующих четырех панмиктических популяций автотетраплоидов:

Генотип

Частота.

У

ДДДД

1

У4

ААДа 4

Уз

ААаа 6 уа

Аааа 4

У1

аааа

1 Уо

Популяция I

9

7

5

3

1

Популяция II

1

7

9

7

1

Популяция III

9

3

5

7

1

Популяция IV

7

3

7

3

7

Величины У представлены на рис. 8.1. Покажите, что в соответствии с (21).

другие компоненты равны нулю.другие компоненты равны нулю.для популяции I Су =ОХ для популяции II Оу = 02 для популяции III Оу = Од для популяции IV Оу = а2

другие компоненты равны нулю.

другие компоненты равны нулю.

Рис. 8.1. Значения количественного признака У тетраплоидных генотипов в популяциях I, II, III, IV, приведенных в таблице к прим. 8.

Генотипы аааа, аааА, ааАА, аААА, АААА обозначены соответственно 0, /, 2, 3, 4; эти цифры отра-жают дозу гена А.

Зеркальные отображения популяций на рис. 8.1 имеют те же са'мые компоненты дисперсии.

ГЛАВА 9

Аллели самостерильности

Самостерильность — явление, широко распространенное у высших растений. В большинстве случаев она обусловлена серией множественных аллелей Si, S2, S3, ... . Пыльца, содержащая ген Si, попав на пестик, содержащий тот же самый ген, не функционирует. Таким образом, растения SiS2 не могут быть оплодотворены пыльцой Si или S2 и оплодотворяются только пыльцой S3, S4. Этот механизм впервые обнаружили Ист и Мангельсдорф [122b] у Nicotiana. Самоопыление и опыление между экземплярами с одним и тем же генотипом стерильны, тогда как перекрестное опыление растений с различными генотипами фертильно. О таких растениях говорят, что они обладают внутригрупповой стерильностью и межгрупповой фертильностью. Обнаружено, что физиологическая основа механизма этой стерильности заключается в подавлении роста пыльцевой трубки. В пестиках, содержащих такой же аллель, рост пыльцевой трубки подавляется, и она не достигает зародышевого мешка. При данном механизме все растения должны быть обязательно гетерозиготными по аллелям S, поскольку два одинаковых гена никогда не смогут объединиться и образовать зародыш.

ПРОСТЕЙШИЙ СЛУЧАЙ: ТРИ АЛЛЕЛЯ

Минимальное число аллелей самостерильности, естественно, равно трем. Этот случай и был обнаружен первым. При наличии трех аллелей SiS2S3 имеются три группы (генотипа) растений: SiS2, S1S3 и S2S3. Растения каждой группы стерильны при скрещивании с растениями той же самой группы и фертильны при скрещивании с растениями двух других групп. Таким образом, результаты скрещивания будут следующими:

SiS2?X(S1S3 или S2S3)3 ^--^-SpS3 -|—— S2S3,

SiSa? X (STS2 или S2S3X -> -1S^ + -у S2S3,(1)

S2S3? X (STS2 или S^S.y^- — S^, + — SpS3.

Заметим, что во всех скрещиваниях женский родительский генотип никогда не появляется у потомства и реципрокные скрещивания никогда не приводят к одинаковым результатам. 50% потомков похожи на мужского родителя, тогда как остальные 50% растений принадлежат к третьей группе (иной, чем две родительские). Два скрещивания , SiS2$ X XSiS3(y и SiS2^XS2S3ci', приводят к одинаковым результатам, поскольку в обоих случаях в пестике растения, имеющего генотип S^, может функционировать только пыльца S3 мужского растения.

(2)(2)жем исследовать только изменения Используя повторно (2), получимжем исследовать только изменения Используя повторно (2), получимх в последовательных поколениях.х в последовательных поколениях.

(2)

(2)

жем исследовать только изменения Используя повторно (2), получим

жем исследовать только изменения Используя повторно (2), получим

х в последовательных поколениях.

х в последовательных поколениях.

Таблица 9.1

Случайное скрещивание трех групп растений с внутригрупповой стерильностью и межгрупповой фертильностью

Родитель женского пола

Частота

Потомство

S1S3

S2S3

SiS3

хе

0

1

2 0

1

Тх0

S1S3

Уо

1

ТУо

0

1

2 Уо

S2S3

2о

1

2 °

1

2 0

0

Сумма

1,00

"У U~*о)

-^-(1-Уо)

-yd-^o)

Рассмотрим произвольную популяцию, состоящую из растений SiS2, S1S3 и S2S3 в разных пропорциях. Предположим, что в каком-то поколении наиболее многочйсленным является генотип З^г. Тогда, поскольку материнский генотип никогда не появляется у потомка, можно сделать вывод, что в следующем поколении этот генотип будет самым редким. Если же, напротив, экземпляры с генотипом S1S2 в некотором поколении встречаются реже всех остальных, то в следующем поколении они будут наиболее многочисленными. Таким образом, при случайном скрещивании равновесия достигнуто не будет, если только частоты генотипов не равны друг другу. Равновесными являются такие условия, когда популяция содержит по Уз экземпляров каждого генотипа и, следовательно, частота каждого аллеля также равна Уз.

Алгебраические соотношения для популяции со случайным скрещиванием проще всего получить следующим способом. Пусть исходной популяцией будет (x0SiS2, г/о3133, Z0S2S3), где xo+yo + zo= 1. Частоты различных фертильных скрещиваний и соответствующих им потомков при панмиксии приводятся в табл. 9.1. Очевидно, что доля экземпляров ЗД в поколении потомков равна

(3)(3)х2— g (1 “^1)—~(^У^о), ^з — ~2*^ — ^—~з~^ — ^’ х6 = ^-(Н—х0)

(3)

(3)

210о2

и т. д.

достигает предела, Уз (гл. 7,достигает предела, Уз (гл. 7,Последовательность —, —, —, —, —, ...

достигает предела, Уз (гл. 7,

достигает предела, Уз (гл. 7,

24816 32

приложение), и, следовательно, мы имеем

33(4)

3

3

поскольку х0/2"->0. Последовательные значения х колеблются около его предельного значения, равного-^-. Разность между двумя последовательными х равна

Ахл = хп+1 — хп = у (1 — хп) — хп = -у (1 — Зхп\(5)

Такими же свойствами обладают уп и zn. При равновесии Дх=0; следовательно, х=---. Возможно, это более простой, чем изложенный выше способ отыскания предельного значения х^.

До сих пор мы рассматривали только доли зигот в популяции. Найдем теперь частоты генов для каждого поколения. Пусть Ц\ — частота гена Si и т. д. Ее величина в n-м поколении при свободном скрещивании будет равна

qiW = -уХп + -^уп= “(!— zn) = z«+h (6)

что является долей зигот S2S3 в следующем поколении. Подобно этому, Уз (частота S3) в некотором поколении будет долей экземпляров S1S3 в следующем поколении. Следовательно, свойства частот генов аналогичны свойствам долей зигот (2) и (5). В табл. 9.2 приведен пример, иллюстрирующий соображения, изложенные выше.

Одна из важнейших особенностей условия равновесия для аллелей самостерильности состоит в том, что окончательные значения долей зигот и частот генов — абсолютные константы, не зависящие от исход

ных значений Хо, z/o, ^о- Отсюда следует, что если значительную долю или даже все особи одного генотипа удалить из популяции, новое рав

1 МОИ точке, Уг = _.1 МОИ точке, Уг = _.новесие установится через несколько поколений в той же са-

1 МОИ точке, Уг = _.

1 МОИ точке, Уг = _.

Следовательно, по отношению к этим аллелям ника-

Таблица 9.2

Приближение к равновесию при случайном скрещивании для трех аллелей самостерильности

п

Частота зигот

Частота генов

SiS2

S1S3

S2S3

51

s2

S3

0

0,8000

0,1600

0,0400

0,480

0,420

0,100

1

0,1000

0,4200

0,4800

0,260

0,290

0,450

2

0,4500

0,2900

0,2600

0,370

0,355

0,275

3

0,2750

0,3550

0,3700

0,3150

0,3225

0,3625

4

0,3625

0,3225

0,3150

5

0,31875

0,33875

0,3425

6

0,340625

0,330625

0,32875

7

0,3297

0,3347

0,3356

8

0,3351

0,3327

0,3322

9

0,3325

0,3336

0,3339

10

0,3337

0,3332

0,3331

ОО

о,ззз...

о,ззз...

о,ззз...

о,ззз...

0,333...

0,333-■•

кой отбор не является эффективным. Популяция только с двумя такими аллелями не может существовать. Если в популяции осуществляется инбридинг, то в конце концов останутся только три аллеля. Кроме того, популяция, состоящая из растений трех генотипов равных численностей, будет находиться в устойчивом равновесии при любой системе скрещивания. К тому же ни один ген не может иметь частоту, большую 0,5, какими бы ни были доли зигот.

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ: к АЛЛЕЛЕЙ

Пусть д,— частота аллеля S, (i=l, 2, ..., к) и Hqi=1. Пусть, далее, G^— частота растений S,Sj (tV=j). Поскольку все растения гетерозиготны, то

2’<=е°»'(7)

т. е. qi в любой популяции не может превышать-^-. Главная задача — это найти рекуррентные соотношения между частотами генотипов для двух последовательных поколений. В качестве конкретного примера рассмотрим ситуацию с 5 аллелями (^ = 5). Десять [&(&—1) —1/2=10] гетерозиготных генотипов с частотами Оц представлены в табл. 9.3. Рассчитаем, например, частоту S]S2 в следующем поколении. Ясно, что генотипы SiS2, S3S4, S3S5, S4S5 не могут дать потомства 5^2. Из оставшихся шести генотипов, которые могут произвести потомство SiS2, мы можем рассмотреть детально только один генотип; для всех остальных случаев доказательство аналогично.

Таблица 9.3

Пять аллелей самостерильности и десять гетерозиготных генотипов("5,5,) с частотами 6ц о

Si S2

0

Si s3

G13 9i

Si s4

G14 ^2

S1S5

Gia q^.

2(1 — ?i — Чз)

2(1 — qi — q^

2(1 —qi — q^

Si S3

G23 Яг

^2 S^

^24 41

S2 S5

G25?l

2(1 — q2 — q^

2(1 —?2 —?4)

2 (1 — ?2 — ?s)

S3 S4 0

S3 S5 0

S4 S5 0

’) Дроби под обозначениями генотипов представляют частоты потомков S1S2, производимых соответствующими родителями.

Пусть родителем будет SiS3. Чтобы дать потомка с генотипом З^г, аллель Si должен содержаться в яйцеклетке, оплодотворенной пыльцой с аллелем 32. Вероятность того, что яйцеклетка несет аллель St, равна

-^-. На пестике StS3 пыльцевые зерна Si и S3 не функционируют. Доля пыльцевых зерен S2 среди всей функционирующей пыльцы будет, таким образом, равна q^X—qx—q^ • Поэтому, как показано в табл. 9.3, родитель SiS3 даст Gi372/2(1—q\—7з) потомков типа StS2. Частоты для других родителей рассчитываются таким же образом. Для краткости запишем

Н1з= -—^ и т. п.(8)

1 = 91 — ?3

Суммарная частота типа SiS2 в следующем поколении (отмеченном штрихом) равна

61'2 = ^q2 (//13 + Я14 + Я15) + ^qi (Д23 + Н14 + Н2Ь).(9)

Для к аллелей и для любого потомка 5г53 рекуррентное соотношение, согласно Фишеру [174а], имеет вид

+(10)

ии

где суммирование производится по к — 2 членам (w#=t, j). Чтобы показать, как получить новую частоту гена q't в поколении потомков, опять возьмем, для примера пять аллелей. Выпишем выражения для G[3, G[4 , G[s, как мы это делали для G[2 . Тогда

271 = Gi2 + Gi3 + Gu + Cis.(11)

Принимая во внимание соотношение 1—qx—73 = 72 + 74 + 75, можно показать, что первый член правой части (И) равен -^-(Gi2 + ... + Gis) =qx и т. д. Таким образом,

271 = 71 + 71(^23 + Нг4 + Нм + Н34 + Н35 + //45),(12)

где суммирование Н идет по всем i, /^l. Аналогичные выражения можно записать и для всех qt. Легко проверить, что в стационарном состоянии qi=— и Gi,= —. Для к аллелей q^=X)k и Gij = 2jk(k—1) —это со- 510

стояние равновесия, которое локально устойчиво [474].

ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ

Покажите, что при наличии трех аллелей самостерильности

Мг = у (1 — 39i) и ^4 + Д72 + А73 = 0.

Пусть 7, q', q"— частоты определенных аллелей самостерильности в трех последовательных поколениях, так что \q = q'—7 и \'q = q"— —q'. Предполагая, что имеются только три аллеля, покажите, что приращение q на поколение уменьшается вдвое (с переменой знака) за каждое поколение случайного скрещивания, т. е. Д^=^- А7.

Рассчитайте частоты зигот и частоты генов, а также их приращения в десяти последовательных поколениях, предполагая случайное скрещивание, если исходная популяция есть (0SiS2; 0,60 SiS3; 0,40 S2S3).

п

Зиготы

Гены

Приращение

Si S2

Si S3

S2 S3

Si

S2

S3

Д»1

Д?2

0

0

0,600

0,400

0,300

0,200

0,500

. . .

1

0,500

0,200

0,300

0,350

0,400

0,250

4-0,050

4-0,20

—0,250

2

0,250

0,400

0,350

0,325

0,300

0,375

—0,025

—0,10

4-0,125

3

0,375

0,300

0,325

0,350

...

4-0,05

Покажите, что популяция с частотой каждого из генотипов 5^2,

SiS3, ЗД, S2S3, S2S4 и S3S4, равнойSiS3, ЗД, S2S3, S2S4 и S3S4, равной1

SiS3, ЗД, S2S3, S2S4 и S3S4, равной

SiS3, ЗД, S2S3, S2S4 и S3S4, равной

—, находится в состоянии равно

весия.

ГЛАВА 10

Две пары генов

В этой последней главе, посвященной панмиктическим популяциям, теоремы о равновесии будут распространены на системы, включающие больше одного локуса.

ЧАСТОТЫ ГЕНОТИПОВ И ВЫХОД ГАМЕТ

Если рассматривать популяцию по двум парам генов, то в ней обнаруживается девять генотипов. Для удобства записи эти генотипы мож-

но систематизировать,

а их

доли

представить

элементами матрицы

3X3.

AABB

ААВЬ

ААЬЬ

Z11 Z12

z13 "

АаВВ

АаВЬ

АаЬЬ,

Z = г21 г22

Z23"

aaBB

ааВЬ

aabb

_ Z31 z32

Z33 _

Здесь сумма девяти z равна единице. Суммы трех строк дают доли особей ДА, Аа, аа, тогда как суммы столбцов — доли особей ВВ, ВЬ и ЬЬ соответственно.

Аналогичным образом можно записать четыре типа гамет, а их доли представить элементами матрицы 2x2.

АВ АЬГ gu £и '

аВ ab ’[g31 g33 '

Здесь сумма четырех g равна единице. Суммы двух строк дают частоты генов для пары А—а, тогда как суммы столбцов — частоты генов для пары В—Ь.

При заданных долях генотипов (z,j) легко рассчитать суммарный выход гамет. Поскольку зиготы ААВВ дают только гаметы (АВ), зиготы ААВЬ и АаВВ дают 50% гамет (АВ), а зиготы АаВЬ— 25% гамет (АВ) и т. д., мы имеем (рис. 10.1)

STii= zn + V2 (z12 + z21) + V4Z22, gy = z13 + V2 (z12 + z^ + V4Z22,(1)

§31 = Z31 + ^2 (z21 ~E Z32) + ^hjZ^, g33 = Z33 4- V2 (Z23 + Z32) + V4Z22.

Пусть p и q— частоты генов А и а, и и у— частоты генов В и Ь. Эти величины можно получить прямо из долей зигот или образованных ими гамет (рис. 10.1).

Р = Su + Su = zi. +-^-z2., м = Su + g3i = z.i + y Z.2>

Я ~ gsl ~b gss ~ Z3. ^^~ z2 > y = §13 + §33 = Z.3“^ Z.2>(2)

где Zi. = zn+212 + z13 — сумма элементов первой строки матрицы для зигот; z.3=z13 + z33 + z23 — сумма элементов третьего столбца той же самой матрицы и т. д.

Рис. 10.1. Соотношения между долями зигот (Z), долями гамет (g) и частотами генов [см. формулы (1), (2), а также выражения для Z в табл. 10.1].

УСЛОВИЕ РАВНОВЕСИЯ ПРИ ПАНМИКСИИ

Можно показать, что при свободном скрещивании популяция

" р2и2

2р2ии

pV '

p2

Z =

2pqu2

^pquu

2pqu2

2pq

(3)

_ q2u2

2q4iu

q2u2 _

q2

и2

2ии

V2

находится в равновесии. Если популяция находится в равновесии в отношении двух пар генов, то она обязательно должна находиться в равновесии и в отношении каждой пары генов по отдельности. Действительно, суммы строк матрицы (3) равны р2, 2pq, q2, а суммы столбцов — и2, 2uv, и2.

Если не дифференцировать реципрокных скрещиваний, то количество различных скрещиваний равно (9X10)/2 = 45. Чтобы убедиться в равновесности популяции (3), совсем не обязательно перечислять их здесь. Поскольку результаты свободного скрещивания будут такими же, как и при свободном объединении гамет (гл. 1, § 5), нужно лишь найти

А

выход гамет у популяции Z. Из (1) мы имеем

gn = Р^и1 + Р^ии + РЧ11"2 + РЯии = Ри (Ри -Ь ри + qu + qu).= ри.

Доли гамет остальных трех типов определяются аналогичным образом.

А

Итак, выход гамет для популяции Z равен

л _ §п §1з Г ри ри® ~ лaqu qu

_ §31 §33 .

случайное объединение их дает

"А аЛЧВ Я2р + 7J [и +"А аЛЧВ Я2р + 7J [и +"АВ Ab аВ ab '2ри-^ри + qu - qu _

"А аЛЧВ Я2

р + 7J [и +

"А аЛЧВ Я2

р + 7J [и +

Л

т. е. то же самое, что и для Z. Следовательно, популяция находится в равновесии.

ДОСТИЖЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ

В произвольной популяции равновесие в отношении девяти генотипов не может установиться за одно поколение случайного скрещивания, однако достигается очень быстро. Пусть имеется популяция Z0=[2i3], продуцирующая гаметы с частотами (gn, g13, g3l, gss). Комбинируя эти гаметы случайным образом и объединяя члены для одного и того же генотипа, мы найдем частоты зигот в следующем поколении, определяемые элементами матрицы [355]

811^8ц 81з8*13Z1 — [fe] -^Sligsl2 fenfe 4-gi3g3i)2^13^338l2^3] 833^3811^8ц 81з8*13Z1 — [fe] -^Sligsl2 fenfe 4-gi3g3i)2^13^338l2^3] 833^3

811

^8ц 81з

8*13

Z1 — [fe] -

^Sligsl

2 fenfe 4-gi3g3i)

2^13^33

8l

2^3] 833

^3

811

^8ц 81з

8*13

Z1 — [fe] -

^Sligsl

2 fenfe 4-gi3g3i)

2^13^33

8l

2^3] 833

^3

Через одно поколение каждая из двух пар генов, взятая по отдельности, будет находиться в равновесии. В этом можно убедиться, рассмотрев суммы долей зигот по строкам и столбцам (4). Например, суммы строк равны

fen Я1з)2, 2 fen + ^g) fe31 + g33), fe3i + £зз)2,

т. е., согласно (2),

р2, 2рд, д2.

что соответствует долям АА, Аа и аа. Суммы столбцов равны и2, 2ии, о2 и дают доли ВВ, ВЬ и bb соответственно. Однако если мы рассмотрим обе пары генов вместе (обратившись, скажем, к долям девяти генотипов в популяции), то Zi вовсе не будет равновесной. Выход гамет в этой популяции, согласно (1), можно рассчитать следующим образом:

8*11 = §И + 511^13 +^11^31+ -^- (^11 833 + £13§31) =

= 8и fen ^1з + Ssi 4- 8зз) " (8п8зз 813831У

Аналогично определяются доли гамет трех остальных типов. Если обозначить определитель матрицы гамет через d, так что

do —do —Su 8з18з1 8ззSu 8з18з1 8зз— 8н8зз ^хзйзь— 8н8зз ^хзйзь

do —

do —

Su 8з1

8з1 8зз

Su 8з1

8з1 8зз

— 8н8зз ^хзйзь

— 8н8зз ^хзйзь

то продукция гамет Zi (с учетом того, что сумма четырех g равна единице) будет

^и = ^1! — Y do’^з = ^13 + V d0'(5)

^з1 = 8ц 4- — dfl,g33 = g33— dQ.

Следует отметить, что частоты генов от поколения к поколению не меняются; так, например, g'114-g'to=gii + gi3=P и т. д. Таким образом, определитель матрицы гамет, полученный из Zi, равен

^11 §13§si §зз^11 §13§si §зз£112 ^° ^132 ^°

^11 §13

§si §зз

^11 §13

§si §зз

^11 ^13^31 §зз^11 ^13^31 §зз§13§13§13§13§33§33— ^0^ 4 (§11— ^0^ 4 (§11+ ^31)+ ^31)^31 + ^о §зз ^ ^о

^11 ^13

^31 §зз

^11 ^13

^31 §зз

§13

§13

§13

§13

§33

§33

— ^0^ 4 (§11

— ^0^ 4 (§11

+ ^31)

+ ^31)

^" ^о (£хз + §зз) г 0 — d0— d0 — — d0.

Итак, мы видим, что доли гамет изменяются таким образом, что величина d=g\\g33—^1з§з1 через каждое поколение уменьшается наполовину. Следовательно, через п поколений

dn = — dn_i = 1 — 1 d0 0 при оо.

В равновесии доли гамет составляют

А

£и = pu= (gu + §1з)(^11+й1) = ^11 — ^0 ИТ. д.

Таблица 10.1

Приближение к равновесию для двух пар генов при панмиксии (в исходной популяциир=0,70; 9 = 0.30; « = 0,60 и « = 0,40)4

^0 =

0,25

0,02

0,12

0,16

0,24

0,02

0,14 1

0,04

0,01 _

„ -Р.40

8о — \0,20

0,30\ ojoj

do — —

-0,02

21 =

" 0,16

0,16

0,04

0,24

0,20

0,04

0,09 " 0,06

0,01

„ _f0,41

81 ~ \,0,19

0,29\ 0.1U

<к= -

-0,01

Z2 =

' 0,1681 0,1558 _ 0,0361

0,2378

0,2004

0,0418

0,0841" 0,0638

0,0121

„ _ /0,415

81 ~ ко, 185

0,285\

0,115)

d^= -

-0,005

23 =

■ 0,172225 0,153550

_0,034225

0,236550

0,200900

0,042550

0,081225

0,065550

0,013225

„ _ /0,4175

8з - ко, 1825

0,2825\

0,1175)

dg = -

-0,0025

2» =

Г 0,1743 0,1524 . 0,0333

0,2359

0,2012

0,0429

0,0798 ' 0,0664 0,0138 .

„ _/0,41875

81 - ко, 18125

0,28125\

0,11875)

d^, = “

-0,00125

25 =

" 0,17535

0,15180

_ 0,03285

0,23555

0,20140

0,04305

0,07910

0,06680

0,01410

_/0,4194

85 ~ кО, 1806

0,2806\

0,1194)

dg = -

-0,0006

26 =

Г 0,1764 0,1512 0,0324

0,2352

0,2016

0,0432

0,0784' 0,0672

0,0144

А (0,420 s - ко,180

0,280\

0,120)

A

d = 0

’) Начиная с Zi

суммы строк

равны

0,49; 0,42; 0,09; а сумма

столбцов—

3,36; 0,48;

0,16.

так что определитель матрицы для гамет, как и ожидалось, равен нулю:

ллgii ^о g3i т d0gii ^о g3i т d0§13 4" ^0 I§33^0 I§13 4" ^0 I§33^0 I= 0.= 0.

л

л

gii ^о g3i т d0

gii ^о g3i т d0

§13 4" ^0 I

§33^0 I

§13 4" ^0 I

§33^0 I

= 0.

= 0.

Л Л ЛА

Иными словами, в равновесной популяции gug33=gisgsi. Исходные доли гамет отличаются от соответствующих значений в состоянии равновесия на величину do, которую, таким образом, можно рассматривать как показатель отклонения произвольной популяции от равновесия. Мак,1

симальное значение d не может превышать —, и, кроме того, оно уменьшается вдвое через каждое поколение, поэтому равновесие достигается популяцией очень быстро. В табл. 10.1 приведен пример, иллюстрирующий рассмотренные выше положения.

§ 4. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ

Если частоты двух пар генов равны, доли зигот в панмиктической популяции симметричны по отношению к главной диагонали матрицы для зигот, т. е. Zf,=z,f (поскольку р = и и 9 = и) независимо от того, равновесна популяция или нет. Так как

Р = gll + £13 = gn + g31 и,

то во всех поколениях g\3=g3v Производя подстановки в матрицу для зигот (4), мы увидим, что ее элементы симметричны по отношению к главной диагонали. Иначе говоря, доли АаВВ и ААВЬ равны друг другу, так же как и доли ААЬЬ и ааВВ и т. д. С другой стороны, если р = и и q = u, то доли зигот будут симметричны по отношению к другой диагонали матрицы.

В любой произвольной панмиктической популяции, выход гамет которой таков, что d=g\\gM—gisgs^O, равновесие установится через одно поколение. Например:

0,26

0,07

> /0,42

0,28\

0,1764

0,2352

0,0784"

0,20

0,06

1 0 18

0 12/

0,1512

0,2016

0,0672

0,04

0,02

_ 0,0324

0,0432

0,0144_

0,14

0,20

0,01

Особый случай представляет популяция, состоящая только из двойных гетерозигот АаВЬ (например, особи первого поколения от скрещивания ААВВХааЬЬ или ААЬЬХааВВу Здесь р = и= -^-. Равновесие устанавливается за одно поколение, а доли зигот симметричны по отношению к обоим диагоналям. Таким образом,

0 0 0

0 1 0

0 0 0

/J_ _1_\

144 1

1 — 1 1 \ 4 4 /

-_1_ 2 _1_/

161616

242_

161616

J21_

161616

Таков состав популяции во втором поколении. При случайном скрещивании во всех последующих поколениях он останется таким же. Ряд других частных случаев рассмотрен в работе [257]. 11—322

ЭФФЕКТ СЦЕПЛЕНИЯ

Если две пары генов расположены на одной и той же паре гомологичных хромосом, равновесие будет достигаться медленнее, чем в случае, когда они независимы. Чем больше сила сцепления, тем меньше скорость достижения равновесия.

Очевидно, что сцепление не влияет на выход гамет у тех особей, чьи генотипы содержат одну или две пары генов в гомозиготном состоянии. Например, зигота ааВЬ будет давать 50% гамет (аВ) и 50% (ай) независимо от того, сцеплены эти два локуса или нет. Сцепление проявляется только в изменении частот гамет, образуемых двойными гетерозиготами, и зависит от того, находятся они в фазе «притяжения» или «отталкивания». Пусть двойные гетерозиготы дают следующие гаметы:

Типы зигот

Доля гамет

(ЛВ)

(Л6)

(аВ)

Фаза притяжения: АВ lab

Г

1

: 1

г

Фаза отталкивания: AbjaB

1

: г

: г

1

Здесь r> 1 и известно под названием «отношения сцепления»; /?=1/(1 + + г)—доля кроссоверов, 1—В = г(14-г)—доля некроссоверов (родительских комбинаций).

Частота двойных гетерозигот в (4) равна сумме частот гетерозигот в двух различных фазах:.

z'2 = $5п §зз (Фаза притяжения) + 2gl3g31 (фаза отталкивания), а продукция гамет для каждой из фаз должна быть рассчитана отдельно. Рассуждая как и раньше, мы получим, что доля гамет (АВ), образуемых Zi, равна

^1 = ^11 + 51151з +5115з1+ (1 - R) 5П 533 + ^3 531-

Выражения для трех других типов лучим [549—551]5п = 5,,-М>§31 = 5з1 + Rd0,Выражения для трех других типов лучим [549—551]5п = 5,,-М>§31 = 5з1 + Rd0,гамет аналогичны. Упростив их, по-гамет аналогичны. Упростив их, по-51з51з + R^o’§зз = §зз' R^O'51з51з + R^o’§зз = §зз' R^O'

Выражения для трех других типов лучим [549—551]

5п = 5,,-М>

§31 = 5з1 + Rd0,

Выражения для трех других типов лучим [549—551]

5п = 5,,-М>

§31 = 5з1 + Rd0,

гамет аналогичны. Упростив их, по-

гамет аналогичны. Упростив их, по-

51з51з + R^o’

§зз = §зз' R^O'

51з51з + R^o’

§зз = §зз' R^O'

так что изменение долей гамет за покотак что изменение долей гамет за покоПоскольку г>1, Rj (14- г) <—,

так что изменение долей гамет за поко

так что изменение долей гамет за поко

ление всегда меньше, чем при независимых генах. Определитель матрицы для гамет Zi можно легко найти, заменив в (6) — на R; таким об

разом,разом,di —di —5ц 51з5з1 §зз5ц 51з5з1 §зз= d0-Rd0 = (i-R)d0,= d0-Rd0 = (i-R)d0,(6L)(6L)

разом,

разом,

di —

di —

5ц 51з

5з1 §зз

5ц 51з

5з1 §зз

= d0-Rd0 = (i-R)d0,

= d0-Rd0 = (i-R)d0,

(6L)

(6L)

где 1—R = r/ (1 + г) всегда меньше +-, так что d уменьшается за поколение с меньшей скоростью. Его предельное значение, однако, также равно нулю: du= (1—R)dn-i=(l—R)ndo-^-O при п^-оо. В равновесии d=b; это означает, что

АЛ Л Л5и5зз = 51з5з1,

как и в случае независимых генов. Отсюда следует, что зиготы ABjab в фазе притяжения и зиготы АЬ/аВ в фазе отталкивания в равновесной популяции одинаковы по численности (доля каждой из них составляет 2pquv), так что общий выход гамет, образуемых двойными гетерозиготами, находящимися в этих двух фазах, равен выходу гамет Apquv АаВЬ для независимых генов. Окончательные доли гамет также будут совпал

дать с долями гамет для независимых генов, а именно gn=pu=gn—du и т. д. Рассмотрим конкретный пример. Начнем с тех же самых долей гамет g0) что и в табл. 10.1, но примем г=4, так что доля кроссоверов Р = 20%. Доли гамет для нескольких следующих поколений при панмиксии будут такими (ср. с табл. 10.1):

п - (°,40 8е - (0,20

d0 = —0,0200

0,30\ 0,10)

„/0,404

81 - (о, 196 с^ = —0,0160

0,296\

0,104)

„ _ /0,4072 81 - (О,1928 d2 = — 0,0128

0,2928\

0,1072)

/0,40976

0,29024\

„/0,4118

0,2882\

/0,41344

0,28656\

(0,19024

0,10976)

84 ~ (О,1882

0,1118)

8s ~ (0,18656

0,11344)

<; = —0,01024

0,0082

d4 = — 0,0082

ds = —. 0,00656

_ /0,41475

0,28525\

/0,420

0,2801

' 6~ (0,18525

0,11475)

(о, 180

0,120)

d6 = — 0,00524

A

d = 0

В этом примере доля кроссоверов Д = 0,20, и равновесие все еще достигается довольно быстро. Так, мы видим, что через шесть поколений случайного скрещивания d уменьшается до (1—0,20)6=0,262 от его первоначального значения, т. е. до 0,00524 = 0,262- (0,02). Однако при очень сильном сцеплении равновесие достигается лишь через большое число поколений, например при Д = 0,01 через шестьдесят девять поколений d уменьшается лишь наполовину: согласно (6L), (1—0,01)69^ 0,50.

Главный вывод, вытекающий из всего вышесказанного, состоит в том, что в равновесной панмиктической популяции доля зигот в отношении двух пар сцепленных генов идентична долям зигот при независимых генах. Иными словами, доли зигот полностью определяются частотами генов независимо от того, как расположены эти гены — на одной и той же хромосоме или нет. Следовательно, сцепление генов нельзя выявить, рассматривая генотипические и фенотипические доли во всей популяции в течение немногих поколений. Два признака, контролируемые двумя парами сцепленных генов, распределяются совершенно независимо, как показано на примере популяции (3). В этом заключается одна из главных трудностей в определении сцепления при наследовании у человека. Распространенное утверждение, состоящее в том, что связь или корреляция между двумя признаками у человека обусловлена сцеплением генов, без сомнения, ошибочно. Любая наблюдаемая связь признаков в популяции может быть обусловлена различными причинами: одинаковым влиянием среды, множественным действием одного и того же гена или генов (илейотропией), подразделенностью популяции на разнородные группы, дифференциальным инбридингом, физиологическими последствиями развития или просто систематической ошибкой выборки и не доказывает существования генетического сцепления [360].

Любое систематическое изложение существующих методов для выявления и оценки сцепления у человека потребовало бы многих страниц 11*

и вышло бы за рамки этой книги. Однако всем изучающим генетику важно иметь ясное представление о том, где можно обнаружить эффекты сцепления при рассмотрении равновесной популяции. Как отмечалось выше, сцепление не влияет на образование гамет разными генотипами, за исключением двойных гетерозигот. Поэтому оно проявляется в пропорциях расщепления среди тех детей, у которых по крайней мере один из родителей является двойной гетерозиготой. При наличии доминирования сцепление можно изучать только на некоторых типах семей: AaBbXaabb; AabbxAaBb или aaBb; ааВЬхАаВЬ. Принимая во внимание, что, как правило, в популяции АВ]аЬ и АЬ]аВ одинаковы по численности, в некоторых группах сибсов два признака будут иметь положительную корреляцию, тогда как в равном числе других групп сибсов — отрицательную; таким образом, для популяции в целом эти два признака будут независимыми. Одним из убедительных доказательств существования сцепления в приблизительно равных по численности группах сибсов является поэтому наличие как положительных, так и отрицательных корреляций. Другой метод обнаружения сцепления заключается в проверке пар сибсов на конкордантность и дискордантность в отношении обоих признаков (см.§ 11 и 12).

ЧАСТОТЫ ФЕНОТИПОВ. ПРИЛОЖЕНИЯ

Частоты фенотипов в популяции зависят от схемы взаимодействий между двумя парами генов. Вначале мы рассмотрим случай, когда А доминирует над а и В — над b без какого-либо взаимодействия между двумя локусами. Объединяя элементы матрицы (3), относящиеся к одному и тому же фенотипу, мы получим следующие четыре частоты фенотипов:

В —

bb

Сумма

А —

(1-92) (1 — &2)

(1 — <?2) У2

1 — а»

аа

92(1 — у)2

^2у2

А1

Сумма

1 — и2

у2

1

Пусть [А—В—] — доля особей, имеющих в каждом локусе хотя бы один доминантный ген, и т. д.; можно показать, что, какими бы ни были частоты генов, соблюдается следующее соотношение:

[А — В —] [aabbl = [А — bb] [ааВ —].

Частоты генов можно рассчитать из сумм, приведенных в табл. (ЗР). Так,

q1 = [ааВ —] + Vaabb], и2 = [А — bbl + laabb],

В качестве примера приведем здесь результаты исследований Филипа [515], который собрал и изучил случайную выборку жуков-полифагов \Dermestes vulpinus), взятых с овчин, хранящихся в лондонских доках. Путем различных скрещиваний было показано, что темная окраска крыльев (А) доминирует над светлой (а), а черная окраска тела (В) — над коричневой ^Ь). Результаты классификации по этим двум признакам 152 жуков приведены в табл. 10.2. Из нее видно, что наблюдаемые и ожидаемые численности жуков очень хорошо согласуются друг с другом.

Таблица 10.2

Частоты встречаемости четырех фенотипов Dermestes vulpinus [515]

. Фенотип

Темные крылья

Светлые крылья

Сумма

черное тело А—В—

коричневое тело Л—bb

черное тело ааВ —

коричневое тело aabb

Наблюдаемая численность

Наблюдаемая частота

35

0,2303

24

0,1579

61

0,4013

32

0,2105

152

1,00

о2 = 0,3684,q^ = 0,6118

Ожидаемая частота

Ожидаемая численность

0,2452 37,3

0,1430

21,7

0,3864

58,7

0,2254

34,3

1,00

152

Х2 = 0,60; df = 4— 2—1 = 1; 0,30< уровень значимости<0,50

ОТНОШЕНИЯ СНАЙДЕРА ДЛЯ ДВУХ ЛОКУСОВ

Рассмотрим четыре фенотипа, получающиеся в том случае, когда ген А доминирует над геном а, а ген В — над Ь. Обозначим эти фенотипы и их частоты следующим образом:

/?(!) = (Л —В—)Е(2) = (Д —to)

^ = (1-^(1-^) £2 = (1-^)У2

L (3) = (ааВ —)R (4) = (aabb)

Ls = 7а(1 — и2)R4 = qV

В нескольких словах объясним систему обозначений. Символы (1), (2)‘, (3) и (4) обозначают четыре фенотипа по любой из двух пар генов с доминированием. У человека преобладающее развитие правой или левой руки долгое время считалось признаком, определяемым двумя парами генов [544]. В частности, Леви и Нагилаки [342] предположили, что фенотипы (1) и (4) свойственны праворуким людям, а фенотипы (2) и (3) —левшам. Таким образом, дополнительные буквы R или L рядом с цифрами (1), (2) и т. д. поставлены здесь для удобства в расчете на читателей, интересующихся наследованием право- и леворукости у человека. По-видимому, можно различить два типа левшей: L (2) — это левши с доминантным центром речи в левом полушарии и L (3) — левши с до- минатным центром речи в правом полушарии. Точно так же R (1) — обычный правша, имеющий доминантный центр речи в левом полушарии, a R (4) — правша с доминантным центром речи в правом полушарии; последние составляют лишь малую часть популяции. Для признаков, не связанных с развитием той или иной руки, буквы R и L можно- опустить.

При наличии четырех фенотипов получается десять фенотипических вариантов скрещиваний, как показано в табл. 10.3. Мы хотим узнать тип расщепления для каждого фенотипического варианта скрещивания.

Напомним (гл. 2, § 4), что для одного локуса с доминированием (А, а) среди скрещиваний типа Дом X Рец и Дом X Дом доли потомков, гомозиготных по рецессивному гену, равны соответственно

5 = -^5 = -^22(9)(9)

5 = -^

5 = -^

2

2

(9)

(9)

Аналогичным образом для пары (В, Ь) соответствующие доли составляют■

Т = ^-,=(9')

1 + оU + v/V ’

Одновременное и независимое расщепление по двумя парам генов можно выразить в виде отношений Снайдера (9) и (10), выведенных для одной пары. В качестве примера рассмотрим скрещивания типа R (1)ХД (1), или просто (1)Х(1) = (А—В—) X (А—В—). Фактически они представляют собой скрещивания типа Дом X Дом для двух пар генов. Соотношения, получающиеся при расщеплении, можно рассчитать по следующей схеме:

Доминатный (5 —)Рецессивный (66)

1 у272

(1 — S2) (1 — Г2) S2 (1 — 72)(1 — S2) (1 — Г2) S2 (1 — 72)(1 — S2) Г2S2 72(1 — S2) Г2S2 72Доминантный, 1—S2 (А—)

(1 — S2) (1 — Г2) S2 (1 — 72)

(1 — S2) (1 — Г2) S2 (1 — 72)

(1 — S2) Г2

S2 72

(1 — S2) Г2

S2 72

Рецессивный, S2 (аа)

Эти величины даны в табл. 10.3. Тип (А—В—) х (А—В—) представлен десятью генотипическими вариантами скрещивания, поскольку фенотипу (А—В—) отвечают четыре генотипа. Соотношение (10) легко проверить, выписав десять генотипических вариантов скрещивания и рассчитав частоты соответствующих генотипов в потомстве. «Соотношения» при расщеплении всех других типов скрещивания получаются аналогичным образом; их можно назвать соотношениями Снайдера для двух локусов.

Таблица 10.3

Две пары аутосомных генов с полным доминированием в каждой,дающие четыре фенотипа. Десять фенотипических вариантов скрещиванийи доли фенотипов, получающихся при расщеплениив панмиктической популяции. S=^/(l+^), Г=о/(1+и)

Родители

Потомки

(1)

A — B —

RW

aabb

L(2)

Л — 66

L (3) aaB —

RWXRW

(1 — S2) (1 — T2)

52 72

(1 — S2) T2

S2(l — T2)

RW XR(4)

(1 — S) (1 — T)

ST

(l—S)T

S (1 — T)

R (4) X R (4)

0

1

0

0

^(1) XL(2)

(1 — S2) (1 — T)

S2T

(1 — S2) T

S2(l — T)

R(l) XL(3)

(1 —S) (1 — T2)

ST2

(1 — S) T2

S (1 — 72)

R (4) XL (2)

0

. s

1—s •

0

R(4)XL(3)

0

T

0

1 — T

L (2) X L (2)

0

S2

1 — S2

0

L(2) XL(3)

(1 —S) (1 — T)

ST

(1— S)T

S(1 — T)

L(3) X L (3)

0

^2

0

1 — T2

Из табл. 10.3 видно, что типы расщепления в скрещиваниях (1)Х X (4) и (2) X (3) идентичны. Каждый вариант скрещивания (фенотипический) состоит из четырех генотипических скрещиваний. Идентичны не только их групповые типы расщепления, но, кроме того, каждый индивидуальный вариант генотипического скрещивания в одной группе имеет соответствующий ему вариант скрещивания в другой группе с таким же типом расщепления (общий множитель 2 при частотах опущен):

(1) X (4)

Частота(2) X (3)

ААВВ Xaabb ААВЬХ aabb АаВВ xaabb АаВЬХ aabb

р2 р2 «2 и2 ААbb X ааВВ p2q2 2«о3 AAbb X ааВЬ 2рр3«2о2 AabbXaaBB 2pq3 2uv3 Aabb X ааВЬ

R1R4—L2L3

Таким образом, в панмиктической популяции типы скрещиваний АаВЬх Xaabb и AabbXaaBb встречаются с одинаковыми частотами и дают каждый в потомстве -^-(AaBb, Aabb, ааВЬ, aabb).

«ДУПЛИКАТНЫЕ» И КОМПЛЕМЕНТАРНЫЕ ГЕНЫ

Рассмотрим теперь случай «дупликатных» генов, когда рецессивный признак дают только генотипы aabb, а другие восемь генотипов являются доминантными; их общая частота в обычной популяции равна 1—q2v2. Таким образом, здесь имеется всего три различающихся типа скрещивания (точно так же, как и в случае с одной парой генов при наличии доминирования). Величины q и и нельзя оценить по отдельности из случайной выборки. Мы можем узнать только их произведение qu, воспользовавшись соотношением (,qo)2 = [aabb],

.Таблица 10.4

Типы скрещиваний и потомки для случая двух пар дупликатных генов

с доминированием

Тип скрещивания и его частота

Потомство с рецессивными признаками, aabb

частота по всей популяции

частота для данного типа скрещивания

36 Дом X Дом

q1 и2(1 — ро)2

( qv V _ 8

(1 —р2 и2)2

\ 1 + qu У

8 Дом X Рец

2^з уз( ] — qy^

qy с

2р2 о2(1 — р2 о2)

11~ °1

1 A-qy

1 РецХРец (ф2 о2)2

~^ и4

1

Для всех 45 скрещиваний

^2 у2

Из 45 генотипически различных скрещиваний (8Х9)/2 = 36 скрещиваний принадлежат к типу Дом X Дом, 8 — к Дом X Рец и один — к типу РецХРец. Частоты скрещиваний и частоты появления соответствующих потомков приведены в табл. 10.4. Дважды рецессивных потомков дают только 6 из 36 скрещиваний между доминантными формами (см. упр. 8), тогда как из 8 скрещиваний между доминантными и рецессивными формами таких потомков дают 3 скрещивания. Отметим, что доли рецессивных форм среди потомков от скрещивания данного типа совпадают с отношениями Снайдера [(5), гл. 2], за исключением

того, что вместо q здесь стоит qv. Поэтому метод, изложенный в § 3 гл. 2, не позволяет различать случаи с дупликатными генами и одной парой генов [359]. Это становится очевидным, если мы положим, что «рецессивными» являются лишь гаметы (ай) (их частота равна qv), тогда как три других типа гамет «доминантные» и встречаются с частотой 1—qv. Аналогичная ситуация имеет место при трех и большем числе пар дупликатных генов. Два случая можно выделить по расщеплению в семьях, способных давать потомков с рецессивным признаком. В случае одной пары генов единственным вариантом скрещивания типа ДомХ ХДом, дающим потомков с рецессивным признаком, является АаХАа. Независимо от частоты генов во всей популяции ’Д потомков от этого скрещивания обладает рецессивным признаком. Как отмечалось выше, в случае дупликатных генов число типов скрещивания, способных давать потомков с рецессивным признаком, равно 6. Доли этих потомков

, 111

могут быть равны —, — или —; средняя доля зависит от частот скрещиваний (и, таким образом, от частот генов), но она всегда меньше-^- . На практике, однако, из-за небольшого размера группы сибсов у человека это различие не всегда выражено.

И наконец, рассмотрим случай комплементарных генов, когда признак проявляется при наличии обоих доминантных генов. Назовем фенотип А—В—, встречающийся в популяции с частотой (1—д2) (1—и2), «Дом», а другие фенотипы (А—аа, ааВ—, aabb все идентичные друг Другу), встречающиеся с частотой ^2 + и2—q2v2,— «Рец». Здесь также имеются только три различимых типа скрещивания: десять скрещиваний типа ДомХДом, двенадцать — типа ДомХРец и пятнадцать-—типа РецХРец. Характерной особенностью этого типа взаимодействия генов в отличие от случаев дупликатных генов и одной пары генов является способность скрещиваний всех трех типов давать потомков как типа Дом, так и Рец. Можно показать, что доля Рец-потбмков от всех десяти скрещиваний ДомХДом равна

2222222 / —162 / —16

2

2

2

2

2

2

2 / —

16

2 / —

16

Мы не будем перечислять здесь все результаты скрещиваний. Достаточно сказать, что Дом-потомки составляют более — потомства от скрещи- 7

вания ДомХДом, а Рец, таким образом, менее—; доля Дом-потомков 16

от скрещиваний ДомХРец обычно намного превышает—, поскольку 4

одни только скрещивания AaBbXaabb дают^- ДаВЬ; остальные девят-

1 з—, —■ или всех потомков типе 24получить любые доли Дом- и (гл. 4) к случаю двух сцеплен-1 з—, —■ или всех потомков типе 24получить любые доли Дом- и (гл. 4) к случаю двух сцеплен-. 3 надцать скрещивании могут давать —,

1 з

—, —■ или всех потомков типе 24

получить любые доли Дом- и (гл. 4) к случаю двух сцеплен-

1 з

—, —■ или всех потомков типе 24

получить любые доли Дом- и (гл. 4) к случаю двух сцеплен-

Дом; от скрещиваний РецХРец можно Рец-потомков. Применение метода ПО ных локусов дано в работе [324].

КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ПРИЗНАКИи генетическая дисперсия

Определить генетическую дисперсию количественного признака, контролируемого двумя локусами, гораздо сложнее, чем в случае одного локуса. Чтобы сохранить преемственность в изложении, мы опять

(Н)(Н)применим метод ортогональных контрастов, уже использованный нами в случае с одним локусом (гл. 3), а затем рассмотрим эквивалентную методику для арифметических расчетов различных компонент генетической дисперсии. Обозначим значения количественных признаков девяти генотипов через Уц:

(Н)

(Н)

вв

вь

ЪЪ

лл

r2i

Аа

Г12

Гц

^10

аа

У 02

У от

У 00

Основное предположение, на котором основаны последующие рассуждения, заключается в том, что частоты девяти генотипов даются разложением (р+7)2(и + и)2 [см. соотношения (3) для популяции со случайным скрещиванием]. Предполагается, что количественные значения У генотипов не имеют селективной ценности (по ним нет отбора); если отбор все-таки действует, то предполагается, что его влияние недостаточно для того, чтобы существенно нарушить равновесное распределение (3). Если количественное значение признака строго определяется отбором, то распределение генотипических частот должно выражаться формулой (4), и анализ будет более сложным.

Напомним, что, согласно гл. 3, в панмиктической популяции линейный и связанный с доминированием контрасты для трех генотипов по любому единичному локусу будут следующими: .

АА

Аа

аа

ВВ

ВЬ

ъь

L:

2q

q-p

-2р

2v

V—и

2и

D:

q2

—pq

Р^

У2

—UX)

«2

Они приведены в верхней части табл. 10.5; первая группа контрастов L и D относится к генотипам локуса (А, а), а вторая — к генотипам локуса (В, Ь). Дисперсия, полученная из этих контрастов, обусловлена «главными эффектами» «факторов» А и В соответственно, если пользоваться терминологией экспериментальной статистики. Оставшиеся четыре контраста, приведенные в нижней половине табл. 10.5, связаны с «взаимодействиями» двух факторов. Взаимодействие «линейный» X X «линейный», обозначенное LL, определяется перемножением соответствующих коэффициентов двух контрастов L. Таким образом, первый коэффициент LL равен 2</2и. Аналогично взаимодействие «линейный» X«доминантный» (обусловленный доминированием), обозначенное через LD, определяется перемножением соответствующих коэффициентов контрастов L по локусу (А, а) и контрастов D по локусу (5, Ь). Таким же образом находят коэффициенты остальных контрастов. Итак, согласно табл. 10.5, всего получается восемь ортогональных контрастов, дающих восемь компонентов суммарной генетической дисперсии o^h^-Y^.

С помощью коэффициентов (с), приведенных в табл. 10.5, обычным образом можно рассчитать каждую компоненту генетической дисперсии. Если 0 = SfcE— величина контраста, то для любого данного ряда дисперсия, обусловленная таким контрастом, согласно гл. 3, равна 02/2Д2. Дисперсию главных эффектов (частных сумм) можно рассчитать любым из рассмотренных в гл. 3 методов для одного локуса, используя три частных средних значения У для трех генотипов такого локуса. Рассчитаем, например, первый контраст L из табл. 10.5.

12—322

Значения количественных признаков (У) генотипов, их частоты (/) и восемь ортогональных контрастов: /.—линейный контраст, D — контраст за счет доминирования, LL — взаимодействие «линейный»Х«линейный» и т. д. [65]

ВВ

АА ВЬ

bb

BB

Aa

Bb

bb

BB

aa

Bb

bb

Y

У=2

Г21

Y20

У12

. yn

Y io

Yto

Y6i

y№

f

р2 и2

Р22пу

рй у2

2pqu2

2pq2uv

2pqy2

q2 u2

q2 2uu

q2 y2

L

2q

2-7

2q

q — p

q__p

q — p

-2p

— 2p

-2p

D

q2

р2

q2

— pq

— pq

— pq

P2

P2

p2

L

2у

У — и

— 2и

2y

y — U

— 2u

2v

v — u

— 2u

D

У2

Щ)

и2

a2

— uy

u2

y2

— uy

u2

LL

2р2у

2q (у — и)

— 2q2u

(q — p) 2y

(q—p) (v — u)

— <q— p)2u

— 2p 2y

-2p(y —

u) 2p'2u

LD

2ду2

— 2quu

2qu2

(q—p) v2

— (q — p) uy

(q — p) u2

— 2py2

+ 2puy

— 2puj

DL

2р2 о

q2 (у — и)

— 2q2u

— 2pqu

— pq{y — u)

2pqu

.2p2 у

p2 (v — u)

— 2p2u

DD

q2 у2

— q2 uv

q2u2

— pqv2

+ pquy

— pqu2

p2 V2

— p2 uv

p2 u2

6 = ^cY = 2qp'2Y4_ + 2pq (q —р) У, — 2pq^ Yo. = = 2pq [р (У2. - Уд) + q (KL - Уо)] = 2pq^

где У2 = «2У22+2ииУ21 + и2У2о — среднее значение количественного признака для генотипа АА. Аналогичным образом У] и Уо — средние значения для генотипов Аа и аа. Приведенное выше выражение для 6 идентично (33) из гл. 3. Знаменатель 2fc2 преобразуется в 2pq, и для локуса (Л, а)

что совпадает с соответствующим выражением для одного локуса. Дисперсию доминирования можно рассчитать таким же способом, как и раньше. Соответствующий пример рассмотрен в табл. 10.6.

Таблица 10.6

Расчет главных эффектов и компонент дисперсии, связанных с «факторами» (Л, а) и (В, 6), которые имеют частоты (р, р) = (0,4; 0,6) и (и, у) = (0,75; 0,25)

Значения количественного признака для генотипа, УЧастота генотипа, /

вв

ВЬ

ьь

ВВ

ВЬ

ьь

АА'

18

12

6

0,09

0,06

0,01

Аа

11

28

5

0,27

0,18

0,03 .

аа

3

5

7

0,2025

0,1350

0,0225

Суммарная

генетическая

дисперсия ff2 =SfY2— У2=219—

(12)= =

75,00

/ Y

Локус (Л, а)

VДУ

Д2У

Локус (В

/ V

Ь)

fАУ

Д2У

АА0,1615

Аа0,4817

аа0,364

0,40—2

0,60+13

— 15

ВВ 0,5625 9,24 ВЬ 0,3750 17,16 ЬЬ 0,0625 5,88

0,75 —7,92

0,25 +11,28

—19,20

Локус (Л, а)

Локус (В, 6)

Сумма

о2 = 0,48(7)2 = 23,52

о2 = (0,4)2 (0,6)2 (15)2 = 12,96

Од = 0,375 (3,12)2 = 3,6504

' о2 =(0,75)2 (0,25)2 (19,2)2=12,96

ов = 27,1704 a~D =25,9200

Сумма а^д> ^ = 36,48

ff2B-b)= 16,6104

53,0904

Компоненты, обусловленные взаимодействием, мы до сих пор не рассматривали. Однако, пользуясь табл. 10.5 и общепринятой методикой получения 62/2fc2, всегда можно провести расчет для любого данного ряда (контраста). Выполнив обычные алгебраические преобразования, можно убедиться, что такой расчет эквивалентен следующей арифмети- 12*

Таблица 10.7

Расчет взаимодействий между двумя локусами. Значения количественных признаковдля генов У

АААА18126112853571812611285357BB Bb bbBB Bb bbАа ааАа аа

АА

АА

18

12

6

11

28

5

3

5

7

18

12

6

11

28

5

3

5

7

BB Bb bb

BB Bb bb

Аа аа

Аа аа

ческой процедуре. Выпишем значения количественных признаков для девяти генотипов так, как это сделано в (11), чтобы было ясно соответствие между генотипом и его значением. Найдем теперь разности первого порядка значений У, используя коэффициенты, приведенные в табл. 10.7 для конкретного числового примера. Например, разность, приведенная в верхнем левом углу табл. 10.7, есть

Д22 = У22 — У21 — У12 + Уп = 18— 12- 11 + 28- 23.

Другие три разности первого порядка рассчитываются таким же образом.

Следующий шаг — это вычисление разностей между полученными разностями первого порядка («поля» табл. 10.7). Например,

Д22 — Д21 = 23 — (— 17) = 40.

Их можно рассматривать как частные разности второго порядка. И наконец, вычисляем полную разность второго порядка, равную разности между этими частными разностями:

(Д22 Дг1) (А12Д11) = Д22Д21Д12 + Д11-

Все разности берутся с соответствующим весом аналогично тому, как это было для случая одного локуса (гл. 3) или тетраплоидов (гл. 8). Распределение исходных значений У определяется разложением (p+g)2(u+y)2. Четыре разности первого порядка берутся с весами, равными соответствующим членам разложения (р+^^ы+у) г = ри-\-ри + + qu + qv. Таким образом,

(V = put^ + руД21 + quA^ + qu&n =

= 0,30(23) + 0,10 (— 17) + 0,45 (— 15) + 0,15(25) = 2,20. (12)

Частные разности второго порядка «взвешиваются» по членам разложения (p + q)1 (и + У)° = р + <7 или (р + <7)°(ы + и)1 = и+У. Таким образом,

^LD = р (Д22 ' Д21) + 9 (Д12 Д11) =8,00,03)

Руд = и (Д22 ' Д1г) + У (Д21Д11) = 18,00.

Наконец, полная разность второго порядка имеет вес 1: (р + <7)°(ы + + у)°=1.

Fdd = д22 - Д21 - д12 + Дн = 23 - (—17) — (— 15) + 25 = 40+40=80. (14)

Рассчитав таким образом р, можно вычислить компоненты дисперсии, обусловленные взаимодействием

о2д = 2pq-2uy^LL = (0,48) (0,375) (2,2)2 = 0,8712

o2LD = 2pq.u^2LD = (0,48) (9/256) (8)2 = 1,0800

o2DL = p^.2uy^2DL = (0,576) (0,375) (18)2 = 6,9984

у2о = pV-uWdd = (0,0576) (9/256) (80)2 = 12,9600

Сумма = 21,9096

Согласно табл. 10.6, суммарная дисперсия, обусловленная главными эффектами, равна 53,0904, поэтому

53,0904 + 21,9096 = 75,00 = а2у.

Таким образом, полная генетическая дисперсия для девяти генотипов подразделяется на восемь компонент: четыре из' них обусловлены главными эффектами и четыре — взаимодействиями. Кокерхэм [65] рассмотрел также более общий случай, чем простая панмиктическая популяция. Восемь компонент дисперсии можно получить еще и методом производных [314—315].

КОРРЕЛЯЦИЯ МЕЖДУ РОДСТВЕННИКАМИ

Чтобы рассчитать корреляцию между родителями и потомками или между полными сибсами (или любыми другими парами родственников), нужно найти только их ковариацию, поскольку дисперсия равна

Оу. Кокерхэм [65] разработал -метод расчета ковариации, отметив при этом, что «хотя конечный результат и прост, получить его довольно трудно...». Метод основан на построении таблицы совместного распределения для двух родственников. Кемпторн [275—279] для популяции со свободным скрещиванием получил аналогичный результат другим методом.

Если мы обозначим через о£ и о^ соответствующие суммарные дисперсии для двух локусов (как показано в табл. 10.6), а через o^D— сумму Одд+^дд из (15), то генетическую дисперсию можно подразделить следующим образом:

^ = ^L + ^ + О^ + ^р + <7^. (16)

Следует помнить, что пять членов этого выражения представляют собой результат частичного объединения восьми компонент. Ковариация между родственниками записывается в виде

Cov (родитель—потомок) = V^ + XI^LL, (17)

Cov (полные сибсы) = 72^ + 74а^ + 74б^д + 78o^D + V16ct^d, (18)

Cov (полусибсы) = 74a£ + VigO^.

Разделив ковариацию на дисперсию а^, мы получим относительную корреляцию между родственниками. Кокерхэм [65] рассмотрел также и корреляцию в популяции с инбридингом. Выражения (16), (17), (18) можно обобщить на случай любого числа локусов. Число компонент очень быстро возрастает вместе с числом локусов, однако тех уравнений, которые выводятся из наблюдаемых значений, недостаточно, чтобы найти отдельные компоненты. Говоря словами Кемпторна [275], «цель в этом случае состоит в том, чтобы найти полное решение лишь для модельной популяции».

АДДИТИВНЫЕ ЭФФЕКТЫ ГЕНОВИ ПОЛНОЕ ДОМИНИРОВАНИЕ

Рассмотрим два частных случая. Более простой из них — когда генные эффекты двух локусов аддитивны в отношении количественного признака. Если ai —эффект гена А (т. е. 2аь оь 0 для АА, Аа, аа), а2— эффект гена В (2а2, аг, 0 для ВВ, Bb, bb) и нет эпистаза, то значения количественных признаков для генотипов ¥ц будут следующими:

ВВ

ВЬ

bb

АА

2а, + 2а2

2а4 + а2

2а,

(19)

Аа

а, + 2а2

«1 + а2

«1

аа

2а2

а2

0

Здесь 0 — произвольно выбранное начало отсчета. Зная частоты генотипов (3), легко найти среднее и дисперсию:

Y = 2/701, + 2«а2,о^, = Ipqa^ + 2ыиа2.(20)

Они являются суммами средних и дисперсий для пар генов, взятых по отдельности; это верно для любого числа локусов. Если генные эффекты аддитивны, то среднее и дисперсия тоже аддитивны. В таком случае ^=0^ и доминирование или взаимодействие компонент отсутствуют.

Второй случай связан с полным доминированием генов Л и В над своими аллелями а и b в отношении количественного признака, так что : имеются всего четыре различных значения Y:

ВВВЬ :66

АА

Аа

Уц i Ую

уу:у(21)

г 11г 11 ■г 10

аа

У ciУ01:Y оо

Линейная и доминантная компоненты для одной пары генов (основанные на частных средних У) уже были получены нами в гл. 3 [формулы (40)], теперь в этих формулах нужно заменить средние Yi. на У] и Уо. на Уо. Отметим, что при полном доминировании У2.= У1.. Это справедливо для пары генов (В, 6). Значит, нам нужно исследовать только компоненты, обусловленные взаимодействием. Согласно табл. 10.7,

А22 = 0,Д21 = 0,(22)

Аи = 0,Д11 = кц-Г1о-Го1 + Гоо = /С,

и наши основные формулы (12) — (14) принимают вид

^LL = qX)K, ^LD = -qK, VDL = -VK, ^Dd = K, (23)

а формулы для дисперсии (15) записываются так:

cIl = 2pq-2uu.<quK)\ O^D = 2pq-uV.(qK)\^

□dl = p^-^uu (уКУ, Одд = pV-uV-K?.

Суммарная дисперсия, обусловленная взаимодействием (сумма четырех компонент), записывается в виде

(25)(25)о^^О — ^уД! — у2) Ка.

(25)

(25)

Это выражение получил Райт [693]..

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПАР СИБСОВИ СЦЕПЛЕНИЕ

Как мы видели, при случайном скрещивании и в отсутствие отбора равновесное распределение двух локусов (как сцепленных, так и несцеп- ленных) определяется разложении (p + qP^u + y)2. Поэтому в популяции в целом между двумя признаками, определяемыми двумя парами сцепленных генов, не будет никакой связи. Для определения и оценки сцепления в человеческих популяциях в каждом конкретном случае требуются специальные методики. Этому вопросу посвящены две великолепные книги [14, 438] и общий обзор [569а]. В приложении к этой главе мы вкратце остановимся на одном из таких методов, а именно методе пар сибсов, предложенном Пенроузом [504, 507]. В этом случае нет необходимости иметь данные по потомству — метод опирается на данные только по одному поколению. Ниже предполагается полное доминирование по обоим локусам.

Девять генотипов дают 45 типов скрещивания. Из них информацию о сцеплении несут лишь четыре типа, а именно:

АаВЬ X aabb,АаВЬ X Aabb,

АаВЬ X ааВЬ,АаВЬ X АаВЬ.(26)

Чтобы выявлялся эффект сцепления, по крайней мере один из родителей должен быть двойной гетерозиготой (АаВЬ). Другой родитель может иметь генотип aabb, Aabb, ааВЬ. Все остальные скрещивания не дают никакой информации о сцеплении. Сцепление выявляется легче, если доминантные гены (Л или В) редки, поскольку тогда высоки частоты генотипов aabb, Aabb, ааВЬ, АаВЬ. В общем сцепление для редких рецессивных генов выявить очень трудно. Используя метод пар сибсов, мы предполагаем, что как доминантные, так и рецесссивные признаки встречаются в популяции достаточно часто. Поскольку большинство скрещиваний в отношении сцепления не информативны, для доказательства сцепления необходимо просто иметь большое число пар сибсов.

По первому признаку (контролируемому А, а) все пары сибсов можно разбить на три типа:

Дом—Дом,Дом—Рец,Рец—Рец.

Аналогичным образом можно разбить пары сибсов и по второму признаку (контролируемому В, Ь). Следовательно, в отношении обоих признаков пары сибсов можно подразделить на девять (3X3) типов. Суть метода заключается в том, чтобы найти частоту этих девяти типов как функцию силы сцепления и сравнить ее с частотой в отсутствие сцепления.

Рассмотрим в качестве примера самый простой тип скрещивания из (26) — (AaBbXaabb). Двойная гетерозигота для одного из родителей может находиться в фазе притяжения или отталкивания. Выход гамет, образующихся от такого скрещивания, уже был рассмотрен нами [см. (7)]; мы приведем его здесь в несколько другом виде:

Гаметы:

(АВ)

(ЛЬ) 1

(аВ)

(об) у(*-Я)

Фаза притяжения:

уО-я)

(27)

Фаза отталкивания:

1

уО-Я)

У(1-Я)

1

7*

Здесь В — доля кроссоверов между двумя локусами. Родитель с двумя рецессивными признаками продуцирует только гаметы (ab). Следовательно, доли гамет (27) являются также долями соответствующих фенотипов среди потомства. Верхняя часть табл. 10.8 дает частоту 16 возможных пар сибсов от скрещивания АаВЬхааЬЬ. Объединив пары сибсов соответственно фенотипам в отношении признаков (А, а) и (В, Ь), мы получим 3X3 = 9 типов пар сибсов, перечисленных в нижней части табл. 10.8. Поскольку АВ)аЬ и BblaB имеют одинаковую частоту и фаза у родителя неизвестна, мы объединим две нижние части табл. 10.8 и по

лучим среднюю частоту.

Дом—Дом

1

2

Я(1-Я) у

(1-«Ну/г2

1

4

Дом—Рец

4-^(1-^)

- Я)2 + у R2

уЖ1-я)

2

4

Рец—Рец

1

2

R(X-R) у

(1-1?р + -^л2

1

4]

Признак (Л, а)

Признак (В, 6)

Дом—ДомДом—РецРец—Рец

121

444(28)

Сибс

Сибс

Сибс

АаВЬ

Aabb 1

aaBb 1

TR

aabb y('-*>

Сибс

АаВЬ

TR

Aabb -^-R)

aaBb

у (1-Л)

aabb

1

АаВЬ Y(l — R)

~^-R)2

^^~R}

4-ro-o

T<i-*)2

TR

TR‘

T*U-*)

TR=

Aabb -~ R

-^Rd-R)

tr‘

TR=

T*(1-*)

Y

T*0"^

{(I-/?)2

Y^i-Л)

aaBb y" R

~R^~R)

tr‘

tr1

Y(I-*)

Y*o-*)

Т^)2.

y(l-^

y^d-^)

aabb -^- (1 — R)

"T^R?

Y*^-*)

■yRM)

4

yd-^

1

TR

t*1

-7^(1-^)

Таблица 10.8

Пары сибсов, происходящие от скрещивания AaBbXaabb

Фаза притяжения (.ABiab') у родителяФаза отталкивания (AblaB) у родителя

После объединения 16 пар сибсов в 9 типов

по каждой фазе

T «'-о

TR‘

Yd-WY^2

Y^1^)

T-o

Y^1-^

Yd~*)2

Дом—Дом

Признак (А, а) Дом—Рец

Рец—Рец

Признак (В, 6)

Дом—ДомДом—РецРец—Рец

TR1

Y *(!-*)

Yd-*)2

Y *(!-*)

y^-^+y^2

Y *(’-*)

4-0-0=

Y*d-*)

TR=

Признак (В, Ь)

Дом—ДомДом—РецРец—Рец

Если сцепления нетЕсли сцепления нет, то ожидаемые частоты этих пар сибсов

Если сцепления нет

Если сцепления нет

12

будут —, — и т. д. Превышение в частоте, обусловленное сцеплением.

для первого типа пар (т. е. Дом — Дом для признака А, а и Дом —Дом для признака В, Ь) составляет

L1= — (1 — Я)а + — Я2 — — = — fp-V.(29)

18 V '8164 \2 /'

Если R=~" ’ т0 £1 = 0. Проделав те же выкладки для других типов пар, мы получим следующие отклонения от ожидаемых величин при отсутствии сцепления:

Дом—Дом—Ut4-^iДом—Рец—2Lt+4Lt-2ДРец—Рец4-^i—2Lt4-^iДом—Дом—Ut4-^iДом—Рец—2Lt+4Lt-2ДРец—Рец4-^i—2Lt4-^iДом—ДомДом—РецРец—РецДом—ДомДом—РецРец—Рец(30(30

Дом—Дом

—Ut

4-^i

Дом—Рец

—2Lt

+4Lt

-2Д

Рец—Рец

4-^i

—2Lt

4-^i

Дом—Дом

—Ut

4-^i

Дом—Рец

—2Lt

+4Lt

-2Д

Рец—Рец

4-^i

—2Lt

4-^i

Дом—ДомДом—РецРец—Рец

Дом—ДомДом—РецРец—Рец

(30

(30

Этот тип распределения отклонений характерен для генетического сцепления. Частоты типов, расположенные по углам и в середине таблички (30), при наличии сцепления увеличиваются, а частоты остальных четырех типов уменьшаются. Исследование остальных трех вариантов скрещиваний (26) дает аналогичные результаты. Знак отклонений остается прежним, изменяется только их величина.

AaBbXAabb,AaBbXAabb,(31)(31)AaBbXaaBb, L3=L3= — I R——

AaBbXAabb,

AaBbXAabb,

(31)

(31)

,1 /1 VГ 1/ IV

AaBbXAaBb, L4= — lR—— — + Д— — I

Из сравнения (31) и (29) видно, что эффект сцепления в скрещивании AaBbXAabb составляет только -^- эффекта в скрещивании АаВЬХ

Xaabb. Последний тип скрещивания в отношении сцепления оказывается наиболее информативным. При случайном объединении пар сибсов среднее L (в предположении, что каждая семья дает одинаковое число пар сибсов) равно

(32)(32)L — /i^i 4" /2^2 4- /з^з 4" f4L4,

(32)

(32)

где fi = 2(4pquv)q2u2 — частота скрещиваний AaBbXaabb и т. п.

ОБНАРУЖЕНИЕ СЦЕПЛЕНИЯ ■

Сцепление, конечно, не влияет на распределение пар сибсов в отношении какого-либо одного отдельного признака. Пусть а, Ь, с — частоты пар сибсов Дом — Дом, Дом — Рец, Рец — Рец в отношении признака (А, а) в популяции со случайным скрещиванием, а х, у, z— частоты трех типов пар в отношении признака (В, bf. Точные выражения для этих частот даны в гл. 4. При наличии сцепления распределение пар сибсов в отношении обрих признаков будет следующим:

Дом—Домax-\-Lay—2Laz-VLaДом—Рецbx—2Lby+4Lbz—2LbРец —Рецcx+Lсу—2Lcz-\-LcXУ21Дом—Домax-\-Lay—2Laz-VLaДом—Рецbx—2Lby+4Lbz—2LbРец —Рецcx+Lсу—2Lcz-\-LcXУ21Дом—Дом Дом—Рец Рец—РецДом—Дом Дом—Рец Рец—Рец

Дом—Дом

ax-\-L

ay—2L

az-VL

a

Дом—Рец

bx—2L

by+4L

bz—2L

b

Рец —Рец

cx+L

су—2L

cz-\-L

c

X

У

2

1

Дом—Дом

ax-\-L

ay—2L

az-VL

a

Дом—Рец

bx—2L

by+4L

bz—2L

b

Рец —Рец

cx+L

су—2L

cz-\-L

c

X

У

2

1

Дом—Дом Дом—Рец Рец—Рец

Дом—Дом Дом—Рец Рец—Рец

Пусть в некоторой выборке соответствующие наблюдаемые численно

сти равны

Пц«12«13Пхtill«22«23пг«31«32«33n3N3NsGПц«12«13Пхtill«22«23пг«31«32«33n3N3NsG(34)(34)

Пц

«12

«13

Пх

till

«22

«23

пг

«31

«32

«33

n3

N3

Ns

G

Пц

«12

«13

Пх

till

«22

«23

пг

«31

«32

«33

n3

N3

Ns

G

(34)

(34)

Мы не будем здесь оценивать величину R, а найдем оценку L и установим, насколько она больше нуля. Отметим, что критерий хи-квадрат здесь не подходит, поскольку он не учитывает знака отклонения — условия, принципиально важного при анализе сцепления.

При числовых расчетах удобнее иметь дело с GL, а не с малой величиной L. Метод Пенроуза состоит в следующем. Во-первых, рассчитывают ожидаемые в отсутствие сцепления численности Ец. Так,

EU = G^ = G^\^\ = — -\ и / \ и / и

Во-вторых, находят отношения п^/Ец. При сцеплении они должны быть больше единицы для ячеек в четырех углах матрицы и в центре и меньше— для четырех других ячеек. В-третьих, определяют величину

1F = пи1Еи — ^п^Ехг + п13/£13 — 2»21/£21 + 4»22/f22 — 2»23/f23 +

+ M3i/^3i2п32/Е32 4- п33/Е33.(35)

В идеальном случае пц = О (ax+L), En — G(ax) и т.д. и соотношение (35) имеет вид

Й7 = 1 + Е/ах — 2 + 4L!ay + 1 + Llaz — 2 + Wbx + 4 + \6L!by — — 2 + ^Llbz + 1 + Elcx — 2 + MJ су + 1 + Llcz =

= gl-g(— + — + — V— + — + — V(36)

(nt na ng / \M N2 N3 /'

Следовательно, W есть оценка W. Если сцепления нет, то L=0, W=0, и значения IE колеблются около нуля. И наконец, на последнем этапе делят W на

(37)(37)/ = G(_L + A + _LVJ_ + A+ и

(37)

(37)

V nY «2«3 / \м n2 n3 /

и получают оценку_бЕ. Дисперсия для GL равна просто 1/7, стандартная ошибка—1/ VJ, так что предположение о том, что GL=0, можно проверить обычным способом. Соответствующие примеры на применение этого метода можно найти у Ли [374].

В качестве альтернативы можно было бы оценить величину L методом максимального правдоподобия, используя вероятности (33), наблюдаемые пц (34) и считая известными частные распределения. Проделав все это, получим уравнение для оценки

яп 2п12 Ъз 2^21।4п22 ,,, Q (38)

ax-pL ay — 2L az-pL bx— 2Lby + 4L’

решить которое очень трудно. Используя аргументацию Твиди [628, см. в [571], т. 2, стр. 421—423], можно взять обратную величину каждого члена уравнения (38), оставив, как есть, d(GL)jdL=G, и получить следующее уравнение: .

ах'Ц- L 2 (ау— 2D) . az-pL 2 (bx—2D) . 4(6y + 4L)„ /огн

.—• • • (J^ ^ОУ

^11//12^13^21^22.

которое линейно no L [411]. Полученная таким способом оценка является асимптотически эффективной как оценка максимального правдоподобия и поэтому для больших выборок имеет такую же дисперсию. Если каждая семья имеет по одной паре сибсов, то дисперсию можно найти обычным способом.

ПРИМЕЧАНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ

Предполагая, что имеет место случайное скрещивание, рассчитайте доли зигот и гамет в нескольких следующих поколениях приведенных ниже исходных популяций:

0,02

0,14

0,05 "

" 0,01

0,04

0,16 '

0,04

0,08

0,06

0,04

0,20

0,14

_ 0,07

0,12

0,42 _

_ 0,03

0,10

0,28

Обратите внимание на симметрию первой популяции. Что можно сказать о второй популяции?

Имеются две популяции, одна из которых содержит в равных долях особей четырех гомозиготных генотипов, а другая — особей четырех типов, гетерозиготных по одному локусу:

0

44

000,

11

— о — 44

11

—0—

44

. 0 т 0 .

Найдите в каждом случае продукцию гамет. Определите состав следующего поколения при свободном скрещивании. Каким будет состав гибридной популяции, получившейся в результате скрещивания особей этих двух популяций случайным образом?

Покажите, что

оо00000000р2 IГ002pq_ X00q2 __и22иир2 IГ002pq_ X00q2 __и22ии0 0У20 0У2~ 0 0о~ 0 0оОО -ри ри quqv _ОО -ри ри quqv _

о

о

0

0

0

0

0

0

0

0

р2 IГ00

2pq_ X00

q2 __и22ии

р2 IГ00

2pq_ X00

q2 __и22ии

0 0

У2

0 0

У2

~ 0 0

о

~ 0 0

о

ОО -

ри ри quqv _

ОО -

ри ри quqv _

Приведенный выше символ X имеет биологический смысл —он обозначает скрещивание популяций, а не перемножение матриц. Гибридная популяция образуется при свободном объединении гамет, даваемых

двумя родительскими популяциями. Покажите, что продукция гамет и частоты генов в популяции «Fp будут следующими:

В

6

Сумма

А

1

Три

1 , 1

— ри + — ри

1

тр

а

— qu+~ ри

9У + " (py + qu) 4- -у ри

-7 (1+4)

Сумма

1

■— и

2

-уО+у)

1,00

Заметим, что определитель матрицы для гамет d1=0. Каким будет в этом случае состав следующего поколения при случайном скрещивании? В работе [48] эти соотношения приведены в другом виде. Будет ли следующее поколение находиться в равновесном состоянии?

Если две пары генов аддитивны и равноценны в своем влиянии на количественный признак, то мы будем иметь пять различных фенотипов со следующими равновесными долями:

Генотип

Ранг признака

Доля в популяции

ААВВ

4

р2и2

АаВВ, ААВЬ

3

2ри (^и+ру)

AAbb, АаВЬ, ааВВ

2

p2y2+4p9zzv+p2H2

Aabb, ааВЬ

1

2^у(ру+^ы)

aabb

0

^2У2

Пусть [4]—доля особей с рангом признака 4 в популяции и т. д. Покажите, что отношение (по [547])

[4][3]

— равно квадрату — .

Это соотношение может служить простым тестом на двухфакторную наследуемость, если действия генов кумулятивны и равны.

В упр. 4 мы в действительности предполагали, что «1 = 02 = 1. Покажите, что средняя величина и дисперсия количественного признака равны соответственно Z=2p+2u и az — 2pq+2uu.

Популяция F2, полученная от скрещивания между двумя чистыми линиями, всегда находится в равновесном состоянии. Кроме того, „1

частоты всех генов, участвующих в скрещивании, равны в ней qt =— •

Покажите, что дисперсия количественного признака в F2 равна -^- За^

предполагая кумулятивное действие генов (в отсутствие доминирования или эпистаза).

Доля потомков, рецессивных по двум парам дупликатных генов ^aabb^, от всех восьми скрещиваний ДомХРец равна 3[ (табл. 10.4), а их доля для трех типов скрещиваний, способных давать потомков aabb, следующая:

Скрещивание

Частота, /

Отношение при расщеплении, г

AaBbXaabb

2q2u2X2pq-2uu

1

4

AabbXaabb

2q2u2X2pq-u2

1

2

aaBbXaabb

2q2u2 X q2 • 2uu

1

2

Суммарная частота таких скрещиваний=2/=2у3г3 {(2р+9) (2«+и)—qu\. Суммарная частота рецессивных потомков=5/г=293у3 {(р+9) (и+ф—qvV

Следовательно, доля рецессивных особей в таких семьях с одним доминантным родителем равна [359]

Р Sjr 1 — qu 1 — qu

Sf (2 — 9) (2 — и) — qu 2(p+u) ‘

Значение Ri лежит между — и — . Такая форма записи позволяет непосредственно обобщить формулу на к пар дупликатных генов.

Ниже в таблице представлены шесть дающих расщепление скрещиваний из 36 скрещиваний ДомХДом. Величина, приведенная внизу третьего столбца, та же, что и в табл. 10.4. Доля особей с рецессивным признаком для всех 36 скрещиваний ДомХДом, как отмечалось в тексте, равна S2, а для шести дающих расщепление семей она равна

•Р (14й)2 р2

Значение ее лежит между Д' и "]^- Можно показать [359], что соотношения R2=R^ и S2=S^ справедливы для любого числа дупликатных генов.

Скрещивание

Частота, f

Доля aabb, r

АаВЬ X АаВЬ ■

(2p9-2uu) X (2p9-2uv)

1

16

АаВЬ XааВЬ

2(2р9-2от) X (qMuu) •

1

8

АаВбX Aabb

2(2pq-2uu) X (2pq-v2)

1

8

ааВЬ X ааВЬ

(q2-2uv) X (92-2uo)

1

4

ааВЬ X Aabb

2(q2-2uu) X (2pq-v2)

1

4

Aabb X Aabb

(2pq-v2) X (2pq-v2)

1

4

Zf = 4q2u2 (p + a)2

Sfr = q2u2 (1 — 9U)2

Как отмечалось в тексте, для комплементарных генов все три типа скрещивания способны давать оба фенотипа. Из существующих 15 скрещиваний типа РецХРец четыре способны давать потомков типа Дом.

Рец XРец

Частота

Доля Дом-потомков

ааВВХААЬЬ

2р292-«2и2

1

aaBBXAabb

4ру3-и?иа

1

2

ААЬЬХааВЬ

4p2qa-ux)3

1

2

Aabb X ааВЬ

Spqi-uv3

1

4

Покажите, что доля Дом-потомков в этих четырех скрещиваниях равна 1/(1+^) (1+^)-

Для любой таблицы сопряженности признаков 2X2 с пропорциональными частотами (см. ниже) при а+Ь=1 и х+у = 1 разность между суммами диагональных элементов равна произведению частных разностей, т. е.

ах

ау

а

Ьх

by

ь

X

У

1

ах+Ьу—ау—Ьх=(а—Ь) (х—у).

И. Предположим, что два типа преимущественного развития правой руки неотличимы, так что по этому признаку имеются только три фенотипа и Р=Р1+Р4=1—L2—L3. Как,'зная распределение фенотипов, оценить частоты генов? Два уравнения можно выписать сразу же:

Л2 = (1 — ^) V2 = (1 — Q)TZ,(I)

L3 = ^(l-y2) = Q(l-V),- (II)

где q2=Q и у2 — V — две неизвестные величины, которые требуется определить. Из (I) К=Л2/(1—Q). Подставив V в (II), получим

Q = ^- {(1 - Л2 + L3) ± V (1-12 + ^)2-4Т3 }. (Ill)

V затем определяется из (I). Таким образом, при каждых L2 и L3 имеются два набора решений для Q и V..

Рассмотрим числовой пример. Предположим, что Л2=0,И и L3 = =0,24. Величина под корнем (III) равна

(1 - L2 + Lsy - 4L3 = (1 + L2 - Ls)2 - 4Ла = 0,25.

Тогда получаются два набора решений:

(Q, V) = (0,30; 0,20) или (0,80; 0,70)

(см. приведенную ниже диаграмму). Выбор между двумя возможно-

стями зависит от того, что мы знаем об Ri и R4. Если они неизвестны, то следует обратиться к изучению расщеплений, приведенных ь табл. 10.3.

1-VV 1-YV

Проверьте, что арифметический способ получения компонент дисперсии взаимодействия эквивалентен методу ортогональных контрастов. В качестве примера покажем это для ОдО; аналогичные вы кладки читатель может проделать затем для других трех компонент. Взяв из последней строки табл. 10.5 величины У, f и коэффициенты с, мы получим

0 = V fcY = pau2q2v2YM — p^troq^uuY гх + ... +

(^pW№ = p2qW [У22 - 2У21 :

+ У20 - 2У12 + 4Y„ - 2У10 + У02 - 2У01 + Уоо]. Выражение в скобках равно роо=Аг2—А21—А12+А11. Знаменатель

^ fc2 = p2u2 (^2и2)2 + p22uv R^uu^ + ... =

= p2^2u2u2 (р J- q)2 (и + и)2 = p2q2u2u2,

так что'

°DD == PVuWddВ (1 5)

Случаи трех и более пар генов, сцепленных или независимых, с двумя или множеством аллелей, диплоидов или автополиплоидов рассмотрены в сериях работ Гейринджер [180] и в более поздних работах; ссылки на них и на близкие по тематике работы других авторов можно найти в обзоре [185]. Для диплоидных форм равновесные доли зигот при панмиксии задаются членами разложения (р>+ +^i)2(p2+92)2..-{ph+qY)2, где pt и qt —частоты генов различных пар. Чем больше число рассматриваемых локусов, тем медленнее устанавливается равновесие в отношении всей совокупности генов.

ГЛАВА 11

Самооплодотворение

В предыдущих главах мы имели дело только с панмиктическими популяциями; в этой и нескольких последующих главах мы рассмотрим популяции с инбридингом. Проблема инбридинга более сложна, чем проблема случайного скрещивания. Изучение в популяции только частот гамет определенных типов не дает адекватной картины. Мы должны изучить по отдельности каждый тип скрещивания, определяемый той или иной системой инбридинга. Начнем с простейшего и самого крайнего случая — самооплодотворения или скрещивания между особями с идентичными генотипами.

САМООПЛОДОТВОРЕНИЕ УДИПЛОИДОВ

При самооплодотворении в отношении одной пары генов возможны только три родительские комбинации (ААХАА, АаХАа, ааХаа) в отличие от шести при случайном скрещивании. Если гомозиготные формы самооплодотворяются или скрещиваются с идентичными гомозиготными формами, то все их потомки будут гомозиготными формами родительского типа. Если гетерозиготные формы самооплодотворяются

или скрещиваются с другими гетерозиготами, то их потомство, как известно, будет -^-ААН—^-ЛаН—i- аа. Другими словами, гетерозиготы при

самооплодотворении дают V2 гетерозигот и V2 гомозигот, среди которых АА и аа имеют одинаковую численность. Отсюда следует, что если До —■ Доля гетерозигот в исходной популяции, а Ди — их доля после п поколений самооплодотворения, то

(1)(1)тл 1I ТЛ ГХ

(1)

(1)

Нп = —Нп^ = Hf) Яо->Опри/2-> ОО.