Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
Курс «Расчеты и конструирование машин и аппаратов пищевых производств» является одним из завершающих при подготовке инженера-механика пищевой промышленности. Этот курс посвящен вопросам оптимального проектирования, динамики, прочности, устойчивости и надежности основных узлов типового оборудования пищевых производств. Для учебника по данному курсу были отобраны наиболее компактные инженерные методы, требующие минимального времени для изучения, но применимые для решения достаточно сложных задач. При изложении материала по расчету и конструированию узлов принята следующая классификация пищевого оборудования., ..
Неподвижные емкостные и теплообменные аппараты.
Аппараты с медлецновращающимися рабочими органами.
Ротационные машины с быстровращающимися дисками и роторами.'
Пульсационные (поршневые) машины, рабочие органы которых совершают возвратно-поступательные движения.
Вибрационные машины.
При расчете неподвижных емкостных и теплообменных аппаратов основой для инженера-механика является теория пластин и оболочек. Аппараты рассмотрены как сочетания этих элементов.
Для неподвижных емкостных и теплообменных аппаратов характерными являются расчеты на устойчивость, особенно актуальные при действии внешнего давления. Основой для этих расчетов послужила теория устойчивости стержней, подвергайщихся осевому сжатию.
Расчет аппаратов с медленновращающимися рабочими органами основывается на данных курса «Детали машин». Особенностью расчетов этих аппаратов являются расчеты бандажей на прочность как колец, подвергаемых несимметричному нагружению, и расчеты бандажей и роликов на контактную прочность.
Для дисковых машин характерным является расчет на прочность быстровращающихся дисков, основанный на теории упругости. Кроме того, для дисковых машин рассмотрены расчеты на виброустойчивость жестких валов с учетом их массы применительно к требованиям проектирования перемешивающих устройств.
При расчете роторных машин использованы данные из теории пластин, оболочек и быстр ©вращающихся дисков с учетом того, что роторы одновременно нагружены силами инерции, возникающими при их вращении, и давлением находящейся внутри них жидкости. Для роторных машин приведен использованный для быстровращающихся дисков расчет по механическому критерию прочности, а также расчет индекса производительности центробежных разделительных машин.
Расчет пульсационных машин почти полностью основан на изучаемых ранее курсах «Сопротивление материалов», «Детали машин», «Теория машин и механизмов».
При изучении вибрационных машин рассмотрены задачи динамики этих машин и их расчет, основанный на теории колебаний.
В учебнике также проанализированы основы конструирования деталей и узлов оборудования, изложены общие вопросы методологии проектирования машин л аппаратов, снижения металлоемкости конструкций, обеспечения достаточной прочности и жесткости и др.
ГЛАВА I
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О КОНСТРУИРОВАНИИ ДЕТАЛЕЙ И УЗЛОВ
ЗАДАЧИ КОНСТРУКТОРА ПИЩЕВОГО ОБОРУДОВАНИЯ
По характеру воздействия на обрабатываемый продукт пищевое оборудование принято разделять на аппараты и машины [781.
В аппаратах происходят физико-механические, тепловые, диффузионные, химические, биохимические, электрические и другие процессы.
В машинах технологические процессы происходят вследствие механического воздействия на обрабатываемый объект. Эти процессы называют механическими.
Деление технологического оборудования на машины и аппараты является условным. Имеются машины, в которых механическая обработка сочетается с нагревом, охлаждением, массо- обменом, химическими реакциями, и трудно иногда установить, какие процессы являются преобладающими. Поэтому термину «технологическая машина» придают расширенное значение, понимая под этим любое техническое устройство, предназначенное для осуществления технологического процесса.
Машины и аппараты пищевых производств во многом сходны с оборудованием химических и смежных отраслей промышленности.
В процессе технического развития отдельные машины и аппараты пищевой промышленности находили применение в других отраслях. Например, широко используемые в молочной промышленности жидкостные сепараторы для отделения сливок от молока получили распространение в пищевой, химической и других отраслях промышленности. Центрифуги, широко известные в сахарной промышленности, используют в химической промышленности. Пластинчатые теплообменники, эффективно работающие в химической промышленности, применяют в молочной промышленности.
Изготовлению машин и аппаратов предшествует их конструкторская .разработка.
Широкая специализация и кооперация предприятий при создании данного аппарата или данной машины, участие в процессе конструирования многих организаций обусловили необходимость единого порядка для оформления чертежей.
Государственным Комитетом СССР по стандартам создана единая система конструкторской документации ЕСКД, представ-
ляющая собою комплекс государственных стандартов, устанавливающих взаимосвязанные правила и Положения о порядке .разработки, оформления и обращения конструкторской документации.
Для обозначения стандартов принята следующая структура: ГОСТ 2.000—00, где ГОСТ — государственный стандарт; 2 — класс стандарта (ЕСКД); 0 — классификационная группа стандартов; 00 — порядковый номер стандарта в группе; 00 (после тире) —год регистрации стандарта [1].
Стандарты, входящие в комплекс ЕСКД, подразделены на 10 групп.
Группа 0 —Общие положения (ГОСТ 2.001—70).
Группа 1 —Основные положения (ГОСТ 2.101—68;
ГОСТ 2.109—73 и др.).
Группа 2 — Классификация и обозначение изделий в конструкторских документах. ,
Группа 3—Общие правила выполнения чертежей (ГОСТ 2.301—68; ГОСТ 2.308—79; ГОСТ 2.309—73 и др.).
Группа 4 —Правила выполнения чертежей изделий машиностроения и приборостроения (ГОСТ 2.401—68; ГОСТ 2.402—68; ГОСТ 2.403—75 и др.).
Группа 5 — Правила обращения конструкторских документов— учет, хранение, дублирование,* внесение изменений (ГОСТ 2.501—68; ГОСТ 2.502—68; ГОСТ 2.503—74).
Группа 6—Правила выполнения эксплуатационной и ремонтной документации (ГОСТ 2.601—68; ГОСТ 2.604—68; ГОСТ 2.606 —71 и ГОСТ 2.607—72 и др.).
ОБЩИЕ МЕТОДЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ ОБОРУДОВАНИЯ
Одной из целей методологии конструирования является накопление и упорядочение эмпирических и аналитических методов конструирования.
Конструирование всегда связано с необходимостью принимать решения на основе критериального, волевого и случайного выбора. Наиболее целесообразным является критериальный выбор. В условиях недостаточной полноты комплекса критериев производится волевой выбор, являющийся вполне осознанным и ответственным действием.
Конструированию машин должно предшествовать прогнозирование. Наиболее распространенными методами прогнозирования являются следующие: метод экстраполяции, основанный на использовании накопленного опыта и преимущественно применяемый при краткосрочном прогнозировании; метод экспертных оценок, заключающийся в использовании мнения группы специалистов-экспертов; этот метод носит субъективный характер, поэтому его используют при отсутствии достаточно систематизированной информации или при зависимости научно-технического раз- 6
Вития в основном от принимаемых решений, а не от технических возможностей; метод моделирования, основанный на использовании для анализа моделей, созданных на базе теории подобия.
Прогнозирование конструкций машин может включать рассмотрение функционального назначения машин, основные технические и экономические параметры, возможные компоновочные схемы, новые материалы и виды заготовок, новую технологию изготовления деталей и узлов и др. Возможно прогнозирование и отдельных параметров машины, например массы. Вопрос об ограничении массы машины часто возникает на начальной стадии проектирования, тогда производится анализ подобных конструкций и выявляется зависимость массы от главных параметров машины. .Устанавливается возможность снижения массы в результате усовершенствования методов расчета и конструирования, технологии изготовления, применения более совершенных материалов.
В процессе создания конструкций большую роль играет метод аналогий, позволяющий переносить ряд свойств одних объектов на другие.
Процесс создания конструкции должен протекать в соответствии с требованиями технического задания.
При конструировании в последнее время получил широкое распространение системный подход (анализ и синтез систем). Основными задачами системного подхода являются исследования специфических связей, установление закономерностей, присущих отдельным типам систем, и разработка на этой основе определенных методов их описания и изучения. Итогом системных разработок является непосредственное изложение того или иного метода решения специальных задач.
При конструировании машина или аппарат рассматриваются как системы. При использовании системного подхода обращается внимание на структуру объекта (системы) и свойства его частей, проявляющиеся в их взаимосвязи. Одной из главных особенностей системного подхода является то, что органической его частью является логико-методический анализ.
Одним из главных вопросов системного анализа является выбор соответствующего критерия, позволяющего установить предпочтительный вариант конструкции при решении многовариантных задач. При этом, однако, возникают трудности с переводом остальных критериев в класс ограничений. Работу целесообразно проводить в два этапа: определить параметры, которые обеспечивают заданные характеристики объекта; улучшить конструкцию по отдельным характеристикам или по одной, принятой за критерий оптимальности’.
При конструировании деталей, из которых состоят машины и их сборочные единицы, имеют место два процесса (протекающих параллельно, последовательно и чередуясь): расчет и изображение конструкции.
I
Рис. 1. Схема взаимосвязей между исходными данными, учитываемых при конструировании детали
Основным направлением конструирования является оптимизация. В области оптимизации можно отметить два основных требования: получение желаемого эффекта при минимальных затратах; получение максимального эффекта при использовании заданных ограниченных ресурсов. Использование критериев минимальных затрат или максимального эффекта позволяет производить оптимизацию.
Между исходными данными, служащими основой конструирования детали, существуют взаимосвязи, подлежащие учету (рис. 1).
Взаимосвязь I—//. Повышение компактности при уменьшении затрат труда и средств при сборке, техническом обслуживании и ремонте достигается выполнением требований компоновки сборочной единицы.
Одним из направлений удовлетворения требований компоновки сборочной единицы является разработка конструкции деталей малых габаритных размеров из высокопрочных материалов.
Взаимосвязь 1-^111. Уменьшение затрат труда и средств для компоновки сборочной единицы в отношении технического обслуживания и ремонта связано с выбором положения детали, соответствующего наиболее благоприятному нагрузочному режиму.
Взаимосвязь I—IV. Удовлетворение требований компоновки сборочной единицы в части компактности с использованием малогабаритных деталей из высокопрочных материалов и применением упрочняющей технологий.
Взаимосвязь I—V. Сокращение числа циклов нагружения для уменьшения усталостных повреждений и увеличения долговечности детали.
Взаимосвязь II—IV. Обеспечение достаточных размеров опасного сечения детали; при этом особое внимание следует уделять конструкции соединения, а не конструкции самой детали, входящей в соединение.
Взаимосвязь II—V. Повышение долговечности, снижение затрат труда и средств при техническом обслуживании и ремонте.
Рис. 2. Схема взаимосвязей между основными параметрами конструкции детали
Повышение долговечности детали можно достигнуть уменьшением шероховатости поверхности, в которой возникают усталостные повреждения. Такие детали после механической обрабоки подвергают полированию.
Взаимосвязь III—IV. Повышение статической
прочности вследствие увеличения размеров детали с учетом наибольших пиковых нагрузок.
Взаимосвязь III—V. Эта взаимосвязь имеет одностороннее направление, так как долговечность детали определяется внешними нагрузками, зависящими от условий эксплуатации:
Взаимосвязь IV—V. Классификация условий эксплуатации и поиск решений, позволяющих обеспечить необходимую прочность и долговечность'в данных условиях эксплуатации.
Применительно к типовым деталям, изготовляемым методами холодной обработки, в процессе конструирования определяют следующие основные параметры: форму, материал, конструкторские базы, размеры, массу, шероховатость поверхностей * (рис. 2) [73].
Взаимосвязь VI—VIII. Обеспечение требований к форме детали, обусловленных компоновочным решением сборочной единицы, прочностными расчетами, возможностями обработки прогрессивными методами при минимальных затратах труда и средств на изготовление.
Взаимосвязь VII—X. Выбор материала, обусловленный служебным назначением детали при обеспечении ее надежности и минимальных трудовых и денежных затрат на изготовление и ремонт. Снижение массы детали требует применения материалов с соответствующими прочностными характеристиками й наименьшей плотностью.
Взаимосвязь VII—XII. Выбор материала в зависимости от служебного назначения детали. Для обеспечения этого устанавливают минимальные параметры шероховатости поверхности. Для получения требуемых параметров шероховатости поверхностей, например шлицевого отверстия, используют термообработку, которая приводит главным образом к более равномерной структуре и необходимой твердости материала детали.
Взаимосвязь VIII—XI. Обеспечение определенного положения детали в сборочной единице базированием.
Взаимосвязь IX—X. Проведение расчетов на прочность и определение компоновочных решений сборочной единицы- для определения размеров детали с учетом компактности.
Взаимосвязь XII—XI. Определение служебного назначения детали в зависимости от шероховатости ее поверхностей, которая зависит от класса точности и метода обработки. Следует отметить, что при конструировании детали необходимо учесть и требования производства, включая вопросы взаимозаменяемости, унификации деталей, технологии изготовления и др. ,
Основными требованиями, предъявляемыми при выборе материала детали, являются обеспечение прочности, долговечности, заданной массы, шероховатости, унификации, условий термообработки и др.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Высокое качество машин и их эффективность в большой степени зависят от организации процесса проектирования. Традиционное проектирование характеризуется недостаточным анализом и учетом взаимосвязей между узлами и деталями машин. Применение ручного способа расчета практически исключает возможность анализа возможных вариантов конструкции.
Усложнение задач конструирования современных машин оказалось в противоречии с устаревшими непроизводительными методами конструирования. Это противоречие возможно устранить только в результате внедрения системы автоматизированного проектирования машин (САПР). САПР основана на- широком использовании системного подхода при постановке задач и решения их математическими методами с использованием ЭВМ.
Важным этапом САПР является расчет конструкций, на основании которого производят выбор оптимального варианта. Например, проектируя центробежный жидкостной сепаратор для выбора наиболее выгодного варианта конструкции, необходимо проведение гидравлический, прочностных, энергетических и других расчетов с учетом экономии конструкционных материалов и затрат на изготовление машины и ее эксплуатации.
Существовало мнение, что инженерные расчеты выполняют вспомогательную функцию при конструировании: Для современного специалиста проведение расчетов является важнейшим элементом создания оптимальной конструкции. Инженерные расчеты не могут быть сведены только к получению цифровых данных. Инженерный расчет должен начинаться с выполнения этапа «осознание цели». Для результатов расчетов крайне важны правильно выбранные требования к конструкции и условия эксплуатации изделия. Следует отметить, что на первых этапах расчета могут иметь место непредвиденные обстоятельства, заставляющие производить повторные расчеты и уточнения.
Рис. 3. Схема многоопорной балки:
4 — нагружение; б — неизвестные реакции опор
Часто одним из главных моментов расчета являются теоретические построения, связанные с понятием модели, разработка которой составляет один из основных элементов инженерного расчета. Важным видом моделей являются математические модели. Их разделяют на детерминированные, вероятностные (случайные) и эвристические.
Детерминированная модель позволяет прогнозировать будущее оригинала при наличии достаточной исходной информации о прошлом объекта.
Вероятностная модель, независимо от количества информации о прошлом объекта, прогнозирует только вероятность, наступления определенных событий в будущем.
Эвристические модели относятся к области гипотез и догадок и строятся на основе активного поиска.
Как указывалось выше, автоматизированное проектирование при решении задач создания оптимальных конструкций требует наличия строгих аналитических зависимостей. В действительности часто имеются эмпирические закономерности, которые непригодны для достижения данной цели.
Следует отметить, что при использовании ЭВМ можно столкнуться с хорошо и плохо обусловленными задачами. Даже наличие точной математической модели может не гарантировать успеха применения ЭВМ.
Результаты машинного расчета могут даже не соответствовать физическому смыслу задачи. В этом случае для исходного объекта необходимо подобрать новую математическую модель, обладающую лучшими вычислительными качествами. Для примера рассмотрим определение реакций многоопорной балки, нагруженной произвольной нагрузкой (рис. 3). При малой жесткости балки и при выборе реакций опор в качестве неизвестных (рис. 3, а, б) получим систему алгебраических уравнений:
Sn^i 4- 6x2^2 4" ” • 4" 6{ПХП 4- 61р = 0;.
6Л1-Х14“ 6Л2^2 4" * ■ ■ 4" ^пп^п 4* ^пр — 0.
Эта система оказывается трудно разрешимой, так как детерминант системы близок к нулю и результаты расчетов могут оказаться либо неточными, либо неверными.
Задача окажется разрешимой, если перейти к системе, показанной на рис. 4, в которой искомыми будут опорные моменты
Рис. 4. Схема мНОГоопорной балки, разделенной на участки
и детерминант системы окажется больше нуля [35]. Если задача недостаточно об
условлена, то для ее расшифровки необходимы дополнительный анализ и введение в задачу дополнительных условий. Отметим, что получаемые на ЭВМ результаты могут иметь большой разброс из-за внутренних погрешностей машинного счета, обусловленных округлением в ЭВМ значащих цифр. В этом случае говорят о неустойчивости численных алгоритмов. Факторы, влияющие на устойчивость и обусловленность задачи, исследуют с помощью так называемых численных экспериментов. В этом случае производится повторение вычислений по одной и той же программе, но с различной точностью.
Как было отмечено выше, разработка оптимальной конструкции требует рассмотрения нескольких вариантов. Понятие оптимальной конструкции, однако, носит относительный характер и точность его определения зависит не только от математических методов расчета, но и от уровня методологических разработок.
Для решения задач проектирования оптимальных конструкций машин необходимо рассматривать совместно все требования и взаимосвязи.
водст^а ^ХСма вза—» между основными требованиями эксплуатации и произ-водст^а ^ХСма вза—» между основными требованиями эксплуатации и произ-
водст^а ^ХСма вза—» между основными требованиями эксплуатации и произ-
водст^а ^ХСма вза—» между основными требованиями эксплуатации и произ-
Рис. 6. Этапы проектирования оптимальных конструкций
Схема взаимосвязей между основными категориями требований эксплуатации и производства, предъявляемых к конструкции машины, показана на рис. 5. Для формализации задачи требуется знать закономерности, характеризующие содержание взаимосвязей, что на практике может оказаться затруднительным и потребовать специальных исследований. В ряде случаев задача упрощается вследствие уменьшения менее существенных требований к конструкции и числа взаимосвязей. При этом уменьшается точность решения.
Систему автоматизированного проектирования машин строят с учетом единой системы конструкторской документации, единой системы технологической
подготовки производства и автоматиподготовки производства и автоматизированной системы управления производством.
подготовки производства и автомати
подготовки производства и автомати
Этапы проектирования оптимальных конструкций машин при разработке САПР, приведены на рис. 6.
Наибольшего внимания требует этап формализации связей, часто связанный с необходимостью проведения научных исследований для выявления закономерностей этих связей.
РАЗРАБОТКА КОНСТРУКТИВНЫХ РЕШЕНИЙ
Основные стадии разработки конструкторской документации на изделия всех отраслей промышленности регламентирует ГОСТ 2.103—68.
Сначала разрабатывают техническое задание. Оно устанавливает основное назначение, технические характеристики, пока-
затели качества и технико-экономические требования, предъявляемые к разрабатываемому изделию, выполнение необходимых стадий разработки конструкторской документации и ее состав, а также специальные требования к изделию.
После утверждения и согласования технического задания разрабатывают техническое предложение, документы которого должны содержать технические технико-экономические обоснования целесообразности разработки документации изделия на основании анализа технического заданий и различных вариантов возможных технических решений, сравнительные оценки решений с учетом конструктивных и эксплуатацаионных особенностей разрабаты ваемого и существующих изделий, а также патентных материалов.
На основании утвержденного технического предложения разрабатывают эскизный проект. Документы эскизного проекта должны содержать принципиальные конструктивные решения, дающие представление об устройстве и принципе работы изделия, а также данные, определяющие назначение, основные параметры и размеры разрабатываемого изделия.
После рассмотрения и утверждения эскизного проекта приступают к разработке технического проекта. Его разрабатывают для выявления окончательных технических решений, дающих полное представление об устройстве разрабатываемого изделия. В его документах должны быть исходные данные для разработки рабочей документации на опытный образец, установочную серию и установившееся серийное или массовое производство. Эта документация разрабатывается с учетом испытаний макетов, опытного образца и опытной партии.
Современная машина является итогом деятельности конструкторов нескольких поколений. При выборе параметров новой машины должен соблюдаться принцип конструктивной преемственности. При проектировании должны учитывать предшествующий опыт машиностроения.
При создании возможных конструктивных решений полезны различные рекомендации:
использование принципа действия систем, встречающихся в природе;
использование известных" конструкций без изменения конструктивных характеристик;
получение желаемого действия путем приспособления известной конструкции к новым условиям;
исследование замысла, который в условиях прошлого времени не удалось реализовать;
приведение в движение. неподвижных элементов и фиксирование подвижных;
исключение некоторых элементов путем объединения различных функций в одном элементе;
рассмотрение прочности элементов и возможной целесообразности ее изменения;
разделение деталей на части для улучшения изготовления и применения различных материалов;
разделение деталей на части и исключение тех частей, которые вызывают различные трудности.
Начинающим конструкторам свойственна ошибка, заключающаяся в стремлении расположить одновременно все элементы конструкции. Часто после получения задания, которое определяет целевое назначение и характеристики проектируемого агрегата, сразу вычерчивают конструкцию целиком с изображением всех элементов. В этом случае конструктор по существу преждевременно вычерчивает сборочный чертеж машины технического или рабочего проектов. Вероятность рационального конструктивного решения в этом случае будет мала.
Разработку технического предложения, если это предусмотрено техническим заданием, или эскизного проекта следует начинать с выбора рациональных кинематических схем, правильных размеров и формы деталей и определения целесообразного их взаимного расположения.
При выполнении технического предложения или эскизного проекта разрабатывают варианты возможных решений, устанавливают особенности этих вариантов (ГОСТ 2.118—73 и 2.119—73) и выбирают наиболее рациональные.
Однако уже при эскизном проектировании требуется проведение расчетов на прочность и жесткость хотя бы ориентировочных и приближенных. Целиком полагаться на расчеты нельзя. В ряде случаев детали бывают сложными и следует учитывать требования технологии машиностроения.
При эскизном проектировании необходимо также стремиться к наибльшей унификации и стандартизации элементов. Требуется учитывать условия работоспособности агрегата, обеспечение смазывания, возможности монтажа и способы повышения долговечности и т. д.
При разработке эскизного и технического проеков необходимо руководствоваться единой системой конструкторской документации ЕСКД.
Рассмотрим пример проектирования центробежного водяного насоса (рис. 7).
Привод одноступенчатого насоса — от асинхронного двигателя (N = 30 кВт, п = 2950 об/мин). Окружная скорость лопастного колеса 35,5 м/с, расчетное давление 0,5 МПа, подача 0,04 м3/с. Насос имеет два симметрично расположенных патрубка (выходных), каждый площадью 4-10-3 м2 [48].
Расчетом определены число изогнутых лопастей — 8, профиль проточной части лопастного колеса, сечения выходных отводов по углам окружности. Срок службы задан 10 лет при двухсменной работе.
При безремонтной эксплуатации номинальная долговечность L = 10-365 X X 24 = 87 600 ч. С учетом коэффициента выходных дней 0,7 и коэффициента сменности 0,66 расчетная долговечность L' = 0,66-0,7-87 600 « 40 000 ч.
Принимаем в качестве опор вала лопастного колеса шариковые подшипники, смазывание которых по сравнению с подшипниками скольжения более простое. Опоры воспринимают осевую силу от давления рабочей жидкости на лопастное колесо, радиальную силу, обусловленную действием силы тяжести лопастного
колеса и вала, и центробежную силу, возникающую вследствие неуравновешенности (статической) лопастного колеса. Массу лопастного колеса принимаем иа основании предварительных конструктивных данных тк = 4 кг, массу вала с присоединенными к нему деталями тв = 2 кг.
Примем значение остаточного дисбаланса Ост = 510 г-мм, тогда неуравновешенная центробежная сила колеса
Рц = Осто)2 = 510- IO’6-ЗЮ2 = 49Н,
где ® — частота вращения колеса, ю = лл/30 = 3,14-2950/30 = 3,14-2950/30 = = 310 с"1.
Максимальная радиальная сила, действующая на лопастное колесо в плоскости расположения ее центра масс Р = mKg4- Рц = 4-9,31 + 49 = 88 Н.
Нагрузка на ближайший к лопастному колесу подшипник
Pl = р (I + UUA,(1)
где / — расстояние от центра масс лопастного колеса до передней опоры; Lo — расстояние между опорами.
Нагрузка на второй подшипник
Р2 = Pl - Р = PUU.(2)
Отношение Ljl целесообразно принимать в пределах 1,5...2.
Принимая Loll = 1,5, на основании формул (1) и (2), получаем
Rt = 1,66Р = 1,66-49 « 82 Н; Р2 = 0,66-49 = 32,2 Н.
Считая массу вала распределенной одинаково между подшипниками, имеем Rj = Ri + mBg/2,
Rj= 82 4-9,81 «93Н; R’2 = 32,2 + 9,81 « 43H.
Для унификации оба подшипника принимаем одинаковыми по конструктивному исполнению, однако, учитывая меньшую нагруженность заднего подшипника, фиксируем его для восприятия осевых сил.
На тыльную сторону открытых лопастных колес действует полное гидростатическое давление, обусловленное давлением на выходе (0,1 МПа).
Давление на диск со стороны лопастей изменяется по квадратичному закону, начиная от вакуумметрического во всасывающем патрубке до 0,1 МПа на выходе колеса. Результирующая осевая сила, направленная в сторону всасывания, достигает значения примерно 9800 Н. Компенсировать силу можно установкой закрытого двухдискового лопастного колеса с двусторонним уплотнением и введением разгрузочных отверстий между полостями всасывания и нагнетания (рис. 8).
Рис. 8. Лопастное колесо центробежного насоса с уравновешенной осевой силойРис. 8. Лопастное колесо центробежного насоса с уравновешенной осевой силой
Рис. 8. Лопастное колесо центробежного насоса с уравновешенной осевой силой
Рис. 8. Лопастное колесо центробежного насоса с уравновешенной осевой силой
Рис. 9. Схема расположения опор вала
Рис. 10. Севанитовое уплотнение
Если диаметры уплотнений одинаковы, а суммарная площадь разгрузочных отверстий не менее площади кольцевого зазора в уплотнении, будет обеспечена гидростатическая уравновешенность.
Диаметр уплотнения Dy принимаем 130 мм, радиальный зазор 0,1 мм, число разгрузочных отверстий 8. Тогда 0,785nd2 > 0,lnDy, откуда d > ^O.OSDy =» 2,5. Принимаем с запасом d = 5 мм.
Диаметр вала лопастного колеса принимаем d = 40 мм. Используем в качестве опор радиальные однорядные шариковые подшипники легкой серии № 208 (ГОСТ 8338—75). Находим динамическую грузоподъемность подшипников (ГОСТ 18855—73), с учетом полученной долговечности подшипника с вероятностью отказа 10 % L' — 40 000 ч. Применим формулу по ГОСТ 8338—75
= 1785Н,= 1785Н,г _ р / №nU V/5 _ оч / 60-2950-40 000к 10е J \10е
= 1785Н,
= 1785Н,
где Р — эквивалентная динамическая нагрузка (равна наибольшей радиальной нагрузке на подшипник), Н; п — частота вращения внутреннего кольца подшипника (равна частоте вращения вала), об/мин.
- ‘ Полученное значение динамической грузоподъемности меньше допускаемого; поэтому выбранные подшипники обладают большим запасом долговечности.
Рассмотрим опоры. При выбранном Loil= 1,5 расстояние между опорами, определяется вылетом центра масс лопастного колеса / относительно передней опоры. Величина / зависит от размещения уплотнений между передним подшипником и гидравлической полостью насоса. Принимаем длину уплотнения равной 45 мм, а расстояние между центром масс' лопастного колеса и торпом уплотнения 10 мм. При ширине подшипника 18 мм общая длина вылета I = = 45 + 10 + 9 = 64 мм и расстояние между опорами Lo = 1,5/ яг 100 мм. На основании данного этапа проектирования изготовляют эскизный чертеж (рис. 9).
Надежность насоса в основном зависит от уплотнения, которое отделяет гидравлическую полость от полости подшипников.
Не допускается проникание воды из гидравлической полости в масляную. Для этого устанавливают два уплотнения, одно — со стороны подшипника и Другое — со стороны насоса, и разделяют их промежуточной камерой. В ответ-
Рис. 11. Варианты торцового уплотнения
ствеииых случаях применяют торцовые уплотнения, которые не требуют периодической подтяжки и обладают способностью прирабатываемости.
Со стороны подшипника применяют севанитовое уплотнение (рис. 10) с эластомерной манжетой, охваченной браслетной пружиной.
Основное достоинство торцовых уплотнений — компенсация износа трущихся поверхностей вследствие перемещения уплотняющего диска в осевом направлении под действием пружины.
Торцовое уплотнение может быть выполнено в виде диска 4 с севаиитовым уплоиением 2 (рис. 11, а). Подвижная часть уплотнения состоит из шайбы 5, которая с помощью венца приводится во вращение. Зубчатый венец нарезан на внутренней стороне кольца разгрузочного уплотнения лопастного колеса. Опирающаяся на торец лопастного колеса пружина постоянно прижимает шайбу к неподвижному диску. Резиновая манжета 6 является вторичным уплотнением, воротник которой той*же пружиной через гильзу 7 прижимается к шайбе 5. Стык распорной втулки и лопастного колеса уплотнен прокладкой 8.
Промежуточной камерой служит полость 3 между севаиитовым уплотнением и стенкой диска 5. На фланце диска имеется отверстие 9, а на корпусе отверстие 10, сообщающееся через отверстие 11 с атмосферой.
Анализ этого уплотнения показал, что при демонтаже лопастного колеса пружина будет выводить уплотняющую шайбу 5 из зацепления с ним и выталкивать манжету 6, в результате чего уплотнение распадается. Кроме того, затруднен монтаж лопастного колеса и уплотнения.
В новом варианте выполнения торцового уплотнения (рис. 11,6) на зубчатом венце лопастного колеса установлен кольцевой стопор 13, фиксирующий в осевом направлении в колесе уплотняющую шайбу 14. Ступица лопастного колеса имеет удлинение 12, на котором установлена манжета вторичного уплотнения. В данном варианте монтаж и демонтаж узла облегчены по сравнению С предыдущим вариантом.
В новом варианте торцового уплотнения (рис. 11, в) шайба 15 подвижного уплотнения приводится во вращение шлицами, нарезанными на ступице лопастного колеса. В этом случае конструкция более компактна.
Внимание конструктора должно быть направлено на крепление подшипников и лопастного колеса на валу. Надежность установки подшипников на валу зависит от их затяжки в осевом направлении. Передний подшипник затягивают колпачковой гайкой крепления лопастного колеса на буртик вала через распорную втулку, задний — гайкой крепления приводного фланца через его ступицу. Передача крутящего момента от электродвигателя осуществляется через шлицевую втулку.
Подлежат специальной проработке при конструировании сборка и разборка конструкции. В рассматриваемом примере порядок сборки и разборки связан с установкой подшипников на валу и в корпусе. Возможны две основные схемы.
Согласно первой схеме, подшипники установлены в корпусе с натягом, а на валу — по плотной посадке. При разборке сначала с вала снимают приводной фланец, затем извлекают вал из внутренних отверстий подшипников вместе
Рис. 13. Насос с масляной полостью:Рис. 13. Насос с масляной полостью:/ — подпружиненный разбрызгиватель; 2 — отражательные диски; 3 — кожух; 4 — сетчатый фильтр; 5 — пакет шайб; 6 — пружина; 7 — стержень; 8 — шайба; 9 — колпачок; 10 — корпус/ — подпружиненный разбрызгиватель; 2 — отражательные диски; 3 — кожух; 4 — сетчатый фильтр; 5 — пакет шайб; 6 — пружина; 7 — стержень; 8 — шайба; 9 — колпачок; 10 — корпусс лопастным колесом, передвигая его вправо (рис. 12, а). Возможно сначала снимать с вала лопастное колесо и извлекать вал из подшипников, передвигая его влево за приводной фланец (рис. 12, б).
Рис. 13. Насос с масляной полостью:
Рис. 13. Насос с масляной полостью:
/ — подпружиненный разбрызгиватель; 2 — отражательные диски; 3 — кожух; 4 — сетчатый фильтр; 5 — пакет шайб; 6 — пружина; 7 — стержень; 8 — шайба; 9 — колпачок; 10 — корпус
/ — подпружиненный разбрызгиватель; 2 — отражательные диски; 3 — кожух; 4 — сетчатый фильтр; 5 — пакет шайб; 6 — пружина; 7 — стержень; 8 — шайба; 9 — колпачок; 10 — корпус
Основным недостатком рассмотренной схемы является отсутствие посадочного натяга по внутренним отверстиям подшипников. При длительной эксплуатации возможно ослабление посадочных поясов под действием радиальных усилий. Более целесообразно применение посадки скольжения по наружным
поверхностям подшипникон, где давление от радиальных нагрузок в 2 раза меньше.
Согласно второй схеме (рис. 12, в) подшипники устанавливают на валу с натягом и при разборке извлекают из корпуса вместе с валом. Эта схема более рациональна, чем рассмотренная выше.
Следующим важнейшим этапом является обеспечение смазывания трущихся деталей машин. В результате правильного выбора их смазывания уменьшаются потери энергии на трение, износ трущихся поверхностей и предохранение их от заедания, задиров и кор-
Рис. 14. Насос с отводами уменьшенного размера:
1 — переходник; 2 — крепежные отверстия
розии, а также повышаются надежность и долговечность. В рассматриваемом конструктивном примере подшипники насоса работают при незначительных нагрузках и сравнительно высокой частоте вращения. Благодаря наличию воды в гидравлической части стенки корпуса масляной полости хорошо охлаждаются. Исходя из этого целесообразно применение смазочной системы с разбрызгиванием при использовании жидкого масла малой вязкости.
При конструировании масляной системы необходимо устранять барботаж и вспенивание масла, которые ведут к перегреву и изменению снойств масла. Следует предусматривать резерв масла на длительный срок работы.
Подшипники должны быть защищены от избыточного смазывания, причем на шарики и сепараторы не должны попадать масляные брызги. Для устранения попадания масляных брызг подшипники защищают отражательными дисками. Необходимо также обеспечить регулярную умеренную подачу масла к подшипникам. Введение простейшего масляного насоса связано с появлением лишних трущихся деталей и, кроме того, привод насоса будет мешать разборке вала. Более целесообразным является устанонка иа валу откидного подпружиненного разбрызгивателя 1 (рис. 13). При конструировании смазочной системы необходимо также предусмотреть вентиляцию масляной полости, спуск и заливку масла и контроль его уровня.
После рассмотренной проработки конструкции можно возвратиться к вопросу уменьшения радиальных размеров насоса. На рис. 14 представлена кон-
а) б)
Рис. 16. Шатуны:
а, б— работающие на
нзгнб; в — работающие на сжатие
6)
Рис. 17. Рычаги:
а, б — работающие на кручение и изгиб; в — работающие иа изгиб
струкция насоса, отличающаяся большей компактностью. Лопастное колесо выполнено коническим, отвод смещен в сторону и приближен к корпусу насоса. Данный насос, очевидно, целесообразно крепить переходником 1 непосредственно на корпусе приводного фланцевого электродигателя.
Конструктор не должен упускать из вида долговечность конструкции. В рассмотренном примере долговечность объекта (насоса) зависит главным образом от срока службы торцового уплотнения и коррозионной стойкости лопастного колеса, корпуса и других деталей, соприкасающихся с водой. Большое значение имеет правильный выбор материалов и способов обработки деталей. Окончательный вариант конструкции насоса представлен на рис. 15.
На данном примере схематично показан ход процесса конструирования. Если учесть, что для окончательной отработки конструкции часто необходима экспериментальная проверка разработанных вариантов и данные эксплуатации промышленных образцов машин, то станет очевидным, насколько ответственным и многосторонним является процесс конструирования.
При конструировании следует стремиться к снижению материалоемкости и повышению надежности конструкций.
Снижение материалоемкости. Различают структурную и удельную материалоемкость. Структурная материалоемкость позволяет исследовать рациональность выбранной номенклатуры материалов, возможность исключения дорогостоящих и дефицитных материалов, использования стандартных профилей проката и т. д. Удельная материалоемкость (т. е. на единицу технико-экономических характеристик) необходима для сравнения машин одинакового эксплуатационного назначения, но различной мощности, разной производительности и др.
К основным направлениям снижения материалоемкости можно отнести следующие: снижение массы, повышение коэффициента 22
Рнс. 18. Схема изгибающих моментов вала:Рнс. 18. Схема изгибающих моментов вала:а—в — эпюры; г— е — консольное свободноеа—в — эпюры; г— е — консольное свободноеи зафиксированное опирание валаи зафиксированное опирание вала
Рнс. 18. Схема изгибающих моментов вала:
Рнс. 18. Схема изгибающих моментов вала:
а—в — эпюры; г— е — консольное свободное
а—в — эпюры; г— е — консольное свободное
и зафиксированное опирание вала
и зафиксированное опирание вала
использования материала, выбор рационального материала, унификацию деталей и узлов.
Снижение массы. Один из основных способов уменьшения массы конструкций — рациональное нагружение деталей, когда напряжения будут одинаковые в каждом сечении детали по ее продольной оси и в каждой точке этого сечения. Это возможно только при некоторых видах нагружения, когда нагрузку воспринимает все сечение детали (растяжение—сжатие).
При изгибе, кручении и сложных напряженных состояниях напряжения распределяются по сечению неравномерно.
В качестве примера рассмотрим шатун, в котором возникает дополнительный изгиб вследствие внецентренного приложения нагрузки (рис. 16, а) и асимметрии его сечения относительно направления действия сил (рис. 16, б). Это ведет к увеличению площади сечения шатуна, а, следовательно, и его массы. Рациональная конструкция шатуна с симметричным сечением относительно направления действия сил, показанная на рис. 16, в, работает только на сжатие. В этом случае его масса будет наименьшей.
Возможны случаи нагрузок, когда, например, рычаг работает на кручение и изгиб (рис. 17, а, б) вследствие смещения плоскости действия сил. Рычаг рациональной конструктивной формы, не подвергающийся кручению, показан на рис. 17, в.
На рис. 18 приведены наиболее распространенные случаи изгиба валов, которые можно рассматривать как изгиб консольной балки, или свободно опертой, или с заделанными концами.
Рис. 19. Шнековый аппарат с нерациональной схемой нагружения
Из сопоставления приведенных случаев изгиба валов вытекает ' преимущество двухопорных валов по сравнению с консольными < с точки зре;ния возникающих изгибающих моментов. При защем* лении концов вала, что в некоторой степени достигается применением роликовых подшипников и усилением стенок корпуса, обеспечивается уменьшение максимального значения изгибающего ' момента по сравнению со свободным опиранием вала с помощью шариковых подшипников.
В ряде конструкций имеет место дополнительное нагружение ( отдельных деталей и узлов в результате выбора нерациональной схемы действия сил. Рассмотрим случай, типичный для пищевого оборудования (рис. 19), когда шнек аппарата приводится во вращение от электродвигателя через червячный редуктор 1 и цепную передачу 2. При данной схеме нежесткий корпус нагружен силой, возникающей в приводе. При деформации корпуса витки шнека касаются стенок последнего, что приводит к возрастанию крутящего момента и, следовательно, дополнительных нагрузок. Для избежания заклинивания необходимо увеличение жесткости корпуса и, следовательно, массы. Разгрузка конструкции от дополнительных нагрузок достигается применением редуктора /, соосно уста-
Рис. 20. Шнековый аппарат с рациональной схемой нагружения
Рис. 21. Способы уменьшения массы цилиндрических деталейРис. 21. Способы уменьшения массы цилиндрических деталейновленного на торце корпуса, через который шнек приводится во вращение от фланцевого электродвигателя (рис. 20, б).
Рис. 21. Способы уменьшения массы цилиндрических деталей
Рис. 21. Способы уменьшения массы цилиндрических деталей
Эффективным способом снижения массы деталей является удаление части металла, например, по внутреннему диаметру втулки (рис. 21, а) и особенно по внешнему (рис. 21, б).
Массу деталей также можно заметно снизить введением галтелей и скосов на участке сопряжения стенок деталей, а также заменой плоской стенки конусообразной.
В ряде случаев удается уменьшить массу деталей в результате удаления металла из менее нагруженных зон сечения. Например, применяя полые валы. При отношении внутреннего диаметра d деталей полого профиля к диаметру наружному D, равному 0,9, моменты сопротивления и инерции полого профиля увеличиваются соответственно в 4, 5 и 10 раз по сравнению с деталью сплошного профиля той же массы; при d/D = 0,95 моменты сопротивления и инерции увеличиваются соответственно в 6 и 20 раз (рис. 22).
Повышение коэффициента использования материала. Способы повышения коэффициента использования материала разнооб
разны: замена поковок литыми заготовками, получения заготовок с, помощью горячей или холодной штамповки и др.
Прогрессивным направлением в создании высокотехнологичных конструкций, обеспечивающих существенную экономию
Рис. 22. Зависимость момента сопротивления, момента инерции и наружного диаметра цилиндрических деталей одинаковой массы от отношения d/D:
J, W, D — соответственно момент инерции, момент сопротивления и наружный диаметр деталей полого сечения; Jo, Wo, Do — то же сплошного сечения
металла, является применение стандартных и специальных Профилей проката, особенно облегченных.
Выбор рационального материала. Конструктор имеет возможность выбрать при проектировании разные материалы, обеспечивающие примерно одинаковые эксплуатационные качества деталей, но различные по стоимости и трудоемкости обработки.
Использование легированных сталей, особенно при изготовлении машин и аппаратов, работающих в коррозийных и агрессивных средах, обеспечивает снижение расхода металла.
Часто вместо дорогих легированных сталей применяют более дешевые низколегированные стали. В последнее время расширяется применение биметалла. Например, корпуса аппаратов иногда изготовляют из коррозионно-стойкой стали малой толщины, но при усилении элементов аппарата углеродистой сталью.
Большое внимание следует уделять экономии цветных металлов и сплавов, так как их производство требует особенно больших затрат труда и средств. Для экономии цветных металлов можно предусмотреть, например, изготовление элементов червячных зацеплений из стали с закрепленной, насадкой бандажей из бронзы.
Большие перспективы экономии черных, цветных металлов и сплавов открываются с увеличением производства и расширения применения в пищевом машиностроении пластических масс.
Наиболее эффективна замена пластмассами латуни, бронзы, свинца и других черных, цветных металлов и сплавов, коррозионно-стойкой стали. Себестоимость изделий при этом снижается в 5—8 раз.
В пищевом машиностроении широкое применение находят пластические массы для изготовления деталей машин и аппаратов, трубопроводов.
Во многих случаях пластмассы успешно заменяют металлы; благодаря их использованию снижается не только масса конструкций, но и повышаются эксплуатационные качества машин и аппаратов. Применение пластмасс дает экономический выигрыш в результате упрощения технологии их переработки с использованием менее сложного и недорогого оборудования, небольшой трудоемкости изготовления и более высокой производительности.
Отметим некоторые особенности конструирования деталей из пластмасс. Наиболее распространенным способом образования пластмассовых резьб является прессование и литье под давлением. Этими методами получают резьбы любого профиля с шагом не менее 0,7 мм. При проектировании деталей из пластмасс необходимо учитывать их низкую контактную прочность, очень малое сопротивление сдвигу, склонность к ползучести при длительных нагрузках, потерю прочности при повышенных температурах и т. д.
Унификация деталей и узлов. Конструкторская унификация способствует рациональному сокращению числа объектов одинакового функционального назначения.
рис. 23. Узел редукционного клапана (К'— детали под ключ):
Благодаря унификации раз- _ меров достигается значительное * сокращение расхода материалов Л и увеличение выпуска продук- х\ ции на единицу производствен- \~ ной площади и оборудования. Например, после унификацииБлагодаря унификации раз- _ меров достигается значительное * сокращение расхода материалов Л и увеличение выпуска продук- х\ ции на единицу производствен- \~ ной площади и оборудования. Например, после унификацииа — деталей с различными размерами под ключ; б — деталей с одинаковыми размерами под ключ
Благодаря унификации раз- _ меров достигается значительное * сокращение расхода материалов Л и увеличение выпуска продук- х\ ции на единицу производствен- \~ ной площади и оборудования. Например, после унификации
Благодаря унификации раз- _ меров достигается значительное * сокращение расхода материалов Л и увеличение выпуска продук- х\ ции на единицу производствен- \~ ной площади и оборудования. Например, после унификации
трех размеров под ключ редукционного клапана (рис. 23, а) требуется ключ одного размера (рис. 23, б). В пищевой промышленности подлежат унификации теплообменники, приводы мешалок, дозирующие устройства, выпарные установки, сепараторы и т. д.
Повышение надежности. Повышение надежности машин является общей технической задачей, которая должна решаться на всех этапах проектирования, изготовления и эксплуатации. Повышение надежности позволяет увеличить период работы машины между ремонтами и уменьшить число ремонтов за время службы машины.
Повышению надежности конструкций способствует увеличение прочности, жесткости, применение самоустанавливающихся узлов, точность центрирования, устранение деформаций при затяжке, равномерное нагружение опор.
Увеличение прочности. Детали, подвергающиеся действию изменяющихся во времени нагрузок, разрушаются при напряжениях, значительно меньших предела прочности материала при стационарном нагружении. Этот фактор имеет большое значение для современных машин, работающих при значительном числе циклов нагружения. По данным статистики к основным причинам повреждений и аварий машин можно отнести усталостные явления. Поэтому проблема сопротивления усталости является первостепенной для увеличения прочности элементов машин.
■ Сопротивление усталости деталей значительно снижается, если имеются резкие переходы, входящие углы и др. Чем резче переход и больше перепад сечений, тем выше местное максимальное напряжение. Следует отметить, что концентрация напряжений, вызванная фактором формы, усиливается технологическими факторами, например, вследствие перерезания волокон на участках переходов при горячей обработке детали вследствие литейных дефектов и т. д.
Пластические деформации, металла при циклических нагрузках, следуя с большой частотой одна за другой и меняя направление, постепенно расшатывают структуру материала и приводят к усталостному разрушению.
Следует отметить, что сопротивление усталости • в большей степени зависит от состояния поверхности и снижается при грубой
механической обработке поверхности. Сопротивление усталости уменьшается также в прессовых и клепаных соединениях с высокими напряжениями смятия на посадочных поверхностях, особенно в интервале напряжения до 0,4 МПа.
Физические основы явлений усталости еще не изучены в достаточной степени. Поэтому конструктор должен знать и применять зарекомендовавшие на практике технологические и конструктивные способы повышения сопротивления усталости. В ряде случаев возможно снизить циклические нагрузки с помощью повышения упругости деталей в направлении действия нагрузок и введения упругих связей между деталями, передающими и воспринимающими нагрузку.
Если в соединениях, работающих при циклических нагрузках повысить упругость болтов, уменьшаются силы, действующие на болты, и интервалы между экстремальными значениями нагрузки.
Введение упругих муфт между деталями, воспринимающими циклический вращающий момент, снижает амплитуду цикла напряжений. Замена подшипников качения подшипниками скольжения в шатунно-кривошипном механизме приводит к снижению пиковых нагрузок, благодаря амортизирующему действию масляного слоя.
При конструировании деталей, испытывающих действие переменных нагрузок, необходимо стремиться к уменьшению концен.
траций напряжений. Например, резьбовые отверстия целесообразно заменять гладкими; На участках расположения концентраторов напряжений следует увеличивать сечение детали, что понижает номинальные напряжения.
Значительное уменьшение концентрации напряжений во
Рис. 25. Узлы установки шарикоподшипников на валах с галтелями
рис. 26. Способы повышения прочности прессовых соединений
входящих углах ступенчатых деталей можно достигнуть введением плавных сопряжений и галтелей (рис. 24). На рис. 25 показаны способы перекрытия галтелей при установке шарикоподшипников.
При наличии отверстий концентрация напряжений уменьшается в результате увеличения сечений деталей на участке расположения этих отверстий, скругления кромок отверстий и т. д. На рис. 26 показаны способы повышения прочности прессовых соединений путем увеличения диаметра посадочной поверхности (рис. 26, е), введения разгружающих выточек в ступице (рис. 26,5) и на валу (рис. 26, г), уменьшения толщины ступицы в направлении к ее.торцовой части (рис. 26, в), выполнения поверхности вала выпуклой в условиях линейного или плоского контакта (рис. 26, б), накатывания разгружающих кольцевых канавок у торцов соединения (рис. 26, а).
Пищевое оборудование характеризуется широким применением резьбовых и фланцевых соединений. Недостаточная прочность этих соединений может привести к авариям и отказам в работе, т. е. понизить надежность конструкций. Поэтому при конструировании должно уделяться надлежащее внимание прочности этих соединений.
Для обеспечения правильной работы резьбовых соединений необходимо устранить силовые факторы, вызывающие изгиб и срез резьбы. На рис. 27 приведены примеры увеличения прочности резьбовых соединений.
Увеличение жесткости. Жесткость — это способность системы сопротивляться образованию деформаций.
■ ' Основными способами увеличения жесткости деталей и узлов являются: возможное исключение изгиба с заменой его сжатием или растяжением, введение связей между участками наибольших деформаций для деталей, работающих на изгиб, целесообразная расстановка опор, увеличение сечений и усиление участков перехода от одного сечения к другому, применение конических и сводчатых форм.
Рассмотрим возможное исключение изгиба с заменой его сжатием или растяжением на примере литых кронштейнов (рис. 28). В случае кронштейна (рис. 28, б) стержни работают преимущественно на растяжение—сжатие, тогда как кронштейн на рис. 28, а подвергается изгибу. Кронштейн становится более- прочным и
Рнс. 27. Способы увеличения прочности резьбовых соединений:Рнс. 27. Способы увеличения прочности резьбовых соединений:fl, б - крепление консольного стержня к корпусу; в, г — крепление литой стойки к корпусу; д, е — крепление к диску детали, находящейся под действием центробежных сил; ж. з — крепление фланцевого соединения, передающего вращающий момент; и, к — крепление кронштейнаfl, б - крепление консольного стержня к корпусу; в, г — крепление литой стойки к корпусу; д, е — крепление к диску детали, находящейся под действием центробежных сил; ж. з — крепление фланцевого соединения, передающего вращающий момент; и, к — крепление кронштейна
Рнс. 27. Способы увеличения прочности резьбовых соединений:
Рнс. 27. Способы увеличения прочности резьбовых соединений:
fl, б - крепление консольного стержня к корпусу; в, г — крепление литой стойки к корпусу; д, е — крепление к диску детали, находящейся под действием центробежных сил; ж. з — крепление фланцевого соединения, передающего вращающий момент; и, к — крепление кронштейна
fl, б - крепление консольного стержня к корпусу; в, г — крепление литой стойки к корпусу; д, е — крепление к диску детали, находящейся под действием центробежных сил; ж. з — крепление фланцевого соединения, передающего вращающий момент; и, к — крепление кронштейна
жестким, если его стержни соединить сплошной перемычкой (рис. 28, в). Кронштейн, показанный на рис. 28, г, менее жесткий, чем кронштейн на* рис. 28, б, из-за наличия горизонтального участка, работающего на изгиб.
На рис. 29, а показано нагружение цилиндрической оболочки осевой силой. Нагрузка вызывает прогиб днища. Она передается оболочке через ее сопряжение с днищем (деформации показаны штриховой линией). Система является не жесткой. При замене цилиндрической оболочки конусообразной, стенки последней при действии осевой силы работают преимущественно на сжатие.
а)5)6)г)
Рис. 28. Схема литых кронштейнов при различных видах нагружения
Рис. 29. Схема нагружения различных оболочек осевой силойРис. 29. Схема нагружения различных оболочек осевой силой
Рис. 29. Схема нагружения различных оболочек осевой силой
Рис. 29. Схема нагружения различных оболочек осевой силой
На рис. 29, д—з показаны конструктивные элементы, для повышения жесткости которых введены кольцевые пояса жесткости. Верхний пояс жесткости 1 работает на сжатие, а нижний пояс 2 на растяжение. В усиленных конструкциях введены элементы: ребра, цилиндры и конусы, воспринимающие усилия сжатия.
На рис. 30, .а показана схема деформации стенок цилиндрического аппарата, нагруженного внутренним давлением. Участки наибольшей деформации следует укреплять элементами, работающими на растяжение: обечайку — кольцом Л днище — анкерным болтом 2.
Повышению жесткости способствует рациональная расстановка опор, например, возможно большее сближение опор (рис. 31).
Для увеличения жесткости, широко применяют ребра жесткости. Рассмотрим использование ребер жесткости различной формы. Деталь с работающим на растяжение ребром / (рис. 32, а) на участке перехода двух сечений весьма невыгодна по прочности
Рис. 30. Цилиндрический аппарат:
а — нагруженный внутренним давлением; б — усиленный элементами жесткости
“7б;таврового сечения (рис. 32,“7б;таврового сечения (рис. 32,
“7б;
таврового сечения (рис. 32,
“7б;
таврового сечения (рис. 32,
Рис. 31. Увеличение жесткости конструкций уменьшением пролета между опорами: а — нерациональная конструкция; б — рациональная конструкция
и жесткости. Если удалить ребро 1, то жесткость детали увеличится (рис. 32, б). Для увеличения жесткости целесообразно устанавливать ребра г) или располагать их так,
Рис. 32. Влияние формы и расположения ребер на прочность деталей 32Рис. 32. Влияние формы и расположения ребер на прочность деталей 32чтобы они работали на сжатие (рис. 32,в). Короткие ребра (рис. 32, д, е) ослабляют перегородку цилиндрической детали, которая нагружена поперечной силой Р или изгибающим моментом М. Более рациональны ребра постоянной высоты (рис. 32, ж) или расширяющиеся к месту заделки (рис. 32, з). Наибольшей прочностью и жесткостью обладают конструкции с гофрированной перегородкой (рис. 32, и) и перегородкой коробчатого сечения (рис. 32, к), усиленные внутренними поперечными ребрами. Наличие редких ребер у консольной корпусной сферической детали (рис. 32, л) ведет к уменьшению жесткости. Если стенки (рис. 32, м) можно расширить в пределах габаритных размеров, то целесообразнее удалить ребра жесткости. Увеличить жесткость можно продольными ребрами (рис. 32, н) или вафель-
Рис. 32. Влияние формы и расположения ребер на прочность деталей 32
Рис. 32. Влияние формы и расположения ребер на прочность деталей 32
Рис. 33. Кольцевые ребра жесткости для деталей типа дисков и днищ
ними (рис. 32, о). Высокой прочностью и жесткостью обладает деталь с гофрированными стенками (рис. 32, п).
Для увеличения жесткости деталей типа дисков и днищ целесообразно вместе с прямыми ребрами применять кольцевые ребра (рис. 33). Увеличению жесткости кольцевых ребер способствует увеличение их высоты, расположение их по радиусу, где угол поворота сечения наибольший. Емкостные аппараты, имеющие прямоугольную форму, обладают малой жесткостью. Для увеличения их жесткости применяют поперечные перегородки жесткости. Большой жесткостью обладают овальные, эллиптические и особенно цилиндрические аппараты. Для жесткости днищ цилиндрических аппаратов большое значение имеет их форма. Плоские днища — менее жесткие, вогнутые — более жесткие. Однако последние вызывают распор обечайки при наличии внутреннего давления в аппарате и заметно уменьшают его рабочий объем. Выпуклые и конические днища в противоположность вогнутым уменьшают радиальные деформации аппарата. Увеличение жесткости аппаратов из пластмасс связано с рядом особенностей. Для уменьшения прогиба плоских крышек и стенок применяют диаметральное и диагональное расположение ребер жесткости, причем последнее более технологично. При большой длине стенок аппаратов и наличии верхней отбортовки применяют вертикальные ребра, которые в сочетании с буртом и днищем образуют жесткие рамы прямоугольного сечения.
2 Соколов В. И.2 Соколов В. И.Рис. 34. Способы самоустанавливаемости подвижных соединенийРис. 34. Способы самоустанавливаемости подвижных соединений3333Применение самоустанавливаемых узлов. В подвижных соединениях, когда возможны перекосы и смещения деталей, необходимо обеспечить относительную свободу для самоустанавливаемости деталей и узлов.
2 Соколов В. И.
2 Соколов В. И.
Рис. 34. Способы самоустанавливаемости подвижных соединений
Рис. 34. Способы самоустанавливаемости подвижных соединений
33
33
Рис. 35. Вал, установленный в корпусе на подшипниках качения:Рис. 35. Вал, установленный в корпусе на подшипниках качения:а — с номинальными размерами деталей; б — с размерами деталей, имеющих зазоры на самоустаиавлнваемость
Рис. 35. Вал, установленный в корпусе на подшипниках качения:
Рис. 35. Вал, установленный в корпусе на подшипниках качения:
Если, например, опорная шайба подпятника жестко установлена в корпусе, то вследствие неизбежных в системе перекосов пята будет контактировать с шайбой краями (рис. 34, а). Это явление исключено при установке шайбы на сферической опоре (рис. 34, б). При жесткой установке длинного вала (рис. 34, в) вследствие изгиба и перекоса этого вала возникают повышенные контактные напряжения, ухудшающие условия работы подшипника. Избежать этого можно, установив^ вал на сферических опорах, обеспечивающих самоустанавливаемость подшипников (рис. 34, г). В шариковых радиальных подшипниках изгиб вала, как известно, веде*г к перекосу и односторонней нагрузке шариков. В результате уменьшается их долговечность. Во избежание этого подшипник помещают в сферическую обойму или
Рис. 36. Схема центрирования конструкций при снижении температурных деформаций:
Рис. 37. Схема центрирования узлов при уменьшении числа центрирующих поверхностей:а — по двум поверхностям; б — по одной поверхностиРис. 37. Схема центрирования узлов при уменьшении числа центрирующих поверхностей:а — по двум поверхностям; б — по одной поверхностиа — по наибольшему диаметру; б — по промежуточному диаметру; в — по наименьшему диаметру
Рис. 37. Схема центрирования узлов при уменьшении числа центрирующих поверхностей:
а — по двум поверхностям; б — по одной поверхности
Рис. 37. Схема центрирования узлов при уменьшении числа центрирующих поверхностей:
а — по двум поверхностям; б — по одной поверхности
Рис. 38. Схема центрирования фланцевых соединений:
я, б — по внутреннему бурту; в — по наименьшему диаметру (фланец со сквозной про точкой); а — по наружному бурту
заменяют шариковым двухрядным сферическим подшипником при условии, что на него не должны действовать значительные осевые силы.
При конструировании необходимо предусматривать зазоры на самоустанавливание и отклонения размеров. В качестве примера приведем установку вала в корпусе на подшипниках качения. В варианте (рис. 35, а) размеры взаимного расположения вала, подшипников и корпуса приняты номинальными. В варианте (рис. 35, б) имеются зазоры т на посадочной поверхности корпуса под плавающий подшипник, h —на посадочной поверхности корпуса, к — в резьбе под крепежную гайку, п — на посадочной поверхности вала под плавающий подшипник.
Точность центрирования. Для повышения точности центрирования при снижении влияния температурных деформаций детали целесообразно центрировать по минимальному диаметру, допускаемому конструкцией (рис. 36). В этом случае максимальный зазор при посадке частично уменьшается. Если узел состоит из
Рис. 39. Центрирование резьбовых соединений с введением дополнительных центрирующих поверхностей:
а, в, д — нецелесообразное; б, г-, е — целесообразное
2*'35
Рис. 41. Схема к определению зазора между поверхностями деталей, смежными с центрирующими поясками И витками пружинРис. 41. Схема к определению зазора между поверхностями деталей, смежными с центрирующими поясками И витками пружинРис. 42. Деформирование деталей:Рис. 42. Деформирование деталей:а, г, е, з значительное; б, в, д, эй, и— незначительноеа, г, е, з значительное; б, в, д, эй, и— незначительноеа)б)а)б)Рис. 44. Схема зубчатой передачи с равномерным и неравномерным распределение нагрузок на опорыРис. 44. Схема зубчатой передачи с равномерным и неравномерным распределение нагрузок на опоры
Рис. 41. Схема к определению зазора между поверхностями деталей, смежными с центрирующими поясками И витками пружин
Рис. 41. Схема к определению зазора между поверхностями деталей, смежными с центрирующими поясками И витками пружин
Рис. 42. Деформирование деталей:
Рис. 42. Деформирование деталей:
а, г, е, з значительное; б, в, д, эй, и— незначительное
а, г, е, з значительное; б, в, д, эй, и— незначительное
а)б)
а)б)
Рис. 44. Схема зубчатой передачи с равномерным и неравномерным распределение нагрузок на опоры
Рис. 44. Схема зубчатой передачи с равномерным и неравномерным распределение нагрузок на опоры
нескольких концентрических деталей, то следует уменьшать число центрирующих поверхностей {рис. 37). Цилиндрические фланцы обычно центрируют внутренним буртиком, расположенным на одном из них (рис. 38).
Резьбовые соединения не обеспечивают удовлетворительного центрирования вследствие зазоров в резьбе и отклонений среднего размера резьбы. Поэтому при центрировании резьбовых соедине. ний вводят дополнительные центрирующие поверхности (рис. 39)-
рис. 43. Узел крепления лопасти к лопастному колесу центробежного насоса: а — крепление не затянуто; б — крепление затянуто
В пищевом оборудовании широко ^применяют пружины, например, в клапанных разливочных устройствах. Центрирование пружин должно осуществляться с обоих торцов по внутренней поверхности
витков (рис. 40, а). При расположении пружин в охватывающих деталях (гильзах, стаканах) центрирование производят по наружной поверхности (рис. 40, б). Для обеспечения центри
рования по всей длине окружности витков высота центрирующего пояска должна быть d > h > l,5d(pnc. 40, в—д). Зазор между
поверхностями деталей, смежными с центрирующими поясками и витками пружины, должен составлять 0,3 ... 0,5 мм (рис. 41).
Устранение деформаций при затяжке деталей. Для повышения надежности конструкций необходимо исключать деформации при затяжке. При креплении шпильками тонкостенных выпуклых крышек их верхняя часть подвергается изгибу (рис. 42, а), ко-
При установке прокладкиПри установке прокладкиРис. 45. Схема выравнивания нагрузок на ПОДШИПНИКИ
При установке прокладки
При установке прокладки
торый можно устранить, если поместить шпильки в жесткие трубы (рис. 42, б) или использовать ребра жесткости (рис. 42, в). При креплений пальца в двух проушинах в нем возникает изгиб (рис. 42, е), при креплении в одной проушине изгиб
попоне возникает (рис. 42, ж), всей ширине фланцевого соединения деформации не возникают (рис. 42, з, я).
по
по
В отдельных случаях вводится ограниченная деформация деталей для увеличения жесткости крепления. Например, при креплении лопасти к лопастному колесу центробежного насоса торцы лопастей выполняют конусообразными (рис. 43). При затяжке они плотно прилегают к лопастному колесу.
Равномерное нагружение опор. Равномерное нагружение опор непосредственно влияет на надежность узлов оборудования. Например, в зубчатой передаче ф^Вх « 4) нагрузка Рг на малое колесо больше нагрузки Р2 на большое колесо (рис. 44, а). Поэтому левый подшипник нагружен в 2,5 раза больше, чем правый. Одинаковая долговечность подшипников обеспечивается, если в правой опоре применить подшипник меньшего диаметра (рис. 44, б). Если необходимо сохранить подшипники одинако-
вого диаметра, то следует сдвинуть зубчатые колеса к правой | опоре (рис. 44, в)". В этом случае нагрузка на подшипники также J будет одинакова. На рис. 44, г показана нерациональная « схема установки диска компрессора: основной подшипник нагружен большой радиальной Nx и осевой Р2 силами, в то время как на задний подшипник действует небольшая радиальная сила.
В улучшенном варианте (рис. 44, д) осевая сила Р^ воспринимается недогруженным задним подшипником. В другой конструкции (рис..44, е) вал установлен на подшипниках разных диаметров, которые подобраны в соответствии с действующими на них нагрузками.
В конструкции опор (рис. 45, а) наибольшая часть нагрузки приходится на правый подшипник, расположенный в плоскости стенок корпуса. Вследствие податливости ступицы второй подшипник нагружен незначительно. В конструкции опоры (рис. 45, б) ' . нагрузка подшипника выравнена в результате укрепления стенки корпуса второй перегородкой.
ГЛАВА И
ОСНОВЫ РАСЧЕТА МАШИН И АППАРАТОВ ПИЩЕВЫХ ПРОИЗВОДСТВ
§15. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
Надежностью называют свойства объекта выполнять заданные функции при постоянстве эксплуатационных показателей в заданных пределах в течение требуемого промежутка времени.
Надежность объекта должна прежде всего обеспечиваться на стадии проектной разработки. В этом случае возможно исключение значительных затрат, необходимых для корректирования проекта, когда его недостатки выявляются только в период изготовления, монтажа оборудования или его эксплуатации.
Следует иметь в виду, что затраты на восстановление работоспособности ряда групп машин превышают стоимость выпуска нового оборудования.
При изучении надежности технических устройств рассматриваются самые разнообразные объекты — машины, сооружения, аппаратура и т. д. Для машиностроения объект рассмотрения называют изделием. В зависимости от поставленной задачи изделием может быть отдельная деталь, кинематическая пара, узел, агрегат, машина в целом или система машин. Решение задачи по повышению или оценке надежности сложной машины обычно включает рассмотрение ее элементов, отдельных узлов и агрегатов.
Изделия разделяют на восстанавливаемые (имеется в виду потребителем) и невосстанавливаемые. Сложные изделия, состоящие из многих элементов, чаще всего являются восстанавливаемыми.
Рассмотрим основные термины и определения по надежности оборудования (ГОСТ 13377—75).
Работоспособность — состояние изделия, при котором оно способно выполнять заданные функции.
Исправность — состояние изделия, при котором оно соответствует основным и второстепенным требованиям, нормативнотехнической документации.
Отказ — событие, заключающееся в нарушении работоспособности изделия.
Отказы в основном связаны с разрушением деталей или их поверхностей. Отказы могут быть полными (опасные и безопасные) или частичными, когда сохраняется возможность частичного
использования изделия. По характеру проявления отказы делят на внезапные (поломка) и постепенные (изнашивание, коррозия и т. д.), устранимые и неустранимые.
^Отказы делят на приработочные в начальной стадии^эксплуата- ции при нормальной эксплуатации и износовые.
Надежность изделия включает понятия безотказности и долговечности.
Безотказность — свойство изделия сохранять работоспособность без вынужденных перерывов на протяжении заданной наработки.
Долговечность —■ свойство изделия сохранять работоспособность до предельного состояния с требующимися перерывами для технического обслуживания и ремонтов.
Ремонтопригодность — свойство объекта, заключающееся в приспособленности изделия к предупреждению и обнаружению и устранению отказов и неисправностей с помощью технического обслуживания и ремонтов.
Сохраняемость — свойство изделия сохранять эксплуатационные показатели и после срока хранения и транспортирования изделия.
К показателям безотказности относятся вероятность безотказной работы, интенсивность отказов, наработка до отказа и параметр потока отказов.
Вероятность безотказной работы Р (t) статистически определяется отношением числа объектов, безотказно проработавших к моменту времени t, к числу объектов, работоспособных в начальный момент времени t = 0.
Интенсивность отказов X (^) — вероятность отказа невос- станавливаемого изделия за единицу времени (если отказ до этого не наступил).
Средняя наработка до отказа и наработка на отказ-средние значения наработки перемонтируемых изделий и наработки ремонтируемых изделий между отказами;
Параметр потока отказов го (0 — плотность вероятности возникновения отказа восстанавливаемого объекта, определяемая для рассматриваемого момента времени.
К основным показателям долговечности деталей, узлов и агрегатов относят средний ресурс, гамма процентный ресурс, срок службы.
Средний ресурс — средняя наработка до предельного состояния.
Гамма процентный ресурс — наработка, в течение которой ' объект не достигает предельного состояния с заданной вероятностью у процентов.
Срок службы — календарная длительность эксплуатации изделия до предельного состояния или списания.
Основным комплексным показателем надежности сложных систем является коэффициент технического использования, кото-
рый представляет собой отношение продолжительности наработки изделия к сумме продолжительностей наработки и простоев для ремонта и обслуживания.
Надежность должна рассматриваться в вероятностном аспекте, так как внезапные отказы при эксплуатации оборудования обусловлены комбинацией случайных факторов.
Приведем некоторые понятия теории вероятности, используемые при оценке надежности оборудования.
В качестве параметров распределения или характеристических величин большое значение имеет математическое ожидание р. и дисперсия Dg, характеризующая разброс возможных значений случайной величины g относительно ее среднего значения. В качестве меры рассеяния используют также среднеквадратичное отклонение, обозначаемое о, равное 1/ D^.
Для дискретной случайной величины 5, принимаемой с вероятностями Р, значения xt (i = 1, 2, 3, ..., п), математическое ожидание определяется равенством
м?=2^л,
а дисперсия
Dg = S (Xi- M^Pt.
Вероятность того, что g примет значения, меньшие некоторого числа х,
P£<x) = F(x) = ^Рь
Xi<X
Функцию F (х) называют функцией распределения случайной величины g, a dF (x)idx — f (х)—плотностью вероятности; иногда ее обозначают через р (х). Для непрерывной случайной величины среднее значение и дисперсия
Mg = j xf^dx; Dg = j (x — Mg)2 f (x) dx.
На практике математическое ожидание Mg часто обозначают через р., поэтому в дальнейшем будем использовать это обозначение и о, так как в ряде задач удобно применять понятие среднего квадратичного отклонения, а не дисперсии.
Вероятность нахождения величины g в интервале х0 < g < хп
P(x0<g<xn)= ^ f(х^dx = F(хп) — F(XOY
х0
Любая функция плотности распределения вероятности должна удовлетворять условию нормировки, которое для непрерывной / (х) имеет вид
+ °°
j f(x)dx^ 1.
В технических приложениях большое значение имеет нормальное распределение
С помощью преобразования г =^ (х — р)/о нормальное распределение приводится к стандартному табулированному виду
z°
(4)
Значения плотности вероятностей и функции распределения для стандартного закона приведены в приложениях 1, 2.
Совокупность всех возможных значений случайной величины называют генеральной совокупностью G.
В том случае, когда оценку параметров некоторого статистического распределения производят на основании выборок, число приведенных испытаний п называют объемом выборки. Используя значения х,(/ = 1, 2, ..., и) случайной величины, можно получить выборочное среднее значение и выборочное среднеквадратичное отклонение (эмпирический стандарт для данной выборки S)
х = —2^;(5)
5 = Vт=т Д <Хг - х>2 •(6)
Величину п — 1 называют числом степеней свободы.
Если определены средние выборочные значения х и S, то для данного уровня значимости а (называемого степенью риска) при нормальном распределении можно определить границы доверительного интервала, в котором находится истинное значение математического ожидания с вероятностью, равной 1 — а по формуле
х ~ 5^а/|/п < р < х + StjVп.(7)
Значения /а приведены в приложении 3 распределения Стьюдента в зависимости от значений а и числа степеней свободы f = п — 1.
Доверительный интервал Для среднеквадратичного отклонения находят по формуле
LtS < а < Ц8,(8)
где ^н Lg — коэффициенты (см. приложение 2) для различных чисел степеней свободы п — 1 и различных значений величины 1 — а, называемой доверительной вероятностью или надежностью оценки.
Применим аппарат теории вероятности для решения задач по надежности изделий.
Предположим, что в начальный момент времени работает No изделий, а к концу времени t будет исправных изделий Уи и отказавших Уотк. Если Ntt достаточно велико, то статистическая оценка вероятности отказов
(9)(Ю)времени(Н)(9)(Ю)времени(Н)Q № = NOTK/N0, а вероятность безотказной работы
(9)
(Ю)
времени
(Н)
(9)
(Ю)
времени
(Н)
Р W = NJN0 = 1 - NOTK/N0 = 1 - Q (t).
Из уравнений (9) и (10) следует, что
P(f) + Q(f) = l.
Производная от функции вероятности отказов во называется плотностью вероятности отказов:
dQ(ty_ 1 dN0TKdP^
dt Ng dt dt •
На основании последнего выражения находим вероятность отказов и вероятность безотказной работы:
t
о
tОО
^(0=1 — £(/)=! -\ЦМ1 = \hmlоt
Интегрируя выражение (И), получаем функцию распределения.
Интенсивность отказов X, (() представляет собой число отказов в единицу времени, отнесенное к числу изделий, находящихся в данный момент в эксплуатации,
Х(0 = Мтк/1Уи^.(12)
Умножая dP (t)ldt на У0/Уи и учитывая уравнения (10) и (12), получаем
dP ^/dt = — Р (t) X (П,
Откуда в результате преобразований и интегрирования имеем
t
dP ^Р ^ = —Х ^ dt; In Р (/) = — j X (0 dt;оt
— J X (Z) dt
Р$=е°.(13)
В том случае, если агрегат работает без специального резервирования (т. е. введения дополнительных средств сверх необходимых для выполнения заданных функций), его рассматривают как систему, состоящую из последовательно соединенных элементов. Отказ одного из них влечет отказ всей системы. Для определения вероятности безотказной работы системы необходимо найти произведение вероятности безотказной работы элементов (в случае их независимой работы):
Рст № = Р1 № Р^б Р3 (t) Рп ^.
При одинаковой надежности п элементов
Рст^ = РпД1\
Экспоненциальный закон надежности. Для периода нормальной эксплуатации машин характерно отсутствие отказов, связанных с износом деталей и наличие внезапных отказов. Последние обусловлены многими случайными факторами и имеют постоянную интенсивность, независимую от продолжительности эксплуатации изделия: ■
X (t) = X = 1Дср = const, где /Ср — средняя наработка на отказ (обычно в часах).
В данном случае формулы (13) и (11) примут вид
Р (/) = е~м;
f(O = Xe”xi, где t — время наработки.
Предположим, что средняя наработка до отказа каких-либо изделий /ср = 1000 ч, тогда вероятность работы аналогичных изделий при t = 100 ч будет равна 0,905, а при t = 2000 ч вероятность работы составит 0,135 [80]. При продолжительности работы 1000 ч ((ср = /) вероятность безотказной работы будет 0,368.
В том случае, если существует сравнительно малая вероятность отказов, т. е. при Р (t) -> 1, интенсивность отказов X (() практически равна плотности вероятности отказов. В этом случае возможно использование экспоненциального закона для определения не только внезапных отказов, но и постепенных.
Нормальное распределение времени безотказной работы. Для описания отказов, вызванных износом деталей, в теории надежности применяют нормальное распределение. В этом случае плотность распределения вероятности
IV)—'(14
а У 2л
где /Ср и а—независимые параметры распределения.
^ср S tilt^i
О «У г Ui ~№ - 1) -
Как видно из формулы (14) максимум функции определяют величиной математического ожидания, а ширина петли характеризуется величиной ст2.
В теории надежности находит практическое применение так называемое правило трех сигм, согласно.которому вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение из интервала от ц — Зст до р + Зст равна 99,73 %.
Для вероятности отказов и вероятности безотказной работы имеем /ОО
QW= $ HMt; PU^p^dt.
Используя формулу (14) и подставляя в нее
х = (t — tcp)/a,(15)
получаем
ООX2-4
Р\ е 2 dx.
К 2л J ^~^ср а Последний интеграл вычисляем с помощью приложения 1. Пример. Необходимо определить вероятность безотказной работы машины в течение 875 ч. Было установлено, что продолжительность безотказной работы t машины является нормально распределенной случайной величиной, /Ср = 800 ч и о = 50 ч.
По формуле (15) находим
х= (875 — 800)/50= 1,5..
Из данных приложения 2 находим Ф (1,5)= 0,933. Искомая вероятность Р (0 (1 > 875) = 1 — 0,993 = 0,067, т. е. 6,7 %.
Иногда необходимо определить наработку на отказ Т при заданных вероятности безотказной работы и значениях /ср и ст.
Это выполняют с помощью квантилей нормального распределения ыр, выбираемых по данным приложения 1. В этом случае
^ = ^Ср + «р(Т,
где Up — квантиль нормального распределения, т. е. корень уравнения для Ф (x)=~tL^ f е—^^dx.
Приведем некоторые выборочные значения uw
Порядок квантилей . . . .0 5 пт
Значение квантилей . .п’пп0,9999
и’и —0,524 —0,840 —1,280 -3,70
Пример. Необходимо определить продолжительность работы с вероятностью 0,9, если /Ср = 800 ч и о = 50 ч. Искомая величина (/—/Ср)/о= —1,28; /=-50-1,28+ 800 = 726 ч.
Логарифмически нормальное распределение. Закон логарифмически нормального распределения описывает в лучшей степени, чем закон нормального распределения, результаты испытаний на усталость.
ВИДВИДПлотность распределения вероятности наработки имеет
ВИД
ВИД
(16)(16)f (t) = -2d^3_e- (lg t—lg <0)«/2а« ot^
(16)
(16)
гДе 1g /0 = (S lg kVNo.
Математическое ожидание
Mg = /0еЫ51а2
В данном случае дисперсия
^=(М|гкад-1].
используя дан-используя дан-я и при-я и при-Вероятность безотказной работы определяют, исполь ные приложений 1, 2, 3 для нормального распределени меняя преобразование
используя дан-
используя дан-
я и при-
я и при-
Р (/) = 1 — Fo (х)/о, где х = (1g/—1g/0)/о.
Распределение Вейбулла. Вероятность безотказной работы с применением распределения Вейбулла определяют по формуле при / > 6
Р(/) = e-[(z-6)/(^-6)lm)
где 6, /0 н m — константы (параметры распределения).
В дальнейшем ограничимся случаем, когда 6 = 0.
Интенсивность отказов
Плотность вероятности отказов
о
Преимущество закона распределения Вейбулла в том, что он может принимать различный вид вследствие изменения значений параметров. Так, при т = 1 закон Вейбулла превращается в экспоненциальный закон," при т > 1 он может быть близок к закону нормального распределения, а при т = 2 получают так называемое распределение Релея. '
На практике получил широкое распространение графический метод выявления закона распределения случайной величины по эмпирическим данным. Экспериментальные данные наносят на соответствующие координатные сетки [261. В дальнейшем проверяют допустимость того или другого теоретического закона распределения. Если даже окажется возможным линейно интерполировать экспериментальные данные, то необходимо определить наибольшее отклонение D, рассчитав критерий согласия Колмогорова по формуле D / К (здесь К — общее число экспериментальных отметок).
Если D V К < 1, то экспериментальное распределение соответствует принятому закону распределения.
Отметим, что непосредственное применение законов распределения-сроков службы нельзя считать основным методом для решения задач надежности, так как закон выбирают формально по внешним признакам и без учета процесса формирования отказа [53].
Рассмотрим пример определения вероятности безотказной работы сложной системы. Пусть требуется определить вероятность Р безотказной работы промывателя и доверительные интервалы среднего времени безотказной работы узла аппарата [26]. Промыватель представляет собой пропеллерную диффузорную мешалку и состоит из основных узлов: электродвигателя, привода мешалки, перемешивающего устройства и корпуса. В свою очередь, перемешивающее устройство возможно разбить на два основных узла: узел, содержащий сальниковую набивку, и узел нижнего подшипника.
Для решения задачи можно использовать данные пробега оборудования и ремонтные карты [26].
В этой работе приведены характеристики неисправности за календарный год, наработка после последнего ремонта, принятые меры по устранению'неисправности с указанием даты.
На основании указанных данных составим вариационный ряд промежутков времени безотказной работы подшипниковых узлов.
48
77
78
88
96
154
174
185
216
234
243
255
399
433
438
458
541
595
808
855
Рис. 46. Зависимость 1 — Н^п от XjРис. 46. Зависимость 1 — Н^п от Xj100 200 t, v100 200 t, vвероятности безотказной работывероятности безотказной работыРис. 47. Доверительные границыРис. 47. Доверительные границы
Рис. 46. Зависимость 1 — Н^п от Xj
Рис. 46. Зависимость 1 — Н^п от Xj
100 200 t, v
100 200 t, v
вероятности безотказной работы
вероятности безотказной работы
Рис. 47. Доверительные границы
Рис. 47. Доверительные границы
Для выявления закона распределения времени безотказной работы подшипникового узла, составим табл. 1 [35], в которой введены следующие обозначения: xt—вариационный ряд наработок между отказами; пг —наблюдаемые числа появления наработок между отказами; Ht — суммы частот наработок; п — число опытов.
На вероятностную координатную сетку нанесем значения х^ (ось абсцисс) и 1 — HJn (ось ординат). Зависимость (рис. 46) между указанными значениями можно считать линейной [261.
Определяем наибольшее отклонение Dv = 0,15. Если величина Dv Vп = 0,15 V 20 < 1, то закон распределения времени исправной работы является нормальным.
Пример. Необходимо определить среднее время безотказной работы. Доверительные границы средней наработки до отказа ТСр промыва теля
7Д < Тер < Т2; Тер = — S хг = 318 ч.
п i=l
Доверительные границы можно определять по формуле (7):
Ti = TCp — StaiVп 1 Т^— ТСр -[- Sta/Yп .
Таблица!
Значения величин для определения вероятности безотказной работы промывателя
Х1
ni
Hi
Ht!n
1 - Нг!п
/i
"i
Hl
H^[n
1 - Htm
48
1
1
0,05
0,95
243
1
11
0,55
0,45
77
1
2
0,10
0,90
255
1
12
0,60
0,40
78
1
3
0,15
0,85
399
1
13
0,65
0Д5
88
1
4
0,20
0,80
433
1
14
0,70
о'зо '
96
1
5
0,25
0,75
438
1
15
0,75
0,25
154
1
6
0,30
0,70
458
1
16
0,80
0,20
174
1
7
0,35
0,65
541
1
17
0,85
0,15
185
1
8
0,40
0,60
595
1
18
0,90
0J0
216
1
9
0,45
0,55
808
1
19
0,95
0'05
234
1
10
0,50
0,50
855
1
20
1,00
0Д0
Среднеквадратичное выборочное отклонение определяем по формуле (6):
5 = У 20^й?(Х4-ГсР)2 = 178 Ч'
Определяем значения 1\ и Тй. Задаваясь уровнем значимость а = 0,9 по данным приложения 3 находим для числа степеней свободы (20 — 1) = 19 /а = = 1,73.
Следовательно,
Тх = 318 — 178- 1,73/К20 = 246 ч;
Та = 318 4- 178-1,73/^20 = 390 ч.
Таким образом, доверительные границы среднего времени ТСр безотказной работы подшипникового узла при а = 0,9 246 < Тер < 390.
Определим доверительные границы для вероятности безотказной работы подшипникового узла за время t".
Рх (t)<P'(f)<P2 (0-
Сначала определим доверительный интервал для среднеквадратичного отклонения по формуле (15). По данным приложения 2 находим коэффициенты Lx и L2 для числа степеней свободы 19 и для значения доверительной вероятности 1 _ а = I _ 0,9 = 0,1; Li = 0,84 и L2 = 1,27.
Следовательно, верхнее и нижнее значения среднеквадратичного отклонения ов = US = 1,27-178 = 246;
он = US = 0,84-178 = 150.
Доверительный интервал для среднеквадратичного отклонения 150 < 178 •< < 246.
Выражение для верхних значений вероятности безотказной работы подшипникового узла за время / имеет вид
U-t2V
е 2а® dt.
После замены t на (/— Г2)/ов получим
Р^ (i) =Р^ (i) =~2~</х,= ф~2~</х,= ф
Р^ (i) =
Р^ (i) =
~2~</х,= ф
~2~</х,= ф
Для первой точки при / = 77 ч
(/ _ Т2)/ов = (77 — 390)/246 = —1,28; U + Т2)/<4 = 1,64. По данным приложения 1,
ф (77—390)/246 = Ф (—1,27) = 0,9032.
Аналогично производим расчет для других значений t.
Для нижних значений вероятности безотказной работы
t—С
Рг^^мУ^й, \е 2 ах = ФД-Т1)/он. •
Для tx = 77 ч нормальное распределение
Ф = (77-246)/150 = ф(^.)=Ф(1,13).
Используя данные приложения 2, находим Ф (1,13) = 0,85.
На рис. 47 показаны доверительные границы вероятности безотказной работы для различных значений t.
Надежность систем с резервированием
Прогнозирование надежности оборудования пищевых производств на стадии проектирования имеет большое значение. Чаще всего представляется возможным производить рациональный выбор того или иного варианта проекта и планировать ремонтное хозяйство проектируемого предприятия.
Не только поточная линия, но любая машина и аппарат являются сложными системами. Их надежность определяется надежностью составляющих элементов.
Если система состоит из ряда элементов, отказ одного из которых приводит к отказу всей системы, то соединение элементов системы называют последовательным (рис. 48).
Если отказы отдельных элементов являются независимыми, то вероятность безотказной работы системы из i последовательных элементов
Р(П=РХ№^...Р^.(18)
Вероятность безотказной работы системы, состоящей из последовательных, элементов, меньше вероятности безотказной работы отдельных элементов.
Если, например, для одного элемента Рг = 0,99, то для системы из десяти последовательно соединенных таких элементов
Р= Р^ = 0,9910 = 0,9.
При последовательном соединении элементов интенсивность отказов суммируют. Это следует из следующих соображений. Если Х( (t) = Xi (интенсивность отказов i-ro элемента), то для системы
t пп
Р^ = е 0 1, Р(() = е 1,
где / будет одинаково для всех элементов; 1; = const; i = 1, .. . , п.
Следовательно, надежность системы с последовательным соединением элементов уступает надежности самого ненадежного элемента. Надежность сложной системы можно повысить путем уменьшения количества составляющих ее элементов и увеличения их надежности.
Рис. 48. Последовательное соединение элементов 'Рис. 48. Последовательное соединение элементов 'Рис. 49. Параллельное соединение системы
Рис. 48. Последовательное соединение элементов '
Рис. 48. Последовательное соединение элементов '
Одним из распространенных методов повышения надежности си
стемы является резервирование, под
которым понимают повышение надежности объекта введением избыточности, т. е. введением дополнительных средств и возможностей сверх минимально необходимых для выполнения объектом заданных функций.
Часто применяют постоянное резервирование, т. е. такое, при. котором резервные элементы находятся в одинаковом рабочем режиме с основными (нагруженный резерв). В этом случае резервные элементы подключают параллельно основным (рис. 49).
Вероятность отказа основных и резервных элементов
п
CMt) = Qi(tmh • Qn(0 = nQf(0,
где Qi (/) — вероятность отказа i-го элемента.
Тогда вероятность безотказной работы данной системы
РОт(0= 1 — П Qf (/)= 1 — П[1-Л(0Ь(19)
1 = 11=1
где Pt (f) — вероятность безотказной работы Лго_ элемента.
При проектировании систем с постоянным резервированием отказ одного или нескольких элементов не может влиять на работу всей системы. При постоянном резервировании отсутствует необходимость в кратковременных остановках системы, однако постоянно включённый резервный элемент расходует свой ресурс надежности наравне с основным рабочим элементом.
Пусть имеется система, состоящая из двух равнонадежных параллельно включенных элементов, причем вероятность безотказной работы каждого из них характеризуется уравнением
Рг^=е-и.(20)
Тогда вероятность безотказной работы системы с учетом уравнений (19) и (20) будет иметь вид
Р (/) = 1 — (1 — е~мУ = 1 — 1 + 2е~м - е~ш = 2ем — е-ш.
Откуда плотность распределения вероятности отказа
f (0 = ^ [1 - Р (01 = 2Xe"w - 2Xe'2W.
На основании формулы (7) среднее время безотказной работы системы
4сР = j t (2Хе~м - 2Xe”2W) dt = 3/2Х. О
Среднее время безотказной работы одного нерезервируемого аппарата
/1ср = j t^ dt = — X j te~M dt = 1/X.00
Таким образом, выигрыш надежности Gi(1) по среднему времени безотказной работы 4ср в случае системы из двух параллельно работающих аппаратов по сравнению с Z1CD tlcJt№ = = 3/(2Х) : 1/Х = 3/2.
Как следует из выражения (20) и рассмотренного выше примера, безотказная работа системы, состоящей из параллельно соединенных элементов, повышается с увеличением числа этих элементов. Однако резервирование приводит не только к усложнению системы и, следовательно, к возрастанию первоначальных, затрат, но и к увеличению эксплуатационных расходов. Поэтому необходимо стремиться к повышению надежности при определенных экономических затратах.
Более целесообразно обеспечивать резервирование опреде- лящих элементов машин, но не самих машин. Например, часто выгоднее в ответственных узлах машин использовать двойную смазочную систему, двойные и тройные уплотнения и т. д.
В тех случаях, когда нельзя применить параллельную работу элементов, следует воспользоваться резервированием, замещением или замещением с ненагруженным резервом. В этом случае резервные элементы включают в функцинирование объекта вручную или автоматически только при отказе основных. Для резервных элементов сохраняется технический ресурс.
Пример. Необходимо определить вероятность безотказной работы системы: поточно-технологической линии очистки и подготовки зерна к помолу (рис. 50)
Пусть заданы следующие значения вероятности безотказной работы.
Порядковый номер элемента линии i 6789
Вероятность безотказной работы элемента
линии Pt 0,95 0,95 0,99 0,96
Воспользовавшись выражениями (18) и (20), определим вероятность безотказной работы участков линии за некоторый интервал времени: вариант I (рис. 50, б) — без резервирования (позиции 6, 7, 8, 9) вариант // (рис. 50, д) — с общим резервированием по отдельным участкам). Вероятность безотказной работы участка при варианте I — Pi = РвР,Р7Р8Р9 = 0,95-0,95-0,95-0,99 X X 0,96 =0,815; при варианте // — Ри = Р6 [1 — (1 — PeP^Pg)2! Ре = = 0,95 [1 — (1 —0,95-0,95-0,99)2 ] 0,96 = 0,902; при варианте III — Рщ = = Р6 £1 — (1 — р7)а]а [1_(1_р )2] р = о,95 [1 - (1 - 0,95)а]= X X [1 — (1 _ 0,99)»1 0,96 = 0,910.
Рис. 50. Схема к расчету надежности поточио-техиологической линии очистки и подготовки зерна к помолу:
а — технологическая; б — структурная; в, г — участки структурной схемы с однократным, двукратным резервированием; д, е — общее и раздельное резервирование: / — емкость для неочищенного зерна; 2 — дозаторы; 3 — смеситель; 4 — нория; 5 — автоматическое массоизмерительное устройство; 6 — зерноочистительный сепаратор; 7 — триер; 3 — пневмотранспортная магистраль; 9 — аппарат для скоростного кондиционирования; 10 — моечная машина; 11 — влагосниматель; 12 — увлажняющая машина; 13 — бункер для отволаживания зерна; 14 — электромагнитный сепаратор; /5 — обоечная машина; 16 — пиевмосепаратор; 17 — камнеотборочная машина; 18 — щеточная машина
В качестве других методов повышения надежности систем благодаря избыточности мож а привести следующие виды резервирования: режимное или нагрузочное — использование возможности объекта воспринимать дополнительные нагрузки (снижение допустимой частоты вращекчя, давления и т. д.); временное резервирование — использование избыточного времени для восстановления технических характеристи (профилактики и ремонта) .
Прогнозирование надежности функционирования оборудования
На стадии проектирования необходимо стремиться не только оценить надежность оборудования, но и выбрать наиболее целесообразный с точки зрения надежности вариант конструкции.
При конструирований маший и аппаратов обычно необходимо учитывать механическую прочность, экономические показатели,; физико-химические факторы, параметры, влияющие на функционирование оборудования.
В теории надежности нередко используют метод аналитического прогнозирования, который основывается на применении зависимостей функции случайных аргументов. Благодаря работам И. Б. Жилинского [25] этот метод успешно применяют при проектировании технологического оборудования.
Метод аналитического прогнозирования особенно эффективен, когда существует возможность получить аналитическое выраже-: ние функции распределения F (у) от случайных ведичин Хг,\ Х„ .... Хп по их плотностям вероятности ср (xj, ср (х2), ..., ср (хп).
Пусть существует связь между случайными величинами: аргументом X и функцией Y в виде Y = f (X). Допустим, что распределение случайной величины X задано своей плотностью распределения ср (х) или своей функцией распределения F (х). Требуется найти функцию распределения F (у) или плотность вероятности распределения ср (у).
Для искомой функции распределения
/ У
Fly = Hxfi = J 4Wy = P\Y<y\-P\tW<y\.^min
Выражение для функции распределения функции случайного аргумента X
xi
Р^= j q>^dx.(21)
*mln
Воспользуемся известным понятием обратной функции f""1 (у). Если у = f (х) = х4, то х = f"1 (у) = V х. Тогда уравнение (21) примет вид
Г1 (у)
Р (У) = j Ф W dx.
Г1 (У min)
Дифференцируя уравнение (21) по параметру (переменному)- получаем выражение для плотности вероятности ср (у) распределения функции f (х) случайного аргумента: ,
F' (У) = Ф (У) = ф (Г1 (У) 1 | (Г1 (у)')] I •
Полученное уравнение применимо для закона распределения монотонной функции случайного аргумента.
Введем понятие показателя надежности R (у) по величине у [24, 251:
^тах доп
R^ = I Ф (у) dy ,
'чУ mln доп
ИЛИ
^mln доп+°о
R (у) = 1 - J ф (у) dy - J ф (у) dy.
—00^тах ДОП
Если агрегат не будет надежен, то
Q (у) = 1 — R (у).
При рассмотрении надежности оборудования часто используют закон нормального распределения. Условно обозначим нормальные законы распределения, которые зависят от математического ожидания т, и среднего квадратичного отклонения а^ через ф£ (х,-, т£, о^.
В теории вероятностей рассмотрены задачи по нахождению закона распределения функции, определяемой суммой случайных величин с заданными законами распределения. Такого рода задачи носят название задач о нахождении композиции законов распределения.
Композицию законов распределения находят с помощью операции, называемой сверткой и обозначаемой знаком *.
Композиция нескольких нормальных распределений в результате свертки приводит также к нормальному распределению. Таким образом, композиция двух нормальных законов с введением операции свертки имеет вид
Ф1 (хь mb oi) * фг(х, т, а) = ф (х, mi + m2, У" <?i + <^)- (22)
При новом нормальном распределении математическое ожидание будет представлять собой сумму математических ожиданий исходных распределений компонентов, а дисперсия (при независимых и £2)
D^ = D^ + D^-
В ряде случаев вместо нахождения распределения функции - достаточно найти главные характеристики распределения: математическое ожидание М£и дисперсию D^.
Данный вопрос достаточно просто решается при линейной комбинации независимых случайных величин:
К = У а£Х£ -ф b, сц = const;, b = const.
В этом случае
МУ = f] а£№Х£ + b;
f —1
DK= 2 а2£ПХ£.
1 = 1
Если имеет место нормальное распределение для линейной функции случайных аргументов, то плотность вероятности этой функции
(£/-МУ)2
,р м = ^FS,р м = ^FSееПТ2ПТ2У — S aiMxl—b 1У — S aiMxl—b 1
,р м = ^FS
,р м = ^FS
е
е
ПТ2
ПТ2
У — S aiMxl—b 1
У — S aiMxl—b 1
Пример [24]. Расположенная в аппарате с псевдоожиженным слоем зернистого материала труба подвергается абразивному изнашиванию со средней постоянной скоростью МХЭ = Хэ = 2 мм/год.
С внутренней стороны труба подвергается коррозии от воздействия активной среды со средней постоянной скоростью МХК = Хк = 1 мм/год, не зависящей от времени. На основании экспериментальных данных по определению износа известны среднеквадратичные отклонения скоростей изнашивания аэ = = ок — 0,1 мм/год. Износ трубы линейно зависит от времени t. Толщина трубы s = 13 мм. Отклонение в сторону уменьшения толщины s трубы после прокатки (из условий прочности и жесткости предельной толщины стенки трубы) назначено равным 0,1 мм.
Приняв распределение случайных независимых величин нормальным, необходимо построить кривую надежности трубы во времени.
Решение. Уравнение износа трубы за время работы /
А = 6Э/ + 6К/ + s0.(23)
Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение случайной величины А следующие:
М (А) = X9t + XKt + s0 - 3/ + 0,1;(24)
ад = ]Лfa2 + М = V^' 10“2 0,14 к. (25) Значения М (А) и од, рассчитанные по формулам, для четырех значений t следующие:
t годМ (А), мм(Тд, мм ..t годМ (А), мм(Тд, мм ..12 J 34
t год
М (А), мм
(Тд, мм ..
t год
М (А), мм
(Тд, мм ..
3,16,1 |9,112,1
0,1410,2820,4230,564
рис. 51. Кривая надежности
На основании уравнений (22), (23), (24), (25), получим выражение для плотности вероятности износа А:
г _ [А — 3^ — 0,1]2 I
6ХРI 0,04/2 J
Ф (Д) = —L— .
V 70,14 К 2л
С помощью данного уравнения можно получить выражение для <р< (А) при I; 2; 3; 4.
Найдем критическую толщину стенки трубы sKp, являющуюся критерием отказа. Допустимый износ
Адоп ^ s — sKp — s0, откуда
s ^ А + sKp + Sq.
Для расчетов по уравнению (15) определим нормированную случайную вели- . А—М(А) тл
. чину для каждого времени /: Zt =^. Используя приведенные выше дан
ные для МА и Од, рассчитаем величину ^(z.) = 1 — Ф0(г.) (здесь zt — функция Лапласа).
Безотказную работу трубы определим по формуле
Р (h) - 1 - Fo ^у
С учетом приведенных выше данных для Мд и ад получим значения для следующих величин:
ti•
. . .1
2
3
3,5
4
21. . .
. . . .48
13,5
2,12
2,12
—3,9
Fo (z) . .
. . . .0
0
0,017
0,922
1
1
1
0,983
0,078
0
На рис. 51 приведена кривая надежности, построенная по вычисленным данным. По кривой можно опрёделить ресурс трубы до заданного уровня надежности, например надежности 0,95 соответствует наработка /=3,15 года.
Зависимость надежности от распределений характеристик прочности и напряжений
При проектировании обычно используют коэффициент запаса прочности. Однако по этому коэффициенту невозможно судить о вероятности отказа элемента конструкции. Существует убеждение, что отказ детали можно предотвратить, назначая соответствующее значение коэффициента запаса прочности. Однако вероятность отказа может колебаться в широких пределах прн одном и том же коэффициенте запаса прочности.
В настоящее время накоплены значительные данные о распределениях харайеристик прочности и напряжений. Установлено, что предел прочности на разрыв, предел текучести и предел выносливости часто имеют нормальное распределение. Однако при нормальном распределении случайная величина принимает
значения, лежащие в пределах от —оо до +<», в то время как отрицательные значения пределов прочности не имеют физического смысла. Если коэффициент вариации (о/p) меньше 0,3, то вероятность появления отрицательных значений предела прочности. весьма незначительна.
Для распределений напряжений не представляется возможным привести такое же обобщение, хотя некоторые нагрузки и имеют почти нормальное распределение.
Рассмотрим вероятность безотказной работы при нормальном распределении разрушающих и действующих напряжений.
Плотность нормального распределения разрушающих напряжений и действующих имеет вид
4 Р1-Мораз)2
^разМ 1Л2лПараз ®
_ (*2—Ma)2
’(26)
где МсГраз и Ma—математические ожидания случайных величин араз и a; Dapa3 ■ и Do — дисперсии.
Рассмотрим сначала простой случай, когда действующие напряжения являются детерминированной величиной, а разрушающие — случайной. Используем нормированное отклонение
21 = Ui — Мстраз)/((/ Dapa3).(27)
Если для разрушающего напряжения вероятность ненадежной работы мала, то ораз можно принять в качестве допускаемого [ст ], тогда
[ст] = Мстраз - гг V Dcrpa3.(28)
Значения zT, соответствующие заданным вероятностям безотказной работы, находим по данным таблицы нормального распределения с математическим ожиданием, равным нулю и дисперсией, равной 1.
Вероятность безотказной работы
Р = 1 — Р,
где Р — вероятность разрушения (отказа).
Было установлено [23], что при определении допускаемого напряжения целесообразно ввести показатель уровня надежности п0:
Р = 0,1%
откуда
Р = 1 — 0, Р».
Значения вероятности безотказной работы при различных значениях п0 следующие:
л0 126
Р 0,90,990,999999
В результате изучения возможности применения аппроксимации стандартного отклонения как функции надежности получено
• цо = О,Зе ,
откуда для условия 2 < п0 < Ю
г = 1,6^6.
Тогда из последнего уравнения (28) получим
[а] — Мораз (1 — 1 .б/То’^^Сраз)•(29)
где VOpa3 — коэффициент вариации прочности;
у _ VР°разаРаз ~ МОраз
За основу оценки качества материала принимают коэффициент вариации прочности. Для металлов значения этого коэффициента колеблются в пределах 0,25...0,2. Малые значения этого коэффициента указывают на высокое качество материала. Значения, указываемые в стандартах прочности материалов, отличаются от средних значений, определяемых статистически, поэтому
Прав " ^МОраз,
где 6 — коэффициент, учитывающий отклонения от среднего значения.
Как известно, допускаемые напряжения
[<т1 = ограз/п, где л — запас прочности или коэффициент безопасности.
Из последних двух формул получаем
[о] = ЬМПраз/п.
. Учитывая уравнение (29), найдем значение запаса прочности ц=.к/(1-1,6п^СТраз).
Коэффициент запаса прочности п зависит от надежности Р = = 1 —0,1ц0 и качества материала, оцененного коэффициентом вариации У<траз, а также способа определения значения ораз.
Ниже приведены значения коэффициента запаса прочности, при показателе надежности п0 = 6:
К, 0,0250,040,0630,1
л 1,11,241,431,9
Расчеты проведены при одинаковом значении b, Р •= 0,999999 и при различном качестве материалов.
Наиболее целесообразное использование конструкционных | материалов при конструировании оборудования возможно лишь1 при достаточно полной информации о плотности распределения' прочностных свойств. При расчетах и конструировании необходимо стремиться к получению этой информации для эффективного использования вероятностных методов определения критических и допускаемых состояний. Применение математической статистики для определения и контроля конструкционных характеристик' должно являться важным элементом процесса конструирования.
Рассмотрим определение вероятности безотказной работы при । нормальном распределении разрушающих и действующих напря- \ жений.j
Введем случайную величину Y = страз — ст. Из теории вероят-1 йостей известно, что случайная величина Y имеет нормальное^ распределение, если страз и ст распределены по нормальному < закону, с математическим ожиданием;
МУ = Мстраз — Мо
и дисперсией, в случае независимых случайных величин страз । и ст, равной
DY = Остраз + Ост.;
Случайную величину Y = страз — ст можно.связать с вероят- ■ ностью безотказной работы детали R следующим образом:,
ООZz
R = P^Y^ = \1 e^dy,
J Oy К2л 3 /о
где г = (у — МУ)/ПУ, ст^ = ОУ.i
Нетрудно видеть, что otidz = dy.;
При у = 0 нижний предел интеграла будет иметь видI
jADopa3 + Do
При у -► 4-оо верхний предел г -► +оо, тогдаi
VМараз-М°
V Dapa3+Da
Величина Z = (У —МУ)/]/ОУ является нормированной случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Вероятность безотказной работы можно найти с помощью данных приложения 1 функции нормального распределения.
Уравнение (30) обычно называют уравнением связи.
Формулу (31) можно представить в следующем виде:
Я = 1 -ФЯ = 1 -ФМараз — МаV" СОраз + DaМараз — МаV" СОраз + Da
Я = 1 -Ф
Я = 1 -Ф
Мараз — МаV" СОраз + Da
Мараз — МаV" СОраз + Da
Пример [30]. Известно, что напряжение, имеющее место в узле машины, имеет нормальное распределение, причем Ma = 350 МПа, j/Da — 40 МПа. В результате воздействия различных факторов и колебаний температуры характеристика прочности материала является случайной величиной с нормальным распределением при Мараз = 820 МПа и VМараз = 80 МПа.
Коэффициент запаса прочности обычно определяют как отношение средней прочности к среднему напряжению: Мараз/Ма = 820/350 = 2,34.
Нижний предел интеграла для вычисления вероятности безотказной работы узла
_ Мараз ~ М° — _ 820 ~ 350 _ ~ 470 5 25
21 - ~ КОараз + Do ~[Л402 + 80289’44 ~
По данным приложения 1 для нормального распределения находим R = = 0,9999999.
Предположим, что вследствие плохой термической обработки и больших колебаний окружающей температуры среднее квадратичное отклонение прочности узла увеличивается до 150 МПа при сохранении прежнего значения коэффициента запаса прочности.
Из уравнения (30) находим
820 - 350470„
21 = —^ — — 1СС о. = —3,03.
V402 + 1502155>24
Тогда вероятность безотказной работы узла будет 0,99877 (см. приложение 1). Таким образом, увеличение дисперсии прочности привело к снижению надеж- ности узла.
Коэффициент запаса прочности
п = Мораз/(Мо).
Коэффициенты вариации прочности и напряжения
^сграз— Р^^^разЛМсТраз);
VCT = ГО^ЛМо).
Тогда формула (30) примет вид
• Мараз/Ma — 1
21 ~ ~ К[Dapa3/(Ma)2] + [Da/(Ma)2l п— 1
Приведем без вывода формулу для определения нижнего предела вероятности безотказной работы, полученную с помощью неравенства П. Л. Чёбышева, когда неизвестны законы распределения прочности и напряжений [301:
Рис. 52. Плотности распределения напряжений Oj и предела прочности Праз а — область перекрытия распределений напряжения н предела прочности; б — определение вероятности безотказной работы
Рассмотрим общее выражение для вероятности безотказной работы, когда известны распределения напряжений и предела прочности.
Пусть to (хх) — плотность распределения напряжений и /араз (хг) — плотность распределения предела прочности.
Вероятность безотказной работы элемента
Р = Р (СТраз > СТ) == Р 1(0Граз — О) > 0].
Область перекрытия распределений напряжения и предела прочности (рис. 52, а, б) заштрихована и характеризуется определенной вероятностью отказа. Величина to (хх) dxT является вероятностью того, что некоторое значение напряжения располагается в малом интервале шириной dx<.
Р (ст0 — dxj/2 < о с о0 + dxY!^ — to (ст0) dxv
Вероятность превышения предела прочности араз некоторого значения напряжения ст0
Р (Страз > Сто) = j f „раз №) dx2.
Если напряжение и предел прочности являются независимыми случайными величинами, то вероятность того, что напряжение о примет значение в интервале от ст0 до ст0 + dxx и характеристика предела прочности будет больше ст0, будет иметь вид
to (ст0) dxt J f Ораз (х2) dx^.
Со
Вероятность превышения предела прочности страз напряжения ст, т. е. вероятность безотказной работы элемента, имеет вид
(33)(33)R = j Мхх) j Цйз (х2) dx^ dxv
(33)
(33)
Рассмотрим графический метод определения вероятности безотказной работы при эмпирических распределениях напряжения и предела прочности, когда нет оснований для принятия допуще- 62
Рис. 53» Зависимость G от Н
Рис. 54. Эмпирические функции распределения: а — напряжения; б — предела прочности
ния о каком-либо конкретном распределении напряжения или предела прочности, но имеется достаточный объем экспериментальных данных.
Обозначим
G = j /араз (x2)dx2 = 1 — РОрю (Оораз);
стораз
сто
н = J f0 (*i) dx! = Ра (<т0).
о
В этом случае dH = /а ta) dxv Значения Н расположены в интервале (0—1).
Подставив полученные значения G и Н в формулу (33), найдем
1
R== \GdH.
о
Из последней формулы следует, что вероятность безотказной работы элемента равна площади, расположенной под кривой зависимости Got Н (рис. 53). Располагая данными о прочности и напряжении, можно найти значения РОрйз (стОраз) и Ро (ст0) и, следовательно, величины G и Н. В результате построения зависимости G от Н и измерения площади под кривой определяем вероятность безотказной работы элемента.
Пример [30]. Было проведено десять измерений напряжения детали (табл. 2). На основании полученных данных произведена оценка распределения напряжений (график функции Fo (х^ на рис. 54, а). Было также получено 14 значений предела прочности детали (табл. 3), на основании которых построен график функции Аораз (х2) (рис. 54, ^. На основании найденных двух функций определяем значения G и Н для различных напряжений о0 (табл. 4).
Вероятность безотказной работы определяем площадью, ограниченной крн вой G = / (Я) (рнс. 55) и равной 0,9878.
№ ' измеренияо0, МПага ^№ измеренияо0, МПаFa(a„)1207,50,106 ■2750,622360,27292,50,732450,383000,84262,50,49337,50,952650,5103751,0№ ' измеренияо0, МПага ^№ измеренияо0, МПаFa(a„)1207,50,106 ■2750,622360,27292,50,732450,383000,84262,50,49337,50,952650,5103751,0Таблица 2Таблица 2Значения напряжений сг0 и эмпирической функции распределения Fa (ст0)Значения напряжений сг0 и эмпирической функции распределения Fa (ст0)Примечание. Под эмпирической функцией распределения имеется в виду функция, построенная на основании опытных данных.Примечание. Под эмпирической функцией распределения имеется в виду функция, построенная на основании опытных данных.№ измеренияст0раз* МПа^раз^Р33’№ измеренияа0ра3’ МПа^раз (а°Раз)13380,0783700,5723430,1493710,6433540,21103730,714 .3590,28113820,7853600,35123850,8563600,43134000,9373680,50144201,0№ измеренияст0раз* МПа^раз^Р33’№ измеренияа0ра3’ МПа^раз (а°Раз)13380,0783700,5723430,1493710,6433540,21103730,714 .3590,28113820,7853600,35123850,8563600,43134000,9373680,50144201,0Таблица 3Таблица 3Значения предела прочности о0раз и эмпирической функции распределения Fa раз (<тОраз)Значения предела прочности о0раз и эмпирической функции распределения Fa раз (<тОраз)найдем плотность распределения прочности (х2 > 150): / *2—150 X2/*2—150 V2 (*2—150)1 200-150 )2 (хг—150) к 60 ) .'ор аз W — (200 — 150)2 е502®Функции распределения напряжения и прочностинайдем плотность распределения прочности (х2 > 150): / *2—150 X2/*2—150 V2 (*2—150)1 200-150 )2 (хг—150) к 60 ) .'ор аз W — (200 — 150)2 е502®Функции распределения напряжения и прочности□о—100Fa^ = 1-е*~ 100□о—100Fa^ = 1-е*~ 100, (°ораз 150 \2^Ораз №раз) = 1 — е 50, (°ораз 150 \2^Ораз №раз) = 1 — е 50Таблица4о», МПаНGа0, МПанGЗначения функций Н — Fо (Сто) и G =Fa (°о)10001,00003200,88920,0000□о, МПанGо0, МПан1200,18041,00003400,90930,00001400,32881,00003600,92590,0000 _150 *0,39351,00003800,93920,0000001,003500,960,81■1600,45120,96004000,95020,000010001,003600,980,67■1800,54960,69784200,95930,000015001,003700,990,42■2000,63210,36794400,96670,00002000,071,003800,9950,22■2200,69880,14084600,97270,00002500,311,003901,000,12■2400,75340,03904800,97770,00003000,771,004001,000,05■260'0,79810,00805000,98170,00003200,870,984101,000,02■280.0,83480,06115200,98500,00003300,900,954201,000,01■3000,86470,00013400,940,903 Соколов В. И.65Таблица4о», МПаНGа0, МПанGЗначения функций Н — Fо (Сто) и G =Fa (°о)10001,00003200,88920,0000□о, МПанGо0, МПан1200,18041,00003400,90930,00001400,32881,00003600,92590,0000 _150 *0,39351,00003800,93920,0000001,003500,960,81■1600,45120,96004000,95020,000010001,003600,980,67■1800,54960,69784200,95930,000015001,003700,990,42■2000,63210,36794400,96670,00002000,071,003800,9950,22■2200,69880,14084600,97270,00002500,311,003901,000,12■2400,75340,03904800,97770,00003000,771,004001,000,05■260'0,79810,00805000,98170,00003200,870,984101,000,02■280.0,83480,06115200,98500,00003300,900,954201,000,01■3000,86470,00013400,940,903 Соколов В. И.65Таблица 5Значений напряжений <т0, Н и GТаблица 5Значений напряжений <т0, Н и G
№ ' измерения
о0, МПа
га ^
№ измерения
о0, МПа
Fa(a„)
1
207,5
0,10
6 ■
275
0,6
2
236
0,2
7
292,5
0,7
3
245
0,3
8
300
0,8
4
262,5
0,4
9
337,5
0,9
5
265
0,5
10
375
1,0
№ ' измерения
о0, МПа
га ^
№ измерения
о0, МПа
Fa(a„)
1
207,5
0,10
6 ■
275
0,6
2
236
0,2
7
292,5
0,7
3
245
0,3
8
300
0,8
4
262,5
0,4
9
337,5
0,9
5
265
0,5
10
375
1,0
Таблица 2
Таблица 2
Значения напряжений сг0 и эмпирической функции распределения Fa (ст0)
Значения напряжений сг0 и эмпирической функции распределения Fa (ст0)
Примечание. Под эмпирической функцией распределения имеется в виду функция, построенная на основании опытных данных.
Примечание. Под эмпирической функцией распределения имеется в виду функция, построенная на основании опытных данных.
№ измерения
ст0раз* МПа
^раз^Р33’
№ измерения
а0ра3’ МПа
^раз (а°Раз)
1
338
0,07
8
370
0,57
2
343
0,14
9
371
0,64
3
354
0,21
10
373
0,71
4 .
359
0,28
11
382
0,78
5
360
0,35
12
385
0,85
6
360
0,43
13
400
0,93
7
368
0,50
14
420
1,0
№ измерения
ст0раз* МПа
^раз^Р33’
№ измерения
а0ра3’ МПа
^раз (а°Раз)
1
338
0,07
8
370
0,57
2
343
0,14
9
371
0,64
3
354
0,21
10
373
0,71
4 .
359
0,28
11
382
0,78
5
360
0,35
12
385
0,85
6
360
0,43
13
400
0,93
7
368
0,50
14
420
1,0
Таблица 3
Таблица 3
Значения предела прочности о0раз и эмпирической функции распределения Fa раз (<тОраз)
Значения предела прочности о0раз и эмпирической функции распределения Fa раз (<тОраз)
найдем плотность распределения прочности (х2 > 150): / *2—150 X2/*2—150 V
2 (*2—150)1 200-150 )2 (хг—150) к 60 ) .
'ор аз W — (200 — 150)2 е502®
Функции распределения напряжения и прочности
найдем плотность распределения прочности (х2 > 150): / *2—150 X2/*2—150 V
2 (*2—150)1 200-150 )2 (хг—150) к 60 ) .
'ор аз W — (200 — 150)2 е502®
Функции распределения напряжения и прочности
□о—100
Fa^ = 1-е*~ 100
□о—100
Fa^ = 1-е*~ 100
, (°ораз 150 \2
^Ораз №раз) = 1 — е 50
, (°ораз 150 \2
^Ораз №раз) = 1 — е 50
Таблица
4
о», МПа
Н
G
а0, МПа
н
G
Значения фу
нкций Н — F
о (Сто) и G =
Fa (°о)
100
0
1,0000
320
0,8892
0,0000
□о, МПа
н
G
о0, МПа
н
120
0,1804
1,0000
340
0,9093
0,0000
140
0,3288
1,0000
360
0,9259
0,0000 _
150 *
0,3935
1,0000
380
0,9392
0,0000
0
0
1,00
350
0,96
0,81■
160
0,4512
0,9600
400
0,9502
0,0000
100
0
1,00
360
0,98
0,67■
180
0,5496
0,6978
420
0,9593
0,0000
150
0
1,00
370
0,99
0,42■
200
0,6321
0,3679
440
0,9667
0,0000
200
0,07
1,00
380
0,995
0,22■
220
0,6988
0,1408
460
0,9727
0,0000
250
0,31
1,00
390
1,00
0,12■
240
0,7534
0,0390
480
0,9777
0,0000
300
0,77
1,00
400
1,00
0,05■
260'
0,7981
0,0080
500
0,9817
0,0000
320
0,87
0,98
410
1,00
0,02■
280.
0,8348
0,0611
520
0,9850
0,0000
330
0,90
0,95
420
1,00
0,01■
300
0,8647
0,0001
340
0,94
0,90
3 Соколо
в В. И.
65
Таблица
4
о», МПа
Н
G
а0, МПа
н
G
Значения фу
нкций Н — F
о (Сто) и G =
Fa (°о)
100
0
1,0000
320
0,8892
0,0000
□о, МПа
н
G
о0, МПа
н
120
0,1804
1,0000
340
0,9093
0,0000
140
0,3288
1,0000
360
0,9259
0,0000 _
150 *
0,3935
1,0000
380
0,9392
0,0000
0
0
1,00
350
0,96
0,81■
160
0,4512
0,9600
400
0,9502
0,0000
100
0
1,00
360
0,98
0,67■
180
0,5496
0,6978
420
0,9593
0,0000
150
0
1,00
370
0,99
0,42■
200
0,6321
0,3679
440
0,9667
0,0000
200
0,07
1,00
380
0,995
0,22■
220
0,6988
0,1408
460
0,9727
0,0000
250
0,31
1,00
390
1,00
0,12■
240
0,7534
0,0390
480
0,9777
0,0000
300
0,77
1,00
400
1,00
0,05■
260'
0,7981
0,0080
500
0,9817
0,0000
320
0,87
0,98
410
1,00
0,02■
280.
0,8348
0,0611
520
0,9850
0,0000
330
0,90
0,95
420
1,00
0,01■
300
0,8647
0,0001
340
0,94
0,90
3 Соколо
в В. И.
65
Таблица 5
Значений напряжений <т0, Н и G
Таблица 5
Значений напряжений <т0, Н и G
рис. 55. К определению вероятности безотказной ^ работы детали
0,8
Пример [30]. Известно, что напряжение 06 в детали имеет экспоненциальное распределение
04
О при 0^ Xi < 100
f х _ I *,-1000.2
Го №) -1[од-
— епри *i > 100.
и°0,2 0,4 0,6 0,6 1,0 Н
Известно, что прочность детали имеет рас
пределение Вейбулла. Прочность материала детали — более 150 МПа. Распре
деление прочности имеет параметры: 6 = 150, 0 = 200, 0=2.
Подставив значения этих параметров в следующую формулу:
'"разМ- (0_6)Р
Таким образом,
°?f аораз~15о\2
^ = J ?Ораз ^х^ ^хг = * — ^’раз (стораз) = е \50/ ;
аораз
СтоОр—100
Н = j fc (xi) dxi = Fo (<т0) = 1 - е 100 .
0
Вычисленные для различных значений о0 значения Н и G приведены в табл. 5. После построения кривой зависимости G = f (Н) (рис. не приводим) находим вероятность безотказной работы детали, которая будет равна 0,6093.
Основы оптимального конструирования
В ряде случаев подвергают анализу уже полученные конструктивные решения и уточняют их определенные характеристики. Такие задачи анализа систем успешно решают с помощью ЭВМ.
Создание оптимальной системы должно сопровождаться разработкой вариантов, подвергаемых в дальнейшем соответствующему анализу.
При конструировании простых объектов сразу определяют оптимальные параметры и, в частности, надежность объекта.
При оптимальном проектировании существенным является выбор критерия оптимальности. Часто за этот критерий принимают условие обеспечения минимальной массы конструкции, что особенно важно при изготовлении конструкции из дефицитных материалов.
Рассмотрим, например, работу детали, находящейся в состоянии ползучести. Это может быть деталь из стали, нагретая до высокой температуры, или деталь из полимерного материала, работающая при комнатной температуре. Деформации в данном случае изменяются по закону ст = kd&tdt (здесь ст и 8 — соответственно нормальное напряжение и относительная деформация; к — коэффициент пропорциональности,
При достижении деформации предельного значения деталь выходит из строя и ее необходимо заменить. Обозначим предельное значение относительной деформации детали через е*. Предположим, что деталь работает на растяжение. Найдем площадь сечения растягиваемой детали исходя из заданной продолжительности эксплуатации.
Пусть стоимость детали пропорциональна площади ее.сечения F. Продолжительность эксплуатации детали 6 зависит от сечения F, т. е. 6 = 0 (F). Приведенные затраты на заменяющую деталь уменьшаются с увеличением 6 и будут пропорциональны величине F/(l + £Нп)6 (здесь ЕНп — нормативный коэффициент приведения затрат к базисному году, который принят равным 0,08). Например, при разрушении конструкции через 10 лет убытки будут в (1 4- £Нп)10 — 2,16 раза меньше ее убытков в начале эксплуатации. Стоимость следующей заменяющей конструк-
ции составит aF/(l + Ем)26 (здесь а — коэффициент пропорциональности), а стоимость элементов, используемых в заменах,
z = a [F + F/(l + Emf + F/( 1 + EMf + F/(l + Emf + •••].
(34)
При использовании этой формулы для суммы геометрической прогрессии получим
z = aF/ [1 - (1 + Ehu)-6L
Оптимальная площадь сечения F будет соответствовать минимальному значению г.
Функция 2 определяет цель, которую ставит перед собой конструктор, поэтому ее называют целевой функцией. Условие z -► min является критерием оптимальности. Помимо целевой функции критерий оптимальности еще содержит информацию о максимальном и минимальном значении этой функции.
Можно выделить две задачи оптимизации: получение желаемого эффекта при минимальных затратах и максимального эффекта при использовании заданных ограниченных ресурсов.
Предельное значение относительной деформации детали за всю продолжительность эксплуатации при dsldt = const е* — = 6de/dt
Учитывая, что о = PIP = kd&ldt, получаем
6 = aF,
где a = г*к!Р.
Подставляя 6 в уравнение (34), получаем ар
2 =-> mm.
1 - (1 + Енп)^
Из условия dz/dF = 0 найдем трансцендентное уравнение с учетом In (1 + Ено) « Енп при ЕНп < 1
(aFEHn-l)(l+EHu)“F = l.
Откуда определяем оптимальную площадь F [56].
Оптимизация, рассматриваемая как рациональная процедура, возможна лишь тогда, когда существуют различные варианты и принятые критерии выбора. Рассмотрим задачи оптимизации конструкции.
Пусть задана целевая функция
U == f (Xi, ^2, ..., Хд).
Требуется установить значения параметров х^, ха, ..., хп, когда целевая функция и достигнет максимального или минималь-
3*67
кого значения при ограничениях, накладываемых равенствами: Ф1 (Xi, х2, .... хп) = bi,
^2 (Хг, х2х„) = 62;
Фт (^1, ^2» •••> ^-п) = Ьщ или неравенствами
<Pi (хг, х2, ..., xn) > Gi,
Фз ^г, х2, .... хп) > С2;
Ф^, Х^, -•-, Хп)>С7,
где т — число ограничений, m > 0; п — число переменных, n > 1.
Если задан вид целевой функции и и известны постоянные Ь{ и Сь то подобные задачи оптимизации с ограничениями называют математическим программированием. Если целевая функция и функции ограничения являются линейными, то задачи программирования называют задачами линейного программирования. Часто отсутствуют ограничения (/и = 0) и оптимальное значение целевой функции можно найти достаточно просто методами определения экстремальных значений функции:
duldXi = 0; ди/дх^ = 0; ...; ди/дхп = 0.(35)
Решая полученную систему уравнений, получаем Xf, х2хп.
РАСЧЕТ ПЛАСТИН
Пластиной называют плоское тело, ограниченное двумя, поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с размерами самих поверхностей. Срединная поверхность пластины, т. е. поверхность, равноудаленная от наружных поверхностей, представляет собой плоскость. Этим пластины отличаются от оболочек, у которых срединная поверхность не плоская.
Многие детали пищевых аппаратов и машин имеют форму круглой или кольцевой пластины. В качестве примеров можно назвать плоские днища и крышки резервуаров, фланцы труб, днища роторов центрифуги и т.. д.
Инженерная теория изгиба пластин широко представлена в работах [15, 19, 49, 64, 751. В основу этой теории положены следующие два допущения.
Точки, расположенные на некоторой прямой, перпендикулярной к срединной поверхности до деформации, остаются на прямой нормальной к этой поверхности после деформации плас- стины (гипотеза прямых нормалей Кирхгофа).
В плоскостях, параллельных срединной плоскости, нормальные напряжения пренебрежимо малы по сравнению с напряжениями изгиба.
Рис. 56. Схема круглой пластиныРис. 57. Схема к определению угла поворота к нормали в зависимости от прогибаРис. 56. Схема круглой пластиныРис. 57. Схема к определению угла поворота к нормали в зависимости от прогибаИзгиб круглых пластин, нагруженных симметрично
Рис. 56. Схема круглой пластины
Рис. 57. Схема к определению угла поворота к нормали в зависимости от прогиба
Рис. 56. Схема круглой пластины
Рис. 57. Схема к определению угла поворота к нормали в зависимости от прогиба
При изгибе пластин, наибольший прогиб которых существенно меньше толщины, пренебрегают радиальными перемещениями точек срединной плоскости.
Примем систему координат таким образом, чтобы плоскость XOY совпадала со срединной плоскостью пластины, начало координат 0 совместим с центром неизогнутой пластины (рис. 56).
Из рис. 57 видно, что tg ф = ,+dto/dr или с учетом направления оси г и малости угла ф,
ф = —dwldr.(36)
На изогнутой срединной поверхности пластины возьмем произвольную точку А (рис. 58) с координатной г и проведем через нее нормаль к поверхности. Также проведем нормаль и через ближайшую точку Д', характеризуемую радиус-вектором г+dr. Длина дуги АА* будет dr, а угол наклона этой нормали будет ф + dф.
На основании принятого допущения о недеформируемости срединной поверхности (деформации в остальных слоях пластины пропорциональны расстоянию г от срединной поверхности) для двух ближайших точек Л и В (рис. 59) на расстоянии от срединной поверхности и на расстояниях г и г + dr от оси г относительное удлинение волокна АВ в радиальном направлении ег=(А'В'—AB)/AB=zdф/dr. (37)
Рис, 58. Изогнутая срединная поверхность пластины
Рис, 59. Схема угловых деформаций вРис. 60. К расчету элемента пластиныРис, 59. Схема угловых деформаций вРис. 60. К расчету элемента пластиныразличных сечениях цилиндрической пластиныразличных сечениях цилиндрической пластины
Рис, 59. Схема угловых деформаций в
Рис. 60. К расчету элемента пластины
Рис, 59. Схема угловых деформаций в
Рис. 60. К расчету элемента пластины
различных сечениях цилиндрической пластины
различных сечениях цилиндрической пластины
Относительное окружное удлинение в точке В можно определить, сравнивая длину соответствующих окружностей до и после деформации:
ez = [2л (г + z<p) — 2лг]/2лг = z^lr.(38)
Вырежем из пластины бесконечно малый элемент двумя диаметральными (под углом dp) и двумя концентрическими сечениями с радиусами г и г + dr (рис. 60). Выделенный элемент расположен на расстоянии z от срединной поверхности. Относительным удлинениям гг и ez соответствуют нормальные напряжения аг и о£, связь между которыми (деформациями и напряжениями) определяют по обобщенному закону Гука:
ez = ojE — p,or/E; er = ar;E — poz/E,(39)
Где аг, о£ — напряжения, действующие в радиальном н окружном направлениях; Е — модуль продольной упругости; р — коэффициент Пуассона.
При совместном решении уравнений (39) с учетом выражений (37) и (38) получим следующие выражения для напряжений:
^т^М£ + ^)- .(«)
Кроме нормальных напряжений на гранях, принадлежащих цилиндрическим сечениям выделенного элемента В^А^ и В2В2А2Д2, в общем случае имеют место и касательные напряжения. Любое радиальное сечение пластины (например, В1В2А2А1) яв- 79
Рис. .61. Схема действия внутренних силовых факторов а — элемент пластины; б — векторный треугольникРис. .61. Схема действия внутренних силовых факторов а — элемент пластины; б — векторный треугольникна элемент пластин:на элемент пластин:
Рис. .61. Схема действия внутренних силовых факторов а — элемент пластины; б — векторный треугольник
Рис. .61. Схема действия внутренних силовых факторов а — элемент пластины; б — векторный треугольник
на элемент пластин:
на элемент пластин:
ляется плоскостью симметрии, следовательно, в^этих сечениях касательные напряжения отсутствуют.
Переходя от нормальных напряжений ог и о( к изгибающим моментам Мг и Mt, отнесенным к единице длины соответствующего сечения, получаем
+s/2+s/2
Mr = J orzdz; Mt = j o,zdz.(4-2)
—s/2—s/2
Мг = D (dtp! dr + pqVr);Mt = D (<p/r + pdф/dr),Es3где D = —s-,srцилиндрическая жесткость пластины.Мг = D (dtp! dr + pqVr);Mt = D (<p/r + pdф/dr),Es3где D = —s-,srцилиндрическая жесткость пластины.Подставляя в эти выражения значения стг и ст, из уравнений (40) и (41) и интегрируя, имеем
Мг = D (dtp! dr + pqVr);
Mt = D (<p/r + pdф/dr),
Es3
где D = —s-,srцилиндрическая жесткость пластины.
Мг = D (dtp! dr + pqVr);
Mt = D (<p/r + pdф/dr),
Es3
где D = —s-,srцилиндрическая жесткость пластины.
(43)
(44)
1Z (1 — ц-/
Сравнивая уравнения (43) и (44) и уравнения (40), (41) и подставляя в них значение D, получаем
аг = 12Mzz/s®; ст, = 12M,z/s®.(45)
Наибольшие нормальные напряжения будут при z = s/2. Поэтому
(ст,)тах = ± 6Mr/s2; (ст,)таХ = ± 6Л4,/з2.(46)
На рис. 61, а приведена схема действия на выделенный элемент внутренних силовых факторов (изгибающих моментов и поперечных сил).
Используя условие равновесия этого элемента, составляем уравнение моментов относительно оси у.
(Mr + dMr) (г + dr) d^ — Mrrd^ — 2 (Mtdr sin dp/2) +
+ Qrd^dr/2 + (Q + dQ) (r + dr) d^dr/2 = 0.(47)
На рис. 61, б показаны векторы моментов М,, которые отложены на перпендикулярных линиях к плоскости их действия. Проектируя векторы на направление оси у (отрезок Ьс), получаем искомый результат. Отбросив в последнем уравнении величины высшего порядка малости, после алгебраических преобразований получим
Mr + rdMrldr —Mt + Qr = 0..(48)
Подставляя значения Мг и Mt из формул (43) и (44), получим
(49) \ dr1 ' г dr г2 / хх '
Используя тождество
> ФЛ dr2 ' г dr г2 ~ dr \ dr г /k '
й учитывая, что -^- (фг) = г ■— + ф, уравнение (49} можно представить в виде
<51>
Для выяснения смысла выражения в квадратных скобках уравнения (51) сложим почленно уравнения (43) и (44), в результате получим
.Мг + М< = Д|(1+р)^ + (1+р)-^]
или
мг ±м< _ в № -V = D (грг).(52)
1 + р\ dr 1 г / г drv '
Расчет круглых осесимметричных пластин по методу начальных параметров
Интегрируя уравнение (51) получаем
D-L^r)^-\Q(r)dr.(53)
. 2 Для получения обобщенного решения этого уравнения воспользуемся методом, предложенным С. Н. Соколовым [65, 19], который является вариантом метода начальных параметров,
Пластину, подвергаемую сложному нагружению, разделяют на.участки, границы между последними выбирают в тех точках, где приложены силы и моменты или где начинается распределенная нагрузка. Когда последняя изменяется скачкообразно, ее 72
Рис. 62. Круглые пластины с различными видами нагрузки: а — сплошная; б — с отверстием
представляют в виде суммы двух нагрузок, действующих до наружного края пластины.
Произвольные постоянные интегрирования по участкам сводят к начальным параметрам, количество которых не превышает трех. В качестве этих параметров принимают прогиб хи и изгибающие моменты Мг и М( в центре сплошной пластины или на внутреннем контуре кольцевой пластцны.
Для облегчения нахождения постоянных интегрирования используют метод выравнивания произвольных постоянных интегрирования по участкам.
При расчете элементов пищевого и химического оборудования, которые могут рассматриваться как круглые пластины, можно рекомендовать метод расчета, разработанный С. Н. Соколовым как наиболее экономичный при решении сложных задач. Определение постоянных интегрирования возможно при любом числе участков, на которые разбивают пластину. Однако уже при двух-трех силовых участках расчет будет громоздким, так как требуется составить и решить системы [из соответственно шести и девяти уравнений. Метод С. Н. Соколова позволяет значительно упростить расчеты.
Пусть на круглую пластину действуют следующие силовые факторы: момент, т (Н-м/м), равномерно распределенный по
окружности радиуса с^ (рис. 62, а); кольцевая сила Р (Н), равномерно распределенная по окружности радиуса сц;, нагрузка q (Па), равномерно распределенная по кольцу, ограниченному радиусами а3 и а4, и неравномерно распределенная по кольцу, ограниченному радиусами а4 и а5, и изменяющаяся по закону 9о (р2 — а2) (здесь q0 — постоянный коэффициент, Н/м4; р — текущий радиус (а5 > р > г).
В данном случае пластинка имеет пять участков.
Рассмотрим последовательно части пластинки, вырезанные цилиндрическими сечениями и принадлежащие I—VI участкам.
Значения поперечной силы Q (г) для пяти участков:
/ при // при /// приIV при/ при // при /// приIV при^ Q2лг^ Q2лгQ = 0;
/ при // при /// при
IV при
/ при // при /// при
IV при
^ Q2лг
^ Q2лг
Q = 0;
Q = — Р/(2лг);
Г р । ^(^-«з) 1
2лг2лг[ 2лг 2лгq_^з \ 1.
2лг
2лг
2 Vr ’
ng (r2 — a?)1 f
.3.32^r^ 2S7po(p2-a2)2^pdp =
.3
.3
2лг ' 2
После интегрирования правых частей этих уравнений получим следующие выражения для пяти участков:
1 j Q (г) dr = Ci,
II j Q (г) dr = С4-j-С2;
/// J Q (r) dr = C2 + -^- In r — -^- In a2 + C3;
ZVjQMdr-^ + ^lnr-^-ln^ + Sj-
qA qa^\^^qa^\ I V4 q<A ‘>0al'242216164
(54)(54)। 40a490а4 .40a4 .. p
(54)
(54)
+ 4 + 4 In Г — ^ In d4 -j™ Cg,
где Ci ... C6 — постоянные интегрирования.
При интегрировании введены постоянные члены, содержащие абсциссу граничного сечения а:. Этим достигается равенство зна- чений Сх = С3 = С4. Из сопоставления уравнений (52) и (53) следует, что
(^ + ^^/(1+^) = -jQ(r)dr.
Однако для участка / было получено jQ (г) dr = Сп поэтому
(Мд + Мд)/(1 + и) = Cv(55)
Учитывая равенство (55), напишем для граничного сечения участков // и ///
Ci + С2 = С22^~ 1П а2 + С3.
Следовательно, Сг = С3.
Аналогично устанавливаем, что С3 = С4=С6. При определении величины С4 учитываем условие г = 0 и Mr = Mt = Af0. Тогда из уравнения (55) имеем
С4 = 2М0/(1 + Ц).
Выражение J Q (г) dr при г ^ ах будет равно изгибающему распределенному моменту т. Так как значения выражения J Q (г) dr для участков I и II отличаются на величину С2, заключаем, что С2 = т.
Таким образом, уравнение для участка IV может быть написано в виде
_J^lnr-^ + ^inti3 + -^.
Произведем интегрирование полученных дифференциальных уравнений для каждого участка, предварительно умножив левые и правые части полученных уравнений на г и подставив найденные значения постоянных первого интегрирования Cv В результате получим Для следующих участков:
I при 0 с г с а4
. Оф!г = Могг1^\ + р) + С4;(56)
// при «! с г < аг
Офпг = MqF /(1 -|- ц) -|- (tnr^fi) -|- С2,(57)
/// при аг < г с а2
7)фшг = М3г /(1 -у-- р) -|- ^тг /2) (1 — Q\It ) -|-
+ [Рг2/(8л)](-1-In^+C?, .(58)
откудаоткудаМ0о? _ JM•+ р—Ч-рМ0о? _ JM•+ р—Ч-рЧ2" ^Ш1 Н~ ^2>Ч2" ^Ш1 Н~ ^2>Сг = —та2/2.Сг = —та2/2.
откуда
откуда
М0о? _ JM
•+ р—Ч-р
М0о? _ JM
•+ р—Ч-р
Ч2" ^Ш1 Н~ ^2>
Ч2" ^Ш1 Н~ ^2>
Сг = —та2/2.
Сг = —та2/2.
IV при аа < г < а4, -'"
'Оф1Уг=Л40г2/(1+ц) + -^-тг3(1 — а!/г2) +
+ [Р//(8л)] ^ - 1 - In 4) + ^ + ^ In 4 + с"(59)
V при а4 < г < R
Мо л , 1 л I1 Й1 \ , /V2 Г «2 , , а2 , ОфуГ = -Г-Г- Г1 + "о" /ИГ 1 2* + *я— -» 1 — In —«- + ■ т *1 + И 2\ г2 / ол [ г2г2 j 1
", qr4 ^з , ^2 1 °з ,
{9г9 х2 \ Ч \
i-s^-^i^in^jjJ + Cs. (60)
Как и при первом интегрировании для выравнивания произвольных постоянных интегрирования, в уравнения для участков ///—V введены постоянные члены, содержащие абсциссу граничного сечения.
■ Учитывая, что при г = 0 фх = 0, из уравнения (56) получаем Ci = 0.(
При г = й! ф! = фц, и, следовательно, Оф!^ = Офпах,
Далее, аналогично приравнивая для граничных сечений соответствующих участков углы поворотов ф,_1 = Ф/ и, следовательно, Dtpi^a,,! = Dtpiaf_i, найдем остальные постоянные интегрирования .
Сз=Ра2/8л; £4=—903/16; С5 = 90а®/48.
Подставив в уравнения (56)—(60) значения постоянных интегрирования С< и разделив левые и правые части полученных уравнений на г, получим выражения для углов поворота Dtp. Для участка V уравнение будет наиболее общц^, учитывающим все указанные выше нагрузки. Углы поворота "любого участка можно найти, не учитывая члены уравнения, содержащие нагрузку, действующую за пределами данного участка. Уравнение для Dtp будет иметь вид ■
Оф = Мог^ 1 + р) + mrt|)q,m 4- РгффР + qr3^ + 9о^4’ф?» . (61) где фф — функции безразмерного аргумента X = at/г—приведены в табл. 6. 76
Подставляя значения ф для участка V в формулы (45), (46) с учетом выражений для фф (см. табл. 6), получаем
Мг = Мо 4“ /Пфгт 4“ ВфгР 4“ У^Фг.? 4“ Я^^гд»»(62)
Mt = Mo 4- ^tm 4- ^Ф<Р 4- <7^? 4- q^tq,.(63)
Значения функций фг(- и ф<(- приведены в табл. 6.
Подставляя уравнения углов поворота фТ — фу в уравнения прогибов для соответствующих участков, производим интегрирование, а затем выравнивание произвольных постоянных интегрирования С"£ по участкам и, выражая их через начальный параметр — прогиб в центре пластины (у0, — получим для участка V Dw = Ошй 4- у^^- г2 4- пгг^т 4- Р^ф^ 4- qi4^ 4- q^^- (64)
Выражения для фШ(- приведены в табл. 6.
Функции ф^-, называемые С. Н. Соколовым сопровождающими, легко подсчитывают для любых значений % и представляют в виде Таблиц.
При расчете кольцевых пластин обобщенные уравнения изменяются за счет начальных параметров, причем члены, учитывающие влияния нагрузок, остаются без изменений.
В случае кольцевой пластины (рис. 62, б) необходимо рассмотреть сначала участок /.
Для участка I уравнение (53) примет вид
dt^W = a^<65)
После интегрирования и несложных преобразований получим • Оф = Лхг/2 4-Bi/r,(66)
где Ai и Bt — постоянные.
Подставляя значение ф в уравнение (36) и интегрируя это уравнение, найдем
Ош = Л^/4 4- Вг In г 4- Сь(67)
где Ci — постоянная интегрирования.
На основании выражений (52) и (65) с учетом постоянного значения Аг на всем участке имеем
Л^^^^Л^ц).(68)
Подставляя в уравнение (66) значения г = г0 и ф = ф0, получаем
Вх = ОфоГо — Л^/2.(69)
Решая уравнения (43) и (44) относительно -^- и приравнивая их правые части, найдем
Оф = (М( — цМг) г/(1 — ц2),(70)
или для начального сечения (г = г0 и .ф =- ф0)
Оф0 = (М<0 — pA4r0) г0/(1 — И2)-(71)
Подставляя значения Лх и Оф из уравнений (65) и (71) в уравнение (69), получаем
о Mt»— рМго Мго-\-М(о го/79^
Величину Сх находим из уравнения (67), используя его для начального сечения и подставляя в него значения Л4 и Вг из уравнений (68) и (72):
/-. гх. Мго+ М^ ro ^<0 Н^^о Mro+M<o 'о\.
^Dwqг -^ in г0.
Полученные из уравнений (68) и (69) значения Аг и Bi подставляем в уравнение (66). Дифференцируем это уравнение по г. .Имея теперь выражения для ф и -^- и подставляя их в уравне
ния (47) и (48), получаем в сокращенном виде
Мг = М^ф,, + М^ф^;(73)
М( = МгОф^ + М^Фн-(74)
Подставляя в уравнения (66) и (67) значения Лх, Вг, Clt получаем
Оф = Л4гОгффг + Л4<огфф<;(75)
Dw = Dw0 + М^г^шг + Л'1/оГ2фи,/.(76)
Таким образом, для кольцевой пластины уравнения (61)—(63) примут вид (без учета нагрузки V участка)
Мг = ЯоФ„ 4- ^4/оФг< Ч- го^гт 4~ ^ФгР 4“ ?г2фг9;(77)
Mt = Л4Гоф/г 4- Мофн 4- ^tm 4- ^Ф/р 4- ^ф//,(78)
Оф = МгОгффг 4- ^<огфФ< 4- тгффт + Ргффр 4- qr3^;(79)
Dw = Dw0 + Мго^ф^ 4- М^/ф^ 4- тг2^ 4- Pr^mP 4- qr4^. (80)
Значения функций фгг, фн, ф<г, ф<о ффг и другие приведены в работе [151.
Приведенные уравнения (77)—(80) для Mr, М(, Оф и Dw составлены для четырех участков. Если заданная нагрузка будет действовать вплоть до края пластины (см. рис. 62), то вводя компенсирующую нагрузку обратного направления на интервале г — а4, можно составить соответствующие уравнения и для участка V, которые будут аналогичны выражениям для участка IV. Эти выражения в данном случае используют для нагрузки q в заданном направлении на интервале г — а3 и обратном направлении на интервале г — а4.
X^—Rj/R6)X^—Rj/R6)£)ф = M.R£)ф = M.R^tViR^L ^Ttkn№^tViR^L ^Ttkn№Из табл. 6 имеемИз табл. 6 имеем
X^—Rj/R
6)
X^—Rj/R
6)
£)ф = M.R
£)ф = M.R
^tViR^L ^Ttkn№
^tViR^L ^Ttkn№
Из табл. 6 имеем
Из табл. 6 имеем
Рнс. 63. Схема к расчету приваренного к наружному цилиндру днища с действующим на него осевым усилием Р внутреннего цилиндра: а — конструктивная; б — расчетная; в — эпюра изгибающих моментов
При использовании выведенных уравнений будем, считать, что моменты Afr и М; положительны, если они вызывают растяжение в нижней зоне пластины.
Если пластина имеет ступенчатый профиль при условии, что срединная поверхность ее является плоскостью симметрии, то расчет ее производят как круглой пластины, состоя
щей из кольцевых участков, имеющих различную толщину, постоянную в пределах данного участка. При расчете необходимо использовать уравнения совместности угловых перемещений (фг = фг+1), условия равновесия на радиусах сопряжения кольцевых пластин различной толщины ^Мг. = Afr<z+i)) и равенство прогибов кольцевых участков пластин различной толщины на радиусах их сопряжения (wt = t^i)-
Пример 1. Требуется определить угол поворота опорного сечения и наибольшее нормальное напр'яжение для нагруженной распределенным моментом М кольцевой пластины толщиною s, наружный радиус которой R и внутренний г0.
Уравнения (77)—(79) для данного случая прн Л1ГО = 0 примут внд
Мг = М^го М, = М,оф^; Рф = AW%r
Для определения М( используем условие, согласно которому Mr = М при г — R, тогда
М = Mrt4>r; (/„//?), откуда
М
т '° ~*
Таким образом,
_ AqvHr/^) . м _ Mipz< (r/R) .
г (г0//?) ’* ~(Го//?) ’
1^ (г/о/?) = о,5 (1 - ^;Фг, (г//?) = 0,5 (1 - X2);^tt (r/R) = 0,5 (1 + Му
%f (г0//?) = {1/[2 (1 - ц2) ]) [(1 - ц) + Н (1 + Н) L где X = riR, Хо = re/R.
Следовательно, Mr = M(l-X2)/(l-X2);
M, = M(1+X2)/(1-X2);
0<Р = MR r [(1 — ,г) + kg (1 +,
откуда\ pi л0
MR /1 Xg \
Ф D(l-Xg) X 1+H +
Наибольшие значения моментов
Wmax = M (1 - X2)/(l - X2) = M;
W)max = M (1 + 1)/(1 -X2) = 2M/(1 -X2).
На основании уравнения (46)
№ax=12Ms2(1-^)b
Пример. Требуется no данным Кошелева И. В. найти напряжения в плоском днище, которое приварено к внешнему цилиндру. Днище воспринимает осевое усилие от внутреннего цилиндра (рис. 63, а).
На рис. 63,6 показана расчетная схема пластины. Давление на пластину внтуреинего цилиндра обозначено через Р.
Используем для данного случая уравнения (62), (63) в виде
Мг= Мо — P^rp; Mf = Мо — P^tp.
Находим по табл. 6 формулы для сопровождающихся функций и подставляем вместо Х2 отношение pjp = Х2.
Для определения Мо используем условие Мг = 0 при г = Р, тогда
Мо = Р/8л [(1 - р) (1 - XI) - (1 + р) In ХЦ.
Подставляя выражение Л40 и сопровождающие функции в уравнения для Л4Г и М^, получаем для участка между цилиндрами при Pi ^ г ^ Р
МГ = РМГ = Р(1_^ (1-^ _(1+|х)(1_^ (1-^ _(1+|х)In Х| ) /8л;In Х| ) /8л;
МГ = Р
МГ = Р
(1_^ (1-^ _(1+|х)
(1_^ (1-^ _(1+|х)
In Х| ) /8л;
In Х| ) /8л;
Mt = Р [(1 - и) (1 - ^) + (1 + и) Ш х2|/8л.
Для внутреннего участка можно применить те же уравнения, но исключив вторые слагаемые правых частей равенств. На рис. 63, в построены эпюры нагибающих моментов. Как следует из этих эпюр, любое сечение внутреннего участка испытывает наибольшие напряжения, и для него справедливо следующее равенство:
(^шах = (М1)п1ах== const.
Наибольшие напряжения на этом участке
^Лтах — ±ЗР [(1 — р) (1 — Xj) (1 -J- р) In Х|]/4л52.
Расчет круглых пластин, подвергаемых растяжению
Круглые пластины, нагруженные распределенными симметричными нагрузками, действующими в плоскостях, параллельных срединной плоскости, испытывают растяжение или сжатие.
Рис. 64. Схема к расчету радиальных перемещений пластин
Для определения радиального перемещения точки, отстоящей на расстояние гот нейтральной поверхности в направлении г (см. рис. 67), имеем u|z = tg фЛЯр И Umax/min == $ф/2.
Выделим из пластинки, нагруженной только распределенным моментом т, элементарный нижний слой (рис. 64). Нормальные напряжения в этом слое на основайии формул (49)
a r = ±6Mr/s2;о# = ±6Mz/s2.
В пределах малой толщины выделенного слоя эти напряжения можно считать постоянными.
На основании формул (61)—(63), (77)—(79) получим следующие выражения нормальных напряжений:
для сплошной пластины
о> = Со + <ТлгФ,т;(81)
°t = °» + ^лФ/т!(82)
£u/(l — р2) = оу/О - р) + 0^фт;(83)
для кольцевой пластины
° г = ^гоФгг + а/оФг/ 4" ON^rm",(84)
at = агоФ<г + °7оФм + GN^tmi(85)
Eu^l— р2) = ЩоГффг + О^^Фф/ + O^H^m, .(86)
где aN = Ът!& — нормальное напряжение в элементарном нижнем слое от действия распределенного момента т.
Если пластина подвергается осесимметричному раетяжению (сжатию), то вычисленные по приведенным формулам напряжения и радиальные перемещения можно распространить на все слои пластины независимо от координаты г.
Полученные выше выражения можно использовать для определения напряжений ог и at, если диск с отверстием подвергается действию внутреннего давления р (внутренний радиус диска г0 и наружный RY
Для рассматриваемого случая уравнения (84)—(85) примут вид
о; = <тгОф„ + <Т/оФ,Л(87)
Gt = °гоф/, + ^оФ^-(88)
Величина аг0 известна — это внутреннее давление р. Для нахождения неизвестного значения о/0 используем известное условие (orY=b = 0.
Тогда можно записать
О = — И„ Vo/R) + а<офг< (г»//?),
откуда
(89)(89)oto = Рфгг (fo/RWrt (rofR\
(89)
(89)
Подставляя в уравнения (84)—(88) о/0 и значения сойровожда- ющих функций из табл. 6, получаем
Р'о /, R2 \ .~ Д2-^ VР'о /, R2 \ .~ Д2-^ VGt = \ptXR2 - Го)] (1 + RWGt = \ptXR2 - Го)] (1 + RW(90)(91)(90)(91)
Р'о /, R2 \ .
~ Д2-^ V
Р'о /, R2 \ .
~ Д2-^ V
Gt = \ptXR2 - Го)] (1 + RW
Gt = \ptXR2 - Го)] (1 + RW
(90)
(91)
(90)
(91)
Найдем напряжения ог и at и перемещение и в общем случае, когда действуют внутреннее сжимающее давление рх и наружное растягивающее р2.
При (ar)r=r0 = —Pi и (ar)r=R = ра уравнение (84) примет вид
— Ра = — Р1Ф„ ^r0/R) + о/0фг/ (г»//?).
откуда
(92)(92)МГТ (ro/R) — раФг/ (Го/^)
(92)
(92)
Уравнение для определения перемещений будет иметь вид
Ей К1 - р2) = <тгОгф<рг + о^гфф/ •(93)
PiR2 (1 го \ , Рг'о (* R2 \. r^pR^V Г2)’PiR2 (1 го \ , Рг'о (* R2 \. r^pR^V Г2)’1 — ц Pi го+P^Rq . 1 + ц (Pi + Ра) ^2,о 1 Ё ^_г2 Г + —Ё"^—21 — ц Pi го+P^Rq . 1 + ц (Pi + Ра) ^2,о 1 Ё ^_г2 Г + —Ё"^—2Подставляя в уравнения (84)—(85) и (93) ог0 — —Pi и полученное значение <т/0, а также выражения для сопровождающих функций из табл. 6, после преобразований получим
PiR2 (1 го \ , Рг'о (* R2 \. r^pR^V Г2)’
PiR2 (1 го \ , Рг'о (* R2 \. r^pR^V Г2)’
1 — ц Pi го+P^Rq . 1 + ц (Pi + Ра) ^2,о 1 Ё ^_г2 Г + —Ё"^—2
1 — ц Pi го+P^Rq . 1 + ц (Pi + Ра) ^2,о 1 Ё ^_г2 Г + —Ё"^—2
(94)
(95)
(96)
В толстостенном цилиндре, имеющем днища, которые воспринимают внутреннее давление, появляется напряжение oz. Однако напряжения о, и ot в этом случае определяют по формулам, ана-
логичным формулам для дисков с отверстием. Наличие напряжения oz незначительно влияет лишь на радиальное перемещение:
_ 1 — цр/о + ^о, 1 + ц(Pi + p2)r2/o1р
ЕЕ R2_^r~E<V'
Для расчета пластин ступенчатого профиля и пластин со сложным нагружением целесообразно применение ЭВМ.
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК
Оболочкой называют тело, ограниченное двумя близкими криволинейными поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с размерами самих поверхностей.
Преимущества оболочки как конструктивного элемента реализуются в том случае, когда ее стенка работает на растяжение (сжатие) в условиях безмоментного напряженного состояния или состояния, близкого к безмоментному.
Безмоментная теория оболочек вращения
, Безмоментное состояние оболочки конечной толщины существует при следующих условиях: оболочка имеет плавную форму без разрывного изменения радиусов кривизны; закрепление краев оболочки не приводит к возникновению реактивных сил, имеющих значительные поперечные составляющие, и реактивных моментов; сосредоточенные силы или моменты отсутствуют, нагрузки являются равномерными или плавно изменяющимися.
В местах резких переходов, жестких закреплений и контурных нагружений возникают напряжения изгиба, иногда достигающие больших значений, но имеющие явно выраженный локальный характер. Вследствие последнего обстоятельства напряжения изгиба в оболочках часто не учитывают, имея в виду, что местные пластические деформации не снижают ее несущей способности.
Рис. 65. Схема к определению мембранных напряжений в оболочке: а — оболочка; б — элемент стенки; в — часть оболочки
Рис. 66. Схема действия усилий иа элемент оболочки
В зонах оболочки, удаленных от точек приложения сосредоточенных сил и моментов или от мест с нарушенной силовой или геометрической непрерывностью, напряжения точно можно определить по безмоментной теории.
По схеме расчета осесиммет
рические, эллиптические и конические днища емкостных и тепрические, эллиптические и конические днища емкостных и тепричной оболочки рассчитывают цилиндрические обечайки, сфе
рические, эллиптические и конические днища емкостных и теп
рические, эллиптические и конические днища емкостных и теп
ловых аппаратов, обечаек и крышки роторов, центрифуг и сепа
раторов и т. д.
Выделим из рассматриваемой оболочки (рис. 65) элемент поверхности двумя смежными меридиональными сечениями и двумя сечениями, нормальными к меридиану. Обозначим радиусы кривизны дуги меридиана и сечения, перпендикулярного к дуге
меридиана, через рт и рм толщину -стенки через s и размеры элемента в меридиональном и окружном (кольцевом) направлениях через dsm и dst.
На гранях элемента возникают напряжения от и ot. Первое напряжение от называют меридиональным напряжением. Второе напряжение ct называют окружным напряжением. Напряжения °т и оо умноженные на соответствующие площади граней элемента, дадут силы omsdst и otsdsm (рис. 66). Равнодействующая этих сил (рис. 66) в направлении, нормальном к поверхности элемента, ' ,
ab = be dQt = ot dsms dst/pt.
Равнодействующая усилий omdsts в направлении, нормальном к поверхности элемента, будет amdszsdsm/pm.
Сумма этих равнодействующих уравновешивает силу, действующую по нормали к поверхности элемента, приложенное к элементу,
Р dSj dsm = от dst dsms/pm -f- o^ dsm ds^s/pt,
откуда
OmlPm + Gt/Pt = P/S.(97)
Полученное уравнение (97) называют уравнением Лапласа. Этого уравнения недостаточно для определения двух функций напряжений ot и от. Для получения второго уравнения отсечем коническим нормальным к меридиану сечением часть оболочки (см. рис. 65, в) и отбросим нижнюю часть. Действие отсеченных стенок заменим действующими в меридиональном направлении упругими силами:
om2npzs (sin а)2 — рл (pz sin а)2 = 0.(98)
Из уравнений (97) и (98) находим
От = PP/(2s);(99)
ot = l№/(2s)] (2 - Vt^mY(ЮО)
Для- цилиндрического сосуда pt = г (здесь г — радиус сосуда), рт = оо. Следовательно,
От = pr/(2s);(101)
at = prls.(102)
Для конического сосуда радиус кривизны окружного сечения pz = RKkos а (здесь RK— радиус основания конической оболочки; а — половина раствора конуса).
ат = p/?K(2scos а);(103)
at = pRK/(s cos а).(104)
Сопоставив полученные формулы, легко увидеть, что при одинаковом давлении, диаметрах сосудов и толщине стенок максимальное нормальное напряжение сферической оболочки в 2 раза меньше нормального напряжения цилиндрической, а конической больше в 1/cos а.
Определим напряжения в эллиптическом днище. Пусть полуоси эллипса будут равны D/2 и Н. Радиусы кривизны эллипсоида в произвольной точке характеризуются уравнениями
Rm = ^о/(1 +у81П29),/‘;
^^^/(l+TSi^e)*72,
где 6 — угол между нормалью и осью вращения; Ro = tpl^V 1 + у — радиус кривизны в вершине (при 0=0); у = [(D/2)2— №]/№ — параметр, определяющий форму эллипса.
Подставляя значения рт и pz в уравнения (99, 100), получаем ст _ pd о+у)1/2 m 4$ (1+ 73^20)*^ ’
pD (1 -J-y)1^2 (I—ysin20)1 4s (1-|-у sin2 0)1/2
Определим радиальное перемещение образующей цилиндрической оболочки, находящейся под действием внутреннего давления.
На основании обобщенного закона Гука относительное удлинение стенки в окружном направлении
^t = (Of — р-ОтУЕ-
Абсолютное удлинение радиуса оболочки
62p = r^t — p,omyE.
Подставляя в эту формулу at из уравнения (101) и от из уравнения (102), получаем для цилиндрической оболочки
62Рц = [рг№)] (1-р/2).
Используя уравнения (99) и (100) и учитывая формулы (103) и (104), получаем'
для сферического сегмента
62ро = Ipp2/(2£s) ] (1 — р) sin а;(107)
для конической оболочки
<т2Рк = \pRU(Es)A (1 - р/2) (1/sln а),(108)
где а — половина угла раствора при вершине конической оболочки и конической поверхности, ограничивающей сферический сегмент.
Значения углового перемещения краев цилиндрической и сферической оболочек равны нулю. Поворот образующей конической оболочки приведем без вывода:
61Рк = — pRB cos p/(2s sin2 Р)Д где P — угол между образующей конуса и нормалью к его оси.
Изгиб цилиндрической оболочки при симметричном нагружении (моментная теория)
В местах сопряжения и закрепления оболочек, а также приложения внешних окружных нагрузок возникают деформации изгиба.
При соединении различных оболочек сваркой сопряжения листов выполняют в стык. В'местах сопряжения оболочек различной толщины или не имеющих общей касательной, также возникает деформация изгиба.
Если материал является хрупким и нагрузки на оболочку имеют циклический характер, то напряжения, обусловленные этой деформацией, могут быть опасными, и их следует учитывать.
Следует иметь в виду, что при двухосном однозначном напряженном состоянии при отношении окружных и меридиональных напряжений, близком к единице, возможно хрупкое разрушение металла. Поэтому в каждом конкретном случае следует учитывать местные напряжения изгиба и определять их возможное значение, а также оценивать характер их влияния на конструкцию.
Для понимания характера работы симметричной оболочки вращения под действием симметричных нагрузок нет необходимости рассматривать разные типы оболочек. Достаточно рассмотреть работу длинной круговой цилиндрической оболочки, к краю которой приложены равномерно распределенные изгибающие моменты Мо и поперечные силы Qo (рис. 67), приходящиеся на единицу длины окружности срединной поверхности цилиндра.
Выделим из цилиндра полоску единичной ширины.
Рис. 67. Цилиндрическая оболочка, нагруженная распределенным изгибающим моментом и поперечной силой:
а — схема нагружения края оболочки; б — полоска, выделенная из цилиндра; в — диаметральное сечение деформированной оболочки; г — схема действия усилий на сечение полоски
Обозначая через у радиальное перемещение полоски, найдем относительную деформацию растяжения полоски в окружном направлении:
е = [2л (г + у) — 2лг]/2лг = у/г.
Окружное напряжение в срединной поверхности о = Ее = Eylr,
где Е — модуль упругости при растяжении материала оболочки, Па.
Окружные растягивающие усилия Тф, приходящиеся на единицу длины полоски, имеют составляющую
T'^Eysir(109)
и составляющую, обусловленную наличием растягивающей осевой силы ТХ1.
Т; = р7\.(ПО)
Равнодействующая этих усилий, направленная по радиусу,
R = 2Тф/2 = ф (Eyslr + pTJ.(Ill)
Следует отметить, что фг = 1.
Из последнего уравнения следует, что равнодействующая противодействует прогибу полоски и пропорциональна этому прогибу. Так как соседние полоски препятствуют деформациям изгиба боковых граней, жесткость каждой полоски при изгибе будет больше жесткости обычной, свободно опертой балки.
( Относительное удлинение полоски при ее изгибе в направлении оси цилиндра согласно обобщенному закону Гука
emo = (^mo-<T<oll)/S, в окружном направлении
6'0 = V5^ - Отпв^;Е = 0.
В этой формуле индекс 0 означает, что рассматриваются напряжения и относительные деформации, обусловленные только из- 88
гибом полоски. Удлинение е<0 должно быть равно нулю, так как перемещение в окружном направлении исключено из-за наличия соседних полосок. Тогда
^о^^о(112)
и, следовательно,
gm0Стр . Ст0
то Е ие/(1—^ " Е- >
где Е' = £7(1 — р2).
Таким образом, изгиб полоски следует рассматривать как изгиб свободной балки, но Е* > Е. Окружное напряжение на боковых гранях полоски согласно уравнению (112) составляет около 30 % напряжений^стт„ (для стали) и имеет тот же знак.
Из курса сопротивления материалов известно дифференциальное уравнение, связывающее прогиб балки и распределенную нагрузку,
[EJd^yldx^ = <7 (х).(113)
Это уравнение можно применить и для изгиба полоски, выделенной из цилиндрической оболочки. Силой, действующей на полоску, будет непрерывно распределенная сила сопротивления R со стороны соседних полосок при давлении внутри оболочки р и усилии р^г. Подставляя в уравнение (113) вместо q (х) значение R и вместо модуля упругости при растяжении Е величину Е*, получаем
E'^y/dx* = ~R = — [Eys/r2 + (yTx/r) — р].
Знак минус в правой части равенства указывает на то, что направление силы сопротивления R противоположно направлению прогиба полоски.
Подставляя в последнее уравнение значения Е' и R из уравнения (111) и учитывая, что J = s®/12; D = -гоТГ^"-полу- чаем
Dd^yldx^ = —Eyslr2 — pTJr + р,(114)
где D = E^/US (1 — р2)](115)
цилиндрическая жесткость оболочки при изгибе.
Уравнение (114) можно записать в следующем виде:
+ 4|»,-.^ + 2-,(И6)
где 0 = ^[3(l-p2)]/(r2s2)(117)
Перейдем к интегрированию дифференциального уравнения (116). Решение уравнения представим в виде суммы общего решения однородного уравнения:
S+^-o,-(118)
и частного решения с правой частью уравнения (116).
Решение однородного уравнения (118) имеет вид у-Се1*.
Подставляя это выражение в левую часть уравнения (118), найдем характеристическое уравнение
к4 + 4/ = О, откуда
Используя правила извлечения корней из отрицательных и мнимых чисел, находим модуль числа к-.
| Л | = /4^.
Аргумент числа к будет равен аргументу подкоренного числа, деленному на показатель корня, т. е. (л + 2лл)/4. Таким образом, к является комплексным числом:
,/ л 4- 2лп । л 4- 2лп \
к = у 4Р (cos —hisin —).
Заменяя п значениями 0; 1; 2; 3, находим четыре корня характеристического уравнения:
^ = Р + pi; к^ = -р + Pi;
^з = —Р — Pi; ^4 = Р — Pi-
Тогда общее решение однородного уравнения (118) примет вид у = С^ ' + Сае<-’+,‘> * + С^-"» ' + С,»"6» -
или
у_е-р*(С2егр* + Сзе-^) + е^^^(119)
где Ct, С2, С3, С4 — постоянные интегрирования, являющиеся комплексными величинами.
Закон распределения поверхностных нагрузок р и Тх определяет частное решение уравнения (116).
В практике поверхностные нагрузки чаще всего постоянны, иногда изменяются по линейному Или квадратичному закону. Тогда для у получим следующее выражение:
+<,2°)
Выражение (119), представляющее собой общее решение уравнения (118), не очень удобно для практического использования. Для определения постоянных интегрирования необходимо использовать граничные условия на краях оболочки. При жестко заделанном крае необходимо соблюдать следующие условия: у — 0 и dyldx = 0 (рис. 68, а).
90•
Рис. 68. Опирание и сопряжение краев оболочек
При шарнирном опирании края оболочки (рис. 68, б) у = О и dtyldb? = 0 (так как Мх = 0).
Если край оболочки нагружен заданными силой Qo и моментом Мо (рис. 68, г), то исходя из уравнения для балки
d^yldx*1 = M/EJ,(121)
для оболочки напишем
D&yldx* = УИ0; Dd^yldx3 = Qo.(122)
При сопряжении цилиндрической оболочки с оболочками других типов (рис. 68, д, в, ж) для каждого края сопрягаемых оболочек необходимо выполнить по два условия: равенство радиальных перемещений у или равенство окружных деформаций; равенство углов поворота нормали ф; равенство моментов' Мт и Мо; равенство составляющих внутренних сил
( Тт cos 9 Q sin 9)дн = 50ц,
Где Тт — меридиональная сила; Q04 — краевая сила.
При сопряжении цилиндрической оболочки" с плоским днищем (рис. 68, ж) граничные условия упрощаются, вследствие допущения о нерастяжимости срединной поверхности пластины. Первое условие сопряжения принимает вид уй = 0.
Рассмотрим расчет длинных цилиндрических оболочек.
На основании формул Эйлера показательные функции можно заменить на тригонометрические:
е2ф = cos ф 4- i sin ф; е-<ф = cos ф — i sin ф.
Тогда выражение (119) можно записать в следующем виде:
у = е“Р* (Лт sin рх 4- Аа cos Рх) 4~ 4~еРх (Л3 sin Рх 4- Л/cos рх) 4- У, где Л^, Л2, Л3, Л4 — новые постоянные интегрирования, являющиеся действительными величинами.
6)6)зависит от х.зависит от х.
6)
6)
зависит от х.
зависит от х.
Рис. 69. Сопряжение цилиндрической оболочки с плоским массивным днищем:
а — схема цилиндра с днищем; б — эпюра прогибов; в — эпюра Мх и Т*
У начала координат вторым слагаемым можно пренебречь, так как постоянные Л3 и А4 должны быть очень малы, иначе с увеличением х будут неограниченно возрастать перемещения у. Следовательно,
у = е-Р* (Лх sin рх +
+ Л2 cos рх) + у, (123) где Af и Л2 — постоянные интегрирования, определяемые по граничным условиям при х = 0.<
Для определения длины I оболочки, при которой ее
можно рассматривать как длинную оболочку, примем допустимую погрешность расчета, равную 5 %. Учитывая, что функции типа е-Р* sin рх и е-Р* cos рх, а также их производные при рх > 3 принимают значения, меньшие 0,05, приходим к выводу, что оболочку возможно рассматривать в качестве длинной оболочки, если р/ ^ 3 или I ^ 2,5 Vrh.
При проведении расчетов длинных цилиндрических оболочек целесообразно постоянные интегрирования выражать через не
которые начальные параметры.
Рассчитаем длинную цилиндрическую оболочку, нагруженную внутренним давлением р, краевыми заданными моментом Мо и силой Qo, величина Тх является постоянной величиной и не
Граничные условия:
х = 0; й4у1й)? = Mo/D;
х = 0; d?yldx? = Qo/D.
Используя уравнение (123), по граничным условиям определяем постоянные интегрирования
Ai = -M0/(2Dp2);, Л2 = M0/(2Dp2) + QAWY
Тогда уравнение радиальных перемещений будет иметь вид
У ="2^- е“3х(cosрх - slnpx) + -2^3-e-₽j:cosPx + y. (124) 92
Используя уравнения (123) и (124), находим угол наклона нормали ф и внутренние нагрузки Мх, Mt, Tt:
Ф "die ^ бр" е cospx 2брз~е ^ (cospx 4- slnpx); (125)
Мх = D ^ = Мее^х (cos рх 4- sin рх) + $® е“рх sin рх; (126)
Мн = Л;(127)
Q = D5 = ~ 2Море"3* sinрх + Qoe~^x(cosрх - sinрх) + D§;
(128)
Tt = ^ 4- рТх = 2/-р2 ^Л40е~Рх (cos рх — sin рх) 4-
+ у- е“Рх cos рх] 4- Р1Г.(129)
Пример [8]. Определить напряжения и деформации в тонкостенном цилиндре с массивным днищем прн действии внутреннего давления р (рис. 69, а).
Граничные условия для жестко заделанного края оболочки
(у)х=о = 0; (dy/dx)x^0 = 0.
Осевое усилие определяем из условия
—Тх2пг + рлгЗ = 0, откуда
Тх = рг/2.
Учитывая граничные условия и используя уравнения (124) и (125), получ. ем два уравнения:
"2^" + "2р|г + кРГ ~' I1 Тг) "65 = 0;
DP 2ор2 — и’
решив которые найдем
^о^^^1г); 9о=|-(1—^у(130)
Из уравнений (124), (126), (129) н (130) находим
У=-^-(1 -P/2)[1 -e-p,:(sinpx + cospx)];(131)
^^г^^ -H/2)e~px(cospx-sinpx); Mt = Mx; (132)
7z=jo/-[l-(l-p,/2)e-px(slnpx4-cospx)I.(133)
Рис. 70. Сопряжение цилиндрической оболочки с немассивиым плоским днищем: а — расчетная схема; б — нагрузки в сопряжении
На рис. 69, б, в показаны эпюры у, Мх и Т;, построенные при г = 100$; р = 0,3 иV
Р = У[3 (1 - р2)]/(г2$2) = 12,85 1/г.
Находим усилия и напряжения растяжению, возникающие в месте жестко заделанного края оболочки,
Тх = 5-\№ps Н/м; Tt = 1,5- Wps Н/м;
ах = ^- + -^ = L54p + 0,5р = 2,04р МПа;
а, = ^L + II = о,46р + 0,15р = 0,61 МПа;
стэкв = V"у К*7* " °tf + ^ - °'f + (^ “ а^J = 1,82р МИ3’
Пример [8]. Определить напряжения в цилиндре, рассмотренном в предыдущем примере в предположении, что днище имеет толщину, соизмеримую с толщиной стенки цилиндра.
Мысленно отделяем днище от цилиндра (рис. 70) и принимаем точку пересечения О срединных поверхностей за точку сопряжения.
Условие совместности деформаций цилиндра и днища следующие:
(Фоц),=о = - (Фо); «х=о = °-<134)
На рис. 70 указаны принятые за положительные направления отсчета углов. Перемещения цилиндра на основании уравнений (124) и (125)
кУ)х=п - 2д2р2 т 2дрз v 2 / Es ’
.._ _ AlpQo
(Фоц^о -рр2ОР2 "
Угол поворота нормали края днища определяем, как и в примере на с. 80
я50»11 -"5Г(ТТк0 (Р8 м®)1
Уравнения совместности деформаций после подстановки в них значений перемещений примут вид
Мо Qo Могрг3
ОР20р2 ~ £>1(1+ |х)8^(1+И) •
При числовых значениях з = 1 см; з = 4 см; г = 100 см; ц = 0,3; Е = = 2- 10в МПа получаем
Р = 1Х—‘^^ 1,285-КГ9 1/м;
Es3
D=-12-(l-p2) = 0,1832.10b И.м;
Dt = 64D;
Мо = 31,2.10-3рг« Н-м/м;
Qo = —43,5рг Н/м.
При абсолютно жестком днище Мп = 2,57-10~3рг2 Н-м/м.
На рис. 71 приведены эпюры изгибающих моментов. Максимальные напряжения в центре днища
ar = at == 6i56p МПа
Максимальные напряжения в цилиндре около края
рг 0,0312рг2-6
ст* = 17 +/^ °’5Р + 18>73Р = 19>22Р МПа;
рг . 0,0312црг2.6
*= и 17 +^= 0,15р + 5’62Р = 5’77Р МПа-
Для решения практических задач найдем перемещения края длинной цилиндрической оболочки под действием распределенных единичных сил и моментов. Обо
значим через 6и и 612 углы поворота края оболочки от действия единичных изгибающего момента и поперечной силы в направлении действия изгибающего момента; через 622 и 621 перемещения края оболочки от действия единичных момента и силы в направлении действия поперечной силы.
Рис. 71. Эпюра изгибающих моментов в днище и цилиндре сосуда
• Таблица 7
Значения единичных перемещений для непологнх оболочек ф > 30°
Параметр
Цилиндр
Во ^
Коиус
Усеченный конус
- о Л——,
Сфера
Q„ У/A - Qg
м0 1 м0
Мд
Во Мо Мд Во
Мо^А-^ Мд
Радиус i кривизны
г
Рк
R»
Re
а
1
sin ф
sin ф
sin ф
6
1
sin ф
sin ф
sin ф
Используя уравнения (124) и (125), для длинной цилиндрической оболочки получаем
^11='рр'»612 = ^21 = 2^D = 2£" •(1^5)
ба^б^р-биЖ р = т/з(Г^у^.
Применение моментной теории к расчету сферических и конических оболочек
Выше было рассмотрено решение краевой задачи для цилиндрической оболочки с постоянной толщиной стенки. Точные решения краевой задачи для оболочек вращения, имеющих другую форму, представляются весьма сложными. Для сферической оболочки задача решается с помощью гипергеометрических рядов, которые крайне медленно сходятся, причем значения первых
членов значительно превосходят полное суммарное значение членов всего ряда.
Существую/' строгие доказательства большого сходства решений краевой задачи любой непологой оболочки вращения (если половина
Рис. 72. Схема конической оболочки
центрального угла конического сечения оболочки лежит в пределах 30—90°) с решениями краевой задачи цилиндрической оболочки. На этом основан приближенный метод решения краевой задачи П. Л. Пастернака для непологих оболочек вращения. Полученные им результаты для непологой сферической оболочки приведены в следующих формулах для единичных перемещений:
6И = 1/00; 612 = 621 = 6иа/20;
622 = 6i2^/p = 6иай/2р2,(136)
где Р = j/^^^, при р = 0,3
₽ = 1,285//^?; Z)= £s3/[12(l — р2)],
при ц = 0,3 D = fs/10,92
[здесь Rc, о, b — радиусы кривизны (табл. 7); s — толщина стенки оболочки].
Для пологих сферических оболочек при определении единичных перемещений края оболочки следует вводить следующую поправку:
6цнс — бцс/^ 1! 612нс = ^лас^ 11 622нс = 622сЦ7 2/Ц7 р
где^2= 1-0,5 ^-ctgф.
В общем случае методы расчета конических оболочек, учитывающие возникающие в их поперечных и продольных сечениях изгибающие моменты, являются сложными и трудоемкими.
Для широкого края конической оболочки можно достаточно просто получить перемещения 6hK, 612к и 622к, если приложенную к краю силу Н спроектировать на нормаль п — п к образующей конической оболочки (рис. 72). Приняв Н = 1Н и используя формулы (136), получаем
я1 .я я 5*п фбцк sin ф .
о _ sin2 ф612К Sin ф611к sin2 ф
МК 2РзОк - Рк’
где рк — характеристика конической оболочки;
₽« 17: при р = °’3 Рк =;(137)
у ^kskV °ksk
DK — цилиндрическая жесткость оболочки;
Es^Es^
Dk== 12(1— ц2) ’ при 9 = 0,3 DK = -^Д .(138)
Полученные формулы справедливы для конических оболочек, когда угол ф не слишком мал, так как при вычислениях по приведенным формулам допускается погрешность порядка KsTR ctg ф
4 Соколов В. И.97
по сравнению с единицей. В тех случаях, когда угол ср мал погрешность выходит за допустимые пределы, необходимо вводить поправку для оболочек 6[1К •= 6u/vp
Определение напряжений на краю конической оболочки производят несколько иначе, чем для цилиндрической оболочки [38].
Спроектируем силу Я, действующую в направлении радиуса в нормальной к оси оболочки плоскости, на направление образующей конической оболочки (см. рис. 72)г
Н cos ф = Tv (139)
Полное краевое меридиональное напряжение
<Го1 = Л/s ± 6М0/£?,(140)
где М6 — распределенный изгибающий момент, приложенный к краю оболочки. Для определения полных окружных напряжений на краю конических оболочек необходимо определить боковые усилия Л- Эти усилия приближенно могут быть найдены так же, как и усилия для цилиндрической оболочки.
Как следует из уравнения (109), окружное усилие на краю
Тг = Eysk.(141)
Прогиб на краю оболочки
у = 612Л40 + Ь^Н.
Используя последнее выражение и формулу (141), имеем
Л = ^[6^ + 6^].(142)
В случае пологих конусов, т. е. когда угол ф мал, в это уравнение вводят поправку v2:
л=^ [б^0+^^].(143)
где v2 = 1 — 0,195 V^s/p ctg ф.
Окружной момент М% на краю для конических оболочек
М2==цЛ4о+^овф я>(144)
конических(145)конических(145)где Тл = 1 + 0,195 Vs(p (4 — ц) ctg ф.
конических
(145)
конических
(145)
Полное краевое окружное напряжение в случае оболочек
<702 = — ± — ■
Для усеченного края меньшего основания конической оболочки усилия Л и Т2 определяют по формулам (139) и (142), а момент Л42‘_по следующему уравнению:
М2”= цМ0 — 0,272s cos ^НЬа, (146) где vs = 1 — 0,195 V"s/p( 1 — p)ctg ф.
ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ
Основные понятия
Процесс изменения параметра, который характеризуется многократным поочередным возрастанием и убыванием во времени, называют колебательным процессом, или колебаниями, а соответствующий параметр — колеблющейся величиной.
Колебательные процессы, происходящие в механических системах, называют механическими колебаниями. Последние и представляют интерес при расчетах и конструировании машин пищевых и смежных производств. В тех случаях, когда колебания имеют относительно малую амплитуду и не слишком низкую частоту, применяют термин «вибрация», являющийся почти синонимом терминов «механические колебания» или «колебания механической системы».
Совокупность методов и средств для уменьшения вредного воздействия вибрации, воспринимаемой защищаемыми объектами, называют вибрационной защитой. Совокупность технологических приемов, основанных на целенаправленном использовании вибрации, называется виброобработкрй, а использование вибрации для перемещения материалов называется вибротранспортированием [13]. Для обеспечения способности технологического оборудования выполнять свои функции, а также сохранять прочность в условиях вибрации необходимы расчеты на виброустойчивость и вибропрочность.
Одним из основных признаков колебательной системы является число степеней свободы системы, т. е. число независимых числовых параметров, однозначно определяющих конфигурацию системы в любой фиксированный момент времени L Для механической системы под конфигурацией понимают положение всех точек системы в пространстве.
Различают системы с конечным и бесконечным числом степеней свободы. В последнем случае множество степеней свободы может быть либо счетным либо континуальным (распределенные системы).
Если в реальной системе заменить распределенную массу Конечным числом сосредоточенных масс, то будем иметь систему с- конечным числом степеней свободы. Если полная механическая энергия системы при колебаниях остается постоянной, то систему называют консервативной. В противоположном случае системы являются неконсервативными. Частным случаем последних являются диссипативные системы, когда полная механическая энергия при любом движении автономной системы (системы, в которых колебания происходят за счет энергии внутренних источников либо сообщений при начальном возмущении) уменьшается.
Механические колебания принято классифицировать на следующие типы колебаний: собственные, вынужденные, параметрические и. автоколебания.
начальные отклонения отначальные отклонения отРис. 73. Круговая диаграмма: а — схема; б —амплитуда колебаний и фаза ф
начальные отклонения от
начальные отклонения от
положения равновесия, продолжаюположения равновесия, продолжаюСобственными (или свободными) называют колебания, возникающие в изолированной системе вследствие внешнего возбуждения, вызывающего у точек системы
положения равновесия, продолжаю
положения равновесия, продолжаю
щиеся затем благодаря наличию внутренних упругих сил,
восстанавливающих равновесие.
Вынужденными называют колебания, которые происходят под действием заданных внешних периодических сил, которые действуют независимо от колебаний в системе. Характер процесса зависит не только от свойств системы, но и в большей степени от
внешней силы.
Параметрические колебания отличаются от вынужденных характером внешнего воздействия. Они вызываются периодическим изменением извне какого-либо физического параметра системы (например, массы), однако при вынужденных колебаниях задана сила или какая-либо другая величина, совершающая колебания, а параметры системы остаются постоянными.
Автоколебаниями (или самовозбуждающимися колебаниями) называют колебания, происходящие от входящего в систему источника энергии неколебательной природы. В системе отсутствуют внешние периодические воздействия.
Классификацию "колебаний принято также проводить по виду деформаций упругих элементов. Например, различают продольные, поперечные и крутильные колебания.
Если любые значения колеблющейся величины повторяются через равные промежутки времени, то их называют периодическими. Простейшими периодическими колебаниями являются гармонические колебания, описываемые уравнением
и (t) = A sin (tot + <р), (147)
где А — амплитуда колебаний; to = 2а!Т — угловая (циклическая частота колебаний), (здесь Т — период колебаний, т. е. время одного цикла); ф — начальная фаза; t — текущее время.
Величину, обратную периоду колебаний, называют частотой колебаний
/ = 1/7.
Частота колебаний измеряется в герцах (1 гЦ соответствует одному циклу изменения величины за 1 с).
Гармонические колебания можно графически представить с помощью круговой диаграммы (рис. 73, а). В данном случае с постоянной угловой скоростью о вращается на плоскости вектор
длиной Л. Угол ф характеризует начальное положение вектора. Проекция вектора на ось ординат характеризуется уравнением (147).
При гармонических колебаниях скорость и ускорение изменяются также по гармоническому закону:
у = ^ = «Л cos (tot + ф);'(148)
ш = — ®2^ sin (^ + Ф)-(1
Амплитуда скорости равна фЛ, амплитуда ускорения «>2Л. В технической литературе и, у и w называют соответственно виброперемещением, виброскоростью и виброускорением.
Уравнение (147) часто используют в следующем виде:
и (/) = Л cos (tot + ф),(150)
где ф = фначальная фаза.
При сложении двух гармонических колебаний с одинаковыми частотами получим колебания той же частоты
Лх cos tot + Л2 cos [со/ + ф] = Л cos (со/ + у),
где Аг н А2 — амплитуды колебаний соответственно первой н второй систем-; у — фаза результирующих колебаний.
Амплитуду Л и фазу у результирующих колебаний можно получить с помощью круговой диаграммы (рис. 73, б)
Л = ]Лл! + Л2 + 2Л1Л2созф;
6 уД1 + А2cosip
Свободные колебания
В теории колебаний широко применяют уравнение Лагранжа, которое является наиболее общей формой дифференциальных уравнений движения. Данное уравнение основывается на принципе наименьшего действия, согласно которому при колебаниях системы разность средней кинетической энергии и средней потенциальной энергии достигает наименьшего значения на той траектории, по которой в действительности будет происходить движение системы от одного положения к другому.
Введем понятие обобщенных координат, под которыми будем подразумевать независимые величины, задавая которые можно полностью определить положение системы.
Разность кинетической и потенциальной энергий, выраженная через обобщенные координаты, называется функцией Лагранжа:
L (q, q, Т - U,(151)
где q— обобщенная координата; t— враля; Т, U — кинетическая и потенциальная энергия системы.
Для нахождения траектории колеблющейся системы требуется найти минимум следующего выражения:^
t,
J = j L (^ <7, О ^.
г.
Рассмотрим движение системы за время t. В каждый момент времени при истинном движении удовлетворяются уравнения движения и уравнения связей. Наряду с истинным движением рассмотрим совокупность бесконечно близких движений, для которых уравнения связей удовлетворяются благодаря выбору обобщенных координат, а уравнения движения не удовлетворяются. Соответствующие приращения обобщенных координат будем называть вариациями обобщенных координат и обозначать через 6^, б^, •••• 6?п 152]. На концах временного отрезка (7lf 72) движение варьировать не будем, т. е. в моменты времени 1г и ^ 6qi = 0.
При варьировании траектории q (7) интеграл, обозначенный через J, будет изменять свои значения; его вариация
Будем считать вариации обобщенных координат функциями времени, за исключением моментов времени tx и /2. Тогда
Интегрируя второй член выражения в квадратных скобках по частям и учитывая, что ц (У =; ц (4) = 0, находим
6/-i^4(')-»-j\(o4(^-)‘«
или
Необходимым условием экстремума J является 6J = 0. В вариационном исчислении доказывается (основная лемма), что это 102-,
условие достигается, если выражение в квадратных скобках в последнем уравнении будет
= °-(I52)
dq dt \ dq }'
Полученное выражение в рассматриваемом случае является уравнением Лагранжа.
Для консервативной системы с учетом выражения (151) уравнение Лагранжа примет вид
d / дТ \ дТ ди
<153>
Считая перемещения q малыми, выражение для кинетической энергии одной материальной точки будет иметь вид
T=A_aq\ -(154) .
Входящий в это выражение множитель а называют инерционным коэффициентом (иногда его называют обобщенной или приведённой массой).
При линейных упругих характеристиках механических систем потенциальная энергия при малых перемещениях
U = cq2/y. (155)
где с — обобщенный коэффициент жесткости или квазиупругий коэффициент.
Подставляя в уравнение Лагранжа (152) выражения для кинетической и потенциальной энергий из выражений (154) и (155), получаем основное дифференциальное уравнение свободных колебаний
aq-\-cq = Q(156)
В зависимости от вида механической системы мижно получить последнее дифференциальное уравнение другим путем, который иногда может быть более удобным.
Уравнение (156) представим в следующем виде:
^ + (02(7 = 0,(157)
где со — постоянная, зависящая от свойств системы,
о) = У с[т(158)
(здесь гп — масса системы).
Решение последнего уравнения
q = Ст sin tot + С., cos со/, где Ci и С2 — постоянные Интегрирования.
Данное выражение можно представить в виде
q = A sin (tot + ф0).(159)
Рис. 74. Колебательная система: а — с последовательным соединением элементов; б — с параллельным; в — с параллельно-последовательнымРис. 74. Колебательная система: а — с последовательным соединением элементов; б — с параллельным; в — с параллельно-последовательным
Рис. 74. Колебательная система: а — с последовательным соединением элементов; б — с параллельным; в — с параллельно-последовательным
Рис. 74. Колебательная система: а — с последовательным соединением элементов; б — с параллельным; в — с параллельно-последовательным
Из начальных условий находим постоянные Ci = ий/р; С2 = q», в результате
q = q6 cos tot -J- -^-sin tot-
Из тех же начальных условий
Л =+ Vo/®2;
ф0 = arctg pq6)v0,
где д _ амплитуда колебаний; <р0 — начальная фаза.
Как следует из уравнения (159), движение является гармоническими колебаниями. Колебательный процесс периодически возобновляется, когда аргумент со^ + ф0 (фаза) увеличивается на 2л:
tot + ф0 + 2л = to (t + 7) + фо,
откуда Т = Чп1р. Следовательно, в' единицу времени число колебаний
/ = 1/7 = ю/(2п).
Таким образом, со = 2л/. Следовательно, со есть число колебаний в течение 2л секунд. Эту постоянную называют угловой частотой свободных колебаний, или частотой свободных колебаний, или собственной частотой.
Вопрос об эквивалентных или приведенных значениях масс и коэффициентов жесткости колеблющихся систем возникает в следующих случаях: при определении жесткости последовательно или параллельно соединенной группы упругих элементов при приведении массы и жесткости элементов системы к определенным элементам или точкам без изменения расчетной модели; при приведении параметров, что связано с упрощением расчетной модели иногда весьма грубым приближением.
элементов:элементов:Суммарная жесткость с параллельной группы упругих элементов (см. рис. 74, б) равна сумме жесткостей составляющих ее
элементов:
элементов:
п
С = 2Л
Рис. 76. Колебательная система масс —• пружина
Суммарная гибкость 1/с последовательной группы упругйх элементов (рис. 74, а)равна сумме гибкостей Ис( входящих в нее элементов:
п
1/с = S 1/сг.
1=1
Найдем приведен
ную жесткость сир пружины, устанавливаемой на конце консоли балки (рис. 75) так, чтобы действие данной пружины было равноценно действию действительно установленной пружины жесткостью су. Балка 3 совершает малые колебания вокруг шарнира / [41.
Для обеспечения равенства собственных частот действительной и приведенной систем должно иметь место равенство потенциальной энергии деформации пружин при допускаемом связями (шарнирном) перемещении балки:
Су^/2 = спрХ^р/2,
где ху, хПр — деформации действительной и приведенной массы пружины при малом повороте балки.
Так как ху/хпр = /у//пр, находим спр = су/у//„р.
При приведении точечной массы ту, находящейся в точке 2, к точке 4 равенство собственных частот действительной и приведенной систем обеспечивается при равенстве кинетической энергии :
myxy/2 = ШпрХпр/2, откуда
^пр ^у/у//пр*
Пример. Требуется привести к массе т массу инерционных элементов и к жесткости пружины Cj все упругие элементы, а также определить частоту собственных колебаний системы.
Рассмотрим систему с одной степенью свободы (рис. 76). В зацеплении находятся зубчатая рейка /, шестерни 2, 3, 4 и зубчатая рейка 5, опирающаяся на рычаг 6. Шестерни и шарнир рычага 6 имеют неподвижные оси и угловые упругие элементы. Рычаг 6 и рейка / оперты на пружины.
Обозначим через хь чч линейные и угловые сдвиги элементов при малом перемещении системы, тогда
I -ДI = Г2 I ф21 = г31 ф3 I = г41 ф41 = I х51 = /6 | Фе |.
Суммарная кинетическая энергия системы
mnp*l mlXl I ^2^2 , ^зФз , Лф4 , m5x5 , 4Фб I m6Zm4
—2=2'222222’
откуда
^np = nii 4" m& 4"—Г•
Z6Г3 4 Z6
Суммарная потенциальная энергия системы
Спр*! _ С1Х1 , 52Ф2 , 5ЗФЗ , 4Ф4 , с6*сФб2~ 2 + 2 + 2 + 2 +2 ’
где s2, s3, s4 — угловые жесткости соответствующих элементов.
Откуда [4]
/2
„I с , s2 , s3 ,$4
Спр — Cl + с6 —^ + — + -2* + -V •
*6 г2 г3 4
Частоту собственных колебаний системы определяют по уравнению (158).
Свободные колебания при наличии сил сопротивления жидкости
Если учесть силы вязкого сопротивления, то дифференциальное уравнение движения груза будет иметь вид
— сх — Ьх = тх или
х 4- 2пх 4- оРх = 0,(160)
где ~2~ = п — коэффициент демпфирования; <о—jAc/m — собственная частота соответствующей консервативной системы.
Обычно при неравенстве со2 > п2 общее решение уравнения (160) имеет вид
. х — aeTnt sin (|/(о2 — пЧ 4- Фо)-(161)
Из полученного уравнения видим затухающий характер процесса. Постоянные я и ф0 находят из начальных условий.
Из последнего выражения видно, что частота колебаний .
го' = V со2 — тг2.
Эта величина мало отличается от частоты незатухающих колебаний той же системы, но лишенной демпфирования.
Решение уравнения (160) может иметь вид
х = e-n/ (Cj cos<»'4 4- С2 sin to'4) •(162)
Постоянные интегрирования Сг и С2 находят из начальных условий задачи.
Рис. 77. Схема мешалки
Gud4ЖГ = 19'6 или ю =Gud4ЖГ = 19'6 или ю =Пример [57]. Требуется определить зависимость частоты крутильных колебаний вала мешалки от вязкости жидкости, а также продолжительность времеин, за которое амплитуда колебаний вала мешалки уменьшится в 10 раз после мгновенной остановки электродвигателя, если угловая скорость при равномерном вращении вала перед остановкой составляла О. Массой вала по сравнению с массой лопастей можно пренебречь. Момент инерции массы лопастей J = 0,5 кг-ма. Диаметр вала d = 0,005 м, длина вала 0,5 м. Коэффициент момента при наличии сил вязкого сопротивления движению лопастей а= 1,2 Н-м-с. Коэффи
Gud4
ЖГ = 19'6 или ю =
Gud4
ЖГ = 19'6 или ю =
циенты уравнения (160): п = 1,2/2-0,5= 1,21; ю2 =
= 4,43 с-1, и' = 1^4,432— 1,22 = 4,25е-1 (рис. 77). Тогда решение уравнении свободных колебаний (162) будет иметь вид
<р = е 1,2< (Ci cos 4,25/ 4- С2 sin 4,25/).
Из начальных условий определяем постоянные интегрирования Су и С2 при / = 0 ф = фо (фо — угол скручивания вала при его равномерном вращении) ф = 0.
• При равномерном вращении вала с угловой скоростью Q угол скручивания Фо = —aQ/c.
Исходя из начальных условий имеем С2 = 0; Cj = —aQ/c.
Тогда уравнение движения примет вид
Ф = — ^~г~) е~1,2* cos 4,25/.
Время /', в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в 10 раз, определим из условия е~ 1,2Г = 0,1. Откуда / = 1,9 с.
В качестве примера колебаний с затуханием можно привести систему, груз и пружина которой снабжены демпфирующим устройством, представляющим собой жестко скрепленный с грузом диск, помещенный в сосуд с жидкостью.
После каждого периода колебаний Т амплитуда колебаний уменьшается в отношении
nt,
е _
С-П (H-T) с •
Натуральный логарифм отношения двух амплитуд, следующих друг за другом через период; называется логарифмическим декрементом затухания;
X = In ent = nt.
Логарифмический декремент затухания употребляется в качестве параметра, характеризующего затухание колебаний.
Показатель затухания п характеризует затухание колебаний в единицу времени, а логарифмический декремент — затухание колебаний за один период.
К затухающим колебаниям неприменимы термины «амплитуда» и «период». Эти термины имеют определенный смысл для гармонических колебаний, которыми не являются колебания с затуханием. В последнем случае под амплитудами обычно понимают наибольшие значения, которых достигает соответствующая величина (смещение, скорость, ускорение) в течение условного периода затухающих колебаний. Под последним принято понимать время, за которое отклонения в одну и ту же сторону дважды достигают максимальных значений. Процесс колебаний с затуханием не является периодическим, так как через одинаковые промежутки времени не повторяется предыдущее состояние системы.
Вынужденные колебания
Часто колебательная система совершает колебания под дейст вием некоторой переменной во времени вынуждающей внешней силы. В этом случае, очевидно, частота колебаний будет зависить от частоты изменений вынуждающей силы. Такие колебания, связанные с действием вынуждающих сил, называют вынужденными колебаниями.
Частота колебаний системы определяется частотой изменений действующей на нее внешней силы.
Пусть на балке установлен электродвигатель (рис. 78). При вращении его ротора, имеющего эксцентриситет (его центр масс С не лежит на оси вращения), возникнет центробежная сила инерции FHH. Вертикальная составляющая периодически изменяется. Переменная сила Fx и является вынуждающей силой, наибольшее значение которой называют амплитудой вынуждающей силы.
Когда центр масс’ротора находится в положении С2 и С3, вертикальная составляющая Fx центробежной силы инерции имеет наибольшее значение. Когда центра масс находится в положении С, и С4, Fx = 0. На рис. 78 показано изменение силы во времени или, что то же самое, от положения ротора.
Вынужденные колебания устанавливаются не сразу. Сначала система, получив некоторое отклонение, совершает помимо вы-
Рис. 78. Вынужденные колебания балкн:
а — с установленным на ней электродвигателем; б — диаграмма вынужденных коле* баннй
нужденных и свободные колебания. Однако эти колебания обычно затухают и остаются только вынужденные.
Рассмотрим вынужденные колебания при отсутствии сил сопротивления. Пусть на систему действует вынуждающая внешняя сила Рх, изменяющаяся по синусоидальному закону. Этот случай наиболее часто встречается на практике:
Рх = Ро sin Ш,(163)
где Ро — амплитуда внешней силы; Й — круговая частота изменений внешней силы.
На колеблющуюся массу в данном случае действуют следующие силы: сила инерции Рин = тах и внешняя сила Рх, возбуждающая вынужденные колебания.
Если обозначить через 6и перемещение, вызванное единичной статической силой, действующей по направлению колебаний, то перемещение при колебаниях
X = 6ц (^инРх^
или с учетом уравнения (163)
v = 6U (тах + Р6 sin Q^).(164)
Пользуясь круговой диаграммой (см. рис 73) и учитывая, что точка М движется по окружности с угловой скоростью й, на основании уравнений (149) и (147) при ср0 = 0 запишем уравнение (164) в виде
A sin Q^ = 6Ц (toMm sin Q^ + P6 sin QZ), откуда найдем амплитуду вынужденных колебаний с учетом последнего равенства
д Ро/т
— со2 — й2 '
Из уравнения следует, если значение круговой частоты возмущающей силы приблизится к значению круговой частоты собственных колебаний конструкции со, то амплитуда вынужденных колебаний будет стремиться к бесконечности. Это явление называют резонансом, а совпадение частот является условием возникновения резонанса.
Уравнение (165) можно преобразовать следующим образом: д ;Робц
1 -й2/со2 ‘
Из уравнения (158) имеем
го2 = elm — 1/(6ц?тг), Подставляя со2 в уравнение (165), получаем
А = бцРо ! _ Й2/Ш2 •
Произведение 6иР6 является перемещением от действия статической силы (амплитуды гармонической силы Р»у Обозначая
Рнс. 79. Векторная диаграмма:
а — первоначальное положение; б — положение после поворота на угол л/2 + ф
6пР6 = Аст, запишем последнее уравнение следующим образом
А = ^ст 1 — (Й/со)2 (166) или
А =Лстр, (167) где
Р = | 1 — (0/со)2| ' (168)
Абсолютную величину р —отношение амплитуды динамического смещения Л к статическому смещению Лст —называют коэффициентом усиления (коэффициентом динамичности).
Из уравнения (166) следует, что при Q/w < 1 амплитуды положительны (докритическая область), а при Q/w > 1 отрицательны (закритическая область).
На основании уравнения (147) имеем
—Л sin (QZ + ср) = Л sin (й/ + ф + л).
Следовательно, отрицательная амплитуда равноценна положительной, отличающейся по фазе на л от рассматриваемого колебания.
Это значит, что при й/ со > 1 движения находятся в противоположной фазе движениям при й/го < 1. Когда й/со > 1, центр масс находится ниже (когда сила направлена вниз) положения равновесия, а при й/со <; 1 —выше положения равновесия.
Определение коэффициента динамичности имеет большое значение для прочностных расчетов. При колебаниях элементов конструкций число циклов загружения велико, в связи с чем часто необходимо производить расчет деталей на сопротивление усталости.
Рассмотрим уравнение вынужденных колебаний с учетом сил вязкого сопротивления
тх -(- Ьх ф- сх = Р6 sin й(. (169)
Построим векторную диаграмму амплитудных значений сил этого уравнения (рис. 79, а). Каждый из четырех векторов запишем комплексным числом. Если перемещение обозначено комплексным числом х, то первая производная его будет х = 1йх, а вторая х = —Q2x. Пусть Р' комплесное число, выражающее вектор возмущающей силы. Тогда уравнение (169) примет вид
— тй2х + itibx 4- сх = Р'
или
(—тй2 4- А2 6 4 с) х — Р',
откуда получим комплексную амплитуду
Х — mQ2 + iQb + с
В теории колебаний используют понятие динамической жесткости системы, представляющей отношение амплитуды силы к к комплексной амплитуде перемещений, равное выражению в знаменателе правой части уравнения комплексной амплитуды
D = —mQ2 + 1Q6 + с.
Обратную величину — mQ2 + iQb + с
называют динамической податливостью.
Отношение амплитуды гармонической вынуждающей силы к комплексной амплитуде скорости при установившихся вынужденных колебаниях называется механическим импедансом системы.
Рассмотрим определение формулы для комплексной амплитуды виброскорости. При этом учитываем, что
Аг = (ЙЛ.
■Умножим и разделим это выражение на iQ, в результате получим
Аг = — QM/ZQ.
После преобразований и использования выражения для А получим выражение для комплексной амплитуды виброскорости
Знаменатель правой части полученного выражения и является механическим импедансом или комплексным сопротивлением системы. Комплексное число Р' можно сделать действительным числом, повернув диаграмму по часовой стрелке на л/2 + ср (рис. 79, б). Тогда Р' — Ро, а х можно представить в виде а + Ы:
Ро Рд(—mQ2 + с) — iQb
Х — (—mQ2 + с) + iQb — (-т№ + с) + iQb (— mQ2 + с) — iQb =
= [(=7^0^+^)2^70262] [(— т^2 + с) — 1^1-
Действительная часть полученного комплексного числа выражается длиной отрезка а, а отрицательная мнимая—длиной отрезка Ь. Тогда модуль х
X, _ f 5^7 --
= Ро
К(— mQ2 + с)2 + Q2b2 ’
и соответственно
tg ср = a/bL = Q6/(c — mQ2).
Учитывая, что со = \/''dm и, следовательно, с = со2т, выражение для х0 представим в виде
х'
0К(«“2 — тй2)2 + й262
Введем в последнюю формулу безразмерную характеристику демпфирования
V=6P/-^' = MH = ^’(170)
После преобразований получим х-Р°611
Если учесть, что Р06и = Лст (здесь Лст — перемещение, которое получила бы масса т, если на нее будет действовать статическая сила Ро), и ввести коэффициент динамического усиления 0, получим
*о = *ст0(171)
где
В = 1 -.(172)
/['-(4УУ+Л4У
Коэффициент 0 показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний больше статического перемещения, вызванного максимальным значением вынуждающей силы. Коэффициент 0 зависит от отношения Q/ со круговых частот вынуждающей силы и свободных колебаний без затухания, и кроме того, от безразмерной характеристики коэффициента демпфирования у, которая в большинстве случаев мала.
Зависимость 0 от отношения й/ со при различных коэффициентах (рис. 80, а) показывают, что демпфирование значительно снижает амплитуды в области, близкой "к резонансу, и мало влияет на амплитуду, когда частота вынуждающей силы отличается от частоты собственных колебаний системы.
При резонансе
0рез=1/Т. .(173)
Коэффициент динамического усиления 0 не стремится к бесконечности ни при каких значениях частоты изменений й. Этим отличается полученный здесь результат от результата при рассмотрении вынужденных колебаний без затухания. Как видно из рис. 80, и, максимум коэффициента динамического усиления не-
Рис. 80. Зависимости динамического коэффициента 3 и коэффициента передачи силы 31 от отношения й/со при различных значениях коэффициента у
сколько смещен от значения О/со = 1. Однако это смещение мало и приближенно можно определить р„РЗ, подставляя со = Q в формулу (172).
Введем в уравнение (171) коэффициент у, тогда
ib = 7“^ — Тй/М
6 V СО2 — й2 1 — Q2/m2 •
Сдвиг фаз изменяется от нуля при малых частотах вынуждающей силы до л при частотах вынуждающей силы, значительно превышающих частоту собственных колебаний. При Q = со (резонанс) колебания отстают по фазе от вынуждающей силы на л/2. Если у = 0, то сдвиг фаз сразу изменяется от нуля до л при со = Q
Определим силу, действующую на основание, на котором расположена колеблющаяся система,
N = Fx + Wx.
Подставляя в последнее уравнение значения Fx ^= сх = = 1/6иД sin ср; Wx =b Qx0 cos ф (х0 = А; b = а, к = МЬ^, получаем
N = -^- ЛзШф -фаПЛсоЗф. (174)
Подставляя в уравнение (174) значение ф — й/ —-ф, получаем это уравнение в следующем виде:
N = -^- A [sin (Й/ — Ф) + 6иай cos (й/ — ф)].
Используя уравнения (171) и (170), имеем
N = рро ^sin(Q( — ф) + -^-йсоз(й/ — ф)].
Исследуя полученное уравнение на экстремум, приходим к заключению, что максимум значения силы N имеет место при й/ —ф — arctg и/уй.
Учитывая это, получаем максимальное значение силы, передающейся основанию при колебаниях,
Nmax = ^P0V l+f(W-(175)
Таким образом, сила Утах больше силы Ро не в 0 раз, как это должно быть при отсутствии сил сопротивления, а в Pi раз, причем
Pj-PKT+WW(176)
(здесь рт называют коэффициентом передачи силы).
На рис. 80, б представлены кривые зависимости коэффициента передачи силы от отношения й/со при различных значениях у. Из этой зависимости видно, что все кривые проходят через точку, имеющую абсциссу V 2 и ординату — единицу. При й/ со < ]/2 затухание играет положительную роль, снижая коэффициент рг. Если й/со> ^2, то увеличение затухания ведет к возрастанию Pi- Таким образом, при работе конструкции в резонансной области сила, передающаяся основанию, возрастает вследствие затухания.
На рис. 81 представлена система с гидравлическим амортизатором. В данном случае сопротивление движению поршня пропорционально первой степени скорости. При колебаниях основанию передаются две силы; сила упругости пружин и сопротивление жидкости, внутри которой совершает колебательные движения поршень.
При высокой частоте возмущений имеют место высокие скорости и, следовательно, большие силы сопротивления жидкости.
Неблагоприятное действие затухания можно избежать, если пружины выполнить менее жесткими, что соответствует некоторому перемещению максимума абсциссы й/ со вправо (см. рис. 80).
Пример. Определить амплитуду вынужденных колебаний, вызываемых вибратором. Вибратор состоит из двух дисков, вращающихся в вертикальной плоскости в противоположных направлениях с постоянной скоростью (рис. 82). Вибратор установлен посредине балки. Частота вращения дисков 600 об/мин. С дисками связаны неуравновешенные грузы, симметрично расположенные относительно вертикальной оси гг. При вращении дисков возникают центробеж - иые силы инерции PQ2., проекция на ось zz которых будет равна 2РЙ? sin Qf 114
Рис. 82. Схема установки вибратора на балкеРис. 82. Схема установки вибратора на балке
Рис. 82. Схема установки вибратора на балке
Рис. 82. Схема установки вибратора на балке
Величина 2Р=4,5кг м. Масса сосредоточенного груза в середине балки составляет 459 кг, статический прогиб балки АСт= 0,025 см. Массой балки можно пренебречь и принять, что демпфирование эквивалентно действию на середину балки силы, пропорциональной скорости и равной 180 Н при скорости 1 см/с. Определить также амплитуду вынужденных колебаний при резонансе © = Й.
Определяем квадрат круговой частоты вынужденных колебаний системы Й2 = л^/ЗО2 = л2-6002/302 = 400л2 рад2/с2.
Единичный прогиб балки в месте установки вибратора
6и = (0,025- №2)/459-9,81 = 0,556-10"’ м/Н.
Квадрат собственной частоты колебаний системы
©2 = 1/(0,556-10“7-459) = 39 200 рад2/с2.
Находим коэффициент демпфирования по формуле (170)
1800,556- IO'7 п
459= °’196-
Прогиб балки при статическом приложении силы Аст= 2РЙ26и= 4,5-400-3,142-0,556-10“ ’ ~ 0,001 м.
Амплитуду вынужденных колебаний системы найдем из уравнения
А = Мст=
= °-001= 0,0011 м.
1/ (1 _ 400;3J4ay , о 1962 400-3,142
К V 39 200 )39 200
Амплитуду вынужденных колебаний системы при резонансе найдем из формулы (167):
^рез — Лст/у = 0,001/0,196 = 0,0051 м
Колебания систем с несколькими степенями свободы
степенямистепенямисвободысвободыДля механических систем с несколькими уравнение Лагранжа (15?) запишем в виде
степенями
степенями
свободы
свободы
Рис. 83, Балка, несущая дае сосредоточенные массы: а — схема балки; б — расчетная схема; в — эпюры изгибающих моментов от единичных сил
В том случае, когда потенциальная энергия U не зависит от q, последнее уравнение принимает вид
. dt \ dqt /dqtv '
Из курса теоретической механики известно, что при малых колебаниях системы относительно положения равновесия при наличии нескольких степеней свободы ее кинетическую и потенциальную энергию можно выразить через обобщенные координаты следующим образом:
S S'
/=1 “
S S
/=1 6=1
где /= 1,2$; к = 1,2s; а^ = a^j — инерционные коэффициенты;
cjh = Ckj — квазиупругие коэффициенты (коэффициенты жесткости).
Определим частоту собственных колебаний двух систем (рис. 83). Принимаем, что моменты инерции масс зубчатых колес и валов малы по сравнению с моментами инерции дисков Jt и J^. Жесткости валов при кручении соответственно равным сг и с2, а передаточное число зубчатой передачи и = z2/zx (здесь г, и г2 — число зубьев колес).
Введем следующие обозначения: ф, —угол поворота левого диска; ф2 — угол поворота правого диска; ф! — угол поворота колеса 7; ф2 — угол поворота колеса 2.
В данном случае имеются три независимые координаты: д/фи фг", фг (ф! определяют с помощью передаточного числа и через ф2).
Кинетическая и потенциальная энергии системы
Т = J^I2 + JtfM .
U = ci (ф1 — ф[)3/2 + с2 (ф2 — Ф2)2/2.
Между углами поворота шестерен существует зависимость в виде
ф1 = —ф2«-
Используя уравнение Лагранжа (177), получаем
дТ2фА .d / дТ у_-т .
<5ф12 ’ dt \ дф1 /
д(Т — U),,
дф1 = —С2 (ф1 + «Фг)-
Следовательно, первое уравнение из системы уравнений Лагранжа
Лф1 + С1 (ф1 +ыфг) = 0.
Аналогично получим второе уравнение: d / дТ \ д<Г — Щ ,'
Так как Т не зависит в данном примере от ф2, то д77дф2 = О, и третье уравнение будет иметь вид
UC1 (Ф1 + Мф2) + С2 (ф2 — ф2) = О-
Из этого уравнения найдем
«С1ф1 — С2ф2ф2 ~ и?С1 + С2 '
С помощью этого выражения исключим ф2 из первых двух уравнений Лагранжа:
7 •*।^1^2।CiC^Uf\
" 1Ф1 Н2—I Ф1 Н2—i Ф2 == Ф
114 1 С ill1 + С21 CiU? + са
,ciCiU,С!С2«2л(178)
1 citi2 4- са 1 citi2 + с2
Решение будем искать в форме
Ф1,2= ф1,2СО5((1)^+ “)•
Подставляя значения ф1)2 в уравнения (178), получаем систему из двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными. Эти уравнения допускают решение, если определитель системы равен нулю. В этом случае получаем уравнение частот системы
®2 Гл^2 - (Л«2 + Л)= 0,
откуда собственные частоты колебаний
а,1/ С1Са М’1 J2
О), =0)2 = I/ 5—;7—;.
г Citi2 4* с271 *1а
Подставляя приведенные выше выражения для кинетической Т и потенциальной U энергии в уравнение (177), находим систему однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
п
S (<гг,9/+ Пу^) = 0 (1 = 1, 2, . . ., п; аи = аь; си^с51\(179)
7=1,
Фактическое составление системы уравнений (179) при рассмотрении конкретных задач необязательно проводить по схеме Лагранжа. Существует большое число задач на колебания, когда целесообразнее применять более непосредственные способы, например прямой и обратный [52].
Рис. 84. Многомассовые системы:а — система, для которой действующие и а i-й три перемещения: х$р х/ н x^f, б — система, действующие на любой диск, определяют через в — балка, несущая п массРис. 84. Многомассовые системы:а — система, для которой действующие и а i-й три перемещения: х$р х/ н x^f, б — система, действующие на любой диск, определяют через в — балка, несущая п массгруз силы упругости выражены через для которой моменты от сил упругости, три угла поворота: ф^р ф^ н ф^^-
Рис. 84. Многомассовые системы:
а — система, для которой действующие и а i-й три перемещения: х$р х/ н x^f, б — система, действующие на любой диск, определяют через в — балка, несущая п масс
Рис. 84. Многомассовые системы:
а — система, для которой действующие и а i-й три перемещения: х$р х/ н x^f, б — система, действующие на любой диск, определяют через в — балка, несущая п масс
Согласно прямому способу мысленно отделяем массы от упругой системы. Для каждой массы записываем дифференциальные уравнения движения, заменяя действия упругих связей их реакциями.
Прямой способ для простейшей системы эффективен тогда, когда упругие силы и силы сопротивления можно просто выразить через характерные перемещения и скорости. Прямой способ удобен, например, для исследования свободных и вынужденных колебаний систем,- показанных на рис. 84, а, б.
Приведенные системы относятся к многомассовым системам. Упругие силы, действующие на ;-й груз, при свободных комбинациях выразим через перемещения хи1, х{, хг+1, а их моменты при вынужденных колебаниях —через углы поворота ф^, Ф/ и Фг+i-
Согласно обратному способу рассмотрим безмассовую систему, находящуюся под воздействием сил инерции отдельных сосредоточенных масс, выраженных через обобщенные ускорения. На рис. 85, в в качестве простейшего примера применения обратного = способа показана система ^R' — сила действия груза на пружину). Проекция R' на ось х будет R’x = Р —тх. В данной системе упругим скелетом является пружина.
Рис. 85. Простейшие схемы динамических, систем с одной степенью свободы:
а — безмассовая лннейио-упругая пружина; б — одиомассовая (масса т закреплена на пружине); в — система по обратному способу ^R' — сила тяжести груза на пружину, проекция которой на ось х будет R^ — = Р — тх); г — одиомассовая система по прямому способу
Рис. 86. Двухмассовая система
Обратный способ удобно применять для исследования свободных и вынужденных колебаний балочных систем с сосредоточенными массами (рис. 84, в).
При составлении системы уравнений по прямому способу atj = = 0 при г =4 /, а по обратному Сц = 0 при t ^ /. Следовательно, при использовании прямого способа вместо системы уравнений (179) получаем
arfj + Еtc]kak = 0 (/=1, 2s).(180)
При применении обратного способа
fl Мх+О<7у = ° (/== h 2, . . ., s).(181)
h=\
В этих уравнениях вместо ai3 вводим а3 с одним индексом, так как отпадает необходимость во втором индексе; вместо с33 вводим с,.
Специально выбирая обобщенные координаты,, выражениям для кинетической и потенциальной энергии можно придать каноническую форму. Данные координаты S4 (j = 1, 2, ..., s) носят название нормальных, или главных, обобщенных координат. В этом случае
Т = 1/2 1 afo; (7= 1/2 £ с^.(182)
i=i/=1
Уравнения Лангранжа примут простой вид
^ + ^ = 0(/=1, 28).(183)
Интегрирование каждого уравнения производят независимо от других. Однако без специального анализа трудно указать, какие кинематические характеристики являются нормальными координатами.
В качестве примера рассмотрим двухмассовую систему (рис. 86), в которой Cj и с2 — жесткость пружин; mj и т2 — массы грузов; Xj и х2 — перемещения mVAATl
При колебаниях системы в пружинах возникают усилия ^1 = с1х1 и М2 = = сг (х2 — xj. Следовательно, потенциальная энергия системы
п С1Х1 , с2(х2 — Х1)2(184)
2 +2
Кинетическая энергия системы
т = ^J-+-p'-(,85)
Для данного случая уравнения (184) примут вид
7 = 4" 1аИ ^1 + “12*1*2 + «21^1 Л2 + а224П<186)
U = 4" ГС11Х1 + ^12^1^2 + С21Х2Х1 + С22*2]-(187)
Сравнивая уравнения (184)—(187), получаем значения коэффициентов 1ап = mf, Оха = «аг = 0; я22 — т^,сц = ci -f- с2; ci2 = c2i = —с2; с22 = с2.
Уравнение (179) для данного случая будет иметь вид циХ1 + а12х2 + СцХ1 + с12х2 = 0;
(188)
Ц21Хг ~Ь О22Х2 ~Ь С21Х1 “Ь с22х2 — 0.
Учитывая значения коэффициентов, входящих в последние уравнения, окончательно найдем
miXi + (ci + с2) Xi — с2х2 = 0;
№2X2 — с2хх + с2х2 = 0.(189)
Воспользуемся теперь прямым способом. При колебаниях системы на первую массу действуют сила натяжения первой пружины и сила натяжения второй с2 (х2 — х^. Следовательно, уравнение движения первой массы
—С1Х1 + с2 (х2 — Xi) = «1X1.
Вторая масса находится ■ под воздействием силы натяжения второй пружины с2(х2— xj. Тогда уравнение движения будет иметь вид
—с2 (х2 — Xi) = т2х2.
Полученные уравнения совпадают с уравнениями (189).
Здесь обобщенные координаты выбраны так, что выражение кинетической энергии не содержит произведений скоростей (Х]Х2).
Рассмотрим обратный способ. Первая пружина нагружена силой —miXi — т2х2, вторая — силой —т2х2.
Удлинение первой пружины
Xi = (—mixi — m2x2)/ci. Общее удлинение обеих пружин х=(—miXi — — m2x2)/f! + (— m2x2)/c2.
В данном случае нет совпадения с результатом, полученным с помощью основного способа, так как выражение для потенциальной энергии содержит произведение XjX2.
Полученные уравнения по прямому и обратному способам соответствуют сокращенным записям (180), (181).
Энергетический метод определения частоты собственных колебаний
В практических случаях часто приходится сталкиваться с необходимостью определения частоты собственных колебаний систем, имеющих несколько независимых перемещений. Цримером системы с несколькими степенями свободы может служить балка, массы отдельных частей которой в действительности или условно считаются сосредоточенными в отдельных точках.
Для полного определения конфигурации такой балки в любое мгновение времени требуется задать прогибы под каждой массой. Положение прочих точек балки определится обычными статическими приемами. Системы, имеющие несколько степеней свободы, соответственно обладают и несколькими частотами собственных колебаний.
Как было показано, выше, определение частот собственных колебаний уже для системы с двумя степенями свободы сопряжено с трудоемкими численными расчетами, так как требует решения уравнения четвертого порядка. Для системы с п степенями свободы уравнение частот оказывается 2п порядка.
Наибольшее практическое значение имеет низшая, или основная, частота собственных колебаний, которая в большинстве случаев должна быть достаточно большой по сравнению с частотой вынужденных колебаний.
Низшая частота может быть определена с помощью приближенных методов, из которых наиболее распространенным является метод Рэлея. Предположим, что затухание колебаний отсутствует. На основании закона сохранения энергии полагаем, что в любой момент времени сумма кинетической энергии Т и потенциальной энергии U, накапливаемой системой за счет динамической деформации, есть величина постоянная:
Е - Т + U = const.
На рис 87, а показана балка с двумя сосредоточенными массами Шг и т2 в двух положениях: статического равновесия при t = tx и когда динамическая деформация балки максимальна (1/1 = Липах И У2 = y^maxV При t = t^ U = О,
Ег = Л + 0 = Ттах;
при / = /2 Т2 = О
£2 = 0 + U2 = Umax.
Так как Е = const, Ег = Е2 и, следовательно,
* max — max-
Пусть балка несет п масс, а статические прогибы под действием сил тяжести грузов будут уъ у2, .... у^.
Потенциальная энергия Umax может быть выражена через работу внешних сил. Под внешними силами здесь имеют в виду силы инерции. Они возрастают одновременно с увеличением деформа-
ции системы от нуля до максимального значения. Поэтому работу этих сил в соответствии с теоремой Клапейрона можно выразить площадью треугольника:
7 / ^ин 1 тахУ1 max । ^ин 2 тахУа max ,^ин zi тахУп max
^тах —2"г"2* * * "т"2
Расстояния центров масс от положения равновесия в любой момент времени в процессе колебаний на основании уравнений (U7)
yv = Ar sin (tot + ф); уг = А^ sin (tot + ф);
уп = Ап sin (tot + ф).
Следовательно, скорости масс будут
и^ = Aito cos (to/ + ф); v4 = Aato cos (mt + ф);,
un = Ап co cos (tot + ф).
Максимальные значения этих скоростей имеют вид
01 max Л}СО; О2 max ^2©, • • •> 0n max” ЛПСО.
Когда массы проходят через положение равновесия, и, следовательно, когда скорости их достигают максимума, кинетическая энергия системы
Tmax = to /2 (/П1Л1 -(- ГП.2А2 -j- * 1 • 4~ ШпАц), (190) где At = yt max.
В момент максимального отклонения масс от положения равновесия кинетическая энергия системы (в данном случае балки) будет равна нулю, но в этот момент потенциальная энергия дости- 122
гает максимального значения. На основании соотношения Екта = = Еи шах можно написать
<=п
Гин i тахУ1 max . ®2 mA2
i=l(=1
откуда
1=ПI /1=11\
to2 = £ Fни i тахУ( max т(А2Л .(191)
<=i/ 4=1/
Для использования этой формулы необходимо знать форму упругой линии балки. Она может быть определена только в результате точного решения, связанного с громоздкими выкладками. Небольшие погрешности имеют место при замене действительной упругой линии балки упругой линией, получающейся при приложении к балке статических сил, равных силам тяжести закрепленных на ней масс, т. е. сил т^, т^ и т. д.
Заменяя в уравнении (191) силы инерции силами т^ и сохраняя для статических прогибов те же обозначения yt = Аь получаем следующее приближенное выражение для частоты:
/ g £ т.У1
I/ —;092)
Г £ т^
i=l
для распределенной массы
/ z
/ g j mydz
CD = 1
I / z ’
I /j my2 dz
уо
где tn — масса единицы длины в произвольном сечении балки.
Пример. Требуется, пользуясь энергетическим методом, проверить балку на резонанс. На двутавровой балке (ГОСТ 8239—72) установлены две машины: первая имеет массу 1525 кг и вторая — массу 2240 кг (рис. 87, б).
Первая машина имеет части, вращающиеся с частотой вращения п = = 550 об/мин.
Реше н и е. Применительно к данному случаю формулу (192) запишем в следующем^виде:
<й = I Гц EEEiElEEELV т^ + т^’
где ту т2 — масса соответственно первой н второй машин; yt — статический прогиб в месте установки первой машины под действием сил тяжести обеих машин; у2 — статический прогиб в месте установки второй машины также под действием- сил тяжести обеих машин.
Определяем yi и у2:
У1 = ^«ig + 612m2g;
У2 = 622m2g+ 62№g,
где 6Ц — прогиб в первом сечении (место установки первой машины), вызванный единичной силой, приложенной в этом сечении; 622 — прогиб во втором сечении (место установки второй машины), вызванный единичной силой, приложенной там же; 612 — прогиб в первом сечении, вызванный единичной силой, приложенной во втором сечении (612 = 621).
Значения единичных прогибов находим по методу Мора с применением правила Верещагина:
£7би = ^г-0,715-1-2/3-0,715+V^-0,715-2,5-2/3-0,715 = 0,595;
£7б2'2 = 1/2-0,86-2-2/3-0,86 + 1/2-0,86-1,5-2/3-0,86 = 0,858;
£J6i2 = 1/2-0,715-1 -2/3-0,43 + 0,43-1 ^0,43 + -^^^-^ +
+ 1/2(0,86 -0,43)+ 1/2-0,86-1,5-2/3-0,43 = 0,644.
При F = 2,1-1011 Па и 7 = 5,5-КГ6 м4
б“ = тЙ^ = 5’15’10^^
0" 644
б“ = Т?^ = 5’56'1(г8 м/н'
Таким образом,
У1 = 5,15-10"8-1525-9,81 + 5,56-10"8.2240-9,81 = 19,97-Ю'4 м;
у2 = 5,56-IO"8-1525-9,81 + 7,43-10”8 2240 -9,81 = 24,69-10"4 м.
Определяем низшую частоту собственных колебаний балки по формуле (192):
/ 9,81 (1525-19,97-10'4 + 2240-24,69-10~4) _
® = у 1525'(19,97 -10"4)2+ 22 240 (24,69-10"4)2 ~ ° рад/с-
Согласно условию задачи частота вращения п = 550 об/мин. В таком случае круговая частота возмущающей силы Й = лп/30 = (3,14 • 550)/30 = 57,6 рад/с.
Резонанс колебаний в данном случае отсутствует, однако значения ю и Й настолько близки, что необходимо изменить жесткость балки.
кКритические угловые скорости валов при отсутствии сил
|сопротивления
В пищевой промышленности применяют большое число машин с быстрсвращающимися узлами и деталями (центрифуги, сепараторы, измельчители и т. д.).
Опыт показывает, что вращающиеся валы машин при определенной угловой скорости, называемой критической, становятся динамически неустойчивыми. При этой скорости возможны большие прогибы валов и даже их разрушение.
Критической угловой скоростью вала называется такая угловая скорость, при которой упругие восстанавливающие силы, возникающие "при прогибе вала, уравновешиваются силами инерции сосредоточенных масс при их вращении вокруг линии подшипников.
Рис. 88. Схемы положения центра масс диска, насаженного на вал:
а — невращающегося; б — вращающегося со скоростью, не превышающей критическую; в — вращающегося со скоростью, превышающей критическую; г — схема к расчету вертикального вала
Пусть имеется вертикальный вал, на который в среднем сечении насажен с эксцентриситетом е диск массой т (рис. 88, а).
При вращении вал изогнется, а его изогнутая ось будет вращаться вокруг оси подшипников с угловой скоростью Q.
Обозначим прогиб вала в месте, где установлен диск, через г. Тогда центробежная сила инерции диска, вызывающая этот прогиб (рис. 88, б)
F™ = тйг (с + г).(193)
Ср стороны вала на диск будет действовать восстанавливающая сила упругости
^упр — Г^Ц,где 6Ц — прогиб вала в среднем сечении его от действия единичной силы.
Приравнивая Fm и Fynp, получаем
mQ2 (е + г) = r/8u.
Приравнивая Рш силе упругости вала Fynp и решая полученное уравнение относительно г, окончательно получаем г = е/(1 — ®2/Й2).
Из последней формулы следует, что при вращении вала со скоростью, значительно превышающей критическую; Q > йкр, г стремиться к е, тогда центр масс приближается к оси вращения, а изгнутая ось вала вращается около этой оси.
Из уравнения (158) следует, что критическая угловая скорость вала совпадает с угловой частотой свободных колебаний вала с диском:
йкр = со = J/'l/(m6u) .
Если угловая скорость вала превышает критическую, то прогибы вала вновь оказываются конечными, но они имеют знак, противоположный знаку начального эксцентриситета. Центр масс диска в этом случае будет ближе к оси вращения, чем центр вала (рис. 88, в).
Центробежная сила инерции диска Еин при вращении его со скоростью выше критической
F™ = т£У (г — в).
Решая последнее уравнение относительно г, найдем _ Q2e
Г — 1/т6и — №’
Учитывая, что величина l/mSu является квадратом круговой частоты свободных колебаний вала, запишем последнее равенство
в виде
г = е/(©2/й2 — 1).
Из полученного равенства следует, что при ш2/й2-> 1 прогиб вала стремится к бесконечности.
Приведенные рассуждения сделаны без учета сил сопротивления (сил аэродинамического сопротивления, сил трения в опорах и т. д.).
Рис. 88, б, в показано расположение диска, вращающегося с угловой скоростью, меньшей критической и превышающей критическую. На рис. 88 приняты следующие обозначения: S — центр масс диска; 0г — точка пересечения оси подшипников со срединной плоскостью диска; О — точка пересечения изогнутой оси вала со срединной плоскостью диска. Если й = 0, то точки О и 0г совпадают (рис. 88, а). При й < йкр точка О находится на одной прямой между точками O^S (рис. 88, б). При й > Йкр точка S лежит на прямой между точками О и 0х (рис. 88, в).
Если угловая скорость вала меньше критической, то вал динамически устойчив. В этом случае, если увеличить прогиб вала, а затем устранить причину увеличения этого прогиба, то вал возвратится в первоначальное положение. Это произойдет благодаря тому, что силы упругости будут возрастать больше центробежных сил.
Когда угловая скорость вала совпадает с критической скоростью, вал динамически неустойчив. В этом случае при устранении причин, вызывающих прогиб, вал не возвращается в исходное положение.
Устойчивость вала при скорости, большей критической, обусловлена кориолисовым ускорением, которое появляется при перемещении центра масс диска S в радиальном направлении от точки Ov Тогда точка S начинает двигаться в направлении, перпендикулярном к радиусу, и приходит в конечном итоге в положение по другую сторону от точки О.
Рабочая скорость вала должна значительно отличаться от критической. Обычно принимают Q < 0,7QKp или Q > l,3QKp.
Если критическая скорость вала превышает рабочую угловую скорость, то вал называют жестким; в противном случае его называют гибким.
При пуске машины частота вращения гибкого вала может иметь критические значения. Для уменьшения наибольших прогибов валов необходимо стремиться к быстрому прохождению их через положение, при котором возможен резонанс, или предусматривать специальные демпфирующие устройства. Если вал расположен горизонтально, то он вращается относительно оси, изогнутой в результате изгиба, вызываемого действием силы тяжести диска вала.
При различных жесткостях вала при изгибе в двух направлениях, например при наличии шпоночных канавок, его движение неустойчиво, если значение угловой скорости будет промежуточным между значениями круговых частот свободных колебаний вала в плоскостях наибольшей и наименьшей жесткости. Кроме того, вал будет динамически устойчив и при критической скорости второго порядка, которую определяют по формуле
^крП^крП<В[<Й22 (Ю2 + ю^<В[<Й22 (Ю2 + ю^
^крП
^крП
<В[<Й2
2 (Ю2 + ю^
<В[<Й2
2 (Ю2 + ю^
Когда жесткости вала при изгибе в обоих направлениях мало отличаются друг от друга, то с^ = со2 = со и, следовательно, ^крн = ®/2.
Пример. Определить критическую скорость вертикального вала с укрепленной на нем-деталью, имеющего частоту вращения п = 320 об/мин; масса детали 120 кг; диаметр вала d = 5-см (рис. 88, г).
Критическая угловая скорость
<о = К1/(6цт),
где 6ц — прогиб под действием единичной силы, приложенной в месте закрепления детали; т — масса детали.
Единичный прогиб
1EJ (а + 6) '
Подставляя числовые значения величин, входящих в выражение для 6и, имеем
0 82.1,72-64
611 = 3(0,8+ 1,7)2-Ю^ З, 14 0,05* = °’402 -10 5 М/Н-
Следовательно,
м = V 122.0,402-10-5 = 45,4 РЭД/С'
mi(OKp6ni И72(Окр6п2mi(OKp6ni И72(Окр6п2/77п(Окр6пп 1/77п(Окр6пп 1
mi(OKp6ni И72(Окр6п2
mi(OKp6ni И72(Окр6п2
/77п(Окр6пп 1
/77п(Окр6пп 1
Рнс. 89. Схема горизонтального вала с двумя дисками:
а — иевращающегося; б — вращающегося
Выше был рассмотрен случай, когда на вал насажен один диск. Однако валы часто имеют две и более детали. Например, на приводном валу молочных сепараторов закреплены винтовое колесо и корпус ведомой полумуфты.
Рассмотрим вал, несущий несколько дисков. Из условия упру
гого равновесия изогнутого вала определим критические скорости вращения. Вал нагружен центробежными силами
222
тцокрл, т2сокрГ2, • • •> т.п№кргп.
Прогибы вала
л = тцокрлбц -|- /тг2С0кРГ2б12 + • • • + тп№Kp^n^ln, К = т1(ОкрГ1621 4- т2(ОкрГ2б22 Н+ тп^Гп^(194)
гп --= /тг1(ОкрГ16П1 -ф /ПгсокрГгбпг + • •' + ^п^кр^^пп-
В том случае, когда определитель, составленный из коэффициентов системы, равен нулю, полученная система уравнений допускает для rt (здесь л — прогиб вала для /-го диска) отличные от нуля решения:
/И1и>кр611 — 1№2<йкр612• ■ • /Ип(0Кр61п
= 0. (195)= 0. (195)^1^крб21^2(Окрб221. * . ^/гЮкрб2/г
= 0. (195)
= 0. (195)
Развертывая определитель, получаем уравнение, из которого определяем критические скорости вала. Так, при наличии двух дисков получим (влияние эксцентриситетов дисков не учитываем) (бц/ицокр — 1) (бгг/Пгйкр — 1) — 612т1т2(ОкР = 0.(196)
Из данного уравнения находим два значения критической скорости, соответствующие двум формам ее упругой линии.
Критические скорости вала, несущего несколько дисков, равны собственным частотам колебаний изгиба того же вала при условии отсутствия вращения вала.
Критическая угловая скорость валов при наличии сил сопротивления
При наличии сил сопротивления характерные точки: центр масс диска, точки пересечения изогнутой оси вала и оси подшипников со срединной поверхностью диска не лежат на одной прямой.
На рис. 90 показано расположение указанных точек при наличии силы сопротивления, направленной в сторону, противоположную движению диска.
Сила сопротивления
№ = aQr,(197)
где £2 — угловая скорость вала; г — динамический прогиб вала.
Сила сопротивления W при равномерном вращении должна уравновешиваться составляющей центробежной силы, приложенной к центру масс диска S',
Рин = mQ2p,
где р — радиальное отклонение центра масс диска от оси вращения вала.
Указанная составляющая возникает именно тогда, когда точки Оъ О и S не лежат на одной прямой.
Спроектируем на оси х и у силы, действующие на вращающуюся с постоянной угловой скоростью систему, причем ось х совместим с направлением действия силы упругости вала Кг, а ось у — с направлением силы сопротивления W:
—Кг + mQ2p cos ф = 0;(198)
—aQr + /nQ2p sin ф = 0,(.199)
где К — сила, вызывающая прогиб вала, равный 1 м, причем К = 1/6ц (здесь бу — прогиб, вызванный единичной силой); q>—угол, образованный осью х и линией, соединяющей точки Ох и S; a — коэффициент сопротивления.
Из геометрических соображений имеем (см. рис. 89) р sin ф = е sin ф; р cos ф = г + е cos ф.
129129Подставляя р sin ф и р cos ф из последних уравнений в выражения (198) и (199), получаем
129
129
—Кг + mQ2 (г + е cos ф) = 0; (200)
—arQ + /nQ2e sin ф = 0, откуда
sin ф = aQr/(/nQ2e);
cos ф = (Кг — /nQ2r)/(mQ2e). ' (201)
Рис. 90. Схема действия сил иа вал, вращающийся при наличии сил сопротивления
5 Соколов В. И.
Тогда
sin ф/cos ф = tg ф = а&гКД — mQ^y = yfi/®/(l — Q2/®2), где v — безразмерная характеристика демпфирования.
Складывая sin2 ф и cos2 ф, из уравнения (201) имеем
/ агй \2 , (Кг — т№г^ _ ,
\ тй^е ) Н (тй2е)2— 1 •
Тогда динамический прогиб вала с учетом К!т = м2
г = mQ?e - -.(202)
/(со2 — Й2)2 m2 + а2Й2
Принимая QKp = Q = и, получаем
r = 2H^L = ^^ = е(203^
аю а у ’''
Полученное значение амплитуды при резонансе может быть принято наибольшим.
С увеличением рабочей скорости Q динамический прогиб будет уменьшаться, стремясь к пределу. Для определения динамического прогиба уравнение (202) с учетом у = а/(т®) будет иметь вид
г = (204) У[(тУ-'Г+№
Из полученного выражения следует, что при й ->оо г ->е. Таким образом, предельное значение амплитуды колебаний равно эксцентриситету массы диска. Найдем теперь условие, при котором динамический прогиб г при переходе через критическую скорость не будет превышать величину е. Подставляя в уравнение (203) г = е, получаем е = maela. и а = то. Этому- условию соответствует неравенство у 1.
Влияние размеров роторов на критическую угловую скорость валов
Приведенные выше уравнения для определения критической скорости валов и динамического прогиба были получены в предположении, что диск посажен на вал в середине пролета или его масса сосредоточена в одной точке.
В действительности диски и роторы, которые вращаются вместе с валом, имеют определенные размеры и форму, обусловленную их технологическим назначением; расположение их на валу может быть различным.
Некоторые детали выполняют в виде дисков (например, дисковые пилы для разрезания мясных туш или диски распылительных сушилок). Другие детали имеют форму длинной трубы (роторы трубчатых сверхцентрифуг и т. д.).
Естественно, что реальное выполнение роторов должно существенным образом отражаться на зависимостях, служащих для 130
Рис. 91. К определению гироскопического момента:
а — вращающийся вал с консольно укрепленным ротором; б — к определению радиуса р
определения критической скорости вала и динамического прогиба.
Рассмотрим систему, которая состоит из вертикального вала, вращающегося в двух опорах, и ротора, закрепленного на конце консольного участка вала (рис. 91, а).
При вращении вала ось роте.,, т.
В точке О ось вращающегося ротора пересекается с вертикалью (ось z^. Точку О можно принять за неподвижный центр вращения ротора.
Найдем суммарный момент центробежных сил инерции, которые действуют на отдельные элементы ротора относительно оси Oyv нормальной к плоскости рисунка и проходящей через неподвижный центр О.
Введем следующее обозначение: г — отклонение от оси центра масс ротора при вращении вала; р — расстояние от вертикали до любой точки ротора; к — расстояние от точки 0 до центра масс ротора О; dm — элемент массы ротора, находящийся на расстоянии р от оси zYz.
Примем систему координат Охуг, вращающуюся вместе с ротором. Начало этой системы координат совпадает с центром масс ротора. Оси хх, уу, zz являются главными осями инерции ротора.
Расстояние от вертикали (первоначальной оси вала) до элемента массы ротора (см. рис. 90).
р = к sin <р + z sin ф + х cos ф.
Центробежная сила инерции (рис. 90), действующая на данный элемент массы ротора,
dfHH = dm^p.
Ордината элемента массы dm (рис. 91, б)
Zt = к cos ф + z cos ф — х sin ф.
Тогда момент силы dF^ относительно оси, проходящей через точку О параллельно оси уу и перпендикулярно плоскости чертежа,
dM = dFHHZi = dF„H (к cos ф + z cos ф — x sin ф).
Подставляя в последнее равенство выражения для dF^ и р, получаем
dM = dm№ (k cos ф + z cos ф — x sin ф) (6 sin <p +
+ Z sin Ф + X COS ф).
Суммарный момент центробежных сил инерции, действующих на элементы ротора,
М = J й2 (^ cos Ф + 2 cos ф — х sin ф) (fe sin ф 4 z sin ф + х cos ф) dm. о
После интегрирования и преобразований окончательно найдем М = Q2 (к2т cos ф sin ф + Jx sin ф cos ф — /z sin ф cos ф), где Jx и Jz — моменты инерции массы ротора относительно осей хх и гг;
Jx = JУ = j (у2-]-г2)dm;
О
т
Jz = \(x2 + y2)dm.о
Если при малости угла ф принять sin ф « ф и cos ф » 1, то. последнее выражение для М можно представить в виде
М = ^Iv № + ух _ j^ « № 4 (jx _ j^ й2Ф.
Преобразуем полученное уравнение, в результате получим М = й2/п^ф + У$ — Jz) Н2ф
или
М = й2тгк 4- ух — Л) Н2ф.
Из рассмотрения последнего уравнения следует, что момент сил инерции, действующих на ротор в плоскости гО'х, включает момент центробежной силы инерции ротора &2тгк и гироскопиче
(205)(205)ский момент
(205)
(205)
мг = ух — Л) ф^2.
Прогиб конца вала (точнее, отклонение от оси г^ центра масс ротора, при вращении)
г = бц/пй2 (г 4 «) + 612 ух — J^ й2 (ф + ф0), откуда
г 6цпгОае 4 612 Ух — ^)№<Ро
1 — 6um№-6i2(.Jx- Jz)Wr 'V ’
Учитывая, что ф^ = г и, следовательно ф/г = Ик, приравниваем знаменатель последнего уравнения (206) нулю и находим критическую угловую скорость вала
=i(207)
У 6ц/И512 (^Х Jz)
Полученное уравнение свидетельствует о том, что критическая угловая скорость вала существенно зависит от соотношения между моментами инерции Jx, Jz. Если Jx > 3Z, то критическая скорость меньше скорости при наличии сосредоточенной массы, при Jx = Jz и Jz > Jx критическая скорость больше.
Последнее уравнение (207) удобно применять, когда определение величины 6 не представляет трудностей, например при вычислении критической скорости вращающегося вала сепаратора в предположении, что вал достаточно жесткий, горловая опора является упругой; при этом величина к примерно равна длине вала.
Для валов на двух опорах с консольным участком; несущим на конце диск, величину к приближенно можно принимать равной длине консоли.
В других случаях для определения критической угловой скорости вала нужно составить уравнения прогиба и угла поворота вала, вызванных действием центробежной силы инерции и гироскопического момента:
Г = 6цАиПКрГ — 6j2 ^ z — Jх^ ^крф;
ф = б21ШПкр/* 622 V2 Jх) ^крф,
где 6ц и 621—прогиб и угол поворота Под действием единичной силы; 612 и 6^ — прогиб и угол поворота под действием единичного момента.
Рассуждая, как и ранее, получим
(611622 — 622) ГП (Jz — Jх^ Икр + [6пт — 622 (/? — Jx)J Н2 — 1=0.
Из последнего уравнения находим критическую угловую скорость вала так называемой прямой синхронной прецессии. В этом случае угловая скорость диска по значению и направлению равна угловой скорости изогнутой оси вала. Может наблюдаться и об- -ратная несинхронная прецессия, когда последнее условие не выполняется'.
При обратной прецессии изогнутая ось вала вращается в сторону, противоположную вращению- диска. Более подробно это явление рассмотрено ниже.
ГЛАВА III
ЕМКОСТНЫЕ И ТЕПЛООБМЕННЫЕ АППАРАТЫ
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО
КОНСТРУИРОВАНИЯ ЕМКОСТНЫХ И ТЕПЛООБМЕННЫХ АППАРАТОВ
Выше было отмечено условное деление пищевого оборудования на машины и аппараты. Было указано, что в аппаратах происходят процессы, связанные с воздействием на обрабатываемый объект теплового или другого поля.
Для механика-конструктора важны и другие особенности аппаратов, а именно отсутствие движения (в особенности быстрого!) основного рабочего органа машины, обусловливающего возникновение различных динамических эффектов.
При конструировании емкостных и теплообменных аппаратов внимание конструктора должно быть сосредоточено на обеспечении функционирования аппаратов, прочности и жесткости их элементов, устойчивости и способности сохранять свою форму при эксплуатации; условий^ ограничивающих не только потери продукта, но и потери тепловой или электрической энергии; на вопросах коррозии рабочих поверхностей и т. д.
На рис. 92 показана установка для непрерывного уваривания кондитерских масс. Она состоит из трех аппаратов: / — подогревателя, предназначенного для подогрева продукта; II — вакуум- аппарата для выпаривания продукта; III — сепаратора, предназначенного для улавливания частиц уваренной массы, уносимых вторичным паром.
На рис. 93 изображен котел-подогреватель для обработки жидких и полужидких продуктов типа томатного пюре, фруктового сока и т. д.
Приведенные аппараты представляют собой сочетание различного типа оболочек: цилиндрических, конических, сферических и т. д. Эти оболочки чаще всего подвергаются воздействию внутреннего или внешнего давления, высоких или низких температур. Аппараты соединены с другими трубопроводами, к ним присоединены различные приспособления и приборы, что необходимо учитывать при конструировании.
В пищевой промышленности широкое распространение получили емкостные аппараты, в частности резервуары (танки) для хранения пищевых жидкостей, которые изготовляют цилиндрической или прямоугольной формы. В молочной промышленности, например, применяют вертикальные алюминиевые резервуары
вместимостью 2; 4; 6; 10; 20 м3 и горизонтальные вместимостью 20 и 30 м3. Наружная поверхность корпусов резервуаров выполнена с теплоизоляцией, защищенной стальным кожухом. Назначение теплоизоляции — предотвращение повышения температуры молока более чем на 1 °C в течение 12 ч при перепаде температуры молока и окружающей среды около 20 °C [69],
К числу основных вопросов проектирования аппаратов относится выявление оптимальной конструктивной формы и наивыгоднейших размеров принятой конструкции.
Наиболее распространенной формой корпусов аппаратов является цилиндрическая. Днища аппаратов выполняют плоскими, коническими, сферическими и эллипсоидальными в зависимости от их назначения и технических условий. Крышки выполняют той же формы, что и днища; исключение составляет коническая крышка. Пространственные (не плоские) днища и крышки экономичнее плоских.
Размеры аппаратов, работающих под внутренним давлением, зависят в основном от требуемого объема. В ряде случаев выбор размеров аппаратов производят с учетом использования металла меньшей массы при заданных объеме и рабочем давлении.
Рис. 92. Установка для непрерывного уваривания кондитерских масс:
1 — наружный клапан; 2 — рубашка; 3 — нижний стальной конус; 4 — верхний внутренний клапан; 5 — змеевик; 6 — конусная медная чаша; 7,8 — нижняя н верхняя обечайки вакуум-аппарата II; 9 — штуцер для подачи сиропа; 10 — штуцер для спуска конденсата; 11 — кран для выпуска воздуха; 12 — манометр; 13 — предохранительный клапан; 14 — соединительный трубопровод; 15 — съемная крышка; 16 — медный змеевик; 17 — стальной корпус; 18, 19 — штуцеры; 20 — смотровые окна; 21. — тяги для крепления вакуум-аппарата; 22 — вакуумметр; 23 — трубка для подачи греющего пара; 24,_ 25 — краны
Рис. 93. Котел-подогреватель периодического действия:
/ — медная полусферическая чаша; 2 — паровая рубашка; 3 — затвор на штуцере; 4 — кран для спуска конденсата; 5 — труба для отвода конденсата; 6 — стойки для крепления котла; 7,9 — пустотелые цапфы; 8 — обечайка; 10 — червячная пара для опрокидывания котла; // — манометр; 12 — предохранительный клапан; 13 *• кран
Еще в 1883 г. В. Г. Шухов определил оптимальные размеры вертикального цилиндрического резервуара с плоским днищем. Объем металла в вертикальном резервуаре со стенкой постоянной толщины
Д = лг2 А + 2лгбЯ, (208)
где лг2А — объем металла днища и покрытия; 2лг6Я — объем металла корпуса; г — радиус резервуара; А — суммарная толщина днища и покрытия; 6 — тол - щина стенки корпуса; Н — высота корпуса.
Подставляя в уравнение (208)
г = УуЦш
(здесь V — объем резервуара), получаем
А = VMH + 26 У^УН»
Приравнивая нулю первую производную dA/dH, определяем минимум объема металла в зависимости от высоты резервуара
— =6 у — . — откуда
VMH = 6 УЮТ.
Тогда наивыгоднейшая высота резервуара
В формуле V АШ = 8 УnVH левая часть равенства характеризует объем металла днища и покрытия, правая — половину объема металла, необходимого для изготовления корпуса [38].
Современные методы проектирования аппаратов основываются на оптимизации соотношений взаимосвязанных величин. В качестве примера рассмотрим решение задачи о изготовлении бака наибольшей вместимости из квадратного металлического листа со стороною 2а. В качестве ограничения примем условие о допустимости удаления (по углам листа) квадратов со стороною х. При изготовлении бака производят загибание краев шириною х и сварку сопрягаемых кромок.
Помимо этих критериев, вытекающих из обоснования возможностей изготовления, существует критерий, обусловленный технической и экономической целесообразностью — наибольшая вместимость бака.
' В данном случае
<р = х!2а.
Связывающим параметром является вместимость бака. Конструкторскую задачу можно записать следующим образом:
Ф = х!а -> оптимум;
V = х (а — 2х)2 -> максимум.
Обозначим длину, ширину и высоту бака через х, у, г. Задача сводится к определению максимума функции
V = хуг при условии
ху + хг + уг — а = 0 (х > 0; у > 0; г > 0).(209)
Согласно методу отыскания условного максимума составим вспомогательную функцию
F (х, у, X) = xyz + к (ху + хг + уг — 0)/
уг -|- X (у -|- z) = 0; хг + X (х -1- z) = 0ху -|- X (х 4- у\ = 0.уг -|- X (у -|- z) = 0; хг + X (х -1- z) = 0ху -|- X (х 4- у\ = 0.После получения частных производных вспомогательной функции приравняем их нулю:
уг -|- X (у -|- z) = 0; хг + X (х -1- z) = 0ху -|- X (х 4- у\ = 0.
уг -|- X (у -|- z) = 0; хг + X (х -1- z) = 0ху -|- X (х 4- у\ = 0.
(2Ю)
Для решения системы четырех уравнений (209) и (210) с четырьмя неизвестными умножим первое из уравнений (210) на х, вто- второе на у, третье на г и сложим их. Учитывая равенство (209), найдем X = 3xyzi2a. Подставляя значение X в уравнение (210), получаем
уг С1 __5ir^ +2)] = °;
Х2 [1 --g-(x + z)] = 0;
М1 (* + у)] =о.
Учитывая, что х, у, г не равны нулю, из последних уравнений получаем
Зх!2а (у + z) = 1; Зу/2а (х + z) = 1, 3zi2a(x + У) = 1-
На основании первого и второго уравнений получаем х= у, а из второго и третьего у = г. Тогда из уравнения (209) имеем х = у = г — V а/3. Полученное, уравнение дает условный максимум функции V = хуг. Таким образом, оптимальный объем бака является кубом со стороною г = Уа!3.
В других случаях критерием качества разработанной на стадии проектирования конструкции аппарата могут быть минимальные затраты на конструкционные материалы и эксплуатационные расходы, обусловленные, например, необходимостью компенсации тепловых потерь в окружающую среду.
Пусть полные затраты (руб.) включают затраты на конструкционный и термоизолирующий материал См, затраты на подвод тепловой энергии в аппарат Сп затраты на компенсацию тепловых потерь Ст. Выражение для целевой функции в данном случае будет иметь вид [25]
С = См -|- Сп -}- Ст-(211)
Для цилиндрического аппарата с плоскими днищами
См = [2лг2 + 2 лг«] cMsM;(212)
Сп = [2лг2 + 2 лгв] cnsu;(213)
Ст = [2лг2 + 2лгз] МстТук,(214)
где г, h — радиус и высота цилиндрического сосуда, м; см — стоимость единицы объема листового материала, руб/м3; sM, sn — толщина стенки аппарата и слоя термоизоляции, м; сп — стоимость единицы объема термоизолирующего материала, руб/м3; А/—разность температур, °C; ^ и t2— температура жидкости в аппарате и окружающей среды, К; ст — стоимость единицы потерянной тепло- 138
вой энергии, руб/ккал; тр — продолжительность эксплуатации аппарата, год; к — коэффициент теплопередачи от жидкости, находящейся в сосуде, к окружающей среде, Вт/(м2-К).
Учитывая, что объем цилиндрического сосуда V = nr2h, получаем h = !//(№). Коэффициент теплопередачи находим из известного выражения
1 I 1। SM I Sn
«1«2 А-М ^П
где at и «2 — коэффициенты теплоотдачи соответственно от горячего теплоносителя к холодному, Вт/м-К; 4ь ^п — коэффициенты теплопроводности, т. е. количество теплоты, перенесенного через материал стенки аппарата и термоизоляции, Вт/(м-К).
Коэффициент теплопередачи можно также определить по формуле
к = 1/(4 + sD/XD),(216)
где
А = — + — +(217)
Примем экспоненциальный закон распределения надежности функционирования аппарата
Тр = 1/(0 1—1П Лп1п доп L(218)
где со — параметр потока отказов конструкции 1/ч; Рщщ ДОп — минимально допустимое значение вероятности безотказной работы за данный интервал времени.
Подставляя в выражение для целевой функции значения См; Сп и Ст и используя уравнения (211)—(214), получаем
С = (2лг* 4- ^ sMCM + (2лг* + ^ sQcn +
4 ( 2лг2 + ^Л А/ст.
Находим частные производные от целевой функции, приравниваем их нулю и решаем полученную систему уравнений:
дС — /4ЛГ _ JKA Г$ л 4- s с 4 А/с (~1п ртш доп) ^ 1 дг - ^лг г2$пспю (ХцЛ + $п) j .
Приравняв g&gr нулю, получим
г = 3/У/2л и
(2лг2 + —) к + А/стХп1 = °-
dsn \1 г / L 11 <о (taA + sn)2 J
Окончательно находим
Sn = р^ А/-^ Хп'
Пример. Задано: V = 1000 м8; ст = 1,433-10’ руб/Дж; сп = 150 руб/м3; At = 100 °C; sM= 0,01м; Хп = 0,1163 Вт/(м-К); Рщш доп = 0,95; Хм = = 46,52 Вт/(м-К); «1= 1163 Вт/(м3-К); «2 = 23,26 Вт^м’-К); ю = 1,389 X X 10"’ 1/с. Необходимо определить геометрические параметры- аппарата.
Радиус аппарата и высота:
г = V 1000/2л = 5,4 м; h = J°°°2 = 10,8 м.
Толщина слоя термоизоляции
„1ЛЗЗ [-In 0,95] А
п- V 100 150 *1,389 ’°’ 63
- 0.1 !63 (^ +.^ + ^-) - 0,06* - 0.00051 =0.0588.
Полученные параметры являются оптимальными с точки зрения затрат. Следует отметить, что в данном примере для упрощения не учитывались затраты, обусловленные обслуживанием аппарата, амортизационными отчислениями, профилактическим ремонтом.
Рассмотрим определение оптимальной обеспеченности конструкции, т. е. оптимальной вероятности того, что конструкция не разрушится за срок эксплуатации. Пусть требуется определить оптимальное значение толщины стенки s цилиндрического корпуса аппарата. Разрушение происходит при условии s < s' (здесь s' — требуемое значение толщины стенки, из условия прочности). Будем считать величину s детерминированной, a s' случайной.
Примем, что величина s' подчиняется нормальному закону распределения (случайный характер толщины стенки связан, например, со свойствами материала, но не с нагрузками). Тогда вероятность неразрушения конструкции
s __ (х—Ms')2
Р (s' < s)j^^- J e 2 v DP dx + 1/2,(219)
где Ms'—математическое ожидание величины s'; Ds'—дисперсия случайной величины Sq.
Затраты на конструкцию представим в виде суммы первоначальной стоимости конструкции Со и ожидаемых потерь от ее разрушения Ci (руб.). Математическое ожидание потерь (1 — Р) Cv
Будем считать начальную стоимость конструкции пропорциональной толщине стенки аппарата. Тогда общие затраты на создание конструкции
С = Bs' + (1 — Р) Сь
где В — коэффициент пропорциональности.
Найдем минимум последнего выражения известными методами:
~ = BdsW -С^О.~ = BdsW -С^О.(220)(220)
~ = BdsW -С^О.
~ = BdsW -С^О.
(220)
(220)
Дифференцируем уравнение (219) по $*: (f—Ms')2 dp =1 е ’ 2 /nF
dsV 2nDs'’
откуда (s—Ms')2 ds/dP = ]/SirDs7 e 2 /5F .
Подставляя ds'ldV из последнего уравнения в уравнение(220), получаем у2
5/2л ае2 -С1 = 0,(221)
где
у = (s — Ms')/Ds'.(222)
Пример. Допустим, что выход конструкции из строя связан с затратами, равными 100 тыс. руб. при В = 10 тыс. руб.; Ms' = 0,01 м; jFDs' = 0,001 м. Подставляя эти величины в уравнение (221), получаем у = 4,072. Этому соответствует вероятность неразрушения конструкции Р » L Требуемую толщину стенки определим из уравнения (222)
s = 4,072-0,001 + 0,01 = 0,014 м.
Этот пример расчета является простейшим случаем. В более сложных случаях определение производной недостаточно, и приходится прибегать к математическому программированию, что ие меняет сущности расчета.
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КОРПУСА ВЕРТИКАЛЬНЫХ АППАРАТОВ
В пищевой промышленности так же, как и в химической, широко применяют емкостные и тепловые аппараты с цилиндрическими корпусами.
К таким аппаратам относятся различные танки и сосуды, предназначенные для хранения пищевых жидкостей и проведения технологических процессов при внутреннем избыточном давлении, например, для отстаивания, броТкения и др. К таким аппаратам можно отнести танки для хранения молока, бродильные чаны, за- квасочники, дозаторы и др.
Особенностью многих аппаратов является то, что усилия, действующие на стенки сосуда, обусловлены главным образом гидростатическим давлением жидкости и, следовательно, зависят от напора.
Если давление в какой-либо точке на внутренней поверхности сосуда превышает 0,07 МПа без учета гидростатического давления, то при проектировании сосудов необходимо выполнить ряд требований, предусмотренных нормами Госгортехнадзора.
Цилиндрические аппараты могут иметь вертикальное и горизонтальное исполнения. Предпочтение необходимо отдать вертикальным аппаратам, так как в них исключены дополнительные напряжения при изгибе, возникающим в корпусе при действии силы тяжести аппарата и находящейся в нем .среды.
При давлении в аппарате менее 10 МПа цилиндрические обечайки выполняют из пластичных материалов, в основном из листов вальцовкой с последующим соединением стыков преимущественно сваркой. При соединении стыков из медных и латунных листов применяют также и пайку. После соединения стыка сваркой или пайкой цилиндрические обечайки подвергают технологической правке (калибровке).
При давлении среды менее 0,8 МПа цилиндрические обечайки могут быть выполнены литыми совместно с днищем из хрупких материалов (чугун, бронза, кварцевое стекло и др.). В этом случае допускается последующая обработка внутренней поверхности. Цилиндрические обечайки можно также выполнять из стальных труб с базовым наружным диаметром до 720 мм.'
При конструировании сварных и паяных обечаек необходимо учитывать следующие рекомендации:
листы желательно выбирать больших размеров для того, чтобы общая длина швов была наименьшей;
при раскрое следует добиваться наименьшего числа продольных швов, которые в горизонтальных аппаратах не следует располагать в нижней части обечайки при ограниченной доступности для осмотра;
не следует выполнять отверстия в обечайке в сварных швах, особенно продольных.
Если на жидкость действует дополнительное давление р0 (Па), то наибольшее давление
Р = Ро + ржН§;
где Н — высота цилиндрического сосуда (точнее, уровня жидкости в сосуде), м; g—ускорение свободного падения, м/с2; рж— плотность жидкости, кг/м3.
Таким образом, уравнение для определения окружного напряжения at (Па) по безмоментной теории оболочек примет вид
.а = -Ро±8Р^У_ г
* ss
Меридиональное напряжение ат определяют из уравнения (101). В данном случае оно в 2 раза меньше окружного напряжения. Если цилиндрический сосуд опирается нижней частью, то меридиональное напряжение равно нулю.
Напряжение в стенке сосуда в радиальном направлении обычно* принимается равным нулю.
При получении расчетных формул для пластичных материалов можно исходить из теории наибольших касательных напряжений, согласно которой эквивалентное напряжение
^ЭКВ ^1«3-
В данном случае аг = ot и а3 я^ 0, следовательно, о,= А±^г<[стЬ где [а] —допускаемое напряжение на растяжение.
142.
Для сварных сосудов, наиболее. часто используемых, в последнюю формулу вводят коэффициент прочности сварного шва <р и следующие обозначения: D — внутренний диаметр сосуда; с — прибавка на коррозию; s и s' — соответственно полная и расчетная толщина стенки. В результате получают выражение для радиуса срединной поверхности обечайки: гср = ID + (s - с)]/2, причем исполнительная толщина стенки s = s' + с.
Тогда на основании уравнения (223) получим pD,
s = о "г 1к с
2q? [а] — р 1
Данная формула рекомендована ГОСТ 14249—80 при условии (s — cVD с 0,1.
Прибавка к толщине стенки на коррозию для аппаратов из углеродистых сталей составляет 1—3 мм в зависимости от агрессивности обрабатываемой среды, срока службы аппарата и его размеров. Для отожженной прокаленной меди при s = 6 мм и алюминия при s < 8 мм с = 0,5 ... 1 мм.
Коэффициент прочности в зависимости от вида сварного шва следует принимать <р = 0,7 ...1,0.
. СОПРЯЖЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КОРПУСОВ АППАРАТОВ С ДНИЩАМИ
Как уже было указано выше, в местах сопряжения или закрепления оболочек возникает краевой эффект. Он выражается в том, что кроме меридиональных и окружных усилий, определяемых по безмоментной теории оболочек, возникают еще изгибающие моменты, поперечные силы, а также меридиональные и окружные усилия, обусловленные местным изгибом оболочек.
Рассмотрим физические причины возникновения краевого эффекта. Важнейшей причиной краевого эффекта является стесненность свободы деформаций оболочки, соответствующей мембранным напряжениям. Другой причиной появления местных сил, распределенных по окружности, является перелом образующих элементов, оболочек. Краевой эффект может также возникнуть вследствие разрыва непрерывности силовых воздействий в смежных областях.
Для решения задачи о краевом эффекте могут быть использованы методы строительной механики: метод сил или метод перемещений (деформаций).
В местах возникновения краевого эффекта оболочку рассекают плоскостью, нормальной к ее оси так, что образуемая вследствие этого основная система представляется состоящей из двух оболочек. К ним прикладывают заданные нагрузки, а в месте сечения — усилия, определяемые по безмоментной теории, а также неизвестные усилия, требующие определения: меридиональные моменты и поперечные силы. Затем составляют обычные канонические уравнения метода сил.
^ш^ш5)5)Рис. 94. Схемы перемещений краев оболочек I и II под действием силовых факторов:Рис. 94. Схемы перемещений краев оболочек I и II под действием силовых факторов:^Zpl^Zplа — внутреннего давления; б — единичных изгибающих моментов; в — единичных поперечных сил
^ш
^ш
5)
5)
Рис. 94. Схемы перемещений краев оболочек I и II под действием силовых факторов:
Рис. 94. Схемы перемещений краев оболочек I и II под действием силовых факторов:
^Zpl
^Zpl
Рассмотрим сосуд, состоящий из двух сопряженных оболочек (рис. 94). Допустим, что обе оболочки, составляющие сосуд, деформируются под действием приложенных к ним внешних сил независимо друг от друга. Обозначим радиальное перемещение края оболочки I через 62р1 и поворот его через 61р1, а радиальное перемещение и поворот края оболочки II соответственно через 62р71 и 61р1 (рис. 94, а). В связи
с тем, что в общем случае радиальное и угловое перемещения края оболочки I не равны соответствующим перемещениям края оболочки II и в действительности обе оболочки не могут деформироваться независимо друг от друга, в краевых сечениях появятся обратные по направлению внутренние радиальные поперечные силы (рис. 94, б) Qo и Qo и изгибающие моменты Мй (рис. 94, в). Очевидно, что радиальные перемещения и углы поворота сечений в месте сопряжения двух оболочек, образующих сосуд, равны между собой.
На основании этого можно напйсать систему уравнений в следующей канонической форме:
6шЛ40 + 6121Q0 + 6ip I — 6ц цЛГо + 612 nQo + 61Рц;
621 iMo + 6221Q0 + 62р I = 62i п-Мо -ф 622 nQo + 62рц,(224)
где 622, 62‘i, 6ц — радиальные перемещения и углы поворота, краев оболочек I и II соответственно под действием единичных сил и моментов (рис. 94, в).
Поперечные силы, усилия и нагрузки, направленные по радиусу от оси оболочки и вызывающие ее растяжение, считаются положительными. Обратное направление поперечных сил, усилий и нагрузок (к оси оболочки) будет отрицательным.
Изгибающие моменты в кольцевых сечениях оболочки, направленные наружу и вызывающие растяжение внутренних волокон и сжатие наружных волокон, считаются положительными.
Если в результате решения канонических уравнений знак неизвестного усилия получится положительным, то это означает, что действительное направление усилия совпадает с 'принятым в расчетной схеме. Деформации, возникающие в результате воздействия радиальных сил, будем считать положительными в том случае, если эти силы направлены от оси обечайки или днища и вызывают их растяжение.
Угловые деформации положительны, если изгибающие моменты вызывают растяжение внутренних волокон элемента сосуда или .' наружных волокон второго элемента сосуда.
При расчете сосудов сначала необходимо составить выражения для перемещений от внешних сил и изгибающих моментов, приложенных к краю оболочки. Затем следует подставить значения этих перемещений в уравнения на стр. 144, из которых определяют Qo и Мо. После этого можно перейти к определению напряжений, действующих в меридиональном и кольцевом сечениях, приведенными выше способами.
Предположим, что имеется симметричная обечайка, нагруженная внутренним давлением, заделанная по контуру.
В этом случае канонические уравнения метода сил будут иметь вид
6цЛГо + 612Q0 + 61р = 0;
621-^0 + 622Qo + 62р = 0.
Решая данную систему уравнений, получаем
> ,62р612 — 61р622 .
~—’
°11°22— °12
К Л<225)
q __ О1рО12 — ОгрОн ,
6ц622 —6[2
Подставляя в полученные формулы значения перемещений соответственно для цилиндрической обечайки, сферической и конической и используя данные табл. 7, получаем:
для цилиндрической обечайки
Л40ц = 0,256prs;(226)
<20ц = 0,660p V rs;
для сферической обечайки (Р = 2г)
44 ос = 0,082prs;
Qoc = 0,272/? j/rF-^^-^-;(227)
для конической обечайки
44 Оц = O.OVpRs sin ф;
Qok = б,8р J/rs.(228)
Рис. 95. Схемы к расчету узла сопряжения цилиндрической и сферической оболочек: а — .заданная система; б — основная система
Рассмотрим совместную работу цилиндрического сосуда и сферического днища.
На рис. 95 представлены схемы заданной системы и основной.
На край цилиндрической оболочки действует меридиональное осевое усилие, определяемое по мембранной теории оболочек,
Мщ = Отц8,
где атц — возникающее в цилиндрической оболочке мембранное меридиональное напряжение.
Кроме Nw к краю цилиндрической оболочки приложены краевой изгибающий момент Мо и поперечная сила Qo.
На край сферической оболочки действуют также аналогичные краевые изгибающий момент Мо и поперечная сила Q6, но направленные в противоположную сторону.
Действующую на край сферической оболочки меридиональную мембранную силу
Nia = <W
разложим на две составляющие, направленные вдоль и перпендикулярно оси цилиндрической оболочки. Составляющая силы Nia, направленная перпендикулярно оси цилиндрической оболочки, является распорным усилием:
Яо= ^Ocosp = ^4ctgp.(229)
Для рассматриваемого случая канонические уравнения метода сил будут иметь вид
бццМо -|- 612uQ0 = —6цсЛ4о 4" 612с (Qo 4- И0);
^гщ^О 4" $22цфо 4" $2рц ~ ^210^0 — 622G (Qo 4" До) 4“ $2рс- (230) Из полученных уравнений находим
^о= 612цТ/0/(6иц+6Пс).(231)
При проектировании цилиндрических сосудов, имеющих сферические днища, рекомендуют принимать параметры обеих сопряженных оболочек таким образом, Чтобы мембранные окружные напряжения были одинаковыми в обеих оболочках. Это возможно при условии р = 2г, 8ц = sG и ср = 30°.
Тогда коэффициент затухания для сферической оболочки4/3(1-ц2)
Р №
или при р = 0,3
Р=Т/(1,1 У 74).(232)
Пользуясь данными табл. 7, найдем отношение перемещений:
612С 6нс Рц Sin<p !/"?)" j/'о' 0,5,
612ц бцц-
Следовательно, 612с = 612ц.
Находим отношение
611с/6Иц = j/2 /1.
Следовательно,
6дс = V 2 611ц; 6i2c = 6х2ц.
Тогда
s 0,655 ^ (rsp ii2\" °22с —— Г }
Подставляя полученные значения перемещений и используя формулы из табл. 7, после преобразований окончательно имеем
Мо = 0,139рг КfS>
Qe = 0,368pr.
Из формулы (127) следует, что о2 = poj. Согласно энергетической гипотезе прочности эквивалентное напряжение
Оэкв — У^О1 — 010*2 4" 0*2,(233)
ИЛИ
Оэкв = Ох У 1 — Р + Р2»
где р — коэффициент Пуассона; при р = 0,3 аэВВ = О.вЭбОх.
Таким образом, поправка, обусловленная окружным изгибающим моментом, мала, и ею можно пренебречь. Расчетными яв-
Рис. 96. Схемы к расчету перемещение элементов узла;
а — основная система; б — реакции от единичного поворота; о — реакции от единичного смещения; г — реакции основной системы нагрузок
ляются меридиональные напряжения в зоне сопряжения цилиндрической и сферической оболочек:
1 s2 v ‘ 2s
На основании уравнения (231) получим
oi = р [ 0,834(r/s)2 -{-r/2s] = pr/(2s)(1 + 1,668 V HsY (234)
В той же точке в окружном направлении
г2 । 6МО 0,46рг 1/ г
+ о, 3-0,84^1/^-=(235)
О У Одуд
где Т^ — окружное усилие на краю оболочки.
По гипотезе прочности наибольших касательных напряжений
^экв = "шах — ОГШ1П = О1 4- O2 = 1 №pr]S Vr/S .
Рассмотрим важный для практики случай, когда сопряжение цилиндрической обечайки со сферическим неотбортованным днищем усилено кольцом (рис. 96). Примем размеры сечения кольца следующие: 2АХ6А; радиус сферы R = 2r, sc = sz, ф = 30°.
Решать данную задачу проще по методу перемещений, используя условные равенства внешних реактивных сил нулю, которые действуют на сопрягаемые оболочки и кольцо в области возникновения краевого эффекта. В месте сопряжения налагается условное защемление системы от поворота и смещения. Канонические уравнения метода перемещений будут иметь вид
6ац 4- Айи + S А40 = 0;
(Zoo)
6^21 + А«22 + S Qo = ^’
где 0 и А — неизвестные угол поворота узла и радиальное смещение узла в плоскости, нормальной к оси оболочки; щд = 1/6;д —единичные силовые коэффициенты, представляющие собой сумму внешних реактивных сил, вызванных
единичными смещениями и поворотами (6<д — единичные перемещения); 2^о и 2Qo — суммы внешних реактивных моментов и поперечных сил, действующих у защемленных краев сопрягаемых элементов от внешней нагрузки.
Силовые коэффициенты
Цп — ацц г йцс 4* апк — 1/6цц4" 1/6цс 4" V^im)(237)
ti22 = йа2ц 4" й22с 4" ^22К ~ 1/^22ц 4" 14*220 4" ^l^aKf(238)
tii2 = й21ц 4- ti12c 4" fli2K — 1/612Ц 4" V612C 4" 0.(239)
Значения 6/к для цилиндра и сферы получают поданным
табл. 7 и уравнений (135), (136).
Для определения 6цк рассмотрим кручение кольца постоянного поперечного сечения равномерно распределенными по его оси моментами Л1К (рис. 97, а). Ширина кольца Ь, внутренний его радиус ri, наружный г2, текущий г. В процессе деформации поперечное сечение кольца поворачивается на угол 9 (рис. 97, б), относительное удлинение волокна на радиусе г и напряжение:
е = 9z/r; о = E^zlr.
При равновесии половины кольца на него действует сумма моментов от нормальных усилий, действующих в поперечном сечении и
взятых относительно оси хх.взятых относительно оси хх.ОткудаОткуда+»/2 Rо
взятых относительно оси хх.
взятых относительно оси хх.
Откуда
Откуда
М- J f®«^ = ^lni.
J J г12 п
9 = 12M/£sk In R/r0.9 = 12M/£sk In R/r0.СуммаСуммапроекций на диаметр кольца элементарных пар сил, скручивающих полукольцо, равна вектору с модулем Мв- 2R0.Подставляя в формулу для 9 значение пары сил, удерживающих в равновесии полукольцо, прило-проекций на диаметр кольца элементарных пар сил, скручивающих полукольцо, равна вектору с модулем Мв- 2R0.Подставляя в формулу для 9 значение пары сил, удерживающих в равновесии полукольцо, прило-женной к каждому торцу и М = ■= Мк 2R0/2 = Мк^0, получаем9=12Л1к/?о/^1п^-.Л)женной к каждому торцу и М = ■= Мк 2R0/2 = Мк^0, получаем9=12Л1к/?о/^1п^-.Л)Принимая приближенно In R/rvПринимая приближенно In R/rv« b/R0 и учитывая, что-момент ции сечения кольца J = 6sl/12, чательно получим при Мк =' 1« b/R0 и учитывая, что-момент ции сечения кольца J = 6sl/12, чательно получим при Мк =' 1ооинер- окон-инер- окон-9 = ^16 EJX где До = (fl + г0)/2.9 = ^16 EJX где До = (fl + г0)/2.12^Es3b ’12^Es3b ’Рис. 97. Кольцевая пластина, подвергающаяся кручению:а — схе^а действия крутящих моментов; б — схема сечения, повернутого на угол 0Рис. 97. Кольцевая пластина, подвергающаяся кручению:а — схе^а действия крутящих моментов; б — схема сечения, повернутого на угол 0-ни г„
9 = 12M/£sk In R/r0.
9 = 12M/£sk In R/r0.
Сумма
Сумма
проекций на диаметр кольца элементарных пар сил, скручивающих полукольцо, равна вектору с модулем Мв- 2R0.
Подставляя в формулу для 9 значение пары сил, удерживающих в равновесии полукольцо, прило-
проекций на диаметр кольца элементарных пар сил, скручивающих полукольцо, равна вектору с модулем Мв- 2R0.
Подставляя в формулу для 9 значение пары сил, удерживающих в равновесии полукольцо, прило-
женной к каждому торцу и М = ■= Мк 2R0/2 = Мк^0, получаем
9=12Л1к/?о/^1п^-.
Л)
женной к каждому торцу и М = ■= Мк 2R0/2 = Мк^0, получаем
9=12Л1к/?о/^1п^-.
Л)
Принимая приближенно In R/rv
Принимая приближенно In R/rv
« b/R0 и учитывая, что-момент ции сечения кольца J = 6sl/12, чательно получим при Мк =' 1
« b/R0 и учитывая, что-момент ции сечения кольца J = 6sl/12, чательно получим при Мк =' 1
о
о
инер- окон-
инер- окон-
9 = ^1
6 EJX где До = (fl + г0)/2.
9 = ^1
6 EJX где До = (fl + г0)/2.
12^
Es3b ’
12^
Es3b ’
Рис. 97. Кольцевая пластина, подвергающаяся кручению:
а — схе^а действия крутящих моментов; б — схема сечения, повернутого на угол 0
Рис. 97. Кольцевая пластина, подвергающаяся кручению:
а — схе^а действия крутящих моментов; б — схема сечения, повернутого на угол 0
При принятых размерах сечения 2s X 6s и Ro = r0 + 3s; b = 6s; sK = 2s
„12 (r + 3s)2 _ (r + 4s)2 = (r+3s)2 .
“ик — £(2s)36s4£s443,7sD
Перемещение 622в определяют, используя формулу (96),622к = (г + 3s)2/(12£s2).
Подставляя значения единичных перемещений в уравнения
) и (239), получаем
йп= 1,285^+ 0,91^0+-^^==
У rsV rs v •
— П Г 2,19543,75 1 ~ /i2/-
[ Угз У + 3s)2 JУ rs
л D । о 1 к D .Es4
- 4,25+ 8,15 (г$)з/з + 12 (r+3s)2 ~
=^124 °-Р 12—
’ (г^2 + (r + 3s)2 1
Единичные перемещения 612ц и 612с противоположны по знаку, и по данным табл. 7 их значения равны. В связи с этим на основании уравнения (136) имеем а12 = 0.
Найдем
2 Мо = Моц Мос 4- Мок;
S Qo — 5оц 4" Qoc 4* Qok?
где МОц и А40с; Соц и Сое— соответственно краевые изгибающие моменты и поперечные силы в жестко защемленных по краю цилиндрической и сферической оболочках, определяемые из уравнений (226) и (227), Мос = 0,442prs и Сое =
= 1,61/7 Jkrs.
давлением рдавлением рМов = 0; Qok — Р®к 3ps.Мов = 0; Qok — Р®к 3ps.Для жестко защемленного кольца нагруженного внутренним .
давлением р
давлением р
Мов = 0; Qok — Р®к 3ps.
Мов = 0; Qok — Р®к 3ps.
Направление МОц совпадает с 6, а направление Л40С противоположно ему, поэтому
5 Мо = ЛГоц — Afoc = 0,256prs — 0,082prs = — 0,174prs.
Аналогично получаем
S Qo = — Qo4 - Qoc - Qok = — 0,660/? /rs - 0,272/? /rs — 2ps =
= — ( 1,204/7 /rs 4- 2/?s) = — 1,204/7 /rs(l 4-1,66 /s/r).
Из уравнений (236) с учетом а12 = 0 получаем
Q — 2 ^0 _ o,3465prs V"Vs
° “ Он —2,20
Подставляя значения Z)=£s3/[12(1—р.)2] и принимая р = 0,3, найдем
9= 1,72/7 (r/s)3/2/£.
Из второго уравнения системы (236) найдем, приняв для упрощения г + 3s « г,
4 = 1,634^/1 1 + 1,08/57 .
Е 8 1 + 10,57 Vs!r
Полный меридиональный момент, приложенный к краю цилиндрической оболочки,
М1ц = Л40ц + Оцц9 + О12ц А.
Подставляя в это уравнение значения величин, полученных по приведенным выше уравнениям, после преобразований получаем
М1Ц = 0,256/?rs + 1,285D//« + 1,72 • Р (r/sf,2/E +
+ 2P2D -1,165/v2/(£s) L±L66T^L.
4 + 11,65 v sir
Аналогично определяем меридиональный момент для сферического днища.
§ 12. ДНИЩА АППАРАТОВ
Выпуклые днища
Как следует из формул (99) и (100), с точки зрения экономии материала наиболее целесообразной формой элементов аппаратов, работающих под давлением, является сферическая форма.
Однако, исходя из требований технологии соответствующих процессов, аппараты выполняют в виде цилиндрических корпусов с днищами и крышками, имеющими сферическую, эллиптическую, плоскую и торосферическую форму (днище состоит из двух частей сферы и тора) (рис. 98).
В сферическом днище напряжения без учета краевого эффекта о, = ом = pWsy
Оптимальное значение отношения высоты днища Н к радиусу цилиндрической обечайки примерно должно быть равно 1/2. Тогда эпюры мембранных напряжений будут иметь вид, показанный на рис. 98, а.
Мысленно отделив сферическое днище от обечайки, можно определить действие на цилиндр меридиональной силы Тм0, радиальная составляющая которой (распорная сила) вызывает изгиб цилиндрической стенки. Для уменьшения этого воздействия необходимо установить на краю цилиндрического корпуса специальное массивное кольцо. Невыполнение этого требования может привести к возникновению опасных напряжений. Для исключения
pR3pR3pDpDDD6)6)6)6)'2'2£0 4£0 4£1 2£1 2ЙГИЙГИт=@_ Е5. m 4 1т=@_ Е5. m 4 1т PR 5 _Tm 2 169=31т PR 5 _Tm 2 169=31_PD 2_PD 2T=P_LT=P_L“ 4'“ 4'R8DR8DЛ2Л2Tt=@. * гTt=@. * гa)a)Рнс. 98. Типы выпуклых днищ:Рнс. 98. Типы выпуклых днищ:R=^D*5 ~R=^D*5 ~а — сферическое; б — эллиптическое; в — торосферическое; г — эпюры изгибающего момента М, и окружной силы Т, в месте сопряжения днища с корпусом
pR3
pR3
pD
pD
D
D
6)
6)
6)
6)
'2
'2
£0 4
£0 4
£1 2
£1 2
ЙГИ
ЙГИ
т=@_ Е5. m 4 1
т=@_ Е5. m 4 1
т PR 5 _
Tm 2 16
9=31
т PR 5 _
Tm 2 16
9=31
_PD 2
_PD 2
T=P_L
T=P_L
“ 4'
“ 4'
R8D
R8D
Л
2
Л
2
Tt=@. * г
Tt=@. * г
a)
a)
Рнс. 98. Типы выпуклых днищ:
Рнс. 98. Типы выпуклых днищ:
R=^D
*5 ~
R=^D
*5 ~
возможности воздействия распорной силы применяют эллиптические и торосферические днища (рис. 98, б, в).
Найдя меридиональный момент для сферического днища, легко определить и краевые меридиональные напряжения. При установке кольца жесткости в месте сопряжений цилиндрического
корпуса co сферическим днищем, возникают локальные напряжения, иногда превышающие мембранные напряжения более чем в 4 раза.
При конструировании емкостной и тепловой аппаратуры необходимо уделять внимание вопросу уменьшения местных напряжений в местах сопряжения корпуса аппарата с днищем.
На рис. 98, б приведены эпюры напряжений в месте сопряжения корпуса с днищем рассчитанных по мембранной теории оболочек (днище эллиптическое, HD = 1/2; у = 3; Ro = D).
В месте перехода от днища к цилиндру радиальная составляющая меридиональной силы равна нулю. Однако в этом месте окружное напряжение oz согласно формуле (99) равно —pDI2 s. Окружные напряжения в этом же месте в цилиндрической стенке равны pDl^s. Следовательно, мембранные окружные усилия в месте сопряжения корпуса и днища изменяются разрывно. Это относится к окружной деформации. Так как в действительности такой разрыв деформации не может быть в месте сопряжения оболочек, к без- моментному состоянию добавится изгиб стенки.
Торосферическое днище как и эллиптическое, не передает на цилиндрическую оболочку радиальной нагрузкиют возникающей в нем мембранной меридиональной силы. Найдем мембран-
Рис. 99. Расчетные модели выпуклых днищ:а — эллиптическое; б — полусферическое; в — торосферическоеРис. 99. Расчетные модели выпуклых днищ:а — эллиптическое; б — полусферическое; в — торосферическое
Рис. 99. Расчетные модели выпуклых днищ:
а — эллиптическое; б — полусферическое; в — торосферическое
Рис. 99. Расчетные модели выпуклых днищ:
а — эллиптическое; б — полусферическое; в — торосферическое
ные напряжения в .торосферическом днище. Обозначим радиус кривизны сферической части днища через R, радиус тороидального закругления через а, угол наклона нормали на границе между сферической и тороидальной частью днища через 0. Условием плавности перехода от сферической части к тороидальной являются следующие равенства:
(R — a) sin 90 = D/2 — а;
R — (R — a) cos 60
D/2’
где v = HIDI2.
При заданных" величинах а, О и v определяют R и 90. Например, если v — 1/2 и а = 0/8 R = -^D; sin 90 = 0,6. Обычно задаются а = 0/8.
Радиусы кривизны тороидальной части днища
□ '_„. р _ D/2 — а (1 — sinO)
Используя уравнения (99) и (100), получаем выражения для мембранных напряжений:
ат = -^-^- — а(1 — sin9);
ot = от (2 —ot = от (2 —D/2 — а (1 —sin 6)а sin0D/2 — а (1 —sin 6)а sin0
ot = от (2 —
ot = от (2 —
D/2 — а (1 —sin 6)а sin0
D/2 — а (1 —sin 6)а sin0
Для сферической части Rm = Rt = R
Ощ = О/ pRl^ZS).
На рис. 98, а—в приведены эпюры Tt и Тт при v = -i- и а = 0/8.
Как следует из приведенных эпюр мембранных напряжений в переходных точках днища, окружные напряжения имеют разрывы, что обусловливает наличие изгиба стенки и, следовательно, искажение приведенной эпюры напряжений.
Используя приведенные выше канонические уравнения метода сил, получаем, что в месте сопряжения Мо = 0 и Qo = = —prf^p.
Таблица 8
Значения напряжений в зонах перехода цилиндрического корпуса в эллиптическое и сферическое диища в зависимости от их геометрических характеристик
Напряжения в сечении стыка
Отношение т и s^/si
о
о
со
СО
Од
0,75
0,44
0
—0,44
—0,1,25
—2,06
0,65
0,83
1,9
1,43
1,83
—
°2тах
1,03
1,07
1,13
0,19
1,28
—
Примечание: в числителе приведены значения отношения nt, в знаменателе — отношения $д/$^.
На основании формулы (126) имеем
Mi = — ^e^sinp*.
На рис. 98, г показаны эпюры краевого момента и усилия Т2 в переходной зоне. Из приведенных выше рассуждений следует, что плавный переход значительно снижает местные напряжения. Максимальные напряжения в этом случае
6«1=6*=0,145^^.s2 p2os2 s а
Для сферического днища без переходной зоны максимальные напряжения равны YprfsVr!s\.
Приведенный выше анализ свидетельствует, что характер перехода от цилиндрического корпуса к днищу, а также форма днища определяют напряженное состояние корпуса и днища в области их сопряжения.
Значение и распределение местных напряжений обусловлены изменением кривизны меридионального сечения и значениями переходных радиусов закругления.
Примеры рекомендуемых на основании расчетов и опыта эксплуатации соотношений размеров корпусов и днищ приведены в работе [56].
При конструировании емкостей и тепловой аппаратуры следует выполнять сварные швы вне зоны действия краевого эффекта. Это необходимо во избежание суммирования краевых напряжений с напряжениями (остаточными), возникающими в сварном шве и околошовной области.
' Длину переходов должны назначать из условия исключения наложения напряжений соседних зон с краевыми эффектами. Радиусы сопряжений необходимо выбирать таким образом, чтобы 154
переходы были плавными, обеспечивающими наименьшие значения краевых напряжений (табл. 8).
Из приведенных данных следует, что при отношении Длины большой полуоси эллиптического днища к длине малой m ^ 2 напряжения в цилиндрическом корпусе по значениям близки к мембранным [56].
Наиболее выгодными с точки зрения материалоемкости являются стандартные эллиптические днища "с отбортовкой, благодаря форме и геометрическим соотношениям которых краевой момент не передается на цилиндрическую обечайку.
Радиус кривизны в вершине эллиптических днищ R равен внутреннему диаметру днища D, и высота выпуклой части днища Н = 0,250.
Как следует из формулы (100), максимальными напряжениями являются окружные при 0 = 0. Определяя параметр у = _ (D/2)2-(o,25D)2гу у х
(0,250)2= 8 и подставляя это значение в формулу (106), а также 9 = 0 и рассматривая радиус кривизны срединной поверхности днища R® = D + s/2, получаем
<4 =<4 =p(D + s/2) (1+3) 2 pD-VpsH
<4 =
<4 =
2s2s4s
2s
2s
Применяя гипотезу прочности наибольших касательных напряжений и учитывая, что третье главное нормальное напряжение ог можно принять равным нулю, можем написать
откуда толщина стенки эллиптического днища
s =PD ‘
2 [а] — 0,5р "
Эта формула согласно ГОСТ 14249—80 при //=0,25 D
$1р = 2 [а] ф- 0,5р ’(24°)
где Яр — радиус кривизны в вершине (R = D)\ (р — коэффициент прочности сварного шва.
Данная формула применима для расчета полусферических днищ, нагруженных внутренним давлением при Rp = D/2.
Исполнительная толщина стенки днища Sj — slp + с (здесь с — прибавка к расчетной толщине для компенсации коррозии).
Если длина цилиндрической отбортованной части днища (рис. 99, а, б) для эллиптического днища lx > 0,8/0 (sx — с), для полусферического днища 1Х > 0,3/0 (sx — с), то толщина
Рис. 100. Зависимость коэффициента 0, от р/[о]
стенки должна быть не меньше толщины цилиндрической обечайки.
Радиус кривизны в вершине днища R = D^H", для - эллиптических днищ R=D при
Н = 0,25Я, для полусферических днищ R = 0,5Я при Я = 0,5Я. Для торосферических днищ, нагруженных внутренним давлением, в ГОСТ 14249—80 приведена следующая формула для определения толщины стенки в краевой зоне:
2<р[а] ’2<р[а] ’(241)
2<р[а] ’
2<р[а] ’
Si ^ (S1R + С)>
где Pi — наружный диаметр днища (рис. 99, в); Р — коэффициент, который определяют по рис. 100 в зависимости от типа днищ.
Для торосферических днищ в зависимости от соотношения параметров R, Оъ гг приняты следующие типы днищ:
A R to Dx0,0950г;
В Rto 0,901 Г! 0,1700г;
_С Rto 0,801 гг^ 0,15001.
[А, В, 'С — соответственно верхняя, средняя и нижняя кривые (рис. 100)].
Расчетные формулы, рекомендуемые ГОСТ 14249—80, применимы при соблюдении следующий условий:
для эллиптических днищ
0,002 <($г — с)/О с 0,1;0,2 с НЮ с 0,5;
для торосферических днищ
0,002 « (si — сУО с 0,1.
Конические днища аппаратов
Аппаратуру с коническими днищами применяют в пищевой промышленности для облегчения выгрузки сыпучих тел или сгу^ щенных продуктов из аппарата под действием сил тяжести (рис. 101).
В качестве примеров можно привести днища различного типа отстойников бродильных чанов, разварников и т. д. Конические днища применяют преимущественно в цилиндрических (сварных, Кованых и литых) аппаратах вертикального исполнения. Конические днища отличаются от других неплоских днищ меньшей компактностью. В процесс изготовления этих днищ входит валь- 156
Рис. 101. Бункер для приема и коагуляции крови и шлама:
It— коническое днище; 2 — лапа; 3 — цилиндрический корпус; 4 — коническая крышка
- цовка с последующей отбортовкой большого диаметра конуса под цилиндр. При больших размерах днищ их изготовляют составными.
При изменении диаметра трубопровода применяют конические переходы от цилиндрических частей одного диаметра к цилиндрическим частям другого.
Рис. 102. Соединение обечаек:
а — конической и цилиндрической; б — конической и цилиндрической обечаек с укрепляющим кольцом; в — конической и цилиндрических обечаек с тороидальным переходом;
г — по меньшему диаметру
При изменении диаметра трубопровода применяют конические переходы от цилиндрических частей одного диаметра к цилиндрическим частям другого.
При выполнении днища коническим для облегчения выгрузки осадков угол, дополняющий половину угла раствора конуса, должен быть больше угла естественного откоса осадка, который обычно колеблется в пределах 35—50°.
Угол раствора конуса конических днищ в основном принимают равным 60° или 90° и только иногда он составляет 150°. При обработке вязких жидкостей и суспензий и склонных к налипанию влажных порошкообразных и кусковых материалов рекомендуется угол принимать равным 60°, при невязких жидкостей и сухих порошкообразных и кусковых материалов рекомендуется угол принимать равным 90°.
Высота конических днищ обычно невелика, и давления газа над уровнем жидкости значительно больше гидравлического давления. Поэтому конические днища рассчитывают по наибольшему диаметру на условное давление, принимаемое равным сумме рабочего и гидравлического давлений в нижней части конуса.
На основании уравнения (97) для конической обечайки имеем
Ct = РРА
Напряжение а£ является наибольшим. В данном случае, как и в предыдущем, считают, что имеет место плоское напряженное состояние. Наименьшее главное нормальное напряжение а3 принимают равным нулю. По теории наибольших касательных напряжений
Оэкв = От — 0 = pptjs; оэкв = [ст].
Радиус кривизны срединной поверхности конической оболочки в широкой части (р/)ср = 0/(2 cos а) + $/2. Подставляя (р^ср в последнее уравнение и решая полученное равенство относительно 158
толщины стенки s, а также учитывая коэффициент прочности сварного шва, получаем
(242)(242)pD 1
(242)
(242)
2 [о] <р — р cos а ’ Si S + с.
Эта формула рекомендаована ГОСТ 14249—80.
Для смягчения воздействия на сопрягаемые элементы распорных сил и снижения краевых напряжений конические днища часто соединяют с цилиндрическими корпусом с помощью усиленной переходной части (рис. 102).
Исполнительная толщина переходной части (ГОСТ 14249—80)
'<243)
$2 = S2R + С,где Pi — расчетный коэффициент формы,$2 = S2R + С,где Pi — расчетный коэффициент формы,(здесь х,— отношение допускаемых напряжений первого участка переходной части к напряжениям второго участка).(здесь х,— отношение допускаемых напряжений первого участка переходной части к напряжениям второго участка).
$2 = S2R + С,
где Pi — расчетный коэффициент формы,
$2 = S2R + С,
где Pi — расчетный коэффициент формы,
(здесь х,— отношение допускаемых напряжений первого участка переходной части к напряжениям второго участка).
(здесь х,— отношение допускаемых напряжений первого участка переходной части к напряжениям второго участка).
Толщина стенки второго участка переходной части должна соответствовать условию
si ^{д|тгг^] s2^ +
Расчетные длины переходной части ai и аг определяют • с учетом протяженности зоны краевого эффекта по формуле (рис. 102, а)
ах = 0,7 Т/-^^ - с); а2 = 0,7
К cosaC 1’* г cosa2
При соединении конической обечайки с цилиндрической и укрепляющим кольцом при аг с 60° и (sr — с) > (s2 — с) (рис. 102, б) площадь поперечного сечения кольца должна быть достаточной для восприятия распорной силы и краевых усилий. Для определения, площади сечения кольца ГОСТ 19249—80 рекомендует следующую формулу:
- д _ pD2 tg а / . рл + 0,25 \к " 8 [a]^ V Р +0,25
где Мн и фаД — соответственно допускаемое напряжение и коэффициент прочности сварного шва для укрепляющего кольца при расчетной температуре; Рл и Р — коэффициент формы,
а / 2 1^2%/? — 1 \ $2 — с
Ра --у;•
При применении укрепляющего кольца необходимо проверить прочность сварного шва по формуле
£^4Лк/0,
где 5h — суммарная ширина несущих сварных швов между укрепляющим кольцом и обечайкой.
(245)(246)(245)(246)Часто применяют соединение конической и цилиндрической обечаек с помощью тороидального перехода (рис. 102, в), который уменьшает краевые напряжения. Толщина стенки переходной части при условии аг «: 70° и 0 с r/D < 0,3 с — Р^Рз R2[<т]фя—д’
(245)
(246)
(245)
(246)
т 1D0,028 ^ у — «гт 1D0,028 ^ у — «ггде Р3 = шах (0,5; Р; Рт}, Рт следует определять по формуле
т 1D
0,028 ^ у — «г
т 1D
0,028 ^ у — «г
' Vcos а
При соединении штуцера или внутреннего цилиндрического корпуса с конической обечайкой (рис. 102, г) толщина стенки при условии а с 609 и s2 s2R + с
с _■ PD^
4R 2[о]2фн — р’
где Р4 = max (1; Рн)
И .
Рн = 0,4|/^х
X7tg=K1:=====- +0,5.
\$а — с)г (s2 — с) cos а 1 V \s2-c )
Приведенные формулы применимы при условии а < 70°; r/D с С 0,3.
Сварной шов, соединяющий коническое днище с цилиндрическим корпусом, не должен быть расположен в зоне краевого эффекта.
- При работе аппарата в сварных швах не должно возникать дополнительных напряжений от изгиба, в связи с чем не допускается сварка днищ внахлестку; рекомендуется сварка листов сты- 1бо
Койымй швами равной толщины. Для доведений толщийы цилиндрической отбортовки до толщины обечайки часто производят механическую обработку внутренней стороны с углом скоса 1 : 3.
Плоские днища аппаратов
Эти днища применяют в аппаратах, работающих под малым или атмосферным давлением, например в заквасочниках для приготовления чистых культур молочнокислых бактерий. В аппаратах, работающих под большим давлением, плоские днища выполняют массивными.
Плоские днища рассчитывают как круглые сплошные пластины, нагруженные равномерно распределенной нагрузкой.
Максимальное напряжение пластины, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой и свободно опертой, по периметру при р = 0,3 omax = 9,9p/?a/8s2. В то же время для сферической оболочки наибольшее мембранное напряжение omax = pR (2s). Следовательно, при одинаковых толщинах сферического и плоского днищ, нагруженных одинаковым давлением р, отношение максимальных напряжений составит 2,5/?/s.
В месте сопряжения цилиндрического сосуда и плоского днища имеет место большой изгибающий момент. В этом случае, например при Ris = 15, местные напряжения в 10 раз превышают значения мембранных, однако в месте сопряжения сосуда со сферическим днищем это превышение является четырехкратным и может быть снижено благодаря плавному переходу от корпуса к днищу.
Таким образом, плоские днища нецелесообразно применять в аппаратах, работающих под давлением. При необходимости допускается применение плоских неотбортованных круглых днищ при условии, что днище будет приварено внутри сосуда или аппарата. Днище к корпусу приваривают двусторонним швом со скосом его кромок. Допускается также односторонний шов со скосом кромки днища и проваром на всю толщину днища.
Плоские круглые днища чаще всего применяют в вертикальных аппаратах, установленных на сплошном основании и работающих без давления или под налив.
Используя уравнения (61)—(63) для случая действия на пластину только равномерно распределенной нагрузки, получаем выражения для изгибающих моментов и углов поворота:
Mr = М0А- pf^q-,
Mt-= МйА- qr^tq,
" г А»'
При свободном опирании пластины по контуру можно использовать краевое условие Мг = 0 при г = R и, подставляя в урав-
1611616 Соколов В. И.
161
161
Рис. 103. Типы плоских днищ (крышек):
а — привариваемое с одной стороны (тип I); б — кованое днище с цилиндрическим участком (тип 2); в — днище с отбортованными краями (тип 3); г — приварное штампованное (тип 4); д — крышка, присоединенная к обечайке с обеих сторон по всей толщине (тип 5); е — плоское днище, зажатое между фланцами (тип 6); м — днище, привариваемое к обечайке с обеих сторон по всей толщине (тип 7); з — днище, привариваемое к обечайке с одной стороны (тип 8); и — днище, присоединенное на болтах к фланцу (тип 9)
нение (62) значение сопровождающей функции фг9 (см. табл. 6) с учетом Х3 = 0/г = 0, получаем
О = Л1о-^2-^, откуда
М qR2 (3 + р)
16'
Подставляя в уравнения (62) найденное выражение Л40, а также значения сопровождающих функций фг9 и ф<|? (см. табл. 6), получаем выражения для Мг и Мо из анализа которых видно, что изгибающие моменты достигают максимума в центре днища при г = 0, т. е. Л4шах = Л40. Максимальное напряжение
(»3max = (iT^ax = ^ (3 + Ю pR2-(247)
При жестком закреплении пластины по контуру можно использовать краевое условие <р = 0 при г = R и аналогичным образом доказать, что наибольшее напряжение будет на краю пластины:
(Or)max = WW
Рассуждая так же, как и при расчете сосудов, и применяя гипотезу прочности наибольших касательных напряжений, эквивалентное напряжение приравниваем допускаемому. Если для обобщения вместо числового коэффициента, зависящего от способа опирания пластины, в формулу (247) для напряжения (ajmax подставить коэффициент К, а вместо R подставить £>/2, то получим следующее условие прочности:
KipD2/(^ С [оЬ.
Тогда толщина днища с учетом прибавки к толщине на коррозию
sx = KDVpIVA + с.(248)'
В связи с тем, что в реальных конструкциях характер закрепления не может быть точно отнесен к одному из двух крайних рассмотренных случаев, рекомендуется на основании Опыта принимать коэффициент К в зависимости от конкретной конструктивной схемы днища. Например, для плоских днищ, привариваемых к обечайке с одной стороны (рис. 103, а), К = 0,45 при (s — с)/ /(si — с) < 0,5 и К = 0,38 при ^т^ 5= 0,5; DR = D. Для кованых днищ с цилиндрическим участком (рис. 103, б) при hy 5$ ^VD(s - с) К = max Jo,45 (1 - 0,231^) ; 0,35}; при hv< < VD^s-c^ к = max Jo,47 (1 - 0,23 ^Еу) ’ °>40} ;DR = D-rB.
Для кованых днищ (рис. 103, г) при (s — с) ] (sx — с) ^ 0,5 К = 0,41; при (s — с) | ($i — с) ^ 0,5; DR = D К = 0,38.
Для днищ с отбортованными краями (рис. 103, в) при hv ^ УЩз — с) К = max Jo,45 ^ 1 — 0,23 —777) ’ 0,35}; при /ii< <УD(s — с) К = тах }о,41 (1-0,23^^); 0,40}; DR = D - гв.
Для крышек (рис. 103, б) К = 0,40; DR = D3.
Для крышек (рис. 103, е) К = 0,41; DR = DCB.
Для плоских днищ, привариваемых к обечайке с обеих сторон по всей толщине (рис. 103, ж), при (s — с) | ($i — с) < 0,5 К = 0,41 и при (s — с) | (si — с) 0,5 К = 0,38; DR = D.
Для плоских днищ, приваренных к обечайке с одной стороны, (рис. 103, к), К = 0,53.
Значения коэффициента К, приведенные выше, а также для других случаев и условий закрепления днищ регламентирует ГОСТ 14249—80. В этом ГОСТе рекомендуется для плоских крышек с дополнительным краевым моментом (рис. 103, и) коэффициент Ki определять по следующей формуле:
Л1 = 0,41Л1 = 0,411 4* З'Ф (Дз/Дсп — 1)D3[DCB
Л1 = 0,41
Л1 = 0,41
где ip = 1!-]^р —;— реакция прокладки, v
О.ТвбрО^
Если днище или крышка ослаблены одним или несколькими отверстиями, то коэффициент К должен быть умножен на коэффициент ослабления Ко-
Коэффициент ослабления для днищ и крышек с одним отверстием
^о=]/1 + ^ + (-^) •
6*6*163
6*
6*
Рис. 104,. Схема плоского днища с отверстиями
Коэффициент ослабления для днищ и крышек с несколькими отверстиями (рис. 104)
где Dr — расчетный диаметр диища; d — диаметр отверстия днища или крышки, мм; 2^i = тах {№ + ^з); (*а + У).
Величины [а], <р и с принимают в соответствии с ГОСТ 14249—80.
§ 13. УКРЕПЛЕНИЕ ВЫРЕЗОВ ОТВЕРСТИЙ
В аппаратах необходимо предусматривать отверстия для присоединения трубопроводов, установки лазов, смотровых люков, загрузочных и разгрузочных приспособлений и т. д.
Например, отверстия в испарителе вакуум-выпарной устано
вки производства сгущенного лабляют стенку и служат концентраторами напряжений. В связи с этим рекомендуют для укрепления вырезов и отверстий применять специальные кольца, привариваемые к стенке аппарата и патрубку,-' или усиливать патрубки.
При укреплении вырезов (рис. 106) напряженное состояние в области выреза выравнивается и снижается концентрация напряжений. Степень концентрации напряжений у неукрепленных круговых вырезов определяется геометрическими соотношениями между размерами отверстия и аппарата. Так, для цилиндрических оболочек концентрация напряже-
Рис. 105. Испаритель вакуум-выпар- иой установки для производства сгущенного молока с сахаром:
молока с сахаром (рис. 105) ос-молока с сахаром (рис. 105) ос-/ — патрубок; 2 — смотровые люки; 3 — манометр; 4 — люк
молока с сахаром (рис. 105) ос-
молока с сахаром (рис. 105) ос-
Рис. 106. Укрепление круговых вырезов корпусов аппаратов:
а — примыкающим патрубком; б — примыкающим патрубком со сваркой всей поверхности; в — примыкающим патрубком и накладкой; г, W — сварным кольцом и примыкающим патрубком; д — сквозным сварным патрубком; е — примыкающим патрубком с коническим переходом; з — сквозным патрубком и сварным кольцом; и — сварным коническим патрубком
ний в области круговых вырезов возрастает с увеличением отношения радиуса выреза к радиусу обечайки и уменьшением отношения толщины стенки обечайки к ее радиусу. Укрепления можно разделить на две основные группы: с патрубками, примыкающими к корпусу (рис. 106, а, б, в, и), и с патрубками, пропущенными (сквозными) через стенку корпуса (рис. 106, 9, з). Последние более эффективны, так как усиливается поверхность корпуса, для которой характерна наибольшая коцентрация напряжений. Укрепляющее действие примыкающего патрубка снижается по мере увеличения толщины стенки корпуса сосуда.
Укрепления вырезов сварным кольцом и примыкающим патрубком, сквозным патрубком к сварным кольцам (рис. 106, г, ж, з) являются предпочтительными,, так как сварку производят вне зоны наибольших напряжений.
Соединения (рис. 106, б, в), в которых патрубок прилегает к стенке выреза не по всей поверхности, не рекомендуют применять при циклических нагрузках.
Укрепление отверстий рассчитывают при проектировании сосудов, работающих под давлением. В основу расчета положен метод, основанный на предельных нагрузках. Площадь продольного сечения выреза компенсируется применением накладок или усиленных патрубков.
Расчет укреплений отверстий на основе этого метода может быть применен для сосудов и аппаратов, выполненных из материалов, хорошо работающих в упругопластической и пластической стадиях при заданных температурах. Условием применимости данного метода расчета является работа аппаратов при
Рис. 107. Укрепление отверстия утолщением стенки штуцеров и накладным КОЛЬЦОМ
ции, разрушение их не должноции, разрушение их не должнонагрузках, не вызывающих усталостные разрушения. Сосуды и аппараты, укрепление вырезов и отверстий которых рассчитывают с использованием этого метода должны быть безопасными при эксплуата- сопровождаться аварией.
ции, разрушение их не должно
ции, разрушение их не должно
В табл. 9 через s обозначена исполнительная толщина стенки, через dp, D, DK — соответственно расчетный диаметр отверстия, внутренний диаметр цилиндрической обечайки или выпуклого днища, внутренний диаметр конической обечайки (перехода или днища) по центру укрепляемого отверстия. Отверстия в краевой зоне обечаек и днищ не допускаются.
Согласно ГОСТ 24755—81 вырезы для многих отверстий не требуют укрепления в виде усиленного штуцера или накладного кольца, если при заданном диаметре ослабление стенки сосуда полностью компенсируется общим утолщением стенки сосуда с учетом технологических, эксплуатационных и других требований.
К таким отверстиям можно отнести небольшие одиночные отверстия, диаметр которых
d0R = 0,4/Z)p (s — с),
где Dp — расчетный диаметр, для цилиндрической обечайки Dp = D, для конической Dp = DK/cosa, для сферических и торосферических днцщ Dp = 2R.
Если стенки аппарата имеют избыточную толщину, то при укреплении отверстия (при отсутствии усиленного штуцера и
Таблица 9
Условия применения формул для расчета укрепления отверстий (ГОСТ 24755—81)
Параметр
Цилиндрические обечайки
Конические обечайки (переходы' и диища)
Эллиптические диища
Сферические и торосферические диища
Отношение диаметров
d^JD $
2 1,0
dp] Dr
<1.0
dpiD
^0,5
d^JD
<0,5
Отношение толщины стенки обечайки или днища к диаметру
SjD^;
: o.i
s! Dr ^
0,1 cos a
s/D;
^0,1
s/D^
: o.i
накладного кольца) (рис. 107) должно быть соблюдено следующее условие [79]:
Р0^Р,(249)
где Fo— площадь сечеиия стеики сосуда, участвующая в укреплении; F'— площадь, подлежащая компенсации.
На основании рис. 107 имеем'
F’ = [d+ 2с - 0,4 /Dp(s-c)sp,
7*о 2LP (s sp с),
где sp — расчетная толщина стеики; Lp — расчетная ширина кольца стенки, участвующая в укреплении в области действия краевых напряжений,
Lp = /Ор (s с).
Подставляя в неравенство (249) значения F', Fo и решая полученное уравнение относительно d, получаем формулу для определения допускаемого диаметра d0, отверстия, не требующего дополнительного укрепления,
dg = 2 [ (-^- - 0,875) /Ор (s - с) - с] .(250)
При укреплении отверстия штуцером условие укрепления имеет вид
Fo + r^F',
где F^ — площадь сечения стеики штуцера, участвующая в укреплении.
■ Подставляя в это условие значения Fo, F', F' и Lp, получаем 2 [/Op(s - с) + Sj - sip - с] + 2^(5! - slp - с) +
+ 2/2($! — 2с)^ [d + 2с — 0,4/Op(s — с)] sp, (251) где $! — исполнительная толщина стеики штуцера; slp — расчетная толщина стеики штуцера; /д и /2 — исполнительные длины участков штуцера.
Расчетные значения частей штуцера определяют как меньшее из двух значений или по рис. 108:
внешней части
1Х = 1,25 /(d + 2с) (sx — с);
внутренней части
/2 = 0,5 / (d + 2с) (sx — с).
Из неравенства (251) с учетом уравнения (250) после преобразования и введения допускаемых напряжений получим условие укрепления
[(/ 4~ 5 Sp с) (slp S]p с) -f- Z2p (Sj 2с) ] Хд 4-
4- VDp (s — c) (s — 0,875sp — c)> (y + c) sp,
где x = Одоп/адоп ^ 1 (здесь одоп и одоп — допускаемые напряжения для материала штуцера и обечайки).
Рис. 108. Способ определения зоны укрепления около штуцера произвольной формы
Рис. 109. Укрепление отверстия утолщением стенки или накладным кольцом
При отсутствии штуцера укрепление отверстия накладным кольцом проверяют по условию (рис. 109)
VDp (s2p + s - с) (%2s2p + s — 0,875p) > (d/2 + c) sp, где $2Р — расчетная толщина накладного кольца.
Условие укрепления отверстия штуцером и накладным кольцом имеет вид
Fo + F* + Fa > F', где Fa — площадь сечения укрепляющей накладки.
Рассмотренный метод укрепления вырезанного отверстия, широко применяемый при расчетах аппаратов, обладает существенными недостатками, хотя и имеет теоретическое и экспериментальное обоснования [80]. Условия укрепления отверстий связывают между собой толщину, длину укрепления штуцера, толщину и ширину накладного кольца. Для определения одного из этих параметров необходимо задаться тремя остальными, что ведет к многозначным ‘результатам. Однако этот метод остается широко распространенным, и на его данных базируются требования ГОСТ 24755—81.
Изложенная методика может быть применена при расчете укреплений вырезов в стенках сосудов, изготовляемых из материалов, хорошо работающих в упругопластической стадии при заданной рабочей температуре, а также в случае, когда нагрузки не приводят к усталостным разрушениям материала конструкции. Данная методика может оказаться неудовлетворительной в тех случаях, когда сосуды и аппараты изготовлены из хрупких материалов, имеют хрупкие покрытия, выполненные из пластических материалов, работающих при низких температурах или нагрузках, приводящих к усталостным разрушениям материала конструкции.
В настоящее время имеются другие методы расчета укрепления отверстий, отличающиеся от рассмотренного метода. Один из способов расчета соединения штуцера с цилиндрическим аппаратом разработан ЛенНИИхиммашем [80]. На расчетной схеме 168
Рис. 110. Угловые to и линейные координаты точек обечайки штуцера
этого способа (рис. ПО) показана неподвижная плоскость Тх, проходящая через оси обечайки и штуцера, и подвижная плоскость Т2, проходящая через ось штуцера и образующая угол о» с неподвижной плоскостью Tv Угол о» и координаты £ и х определяют положение любой точки обечайки штуцера. Экспериментальные данные свидетельствуют о том,
что максимальные напряжения конструкции имеют место у свар- ного шва при со = 0°, а при 0° < со «. 60° напряженное состояние обечайки в качественном отношении оказывается близким к напряженному ^состоянию осесимметричной цилиндрической оболочки.
Составляя уравнения совместности деформации края штуцера и обечайки в точке О и решая их, определяем значения толщины стенки обечайки и штуцера в зоне концентрации напряжений:
814 [а]' \ D К D V D р V D )814 [а]' \ D К D V D р V D )где D и d— внутренние диаметры обечайки и штуцера; [о] ^ l,5t]crT; [о]' = = 1,5 40^ (здесь г| — известный коэффициент, учитывающий классы и условиягде D и d— внутренние диаметры обечайки и штуцера; [о] ^ l,5t]crT; [о]' = = 1,5 40^ (здесь г| — известный коэффициент, учитывающий классы и условия?>а)е)?>а)е)Рис. 111. Способы укрепления отверстий в цилиндрических обечайках:a — укрепление не требуется при sR < s; Sj < sT; б — утолщением штуцера при sR < s;S1 ^ st* e — утолщением обечайки сварным кольцом при sK > s; г — сварной обечайкой при Sj > sT; д — совместным утолщением штуцера и обечайки сварным кольцом при s^ > s; Sj >sT; e — сварной обечайкой при Sj < $тРис. 111. Способы укрепления отверстий в цилиндрических обечайках:a — укрепление не требуется при sR < s; Sj < sT; б — утолщением штуцера при sR < s;S1 ^ st* e — утолщением обечайки сварным кольцом при sK > s; г — сварной обечайкой при Sj > sT; д — совместным утолщением штуцера и обечайки сварным кольцом при s^ > s; Sj >sT; e — сварной обечайкой при Sj < $тк 3[о] V ' ’ г \ о / Р '
814 [а]' \ D К D V D р V D )
814 [а]' \ D К D V D р V D )
где D и d— внутренние диаметры обечайки и штуцера; [о] ^ l,5t]crT; [о]' = = 1,5 40^ (здесь г| — известный коэффициент, учитывающий классы и условия
где D и d— внутренние диаметры обечайки и штуцера; [о] ^ l,5t]crT; [о]' = = 1,5 40^ (здесь г| — известный коэффициент, учитывающий классы и условия
?>а)е)
?>а)е)
Рис. 111. Способы укрепления отверстий в цилиндрических обечайках:
a — укрепление не требуется при sR < s; Sj < sT; б — утолщением штуцера при sR < s;
S1 ^ st* e — утолщением обечайки сварным кольцом при sK > s; г — сварной обечайкой при Sj > sT; д — совместным утолщением штуцера и обечайки сварным кольцом при s^ > s; Sj >sT; e — сварной обечайкой при Sj < $т
Рис. 111. Способы укрепления отверстий в цилиндрических обечайках:
a — укрепление не требуется при sR < s; Sj < sT; б — утолщением штуцера при sR < s;
S1 ^ st* e — утолщением обечайки сварным кольцом при sK > s; г — сварной обечайкой при Sj > sT; д — совместным утолщением штуцера и обечайки сварным кольцом при s^ > s; Sj >sT; e — сварной обечайкой при Sj < $т
Рис. 112. Определение коэффициента концентрации напряжений kQ у выреза в цилиндрической обечайке:а — зависимость аа от отношёния d[D\ б — зависимость поправочного коэффициента к от отношения толщины стенки sR к диаметру обечайки DxРис. 112. Определение коэффициента концентрации напряжений kQ у выреза в цилиндрической обечайке:а — зависимость аа от отношёния d[D\ б — зависимость поправочного коэффициента к от отношения толщины стенки sR к диаметру обечайки Dxэксплуатации оборудования; от и oj — пределы текучести материалов обечайки и штуцера).
Рис. 112. Определение коэффициента концентрации напряжений kQ у выреза в цилиндрической обечайке:
а — зависимость аа от отношёния d[D\ б — зависимость поправочного коэффициента к от отношения толщины стенки sR к диаметру обечайки Dx
Рис. 112. Определение коэффициента концентрации напряжений kQ у выреза в цилиндрической обечайке:
а — зависимость аа от отношёния d[D\ б — зависимость поправочного коэффициента к от отношения толщины стенки sR к диаметру обечайки Dx
При sK с Si (здесь Sj — толщина стенки обечайки) укрепления отверстия не требуется, и в дальнейшем принимают 8ц = Sj. Если sK > Si, то необходимо произвести утолщение стенки штуцера до Sp
При Si < sT (здесь sT — фактическая толщина стенки присоединенного к обечайке патрубка) в укреплении отверстия нет необходимости, и принимают Si = sT. Однако производят утолщение стенки штуцера до Sp если sx > sT.
Ширина усиленной части обечайки L и протяженность усиленной части штуцера / обусловлены
Рис. ИЗ. Сопряжение корпуса с патрубком
Рис. 114. Передувочный бак
зоной краевого эффекта и приближенно определяются с помощью формул
L = VDsk; / = s^Sp
В этих зонах не должны иметь место другие концентраторы напряжений и факторы, вызывающие краевой эффект днища, фланца, опор и т. д.
Усиленную часть обечайки рекомендуется выполнять в виде приваренных к ней сварного кольца или части обечайки, исходя из эко-
Рис. И5. Бобышка для крепления смотрового стекла у испарителя вакуум- выпарной установки
комических и технологических (при данном значении d/D) соображений. В этом случае обеспечивается более надежное
соединение штуцера и обечайки возможно и использование ^более рациональных сварных стыковых швов вместо швов внахлестку при применении накладок.
Способы укрепления вырезов отверстий в цилиндрических обечайках показаны на рис. 111.
Коэффициент концентрации напряжений в круговых вырезах обечаек сосудов можно приближенно определять с помощью графиков, построенных теоретически и на основании экспериментальных данных (рис. 112, а, б). Наибольшее напряжение в зоне концентрации (точка А, рис. 113) для кругового выреза, подкрепленного патрубком в цилиндрическом сосуде, под действием
внутреннего давления
ар&±*1
vmax —2S
где aa — коэффициент концентрации напряжений; к — поправочный коэффициент; D — диаметр обечайки; s — толщина стенки обечайки; р — давление.
Иногда укрепление отверстия осуществляют путем совмещения укрепляющих колец с фланцами. Такие совмещенные фланцы называют бобышками, и их приваривают к аппарату (рис. 114, 115). Недостатком бобышек является большая толщина, а также опасность прилипания, и обрыва шпилек при демонтаже.
КОЖУХОТРУБЧАТАЯ ТЕПЛООБМЕННАЯ АППАРАТУРА
В пищевой промышленности широко применяют аппараты для нагревания, охлаждения или выпаривания многих видов сырья, полуфабрикатов и продуктов.
Современные теплообменные аппараты должны обеспечивать передачу требуемого количества тепла от одной среды к другой с получением необходимых конечных температур и при возможности большой интенсивности теплообмена.
Для осуществления длительной работоспособности в процессе эксплуатации при обработке среды, загрязненной или выделяющей отложения на стенках аппарата, необходимо производить периодические осмотры и очистку поверхностей [42].
Аппараты должны обладать достаточной прочностью и иметь возможно малые габаритные размеры. При конструировании необходимо находить оптимальные решения, учитывающие требования обеспечения возможности разборки рабочей части аппарата и герметичности системы каналов, возможно высоких коэффициентов теплопередачи за счет повышения скорости движения рабочей
Рис. 116. Кожухотрубчатый теплообменный аппарат
среды при минимальных гидравлических потерях в аппарате. В пищевых и химических производствах до 70 % теплообменных аппаратов применяют для сред
жидкость — жидкость и пар — жидкость при давлении до 1 МПа и температуре до 200 °C. Для указанных условий разработаны и серийно изготовлены теплообменные аппараты общего назначения кожухотрубчатого и спирального типов. В последнее время получают распространение пластинчатые теплообменные аппараты общего назначения. Одним из преимуществ трубчатых теплообменных аппаратов является простота конструкции. Однако коэффициент унификации узлов и деталей размерного ряда этих аппаратов, являющийся отношением числа узлов и деталей (размеры одинаковы для всего ряда) к общему числу узлов и деталей данного размерного ряда, составляет примерно 0,13. В то же время этот коэффициент применительно к пластинчатым теплообменным аппаратам составляет 0,9. Удельная металлоемкость кожухотрубчатых аппаратов^в 2—3 раза больше металлоемкости новых пластинчатых аппаратов.
В пищевой и смежных отраслях промышленности нашли широкое применение горизонтальные кожухотрубчатые теплообменники (рис. 116).
По трубному пространству горизонтальных теплообменников проходит теплоноситель I, а по межтрубному пространству, разделенному двумя перегородками на три секции, теплоноситель II.
При конструировании кожухотрубных и других теплообменных аппаратов необходимо учитывать, что для тепловой обработки пищевых продуктов важнейшими факторами являются температурный режим и общая продолжительность теплообмена. В связи с этим необходим обоснованный выбор скорости движения про
дукта.
Конструкция теплообменного аппарата зависит от тепловой нагрузки, параметров теплоносителей (температуры, давления) и их агрегатного состояния, физико-химических свойств теплоносителей, их расхода, степени загрязненности и других факторов.
Режим работы теплообменного аппарата и скорость движения теплоносителей необходимо выбирать таким образом, чтобы отложение загрязнений на стенках происходило возможно медленнее. Например, если охлаждающая вода отводится при температуре 45—50°, то на стенках теплообменного аппарата интенсивно осаждаются растворенные в воде соли.
Для выбора допускаемых напряжений материала стенок аппаратов, а также для вычисления температурных напряжений с до-
Рис. 117. Трубные решетки:
а — приваренная к корпусу; б— зафиксированная между фланцами; в— присоединенная к фланцу кожуха на болтах
статочной для практики точностью среднюю температуру стенки определяют по формуле
^Р = (^+да
где 1Х и /г — температура стенки со стороны соответственно холодного и горячего теплоносителей;
^г = Т — к А/Ср/аг = Т — <?/аг;
^х " A/Cp/tzx t “Ь qi^x
(здесь Т — средняя температура горячего теплоносителя, градус; t — средняя температура холодного теплоносителя, градус; аг и ах — коэффициенты теплоотдачи горячего и холодного теплоносителей к стенке, Вт/(м2-К); к — коэффициент теплопередачи в Вт/(м2-К); q— удельная тепловая нагрузка в Вт/(м2-К).
При конструировании следует обоснованно решать вопрос о направлении теплоносителей в трубное или межтрубное пространство. Например, теплоносители, загрязненные и находящиеся под давлением, обычно направляют в трубное пространство. Насыщенный пар лучше всего подавать в межтрубное пространство, из которого легче удалить конденсат. Чистка трубного пространства (в котором вероятнее всего будут выпадать загрязнения) легче, а живое сечение для прохода теплоносителя меньше. Вследствие этого в трубном пространстве можно обеспечить теплоносителю более высокие скорости и, следовательно, более высокие коэффициенты теплоотдачи.
К основным элементам теплообменных аппаратов относятся трубные решетки, трубные пучки, плавающие головки, сальниковые уплотнения и др.
Рис» 118. Способы крепления труб в трубных решетках:
а, б — развальцовкой; в — сваркой; г — пайкой; д — склейкой
Рис. 119. Соединение труб с трубной решеткой с помощью сальников
Трубные решетки представляют собой перегородки, отделяющие трубное пространство от межтрубного. В трубных решетках закрепляют блоки, трубки теплообменных аппаратов. Существуют различные способы крепления трубных реше
ток (рис. 117). Конструкция узла соединения трубок с трубными решетками должна обеспечивать
достаточную плотность и прочность соединения.
Рис. 120. Линзовые компенсаторы:а — схема крепления на теплообменнике; б — сварная линза из двух штампованных частей; в — лниза, изготовленная из тора (три части) и двух колец; г — плоское кольцо, приваренное к отбортованным частям кожуха; д — тор с щелью, приваренный к кожуху;6 — многоволновый компенсатор; / — линза; 2 — кожух теплообменникаРис. 120. Линзовые компенсаторы:а — схема крепления на теплообменнике; б — сварная линза из двух штампованных частей; в — лниза, изготовленная из тора (три части) и двух колец; г — плоское кольцо, приваренное к отбортованным частям кожуха; д — тор с щелью, приваренный к кожуху;6 — многоволновый компенсатор; / — линза; 2 — кожух теплообменникаЧаще всего применяют способ закрепления стальных труб методом развальцовки (рис. 118, а, б). При этом способе в отверстие доски устанавливают конец трубы, который расширяют, обкатывая его роликами инструмента, называемого вальцовкой. Проточка канавок на образующих поверхностях отверстий в досках и разбортовка концов труб на конус (рис. 118, б) способствуют увеличению сопротивления разрушению соединения труб и досок.
Рис. 120. Линзовые компенсаторы:
а — схема крепления на теплообменнике; б — сварная линза из двух штампованных частей; в — лниза, изготовленная из тора (три части) и двух колец; г — плоское кольцо, приваренное к отбортованным частям кожуха; д — тор с щелью, приваренный к кожуху;
6 — многоволновый компенсатор; / — линза; 2 — кожух теплообменника
Рис. 120. Линзовые компенсаторы:
а — схема крепления на теплообменнике; б — сварная линза из двух штампованных частей; в — лниза, изготовленная из тора (три части) и двух колец; г — плоское кольцо, приваренное к отбортованным частям кожуха; д — тор с щелью, приваренный к кожуху;
6 — многоволновый компенсатор; / — линза; 2 — кожух теплообменника
6)6)Рис. 121. Теплообменники:а, б — с сальниковыми компенсаторами на фланце кожуха; в — с сальниковыми компенсаторами в кожухе; 1 — кожух;. 2 — сальниковый компенсатор; 3 — фланец кожуха; 4 — флаиец крышки; 5 — трубиая решетка; 6 — крышка; 7 — уплотняющее кольцоРис. 121. Теплообменники:а, б — с сальниковыми компенсаторами на фланце кожуха; в — с сальниковыми компенсаторами в кожухе; 1 — кожух;. 2 — сальниковый компенсатор; 3 — фланец кожуха; 4 — флаиец крышки; 5 — трубиая решетка; 6 — крышка; 7 — уплотняющее кольцоДля обеспечения высокой плотности соединения и надежности трубы приваривают (рис. 118, в), хотя при этом способе замена труб затруднена. В аппаратуре из меди применяют пайку и заливку
6)
6)
Рис. 121. Теплообменники:
а, б — с сальниковыми компенсаторами на фланце кожуха; в — с сальниковыми компенсаторами в кожухе; 1 — кожух;. 2 — сальниковый компенсатор; 3 — фланец кожуха; 4 — флаиец крышки; 5 — трубиая решетка; 6 — крышка; 7 — уплотняющее кольцо
Рис. 121. Теплообменники:
а, б — с сальниковыми компенсаторами на фланце кожуха; в — с сальниковыми компенсаторами в кожухе; 1 — кожух;. 2 — сальниковый компенсатор; 3 — фланец кожуха; 4 — флаиец крышки; 5 — трубиая решетка; 6 — крышка; 7 — уплотняющее кольцо
концов труб мягким припоем (рис. 118, г). Если применяют трубы из полимерных .материалов, то соединение их с трубными досками производят с помощью склейки (рис. 118, г).
При соединении труб из хрупких материалов или при необходимости температурной компенсации применяют соединение с помощью сальника (рис. 119), обеспечивающего независимое расширение каждой трубы. Такое соединение целесообразно при небольшом числе труб.
Если температурные напряжения, возникающие в стенках теплообменника или трубках, оказываются большими, то необ
ходимо предусматривать температурную компенсацию.
В аппаратах в основном применяют гибкие компенсаторы (линзу, сильфон, мембрану), которые устанавливают между частями аппарата, имеющими различную температуру, и сальниковые компенсаторы, допускающие свободные относительные перемещения отдельных частей аппаратов.
Для круглых элементов аппаратов, диаметр которых превышает 100 мм, обычно применяют линзовые компенсаторы, состоящие из одной и более линз (рис. 120). Линзы выполняют штампованными или из кольцевого тора, выполненного с прорезью, разрезанными или сварными волнообразной формы. Их изготовляют также из
Рис. 122. Узел соединения трубной решетки с крышкой и кожухом теплообменного аппарата: а — расчетная схема узла н его элементов; б — расчетная схема трубной решетки, рассматриваемой как равномерно нагруженная пластинка, лежащая на упругом основании кольцевой пластины, при- варивая ее к отбортованным •частям корпуса. Одна линза компенсирует небольшие температурные деформации (4—5 мм), набор линз (не более четырех) позволяет компенсировать деформации до 15 мм.
Линзовые компенсаторы применяют в вертикальных и горизонтальных аппаратах и трубопроводах при избыточном давлении, составляющим не более 1,6 МПа. При значительно, больших давлениях (более 1,6 МПа) в теплообменной аппаратуре применяют сальниковые компенсаторы. Однако сальниковые компенсаторы могут пропускать рабочую среду, что требует их периодическое регулирование, в связи , с чем сальниковые компен
саторы применяют для аппаратов с малыми диаметрами.
Сальниковые компенсаторы (рис. 121) выполнены с мягкой набивкой из неметаллических материалов в виде шнура или колец соответствующего профиля, а также в виде стандартных манжет из кожи, резины, пластика и других материалов. Теплообменные аппараты обычно являются статически неопределимой системой, что обусловливает сложность их механического расчета.
При разработке наиболее оптимального метода расчета тепло- 'обменных аппаратов возникла необходимость рассмотреть расчет жесткости трубных решеток при изгибе, напряженного состояния перфорированных плит трубных решеток, допускаемых напряжений.
При механическом расчете теплообменный аппарат разделяют на простейшие элементы: крышку, трубную решетку с трубным пучком, фланец, представляющий собой кольцо прямоугольного сечения (рис. 122, а), кожух рассматриваемый, как цилиндрическая оболочка,
Рис. 123. Схема для определения диаметра окружности, вписанной в максимальную бес- трубную зону
Трубную решетку с трубным пучком представим в виде пластины, лежащей на упругом основании и нагруженной как равномерно распределенным давлением, так и сосредоточенными краевыми силовыми факторами
(рис. 122, б). Из уравнений равновесия и условия совместности деформаций определяем силовые факторы, возникающие при взаимодействии указанных выше элементов. Совместная работа упругого кольца и осесимметрично нагруженной оболочки может быть рассмотрена без сложных зависимостей, однако изгиб трубной плиты, лежащей на двухмодуль
ном основании, характеризуется сложными зависимостями. Следует отметить, что цилиндрическая жесткость трубной решетки зависит от вида перфорации. На жесткость трубной решетки влияет также вид обработанных концов труб (развальцованных или сварных). Цилиндрическая жесткость плитыОф с равномерной и часто выполненной перфорацией меньше цилиндрической жесткости D сплошной плиты:
Оф = фО; ф < 1, где ф — коэффициент, характеризующий влияние перфорации.
При известных значениях ф легко определяют деформации перфорированной плиты с помощью зависимостей, характеризующих деформации сплошной плиты. Однако единого определения не имеется. Наиболее простая из известных зависимостей ф от диаметра трубы имеет вид ф = сР/3.
Экспериментально установлено, что жесткость решетки с вальцованными концами труб может быть определена по формуле фр = ф (1 + O,ld/Sp), где sp — толщина трубной решетки.
Определение напряжений изгибу в перфорированной плите является сложным. Необходимо учитывать концентрацию напряжений у отверстий и напряженное состояние плиты, обусловленное процессом развальцовки концов труб и совместной работой решетки и концов труб.
На основании экспериментальных исследований можно сделать вывод, что для определения напряжений в трубных плитах необходимо скорректировать напряжения в сплошной плите, вводя коэффициент прочности решетки
фР = (^ - ^)dP,
где /р — шаг расположения отверстий в решетке; d0 — диаметр отверстий в решетке.
Рис. 124. Зависимость /t от А' и В'
При экспериментальных исследованиях установлено, что уменьшение толщины трубных решеток возможно при пластических деформациях в элементах теплообменника. Однако упругое основание сдерживает развитие пластических деформаций в плите. Это не снимает необходимости знать допустимые пластические деформации.
В связи с тем, что теплообменные аппараты работают в различных периодически повторяющихся тепловых режимах, можно ожидать разрушения трубных решеток при деформациях, значительно меньших деформаций при однократном нагружении. Опасные деформации зависят от числа
циклов нагружения, т. е. от числа режимов. Если отсутствуют экспериментально установленные зависимости допускаемых значений деформаций от числа режимов, то может быть рекомендована следующая зависимость:
[е] с 1,3 {о]/Е,
где [о]—допускаемое напряжение, МПа; Е — модуль продольной упругости материала при растяжении, МПа.
Толщину трубной решетки обычно назначают из конструк- - тивных соображений, но она во всех случаях не должна быть меньше толщины, определяемой по расчету круглых пластинок, 5р^0,5Р£/(^~^)д^+^,(252)
где рт и рм — расчетное давление в трубном и междутрубном пространствах; De — диаметр окружности, вписанной в максимальную беструбную зону "(рис. 123); D Е = max (О^; DE^; [о] — допускаемое напряжение; с — прибавка на компенсацию коррозии (ОСТ 26-1185—82).
Для многоходовых аппаратов толщина трубной решетки (по трубному пространству) без учета прибавки на коррозию к расчетной толщине в сечении канавки должна быть равна или больше V фр или 1 — J/ -^-(-у— 0 (здесь ^п — шаг расположения отверстий в зоне паза, мм; (р — шаг расположения отверстий в решетке, мм).
Рис. 125. Расчетная кривая усталости для углеродистых сталей (до температуры 380 °C)
При конструировании теплообменной аппаратуры необходимо стремиться, чтобы в местах крепления трубной решетки к фланцу или кожуху не создавалась большая концентрация напряжений. Если эффективный коэффициент концентрации напряжений ка < <1,7 и теплообменные аппараты работают под давлением не более 6,4 МПа и перепаде температур менее 40 °C (что характерно для пищевой промышленности), то применяют упрощенный расчет аппаратов, при этом (а — a^/Sp < 3 [здесь а и Ci — внутренний радиус кожуха и расстояние от оси кожуха до оси наиболее удаленной трубы; sp — толщина трубной решетки (ОСТ 26-1185—81 ])
Зр^ЛхкДЛт - Лм),(253)
где sK — толщина стенки кожуха; дт и дм — коэффициенты влияния давления иа трубную решетку,
(здесь dT и sT — наружный диаметр трубы и толщина стенки труб; i — число труб); /1 = / (Л', S') определяют по рис. 124:
(254)
(здесь р0— приведенное, давление; [оа]— амплитуда напряжений материалов для труб, решетки, МПа, [оа] определяют по рис. 125; ф0 — коэффициент жесткости перфорированной трубы, значения которого в зависимости от т]т следующие:
Т1Т 0,40,450,50,550,60,650,700,75 0,80,85
^о 0,20,150,20,250,300,370,440,51 0,590,60
Приведенное давление
Ро [®К (^к^о) ®Т (^Т^о) ^уЛ 4“ [Лт 1 4“ ^ср4~^п (^П 4""
4- 0,5^)] /?т — [Т]м — 1 4" тср 4" «п (rnn 4- 0,Зр^)] р„,
где mcp =где mcp =0,15t(di —0,15t(di —а1а1Зт)2; сск, ат — температурные коэффициенты, линейногоЗт)2; сск, ат — температурные коэффициенты, линейного
где mcp =
где mcp =
0,15t(di —
0,15t(di —
а1
а1
Зт)2
; сск, ат — температурные коэффициенты, линейного
Зт)2
; сск, ат — температурные коэффициенты, линейного
расширения материалов кожуха и труб, К-1, tK,tT, t0—средняя температура стенки кожуха, стенки труб и сборки аппарата, °C (t0 « 20 °C); тп — относительная характеристика беструбного края, mn = а/йь йу — модуль упругости основания (системы труб), йу = Ei (t]T — Чм)// (здесь / — половина длины труб); кр и kq— коэффициенты изменения жесткости системы труба—кожух.
Для теплообменных аппаратов с неподвижными трубными решетками кр = kq = 1, для аппаратов с компенсатором на кожухе
L 1 I TtoEKSK ,, . Я (^КОМ ^ком) ^tA
ifeK ’(Ж ’
где Ек — модуль продольной упругости материала кожуха; .Оком и с?Ком — наружный и внутренний диаметры компенсатора; зк — толщина стенки кожуха, Йк ^ком^ком^кМком^ком
(здесь ЕКОм — модуль продольной упругости материала компенсатора, 6КОм — толщина стенки; п — число линз (волн) компенсатора; Дк — определяют в зависимости от отношения Рком = ^Ком/ОКом, значения РКом следующие:
Рком 0,510,530,550,570,590,610,630,65
Дк 23,429,035,944,856,070,388,8113
Рком 0,670,690,730,730,750,770,790,82
Дк 1451872453244365978341451
При расчете теплообменных аппаратов необходимо проверить условие прочности крепления труб в решетке:
| NT. | < [W]T. р,(255)
где Мт. — осевое усилие в трубе; [IV ]т. р —допускаемая нагрузка на соединение трубы с решеткой, причем при развальцовке [IV ]т. р = dTZH [<?],
(здесь /в — глубина развальцовки труб; [<у]—допускаемая нагрузка на единицу условной поверхности соединения трубы с решеткой (МПа), значения которой для гладко завальцованных труб q = 14,7; для завальцованных в пазы q = 29,4 МПа; и завальцованных с отбортовкой q = 39,2 МПа.
Допускаемая нагрузка на соединение трубы и решетки, выполненного сварным и сварным с подвальцовкой,
[ДГ]т.р== л^т6фстт{[о]т; [о]р};
cpc = min{0,5; (0,95 — 0,2 IgTV)},
где 6 — высота сварного шва в месте сварки трубы с решеткой; N — число циклов нагружения за расчетный срок службы (рекомендуется принимать IV = = 20 000, если это число циклов не задано).
Для случая развальцовки со сваркбй
[АЛт. р = dTlB [9] + 1,9 dT6cpc min {[от] [о]р).
Осевое усилие кожуха
(256)(256)= Лй2 (^т 1 —Vo ) '
(256)
(256)
Осевое усилие трубы
#т = —Л 1(Wm - ЛтРт) + faPol,(257)
Sr"I 3 sp (Чт + Лм) JSr"I 3 sp (Чт + Лм) J£^/— //^/i L X •43,7
Sr"I 3 sp (Чт + Лм) J
Sr"I 3 sp (Чт + Лм) J
где /2 = V 2/(У 2 + kq), 2 = -g7-
Трубы теплообменных аппаратов должны быть проверены на прочность по известной формуле
1^т|Я (d-p — St) St1^т|Я (d-p — St) St< [ат].< [ат].
1^т|Я (d-p — St) St
1^т|Я (d-p — St) St
< [ат].
< [ат].
Устойчивость труб теплообменных аппаратов проверяют по
следующей формуле:
фтЛ (^т — St) ^тфтЛ (^т — St) ^т« [о]т,« [о]т,(258)(258)
фтЛ (^т — St) ^т
фтЛ (^т — St) ^т
« [о]т,
« [о]т,
(258)
(258)
где ф.г — коэффициент уменьшения допускаемого напряжения при продольном изгибе, определяемый по рис. 126 й зависящий от коэффициента X, характеризующего приведенную гибкость трубы с учетом условий ее опирания,
к = 1,3к = 1,3тЛ [ст]т /рУ Ет Дт — StтЛ [ст]т /рУ Ет Дт — St
к = 1,3
к = 1,3
тЛ [ст]т /р
У Ет Дт — St
тЛ [ст]т /р
У Ет Дт — St
[здесь Ip = I — расчетная длина аппаратов без перегородок в кожухе, Zp = = max (Z2r; 0,7/jft} (/2д и 1щ — максимальные пролеты трубы между перегородками или между решеткой и перегородкой)].
Толщина трубной решетки теплообменных аппаратов с U-об- разными трубами, плавающей головкой и компенсатором на плавающей головке
ФрИр + с'
где р = max [| рм |; |рт|; (рт — рм)}.
большее число труб.большее число труб.При конструировании трубчатой теплообменной аппаратуры большое значение имеет правильное расположение труб в трубных решетках. При расположении труб в трубных решетках по вершинам равносторонних треугольников (рис. 127) удается равномерно расположить на данной площадке трубной решетки наи
большее число труб.
большее число труб.
При расположении по вершинам квадратов межтрубное пространство более доступно для очистки.
Зазор между трубами принимают при расположении по треугольникам 6 = = 0,866/ — d6, при расположении по
1,02.030 Л Рис- 126- Зависимость q>T = f (X)
Рис. 127. Схема расположения трубок в трубной решетке калоризатора вакуум-выпарного аппарата
квадратам 6 = / — d (здесь t — шаг между трубами; do — диаметр трубного отверстия в решетке).
Комбинированное расположение применяют в многоходовых теплообменниках для облегчения размещения перегородок.
При расположении трубной решетки по вершинам треугольников сечение трубного пучка вписывается в правильный шестиугольник. Если необхо- димое число труб в пучке превышает 127,
ф фф фто в сегментах между крайними рядами труб и кожухом следует дополнительно располагать трубы. Дополнительное число размещаемых по сегментам труб составляет 10—18 % числа труб, расположенных в пределах наибольшего шестиугольника.
ф ф
ф ф
Плавающие головки полностью отделяют^ пучок труб от
б)б)/ кожух; 2 — фланец кожуха; 3 — фланец днища аппарата; 4 — фланец головкн;5 дннще головкн; 6 — днище аппарата; 7 — трубка; 8 — трубная решетка/ кожух; 2 — фланец кожуха; 3 — фланец днища аппарата; 4 — фланец головкн;5 дннще головкн; 6 — днище аппарата; 7 — трубка; 8 — трубная решетка6 5Рис. 128. Теплообменник с малогабаритной6 5Рис. 128. Теплообменник с малогабаритнойплавающей головкой:плавающей головкой:Рис, 129. Теплообменники с плавающей головкой:
б)
б)
/ кожух; 2 — фланец кожуха; 3 — фланец днища аппарата; 4 — фланец головкн;
5 дннще головкн; 6 — днище аппарата; 7 — трубка; 8 — трубная решетка
/ кожух; 2 — фланец кожуха; 3 — фланец днища аппарата; 4 — фланец головкн;
5 дннще головкн; 6 — днище аппарата; 7 — трубка; 8 — трубная решетка
6 5
Рис. 128. Теплообменник с малогабаритной
6 5
Рис. 128. Теплообменник с малогабаритной
плавающей головкой:
плавающей головкой:
диамСтП°СТ°ЯННЫИ П° ^ЛИИе аппаРата диаметром; б — с перемещенным по длине аппарата
Рис. 130. Теплообменник «труба в трубе»:
/ — внешняя труба; 2 — внутренняя труба; 3 — штуцеры с накидными Тайками
кожуха, в результате чего не возникают термические напряжения. Наиболее распространенная конструкция плавающей головки, применяемая для теплообменников, работающих под давлением до 20 МПа, показана на рис. 128. Диаметр трубной решетки такой плавающей головки должен быть меньше внутреннего диаметра кожуха для облегчения извлечения трубчатки из кожуха. Для уменьшения размеров плавающей головки изменена конструкция уплотнения и уменьшен диаметр окружности расположения болтов.
Теплообменники с постоянным диаметром по всей длине удобны при сборке. Сборка теплообменников с переменным по длине диаметром (рис. 129) з'атруднена, так как плавающую головку (по габаритным размерам) в собранном виде невозможно поместить в кожух без трубчатки. Теплообменники с постоянным диаметром не имеют этого недостатка, так как плавающую головку можно собирать и разбирать вне и внутри кожуха. Кроме того, теплообменники с постоянным диаметром по . длине предпочтительнее теплообменников с переменным диаметром потому, что при очистке их межтрубного пространства не приходится разбирать плавающую головку.
Для эффективной работы теплообменника желательно, чтобы средняя часть была выполнена с наименьшим диаметром; при этом обеспечивается наибольшая скорость продукта и, следовательно, создаются оптимальные условия для теплопередачи. Это и является причиной изготовления теплообменников с переменным диаметром по длине. Однако уменьшать диаметр средней части аппарата имеет смысл лишь при значительных размерах плавающей головки. При применении малогабаритной плавающей головки отпадает необходимость в изготовлении теплообменников переменного диаметра. Малогабаритная плавающая головка свободно располагается и в наименьшем сечении кожуха.
Рис. 131, Схемы компенсации теплового расширения наружной стенки
В пищевой промышленности применяют также теплообменники «труба в трубе» (рис. 130). Преимущество таких теплообменников заключается в воз
можности создания полного противотока при высоких скоростях теплоносителей в трубном и межтрубном пространствах, даже при их малых расходах. При повышенных скоростях и наличии противотока обеспечивается значительный коэффициент теплопередачи и, следовательно, уменьшается расход металла на единицу передаваемого тепла в 1 ч. Однако теплообменники такого типа имеют большие габаритные размеры по сравнению с кожухотрубчатыми.
Температурные напряжения в теплообменниках «труба в трубе» определяют по методике, аналогичной методике определения этих напряжений в кожухотрубчатых теплообменниках. Различие заключается в том, что в теплообменниках «труба в трубе» вместо корпуса и трубок рассматривают наружную и внутреннюю трубы.
В пищевой промышленности широко применяют аппараты с рубашечной поверхностью теплообмена. В этих аппаратах технологический процесс может осуществляться под давлением (автоклавы), под разрежением (вакуум-аппараты) и при атмосферном давлении (открытые варочные котлы).
. В замкнутое пространство между аппаратом и рубашкой подаются теплоносители. Рубашка может быть доведена или не доведена до верхнего фланца аппарата. Обычно верхний край рубашки расположен выше уровня среды внутри аппарата. Пар подается через верхний штуцер, конденсат удаляется в нижней части аппарата. При необходимости охлаждения среды в аппарате охлаждающий агент вводится снизу, а удаляется в верхней части. В этом случае обеспечивается постоянное заполнение рубашки ЖИДКОСТЬЮ.
Крепление рубашки к аппарату может быть разъемным и неразъемным. Разъемное крепление применяют при необходимости в периодических осмотрах наружной поверхности аппарата и при невозможности применения сварки корпуса аппарата с рубашкой, Например в чугунных аппаратах или из цветных металлов и сплавов.
Для компенсации теплового расширения в соединении стенок аппарата применяют линзовые компенсаторы. В этом случае патрубки выполняют длинными и малой жесткости (рис. 131). Рубашка находится под действием давления р2, развиваемого в пространстве между рубашкой и аппаратом и вызывающего растяжение ее стенок, а корпус аппарата — под действием внешнего давления, равного рг — pv
Рис. 132. Аппарат с U-образ* ной рубашкой: а — с коническим сопряжением; б — с кольцевым сопряжением
В пищевой промышленности чаще применяют аппараты с U-об- разной и цилиндрической рубашками (рис. 132).
Расчет этих аппаратов может быть различным. Рассмотрим особенности расчета аппаратов с (/-образной рубашкой. Обозначим через рг и рй расчетные давления в сосуде и рубашке.
При расчете аппаратов на внутреннее
давление при рг > 0 за расчетное давление для рубашки принимают р^ а для сосуда pv Внешнее расчетное давление в зоне рубашки р^ или рг — рг. При рг < 0 при расчете на наружное давление за расчетное давление для сосуда принимают |pi|, а в зоне рубашки р2 + I Pi I-
Направляющие спирали, применяемые в зоне рубашки для интенсификации теплообмена, можно рассматривать как кольца жесткости, если шаг спирали не превышает 0,30! (здесь Oi — внутренний диаметр сосуда).
При расчете днища рубашки отверстие диаметром dj не учитывают.
При проектировании аппаратов с рубашкой следует рассчитывать сопряжение рубашки с корпусом. Различают сопряжения конические и кольцевые.
Рассмотрим расчет конического сопряжения (рис. 133).
Допускаемое избыточное давление для рубашки, рекомендуемое стандартом СЭВ 3650—82
(259)(259)2 [о]2 (з2 - с) Фр2 вo2 + (s2-c) А ’
(259)
(259)
где s2 — исполнительная толщина стенки цилиндрической обечайки рубашки; [сЗг — допускаемое напряжение материала стенки рубашки; фР2 — коэффициент прочности сварного продольного шва рубашки; D$ — внутренний диаметр рубашки; А и В — коэффициенты осевого усилия и конического сопряжения.
Рис. 133. Коническое сопряжение аппарата с рубашкой
Коэффициенты осевого усилия и конического сопряжения А = (DxD2 - cfi'M;
В = 2 У"^-^ min {xj; х2; х3}, где
_cosа /f \
е \4 cos аг'1 / ’
*2 = 1^1 + qR2 /г',
YI( Ф^1 + ф^In\ f
3/3Г(р4 cos аГИ у /4
(здесь а — угол конического сопряжения; qi/?, и q;^ — коэф- . фициенты прочности сварного шва аппарата и рубашки; е — коэффициент, учитывающий расстояние от корпуса до рубашки; X — коэффициент длины сопряжения; и — коэффициент, характеризующий прочность корпуса сосуда по сравнению с прочностью рубашки.
Коэффициенты е, X и и можно определить по следующим формулам:
е — Zo У D2Vs2-су,
X = ^Т 8 + 0,45р; а -^ 45°;
/ vи। 25 tgk (S1 с) У Di ($1 — с)
[а]2 (s2 — с) VD» (s2 — с)
у 1PiDiI 1Л1 ।(Р1 — Ра) Di 1
‘ L Г 2 [o]i (s — с) Г 1 т 2 [а]1 (я - с) ] ’
где /0 — расстояние от середины стенки рубашки до наружной стороны стенки аппарата; р = г l (здесь г0 — внутренний радиус кривизны отбор-
г ^2 ($2 С)
товки для конических сопряжений); ft, f2, /з и /4 — коэффициенты прочности, определяемые по рис. 134 при а = 45°.
Рис. 134. Коэффициенты прочности в зависимости от вспомогательных параметров:
а — /1 = f (X, X); б — f2 = f (р, Е); в — fa = i (р, Е); г — f4 = f (р, Е)
Толщина стенки конического сопряжения должна быть равна или больше талщины стенки сопряжений цилиндрической рубашки.
Рассмотрим кольцевое сопряжение рубашки с корпусом.
Допускаемое избыточное давление в рубашке
[р2] = [а0] ^PJMO (Н2 + Л12 + ^з), 188
Рис. 135. Кольцевое сопряжение аппарата с рубашкой
где [а0]—допускаемое напряжение для кольцевого сопряжения;
'V D1 ($1 — с) ’.
м . Мг^-^Фд, о8($2-С) .
22 Мо Фро^О Ol(Si—с) ’
М4 = min{QZ/2; Mi (1 4* 2М)};
Qo = ^Ф^/РоФр.)
(здесь й0 — исполнительная толщина кольца; 60 — ширина кольца (рис. 135); Qo — геометрический параметр кольца; [а0] — допускаемое напряжение для материала кольца; ф^д — коэффициент прочности сварного радиального шва в кольце сопряжения).
Высота кольца (рис. 135)
h0R = VDt (si — с) max {1/\рМ0 — M2)/(l +Q);
У"р1М!- M!- M2+ Ml -М);
ho 5-- ^од ~Н с, где
= Рг .
Мо фро
При наличии в последней формуле отрицательного радикала соответствующий член при определении максимума ие учитывают.
Расчетные коэффициенты прочности сварного шва для колец (рис. 135, а, б, в)
1; О
Ф«1 — / а \2;
для колец (рис. 135, г)
J ФГ2
" 1 0; 0 ’
где фп — коэффициент прочности сварного кольцевого шва рубашки.
Рис. 136. Сосуд с цилиндрической рубашкой:а — с коническим сопряжением; б — с кольцевым сопряжениемРис. 136. Сосуд с цилиндрической рубашкой:а — с коническим сопряжением; б — с кольцевым сопряжением
Рис. 136. Сосуд с цилиндрической рубашкой:
а — с коническим сопряжением; б — с кольцевым сопряжением
Рис. 136. Сосуд с цилиндрической рубашкой:
а — с коническим сопряжением; б — с кольцевым сопряжением
Аппараты с U-образной рубашкой подвергают расчету .на нагрузку от действия силы тяжести.
Осевое усилие от действия на сосуд и рубашку силы тяжести аппарата Gr и силы тяжести находящейся в нем среды С2:
Г +^2 опоры на сосуде;
—I —GT опоры на рубашке.
С учетом осевого усилия и избыточного давления в рубашке производят проверку несущей способности аппарата:
А+—^^[№1 л [р2] D^ А
где [р21 — допускаемое значение избыточного давления для конического сопряжения для кольцевого сопряжения.
Конические сопряжения рубашек аппаратов с цилиндрической рубашкой (рис. 136) удовлетворяют условиям прочности, если толщина стенки сопряжения равна толщине стенки цилиндрической обечайки рубашки, а также
Zo с 1,8 |/ Z)2(s2 — с\
При кольцевом сопряжении рубашки с корпусом высота последнего
hoR = О,6/о ]/рг/№,h0 > max {s2; h0H + с}.
Рис. 137. Схема опирания аппарата:Рис. 137. Схема опирания аппарата:а — на лапы; б — типы лап
Рис. 137. Схема опирания аппарата:
Рис. 137. Схема опирания аппарата:
Важными конструктивными элементами емкостей и тепловой аппаратуры являются
опоры, например лапы (рис. 137). Конструкция и размеры лап стандартизованы, их выбирают в соответствии с ОСТ 26-665—79.
Нагрузка на одну опору
Q = KG!n + ^М!ф + 2/J,
где G — сила тяжести аппарата, включая и находящуюся в нем среду; п — число лап, выбираемое по конструктивным соображениям; М — момент внешних нагрузок, задаваемый перед расчетом, МН-м; Xt и Х2 — коэффициенты, зависящие от числа лап; при п = 2 Xi = Х2 = 1; при п = 3 Xt = 1; ^ = 1,3; при га = 4 At = 2; Х2 = 1; It — плечо нагрузки Q относительно срединной поверхности кор-
/ _‘b + fmax "Т So -|- s2
нуса,
(здесь b — величина, показанная на рис. 137, б), м; fmax — максимальный зазор между аппаратом и подпорной рамой, м (рис. 137, а); «о — толщина стенки аппарата в конце срока его службы.
В соответствии с РТМ 26-319—79 обязательным элементом проверки правильности выбора опор является определение максимальных значений мембранного напряжения от в стенке корпуса аппарата от действия основных нагрузок и реакции опоры и напряжения при изгибе от действия реакции опоры ои:
°т = °т0 ± blQll/DSo’,
Он = kQl/KsQ>
где Ото — меридиональное напряжение в стейке аппарата, равное pDlis^-, *1, h^ — коэффициенты, определяемые по рис. 138, а, б для лап типа 1.
Рнс. 138. Кривые для расчета опор: а - fc2 = f (V); 6-6, = f№
Затем проверяют условие прочности
+ (260>
где ат — значение предела текучести материала стенки при расчетной температуре; А = 1 для условии эксплуатации и А = 1,2 при транспортировании и гидронспытаниях.
Если условие (260) не выполняется, то требуется применить накладной лист, располагаемый на корпусе аппарата под лапой и служащий для увеличения области местных нагрузок. В этом случае необходимо воспользоваться методом расчета, приведенным в РТМ 26-319—79.
Наряду с рассмотренными выше лапами в пищевой промышленности широко применяют и другие виды опор (РТМ 26-111—77 и РТМ 26-110—77), например трубчатые, на которые опирается горизонтальная цистерна для молока (рис. 139).
При конструировании опор горизонтальных аппаратов следует проверить стенку корпуса на устойчивость в местах опирания. Критическая нагрузка Ркр может быть приближенно найдена при рассмотрении опоры аппарата как круговой арки постоянного сечения с шарнирно опертыми концами, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки (рис. 140):
(261)
В приведенном уравнении J — момент инерции поперечного сечения полоски листа шириной, равной ширине опоры и кольца жесткости, если последнее имеется. Момент инерции-берется относительно оси, параллельной оси аппарата, проходящей через центр масс сечения.
Действительную нагрузку, приходящуюся на 1 см длины опорной поверхности, находят делением реакции опоры аппарата на проекцию дуги опорной поверхности на хорду;
Ри = P/(2R sin а/2);(262)
при а = 120°
Рд = Р/(0,866Г>).(263)
Действительная нагрузка должна быть меньше допустимой:
Рд = Рцр^1(264)
где т — запас устойчивости, который рекомендуется принимать равным 5.
Пример. Произвести прочностной расчет выпарного аппарата (рис. 141) на рабочий режим, по данным теплового и конструктивного расчетов.
Исходные данные следующие:
D = 2а = 2а = 1800 мм — внутренний диаметр кожуха;
«1 = 870 мм — расстояние от оси кожуха до оси наиболее удаленной теплообменной трубы;
L = 21 = 2500 мм — длина теплообменных труб;
dT = 38 мм — наружный диаметр труб;
St = 2,5 мм — толщина стенок труб;
i = 740 — число труб;
/р = 47 мм — шаг расположения отверстий в решетке;
<4 = 39 мм — диаметр отверстия в решетке для труб;
G = 8700 кг — масса аппарата;
N = 10 000 — число теплосмен, которое может иметь место в течение всего срока службы аппарата;
Рм = 1,18 МПа — расчетное давление в междутрубном пространстве;
Рт = 0,5 МПа — расчетное давление в трубном пространстве;
М = 25 °C — разность температур кожуха греющей камеры и трубок;
7 Соколов в. и.193
Рнс. 141, Схема к расчету проч* ности выпарного аппарата
ат = ак = 1,2-10-5 1/гряд. — коэффициент линейного расширения материалов труб и кожуха; £р = Ет = Ек = 1,9* 105 МПа — модули продольной упругости материалов решетки, труб и кожуха (углеродистая сталь при температуре до 100 °C);
[а] = 134 МПа — допускаемое напряжение для углеродистой стали ВСтЗ при температуре 100 °C;
De = 100 мм — диаметр окружности, вписанной в максимальную бёструбную площадь;
ф = 0,9 — коэффициент прочности сварных швов.
с = 1 мм и с = 4 мм — прибавка к толщине на компенсацию коррозии для стенки цилиндрической обечайки греющей камеры, а также конического днища и обечайки и крышки аппарата;
dn = 450 мм — диаметр отверстия в крышке аппарата.
от = 200 МПа.
Решение. По формуле (224) определяем толщину стенки цилиндрической обечайки греющей камеры:
= 0,001 + 0,00985 м = 10 мм.= 0,001 + 0,00985 м = 10 мм.pD , „1,18-1,8
= 0,001 + 0,00985 м = 10 мм.
= 0,001 + 0,00985 м = 10 мм.
~ 2ф[о]—р2.0,9.134—1,18
Предполагая, что обечайка соединена с жестким фланцем^ определим местное меридиональное напряжение у заделанного ее края. Аналогично рассуждая, как в примере на стр. 93, и пользуясь формулой (226) для Мо, имеем
6M06-№6pprs ргрг _
CTi=T + am =^+-2Г=2’04 —-
2,04-1,18.0,9
0,009
= 216,6 МПа.
Полученное местное напряжение превышает допустимое напряжение для данного материала: 221,9 МПа > 134 МПа.
Имеются сведения о возможности повышения значений допускаемых напряжений для местного напряжения в 1,3 раза [47]. В данном примере можно принять [a]m = 134-1,3 = 174 МПа. И при этом значении допускаемого напряжения толщина стенки обечайки греющей камеры является недостаточной.
Опуская определение местного окружного напряжения, которое по значению меньше меридионального, и применяя гипотезу наибольших касательных напряжений, устанавливаем, что ох = Оэкв- Приравнивая о^ допускаемому напряжению и решая полученное равенство относительно толщины стенки и вводя в уравнение коэффициент прочности и прибавку к толщине стенки на коррозию, полу
чаемчаем2,04ргSk" Итф2,04ргSk" Итф2,04.1,18-0,9174-0,92,04.1,18-0,9174-0,9+ 0,001 =+ 0,001 =
чаем
чаем
2,04рг
Sk" Итф
2,04рг
Sk" Итф
2,04.1,18-0,9
174-0,9
2,04.1,18-0,9
174-0,9
+ 0,001 =
+ 0,001 =
= 0,0138 + 0,001 =0,01.
Толщину стенки цилиндрической обечайки аппарата определяем по той же формуле, но при другом значении прибавки к толщине стенки на коррозию:
S = J^i^L^L + 0,004 = 0,00594-0,004 = 0,0099 ~ 10 мм.
Для аппарата используем эллиптическую крышку, толщину стенки которой находим по формуле (240) (7?р = D)
s°-5а-810 001-
к- 2[о]ф-0,5р +2.134.0,9 4-0,5.0,5
= 0,00372 4- 0,00400 = 0,0072 ~ 8 мм.
При проверке по формуле (250) установлено, что необходимо укрепить вырез отверстия в крышке. В связи с элементарностью расчет укрепления не приводим.
Толщину стенки конического днища определяем по формуле (242):
s -_ 0,^81_
2 [а] ф — р cos а 2.134.0,9 —0,5 0,76 v’vu^’
, st = s + с = 4,9 + 49 мм.
Коническое днище целесообразно применить с торообразным переходом. Испольнительную толщину стенки тороидального перехода конической обечайки определяем по формуле (245).
Производим расчет трубной решетки. Определяем вспомогательные величины: коэффициенты влияния давления на трубную решетку (см, стр. 180)
Лт = 1 —Лт = 1 —t(dT-2sT)2 1 - 740.(38-2.2,5)2 л 7О.
Лт = 1 —
Лт = 1 —
ц=4W= °’734
.,740-382
Лм "4а24-8702°’647’
Модуль упругости основания (системы труб)
_£т(Лт — Лм)Ду:_£т(Лт — Лм)Ду:1,9-106 (0,734- 0,647) _
_£т(Лт — Лм)
Ду:
_£т(Лт — Лм)
Ду:
1250“ И’ 4*
Приведенное отношение жесткости труб к жесткости кожуха
_ kvatl ^ Ет (Лт — Лм) aJ „ (Лт — Лм) «1 = (0,734 — 0,647) 870 _ _ ^
Р £KsK lEKsKsk15
Относительная характеристика беструбного края тн = a/at = 900/870 = 1,035.
mcp = 0,15/= 0,15.740. (382,5)2 = ^^
Приведенное давление
Ро = сс Mkvl 4* [Лт — 1 4“ ^ср 4" тп (^п 4" 0,5)j рт — [Лт — 1 4- ^ср 4-+ mn (mn + 0,3p)] рм = 10'5.1,2-25.13,224.1250 4- [0,734— 1 4-0,1848 4-4- 1,035 (1,035 4-0,5)] 0,5 — [0,647 — 1 +0,1848 4-
+ 1,035 (1,035 + 0,3-5,05)] 1,18 = 2,730 МПа.
Коэффициент ослабления трубной решетки
Фр = 1 — 4//р = 1 — 39/47 = 0,17.
По кривой (см. рис. 125) определяем допускаемое значение амплитуды условных упругих напряжений при числе циклов нагружения, равном 10 000, за расчетный срок службы аппарата [аа] — 280 МПа.
По данным на стр. 180 при фо = / (Чт) находим значениеф0 = 0,49 при т)т = 0,734.
Тогда коэффициенты
А’ = 2 [о^] фр = 2-280-0,17 = °’0286'(265)
5, = JM = 0,49-1250sK15
По рис. 124, а находим значение ^ = 0,07 соответствующее полученным значениям А' и В'.
Толщину трубной решетки определяем по формуле (253):
р- Пт— Чмр- Пт— Чм0,07-150,734 — 0,6470,07-150,734 — 0,647= 12,069,= 12,069,
р- Пт— Чм
р- Пт— Чм
0,07-15
0,734 — 0,647
0,07-15
0,734 — 0,647
= 12,069,
= 12,069,
принимаем sp = 12 мм.
Толщину трубной решетки проверяем по формуле (252);
s = 0,50 V"= 0,5-0,1 V= 0,0035 м = 3,5 мм.
Осевое усилие в кожухе по формуле (256)
Мк = ла2 ( рт -= л-0,92 ( 0,5 -= 127- 10»Н.
X * + Р /X 1 + 5,05/
Осевое усилие в трубе согласно формуле (257) может быть определено после нахождения коэффициента /2 и г:
43,7 = Г s« 13 _ 43,7Z— В' ~ Lsp(4t + 4m) J ~ 40,83
Г 15 Г _ n
L 12(0,734 + 0,647) J тогда
/г = ^2/(^5+ 1) = V 0,793/(^0/793 + 1) = 0,485.
Осевое усилие в трубе
ЛЯ;
Nt = —7— [(ЧмРм — ЧтРт) + /гРо] =
= --*4740872 [0,647-1,18 — 0,734-0,5] + 0,485-2,73 = 5,525- 103Я.
Проверяем-прочность трубы по формуле (258):
NtI6,44-Ю3,о Я7 МГ1п
л (dT — Sr) sT 3,14 (0,038 — 0,0025)-0,0025’’
Рассчитываем опоры (лапы) (см. стр. 191).
По требованиям монтажа иеобходимоустаиовить опоры с вылетом 6 = 230 мм.
В соответствии с условиями монтажа и эксплуатации аппарата принимаем число лап п= 4. Предварительно выбираем опору по ОСТ 26-665—79, имеющую размеры: b = 230 мм; h = 360 мм; /тах = 60 мм; G = 87 000^Н.
Определяем плечо нагрузки по следующей формуле (принимаем s0 = sK):
, = 6 +/max + sp = 23 + 6 0+ 1,5 = 15 см>
Нагрузка иа одну опору
Q = XxG^n = 2-87 000/4 = 43500 Н.
Нагрузка допустима для выбранной опоры (допустимая нагрузка 6300).
Определяем соотношение параметров аппарата и опоры:
D2s0D2s02-15D 1800 -2-15D 1800 -(267)(267)
D2s0
D2s0
2-15D 1800 -
2-15D 1800 -
(267)
(267)
Напряжение от действия виутреииего давления
<Jmo<Jmo. . рР4s0. . рР4s01,8-1,184-0,0151,8-1,184-0,015= 35,4 МПа.= 35,4 МПа.
<Jmo
<Jmo
. . рР4s0
. . рР4s0
1,8-1,18
4-0,015
1,8-1,18
4-0,015
= 35,4 МПа.
= 35,4 МПа.
Максимальное мембранное напряжение от основных нагрузок и реакции опоры определяем по формуле
Gm =35,4-106 ±= (35,4-10» ± 163-106) Н/м^;
jj^6l,o*U, U1O
(*^m)max— 51,7 МПа; (от)т]п— 19,1 МПа.
Коэффициент кг = 1 определяют по рис. 138, а. Максимальное напряжение при изгибе от реакции опоры определяем по формуле (см. стр. 191):
„, Qii 0,67-43500-0,152,.. _
И == " 0,36^0152-= 54’7'106 Н/М2 = 54’7 МПа-
Коэффициент кч = 0,67 определяют по рис. 138, б. Условие прочности по формуле (260)
ат \^ , 0,8 Ои / 51,7 \2 . 0,8 от У 1,2 от ” V 200 /1,2ат \^ , 0,8 Ои / 51,7 \2 . 0,8 от У 1,2 от ” V 200 /1,254,720054,7200= 0,248 < 1.= 0,248 < 1.(268)(268)
ат \^ , 0,8 Ои / 51,7 \2 . 0,8 от У 1,2 от ” V 200 /1,2
ат \^ , 0,8 Ои / 51,7 \2 . 0,8 от У 1,2 от ” V 200 /1,2
54,7
200
54,7
200
= 0,248 < 1.
= 0,248 < 1.
(268)
(268)
Таким образом, условие выполнено и, следовательно, опора выбрана правильно.
§ 15. РАСЧЕТЫ АППАРАТОВ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
Элементы тонкостенных конструкций (стержни, пластины, оболочки) могут разрушаться в результате потери устойчивости. Под потерей устойчивости следует понимать резкое качественное изменение характера деформации элемента конструкции, происходящее при определенном значении нагрузки.
Обычно упругая система, потерявшая устойчивость, переходит к некоторому новому положению устойчивого равновесия, отличающемуся от первоначального. Этот переход в подавляющем большинстве случаев сопровождался существенными перемещениями, нарушающими возможность нормальной эксплуатации конструкции в связи с возникновением больших пластических деформаций или приводящими к полному разрушению конструкции. При потере устойчивости тонкостенной конструкцией нормальные и касательные напряжения в ее поперечных сечениях могут быть значительно ниже предела текучести.
Нагрузку, при которой происходит потеря устойчивости, называют критической. Например, прямолинейная форма равновесия сжатого стержня устойчива только в том случае, если сжимающая стержень сила меньше критической. При силе, большей критической, стержень изгибается и прямолинейная форма равновесия перестает быть устойчивой. Тонкостенная ци-
гается сжатиюгается сжатиюРис. 142. Цилиндрическая оболочка, нагруженная в осевом направлении
гается сжатию
гается сжатию
линдрическая оболочка, нагруженная внешним давлением, способна потерять устойчивость. При этом круговая форма ее поперечного сечения может перейти, например, в овальную, и оболочка сплющивается, хотя напряжения в стенках оболочки могут быть меньше предела упругости.
Резкий «хлопок» в момент потери устойчивости сопровождается возникновением трещин или появлением значительных пластических деформаций. Это вызовет потерю несущей способности оболочки.
Рассмотрим замкнутую круговую цилиндрическую оболочку длиной L, шарнирно опертую по торцам. Пусть оболочка подвер- вдоль образующей силами Nx, равномерно по периметру сечения оболочки (рис. 142).
Пусть поверхность оболочки остается осесимметричной и после выпучивания, которое имеет волнообразный характер. Тогда радиальные прогибы у оболочки будут зависеть от координаты, совпадающей с осью оболочки, и характеризовать положение данного нормального сечения. Критическое напряжение в стенке оболочки определяют из условия равновесия внутренних усилий оболочки в момент потери устойчивости, когда появляется новая форма равновесия, отличающаяся от первоначальной — прямолинейной.
Напряженное состояние оболочки при потере устойчивости из безмоментного переходит в моментное и, следовательно, претерпевает качественный скачок.
Оболочка подвергается изгибу под действием постоянных сил сжатия Nv а не поперечной нагрузки.
При выпучивании появляется нормальная составляющая сил NdPyldx1 (здесь у — радиальный прогиб оболочки).
Используя уравнение (114) без членов, учитывающих внутреннее давление, и вводя в качестве дополнительной поперечной нагрузки указанную нормальную составляющую, получаем
Dd^yldx* — Nypyldx* + Esy/r4 = 0.(269)
Принимаем выражение для прогиба
(270)(270)у = / sin т лх!Е,
(270)
(270)
где tn — число полуволн изогнутой поверхности по образующей оболочки; L длина оболочки.
На основании уравнений (2бд) и (270) получим формулу для верхнего критического напряжения:
а - N1-O ( m2na \ Е L \
Чв s \ si? "Т" R^D mV
Исследуя это выражение на минимум, получаем Значение т для соответствующего минимального критического напряжения!
Тогда действительное значение верхнего критического напряжения
Чв = —■■ — £ — •
/3(1-Р) R * при ц —0,3
</в = 0,605£^.
С увеличением отношения siR повышается вероятность начальных прогибов и снижается среднее значение реальных критических напряжений. Поэтому на основании экспериментальных данных вместо постоянного числового коэффициента в расчетные формулы для критического напряжения вводят переменный коэффициент ^^VslR. Тогда получим уравнение
Действующая на оболочку в осевом напряжении критическая сила
N = 2nqRs = глз2 j/sfR.(271)
Для очень гибких элементов (например, для длинных тонких стержней) потеря устойчивости начинается с упругой деформации. Для элементов, обладающих большой жесткостью при действии больших нагрузок, характерны только пластические деформации или хрупкое разрушение без явлений потери устойчивости. Между указанными двумя предельными случаями лежит переходная область, важная для практики, но трудно рассчитываемая, когда потеря устойчивости начинается с упругопластической деформации.-
Существует почти единое мнение, что для очень гибких элементов коэффициенты запаса прочности (устойчивости) должны быть больше коэффициентов запаса прочности жестких элементов. Обоснованием для такого заключения является то, что гибкие элементы по сравнению с жесткими более чувствительны к малым
Рис. 143. Зависимости критической нагрузки / от гибко* сти элемента X
неточностям', связанным с технологией изготовления или нагружением конструкции. Кроме того; для гибких элементов превышение критической нагрузки влечет за собой более значительные деформации, чем для жестких элементов.
Для дальнейшего анализа введем следующие обозначения- [F1 —допускаемая осевая сжимающая сила данного элемента?; [К ]в, [К ]р — допускаемые усилия из условий устойчивости в пределах упругости и прочности; к — гибкость элемента.
Критические нагрузки FE и Fp имеют следующие особенности!
при к -► О Fp < FE;
при к-^ оо Fp> Fe.
Зависимость критической нагрузки F от гибкости элемента к для практических случаев показана на рис» 143.
Кривая / характеризует зависимость разрушающей нагрузки гибкости к, когда разрушение сжимающего элемента является следствием потери устойчивости. Когда разрушение обусловлено явлением пластичного или хрупкого разрушения зависимость F = f (Л) представляется прямой 2, параллельной оси абсцисс. В данном случае разрушающая нагрузка не зависит от гибкости элемента.
Для промежуточной области, когда разрушение является следствием и частичной потери устойчивости элемента и накоплением повреждений в материале элемента, зависимость F от к можно представить в виде кривой 3. Для данного случая рекомендуется следующая зависимость между допускаемой для данного элемента осевой силой F и допускаемыми осевыми усилиями из условий устойчивости в пределах упругости и прочности [49 h
Ю--7^=^. . (272) V tn; +
Данное уравнение является простейшей интерполяцией с правильными асимптотами между двумя крайними случаями: потерей устойчивости в пластической области или упругой.
При таком подходе в результате получается допускаемое усилие, всегда меньшее одного из двух значений; [^ Тр или [F]B. Это условие получается при к = О [К] = [К]р; при к = сю [К[ = .= [К]в-
Расчет иа общую устойчивость элементов, подвергаемых осевому сжатию, можно производить аналогично расчету на проч- 200
ность с введением коэффициента снижения допускаемых напряжений ср. В этом случае
[F] =ф[Г]р.(273)
Откуда с учетом уравнения (272)
1 Ф = —г
При расчете на устойчивость цилиндрических обечаек, подвергаемых осевому сжатию, допускаемое осевое сжимающее усилие из условия прочности [F ]р = л ф + s —с) (s —с) I о].
Допускаемое осевое сжимающее усилие в пределах упругости определяют из условия устойчивости!
[FJe, = min ([F]e,; [F]e2),(274)
где [F]£ и [F ]£г—соответствеиио допускаемые осевые сжимающие усилия, определяемые из условий местной и общей устойчивости в пределах упругости.
Значение [F]B получим, разделив силу N из уравнения (271) на запас устойчивости иу!
Пу г К
Подставляя в последнее выражение R = D/2 и вводя к толщине элементов поправку на коррозию, после преобразований получаем формулу, рекомендуемую ГОСТ 14249—80,
|Fb=2!»^^[2»»<^_]!j/2oo<2FE>_. (275)
Значение [FIe, определяют на основании формулы Эйлера из теории продольного изгиба. Это условие можно записать в виде
Пу\ Л /
Гибкость X определяется из выражения
л 2,83/пр
~ ^ + (s - с) ’
где /пр — приведенная длина элемента, которую принимают в зависимости от схемы опирания концов оболочки.
Для рабочих условий »у = 2, 4 допускаемая сжимающая сила
[F] = л ф + s — с) (s — с) [с] min [фх; ф2];
Где коэффициенты ф^ и ф3 определяют по рис. 144.
Рис. 144. К расчету иа устойчивость цилиндрических обечаек, сжимающим усилием:Рис. 144. К расчету иа устойчивость цилиндрических обечаек, сжимающим усилием:нагруженных осевымнагруженных осевым
Рис. 144. К расчету иа устойчивость цилиндрических обечаек, сжимающим усилием:
Рис. 144. К расчету иа устойчивость цилиндрических обечаек, сжимающим усилием:
нагруженных осевым
нагруженных осевым
Если обечайка нагружена изгибающим моментом, допускаемое значение последнего определяют по формуле того же вида, что и для осевой силы:
причем
[М]р = 4№ [Ш = ^-[£]£1.
Рассмотрим устойчивость кольца, сжатого радиальной распределенной нагрузкой q.
Когда равномерно распределенная нагрузка достигает некоторого значения, круговая форма кольца становится неустойчивой, кольцо деформируется и принимает неустойчивую форму (рис. 145, а\
Рассмотрим элемент деформируемого кольца длиною ds, выделенный из кольца. Местный радиус кривизны элемента обозначим через р. Предположим, что радиус кривизны р близок к первоначальному радиусу кольца R. На концах элемента действуют нормальные силы, поперечные силы и изгибающие моменты. Обозначим нормальную силу до потери устойчивости через Мо, а после 202
а)5)а)5)распределенной нагрузки No вдокритическомраспределенной нагрузки No вдокритическомРис. 145. Схема кольца, потерявшего устойчивость:
а)5)
а)5)
распределенной нагрузки No вдокритическом
распределенной нагрузки No вдокритическом
а — схема нагружения; б — схема действия усилий иа элемент кольца
равнодействующую dtp и нормальные силыNQd<p — qds = 0.равнодействующую dtp и нормальные силыNQd<p — qds = 0.потери устойчивости через No + + N (здесь N — сила, появившаяся при изгибе кольца)-. Поперечные силы Q и Q + dQ и изгибающие моменты М и М + dM (рис. 145, б). х
равнодействующую dtp и нормальные силы
NQd<p — qds = 0.
равнодействующую dtp и нормальные силы
NQd<p — qds = 0.
Проектируя
qds на биссектрису угла состояний, получаем
Учитывая, что ds = Rd<p, из последнего равенства найдем
Уо = qR.
Спроектируем силы, действующие на элемент после потери устойчивости, на биссектрису угла dtp, в результате получим qdS + dQ — (Уо + У) dsip = 0.
Подставляя значение No из предыдущего равенства, после преобразований имеем
4 \ R рds pR
или
, 1 dQ N„
+ R ds ~ R2°’
где x = f—— изменение кривизны кольца при его деформации.
\ р К /
Уравнение моментов всех сил относительно точки О имеет вид
S.m0 = dM + dNR = 0.(276)
Сумма моментов всех сил относительно края участка ds
2 тА = dM + Qds = 0.
Моменты равнодействующей распределенной нагрузки пренебрегаем как бесконечно малой величиной второго порядка, тогда
^+Q = 0.(277)
С учетом уравнения (276) получаем
Q = dNR/ds,(278)
откуда dM = —Qds.
На основании уравнений (276)—(278) получаем du , 1 d3M .1 dM _ n
Интегрируя последнее уравнение, находим
R—(279)
Из курса сопротивления материалов известно изменение изгибающего момента от кривизны:
M = Ej(-±^)=EJx,(280)
где EJ — жесткость при изгибе.
На основании уравнения (280) уравнение (279) можно записать в следующем виде:
(Exlds3 + кЧ = CrRlEJ,(281)
,,1 , qR
гДе к - R1 + -gj •(282)
Решая последнее дифференциальное уравнение, получаем
х = cxR!k3EJ + с.: sin ks + с3 cos ks.
При увеличении переменной s на величину 2 л 7? функция х не изменится. При этом ks должна измениться на величину, кратную 2л:
к (s + 2л7?) — ks = 2лп, где п — целое число.
Решая уравнение (282) относительно q и подставляя kR = п, найдем
9кР = (п2 - 1) EJiR3.
Минимальное значение qKp, отличное от нуля, будет иметь место при п = 2:
?кр = SEJlR3.
Если рассматривается цилиндрическая оболочка длиною /, подвергаемая внешнему давлению р, то в уравнение нужно под- ставить q =р1'й вместо EJ цилиндрическую жесткость 12^_^2) •
Тогда получим выражение для критического давления
(fl2 — 1)п?Е
Р«х> — 12(1—р2) Я3 •
Откуда наименьшее значение при п = 2
F
P^V = 4 (1 _ ^ Vs! R?
или при р, = 0,3
ркр = 0,27£ (s/R^3.
Выражая значение R через D и вводя добавку к толщине стенки аппарата на компенсацию коррозии, получаем выражение для 204
где Е в МПа.где Е в МПа.
где Е в МПа.
где Е в МПа.
На основании полученной формулы рассчитывают на устойчивость длинные цилиндрические оболочки; для которых не сказывается влияние заделки краев и отношение длины оболочки к диаметру.
Коэффициент запаса устойчивости (ГОСТ 14249—80) рекомендуется принимать при расчете сосудов по критическим напряжениям в пределах упругости «у = 2,4 для рабочих условий; пу = = 1,8 для условий испытаний и монтажа.
Из уравнения (283) получим‘необходимую из условий устойчивости цилиндрической оболочки толщину стенки
s = V V°’453"y ^ с'<284>
где р — расчетное давление.
Для недлинных оболочек критическое давление зависит не только от свойств материала, но и от отношения slD и отношения LID.
Для верхнего критического давления рв при допущении, что . прогибы и изгибающие моменты на концах цилиндра отсутствуют, получаем выражение
с s2Рв L R2с s2Рв L R2S"RS"R12(1 — И2)12(1 — И2)лаЯ2 \2п2£а / +лаЯ2 \2п2£а / +л4Я5L4sn6л4Я5L4sn61 л2/?2+ п2£а .1 л2/?2+ п2£а ., (285), (285)
с s2
Рв L R2
с s2
Рв L R2
S
"R
S
"R
12(1 — И2)
12(1 — И2)
лаЯ2 \2
п2£а / +
лаЯ2 \2
п2£а / +
л4Я5
L4sn6
л4Я5
L4sn6
1 л2/?2
+ п2£а .
1 л2/?2
+ п2£а .
, (285)
, (285)
где п— число волн, образующих при потере устойчивости оболочки (рис. 146).
Некоторому значению п соответствует наименьшее значение критического давления.
Учитывая, что InR^lnL^ < 1, из условия минимизации последнего выражения при р = 0,3 получимп « Ч,! VRIL У R!s.
Подставляя п в уравнение (285), умножая полученное выражение на эмпирический коэффициент 0,69 для перехода к нижнему значению критического давления, а также подставляя R = DI2, получаем выражение для допускаемого внешнего давления, действующего на цилиндрическую обечайку,
е р D Г 100(з - с\ 12 1/ 100 (з,-с)
№ Ь -у- [5J у 0.(286)
Рис. 147. Номограмма для расчета на устойчивость в пределах упругости цилиндрических обечаек, работающих под наружным давлением
Сопоставляя уравнения (286) и (283), получаем значение LID. Если в данном конкретном случае LID будет больше найденного значения, то сосуды рассчитывают как длинные, если меньше, то как средние по уравнению (286).
Из уравнения (286) можно определить толщину стенки цилиндрической средней длины обечайки, подставляя р =[о]£, s = -5-Р_М0'4 । г
100 L 18 10-б£ D J г
Область применения формул для расчета обечайки средней длины определяется условием
1,0 К D ^ D < К 2 (s — с)(287)
Рис. 148. Примеры использования номограммы по рис. 147:
1 — определение расчетной толщины стенки; 2 — определение допускаемого наружного давления;
3 — определение допускаемой расчетной длины; О — начало отсчета; • — промежуточные точки; X — конечный результат
Подставляя в уравнение (287) отношение (s—c\!D из уравнения (284) и принимая пу = 2,4, получаем условие применения формулы расчета обечаек средней длины, не требующее предварительного знания толщины стенки: ,
-^-<9,21 ]/ 10р£ . (288)
Формулы (283) и (286) согласно ГОСТ 14249—80 объединены в одну формулу:
. .18.10"6£ D Г 100(s —с) 12ч/ 100(s —с) ,9RQ,
V5.V loo(s-c)V5.V loo(s-c)^Ь = п^ ” ТГ [ D J V D ’
V5.
V loo(s-c)
V5.
V loo(s-c)
где Bi = min | 1,0; 8,15 -^-
Таким образом, производят расчет оболочки большой и средней длины и находят наименьшее значение допускаемого давления из условия устойчивости в пределах упругости (рис. 147, 148). Согласно ГОСТ 14249—80 при определении расчетной длины обечайки I или L длину примыкающего элемента /3 следует определять по формулам:
для выпуклых днищ:
13 = 77/3;
для конических днищ без отбортовки:
/3 = £>/3tg а;
ДляДляконических днищ с отбортовкой
Для
Для
/3 = max {г sin а; у^
[р][р](290)(290)[р]р[р]рЕсли разрушение цилиндрической оболочки, подвергаемой внешнему давлению, может оказаться следствием потери устойчивости оболочки за пределом упругости или в пределах упругости, то допускаемое наружное давление определяют по формуле, получаемой, аналогично формуле (272),
[р]
[р]
(290)
(290)
[р]р
[р]р
где [р]р и [р]^ — соответственно допускаемые наружные давления из условий прочности и устойчивости в пределах упругости, МПа, причем
_ 2[а](з-с)у (s _ с) •
ГОСТ 14249—80 регламентирует следующий порядок определения толщины стенки обечайки, нагруженной наружным давлением. Приближенно определяют толщину стенки обечайки:
Зд^тахКо-Ю"2;
'(2 [а]
S ^ sH + с.
Коэффициент &2 определяют по номограмме, приведенной на рис. 147. Далее вычисляют значения допускаемого наружного давления из условий устойчивости в пределах.упругости по формуле (289) и из условий прочности по формуле. (291). По этим данным производят проверку обечайки на допускаемое наружное давление по формуле (290).
Рассмотрим совместное действие сжимающей оболочку осевой силы и внешнего давления. Зависимость между параметрами pilpA и F/[F] графически изображается некоторой ломаной линией. Подобные диаграммы устойчивости при комбинированных нагрузках всегда обращены выпуклостью наружу от начала координат. Точки А на оси ординат F/IFJ и В на оси абсцисс рИрА соответствуют верхним критическим значениям осевой сжимающей силы и внешнего давления, расположенных отдельно.
Уравнение прямой линии, соединяющей точки А и В, имеет вид
[Pl [fl
Для случая, когда обечайка работает под совместным действием давления, сжимающего усилия и изгибающего момента, получим
[Р1[Р][М] ь
Из расчетных формул следует, что с уменьшением длины обечайки жесткость ее увеличивается. Отсюда вытекает целесообразность для увеличения жесткости аппарата устанавливать кольца жесткости вместо увеличения толщины стенки (рис. 149.) Допускаемое внешнее давление для обечайки с кольцами жесткости можно определять по тем же формулам, что и для гладкой обечайки, вводя в правую часть формул для [р]1Е множитель — коэффициент жесткости обечайки в степени 0,75 для обечаек средней длины и в первой степени для длинных обечаек 154 ].
Коэффициент жесткости обечайки представляет собой отношение эффективного момента инерции J кольца с присоединенной оболочкой к моменту инерции Jo гладкой оболочки толщиной s и длиной, равной расстоянию / между кольцами жесткости.
Момент инерции гладкой оболочки г _ I (s — с)3 012(1 — р2) ‘
Рис. 149. Аппарат с цилиндрической обечайкой, усиленной кольцами жесткости
Эффективный момент инерции
,_ Цз—С)8 ,» Лк/Эф(5 —С)
Jю,9л„ + гэф(5-С) ’
где е — расстояние от центра масс сечения кольца до срединной поверхности обечайки; I -— расстояние между кольцами жесткости (осями); Лк — площадь поперечного сечения кольца; /эф — эффективная длина стенки обечайки, включаемой в расчетное поперечное сечение кольца жесткости; Ук — момент инерции поперечного сечения кольца жесткости.
Эффективная длина стенки обечайки
U = 1Г^Т ^ ” z " 1 -1 VW-c^V/к + —36
где t — ширина кольца.
С целью унификации расчета ГОСТ 14249—80 как и для гладких оболочек рекомендует обобщенную формулу, аналогичную формуле (289). Однако в формулу вводит коэффициент жесткости обечайки
l 1/" 10,9-У эф
R - V I (S - с)3 •
При конструировании аппаратов, усиленных кольцами жесткости, их разбивают по длине на ряд коротких обечаек. Тол-
Рис. 150. Зависимость к определению коэффициента кь
щину стенок аппарата или расстояние между кольцами жесткости определяют по заданному расчетному давлению р с помощью номограмм (см. рис. 147 и 148) с заменой длины I расстоянием между кольцами Ь.
Для определения размеров сечения колец жесткости при дей
ствии на обечайку внешнего давления ГОСТ 14249—80 рекомендует определять расчетный эффективный момент инерции кольца жесткости по следующей формуле:
, _ 0,1 рЕ^к «у .
Е 2,4
Коэффициент /?5 находят по рис. 150.
Вычисленное по последней формуле значение Jp должно быть меньше значения Лф. найденного с учетом совместной работы кольца и участка
lt = min (Z^ t + 1,1 l^D(s — c },
где / — ширина поперечного сечения кольца жесткости.
Профиль кольца жесткости выбирают методом последовательных приближений при выполнении условия J ^ Jp.
После определения размеров кольца производят проверку допускаемого давления по условию
р = min I[plf, tp]2},
где 1р11И [р]3 —соответственно допускаемые значения наружного давления, определяемые из условия устойчивости всей обечайки и между двумя кольцами жесткости, причем
где [р lip и Ip ]tE — допускаемые значения наружного давления из условий прочности и устойчивости всей обечайки;
г - 2 [°] Is " С) + 2ЛК [о]к//1 .
D + (s — с)
Г ] _ 1810~6£ D г 1006 (s—c) "12 ч/ 1006 (s —с)
6B2ny L [ DJ V D
^ здесь B2 = min|l,0; 8, 15-^- |/ -yQ^-^—^yj; *— коэффициент жесткО- ,.,1 /10,9/\
сти обечаики, к = V).
V k(s — с)3 /
Допускаемое наружное давление, определяемое из условия устойчивости обечайки между кольцами жесткости при длине обечайки / = Ь, должно соответствовать [р] из уравнения (290). Вместо [р]р из формулы (291) допускается подставлять следующую величину:
_ 2 [о] (s —с) 2 + Хп
£> + (S-C)I+Z2>
X 62
D(s — c) •
ИгрИгрДалее определяют допускаемое давление между двумя кольцами [р]2Е с заменой I = Ь. Затем вычисляют допускаемое давление для обечайки между двумя кольцами жесткости:
Игр
Игр
Усиление обечаек кольцами жесткости вызывает возникновение местных напряжений в месте установки колец. Поэтому рекомендуется устанавливать кольца только на обечайках, изготовленных из пластичных материалов. В этом случае пластические деформации в зоне колец жесткости заметно не снижают несущей способности обечайки.
Расчет конических обечаек на устойчивость при нагружении их внешним давлением проводят так же, как и цилиндрических с введением приведенных значений диаметра и длины:
[Д] =[Д] =\р\р\р\р(293)(293)
[Д] =
[Д] =
\р\р
\р\р
(293)
(293)
где [р]р—допускаемое давление из условий прочности
Ы _2[o](sK-c).
—— + (sK — с)cos a n v '
IpIe — допускаемое давление из условий устойчивости в пределах упругости.
100 (8К — с)55100 (8К — с)55Гп1 _ 18-Ю65 De р 100 (S)
100 (8К — с)
55
100 (8К — с)
55
IPJe - n„SiD
Эффективные размеры конической обечайки/. Р-Di .
Е 2 sin «1 ’
тоI D 4- 5i= шах -7, —;( 2 cos aiтоI D 4- 5i= шах -7, —;( 2 cos aiDCOS «1DCOS «1tg«i •tg«i •
тоI D 4- 5i
= шах -7, —;
( 2 cos ai
тоI D 4- 5i
= шах -7, —;
( 2 cos ai
D
COS «1
D
COS «1
tg«i •
tg«i •
Рис. 161. Зависимость к определению коэффициента к
Коэффициент определяют по формуле
Bimini 1,0; 8, 15 х
Ре
100 (sK — с) '
Толщину стенки эллиптических и полусферических и торо
сферических днищ, нагруженных наружным давлением, предварительно определяют по следующим формулам:
si« max। 5Ю у ю-6д ’21a] J’
Si ^ S1H ~b C,
где R — радиус кривизны в вершине днища по внутренней поверхности, мм; Пу — коэффициент запаса устойчивости; р — расчетное наружное давление, МПа; [а]—допускаемое напряжение при расчетной температуре, МПа; к— коэффициент, предварительно принимаемый равным 0,9 для эллиптических диищ и 1,0 для полусферических; для эллиптических и полусферических днищ к определяют по рис. 151, который для торосферических принимают равным 1; st— исполнительная толщина стенки.
(294)(294)После предварительного определения толщины стенки s1R вы числяют допускаемое наружное давление
(294)
(294)
гдегде
где
где
,26- 10-6Е Г 100 (si — с)
, 12 [а] ($1 — с)
imp- R + (S1_C) •
Пример. Требуется определить толщину стеики сварного вертикального цилиндрического аппарата, внутри которого создается вакуум, а в рубашке —• избыточное давление. Обечайка изготовлена из легированной стали и работает при температуре 150 °C (Е = 185-103 МПа; ат = 210 МПа; [г = 0,3).
Давление в рубашке составляет 0,6 МПа, вакуум в аппарате незначителен — 10 Па. Внутренний диаметр D = 0,2 м, высота L = 2,4 м.
Расчетное наружное давление
р = (0,6 + 0,1) Ю6 = 0,7- 10е Па = 0,7 МПа.
Находим значение коэффициентов пур _ ОДНО3
61 - 2,4.10"6Е — IO"6-185-10вк3 = LID = 2,4/0,8 = 3.
По номограмме (см. рис. 147) определяем ^ = 2,9, тогда so = j^D-lO-1 = = 2,9-0,8-IO"2 = 0,023.
Кроме того, находим
s« ~s« ~= 0,00147 м.= 0,00147 м.1,1 0,7-10®0,82-210-10® .
s« ~
s« ~
= 0,00147 м.
= 0,00147 м.
Примем максимальное значение толщины стенки, т. е. 23 мм + 1 мм = 24 мм.
Определим допускаемое давление из условия устойчивости в пределах упругости по формуле (289), но сначала найдем
Bi = min 1,0; 8>I5 -^fp^ 10б°0,023 } = min f1»0! 1,569}.
Минимальное значение St равно 1.
, .1810-в£[р1* = ’ nyBt, .1810-в£[р1* = ’ nyBtD ~ 100(з — с) 100(з — с)
, .1810-в£
[р1* = ’ nyBt
, .1810-в£
[р1* = ’ nyBt
18•10~® -185•1092,4-1,018•10~® -185•1092,4-1,00,8 / 2,3 \2,5 ' 2,4 к 0,8 )0,8 / 2,3 \2,5 ' 2,4 к 0,8 )= 6,48 МПа.= 6,48 МПа./ [ D j К D
18•10~® -185•109
2,4-1,0
18•10~® -185•109
2,4-1,0
0,8 / 2,3 \2,5 ' 2,4 к 0,8 )
0,8 / 2,3 \2,5 ' 2,4 к 0,8 )
= 6,48 МПа.
= 6,48 МПа.
Допускаемое давление из условия прочности находим из уравнения
_ 2 [о] (з- с) _ 2-210-10«-0,023 _ D+(s-c) -0,8 + 0,023
Находим допускаемое наружное давление
5,67МПа.5,67МПа.
5,67МПа.
5,67МПа.
На основании произведенной проверки толщину стенки можно уменьшить.
§ 16. НАДЕЖНОСТЬ И ДОЛГОВЕЧНОСТЬ ЕМКОСТНЫХ И ТЕПЛООБМЕННЫХ АППАРАТОВ
При проектировании аппаратов необходимо максимально учитывать надежность узлов и их долговечность. Конструируя аппарат, необходимо принимать во внимание предупредительные меры, обеспечивающие длительную безотказную работу его узлов и элементов.
Однако конструируя первый аппарат, нельзя предусмотреть все возможные варианты нарушения работы в части выполнения рабочих функций и целостности его узлов и деталей. Только испытания и наблюдения серийно выпускаемых аппаратов позволяют заметно повысить надежность вновь создаваемых образцов.
'Поэтому конструктор должен руководствоваться накопленными экспериментально данными по эксплуатации первоначально выпущенных аппаратов.
Например, при определении ресурса работы теплообменников важно определить продолжительность их работы до очередного ремонта. В простейшем случае может идти речь о длительности эксплуатации до удаления различных отложений на стенках труб теплообменников, что ухудшает способность передавать тепло от одной среды к другой.
Рис. 162. Диаграмма Циклической деформаций
Для прогнозирования надежности функционирования теплообменника необходимо воспользоваться статистическими методами обработки результатов испытаний имеющихся аппаратов. В простейших случаях может оказаться эффективной комбинаторно-матричный метод полного перебора вариантов состояния объекта.
Метод основан на построении прямоугольной матрицы, по осям которой отложены дискретные значения плотности вероятности факторов, определяющих процесс.
В конечной стадии расчета строят диаграмму зависимости надежности аппарата во времени.
Другим аспектом проблем надежности и долговечности являете^ ресурс работы материала, из которого выполнены рабочие органы. В данном случае необходим учет накопленных данных по вопросам длительной прочности аппаратов и мёханики разрушения. В ряде случаев длительную прочность следует рассматривать с позиций усталостного разрушения материала, имеющего место при циклическом нагружении.
В других случаях необходимо учитывать явления, протекающие при нагружении, которое зависит от/гемпературы, энтропии ■ и других параметров.
Важнейшим вопросом при конструировании является' определение ресурса аппарата. Этот вопрос должен рассматриваться дифференцированно. Аппарат, может разрушаться вследствие повреждений при циклическом нагружении.
Аппарат может разрушиться и при постоянном режиме нагру- ; жёния в результате чрезмерного развития деформаций материала, 4 из которого он выполнен. Это имеет место для металлов при высоких температурах, а для пластических масс при нормальной температуре. Аппараты, нагруженные внутренним давлением, чаще . подвергаются действию переменной нагрузки низкой частоты. : Нестационарный характер нагрузки обусловлен периодическими пусками и остановками аппаратов на очистку и ремонт, периодичностью технологического процесса и т. д.i
Большое число циклов нагружения испытывает, например, теплообменный аппарат за срок его службы.
- При анализе концентрации напряжений при расчете сосудов на малоцикловую долговечность указывают на наличие в корне надреза нагруженного образца контролируемой деформации. Окружающий надрез материал работает в упругой области и испытывает меньшие напряжения. В местах сопряжений цилиндри- ■ ческйх штуцеров с обечайками аппаратов резкие изменения деформаций существуют в ограниченных зонах внутри области с менее высокими уровнями концентрации напряжений, что также 214
можно отнести к контролируемой деформации и так называемому «жесткому нагружению».
При расчете долговечности в условиях жесткого нагружения часто используют зависимость Коффина —Менсона [171
^е, = с,
где N — число циклов до разрушения; вр — пластическая деформация за цикл; с — постоянная величина, принимая с погрешностью в сторону запаса,
(здесь ф—относительное сужение образца материала при разрушении, %) Амплитуда пластической деформации
е = L In 100р "Z^N ЮО — ф
Конструкционные стали и другие сплавы представляют собой мелкокристаллические конгломераты. При деформации конгломерата вследствие неоднородности строения материала уже на ранних стадиях процесса образуются пластические деформации отдельных кристаллов. Неоднородная пластическая деформация проявляется в несовершенной упругости, ведущей к гистерезису при циклическом нагружении металла (рис. 152).
Диаграмма зависимости между условными напряжениями а и размахами деформаций при образовании первого цикла нагружения свидетельствует о гистерезисе деформаций, характеризуемом широтой петли ер, т. е. удвоенной амплитудой пластической деформации. Амплитуда условных напряжений есть А о. Значению ц„ соответствует упругая деформация ее.
Для использования зависимости Коффина — Менсона при расчете на малоцикловую усталость обечаек аппаратов, нагруженных давлением, Ленджер предложил связать число циклов до разрушения с условным напряжением аи (см. рис. 152). Последнее рассматривается как произведение амплитуды деформации на модуль упругости при растяжении:
оа-=Е^ = Е^^Е^ =Е^ + оа,
.где е размах деформации,* ер — пластическая составляющая деформации; еу—упругая составляющая деформации; Аай — амплитуда действительных напряжений.
Общая деформация
+ i (295)
Поскольку величина аа при конечном числе циклов N всегда больше предела выносливости о_х при бесконечном числе циклов с запасом, можно заменить оа на о^.
Тогда выражение деформации примет вид
е^7^1пто^ + ^-(296>
Умножив левую и правую части последнего уравнения на модуль упругости материала £, получим выражение для амплитуды приведенных условных упругих напряжений
£1100 I/оо7\
=+( }
Полученная зависимость соответствует кривой усталости для случая симметричного цикла напряжений с контролируемой деформацией. С ухудшением пластических свойств материалов условный предел выносливости ст^ уменьшается. Поэтому высокопрочные и хрупкие материалы обладают более низким пределом выносливости.
Если разделить аау на коэффициент запаса прочности по напряжениям па, то получим выражение для допускаемой амплитуды приведенных условных упругих напряжений
[оа] = -—In4--^-,(298)
геа4 V [Л7]—V Па
где N — допускаемое число циклов нагружения.
Если применяют коэффициент запаса прочности по числу нагружений nN, то последняя формула будет иметь вид
При проектировании нагруженных внутренним давлением аппаратов на заданную долговечность обычно используют экспериментальные кривые малоцикловой усталости, построенные по данным испытаний большого числа образцов различных материалов на изгиб и растяжение-сжатие при одноосном нагружении. В результате группирования результатов испытаний строят кривые малоцикловой усталости материалов, используемых для проектируемых аппаратов. Принимая двукратный коэффициент запаса по напряжениям и десятикратный по долговечности, на основании упомянутых выше кривых строят кривые допускаемых деформаций и напряжений.
Экспериментальные данные свидетельствуют о том, что независимо от марки материала (сталей, сплавов титана) при N « «3...4 104 значение деформаций при разрушении одинаково. Формулы (298) и (299) и кривые допускаемых напряжений следует использовать для оценки прочности элементов аппаратов при раздельном или совместном действии.циклических, механических и термических напряжений при условии, что рабочая температура не вызывает изменения механических , свойств материала или ползучесть.
Рис. 183. Характеристика йзмё- нення нагрузки во времени
Одной из трудностей, возникающих при анализе малоцикловой усталости, является оценка прочности при асимметричных циклах напряжений. Однако результаты исследований показывают, что в упругопластической области нет существенной разницы между результатом действия от- нулевого цикла напряжений и знакопеременного. Поэтому при оа > ат асимметрию цикла можно не учитывать. В других случаях при расчетах без учета асимметрии циклов имеет место более высокий запас прочности. Для материала, предел текучести которого по значению близок к пределу
анан,-анан,-00АН,АНгАН,АНгРазмах главной нагрузки (первого типа)Размах главной нагрузки (первого типа)Н, = 2циклавремяН, = 2циклавремяРазмах нагрузки (второго типа)—।1—1—1—|——Мг = 3 циклаРазмах нагрузки (второго типа)—।1—1—1—|——Мг = 3 циклапрочности, получается заметное повышение запаса прочности. Однако для большинства аппаратов пищевой промышленности, которые выполнены не из высокопрочных сталей, допустим расчет на малоцикловую прочность по симметричному циклу напряжений. Для проведения расчета на малоцикловую усталость необходимо иметь характеристику изменения нагрузки Н во времени (рис. 153). Для упрощения расчетов эпюры циклов напряжений принимают в виде прямоугольников (рис. 153). Число циклов определяют при постоянной нагрузке или если одна нагрузка - может иметь в одном главном цикле (пуск в эксплуатацию и остаг новка) несколько второстепенных целых циклов. При сложном напряженном состоянии в расчетах на малоцикловую усталость часто рекомендуется использовать теорию наибольших касательных напряжений, согласно которой текучесть материала наступает при аэ =Oi — <т3 = °т (здесь Oj и <т3 — максимальное и минимальное напряжения в рассматриваемой точке).
ан
ан,-
ан
ан,-
0
0
АН,
АНг
АН,
АНг
Размах главной нагрузки (первого типа)
Размах главной нагрузки (первого типа)
Н, = 2циклавремя
Н, = 2циклавремя
Размах нагрузки (второго типа)
—।1—1—1—|——
Мг = 3 цикла
Размах нагрузки (второго типа)
—।1—1—1—|——
Мг = 3 цикла
В упругопластической области деформаций указанную разность напряжений щ и а3 называют интенсивностью напряжений а13.
Расчетная амплитуда условных напряжений
Оа = ("max — 0"т1п)/2 = А(Г/2.(300)
Далее определяют интенсивность напряжений а12; а23, а13 в различных плоскостях и значения Аа2/2 и Аа3/2.
Амплитуда условных напряжений для каждого цикла
<$а =-у-шах {| Лах — Аа2|; |Aax —Аа3|; | Аст2 — Ааэ|),
где Ка — эффективный коэффициент концентрации напряжений,
^с = I Н~ g («о — 1)
(здесь g — коэффициент чувствительности к концентрации напряжений, 0 ^ ^g^l; а0 — теоретический коэффициент концентрации).
Учитывая, что элементы большинства аппаратов находятся в плоском напряженном состоянии и, следовательно, а3 = О, условие можно записать в виде
*7а = “у K^Omax (^ijmlnl Ко>
°а = ~2" 1(°г)шах (^minl К<п
@а == 2 К®1 ^)тах “ (^1 ^2)minl Ку
По амплитудам условных упругих напряжений с помощью расчетных кривых усталости определяют допускаемое число циклов напряжения.
Если известны механические характеристики материала, то по формулам (298) и (299) определяют допускаемую амплитуду условных упругих напряжений [аа ] или допускаемое число циклов напряжения [А]. Значения [У] и [аа1 могут быть определены с помощью расчетных кривых усталости для соответствующих материалов (см. рис. 125).
Наибольшие напряжения в зоне концентрации для кругового выреза цилиндрического корпуса, находящегося под давлением й подкрепленного патрубком (см. рис. 112),
Отах ^ &ХаОтах, где о'тах — напряжение в цилиндрической стенке сосуда вдали от источника концентрации напряжений; аст — коэффициент концентрации, определяют по рис. 112,6; к—поправочный коэффициент, к определяют по рис. 112, а.
Пример. Требуется определить ресурс аппарата, находящегося под внутренним давлением. За один цикл нагружения давление изменяется от 0 до р и снова до нуля.
Следовательно,
Olmln = $2mln = ($1 ®2)mln = 0.
В результате расчета определены напряжения (МПа) днища и обечайки:
щ —165/248,5—272,6/322,6
а2 —227,9/—103,9—362,8/—184,2
щ — а2 62,9/352,390,2/506,8
оа пр —114/176—181,5/253
Примечание. В числителе приведены данные для наружной поверхности, в знаменателе — для внутренней поверхности.
Определяющим в расчете является напряженное состояние в крайних волокнах внутренней поверхности цилиндрической обечайки.
На кривой усталости (см. рис. 153) для оа = 250 МПа устанавливаем ресурс аппарата в циклах нагружения N= 1,4-104.
При неустановившихся режимах повторно-статических нагружений может быть использован принцип линейного суммирования усталостных повреждений. Этот принцип заключается в следующем. Пусть напряжения и число циклов, соответствующих данному уровню напряжений, меняются ступенчато; при этом предполагается, что известны диаграммы циклической прочности и число циклов до разрушения при данном напряжении.
Располагая этими данными, можно установить, что при амплитуде напряжения аа1 разрушение произойдет после Л\ циклов изменения напряжений, при напряжении аа2 — после N.z циклов и т. д.
Если пг — число циклов нагружения на t-м режиме при эксплуатации с амплитудами aai и Nt — циклическая долговечность, получаемая при регулярном нагружении, определяемом по кривой усталости по амплитуде напряжений аа. t-ro режима, и к — число режимов нагружения, то условием неразрушения конструкции будет
к
S пг I Nt = ар,
где ар — корректирующее значение суммы относительных долговечностей, ар = = 0, 1 ... 1.
Пример. Необходимо проверить прочность и долговечность корпуса аппарата, изготовленного из углеродистой стали, ат = 240 МПа и ав = 450 МПа. Число циклов при переменных нагружениях п2 = 5-Ю4 и п3 = 2,5-103.
В одной из точек на внутренней поверхности корпуса действуют следующие напряжения от различных факторов:
Фактор: давление охлаждение и нагрев тепловыделения . . . .Фактор: давление охлаждение и нагрев тепловыделения . . . .Ojа2OgСио2зОу10050—205070120420370—2050390440620570—2050590640Ojа2OgСио2зОу10050—205070120420370—2050390440620570—2050590640
Фактор: давление охлаждение и нагрев тепловыделения . . . .
Фактор: давление охлаждение и нагрев тепловыделения . . . .
Ojа2OgСио2зОу
10050—205070120
420370—2050390440
620570—2050590640
Ojа2OgСио2зОу
10050—205070120
420370—2050390440
620570—2050590640
Интенсивность напряжений при термоциклах ot2 = 0, а23 = 32, Oi3 = 32, а при тепловыделениях oi2 = 0, о23 = 52; Oi3 = 52; при расчетных значениях оа при термоциклах о23 = 16; Oi3 = 16 и при тепловыделениях о23 = 26 и о23= 26.
Циклическая долговечность М2 = 8-104; М3= 104, тогда г^/Ма = 0,63, Пз/Мз = 0,25, a ^nt/Nt = 0,88, следовательно, конструкция удовлетворяет условиям прочности.
Часто наблюдаются разрушения аппаратов вследствие ползучести материалов, из которых они изготовлены. Ползучестью материала называют явление изменения во времени напряжений и деформаций, возникающих при нагружении деталей, если нагрузки даже остаются постоянными.
Рис. 154. Кривая ползучестиРис. 154. Кривая ползучести
Рис. 154. Кривая ползучести
Рис. 154. Кривая ползучести
Для стальных и чугунных деталей ползучесть будет существенна при повышенных температурах (около 300 °C). Для металлов, имеющих низкую температуру плавления (алюминий, дуралюминий), полимерных материалов (пластмассы) ползучесть заметна при нормальной температуре.
Расчеты деталей на ползучесть чаще основываются на результатах экспериментального исследования ползучести материалов при одноосном растяжении постоянной во времени нагрузкой.
На рис. 154 представлена кривая ползучести нагретого образца. Тангенс угла наклона касательной к кривой на рис. 154 с осью абсцисс выражает в масштабе скорость деформаций, равную скорости деформации ползучести,
чг • • ■
В первой стадии ползучесть протекает с постепенно уменьшающейся скоростью., во второй — скорость минимальная и не изменяется во времени, а в третьей стадии она возрастает.
Наиболее изученной является степенная зависимость минимальной скорости деформации ползучести от напряжения:
а ?cmln=o«B; (301) где В = —— — функция времени (рис. 155).
at
При наличии кривых ползучести при определенной температуре и различных напряжениях устанавливают значения В и п..
На рис. 155 представлены зависимости функций Q и В от t.
Установлено, что с увеличением продолжительности нахождения металла в нагретом состоянии вследствие постепенного ослабления границ зерен имеет место переход от вязкого разрушения металла к хрупкому (явление охрупчивания материала).
Рассмотрим ползучесть цилиндрического корпуса аппарата.
Для упрощения предположим, что в результате действия давления внутри цилиндра возникают только окружные напряжения
о = pr[s,
где р — внутреннее давление; г — радиус цилиндра^ s — толщина стенки.
Относительная деформация цилиндра за время dtB окружном направлении
2л (г + dr-) — 2лг _ dr8/2лгг "
Скорость деформации 1 dr 8/ г dt 1
Учитывая формулу (301), получаем
L^. = b(pL\".
г dt \ s /
Предполагая, что в начале процесса ползучести радиус цилиндра и толщина его стенки были г0 и s0, из условия несжимаемости материала получим
2nr0Ls0 = 2 л/£s, где L — высота цилиндра.
Откуда
s = rosofr.
Подставляя из последнего выражения значение s в формулу (302), получаем
Т dt \ roSo / ’ или
1 dr D / рг2г0 \П Втчг = в\-^г) =~^г^г2п’
где О/0 = pr^s^ — первоначальное окружное напряжение в стенке сосуда.
Принимая В независящей от времени, разделяя переменные и интегрируя левую часть равенства в пределах от г = г0 до г = — оо и правую от 0 до tn продолжительности службы аппарата, имеем
илиилиГо0ОГо0О(302)(302)
или
или
Го0О
Го0О
(302)
(302)
ОткудаОткуда12лоо12лоо9„-2п — _2n VUz01 1п-Г 09„-2п — _2n VUz01 1п-Г 0
Откуда
Откуда
12лоо
12лоо
9„-2п — _2n VUz01 1п-Г 0
9„-2п — _2n VUz01 1п-Г 0
2л (а,»)" 5 2п2л (а,»)" 5 2пj—\п вj—\п в(303)(303)
2л (а,»)" 5 2п
2л (а,»)" 5 2п
j
—\п в
j
—\п в
(303)
(303)
Следует учитывать, что цилиндр работает в условиях сложного напряженного состояния, поэтому согласно работе [311 коэффициент
п+1
В1 = 3 В.
С учетом этой формулы, выражение (303) примет вид
V-.(304)
Данное выражение для /п можно получить непосредственно.
Пример. Необходимо определить время вязкого разрушения цилиндрического аппарата из оргстекла. Задано R = 10 см, s = 1 см, р = 2 МПа, п = 1,76, В = 1,2-10“18-/3600 (Па)-" с-1;
„ , „ „ 1,76+ 1 / 2 106-0,l \i.76 1,2-10—18,8
(307)(307)Рис. 156. Диаграмма длительной прочности
(307)
(307)
tx. р —tx. р —И + 1) Аа^И + 1) Аа^Интегрируя последнее выражение и учитывая, что при f = 0, ф = 1, найдем время хрупкого разрушения [311:
tx. р —
tx. р —
И + 1) Аа^
И + 1) Аа^
Выше было рассмотрено определение
времени вязкого и хрупкого разрушений. Последняя формула для хрупкого разрушения аналогична формуле, долговечности при вязком разрушении. Обе формулы в логарифмических координатах 1g ст0 и lg t* дают прямые АВ и CD, имеющие различный угол наклона к осям координат (рис. 156). Между указанными прямыми имеется участок смешанного разрушения ВС.
В данном случае одновременно протекают процессы ползучести и трещинообразования.
Установим продолжительность вязко-хрупкого разрушения цилиндрического аппарата, находящегося под действием внутреннего давления, с учетом изменения площади меридионального сечения стенки в процессе ползучести материала.
После интегрирования левой части уравнения (302) в пределах от г0 до текущего значения радиуса цилиндра г, а правой в пределах от 0 до t сопоставляем полученный результат с уравнением (304), с учетом того, что максимальное главное напряжение в цилиндре в данный момент времени t есть at, получаем
^ = 0/о(1 -шпуп-
Подставляя эту величину в формулу (306), имеем
ф" ^ = —Л<$ (1 - t/tB. ^т'п dt.
(n—m)ln(n—m)lnИнтегрируя последнее уравнение при / = 0иф = 1ис учетом формулы (307) для хрупкого разрушения, получаем
(n—m)ln
(n—m)ln
фт+1 _ 1 = —"^Р.т - п — т tx. р
Полагая ф — 0, получаем время вязкохрупкого разрушения
^р —■ ^в. р^р —■ ^в. рJ I I я zp I п~т\П /в. р /
^р —■ ^в. р
^р —■ ^в. р
где /* — время чисто хрупкого разрушения; т — постоянная для материала при / = const.
Данная формула справедлива при /р < /в. р И при окружных напряжениях в начальный момент времени, меньших следующей величины:
Oto =Oto ='2л(т+ 1) Л*+1
Oto =
Oto =
- 3 2 В (s — m^.
При окружных напряжениях, больших этой величины, разрушение является вязким.
Значения эмпирических коэффициентов В, п и т в зависимости от вида применяемого материала следующие:
Винипласт ОргстеклоКапрон Винипласт ОргстеклоКапрон 71—1В (м2/Н) 4 п т3,31-10*11,565,28-10"231,764,391,28-10"191,53,771—1В (м2/Н) 4 п т3,31-10*11,565,28-10"231,764,391,28-10"191,53,7
Винипласт
Оргстекло
Капрон
Винипласт
Оргстекло
Капрон
71—1
В (м2/Н) 4 п т
3,31-10*11,56
5,28-10"231,764,39
1,28-10"191,53,7
71—1
В (м2/Н) 4 п т
3,31-10*11,56
5,28-10"231,764,39
1,28-10"191,53,7
Г Л А В A IV
АППАРАТЫ С МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИМИСЯ РАБОЧИМИ ОРГАНАМИ
ШНЕКОВЫЕ ПРЕССЫ
Как было указано выше, разделение технологического оборудования на аппараты и машины является условным.
Имеется большое число аппаратов или машин, рабочий орган которых совершает медленное вращение. Из всего многообразия этого оборудования следует выделить два вида аппаратов (машин), имеющих наиболее общее значение для отраслей пищевой промышленности — шнековые прессы и аппараты с медленно вращающимися барабанами. В этих аппаратах производится^механи- ческая, тепловая, химическаяили физико-химическая обработка сыпучих пищевых продуктов. Для этих.видов аппаратов общим является необходимость обеспечения медленного вращения рабочих органов. И в одном и в другом случаях, почти так же, как и для емкостной и тепловой аппаратуры, не стоят на первом плане вопросы, связанные с вибрациями, с переходом рабочих органов через критические режимы.
В то же время эти виды оборудования имеют четкую специ- фику, требующую различных подходов при конструировании.
Шнековые прессы нашли широкое применение в пищевой промышленности; их используют либо для отжима жидкой фазы от сырья, либо для придания продукту определенной формы, либо для уплотнения продукта для лучшей транспортабильности.
Отжимные шнековые прессы используют для обезвоживания обессахаренной свекловичной стружки — жома для уменьшения энергозатрат при последующем его высушивании. Кроме того, их применяют для отделения сока от мезги, при обработке овощей и. фруктов, для отделения жира от мясной шквары и в других случаях.
Прессы уплотняющего и формующего действия применяют в макаронном производстве.
Для шнековых прессов характерны относительно высокое давление в рабочем пространстве 2,5—7,5 МПа и большая продолжительность непрерывного процесса. Частота вращения шнеков незначительна и составляет 2—15 об/мин. Медленное вращение шнека производят с помощью понижающей системы зубчатых передач.
2252258 Соколов В. И.
225
225
Рис. 157. Горизонтальный пресс ПСЖ-57:
/ — электродвигатель; 2 — маховик; 3 — коммуникация; 4 — сепаратор; 5, 18 и 19 — трубы для отвода жомопрессовой воды; 6 — смотровой люк; 7 — шнек; 8 — корпус; 9 — сято цилиндрическое; 10 — витки шнека; // — обечайка; 12 — шпилька; 13 — пружина; 14 — гайка; 15, 16 и 22 — опоры; 17 — ситчатый конус; 20 — полый конус; 21 — цилиндрическое колесо; 23 — редуктор
Большое давление в рабочем пространстве обусловливает использование методов расчета оболочек по моментной теории с учетом их перфорации и укрепления бандажами.
Пресс для предварительного отжима жома (рис. 157) имеет корпус, внутри которого прикреплено латунное сито и вращается чугунный двухзаходный шнек с прерывистыми витками лопастей. Степень отжатия жидкой фазы от жома регулируется изменением радиального зазора между цилиндрическим ситом и шнеком на выходе отжатого жома из пресса. Это регулирование производится с помощью пружин [43].
В последнее время создаются новые конструкции шнековых . прессов для отжима сусла из виноградной мезги.
В создаваемых шнековых прессах большого диаметра наблюдается недостаточное прессование внутренних слоев продукта, в связи с чем в ряде конструкций устанавливают специальные рыхлители.
Наличие давления и характер его изменения вдоль пресса определяют характер протекания процесса прессования. Скорость прессования зависит от давления и в то же время влияет на характер изменения давления в каналах, образованных шнеком. Усилия, необходимые для передвижения прессуемой массы, зависят от содержания жидкой фазы.
Рабочее пространство шнекового пресса состоит из активной зоны, в которой создается давление, и пассивной зоны, имеющей запорное устройство для создания сопротивления движению массы.
Зависимость давления в прессуемой массе рж определяют раздельно для промежуточных витков по формуле
Рх = РобАх, где ро — давление в начале винтового канала; х — расстояние по осн шнека; Л — постоянный коэффициент.
Для концевого витка в аналогичную зависимость вводят параметры торцовой части.
Двухшнековый пресс (рис. 158) включает два шнека, установленные на одной оси и имеющие разное направление вращения. Один из них прессующий, другой транспортирующий. Поступающая из бункера мезга сначала попадает на транспортирующий шнек, а затем на прессующий, который продвигает ее в камеру давления, ограниченную последним витком шнека.
В Последнее время внедряются более эффективные шнековоэксцентриковые прессы [271. Особенностью этих прессов является сочетание транспортно-нагнетательной функции шнекового механизма с прессующим эффектом во взаимно перпендикулярном направлении эксцентрикового устройства (рис. 159). Эксцентриковые устройства расположены за транспортирующим шнеком и прессующим. Для сохранения последних витков транспортирующего шнека установлены неподвижные радиальные лопасти. При вращении эксцентриков создается радиальное давление, интенсифицирующее процесс.
Эффективность эксцентрикового механизма значительно превышает эффективность промежуточных витков шнека, и ее можно сопоставить с эффективностью концевых витков. Прессуемая масса после сжатия в эксцентриковом механизме продви-
Рис. 158. Двухшнековый пресс Т1-ВПО-10:
/ — гидрорегулятор; 2 — кронштейн; 3 — регулировочный конус; 4 — кожух; 5 — цилиндр; 6 — прессующий шнек; 7 — вал; 8 — транспортирующий шнек; 9 — бункер; 10 — корпус пресса; // — редуктор; 12 — электродвигатель; 13 — рама; 14, .15, 17, 20 — патрубки; 16 — сборник; 18 — бандажи; 19 — барабан
Рнс. 159. Пресс для плодово-ягодного сырья
гается через вторую решетку в полость прессующего шнека, где ее захватывает винтовая лопасть заборного витка. Устанавливаемый после прессующего шнека эксцентрик создает повышенное давление в пассивной зоне.
Напряженным узлом шнекового пресса является перфорированный барабан. При его расчете на прочность следует учитывать переменное во времени давление внутри барабана по его длине и при его вращении.
Барабаны представляют собой перфорированные цилиндрические оболочки. Обозначим степень перфорации цилиндрической оболочки через
к = dis',где d — диаметр отверстий; s' — расстояние между центрами соседних отверстий.
Приняв, что ось Оу параллельна образующей цилиндра, найдем коэффициент запаса прочности обечайки по предельному равновесию (рис. 160):
п = [от- (1 — к) A/at,
где Of — предел текучести материала стенки; су — окружное напряжение в стенке сплошной обечайки.
Расчет обечаек по предельному равновесию не всегда возможен. Это относится к случаям, когда может быть хрупкое разрушение или переменный режим нагружения при работе детали.
Будем считать, что отверстия расположены по вершинам равносторонних треугольников и степень перфорации к > 0,35. Предположим, что напряженное„состояние цилиндрической оболочки подобно напряженному состоянию прямоугольной перфо- 228
Рнс. 160. Перфорированный элемент оболочки рированной пластинки, растяги- ваемой одновременно внаправле- У ниях осей Ох и Оу. Следовательно, результирующие напряжения могут быть подсчитаны алгебраическим суммированием напряжений при растяжении пластинки в на
правлениях Ох и Оу. В зависимости от того, с каким из направлений Ох или Оу ориентации рядов отверстий совпадает образующая цилиндрической обечайки, опасными могут быть точка 1 либо точка 2. Напряженное состояние в указанных точках одноосное.
Напряжения в точках 1 и 2
oi = (А, А АА) ож — у АоЕоаы;(308)
о2 = В0О6ах А |^у Fo — А ^у Во А у Со^ Оу,(309)
где ах — мембранное окружное напряжение, действующее в направлении оси Ох; ау — мембранное меридиональное напряжение, действующее в направлении оси Оу; Ло, Во, Со, Do, Ео, Fo, Од — коэффициенты, зависящие от материала обечайки и степени перфорации, значения этих коэффициентов при |1 = 0,3 приведены в табл. 10.
При расположении отверстий по вершинам треугольников в стенке обечайки жесткость стенки определяют по приведенным значениям упругих постоянных Е' и р'.
В направлении оси Ох
Е* = Е^А’х А цв;).
В направлении оси Оу постоянные
Е'и = ЕКАу^уВуУ,(310)
Цу = (С A V-D )/(Ау А цВу).(311)
Таблица 10
Коэффициенты к расчету перфорированных оболочек
Коэффициент
Степень перфорации к
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
-0,1275
— 0,1133
— 0,0973
— 0,0793
— 0,0559
— 0,0402
— 0,0225
— 0,0086
Во
— 0,0057
— 0,0150
— 0,0341
— 0,0520
— 0,0688
— 0,0844
— 0,0989
— 0,0123
Со
— 0,0262
— 0,0393
— 0,0524
— 0,0657
— 0,0786
0,917
0,1049
0,1180
Во
1,250
1,459
1,667
2,000
2,500
3,333
5,000
10,000
Ео
— 18,815
— 17,257
— 17,490
— 19,042
— 22,220
— 28,218
— 41,080
— 79,171
Ео
0,8479
0,9071
0.9752
1,0544
1,475
1,2587
13,937
1,5612
Со
— 25,96
— 24,15
— 24,31
— 25,66
— 28,06
— 31,62
— 36,70
— 43,95
1,090
1,196
1,372
1,665
2,184
3,221
5,895
18,247
Ау
1,082
1,181
1,348
1,625
2,105
3,035
5,332
—
в'х- В'у
0,129
0,219
0,337
0,499
0,734
1,108
1,801
3,570
С*
0,076
0,131
0,210
0,334
0,561
1,074
2,693
12,198
D*
0,829
0,769
0,737
0,749
0,834
1,058
1,601
3,220
ai = (3,333 4- 0,0402• 28,218) ах —ai = (3,333 4- 0,0402• 28,218) ах —(-L.0,402-28,218)аи = 154 МПа.(-L.0,402-28,218)аи = 154 МПа.а2 = 0,0844 — 1,62 аха2 = 0,0844 — 1,62 ах1,2587 4-31,621,2587 4-31,624-0,0844 + 4-0,09174-0,0844 + 4-0,0917Ох2Ох2= 766 МПа.= 766 МПа.
ai = (3,333 4- 0,0402• 28,218) ах —
ai = (3,333 4- 0,0402• 28,218) ах —
(-L.0,402-28,218)аи = 154 МПа.
(-L.0,402-28,218)аи = 154 МПа.
а2 = 0,0844 — 1,62 ах
а2 = 0,0844 — 1,62 ах
1,2587 4-31,62
1,2587 4-31,62
4-0,0844 + 4-0,0917
4-0,0844 + 4-0,0917
Ох
2
Ох
2
= 766 МПа.
= 766 МПа.
Рис. 161. Секция рабочего цилиндра шнекового пресса
Значения коэффициентов Л^, Л^, By, С', D* при ft = 0,3 приведены в табл. 10.
Приведенный модуль продольной упругости Е при больших значениях радиусов барабанов r/(7?s)< < 0,18 (здесь г — радиус отверстия; R — радиус барабана; s — толщина стенки)
Е* = Е (1 — с)3 (1 + 4с3),
где с = Fq/F (здесь Fo и F — площади соответственно всех отверстий перфорированной оболочки и срединной поверхности сплошной оболочки).
Пример. Необходимо рассчитать перфорированный барабан шнекового пресса для отжима влаги из сырого жома сахарной свеклы. Стенки рабочего цилиндра (рис. 161) образованы из сит, собранных по длине пресса в отдельные секции. Сита разделяют на наружные толщиной s = 12 мм и прикрепляемые к ним внутренние толщиной ст = 0,9 мм. Наружные сита выполнены перфорированными по треугольной сетке с шагом / = 30 мм, диаметр отверстий d = 20 мм. Внутренние сита имеют частую перфорацию, диаметр и шаг отверстий — переменный по длине цилиндра. Максимальное давление в рабочем цилиндре составляет МПа.
Средний радиус наружного цилиндра равен R = 360 мм. Наружный цилиндр выполнен из стали 1X13 (предел текучести ат = 410 МПа) [58].
Вследствие малой жесткости внутреннего сита можно считать, что давление р = 1 МПа передается только на наружное сито. Степень перфорации к = = 20/30 = 0,666.
Мембранные напряжения для сплошной цилиндрической оболочки
10,36 1СЛ мгт1 0,36_
= W " 154 МПа; От == 77 МПа-
Напряжения в точках 1 и 2 найдем по формулам (308) и (309), подставив в них постоянные из табл. 16.
Из приведенного расчета следует, что напряжения в точке 2 превышают предел текучести материала, в результате требуется увеличить толщину стенки.
Экспериментально полученная зависимость максимальных значений давления на стенки цилиндра пресса от расстояния приведена на рис. 162 [27].
Цилиндрический барабан рассчитывают как оболочку с бандажами по моментной теории обоолочек.
Расчет на прочность прессующих и нагнетательных шнеков производят по условной схеме. Виток шнека представляют как круглую пластину, жестко закрепленную по внутреннему контуру и нагруженную равномерным распределенным давлением.
Найдем выражения для изгибающих моментов Мг и М^, которые возникают в месте закрепления пластины.
р^па.р^па.Рис. 162. Зависимость максимальных значений давления в цилиндре пресса от рас* стояния:1 — р = з,с МПа; 2 — Р = 4 МПа; 3 — Р = 5 МПаРис. 162. Зависимость максимальных значений давления в цилиндре пресса от рас* стояния:1 — р = з,с МПа; 2 — Р = 4 МПа; 3 — Р = 5 МПа
р^па.
р^па.
Рис. 162. Зависимость максимальных значений давления в цилиндре пресса от рас* стояния:
1 — р = з,с МПа; 2 — Р = 4 МПа; 3 — Р = 5 МПа
Рис. 162. Зависимость максимальных значений давления в цилиндре пресса от рас* стояния:
1 — р = з,с МПа; 2 — Р = 4 МПа; 3 — Р = 5 МПа
Рис. 163. Расчетная схема витка шиека
Распределенная нагрузка (давление) равна р, коэффициент Пуассона для материала пластинки 0,3, отношение внутреннего радиуса пластинки к наружному 0,5 (рис. 163).
Поскольку задано отношение r0/R, воспользуемся табл. 6 сопровождающих функций. Перепишем для этого случая уравнения в следующем виде:
Мг = ^rr + Mt ^rt + P^rp + ^rq-
М<=Мг^г+М(^( + Р^р+^^
Оф = Mr/%r + Л^н^ + рффр + <№4^.
Выписываем из табл. 7 формулы для сопровождающих функций и подсчитываем соответствующие коэффициенты при Хо = r0/R = 0,5 и Хо = 1:
фгг (0,5) = 0,625; ч^ (0,5) = 0,375;
фГр (0,5) = 0,096; ф>? (0,5) = 0,0902;
%г (1) = -0,3297; фф^ (1) = 1,099;
%Р (1) = 0; %? (1) = 0.
Используя далее граничные условия при г = R; Мг = 0 и при г = г0; ф = 0, имеем два уравнения
■ 0 = 0,625МГв 4- 0,375М/о 4- 0,0926р — 0,0902р/?2;
0 = 0,3297Мг 4- 1,099^. 4-°.^3-
Из второго уравнения получим зависимость между М^ и МГо*.
М^ = О.ЗМ^; МГо = 0,174р^2; М^ = 0,05244рЯ2.
М/о = 0,05244р7?2.
Наибольшие напряжения на внутреннем крае
- oro = 6-0,174pD2/(4s2),
где D = 2R,
РОТАЦИОННЫЕ АППАРАТЫ С МЕДЛЕННО ВРАЩАЮЩИМИСЯ БАРАБАНАМИ
В пищевой промышленности широко применяют машины, основной рабочий орган которых барабан совершает медленное вращательное движение (частота вращения 0,5—5 об/мин). К ним следует отнести сушильные барабаны, барабанные смесители, вращающиеся печи, шаровые мельницы, известегасильные барабаны (на сахарных заводах и т. д.).
Барабанный смеситель (рис. 164) непрерывного действия для глянцевания или обсыпки карамели сахарным песком имеет барабан преимущественно цилиндрической формы и длиной, значительно превосходящей его диаметр.
Внутри барабана могут быть расположены насадки для пересыпания продукта (как это имеет место в сушилках) и жестко соединенные с барабаном транспортирующие винтообразные поверхности, как в диффузионных аппаратах. Размеры барабана и форма внутренней насадки определяются технологическим процессом, протекающем в барабане. Корпусы барабанов выполнены из листовой низкоуглеродистой стали. Толщина стенки обычно принимается равной 0,005—0,0011 диаметра барабана.
Барабаны имеют бандажи, служащие для передачи нагрузки от действия сил тяжести барабана и обрабатываемого продукта на ролики опорных станций. Одна из этих опорных станций должна иметь устройство, препятствующее осевому перемещению барабана. Барабан приводится во вращение с помощью зубчатого венца, связанного с шестерней вала редуктора. В ряде случаев опорные ролики могут являться фрикционным приводом.
Рис. 164. Барабанный смеситель УКГ-3 непрерывного действия:
/ — стойки; 2, 14, 15 —рукоятки; 3 — загрузочный коиус; 4 — ось; 5, 3, 13 — перегородки; 6 — бандажи; 7 — уплотняющие кольца; 9 — венцовая шестерня; 10 — цилиндрическая обечайка; 11 — барабан; 12 — разгрузочный конус; 16 — роликовые опоры; 17— электродвигатель; 18 — редуктор; 19 — промежуточная шестерня; 20 — упорные ролики; 21 — станина
Бандажи имеют обычно прямоугольное, квадратное или коробчатое сечение. В некоторых конструкциях бандажи насаживают в горячем состоянии на соединенные с барабаном кованые горловины или крепят к фланцу барабана. При больших размерах барабана целесообразно свободное крепление бандажей; бандажи надевают на чугунные башмаки (20—25 шт.), под-которые подкладывают подкладки. В случае свободной посадки бандажей на барабаны предусматривают температурные зазоры. При проектировании барабанных аппаратов необходим расчет прочности бандажей.
Бандажи выполняют из сталей Ст5, Стб, 40, 45, ролики — из менее прочных материалов, чаще из чугуна.
При проектировании опорных станций следует учитывать, что подшипники роликов работают в тяжелых условиях. При наклонном расположении барабанов следует учитывать осевую силу барабана
U = Р sin а.
Эта сила должна восприниматься, например, для легких барабанов опорными роликами с ребордами или упорными роликами.
Расчет опорных колец (бандажей). В мясной, молочной и других отраслях пищевой промышленности применяют опорные ■ кольца (бандажи) в тех случаях, когда оказывается необходимым приводить во вращение горизонтальные цилиндры, не имеющие валов (барабанные сушилки, шаровые мельницы, маслоизготовители и т. д.).
Если представить бандаж как круглую раму с замкнутым контуром, то для его расчета можно применить метод сил. Согласно методу сил при расчете статически неопределимой системы намечается основная статически определимая система, получаемая из заданной схемы рамы путем удаления всех лишних связей. Действие отброшенных связей заменяется неизвестными силами. Затем находят перемещения, вызванные нагрузкой и каждой неизвестной силой, направленной вдоль отброшенной связи. После этого составляют уравнения, в которых перемещения вдоль отброшенных связей приравнивают нулю. Из полученной системы ' уравнений, называемой канонической, определяют неизвестные силы.
Если замкнутый контур рамы разрезать в каком-либо месте, то это будет равносильно снятию трех внутренних связей и система станет статически определимой. Так как внутренние связи препятствуют взаимным перемещениям, их иногда называют взаимными связями. Усилиями во внутренних связях являются нормальная сила N, поперечная сила Q и изгибающий момент в данном сечении М.
Если контур нагруженной рамы разрезать, то два образовавшихся сечения, примыкающих одно к другому, переместятся друг относительно друга. Эти взаимные перемещения можно
5)5)Рнс. 165. Схемы к расчету бандажа: а — произвольный контур; б — схема нагружения бандажа; в — условная схема нагружения бандажаРнс. 165. Схемы к расчету бандажа: а — произвольный контур; б — схема нагружения бандажа; в — условная схема нагружения бандажапредставить состоящими из перемещения по горизонтали, по вертикали и углового перемещения.
5)
5)
Рнс. 165. Схемы к расчету бандажа: а — произвольный контур; б — схема нагружения бандажа; в — условная схема нагружения бандажа
Рнс. 165. Схемы к расчету бандажа: а — произвольный контур; б — схема нагружения бандажа; в — условная схема нагружения бандажа
Написав выражения для этих взаимных перемещений и
приравняв их нулю на основании того, что в действительности никакого разреза рамы нет, легко получить каноническую систему уравнений для данного замкнутого контура.
Если обозначить .через 61р, 62р, 63р перемещения вдоль отброшенных связей, вызванные действующей на раму нагрузкой, и через 6ife (t, к = 1, 2, 3) — перемещения в тех же направлениях, вызванные единичными нагрузками, действующими в направлении отброшенных связей, а через Хх, Х2, Х3 — силы, заменяющие действие отброшенных связей, то каноническая система уравнений для замкнутого контура будет иметь вид
Х^ + Х2612 + Х3613 + 61р = 0;
Х2622 + Х1621 + Х3623 + 62р = 0;
Х3633 + Xi631 + Х2632 + 63р = 0.
Выбор основной системы и направлений лишних неизвестных должен быть таким, чтобы каноническая система уравнений имела возможно более простой вид. С этой точки зрения часто бывает выгодно переносить лишние неизвестные в так называемый упругий центр. Рассмотрим подробнее последнее понятие.
Перенос системы сил, приложенных в данном сечении, может быть произведен по правилам теоретической механики в любую точку плоскости; при этом необходимо только обеспечить, чтобы
силы передавались на систему не в новой ее точке, а в старой. Это достигается введением дополнительного стержня (воображаемого), жесткость которого равна бесконечности.
Предположим, что имеется некоторый произвольный контур с заделанными концами (рис. 165, ау Отбросим левую заделку контура и приложим три неизвестных силовых фактора Хь Х2, Х3, заменяющих действие на раму отброшенных связей. Допустим, что эти силовые факторы нам известны и равны каждый единице. Определим перемещения свободного конца рамы под действием каждого единичного силового фактора. При этом воспользуемся интегралом Мора:
£/6н = J M^ds = ^y2ds;оо
Е^ = jMlds = jz2ds;
Оо
ss
EJ633 = j 1 ds; EJ812 = j MtM2 ds = j yz ds;оoo
EJ812 = J Mx ds = J yds; EJ823 = ^zds.00
Из приведенных данных видно, что
EJ8U = Jv, EJ822 = J2; EJ833 = L, EJ813 = Sjj EJ8y2 = /i2; EJ823 = S2, где Д — момент инерции контура относительно оси г; J2 — момент инерции контура относительно оси у; L — длина контура; St — статический момент контура относительно оси z; S2 — статический момент контура относительно оси у; JJ2 — центробежный момент инерции контура относительно уг.
Если система неизвестных сил будет перенесена в центр масс системы, то 613; б23 будут равны нулю. При направлении сил Х1( Х2, Х3 по главным осям инерции системы перемещения б12 не будет.
Точку, в которую нужно перенести лишние неизвестные для того, чтобы все побочные перемещения б12, б13, б23 обратились в нуль, называют упругим центром масс рамы.
Перейдем к расчету бандажей. Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай, когда бандаж несет нагрузку от действия веса барабана с его содержимым. Обычная схема нагрузки кольца показана на рис. 165, б.
Примем действующее на нижнее полукольцо давление, изменяющееся по следующему закону:
р = q sin (ф — л/2) = —q cos ф. ■
Общая вертикальная нагрузка кольца пусть будет Р. Давление на элемент кольца с центральным углом dtp
pRd^ ^= —qR cos фйф.
Найдем теперь реакции опорных роликов, пользуясь условиями статики
Р = —ЧТ cos а; (312) Т = —P/(2cos а).(313)
Разрежем кольцо по сечению пт, к концам разреза мысленно прикрепим две фиктивные невесомые бесконечно жесткие балочки и на концы этих балочек в центр кольца перенесем силы реактивного воздействия одной части кольца на другую (рис. 165, в).
В месте разреза кольца необходимо приложить продольную силу Хх. Причем сила Хг действует не только на правую часть кольца, но и на левую в противоположном направлении.
В месте разреза необходимо также приложить изгибающий момент Х3 к правой и левой частям кольца с противоположными знаками. Поперечная сила Х2 в рассматриваемом сечении отсутствует, так как нагрузки симметричны относительно сечения. Перенося продольную силу Хх в центр кольца, необходимо в соответствии с правилами теоретической механики приложить к концам фиктивных балочек пары сил, равные ХгР (здесь R — радиус кольца). Таким образом, получим статически определимую кольцевую раму, в центре которой действуют продольные силы Хх и изгибающие моменты Х3 = Хз + X\R, передающиеся на раму через фиктивные балочки.
Нетрудно видеть, что указанные силовые факторы оказались перенесенными в упругий центр кольца.
Каноническая система уравнений для данного случая имеет вид
Хх6ц + 61р = 0;
Х3633-{-6зр = 0,
где 61Х — взаимное.перемещение сечений в горизонтальном направлении, вызванное единичными силами; 633 — взаимное угловое перемещение сечений от единичных пар.
Из полученных уравнений находим
Хг = -6ХР/6ХХ;(314)
Хз = —6зр/6зз.(315)
Перейдем к определению перемещений 61р, 63р, 61Х, 633. Перемещение 6ХХ определим с помощью интеграла Мора, пренебрегая влиянием продольных и поперечных сил,
6И = J NftRNEJ.(316)
Для нахождения единичного момента М1 вместо силы Xf приложим единичную силу. Момент Мх для любого сечения кольца с направляющим углом ф
Mx = \ ^R — R cos ф) — R = —R cos ф.
Подставляя ML в уравнение (316) и, производя интегрирование, имеем
2Л
& f Rs cos2 ф </ф nR3 011 - J EJ
о
Перемещение 633 найдем из выражения
2л
633 = j M3R dq>/EJ.
О
Если единичный момент М3 равен единице, то
2л'
633 = j R d(p/(EJ) = 2mRREJ\
О
Определим перемещения 61р, используя следующее уравнение:
2л
61р = J Л4РМ^ d^/EJ.о
Это перемещение можно представить состоящим из перемещения 6[р, вызванного распределенной нагрузкой, и перемещения б'(р, обусловленного действием сосредоточенных сил Т. Для нахождения момента в данном сечении кольца от распределенной радиальной нагрузки напишем выражение для элементарного момента указанной нагрузки в данном сечении кольца с направляющим углом ф. Для этого давление на элемент кольца с центральным углом dtp умножим на плечо R sin (ф — ф), в результате получим dMp- = —qR cos ф/? sin (ф — ip).
Момент от распределенной нагрузки в данном сечении кольца / ф=<р
Мр-= j — qR Costy# 81п(ф — хр) dxp- qR2 ^-л ~ 2ф sin ф — —^ ^ .
(317)
Относительное перемещение 6[p, вызванное действием распределенной. нагрузки,
б» - 2 J -5Мф _С05фЛ=^ =
л/2
Момент от распределенной нагрузки действует на участке кольца при л/2 < ф < Зл/2, момент от сосредоточенных сил Т
действует на участке при L < ф < 2ла. В любом сечении кольца при а < <р < 2л момент от сосредоточенных сил Т
Мр- = —TR sin (ф — а).
Относительное перемещение 6"р, вызванное действием сосредоточенных сил Т,
Л
Sip = 2 -=7- sin (<p — a)R2 cos ф йф = —р. (л — а) sin а.
а
Таким образом, полное перемещение 61р определится при суммировании б;р и 61р:
°1Р = о,р + о1р =___ а) sm а.
Подставляя 61р и 6ц в уравнение (314), найдем продольную силу
xi (л —a)sina.
Перемещение 63р также представляем состоящим из перемещения 6зр, вызванного распределенной нагрузкой и перемещения 63р, вызванного действием сосредоточенных сил Т.
Перемещение 63р найдем из выражения
6зР = 2 J -^-Rd^.
Л/2
Подставляя в последнее уравнение значение М'р, получаем
8зР = 2 } ^ (^^ sin ф — -М-) R dtp = qR3 (4^ + 2).
Л/2
Аналогично найдем перемещение
63р = —2 j TR sin (ф — a) R dtp = 2ТR2 cos (л — а), а
Полное перемещение
63р = ^3.(4 л + 2) + г?/?2 cos (л — а).
Подставляя 63р и 633 в уравнение (315), получаем значение момента
X» = S(-T л+ 2)-4^ cos (л-a) или
Для того чтобы получить значение момента в сечении кольца тп, необходимо из значения Хз вычесть значение пары XxR = = ZB_ (л _ а) sin а:
Х3 =(4 л - 1) + ^[1 + cosa - (л - a)sina].
Таким образом, подставив значение Т из выражения (313), окончательно получим
(318)
(4 л- О ~ 2л^«~[1 + с°8“ — (л — a)sinaj. (319)
Давление барабана на бандаж обычно изменяется по синусоидальному закону. Давление.-равно нулю на горизонтальном диаметре, а на вертикальном достигает максимума: р = —q cos ф. Давление на элементарную дугу кольца с центральным углом ^ф будет Rq cos ф йф. Вертикальная его проекция будет равна Rq cos2 ф ^ф.
Из условия статики имеем
з
Р = J /?^СО82ф^ф = Rq^ ; q = 2p/(nR).(320)
Л
Подставляя значение q в уравнения (318), (319), получаем
Х! = —4 [4 + 4(л~а)1ёа] ’(321)
Х3=--^ЛА_± + —!4(„_a)tgal.(322)
л L л 4 1 2 cos а 2 v'
Момент от распределенной нагрузки найдем из уравнения (317), подставив в него значение q из уравнения (320):
'Мр = — 44 (cos ф 4- 2ф~— Sin л) .
Напишем выражение изгибающих моментов для сечений левой половины кольца с направляющим углом ф:
при 0 с ф с л/2
М = Х3 + XtR (1 — cos ф);(323)
при л/2 < ф < a
М = Х3 + Х^ (1 — cos ф) + Мр-,(324)
при а с ф < л
М = Х3 + XtR (1 — cos ф) + Мр — TR sin (ф — а). (325)
Рнс. 166. Эпюра моментов, изгибающих бандаж
Подставляя значения Xt и Х3 формул (321) и (322) в уравнения (323)—(325), определяем изгибающий момент в любом сечении бандажа.
Пример. Требуется рассчитать бандаж барабанной сушилки, причем нагрузка на бандаж составляет Р = 127 530 Н; средний диаметр бандажа 2 R.
Подставив указанные значения в формулы (321), (322), (313) получим Xt = = Nn = 407,1 Н; Х3 = 13 3220 Н; Т = —Р/(2 cos а) = 73 575 Н.
Полагая ф = 0,10, .... 180°, легко найдем значения изгибающих моментов в рассматриваемых сечениях. Значения изгибающих моментов (Н-м) в зависимости от ф следующие:
ф . .
. . . . 0
10
20
30
40
50
53,5
м. .
. - . 1332,2
1283,2
1137
895,7
520
169,7
0
ф . .
. . .60
70
80
90
100
ПО
120
м. .
. . . —296,3
—810,3
—1357,7
—1924,7
—2363,2
—2619,3
—2111
ф . .
. . .130
140
150
160
170
180
м. .
. . . —531,7
2303,4
6335,7
1773,6
—1120
—2042,4
Из эпюры изгибающих моментов (рис. 166) видно, что наибольшие по модулю напряжения имеют место в местах касания бандажа роликов.
Максимальные напряжения в сечениях бандажа о = M/W,
где W — момент сопротивления сечения бандажа.
Запас прочности бандажа определяют с учетом предела выносливости или малоцикловой усталости. Характеристики цикла нагружения находят на основании эпюры изгибающих моментов по максимальному и минимальному напряжениям.
Рис. 167. Опорные и упорные ролики:
1 — бандаж; 2 — ролик
По формуле (313) определяют реакцию опорных роликов. Сила, сдвигающая ролик в горизонтальном направлении,
S = Т sin ф = Р tg ф/2.
Сила, прижимающая подшипник ролика к раме, Т cos ф = Р/2.
Обозначим силу натяга всех болтов, крепящих подшипник к раме, через Ро, коэффициент трения корпуса подшипника о раму — через f. Упорные болты (рис. 167) или стяжные для регулирования и перемещения подшипников опорных роликов по горизонтали будут воспринимать усилия
* F = Р tg ф/2 - / (Ро/2 + К),
где К — сила натяга всех болтов, крепящих подшипник к раме.
Полагая, что болты незатянуты (/ = 0), найдем
F = [р (tg ф — 1)]/2.
При ф = 60° реакция Т имеет умеренные значения и обеспечивается необходимая устойчивость барабана. При применении фрикционного привода реакцию Т требуется увеличить, вследствие чего угол ф должен составлять 90—100°.
Опорные ролики в ряде случаев выполняют двойными для уменьшения нагрузки на ролик (рис. 168).
Максимальные контактные напряжения, возникающие в материале бандажей и роликов, определяют на основании теории Герца:
Отаху EvVE2 R1R2 ’
где Рг — усилие на единицу длины контакта, Н/см; Rt и R2, Е^ и Еа — соответственно радиусы бандажа и ролика и модули упругости их материалов.
Рис. 168. Двойные опорные ролики
Рнс. 169. К расчету контактирующих цилиндров
При работе барабанных аппаратов, опирающихся на ролики, I в материале бандажей и роликов возникают контактные напряже- j ния. Если принять, что между снимаемыми цилиндрами отсут- | ствует трение, то можно считать, что в точках контакта будут | действовать лишь нормальные давления.j
При взаимном нажатии двух цилиндров, радиусы нормальных ] сечений которых Кг и Т?2, с параллельными образующими при ] равномерно распределенной нагрузке q площадка контакта будёт ( иметь форму прямоугольников (169). Ширина последнего может j быть определена по формуле, полученной на основании решения 1 Г. Герца:.j
О у 4liR1+XjR2 •
Наибольшее напряжение сжатия, действующее в точках оси площадки контакта,
o'max = 1,27 -| = °-4 18 ]/<7 еД-^ "Д^Д" "
Как показывает анализ напряженного состояния, опасная 1 точка находится на вертикальной оси (соединяющей центры нормальных сечений цилиндров) на глубине, равной 0,4 ширины площадки контакта. Главные напряжения в этой точке
оу = — 0,18отах; о2 = —0,288ОтаХ; о3 = —0,780отах.
Наибольшее касательное напряжение в опасной точке ^max = 0,3<Тшах.|
242I
На основании полученных формул можно сделать заключение, что контактные напряжения не являются линейной функцией нагрузки. С возрастанием последней они незначительно увеличиваются и в основном зависят от упругих свойств материалов. Это обусловлено увеличением размеров площадки контакта с возрастанием нагрузки. Применяя энергетическую теорию прочности, можно получить эквивалентное напряжение в опасной точке:
^экв О^бОщах.
Ширина бандажа
h = Tlq.
Значение q рекомендуется принимать от 10е Н/м для быстроходных барабанов и до 2,4-10® Н/м для барабанов, вращающихся с частотой 3—4 об/мин.
Если при проверке значения отах будут высокие, то ширину роликов увеличивают.
ГЛАВА V
РОТАЦИОННЫЕ МАШИНЫ
§ 19. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
С помощью машин производится изменение формы, свойств, состояния и положения обрабатываемого продукта.
Современная машина состоит в основном из питающих устройств, исполнительных механизмов с рабочими органами, приводного механизма, а также устройств для управления, регулирования, защиты и блокировки. Исполнительный механизм включает ведомое звено, с которым соединены рабочие органы/ и ведущее звено, связанное с приводным механизмом.
Машины пищевых производств приводятся в движение в основном индивидуальными электродвигателями.
Особенностью машин является наличие движущихся рабочих органов, непосредственно воздействующих на обрабатываемый продукт. Особенностью аппаратов является наличие рабочей камеры, в которой производится воздействие на продукт для изменения его свойств.
Указанное различие машин и аппаратов, как уже указывалось выше, является условным. Некоторые машины по указанному делению могут быть отнесены к аппаратам, а аппараты— к машинам.
С точки зрения курса «Расчет и конструирование машин и аппаратов пищевых производств» машины наиболее общего назначения и имеющие широкое распространение в различных подотраслях пищевой промышленности, можно разделить на ротационные, пульсационные и вибрационные.
В ротационных машинах рабочие органы совершают вращательное движение с большой частотой вращения, благодаря которому осуществляется технологический процесс.
Для примера на рис. 170 приведен общий вид молотковой дробилки, относящейся к ротационным машинам.
В пульсационных машинах рабочие органы — это обычно поршни, совершающие возвратно-поступательное движение с невысокой частотой и воздействующие при этом на соответствующую среду или обрабатываемый продукт.
В вибрационных машинах рабочие органы совершают высокочастотные колебания, благодаря которым происходит изменение свойств обрабатываемых продуктов.
Необходимо учитывать отличие машин от автоматов. Последние являются машинами, которые самостоятельно производят все рабочие и холостые (вспомогательные) движения рабочих циклов, включая и управление, этими циклами. Основное назначение автоматов в пищевой промышленности — осуществление вспомогательных операций: наполнение тары продуктом, расфасовка и упаковка продукта, изготовление тары и т. п.
Если при конструировании машин пищевых производств необходимо комплексно решать вопросы, связанные с физико-химическими и микробиологическими процессами, прочностью, жесткостью и устойчивостью элементов машин, а также со свойствами материалов, из которых выполнены рабочие органы машин, то при конструировании автоматов главной задачей является оптимальный выбор кинематических схем приводов, обеспечивающих заданное движение соответствующих элементов автоматов.
Таким образом, можно сделать вывод, что задачи расчета и конструирования деталей и узлов машин пищевых производств значительно отличаются от задач расчета и конструирования автоматов.
Советские ученые — механики И. И. Артоболевский и А. Н. Боголюбов указывали на то, что тенденции последних десятилетий в разработке промышленного оборудования выдвигают на первое место ротационные машины, обладающие высокими техникоэкономическими показателями. В пищевой промышленности такие машины получили большое распространение. Продукция сахарной и молочной промышленности, обрабатывается на центробежных роторных машинах. Широкое распространение получили центробежные насосы, компрессоры, дисковые измельчители и т. д.
Рис. 170. Молотковая дробилка:
1 — вентилятор; 2 — молотки; 3 — стержень; 4 — диски; 5 — вал; 6 — подшипники; 7 — сито
Рис. 171. Дисковая пила:,1 — электродвигатель; 2 — ограждение; 3 — диск; 4 — устройство для зажимания кости; 5 — вал; 6 — подшипник вала; 7 — гибкая передача; 8 — стол; 9 — станина; 10 — кожухРис. 171. Дисковая пила:,1 — электродвигатель; 2 — ограждение; 3 — диск; 4 — устройство для зажимания кости; 5 — вал; 6 — подшипник вала; 7 — гибкая передача; 8 — стол; 9 — станина; 10 — кожух
Рис. 171. Дисковая пила:,
1 — электродвигатель; 2 — ограждение; 3 — диск; 4 — устройство для зажимания кости; 5 — вал; 6 — подшипник вала; 7 — гибкая передача; 8 — стол; 9 — станина; 10 — кожух
Рис. 171. Дисковая пила:,
1 — электродвигатель; 2 — ограждение; 3 — диск; 4 — устройство для зажимания кости; 5 — вал; 6 — подшипник вала; 7 — гибкая передача; 8 — стол; 9 — станина; 10 — кожух
Поэтому в настоящем курсе сделан акцент на расчет и конструирование ротационных машин, требующих высокой подготовки специалиста при их конструировании.
В пищевой промышленности широко применяют разнообразное оборудование, имеющее быстровращающиеся рабочие органы.
С точки зрения расчета и конструирования машины с быстро- вращающимися исполнительными деталями и узлами можно условно подразделить на дисковые (или простейшие) и роторные.
Дисковые машины конструктивно более просты по сравнению с роторными. Основным рабочим органом этих машин, выполняющим определенный технологический процесс, является диск или набор дисков простого или сложного профиля, лопасти, крыльчатки, ножи и т. д.■
На рис. 171 показана простейшая дисковая машина — циркульная пила, применяемая на мясокомбинатах для отпиливания рогов или распиливания костей. Рабочим органом ее является пильный диск с заточенными или разделенными зубцами. Пила приводится во вращение от электродвигателя через ременную передачу. Быстровращающиеся дисковые ножи устанавливаются в различных агрегатах пищевой промышленности, например в комбинированной резательной машине, применяемой в овощных линиях консервного производства. К дисковым машинам может быть отнесена молотковая дробилка, показанная на рис. 170 и применяемая в пищевой промышленности для измельчения сухого зерна, костей, соли, сахара и др. Основным рабочим органом молотковой дробилки является набор дисков, несущих стальные молотки-бичи, которые при вращении дисков производят измельчение продукта.■
К дисковым машинам можно отнести дезинтеграторы, эмуль- серы, центробежные насосы и воздуходувки, центробежные сита, применяемые в крахмало-паточном производстве и т. д.
Представителем роторной машины является осадительная центрифуга со шнековой выгрузкой для разделения крахмального молочка (рис. 172). В этой центрифуге рабочим органом является быстровращающийся ротор, в котором имеется шнек, выгружающий осадок и имеющий частоту вращения, немного отличающуюся от частоты вращения основного ротора. В роторе происходит технологический процесс разделения крахмального молочка.
§ 20. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРОСТЕЙШИХ БЫСТРОВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ
Для определения напряжений аг и at и радиального перемещения и в быстровращающихся дисках применимы уравнения (80)—(83). Рассмотрим сначала сплошной диск.
На выделенный бесконечно малый элемент диска, толщиной dx и высотой и шириной, равными единице, действует сила инерции (Рис- 173) j = pdxto4, (326)
где р — плотность материала диска; со — угловая скорость диска; х — радиус выделенного слоя (г — текущий радиус).
Уравнение для радиального напряжения запишем в следующем виде:гг
°г = °гоФгг + О/оФг/ - J P<»Mrm (у) dx = — f Хфгт (Х^ dx.
Выше было получено
Фг^7т (у) = у [(1 + Р) ± (1 - Р) 4] ’ тогдаг
—рю2 j-y^1 +р) + (! — и) у-] xdx =
= -рш^ [(1 + Р)1^- + (1 + Р)-
где X = г0/г.
Обозначим
т ^,tJt®=- 4-[2(1+р)(1-^)±(1-р)(1-^)1. Тогда
аг = сгл01ргг + ^/оФг/ + рю^Фго;(327)
О/ = огоф/г + О/оФ// + Р^Ф/и-(328)
Учитывая граничные условия для быстровращающегося диске с отверстием ог0 = 0 ц (ar)r=R = 0 и значения фгг (то^) (см. табл. 6), имеем
о—°,„Т_(1 -^)-е^[2(1+И)(1—^)] + [<1—И)(1—^)], '-.-У(329:
Рис. 173. Схема к расчету быстровращающегося диска
Рис. 174. Схема нагружения диска усилиями, равномерно распределенными по концентрическим сечениям
Очевидно, что о/0 будет больше малого значения at.
Подставляя в уравнения (327) и (328) значения сопровождающих функций ф,/ и значение о<„ из последнего уравнения, получаем
(330)
«.-Ц^Н'+Ш’-^Ш’+тТ <33»
Определим радиальное перемещение и на основании уравнения (183) имеем
Г
i^ = Ого'-Фф, + ^олрф, - ®2Р j х2ффт (-^-) dx, где ффт(^)=±(1-^).
После интегрирования и подстановки значений сопровождающих функций ффг и фф/ найдем выражение, из которого определим увеличение наружного радиуса диска, которое важно в практических расчетах,
АД = -^[(1-р)+^-(3+ц)].(332)
Соответствующие уравнения для сплошного диска можно получить, если в уравнениях (327), (328) принять ar0 = at0 = о0 и учесть, что фгг + tpr/ = 1, тогда для аг
. ,ТУ, = Сто + рсо2г2фг(й (0).
полагая X = 0, получаем
Ф га = g" [2 (1 + Р-) ± (1 — р)Ь vta
Используя условие (ог)г=к = 0, найдем
а0 = рЮ2Я2(-У^-).(333)
Полагая в уравнении (332) г0 = 0, определим
АД = (1 — ц) рсо2Д2/4£.(334)
Диски ряда машин, помимо собственной инерционной нагрузки, испытывают еще нагрузку от присоединенных деталей.
Например, в молотковых дробилках центробежные силы инерции молотков передаются через стержни дискам, нагружая их на радиусе установки стержней. Распределяя эту нагрузку равномерно по окружности указанного радиуса, можно принять, что кроме центробёжных сил инерции на диск действуют также радиальные усилия, равномерно распределенные по концентрическим кольцевым сечениям радиусов гг, причем на единицу длины окружности приходится сила Н,. При рассмотрении диска только под действием этих усилий (рис. 174) можно применить уравнения (81) и (82), в результате получим
о, = ог0фгг + 0/оФг< + 4"(335)
О'; = 0,0^;, + o^/t + -^ ^;m;(336)
Т^У ^го^фг + о/0г%/ + -ф- гффГО,(337)
где Сго и О/о — напряжение в точках на внутренней цилиндрической поверхности диска при г = г0.
Таким образом, расчет дисков, нагруженных радиальными усилиями, равномерно . распределенными по концентрическим окружностям, можно достаточно просто производить с помощью сопровождающих функций.
При расчете дисков молотковых дробилок распределенная нагрузка от действия сил инерции молотков
Н = mk^r^nr^ « т^ы2/2л,(338)
где m — масса одного молотка; к — число молотков; Гц — радиус центра масс молотков; гК ,— радиус расположения оси молотков.
При расчете' молотковых дробилок необходимо определить местные напряжения у отверстий в дисках, через которые проходят оси молотков.
Для определения коэффициента концентрации напряжений можно воспользоваться [40] следующей формулой:
а __ [®/lmax _ g ^^г_
к О/6О/ ’
где аг и О; — радиальное и окружное напряжение в сплошном диске в точке, соответствующей точке на окружности отверстия, ближайшей к центру вала, l^dmax — окружное напряжение в точке на окружности отверстия, ближайшей к центру вала; d — диаметр отверстия; 6 — расстояние между краями отверстий по окружности, на которой расположены центры отверстий.
Ось молотков рассчитывают как многопролетную балку, нагруженную сосредоточенными силами между опорами. Число опор принимается на единицу большим числа дисков. Сосредоточенная сила, действующая между опорами,
Рд = тды2гц.
При конструировании необходимо назначать жесткие допуски на посадочные отверстия дисков, молотков и на диаметры деталей, охватываемых отверстиями.
Для уменьшения ударной нагрузки молотков, воспринимаемой всей машиной, молотки должны подвергаться уравновешиванию на удар. Исходя из этого необходимо соблюсти следующее условие:
г2 = 1с,
X
где г — радиус инерции молотка относительно оси подвеса; / — расстояние от оси подвеса молотка до его рабочего конца; с — расстояние между центром масс и осью подвеса молотка.
Для прямоугольного молотка с одним осевым отверстием квадраты радиусов инерции относительно центра масс и оси подвеса молотка определяют по следующим формулам:
г2 = (а2 + Ь2)/12; г1 = г^ + с2,
где а и 6 — длина и ширина молотка.
Считая, что точка приложения удара расположена на конце молотка, найдем I = с Ц- 0,5а. Расстояние от оси подвеса до центра масс молотка с — (а2 -1- Ь2)/6а.
Если диски и оси молотков могут быть изготовлены из обычных конструкционных сталей, то молотки могут быть выполнены цз легированной термически обработанной вязкой износостойкой стали, например марки ЗОХГСА.
Силу Ед перенесем параллельно ее первоначальному направлению в срединную плоскость диска, одновременно приложив к нему момент, равный произведению силы Ед на плечо /.
В результате диск можно приближенно рассматривать нагруженным по окружности следующими силовыми факторами: радиальными распределенными силами Н, действующими в его срединной плоскости; изгибающими распределенными моментами т = HI, действующими в радиальных плоскостях диска (/ — расстояние от центра масс пальца до срединной поверхности диска).
Применяя принцип независимости действия сил, определяем напряжение от каждого из этих факторов в отдельности.
Находим напряжения в диске от действия распределенных сил Ht i-ro ряда молотков, равномерно распределенных по окружности радиуса г, и лежащих в срединной плоскости диска. Согласно уравнениям (335) и (336) эти напряжения
Мн = (о>„)яфгг + (о^Ыг/ + у ^ #<фгт; (339)
1
(о()я = (ог0)нф/г 4-7 2 н*щ. (340)
Напряжения в диске, обусловленные действием изгибающих моментов М;, определяют на основании первых двух уравнений (49), (77) и (78):
^Ат = "Г-^f - ^Р^г® + -j-V т^гт\ (341)
DOО
1
к
(^Ат = ^^ Ф/г + -^- ’Р» - ®2рГ21р/0) + j- 2 т*'П" (342) 1
§ 21. РАСЧЕТ ДИСКОВ ДЕЗИНТЕГРАТОРОВ, ЭМУЛЬСОРОВ, ДИСМЕМБРАТОРОВ И Т.Д.
Многие машины пищевой промышленности имеют диски, на боковой поверхности которых по концентрическим окружностям закреплены пальцы или другие детали.
В качестве примеров можно привести дисковый измельчитель для зерен кукурузы (рис. 175). Этот измельчитель имеет вращающийся диск, несущий конические пальцы, которые расположены по концентрическим окружностям, причем каждый ряд пальцев входит между двумя рядами пальцев неподвижного диска, закрепленного на крышке машины.
Рис. 175. Дисковый измельчитель
Рис. 176. Дезинтегратор:
/, 5 — соответственно левый и правый приводные валы; 2 — кожух; 3,4 — соответственно левый и правый диски с пальцами
Другим примером являются диски дезинтеграторов, применяемых для измельчения твердых продуктов (рис. 176). Два диска дезинтегратора вращаются в разные стороны. Расположенные по концентрическим окружностям цилиндрические пальцы одного диска входят между Двумя рядами пальцев другого диска. Диски, нагруженные боковой нагрузкой, применяют также в эмульсорах ударного действия для получения некоторых пищевых эмульсий и в других
машинах и аппаратах. Рассмотрим расчет на прочность вращающегося диска, на боковой поверхности которого укреплены пальцы. При вращении диска действующие на пальцы центробежные силы инерции дополнительно нагружают диск. Возникающие при этом напряжения суммируются с напряжениями от действия сил самого вращающегося диска.
Примем, что нагрузка на диск от действия силы инерции пальцев распределяется равномерно по окружности радиуса г (рис. 177) и ее величина, отнесенная к единице длины,
Hi = ^n/(2nr;), где кп— число пальцев.
Имея в виду, что распределенные силы, отнесенные к единице длины окружности расположения пальцев Нг, Нй, На и распределенные моменты тг, т2, тз действуют соответственно на радиусах гг, га, г3, суммируем соответствующие напряжения, определяемые из уравнений (339)—(342), в этом случае применим принцип независимости действия сил, что является приближением, так как при изгибе диска силы дают изгибающие моменты, несколько разгружающие диск
° г = (ст^ + (or)m = (тгОфгг + о^ + /-V^ffl + ^ ( ^ + 5-) ^т;
(343).
°< = № + (* - <rrOtp(r + <r,oip„ + rVi|)/(B + ^ (~ + ^r) ’h™
1 J
(344)
Рис. 177. Схема действия усилий на диск с пальцамиРис. 177. Схема действия усилий на диск с пальцами
Рис. 177. Схема действия усилий на диск с пальцами
Рис. 177. Схема действия усилий на диск с пальцами
Рис. 178. Диск четырехрядного дезинтегратора
ГДе^0 = ^ + -^;(345)
^о = (°«)н Ч^" •(346)
В выражениях (345), (346) а,0 и ст/0 являются напряжениями в сечении при г = г0.)
Пример. Требуется определить запас прочности для диска четырехрядного ; дезинтегратора, снабженного двумя рядами пальцев (рис. 178). Масса пальца ' 0,5 кг. Диск вращается с частотой вращения п = 700 об/мин. Материал диска — •’ Ст 30. Предел текучести материала сгт = 220 МПа. Наружный радиус диска * R = 40 см, внутренний г0 = 4 см. Радиус окружности, по которой расположен ’ первый ряд пальцев, принять равным наружному радиусу диска rt = R, число пальцев первого ряда 30, радиус окружности расположения пальцев второго ряда г2 = 280 мм. Число пальцев 22. Расстояние по нормали от центра масс пальца до срединной плоскости диска / = 5,5 см.
Угловая скорость
со = лп/30 = (3,14-700)/30 = 73,5 рад/с.
Подставляя в уравнения (330) и (331) для аг и О/ значения со = 73,5 с-1; р = 7800 кг/м3; R = 40 см; р = 0,3; г0 = 4 см, получаем
Стг = 28,4(1-^--^- +0,001 );(347)
а/ = 28,4 ^ 1 + — — 3,6г2 + 0,01) .(348)
Распределенную радиальную нагрузку центробежных сил инерции пальцев первого ряда определяем по формуле (339):
Нг = 1,8-10-М,5-7003-30= 13 000 Н/м.
Распределенные моменты от действие сил инерции пальцев первого ряда
ггц = Htl= 13 000-0,055 = 720 Н-м/м.
Соответственно для второго ряда пальцев
Н2 = 1,8-10~3-0,5-702-22 = 9000 Н/м;
т2 = Н2/ = 9000-0,055 = 500 Н-м/м.
Напряжения находим для следующих значений отношения г/Р: 0,1; 0,25; 0,7; 1. Результаты вычисления а, и at (МПа) по формулам (347), (348) во 254
r/Rаг0,1 (г = 4) . .. 05,6110,25 (г = 10) .. 2,2383,220,7 (г =28) ..1,422,1351,0 (г = 40) .. 01,261r/Rаг0,1 (г = 4) . .. 05,6110,25 (г = 10) .. 2,2383,220,7 (г =28) ..1,422,1351,0 (г = 40) .. 01,261вращающемся диске без боковой нагрузки следующие:вращающемся диске без боковой нагрузки следующие:Рис. 179. Расчетная схема диска
r/R
аг
0,1 (г = 4) . .
. 0
5,611
0,25 (г = 10) .
. 2,238
3,22
0,7 (г =28) .
.1,42
2,135
1,0 (г = 40) .
. 0
1,261
r/R
аг
0,1 (г = 4) . .
. 0
5,611
0,25 (г = 10) .
. 2,238
3,22
0,7 (г =28) .
.1,42
2,135
1,0 (г = 40) .
. 0
1,261
вращающемся диске без боковой нагрузки следующие:
вращающемся диске без боковой нагрузки следующие:
Определим напряжения в диске от действия центробежных сил инерции, развиваемых массами пальцев при вращении диска.
Расчетная схема диска для определения напряжений, обусловленных действием на диск центробежных сил инерции пальцев, показана на рис. 179.
Рассмотрим радиальные напряжения в нижних точках диска по внешней торцовой поверхности (г = R). Для определения этих напряжений можно использовать уравнение (343); кроме того, их значения легко можно определить по известным величинам Hi и «;:
Н1 । 6mi 13 000 . 6-720
( r)r R s + s2 0.0122 + 0.0122 — 51,08-10 МПа
(из рис. 179 видно, что момент в нижних точках вызывает растяжение). Запишем
31,08- 10е = ст/о^/ + ( —.°°6-99 \ ф_, (2L\
\ R / ' к 0,0120.0122\ R )
(распределенный момент т2 вызывает в рассмотренных точках сжатие, поэтому перед соответствующим членом уравнения стоит знак минус).
С помощью формул для сопровождающих функций (см. табл. 7) определяем значения сопровождающих функций:
Тогда последнее уравнение примет вид
31,08-10е = <Т/0-0,49 — 200,5-0,82-106,
откуда получаем значение окружного нормального напряжения для нижних точек внутренней торцовой поверхности диска при г = г0:
О/о = 95 МПа.
В дальнейшем вычисляем напряжения ог и О/ для тех же нижних точек диска, но лежащих на разных радиусах.
При г = 0,10 м
Л = г0/г = 0,04/0,1 = 0,4.
С помощью формул для сопровождающих функций (см. табл. 7) находим для данного значения Л = 0,4
Фм (0,4) = 0,58; фг< (0,4) = 0,42.
Затем подставляем эти значения в уравнения (343) и (344), в результате получаем
(ста^од = 951106-0,42 = 40 МПа;
(Oi)r=o,i = 95’ 10е■ 0,58 = 55 МПа.
i г = r^ = 0,28 м (справа от места приложения нагрузок). ,/ 90006-500 \ о„ _
(аг)^о,2в = 95-10^-0,488-—0=27,8 МПа;
(а+=о,2в= 95-10М.51+-0,3 = 40^ МПа.
\U,LM^ U,Ul2« /
При г = R = 0,4 величина (ог) была определена выше:
(<тг)г=04 = 31,08 МПа.
Для определения (az)r=04 находим значения сопровождающих функций, входящих в уравнения (343) и (344),
(^) = 0.5;(§-) =0.478;^ -0.3;
(oa.-i.4 - 9S.101.0.5+ (5у — ет^) °'478 + (о,012" +
, 13 000 + 0,012, 13 000 + 0,012= 47,75 МПа.= 47,75 МПа.
, 13 000 + 0,012
, 13 000 + 0,012
= 47,75 МПа.
= 47,75 МПа.
будут следующие:будут следующие:Найдем суммарные напряжения при выбранных значениях г, складывая напряжения аг и О/ (МПа), приведенные выше, и найденные при различных г (см). Суммарные напряжения будут следующие:
будут следующие:
будут следующие:
0
100,6
42,24
58,2
29,2
43,1
31,1
49,0
г/^:ог, МПа о/, МПа
0,1 (г = 4)
0,25 (г = 10)
0,7 (г = 28)
1,0 (г = 40) .
Из этих данных видно, что максимальные значения напряжений получают на наименьшем радиусе диска.
Принимаем гипотезу наибольших касательных напряжений и учитываем, что1 Oj = аь о3 = 0, находим коэффициент запаса прочности
■ М^тах = 220,0/100,6 = 2,2.
Отметим, что на напряжения значительно повлияла боковая нагрузка, обусловленная действием сил инерции пальцев диска.
Стержни дезинтеграторов изготовляют из материалов, обладающих большой твердостью и высокой ударной вязкостью. 256
Наибольшее применение для них находит хромокремнистая сталь 40ХС. Наряду с легированной применяют углеродистые стали 30, 50. Сталь 50 подвергается закалке при температуре 820 °C с последующим охлаждением в воде и затем отпуску с нагревом до температуры 630 °C и постепенным охлаждением в печи в течение 2 ч. Иногда прибегают к наплавке стержней из углеродистых сталей твердыми сплавами. Долговечность стержней составляет примерно 1200—1600 ч.
РАСЧЕТ ДИСКОВ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПРОФИЛЯ(РАСПЫЛИТЕЛЬНЫХ СУШИЛОК И ДР.)
Расчет диска даже постоянного сечения представляет собой сложную задачу. Однако на практике встречаются диски сложного профиля, например диски распылительных сушилок, колеса центробежных насосов и т. д.
Для расчета быстровращающихся дисков сложных профилей возможно применить метод трех усилий.
Диск, рассматриваемый в условиях плоского напряженного состояния, разбивают на участки постоянной толщины.
Рассмотрим два произвольных смежных участка п и п + 1 (рис. 180). На единицу длины окружности приходятся радиальные усилия: Nn_lt приложенное к внутреннему контуру n-го участка; Nn, приложенное к наужному контуру n-го участка и внутреннему контуру (п + 1)-го участка.
Хотя резкое изменение толщины диска на границах п и (п + + 1)-го участков приводит к скачку радиальных и окружных напряжений, усилия N и радиальные перемещения здесь не изменяются. Основываясь на равенстве радиальных перемещений в смежном сечении п и (n + 1) участков, напишем условие совместной работы этих участков (рис. 180)
n—iNn_ 1 -f- 8nnNn + Дп = bnnNn «n, n+iW„+i + A„, (349)
где 6П) n_i и 6nn — радиальные перемещения наружного края n-го участка под действием единичных радиальных усилий, приложенных к внутреннему и наружному краям n-го участка; 6' „ио' „ц,] — радиальные перемещения внутреннего края (п -|- 1)-го участка под действием единичных радиальных усилий, приложенных к внутреннему и наружному краям (п + 1)-го участка; Д„ и Д' — радиальные перемещения наружного края n-го участка и внутреннего края 4 (п -|- 1)-го участков, вызванные действием центробежных сил инерции на материал диска.
Мп+1Мп+1Пгу_Пгу_Единичные перемещения 6„ опре- т—— деляют следующим образом. Рас- ! ' смотрим случай, когда к внутрен- I нему контуру кольцевого диска при- I гп
Мп+1
Мп+1
Пгу_
Пгу_
Рис. 180. Схема к расчету диска ступенчатого профиля
2572579 Соколов В. И.
257
257
Схема нагруженияСхема нагруженияСхема нагруженияСхема нагруженияПеремещенияПеремещенияЛ — kR8 RЛ — kR8 RоткудаоткудаX~Аа~ВавьвтВЬвш0,001,30002,0000,7000,175 •0,7000,1750,051,3050,0052,0050,705330,170,1770,6970,1740,101,3200,0202,0200,72082,6750,1830,6890,1710,151,3460,0462,0460,74636,8420,1930,6760,1650,201,3830,0832,0830,78320,8000,2080,6580,1580,251,4330,1332,1330,83313,3750,2260,6350,1490,301,4980,1982,1980,8989,3420,2490,6070,1380,351,5790,2792,2790,9796,9100,2760,5760,1260,401,6810,3812,3811,0815,3310,3070,5410,1140,451,8080,5082,5081,2084,2490,3420,5030,1000,501,9670,6672,6671,3673,4750,3810,4630,0870,552,1670,8672,8671,5672,9020,4240,4200,0730,602,4251,1253,1251,8252,4670,4720,3750^0600,652,763•1,4633,4632,1632,1280,5230,3290,0470,703,2221,9223,9222,6221,8590,5790,2820'0360,753,8712,5714,5713,2711,6420,6390,2350,0260,804,8553,5555,5554,2551,4640,7030,1870'0170,856,5075,2077,2075,9071,3170,7710,1400,0100,909,8268,52610,5269,2261,1930,8430,0930,0040,9519,81318,51320,51319,2131,0890,9190,0460,0011,00————1,0001,00000 ■X~Аа~ВавьвтВЬвш0,001,30002,0000,7000,175 •0,7000,1750,051,3050,0052,0050,705330,170,1770,6970,1740,101,3200,0202,0200,72082,6750,1830,6890,1710,151,3460,0462,0460,74636,8420,1930,6760,1650,201,3830,0832,0830,78320,8000,2080,6580,1580,251,4330,1332,1330,83313,3750,2260,6350,1490,301,4980,1982,1980,8989,3420,2490,6070,1380,351,5790,2792,2790,9796,9100,2760,5760,1260,401,6810,3812,3811,0815,3310,3070,5410,1140,451,8080,5082,5081,2084,2490,3420,5030,1000,501,9670,6672,6671,3673,4750,3810,4630,0870,552,1670,8672,8671,5672,9020,4240,4200,0730,602,4251,1253,1251,8252,4670,4720,3750^0600,652,763•1,4633,4632,1632,1280,5230,3290,0470,703,2221,9223,9222,6221,8590,5790,2820'0360,753,8712,5714,5713,2711,6420,6390,2350,0260,804,8553,5555,5554,2551,4640,7030,1870'0170,856,5075,2077,2075,9071,3170,7710,1400,0100,909,8268,52610,5269,2261,1930,8430,0930,0040,9519,81318,51320,51319,2131,0890,9190,0460,0011,00————1,0001,00000 ■Таблица 12Таблица 12Значения коэффициентов в формулах для определения радиальных перемещений дискаЗначения коэффициентов в формулах для определения радиальных перемещений диска
Схема нагружения
Схема нагружения
Схема нагружения
Схема нагружения
Перемещения
Перемещения
Л — kR8 R
Л — kR8 R
откуда
откуда
X
~Аа
~Ва
вь
вт
ВЬ
вш
0,00
1,300
0
2,000
0,700
0,175 •
0,700
0,175
0,05
1,305
0,005
2,005
0,705
330,17
0,177
0,697
0,174
0,10
1,320
0,020
2,020
0,720
82,675
0,183
0,689
0,171
0,15
1,346
0,046
2,046
0,746
36,842
0,193
0,676
0,165
0,20
1,383
0,083
2,083
0,783
20,800
0,208
0,658
0,158
0,25
1,433
0,133
2,133
0,833
13,375
0,226
0,635
0,149
0,30
1,498
0,198
2,198
0,898
9,342
0,249
0,607
0,138
0,35
1,579
0,279
2,279
0,979
6,910
0,276
0,576
0,126
0,40
1,681
0,381
2,381
1,081
5,331
0,307
0,541
0,114
0,45
1,808
0,508
2,508
1,208
4,249
0,342
0,503
0,100
0,50
1,967
0,667
2,667
1,367
3,475
0,381
0,463
0,087
0,55
2,167
0,867
2,867
1,567
2,902
0,424
0,420
0,073
0,60
2,425
1,125
3,125
1,825
2,467
0,472
0,375
0^060
0,65
2,763
•1,463
3,463
2,163
2,128
0,523
0,329
0,047
0,70
3,222
1,922
3,922
2,622
1,859
0,579
0,282
0'036
0,75
3,871
2,571
4,571
3,271
1,642
0,639
0,235
0,026
0,80
4,855
3,555
5,555
4,255
1,464
0,703
0,187
0'017
0,85
6,507
5,207
7,207
5,907
1,317
0,771
0,140
0,010
0,90
9,826
8,526
10,526
9,226
1,193
0,843
0,093
0,004
0,95
19,813
18,513
20,513
19,213
1,089
0,919
0,046
0,001
1,00
—
—
—
—
1,000
1,000
0
0 ■
X
~Аа
~Ва
вь
вт
ВЬ
вш
0,00
1,300
0
2,000
0,700
0,175 •
0,700
0,175
0,05
1,305
0,005
2,005
0,705
330,17
0,177
0,697
0,174
0,10
1,320
0,020
2,020
0,720
82,675
0,183
0,689
0,171
0,15
1,346
0,046
2,046
0,746
36,842
0,193
0,676
0,165
0,20
1,383
0,083
2,083
0,783
20,800
0,208
0,658
0,158
0,25
1,433
0,133
2,133
0,833
13,375
0,226
0,635
0,149
0,30
1,498
0,198
2,198
0,898
9,342
0,249
0,607
0,138
0,35
1,579
0,279
2,279
0,979
6,910
0,276
0,576
0,126
0,40
1,681
0,381
2,381
1,081
5,331
0,307
0,541
0,114
0,45
1,808
0,508
2,508
1,208
4,249
0,342
0,503
0,100
0,50
1,967
0,667
2,667
1,367
3,475
0,381
0,463
0,087
0,55
2,167
0,867
2,867
1,567
2,902
0,424
0,420
0,073
0,60
2,425
1,125
3,125
1,825
2,467
0,472
0,375
0^060
0,65
2,763
•1,463
3,463
2,163
2,128
0,523
0,329
0,047
0,70
3,222
1,922
3,922
2,622
1,859
0,579
0,282
0'036
0,75
3,871
2,571
4,571
3,271
1,642
0,639
0,235
0,026
0,80
4,855
3,555
5,555
4,255
1,464
0,703
0,187
0'017
0,85
6,507
5,207
7,207
5,907
1,317
0,771
0,140
0,010
0,90
9,826
8,526
10,526
9,226
1,193
0,843
0,093
0,004
0,95
19,813
18,513
20,513
19,213
1,089
0,919
0,046
0,001
1,00
—
—
—
—
1,000
1,000
0
0 ■
Таблица 12
Таблица 12
Значения коэффициентов в формулах для определения радиальных перемещений диска
Значения коэффициентов в формулах для определения радиальных перемещений диска
Таблица 11
Радиальные перемещения диска
Перемещения
6н = ^ Ла;
8k = ^sB°
Примечание, 6Н и 6К—перемещения от единичных радиальных усилий в начале и в конце участков, м; Ан и Дк — перемещения от центробежных сил в начале и конце участков, м; Е—модуль продольной упругости, МПа; s— толщина диска, м; р — коэффициент Пуассона; А и В — коэффициенты соответственно для начала и конца участка; а и 6 — индексы, указывающие место приложения единичного усилия; го — индекс, отражающий инерционное воздействие, к = = pro2 (здесь го — угловая скорость, м/с; р — плотность материала диска, кг/м3).
ложена сила Н = 1 (см. рис. 170). Для определения перемещения наружного края воспользуемся уравнениями (335)—(337). Из уравнения (335) найдем о1й) используя условие (аг)г=^ = О,
О = — 2. фгг (г0/£) 4- алфг/ Vo!R\
1 Фгг (гр/Ю0/0 ~ S Фг/ W •
С учетом последнего равенства из уравнения (337) получаем т^--т*Ш + ^^*(#): 6,. -[^7^ %, WR) - к, №)] •
Аналогично находим перемещение наружного края сплошных дисков, заделанных по внутреннему контуру.
Радиальные перемещения края диска под действием центробежных сил инерции определяем по формулам (332) и (334). Формулы перемещений и численные значения коэффициентов, входящих в эти формулы, приведены в табл. 11, 12.
Используя формулы из табл. И и преобразовывая уравнение (349) трех усилий, окончательно получим
Nn_xBQ -VNn(Bb--^-Aa\- Un+x^s/n (Аю - B^
или -
+ N»Wnl.-
~ N^^^b^, 'n+1 = P®2^ [(AM)rn, rn+1 — (Bto\n l, rn]. (350)
Приведем полученные после преобразований формулы для коэффициентов:
Аа(Х) = —
в a (X) = — 2^/(1 — V);
А6’(Х) = 2/(1 - V);
9*259
D /111 ^ + ( 1 + P) ^ .
Kb,
Дш(Л) = 4(1-^ + ^);
^(AH^'^ + ^ + lW
где Л = ru^lri.
Каждое уравнение (350) включает три неизвестные величины. Известные усилия на внутреннем и наружном контурах диска входят в первое и последнее уравнения (350), число которых меньше числа участков на единицу.
Если найдены радиальные усилия, то можно определить радиальные и окружные напряжения. Первым этапом расчета этих напряжений является определение напряжений при усредненных толщинах участков по следующим зависимостям:
Criit^NtlSb(351)
Grbi = Ni-i/Si,(352)
°tbi = [^г^г ~ °>68фгг( 4”) — P™ ^гй> ("7Г")] ^rt (~7Г) ’
(353)
°1Нг = Огб^/г ( r. ) 4“ Cift^ii ^ ri )" + РЮ ^^^ ( r, ) ’ (^^)
где arHt и arbt — радиальное напряжение на наружном и внутреннем контурах; oibp °tHi — окружное напряжение на внутреннем и наружном контурах; фг7- — сопровождающие функции, выражения для которых приведены в табл. 6.
^ ^ = - [2 (1 + Ц) (1 - V) ± (1 - ц) (1 - V)] 1 •(355)
Вторым этапом расчета является «сглаживание» напряжений в сечениях, в которых в реальных конструкциях диска нет резких изменений толщин.
В результате деления радиальных усилий на текущую толщину диска в сечениях вновь определяем радиальные напряжения.
Для выравнивания окружных напряжений целесообразно воспользоваться формулой линейной интерполяции
^ = <т^г+1 = ^ + (sHi - Si) ^-^ 1 •(356)
Расчет дисков переменного профиля целесообразно производить на ЭВМ.
Алгоритм расчета напряжений в дисках. После расчленения диска на кольцевые участки в исходные данные введем массивы радиусов концов участков, толщин диска на внутренних и наружных контурах участков. Затем последовательно вычислим коэффи-
Рис. 181. Схема диска ступенчатого профиля
циенты уравнений (350) и найдем корни уравнений полученной системы с помощью специальной процедуры решения ленточной системы линейных уравнений, входящей в математическое
обеспечение ЕС ЭВМ. Далее определяем радиальные и окружные напряжения на внутреннем и наружном контурах участков с пр- мощью уравнений (351)—(355).
Затем рассмотрим все стыки участков. При наличии одинаковых толщий соприкасающихся участков в каком-либо стыке производится «сглаживание» напряжений. Степень приближения решения увеличивается с увеличением числа расчетных участков. Рекомендуется число участков принимать равным 25—30, но и при числе участках 8—10 результаты расчета получаются вполне удовлетворительные.
При ручном расчете после разделения диска на ступени постоянной толщины для каждой ступени определяют значения аргумента и по ним с помощью данных табл. 12 находят коэффициенты А и В и составляют уравнения трех усилий для каждой пары смежных участков. После решения полученной системы уравнений находят усилия Nu а затем радиальное напряжение
Далее каждый участок рассчитывают как диск с известными граничными радиальными напряжениями.
Пример (рис. 181). Определить эквивалентное напряжение на внутренней расточке диска, частота вращения которого 3000 об/мин.
Учитываем, что наибольшие напряжения во вращающемся диске возникают у центрального отверстия.
Дано: гв = 14 см; гг = 20 см; г2 = 40 см; st (на, рисунке hi) = 9 см;
s2 (на рисунке Л2)=3 см; ц=0,3 аГо = —5 МПа; сГг = 10 МПа; р = 7850 кг/м3.
Диск состоит из двух участков постоянной толщины.
Распределенное радиальное усилие в начале первого участка
МГо = -5-106-0,09 = -45- 10е Н/м;
в конце второго участка
Nf2 = Ю-10«-0,03 = 30- 10е Н/м.
Применяя уравнение (350), находим усилие на стыке участков
NeBa + ^1 (вь - А Аа^ - Nri A Ab = к^ (Л„ - Bto);
где
k =k =7850-3,142300027850-3,14230002зо2зо2= 77-107.= 77-107.
k =
k =
7850-3,14230002
7850-3,14230002
зо2
зо2
= 77-107.
= 77-107.
Значения коэффициентов Аа, Аь, Лш и Ва, Вь и Вт определяем по данным табл. 12, в зависимости от X.
Аа Аь Лм
X = nlrt^i для участка:
I при г = 14 и 20 ей ———_
II при г = 20 и 40 см ■—1,9672,6673,475
Ва Вь Ви
X = nlr^i для участка:
I при г= 14 и 20 см —1,9222,6220,579
II при г = 20 и 40 см ———
Подставляя полученные значения коэффициентов в уравнение (350), полу-
45-104-1,922 + ^ (2,622 +. i,967^ — 30, Ю4--^- 2,667 =
\0,03/0,03
' откуда' откуда= 77-Ю’-О,22.0,09 (3,475- 0,579),Ni = 113-104 Н/м.
' откуда
' откуда
'Радиальное напряжение в конце первого участка
113-104
^ = пшг = 12’5 МПа
Будем рассматривать первый участок в качестве самостоятельного диска. С помощью уравнения (335) находим окружное напряжение а<0 на расточке. Значение сопровождающих функций определяем при X = 0,7 и р = 0,3. Учитывая г = ^ и оГ1 = 12,75 МПа, находим
о г = ^гоФгг + <7/оФг/ + ^2фгм;
10е = — 5.106-0,745 + ц^-0,255 — 77. Ю’-О,22.0,232,
откуда 0to = 93,3 МПа.
Следовательно, иа внутреннем контуре диска имеем следующие значения главных напряжений:
□1 = 93,3 МПа; аг =0; Оз = —5 МПа.
По критерию максимальных касательных напряжений
Одкв == ^i — ^з - 98,3 МПа.
Важным показателем прочности быстровращающихся дисков является предельная частота вращения, при которой материал диска разрушается.
Если диск выполнен из низкоуглеродистой стали, диаграмма растяжения которой имеет участок текучести при постоянном напряжении, то предельную частоту вращения дисков достаточно просто определяют с помощью теории предельного равновесия [32]. Так как большинство быстровращающихся дисков ротационных машин выполнены из сплавов, диаграмма растяжения которых не имеет четкого участка текучести, полагаем, что потеря несущей способности дисков происходит тогда, когда нормальные (окружные) напряжения в диаметральном сечении достигают значения временного сопротивления ав. В этом случае возникновение пла- 262
Рис. 182. Схема к определению запаса прочности по разрушающим оборотамРис. 182. Схема к определению запаса прочности по разрушающим оборотамРнс. 183. Схема нагружения элемента дискаРнс. 183. Схема нагружения элемента диска
Рис. 182. Схема к определению запаса прочности по разрушающим оборотам
Рис. 182. Схема к определению запаса прочности по разрушающим оборотам
Рнс. 183. Схема нагружения элемента диска
Рнс. 183. Схема нагружения элемента диска
стических деформаций сопровождается перераспределением напряжений и их выравниванием в указанном сечении. При этом предполагается, что толщина дисков равномерная (не имеется резких переходов и сужений) и отсутствуют значительные концентрации напряжений.
Предположим, что окружные напряжения в любом сечении превышают радиальные, тогда в случае предельного состояния
^t (г) = Ов (г), где <тв — предел прочности материала.
Если диск нагрет неравномерно, то ов изменяется в зависимости от радиуса сечения г.
При известном законе распределения температуры в диске и зависимости ов от температуры легко построить зависимость ов(г) от радиуса.
Рассмотрим равновесие половины диска при предельной частоте вращения (рис. 182). При этом будем учитывать действие на наружном контуре диска радиальных напряжений оВ(Г), обусловленных наличием лопастей, пальцев или других конструктивных элементов, испытывающих воздействие центробежных сил инерции. Напряжения на внутреннем контуре от натяга в диске, имеющем отверстие, к моменту разрушения обычно снимаются,-
Приравниваем нулю сумму проекций сил на вертикальную ось. Сначала найдем центробежную силу инерции, действующую на массу половины диска. На бесконечно малый элемент, выделенный из диска (рис. 183) двумя диаметральными сечениями под углом dip и двумя концентрическими сечениями с радиусами г и г + dr, будет действовать центробежная сила инерции
dj = рю2 dyr2b dr.(357)
Проекция центробежной силы инерции dj на горизонтальную ось
dC = рю2 dxpr^b dr sin ip.(358)
где Jo = \ r2b dr — момент инерциигде Jo = \ r2b dr — момент инерцииРис. 184. Комический диск (поперечное сечение)
где Jo = \ r2b dr — момент инерции
где Jo = \ r2b dr — момент инерции
Центробежная сила, стремящаяся оторвать одну половину диска от другой,
ЛR
С = р®2 J sin ф dtp j br2 dr — 2p®pJ0, Ог»
(359)
половины диаметрального сечения диска
Го
относительно его оси; сор— предельная частота вращения диска.
Сумма проекций сил К» приложенных к наружному контуру
диска, на вертикальную ось
К = j Orb„b0 sin <pRd<p = 2crob0R.(360)
В о
Силы С и К, стремящиеся оторвать одну половйну диска от другой, будут уравновешиваться внутренними силами сцепления между молекулами материала диска, сумма которых
R
Ki = 2 j ов (г) b dr.
Го
Сумма проекций всех сил на вертикальную ось (без учета усилий на внутреннем контуре от натяга), но при наличии напряжений на наружном контуре (см. уравнение 338)
2р<о=р/0 + -^^-2(\(г)»^^(361)
UQZ.Jvr\J
Го
где 60 — толщина диска на наружном контуре.
Учитывая, что J bdr = F, т. е. площади полусечения диска, получаем
^(362) pJo + m„rcp 2^
(учитывая, что на каждую лопасть, палец и т. д. действует центробежная сила инерции Гд).
Учитывая, что |/ J0!F = I — радиус инерции половины диаметрального сечения диска, получаем предельную окружную скорость диска для случая, когда нет напряжений на внутреннем и наружном контурах
ир = topR = (jR/l) VGplp, где R — наружный радиус диска.
На основании этого уравнения можно написать следующее м = № =(363)
где + — запас прочности диска по скорости.
Обозначив o0/(v2Tp) = N и RH = Л, можем записать N = Л2.
Применим полученные формулы для определения предельной окружной скорости дисков постоянной толщины.
Половина диаметрального сечения диска с отверстием в центре будет иметь форму прямоугольника.
Радиус инерции площади половины диаметрального сечения
R
J br2 dr ——
(R-г») b = V 3(R-l) = Кт ^ + Rr° + ^ ‘
Следовательно, = 1,23 V °Р ' рт р (1 — а + а2)
где а = r^R.
Для сплошного диска постоянной толщины г0 = 0; а = 0 и, следовательно, предельная окружная скорость
ир = 1,23 VcrD/p.
Пример. Необходимо произвести расчет конического диска (рис. 184): р = 7800 кг/м3; [о] = 230 МПа.
Площадь полусечения
г = А±£ а = 2^1±2^L0,23 = 0,0138 м2;
расстояние от центра инерции трапецеидального сечения до его наибольшего основания
г, = Ь^ h - -°^±^°i°L . о 23 _ о 102 м
3 (Ь + ьг)К ~ 3 (0,08 + 0,04)' 0,102
Момент инерции сечения относительно главной оси параллельной оси диска
рЗ^ + Ш^Ь2^ о,233 (0,08 + 4 0,08 0,04 +0,042)_. к. ,
J°= —зб"(б + »Г)— :—W8+T04) 58,58'10" м •
Момент инерции сечения относительно оси диска
7Х = 58,58-Ю'6+ 0,0138 (0,102+ 0,02)2 = 207,55-10-« м«;
i2 = jxjF = 207,55/0,0138 = 151 -10-4 м2;
t = Ко,0131 = 0,123 м;
r .1230 10е
1Ю*0,123 V 78001380 РаД/с-
В данном примере определение момента инерции полусечения диска не представляет трудностей.
ооРяс. 185. Диск распылительной сушилкиРяс. 185. Диск распылительной сушилки
о
о
Ряс. 185. Диск распылительной сушилки
Ряс. 185. Диск распылительной сушилки
Однако при произвольном очертании профиля диска момент инерции полусечения точно определить довольно сложно. В данном случае можно воспользоваться следующим приближенным методом.
Разделим данную фигуру на полоски линиями, параллельными оси, относительно которой нужно определить момент инерции. Ширину полоски b выбираем малой по сравнению с размерами фигуры.
Тогда каждую из этих полосок можно принять за прямоугольник с высотой / и переменной шириной Ь. Момент инерции каждой такой полоски относительно оси х
Ы, = -^аЧЬ.
Так как высота1 полосок / мала, слагаемым ^ЫХ^ можно пренебречь по сравнению с аЧЬ.
Тогда полный момент инерции фигуры
Jc = £<Ж= £ц2ЛР.
Пример. Необходимо определить частоту вращения диска, соответствующую состоянию предельного равновесия диска распылительной сушилки для сушки молока (рис. 185).
Диск выполнен из стали, для которой ст = 500 МПа. Принимаем (»Г)Л=Л = = 0. Диск сиабжеи шестью дюзами, каждая массой 0,05 кг.
Решение. Определяем момент инерции половины площади сечения диска относительно оси симметрии ОО. Разделяем площадь полусечеиия на 17 участков. Площади участков, расстояния от их центров масс до оси ОО и произведения площадей иа квадраты расстояний до оси приведены в табл. 13.
Складывая значения kPa1, получаем момент инерции половины площади сечения диска относительно оси ОО:
Jo = 11,932-IO"6 м4.
Суммируя данные второй графы табл. 13, получаем площадь полусечения
F = 29-10-4 м2.
Расстояние от центра масс каждой дюзы до оси ОО составляет 10,6 см.
top =top =500-106-29 10"46,28500-106-29 10"46,28Таблица 13
top =
top =
500-106-29 10"4
6,28
500-106-29 10"4
6,28
Значения величин для определения j0
о
й ”
о v
S
S «О ” аО
о я я
и SO
” н о Д ОЙ
'о <
о
О
о V
” н ° о я я У So ” н о О* о st
1
0,44
12,4
156
68,5
10
1,2
9,2
85
102
2
0,45
11,4
130
58,5
11
1,5
8,3
69
103
3
0,75
10,3
106
79,5
12
1,5
7,3
53
79,5
4
1,2
9,2
85
102
13
1,55
6.3
40
62
5
0,6
8,4
70
42
14
1,65
5,3
28,2
46,6
6
0,3
7,5
56
18,8
15
1,95
4,2
17,8
34,8
7
0,44
12,4
156
68,5
16
5
3,2
10,9
54,5 ,
8
0,45
11,4
130
58,5
17
9,3
2,2
4,85
45
9
0,75
10,3
106
79,5
Определяем предельную угловую скорость диска
Определяем предельную частоту вращения диска, учитывая, что top = лп.р!30, откуда
пр = 30юр/л = 30 • 3808/3,14 = 36400 об/мин.
Если принять запас прочности по скорости равным четырем, то допускаемая частота вращения
[nT] = 3640Q/4 = 9100 об/мин.
В дисках, имеющих сложный профиль с областями резкого повышения температуры и концентрации напряжений, радиальные напряжения могут заметно превышать окружные напряжения при рабочей угловой скорости. С увеличением угловой скорости на некотором радиусе гс возникают пластические деформации, которые при дальнейшем увеличении угловой скорости распространяются на всю область, заключенную между радиусами гс и R. Рассмотрим предельное равновесие при разрушении диска по цилиндрическому сечению радиуса гс, обусловленному наличием отверстий в полотне диска и местным его сужением (рис. 186).
Предположим, что на радиусе гс расположены’центры отверстий диаметром d.
Обычно принимают, что по поверхности разрушения напряжения равны пределу прочности материала.
Рис. 186. Разрушение диска по цилиндрическому сечениюРис. 186. Разрушение диска по цилиндрическому сечениюhghg
Рис. 186. Разрушение диска по цилиндрическому сечению
Рис. 186. Разрушение диска по цилиндрическому сечению
hg
hg
В данном случае внутренние силы диска
Rл
7<i = 2 j oB(r)bdr+ j oB(rc)&c(l — 2^-)гс81Пфс(ф.
О
В последнем члене правой части равенства учтено ослабление диска с помощью множителя: 1 — zd/(2nrc) (здесь г — число отверстий). После интегрирования членов правой части равенства и учета внешних воздействий на диск при ов (г) = ов = const, получим
Откуда
(364)(364)
(364)
(364)
Обычно расчет проводят для различных значений гс, а для оценки прочности принимают наименьшее значение <ор.
Для многих центробежных машин лопасти дисков расположены на боковой стороне.
При расчете жесткость лопасти на растяжение не учитывают и лопасти рассматривают как присоединенные массы. Диск рассчитывают обычным способом с введением приведенной плотности материала:
Р»"Р + 2ST6^J’
где кл — коэффициент, зависящий от расположения лопастей (при одностороннем расположении лопастей к = 1, при двустороннем к = 2); г— число лопастей; F(r) — площадь поперечного сечения лопасти.
Рис. 187. Центробежный насос:
а — с двухопорным валом; б — с консольным валом
Момент инерции площади половины диаметрального сечения диска относительно оси вращения (см. формулу (359)).
р^и dr.
Выше были рассмотрены расчет и конструирование рабочих органов быстроходных дисковых машин. Конструирование этих узлов целиком подчинено технологическому назначению машины с учетом прочностных возможностей.
Другие узлы данных машин, хотя и в меньшей степени, но также зависят от технологического назначения машины.
При рассмотрении общих принципов конструирования выше указывалось, что с точки зрения жесткости и прочности конструкций междуопорное расположение рабочего органа выгоднее консольного. Однако использование консолей часто приводит к более простым, компактным и удобным для сборки конструкции и ее эксплуатации решениям, чем применение двухопорного расположения конструкций.
В качестве примера на рис/ 187 изображена конструкция центробежного насоса с двухопорной и консольной установкой вала колеса. При консольной установке вала обеспечивается доступность к колесу и гидравлической полости насоса, улучшается эксплуатация насоса и упрощается конструкция. При двухопорной установке опоры центрируются независимо одна от другой через стык корпусных деталей.
6)
Рис. 188. Вал мясорезательной машины с серповидными ножами:
а — расположение ножей на валу и усилие, действующее на серповидный нож; б — вал машины '
Например, дисковые серповидные ножи машины для тонкого измельчения мяса (рис. 188) могут быть расположены между опорами в соответствии с производственными требованиями..
Следует, однако, отметить, что окончательное решение о расположении опор необходимо связывать с технологическими функциями данной машины и требованиями эксплуатации.
Наиболее простые конструктивные решения получаются при непосредственной установке рабочего органа на валу электродвигателя, как это имеет место в конструкции эмульсера, применяемого при производстве сметаны, а также в центробежных насосах и др. ЦЦ
Непосредственная установка рабочего органа машины на валу электродвигателя возможна только при относительно небольшой мощности машины, безударных нагрузках, отсутствии динамической неуравновешенности ротора и выполнении других требований. ' '
Имеются машины, некоторых применяют только консольное расположение ротора.
К дисковым машинам условно можно отнести машины, рабочие органы которых, хотя и имеют простейшую форму, но не являются дисками, например приведенная выше машина для тонкого измельчения мяса.
АППАРАТЫ С МЕХАНИЧЕСКИМИ ПЕРЕМЕШИВАЮЩИМИ УСТРОЙСТВАМИ
Существует большое число аппаратов, в которых можно вы- - делить два важных комплекса деталей: корпус, являющийся вертикальной или горизонтальной емкостью, снабженной штуцерами, опорными лапами, поверхностями теплообмена, и механическое перемешивающее устройство (рис. 189). В механическое перемешивающее устройство входят одна или несколько мешалок, вал с опорными устройствами, уплотнением и приводом.
В зависимости от положения в пространстве оси сосуда различают вертикальные и горизонтальные аппараты. Однако исполь- 270
Рис. 189. Аппарат с лопастной мешалкой: / — мотор-редуктор; 2 — зубчатая муфта; 3 — продольно-свертная муфта; 4 — уплотнение вала; 5 — отражательная перегородка; 6 — лопастная мешалка; 7 — труба передавливания; 8 — корпус аппарата зование горизонтальных аппаратов связано с повышенными затратами, что и обусловливает их более редкое применение.
Наиболее распространены в промышленности аппараты с одним механическим перемешивающим устройством (МПУ), расположенным по оси корпуса.
Находят широкое применение вертикальные аппараты с переносными, вертикальными или наклонными МПУ (рис. 190) или со свободной установкой МПУ на дополнительные подшипники (рис. 191). Имеются также аппараты с шарнирно закрепленным валом мешалки.
Мешалки разделяют на тихоходные (рамные, якорные и частично лопастные), частота вращения вала которых — до 1 об/с, и быстроходные лопастные (см. рис. 189), турбинн
, пропеллерные или винтовые, пропеллерные или винтовыеи 'специальные, частота вращения которых 1—50 об/с [301.
, пропеллерные или винтовые
, пропеллерные или винтовые
Валы аппаратов с механическими”перемешивающими устройствами бывают сплошные и полые. Валы изготовляют полыми, если они выполняют дополнительную функцию подводящей магистрали. Валы могут быть постоянного сечения и, реже, переменного.
Наименее долговечным узлом МПУ^являются подшипники вала (в основном подшипники качения), надежность работы которых в большой степени зависит от условий смазки и защиты от воздействия коррозионных и абразивных сред. «л
Для обеспечения указанных условий подшипники устанавливают в специальные опорные стойки, отделяемые от реакционного объема аппарата уплотнением вала. Вследствие этого консольные валы имеют большой вылет — до 50—100 диаметров вала, что обусловливает незначительную жесткость таких валов. В результате часто возникают высокие напряжения в материале вала и большие деформации вала из-за инерционных и гидродинамических нагрузок, что приводит к выходу из строя уплотнения и подшипников.
Важнейшим узлом МПУ аппаратов, работающих под избыточным давлением, являются уплотнения. Распространенные простые по конструкции и в обслуживании, но недолговечные сальниковые уплотнения вытесняются торцовыми уплотнениями. Однако и эти уплотнения могут быть достаточно перспективными при условии незначительного биения динамически или статически изогнутого вала.
Привод вращающейся мешалки в основном электрический, обычно состоящий из электродвигателя, редуктора и соединительных муфт. Часто применяют мотор-редукторы.
При шарнирном закреплении валов, особенно в аппаратах под налив (в которых нет потребности в торцовых уплотнениях), валы мешалок соединяют с валом редуктора с помощью универсальной, шарнирной муфты. Следует отметить, что надежность привода непосредственно зависит от податливости соединения вала мешалки с валом привода.
Перемешивающие устройства должны обладать высокой прочностью, жесткостью, виброустойчивостью, герметичностью, износостойкостью и коррозионной стойкостью. Недостаточная жесткость вала аппарата часто приводит к выходу из строя уплотнений или к механическому изнашиванию элементов привода из-за малых зазоров между вращающимися и неподвижными деталями. При нестационарном вращении валов с МПУ возникают динамические прогибы, которые должны быть строго учтены с помощью инженерных расчетов. При проектировании валов различного оборудования, в том числе и устройств для механического перемешивания, важным является
Рис. 190. Аппарат с переносным МПУ:1 — перемешивающее устройство; 2 — корпусРис. 190. Аппарат с переносным МПУ:1 — перемешивающее устройство; 2 — корпусРис. 191. Аппарат с перемешивающим устройством на поворотной платформе:
Рис. 190. Аппарат с переносным МПУ:
1 — перемешивающее устройство; 2 — корпус
Рис. 190. Аппарат с переносным МПУ:
1 — перемешивающее устройство; 2 — корпус
/ — корпус; 2 — поворотная платформа; 3 — токоприемник; 4 — мотор-редуктор;
5 — подшипники
Рис. 192. Расчетная схема консольного вала (наРис. 192. Расчетная схема консольного вала (наРис. 193. Расчетная схема однопролетного вала с несены за пределы рабочего объема аппарата)Рис. 193. Расчетная схема однопролетного вала с несены за пределы рабочего объема аппарата)двух шарнирных опорах)концевыми подшипниками (опоры вы-двух шарнирных опорах)концевыми подшипниками (опоры вы-
Рис. 192. Расчетная схема консольного вала (на
Рис. 192. Расчетная схема консольного вала (на
Рис. 193. Расчетная схема однопролетного вала с несены за пределы рабочего объема аппарата)
Рис. 193. Расчетная схема однопролетного вала с несены за пределы рабочего объема аппарата)
двух шарнирных опорах)
концевыми подшипниками (опоры вы-
двух шарнирных опорах)
концевыми подшипниками (опоры вы-
достаточно правильный выбор расчетных схем для различных вариантов закрепления вала в подшипниках. Обычно используют в качестве шарнирно неподвижной опоры радиальный шарикоподшипник, воспринимающий радиальную и осевую нагрузку. Такой же подшипник, воспринимающий только радиальную нагрузку и имеющий возможность несколько смещаться в осевом направлении, применяют в качестве шарнирно подвижной опоры. Середина подшипника совпадает с центром опорного шарнира (рис. 192). Место расположения жесткой заделки, вала тихоходного планетарного редуктора совпадает с плоскостью крепления редуктора к опорной стойке МПУ.
Шарнирно-подвижной опорой можно считать концевой подшипник вала, если его длина меньше или равна диаметру вала.
Если два участка вала соединены продольно-свёртной муфтой, вал считается неразрезным.
Шарнирно-неподвижной опорой считается соединение консольного вала мешалки с валом привода с помощью универсальной шарнирной муфты.
В расчетах МИУ массы мешалок, дисков, пакета железа ротора электродвигателя можно считать сосредоточенными в их центрах масс, вследствие незначительного гироскопического момента.
В некоторых случаях для увеличения жесткости и несущей способности вала в одной опоре устанавливают два подшипника качения. Соответствующий анализ показал, что для консольных валов с такими опорами незначительное увеличение жесткости связано с резким увеличением (в 3—5 раз) реакций в сдвоенных подшипниках по сравнению с одиночными. Больший эффект по повышению Жесткости системы эта конструкция опор дает для однопролетного вала (рис. 193). Однако нужно иметь в виду, если расстояние между сдвоенными подшипниками будет больше двух диаметров вала, то такие опоры можно считать заделками.
Таким образом, переход к применению в опоре двух подшипников может превращать статически определимый, самоустанавли- вающийся вал в статически неопределимую систему, характеризующуюся меньшей надежностью. Такой результат получается и при применении многопролетных валов.
Наибольшее распространение среди консольных валов получил вал, изображенный на рис. 192, а среди однопролетных — вал на двух шарнирных опорах (рис. 193).
Результаты наблюдений свидетельствуют о том.^что область надежной эксплуатации валов перемешивающих устройств лежит главным образом ниже первой критической скорости и реже в промежутке между первой и второй критическими скоростями.
На основании этого можно заключить, что определение критических скоростей для типовых схем представляет наибольший интерес.
Критические скорости валов мешалок с учетом их массы
Рассмотрим однопролетный вал длиною L, несущий две массы тх и т2, расположенные на расстоянии'/! и"/2 от левой опору.
Сосредоточенные массы тт и т2 делят вал на три участка: 1 — 0 с z с а; 2 — а с г с av, 3 — ^ < 2 с 1 (здесь а, аъ 02 — относительные длины участков):
а = UL; ах = ^/L; а2 = IjL; г = z/L. (365)
Если масса единицы длины вала есть /и, то на нее при вращении вала будет действовать центробежная сила инерции, равная т<й2у (здесь у — прогиб вала в данном сечении).
В местах расположения масс mi и т2 будут действовать внешние нагрузки, обусловленные возникновением сосредоточенных центробежных сил инерции, которые'обозначйм через Рг (z^ и Рй (Zi).
При прогибе вала будут возникать силы упругого сопротивления этому прогибу. Как известно из курса сопротивления материалов, при наличии непрерывно распределенной нагрузки q имеет место зависимость
d2M
dz2 ~
где М — изгибающий момент.
Так как изгибающий момент
М = EJ^, окончательно получим
q-EJ^..(366)
Очевидно такова будет и непрерывно распределенная по стержню упругая реакция. Эта формула выражает названную реакцию независимо от причин, вызвавших изгиб стержня. Следовательно, она применима и в нашем случае.
Тогда можно написать дифференциальное уравнение равновесия вращающегося уравновешенного вала с дополнительными нагрузками от сосредоточенных масс:
EJ^_m^y=FA^WF^Y(367)
Учитывая соотношения (365) и вводя обозначение а4 = = L^ma^l^EJY представим уравнение (367) в виде
yiv - a4z/=/х (г) +/2 (2),"(368)
где
71 (г) = L*FX Iz^EJ; к (z) = L*Fa tz^EJ.(369)
Решение дифференциального уравнения (367) проводится для указанных трех участков: при 0 < z < а; при а <_ z <. а^, при ax < z < 1. В результате получаем связанные уравнения для уъ у2 и у3. Постоянные интегрирования определяем из граничных условий. При z = 1 для последнего участка ya (z)2=i = 0; № (2)2=1 = 0.
Переписывая дважды уравнение для у3 с учетом граничных условий, приведенных выше, и учитывая соотношения (365), получаем систему из двух уравнений для у3 (1) = 0 и у3 (1) = 0, которую из-за громоздкости не приводим.
Условие, при котором прогибы вала не равны нулю, что имеет место при совпадении рабочей угловой скорости ю с одной из критических угловых скоростей, записываем в виде равенства нулю определителя упомянутой выше системы двух уравнений.
Данное решение пригодно для вычислений на ЭВМ. Для практических расчетов рекомендуется пользоваться графиком a = = t (LmnY (здесь mn = mnp/(mBL); mnp — суммарная приведен-
Рис. 194. Корень частотного уравнения: а — для консольного вала; б — для однопролетного-
ная масса деталей в пролете; L — длина пролета; mB = -^-d2pB — масса единицы длины вала; d — диаметр вала; р — плотность материала вала (рис. 194).
Приведенную массу деталей на валу целесообразно определять раздельно для каждой детали.
Ранее была получена формула для приведения точечной массы, находящейся на двухопорном валу с консолью. Для определения приведенной массы мешалок введем понятия относительных координат центра масс детали в пролете и консоли: lt = Zj/L; 4 lu = lylLx и относительных длин консоли 1^ = L^IL^ и пролета ■ L = UU,
[здесь длина Li, L2, L—длина соответственно консоли, консольного вала [ и однопролетного вала,(см.рис.192и193)].j
Тогда приведеннаямассакаждой Z-й детали на валу:1
в пролете_|
-2 •1
mi Пр^ т;у1р
на консолиI
'йПко„ = 'М^
где уц = f (lj) и yixi —= fVw, Ц — безразмерные значения динамического про- ; гиба однопролетного и консольного валов.1
Определение у[. и у/и рекомендуется согласноРТМ26-01-72—78 • производить с помощью кривых, приведенных на рис. 195.|
276I
Рис. 195. Безразмерный динамический прогиб: а — консоли вала; б — однопролетного вала
Суммарная приведенная масса деталей мешалки (кг): консольного вала
"д”1д
^пр ~ £ ^i пр "К S ^li пр»
однопролетного вала
пд
МПр = ГГЦ пр»(370)
i=l
где ил — число деталей в пролете; и1д—число деталей на консоли.
После определения приведенной массы деталей находим относительную массу:
консольного вала
^пр1= тпр/(тв^1);
однопролетного вала
^пр = ^пр/(^в^)>
где 7ив — линейная масса вала, кг/м; mB =-^-d2pB (здесь d—диаметр вала, Рв — плотность материала вала).
Как было указано выше, с помощью кривых «i = f (тпр) (см. рис. 194) определяем корень частотного уравнения ат = = f (т^Ц, соответствующий первой критической скорости вала, а затем и критическую скорость вала:
консольного
mi = (af/Л?) /ЕЛтв\(371)
однопролетного
o)i ^(o^/L)2] // ЕЛтв,(372)
где J — момент инерции сечения вала.
Рис. 196. К расчету коэффициент^ приведения распределенной массы вала к сосредоточенной массе мешалки: а — схема вала с распределенной и сосредоточенной массами; б — схема невесомого вала с приведенной сосредоточенной массой
Анализ различных конструктивных Схем валов приводит к выводам, что в группе консольных валов, а также^показанных^на рис. 192, 193 наибольший коэффициент а^ и, следовательно, максимальная критическая скорость будут у однопролетного консольного вала ; с жесткой верхней опорой, а минимальная у однопролетного j вала (см. рис. 193) на шарнирных опорах.
Между этими двумя схемами валов находится схема однопро- : лётного консольного вала с шарнирными опорами.
Сравнение производится в данном случае по coKp валов с одинаковыми L, alt тпр и тх.
Механическим перемешивающим устройством с однопролетным; шарнирно закрепленным валом с консолью следует отдавать пред- ’ почтение при конструировании наиболее надежных аппаратов. • В данной статически определимой системе менее сказываются, дефекты производства и влияние распределения рабочих нагрузок по несущим элементам. Условия сборки облегчены, так как оба; подшипника вала установлены в одной опорной стойке, в резуль- ? тате легко обеспечить соосность расточек под подшипники.; Кроме того, подшипники редуктора освобождены от воздей-i ствия нагрузок, связанных с монтажными перекосами вала ме-i шалки. ';
Следует отметить дефектность конструкции мешалок, когда вал: соединен с тихоходным валом редуктора с помощью продольно- свертной муфты.
В данном случае возникают большие инерционные и ги дродинамические нагрузки, передаваемые от главного вал1 на подшипники и зубчатые передачи редуктора. В этом случае наблюдаются частые поломки редукторов.
Рассматривая однопролетные валы с концевыми подшипниками следует отдавать предпочтение валам на двух шарнирных опорах Для таких систем в основном определяющей характеристика! является прочность вала при заданном крутящем моменте, a hi виброустойчивость (см. рис. 192 и 193).
В связи с тем, что в формулу (371) — (372) входит момент инер ции, при расчете валов перемешивающих устройств необходимо 1 начале приближенно определить диаметр виброустойчивого вала Распределенные и сосредоточенные массы при этом приводятся ] одной точке невесомого вала.
От действительной схемы весомого однопролетного вала с кон солью (рис. 196, а) следует перейти к расчетной схеме (рис. 196, б)
приняв для определения приведенной массы следующее выра.
тпр = тг + pmL31(373)
где q — коэффициент приведения.
Напишем условие®1о — ®1б>
где ю1а — критическая скорость реального вала; »V6 — критическая скорость невесомого вала (рис. 196, б);
<374)
где к& — жесткость невесомого вала; Ц и L2 определяем по рис. 196.
На основании формул (374), (371) имеем
If V = V -TPi^lqmLV (375) откуда
(376)(376)a2 = i /_
(376)
(376)
V (Q+k)a2'
®1 — ЬУЬ^.®1 — ЬУЬ^.Из формул (371), (372) определяем значения к = t*^ и „CS”7 в^нТ™™™ “аССЫ ”' М валУ с "о“ощью ™*- ™™у Ч* в “"У ТОЧКУ 11 определяя суммарную сосредоточенную
®1 — ЬУЬ^.
®1 — ЬУЬ^.
mnp = rn + ^2m2 + ... + qtmt, запишем уравнение (374) с учетом формулы (376) в следующем виде:
Г EJk\ со
где т] = 3/а2 — характеристика условия закрепления вала.
В^качестве условия отсутствия опасных прогибов вала принимают следующие:
® с 0,7a)!; 1,3(о1 < о с О,7со2.
После преобразований последнего уравнения получимd4 - 2f aL2 d2 - ^d!W = о,лрв
откуда
4tLUy(qfLW + ^L,
гДе f = 16р<огЦ/т\Е при В = 0,7 (для жесткого вала); величину q принимают Для консольного вала равной 0,25, а для однопролетного 0,5.
Формулу для определения d можно записать в виде
<^]Ла + ^лГь4^
где Аг = 0,25^; Аа = 8тПр/^1/лрв — для консольного вала; At = O,5fLa; Аа = 8mnpLif/npB — для однопролетного вала.
Полученное и округленное значение d чаще всего удовлетворяет условиям виброустойчивости.
Если d, вычисленное по приведенной выше формуле, не удовлетворяет условию <о < 0,7tolt то величина d изменяется, а расчеты повторяют вплоть до удовлетворения последнего условия.
' Пример. В РТМ 26-01 -72—75 приводится расчет жесткого консольного вала (постоянного сечения) мешалки. Задано: длина стального вала La = 2,95 м, длина консоли Lt = 2,45 м, координата центра масс мешалки 1г; = 2,45 м, масса мешалки mu = 13,6 кг, частота вращения вала п = 160 об/мин.
Для расчета на виброустойчивость определяем относительную длину консоли LT = LJLB = 2,45/2,95 = 0,83 и относительную длину пролета L = = (Дг — Ь^к = 0,5/2,45 = 0,2.
Далее находим коэффициент, учитывающий условия закрепления вала:'
т] = 3Lt = 2,5,и относительную координату центра масс мешалки:Ilt= ltilLt = 2,45/2,45 = 1.
По значениям lit и L по графику определяем безразмерный динамический прогиб вала в центре масс мешалки (рис. 195, а):
^ = /(7ц; Z)=l.
Для нахождения безразмерного коэффициента f, учитывающего приведенную: массу вала, определяем угловую скорость вала лп 160-3,14_ _,
ю ==~КГ"16’7с •
Тогда
16р ш2Т?16-7,85-10®■ 16,72 2,452
Т)Д2,5-2,2-1011° ■
Приведенная масса мешалки
”41^ = тиУ/л = 13-6 кг-
В данном случае тпПр равна суммарной приведенной массе мешалки. Определим
А1 = 0,25-/-Z[ = 0,25-3,8-10'4-2,452 = 5,68- 10'4м2;
==0,041.10-W.
лрв3,14'7,ои•10
Тогда расчетный диаметр вала
А=]/'4+jA^2+^^ = 0,052 м.
Принятый диаметр вала (0,065 м) больше расчетного (0,052 м). Относительная масса мешалки —
«пр =; «в = 4 d2pB = ^4 (65- 10-.3)а7,85-103 = 26,
13,6тп1'=-2б72Л^ = °'21кГ-
С помощью графика определяем корень частотного уравнения (см. 'рис. 212,а) di=f(mBp; Z)= 1,5.
Так как момент инерции сечения
^ = ^d4-87,5-10-V,
то первая критическая угловая скорость валато первая критическая угловая скорость вала<01<012,2-IQH-ST.S-IO™8262,2-IQH-ST.S-IO™826Условие виброустойчивостиУсловие виброустойчивостиш/®! < 16,7/32,0 = 0,5 < 0,7.ш/®! < 16,7/32,0 = 0,5 < 0,7.- = 32,0с"1.- = 32,0с"1.
то первая критическая угловая скорость вала
то первая критическая угловая скорость вала
<01
<01
2,2-IQH-ST.S-IO™8
26
2,2-IQH-ST.S-IO™8
26
Условие виброустойчивости
Условие виброустойчивости
ш/®! < 16,7/32,0 = 0,5 < 0,7.
ш/®! < 16,7/32,0 = 0,5 < 0,7.
- = 32,0с"1.
- = 32,0с"1.
При проектировании механических перемешивающих устройств важным является расчет на жесткость и прочность. Жесткость и прочность валов определяются значением динамических нагрузок, к которым относят, во-первых, центробежные силы инерции, действующие на сосредоточенные и распределенные массы деталей и вала, вращающихся с некоторым смещением относительно оси подшипников и, во-вторых, нагрузки, обусловленные сопротивлением перемешивающих сред. В аппаратах, в которых перемешиваются жидкие среды, необходимо учитывать гидродинамические поперечные нагрузки тогда, если имеются местные сопротивления, например трубы передавливания отражательной перегородки, гильзы термометра и змеевики, расположенные вне зоны вращения мешалки и т. п.
Рассмотрим расчет аппаратов, не имеющих местных сопротивлений, и ^расчет аппаратов с четырьмя отражательными перегородками. Прежде всего требуется определить максимальное смещение оси вала А (г) от оси вращения, обусловленное наличием зазоров
Рис. *197. Схема однопролет- ного вала с консолью с распределенными и сосредоточенными массами в пролете и на консоли
Рис. 198. Начальные смещения поперечных сеченнй вала н центров сосредоточенных 1 масслРис. 198. Начальные смещения поперечных сеченнй вала н центров сосредоточенных 1 массл
Рис. 198. Начальные смещения поперечных сеченнй вала н центров сосредоточенных 1 массл
Рис. 198. Начальные смещения поперечных сеченнй вала н центров сосредоточенных 1 массл
(люфтов)1Ад и А£ в подшипниках. Для нового аппарата Ад и А£ 1 принимают согласно нормативным данным на подшипники. Смеще- ние А (г) произвольного сечения вала от оси вращения вследствие | зазоров Ад и А£ найдем для максимального п смещения точки! закрепления мешалки от оси подшипников (рис. 197).
Смещение для консольного однопролетного вала
(377) j(378) I(377) j(378) IА(2) = ХАд+_М£_ дд.
(377) j
(378) I
(377) j
(378) I
Смещение для однопролетного вала д(г) = (^+М_г+Ад.
При^расчете на жесткость необходимо учесть и смещения, обусловленные начальной изогнутостью осевой линии вала, возни- I кающей при его изготовлении и монтаже. Смещение. А (г) удобно 1 характеризовать радиусом ев вращения точки закрепления рабо-| чего органа, определяемым по формуле ez = гвУц- Рекоменду-1 ётся принимать кривую начальной изогнутости, расположенной I в одной плоскости, что является наиболее неблагоприятной для I вала, и описываемой той же закономерностью, что и упругаялиния | вала при колебаниях основного тона, т. е.1
e(z)=e£y(z),i
где е£ — биение конца вала, определяемого по справочным данным, у (z) — | отношение прогиба у (г) к прогибу ув в точке приведения.1
Рассмотрим вопрос о получении уравнения упругой линии т вала у (z), когда функция у (z) заранее неизвестна и ее определение i достаточно сложное. В связи с этим обычно задаются приближен- ] ной формой упругой линии, отвечающей граничным условиям! (рис. 198),I
У (г) |г=0 = у (z) ^t, = 0; у" (г) |г=0 = У" (г) V=l = 0.(379) |
2821
Рекомендуют форму упругой линии принимать подобной той, которая имеет место при статическом изгибе вала, нагруженного сосредоточенной единичной силой в сечении ее приведения.
Форму упругой линии для консольного вала можно описать следующей зависимостью:
9 (г) = "dfT №г+3/122 ~г3)’(380)
для пролетного вала
у (г) = sin uz!L.
Следовательно, суммарное начальное смещение вала от оси вращения
Z (г) = А (г) + е (г).
Далее необходимо учесть эксцентриситеты е^ сосредоточенных масс относительно оси вала. Рекомендуется et = 1СГ3///ю (м).
Исходя из понятия приведенной силы можем написать
Лпр = Л5(й),(381)
где Pi — сила, действующая на массу mi, Р; = mitiPet (здесь et — эксцентриситет массы)..
Подставляя значение Pt из последней формулы в выражение (381), получаем
^г пр = ТГЦ пр®2^г пр,
где mnp I — приведенная масса массы mt.
Из уравнения (381) получим
®г пр = ^11{У (^l))-
Приведенный эксцентриситет массы рабочего органа mY будет 61, так как место приведения совпадает с точкой закрепления детали.
Динамический прогиб вала
епр^В (<01/С0)2 — 1 *
При наличии п сосредоточенных масс
п
У тГирв! пр
епр =^^ И Ав + ев;
где
61 пр = е1Уейт1 пр = miy2 (zi).
Суммарное смещение оси вала от оси его вращения в произвольном сечении
А (?) = у (г) + А (z) + е (г),(382)
Где у (г) = уву (г) — динамический прогиб вала в произвольном сечении.
Рис. 199. Резонансные кривые вала с мешалкой, вращающейся:
/ — в глицерине; 2 — в воде; 3 — в воздухе
Суммарное смещение оси вала от оси его вращения в точке приведения масс
А = Ув + ei + ев + Ав.
Суммарный изгибающий момент находят от действия 1-х сосредоточенных центробежных сил рабочих органов и распределенных вала:
Pi = т^М (z^;
Рв = qmLti^A.(383)
Далее производят расчет вала на сопротивление усталости по известным формулам сопротивления материалов.
После назначения прибавки на коррозию и износ окончательное значение диаметра вала округляется до ближайшего размера в соответствии с ОСТ 26-01-1225—75, ОСТ 26-01—75.
В ряде случаев диаметр жесткого вала, рассчитанный из условия виброустойчивости, оказывается слишком большим. Это влечет за собой увеличение затрат на изготовление и эксплуатацию не только вала, но и сопрягаемых с ним узлов и деталей аппарата. ; Существует возможность применения гибких валов, имеющих , меньший диаметр и работающих в закритическом режиме. Однако при исследовании аппаратов с устройствами для механического , перемешивания установлено, что применение гибких валов допу- ■ стимо при обеспечении следующих условий. В аппарате должны отсутствовать местные сопротивления. Аппарат должен быть заполнен перемешиваемой средой на высоту, равную не менее половины его диаметра, и снабжен отражательными перегород- ■ ками. Гибкие валы не следует применять для лопастных мешалок ; и при наличии нижнего пропеллера, когда отсутствуют отражательные перегородки.
При применении гибких валов желательно использование ограничителей колебаний при резонансе, например, в виде концевого подшипника с зазором в паре трения. Этот зазор должен соответствовать допуску прогибов в уплотнениях аппарата или допуску угла поворота вала в подшипниках.
Рабочие скорости валов при отсутствии перемешиваемой среды должны иметь следующие пределы: 1,3а>! с и с О,7со2. В перемешиваемой среде (о = (1,3—1,5) сор
При вращении рабочего органа в жидкости гидродинамические силы, воздействующие на него и на вал, приводят к существенному изменению амплитудно-частотных характеристик упругой системы по сравнению с характеристиками, получаемыми при вращении в воздухе.
На рис. 199 представлены кривые изменения амплитуд колебаний в зависимости от частоты вращения вала с мешалкой в глицерине, воде и воздухе. Как следует из приведенных кривых движение вала в перемешиваемой жидкости протекает в режиме прямой синхронной прецессии до начала области неустойчивого вращения. С увеличением угловой скорости вала выше некоторого порогового значения сон при со > сон амплитуды колебаний вала плавно или резко возрастают до недопустимых значений. Значение пороговой скорости сон, при которой начинается возрастание амплитудколе- баний, может быть больше и меньше первой критической скорости вала.
При установке в аппарате отражательных перегородок или создании условий для уменьшения окружной составляющей скорости жидкости можно увеличить сон.
Как видно из рис. 199, амплитуды колебаний даже при со = ®е могут оказаться безопасными для работоспособности уплотнения.
ГЛАВА VI
РОТОРНЫЕ МАШИНЫ
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РОТОРНЫХ МАШИН
Основными представителями роторных машин, применяемых в пищевой промышленности, являются центробежные машины для разделения жидкостей — центрифуги и сепараторы.
Рабочим органом центрифуг и сепараторов является ротор, в котором осуществляется разделение’продуктов с помощькГвоз- действия на них центробежных^сил. Центрифуги и сепараторы можно отнести к классу аппаратов, так как они имеют рабочие камеры, в которых производится воздействие на продукт с целью изменения, его свойств. Однако эти камеры находятся во^враща- тельном движении с высокой частотой вращения.
Роторные машины имеют особенности, присущие машинам и аппаратам. На современном техническом уровне они представляют собой весьма сложные агрегаты.
Подвесная центрифуга для отделения патоки от сахара имеет ротор, подвешенный на вертикальном валу и опирающийся в верхней части на специальную опору (рис. 200). Во вращение ротор приводится от вертикального двигателя специальной конструкции. Центрифуга работает циклично и полностью автоматизирована.
Центрифуги находят большое применение не только в сахарной промышленности, но и в 'крахмало-паточной промышленности для отделения крахмала от соковой воды и других отраслях.
К роторным машинам относятся центробежные жидкостные сепараторы, широко^применяемые в пищевой промышленности. Их используют в частности для отделения сливок от молоками загрязнений от молока.
В настоящее время центробежные жидкостные сепараторы получили еще большее распространение в пищевой промышленности. Их применяют для осветления пивного сусла и готового пива, фруктовых соков,-дрожжевого сусла, различных вин, для рафинации растительных масел, очистки какао и т. д.
Исходя из сказанного выше, следует сделать’вывод о необходимости подробного рассмотрения вопросов расчета" и’конструирова- ния центробежных разделительных машин — центрифуг и сепараторов, учитывая их конструктивную сложность, напряженность рабочих узлов, подвергающихся большим динамическим воздействиям, а также опасность неправильной эксплуатации и ошибочных расчетов и конструирования их узлов.
Исходными характеристиками при выборе конструкций центрифуг и сепараторов являются их назначение и требуемая производительность при заданной степени разделения. Основной зависимостью для ориентации в вопросах производительности центробежных машин является
(384)(384)где с — характеристика разделяемости продукта (например для осадительных центрифуг скорость осаждения частиц твердой фазы в поле тяжести V £ — индекс производительности центрифуг.где с — характеристика разделяемости продукта (например для осадительных центрифуг скорость осаждения частиц твердой фазы в поле тяжести V £ — индекс производительности центрифуг.Рис. 200. Подвесная центрифуга для отделения патоки от сахараРис. 200. Подвесная центрифуга для отделения патоки от сахараQ = с 2,
(384)
(384)
где с — характеристика разделяемости продукта (например для осадительных центрифуг скорость осаждения частиц твердой фазы в поле тяжести V £ — индекс производительности центрифуг.
где с — характеристика разделяемости продукта (например для осадительных центрифуг скорость осаждения частиц твердой фазы в поле тяжести V £ — индекс производительности центрифуг.
Рис. 200. Подвесная центрифуга для отделения патоки от сахара
Рис. 200. Подвесная центрифуга для отделения патоки от сахара
Рис. 201. Схема ротора трубчатой центрифуги/ /|
Рис. 202. Элемент поверхности ротора> /t
„И UmaxI
Рис. 203. Схема конической тарелки\ < г — 1
Для расчета 2 необходимо знать фактор разделения центрифуги, равный отношению ускорения поля центробежных сил и2г (здесь со — угловая скорость ротора; г — радиус ротора) к ускорению свободного падения g и площадь осаждения.
Для цилиндрического ротора осветляющей центрифуги, например трубчатой (рис. 201), индекс производительности
2 = 2nrWr/g = 2лг2и2Ш(385)
где L — длина ротора; g — ускорение свободного падения; со — угловая скорость; г — радиус ротора.
Параметр 2 является важнейшей характеристикой разделяющей способности осадительных и фильтрующих центрифуг. Однако в общем случае его определение не так просто, как в рассмотренном случае применительно к цилиндрическим роторам.
Выделим из нецилиндрической рабочей поверхности ротора центрифуги элемент поверхности dF, расположенный на расстоянии г от оси вращения (рис. 202). Так как данная поверхность не является цилиндрической, направление силовых линий поля центробежных сил не совпадает с направлением нормали к поверхности разделения. В связи с этим целесообразно учитывать векторный характер действующих сил, а фактор разделения центрифуги Fr также считать величиной векторной.
Для выделенного элемента поверхности элементарный индекс производительности
d 2 = (Fr dF) = Fr cos a dF.
Отметим, что dF рассматриваем здесь как направленный элемент поверхности.
Для'всей рабочей поверхности ротор а индекс производительности S=JJ(>r, dF).
F
Если поверхность осаждения ограничена одной или двумя плоскостями, перпендикулярными к ее оси, то она является замкнутой.
Применим для вычисления У теорему Остроградского—Гаусса [60], согласно которой поток вектора через замкнутую поверхность равен объемному интегралу от дивергенции вектора:
(j(Frd>) = j ^dtoFrdV,
где dV — элементарный объем.'
Как известно в цилиндрической системе координат дивергенция вектора А
где Ат, Аф и А^ — проекции вектора А на направления г, ф, г.
Учитывая, что вектор фактора разделения центрифуги имеет радиальное направление и, следовательно, Кгф = Frz = 0, а поток вектора Fr через плоскости, ограничивающие поверхность осаждения, перпендикулярные к оси г, равен нулю, получаем
dWr--L ±- (г^\=—-
Г dr \ g / g
Тогда
VV
Учитывая, что jjj dV = V (замкнутому объему), получаем 2 = 2w2W^,
■ где V — объем, ограниченный рабочей поверхностью ротора н секущей плоскостью одной илн двумя.
Полученную формулу можно сформулировать в виде следующего правила [63]: для любой рабочей поверхности ротора центрифуги, ограниченной хотя бы одной плоскостью, нормальной к оси г, индекс производительности равен объему, ограниченному этой поверхностью и плоскостью, умноженному на 2со2/§\
Для цилиндрического ротора с радиусом г и длиною L объем Цилиндра равен 2лгТ. Умножая эТот объем на 2w2/^, получаем приведенное выше выражение для 2-'
Из выражения для индекса производительности цилиндрического ротора следует, что высокая производительность центрифуги может быть достигнута в результате повышения окружной скорости ротора и его длины. Однако из конструктивных соображений длина ротора лимитирована. Повышение окружной скорости ротора ограничено его прочностью. Решение задачи по преодолению данного противоречия оказалось возможным после изобретения конструкции ротора, имеющего внутри пакет*конических тарелок. Поток разделяемой жидкости движется от периферии ротора к его оси вдоль конических поверхностей тарелок (рис. 203), образую-
28928910 Соколов В. И.
289
289
Рис. 204. Ротор Спиральной центрифугиРис. 204. Ротор Спиральной центрифугиРис. 205. ротор лопастной центрифуги:Рис. 205. ротор лопастной центрифуги:1 — корпус; 2 — крышка; 3 — ускорительная чашка; 4, 5 — шпильки; 6 — лопасти1 — корпус; 2 — крышка; 3 — ускорительная чашка; 4, 5 — шпильки; 6 — лопасти
Рис. 204. Ротор Спиральной центрифуги
Рис. 204. Ротор Спиральной центрифуги
Рис. 205. ротор лопастной центрифуги:
Рис. 205. ротор лопастной центрифуги:
1 — корпус; 2 — крышка; 3 — ускорительная чашка; 4, 5 — шпильки; 6 — лопасти
1 — корпус; 2 — крышка; 3 — ускорительная чашка; 4, 5 — шпильки; 6 — лопасти
щих пакет. Так как зазор между тарелками крайне мал (0,5 мм), пакет имеет в своем составе довольно большое число тарелок.
> Индекс производительности для рабочей поверхности осаждения, образованной внутренней поверхностью одной тарелки, будет равен объему усеченного конуса, ограниченного тарелкой, умноженному на 2о)2/^. Объем такого конуса при внутреннем и наружном радиусах тарелки /?т1п и Rmax и высоте Н, угле наклона а образующей конической поверхности к оси вращения
, z 1/ ^max^max ^min^min \
=ig5tga /'
При наличии в роторе пакета тарелок в количестве п индекс производительности такого ротора
2(386)
Помимо конических тарелок применяют также спиральные вставки (рис. 204). Как известно, спиральная поверхность описывается уравнением
г = 1у/2л при 0 < г < Я,
где I — шаг спирали.
Объем, ограниченный ^-витком спирали,
2Я* н
К6 = 1 J \гй^аг = ^-\ка-^-\^\Н.
2Л (ft—1) О
Тогда индекс производительности спиральной центрифуги при наличии п витков
2-2,+-+L+-+S.^x
х (1^1 + • • « + ^& + • • • + ^п), или
" <387>
В пищевой промышленности применяют так называемые лопастные центрифуги, ротор которых имеет фильтрующие лопасти. Форма этих лопастей обеспечивает непрерывное движение продукта к периферии ротора под действием составляющих центробежных сил инерции, причем это движение происходит одновременно с процессом фильтрования продукта через фильтрующие поверхности лопастей (рис. 205).
Рассмотрим лопасть, описываемую уравнением г = бе°». Объем, ограниченный лопастью,
ф2 Нфг
Ф1 оф,
Сечение этого объема заштриховано на рис. 206.
Индекс производительности лопастной центрифуги
где г — число лопастей.
Конструируя центрифуги и сепараторы, необходимо стремиться к достижению наибольшего значения индекса производительности центрифуги.
Конструкция центробежных разделительных машин в большой степени зависит от применяемого способа выгрузки из ротора продуктов разделения. Эти машины по способу выгрузки разделяют на машины с ручной выгрузкой осадка, шнековой, пульсирующими поршнями, инерционной, ножами и скребками, гравитационной и гидравлической (через сопла).
Способ выгрузки продуктов разделения из роторов в большой степени определяет и кон- /т/ струкцию роторов. В простейшем случае, когда// /
применяется ручная выгрузка или периоди-
Рис. 206. Лопасти центрифуги - ю*
ческая с помощью ножей, скребков и других механизмов, ротор может иметь простые формы, например цилиндрическую, коническую, и плоские днища. Ротор может быть комбинированным и состоять из цилиндрических, конических и плоских элементов.
Однако современные требования, предъявляемые к центробежным машинам: высокий индекс производительности или большая вместимость ротора при непрерывной или автоматической выгрузке сгущенных продуктов — обусловливают значительное усложнение конструкции роторов.
Расчет на прочность роторов.современных центробежных машин для разделения продуктов часто является сложным и весьма ответственным. Это связано со сложной конфигурацией роторов и высокими инерционными нагрузками на их элементы, воспринимающими, к тому же, и значительные гидравлические давления.
РОТОРЫ ЦЕНТРИФУГ И СЕПАРАТОРОВ, РАСЧЕТЫ ИХ НА ПРОЧНОСТЬ
В пищевой промышленности часто используют центрифуги с перфорированными роторами (рис. 207).
Цилиндрические роторы обычно состоят из обечайки, днища, имеющего в центре втулку для закрепления ротора на валу, бортового кольца (в некоторых конструкциях бортовое кольцо отсутствует).
Обечайка ротора выполнена из листового проката. Края листа, соединенного в кольцо, сваривают газовой сваркой или чаще электродуговой. .
Днища роторов часто выполняют в виде цельной отливки или поковки. В некоторых случаях днище состоит из двух частей — литой или кованой ступицы и собственно днища, изготовленного из листа. Днища обычно имеют отбортованный край для соединения с обечайкой.
Борт чаще изготовляют из листового проката с отогнутым краем для присоединения к обечайке. Обечайки выполнены из углеродистой стали, а также из коррозионно-стойкой и легированной.
Большой практический интерес представляют центрифуги со шнековой выгрузкой (рис. 208), ротор которых состоит из конической обечайки и двух днищ, присоединенных к фланцам на болтах. Днища выполнены за
Рнс. 207. Перфорированный цилнндрнче- . ский ротор подвесной центрифуги
Рис. 208. Конический ротор центрифуги со шнековой выгрузкой: / — левое днище; 2 г— коническая обечайка; 3 — правое днищеРис. 208. Конический ротор центрифуги со шнековой выгрузкой: / — левое днище; 2 г— коническая обечайка; 3 — правое днищеодно целое с полыми цапфами. Оба днища имеют расположение по окружности отверстия для отвода из ротора продуктов разделения. Роторы центрифуг со шнековой выгрузкой могут быть выполнены цилиндро-конической формы.
Рис. 208. Конический ротор центрифуги со шнековой выгрузкой: / — левое днище; 2 г— коническая обечайка; 3 — правое днище
Рис. 208. Конический ротор центрифуги со шнековой выгрузкой: / — левое днище; 2 г— коническая обечайка; 3 — правое днище
Для осветления и разделения высокодисперсных жидких неоднородных систем в пищевой промышленности широко применяют сверхцентрифуги, частота вращения ротора которых составляет 15—17 тыс. об/мин, что достигается в некоторых конструкциях благодаря уменьшению диаметра ротора.
Увеличение индекса производительности до возможного макси-
мального значения обеспечивается благодаря выполнению ротора трубчатой формы.
Наиболее высоким ин-осветленной
дексом производительностиживности
характеризуются тарельчатые сепараторы, разновидность ротора которых показана на рис. 209.
Ротор сепаратора для обработки молока (рис. 210) состоит из цилиндрического корпуса 5 и днища с конусным гнездом в центре. На корпусе установлен та- релкодержатель 4, имеющий форму воронки и служащий
Поступлен'ив продуктаПоступлен'ив продуктаРис. 209. Ротор тарельчатого сёпара- тора
Поступлен'ив продукта
Поступлен'ив продукта
Рис. 210. Ротор сепаратора для обработки молока
для укрепления в роторе пакета конических тарелок 3. Пакет прижимается к тарелкодержателю ребрами конической крышки ротора 2, Для плотного соединения крышки ротора с корпусом служит зажимная гайка 1.
При каждой очистке этого ротора от накапливающегося внутри осадка требуется его разборка.
Если концентрация твердой фазы центрифугируемой суспензии велика и свободное пространство ротора может быстро заполняться осадком, применяют машины, из роторов которых осадок удаляется без прекращения их работы.
Рассмотрим расчет роторов сепараторов и центрифуг на прочность.
Основной деталью роторов является цилиндрическая или коническая обечайка.
При расчете на прочность обечайку следует рассматривать как оболочку, находящуюся под действием радиальной инерционной нагрузки, вызванной массой обечайки при вращении.
Если внутри ротора находится жидкость, то на стенку обечайки дополнительно действует также и гидростатическое давление, обусловленное вращением этой жидкости.
Не учитывая пока наличия краевого эффекта у мест сопряжения обечайки с днищем или другими деталями, произведем ее расчет.
Найдем давление на стенку от действия слоя жидкости, вращающегося с ротором, пренебрегая при этом действием сил тяжести.
Пусть наружный радиус слоя жидкости равен г0, внутренний гг, высота его Н.
На бесконечно тонкий цилиндрический слой жидкости радиуса г действуют радиальные силы (рис. 211, а)
dp = 2лгЯрж(о2гб/г,
гДе Рж — плотность жидкости, кг/м3.
Относя dp к единице поверхности элементарного слоя радиуса г, получаем
dp = Ржю2^г.
Рис. 211. Схема к расчету ротора, заполненного жидкостью
Интегрируя левую часть полученного равенства от нуля до р (здесь р — давление на расстоянии г от оси ротора), а правую часть от Гг до г, находим
P-WV -1^2.(388)
Подставляя в последнее равенство вместо г величину г0, определяем давление жидкости на стенку ротора:
Ро = [рж®2 (/о - ^)]/2.
Умножим и разделим правую часть последнего выражения на г^, получим
Ро = РжО^/З,(389)
где о — окружная скорость; тр — степень наполнения ротора, определяемая по выражению ip = (г§ — г|)/г§.
При расчете роторов сепараторов величину ф приближенно можно принимать равной единице.
Давление жидкости на стенки роторов может достигать больших значений. Например, в роторах больших молочных сепараторов это давление более 2 МПа.
^Рассмотрим цилиндрическую обечайку как безмоментную тонкостенную оболочку, не учитывая напряжений, вызываемых краевым эффектом. В этом случае, как указывалось ранее, радиальным напряжением можно пренебречь. Окружное нормальное напряжение будет равно сумме напряжений от действия на обечайку давления жидкости р0 и сил инерции массы обечайки.
Первую составляющую, обусловленную действием давления ро, найдем по формуле (97), подставляя в нее р из уравнения (389).
Вторую составляющую определим из уравнения (329) (принимая r0!R « 1). Таким образом, суммарное окружное напряжение в цилиндрической обечайке
Рж021р Го ,2 2/ Xlpr0 , , \/ПЛОХ
СТ; —£- ф ржю то — ( —1 I (То,
где X = рж/р; <т0 = у2р (здесь р — плотность материала ротора).
Для определения меридионального напряжения найдем полное давление жидкости, действующее на днище ротора,
■ Р = j -5— (г2 — г?) 2лг dr = лржи2/дф2/4.
Меридиональное напряжение
_ Р _ РжУ2^2 _ _ '’оИ2tor^ ~ 8s8s ’
Из уравнений (390) и (391) видно, что а, > стт.
Применим при расчете цилиндрической обечайки теорию прочности наибольших касательных напряжений. В нашем случае oj = at\ о2 = om; <т3 = 0.
Следовательно, <тэкв = at. Подставляя в это равенство at из уравнения (390) и решая полученное равенство относительно величины, характеризующей предельную линейную окружную Скорость, обечайки ир, при которой эквивалентное напряжение в опасной точке будет равно пределу текучести материала, получим_
УР— V РжГоФ , „ ’’ 2s ' р
где <гт — предел текучести материала обечайки.
Обозначим отношение рж/р через X, а коэффициент запаса прочности через п, тогда из последнего уравнения найдем толщину стенки
•' рж'ргрУ2лАфор
2(ат/п —ро2) 2 ([а]— а0) ’
где о0 = ру2 = р (лпгр/30)2.
Толщина стенки может быть определена по следующей формуле:
.rnXip
2[Ne/n—1]
где Ne = <rT/(v2p) п.(393)
Рассмотрим расчет тонкостенной конической обечайки (рис. 211,6). Применим к рассматриваемому случаю уравнение Лапласа, подставляя в него вместо р условную величину, равную сумме давления жидкости р0 и распределенных сил инерции q. Эти составляющие определяют различным образом. Гидростатическое давление жидкости на радиусех найдем на основании уравнения (388), в которое подставим вместо г0 радиус х данного нормального к оси сечения оболочки,
Нормальные к поверхности стенки составляющие сил инерции (отнесенные к единице площади), возникающих в стенке обечайки на радиусе и,
q — spm2x cos а.
Подставляя в уравнение Лапласа р и q и учитывая, что pt = = x/cos a; pm = оо, окончательно получим
0,5рж©2 (х2 — г2) х + spt»2x2 cos а
^s cos а
Меридиональные напряжения о,п найдем, приняв, что его осевые составляющие уравновешивают суммарное давление жидкости р на площадь круга радиуса х:
Р = am cos а2лх$.
Полное осевое давление жидкости Р определим так же, как и для случая цилиндрической обечайки;
Таким образом,Таким образом,/>=_W2 (х2-^)2./>=_W2 (х2-^)2.т8xscos aНайдем максимальное значение напряжений при х = R:т8xscos aНайдем максимальное значение напряжений при х = R:(°v)max —(°v)max —0,5рже>2 (^2— r2) r }. spo2^2 cos a0,5рже>2 (^2— r2) r }. spo2^2 cos a(^m)max(^m)maxs cos aрж®2(^г|)2s cos aрж®2(^г|)28 cos aRs8 cos aRs
Таким образом,
Таким образом,
/>=_W2 (х2-^)2.
/>=_W2 (х2-^)2.
т8xscos a
Найдем максимальное значение напряжений при х = R:
т8xscos a
Найдем максимальное значение напряжений при х = R:
(°v)max —
(°v)max —
0,5рже>2 (^2— r2) r }. spo2^2 cos a
0,5рже>2 (^2— r2) r }. spo2^2 cos a
(^m)max
(^m)max
s cos aрж®2(^г|)2
s cos aрж®2(^г|)2
8 cos aRs
8 cos aRs
Учитывая, что at больше aOT, и 'применяя теорию прочности наибольших касательных напряжений, получаем
0,5ржю2 (й2 — г2) R -|- spto2R2 cos a
[<у]
Решая полученное уравнение относительно s, после преобразования найдем
s _7?И<Ь
2 cos a ([а] — а0)
Следует иметь в виду, что в полученной формуле коэффициент ф является условной величиной, а не степенью заполнения ротора, как в цилиндрическом роторе.
Назовем отношение величин ор/рп2 критерием прочности роторов (здесь стр — напряжение в стенках ротора при разрушении).
В общем случае под разрушением роторов будем понимать нарушение их целостности.
Для разрушения быстровращающегося тела требуется совершить работу
Л = opS//2, где S — площадь, образующаяся при разрушении; I — смещение отделяющейся части, когда значение напряжения не равно нулю.
Работу можно также определить по следующей формуле:
А = Стр 1/1/2, где Vi — некоторый объем.
Работа А совершается вследствие изменения кинетической энергии вращающегося тела при его разрушении.
Для осуществления разрушения необходимо, чтобы изменение энергии при разрушении вращающегося тела | At/1 ^ А.
Изменение энергии при разрушении вращающегося тела AU = пи№ = рУ2у2/2,
где т, Р2 и у — соответственно масса, объем и линейная скорость отделившейся части ротора; р — плотность материала ротора.
Приведенное выше условие перепишем в виде
Стр У1/2 — ру2У2/2 с О, откуда
<тР/М С W = / (Р),(394)
где / (Р) — функция, характеризующая соотношение геометрических размеров тела, при данных условиях нагружения ротора.
В выражение для Ne входит отношение (тр/р, которое называют удельной прочностью. Для выяснения физического смысла этой характеристики материалов рассмотрим прочность тонкого вращающегося кольца. Для этого воспользуемся уравнением (390) для случая, когда в роторе отсутствует жидкость и, следовательно, Ф === 0. Тогда
ст< = ст0 = v2p.
Учитывая, что в данном случае имеет место одноосное напряженное состояние, условие прочности для вращающего кольца, нагруженного силами инерции,
<Гэкв = (т< = и2р =э ffp,(395)
откуда
<V(y2P) С 1 или
Стр/p С у2.(396)
На основании последнего выражения можем сделать вывод, что удельной прочностью материала является квадрат окружной скорости вращающегося тонкого кольца, выполненного из этого материала, при которой происходит его разрушение.
Днище и борт цилиндрических роторов рассматриваем как сплошную и кольцевую пластину постоянной толщины, шарнирно 298
опертую по наружному контуру и нагруженную гидростатическим давлением, обусловленным вращением жидкости в роторе
Р = <7о(р2-«4),
где q6 = со2рж/2 (здесь со — угловая скорость ротора; рж — плотность центрифугируемой жидкости); а4 — внутренний радиус жидкости, находящейся в роторе; р — текущий радиус (7? > р > а4).'■
Значения Мп Mt, ср и w для сплошного днища определяем по формулам (61)—(64) и (77)—(80).
Для кольцевого борта из уравнений (77) и (78) получим
Мг = Мг>, + ^о^гс - Яо^гд^
Mt = ^„^сг + Л1<офп - <7Г4Ф<9о, где фг?о и ф<9о — сопровождающие функции (см. табл. 7);
Ф = !/96 {5,3 —Х= [19,8— 15,9^+1,4Х| +7,8^21пХ2]};
Ф( = 1/96 {2,5 — Х2 [ 11,4 — 7,5X2 + j -^ + 78Х21п ^ }
Пример. Необходимо найти напряжения на внутреннем и внешнем контурах борта ротора центрифуги, обусловленные действием на борт давления жидкости во вращающемся роторе, если диаметру борта соответственно равны 360 и 250 мм, и толщина стенки борта «б = 8 мм, рж = 1,2-103 кг/м3; частота вращения ротора 3200 об/мин. Из формул табл. 6 находим значения сопровождающих функций. Учитывая, что при r0 = R, Мг = 0 для X = R0,R0 = 1 фгг = = 1,0; Фгс = 0; ф,то = 0, тогда
(Дио = -ио.1 + ^.о-^.о = о.
Откуда МГо = 0.
Так как при г = R^ Мг = 0, для X = Х4 = R6jR = 0,125/0,18 = 0,695 фг( = 0,258; фг<о = 0,0064 и, следовательно,
(Mr)r=R = Л4/о-0,908 — ^Т?1-0,0064 = 0, откуда
М<0 = О,О2489о^4-
Подставляя МГо и Mto в выражения для М и М{, получаем
Мг = 0,0248<70^4Фг * — q^-^rqy
Mt = 0,0248<707?4ф^ — qe^tqQ.
Найдем значения изгибающих моментов для внутреннего контура:
г = Re; X = Х4 = R6'R0 = 1; фг/ = 0; ф^ = 1;
Фг?о = 0; Ф^о = 0;
(Mr)r=Ro = 0; (M^r = O,O24&7o^4.
■ Напряжения на внутреннем контуре
6 (Mf)r=^0qeR4
(or)r=R0 = 0; ^г=К0 = ±,° = 0,174•
8б
Учитывая, что qe = ржш9/2, получаем
(<Jt)r=Ro = ± 123 МПа.:
Аналогичным способом получаем для наружного контура
<Pr)r=R = 0'. (о/)г^=±Ю5МПа.
Определим радиальные и угловые деформации цилиндрической и конической (при наибольшем радиусе) обечаек.
Найдем радиальное перемещение края цилиндрической обо- лочки, вызванное действием центробежных сил инерции.
Согласно обобщенному закону Гука относительное удлинение в окружном направлении
е( = (а( - ратУЕ.
Известно, что относительное удлинение радиуса окружности равно относительному удлинению этойХокружности, поэтому абсолютное, удлинение в окружном направлении
АТ? = etR = R (а, — ро^/Е.
Так как для вращающейся цилиндрической оболочки ат = О, то после подстановки в последнее равенство at из уравнения (329) (при r0/R м 1) получим перемещение края цилиндрической оболочки в радиальном направлении под действием единичных сил;
' бзсц = pW/E.
Аналогично найдем радиальное перемещение края цилиндрической оболочки от действия давления жидкости.
Подставляя в уравнение для kR, at и От из уравнения (390) и (391), после преобразований получаем.
Оарц—Огсц +-2s-V 4
Учитывая, что давление жидкости и интенсивность центробежных сил инерции не меняется вдоль образующей оболочки, получаем
61сц — ^арц = 0.,
Для конической оболочки приведем соответствующие значения перемещений без вывода [54 Т:
62ск = pW/E;
61СК = (3 + н) pw2/?2 ctg ф/£;
S pwQ^ctgy Го ( ro.\2l $£$тф [\ R ) J ’
где ф — угол между образующей и нормалью к оси конуса; г0 — радиус меньшего основания конуса.
6)6)о)о)Рис. 212. Расположение отверстий в стенке ротора:
6)
6)
о)
о)
а — по вершинам квадратов в шахматном порядке; б — по вершинам равносторонних треугольников
Рассмотрим особенности расчета перфорированных роторов.
Роторы фильтрующих центрифуг представляют собой перфорированные оболочки цилиндрической или конической формы. Наличие перфорации существенно изменяет закон распределения напряжений, об-
условливая концентрацию их у отверстий и снижая жесткость оболочек по сравнению с жесткостью сплошных оболочек. В соответствии с ОСТ 26-01-1271—81 перфорированные и конические элементы роторов центрифуг рекомендуются рассчитывать как эквивалентные сплошные элементы, имеющие приведенные физические характеристики — плотность, модуль упругости, коэффициент поперечной деформации. Методика^расчета применима для элементов из пластичных материалов и элементов с перфорированными отверстиями малого параметра г2/(Rs) < 0,02 (здесь г — радиус отверстия; R — радиус средней поверхности элемента ротора; s — толщина стенки элемента) при степени перфорации с = Fo/F « 0,2 (здесь Fo — плошадь всех отверстий перфорированного > элемента; F — площадь срединной поверхности сплошного элемента).
Степень перфорации при рассмотрении отверстий по вершинам квадратов в шахматном порядке (рис. 212, а) с = 0,785 (diff (здесь t — расстояние между центрами отверстий). При расположении отверстий по вершинам равносторонних треугольников (рис. 212, б) с = 0,907 (diff. Приведенную плотность (кг/м3) материала элемента ротора определяем по формуле рп = р (1 — с) (здесь р — плотность материала ротора).
Коэффициент ослабления
Фс = 1 — d!t.
Толщина стенок цилиндрического и конического элементов
шц— 2 (й [а]-аСп)шц— 2 (й [а]-аСп)4-е4-е
шц— 2 (й [а]-аСп)
шц— 2 (й [а]-аСп)
4-е
4-е
Дрп^иФк^к
2 (й [а] — ооп) cos а
где к = фс, если фс <Ф, (здесь ф— коэффициент прочности сварного шва) е = Ф при ф < фс ...
Перфорация обечайки роторов центрифуг существенно влияет на ее деформации. Опытным путем установлено, что с увеличением перфорации радиальные деформации цилиндрических обечаек весьма заметно возрастают, причем, больше при шахматной разбивке отверстий, чем при квадратной.
Для определения деформаций цилиндрических обечаек нужно рассматривать их как сплошные, но в расчетные уравнения подставлять условные значения модуля упругости материала Е' и коэффициента поперечной деформации ц'.
Эти постоянные определяют [62 ] с помощью следующих уравнений:
р,50005
£ — s/6 (21,6s/6 — 941ц + 4300) ’
,22,4s//+ 981ц + 190 . /850ц + 203 \,.,2\
11 ~ 21,6s//+ 941ц+ 4300'+\^81,5ц + 3760 Л b
где к = dis (здесь d — диаметр отверстий перфорации; s — шаг отверстий); sib и sll — геометрические характеристики перфорации.
Как показали другие экспериментальные исследования, при малой степени перфорации цилиндров и размещении отверстий по вершинам равносторонних треугольников, квадратов или в шахматном порядке жесткость их не зависит от характера расположения отверстий.
Введем следующие обозначения: R — радиус срединной поверхности цилиндра; г — радиус отверстий; s— толщина стенки цилиндра; Fo — суммарная площадь всех отверстий перфорированного цилиндра; F — площадь срединной поверхности сплошного цилиндра,-' из которого выполнен перфорированный; с = = Fo/F (предполагается, что с с 0,2).
При расчете на жесткость цилиндрических перфорированных обечаек роторов их рассматривают как сплошные фиктивные обечайки, для которых приведенный модуль упругости первого рода различный в осевом направлении и окружном.
При большом радиусе цилиндра его можно считать практически изотропным, а приведенные значения модулей упругости Е'1 и £2 можно определять как для перфорированной пластины:
Е' = Е (Д — с)3 (1 + 4с3),
где Е — модуль упругости первого рода для материала перфорированной обечайки.
Однако этот расчет можно производить при соблюдении условия r^Rs < 0,018 (ц = 0,3).
При с «: 0,2 приведенные значения коэффициента Пуассона совпадают со значением ц для материала цилиндра.
Наибольшие напряжения на контуре отверстий цилиндра для некоторых двух точек А и В определим по формулам А. И. Лурье с учетом влияния степени перфорации (при расчете по допускаемым напряжениям) и при р, = 0,3:
о а = 1/z [Зст2 — с^ + 0,65г2/(5ст2 — a^/Rs;
ав = 1/z [Зстх — ст2 + 0,65г2/(стг — a^/Rs,
где г = 1 — с; ffj и а2— меридиональное и окружное напряжения в фиктивном сплошном цилиндре.
§ 26. РАСЧЕТ СОПРЯЖЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ РОТОРОВ ЦЕНТРИФУГ
Рассмотрим быстровращающийся ротор центрифуги, заполненный жидкостью (рис. 213). Под действием центробежных сил инерции собственной массы и гидростатического давления жидкости, вращающейся вместе с ротором, его элементы будут деформироваться.
Если представить эти элементы не связанными между собой, то под действием заданных нагрузок деформация их будет различна (рис. 214). Например, край цилиндрического элемента ротора будет иметь смещение вдоль радиуса параллельного круга не на одинаковую величину с краем конического. Угловые перемещения краев будут также различны.
В действительности элементы ротора соединены в одно целое и их деформации у мест сопряжения будут одинаковы. Поэтому
здесь возникнут системы равномерно распределенных сил и мо- ментов; Последние будут вызывать деформации краев, обеспечи
вающих непрерывность ротора в сечениях сопряжений.
Будем считать, что цилиндрическая часть роторов является настолько длинной, что взаимным влиянием краевых сил и моментов в местах сопряжения I и II можно пренебречь (рис. 213).
Определим значения сил и моментов оболочек в местах их
сопряжении.
В сечении узла I на край цилиндрической оболочки действуют меридиональное осевое усилие (рис. 214, а, б), определяемое по мембранной (безмоментной) теории оболочек, Иц = атд8 (здесь сттц — мембранное меридиональное напряжение в цилиндрической оболочке; s — тол-
щина оболочки), неизвестный меридиональный изгибающий момент Л40, возникающий в результате упругого взаимодействия соединенных между собой элементов (рис. 214, а);
Рис. 213. Цилиндро-конический ротор с плоским днищем
a)a)Рис. 214. Схема действия а — краевых поперечных безмоментной теорииРис. 214. Схема действия а — краевых поперечных безмоментной теориив местах сопряжения элементов ротора:сил и изгибающих моментов; б — усилий, определяемых пов местах сопряжения элементов ротора:сил и изгибающих моментов; б — усилий, определяемых по
a)
a)
Рис. 214. Схема действия а — краевых поперечных безмоментной теории
Рис. 214. Схема действия а — краевых поперечных безмоментной теории
в местах сопряжения элементов ротора:
сил и изгибающих моментов; б — усилий, определяемых по
в местах сопряжения элементов ротора:
сил и изгибающих моментов; б — усилий, определяемых по
неизвестная краевая сила Ро, возникающая в результате упругого взаимодействия соединенных между собой элементов.
К краям конической оболочки приложен такой же изгибающий момент и краевая сила, но имеющие противоположное направление.
При рассмотрении действия силы Яц на коническую оболочку ее удобно разложить на меридиональное усилие конической оболочки NK = Уц/sin ф; усилие, нормальное оси (рис. 214) Яр = = Яц ctg ф.
Усилия Уц, WK и Яр можно считать известными, так как их определяют с помощью мембранной теории оболочки.
Если поперечная сила цилиндрического элемента QA = Ро, то конического QK = Ро + Яр (рис. 214, а).
В сечении сопряжения II к краям цилиндрической оболочки приложены неизвестные краевые силы Ро и моменты Мо. Сила Р'о будет создавать дополнительный изгибающий момент Р'^Ъ, приложенный к краю днища, который можно не учитывать из-за его малости.
Краевые моменты и силы Л4о, Ро, Мо и Р’о являются «лишними» неизвестными величинами статически неопределимых систем. Для их определения составим для сечения каждого сопряжения канонические уравнения метода сил:
. для узла /
6ц цЛ40 + Si? дЛ) 4~ 61с ц 4- 61Р ц =
" 6и КЛ4О 4" 612к (^*0 + Яр) 4* 61с к 4” 6ipK;
621 цЛ40 4~ 622 ц^о 4" 62с ц 4~ бгрц = 62i к^о 4"(397)
4~ 622 к (Л> 4" Нр) 4" 62с к 4" 620 к>
для узла IIдля узла II6ц цМо + 612 цРо 4” бю ц 4" 61р ц =
для узла II
для узла II
= 6ц дМо + 612 дРо + 61с д + 61Р д;
621 ц-Мо + 622 цРо 4* 622 ц 4" 62р ц = I(398)
= 621дЛ4о + 622дРо + 62сд4-62рд, j
где бцц, бцк, бцд— угол поворота краевого сечения элемента ротора (цилиндрического, конического плоского), вызванный действием распределенного единичного момента Мо = 1 в направлении действия этого момента; б12Ц, 612К, 612Д— угол поворота краевого сечения соответствующего элемента ротора, вызванный действием распределенной поперечной единичной силы в направлении действия момента; 622Ц, 6а2К, 622д — радиальное перемещение от единичной силы по направлению действия силы Ро, 621ц, 621К, 621д — радиальное перемещение краевого сечения элемента, роторов по направлению действия силы Ро, вызванное действием единичного момента Мо = 1 (на основании теоремы о взаимности работ 621= 812); 61сц, 61ск, 61сд — угол поворота краевого сечения элемента ротора, обусловленное действием центробежных сил инерции массы элемента в направлении момента Мо; 61рц, 61рк, 61рд — угол поворота краевого сечения элемента в направлении действия изгибающего момента Afg от действия гидростатического давления центрифугируемой жидкости; 62ец, о2ск, 68сд — радиальное перемещение краевого сечения элемента в направлении действия силы Ро, вызванное действием центробежных сил инерции на элемент ротора; 62рц, 62рк, бард— радиальное перемещение, вызванное давлением центрифугируемой жидкости; Мд и Р'о — краевые распределенные изгибающие моменты И силы, возникающие в местах сопряжения элементов роторов вследствие совместной их деформации.
Значения единичных перемещений, а также перемещений от нагрузок для конической и цилиндрической оболочек приведены в табл. 14. Эти значения получены на основании уравнений, приведенных в гл. II.
Найдем угловое перемещение края днища, вызванное действием распределенного единичного момента, приложенного по внешнему контуру днища.
Днище рассматриваем как кольцевую пластину постоянной толщины, опертую по внешнему контуру. При определении деформации влиянием ступицы днища можно пренебречь.
Используя условия (Mr)r=R = 1 и (Мг)г=а = 0, на основании уравнения (77) можем записать
1 = Mt<$rt (a/R),
где а — радиус центрального отверстия ступицы под вал.
Из последнего уравнения находим
М<0 = 1/[фг< (a/R) У
Подставляя Mt0 в уравнение (79), найдем
Р D фг< (a/R)
Определим угловое перемещение края днища, обусловленное действием на днище гидростатического давления центрифугируемой жидкости (рис. 215).
Схема элемента ротораПеремещения края элемента ротора под действиемединичных нагрузок| центробежных снлгидравлического давления- R ; „Рц6цц = 0,425-Ю"10 ^^5 612Ц = 0,166- 10-1» ^^2 622ц = 0,128-10-1° у ^3/h361сц — о бгсц = = 4,1-10-М/?61рц = 062рц = [0,0638 - 10-8фи2/?2/5] (4 — 0,Зф) 62рц = 0,123- 10-M/?2/sрг1(^г1р.hмц-1Схема элемента ротораПеремещения края элемента ротора под действиемединичных нагрузок| центробежных снлгидравлического давления- R ; „Рц6цц = 0,425-Ю"10 ^^5 612Ц = 0,166- 10-1» ^^2 622ц = 0,128-10-1° у ^3/h361сц — о бгсц = = 4,1-10-М/?61рц = 062рц = [0,0638 - 10-8фи2/?2/5] (4 — 0,Зф) 62рц = 0,123- 10-M/?2/sрг1(^г1р.hмц-1о Таблица 14 ст„Единичные перемещения и перемещения, вызванные действием нагрузоко Таблица 14 ст„Единичные перемещения и перемещения, вызванные действием нагрузокШирокий край:Широкий край:RRМ,= 1М.-1М,= 1М.-1611К = бпк611К = бпк612К — 621к612К — 621к1 . ^ sin <р 611ц .2рц’1 . ^ sin <р 611ц .2рц’62СК — 62СЦ62СК — 62СЦ6,6,'22К'22КРц^ГцРц^ГцШарнирное опирание по широкому краю:6lpK = 0,51 • 10-8 XШарнирное опирание по широкому краю:6lpK = 0,51 • 10-8 X62рк = 0,256-10"862рк = 0,256-10"8Схема элемента ротораСхема элемента ротораПродолжение табл. 14Перемещения края элемента ротора под действиемПродолжение табл. 14Перемещения края элемента ротора под действиемединичных нагрузокединичных нагрузокУзкий край:бпк = бцц -,—;V sin ф¥з612к = бцц —;V3622к = ^ПЦ VSitl Ф . v2 •Узкий край:бпк = бцц -,—;V sin ф¥з612к = бцц —;V3622к = ^ПЦ VSitl Ф . v2 •2Р=2Р=V3V3центробежных силцентробежных сил6icK= 13,2-10"8 XX и2 etg Ф6icK= 13,2-10"8 XX и2 etg Фгидравлического давлениягидравлического давленияШарнирное опирание по узкому краю:61рк = 0,0624- 10~8v2/? sin ф XГ.__ / Гп \2/ Гл \41Шарнирное опирание по узкому краю:61рк = 0,0624- 10~8v2/? sin ф XГ.__ / Гп \2/ Гл \41v2 = 1 — 0,195v2 = 1 — 0,195ctg<pctg<p. 6* =0,231- 10"8 -^i2РКs sin ф. 6* =0,231- 10"8 -^i2РКs sin фv3 =v3 =
Схема элемента ротора
Перемещения края элемента ротора под действием
единичных нагрузок| центробежных снл
гидравлического давления
- R ; „Рц
6цц = 0,425-Ю"10 ^^5 612Ц = 0,166- 10-1» ^^2 622ц = 0,128-10-1° у ^3/h3
61сц — о бгсц = = 4,1-10-М/?
61рц = 0
62рц = [0,0638 - 10-8фи2/?2/5] (4 — 0,Зф) 62рц = 0,123- 10-M/?2/s
рг1(
^г1
р.
h
м
ц-1
Схема элемента ротора
Перемещения края элемента ротора под действием
единичных нагрузок| центробежных снл
гидравлического давления
- R ; „Рц
6цц = 0,425-Ю"10 ^^5 612Ц = 0,166- 10-1» ^^2 622ц = 0,128-10-1° у ^3/h3
61сц — о бгсц = = 4,1-10-М/?
61рц = 0
62рц = [0,0638 - 10-8фи2/?2/5] (4 — 0,Зф) 62рц = 0,123- 10-M/?2/s
рг1(
^г1
р.
h
м
ц-1
о Таблица 14 ст„
Единичные перемещения и перемещения, вызванные действием нагрузок
о Таблица 14 ст„
Единичные перемещения и перемещения, вызванные действием нагрузок
Широкий край:
Широкий край:
R
R
М,= 1М.-1
М,= 1М.-1
611К = бпк
611К = бпк
612К — 621к
612К — 621к
1 . ^ sin <р 611ц .
2рц’
1 . ^ sin <р 611ц .
2рц’
62СК — 62СЦ
62СК — 62СЦ
6,
6,
'22К
'22К
Рц^Гц
Рц^Гц
Шарнирное опирание по широкому краю:
6lpK = 0,51 • 10-8 X
Шарнирное опирание по широкому краю:
6lpK = 0,51 • 10-8 X
62рк = 0,256-10"8
62рк = 0,256-10"8
Схема элемента ротора
Схема элемента ротора
Продолжение табл. 14
Перемещения края элемента ротора под действием
Продолжение табл. 14
Перемещения края элемента ротора под действием
единичных нагрузок
единичных нагрузок
Узкий край:
бпк = бцц -,—;
V sin ф¥з
612к = бцц —;
V3
622к = ^ПЦ VSitl Ф . v2 •
Узкий край:
бпк = бцц -,—;
V sin ф¥з
612к = бцц —;
V3
622к = ^ПЦ VSitl Ф . v2 •
2Р=
2Р=
V3
V3
центробежных сил
центробежных сил
6icK= 13,2-10"8 XX и2 etg Ф
6icK= 13,2-10"8 XX и2 etg Ф
гидравлического давления
гидравлического давления
Шарнирное опирание по узкому краю:61рк = 0,0624- 10~8v2/? sin ф XГ.__ / Гп \2/ Гл \41
Шарнирное опирание по узкому краю:61рк = 0,0624- 10~8v2/? sin ф XГ.__ / Гп \2/ Гл \41
v2 = 1 — 0,195
v2 = 1 — 0,195
ctg<p
ctg<p
. 6* =0,231- 10"8 -^i
2РКs sin ф
. 6* =0,231- 10"8 -^i
2РКs sin ф
v3 =
v3 =
s sin <р
——±ctgv
Го
to
ТГ^р-1
I «8 66565
би - 1210~llj? (* — 0,65е).
S=8
, бИ 5д
622Д =12
62сд —
= 0,703-10-М/?
Рис.^215. Схема нагружения днища роторов гидростатическим давлением при действии: | а — неравномерно распределенной нагрузки; б-— двух ступеней равномерно распреде- 1 ленной нагрузки; а — трех ступеней равномерно распределенной нагрузки 1Рис.^215. Схема нагружения днища роторов гидростатическим давлением при действии: | а — неравномерно распределенной нагрузки; б-— двух ступеней равномерно распреде- 1 ленной нагрузки; а — трех ступеней равномерно распределенной нагрузки 1при-при-
Рис.^215. Схема нагружения днища роторов гидростатическим давлением при действии: | а — неравномерно распределенной нагрузки; б-— двух ступеней равномерно распреде- 1 ленной нагрузки; а — трех ступеней равномерно распределенной нагрузки 1
Рис.^215. Схема нагружения днища роторов гидростатическим давлением при действии: | а — неравномерно распределенной нагрузки; б-— двух ступеней равномерно распреде- 1 ленной нагрузки; а — трех ступеней равномерно распределенной нагрузки 1
при-
при-
Согласно уравнению (79) имеем
Огр = M^r%r + Af^nl^ — q^w
Так как при г = г0, Мгй = 0, уравнение (79) при г = R мет вид
Mr0 = 0 = M1($rt WR) — qoR4 qrq0 WRY
откуда
м<0 = qoR4^ (ajR)/^ WRW (3")
Перепишем уравнение для Dtp
Dtp = q0R5 [фг? WfRWt WRY ФФ< WR) — <7о^5Фф» WIRY(40°)
где на основании уравнения (60)
' ^^t'-^P-^^ + ^-Sln^)]}
(здесь Л4 = а4ку
Табулированные значения сопровождающих функций фг9, фот приведены в табл. 15.
308
Таблица 15
Значения сопровождающих функций при действии иа круглый плоский элемент давления жидкости
X
^rqo
^tq.
^Wq,
0,00
0,05521
0,02396
0,01042
0,00174
0,10
0,05320
0,02490
0,00982
0,00159
0,20
6,04764
0,02184
0,00829
0,00125
0,30
0,03956
0,01758
0,00627
0,00085
0,40
0,03020
0,01291
0,00423
0,00050
0,50
0,02081
0,00850
0,00249
0,00025
0,60
0,01250
0,00486
0,00121
0,000097
0,70
0,00611
0,00224
0,000451
0,0000271
0,80
0,00208
0,000717
0,000103
0,0000041
0,90
0,000295
0,000095
0,000007
0,0000001
1,00
0,00000
0,000000
0,000000
0,0000000
Определение значений функций данной таблицы так же, как и получение формулы (400) и пример расчета, выполнены И. В. Кошелевым.
Пример. Необходимо определить угол поворота наружного края плоского днища цилиндрического ротора центрифуги. Наружный радиус днища R = — 900 мм, внутренний г0 = 770 мм, толщина днища s = 30 мм, радиус внутреннего слоя продукта в роторе а4 = 630 мм, плотность центрифугируемого продукта рж = 1650 кг/м3, модуль продольной упругости материала днища Е = = 2,1-10® МПа, угловая скорость ротора го = 75,36 рад/с.
Находим значения сопровождающих функций, пользуясь данными табл. 6, roJR = O,l; a4;R = 0,7; ф^ (г0/Л) = 0,4950;
Фг^У (п/Я) = 0,0611; Фф# (г0/Я) = 0,3918;
ФФ9о(п/^) = 0,000451.
Определим значение цилиндрической жесткости
2 1. ЮИ.О ОЗ3
D = EsW (1 - Р2) == 5,2-10® Па-м3
и величину
90=Р^ = 165011№61 = 4,62.10в.
Тогда из уравнения (400) получаем значение угла поворота края днища:
Ф = 4,^№ [_^^_. 0,3918 - 0,000451 ] = 234,10^ рад.
Уравнения (397) и (398) можно значительно упростить. При рассмотрении расчета на прочность цилиндрических обечаек роторов было установлено, что угловые перемещения по краю от действия центробежных сил инерции и гидростатического давления отсутствуют, т. е. 61с. ц = 61оц = 0. Такое же заключение
309
1
можно сделать и о радиальных перемещениях точек на внешнем контуре плоского днища от гидростатического давления центрифугируемой жидкости. Гидростатическое давление действует нормально к поверхности днища и, следовательно, 62рд = 0.
Вполне очевидно, что силы Ро, приложенные по внешнему контуру днища, не вызовут угловых перемещений края последнего так же, как изгибающие моменты Мо не приведут к радиальным перемещениям точек на контуре, т. е. б;2 = 621 = 0.
На основании этих соображений уравнения (397) и (398) запишем в следующем виде с учетом принятого выше правила знаков (гл. II) и направления усилий (см. рис. 214):
6ц ц^О 4" 612 ц^О = — 8ц К/Ио + (7*0 + Нр) 612 к — 61С к 61 рк 821 ц440 4" 822 цРо 4" 82 сц 4- 62рц = 62i KAf0 622 к (Ро 4" Нр) +
4" 82 ск 4" 82 рк>
(401)
(402)(402)8ццЛ1о — 812цРо— — 6ц дМо 4" 61РД;
(402)
(402)
821 ц^О — 622 ДРо -ф- 62 Сц + 82 рц = 622 ДР0 + 82 сд-
На практике перемещение 622^0 за малостью может приниматься равным нулю, что упрощает приведенные выше канониче- , ские уравнения метода сил.1
Из уравнений (401) находят значения краевых моментов и краевых поперечных сил, схема действия которых показана на рис. 214.
Большинство роторов центрифуг представляет собой цилиндрические обечайки с плоским днищем и бортом либо сочетания , цилиндрических и конических участков при наличии плоских днищ или бортов.
Расчет роторов центрифуг необходимо начинать с выбора до- . статочно простой расчетной схемы, учитывающей, однако, действительную работу конструкции и основные требования, предъявляемые к ее расчету и прочности. Рассчитывать подробно необходимо наиболее напряженный узел ротора. Так, например, при использовании цилиндрического ротора с плоским днищем и бортом нужно рассматривать сопряжения обечайки с днищем, так как здесь напряжения будут больше, чем в месте сопряжения борта и обечайки. К такому выводу легко прийти, если учесть, что радиальные деформации цилиндрической обечайки всегда больше радиальных деформаций дисков и деформация кольцевого днища всегда превышает деформации сплошного днища.
Уравнения (401) можно упростить. На основании данных табл. 7 и используя соотношения между 6^к и 6г;ц, получаем «U .М.+^ р. - -М,+«^ № +- 6. - 6.
+Vр-+61" " >- WW №++68 -
W + Р,=+ Р. + Н, - 2|W> (6, „ + 6, ,Л
у Sin ф
РЛ1О + Ро = рмо - —Й=-Д- 4- (62 Рк - 62 рц) 2(УО.
V sin ф у sin ф '
Из приведенных выше уравнений получаем
»д .2^2D (6i ск + 61 рК) — ^р .1
2р(1 + —=-)
\ Изшф / (403)
р (62 рк — ^2рц) 2Р8Р — Н plVsin ф *
4- 1/p^sin ф
Уравнения (402) также несколько упрощаются с учетом соотношения, справедливого для длинных цилиндрических оболочек (см. табл. 14);
822 ц + 612ц/Р=8иц/(2|П
На основании этого переписываем уравнения (402) в виде
8ц дМо - ^- ^ = - 8ц ЯЛо + 81РД;
^ ^о^Т" Ро + 82 сц + 62 рц — 62 Сд.
Из последних двух уравнений находим значения
261 рд + 2Р (62 СЦ + 62 рц — 62 сд) .
0611 Ц + 2611Д’
'Р'О = 2р [Л40 (8П Д/8Ц ц + 1) 8t рД/6ц ц].
В обечайках центрифуг абсолютное значение суммарных окружных напряжений (сумма краевых окружных и мембранных окружных напряжений) редко превышает мембранное окружное напряжение и лишь на весьма коротком участке обечайки. По мере удаления от края краевые окружные напряжения быстро затухают, незначительно отклоняясь от значения мембранного окружного напряжения в большую сторону. В связи с этим при расчете роторов центрифуг большое значение имеет определение
суммарных меридиональных напряжений, значение которых мо- жет значительно превосходить значения окружных напряженийJ
Будем называть зоной влияния края участок обечайки, на протяжении которого суммарные меридиональные напряжения превышают мембранные окружные напряжения. Соответствующий анализ показывает, что краевой эффект в обечайке ротора зависит от совместного влияния плотности центрифугируемого продукта, окружной скорости ротора, мембранных напряжений и соотношения между толщинами элементов ротора. Окружные мембранные напряжения будут меньше у ротора, окружная скорость которого, а также плотность продукта, отношение толщины днища и обечайки будут большими. При определенных условиях краевой эффект может отсутствовать.
Рассмотрим определение Мй и Ро в наиболее важных случаях расчета центрифуг.
Большой интерес представляет расчет конических роторов' осадительных центрифуг со шнековой выгрузкой. Во многих случаях конический участок ротора соединен с цилиндрическим с помощью фланцев. Примем, что фланец у широкого края конического участка ротора полностью исключает возможность новоро-i та края ротора, однако может деформироваться в радиальном направлении под действием центробежных сил инерции.
Если принять, что сила (Рв + Нр) направлена к оси ротора, а момент Л40 вызывает сжатие внутренних волокон, то для данного случая уравнения (402) и (398) будут иметь вид
—■ 6цк Мо — 612к (^*о + Нр) 4" 51 кц + 61 рк — 0;
— 612 КМ) — 622к (^ 4* Нр) 4" 62 ск 4" 6г рк = бггф^о 4" 6г сф>
где 622ф — радиальное перемещение внутреннего торца фланца под действием единичных радиальных сил; 62Сф — радиальное перемещение внутреннего торца фланца, находящегося под действием центробежных сил.
С помощью расчета можно показать, что величина 622 фР^ по сравнению с величиной 622сф незначительна, и ею можно пренебречь. Учитывая это и заменяя сумму Ро + Нр = Q, перепи-' сываем последние уравнения в следующем виде:
6ц к^о 612 KQ 4" 61 ск 4" 61рк = 0;
' 612 к^0622 kQ 4" 6g ск 4' 62 рк = 622 сф-
Принимая во внимание соотношения между 6цк, 6i2K и 622к (см. табл. 14), имеем (учитываются значения р для конуса)
6ц к^о — 6ц к ^- sin Ф 4" 61 ск 4" 61рк = 0;
6ц К "2^ S™ ф — 6ц к -2рг~ Q 4" 62 ск + 62 рк — 62 сф " 0.
Из последних уравнений получаем
^0 = 5^ [26^+261рк — Д(б2ск + 6грк-62сф)]; (404)
(405)(405)О = -^-' Г61 ск + 61 рк _ м 1sin ф [611 к’
(405)
(405)
(«"та™) “ = °'3’ £ = 2' W МП= ” используя выражение
«и,-0.0425.КГ»1/^-'; ₽= 1,285 l/S,
r 1/sm фV Rs. ’
получаем
;, х1,2851 СК Т" 01 УК — ТТ"/Х IVRs sin ф I 2 ск г;, х1,2851 СК Т" 01 УК — ТТ"/Х IVRs sin ф I 2 ск гQ =—_2’57VRs sin фQ =—_2’57VRs sin ф~fl1°1 СК + 01 рК1~fl1°1 СК + 01 рК1(406)(406)М, - 47,06- 10».j/2®t ^
;, х1,285
1 СК Т" 01 УК — ТТ"/Х I
VRs sin ф I 2 ск г
;, х1,285
1 СК Т" 01 УК — ТТ"/Х I
VRs sin ф I 2 ск г
Q =—_2’57
VRs sin ф
Q =—_2’57
VRs sin ф
~fl1°1 СК + 01 рК1
~fl1°1 СК + 01 рК1
(406)
(406)
7
Для конических роторов промышленных центрифуг величины бык и 6ipK малы по сравнению с величинами (1,285/1^^ssin ф) 62сК и (1,285/^ Rs sin ф) 62рК и при приближенных расчетах ими можно пренебречь. Тогда уравнение (406) примет вид
Мо = 47,06-10» У-^- [-Ж=(82 ск + «2 Рк - д2 сф)1,
'Lr ^s 81П ф|
или
Мо = 0,605-10“^- (62ск + 62 РК - 62сф). (407)
После определения краевого момента Мо необходимо найти значения кольцевых усилий Tt и Тг по формулам (139) и (142). После этого определяют напряжения в конической оболочке по приведенным выше уравнениям.
При расчете сопряжения цилиндрической обечайки с плоским днищем производят проверку прочности днища. Толщиной днища задаются в начале расчета, принимая ее не менее 1,5 толщины рбечайки.
Напряжения, возникающие в днище ротора, при его вращении вместе с жидкостью обусловлены действием гидростатического давления жидкости, центробежных сил инерции на днище, краевыми силовыми факторами Ро и Мо.
Наибольший окружной момент в днище (в данном случае кольцевая пластина оперта по внешнему контуру и на нее действует нагрузка, изменяющаяся по параболическому закону) будет иметь место при г = г0.
Рис. 216. Ротор, состоящий из двух конических обечаекРис. 216. Ротор, состоящий из двух конических обечаек
Рис. 216. Ротор, состоящий из двух конических обечаек
Рис. 216. Ротор, состоящий из двух конических обечаек
Примем, как и при определении угловой деформации края днища, схему нагружения в виде двух ступеней (в общем случае п ступеней) равномерно распределенной нагрузки (см. рис. 215). Напряжениями, вызванными действием силы Ро, можно пренебречь из-за их малости. Воспользуемся" уравнениями (399) и (401), учитывая, что МГо = 0 и краевой момент Мо приложен к краю днища, получим
- Af0 = М/Д, ^R") - plR^rq^R1) - piR^qVJRY откуда
дд = Р1Д2Фг? (ri/R) + PiR^rq №) — ^0
*0^rt (ro/R)
Принимая p! = Pmax/4, ГДв Ртах = ржП2ф/2 И ПОДСТЗВЛЯЯ значения в последнее уравнение, имеем
Mto =Mto =0,125ржо2ф7?3 [фг<7 (rifR) + ipr<r WRW
Mto =
Mto =
фг/ WR)
Находим значение наибольших растягивающих напряжений складывая растягивающие напряжения от изгиба пластины мо ментом Mio и растягивающие напряжения n't от действия центре бежных сил инерции. Растягивающие напряжения определяют с помощью уравнения (329), в которое подставляют р = 0,3.
/„ \_6 ( О,125ХаофЯ2[ФгИг1/Я) + Фп?(г2/Я) —Мо ] ।
+ 0,825 [1 + 0,212 (г0/7?)2] а0,
где ст0 = ри2; X = рж/р.
Пример. Требуется определить наибольшие напряжения в роторе шнековой центрифуги для обработки крахмального молочка с частотой вращения п = = 1350 об/мин. Ротор состоит из двух конических участков, соединенных между собой жестким фланцем. Размеры ротора указаны на рис. 216.
Упорный подшипник расположен со стороны узкого края обечайки. С по мощью уравнений (398) определим значения /Ид и Q у соединения более длин ного конического участка ротора с фланцем.
Линейная скорость на максимальном радиусе конической обечайки у = гор = лпЯ/30 = 3,14-1350-0,25/30 = 35,30 м/с.
Перемещения от единичных нагрузок определяем, пользуясь приведенными в табл. 14 формулами:
61ск = 13,2- 10-8v-2ctg<р = 13,2-IO"8-35,302-0,072 = 11,8-10~6 рад;
62 ск = 4,1 • 10"8v27? = 4,1 • IO"8 -35,302-0,25 = 12,8- Ю"» м.
При расположении упорного подшипника со стороны узкого края обечайки
61 рк = 0,51 - 10-8V"2 ^^ [2 - (г0/V?)2] = 0,5-10-835,302Х
0,25-0,072
Х "6?08.0,997 [2 ~ (°-19/°,25)2] = 20>6' Ю"6 Рад;
62 рк = 0,256.10-8 -т -[1 - (/olR^ = 0,256.Ю^Х
fv Dill
35 ВО2-0 252
Х 0,08^0,997 [1 “ (0,19/0,25)2] = 10,7- 10"» м.
При определении 62Сф учитываем, что R^ = 293 мм, гв = 258 мм и Зф = 25 мм. С помощью уравнения (332) находим
62сф = 10"8v27? [0,7 + 3,3 (г0/Л)21 =
= 10'8-35,302-0,293 [0,7+ 3,3 (0,258/0,293)2] = 11,8-Ю"6.
Подставляем значения найденных перемещений в уравнение (404)
1,285/0,25-0,008-0,9971,285/0,25-0,008-0,997Мо = 47,06-108]/ 2^^22^1 [Ц,8.10-6 + 20,6-Ю-6 —
1,285/0,25-0,008-0,997
1,285/0,25-0,008-0,997
(12,8- 10-е + 10,7- 10-е _ 11,8. IQ-в)] = 163 Н-м/м.
Значение Мо найдем по приближенной формуле (407):
Л40 = 0,605- Юп-0,0082^д(12,8+ 10,7—11,8) 10"6 = 183 Н-м/м.
Полученная разница вполне допустима для инженерных расчетов. Подставляя численные значения в уравнения (407), находим поперечную силу
л2>57Гоч к 0,008s-0,997 r11 Q.
9/0,25^0,008/6^97 Г3’ ' ° Г 0,25I11-81® +
+ 20,6 • IO"8) + 1630] = 9 900 Н.
Определяем мембранные напряжения О/ и от по формулам (394) и (395), учитывая, что
7850*3 532 10е
а/ =g^[0,0638 0,25-0,424 + 0,008-0,997] =
= 18,4-106 Па = 18,4 МПа;
= 0,9-10в Па = 0,9 МПа.= 0,9-10в Па = 0,9 МПа._ 0,1275-35,32-103-0,25-0,4242 0,008-0,997
= 0,9-10в Па = 0,9 МПа.
= 0,9-10в Па = 0,9 МПа.
Находим значение кольцевого момента Л42 на основании уравнения (144):
М2 = О,ЗЛ1о + 0,34 cos VSQ”"
или
М2 = 0,3-163 + 0,34-0,072-0,008-99.I О2 • 0,97 = 50,4 Н-м/м.
Найдем значение кольцевого усилия Та. Подставим в уравнение (143) значение 622, в результате имеем
72 = ^-(б12ц-И0 + -^-Г^9 =^-е13ц(л4в+-^^ оу
Подставляя в это уравнение значение 612ц, получаем т Es R (мд. ^
R 52-60,5-104+ L285"V/
или
Ъ = _MLI2i (м6 + 0,78^ Q) = З’о;о"о™ [- 163 +
+ 0,78)<0,25-0,008-9 900] = 75 000 Н/м.
Определим напряжения:
Cj = ат ± бМ^ — Q cos <p/s;
°'=°-9'106+да ~ "да72 = <°-9 +15-3 - °'09)106 =
= 16,1-10е Па;
<т2 = <7; ± 6Л4К/^ — T^/s;
а2 = 18,4.10" + даг-^" = (18,4 + 4,73 — 9,3) 10« = 14-10« Па,-
Таким образом, суммарные меридиональные напряжения являются наибольшими. Найденные значения напряжений в обечайке ротора позволяют повысить его частоту вращения.
§ 27. ПРОЧНОСТЬ РОТОРОВ СВЕРХЦЕНТРИФУГ
Роторы сверхцентрифуг являются самой ответственной деталью машины. Высокая частота вращения требует большой прочности. Необходимо иметь в виду, что разрушение ротора может привести к тяжелым последствиям, так как он обладает при вращении большим запасом кинетической энергии.
Как было отмечено, наиболее напряженными деталями рото ров сверхцентрифуг являются корпус, крышка (кожух), соедини тельное кольцо. В роторах с автоматической выгрузкой осадка имеются и другие напряженные детали.
Обечайки роторов центрифуг выше рассматривались как тонко стенные оболочки. Цилиндрический корпус роторов сверхцентри фуг можно рассматривать аналогичным образом лишь в опреде ленных случаях. Для ряда быстроходных машин цилиндрические корпусы нужно рассчитывать, как толстостенные трубы и быстро вращающиеся диски.
Рис. 217. Бесконечно малый элемент стенкиi z
ротораI 6P(rtar)ay
Предположим, что ротор не за-\
полнен жидкостью и вращается с yr- Ardy \--4-~<6t8dr\ левой скоростью со. Рассмотрим на- /\
пряженное состояние быстровраща- //\\
ющегося цилиндрического корпуса. -11XJL
Учитывая объемное напряженное1
состояние быстровращающегося цилиндра на основании закона Гука, запишем выражения для окружной, радиальной и осевой деформаций:
е, = u/r = (ст, — por — poz)/£;(408)
er = du/dr = (стг — poz — pd^/f;(409)
ez = (^2 — рст, — ро^Е.(410)
Умножив равенство (408) на гЕ и произведя его дифференцирование по г, получим
Е du, dr —’ ^ + г datldr — р (стг + az) — pr (drsr/dr 4- dojdr^. (411)
Рассматривая равновесие бесконечно малого элемента, выделенного из стенки толстостенного быстровращающегося цилиндра (рис. 217), можем записать
arrbd<p + d(arrbd<p) — arbdd<p — 2ct,Z> dr sin (d<p/2).4-
pa2 dyi^b dr = 0.
Учитывая, что 2 sin (d<p/2) « dtp, найдем d (orr)ldr — at + рю2г2Ь = 0; или
ar — at +~rdar/dr + pro2r2 = 0.(414)
Из уравнений (409) и (411) находим
(ст, — стг) (1 + р) + rdajdr — pr (darjdr 4- dejdr) = 0.
Подставляя в последнее равенство dajdr из уравнения (410) и складывая полученную зависимость с выражением (408), получаем
d (or 4- a^ldr = — prwHVg (1 — p)].(412)
После интегрирования последнего уравнения найдем
стг 4- ст, = —рг2го2/[2gr (1 — р)] 4- сг, (413) где Ct — постоянная интегрирования.
В результате совместного решения уравнений (412), (414) окончательно получим
(г2стг) = Ctr —р<о2г3.
dr х т’ 12(1 —р) 1
После интегрирования полурим радиальное напряжение
+<4,6)
Из уравнений (414) и (415) получимИз уравнений (414) и (415) получим^-^-^--з^Р".(416)^-^-^--з^Р".(416)Находим постоянные интегрирования Сг и С2, используя граничные условия (<тг)г=Го = (сг)г=д = 0 и подставляя их ~ Находим постоянные интегрирования Сг и С2, используя граничные условия (<тг)г=Го = (сг)г=д = 0 и подставляя их ~ в уравв уравнения (416) и (415). Окончательно имеемнения (416) и (415). Окончательно имеемст< = ^1^Е.^ + г2 +ст< = ^1^Е.^ + г2 +1 + 2ц г2 .1 + 2ц г2 .■а 3 — 2р.■а 3 — 2р.(417)(417)
Из уравнений (414) и (415) получим
Из уравнений (414) и (415) получим
^-^-^--з^Р".(416)
^-^-^--з^Р".(416)
Находим постоянные интегрирования Сг и С2, используя граничные условия (<тг)г=Го = (сг)г=д = 0 и подставляя их ~
Находим постоянные интегрирования Сг и С2, используя граничные условия (<тг)г=Го = (сг)г=д = 0 и подставляя их ~
в урав
в урав
нения (416) и (415). Окончательно имеем
нения (416) и (415). Окончательно имеем
ст< = ^1^Е.^ + г2 +
ст< = ^1^Е.^ + г2 +
1 + 2ц г2 .
1 + 2ц г2 .
■а 3 — 2р.
■а 3 — 2р.
(417)
(417)
(419)(419)Осевое напряжение az находим из уравнения (410), используя для торцовых сечений граничные условия J о.ДР = 0:
(419)
(419)
Обычными методами определения максимума функции легко доказать, что наибольшее значение аг меньше любого значения ct.
, Максимального значения главное нормальное окружное напряжение достигает на внутренней поверхности корпуса при г = г0. Подставим в уравнение (417) г = г0 и введем обозначение а = r0!R, посде преобразовании получим
QtQt3 —2р. _2п2Го | / 11 +2р \ „2*]
Qt
Qt
3 —2р.
Если ц = 0,3, то перепишем последнее уравнение, заменив в нем юг0 = и (здесь и — окружная скорость на внутреннем радиусе цилиндра):
^-^ (3’43 + 0,583а2).
Радиальное напряжение аг в данном случае равно нулю Если ротор заполнен жидкостью, то кроме указанных выше на пряжений возникнут также напряжения от действия гидростати ческого давления вращающейся жидкости. Определим эти напря жения для корпуса, как для толстостенного цилиндра, находя щегося под действием внутреннего давления.
В данном случае окружные напряжения достигают наиболь шего значения на внутренней поверхности корпуса ротора. Их находят из уравнения (95), в котором принимаем рг = р0 и рг = 0,
Р^R2-r2Р^R2-r2R2ТR2Т
Р^R2-r2
Р^R2-r2
R2
Т
R2
Т
Подставляя в последнюю формулу значения р0 из уравнения (389) и r0!R ='а и принимая ф = 1, перепишем его в виде
" _ Ржу2 1 + а2
Ot 21 — а2 *
Наибольшее суммарное окружное напряжение
о, = о; + а? = -g- (зз,4 + 0,583d2) +.(420)
Напряжение аг в радиальном направлении, возникающее от действия гидростатического давления, имеет максимум на внутренних волокнах стенки ротора, где оно равно давлению Ро. Напряжение ог находят из уравнений (389) при ф = 1:
аг = ро = —P«v2/2.(421)
Рассмотрим состояние корпуса ротора, когда в наиболее напряженных его точках возникает текучесть материала (расчет по опасной точке). Учитывая уравнения (391), (420), (421) и пренебрегая напряжением az, возникающим под действием сил инерции вращающегося цилиндра, а также полагая, что at > ат > аг, получим
^ЭКВ = ^1^3 ™ ®t ®Г = ^Т"
Подставляя в последнее уравнение at и стг из уравнения (420), получаем
^ (3,43 + 0,583а2) ++= ат.
Из последнего равенства определим предельную окружную скорость цилиндра:
Р V Р 3,43 + 0,583а2 + 2Ха2 !+ 2Ха2 ’
где Л рж/р.
Если X = 0,1273, то уравнение (422) примет вид
iupj =1 / ™ г, 2 (423)
V р 3,43 + 0,583а2 4-0,2546а2 + 0,2546а2
или
М ^^;(424)
где Ку — запас прочности обечайки по скорости.
Произведем расчет цилиндрического вращающегося ротора, заполненного жидкостью по предельному равновесию. Так же, как и в расчете диска произвольного профиля, применим условие пластичности Треска, Сен-Венана.
Предположим, что при пластическом состоянии цилиндрического ротора так же, как и при упругом, останется справедливым
неравенство ct > сг > ог. Тргда ^ = о8 и о3 — ог и условие пластичности Треска, Сен-Венана примет вид
О'; Gr (Тт.
| На^основании последнего уравнения и выражения (412) можем написать
dajdr + рю2 г = стт/г.
Интегрируя это выражение, получаем
сг = стт In г — рго2г2/2 + С.
На наружной поверхности при f = R а, = О, поэтому из последнего уравнения следует, что
О = ат In R — ра>2№ + С, откуда
С = рго2№ — от In R;
ar = от In (rim + рю2 (R» - r2)/2.
На внутренней поверхности стенки при значении г = г0
сг = ~РжУ2^.
Поэтому
—ржго2Го/2 = стт ln(r0/7?) + pro2 ^R? — Го)/2
или
стт 1п(^/г0) = ржш2Го/2 + рю2 IR2 - г2)/2.
от 2 In (1/а)— (i/oa-i+%)-от 2 In (1/а)— (i/oa-i+%)-(425)(425)Имея в виду,, что rolR = аи йг0 = «и решая полученное уравнение относительно и, находим
от 2 In (1/а)
— (i/oa-i+%)-
от 2 In (1/а)
— (i/oa-i+%)-
(425)
(425)
УТ =
Если 1 = 0,1273, то
1 / От4,605 In 1/а
— К ^р" 1/а2-0,873
или
Ут = VОтЬ (а)/р.(426)
Из уравнений (423), (424), (426) следует, что
ft (а) = и2р/стт = 1/Nep;(427)
f2(a) = v?p/ffT= l/NeT,(428)
где Nep — критерий прочности, соответствующий разрушению материала в наиболее напряженных точках стенки ротора; NeT — критерий Ньютона, соответствующий предельному равновесию цилиндрического ротора.
Таблица 16
Значения критерия прочности
а
₽ = (1 — а)/а
Толстостенная оболочка
Тонкостенная оболочка Ne = 1//3 (а)
по допускаемым напряжениям Ne = l//t (а)
по допускаемым нагрузкам Ne = 1/Д (а)
0,98
0,0204
. 4,25
4,13
4,15
0,96
0,0417
2,7
2,6
2,54
0,94
0,0638
2,21
2,13.
2,00
0,92
0,0870
1,98
1,855
1,72
0,90
0,111
1,865
1,725
1,575
0,88
0,1365
1,81
1,64
1,47
0,86
0,1629
1,78
1,59
1,395
0,84
0,1905
1,775
1,567
1,339
0,82
0,2195
1,795
1,549
1,291
0,80
0,25
1,815
1,545
1,256
0,78
0,282
1,86
1,559
1,231
0,74
0,351
1,97
1,581
1,18
0,70
0,429
2,115
1,635
1,146
0,65
0,539
2,35
1,735
1,12
0,60
0,666
2,67
1,869
1,096
0,5
1
3,64
2,26
1,065
Как следует из формулы (363) прочность быстровращающихся дисков также характеризуется критерием Nep. Если скорость диска или ротора следует увеличить без уменьшения его прочности, то необходимо для диска использовать более прочный ■ материал, исходя из условия стр11 (pp^) = ар11 (р^) (здесь индексы 1, 2 соответствуют характеристикам материала и скорости первого и второго дисков).
Задаваясь значениями а, и рассчитывая соответствующие значения функцийД (а) и Д (а), а также 0, можно составить таблицу значений критерия Ньютона Ne (табл. 16).
В табл. 16 приведены значения Ne = 1/Д (а), вычисленные для различных а с помощью формул (393), (427) и (428), которые получены при расчете цилиндрического ротора как тонкостенной и толстостенной оболочки.
Из табл. 16’следует, что выражения Д^(а) и Д («) представляют собой функции, имеющие максимум. Таким образом, при расчете ' по предельному равновесию (по допускаемым нагрузкам) предельные скорости оказываются выше предельных скоростей, полученных при расчете по допускаемым напряжениям.
Напишем выражение для допускаемой окружной скорости, вводя в уравнение (426) коэффициент Kv (запас прочности по скорости). Тогда уравнения (424) и (426) примут одинаковый вид:
M=-^/^f(a).(429)
321321Н Соколов В. И.
321
321
Из последнего уравнения находим f (а) = (о)2К2р/от.
Безразмерный комплекс величин и2р/от = N представляет собой обратную величину приведенного выше ротационного критерия прочности
Ne = UN = l/f (а).
Обозначим отношение толщины стенки цилиндра к внутреннему его радиусу через р. Учитывая, что наружный радиус R = = r0 + s, получаем
а = r0!R = r0/(r0 + s) = 1/(1 + s/r0), откуда
1 = а + а.81гй.
Следовательно,
Р = s/r0 = (1 — а)/а.
По данным табл. 16 построены кривые зависимости (рис. 218)
Ne = f (Р).(430)
Из табл. 16 и рис. 218 видно, что если значение критерия Ньютона превышает 2,5, то расчет обечайки можно производить как тонкостенной оболочки, так как значения р, соответствующие значениям критерия Ньютона, во всех случаях получаются близкими по значению. При значениях критерия Ньютона меньше 1,54 нельзя обеспечить необходимую прочность ротора из данного материала при -любой толщине стенки ротора.
При определении толщины стенки ротора необходимо прежде всего вычислить значение критерия. При выполнении ротора из стали по уравнению (393) получаем следующие выражения для критерия:
Ne = 1,16. 104 [ст]/(ГоП2) или
Ne = 1,27-КГ6 [о]/((о2^),
где [о] в МПа; г0 в м; п в об/мин; со в рад/с.
Если полученное значение Ne будет более 2,5, то толщину стенки следует определить по формуле (392) или по рис. 218 для тонкостенного цилиндра. Когда значение критерия Ne меньше 2,5, применимо выражение р = s/r0 для толстостенных цилиндров. При выполнении стенки обечайки из хрупкого материала расчет производят по допускаемым напряжениям, а из пластичного материала — по допускаемым нагрузкам.
Для лучшего использования материала, из которого изготовлена обечайка, необходимо стремиться к тому, чтобы критерий
прочности. Критическомупрочности. КритическомуРис. 218. К определению толщины стенки цилиндрического ротора по критерию прочности:
прочности. Критическому
прочности. Критическому
/ — расчет по теории толстостенных цилиндров по допускаемым напряжениям; 2 — расчет по теории толстостенных цилиндров по предельному равновесию; 3 — расчет по теории тонкостенных цилиндров
Ньютона был больше 2,5, что практически можно осуществить, подбирая материалы с высокой удельной прочностью от/р. К таким материалам относятся различные стеклопластики, сплавы алюминия и титана.
Приведенные на рис. 218 зависимости свидетельствуют о том, что увеличение толщины стенки цилиндрического ротора не всегда ведет к повышению его
значению критерия Ne = 1,77 соответствует критическое значе-
ние отношения толщины стенки корпуса к внутреннему радиусу корпуса s/r0 = 0,175, a Ne = 1,54 соответствует отношение s/r0 = 0,2275.
Если толщина стенки соответствует отношению р, которое больше критического, то прочность стенки будет меньше прочности стенки при ее критическом значении. В данном случае при увеличении толщины стенки корпуса больше критической необходимо уменьшать окружную скорость ротора.
Например, значению критерия Ne = 2 по допускаемым напряжениям (см. рис. 218) соответствует отношение s/r0 = 0,0825, однако этому же значению Ne соответствует отношение s/r0 = = 0,37.
Следовательно, прочность стенки цилиндрического корпуса, имеющей толщину s = О,ОО825го и s = 0,377 г0, одинакова.
Эти рассуждения приводят к выводу, что при заданном материале ротора максимальная частота вращения цилиндрического корпуса достигается при толщине стенки, равной критическому значению.
Критическая толщина стенки цилиндрического ротора может быть найдена по рис. 218. Так, при расчете по несущей способ- н^и^кр — 0,2275 г0, а по допускаемым напряжениям sKp =
При значении критерия Ne < 1,54 для пластичных материалов и Ne < 1,77 для хрупких нельзя обеспечить необходимую прочность ротора независимо от толщины стенки.
Из уравнения (393) с учетом от/к = [о] находим допускаемую окружную скорость ротора
М = V [o]/Ne р .
11*11*Из полученного уравнения следует, что допускаемая окружная скорость цилиндрического ротора зависит от отношения допускаемого напряжения данного материала и его плотности. Отношение
11*
11*
323
ffp | р называют удельной прочностью материала. Для быстровра- щающихся роторов сверхцентрифуг выгодно применять материалы с наибольшими значениями удельной прочности.
В небольших роторах ухудшаются условия разделения неоднородных систем вследствие больших скоростей перемещения жидкости. Небольшие объемы роторов неудобны при накоплении осадка. Поэтому размеры роторов выбирают исходя из требований не только прочности, но и технологических.
Следует отметить, что принимать толщину стенки цилиндрического ротора, равной критическому значению, следует лишь при необходимости получения максимальной окружной скорости ротора. Если не требуется обеспечение максимальной окружной скорости, tq толщина стенки должна соответствовать условию Ne > > 2,5.
Полученная выше формула (396) может быть применена и для расчета конической части ротора сепараторов. Толщину стенки этой конической части выполняют переменной (она уменьшается К более узкой части крышки). Точный расчет такой оболочки сложен. Однако, как показала экспериментальная проверка [621, с достаточной для практики точностью можно использовать формулы, полученные для конических оболочек постоянной толщины.
Расчет конических крышек роторов производят по формуле для s, приведенной на с. 297.
НАДЕЖНОСТЬ И ДОЛГОВЕЧНОСТЬ БЫСТРОВРАЩАЮЩИХСЯ УЗЛОВ
В приведенных выше расчетах на прочность роторов центробежных машин используют значения пределов текучести материалов.
При расчете таких ответственных узлов, какими являются роторы указанных машин, необходимо иметь в виду, что предел текучести материала имеет некоторое рассеяние и может отклоняться от среднего значения до 20 %. Следует также помнить, что ротор даже простейшей конструкции работает в условиях переменных во времени напряжений вследствие периодических пусков и остановок. В связи с этим, рассчитывая роторы центробежных машин, необходимо учитывать не предел текучести материалов, а предел выносливости в малоцикловой области нагружения. В этом случае необходимы экспериментальные данные по разрушению роторов при различном числе циклов нагружения.
Для получения кривой малоцикловой усталости достаточно произвести разрушение образцов, выполненных из того же материала, что и ротор. При этом влияние концентрации напряжений и абсолютных размеров ротора учитываются соответствующими коэффициентами, которые устанавливают на основании испытаний ограниченного числа образцов.
При расчете прочности роторов из нового материала следует получить на основании данных испытаний лабораторных образ- 324
цов без концентраторов напряжений кривую усталости отах — N для вероятности разрушения Р = 0. Затем построить зависимость ао—N—о^х с помощью кривой усталости при вероятности разрушения Р = 0 и по этой зависимости найти ресурс ротора с учетом действующих в нем напряжений.
Обычно стремятся к приближению условий испытания образцов к условиям работы самого ротора.
Определение ресурса ротора сепаратора на основании расчета на прочность при малом числе циклов нагружения рассмотрим с уче- том данных В. В. Андреева.
Требуется определить ресурс ротора молочного сепаратора СОМ-3-1000, выполненного из алюминиевого сплава АВТ-1,
Было произведено разрушение около 100 образцов, вырезанных из прессованной заготовки на разрывной машине, оборудованной специальным реверсивным устройством.
При одном и том же уровне напряжений получаемые экспериментально значения долговечности имеют большой разброс. Это следует объяснить влиянием многих факторов на процесс усталостного разрушения. К этим факторам относятся помимо концентрации напряжений и влияния размеров детали состояние ее поверхности, технология изготовления, характер нагружения, степень ассиметрии цикла нагружения и т. д.
К факторам, обусловливающим рассеяние результатов испытаний, следует также отнести микроструктуру материала, форму и ориентировку зерен, искажение кристаллической решетки и т. д.
Для испытаний на усталость характерен большой разброс экс- • периментальных точек. В связи с этим для достоверного определения предела выносливости необходимо испытание большого числа образцов с последующей статистической обработкой результатов, что является трудоемкой задачей.
' Обычно предполагают, что при относительно невысоких значениях напряжений существует некоторое число циклов, зависящее от напряжения, которое обозначают NOa с нулевой вероятностью разрушения.
На графиках приводят значения точечных статистических оценок вероятности разрушения — частот разрушения (доли разрушившихся образцов при данных условиях). При росте числа испытаний отклонение частоты от вероятности разрушения умень- 4 шается по абсолютному значению. Однако для редких событий с меньшими значениями частот в среднем требуется большое число испытаний для достижения такой же степени приближения частот к вероятности.
Поэтому данные экспериментов позволяют рассчитать зависимости максимальных напряжений от числа циклов при вероятности разрушения более 1 %.
Для нулевой вероятности кривые получены другим методом с использованием порогов чувствительности по циклам NOa при
Рис. 219. Функция распределения пределов прочности алюминиевого сплаваРис. 219. Функция распределения пределов прочности алюминиевого сплаваРис. 220. Функции распределения долговечности плоских полированных образцов из алюминиевого сплава.Рис. 220. Функции распределения долговечности плоских полированных образцов из алюминиевого сплава.
Рис. 219. Функция распределения пределов прочности алюминиевого сплава
Рис. 219. Функция распределения пределов прочности алюминиевого сплава
Рис. 220. Функции распределения долговечности плоских полированных образцов из алюминиевого сплава.
Рис. 220. Функции распределения долговечности плоских полированных образцов из алюминиевого сплава.
различных максимальных напряжениях и порогов чувствительности по пределу прочности ов0.
Учитывая недостатки приведенного точечного метода оценки вероятности разрушения образцов, более целесообразно в ряде случаев использовать для определения средних статистических значений доверительные интервалы, в которых находят с заданной вероятностью необходимые величины.
При определенных частотах вращения ротор сепаратора может оказаться работающим в упругопластической области деформирования, что иногда приводит к разгерметизации ротора. Данное явление является недопустимым в условиях эксплуатации. В связи с этим расчет на прочность ротора следует производить так, чтобы напряжения сттах = оэкв не превосходили порогового значения предела текучести от0 и материал ротора работал бы в области усталостного разрушения, когда пластические деформации относительно малы.
В качестве условной границы, разделяющей переходную и усталостную области разрушения, можно принять резкое изменение характера экспериментальной зависимости остаточного сужения образцов от числа циклов.
Величину Ntia называют порогом чувствительности по циклам. Анализ экспериментальных данных приводит к заключению, что х = 1g (Nt — NOa) подчиняется нормальному закону распределения.
Для получения полной кривой усталости, начиная с первого полуцикла нагружения, проводились разрушения стандартных образцов с отношением длины к диаметру, равным 5. При статических испытаниях на разрыв рассеяние рассматриваем не по циклам, а напряжениям.
Учитывая принципиальное отличие статических испытаний от усталостных, примем во внимание, что при испытании на разрыв образец проходит первый полуцикл при пульсирующем режиме нагружения. Будем рассматривать при статических испытаниях на разрыв рассеяние по пределу прочности ов или пределу текучести.
Рис. 221. Распределение пределов прочности и пределов текучести алюминиевого сплава
Рис. 222. Кривые усталости плоских полированных образцов из алюминиевого сплава, соответствующие различной вероятности разрушения
Для практической обработки данных, подчиняющихся нормальному логарифмическому закону распределения, удобно использовать вероятностную сетку. На ней строим ряд прямых на основании данных о разрушении образцов из сплава АВТ-1 : 1g ("в — ство) = х = х — ups (здесь Оно — напряжение, соответствующее порогу чувствительности; х—математическое ожида-
п
ние, принимаемое при большом числе испытаний п : х = 5 ^;/«; i=i
$ — среднее квадратичное отклонение случайной величины; ир — квантили нормальной случайной величины (х — x)/s.
Нулевой вероятности разрушения образца соответствует ыр -*- 00 Hg (Ов — ^во)] -*°°> так как 1g (ов — ов0) = х — u^s. Следовательно, ов — ов0 = 0 и ов = ов0.
На рис. 219 представлена зависимость вероятности разрушения образцов от случайной величины 1g (ов— ов0), из которой видно, что распределение х = 1g (ов — ов0) подчиняется нормальному закону и, следовательно, ов0 — 293 МПа является порогом
чувствительности.
Далее на основании кривых распределения долговечностей (рис. 220) и кривой распределения пределов прочности образцов
(рис. 221) строяг кривую усталости в координатах <Ттах — М ПрИ раЗЛИЧНЫХ вероятностях разрушения (рис. 222).
Как следует из рис. 223, для образцов из алюминиевого сплава АВТ-1 при циклическом нагружении, начиная с определенного зна-
Рис. 223. Значения относительных
сужений поперечного сечения образ
цов из алюминиевого
циклическо
сплава при
Рнс. 224. Кривые усталости алюминиевого сплава для различных нагружений при нулевой вероятности разрушения
Рис. 225. Номограмма для определения по допускаемым напряжениям ресурса роторов из алюминиевого сплава
чения числа циклов (в данном случае N = 5-103), предел ограниченной выносливости становится практически постоянным. Это свидетельствует о том, что результаты, полученные при постоянной амплитуде напряжений (мягкое нагружение) будут справедливы и для постоянной амплитуды деформаций (жесткое нагружение), когда разрушение носит чисто усталостный характер. Следовательно, начиная с определенного значения циклов при расчете деталей на прочность можно использовать закономерности, справедливые для усталости материалов.
Если при нулевой вероятности разрушения свойства материалов не влияют на коэффициент концентрации напряжений, как это имеет место для сплава АВТ-1, то на основании экспериментальной кривой (см. рис. 222) с нулевой вероятностью разрушения можно найти по порогу чувствительности и пределу текучести соответствующую долговечность и далее построить семейство кривых усталости для различных коэффициентов концентрации напряжений аа (рис. 224).
По горизонтальным разрезам кривых усталости построена номограмма аа —N—aaKB (рис. 225) для нулевой вероятности разрушения.
По максимальным номинальным напряжениямЗсэкв Для сте- нок ротора сепаратора и по теоретическим коэффициентам концентрации напряжений аа можно по рис, 224 определить ресурс ротора.
Однако такой расчет ресурса ротора может приводить к погрешностям, так как в области ^ < 105 накопление пластических деформаций может происходить при напряжениях ниже предела текучести.
Рис. 226. К расчету малоцикловой прочности при различных циклах напряжений и деформаций:
а — симметричный; б — асимметричный; в — диаграмма предельных амплитуд
По данным, основанным на испытании образцов из большого числа сплавов, связь полной упругопластической деформации с числом циклов до разрушения можно представить в виде единой по структуре приведенной выше зависимости [см. уравнение (297) 1.
Указанная зависимость справедлива при жестком симметричном нагружении. Асимметричный цикл изменения напряжений, имеющий место при работе центробежных машин, заменяют симметричным с амплитудой напряжений аа и статическим напряжением ат (рис. 226, а — в). На этом рисунке приведены три линии (Д 2 и 3, называемые параболой и линиями Гудмана и Зодербер- гера), по которым может быть определена долговечность при наличии статического напряжения.
Аналитически эти три зависимости могут быть записаны в виде
<ra = <Li (1 — (<rm/<rB)2h
Са = О’-I [1 — om/ffBJ;
оа o_j (1 g^Ig^*
Для сталей и алюминиевых сплавов экспериментальные точки лежат между параболой и линией Гудмана; в результате при расчетах можно принимать в сторону запаса модифицированное условие Гудмана. Согласно этому условию первоначально при построении кривой 2 на рис. 226 o_i принималось равным одной трети от ов (здесь gb принято на основе экспериментальных данных при симметричном цикле).
Коэффициент асимметрии цикла
^ = Smin/8max = (8m • 8p)/(8m -|- 8е) = (omy Ciy)/(^my 4" ^ау)’ где 8т1п, етах, 8т — соответственно минимальная, максимальная и средняя деформации цикла; 8а— амплитуда деформаций.
На основании последнего уравнения можем написать
(1 4” г)/(1 г) — ^my/^ey атц.!ац-
На основании последних двух уравнений получаем
<$а = °r-i/(1<$а = °r-i/(10-1 1 + г \О'в 1 — г /0-1 1 + г \О'в 1 — г /
<$а = °r-i/(1
<$а = °r-i/(1
0-1 1 + г \
О'в 1 — г /
0-1 1 + г \
О'в 1 — г /
Заменяя последний член уравнения (297) на аа из последнего равенства, получаем выражение для асимметричного цикла.
Исходя из того, что при асимметричном цикле суммарная пластическая деформация до разрушения уменьшается на величину ер (рис. 226), в знаменатель первого члена уравнения для асимметричного цикла вводят дополнительное слагаемое (1 + г)/(1 — г). После введения в это уравнение соответствующих запасов прочности по напряжениям па и числам циклов nN и корректировки числового коэффициента окончательно получаем для" жесткого нагружения следующие выражения:
,2,3£,100,2,3£,100а“, ЧЧ g 100 —По (4 [МГ +а“, ЧЧ g 100 —По (4 [МГ +(431)(431)
,2,3£,100
,2,3£,100
а“, ЧЧ g 100 —
По (4 [МГ +
а“, ЧЧ g 100 —
По (4 [МГ +
(431)
(431)
По критерию разрушения при мягком нагружении аналогично получаем следующие выражения:
. ,.1,15Л£1 — г 2 т 100
4-1 1 + г \ ав 1 — г /4-1 1 + г \ ав 1 — г /°а “ Па[^]т ~2~аа § 100 —-ф
4-1 1 + г \ ав 1 — г /
4-1 1 + г \ ав 1 — г /
, , .1,15Л£1—^21100.а_1/лосл
а° "(Ч^Г “а g 100-^Рв + ^4-1 . 1+^’(432)
Ф ав 1 — г
где [а'] — амплитуда местных напряжений; а_5 — предел усталости при симметричном цикле растяжения-сжатия; о' — предел прочности; г, г' — коэффициенты асимметрии циклов напряжений и деформаций; Л, т — характеристики материала; ф, фв— относительное сужение и относительное равномерное сужение поперечного сечения образца; q — коэффициент чувствительности материала к концентрации напряжений (q < 1).
При 700 МПа с ов с 1200 МПа о_т = 0,54 — 2- 105 ав!ае; т = 0,36 — 2- 105ов; при Чах < Чг г' = г = (а„ах — 2оо')/отах (здесь Чах — максимальные местные циклические напряжения). Полученные выражения для [оо ]' называют формулами Лен- жера—Шнейдеровича—Махутова.
Для зон повышенной концентрации характерны режимы нагружения, близкие к жесткому, а для зон с отсутствием повышенной концентрации напряжений характерны режимы, близкие к мягкому.
Рис. 227. Изменение напряжений во времени в наиболее нагруженной точке контура разгрузочного окна
Для деталей роторов центробежных машин режимы жесткого и мягкого нагружений можно считать предельно возможными. Исходя
из этого рекомендуют определять допускаемое число циклов нагружения роторов с помощью последних четырех формул и принимать наименьшее значение циклов, полученных по указанным формулам.
С учетом анализа малоцикловой прочности ротора применительно к стали 07Х16Н6 (ГОСТ 5632—72) и местных напряжений можно рекомендовать для данного случая определять ресурс работы ротора по уравнениям (431), (432). Для 07Х16Н6 стали ов = 1200 МПа, о_т = 360 МПа, ф = 17 —45 %.
Различные конструкции центрифуг и сепараторов характеризуются различными циклами нагружения роторов. Например, сепараторы для отделения сливок от молока работают длительное время без остановок. Режим нагружения роторов этих сепараторов обусловлен пусками и остановками их для осмотра, профилактического ремонта, мойки, чистки и т. д. В связи с этим число циклов нагружения таких машин за период эксплуатации незначительно. Цикл нагружения является пульсирующим. Саморазгру- жающиеся сепараторы характеризуются частой сменой циклов нагружения. Наибольшая нагрузка ротора имеет место при разделении, когда на стенки ротора воздействуют внутреннее гидро-
Рис. 228. Роторы саморазгружающихся сепараторов: а — с наружным поршнем; б — с внутренним поршнемРис. 228. Роторы саморазгружающихся сепараторов: а — с наружным поршнем; б — с внутренним поршнем
Рис. 228. Роторы саморазгружающихся сепараторов: а — с наружным поршнем; б — с внутренним поршнем
Рис. 228. Роторы саморазгружающихся сепараторов: а — с наружным поршнем; б — с внутренним поршнем
б, мп а
б)
Рис. 229. Изменение меридиональных напряжений в сечеинях основания ротора сепаратора по этапам его работы:
а — с наружным поршнем, п = 6200 об/мни; (для точек / —3 на рис." 228); б — с внутренним поршнем п = 4700 об/мии; (/ — на контуре разгрузочного окна; 2 — в проточке основания у затяжного кольца; 3 — в зоне цилиндрического и конического перехода)
статическое давление центрифугируемого продукта и центробежные силы инерции ротора.
При выгрузке сгущенной фазы и открывании соответствующих щелей нагрузка снижается вследствие уменьшения давления жидкости внутри ротора. После закрытия щелей и с момента начала загрузки ротора разделяемым продуктом нагрузка возрастает до- момента заполнения ротора. Достигнув максимального значения, нагрузка сохраняет это значение до начала выгрузки сгущенного продукта.
■ На рис. 227 представлена циклограмма изменения напряжений во времени наиболее нагруженной точки контура разгрузочного окна ротора саморазгружающегося сепаратора 136].
Для точного представления о циклическом изменении напря-
жений в стенках ротора иногда необходимо пройестй исследование с помощью описанного ниже метода оптического моделирования.
В качестве примера приведем результаты такого исследования саморазгружающихся сепараторов, роторы которых схематически представлены на рис. 228. Наиболее напряженной деталью ротора является основание, в сечениях и точках которого наблюдались характерные циклы изменения напряжений (рис. 229, а, б).
За период работы роторов напряжения изменяют значения с различными характеристиками и амплитудами цикла.
В зонах концентрации напряжений, определяющих прочность конструкции в целом, на контуре разгрузочных окон и в зоне кольцевых подрезов под уплотнительные прокладки в роторах двух типов наибольшие напряжения стабильны по значению.
ВЕРОЯТНОСТЬ РАЗРУШЕНИЯ И НАДЕЖНОСТЬ РОТОРОВ БЫСТРОВРАЩАЮЩИХСЯ УЗЛОВ
В предыдущих разделах при расчете на прочность узлов и деталей оборудования использовали условие прочности
^ЭКВ [X*L где оэкв— эквивалентное напряжение в опасной точке детали; [о]—допускаемое напряжение.
При расчете на прочность^быстровращающихся^узлов, в частности роторов сепараторов и центрифуг, необходимо учитывать требования обеспечения максимальной надежности конструкции при заданных затратах материала.
Переменные напряжения в роторах центрифуг и сепараторов определяются цикличностью работы этих машин, чередованием загрузки, периодом центрифугирования и выгрузки продукта, колебаниями рабочих частот вращения роторов, случайным неравномерным распределением продукта по стенкам роторов и другими факторами.
Основным и определяющим фактором, характеризующим неравномерность нагрузок на элементы роторов данных машин, следует считать изменения при работе центробежных машин частоты вращения роторов. Например, причинами изменения частоты вращения ротора в подвесных центрифугах для отделения патоки от сахара при выгрузке продукта являются периодические остановки ротора. В сепараторах с периодической выгрузкой сгущенного продукта при выгрузке заметно снижается частота вращения роторов. Периодические остановки сепараторов для чистки роторов и осмотров, неравномерная подача продукта, колебания напряжения в электросети также являются причинами изменения часто™ вращения ротора.
Высказанные соображения позволяют заключить, что напряженное состояние роторов в основном определяется частотой вра- щения\
Запишем выражение (430) в виде
Ne ^ / (р).
Вероятность неразрушения быстровращающегося ротора будем рассматривать исходя из условия
"р/у2Р / (Р) или
аР — y2pf (Р) > 0,
где Ор — напряжение, при котором происходит разрушение материала ротора.
Примем для упрощения, что величины р и f (Р) являются детерминированными, а предел прочности материала о^- и окружная скорость ротора и — случайными независимыми величинами.
Обозначим
g = Op — u2pf (р).
Пользуясь известными из теории вероятностей зависимостями, можем написать выражения для математического ожидания МВ и среднеквадратичного отклонения S случайной величины В:
М [Стр - и2р/ (Р)[ = ар — pf (Р)и2;
S6 = / уТТлруГ,
где S^p — дисперсия характеристики прочности ор; S$2 — дисперсия квадрата скорости.
Предположим, что имеет место нормальное распределение прочности материала и квадрата окружной скорости ротора. Тогда случайная величина В будет также подчиняться нормальному закону распределения с математическим ожиданием В и ' среднеквадратичным отклонением Sg.
Вероятность неразрушения ротора можно выразить через:
R„P(E>0)_ [
Если z = (х — t)ASg, то S$dz = dx. При х = 0 нижний предел интеграла для г имеет вид
= (0 - B)/Sg = - [ОР - р/(РЙ/У^З^Щ^
При х +сю верхний предел z2 ->- +оо, и тогда
=[ ^-^dz.
V 2л J
Величина Z =(В —f)/Sg является нормированной случайной величиной, распределенной по нормальному закону, благодаря чему R можно определить с помощью таблиц функции нормального распределения.
Последнее выражение можно представить в виде
Рр — р/ Ф)й2/S2ap + P2/2(P)S^
ИЛИ
я= 1 -фя= 1 -ф(433)(433)ри2 [Ор/(рУ2) — / Ф)]/s^T^w2:
я= 1 -ф
я= 1 -ф
(433)
(433)
Следует обратить внимание на то обстоятельство, что значения у2 и Стр задаются в начале расчета как средние значения прочности Стр и окружной скорости ротора. Обозначим Оу/ри2 = Ne. Величина Ne может быть вычислена по значениям ар и у2, причем для определения у2 необходимо иметь опытные данные по распределению окружных скоростей ротора. Как было показано ранее, условием разрушения являются Ne <g /(Р). Критерий, при котором происходит разрушение, обозначим через Nep.
После преобразований уравнения (433) получим
R = 1 -ФR = 1 -ФNe — NepNe — NepМ2 у2 )М2 у2 )
R = 1 -Ф
R = 1 -Ф
Ne — Nep
Ne — Nep
М2 у2 )
М2 у2 )
Величина SOp/pu2p —среднее квадратичное отклонение критерия прочности Ne, обусловленное только рассеянием характеристики прочности (при у = const и р = const). Следовательно
$Ney — ScTp/рУ2
(здесь индекс у — показывает условный характер величины ХыСу т- е-> что эта величина вычисляется при потоянных у и р)
Учитывая, что Sa2/py2 есть коэффициент вариации квадрата скорости ротора Уа2, окончательно получим
R = 1 - ф(Ne — Nep =
(]/s2ey+(Nep^2)2|
ИЛИ
R = 1 - фNe/Nep - 1 .^34
Для приближенных расчетов можно принимать у2 = Ур (здесь ур—заданная рабочая окружная скорость ротора). "
Пример. Требуется определить вероятность неразрушения цилиндрического ротора сепаратора из стали 07Х16Н6. Частота вращения ротора 4400 об/мин; предел текучести материала от=9-Ю8Па; плотность материала ротора р = = 8 -103 кг/м3; диаметр ротора 600 мм. Среднее квадратичное отклонение предела текучести SaT = 9-107 Па; среднее квадратичное отклонение квадрата скорости Se2 = 4'103,
Решение. Окружная скорость ротора и = 3,14-4400-0,345/30 = 138 м/с. Определяем критерий прочности
Nep = 9-108/(1382-8-103) = 5,9.
Принимая значение коэффициента запаса прочности равным 2, найдем значение критерия прочности:
Nep = 5,9/2 = 2,97.
Данному значению критерия прочности соответствует величина Р (см. рис. 218), равная 0,035. Следовательно, толщина стеики ротора s = 0,035-0,345 = = 0,0115 м — 11,5 мм.
Коэффициент вариации квадрата скорости ротора
Vti2 = 4-103/1382 = 0,21.
Определяем отношение
Spp/рб2 Nep = 9■ 107/( 1382-8-103 • 2,97) =0,19, тогда
5,9/2,97- 1=_4714
V 0,192 + 0,212
Из табл. 2 для нормального распределения находим
R = 0,999999.
Предположим, что в результате усталостных явлений напряжение при разрушении снизилось до значения 4,5-108 Па. Тогда иижний предел интеграла для
Л = — (4,45/2,97 — 1)//0,192 + 0,212 = — 2,359.
В этом случае вероятность иеразрушеиия ротора
R = 0,9908.
Предположим, что вследствие изменения режима работы сепаратора коэффициент вариации квадрата скорости увеличился в 2 раза, тогда с учетом первоначального значения" напряжения при разрушении
zi = - I/КО,412 + 0,192 = - 2,2417
и вероятность"иеразрушеиия R = 0,9875.
Рассмотрим случай, когда неизвестны законы распределения прочности материала ротора и квадрата окружной скорости ротора.
Приблизительная оценка надежности робаты ротора может быть произведена с помощью неравенства П. Л. Чебышева, согласно которому вероятность того, чго появление отклонения случайной величины £ от математического ожидания М£ на величину, большую или равную kS^ (здесь S? — среднее квадратичное отклонение £: к — любое заданное положительное число) удовлетворяет неравенству
Найдем для ряда значений & следующие значения Р.
к 2,53,04,05,0
Р 0,750,8890,83750,96
Приведенное выше уравнение означает, что с заданными вероятностями будет выполняться неравенство, из которого можно получить оценку интервала. В этом интервале будут находиться значения случайной величины с заданной вероятностью. При этом границы указанного интервала
?max£mln « t - AS.
Минимальное значение предела прочности материала ротора Лт1п ^Р S^k,
где Sn — среднее квадратичное отклонение предела прочности.'
Учитывая условие
dp = y2pNe,
напишем выражение для напряжения т]ш1п:
T]min = U2pNe — ASPp.
Из этого выражения получим
Imm = o2pNe(l — AUp).
Найдем значение напряжений в стенке ротора, используя выражение для критерия прочности, соответствующего некоторому безопасному значению отношения s!R0,
о = Nepo2p,
где и2 — случайная величина, a Nep"—фиксированная.
Максимальное значение напряжений
Emax = Nepo2p + Ар2 Nep Sy2,
где Sy2— среднее квадратичное отклонение квадрата скорости.
Коэффициент запаса прочности ротора
u2pNe —ASп _ Цтш _ 2аР
Srnax Nepu2p 4- Ар NepSy2 или
Ne —А-==^~ Ne fl-Av 1
V2O1 ypJ
П = n A-b №p S ” Nep[l+Av;2] ’(435)
NeP + A—=- Sy2
(Ч"Л/Мидляи2(^(Ч"Л/Мидляи2(^где Va и Vu2 — коэффициенты вариации для op = ^Ч).
(Ч"Л/Мидляи2(^
(Ч"Л/Мидляи2(^
Пример. Необходимо определить запас прочности ротора при вероятности церазрушеиия его 0,96. Задано Ne = 5,4; Nep = 2,12; Va = 0,017; Vu2 = 0,05. \ Подставляя заданные значения в формулу (435), найдем
5,4 (1 - 4-0,0476)2,12(1+4-0,09)’
Для расчета коэффициента вариации квадрата скорости необходимо иметь экспериментальные данные о распределении значений частоты вращения ротора. При этом вычисляют следующие значения:
т1т
ип=Ци1 М( £ Mi,
Z —1/ Z=1
где at, Mt — наблюдаемые значения скорости и продолжительности их сохранения; п — целое положительное число.
Рдссчитав значения у4 и у2 (при п =4; 2), получим
Ео« =(у2)2 /у2.
Если необходимо учесть изменение напряжений в роторе, обусловленное не только колебаниями окружной скорости, но и колебаниями давления разделяемого продукта на стенки ротора вследствие изменения степени наполнения объема ротора при работе машины или влияния других переменных факторов, то при расчете следует учитывать распределение во времени значений напряжений в стенках ротора.
В этом случае для грубой оценки статического запаса прочности также применимо неравенство П. Л. Чебышева.
Если законы распределения случайных величин (разрушающих и максимальных напряжений) известны, то расчет может быть выполнен более точно. В данном случае разрушающие и действующие в роторе напряжения считают достоверными на основании предыдущего опыта или испытаний.
При нормальном распределении случайных величин статический запас прочности зависит только от уровня значимости q. При этом имеем
М ^ -= (n — U^S^ + Ux_qS^, где uiq — односторонний квантиль доверительной вероятности (при непрерывной функции распределения величины £ квантиль ир порядка Р есть такое число, для которого вероятность неравенства £ < ир равна Р).
Пример. Необходимо определить запас прочности по последней приведенной выше формуле.
Определим статический запас прочности стального ротора сепаратора при вероятности его неразрушения 0,95. Среднее значение предела выносливости материала, из которого изготовлен ротор, составляет 420 МПа, а среднее квадратичное отклонение предела выносливости материала Sn = 20 МПа. Среднее значение переменных напряжений в стенке ротора 100 МПа, a Sg = 5 МПа.
Вероятности неразрушения 0,95 соответствует квантиль ир= 1,64, тогда п = (420 — 1,64-20)/(100 + 1,64-5) = 3,578.
Запас прочности для более высокого уровня значимости q = 0,01 и, следовательно, вероятности неразрушения ротора Р = 1 — 0,01 = 0,991 при определении значения квантиля ир = 2,33, будет
п = (420 — 2,33-20)/(100 — 2,33-5) = 3,344.
Выше были рассмотрены методы расчета на прочность элементов быстровращающихся узлов, дисков, цилиндрических, конических и плоских элементов роторов, центрифуг и сепараторов.
Современные быстровращающиеся роторы Пищевого оборудования имеют сложную конструкцию, различные отверстия, обусловливающие концентрацию напряжений. Расчетные методы могут оказаться или слишком сложными с применением ЭВМ или ненадежными. Поэтому на стадии проектирования новых конструкций ответственных быстровращающихся узлов может оказаться полезным метод фотоупругости на моделях из оптически чувствительного материала с применением «замораживания», который позволяет оценивать напряженное состояние конструкции.
Указанный метод, также называемый поляризационно-оптическим методом, основан на свойстве некоторых прозрачным оптически изотропных материалов (например, материалов на основе фенольных эпоксидных смол) становиться при деформациях под действием нагрузки оптически анизотропным. Значение двойного лучеприломления прямо пропорционально напряжениям в рассматриваемой точке модели, его измеряют числом полос интерференции при просвечивании модели поляризованным светом.
Преимущество метода состоит в том, что на определенных этапах конструирования, когда необходимо в первую очередь установить зоны действия максимальных напряжений и качественно и количественно оценить напряженное состояние в важных сечениях детали, вместо конструкций испытывают модели из легких оптически чувствительных материалов.
Поляризационно-оптический метод имеет важное значение при исследовании напряженного состояния быстровращающихся узлов с постоянной угловой скоростью. Этот метод имеет преимущество по сравнению с методом электротензометрии, применяемый при испытаниях вращающихся конструкций. Для метода электротензометрии требуются специальные токосъемники. Деформации возможно измерить в ограниченном числе точек.
Для исследования напряженного состояния ротора изготовляют его модель из оптически чувствительного материала.
Модель нагружается центробежными силами инерции на специальной установке с термостатом, позволяющим проводить процесс «замораживания» напряжений. Затем «замороженную» модель разрезают по наиболее характерным сечениям и точкам для проведения оптических измерений и расчета напряжений.
На рис. 230 приведена картина полос интерференции в днище ротора центрифуги с шнековой выгрузкой осадка, полученная Б. Ф. Гусаковым поляризационно-оптическим методом. В результате анализа и обработки полученных данных установлен коэффициент концентрации напряжений у окон в днище, равный 2,5 ... ... 3,0.
Поляризационно-оптический метод наиболее целесообразен Для изучения напряженого состояния роторов сепараторов сложней! конструкции. Схема модели ротора сепаратора и эпюры напряжений в основании ротора при частоте вращения п = = 3000 об/мин, построенные по данным, установленным Б. Ф. Гу-
Рис. 230. Картина полос интерференции в днище ротора с окнами
Рис. 231. Модель ротора сепаратора
саковым с помощью поляризационно-оптического метода, показаны на рис. 231 и рис. 232.
Из приведенных эпюр напряжений видно, что наиболее опасные сечения имеют место в зонах D—Е (от = 452 МПа) и зоне А'—В' (pt =257 МПа).
При конструировании роторов сепараторов необходимо учитывать наличие концентраторов напряжений в виде каналов, отверстий, проточек, разгрузочных окон и т. д. Расчетные методы в этом случае крайне сложны. Поэтому применение поляриза- ционно оптического метода позволяет определять напряжения на моделях в зонах концентраторов в точке, что важно при высоких значениях градиентов напряжений, действующих в корпусных деталях роторов.
При конструировании роторов сепараторов необходимо уделять большое внимание характеристикам материалов, из которых выполнены роторы. Как было указано выше, оценку прочности роторов сепараторов производят по основному напряженному состоянию (без учета концентраторов напряжений) и местным напряжениям.
Применяемые для изготовления роторов высокопрочные стали и сплавы титана в основном обладают высокими прочностными характеристиками и ограниченной пластичностью. На основании этого при оценке прочности роторов сепараторов и других быстроходных роторных машин необходимо учитывать линейную механику разрушения. Необходимость учета последней обусловлена и характером аварийных разрушений роторов.
Исследования показали, что разрушение обычно возникает у конструктивных концентраторов напряжений, где образуется трещина. Как известно, в вершине трещины происходит пластическая дефромация. Для жестких сталей пластическая деформация 340
Рис. 232. Эпюры напряжений в основании ротора при п = 3000 об/мнн: а — меридиональных; б — кольцевых
охватывает сравнительно узкий слой металла, примыкающий к трещине.
В настоящее время широко используют понятие «вязкости разрушения», которое правильнее следует называть термином «тре- щиностойкость». Эта характеристика связана с реальной опасностью возникновения неожиданных хрупких разрушений, нежелательных для центробежных машин.
Исследования, проведенные НИИХИММАШем, показали, что трещины появлялись в местах образования дефектов вследствие изнашивания деталей при воздействии обрабатываемого продукта. Эти дефекты возникали на стенках каналов для вывода сгущенного продукта. Было установлено, что одним из путей повышения надежности сепараторов является применение для роторов материалов, имеющих высокую сопротивляемость распространению трещин. Рассмотрим некоторые вопросы современной механики разрушения материалов в результате образования трещин. Пусть пластина единичных размеров находится под действием растягивающих напряжений о. В соответствии с законом Гука для одноосного напряженного состояния можно написать de = do/E (здесь Е—модуль продольной упругости, е —относительное удлинение).
Элементарная работа упругой деформации
dw = о de = odc'E, следовательно,
ш = J odo^E = о2/(2£).о
\ Предположим, что в пластине раскрылась клиновидная трещина длиною /. В области площадью /2 ■ 1 напряжения снимутся, и вследствие этого уменьшится энергия на величину -g^-/2-!.
Одновременно увеличится энергия в связи с образованием свободной поверхности образующейся трещины. Увеличение энергии при образовании свободной поверхности будет равно 2у/-1 (здесь у — работа, необходимая для образования единицы свободной поверхности).
Из энергетического баланса получим
о = V ^Е/1.
Принимая форму трещины эллиптической, Гриффитс получил формулу для объемного напряженного состояния
о = V '2Е^1\к1^\ — р2)].
Так как трещина окружена тонким пластически деформированным слоем, обычно под величиною у понимают эффективную работу разрушения, включая и работу, затрачиваемую на пластическую деформацию. Последнее выражение перепишем в виде
о V ml — J/2£у/(1 — ц2) = const = кс.
Параметр кс =сУ ml (при плоском напряженном состоянии к1с) рассматривают как характерную константу материала, носящую название коэффициента интенсивности напряжений. Ее можно трактовать как силу, расширяющую трещину. Трещина начнет увеличиваться, если кс достигнет критического значения, характерного для данного материала.
Интенсивность напряжений в вершине трещин, характеризуемая множителем а К л/, имеет значение для оценки не только разрушения при статическом нагружении, но и разрушения при переменных нагрузках.
С инженерной точки зрения существенное значение имеет хрупкость материала. Способность материалов сопротивляться развитию трещин называют трещиностойкостью (часто вязкостью разрушения).
Коэффициент интенсивности напряжений кс, определяемый для эксплуатационного уровня напряжений, можно представить как отношение предела трещиностойкости материала J к коэффициенту запаса по пределу трещиностойкости.
Предел трещиностойкости материала
Jn = kcV^-^Y№
где [а]' — допускаемое напряжение для зон концентрации напряжений; ов — временное сопротивление материала.
Для определения наибольшего значения коэффициента кс для условий эксплуатации, вместо приведенной выше формулы применяют следующую формулу:
кс = 1,13 [о]' V лТ-
Приравнивая правые части критический размер трещинПриравнивая правые части критический размер трещинпоследних двух формул, получаемпоследних двух формул, получаем^пр^пркс 1[а]' 1,132лкс 1[а]' 1,132лКоэффициент запаса на трещи'ностойкостьКоэффициент запаса на трещи'ностойкость/И V ^Кр/^О’/И V ^Кр/^О’НИИХИММАШем проведено сопоставление коэффициентов запаса прочности для различных материалов, применяемых для изготовления роторов сепараторов, с коэффициентами запаса на трещиностойкость (табл. 17).Механические характеристикиНИИХИММАШем проведено сопоставление коэффициентов запаса прочности для различных материалов, применяемых для изготовления роторов сепараторов, с коэффициентами запаса на трещиностойкость (табл. 17).Механические характеристикидующие.дующие.указанных материалов слеуказанных материалов слеСталь:09X15Н8Ю . . .03X25H3M2 . .o/xiene;Титановый сплав АТ6 .Сталь:09X15Н8Ю . . .03X25H3M2 . .o/xiene;Титановый сплав АТ6 .о, МПа 6, %о, МПа 6, %ф кс, МН/м3/2ф кс, МН/м3/2124,5—125,88,3—11,627,3-30,510262,4—68,7 20,2-24,6 67,0—70,9162 5!20125812090820109124,5—125,88,3—11,627,3-30,510262,4—68,7 20,2-24,6 67,0—70,9162 5!20125812090820109Как следует из табл. 17, для стали 03Х25Н5М2дефекта размером 1 мм коэффициент запаса не уменьшается. Значительно коэффициент запаса снижается при наличии трещины у\стали 09Х15Н8Ю.Как следует из табл. 17, для стали 03Х25Н5М2дефекта размером 1 мм коэффициент запаса не уменьшается. Значительно коэффициент запаса снижается при наличии трещины у\стали 09Х15Н8Ю.приприналичииналичии\Таким образом, критерием выбора материала для роторов сепараторов должен быть kVc (fec) — критический коэффициент интенсивности напряжений,\Таким образом, критерием выбора материала для роторов сепараторов должен быть kVc (fec) — критический коэффициент интенсивности напряжений,Таблица 17
Приравнивая правые части критический размер трещин
Приравнивая правые части критический размер трещин
последних двух формул, получаем
последних двух формул, получаем
^пр
^пр
кс 1
[а]' 1,132л
кс 1
[а]' 1,132л
Коэффициент запаса на трещи'ностойкость
Коэффициент запаса на трещи'ностойкость
/И V ^Кр/^О’
/И V ^Кр/^О’
НИИХИММАШем проведено сопоставление коэффициентов запаса прочности для различных материалов, применяемых для изготовления роторов сепараторов, с коэффициентами запаса на трещиностойкость (табл. 17).
Механические характеристики
НИИХИММАШем проведено сопоставление коэффициентов запаса прочности для различных материалов, применяемых для изготовления роторов сепараторов, с коэффициентами запаса на трещиностойкость (табл. 17).
Механические характеристики
дующие.
дующие.
указанных материалов сле
указанных материалов сле
Сталь:
09X15Н8Ю . . .
03X25H3M2 . .
o/xiene;
Титановый сплав АТ6 .
Сталь:
09X15Н8Ю . . .
03X25H3M2 . .
o/xiene;
Титановый сплав АТ6 .
о, МПа 6, %
о, МПа 6, %
ф кс, МН/м3/2
ф кс, МН/м3/2
124,5—125,88,3—11,627,3-30,5102
62,4—68,7 20,2-24,6 67,0—70,9162 5
!201258120
90820109
124,5—125,88,3—11,627,3-30,5102
62,4—68,7 20,2-24,6 67,0—70,9162 5
!201258120
90820109
Как следует из табл. 17, для стали 03Х25Н5М2
дефекта размером 1 мм коэффициент запаса не уменьшается. Значительно коэффициент запаса снижается при наличии трещины у\стали 09Х15Н8Ю.
Как следует из табл. 17, для стали 03Х25Н5М2
дефекта размером 1 мм коэффициент запаса не уменьшается. Значительно коэффициент запаса снижается при наличии трещины у\стали 09Х15Н8Ю.
при
при
наличии
наличии
\Таким образом, критерием выбора материала для роторов сепараторов должен быть kVc (fec) — критический коэффициент интенсивности напряжений,
\Таким образом, критерием выбора материала для роторов сепараторов должен быть kVc (fec) — критический коэффициент интенсивности напряжений,
Коэффициент запаса прочности и трещиностойкости для различных материалов
Показатель
Сталь
Сплав AT6
09Х15Н8Ю
| 07Х16Н6
| 03Х25Н5М2
Допускаемые напряжения для зон концентрации [о]', МПа
Критическая длина трещины /пр, мм
Коэффициент запаса:
600
600
330
410
2,3
7,7/4,2
50
15,4/19,8
прочности для зон
1,83
1,83
1,65
2,2
концентрации п^ прочности по критическим напряжениям
1,28
1,60/1,73
1,63
1,87/1,94
разрушения п0 трещиностойкости и
1,51
2,78/3,77
7,06
3,92/4,4
Примечание. В теле — для штамповок.
числителе даны значения
для поковок
в знамена-
1
2
Рис. 233. Эпюры пластических (остаточных) деформаций при различных частотах вращения роторов сепараторов:
а — СДС 633К-1; б — СОС 501К-5; 1 — крышка; 2 — затяжное кольцо; 3 — основание; 4 — дюзы; 5 — круговые каналы; 6 — при 4340 об/мин; 7 — при 6000 об/мнн, 8 — при 6525 об/мин; 9 — 6100 об/мин; 10 — при 7000 об/мин; 11 — при 7500 об/мин, 12 — при 8000 об/мин; ИЗ — прн '8500 об/мин; 14 — при 9000 об/мин; 15 — при 10 300 об/мин
Для корозионно-стойких сталей &1С 5; 93 МН/м3/2, для титановых сплавов ^1С ^ 109 МН/м3/2. Постоянную klc определяют в соответствии с рекомендацией СЭВ 3642—72.
Коэффициент запаса прочности по отношению к критическому напряжению разрушения при наличии трещин может быть определен из параметрического уравнения
Гп1г?о = (п'в — 1)/(Пв2 — По).
Наличие дюз и меридиональных круговых каналов для вывода разделяемого продукта в роторах современных непрерывно действующих сепараторов обусловливает наличие концентрации
Таблица 18
Коэффициенты запаса прочности по предельному равновесию и разрушению
Сепаратор
Сталь
пн
"0,2
ПР
*0,2 = = (Пог) Он>2
*р =<Нр/пн)2
СОС 503К-3
СОС 501 к 5
09Х15Н810
03Х25Н5М2
6890
6100
12 500
9 000
14 600
10 300
3,3
2,18
4,45
2,85
напряжений в этих зонах. Это обстоятельство заставляет применять для изготовления роторов высокопластинные стали.
Представляет интерес анализ прочности роторов сепараторов марок СДС 633К-1 и СОС 501 К-5, выполненных из высокопластичной коррозионно-стойкой стали типа 03Х25Н5М2. Данная сталь относится к аустенито-ферритному классу и обладает высокой пластичностью: относительное удлинение при разрушении 6 > >20 %, а относительное поперечное сжатие образцов ф > 50 %. Для высокопрочных сталей, применяемых в сепараторостроении, 6 « 12 %; ф « 35 %.
На основании исследований НИИХИММАШа [21] было установлено, что пластические деформации в зонах концентрации в 3—5,8 раза превышают деформации в общих зонах (рис. 233). Однако снижения несущей способности роторов не наблюдается. Следовательно, при применении высокопластичных сталей допускается образование пластических деформаций в зонах концентрации напряжений, что позволяет снизить коэффициенты запаса прочности благодаря резерву пластичности материала.
Значения коэффициентов запаса прочности по предельному равновесию к^ и разрушению кр, а также предельная п№, номинальная пн и разрушающая пр частота вращения роторов сепаратора СОС 503К.-3, выполненных из сталей двух марок, приведены в табл. 18.
КОНСТРУИРОВАНИЕ ОСНОВНЫХ УЗЛОВ РОТОРНЫХ МАШИН
Конструкции центробежных машин определяются не только индексом производительности, но прежде всего технологическим назначением, заданной производительностью и способом выгрузки продуктов разделения.
Наиболее крупными в пищевой промышленности являются центрифуги для отделения патоки от сахара. При требуемом значений индекса производительности они должны обеспечивать высокую производительность 1000 т сахарного утфеля в сутки. Предъявляется требование, чтобы выгрузка сахара из ротора производилась механически, при минимальном повреждении кристаллов.
Рис. 234. Подвесная центрифугаРис. 234. Подвесная центрифуга
Рис. 234. Подвесная центрифуга
Рис. 234. Подвесная центрифуга
Эти требования обусловили создание вертикальных подвесных центрифуг с ротором вместимостью не менее 1500 кг утфеля, с нижней выгрузкой продукта при значительно сниженной окружной скорости (рис. 234). Центрифуга состоит из ротора 3, закрепленного на вертикальном валу с помощью ступицы с ребрами, между которыми имеются полости для выгрузки сахара. Вал свободно подвешен в верхней точке подвесного устройства 2,
которое позволяет ему вместе с подшипниками отклоняться от вертикального положения. Ротор приводится во вращение от электродвигателя 1, жестко закрепленного на вертикальных , стойках. С помощью эластичной муфты вал ротора соединен с ва
лом электродвигателя.
Основными узлами подвесных центрифуг являются ротор, вал ротора, электропривод, станина.
Ротор центрифуги (рис. 235) изготовляют сварным диаметром 1 ... 1,37 м. После сварки ротор подвергают специальной термообработке. Диаметр ротора принимают из следующих соображений: при большем диаметре в роторе легче разместить механический выгружатель и другие устройства. Однако при увеличении диаметра повышается его момент вращающихся масс тО2 (здесь т —масса вращающегося ротора; D —средний диаметр ротора)
Рис. 235. Ротор подвесной центрифуги:
— бортовое кольцо; 2 — обечайка; 3 — днище; 4 — ступица; 5 — ребра
и возрастают напряжения в стен- ках. На сахарных заводах необходимо соблюдать расстояние между балками 1750 мм, которое должно совпадать с расстоянием между осями соседних центрифуг; Поэтому подвесные центрифуги устанавливают близко друг относительно друга на усиленных металлоконструкциях (рис. 236).
Роторы большегрузных центрифуг, предназначенных для обработки утфеля первого продукта, имеют частичную перфорацию (в верхней и нижней частях ротора). Благодаря этому увеличивается фильтрующая основа и достигается лучшее распределение утфеля по высоте ротора при загрузке.
Значительный момент инер-
Ф1050Ф1050ции загруженного ротора и обеспечение большой скорости при разгоне до рабочей скорости обусловливают необходимость применения мощных электродвигателей. Обычно применяют привод от отдельного электродвигателя, вал которого соединен с валом ротора эластичной муфтой.
Ф1050
Ф1050
Одним из типов приводов для большегрузных центрифуг является двигатель постоянного тока, позволяющий получать различные скорости, которые требуются для загрузки, центрифугирования и выгрузки. Вертикальное расположение ротора и верхняя подвеска обеспечивают достаточно простую выгрузку осадка из ротора, которая может осуществляться с помощью механизированного скребка под действием силы тяжести осадка и вручную.
Устройство центрифуги обусловливает наличие верхней опоры '(рис. 237, а\ Осевые усилия, от действия силы тяжести вала и
укрепленного на нижнем конце его ротором, воспринимаются упорным подшипником. Опоры установлены в гильзе, имеющей в верхней части сферическую поверхность, последняя расположена в гнезде корпуса. Между корпусом и гильзой установлен резиновый амортизатор. Последний позволяет валу с ротором отклониться от вертикального положения вследствие его деформаций.
\При другом конструктивном исполнении верхней опоры (рис, 237, б) корпус шарикоподшипникового узла находится в гнез-
Рис. 236. Общий вид установки подвесных центрифуг
де опоры с коническим резиновым амортизатором. Два радиальных и один упорный шарикоподшипники смонтированы в корпусе. Между корпусом и неподвижной чашей установлены два резиновых амортизатора. В опоре имеется сферическая опорная поверхность гнезда. В результате при колебаниях возникают дополнительные силы трения в опорной поверхности, способствующие уменьшению амплитуды колебаний вала. Корпус, внутри которого помещены шарикоподшипники, верхней шаровой поверхностью установлен в гильзе опорной конструкции. В верхней части установлена резиновая муфта. Конструкции опоры подвесных центрифуг обеспечивают возможность углового отклонения вала ротора.
При конструировании подвесных центрифуг подлежат расчету ротор на прочность и вал на критическую скорость и прочность.
Расчет вала подвесных центрифуг является специфичным. После загрузки ротора продуктом всегда имеет место его не- уравно; ешенность из-за неравномерного отхода жидкой фазы от твердой. Кроме того, загрузка ротора сахарным утфелем или другим продуктом производится на ходу, поэтому имеют место колебания переменной массы — ротора и наполняющего его продукта. При этом скорость ротора не является постоянной. После заполнения ротора продуктом через стенки ротора уходит жидкая фаза, и следовательно, масса ротора с продуктом уменьшается во времени.
Рис. 237. Верхняя опора подвесной центрифуги:
а — центрифуги ФПН-125; б — опора центрифуги ФПН-1221Л-1; 1 — защитный кожух; 2 — гайка; 3 — пробка; 4 — коробка для масла; 5 — заборная трубка; 6 — корпус подшипников; 7 — манометр; 8 — гайка поджатия амортизатора; 9 — коническая втулка; 10 — шпоика; 11 — специальный болт; 12 — корпус; 13 — крышка; 14 — тормозной шкив; 15 — резиновая муфта; 16 — наружная шлицевая втулка; 17 — виу- треиияя шлицевая втулка; 18 — ленточный тормоз; 19 — резиновый амортизатор; 20, 21 — масленки; 22 — вал; 23 — корпус; 24 — резиновая муфта; 25, 27 — резиновые амортизаторы; 26 — корпус подшипников
При загрязнении фильтрующего сита отход жидкой фазы из ротора может быть несимметричным, вследствие чего возникает изменяющаяся во времени неуравновешенность ротора.
Выше были перечислены только некоторые факторы, обусловливающие сложность задачи колебаний вала с ротором подвесных центрифуг. Для получения приближенного инженерного результата упростим условия задачи. Обозначим (рис. 238) через L — 4 расстояние от центра масс ротора до шарнирной опоры или до неподвижной точки, вокруг которой вращается система; через / — расстояние от середины резинового буфера до шарнирной опоры; через ф—угол отклонения оси вала от вертикали; через к— жесткость резинового буфера; через G — силу тяжести ротора.
Следует иметь в виду, что резиновый буфер, применяемый \в системе подвески валов подвесных центрифуг, имеет нелинейную характеристику (линейные закономерности, используемые при расчете металлических деталей, при больших деформациях ре-
Рис. 238. Схема к расчету критической окружной скорости вала подвесной центрифуги
зины перестают быть справедливыми). Однако вследствие близкого расположения буфера к опоре малые перемещения позволяют приближенно считать характеристику буфера линейной. Вал буфера будем считать абсолютно жестким.
В связи с большими размерами ротора подвесной центрифуги необходимо учитывать начальный угол перекоса ротора. Применяя принцип Даламбера, запишем уравнение моментов всех силовых факторов, которые действуют на вращающуюся систему (без учета силы сопротивления резинового буфера) относительно оси, перпендикулярной к плоскости чертежа и проходящей через точку О,
2Х = U ~ Л)Й2(ф + Фо) - ^2Ф + GL^ = 0, откуда
Фой (Jx~ Ji) .
ф— №_аь — ух — ]^й^
Приравнивая нулю знаменатель правой части последнего выражения, находим критическую скорость вала центрифуги
aKV = y\№-ацих-JvaKV = y\№-ацих-Jv(436)(436)Экспериментально установлено, что критическая частота вращения подвесных центрифуг часто близка к частоте вращения, при которой производится загрузка ротора продуктом (250 об/мин). При загрузке продуктом наиболее вероятны дисбаланс ротора, а следовательно, и большие значения угла отклонения ротора.
aKV = y\№-ацих-Jv
aKV = y\№-ацих-Jv
(436)
(436)
При срезе осадка (на малой частоте вращения ротора), возможно появление автоколебаний под влиянием постоянно действующих факторов, не обладающих свойствами периодичности [70]. Для снижения амплитуды автоколебаний необходимо увеличить жесткость системы и уменьшить частоту вращения при срезе и подаче ножа.
Амплитуду колебания вала подвесной центрифуги с учетом сил сопротивления можно определить тем же способом, что и амплитуду колебаний валов сепараторов.
Эксцентриситет масс подвесных центрифуг может быть очень большим из-за неравномерного распределения центрифугируемого продукта в роторе. В связи с этим верхнюю опору вала кон-
струируют таким образом, чтобы обеспечить, по Возможности, демпфирование.
При малом значении коэффициента демпфирования и неравномерной загрузке ротора центрифугируемым продуктом амплитуда вынужденных колебаний от дисбаланса бывает очень большая, когда угловая скорость вала приближается к критической.
Конструкция опор подвесных центрифуг должна обеспечивать работу машины в закритической области. Машина с жестким валом (рабочая угловая скорость ниже критической) может быть неоправданно громоздкой.
§ 31. ВЛИЯНИЕ ЖИДКОСТИ В РОТОРЕ
НА КРИТИЧЕСКУЮ УГЛОВУЮ СКОРОСТЬ ВАЛА
Наличие жидкости во вращающихся роторах влияет на критическую угловую скорость вала [621.
Для упрощения предположим, что вал имеет две опоры, расположенные по обе стороны ротора, ось ротора при вращении будем считать параллельной первоначальной оси вала. В этом случае поверхность слоя жидкости в роторе можно принять цилиндрической с осью симметрии, совпадающей с осью вращения. Таким образом, наличие жидкости в роторе увеличивает неуравновешенность системы.
Найдем центр масс сечения слоя жидкости в роторе, нормального к оси ротора. Введем следующие обозначения: R — радиус ротора; г0 — внутренний радиус цилиндра, образованного слоем жидкости при вращении ротора вокруг оси; г — прогиб вала; г] — расстояние от центра масс сечения слоя жидкости до оси вращения ротора (рис. 239).
На основании правила определения координат центра масс фигур можно записать
л (^2 — Го) Л = №г — л/оО, откуда
^W^-ro2).
Коэффициент заполнения ротора
ф = (^ - rW.
Тогда
т] = г/ф.(437)
Динамический прогиб вала
г — 6umxQ2 (е + г) + б^йоЙЧ],
где /щ—масса ротора; т2—масса жидкости; е — эксцентритет массы ротора.
где V — вместимость ротора жидкостью); рж — плотностьгде V — вместимость ротора жидкостью); рж — плотностьРис. 239. Схема к определению центра инерции сече- ния слоя жидкости, вращающейся вместе с ротором
где V — вместимость ротора жидкостью); рж — плотность
где V — вместимость ротора жидкостью); рж — плотность
Подставим в последнее уравнение значение ц из формулы (437), получим г = йц/П]й2 (с 4 г) + 611Ш2И2г/ф.
Масса жидкостит2 = Уфрж,(условно считаем его полностью заполненнымжидкости.
г = бцШ^2 (е + г) + 6ц/ИфП2г,(438)
где тф ==Урж— фиктивная масса жидкости, полностью заполняющей ротор. Из последнего уравнения (438)
г = бцт^2^! — бц^Н2 — 6цтф£22),(439)
Угловую критическую скорость вала ротора находим, исходя из условия, что г-* оо, когда знаменатель уравнения (439) равен нулю,
^нр — Г 1/[6ц (,т1 4 Шф)]*
Вводя угловую критическую скорость вала ротора без жидкости, уравнение (439) представим в виде
г = е/(со2/й2 — 1 — тф/т1).
Следовательно; при скорости вала ниже критической центр тяжести жидкости смещается, в результате чего понижается критическая скорость и увеличивается динамический прогиб вала. Даже при небольшом количестве жидкости в роторе (при условии, что слой жидкости является сплошным) необходимо при определении критической скорости вала считать ротор целиком заполненным жидкостью.
При вращении вала со скоростью, превышающей критическую, ротор поворачивается «легкой» стороной в сторону, противоположную оси его вращения, т. е. эксцентриситет становится отрицательным (см. рис. 236). Уравнение (439) для этого случая примет вид
г = бц/тг^2 (г — е) 4 6итфй2г, откуда
г = 611m1Q2e/(611m1Q2 4 6um$Q2 — 1) или
г = 4(1 4 niqJm-L —^/й2).
Из последнего уравнения следует, что при работе в закрити- ческой области наличие жидкости в роторе положительно влияет на работу машины, уменьшая динамический прогиб вала.
Рис. 240. Осадительная центрифуга со шнековой выгрузкойРис. 240. Осадительная центрифуга со шнековой выгрузкой
Рис. 240. Осадительная центрифуга со шнековой выгрузкой
Рис. 240. Осадительная центрифуга со шнековой выгрузкой
Следовательно, заполнение жидкостью вращающихся роторов целесообразно после перехода вала через критическую скорость.
В пищевой промышленности широко распространены непрерывно действующие осадительные центрифуги со шнековой выгрузкой (рис. 240).
Сплошной ротор этой центрифуги состоит из двух частей. В роторе расположен барабан, несущий спиральную ленту, закрепленную на стойках кругового сечения. В цилиндрической части спираль одноходовая, а в конической двухходовая. Барабан насажен на вал, проходящий через полые цапфы ротора. Ротор вращается с меньшей или большей скоростью, чем барабан.
Постоянная разность скоростей шнека и ротора обеспечивается с помощью специального редуктора.
Наиболее важным узлом осадительных центрифуг со шнековой выгрузкой являются редукторы, обеспечивающие медленное вращение шнека относительно ротора.3
Первыми и наиболее рас-1—,../\>^—,—,
Рис. 241. Шнековая осадительная центрифуга для разделения крахмальных суспензий: п0 — 1200 об/мии; пщ =1150 об/мии; Fr = 600; / — шиек; 2 — наружный барабан ротора; 3—6 — зубчатые колеса редуктора ^т.— 5-мм), термически обработанные; 7 — электродвигатель
Рис. 242. Схема ступенчатой 2Н-К передачи в конструкции планетарного редуктора механизма привода шнековых осадительных центрифуг:
X— наружный барабан ротора; 2 — шнек; 3 —»зубчатые колеса; 4 — водило; 5 — электро-* двигатель
35335312 Соколов В. И.
353
353
Рис. 243. Основные схемы вертикальной системы сепараторов:
а — с винтовой передачей, усилия от винтового колеса инерционные, они вызваны движением жидкости и воспринимаются упругой горловой опорой и осевой пружиной у нижней опоры; б — с винтовой передачей усилия, которые воспринимаются горловой опорой; в — усилие от винтового колеса не передается веретену; г — вращение веретена осуществляется с помощью гибкой передачи
времени были двухрядные зубчатые редукторы с подвижными осями, выполненные с внешним или внутренним зацеплением.
Редуктор с внешним зацеплением (рис. 241) отличается недолговечностью зубчатых колес, которые передают большие окружные усилия при высоких относительных окружных скоростях в зацеплении. В ряде редукторов эвольвентное зацепление было заменено на зацепление Новикова, что привело к повышению КПД редуктора, уменьшению износа зубчатых колес и повышению скорости ротора в 1,5 раза.
В дальнейшем были разработаны конструкции двухрядовых редукторов шнековых осадительных центрифуг крахмального производства с использованием внутреннего эвольвентрого зацепления.
Обладая значительно более высоким КПД, эти редукторы требуют повышенной точности изготовления колес. В последнее время все большее распространение в конструкциях механизмов привода шнековых центрифуг находят редукторы планетарного типа, в которых усилия передаются при низких окружных относительных скоростях зубчатых колес.
Планетарные редукторы шнековых осадительных центрифуг имеют передаточное отношение: 0,98 ... 0,97 и высокий КПД 0,998.
Планетарная передача с тремя подвижными основными звеньями стала исходной при создании редукторов механизма привода шнековых центрифуг. Так как ориентировочные значения передаточных отношений такой передачи находятся в интервале 0,9 ... 0,6 вместо требуемого 0,98 ... 0,97, то прибегают к последовательному соединению передач по схеме, показанной на рис. 242.
Наиболее распространенными в пищевой промышленности и сложными "машинами являются жидкостные сепараторы, расчет роторов которых на прочность был рассмотрен выше.
Рис. 244. Сепаратор с шестеренчатым цилиндрическим приводом
Рис. 245. Сепаратор с приводом через коническую передачу
Рис. 246. Сепаратор с безверетеиным приводом
К основным узлам сепараторов помимо роторов относятся система вала с опорами, привод и станина.
. Схемы вертикальной системы сепараторов в значительной степени определяют работоспособность и долговечность этих машин (рис. 243). Схемы (рис. 243, а, б) различаются между собой расположением упругих связей, воспринимающих усилия от винтового колеса инерционных сил ротора и сепарируемой жидкости. Во всех схемах применена упругая горловая опора. В ряде случаев используют упругие связи, воспринимающие осевые усилия. Пружины в этом случае расположены под нижним подшипником, а в других схемах они размещены в горловой опоре в сочетании с радиальными упругими связями. Особенностью схемы (рис. 243, в) является то, что винтовая шестерня (на рисунке не показана) смонтирована не на веретене, а на полом валу, связанном со станиной. Вращение от этого вала передается веретену с помощью ‘кулачкового зацепления в подпятнике. При таком выполнении вертикальной системы усилие от винтового колеса не передается веретену, а полюс зацепления винтовой передачи является фиксированным.
Вертикальная система сепаратора (рис. 243, а), в которой вращение веретена осуществляется с помощью гибкой передачи, обусловливает установку на веретено массивного ведомого шкива. Винтовая пара является специфичной для сепаратора и ее используют для приводов мощностью до 30 кВт. Отличительной особенностью винтовой пары является профиль зуба, шестерни и колеса, который позволяет при работе иметь не линию контакта, как в червячной, косозубой, цилиндрической и других видах ^зубчатых зацеплений, а точку.
Благодаря этому обеспечивается постоянство зацепления при отклонении веретена, несущего ротор и шестерню, от геометрической оси. Центр зацепления у винтовой передачи является «блуждающим».
Недостатком винтовой передачи является ограниченное значение передаваемого ею крутящего момента независимо от модуля и размеров зубчатых колес. Эта ограниченность обусловлена допустимым давлением, возникающим в точке зацепления винтовой пары.
Разработка приводов сепараторов высокой мощности ведется v в направлении создания шестеренчатых цилиндрических приводов (рис. 244), конической передачи (рис. 245), а также безвере- тенных приводов (рис. 246), когда электродвигатель на амортизаторах встраивают в станину, а ротор сепаратора устанавливают на консоли электродвигателя. Наиболее перспективными для сепараторов высокой мощности в настоящее время являются приводы с гибкой передачей. На рис. 247 представлен сепаратор большой производительности, в котором крутящий момент от вала .электродвигателя и фрикционной центробежной муфты передается через ведущий шкив ведомому с помощью клиновых ремней.■.-
Совпадение собственных частот колебаний ротора сепаратора с частотой возбуждеция от электродвигателя ведет к своеобразному резонансу..
§ 32. КРИТИЧЕСКИЕ УГЛОВЫЕ СКОРОСТИ ВАЛОВ СЕПАРАТОРОВ И КОНСТРУИРОВАНИЕ ОПОР
Предположим, что на конце консольного участка жесткого вала (рис. 248) укреплен ротор сепаратора. Рассмотрим момент, . когда ось вращающегося вала находится в плоскости Oz. Пусть центр масс ротора находится в точке М (рис. 249). Будем учитывать наличие только статической неуравновешенности ротора. Возможным перекосом оси ротора относительно оси вала пренебрегаем, так как для сепараторов этот перекос практически незначителен.'
Вибрация вала сепаратора происходит при наличии сил сопротивления, которые примем пропорциональными скорости движения. К вращающемуся ротору приложен гироскопический момент [см. уравнение (205)1.
мг = цх - Л) фП3.
Центробежная сила инерции ротора Рин = mQ2p направлена по нормали, соединяющей центр масс ротора и ось zz.
' Пренебрегаем силами трения ротора о воздух и учитываем только силы сопротивления, возникающие при круговом движении подшипника вала горловой опоры. Естественно, что значение этих сил сопротивления зависит от конструкции горловой опоры.
Рис. 248. Расчетная схема вала сепаратора
Рис. 249. Схема действия сил на вал сепаратора при наличии сил сопротивления
В случае применения пружин она меньше, чем при использовании резинового кольца.
Сила сопротивления W приложена к, центру масс сечения вала и направлена в сторону, противоположную движению вала. На рис. 248 и 249 эта сила приложена в точке / параллельно оси уу.
В связи с тем, что при вращении вал отклоняется от оси zz, пружины горловой опоры деформируются. Обозначим силу реакции опоры через F и жесткость упругой опоры через к, тогда
F — —кг.
Используя принцип Даламбера, ротор можно рассматривать находящимся в равновесии под действием сил F„H, W, F и гироскопического момента Мг.
Приравниваем нулю сумму моментов всех силовых факторов, действующих на систему относительно осей уу и хх. Принимая W = айг и cos а « 1, получаем
2j ту = Цх — Л) Ф^2 + mQ2pL cos а — кга = 0;(440)
Smx = тй^рЬ sin а — айга = 0.(441)
Как следует из рис. 248 и 249, р sin а = е sin ф; р cos а = гт + е cos ф, где е — эксцентриситет масс ротора; гг — радиальное смещение (амплитуда) центра масс ротора.
Подставляя значения р sin а и р cos а в уравнения (440) и (441), получим
(^х — Л) Ю2Ф + тй^Ь (гт + е cos ф) — кга = 0;(442)
тй^Ье sin ф — айга = 0.
Из последнего уравнения, учитывая г = гхаД получим sin -ф = aQra/(mQ2Le) = айо^г^тФеЕ2). (443)
После преобразований уравнения (442) имеем
(Д — J^ й2ф + тййЬгх + mQ^Le cos ip — kza = 0.
Примем вал сепаратора абсолютно жестким (см. рис. 248), тогда , фЛ = гх.
Следовательно,
(Д — Jz) й2ф 4- /пй2Е2ф Ц- m^Le cos ^ — kra = 0.
Учитывая, что Д 4- wZ,2 = Л (здесь Jx — момент инерции массы ротора относительно оси уу), запишем последнее равенство в следующем виде:
(/f — Jz) Й2ф 4- тЙ2Ее cos ip — krxa4L = 0 или при ф = rx!L
(Д — Jz) й2^ 4- т^Де cos ip — krxa? = 0, откуда ,
cosip = \krxc? — (Л — Д^ Й^^тЙ2/,2^.(444)
Так как sin2ip 4- cos2ip = 1, на основании уравнений (443) й (444) можно записать
/ айа2 \2 2 । Г ^a2 — (Л — Zz) й2 !2 2 _ ,
\ тй2еЕ2 / Пmt№ J 1
°ТКуДа^_ [ (~о^(4451
К[^а - (Л - Л) йа]а
Если силы сопротивления отсутствуют, т. е. a = 0, то амплитуда
гх = тйЧЬЧ {кД — Д - Л) Й21.(446)
В этом случае гх -> оо, когда знаменатель уравнения (446) равен нулю, т, е.
ко? - Д — Л) Q2 = 0,
откуда критическая угловая скорость вала сепаратора
Йкр = УкагДх - Jz).(447)
Из выражения (447) имеем
^2=Й2р(/1-Л).(448)
Подставляя значения ко? из уравнения (448) в формулу (445)
mQWmQWполучаем
mQW
mQW
последнее(449)последнее(449)■Н(л-^Жр-°2)12+(ай“2)2
последнее
(449)
последнее
(449)
При работе вала при критической скорости й = йкр равенство примет вид
тйкр£р_ е L2
^ aa2у а2 ’
где у — коэффициент демпфирования.
/5^/5^Рис. 250. Вертикальный вал сепаратора для об работки молока:Рис. 250. Вертикальный вал сепаратора для об работки молока:а — общая схема; б.— схема расположения пружин в горловой опоре; 1 — вал; 2 — вертикальная пружина; 3 — крышка горлового подшипника; 4 — корпус; 5 — горизонтальная пружина;6 — винт; 7 — колпачок; 8 — шестерня веретенаа — общая схема; б.— схема расположения пружин в горловой опоре; 1 — вал; 2 — вертикальная пружина; 3 — крышка горлового подшипника; 4 — корпус; 5 — горизонтальная пружина;6 — винт; 7 — колпачок; 8 — шестерня веретена
/5^
/5^
Рис. 250. Вертикальный вал сепаратора для об работки молока:
Рис. 250. Вертикальный вал сепаратора для об работки молока:
а — общая схема; б.— схема расположения пружин в горловой опоре; 1 — вал; 2 — вертикальная пружина; 3 — крышка горлового подшипника; 4 — корпус; 5 — горизонтальная пружина;
6 — винт; 7 — колпачок; 8 — шестерня веретена
а — общая схема; б.— схема расположения пружин в горловой опоре; 1 — вал; 2 — вертикальная пружина; 3 — крышка горлового подшипника; 4 — корпус; 5 — горизонтальная пружина;
6 — винт; 7 — колпачок; 8 — шестерня веретена
~Полученная формула отражает .
влияние на амплитуду rv коэффи- а) •циента демпфирования у и соот
ношения размеров L иа при переходе
вала через критическую у ведет к уменьшениювала через критическую у ведет к уменьшениюскорость. Повышение коэффициента амплитуды iv В связи с этим
вала через критическую у ведет к уменьшению
вала через критическую у ведет к уменьшению
в ряде конструкций сепараторов применяют резиновые элементы горловой опоры, для которых значение коэффициента у
велико.
Найдем теперь жесткость £оп пружинной горловой опоры жидкостного сепаратора.
.Наиболее распространенным типом упругой опоры горлового подшипника является опора, показанная на рис. 250. В корпусе на шести пружинах установлена обойма шарикоподшипника.
Для анализа работы упругой опоры сепараторов рассмотрим систему, состоящую из массы т, находящуюся под воздействием радиально расположенных п пружин, лежащих в одной плоскости (рис. 251) и образующих соответственно углы аг с осью х (рис. 252) и имеющих коэффициенты жесткости С;.
Пусть произвольное направление у образует угол ф
с осью х.
Рис. 251. Масса т под действием п пружин
Рис. 252. Перемещение массы т в упругом поле, создаваемом действием п пружин
При малом перемещении точки вдоль оси у, приведенный коэффициент жесткости системы пружин
п
Сф = S Сг С0®2 (“* + ф)’
Z=1 пп
с„= ^ С; (со82ф cos2az + sin2 а, з1п2ф) — 2 S cz cos “zsin “zcos Ф sln Ф- z=i'z"=l
Из последнего равенства следует, что приведенный коэффициент жесткости не зависит от ф, если
*ппп
2 С, COS2 az = S ci sln2 “1 S ci cos azSln aZ = 0.
Z=1Z-=lZ=1
Рассмотрим случай четырех пружин (рис. 252). Напишем дифференциальное уравнение свободных колебаний материальной точки массы т вдоль оси х. Пусть точка прикреплена к пружинам длиною /, имеющим одинаковую жесткость с с предварительным натягом А.
Прй конечном перемещении точки, равном х (отрезок От), на нее будут действовать четыре упругие силы, причем
/ц = с (6/ + А),где 6/ — удлинение пружины вследствие перемещения точкиSZ = J/F^T2-/.
Проекция упругой силы на ось х
Fix = — с (КF + х^ —■ / -J- A) cos а, где
cos а = х/// Р х2.
Нетрудно видеть, что Fi = F3 и, следовательно,
Fix = F3x = -ex [ 1 - (/ - А)/|/ТЧТ21.
Соответственно проекции на ось х сил Рг и Р4
Fax = —Цх — А); Р4х = с (х + А).
Дифференциальное уравнение колебаний массы т
4
тх = 7?х = S Р1х(450)
к=\
или
тх = — 2сх[1 — (I — А)///72 + х2] — 2сх =
= 2сх[2-(1-А)/1^Р~^]. -
Как следует из полученного выражения, восстанавливающая сила зависит от перемещения х. Для суждения о напряженном состоянии системы находят обобщенный коэффициент жесткости, который определяют, дифференцируя обобщенную силу Rx по х.
В данном случае
с —-^Fx——Зе [i ^2 ^1И
. ж dx —[2(F + x2-lx)4 J • Vй1'
Определим сх при. малых перемещениях. В последнем уравнении имеем х = 0, тогда с = 1,5.
Для типового случая шести пружин аналогичным путем получим тот же результат.
Можно доказать, что при трех, четырех, шести и более пружинах одинаковой жесткости, расположенных симметрично, при малых отклонениях вала, приведенный коэффициент жесткости упругого поля не зависит от угла а, т. е. в положении равновесия упругое поле однородно.
Предварительный натяг пружины влияет на коэффициент жесткости упругого поля. Если предварительный натяг А пружины будет неодинаковым, то могут возникнуть опасные колебания, называемые параметрическим резонансом.
Величину с выбирают таким образом, чтобы отношение угловой рабочей скорости к критической й/йкр ^ 4.
Иногда применяют упругую опору при относительно-небольшой жесткости вала, тогда следует учитывать и его деформацию.
Для определения критической скорости, имеющего упругую горловую опору, можно воспользоваться выражением (207), учитывающим влияние гироскопического эффекта.
При работе машины в закритическом режиме в момент -перехода через критические скорости возникают большие перемещения вала, отрицательно влияющие на работу машины.
Как указывалось выше, пружины, применяемые в опорах жидкостных сепараторов, подвергают предварительному натяжению. В этом случае упругая опора представляет собой демпфер критических режимов, в котором происходит автоматическое изменение жесткости системы.
Рис. 253. Схемы к определению моментов количества движения ротора при- повороте вокруг осей
Рассмотрим определение амплитуд колебаний и критических ^скоростей сепараторов другим методом. Предположим, что вал сепаратора .является жестким. Ротор сепаратора имеет статическую неуравновешенность, вы
званную неточностью изготовления и балансировки вала. Эта неуравновешенность задана смещением центра масс ротора на малое расстояние е—эксцентриситетом от геометрической оси вращения. Для упрощения будем считать ротор динамически уравновешенным. Проекции кинетического момента ротора на неподвижные декартовы оси координат, которые проходят через его центр масс, вычисленные с точностью до величин первого порядка малости включительно, имеют следующий вид (рис. 253):
Кх = ^хР + ^ zQ«;(452)
Ky = Jxa-JM(453)
Кг = ^Q.(454)
Координаты упругой опоры сепаратора
Р = у1а\ а = х!а.
Координаты центра масс ротора
ус = PL; хс = at.
Если точка оси вала, находящаяся в плоскости упругой опоры, получит малые смещения х, у по осям неподвижных осей, то координаты центра масс ротора примут следующие значения: >хс = xL/a + е cos со/;
ус = yUa + е sin со/.
При отклонении ротора от оси г при вращении возникают реакции упругой опоры Fx = —сх и Fy = —су. При колебаниях вала будут возникать в упругой опоре силы трения вязкой среды, соответственно равные пх и пу (здесь п — коэффициент пропорциональности).
Применяя известную из курса теоретической механики тео- рему об изменении кинетического момента, напишем дифференциальные уравнения малых колебаний вала:
\ Jxx + Лсоу + аа^х + са?х = meal к? cos со/;
J^y — Л сох + аа?у + са2у = meal и? sin со/, де .Д = Jx + ML\
Умножая второе уравнение на i и суммируя два уравнения, получаем
«/i (х —|— iy^ —|— Аю (—xi —|— y^ -p- <хаы (x —(- iy^ —(- c№ (x —(- iy^ =
= meal®1 (cos tot + i sin co/).
Вводя комплексную подстановку 9 = x + iy и учитывая, чТо a (cos tot + i sin co/) = Ooe'^, получаем
9 — dto9( + 2n9 + &29 = he1®* co2,(455)
где
al2U0 = 2n; ca^Uo = F; JxUi = d; meal!J0 = h?
Частное решение, соответствующее вынужденным колебаниям, находим в виде
Q = aei®t.
Производя подстановку последнего выражения в уравнение (455), найдем
—co2ae‘G)Z -f- adto2^®* A-^naitoe*®* + №ае1®* = Ье*®*(№. Откуда после сокращения всех членов на У®* получим комплексную амплитуду вынужденных колебаний:
а = /гео2/[/г2 — со2 (1 — d) + 2ncoi].(456)
Найдем отдельно вещественную и мнимую части комплексной амплитуды вынужденных колебаний. Из уравнения (456) имеем
/ко2к2 — со2 (1 — d) —2/ко/
° к2— со2(1—d) + 2/icot к2 — со2(1—■ d) — 2nai"
Соответственно вещественная и мнимая части:
Re (а) =Re (а) =Jm (а) =Jm (а) =/ко2 [fe — со2 (1 — d)].
Re (а) =
Re (а) =
Jm (а) =
Jm (а) =
к2 — со2 (1 — d) + 4/г2со2 ’
—hto22nto
к2 — со2 (1 — d) + 4/г2со2
Из теории комплексных чисел известно, что если задано комп-^ лексное число z = а + ib, то при изменении знака перед i получается комплексно-сопряженное число z* = а + ib. Произведение комплексного числа на число, сопряженное с ним, является положительным вещественным числом
гг* = а2 + 62.
По определению модуль числа г
| г | = У zz* = J/a2 -(- №.
На основании этих положений и уравнения (456) находим модуль амплитуды смещения центра масс ротора:
чдш2
а0——d)p + 4zi2to2 = ^„^(i _. d)24„2Ш2
Переходя к отрицательным значениям смещения К — ajh и вводя обозначения v = п!к и у = «>1к, окончательно получим [32]
(457)(457)а _ V2:
(457)
(457)
1^11 — ?2(1 — d)]2 + 4v2y2
Резонанс наступает при равенстве нулю знаменателя в последней формуле.
Если пренебречь трением вязкой среды, то критическую скорость определим из выражения
1 - у2 (1 - 4 = О,
откуда
у=/1/(1 -d)
Подставляя ^начения у и d, получаем
(458)(458)со =\/|/JO/(JX — А) = Vk2J0/(Jx — Jt} •
(458)
(458)
При подстановке в формулы (457) и (458) значений, входящих в них, имеем ранее полученные уравнения (447) и (448).
Однако следует заметить, что данные формулы для определения критических режимов справедливы тогда, когда вал сепаратора является достаточно жестким, а упругая опора сконструирована таким образом, что наклон вала не вызывает действия реактивных упругих моментов. Последнее условие с приближением может
быть принято в случае схемы установки вала по рис. 246. Если вал не является достаточно жестким и необходимо учитывать его изгиб под действием динамических нагрузок, задача усложнится вследствие учета упругих моментов сил реакции вала и опоры. Даже при жестком вале, но при наличии вертикальных пружии в горловой опоре (см. рис. 243, б) необходимо учитывать указанные упругие моменты.
Рассмотрим общий случай определения собственных частот колебаний вращающегося вала без учета сил
Рис. 254. Схема к определению частоты колебаний вала сепаратора
сопротивления. Предположим, что срединная плоскость диска или? ротора машины может отклоняться от первоначального положе-? ния (рис. 254). Пусть ось Ог подвижной системы координат Охуг\ совпадает с осью отклоненного положения вала машины. Углы, определяющие отклонения оси Ог от вертикали в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, обозначим через аир.i
Прогиб сечения крепления ротора к валу сопровождается 1 поворотом этого сечения и, следовательно, поворотом ротора.
Для получения дифференциальных уравнений колебаний для случая, показанного на рис. 254, воспользуемся теоремами о количестве движения и моменте количества движения.
Проекции на неподвижные оси Ох и Оу геометрической про- •■ изводной от количества движения диска равны проекциям , на те же оси сил, действующих со стороны вала,
4г (тх) = — (/гцх — /?12а);
4т ^т^ = —<^ — fe12p)‘
Проекции на те же оси геометрической производной от момента количества движения равны моментам сил, действующих на диск со стороны вала,
d W + Jz&a)ldt = мх = —(—^ + О);d (Jxa — Jztt^/dt = Ми = —(&21х + ^22“) •
В этих выражениях &и, &12 = А21 и А22 — коэффициенты жесткости вала, соответствующие силовым и моментным реакциям в точке посадки детали.
В последних уравнениях производные от JZQP и JzQa. с точностью до малых величин второго порядка равны проекциям на ось Ох (см. рис. 253, а) и ось Оу (см. рис. 253, б) отклоненного вследствие изгиба вала вектора момента количества движения диска при вращении его вокруг оси Ог.
Из последних формул получим систему дифференциальных уравнений колебаний вала:
тх + ких — &12а = 0;
ту + ^пУ — ^йР — 0;
ЛеР 4“ zQa — к%ху -J- ^гзР = 0",
Jxa — JZQ$ — &21х + А22а = 0.
Введем комплексное смещение гх = х + iy; z2 = а + Ф- Преобразуем нашу систему к виду
т^ + ктгх — к1Хг2 = 0.(459)
Аналогично получим
4x4 2 — iJZ^z^ -|- kxxz^ — ^12^1 == 0.(460)
Решение системы соответствующее, колебаниям системы с частотой X будем отыскивать в виде
21 = с1еш; 22 = с2е,7<
Подставляя значение 2j и г2в уравнения (459) и (460), получаем
—тс^й1М + ^ic^txt ~ к1Хс^ш = 0
или
—тс^1 + W1 — ^2 А = °-
Кроме того,
—Jxc^eiM -4- WzQc2ea( +— ^qe^ = 0
ИЛИ
Jy-C^1? Ц~ ^^Z^^2 Ц“ ^11^2 — ^12^10.
Составляем определитель системы:
—mX2 -)- ^22 ^2i(461)
—Z?12-—JxX~ 4“ JZQX 4“ ^u-
Нетривиальные решения системы уравнений (459) получим, приравнивая нулю определитель системы (461), тогда уравнение собственных частот колебаний вала примет вид
А,4 — (^/^ДЙЛ,^2 — к^т?} 4- (к22/т 4- k^J^V —
— (^22^11 — k^mJ^ = 0.(462)
Кроме вынужденных колебаний, обусловленных неуравновешенностью ротора, с частотой вращения вала со возникают колебания с частотой, близкой к собственной частоте X. Даже при прохождении критической скорости колебания вала имеют комбинационный характер.
При рабочей скорости ротора в этих сепараторах колебания вала также являются комбинационными. Особенно значительны колебания с частотой X при условии X = л со (здесь п— целое положительное число).
Обозначив через Хо = к^!т, из уравнения (462) получим о . JX ^"W"^(463)
На рис. 255 приведена зависимость частоты X собственных -колебаний вала от угловой скорости й в неподвижной системе координат для молочного сепаратора ОСТ-3.
^| Функции X = f (й) соответствуют четыре ветви,’ расположенные кососимметрично относительно осей й и X, поэтому можно рассматривать правую или верхнюю полуплоскость. Частотам собственных колебаний невращающегося вала соответствуют точки пересечений ветвей кривой с осью X.
Рис. 255. Частотная характеристика молочного сепаратора ОСТ-3
Проведя на рисунке луч X = й, можно получить значение
критической скорости прямой пре
цессии, соответствующее точке пересечения ветви кривой с лучом. Это значение критической
скорости совпадает с найденным
выше элементарным путем значением критической скорости. Если провести луч X = —Й до пересечения с ветвями кривой Х=/ (й), то можно получить значения критической скорости обратной прецессии, соответствующие точкам
пересечения луча с указанными ветвями. Представляют интерес и точки пересечения ветвей кривой X = f (й) с лучами X = пй (здесь п — целые или дробные числа) для нелинейных упругих характеристик. Исследования, проведенные Ю. М. Полищуком [62 ] в области изучения колебаний вала сепаратора с упругой опорой, привели к выводу, что для ряда жидкостных сепараторов критические режимы наблюдаются при X = —й; X = —й/3.
Аналитически резонансные угловые скорости можно определить, подставив в уравнение (463) X = псо. При этом уравнение становится биквадратным и, следовательно, легко разрешимым. Наблюдения показывают, что вблизи рабочих скоростей роторов ряда сепараторов наблюдаются недопустимые вибрации, которые можно объяснить совпадением собственных частот колебаний вращающегося вертикального вала с частотой вынужденных колебаний, обусловленных вращением горизонтального вала электродвигателя. Для иллюстрации данного положения на частотную характеристику сепаратора СОМ-3-1000 (рис. 256) была нанесена прямая, параллельная оси со и отстоящая от нее по оси X на расстояние, соответствующее частоте возмущений от электродвигателя, равной 142 рад/с. Эта прямая располагается достаточно близко от нижней ветви частотной характеристики в зоне рабочей скорости сепаратора, т. е. в этой зоне собственная частота колебаний ротора близка к частоте колебаний электродвигателя.
Исходя йз того, что нижняя ветвь частотной характеристики является пологой кривой и расположение ее по оси X зависит незначительно от изменения жесткости горловой опоры, становится понятным, почему для ряда сепараторов обнаруживается явление повышенных колебаний ротора на рабочем режиме. Для предотвращения указанного явления требуется отстройка собственной частоты колебаний вертикального вала от частоты
Рис. 256. Зависимость частотных характеристик сепаратора от соотношения моментов инерции ротора
возбуждений электродвигателя. Это осуществимо изменением или угловой скорости двигателя и горизонтального вала или параметров вертикальной системы: жесткости горловой опоры, геометрических размеров вертикального вала и др. Для выяснения влияния соотношения между моментами инерции ротора осевого и полярного Г. М. Чергештовым были построены частотные характеристики для ротора сепаратора СОМ-3-1000 с соотношением моментов инерции JXMZ = 1; 1 : 2 й 1/2.
Как видно из частотных характеристик (см. рис. 256), изменение соотношения моментов инерции ротора вызывает изменения характера кривых к = f (и). Для сплюснутого ротора, у которого полярный момент инерции больше экваториального, кривые X = f (со) являются более выпуклыми. Для вытянутого ротора, когда отношение полярного момента Инерции к экваториальному меньше единицы, кривые являются более пологими. Для сплюснутого ротора вторая критическая скорость прямой прецессии при определенных значениях JXUZ отсутствует, для вытянутого ротора эта скорость может находиться в зоне, близкой к рабочей скорости сепаратора.
Большое значение при конструировании и эксплуатации сепараторов имеет определение значений давления на упругую горловую опору и шарнирную нижнюю опоры вала. Отбросив мысленно вал и заменив его действие Искомой реакцией Ru
составим дифференциальные уравнения движения упругой опоры: ту = —су + Кху; та = —сг + 7^2,(464)
где т. — масса той части опоры подшипника, которая не вращается вместе с валом, ио совершает вместе с ним колебательные движения.
Ищем решение данных уравнений в виде
у = г cos (со/ — а); 2 = г sin (со/ — а), где г — амплитудное значение колебаний вала в месте установки горловой опоры.
Подставляя значения у и г в уравнение (464), получаем
Rx = ^с — т«?^ г.
Подставляя г из уравнения (446), после преобразований получим
„ _ (с — /пш2) те!?
^1-(Л-72)[1-(Йк/со)Т
Из полученного уравнения следует, что при отсутствии сил сопротивления в закритической области, реакция упругой опоры Rx уменьшается с увеличением угловой скорости со. Кроме того, динамическая составляющая упругой опоры будет равна нулю при неуравновешенности вала, если масса невращающихся частей опоры удовлетворяет равенству
с =. тсо2.
Таким образом, подбором массы невращающихся частей опоры т можно влиять на уменьшение реакции опоры. Из последней формулы также следует, что реакция упругой опоры возрастает с увеличением ее жесткости. Следовательно, для снижения
давления на опору, вызванного упругими силами при рабочих режимах, расположенных в зарезонансной области, необходимо снижать жесткость упругой опоры. Определение давления ротора на упругую опору с учетом доминирующих сил в опоре позволяет установить влияние этих сил на значение давления на опору. На рис. 257 приведены построенные на основе такого расчета зависимости реакции упругой опоры от угловой скорости вала при различных значениях v = ~nlk {k=e У cU^. По оси абсцисс
Рис. 257. Зависимость реакции упругой опоры от окружной скорости вала при различных значениях v
Зависимость реакции шарнирной опоры от 7: масс расположен посередине между опорами;Зависимость реакции шарнирной опоры от 7: масс расположен посередине между опорами;б — центр масс расположенб — центр масс расположенРис. 258.
Зависимость реакции шарнирной опоры от 7: масс расположен посередине между опорами;
Зависимость реакции шарнирной опоры от 7: масс расположен посередине между опорами;
б — центр масс расположен
б — центр масс расположен
а — центр консольно
отложены значения у = го/^, а по оси ординат RJmek^. Как видно из зависимости, давление на упругую опору возрастает с увеличением коэффициента демпфирования. Это давление увеличивается также в зарезонансной зоне пропорционально увеличению ча- - стоты вращения вала, что не наблюдается при малом значении коэффициента^ демпфирования. Таким образом, установка демпферных устройств у горловой опоры сепараторов нецелесообразна. .Естественное демпфирование достаточно для снижения резонансных амплитуд при малых значениях собственной частоты колебании. Увеличение коэффициента v ведет к значительному умень- .шению амплитуд только в зоне резонанса.
Результаты анализа давления на шарнирную опору приве- дены на рис. 258. Здесь по оси абсцисс отложены значения у = - ю/к, по оси ординат значения Rjmek\ Кривые построены для различных значений отношения f = Ыа. Из’рисунка видно, что относительное давление на шарнирную опору явно зависит от относительного расположения центра масс ротора Ыа и неуравновешенности ротора. Давление на шарнирную опору в зарезонансной зоне незначительно зависит’от трения вязкой среды в упругой опоре, поэтому на рис. 258 представлены кривые для одного значения коэффициента трения v = 0,1.
Исследования показывают, что действие динамической неуравновешенности на давление на шарнирную опору пропорционально разности между центральным экваториальным Jx и по-
лярным Jz моментами инерции. Поэтому целесообразно при конструировании стремиться к понижению этой разности. Из рисунка видно, что при заданной неуравновешенности ротора давление на шарнирную опору уменьшается при удалении центра масс ротора от шарнирной опоры и увеличении L. Кроме того, при у « 4 давление лишь незначительно превышает их предельные значения при неограниченном возрастании частоты вращения вала.
Для уменьшения давления на опоры рабочие скорости сепараторов целесообразно устанавливать в зоне, превышающей более трех-четырехкратного значения первой критической скорости, но далекой от второй критической скорости, обусловленной изгибом вала. Важным обстоятельством является то, что наиболее нагруженной из опор является шарнирная. Динамическая неуравновешенность в несколько раз интенсивнее статической и, кроме того, увеличивает давление на шарнирную опору. На основании этого следует, что для обеспечения наибольшей долговечности сепараторов должна особо тщательно осуществляться динамическая балансировка роторов.
Сепараторы и центрифуги относятся к наиболее сложным и ответственным машинам пищевых производств. Метод их расчета и конструирования в той или иной мере применим и к другим роторным машинам. Динамический расчет роторных машин на стадии проектирования сводится к получению следующей информации: напряжений в роторе, расположения критических скоростей; амплитуд колебаний ротора и опор, динамических нагрузок в опорах, давлений на фундамент или корпус машины.
Информация, получаемая из расчета, должна дать полное представление о прочности и надежности основных узлов машины и виброактивности роторов, измеряемой динамическими нагрузками йа опоры. -
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК НА ОПОРЫ РОТАЦИОННЫХ МАШИН СТАТИСТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
Помимо несоосности роторов возникновению дополнительных динамических нагрузок на опоры способствуют следующие факторы: 1) остаточная неуравновешенность ротора после балансировки; 2) неуравновешенность ротора в результате разбалансировки при эксплуатации; 3) погнутость вала и анизотропия жесткости ротора; 4) овальность цапф в подшипниках скольжения и др.
Все эти факторы могут существенно повысить динамические нагрузки на опоры.
Снижение этих нагрузок достигается путем понижения количественных характеристик случайных факторов q*, что связано с повышением класса точности, или изменения функциональной зависимости между Rt и qt, что обусловлено изменением упругоинерционных характеристик системы.
В обоих случаях при конструировании необходимо оценить эффективность мероприятий, снижающих нагрузки на опоры. Для такой оценки требуется: установить факторы, обусловливающие нагрузки Ri одной частоты; выявить зависимость qt = f (Ri) до осуществления соответствующего мероприятия: назначить верхние пределы допусков и рассчитать нагрузки Rt, соответствующие этим пределам; просуммировать для каждой частоты случайные векторы и вычислить их модули; определить для каждой частоты снижение уровня суммарных нагрузок до и после мероприятий.
В ряде случаев вследствие сложности и трудоемкости определения закона статического распределения случайных факторов (нагрузок) можно ограничиться при расчетах упрощенным методом.
Например, рассмотрим вероятностную оценку уровня динамических нагрузок на опору турбогенератора общепромышленного применения [32].
Результаты измерений уровней нагрузок на данную опору десяти серийных турбогенераторов следующие.
Агрегат 12„345
Вибронагрузки на вторую опору (Н) при частоте'
колебаний, Гц:
50i9608903801200550
ЮО 3806201240310500
Агрегат 678910
Вибронагрузки на вторую опору (Н) при частоте колебаний, Гц:.
50 3900275052015502100
100 5509804402801560
В табл. 19 приведены допускаемые значения параметров, влияющих на работу агрегата.
По приведенным максимальным значениям допусков рассчитаны по детерминированной методике максимальные значения нагрузок, которые могут быть вызваны этими отклонениями (табл. 19).
Динамические нагрузки, вызванные вращением генератора, рассчитывали по упрощенной методике в предположении, что генератор расположен на двухопорном валу. Центробежная сила инерции ротора генератора на основании формулы (167)
^ин = тоАф,
где Р — коэффициент динамичности системы; р = 1/[1 — (шкр/о))2]; е — эксцентриситет массы.
Динамическая нагрузка на опору
Re* = J/2 = Greu?kl2g.
Таблица 19
Значении нагрузок q* и R* на опору (вторую) турбогенератора, вызванные различными факторами
Фактор
q*
при частоте.
Гц ,
50
100
50
100
Остаточная неуравновешенность е, мкм
3/1
—
1050
—
Разбалансировка Е, мкм
6/3
—
2100
—
Погнутость А, мкм
3/1
—•
1050
—
Температурный эксцентриситет 6Т, мкм
5/2
—
1750
—
Угловая несоосность <р, м/м
0,05/0,02
—■
1500
—
Анизотропия жесткости а, %
Овальность цапф (Отах — Drain), мкм
—
2,1/0,5
—
430
10/5
1500
Примечание. В числителе даны значения параметров в соответствии с общепромышленными требованиями, в знамёнателе — в соответствии с повышенными требованиями.
Ве- фор-Ве- фор-В рассматриваемой задаче пусть 0 = 2,8, <мкр/со = 0,8 личины Re, R& и R6T находили по формулам, аналогичным
Ве- фор-
Ве- фор-
муле (314). Величины Rp, R^, Ra и RD определяли на основании нормативных данных, приведенных в работе [32].
Так кате эти случайные отклонения являются постоянными
некоторое время и меняют направление при вращении ротора, среднее значение вектора случайной нагрузки будет равно нулю (не смешивать со средним значением модуля вектора). В этом: случае максимальное возможное значение случайного отклонения будет равно За (на основании правила Зег). Возможно любое значение отклонения, однако с большой вероятностью (88,9 %) значение, лежащее на верхней границе интервала равного Зо,;
можно считать максимально возможным. В результате на осно
вании заданных значенийвании заданных значениймаксимальных отклонений можно
вании заданных значений
вании заданных значений
определить а для каждой из слу
чайных величин, которое будет со. ставлять х/3 максимально допусти
мого значения отклонения.
Таким образом, при вероятности более 88,9 % можно найти параметры работы турбоагрегата.
Рис. 259. Статистическая и теоретическая функция распределения нагрузок
Более точным является статистический расчет на основании функции распределения случайных отклонений. Так как эта задача в общем виде решается весьма сложно, на практике изготовляют промышленный образец машины и проводят его испытания. Для рассматриваемого случая на основании испытаний 10 образцов турбоагрегата получены опытные данные.
На основе экспериментальных данных построены кривые (рис. 259).
Для рассматриваемого случая при частотах 50 Гц для нагрузок принята функция распределения Релея, которая имеет вид
—*2/2а?
F(x)=l—e , прих^О, где og — параметр распределения Релея, называемый круговым рассеянием.
R*
«о
[R1
М [£]
Суммарные нагрузки (Н) при частоте колебаний, Гц
50
4000/1800
1330/600
1680/760
880/400
100
1750/810
580/270
730/340
380/180
Примечание. В числителе приведены данные нагрузок в соответствии с общепромышленными требованиями, в знаменателе — в соответствии с повышенными требованиями.
Как следует из приведенных выше данных, сг0 = 1330 Н. На основании построенных зависимостей статистической функции распределения нагрузок Ф (Р) и теоретической F (R) находим максимум модуля разности между функциями D. Как видно из рис. 259, D = 0,16. Далее определяем X — D //п (здесь п — число испытаний, число экспериментальных образцов).
По данным приложения 3 находим Р (X) = 0,96. 4
Для частоты 100 Гц аналогично находим D = 0,24; X = 0,76 и Р (X) = 0,61. Так как Р (X) для обеих частот достаточно велика, заключаем, что гипотеза о согласии опытных данных с теоретическими не опровергается.
Далее решаем задачу определения оценок и доверительных интервалов искомых числовых характеристик. Следует отметить, что при небольшом числе испытаний (в данном случае 10) экспериментальный материал в определенной степени носит случайный характер. Вычисленные на основании этих данных числовые характеристики также являются случайными.
Оценка математического ожидания
к-т 2 R,
При действии закона Релея оценка кругового рассеяния с0 = Р/1,253 « 0,8^.
Для частоты 50 Гц в результате вычислений по приведенным; выше данным имеем
R = 162 Н и а0 = 130 МПа.
Доверительный интервал кругового рассеяния является несимметричным: ,
Р {yv 6 < Сто < уа60} = р,
где р — доверительная вероятность, т. е. вероятность того, что интервал со случайными концами (уц 50, уа50) перекроет неизвестную величину о0; уь уа — коэффициенты, определяемые с помощью данных в работе [72].
Доверительный интервал математического ожидания
Р {Vi# С 7И [/? 1 с ^R\ = р.
Для рассматриваемого примера из таблиц работы [721 при доверительной вероятности р — 0,95 находим ух = 0,688, у2 = = 1,826.
Истинные значения кругового рассеяния и математического ожидания
90 с ст0 с 238; 112 < М [7?] < 297.
Таким образом, с вероятностью р возможные значения, которые сможет принимать R, имеют пределы
0 « R С Зуа50; /?тах = Зуа50 = 7 100 Н.
Аналогичные вычисления произведены для нагрузок при частоте 100 Гц.
R
"о
М [R]
"о
Rmax
Нагрузки (Н) при частоте колебаний, Гц
50
1620
1300
1120; 2970
90; 2380
7100
100
680
540
470; 1240
370; 980
2940
Г Л А В A VII
ПУЛЬСАЦИОННЫЕ (ПОРШНЕВЫЕ) МАШИНЫ
К пульсационным (поршневым) машинам следует относить машины, рабочим органом которых является поршень. К этим машинам принадлежат поршневые компрессоры и насосы, гомогенизаторы, различные шприц-машины и др. По конструктивному исполнению наиболее сложными являются поршневые компрессоры, которые представляют основной элемент холодильных установок.
На. рис. 260 изображен вертикальный двухцилиндровый аммиачный компрессор АВ-75 с частотой вращения вала 720 об/мин. Два вертикально расположенных цилиндра компрессора объединены в блок, представляющий собой общую чугунную отливку. С помощью фланца блок крепится к картеру. В ряде конструкций в расточках цилиндров установлены съемные цилиндровые гильзы. В цилиндрах компрессора расположены поршни, входящие в механизм движения поршневого компрессора, служащего для превращения вращательного движения коренного вала в возвратно- поступательное движение поршней. Механизм движения также включает коленчатый вал, шатуны, поршневые пальцы. На шатунных шейках вала крепят шатуны, соединяющие коренной вал с поршнем.
Для подвижного соединения шатуна с поршнем служит поршневой палец. Для уплотнения зазора между зеркалом цилиндра и поршнем на последнем устанавливают уплотнительные кольца.
Ответственными элементами конструкций холодильных компрессоров являются сальники. Сальник хвостовика коренного вала предотвращает утечки холодильного агента и масла из картера в атмосферу.
Наравне с тепловыми расчетами компрессоров большое место занимает их динамический расчет, с помощью которого определяют значения и направления сил, действующих на рассчитываемые детали. При этом учитывают, что компрессор может работать в различных режимах: наибольшей разности давлений, когда детали кривошипно-шатуиного механизма и поршневой группы нагружены максимальными силами от разности давлений, действующих на поршень; наибольшей мощности компрессора, когда силы от разности давлений, действующих на поршень, .достигают
Рис. 261. К расчету шатуна:Рис. 261. К расчету шатуна:а. б — распределение нагрузки в поршневой головке шатуна при растяжении и сжатии; в — распределение нагрузки в кривошипной головке шатунаа. б — распределение нагрузки в поршневой головке шатуна при растяжении и сжатии; в — распределение нагрузки в кривошипной головке шатуна
Рис. 261. К расчету шатуна:
Рис. 261. К расчету шатуна:
а. б — распределение нагрузки в поршневой головке шатуна при растяжении и сжатии; в — распределение нагрузки в кривошипной головке шатуна
а. б — распределение нагрузки в поршневой головке шатуна при растяжении и сжатии; в — распределение нагрузки в кривошипной головке шатуна
максимального среднего значения за цикл; наибольших кратковременных нагрузок, создаваемых пробным гидравлическим давлением при испытании деталей компрессора.
Ответственной частью поршневых компрессоров являются кривошипно-шатунные механизмы, на которые действуют циклически изменяющиеся силы от давления газа, силы инерции и трения движущихся частей. Для прочностных расчетов определяют максимальные значения указанных сил за цикл, в связи с чем строят диаграммы сил на основе индикаторных диаграмм [67].
При конструировании компрессоров большое внимание уделяют уравновешиванию сил инерции и расчету маховика. Последний сводится к определению его массы.
Важной деталью кривошипно-шатунного механизма является' коленчатый вал, расчет прочности и жесткости которого освещен в работе [67 ]. • -
До последнего времени для расчета коленчатого вала применяли графоаналитические методы, однако в последнее время широко используют расчеты на ЭВМ [671.Ответственной деталью кр ивошипно-шатун ного механизма является шатун (рис. 261), предназначен--; ный для соединения ко-; ренного вала с поршнем; или крейцкопфом. Верхние головки шатунов выполнены неразъемными, и. в них запрессовывают имеют горизонтальный илиДо последнего времени для расчета коленчатого вала применяли графоаналитические методы, однако в последнее время широко используют расчеты на ЭВМ [671.Ответственной деталью кр ивошипно-шатун ного механизма является шатун (рис. 261), предназначен--; ный для соединения ко-; ренного вала с поршнем; или крейцкопфом. Верхние головки шатунов выполнены неразъемными, и. в них запрессовывают имеют горизонтальный илиРис. 262. Схема действия иа кривошипношатунный механизм силы РРис. 262. Схема действия иа кривошипношатунный механизм силы РРис. 263. К определению эквивалентных масс шатунаРис. 263. К определению эквивалентных масс шатунабронзовые втулки, нижние головки
До последнего времени для расчета коленчатого вала применяли графоаналитические методы, однако в последнее время широко используют расчеты на ЭВМ [671.
Ответственной деталью кр ивошипно-шатун ного механизма является шатун (рис. 261), предназначен--; ный для соединения ко-; ренного вала с поршнем; или крейцкопфом. Верхние головки шатунов выполнены неразъемными, и. в них запрессовывают имеют горизонтальный или
До последнего времени для расчета коленчатого вала применяли графоаналитические методы, однако в последнее время широко используют расчеты на ЭВМ [671.
Ответственной деталью кр ивошипно-шатун ного механизма является шатун (рис. 261), предназначен--; ный для соединения ко-; ренного вала с поршнем; или крейцкопфом. Верхние головки шатунов выполнены неразъемными, и. в них запрессовывают имеют горизонтальный или
Рис. 262. Схема действия иа кривошипношатунный механизм силы Р
Рис. 262. Схема действия иа кривошипношатунный механизм силы Р
Рис. 263. К определению эквивалентных масс шатуна
Рис. 263. К определению эквивалентных масс шатуна
косой разъем. В нижней головке шатуна расположены вкладыши подшипников с баббитовой заливкой.
Шатуны выполняют из углеродистых сталей 35, 40 и 45, при серийном производстве штамповкой (сечение тела шатуна двутавровое), при индивидуальном — точением (сечение круглое).
При конструировании шатунов стремятся обеспечить их устойчивость при продольном изгибе, высокую прочность при знакопеременных нагрузках и минимальную массу. При расчете шатуна необходимо учитывать силы, действующие при работе нагруженного компрессора, и силы инерции поступательно движущихся частей при холостом ходе компрессоров, имеющих большую частоту вращения.
Рассмотрим силы, действующие на кривошипно-шатунный механизм компрессора. К этим силам относятся силы от давления газа, силы инерции и силы трения движущихся частей.
Сила от давления газа, действующая на поршень,
И = pKFK Рв^Ы
где рк и рв, FK и FB — соответственно давления и площади поршня со стороны крышки цилиндра и вала.
Суммарная сила, действующая в направлении оси цилиндра (рис. 262),
Р =Л + Fm + Рп,(465)
где Rn, РиН — силы трения и инерции поступательно движущихся частей.
Массу шатуна тш, совершающего сложное движение, условно заменяют двумя эквивалентными массами, расположенными на осях головок шатуна (рис. 263),
Шш, в = тшЬн/L; Шщ. н == ^-m.L'bIF*
Рис. 264. Зависимость силовых факторов от угла заделки а для сечения заделки при нагружении поршневой головки шатуна:Рис. 264. Зависимость силовых факторов от угла заделки а для сечения заделки при нагружении поршневой головки шатуна:а — растягивающей силой; 6 — сжимающей силойа — растягивающей силой; 6 — сжимающей силой
Рис. 264. Зависимость силовых факторов от угла заделки а для сечения заделки при нагружении поршневой головки шатуна:
Рис. 264. Зависимость силовых факторов от угла заделки а для сечения заделки при нагружении поршневой головки шатуна:
а — растягивающей силой; 6 — сжимающей силой
а — растягивающей силой; 6 — сжимающей силой
Тогда можно считать, что к верхней головке шатуна приложена сила инерции
Р3 = — (тш. в + mn) dvn!dt^ — (m,n. в + mn) Rm? (cos а + R cos 2а/L), где /пп, уп — соответственно масса и скорость перемещения поршня.
На поршневую головку шатуна действуют переменная по значению и направлению сила К и постоянное давление со стороны втулки. Если шатун растянут, то нагрузка на его головку практически равномерно распределяется по верхней половине (см. рис. 261, а). Если шатун сжат, то нагрузка распределяется по нижней половине по косинусоидальному закону (см. рис. 261, б). В обоих случаях опасным сечением является сечение ///—/// в месте перехода стержня в головку.
Рассматривая головку как кривую балку, заделанную в указанном сечении и нагруженную, как показано на рис. 261, в, можно найти изгибающий момент Ма и нормальную силу Na в заделке (рис. 264).
Напряжение в заделке
а= Mas = \N а + 6Ma/s), где а — ширина; s — толщина стенки головки.
Давление между головкой и втулкой
Р =Р =ddАтах Н~ (авт — «г) Trd1 /У? + d2 \ । 1 /^ + 4Т \Ft++
Р =
Р =
d
d
где Ашах — натяг при посадке втулки в головку; авт, аг — коэффициенты ли- • нейного расширения материалов втулки (бронза) и головки (сталь); • Тг — тем-
пература нагрева головки; Ц — коэффициент Пуассона; D^, d, dBT — обозначение диаметров (см. рис. 261, а); — модули упругости материалов втулки и головки.
Постоянное растягивающее напряжение от внутреннего давления р определяют по уравнению Лапласа:
а = pdlQs).
Головка нагружена асимметричным циклом напряжений с амплитудой и средним напряжением
Од = (Орост)/2; от = (Ор -|- ост)/2 -}-, о.
Стержень шатуна разрушается обычно от усталости по среднему сечению I—I или минимальному II—II.
Напряжение растяжения в минимальном сечении
*^р = /’//т.п,
где f min — площадь минимального сечения.
В связи с наличием эксцентриситета сжимающей нагрузки и прогибом от центробежных сил, нормальных к оси стержня, в среднем сечении последнего, кроме сжатия, имеет место изгиб. Суммарное напряжение рассчитывают по полуэмпирической формуле
ог„1п = - п - F_ Г А- + 0,000526 4-1 • L /срJ
где J% — момент инерции среднего сечения шатуна относительно осн хх; I — указано на рнс. 261,6; /ср— площадь среднего сечения стержня.
Рнс. 265. Зависимость силовых факторов в среднем сечении нижней крышки кривошип ной головкн шатуна от угла заделкн а
Рис. 266. Виды деформаций поршневого пальца:
а — при изгибе в продольном направлении; б — срезе; в — прн овализации 382
Рис. 267. Схемы нагружения поршневого пальца к расчету:Рис. 267. Схемы нагружения поршневого пальца к расчету:а — на нзгнб н срез; б — на овализа- циюа — на нзгнб н срез; б — на овализа- цию[67]. В данном случае Р —[67]. В данном случае Р —
Рис. 267. Схемы нагружения поршневого пальца к расчету:
Рис. 267. Схемы нагружения поршневого пальца к расчету:
а — на нзгнб н срез; б — на овализа- цию
а — на нзгнб н срез; б — на овализа- цию
[67]. В данном случае Р —
[67]. В данном случае Р —
Рис. 268. К расчету поршня и порш невого пальца
Кривошипные головки шатуна обычно разрушаются от усталости. На рис. 265 приведены значения силовых факторов для расчетной схемы, представленной на рис. 261, а
сила от давления газа на крышку в начале всасывания;
Р«(тп + тш.в) Ra? (1 + Р!Ц + тш.н7?Ю2.
Важной деталью является поршневой палец, соединяющий шатун с поршнем. Поршневой палец испытывает сложную деформацию, которую условно разделяют на деформацию при изгибе и срезе (рис. 266). В зависимости от конструкции различают плавающие пальцы, свободно перемещающиеся в верхней головке шатуна, бобышках поршня, и закрепляемые в поршне.
В плавающих пальцах напряжения изменяются почти по симметричному циклу. Расчетную нагрузку определяют из выражения (465):
Р Рин.
Напряжения в пальце находят согласно рис. 267.
Напряжение при изгибе в продольном направлении
»и =MmJW =Р (I + 2b — l,5a)/[l,2d3 (1 —а4)], где d н dt — наружный и внутренний диаметры пальца; а = djd.
В сечении между бобышкой поршня и головкой шатуна определяют напряжение среза
-с =0,85Р (1 +а +а2)/И2(1 — а4)].
Следует отметить, что для прочности пальца имеет большое значение чистота обработки внутренней его поверхности.
Важным узлом компрессоров являются поршни (рис. 268), которые бывают дисковые, проходные и тронковые, или.непроход-
ные. Дисковые поршни применяют в крупных крейцкопфных компрессорах, когда по обе стороны поршня расположены рабочие объемы цилиндра. Проходные поршни, применяемые в бескрейц- копфных прямоточных компрессорах, отличаются тем, что в головке поршня вместо донышка установлен всасывающий клапан, а на боковой поверхности головки выполнены канавки для установки уплотняющих колец.|
Тронковые, или непроходные, поршни применяют в малых | и средних непрямоточных компрессорах, получивших распро- 1 странение в пищевой промышленности. Расчет тронкового поршня | рассмотрим на следующем примере.|
Пусть требуется проверить прочность торцовой стенки поршня компрессора | (см. рис. 268) [18]. Заданы радиус контура заделки торцовой стенки г2 = 0,038 м, | толщина стенки s = 0,008 м, наибольшая разность давлений, воспринимаемых I стенкой, Ад = 1,66- 10е Па, коэффициент Пуассона материала поршня р = 0,26. | Торцовую стенку рассчитываем как заделанную по контуру пластину (ф = 0 ] при г = RY Максимальное давление нагнетания рн = 2,2 МПа.i
Тогда•
М, = (ф/16) [Я2 (1 + р) - г= (3 + р)];1
Mt = (ф/16) [fl2 (1 + р) - л2 (1 + Зр)].1
Значения Мг и Mt при г = R и г = 0:
kMAr=R = -qRa№\ (Mt^R = -р^2/8;
(Mr)r=o = (Л!^^ = (1 + р) qRW
Наибольшие напряжения, возникающие на краю пластинки, (ffr)r=p = ± 6ф^2/(8з2); (at^r=R = И Wr=R-
В нашем случае
о = — 0,75Aprf/s2 = — 0,75-1,66-1060,0382/0,0082 = 28,1 МПа;
at = рог = 28,1-0,26 = 7,31 МПа;
oz = —рн = 2,2 МПа.
Эквивалентное напряжение в алюминиевом поршне по энергетической гипотезе прочности
стэ = /1/2 [(28,1 — 7,31 )2 4- (7,31 — 2,2)2 + (2,2 — 28,1)2 =
= 23,8 МПа.
Допускается для алюминиевых поршней [ст] ^30 ... 40 МПа.
Необходимо также провести расчет уплотняемых разъемов. Плотность в разъеме обеспечивается затяжкой болтов силой, необходимой для обжатия прокладки (или другого уплотняющего элемента) и сохранения необходимого давления на прокладку при действии внешних сил [661.
Ответственной деталью является сальник. Здесь необходимо определить число и характеристики пружин, устанавливаемых для обеспечения герметичности сальника при определенной границе давления на графитовые кольца.
Рис. 269. Крутильные колебания кривошипного шатунного механизма поршневых машин:Рис. 269. Крутильные колебания кривошипного шатунного механизма поршневых машин:а — упрощенная схема механизма; б — связь горизонтальных перемещений поршня и углов поворота диска; в — эквивалентная система; г — схема простейшего крнвошипио- шатунного механизма; д — эквивалентная схема кривошипно-шатунного механизма; е — схема, состоящая нз двух дискова — упрощенная схема механизма; б — связь горизонтальных перемещений поршня и углов поворота диска; в — эквивалентная система; г — схема простейшего крнвошипио- шатунного механизма; д — эквивалентная схема кривошипно-шатунного механизма; е — схема, состоящая нз двух дисков
Рис. 269. Крутильные колебания кривошипного шатунного механизма поршневых машин:
Рис. 269. Крутильные колебания кривошипного шатунного механизма поршневых машин:
а — упрощенная схема механизма; б — связь горизонтальных перемещений поршня и углов поворота диска; в — эквивалентная система; г — схема простейшего крнвошипио- шатунного механизма; д — эквивалентная схема кривошипно-шатунного механизма; е — схема, состоящая нз двух дисков
а — упрощенная схема механизма; б — связь горизонтальных перемещений поршня и углов поворота диска; в — эквивалентная система; г — схема простейшего крнвошипио- шатунного механизма; д — эквивалентная схема кривошипно-шатунного механизма; е — схема, состоящая нз двух дисков
Для поршневых машин, имеющих кривошипно-шатунный механизм, специфичным является возможность возникновения параметрических колебаний. В данном случае параметры механической системы (жесткость или масса) не остаются неизменными, а являются некоторыми заданными периодическими функциями времени. При нарушении состояния равновесия системы возникают упомянутые выше колебания. С одной стороны, их нельзя назвать свободными, так как система неавтономна и испытывает заданное внешнее воздействие в виде изменения параметра. С другой стороны, колебания не являются вынужденными, так как внешнее воздействие не проявляется в виде заданной силы. Эти колебания, называемые параметрическими, в зависимости от свойств системы и характера изменения ее параметров могут иметь ограниченные или возрастающие во времени пиковые значения; последний случай называют параметрическим резонансом.
Рассмотрим задачу о крутильных колебаниях кривошипношатунного механизма, применяемого в поршневых компрессорах и насосах и других машинах (рис. 269) [52]. Предположим, что в данной системе обладают массой только диск 1, полярный момент инерции которого J, и поршень 4, масса которого т. Предположим, что вал 2 закреплен одним концом и может только закручиваться. Диск 1 и поршень 4 связаны длинной жесткой тягой 3. Поршень 4 может перемещаться в горизонтальном напра-
38538513 Соколов В. И.
385
385
а-Ц 9=0,1а-Ц 9=0,1а-1,0 9^0,1а-1,0 9^0,1-а-1-9' а=1+9 ^а=4+3_-а-1-9' а=1+9 ^а=4+3_-4 ’-4 ’-7-7аа776)6)99а=каа=каг)г)аа6464-г-гРнс. 270. Результаты решения уравнения Матье для двух разлнч- 1 ных комбинаций а н у а — прн а = 1,0; б прн а= 1,2; в — часть диаграммы, отиосщаяся к малым значениям у
а-Ц 9=0,1
а-Ц 9=0,1
а-1,0 9^0,1
а-1,0 9^0,1
-а-1-9' а=1+9 ^а=4+3_
-а-1-9' а=1+9 ^а=4+3_
-4 ’
-4 ’
-7
-7
а
а
7
7
6)
6)
9
9
а=ка
а=ка
г)
г)
а
а
6
4
6
4
-г
-г
влении в цилиндре 5. При j совершении диском свободных колебаний вокруг положения равновесия в движение будет приводиться и поршень 4, влия- . ние инерции которого оп<
ределяется энергетическим ‘ методом.
Закон свободных колебаний диска имеет вид Ф = a sin pt, где q> — угол поворота диска , в процессе колебаний; р — собственная частота системы; а — : амплитуда крутильных колеба- ний диска.
Если максимальная угловая скорость диска фшах= = ар, то максимальная кинетическая энергия диска -
Т\ = /фтаг/2 = 7 (apf/2.
Как следует из рис. 269, б, углу поворота диска ф соответствует горизонтальное перемещение точки ‘М reps in а (здесь г —радиус диска). Полагая, что шток 3 достаточно длинный, можно принять перемещение поршня 4 равным той же величине:
х = гф sin а.
Скорость поршня 4 и ее максимальное значение соответственно равны
x = r<psina; xmax — rap sin а.
Максимальное значение кинетической энергии поршня Т2 = mXmax/2 = m (rap sin а)2/2.
Максимальное значение кинетической энергии системы
Т = 7\ + Т, = (арУ!2 [J + mr1 (1 —cos 2а)/2].
Откуда можно определить приведенный момент инерции диска: J' = J + (mr2/2) (1 —cos 2а).
Тогда вместо системы, изображенной на рис. 269, а, можно рассматривать эквивалентную систему, показанную на рис. 269, в. 386
Последнее выражение свидетельствует о том, что влияние сил инерции поршйя 4 на процесс колебаний системы зависит от угла а.
Рассмотрим простейший кривошипно-шатунный механизм (см. рис. 269, а). Обычно массу шатуна заменяют двумя массами, из которых одна т^ вращается вместе с кривошипом, другая /п3 движется вместе с поршнем. Тогда можем перейти к cxeNte, изображенной на рис. 269, д. В этом случае кривошип с присоединенной частью' массы шатуна заменяют диском с полярным моментом инерции, равным J + ^г2. Суммарная масса поршня с присоединенной массой будет т + т2. Далее от последней схемы, переходим к схеме на рис. 269, е, в которой имеются два диска, у одного момент инерции Jm, а у другого J', вычисляемый с помощью выражения:
J' = J + т^ + ((/и + /и2) г21 (1 — cos 2 ©/)/2. (466)
Для некоторого момента времени t > 0 углы поворота дисков ф! = ф2 и относительный угол поворота ф = ф2 — ф, а момент сил упругости вала с (ф2 — фх), где, учитывая моменты инерции дисков нашей схемы, получим
с (фг — Ф1) = ^'Фь —С (фз — Ф1) = Jтфг-
Если разделить первое уранение на J', а второе на Jm и вычесть первое уравнение из второго, то получим
—(c/J' + c(Jm) (ф2 — ф^ = ф2 — Ф1-
Вводя в уравнение относительный угол поворота дисков ф — = ф2 — ф1, получаем
ф + С (J' + Jm) ф/J Jm — ^-
имеем(467)имеем(467)Подставляя в это уравнение J' из уравнения (466),
имеем
(467)
имеем
(467)
гдегдеф + сф + сJm + , П (« +cos 2(0/1 И °
где
где
ф + с
ф + с
Jo = J + т^г1 + (m + m2) r2!2
— среднее значение приведенного момента инерции. Так как [(/и + т^ r4!2J0 ^ 1, можно принять
1 + ^L+^LL2Cos2©/.2 Joиметь вид1 + ^L+^LL2Cos2©/.2 Joиметь вид1,+ т2) г2 о
1 + ^L+^LL2Cos2©/.
2 Jo
иметь вид
1 + ^L+^LL2Cos2©/.
2 Jo
иметь вид
1 — j— cos 2<о/
Тогда уравнение (467) будет
ф + с WUm + 1/Jo + (m + /п2) г3 cos 2©//(2Jo) 1 ф = 0.
Введем обозначения:
to/ = Т* U = [с (Jo ~Ь Jтг^ ^JqJmiq = [c{m-Y т^ r2]/^.
13*13*387
13*
13*
Последнее уравнение преобразуем к виду d2<p/dr2 + (а — 2^ cos 2т) <р = 0.(468)
Данное уравнение имеет вид известного уравнения Матье.
Результаты решения уравнения Матье для двух различных комбинаций а и q представлены на рис. 270, а, б и получены с помощью электронной аналоговой машины. В первом случае колебания возрастают, т. е. система неустойчива, во втором случае остаются ограниченными (хотя параметр системы одинаков).
В практических случаях важно знать границы между областями устойчивых и неустойчивых решений.
Окончательные результаты представляют в виде диаграммы, построенной в плоскости параметров а и q [51J и имеющей название диаграммы Айнса —Стретта. Часть этой диаграммы относится к малым значениям а и q.
Если изображающая точка, характеризуемая параметрами а и q, находится в пределах заштрихованной части поля, система устойчива. На диаграмме указаны точки 1 и 2t соответствующие параметрам ^ = 1; ^ = 0; а2 = 1,2; q4 =0,1.
Точка 1 характеризует неустойчивый режим, точка 2 — устойчивый. Полная диаграмма Айнса —Стретта изображена на рис. 270, в. Диаграмма Айнса —Стретта полностью освобождает от выполнения операций по решению уравнения Матье.
ГЛАВА VIII
ВИБРАЦИОННЫЕ МАШИНЫ
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Важной отличительной особенностью вибраций как одного из видов механического воздействия является возможность передачи энергии системе большой "удельной мощности при малой амплитуде ее смещения за период колебаний.
Вибрация является наиболее эффективным средством управления динамическим состоянием систем при выполнении различных технологических операций в разных дисперсных системах.
Вибрация обеспечивает интенсивное движение дисперсных частиц друг относительно друга в объеме системы с резким увеличением скорости движения каждой частицы в отдельности относительно центра масс системы.
В пищевой промышленности вибрационные и импульсные воздействия эффективно используют для ускорения образования различных пищевых масс, например при просеивании и сепарировании, для уплотнения в разделительных и сортирующих машинах, мойке, транспортировании, измельчении, формовании и дозировании в ориентирующих и сушильных машинах и т. д.
Вибрация интенсифицирует процессы тепло- и массообмена в результате быстрого увеличения поверхности, взаимодействия участвующих в процессе компонентов, повышения скорости конвективной диффузии.
Для многих технологических процессов пищевой промышленности вибрация может играть роль единственного определяющего средства осуществления заданной технологии, например при транспортировании, уплотнении, разуплотнении (разрыхлении), сепарации и т. д.
Большое значение с точки зрения эффективности технологических процессов имеют характер и параметры вибрационных воздействий [17, 18].
РАСЧЕТ ВИБРАЦИОННЫХ МАШИН
Наиболее широко применяют вибрационные машины, работающие в режиме прямолинейных параметрических, гармонических колебаний, когда рабочий орган машины совершает прямолиней-
ные гармонические колебания, направленные под углом р к его продольной оси с амплитудой А и частотой и, по закону
т] = Л sin tot, где го — угловая частота колебаний рабочего органа.
Рабочий орган может быть расположен с некоторым наклоном под углом а.
Так как колебания рабочего органа происходят под углом р к его продольной оси, то горизонтальная и вертикальная составляющие соответственно равны:
х = A cos (а + р) sin tot;
у = Л sin (а + р) sin tot.
В результате обрабатываемой среде сообщаются импульсы во взаимно перпендикулярных направлениях.
Вертикальная составляющая колебаний, суммируясь с силами поля тяжести, обусловливает переход обрабатываемой среды в состояние псевдоожижения или при соответствующем значении сообщаемой среде энергии в состояние виброкипения.
Например, интенсификация технологических процессов пищевых производств (смешивание, диспергирование и другие), осуществляемых в установках типа виброконверторов или цилиндрических барабанах, достигается при эллиптических колебаниях рабочих органов, когда все точки рабочего органа описывают одинаковые эллиптические траектории. При этом колебания формируются в результате сложения двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с одной частотой и некоторым сдвигом фаз
£ = В sin (mt + у);
П = A sin tot,
Где у — начальная фаза колебаний.
В данном случае наличие двух независимых составляющих рабочего органа позволяет получить различные режимы виброобработки и повысить их эффективность.
В последнее время появились вибрационные машины, работающие в- режиме полуволновых произвольных прямолинейных и эллиптических гармонических колебаний, когда рабочей частью траектории рабочих органов является положительная часть гармоники, имеющая удвоенную частоту.
Многообразие конструктивных разновидностей вибромашин различного назначения обусловливает специфические требования !в устройетру, конструктивному выполнению и эксплуатационным характеристикам их привода — вибровозбудителя. Привод вибромашин сообщаем им энергию, потребную для преодоления внутренних потерь и выполнения полезной работы, обеспечивает рус к и ввод в технологический режим.
ттРис. 271. Расчетная схема колебав иия вибрационной машиныРис. 271. Расчетная схема колебав иия вибрационной машиныРис. 272. Векторная диаграмма
т
т
Рис. 271. Расчетная схема колебав иия вибрационной машины
Рис. 271. Расчетная схема колебав иия вибрационной машины
Наиболее распространенными в промышленности являются инерционные вибраторы, в которых вынуждающая сила создается вследствие вращения одной или нескольких масс. Создаваемая этими вибраторами вынуждающая сила может быть вращающейся или направленной.
Примерами2, вибраторов с вращающей вынуждающей силой являются вибраторы типа дебаланса, в которых источником силы является неуравновешенная масса; вибраторы для создания эллиптических и бигармонических эллиптических колебаний.
Направленное действие вынуждающей силы осуществляется двумя спаренными дебалансными вибровозбудителями, синфазно и синхронно вращающимися с одинаковой угловой скоростью. Направленная вынуждающая сила может быть получена от одного дебалансного вибратора, если его шарнирно подвесить с помощью коромысла в виде маятника. Коромысло расположено между двумя пружинами для обеспечения устойчивого положения.
Для создания направленной вынуждающей силы, изменяющейся по бигармоническому закону, применяют два спаренных самобалластных вибратора, один из которых вращается с удвоенной по отношению к другому скоростью.
Рассмотрим колебания вибрационной машины массой М (на рис. 271 т^, с центробежным вйбровозбуждением, когда вынуждающей силой являются центробежная сила или ее проекция на определенное направление. При равномерном вращении неуравновешенных элементов — дебалансов, амплитудное значение вынуждающей силы
Fa = mor<o2, где /zig — масса дебалансов; г — эксцентриситет массы дебалансов относительно оси вращения; <о — частота колебаний вынуждающей силы, равная угловой скорости вращения дебалансов.
Дифференциальное уравнение движения данной системы с учетом уравнения (169) будет иметь вид
(М + т) it + сх + ах = mra? cos tot.(469)
Пусть перемещение
х = A cos (ю^ —ф).(470)
УУРнс. 273. Схема центробежной системы:
У
У
а — рабочий орган приводится в движение вибро возбудителем с круговой вынуждающей силой; б —рабочий орган приводится в движение вибровозбуднтелем, генерирующим направленную вынуждающую силу; 1 — рабочий орган;
2 — внбровозбуднтель
+ т) о)М. углом ф+ т) о)М. углом фВозмущающая к перемещениюВозмущающая к перемещениюОтложим это перемещение в виде вектора (рис. 272), направленного вертикально вверх и изображенного пунктирной линией. Сила упругости х6ц (здесь 6ц — перемещение упругих связей под действием единичной силы), имеющая амплитуду Л/6Ц, направлена в сторону, противоположную перемещению. Сила сопротивления имеет амплитуду ах и направлена под углом л/2к силе упругости. Сила инерции тх направлена под углом л/2 (в сторону вращения) относительно силы сопротивления и имеет амплитуду (Л4 + сила tnr«? sin tot направлена под в сторону вращения A cos (tot —ф).
+ т) о)М. углом ф
+ т) о)М. углом ф
Возмущающая к перемещению
Возмущающая к перемещению
Из закона Ньютона следует, что сумма всех четырех сил в любой момент времени должна равняться нулю и, следовательно,
вектороввекторовсумма вертикальных и горизонтальных проекции всех
векторов
векторов
сил должна равняться нулю, т. е.
(/пф-М) Лю2 +то)2гсо8ф —-^ Л = 0;(471)
т о2 sin ф = аюА.(472)
Из уравнений (471) и (472) находим значения
COS lb = 1— (m + М) Ло2 _ 6ц (m+ М)^ А (р^ — о2).
6ц mo2/-qto4qaAr ’
sjn . ао>Л _ аю А (т + М') _ аоЛ 2пА (473) то2/- та2г т + М о2^ (М А- т) arq ’
где р— собственная частота колебаний системы, р = 1/ -т———г—;
У 6ц (m + М)
■■■ .= q; 2п = аКт 4- М(.
Используя формулу sin2 ip + соз2ф = 1, находим
Л2 (р2 — о2)2 . 4п2Л2 .
откуда
А =^(474)
|/"4п2(02 -р (р2 — (О2) *1
Угол сдвига фаз между перемещением системы и перемещением дебаланса вибратора найдем из уравнения
ih = -^- = _JWl_ = _^_/47КХ
° V cos ip ®rqA (pa — o2)(p2 — o2)'''
Учитывая, что ось вращения дебаланса вибратора довершает колебания и перемещается на величину х, получаем ускорение х; сила инерции массы дебаланса т. будет отличаться от центробежной силы инерции массы в ее относительном движении. На возбужденную колебательную систему будет действовать вынуждающая сила
F = mra2 cos tot — тх.
Дифференцируя дважды уравнение (473), получаем
х = —A cos (ю/ —ф) ©2.
Амплитудное значение силы F (см. 272)
Fo = т«?г созф + mAto2.(476)
Подставляя значение созф из формулы (470) в уравнение (476), имеем
Усилие R, передаваемое на возбужденную колебательную систему, найдем с учетом сдвига фаз на угол л/2 между силой Fo и силой сопротивления W = ааА,
R = у^ 4- Г2,или
R= V А2т2 —+ и2 + 4n А to2^^-^--.
После подстановки в это уравнение значения амплитуды колебаний А из уравнения (474) получаем
4”2а>2 + [Р2 ~ (1 ~ ?} ®212/477ч
R mrto у 4/г2ю2(,,2 _ Ю2)2•
Для уменьшения конструктивной сложности и размеров вибровозбудителей, регулирования или стабилизации режимов вибраций рабочих органов машин, уменьшения передаваемых на опорные конструкции вредных вибраций применяют динамическое управление вибрацией.
Рассмотрим динамическое управление траекторией вибрации на примере центрированной системы (рис. 273, а) рабочий орган 7 которой с помощью вибровозбудителя 2 приводится в колебательное движение. В данной системе через центр масс рабочего органа постоянно проходят равнодействующие упругих и диссипативных сил, приложенных к рабочему органу. Совместим с главными осями жесткости оси х и у.
Дифференциальные уравнения движения системы имеют вид
(mj+Mo) х 4- схх 4- ажх = т^г^ cos tot,
(пч 4- ЛГ0) у 4- сиу 4- ану = mor<o2 sin tot.
Перемещения х и у выразим уравнениями
х = Ах cos (tot — фж); у = Ан sin (tot — фу).
Рассуждая так же, как и в рассмотренном выше случае,, по уравнениям (474) и (475) получим
А = — ^г^п^ + ^-ш2)’
^ny + ^-co2)’
tgфжtgфжA - 2^Ю •^-ю2’* P^ — ^'
tgфж
tgфж
2^ = ^ ; 2nu = -4L-.ж M 4- m У m 4- M
учетом уравнения (477) имеем
RxRx= mra?= mra?^>H\№-(V-q^,n^ + ^x-^^>H\№-(V-q^,n^ + ^x-^
Rx
Rx
= mra?
= mra?
^>H\№-(V-q^,n^ + ^x-^
^>H\№-(V-q^,n^ + ^x-^
Ry = mrco2Ry = mrco2лГЦ + УРу --(!-<?) to2]2V 4п^ + (4-^2)2
Ry = mrco2
Ry = mrco2
В данном случае точки рабочего органа описывают эллиптические траектории с полуосями эллипса Ах и Ад. Из полученных уравнений следует, что если настройка системы вдоль обеих осей координат одновременно дорезонансная или зарезонансная, т- е. (р2х — «^/(Ру — со2) > 0, точки рабочего органа движутся в направлении вращения дебаланса. Если (р2х — to2)l(p2g — го2) <* <„0, т. е. настройка вдоль одной оси дорезонансная, а вдоль другой зарезонансная, точки движутся в направлении, противоположном вращению дебаланса.
Траектории точек рабочего органа будут круговыми при Рх + Ру + ® и при со = V № — р^!^. В первом случае направление движения совпадает е направлением вращения дебаланса, во втором — направление движения является противоположным вращению дебаланса.
Если рабочий орган совершает эллиптические колебания, то оси элиптической траектории не параллельны осям координат. При этом рабочий орган перемещается в направлении вращения дебаланса при фу — фж < л/2 и противоположном — при фу — фж > л/2. При (фу — фж) = л/2 эллиптическая траектория становится прямолинейной.
Рис. 274. Линейная система с одной степенью свободы?
/ — пружина; 2 — тело массой т; 3 — направляющие; 4 — Демпфер; 5 — неподвижная стойка
В случае центрированной системы, когда рабочий орган 2 приводится в движение вибровозбудителем 1, генерирующим направ
ленную вынужденную силу (рис. 273, б) и вынуждающая сила направлена к оси Ох под углом а (оси Ох и Оу совпадают с главными осями жесткости и главными осями сопротивления), дифференциальные уравнения движения имеют вид
(m + т0) * + bxx -J- ахх = m0rco2 cos a cos tot,
(mr + т0) у -J- Ьуу + ауу = т^гиг sin а cos tot.
Выражения для амплитуд колебания Ах и Аи будут отличаться от выражений (474) тем, что уравнение для Ах надо умножить на cos а, а для Ан — на sin а.
При фж = фу рабочий орган движется прямолинейно, при фх ^ фу совершает амплитудные колебания: против часовой стрелки при фж < фу и по часовой стрелке при фж > фу.
Если Ах = Ау и фу — фж = л/2, то рабочий орган совершает круговые колебания. На основе анализа работы центрированных систем можно отметить следующее: возможно изготовить центрированные системы, которых под действием вибровозбудителя направленного действия рабочий орган будет колебаться вдоль прямолинейной траектории, расположенной под любым углом к направлению воздействия вынуждающей силы, в том числе и перпендикулярно, а также по эллиптической траектории с расположением под любым углом ее оси к направлению воздействия вынуждающей силы и по круговой траектории.
Также возможно изготовить центрированные системы с виб^- ровозбудителем кругового действия при совершении колебаний рабочим органом по прямолинейной траектории с различным углом наклона к главным осям жесткости и сопротивления, по элипти- ческим и (круговым) траекториям с различным углом наклона оси траектории.
При конструировании вибрационных машин определение мощности, потребной для поддержания вибрации рабочего органа, имеет немаловажное значение. Учитывая, что факторы, определяющие рассеяние энергии при колебаниях, не являются стабильными и изменяются в широких, пределах, рассмотрим данную задачу упрощенно для линейной системы с одной степенью свободы (рис. 274).
Пусть система совершает колебания под действием вынуждающей силы
F = Р sin tot.(478)
Источник энергии развивает в данный момент времени мощность, равную произведению вынуждающей силы и скорости колебаний:
N = Fy.
В течение одного периода для поддержания колебаний потребуется мощность
2л/ш
Мх= j Fydt.(479)
о
Из формулы (164) имеем
у = —А ю cos (й/— ф).(480)
Подставляя в уравнение (479) значения F и у из уравнений (478) и (480), получаем
NT = лРА sin ф,
где А и ф — соответственно амплитуда и угол сдвига фаз, которые определяют по формулам (474) и (475).
Найдем среднюю мощность, которую развивает источник энергии,
2л “ 2 Т’оЛо) Sin ф —-g- m [(Ю2 _ Q2)24„Q2 ~
P6ft sin 2ф— 4m (со2 — Й2)'
Правая часть полученного равенства достигает максимума при sin 2ф = 1 и й < го или при sin 2ф = —1 и й > и. Этим двум условиям соответствует фт = л/4 и фт = Зл/4.
Максимальное значение средней мощности вибровозбудителя
М ср max = Ро 4т (Ю2 _ Q2) 2Й *(481)
Полученное выражение применяют в конструкторской практике для различных случаев, так как оно найдено как первое приближение независимо от характера закона рассеяния энергии.
КОНСТРУКЦИИ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ
Центробежное генерирование одночастотных вынуждающих воздействий может быть получено различными способами. Рассмотрим эти способы на примере дебалансных вибровозбудителей, когда дебалансы вращаются равномерно или синхронно.
По схеме на рис. 275, а работает вибратор типа дебаланса (рис. 276), корпус которого с помощью болтового соединения прикреплен к рабочему органу вибрационной машины. Вал 4 этого вибратора установлен в роликовых подшипниках 3, расположенных в корпусе 2. Дебалансные диски 1 с регулированными грузами закреплены на консольных кольцах вала. Привод произво- 396
дится с любого конца вала от электродвигателя через муфту, клиноременную передачу и т. д.
Вибратор (рис. 277), с помощью которого может быть получена направленная прямолинейно вынуждающая сила благодаря равенству кинетических моментов дебалансов, или эллиптическая возмущающая сила при отсутствии указанного равенства.
Валы вибратора 4 и 6 вращаются в подшипниках, расположенных в корпусе 2, и соединены зубчатыми колесами / и 5. Благодаря последним обеспечивается синхронное вращение валов в противоположные стороны. Дебалансы 3 и 7 расположены на консольных концах валов. Вал 6 соединен с электродвигателем с помощью карданного вала. Вибраторы данной конструкции чаще всего устанавливают попарно по бокам грузонесущего органа и
соединяют карданным валом.соединяют карданным валом.Рис. 276. Инерционные универсальные вибраторы типа дебалаиса: а — вибратор завода «Стройма- шииа»; б — вибратор фирмы «Шенк>; в — универсальный специализированный вибраторРис. 276. Инерционные универсальные вибраторы типа дебалаиса: а — вибратор завода «Стройма- шииа»; б — вибратор фирмы «Шенк>; в — универсальный специализированный вибратор
соединяют карданным валом.
соединяют карданным валом.
Рис. 276. Инерционные универсальные вибраторы типа дебалаиса: а — вибратор завода «Стройма- шииа»; б — вибратор фирмы «Шенк>; в — универсальный специализированный вибратор
Рис. 276. Инерционные универсальные вибраторы типа дебалаиса: а — вибратор завода «Стройма- шииа»; б — вибратор фирмы «Шенк>; в — универсальный специализированный вибратор
A
Рнс. 277. Инерционный вибратор для создания эллиптических колебаний
В качестве вибровозбудителей на бункерах широко используют мотор-вибраторы (рис. 278), снабженные секционным дебалансом, имеющим два поворотных элемента на приводном валу. На консольной части приводного вала установлен ротор электродвигателя. Вибратор к машине крепится с помощью кронштейнов. С помощью спаренных мотор-вибраторов может быть получена направленная возмущающая сила.
Помимо центробежных вибровозбудителей применяют также электромагнитные, эксцентриковые, гидравлические и другие вибровозбудители.
Важнейший деталью дебалансного вибровозбудителя является дебаланс. Обычно дебаланс имеет призматическую форму, его масса
т0 = pbS,
где р — плотность материала дебаланса; b — толщина дебаланса; S — площадь его поперечного сечения.
Рис. 278. Мотор-вибраторы:
а — несимметричной конструкции; б — симметричной конструкции; /, 9 — подшипники; 2 — корпус вибратора; 3 — приводной вал; 4 — статоры электродвигателей; 5 — ротор электродвигателя; 6 — поворотные элементы; 7 — корпус Дебалаисов; 8 — приводной вал с двумя консольными концами; 10 — неподвижный дебаланс; И — подвижный дебалаис
Рис. 279. Дебалаисы:
а. б — раздвижные; б — с двойным эксцентриком; в — со ступенчатым регулированием; г — с накладной частью; д — раздвижные с возможностью поворота одной части относительно другой; е — самовыдвигающийся
Таким образом, статический момент массы дебаланса (иногда называют его кинетическим)
mQr = pbSr,
где S, — статический момент площади поперечного сечения дебаланса относительно оси, проходящей через ось вращения и перпендикулярной радиус-вектору центра площади дебаланса.
Дебалансы разделяют на нерегулируемые (неподйижно закрепленные на валу), регулируемые и самоустанавливаю- щиеся.
Регулируемый дебаланс (рис. 279, а) состоит из двух частей, закрепленных на валу посредством клеммного соединения. При повороте одной части относительно другой изменяется суммарный статический момент массы. Регулируемый дебаланс может быть выполнен также в виде обода 7, подвижно установленного на эксцентричной втулке 2, неподвижно закрепленной на валу (рис. 279, б). Обод фиксируется на втулке с помощью винта. Для ступенчатого регулирования статического момента' массы в отвер-
Рис. 280. Способы против самоотвинчивания Я резьбовых соединений при вибрации:-а
а — стопорением при помощи отгибиой шайбы; .3 б — разрезной контргайкой, заклинивающей- Ц ся в основной гайке по конической поверх- Ц иостия
стия диска 2, посаженного на валу, Я вводят необходимое количество Я стержней 1 (рис. 279, в). Для ре- Я гулирования момента к основной fl массе дебаланса может быть при- fl креплена корректирующая масса. | Самовыдвигающийся дебаланс X
(рис. 279, ё) выступает из кор- 3 пуса при превышении номиналь- X ного значения центробежной силы, I которая действует на подвижную часть 3 поджатия пружины 6, - зажатой между закрепленной на 1 валу частью 4 и стаканом 7. ? Натяжение пружины регулируют ;
завинчиванием гайки 8 на шпильке 5. Данная конструкция деба- 1 ланса облегчает пуск, начинающийся при малом значении nv. | Последняя величина также становится минимальной во время 1 выбега при приближении машины к резонансу.<
Надежность дебалансных вибровозбудителей зависит от под- 4 шинников, так как последние воспринимают вынуждающую цен-’ ■ тробежную силу.
Для предупреждения недопускаемого разогрева подшипников, влекущего преждевременный их износ, необходимо стремиться ] к небольшим диссипативным сопротивлениям вращению. Такие сопротивления характерны для подшипников качения. Рекомендуется применение консистентных смазочных материалов, хорошо работающих при высоких температурах, или жидкой смазки.
Так как в большинстве случаев приводные электродвигатели ’ жестко связаны с колеблющимися частями и работают в тяжелых ; условиях, рекомендуется применять наиболее выносливые асин- । хронные электродвигатели специальной конструкции.
При вибрации уменьшаются силы трения, поэтому возможно • нарушение самоторможения в неподвижных соединениях деталей, особенно резьбовых. Рекомендуется в вибрационных машинах и вибрирующих узлах гайку стопорить с помощью отгибной шайбы (рис. 280, а) и применять разрезную контргайку, заклинивающуюся в основной гайке по конической поверхности (рис. 280, б) [4].
Надежность работы вибрационных машин в значительной сте- * пени зависит от конструкции упругих элементов, качества их Изготовления и монтажа.
Часто упругие элементы устанавливают в вибромашинах для > усиления или стабилизации колебаний рабочих органов. Эти упру- 4005
тренним; в — закрытым;
г — трубчатым; д — открытым, установленным на несущем каркасе нз прокатных профилей; / — лоток; 2 — внутренний несущий каркас; 3 — внешний несущий каркас
гие элементы также применяют в качестве виброизоляторов. Наиболее распространены металлические, резиновые и в виде упругой оболочки. Одним из важнейших свойств упругих элементов является диссипация энергии колебаний, происходящая вследствие потерь энергии внутри материала деформируемого тела и при контактировании последнего с сопрягаемыми узлами.
Упругие элементы, обеспечивающие усиление или стабилизацию колебаний рабочего органа вибромашин, должны иметь низкое значение коэффициента поглощения, свидетельствующее о минимальной диссипации в них энергии.
При резонансных колебаниях заданной частоты линейной системы с одной степенью свободы амплитуда колебаний
А « 2л</ст/ф.
Следует учитывать также, что часть колебаний, превратившаяся в тепловую энергию в упругом элементе, пропорциональна ф. При высоких значениях ф и плохой теплоотдаче возможен перегрев упругих элементов и выход их из строя, что особенно возможно при выполнении их из резины. При плохих условиях теплообмена в металлических упругих элементах с повышением температуры уменьшается модуль упругости материала и, следовательно, снижается жесткость упругих элементов. Следует отметить трудность определения диссипативных характеристик. Колебания условий сборки и регулирования в ряде конструкций могут приводить к нежелательным изменениям коэффициентов поглощения.
Вибрация является наиболее эффективной формой механического воздействия на различные дисперсные системы и может
Рис. 282. Горизонтальные вибрационные конвейеры с электромагнитными и центробежными вибровозбудителями:Рис. 282. Горизонтальные вибрационные конвейеры с электромагнитными и центробежными вибровозбудителями:
Рис. 282. Горизонтальные вибрационные конвейеры с электромагнитными и центробежными вибровозбудителями:
Рис. 282. Горизонтальные вибрационные конвейеры с электромагнитными и центробежными вибровозбудителями:
а, б — подвесные; в, г - опирающиеся
быть успешно использована для интенсификации технологических процессов пищевых производств. К этим процессам относятся транспортирование сыпучих компонентов, дозирование, просеивание, измельчение, сушка и т. д. При проектировании и эксплуатации вибрационных машин основное внимание уделяется приводу. Рабочие органы вибрационных машин в зависимости от назначения имеют различное устройство и конструкцию.
Дозирующие рабочие органы в основном по конструктивному исполнению аналогичны транспортирующим органам. Транспортирующие органы часто выполняют другие функции, например рассев, сушку, охлаждение, обезвоживание и другие операции.
Такие рабочие органы включают устройства для загрузки и выгрузки приспособление для установки привода и крепления упругих элементов и т. д. Для перемещения материалов вертикально вверх применяют винтовые желоба. На рис. 281, а показана
Рис. 283. Инерционные вибрационные грохоты:
1 — мотор-вибратор; 2 — виброизолирующая упругая подвеска; 3 — короб; 4 — сито;
5 — самобалансный вибратор; 6 — реактивная масса; 7 — основные упругие элементы;
8 — дебалансный вибратор
конструкция с наружным лотком, укрепленным на внутренней несущей колонне, и с внутренним лотком, открытым для доступа и укрепленным на наружной несущей колонне (рис. 281, б). На рис. 282 показаны схемы вибрационных конвейеров с электромагнитными и центробежными вибровозбудителями, выполненными подвесными (рис. 282, а, б) или опорными (рис. 282, в, г). В последнем случае имеется опорная рама.
В вибрационных машинах с длинными грузонесущими органами устанавливают несколько вибровозбудителей.
Для просеивания и сортирования различных пищевых продуктов по крупности и плотности, а также для промежуточного отделения различных фракций (нежелательных примесей, зерна, риса и т. п.), для разделения по размерам таких продуктов, как огурцы, лимоны, рыба, используют виброгрохоты и сепараторы, по конструктивному исполнению и динамическрму устройству аналогичные вибрационным питателям и конвейерам. Особенностью виброгрохотов и сепараторов является конструкция рабочего органа, выполненного наклонным, с круговыми колебаниями (рис. 283, а, д), горизонтальным с двумя самосинхронизирующи-
Рис. 284. Зависимость скорости транспортирования от частоты колебанийРис. 284. Зависимость скорости транспортирования от частоты колебаний
Рис. 284. Зависимость скорости транспортирования от частоты колебаний
Рис. 284. Зависимость скорости транспортирования от частоты колебаний
Рис. 285. Схема колебательной системы виброцеитрифуги с осевыми колебаниями ротора от эксцентрикового привода
мися мотор-вибраторами, совершающими прямолинейные колебания (рис. 283, б). Применение нежестких пружин для подвески или опирания обеспечивает отсутствие передаваемых усилий на несущую конструкцию.
На рис. 283, г привенена схема вибрационного грохота на виброизоляции с применением реактивной массы. Вибрационные машины, в которых возникают большие переменные нагрузки, работают в зарезонансной области, их устанавливают на виброизоляции с реактивными массами. При проектировании вибромашин необходимо правильно выбрать режим колебаний ее рабочих органов. Рассмотрим, например, определение режима работы вибрационных транспортирующих и транспортно-технологических машин.
Скорость вибротранспортирования рекомендуют определять с помощью следующей зависимости:
У = Vgk, где уэ — скорость эталонного продукта; к — экспериментальный коэффициент транспортабельности продукта [17].
Зависимость скорости транспортирования эталонного сыпучего продукта (слоем толщиною до 50 мм) при горизонтальной установке вибромашины и угле вибрации 20° от частоты колебаний при различных амплитудах колебаний приведена на рис. 284. Из приведенных кривых видно, что чем больше амплитуда колебаний, тем быстрее при более низких частотах достигаются экстремальные скорости транспортирования.
Представителем новых вибрационных машин являются центрифуги с вибрационной выгрузкой осадка. Эти машины по ряду удельных показателей — металлоемкости, энергозатратам и другим превосходят центрифуги других типов. Эти центрифуги при значительном повышении эффективности центробежного фильтрования характеризуются эффективной вибрационной выгрузкой осад- 404
ка из ротора. В этих машинах комплексно решена проблема использования поля центробежных сил и вибраций для разделения неоднородных систем и обеспечения вибротранспортирования осадка внутри быстровращающегося ротора.
Расчет вибрационных центрифуг рассмотрим более подробно, по сравнению с предыдущими вибрационными машинами в связи с их большей сложностью.
Выгрузка осадка из ротора конической формы осуществляется переносными силами инерции, которые возникают при осевых, крутильных или сложных колебаниях ротора.
Современные вибрационные центрифуги отличаются направлением колебательного движения ротора и способом возбуждения колебаний, т. е. конструкцией вибропривода. Используют центрифуги с вертикальным и горизонтальным расположением ротора.
Осевые колебания ротора обеспечиваются чаще эксцентриковым и реже инерционным самобалансным приводами.
Колебательная система (рис. 285) с эксцентриковым приводом включает ротор центрифуги массой т1( который упруго связан со станиной массой т2 с помощью упругой связи с12 и с эксцентриковым приводом с помощью упругой связи с01. Станина центрифуги несет эксцентриковый привод с автономным приводом и упруго связана (са) с опорой фундаментной рамы.
С помощью эксцентрикового привода возбуждаются колебания ротора с частотой, близкой резонансной частоте колебательной системы центрифуги, и с амплитудами, необходимыми для выгрузки осадка [66].
Связь между амплитудой колебаний ротора Аг и амплитудой станины А2 при определенном выборе параметров колебательной системы выражается зависимостью
АХ1А2 = (^2 — m^hn^,
где р — угловая скорость эксцентрикового вала; £2— приведенный коэффициент динамической жесткости упругой связи.
При ^2 -*-0, т. е. при малой жесткости опорных виброизоляторов,
Аг!А2 = —zra2/mi- (482)
Применение эксцентрикового привода колебаний вибрационных центрифуг дает возможность получить устойчивую амплитуду осевых колебаний ротора при изменении внешних параметров, но обусловливает возникновение больших динамических нагрузок при переходных режимах работы центрифуги.
В вибрационной центрифуге с инерционным возбуждением осевых колебаний (рис. 286) параметры колебательной системы подбирают таким образом, чтобы частота вынуждающей силы была близка к собственной частоте колебаний ротора при превышении в несколько раз резонансной амплитуды осевых колебаний ротора и амплитуды колебаний корпуса центрифуги.
Рис. 286. Схемы колебательных систем виброцентрифуг с инерционным возбуждением осевых колебаний:
а — центрифуга «Ведаг» (ФРГ); б—центрифуги ВГ-1 (СССР) и фирмы «Знбтехннк» (ФРГ)
Рис. 287. Схема центрифуги с крутильными колебаниями ротора
Главным недостатком центрифуг с осевыми колебаниями ротора является неравномерное воздействие инерционных сил на осадок по длине ротора вследствие его конусности. Отношение вибрационного ускорения к центробежному уменьшается с увеличением радиуса вращения, так как
г = Лр2 sin 9/(о2г,
где Лр2 sin 0 — вибрационное ускорение осевых колебаний; <о2г — центробежное ускорение; rmln ^ г ^ rmax — радиус вращения.
Фактор разделения этих центрифуг мал из-за необходимости. повышения вибрационного ускорения с увеличением центробежного ускорения. Повышение вибрационного ускорения затруднено вследствие сложности конструктивного решения данной задачи.
Указанные выше недостатки не имеют вибрационные центрифуги с крутильными колебаниями ротора (рис. 287). Корпус вибратора этих центрифуг одновременно является приводным шкивом, и на нем жестко закреплен ротор 1. Корпус вращается вокруг неподвижной оси 6 и шестерней. Вращающиеся сателлиты 4 имеют неравномерные грузы 5, которые возбуждают переменный по значению и направлению крутящий момент, обусловливающий колебания скорости вращения корпуса вибратора совместно с ротором.
Центрифуги с ускорением крутильных колебаний, достаточных для выгрузки осадка, могут иметь фактор разделения 500 ... ... 1000.
Вибрационные центрифуги, в которых осуществляются кру-‘ тильные колебания, чаще всего проектируют с колебательными системами с упругими связями между элементами для обеспечения около резонансного режима работы. К колебательной системе предъявляются требования создания большой амплитуды коутиль- ных колебаний роторам и минимальной амплитуды колебаний приводного шкива. Первое требование обусловлено необходимостью обеспечения режима разделения продукта и его выгрузки, а второе тем, что большие амплитуды крутильных колебаний приводного шкива вызывают повышенный износ приводных ремней и передаются на электродвигатель. ■= 406
3^32^з<hЧг^3^32^з<hЧг^Рис. 288. Схема и формы собственных колебаний трехмассовой колебательной системы
3^32^з
<hЧг^
3^32^з
<hЧг^
Рассмотрим двухмассовую колебательную крутильную систему. По аналогии с формулой (482) можем написать соотношение между амплитудами колебаний обеих масс:
Я^Ят = ^JdJii (483)
где 901 и дю — амплитуды крутильных колебаний масс, рад.; Jt и J2 — приведенные моменты инерции масс ротора и шкива, кг-м2.
Из формулы (483) следует, что амплитуды колебаний масс обратно пропорциональны их моментам инерции и направлены в противоположные стороны. Легко получить форму колебаний двухмассовой системы, откладывая соответствующие для масс относительные амплитуды q0 , q№ в зависимости от положения рассматриваемого сечения системы. Эта форма имеет один узел колебаний, т. е. сечение торсиона, не участвующее в процессе колебаний. Для того, чтобы амплитуда колебаний шкива q№ была малой, необходимо по уравнению (483) значительно увеличить массу шкива J2. Следовательно, выбор двухмассовой колебательной системы центрифуги требует изменения большой балластной массы шкива. Избежать этого можно присоединением к шкиву, например, маятникового или линейного динамического гасителя колебаний. В результате получается трехмассовая колебательная система (рис. 288).
Рассмотрим вал со свободными концами, нагруженный дисками, моменты инерции которых Jlf J2, .... Jn. Жесткости участков вала между дисками i и t + 1 (рис. 288) — S,.
Обозначим через qt текущие углы поворота соответствующих масс, рад; qoi — амплитуды крутильных колебаний соответствующих масс, рад. Кручение участка вала i будет определяться разностью (^+1 — q^ углов поворота двух смежных дисков и крутящий момент, действующий на участок,
Mt кр = 8; (qi qt+i).
Кинетическая и потенциальная энергии диска
U = 4- Мг кр (q£ - qU1) = ^~Si (qi - ?(+1)2.
Кинетическая и потенциальная энергии всей системы
п т= ^Tz = 5 JiqX i
n—1
U=LUi=^ SAqi-quW
Воспользуемся уравнением Лагранжа:
d дТдТ dU _ 0
dt dqtdqt "i dqt
В случае вала со свободными концами, несущего п дисков,
^- = 0;^- = 0;5Г _ , . . d дТ 7 .. . dqi ‘^‘’ dt dqt ~
^- = 0;
^- = 0;
3qt — Si_i (q^ — q/) + S, ^t — qi^-
Следовательно, получим n уравнений вида
Mi + 5г (q, — qiti) — SZ-1 ^и1 - ft) = 0.(484)
Решение будем искать в форме
q = qoi cos (to/ + a), где co — частота собственных колебаний системы; a — угол сдвига фаз колебаний; t — время.
Тогда
qt = —to2q0i cos (и/ + a).
Подставляя значения qt и qt в уравнения (484), получаем
Jtto2q6l cos (со/ + a) + Si (.qoi — q^ у ^i)) cos (co/ 4~ a) —
—Si-i (q0 (i_i) — qoi) cos (to/ + a) = 0, откуда
—m2Jiqqi + Si (qOi — q0 (z+o) — Si—i (ft <z—i) — qoi) = 0.
Это уравнение можно записать в следующем виде:
qoi (to2JiSt — S/_i) -[- qo (i+i)St 4~ qo y—i)Si—i = 0; (i = 1,2 ... n).
Получена система однородных и линейных уравнений с п неизвестными. Каждое уравнение будет состоять из трех членов, за исключением первого и последнего, так как
Si-i = So = 0; Sn = 0; q0 (n+i) = 0. При наличии трех дисков имеем
qoi U г®2 — Si) -f- qo^Si = 0;
(485)(485)qoiSi "Т qoi Uг'®2 Sa Sj) -}- qosS^ = 0> qoiS^ -(- qoo Uз®2 — Sa) = 0.
(485)
(485)
Уравнения имеют решение при ^01 = ^02 = q03 = 0. Это означает, что недеформированное состояние системы соответствует отсутствию колебаний.
При q01, q№1 q04, не равных нулю, уравнения допускают решения, если определитель этой системы будет равен нулю:
Sl-®cJl
-Si
0
А (о>с) =
-Si
Si 4' S2 — (ос72
-S2
= 0.
0
-S2
S2—(0с7 з
Развертывая определитель, после преобразований получаем J 1У 2У3®с — [(7 1 Уз ~Н У2У3) S1 4- (у 1У2 ~Н У 17з) S2] (Ос 4"
4~ (У1 + Уг 4~ У з) S]S2<Oc = 0.
Полученное уравнение частот имеет один из корней (Ос = 0, когда qei, q№, q03 не равны нулю и решение системы уравнений будет при q01 = q№ = q03, что соответствует синхронному вращению всех масс.
Сократив последнее уравнение на (Ос, получим
J1J2^3®с — [(7 1^3 4~ ^2^3) S1 4~ (^1^2 4~ ^ 17з) S2] (Ос 4~
"^(^i+^a + ^s) S1S2 = 0.(486)
Полученное уравнение является частотным уравнением трехмассовой системы.
При резонансе с первой собственной частотой крутильных колебаний системы жесткости и моменты инерции масс можно выбрать такими, чтобы шкив, момент инерции которого равен J3, располагался в зоне узла колебаний, т. е. таким образом, чтобы он не совершал колебания, а концевые массы ротора (момент инерции J ) и гасителя (момент инерции J^ колебались бы в противофазе.^
Соотношение жесткостей Sx и S2 моментов инерции системы при q33 = 0 найдем из системы уравнений (485), она распадается на три независимых уравнения:
(Si-o£7ihoi=O;(487)
—Siqoi — S3q03 = 0;(488)
(S2-^73)<703 = 0.(489)
Из уравнений (487) и (489) при q01 и q03, не равных нулю, Имеем
Si— (9iJi = 0; S2— (9с27з = 0; toci = S4/J1; (Oc? = S2/73.
Приравнивая правые части, получаем
toci = SilJ1 = S3IJа или Si/Sa= Ji/Ja'(490)
Рис* 289. Схема виброцентрифуги с кинематическим возбуждением крутильных колебаний
Из уравнения (488) имеем
—-S1/-S2 = Яв^Ят.*
Из последних двух уравнений найдем
—Яо^Яоу — JiiJs'(491)
Следовательно, при соблюдении соотношения (490) амплитуды свободных колебаний трехмассовой системы с первой собственной частотой обратно пропорциональны моментам инерции концевых масс и не зависят от момента инерции шкива, расположенного в зоне узла колебаний. При этом также безразличны параметры передачи и момент инерции вращающихся частей двигателя.
Из уравнения (490) находим
Si = S2 J1/7 g.
Подставляя Sx в уравнение (486), после преобразований получаем
4 (Л + 2^2 + А) о ,.2 , (Л+А + А) о2 Л(ОсГТ‘Ж Н7—9= и.
Корни данного частотного уравнения после преобразований найдем в виде
2 (А + 2А A) Sa-|-(А 4~ A) Sa
Юс *-2 =77л
откуда первая и вторая собственные частоты
(Ocl — S2/Jз! (Ос2 = [S2 U1 + 72 + 7з)]/727з-
Таким образом, можно сделать вывод, что центрифуга с крутильными колебаниями ротора должна иметь минимум три колеблющиеся массы с рабочим резонансным режимом (для трехмассовой системы), близким к первой собственной частоте.
Регулирование амплитуды крутильных колебаний ротора вследствие изменения частоты возмущающего момента требует применения вариатора в приводе центрифуги или источника электро- 410
энергии с регулируемой переменной частотой питания электродвигателя.
О. Т. Стороженко разработал конструкцию вибрационной центрифуги (рис. 289) с кинематическим возбуждением крутильных колебаний, в которой амплитуда колебаний ротора достаточно просто регулируется изменением возмущающего момента. Фильтрующий ротор 1 этой центрифуги закреплен на полом валу 3. Вал вращается в подшипниках 2, 5, установленных в неподвижном корпусе. Ведомая вилка механизма кинематического возбуждения колебаний закреплена на ступице 7, которая опирается на подшипники 6, установленные на консоли вала 3 [66].
Ротор центрифуги упруго соединен с механизмом кинематического возбуждения крутильных колебаний с помощью торсиона 4, установленного внутри полого вала.
Механизм кинематического возбуждения колебаний состоит из соединенных последовательно двух универсальных шарниров неравных угловых скоростей. Вилки 8 и 10 промежуточного вала 9 установлены во взаимно перпендикулярных плоскостях. На полом валу 17, вращающемся в подшипниках корпуса 14, установлен диск линейного антивибратора 15.
Ведущая вилка механизма кинематического возбуждения крутильных колебаний и сменный шкив 12 клиноременной передачи закреплены на ступице 13, установленной на подшипниках 11 консольного полого вала антивибратора.
В полом валу 17 установлен торсион 16. При смещении валов 3 и 17 кинематический механизм передает движение вращения неравномерно за один оборот, совершая периодически два полных колебания, пропорциональные смещению .валов ротора и антивибратора.
Описанная конструкция, содержащая три массы, которые соединены между собой торсионами, имеет регулируемое при работе возбуждение колебаний и один двигатель, энергия которого расходуется на вращательное движение, и возбуждение колебательного процесса в системе.
ГЛАВА IX
ВИБРАЦИОННАЯ ЗАЩИТА
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ВИБРОЗАЩИТЫ
Возникающая при работе машин вибрация может быть опасна для технических объектов и человека. Вибрация обусловливает знакопеременные напряжения в деталях машин, ведущие к накоплению повреждений в материале и, следовательно, к появлению усталостных трещин и разрушению.
Вибрация может вызывать относительные смещения сопряженных поверхностей в соединениях конструктивных элементов, и при- J водить к нарушению функционирования машины (к отказам).
Снижение интенсивности колебаний объекта достигается уменьшением уровня механических колебаний, вызываемых данным объектом, т. е. снижение виброактивности объекта (источника) изменением конструкции объекта. Этот метод называют внутренней виброзащитой объекта. Для снижения уровня вибрации” иногда присоединяют к объекту механические системы, называемые ди- . намическими гасителями колебаний. Часто между объектом и источником возбуждений устанавливают дополнительную систему, защищающую объект от механических воздействий, называемую виброизоляцией.
Как показано выше, с увеличением эксцентриситета вращающихся масс возрастают амплитуды колебаний валов, а следовательно, и динамические усилия, воспринимаемые опорами и другими деталями. Поэтому эксцентриситет ограничивают в той или иной степени в зависимости от окружной скорости деталей и узлов оборудования и точности их изготовления. Так как энергия вибрации возрастает пропорционально квадрату частоты колебаний, по отношению к быстроходным машинам предъявляют более жесткие требования.
Детали, вызывающие вибрацию, можно разделить на две группы: детали грубых механизмов и тяжелые детали точных механизмов. Для каждой группы устанавливают определенный допуск на смещение центра масс детали в зависимости от окружной скорости (рис. 290).
Допустимое смещение центра масс детали может определяться и требованиями, которые предъявляют к технологическому процессу, выполняемому на данной машине. Например, допустимая неуравновешенность приводов молочных сепараторов определя- 412
Рис. 291. Упругая опораРис. 291. Упругая опораРис. 292. Виды расцеитровок роторов перед соединением полумуфт:Рис. 292. Виды расцеитровок роторов перед соединением полумуфт:а — радиальная (осевая); б — торцовая (угловая)а — радиальная (осевая); б — торцовая (угловая)
Рис. 291. Упругая опора
Рис. 291. Упругая опора
Рис. 292. Виды расцеитровок роторов перед соединением полумуфт:
Рис. 292. Виды расцеитровок роторов перед соединением полумуфт:
а — радиальная (осевая); б — торцовая (угловая)
а — радиальная (осевая); б — торцовая (угловая)
Рис. 290. Зависимость допустимого смещения центра масс от окружной скорости: / — деталей грубых механизмов; 2 — тяжелых деталей точных механизмов
ется условием обеспечения необходимой степени обезжиривания молока. При выборе допускаемой неуравновешенности роторов сепараторов необходимо также учитывать биение в винтовой передаче и допуск на межцентровое расстояние, которое для молочных сепараторов составляет 0,1 мм.
Обеспечение допустимого смещения центров масс вращающихся деталей и узлов достигается балансировкой на специальных установках.
Если колебания обусловлены работой находящихся вблизи мощных низкочастотных компрессоров, то целесообразно объединение машины (по две) при жесткой синхронизации, исключающей возможность биения.
При возможности возникновения резонансных колебаний следует изменять окружную скорость машины с учетом определенных технологических требований. Для уменьшения колебаний при Прохождении через резонанс стремятся к быстрому пуску и торможению машин, что может быть обеспечено при использовании
механического или электрического тормоза.
При выполнении некоторых технологических процессов возникает неуравновешенность вращающихся узлов машин, которую невозможно устранить балансировкой. Например, при обработке сахарного утфеля в центрифугах вследствие его неравномерного распределения в роторе возникает значительный дебаланс.
X
Рис. 293* Радиальная несоосность валов:^
а расчетная схема; б — к определению соотношений между координатами центров полумуфт; в — схема действия нагрузок в плоскости сочленения полумуфт1
То же происходит и при центрифугировании других продуктов. 4
На рис. 291 показана конструкция упругой опоры, большая J податливость которой обеспечивается благодаря применению ^ упругого стакана. Иногда для опирания ротора применяют не одну упругую опору, а две [32].|
Рассмотрим в качестве примера влияние на виброактивность ? несоосности соединения роторов.s
Как известно, правильность соединений вращающихся деталей j подвергается строгому контролю. Расцентровку роторов опреде- j ляют по расхождению кромок полумуфт перед затяжкой соедини- ? тельных болтов (рис. 292). Расцентровка может быть радиальной, 1 когда имеет место радиальное смещение осей р, и торцовой (угло- * вой), при которой образуется угловое смещение поверхностей полумуфт на угол ф = (а — b)ID. Отметим, что во многих рота- ; ционных машинах при эксплуатации не наблюдалась значитель- , ная вибрация после ремонта, связанного с разъединением полу- муфт.i
Пусть имеются два ротора, соединенных жесткой муфтой, с радиальной несоосностью р (рис. 293, а\ Для упрощения пре- " небрегаем массой роторов [32].)
Для валов 1 и 2 связь между прогибом и и углом поворота ф J в точках О и О2 и силой Р и моментом Мг, действующих в тех же точках, представим в виде4
yi — ®ш^ - г 6/12^4; Ф= b21P 4- 622M, где 6гц, 6<i2 — единичные перемещения концевых сечений валов. 414
Пусть Oxyz— неподвижная система координат, причем ось г совмещена с линией опоры, а ось х с линией несоосности ОгОа (рис. 293, б). Обозначим через xtyt координаты точек Оь а через <рг; рг; 6 углы поворота полумуфт и концевых сечений валов вокруг соответствующих осей.
Координаты связаны зависимостями
Ха = X, + р COS 6; уй = уг + р sin 6; ф2 = ФгРг = Pi- (492)
На рис. 293, в представлена схема, на которой произведена замена воздействия одного вала на другой нагрузками. Запишем
X; = ЬщРх 4“ 6121 vWy, Ха — р = —бпП-Рх 4” 61211М1,,
г/1 =-61цР„ — 6i2iMz, Уа = —бпп^у — 612цМ/,
(493)
ipi = —^ai\Pу 4~ 6221 Л4х> Фг= ^atiiPy ^21пЛ4х,
®1 = $2цВж 4~ 6221Му, р2 = 621цРж бггп-Мр-
Решая систему уравнений (493) с учетом (492), имеем
Рх = —Лр (cos 6 — 1); Мх = —Bp sin 6;
Pti = —Лр sin 6; Му = Bp (cos 6 — 1),(494)
где Я и В — функции единичных перемещений.
Если роторы вращаются с постоянной угловой скоростью <о при 6 = tot, то величины Рх и Му слагаются из динамической и статической составляющих [см. уравнение (494)].
Для динамических составляющих имеем
РХД = —Лр cos tot; Мхя = —Bp sin rot;
РуД = —Лр sin tot; Муд = Bp cos tot.
Из этих уравнений видно, что радиальная несоосность обусловливает возникновение возмущающих силы и момента, действующих в плоскости сочленения полумуфт. Эти возмущающие факторы вызывают и действие динамических реакций опор.
Рис. 294. Компенсаторы:
1—3 — соединения, компенсирующие несоосность и угловые перемещения; 4—6 — шлицевые муфты с эвольвентным зубом
Рис. 295. Соединение несоосных валов:
а — шлнцамн. нарезанными на приводном валу (нецелесообразное); б—удлинением хвостовика приводного вала (приводит к биению); в-» с помощью переходной вт*улкн, насаженной на шлнцы валов (более рациональное); г — удлинением шлицевой втулки; г — при помощи валика-торсиоиа со шлицами (наилучшая компенсация); е —с помощью шлицевой втулки.
К аналогичному заключению легко прийти, рассматривая угловую несоосность. Проведя тот же анализ с учетом сил инерции роторов, можно показать различия между вынужденными колебаниями, вызванными несоосностью валов и вынужденными колебаниями, обусловленными неуравновешенностью* дисков.
t При двух массах амплитуды колебаний диска и амплитуда возмущающей силы Р неограниченно возрастают не при первой критической скорости вала, а при второй. В качестве компенсаторов несоосности и угловых перекосов в соединении (рис. 294) часто применяют шлицевые муфты с эвольвентным зубом.
1 | Пример соединения валов шлицами, нарезанными непосредственно на приводном валу, показан на рис. 295, а. Компенсирую- ющая способность этого соединения невелика и определяется только смещением шлицев в пределах зазора между гранями шлицев. Компенсирующая способность соединения увеличивается при установке между валами шлицевой переходной втулки, свободно посаженной на шлицы в обоих валах (рис. 295, в).
Рис. 296. Опора
Наиболее целесообразна кон- । струкция, в которой компенсатором служит длинный шлицованный валик-торсион (рис. 295, д).
Понижение виброактивности’ро- тационных машин [32]. Виброактивность можно снизить изменением размеров ротора, применяя специальные подшипники и упругие опоры, и уменьшением абсо
лютных значений факторов, являющихся причинами виброактивности, т.е. повышением точности изготовления, балансировки монтажа. Выше подробно был рассмотрен вопрос о применении упругой горловой опоры центробежных жидкостных сепараторов. Конструкция указанной опоры, предусматривающая использование набора пружин, является отработанной и апробированной как в пищевой отрасли промышленности, так и в других отраслях. В настоящее время известны и другие конструкции упругой опоры.
Упругие опоры значительно разгружают подшипники, что особенно важно для валов, у которых дисбаланс возрастает при эксплуатации по сравнению с допустимым уровнем. Важным является то, что упругие опоры изолируют вал или ротор от корпуса машины. Мягкая пружинная подвеска вала позволяет вращаться вокруг его главной оси в рабочем диапазоне, расположенном выше первой (или первых двух) критической частоты вращения.
Демпфирующие устройства, вводимые иногда в систему, значительно уменьшают амплитуды колебаний вала при увеличении частоты его вращения. Основная задача заключается не столько в ограничении амплитуд колебаний, сколько в изоляции несбалансированных сил корпуса. Демпфирование может увеличить степень передачи возбуждающей силы от вала корпусу, и оно целесооб- . разно при прохождении системы через резонанс.
Широкое распространение в промышленности получила упругая опора в виде упругого кольца, снабженного радиальными равномерно чередующимися наружными выступами. Внутренние выступы воспринимают давление от обоймы подшипников, а наружные передают это давление на жесткий корпус. Для предотвращения проворота упругого кольца под действием момента сил трения при конструировании предусматривают закрепление стопорной прокладки на'внешнем кольце подшипника.
Применяют также упругие опоры, состоящие из двух жестких колец 1 и 2, связанных между собой криволинейными упругими элементами 3, образованными сквозными пазами 6, выполненными по двум концентрическим окружностям (рис. 296). Перемычки 4 и 5 присоединяют упругие элементы к жестким.
14 Соколов В. И.
ниже жесткости виброизоляторов.Необходимо учитывать, что удаление виброизоляторов отниже жесткости виброизоляторов.Необходимо учитывать, что удаление виброизоляторов от
ниже жесткости виброизоляторов.
Необходимо учитывать, что удаление виброизоляторов от
ниже жесткости виброизоляторов.
Необходимо учитывать, что удаление виброизоляторов от
Рис. 297. Амортизирующая опора трехколонной центрифуги
Известны также конструкции упругих опор, представляющих собой специальные упругие подшипники. Наружное кольцо
такого подшипника выполнено упругим и имеет выступы для опирания на корпус роторной машины и сквозные пазы под выступами.
ВИБРО ИЗОЛЯЦИЯ
Работа ряда пищевых машин сопровождается вибрацией, устранить которую демпфированием или уравновешиванием трудно. В таких случаях полезно применение вибро- изоляционных амортизирующих средств, с помощью которых можно уменьшить влияние вибрации машины на основание или наоборот, снизить влияние вибрации основания на машину. Уменьшения вибрации достигают установкой Между машиной и основанием упругих прокладок.
Когда на виброизоляторах устанавливают агрегат, являющийся источником ви
брации, виброзащиту называют активной. Амортизаторы существенно уменьшают динамическую составля
ющую сил, передаваемых неуравновешенной машиной на опорную конструкцию. Если механизм защищают от внешних возмущений, то такую виброзащиту называют пассивной.
Виброизоляторы помещают непосредственно под корпусом изолируемой машины или под жестким основанием (или заменяющим его фундаментом). На основании устанавливают изолируемую машину. Основание необходимо тогда, когда корпус машины не обладает достаточной жесткостью или конструктивно трудно разместить виброизоляторы без основания, или когда массу изолируемого объекта целесообразно увеличить для уменьшения амплитуды колебаний.
При конструировании основания изолируемого агрегата необходимо, по возможности, сокращать расстояние между его центром масс и линией действия возмущающей силы, при этом уменьшается амплитуда колебаний машины при вращении.
Коммуникации, соединяющие изолируемую машину с другими агрегатами, должны быть гибкими, а их жесткость значительно
центра масс изолируемого агрегата в вертикальном и горизонтальном . направлениях увеличивает частоту собственных колебаний
Рис. 298. Амортизирующие опоры:а — упругая подкладка; б — трехслойная подкладка; в — трехслойный буфер; г — пружинный амортизатор с битумной массой; д — виброизоляторы дробилки; 1,3 — рифленые стальные пластины; 2 — вулканизованная резина; 4 — корпус; 5 — битумная масса; 6 — пружина; 7 — верхняя плитаРис. 298. Амортизирующие опоры:а — упругая подкладка; б — трехслойная подкладка; в — трехслойный буфер; г — пружинный амортизатор с битумной массой; д — виброизоляторы дробилки; 1,3 — рифленые стальные пластины; 2 — вулканизованная резина; 4 — корпус; 5 — битумная масса; 6 — пружина; 7 — верхняя плита
Рис. 298. Амортизирующие опоры:
а — упругая подкладка; б — трехслойная подкладка; в — трехслойный буфер; г — пружинный амортизатор с битумной массой; д — виброизоляторы дробилки; 1,3 — рифленые стальные пластины; 2 — вулканизованная резина; 4 — корпус; 5 — битумная масса; 6 — пружина; 7 — верхняя плита
Рис. 298. Амортизирующие опоры:
а — упругая подкладка; б — трехслойная подкладка; в — трехслойный буфер; г — пружинный амортизатор с битумной массой; д — виброизоляторы дробилки; 1,3 — рифленые стальные пластины; 2 — вулканизованная резина; 4 — корпус; 5 — битумная масса; 6 — пружина; 7 — верхняя плита
агрегата. Виброизоляторы чаще всего располагают под основанием машины, причем в одних конструкциях виброизоляторы работают на сжатие, а в других на растяжение.
Если в изолируемом агрегате преобладают горизонтальные возмущающие силы, то иногда прибегают к подвешиванию машины на стержнях.
На рис. 297 показана амортизирующая опора трехколонной центрифуги TH-1000. Станина машины с укрепленными на ней кожухом, приводом и ротором подвешена на тягах к трем стойкам, которые укреплены на фундаментной плите. Тяги на концах снабжены сферическими кулачками, опирающимися на сферические гнезда колонки и станины [39].
Иногда для подвешивания применяют н< стержни, а цепи (лабораторные центрифуги). _
При конструировании виброзащиты необходимо учитывать требования монтажа и эксплуатации. Простейший способ виброзащиты — установка машины на сплошную подкладку из резины, войлока или пробки. Недостаток этого способа заключается в воз-
можности разрушения изолирующего слоя при попадании на него смазочных материалов. Более целесообразно применяют упругие подкладки из прессованных пробковой крошки, пенькового волокна и пластмассы. В такой подкладке куски пробки соединены длинными волокнами, а пластмасса предохраняет пробку от действия смазочных и других материалов. Подкладка с рифлеными поверхностями для увеличения трения (рис. 298, а) состоит из двух упругих пластин 1 и 3, между которыми установлена сменная стальная пластина 2, служащая для регулирования положения машины по высоте.
Трехслойную подкладку или буфер (рис. 298, б, в) выполняют из двух стальных полос или колец 4 и 5, соединенных слоем вулканизированной резины б. Одна из полос или колец соединена со станиной машины, другая свободно расположена на основании или прикреплена к фундаменту.
Наиболее просты с точки зрения изготовления пружинные амортизаторы, широко применяемые в пищевой промышленности. Внутреннюю часть пружинного амортизатора (рис. 298, г) заливают битумной массой с низкой температурой плавления. Применение битума способствует повышению демпфирующей способности конструкции.
На рис. 298, 9 показан виброизолятор дробилок для кости, применяемых на мясокомбинатах. Рама дробилки соединена болтами с крышкой амортизатора. Последняя опирается на пружины, расположенные в телескопических корпусах. Нижний конец пружины расположен на неподвижном основании, связанном с жестким каркасом. Для предварительного сжатия пружин служат болтовые стяжки. Число и размеры пружинных амортизаторов устанавливают расчетом.
При расчете виброизоляции требуется установить основные параметры виброизоляции; определить размеры упругих элементов виброизоляторов; проверить частоты собственных вращательных колебаний изолируемого агрегата; проверить амплитуду вынужденных колебаний изолируемого агрегата и вычислить возмущающие силы, передающиеся на опорную конструкцию.
На основании формул (175) и (171) при у = b аЬи и вводя обозначение п = Ы2т, получаем амплитуду силы, передаваемой на неподвижный объект
DРв |/w2 + 4nW
/и2 — Q2 + 4/TW
В то же время, амплитуда установившихся вынужденных колебаний с затуханием на основании формул (171) и (172) с учетом значения коэффициента демпфирования у и введения величины п
Y =7*о
°тУ(ш2 — Й2)2 4- 4п2Й2 '
При силовом гармоническом возбуждении
Р (О = Ро sin Ш; 6 (О = 0.
Целью виброзащиты может являться уменьшение амплитуды силы Ro, передаваемой на неподвижный объект, или уменьшение амплитуды установившихся вынужденных колебаний источника Хо.
Степень реализации цели виброзащиты характеризуется значениями безразмерных коэффициентов виброизоляции
KR = RofPo; К» = сХ01Р0.
Вводя безразмерные параметры z = = $2/юн и у — bl^l/ctn), получаем
zz l 1 + 4V2z2 ' . К -=1
V (Г —?2)а + 4у2^’*/(1 — г2)2 + 4у2?2 '
Условия эффективности виброзащиты по критериям XR и Хк характеризуются неравенствами
KR<V, KX<V
Так как Кн и Кх являются функциями частоты, говорят об эффективности виброзащиты на данной частоте z или в заданном частотном диапазоне zT с г < z2.
Анализ приведенных неравенств позволяет сделать следующие выводы: 1) эффективность виброзащиты по критерию Кк С 1 обеспечивается при любом уровне демпфирования в частотном диапазоне z ^ J/2, причем в данном случае эффективность тем выше, чем слабее демпфирование; эффективность достигает максимума при у = 0, т. е в случае идеально упругого виброизолятора;
в диапазоне г ^ J/2 эффективность виброзащиты по критерию, Кх С I также обеспечивается при любых значениях у.
§ 39. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ВИБРОИЗОЛЯЦИИ [14]
Для проектирования виброизоляции машины, которая подвергается действию периодической возмущающей силы, необходимо знать массу машины, координаты ее центра масс, окружную скорость основных узлов машины, число циклов возвратно- поступательного движения деталей, интенсивность нарастания и убывания скорости основных узлов при пусках и остановках машины, характеристики
Рис. 299. Схема установки агрегата иа виброизоляторах:
/ — изолируемый агрегат; 2 — виброизоляторы
возмущающих сил и моментов. Необходимо также иметь чертежи машин, поддерживающей конструкции и др. На рис. 299 приведена схема установки, расположенной на вибро- изоляторах. При проектировании последних необходимо стре- миться к тому, чтоб точка, через которую проходит равно- действующая реакция всех виброизоляторов при одинаковой их деформации (центр жесткости), лежала на одной вертикали с центром масс установки. Расстояние между центром жесткости и центром масс должно быть наименьшим. Для выбора параметров виброизоляторов нужно определить моменты инерции масс Jx, Ju, J, изолируемого агрегата относительно его главных центральных осей инерции.
Обозначим:
*о, Уо, Zo — перемещения центра масс машины вдоль соответствующих осей неподвижной системы (начало координат расположено в точке первоначального положения центра масс системы);
Фх» Фу, Фг — угловые амплитуды колебаний центра масс машины вокруг координатных осей х, у, г;
КрЬ Кв1, Kxt, Kyt, Кц—жесткости виброизолятора . соответственно в горизонтальном, вертикальном направлениях или в направлениях осей Ох, Оу, Ог.
К^х, К^у, К^ — угловые жесткости системы (всех виброизоляторов) относительно осей соответственно Ох, Оу, Ог.
т — масса машины, устанавливаемой на виброизоляторах (включая и массу основания);
JK, Jy, Jz—моменты инерции машины относительно или в направлениях осей соответственно Ох, Оу, Ог;
At, Bi, Ct—координаты средней точки i-ro виброизолятора по осям соответственно Ох, Оу, Ог;
Рх, Ри, Рг — упругие восстанавливающие силы, действующие на машину при колебаниях вдоль осей соответственно Ох, Оу, Ог;
Мх, Му, Мг — упругие восстанавливающие моменты, действующие на машину при колебаниях вокруг осей, соответственно Ох, Оу, Ог.
■Машина, установленная на виброизоляторах, может рассматриваться как твердое тело.
Если центр жесткости системы не находится ни на одной из главных центральных осей инерции и ни на одной из плоскостей, образованных этими осями, виброизолированная машина является системой с шестью степенями свободы.
Свободные колебания этой системы описываются шестью дифференциальными уравнениями, зависимыми друг от друга:
ai4i Н- ^ KikAk. = 0;(495)
(<=1,2, ...6; 'al3 = an; K,3-Kjt\
где qt — обобщенные координаты; at3,> Kt3 — постоянные коэффициенты. 3 422
Таблица 20
Значении коэффициентов в дифференциальных уравнениях свободных колебаний системы.
к
а3
A)c
X
У
z
Фх
»Z
1
X
т
«11
0
0
0
«51
«61
2
У
т
0
«22
0
«42
0
«62
3
Z
т
0
0
«33
«43
«53
0
4
фх
Jx
0
«24
«34
«44
«54
«64
5
Фу
Jy
«15
0
«35
«45
«55
«66
6
ф? '
J z
«16
«26
0
«46
«56
«66
Общие интегралы этой системы могут быть представлены в виде
q, = 2 Ац cos (й/ — Ф^ (i = 1,2,... п), (496) /=>
где £2;- — собственные частоты системы; А^, фу—постоянные интегрирования.
Из начальных условий и дополнительных соотношений, связывающих амплитуды колебаний координат по каждой из собственных частот, могут быть определены постоянные интегрирования.
При подстановке соответствующих значений в формулу (495), будем иметь в виду, что в каждом из шести дифференциальных уравнений количество членов будет неодинаковым и в общем случае менее семи. Для примера напишем первое дифференциальное уравнение, подставляя в него qY = х из уравнения (496) и учитывая, что аг = т (здесь т —масса изолируемого объекта):
т.}Ха0хО? -}- а61 -}- йв1 = 0,
где а51 — коэффициент угловой жесткости системы, принимаемой во внимание при ее повороте вокруг оси у; а61 — аналогичный коэффициент, учитываемый при повороте вокруг оси г.
Величина а61 характеризует момент сил упругости вертикальных реакций виброизоляторов относительно оси у, а величина ав1 — момент этих сил относительно оси г.
При движении объекта вдоль оси х не будут возникать упругие силы реакций вдоль осей у и х и моменты вокруг оси г.
Аналогичный анализ можно провести и для других пяти дифференциальных уравнений. Результаты этого анализа приведены в табл. 20.
Собственные частоты представляют собой неотрицательные
корни характеристического уравнения, которое для нашей си
стемы в развернутом виде будет:
“охаоуаогфохФоуфог
cx-m^=000ан_ ав1
0су-т^=0-а420а№
= °22
00с2-т^=амаи0
=С°з
0~ а24°34A+Z ~ •/0х“2 =~ °54~ св4
“150— “35— “45P+S — J0ya2 =— °в5
= а°
55
“16“260— а46~ “561+» -=
= G°6
(497)
В определителе (497) для соответствующих столбцов условно показаны амплитуды поступательных аОж, аоу, айг и вращательных Фох, фОг,, фог колебаний,. совершаемых машиной, установленной на виброизоляторах, ппп
K^Tj^x Ky = ^Ktii; Кг=^Кг1.
Элементы данного определителя представляют собой соответствующие статические жесткости, за исключением диагональных элементов; аи; а22; «33; ... «в6. Эти элементы являются динамическими жесткостями.
Как уже указывалось, динамическая жесткость есть отношение гармонической силы (момента) к вызываемому перемещению.
Значения элементов определителя следующие:
«11 = s Кв! ~ ^м2; «22 = «33 = Е Kri — mco2; 4=11=1
nn
«44 = S (^r/B?) + S (KrzKz) - Jx^\ Z=1Z=1
«55 = S (KbiK^ + s (KriA2) - Jyto2; . 1=14=1
n3
«66 = S (KrZ^z) 4“ S (KbzBz) — Jz® , Z= 1Z=1
nn
«51 = «15 = S (KszKi); «26 = «62 = S U^riAiY»Z=1Z=1
пп
61 = #16 = S Ц^вАУ #34 = #43 = 5 tKriBiY 1=11=1
пп
О-Д = #24 = S ^riCiY #35 " #53 = S-(^ri-^i);1=11=1
п3'
45 = #54 = S С^П^В,); #46 = #04 = S KriAtCi;
1=11 = 1
3
50 = #65 = S (.^BiBiCi).
1=1
Развертывая определитель (497), получаем частотное уравнение в виде многочлена по степеням ®:
К0ш12 - W + К2и8 - К3<й6 + КХ + КА + К» = 0, (498)
где Kg, Ki ... Кв— постоянные коэффициенты.
Корни полученного уравнения (оъ (о2, ..., ю6 соответсвуют шести значениям круговых частот собственных колебаний вибро- изолированной системы.
Для решения уравнения (498) рекомендуется применение ЭВМ.
Для независимости друг от друга колебаний виброизолиро- ванной системы по каждой из обобщенных координат необходимо выполнение условия:
#15 = #16 = #24 = #26 = #34 =? #35 == #45 = #64 = #65 = #66 = 0.
(499)
Эффективная виброизоляция обеспечивается при упругом подвесе системы с раздельным возбуждением колебаний.
Условия (499) дают девять зависимостей для Зи координат: А; В; С при п = 1,2 ... п (здесь п —число виброизоляторов, на которых смонтирована установка).
В большинстве случаев имеет место симметрия упругих свойств виброизоляторов относительно осей, параллельных оси г, т. е.
Кхг =КЙ1.
Для виброизоляторов одного и того же типа можно принять
где Р — постоянный коэффициент.
Учитывая последние два соотношения, приходим к выводу, что в равенствах (499) остается только шесть условий, при которых обеспечивается раздельное возбуждение колебаний,
^КвЛ=0; 2КВ1Вг = 0; 2ад=0;
1=11=11
^КвЛВ^О; ^КвАСг^^ S KetBiCt^O. (500) 1i=ii
Схему виброизоляции, когда выполнены все шесть условий
(500) и также условие Лв = S ^вь обычно называют рацио-1=1 v
нальной.
В данном случае частотные уравнения получают путем приравнивания нулю каждого диагонального элемента определителя (497). Тогда будем иметь
^=2Ои;(501)
Му = S Kydm\(502)
®z = S Ка1т\(503)
= ( S Kyi А2 + £ KzA ) / J,»(504)
«фу = I KziC2 4- £ K,tA^ / Jy;(505)
\ ii/
Мф2 = ( £ K2i B2 + £ KyiC2^ I Jz.(506)
В том случае, когда частота co собственных колебаний вибро- изолированной установки значительно меньше частоты Q вынужденных колебаний, уравнения (165) можно переписать в виде
А = Р^Х—§- = р>^-.
Данное выражение свидетельствует о том, что амплитуда колебаний А уменьшается с увеличением частоты колебаний возмущающей силы и массы m установки.
Амплитуды поступательных колебаний вдоль соответствующих осей и вращательных вокруг этих осей на основании уравнения (166) при i = х, у, г
At = PdWY 0, = Л1(./(Л(Й2),(507)
или более точно,
At = mQ?-Kt ; 9i = 77q2^7^ ’(508)
где п — радиус инерции машины. 426
Рис. доО» Схема машины, установленной на вибронзоляторах при наличии двух плоскостей симметрии
Наибольший практический интерес представляет ^случай, когда машина имеет две плоскости симметрии (рис. 300). Тогда должны соблюдаться следующие равенства:
пп
УДКвА^О; ^{Krfi^^- 1=1i=l
ЕЫ) = 0;
1=1 n
Ц(КГ,В4) = О. i=l
В связи с этим будут равны нулю следующие элементы определителя (497):
015 = Osl- 016 = °61', О24 = о42;
O34—O43; O45—а54, а46 — а64; o66a6f.
о22 о42 ОцO51Развертывая определительо22 о42 ОцO51Развертывая определитель024044015O55024044015O55= 0;= 0;= 0.= 0.(509), получаем уравнение(509), получаем уравнение(509)(510)(509)(510)Тогда вновь получаемый определитель будет равен нулю, если будут равны нулю два его минора:
о22 о42 Оц
O51
Развертывая определитель
о22 о42 Оц
O51
Развертывая определитель
024
044
015
O55
024
044
015
O55
= 0;
= 0;
= 0.
= 0.
(509), получаем уравнение
(509), получаем уравнение
(509)
(510)
(509)
(510)
( S Kyi - m®') ( S Kyi А2 + £ KziB'-Jxtoa \l=l/ \l=l1=1
[ n\2
- 5^Л- =0,4=1)
или после преобразований
где коэффициенты связи
V-a = В -KMiAt/m;(512)
Ио = В KytAtU^(513)
,1=1
Определив корни уравнения (511), находим две связанные частоты колебаний вдоль оси Оу и вокруг оси Ох:
(012 = "^ ”2” ^(toy + (йфх) + ^А((Оу — (Офх) -|- 4papyj .(514)
Из определителя (510) с учетом формул (501) и (505) получим
(О4 — ((Офу + со2) (О2 + (0фу(02 — pcpd = 0,(515)
где коэффициенты связи
Нс = В KxtAt/m;(516)
1=1
lid=i>KxiAt/Jy.(5-17)
i=i
Определив корни уравнения (514), находим частоты колебаний вдоль оси Ох и вокруг оси Оу:
(0з4 = J^ -у [^^ + юфу) ± V (^ — ^фу)^ + 4<ocp,(/j . (518)
Связанные частоты колебаний <о12 и (о34, заданные уравнениями (514) и (518), можно определить простым и наглядным графическим способом с помощью круговой диаграммы, аналогичной кругу напряжений Мора (рис. 301).
Приведем две перпендикулярные, одна относительно другой, оси V цар6 [см. уравнения (512) и (513) и о>1. Отложим на оси (о значения частот несвязанных колебаний (Оу и (о^ и получим точки А и В. В этих точках восстановим перпендикулярные линии, равные отрицательному и положительному значениям выражения У НаРб- Затем, взяв за центр середину отрезка АВ, проведем окружность через точку Р; Абсциссы точек D и Е пересечения окружности с осью со определяют взаимосвязанные частоты (о22.
Чем больше отрезок ВР, характеризующий связанность, тем больше расстояние между точками D и Е, т. е. шире область между низшей и высшей из связанных частот. Для дальнейшего анализа примем во внимание, что
VHaRfr = Е W^Vmjx;(519)
i=l
n
V № = 2 kKxiAtyy mJ y.(520)
i=l
Рис. 302. Диаграмма для определения частот собственных колебаний изолируемого тела при установке его на четырех симметрично расположенных амортизаторахРис. 302. Диаграмма для определения частот собственных колебаний изолируемого тела при установке его на четырех симметрично расположенных амортизаторахУчитывая последние выражения и анализируя круговую диаграмму, можно сделать вывод: если А = 0, то взаимосвязь между частотами устраняется и частоты <в12 и и34 совпадают с независимыми частотами соу и и соответственно с частотами (о.
Рис. 302. Диаграмма для определения частот собственных колебаний изолируемого тела при установке его на четырех симметрично расположенных амортизаторах
Рис. 302. Диаграмма для определения частот собственных колебаний изолируемого тела при установке его на четырех симметрично расположенных амортизаторах
оба касательных движения, например в плоскости zy, переходят только в продольное колебание с частотой юд вдоль оси у или только во вращательное колебание с частотой и^ вокруг оси х. Если изолируемая система подвергается периодическому воз
буждению от другой системы, частоты которых расположены^ значительном числовом диапазоне, то стремятся к тому, чтобы наиболее опасные частоты собственных колебаний изолируемой си
стемы были близки по числовым значениям.
Для облегчения определения частот сложных колебаний в плоскостях хОг и уОг можно воспользоваться диаграммой (рис. 302), линии которой представляют собой решения уравнения частот при различных параметрах изолируемой системы. Группы кривых соответствуют различным значениям A J/ т.Цд. Для определения максимальной частоты сложных колебаний используют группу кривых 1, а для определения минимальной частоты группу кривых 2.
Четыре значения частоты . собственных сложных колебаний системы находят поочередным рассмотрением плоскостей симметрии гОх и уОг. Независимую частоту собственных вертикальных колебаний находят по формуле (503), а частоту вращательных колебаний—вокруг оси по формуле (506).
Рис. 303. Схема к расчету частоты собственных колебаний машины, установленной на виброизоляторахРис. 303. Схема к расчету частоты собственных колебаний машины, установленной на виброизоляторах
Рис. 303. Схема к расчету частоты собственных колебаний машины, установленной на виброизоляторах
Рис. 303. Схема к расчету частоты собственных колебаний машины, установленной на виброизоляторах
Рис. 304. Схема установки сепаратора на виброизоляторах
Рассмотрим применение диаграммы для определения частот собственных сложных колебаний.
Пример. Требуется определить частоты собственных колебаний установленной на четырех амортизаторах машины (рис. 303) при «2 = 67,5 рад/с; радиусы инерции гх = 0,171м; iH = 0,237 м; iz = 0,186 м; Jx = 2,5 кг-м2; Jy = = 4,94 кг-м2; Jz = 3,04 кг-м2; а = 0,3 м; 6=0,15 м; с = 0,2 м; 2 Kz = = 40 Н/м;‘2/Сж=60 Н/м; 2КН = 35 Н/м; т = 87 кг.
Решение. Находим выражения
VJxLKyKmLKzVb = 1/(2,5-35)/(87 40)/0,15 = 1,066;(521)
а = VmlJx = 0,3 ]/"87/2,5 « 1,75.(522)
Из диаграммы (см. рис. 302)
tojbtozVjxlm ~ 2,3 или 0,45; откуда
„“шах = 136 рад/с; «min = 26,7 рад/с.
Далее
VJy^KxIm^KzIc = ^4,94 60/87 40/0,2 = 1,45аУтЦу = 0,3 1/87/4,94 = 1,27.
Из диаграммы (см. рис. 302)
e>ICtoz V'jylm = 2,5 или 0,6, откуда
«шах = 143 рад/с; шт1п « 34,2 рад/с.(523)
Частоту (оф2 определим по формуле (506), учитывая, что жесткости виброизоляторов в горизонтальном направлении различны:
%г = 1/ ( S + J] К С2\иг =r V=11=1/
= К(4,60 0,152 4- 4,35-0,22)/3,04 = 190 рад/с.
Значения частот, собственных колебаний системы (рад/с)
«z = 67,5; (офХ = 190; «t = 136; |(524)
«2=26,7; «з = 143; «4 = 34,2. J
Если виброизоляторы расположить в плане асимметрично относительно центра масс, то для сохранения прежних значений частот собственных колебаний необходимо, чтобы жесткость каждого виброизолятора была пропорциональна приходящейся на не- него нагрузке, т. е.
= B.JBVх (525)
Рассмотрим влияние различных факторов на критическую скорость сепаратора при установке его на пружинных виброизоляторах. Ввиду большой сложности анализа колебаний работающего сепаратора, установленного на пружинных опорах рассмотрим данный вопрос с грубыми допущениями.
Предположим, что центры масс и жесткости сепаратора, установленного на пружинных опорах, совпадают, а вертикальная ось г совпадает с главной осью инерции сепаратора. При составлении дифференциальных уравнений движения будем учитывать только угловые перемещения ротора и сепаратора относительно горизонтальной оси Ох. Для упрощения примем, что моменты инерции ротора Jx и Jz равны. Обозначим через <рх угловую координату перемещения ротора (рис. 304) и через ф угловую координату перемещения корпуса сепаратора. Углы ,фх и ф будем отсчитывать от положения статического равновесия. Тогда при вращении ротора уравнения Движения для массы ротора и сепаратора будут иметь вид
Лф1 = — ^Фхф1 + ЬД2 (ф — Ф1)»(526)
тиф = —кД2 (ф — ф]),
где Гх — момент инерции сепаратора относительно оси х; k^x — угловая жесткость системы пружинных опор; т — масса ротора сепаратора; к — жесткость упругой опоры вала сепаратора; 1г — расстояние от шарнирной опоры вала до центра масс ротора.
После преобразования уравнений (526) имеем
Фх — Ф1 tk-ALdж) -{— к,^Д J Д -|- ktpALJ Д,
ф = —М(Т2т) + ^ф1/(/1/и);
Фх + ^Ф! — 6ф = 0;
ИЛИ '
Ф + сф — d^i = 0, где
а^кДМДЦ-к^; Ь = кДЬЧД;с = кД12ту, d = k/(l2m); c = d.
Частное решение системы дифференциальных уравнений имеет вид
Фх = A sin tot; ф = В sin tot.
Подставляя ф! и ф в систему дифференциальных уравнений (526), получаем систему алгебраических уравнений
Л (й — ю2) — ВЬ = 0;(527)
■—Ас + В (с — со2) = 0.
Значения А и В будут отличаться от нуля, если определитель системы (527) будет равен нулю. Раскрывая этот определитель, получаем уравнение собственных частот сепаратора
го4 — го2 (а + с) + с (а — 5) = 0, откуда
2 а 4- с ч Г (а77
«1.2 =—2“ + у —4 с (а —6).
После преобразований 2 а 4-е/(а — с)2 , ,
«1,2=-^— + у.
Подкоренные выражения, входящие в последнее уравнение положительны, и оба корня ю2 и иг всегда действительны. Нетрудно доказать, что корни тоже положительны. Таким образом, имеем две собственные частоты системы. Соответствующие числовые расчеты показывают, что значение и. сепаратора на виброизоляторах меньше значения критической скорости по формуле (447).
При колебаниях машины, установленной на виброизоляторах, определенную роль играет демпфирование, в основном влияющее на амплитуду вынужденных колебаний в резонансной зоне.
В качестве примера рассмотрим уравнение, в которое введены демпфирующие силы S Driy, 1=1
Му + Jj Driy + 2 Кг,у = —rmQ2 cos (QZ), 1=11=1
откуда
// ” \ 2х '
I/ (1-п2) + —^—-ч2 Тkri
1=1
где г] = Q/to — отношение угловой частоты вынужденных колебаний системы к угловой частоте собственных колебаний машины.
Рассмотрим факторы, которые способствуют уменьшению динамических нагрузок, передаваемых установленной на вибро изоляторах машиной фундаменту.
Как следует из приведенных выше данных, сила, передаваемая hel фундамент и обусловленная деформацией виброизоляторов, пропорциональна амплитуде колебаний и ограничена йекоторым пределом. Демпфирующая сила, пропорциональная скорости, ограничивая резонансные амплитуды колебаний, может достигать нежелательно больших значений при рабочей скорости.
Если 2С; = 0 и 2^г = 0, то машина имеет две плоскости симметрии, усилия вдоль оси Ог отсутствуют, так как амплитуда колебаний в этом направлении равна нулю. Усилия, передаваемые на фундамент, по другим направлениям уменьшаются с уменьшением дисбаланса (rm).
Момент, действующий вокруг оси Ог, можно полностью ис- слючить совмещением оси ротора с центром масс машины. Если этого сделать нельзя, то можно уменьшить указанный момент, снизив жесткость виброизоляторов в горизонтальном направлении и увеличив момент инерции 1г машины..
Возникновение моментов вокруг осей Ох и Оу можно избежать совмещением центра масс корпуса машины с плоскостью действия дисбаланса вращающихся частей ротора (/0 = 0).
При наличии трех плоскостей симметрии (S A i = S Bt = S Ct = = 0), а также при /0 = 0, к = к = 0 усилия, передаваемые на фундамент, действуют только в горизонтальной плоскости, причем усилие
Fy = Fx = rmQ2/11 — (Q/ co)2],(529)
где to — частота собственных колебаний машины в горизонтальной плоскости. Наиболее желательным является расположение центра масс машины в плоскости нижних точек крепления подвесок к виброизоляторам. Остающиеся при этом горизонтальные усилия можно снизить уменьшением частоты собственных колебаний машины. При наличии одной плоскости симметрии (при Л = 0 и /0= = 0) вокруг горизонтальных осей не возникают моменты, действуют лишь момент вокруг оси Ог и усилия в горизонтальной плоскости.
Жесткость виброизоляторов. Жесткость виброизолятора в определенном направлении — это величина, обратная перемещению в том же направлении под действием единичной силы, т. е.
kt = 1/6;.
Чаще всего виброизоляторы устанавливают параллельно. В этом случае суммарная жесткость виброизоляторов равна сумме'' жесткостей отдельных элементов:
к- L^ = S 1/6;.
1=11=1
Например, для двух виброизоляторов, установленных параллельно,
6 = ^ + ^2-
В случае последовательного расположения элементов виброизоляции суммарная деформация их равна сумме деформаций отдельных элементов. Следовательно, общая податливость соединенных последовательно виброизоляторов (величина, обратная жесткости) равна сумме податливости (6;) отдельных элементов
\!к = £ Мкь
1=1
откуда(530)
к = 1 / S 1/^.
/ <=i
Для двух виброизоляторов, установленных последовательно, к = 1/(1/^ + \1к.\
При параллельно-последовательном соединении нужно суммировать жесткости соединенных параллельно элементов, а затем суммировать податливость элементов, соединенных последовательно.
Для этого случая получим
к = 1/11/^ + к^ + 1/^].
Рассмотрим определение жесткости отдельных элементов опор, например пружинных виброизоляторов.
Осевая жесткость винтовой пружины -
кв = GdK8ic3j,(531)
где G — модуль сдвига; с — отношение среднего диаметра D пружины к диаметру d прутка (рекомендуется с = 3,5 ... 8); I — число рабочих витков.
При I < 7 число нерабочих витков; рекомендуется принимать равным 1,5 виткам (на оба торца пружины), а при I > 7 равным 2,5.
Высота ненагруженной пружины
Lo = it + 2d,' (532)
где t—шаг пружины (принимают £—0,250 ... 0,50);
t = d + 12PD3/d»G + (0,001 ... 0,002),(533)
где Р — статическая нагрузка на одну пружину.
В случаях, когда рассчитываемая пружина должна работать на сжатие, отношение высоты ненагруженной пружины к среднему диаметру рекомендуется принимать равным 2.2
Жесткость цилиндрической пружины в направлении, перпендикулярном к ее оси,
= 3,5кви/(\,3 Д- LW),(534)
где кв — жесткость пружины в направлении ее оси; L = Lo — Д — высота пружины в смонтированном состоянии (А — осадка виброизолятора под действием статической нагрузки); и — коэффициент, зависящий от деформации пружины.
При L1D < 6 коэффициент u = 1 — A/O,7Lo.
Из условия прочности диаметр прутка пружинного вйброизоля- тора
d = I/^SPS^Ht)],(535)
где [т] — допускаемое напряжение при сдвиге; к — коэффициент, учитывающий кривизну прутка, к = (4с -|~ 2)/(4с— 3); в предварительных расчетах принимают к = 1,3.
Рассмотрим расчет резинового виброизолятора. Усилия и деформации для резинового элемента связаны нелинейной зависимостью
Р = Eh к (d2 - d2) A/[4(А - А)], где Е — модуль продольной упругости; к' — коэффициент формы, зависящий от отношения площади опорной поверхности к площади свободной боковой поверхности; 4 и ^ — соответственно наружный и внутренний диаметры виброизолятора; к — высота виброизолятора.
Коэффициент формы
h' = 1 + m (d — d^l^h^ = 1 + mh0.
В этом уравнении коэффициент т =0,49... 4,67 зависит от степени наполнения резины сажей и крепления резинового элемента по торцам;
k0 = (d — d^/^hY
Модуль продольной упругости резины примерно в 6,5 раза превышает модуль сдвига и зависит от сорта резины. На рис. 305 приведена зависимость модуля продольной упругости от твердости (в условных единицах). Модуль упругости резины зависит от относительной деформации, что, однако, можно не учитывать, если эта деформация незначительна
Разделив уравнение для Р на А, найдем жесткость виброизолятора в направлении его оси:
hB = Р/Д = Eh л (d2 — df)/[4/z (1 — е)|, где е = А//г — относительная деформация.
Сила, возвращающая стержень в исходное положение,
Рх = Р sin ф « Рф.
Тогда жесткость виброизолятора в горизонтальном направлении
hp = Рж/х = РЦ.
Расчет виброизоляции. При проектировании виброизоляции прежде всего следует определить массу изолируемой системы.
Рис. 305. Зависимость модуля продольнойРис. 305. Зависимость модуля продольнойупругости резины от ее твердостиупругости резины от ее твердостиРис. 306. К определению коэффициентовРис. 306. К определению коэффициентоввнутреннего трениявнутреннего трения
Рис. 305. Зависимость модуля продольной
Рис. 305. Зависимость модуля продольной
упругости резины от ее твердости
упругости резины от ее твердости
Рис. 306. К определению коэффициентов
Рис. 306. К определению коэффициентов
внутреннего трения
внутреннего трения
Как показано выше, если вращающиеся массы велики по сравнению с общей массой машины, то частота собственных колебаний может приближаться к частоте вынужденных колебаний. Поэтому для многих машин отношение массы вращающихся частей к массе неподвижных частей составляет часто несколько процентов. Для основных типов центрифуг, например, рекомендуют это отношение принимать в пределах 0,05... 0,15.
Не менее существенным является выбор отношения частоты вынужденных колебаний к частоте собственных колебаний в вертикальном направлении. Это отношение рекомендуют принимать не менее четырех. После того как установлена частота собственных колебаний, определяют жесткость всех виброизоляторов в вертикальном направлении
кг = т«?г,(536)
где т — масса системы; <о2 — угловая частота собственных колебаний машины по оси Ог.
, Затем определяют размеры основания и компонуют машину с приводом на нем.
Задавшись числом виброизоляторов п и найдя статическую нагрузку на один элемент, определяют его размеры на основании условий прочности, а затем и параметры, характеризующие его жесткость (на основании ранее найденного коэффициента кг\ Напряжения в элементе виброизоляции определяют при нагрузке, в 1,5 раза превышающей статическую. Элементы виброизоляции располагают в плоскости хОу симметрично относительно плоскостей xOz и yOz.
После размещения элементов виброизоляции подсчитывают две независимые частоты собственных колебаний и две частоты связанных колебаний. Значения этих частот должны быть по крайней мере в 2,5 раза меньше частоты вынужденных колебаний.
При расчете виброизоляции рекомендуют амплитуды колебаний центра масс машины определять по формулам, справедливым 436
для машины с тремя плоскостями симметрии [см. уравнения (167), (168)]:
г0 = ^^(mcol — kzy х0 = РДглюх — k^;
Уо = Ря1^«?у -htiY <pz = Мг! (соф^ - /гф2);
фх — Mxl^to^xJХ*"х ^фх), фу ~ Myl^tof^yJ Jу^фу)«
Рекомендуется определить амплитуды колебаний г, х, у, i — точки машины по формулам
Zi = р^г0 4~ 4>yaxi 4" фх^у! 4“ 2?офуах1 COS (ф1 — фб) 4~
2г0фхауг cos (ф4 — ф5) + ^v^xaxiayl cos (ф6 — фБ),
xt = ^"*о 4“ 4>yazt 4“ Wzayt 4" 2х0фраг; cos (фг — Фе) -4
+ 2х0ф2йг/г COS (фг — Ф4) 4" ЗфуфгПг;^; COS (ф4 — ф6)’
У( — "VУо 4" ^x^zi 4“ S’zPxi 4“ 2yo<Pxazi COS (фз — фб) 4"
4-2у0фгажг cos (Фз — ф4) + 2фхфг n2inXi cos (ф5 — ф4).
Если значения г, х, у будут более допустимых, то увеличивают т и гХ) гу, гг машины путем введения основания при неизменных собственных частотах и производят новый расчет. \
Для уменьшения амплитуды колебаний машины в пускоостановочном режиме требуется определить коэффициент внутреннего трения материала виброизолятора по рис. 306 в зависимости от соотношений e/(oz и гтах/г0 (здесь е — скорость нарастания (убывания) частоты вращения ротора машины при пуске, рад/с2; гшах —допустимая амплитуда колебаний заданной точки машины при ее пуске (остановке) в направлении оси г.
В заключение целесообразно определить вертикальную и горизонтальную составляющие динамической нагрузки на основание, передаваемые через виброизоляцию. При этом можно также с приближением использовать формулы, полученные для машины с тремя плоскостями симметрии.
Пример. Необходимо рассчитать виброизоляцию под центрифугу типа АГ-2000 (рис. 307).
Задано: масса центрифуги тц = 15700 кг; масса привода тп = 2600 кг; масса циклана 710 кг, частота вращения ротора 600 об/мин, масса вращающихся частей 6000 кг, диаметр ротора 2 м, динамическая нагрузка, возникающая при вращении ротора 47 500 Н.
Решение. Задаемся отношением массы системы к массе вращающихся частей mlmBy = 10. Тогда масса системы
т = тВр/0,1 = 6000/0,1 = 60 000 кг.
Рис. 307. Схема установки центрифуги на виброизоляторах (О, А, В, С, D — центры масс соответственно системы, центрифуги, привода, основания, циклона)Рис. 307. Схема установки центрифуги на виброизоляторах (О, А, В, С, D — центры масс соответственно системы, центрифуги, привода, основания, циклона)
Рис. 307. Схема установки центрифуги на виброизоляторах (О, А, В, С, D — центры масс соответственно системы, центрифуги, привода, основания, циклона)
Рис. 307. Схема установки центрифуги на виброизоляторах (О, А, В, С, D — центры масс соответственно системы, центрифуги, привода, основания, циклона)
Задаемся отношением частоты Q вынужденных к частоте о собственных колебаний. Примем Q/g)^ = 5,5, тогда
м2 = (600-3,14)/(30-5,5) = 11,4 рад/с.
Жесткость виброизоляторов по формуле (536) k = 60 ООО-11,42 = 7,7 X X 10е Н/м.
Масса основания
60 000 — 15 700 — 2600 — 710 = 41 000 кг.
Принимаем, что основание опирается на шесть пружинных подставок, каждая из которых имеет четыре пружины.
, На каждую пружину действует статическая нагрузка
Р = (60 000-9,81)/24 = 2,45-Ю4 Н.
Пружины выполнены из стали 60С2А,для которой допускаемое напряжение при сдвиге [т] — 5-Ю8 Па.
Принимая средний диаметр пружины D = 0,160 м и k = 1,3, определяем диаметр прутка пружины по формуле
d = УйРПк/л, [т]
d = ^/ (8 -2,45-104-0,16 1,3)/(3,14 5-10») = 0,0294 м.
Принимаем d = 0,030 м — 30 мм.
Жесткость одной пружины в вертикальном направлении
^ = (7,7-106)/24 = 3,2.10б Н/м.
Число рабочих витков в пружине определим, по формуле (531), причем с = = D/d= 5,35; G = 7,85-1010 Н/м; I = (7,85-1010-0,Х)3)/(8-3,2-Юб-5,353) = = 6,06 ~ 6.
Шаг пружины по формуле (533)
/ = 0,03 + 12/ = 0,03 + 124-0,001 = 0,050 м.4-0,001 = 0,050 м.
/ = 0,03 + 12
/ = 0,03 + 12
4-0,001 = 0,050 м.
4-0,001 = 0,050 м.
2,45-104-0,163 0,ОЗ4-7,85-1010
Высота ненагруженной пружины по формуле (532) Lo = 0,05-6 4- 2-0,03 = 0,36 м.
Осадка пружины под действием статической нагрузки
8-2,45.104 6-0,163
7,85-1010- 0, ОЗ4
= 0,076 м.
Жесткость пружины в горизонтальном направлении по формуле (534)
fer= 3,5-3,2-Ю5
1 -0,076/(0,7-0,36)
1,3 4-(0,36 — 0,076)/0,162
= 1,76 Ю5 Н/м.
Координаты центра масс системы
41 000 (—2,32) 4- 15 700 (—1,70) 4-710 (—1,6) 4-2600 (—4,55)
60 000
= —0,22 м;
У =
41 000 (-6,01) 4- 15 700-0,11 4- 710 (—2,43) 4- 2600 (—0,5) _
1 ■
60 000
41 000 (—0,5) 4- 15 700 -1,1 4- 710 (—0,8) 4-2600 0,27
60 000
Пружинные подставки располагаем симметрично относительно осей основания.
Моменты инерции:
основания
Jxn = 6,35-10 кг-м2; J^n = 7,17-104 кг-м2; J^ = 13-104 кг-м2; центрифуги
Лкц = 0,96-104 кг-м2; 7уц = 0,98-104 кг-м2; 72Ц = 1,25-104 кг-м2.
Пренебрегая за малостью моментами инерции привода и циклона, найдем моменты инерции^всей системы:
Jx = 6,35-104 4- 0,96-104 4- 41 000 (0,5 — 0,05)2 4- 15 700 (1,1 — 0,05)2 4-
+ 710 (0,8 — 0,05)2 4- 2600 (0,27 4- 0,05)2 = 10,2-104 кг-м2;
Jy = 7,17-104 4- 0,98-104 4- 41 000 (0,5 — 0,05)2 4- 15 700 (1,1 4- 0,05)2 4-
4-710 (0,8 — 0,05)2 4- 2600 (0,27 4- 0,05)2 = 11,ЫО4 кг-м2;
J = 13-104 4- 1,25-1044- 15 700 (2,22 — 1,7)2 4- 710-2,532 4- 2600 (4,55 —
— 2,22)2 = 16,5:104 кг-м2.
Находим частоты собственных колебаний по формулам (501)—(506):
ш2 = ш2 (24 • 1,76 • 105)/60 000 = 70,4 рад2/с2;
<р2Л. = (3,2.105Л,82.24 4- 1,76.105.0,952.24)/(10,2.104) =280. рад2/с2;
ш2^ = (1,76-105-0,952.24 + 3,2.105-1,6-16)/(16,5.104)= 152 рад2/с; -
ш2г = (1,76- Ю5.1,62.16+ 1,761,82.24.105)/(16,5-104) = 127 рад2/^:/
439
Для определения частот связанных колебаний находим коэффициенты связи по формулам (512) и (513):
На = [1,76-106 (—0,95) 24]/60 000 = —66,7 Н/(кг-ма);
Рб = (1,76-ЮБ (—0,95) 24/(10,2-104) = —39,2 Н/(кг-м2).
Две частоты связанных колебаний вдоль оси Оу и вокруг оси Ох найдем по формуле (514):
«12 = (70,4 + 280)/2 ± V[(70,4 — 280)2 + 4-66,7-39,2] =
= 350 ± 234/2 рад2/с2.
Определим коэффициенты связи рс и цд по формулам (516) и (517):
рс = [1,76-105 (—0,95) 24]/60 000 = —66,7 Н/(кг-ма);
= (1,76-Ю5 (—0,95) 24]/П,Ы04 = —36 Н/(кг-м2).
По формуле (518) находим частоты колебаний:
= (70,4 + 152)/2 ± V[(70,4— 152)2 +4-66,7-36] =
= 222 ± 127/2 рад2/с2.
Найденные частоты собственных колебаний значительно меньше частоты вынужденных колебаний:
Й2 = (3,14- 600)2/30 = 3948.
Определим амплитуду поступательных колебаний центра масс системы по формулам типа (507) с учетом динамической нагрузки, равной 47 500 Н
аг = 0; Оу = аж = 47 500 /(60 000-3948) = 2,01 • 10"4.
Далее найдем возмущающие моменты.
При направлении силы вдоль оси Оу
Мх = —47 500-1,5 = — 71 000 Н-М; Му = 0;
Mz = 47 500 (2,22 — 1,7) = 24 600 Н-м.
При направлении силы вдоль оси Oz.
Мх = 47 500-0,1 = 4750 Н-м;
Ми = —47 500 (2,22 — 1,7) = —24 600 Н-м; Mz = 0.
Углы поворота по формулам (507),
Фх = —71 000/(10,2-104-3948) = -1,9-104 рад; ФУ = 0;
yz = 24 600/(16,5-104-3948) = 0,37-10"4 рад.
Если определить амплитуду колебаний точки с координатами —0,6; 0; 2,6, то наибольшее смещение в этом случае равно 232 мкм.
Динамическая нагрузка на несущую конструкцию:
вертикальная составляющая
р _47 500 н-
3948/130— 1600 Н’
горизонтальная составляющая
_47 500
Р« 3948/70,4—1865 н-
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
1 Z°
Нормальное распределение Ф (г0) = -т=- е“z2/2dz у 2л J
20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
0,5000
0,5040
0,5080
0,5120
0,5160
0,5199
0,5239
0,5279
0,5319
0,5359
0,1
0,5398
0,5438
0,5478
0,5517
0,5557
0,5596
0,5636
0,5675
0,7514
0,5753
0,2
0,5793
0,5832
0,5871
0,5910
0,5948
0,5987
0,6026
0,6064
0,6103
0,6141
0,3
0,6179
0,6217
0,6255
0,6293
0,6331
0,6368
0,6406
0,6443
0,6480
0,6517
0,4
0,6554
0,6591
0,6628
0,6664
0,6700
0,6736
0,6772
0,6808
0,6844
0,6879
0,5
0,6915
0,6950
0,6985
0,7019
0,7054
0,7088
0,7123
0,7157
0,7190
0,7224
0,6
0,7257
0,7291
0,7324
0,7357
0,7389
0,7422
0,7454
0,7486
0,7517
0,7549
0,7
0,7580
0,7611
0,7642
0,7673
0,7703
0,7734
0,7764
0,7794
0,7823
0,7852
0,8
0,7881
0,7910
0,7939
0,7967
0,7995
0,8023
0,8051
0,8078
0,8106
0,8133
. 0,9
0,8159
0,8186
0,8212
0,8238
0,8264
0,8289
0,8315
0,8340
0,8365
0,8389
1,0
0,8413
0,8438
0.8461
0,8485
0,8508
0,8531
0,8554
0,8577
0,8599
0,8621
1,1
0,8643
0,8665
0,8686
0,8708
0,8729
0,8749
0,8770
0,8790
0,8810
0,8830
1,2
• 0,8849
0,8869
0,8888
0,8907
0,8925
0,8944
0,8962
0,8980
0,8997
0,9015
1,3
0,9032
0,9049
0,9066
0,9082
0,9099
0,9115
0,9131
0,9147
0,9162
0,9177
1,4
0,9192
0,9207
0,9222
0,9236
0,9251
0,9265
0,9279
0,9292
0,9306
0,9319
1,5
0,9332
0,9345
0,9357
0,9370
0,9382
0,9394
0,9406
0,9418
0,9429
0,9441
1,6
0,9452
0,9463
0,9474
0,9484
0,9495
0,9505
0,9515
0,9525
0,9535
0,9545
1,7
0,9554
0,9564
0.9573
0,9582
0,9591
0,9599
0,9608
0,9616
0,9625
0,9633
1,8
0,9641
0,9649
0,9656
0,9664
0,9671
0,9678
0,9686
0,9693
0,9699
0,9706
1,9
0,9713
0,9719
0,9726
0,9732
0.9738
0,9744
0,9750
0,9756
0,9761
0,9767
2,0
0,9772
0,9778
0,9783
0,9788
0,9793
0,9798
0,9803
0,9808
0,9812
0,9817
2,1
0,9821
0,9826
0,9830
0,9834
0,9838
0,9842
0,9846
0,9850
0,9854
0,9857
2,2
0,9861
0,9864
0,9868
0,9871
0,9875
0,9878
0,9881
0,9884
0,9887
0,9890
2,3
0,9893
0,9896
0,9898
0,9901
0,9904
0,9906
0,9909
0,9911
0,9913
0,9916
2,4
0,9918
0,9920
0,9922
0,9925
0,9927
0,9929
0,9931
0,9932
0,9934
0,9936
2,5
0,9938
0,9940
0,9941
0,9943
0,9945
0,9946
0,9948
0,9949
0,9951
0,9952
2,6
0,9953
0,9955
0,9956
0,9957
'0,9959
0,9960
0,9961
0,9962
0,9963
0,9964
2,7
0,9965
0,9966
0,9967
0,9968
0,9969
0,9970
- 0,9971
0,9072
0,9973
0,9974
2,8
0,9974
0,9975
0,9976
0,9977
0,9977
0,9978
0,9979
0,9979
0,9980
0,9981
2,9
0,9981
0,9982
0,9982
0,9983
0,9984
0,9984
0,9985
0,9985
0,9986
0.9986
441
Приложение 2
Приложение 3Приложение 3Множители Lt и £2, определяющие доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения
Приложение 3
Приложение 3
f
а
0,10
|0,05
0,025
0,01
1
0,61 7,96
0,51 15,9
0,45 31,9
0,39 79,8
2
0,66 3,08
0,58 4,42
0,52 6,28
0,47 9,88
3
0,69 2,27
0,62 2,92
0,57 3,73
0,515,11
4
0,72 1,94
0,65 2,37
0,60 2,87
0,55 3,67
5
0,74 1,76
0,67 2,09
0,62 2,45
0,58 3,00
6
0,75 1,65
0,691,92
0,64 2,20
0,60 2,62
7
0,76 1,57
0,711,80
0,66 2,04
0,62 2,38
8
0,77 1,51
0,721,71
0,681,92
0,63 2,20
9
0,78 1,47
0,731,65
0,69 1,83
0,64 2,08
10
0,79 1,43
0,741,59
0,701,75
0,66 1,98
12
0,80 1,38
0,76 1,52
0,721,65
0,68 1,83
„15
0,82 1,32
0,771,44
0,741,55
0,701,69
20
0,84 1,27
0,801,36
0,77 1,44
0,731,56
' 30
0,86 1,21
0.831,27
0,801,34
0,77 1,42
40
0,88 1,17
0,851,23
0,821,28
0,791,34
60
0,90 1,14
0,871,18
0,851,22
0,821,27
120 1
0,93 1,09
0,901,12
0,891,14
0,871,17
р
^а
р
ха
р
0,30
1,000
0,80
0,5441
1,60
0,0120
0,35
0,9997
0,85
0,4653
1,70
0,0062
0,40
0,9972
0,90
0,3927
1,80
0,0032
0,45
0,9874
0,95
0,3275
1,90
0,0015
0,50
0,9639
1,00
0,2700
2,00
0,0007
■ 0,55
0,9228
1,10
0,1777
2,10
0,0003
* 0,60
0,8643
1,20
0,1122
2,20
0,0001
0,65
0,7920
1,30
0,0681
2,30
0
0,70
0,7112
1,40
0,0397
2,40
0
0,75
0,6272
1,50
0,0222
2,50
0
Значения ла при проверке нормальности распределения
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Альтшуллер Г. С. Алгоритм изобретения. М.: Московский рабочий, 1973, 201 с.
Барановский Н. В., Коваленко Л. М., Ястребеиецкий А. Р. Пластин* чатые и спиральные теплообменники. М.: Машиностроение, 1973. 288 с.
Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзои А. С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т. 3. М.: Наука, 1973. 488 с.
4. Бауман В. А., Быковский И. И. Вибрационные машины и процессы В строительстве. М.: Высшая школа, 1977. 255 с.
Бендат Д. Ж*, Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. М.: Мир, 1974. 464 с.
Биргер И. А., Шорр Б. Ф., Иосилевич Г. Б. Расчет на прочность деталей машин: Справочник. — М.: Машиностроение, 1979. 702 с.
Болотин В. В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука, 1979. 336 с.
Бояршинов С. В. Основы строительной механики машин. М.: Машиностроение, 1973. 456 с.
Вайнберг А. А., Котляр Л. И. Технологическая эффективность оборудования зерноперерабатывающей промышленности. М.: Колос, 1975. 239 с.
Вайнберг А. А., Котляр Л. И. Эксплуатационная надежность оборудования зерноперерабатывающих предприятий» М.: Колос, 1980. 303 с.
. Вибрации в технике: Справочник. Т. 1. Колебания линейных систем/Под ред. чл.-кор. АН СССР В-. В. Болотина. М.: Машиностроение, 1979. 350 с.
Вибрации в технике: Справочник. Т. 3. Колебания механизмов, конструкций и нх элементов/Под ред. д-ра техн, наук проф. Ф. М. Диментберга и д-ра техн, наук проф. И. С. Колесникова. М.: Машиностроение, 1980. 544 с.
Вибрации в технике: Спраночник. Т. 4. Вибрационные процессы и ма- шины/Под ред. д-ра техн, наук проф. Э. Э. Лавендела. М.: Машиностроение, 1981. 509 с.
Вибрации в технике: Справочник. Т. 6. Защита от вибрации и ударов/ Под ред. чл.-кор. АН СССР К. В. Фролова. М.: Машиностроение, 1981. 456 с.
Вольмир А. С. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Машиностроение, 1956. 419 с.
Гальденблат И. И., Бажанов В. Л., Копиов-В. А. Длительная прочность в машиностроений. М.: Машиностроение,. 1977. 248 с.
47. Гончаревич И. Ф., Урьев Н. Б., Талейсннк М. А. Вибрационная техника в пищевой промышленности. М.: Пищевая промышленность, 1977. 278 с.
Ж 18. Гортинский В. В. Процессы сепарирования на зерноперерабатывающих предприятиях. М.: Колос, 1973. 295 с.
Грач С. А. Расчет круглых пластин. Фрунзе. Изд-во, Мектеб, 1979. 246 с.
VVМ 20. Гусаков Б. Ф. Исследование напряжений в деталях роторов самораз- гружающихся сепараторов в Зависимости от режима работы. — В кн.: Оборудование для разделения жидких неоднородных систем и очистки жидких смесей. М.: НИИХИММАШ, 1975, с. 255—260.
V
V
Гусаков Б. Ф., Кутепов С. М. Экспериментальное исследование п ности^роторов центробежных сепараторов из двухфазной стали. — В кн.: 1 росы прочности в химическом машиностроении. М.: НИИХИММАШ, 1 с. 112—117.
■ 22. Гуль В. Е. Структура и прочность полимеров. М.: Химия, 1978.',
М ^198'1^454^' ПРоектиРование и к0нстРУиР0Вание. Системный подход.
Жилинский И. Б. Основы надежности и долговечности. — То. МИХМа, 1976. 154 с.
Жилинский И. Б. Надежность оборудования химических производств. — Тр. МИХМа, 1979. 43 с.
Зубова А. Ф. Надежность машин и аппаратов химических производств. Л.: Машиностроение, 1978. 214 с.
Иваненко А. В., Китиашвили А. Н. Шнеково-эксцентриковый пресс. Одесса ОЦИНТИ, 1978. 3 с. (информ, листок).
Иосилевич Г. Б, Концентрация напряжений и деформаций в деталях машин. М.: Машиностроение, 1981, с. 224.
Канторович 3. Б. Основы расчета химических машин и аппаратов. М,: Машгиз, 1960 . 743 с.
Капур К-> Ламберсон Л, Надежность и проектирование систем. М,; Мир, 1980. 350 с.
Качанов Л. М. Основы механики разрушения, М.: Наука, 1974. 311 с.
Цельзои И. И. Роторные машниы. М.: Машиностроение, 1978. 325 с.
Когаев В. П. Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени. М.: Машиностроение, 1977. 232 с.
, Кудрявцев И. В., Наумченко Н. Е. Усталость сварных конструкций, М,: Машиностроение, 1966. 250 с.
35. Колесников Л. А., Муленко А. Км Сыроватский И. С. Применение вычислительной техники в инженерных и экономических расчетах. — Тр. Харьковского авиационного института им. Н. Е. Жуковского, 1978. 64 с.
Кондратьев А. Р. Исследование прочности ротора центробежного само- разгружающегося сепаратора. — Тр. ВНИЭКИПРОДМАШ, 1976, вып. 46, с. 95—107.
Кондратьев А. Р., Гаденин М. М., Махутов Н. А. Методика оценки малоцикловой прочности элементов ротора центробежного сепаратора. Тр. ВНИЭКИПРОДМАШ. 1980, вып, 540, с. 18—30.
Лессиг И. Н., Лилеев А. Ф., Соколов А. Г. Листовые металлические конструкции. М.: Стройиздат, 1970. 488 с.
Л и куч ев В. Г. Расчет частот собственных колебаний и амплитуд вынужденных колебаний трехколонных центрифуг. — Химическое и нефтяное машиностроение, 1967, № 1, с. 5—11.
Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. 399 с.
Маслов Г. С. Расчеты колебаний валов. М.: Машиностроение, 1980, с. 151.
Маслов А. М. Аппараты для термообработки высоковязких жидкостей. Л.: Машиностроение, 1980. 208 с.
- 43. Машины и оборудование для прессования в сахарной промышленности/ М. У. Канцельсон, Ю. Ю. Дербенев, Э. В. Островский, А. Н. Степанов. М.: Машиностроение, 1980. 240 с.
Милованов В. И. Повышение долговечности малых холодильных компрессоров. М.: Пищевая промышленности, 1980. 200 с.
Мильченко А. И., Барановский В. М., Приманенко В. П. Новый руководящий технический материал по расчету вертикальных валов аппаратов с мешалками.— Химическое и нефтяное машиностроение, 1980, № 6, с. 9—11.
Москвитин В. В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1972. 328 с.
Нормы расчета на прочность элементов реакторов, парогенераторов, сосудов и трубопроводов атомных электростанций, опытных и исследовательских ядериых реакторов и установок. М.: Металлургия, 1973. 408 с.
1977^^23 Л°В **' ^СН0ВЫ констРУиРования- Кн. 1. М.: Машиностроение, 49. Основы современных методов расчета на прочность в машиностроении.
Т. 2/Под ред. С. Д. Пономарева. М.: Машгиз, 1958. 973с.
Основы расчета и конструирования машин н автоматов пищевых про- изводств/Под ред. А. Я. Соколова. М.: Машиностроение, 1969. 639 с.
Паиовко Я- Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука, 1971. 240 с.
Пановко Я- Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. Л.: Машиностроение, 1976. 320 с.
Проников А. С. Надежность машин. М.: Машиностроение, 1978. 591 с.
Рачков В. И., Курылев В. Ф., Сорокина И. В. К расчету обечаек с кольцами жесткости на устойчивость. —- Химическое и нефтяное машиностроение, 1973, № 6, с. 3—5.
Рейтман М. И. Залог прочности. М.: Стройиздат, 1978. 136 с.
Самсонов Ю'. А. Прочность судовых ядерных реакторов. Л.: Судостроение, 1970. 262 с.
Светлицкий В. А., Стасенко И. В. Сборник задач по теории колебаний, М.: Высшая школа, 1979. 368 с.
Сергеев С. В. Расчеты на прочность деталей машин пищевых производств, Машиностроение, 1969. 144 с.
Сервисен С. В., Когаев В. П., Шнейдерович Р. М. Несущая способность н расчеты деталей машин на прочность: Справочное пособие. М.: Машиностроение, 1975. 488 с.
Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. И. М.: Наука, 1974. 655 с,
Соколов В. И. Центрифугирование. М.: Химия, 1976, 408 с.
Соколов В. И. Основы расчета и конструирования деталей и узлов пищевого оборудования. М.: Машиностроение, 1970. 424 с.
Соколов В. И., Соколов Н. В. Обобщение понятия индекса производительности центрифуг. — Прикладная химия, 1980, № 10.
Соколов С. Н. Расчет круглых и кольцевых пластинок постоянной и переменной жесткости.—В ки.: Расчеты на прочность. М.: Машгиз, 1958, вып. 3. с. 58—66.
Справочник по крахмало-паточному производству. М.: Пищевая промышленность, 1978. 431 с.
Стороженко О. Т., Мухин И. Н. Кинематическое возбуждение крутильных колебаний ротора виброцентрифуги. Химическое машиностроение, 1979, № 159, с. 3—6.
Тепловые и конструктивные расчеты холодильных машии/Под ред. Н./Н. Кошкина. Л.: Машиностроение, 1976. 464 с.
Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. 460 с.
Томбаев П. И. Справочник по оборудованию предприятий молочной промышленности. М.: Пищевая промышленность, 1972. 543 с.
Тоидл А. Автоколебания механических систем. М.: Мир, 1979. 429 с.
Устройство и эксплуатация оборудования предприятий пищевой про- мышленности/Под ред. А. Н. Драгилева. М.: Пищевая промышленность, 1979. 302 с.
Хеннекен П. Л., Тортра А. Теория вероятностей и некоторые ее приложения. М.: Наука, 1974. 472 с.
73. Чернов Л. Б. Основы методологии проектирования машин. М.: Маши
ностроение, 1978. 152 с.
Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.
Чижевский К. Г. Расчет круглых и -кольцевых пластин. Л.: Машиностроение, 1977. 182 с.
Школьник Л. М. Методика усталостных испытаний: Справочник. М.: Металлургия, 1978. 302 с.
Шор Я- Б., Кузьмин Ф. И. Таблицы для анализа и контроля надежности. М.: Сов. радио, 1968. 284 с.
Шувалов В. Н. Машины-автоматы и поточные линии. Л.: Машиностроение, 1973. 543 с.
Шувалов В. Н. Качество и эффективность технологических машин. Л.: Изд-во ЛГУ. 1977. 160 с.
Яковенко М. М., Медведев Б. Г. Расчет основных элементов машин и аппаратов химических производств. Изд-во Пензен. политехи, ин-та, 1978. 80 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава! Общие сведения конструирования деталей и узлов 5
Задачи конструктора пищевого оборудования 5
Общие методы конструирования оборудования 6
„§3. Использование системы автоматизированногопроектирования10
Разработка конструктивных решении 13
Г л а в а II
Основы расчета машни н аппаратов пищевых производств, .39
Элементы теории надежности 39
Надежность систем с резервированием 50
Прогнозирование надежности функционирования оборудования. .53
- Заиисимость надежности Jot распределений характеристик проч
ности и Напряжений 57
Основы оптимального конструирования 66
Расчет пластин 68
Изгиб круглых пластин, нагруженныхсимметрично 69
» Расчет круглых осесимметричных пластинпометоду начальных
параметров 72
Расчет круглых .пластин, подвергаемыхрастяжению 81
Расчет оболочек 84
Безмоментная теория оболочек вращения 84
Изгиб цилиндрической оболочки при симметричном нагружении (моментная теория) 87
Применение моментной теории к расчету сферических н конических'оболочек .96
Основы прикладнойтеории колебаний 99
Основные понятия 99
Свободные колебания 101
Свободные колебания при наличии Сил сопротивления жидкости 106 Вынужденные колебания Г 108
Колебания систем с несколькими степенями свободы. .....115
, Энергетический метод определения частоты собственных колебаний 121 Критические угловые скорости валов при отсутствии сил сопротивления 124
Критическая угловая скорость валов при наличии сил сопротивления 129
Влияние размеров роторов на критическую угловую скорость валов 130
Г л а в а Ш Емкостные н теплообменные аппараты 134
Простейшие задачи оптимального конструироиания емкостных и теплообменных аппаратов 134
Цилиндрические корпуса иертикальных аппаратов141
Сопряжение цилиндрических корпусов аппаратов с днищами 143
r§r§§ 12. Днища аппаратов . . . .
r§
r§
Выпуклые днища
Конические днища аппаратов
Плоские днища аппаратов
13.14.15.16,13.14.15.16,§ § § §§ § § §ддftftлавалаваУкрепление вырезов отверстий
13.
14.
15.
16,
13.
14.
15.
16,
§ § § §
§ § § §
д
д
ft
ft
лава
лава
Кожухотрубчатая теплообменная аппаратура
Расчеты аппаратов на устойчивость^. • ■
Надежность и долговечность емкостных и теплообменных аппаратов .
IV
ii'Ж!'Ж!Аппараты с медленно вращающимися рабочими органами
i
i
'Ж!
'Ж!
§ 17. Шнековые прессы
§ 18. Ротационные аппараты с медленно вращающимися барабанами' Т л а в а V Ротационные машины
§ 19. Общие сведения . ;
§ 20. Расчет на прочность простейших быстровращающихся дисков постоянной толщины
§ 21. Расчет дисков (дезинтеграторов, эмульсоров, дисмембраторов и т. д.) с консольными устройствами
§ 22. Расчет дисков произвольного профиля (распылительных сушилок и др.)
§ 23. Аппараты с механическими перемешивающими устройствами Критические скорости валов мешалок с учетом их массы. . . Глава VI Роторные машины
24. Основные характеристики роторных машин 25.24. Основные характеристики роторных машин 25.§§§§§§§§§§26.27.28.26.27.28.§ 30.§ 31.§ 30.§ 31.§32.§32.§ 33§ 33Роторы центрифуг и сепараторов, расчеты их на прочность , , -, Расчет сопряжений элементов роторов центрифуг, . . . . Прочность роторов сверхцентрифуг.. . .
24. Основные характеристики роторных машин 25.
24. Основные характеристики роторных машин 25.
§§§§§
§§§§§
26.
27.
28.
26.
27.
28.
§ 30.
§ 31.
§ 30.
§ 31.
§32.
§32.
§ 33
§ 33
Надежность и долгоиечность быстровращающихся узлов . . Вероятность разрушения и надежность роторов быстровращающихся узлов■ . ■
Конструирование основных узлои роторных машин Влияние жидкости в роторе на критическую угловую скорость вала Критические угловые скорости валов сепараторов и конструи- ёование опор
•пределение динамических нагрузок на опоры ротационных
aS.aS.Ж й лЖ й лмашин статистическим методом . . . Глава VII Пульсационные (поршневые) машины Глава VIII Вибрационные машины
aS.
aS.
Ж й л
Ж й л
§ 34. Общие сведения
§ 35. Расчет вибрационных машин . . . .
§ 36. Конструкции вибровозбудителей . , . Глава IX Вибрационная защита
§ 37. Основные методы виброзащиты . . .
§ 38, Виброизоляция
161164172197161164172197213213225225232225225232244244244244248248252252257270274257270274286286292303316324286286292303316324333333351351357357372372377377412412418421412412418421§ 39. Определение параметров виброизоляции Приложения Список литературы
161
164
172
197
161
164
172
197
213
213
225
225
232
225
225
232
244
244
244
244
248
248
252
252
257
270
274
257
270
274
286
286
292
303
316
324
286
286
292
303
316
324
333
333
351
351
357
357
372
372
377
377
412
412
418
421
412
412
418
421
= 1134-106 с = 3,15-10е ч.
Выше был принять вязкий характер разрушения при малых скоростях деформирования, например у нагретых металлов. Для поликристаллических металлов и сплавов при низких температурах и высоких скоростях деформирования разрушение является хрупким. В качестве эквивалентного напряжения целесообразно принимать максимальное главное напряжение.
Процесс хрупкого и вязкохрупкого разрушения рассматриваем как процесс возникновения и развития трещин в условиях ползучести. Предполагаем, что развитие трещин не влияет на деформацию ползучести.
Л. М. Качанов [311 вводит понятие сплошности ф, характеризующее развитие трещин (поврежденность материала). Если в начальный момент времени ф = 1, то с течением времени ф убывает, и в момент хрупкого разрушения ф = 0.
Зависимость сплошности от максимального главного напря; жени я имеет вид
d^/dt = —Л (Отах/ф)т,(305)
где А, т — постоянные для данного материала при соответствующей температуре.
Е Ktii S KztB2 - ^ Ky£Jxti>2 - mm2 £ KgiA2 - i—1 i=li=li=l
Учитывая формулы (502) и (504); после преобразований нахо- ходим
®4 — ((Оф* + ®у) ®2 + ЮуЮфх — рар» = 0,(511)
ББК 36.81 С 59
УДК 621.01.001 : 663/665.3.010 (075.8)
Рецензенты: кафедра «Процессы и аппараты химической технологии»МИХМа и канд. техн, наук В. И. Рачков
Легтмльвая ГородоваПуб-^- ь блиотекаим К. А НЕКРАСОВА
713122-3
Соколов В. И.
С59 Основы расчета и конструирования машин и аппара- tobv пищевых производств: Учебник для втузов по специальности «Машины и аппараты пищевых производств».— М.: Машиностроение, 1983. — 447 с., ил.
В пер.: 1 р. 40 к.
Изложены методы расчета и принципы конструирования основных деталей и сборочных соединений пищевых машин и аппаратов. Рассмотрены вопросы надежности, технологичности конструкций и техиико-экоиомических обоснований. Приведены элементы теории пластин и оболочек, прикладной теории колебаний, выбор параметров и особенности конструирования емкостных и теплообменных аппаратов роторных, пульсационных и вибрационных машин.
ББК 36.81 6П8ББК 36.81 6П82901020000-154
ББК 36.81 6П8
ББК 36.81 6П8
С 038 (01)-83154-83
© Издательство «Машиностроение», 1983 г.