Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Предисловие
Одна из главных особенностей курса алгебры, представленного в учебниках алгебры для VII—IX классов (авторы Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин), заключается в том, что в нем реализуется взаимосвязь принципов научности и доступности и уделяется особое внимание обеспечению прочного усвоения основ математических знаний всеми учащимися. Основной теоретический материал в учебниках излагается с постепенным нарастанием его сложности. Этим достигается необходимая дидактическая и логическая последовательность его построения и возможность научного обоснования основных теоретических положений.
Особенностью курса является также его практическая направленность, которая служит стимулом развития у учащихся интереса к алгебре, а также основой для формирования осознанных математических навыков н умений.
Курс алгебры построен в соответствии с традиционными содержательно-методическими линиями: числовой, функциональной; алгоритмической, уравнений и неравенств, алгебраических преобразований.
Ведущей линией курса алгебры является числовая. Вокруг нее и с опорой на нее реализуются все остальные содержательно-методические линии. Так, при изложении элементарных функций рассматриваются только числовые функции; уравнения и неравенства трактуются как определенного вида числовые соотношения, содержащие неизвестное число, которое нужно установить; алгоритмы и алгебраические преобразования основываются на известных законах и свойствах арифметических действий над числами.
«Идеология» основного курса алгебры делает его органическим продолжением и обобщением курса арифметики. Центральное понятие этого курса ——понятие числа развивается н расширяется от рационального до действительного (и частично комплексного).
Изложение, как правило, ведется конкретно-индуктивным методом с постепенным нарастанием роли дедукции, с опорой на практические задачи, мотивирующие полезность изучения видимых математических понятий н иллюстрирующие реальную основу математических абстракций.
Опыт показывает, что усвоение алгебры осуществляется успешно, если изучение теоретического материала проходит в процессе решения задач. Этим достигается осмысленность н прочность знаний учащихся. Большое количество разнообразных задач на применение алгебры в геометрии, физике, технике и т. д. помогает учащимся понять практическую необходимость изучения курса алгебры. При изучении смежных дисциплин, особенно геометрии и физики, учащиеся убеждаются в том, что необходимо уметь решать самые разнообразные алгебраические задачи: выполнять алгебраические преобразования, находить числовые значения алгебраических выражений, решать уравнения и неравенства, исследовать функции н строить их графики и т. д.
Структура каждого из учебников алгебры VII — IX классов такова: содержание разбито на главы и параграфы; текст каждого параграфа сопровождается трехуровневой системой упражнений в соответствии с условными обозначениями, приведенными на обороте титульного листа; к каждой главе даны дополнительные упражнения, включающие упражнения для самоконтроля под рубрикой «Проверь себя!》.В конце каждого учебника приведены упражнения для повторения курса алгебры этого класса, задачи для внеклассной работы, а в учебнике《Алгебра, 9》еще н упражнения для итогового повторения всего курса и подготовки к экзаменам. Кроме того, в конце каждого учебника помещены справочные материалы под рубрикой «Краткие теоретические сведения» и предметный указатель.
В каждом параграфе учебника приводятся решения типичных задач.
Некоторые параграфы отмечены знаком *, что указывает на их необязательный характер.
В отдельных местах текста учебников приводятся краткие исторические сведения, а также занимательные задачи. Рисункй учебника имеют как обучающий, так и иллюстративный характер.
Предполагается, что упражнения с нечетными подномерами рассматриваются 6 классе, а с четными — задаются на дом. Поэтому ответы в учебниках приведены для четных подномеров; к трудным задачам даются решения или указания.
Знания по курсу алгебры должны усваиваться постепенно. Также постепенно на протяжении всех трех лет обучения формируются и соответствующие умения и навыки.
Успешному формированию сформулированных навыков н умений способствует алгоритмическая направленность всего курса алгебры, простота терминологии н символики, достаточное количество упражнений различной трудности.
При работе с рассматриваемыми учебниками алгебры VII—IX классов учителю желательно придерживаться следующих методических рекомендаций:
— демонстрировать введение нового понятия в ходе выполнения практической задачи, как это делается почти в каждом параграфе учебника;
—не требовать от всех учащихся при устном и письменном опросе воспроизведения формулировок определений н теорем в отрыве от их практического применения;
——не подменять процесс решения задач излишне сложным оформлением их решений; предпочтение отдавать простейшим решениям, показывая (по возможности) различные способы решения одной н той же задачи;
——особое внимание уделять самостоятельной работе учащихся (в том числе и с учебником), контролируемой н организуемой учителем;
——требовать от учащихся, отвечающих у доски, комментировать ход решения задачи, обосновывать его правильность.
Структура предлагаемой книги соответствует структуре учебников.
В начале каждой главы этой книги приводится краткий обзор основных теоретических идей н положений, которые рассматриваются в соответствующей главе учебника.
Методические рекомендации даются к каждой главе и параграфу, однако они не являются подробной разработкой плана каждого урока. Для удобства работы учителя в них кратко изложены основные цели и задачи каждого раздела; указано, какой материал является основным н какой вспомогательным; сформулирован уровень требований к знаниям 4
и умениям, которые должен получить каждый учащийся к концу изучения раздела или темы; для каждого урока приведен примерный список упражнений, рекомендуемых для решения в классе и дома; даны тексты самостоятельных и контрольных работ, которые могут быть скорректированы или изменены по усмотрению учителя; приведена таблица примерного планирования времени, отводимого на изучение каждого параграфа; приведены возможные варианты решения задач повышенной трудности.
В пособии приведены рекомендации по проведению обучающей самостоятельной работы с учебником, работы со слабыми и сильными учащимися, указан минимальный уровень овладения всеми учащимися умениями и навыками к концу изучения каждой темы. Ориентиром для определения минимального уровня служат упражнения, которые в данном пособии предлагается решить учащимся самостоятельно. Полное и успешное выполнение двухуровневых контрольных работ требует от учащихся владения навыками на уровне, превышающем минимальный. Дальнейшее формирование навыков и умений более высокого уровня должно осуществляться в процессе изучения последующих тем на протяжении всего учебного года и курса основной школы.
Следует иметь в виду, что каждая конкретная рекомендация не является для учителя обязательной, многое зависит от степени подготовленности и уровня развития интереса учащихся к математике каждого конкретного класса. Особенно это относится к рекомендациям о количестве упражнений для классной, домашней и самостоятельной работы. В зависимости от конкретных условий учитель вправе вносить cbqm коррективы как в методику построения урока, так и в состав рекомендуемых упражнений.
В рекомендациях учтены особенности изучения курса в зависимости от варианта поурочного планирования учебного материала (см. с. 277—— 281). Подробные рекомендации даны для I варианта планирования (для минимального количества уроков).
Предисловие и вводные статьи к главам написаны Ю. М. Колягиным и Ю. В. Сидоровым; решения задач повышенной трудности выполнены М. И. Шабуниным. Остальной материал подготовлен М. В. Ткачевой и Н. Е. Федоровой.
7
t Алгебраические выражения
При изучении этой главы учащиеся убеждаются в том, что известные им числовые выражения являются частными случаями алгебраических выражений, если в алгебраическое выражение вместо букв подставить некоторые заданные числа. Например, числовое выражение 3,5 • 2 + 0,2 есть частный случай алгебраического выражения ab + c при а = 3,5, Ь = 2, с = 0,2.
Поэтому арифметические действия над алгебраическими выражениями аналогичны действиям над числами и обладают одними и теми же свойствами.
Например, чтобы выполнить вычитание алгебраических дробей аab а + Ь (а + 6)2 *
нужно найти их общий знаменатель, дополнительные множители и т. д., т. е. выполнить действия так же, как и в арифметике:
аЗabU _ а?土ab _ ab _ 〃 + ab—ab _ а2 а + 匕 ~ (а+ 6)2 - (а+ 6)2 一 (а + b)2 = (а + 1)2= (а + 6)2 '
Если же а = 4, fr = 3, то нужно вычислить разность дробей:
4_А 28-1216
749 —4949 '
Этот же результат можно получить, если в выражение
а2/ 工 с
在茄^ подставить а = 4, Ь = 3.
Для любых значений букв а и b вместо выполнения вычитания обыкновенных дробей можно найти соответствующее чнсло- а2 вое значение выражения 口工牙•
Таким образом, после выполнения действия над алгебраическими выражениями получаем готовую формулу для вычисления результата при любых допустимых значениях букв. В этом случае говорят, что над данным алгебраическим выражением проведено некоторое алгебраическое преобразование (как правило, с целью его упрощения).
При выполнении действий над числами или алгебраическими выражениями придерживаются принятого в математике порядка действий. Иногда этот порядок можно изменить для облегчения вычислений или преобразований с помощью известных свойств действий.
Таким образом, цель изучения первой главы ——напомнить и систематизировать известные учащимся знания из арифметики чисел и показать их неразрывную связь с начальными алгебраическими понятиями.
В результате изучения главы все учащиеся должны привести в систему свои знания по арифметике, которые составляют основу начальной алгебры: вычисление значений числовых выражений, свойства арифметических действий, порядок выполнения действий, простейшие преобразования числовых и буквенных выражений, в частности раскрытие скобок, заключение в скобки и вычисление алгебраической суммы. Все учащиеся должны уметь решать упражнения уровня 62, 63, а также из рубрики «Проверь себя!».
Числовые выражения (2/3 ч)
Цель изучения параграфа —— систематизация знаний учащихся об арифметических действиях с числами и порядке их выполнения, о нахождении значения числового выражения; знакомство с понятием верного числового равенства.
На первом уроке следует уделить внимание повторению арифметики. Организовать повторение можно в ходе выполнения следующих заданий:
Привести дроби /，"f，/ н ^ к общему знаменателю.
Записать число 7 в виде дроби со знаменателем 3; 5; 8.
Сократить дробь:
_2_.丝.丝.至
Тб* 27* 而，65*
Вычислить:
1)/ ★ 2珠-右 3)1|+2|;4)2*+3一
5)7-1|; 6) 41-f; 7) 3靑 + 喘；8)5(-1 5. Вычислить:
f-|;2) 6 母3)3》/;4)1 靑•巧；
5)2』；6)1白:2.7) 12:|;8) f :15.
Вычислить:
3,29 + 0,713; 2) 10,51-3,471; 3) 0,38-4,01;
5,032-900;5) 43,2:0,16;6) 75,48:3,7.
Записать в виде обыкновенной дроби десятичную дробь: 1,07; 0,125; 3,024.
Выполнить действия:
| + 0,25« 2) |-0,1; 3) |:0,1; 4) р 2,3.
Вычислить:
-3,4 + 7;2)-4+1,3;3)2,8- 17;
10:(-|);5)—^10;6)-0,6•(-{);
-3,2-0;8)0:(-4);9)72;
Ю) (-|)2；И)(1|)2；12)(-0,1)3.
Найти:
15% от числа 0,3; 2) число, 21 % которого равен 6,3.
При желании учитель может из предложенных выше заданий составить контрольную работу, результаты которой помогут выявить недостатки в вычислительных навыках и спланировать их устранение.
Изложение учебного материала параграфа можно провести по той логической схеме, которая реализована в учебнике. Так, на примере задачи I следует показать, что числовое выражение может возникать из потребностей практики, причем получаемое числовое выражение отражает ход решения рассматриваемой практической задачи.
В V—VI классах учащиеся уже решали несложные текстовые задачи, составляя числовые выражения и находя их значения. Закрепить эти умения можно с помощью упражнений 2 и 4.
После нахождения числового значения одного из числовых выражений (например, составленного при решении упражнения 4) 8
вводится понятие «числовое равенство». При этом следует заметить, что если при вычислении значения числового выражения не были допущены ошибки, то получается «цепочка» верных числовых равенств. Если же вычисления выполняются с ошибками, то чаще всего верного числового равенства не получается. В качестве примеров можно привести следующие равенства, не являющиеся верными: —7( —0,2) = —1,4; 6 + 12 - 3 = 54. После этого можно выполнить упражнения 8 и 9.
Решение упражнения 9( 1) может быть записано так:
1) Равенство 18,07 — 23,2 • 5 = 78,93 не является верным, так как его левая часть 18,07 — 23,2 • 5 — отрицательное число, а правая часть 78,93 — положительное число, т. е. значения левой и правой частей равенства не совпадают.
Понятию верного числового равенства следует уделить особое внимание, так как с его помощью в следующей главе будет формулироваться определение корня уравнения.
При решении задачи 2 подчеркивается значение скобок при выполнении вычислений. Эту задачу можно использовать как мотивацию к повторению алгоритма порядка выполнения арифметических действий. Можно предложить учащимся самостоятельно по учебнику (с. 4—5) повторить правила о порядке выполнения действий, после чего выполнить упражнения 5—7.
Для самостоятельного выполнения на уроке можно предложить учащимся упражнения 6(5), 7(2) и дополнительно 10.
Для домашней работы можно порекомендовать упражнения 1—3, 5—8, а также дополнительно 775 (оно имеет в конце книги указание к решению).
При обучении по II варианту для работы в классе и дома можно использовать упражнения 53, 55, 686.
К концу изучения параграфа все учащиеся должны выполнять упражнения типа 3, 4, 7, 8(1, 2).
Решение упражнений
I способ. За первые 5 — ч туристы сделали 3 пятнадца- тиминутных привала, а значит, находились в движении 5— — j X Х3 = 4,5 (ч). За это время они прошли 4 • 4,5= 18 (км). Оставшиеся 22 — 18 = 4 (км), двигаясь со скоростью 3 км/ч, туристы прошли за 4:3=1/ (ч). Весь маршрут туристы прошли за 5^ + 号=6靑(4).
Но 6备 ч больше, чем 6,5 ч.
Ответ. Туристы не успеют к отходу поезда.
способ. За первые 5 ： q туристы сделали 3 привала. Для определения времени, затраченного на путешествие, можно составить числовое выражение 5 ] +(22 -(5《-(• 3)• 4): 3.
7
Значение полученного числового выражения 6— ч, что больше 6,5 ч.*
Ответ. Туристы не успеют к отходу поезда.
Алгебраические выражения (1/1 ч)
Цель изучения параграфа ——введение понятия алгебраического выражения и формирование у учащихся умения находить значение алгебраического выражения.
Используя задачу 1 параграфа, можно подвести учащихся к пониманию алгебраического выражения как обобщения числового выражения. В ходе рассмотрения этой задачи впервые производится упрощение алгебраического выражения (с использованием свойств арифметических действий).
До выполнения упражнения 11 полезны задания на прочтение алгебраических выражений, например, такого вида: ЗаЬ (утроенное произведение чисел а и Ь), т\п (частное от деления чисел т и 〃)，Ь —/ с (разность числа b и половины числа с). Рекомендуется требовать от учащихся, выполняющих письменные задания у доски (начиная с 12), сопровождать записи алгебраических выражений их прочтением, принятым в алгебре. Например, выражение • 2a2 —七匕(упражнение 12(4)) принято прочитывать как《два а квадрат минус одна треть Ь».
Ввести понятие значения алгебраического выражения и продемонстрировать нахождение значений конкретных алгебраических выражений можно с использованием примеров текста учебника на с. 9 и задачи 2. При этом стоит заметить, что имеются алгебраические выражения, числовые значения которых не зависят от значений входящих в них букв. Это, например, выражение, составленное при решении задачи 1, или выражение 2(т + 1) — 2m.
При наличии времени с целью функциональной пропедевтики (для подготовки формирования представлений о функции как зависимой переменной, о значениях аргумента и функции) можно 10
предложить учащимся заполнить таблицу значений алгебраических выражений, содержащих в своей записи только букву %, при различных значениях х.
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
2х
2х-1
В конце урока можно предложить небольшую проверочную самостоятельную работу.
№ 12 (3, первое). [№ 12 (3, второе).]
№ 15 (1). [№ 15(2).]
Для домашней работы предлагаются упражнения 11 —13, 14—16.
При наличии времени при обучении по II варианту программы можно использовать упражнения 54, 56, 57, 687, 690.
К концу изучения параграфа все учащиеся должны справляться с упражнениями типа 11, 12.
Решение упражнений
Так как данное число 4 • 100 + fe • 10 + с кратно 30, то оно должно делиться на 10, и, значит, оно оканчивается нулем, т. е. с = 0. Кроме того, число должно делиться на 3, и поэтому на 3 :должна делиться сумма его цифр 4 + Ь. Это возможно при b = 2, ■ 6 = 5 и Ь = 8, т. е. данными числами могут быть числа 420, 450 или 480.
Алгебраические равенства. Формулы (2/3 ч)
Цель изучения параграфа — демонстрация учащимся :возможности использования букв в алгебре (при решении в общем виде текстовых задач, при записи формул, в уравнениях, при .записи законов и свойств арифметических действий) и целесооб- .разности использования буквенной записи при решении однотипных ：.задач; обучение составлению формул для решения текстовых задач.
Изучение темы можно начать с повторения знаний учащихся об использовании букв в математике. На примерах знакомых им формул (s = vt, С = 2nR, Р = 2(а+Ь) и др.) и приведенных в учеб-
нике равенств (1) и (2)——записей свойств арифметических действий, подчеркивается тот факт, что буквы в алгебре могут принимать различные значения. В выражениях и формулах, полученных в результате решения практических задач, буквами обозначают обычно положительные числа. Здесь могут быть выполнены упражнения 19, 22, 27. Дополнительно, перед выполнением упражнения 27, можно предложить учащимся записать формулы для нахождения:
расстояния s. которое проехал автомобиль за / ч, двигаясь со скоростью V км/ч;
скорости и, с которой автомобиль за / ч проехал 200 км;
времени /, которое потребовалось автомобилю, движущемуся со скоростью 80 км/ч, чтобы проехать s км.
Далее следует отметить, что в записях переместительных законов сложения и умножения, а также свойств, выраженных равенством (1), буквы могут принимать любые значения. В записи же равенства (2) буквы а и b — любые числа, а с — любое, отличное от нуля число. Обсуждение вопроса о возможных числовых значениях букв можно продолжить при устном выполнении упражнения 24.
Далее напоминается учащимся, что при решении уравнений неизвестное число они уже обозначали буквой. При этом можно рассмотреть, например, уравнения 5 + % = 8 и х2 = 4. Первое уравнение обращается в верное равенство при х = 3, а второе уравнение —при двух значениях х: х = 2 и % =—2. Рассуждение о значениях %, при которых уравнение обращается в верное равенство, является пропедевтикой введения понятия корня уравнения во II главе учебника.
Запись с помощью формул четного и нечетного натуральных чисел могла быть дана и на первом уроке. Однако эти формулы обычно используются при доказательстве различных утверждений, связанных с натуральными числами. Поэтому введение формул а = 2〃 и b = 24—1, где п и k — натуральные числа, а также выполнение упражнений 25 и 28, разумнее рассмотреть на последнем уроке по теме.
Важно постепенно научить школьников обосновывать свои высказывания типа «утверждение верно», «утверждение неверно». Учащиеся должны понимать, что обоснование справедливости любого высказывания должно опираться на известные им законы, свойства, правила, теоремы, аксиомы. А для того чтобы заявить о том, что некоторое общее высказывание неверно, достаточно привести один пример, его опровергающий. Для многих учащихся при выполнении упражнений типа 25 и 28 полезно рассмотреть несколько частных случаев, подтверждающих или опровергающих утверждение. Например, при выполнении упражнения 25(1) учащиеся могут первоначально рассмотреть суммы 1+3, 5+17, 101 4- 99 и др., чтобы, убедившись в верности высказывания «сумма некоторых пар нечетных чисел делится на 2»,
попытаться обосновать аналогичное высказывание для двух любых нечетных чисел.
На примере задачи 1 (которую учащиеся могут разобрать самостоятельно по тексту параграфа) демонстрируется удобство использования буквенного обозначения величин при решении прикладных задач (в задаче 1 требуется вычислить площадь участка при различных значениях его длины и ширины).
Задача 2 демонстрирует важность умения выражать из формулы одну букву через другие входящие в формулу буквы и числа. Следует обратить внимание учащихся на важность такого умения не только для курса алгебры, но и для успешного овладения геометрией, физикой, химией. Желательно, чтобы к концу изучения параграфа большинство учащихся смогли самостоятельно решать задачи типа 29(1, 2). Формированию этого умения может способствовать выполнение следующих заданий, в которых искомая величина (буква) находится как неизвестная компонента арифметического действия:
Найти по формуле s = vt значение:
времени /, если s = 72 км, и = 9 км/ч;
скорости и, если s = 56 км, / = 8 ч.
Записать формулу для вычисления периметра Р квадрата со стороной а. Найти сторону квадрата, периметр которого равен 36 см.
Коробка конфет стоила 尢 р. Записать формулу стоимости S в рублях коробки конфет после ее подорожания на В р. Выразить из этой формулы % через S и В.
В банке было у л воды. Записать формулу для нахождения объема V оставшейся в банке воды, выраженной в литрах, после того как из нее отлили с л воды. Выразить из полученной формулы у через V и с.
При обучении по II варианту программы после изучения формул четного и нечетного чисел можно рассмотреть в классе упражнение 69.
При наличии времени могут быть также выполнены упражнения 688, 689, 717( 1, 2).
Для индивидуальной работы при изучении темы можно предложить учащимся упражнения 31, 71, 776 (решение последнего приведено в конце учебника).
Дома учащимся можно выполнить упражнения 23, 26, 59, 62, 64, 67, 25(2), 28(2).
К концу изучения параграфа все учащиеся должны справляться с упражнениями типа 22, 24, 29(2).
Решение упражнений
1) Верно, так как если первое нечетное число а = 2〃一 1, второе нечетное число Ь = 2/г— 1 (〃 н 4 ——натуральные числа), то число а + В = 2〃 —1+24—1= 2(〃 + 4 — 1) делится на 2.
Неверно (например, 6 + 8=14, а 14 не делится на 4).
1) Верно. Пусть а = 2〃，b = 2k (〃 и k —натуральные числа), тогда число а ♦ Ь = 2〃 • 24 = 4〃4 делится на 4.
Верно. Пусть меньшее из двух последовательных четных чисел а = 2〃 (п — натуральное число), тогда следующее за ним четное число 6 = 2п + 2, или b = 2(〃+ 1). Если 〃 一 нечетное число, то (п + 1) — четное и его можно записать в виде 24 (4 — натуральное число), и тогда число Ь = 2(〃+ 1) = 2 ♦ 24 = 44 делится на 4. Если же п — четное число, т. е. n — 2k (k — натуральное число), то число а = 2〃 = 2 • 24 = 4& делится на 4.
Через 2 ч (т. е. при а = 2) турист находится на расстоянии 7 км от Л 1 -^ ч он двигался, 15 мин отдыхалj. Следующие 3 ч он двигался со скоростью 10,5:3 = 3,5 (км/ч). Через а ч турист находился на расстоянии (7 + 3,5(а —2)) км от А.
Три последовательных натуральных числа можно записать как Зп — 2, 3〃一 1, 3〃，где 〃 一 натуральное число. Их сумма (3〃 —2) + (3〃— 1) + 3〃 = 9〃 —3 = 3(3〃— 1) делится на 3.
Пусть т ——число монет по 2 р., 〃 ——число монет по 5 р.
/23 -2/п
По условию задачи 2m + 5〃 = 23, откуда, например, п = ——, где тип — натуральные числа, причем 0< т< 11. Перебирая возможные значения т, убеждаемся, что при m = 4 и m = 9 23 一 2 机
значение выражения ——-———натуральное число.
Ответ. m = 4, 〃 = 3;机=9, 〃=L
Замечание. Фактически в данной задаче решалось диофантово уравнение 2т + 5〃 = 23 на множестве натуральных чисел.
Цель изучения параграфа ——повторение известных учащимся из курса математики V——VI классов законов и свойств арифметических действий; обучение использованию этих свойств и законов действий для упрощения алгебраических выражений.
Повторение известных из курса математики VI класса переместительного и сочетательного законов сложения и умножения, а также распределительного закона можно реализовать, например, с помощью устного задания (имея выписанными на доске или плакате эти законы):
Выполнить действия двумя способами (первый раз с соблюдением порядка действия, второй ——с использованием законов арифметических действий, отмечая, каким способом вычислять было удобнее):
17 + 28 + 3; 2) 2,7 • 2 • 10; 3) 25 • 0,83 • 4;
13 • 8 + 7 • 8; 5) (3,54-2,7)- 10; 6)
Далее можно закрепить умение составлять формулы по условию задачи, выполнив упражнения 30, 29(3), после чего предложить самостоятельную работу.
№ 20. [№ 21.]
Из формулы 尸=? выразить: а) т через Р н 4; 6) 4 через m н Р.k
[Из формулы М = Зху выразить: а) % через М и у; 6) у через М и х.]
Использование свойств действий сложения и умножения (см. последние три строки на с. 14) можно продемонстрировать, например, при нахождении числовых значений следующих выражений:
1) 27,6+17,1 +2,9+10=27,6+(17,1 +2,9+10)=27,6+30=57,6;
2)《.2.廿/ =停.2)•偿•目=3.1=3;
0,6 • 7+ 1,8 • 7 + 2,6 • 7 = (0,6+ 1,84-2,6) • 7 = 5 • 7 = 35.
Задачи 1 и 2, разобранные в учебнике, показывают, что применение законов и свойств арифметических действий облегчает вычисления, а также позволяет заменять данное алгебраическое выражение более простым. С этого момента в математической лексике учащихся будет нередко использоваться словосочетание «приведение подобных слагаемых».
Покажем пример возможного оформления решения упражнения на приведение подобных слагаемых:
5) 2,1 m4-^ — 3,2m4-2и4- 1,1m — ^=(2,lm—3,2m+ l,lm)+
+ 2〃 = (2,1 — 3,2 + 1,1 )m + 2п = 0 • m + 2п = 2〃.
После рассмотрения задачи 3 внимание учащихся фиксируется 2 на операции вычитания как на нахождении неизвестного слагаемого путем прибавления к сумме числа, противоположного известному слагаемому (в задаче 3 найти х из равенства 167 + % = 650 < можно так: х = 650—167, а можно и так: % = 650+ ( — 167)). Этот 》акт позволяет обосновать свойства вычитания свойствами сложения. Например, второе из приведенных на с. 16 свойств вычитания можно сформулировать так: «Вычитание из числа а суммы чисел b н с (т. е. а —(b + с)) можно заменить сложением числа а с числом, противоположным сумме чисел бис, кото-
рое равно ( — 6) + ( —с), т. е. числу — Ь —с». Следовательно, a —(b + с) = а — b — с.
Аналогичные рассуждения можно провести и при обосновании других свойств вычитания.
Задача 4 параграфа подчеркивает важность умения упрощать алгебраические выражения в тех случаях, когда требуется найти числовые значения этих выражений.
С помощью задачи 5 обосновывается тот факт, что свойства деления выводятся из свойств умножения. Свойствам деления на практике уделяется внимания меньше, чем свойствам умножения, поэтому знакомству с их применением посвящено лишь упражнение 37.
Изучение материала параграфа может быть проведено по одному из двух способов: 1) на первом уроке изучается теоретическая часть параграфа с иллюстративными примерами применения законов и свойств арифметических действий, а на следующих уроках отрабатывается умение их применения; 2) теоретический материал изучается последовательно в три этапа (чему соответствует структура параграфа, разделенная на три смысловых блока) с закреплением каждой группы законов и свойств при выполнении соответствующих упражнений.
Для работы в классе и дома рекомендуется использовать упражнения 32—35, 36 (2—4), 37, 38 (3—6), 39, 40.
Для самостоятельной работы в классе можно предложить упражнения 36 (1), 38 (2) и разбор по тексту учебника задачи 6.
Для индивидуальной работы можно использовать задачи 41 и 774.
Для работы на следующем уроке (при изучении § 5) понадобится плакат, облегчающий усвоение правил раскрытия скобок и заключения в скобки:
—(—а) = а
— (a + b) = — a — b
a —(b + с) = а — b — с а — (Ь — с) = а—Ь + с
а +(b + с) = а +b + с a + (b— с) = а +b — с
Изготовление этого плаката можно поручить одному из учащихся.
К концу изучения параграфа все учащиеся должны знать законы сложения и умножения чисел; тот факт, что вычитание можно заменить сложением с противоположным числом, а деление —умножением на обратное число; свойства вычитания: а — (Ь + с) = а — Ь — с и а —(Ь — с) = а — b + с\ а также должны уметь выполнять упражнения типа 32, 35, 37.
При обучения по II варианту дополнительно могут быть решены упражнения 58, 776, 688, а также следующие задания:
Даны выражения:
4=3(2-%), 8=5(2% + 1), С = 2(3-5х), D = |(2x + 4). Найти:
А •¥ В, А — В, Д + С, А — С, А + D, А - D,В + С, В — С, В + D, В — D, С + D, С — D.
Используя законы и свойства арифметических действий, вычислить:
(1,74- 4,56 + 0,42): 3 4- 1,52 - 8 • 0,001 • 125.
Решение упражнений
Чтобы доказать, что сумма 41m+ 46〃 делится на 13, выделим в каждом слагаемом числа, кратные 13:
41m = 13根+ 28根，46〃 = 26〃+20机
Тогда 41 m + 46〃 = (13m + 28m) + (26〃 + 20〃 ) = (13m + 26〃)+ + (28 机 + 20〃)= 13(根 + 2n) + 4(7m + 5〃).
Число 7m 4- 5n по. условию делится на 13, тогда последнее в цепочке преобразований выражение делится на 13, так как каждое его слагаемое делится на 13.
Правила раскрытия скобок (2/2 ч)
Цель изучения параграфа —— знакомство учащихся с понятием алгебраической суммы и обучение применению правил раскрытия скобок и заключения в скобки.
Для успешного усвоения материала параграфа желательно повторить законы и свойства арифметических действий.
Для повторения этих законов и подготовки к изучению нового материала можно провести, например, следующую самостоя - тельную проверочную работу:
38 (1).
Решение. 1,2а — (0,2а + Ь) = 1,2а — 0,2а — Ь = а — Ь.
42(1).
Решение. 4,385 + (0,407 + 5,615) = 4,385 + 0,407 + 5,615 = = (4,385 + 5,615) + 0,407= 10,407.
Составить числовое выражение и найти его значение для решения задачи:
«В начале маршрута в автобус вошли 35 пассажиров, через две остановки 5 пассажиров вышли, а 8 вошли. На следующей остановке вышли 10 пассажиров и двое вошли. На последующих остановках до конца маршрута вышли еще 7 пассажиров, а вошли 11 человек. Сколько пассажиров было в автобусе, когда он подъехал к конечной остановке?»
Решение. 35 — 5 + 8— 10 + 2 — 7+ 11 =34.
Результат выполнения этих заданий (содержащих алгебраические суммы) можно оставить на доске до конца урока и использовать после изучения п. 1 параграфа. Учащиеся будут иметь перед глазами дополнительные примеры алгебраических сумм и смогут по просьбе учйтеля назвать слагаемые этих алгебраических сумм.
Прежде чем Переходить к изучению правил раскрытия скобок, полезно вновь вернуться к выполненным в начале урока заданиям и повторить свойства сложения и вычитания, которые, в частности, использовались при решении задач 38 (1), 42 (1) (желательно использовать плакат, приготовленный к предыдущему УРоку). /
Правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «плюс», учащиеся могут изучить самостоятельно по учебнику (с. 20), а потом придумать и решить по два примера на применение этого правила, обменяться тетрадями и проверить эти примеры и их решения друг у друга. Несколько примеров можно обсудить по записям на доске.
Применение правила раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «минус», у многих учащихся вызывает затруднение. Поэтому изучению этого материала необходимо уделить много внимания, особенно при работе со слабоуспевающими.
Рассматривая примеры на с. 21 перед задачей 2, необходимо попросить учащихся назвать слагаемые алгебраической суммы, заключенной в скобки, выделяя знаки каждого из них. При этом в тетради и на доске можно делать пометки, которые первое время будут служить для самоконтроля учащихся (подчеркиваются числа, изменившие знак):
140(@7- 13 + 2)= 14-7+13-2;
а㊀(G)b + c-d) = a-纟-_£ + а；
@(@а — b) + с= — а + b + с.
Решая задачу 2, а затем и упражнения 44—45, необходимо применить оба правила раскрытия скобок. При этом полезно не только вслух выделить знак перед скобкой и читать полностью выражение в скобках, которые предстоит раскрыть, но и воспользоваться обозначениями, примененными выше.
I Задача 2. Зх@(5 — (8x +3)) =3x +5Q(8x +3) =3 • x +5 — 8x — ■3=== 2 5%.
44(4).
Решение. aQ(b + (c — (d — k))) = a — bQ(c — (d — k)) = a —
b — c@(d — k) = a —b — c + d —k.
Подобные схемы для самоконтроля можно использовать по ходу фронтальной работы со всеми учащимися. Эта же схема поможет отдельным учащимся контролировать себя и при выполнении нескольких упражнений на заключение в скобки (46—47). I 47(3).
I е 一 m 一 2a2 + 362 = d (m + 2a2 - 3岳).
Проверить усвоение правил раскрытия скобок, прежде чем ■ переходить к заключению в скобки, можно, например, при выполнении следующего задания:
Поставить знак « + » или《一》в пустые клетки, чтобы равенство было верным:
□⑵+ 〃 —1) = 5 + 2% + 〃 — 1:
□ (2% + 〃 —11= 5 —2% — 〃 +1:
а □ (Ь — За + 2) = а — b + За — 2;
b □ (1 - За -2fe) = fe 4-1 - За - 2fe.
Проверить усвоение материала всего параграфа можно с помощью самостоятельной работы на 15 мин.
Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые:
а) 1,8а+ (Ь +0,2а); б) 5% —(3 — 2%).
(а) 2,3%-(у+ 6,3%);б) 4% + (5—%).]
Заключить последние два слагаемых в скобки так, чтобы 、осталось прежним значение числового выражения:
事 103-28,3-41,7.[85-42 + 21,3.]
Найти числовое значение алгебраического выражения :2х—((х + З) —0,5f/) [0,7а — ((b — а) + 2b)], если х = 2,7, у = 2,6
Выбирая упражнения для решения в классе и дома, следует обратить особое внимание на задачи 43, 45, 47, 49. Для самостоятельной обучающей работы можно использовать упражнения 42(3, 4), 44(2, 3), 46(1, 2). Для индивидуальной работы можно предложить задачи 52 и 73.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь называть слагаемые алгебраической суммы и применять правила раскрытия скобок при выполнении упражнений типа 43, 45.
Решение упражнений
1) abc = 100a+ 106 + с,
cba = 100с +10Ь + а, 100а + 10b + с+(100с + 10b+а) = 101а+ 20Ь+ 101%
100а + 10b+с-( 100с + 10b+а) = 99а- 99c = 99 (а-с) — это число делится на 9 и на 11.
Желательно обратить внимание на вопрос, который задает девочка на рисунке (с. 22), сформулировав его в виде задачи: «Делится ли на 9 и на 11 разность четырехзначного числа 1989 и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке?» Затем можно предложить учащимся решить задачу о делимости на 9 н _на 11 разности abcd—dcba.
Пусть рассматриваемое двузначное число содержит а десятков и b единиц: ab = 10а + Ь, тогда (10а+^) -11 = 110а+ lib. Так как сумма цифр а и b меньше 10, то эта сумма выражается некоторой цифрой. Запишем число, которое получится, если между а и fe вст厶внть их сумму:
100・а + 10(а + Ь)+8 = 100а+ 10а + 10Ь + 8= 110а+ 118.
На уроке обобщения и систематизации знаний в классе, где большинство учащихся интересуется математикой, можно решить задачу 72 двумя способами.
I способ.
За 〃 м ткани по 6 р. н 机 м ткани по 5 р. заплатили (6〃 +5т) р., сумму, равную 510 р., т. е. 6〃 + 5m = 510.、
Так как по условию п > 45, a m > 40, то наименьшее количество метров ткани первого и второго типа равно соответственно 46 м и 41 м, а их общая стоимость 6-46 + 5-41 =481 (р.). Так как общая стоимость покупки 510 р., то задача сводится к нахождению натуральных чисел % н у, при которых верно равенство 6% + 5y = 510 —481. Имеется только одна пара таких чисел, а именно % = 4, у=1. Следовательно, " = 46 + 4 = 50, т = 41 + 1=42.
Ответ, п = 50, т = 42.
II способ.
6〃+5m=510, выразим т через 〃： т = 510~6п = 102 — ~. Так как по условию т — натуральное, то — должно быть числом 56
натуральном. По условию п >45, при 〃 = 46, 47, 48, 49 число п •не будет числом натуральным, а при п = 50 получим 50《=60, следовательно, т= 102 — 60 = 42, что соответствует условию 42 > 40. Следующее число 〃>45, которое при умножении на ^ даст
натуральное число, будет 55: 55--^ = 66, но т= 102 — 66 = 36, 36< 40 — не соответствует условию.
Ответ, п = 50, т = 42.
Контрольная работа № 1
Вычислить:
2^・19-9・2 齐 0,25・31・4;
2) 2,5 + 5 I：(4,9 ■ 3,01-1,498-|);2) 2,5 + 5 I：(4,9 ■ 3,01-1,498-|);
2) 2,5 + 5 I：(4,9 ■ 3,01-1,498-|);
2) 2,5 + 5 I：(4,9 ■ 3,01-1,498-|);
1) 28-3|-Зу-18 + 0,2-0,9-50;
2,7 - 4 I：(3,7-3,04-0,744-Д
Упростить выражение
5(3 —%)+ 7(2% —3) [3(5%-7)+ 8 (2-%)]
и найти его числовое значение при % = — 0,6 [при % = — 0,7].
Раскрыть скобки и упростить:
За-(6а-(2а-1)).[—(5Ь-(2-ЗЬ)) + 7А]
Заключить в скобки последние два слагаемых, поставив перед скобками знак « —»:
4m — 2 + 3〃 一 а. [За — b — 2т + п.]
Турист планировал пройти расстояние s км за f ч, но преодолел его на 2 ч быстрее. Записать формулу скорости, с которой шел турист.
[В магазине планировали расфасовать а кг муки в пакеты по п кг, однако затем увеличили массу муки в каждом пакете на 500 г. Записать формулу для подсчета полученного числа пакетов.]
С этой главы начинается систематическое изучение одного из важнейших алгебраических понятий — уравнения. Уравнение понимается как некоторое равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, которое требуется отыскать. Если это число является корнем уравнения, то оно обращает уравнение в верное числовое равенство.
На простых примерах показывается, что уравнение с одним неизвестным может иметь один корень, бесконечно много корней или не иметь корней.
В этой главе рассматриваются уравнения с одним неизвестным, сводящиеся к линейным. Дается алгоритм решения таких уравнений, опирающийся на свойства уравнений, которые следуют из свойств верных числовых равенств. Так как способ решения этих уравнений не приводит к потере корней и к приобретению посторонних корней, то понятие равносильности уравнений здесь не рассматривается. '
Не следует называть рассматриваемые в этой главе уравнения уравнениями первой степени, так как к линейному уравнению может быть сведено, например, и такое уравнение:
炉 + 2% = 1 — (3% —/).
Трудным является вопрос о решении текстовых задач составлением уравнения, хотя в V—VI классах учащиеся познакомились с этим методом решения задач наряду с арифметическим (по действиям).
В результате изучения главы II все учащиеся должны хорошо понимать, что такое уравнение, какое число является корнем уравнения, что значит решить уравнение, как можно проверить, правильно ли решено уравнение (вычисляя отдельно значение левой и правой частей уравнения при найденном значении неизвестного и сравнивая их). Они также должны усвоить алгоритм решения уравнений, сводящихся к линейным, и уметь решать задачи уровня предложенных в рубрике «Проверь себя!».
Уравнение и его корни (1/1 ч)
Цель изучен ия параграфа ——введение определений уравнения и корня уравнения; формирование представления о том, что значит решить уравнение.
Эффективному усвоению материала параграфа будет способствовать повторение:
нахождения неизвестных компонент арифметических действий;
понятия верного равенства;
действий по упрощению алгебраических выражений (приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок);
записи формул.
Сделать это лучше при выполнении практических заданий сле
дующего содержания.
В пустую клетку вписать число так, чтобы полученное равенство было верным:
28 + □ = 36;2) 口一8= 14;
7-口 = -8;4) □•(-7)=56;
0:1=10;6) -|：П = -ю.
Решить уравнение:
；1)% + 0,5=1,5;2) Зх = 1;
ч3) 2х-1 =5;4)乎+ 2 = 3.
司 3. Упростить выражение 3 — 5 (х+1 )+6х и найти его значение ± при % = 0; % = — 2; % = 2.
I 4. Упростить выражение 5х + 4 — 2 (х — 1) и выяснить, при ка- I ком значении % значение полученного выражения равно нулю.
I
Заметим, что при выполнении задания 2 не следует акцентировать внимание учащихся на проговаривании правил нахождения неизвестных компонент, так как в ближайшее время алгоритм решения линейных уравнений вытеснит ранее усвоенные способы
F решения простейших уравнений.
I Вводимые в этом параграфе определения имеют огромное зна- I чение для всего курса алгебры, так как будут применяться при I изучении каждого нового вида уравнений.
Решение задачи, предложенной в тексте параграфа, подведет учащихся к формулировке определений уравнения и корня урав-
нения. Закрепить усвоение понятия корня уравнения можно с помощью упражнений 75—79.
Прежде чем сформулировать, что значит решить уравнение, учащихся следует познакомить с примерами уравнений, имеющих более одного, бесконечно много корней и не имеющих корней. В дополнение к предложенным в тексте учебника (с. 28) примерам таких уравнений можно предложить также следующие:
1)3(X— 1 )(2 + х) = 0; 2) х = х, 0-х = 0;
х = х + 1, |%|=—1, 0・％ = 4.
Введение понятия линейного уравнения как уравнения вида ах = Ь следует сопровождать напоминанием о том, что учащиеся и в прошлом году, и на этом уроке уже имели дело с такого рода уравнениями (например, при разборе задачи текста этого параграфа). Утверждение учебника о том, что многие практические задачи сводятся к решению линейных уравнений, можно подкрепить решением нескольких задач.
Найти высоту прямоугольника, если его площадь равна 120 см2, а основание — 40 см.
(Линейное уравнение 40%= 120.)
Поезд движется со скоростью 80 км/ч. За какое время он преодолеет расстояние в 2000 км?
(Линейное уравнение 80х = 2000.)
Найти боковую сторону равнобедренного треугольника, основание которого 5 см, а периметр — 19 см.
(Уравнение 2% + 5= 19 приводится к виду линейного уравнения 2% = 14.)
В классе и дома выполняются упражнения 74—79, 81, 82, а при наличии времени 80, 83. Для самостоятельной работы на этом уроке может быть предложено следующее задание:
Среди чисел —4; —3; 0; 1; 6 выбрать то, которое является корнем уравнения:
4(% + 1) = %-(2—%); 2) 2-(3 + %) = 3%-1.
К началу следующего урока все учащиеся должны знать определения уравнения, корня уравнения и правильно отвечать на вопрос: «Что значит решить уравнение?» Все учащиеся должны уметь выполнять задания типа 74 и 77.
Решение упражнений
1) При а = 1 уравнение 3% + а = 3% + 5 примет вид 3% + + 1=3%+ 5. Это уравнение не имеет корней. При а=5 исходное уравнение имеет бесконечно много корней.
1) % = 75・0,18; %=13,5.
Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным (2/3 ч)
Цель изучения параграфа — обоснование основных свойств уравнений и формирование начальных умений в применении алгоритма решения уравнений, сводящихся к линейным.
При рассмотрении уравнения как равенства, в котором буква 醬 обозначает неизвестное число, обращающее данное равенство в верное, появляется возможность работать с уравнением как с вер- ,ным числовым равенством и, значит, использовать все известные %свойства числовых равенств. В связи с этим до изучения матери- <ала параграфа желательно повторить понятие верного равенства, например, с помощью следующих заданий:
.1.Проверить, является ли вернымравенство:
冬1)(2,5-4):3 = -1|+1;
?2)5-4件目=1+0,5.(-6).
(Дополнительное при наличии времени.) Записать в виде -мелового равенства и проверить, верно ли это равенство:
125
сумма чисел — и — равна разности чисел 3 и 1 —;
утроенное произведение чисел 25 и 0,4 в 2 раза больше част” пого от деления числа —0,1 на число —0,02;
土 3) удвоенная разность чисел —11 и —7 равна квадрату чис- 二 ла 2.
:Повторение свойств верных равенств можно провести с помо-
扌 щью таблицы на с. 30 и следующего устного упражнения (которое учителю желательно написать заранее на доске или продемон- :трнровать его с помощью кодоскопа):
Не выполняя действий, назвать верные равенства, полученные из данного верного равенства |2・5 =3 -1^7] (каждый раз обосновывая свои утверждения):
1) 2-5-17 = (3 + 7)-17;2・5・%(3 + 7):；;2-5:^=(3 + 7):|;1) 2-5-17 = (3 + 7)-17;2・5・%(3 + 7):；;2-5:^=(3 + 7):|;2・5 + 8 = (3 + 7) + 8;4) 2・5 + (-2) = (3 + 7) + 22・5-7 = (3 + 7)-7.2・5 + 8 = (3 + 7) + 8;4) 2・5 + (-2) = (3 + 7) + 22・5-7 = (3 + 7)-7.
1) 2-5-17 = (3 + 7)-17;
2・5・%(3 + 7):；;
2-5:^=(3 + 7):|;
1) 2-5-17 = (3 + 7)-17;
2・5・%(3 + 7):；;
2-5:^=(3 + 7):|;
2・5 + 8 = (3 + 7) + 8;
4) 2・5 + (-2) = (3 + 7) + 2
2・5-7 = (3 + 7)-7.
2・5 + 8 = (3 + 7) + 8;
4) 2・5 + (-2) = (3 + 7) + 2
2・5-7 = (3 + 7)-7.
После ответа на вопрос задачи можно вернуться к последнему равенству 6. Записать в тетради исходное равенство 2 • 5 = 3 + 7 и преобразовать его к виду 2 • 5 — 7 = 3. Сделать вывод
о том, что последнее верное равенство получилось из исходного фактически путем перенесения числа 7 из правой части в левую, поменяв при этом его знак на противоположный. После проведенных частных рассуждений можно в общем виде обосновать свойство переноса слагаемого из одной части равенства в другую с противоположным знаком, вытекающее из свойства 1 верных числовых равенств. Желательно, чтобы рассуждения между знаками • и О на с. 30 учащиеся осознанно записали в тетрадях и проговорили вслух, что «любое слагаемое можно переносить из одной части равенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный». Это свойство будет использовано при рассмотрении задачи 1 текста учебника, к разбору решения которой и следует приступить еще на первом уроке. До ее рассмотрения в слабом классе стоит повторить действие приведения подобных членов при упрощении следующих алгебраических выражений:
1) 5а + 6а;2) Зх — 8х;
у —3 + Sg;4) —a + b + 2a — 3b.,
Проводимое при решении задачи 1 рассуждение состоит из двух частей. В первой части, предполагая, что % ——корень уравнения, опираясь на свойства верных числовых равенств, устанавливается, что этим корнем может быть только число 3. Во второй части подстановкой вместо % числа 3 в исходное уравнение доказывается, что это число действительно является корнем уравнения. Тем самым учащиеся убеждаются в том, что способ нахождения значения х в первой части рассуждений может быть использован как практический способ решения уравнений, сводящихся к линейным.
Рассмотрение решения задачи 1 желательно провести самому учителю в классе и не требовать от всех учащихся воспроизведения этих рассуждений.
Свойства 1 и 2, а также алгоритм решения уравнений, сводящихся к линейным (с. 31), можно предложить учащимся прочитать по тексту учебника самостоятельно. Применение сформулированного алгоритма демонстрируется при выполнении упражнений 86—88. Для большинства учащихся запись результатов действий с уравнением в столбик является наиболее удобной, при этом они допускают наименьшее количество ошибок.
Возможную запись решения приведем ниже.
3) Зх — 5 = 10 — х,
3% + %= 10 + 5, 4% =15, % = 15: 4, Q 3 х = 3 —.
4
Ответ. х = 3 4 .
4
Желательно при обучении по I варианту на первом же уроке разобрать решение задачи 2 текста учебника и выполнить упраж-
: некие 90. При таком изучении параграфа следующий урок можно начать с самостоятельного решения по вариантам уравнений из упражнения 89. Далее рассматривается решение уравнений с дробными коэффициентами. При этом до начала разбора решения задачи 3 текста параграфа можно выполнить следующие задания:
(Устно.) Найти наименьшее общее кратное чисел:
3 и 8; 2) 4 и 8; 3) 6 и 8; 4) 6 и 3; 5) 6, 8 и 9.
Вычислить:
'1)』；2)「；3)С + ]
После рассмотрения задачи 3 выполняются упражнения 91 и 93.
При решении уравнений на этих уроках желательно требовать ••： от учащихся аргументации выполняемых действий. Например, при решении уравнения 93(3) (после записи данного уравнения) уче- ник вслух должен рассуждать так: «Обе части уравнения можно /умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число. хУмножим обе части уравнения на 6:
8-£5^= £+61 6
632 I 7
次■ результате чего получим
8-у + 2(5-4у) = 3(у + 6).
Раскроем скобки: 8—р+10 —8у = Зу+18.
Любой член уравнения можно перенести из одной части в дру- ：рую, изменив его знак на противоположный. Перенесем с противо- ^.положными знаками члены, содержащие неизвестное, в левую часть, 聲& члены, не содержащие неизвестное, в правую часть уравнения:
~ у — 8у ~ Зу = 18 — 8 — 10.
Приведем подобные члены в обеих частях уравнения:
—12у = 0..
Разделим обе части уравнения на — 12:
у = 0：(—12), откуда у = 0.
Ответ, у = 0».
При выполнении упражнения 91(1, 2) следует обратить вни- манне учащихся на возможность решения этих уравнений с нс- «пользованием основного свойства пропорции.
В заключительной части изучения материала параграфа рас- ：матриваются задачи 4 и 5, еще раз (после знакомства с разлнч- 审1Ымн уравнениями в § 6) демонстрируются примеры уравнений, ，田е имеющих корней и имеющих бесконечно много корней. При ^Выполнении упражнения 95 учащиеся данные уравнения должны убудут привести к виду 0・％ =左，где k ——отличное от нуля число. ^Выводы о том, что в уравнениях упражнения 96 любое значение '¥* является корнем уравнения, учащиеся делают после того, как Жриведут уравнения либо к виду 0-х = 0, либо к равенству двух ^одинаковых выражений.
В классе и дома выполняются упражнения 84—98, при наличии времени—116, 117, 121, 122. Самостоятельно на уроках учащимся желательно выполнить упражнения 89( 1, 3), 93(3), 94(1). Дополнительно можно выполнить 99, 100, 124, 125, 131.
К концу изучения параграфа все учащиеся должны знать свойства верных числовых равенств и алгоритм решения уравнений, приводимых к линейным, и уметь его использовать при решении уравнений, предложенных в упражнениях типа 89, 93.
Решение упражнений
97. 1) %— 0,26% = 74, 0,74% =》4, х = 74:0,74, %= 100.
1) При а<0 уравнение |х| = а не имеет корней.
131. 1) |2х- 1| = 3, 2%-1=±3,а) 2% —1=3, б) 2% — 1 = ~ 3,2% = 4,2%=—2,131. 1) |2х- 1| = 3, 2%-1=±3,а) 2% —1=3, б) 2% — 1 = ~ 3,2% = 4,2%=—2,х = 2;Ответ. %] = 2, 4 3) |х-1| = |х + 3|, а) х— 1 = % + 3, нет корней;Ответ, х = — 1.х = 2;Ответ. %] = 2, 4 3) |х-1| = |х + 3|, а) х— 1 = % + 3, нет корней;Ответ, х = — 1.% = — 1.—1.х — 1 = + (х + 3),б) % — 1 = — (% + 3), х - 1 = — % — 3, 2% = — 2, % = — 1.% = — 1.—1.х — 1 = + (х + 3),б) % — 1 = — (% + 3), х - 1 = — % — 3, 2% = — 2, % = — 1.
131. 1) |2х- 1| = 3, 2%-1=±3,а) 2% —1=3, б) 2% — 1 = ~ 3,2% = 4,2%=—2,
131. 1) |2х- 1| = 3, 2%-1=±3,а) 2% —1=3, б) 2% — 1 = ~ 3,2% = 4,2%=—2,
х = 2;
Ответ. %] = 2, 4 3) |х-1| = |х + 3|, а) х— 1 = % + 3, нет корней;
Ответ, х = — 1.
х = 2;
Ответ. %] = 2, 4 3) |х-1| = |х + 3|, а) х— 1 = % + 3, нет корней;
Ответ, х = — 1.
% = — 1.
—1.
х — 1 = + (х + 3),
б) % — 1 = — (% + 3), х - 1 = — % — 3, 2% = — 2, % = — 1.
% = — 1.
—1.
х — 1 = + (х + 3),
б) % — 1 = — (% + 3), х - 1 = — % — 3, 2% = — 2, % = — 1.
Решение задач с помощью уравнений (3/4 ч)
Цель изучения параграфа — обучение школьников структуре решения текстовых задач с помощью уравнений.
Учащиеся VII класса имеют некоторый опыт решения текстовых задач с помощью уравнений благодаря курсу математики V——VI классов. Умение решать более сложные уравнения позволяет перейти и к решению более сложных текстовых задач. К таким задачам относятся задачи «на процессы» (движение, работа, изготовление сплавов и смесей). Именно поэтому задача «на движение» по течению и против течения реки и разбирается в тексте параграфа.
Впервые учащиеся знакомятся с этапами решения задачи, которые соответствуют практическому применению математики: построение математической модели (составление уравнения), работа
с моделью (решение полученного уравнения). Ответ на вопрос задачи играет роль интерпретации результатов решения в практике (возвращение к тексту задачи).
Вариант проверки решения задачи путем составления задачи, обратной данной, который предлагается в учебнике, должен показать учащимся, что механическая подстановка в составленное уравнение его корня проверяет только решение уравнения. Учащиеся должны осознать, что если уравнение составлено не- .верно (т. е. неверно составлена модель задачи), то проверка решения уравнения не поможет установить ошибку в его составлении. Однако не следует требовать обязательного выполнения ■； проверки каждой задачи (учащиеся, испытывающие трудности $ при изучении математики, могут вообще не делать проверку ре- \ шения задачи).
Учащиеся должны знать, что начинать решение задачи с помоР щью уравнения следует с анализа ее условия: прежде всего необ- ? ходимо выяснить, с какими величинами им придется иметь дело, I какие свойства связывают между собой эти величины, затем вы- J явить зависимость между данными величинами исходя из условия I задачи и выразить эту зависимость на математическом языке. Та* кой вывод можно сделать после прочтения первого абзаца пара- I графа после решения задачи на с. 36. Анализ условия и поиск пу- 3 ти решения приведут к реализации найденного пути в виде г обоснованно составленного уравнения.
I Преодоление возможных затруднений в составлении уравнений 工 по условию задачи может способствовать выполнению следующих ? упражнений:
{1. Записать несколькими верными равенствами каждое из
предложений:
?1) 15 больше 7 на 8; 2) % больше 5 на 2;
f3) 24 больше 6 в 4 раза;
I 4) х больше 7 в 3 раза; 5) а больше b в 〃 раз.
IX
& 2. При каком значении % значения выражений — и х— 3 равны? 工 3. При каком значении у значение выражения 3 + 5у больше 卜 значения выражения 4у на 1?
纟 Прежде чем начинать решать задачи «на движение» по тече* нию и против течения реки, можно предложить для устного вы- I полнения такие упражнения:
Катер прошел по озеру 10 км за 0,5 ч. Какова скорость ка* тера?
t 2. Катер прошел по озеру % км, двигаясь со скоростью 15 км/ч. За какое время катер прошел % км?
?3. Катер двигался по течению реки, скорость которой 2 км/ч,
F со скоростью 20 км/ч. С какой скоростью двигался бы этот катер 3 по озеру?
Катер двигался по озеру со скоростью 18 км/ч. С какой скоростью двигался бы он против течения реки, скорость которой 3 км/ч?
Решение задач «на работу» может предварять, например, такое упражнение:
Один автомат может изготовить а деталей за 3 ч, другой может выполнить эту же работу за 4 ч. Найти:
производительность труда первого автомата;
производительность труда второго автомата;
производительность труда при совместной работе.
Для того чтобы у учащихся была большая практика в составлении уравнений (что наиболее важно на данном этапе обучения), можно некоторые текстовые задачи не решать в классе полностью, а ограничиться составлением уравнения. Образцом оформления решения задачи может служить решение, приведенное в тексте параграфа. Можно записывать решение и немного короче.
Анализ задач 101 —103 можно делать, используя схематическую запись условия, известную учащимся из курса математики V—VI классов.
Экономит время на уроке и оформление решения задачи с помощью таблицы. Причем такое оформление многим учащимся облегчает' решение, так как наглядно показывает связи между величинами в разных заданных ситуациях и помогает анализировать условие задачи.
Приведем пример табличной записи условия и решения задачи, который поможет наглядно установить связи между величинами.
106. 1)
Объем работы (м3)
Производительность труда (м3/дн.)
Время выполнения работы (дн.)
Планировали (норма)
(х- 16)-6
х-16
6
Выполнили
(с перевыполнением нормы)
4х
4
Так как недельную норму работы (% — 16) • 6 бригада выполнила за 4 дня, то можно составить уравнение (% — 16) -6 = 4%. Решение уравнения:
(х — 16)・ 6 = 4%,
6% — 96 = 4%,
6% — 4% = 96,2х = 96,尤=48.
Ответ. 48 м3.
......
...
...
108. 1)
Количество сахара до перекладывания (кг)
Количество переложенного сахара (кг)
Количество сахара после перекладывания (кг)
I мешок
50
X
50 — х
II мешок
80
Зх
80 — 3%
Так как по условию задачи после перекладывания в первом мешке осталось в 2 раза больше сахара, то можно составить уравнение
50 — % = 2 (80 — 3%).
Решение уравнения:
50 — % = 2 (80 — 3%),50 — % = 160 — 6%,5%= 110,% — 22.
22 кг взяли из первого мешка.
3-22 = 66 (кг) — взяли из второго мешка.
Ответ. 22 кг, 66 кг.
110. 1)
Расстояние (км)
Скорость (км/ч)
Время (ч)
^Движение против течения
4,5(х-3)
х— 3
4,5
* Движение по ? течению
2,1(х + 3)
% + 3
2,1
Так как по условию задачи лодка прошла всего 52,2 км, можно составить уравнение
4,5 (%-3) + 2,1 (%+ 3) = 52,2.
Решение уравнения:
4,5(%-3) + 2,1 (% + 3) = 52,2,
4,5%- 13,5+ 2,1%+ 6,3 = 52,2,
6,6% = 59,4,
% = 9.
Ответ. 9 км/ч.
Можно предложить, например, два способа распределения учебного материала этого параграфа по урокам.
I способ.
-й урок. Изучение теоретического материала и разбор задачи параграфа; решение задачи 110(1) с подробным оформлением на доске; составление уравнения к задаче П1(1).「
2-й урок. Анализ и подробная запись решения задачи 106( 1); составление уравнения к задаче 109(1); анализ условия задач 102(1), 105 и самостоятельное составление и решение уравнений к этим задачам.
3-й урок. Решение задач 107(1), 108(1); самостоятельное решение задачи 103.
II способ.
1 -й урок. Анализ условия и решение задач 101, 102(1), 103; анализ условия и составление уравнения к задаче 104.
2-й урок. Изучение материала параграфа; решение задачи 110( 1) полностью; составление уравнения к задаче 111(1); самостоятельное составление уравнения к задаче 110(2).
3-й урок. Анализ и подробная запись решения задачи 106( 1); составление уравнения к задаче 109(1); анализ условия и составление уравнения к задаче 107(1); самостоятельное составление уравнения к задаче 108(1).
Для домашней работы предлагаются вторые задачи в указанных номерах.
Дополнительно можно выполнить упражнения 113, 114, 138, 790, 793.
К концу изучения параграфа все учащиеся должны знать этапы решения задачи и решать задачи типа 102, 108.
Решение упражнений
. Пусть длина электропоезда % м, тогда его скорость равна м/с, расстояние, которое поезд проезжает за 15 с, составляет (% + 150) м, следовательно, скорость равна %：；50 м/с. Значит, 4= Н揑,3% = х + 150, 2% =150, х = 75.
515
Ответ. 75 м.
793. Решение задачи можно оформить с помощью таблицы.
Расстояние (м)
Скорость (м/с)
Время (с)
Движение лодки
S
X
S
X
Движение пловца по течению
伊+ х)
。+х
X
Движение пловца против течения
t(v-х)
и —х
t
Так как по течению реки пловцу пришлось проплыть расстояние, которое он плыл против течения, и расстояние, которое проплыла лодка после их первой встречи, то можно составить уравнение/.
s + t(V — х) = (?- f) (◎ +%).
Решение уравнения:
s + tv — tx = —+ s — tv — tx,
2/u = —,
sx =—.
s2/
Ответ. — м/с.
Контрольная работа № 2
摩 1. Какое из чисел — 12; 0; 5 [— 4; 0; 14] является корнем уравнения
3%-2 = 2 (% + 1)-4?[4х + 5 = 6 + 5(х-3)?]
Решить уравнение
5% + 8 + 2(6 —%)= 1 — 3(2% —3).
[4% + 6-3(%+ 1) = 5-2(%-3).]
豳，Утроенная сумма двух последовательных натуральных чисел равна 27. Найти эти числа.
[Удвоенная сумма трех последовательных натуральных чисел равна 18. Найти эти числа.]
ч При каком значении % значение выражения —— на 3 больше значения выражения —?
При каком значении % значение выражения ^^ на 3 мень- ше значения выражения —— ?]
6
)• При каком значении а уравнение от — 1 = 2%:
а) не имеет корней; б) имеет один корень?
[При каком значении а уравнение а% + 3 = % + 3:
а) имеет бесконечно много корней; б) имеет один корень?]
.олягин
Одночлены и многочлены
•♦♦・•♦・・^•♦・・・*•^•♦・^l^^^^g^j^••・・•♦・•♦・•・•・・・・»•・・♦・・•••l»♦•・・・•♦・♦・
С этой главы начинается систематическое изучение алгебраических преобразований на примерах действий со степенями, одночленами и многочленами, которое будет продолжено во всем курсе алгебры. Фактически при выполнении действия над алгебраическими выражениями данные выражения соединяются знаком этого действия и полученное выражение преобразовывается в более простое. Например, складывая 2a2b с двучленом ЗЬ — а^Ь, записываем 2a2匕 + (3b — Mb), а далее преобразуем это выражение, раскрывая скобки и приводя подобные члены:
2a2 力 +(3b - M) = 2a2b + зь- a2b = a2b + 3b.
При изучении главы III учащиеся пополняют свои знания о степени с натуральным показателем, знакомятся с новыми видами алгебраических выражений — одночленом и многочленом, а также с их преобразованиями к простейшему* (стандартному) виду. Действия и алгебраические преобразования над одночленами и многочленами выполняются с использованием известных свойств арифметических действий над числами. Например, при умножении многочлена на одночлен применяется распределительное свойство умножения с последующими преобразованиями.
В результате сложения, вычитания и умножения многочленов всегда получается многочлен, а при делении многочлен получается не всегда. Поэтому на данном этапе рассматривается только деление многочленов и одночленов нацело, т. е. когда в результате деления также получается многочлен.
В результате изучения главы III все учащиеся должны усвоить свойства степени с натуральным показателем и уметь применять их в действиях над одночленами и многочленами, уметь приводить одночлены и многочлены к стандартному виду, выполнять над ними действия и соответствующие преобразования, а также уметь решать задачи уровня 301—304 и из рубрики «Проверь себя!».
Степень с натуральным показателем (2/2 ч)
Цель изучения параграфа — знакомство учащихся с оп- h ределением степени с натуральным показателем и обучение вычис- >.лению степени числа, а также записи числа в стандартном виде. ；,： Понятия квадрата и куба числа уже знакомы учащимся. Поэто- I му с помощью первого абзаца параграфа, рисунка 1 и упражнений 133, 134 учащиеся повторяют нахождение второй и третьей s- степеней числа, подчеркивая при этом, что, например, 52 — это ?. произведение двух одинаковых множителей, каждый из которых 聲-/вен 5, т. е. 52= 5^5; 53 — это произведение трех одинаковых
2 раза
г множителей, каждый из которых равен 5, т. е. 53 = 5-5-5.
3 раза
Определение степени числа а с натуральным показателем п должно быть хорошо усвоено учащимися, так как на его основе
l'- вырабатывается алгоритм вычисления степени.
較. Для лучшего запоминания определения степени с показате- 館#ем 〃，большим 1, и 〃 = 1, а также названий компонент степени Полезно на все время изучения главы поместить перед глазами
Жучащихся следующий плакат:
〔Степень с
натуральным показателем
^Определения:
Обозначения:
1. ап=а«а-а-...*а
степень
:〃 раз
4^^\показатель
扌2. а」。.
Гстепени
：8.0М).
основание
степени
При выполнении на первом уроке упражнений 135—140 не- ：^^ходнмо требовать от учащихся грамотного прочтения выражений а" при конкретных значениях а и п.
Дополнительно можно предложить упростить записи следую- вшх выражений:一
уассуаууа; 2) 7x(-у) 7(-у) х(-у)-х 7(-у) 7(-у)х.
Возможная запись решения:
уассуаууа = ааассуууу = а3с2^4.
При рассмотрении примеров на вычисление значения степени (можно воспользоваться примерами учебника на с. 45) следует помочь учащимся понять, как найти знак степени при возведении в степень отрицательных чисел. В учебнике не дается общее правило возведения отрицательного числа в степень с четным и нечетным показателями, а рассматриваются конкретные примеры таких действий с опорой на правило умножения рациональных чисел. В дальнейшем, вычисляя степень любого отрицательного числа, ученик должен привыкнуть в первую очередь определять знак получаемого значения степени (произведения), как это делалось и при умножении рациональных чисел.
Особое внимание следует обратить на упражнение 143, тщательный разбор в классе всех заданий которого поможет избежать распространенных ошибок учащихся, считающих, что (—а)2 = —а2. При выполнении упражнений 145 и 146 подчеркивается приоритет действий третьей ступени при нахождении значений числовых выражений.
Возможная запись решения:
&7&74) -(2目
&
7
&
7
2) -5 ・(一2)з=-5 ・(一8) = 40.
Необходимо обратить особое внимание учащихся на то, что при возведении в степень нуля или единицы получается само это число.
В конце параграфа рассматриваются примеры практического использования степени с натуральным показателем для записи: 1) натуральных чисел в виде разрядных слагаемых; 2) больших чисел с помощью степени числа 10. Здесь происходит знакомство с понятием стандартного вида числа, формирование же навыка записи любого числа в стандартном виде предполагается в IX классе после изучения степени с отрицательным показателем. Поэтому упражнения 155—157 выполняются только при наличии времени.
Возможная запись решения:
I 150. 1) 249 = 249,0 = 249,0:100-100 = 2,49- 102.
В классе и дома выполняются упражнения 133—154, 158 (в сильном классе часть упражнений, в частности упражнения 153, 154, 158, может быть выполнена устно). Самостоятель- но на уроках выполняются упражнения 139, 144. При наличии времени можно рассмотреть упражнения 294—297, 305—307.
На последнем уроке при изучении параграфа можно провести проверочную работу следующего содержания:
Вычислить:
1) 62； 2) (-2)5；
5) (-2)4; 6) (-3)3 •(-2)2 +(0,2)2.
) 82; 2) (-3)4； 3) -(I)2; 4) (1|)2;
(-4)3； 6) (0,3)2+(-3)2-(-2)3.]
Упростить выражение:
У • У • У ♦ 7 • 7 • 7 • 7;2) (За) • (За) + 〃 •〃♦〃•〃• /и;
(a-b)(a-b)(a-b).
13 • 13 • 13 • с • с • с • с; 2) % • % • % + (2у) ♦ (2g) • (2g)・z;
(m + п)(т + п)(т + н)(т + п).]
Записать частное квадратов чисел хну.
[Записать произведение кубов чисел а и Ь.]
К концу изучения параграфа все учащиеся должны знать определение степени с натуральным показателем и уметь выполнять упражнения типа 137, 143, 145.
Решение упражнений
1) 2 • 104 + 3 • 102 + 6 = 20306;
20306 на 3 не делится, так как 2 + 3 + 6 не делится на 3;
20306 не делится на 5, так как последняя цифра числа не 0 [не 5.
3) Последняя цифра степени 214 — единица, степени 344 — шесть, степени 464 — четверка; последняя цифра суммы 214 + 3^4 + 464 такая же, как суммы 1+6 + 6, т. е. 3.
Свойства степени
с натуральным показателем (3/3 ч)
^«g^L.. •*........*........*........宀.......宀........>........“........“........宀.“...
Цель изучения параграфа — формирование начальных уменнй в применении свойства степени с натуральным показателем для преобразований числовых и алгебраических выражений, а также для упрощения вычислений.
При изучении материала параграфа учащиеся впервые в явном виде встречаются на уроках алгебры с теоремами и их доказательствами. Учитывая уровень подготовленности класса, учитель может либо продемонстрировать справедливость свойств на конкретных примерах (в соответствии с левыми столбцами текста учебника), либо доказать их справедливость в общем виде (по ^ правым столбцам). Воспроизведение доказательств свойств в даль- 之Нейшем требовать от всех учащихся не рекомендуется. Главное —— научить школьников применять свойства степени для успешного зыполнения на следующих уроках действий с одночленами.
В работе со слабоуспевающими учащимися на первых этапах обучения применению свойств степени полезными могут быть письменные работы по образцу. Их можно организовать, например, с помощью карточек следующего содержания:
Карточка I
Свойство 1.
ат • ап = ат+п.
1.
Записать произведение
в виде степени.
Образец:
1) 74 • 78 = 74+8 = 7%
2)砂.〃 =〃з+1 =。4.
Задания:
З5 • 39=
(4) *(4)
(-2严• (-2)19=
У . 〃 =
c .c5=
—；
2. Записать выражение в Образец:
24 • 25 • 2 = 24+5+1 = 2?
16=2 • 2 • 2 • 2=2支
ВИД
е степени с основанием 2.
Задания:
23 • 2 • 28=
8=
-；
Свойство
1. Записать частное
Образец:
1) 69 : 62= 69-2= 67;
Kapi
2. am : а，
в виде ci
очка II
1 = ат~п, т>п3 «=#0.
'епени.
Задания:
1 ) 1520: 153= ;
(0,34)8:(0,34)7=；
(-8)12:(-8)=;
2) m5：机4=机5-4 =机 1
=т.
2) %13：%4=;
〃7：〃=.
2. Записать частное в виде Образец:
1) 311:9 = 3,1:32 = 311-2= 39;
2 ) 81:3 = 27 = 33.
С1
'епени с основанием 3.
Задания:
310:27= ;
27:3=.
При изучении материала параграфа и далее при изучении всей главы полезно иметь в кабинете настенный плакат с символичес
кими записями всех пяти свойств степени (за основу плаката может быть взят рисунок на с. 51). Полезно также на уроках по изучению этой главы иметь в классе таблицы квадратов и кубов натуральных чисел от 1 до 10, а также таблицу степеней чисел 2 и 3.
Изучение материала параграфа может быть проведено по одному из двух способов: 1) на первом уроке рассматриваются все пять свойств с иллюстрациями использования каждого из них на 1—2 примерах, а на остальных уроках отрабатывается применение всех свойств при выполнении упражнений к параграфу, на последнем уроке проводится самостоятельная проверочная работа; 2) на первом уроке изучаются свойства 1 и 2 и выполняются упражнения 160—171, дополнительно 195—198, 305—308, при выполнении упражнения 161 подчеркивается справедливость свойства 1 для любого количества множителей; на втором уроке закрепляются свойства 1——2 и разбирается свойство 3, при этом решаются задания 172—177, дополнительно 199, 309, 764—770 (решения приведены в конце учебника); на третьем уроке рассматриваются свойства 4—5, выполняются упражнения на применение этих свойств и комбинированные на применение всех рассматриваемых в параграфе свойств из набора упражнений 178—194, 200—202, 308, 309, 314, проводится проверочная работа на 10—15 мин следующего содержания:
Представить выражение в виде степени:
1)(9)6 •(9；2)("3)4. а”3)"22：〃；
36с2;5)103:33;6)弓.
) (0,3)3 • (0,3严;2)(〃)з.們з)炉5： %；
25a2；5)89： 59;6)許.]
b7- b]
Найти значение выражения при Ь = —7; b= 1—・
一 d)41] < )4
証》прн а=\~- а=-4.
3*. № 200(1). [№ 200(3).]
учащиеся должны знатьучащиеся должны знатьВ результате изучения параграфа все
учащиеся должны знать
учащиеся должны знать
h пять свойств степени с натуральным показателем н уметь их применять при выполнении упражнений типа 161, 163, 168, 173, 180, ■ 185, 190.
Решение упражнений
198. 3) Зп+з：3"+1=3"+з-(п+1)=3"+з-"-1=з2
1) 3" = 9, или 3ге = 32. Равенство верно при п = 2.
(22)"= 16, или 22п = 24. Равенство верно при 2〃 = 4, т. при и = 2.
1)
I способ.
612 ■ 412(6 • 4)122412
312 • 812 = (3.8)12 = 2412 = 1
II способ.
(2・ 3)i2・(22)i2 3*(23)12(2・ 3)i2・(22)i2 3*(23)12/•236/•236
(2・ 3)i2・(22)i2 3*(23)12
(2・ 3)i2・(22)i2 3*(23)12
/•236
/•236
154154154154154
3)34 • 52 • 25 = З4 • 52 • 52 = 34 • 54 = (3 • 5)4 =亩
=53 7 • V • 82 = 52 • 82 • 5 =旦
-印• 83 • 7е • 52 - 82 • 52 • 8 一 8'
53 • 8253-25
ИЛН так:豆丁尹=—=-;
/里V /2、5 /3\7(53)425 375122537
(б?丿，® [kJ = ((2・3)2)4 • 55 . 57 = (2-3)8 .串.57
— 5—25-37 _ 25・37・У111
=28。38-55。57 = 28・38•0=^7 = 丽=丸
1) “2 = 0,25, %6 = “2)3 =(0,25)3 =用3=专；
х3 = 0,008, х6 = (х3)2 = (0,008)2 = 0,000064.
2 •1 СР。11
1) y~^ = 3 • ю3°-24=--IO6«333333.
Ответ. Примерно в 333333 раза.
Скорость света приблизительно равна 300 000 км/с. (8,3 • 1013) км:(3 -105) км/с =2,8 • 108 с = ^|^^ ?=
8 • ю4
« 8 • 104 ч = 24.365 пет = 9 лет.
1) 544 = (33 • 2)4=312 • 2* 2112 = (3 • 7)12 = 312 • 712.
Так как 24< 712, то 544< 2112;
10020 = (Ю2)20= 1040, 900010< 10 00010 = (104)10 = 1040, поэтому 1002°>900010.
2 • 522-9 • 521521(2 • 5-9)521 • 1
1)25^= 仔严 = 520 = 521~20 = 5;
(4 • 322 + 7 • 321) • 5732,(4 • 3 + 7) -19-3322 • 192]
(19-274)2=—2 • ((33)4)2= 192 • 324 =-.
1) (12- 52n+1 -8 • 52n + 4 • 52«-1):(4 • 52n~2)= 4 • 521(3 • 53-2 • 52+5)
4 . w-2= 3 • 125 — 2 • 25 + 5= 330.
Одночлен. Стандартный вид одночлена (1/1 ч)
Цель изучения параграфа — введение понятия одночлена и обучение приведению одночлена к стандартному виду.
Объяснение нового материала можно провести в соответствии с его изложением в учебнике. После рассмотрения примеров одночленов, приведенных в учебнике или предложенных учителем, стоит самих учащихся попросить записать несколько примеров одночленов. Выполнить упражнение 207, отмечая, что в каждом случае полученное выражение ——одночлен.
До рассмотрения задачи на с. 56 стоит предложить учащимся объяснить, почему, например, выражения
122, а* 5, и т. п.
считаются одночленами. Затем можно выполнить (устно) упражнение 208, а далее перейти к рассмотрению самой задачи, которая мотивирует удобство введения особой формы записи одночлена ——в стандартном виде.
Вместе с этой задачей можно, например, рассмотреть нахождение числового значения выражения
125a • 7b • 8а при а=0,1 и Ь=歳.
После этого вместе с учащимися формулируется алгоритм (он выделен на с. 56) записи любого одночлена в стандартном
виде.
При выполнении упражнений 210 и 211 желательно просить учащихся называть коэффициенты одночленов после того, как они будут записаны в стандартном виде.
В классе и дома выполняются упражнения 207—212. Самостоятельно можно предложить учащимся (по вариантам) записать в стандартном виде одночлены:
1)炉(0,75)贝号)"5；
"5(0,8)拨(1,25)"2b.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь выявлять одночлены, записанные в стандартном виде, определять коэффициент одночлена, уметь выполнять упражнения типа 209, 210(7), 211(1).
Цел ь изучения параграфа — знакомство учащихся с умножением одночленов.
Задача, рассмотренная в тексте параграфа, убеждает учащихся в практической значимости вводимого действия. Полезно при выполнении первых же упражнений по теме повторить с учащимися переместительный и сочетательный законы умножения, на основании которых находится произведение одночленов. Стоит заметить, что для умножения одночленов можно использовать знакомый учащимся алгоритм приведения одночлена к стандартному виду. При этом выполняются упражнения 213—215, 299, 222, 223.
После рассмотрения того факта, что возведение одночлена в степень есть умножение одинаковых одночленов и что в результате получается снова одночлен, выполняются упражнения 216— 220, 224—225, дополнительно 226.
В конце рассмотрения материала параграфа можно провести проверочную самостоятельную работу.
№ 221(1). [№ 221(2).]
№ 220(4). [№ 220(3).]
В результате изучения параграфа все учащиеся должны выполнять умножение одночленов и возведение одночленов в степень при выполнении упражнений типа 213, 216.
Многочлены (1/1 ч)Многочлены (1/1 ч)
Многочлены (1/1 ч)
Многочлены (1/1 ч)
Цель изучения параграфа — введение понятия многочлена как алгебраической суммы одночленов.
В начале урока желательно повторить понятие алгебраической суммы, алгоритм приведения одночлена к стандартному виду, правила умножения рациональных чисел. Это можно сделать в ходе устной работы.
Назвать слагаемые алгебраической суммы:
— 5 + За —%2；2) 2тп — k3.
Вычислить:
2 •(-{);2) -0,1 -(-30);
3)-1} (-6);4) (-4)2;5)-42;
-23;7) (-2)3.
Привести к стандартному виду одночлены:
1) - 0,5a4a28；2) 12а3(一Оa2"；
-|^(-1|)^2.
Изучение материала можно провести в соответствии с текстом параграфа. Понятия двучлена и трехчлена учащиеся могут разобрать самостоятельно по учебнику (последняя строка на с. 61 и четыре первые строки на с. 62), после чего следует предложить школьникам записать в тетрадях свои примеры двучленов и трехчленов. Необходимо подчеркнуть тот факт, что одночлен — это тоже многочлен (состоящий из одного члена), другими слагаемыми суммы можно считать число 0.
После рассмотрения задачи текста учебника в классе выполняются нечетные, номера из упражнений 227—232. Для домашней работы предлагаются четные номера из упражнений 227—— 230, а также 233, 234.
При наличии времени учитель может провести небольшую с а - мостоятельную работу с проверкой в классе (предложив, например, поменяться тетрадями соседей по парте и проверить выполнение заданий друг друга).
Записать в стандартном виде одночлен:
一机〃(-5)机2〃3р；2) ^гт^п^-^ т.
(1) —2“3匕.\“匕；2) — cd3( — 7)c3d4n.]
Возвести одночлен — ^т2п [— 2а3Ь] в третью степень.
Составить из одночленов 3炉；—0,5х; —9 [ — 0,25“； 2у; — 5] многочлен и найти его числовое значение при % = —4 [у = — 4]. После изучения параграфа все учащиеся должны знать определение многочлена, называть члены многочлена, уметь записывать все члены многочлена в стандартном виде, выполнять упражнения типа 230.
Приведение подобных членов (1/2 ч)
Цель изучени я параграфа — знакомство с одним из важнейших алгебраических преобразований ——приведением подобных членов многочлена.
Понятие подобных слагаемых (как слагаемых, имеющих одинаковую буквенную часть) знакомо учащимся из курса математики VI класса. Элементарные упрощения алгебраических выражений учащиеся уже выполняли при изучении I и II глав. Поэтому для успешного рассмотрения материала параграфа желательно повторить приведение одночленов к стандартному виду, рациональные приемы арифметических вычислений, распределительный закон умножения относительно сложения и вычитания. С этой целью в начале урока можно провести с классом устную работу.
Вычислить:
5 + 3-101-8;2) - 1,7 + 5,2 + 0,7;
6今吗+3,;4) 2,5(-3)・(-4);
0,39 • 0,97 + 0,39 • 0,03;6)四•*-备
Привести к стандартному виду одночлен:
*(-2a)3》；2)兵2(-27耳加
Привести подобные слагаемые:
5a+ 8Ь —5а + ЗЬ; 2) 4a — 7Ь — 10а + 88;
- 14 + 2%- 12-5х.
Решить уравнение
2х + 1 = х — 3.
Изучение материала параграфа можно проводить по схеме, предложенной в учебнике:
рассматривается прикладная задача, мотивирующая удобство приведения подобных слагаемых многочлена, когда необходимо вычислять его числовое значение; вводится понятие подобных одночленов (подобных членов);
рассматриваются примеры упрощения многочленов;
формулируется алгоритм приведения многочлена к стандартному виду;
выполняются упражнения на применение сформулированного алгоритма, например 235—241, из которых самостоятельно выполняются 237, 240. Дополнительно можно рассмотреть упражнения 242 и 243.
Интересующимся математикой учащимся можно предложить доказать, что:
сумма трех;
сумма четырех последовательных натуральных чисел не может быть простым числом.
Следует обратить внимание (особенно при работе со слабоуспевающими учащимися) на тот факт, что при приведении подобных членов буквенные множители остаются неизмененными (степени буквенных множителей не меняются).
Подробную запись упрощения многочлена следует использовать лишь при выполнении первых упражнений. Для учащихся, которые допускают ошибки в приведении подобных членов, подробная запись должна быть обязательной до тех пор, пока преобразования не будут выполняться безошибочно. Для некоторых учащихся уже при выполнении, например, упражнения 239(1):
2a2b - 8" + 5a2b + 5c2 _ 3〃 + 4c2 =
■■__ ———一 ''^^-^—' ,",=^>-^-
-(2+5)出力 + (-8 -3)—2 + (5 + 4)c2= 7a2b- ll^2+9c2 первый этап преобразований может быть опущен.
Особое внимание стоит обратить на приведение подобных членов с противоположными коэффициентами, например, при выполнении 237( 1): 1 1%2 + 〃 —炉—好(говоря при этом, что одночлены 4х и — 4х взаимно уничтожаются). Традиционно у слабоуспевающих учащихся возникают проблемы с приведением подобных членов, когда один (или несколько) из них имеет коэффициент 1 или — 1.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны научиться применять алгоритм приведения многочлена к стандартному виду при выполнении упражнений 237, 240.
Сложение и вычитание многочленов (2/3 ч)
Цель изучения параграфа — формирование умения приводить сумму и разность многочленов к многочлену стандартного вида.
Первый урок можно начать с выполнения самостоятельной работы (с последующей фронтальной проверкой), в ходе которой актуализируются навыки раскрытия скобок и приведения подобных членов:
Раскрыть скобки и вычислить:
3,64-(5,21 +6,79-4,36).
Упростить выражение
2а+ ЗВ+ (4а-5Ь) - (7а —8Ь).
Привести подобные члены: 团2—з〃—6〃 — 8m2.
Найти числовые значения многочлена
5х2 —х2—10 при х = у.
После рассмотрения вводных задач параграфа (с. 67) следует с помощью учащихся сформулировать алгоритм приведения алгебраической суммы нескольких многочленов к многочлену стандартного вида и приступить к выполнению упражнений 244—246, 2^0, 252. При выполнении этих заданий полезно требовать от учащихся, работающих у доски, проговаривать выполняемые действия: «раскрываем скобки», «приводим подобные члены».
На втором уроке при выполнении упражнений 247, 249, 300 школьники учатся записывать сумму и разность заданных многочленов и преобразовывать ее в многочлен стандартного вида.
Возможная запись решения:
1) (0,1х2 + 0,02^2) + (0,17х2 - 0,08^2) = OJx2 + 0,02//2+
+ 0,17%2-0,0眦=0,27炉-0,06/;
lx2 + 0,02必)-(0,17%2 - 0,08/) = 0, lx2 + 0,02炉-
-0,17x2 + 0,08炉=-0,07х2 + 0,1 “.
Далее можно предложить учащимся самостоятельно по учебнику познакомиться со способом сложения и вычитания многочленов столбиком. Однако нахождение этим способом суммы и разности многочленов не является обязательным для усвоения всеми учащимися, поэтому выполнение упражнения 248 можно
(по желанию учителя) оформлять аналогично тому, как выполнялось задание 247.
Дополнительно на этих уроках могут быть выполнены упражнения 251 и 312. Детям, интересующимся математикой, могут быть предложены задачи 253, 254, 310, 311. Для домашней работы выбираются задания из номеров 244—252; на последнем уроке имеет смысл предложить также задания на повторение действий со степенями (например, 295, 305, 308).
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь находить сумму и разность многочленов при выполнении упражнений типа 247.
Решение упражнений
1) Пять последовательных натуральных чисел можно записать так:
п, 〃 + 1, 〃+2, 〃+3, 〃+4, где 〃eN;
их сумма, равная п + (п +1) + (п +2) + (п+3) + (п+4) = 5п + 10 = = 5(п + 2), очевидно, делится на 5.
Пусть х — число единиц, тогда Зх — число десятков (очевидно, что х может принимать лишь значение 1, 2 или 3); Зх • 10 + х — исходное число;
% ТО + Зх — число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
Согласно условию составим уравнение
(Зх • 10+х) —(х- 10+Зх) = 36.
Решим это уравнение:
ЗОх +х — 1 Ох — Зх = 36, 18х — 36, % = 2, Зх = 6.
Ответ. 62.
Пусть х — число единиц, тогда Зх — число десятков (очевидно, что х может принимать лишь значения 1, 2 или 3). Согласно условию
(Зх* 10 + х) + (х* 10 + Зх)= 132,откуда 44х = 132, х = 3, Зх = 9.
Ответ: 93.
Если у Пифагора % учеников, то согласно условию 1 , 1 , 1 ,。
—х + —х + —х + 3 = х, откуда % = 28.
Пусть миновало х ч, тогда осталось (12—х) ч. Согласно ус-
2J[з
ловию 2 ・§х=12 —х, откуда % = 5尸q, что составляет 5尸：12 =尸.
Пусть на третьей остановке вышло х человек, тогда и — 2机 + x = k, откуда x = k — n + 2m.
Умножение многочлена на одночлен (1/2 ч)
Цель изучения параграфа 一 знакомство учащихся с алгоритмом умножения многочлена на одночлен.
Выполнение умножения многочлена на одночлен основано на знакомом учащимся распределительном свойстве умножения, а в процессе приведения многочлена к стандартному виду учащимся придется приводить к стандартному виду входящие в него одночлены. В связи с этим в первой части урока полезно выполнить следующие задания:
Вычислить двумя способами
々(7-2,1 +1,4).
Применяя распределительное свойство умножения, упростить выражение
(За-58)・4-(2а-Ь)・3.
№ 255.
Представить в виде степени произведение'
"3 • а* 匕.力4, с3 . с . с7
Представить в виде одночлена стандартного вида
2аЬЗа2Ь, — ^^У (— 4)х^5.
После рассмотрения вводной задачи текста параграфа и следующего за ней примера умножения двучлена на одночлен учащиеся могут попробовать самостоятельно сформулировать правило умножения любого многочлена на одночлен или прочитать его по учебнику на с. 69. После выполнения одного-двух заданий из упражнений 256 и 257 можно отказаться от подробной записи умножения каждого члена многочлена на одночлен и сразу записывать ответ (многочлен — произведение), как это показано в тексте параграфа на с. 70.
У большинства учащихся не вызывает затруднений умножение многочлена и одночлена вне зависимости от того, многочлен или одночлен является первым множителем. Слабоуспевающим учащимся можно порекомендовать всегда последовательно умножать все члены многочлена на одночлен независимо от того, записан одночлен множителем перед многочленом или после него.
При выполнении упражнения 260 учащиеся осознают необходимость упрощения алгебраического выражения с целью нахождения его числового значения.
В классе и дома выполняются упражнения 255—261,
самостоятельно 259, а при наличии времени — упражнения 301(3, 4), 262, 263, 313.
В результате рассмотрения материала параграфа и выполнения упражнений учащиеся должны усвоить, что в результате умножения многочлена на одночлен получается многочлен с таким же количеством членов, как и в многочлене-множителе, который необходимо привести к стандартному виду. Все учащиеся должны самостоятельно выполнять упражнения типа 257, 259.
Решение упражнений
Пусть в первый день турист прошел х км. Тогда во второй день он прошел (0,9х + 2) км, а в третий день 0,4 (х + + 0,9х + 2) км. За 3 дня он прошел 56 км, поэтому
%+ (0,9%+ 2)+ 0,4(% +0,汝+ 2) = 56.
Решая это уравнение, находим % = 20 км.
Ответ. 20 км, 20 км, 16 км.
Умножение многочлена иа многочлен (3/3 ч)
Цель изучения параграфа — знакомство учащихся с алгоритмом умножения многочлена. на многочлен и формирование начальных умений в его применении на практике.
В начале первого урока можно проверить усвоение учащимися правила умножения многочлена на одночлен с помощью самостоятельной работы.
№ 301(1). [№ 301(2).]
Найти числовое значение выражения За(а2 + 6) — За3 + 2аЬ
[—5%(у + /)+ 5文з_ 2ху] при а = —, 6 = — 1 [при х = у, g = — 3].
После проверки работы (возможно, с помощью переносных досок) можно перейти к рассмотрению решения задачи из текста параграфа. Если в этой задаче для наглядности применения распределительного свойства умножения многочлен 2а + 力 обозначить буквой т, то ее решение можно оформить следующим образом:
S = (4а + с)(2а + Ь). Пусть 2а + b = т,
тогда S = (4а + с)т = ^ат + ст. Заменим т многочленом 2q + b:
S = 4а(2а + b) + c(2q + b) = 8a2 + 4ab + 2ac + be.
На первом уроке формулируется алгоритм умножения многочлена на многочлен и выполняются упражнения 264—266 (кроме 266(4)) на умножение двучлена на двучлен.
На следующих уроках рассматриваются задания, в которых после умножения двучленов нужно выполнять приведение многочлена к стандартному виду (упражнения 269, 270, 272), а также примеры умножения двучлена и трехчлена (267 и 271) и умножение нескольких многочленов (268).
При выполнении упражнений 264 и 265 (1,3) полезно просить учащихся проговаривать заданные алгебраические выражения и выражения, полученные в результате умножения. При выполнении 268(1, 2) (с целью подготовки учащихся к изучению формул сокращенного умножения) можно заострить внимание, например, на том факте, что «произведение разности одночленов а и ^ на их сумму равно разности квадратов этих одночленов».
Приобретенные умения в умножении одночленов и многочленов учащиеся могут продемонстрировать, например, при решении следующих уравнений:
(3% —2)(%+1) — / = 2x(%+ 2,5);
(5 + %)(2х —3) —9 = %(2% + 3);
(х + 2)(х2 — 2х + 4) = х(х— 1)(%+ 1) + 2х;
(х + 1 )(х — 1 )х + 5х = (х — 1 )(х2 + х + 1).
На последнем уроке при изучении темы рекомендуется провести следующую проверочную самостоятельную работу:
Выполнить умножение:
(3%2 — 2х + 5)・4%з； 2) (a-2b)(a2 + 2ab + 4b2).
) 3机4(2机2—机+ з)； 2) (3b + c)(9b2 —3bc + c2).]
Упростить выражение
(0一2)(a+ 2)一a(2a+1) +a[(1-必g-匂+ 3)(p-3)-p]
и найти его числовое значение при а=—3 [при у= — 2].
При работе в классе и дома выполняются упражнения 264— 269, 302, 303, 270—273 (упражнение 265 учащиеся могут выполнить самостоятельно). При наличии времени выполняются упражнения 274—277. Интересующимся математикой школьникам можно предложить упражнения 315, 316.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны усвоить алгоритм умножения многочлена на многочлен и уметь его применять при выполнении упражнений типа 267, 269.
Решение упражнений
Если а(Ь+ \ ) + Ь(а+ 1) = (а+ 1)(6 + 1), то 亜+ 纟+区 + +女=亜+4+&+ 1，откуда ab= 1, что и требовалось доказать.
316. Через год сумма вклада будет равна а+ Too'а316. Через год сумма вклада будет равна а+ Too'а
316. Через год сумма вклада будет равна а+ Too'а
316. Через год сумма вклада будет равна а+ Too'а
через 2 года равна
через 3 года равна
（。（1+乐川1+忐），
（。（1+孟丹（1+乐）,
Деление одночлена и многочлена на одночлен (2/2 ч)
Цель изучения параграфа — формирование у учащихся умения выполнять деление многочлена на одночлен.
Материал этого параграфа не является основным при изучении рассматриваемой главы, он помогает сформировать у учащихся более полные представления о действиях над алгебраическими выражениями, аналогичные представлениям о действиях над числами.
Изучение материала этого параграфа поможет учащимся в дальнейшем осознанно выполнять разложение многочлена на множители.
На первом уроке до рассмотрения п. 1 теоретической части параграфа рекомендуется на конкретных примерах (при выполнении, например, упражнений 278——280) повторить свойство деления степеней с одинаковыми основаниями, а также свойство деления произведения на число: (ab):c = (a:c) • Ь.
Возможная запись решения:
I 279. 1) |х:(-2)=(|:(-2))-х=-|х.
По усмотрению учителя пример учебника на деление одночлена 32炉石2 на одночлен 4а2 можно разобрать подробно, ссылаясь на соответствующее свойство деления (q:(6 • c)=(a:b):c или (ab):c = (a:c)・b):
(32a362)：4 =(32：4)."3炉=8絞62；
(8а3Ь2):а2 = 8^а3:а2)-Ь2 = 8аЬ2.
Таким образом, (32а3Ь2): (4а2) = 8 ab2.
До выполнения упражнения 285 следует повторить порядок выполнения действий и свойства возведения в степень произведения и степени. Сделать это можно с помощью следующих устных заданий:
Вычислить: 2-32; 32:23; 42:23.
Представить в виде степени: а5 • а2; (а5)2; (а3^)3; (—xy^z^.
До изучения п. 2 параграфа можно повторить свойство деления суммы на число с помощью конкретных заданий на вычисление: (54 + 53):53; (0,15 —0,3):0,15.
После рассмотрения примера п. 2 текста параграфа с помощью учащихся формулируется алгоритм деления многочлена на одночлен и отрабатывается его применение при выполнении упражнений 286—289. При наличии времени решаются 304, 290—293. Самостоятельно учащимися на уроке могут быть выполнены упражнения 286 (3), 287 (3), 289 (3). Интересующимся математикой учащимся можно предложить задачи 771 и 772.
При выполнении деления многочлена на одночлен следует обратить внимание учащихся на количество членов в многочлене- частном, их должно быть столько же, сколько в многочлене -дели - мом. Знание этого факта может предупредить ошибки с потерей 1 (или —1) в частном (см. 288 ⑵)，когда один из членов многочлена-делимого совпадает с делителем-одночленом (или противоположен ему). Зафиксировать сказанное можно в ходе решения следующих уравнений:
(Зх + 2х2 —х):х = 3х (х —2);
4х (х+1) = (8х3-4х2 + 2х):2х.
В конце последнего урока может быть проведена следующая проверочная самостоятельная работа:
Выполнить умножение, а затем деление выражений:
(―0,25片20)и 5aЬс; 2) (7т^ — 2^тп— Ют) и 10m.
[1) 0,4。%2yz н ( —7%yz);2}(6с —36cd +4c2)и 6с.]
Упростить выражение (14х — 7х3): 7х3 — 4х [5х — (18х — 6х4): 6х4] и найти его числовое значение при /= - 1/ при х= — 2-^-.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны научиться применять алгоритм деления многочлена на одночлен при выполнении упражнений типа 288.
Контрольная работа № 3
Представить выражение в виде степени: 1) 102 • 105; 2) 76:72; 3) (а5)3; 4) 28 • З8.
52 • 53; 2) 88:83; 3) (")5； 4)37.47 ]
Найти числовые значения суммы и разности многочленов А и В при %= —], У = 2 [х= 1,5, у = —2], если
Л = 5,5/р — 2ху2, В = 0,5х3^ — 2ху2
[Д= — 2%3у — 1,5%у2, — = — 0,4%Зу _|_ 1,5%у2].
Решить уравнение
(х-2)(х+1)-(х-1)(х + 2) + 0,2=0.
[2(х + 3)(х-2)-(2х+1)(х-3)-7=0.]
Разложение многочленов на множители
С операцией разложения на множители учащиеся знакомы из курса математики V—VI классов, где им приходилось разлагать натуральные числа на простые или составные множители. Например, 24 = 4・6 = 2・2・2・3 = 23・3.
В этой главе показывается, что с помощью разложения многочлена на множители можно упростить его запись и облегчить вычисления его числовых значений. В дальнейшем такие преобразования многочленов будут часто использоваться на протяжении всего курса алгебры: при выполнении действий над алгебраическими дробями, при решении уравнений и неравенств и др.
Задача о разложении многочлена на множители, по существу, является сложной, так как нет четкого алгоритма и приходится догадываться, какие способы можно применить в конкретном случае. Например, нелегко догадаться, что многочлен а4 + 464 можно разложить на множители, используя формулы квадрата суммы и разности квадратов:
a4 + 4 6 4 =(a2 + 2炉)2-402炉=(02 + 262_24)(出 + 26 2 + 206).
Поэтому в этой главе предлагаются только сравнительно простые упражнения. Предполагается, что формирование навыков в разложении многочленов на множители в более сложных случаях должно осуществляться на протяжении всего года и далее до конца курса. Учащиеся должны понимать, что при разложении
многочлена на множители можно использовать не один, а несколько способов и вместе с тем учиться применять наиболее удобные способы. Проверку правильности разложения на множители можно провести обратным действием — умножением. Отметим, что формулы куба суммы и куба разности (§ 22) являются необязательными для запоминания всеми учащимися, формулы для вычисления приближенных значений (§ 22) также даются только в порядке ознакомления.
В результате изучения главы IV все учащиеся должны усвоить рассмотренные в ней способы разложения многочленов на множители и уметь применять их при выполнении упражнений 322, 325, 341, 372, 411, а также из рубрики «Проверь себя!».
Цель изучения параграфа — знакомство учащихся с разложением многочлена на множители; обучение вынесению общего множителя за скобки.
Для успешного изучения темы следует повторить:
разложение натуральных чисел на простые множители;
нахождение наибольшего общего делителя нескольких чисел;
распределительный закон умножения;
свойства степеней;
деление и умножение одночленов.
Сделать это можно с помощью следующих заданий, предлагаемых по усмотрению учителя на различных этапах изучения темы:
(Устно.) Найти НОД чисел:
6 и 9; 2) 18 и 2; 3) 36 и 9;
8,12 и 30; 5) 6,9 и 14.
(Устно.) Выполнить действия:
а7 • а8; 2) 〃 . ь； з)с':с?; 4) с6:с;
2a2： а； 6) — Зх:х; 7) 48а6:( —6а);
%5уЗ：(%у)； 9)%5уЗ：“4уЗ)； 10)%5уЗ：(%5уЗ).
Заполнить пропуск одночленом стандартного вида:
8х2^3 = 2х •; 2) 8%2уЗ = 4%2y ..；
8%2уЗ = 8у2 .； 2) 8%2уЗ = _%2уЗ.
Представить одночлен 6а36 несколькими способами в виде произведения двух одночленов с натуральными коэффициентами.
С помощью задачи 1 из текста параграфа мотивируется практическое использование разложения многочлена на множители путем вынесения общего множителя за скобки. После рассмотрения примеров учебника, когда за скобку выносится числовой или буквенный множитель, полезно отметить, что в скобках остается многочлен, содержащий столько же членов, сколько их у исходного многочлена. Это поможет предупредить традиционную ошибку: потерю единицы в «оставшемся» многочлене после вынесения за скобки общего множителя. Пример ошибочного разложения на множители:
5ах —306х + 5х = 5х(а —6fe).
На первом уроке рассматривается материал параграфа до задачи 2 и выполняются упражнения 319—322, 337 (1,3). При выполнении задания 322 (1) стоит отметить, что при разложении на множители многочлена ^тп + 9л за скобки можно вынести общий множитель 3, можно 9, можно и, а можно 9〃. Однако в первых трех случаях:
9/пи + 9〃 = 3 (3 机〃 + Зи),
9 机〃 + 9〃 = 9 (机〃 + 〃 )，
9机〃 + 9〃 = 〃(9/и+9)
в скобках остается многочлен, члены которого также содержат общий множитель, т. е. процесс разложения на множители может быть продолжен. Тем самым начнется подготовка учащихся к рассмотрению задачи 2 на следующем уроке и формированию навыка «завершенного» разложения многочлена на множители.
На втором уроке после рассмотрения задачи 2 текста параграфа формулируется алгоритм разложения многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки, выполняются упражнения 323—327. На этом же уроке могут быть ►ассмотрены несложные примеры (упражнения 328—330) на внесение за скобки многочленов (двучленов).
На третьем уроке обосновывается равенство
a — b = — (b — a).(1)
Сделать это можно двояко:
на основе правила раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «минус»:
— (b — a)= — b+xt = a — b;
через вынесение за скобки из многочлена общего множи- геля ( — 1):
а — 6 = ( — 1) •( — а) — (一 1 )•(一 b) = 一 1( — а + Ь) = — (b — а).
В дальнейшем (к моменту изучения темы «Алгебраические ц,роби») применение равенства (1) должно стать автоматическим.
На этом уроке выполняются упражнения 331, 332—336, 337 (5), из них самостоятельно 332, 334 (1).
При выполнении упражнений 331—334 следует обратить внимание учащихся на то, что они могут получить ответ, отличный по форме от ответа учебника. Например, упражнение 333 (2) может быть выполнено двумя способами:
х(х-у)Л-у(у-х)-3{х-у)=х(х-у)-у{х-у)-3(х-у) = = (х-^)(х-^-3);
х(х-у)+у(у-х)-3(х-у)=у(у-х)-х(у-х)+3(у-х)= =(gr)(g—%+3).
Учащиеся должны понимать, что и первый, и второй ответы верны (например, первый из них можно привести к виду второго умножением на (— 1) первого множителя с последующим умножением на (— 1) и второго множителя). При этом отмечается, что (—1 )•(— 1) = 1, т. е. при таких преобразованиях происходит фактически умножение на 1 первого ответа, что не меняет значение выражения. Однако не следует каждый раз добиваться ответа в том виде, который совпадает с предложенным в учебнике.
При желании учитель может использовать упражнения 408, 409 (1) и 410. При наличии времени в конце изучения темы можно провести проверочную самостоятельную работу:
Разложить на множители:
За4-5*2) 2а-4а6 + 6а2;
З(а + Ь) —(а + 6);4) (х — у)а — (у — х)Ь.
) 4炉一7"；2) 36 +баб-9b2；
4(х + у) + (х + у);4) x(a-b)-y(b-a).]
Вычислить
7 2-1,8-37 + 65-1.8.
[1,2-47+1,2-85-32-1,2.]
Интересующимся математикой школьникам можно предложить упражнение 338, а также следующие задачи:
Доказать, что если натуральное число при делении на 4 дает в остатке 2, то это число четное.
(Доказательство. Данное число можно представить в виде 4〃+5, где 〃£N; но 4〃+ 2 = 2(2n+1 ) = 2/г, где %EN, т. е. данное число четное.)
Натуральное число а при делении на 3 дает в остатке 1, а натуральное число b при делении на 3 дает в остатке 2. Доказать, что сумма чисел а н 6 кратна трем.
Разложить на множители выражение:
5" + 5" + 2； 2) 33" + 32"; 3) 22" + з —2" + 】 + 2, где п ——натуральное число.
Доказать, что сумма двух последовательных четных степеней числа 3 оканчивается нулем.
(Доказательство. 32n + 32n+ 2 = 32n(1 + З2) = 32n TO.)
В результате изучения параграфа все учащиеся должны понимать, что значит разложить многочлен на множители, и уметь применять алгоритм вынесения общего множителя за скобки при выполнении упражнений типа 325, 329.
Решение упражнений
Рассматриваемое натуральное число можно записать в виде 225п + 150, где 〃£N, но 225〃 + 150 = 75(3〃+ 2), значит, это число делится на 75.
Цель изучения параграфа — обучение разложению на множители способом группировки многочлена, состоящего из четырех членов.
При изучении материала этого параграфа повторяется:
разложение многочлена на множители вынесением общего множителя за скобки;
правило заключения в скобки (с. 21 учебника).
Сделать это можно в ходе выполнения следующих заданий:
Разложить на множители выражение:
80 -126; 2) 10/1 + 15a2；
2а(т — и) + 36( т — и); 4) 2а(т — и) + 3fe( п — т).
Заключить в скобки все слагаемые, начиная с числа % (или —%), поставив перед скобками знак « + »:
2а — Ь + х + с\ 2) 2а — х + Ь — с.
Заключить в скобки все слагаемые, начиная с числа % (или —х), поставив перед скобками знак « —»:
т — 2п + х —р; 2) т — х + 2п—р.
На первом уроке после повторения правила заключения в скобки и после разбора задачи 1 текста параграфа выполняются упражнения 339 и 340. После рассмотрения двух примеров учебника, следующих за задачей 1, можно сформулировать алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки. Затем выполняется упражнение 341, причем при его выполнении можно показать учащимся попарную группировку членов данного многочлена двумя способами так, чтобы из каждых скобок можно было вынести общий множитель за скобки.
Возможная запись решения:
I способ, ac + bc- 2ad — 2М = (ac + bc) — (2ad + 2М)=
= с(а + b) — 2d(a + Ь) = (а + Ь)( с — 2d).
II способ, ac + bc — 2ad — 2М = (ас — 2ad) + (be — 2bd)=
= а(с — 2d) + b(c — 2d) = (c — 2d)(a + b).
После этого можно предложить учащимся самостоятельно разложить на множители двумя способами многочлен из упражнения 341(3). При этом желательно для выполнения этого же задания пригласить двоих учащихся к доске, подсказав им (с помощью стрелок), какие члены многочлена следует группировать:
Задание для 1-го учащегося:2bx — 3ay — Gby + ax = ....Задание для 1-го учащегося:2bx — 3ay — Gby + ax = ....Задание для 2-го учащегося:^'26х — Зау — Qby + ах = ....Задание для 2-го учащегося:^'26х — Зау — Qby + ах = ....
Задание для 1-го учащегося:
2bx — 3ay — Gby + ax = ....
Задание для 1-го учащегося:
2bx — 3ay — Gby + ax = ....
Задание для 2-го учащегося:
^'
26х — Зау — Qby + ах = ....
Задание для 2-го учащегося:
^'
26х — Зау — Qby + ах = ....
После выполнения этих разложений учащиеся убеждаются, что результат разложения одного многочлена не зависит от выбора группируемых членов. Следует заметить при этом, что объединять в группы нужно (в рассматриваемых упражнениях) те члены многочлена, которые имеют общий множитель.
В задание на дом после этого урока, помимо выполнения упражнений 339, 341, можно включить рассмотрение по учебнику примера разложения двумя способами многочлена 2ап + 2ап — —ЗЬт — 36п. Упражнение 341(4) предложить дома выполнить двумя способами.
На втором уроке алгоритм разложения на множители способом группировки применяется к разложению четырех членов (упражнения 342, 343 и 346), а также (после рассмотрения соответствующего примера учебника) к разложению многочленов из шести членов (упражнение 344). При наличии времени разложение многочленов в упражнении 344 можно рассматривать двумя способами.
рассмотрена следующая задача:рассмотрена следующая задача:На третьем уроке систематизируются приобретенные умения по разложению многочленов на множители способом группировки, выполняются упражнения 345 и 347. Может быть также
рассмотрена следующая задача:
рассмотрена следующая задача:
Выразить площадь прямоугольника ABCD (рис. 1) двумя способами:
как сумму площадей составляющих его четырех прямоугольников;
как произведение длины на ширину.
В результате решения задачи учащиеся наглядно убедятся в том, что
х2 + ху + XZ + zy = (х + у )(х + 2).
Интересующимся математикой учащимся могут быть предложены упражнения 348—350, а также задание на разложение на множители выражения
5“ _|_ 5“+1 + 5“+2 + 2" + 2"+i + 2"+2 + 2"+з + 2"+上
В конце этого урока можно провести проверочную самостоятельную работу:
Разложить на множители:
т — п + Чр^т — и); 2) 2а2 + а — ЮаЬ — 56;
%? — ху — 5% + 5P
[1) 3a(b — c) + b — c\ 2) 2x2 + 4xy — ax — 2ay,
m2 — mn — Qm + 9n.]
Найти значение выражения a2 — 3ab + 3a — 9b [x2 — 2xy + 3% — 6y] при a = 1, b = -/ [прн % = 2, У = -]]‘ предварительно разложив его на множители.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны научиться применять алгоритм разложения на множители способом группировки многочленов, аналогичных рассмотренным в упражнениях 341, 342.
Решение упражнений
1) (х2-4х) + х-4 = 0, х(х-4) + (х-4) = 0,
(х —4)(х+ 1) = 0.
Ответ.尢1 = 4,々=—1 •
“з — з%2)—(2炉—6%)=炉“-3)-2х(х-3) =
= (х — 3)(%2 — 2%) = (х — 3)・х•(尢—2).
((х — 3)х(х —2)):(х —2) = (х — 3)х.
1) х2 + Зх + 2 = х2 + (х + 2х) + 2 = (х2 + х) + (2х + 2) =
=х(х + 1) + 2 (х + 1) = (х + 1 )(х + 2);
3) х2-7х-8 = х2 + (х-8х)-8 = (х2 + х)-(8х + 8) =
= х(х+ 1) — 8(%+ 1) = (х+ 1)(х — 8).
1) а3 + 2а2-3 = а3 + (3а2-а2) -3 + (3а-3а)=
= (а3-а2)+ (За2 - За) + (За - 3)=叫а — 1) + За(а-1) +
+ 3(а- 1) =(а- 1)(а2 + 3а + 3);
3)小 + 2а3 + 1 = а4 + а3 + а3 + а2 — а2 — а +а + 1 =
=а3(а+1)+а2(а+ \) — а(а+ {) +(а+ i) =(а+1 )(а3 + а2—а+1).
Пример, предложенный интересующимся математикой:
5“ + 5“+i + 5“+2 + 2" + 2"+i + 2"+2 + 2"+з + 2"+4 =
= 5"( 1 +5 + 52 ) + 2"( 1 +2 + 22 + 23 + 24) =
=5" • 31 +2" • 31 =31(5" + 2").
Формула разности квадратов (3/3 ч)
Цель изучения параграфа — обучение применению формулы разности квадратов для преобразования алгебраических выражений и при упрощении вычислений.
Первый урок по теме можно начать с подготовительных упражнений на повторение, которые подведут учащихся к самостоятельному выводу формулы (1)
(а + Ь)(а — Ь) =а2 — Ь2.
(Устно.) Выполнить действия:
6а-|^; 2) 0,5а2 •(-4^3);
3)5а・(-5а); 4)肘;5) (0,1/)2.
Записать в виде алгебраического выражения:
разность чисел а н Ь;
сумму числа х и квадрата числа у;
разность квадратов чисел а и Ь.
Прочитать выражение:
т — п\ 2) а+ 6; 3) Ь2 + а2; 4) а2 — Ь2.
Выполнить умножение и привести подобные члены:
(3-а)(а + 2); 2)(5+х)(5-х);
(Зп — 2т)(^п + 2т\, 4) (а + 3)(а — Ь).
При выполнении задания 4 обращается внимание учащихся на тот факт, что при умножении суммы чисел на их разность в результате получается разность их квадратов. Так как в дальнейшем часто придется находить аналогичные произведения, то необходимо запомнить формулу (1), сокращающую записи при умножении. Все формулы сокращенного умножения должны быть на плакатах в классе перед глазами учащихся на протяжении этого и последующих уроков.
На этом уроке рассматриваются примеры 1 и 2 учебника на использование формулы (1) в упрощении вычислений, выполняются упражнения 356—360, 364—365, из них самостоятельно 357(3), 360.
Второй урок начинается с подготовки учащихся к умению использовать формулу разности квадратов для разложения двучленов вида а2 — Ь2 на множители. Этому могут способствовать следующие задания:
Представить в виде квадрата положительного числа:
64; 2) 25 ; 3) 0,09; 4)詳.
Заполнить пропуски:
.=k□『;2) -0 =k□y;3) 9炉=(3.□y;
0,0196 = (□.叶2； 5) ±a2b4 = ^_)2； 6) 0,81%8兴=(—J
После прочтения знакомой учащимся формулы .(1) справа налево учащиеся в тетради записывают формулу (2), рассматривают ее применение в примерах 1 и 2 на с. 88—89 и выполняют упражнения 352—355.
Возможная запись решения:
I 355. 1) а4 - &4 = (а2)2 - (Ь2У = (а2 - Ь2)(а2 + Ь2)=
I = (а — Ь)(а + ^)(а2 + Ь2).
После разбора примеров 3 и 4 на с. 89 учебника выполняются упражнения 361—363, при наличии времени 366, из них самостоятельно 362 (3), 363 (5).
На третьем уроке выполняются комбинированные упражнения 706, 707 (3), 708 (3) на применение формул (1) и (2), при наличии времени 414, 416.
На последнем уроке изучения темы может быть предложена следующая проверочная самостоятельная работа (на 10 мин):
Упростить выражение: ....
1) (3a-2b)(3a + 2b); 2)詹％ + 2吠2у
1) (3%-5у)(3% + 5у); 2)卜a+f ©Ь-6а).]
Разложить на множители:
4a2-9們2) (х + уУ-у2.
9с2- 16d2； 2) (a + b)2-b2.]
с с692-312 Г 762- 242 1
Вычислить —— .—~26~ •
В результате изучения темы все учащиеся должны знать алгоритм разложения на множители разности квадратов, научиться применять формулы (1) и (2) при выполнении упражнений типа 357, 359, 361, 363.
Решение упражнений
Пусть речь идет о числах 〃 и 九+ 1, где 〃 — натуральное число.
|〃2 —(〃 + 1)2| = |(〃一 〃一 1)(〃 + 〃+1)| = I —1・(2〃+1)| =2〃+1.
Число 2〃+1 — нечетное.
(7"+ 1)2 -(2"一4)2=(7"+ 1 -2" + 4)(7/+ 1 + 2"一4) = =(5〃 + 5)(9〃 — §) = 5(〃 + 1) • 3(3п — 1) = 15(〃 + 1 )(3〃 — 1), что, очевидно, делится на 15.
1) (а + А)з - (а — Ь)з - 8〃 =伍 + Ь)(а + Ь)(а + Ь)-(а - Ь)х X(a-b)(a-b)-8b3 = a3 + 3a2b + 3a2b + b3-a3 + 3a2b-3ab2 + + 〃 - 8〃 = ба2b - 6川=66(紋-炉)=6〃а - b)(a + b);
(а2+^2)2-(а2-^2)2-а2=(а2+^2-а2 + ^2)(а2 + Ь2 + а2-b2)- -а2=2〃 • 2a2 -a2 =出(4炉-1) = ^(2^ - 1 )(2fr + 1);
(a^b^-ia^-b^-a^b2 =a+/一废 + 〃)(a4+/+a4_b4)_ -出炉=2b4 .2出-出炉=a2b2(4出炉-1)=a2b2(2加一 1 )(2ab + 1);
I способ. 9a4 — 1 За2^2 + 4b4 = 9a4_9a2炉_4a2〃 + 4^4 = =9 а2(а2 -川)-4b2(M _ 炉)=(絞 _ 炉)(9絞-4b2)= 9 - _(“ + ^)x X(3a-2b)(3a + 2b).
способ. Рассматривается после изучения § 22.
(9/ - 12a2 炉 + 4")一a2 炉=(3炉 一 2b2 )2-a2炉=
=(з02- 2/一0b)(3出-2/+ ab).
Квадрат суммы.
Квадрат разности (4/4 ч)
Цель изучения параграфа ——формирование умений учащихся применять на практике формулы квадратов суммы и разности.
При изучении материала этого параграфа полезно регулярно обращать внимание учащихся на правильное прочтение формул по их алгебраической записи, а также компонентов формул: квадрата двучлена, квадратов одночленов, удвоенного произведения двух одночленов.
Подготовку к изучению нового материала на первом уроке рекомендуется начать с выполнения следующих заданий:
Найти квадрат одночлена
I； %； 2%;-段 Ь; 0,3炉.
Записать удвоенное произведение одночленов:
а н Ь; 2) 2а н Ь; 3) а н ЗЬ; 4) ^а и Ь.
Записать:"
сумму (разность) одночленов 3% и 4у;
квадрат суммы (разности) одночленов 2a и Ь;
удвоенное произведение чисел а и Ь.
Прочитать выражение:
(а+ 6)2； 2) (а-6)2； 3) (2%-р)2.
После вывода каждой из формул (1) и (2) желательно, чтобы учащиеся самостоятельно попытались проговорить их словесные формулировки. Следует сообщить, что в дальнейшем часто придется находить квадрат двучлена, поэтому формулы (1) и (2) необходимо запомнить, чтобы каждый раз не делать промежуточные вычисления. На примерах применения этих формул, приведенных в учебниках, показывается, что а и b в формулах могут быть любыми числами или алгебраическими выражениями.
На первом уроке можно разобрать примеры 1 и 2 возведения в квадрат двучленов и примеры 1 и 2 (на той же с. 91) на упрощение вычислений с помощью формул сокращенного умножения. Выполняются упражнения 370—372, 374, 375.
На втором уроке качество выполнения домашней работы можно проверить с помощью небольшой самостоятельной работы:
Представить квадрат двучлена в виде многочлена:
(6 + х)2; 2)(2а-3)2.[1) (% —7)2； 2) (1 +За)2.]
Вычислить 972. [582.]
После подготовительной работы, аналогичной предложенной к первому уроку, рассматривается пример 3 на с. 91 учебника, после чего выполняется упражнение 373. После рассмотрения примеров учебника на применение формул сокращенного умножения к приближенным вычислениям выполняется упражнение 376. При наличии времени на этом уроке полезно выполнить упражнения 409,413,384, 385.
Третий урок следует посвятить применению формул (1) и (2) при прочтении их справа налево, т. е. при разложении многочлена на множители. Этому должна предшествовать подготовительная работа, например, такого содержания:
Представить в виде квадрата число
81； 1； 0,04;2).
Представить в виде квадрата одночлен а6;炉。；4a2; 0,16х4.
Заполнить пропуски:
4аЬ = 2 • □ • Ь; 2) х = 2 • □ • %;
ab = 2 • □ • Ь; 4) 3壮=2 • □ • а?.
После рассмотрения первого абзаца с. 92 выполняются упражнения 377—381 (377 и 378 полностью в классе), 388, из них са - мостоятельно 380.
Возможная запись решения:
1) а2 + 4а + х = а2 + 2 • а • 2 + 22 = (а + 2)2; х = 4;
36а2 一 х + 49〃 = (6а)2 - 2 • 6 • 7b + (7ft)2 = (6а - 7fe)2; х = 84b.
Для домашней работы, помимо выполнения четных заданий из упражнений 379—381, 388, предложить самостоятельно по учебнику рассмотреть решение задачи (с. 92), т. е. доказательство формул кубов суммы и разности.
На четвертом уроке с помощью учителя при решении упражнения 389 демонстрируется применение формул (3) и (4) параграфа, выполняются упражнения 382, 383, 387, 417, проводится проверочная самостоятельная работа, обязательная часть которой может быть примерно следующего содержания:
Упростить выражение
(х-Зу)(х + Зу)-(%-Зу)2.
件一寸一伊-啜。+4]
Разложить на множители:
1 - 10х + 25х2; 2)出 +。+ 0,25; 3) fr4-6ft2c + 9c2.
49a2 — 14a + 1; 2) ^― x + x2-, 3) m& 4- 8m3n + 16n2.]
Если, при знакомстве с формулой квадрата суммы на первом уроке учитель обращал внимание на геометрическую интерпретацию формулы по рисунку 8 учебника, то на одном из последующих уроков можно предложить учащимся вывести формулу квадрата разности, используя следующий рисунок:
Si?, S[=(6-a)2, S2 = а2, 5з = а(Ь —а), 04 = а(Ь-а), S[ = S — О? + S3 + SJ
Интересующимся математикой учащимся при изучении параграфа могут быть предложены упражнения 369(4), 390, 391, 780, 782.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать устные формулировки формул квадрата суммы и квадрата разности и уметь их применять при выполнении заданий типа 371, 372, 380, 381.
Решение упражнений
1) 125 + 75а + 15а2 + а = 53 + 3 • 52а + 3 • 5а2 + а3 = = (5+а)з；
*6 — 3%4y _|_ 3%2y2 — уЗ = (%2)3 _ 3(%2)2у _|_ 3%2y2 — . = (%2 — у)3.
Пусть х ——число десятков, у ——число единиц рассматриваемого двузначного числа (х — натуральное число, 1<х<9; у — целое число, 0<^<9).
(Юх + у)? = 100*2 + 20%у +『=2(5%2 + %?). 10 + у2.
Для того чтобы здесь число десятков было нечетным числом, нужно, чтобы『имел нечетное число десятков, это требование .выполняется при у = 4 (у2 = 16) и у = 6 (必=36) (х — любое натуральное число от 1 до 9).
Ответ. Цифра единиц может быть 4 или 6.
*2一通 + 汐=仅- 2•% •/ + //) _" +/= = (%-卜)2 + 击 “>0 при любых хну, отличных от нуля.
4х2 + 9— — 4% + бу + 2 = (4х2 — 4% + 1) + (9— + бу + 1)= = (2х- 1)2 + (Зу+1)2.
Сумма квадратов двух чисел равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю.
(2х — 1У + (Зу + 1 )2 = 0 при 2х — 1 = 0 и Зу+1=0, т. е. при
Применение нескольких способов разложения многочлена на множители (3/5 ч)
Цель изучения параграфа — формирование у учащихся Р^мення искать способы разложения многочлена на множители и шаходить их для многочлена, раскладывающегося на множители. В Каждый из первых двух уроков по теме полезно начать ■ задания на разложение многочлена на множители одним из йже усвоенных способов разложения (вынесение общего множи- &1*-ля за скобки, разложение по формулам сокращенного умножения, способ группировки).
(Устно.) Разложить на множители:
За —6; 2) a2 + 2ab + b2\ 3) а2-4Ь2;
1—2% + %2; 5) аЗ — 5а2 + а； 6) — 6а? + 4а.
Разложить на множители:
*-/； 2) 9a2-6» +們
91
6%5у — 9%4у2 + ] 2/уЗ； 4) х2 + ху + -—у2.
2〃一4т + 〃一 2机；6) а3 — а2Ь2 — ас3 + Ь2с3.
Традиционно трудным для школьников является самостоятельный выбор способов разложения многочлена на множители. Поэтому на первом уроке разбираются три примера учебника, после чего формулируется алгоритм поиска способа разложения многочлена на множители. При выполнении упражнений 392—— 396 учащиеся в поиске способа разложения многочлена на множители должны постоянно руководствоваться сформулированным алгоритмом. На этих уроках выполняется также упражнение 397, при наличии времени 398, 399, 412.
Применение формул суммы и разности кубов для разложения на множители многочленов не является обязательным для всех учащихся, поэтому учитель по своему усмотрению в зависимости от возможностей класса на третьем уроке может рассмотреть (или предложить учащимся это сделать самостоятельно) доказательство формул (1) и (2) с последующим выполнением упражнений 404 и 405. В основном же третий урок следует посвятить выполнению комбинированных упражнений 400—403, 415. Учителю следует помнить, что применение нескольких способов разложения многочлена на множители при решении уравнений не является обязательным для всех учащихся умением.
Изучение параграфа можно завершить проведением проверочной самостоятельной работы.
Разложить на множители:
7机2-7； 2) 6р2- 12р + 6;
-a2 + b2 + a-b; 4)* 2w3+ 16.
) 5 - 5а2; 2) 3机2 + б)+ 3;
х + у — у2 + х2; 4)* Зр3 — 24.]
792-2 79 29+292 г 862-462 т
ВЫЧИСЛИТЬ 792-212■ [862-2-86-66+662-]
Интересующимся математикой школьникам при изучении этого параграфа можно предложить упражнения 406, 407, 425, 784, 785 (решения 784 и 785 представлены в конце учебника).
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать алгоритм поиска способов разложения многочлена на множители и уметь им воспользоваться при выполнении упражнений типа 393, 394, 396.
Решение упражнений
1) 25%2 - 10х-х-25 = (5х)2-(х + 5)2 = (5х-х-5) X
X (5% + х + 5),
(4х — 5)(6х + 5) = 0 при х = 1 -^ и х = — р
х — х — 2х + 2х2 + х— 1 =х4(х— 1) — 2х2(х — 1) + (х — 1)= =(х — 1 )(х4 — 2х2 + 1) = (х — 1 )(х2 — 1 )2 = (% — 1)(% — 1 )2 (х + 1 )2 = = (%- 1)3(х+ 1)2,
(х — 1 )3(х + 1) = 0 при х= 1 и х = — 1.
272 — 142 = (27 — 14)(27 + 14) = 13-41. Полученное произведение делится на 13, значит, и число 272 — 142 делится на 13.
(7九一2)2-(2"一7)2 = (7"一2-2" + 7)(7"一2 + 2"一7)= = (5〃 + 5)(9〃 — §) = 5・9(九+ 1)(« — 1). Полученное выражение при любом целом п делится и на 5, и на 9.
Если натуральное число а не делится на 3, то либо а = 3〃 + 1, либо а = Зп + 2 = 3(п +1)—1= 3m — 1, где 〃，优一натуральные числа. Так как
(Зп + 1У = 9〃2 + 6〃 + 1 = Зр + 1, (3机一1У = 9m2 — 6机 + 1 = 3q + 1, где p, q — натуральные числа, то разность квадратов любых натуральных чисел, каждое из которых не делится на 3, кратна трем (делится на 3).
I 407. |(〃+1)з-〃з| = |з〃2+з〃+1| = |з(〃2 + 〃)+1| = з^+1, 丘 е. не делится на 3.
Контрольная работа № 4—
$1. Записать выражение
25-12% + (%-5)(% + 5)-(5-х)2
[(3-х)2-(х-3)(% + 3) + 5% + 22]' Y「
в виде многочлена стандартного вида. //」•
盥.Разложить многочлен на множители:
2аЬ-За; 2) 6х + 8х2; 3) ^-а2-81; 4) /- 12х + 36.
) 3机-3机〃；2) 8%з-12%б； 3) 49-^; 4) 64+ 16^ + f/2.]
徽、Представить в виде произведения выражение
у(х + 0,2) — 2,7(х 4- 0,2) [^( 1,7 —х) — 4,3( 1,7 —х)] и найти его ^числовое значение при х= 1,8, у = 16,7 [х = 0,2, у = 12,3].
《.Разложить на множители:
Алгебраические дроби
Возможность изучения алгебраических дробей в VII классе обеспечивается развитием числовой линии начал алгебры, согласно которой существенных различий между обыкновенными и алгебраическими дробями нет. А полезность изучения данной темы в этом месте курса алгебры оправдывается тем, что в ней непосредственно и активно используется только что изученный материал предыдущих глав учебника.
Близкая связь обыкновенных и алгебраических дробей повышает роль теории при изучении этой темы, делает практику алгебраических преобразований обоснованной, а умение их выполнять осознанным.
Опыт показывает, что при формировании умений производить действия над алгебраическими дробями следует сразу условиться, что буквы, входящие в запись алгебраических дробей, принимают такие значения, при которых их знаменатели не равны нулю (исключения будут рассматриваться позже).
Учителю следует иметь в виду, что действия с алгебраическими дробями традиционно сложны для многих учащихся (в ряде учебников эта тема рассматривается в VIII классе).
Предполагается, что навыки выполнения действий над алгебраическими дробями формируются постепенно на протяжении изучения всего курса. Поэтому сложность предложенных в учебнике упражнений возрастает постепенно.
Для того чтобы не нарушалась логика построения начального курса алгебры, действия над алгебраическими дробями рассматриваются в традиционной последовательности, начиная с действий первой ступени.
В результате изучения главы V все учащиеся должны правильно выполнять сокращение алгебраической дроби, приведение дробей к общему знаменателю, арифметические действия над дробями (в том числе и совместные) при решении упражнений 440, 441, 443, 454, 456, 465, 471, 485, 487, 495, 500, а также из рубрики «Проверь себя!».
Алгебраическая дробь.
Сокращение дробей (3/3 ч)
Цель изучения параграфа — знакомство с понятием алгебраической дроби на конкретных примерах; перенос знакомого учащимся основного свойства обыкновенных дробей на алгебраические дроби и применение этого свойства в простейших случаях сокращения алгебраических дробей.
Изучение темы начинается с повторения основного свойства обыкновенной дроби. Проделать это можно, например, с помощью нескольких заданий, выписав предварительно на доске это свойство в общем виде:
а _ а-т . а _ а:т b — b-m * b — b:m '
Завершить преобразование дроби:
1、1 _ 1 5 —. а 88-3 _. ох 66:2
Заполнить пропуски:
1、2 一 □ _ 10 — □—20 .5 - 25 _ □ _ -15 _□
I I-—-— ^^^^- ^—3-" ■^.--^^^"-^^-^**--:I ^^^ ■"-，- —^— ^^"^^ I " 一". "*•.
7 312□-21□ *' 4□12□8 ■
Сократить дробь:
丿 18 '丿 55 '丿 35 ' ； -3 '
При изучении главы V рекомендуется регулярно повторять приемы разложения многочленов на множители при выполнении разложений многочленов, например, такого вида:
9/—16/； 4a2 + 4曲 + 匕2； 2х3 — 8х2 + 8х; (а — b)2 — b + а.
На первом уроке (после анализа выполненной накануне контрольной работы) с помощью задачи 1 параграфа вводится понятие алгебраической дроби, значения алгебраической дроби и допустимых значений букв, входящих в дробь. Выполняются упражнения 427—431, предварив выполнение 431 следующими заданиями:
из формулы s = vt выразить 奪
из формулы Sh； ah выразить а.
При желании учитель может упражнение 430 дополнить сле- 1 дующими дробями:
1）等；2）員；3）号；4）詔■•
На втором уроке в соответствии с текстом параграфа вводится основное свойство дроби и выполняются упражнения 432, 433. После решения задачи 2 и знакомства с правилами сокращения дроби выполняются упражнения 434—436(1, 3), 438, 439 (1, 3). Затем рассматривается задача 3 текста учебника и выполняются упражнения 436(5), 437, 439(5).
На третьем уроке отрабатывается умение сокращения алгебраических дробей при выполнении упражнений 440——448. Самостоятельно учащиеся могут выполнить 441 и 443. Интересующимся математикой учащимся при изучении параграфа могут быть предложены упражнения 449, 450, 788.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны научиться выполнять сокращение алгебраических дробей, предложенных в упражнениях типа 439—443.
Решение упражнений
- С 八 3出 +а从一6。纺一 2〃a(储+")-26(3砂+")
丿 9a5-a64-18a46 + 265a(9aj4) — 26(9af4)
(3/+〃)(0 -2b)1
(За2-^(За^fe2)^-26)За2-/»2 '
Пусть q = 0,2, b = 0,4, тогда
3出一〃 -3 - 0,22 - 0,42 - 0,12 - 0,16
1) Если а>0, то 包=/ =《；
2а 2g 2 *
если а<0, то 丁「==2.
丿 ，同一0
。2—0 — 2а?—]—。—](q- 1) (q+ 1)-(а+ 1)
‘""・ 1)q2_2q_3 =。2-1-24一2 =(〃二T) (〃+，)-2 (q+1)
(а+ 1)(а— 1 — 1) _ а-2
1а+Т)(а7-2) 一 0-3,
° a? — a^ — a + 1 а.а—1) —(а—1) (a — 1 )(a2 1)a—]
a3^a2~a — 1〃2(a + 1) —(a+1)(a+ 1 )(a2— 1) a + 1
〃2 + 口一6匕2 — a2-4 62 + afc-2 62 (а-26)(а + 2 6) + Ь(а — 26)
a2 — ctb — 2fe2 — c^-b^'-ab — 62 ~~(a — b) (a + b) — b (a + 8)
(a-2b)(a + 26+b) —。+ 3匕
(a^b)(a — b — b)a + b *
2标—ab-—2 m一0匕+出一82。(0一8)+(0一8)(0+8)
2。2 + 3。匕 + 匕2 - 2a2 + 2ab + ab + b2 - ~~2a^T^+b^
(a —6)(a + a + b) a-b
(a-i-b)(2a+b) a + b '
Приведение дробей к общему знаменателю (3/3 ч)
Цель изучения параграфа — формирование у учащихся умения приводить алгебраические дроби к общему знаменателю.
Первый урок по теме рекомендуется начать с повторения приведения обыкновенных дробей к общему знаменателю, а также действий умножения и деления одночлена на одночлен. Сделать это можно с помощью следующих заданий:
Найти наименьшее общее кратное чисел:
5 и 6; 2) 2 и 6; 3) 6 и 4; 4) 12 и 18.
Привести дроби у, ^-, -|-, -|- к знаменателю 18.
Возможная запись решения:
I 11 -99
3. Привести дроби3. Привести дроби■|,右嗚，禽 ¥ * знаменателю 60, ука
3. Привести дроби
3. Привести дроби
зав дополнительный множитель.
Возможная запись решения:
I 侬=220 = 40
I Т = Т20 = 60'
Привести к наименьшему общему знаменателю дроби:
1)Ю 2) "|н 今 3) А и -L; 4) 1 -L И |.
Записать в виде одночлена стандартного вида:
2a2b • За"； 2) 7х5-8х2у&; 3) ab2c-За-8Ь3с\
Найти частное двух выражений:
I8a2b3:(2ab); 2) 18а2^3: (За2^3); 3) 18а2Ь3:(-ЬаЬ2).
После актуализации знаний рассматривается задача 1 текста параграфа и выполняются упражнения 451—453, 457(1, 3).
Второй урок можно начать с повторения на конкретных примерах разложения многочленов на множители способом вынесения общего множителя за скобки, по формулам сокращенного умножения и способом группировки.
На этом уроке рассматривается приведение к общему знаменателю дробей, знаменатели которых многочлены. Исходя из того что общий знаменатель должен делиться на знаменатель каждой из данных дробей, рассматривается упражнение 454(1), где общим
знаменателем является произведение знаменателей данных дробей. Далее, в ходе выполнения упражнений 454(3)——456, учащиеся должны выявить (и сформулировать) алгоритм нахождения общего знаменателя алгебраических дробей:
разложить знаменатель каждой дроби на множители;
выписать знаменатель одной из дробей (обычно той, знаменатель которой имеет наибольшее количество множителей);
сравнить его со знаменателями остальных дробей и домно- жить на недостающие (если они есть) множители.
А для приведения дробей к общему, уже найденному знаменателю необходимо выполнить условия 2—4, сформулированные на с. 106 в правиле приведения алгебраических дробей к общему знаменателю.
Во второй части второго урока (или уже на третьем уроке) можно рассмотреть решение задачи 2 или продемонстрировать (при выполнении упражнения 458(1)) применение сформулированного алгоритма приведения дробей к общему знаменателю.
На третьем уроке закрепляется умение приводить дроби к общему знаменателю на примере выполнения упражнений 458, 460(3) и проводится проверочная самостоятельная работа.
Привести к общему знаменателю дроби:
丿 12, 24, 36,' 2%'4期'6g'
5m . mit .I .1 .]
6/n+6〃 ' 2加2 —2〃2 *X2—2x4- 1 * 1—X* %2—]•
r 1 \ 7 . 5 . 4.2 . 4 . 5 .
Зс • 阮 •」 •1 •]1
'106- Юс ' 5b2-5c2 '' a-1 ' 1-a2 ' l-2a + a2 J
При наличии времени на этом уроке можно выполнить упражнения 459, 460(4), а интересующимся математикой предложить 461.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны научиться приводить к общему знаменателю дроби в упражнениях типа 453, 455, 456.
Решение упражнений
1) Знаменатели дробей:
%4“ _ у4п = (%2“ _ у^п^п + /") = (%" - уп)(Хп + J")(%2" + /")；
%2" _ у2п _ (%“ _ у")(%" + у11)；
%" — уп.
Общий знаменатель дробей:
(хп-уп) (хп + уп) (х2п + у2п).
Ответ. х4п—у4п.
Цель изучения параграфа — формирование умений складывать и вычитать алгебраические дроби с одинаковыми и разными знаменателями.
До изучения основного материала параграфа рекомендуется повторить сложение и вычитание обыкновенных дробей, например, с помощью следующих заданий:
Выполнить действия:
1)g一丄+2•2) ±+丄_2.з)丄+丄.
)77十7'丿9十99 '丿4十3 '
4)4)6）一6）一5 1 •11 •
4)
4)
6）一
6）一
У 2-, / 衣+ 正，
Для сложения и вычитания обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями следует выписать на доске в общем виде . 6 а + Ь°°
правила ——+—= —-— и в дальнейшем переносить их на действия с алгебраическими дробями, имеющими одинаковые знаменатели. В подготовительные работы к урокам по этой теме следует включать определенные задания на действия с одночленами и многочленами, а также упражнения на приведение дробей к общему знаменателю, которые можно выбрать, например, из следующих:
Выполнить действия:
5а3^ - а; 2) 2a2b3 -ЗаЬ\ 3) 12а3^2 ： 6а^;
12。3匕：4炉；5) (а + Ь) (а — Ь)； 6) (3% —у) (у + 3%);
а3 (За — с3); 8) 2т2м5 (т — н); 9) (х + у) (х + у);
(а-26) (а-26).
Упростить:
15а — b + (За — 5Ь); 2) 15а — b — (За — 5Ь);
3 (2х2 — 7^) — 2% (Зх — 5^); 4) 2тп (1 — /и) — 3 (тп + 1).
Привести к общему знаменателю дроби:
1)*н；； 2)*」н白；3)露，直н蒜；
4)(a-bf н 2(a-b)，5) х_у и 匕*，6)(尸庁 и 匂一*)，
° а2-62 н b + а ' 8)废一匕2 н (а—/。
На первых этапах сложения и вычитания алгебраических дробей записи преобразований следует выполнять аналогично тому, как это показано в разобранных задачах текста параграфа. Далее можно перейти к более краткой форме записи выполнения действий. (Обе формы записи являются равноправными.)
空_ 整,她 一 8--2炉+ 5.
3g 36%2g12%炉-12%2/,
2尤 _ 5х —2 = 2x^4 5х —绯
х -416—%2 - X-4(% -4)(%+4)
_ 2r(x + 4) + (5x —2) _ 2r2+&r + 5x —2 _ 2r2+ 13x —2
—(x —4)(x + 4)(x —4)(x + 4)x2—16 •
При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями учащимся рекомендуется проговаривать соответствующие этапы алгоритма, сформулированного на с. 109 учебника.
На первых двух уроках выполняется упражнение 462, рассматриваются решения задач 1 и 2 текста учебника, после чего учащимися самостоятельно выполняются следующие задания:
Сложить дроби —^ , —Г И 四-处. х-у X-у х-у
Найти разность дробей 当喧 н --力.
После рассмотрения задач 3 и 4 выполняются упражнения 463—465 и 476, а при наличии времени 506 и 508.
На последующих уроках рассматриваются задачи 5 и 6 текста параграфа и выполняются упражнения 466—472, 509, 510, 473—475. В тех классах, где изучались формулы разности и суммы кубов, выполняются упражнения 477—478. Самостоятельно учащиеся могут выполнить упражнения 464(3), 468(3), 471(3).
На последнем уроке по теме может быть проведена проверочная самостоятельная работа.
Выполнить действия:
. 2 + —Л— •3---—•
丿3/〃十4出"，О ь Й2，
-4 5 j£+36
_l) w"+w~; 2)J?T；
25x + 4 , 3 '
“ 7ТТ-Лё^ + Т=7・
Решить уравнение
4x —3 — 5 —x3% — 1
~6~~ =4~e
5x — 73% —5 — x + 2
~3— =
Интересующимся математикой учащимся можно предложить упражнения 479, 518, 522.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны научиться находить сумму и разность алгебраических дробей с разными знаменателями в упражнениях типа 465, 467, 470, 469.
Решение упражнений
518・ 1)戶露＞ откуда—蓋；
11 11 弓―R a RR?
) R = R-R，R=W откуда
.宀 + 丄+ —= b + c c + a a + b
— a(c + a)(a + b) + b (b + c)(a + b) + c(b + c) (c + a)
(b+ c) (c +a) (a + b).•
Преобразуем числитель этой дроби:
a2c + acb +03 + 出6 + 62a + 也з + с6a+ c^2 +e2b + cba + 查 + c2a = =(砂+ 〃+ c3+ a%) + (a2c + a2b) + (abc + ab2) + (abc + ac?) +
по условию равнонулю
I■(炉с + be?) — a2(b + c) + ab (b + c) + ac (b + c) + be (b + c) —
=(6 + c) ((a2 + ab) + (ac+ 匕c)) = (b + c) (a (a + 匕)+ c (a + b)) = =(b + c) (a + b) (a + c).
Таким образом,-1—-—-1—= \"?产+ ?(" + ? = 1 при
у b + c c + a a + b(b + c)(c + a)(a + b)尸
a + b ^0, b + cHO и a + cWO, ч. т. д.
Умножение и деление алгебраических дробей (4/4 ч)
Цель изучения параграфа — формирование умения выполнять умножение и деление алгебраических дробей, перенося 剤а алгебраические дроби правила действий с обыкновенными 触обямн.
В устную работу к первым двум урокам по теме желательно включать задания на действия умножения, деления и возведе- гНия в степень обыкновенных дробей:
Вычислить:
1)Х；2)找；3) 1.3;4)4《;
5)；《；6) |：4； 7) А： 4; 8)， 9)停У；1。)В 身；U)I歹；％
у-^25-зу-^25-з⑶ (一期；14)胡；15)( -() ⑹
у-^25-з
у-^25-з
№ 480, 483.
После записи в общем виде правил умножения и деления дробей, а также возведения дроби в степень рассматривается задача 1 текста параграфа, выполняются упражнения 481, 482, 484 и 485. Затем разбираются задачи 2 и 3 учебника и выполняются упражнения 486, 487. Для самостоятельной работы могут быть предложены упражнения 485(3) и 487(3).
На третьем н.четвертом уроках в устную работу рекомендуется включать задания на повторение свойств степеней и разложение многочленов на множители. На этих уроках выполняются упражнения 488, 507, 489, 490, при наличии времени 511, 491.
На последнем уроке изучения темы можно провести проверочную самостоятельную работу.
Выполнить действия:
1)爷•器；2)器：(15w); 3)(蜀2•⑵氏
[1)甯书；2)⑶ 2"鋼 2; 3) 10м 為:
Найти значение выражения
х2— 1 g3Зху + 3у * 1-хх2— 1 g3Зху + 3у * 1-хпри у = — 0,9.при у = — 0,9.
х2— 1 g3
Зху + 3у * 1-х
х2— 1 g3
Зху + 3у * 1-х
при у = — 0,9.
при у = — 0,9.
а2—625а%+5а〃а2—625а%+5а〃廿 при а=-2.廿 при а=-2.
а2—625а%+5а〃
а2—625а%+5а〃
廿 при а=-2.
廿 при а=-2.
На этих и следующих уроках при умножении и делении алгебраических дробей, в числителях и (или) знаменателях которых встречаются многочлены, следует особое внимание учащихся обращать на правильное сокращение дробей, предупреждая достаточно распространенную ошибку «сокращения на слагаемые».
Интересующиеся математикой школьники на этих уроках могут выполнить упражнения 492—494.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать правила выполнения действий умножения, деления и возведения в степень алгебраических дробей и уметь их применять в заданиях типа 485, 487.
28
Совместные действия
над алгебраическими дробями (5/5 ч)
Цель изучения параграфа — систематизация знаний учащихся по выполнению арифметических действий над алгебраическими дробями и формирование умений в выполнении двух-трех совместных действий с дробями.
При рассмотрении материала параграфа повторяется порядок выполнения действий. Для этого в устную работу в начале уроков можно включать задания на вычисления с конкретными числами, которые в общем виде можно записать так: (а —Ь)：с, а —Ь：с, а-b — с, а(Ь —с), а：Ь + с, а：(Ь + с), а —b：(c + d), (а —b)：c + d, (а —b)：(c + 2), а —們 а + Ь2c и т. п.
Записи решений упражнений можно вести так, как это сделано в задачах 1 и 2 учебника, заменяя словесные пояснения о выполнении конкретного действия нумерацией действий, как это привыкли делать учащиеся в VI классе при выполнении совместных действий с рациональными числами. Запись решения в виде непрерывной цепочки преобразований, как это показано в задачах 1 и 3, от исходного выражения до окончательного ответа для большинства учащихся трудна, а в ряде случаев и неоправданно громоздка. Поэтому учитель в зависимости от готовности класса либо приучает школьников к однозначно постоянному выполнению упражнений такого типа всегда по действиям, либо учит их видеть, как проще (рациональнее) выполнять (по действиям или цепочкой) то или иное задание.
На отведенных на изучение параграфа уроках в произвольной комбинации учитель рассматривает с классом задачи текста учебника и подкрепляет их разбор самостоятельным или с его помощью выполнением упражнений 495—502, 511—512, 503.
При наличии времени со всем классом может быть рассмотрена задача на движение на с. 115 учебника, после чего решены задачи 514—517.
Для самостоятельной работы на этих уроках рекомендуются упражнения 497, 500(3), 511(1), а также задание:
Выполнить действия:
D Т~^~'~^Ь ； 2)(% + 2+£)： 4二力"
/ 加2m3 1 ( m2 加 \
\m+ n m2+2机n + 〃2)，〈〃2-加2 加+九)'
24a/36a \ . Q-6
丿 a - 4 \ a — 4 a2一也+1616— a2 ,
Интересующимся математикой можно предложить упражнения 504, 505, а также дополнительные задания к упражнению 504.
Известно, что % +《=Ю- Найти х2+ %
Упростить:
1) ——Ц—— 2) 1 +3——-
1. Если х+ —= 10, то / + £ = 98.1. Если х+ —= 10, то / + £ = 98.% +《)=100,必 + 2 + / = 100, откуда% +《)=100,必 + 2 + / = 100, откуда
1. Если х+ —= 10, то / + £ = 98.
1. Если х+ —= 10, то / + £ = 98.
% +《)=100,必 + 2 + / = 100, откуда
% +《)=100,必 + 2 + / = 100, откуда
2)1 +[_ 七 =1 + ；；(記1)-=1 + 十=1+出・
должны пра- и выполнять упражненияхдолжны пра- и выполнять упражненияхВ результате изучения параграфа все учащиеся вильно определять порядок действий с дробями совместные действия с алгебраическими дробями в типа 497, 500.
должны пра- и выполнять упражнениях
должны пра- и выполнять упражнениях
Решение упражнений
Пусть х+5 = а, тогда 卜+})=
=/ + з% + 且+ 4=%3 + 丄 + 3(%+丄)=炉+ 丄+ 3а.
Так как (%+§) = а3, то х3+ ^ + За =а3, откуда х3+ ^ = а3 — 一 3а =а(出一3).
505.505.х— 1_ х+ 1). /J_х1 )_*2 — 2尤 + 1 — (/+2尤+ 1)
505.
505.
X 2* —х2— 1 ——4。4х (х+1) (х-1)X 2* —х2— 1 ——4。4х (х+1) (х-1)、х+1 х— 1 /\ 244х/(х+ 1)(х— 1)
X 2* —х2— 1 ——4。
4х (х+1) (х-1)
X 2* —х2— 1 ——4。
4х (х+1) (х-1)
—(хТУ =4х・(х- 1)2_ 1.
©(х+1)(х- 1)4хх+1'
по условиюпо условию—1 <%< 1, откуда —2<х— 1<0, т. е. %— 1< 0 (1), и
по условию
по условию
0<%+1<2, т. е. х + 1 >0 (2). Исходя из (1) и (2)^^~<0.
Контрольная работа № 5
Выполнить действия:
1)1)1)1)2。— 3 — 6 — 2 .3。+ 92а匕’'8q I5 — 6〃 — 1 -2b . q\ 12/Ra —— ~' 5x 二 Ю2。— 3 — 6 — 2 .3。+ 92а匕’'8q I5 — 6〃 — 1 -2b . q\ 12/Ra —— ~' 5x 二 Ю需3)与乙(…)•需3)与乙(…)•% - 2К； 3) (ai)：% - 2К； 3) (ai)：出一步出一步3g2 '3g2 '
1)
1)
1)
1)
2。— 3 — 6 — 2 .3。+ 9
2а匕’'8q I
5 — 6〃 — 1 -2b . q\ 12/Ra —— ~' 5x 二 Ю
2。— 3 — 6 — 2 .3。+ 9
2а匕’'8q I
5 — 6〃 — 1 -2b . q\ 12/Ra —— ~' 5x 二 Ю
需3)与乙(…)•
需3)与乙(…)•
% - 2
К； 3) (ai)：
% - 2
К； 3) (ai)：
出一步
出一步
3g2 '
3g2 '
Упростить выражениеУпростить выражение15a + 6a . 7q + 35FV G 二灰・_з _.14〃 .12n . 15 — 5〃к —3(3 —n)2415a + 6a . 7q + 35FV G 二灰・_з _.14〃 .12n . 15 — 5〃к —3(3 —n)24Найти числовое значение выраженияНайти числовое значение выражения氣-対姦4(1 +智 прн %=Т，9T.氣-対姦4(1 +智 прн %=Т，9T.
Упростить выражение
Упростить выражение
15a + 6a . 7q + 35FV G 二灰・_з _.
14〃 .12n . 15 — 5〃
к —3(3 —n)24
15a + 6a . 7q + 35FV G 二灰・_з _.
14〃 .12n . 15 — 5〃
к —3(3 —n)24
Найти числовое значение выражения
Найти числовое значение выражения
氣-対姦4(1 +智 прн %=Т，9T.
氣-対姦4(1 +智 прн %=Т，9T.
4.4.2куX2 — 2ху + у22куX2 — 2ху + у2при х= —2, у = — 1.при х= —2, у = — 1.Решить уравнениеРешить уравнение
4.
4.
2ку
X2 — 2ху + у2
2ку
X2 — 2ху + у2
при х= —2, у = — 1.
при х= —2, у = — 1.
Решить уравнение
Решить уравнение
(x+iy (х-1)2 _ /г
(х + 2)2 _ 炉-4 _ (х — 2)2~2~ ~4~ ~8~
Функция является одним из основных понятий математики, в частности математического анализа. В школьных курсах математики и физики, как правило, рассматриваются числовые функции числового аргумента. Простейшей такой функцией является линейная функция.
В данной главе функция вводится как зависимая переменная, значения которой у(х) вычисляются по определенному правилу по значениям независимой переменной х. Зависимость переменных у и х называют функциональной.
Из всех способов задания функции основным является задание ее формулой, так как по формуле, как правило, можно дать наиболее полную ее характеристику.
От задания функции формулой учащиеся всегда могут перейти к ее заданию графически. Обратная операция не всегда возможна.
Рассматриваемая в главе линейная функция определена на множестве всех действительных чисел, поэтому вопрос об области определения функции здесь не ставится. На этом этапе пока еще невозможно строго доказать, что графиком линейной функции является вся геометрическая прямая, так как учащиеся знакомы только с рациональными числами (а значит, прямая на самом деле оказывается с «дырочками»). Это утверждение принимается без доказательства.
При рассмотрении линейной функции, заданной формулой или графиком, предлагаются следующие задачи: нахождение значения функции при заданном значении аргумента и обратная ей задача; нахождение промежутков знакопостоянства. Поэтому задачи, связанные с «чтением» графика, ограничиваются только этими вопросами.
В этой главе впервые рассматривается простейшее преобразование графиков: сдвиг графика линейной функции вдоль оси ординат.
В результате изучения главы VI все учащиеся должны уметь строить точки на координатной плоскости по их координатам, находить координаты данной точки на плоскости, иметь пред-
ставление о функции и ее графике, уметь строить график линейной функции и выполнять упражнения 582, 586, 600, 601, 604, 605, 607, 608, а также из рубрики «Проверь себя!».
Прямоугольная система координат на плоскости (1/2 ч)
Цель изучения параграфа — уточнение и систематизация известных учащимся из курса математики VI класса понятий, связанных с координатной плоскостью и координатами точек на плоскости; формирование представления о соответствии между точками координатной плоскости и парами чисел (х; у).
В ходе рассмотрения теоретической части параграфа для лучшего запоминания всех введенных в параграфе терминов желательно порекомендовать учащимся в тетрадях по клеточкам сделать рисунок, аналогичный рисунку 2.
Рис. 2Рис. 2
Рис. 2
Рис. 2
Учитель должен иметь в виду, что усвоение всех функциональных понятий, вводимых в этом параграфе, происходит наилучшим образом в ходе выполнения практических упражнений и обоснования выполняемых действий. Система упражнений параграфа дает возможность реализовать связь алгебры и геометрии: при их
выполнении целесообразно повторить определения и свойства некоторых геометрических фигур, понятия симметрии относительно прямой и точки.
Рекомендуется выполнить в предложенной учебником последовательности все упражнения к параграфу. Для самостоятельной работы могут быть предложены упражнения 505, 527(1), для работы дома —524(2), 528(2), 532.
Полезно особо обратить внимание учащихся на точки, одна из координат которых равна нулю. Можно выполнить на уроке практические задания, аналогичные следующему:
Отметить на координатной плоскости точки Л(—2; 4), 8(2; 6), С(—2; 6), 0(—2; —2), £(0; —2), Е(0; 4). Соединить последовательно точки А, В, С, D, Е н F. Определить вид полученной фигуры.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны научиться строить точку по ее координатам и уметь находить координаты любой точки координатной плоскости с целочисленными координатами.
Цель изучения параграфа — введение понятия функции как зависимой переменной и знакомство учащихся с тремя способами задания функции (формулой, таблицей и графиком).
Удобство введения понятия функции как зависимой переменной на данном этапе обучения заключается в том, что не возникает противоречий с трактовкой функциональных понятий в курсе физики, а также в том, что после описания понятий функции и функциональной зависимости появляется возможность непосредственного практического применения этих понятий.
К восприятию понятий числовой функции учащиеся уже готовы: они работали с формулами, алгебраическими выражениями, учились находить числовые значения при различных значениях входящих в выражение букв, изучали диаграммы и элементарные графики, составляли различные таблицы в курсах математики и физики.
На различных этапах уроков по этой теме могут быть полезны следующие (и аналогичные им) устные упражнения, подготавливающие учащихся к восприятию как понятия функции, так и способов ее задания.
Найти числовое значение выражения
—白 + 5 при х = 0; 2; — 4; 3.
Бензоколонка находится на расстоянии 20 км от города по пути к дачному поселку. Автомобиль, заправившись бензином, поехал в сторону дачного поселка со скоростью 80 км/ч. Записать формулу для нахождения расстояния, которое будет между городом и автомобилем через / ч после отъезда автомобиля от бензоколонки. Найти s для f = J； 1,5; 2.
Найти числовое значение у по формуле
у = х+ 1 при х = 0; — 1; 0,5;—
Заполнить таблицу кубов целых чисел от —4 до 4:
X
—4
-3
-2
—1
0
1
2
3
4
5. Дана таблица:
X
-2
—1
0
1,5
2
2,5
5
У
—4
一3
-2
-0,5
0
0,5
3
у彳
А
Е
В
1
F
0
X
D
К
Рис. 3Рис. 3Для проверки усвоенияДля проверки усвоенияпонимания этого понятия следует на том уроке, где будет рассмотрен графический способ задания функции. При рассмотрении конкретных числовых функций на этом уроке следует акцентировать внимание учащихся на том, что функция — это зависимая переменная, значения которой вычисляются по определенному правилу. Необходимо, чтобы учащиеся по условию задачи определяли, какая из переменных —зависимая (т. е. функция), а какая —независимая (т. е. аргумент). Важно усвоение смысла новых обозначений s(f), s(}), у(%), у(-2) и т. п., а также умение их прочитывать.
Рис. 3
Рис. 3
Для проверки усвоения
Для проверки усвоения
смысла введенных в учебнике обозна
чений можно в ходе рассмотрения задач 1—2 и выполнения упражнения 536 задавать учащимся вопросы следующего характера: «Что означает (в задаче 1) запись sg)?» При этом нужно добиваться следующих ответов: «Это путь, пройденный поездом за — ч» или «Это значение функции при / = )». Вопросы типа «За какое вре
мя путь, пройденный поездом, будет составлять 600 км?», «При каком значении f верно равенство s(/) = 1800?» не только помогут усвоению понятия функции, но и позволят повторить решение уравнений с одним неизвестным. В устную работу при изучении этого параграфа полезно включать задания, аналогичные упражнению 537, а также решение уравнений типа
120/= 60, Зх = 2, 1 ="一 1.
Завершить первый урок можно сообщением о том, что функция может быть задана различными способами и что при решении задач 1 и 2 фактически были рассмотрены функции, заданные формулой. Далее рассмотреть задачу 3 параграфа и выполнить упражнение 538. Для домашней работы предлагается изучение § 30 на с. 124— 125 и выполнение упражнений 537(2, 4) и 539. На следующем уроке при выполнении упражнений 540—542 закрепляется наиболее употребимый в школе способ задания функции с помощью формулы (можно сообщить, что этот способ также называют аналитическим). Рассматриваются табличный и графический способы задания функции, формулируется определение графика функции и разбирается задача 5 текста параграфа. Выполняются упражнения 543, 544 (после рассмотрения п. 2 параграфа), 545—549, 600— 601, 550—551 (после изучения п. 3). При наличии времени выполняются упражнения 552—555. Для самостоятельной работы могут быть предложены упражнения 542 и 546. 84
В VII классе рассматриваются только графики функциональных зависимостей, поэтому на данном этапе обучения (и вплоть до IX класса) не следует акцентировать внимание учащихся на том, что изображенная в системе координат линия является графиком функции только в том случае, если каждому значению % соответствует не более одного значения у.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны получить представление о функции как о зависимой переменной и уметь выполнять упражнения типа 539, 544, 548.
Функция y=kx и ее график (3/3 ч)
Цель изучения параграфа—знакомство учащихся с функцией y=kx, ее графиком и способом его построения; выяснение расположения графика функции y=kx в зависимости от знака 力；знакомство с прямой и обратной пропорциональными зависимостями.
При изучении данной темы рекомендуется повторять все рассмотренные в § 30 способы задания функции в их взаимосвязи. Сделать это можно, например, с помощью заданий следующего содержания:
Функция задана формулой ^ = х —4.
Заполнить таблицу:
х -3 -2 -10123
У
Построить на координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице, и соединить их плавной кривой.
На рисунке 4 изображен график функции у =/(%)• С его помощью:
заполнить таблицу:
%-6 -4 -20136
учебника о площади прямоугольника можно предложить следующие упражнения:
Какой путь пройдет пешеход, двигаясь со скоростью 4 км/ч, за 1 ч, за 2 ч, за % ч?
Найти значение выражения:
5% при %= —2; 0;2) —2% при %=—4; 0;—. 24
На первом уроке следует разобрать материал параграфа на с. 132—133. До рассмотрения задачи на с. 133 необходимо убедить учащихся в том, что графиком функции у = kx является прямая, проходящая через начало координат (возможно, отметив больше предложенных в учебнике точек координатной плоскости, принадлежащих графику функции), а также сообщить, что строгое доказательство факта принадлежности всех точек графика одной прямой они получат в IX классе в курсе геометрии. Опираясь на известную из курса геометрии аксиому о единственности прямой, проходящей через две различные точки, графики функций у — kx при выполнении упражнений строятся по двум точкам: началу координат и точке, координаты которой легко вычисляются по формуле, задающей функцию. На этом уроке выполняются упражнения 556, 558 (1, 3), 559(1, 3); дома 557, 558 (2, 4), 559 (2), 560 (2).
X
0
2
У
0
3
Возможная запись решения: 559. 1) у= 1,5% (рис. 5).
Второй урок можно начать с самостоятельного выполнения учащимися упражнения 560 (1, 3). При рассмотрении рисунка 16 учебника можно сфокусировать внимание учащихся на расположении графика функции у — kx в зависимости от знака k. Далее на оставшихся двух уроках с классом выполняются упражнения 561, 563 (1,2), 564 для точек А, С, Е, 569, 570, 571, 604 (1), 605 (1,3), 573; изучается теоретическая часть параграфа на с. 134, после чего выполняются упражнения 566, 567, 603 (1); самостоятельно 563 (2), 564 для точки Е. Для домашней работы могут быть предложены упражнения 562, 563 (3, 4), 564 (для точек В, D), 565, 568, 603 (2), 604 (2), 605 (2, 4).
В устную работу к этим урокам рекомендуется включать решение уравнений типа 5 = 2/, Зх= — 2, 3 = —х. При наличии времени провести проверочную самостоятельную работу.
Построить график функции у= —^х- 1=段%・]
График функции y=kx проходит через точку А ( — 4; 1). [В (6; —9).] Найти k.
Возможная запись решения:
564. I способ.
%，厶(5； —3),
-3 w万.5,
J т. е. точка А не принадлежит графику функции у = /%.
II способ. Точка 4(5; —3) не принадлежит графику функции у = — х, так как —3,丄・5.
22
y=kx. При у = —5 и % = 2,5 — 5 = ^ • 2,5, откуда I = — 5 ： 2,5 = — 2.
Ответ. ^ = — 2.
Интересующимся математикой школьникам можно предложить рассмотреть построение графиков функций на с. 135 и самостоятельно построить графики функции р = |3%| и у = ^х .
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать, что графиком функции y=kx является прямая, проходящая через начало координат, и уметь строить график этой функции по двум гочкам; все учащиеся должны иметь представление о прямой и обратной пропорциональных зависимостях.
Линейная функция и ее график (3/3 ч)
Цель изучения параграфа — знакомство учащихся с понятием линейной функции, с ее графиком и алгоритмом его построения по двум точкам, со взаимным расположением графиков функций у = kx и у = кх + Ь.
На первом уроке после повторения на конкретных примерах построения графика функции у = kx вводится определение линейной функции, выполняется упражнение 579 и разбирается задача 1 текста параграфа. При ее решении следует обратить внимание учащихся на то, что график функции у = 2%+ 5 проходит через точку (0; 5), а в дальнейшем обратить внимание учащихся на тот факт, что график функции у = kx + b проходит через точку (0; Ь),—— это поможет учащимся строить график линейной функции быстро, отыскав еще одну принадлежащую ему точку. Вывод о взаимном расположении графиков функций р = 2% и q = 2% + 5 стоит предложить учащимся сделать самостоятельно, предварительно введя в их лексику термин сдвига вдоль оси ординат. Общее рассуждение о взаимном расположении графиков функций у = kx и у — kx+ b лучше провести самому учителю.
В устную работу при изучении материала параграфа следует включать решение уравнений типа -3%+5 = 0, -^%+1 = 1, 4 = 2% — 3, а также задания, аналогичные упражнению 580.
На этом уроке можно выполнить упражнения 579—582, 589—590, предложив для работы дома 581 (2, 4, 6) и 583 (после усвоения теоретических положений на с. 138—139).
На следующих двух уроках следует рассмотреть задачи 2 и 3 текста параграфа. При этом акцентировать внимание учащихся на удобстве построения графика линейной функции по точкам его пересечения с осями координат в тех случаях, когда эти точки находятся «в зоне досягаемости» на изображаемой части координатной плоскости.
На п о с л едн е м уроке рекомендуется сообщить учащимся несколько примеров линейных зависимостей величин из курса физики, например, помимо приведенной в учебнике v = vQ + at, формулу зависимости длины стержня / от изменения его температуры А/： / = /0+а/0Д/, где а ——коэффициент линейного расширения того материала, из которого изготовлен стержень, /0 — первоначальная длина стержня.
На этих уроках выполняются упражнения 584 (М, А, С)— 588, 607, 591, 593 (1, 2), 594, 595, 609, 610, 611, из них само- 88
стоятельно 585 (3), 587 (6), 588 (3). Для домашней работы предложить упражнения 584 (N, В) — 588, 591, 592, 594, 595, 609, 610 (из всех ——четные номера), интересующимся математикой —— 596 — 599, 613, 614.
В конце последнего урока можно провести проверочную с а - мостоятельную работу.
Построить график функции у = —— х+ I [у = 2х+ \ \, найдя предварительно точки пересечения его с осями координат.
Не используя график функции у = 3х—2[у= —х + 2], найти:
1 г 11.
значение у при х= —— х=—;
6 [ з j
значение %, при котором у = —6[у =—5].
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать определение линейной функции, уметь строить по двум точкам график функции у = kx + b при любых значениях k и b (k и b одновременно не равны нулю) и справляться с заданиями типа 581, 582, 584, 587.
Контрольная работа № 6
Построить график функции у = 4-2% У = 2%+2 .
Используя построенный график, ответить на вопросы:
При каком значении % значение функции равно нулю?
При каком значении % значение функции равно 6 [—1]?
Какое значение принимает функция при значении х, равном -2; 0; 4[-4;0;2]?
Указать два любых значения х, при которых функция принимает положительные значения [отрицательные значения].
Дана функция у(%)=7% —3 [^(х)= -9x4-3].
Найти у (0, 1) [у (0, 2)] и значение %, при котором значение функции равно 60 [57]. Принадлежит ли графику этой функции точка М (— 1; 4)依(1; 6)]?
График функции у = kx проходит через точку 4(10; —5) [В(—5; 15)]. Проходит ли график этой функции через точку К(-8; -4); "(0,2; -0,1) [С(-4; -12); 0(0,4; 1,2)]?
Графики функций у = kx и у = 3х+ b параллельны, причем график функции у = 3х+ b проходит через точку ^ (— 1; 2). Найти k и Ь. [Графики функций у =—5х и у = kx + b параллельны, причем график функции у = kx + b проходит через точку Е (2; —7). Найти k и Ь.]
Системы двух уравнений с двумя неизвестными
；таг；таг
；таг
；таг
Особенностью изложения данной темы является рассмотрение системы двух уравнений с двумя неизвестными без предварительного рассмотрения одного уравнения с двумя неизвестными. Это объясняется тем, что системы уравнений решаются проще, чем одно уравнение с двумя неизвестными.
Другой особенностью изложения данной темы является то, что способы решения системы вводятся без применения понятия равносильности. Так же как и способ решения уравнений, сводящихся к линейным, способы решения систем основаны на свойствах верных числовых равенств, причем общие рассуждения проводятся на конкретных примерах.
Рассуждения проводятся так: предположив, что некоторая пара чисел является решением данной системы, опираясь на свойства верных числовых равенств, получают конкретное возможное решение (тем самым доказывается единственность решения, если оно существует); затем, выполняя проверку, показывают, что найденная пара чисел удовлетворяет уравнениям системы (тем самым доказывается существование решения).
Способы решения систем подстановкой и сложением являются основными, а графический способ следует рассматривать как геометрическую иллюстрацию возможных случаев решений систем. Это связано с тем, что при графическом способе решения редко удается найти точное решение, а часто и вообще не удается.
Как правило, способы решения систем следует отрабатывать на примерах систем с целыми коэффициентами, чтобы не создавать учащимся излишних трудностей вычислительного характера.
Так как при решении текстовых задач составить систему уравнений часто легче, чем одно уравнение, то решение задач с помощью систем дополнительных трудностей не вызывает. Методика их решений аналогична той, которая описана в главе II.
В результате изучения главы VII учащиеся должны усвоить способы подстановки и сложения, уметь геометрически ил- 90
люстрировать решение системы, решать текстовые задачи с помощью составления систем уравнений при выполнении упражнений 672, 673 (1—4), 674, 675, а также из рубрики «Проверь себя!》.
Системы уравнений (1/1 ч)
Цель изучения пара графа — знакомство учащихся с понятиями линейного уравнения с двумя неизвестными, системы уравнений, решением системы двух уравнений с двумя неизвестными.
В начале урока могут быть предложены следующие устные упражнения:
Заполнить пропуски так, чтобы получилось верное равенство:
1) 15-8 = 4+ □； 2) 3-П = 47-14.
Что значит решить уравнение?
Решить уравнение:
6% = 9;2) 5^-1 = 0;3) Зх-5= 1;
4)4р — 3=—5； 5)2х2 + 1 = 0; 6) 2(% + 1 )-2 = 2%.
Известно, что ^ = 2х —3.
X
0
-3
-]
2
5
У
0
1
-1
-3
5
Заполнить таблицу:
Изучение темы следует провести в соответствии с текстом параграфа. После введения понятия линейного уравнения с двумя неизвестными выполняются упражнения 615, 616. После изучения материала параграфа на с. 148 выполняются упражнения 617, 619, 621 (1), 622, при наличии времени в сильном классе — 624, 625. Для работы дома, после изучения материала § 33 и усвоения определения решения системы двух уравнений с двумя неизвестными, предложить выполнить упражнения 618, 620, 621(2), 623.
При желании в конце урока можно провести обучающую самостоятельную работу следующего содержания:
Среди пар чисел (6; 4), (7; 3), (2; 1) [(1; - 1), (4; 3), (9; 13)] выбрать ту, которая является решением системы уравнений J3%-4y =2,Г[4х-3^=7,
I —2х + 5^= 1.5х + 2^=26.
Найти подбором решение системы уравнений
]У=%, [% + 2у= 12.]У=%, [% + 2у= 12.L|2x—^=20.L|2x—^=20.
]У=%, [% + 2у= 12.
]У=%, [% + 2у= 12.
L|2x—^=20.
L|2x—^=20.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны получить представление о системе уравнений и ее решении, должны отвечать на вопрос «Что значит решить систему уравнений?» и выполнять упражнения типа 618, 619.
Цель изучения параграфа — формирование у учащихся умения решать системы линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки.
Этому способу решения систем следует уделить особое внимание, так как он находит широкое применение и в дальнейшем, при решении более сложных систем уравнений. Умение же выражать одну неизвестную через другую важно и при работе с формулами в курсе физики.
Учителю следует подчеркнуть, что рассуждения, проведенные в тексте параграфа при нахождении решения системы и установлении его единственности, справедливы и при решении других систем линейных уравнений, т. е. являются общими, но проведенными на конкретном примере.
Начать первый урок следует с повторения свойства верных числовых равенств и выполнения упражнения 626.
При рассмотрении задачи 1 текста параграфа обратить внимание учащихся на предварительное допущение о том, что пара чисел (%; у) предположительно является решением системы, т. е. в дальнейших рассуждениях именно эти хну обозначают определенные числа, и поэтому уравнения системы становятся верными числовыми равенствами. Пояснить учащимся, почему рассмотренный способ решения систем называется способом подстановки, и в соответствии с текстом учебника на с. 151 сформулировать алгоритм решения систем уравнений этим способом. Не стоит требовать от всех учащихся воспроизведения рассуждений, приводя- 92
щих к этому алгоритму. Применение сформулированного алгоритма демонстрируется в ходе решения задачи 2 параграфа (оформление решений задач 2 и 3 можно считать на данном этапе обучения решению систем образцами оформления записи их решения способом подстановки).
В качестве устных упражнений при изучении параграфа можно предлагать задания, аналогичные следующим:
Решить систему уравнений:
1)片+5р=30,2) |6%+2у=0, з)卜+ $2,
U=0;|3% = 9;】2у = -2.
На первом уроке после рассмотрения решения задачи 2 решаются упражнения 627, 628, 671.
На следующих двух уроках повторяются свойства уравнений (§ 7). После разбора решения задачи 3 текста учебника, требующей упростить систему до применения способа подстановки, выполняются упражнения 629, 672, 630—632. Из них самостоятельно 630.
На этих уроках оформление решения системы может стать более компактным и не содержать явного выделения этапов решения, соответствующих алгоритму, сформулированному на первом уроке. Оформление же решения систем упражнения 629 еще должно соответствовать оформлению решения задачи 3 текста параграфа.
Возможная запись решения:
6
31. 1)
у — \У-8, 卫卫+壬一 9=11. [3 4 1
• 6
• 12
3(х+у)-2(х-у) = 48, 4(х+р) + 3(х-р)=132;
7
3
У X
С
3%+3у —2% +2y = 48, 4х + 4у+3% —Зу= 132;
(48-5 力+у= 132,
36 - 35y+у = 132,
34y = -204,
=6;
= 48 — 5 • 6 = 48 — 30= 18.
твет. х = 18, у = 6.
% + 5у =48,% = 48 — 5у.
7х + у = 132;
Интересующимся математикой учащимся можно предложить решить системы 631 (1) и 672 (1), используя промежуточную замену обозначений, например х Л- у = т, х —у = п.
К концу изучения параграфа все учащиеся должны освоить алгоритм решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными применительно к упражнениям типа 628.
Цель изучения параграфа — формирование умения учащихся решать системы линейных уравнений способом сложения.
Обоснование способа алгебраического сложения на первом уроке проводится по той же схеме, что и способа подстановки. Хотя рассуждения ведутся на конкретном примере (задача 1), они являются общими — их можно повторить при решении любой другой системы. Воспроизведения этих рассуждений от всех учащихся требовать не следует.
После рассмотрения задач 1 и 2 выполняются упражнения 633 и 634. Далее можно предложить учащимся самостоятельно прочитать текст учебника, следующий за задачей 2, и разобрать решение задачи 3; затем, обсуждая решение этой задачи, сформулировать алгоритм решения систем способом алгебраического сложения.
Применение алгоритма с одновременным поэтапным оформлением решения системы уравнений способом сложения можно продемонстрировать либо разбирая задачу 4 текста параграфа, либо выполняя упражнение 635.
На следующих уроках в ходе решения упражнений 635—— 640 закрепляется применение способа алгебраического сложения при решении систем уравнений.
Возможная запись решения:
635. 1)635. 1)4х + Зу= — 4, . 56% +5y=—7; •(— 3)4х + Зу= — 4, . 56% +5y=—7; •(— 3)20х+ 15у = -20, 一⑶一 15y = 2」，2х = 1,20х+ 15у = -20, 一⑶一 15y = 2」，2х = 1,
635. 1)
635. 1)
4х + Зу= — 4, . 5
6% +5y=—7; •(— 3)
4х + Зу= — 4, . 5
6% +5y=—7; •(— 3)
20х+ 15у = -20, 一⑶一 15y = 2」，
2х = 1,
20х+ 15у = -20, 一⑶一 15y = 2」，
2х = 1,
4《+Зу = -4,
2 + Зу = - 4, Зу = — 6,
У = — 2.
Ответ. % = ]» = -2.
быть проведена провероч-быть проведена провероч-В начале последнего урока может ная самостоятельная работа.
быть проведена провероч-
быть проведена провероч-
Решить способом алгебраического сложения систему
5% +2y=2, 3% — у = 10.5% +2y=2, 3% — у = 10.“4% + 3，= 11,1[[2%-у=13.]
5% +2y=2, 3% — у = 10.
5% +2y=2, 3% — у = 10.
Систему предыдущего задания решить способом подстановки.
Результаты этой работы (оба варианта) желательно проанализировать со всем классом и выяснить, какой из способов решения систем в каком случае более рационален. В домашнюю работу следует включить задание на построение графика линейной функции.
Интересующимся математикой учащимся можно предложить решить следующие системы:
1) [3% — 2у= 0, %+ 团=5；1) [3% — 2у= 0, %+ 团=5；2)]2|%| 一，=1,% + у = 5.2)]2|%| 一，=1,% + у = 5.
1) [3% — 2у= 0, %+ 团=5；
1) [3% — 2у= 0, %+ 团=5；
2)]2|%| 一，=1,% + у = 5.
2)]2|%| 一，=1,% + у = 5.
К концу изучения параграфа все учащиеся должны научиться применять алгоритм решения систем линейных уравнений способом алгебраического сложения при выполнении упражнений типа 635, 636.
Графический способ решения систем уравнений (2/2 ч)
Цели изучения параграфа — введение понятия графика уравнения; демонстрация того факта, что графиком любого уравнения ах + by = с (а2 + Ь2^0) является прямая; обучение выполнению геометрической иллюстрации системы линейных уравнений и определению с ее помощью количества решений системы; формирование понимания того, что решение системы линейных уравнений с двумя неизвестными (если оно единственно) совпадает с координатами точки пересечения прямых ——графиков уравнений системы.
Первый урок можно начать с выполнения следующих заданий:
Выразить у через х из данного уравнения:
!)• 2х —^ = 3; 2)% + 2у=1;
х-^у+ 1 =0.
Построить график функции “=—2%+ 1.
Рис. 6Рис. 6Найти координаты точек пересечения с осями абсцисс и ординат графика функции:
Рис. 6
Рис. 6
у = % + 5; 2) у = —3% + 6.
Объяснение нового материала следует вести в соответствии с текстом учебника, обращая внимание учащихся на то, что графиком любого уравнения первой степени с двумя неизвестными является прямая. Построение прямой, не проходящей через начало координат, иногда удобно выполнять по точкам пересечения этой прямой с осями координат, находя координаты этих точек, пооче
редно придавая хну значение, равное нулю. С помощью нахождения этих точек строятся графики рассматриваемых в параграфе уравнений. Координаты (1; 2) точки пересечения уже построенных прямых авторы учебника предлагают найти сначала аналитически, решив систему
/_у = — 1,2% + у = 4.
Делается это с тем, чтобы найденные затем визуально координаты (1; 2) точки пересечения прямых были учащимися названы такими же, несмотря на возможные неточности в построении прямых.
Далее разъясняется понятие графического решения системы уравнений, формулируется алгоритм такого решения и делается важное замечание о том, что при графическом способе решения системы обычно получается приближенное решение. При этом учитель должен сформировать у учащихся потребность в проверке найденного графическим способом решения до того, как записать ответ ——результат решения системы.
Только в случае, когда координаты точки пересечения графиков каждое уравнение системы обращают в верное равенство, ответ записывается парой чисел в скобках, например (а;匕), или в виде % = а, у = Ь. В остальных случаях после применения графического способа решения системы ответ следует записывать с помощью знака приближенного равенства, например х^а, у^Ь.
На первом и втором уроках выполняются упражнения 641—646 (причем 643 обязательно в классе, а 645 (3), 646 (3) самостоятельно). •
На втором уроке рассматриваются три возможных случая взаимного расположения прямых, используя при этом текст параграфа и разбор решения задач 2 и 3; выполняются упражнения 647—649.
Возможная запись решения:
645. 3) % + 2у = 5, 2% — у = 5.
1) % +2y = 5,2) 2% —у = 5,
р = _,% + 2,5; у = 2% — 5 (рнс. 6).
X05У2,50X05У2,50X02,5У-50X02,5У-50
X
0
5
У
2,5
0
X
0
5
У
2,5
0
X
0
2,5
У
-5
0
X
0
2,5
У
-5
0
Проверка.
1) 3 + 2-
1=5 — верное равенство;
2) 2-3-
1=5 — верное равенство.
Ответ.
* = 3, у = 1.
647. 1)
у = Зх,J — 3% + у = 0,
(-2)
6х — 2г/ = 3;[бх — 2^ = 3;
6% — 2, = О,6% — 2у = 3.
Левые части уравнений системы равны при любых % н у, а ； правые части не равны. (При наличии времени можно построить графики уравнений ^=3% и 6х—2^=3 и убедиться, что они параллельные прямые.)
Ответ. Решений нет.
1) [% + у = 0,. 2[ 2% +2y = 0,
[2х +2у = 0; I 2% + 2y = 0.
Уравнения системы выражают одну и ту же зависимость между % н у, значит, их графики — одна и та же прямая, т. е. система имеет бесконечно много решений.
Интересующиеся математикой учащиеся могут выполнить упражнения 650—652, 684.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны .^научиться графически решать системы линейных уравнений, нме- |ющих единственное решение (примеры таких систем в упражне- Мнях 644, 645); все должны понимать, что графический способ, вообще говоря, дает приближенное решение системы, а точное ^решение системы можно найти либо способом подстановки, либо 'пособом алгебраического сложения.
Решение задач с помощью систем уравнений (3/5 ч)
Цель изучения параграфа — обучение составлению системы уравнений по условию задачи с последующим соотнесением найденного решения системы с этим условием.
Изучение темы можно провести в соответствии с текстом параграфа, а можно начать с решения, например, упражнения 656 с помощью уравнения с одним неизвестным (обозначив через %, например, количество дубовых бревен), затем показать решение этой же задачи с помощью системы уравнений с двумя неизвестными; перейти к рассмотрению задачи 1 текста параграфа, решение которой с помогЦью одного уравнения с одним неизвестным (30 —% = 20 +%, где х км/ч — скорость течения реки) для многих учащихся может быть неочевидным. Тем самым будет мотивировано умение решать задачи с помощью систем уравнений.
Следует обратить внимание учащихся на то, что, если применять для решения метод составления системы уравнений, условие задачи мысленно делится на две независимые части, для каждой из которых составляется уравнение с двумя неизвестными. Так как в обоих уравнениях каждое неизвестное число обозначает одно и то же, то эти уравнения можно рассматривать совместно, т. е. объединить их в систему уравнений.
Учащиеся должны при решении задачи с помощью уравнения (или системы уравнений) четко выделять сформулированные на с. 165 этапы решения задачи. Оформление решения задачи 3 можно принять за образец оформления решения задач с помощью системы уравнений.
На отведенных на изучение темы уроках учитель в произвольной последовательности рассматривает с классом задачи параграфа (можно предлагать учащимся разбирать решения этих задач по учебнику самостоятельно) и предлагает к выполнению упражнения 653—666, 677—679. Для самостоятельного решения могут быть предложены учащимся задачи 657, 662.
При наличии времени с помощью учителя полезно рассмотреть задачи 667, 668, 685, а затем решить 680—683. Интересующимся математикой школьникам предлагаются упражнения 669, 670.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны суметь решить задачу типа 653 с помощью системы уравнений с двумя неизвестными.
Решение упражнений
Пусть % — число десятков, у — число единиц числа. По условию задачи имеем
+ у = 12,[(10у+ %) —(10% + р)=54.
Решим эту систему:
[% + у=12,.9 十9% +9P=108,
[- 9% + 9у = 54;—9% + 9p = 54,
18.= 162,
У = 9.
Подставим у = 9 в первое уравнение системы: х + 9 = 12, х = 3.
669. Указание к решению I способом. Обозначить через 幫 л, у л, z л объемы воды в I, II и III сосудах соответственно до 1ереливания, тогда по условию задачи669. Указание к решению I способом. Обозначить через 幫 л, у л, z л объемы воды в I, II и III сосудах соответственно до 1ереливания, тогда по условию задачиОтвет. 39.
669. Указание к решению I способом. Обозначить через 幫 л, у л, z л объемы воды в I, II и III сосудах соответственно до 1ереливания, тогда по условию задачи
669. Указание к решению I способом. Обозначить через 幫 л, у л, z л объемы воды в I, II и III сосудах соответственно до 1ереливания, тогда по условию задачи
у ^у + ^ = 6 (стало во II сосуде), .爲修+ 9)+z) =6 (стало в III сосуде),
尹日詬+-+>尹日詬+-+>6 (стало в I сосуде).6 (стало в I сосуде).
尹日詬+-+>
尹日詬+-+>
6 (стало в I сосуде).
6 (стало в I сосуде).
II с пособ (арифметический) решения задачи, з
g: 1 = 8 (л) — было в III сосуде до отливания из него;
2
6: — = 9 (л) — было во II сосуде до отливания из него;
8 — 6 = 2 (л) — влили из III сосуда в I сосуд;
6 — 2 = 4 (л) — было в I сосуде до наливания в него (столько же отлили из него);
4: ^- = 8 (л) — было в I сосуде первоначально;
9 — 4 = 5 (л) — было во II сосуде первоначально;
6-3 — 8 — 5 = 5 (л) — было в III сосуде первоначально.
Указание. Обозначить через х км расстояние от А до С, через у км расстояние от А до В. Скорость теплохода по тече- рию реки 24 км/ч, против течения 16 км/ч. Тогда по условию
_L+A±£=gl
24 十 16 v з
晋+%=9.
Контрольная работа № 7
Решить систему уравнений:
[х-р = 3,2) [4х + Зг/ = - 1,
2% + Зу = 16.Зх —2у = 12.
1)1)2% + р = 7, 3% — 2y = 7;2% + р = 7, 3% — 2y = 7;2) [Зх + 4у1,' 2% + 5у = 4.2) [Зх + 4у1,' 2% + 5у = 4.
1)
1)
2% + р = 7, 3% — 2y = 7;
2% + р = 7, 3% — 2y = 7;
2) [Зх + 4у1,' 2% + 5у = 4.
2) [Зх + 4у1,' 2% + 5у = 4.
Два токаря выточили вместе 290 деталей. Первый из них работал 5 дней, а второй ——6 дней. Сколько деталей вытачивал в день каждый токарь, если первый вытачивал на 3 детали в день больше второго?
[Масса болта с гайкой равна 49 г, а масса четырех болтов на 70 г больше массы пяти гаек. Чему равна масса одного болта и масса одной гайки?]
Решить графически систему уравнений
2% — у = 4, % + у = 5.2% — у = 4, % + у = 5.х — у = — 7, 2% + у = —2.х — у = — 7, 2% + у = —2.
2% — у = 4, % + у = 5.
2% — у = 4, % + у = 5.
х — у = — 7, 2% + у = —2.
х — у = — 7, 2% + у = —2.
уравненийГр = 3х, 'у = ах + 2.уравненийГр = 3х, 'у = ах + 2.
уравнений
Гр = 3х, 'у = ах + 2.
уравнений
Гр = 3х, 'у = ах + 2.
Дана система
У = ах, у = 2% + 5.
Выяснить, при каких значениях а система:
не имеет решения;
имеет единственное решение.
4
I Неравенства
В этой главе рассмотрению неравенств с неизвестными и их систем предшествует детальное изучение числовых неравенств и их свойств.
В отличие от свойств числовых равенств, на которых основаны свойства уравнений и с которыми учащиеся знакомы еще с начальной школы, свойства числовых неравенств изучаются ими практически впервые. При этом свойства формулируются в общем виде и достаточно строго доказываются. Это часто вызывает дополнительные трудности у учащихся, так как они впервые встречаются с теоремами в алгебре.
Существенную роль играет определение числового неравенства через его характеристическое свойство (а>Ь, если а —Ь>0). С помощью этого определения доказываются первые свойства числовых неравенств, и вообще оно выступает в качестве метода доказательства справедливости неравенств.
Алгоритм решения неравенства с неизвестным сложнее, чем алгоритм решения уравнений, так как на последнем этапе решения приводится учитывать знак коэффициента при неизвестном, 《роме того, в отличие от уравнений неравенство имеет не отдель- 1ые решения, а, как правило, множество решений.
Геометрическое изображение множества решений неравенства на числовой прямой является необычным для учащихся, но очень нужным и полезным, в особенности при решении систем неравенств.
Решение систем неравенств с одним неизвестным тесно связано с числовыми промежутками, с которыми учащиеся также знакомятся впервые.
Отметим, что правильность решения уравнений легко проверяется подстановкой, тогда как решение неравенства таким спо- :обом проверить нельзя.
В этой главе учащиеся обстоятельно знакомятся с трудным для них понятием модуля числа и его применением при решении уравнений и неравенств.
Тема «Неравенства» тесно связана со всеми темами курса алгебры. Например, неравенства используются при изучении свойств функции (промежутки знакопостоянства, монотонность и др.). Она также важна для изучения темы «Приближенные вычисления».
К концу изучения главы все учащиеся должны знать определение числового неравенства и его основные свойства, уметь решать неравенства с неизвестным и их системы, используя их геометрическую иллюстрацию, при выполнении упражнений 174( 1, 2), 175, 178, 179, 182, 183, а также из рубрики «Проверь себя!».
Положительные и отрицательные числа (2/2 ч)
Цель изучения параграфа ——обобщение известных учащимся сведений о свойствах положительных и отрицательных чисел и ознакомление с применением этих свойств, в частности, при решении уравнений.
Материал параграфа дает возможность повторить основное содержание курса алгебры VII класса, представленное методическими линиями: числа и вычисления, преобразование выражений, уравнения. Теоретический материал (необходимые определения, свойства, алгоритмы) целесообразно повторить в ходе выполнения упражнений параграфа (или упражнений на с. 194 учебника), по мере необходимости обращаясь к разделу «Краткое содержание курса алгебры VII класса» (с. 218 учебника). Свойства рациональных чисел, которые будут активно работать при изучении всей темы «Неравенства», приводятся в учебнике в их словесной формулировке и в записи с помощью букв. Однако требовать от учащихся заучивать наизусть словесные формулировки этих свойств не следует; достаточно, чтобы они умели применять их на практике, в частности при выполнении упражнений на доказательство (задача 1 текста, упражнения 7—12) и при решении уравнений (задачи 2——4 текста, упражнения 16——23). Алгоритм решения уравнений основан на свойствах 6 и 7 чисел. Более сложные уравнения, связанные с применением этих свойств, будут рассматриваться при изучении темы «Квадратные уравнения». Превышать уровень сложности упражнений, предложенных в учебнике, пока не следует.
На первом уроке можно провести беседу об истории развития понятия числа, ввести определение положительных и отрицательных рациональных чисел, рассмотреть свойства 1—5 и задачу 1 текста параграфа.
В качестве устных упражнений можно использовать упражнения 1—4 учебника, но прежде целесообразно разобрать примеры следующих типов:
Из чисел -7; 6; 0;备一5; 18; —糸 1； -12,5; 1,3; -*; 14
—выбрать числа: 1) натуральные; 2) целые; 3) положительные;
отрицательные; 5) рациональные.
Даны числа: — 1; 0; 1; —з]; —3：; а — Ь\
724'
Назвать:
числа, противоположные данным;
числа, обратные данным.
Прежде чем разбирать задачу 1 текста, можно выполнить устно упражнение 10.
Использование свойств 1—3 целесообразно закрепить при выполнении упражнений 7—9 (1, 2). Необходимо записи в тетрадях и на доске сопровождать устным объяснением, что послужит осознанному применению свойств. Например, при выполнении упражнения 8(2) в тетради может появиться запись, сопровождаемая устным пояснением.
8.*) Запись в тетрадиТак как а < 0, 2 > 0, то 2a <0.Так как а<0, Ь<0, то (а + Ь)<6.Так как 2a < 0, (а +》)<0, то 2а(а + Ь)>0.8.*) Запись в тетрадиТак как а < 0, 2 > 0, то 2a <0.Так как а<0, Ь<0, то (а + Ь)<6.Так как 2a < 0, (а +》)<0, то 2а(а + Ь)>0.Устное пояснение
8.*) Запись в тетради
Так как а < 0, 2 > 0, то 2a <0.
Так как а<0, Ь<0, то (а + Ь)<6.
Так как 2a < 0, (а +》)<0, то 2а(а + Ь)>0.
8.*) Запись в тетради
Так как а < 0, 2 > 0, то 2a <0.
Так как а<0, Ь<0, то (а + Ь)<6.
Так как 2a < 0, (а +》)<0, то 2а(а + Ь)>0.
По свойству 3 произведения положительного и отрицательного чисел.
По свойству 2 суммы отрицательных чисел.
По свойству 2 произведения отрицательных чисел.
Свойства 4—5 закрепляются, в частности, в ходе выполнения упражнений 14—15, часть из которых можно будет выполнить устно.
Запись в тетрадях может быть такой:
1) — а = — 1-а;
если —1・а<0, то а>0 (по свойству 5);
-^2 = а3 = а2 а, для всех а н0 а2 = а ■ а > 0 (по свойствам
и 2);
если а2 а >0, то а >0 (по свойству 4).
Следовательно, а3>0 (нечетная степень числа положительна только в том случае, когда число положительно) и -^ >0.
Пояснения в скобках достаточно записать один-два раза, а затем их можно заменять устными обоснованиями.
На втором уроке закрепляются свойства 1—5 и изучается применение свойств 6——7 при решении уравнений.
Решения уравнений в тетрадях записываются так:
1)抽=0,
х2— 1 = 0, % + 2W0, (х- 1)(х+ 1) = 0.
х — 1 = 0,2) х + 1 = 0,
%i = 1;х2 = — 1.
Если х = 1, тох + 2 = 3 = 0.
Если х = — 1, тох + 2=1"0.
Ответ. %] = — 1, %2=1・
_ .4 \% — 3%2
4)=0,
х — Зх2 = 0, х НО, х( 1 — Зх) = 0.
х, = 0;2) 1-Зх = 0,
1 х2= з"- Если х = 0, то 0w0 — неверно. Если х= у, то }w0.
Ответ, х = у.
При работе в классе и дома обратить особое внимание на упражнения 7—9, 12, 14, 15, 17—18, 21; самостоятельно можно выполнить задания 5(1, 2), 11, 13, 16, 20; дополнительно полезно решить 24—26, 859, 865.
Решения задач 859, 865, в которых используются свойства натуральных чисел, приводятся в конце книги.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать определение рационального числа и применять свойства чисел при выполнении упражнений типа 6, 10, 15, 16, 20.
Решение упражнений
[а+3—а—21力
25・ 1) а + 2-а + 3 = (а + 3)(а + 2) = (а + 3)(а + 2) >。； так>。+ 3>
>0 — по свойству 1, а+2>0 — по свойству 1, (а+3)(а+2)>0 — по свойству 1; так как 1 >0, то частное 鳥—>0 — по свойству 1.(а + 3)(а + 2)
26. 1) 6м=2(3м) — число четное, значит, (―1严=1;
2/г + 3 = 2/г + 2+1 =2(м+1)+1 —число нечетное, значит, (—1)2" + з = — 1;
4м+1=2(2м)+1 —число нечетное, значит, ( —1)4я+1 = —1; 6п— 1 =2(3п)— 1 —число нечетное, значит, ( —1)6я-1 = —1.
(一 l)6n — (— 1)2. + 31-(-1)2,
по9тому(二m+不五二可二T = (ii^Zfj = = = T •
Числовые неравенства (1/1 ч)
Цель изучения параграфа — обучение сравнению двух чисел с помощью выяснения знака их разности.
В параграфе изучается определение числового неравенства, из которого следуют все известные ранее правила сравнения чисел. Например, в курсе математики V класса учащиеся знакомились с правилом сравнения дробей с одинаковым знаменате-
4 2
лем: у >у, так как 4>2. Это правило можно обосновать с помощью введенного в этом параграфе определения неравенства: — >—, так как у— у >0. Подобного вида неравенства полезно иллюстрировать на числовой прямой, что значительно облегчит в дальнейшем изучение решения неравенств первой степени и их систем.
Урок можно построить по плану, определенному текстом учеб- 4 3 '
ника, начиная с примера сравнения чисел у и —, что хорошо подготовит учащихся к введению определения числового неравенства.
Задача 1 не только иллюстрирует применение определения, но и, по сути, формулирует одно из свойств неравенств.
Задачи 3—5 текста параграфа выполняют очень важную функцию: на их примере демонстрируется один из методов доказательства неравенств, который в основной школе останется ведущим. Причем результат задач 3 и 4 часто используется при доказательстве достаточно сложных неравенств, и учащимся, интересующимся математикой, полезно это помнить.
Однако следует обратить внимание на то, что умение доказывать неравенства не является обязательным для всех учащихся основной школы:
Для решения в классе и дома можно использовать упражнения 28—34, самостоятельно 33( 1, 3), дополнительно 36, 37, 915( 1) (решение приведено в конце учебника).
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать определение числового неравенства и уметь его применять при выполнении упражнений типа 28, 29, 31.
Решение упражнений
Оба мальчика купили по х марок. Первый потратил 5х копеек, а второй ^-3 + ^- 6 = —х + 3х = 4,5х копеек. Сравним 5х и 4,5%: 5х— 4,5х = х(5 —4,5) = 0,5х>0, так как х > 0, то 5х > 4,5%.
Ответ. Первый мальчик.
Оценим разность а4 Л- Ь4 — а3Ь — ab3 = а3(а — b) + b\b — а)= =(a—b)(a3—b3)=(a—b)(a—b)(a2+ab+b2}=(a—b)2(a2+ab+b2)> >0, так как (а — b)2>0, a2 + ab + Ь2>0 (а>0, Ь>0 по условию), следовательно, а4 + b4> a3b + ab3.
Оценим разность а3 + 1 — (а2 + а), если а > — 1 и а±1: а3+ 1 — а2 — а = (а3 — а2) + (1 — а) = а2(а— 1) + (1 — а)=
=(а — 1 )(а2— 1) = (а — 1 /(а + 1)>0; так как а > — 1, то а+1>0, аХ1, значит, (а — 1 )2 >0, следовательно, а3 + 1 > а2 + а.
Основные свойства числовых неравенств (2/2 ч)
Цел ь изучения параграфа — формирование умения применять свойства числовых неравенств при решении простейших задач на сравнение чисел и доказательство неравенств.
Материал этого параграфа важен для последующего изучения решения неравенств с одним неизвестным и систем неравенств.
Воспроизведения доказательств от всех учащихся требовать не следует, но вместе с тем важно показать, что доказательство теорем 1 ——3 и следствий из них проводится по единому алгоритму, основанному на определении числового неравенства:
составляется разность между левой и правой частями доказываемого неравенства;
проводятся алгебраические преобразования с целью выяснения знака этой разности;
применяется определение числового неравенства.
Кроме того, полезно поработать с текстом теорем, выделив условие и заключение, которые обычно формулируются сразу после словесных формулировок теорем, но подчас воспринимаются учащимися как первые шаги доказательства.
Важным элементом формирования умения доказывать истинность того или иного утверждения является работа, приводящая 106
учащихся к осознанию необходимости обосновывать каждый шаг в ходе доказательства. Желательно, чтобы выполнение упражнений 38—39, 44—46, 51—54 в классе сопровождалось устным пояснением выполняемых действий.
Примерная запись решения упражнения 39(4):
Запись в тетради
Устное пояснение
Из а+ 1>Ь и Ь>1 следует, что а + 1 > 1.
По теореме 1.
Из а + 1 > 1 следует, что а + 1 — 1 > 0, откуда а > 0.
Ответ, а >0.
По определению числового неравенства.
Первый урок можно начать с повторения определения числового неравенства и выполнения устных упражнений, например таких:
Выяснить, положительное или отрицательное число а, если: 0,8а <0; 3,4а >0; — 10а<0; —15а >0.
Выяснить, положительно или отрицательно значение выражения:
(а — 3)(6 — 4), если а>3, А>4; а>3, Ь<4;
(а — 3) + (^ — 4), если а>3, Ь>4; а<3, Ь<4.
На этом уроке можно изучить доказательство теорем 1 и 2 и следствие из тодремы 2 и выполнить часть упражнений 38— 46, обратив особое внимание на задания 39, 44, 45. Для самостоятельного решения можно предложить задания 40, 42 и 45( 1, 2). Дополнительно можно выполнить упражнение 55.
На втором уроке доказать теорему 3 н следствие из нее и рассмотреть задачи 1 и 2 (решение этих задач для случая, когда дано неравенство со знаком <, можно предложить для самостоятельного решенид отдельным учащимся).
Важными для всех учащихся на этом уроке являются упражнения 47—50. Кроме того, желательно рассмотреть упражнения 51—53 и выполнить проверочную самостоятельную работу. 1. Доказать, что при любых значениях а верно неравенство 3(а2+2)>3а2. [2 - 3а2<3(3 - а2).]
2. Доказать, что:1) если 4а — Ь>а + 2Ь, то q 2)если а + ЗЬ<5а — Ь, то а [1) если 6Ь — 5а<2Ь — а, то 2) если За + Ь<10а —6Ь, то2. Доказать, что:1) если 4а — Ь>а + 2Ь, то q 2)если а + ЗЬ<5а — Ь, то а [1) если 6Ь — 5а<2Ь — а, то 2) если За + Ь<10а —6Ь, то女儿> >女儿> >а<6а<6ь>аь>а
2. Доказать, что:
1) если 4а — Ь>а + 2Ь, то q 2)если а + ЗЬ<5а — Ь, то а [1) если 6Ь — 5а<2Ь — а, то 2) если За + Ь<10а —6Ь, то
2. Доказать, что:
1) если 4а — Ь>а + 2Ь, то q 2)если а + ЗЬ<5а — Ь, то а [1) если 6Ь — 5а<2Ь — а, то 2) если За + Ь<10а —6Ь, то
女儿
> >
女儿
> >
а<6
а<6
ь>а
ь>а
■Дополнительно можно решить задачи 56( 1, 2), 915(2, 3) (решение приведено в конце книги).
Другим вариантом изучения параграфа может быть, например, гакой: на первом уроке рассмотреть подробно весь теоретический
материал и провести первичное закрепление, используя упражнения 40——43, 47——50; второй урок посвятить решению задач и выполнению проверочной самостоятельной работы.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь применять свойства числовых неравенств при выполнении упражнений типа 44, 45, 48, 50.
Решение упражнений
1) Может, так как а — Ь>а + Ь, когда а — b — (а + Ь)>0, т. е. когда — 2Ь > 0 или Ь<0.
1) Рассмотрим разность
.1.0 а2 + 2а+1伍+iy 「
ааа
так как (а + 1 )2>0 (口工一 1 по условию), а<0 по условию.
а 丄匕 о a2 + b2-2ab(а-Ь)2
— + -2 =^= —^— > 0, так как по условию
ab>0 н aWb.
Сложение и умножение неравенств (1/1 ч)
•••••«й••••••••4>•••«••••4мl•••«*•*^»•••••*•l^••••••*••k•••••••
Цель изучения параграфа — формирование у учащихся умения складывать и умножать неравенства.
Изучение материала рекомендуется провести по тексту параграфа. К доказательству теорем 1 и 2 учащихся можно подготовить с помощью, например, таких устных упражнений:
Дано: а>2, Ь>7.
Доказать, что а + 6 > 9.
Запись на доске
Если а >2, то а —2>0.
Если Ь>7, то Ь-7>0.
Сумма положительных чисел ——положительное число: (а —2) + (Ь-7)>0.
Устные пояснения учащихся
По определению числового неравенства.
По определению числового неравенства.
По свойству 1 положительных чисел.
Если (a + 匕)一9>0, то а + 匕 >9, что и требовалось доказать.
Дано: а>2, Ь>7. Доказать: ab>14.
Запись на доске
Если а>2, то а — 2>0.
Если Ь>7, то 匕一7>0.
ab — 14 = ab — 2b + 2Ь — -14 = Ь(а-2) + 2(Ь-7)>0.
Если ab — 14 > 0, то ab > 14, что и требовалось доказать.
По определению числового неравенства.
Устные пояснения учащихся
По определению числового неравенства.
По определению числового неравенства.
Как сумма положительных чисел (так как Ь>0 и (а —2)>0, поэтому Ь(а —2)>0; 2 >0 и (Ь — 7) > 0, поэтому 2 (方—7) > 0). По определению числового неравенства,
Теперь можно провести доказательства теорем 1 и 2, обратив особое внимание на краткую запись условия и заключения, например:
Теорема 1. Дано: a>b, c>d.
Доказать: a + ob + d.
Воспроизведения доказательства от всех учащихся требовать не следует.
Результат задачи 1 будет необходим при изучении свойств квадратного корня, поэтому его должны знать все учащиеся.
Задача 2, так же как и упражнение 69, показывает применение доказанных теорем при решении геометрических задач, поэтому желательно решить эти задачи на уроках (возможно, на одном из следующих).
Важными для учащихся являются упражнения 62——65, 67, в качестве дополнительных можно рекомендовать задачи 73, 74 и 915(5) (решение в конце учебника).
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать формулировки теорем сложения и умножения неравенств и уметь их применять при выполнении упражнений типа 60, 61, 63.
Решение упражнений
1) I способ.
Так как а>Ь, а<0, Ь<0, то —а>0, —Ь>0 и —а< — Ь. Тогда
(по теореме 2)
( _ a产+i<(-b产+i, (-1 产+ь2斤+1<(-1 产+?2后+1,(一1 产+i=_i.
Умножив обе части неравенства на —1, получим
a2k+l > b2k+l, ап > bn.
II способ.
Так как а<0,匕 <0 и а>Ь, то |а|< |Ь|. По теореме 2 \а\п<\Ь\п. Если 〃 = 2А, то。2&+1<(),匕2&+1<0, н так как [a\2k+l< |6|2Л+1, то a2k+l>b2k+l
2) Так как а<0, Ь<0, а>Ь, то — а>0, — Ь>0, — а< — Ь. По теореме 2 ( —a产<(—b产，но ( —a产=出匕(―^产=匕2&. Следовательно, a2k< b2k.
Так как a">b", a>0, b>0, то для чисел а и b возможны три случая: а = Ь, а<Ь, а>Ь. Если предположить, что а = Ь, а>0, b>0, то а" = 6" (по свойству числовых равенств), что противоречит условию. Если примем а<Ь, а>0,匕 >0, то (по теореме 2) a"<b", что так же противоречит условию. Следовательно, а>Ь.
Строгие и нестрогие неравенства (1/1 ч)
Цель изучения параграфа — раскрытие смысла неравенств а>Ь и a《6; перенос свойств строгих неравенств на нестрогие.
Учащиеся должны понять, что все свойства неравенств, сформулированные в предыдущих параграфах, справедливы н для нестрогих неравенств. С этой целью следует проговаривать, что для строгого неравенства свойства были доказаны ранее, а для случая равенства применяются соответственно свойства числовых равенств.
Термины «не больше», «не меньше» следует вводить постепенно, применяя параллельно с ними терминологию «больше или равно», «меньше или равно».
Важно обратить внимание на выполнение упражнений 75, 76, 78, 79; задание 77 можно предложить для самостоятельного решения; дополнительно полезно решить задачи 83(2, 5), которые кажутся учащимся очевидными, но требуют доказательства, их результаты применяются при доказательстве более сложных неравенств, например 815(1, 3) (указания к решению приведены в конце учебника). Задания 81—83 полезно решить н на последующих уроках.
Решение упражнений
2) а +》2,
а + -~ 2= ■二 2«+1 = ■二豈.》oaaa
так как a>0 по условию, (а —1)2>0 при всех awl, (a — 1)2 = О при a = 1;
3)彳+色)2, 'b a
纟+纟-2—-+勿一2助—(a-Q ?o baabab '
так как ab>0 по условию, (a — Ь)2>0 при всех aHb, (а — Ь)2 = 0 при а = Ь.
5)!居，
Ж9》о，
так как ab<0 по условию, b —a<0 (a》b по условию).
Неравенства с одним неизвестным (1/1 ч)
Цель изучения параграфа——введение понятий линейного неравенства с одним неизвестным и его решения.
Линейное неравенство с одним неизвестным вводится по аналогии с линейным уравнением, что полезно использовать при объяснении нового. Изучение материала рекомендуется провести по тексту параграфа. Задача на движение подводит учащихся к понятию линейного неравенства, но свойства неравенств с одним неизвестным еще не изучены, поэтому не следует акцентировать внимание учащихся на переходе от неравенства 4% >200 к неравенству % >50.
Хотя большее внимание следует уделить упражнениям 84—85, полезно решить задачи 87—89 и подобные им, которые учащиеся могут составить самостоятельно. Задания на самостоятельное составление упражнений позволяют глубже вникнуть в суть понятия.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать, что называется решением неравенства, понимать, что значит решить неравенство, и выполнять упражнения типа 84, 85.
Решение неравенств (3/3 ч)
Цель изучения параграфа —обучение применению алгоритма решения неравенств с одним неизвестным на основании свойств неравенств.
При решении неравенств с одним неизвестным, которые сводятся к линейным, используется алгоритм, аналогичный алгоритму решения уравнений с одним неизвестным.
С помощью рассуждений, проведенных при решении задачи 1, обосновываются основные свойства неравенств и намечается алгоритм решения неравенств с одним неизвестным.
Полезно напомнить школьникам, что аналогичные рассуждения помогли в свое время сформулировать свойства уравнений и алгоритм их решения. В ходе изучения этого параграфа можно повторить известный материал об уравнениях, используя, например, упражнения 756, 757 и текст на с. 219.
При выполнении упражнений к параграфу повторяются преобразования целых н дробных алгебраических выражений н действия с рациональными числами, поэтому в устную работу и домашние задания полезно включать упражнения на повторение в соответствии с уровнем математической подготовки класса.
В качестве устных упражнений можно использовать, например, такие:
Дано верное числовое неравенство: а) 5>р б) — 3< 1.
Умножить обе части каждого неравенства на число: 2; —2; -1； 3; 1.
Разделить на числа 2, — 2, —, — —, 3, —3 обе части неравенства:
а) 2 > — 4; б) — 16< — 8; в) -/<!； г) — 3> — 6.
32
Значение суммы и разности одночленов —х и —х сравнить со значением х, если:“1
а) х>0; б) х< 0.
Найти сумму, разность и произведение двучленов 2х — 3 и Зх — 2.
Решить уравнение:
а) Зх — 1 = 2х; б) — 2х = Зх + 1; в) 3(х — 1) = 2х.
На рисунке 7 изображен график функции y=kx+b. С помощью графика решить:
уравнение “ = 0;
неравенство “>0, "<0. В зависимости от уровня математической подготовки класса, начиная со второго урока, можно решать устно упражнения 90, 点91, 94(1, 2), 95(1, 2), 105(1, 2),
У к106(1, 2).
Можно предложить два способа распределения учебного материала
Iпо урокам.
ТI способ. На первом уроке
斗изучить задачи 1 и 2, познакомить со
свойствами и алгоритмом решения 111 ■-^4sAнеравенств, обратив внимание на уп-
4 % ражения 92, 93, 96, 97, 108, для
самостоятельного решения мож- рис 7но предложить упражнения 94—95,
'начиная с третьего задания.
Второй урок посвятить изучению задач 3—5 и выполнению упражнений, в частности 98, 100—102, 109, 110; желательно, чтобы учащиеся могли самостоятельно выполнить упражнение 100(1, 2).
На третьем уроке рассмотреть часть упражнений 103—107, 111, 112 и провести проверочную самостоятельную работу на 10—15 мин:
Решить неравенство:
3%-7<4(% + 2);2)写± +殁1》7;
(х-3)(х+2)-(х-3)2>15х-10.
7-6%吗(9%-1);2) ^±-lz_^<i；
(х + 3)(х-2)-(х-2)2<^х-9.]°
II способ. На первом уроке рассмотреть весь материал параграфа и выполнить 1—2 задания из упражнений 96, 98, 102; второй и третий уроки посвятить решению задач и выполнению проверочной работы.
В качестве дополнительных упражнений можно использовать задачи 113—116, 193, 194 и задачи, содержащие неравенства с параметром:
4 + Зах> 12х4- а; 2) 2ах — 4 >х; 3) За% + 3<% + 5.
Решение упражнений
Пусть скорость велосипедиста % км/ч, тогда Зх км — расстояние, которое проедет велосипедист за 3 ч, пешеход за 3 ч 1ройдет 4-3=12 (км). Следовательно, велосипедист за 3 ч дол-
жен проехать не менее 60 — 12 = 48 (км), чтобы встретиться с пешеходом. Можно составить неравенство 3%》48, откуда %》16.
Ответ. Скорость велосипедиста должна быть не менее 16 км/ч.
К моменту выезда третьего велосипедиста, т. е. за 10 мин, первый велосипедист проедет 30--|- = 5 (км), и ему останется преодолеть 155 — 5 = 150 (км), что он может сделать за 150： 30 = 5 (ч).
Пусть % км/ч — скорость третьего велосипедиста, тогда к финишу он приедет через ~- ч, что должно быть меньше 5 ч, т. е. 誓<5, 155<5х(х^0), х>31.
Ответ. Третий велосипедист должен двигаться со скоростью, большей 31 км/ч.
Пусть скорость катера относительно воды составляет х км/ч, тогда его скорость по течению реки равна (%+а) км/ч, а против течения реки (% —а) км/ч. Если принять расстояние между пристанями за 1, то путь по течению реки катер должен проделать за J, ч, а путь против течения за *丄二 ч, причем скорость катера, чтобы он мог двигаться против течения, должна быть больше скорости течения, т. е. х>а. Чтобы пройти путь по течению по крайней мере в 3 раза быстрее, чем против течения, время движения —^— должно быть не меньше ―-—, т. е. долж-
х+а%—а
но выполняться неравенство
1〉3
х — а / х + а •
Решим это неравенство:
—- -^-》0,力+а；у + 3,》0 •—虻竺.一》0.
х — ах + а(х — а)(х + а)，(х-аХх+а)
Умножим обе части неравенства на положительное число (% —а)(% + а), тогда
4а —2%》0, 2% 4 4а, % 4 2а.
Ответ. Скорость катера относительно воды должна быть больше а км/ч, но не больше 2a км/ч.
В 5 л 30%-ного раствора содержится 5 ■ 0,3 = 1,5 (л) кислоты. Пусть х л — количество 70%-ного раствора кислоты, которую вливают в первый раствор. В х л раствора содержится 0,7х л кислоты. Таким образом, при сливании в новом растворе будет содержаться (1,5+ 0,7%) л кислоты, а количество самого раствора составит (5 + %) л. Чтобы новый раствор содержал не менее 60% кислоты, должно выполняться неравенство 1,5 + 0,7%》0,6(5 + х), откуда
1,5 + 0,7%》3 + 0,6%,0,1%》1,5,%》15.
Ответ. Нужно влить не менее 15 л раствора.
Дополнительное упражнение.
Решить неравенство 4 4- Зах > 12% + а.
Зах — 12%>а — 4; %(3а — 12)>а — 4;
(3%- 1)(а-4)>0.
Если а —4 = 0, то получим неравенство (Зх — 1) • 0 > 0, ко: торое не имеет решений.
Если а — 4 > 0, то, разделив обе части неравенства на (а —4), получим неравенство того же знака Зх — 1 > 0, откуда
Х>Т
Если а — 4 < 0, то деление неравенства на отрицательное число даст неравенство противоположного знака, т. е. Зх — 1 < 0, откуда %<[♦
Ответ. х>~ при а >4; х<— при а< 4; нет решения при а = 4.
Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки (1/1 ч)
Цель изучения параграфа — знакомство учащихся с понятием системы неравенств с одним неизвестным, решением системы неравенств и его записью с помощью числовых промежутков.
Изучение учебного материала рекомендуется вести по тексту параграфа. Понятие системы неравенств с одним неизвестным можно ввести, используя задачу текста или выполняя следующие упражнения, опираясь на свойства чисел и свойства неравенств:
Найти такие значения %, при которых выражение (Зх — 9)(4 — 2х) положительно (отрицательно).
При каких х значение алгебраической дроби 吏七• положительно (отрицательно)? "
Следует обратить внимание учащихся на то, что неравенства рассматриваются совместно (образуют систему) потому, что требуется найти значения одного и того же неизвестного, удовлетворяющие каждому неравенству.
Заучивать сразу названия числовых промежутков нет необходимости. Важно, чтобы на начальном этапе учащиеся умели записывать числовой промежуток, соответствующий неравенству, и изображать соответствующие промежутки на числовой оси.
Наиболее важными на этом уроке являются упражнения 120— 123, желательно рассмотреть и 126, 127, дополнительно 128.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать, что называется решением системы, уметь выполнять упражнения типа 118——120.
Цель изучения параграфа—обучение решению простейших систем неравенств с одним неизвестным.
В тексте учебника на конкретных примерах рассматривается и предлагается для решения систем неравенств следующий алгоритм:
решить каждое из неравенств системы;
изобразить множество решений каждого неравенства на числовой оси;
найти на числовой оси все точки, которые принадлежат множеству решений как первого неравенства, так и второго, и записать полученное множество с помощью неравенств или обозначений промежутков.
Графическая иллюстрация является важным элементом формирования понятия решения системы неравенств, поэтому она должна обязательно присутствовать в каждом решении при выполнении упражнений к параграфу. В дальнейшем, если учащиеся могут найти значения неизвестного, являющиеся решением всех неравенств системы без графической иллюстрации, ее можно опустить.
В ходе выполнения упражнений 142—148 учащиеся знакомятся с новой для них математической моделью: составлением системы неравенств для решения текстовых задач и исследования функций. Важно нацелить учащихся на поиск и выделение условия, ведущего к составлению именно этой модели: ищутся значения одной и той же искомой величины, ограниченные конкретными числами.
В качестве устных упражнений на этих уроках полезно использовать задания на выполнение арифметических действий с рациональными числами, решение простейших неравенств (типа упражнений 90, 91) и, например, такие задания:
Найти целые числа, являющиеся решением системы неравенств:
1)(%>-1,2)<2,5,3)|х<1,5,
lx<3;lx>0; I х > — 1.
Записать двойное неравенство, соответствующее числовому промежутку:
1) [0; 5);2) [-2; 1];
(-7; 3];4) (-2; 2);
Рис. 9Рис. 9Рис. 8Рис. 8
Рис. 9
Рис. 9
Рис. 8
Рис. 8
2 текста и при выполнении на задания 135, 136, 141,2 текста и при выполнении на задания 135, 136, 141,
2 текста и при выполнении на задания 135, 136, 141,
2 текста и при выполнении на задания 135, 136, 141,
Как называется каждый из указанных на рисунке промежутков?
Катя моложе Саши, но. старше Андрея. Сколько может быть лет Кате, если Саше 15 лет, а Андрею 12?
Найти наименьшее целое решение системы неравенств:
Ь<8,2)卜》3,5,3) Ь >- 1,
l%>—1;1%>1；\х>2.
Найти наибольшее натуральное решение системы неравенств:
(%<7,5,2) Ь<4,5,3) (х>-3,4) (х>-7,
1/<2;1%《7;(%<3,5;\х< 1.
Упражнение 127 (или аналогичное ему) (рис. 10).
Упражнение 127 подготовит учащихся к решению задач 142—143.
На первом уроке разобрать задачи 1 и упражнений обратить особое внимание 144, для самостоятельного решения можно предложить 133(3), 134(3); на втором уроке решить задачи 3 и 4 и упражнения 137, 138, 142, 145, самостоятельно 137 (3); третий урок посвятить решению задач и провести проверочную самостоятельную работу (15 мин):
Решить систему неравенств:
|3%》9,2) |7%-2<2% + 4,
[о,5%>2;(5х —К6х + 2;
3) 2(2/+1) + %>3(х-1) + 4,
[ 0,3% <3,2) {5x+3Cx+7,
12%<-26;12% —3《3%-l;
[5 + 3(x- l)<5(x + 3) + x,"
x+3 > 2% + 7
5 °.
Решение системы 3 неравенств с одним неизвестным из I варианта можно записать так:
4% + 2 + % > 3% — 3 + 4,5% + 2 > 3% + 1,2% > — 1,4% + 2 + % > 3% — 3 + 4,5% + 2 > 3% + 1,2% > — 1,2(2%+ 1) + х>3(х- 1) + 4,2)
4% + 2 + % > 3% — 3 + 4,
5% + 2 > 3% + 1,
2% > — 1,
4% + 2 + % > 3% — 3 + 4,
5% + 2 > 3% + 1,
2% > — 1,
4(2х- 1)》3(Зх-2),8% — 4》9% — 6,
—%》一2,
尤<2.
Рис. 11
Ответ. — }<%<2.
Дополнительно на уроках можно решить упражнения 147, 148, 190.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь решать системы неравенств с одним неизвестным типа упражнений 135—136.
Решение упражнений
В 8 л 60%-ного раствора содержится 4,8 л кислоты. Пусть добавили % л 20%-ного раствора (в нем содержится 0,2х л кислоты). Тогда в (8 + х) л содержится (4,8+ 0,2%) л кислоты. По условию задачи смесь должна содержать не больше 40% и не меньше 30% кислоты, т. е.
4,8+ 0,2%《0,4 (8 +%),4,8+0,2% >0,3(8 +%),
откуда 8<%《24.
Ответ. Можно влить не меньше 8 л, но не больше 24 л.
Пусть % кг — количество риса, которое нужно взять для получения крахмала, 4% кг — количество ячменя. В рисе содержится 0,75х кг крахмала, в ячмене — 4% • 0,6 = 2,4% (кг) крахмала. Чтобы получить крахмала больше 63 кг, число (6,7$%+ 2,4%) должно быть больше 63, т. е. 0,75%+ 2,4% >63, но не больше 126, т. е. 0,75% +2,4% < 126. Эти неравенства образуют систему
]0,75% + 2,4% > 63,J% >20,
[0,75% +2,4x<126, откуда [吞緻
Ответ. Риса нужно брать больше 20 кг, но не больше 40 кг, ячменя больше 80 кг, но не больше 160 кг.
Пусть % деталей в день — производительность труда одного рабочего, тогда 8% деталей в день — производительность труда бригады. За 5 дней бригада изготовила менее 300 деталей, т. е. 8х • 5 < 300. За 10 дней бригада изготовила более 500 деталей, т. е. 8х- 10 >500.
Можно составить систему неравенств, так как в полученных неравенствах % обозначает одно и то же число:
140% <300,180х > 500.
40х<300, 2) 80% >500, х< 7,5;х>6—.
4
6 丄< % < 7,5.
4
Но количество деталей должно выражаться целым числом, поэтому %=7.
Ответ. 7 деталей в день.
Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль (2/3 ч)
Цель изучения параграфа — знакомство с решением уравнений и неравенств, содержащих неизвестное под знаком модуля.
В курсе математики V—VI классов учащиеся познакомились с понятием модуля числа и его геометрической интерпретацией. В этом параграфе дается строгое определение модуля числа и применяется это определение при решении уравнений; рассматривается геометрический смысл модуля числа, который используется при решении неравенств.
Такой подход к изучению теоретического материала выбран не случайно: он упрощает формирование умения решать уравнения и неравенства, содержащие модуль. Однако если учащиеся решат упражнение 168, то они смогут применить геометрическую интерпретацию при решении уравнений типа |% —а| = с, где с》0, рассуждая, например, так: если |х — 5|= 7, то расстояние от точки 5 до точки х должно быть равно 7, таких точек на числовой оси
две — точка 12 и точка — 2, следовательно, / = 7, х2 = — 2 (рис. 12).
Рис. 12Рис. 12
Рис. 12
Рис. 12
Но от всех учащихся проведения подобных рассуждений требовать не следует.
Оформлять решение задач, аналогичных задаче 3, можно как с помощью системы неравенств, так и с помощью двойного неравенства:
I способ оформлениярешения неравенства|Зх-2|<10[3%-2>-10, '[3%-2<1О;I способ оформлениярешения неравенства|Зх-2|<10[3%-2>-10, '[3%-2<1О;II способ оформлениярешения неравенства|Зх-2|< 10—10 < 3% ~ 2 < 10,—10 + 2 < 3% < 10 + 2,II способ оформлениярешения неравенства|Зх-2|< 10—10 < 3% ~ 2 < 10,—10 + 2 < 3% < 10 + 2,
I способ оформлениярешения неравенства|Зх-2|<10[3%-2>-10, '[3%-2<1О;
I способ оформлениярешения неравенства|Зх-2|<10[3%-2>-10, '[3%-2<1О;
II способ оформлениярешения неравенства|Зх-2|< 10
—10 < 3% ~ 2 < 10,
—10 + 2 < 3% < 10 + 2,
II способ оформлениярешения неравенства|Зх-2|< 10
—10 < 3% ~ 2 < 10,
—10 + 2 < 3% < 10 + 2,
3% — 2 > — 10, Зх > — 8, х> ~2у；3% — 2 > — 10, Зх > — 8, х> ~2у；Зх — 2 < 10, 3%< 12, х< 4.Зх — 2 < 10, 3%< 12, х< 4.—8 < Зх< 12,—2^<х< 4.—8 < Зх< 12,—2^<х< 4.
3% — 2 > — 10, Зх > — 8, х> ~2у；
3% — 2 > — 10, Зх > — 8, х> ~2у；
Зх — 2 < 10, 3%< 12, х< 4.
Зх — 2 < 10, 3%< 12, х< 4.
—8 < Зх< 12,
—2^<х< 4.
—8 < Зх< 12,
—2^<х< 4.
2Ответ. — 2—<х< 4.2Ответ. — 2—<х< 4.Sc2^- 2/2§4Рис. 13Sc2^- 2/2§4Рис. 13
2
Ответ. — 2—<х< 4.
2
Ответ. — 2—<х< 4.
Sc2^
- 2/
2§4
Рис. 13
Sc2^
- 2/
2§4
Рис. 13
Оформить решения задач, аналогичных задаче 4, можно короче, чем это показано в учебнике. Например, решение неравенства |10 — Зх|>1 можно записать так:
10-3%》1,2) 10-3%《一1,
—Зх》—9,— Зх С — 11,
2 无《3,х>3—.
93
Ответ. х<3, х>3—.
Рекомендуется обратить внимание учащихся на последние два абзаца текста параграфа, в связи с чем рассмотреть решение не
равенств:
1)図《0; 2)|х-2|<0; 3) |х|<-3; 4) |х + 3|>0; 5) |5%-4|》一6.
Распределение материала параграфа по урокам может быть таким: на первом уроке изучить весь материал, обратив особое внимание на упражнения 150, 151, 154—156, а на втором уроке выполнить упражнения 152, 153, 157—160, 164, причем для проверочной самостоятельной работы можно использовать задания 153(5, 6), 158(1, 3), 159(1, 3), 162(3, 5), дополнительно можно решить задачи 168, 195, 196.
Решение упражнений
Если Ь>а, то расстояние между точками b и а равно b —Q； если Ь<а, то расстояние равно а — Ь; если число а = Ь, то q — b = 0, что соответствует определению модуля числа |q — b\.
Пусть а《无<Ь, тогда % —q》0 и |х — а|=х — а, а % —Ь《0 и |х — Ь\= Ь — х. Так как \х — а\ = \х — Ь\ по условию, то х — а — Ь — х и 2% = b + Q, % = ^^.
1) |% + 1|=|%-2|, %=^^, х = у；
|х-5|=|х-8|, % = ~^, % = 6,5.
Заключительный урок — обобщающий и систематизирующий знания учащихся по теме. В ходе урока рекомендуется напомнить учащимся, что они научились решать уравнения, используя свойства чисел и определение модуля числа (170, 171, 182), решать неравенства и системы неравенств (178, 179), доказывать неравенства, используя свойства числовых неравенств (173, 174). Если уровень подготовки учащихся позволяет, желательно на этом уроке выполнить более сложные комбинированные упражнения (J85, 186, 187, 191, 192).
Контрольная работа № 1
Решить неравенство:
7%-3>9%-8; 2)±^■-忘《1.
) 6%-9<8% + 2; 2) ]-^^》1」
Доказать, что неравенство
(а + 3)(а-5)>(о + 5)(а-7) [(q -5)(а + 3)< (а + 1)(а - 3)] верно при любых значениях а.
Решить систему неравенств
/ 2х — 15<0,ГI 5х — 8 > 0,
I12-3%<0. LI 12-2х>0..
Найти все целые числа, являющиеся решением неравенства |3% — 8|《1.[|5% + 2|《3.]
Длина прямоугольника больше 10 см, а ширина в 2,5 раза меньше длины. Доказать, что периметр прямоугольника боль- .ше 28 см.
[Одна из сторон параллелограмма меньше 5 см, а другая в 4 раза больше нее. Доказать, что периметр параллелограмма меньше 50 см.]
Приближенные вычисления
Эта глава содержит два тесно связанных между собой раздела: погрешность приближения значений различных величин, в частности чисел, и вычисления на микрокалькуляторе (МК).
Данная глава курса алгебры незначительно влияет на логику его построения, но имеет важное значение для вычислений и реализации межпредметных связей с курсами геометрии, физики и др. Особое значение эта тема имеет для практики вычислений (ярким примером является то, что фактически все продавцы пользуются калькуляторами).
Раздел, связанный с теорией приближенных вычислений, обобщает и систематизирует знания школьников о приближении и округлении чисел, полученные ими в предыдущих классах.
Так, более обстоятельно рассматривается вопрос о погрешности вычислений. Естественно, что погрешность приближения оценивается разностью между истинным значением величины и ее приближенным значением. Однако эта разность может иметь разные знаки, и поэтому приходится использовать понятие модуля.
Известные учащимся правила округления чисел обосновываются тем, что абсолютная погрешность приближения должна быть наименьшей.
Относительная погрешность приближения используется тогда, когда сравниваются приближения разных величин. Эта погрешность тесно связана с отношением, и в частности с процентным отношением чисел.
Важный для практики вопрос о стандартном виде числа с должной полнотой (для любых целых показателей степеней числа 10) рассматривается при изучении второго раздела этой главы —вычисления на МК.
Использование МК исключает необходимость рассматривать арифметические действия над приближенными числами с учетом десятичных знаков и значащих цифр. Применение МК существенно облегчает вычисления в затруднительных случаях: вычисления с многозначными числами, вычисление значений степеней 122
и корней чисел, нахождение корней квадратных уравнений с «неудобными» коэффициентами, вычисление значений тригонометрических функций и др.
Работа с МК знакомит учащихся с логикой программирования, особенно при вычислении с использованием ячейки памяти. Тем самым учащиеся применяют начальные понятия информатики: алгоритмы, вычислительные программы, блок-схемы и т. п.
В результате изучения главы II все учащиеся должны усвоить понятие погрешности приближения и способы ее оценки, знать правило округления чисел и технику простейших вычислений на МК, выполнять упражнения 199, 200, 208, 209, 221, 229, 230, 253, 296, а также из рубрики «Проверь себя!».
Приближенш»1е значения величин. Погрешность приближения (2/2 ч)
Цель изучения параграфа — знакомство учащихся с происхождением приближенных значений чисел (или величин) и обучение нахождению абсолютной погрешности приближения.
При изучении данного и последующих параграфов желательно устно решать такие неравенства:
12х>-36;金7; - 13%<26;
%-2,25《？ -3*10; -у<4;
1-х>3; |х|<2; |х|>4; |х-3|<1.
Изучение учебного материала на первом уроке рекомендуется вести по тексту параграфа. Первую часть текста до задачи 1 можно предложить разобрать самостоятельно по учебнику и выяснить степень усвоения материала путем обсуждения всех примеров и используя упражнения 197.
После объяснения задачи 1 выполнить задание 198 и ввести понятие абсолютной погрешности приближения.
На этом уроке рекомендуется обратить особое внимание на выполнение упражнений 200——201; для самостоятельного решения можно предложить задания 199(1, 3), 204; дополнительно полезно рассмотреть задания 205—206.
На втором уроке, кроме заданий 202—-203 и оставшихся заданий от предыдущего урока, целесообразно рассмотреть упражнения, которые позволяют глубже изучить понятие norpeui- чости приближения.
Например:
Погрешность приближения числа % числом а равна Ь, найти:
%, если а = 5,24,匕= 0,02; 2) %, если а = 5申，匕=今
а, если % = — 4,32, 8 = 0,05; 4) а, если х = — 7 р Ь = ^.
Найти число %, если погрешность его приближения числом 5 в 10 раз меньше числа %.
7
Пусть у — погрешность приближения числа — числом 0,78.
Найти погрешность приближения числа у числом 0,1.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать определение абсолютной погрешности и уметь ее находить при выполнении упражнений типа 199—201.
Решение упражнений
а = 2,4, |%-2,4|<0,1;
— 0,1 < х — 2,4 <0,1,
2,3<%< 2,5.
Ответ. 2,3<х<2,5.
а = 7,43, |%-7,43|<0,01;
-0,01<%-7,43<0,01,
7,42<%<7,44.
Ответ. 7,42 <х< 7,44.
Цель изучения параграфа — знакомство учащихся с понятием оценки точности приближения и обучение нахождению приближенных значений чисел с недостатком и с избытком при заданной точности приближения.
Следует обратить внимание учащихся на тот факт, что переход от неравенства |% — а|《％ к двойному неравенству а — h《x《a + h дает возможность определить значения данной величины с недостатком и с избытком. Учащиеся должны понимать, что записи I% —а|《用，a — h《x《a + h и x = a±h эквивалентны, но каждая из них имеет свою особенность:
—запись |х — а|<А подчеркивает тот факт, что абсолютная погрешность вычисления числа а не превосходит Л;
— запись a — h《x《a + h указывает, что истинное значение величины заключено между ее приближенными значениями с недостатком и с избытком;
——запись x — a + h не является равенством в общепринятом смысле (это следует из способа ее прочтения: «% равно а с точностью до Л»).
При изучении материала параграфа полезно рассказать учащимся о таком производственном термине, как «допуск», попросить их найти показатели точности измерения некоторых приборов, выписать их и пояснить свою запись на примерах. Целесообразно предложить одному из учащихся сделать сообщение о точности измерительных приборов, имеющихся в физическом кабинете или производственных мастерских.
В качестве подготовки к изучению материала параграфа полезно выполнить с учащимися задания (в устной или письменной форме):
1. Записать в виде неравенства утверждение:
«Погрешность приближения числа у числом 0,4 меньше 0,1».
Записать в виде двойного неравенства:
|%-2|《3; 2) |4-%|<2.
Записать в виде неравенства, содержащего модуль:
7) -2《％《2; 2) -3<х+ КЗ; 3) -1《3-%<1.
Материал параграфа можно изучать в течение двух уроков. На первом уроке рассмотреть текст параграфа и выполнить упражнения 207—209, 213—215, самостоятельно 209(1, 3). На втором уроке рассмотреть упражнения 210—212, 216—219 и выслушать сообщения учащихся об их мини-исследованиях.
При изучении этого параграфа полезно решить и такую задачу: Найти такие значения а н 九，чтобы запись х = a+h означала, что 8,01《％<8,03.
Решение. (а + Л = 8,03,
(а —Л = 8,01,
2a = 16,04, а = 8,02, Л = 0,01.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны усвоить смысл записи х = a + h и уметь выполнять упражнения типа 208, 209.
Решение упражнений
100 г = 100 000 мг, 2 г = 2000 мг, масса тела равна 102 110 мг, точность измерения 10 мг.
Округление чисел (1/1 ч)
Цель изучения параграфа — обоснование того факта, что известное учащимся правило округления чисел дает наименьшую погрешность приближения.
Желательно иллюстрировать округление чисел примерами из жизненной практики, чтобы применение правила округления чисел не воспринималось лишь как формально-оперативный навык. Например, на практике нет надобности вычислять площадь земельного участка с точностью до 1 дм2 или измерять время движения поезда в секундах (хотя в физических лабораториях, при ряде астрономических наблюдений и т. п. измерения зачастую ведутся с точностью до долей секунды). Этим можно объяснить, что при выполнении различных измерений и вычислений с приближенными значениями величин (чисел) результат вычислений приходится округлять с заданной точностью (с недостатком или с избытком так, чтобы абсолютная погрешность была наименьшей).
Прежде чем вводить новый материал на уроке, можно предложить выполнить упражнение:
Выяснить, какое приближение числа 7,847 точнее (погрешность приближения меньше):
числом 7 или числом 8;
числом 7,8 или числом 7,9;
числом 7,84 или числом 7,85;
числом 7,846 или числом 7,848.
Важными на этом уроке являются упражнения 220—226, причем желательно подробно разобрать 225(1, 2) и 226, так как в них содержится мотивация необходимости умения округлять числа.
Для самостоятельного выполнения можно предложить упражнение 223 и, например, такие задания:
При округлении числа х = 3,54... до сотых получили х ~3,55. Какая цифра в записи числа % может стоять на четвертом месте?
При округлении числа % = 5,78…до сотых получили а ~5,78. Какая цифра в записи числа х может стоять на четвертом месте?
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать правила округления чисел и уметь их применять при выполнении упражнений типа 221.
Относительная погрешность (2/2 ч)Относительная погрешность (2/2 ч)
Относительная погрешность (2/2 ч)
Относительная погрешность (2/2 ч)
Цель изучения параграфа — введение понятия относительной погрешности как оценки качества приближения.
Материал этого параграфа важен именно в его прикладном значении, поэтому примеры, приведенные в тексте параграфа, должны быть обязательно подкреплены решением качественных задач 231—236. Хорошо, если учащиеся принесут на урок учебник по физике или тетради лабораторных работ по физике и на конкретых примерах убедятся в необходимости оценки качества приближений.
Прежде чем переходить к изучению нового материала, желательно повторить основные задачи на проценты.
Найти 25% от числа 200.
Найти 15% от числа 0,75.
Выяснить, сколько процентов составляет число 18 от числа 144; число 48 от числа 36.
Число |х—2,4| составляет 2% от числа 2,4- Найти х.
При оформлении в тетради решения упражнений 231, 232, 234—236 можно использовать для образца запись решения задачи в тексте параграфа. Для самостоятельного решения можно рекомендовать упражнения 229 и 232.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь находить относительную погрешность приближения при выполнении упражнений типа 229, 230.
Простейшие вычисления на микрокалькуляторе (2/2 ч)
Цель изучения параграфа —знакомство учащихся с внешним видом калькулятора и назначением основных клавиш для выполнения арифметических операций.
Материал данного и последующих параграфов является хорошей основой для организации на уроке самостоятельной работы учащихся с учебником. Все задачи текста параграфа школьники
могут решать самостоятельно, лишь контролируя выполнение операций на МК по результатам, приведенным в книге.
К начальным навыкам работы с МК относятся:
ввод числа (положительного, отрицательного);
выполнение каждого из четырех арифметических действий;
нахождение результата того или иного арифметического действия с заданной степенью точности.
Их закрепление следует проводить сразу, используя упражнения к параграфу и предлагая учащимся придумать примеры самостоятельно.
Чтобы избежать округлений результатов вычислений, используя практические правила округления, упражнения в учебнике подобраны так, что на индикаторе высвечивается точный результат вычислений (в других случаях в заданиях указывается необходимая степень точности, с которой нужно округлить результат).
В результате изучения параграфа все учащиеся должны научиться вводить числа в калькулятор и выполнять упражнения типа 240—244.
Стандартный вид числа (2/2 ч)
Цель изучения параграфа — знакомство учащихся с понятием стандартного вида числа и обучение выполнению арифметических действий с числами, записанными в стандартном виде, с помощью МК.
С записью числа в стандартном виде а-10й, где 1《|а|< 10 и п — натуральное число, учащиеся знакомы из курса алгебры VII класса. Поэтому введение понятия стандартного вида числа (а • 10", где Ка<10, п — целое число) не должно вызывать у учащихся особого затруднения.
Учителю следует обратить внимание на то, что пока не вводится определение степени с целым отрицательным показателем, а, например, запись 10~2 обозначает число 0,01.
Подготовку к введению понятия стандартного вида числа, меньшего 1, можно начать с таких, например, упражнений:
Какие неравенства являются верными:
К1,01< 10;2)К3,28< 10;3)К|-7,49|< 10;
К10,3<10;5)К0,989< 10;6)1 <|-0,01|< 10?
На какое из чисел 10, 100, 1000 нужно разделить или умножить данное число, чтобы равенство было верным:
23,8：_ = 2,38; 2) 4,5-_ = 45;3) 87,2 • _=8,72;
4) 0,0031 _ = 3,1; 5) 6711：_ = 6,711; 6) 3452= 3,452?
Прежде чем переходить к изучению изображения числа, записанного в стандартном виде на индикаторе МК, рекомендуется выполнить упражнения 252—254 и провести самостоятельную работу, проверив ее сразу после выполнения.
[1. Записать число:-1) -345,21 [8215,6]; 2) 0,0034521 [-0,082156] в стандартном виде. Указать его мантиссу и порядок.
Записать число: 1) 1,28 • 10~2 [-8,201 • Ю"3]; 2) -3,01 • 105 Д2,02 • 106] в обычной форме.
Работу с калькулятором целесообразно проводить параллельно с самостоятельной работой учащихся с учебником. Например, учащиеся читают текст задач 1 и 2 и выполняют упражнение 255; читают задачи 3 и 4, выполняют упражнение 260 и т. д.
Распределение материала по урокам может быть таким: на первом уроке изучается текст до задачи 3, выполняются упражнения 252—255 и самостоятельная работа; на втором уроке учащиеся работают с калькулятором, изучая задачи 3—8 текста и выполняя остальные упражнения. (Желательно на этих уроках выполнить 262—263.)
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь записывать числа в стандартном виде, выполняя упражнения 253—254.
После этого урока можно провести контрольную работу № 2.
Вычисления на микрокалькуляторе степени числа и числа, обратного данному (1/1 ч)
Материал данного и последующих двух параграфов может изучаться в течение трех часов, если большинство учащихся класса (или кабинет математики) имеют калькуляторы МК-51 или другие инженерные микрокалькуляторы. Если большинство учащихся класса имеют калькуляторы, выполняющие только арифметические действия, тогда можно не изучать § 17—19, а 3 ч, отведенные на изучение этой темы, можно, например, добавить к повто- оению в конце учебного года.
данного параграфа является знакомство сданного параграфа является знакомство сЦелью изучения фименением клавиш
данного параграфа является знакомство с
данного параграфа является знакомство с
Как уже говорилось выше, изучение рекомендуется организовать в форме самостоятельной работы с учебником, последовательно читая решения задач текста и выполняя соответствующие упражнения:
задача 1 —упражнения 264, 269, 271;
задача 2 — упражнение 265;
задача 3 — упражнение 267;
задача 4 — упражнение 268, в заключение — упражнение 270.
При вычислении значения выражения в упражнении 270 школьникам придется представить число а в стандартном виде и воспользоваться программой вычислений из задачи 3 (4) текста.
Последовательное выполнение операций на микрокалькуляторе (1/1 ч)
Цель изучения параграфа ——знакомство учащихся с последовательным выполнением нескольких операций на МК и обучение округлению результатов вычислений, исходя из потребностей практики.
Последовательное выполнение операций на микрокалькулято- ре дает наибольший эффект при решении конкретных задач физики, биологии, экономики, поэтому следует поощрять желание школьников изучить материал параграфа.
Разбирая решения задач текста параграфа, необходимо обращать внимание учащихся на запись ответа и обсуждать, почему округление результата, появившегося на индикаторе, было сделано именно с такой точностью. В учебнике не рассматриваются теоретические основы выбора надежной цифры, не вводится понятие запасной цифры, так как калькулятор дает ее при вычислении; речь идет об округлении до количества цифр, надежных с точки зрения практики.
Желательно, чтобы на этом уроке учащиеся решили упражнения 280—284, ход решения которых и демонстрирует эффективность применения МК.
Решение упражнений
127 区|3,5 区|5 区］13 区I
Стоимость найдем далее.
9 日 22
10,2 0 0,75
3,45 0 2,1
300日 220
Вычисления на микрокалькуляторе с использованием ячейки памяти (1/1 ч)
Цель изучения параграфа ——знакомство учащихся с действием ячеек памяти и составлением программ с использованием этих ячеек.
Изучение материала параграфа рекомендуется вести по тексту учебника, предлагая учащимся самостоятельно разбирать задачи текста н соответствующие упражнения:
задача 1 —упражнение 285 (1—4);
задача 2 — упражнение 285 (5, 6);
задача 3 — упражнение 286.
Заинтересованным учащимся полезно поучиться составлять 'различные вычислительные программы для одного н того же выражения, как это показано на с. 79 учебника. Остальным достаточно на примерах задач учебника ввести понятие алгоритма и по- :говорить с ними о перспективах ЭВМ.
Контрольная работа № 2 (на 15—20 мин)
{ 1. Представить дробь £ 卜]в виде десятичной дроби с точностью до 0,1 н 0,01.
F 2. Записать в стандартном виде числа 238,1 н 0,046. [538 и 0,724』；
{ 3. Какое измерение:
f 「= (35±0,1)м или d = (3,5±0,01) см [л = (520±0,1) м или с =(52±0,1) мм] — является более точным и почему? Записать результат каждого из измерений в виде двойного неравенства.
В оставшееся время провести анализ работы.
В этой главе вводится целый ряд новых для учащихся математических понятий, которые в школьном курсе алгебры находят широкое применение и развитие: квадратный корень из числа, арифметический квадратный корень, иррациональные и действительные числа, алгебраические преобразования с арифметическими корнями.
При введении квадратных корней учащиеся знакомятся с новым для них действием, обратным к возведению в степень,——извлечением корня. При этом, для того чтобы вычисления выполнялись однозначно, вводится понятие арифметического корня (в отличие, например, от корня квадратного из числа 64, имеющего два значения 8 и —8, арифметический корень из 64 равен 8).
Рассмотренные в этой главе свойства арифметических корней позволяют не только проводить вычисления, но и выполнять алгебраические преобразования над корнями, т. е. совершенствовать у учащихся навыки алгебраических преобразований. Учащиеся также знакомятся с вычислениями корней на МК.
В главе III множество рациональных чисел расширяется до множества действительных чисел. Это означает, что множество рациональных чисел дополняется множеством иррациональных чисел до множества действительных чисел так, что в новом множестве определены неравенства н все арифметические действия таким образом, что выполняются все их основные свойства.
Опыт показывает, что более раннее введение действительных чисел вызывает у учащихся серьезные затруднения; здесь же иррациональные числа естественно возникают в связи с извлечением квадратных корней.
Конструктивное (а не аксиоматическое) определение иррациональных чисел как бесконечных десятичных непериодических дробей также тесно связано с задачей обращения обыкновенной дроби в десятичную н обратно, с чем учащиеся знакомы.
Важно отметить, что после введения множества действительных чисел числовая прямая полностью заполняется, а графики непрерывных функций закономерно изображаются сплошными линиями.
Рассмотрение множества действительных чисел позволяет ввести понятие тождества на множестве всех действительных чисел на примерах Vo^=|a|, (a+b)2=a2+2ab+b2 и т. д. Однако среди упражнений этой главы уже встречаются задачи на доказательство равенств и неравенств на заданных множествах. При этом основным способом доказательства равенства или неравенства является оценка разности левой и правой частей.
В результате изучения главы III все учащиеся должны иметь представление об иррациональных и действительных числах, знать определение и свойства арифметического квадратного корня, уметь выполнять вычисления и алгебраические преобразования в упражнениях 320, 369, 380, 381, 383 (1, 3, 5), а также из рубрики «Проверь себя!».
Арифметический квадратный корень (2/2 ч)
Цель изучения параграфа — введение определения арифметического квадратного корня и понятия действия извлечения квадратного корня.
На первом уроке рассматриваются задачи 1 и 2 текста параграфа, которые подводят учащихся к определениям квадратного корня и арифметического квадратного корня из числа. Осознанному усвоению понятия арифметического квадратного корня будут способствовать записи учащихся в тетрадях, выполняемые по ходу словесного воспроизведения определения:
Запись в тетрадях日Va>0 (или V^ = b, b >0)(Va )2 = а (или b2 = a)Запись в тетрадях日Va>0 (или V^ = b, b >0)(Va )2 = а (или b2 = a)Слова учителя
Запись в тетрадях
日
Va>0 (или V^ = b, b >0)
(Va )2 = а (или b2 = a)
Запись в тетрадях
日
Va>0 (или V^ = b, b >0)
(Va )2 = а (или b2 = a)
Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.
Необходимо, чтобы учащиеся поняли, что содержащееся в определении равенство (у[а)2 = а справедливо при а >0 (этот факт выделен в тексте перед задачей 3). В устную работу на соответствующих этапах этого урока можно включать следующие задания:
Вычислить:
1) 72； 2) 0,32; 3)曾；4)
Найти положительный корень уравнения:
1)炉=25; 2) х = |; 3) %2 = о,О1; 4) х2= 1600.
Вычислить:
V8100; 2)任五；3) 倍；4) V6万.
Вычислить:
На этом уроке рассматривается материал параграфа до задачи 3 и выполняются упражнения 306—309, 313, при этом 306 можно выполнить сразу после рассмотрения задачи 2, а 307 — после введения понятия арифметического квадратного корня. При выполнении упражнения 308 полезно просить учащихся правильно прочитывать запись равенства, а также называть подкоренное выражение в левой части равенства.
308. 1) Равенство V16^= 4 верно, так как 4>0 и 42= 16;
равенство V^F= —5 неверно, так как — 5<0.
Второй урок следует начать с проверки усвоения введенных на предыдущем уроке новых понятий. Сделать это можно в ходе фронтальной проверки результатов выполнения самостоятель- ной работы.
55* 4) ”3;* 4) ”3;Объяснить, почему верно или неверно равенство:
5
5
* 4) ”3;
* 4) ”3;
Решить неравенство:
2%>5; 2) 一京<5; 3) 1 -х>3.
После повторения понятия извлечения квадратного корня и рассмотрения задачи 3 текста учебника выполняются упражнения 310—312, 314, 315.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать определение арифметического квадратного корня из числа н уметь с его помощью выполнять упражнения типа 307—311.
Действительные числа (2/2 ч)
Цель изучения параграфа — знакомство учащихся с понятиями иррационального числа и множества действительных чисел; обобщение понятия числа.
На первом уроке изучается п. 1 параграфа, разбираются решения задач 1 и 2 и выполняются упражнения 316—319.
На втором уроке изучается оставшаяся теоретическая часть параграфа, выполняются упражнения 320—321, затем рассматриваются задачи 3—5. Должное внимание уделяется информации двух последних абзацев параграфа, после чего выполняются упражнения 322—324 (при наличии времени 325 и 326), из них самостоятельно с проверкой в классе 324 (1,3) [324 (2, 4)].
Классификацию действительных чисел можно проиллюстрировать либо с помощью рисунка 29 из учебника, либо с помощью кругов Эйлера, приведя на схеме примеры конкретных классов чисел (рис. 14). В последнем случае рассказ учителя построен по принципу расширения понятия числа.
При изучении этой темы уместно сообщить школьникам историю развития числа (см., например: Глейзер Г. И. История математики в школе: VII—VIII классы.— М.: Просвещение, 1982.— С. 126—137).
В устную работу на этих уроках можно включить задания, которые напомнят учащимся мотивацию расширения понятия числа от натурального до действительного (а также помогут восстановить некоторые приемы быстрого устного счета).
1) 53 + 99; 2) 21 • 19; 3) 19-27.
1) 56:7; 2) 48:(-3); 3) 2:3; 4) 6:(-5).
Рис. 14
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать определения рационального н иррационального чисел; уметь обращать бесконечную периодическую десятичную дробь в обыкновенную; с помощью МК выполнять практические действия над иррациональными числами, заменяя их десятичными приближениями.
Квадратный корень из степени (3/3 ч)
Цель изучения параграфа — введение понятия тождества на примере тождества V?= |а|; изучение свойства корней: «если а>Ь>0, то Va~>VK».
В устную работу на первом уроке можно включить следующие задания:
Вычислить:
1)山900; 2) (V99)2; 3)恒 4) V(-5)2; 5) V^.
Найти:
1)|27|; 2) |-5,1|; 3) |2,3-3,1|; 4) |忏|; 5) |V(-7)2|.
3. Дать определение модуля числа а.3. Дать определение модуля числа а.
3. Дать определение модуля числа а.
3. Дать определение модуля числа а.
При рассмотрении примера нахождения Va^ при а = 3 и а = — 3, предваряющего теорему 1 параграфа, полезно сделать акцент на том, что при а = 3 выполняется равенство V^"= а, а при а = — 3 — равенство V^"= — а.
После рассмотрения доказательства теоремы 1 и введения понятия тождества полезно вернуться к рассмотрению структуры доказательства теоремы, выделяя идею доказательства тождества (рассматриваются все возможные значения а и для каждого случая доказывается справедливость равенства).
Требовать воспроизведения доказательства от всех учащихся не следует. Можно предложить учащимся самостоятельно вспомнить уже известные из курса алгебры тождества (формулы сокращенного умножения, свойства н законы арифметических действий).
Закрепляется применение теоремы 1 с помощью упражнений 327, 328, 331.
Оформить решение можно так:
331.也2—2% + 1 =W% — 1)2=I%_ 1|・
При % = 5 |х — 1| = |5 — 11 = |4|= 4.
При х = 0 |х — 1| = |0 — 1| = |— 11= 1.
На этом же уроке разбирается решение задачи 1 текста параграфа и выполняются задания 329, 330.
На втором уроке после проверки выполнения домашней работы рассматривается доказательство теоремы 2. Предварить ее рассмотрение полезно следующими устными заданиями:
Сравнить:
V81 и V64; 2) ^ и 3) V16 и 3.
Сформулировать высказывание, противоположное высказыванию:
«Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются». (Ответ. «Две прямые, перпендикулярные к третьей, пересекаются».)
«Фигура Ф — квадрат». (Ответ. «Фигура Ф — не квадрат».)
«%>р». (Ответ. «%《9».)
«% = 9». (Ответ. «%Нр» либо «%>р или х<у»)
Пользуясь свойством неравенства: «Если а > 6 > 0, то 。2>匕2», возвести в квадрат обе части неравенства:
10>9; 2) V6^>V6^; 3) 师>匾 4) 6>廊.
До начала доказательства теоремы (свойства квадратных корней) следует отметить, что оно проводится методом от противно-
го, и напомнить идею (структуру) доказательства этим методом. Применение этой теоремы иллюстрируется при выполнении упражнений 332—334.
После разбора задачи 2 текста параграфа (для решения которой требуется применение теорем 1 и 2) выполняется упражнение 335.
Оставшееся на изучение этого параграфа время посвящается отработке применения изученных теорем при выполнении упражнений 382, 378, 336, 337, рассмотрению решений задач 3 и 4 текста в сильном классе с последующим выполнением упражнений 338, 339.
В конце изучения параграфа можно провести следующую самостоятельную работу:
Вычислить:
7П1; 2) V(-4)6; 3) W-2)8.
[1)闻 2) V(-3)4; 3) VF^PJ
Сравнить числа 2,1 и V4,4.仅3,6 и 1,9.]
Упростить V(2-简2 [V(V6-3)2.]
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать определение понятия тождества н уметь применять теоремы 1 и 2 при выполнении упражнений типа 329, 332, 334.
Квадратный корень из произведения (2/2 ч)
Цель изучения параграфа ——знакомство учащихся с теоремой о корне из произведения; формирование на ее основе умения выносить множитель из-под знака корня и вносить множитель под знак корня.
На первом уроке после рассмотрения задачи 1 можно предложить учащимся устно сравнить V25 • 4 и V25-V4; V9-V4 и V36. Перед доказательством теоремы необходимо повторить определение арифметического квадратного корня н правило возведения произведения в степень. Сделать это можно, например, с помощью следующих заданий:
Верно ли равенство V49~= — 7?
Чему равен V^"? Ответ обосновать.
Выполнить возведение в квадрат:
(5аУ; 2) (а亜У; 3) (а37а)2.
Представить в виде произведения квадратов чисел:
2 • 72; 2) 3 • 108; 3) 75 • 3.
После доказательства теоремы рассматриваются примеры учебника на применение формулы VaF= Vo~- V6 (а>0, Z>>0) (слева направо и справа налево); отмечается применимость теоремы о корне из произведения для любого числа неотрицательных множителей; рассматривается решение задачи 2 текста параграфа и выполняются упражнения 340—346 (из них самостоятельно 343(3), 344(3).)
На втором уроке вводится понятие вынесения множителя из- под знака корня, рассматривается задача 3 параграфа, после чего выполняются упражнения 347—349. После введения понятия внесения множителя под знак корня рассматривается задача 4 и выполняются упражнения 350—353.
На третьем уроке отрабатываются умения в действиях с корнями при решении упражнений 379, 380, 354—359. Сильным учащимся предлагаются упражнения 360, 361. На этом уроке может быть проведена самостоятельная работа.
Сравнить числа 5 V3 и 6 亜.【7亜 н 6佰.]
355(1). [355(2).]
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать формулу \^ =江•舟(а》0, Ь》0) и уметь ее применять при выполнении упражнений типа 345, 349, 352.
Решение упражнений
Если。》抵 6》0, то V2a+2偈—ь =
=V21 + 2V絞-胸)2 = V2a+ 2也一正.也+匹=
= N(a-由+ a +日)+ 2点-近• Va+VK =
=V (Va -历 У + 2 Va - VF • Уа+VF + (Va +疗"吊=
=Va — Vi& + Va +VF.
1) График функции д = \6^" тот же, что и график функции у = \х\.
График функции у = V(x — 1 )2 тот же, что и график функции уТ%-1|・
Квадратный корень из дроби (2/3 ч)
Цель изучения параграфа — обучение применению теоремы о квадратном корне из дроби, которая позволяет также выполнять деление квадратных корней; знакомство учащихся с соотношением между средним арифметическим и средним геометрическим
двух положительных чисел.
следующей устной рабо- параграфа, а также свой-следующей устной рабо- параграфа, а также свой-Вычислить:1)何 VTT；Упростить:1) V2-V8;(V12 + V3)2;7)(舒Вычислить:1)何 VTT；Упростить:1) V2-V8;(V12 + V3)2;7)(舒2) 2V12--V75;(V15-V2)2;2) 2V12--V75;(V15-V2)2;(V8-V7)(V8 + V7);I回(V8-V7)(V8 + V7);I回После рассмотрения задачи 1 текстаПосле рассмотрения задачи 1 текстапараграфа можно пред-параграфа можно пред-ложить учащимся сравнитьложить учащимся сравнить%н鬻%н鬻龍 Д0КЗ-龍 Д0КЗ-На первом уроке при выполнении ты повторяется материал предыдущего ство возведения дро^и в степень:
следующей устной рабо- параграфа, а также свой-
следующей устной рабо- параграфа, а также свой-
Вычислить:
1)何 VTT；
Упростить:
1) V2-V8;
(V12 + V3)2;
7)(舒
Вычислить:
1)何 VTT；
Упростить:
1) V2-V8;
(V12 + V3)2;
7)(舒
2) 2V12--V75;
(V15-V2)2;
2) 2V12--V75;
(V15-V2)2;
(V8-V7)(V8 + V7);
I回
(V8-V7)(V8 + V7);
I回
После рассмотрения задачи 1 текста
После рассмотрения задачи 1 текста
параграфа можно пред-
параграфа можно пред-
ложить учащимся сравнить
ложить учащимся сравнить
%н鬻
%н鬻
龍 Д0КЗ-
龍 Д0КЗ-
зательство теоремы о корне из дроби по своей структуре аналогично доказательству теоремы предыдущего параграфа, поэтому можно предложить разобрать его учащимся по тексту учебника самостоятельно. Пример применения теоремы рассмотреть со всем классом, после чего выполнить упражнения 362, 363, 365, 369, 370, из них самостоятельно 363(3), 369(3).
На этом же уроке рассматривается применение и формулы
史虐史虐(а》0, b>0) при(а》0, b>0) привыполнении упражнений 364, 368.выполнении упражнений 364, 368.
史虐
史虐
(а》0, b>0) при
(а》0, b>0) при
выполнении упражнений 364, 368.
выполнении упражнений 364, 368.
На втором уроке до изучения теоретической части параграфа, поясняющей, как избавляться от иррациональности в знаменателе дроби, полезно устно выполнить такие задания:
Вычислить:
VTj -vTj； 2) (V6^)2; 3) V6^・倔;4) 等.
Привести к знаменателю 6 следующие дроби:
D } 2) t； 3)青
После разбора задачи 2 текста учебника выполняются упражнения 366, 371, 373.
На этом уроке рассматривается соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел (задача 3) н выполняется упражнение 367. В сильном классе для самостоятельной н домашней работы могут быть предложены разбор задачи 4 и выполнение упражнений 372, 375.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь
применять формулуприменять формулу/а = Уа/а = Уа(a》0,(a》0,Ь>0) при выполненииЬ>0) при выполнении
применять формулу
применять формулу
/а = Уа
/а = Уа
(a》0,
(a》0,
Ь>0) при выполнении
Ь>0) при выполнении
заданий типа 363, 364, а также избавляться от иррациональных выражений в знаменателе дроби в упражнениях типа 366.
Решение упражнений
門^ > VoF. Умножив обе части этого неравенства на поло
жительное число получим ^—---^ ^Vab
т. д.
1) VoT —= \ГаЬ铝^ = VaF (1^^ ) = \ГаЬ X
， 丄+丄a + 0\ a + A /
a b
X 出士 纥工2跑 > о, Так как при a > 0 н b > 0 VaF> 0, a + b > 0,
a + 6>2VaT, t. e. (a+匕) —2V^T>0, поэтому V^Q ^—p , ч. т. д. a b
Сравним квадраты левой и правой частей неравенства (они положительны):
停+冃NG盛尸=午+ 2痴+与停+冃NG盛尸=午+ 2痴+与— a — 2\[ab — b =— a — 2\[ab — b =炉+肥—a/a+1)ab炉+肥—a/a+1)ab（a +》）（出一a》+勿一ab）ab（a +》）（出一a》+勿一ab）ab(a + g(a — 6)22 и(a + g(a — 6)22 и
停+冃NG盛尸=午+ 2痴+与
停+冃NG盛尸=午+ 2痴+与
— a — 2\[ab — b =
— a — 2\[ab — b =
炉+肥—a/a+1)ab
炉+肥—a/a+1)ab
（a +》）（出一a》+勿一ab）ab
（a +》）（出一a》+勿一ab）ab
(a + g(a — 6)2
2 и
(a + g(a — 6)2
2 и
при а > О, b > О, отсюда 年+4》日+伤.при а > О, b > О, отсюда 年+4》日+伤.停+用2》函+俑2'停+用2》函+俑2'значит, изначит, и
при а > О, b > О, отсюда 年+4》日+伤.
при а > О, b > О, отсюда 年+4》日+伤.
停+用2》函+俑2'
停+用2》函+俑2'
значит, и
значит, и
1) См. рис. 15. 2) См. рис. 16.
Следующие два урока рекомендуется посвятить решению задач на все виды преобразований квадратных корней. Для этого можно использовать по усмотрению учителя упражнения в главе III на с. 104—106. После этого проводится контрольная работа.
Контрольная работа № 3
Сравнить:
V26 и 5; 2) 6V3 н 5V4.
[1) V35 и 6; 2) 5V6 н 4V7.]
嗜4）『F.嗜4）『F.Вычислить:
嗜4）『F.
嗜4）『F.
1) Vo,36 • 121; 2) V80 - 0,2; 3)
V144 - 0,49； 2) V72-0.5; 3) ,6 1; 4) Vf1^.]
Упростить выражение:
(V7-V3)2; 2) (VTO-8)(VTo+8); 3) 2V50-3V8 + V2.
[1) (V5 + V2)2; 2)(3-V7)(3 + V7); 3) 5Vl2-2^7-3V3.]
Вынести множитель из-под знака корня: V18x3 при х>0. W50a5 при а》0.]
Сократить дробь а2-5" а+ 6, ■
6. Исключить иррациональность из знаменателя дроби:6. Исключить иррациональность из знаменателя дроби:7. Сократить дробь7. Сократить дробьVx2-2х+1, Г / 4-4х + х2при Х<1. J 2^ -Vx2-2х+1, Г / 4-4х + х2при Х<1. J 2^ -
6. Исключить иррациональность из знаменателя дроби:
6. Исключить иррациональность из знаменателя дроби:
7. Сократить дробь
7. Сократить дробь
Vx2-2х+1, Г / 4-4х + х2
при Х<1. J 2^ -
Vx2-2х+1, Г / 4-4х + х2
при Х<1. J 2^ -
Квадратные уравнения
Тема «Квадратные уравнения» является одной из важнейших в курсе алгебры, так как создает базу для дальнейшего развития при изучении квадратичной функции, квадратных неравенств и алгебраических уравнений и их систем, рассматриваемых в следующем классе.
В определении квадратного уравнения большое значение имеет первый коэффициент, который по определению не равен нулю (в противном случае уравнение становится линейным). При а=1 уравнение упрощается (его называют приведенным); при а>0 (что сделать просто) легче проводить вычисления.
Изучение квадратных уравнений проводится постепенно: сначала изучаются неполные квадратные уравнения, затем выводится общая формула корней и, наконец, рассматривается формула корней приведенного уравнения н теорема Виета.
Тот факт, что изучение квадратных уравнений начинается с решения уравнения x2 = d, связывает эту тему с понятием арифметического корня. Выделение в особую тему рассмотрения неполных квадратных уравнений связано не только с тем, что их решение проще решения квадратного уравнения общего случая, но и с тем, что опирается на известный учащимся способ решения уравнения разложением его левой части на множители, который в дальнейшем используется неоднократно.
Метод выделения полного квадрата является достаточно трудным преобразованием при первом знакомстве с ним учащихся. Решая конкретные уравнения этим методом, учащиеся готовятся к его применению для вывода общей формулы корней и для иссле-
дования свойств квадратичной функции. В связи с этим полезно показать различные способы окончания решения уравнения этим методом.
Например, решение уравнения х2 — 4х — 12 = 0 сводится к решению уравнения (х — 2)2= 16, которое можно завершить либо так: х — 2 = ±V16, х — 2 = ±4, х = 2±4 и т. д., либо так: (% —2)2— 16 = 0, (х-2-4)(х-2 + 4) = 0 и т. д.
При выводе общей формулы корней, приведенном в учебнике.
можно детализироватьможно детализироватьпереход от равенствапереход от равенстваТУТУ
можно детализировать
можно детализировать
переход от равенства
переход от равенства
ТУ
ТУ
к равенствук равенству.b . V— — 4ас/ , 6 \2х + — = ±——5 так:х + —-2a2a\2а/.b . V— — 4ас/ , 6 \2х + — = ±——5 так:х + —-2a2a\2а/
к равенству
к равенству
.b . V— — 4ас/ , 6 \2
х + — = ±——5 так:х + —-
2a2a\2а/
.b . V— — 4ас/ , 6 \2
х + — = ±——5 так:х + —-
2a2a\2а/
/、/—4ас\2I 2a丿/、/—4ас\2I 2a丿x + 上-x + 上-Vfc2—4ас 2аVfc2—4ас 2аVfc2—4ас \2а/Vfc2—4ас \2а/откудаоткуда丄bх+т；—2a丄bх+т；—2aVb2—4асVb2—4ас2а2а.bV62—4ас』или х+— =^; объединяя последние.bV62—4ас』или х+— =^; объединяя последние
/、/—4ас\2
I 2a丿
/、/—4ас\2
I 2a丿
x + 上-
x + 上-
Vfc2—4ас 2а
Vfc2—4ас 2а
Vfc2—4ас \
2а/
Vfc2—4ас \
2а/
откуда
откуда
丄bх+т；—
2a
丄bх+т；—
2a
Vb2—4ас
Vb2—4ас
2а
2а
.bV62—4ас』
или х+— =^; объединяя последние
.bV62—4ас』
или х+— =^; объединяя последние
два равенства в одно, завершаем переход. Вывод формулы корней можно провести и по-другому:
а%2+Ьх + с = 0, а 工0,
4a2炉 + 4аЬх + 4ас = 0,
4a2炉 + 4abx = — 4ас,
(2а%)2 + 2 • 2ax・b + b2 = b2— 4ас,(2aх+ь)2 =b2 一 4砒，
и далее, используя формулу % = 土迎，где d》0, для решения уравнения х2 = d, получаем 2ax + b = ± %2 —4ос и т. д.
Важную роль в общей формуле корней играет выражение Ь2—4ас, от знака которого зависит существование действительных корней.
В отличие от других курсов алгебры в данном курсе рассмотрены и комплексные корни, для которых также применима общая формула корней и справедлива теорема Виета. Разделы о комплексных числах и комплексных корнях квадратного уравнения необязательны для изучения, но их рассмотрение обеспечивает полноту изучения этой главы.
Традиционно трудным является рассмотрение теоремы Виета. Наряду с прямой теоремой Виета формулируется и доказывается ей обратная.
По теореме, обратной теореме Виета, легко угадываются, например, корни уравнения х2 — 5х + 6 = 0.
Разложение на множители использовалось при выводе формулы корней квадратного уравнения. В свою очередь, решение квадратного уравнения позволяет разложить на множители квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с = а(х — хг)(х — х2), что в дальнейшем будет
использоваться при изучении квадратичной функции и квадратных неравенств.
Сведение некоторых уравнений к квадратным технических трудностей не вызывает. Однако трудности связаны с возможностью появления посторонних корней. Эти корни отсеиваются проверкой, которая становится необходимой частью решения.
Решение систем уравнений, содержащих уравнения второй степени, не вызовет особых трудностей, так как в учебнике рассматриваются лишь простые системы, способы решения которых учащимся знакомы.
Решение текстовых задач в учебнике, как правило, приводит к уравнениям или системам, сводящимся к квадратным уравнениям.
В результате изучения главы IV все учащиеся должны уметь решать разнообразные квадратные уравнения, выполнять разложение квадратного трехчлена на множители при выполнении упражнений 529, 530, 534, 536, 542, 545(1, 5, 7) и из рубрики «Проверь себя!».
Квадратное уравнение и его корни (2/2 ч)
Цель изучения параграфа — введение понятия квадратного уравнения, обучение решению уравнения вида х2 = d при d》0・“
Перед введением понятия квадратного уравнения рекомендуется повторить с учащимися определения уравнения и корня уравнения; вспомнить, что значит решить уравнение; повторить основные свойства уравнений.
На различных этапах изучения данного параграфа могут быть полезны следующие устные задания:
Является ли число —1 корнем уравнения:
2х- 1=0; 2) Зх + 3 = 0; 3) (%-2)(%+ 1) = 0?
Вычислить (倔У;(-虚)；(石У，еслн а >0.
Найти арифметический корень из чисел 49; 0,64; 0; 160000.
Представить в виде квадрата числа: 25; 0,04; 7; 8.
Разложить на множители:
х2- 16; 2) х2-|; 3) %2—з.
Решить уравнение:
(х — 5)(%+ 1) = 0;
(%+ 7)(% —7) = 0; 3) (х + ^『 = 0.
На первом уроке с помощью задачи 1 учитель подводит учащихся к новому для них виду уравнений — квадратному, акцентируя внимание на том, что в записи (1) а #0 (в противном случае уравнение становится линейным). Выполняется устно упражнение 401, после чего вводятся названия коэффициентов квадратного уравнения и выполняются упражнения 402, 403.
Пользуясь текстом учебника (до задачи 2), учитель мотивирует широкое применение в различных областях знаний уравнений, приводимых к квадратным, после чего учащиеся могут самостоятельно выполнить упражнения 404 и 405.
Интересующиеся математикой учащиеся могут выполнить упражнения 414, 415, а также решить задачу 572.
На втором уроке рассматривается задача 2 текста параграфа и доказывается теорема. Рассматриваются случаи решения уравнения %2 = d при d = 0 и d<0, после чего выполняются упражнения 406—412, из них самостоятельно 408(3, 5). Интересующим - ся математикой учащимся могут быть предложены упражнения 413 и 416.“
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать общий вид квадратного уравнения и названия его коэффициентов; уметь решать уравнения, аналогичные предложенным в упражнениях 408, 409.
Решение упражнений
1) х2+ 4х+3=%2 + х + 3% + 3 = х(х+ 1) + 3(%+ 1)= =(% + 1 )(х + 3), (% + 1 )(х + 3) = 0 при х1 = — 1, %2 = — 3.
х2 + Зх + 2 = х2 + х + 2х + 2 = х(х + 1)+2(%+ 1) = (%+ 1 )Х Х(х + 2), (% + 1)(% + 2) = 0, при %] = — 1, Z = — 2.
I способ. Если % — корень уравнения ах2 + Ьх + с = 0, то 。九 + В% + с = 0, откуда с = — ах^ — Ь%. Уравнение сх2+Ьх+а=0 запишется в виде (— ах^ — 6х0 )х2 + Ьх+а=0. корень этого ]хо
уравнения, так как при 尤=——оно обращается в верное числовое равенство:"°
(—ах^ - bxQ) •:+ b • —+ a =—a ——+—+ a=0, 0=0.*0*0% %D
II способ. Найдём значение многочлена ex2 + bx + а при 1
x =一:
-^+ —+ а = ■ —~^— = -у= 0 (по условию).
"о "охо"о
572. Пусть х — число участников турнира, тогда каждый игрок сыграл (х — 1) партий. Число сыгранных партий х(х — 1), что равно 56. Решим уравнение х(х— 1) = 56:
х2 —х — 56 = 0, х2 — 8х + 7х — 56 = 0,х(х — 8) + 7(х — 8) = 0, (% —8)(% +7) = О,& = 8, х2 = — 7.
Ответ. 8 участников.
Неполные квадратные уравнения (1/1 ч)
Цель изучения параграфа — формирование у учащихся умения решать неполные квадратные уравнения:
а%2 = 0 (a W0) — делением обеих частей уравнения на а;
ах2 + с = 0 —сведением к виду x2 = d\
ах2 + 6х = 0 — разложением левой части уравнения на множители.
Ранее изученный материал можно повторить с помощью следующих устных заданий:
Назвать коэффициенты и свободный член квадратного уравнения:
—х2 + Зх = 0; 2) "^—5 = 0; 3) -■岑- + х-1=0.
2.2.1)1)Являются ли числа 右 V2 корнями уравнения: 炉 + x- 1 十=0; 2) /-2 = 0?
2.
2.
1)
1)
Решить уравнение:
%2 = зб； 2) %2 = _25; 3)炉=2十;4) %2 = о.
После перечисления всех видов неполных квадратных уравнений с помощью задач 1—4 на конкретных примерах рассматриваются алгоритмы решений этих уравнений. С большой долей самостоятельности учащиеся выполняют упражнения 417一422. При наличии времени выполняются задания 423一427.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны решать уравнения, аналогичные предложенным в упражнениях 417—419.
Метод выделения полного квадрата(1/1 ч)
Цель изучения параграфа — знакомство учащихся с методом выделения полного квадрата и демонстрация с его. помощью решения квадратных уравнений.
Урок можно начать с проверочной самостоятельной работы (на 5—7 мин):
Решить уравнение:
х2-0,25 = 0; 2) 3/2-48 = 0;
1,7%2 = 0；4) 7%2-% = 0.
[1) х2-0,49 = 0; 2) 2%2-50 = 0;
|х2 = 0;' 4) х-5%2 = 0.]
После проверки в классе самостоятельной работы с целью актуализации знаний полезно повторить формулы квадрата суммы и квадрата разности; показать, как представить, например, одночлен 6х в виде удвоенного произведения 2 - х • 3; устно рассмотреть решение уравнения типа (х — 1)2= 16.
Учитель вправе выбрать, с помощью каких задач параграфа проиллюстрировать применение метода выделения полного квадрата для решения уравнений. На уроке выполняются упражнения 428—430, а при наличии времени 431 и 432.
Метод выделения полного квадрата будет использован для вывода формулы корней квадратного уравнения и для исследования квадратичной функции. Хотя этим методом можно решать любое квадратное уравнение, он не рассматривается как основной прием решения таких уравнений.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны справляться с выполнением упражнений типа 429.
Решение упражнений
1) 2%2 + Зх-5 = о,
X2 + ^Х — -|-Х=0, %2 + 憧% = "|",
/ + 2•/х +片=备+弥,
(" +評=喘% +年=±孑，
7310
%1一彳_4_彳=1，%2 = _彳_彳=f = _ 2万.
Решение квадратных уравнений (4/4 ч)
Цель изучения параграфа — формирование у учащихся умения применять формулу корней квадратного уравнения.
При решении квадратных уравнений не вводится понятие дискриминанта (с ним учащиеся познакомятся при решении квадратных неравенств). Формула корней (2) выводится для случая Ь2 — 4ас >0, а далее показывается, что ею можно пользоваться в случае Ь2 — 4ас < 0.
В параграфе предлагается специальная программа для вычисления корней квадратного уравнения с помощью программируемого микрокалькулятора МК-51. При желании учащиеся смогут ею пользоваться на уроках физики, химии, трудового обучения, при решении квадратных уравнений, корни которых вычисляются приближенно. Задача 7 текста параграфа рассматривается при наличии времени.
Первый урок можно начать с проверки домашнего задания (упражнение 429 или 431) с целью подготовки учащихся к выводу формулы корней квадратного уравнения. При этом можно обратить внимание учащихся на то, что решение каждого уравнения методом выделения полного квадрата требует достаточно сложных преобразований. Поэтому возникла идея применения этого метода при решении квадратного уравнения в общем виде с целью вывода универсальной формулы корней квадратного уравнения. Далее учитель выводит общую формулу корней квадратного уравнения и на примерах решения задачи 1 и упражнений 433— 435 показывает ее применение. Упражнение 435(5, 7) учащиеся могут выполнить самостоятельно.
Второй урок желательно начать с самостоятельной работы, аналогичной домашним заданиям, и проверить ее в классе:
Решить квадратное уравнение:
%2_5% + б = 0；2) 5х2 + 7х-8 = 0.
/-Зх-4 = 0;2) 9%2 —6% —5 = 0.]
После этой работы следует рассмотреть задачи 2—4 текста учебника, сделать вывод о возможности применения формулы (2) и в случае 朋一4ас<0, закрепить полученные знания при выполнении упражнений 436—438.
На третьем уроке рассматривается задача 5 текста параграфа; формула (3) корней уравнения с четным вторым коэффициентом применяется при решении задачи 6 текста учебника и при выполнении упражнения 444. Запоминание этой формулы от всех
учащихся можно не требовать, а при выполнении следующих заданий из упражнений 439——441 рекомендуется применять общую формулу (2) корней квадратного уравнения.
На четвертом уроке обобщается весь материал данного параграфа (в сильном классе этому может способствовать выполнение упражнений типа 442, 443, 448, 449); продолжается формирование умения решать квадратные уравнения в процессе выполнения упражнений, выбранных из 546—548. На этом уроке рекомендуется провести проверочную самостоятельную работу: '
Решить уравнение:Зх2-7х + 4 = 0;5%2 —6% + 2 = 0;(1) 7х2-4х + 4 = 0;9/— 12% +4 = 0;Решить уравнение:Зх2-7х + 4 = 0;5%2 —6% + 2 = 0;(1) 7х2-4х + 4 = 0;9/— 12% +4 = 0;2) 4/— 12х + 9 = 0;х2-х- 12 = 0.3%2+7% + 2 = 0;х2-3х- 10 = 0.]2) 4/— 12х + 9 = 0;х2-х- 12 = 0.3%2+7% + 2 = 0;х2-3х- 10 = 0.]
Решить уравнение:
Зх2-7х + 4 = 0;
5%2 —6% + 2 = 0;
(1) 7х2-4х + 4 = 0;
9/— 12% +4 = 0;
Решить уравнение:
Зх2-7х + 4 = 0;
5%2 —6% + 2 = 0;
(1) 7х2-4х + 4 = 0;
9/— 12% +4 = 0;
2) 4/— 12х + 9 = 0;
х2-х- 12 = 0.
3%2+7% + 2 = 0;
х2-3х- 10 = 0.]
2) 4/— 12х + 9 = 0;
х2-х- 12 = 0.
3%2+7% + 2 = 0;
х2-3х- 10 = 0.]
В результате изучения параграфа все учащиеся должны научиться применять формулу (2) при выполнении упражнений типа 434, 436, 437.
—р± Vp2 +42—р± Vp2 +42Решение упражнений
—р± Vp2 +42
—р± Vp2 +42
Корни уравнения х, 2 =
Так как Vp2+ 4*0 при любом р, то х^х2.
Корни уравнения 修 2 =二。-舞 +竺.
Так как V* + 4a2w0 при awO н любом b, то х^х^.
Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета (2/3 ч)
Цель изучения параграфа — знакомство учащихся с формулой корней приведенного квадратного уравнения; демонстрация того, что с помощью этой формулы проще решаются приведенные квадратные уравнения со вторым четным коэффициентом и того, что знание формул Виета для решения некоторых задач дает ряд преимуществ; обучение учащихся разложению квадратного трехчлена на множители.
Изучение теоремы Виета в VIII классе носит вспомогательный характер. Одна из основных целей ее рассмотрения ——возможность с ее помощью доказать теорему о разложении квадратного трехчлена на множители. При желании (особенно в слабом классе) этот параграф можно изучить за один урок, введя понятие приведенного квадратного уравнения (не рассматривая формулу (3)), сообщить без доказательства формулы Виета и убедить учащихся в их справедливости на конкретных примерах. При этом достаточно будет выполнить упражнения 455, 456. Затем убедить учащихся в том, что любое квадратное уравнение ох2 4- Ьх 4- с = 0 может быть преобразовано делением обеих его частей на 。工0 к виду приведенного квадратного уравнения ^х2 + -^-х + ^-= oj. После этого учитель может доказать теорему (с. 125) и показать ее применение при выполнении упражнений 457, 458.
Учителю следует иметь в виду, что владение теоремой Виета и ей обратной позволяет решать ряд интересных задач (нередко встречающихся в вариантах вступительных экзаменов в вузах). В связи с этим на протяжении изучения последующих разделов курса алгебры стоит поддерживать умение сильных учащихся применять формулы Виета.
При наличии времени материал параграфа изучается на протяжении 2—3 уроков. От учащихся не следует требовать воспроизведения доказательств теорем, основное время уделить выполнению упражнений типа 461, 462 (3), 464. Ниже приводится вариант планирования изучения материала параграфа на два урока.
На первом уроке рассматривается теоретическая часть параграфа до задачи 2, причем после рассмотрения задачи 1 следует .предоставить учащимся самостоятельно убедиться в преимуществах использования формулы (3) при решении приведенных квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом. С этой целью выполняется упражнение 450 (1一4).
После доказательства учителем теоремы Виета сделать акцент на иллюстрации справедливости этой теоремы в конкретных случаях (см. последние два абзаца на с. 123), разобрать задачи 2—4 текста параграфа, устно выполнить упражнения 451—454 :и письменно 455.
На втором уроке после устной работы (задания которой мо- ；гут дублировать упражнения типа 452 и 454) формулируется тео- t рема, обратная теореме Виета, показывается ее значимость при решении задач 5 и 6 текста параграфа, после чего учащиеся с уве- 3 личением доли самостоятельности в работе выполняют упражне- } ние 456.
, После введения понятия квадратного трехчлена доказывается ，теорема о разложении квадратного трехчлена, имеющего корни, на множители, после чего выполняются упражнения 457 и 458. При :наличии времени желательно решить уравнения из упражнения j 459, демонстрирующие преимущества знания формул Виета для 151
решения некоторых квадратных уравнений с иррациональными коэффициентами (при этом повторяются и действия с корнями). Интересующимся математикой учащимся рекомендуется предложить упражнения 464—467.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать формулы Виета и формулу (5), научиться выполнять упражнения типа 456, 457.
Решение упражнений■
Если %] и х2 — корни уравнения / + 6% + q = 0 и х2=2хр то
'就+ 6%i + q = 0,(2/)2+ 6(2%i )+4 = 0.
Разностью второго и первого уравнений является уравнение 3%； + 6%i = 0, откуда %] = 0 или х,= — 2. Из первого уравнения q = 0 или q = 8.、
Так как х2=2хр то х2 = 0 или х2= — 4.
Ответ. q = 0, %i = 0, %2=°；
q = 8, %]= —2, х2= — 4.
Если %] и х2 — корни уравнения х+рх + 3 = 0 и х2=ЗХр то
‘％；+— + 3 = 0,
(Зх】У + р( Зх】)+ 3 = 0.
Разностью второго и утроенного первого уравнений является уравнение 6%； —6 = 0, откуда х,= 1 или х,= — 1. Из первого уравнения р = — 4 или р = 4. Так как х2=3хр то х2 = 3 или х2 = — 3.
Ответ. 〃 = —4, %[=1, х2=3;
〃 = 4, %]= —1, х2= — 3.
丄+丄=色.'
玉 马 玉・х2
По теореме, обратной теореме Виета,
%1 + %2 = /，(1)
尢[・％2=-5,(2)
_8~
t I 3о
поэтому —+ —= -—
^■ + 仔=^^・ Согласно результатам решения предыдущего
задания и равенству (2) имеем — + — = —г- = — 3
(-5)号・22荘58||.(-5)号・22荘58||.%；+4=(%]+%2)(%； —%]%2+抬).Согласно равенствам (1) и (2) и результатам решения задания 2 имеем х] + х^ =
(-5)号・22荘58||.
(-5)号・22荘58||.
Уравнения, сводящиеся к квадратным (3/3 ч)
Цель изучения параграфа — формирование у учащихся умения решать биквадратные уравнения и некоторые виды уравнений с неизвестным в знаменателе, приводящиеся к квадратным.
Первый урок можно начать с устной работы.
Решить уравнение:
х2=9; 2) х2=3; 3) / = — 25; 4) / =粵
Один из корней уравнения х2— 13х+ 36 = 0 равен 4. Найти его второй корень.
Определить знаки корней уравнения:
%2—б%+3 = 0;2) х2 + 6х+3 = 0;
х2 — 6х — 3= 0;4) х2 + 6х — 3 = 0.
Подбором найти корни уравнения:
%2 —5%+б = 0； 2)炉 + 7%+ 6 = 0; 3) х2 -7х+ 12 = 0.
Последнее устное задание даст возможность при разборе задачи 1 текста параграфа устно найти корни уравнения 产一7% + + 12 = 0.
После введения понятия биквадратного уравнения разбирается задача 2 учебника и выполняются упражнения 468—469, 472, 474.
На втором уроке разбираются задачи 3 и 4, вводится понятие постороннего корня и делается вывод о необходимости проверки при решении уравнений, содержащих неизвестное в знаменателе дроби. Выполняются упражнения 470, 471 со всем классом и 536 (1) самостоятельно.
На третьем уроке разбирается задача 5, отличающаяся по уровню сложности от задач 3 и 4 тем, что предварительно знаменатель одной из дробей раскладывается на множители, после че- 153
го определяется выражение, на которое умножаются обе части уравнения для приведения его к виду квадратного. После этого выполняются упражнения 473, 536 (3), 553.
На этом уроке можно провести проверочную самостоя - тельную работу по материалу § 29—30.
Записать приведенное квадратное уравнение, имеющее корни %1 = 4, х2= — 5. [%i = —3, %2=6.]
си / —8х+15х+7
Сократить дробь • ?丄а 7 • х-3[»+8х + 7
3・ Решить уравнение
X3 c 3% с
=и.= и. х2— 1 х+1 ' [х— 1 £—1
4*. 551(3). [551(4).]
В результате изучения параграфа все учащиеся должны решать уравнения, аналогичные предложенным в упражнениях 468—470.
Решение упражнений
1) Обозначим (х— I)2 = /. Тогда уравнение примет вид 伊一5/+4 = 0, откуда /,= 1, /2=4. Уравнение (х — 1 )2 = 1 приводится к виду х2 — 2%= 0, его корни / = 0 и х2 = 2. Уравнение (х — 1 )2 = 4 приводится к виду %2 —2% —3=0, его корни xt = 3 и х2= — 1.
Ответ. %] = —1, %2 = 0, %з = 2, %4 = 3.
Решение задач с помощью квадратных уравнений (4/4 ч)
Цель изучения параграфа — обучение самостоятельному составлению квадратных уравнений по условиям текстовых задач и решению их с использованием ранее сформированных навыков.
Учащиеся должны знать, что решение задачи с помощью составления уравнения следует начинать с анализа ее условия; должны научиться выбирать неизвестное, выявлять зависимости между неизвестной и исходными величинами, записывать эти зависимости в виде алгебраических выражений, обосновывать составление уравнения. Учащиеся должны мысленно выделять 3 этапа решения задачи:
составление уравнения;
решение полученного уравнения;
выбор верного ответа.
Чтобы у учащихся активнее формировалось умение в составлении уравнения по условию задачи, можно некоторые текстовые задачи решать в классе не полностью, лишь составив уравнение. Возвращаться к решению текстовых задач рекомендуется в течение изучения последующего курса алгебры VIII—IX классов.
При решении задачи с геометрической фабулой рекомендуется делать к ней рисунок, на котором будут указаны данные в условии задачи величины, а также величины, выраженные через введенную неизвестную величину. Оформить решение можно так:
Пусть х см — длина стороны квадратного листа ABCD (рис. 17), тогда х(х — 6) см2 — площадь оставшейся части листа. По условию задачи эта площадь равна 135 см2, следовательно, х(х — 6)= 135.
Решим полученное уравнение:
/-6%- 135=0;
x12=3±V9 + 135=3+12;
%]= — 9, х2 = 15.
Так как длина стороны квадрата выражается положительным числом, то х= 15.
В (X - 6) ел Е СВ (X - 6) ел Е СAF DРис. 17AF DРис. 17Ответ. 15 см.
В (X - 6) ел Е С
В (X - 6) ел Е С
AF D
Рис. 17
AF D
Рис. 17
Скорость (км/ч)
Путь (км)
Время (ч)
Движение поезда по расписанию
60
60
X
Движение поезда после задержки
х + 12
60
60 х+12
488.
Так как поезд был задержан на 10 мин
в середине пути,в середине пути,но после увеличения скорости прибыл в В по расписанию, то время движения на первой половине пути больше времени дви-
в середине пути,
в середине пути,
жения на второй половине пути на q, т. е.
601 = 60
%6x+12，
Решим это уравнение, умножив обе его части на 6х(х + 12):
360(х + 12)- х(х + 12) = 360х,
3^0% + 4320 -х2- 12х- _Жх = 0,
炉 + 12%-4320 = 0,
% 2= — 6土V36 + 4320 = — 6 ±66, откуда
х,= — 72, %2 = 60.
Посторонних корней уравнение не имеет, но скорость поезда может быть выражена только положительным числом, поэтому х=60.
Ответ. 60 км/ч.
На первом уроке актуализируются геометрические и физические знания учащихся, используемые при решении задач параграфа; рассматривается задача 1 текста учебника и в классе выполняются упражнения 476 (1), 477( 1), 478, дополнительно 483. На дом предлагаются упражнения 476 (2), 477(2), 479, дополнительно 484.
На втором уроке устно решаются простейшие задачи на все виды движения; после разбора решения задачи 2 параграфа в классе выполняются упражнения 480, 541, 485 и при наличии времени 488. Для работы дома предлагаются упражнения 481, 542, 487.
На третьем уроке рекомендуется вспомнить понятие производительности труда и производительности при совместной работе, затем разобрать задачу 3 параграфа и выполнить в классе упражнения 482, 486, дома 543 и 554.
На четвертом уроке учитель в классе рассматривает по желанию упражнения 539, 540, 555, 489 (оставшиеся предлагает для работы дома) и проводит самостоятельную работу.
537. [538.]
Для штамповки одинаковых деталей были использованы два станка. На первом изготовили 160 деталей. На втором изготовляли в час на 3 детали меньше, чем на первом, и работая на 6 ч больше, чем на первом, отштамповали 130 деталей. Сколько деталей в час изготовляли на первом станке?
[На посадке деревьев работали две бригады. Первая бригада ежедневно высаживала на 20 деревьев меньше, чем вторая, и посадила 350 деревьев. Вторая бригада работала на один дець меньше первой и посадила 360 деревьев. Сколько деревьев в день высаживала вторая бригада?]
В результате изучения параграфа все учащиеся должны научиться решать задачи типа 476, 478, 481 с помощью составления уравнений.
Решение простейших систем, содержащих уравнение второй степени (3/3 ч)
Цель изучения параграфа — обучение решению простейших систем двух уравнений, содержащих уравнение второй степени.
На первом уроке в ходе решения двух систем уравнений первой степени с двумя неизвестными (упражнение 492( 1,4)) повторяются способы решения систем подстановкой и алгебраическим сложением. Затем с помощью задачи 1 текста параграфа мотивируется необходимость обучения решению систем уравнений, содержащих уравнения второй степени (учащиеся должны понять, что задачу 1 с помощью знакомого им способа введения одного неизвестного и составления одного уравнения решить затруднительно). Способ решения системы (1) можно зафиксировать при выполнении упражнения 497. Умение решать способом подстановки систем уравнений, содержащих одно уравнение первой, другое ——второй степени, формируется при выполнении упражнений 493 и 494.
На втором уроке после разбора задачи 2 текста параграфа решаются системы из упражнения 495 с применением теоремы, обратной теореме Виета. На этом же уроке можно рассмотреть задачу 4 параграфа и упражнение 496. Дополнительно можно на этом уроке решить упражнение 504; интересующимся математикой учащимся можно предложить 505.
Для работы дома после этого урока, помимо выполнения упражнений, аналогичных решенным в классе, предложить разобрать решение задачи 3 текста учебника.
На третьем уроке выполняются упражнения 500 (самостоятельно, с проверкой в классе) и 501——503 по выбору учителя. Интересующимся математикой предлагаются упражнения 506, 507.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны научиться решать способом подстановки системы уравнений, аналогичные 493—496.
Решение упражнений
503. 1) Запишем второе уравнение системы так:
(V7一可)(诊 + 诊)=16.
Подставляя в него из первого уравнения 五+讶=8, получим (诊一诊)• 8= 16, откуда 诊一也=2.
Итак,(石+叮=8, I匹一齿=2.
Решая эту систему способом сложения, найдем Vx = 5,立=3," откуда % = 25, р = 9.
Пусть а — число десятков, b — число единиц рассматриваемого двузначного числа. Тогда само число равно 10а+А. По условию задачи составим систему уравнений*
6(а+ 6)= 10а+ 6 — 4,'2ab = 16а+ Ь — 16.
Решим эту систему: ( 4а —5Ь = 4, (10а+ b—2ab = 16.
Из первого уравнения b = 4су ~ . Подставим выражение b через а во второе уравнение:
10。,®?-当注・2а-16 = 0, К，
25a + 2а — 2— 4口2 + 4а — 40 = 0,
4a2-31a+42 = 0, 012 = -^,
7'8
。]=6, а2=—— не удовлетворяет условию задачи.
4・6—4 л
Итак, а = 6, Ь = —-— = 4.
Ответ. 64.
1) jx+p = 5, откуда % = 5—р;
、1(%+у)(%2-%у+у2) = 35,
откуда 5(%2—%у +р2) = 35
и (5-р)2-(5-р)・р +『 = 7,
25- Юу + у2-5у + у2 + у2 = 7,
Зр2—15р+18=0, р? — 5р + 6 = 0,/
Pi = 3,外=2; %] = 2, х2= 3.
Ответ. (2; 3), (3; 2).
Пусть х км/ч — скорость теплохода, тогда (х —8) км/ч — скорость катера в стоячей воде, у км/ч — скорость течения
реки. По условию
'1,5 =1,
% + д х — 8+д'2=1
、光— у х — 8 — у，
Упростив эту систему, получим J %+д = 24,
I х—у= 16.
откуда %=20, х —8= 12.
При наличии времени (2——4 ч) учитель может в лекционной форме изложить в классе материал § 33* и 34*, завершив тем самым представление учащихся о расширении понятия числа до множества комплексных чисел.
Выполнение действий с комплексными числами аналогично действиям с многочленами и обычно не вызывает у учащихся затруднений. Поэтому после рассмотрения материала § 33 учащиеся могут при помощи учителя справиться с заданиями 508—516.
Материал § 34 покажет ученикам, что на множестве комплексных чисел любое квадратное уравнение имеет корни и что теорема Виета справедлива и для уравнений, имеющих комплексные корни. Учащиеся могут попробовать самостоятельно решить часть уравнений 522—524.
На последних двух уроках перед контрольной работой, отведенных на решение упражнений по всей главе, учителю рекомендуется использовать упражнения к главе IV (с. 146—150), а также упражнения 730—745.
Контрольная работа № 4
Решить уравнение:
9%2 = 4; 2) 8%2-7% = 0; 3) 3/ + 4х + 5 = 0.
) 4х2 = 9; 2) 7%2 — 5% = 0; 3) 2х2-Зх + 5 = 0.]
Разложить на множители:
х2 + х-20;2) 2/ + 7%-4.
) %2 — 7%+10； 2) 3%2-5%-2.)
Расстояние в 48 км по озеру теплоход проплыл на 1 ч быстрее катера. Найти их скорости, если скорость теплохода на 4 км/ч больше скорости катера. [Расстояние в 60 км Петя проехал на велосипеде на 1 ч быстрее Васи. Найти их скорости, если скорость Пети на 3 км/ч больше скорости Васи.]
Решить систему уравнений
[p-%=-3,I■产2一炉=91, 一
[%2_у2=63. [\у + Х=-7.
Упростить выражение
(^Й^ +■)• —5).
-占(3/_4%-4).
f Квадратичная функция
Материал этой главы имеет большое практическое значение (в физике, технике и т. д.), обладает педагогическими возможностями, связанными с дальнейшим изучением элементарных функций и пополнением их свойств, с построением и чтением более сложного графика.
Изучение квадратичной функции ведется поэтапно: у = %?, у = ах2, у = х2 + рх + q, у = ах2 + Ьх +с. Графики функций ^ = х2 и у = а%2, где а > 0, строятся по точкам и называются параболами. При этом показывается, что график функции у = ах2 может быть получен из графика функции у = х2 растяжением или сжатием от оси Ох вдоль оси Оу; график функции у = ах2 при а < 0 строится симметрией относительно оси 0% графика функции у =—ах2.
При построении графика функции у = а/ + Ьх + с, записанной в виде у = а(х — х0)2 + у0, показывается, что он может быть получен из графика у = ах2 с помощью сдвигов (параллельных переносов) вдоль координатных осей и поэтому также является параболой.
При изучении квадратичной функции существенно расширяется по сравнению с линейной функцией круг функциональных свойств.
Так как областью определения квадратичной функции (как и линейной) является множество всех действительных чисел, то о ней пока в явном виде не говорится. Но уже множество значений различных квадратичных функций может быть разным, но всегда числовым лучом.
Не говорится также в явном виде о четности функции у = ах2, это свойство показывается на симметрии ее графика относительно оси Оу.
В явном виде рассматриваются свойства возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства, нули функции, наибольшее и наименьшее значения.
Итогом рассмотрения квадратичной функции и ее свойств является простой алгоритм построения графика этой функции, кото- 160
рый в дальнейшем используется при решении квадратных неравенств.
Важно отметить, что запись уравнения параболы в виде у = а(х — х^ + yQ дает возможность сразу определить направление ветвей параболы, координаты ее вершины, наибольшее или наименьшее значение функции, т. е. провести простейшие исследования свойств функции, не используя ее графика.
Более детальное исследование квадратичной функции в зависимости от знака дискриминанта проводится в необязательном для изучения § 43.
Представление квадратичной функции в виде у = а(х — х0)2 + у0 можно осуществить не только по формулам, приведенным в учебнике, но и так называемым методом неопределенных коэффициентов, который можно показать интересующимся учащимся на конкретном примере:
3/ — 8% + 15 = а(% — /У + %= ах2 — 2ахох + а 珞 + %;
2・3・%0, откуда х0 = |, (知 + %，откуда % =《2・3・%0, откуда х0 = |, (知 + %，откуда % =《сравнивая коэффициенты при х2, % и свободные члены, получаем а = 3, — 8 =—
2・3・%0, откуда х0 = |, (知 + %，откуда % =《
2・3・%0, откуда х0 = |, (知 + %，откуда % =《
15 =。抬 + % = 3・
итак, 3%2 —8% + 15 = 3卜一步一当.
В заключение отметим, что при изучении этой главы учащиеся знакомятся на конкретных примерах с линейными преобразованиями графика функции, т. е. с построением графика функции y = Af(ax + b) + В на основе преобразований графика функции У =/(%)・
В результате изучения главы V все учащиеся должны уметь строить график квадратичной функции, знать ее основные свойства и применять их при выполнении упражнений 637, 639, 640 и из рубрики «Проверь себя!».
Определение квадратичной функции (1/2 ч)
Цель изучения параграфа ——введение понятий квадратичной функции и нулей квадратичной функции.
До изучения материала параграфа рекомендуется повторить .определение функции как зависимой переменной; способы задания функции (акцентируя на этом уроке внимание на задании функции
1611616 Колягин
161
161
формулой); нахождение значений функции при конкретных значениях аргумента; нахождение значений аргумента при конкретном значении линейной функции. Практические действия с функциональными понятиями можно восстановить с помощью устньГх упражнений.
Найти значение функции д = —2% + 3 при х = 0; %=— % = 3.~
1・
При каких значениях % функция у = —х — 1 принимает значение, равное 0; 1; —3?“
Функция у =/(%) задана графически (рис. 18). По графику определить:
1)/(0);/(3);
значения %, при которых функция принимает значение, равное 0; 1.
Рис. 18
Изучение параграфа можно провести следующим образом. После рассмотрения конкретных примеров квадратичных функций, введения определения квадратичной функции (акцентируя внимание на важности условия а НО) выполнить упражнение 578. Затем рассматриваются последовательно задачи 1 и 2 текста параграфа и выполняются упражнения 579, 580. Вводится понятие нулей квадратичной функции, рассматривается задача 3 и выполняются упражнения 581, 582. Дополнительно можно предложить упражнения 583—585. В ходе выполнения упражнений этого параграфа естественным образом закрепляются навыки решения квадратных уравнений.
При постановке домашнего задания нужно попросить учащихся к следующему уроку принести лист миллиметровой бумаги.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь выполнять упражнения типа 581, 582.
1. Назвать координаты точек А, В, С, D, £, F, К, А (рис. 19) и отметить на координатной плоскости точки /Г, О', U, симмет-1. Назвать координаты точек А, В, С, D, £, F, К, А (рис. 19) и отметить на координатной плоскости точки /Г, О', U, симмет-Рис. 19Рис. 19в Dв D3.-п03.-п0
1. Назвать координаты точек А, В, С, D, £, F, К, А (рис. 19) и отметить на координатной плоскости точки /Г, О', U, симмет-
1. Назвать координаты точек А, В, С, D, £, F, К, А (рис. 19) и отметить на координатной плоскости точки /Г, О', U, симмет-
Рис. 19
Рис. 19
в D
в D
3.-п0
3.-п0
Цель изучения параграфа — знакомство учащихся со свойствами функции ^ = х2 в ходе построения ее графика.
Изучение темы можно начать со следующей устной работы:
Рис. 20
На координатной плоскости отметить точки, координаты которых указаны в таблице:
0
-2
3
—1
4
-2
У
-2
0
4
3 .
-3
-4
На координатной плоскости отметить точки Д( 1; 1), ;1), С( —2;4), Q(2; 4). Как расположены точки Д и В; С и отношению к оси ординат?
На рисунке 20 изображен график функции у —f(x).
Найти g(0); g(- 1); —2); у(5).
Определить, при каких значениях % значение у равно 0; 2.
Определить, при каких значениях % значения функции у >0; 戚V 0.
Сравнить g( —4) и р( —3).
Рассказать, как построить график функции р = —5%十7.
При рассмотрении (в соответствии с текстом параграфа) построения графика функции у=х2 обратить внимание учащихся на расположение точек параболы относительно оси ординат. Следует дать рекомендации учащимся по изготовлению шаблона параболы, который будет им необходим практически на всех уроках по изучению данной главы и при выполнении домашних заданий. Один из способов изготовления шаблона параболы: на миллиметровой бумаге чертится часть параболы, заданной для значений аргумента от —3 до 3, вместе с осью симметрии и наклеивается на картон, после чего вырезается вместе с картоном по отмеченному контуру.
Понятие возрастающей (убывающей) на промежутках функции следует вводить наглядно (с помощью параболы). Можно дифференциацию понятий возрастания и убывания функции «привязать» к движению «вверх» или «вниз» по графику функции при изменении % от меньших значений к большим.
На этом уроке по данным таблицы на с. 155 можно рекомендовать учащимся выполнить построение параболы на принесенной миллиметровой бумаге. После построения графика функции у = х2 выполняются упражнения 586—589. После рассмотрения свойств функции у = %2 с помощью учителя выполняется упражнение 592. Затем решается задача текста параграфа и выполняются упражнения 590 и 591, а при наличии времени 593 и 594 и вводится понятие фокуса параболы.
В результате изучения параграфа учащиеся должны знать, как выглядит и как называется график функции у = 6; уметь по графику функции перечислять ее свойства и выполнять упражнения типа 587——589.
Цель изучения параграфа — формирование у учащихся умения строить графики функций вида у = ах2; знакомство со свойствами функции у = ах2 при а>0 и а<0.
На первом уроке до рассмотрения новой темы рекомендуется предложить учащимся выполнить следующие задания:
С помощью шаблона параболы построить в тетрадях график функции у = %2. По графику приближенно найти: 164
значения у при х= — 0,6; % = 2,5; х= — 1,3;
значения %, если у = 7; у = 3,5; р = 0,8.
(Устно.) Найти координаты точек, симметричных точкам 4(-2; 4), 8(4; 16), С(-伤 2) относительно оси ординат.
(Устно.) Пользуясь свойствами возрастания и убывания функции у = %2 на промежутках, сравнить ее значения при % =17 и х= 16; х = 2,1 и % = 2衣；％= — 5 и х= — 4,9; %=—/ и %=—《.
Найти координаты точек пересечения параболы у =х2 и прямой:
у = 9; 2) у = ；; 3) у = 3%; 4) у=х + 2.
В ходе рассмотрения задач 1 и 2 текста параграфа учащиеся строят (при желании на миллиметровой бумаге) графики функций д = 2%2 и д=^%2. Желательно, чтобы учащиеся самостоятельно отметили сходные свойства этих графиков (параболы располагаются в верхней полуплоскости с границей Ох; вершинами их является начало координат, осью симметрии — ось ординат) и отличительные (точки с одинаковыми абсциссами имеют ординаты, отличающиеся друг от друга в 4 раза). Учащиеся знакомятся с понятиями сжатия и растяжения графика, однако отработка этих преобразований не проводится.
С помощью построенных графиков функций учащиеся могут ответить на следующие вопросы:
Какие значения принимает функция у = 2х2 I f/ = у х2) при х^О?')
При каких значениях % функция у = 2х2 (у = ^хА возрастает (убывает)?' 丿
При каких значениях % функция у = 2х2(У = J%?) принимает значение, равное 8?'' '
Решить неравенство:
2%2》8; 2) 2炉<8; 3)昇2<8； 4)1Х2>8
1 Для домашней работы предлагаются упражнения 595, 600, Г 634(2), 635(2).
f На втором уроке рассматривается задача 3 текста парагра- ； фа, с помощью рисунков 36 и 37 сравниваются графики функций $ •]1
；.у =炉 и у = — %2； у = —х2 н у = — —х2. После этого уже выявлен- k ные свойства рассмотренных функций переносятся на функции ви- ,;-да у = ах2 при а > 0 и а< 0. Выполняются упражнения 596—598, ：604, 601.
На третьем уроке повторяются свойства функции у = ах2 при а>0, а<0 (с помощью готовых графиков конкретных функций этого вида), рассматривается задача 4 текста параграфа и выполняются упражнения 599, 600. После разбора задачи 5 выполни: ются упражнения 602, 603, а интересующимся математикой предлагаются 607, 608.
При наличии времени в конце изучения параграфа может быть проведена проверочная самостоятельная работа (на 5—10 мин):
Построить график функции у = — Зх2. По графику приближенно найти:
1)狙L5)；
значения %, при которых значение у равно — 7. С помощью графика решить неравенство — Зх2>— 12.
[Построить график функции у = Зх2. По графику приближенно найти:
У(0,5)；.
значения /, при которых значение у равно 8. С помощью графика решить неравенство 3%2《 12.]
(Дополнительно.) 605(2, 3). [605(1, 4).]
(Дополнительно.) На одной координатной плоскости построить графики функций у — —2х2 и д = —8. С помощью этих графиков решить неравенство —2х2>—8.
[На одной координатной плоскости построить графики функций у=—-1-%2 и у=—2. С помощью этих графиков решить неравенство —1■%2<—2.]
В результате изучения параграфа все учащиеся должны по формуле, задающей функцию вида у = ах2, определять направление ветвей параболы; строить по точкам с использованием свойства симметрии параболы у = ах2 относительно оси Оу графики функций вида у = ах2 при конкретных значениях а; выполнять упражнения типа 599.'
Решение упражнений
а = -^-. При / = 8 с и s = 96 м а =-飞「' = 3 (м/с2).
Уравнение ах2 = kx + b имеет единственный корень, равный %。. Это значит, что дискриминант уравнения равен нулю (k2 + 4ab = 0), а его корень х = х0 = ^-. Отсюда 會=右.При % =专 получим y = kx + b = k- -^ + b= 咛，“」=0, т. е. прямая проходит через точку (今；0).
Функция у = ах2+ Ьх + с (3/3 ч)Функция у = ах2+ Ьх + с (3/3 ч)
Функция у = ах2+ Ьх + с (3/3 ч)
Функция у = ах2+ Ьх + с (3/3 ч)
Цель изучения параграфа — демонстрация учащимся того, что графиком функции у = ах2 + Ьх +с является парабола, которая получается сдвигом графика функции у = ах2 вдоль осей координат; знакомство со способами нахождения координат вершины параболы, построением оси симметрии и определением направленности ветвей параболы.
При изучении материала параграфа полезно подготовить учащихся к введению понятий наибольшего и наименьшего значений квадратного трехчлена, используя уже построенные при выполнении упражнений графики функций.
На первом уроке разбирается решение задачи 1, причем учащимся можно посоветовать дополнить таблицу значениями х = 4 и % = 5, найти соответствующие значения функции и отметить найденные точки на координатной плоскости. Построенная таким образом плавная кривая будет иметь вид знакомой учащимся параболы у = %2, сдвинутой вдоль координатных осей. В дальнейшем, при поэтапном построении учащимися в тетрадях графика функции д = %2 —2% + 3, рекомендуется использовать имеющиеся у них шаблоны параболы у = х2.
Если учитель предполагает, что у учащихся могут возникнуть затруднения при изучении материала на с. 163, можно предварительно (до решения задачи 1) рассмотреть с классом отличие графиков функций у = (х— 1 )2 и у = (%+ 2)2 от графика функции у=х2, затем отличие графиков функций у = х2+ 1 и у = х2— 1 от графика функции у = х2.
После разбора задачи 1 устно выполняется упражнение 608 (1, 2). Упражнение 609( 1) лучше выполнить после построения графика функции у = х2 + 4х + 1. Для домашней работы можно предложить построить графики функций, заданных в упражнениях 608(1,2) и 609(2). *
На втором уроке рассматривается теоретическая часть параграфа, следующая за задачей 1, и разбирается решение задачи 2. Выполняются упражнения 609(3), 610—612, из них самостоятельно 610(3), 611(5).
На третьем уроке с большой долей самостоятельности учащиеся должны выполнить упражнение 613, затем с помощью учителя разобрать решение задачи 3 текста параграфа и выполнить упражнения 614—616. Интересующимся математикой на этих уроках могут быть предложены упражнения 617—620.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны научиться находить координаты вершины параболы у = ах2 + Ьх + с по формулам %о = —击, % =虱心,а также справляться с упраж* нениями типа 609, 613.
Решение упражнений
Из того, что парабола пересекает ось О% в точках х= — 1 и х = 3, следует, что уравнение параболы можно записать в виде у = а(х+ 1)(х — 3), откуда
у=ах2—2ах—^а.(1)
Точка пересечения параболы с осью ординат имеет координаты % = 0 и у = 2. Подставим эти значения вместо % н у в (1), получим 2 = —За, откуда а = — у. Таким образом, уравнение па- t24
раболы примет вид' w = — —х2 + —х + 2.
Построение графика квадратичной функции (5/5 ч)
Цель изучения параграфа — формирование у учащихся умения строить график квадратичной функции в соответствии со схемой, приведенной в учебнике на с. 167; обучение определению интервалов знакопостоянства квадратичной функции по построенному ее графику, промежутков ее возрастания и убывания; обучение нахождению наибольшего и наименьшего,значений функции.
На первом уроке до рассмотрения теоретической части параграфа можно с помощью упражнений 621 и 622 организовать повторение изученного материала, необходимого для успешного построения графика квадратичной функции.
После разбора решения задачи 1 (с параллельным выполнением построения параболы у = %2 — 4% + з учащимися в тетрадях) с помощью учителя выполняется построение графика функции, заданной в упражнении 624( 1). На дом можно предложить учащимся после изучения по учебнику схемы построения графика квадратичной функции (с. 167) построить график функции, заданной в упражнении 621(1).
На втором уроке после проверки выполненного дома построения по схеме графика функции у = %2—4% —5 разбирается реше- 168 •
ние задачи 2 текста параграфа и выполняются построения графиков функций, заданных в упражнениях 622(1, 3) и 624(3). Дома предлагается построить графики функций, заданных в упражнениях 621(2), 622(2, 4).*
На третьем уроке при разборе задачи 3 текста параграфа повторяются понятия возрастания и убывания функции на промежутках, формируется умение исследовать функцию. Формулируются понятия наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции; отмечается, что функция у = ах2 + Ьх + с принимает свое наименьшее или наибольшее значение в точке %()= — £, а находится это значение по формуле у = г/(х0). Обращается внимание на то, что от знака старшего коэффициента а зависит то, принимает функция наибольшее или наименьшее значение. Эти теоретические знания закрепляются при выполнении упражнений 625, 630. Упражнения 631, 633 могут быть выполнены на четвертом уроке. Интересующиеся математикой учащиеся могут выполнить упражнения 633, 642.
Пятый урок изучения темы посвящается решению прикладных задач: разбирается решение задачи 4 текста параграфа и выполняются упражнения 626, 628 в классе. Дома, помимо упражнений 627, . 629, предлагается исследовать функцию у = — 2炉 + 3% + 5 и построить ее график.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны научиться строить график квадратичной функции по схеме, предложенной в учебнике, и отвечать на вопросы, сформулированные к упражнениям 624, 625.
На следующих двух уроках перед контрольной работой в ходе выполнения упражнений 634—641 (а также по усмотрению учителя 643, 644) повторяется и систематизируется материал всей изученной главы.
Решение упражнений
Пусть сторона АВ и проведенные два отрезка имеют длину % (рис. 21), тогда длина стороны ВС равна (1600 — 4x):2 = :=800 — 2х. Площадь прямоугольника ABCD равна (800 — 2х)х. ' Наибольшего значения квадратичная функция у = — 2х2 + 800х до- ；800
1 стигает при % =.彳二？)= 200.
Ответ. 200 м и 400 м.В
1) При х = 0 и у = 2 имеем
2 = 02 + р-0 + q, откуда g = 2; при % = 1 и д = 6 имеем 6= 12 + р-1 +2, откуда /? = 3.
1) При % = 2 и % = 3 значе- ние у=0, поэтому р=—(2+3)=— 5, 厶刀
g = 2 • 3 = 6.Рис. 21
Если х = 0, то у = 3, поэтому q = 3; если %= 1, то у = 0, поэтому 0 =产 + 夕.1 +з, откуда р = — 4.
Парабола касается оси абсцисс своей вершиной, поэтому 2 = —。откуда р = —4; у(2) = 0, т. е. 0 = 22 — 4 • 2 + ^, откуда д = 4.
1) х2+ Зх + 2 = |7 —х|, откуда
(7-х>0,[7-%<0,*
1х2 + Зх + 2 = 7-х нлн 1/ + 3% + 2 = —(7-х).
Решая эти системы, находим %]=—5, х2 = 1.
Зх2 — 6х + 3 = |3х — 3|, откуда
(Зх-3>0,(Зх-3<0,
IЗх2-6х + 3 = Зх-3 н”н |з%2-б% + з = -(з%-з).
Решая эти системы, находим Xj = 1, х2 = 2, х3 = 0.
1) Из того, что парабола проходит через точку с координатами (0; 0), имеем 0 = а-02 + Ь-0 + с, откуда с = 0. Из того, что парабола у = ах2 + Ьх проходит через точки (2; 0) и (3; 3), имеем 10 = а • 22 +》• 2, 1з = а・32+ 岳 3.
Решая эту систему относительно а н Ь, находим о = 1,力=—2. Итак, нужно построить график функции у =炉—2%.
Из того, что точка (1; 3) является вершиной параболы, следует, что 1 = —^ и 3 = аЛ2 + b-1 + с. Из того, что точка (— 1; 7) принадлежит параболе, следует, что 7 = а(— 1)2+Z>(— 1) + с. Решая систему[ b = — 2а
1 а + b + с —3,а — Ь + с = 7,находим а = 1, Ь== —2, с = 4.
а(х — 1 )(х — 3) = ах2 + bx + с, откуда — 4а% + За = Ьх + с.
Из этого следует, что — 4а~ b и За = с. Из того, что наибольшее значение функции равно 2, следует, что а < 0 и “-3=2, т. е. а (—白)+b(—《)+c = 2 или b2 — 2b2 + 4ас — 8а = 0. Решая систему
а < 0, ,b = — 4а, с = За, .—Ь2 + 4ас — 8а = 0, находим а = -2,力=8, с=-6.
Уравнение х2 + 4х + 1 = kx должно иметь один корень. Это возможно, когда дискриминант квадратного уравнения х2 + х(4 — ^)4- 1 =0 равен нулю.
q=(4一力)2 -4= 12-8力 + 力2,力2-8力+12 = 0
при 力1 = 2,力2 =6.
Запишем уравнение прямой y=kx+b, проходящей через
точкиточки0). Для этого решим систему уравнений
точки
точки
y0 = kx0 + b,
0 =力包+ b,2
откуда находим k = — и Ь = — у0. Таким образом, уравнение пря
мой имеет вид у = — • х — у0. Так как точка (х0; %) лежит и на хо
параболе, то у0 = ах^, откуда а =牛.Таким образом, имеем уравнение параболы у=^х2. Количество точек пересечения прямой и параболы соответствует количеству корней уравнения
⑴⑴% _ 2% * 〃
⑴
⑴
Дискриминант квадратного уравнения %炉_ 2%工产 + у/= 0, полученного из уравнения (1), равен ( —2%/)2-4%%珞.Очевидно, что 0 = 0, т. е. уравнение (1) имеет один корень.
Контрольная работа № 5
.1. Построить график функции ^ = х2 —2х —3. [^=х2+4х+3.] Г
! Найти:*
наименьшее значение функции;
f2) значения %, при которых значение функции равно 5[8];
}3) значения %, при которых функция принимает положитель-
j ные значения; отрицательные значения;
Е 4) промежутки, на которых функция возрастает; убывает.
£；2. Найти координаты вершины параболы
р = — (%—1)2 — 1. [р = — (%+1)2 — 4.]
Построить эту параболу.
Функция у = — 2х2 + Ьх + 4 [у == Зх2 + Ьх + 17] наибольшее [наименьшее] значение принимает в точке х0 = 3 [х0 = — 3]. Найти это значение..
Периметр прямоугольника 80 см. Какими должны быть его длина и ширина, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей?
[Число 140 представить в виде суммы двух чисел так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.]
После проведения контрольной работы рекомендуется предложить учащимся выполнить дома упражнение 457(4, 6, 8) или 744(2, 6, 8).
Квадратные неравенства
•♦••••••••*eeeeee^j^^^^^*e«eeeeee*eee»eeee*eeeeeeeee>ee»eeeeee>e
Решение квадратных неравенств — это традиционно обособленная часть исследования свойств квадратичной функции. Так, например, задача о решении неравенства х2 — 5х + 6 < 0 может быть переформулирована как задача о нахождении промежутков, на которых функция у = х2 — 5x + Q принимает отрицательные значения, и легко решается с помощью эскиза графика. Поэтому этот способ решения квадратных неравенств представлен в учебнике как основной.
Вместе с тем рассматривается и другой способ решения неравенства —разложением квадратного трехчлена на множители и сведением неравенства к решению двух систем линейных неравенств. Этот способ фактически является строгим обоснованием графического способа. При решении системы линейных неравенств целесообразно пользоваться наглядным изображением решений каждого из неравенств системы на числовой оси.
Метод интервалов позволяет решать более сложные неравенства, когда левая часть неравенства ——многочлен любой степени, представленный в виде простых множителей, или когда левая часть ——дробь, у которой числитель и знаменатель ——многочлены, и эти многочлены можно разложить на множители (правая часть неравенства равна нулю).
Метод интервалов основан на том, что графиком многочлена является некоторая непрерывная кривая, которая несколько раз пересекает ось Ох, и при этом, как правило, знак значения многочлена меняется на противоположный. Представление многочлена в виде простых множителей определяет и точки пересечения его графика с осью О%, и интервалы знакопостоянства. Последовательный перебор знаков при переходе от одного интервала к другому позволяет установить промежутки, составляющие решение данного неравенства.
Следует заметить, что при решении, например, иррациональных нлн логарифмических неравенств метод интервалов обычно не используется, так как при этом необходимо учитывать область допустимых значений неравенства.
В результате изучения главы VI все учащиеся должны уметь решать с помощью графиков квадратные неравенства, а также простейшие неравенства методом интервалов при выполнении упражнений 689—691 и из рубрики «Проверь себя!».
Квадратное неравенство и его решение (2/2 ч)
Цель изучения параграфа — формирование понятия квадратного неравенства и обучение аналитическому способу решения квадратного неравенства в случае положительного дискриминанта трехчлена, стоящего в его левой части.
На первом уроке при проверке домашней работы повторяется разложение квадратного трехчлена на множители. Понятия «решение неравенства», «решить неравенство», свойства неравенства, алгоритмы решения линейных неравенств и их систем можно повторить с помощью устной работы.
Является лн каждое из чисел 0; 1; 0; 5; — 2 решением неравенства 2% — 1《О?
Зная, что % — положительное число, определить знак значения выражения:
1) х + 3; 2) — х; 3) —2% — 1.
Зная, что % — отрицательное число, сравнить с нулем значение выражения:
1) %—2; 2) — х; 3) —х + 3.
К обеим частям неравенства х< — 3:
прибавить 3; 2) прибавить — 1.
Обе части неравенства х< — 3:
умножить на 冷;2) разделить на —-^
Решить неравенство:
% + 5>0; 2) 3 — х<0; 3) ~х+ 1^0-
Решить систему неравенств:
1)( %>2,2) f х<2,3) р<2, 4) ( х>2,
1%>5;1%>5;1%<5; I х< 5.
После рассмотрения решения задачи 1 текста параграфа вводятся понятия квадратного неравенства, решения квадратного неравенства, выполняются упражнения 649—651. После разъяснения того, что значит решить неравенство, рассматривается решение задачи 2 текста параграфа и выполняется упражнение 652. Дома, помимо выполнения четных номеров упражнений 650—652, предложить учащимся разобрать решение задачи 3 текста параграфа.
На втором уроке после проверки домашней работы выполняются упражнения 653—656. Интересующиеся математикой учащиеся могут решить задачи 657, 658. Для работы дома дополнительно предлагается построение графика функции
у = — / + 6% — 8.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны научиться аналитически решать квадратные неравенства, аналогичные предложенным в упражнении 654.
Решение упражнений
[рафик функции у = ах2 + Ьх + с может быть одним из двух типов, представленных на рисунке 22 (в зависимости от знака коэффициента а). В случае (1) а >6 имеем ^(х0) = ах^ + + Ьх0 + с<0, поэтому а(ах^ + Ьх0+ с)<0.
В случае (2) а<0 имеем у(х0) = ах^ + Ьх0 + с>0, поэтому а(ах^+ Ьх0 + с) < 0. Таким образом, для любого х0, такого, что %! < х0 < х2, где Xj и 芍—нули функции у = ох2 + Ьх + с, справедливо неравенство а(ах^ + Ьх0+ с)< 0.
Пусть %—1, %, х + 1 — три последовательных натуральных числа.
По условию 1(х — 1)х<72,(1)
1%(%+ 1 )》72.
Решение первого неравенства системы: — 8<х<9, решение второго неравенства: х< — 9, х>8. Для решения системы (1) необходимо рассмотреть две системы неравенств:
(— 8<х<9,2) ( — 8<х<9,-
1%《 —9;i%》8.
Первая система не имеет решений, решение второй системы —промежуток 8《％<9.
Таким образом, решение системы (1) будет промежуток 8《％<9, но, учитывая, что % — натуральное число, % = 8.
Ответ. 7, 8, 9.
Решение квадратного неравенства
с помощью графика квадратичной функции (5/5 ч)
Цель изучения параграфа ——обучение школьников решению квадратных неравенств с использованием графиков квадратичных функций.
Первый урок можно начать с проверки выполнения учащимися дома упражнения 656(4). При этом, отвечая на вопросы, связанные с нахождением по графику значений %, в которых функция принимает положительные (отрицательные) значения, учащиеся готовятся к пониманию того, что они находят значения %, удовлетворяющие неравенству — Зх2 — х — 2 > 0. Одновременно учащиеся должны повторить смысл понятия «нули функции». Если упражнение 656 не задавалось на дом, то урок следует начать с выполнения задания 659. После этого можно со всем классом аналитически решить неравенство 2х2 — х— 1 <0, которое затем (с помощью задачи 1 текста учебника) решить с помощью графика функции у = 2х2 — х — 1. Желательно, чтобы учащиеся оценили преимущества второго способа решения неравенства. Этим способом решаются квадратные неравенства 660(1, 3).
При решении каждого из неравенств следует с помощью уже построенного графика квадратичной функции решить еще три неравенства, отличающиеся от рассмотренного только знаками. Ужа после рассмотрения задачи 1 учитель должен обратить внимание учащихся на то, что для решения квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции достаточно строить лишь эскиз графика, который верно демонстрирует направление ветвей параболы и нули функции (или местонахождение вершины пара- болн, если 巾^нкцня 吧 имеет нулей).
—На втором урокё^со^всем классом выполняется задание 661(2, 4), после чего может быть выполнена самостоятельная работа по вариантам с последующей фронтальной проверкой: учащиеся, выполняющие I вариант, решают неравенства 661( 1) аналитически, а 661(3) с использованием графика квадратичной функции; учащиеся, выполняющие II вариант, решают аналитически неравенство 661(3), а с помощью графика неравенство 661( 1). На этом уроке выполняются по усмотрению учителя упражнения 764 и 765 (из них же составляется и домашнее задание).
На третьем уроке рассматривается задача 2 и следующий за ней текст учебника на с. 179, выполняются упражнения 662 и 668, а также при наличии времени 664(1, 3).
На четвертом уроке решаются неравенства 664(5, 7), разбирается решение задачи 3, следующий за ней текст учебника и формулируется алгоритм решения квадратного неравенства с помощью графика. На этом уроке в основном решаются неравенства, для которых вспомогательный график квадратичной функции не имеет общих точек с осью абсцисс. Эти неравенства содержатся, в упражнениях 663, 666.
На пятом уроке с помощью сформулированного на предыдущем уроке алгоритма решения неравенств с помощью графиков квадратичной функции решаются различные квадратные неравенства из упражнений 665, 667, 669, 670.
Интересующимся математикой учащимся при нзучеНнн этого параграфа могут быть предложены упражнения 671—673, 896, 897.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны научиться решать квадратные неравенства из упражнений типа 661—664.
Решение упражнений
Как и в примере 673, неравенство является верным при r = 1 и не выполняется при всех %£R, если г = — 1.
При rwi и У — 1 задача сводится к решению системы неравенств
I г2- 1 >0, (4(r-l)2-4(r2-i)<o,
которая равносильна системе w1>1, [1 — г < 0.
Отсюда получаем г >1.
Ответ. г>1.
Замечание. В учебнике дано развернутое указание к решению этой задачи.
Так как х2 + х+ 1 >0 при всех %£К, то исходное неравенство равносильно неравенству
х2 + х+ 1 < 3(х2 — х + 1 )< 9 (х2 + х + 1),
полученному при умножении всех членов исходного неравенства на 3(х2 + х + 1).
Левое неравенство, равносильное неравенству 2х2— 2х + 2>0, является верным при всех %£К, так как
2%2 —2% + 2 = 2(/ —% + 1) = 2(卜一目 +斗・
Правое неравенство, равносильное неравенству 2х2+ 4х + 2>0, также является верным при всех %£R, так как 2х2 + 4х + 2 = = 2(%-1)2》0.
Метод интервалов (2/4 ч)Метод интервалов (2/4 ч)
Метод интервалов (2/4 ч)
Метод интервалов (2/4 ч)
Цель изучения параграфа — формирование у учащихся умения решать квадратные неравенства методом интервалов и демонстрация применения этого метода для решения некоторых более сложных неравенств.
Изучение учебного материала проводится в соответствии с текстом параграфа.
На первом уроке в устную работу можно включить задания следующего содержания:
Какой знак при % = — 4 имеет выражение:
% + 3; х — 1; (х + 3)(х — 1);
х-8; % + 3; (%-8)(% + 3)?
Какой знак имеет выражение
% —2; % —5; (х — 2)(х — 5)
при 2 <х< 5?
При каком значении х значение функции у = х —2; у = х+ 1; у = 2х~ 1 меняет знак с « + » на « —»?
При каких х значения двучленов х — 3 и х — 1 имеют одинаковые знаки?
От последнего задания можно перейти к новому материалу и рассмотреть задачу 1 текста и упражнения 675, 676.
Затем следует обсудить вопрос о том, в каких точках будет менять знак выражение, представляющее собой произведение трех линейных множителей, например %(х— 1)(%+ 1). Изучить по учебнику задачу 2 текста и выполнить упражнение 677. Самостоятельно можно предложить упражнения 675(3, 5), 676(1, 3). Дополнительно рассмотреть 681(1, 2).
На втором уроке решить задачи 3 и 4 текста и выполнить упражнения 678—680.
Оформить решение можно так:
680・2)證之т >0.
(х + 4)2>0 при %£/?, поэтому дробь в левой части неравенства неотрицательна, когда 2х2 — Зх + 1 > 0. Решим это неравенство.:
з±\^ё
%1,2=4；
.1.
%1 — 1 , %2 - 5，
2х2 — Зх + 1 = (% — 1 )(2% — 1);
(х- 1)(2х- 1)>0.
Ответ. х<—, х> 1.
Дополнительно можно решить задачи 682, 914 (решения имеются в конце учебника).
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь применять метод интервалов при решении неравенств типа 675, 676.
Следующий урок, последний перед контрольной работой, посвящается обобщению и систематизации знаний по теме «Квадратные неравенства», выполняются по усмотрению учителя упражнения 687—690, 692—694, 697, 698.
Контрольная работа № 6
Решить неравенство:
х2-2х- 15<0; 2) -2%2 —5х + 3《0; 3) Зх2-4х + 7>0.
) х2 + 2х-8>0; 2) 一2%2_% + 6》0; 3) 2%2-5х + 6<0.]
Решить методом интервалов неравенство х(х —5)(х + 3)>0. [х(х —3)(x4-4)<0.]
Решить неравенство.
х(3х — 1) — х2 + 16《％(2—%) —%(11 —2%); (х-1)(2г + 3).
(Зх + 2)(х-5)
) Зх(х + 2)-(4-х)(4 + х)>5(х2+ 1)-4(х- 1);
(х-6)(3%+1)
2)(* + 2)(五-5) <0/
Исследование квадратичной функции
Этот параграф не является обязательным для изучения, однако его материал может быть использован на уроках итогового повторения курса алгебры VIII класса. Для каждой из задач текста параграфа имеется аналог среди упражнений 683—686, и заинте- ,ресованные учащиеся могут самостоятельно решить эти задачи, ? поработав с текстом учебника.
Повторение (4/6 ч)
Первые уроки ялгебры в IX классе целесообразно посвятить вводному повторению, обращая особое внимание на тот материал, который послужит подготовкой к восприятию первой темы курса. При изучении уже 'первых параграфов учебника приходится опираться на умения учащихся выполнять арифметические действия над рациональными числами, многочленами и алгебраическими дробями, решать линейные и квадратные уравнения и системы уравнений. В связи с этим повторение можно организовать, следуя содержательно методическим линиям, например, таким образом:
Выражения и их преобразования — 1 ч.
Уравнения и системы уравнений ——2 ч.
Урок обобщения и проверочная работа — 1 ч.
На первом уроке повторяются алгоритмы выполнения умножения н деления, разложения многочленов на множители и порядок преобразования алгебраических дробей. Повторение будет продолжаться и на последующих уроках в ходе решения уравнений и систем уравнений.
В качестве устных упражнений можно использовать, например, такие:
Вычислить:'
(一3>2(一3>276-3:6; 48:4-(-15); 231:7-0,5;
(一3>2
(一3>2
66V172+51- 17; V115-23-232;
6
6
Выполнить действия:
14tz3fe2c:(7tz2ft); 8х^324-Зх3^2；
(9а2b2 + 15а3^с — ab)： ЗаЬ； (16x2 — 8xy + y2):(4x~ у).
Даны алгебраические дроби
/-К н ХУ-/х+у无—у
Числовое значение какой из них равно 0 при % = у? 180
“2 + 2ab + 〃
При каких значениях а и b частное дробей —^z^―- и а + Ь
讃-2ab工庐 обращается в нуль?
Для работы в классе и дома можно использовать упражнения 547 (2, 3), 552, 555, 557, 558, 561, 565 (1, 2), 567 (3), 584, 586. Часть из них полезно включить в задания для домашней работы и на следующих уроках.
Повторяя решения линейных и квадратных уравнений, а также уравнений, к ним сводящихся, и систем уравнений, важно обратить внимание учащихся на методы, которыми они пользовались.
Так, полезно напомнить, что решение квадратного уравнения методом разложения на множители приводило к необходимости решения двух линейных уравнений; метод выделения полного квадрата фактически приводил к решению уравнения вида f?=d, где буква / заменяла некий двучлен; использовалась замена переменной при решении, например, биквадратных уравнений. Приходилось решать уравнения, используя графики функций. После этого можно сообщить учащимся, что к IX классу они уже знакомы с основными методами решения уравнений: разложением на множители, введением новой переменной, функционально-графическим. Эти методы и рекомендуется повторить на следующих двух уроках.
Для актуализации знаний можно использовать устные упражнения.
Какие из указанных ниже уравнений являются:
а) линейными; б) квадратными;
в) сводящимися к линейным; г) сводящимися к квадратным:
炉一3 = о； 2% + (% — 4) = 1 — %; 3% = 5;
2炉—4% = 5； 3%2 — 2% = о； %(% — 1) + 5 =炉 + з%；/ — 3% + 6 = 0; х — Зх(х + 1) = х2 + 5х; 2% = — 2?
Какие свойства уравнений нужно использовать для решения уравнения 3% + 2( 1 — %) = 3% + 5?
При каких значениях а уравнение а・％ = 7 имеет один корень; не имеет корней?
При каких значениях а н b уравнение:
а-х = Ь; 2) (tz— 1) х = Ь — имеет бесконечно много корней?
Решить уравнение:
%2 = б; 2%2-% = 0; 3%2 + 9 = 0; (%+1)2 = 9; (%+1)2 + 2 = 0.
При каком значении а уравнение х2 — 4х + а = 0 имеет один корень?
Не решая уравнение Зх2 — 8х + 7 = 0, выяснить, имеет ли оно корни.
Сколько корней имеет уравнение:
х(х — %2—Х
а) х(х - 2)(% + 3) = 0; б) - х.з = 0; в) —^- = 0?
Используя свойства линейной и квадратичной функций/сделать эскиз графика н выяснить, имеет ли решение уравнение:
а) х2 = х— 10; б) — х2 = х — 10.
Решить систему уравнений:
а)'% + У=13, 6) ,%_у = 3,
1% —у = 3; I/—у2=39.
Желательно не торопить учащихся при ответах на поставленные вопросы, а в ходе обсуждения решений повторить теоретический материал.
Повторяя применение уравнений к решению задач, необязательно решать задачу полностью во время урока. Основные типы задач можно повторить в ходе полуустного обсуждения того, как составить уравнение 'для решения задачи.
Расстояние в 20 км турист преодолел за 3 ч, причем 2 ч он шел пешком, а потом ехал на подводе со скоростью, в 3 раза большей, чем когда шел пешком. С какой скоростью турист шел пешком?
Один рабочий может выполнить некоторую работу за 2 ч, другой ——за 3 ч. Сколько времени понадобится для выполнения этой работы, если они будут работать вместе?
Моторная лодка движется по течению реки 8 км и, не останавливаясь, возвращается обратно, затратив на весь путь 3 ч. Какова собственная скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч?
Обсуждение составления уравнения проводится устно, составленное уравнение фиксируется в тетради, дома предлагается записать решение задачи полностью.
Для работы в классе и дома можно использовать упражнения 596(1, 2), 597(1, 3), 599(1, 3), 600(1, 3), 601(1, 3), 605(3, 4), 606(1, 3), 610(1, 4), 613(3, 4), 616(1, 2), 621(1, 3), 644, 645, 647, 665(1, 2).
В качестве дополнительных заданий целесообразно использовать задачи 750——754, решения которых приводятся в конце книги.
На последнем из уроков повторения желательно вспомнить, какие же уравнения и системы уравнений учащиеся уже умеют решать (при этом можно использовать таблицы 1—3).
С помощью примеров уравнений, которые могут привести сами учащиеся, вспомнить, как такие уравнения называются (линейные; квадратные; уравнения, которые сводятся к линейным или квадратным).
Таблица 1
Линейное уравнение ах = b
При а#0 b уравнение имеет один корень
При a—b—G
0 • х=0
уравнение имеет бесконечное множество корней
При а=0
0 • х=Ь
уравнение не имеет корней
Таблица 2
Квадратное уравнение ax2+bx+c^G, а*0,
—b 土 №—4ас
*1,2 ~2a
При 62 -4ас>0
уравнение имеет два различных корня
При 从一4ас=0
уравнение имеет один корень
При В? -4ас<0
уравнение не имеет действительных корней
Таблица 3
Формулы для нахождения корнейчастных случаев квадратных уравнений
х2 + рх + q = 0,
ах2 + 2kx + с = О, (6 = 24)
По таблицам 1—3 повторить, сколько корней может иметь линейное или квадратное уравнение, от чего зависит наличие и количество корней.
С помощью конкретных примеров (596, 597, 605, 606) сделать вывод о том, что данное уравнение сводилось к линейному или квадратному либо путем выполнения преобразований целых
или дробных алгебраических выражений, либо путем введения нового неизвестного.
На этом же уроке целесообразно напомнить и использование функционально-графического метода, например, при выполнении следующего упражнения. С помощью графиков функций выяснить, сколько корней имеет уравнение:
а) х2 —Зх = х — 4; б) х2 — Зх = х — 3; в) х2 — Зх = (х — З)2.
Последние 20 мин урока можно посвятить проведению проверочной работы.
Решить уравнение:
а) х(х - 2) + Зх = 7(х - 2) + х2; 6)黄十 + \} =|.
[а) х2-3(х+1)=13-х(х-1); 6)月一年=总一5.]
Решить систему уравнений:
|% + р = 4,Г|Зх-2^= 16,
\х2—у = 2.[(4% + у2 = зз*
З*. Не вычисляя корней Xj и %? квадратного уравнения
2х2+7х—8=0, найти 扌+?.
Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений、
В этой главе продолжается и завершается изучение алгебраических уравнений и их систем, которые рассматриваются в школьном курсе алгебры. От рассмотрения линейных н квадратных уравнений учащиеся переходят к алгебраическим уравнениям общего вида Рп(х) = 0, где 戶*(%)——многочлен степени п. В связи с этим вводятся понятия степени многочлена и корня многочлена.
Основным способом решения алгебраического уравнения является разложение его левой части на множители. Для этого сначала подробно рассматривается алгоритм деления многочленов уголком, который использовался в арифметике при делении рациональных чисел.
На конкретных примерах показывается, как получается формула деления многочленов
Ря(х) = Мт(х) Qk(x) + R^x) и как с ее помощью можно проверять результаты деления многочленов. Иногда эта формула принимается в качестве определения деления многочленов по аналогии с определением деления натуральных чисел с остатком, с которым учащиеся знакомились в курсе арифметики.
Деление многочленов обычно выполняется уголком; иногда это удается сделать разложением делимого и делителя на множители. Можно также использовать метод неопределенных коэффициентов (с ним целесообразно познакомить учащихся на внеклассных занятиях).
Например, разделим таким способом многочлен Р(%)= =2х3 — х2 + 3 на многочлен Q(%)=%2 — 1. По формуле деления имеем Р(х) = M(x)Q(x) + R(x), где М(х) = Ах + В, R(%) = a%+b, т. е.
2х3 — х2 + х + 3 = (Ах + 8)(%2 — 1) + ах + Ь.
После упрощения получаем
2х3 — х2 + х + 3=Ах3 + Вх2 + (а — Д)х + Ь — В, откуда 4 = 2, В= —1, а — А = 1, Ь —启=3, т. е. Л = 2, В = — 1, а = 3, b = 2. Итак,
2%з — %2 + % + з =(2%_ 1)(Х2_ 1)+ з% + 2.
Способ решения алгебраического уравнения разложением его левой части на множители фактически опирается на теорему Безу: если %i — корень уравнения Рп(х) = 0, то многочлен Ря(х) делится нацело на х—хг Эта теорема не формулируется, а демонстрируется на конкретном примере (§ 2, задача 1). Ее применение сводит решение уравнения степени п к решению уравнения степени п— 1 и т. д.
В учебнике рассматривается первый способ нахождения целых корней алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, если такие корни есть: их следует искать среди делителей свободного члена.
Среди уравнений, сводящихся к алгебраическим, рассматриваются возвратные уравнения и рациональные уравнения.
Хотя при решении рациональных уравнений могут появиться посторонние корни, они легко обнаруживаются проверкой. Поэтому понятия равносильности и следствия уравнения на этом этапе не являются необходимыми; эти понятия вводятся в старших классах при рассмотрении иррациональных и логарифмических уравнений и неравенств.
Решение систем нелинейных уравнений проводится как известными учащимся способами (подстановкой или сложением), так
и делением уравнении и введением вспомогательных неизвестных. К решению систем нелинейных уравнений сводятся также решения текстовых задач, рассматриваемых в этой главе.
В результате изучения главы I все учащиеся должны уметь выполнять деление многочленов уголком, находить целые корни алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, решать алгебраические уравнения и уравнения, сводящиеся к ним, а также системы уравнений н текстовые задачи при выполнении упражнений 45——53 и из рубрики «Проверь себя!».
Цель изучения параграфа — знакомство учащихся с алгоритмом деления многочлена на многочлен и с разложением на множители многочленов с помощью этого алгоритма.
Учащиеся знакомятся с понятием степени многочлена, которое является ключевым в данной теме: формулы деления многочленов нацело и с остатком, алгоритм деления многочленов уголком не могут быть восприняты осознанно без уверенного владения понятием степени многочлена.
Запись многочлена 〃-й степени и формул деления многочленов в общем виде не является простой и доступной для всех девятиклассников. Формальное заучивание этих записей не имеет смысла. Важно, чтобы учащиеся на конкретных примерах могли назвать степени делимого, делителя, частного, остатка и увидеть связь между ними.
Следует иметь в виду, что при изучении материала параграфа происходит логическое завершение линии преобразования многочленов и идет активная подготовка к изучению приемов решения алгебраических уравнений. Выполняя такие действия с многочленами, как сложение, вычитание, умножение, учащиеся в качестве компонентов действий имели дело как с одночленами, так н с многочленами. При выполнении действия деления в качестве делителя до сих пор школьники встречались только с одночленом. Рассмотрение многочлена в качестве делителя позволяет завершить знакомство учащихся с арифметическими операциями над многочленами.
Материал параграфа можно распределить по урокам следующим образом: на первом уроке ввести понятие степени многочлена и рассмотреть деление многочленов нацело; на втором уроке рассмотреть деление многочленов с остатком.
Возможен и другой вариант: на первом уроке рассмотреть (весь теоретический материал параграфа, а второй урок посвя- |тить решению задач.
£ В качестве упражнений для актуализации знаний можно ис- ^пользовать, например, такие задания:
Какой из двух многочленов
Р(х) = 2а2а — За + а2 — а и Q(%) = а4 — а3 + 2а —3 [представлен в стандартном виде? Ответ обосновать.
Выполнить действие и сделать проверку:
74,8-31,3; 2) 702:9; 3) 38:3;
_2炉一3&2. 5) _2а4-За.6) (8а3 +6а2+2а):2а.
一3炉-2a2，- З-з-2a+ 4'
Разложить многочлен на множители и сделать проверку:
18b4 + 9〃 + ЗЬ; 2) a-b + a2-b2.
Сократить дробь:
a2b + а〃а2+ 2аЬ + 加
ab ，2)a + b•
Каждое из упражнений можно выполнять устно, полуустно (за- ^писывая необходимые ученику промежуточные действия) или пись- ■менно в зависимости от уровня подготовки класса. Желательно Доставить на доске результат решения примеров 3(2) и 4(2), что- ；бы обратить внимание учащихся на то, что с проблемой деления ^многочлена на многочлен (в данном случае на двучлен) они уже ■встречались.
: Выполнение упражнений учебника полезно начинать с выясне- ；ния степени многочленов делимого и делителя и обсуждения во- шроса, какова же может быть степень многочлена-частного. Такие фассуждения помогут преодолеть трудности заучивания формулы .деления многочленов и подготовиться к решению алгебраических уравнений.
Например, перед выполнением упражнений 1 и 2 учебника можно вернуться к заданию 2(6), приведенному выше, и выяснить степень многочлена делимого, степень одночлена делителя и степень частного. В качестве дополнительного вопроса к этим упражнениям (1 и 2) можно предложить записать формулу деления данных многочленов; например, решение упражнения 2 (3) можно записать так:
। делимое: _ 15х5 + 6х4 — 20/ _ 8% 3炉一4 — делитель 15%5— 20х2 5炉 + 2% — частное
_ 6%4— 8х
6%4— 8%
0~
Формула деления:
15% ⑤ + 6%4 - 20х2 -8х = (Зх®-4)( 5% ② + 2%).
Учитель может дополнить решение, записав формулу деления нацело в общем виде: Р⑤(％) = Q③(％)^M②(％), при этом отметить, например, другим цветом или обвести кружком показатель степени старшего члена в каждом из многочленов и соответствующий индекс в формуле.”
Перед выполнением упражнения 3 можно вернуться к заданию 2(3), приведенному выше, и записать результат деления 38:3 в разных видах:
2
38 : 3 = 12f= 12-3 + 2
А 少人、
делимое частное делитель остаток
Оформить решение упражнения 3 (3) можно так:
делимое ^ '
_6х3 + Зх2 — 4% + 3 2% + 1 — делитель6%з, + 3%2з%2 _ 2 — частное
_—4% + 3
5 — остаток
Формула деления:
6%。+ 3%2 _ 4% + з =( 3%②—2)(2%+ 1)+5
XXXчастное делитель остаток
(Здесь показатели степени данного многочлена и многочлена- частного обведены кружком, чтобы облегчить запись формулы в общем виде, определяя индексы обозначений многочленов в формуле.).
Желающие результат выполнения этого задания могут допол - нить записью
尸③(％) = "©(%)• Qi(%) + R()(x)・
Выделенные в рассмотренном оформлении решения записи (частное, делитель, остаток) можно прекратить делать, когда у учащихся не будет затруднений при написании формулы.
Для подготовки к изучению следующего параграфа важным является упражнение 6, анализируя которое ученики должны прийти к выводу, что для ответа на поставленный вопрос они должны узнать, равен ли остаток от деления многочленов нулю. Полезно в этом упражнении, не выполняя деления, обсудить вопросы: какова будет степень многочлена в частном? Может ли степень многочлена остатка быть больше степени делителя? По ходу рассуждений заполнить таблицу (с. 189), а результаты ее заполнения проверить после выполнения деления многочленов.
Выполнение упражнения 6 перед рассмотрением § 2 облегчит восприятие формулы деления многочленов с остатком.
№ задания
Делимое
Делитель
Частное
Остаток
Показатель степени многочлена
п
k
т
/
6(1)
5
2
3
0； 1
6(2)
5
2
3
0； 1
6(3)
6
2
4
0; 1
6(4)
6
3
3
о； 1; 2
Для работы в классе и дома на первом уроке можно рекомендовать упражнения 1, 2, 5 (1, 2), 6, 7 (1, 2), на втором уроке 3, 4, 7 (3, 4), 8. Для самостоятельной работы обучающего характера можно предложить задания 1(3, 4), 2( 1, 2), 5(3, 4).
Дополнительно для работы в классе и дома — 9, 759, 764, 768 (решения трех последних упражнений есть в учебнике, упражнение 9 аналогично задаче 7 текста § 1).
В результате изучения параграфа все учащиеся должны овладеть алгоритмом деления многочленов при выполнении упражнений типа 1, 4.
Решение алгебраических уравнений (3/3 ч)Решение алгебраических уравнений (3/3 ч)66
Решение алгебраических уравнений (3/3 ч)
Решение алгебраических уравнений (3/3 ч)
6
6
Цель изучения параграфа — знакомство учащихся с понятием алгебраического уравнения 〃-й степени и способом решения алгебраических уравнений 〃-й степени, имеющих целые корни.
Изложение теоретического материала параграфа организовано таким образом, что знакомство со способом решения алгебраического уравнения происходит в ходе решения конкретных уравнений (задачи 1 и 2). В основе решения первых уравнений (задачи 1 и 2) лежит идея угадывания одного корня уравнения. Таким образом не только мотивируется необходимость появления теоремы о решении уравнения 〃-й степени с целыми коэффициентами, но и облегчается восприятие самой теоремы и ее дальнейшего применения (задачи 3, 4, 5).
Изложение теоретического материала рекомендуется вести в соответствии с текстом параграфа. При этом рассуждения о возможности решения алгебраического уравнения путем разложения на множители с постепенным понижением степени и доказательство теоремы 1 даются в ознакомительном плане (или не приводятся на уроке вообще).
Учащиеся должны понимать, что корнем алгебраического уравнения Р„(х) = 0 называют фактически корень многочлена, стоящего в левой части уравнения.
Анализируя условие и заключение теоремы 1, важно подчеркнуть, что только наличие целого корня уравнения дает возможность утверждать, что этот корень находится среди делителей свободного члена. Именно поэтому целые корни и ищутся среди делителей свободного члена. Желательно, чтобы учащиеся это осознавали.
Чтобы предупредить вопросы учащихся типа: «А что делать, если среди делителей свободного члена не нашлось корней многочлена (уравнения)?», рекомендуется теоретический материал изложить в форме лекции (1 урок), используя исторический материал в конце параграфа, а затем провести 2.урока-практикума, на которых и будет вырабатываться умение решать уравнения степени выше второй.
В ходе лекции учитель сам повторяет весь необходимый материал, уроки -практикумы желательно начать с повторения содержания лекции (устного или письменного) и обращения к таблицам (см. рекомендации к урокам повторения, таблицы 1, 2, 3), которые можно использовать в ходе решения задач.
Для устной работы можно использовать, например, такие задания:
Назвать целые делители числа 1; 2; 7; 10; 12; 15; 17.
Решить уравнение:
7(% — 1) = 8(% — 1); 3% + 2 = 3% + 3.
Угадать хотя бы один корень уравнения:
%3 — 10% + 9 = 0; / — Юх + 9 = 0.
Решить квадратное уравнение разложением на множители: %2 — 6х + 9 = 0; / + 3% — 4 = 0.
Делится ли нацело квадратный трехчлен %2 — 5% + 6 на двучлен х — 2? Ответ обосновать.
Найти хотя бы один корень уравнения
7х6 + 5炉 + З%4 + %з — %2 + % = о.
На уроках-практикумах все учащиеся сначала должны выполнить упражнения, обозначенные в учебнике как обязательные (10—12), и только потом переходить к более трудным. Упражнение 16 (теорему Виета для кубического уравнения) можно заранее дать учащимся, интересующимся математикой, для самостоятельного решения, а в конце третьего урока обсудить его со всем классом.
Решение упражнения 11(4) рекомендуется записывать следующим образом:
2х4 — 2%з — Их2 —х —6 = 0.
Делители числа — 6:
土 1; ±2; ±3; ±6.
Р4(1) = 2-2-11-1-6^0,
Р4(-1) = 2 + 2-11 + 1-6*0,
Р4(2) = 2- 16-2-8- 11 -4-2-6 = 32-16-44-8^0, 尸4(-2) = 2 ・ 16 + 2 • 8-11 4 + 2-6 = 32 +16 — 44-4 = 48-48 = =0, т. е. — 2 — корень многочлена.
_ 2%4 - 2%з — 11 / _ % _ 6 % + 2
2/ + 4%з2%3 -6%2+% 一3
_ — 6х3— 11х2
--6%3-⑵2
_x2 —X
x2 + 2x
_ _ Зx — 6
-3— — 6
0~
Р3(X)= 2х3 — 6х2 + % — 3. Делители числа — 3: ± 1; ±3.
Р3( 1) = 2-^+ 1 -3^0, Р3(- 1) = -2-6- 1 -3^0
(но 1 и — 1 можно и не проверять, так как они проверены в п. 1). %(3) = 2 • 27 — 6 • 9 + 3 — 3 = 0, т. ё. 3 — корень многочлена.
4)_2х3 — 6х2 + х — 3 |/ — 3
2%з - б/ 12.2 + 1 ~
_ %—3
■ %—3
■ о
Многочлен 2%2 + 1 корней не имеет.
(х + 2)(х-3)(2х2+ 1) = 0.
%] = — 2, %2 = 3.
Ответ. %] = —2, %2 = 3・
Если ученик, не вычисляя, определяет, что значение многочлена при конкретном значении делителя не равно нулю, то нет необходимости заставлять его находить точное значение многочлена.
Так как на уроках-практикумах и дома предположительно будут выполняться все упражнения учебника, рекомендуется домашнее задание сообщить сразу после лекции к обоим урокам. Например, для работы дома 10(2, 4), 12(2, 4), 13(4), 14(4), 16, 17.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать определение алгебраического уравнения и решать уравнения, аналогичные предложенным в упражнениях 10, 12.
Решение упражнений
ах3 — 2х2 — 5х + 8 = 0, %j = 1, х2 = — 2 — корни уравнения по условию, следовательно, Р3(1) = 0 и Р3(—2) = 0.
尸3(1) = " + 8 —7,尸3(—2) = 8 —8а + 2. Составим и решим систему:
_1а + Ь = 7,/
\ —8а+ b = —2
9a = 9, а = 1, 6 = 6.
Так как 1 и —2 — корни уравнения, то Рз(%) делится нацело на многочлен (% — 1)(x4-2) = %2+ х —2.
х3 — 2х2 — 5х + 6 %2+х—2 炉 + %2 — 2%%~3~
_—Зх2 — Зх + 6
—3%2 — 3% + 6
Ответ. а = 1, 6 = 6, х3 = 3.16. Так как хр х2, х3 — корни уравнения, то(х — %,) (х — х2)(х — х3) = %3 + ах2 + Ьх + с.(X — X^(X — %2)(Х — %з)= х3 — %2%з — Х2Х2 + ХХ2Х3 —X2Xj + ХХ3Х{ + + %%]%2 - %1%2%3 = %3 — (%3 + %2 + %1)%2+ (%2%3 + %1%3 + %/2)% - %/2%3。Применяя метод неопределенных коэффициентов (см. введение к главе), получаемОтвет. а = 1, 6 = 6, х3 = 3.16. Так как хр х2, х3 — корни уравнения, то(х — %,) (х — х2)(х — х3) = %3 + ах2 + Ьх + с.(X — X^(X — %2)(Х — %з)= х3 — %2%з — Х2Х2 + ХХ2Х3 —X2Xj + ХХ3Х{ + + %%]%2 - %1%2%3 = %3 — (%3 + %2 + %1)%2+ (%2%3 + %1%3 + %/2)% - %/2%3。Применяя метод неопределенных коэффициентов (см. введение к главе), получаем'0
Ответ. а = 1, 6 = 6, х3 = 3.
16. Так как хр х2, х3 — корни уравнения, то
(х — %,) (х — х2)(х — х3) = %3 + ах2 + Ьх + с.
(X — X^(X — %2)(Х — %з)= х3 — %2%з — Х2Х2 + ХХ2Х3 —X2Xj + ХХ3Х{ + + %%]%2 - %1%2%3 = %3 — (%3 + %2 + %1)%2+ (%2%3 + %1%3 + %/2)% - %/2%3。
Применяя метод неопределенных коэффициентов (см. введение к главе), получаем
Ответ. а = 1, 6 = 6, х3 = 3.
16. Так как хр х2, х3 — корни уравнения, то
(х — %,) (х — х2)(х — х3) = %3 + ах2 + Ьх + с.
(X — X^(X — %2)(Х — %з)= х3 — %2%з — Х2Х2 + ХХ2Х3 —X2Xj + ХХ3Х{ + + %%]%2 - %1%2%3 = %3 — (%3 + %2 + %1)%2+ (%2%3 + %1%3 + %/2)% - %/2%3。
Применяя метод неопределенных коэффициентов (см. введение к главе), получаем
Xj+x2+x3=—а,% 送 2 + %2%3 + x1x3 = b,Х]%2%3= ~С-
Так как хр х2, х3— корни уравнения х3+ах+Ь=0, то %： + а/ + 8 = 0, 耳 + @%2 + 8 = 0,
%з + %+ 6 = 0.
(1)(1)Сложив почленно эти равенства, получим
(1)
(1)
(х： +其 + 舄)+ а (%] + %? + х3) + 36 = 0.
Но по теореме Виета для данного кубического уравнения (см. упражнение 16) имеем
% 1 +%2 + %3 = 0,
%i%2 + %1%3 + %2%3 =。，
%1%2%з=—氏
Подставляя в уравнение (1), получаем
(%： + 总 + %；) — 3%i%2x3 = 0.
Уравнения, сводящиеся к алгебраическим (3/^<^)
Цель изучения параграфа —введение понятия рационального уравнения и знакомство учащихся с алгоритмом его решения.
Принципиально новыми для девятиклассников являются возвратные уравнения (рациональные уравнения учащиеся уже решали в VIII классе). Новым для них будет только термин «возвратные». Учащихся класса с недостаточной математической подготовкой знакомить с возвратными уравнениями (задача 2) необязательно. Целесообразно рассмотреть хотя бы одно такое уравнение, чтобы подтвердить лишний раз необходимость анализировать условие, и привести пример решения уравнения методом замены неизвестного.
Решая уравнения из упражнений к параграфу, желательно, где это не составляет большого труда, раскладывать многочлен на множители, не прибегая к делению многочленов. В этом случае ученики не только повторяют способы разложения многочленов на множители, но и учатся неформально подходить к применению алгоритма решения уравнения (задача 1).
В задаче 3 текста параграфа дается обоснование алгоритма решения рационального уравнения и на примере решенного уравнения вводится сам термин «рациональное уравнение». Не следует требовать от учащихся воспроизведения рассуждений, приведенных в задаче 3. Важно, чтобы учащиеся поняли цель этих рассуждений и осознанно применяли алгоритм, как это показано в задачах 4 и 5.
Изучение материала параграфа можно распределить по урокам, например, следующим образом: на первом уроке рассмотреть задачи 1, 3 и 4 текста параграфа, обратив внимание на решение некоторых уравнений из упражнений 18 и 20; на втором уроке рассмотреть задачу 5 и к упражнениям 18 и 20 добавить 22; на третьем уроке познакомить с задачей 2 и провести проверочную работу по материалам § 1—3.
Можно предложить учащимся несколько устных упражнений.
Решить уравнение:
1-Зх = 8; 2) 2(х+1) = 2х-3; 3) х2+5х = 0;
2炉一4=-8; 5) х2-2х + 3 = 2; 6) (х2-х)(х + 3) = 0;
0 = 0; 8)岩扌=0; 9) %з_%2 — 2х = 0. 、
Для какого из многочленов 2х3 — Зх2 + х — 5 и 2х3 — Зх2 + Зх корнем является число 0?(x-3)(x+4)(x-5)
При каких значениях х дробь 2Zq обращается в нуль?4 "
Разложить многочлен х3 — х2 4- х — 1 на множители..
Найти хотя бы один корень многочлена %3 — 2х2 + Зх — 2 = 0.
Приведем пример записи решения рационального уравнения:
2。・ 5)居+ #^Ы“ + 2)(2/Т)亜
2-Зх-2х2 = -2(х + 2)(х-|] =(х + 2)(1 -2%),
2х2+Зх-2=0,'2 丿
г _ -3±V9 + 16 _ -з±5 .
"4
%] = —2, %2 =—.
3%(% + 2) + (X+1)(2%- 1) = 3(-1),
Зх2 + 6х + 2/ + х—1+3 = 0,
5х2 + 7% + 2 = 0,
_ -7±V49-40 _ -7±3 . io ib~‘
%! = —1, х2=—0,4.
Если х = — 1, то (х + 2)(2х — 1 )w0.
Если х = — 0,4, то (х + 2)(2х— l)w0.
Ответ. %] = —i, х2=—0,4.
1) ^Ц^+—^ + 27=-总九 |(%-l)(/-2)w0.
‘％-1%-2х2~Зх + 2 Г 八 丿
/2—3%+2=(x— l)(x—2),
Xj=l, %2 = 2・
(x3-9x2)(x-2) + (x- l) + 27(%2-3% + 2) = 2/-3, x4-llx3+ 18x2 + x- 1 +27%2-81% + 54-2% + 3 = 0, %4- llx3 + 45x2-82x + 56 = 0,
P4(l) = 1 - 11 + 45-82 + 56 = 112-93^0,
尸4(- 1)=1 + 11 +45+ 82 +56 W0,
P4(2)=16-88+ 180- 164 + 56 = 252-252 = 0.
% — 2 x3-9x2 + 27x-28% — 2 x3-9x2 + 27x-28x4- llx3+45x2-82x + 56
% — 2 x3-9x2 + 27x-28
% — 2 x3-9x2 + 27x-28
』4 一 2%3
_ — 9x3 + 45x2
--9炉+ 18/
_27%2 — 82%
-27%2-54%
_-28x + 56
—28% + 56
0
Рз(/) = %3 —9/2+27/ —28,
p3(-2) = -8-36-54 - 28w0,
Р3(4) = 64- 144+ 108-28 = 0.
_х3-9х + 27х-28— 4
%з — 4%2 I / - 5% + 7
_-5х2 + 27х
—5%2 + 20%
~Jx-28 ~7х-28 0
Р2(х) = х2 — 5% + 7,
/ — 5% + 7 = О,
_ 5 土 V25-28
%1，22'
Нет корней.
(х-2)(х-4)(х2-5х + 7) = 0,
% I = 2,々=4.
Если % = 2, то (х— 1)(х —2) = 0, 2 ——посторонний корень.
Если х = 4, то (х — 1)(% — 2)^0.
Ответ. х = 4.
При решении уравнений у доски пояснения каждого действия учащимися должны даваться обязательно.
Дополнительными на этих уроках могут быть упражнения 23, 24, 766, 771, 776(1, 2), 777.
Проверочную работу можно провести в начале третьего урока, в этом случае в конце этого урока целесообразно познакомить учащихся с решением задачи 2 текста учебника. Если перед проверочной работой необходимо еще порешать задачи, то решение задачи 2 можно дать сильным учащимся для самостоятельной работы, а на уроке обобщения и систематизации знаний познакомить с ней всех учащихся.
Самостоятельная работа (20 мин)
Разложить многочлен на множители:
%з — 5%2 + 9% — 5. [%з + 2/ + 4х + 3.]
Решить уравнение:
2х(х2-3) + х2(х+ 1) = 2(х2+ 1) + 2(%+ 1);
+
х+2/+2% х
Решение упражнений
х=2 не может быть корнем уравнения, следовательно, 22+2("- 1)•2 + "2一"w0, а2 + За# 0, а产О, &W —3.
х2+2(а—1)х + а2 — а = 0 имеет два различных действительных корня, если D > 0, т. е. (а — 1 )2—(а2 — а )>0,
紋一2a + 1 — а? + а > О,
—а4- 1 >0, а< 1.
Ответ. а< —3, —3<а<0, 0<а<1.
х=—3 не может быть корнем уравнения, т. е. (-3)3-18a+ 3出 + 2"3w0..
2炉 + 3标_18a-27 = 0.
Решим уравнение:
Рз( 1)=2+3-18-27。0, %(-1)工0, Рз(3)=0.
(2"3 + 3d - 18а 二 27) ： (а - 3) = 2絞 + 9а + 9.
2a2十 9а + 9 = 2(а +3)(а +
% 2w±3, %" - 1,5. ''
При а = 0 уравнение имеет единственный корень х = 0.
Ответ. awO, aW±3, aw—1,5.
Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестным!^^! ч)
Цель изучения параграфа —— повторение методов решения систем уравнений, известных учащимся из курса VIII класса, и знакомство с решением систем двух уравнений второй степени с двумя неизвестными.
Для выбора оптимального способа решения системы важно напомнить учащимся о необходимости проводить анализ условия.
Если учащийся уверенно применяет способ подстановки, он прав, даже если пренебрегает приемами, упрощающими решение, как это сделано в задачах 3 и 4 текста учебника. Таким способом он может решить любую из задач 25—27, 28(1, 2).
На возможность применения способа алгебраического сложения, как и в VII классе, школьника должно натолкнуть наличие противоположных коэффициентов одного неизвестного или наличие слагаемых, из которых можно составить выражение для при- 196
менения формулы сокращенного умножения (задачи 5, 6, упражнения 28 (3, 4), 29, 30).
Задачи 7 и 8 текста учебника не являются обязательными для всех учащихся. Учитель вправе или рассмотреть их в ознакомительном порядке, или, не решая их со всем классом, использовать для работы с учащимися, интересующимися математикой.
Задачи 1—4 текста параграфа и упражнения 25—27 можно рассмотреть на первом уроке в качестве повторения курса алге- 0ры VIII класса; на втором уроке изучить задачи 5 и 6, ознакомить с задачей 7 и начать выполнять упражнения 28——30, закончить решения которых можно на третьем уроке. Для 'самостоятельного решения можно использовать задания 27(1), 28(1, 3).
Для класса, где большинство учащихся успешно справляются L изучением алгебры, возможен другой вариант изучения параграфа: на первом уроке рассмотреть решения задач 5—7, предложить дома самостоятельно повторить материал VIII класса на примере задач 1——4, а второй и третий уроки провести в форме практикума.
Для актуализации знаний учащихся можно использовать также, например, упражнения:
Выразить у из уравнения:
% — г/ = 2; 2) % + Зу = 6; 3) % —у2 = 3.
Каким способом удобнее решить систему уравнений:
|% — у = 3, 2) |2%+р = 3, 3)(х+г/ = -5, [/ + y = 7;\х + у2= 1;[%у = 4?
Решить систему уравнений 产一у = 7, [% + у = 9.
Найти сумму чисел % и у, если их разность равна 3, а разность их квадратов равна 12.
Пусть x+y = t, а ку = и. Выразить 严 + / через t и и.
На рисунке 24 изображены графики функций у = 3 — х2 и g = (% — 1 )2. Сколько решений имеет система уравнений
I х2+ у = 3, I/ —2% —у = — 1?
Приведем пример записи решения систем уравнений:
3)卜2+必=34, Ьг/ = 15;
%2 + y2 = 34,|
十 xg = 151*2
炉 + 2ху + /=34 + 30, (х + У)2=64,
х + у = + 8.
1) |% + У=8, 1%у = 15;
2) (% + у = — 8, [凡/ = 15;
/ —8之 + 15 = 0,
N] = 3, ?2 = 5,
1 & = 3, (х2 = 5, [弘=5; [% = 3.
z2+8z+ 15 = 0, /= — 3, 24= -5,
|%з=-3, (х4= -5, (%= — 5; ]%=-3.
Ответ. (3; 5), (5; 3), (-3; -5), (-5; -3).
3) I способ. lxy-x + y = 7, [%у + %-у= 13;
2ху = 20, %у = 10.
—х + у = 7,/д=%—3,
\ху + х — у= 13; |х(х —3) + х —(% —3)= 13.
х2 — Зх + У~/ + 3~ 13 = 0,
х2-3х- 10 = 0,
%] = 5, %2= — 2,
/1 = 5, 产2 = —2, ® = 5-3; М=-2-3;
J %】=5, J 与=—2, 1/=2； 1%=-5.
II способ.
(ху-(х-у) = 7, \ху + (х-у)= 13;
xy^=t, X — у = V.'
[t-v = 7, fx^= 10, \t + v= 13;[% —y = 3;
2f = 20,% = 3 + y,
/=10,(3 + y)y = 10,
и = 3.
^2+3z/-10 = 0,
J 91 = - 5, 1%=2, [%i = -2;[%2 = 5・
Ответ. (5; 2), (—2; —5).
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь выполнять упражнения, аналогичные упражнениям 27, 28.
Цель изучения параграфа — расширение представлений учащихся о возможностях применения способа подстановки при решении систем уравнений, знакомство с примерами решения систем, содержащих уравнения не только первой и второй степени.
Материал параграфа позволяет обобщить и систематизировать знания учащихся о способах решения систем уравнений в ходе выполнения практических заданий.
Решая задачи 1—4, учащиеся убеждаются, что способ подстановки достаточно универсален и используется в самых разных случаях и на разных этапах решения системы. На задачах 3 и 6 демонстрируются линейные преобразования систем, на задаче 5 — введение нового неизвестного, на задачах 3 и 4 — метод разложения на множители.
На данном этапе не вводится понятие равносильности систем уравнений, так как рассматриваемые преобразования приводят к равносильным системам, а формирование понятия равносильности трудно для учащихся основной школы.
Основное внимание следует уделить задачам 1 и 2. В зависимости от уровня математической подготовки класса задачи 3 и 4 либо решаются со всеми учащимися, либо рассматриваются в ознакомительном плане. Задачи 5—7 рекомендуется использовать для организации дифференцированной работы.
Материал параграфа можно распределить по урокам следующим образом: на первом уроке со всем классом рассмотреть задачи 1 и 2 и начать выполнять упражнения 31, 32 (1—4); на втором уроке закончить решения упражнений 31 и 32 (1—4) и ознакомить с задачами 3 и 4; на третьем уроке выполняются упражнения 32 (5, 6), 33, 48 (1), 49 (1). Для дополнительной работы используются задачи 5—7 текста учебника и соответственно упражнения 34—36, а также 778—779 (упражнение 34 выполняется после рассмотрения задачи 5, 35 — после задачи 6; решения упражнений 778—779 приведены в конце учебника).
В классе со слабой математической подготовкой достаточно всех учащихся ознакомить лишь с задачами 1 и 2, потратив на это 2 урока.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны научиться применять способ подстановки при выполнении упражне- чий 31, 32(1—4).
Решение упражнении
6,5,•1176,5,•1172) |%z + yz xy + yz xz + xy
6,5,•
117
6,5,•
117
I способ.
Сложив все уравнения системы, получим 2(xy+xz+yz)=38, откуда ху + xz + yz = 19. Отсюда, используя первое уравнение системы, получим ху + 16 = 19, ху = 3.
Аналогично из второго и третьего уравнений находим xz=4, "z=12. Таким образом, задача сводится к решению системы
ху= 3,
Р"12,(1)
xz = 4.
Перемножив уравнения этой системы, получим (xyz)2 = 122, откуда xyz = 12 или xyz = — 12.
Если xyz =12, то из первого уравнения системы (1) находим z=4, а из второго и третьего получаем х=1, у=3.
Аналогично если xyz = — 12, то х = — 1, у =— 3, z = — 4.
Ответ. (1; 3; 4), ( — 1; —3; —4).
II способ.
Вычтем второе уравнение из первого, получим xz — ху= 1. Полученное уравнение сложим с третьим 2%z = 8, xz = 4, откуда
4 п
х = —. Первое и третье уравнения системы примут вид
4 + yz=16,[yz= 12,
4+ 缠=7；= 3z,
так как zwO (следует из условия). В результате подстановки 33
«/ = — 2 получим — z2= 12, z2= 16, Zj 2 = ±4, откуда ух 2 = ±3, %2 = ±1・
36. 1)7 \ху36. 1)7 \хуОтвет. (1; 3; 4), (— 1; — 3; — 4).
36. 1)
7 \ху
36. 1)
7 \ху
Применим теорему, обратную теореме Виета:
z2 — 2a — За2 = О,.,2 = а ± V— + 3" = а ± 2а,Z] = За, Z? = — а.
[/ = 3а, (х2= -а, [91=一a；年2 = 3。.
Ответ. (За; —а); (—а; За).
2) [x—g = b, \xy = 2b2.
x — b + y, (b + y)y=2t^.
y2 + by — 2产=0,
"一6土迎2 + 862 • -b±3b
九 22
[y^-ЧЬ, \y2=b, [%i = —b; |x2=2fe.
Ответ. ( — 8; —28), (25; b).
Решение задач с подющью систем уравнени1Й§/4 ч)
Цель изучения параграфа —продолжение формирования умения решать задачи с помощью систем уравнений.
Задачи, предлагаемые для изучения в данном параграфе, отличаются от задач, которые рассматривались в VII и VIII классах, уровнем сложности систем уравнений, составляемых для решения задач. Задачи 1—3 параграфа, так же как и упражнения 37—44, требуют внимательной работы с текстом задачи (анализа условия и выбора способа решения). Если задачи 1—3 учебника, несомненно, легче решаются с помощью систем уравнений, то для решения упражнений 37——40 вполне можно составить одно рациональное уравнение и в зависимости от желания учащихся выбрать в качестве основного либо один, либо другой способ его решения.
Желательно подвести учащихся к обсуждению различных вариантов решения несложных задач (упражнения 37—41, 50, 51). Хорошо, если они сами придут к выводу о выборе удобного варианта решения каждой из рассматриваемых задач.
Как уже отмечалось выше (в рекомендациях к учебникам VII— VIII классов), решение задач целесообразно организовать таким образом, чтобы на некоторых уроках успеть обсудить и довести до составления систем уравнений как можно больше задач, оставив решение составленных систем для домашней работы.
Задачи можно распределить по урокам следующим образом: на первом уроке рассмотреть решение задач 1 и 2 текста учебника и выполнить упражнения 37, 38; на втором уроке разобрать задачу 3 текста и выполнить упражнения 39, 40, 42; на третьем уроке решить задачи 41, 43, 44. На всех уроках можно дополни-
тельно использовать задачи 50, 51, 58, 60, 61, а также 819, 820, 829, 832. Задания для домашней работы должны включать и упражнения из § 1—5.
Для актуализации знаний можно предложить выполнить (устно, полуустно или письменно — по усмотрению, учителя) следующие задания:
Разность числа а и другого числа равна 7. Найти другое число.
Площадь прямоугольного треугольника равна 16, один из катетов равен т. Найти другой катет.
Один оператор может набрать на компьютере текст за % ч, другой — за у ч (х > 1, g> 1). Какую часть текста они будут набирать за 1 ч при одновременной работе?
Одна труба может наполнить бассейн за % ч, другая опорожнить за у ч (% — у > 1). Какая часть бассейна наполнится за 1 ч их совместной работы?
Оформить решения задач можно, как уже говорилось выше, и с помощью пояснительных записей, и с помощью таблиц.
I способ.
Пусть х см — длина основания прямоугольника, тогда ? см — его высота. Периметр прямоугольника 2卜 +學)см, что по условию задачи равно 14 см, следовательно, 2|х + —I = 14. Решим уравнение:' •"'
2卜+凯儿
х + ~-= 7, |-х, %н0.
%2—7%+ 12=0,%] = 3, % =4.
Ответ. 3 см, 4 см.
II способ.
Пусть х см — длина основания прямоугольника, у см — его высота.
Тогда периметр прямоугольника равен 2(% +у), что по условию составляет 14 см, следовательно, 2(% + у)=14.
Площадь прямоугольника ху по условию равна 12 см2, т. е. 得=12.
Так как % н у в обоих уравнениях обозначают стороны одного прямоугольника, можно составить систему уравнений [2(% + у)=14, \ху=\2.
Решим систему
По теореме, обратной теореме Виета, z2 — 7z + 12 = О, Z[ = 3, z2 = 4.
Ответ. 3 см, 4 см.*
42.
Время работы (ч)
Объем ■ работы (усл. ед.)
Производительность труда (усл. ед./ч)
I ситуация
I рабочий
X
1
丄
X
II рабочий
У
1
丄
У
Вместе
12
1
1
II ситуация
I рабочий
丄•丄=X 丁 2
丄 2
丄
X
II рабочий
丄•丄=幺 2 ' у 2
丄 5
丄 У
Вместе
25
1
X y
Так как величины х и у одни и те же в обеих заданных ситу
Решим системуI способ.Решим системуI способ.х + у _ 1 ху 12' %+у=50.х + у _ 1 ху 12' %+у=50.ациях, можно составить систему уравнений
Решим систему
I способ.
Решим систему
I способ.
х + у _ 1 ху 12' %+у=50.
х + у _ 1 ху 12' %+у=50.
50 = _1_ 石一应， х = 50 — ^;50 = _1_ 石一应， х = 50 — ^;С讐50竺》；600=(50-у) у,
50 = _1_ 石一应， х = 50 — ^;
50 = _1_ 石一应， х = 50 — ^;
у2 — 50y 4- 600 = 0,
-1 = 30, ]% = 20,fx, = 20; к = зо.
II способ. [% + у = 50, ■ [ху = 600.
z2— 50z + 600 = 0, z, = 20, z2 = 30.
Ответ. За 30 ч, за 20 ч.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь выполнять упражнения, подобные 37—40.
44. I способ.
Решение упражнений
Запас овса (кг)
Количество лошадей
Ежедневный рацион (кг)
Расчетное время (дн.)
I 巾ерма
105ху
X
У
105
II ферма
(f/-l)(x+10)100
л+10
100
III ферма
(f/+3)(x-10)100
л-10
у+з
100
(105x^ = (i/- 1)(х+ 10)100,
[105x1/ = (у + 3)(х— 10) 100, так как количество заготовленного овса на всех фермах одинаково.
Решим систему >
(21х^ = (^-1)(х+10)20,
\21ху = (у + 3)(х- 10)20.
Перенесем все члены уравнений в их левые части, после чего сложим уравнения почленно. Получим 400" — 80х + 400 = 0, откуда % = 5у + 5. После подстановки выражения % через у в первое уравнение системы придем к уравнению у2 — 19f/ + 60 = 0, откуда 弘=15, % = 4 — не подходит, так как для лошади 4 кг овса на один день недостаточно.
Если у = 15, то х = 80.,
II способ.
Запас овса (кг)
Количество лошадей
Ежедневный рацион (кг)
Расчетное время (дн.)
I ферма
У
X
105%
105
II ферма
У
х+10
У
100(л + 10)
юо •
III ферма
У
х-10
g
100(%-10)
100
｛
丄 _ 1 _ У
105х100(х+10)'
105х100(х-10)'
Ответ. На I ферме 80 лошадей, суточная норма 15 кг; на II ферме 90 лошадей, суточная норма 14 кг; на III ферме 70 лошадей, суточная норма 18 кг.
На уроках обобщения и систематизации знаний можно использовать плакаты, подготовленные к урокам повторения. Теперь учащимся должно быть ясно, что они и в VII, и в VIII классах решали уравнения, которые называются алгебраическими, и уравнения, которые к ним сводились, путем преобразований или введением нового неизвестного. Целесообразно повторить и выписать методы решения алгебраических уравнений: разложение на множители способом группировки или деления многочленов; введение нового неизвестного.
Если не рассматривались возвратные уравнения, можно показать их теперь как яркий пример алгебраического уравнения, решаемого введением нового неизвестного.
При повторении систем уравнений следует также обратить внимание на основные методы решения систем: метод подстановки, алгебраического сложения, замены неизвестного, разложения на множители.
На этих уроках можно использовать упражнения 45, 46, 47, 48(2), 49(2), 52, 53, 56, 57, 59.
Контрольная работа № 1
Выполнить деление многочленов
(6/+ 19/+ 19%+ 6):(3%+ 2). К6*з-/-20%+ 12)：(2х-3).]
Решить уравнение
2%з + 3%2-8% + 3 = 0. [3%з-4/-5% + 2 = 0.]
Решить систему уравнений:
1) (%-{/= 14,(%2—/ = 8%；1) (%-{/= 14,(%2—/ = 8%；1)俨"=63,
1) (%-{/= 14,(%2—/ = 8%；
1) (%-{/= 14,(%2—/ = 8%；
\х + у = 7;
2) J红撑iZ"「2)产 + 包=5,
[底•历=1.L [反•齿=1..
Две автомашины, выехавшие одновременно из городов А и В навстречу друг другу каждая со своей скоростью, встретились через 6 ч. Первой машине, чтобы пройти "| пути от А до В, требуется на 2 ч больше, чем второй для того, чтобы пройти 靑 пути от В до А. За сколько часов проходит расстояние между Д и В каждая машина?
[Двое рабочих, работая одновременно, выполнили всю работу за 5 дней. Если бы первый рабочий работал в 2 раза быстрее, а второй — в 2 раза медленнее, то всю работу они выполнили бы за 4 дня. За сколько дней выполнил бы всю работу каждый рабочий, работая отдельно?]
Степень с рациональным показателем
В этой главе постепенно расширяется понятие арифметического корня от квадратного до корня любой натуральной степени, а также расширяется понятие степени числа от степени с натуральным показателем до степени с действительным показателем. Как это принято в математике, расширение понятий корня и степени осуществляется так, чтобы сохранялись их основные свойства. Это позволяет проводить вычисления и преобразования по уже известным правилам, а также обосновывать свойства степенной и показательной функций. Поэтому естественно определить степень
1
с целым отрицательным показателем равенством а~п = —, где п — натуральное число, а также равенством а° = 1, если а"0. Все это позволяет распространить известные свойства степени с натуральным показателем на степень с целым показателем.
Степень с рациональным показателем определяется формулой а普=V", где а>0, т — целое, п — натуральное число, 〃》2. Тем самым сохраняются все основные свойства степени, а также выполняется свойство а*=а需，где а > 0, т ——целое, п и k ——натуральные числа.
Свойства степени с рациональным показателем (а далее и с действительным показателем) формулируются и доказываются только для степени с положительным основанием. Однако некоторые свойства сохраняются и в случае, когда основание степени равно нулю, а показатель степени — положительное число. Например, свойство (aby = apbp выполняется при р>0, а》0, Ь>0.
Степень ар с рациональным нецелым или иррациональным показателем р определяется только при а > 0 ради выполнения основных свойств степени.
Следует показать, например, что если для а < 0 и нецелого т,
рационального числа р=— определить степень по формуле а普—\[а^,
то не будет выполняться свойство
a普=a紀
В частности, нельзя считать, что, (— 8)勺=V二8 = - 2, так как
丄=2§- 6,丄=2§- 6,26
丄=2
§- 6,
丄=2
§- 6,
но (-8F=V(-8)2 = 2.
Степень с иррациональным показателем поясняется на конкретном примере, так как строгое ее определение не предусмотрено школьной программой.
Важно только подчеркнуть, что степень с иррациональным показателем и положительным основанием обладает всеми основными свойствами степени.
Рассмотрение логарифмов числа проводится в ознакомительном плане; показывается, что с помощью калькулятора можно приближенно находить десятичный логарифм числа b > 0, т. е. корень уравнения 10'= 8.
Более подробно логарифмы чисел будут изучаться в старших классах.
Возведение в действительную степень неравенства можно проводить только тогда, когда обе его части положительны. Это используется при решении некоторых уравнений и неравенств, а также при изучении некоторых функций.
В результате изучения главы II все учащиеся должны знать 、определения корня натуральной степени и степени с целым показателем и уметь применять их при выполнении упражнений 70, 72, 73, 75, 76, 88, 90, 91, 120, 150.
Степень с натуральным показателем. Повторение (2/2 ч)
Цель предстоящих двух уроков — повторение материала, известного учащимся из курса алгебры VII класса, подготовка к введению понятия степени с целым показателем, изучению ее свойств.
Повторение свойств степени с натуральным показателем можно провести в ходе выполнения упражнений, постепенно выписывая используемые свойства в таблицу.
Задание
Свойства степени
1. Представить произведение в
ап-ат = ап+т
виде степени:
(—7)2・(-7)i5； 5-53-52;
23m. 2m • 2' 3rl .32〃 ・32.
а5-а14* а;
(—6)10.(一8)3.(-8)
2. Представить в виде степени
ай:ат=ай-т
частное:
137:134; (0,6)9：0,6;
а#0, п>т
х43:х14; а15:а; 214m:213m;
185&+1： 183A.
3. Возвести степень в степень:
(а")т=а”т
В)?；(閒'；
((-15)6)9； ((-2)з)з.
4. Представить в виде степени:
卜/丘。
З7 125 义卫(За )9 方；丁；产 98; (2a)9-
Упражнения таблицы могут быть выполнены устно, для письменного решения можно предложить следующие:
Вычислить:
23 + (-3)3-(-2)2 + (-1)5;2) 6(-2)3-5(-2)3-(-2)3.
Вычислить, предварительно упростив: 8-26-19-2\12-310+7-312
5 - 23 - 3 - 28 *-8-Зп + 313 *
6-28-9-28+3-292 -315-6- 3乂+ 10 ■ З13
4-2】。+4• 212-8• 2」；4) з“ + 7・ 310-5.312 .
Желательно, чтобы при решении упражнений учащиеся давали устные пояснения своим действиям. Важно, чтобы при умножении и делении степеней подчеркивалось, что основания степеней одинаковые, а при делении обращалось внимание на показатели степени делимого и делителя.
Целесообразно воспользоваться упражнениями учебника из раздела повторения курса алгебры VII—IX классов: 553, 554, 555, 559, 562, 566, 576, 585, 588. Дополнительно полезно решить задачи 760, 761.
Степень с целым показателеАГХ^Т^ч)
Цель изучения параграфа — ознакомление учащихся с определением и свойствами степени с целым отрицательным и нулевым показателями, обучение применению свойств степени с целым показателем для преобразования алгебраических выражений и вычислений.
Определение степени с целым отрицательным и нулевым показателями вводится, опираясь на свойство деления степеней с одинаковыми основаниями и натуральным показателем. Воспроизведение этих рассуждений от учащихся требовать не следует, целесообразнее уделить больше внимания вычислению значений степени с отрицательным показателем. Предупреждению ошибок в определении знака при возведении отрицательного числа а в степень —п (с отрицательным показателем) может послужить, в частности, строгое следование на первых этапах алгоритму:
записать число а~п в виде》
определить знак и значение степени а";
записать значение 靑.
Прежде чем переходить к изучению свойств степени, необходимо повторить запись числа в стандартном виде, чтобы применение свойств можно было рассматривать на примерах практических задач. Такие задачи имеются как в учебнике алгебры, так и в курсах физики и химии.
Изучая материал параграфа, учащиеся убеждаются в том, что известные им свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степени с целым отрицательным показателем. В учебнике доказывается справедливость свойства возведения в степень произведения. Другие свойства можно предложить доказать учащимся, интересующимся математикой, самостоятельно.
Распределение материала параграфа по урокам может быть, например, следующим: на первом уроке ввести определения и повторить стандартный вид числа; на втором уроке проверить усвоение определений и знание свойств степени с натуральным показателем и, познакомив со свойствами степени с целым показателем, начать их применять при вычислениях; третий и четвертый уроки посвятить выполнению упражнений и разбору задачи текста учебника, в конце четвертого урока провести небольшую проверочную работу.
Для устной работы на этих уроках можно предложить упраж
нения:
Вычислить:
—1 嗦;(凯；(4.105)2；(-2)3； 642： 43.
Сравнить:
售у и (一家 一(-4)2 и 0; 35.(9 Н 1;,閔 и (-2)3; G厂 и (_家；( — 4)—2 и о.
3.4.3.4.Найти число, обратное данному:
3.
4.
3.
4.
■• -л 7-金 1- А
3*О' %* у'
Представить выражение в виде степени: 江.史.必.J_
，'〃'机4，сЗ' /5・
5.5.Вычислить:Вычислить:(丁; (0,3)-*; (-2广；(-I)-3;(丁; (0,3)-*; (-2广；(-I)-3;3,1・10-2・2・103；3,1・10-2・2・103；1,5・10-1。・2・10-3； 3-1015- 2,3-10-14;瑛ЩV2,25・10-8； V5-2-5410-10.1,5・10-1。・2・10-3； 3-1015- 2,3-10-14;瑛ЩV2,25・10-8； V5-2-5410-10.
5.
5.
Вычислить:
Вычислить:
(丁; (0,3)-*; (-2广；(-I)-3;
(丁; (0,3)-*; (-2广；(-I)-3;
3,1・10-2・2・103；
3,1・10-2・2・103；
1,5・10-1。・2・10-3； 3-1015- 2,3-10-14;瑛ЩV2,25・10-8； V5-2-5410-10.
1,5・10-1。・2・10-3； 3-1015- 2,3-10-14;瑛ЩV2,25・10-8； V5-2-5410-10.
6. Представить в виде дроби:
%-2; 2》т с; 2с~1 匕；(％ + у)-2.
Проверить усвоение определений 1 и 2 и свойств степени с натуральным показателем можно с помощью, например, такого теста:
Вычислить З-2.
-9； 2) 1; 3) -|; 4) -27.^
Вычислить (/J .
1) 8; 2) -8; 3) I; 4) -|.
Записать в стандартном виде число 0,000463.
1) 4,63 IO—； 2) 0,463 ТО-、3) 4,63 • 10~4; 4) 46,3 • 10~5.
Представить ~ в виде степени с отрицательным показателем.
1)停Г； 2)闺т； 3) 2-4； 4) 2-3.
Представить в виде степени •号］
1) З2; 2) З6; 3) 3-1; 4) З5.
Найти значение выражения
閏•閏+"・閏•閏+"・D1'； 2)1 吉;3)击;4) 1 盡•、
閏•閏+"・
閏•閏+"・
По результатам изучения параграфа может быть проведена проверочная самостоятельная работа (на 20 мин).
2.2.а) ^^； б) Представить в женияа) ^^； б) Представить в жения3,6-Ю7 0,9-1019 '3,6-Ю7 0,9-1019 'a)a)виде степенивиде степени4-4.4-93,2-Ю124-12 * Г 4 -1014 'и найти числовое значение выра-4-4.4-93,2-Ю124-12 * Г 4 -1014 'и найти числовое значение выра-а-91―$——5 при а =—. а-2 - а-5 г 3а-91―$——5 при а =—. а-2 - а-5 г 3萨『прн「•萨『прн「•Вычислить:
2.
2.
а) ^^； б) Представить в жения
а) ^^； б) Представить в жения
3,6-Ю7 0,9-1019 '
3,6-Ю7 0,9-1019 '
a)
a)
виде степени
виде степени
4-4.4-93,2-Ю12
4-12 * Г 4 -1014 '
и найти числовое значение выра-
4-4.4-93,2-Ю12
4-12 * Г 4 -1014 '
и найти числовое значение выра-
а-91
―$——5 при а =—. а-2 - а-5 г 3
а-91
―$——5 при а =—. а-2 - а-5 г 3
萨『прн「•
萨『прн「•
3.3.Сравнить
3.
3.
(1,4・1。-2).(2・10т) и 0,003. [(3,1-10-1)・(3・10-2)и 0,009.]
4.4.Упростить
4.
4.
(а-2 -厅 2).(а-4 + a-2b-2 + 厅4)
[(а— - a~2b~l- qF-2 + 力-з)： (a~3b~3).]
В результате изучения параграфа все учащиеся должны
Арифметический корень натуральной степениАрифметический корень натуральной степенизнать определения степени с целым показателем и уметь применять свойства степени при выполнении упражнений 66, 68, 70—74.
Арифметический корень натуральной степени
Арифметический корень натуральной степени
Свойствал .
арифметического корня (2/3 ч) /
Цель изучения параграфов — ознакомление учащихся с понятием арифметического корня натуральной степени и его свойствами.
Арифметический корень натуральной степени и его обозначение вводятся по аналогии с арифметическим квадратным корнем. При этом сохраняются основные свойства корня: формулы для их произведения и частного, возведения корня в целую степень. Ес- тественно, добавляется и новое свойство V ш = Va. Эти же свойства определяют и правила действий над корнями; например, из равенства Vab = Va' ^ следует, что沥.近=痴.
Особо стоит вопрос об определении корня из отрицательного
числа и степени с отрицательным основанием. Рассмотрим возможные случаи.
Степень а" с целым отрицательным показателем п определяется для любого а。。，в том числе и для а < 0. Например:
（-3）-2 =再，（-2宀高T
Для корня четной степени Va, где k — натуральное число и а<0, вопрос решается также просто. Так как уравнение 炉后二。 при а<0 не имеет действительных корней, то считается,4что выражение 2氾 где а < 0, не имеет смысла. Например, выражение V—16 не имеет смысла, так как уравнение х4 = — 16 не имеет действительных корней.
2*+Ь-
Корень Va нечетной степени, где k — натуральное число, определяется для любого действительного числа а, в том числе и для а<0, так как уравнение 炉“』。имеет при а<0 действительный корень, причем' только один. Например, V- 27 = — 3, так как уравнение х3 = — 27 имеет единственный действительный корень % = — 3. Свойства этого корня для отрицательных чисел а отдельно не рассматриваются, так как он выражается через арифметический корень равенством2*Vo"=上Vj^[, и, таким образом, действия над корнями нечетной степени из отрицательных чисел сводятся к действиям над арифметическими корнями. Например, 一
一例•（一亜）=倔=2.
Отметим, что в дальнейшем обозначение корня нечетной степени будет использоваться для обозначения функции, обратной к функции g=%2A+i, которая возрастает на всей числовой прямой и поэтому является обратимой. Обратная к ней функция обозначается 一飞, она также определена и возрастает на всей числовой прямой.
Вообще с арифметическим корнем n-й степени учащихся следует ознакомить только для того, чтобы можно было ввести понятие степени с рациональным показателем и далее аргументированно говорить о степенной функции. Более детальное изучение темы, обучение преобразованиям выражений, содержащих корни п-й степени, относится к курсу математики старших классов. Поэтому оба параграфа, посвященные знакомству с этим понятием, рекомендуется изучать вместе в течение двух уроков по такой схеме: познакомить учащихся с теоретическим материалом § 8 и 9; разобрать из § 8 подробно задачу 1 и ознакомительно задачу 2; доказательство свойства, приведенное в § 9, и задачу этого параграфа можно либо дать в ознакомительном плане, либо предложить желающим прочитать по учебнику самостоятельно.
Для первичного закрепления определения и свойств корня п-й степени достаточно выполнить по выбору учителя задания из упражнений 87—92, 97—101, 103, 104, 106, 107.
В ходе выполнения этих заданий полезно повторять соответствующие свойства квадратного корня.
Дополнительно с учащимися, интересующимися математикой, ；можно решить задачи 111, 115, 116.
3 Если учитель сочтет возможным, в конце второго урока проводится самостоятельная работа на 10 мин, результат кото- [рой позволит выяснить, до какой степени можно опираться на знания учащихся при изучении следующей темы.
Вычислить
Vo,125-8-噂 + V^WOOO.
学+ %,001- +1681.
Упростить
臟沥+2隔.[3苗-北FM.]
В результате изучения параграфов все учащиеся должны знать определение арифметического корня n-й степени и уметь находить его значение при выполнении упражнений 87, 90, 91.
Степень с рациональным показателем )
•••••«|l«•*•••••4l••••••••<Ф«•••••••M*<■••••••••M*•<■•••••••l'•••<•••••■»•••••••••*•••••••••i•••••••••4••••••••<•)•••••••
Возведение в степень числового ^ неравенства (1/2 ч)一
Цель изучения параграфов — ознакомление учащихся с понятием степени с рациональным и иррациональным показателями и возведением в рациональную степень неравенств, у которых левая и правая части положительны.
Во введении к данной главе подробно изложены основные положения, которые легли в основу формирования понятия степени с действительным показателем. Материал § 10, а соответственно и опирающегося на него § 11 по программе не является обязательным для изучения в основной школе и будет подробно разбираться в старших классах. Однако представление об основных математических фактах, изложенных в этих параграфах, необходимо для дальнейшего изучения курса алгебры IX класса. В связи с этим рекомендуется разобрать материал § 10, 11 в ознакомительном плане. С этой целью можно прочитать лекцию, заранее подготовив плакаты, отражающие содержание, отмеченное в учебнике розовым цветом, а также рабочие листы с заданиями, кото-
рые учащиеся будут заполнять частично по ходу лекции, частично дома, прочитав необходимый материал по учебнику. Можно провести и традиционный урок ознакомления с новым материалом.
Заготовка рабочего листа для записи лекции может выглядеть, например, так:
Тема. Степень с действительным показателем
План. 1. Извлечение корня n-й степени из числа ат, если
———целое число.
Определение степени с дробным показателем.
Возведение в степень числа 0.
Свойства степени с рациональным показателем.
Представление о степени с иррациональным показателем.
Сравнение чисел.
Решение уравнений с неизвестным в показателе степени.
Ход лекции.
. Вычислить: 1) V^.
76 = (72)3, V?6 柄=7-.
V^ = V(5-з)4 =, VF^= 5-.
Определение степени с дробным показателем:
九一,
]б+=71ё^=^^=,
27
Выполнить упражнения 118, 119 (оставить для них место в рабочих листах).
0"=, где 〃 一 натуральное;
0-", где п — натуральное;
,где
,где
Для любых рациональных чисел р н q н любых а>0 и 厶>0 .рерны равенства:
1) aP・aqн.4) (ab)p =.
ар: ад =3".ар: ад =3".
ар: ад =
3".
ар: ад =
3".
Доказательство свойства ap-ag=s ap+q (предложить прочитать по учебнику дома и вписать на оставленное место).
Выполнить упражнение 121(1, 4):
4 il
1) 2亏・2亏=2,
丄互
4) 4з：4б=4
Введение степени с иррациональным показателем на примере 3电
.;1,4; 1,41; 1414, ....
3电 З1-4; 3-; 3-; 3-.
3^-4,7288044.
Выполнить упражнение 126(1, 4).
])22-3由.8在=22-3森•( 23 )僭=.
4)(51+乃p-四=5(i+历К1一历)=5-.
Если a>b>0, г>0, то ar br.
Если a>b>0, r< 0, то ar br.
(Доказательство можно не давать, показать лишь применение на примерах.)
丄 丄.
1) 2— Зз. так как 2—3, | _0.
1) (0,88廿_ 信广,так как 0,88—А, 1 —0.
2)⑶吋_(0.41Г \ так как ±- —0,41, -1 —0.
Задача 3 §11.
1(^= 1, x = 0. 丄1
1) 62х = 65 , 2% = ±;
3，=27, 3* = 3з,.
В результате знакомства с параграфами все учащиеся должны с помощью учебника или справочника выполнять упражнения 118, 119, 121, 126, 136, 137, 138.
На уроке обобщения, пользуясь подготовленными заранее плакатами, повторить все определения степени с различными показателями, сделать вывод о том, что положительное число можно возвести в степень с любым действительным показателем, и убедиться еще раз на примерах в применимости свойств степени для любого действительного показателя.
С этой целью выполнить упражнения 146—147, 149 (3, 4), 150.
Так как преобразование выражений, содержащих корень натуральной степени 〃>2, не входит в программу основной школы, то рекомендуется на этих уроках выполнить упражнения на преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Кроме упражнения 149 (3, 4), можно использовать несколько более сложные задания, такие, как 593 (3, 4), 594 (1,3) или 595. Дополни - тельно учащимся, интересующимся математикой, можно предложить упражнение 772 (1—3), решение которого имеется в конце учебника.,
Контрольная работа № 2—-
Вычислить:
5-8.510—7-375 +《扪 т僱厂)2 + 3-9 • 312-6-7 ： 6-9.
Упростить:
."夜У ； 2) (%т + рЗ)2_2рЗ.%т.
1)丄怨4竺";2) (%2-gT)2+2%2.yT.、
Сравнить числа:
1)儻 н(0,67)5; 2)(成 и (0,7)-2.
1)停У - (о*，2) (1 丁 и (0,б)-.
1-VaF ~b~ •1+Vzr11-VaF ~b~ •1+Vzr1Упростить выражение
1-VaF ~b~ •
1+Vzr1
1-VaF ~b~ •
1+Vzr1
(1 -2病V^7r+а》т):
[(% -吃 + 2 V%t 份 + 1):
Решить уравнение 28-х2=4х J3z2-15=9z J
Степенная функция
Этой главой завершается изучение функций, представленных в школьном курсе алгебры. Целью ее изучения является не только знакомство учащихся со степенной функцией, но и расширение известных им сведений о свойствах функций в целом. Так, при изучении степенных функций активно используется понятие области определения функции (для ранее изученных линейной и квадратичной функций ею является все множество действительных чисел).
Показывается, как аналитически устанавливается возрастание или убывание функции. Например, функция у = х3 возрастает на всей ■ числовой оси, так как из неравенства х, <х2 следует, что %；< 唠.Действительно,
%；_/ = (%]- x2)(xf+ %]%2 + 硝=(%1 — %2)(卜 1 + у)2 + 計'< 0.
При этом такие выкладки должны приводиться на простых примерах и иллюстрироваться графиком.
Симметричность графиков обобщается в свойствах четности и нечетности функции.
Здесь же рассматриваются новые виды уравнений и неравенств, содержащих степени или корни.
При определении степенной функции у = W, где г — заданное число, следует иметь в виду, что ее свойства зависят от того, какими числами являются основание и показатель степени. Например, функции д = /, р = %з определены при всех х, но множество значений функции у = х2 — множество неотрицательных чисел, а множество значений функции у = х3 ——множество всех действи
тельных чисел; функция у = х~1 = — определена при %工0, множество ее значений уКО."
Нужно иметь в виду, что функции g = V^ и д = % также называют степенными, так как也=%豆，注=х3 при %》0.
Однако, например, функции р = \^н у = х3 различны, так как первая из них определена при всех значениях х, а вторая только при х>0.
Детальное изучение функции У^~ объясняется ее практическим значением, а также ее особым графиком — гиперболой.
При А>0 и х>0 эта функция выражает обратную пропорциональность величин, известную учащимся из курса арифметики.
Основным способом решения иррациональных уравнений является возведение этих уравнений в целую степень. При 4этом могут появиться посторонние корни, значит, проверка является обязательной частью решения.
Рассмотренные в этой главе неравенства решаются с применением свойства возрастания или убывания функций.
В результате изучения главы III все учащиеся должны уметь строить графики простейших степенных функций, выявлять их свойства (аналитически и графически) при выполнении упражнений 208, 209(3, 4), 210(1, 2), 213, 214, 215 и из рубрики «Проверь себя!».
Область определения функции (3/3 ч)
Цель изучения параграфа — повторение сведений о функциях, известных учащимся из курса алгебры VII—VIII классов; обучение нахождению области определения функции, заданной формулой или графиком.
В данном параграфе впервые явно формулируется определение функции, начинает активно применяться термин «аргумент», упоминаются линейная и квадратичная функции. Повторение функциональных понятий курса алгебры VII—VIII классов играет существенную роль при изучении новой темы, поэтому имеет смысл подготовить наглядный материал, позволяющий организовать повторение при изучении как данного параграфа, так и всех последующих.
По ходу изучения нового материала такие пособия (общие и индивидуальные) должны пополняться. Например, пока учащиеся не знакомы с областью определения, четностью, в соответствующих этим понятиям записях имеется пропуск, который заполняется после введения соответствующего термина.
Линейная функция g=hx+b
Область определения:
Функция принимает значение:
При 々＞0 возрастает,
при 々＜0 убывает на всем множестве действительных чисел.
尸b（A0“
Рис.
25
Функция y=kx
при х＞0, у＞0 и 々＞0 — прямая пропорциональность.
Функция y=kx, ,
так как
々（一х）==Т%・
J
1
0 i-
Рис. 26
С помощью таблиц повторяется известный учащимся материал о функциях. При изучении данного параграфа целесообразно повторить определения функций, способы их задания с помощью формулы и графика, расположение графиков в зависимости от первых коэффициентов.
Для повторения использовать упражнения 156, 157 учебника.
Понятия области определения и графика функции ввести в соответствии с текстом параграфа. Необходимо обратить внимание учащихся на то, что в учебнике VII класса, давая определение графика функции, не упоминали того факта, что абсциссы строящихся точек равны «значениям независимой переменной из области определения этой функции».
Квадратичная функция у = ах2 + Ьх + с, а*0
Область определения:
1. Функция у = ах2 (6 = 0, с = 0)\I/
при а>0:\/
возрастает при х》0;\ I/у—ах
убывает при х<0;\/ (q>0)
^>0 при всех х;/—
наименьшее значение у = 0 при %=0;0х
функция у = ах2, так как'
а (г У = а%2.
Рис. 27
Функция д = а%2 传=0, с = 0) приуА
а<0:Т
возрастает при х《0;
убывает при х》0;тЦг►-
\2 X
^<0 при всех X；/ \у=ах
наибольшее значение у = 0 при х = 0;/ I \(@<0)
функция 〃 = а%2, так как/\
а(-# = ах2.1\
Рис. 28
2. Функция у = ах2 + Ьх + с:叫 y=ax+bx+c
a) D = b2-4ac>0.\;(а>0)
При а>0 возрастает при %》％,[[/
где %0=-五;убывает при %《％;п/
д>0 при х<х., х>х9, где х. н 修一 1 \/_
нули функции;0 Л ； /х2 х
д<0 при х.<х<х2.〃 1 \Jy
Наименьшее значение 妬二虫与).I:
Рис. 29
Квадратичная функция у =
ах2 + Ьх + су а#0
При а < 0 возрастает при %《％, где х0=——; убывает при «>0 при %]<х<%2，г〃е % н % — нули функции; " у<0 при х<хр л>х2.
1 у=ах+Ьх+с (а<0)
Наибольшее значение у0= у(х0).
；^о \ х
1\
1\
11
11
/11
1
Рис. 30
б) D = b2 — 4ас = 0.
При а>0 возрастает при х》х0, где %=—五；убывает при 尤《％; у>0 при к#%.
Наименьшее значение у = 0 при
1 у=ах+Ъх+с (Q>0)
0
产0X
Рис. 31
При а<0 возрастает при %《％, ь
где %=-五；убывает при х>х0;
”0 при х"%
У/
0
1 у=ах+Ъх+с
；(а<0)
Наибольшее значение у = 0 при х = х0.
Г
F
>ис. 32
Квадратичная функция у =
=ах2 + Ьх + с, а#0
в) D = Ь2 — 4ас < 0.
При а>0 возрастает при х>х0, где %=一右；убывает при %《％; у > 0 при всех действительных значениях %.
Наименьшее значение yQ = у (х0).
斗 у=ах+Ъх+с
Рис. 33
При а<0 возрастает при х<х0, где %=—五；убывает при х》％; у<0 при всех действительных значениях X.
Наибольшее значение у0 = у (%).
叫 y=ax+bx+c (о<0)
а
Рис. 34
Выполняя задания на нахождение области определения функции по’ формуле, учащиеся должны обязательно начинать ответ со слов, приведенных в начале решения каждого пункта задачи 1 текста параграфа.
Прежде чем рассматривать решения задач 2 и 3 текста параграфа, рекомендуется повторить соответствующий материал VIII класса по таблице, изображенной на рисунке 35. При этом задание может быть таким: записать уравнения парабол, полученных сдвигами графика функции у = х2. Рисунок 35 можно будет использовать и в дальнейшем: при изучении § 13 — полностью, § 14 — рисунки а, г, д, е, ж, § 15 — полностью.
На первом из трех рекомендуемых уроков целесообразно повторить материал VIII класса, связанный с понятием функции, и ввести понятие области определения; решение задач на отыскание области определения частично перейдет на второй урок, основой
которого могут быть решения задач 2 и 3 текста параграфа; третий урок посвятить решению задач и провести небольшую проверочную работу.
В качестве устных заданий на этих уроках можно использовать следующие:
Решить неравенства:
Зх< 0; Зх — 2 > 0; — * + 1《0; / < 4； /》9.
При каких значениях х имеет смысл выражение:
5х; 4х-2; 3炉 + 4; !； -^Tg ; Vx; V—%;丘？
Функция р = р(х) задана таблицей:
X
-3
-1,5
0
1
2
4
У
—8
-2
1
4
8,5
10
Принадлежат ли числа — 4; — 1,5; 8,5 области определения этой функции?
Основными при изучении параграфа являются упражнения 157——160, дополнительно можно использовать задания 161, 163 и 800(1, 2).
Самостоятельная работа
Найти область определения функции:
у = %2 —3; 2) у = х3 + х2— 1;
3)У = ^ГГ5 ； 4) у = V%2 - 4% + 3.
) у =/+2%； 2) у=%4 + %2+1；
3)У = 7^1ё； 4) p = W%-2)(%+3).]
2. Построить график функции
•，А X
Рис. 37
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать определение функции и уметь находить область определения функции при выполнении упражнений 158, 159 (считая, что в заданиях 2, 3 и 4 даны корни квадратные).
Решение упражнений
4) Используя график функции у = 1 — 2%, построить графики функций у = |1—2х| и у = —|1—2用.С помощью сдвига вдоль оси Оу построить график функции г/ = 1 — 11 — 2х| (рис. 36).
Найдем нули функции у — х и у = х — 2. Точки Xj = 0, х2 = 2 разбивают числовую ось на три промежутка (рис. 37). “
Функция у —\х\ + \х — 2\ = —х —х + 2 = — 2х + 2 при х<0; у = =|х| + |х — 2| = х — х + 2 = 2 при 0《％<2; у = |%| + |х — 2| = % + % — —2 = 2х — 2 при х》2.
На каждом из промежутков строим график соответствующей функции (рис. 38).
Возрастание и убывание функции (2/3 ч)
Цель изучения параграфа — ознакомление с поведением степенной функции в зависимости от показателя степени и формирование умения устанавливать промежутки возрастания и убывания функции, заданной аналитически.
При изучении параграфа учащиеся знакомятся с понятием степенной функции и на конкретйых примерах выявляют область ее определения.
Учителю следует иметь в виду, что подробно степенная функция будет изучаться в старших классах, здесь же рассматриваются лишь ее частные случаи, остальное ——в ознакомительном плане.
На данном этапе изучения степенной функции важно, чтобы все учащиеся осознали, что знакомые им функции у = х, у — ^,
у = — и некоторые другие являются степенными. Для этого имеет
смысл рассмотреть такую таблицу:
Степенная функция
1
1 V = _
g =保
g = x
y = x2
g=奴
Показатель степени и
п = —2
и = — 1
〃=皮
n = 1
〃 =2
Используя эту таблицу, выяснить область определения каждой функции и напомнить свойства уже известных функций (у = х, р = %2)по пособию, подготовленному к изучению предыдущего параграфа, если это необходимо.
С возрастанием и убыванием линейной и квадратичной функций учащиеся знакомы и могут выявить характер изменения этих функций по графику. Сформулировав строгое определение функции, возрастающей и убывающей на промежутке, можно предложить учащимся аналитически доказать, что функция у—^ возрастает на промежутке %》0. Затем познакомить их с общим выводом о возрастании степенной функции у = хг на промежутке х> О при г> 0. Для этого придется напомнить материал § 11. Однако следует иметь в виду, что возрастание и убывание функции р=%г в общем виде рассматривается лишь в ознакомительном плане.■
От учащихся требуется усвоить результат рассуждений и суметь его применить при выполнении упражнения 165, дополнив его функциями у = х5, у = х8, у = х-3.
Рассуждения о характере возрастания функций ^ = Vx и -3.
у = %2, убывания функции у = ~= и изображении их графиков также даются лишь в ознакомительном плане с активным использованием рисунков 4 и 5 учебника.
Желательно, чтобы учащиеся могли, сравнив показатель степени с 0 и 1, изобразить эскиз графика соответствующей функции (упражнение 166 (4)), дополнив его функциями у = #, у — х7, Р = %-2.
При этом важно, чтобы в результате собственных рассуждений школьники пришли к выводу, что график любой степенной функции обязательно пройдет через точку (1; 1).
Решение задачи 1 текста учебника позволяет на конкретном примере показать справедливость общего вывода о положительных значениях функции у = хг при г>0 и х>0. Задачу можно за- 丄
менять более простой: решить уравнение х3 = 27. Суть задания не изменится, но будут исключены возможные трудности применения свойств корня натуральной степени.
Решение задачи 2 желательно предложить учащимся, интересующимся математикой, для самостоятельного изучения заранее, чтобы на уроке они могли помочь учителю в роли консультантов при выполнении упражнения 217.
Материал параграфа рекомендуется изучать в соответствии с текстом учебника. На первом уроке рассмотреть теоретический материал до задачи 1 и упражнения 164, 165, 209, 166, дополнительно 171; на втором уроке ознакомить учащихся с задачами 1, 2 и выполнить упражнения 167, 168, 217(1, 2), 169 (по желанию), дополнительно 170, 800(3, 4).
J В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать определение возрастающей (убывающей) функции и уметь выполнять упражнения типа 165.
Решение упражнений
2) Пусть х2>х1>0. Покажем, что у(х2)<y(xx) на промежутке %》0.
Рассмотрим разность】】
贝%2)一贝%1)=而-尹 =
¥+ 1 一 境一1m一4_ (%一*2)(%1 + *2)
=例 + 1)併+1)=(右+1)(*+1)=(年+1)国+ 1) • s
Так как х2>х, то (修—х2)<0; так как х2>х,>0, то (%〔 + х2)>0, х^+1 >0, *+1>0. Следовательно, у(х2) — у(х1)<0 и у(х2)<у(х1),
1
т. е. при х >0 функция у =炉+ ] является убывающей. Аналогично доказывается, что функция возрастает на промежутке х <0.
Пусть %2>%i》l・ Покажем, что у(х2)>у(х1). Рассмотрим разность
贝%2)一贝%1)=(戏-3%2)-(咛-3%1)=
=(月一%：)-3(%2-%1)= (%2-%1)(耳+ %/2 + 解-3).
Так как %2>%i，т0 %2一/>°・ Так как x2>x, >1, то xl + x{x2 + + %；》3 и Xg+ xix2 + -^i ~3>0. Следовательно, у(х2) — у(х1)>0 и у(х2)>у(х1).
Пусть %2>%i》l・ Покажем, что у(х2) >у (xj. Рассмотрим разность
贝%2)-贝%1) = (% - 2返)-(%]-2叫)=% - %i - 2返 ++ 2痛=(%2-％1)-2(苗-Vx^) = ((Vx^)2 - (Vx^)2) - 2(Vx^ - Vx^)==(仇—Vj^)(Vj^ + V^") — 2(仇—V^")=(仇—\^)(仇 + 丘 1 — 2).
Так как х2>х{ и функция y = Vx возрастающая при х> 1, то 立2-立\ >0. Так как х2>х1 > 1, то Vj^》1 и Vx,》1, т. е. V^ + + Vx, >2 и (V^" + Vj^ — 2)》0. Следовательно, у(х2) — у(х1)>0 и У(х2)>у(х{).
Аналогично доказывается, что функция убывает на отрезке 0《％《1.”
и нечетность функции (2/2 ч)
Цель изучения параграфа — ознакомление учащихся с понятиями четности и нечетности функции.
К определениям четной и нечетной функций учащимся придется часто обращаться в основном в старших классах. Здесь происходит первое знакомство с этими понятиями на наглядном уровне (можно использовать рисунок 36). Желательно, чтобы учащиеся могли применять определения при выполнении упражнений 172, 173, обосновывая ответы.
В тетрадях учащихся могут быть сделаны следующие записи: 173. 3) У(Х)=Х4+Х2, р( —%) = (—%)4 + ( —%)2 =。+ %2, у( —%)= =у(х) для всех х, значит, функция у = х4 + х2 четная.
1111
6)1 способ. р(%)=7й，У(~х)= jz^H =т^ =-777,
1 g(%)Wp(-%), у(х)^-у(-х), т. е. функция」(％)=帀 не является ни четной,, ни нечетной.
II способ. Область определения функции у = ^у не содержит точку %= —1, но содержит точку %=1, поэтому эта функция не является ни четной, ни нечетной.
Учащиеся должны уверенно строить график функции у = х3 и перечислять свойства этой функции. Задача 2 текста учебника изучается в ознакомительном плане, но сильным ученикам желательно уметь изображать график функции у;毎 и понимать отличие функции р =仮’от функции у = л (см. введение к главе III).
Понятия четности и нечетности фактически заменяют учащимся ранее знакомые им понятия симметрии графиков функций относительно оси Оу или начала координат. Поэтому после знакомства с понятием четности можно показать схематическое изображение графиков функций у = х&,у = х8 (не изучая свойства этих функций). Аналогично можно поступить и после введения понятия нечетной функции, схематически изобразив графики у = х5, у = х7. После этого следует выполнить упражнение 174(1—3) (упражнение 174(4) выполняется по желанию учителя после ознакомления с задачей 2).
В качестве устных упражнений на этих уроках можно исполь
зовать следующие: 228
Назвать число, противоположное данному: 7; —3, 1; —; —0; 1; 0.8
Найти значение функции у(х) = х2 при х = 1; —1; — 2; 2; 3; —3; а; — а.
Найти значение функции у(х) = х при % = ±1, ± 2, ±3, +а.
Назвать координаты точки, симметричной точке 4(—1; 3); 8(1; — 3); С( — 1; — 3); 0(1; 3) относительно: а) оси ординат; б) оси абсцисс; в) начала координат.
Дана функция: 1) у(х) = 2х+ 1; 2) у(х) = х2 + х; 3) у(%) = =х3 + х2; 4) у(х) = 2|%|. Найти у( — х).
1
Найти область определения функции: у = х^ + Зх; р=%2；
р = %з-2%； р= р =、％-3; у = Н; у = Е 、
Материал параграфа изучается в соответствии с текстом учебника, причем на первом уроке изучается весь теоретический материал и выполняются упражнения 172—174, дополнительно 180; на втором уроке выполняются упражнения 175—176 (при наличии времени — 177—178), дополнительно 181 —183, 800(3, 4); проводится проверочная самостоятельная работа на проверку усвоения первых трех параграфов главы.
Самостоятельная работа(тест с выбором ответа на 10 мин)
Промежуток х > — 1 является областью определения функции У(%)：
♦(%) = %+1; 2)у(х)=+；
Цель изучения параграфа — ознакомление учащихся с функцией у = — при различных значениях А; обучение построению % k
графика функции у = —, чтению этого графика.
А
Функция у = — при А > 0 обладает теми же свойствами, что и ,,k
функция у = ,, поэтому н изучение функции У = ] начинают с изучения функции у = —, рассматривая ее как степенную функцию у = х~х.т[
В задаче 1 для построения графика функции ^ = — используются все свойства функции, изученные в предыдущих параграфах.
22
При построении графиков функций У = ~ н ' = —применяется уже знакомое учащимся из курса VIII класса растяжение графика функции ^ = — от оси абсцисс в 2 раза. Затем с помощью гра- %k
фиков формулируются свойства функции У~~ при А >0 и А< 0.
Уже знакомое учащимся понятие прямой пропорциональности, которое они изучали в VII классе, дополняется понятием" обратной пропорциональности, часто встречающимся, например, при изучении законов физики:
V(p) = — (V——объем газа, р ——давление, k — коэффициент пропорциональности).
р
p(S) = — (р — давление, S — площадь, F — сила).
/(f) = ^ (/ — сила тока, f — время, q — заряд).
/(R) = ^ (/ — сила тока, R — сопротивление, U — напряжение).
Материал параграфа по урокам можно распределить, например, таким образом: на первом уроке изучить задачи 1 и 2, выполнить упражнения 184—186; на втором уроке познакомить с понятием обратной пропорциональности, решить задачу 3 и выполнить упражнения 188—189, обсудить задачи на применение обратной пропорциональности, подобранные учениками, дополнительно решить задачу 190; на третьем уроке выполнить упражнение 187, разобрать задачу 4, дополнительно выполнить
упражнения 191 и 800(5, 6), после чего предложить самостоятельную работу с проверкой в классе.
Построить график функции
4 Г4
^(Х)= р(х) = -.
Найти область определения функции.
Выяснить, при каких значениях аргумента значения функции положительны; отрицательны.
Сравнить —-5) и //(1); р(2) и —6).
Выяснить, является ли функция возрастающей (убывающей) на промежутках х > 0, х< 0.
Решить графически уравнение
4Г 4[
=_%+].— = х— I
%」、
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать свойства функции у = — при ^ > 0 и 力 < 0, уметь строить график
Ах
функции У = 1 при конкретных значениях k.
Решение упражнений
60 км/ч =弓 м/с~ 16,7 м/с. Так как а = —, то а = =嚅《1,86 (м/с2).
Центростремительное ускорение а(г)=— при увеличении радиуса уменьшается, так как ускорение а(г) и радиус г находятся в обратной пропорциональной зависимости.
Неравенства и уравнения, содержащие степень (5/5 ч)
Цель изуч е н и я параграфа — обучение решению простейших иррациональных уравнений и неравенств с использованием свойств степенной функции.
Материал параграфа позволяет показать практическое применение свойств степенной функции при решении уравнений и неравенств. Решения задач 1 и 2 опираются на свойства степенной функции с натуральным показателем. Подробные рассуждения по ходу решения каждого неравенства, как это сделано в тексте учебника, позволят избежать формального запоминания алгоритма решения подобных неравенств.
Если ученику легче решать неравенство, пользуясь наглядными представлениями, можно рекомендовать ему находить решения неравенств после изображения эскизов графиков соответствующих функций. Действительно, при решении неравенства %2*+1^а (AwN) ученик выявляет область определения функции у =炉卜+1 и непосредственно пользуется свойством возрастания функции на всей числовой оси. Рассуждения для решения неравенства, в котором фигурирует степень с четным показателем, потребуют от учащихся больших усилий, здесь и будет особо полезен эскиз графика функции у = х2*, AeZ. По ходу решения неравенств повторяется и вычисление корня натуральной степени. Запись решения неравенства в тетради может быть такой:
4) х3< 125.
Область определения функции у = # ——все действительные числа.
х3= 125, х == ^125, х = 5.
х3< 53 прц х< 5 (рис. 39), так как функция у = х3 возрастающая.
Ответ. х<5.
6) х4>625.
Область определения функции у = х4 ——все действительные числа.
%4 = б25, х = ± ^625, % = ± 5.
При х<0 функция убывает, т. е. х4>54 при х< —5.
При х>0 функция возрастает, т. е. х4>54 при %>5 (рис. 40).
Ответ. х< — 5, х>5.
В задаче 3 напоминается графический способ решения уравнений, при этом применяются свойства возрастания и убывания функции. Так как при решении уравнений бывает полезно предвидеть количество корней уравнения, то после разбора задачи 3 текста учебника можно выполнить упражнения.
Сколько корней имеет уравнение: 99
—~ = — х2 + 4х — 4; 2) — — = 4 — х2?
Решить задачу 213 двумя способами: аналитическим и графическим.
Запись решения упражнений может быть такой:
4) у = Н, 9 = j
Приведем аналитическое решение: % = —, % NO, % = -^, х4 = 1, х =± 1 •§%久
Функция у =衣 нечетная, возрастающая на всей области определения (рис. 41).
X
0
1
8
У
0
1
2
Функция У = ~ нечетная, убывающая при х<0 и при х>0.
X
1
2
У
2
1
丄
5
Ответ. х=± 1.
В задачах 4 — 7 рассматриваются решения иррациональных уравнений. Следует учесть, что более подробно эта тема изучается в старших классах. Тогда же вводится понятие равносильности уравнений. В задаче 4 показывается возможность появления постороннего корня, а его выявление осуществляется с помощью проверки. Рассуждения, которые приводятся в задаче 4, знакомы учащимся. Следует напомнить, что предположение о том, что % является корнем уравнения, дает возможность применить свойства верных числовых равенств и получить способ решения уравнения. В данном параграфе демонстрируется основной способ решения иррациональных уравнений — возведение в одну и ту же степень обеих его частей.
Материал параграфа по урокам можно распределить так: на первом уроке повторить свойства степенной функции, разобрать задачи 1 и 2 текста учебника и выполнить упражнения 192—193, 200; на втором уроке решить задачу 3 и аналогичные ей, выполнить упражнение 213; уроки с третьего по пятый посвятить решению иррациональных уравнений и провести небольшую проверочную работу.
Вариант оформления решения иррациональных уравнений фактически приводится в задаче 5. Однако можно использовать и более лаконичную запись решения:
4) У2х-1=3, (怎二Т)2=32, 2х- 1 =9, 2х= 10, х = 5.
Учащиеся должны устно пояснить, что проверку делать не следует, так как левая и правая части исходного уравнения неотрицательны.
Ответ, х = 5.
199. 2) Vx2+x-6 = x- 1, (Vx2+x-6)2 = (x- I)2, / + % — 6 = / — 2% + 1, 3% = 7,7V =一 3"199. 2) Vx2+x-6 = x- 1, (Vx2+x-6)2 = (x- I)2, / + % — 6 = / — 2% + 1, 3% = 7,7V =一 3"Проверка. Если х = (, то Vx2 + % — 6 =Проверка. Если х = (, то Vx2 + % — 6 =4[713： %t=L4[713： %t=L4,4,44443' 33' 3
199. 2) Vx2+x-6 = x- 1, (Vx2+x-6)2 = (x- I)2, / + % — 6 = / — 2% + 1, 3% = 7,
7
V =一 3"
199. 2) Vx2+x-6 = x- 1, (Vx2+x-6)2 = (x- I)2, / + % — 6 = / — 2% + 1, 3% = 7,
7
V =一 3"
Проверка. Если х = (, то Vx2 + % — 6 =
Проверка. Если х = (, то Vx2 + % — 6 =
4[71
3： %t=L
4[71
3： %t=L
4,
4,
44
44
3' 3
3' 3
с7
Ответ, jc =—.
3) x+V13-4x =4, (V13-4%)2 = (4-%)2, ，13-4x = x2-8x+16,
%2 — 4x + 3 = 0,
%I = 1, %2 = 3.
Проверка. Если x. = 1, то % + V13 —4x = 1 + V13 — 4 = 1 + 3 = 4, 4=4.
Если %2 = 3, то % + V13 — 4% = 3 + V13 — 12 = 3+1 = 4, 4 = 4.
Ответ. % = 1, x2 = 3.
Кроме устных упражнений учебника, перед решением иррациональных уравнений можно выполнить следующие:
Вычислить:
При каком значении х верно равенство: VF= 4; Vx =仮'=0； 2仮'=12?
Решить уравнение:
%2 = 25; / = — 36; 4х2 —1=0;
%2 = ~^； %2-0,16 = 0； X2 = 3.
Является ли верным равенство:
乃豆=-4; V169 = 13?
Кроме упражнений учебника, можно использовать следующие:
Решить уравнение:
V9 - 4х = 3;2)V2x+ 1 = - 1;
V/ + 2 = 3% — 4;4)V2x — 1 = х — 2;
№ + 24 = VHx;6)Vx2 + 4x = VH^x.
Дополнительно, кроме упражнений 205—207, использовать 781 (3, 4) и, например, такие:
Решить уравнение:
V29-Vx+10 = 5;2)真0 + 3后/=5;
_з.八 з _ 1
+ VxX *)V2x+1 底.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь решать простейшие иррациональные уравнения типа 196—198 и неравенства, содержащие степень, аналогичные 192.
Решение упражнений
1) Возведем обе части уравнения V4 4-Vx = V19 — 2 Vx в квадрат:
4 + Vx"= 19 — 2 Vx", 3 仮'=15, VF = 5, x = 25.
Проверка показывает, что % = 25 является корнем исходного уравнения.
Ответ. % = 25.
5) V5x +11 >х + 3.
I способ. 1) Если % + 3 >0, то обе части неравенства можно возвести в квадрат (см. § 11, с. 57):
(V5x+11)2>(% + 3)2,
5х + 11 >х2 + 6х + 9, х2 + х-2<0, (х + 2)(х - 1)<0, -2<х< 1.
Таким образом, исходное неравенство выполняется при х > — 3 и — 2<х< 1 (рис. 42), т. е. при — 2<х< 1.
Если х 4- 3 < 0, то левая часть неравенства не определена. Поэтому исходное неравенство при х< — 3 не имеет решений.
Ответ. — 2 <х< 1.
-3 -21
Рис. 42
II способ основан на графической иллюстрации с предвари
тельным решением уравнения V5x +11 =% + 3.
6) V% + 36%+ 1.
Рис. 43Рис. 43I способ. В одной системе координат строим графики функций у = Vx + 3 и у = х+1 (рис. 43), решаем уравнение
Рис. 43
Рис. 43
Vx + 3 = % + 1, х + 3 = х2 + 2х + 1, х2 + х — 2 = 0, %] = — 2, х2 = 1.
Проверка показывает, что % = — 2 — посторонний^ корень.
График функции у = V% + 3 лежит не выше графика функции g = %+ 1 при х> 1.
II способ. 1) При х + 1 <0 неравенство не имеет решений, так как W + 3 не может быть меньше отрицательного числа, как арифметический корень.
При х+ 1>0, т. е. при х> — 1, должно выполняться неравенство (Vx + 3)2《・(％+ I)2, т. е. х + 3<х2+2х+ 1, от写да%< — 2 их> 1.
Ответ. х> 1.
Пусть ВО = х (рис. 44). Так как КО = 50 см по условию
задачи, то
5昭=炉 + 2500, ВК-ВО = —2 + 2500 - %.
Запишем неравенство Vx2 + 2500 — х<2 в виде V%2 + 2500 < 2 + %. По смыслу задачи 2 + % > 0, поэтому обе части последнего неравенства можно возвести в квадрат:
(V%2+ 2500)4 (2+ х)2,
откуда х2+ 2500《4 + 4% + 炉，
4%>2496, %》624.
Ответ. Расстояние должно быть не меньше 624 см.
На уроках обобщения и систематизации знаний следует повторить свойства степенной функции, с которыми учащиеся познакомились по ходу изучения главы при рассмотрении конкретных функций р = %2, р = %3, у =保 у = %, у = %т, у =— (при различных значениях /). Дополнить эти примеры функциями y = xG, ^ = х10, р = %7, р = %5. Вывод о свойствах степенной функции при любом действительном показателе сделать лишь ознакомительно и не заострять на нем внимание. Использовать упражнения 208, 211, 212, 214—216, 217(3, 4), 218, дополнительно 219—222.
Контрольная.работа № 3
Найти область определения функции:'
1)" = -Г；2)好苗中
^ = ^7；2)y = V^^.
丄」4「6]
Построить график функции у(х) =у(х) = - и найти:
у(-2) ®(—3)];"*」
значение %, при котором значение функции равно 8 [ — 12];
промежутки, на которых у(%)>0 [^(х)<0];
промежутки возрастания, убывания.
Выяснить, проходит ли график функции ^ = х — 1 [у = х3+ 1 ] через точку М (— 2; — 17) [6( — 9; — 7)].
Элементы тригонометрии
В соответствии с изменением программы по математике в основной школе существенно сокращается время изучения элементов тригонометрии. Детально этот раздел рассматривается в старших классах. В основной школе предполагается лишь несколько расширить круг сведений о синусе, косинусе и тангенсе угла, известных учащимся из курса геометрии; в частности, нужно познакомить учащихся с определениями синуса, косинуса и тангенса действительного числа.
Напомним, что в геометрии рассматриваются углы, лишь не большие развернутого. В этой главе вводится понятие угла любой величины (как положительного, так и отрицательного). Это связано с тем, что рассматриваются углы, получаемые поворотом трч- ки координатной плоскости вокруг начала координат (угол считается положительным, если поворот осуществляется против часовой стрелки, и отрицательным — если по часовой стрелке).
При этом учащиеся знакомятся с новой для них мерой угла — радианной, названной так потому, что за единицу принимается центральный угол, дуга которого равна радиусу. Но тогда из известной учащимся формулы длины окружности 2成 следует, что полный угол содержит 2л радиан (или 360°), развернутый угол содержит л радиан (или 180°) и т. д. Так как л~3,14 ——действительное число, а наименование «рад» обычно опускают, то получается, например, что мерой полного угла можно приближенно считать действительное число 6,28, а мерой развернутого угла —— число 3,14 и т. д.
Если радиус окружности равен единице, то синус и косинус угла поворота а являются соответственно ординатой и абсциссой точки MKcos a; sin а). Таким образом, cos а н sin а — это действительные числа, записанные в особой форме, которая удобна при изучении тригонометрических функций.
Числа sin a, cos а и tg а обладают рядом интересных свойств, применение которых позволяет выполнять преобразование некоторых выражений, решать уравнения и неравенства. Таковы, например, свойства sin( — а) = — sin а, cos(—а) = cos а, sin2 а + cos2 а = 1.
Часть этих свойств рассматривается в основной школе, а остальные —в старших классах.
Отметим, что в этой главе пропедевтически рассматриваются простейшие тригонометрические уравнения sin / = 0, cos / = 1 и т. п., которые решаются с помощью единичной окружности. В учебнике для обозначения неизвестного используется буква f вместо привычной %. Это объясняется тем, что при решении уравнений отыскиваются углы поворота точки окружности, а также для того, чтобы не путать обозначение неизвестного с абсциссами точек окружности.
В учебнике предусмотрено первоначальное знакомство с тригонометрическими функциями у = sin х, у = cos %, у = tg х.
Детальное изучение этих функций в старших классах требует умения находить значения чисел sin %, cos %, tg % для допустимых значений х с помощью таблиц, калькулятора или их свойств.
§ 24, 25 могут не изучаться всеми учащимися.
В результате изучения главы IV все учащиеся должны иметь представление о радианной мере угла, знать определения синуса, косинуса и тангенса числа, их простейшие свойства и применять их при выполнении упражнений 336—341.
Цель изучения параграфа — ознакомление учащихся с числовой окружностью и радианной мерой угла.
Для большинства учащихся традиционно сложным даже на наглядном уровне является установление соответствия между точками числовой прямой и точками окружности. Методический прием «наматывания» нити, изображающей числовую прямую, на окружность единичного радиуса призван помочь учащимся осознать, что каждой точке прямой найдется соответствующая точка на окружности. Таким образом, каждому действительному числу найдется место на числовой окружности, но только в точке окружности «придется поселиться» бесчисленному множеству действительных чисел. Как именно пойдет это «расселение», учащиеся узнают на следующем уроке.
Осознанное восприятие числовой окружности в дальнейшем будет способствовать формированию понятий синуса, косинуса, и тангенса действительного числа.
Знакомство с новой единицей измерения углов опирается на известную из курса геометрии теорему о том, что мера дуги окружности равна мере центрального угла, опирающегося на эту дугу. Так как точке прямой с координатой 1 ставится в соответствие точка М окружности, меру дуги РМ{ естественно принять за 1, так же как и меру центрального угла POMV который на нее опирается.
Важно обратить внимание учащихся на то, что в определении угла в 1 радиан речь идет об окружности произвольного радиуса и длине дуги, равной этому радиусу. Целесообразно попросить их объяснить, почему для определения угла в 1 радиан длина радиуса не имеет значения (до этого рассуждения о выборе единичного угла они проводили для окружности единичного радиуса).
Изображение двух или трех концентрических окружностей, радиус одной из которых равен 1, предотвратит ошибки учащихся в формировании понятия и числовой окружности, н радианной меры угла.
1) л рад — 180°,% рад — 30°,1) л рад — 180°,% рад — 30°,冗• 30° л откуда х = - = -;冗• 30° л откуда х = - = -;Не следует требовать заучивания формул перевода радиан в градусы и обратно. Желательно, чтобы учащиеся поняли их смысл и запомнили радианные меры часто встречающихся углов. На самом деле для практического использования при переводе углов из одной меры в другую достаточно запомнить соотношение л рад = 180° и при необходимости составлять пропорции, записывая их так:
1) л рад — 180°,% рад — 30°,
1) л рад — 180°,% рад — 30°,
冗• 30° л откуда х = - = -;
冗• 30° л откуда х = - = -;
л рад — 180°,
兀0
《•рад — /°,
J л
■г *180°откуда ―-— = 60°,
180°
х = —^― = 60 .
На данном уроке важно рассмотреть задачи 1 и 2 и соответственно упражнения 223—227. Задачи 3 и 4 дать в ознакомительном плане, подчеркнув значение формулы / = aR при R = 1 для применения радианной меры в науке и технике.
Упражнения 225 и 226 способствуют преодолению формально- го усвоения понятия радиана, когда числа 虱，弓，手冗 ассоциируются у учащихся только с углами и не осознаются как действитель- ные числа с определенной целой и дробной частями. Выполнение зтнх упражнений должно сопровождаться устными обоснованиями. Если учитель почувствует, что учащимся недостаточно предложенных в учебнике упражнений, их можно дополнить, например, заданием сравнить числа 2л и 6,3; ^л и 4,75 и т. д.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать определение радиана и выполнять упражнения 223—224.
координат (2/3 ч)координат (2/3 ч)Поворот точки вокруг начала
координат (2/3 ч)
координат (2/3 ч)
Цель изучения параграфа —формирование понятий поворота точки единичной окружности вокруг начала координат на угол а и ознакомление с тем, как с помощью этого поворота устанавливается соответствие между множеством действительных чисел и точками единичной окружности.
При изучении параграфа учащиеся продолжают знакомство с числовой окружностью, но теперь эта окружность помещается на координатную плоскость так, что центр окружности совпадает с началом координат. Так как радиус окружности равен 1, ее называют единичной. Важно, чтобы учащиеся не воспринимали единичную окружность как нечто новое: это та же числовая окружность, что рассматривалась на прошлом уроке. Координатная плоскость поможет «расселить» числа на окружности, точно определить место нахождения каждого. Прием, выбранный для «расселения» чисел,——поворот точки вокруг начала координат —— вполне согласуется с наглядными представлениями о «наматывании» числовой оси на окружность.
Формирование понятия поворота должно идти без торопливости, строго в соответствии с текстом параграфа и с активным использованием рисунков 18—24, которые можно продублировать на настенном плакате или кодопленке.
Материал параграфа можно распределить так: изучив на первом уроке всю теорию, на втором решить задачи 234—239, 241, 242, либо следующим образом: на первом уроке изучить теорию в соответствии с текстом учебника до задачи 2 и выполнить упражнения 234, 235, 241, на втором уроке ознакомить с задачей 2 и выполнить упражнения 237, 238, 242, 243. Так как подробное изучение тригонометрии предполагается проводить в старших классах, то выполнение упражнений 239—243 может быть предложено только учащимся, интересующимся математикой, или всему классу в ознакомительном плане.
Прежде чем вводить понятие поворота точки вокруг начала координат, целесообразно повторить материал предыдущего параграфа, используя, например, следующие упражнения:
Найти радианную меру угла 30°; 45°; 60°; 90°; 150°.
На окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1:
построить угол с вершиной в начале координат, если одна
из его сторон совпадает с положительным направлением оси Ох, л л ТС ТС
а угол имеет радианную меру 冗；-;—;у；
установить, где приблизительно может находиться точка В дуги АВ, если Л (1; 0), а длина дуги равна 1; 2; 3; 4; 5;
назвать радианную меру угла, опирающегося на каждую из дуг, перечисленных в задании 2.
Естественно, возникает вопрос: что это за угол, радианная мера которого 4; 5? Для этого вводится понятие Поворота точки вокруг начала координат. Здесь необходимо обратить внимание учащихся на то, что, говоря об угле, мера которого больше л рад, мы не вступаем в противоречие с определением угла, известным из курса геометрии. Имеется в виду, что угол поворота не геометрическая фигура, а мера угла. Примеры поворотов, приведенные в учебнике, целесообразно дополнить следующими:
При повороте точки Р (1; 0) на угол 3,5 рад получается точка, которая расположена в третьей четверти, т. е. имеет отрицательные абсциссу и ординату (冗 < 3,5 <-|-тс).
При повороте точки Р(1; 0) на угол 7 рад точка совершит полный оборот, т. е. пройдет путь 2л— 6,28 рад и еще прд!цвннет- ся по дуге, длина которой меньше у ~ 1,57 рад, т. е. будет расположена в I четверти. В этой же четверти будет расположена точка, которая прошла путь 13,1 рад, так как она совершила два полных оборота и путь, меньший четверти оборота, т. е. мень- те
Подобные примеры полезны для усвоения последующего материала, связанного с определением и изучением свойств тригонометрических функций числа. Кроме того, они готовят к выполнению заданий 239, 240.
Чтобы помочь учащимся лучше усвоить использование единичной окружности, полезно решить такие, например, задачи:
Найти несколько чисел (углов поворота) а, если а = а0 + +2л^, AeZ, где а。= ?; а0 = —
Точка М единичной окружности получена в результате поворота точки Р(1; 0) на угол а, 0<а<]. Показать на единичной окружности расположение точки, полученной поворотом точки Р на угол л — а; л + а; ^— а; 方+а; а —л; а —^.
Точка М единичной окружности получена в результате поворота точки 戶(1; 0) на угол а, — 5<а<0. Показать на единичной окружности расположение точки, полученной поворотом точ-
冗7С
на угол л - а; тс + а; --а; -+ а; а-л; а--.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать расположение и координаты точек единичной окружности, полученных поворотом точки Р(1; 0) на углы 2л^, ^+ 2nk,冗+ 2冗々， •|тс + 2тсА, keZ, и уметь определять Знакн координат точки, соответствующей данному действительному числу и полученной поворотом точки Р(1; 0) на заданный угол.
Определение синуса, косинуса и тангенса угла (2/3 ч)
Цель изучения параграфа—введение определений синуса, косинуса, тангенса произвольного угла; обучение нахождению значений тригонометрических функций углов, кратных
Определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса вводятся для произвольного угла, но полезно уже сейчас обратить внимание учащихся на то, что произвольный угол выражается соответствующим действительным числом радиан, поэтому можно говорить об определении синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа и соответственно о тригонометрических функциях числового аргумента (в конце параграфа).
Детальное изучение свойств тригонометрических функций в старших классах будет опираться на те свойства чисел, которые в этом курсе рассматриваются и обосновываются с помощью единичной окружности. При изучении материала данного параграфа учащиеся узнают, что sin а и cos а определены для любых действительных значений а, а их значения не могут по модулю быть больше единицы. В неявном виде учащиеся также знакомятся с областью определения и множеством значений функций у = tgx, У = ctgx."'
С помощью единичной окружности находятся значения тригонометрических функций углов р тс; 2л; —л и т. д., а по значениям ±1 и 0 функций отыскиваются соответствующие значения аргумента. В данном курсе решение тригонометрических уравнений не является обязательным для всех учащихся, но учитель должен показать решение уравнений, аналогичных предложенным в упражнении 249 (см. введение к главе).
Материал параграфа можно изучать следующим образом: на первом уроке ввести определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса и выполнить упражнения 244—247; на втором уроке решить простейшие уравнения, ознакомить с тригонометрическими 243
функциями, выполнить упражнения 248, 250, 338, 251 (возможно, 249 и дополнительно 252), самостоятельно 246 (5, 6), 251 (1, 2).
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла а и уметь находить значения sin a, cos а, tg а, ctg а для а = 0; 士 兀；田兀；27t.
Знаки синуса, косинуса и тангенса (1 燃 ч)
Цель и зуч е,н и я параграфа — формирование умений определять знаки значений тригонометрических функций при различных значениях аргумента.
Приступая к изучению материала параграфа, учитель должен убедиться, что учащиеся хорошо понимают, как располагаются числа на единичной окружности, и знают определения синуса, косинуса, тангенса угла а. Этому поможет самостоятельная работа, которую желательно проверить в классе, после чего перейти к изучению нового материала:
Вычислить: a) sin — cos л; б) tg л 4- sin-| к.
[a) sin л + cosб) cos |^ л — tg 2л.]
В какой четверти расположена точка, полученная поворотом точки Р(1; 0) на угол, равный:
〉；у л; -~к 367°? л;一丹тс; -380°?]
Какие знаки имеют абсцисса и ордината точки, полученной по-
7 Г 5
воротом точки Р(1; 0) на угол — л? —л?
Наибольшие трудности у учащихся вызывает определение знака тригонометрической функции, если угол выражен рациональным числом, как это предложено в упражнении 259. Решение хотя бы одного из заданий этого упражнения желательно рассмотреть подробно.
2). Так как а = 3, ^<3<冗(л~3,14), то числу а соответствует точка II четверти. Следовательно, sin 3 >0, cos 3 < 0, tg 3 < 0.*
Полезно для предстоящего изучения формул приведения выполнить упражнение 260. Задачи 261—266 можно рассматривать как дополнительные и со вс论мн учащимися класса не решать. 244
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь определять знаки тригонометрических функций угла а, ес
ли 0<а<2л.
Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла
Тригонометрические тождества (第3文.
Цель изучения параграфов — формирование умений находить значения тригонометрических функций одного и того же аргумента по заданному значению одной из них и ознакомление с приемами доказательств тригонометрических тождеств.
Центральное место в изучаемой теме должно занимать основное тригонометрическое тождество и его применение при вычислении значений тригонометрических функций и простейших преобразованиях тригонометрических выражений.
Не следует требовать от учащихся заучивания наизусть формул 4——7. Ученики, интересующиеся математикой, могут вывести эти формулы самостоятельно.
При изучении темы желательно активно использовать учебник как для самостоятельной работы, так и при фронтальной работе под руководством учителя. Если основное тригонометрическое тождество выведет учитель, то решение задач 1 и 2 можно разобрать по учебнику и применить при выполнении упражнения 267(1, 2). ” “ 一
Формула зависимости между тангенсом и котангенсом одного аргумента может быть выведена учащимися самостоятельно после повторения определений tga и ctga, но справедливость полученного равенства для всех awy, AeZ, учителю необходимо пояснить. Для этого достаточно воспользоваться единичной окружностью: отметить точки, соответствующие числам, для которых не существует тангенс и котангенс. Вывод зависимости между тангенсом и косинусом, синусом и котангенсом может быть рассмотрен учащимися по учебнику самостоятельно, после чего выяснить у учащихся, вновь используя единичную окружность и определения, как они поняли, при каких значениях а верны полученные равенства.
При выполнении упражнений к § 21, 22 целесообразно устно намечать план решения и только потом записывать решения. Уже на этом этапе изучения тригонометрии важно постепенно приучить учащихся прогнозировать свою деятельность при выполнении преобразований и доказательстве тождеств.
В этом параграфе впервые дается определение тождества как равенства, справедливого для всех допустимых значений а. На данном этапе обучения при доказательстве тождеств можно не требовать от учащихся нахождения допустимых значений углов: важно показать применение изученных формул для доказательства несложных тождеств. Более глубокое формирование умений и навыков доказательства тригонометрических тождеств предполагается в старших классах.
При рассмотрении тригонометрических тождеств следует иметь в виду, что основными способами доказательств тождеств являются: преобразование одной части тождества в другую; преобразование каждой из частей к одному и тому же выражению; установление того, что разность между левой и правой частями тождества равна нулю.
Изучение материала § 21 и 22 можно провести следующим образом: на первом уроке вывести основное тригонометрическое тождество, решить задачи 1 и 2 из § 21, вывести формулы 4—7 и рассмотреть материал § 22 до задачи 4, а на втором уроке по учебнику рассмотреть задачи 3—6 из § 21 и выполнить упражнения 267—268, 277—280, провести анализ условия и обсудить план решения задач 270, 273, дополнительно можно использовать задания 274, 275, 284, 285.
В качестве устных упражнений в начале первого урока можно предложить такие:
Найти абсциссы точек, принадлежащих окружности с центром в начале координат н R = 1, если эти точки имеют ординату 0,8.
Принадлежат。(一李圖Принадлежат。(一李圖Дана окружность с центром в начале координат и R = l. ЛИ ей точки 4 偿-В (0,3; 0,7), С
Принадлежат。(一李圖
Принадлежат。(一李圖
Определить знаки значений
571
sin 190°; cos 275°; tg—тс; sin — л; cos —; tg 6.,
Сравнить значения выражений
sin 3,8 и sin 0,25; cos 2,1 и cos 0,75.
(Дополнительно.) Решить уравнение sin 2х = 0.
В результате изучения этих параграфов все учащиеся должны знать основное тригонометрическое тождество и уметь его применять при выполнении таких упражнений, как 267, 268.
Решение упражнений
tg а+3 _ _tg а—5tg а+3 _ _tg а—53) Так как tga = 2, то since，。，cosaWO. Разделив чис
tg а+3 _ _
tg а—5
tg а+3 _ _
tg а—5
литель и знаменатель дроби на cos а, получим
1) Так как sin а + cos а =七，то (sin а 4- cos а)2 = -^-, (sin а + cos а)2 = sin2 а + cos2 а + 2 sin а cos а = 1 + 2 sin а cos а, откуда 2 sin а cos а =—彳，sin а cos а =—百.
sin3 а + cos3 а = (sin а + cos а) (sin2 а — sin а cos а + cos2 а)= = -(l-sinacos a) = 5(l+w)F
Если sin a — cos a = 0,6, to sin2 a — 2 sin a cos a + cos2 a = =0,36, откуда sin a cos a = 0,32.
(cos3 a — sin3 a) = (cos a — sin a) (cos2 a + sin2 a 4- sin a cos a)= =0,2 (1 4- sin a cos a).
Так как cos a — sin a = 0,2, to sin a cos a = 0,48 (см. задачу 284), cos3 a — sin3 a = 0,2 (1 + 0,48) = 0,296.
Синус, косинус, тангенс углов а и —a (1/1 ч)
Цель изучения параграфа—ознакомление учащихся с возможностью установления связей между одноименными функциями аргументов, имеющих противоположные значения.
Материал параграфа изучается в ознакомительном плане. Учащиеся рассматривают формулы (1) и (2) в ходе объяснения учителя или по учебнику. На основании этих формул в старших классах, вводится понятие четности и нечетности тригонометрических функций. Применение формул рассматривается при выполнении упражнений 287, 288, возможно 289.
На этом н последующих уроках учащимся можно предлагать к выполнению карточки с заданиями, которые помогут проверить знание материала предыдущих параграфов.
Карточка I
Что называется углом в 1 радиан?
Выразить: а) в радианах углы 160°, 54°; б) в градусах
2 17 углы — л, — л.
3*. Шлифовальный камень имеет форму диска и помещен в защитный кожух. Диаметр камня 48 см. Длина дуги незащищенной части камня, имеющей форму сектора, равна 72 см. Найти площадь незащищенной части камня.
Карточка II
Сформулировать определение синуса угла а.
з
Какой знак имеет синус угла а, если а = —л; а= — а = 1140°?
3*. Доказать тождество
sin2 a cos2 a = 1.sin2 a cos2 a = 1.(1+迎2a+談)
sin2 a cos2 a = 1.
sin2 a cos2 a = 1.
Карточка III
Сформулировать определение косинуса угла а.
Найти значение косинуса угла а, если sin。=粤 и
Л3
— <а<п.
3*. Доказать тождество
(1、+ tg2 а + -J^) sin2 а cos2 а = 1.
Карточка IV
Сформулировать определение тангенса угла а.
Какой знак имеет tg а, если а= 1,5л; а = — 3,6л; а = 705°?
3*. Решить уравнение
cos2 2х — tg (— 2х) = tg 2х ctg 2х — sin2 2х.
С этой же целью можно провести тест с выбором ответа:
Дано: a=cos 270°. Найти значение а:
а = 0; 2) а=1; 3) а = - 1; 4) а =.
Найти значение выражения sin у - cos
1)李 2) I； 3) I； 4).
Найти четверть, в которой расположен угол а, если sin а>0, a cos а< 0:
1) I четверть; 2) II четверть; 3) III четверть; 4) IV четверть.
Из перечисленных ниже чисел найти положительное:
sin 1; 2) cos ( — 3); 3) tg 2; 4) ctg 5.
Из указанных пар чисел найти такую, что одно из чисел — значение sin а, а другое — значение cos а:
1) 1 и -1; 2) I и ^|; 3) 1 и 1,1; 4) I и I，
Из перечисленных чисел а найти такое, которое равно sin а, если л<а<^л и cosa = ^:
1) а=-際；2) а=，； 3) а = (； 4) а = — ^-.
Упростить выражение (sin а — 1)： cos2 а:
) sin2 а; 2) 1; 3) —1; 4) tg2 а.
Формулы сложенияФормулы сложенияВ результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь использовать формулы 1 и 2 при выполнении упражнений типа 287.
Формулы сложения
Формулы сложения
Синус и косинус двойного угла (1/1 ч)
Цель изучения параграфов — ознакомление учащихся с формулами сложения и двойного угла, а также с их применением в простейших случаях.
Материал этих параграфов не является обязательным для изучения в основной школе, и учитель вправе не рассматривать его. Однако в старших классах будут полезны даже первичные навыки применения формул, которые рассматриваются в этих параграфах.
Рекомендуется прочитать лекцию по материалу обоих параграфов, исключая задачу 6* из §24 и задачу 3 из §25. Доказательство теоремы сложения на уроке можно не проводить, предложив прочитать его по учебнику тем, кто пожелает. Но об идее доказательства этой теоремы полезно рассказать, используя рисунок 33 учебника или его увеличенную копию. Предварительно можно решить задачу, которая поможет понять учащимся принцип доказательства теоремы.
Задача. Найти расстояние между точками Л и В единичной окружности, соответствующими числам а = у и 0=—亲
Решение. АВ = V(.—々尸十(山 一％产,力(cos 余 sin -^
(cos (~ б)； sin (~i))'
=2 =《OS f - COS I)2 +(sin 尹 Sin 詳=伎-圖2 +
+ 传+3=2, AB』
После рассмотрения задач 1 и 2, 4 и 5 из §24 можно выполнить упражнения 293, 294, 295, 298. Задачу 3 оставить на следующий урок. После задач 1, 2, 4 из §25 выполнить упражнения 308—310. Остальные упражнения параграфов можно предложить учащимся, интересующимся математикой, для самостоятельной работы.
Формулы приведения (七/2吋)
Цель изучения параграфа — ознакомление учащихся с некоторыми формулами приведения и формирование первичных умений применять их при вычислениях.
С некоторыми формулами приведения учащиеся уже знакомы из курса геометрии. Формулы sin (а + 2тс/г) = sin а, cos (а + 2л/г) = =cos а,左 eZ, появляются как результат поворота точки Р (1; 0) на угол а + 2冗左，k^ Z, а формулы sin (冗一а) = sin а, cos (冗一а)= =—cos а выводятся с использованием формул сложения. Если учитель не счел возможным рассмотреть § 24, то эти формулы можно вывести, используя рисунок 34, 6 учебника, заменив угол 30° на угол а, а угол 150° соответственно на угол тс — а.
В задаче из § 24 с помощью формул сложения были выведены формулы sin (у — aj = cos а и cos 伎一a卜 sin а. Если § 24 не изучался, эти формулы можно вывести, используя знание геометрии. Другие формулы приведения и общее правило их применения будут изучаться в старших классах.
Все формулы могут быть выведены учителем, а их применение для вычислений целесообразно рассмотреть учащимся по учебнику. После задач 1—4 текста достаточно выполнить упражнения 323—326, по возможности 330 (1, 2). Дополнительно можно предложить выполнить упражнение 332.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь применять формулы приведения при выполнении упражнений типа 323, 324.
Решение упражнений
332. I способ. Используются формулы сложения.
II способ. 1) и 2) Пусть РОМ^а (рис. 45,а). РОМ2 = ^+ а, Af]N[丄 Qr, M2N2JL Oy. ЮМ、Ni =垃飙硏2 по гипотенузе и острому углу, значит, NXMX = M2N2, CW, = CW2, но ON2 соответствует ординате точки М2, ON、— абсциссе точки Мр 他乂 соответствует ординате точки Мр 川2他—абсциссе точки М2, т. е. sin (冷+a) = cos a, cos 份 + a) = - sin a.，
3), 4) Пусть POM^a (рис. 45,6). POM2 = ^n-a, MXNA-Ox, М^12А_Оу. Далее аналогично задачам 1 и 2.2
Рис. 45
Ввиду того что материал, с которым учащиеся познакомились в IX классе, является пропедевтикой курса тригонометрии X класса, не предусматривается часовая контрольная работа. Таким образом, обобщение знаний можно провести, используя половину урока перед контрольной работой.
На этом уроке можно использовать рисунки 21, 25—27, 30, 31, 32 и рисунок на с. 99 учебника или их увеличенные копии.
Упражнения рекомендуется выполнять лишь обязательного уровня: 337, 339—341, 345. Дополнительно можно использовать упражнения 347—348.
Контрольная работа № 4 (на 20 мин)
Вычислить cos а и tga [sin а и tgа], если sin а = ^ и 0<а<- cos а = —— и —< а< л .
Найти значение выражения:
2 sin 30° - cos 150° + tg 120°;
sin (一号 + tg 专-cos (-可.
[1) 2 cos 60°-sin 135°+tg 150°;
sin (~-|) +tgy—cos (~7)-1
Сравнить с нулем значение выражения
sin -| л • cos 250° • tg 3 冗•卜也"I 冗 cos 230° tg 普.
Прогрессии
Цель изучения главы — знакомство с понятием последовательности, способами ее задания, подробное рассмотрение особых последовательностей ——прогрессий.
С различными последовательностями учащиеся уже не раз встречались: натуральный ряд чисел, последовательность квадратов чисел, последовательность четных чисел и др. Последовательности получались также при вычислении приближенных величин с точностью до 0,1; 0,01; 0,001 и т. д.
В учебнике определение последовательности не дается, а поясняется на конкретных примерах. Последовательность рассматривается как некоторый упорядоченный (занумерованный) набор чисел.
Понятие последовательности находит широкое применение и в дальнейшем: при определении степени с действительным показателем, при введении понятия определенного интеграла и др.
Арифметическая и геометрическая прогрессии определяются традиционно рекуррентными формулами. Можно было бы определить прогрессии формулами их общих членов, а из них получить рекуррентные формулы.
Например, определив арифметическую прогрессию формулой ап= al + (n — I )d, получаем ай+1 = % + (n + 1 — 1 )d = % +(〃 — 1 )d + + d = a“ + d.
Названия прогрессий мотивируются их характеристическими свойствами, выделенными в тексте учебника. *
Формулы общих членов прогрессий выводятся индуктивно. Их строгое доказательство можно было бы провести методом математической индукции, рассмотрение которого не предусмотрено программой. Заметим, что если прогрессии определить формулами их общих членов, то потребность в доказательствах отпадает.
Вывод формул суммы п первых членов прогрессий обосновывается свойствами верных числовых равенств.
Из всех геометрических прогрессий выделяются бесконечно убывающие, которые определяются дополнительным условием ]g|< 1. Эти прогрессии играют большую роль в математике и ее приложениях.
При рассмотрении таких прогрессий на наглядно-интуитивном уровне вводится важное математическое понятие предела последовательности как числа, к которому стремятся ее члены при неограниченном возрастании их номера п, т. е. при п—>оо. Такое понимание предела используется при выводе формулы суммы бесконечно убывающей прогрессии.
Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется в старших классах, например, для обращения бесконечных десятичных периодических дробей в обыкновенные.
В результате изучения главы V все учащиеся должны иметь представления о последовательностях и способах их задания, знать определения и основные свойства арифметической и геометрической прогрессий, применять их при выполнении упражнений 447, 448, 451, 452, 457, 458, а также из рубрики «Проверь себя!».
Числовая последовательность (1/2 ч)
Цель изучения параграфа——ознакомление учащихся с понятием числовой последовательности и способами ее задания.
Понятие последовательности определяется с помощью знакомого учащимся натурального ряда чисел, также являющегося последовательностью. Поэтому изложение материала на уроке следует начать, как и в учебнике, с рассмотрения натурального ряда чисел. На начальном этапе изучения темы соответствие натуральных чисел и членов последовательности можно иллюстрировать стрелочками, например:
2, 3, 4, .... п, 〃 + …
J J J J J J
4, 9, 16, ..., *(〃+ 1)2,…
Это поможет учащимся осознать тот факт, что индекс 〃 указывает номер члена ап. Явное определение понятия последовательности не приводится, а его смысл разъясняется на примерах. Также на примерах показывается запись гг-го члена последовательности и задание последовательности рекуррентным способом.
Чтобы обеспечить восприятие рекуррентного способа задания последовательности, сначала полезно на примерах разъяснить запись предыдущего и последующего членов. Это можно сделать, например, с помощью таких заданий:
Дана последовательность ар а2, ..., ..., а10, ..., ап, ….Записать для этой последовательности члены, предыдущие для а10 и о,; последующие для а10 и ап.
Записать числа в порядке возрастания:
〃一1, 〃+1,几一2, 〃 + 2, п, где 〃eN.
Члены некоторой последовательности ап+1, ап_2, ап, ап+2, а〃_] записать в том порядке, в котором они должны располагаться в этой последовательности.
На этом уроке значительное внимание следует уделить выполнению упражнений 362, 364, 365. Желательно, чтобы запись решения сопровождалась устным комментарием. В тетради может быть следующая запись:
2) % = * — 2〃 — 6. Пусть а“ = 2, тогда 2 = / — 2〃 — 6, от^да 〃2 — 2〃 — 8 = 0,
n12=l±Vl+8=l±3,
〃i = 4, 〃2 = —2 — не является решением, так как номер п должен быть числом натуральным.
Ответ. & = 2.
Дополнительно на этом уроке можно выполнить задания 369, 370.
В результате изучения параграфа каждый учащийся должен иметь представление о числовой последовательности и уметь выполнять упражнения 361—365.
Арифметическая прогрессия (3/3 ч)
Цель изучения параграфа —ознакомление учащихся с арифметической прогрессией, формирование умений использовать ее характеристическое свойство и формулу 〃-го члена при решении задач.
Изучение параграфа рекомендуется вести в соответствии с текстом учебника. Как объем, так и уровень доступности теоретического материала дают возможность организовать работу учащихся дифференцированно с большой долей самостоятельности. При этом полезно решение задач 1—5 текста одним учащимся предложить выполнить полностью самостоятельно, другим ——самостоятельно разобрать готовое решение по учебнику, а третьим —с помощью учителя разобрать задачи либо по тексту, либо оформляя решение на доске.
Система упражнений к параграфу также позволяет организовать дифференцированную работу с учащимися на всех трех уроках.
Учащимся, интересующимся математикой, полезно решить задачи 388, 389, в которых фактически требуется доказать обобщенные свойства членов арифметической прогрессии.
Характеристическое свойство арифметической прогрессии закрепляется при решении задачи 385. Прежде чем выполнить эту задачу, полезно рассмотреть такие, например, задания:
1)2)1)2)Найти пятый член арифметической прогрессии, если: a4 = 3, %= 7;
1)
2)
1)
2)
a4 = - 2, a6 = - 8.
Найти:
1 )a5+%+a7，еслиa6=11；
а. + а(. + а7, если а. + а7=\0.
Материал параграфа можно распределить по урокам следующим образом: на первом уроке в ходе дифференцированной работы разобрать весь материал параграфа; второй и третий уроки можно провести в форме практикума, используя, кроме упражнений к параграфу, задачи к главе и ко всему учебнику (в конце книги).
Можно распределить тот же материал иначе: на первом уроке разобрать материал параграфа до формулы м-ro члена и выполнить упражнения 371—373, частично 508, 450, также приведенные выше упражнения 1 и 2 этого пособия; на втором уроке решить задачи 2 и 3 текста параграфа и выполнить упражнения 374— 378, 383—385, дополнительно 388; на третьем уроке — задачи 4 и 5, упражнения 379—382, 386, дополнительно 387, 389, 808, 809.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать определение арифметической прогрессии и уметь выполнять упражнения 372—374, 379—380.
Решение упражнений
1ак как «^15 мин, d=10 мин, а ап = 1ч 45мин = 105мин, то 105 = 15 + 10(п-1), 10/г = 100, 〃 = 10.
^n-i^^\ + (〃 — /— 1 )d = tij + (〃— \ )d~Id = а.п~/d, ak+[—al + (k + l— l)d—d+(k— l)d + ld=ak+ld, Gi + % + / = (a〃Td) +(4 +〃) = % + %, О】。+ % =《0-3 + °5 + 3 =。7 +。8 = 30・
an + k = a{ + (n + k — \ )d = at + (n — \)d + kd — an + kd, an_k = a{ + (n — k — l)d = Q]+(〃一 \)d — kd = an — kd, 4+计％一「%+左d+%-4 d=2a"
Сумма п первых членов арифметической прогрессии (3/4^)
Цель изучения параграфа —обучение нахождению суммы “ первых членов арифметической прогрессии и использованию ,с%
формулы 5П = ——• п при решении задач.、
Доказательству теоремы о сумме членов арифметической прогрессии предшествует задача 1. Ее решение на конкретном примере демонстрирует рассуждения, аналогичные тем, которые будут проведены в общем виде при доказательстве теоремы. Поэтому не следует игнорировать рассмотрение этой задачи.
Для формирования первичных навыков применения теоремы используются упражнения 390 и 453. Задачи 2 и 3 текста учебника можно рассмотреть в ходе самостоятельной работы с книгой, а затем выполнить упражнения 391—396, 454.
В задаче 4 выводится вторая формула суммы п первых членов арифметической прогрессии. Несмотря на то что эта формула не выделяется отдельной строкой, учащимся полезно ее запомнить (или выписать в свой справочник) н применять в удобных ситуациях, например при решении упражнений 400, 401.
Изучение параграфа можно организовать следующим образом: на первом уроке изучить весь теоретический материал, кроме задач 2 и 3, и выполнить упражнения 390, 453, 399; второй и третий уроки провести в форме практикума, используя остальные упражнения к параграфу, дополнительно 403—405, 477, 478; в конце третьего урока можно провести небольшую проверочную работу по материалу § 28, 29.
Кроме заданий учебника, на втором и третьем уроках можно рассмотреть и другие задачи.
Найти сумму п первых членов арифметической прогрессии, если:
1 ) Од = — 1 , Q5 = 3, 〃=10；
0] + a3 = _ 4,a4 = 2, n = 14;
a7 + a9= 12, 4 +。3 = —12, 〃 = 3;
(1^2= 10, d = l,5, 〃 =40.
В арифметической прогрессии Q] =—6, d=3. Сколько последовательных членов этой прогрессии, начиная с первого, нужно сложить, чтобы получить сумму, равную 99?
Самостоятельная работа (15 мин)
Найти десятый член арифметической прогрессии и сумму ее первых десяти членов, если %=亠 8, d = 2.
[Найти девятый член арифметической прогрессии и сумму первых девяти членов, если % = 2, d = —4.]
Число 102 является членом арифметической прогрессии 10, 14, 18,... . Найти номер этого члена. Найти сумму
10 + 14 + 18 + ... + 102 членов этой прогрессии.
[Число — 34 является членом арифметической прогрессии 10, 6, 2, ... . Найти номер этого члена. Найти сумму 10 + 6 + ... + ( — 34) членов этой прогрессии.]
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь применять формулу (1) суммы п членов арифметической прогрессии при выполнении упражнений типа 393—394.
Решение упражнений
а3 + а9 = а{ + ап (см. задачу 388), следовательно, .
5" =一旦・11 = 44.
2%+(九一l)d
Воспользуемся формулой Sn =^•〃，тогда
-+4d
S5 = —-5 = 5а(+ 10rf,
S[()= •巧J。" • 10 = 10% + 45d.
По условию задачи S5 и S10 ——суммы членов одной и той же арифметической прогрессии, следовательно,
5% + 104 = 65,10。] +45d = 230.
Решим систему способом алгебраического сложения:
_1001 + 204= 130
-10% +45d = 230
25d =100, откуда d = 4, at = 5.
405. S.= 2喝"・12 = 124 + 66d,
c2% +3d
S《=—24 = 4。] + 6d,
S8= 2%； 7" • 8 = 8% + 28d.
Отсюда Sg — S4 = 4% + 22d, но S. = 12% + 66d = 3 (4. + 22d).
9 Колягии257
Так как а, + а2+ а3= 15, то % + % + & +% +2d = 15, % + d=5. jQ] + d = 5,
На + d )伍[+ 2d) = 80,
отсюда
J % = 5 — d, [(5-d)・5(5-d +2d) = 80.
Решим второе уравнение системы:
(5 —d)(5 + d) = 16,砂=9, d = ±3.
Следовательно, получили две арифметические прогрессии, у которых d = 3, % = 2 или d = —3, % = 8.
Ответ. Q] = 2, d = 3; а{ = 8, d = —3.
I способ. Так как ах + а3= 2а2, а, + а2+ а3= 0, то За2= 0, от^да а2 = 0, а3 = —ар о： + 鳩 + а^—а\+ а| = 2а： =50, %=±5. Если а】=5, то а3 = — 5. Но % = % + 2d, т. е. —5 = 5 + 2d, от巧да d = —5. Если / = —5, то。3 = 5 =。] + 24, откуда d=5.
Ответ. Q[ = 5, d =— 5; Q]=—5, d = 5.
II способ. % + a? + % = °, следовательно, 3al + 3d = 0 н % = — d, %=%+4=0.(4 +a2+%)2 = °，@ + 磅 + ^ +2(a^ + a^g + a2a3) = 0.
По условию а^+ а^ + aj = 50, значит, ata2 + ауа3 + а2а3= — 25. Но cij + а2 + а3= 0, т. е. а{ + а2= — а3, откуда а1а2 — (а1 + а2)2 = =—25, (% +。2)2 = %% +25. Так как а2=0, то af = 25, / = ±5.
Ответ. % = 5, d= —5; /=—5, d = 5.
Цель изучения параграфа — ознакомление учащихся с новой последовательностью ——геометрической прогрессией, обучение применению ее характеристического свойства и формулы п-го члена при решении задач.
Определение геометрической прогрессии, которое дается через описание ее рекуррентной формулы, вводится после рассмотрения практической задачи, важной для понимания возникновения последовательности такого вида.
Задача 1 показывает, как с помощью определения геометрической прогрессии обосновать принадлежность некоторой последовательности к геометрической прогрессии. Затем это же определение используется для вывода характеристического свойства и обоснования выбора названия прогрессии.
Формула 〃-го члена появляется в ходе индуктивных рассуждений, и ее непосредственное применение демонстрируется в задачах 2 и 3. Так как при решении задач активно используются свойства степени, желательно в устную работу на первом уроке включить упражнение на повторение свойств степени. В ходе изучения параграфа решаются простейшие показательные уравнения на множестве натуральных чисел. Термин «показательное уравнение》не вводится, решение опирается на свойства, изложенные в § 11.
Решение задач 4 и 5 (особенно 5) желательно показать всем учащимся, но умение решать подобные задачи от всех учащихся не требуется.
На первом этапе обучения решению задач учителю важно не торопиться и требовать от учащихся как подробного объяснения своих действий, так и подробной записи в тетрадях. Решение задач может быть записано следующим образом:
1)4, 12, 36, ...— геометрическая прогрессия;
& = 4, % =12. Найдем q.
Подставим 储=4, q = 3 в формулу b^b^ qn~l.
bn = 4 -3й-1 — формула 〃-го члена.
4) — 1, 2, —4, ..., 128, ... — геометрическая прогрессия.
Ьп=Ь1'ЯП~^
b1=_1, b2 = 2, ^ = - = - 2.
128 = Ьп, значит,
128 = - 1-(-2)«-!, -128 = (-2)〃т.
Приведем левую часть уравнения к основанию —2:
-128 = (-2)7, (-2)7 = (-2)“т, откуда 7 = п — .1, л = 8.
Ответ. 〃 = 8.
1)仇=2, %= 162.
Ьп = Ьх- qn~l. Следовательно,勾二仇，^-' 162 = 2・/, ^4 = 81, откуда q = ± 3.
Ответ. q = 3 или q = —3.
Материал параграфа по урокам можно распределить следующим образом: на первом уроке рассмотреть весь материал параграфа до задачи 4 и выполнить часть упражнений 406—410, 455—457, дать задание к третьему уроку самостоятельно подготовиться к обсуждению решений задач 4 и 5; на втором и третьем уроках выполнить упражнения, которые не успели на первом уроке, а также 411—415, 470. Дополнительно 416—418, 480, 803.
На каждом уроке полезно к упражнениям учебника добавлять, например, такие:
Для геометрической прогрессии 6Р Ь?，•••，匕〃，••• найти:
а) О/%, если % = —5; б) %%%，если Ь2 = — 5;
в) б]%%，если 6]Ьз = 9; г) т-т-, если “ = 17.
Дана геометрическая прогрессия 1, %, 0,25, “，％. Найти Ь2, % %.
Эти упражнения помогают осознать возможности применения свойства геометрической прогрессии b^bn_x • bn+v п>\.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны знать определение геометрической прогрессии и пользоваться формулой 〃-го члена при выполнении упражнений 407—408, 410.
Решение упражнений
Применяя формулу сложных процентов Ь = а(1+>^) при а = 300 000, р= 120% и м = 2, получаем b = 300 000( 1 + 1,2)2 = = 1452 000.
Пусть S” 一 площадь п-го квадрата. Так как S] = 42, S2 = ^S], S3=/S2 =《S] и вообще S“ = ~^т S「то S^-^S^ 2е ~ 4'
Пусть а — первоначальное число инфузорий, ап — число инфузорий после л делений. Тогда ах = 2а, а2 = 2а} = 4а = 22а, ап = 2яа, а6= 26а, по условию 22a = 320, откуда а = 5.
a) bn + l = bnql, bk = bk_tql, bk 勾+/•"一=6一•了 =3%・ 6) %% =仇产%炉=b缶6=72, 8/7 = %，b闯6 =岡q6 = 72.
陋昵 j Сумма п первых членов
仁； геометрической прогрессии (3/4 ч)
例..■・，m■，■・■4■•""♦•4■，•”■"0■•・"・■■■4二"■■■*•0••■•♦■■■♦■•♦■■•••■."•*•••••■*■........».........",
Цель изучения параграфа — обучение применению формул суммы м первых членов геометрической прогрессии при решении задач.
4(1 — q")
Формула Sn = ―j——— выводится по ходу доказательства теоремы, которой предшествует задача 1. В этой задаче на конкретном примере приводятся рассуждения, аналогичные используемым в доказательстве теоремы. Поэтому важно обратить внимание учащихся на то, что найти искомую сумму удается за счет умножения обеих частей равенства на знаменатель прогрессии q = 3.
Задачи 2—4 знакомят учащихся с различными способами применения изученной формулы, а в задаче 5 выводится вторая формула нахождения суммы членов геометрической прогрессии, которой могут пользоваться школьники.
Упражнения к параграфу позволяют организовать последовательное закрепление приемов, продемонстрированных при решении задач текста учебника: после решения задачи 2 выполняются упражнения 420, 421; после задачи 3 — упражнение 422, частично 424, 458, 459; после задачи 4 — упражнение 423; после задачи 5 — упражнение 425.
Учебный материал рекомендуется изучать в соответствии с текстом параграфа: на первом уроке задачи 1—5 и теорема, упражнение 420, на втором и третьем уроках решаются остальные упражнения к параграфу. Можно выбрать другой порядок изучения: на первом уроке решить задачу 1, доказать теорему, решить задачу 5 и выполнить упражнения 420, 421, 425; на втором уроке решить задачи 2—4 и упражнения 422—424, 458, 459 (частично); на третьем уроке выполнить оставшиеся упражнения и провести тест на проверку усвоения § 30, 31. Дополнительно на всех уроках можно использовать упражнения 428—430, 481, 482, 804, 811.
Содержание теста может быть, например, следующим:
Какая из приведенных ниже последовательностей является геометрической прогрессией:
2,3; 3,5; 4,7; 5,9; ...;
)3'9' 27' 81'…'
—у； 1； — 2; 4;...;
4) -3; 5; -7; 9; ...?
В геометрической прогрессии Ь]= —8, fe2 = 4. Найти Ь4.
1) -1； 2) 8; 3) I； 4) 1.
В геометрической прогрессии Ь5 = 2, b7=i8. Найти Ь$.
1) 9; 2) 36; 3) 6; 4)
Найти сумму пяти членов геометрической прогрессии —0,5; —1,5; — 4,5; ....
1) 60,5; 2) -242; 3) -60,5; 4) 242.
Сумма шести членов геометрической прогрессии равна 73,5, q = — 2.
Найти bv
1)3 —; 2) 3,5； 3)1 —; 4) -3,5.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь применять формулу суммы первых и членов геометрической прогрессии при выполнении упражнений типа 420, 425.
Решение упражнений
Преобразуем левую часть равенства:
S = хп+ хп - 1+ ...+ х-(хя-1 + хп~2+ ... + %+ 1).
В этой сумме взаимно уничтожаются все пары слагаемых, кроме одной.
Поэтому S = xn— 1.
1) %=%q2=[35, %=警，53 = ^(1+^ + ^2)= 195, от-
厶 195 п1351952
куда * + 2 . Решая уравнение j 十 十),имеем = =9(炉 + q + 1), 4q2 — 9^ — 9 = 0, откуда q = 3 или q =—".
1353
Если q = 3, to b. = —= 15, а если q =, то b. = 240.
q41
$з = 4( 1 + 4 + 炉)，T. e. 372 = 12( 1 + q +/), q2+ q + । = 31, / + q — 30 = 0, откуда q = — 6 или q = 5.
Если q = —6, to %=力闯2 = 432, а если q = 5, to % =300.
1) b3+ b5 = b^q2 + q4) = 90, где 4=1.
Пусть q2=f, тогда 产+£ — 90 = 0, откуда / = 9 или / = — 10 (не годится). Итак,炉=9, откуда q = 3 или q = —3.
^4 + ^6 = b2(q2 + <?4) = 60, где % = 3.
Пусть (f = /, тогда /2 + / — 20 = 0, откуда / = 4, т. е. q? = 4. Итак, q = 2 или q = —2.
4一63 = "(1-/)= 15，62-64 = 4(4-g3) ="q(l-92) = 30, 156,(1 - о10)1-210
q = 2, b]= 7^ =-5, S]0=「_]=(-5) -^ = — 5115.
%-% = bi(q2—1) = 24, а — С4-1)=
=%(炉—1 )(^2+ 1) = 624,炉+ 1 = 26, q = 5 или q = — 5;
4(1-/)
$5=—『二厂 =78 (при q = 5), $5=521 (при q=-5).
Пусть bk — число клеток после 々-го деления, тогда 勾=。2幺 Если ^ = 10, то b]o= 2i°a = 1024а.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (1/1 ч)
Цель изучения параграфа — ознакомление учащихся еще с одним видом последовательностей ——бесконечно убывающей геометрической прогрессией и формулирование начального представления о пределе числовой последовательности.
Материал параграфа не является обязательным для изучения в основной школе, и изложение его должно носить ознакомительный характер.
Учащиеся впервые задумываются о существовании прогрессии, которая убывает бесконечно. Это сложное для осознания понятие должно обязательно иллюстрироваться рисунком 39.
На примере нахождения суммы площадей прямоугольников, на которые делится квадрат площадью 1 кв. ед. при делении одной из его сторон пополам (рис. 40 учебника), ставится задача нахождения суммы, число слагаемых которой неограниченно возрастает.
Учащимся предлагается интуитивно прочувствовать стремление к нулю дроби 击 при неограниченном возрастании числа п. Термин «предел» не вводится и не определяется. Его заменяют сло- вами «стремление к числу при 〃 —8».
В задаче 4 приводится еще один способ обращения бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную (впервые учащиеся решали подобную задачу в VIII классе при
изучении § 21). Полезно напомнить предыдущий способ и предоставить учащимся возможность выбрать более удобный.
С целью экономии времени целесообразно по материалу параграфа прочитать лекцию, по ходу которой обратить особое внимание на решение задач 1 и 4. Полезно выполнить по одному заданию из упражнений 431—434.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны уметь выявлять бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, если заданы несколько ее членов или % и q.
К уроку обобщения желательно подготовить плакат, который позволит сравнить арифметическую и геометрическую прогрессии:
ГеометрическаяпрогрессияГеометрическаяпрогрессияОпределение%+1 = 4р，勿н。, дн。, q ——знаменатель,Определение%+1 = 4р，勿н。, дн。, q ——знаменатель,Арифметическаяпрогрессия
Геометрическаяпрогрессия
Геометрическаяпрогрессия
Определение
%+1 = 4р，勿н。, дн。, q ——знаменатель,
Определение
%+1 = 4р，勿н。, дн。, q ——знаменатель,
4+1 = 4+4 d — разность, 』= %「％
Формула п-го члена
ап = аг + d(n - 1).也= b].q“T.
Основное (характеристическое) свойство
4=
^4^* 〃>L
斤= *〃+l, 〃>1, (если все члены последова-
тельности положительны, то
么=可一也+ ])•
Формулы суммы л первых членов
S.=
4+4
储(i—g“)
S“-1—g,尸 1.
2〃.
S“ =
2%+d("一 1)
q b~qbn1
2"
Здесь же можно провести математический диктант, по ходу проверки которого повторить все, что изучали в этой главе.
Первый член последовательности равен 10. Записать рекуррентную формулу для числовой последовательности, если каждый ее член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с числом 3 [умноженному на число 3].
Как называется такая последовательность?
Записать для нее формулу 〃-го члена.
Найти 5-й член этой последовательности.
Является ли число 270 членом последовательности? Если является, то указать его номер.
Найти сумму пяти первых членов этой последовательности.
Даны первые два члена некоторой последовательности: 6; —3; ... . Написать формулу n-го члена и формулу для нахождения суммы п первых членов, если эта последовательность является геометрической прогрессией [арифметической прогрессией].
Как называется последовательность, у которой каждый член, начиная со второго, равен корню квадратному из произведения двух соседних с ним членов [полусумме двух соседних с ним членов]?
Дана прогрессия: Q； — 9; с3; — 1; ... . Найти сх и с3, если прогрессия арифметическая [геометрическая, у которой q<OJ.
Дополнительно можно решить упражнения 543, 544.
Решение упражнений
Пусть х, у, z, / — искомые числа. Тогда х + / = 11, р + z = 2. По свойствам прогрессий х + z = 2у, z?=囂. Отсюда получаем р = 2 — z, х = 2р — z = 4 — 3z,/=11—х = 7 + 3z,
" = (2 — z) (3z + 7), 4/ + 2— 14 = 0, 2] = —2, г2 = ^-.
75
Если z = — 2, то у = 4, х = 10, /= 1, а если z = 丁 то х =——,
1 ,49
у，f=丁
Ответ. (10; 4; -2; 1), (-|;《;^； *.
Пусть х, у, z — искомые числа. Тогда x + y + z = 78, xz = /, 4(р — х) = z — х, откуда z = 78 — (х + р) и z = 4у — 3%. Тогда
78 + 2х4/7。，с \ о 3127312-7х
у = ―-— , z = —(78 + 2х) — Зх= ——х, х —-— =
3b333
39x2- 1248x +6084 = 0, x2-32x+ 156 = 0,
'Xj = 6, x2= 26,
弘=18,外=26,a】=54,乞2= 26.
Ответ. (6; 18; 54), (26; 26; 26).
Контрольная работа № 5
'」.Последовательность задана рекуррентной формулой
,,%+i = 2a“一 1 и условием а, = 3.
[bn + j = 46“ + 7 и условием 6, =— 3.]
Найти четыре первых члена этой последовательности.
2dB арифметической прогрессии。]=—7, d=3. Найти а12 и сумму первых двенадцати членов этой прогрессии.
[В геометрической прогрессии Ь】=9, 9 = /・ Найти fe6 и сумму шести первых членов этой прогрессии.]
Найти четвертый член геометрической прогрессии, если
% = -2, % =右、
[Найти шестой член арифметической прогрессии, если a3 = 0,a8 = 25.]
Сумма третьего и седьмого членов арифметической прогрессии равна — 12. Найти сумму первых девяти членов этой прогрессии.
t [Произведение второго и восьмого членов геометрической про- I грессии равно 36. Найти пятый член этой прогрессии.]
Краткие рекомендации по заключительному повторению курса алгебры VII—IX классов
Главной дидактической целью уроков повторения курса алгебры является обобщение и систематизация знаний, полученных учащимися в VII—IX классах. На этих уроках школьники должны усвоить связи и отношения между понятиями, получить целостное представление об изученном материале, решить ряд комбинированных задач и упражнений. Важным в организации повторения является выбор методов, форм и средств систематизации и обобщения.
Особое место на этих уроках отводится упражнениям, по ходу выполнения которых осуществляется повторен ие всего комплекса знаний и умений, подлежащих систематизации, расшире - ние и углубление знаний, применение обобщенных знаний в конкретных ситуациях. К таким упражнениям относятся, в частности, задания на составление схем и таблиц, классификацию понятий и составление их «родословной». Можно использовать таблицы и схемы, подготовленные в течение всего изучения курса алгебры, предлагая учащимся установить связи между вынесенными в таблицы определениями и понятиями (например, плакат на с. 263 по теме «Прогрессии»).
Вариантов распределения учебного материала на уроках повторения может быть много. Приведем три из них, а на одном остановимся подробнее.
I вариант
Уроки 1—4. Вычисления и преобразования алгебраических выражений.
Уроки 5—8. Уравнения и системы уравнений.
Уроки 9—12. Решение текстовых задач.
Уроки 13—15. Неравенства и системы неравенств.
Уроки 16—19. Функции.
Урок 20. Итоговая контрольная работа.
Уроки 21 — 23. Решение задач по всему курсу алгебры VII— IX классов.
Этот вариант предполагает непосредственное использование упражнений для итогового повторения из учебника IX класса. Тема «Прогрессии» в этом случае повторяется на всех уроках в соответствии с темой.
II вариант
Уроки 1—4. Вычисления и преобразования алгебраических выражений.
Уроки 5—15. Функции. Уравнения. Неравенства.
Уроки 16—19. Решение текстовых задач.
Урок 20. Итоговая контрольная работа.
Уроки 21—23. Решение задач по всему курсу алгебры VII— IX классов.
В этом варианте повторение уравнений и неравенств осуществляется по ходу повторения свойств функций.
III вариант
Уроки 1—3. Вычисления и преобразования алгебраических выражений.
Уроки 4—7. Уравнения и системы уравнений.
Уроки 8—11. Решение текстовых задач.
Уроки 12—Г7. Функции. Неравенства. Системы неравенств.
Уроки 18—19. Итоговая контрольная работа.
Уроки 20—23. Решение задач по всему курсу алгебры VII— IX классов.
Рекомендации, которые будут приведены ниже, ориентированы в основном на Ш вариант планирования. Однако и устные упражнения, и рекомендации по работе с упражнениями учебника могут быть полезными и для работы по первым двум вариантам. В любом случае такие вопросы, как, например, свойства степени, разложение многочленов на множители, свойства и способы решения простейших уравнений и неравенств, чтение графиков, можно повторять по ходу выполнения устных упражнений.
Приняв за основу тот или иной план повторения, полезно заранее продумать систему интересных, может быть, и нетрудных, но нестандартных задач к каждому блоку уроков. Таких задач много в конце учебника, при этом можно использовать и задачи повышенной трудности из учебников для VII и VIII классов. Например, к уро - кам 1—3 можно заранее попросить некоторых учащихся подготовить решение задач 752, 771—772, 790—794 из учебника «Алгебра, 9». Рассматривать на таких уроках можно не все задания, но решение по одному из каждого позволяет показать, как, например, умение преобразовывать алгебраические выражения помогает доказывать “неравенства. Обсуждение решений таких сложных задач не должно занимать много времени, а если класс слабый, то подобную работу можно провести индивидуально с теми, кто заинтересуется их решениями.
Уроки 1—3. Вычисления и преобразования алгебраических выражений
Повторяя эту тему, полезно использовать схему (рис. 29, «Алгебра, 8»), напоминающую учащимся, как расширялись их пред- 268
ставления о числе. При этом можно предложить выполнить следующее устное упражнение:
Даны числа:
-3; -2у； -V2; - 1; 0; 0,7070070007...; 1; 2;тс; 5; 6, 7; V^0; 2i; 3 + i.
Выбрать из них числа: а) натуральные; б) целые; в) рациональные; г) иррациональные; д) действительные; е) комплексные.
Законы и свойства арифметических действий можно повторить, например, выполняя такие устные задания:
Вычислить:
1,9 + 4,8-0,5 + 5,2;
-16-1,5; _2?.4; (一1?，］)：(-0；
8-(-0,175)-125; (1-^-|):0,75;
8,7-0,45 + 0,55-8,7.
Кроме действий I и II ступени, учащиеся вспоминают, какие еще действия с действительными числами они научились выполнять: возводить число в степень с натуральным и целым отрицательным (если изучали, то и рациональным) показателем, находить процент от числа и число по его проценту, делить число в данном отношении, извлекать квадратный корень (если изучали, то и корень натуральной степени). Учащиеся также научились располагать числа на единичной окружности и находить координаты точек, соответствующих этим числам (косинус и синус числа), познакомились с числовыми последовательностями и научились находить п-й член и сумму и членов некоторых последовательностей.
Каждое из перечисленных действий обладает своими свойствами, которые полностью опираются на свойства действительных чисел. Показывается это на примерах упражнений 546—551, 575, 576, 677 учебника «Алгебра, 9». Можно использовать интересные задания 775, 776 из учебника «Алгебра, 7».
Преобразования многочленов и алгебраических дробей также в основе своей опираются на законы и свойства арифметических действий. Последовательное выполнение упражнений 553, 559, 570, 572, 573 позволит не только повторить правила преобразований многочленов и выражений, содержащих квадратные корни, но и поставить вопрос: можно ли считать формулы сокращенного умножения тождествами, а выполненные преобразования тождественными? Полезно вспомнить, какие же значения букв будут допустимыми для тождеств сокращенного умножения, для тождества 必'=|а|. Сильным учащимся можно предложить подумать, являются ли равенства в упражнении 771 тождествами. Для этой же цели можно использовать упражнение 878 (5) из учебника VIII класса.
Применение формул сокращенного умножения для разложения многочлена на множители полезно рассмотреть на упражнениях 559 (особенно важны задания 3 и 4), 584 (7, 8), а затем перейти к более сложным, например 784, 785 из учебника VIII класса. При этом возможно подвести учащихся к решению трудного задания, используя более легкое, например, выполняя запись решения несколькими способами:
559(4) («Алгебра, 9»)
a4 + 2a2b2+b4-4a2b2 =
="4 — 2a2b2 + 匕4 =
=(a2 — b2)2 =
= (а-ЬУ(а + ьу.
(a4 + 2a2b2 + b4)-
4a2b2 = ®2 + 力2)2 1_
(2ab)2 = (a2 + b2—
2ab)(a2 + b2 + 2ab) = = (a —b)2(a + b)2
785(1) («Алгебра, 7»)a4 + 2a2— 3 = a4 — a2 + 3a2 — —3 = (a4 —出)+ (3" — 3)= =a2(a2- l) + 3(a2- 1)= =(”一1) •(出+ 3)= =(a - l)(a+ 1)(出+3).a4 + 2a2-3 = ((a2)2 + + 2・a2•1 + 1)-1 - 3 = =(絞+ 1)2 - 4 =(出+ 1)2- -22 = (a2+l-2)(a2+l+2) = = ("2- 1)(m+ 3)= -(a- l)(a+ 1)(a2 + 3).Пусть。2 = £, тогда /2 + 2/ — 3 = 0, /, = — 3, /2= 1. 产+2/-3 = (/ + 3)(/- 1), a4+2a2-3 = (a2 + 3)(a2 - 1)= = ®2 + 3)(a- l)(a+l).785(1) («Алгебра, 7»)a4 + 2a2— 3 = a4 — a2 + 3a2 — —3 = (a4 —出)+ (3" — 3)= =a2(a2- l) + 3(a2- 1)= =(”一1) •(出+ 3)= =(a - l)(a+ 1)(出+3).a4 + 2a2-3 = ((a2)2 + + 2・a2•1 + 1)-1 - 3 = =(絞+ 1)2 - 4 =(出+ 1)2- -22 = (a2+l-2)(a2+l+2) = = ("2- 1)(m+ 3)= -(a- l)(a+ 1)(a2 + 3).Пусть。2 = £, тогда /2 + 2/ — 3 = 0, /, = — 3, /2= 1. 产+2/-3 = (/ + 3)(/- 1), a4+2a2-3 = (a2 + 3)(a2 - 1)= = ®2 + 3)(a- l)(a+l).Таким образом, на примере задания 785 (1) из учебника VII класса не только повторяются разные способы разложения на множители, но и демонстрируется постепенное расширение знаний учащихся.
785(1) («Алгебра, 7»)
a4 + 2a2— 3 = a4 — a2 + 3a2 — —3 = (a4 —出)+ (3" — 3)= =a2(a2- l) + 3(a2- 1)= =(”一1) •(出+ 3)= =(a - l)(a+ 1)(出+3).
a4 + 2a2-3 = ((a2)2 + + 2・a2•1 + 1)-1 - 3 = =(絞+ 1)2 - 4 =(出+ 1)2- -22 = (a2+l-2)(a2+l+2) = = ("2- 1)(m+ 3)= -(a- l)(a+ 1)(a2 + 3).
Пусть。2 = £, тогда /2 + 2/ — 3 = 0, /, = — 3, /2= 1. 产+2/-3 = (/ + 3)(/- 1), a4+2a2-3 = (a2 + 3)(a2 - 1)= = ®2 + 3)(a- l)(a+l).
785(1) («Алгебра, 7»)
a4 + 2a2— 3 = a4 — a2 + 3a2 — —3 = (a4 —出)+ (3" — 3)= =a2(a2- l) + 3(a2- 1)= =(”一1) •(出+ 3)= =(a - l)(a+ 1)(出+3).
a4 + 2a2-3 = ((a2)2 + + 2・a2•1 + 1)-1 - 3 = =(絞+ 1)2 - 4 =(出+ 1)2- -22 = (a2+l-2)(a2+l+2) = = ("2- 1)(m+ 3)= -(a- l)(a+ 1)(a2 + 3).
Пусть。2 = £, тогда /2 + 2/ — 3 = 0, /, = — 3, /2= 1. 产+2/-3 = (/ + 3)(/- 1), a4+2a2-3 = (a2 + 3)(a2 - 1)= = ®2 + 3)(a- l)(a+l).
С целью экономии времени на уроках повторения при рассмотрении ряда примеров (например, на совместные действия с алгебраическими дробями) для одних заданий достаточно определить только порядок действий; выполняя другие, можно промежуточные действия решать по вариантам (например, при выполнении упражнений типа 546—547), а заключительные выполнить всем классом.
Кроме уже указанных упражнений, на уроках и в домашней работе рекомендуется использовать задания 561—563, 566, 568, 570, 575—577, 587, 589—591, 595.
Уроки 4—7. Уравнения и системы уравнений
Повторяя решение уравнений и систем уравнений, необходимо напомнить учащимся, что и здесь законы и свойства чисел играют важную роль: предполагая, что некоторое значение неизвест-
ного является корнем уравнения, мы имеем право воспользоваться свойствами верных числовых равенств, чтобы найти значение этого неизвестного, и, подставив его в исходное уравнение, проверить, действительно ли получили верное равенство.
В IX классе к изученным ранее линейным и квадратным уравнениям добавились алгебраические уравнения степени выше второй; уравнения, сводящиеся к алгебраическим; иррациональные уравнения; уравнения с неизвестным в показателе степени; частные случаи тригонометрических уравнений.
Виды уравнений, их свойства, способы решения целесообразно повторить по ходу выполнения устных упражнений.
Для каких из данных уравнений число 2 является корнем:
1) Зх2 + 2х+1=0;2) "^ = 0;3)/ —4 = о；
4)%-*°；5)也—2 = 1;6) 3х = 9?
Решить уравнение:
[> % _ 9. 20 — % .
— 2х — 3 = 0; у+ 2% = 0; 0,5х = — 1,5;
х(х + 5) = 0; Зх2 —-^х = 0; 2%2 —64 = 0;
|х| = 3; 2|х| = 5; V%2= 1;
5)炉 + 4% + 4 = 0; x2 - 6% + 9 = 0;
6)正=2; 2 正=3; Vx — 1 = V2 — x;
2х=8; 32х= 27; 4- = 64;
8)* sin x = 0; cos x = 0; sin x = 1.
Выразить каждую из величин через другие:
Линейные уравнения на заключительных уроках можно специально не решать: к их решению будут сводиться многие другие уравнения. А решения квадратных уравнений разными методами повторить полезно. Например, одно из уравнений в упражнении 601 можно предложить выполнить различными способами по вариантам:
I вариант — методом выделения полного квадрата;
II вариант — по формуле;
III вариант — графически.
Выполняя упражнение 604, полезно предложить решить четвертое уравнение |3х| — Зх = 6 аналитически и графически, чтобы наглядно убедиться в том, что в отличие от всех других
уравнений этого задания данное уравнение имеет единственное решение.
С этой же целью можно предложить выполнить двумя способами упражнение 607(3).
При изучении главы «Прогрессии» учащиеся решали показательные уравнения, когда неизвестное принимало лишь натуральные значения, в то время как при изучении §11 они ознакомились с решением показательного уравнения, где корнем могло быть любое действительное число. Так как изучение показательных уравнений учащимся предстоит в старших классах, на данном этапе полезно акцентировать их внимание лишь на прикладном аспекте этих уравнений — при нахождении номера члена геометрической прогрессии (упражнение 683(1)).
Желательно, чтобы, повторив решение уравнений, учащиеся могли ответить на вопросы:
Какие виды уравнений вы умеете решать?
Какие свойства уравнений используются при их решении?
Какие методы решения уравнений вы знаете?
Решая системы уравнений, рекомендуется повторить на одном примере разные способы решения систем (например, 610(2)) и выбрать оптимальный способ решения данной системы.
Так как учащиеся уже знакомы с функцией у = —, то полезно, решая системы уравнений в упражнении 612(3, 4), сначала рисовать эскизы графиков каждого из уравнений, чтобы убедиться, что система имеет решения. Затем, обсудив возможные способы решения (подстановкой или с помощью теоремы Виета), выбрать оптимальный и довести решение до конца.
Решая уравнения или системы уравнений, в которых необходимо выполнить преобразование алгебраических выражений, полезно просить учащихся обосновать те или иные действия, ссылаясь на применяемые определения, свойства, формулы.
Наиболее важными на этих уроках (и для домашнего задания) можно считать задания из упражнений 599—601, 604, 606—610, 612, 615, 617, 618, 625.
Дополнительно рекомендуется использовать задачи 622, 624, 782—785, 776, 778.、
Уроки 8—11. Решение текстовых задач
На этих уроках рассматриваются задачи, при решении которых составляются уравнения первой степени с одним неизвестным, квадратные уравнения, системы уравнений, здесь же рассматриваются задачи по теме «Прогрессии».
Работа с задачами должна быть разнообразной. Для одних задач достаточно провести в классе анализ условия и наметить путь решения (например, 644, 647), а решение этих задач включить 272
в домашнюю работу. Другие задачи довести до составления уравнения или системы уравнений н не решать их до конца, если методы решения этих уравнений хорошо усвоены большинством и у учащихся не возникает проблем при переходе от математической модели к заданной ситуации с целью выбора ответа. Решение третьих задач довести до конца (чтобы в тетради учащихся были записи решения разных типов задач: 646, 649, 651, 655, 657, 475, 530, 535). Оформление решений может сопровождаться схемой или рисунком для анализа условия, таблицей или подробной записью (как это делать, подробно описывалось в данной книге в параграфах, относящихся к решениям задач).
Подготовительные упражнения к решению конкретных задач можно выбрать, например, из следующих:
2 3 42 3 42 12 32 12 3Записать число, которое: на 0,3 больше числа х; на 25 меньше числа у\ в 5 раз больше числа а; в 3 раза меньше числа Ь.
2 3 4
2 3 4
2 12 3
2 12 3
Найти:
10% от числа 80; 25% от числа %; 120% от числа р.
Ковер до снижения цен на 20% стоил 1000 р. На сколько рублей подешевел ковер?
Найти:
число х, если 20% от него составляют 40;
число а, если 15% от него равны Ь.
Выразить полчаса, четверть часа, полтора часа, 1 ч 20 мин, 2 ч 10 мин, 3 ч 40 мин:
1) в минутах; 2) в часах.
Сравнить:
80 с и 1,5 мин; 20 мин н / ч; 5 мин и 0,1 ч;
6 км/ч и 100 м/мин; 35 км/ч и 10 м/с; 120 км/ч и 0,12 м/мин.
Рабочий изготовил за смену а деталей. Какова производительность труда рабочего?
Найти собственную скорость лодки, если ее скорость по течению реки 18 км/ч, а против течения 12 км/ч.
Найти скорость течения реки, если скорость лодки по течению 18 км/ч, а против течения 12 км/ч.
Кроме задач, предложенных в учебнике «Алгебра, 9», можно воспользоваться задачами из учебников VII класса (742, 755, 794, 798) и VIII класса (778, 779, 784, 806, 831). Полезно использовать старинные задачи из этих книг.
Задачи на проценты традиционно трудны для учащихся. Однако на этапе итогового повторения решать такие задачи необходимо. Так как учащиеся изучили арифметическую и геометрическую прогрессии, полезно показать, как с их помощью можно подойти к формулам простых и сложных процентов, что позволит углубить знания учащихся и научить применять формулы, столь необходимые на практике.
Задача. Для покрытия пола в коридоре школы пластиковой плиткой нужно 300 плиток. За один год 22% плиток изнашиваются и заменяются новыми. Сколько плиток нужно приобрести, чтобы их хватило на 6 лет?
Для того чтобы учащиеся поняли, что в ходе решения задачи они должны найти шестой член арифметической прогрессии, можно по ходу анализа условия составить схему (рис. 46).
результате анализа пришли отсюдарезультате анализа пришли отсюда% ——первоначальное количество плиток;
результате анализа пришли отсюда
результате анализа пришли отсюда
0,22% — количество плиток, которое изнашивается за год;
出—количество плиток, которое потребуется на 2 года:
a2 = % + 0,22%;
& ——количество плиток, которое потребуется на 3 года:
% = &+ 0,22%;
% ——количество плиток, которое потребуется на 4 года:
04 = % + 0,22a/
& = & + 0,22%;
% = % + 0,22al.
По формуле п-го члена арифметической прогрессии ап = а{ + d{n — 1) находим а6= а, + 5rf.
По условию задачи % = 300, в к выводу, что d = 0,22% = 0,22 • 300,
% = 300 + (0,22 -300)-5 = 630.
Ответ. 630 плиток.
В общем виде, учитывая, что % = 300 • 0,22 соответствует 22% изнашиваемости плиток, 5 соответствует числу лет, получа- ем а“ = % + — • а^п — 1), где р — число процентов, п — число лет, т. е. ап = а^ 1 + ^^ • /j. Эту формулу называют формулой простых процентов. Такая формула применяется, когда искомая величина меняется на одно и то же число процентов от одного и того же числа.
В случае, когда величина меняется на одно и то же число процентов от вновь полученного числа, применяется формула сложных процентов, вывести которую на интуитивном уровне поможет знание геометрической прогрессии.
Задача. Вкладчик положил в банк 10000 р. из расчета 3% годовых. Сколько денег получит вкладчик: 1) через 4 года; 2) через п лет, если не будет ежегодно снимать со счета причитающиеся ему проценты?
Здесь рассуждения полезно провести в два этапа: I этап — составить схему анализа условия задачи и выписать сумму, которая будет лежать на счету в конце каждого года (рис. 47); II этап — выразить полученную сумму через величину первоначального вклада.
I этап
%
Ь2 — сумма вклада через год,
Ь2 = Ь{ + 0,03“ = 1,03b],
% — сумма вклада через 2 года,
"з = ”2 + 0,03% = 1,03fe2,
“ 一сумма вклада через 3 года,
4 = % + 0,03% = 1,03%,
勾一сумма вклада через 4 года, 匕5 = 4 + 0,03" = 1 ’ОЗ".
II этап
与=1,03b],
勾=1,03与=1,03 • 1,03b] = 1,032%, “=1,03%=1,03- 1,032ft, = 1,03361?
勾=1,03"= 1,03 • 1,033"= 1,034%, 九=6円"-1, где q= 1,03.
%= 1,034 • 10 000= 11255.
Ответ. Через 4 года 11 255 р.; через п лет 1,03я-1 • 10 000 р.
Пришли к знакомой нам формуле "-го члена геометрической прогрессии. Запишем ее в общем виде, обозначив через р — число процентов, а — первоначальный вклад, / — время изменения первоначального вклада (необязательно год):
Схема на рисунке 47 важна для осознания процесса образования вклада: к предыдущему прибавляется один и тот же процент от предыдущего вклада, т. е. каждый раз сумма увеличивается. Потом полезно сравнить обе схемы (рис. 46 и 47) и полученные формулы.
О формуле сложных процентов учащиеся будут говорить в старших классах, изучая степенную функцию.
Кроме задач, указанных выше, можно использовать задачи 582, 650, 654, 692. Дополнительно 483, 658, 697, 699.
Уроки 12—17. Функции. Неравенства. Системы неравенств
Повторение изученных функций и их свойств целесообразно объединить с обобщением и систематизацией знаний по теме «Неравенства», так как непосредственное решение неравенств при исследовании функций позволяет сделать повторение и того и другого материала более осмысленным.
Упражнения учебника целесообразно дополнять вопросами, которые ведут к необходимости применения знаний по всему курсу алгебры. Например, упражнение 660 можно дополнить требованием: выяснить, при. каких значениях % функция принимает положительные (отрицательные) значения. Решение упражнения 661 (1,2) целесообразно выполнить в одной координатной плоскости, что позволит сделать вывод о влиянии и знака коэффициента k, и его модуля на расположение прямой в плоскости. Прежде чем строить графики в упражнении 661 (3, 4), выявить возможность построения прямых не только по двум точкам, но и с помощью сдвига прямых у = х или р = —% соответственно.
Построение графиков из упражнения 662 полезно выполнить двумя способами: по пяти точкам и с помощью сдвигов, а затем предложить с помощью графика провести исследование функции по схеме:
Найти область определения функции.
Указать, какие значения может принимать функция.
Определить, при каких значениях % функция принимает положительные; отрицательные значения; значения, равные нулю.
Определить, при каких значениях аргумента функция возрастает; убывает.
Выявить, имеет ли функция наибольшее или наименьшее значение.
Выявить, является ли график функции симметричным относительно оси ординат, начала координат (является ли функция четной или нечетной).
Если позволяет уровень математической подготовки класса, упражнение 668 желательно выполнить в обратном порядке: сначала исследовать функцию по указанной схеме аналитически, а потом построить ее график. В таком же порядке можно выполнить и упражнения 671 (1, 2), 672 (1, 2). А в заданиях 671 (3, 4), 673, 674 исследование функций провести с помощью графика.
Выполняя аналитическое исследование функций, повторить различные способы решения неравенств первой степени и квадратных. Учащихся можно попросить переформулировать задание
в упражнении 632, чтобы связать его с исследованием соответствующих функций. А неравенства 633 можно решить как аналитически, так и с помощью графику.
Решение систем неравенств 629—631 можно предложить выполнить дома самостоятельно, результат выполнения проверить в классе.
Прежде чем решить неравенства 634, 641 методом интервалов, полезно переформулировать задания, например, так:
3) При каких значениях % функция р = (%+ 1,5)(х — 2)х принимает положительные значения? В качестве дополнительных вопросов попросить выяснить: что является областью определения этой функции? Какие значения она может принимать? Чему равны нули этой функции?
Упражнение 641(1) можно усложнить, предложив найти об- (х + 3)(х — 7)
ласть определения и нули функции у =——，и выяснить,
при каких значениях % функция принимает положительные значения.
Одно-два задания из упражнений 634, 641 можно предложить переформулировать самим учащимся, что поможет выяснить, насколько осознанно учащиеся подходят к цели изучения приемов решения неравенств.
При обсуждении этих же упражнений имеет смысл предложить учащимся подумать, какими еще методами можно решить данные неравенства, какой из них будет наиболее рациональным. Упражнение 634(1) выполнить с помощью систем и графика и обсудить возможность подобных решений неравенства 634(4). Здесь важно, чтобы учащиеся сами сделали вывод об удобстве метода интервалов при решении подобных неравенств.
Можно сообщить учащимся, что в старших классах они научатся строить графики функций, которые заданы многочленами 3-й и 4-й степеней.
К концу обучения в основной школе учащиеся должны хорошо знать свойства функций: y = kx, y = kx + b, у = х2, у = ах2 + Ьх + с, р = %з, р=《, У=±, У = |%|, У = Vx, поэтому целесообразно на каждом из уроков повторения темы «Функция» использовать таблицу с изображением графиков некоторых конкретных функций (рис. 48) (настенную или индивидуальную), чтобы устно исследовать функции с помощью графиков по вышеупомянутой схеме. Если рисунки из этой таблицы перенести на прозрачную пленку, то с помощью кодопроектора можно быстро осуществить сдвиги графиков и исследовать вновь образованные функции, предварительно записывая их аналитически.
При наличии времени полезно предложить учащимся построить на координатной плоскости точки, соответствующие первым нескольким членам некоторой числовой последовательности.
Рис. 48
Например, последовательности, заданной формулой п-го члена: ля = Зя —2. Полученные точки лежат на одной прямой, но не все точки прямой соответствуют членам последовательности. Действительно, учащиеся познакомились с функцией, областью определения которой являются натуральные числа и графиком ее является множество точек плоскости. Такая иллюстрация позволяет дать представление о многообразии функций и их применении.
Все задания пункта 5 «Функции и графики» из упражнений для итогового повторения можно использовать на этих уроках, обратив внимание на комментарии к некоторым из них, приведенные выше. Дополнительно можно решить упражнения 786—788, 800—802.
Уроки 18—19. Итоговая контрольная работа
Текст работы рекомендуется составить с помощью «Сборника заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 класс» Л. В. Кузнецовой и др. (М.: Дрофа, 278
1996—2000). Работа послужит репетицией экзамена, а ее анализ позволит оптимально организовать последние уроки повторения.
Уроки 21—23. Решение задач по всему курсу алгебры VII—IX классов
На этих уроках можно использовать комплексные задания п. 7 «Итоговое повторение» учебника «Алгебра, 9». Варианты этих заданий составлены так, что, выполняя один из них, учащиеся вынуждены решать задачи разных разделов курса, а это определенным образом готовит их к выполнению экзаменационной работы. Конкретные варианты для решения на последних уроках рекомендуется подобрать по результатам анализа контрольной работы.
Примерное поурочное планирование учебного материала
VII класс
I вариант (3 ч в неделю, всего — 102 ч)II вариант (4 ч в неделю, всего — 136 ч)
№ §
Содержание материала
Количество часов
I вариант
II вариант
Глава I. Алгебраические выражения
11 ч
14 ч ,
1
Числовые выражения
2 ч
3 ч
2 -
Алгебраические выражения
1 ч
1 ч
3
Алгебраические равенства. Формулы
2 ч
3 ч
4
Свойства арифметических действий
2 ч
3 ч
5
Правила раскрытия скобок
2 ч
2 ч
Обобщающий урок
1 ч
1 ч
Контрольная работа № 1
1 ч
1 ч
Глава II. Уравнения с одним неизвест-
8 ч
10 ч
ным
6
Уравнение и его корни
1 ч
1 ч
7
Решение уравнений с одним неизвест-
2 ч
3 ч
ным, сводящихся к линейным
8
Решение задач с помощью уравнений
Зч
4 ч
Обобщающий урок
1 ч
1 ч
Контрольная работа № 2
1 ч
1 ч
Глава III. Одночлены и многочлены
20 ч
24 ч
9
Степень с натуральным показателем
2 ч
2ч
10
Свойства степени с натуральным пока-
3 ч
Зч
зателем
11
Одночлен. Стандартный вид одночлена
1 ч
1 ч
12
Умножение одночленов
2 ч
2 ч
13
Многочлены
1 ч
1 ч
14
Приведение подобных членов
1 ч
2 ч
15
Сложение и вычитание многочленов
2 ч
3 ч
16
Умножение многочлена на одночлен
1 ч
2 ч
17
Умножение многочлена на многочлен
3 ч
3 ч
18
Деление одночлена и многочлена на од-
2 ч
2 ч
ночлен
Обобщающий урок
1 ч
2 ч
Контрольная работа № 3
1 ч
1 ч
Количество часов
№ §
Содержание материала
I вариант
II вариант
Глава IV Разложение многочленов на
17 ч
19ч <
множители
19
Вынесение общего множителя за скобки
3 ч
3 ч
20
Способ группировки
3 ч
3 ч
21
Формула разности квадратов
3 ч
3 ч
22
Квадрат суммы. Квадрат разности
4 ч
4 ч
23
Применение нескольких способов раз-
Зч
5 ч
ложения многочлена на множители
Контрольная работа № 4
1 ч
1 ч
Глава V Алгебраические дроби
21 ч
22 ч /с
24
Алгебраическая дробь. Сокращение
3 ч
Зч
дробей
25
Приведение дробей к общему знамена-
3 ч
3 ч
телю
26
Сложение и вычитание алгебраических
5 ч
6 ч
дробей
27
Умножение и деление алгебраических
4 ч
4 ч
дробей
28
Совместные действия над алгебраичес-
5 ч
5 ч
кими дробями
Контрольная работа № 5
1 ч
1 ч
Глава VI. Линейная функция и ее гра-
10 ч
144 /Z
фик
29
Прямоугольная система координат на
1 ч
2 ч
плоскости
30
Функция
2 ч
3 ч
31
Функция у =々х н ее график
3 ч
3 ч
32
Линейная функция и ее график
3 ч
3 ч
Обобщающий урок
2 ч
Контрольная работа № 6
1 ч
1 ч
Глава VII. Системы двух уравнений с
13ч
18 ч /、
двумя неизвестными
33
Системы уравнений
1 ч
1 ч
34
Способ подстановки
Зч
3 ч
35
Способ сложения
Зч
4 ч
36
Графический способ решения систем
2 ч
2 ч
уравнений
37
Решение задач с помощью систем урав-
3 ч
5 ч
нений~
Обобщающий урок
2 ч
Контрольная работа № 7
1 ч
1 ч
Повторение
2 ч
15ч Г ；
VIII класс
1 вариант (3 ч в неделю, всего — 102 ч)II вариант (4 ч в неделю, всего — 136 ч)
№ §
Содержание материала
Количество часов
I вариант
II вариант
Глава I. Неравенства
19ч
21 ч -|~-
1
Положительные и отрицательные числа
2 ч
2 ч
2
Числовые неравенства
1 ч
1 q
3
Основные свойства числовых нера-
2 ч
2 ч
венств
Сложение и умножение неравенств
1 ч
1 ч
Строгие и нестрогие неравенства
1 ч
1 ч
Неравенства с одним неизвестным
1 ч
1 ч
Решение неравенств
3 ч
Зч
Системы неравенств с одним неизвест-
1 ч
1 ч
ным. Числовые промежутки
9
Решение систем неравенств
Зч
4 ч
10
Модуль числа. Уравнения и неравенст-
2 ч
Зч
ва, содержащие модуль
Обобщающий урок
1 ч
1 ч
Контрольная работа № 1
1 ч
1 ч
Глава II. Приближенные вычисления
14 ч
11
Приближенные значения величин. По-
2 ч
2 ч
грешность приближения
12
Оценка погрешности
2 ч
2 ч
13
Округление чисел
1 ч
1 ч
14
Относительная погрешность
2 ч
2 ч
15
Простейшие вычисления на микрокаль-
2 ч
回
куляторе
16
Стандартный вид числа. Контрольная
2ч
2 ч
работа № 2
17
Вычисления на микрокалькуляторе сте-
1 ч
1 ч
пени числа и числа, обратного данному
18
Последовательное выполнение опера-
1 ч
1 ч
ций на микрокалькуляторе
19
Вычисление на микрокалькуляторе с ис-
1 ч
1 ч
пользованием ячейки памяти
Глава III. Квадратные корни
14 ч
4-5^ч
20
Арифметический квадратный корень
2 ч
2 ч
21
Действительные числа
2 ч
2 ч
22
Квадратный корень из степени
3 ч
Зч
23
Квадратный корень из произведения
2 ч
2 ч
24
Квадратный корень из дроби
2 q
3 ч
Обобщающий урок
2 ч
2寸
Контрольная работа № 3
1 ч
1 ч
№ §
Содержание материала
Количество часов
I вариант
II вариант
Глава IV Квадратные уравнения
2&U ■
>Гч
25
Квадратное уравнение и его корни
2 ч
2 ч
26
Неполные квадратные уравнения
1 ч
1 ч
27
Метод выделения полного квадрата
1 ч
1 ч
28
Решение квадратных уравнений
4 ч
4T
J2
29
Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета.
2 ч
Зч
30
Уравнения, сводящиеся к квадратным
з Ч./ ч
X
』J
31
Решение задач с помощью квадратных уравнений
4 ч
4 ч
32
Решение простейших систем, содержащих уравнение второй степени
Зч
3 ч
Обобщающие уроки
2 ч
2 ч
Контрольная работа № 4
1 ч
1 ч
33*
Комплексные числа
34*
Квадратные уравнения с комплексным
неизвестным
Глава V Квадратичная функция
16ч
18 ч
纣
35
Определение квадратичной функции
1 ч
2 ч
36
Функция у = X2
1 ч
2 ч
37
Функция у = ах2
3 ч
3 q
38
Функция у = ах2 + Ьх + с
3 ч
3 ч
39
Построение графика квадратичной функции
5 ч
5 ч
Обобщающие уроки
2 ч
2 ч
Контрольная работа № 5
1 ч
1 ч
Глава VI. Квадратные неравенства
12 ч
43 q
40
Квадратное неравенство и его решение
2 ч
2 ч
41
Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции
5 ч
5 ч
42
Метод интервалов
2 ч
4 ч
43*
Исследование квадратного трехчлена
1 ч
2 ч
Обобщающий урок
1 ч
1 ч
Контрольная работа № 6
1 ч
1 ч
Повторение и решение задач
4 ч
.goy
IX класс
1 вариант (3 ч в неделю, всего — 102 ч)И вариант (4 ч в неделю, всего — 136 ч)
№ §
Содержание материала
Количество часов
I вариант
И вариант
4
5
6
7
8, 9
10, 11
12
13
14
15
16
17
18
Повторение
Глава L Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений Деление многочленов
Решение алгебраических уравнений Уравнения, сводящиеся к алгебраическим. Проверочная работа
Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными
Различные способы решения систем уравнений
Решение задач с помощью систем уравнений
Обобщающие уроки
Контрольная работа № 1
Глава II. Степень с рациональным показателем
Повторение свойств степени с натуральным показателем
Степень с целым показателем Арифметический корень натуральной степени. Свойства арифметического корня Степень с рациональным показателем. Возведение в степень числового неравенства
Обобщающий урок
Контрольная работа № 2
Глава III. Степенная функция Область определения функции Возрастание и убывание функции Четность и нечетность функции _k
Функция У ~
Неравенства и уравнения, содержащие степень
Обобщающие уроки
Контрольная работа № 3
Глава IV Элементы тригонометрии Радианная мера угла
Поворот точки вокруг начала координат
4 ч
*
2 ч
3 ч
3 ч
Зч
3 ч
3 ч
2 ч
1 ч
2 ч
4 ч
2 ч
1 ч
1 ч
1 ч
17 ч
3 ч
2 ч
2 ч
Зч
5 ч
2 ч
ч
ч + 2 ч
ч
ч
6 ч
26 ч
3 ч
3、「
■
'4 я
4 ч
2 ч
1 ч
14 ч
2 ч
。
*&н
2 ч
%ч
1 ч
21 ч
3 ч
3 ч
2 ч
А ч
后ч
,2 ч
1 ч
16ч+2и二
1 ч
3 ч
№ §
Содержание материала
Количество часов
I вариант
II вариант
19
Определение синуса, косинуса и танген-
2ч
Зч
са угла
20
Знаки синуса, косинуса н тангенса
1 ч
2 ч
21, 22
Зависимость между синусом, косинусом
2 ч
Зч
и тангенсом одного и того же угла. Три-
гонометрические тождества
23
Синус, косинус, тангенс углов а и —а
1 ч
1 ч
24, 25
Формулы сложения. Синус и косинус
1 ч
1 ч
двойного угла
26
Формулы приведения
1 ч
2 ч
Обобщающий урок. Контрольная рабо-
1 ч
2ч
та № 4
Глава V Прогрессии
16 ч
20чХ：4'
27
Числовая последовательность
1 ч
2 ч
28
Арифметическая прогрессия
Зч
Зч
29
Сумма 〃 первых членов арифметичес-
3 ч
4 ч
кой прогрессии
30
Геометрическая прогрессия
3 ч
Зч
31
Сумма п первых членов геометрической
3 ч
4 ч
прогрессии
32
Бесконечно убывающая геометрическая
1 ч
1 ч
прогрессия
Обобщающий урок
1 ч
回弓
Контрольная работа № 5
1 ч
1 ч
Повторение курса алгебры
21 ч+2 ч
3bj+2F
Предисловие 3
VII класс 6
Глава I. Алгебраические выражения 6
Глава П. Уравнения с одним неизвестным 22
Глава III. Одночлены и многочлены 34
Глава IV Разложение многочленов на множители ....53
Глава V Алгебраические дроби 68
Глава VI. Линейная функция и ее график 80
Глава VII. Системы двух уравнений с двумя неизвестными 90
VIII класс 101
Глава I. Неравенства101
Глава П. Приближенные вычисления 122
Глава III. Квадратные корни132
Глава IV Квадратные уравнения 143
Глава V Квадратичная функция160
Глава VI. Квадратные неравенства 172
IX класс180
Повторение180
Глава I. Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений 184
Глава П. Степень с рациональным показателем206
Глава Ш. Степенная функция 217
Глава IV Элементы тригонометрии 238
Глава V Прогрессии252
Краткие рекомендации по заключительному повторению курса алгебры VII—IX классов267
Примерное поурочное планирование учебного материала 280
Колягин Юрий Михайлович Сидоров Юрий Викторович Ткачева Мария Владимировна Федорова Надежда Евгеньевна Шабунин Михаил Иванович
Изучение алгебры
в 7——9 классах
КНИГА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Л. Н. Белоновская Младший редактор Н. В. Сидельковская Художники В. А. Андрианов, £. В. Соганова Художественный редактор Л. В. Крикунов Компьютерная графика Л. Г. Вьюнковской Технический редактор М. Л. Полуян Корректоры И. А. Григалашвили. О. Н. Леонова
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93— 953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Сдано в набор 20.04.01. Подписано к печати 09.10.01. Формат бОХЭО1/^. Бумага типографская № 2. Гарнитура Литературная. Печать офсетная. Ус л. печ. л. 18. Ус л. кр.-отт. 18,56. Уч.-изд. л. 16,27. Тираж 15 000 экз. Заказ № 424.
Федеральное государственное унитарное предприятие ордена Трудового Красного Знамени Издательство «Просвещение» Министерства Российской Федерации по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Государственное унитарное предприятие ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Министерства Российской Федерации по делам печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.
we叩
Выходит с 1924 года
ЧТОБЫ БЫТЬ В КУРСЕ
ПОСЛЕДНИХ СОБЫТИЙ В ОБРАЗОВАНИИ,ЧИТАЙТЕ «УЧИТЕЛЬСКУЮ ГАЗЕТУ»!
Наши рубрики:
«Дневник», «Учебники», «Школа», «Социальная защита», «Директорский клуб», «Высшая школа», «Методическая кухня», «Ваш адвокат», «Из первых рук».
Наши 0кщш:
—конкурс «Учитель года России»;
—конкурс «Лидер в образовании»;
—Всероссийская олимпиада школьников по граждановедению;
■— конкурс методических разработок «Сто друзей».
mWMWBAHTECb椎加%硅/7殖懒侬麻阳汕依覆лау用右解т«Focmim：
«Учительская газета» (50137, 32168)
«Граждановедение» (32515, 32715)
«Мой профсоюз» (35463, 35464)
«Образовательное право. Деловая папка «УГ» (35465, 35466)
«Сто друзей. Методическая кухня «УГ» (35467, 35468)
Новинка! Методические разработки лучших учителей России в. журнале «Учитель года. Лучшее от лучших».
Индекс в каталоге «Роспечать» — 80015
Новинка! «Военное образование» — газета для руководителей военных учебных заведений, преподавателей, курсантов, кадетов, суворовцев, учителей НВП и ОБЖ, старшеклассников, мечтающих стать офицерами, и их родителей.
Индекс в каталоге «Роспечать» — 35824, 35826
Телефон для справок: (095) 928-82-53
ElXK《85) 298-03*16ЁчпмА: u^buggАдрес в 1йгфнете: www.ug.ru
МЫ ПРЕДЛАГАЕМ:
книги крупным и мелким оптомсо складов издательства;
контейнерную отгрузку во все регионы Россиии страны СНГ;
Книгу—ПОЧТОЙ：
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41,издательство «Просвещение», «Книга——почтой».
Телефон: 289 50 26
E-mail: prosv@online.ru http://www. prosv. ru
Нашу литературу оптом и в розницуможно приобрести в магазине
«Книги
«ПРОСВЕЩЕНИЯ»
127521, Москва, ул. Октябрьская, 89 Телефоны: (095) 289 44 44, 289 60 44
Факсы: (095) 289 60 26, 289 62 35
ПРОЕЗД:
ст. метро «Белорусская», далее трол. 18 до ост.
«Гостиница «Северная»;
авт. 12 до ост.
«1-й Стрелецкий пер.»;
ст. метро «Рижская», далее трол. 18, 42, авт. 84 до ост. «Гостиница «Северная».
8 классавторы В. И. Жохов,К). Н. Макарычев, Н. Г. Мкнзюг8 классавторы В. И. Жохов,К). Н. Макарычев, Н. Г. Мкнзюг7 классавторы Л. И. Звавп* Л. В. Кузнецова. С. Б. Суворова7 классавторы Л. И. Звавп* Л. В. Кузнецова. С. Б. СувороваУчебно-методический комплект по алгебре для 7, 8 и 9 классов содепжит:Е](ЯЖ ^lJMTУчебно-методический комплект по алгебре для 7, 8 и 9 классов содепжит:Е](ЯЖ ^lJMTISBN 5-09-010414-ХISBN 5-09-010414-Х
8 класс
авторы В. И. Жохов,
К). Н. Макарычев, Н. Г. Мкнзюг
8 класс
авторы В. И. Жохов,
К). Н. Макарычев, Н. Г. Мкнзюг
7 класс
авторы Л. И. Звавп* Л. В. Кузнецова. С. Б. Суворова
7 класс
авторы Л. И. Звавп* Л. В. Кузнецова. С. Б. Суворова
Учебно-методический комплект по алгебре для 7, 8 и 9 классов содепжит:
Е](ЯЖ ^lJMT
Учебно-методический комплект по алгебре для 7, 8 и 9 классов содепжит:
Е](ЯЖ ^lJMT
ISBN 5-09-010414-Х
ISBN 5-09-010414-Х
Учебники для 7, 8 и 9 классов авторы II . А. Ал* гор и др.
Дидактические материалы по алгебре
9 класс
авторы Ю. Н. Макарычев, Н. Г, Минпюк, Л. М. Короткова
Изучение алгебры в 7-9 классах авторы Ю. М. Колягмн и др.
Раоочая тетрадь но алгебре для 8 класса авторы Ю. М. Колягмн и др.
За страницами учебн 1ка алгебры
авто Л. Ф. 11ичу1>ин
4. Заполнив пропуск, представить степени в виде произведения двух степеней:
1) x8=%2-П; 2) %8=□.%3； 3) %8=□.%7
В работе со слабоуспевающими учащимися с целью подчеркнуть тот факт, что в формулах (1) и (2) а и fr — любые числа или алгебраические выражения, иногда записывают эти формулы так: (△+□)(△-□)=△?-□：⑴
△?-□?=(△ —□)(△+□).(2)
Интересующимся математикой учащимся при изучении параграфа могут быть предложены упражнения 367—369 и 777 (его решение дано в конце учебника). Этим же ученикам дополнительно можно предложить решить задачу 781 и задачи, которые объединены той же идеей:
1. Зная, что 216 = 65 536, вычислить устно
(2 + 1)(22 + 1)(24+1)(28 + 1).
2. Упростить выражение
(X — у)(% + у)(%2 + у2)(%4 + у4)(%8 + у8)(% 16 _|_ 少6)(%32 _|_ у32) _|_)64.
1) Зх2+12х^+12^2; 2) 8а(Ь —3) + с(3-Ь);
1) Указать значение у, соответствующее значению %= —1; 2; 5.
3) Указать значения %, при которых соответствующее значение у положительно; отрицательно; равно нулю.
6. Назвать координаты точек А, В, С, D, £, F, К (рис. 3) и ответить на вопросы:
1) Какая точка имеет наименьшую (наибольшую) абсциссу?
2) Какая точка имеет наименьшую (наибольшую) ординату?
3) Какая точка имеет равную нулю абсциссу (ординату)?
4) Какие точки имеют положительные (отрицательные) ординаты?
5) Какие точки имеют абсциссу больше 3?
7. На рисунке 11 (с. 126 учебника) изображен график изменения температуры. После ответов на вопросы упражнения 545 определить:
1) в какое время суток температура поднималась выше 0°; зыше 1°;
2) в какое время суток температура понижалась; повышалась?
На первом уроке после разбора задачи 1 вводятся понятия [временных — зависимой и независимой. Учащиеся знакомятся термином «функциональная зависимость», однако добиваться
3) определить, при каких целочисленных значениях % функция тринимает положительные; отрицательные значения.
Функция у = kx вводится как одна из простейших зависимостей между двумя переменными. До рассмотрения вврдной задачи
1) V6^4 = 0,8; 2) V0^4 = -0,8; 3)択=/・
2. Вычислить:
1) 252 — 242； 2) - 192 + 202; 3) - 172+ 182;
4) 36 + 2-6-4+ 16; 5) 144-2- 12-9 + 81.
1) 2х(х2-3)-х(1-х) = 2(х2-3); 2)嘗一3 = -^-.%+3% 炉+Зх」
** Подчеркнутые места заполняются учащимися5 по ходу лекции.
В результате изучения параграфа все учащиеся должны с помощью графиков выявлять четные и нечетные функции, знать свойства функции у = х3 и уметь строить ее график, уметь выполнять упражнения типа 172, 173.
5. Решить уравнение
Vx + 7 = 1 + %. [% + 2 = V8 +%.]
弘“^s^2^ %" 7,
Изучение алгебры
вв不9不9классахклассах
в
в
不9
不9
классах
классах
Книга для учителя
Москва•Просвещение-
2002
УДК 372.8:512
ББК 74.262.21
И39
Авторы: Ю. М. Колягин, Н. Е. Федорова,Авторы: Ю. М. Колягин, Н. Е. Федорова,Ю. В. Сидоров, М. В. Ткачева, М. И. Шабунин
Авторы: Ю. М. Колягин, Н. Е. Федорова,
Авторы: Ю. М. Колягин, Н. Е. Федорова,
Изучение алгебры в 7—9 классах : Кн. для учителя / И39 Ю. М. Колягин, Ю. В. Сборов, М. В. Ткачева и др.— М.: Просвещение, 2002.— 287 с.: ил.— ISBN 5-09-010414-Х.
Книга содержит методические рекомендации учителям, преподающим алгебру в 7—9 классах по учебникам авторов Ш. А. Алимова, Ю. М. Коляги- на, Ю. В. Сидорова, Н. Е. Федоровой, М. И. Шабунина. Пособие написано в соответствии с концепцией обучения алгебре по этим учебникам, а также с их содержанием и структурой. В нем даны как общие, так н конкретные советы по изучению каждой темы.
УДК 372.8:512
ISBN 5-09-010414-ХISBN 5-09-010414-ХББК 74.262.21
ISBN 5-09-010414-Х
ISBN 5-09-010414-Х
© Издательство «Просвещение», 2002 © ^дожественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2002 Все права защищены