ПРЕДИСЛОВИЕ

Во многих современных отраслях промышленности — электронной, радиотехнической, атомной, оптической, металлургической и др.——широко используются производственные Процессы, протекающие при очень низких давлениях. Вакуумные печи в металлургии, напыление пленок в вакууме, вакуумная пайка и сварка, разделение изотопов, вакуумное замораживание и сушка в производстве лекарственных препаратов, вакуумная теплоизоляция в криогенике — все это лишь небольшая часть примеров применения вакуума в технике. Важная роль принадлежит вакуумной технике при создании экспериментальных установок и аппаратуры для исследований в области ядерной физики, физики плазмы, физики твердого тела, материаловедения и т. п.

Развитие и совершенствование вакуумной техники потребовало глубокого изучения законов тепло-массообмена и движения газа при больших степенях разрежения. Особенно большой практический интерес к механике разреженного газа вызвало развитие авиационной и ракетно- космической техники. Расчет аэродинамических характеристик летательных аппаратов, движущихся на больших высотах около Земли или других планет； разработка молекулярных заборников газа; создание датчиков для ракетного зондирования верхних слоев атмосферы; проектирование экспериментальных стендов для моделирования гиперзвукового движения аппарата на больших высотах; создание наземных испытательных комплексов, в которых имитируются условия космического пространства, и т. д. — все эти задачи относятся в значительной степени к разделу науки, называемому механикой разреженного газа (или динамикой разреженного газа). О чрезвычайно большом значении этого раздела науки свидетельствует огромное число работ о движении разреженного газа, публикуемых в последнее время в периодической печати в СССР и за рубежом (особенно в США, Англии, Франции), а также тематика национальных и международных конференций по механике и физике. Начиная с 1958 г., с двухгодичным интервалом проводятся международные симпозиумы, целиком посвященные динамике разреженного газа.

Предметом изучения динамики разреженного газа являются, главным образом, процессы тепло-массообмена и движения газов при значительных степенях разрежения. При условиях, когда степень разрежения газа велика, методы расчета теплоотдачи и течений газов, основанные на уравнениях обычной газовой динамики, становятся непригодными. В этих условиях дискретный (молекулярный) характер газовой среды проявляется совершенно иначе, чем в случае «плотных» газов.

Фундаментом динамики разреженных газов являются молекулярнокинетические представления о структуре газа. В этом отношении динамика разреженных газов является одним из ответвлений молекулярнокинетической теории вещества.

Настоящая монография посвящена прикладным вопросам динамики разреженного газа. Основное внимание при этом уделено задачам о.теплообмене и сопротивлении тел в потоке нейтрального разреженного газа» внутренним течениям.

Основная цель, которая преследовалась при создании настоящей монографии, заключалась в систематизации и обобщении результатов, теоретических и экспериментальных исследований, представляющих наибольший практической интерес.

Первая глава написана проф. Ю. А. Кошмаровым и проф. Ю. А. Рыжовым. Вторая и третья главы написаны проф. Ю. А. Кошмаровым.

Авторы выражают благодарность члену-корреспонденту АН СССР В. С. Авдуевскому, высказавшему ряд ценных замечаний о структуре и направленности монографии, и канд. техн, наук С. Б. Свирщевскому, М. А. Шаровой, Г. В. Симаковой, Н. В. Родиной, Р. В. Вериной за помощь при подготовке рукописи.

ГЛАВА I

ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ

МОЛЕКУЛЯРНАЯ СТРУКТУРА ГАЗОВ

Газ представляет собой совокупность огромного числа материальных частиц, называемых молекулами. Например, вблизи поверхности Земли в 1 см3 воздуха содержится приблизительно 1019 молекул, а на высоте Г00 км (где давление составляет приблизительно одну миллионную от давления у поверхности) в 1 см3 содержится 1013 молекул.

Каждая молекула является центром некоторого силового поля. Две молекулы притягиваются друг к другу, когда они значительно удалены друг от друга, и отталкиваются при достаточном сближении. Во многих случаях молекулу можно рассматривать как центр сферически симметричного силового поля. Сила взаимодействия F между такими молекулами является функцией только межмолекулярного расстояния г. Следует отметить, что силовое поле у двухатомных и многоатомных молекул несферическое. Однако, если нас интересуют лишь осредненные результаты взаимодействия большого числа разно ориентированных относительно друг друга молекул, то в первом приближении силу взаимодействия этих молекул также можно считать при решении многих задач лишь функцией межмолекулярного расстояния.

Для описания силового поля молекулы удобно использовать потенциальную энергию взаимодействия Ф. Потенциальная энергия Ф(г) и сила F(r) связаны простыми соотношениями 尸(「)= — d<Z>/dr, Ф(г) = =j 尸(г) dr.

Конкретный вид функций 尸(г) и Ф(г) зависит от природы молекул. Для большинства простых молекул можно воспользоваться формулой следующего вида:

O=KL-к2厂-. (1.1)

Первый член в правой части формулы (1.1) описывает энергию отталкивания, а второй — энергию притяжения. Частным видом этой формулы является следующее выражение:

(1.2)

Функцию (1.2) называют потенциалом Ленарда — Джонса (6—12). Параметры Фо и Го характеризуют химическую разновидность молекул. Величина г。есть значение г, при котором потенциал равен нулю, и равняется нескольким ангстремам. Например, для гелия Го = 2,57-10~8 СМ) Для азота Го=3,7-10-8 см [12]. Величина Фо — максимальное значение энергии притяжения (или глубина потенциальной ямы), которое достигается при г— —21/6 г。. Величина Фо/^ (« — постоянная Больцмана) может составлять в зависимости от природы газа десятки и сотни градусов Кельвина. Потенциал Ленарда — Джонса дает близкое к реальному

представление о взаимодействии между молекулами. Из (1.2) нетрудно видеть, что при больших расстояниях (г》/*。) превалируют силы притяжения, а при малых расстояниях (г<го) — силы отталкивания. Важно подчеркнуть, что величина межмолекулярных сил быстро убывает с расстоянием между молекулами. Эти силы становятся заметными лишь на расстояниях порядка линейных размеров самих молекул, т. е. н1а расстояниях, равных нескольким ангстремам.

Характерной особенностью разреженного газа является то, что его молекулы разделены в среднем большими расстояниями, значительно превышающими расстояния, на которых заметны межмолекулярные силы. Представим себе мгновенный объемный снимок молекул, заключенных, например, в 1 см3 воздуха у поверхности Земли. Молекулы распределены в рассматриваемом объеме почти равномерно. На каждую молекулу приходится небольшая часть от кубического сантиметра, равная 10~19 см3. Следовательно, расстояние между молекулами в среднем равно 厂* = / 10~19 W6 см, т. е. почти на два порядка больше расстояния, на котором заметны межмолекулярные силы.

Молекулы газа, находясь в движении, большую часть времени практически не взаимодействуют друг с другом, так как находятся на больших расстояниях друг от друга. Взаимодействие между молекулами становится существенным лишь при заметном сближении их. Время процесса взаимодействия очень мало по сравнению со временем свободного движения. Например, при нормальных условиях (при этих условиях скорость молекул воздуха в среднем равна С^300 м/с) время прохождения двумя сближающимися молекулами воздуха расстояния порядка 1 А (т. е. расстояния, на котором заметно проявляются межмолекулярные силы) составляет величину тс« 10~13 с. При этом время свободного движения на два порядка больше. Короткий промежуток времени тс, в течение которого молекулы взаимодействуют, называют временем столкновения, а сам процесс взаимодействия — столкновением. Поскольку время столкновения молекул газа очень мало по сравнению со временем их свободного движения, вероятность взаимодействия одновременно трех и более молекул (т. е. вероятность тройных и более столкновений) пренебрежимо мала. Практически в разреженном газе имеют место лишь парные столкновения. При столкновениях молекулы обмениваются импульсом и энергией. Обычно каждую пару сталкивающихся частиц можно рассматривать в момент столкновения как изолированную систему. Действием внешних сил можно пренебрчь. Перед столкновением две молекулы проходят относительно большие расстояния, выходя из начальных точек, удаленных друг от друга настолько, что вначале эти молекулы движутся совершенно независимо. Движение молекул и их столкновения во всем практически интересном диапазоне условий обычно можно рассматривать с позиций классической ньютоновской механики.

СТОЛКНОВЕНИЕ ЧАСТИЦ

Рассмотрим столкновение двух молекул, массы которых <mi и т2. Будем считать, что при столкновении не происходит химической реакции, что потенциал взаимодействия Ф зависит лишь от расстояния между частицами г. В процессе взаимодействия выполняются законы сохранения массы, импульса и энергии. С учетом этого можем записать:

加1 +m2 =m；+ 冠；团忑 +m2岳=团芯 +欣务；％点+他2名=他芯2 +他2二

где §1 и 自2 ——скорости соответственно первой и второй молекул перед столкновением; 以——скорости молекул после столкновений; т/ и 优2‘ 一 массы молекул после столкновения. •

Все приведенные выше выражения законов сохранения для двух сталкивающихся частиц можно записать в виде

吗+讨2 =叫+达，

где 4f1, 4r2 — соответственно масса, импульс или энергия частицы. Вели* чины Т называют сумматорными инвариантами.

Решение задачи о столкновении двух частиц сильно упрощается, если вместо системы отсчета, скрепленной со стенками заполненного газом сосуда, или стенами лаборатории (лабораторная система отсчета), выбрать систему отсчета, скрепленную с центром инерции (центром масс) рассматриваемых частиц, называемую системой центра инерции. Центр инерции сталкивающихся молекул движется равномерно и пря- молинейнр (так как система изолированная). В этой системе координат движения молекул описывается вторым законом Ньютона

恤-^ =尸斤)；加2黑-=一尸(7),恤-^ =尸斤)；加2黑-=一尸(7),(ЬЗ)(ЬЗ)

恤-^ =尸斤)；加2黑-=一尸(7),

恤-^ =尸斤)；加2黑-=一尸(7),

(ЬЗ)

(ЬЗ)

где ri и 尸2 ——радиусы-векторы частиц;尸——сила, действующая на первую частицу со стороны второй и зависящая от г = п—r2.

Радиус-вектор центра масс в рассматриваемой системе координат равен нулю, т. е.

二 mz+m2办

十加2

Следовательно,

m1r1-\- т2г2 = 0-(1.4)

Из (1.4) следует, что

-加2 一 一-加2 一 一—-^-工加1 +加2—-^-工加1 +加2(1.5)(1.5)

-加2 一 一

-加2 一 一

—-^-工加1 +加2

—-^-工加1 +加2

(1.5)

(1.5)

Если выражения (1.5) подставить в систему уравнения (1.3), то она сведется к одному уравнению для г

d2广d2广=尸("=尸("(1・6)(1・6)

d2广

d2广

=尸("

=尸("

(1・6)

(1・6)

где 7Ио=-加】加2 — (при т1=т2=т имеем MQ=m/2\ Величину М^ на- 加1 +加2где 7Ио=-加】加2 — (при т1=т2=т имеем MQ=m/2\ Величину М^ на- 加1 +加2

где 7Ио=-加】加2 — (при т1=т2=т имеем MQ=m/2\ Величину М^ на- 加1 +加2

где 7Ио=-加】加2 — (при т1=т2=т имеем MQ=m/2\ Величину М^ на- 加1 +加2

зывают приведенной массой системы.

Таким образом, в системе центра масс задача о столкновении двух

молекул сводится к задаче о движении одной частицы с приведенной массой Mq в центральном силовом поле 尸(г), центр которого совпадает с началом -координат. Пусть скорость частицы с массой Мо вдали от си

лового центра численно равна g и направлена вдоль прямой, отстоящей на расстоянии b от силового центра О (рис. 1.1). Величину & называют прицельным расстоянием. Вдали от силового центра потенциальная энергия молекулы Ф = 0, а ее полная энергия и численное значение момента

子 Mog2 и М“子 Mog2 и М“импульса относительно точки О равны соответственно

子 Mog2 и М“

子 Mog2 и М“

В процессе движения частицы с массой Мо в центральном силовом поле сохраняется полная энергия и момент импульса. Следовательно (здесь используем полярные координаты),

(17)

Рис. 1.1. Пояснительная схема к задаче о столкновении двух частиц

Исключая из системы (1.7) время и интегрируя, получим уравнение траектории частицы

Из закона сохранения энергии следует, что величина относительной скорости молекул не изменяется, т. е. g = g‘, где g‘ ——относительная скорость после

столкновения. Кроме того, из закона сохранения момента количества движения вытекает, что b=Ь‘. Из (1.8) нетрудно найти угол б。, соответствующий минимальному расстоянию rmin, и угол отклонения % (угол между векторами относительной скорости до и после столкновения), который связан с 0о соотношением (см. рис. 1.1): % = п ——20о.

Формула для 0о записывается следующим образом:

6。=6 { 广.・(1.9)

Значение rmm в (1.9) определяется из уравнения

] 2。(厂mln)* °

—-*

При исследованиях течений разреженного газа часто используют упрощенные модели молекул. Одной из таких моделей является модель, согласно которой между молекулами действуют лишь силы отталкивания. Эта модель не учитывает силы притяжения. Формула для потенциала взаимодействия таких молекул получается из (1.1), если отбросить член, учитывающий энергию притяжения:

(匕 10)(匕 10)К

(匕 10)

(匕 10)

宀1

Величину s называют показателем отталкивания. Сопоставляя результаты опытных исследований вязкости (теплопроводности) газов с теоретическими расчетами, в которых используется модель (1.10), установили, что значения s, обеспечивающие наилучшее согласование, лежат в пределах от 5 до 15. Молекулы, у которых s=5, принято называть максвелловскими, а газ, состоящий из таких молекул, — максвелловским газом. Максвелловская модель, как будет видно в дальнейшем, очень удобна при теоретических расчетах, так как упрощает вычисления. Однако следует иметь в виду, что эта модель имеет ограниченный характер применения.

Для молекул со степенным законом взаимодействия (1.10) формула (1.9) преобразуется к виду

(1JD(1JD

(1JD

(1JD

11=0.=0.

1

1

=0.

=0.

L2(s-1)/<]L2(s-1)/<]где В = 〃〃； Bo=6"mlri； х =

L2(s-1)/<]

L2(s-1)/<]

Значение % определяется из уравнения

В теоретических исследованиях часто используется еще более простая модель молекулы, которая представляет собой абсолютно упругий и идеально гладкий шар. Эта модель дает лишь грубое представление о сильных короткодействующих силах отталкивания. Потенциал взаимодействия в этом случае записывается в виде

0(г) = 8 при г <d\ 1I

ф (г) = 0 при г > dt J•

где d ——диаметр молекулы.

Диаметр d подбирается таким образом, чтобы получить наилучшее согласование с результатами расчетов на основе более точных моделей или с данными опытов, В этом смысле столкновение реальных молекул как бы заменяется столкновением эквивалентных им шаров. При движении двух упругих шаров столкновения не происходит, если b>d. Столкновение происходит, если b<d. В момент соприкосновения шаров относительная скорость мгновенно меняет свое направление. Сфера, эквивалентная реальной молекуле, движется по траектории (в системе центра масс), состоящей из двух прямых, расположенных под углом х друг к другу (см. рис. 1.1). Эти линии являются асимптотами траектории реальной молекулы. Угол отклонения для твердых сфер вычисляется по формуле

X = 2 arccos (б/d) при 6《d;]

X = 0при 6〉d・ j•

Мы рассмотрели выше относительное движение двух сталкивающихся молекул. Это движение происходит в плоскости, связанной с центром масс и, следовательно, 。。z г m向+m2出

двигающейся в пространстве с постоянной скоростью £о，где &()=•

В этой плоскости лежат векторы относительных скоростей g =乳 ——82 и g' = ——g]. Эту плоскость принято называть плоскостью относительного движения. Свяжем с этой плоскостью другую плоскость, перпендикулярную вектору g и проходящую через начало координат (см. рис. 1.1, плоскость //). Эту плоскость можно назвать плоскостью мишени. Расстояние между точкой Л (точка пересечения линии, на которой лежит вектор g, с плоскостью мишени) и началом координат О есть прицельное расстояние. В дальнейшем необходимо будет фиксировать положение точки А (или плоскости относительного движения) в пространстве относительного движения. С этой целью удобно ввести цилиндрические координаты b и & Угол е есть угол между рассматриваемой плоскостью относительного движения и некоторой фиксированной，плоскостью (см. плоскость III на рис. 1.1). Параметры b и £ называются прицельными параметрами столкновения.

После того как решена задача об относительном движении сталкивающихся молекул, нетрудно получить формулы, связывающие величины составляющих скоростей молекул до и после столкновения (подробные выкладки даны в ряде книг, например [39]:

6^1 = hi + (2*2 —久1) cos? 0о + g [g2 —- (Ex? — hi)?]"? sin 290 COS £；

或 1 = Epi + ⑧2 — 81) cos2 0o + W [g2 —(匕2 — &1)2产 sin 20g cos (°2 — £)； ■ (1 • 14)

必=Ezi + (%2 — Ezi) cos2 6° + -^- [g2 _. &2 — Ezi)2]"2 sin 26° COS (O3 —力

где 占工厶 ^Vi, Ezt ——проекции вектора скорости молекулы перед столкновением на оси произвольной прямоугольной системы координат XYZ. Значком «штрих》отмечены составляющие скорости первой молекулы после столкновения; индексом i=l обозначены составляющие скорости первой молекулы, индексом i=2 ——второй молекулы.

Углы 02 и 0з определяются уравнениями

Ms 8(&2 - 81)(32 - 打1). ,-

[g2 - 6*2 -£1)2]1/2 国2 -®2 -出 1)2产"

Cos 6 - - &2 - &1) &2 - 81)

国2 -(г2 - hl*p/2 屬-&2 - за]"?

Формулы для е] получаются из (1.14) — (1.15) путем замены % на 出 и наоборот.

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ МОЛЕКУЛ ! И МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ГАЗА

Динамическое состояние системы из N одинаковых одноатомных молекул, находящихся в некотором ограниченном объеме V, будет определено совершенно точно, если известны положения и скорости всех частиц в отдельности. <С точки зрения классической механики координаты м скорости всех частиц можно определить в каждый момент времени, если будут заданы начальные и граничные условия, путем решения системы N уравнений Ньютона:

m 必-=% (，=1, 2, 3,..., N), (1.16)

Однако такой подход к описанию молекул газа наталкивается на принципиальные трудности. Например, для того чтобы рассчитать результат столкновения какой-либо молекулы газа со стенкой сосуда, нужно знать совершенно точно поведение атомов стенки в момент столкновения. В то же время поведение атомов стенки сосуда зависит от воздействия окружающей среды. Ясно, что детерминированные граничные условия для системы уравнений (1.16) исключаются. Кроме всего прочего, следует иметь в виду, что число молекул, образующих газ, чрезвычайно велико. Например, даже при давлении в миллиард раз меньшем, чем давление у поверхности Земли, в 1 см3 воздуха содержится приблизительно 1010 молекул. Задача совместного решения такого огромного числа уравнений Ньютона является фантастически сложной.

В связи со сказанным выше для описания состояния и поведения системы, состоящей из огромного числа молекул, приходится пользоваться статистическими методами. В основе молекулярной статистики лежит положение о неупорядоченности (хаотичности) движения молекул относительно друг друга. Согласно этому положению движения любых двух молекул, кроме только что столкнувшихся, рассматриваются как независимые. Скорости молекул могут принимать из-за столкновений любые значения, образуя непрерывный спектр случайных величин. Выделим в пространстве, заполненном газом, макроскопически малый объем dU= ^=dxdydzf т. е. такой объем, линейные размеры которого малы по сравнению с характерным размером задачи, но в котором содержится очень большое число молекул. Пусть в этом объеме содержится в момент времени к число частиц, равное ndV (где п — число частиц, приходящееся на единицу объема). Найдем вероятность dP того, что взятая наугад молекула этого объема будет иметь скорость, составляющие которой лежат в интервале от 厶，矗，Ez Д° 底+ 磷尸 & + 磽夕 & + "%• Если рассматривать общее число молекул в этом объеме как испытания, а число молекул dN, имеющих указанные скорости, как благоприятные случаи, то вероятность dP следует вычислять по формуле

dP=dN!ndV. (1.17)

Очевидно, что ndV должно быть очень большим числом, что практически всегда выполняется. Вероятность dP зависит от значений gx, Eg, Ez, около которых выбраны интервалы dj© d^y)d^z. Действительно, рассматривая, например, равновесное состояние газа, вряд ли можно насчитать большое число молекул, скорость которых в данный момент очень близка к нулю или составляет многие тысячи километров в секунду. Очевидно, что вероятность dP должна зависеть, с одной стороны, от значений 自尤， 久，&, около которых выбраны интервалы d&, d总，d£, а с другой — dP прямо пропорциональна величинам этих интервалов. Это положение можно записать в виде

dP=FdWxdWydWz、 (1.18)

где F —функция, зависящая от выбранных значений 自“，自廿，&.

Сопоставляя формулы (1.17) и (1.18), получим следующее внра*е・ ние, позволяющее вычислить ожидаемое число молекул с выбранными скоростями в выделенном объеме dV,

♦dN=nF d\xd^y dlzdxd ydz,(1.19)

До сих пор рассматривались молекулы в объеме около некоторой фиксированной точки (%yz) и в некоторый момент т. Очевидно, что в разных точках пространства и в разные моменты времени искомая вероятность dP может быть различной. Следовательно, функция 尸 в формуле (1.18) будет также функцией координат и времени 尸=尸(自”，薪，§z> x, у, z, т). Функция 尸 называется функцией распределения скоростей молекул, поскольку от нее зависит характер распределения вероятностей dP. Совокупность всех значений вероятностей для случайных величин gx, Eg, Ez есть распределение этих величин. Отметим одно важное свойство совокупности значений вероятностей

£dP=^-=l・(1.20)

ndV

Учитывая, что

+ «»

£dN = £(nFdWx%dWzdV) = dV JJJ 〃尸"&磷箱％

получим из (1.20) следующее выражение:

+ 8

JJj 尸％%呢=1・(1.21)

Условие (1.21) называется условием нормировки.

Вместо функции 尸 в расчетах удобно использовать функцию f = nF.

Если известна функция распределения скоростей, то можно вычислить любые макроскопические параметры газа. Физический смысл операций вычислений макроскопических величин заключается в осреднении соответствующих молекулярных признаков всех молекул, находящихся в элементарном объеме dV, в данный момент времени. Например, составляющую видимой (макроскопической) скорости 〃冥 получим осреднением значений 自冥 всех N=ndV молекул, находящихся в dV\

+

JjJn^xF^xd^zdV =

=JH ^Fd^d^=^^ ixf^x^z.(1.22)

Аналогично выражаются через f составляющие видимой скорости газа "и и 〃z：

+ 8'

йг/ = ~ JJJ "iyf d^xd^ydzz\

二(1.23)

Составляющие скоростей молекул 自心自⑺ & можно представить в виде суммы составляющих видимой скоростей газа и отклонений от этих

средних значений 备：=%：+&：, £ = 〃?+&/, &=〃z+G, где Сх, J, Cz — отклонения от средних значений, так называемые тепловые скорости молекул (или скорости хаотического движения).

Отметим, что поскольку отклонения могут быть и в большую и в меньшую сторону от щ, то

希 СiFdwq脑％=臨jFdCqCydCК，

где i=x,弘 z.

Исходя из определения температуры газа (температура есть средняя кинетическая энергия теплового движения молекул, измеряемая в градусах), можно выразить ее через 尸 следующим образом:

+ оо

7 = 1■£ Ш Т G +或 + 度)尸％”%,(1.24)

где k — постоянная Больцмана (々=mR).

Если же воспользоваться вместо F функцией 厶 получим

Давление в газе, согласно определению его в кинетической теории, можно выразить через / следующим образом:

+ оо

(1.25)(1.25)〃=漳m切(不+國+喲fdCxdCydCz.

(1.25)

(1.25)

Составляющие теплового потока qt и напряжение трения 尸叮 выражаются через / следующим образом :

十8

(1.26)(1.26)幻=jjj Ci^CS* 嗡 fdCxdCydCz、

(1.26)

(1.26)

гдегде力—"X, у, z,

где

где

гдегдегдегде+ ооJJj С [С j/dCxdCydC+ ооJJj С [С j/dCxdCydC(1.27)(1.27)Можно также ввести составляющие температуры:хх~ mnR"勿一丽'zz 一兀版 Рц = ш JJJ С?f dCxdCydCz.Можно также ввести составляющие температуры:хх~ mnR"勿一丽'zz 一兀版 Рц = ш JJJ С?f dCxdCydCz.(1.28)(1.28)

где

где

где

где

+ оо

JJj С [С j/dCxdCydC

+ оо

JJj С [С j/dCxdCydC

(1.27)

(1.27)

Можно также ввести составляющие температуры:

хх~ mnR"勿一丽'zz 一兀版 Рц = ш JJJ С?f dCxdCydCz.

Можно также ввести составляющие температуры:

хх~ mnR"勿一丽'zz 一兀版 Рц = ш JJJ С?f dCxdCydCz.

(1.28)

(1.28)

Если газ в объеме dV находится в равновесии, то компоненты главных напряжений Ри не зависят от направлений и все составляющие температуры совпадают (см. § 1.5).

Рис. 12 Пояснительная схема л выводу уравнения Больцмана:

♦ — молекулы, скорости которых лежат в интервале значений от Е*, %, % до Е* + dj, % + d%, J + +dj； О — все остальные молекулы

УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА

В предыдущем параграфе было показано, что все макроскопические характеристики течения нетрудно вычислить, если известна функция распределения скоростей молекул. Таким образом, решение всякой задачи ди

намики разреженного газа сводится к отысканию функции распределения скоростей. В общем случае для отыскания вида функции распределения скоростей молекул обращаются к уравнению Больцмана, выведенному им в 1872 г. Это уравнение получается при рассмотрении баланса частиц выделенного класса в элементе объема физического пространства.

Выделим в газе, состоящем из одноатомных молекул, около точки (х, у, z) элемент физического пространства dV=dxdydz (ри& 1.2). В этом элементе в момент времени т содержится ndV частиц (где п —— числовая плотность молекул в точке х, у, z). Скорости всех молекул различны по величине и направлению. Из числа ndV молекул выделим мо- лекулы, у которых значения составляющих скорстей лежат в интервале значений соответственно от &,自廿，& до & + d£, Wu + dJu，&+d&. Рассмотрим изменение числа этих выделенных частиц за малое время dr, величина которого, однако, много больше времени столкновения тс. Изменение числа молекул выделенного класса за время dp может быть обу-. словлено следующими причинами: а) движением молекул, в результате чего некоторое количество молекул выделенного класса покинет объем 4V, а некоторое с такими же скоростями поступит в dV\ б) действием внешнего поля массовых сил (например, сил тяжести), в результате чего часть молекул объема dV может изменить за время dr свою скорость и пополнить класс выделенных молекул, а с другой стороны, некоторое ,число молекул выделенного класса может так изменить свою скорость под действием внешних сил, что выйдет из числа выделенных; в) столкновениями молекул, в результате которых могут «погибать» молекулы выделенного класса (так как при столкновениях с другими молекулами у них изменяется скорость), или наоборот, при столкновениях молекул, ранее не входивших в выделенный класс, могут «рождаться» молекулы со скоростями, лежащими в указанном интервале значений.

Вычислим изменения, обусловленные движением молекул. Слева от элемента имеется какое-то количество молекул, скорости которых лежат в выделенном интервале значений. Те молекулы, которые находятся на расстоянии gxdr, обязательно попадут за время dr в элемент dV. Таким образом, все молекулы с выделенными значениями скоростей, находящиеся в объеме ^Xdxdydz, за время dt непременно попадут через ^евую грань dydz в dV и пополнят класс выделенных частиц. Число этих молекул в объеме ^dxdydz (из определения F) равно (nF)xd^xX Xd^yd^^dxdydz. Через правую грань dydz молекулы выделенного класса будут покидать dV. Число уходящих молекул через правую грань вычисляется аналогично: (nF)x+dxdZxdlyd^xdxdydz. Используем разложение в ряд Тейлора и опустим малые члены второго и более высоких порядков. Тогда число уходящих частиц через правую грань dydz можно представить в виде [(“尸)*+ 一絵竺一 dx] d^xd^yd^xdrdydz.

Разность между числом поступающих и уходящих частиц равна

дх

где da)= d^xd^yd^z ——элемент пространства скоростей.

Аналогичным образом можно рассмотреть потоки выделенных молекул через грани dxdy и dxdz. Сумма разностей между числом поступающих и уходящих частиц через все грани будет равна

L х. дх 丁 "囲 丁 z dz J

Будем считать, что внешние силы отсутствуют (или, по крайней мере, ими можно пренебречь). Тогда с учетом изменения числа частиц из-за столкновений, получим следующее балансовое уравнение:

где / — член, учитывающий влияние столкновений. Конкретный вид члена / в уравнении (1.29) зависит от вида потенциала межмолекулярного взаимодействия Ф. Подробный вывод выражения для / приведен во многих монографиях [12, 39, 50]. Выпишем здесь лишь конечный результат

+ ОО 2тс 8

J= JJJ J J (广/； —"1)g6"6或叱小贝%1，(1.30)

—ОО 00

где /=/(%，① ％ %，〃尸，^)； fi=f^ "i，J，%，У、%，亏)；尸= н1/ (Е*，Ер，&, ", У、瑞 т)； fi ^^ f (Ki, Epi, Ezi, x, У，z, t)； E*i，E?i, Ezi составляющие скорости^ молекул, сталкивающихся с молекулами выделенного класса; g = J—& ——относительная скорость сталкивающихся молекул; Ь и £ — прицельные параметры столкновения (см. § 1.3 гл. I); 占丿，自/，Wz‘ и &J, Еи/, &/ — составляющие скоростей молекул, при столкновениях которых «рождаются» молекулы выделенного класса.

Интегрирование в (1.30) ведется по всем значениям скоростей 自卜 т. е. учитывается столкновение всех молекул с молекулами выделенного класса (^-молекулами). Кроме того, учтены всевозможные значения прицельного угла £ (от 0 до 2л) и величины прицельного расстояния b (от 0 до оо). Столкновительный член / принято называть интегралом столкновений.

Интеграл столкновений можно представить как сумму двух интегралов

/ = /+ + /-,(1.31)

+ 8 2兀 8

где /+= J J、广j；gbdbd&d3«

—ОО 00

以"佃31源21.以"佃31源21.f\gbdb(hd3t J Qdo)if\gbdb(hd3t J Qdo)i+ 8 2冗+8

以"佃31源21.

以"佃31源21.

f\gbdb(hd3t J Qdo)i

f\gbdb(hd3t J Qdo)i

厂=介；V = J

Член /+ в (1.31) вызывают интегралом обратных столкновений. Этот интеграл учитывает число «рождающихся» частиц_выделенного класса в результате столкновений молекул других классов. Скорости g и 自/ частиц, при столкновениях которых «рождаются» молекулы выделенного класса, по величине точно такие, какие имеются после столкновения у молекул_основного класса и молекул, скорость которых _|ь По направлению 自‘ и g/ обратны 自 и 自卜 После столкновения частиц со скоростями 自‘ и 自/ «рождаются» частицы со скоростями 自 н 自卜 В этом смысле столкновения частиц со скоростями 自‘ и Е/ являются «обратными» по отношению к столкновениям частиц 艺 скоростями g н 费.В силу сказанного, скорости g и g/ можно выразить через g и gi при помощи формул (1.14) — (1.15).

Второй член в правой части выражения (1.31) называют интегралом прямых столкновений. Этот интеграл учитывает уменьшение числа выделенных частиц из-за их столкновений с молекулами других классов. Величину v называют частотой столкновений.

Для молекул со степенным законом взаимодействия вместо прицельного расстояния b удобно ввести переменную х:

1

J ”2 产

* = 6

С учетом (1.32) интеграл столкновений для молекул со степенным потенциалом взаимодействия примет вид

4K Г "J 1 J J f(/V； - //1)^ ^dzd^ (1.33) —ОО О О

При s = 5 (максвелловские молекулы) имеем

//1) xdxdedsi.//1) xdxdedsi.Для молекул в виде абсолютно упругих сфер выражение для интеграла столкновенийДля молекул в виде абсолютно упругих сфер выражение для интеграла столкновенийпринимает видпринимает вид+ 8 2兀兀/2+ 8 2兀兀/2—ОО О О—ОО О О//1) gd2 sin 屮 cos 屮d屮ded^i,//1) gd2 sin 屮 cos 屮d屮ded^i,(1.34)(1.34)

//1) xdxdedsi.

//1) xdxdedsi.

Для молекул в виде абсолютно упругих сфер выражение для интеграла столкновений

Для молекул в виде абсолютно упругих сфер выражение для интеграла столкновений

принимает вид

принимает вид

+ 8 2兀兀/2

+ 8 2兀兀/2

—ОО О О

—ОО О О

//1) gd2 sin 屮 cos 屮d屮ded^i,

//1) gd2 sin 屮 cos 屮d屮ded^i,

(1.34)

(1.34)

где d — диаметр молекул;屮一угол между направлением линии удара и вектором относительной скорости.

Уравнение (1.29) называется уравнением Больцмана. Уравнение Больцмана является нелинейным интегро-дифференциальным уравнением. Это уравнение можно записать также в чисто интегральной форме [7, 22]:

/怎 Л т) = / (I, То, [т0) ехр — J ”仁力1 + J 片 ©即/怎 Л т) = / (I, То, [т0) ехр — J ”仁力1 + J 片 ©即dq,dq,(1.35)(1.35)

/怎 Л т) = / (I, То, [т0) ехр — J ”仁力1 + J 片 ©即

/怎 Л т) = / (I, То, [т0) ехр — J ”仁力1 + J 片 ©即

dq,

dq,

(1.35)

(1.35)

где г — радиус-вектор точки физического пространства, заполненного газом; t — вре мя; го — радиус-вектор точки (пространства, где находились бы в предшествующи момент времени т0 все молекулы, имеющие скорость £ + £ + d£, если бы они двигались вдоль направления R без столкновений с молекулами других 〔классов, г0 = г —— —У (т — т0); “J = ” (ti，厂tj ^) — частота столкновений в точке 厂^ в момент тг】； 】]=7— Rt — у); т0 < тх < т; тх < т2 < г; v = л J /igo2dsi； j+ — интеграл обратных столкновений, вычисленный в точке 厂】в момент времени t】，/+ = J f’fi'gdads、, ОО2兀

Ja = bdbdz, «о2 = J bdb [ de.

МАКСВЕЛЛОВСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРЫ ХАОТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ МОЛЕКУЛ

Рассмотрим равновесное состояние газа. В этом случае свойства газа не меняются со временем и остаются одинаковыми во всех точках пространства занимаемого газа. Следовательно, функция распределения скоростей молекул не зависит от координат и времени. Она зависит только от величин 自冥,自廿,gz. Уравнение Больцмана в этом случае принимает следующий вид

(1.36)(1.36)Число прямых и обратных столкновений в этом случае будет одинаково, если

(1.36)

(1.36)

fff^ — ffv

Строгое доказательство необходимости выполнения условия (1.36) дается в (39, 50]. Логарифмируя (1.36), получим

w + 明=里+%,(1.37)

где 旷=也[/(L以白],明= ln[/(Q,点，*)];

审=1口[/⑤,з EJ；吗=1口[/&1，5，％)]•

Условие (1.37) выполняется, если функции 4r являются сумматорными инвариантами (см. § 1.2), или в общем случае — линейной комбинацией последних. Отсюда следует, что

Inf—kitn-]- k2xm^x + k2ym^y -]- ^2zm^ + ^з，(1.38)

где 瓦，kzi и 々з ——постоянные.

Выражение (1.38) можно переписать в виде

Постоянные 九卜 归2厶 由3 (пять величин) можно выразить через n, Т, их, 〃у и 〃z, если использовать формулы (1.21) — (1.24). В результате получим следующую формулу для функции распределения:

/ =ехр，(2пА7)з/2 у/ =ехр，(2пА7)з/2 у2RT '2RT '(1.39)(1.39)

/ =ехр

，(2пА7)з/2 у

/ =ехр

，(2пА7)з/2 у

2RT '

2RT '

(1.39)

(1.39)

где Сх=^х — их\ С尸％— %; Cz=lz — u^ 以，tty. ^ — составляющие макроскопической скорости движения газа в системе координат XYZ, относительно которой газ движется в целом; R — газовая постоянная. Эта функция распределения впервые была найдена Максвеллом и носит его имя. Подставляя максвелловскую функцию распределения (1.39) в формулы (1.26) и (1.27), получаем ^ = 0,夕订=0 (при i^=j). В газе, находящемся в тепловом равновесии, отсутствуют тепловые потоки и напряжение трения. Воспользовавшись (1.39), можно вычислить для равновесного состояния такие параметры хаотического движения молекул как средняя квадратичная скорость теплового движения后наиболее вероятная величина скорости молекул Ст, средняя величина тепловой скорости молекул С.

Значение ]/"0 определяется следующим образом:

=m而.=m而.(1.40)(1.40)

=m而.

=m而.

(1.40)

(1.40)

Чтобы вычислить среднюю величину тепловой скорости молекул С> перейдем в пространстве скоростей к сферической системе координат С, Ф, 0. Число молекул, содержащихся в единичном объеме физического пространства и имеющих величину скорости от С до C + dC, выражается следующим образом:

(1.41)(1.41)4© _exp f ) dC.(2К收严 尸I 2RT /

(1.41)

(1.41)

Осредняя всевозможные значения С, получим среднюю величину тепловой скорости.

Y 收扁『хp(一赛叶/(1.42)

Значение наиболее вероятной величины скорости молекул Ст соответствует тому значению С, которым обладает наибольшее число молекул. Следовательно, Ст определяется из условия экстремума функции (1.41):

Cm=V2RT. (1.43)

Зная функцию распределения, нетрудно вычислить число столкновений в единицу времени. Будем рассматривать молекулы в виде твердых шаров диаметра d. В единице объема за единицу времени число столкновений молекул, имеющих скорости от 三 до ^+d^ с молекулами, скорости которых лежат в интервале значений от ^ до & + dJi, составляет величину (см. § 1.4) ff\gd2 sin i|9 cos ^d^d^dcaxd^, где da)x = dCx\dCy\dCzx； d^ = dCxdCydCz. Интегрируя по всем значениям 屮(от 0 до л/2), е (от О до к/2) и Сь получим число столкновений молекул выделенного класса с молекулами всех других классов. Интегрируя затем по всем значениям С, получим удвоенное значение общего числа столкновений за единицу времени (удвоенное потому, что в процессе интегрирования каждое столкновение учитывалось дважды). Следовательно, число столкновений М за единицу времени в единице объема будет равно

/ fig sin 屮 cos 屮 d屮 d2"3圈0)./ fig sin 屮 cos 屮 d屮 d2"3圈0).

/ fig sin 屮 cos 屮 d屮 d2"3圈0).

/ fig sin 屮 cos 屮 d屮 d2"3圈0).

Подставляя сюда максвелловскую функцию распределения (1.39) и проводя вычисления (подробно 4ти вычисления даны, например, в [39]), /получим 人厶=2"2d2 k而\

Каждое столкновение — это встреча двух частиц. Следовательно, чтобы получить число столкновений v, испытываемых в среднем за единицу времени одной частицей, нужно .поделить удвоенное число Nc на общее число частиц:

(1.44)(1.44)" = 4ш/2 ]/mA7\

(1.44)

(1.44)

Величину V называют частотой столкновения. При нормальных условиях, например, величина v для воздуха составляет приблизительно величину

/с. Величина То, обратная v, есть среднее время свободного движения частицы (время между двумя последовательными столкновениями частицы):

%=+=―力=-•(L45)

”4n^2 wRT

Умножая то на среднюю величину тепловой скорости молекул С, ползучим средний свободный пробег молекул I в системе координат, относительно которой газ в целом покоится:

1

1=х^ =——=,(1.46)

]/ 2/?а•

где a=jtd2. Величину о называют сечением столкновения молекул.

Следует различать средний свободный пробег молекул % и среднее расстояние между молекулами г* (см. § 1.1). Например, на высоте

300 км от поверхности Земли длина свободного пробега составляет величину /^103 м (n= 1015 м-3, о=10-18 м2), а среднее расстояние между молекулами составляет величину 厂* = 10一5 м. Необходимо отметить, что понятие средней длины свободного пробега достаточно очевидно лишь для модели молекул в виде твердых шаров. Для реальных молекул, являющихся центрами силовых полей, это понятие становится неопределенным. Однако, как уже отмечалось, реальным молекулам всегда можно сопоставить модель в виде твердых сфер, подбирая соответствующим образом их диаметр. Определенные таким образом диаметры называются эффективными диаметрами, а соответствующая им величина о называется эффективным сечением столкновения.

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА

И МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

При помощи уравнения Больцмана можно получить уравнения, описывающие поведение макроскопических параметров газа, являющихся моментами функции распределения (см. § 1.3). Пусть функция <р (gx, Ju, Jz) —есть некоторый молекулярный признак, такой как, например, импульс mg или энергия и т. п. Умножим обе части уравнения Больцмана (1.29) на функцию ^d^xd^yd^z и затем проинтегрируем каждую часть по всем значениям &,或，&：

，(1.47)，(1.47)

，(1.47)

，(1.47)

где d®=d±xd&#iz・

Поскольку переменные (х, у, z) и (自冗,自切 Jz) являются независимыми, то уравнение (1.47) можно преобразовать к виду

g (尸/； — ff] gbdbdsd®m.g (尸/； — ff] gbdbdsd®m.(1.48)(1.48)

g (尸/； — ff] gbdbdsd®m.

g (尸/； — ff] gbdbdsd®m.

(1.48)

(1.48)

Величины ^fd^ = ^, J ix^f^=^ и т. п. есть макроскопические характеристики газа. Уравнение (1.48) называют общим уравнением переноса. Впервые оно было получено в 1868 г. Максвеллом, когда уравнение Больцмана было еще неизвестно. Естественно, для того чтобы получить это уравнение, Максвелл использовал иные рассуждения (см. например, [39]).

Рассмотрим вид получающегося из (1.48) уравнения, если положить ^ — т (т — масса молекулы). В этом случае

J yfds=m J fd^=mn = ^ J ^fd^=m j $z/^ = p^z,

где i = x, y, z； 〃工一составляющие макроскопической скорости газа.

ттИспользуя тот факт, что при столкновениях молекул их масса не меняется, можно показать, что (подробно это сделано, например, в [21,70])

т

т

(/'/； — /«Л) gbdbdsds'ds = 0.

Таким образом, при(р = т из (1.48) вытекает следующее уравнение:

дхдхдхдхdzdz

дх

дх

дх

дх

dz

dz

Уравнение (1.49) называется в обычной газовой динамике уравнением неразрывности. Положим теперь ^=т^ (где / = х, у, z). В силу того, что при столкновениях суммарный импульс молекул не изменяется, правая часть (1.48) обращается в нуль. В результате имеем

drдхdyOn '

(1.50)

drdxdyOn '

dxdx 1 dydz '

кdui — dui .dtii .dui .dtii .

где—-\ux-■ ^w _1、，■

dtdpdx“ dydz

их. %, ^ — компоненты макроскопической скорости газа; Р**, Руу, Ргг, Рху=Рух^ Рх产 Pg Pyz—Pzy — компоненты тензора напряжения (см. § 1.3). Уравнения (1.50) есть уравнения движения газа.

Положим 屮=-^/п (成+虚+叁.В этом случае правая часть уравнения (1.48) снова обращается в нуль, так как при столкновениях суммарная энергия частиц не изменяется. После несложных преобразований получим следующее уравнение:

(рЕ) + ~~(Р〃*Е + ^х^хх + ПуРху + 辽 nP*n) +

+ dp (pUyE + UxPyX + tlyPyy + ^Z^yz) +

}三犯金+辽/zx + 乙%z +〃/zz) +等+学+等=0, (1・51) и Zим

где Е=с^Т^-(辽号 +〃^+ 〃^)； Си=-|-欠—— изохорная теплоемкость; qx. qy, qz — составляющие теплового потока; Т=-^^- {Рхх 4-Руу + Pzz)— температура газа. Уравнение (1.51) называется уравнением энергии.

Полученные пять уравнений являются фундаментальными уравнениями газовой динамики. В представленной здесь форме эти уравнения являются незамкнутыми, так как помимо пяти неизвестных р, uXi 〃廿,uz и Т содержат еще неизвестные функции Рху, Pxz, Pyz, Р^,立“力 ^х, 9у, 9z (величина Pzz выражается через Т и РХх, Руу)- Всего неизвестных функций тринадцать. Чтобы сделать систему уравнений замкнутой, необходимы дополнительные связи между первыми пятью функциями и остальными восьмью функциями. В обычной газовой динамике тензор напряжений предполагают пропорциональным тензору скоростей деформации (закон Стокса), а вектор потока тепла — градиенту температуры (закон Фурье). При этом используются дополнительные предположения об изотропности и однородности среды, что позволяет все коэффициенты (число их 81), связывающие компоненты тензоров, выразить через два коэффициента вязкости. Однако законы Стокса и Фурье являются частными и применимы лишь тогда, когда средняя длина свободного пробега молекул исчезающе мала по сравнению с характерными размерами задачи. В общем случае нужно решать уравнение Больцмана.

В принципе из уравнения переноса можно получить сколько угодно макроскопических уравнений, задаваясь различными функциями Ф (gx, Eg, Jz)・ Отметим пока лишь, что при функциях <р, не являющихся

сумматорными инвариантами столкновений, правая часть уравнения переноса (1.48) не обращается в нуль.

В дальнейшем (см. гл. III) мы будем использовать функции следующего вида:

中=盘題，(1.52)

где а, р, т) — целые числа (1. 2, 3, 4 ...). Макроскопические величины Мсфть которые соответствуют таким функциям <р:

加呐=J 'Cx^^zf d^, называются моментами функции распределения, а величины

a/呐=J总啰Е*応一

моментами интеграла столкновений. Сумма чисел (а+p + n) определяет порядок момента функции распределения. Если а+ р + т)= О, то момент функции распределения имеет нулевой порядок. Если а+р + т)= 1, то мы имеем момент функции распределения первого порядка и т. д. Уравнения, получаемые из (1.48) при использовании функции (1.52), называются моментными уравнениями. Полученные выше уравнения (1.49)— (1.51) есть моментные уравнения, содержащие моменты нулевого, первого, второго и третьего порядков. При (а+0 + п)>3 мы будем получать моментные уравнения, содержащие моменты более высокого порядка.

Если решить уравнение Больцмана и затем найденную функцию распределения подставить в выражения для моментов, то любое моментное уравнение, полученное описанным выше способом, будет удовлетворяться.

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МОЛЕКУЛ С ПОВЕРХНОСТЬЮ ТВЕРДОГО ТЕЛА.ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Уравнение Больцмана описывает бесчисленное множество конкретных процессов. Чтобы выделить какой-либо процесс, необходимо добавить к этому уравнению соответствующие условия однозначности, и в частности, граничные и начальные условия для функции распределения скоростей молекул.

Чтобы сформулировать граничные условия для функции распределения на поверхности твердого тела, омываемого газом, необходимо знать механизм взаимодействия молекул газа с поверхностью. В конечном счете должен быть определен характер отражения молекул (функция распределения отраженных от поверхности молекул). Физическая картина взаимодействия молекул газа с позиций молекулярно-кинетических представлений выглядит следующим образом.

Твердое состояние (кристаллическое состояние) характеризуется определенным, закономерным расположением микрочастиц (атомов, ионов, молекул) в пространстве. Для чистых металлов, например, характерными структурами кристаллических решеток являются объемно-центрированная кубическая решетка (Mo, W, Та и др.), гранецентрированная кубическая решетка (Al, Си, Ag, Pt и др.) и гексогональная решетка плотной упаковки (Mg, Re и др.). Расстояния между атомами (или ионами) в решетках различны для различных веществ и колеблются в пределах нескольких ангстрем. При любой температуре атомы в кристалле совершают колебания около своих положений равновесия, т. е. относительно узлов решетки. Эти колебания, вообще говоря, носят негармонический характер. Между атомами решетки существуют определенные силы взаимосвязи, проявляющиеся при относительном смещении атомов

Рис. 1.3. Модель взаимодействия молекулы газа m с атомами поверхности твердого тела

Пунктиром показаны направления сил взаимодействия между молекулой газа m и атомами поверхности М. Силы связи между атомами М условно показаны в виде пружинок

друг относительно друга. Одной из простейших механических моделей кристаллической решетки является модель, состоящая из материальных точек (атомов), соединенных определенным образом при помощи абсолют

но упругих пружин, характеризуемых

некоторыми силовыми постоянными (рис. 1.3). Согласно этой модели, если один из атомов решетки испытывает какое-то возмущение, обусловленное внешними причинами (например, удар молекулы газа), то из-за связей между атомами решетки возмущение распространяется на всю кристаллическую структуру. Таким образом, уже с этой точки зрения задача о взаимодействии молекул газа с кристаллической решеткой представляется довольно сложной, поскольку необходимо рассматривать динамику не одного атома поверхности, а целого 《ансамбля》 взаимосвязанных частиц. Механической моделью столкновения молекулы с поверхностью тела, отражающей сравнительно полно действительные черты процесса, является модель, показанная на рис. 1.3. Приближающаяся к поверхности молекула m вступает в силовое взаимодействие не с одним каким-либо атомом решетки, а с целым коллективом атомов М, окружающих точку на поверхности, к которой устремляется падающая молекула газа. Полная сила, действующая на молекулу газа, определяется суммированием всех сил, действующих на нее от каждого атома

поверхности.

При рассмотрении взаимодействия газа с поверхностью тела необходимо иметь в виду то обстоятельство, что подавляющее большинство технических поверхностей в микромасштабе не являются гладкими. По сравнению с молекулярными размерами поверхность тела представляется сильно шероховатой, обладающей глубокими впадинами и большими выступами. Молекула газа, попав во впадину, может испытать многократные столкновения с атомами решетки поверхности тела прежде, чем ей удастся снова вернуться в газ. Эффективный (результирующий) характер отражения молекул от шероховатой поверхности может существенно отличаться от характера отражения, соответствующего микроскопически гладкой поверхности. Если даже в результате однократного столкновения обмен (например, энергией) молекулы газа с решеткой поверхности будет далеко не полным, то в результате многократных столкновений молекула газа придет в равновесие со стенкой.

Из изложенного выше становятся ясными трудности, которые возникают при решении задачи взаимодействия молекул газа с твердой поверхностью. Современное состояние этой проблемы хорошо освещается в монографиях [2, 46]. Отметим здесь лишь, что в общем случае характер взамодействия молекул газа с твердой поверхностью зависит от многих величин; энергии и массы падающих частиц, структуры шадающих молекул (одно-, двух- и т. д. атомные частицы), вида кристаллической структуры материала поверхности, температуры поверхности, характера сил взаимодействия между падающими молекулами и атомами поверхности, от характера механической обработки поверхности и т. д. В определенных условиях на поверхности образуется сплошной или в виде островов слой адсорбированных молекул. Взаимодействие молекул с поверхностью, покрытой слоем адсорбированных молекул, оказывается иным, нежели в случае чистой поверхности.

Рис, 1.4. Схема зеркального отражения молекулы от поверхности тела

Рис. 1.5. Диаграмма распределения по направлениям потоков отраженных молекул при диффузном отражении

Установление точного вида функции распределения для отраженных молекул связано с большими трудностями. При расчетах сейчас используют приближенные представления относительного вида этой функции. Механизм взаимодействия молекул с поверхностью тела учитывается при этом путем введения в аппроксимирующую функцию распределения для отраженных молекул некоторого набора макроскопических параметров, зависящих от перечисленных выше факторов, которые определяют характер взаимодействия молекул с телом. Эти параметры в свою очередь определяются при помощи эксперимента.

Одной из наиболее давно известных аппроксимирующих функций распределения является предложенная Максвеллом так называемая зеркально-диффузная функция следующего вида:

fг«з А，т)=(1 —Л~) ft (rw» Er — 2&储，с)十 & @冗欠7^ 严 exp ( 一2欠г )'

(1.53)

где。匕 nr, Tr — макроскопические параметры, смысл которых рассмотрим ниже; fr ——функция распределения отраженных молекул; Л — газовая постоянная; fw — радиус-вектор точки поверхности тела; fi ——функция распределения падающих молекул.

Аппроксимирующая функция состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое в правой части (1.53) учитывает молекулы, которые отражаются от поверхности зеркально, а второе — диффузно.

Коэффициент &, называемый коэффициентом диффузного отражения, представляет собой долю молекул, отражающихся от поверхности диффузно. Величина (1—ат) представляет собой долю молекул, отражающихся зеркально. В случае зеркального отражения, когда молекула имеет скорость &, перед столкновением с поверхностью ее скорость (рис. 1.4) будет Zi — ^r—^гпй, где п — единичный вектор, нормальный к поверхности. Все молекулы, имеющие перед столкновением скорость &, после столкновения зеркальным образом с поверхностью перейдут в класс молекул, имеющих скорость 自广 Доля таких молекул от числа падающих равна (1 — &)力 / rw, У)・

Теперь рассмотрим второй член (1.53). При диффузном отражении от поверхности считается, что молекулы разлетаются так, что распределение чисел молекул по различным направлениям отвечает закону косинуса. Если величину плотности молекулярного потока от стенки по различным направлениям ZT изобразить в виде стрелки, то конец этой стрелки опишет сферическую поверхность (рис. 1.5). Этому закону и соответствует второй член (1.53).

Физический смысл 。工 можно интерпретировать по-другому. С этой целью сравним тангенциальный импульс 夕九，приносимый падающими молекулами, и тангенциальный импульс 尸冗，уносимый отраженными молекулами. Суммарный импульс тех частиц, которые отражаются диффузно, равен нулю. Зеркально отраженные частицы в сумме уносят импульс, равный (1 —a" Рк・ Разность между 尸氏 и 尸广 равна Ру — Рк= =Р/Т —(1 —а^Р^=ахР^ откуда следует

р. — р

厶="一三.(1.54)

Из (1.54) следует, что ат представляет собой долю тангенциального импульса, переданного стенке падающими молекулами. На этом основании коэффициент % называют коэффициентом аккомодации тангенциального импульса. С его помощью можно определить суммарный тангенциальный импульс отраженных молекул, если известен импульс падающих частиц.

Величину Тг подбирают таким образом, чтобы принятая аппроксимация для fr правильно определяла суммарную энергию отраженных молекул. При этом используют опытные данные о термическом коэффициенте аккомодации (приспособления) молекул к условиям на стенке. Термический коэффициент аккомодации Оз представляет собой долю энергии, отданной подающими молекулами стенке, от той энергии, которую они могли бы отдать стенке, если бы молекулы полностью аккомодировали к условиям на стенке:

(1.55)(1.55)Ei - Ег аэ =-

(1.55)

(1.55)

Ei — Ew

где Ei ——энергия падающих молекул; Ег ——энергия отраженных молекул; Ew ——энергия, которую имели бы отраженные молекулы при полной аккомодации.

Когда молекулы полностью аккомодируют к условиям на стенке, отраженные молекулы образуют газ, находящийся в тепловом равновесии со стенкой. В этом случае температура газа из отраженных молекул равна температуре стенки, т. е. Tr=Tw.

Величину пг назначают из условия равенства числа падающих № и отраженных Nr молекул (т. е. из условия сохранения частиц, которое должно выполняться, если отсутствует захват частиц поверхностью тела):

Ni = N「n^N^言・ (1.56)

Рассмотрим связь между Тг и аэ для одноатомного газа . Воспользовавшись формулой (1.53), вычислим Ег и Ew. Количество молекул, уходящих в единицу времени с единицы площади элемента поверхности dA (рис. 1.6) и имеющих скорость в интервале значений &+&+d院 составит величину gnM®. Эти молекулы уносят энергию -~ m^nfrd^ Суммарная энергия, уносимая молекулами всех классов, получается интегрированием по скоростям

(1.57)(1.57)£=『^nfT

(1.57)

(1.57)

Л=—exp(2rAT®)3/2Л=—exp(2rAT®)3/2岳r-"*)22RT w岳r-"*)22RT w

Л=—exp

(2rAT®)3/2

Л=—exp

(2rAT®)3/2

岳r-"*)22RT w

岳r-"*)22RT w

Рис. 1.6. Пояснительная схема к вычислению числа молекул, отраженных от элемента поверхности dA

Подставляя в (1.57) функцию (1.53)” получим

Е^^-а^Е^а.亠J(2依产

Энергия, уносимая молекулами при полной аккомодации (аэ= 1, ат= 1, T, = Tw)r составит величину

Подставляя результаты вычислений Ег и Ew в (1.55) и учитывая условие сохранения частиц (1.56), получим

s (L58)

где Е~ J Е〃"^- /jd⑴—— суммарная энергия падающих частиц; ^/ — число частиц, падающих в единицу времени на единицу поверхности. Если & = %, то Tr — Tw.

Предельным случаем зеркально-диффузной схемы отражения является случай, когда все молекулы отражаются диффузно с максвелловским распределением, отвечающим температуре стенки. В этом случае «т = 1, Оз=1. Второй предельный случай — когда все молекулы отражаются зеркально, т. е. когда ат=0, 〃з=0. Действительные значения ат и ап лежат между этими крайними значениями.

Еще одной разновидностью аппроксимирующей функции распределения для отраженных молекул является максвелловская функция распределения с некоторой поступательной скоростью £7*:

В этом в выражении содержатся два параметра: угол 0, составляемый вектором 方* с нормалью к поверхности, и приведенное значение скорости поступательного движения S^=Ujy2RTw^

ПОДОБИЕ ТЕЧЕНИЙ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА.

РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЙ

Во многих случаях в связи с трудностями решения уравнения Больцмана возникают вопросы об экспериментальных путях исследования течений разреженного газа и в связи с этим вопросы о моделировании и критериях подобия.

Проведем обсуждение вопросов подобия применительно к характерному классу стационарных задач о теплообмене и сопротивлении тел, обтекаемых безграничным потоком газа, состоящего из одноатомных частиц (т. е. применительно к классу задач о внешнем обтекании при отсутствии внешних массовых сил). В соответствии с типичными для многих случаев условиями положим, что на бесконечном удалении от тела газ невозмущен и находится в равновесии так, что его состояние описывается максвелловской функцией распределения:

лл/ 8 =expJ (2«A7J3/2 尸/ 8 =expJ (2«A7J3/2 尸(E*i 辽400 y + (七一附 8尸 + (%一 嗅。o)2(E*i 辽400 y + (七一附 8尸 + (%一 嗅。o)22依82依8,(1.59),(1.59)

л

л

/ 8 =exp

J (2«A7J3/2 尸

/ 8 =exp

J (2«A7J3/2 尸

(E*i 辽400 y + (七一附 8尸 + (%一 嗅。o)2

(E*i 辽400 y + (七一附 8尸 + (%一 嗅。o)2

2依8

2依8

,(1.59)

,(1.59)

где 〃g и?g、^oo — составляющие скорости видимого (макроскопичес- ского) движения газа в целом в системе координат, связанной с обтекаемым телом; Тз — температура газа на бесконечности; 忆一числовая плотность молекул на бесконечности. Будем считать, что функция распределения fr для отраженных молекул от поверхности тела в рассматриваемых условиях достаточно хорошо аппроксимируется максвелловской зеркально-диффузной функцией:

(1.60)(1.60)力=(1 一 ％)力十公exp ( 一 -""1汇峯

(1.60)

(1.60)

(2以77 严 \2 A

содержанию условиямисодержанию условиямиРассмотрим некоторую группу явлений, описываемых уравнением

содержанию условиями

содержанию условиями

Больцмана (1.29) и одинаковыми по форме и

однозначности. Различие процессов, принадлежащих к этой группе, может состоять лишь в том, что размерные величины, входящие в условия однозначности, могут иметь различные численные значения. Таким образом, будем иметь в виду ряд случаев обтекания тел, геометрия которых подобна, а ориентация относительно вектора видимой скорости — одинакова. Будем считать, что во всех случаях координатные системы связаны с телом и введены подобным образом. В качестве примера можно представить себе стационарное обтекание двух цилиндров различного диаметра, имеющих разную температуру поверхности. Размерные величины роо, Гоо, Us также могут различаться по величине.

Выявим условия, при которых явления данной группы будут подобными. Приведем уравнение Больцмана и граничные условия .к безразмерному виду. В качестве масштабов для скоростей, числовой плотности молекул, температур, сечений столкновения молекул и функций распределения выберем для каждого явления соответствующие размерные величины, связанные всякий раз с условиями на бесконечности. Для координат в качестве масштаба выберем характерный размер тела L. Перейдем в уравнении Больцмана и в выражениях (1.59) и (1.60) от размерных переменных к безразмерным по формулам:

「ОО

Т/=Т的二^^ =亍/оо, d = ddoo = d

〃г = ^г〃8, / = / -^-, x = xL и т. д.,

где Поо — сечение столкновений на бесконечности. Безразмерные уравнения Больцмана и граничные условия будут иметь следующий вид:

°* dy dz л ]/ 2 Kn

•/g =exp {-[脸一次C产 + 焉一^Sy + Rz -aS)2]}； ] (1.61)

(UQ3/2Tr J ]

7=JJJ {f'f i—ff^gd2 sin Фcos^d^d^ Кп = ^ = ^2^

число

Кнудсена; S =

小宛厶

М ——параметр, являющийся аналогом

числа Маха и называемый скоростным отношением; М — число Маха 7®=乙/78 —темнератур?шь параметр:и^ = 〃農 +爲(» +冠" 砲，齿203一 направляющие косинусы. Кинетическая теория газов позволяет выразить сечение столкновений Оз, входящее в число Кнудсена, через параметр газа 卩8, называемый коэффициентом вязкости [12, 39]:

(1.62)

Этот параметр сравнительно просто опредляется опытным путем на основе измерений напряжения трения в газовом слое между двумя движущимися относительно друг друга поверхностями при условии, что средняя длина свободного пробега молекул в газе есть исчезающе малая величина по сравнению с толщиной слоя. Параметр ц можно считать (так же как температуру и плотность) одной из макроскопических характеристик свойств газа. Коэффициент вязкости зависит от природы газа и температуры:

卩=向(^『(ГДе 1/2<о)(^<1). (1.63)

Опытные зависимости (1.63) позволяют рассчитать с помощью (1.62) величину сечения столкновений, проследить характер зависимости о от относительной скорости сталкивающихся молекул. Если воспользоваться формулой (1.62), то выражение для числа Кнудсена можно представить в следующем виде:

К—旦=1,27»$ 丄，(1.64) 5/2л 依8 51/2冗 ^ Re

где М —число Маха; Re=где М —число Маха; Re=число Рейнольдса.число Рейнольдса.

где М —число Маха; Re=

где М —число Маха; Re=

число Рейнольдса.

число Рейнольдса.

Из (1.61) вытекает, что для соблюдения подобия при обтекании геометрически подобных тел одинаковым газом необходимо выполнение условий

Kn=idem, M = idem, 乙=idem, a-=idem, a3=idem. (1.65)

В ряде случаев, в сравнительно широком диапазоне условий, может наблюдаться одинаковая схема отражения молекул ——полностью диффузное отражение при полной термической аккомодации (а)=1, ат= 1). Когда это имеет место во всех сравниваемых случаях, то для подобия необходимо выполнение условий:

Kn=idem, M=idem, rw=idem.(1.66)

Из (1.64) следует, что при одинаковых числах Маха (M = idem), условие Kn = idem равносильно условию Re = idem.

При гиперзвуковом обтекании (М》1) формулу (1.64) можно преобразовать, учитывая (1.63) и вводя число Рейнольдса с коэффициентом вязкости при температуре торможения То, к следующему виду:

Kn=^£L(1.67)

r r r .2 ReNo Tg、

me RbpOd/bg^ ; C,=—— ；.o=^0

「2 丿 j 2

Из (1.67) следует, что при «)—* -^-Kn~l/Re0.

Рассмотрим физический смысл числа Кнудсена Kn = lg[L. Во-первых, это число можно рассматривать как отношение среднего свободного пробега молекул к характерному размеру тела. Другое физическое содержание числа Кнудсена можно обнаружить, если проанализировать процесс приведения к безразмерному виду уравнения Больцмана в результате деления размерного множителя, появившегося перед безразмерными конвективными членами левой части, на размерный множитель, появившийся перед безразмерным интегралом столкновения. Размерный множитель перед интегралом столкновений можно рассматривать как масштаб числа молекул выделенного класса, появившихся из-за столкновений; множитель перед левой частью ——как масштаб прибыли молекул из-за конвекции (движения).

В том случае, когда Кп^-оо, роль столкновений незначительна, т. е. функция распределения практически не зависит от столкновений между молекулами газа, и правый член уравнения (интеграл столкновений) можно отбросить. Наоборот, когда основной вклад в баланс выделенных молекул дают столкновения между молекулами газа, число Knf 0・ В этом случае роль столкновительного члена в уравнении Больцмана становится главной. Таким образом, число Кнудсена можно рассматривать как меру влияния на свойства газа (функцию распределения) межмолекулярных столкновений.

Режим, при котором отсутствует влияние столкновений молекул газа между собой на функцию распределения (и следовательно, и на процессы течения, теплообмена), называют свободномолекулярным. Этот режим реализуется при очень больших числах Кнудсена (Knf 8). В свою очередь, большие числа Кнудсена (/》£) реализуются обычно, когда в газе очень низкое давление или (что то же самое) очень высокое разрежение. При малых числах Кнудсена (Knf 0) функция распределения из-за огромного числа столкновений молекул между собой определяется прежде всего этими столкновениями. Большое число столкновений способствует сглаживанию различий между отдельными группами молекул, т. е. способствует установлению равновесия в газе. Поэтому функция распределения в этом случае в каждой точке должна мало отличаться от максвелловской. Этот режим соответствует режиму «сплошной» среды, которая описывается уравнениями Навье ——Стокса ——Фурье (12]. Малые числа Кнудсена (/《£) реализуются обычно, когда в газе довольно высокие давления.

Режим, лежащий между свободномолекулярным и континуумным (навье-стоксовским), называется промежуточным. При промежуточном и свободномолекулярном режимах уравнения Навье ——Стокса ——Фурье являются непригодными. При этих режимах дискретный характер газовой среды проявляется совершенно иначе, чем в случае плотных газов. В свете сказанного выше критерий Кнудсена выступает как параметр степени разреженности. Рассматривая классификацию режимов, следует отметить, что промежуточный режим в свою очередь иногда разделают на почти свободномолекулярный режим (когда имеются малые отличия от свободномолекулярного режима), режим скольжения (когда степень разрежения еще мала и отличия от обычной навье-стоксовской среды незначительны) и, наконец, режим, занимающий переходное положение между указанными. Для каждого из режимов (в связи с фи-

зическими особенностями влияния межмолекулярных столкновений) имеются различия в методах расчета течений газа. Рассмотрим вопрос о границах применимости теорий, развитых для различных режимов тепловых и динамических процессов в разреженном газе.

Математически строгим условием существования свободномолекулярного режима (такого режима, когда можно отбросить в уравнении Больцмана интеграл столкновений /) является условие Кп= оо. В этом случае исчезают принципиальные математические трудности, связанные с решением уравнения Больцмана. Для этих условий сравнительно легко строятся теоретические методы расчетов теплоотдачи и сопротивления тел в потоке. Если иметь в виду практические требования к точности определения тепловых потоков и сопротивления, то эти методы при определенных дополнительных условиях могут быть использованы и тогдаг когда числа Кп хотя и велики, но не бесконечны. При этом встает вопрос о границах применимости методов. В качестве исходного условия при этом, естественно, выставляется некоторая степень точности вычисленных результатов по отношению к действительным (обычно допускается отклонение до 1 %). Область, где применимы в указанном смысле методы, основанные на предположении существования свободномолекулярных условий, называется свободномолекулярной. Из аналогичных соображений вводится понятие области континуума Навье — Стокса ——Фурье.

Из общей постановки [т. е. из выражений (1.61)] следует, что решение в неявном виде записывается так: / = /(&, ^, %，*，У，之，Кп, М, 牙...)・ Отсюда ясно, что вид функции распределения и, следовательно, характер процесса (течение, теплообмен) зависят от ряда факторов —— Кп, М, Тд формы тела и т. д. Как следствие этого обстоятельства, от тех же факторов будут зависеть границы применимости того или иного метода расчета, построенного для конкретного режима (свободномолекулярного, континуумного и т. д.). Может оказаться, например, что характеры обтекания двух тел одинаковой формы при равных числах Кп> но при разных числах М mTw будут различными. Для одного из этих тел можно использовать методы, развитые для свободномолекулярного режима, а для другого эти методы окажутся неприемлемыми. Важно подчеркнуть, что число Кп не является единственным критерием, опредляющим границу той или иной области.

Оценим приближенно границу свободномолекулярной области применительно к классу задач внешнего обтекания. Для оценок воспользуемся известными положениями элементарной кинетической теории газов. Будем полагать, что речь идет об обтекании выпуклого тела. При свободномолекулярных условиях около тела существуют два класса молекул: молекулы набегающего потока (О-молекулы) и молекулы, отраженные поверхностью (取-молекулы) (рис. 1.7).

Теория свободномолекулярного режима будет применима до тех пор, пока число столкновений между молекулами этих двух классов в окрестностях тела достаточно мала (так, что столкновения между О- и 1^-молекулами заметно не сказываются на величинах тепловых потоков и сопротивлении). Это будет иметь «место, если средняя длина свободного пробега отраженных молекул в атмосфере налетающих частиц будет велика по сравнению с размерами тела. В этом случае отраженные молекулы без столкновений с падающими частицами уйдут достаточно далеко от тела. Их числовая плотность по мере удаления от тела быстро понижается. При столкновениях на больших расстояниях из-за малой плотности отраженных молекул существенного их влияния на набегающий поток уже не будет. Кроме того, образующиеся в результате столкновений молекулы, отличающиеся в среднем по своим динамическим свойствам от молекул набегающего потока, будут иметь очень малую вероятность попадания на тело, так как они рассеиваются во всех направлениях. Плотность потока отраженных частиц уменьшается из-за их разлета приблизительно пропорционально квадрату расстояния от тела. Следовательно, если в среднем отраженные молекулы будут проходить без столкновений, расстояние /тг ^ 10 А (где L ——характерный размер тела), то их влияние на набегающий поток будет пренебрежимо малым. Таким образом, в качестве границы применимости свободномолекулярной теории можно принять условие lw/L^ 10.

ZAZAРис. 1.7. Схема обтекания тела свободномолекулярным • — ^-молекулы; О — О-молекулыРис. 1.7. Схема обтекания тела свободномолекулярным • — ^-молекулы; О — О-молекулыСредняя длина свободного пробега IT-молекул в атмосфереСредняя длина свободного пробега IT-молекул в атмосфереэлементарной кинетической теории определяется формулой /^ =элементарной кинетической теории определяется формулой /^ =где Gow ——сечение столкновений О- и IT-молекул; По ——числоваягде Gow ——сечение столкновений О- и IT-молекул; По ——числовая(1.62), (1.63)] Oow «Поо. С учетом этих положений получим(1.62), (1.63)] Oow «Поо. С учетом этих положений получим=Z 8=Z 8

ZA

ZA

Рис. 1.7. Схема обтекания тела свободномолекулярным • — ^-молекулы; О — О-молекулы

Рис. 1.7. Схема обтекания тела свободномолекулярным • — ^-молекулы; О — О-молекулы

Средняя длина свободного пробега IT-молекул в атмосфере

Средняя длина свободного пробега IT-молекул в атмосфере

элементарной кинетической теории определяется формулой /^ =

элементарной кинетической теории определяется формулой /^ =

где Gow ——сечение столкновений О- и IT-молекул; По ——числовая

где Gow ——сечение столкновений О- и IT-молекул; По ——числовая

(1.62), (1.63)] Oow «Поо. С учетом этих положений получим

(1.62), (1.63)] Oow «Поо. С учетом этих положений получим

=Z 8

=Z 8

потоком:

О-молекул согласно

noaowvwo

плотность О-молекул

(по «Поо); Моо ——числовая плотность молекул в набегающем потоке; vwо ——величина средней относительной скорости W- и О-молекул перед столкновением; Vw ——скорость отраженных частиц (определяется температурой поверхности и условиями аккомодации). .

В случае, когда набегающий поток дозвуковой и температура тела Tw не сильно отличается от термодинамической температуры набегающего потока 7g, можно считать, что 。囚 Q。0囚 ^ 丿2А「8・ В этом случае относительная скорость падающих и отраженных частиц Uow приблизительно равна наиболее вероятной скорости теплового движения частиц в набегающем потоке. Скорость отраженных частиц (определяемая условием Tw = Too)——того же порядка. Поскольку относительная скорость перед столкновением Vo w того же порядка, что и скорость хаотического движения, то [см. формулы

Граница свободномолекулярной области определяется при М<1 и Tw^T^ условием

(1.68)(1.68)</£ 弋 М/Re > 10.

(1.68)

(1.68)

ВВслучае, когда поток гиперзвуковой (М》1) и поверхность тела сильно охлаж-случае, когда поток гиперзвуковой (М》1) и поверхность тела сильно охлаж-даетсядаетсят. е. Tw《「8т. е. Tw《「8М2), уже нельзя считать, что vWo = vw. В этомМ2), уже нельзя считать, что vWo = vw. В этомслучае сильнослучае сильноvWo^ U со. Кроме того, Gow будет, отличаться от Осо, поскольку vOw и Ссо различаются. Воспользовавшись формулой (1.62), получимvWo^ U со. Кроме того, Gow будет, отличаться от Осо, поскольку vOw и Ссо различаются. Воспользовавшись формулой (1.62), получим1/2 11/2 1【Де Т0оо【Де Т0ооТ 87。8Т 87。898)MJ98)MJ

В

В

случае, когда поток гиперзвуковой (М》1) и поверхность тела сильно охлаж-

случае, когда поток гиперзвуковой (М》1) и поверхность тела сильно охлаж-

дается

дается

т. е. Tw《「8

т. е. Tw《「8

М2), уже нельзя считать, что vWo = vw. В этом

М2), уже нельзя считать, что vWo = vw. В этом

случае сильно

случае сильно

vWo^ U со. Кроме того, Gow будет, отличаться от Осо, поскольку vOw и Ссо различаются. Воспользовавшись формулой (1.62), получим

vWo^ U со. Кроме того, Gow будет, отличаться от Осо, поскольку vOw и Ссо различаются. Воспользовавшись формулой (1.62), получим

1/2 1

1/2 1

【Де Т0оо

【Де Т0оо

Т 8

7。8

Т 8

7。8

98)

MJ

98)

MJ

В этом случае

1/21/9

-^^•QZgMC*嘿；出=%/T08.

Таким образом, при М》1 граница свободномолекулярной #области определяется условием'

ГЛАВА II

СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНАЯ ОБЛАСТЬМЕХАНИКИ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА

§ 2.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИСВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОГО РЕЖИМА

В этой главе рассматривается движение газа и его взаимодействие с различными телами при таких условиях, когда можно пренебречь столкновениями молекул газа друг с другом. С точки зрения математического описания это значит, что в уравнении Больцмана можно отбросить интеграл столкновений. При отсутствии внешних сил это уравнение принимает вид

(2.1)

Для стационарного случая имеем

= 0・(2.2)

О；

Общее решение этого уравнения можно найти методом характеристик. Характеристическое уравнение есть просто уравнение движения частицы в отсутствии внешних сил. В этом случае траекторией движения частицы является прямая линия. Функция распределения постоянна вдоль траектории частиц

/(К L t)=/(7—1лт, 7, т0) (Лт=т —т0).(2.3)

Например, для случая стационарного обтекания тела безграничным потоком общее решение можно интерпретировать следующим образом. Рассмотрим в точке г физического пространства молекулы со скоростями, значения которых заключены в интервале от § до 自十d^. Если скорость g такая, что соответствующая ^траектория, проведенная от точки г в сторону, обратную направлению §, не пересекает тело, то функция распределения для этих молекул будет*та же, что и на бесконечности. Если g такая, что траектория пересекает тело, функция распределения будет той, которую имеют отраженные частицы на поверхности тела. Всевозможные значния §, для которых функция распределения такая же, как на бесконечности, образуют некоторую часть пространства скоростей, а в оставшейся части мы будем иметь функцию распределения отраженных молекул. Все векторы отраженных частиц, находящихся в точке г, лежат внутри некоторого конуса с телесным углом при вершине 4л—Q»：, а векторы частиц, пришедших из бесконечности — внутри телесного угла Qoo (см., например, рис. 2.29). Функцию распределения в каждой точке г можно рассматривать как сумму двух функций

/ = /1 + А(2・4)

где 力一определяется из граничных условий на бесконечности, а % ——из

Рис. 2.7. Схема к выводу формулы (2.5)

граничных условий на поверхности тела. Здесь следует учесть, что 厶 равно нулю для значений g из конуса с 4л —Qoo, а /2 равна нулю для g из Qoo. Из сказанного ясно, что функция распределения при свободномолекулярном режиме разрывна в пространстве скоростей.

После того как найдена функция распределения, в принципе нетрудно вычислить все макроскопические характеристики, которые являются моментами функции распределения. Задачи с начальными условиями решаются тривиально при помощи

формулы (2.3) [61]. Однако граничные задачи, возникающие при исследовании внутренних течений (течений в каналах) или обтекания тела с вогнутыми поверхностями, являются далеко не простыми.

При рассмотрении ряда задач в дальнейшем необходимо будет уметь определять поток молекул от некоторой воображаемой элементарной площадки do, расположенной в газе, в элементарный телесный угол dQ, построенный около заданного направления. Рассмотрим такую площадку, расположенную в неподвижном газе с максвелловским тг / 卷 + * + 百) распределением / = гт exp I 一 ――I • Система координат свя- (2冗 AT )3/2\2 AT/у

зана с площадкой и при этом ось Z направлена вдоль нормали к этой площадке (рис. 2.1). Выделим некоторое направление, характеризуемое углами 0 и ф. Найдем поток молекул от площадки в телесный угол, равный》Q = sin Hdcpd®.

Введем сферическую систему координат для скоростей молекул 自 0, ф. Элемент объема в пространстве скоростей равен

ds = d^yd^z = & sin ^d^ =目岐2,

где『=^ + ^ + ^.

Число молекул, величина скорости которых лежит в интервале значений от g до E + dE, равно d?N =守 ехр ( —

(2n仪严 、 2仪/

Число таких молекул, проходящих в единицу времени через площадку в заданном на- п/\

правлении, равно 'zzd^Nd.Q = & cos 0d?Ndo = £3 cos 8 exp I — } d£dQdo.

(2MT)3/2\2仪 /

d^Na = т?d^Na = т?cos ®d。лcos ®d。лdo.do.(2.5)(2.5)Общее число молекул, проходящих в единицу времени от площадки dor в заданном направлении, получим, интегрируя последнее выражение по g от 0 до оо (обозначим это число & ),

d^Na = т?

d^Na = т?

cos ®d。

л

cos ®d。

л

do.

do.

(2.5)

(2.5)

Если проинтегрировать это выражение по всем 0 от 0 до л/2 и всем ф от 0 до 2л, то получим суммарный поток молекул через площадку do:

(2.6)

Аналогичным образом можно рассчитать поток молекул от площадки, если макроскопическая скорость газа относительно этой площадки не равна нулю.

Рис. 2.2. Пояснительная схема переноса тепла через слой газа при свободномолекулярном режиме

ТЕПЛОПЕРЕДАЧА ЧЕРЕЗ НЕПОДВИЖНЫЙ СЛОЙ ГАЗАПРИ СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОМ РЕЖИМЕ

Слой газа между безграничными плоскимипараллельными поверхностями

Рассмотрим процесс переноса тепла молекулами одноатомного газа, заключенного между двумя безграничными непроницаемыми твердыми поверхностями, параллельными друг другу и имеющими разные температуры 7^1 и Tw2 (рис. 2.2). На практике с такой задачей можно столкнуться, например, при разработке вакуумно-экранной тепловой изоляции. Воспользуемся декартовой системой координат XYZ, начало отсчета которой лежит на стенке /, а ось У направлена по нормали от этой стенки. Толщину газового слоя обозначим L. Предположим, что отражение молекул от поверхности стенок является диффузным с полной термической аккомодацией. Следовательно, функция распределения для молекул, отраженных с поверхности 1 (т. е. молекул, у которых ^>0), будет иметь вид

九尸I 河 exp ( —・(2.7)

Для молекул, отраженных с поверхности 2 (т. е. для молекул, у которых ^<0), функция распределения имеет вид

/—exp (_卷+4+成一).(2.8)

При свободномолекулярных условиях молекулы, отраженные от стенок, нигде не сталкиваются между собой. Таким образом, в каждой точке слоя L имеются две группы молекул, одна из которых состоит из молекул, отраженных от стенки /, а другая — от стенки 2. Функции распределения для каждой из этих групп остаются неизменными во всех точках, поскольку отсутствует влияние столкновений и массовых сил.

Выделим в слое газа малый объем dxdydz. В этом элементе объема для молекул, у которых ^>0, распределение скоростей описывается формулой (2.7), для молекул, у которых ^<0,——формулой (2.8). Если аналогично физическому пространству, характеризуемому координатами х, у, n, ввести понятие пространства скоростей, характеризуемого координатами 自欠,Eg, Jz, то можно сделать следующий вывод. Существует два полупространства скоростей, для которых функции распределения различны. Для полупространства ^>0 функция распределения описывается формулой (2.7), для Еу<0 ——формулой (2.8). Границей этих полупространств является плоскость Еу = О. На этой плоскости функция распределения разрывна.

Из всего сказанного следует, что функция распределения в любой точке слоя имеет вид

/ =(一磊)W + -^^ (一就)MU(2・9)

где 中=白+番+以 0/ (ly) — ступенчатая функция Хевисайда (/=1,2): ПРИ К>。；при >0；

1(g)—при к<0;2(%)—卜 при ^<0.

Значения nw! и nw2 можно выразить через числовую плотность молекул и, которая обычно бывает задана

^- ОО^― ОО 0 —^ ОО

总+© + ^总+© + ^2RTw22RTw2(2.10)(2.10)+ 80 + 8/

总+© + ^

总+© + ^

2RTw2

2RTw2

(2.10)

(2.10)

Х«^+—匹F f f exp (

(2几收故2)3/2 J J J \

—oo oo oo

九被1 +九被22

Кроме того, между %i и nw2 существует зависимость, которая вытекает из условия равенства числа падающих на стенку и отраженных от нее молекул (№=忆).Число падающих в единицу времени на единицу поверхности молкул составляет величину

+ 80 + ОО

(2.11)(2.11)N〃= j J \ EjdExd%d&・oo — oo — oo

(2.11)

(2.11)

Число отраженных в единицу времени с единицы поверхности молекул равно

+ 8 +8 + ОО

N〃= J J J(2.12)

ОО 0ОО

(2」3)(2」3)Подставляя в выражения (2.11) и (2.12) функцию (2.9) и приравнивая результаты вычислений, получим

(2」3)

(2」3)

九w2F7缈1

С помощью (2.13) и (2.10) значения nwi и nw2 можно выразить через п, 7wi и Tw2：

乙]=2〃被2；(2.14)

]+ 1/ 7 被 2/7 被 1

〃侬2=2〃L - …•(2.15)

1 + 1^ T ®2/「矶

Значение температуры в каждой точке слоя вычисляется следующим образом:

「+8 + 8 + 8

7=聂 黑 3,2 f \ f，eXр(一請一"&“Ez+

3次(2Лr7刨)3/2 J J J \2R73 丿 "

——oo 0 •— oo

+ 80 + 8

+石誥而f J J'exp(-請昵 —8 —ОО —ОО

L .九砌■工叫土上".3.住2=成+当+区).(2.16)

Подставляя в (2.16) вместо nwi и nw2 результаты вычислений (2.14) и (2.15), получим

Т = »М®2・(2.17)

Из (2.17) следует, что температура газа остается неизменной по толщине газового слоя. На поверхностях стенок температура разрывна. На стенке / (см. рис. 2.2) она скачкообразно меняется от Т до Twi, т. е. температура газа не равна температуре стенки. Аналогичная картина имеет место на стенке 2. Наличие скачков температуры является характерной особенностью процессов теплообмена при больших степенях разрежения. Вычислим, наконец, тепловой поток qy через слой газа

叩 2V я \^Vt^TwJ

(2.18) где p=mn ——плотность газа.

При малых температурных перепадах (TwJTwL、) формула (2.18) у прощается: ,д =pR l/4"^^ (T®i—Tw2)・ Формула (2.18) справедлива при условии полной термической аккомодации молекул (т. е. при аэ= 1). В случае, когда отражение диффузное, но коэффициенты термической аккомодации отличны от единицы, функции распределения для отраженных от стенок молекул имеют вид

九=京爲严eхр( 一且提产)，^e T,#Tg и %卢%, /=1 и 2.

Значения температур Тг\ и ТГ2 можно выразить через Tw\ и TW2, если заданы коэффициенты термической аккомодации аЭ1 и @з2：

(2.19)(2.19)7n =(l-%J^^ + a"®i；

(2.19)

(2.19)

乙2 = (1 - %2)2ffx2 + 能2乙2，

+ ОО 0 + 8

где £*“= j J у ^ -^- f w2^xd^ydlz = ^_- mnT2 {RTг2)3/2； ОО ОО oo*/

+ 80 + ОО

m尸f f f%九2"&或抠Ez=Tt(A7；2严；吕2 = 3 加，41(A乙1严;

ЛЛД»2 冗/2 л

Формулы (2.19) после подстановки в них значений Ei и N^ прини

мают вид

乙1 = (1 -。31)7?2 +。917初；乙2 = (1 -Лэ2)^r\^а^w^Из (2.20) следует乙1 = (1 -。31)7?2 +。917初；乙2 = (1 -Лэ2)^r\^а^w^Из (2.20) следует(2.20)(2.20)33Л1=Л1=@31 (1 -。32)7被 1 +a327被2.1 - (1 - %1) (1 -。32)。32 (1 - °31) 7®2 +a317®11 一 (1 -031) (1 - g2)@31 (1 -。32)7被 1 +a327被2.1 - (1 - %1) (1 -。32)。32 (1 - °31) 7®2 +a317®11 一 (1 -031) (1 - g2)(2.21)(2.21)(2.22)(2.22)

乙1 = (1 -。31)7?2 +。917初；乙2 = (1 -Лэ2)^r\^а^w^

Из (2.20) следует

乙1 = (1 -。31)7?2 +。917初；乙2 = (1 -Лэ2)^r\^а^w^

Из (2.20) следует

(2.20)

(2.20)

3

3

Л1=

Л1=

@31 (1 -。32)7被 1 +a327被2.

1 - (1 - %1) (1 -。32)

。32 (1 - °31) 7®2 +a317®1

1 一 (1 -031) (1 - g2)

@31 (1 -。32)7被 1 +a327被2.

1 - (1 - %1) (1 -。32)

。32 (1 - °31) 7®2 +a317®1

1 一 (1 -031) (1 - g2)

(2.21)

(2.21)

(2.22)

(2.22)

(2.23)(2.23)(2.24)(2.24)2R7V1%2R7V1%л 2 — gл 2 — g(Т®1 —Т®2)・(Т®1 —Т®2)・(2.25)(2.25)

(2.23)

(2.23)

(2.24)

(2.24)

2R7V1%

2R7V1%

л 2 — g

л 2 — g

(Т®1 —Т®2)・

(Т®1 —Т®2)・

(2.25)

(2.25)

Температура газа в каждой точке слоя составляет величин}^

Тепловой поток через единицу поверхности стенки равен

qy=pRqy=pRr /mTrirr2)a31g2 (7期-7破)

qy=pR

qy=pR

(Уt^ + m7^ / %1 + %2 - %1g2

При небольших температурных перепадах (&/Тгг> 1) и равенстве коэффициентов аккомодации на обеих стенках (&1 = &2=初 формула (2.24) упрощается:

Выше рассматривался одноатомный газ. Если газ состоит из многоатомных молекул, то необходимо учесть внутреннюю энергию молекул. Внутренняя энергия каждой молекулы, согласно принципу равного распределения энергии по степеням свободы, составляет в среднем величину, равную gm/R7\ где / = ^^ есть число внутренних степеней свободы. Энергия, приносимая -падающими молекулами на стенку /, составляет величину -у- m jRT^^iv . Энергия, уносимая с этой стенки отраженными молекулами, равна 费加丿公丁九川〃. Вклад в тепловой по-

(2.26)(2.26)ток q за счет внутренней энергии молекул составит величину f~mjRN п (7\i —乙2)・

(2.26)

(2.26)

Подставляя в (2.26) выражения (2.21) и (2.22), а затем суммируя результат с выражением (2.24), получим следующую формулу:

第富二：&(2.27)

где cv — изохорная теплоемкость; y = cp/cv — отношение изобарной к изохорной теплоемкостей.

Аналогичным образом получены приводимые ниже формулы для цилиндрического и сферического слоев [199].

Слой газа между коаксиальными цилиндрами

Температуры молекул, отражающихся от внутреннего и внешнего дилиндров, определяются следующим образом:

Л1 =Л1 =。31 [а?2 (1 -厂1 /厂2)+ (广1 /厂2)] 7w1 + (1 -。31)。327加2

Л1 =

Л1 =

032 + %1 (1 - а32)(厂1/厂2)

（2.29）（2.29）［°31 （1 -°92）（厂 1/ 厂2）］ 7被1 + a打碰%2 + %1 （1 - %2）（门/厂2）

（2.29）

（2.29）

где аЭ1 и @32，7wi и Tw2 ——коэффициенты аккомодации энергии, температуры соответственно на внутреннем и внешнем цилиндрах;厂】и r2 （^i ＜厂2）— радиусы цилиндров.

Распределение температуры газа в слое описывается следующей формулой:

7=A27=A21 +!［（許广一山5m伶）1 +!［（許广一山5m伶）1+-［（診广-小『5?）1+-［（診广-小『5?）（2.30）（2.30）

7=A2

7=A2

1 +!［（許广一山5m伶）

1 +!［（許广一山5m伶）

1+-［（診广-小『5?）

1+-［（診广-小『5?）

（2.30）

（2.30）

где г ——расстояние от оси цилиндров.

Формула для теплового потока через единицу поверхности внутреннего цилиндра имеет вид

/,1 Г-1 /~ R ^Э1^э2 （Тwl — Т®2）

，「依十亍刁百/2 + з（] _g2）6"2）义

一 （厂2"1） arccos （厂1//2）- V/ 1 —（厂1/厂2）2

（几/2）［（厂2/厂1）一 （厂1/厂2力

（2.31）

где р=М/У—средняя плотность газа （М ——масса газа, заключенного в слое, V ——полный объем слоя）. Тепловой поток через единицу поверхности внешнего цилиндра составляет величину 夕2=（后/厂2）夕1. Если「亦什 °° （тонкая проволока в центре цилиндра большого радиуса）, то формула （2.31） преобразуется к виду

@1 （7 被 1 — Т ®2）•@1 （7 被 1 — Т ®2）•

@1 （7 被 1 — Т ®2）•

@1 （7 被 1 — Т ®2）•

Если перепад температур невелик （т. е.「门/%-* 1）, то формула （2.31） принимает вид

@1。32 （7®1 - 7碗）。32 + g1 （1 一。92）（门"2）@1。32 （7®1 - 7碗）。32 + g1 （1 一。92）（门"2）

@1。32 （7®1 - 7碗）

。32 + g1 （1 一。92）（门"2）

@1。32 （7®1 - 7碗）

。32 + g1 （1 一。92）（门"2）

При 厂丿厂2fl из （2.30） и （2.31） получаются формулы для слоя между плоскими поверхностями.

Слой газа, заключенныймежду концентрическими сферами

Температуры молекул, отражающихся от внутренней и внешней сфер, определяются следующим образом:

［（2.32）（2.33）［（2.32）（2.33）@1 [%2 （1 - rl^r2）+ '；〃^| 7®1 +（1 -。31）%27硕%2 +。31 （1 - g2）（厂 1"2）2

［（2.32）

（2.33）

［（2.32）

（2.33）

°31 （1 - @з2）（厂1 /厂2）27®1 + акт®2@з2 +。31 （1 — @з2）（厂 1〃2）2

где Дэ1 и Дэ2； Тг\ и Тг2 — коэффициенты аккомодации и температуры соответственно на внутренней и внешней сферах; Г）и г2 ——радиусы сфер （门＜厂2）.

Распределение температуры газа в слое описывается формулой

1 + V [僞1/42严-1]{1-[1-S〃）*/2}

т = тг2J,（2.34）

1 +[（詳2/厶1）1/2 - 1] 口 一口一（门〃）*/2}

где г ——расстояние от центра сфер.

Формула для теплового потока через единицу поверхности внутренней сферы имеет вид

При малых температурных перепадах (т. е. 7门/7\2f 1) формула (2.35) упрощается:

/ , 1 С、 - 1R7?2031%2 (7初-7w2)

丿 W k 物+ @Mi2)S〃2)2 •

Тепловой поток через единицу поверхности внешней сферы составляет величину ^2 = ^71 (Г1/г2)2.

СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗАЧЕРЕЗ ОТВЕРСТВИЕ В ТОНКОЙ СТЕНКЕ

Течение газа через отверстие в тонкой перегородке, разделяющей два больших объема, при больших числах Кнудсена является одной из классических задач динамики разреженного газа. Закономерности такого течения представляют большой практический интерес и используются при разработке вакуумных трактов, создании установок для моделирования условий движения аппаратов в верхних слоях атмосферы, создании стендов для градуирования манометров методом потока, конструировании лабораторных устройств для формирования молекулярных пучков самого различного назначения и т. д.

Важной особенностью течения через отверстие в тонкой перегородке является то, что общие закономерности поведения газа не осложняются влиянием взаимодействия молекул газа с поверхностью ограничивающих твердых стенок. В связи с этим обстоятельством и тем, что характеристики такого течения сравнительно доступны для экспериментального определения, следует подчеркнуть эталонный характер этой задачи для разработки теоретических моделей течения в промежуточной области динамики разреженного газа.

Рассмотрим стационарное течение газа через отверстие площадью 4 в бесконечно тонкой перегородке, разделяющей две камеры, при условиях, когда размеры отверстия много меньше размеров камер и длин средних свободных пробегов молекул в обеих камерах. В этом случае попавшая через отверстие в камеру молекула сталкивается с другими молекулами или со стенкой на очень большом расстоянии от отверстия и может оказаться снова около отверстия, лишь испытав много столкновений. Поскольку поток молекул из отверстия является расходящимся, то его плотность по мере удаления от отверстия быстро понижается. Поэтому столкновения этих молекул на больших расстояниях от отверстия не будут оказывать заметного влияния на состояние газа в камере. После ряда столкновений влетевшие в камеру молекулы придут в равновесие с газом в этой камере. Вдали от отверстия газ в каждой камере находится в равновесном состоянии, которое характеризуется соответственно некоторыми значениями давлений pi и 卩2, температур Т> и Тг» плотностей pi и р2・ Эти параметры поддерживаются в камерах неизменными. Функции распределения молекул по скоростям на больших расстояниях от отверстия в каждой камере являются максвелловскими функциями для покоящегося газа, т. е.

/尸—exp (-不m酸+ 电),(2.36)

J，(2欢乙・)3/2 E \ 2R一 /(,

Z1

Кимера 1

力7>^

Камера 2

Рис. 2.3. Пояснительная схема к задаче о течении газа через отверстие

где п< — числовая плотность молекул; Тг — температура газа, i=l, 2 соответственно для первой и второй камер.

Здесь и далее используется система координат, начало которой рас- зтоложено посредине отверстия, а ось X направлена перпендикулярно к плоскости отверстия в сторону от большего давления к меньшему (рис. 2.3). В элементарном объеме dV около каждой точки, находящейся 8 камере 2 (или в камере /) на расстоянии х от отверстия, можно выделить две группы молекул. Во-первых, это молекулы, которые пришли 必з камеры / в камеру 2. Векторы скоростей этих молекул лежат внутри ^которого конуса. На рис. 2.3 этот конус заштрихован. Во-первых, это молекулы газа, заполняющего камеру 2. Векторы скоростей этих молекул лежат вне упомянутого конуса. В силу того, что молекулы не сталкиваются, функции распределения молекул по скоростям для каждой группы различны и соответственно равны fi и /2, выражения для которых даются формулой (2.36).

Рассмотрим прежде всего характеристики течения в сечении отвер・ стия (х=0). В элементарном объеме около любой точки в сечении от、 верстия находятся молекулы, идущие из первой камеры во вторую (все молекулы, у которых 自翼>0), и молекулы, идущие из второй камеры в первую (все молекулы, у которых 自翼之0). Если аналогично физическому пространству с координатами X, У, Z ввести пространство скоростей с координатами §ж, ^, gz, то можно сказать, что функция распределения в сечении отверстия терпит разрыв в пространстве скоростей на плоскости &=0. С учетом сказанного функция распределения в любой точке отверстия будет иметь вид f=fiOi(gx) +/262(5«), где 力 и % даны формулой (2.36); 01 (g«) и 62(5х) —ступенчатые функции:

1(*) —при & <0； 2 при

После того как установлен вид функции распределения, нетрудно вычислить все макроскопические характеристики течения в сечении отверстия.

Плотность газа

+ 00+8+8呼叫川""^河!!「冲+ 00+8+8呼叫川""^河!!「冲Xd厶%吃十Р2——eхр( --2君_^(2Лr72)/ J J J \2R72Xd厶%吃十Р2——eхр( --2君_^(2Лr72)/ J J J \2R72X d^xd^yd^z=-~(Pi + P2),(2.33X d^xd^yd^z=-~(Pi + P2),(2.33где р—тпрСкорость газагде р—тпрСкорость газа〃尸丄 ^fd，= ^ PJK^-P亚恒〃 и"|/ 几Pl + Р2〃尸丄 ^fd，= ^ PJK^-P亚恒〃 и"|/ 几Pl + Р2(2.38)(2.38)В частном случае, когда Т1 = Т2=Л формула (2.38) преобразуется к видуВ частном случае, когда Т1 = Т2=Л формула (2.38) преобразуется к виду〃“〃“i 2欠7 Pi — № И Л Р1 + Р2i 2欠7 Pi — № И Л Р1 + Р2Массовый расход газа (масса газа, перетекающего из одной камерьвМассовый расход газа (масса газа, перетекающего из одной камерьвв другую за единицу времени)в другую за единицу времени)g=pM=GM筝f/纂)g=pM=GM筝f/纂)AA(2.39)(2.39)

+ 00+8+8

呼叫川""^河!!「冲

+ 00+8+8

呼叫川""^河!!「冲

Xd厶%吃十Р2——eхр( --2君_^(2Лr72)/ J J J \2R72

Xd厶%吃十Р2——eхр( --2君_^(2Лr72)/ J J J \2R72

X d^xd^yd^z=-~(Pi + P2),(2.33

X d^xd^yd^z=-~(Pi + P2),(2.33

где р—тпр

Скорость газа

где р—тпр

Скорость газа

〃尸丄 ^fd，= ^ PJK^-P亚恒〃 и"|/ 几Pl + Р2

〃尸丄 ^fd，= ^ PJK^-P亚恒〃 и"|/ 几Pl + Р2

(2.38)

(2.38)

В частном случае, когда Т1 = Т2=Л формула (2.38) преобразуется к виду

В частном случае, когда Т1 = Т2=Л формула (2.38) преобразуется к виду

〃“

〃“

i 2欠7 Pi — № И Л Р1 + Р2

i 2欠7 Pi — № И Л Р1 + Р2

Массовый расход газа (масса газа, перетекающего из одной камерьв

Массовый расход газа (масса газа, перетекающего из одной камерьв

в другую за единицу времени)

в другую за единицу времени)

g=pM=GM筝f/纂)

g=pM=GM筝f/纂)

A

A

(2.39)

(2.39)

1/ Р1 021/ Р1 02к виду О—к виду О—J荻一（定一7^丿4J荻一（定一7^丿4С учетом того, что p=p]RT, формула (2.39) может быть преобразована

1/ Р1 02

1/ Р1 02

к виду О—

к виду О—

J荻一（定一7^丿4

J荻一（定一7^丿4

Из этой формулы следует, что расход через отверстие будет равен нулю, если 仍/”7=〃2/К^・ Как известно,, при Кп->0 (режим континуума Навье — Стокса) условием отсутствия течения является лишь ра

венство Р1=Р2・

В частном случае, когда Г1 = Т2=Л формула (2.39) принимает вид

G = —==г (А — 〃2)А (2.40)

В вакуумной технике часто используется вместо G величина Q = GpJp?> называемая «потоком газа». Из (2.40) получается следующая формула для Q： Q=〃(pi—Р2),

где П=А )/■就稀 —величина, называемая «пропускной способа ностью» отверстия.

Формула (2.39) проверялась экспериментально рядом исследователей. Условия, при которых проводились экспериментальные исследования течения газа через круглое отверстие, приведены в табл. 2.1. Опытам» охвачен широкий диапазон отношений давлений рг/рь Во всех упомянутых исследованиях толщина перегородки составляла малую величину па сравнению с диаметром отверстия. Эффект конечной толщины перегородки, оценку которого можно сделать на основе теории течения разреженного газа по коротким трубам, был пренебрежимо мал. Данные измерений массового расхода через круглое отверстие представлены на рис. 2,4, а в виде зависимости G/Gm от числа Kni = /i/P, где G — измеренный массовый расход; Gm — расход, вычисленный по формуле (2.39); D ——диаметр отверстия;乙一средняя длина свободного .пробега в камере e большим давлением(21=1,27冉似]/7?7\).

Таблица 2.1

Условия опытов по измерению расхода газа

через круглое отверстие при изотермических условиях (Т】 = Г2)

Исследователь, год публикации) ссылка

Газ

Диаметр отверстия D, см

Относительная толщина перегородок 6/D

Отношение давлений в камерах Р1/Р>

Диапазон чисел Кнудсена Кгц —

-IJD

Липман [126] 1961 г.

0,Ю47 0,0985

0,025

10+з

50-0,005

Стрикант [181, 182] 1965 г.

2,54

0,005

2-17

1,7-0,1

Лорд и др. [130] 1967 г.

0,1

0,025

10+4

4-0,6

Сметана и др. [168] 1967 г.

1,148

0,011

2-50

2,7-5・ В

Борисов С. Ф. и др. [5] 1973 г.

1,49Т0-2

0,03

1-10

600—10-2

Науман, Чан [145] 1974 г.

Воздух

0,7 1,0 2,0 4,0

0,7 0,05 0,025 0,0125

1-103

5-10-4

Примечание. 6 — толщина стенки.

Из рис. 2.4, а следует, что опытные данные, полученные при больших числах Кнудсена Kni>10, хорошо согласуются с формулой (2.39). При числах Кнудсена KmVlO течение газа через отверстие нельзя еще считать свободномолекулярным. В этих условиях на характеристики течения оказывают заметное влияние столкновения молекул вблизи отверстия.

На рис. 2.4, 6 показаны результаты аналогичных исследований течения газа через прямоугольное отверстие, ширина которого составляла

Рис. 2.4. Данные измерений массового расхода разреженного газа через отверстия: а — круглое отверстие: / — по формуле (2.39); II — теория [144]; III — теория [198]; IV — теория [61]; б — прямоугольное отверстие а/& = 1,15-10~'^ ; / — по формуле (2.39)

帀(5)

Рис. 2.5. Графики функции распределения в потоке газа за отверстием при больших, числах Кнудсена 〃 рг/Pi-*^-

а — О данные [131, 133]; сплошная линия ~ по формуле (2.41); б — О и Чданные [163, 164]; сплошная линия — максвелловское распределение

2a=9,59・10-з см, длина 26 = 0,8357 см (см. рис. 2.3, а), а толщина пере・ городки 10~4 см [5]. Исследования проводились при условиях, когда зна* чения pi и 02 отличались незначительно, а 7\ =「2・ На рис. 2.4, 6 результаты опытов представлены в виде зависимости G/Gw от числа Кнудсена Kni = Zi/2&, где G, Gm,厶一то же, что на рис. 2.4, a, 2b — наибольший размер щели. Как видно из рис. 2.4, б, значения расхода при Kni>2 близки к значениям, получаемым по формуле (2.39).

Особый интерес представляют результаты опытных исследований функции распределения скоростей молекул, вылетающих через отверстие из камеры 1 в камеру 2 [131, 133, 163, 164]. В опытах измерялась в разных точках за отверстием величина, представляющая собой произведение функции распределения % на gn (где п = 5 в [131, 133] и п = 3 в [163, 164]), т. e.Wd/MB

На рис. 2.5, а даны результаты измерений функции W) в потоке це・ зиевого газа за отверстием (£) = 0,0524 см) при числе Kni = /i/D=18,

температуре Ti=403 К и Рг/Р1->0. Опытные данные представлены в виде зависимости ф(5)= ф(5)/Ф^х от безразмерной скорости молекул c=ElV2№г где 屮臨 —максимальное значение функции T^5), наблюдавшееся в опыте. При максвелловском законе распределения функция Т5)имеет вид

^=П1Л^/2с5ехр^с2^ (2.41)

Максимум функции 屮⑸ достигается при c* = J/^~-|- = 1,581 (что легко найти по правилам отыскания экстремума функции). Для сравнения на рис, 2.5, а нанесена сплошной линией максвелловская функция Фм) <2.41), отнесенная к своему максимальному значению, т. е.

可(5) _ с5ехр( —。2)М (5/2)5/2ехр( —5/2) *

Как следует из графика, экспериментальная функция распределения хорошо согласуется с максвелловской.

На рис. 2.5, б даны результаты измерений функции Т<3)в потоке ксенона и аргона за отверстием (диаметром 0 = 0,69 мм) при числах Кнудсена соответственно Kni = 5,6 и 8,6; температуре Тi = 302^ К и 尹切什。・ Опытные данные представлены в виде зависимости 屮⑶= =可(3)/屮鉉 от c = E/M2R7\. Для сравнения на этом же графике нанесена сплошной линией кривая, соответствующая максвелловскому закону распределения, т. е.'

可(з)_ сЗехр( —吟

М (3/2)з/2ехр( — 3/2) •

При той точности измерений, которая была в опытах, отличие опытной функции распределения от максвелловской обнаружить еще нельзя.

Перейдем теперь к рассмотрению структуры течения перед и за отверстием. Макроскопические характеристики течения вблизи отверстия вычисляются по той же схеме, что и в сечении отверстия. Нетрудно видеть при этом, что функция распределения в разных точках, вообще говоря, будет иметь разные поверхности разрыва в пространстве скоростей (см. рис. 2.3). Структура течения вблизи отверстия существенно зависит от формы отверстия. Ограничимся рассмотрением структуры потока для случаев прямоугольного и круглого отверстий, имеющих наибольший практический интерес.

Структура течения около прямоугольного отверстия. Рассмотрим течение газа через отверстие, геометрия которого показана на рис. 2.3, а. Начало координат поместим в центр отверстия, ось X направим по потоку перпендикулярно к плоскости отверстия. Рассмотрим сначала распределение макроскопических параметров течения вдоль оси X при условии, когда P2，Pif 0・ В этом случае можно принять f2 = 0. Выделим около произвольной точки (х, у=0, 2=0) элементарный объем dV. Молекулы, поступающие в этот объем из камеры /, могут иметь следующие значения составляющих скоростей (см. рис. 2.3)

。<厶<8, — & 且wmw&2, —Ix-^iz^^x--(2.42)

XX%%

В пространстве скоростей, определяемом условиями (2.42), распределе- »яе молекул по скоростям описывается максвелловской функцией 九， выражение для которой дается формулой (2.36). В остальной части пространства скоростей f=，2=0・ Значение плотности в точке (х, у=0, 2=0) получим, интегрируя функцию распределения по пространству скоростей

Здесь и далее х=х/а, а=Ь/а, 力=舗]/2/?7\, 2=х, у, z, erf р= 2 Е

=—二 \ e~prf/— интеграл вероятности. Чтобы вычислить интеграл (243)>

поступим следующим образом. Продифференцируем (2.43) по х и воспользуемся затем таблицами [14]:

=«2运 + а2 + 1冗(袞+ а2)(运+ 1)丿运+ а2 + 1=«2运 + а2 + 1冗(袞+ а2)(运+ 1)丿运+ а2 + 1

=«2运 + а2 + 1

冗(袞+ а2)(运+ 1)丿运+ а2 + 1

=«2运 + а2 + 1

冗(袞+ а2)(运+ 1)丿运+ а2 + 1

Интегрируя по х и учитывая при этом, что р->0 при %f 8, получим окончательно

'р = — arctg ( 。一) , 7=— .(2.44)

几 I京> 三2 +a2+1丿 Pi

Если от переменной х=х/а перейти к ^=х//о仇 удобной при сравнении результатов для отверстий разной конфигурации, то получим следующую формулу для р: р = — arctg / - 丨 -Из (2.44)

——_ У у2 + а + (1/а)— /

следует, что р—»1 при х — —8, при х—*0 р —*0,5. В случае, когда отверстие квадратное, формула (2.44) преобразуется к виду

—1,Р= — arctg—1,Р= — arctg1Н1/ 袞+ 21Н1/ 袞+ 2

—1,

Р= — arctg

—1,

Р= — arctg

1

Н1/ 袞+ 2

1

Н1/ 袞+ 2

На рис. 2.6, а представлены распределения плотности вдоль оси отверстия, рассчитанные по формуле (2.44) для двух случаев а = 0,1 и а= L Характерно, что на расстояниях х = 5 плотность в потоке за квадратным отверстием составляет уже одну сотую от значения плотности в камере L Еще быстрее падает плотность с увеличением х для прямоугольных, отверстий (а三 1).

Аналогичным образом можно получить формулу для вычисления плотности в любой точке около отверстия. В случае квадратного отверстия (а=1) формула получается следующего вида:

p=_Lrarctg .二 1)(上幺——

4rL ^М/2_〃十 2 X ]/ 22 +也+ 2

Рис. 2.6. Графики распределения плотности р, скорости йж, температуры газа Т, продольной 〃 поперечной температур Тх и Ту, плотности тока р〃3c вдоль оси отверстия (отсчет х производится от перегородки):а — прямоугольное (Ь/а=0,1) и квадратное (Ь/а=1) отверстия; б ——круглое отверстиеРис. 2.6. Графики распределения плотности р, скорости йж, температуры газа Т, продольной 〃 поперечной температур Тх и Ту, плотности тока р〃3c вдоль оси отверстия (отсчет х производится от перегородки):а — прямоугольное (Ь/а=0,1) и квадратное (Ь/а=1) отверстия; б ——круглое отверстие

Рис. 2.6. Графики распределения плотности р, скорости йж, температуры газа Т, продольной 〃 поперечной температур Тх и Ту, плотности тока р〃3c вдоль оси отверстия (отсчет х производится от перегородки):

а — прямоугольное (Ь/а=0,1) и квадратное (Ь/а=1) отверстия; б ——круглое отверстие

Рис. 2.6. Графики распределения плотности р, скорости йж, температуры газа Т, продольной 〃 поперечной температур Тх и Ту, плотности тока р〃3c вдоль оси отверстия (отсчет х производится от перегородки):

а — прямоугольное (Ь/а=0,1) и квадратное (Ь/а=1) отверстия; б ——круглое отверстие

(2.45)(2.45)-arctg —坛+1)(7-D ' + arctg 二(2)(办上

(2.45)

(2.45)

工]/ /2-五+ 2京M/2 + // + 2

где 7=p/pi；三=n/0； У=у/a; x=x/a; 22=*2+川 + * "=2(7+引； 也=2(7—£)._

Если в (2.45) положить 歹=0, то получим формулу, позволяющую вычислить плотность в любой точке плоскости 歹=0 (плоскость чертежа см.

на рис. 2.3),

р = — arctg (—— z+ ]) — arctg ( .

2冗 L袞+^2 + 2^ + 2 / \工 F 方+工2_2^ + 2 /J

На рис. 2.7, а представлено поле плотности в плоскости 歹=0 за квад- дратным отверстием, рассчитанное по (2.45).

Перейдем к рассмотрению распределения плотности тока р〃к и скорости газа 〃冥 вдоль оси отверстия

z/a

\ pl卩尸叩1 T . A,

〃1234 5G fa

万）

Puc. 2.7. Поле плотности в потоке за отверстием в плоскости у=0:а — квадратное отверстие; б — круглое отверстие

где ® = p%/Pi /雯 i

При х=0 р〃*=1, при х—*оо р«х —> 0. Если перейти от переменной х=х/。к х=х]УаЬ. то получим следующую формулу:

1

К ах2 + 1

arctg

а姦+ 1а2

+

х2 + а

(1 —-^- arctg /а»+ а?)・

Распределение скоростей их по оси X -получим, разделив (2.47) на (2.44),

RT、.RT、.(2.48)(2.48)где их=ихгде их=ихЕ=4Е=4g сг ехр (— г?) dcrdcx оg сг ехр (— г?) dcrdcx о

RT、.

RT、.

(2.48)

(2.48)

где их=их

где их=их

Е=4

Е=4

g сг ехр (— г?) dcrdcx о

g сг ехр (— г?) dcrdcx о

Для квадратного отверстия (а= 1) формула (2.48) упрощается и при

нимает вид

—△•• f 1 ———arctg М 蓑十 — arctg】…

Если х->0, то 〃冗一>0,5. Если х->оо, то их->1. Распределения р〃％ и йх вдоль оси X, вычисленные для квадратного (а=1) и прямоугольного (а = 0,1) отверстий, показаны на рис. 2.6, а.

Структура течения около круглого отверстия. Рассмотрим течение газа через круглое отверстие, диаметром D = 2a (см. рис. 2.3, 6). Найдем распределение плотности р, скорости их и плотности тока р〃* вдоль оси отверстия при условии, когда 卩2加if 0 (т. е. /г = 0). Воспользуемся цилиндрической системой координат х, г, <р (см. рис. 2.3, 6). Выделим около точки (х, г = 0) малый объём dV. Составляющие скоростей молекул, поступающих в этот объем из камеры /, могут иметь, как это видно из рис. 2.3, следующие значения:

。<&V8, 0<3<х子，(2.49)

где&=1/点+贬.

Число молекул dN с составляющими скоростей gx4-^x+^x и &+&+&&, содержащихся в элементарном объеме (2冗自「壮自「壮自％) пространства скоростей (2.49), будет равно

• “а=2"Е“/Е*н^~ехр(—Ц^Д).■(2.50)

Интегрируя (2.50) по всем возможным значениям скоростей, т. е. по пространству (2.49), мы получим плотность в точке (х, г=0)

~сх!х—

P=-^7 [ exp(—片)(cr ox^( — c^)dcrdcx=^- ( 1—xj . (2.51)

Гл b5?2 \/72+1 丿

Здесь и далее р= р/рр Сг=А/У^^Т； х=х/а. Умножив (2.50) на т$х и интегрируя затем по пространству скоростей (2.49), получим значение

где E=p〃Jpiгде E=p〃Jpi京2 + 1

где E=p〃Jpi

где E=p〃Jpi

Наконец, разделив (2.52) на (2.51), получим закон распределения ско роста газа вдоль оси отверстия

(2.53)(2.53)где их=ихгде их=их

(2.53)

(2.53)

где их=их

где их=их

Рассмотрим в заключение распределение температуры газа вдоль оси. Введем понятия продольной и поперечной температур, .исходя из соотношений 春々T*=善加(&一〃』； 十"^ = 十团%一％尸； 十死 =

=~ m (%—〃z尸，

где Тх — «продольная» температура, характеризующая разброс по скоростям 员 а Ту и Tz — «поперечные» температуры, характеризующие разброс по J? и gz； черта над квадратами' «тепловых» скоростей (费——〃t)2 означает осреднение; k ——постоянная Больцмана. На оси X

(2.54)(2.54)

(2.54)

(2.54)

Температура газа Т выражается через Т*, Ту и Tz следующим образом:

Вычислим температуру Ту и Tz：

『7尸姦j j 2"五急hхp(-黑乡%% (2.55)

Интегрируя (2.55) и подставляя выражение для п (2.51), получим

_ 爲+(2-5б)

где Тi=TJT].

Найдем распределение продольной температуры Тх вдоль оси X

7( —啸)喝也(2.57)

Интегрируя (2.57) и подставляя вместо п выражение (2.51), получим

訳-矗 А* (2-58) где TX=TX[TV

Подставляя (2.56) и (2.58) в (2.54), найдем температуру газа

где 7 = Т/Т「где 7 = Т/Т「-昂m)-昂m)

где 7 = Т/Т「

где 7 = Т/Т「

-昂m)

-昂m)

рассчитанные порассчитанные поРаспределения p, p〃*,辽*, T вдоль оси отверстия,

рассчитанные по

рассчитанные по

формулам (2.51) — (2.53), (2.56), (2.58) и (2.59), представлены на рис. 2.6, б.

Схема вычислений макроскопических параметров течения в точках, не лежащих на оси, аналогична. На рис. 2.7, б представлены результаты вычислений поля плотности за круглым отверстием [104].

Полученные результаты для случая % = 0 легко обобщить на случай, когда fzNo,(卩2>0)・ Так как молекулы двух встречных потоков не сталкиваются между собой, то значения р, их и т. д. представляют собой суперпозицию результатов вычислений для каждого потока. Например, для круглого отверстия значение плотности в точке % на оси будет равно

где ^=p/pi・где ^=p/pi・一 1 р—一 1 р—11

где ^=p/pi・

где ^=p/pi・

一 1 р—

一 1 р—

1

1

AdxtAdxtVdni = П[Vdni = П[Лт VЛт Vзов в момент т равнозов в момент т равно九1 九01九1 九01九 2〃02九 2〃02(2.61)(2.61)

Adxt

Adxt

Vdni = П[

Vdni = П[

Л

т V

Л

т V

зов в момент т равно

зов в момент т равно

九1 九01

九1 九01

九 2〃02

九 2〃02

(2.61)

(2.61)

Течение смеси газов через отверстие. Выше было рассмотрено стационарное течение однородного газа, т. е. газа, состоящего из молекул одной природы. Из полученной выше формулы (2.38) видно, что скорость истечения зависит помимо всего прочего от массы молекул, а именно, она пропорциональна величине V7? (где R=h]m). С увеличением массы молекулы скорость истечения уменьшается. С этим обстоятельств ом связан ряд особенностей истечения смеси тазов. В частности, при истечении из камеры в вакуум смеси, состав которой поддерживается постоянным, вытекающий газ будет обогащен более легкой компонентой. На этом явлении основан один из используемых в практике методов разделения изотопов [143].

Особенности течения смеси газов проиллюстрируем на примере задачи о вытекании газа из сосуда в вакуум. Рассмотрим сосуд, наполненный смесью двух газов, числовая плотность молекул которой равна По=^о 1+^02, где nOi и п02 соответственно числовая плотность молекул первого и второго газов. В начальный момент времени открывается отверстие в тонкой стенке сосуда и начинается процесс истечения газа в окружающую среду. Мы ограничимся рассмотрением той части процесса истечения, когда можно считать давление в окружающей среде пренебрежимо малым по сравнению с давлением в сосуде. Будем предполагать, что размеры сосуда велики, а размеры отверстия достаточно малы, чтобы считать состояние газа вдали от отверстия равновесным в каждый момент процесса истечения. Другими словами, мы будем предполагать, что процесс понижения давления в сосуде очень медленный. Температуру газа в сосуде будем предполагать не меняющейся.

Уравнение расхода для каждого газа, входящего в состав смеси, будет иметь вид “

(2.60)

где V ——объем сосуда; А — площадь отверстия; т ——время; Т ——температура; Rt — газовая постоянная i-ro газа; mi ——масса молекул ьго газа,々——постоянная Больцмана; "不——числовая плотность молекул i-го газа в момент т. Интегрируя (2.60) с учетом

начальных условий, получим ni=nOi exp (——f);几2 =几02 exp I — Z г/ "^~~J， гДе f =

——безразмерное время. Отношение числовых плотностей молекул га

51/九2)51/九2)Используя (2.61), мы можем вычислить мольные концентрации х<, давление р и газовую постоянную смеси в сосуде для любого момента времени

51/九2)

51/九2)

,*2 =1 — *1,,*2 =1 — *1,*]==

,*2 =1 — *1,

,*2 =1 — *1,

九1 + 〃21 +(П1/Л2)

九 2「1+51/九2)九 2「1+51/九2)"一初2 [ 1 + 5oi/九02)"一初2 [ 1 + 5oi/九02)

九 2「1+51/九2)

九 2「1+51/九2)

"一初2 [ 1 + 5oi/九02)

"一初2 [ 1 + 5oi/九02)

Рис. 2.8. Графики изменения со временем мольных концентраций смеси двух газов, давления смеси 〃 газовой постоянной смеси в резервуаре при свободномолекулярном истечении газа через отверстиеРис. 2.8. Графики изменения со временем мольных концентраций смеси двух газов, давления смеси 〃 газовой постоянной смеси в резервуаре при свободномолекулярном истечении газа через отверстие7/23 4t7/23 4t

Рис. 2.8. Графики изменения со временем мольных концентраций смеси двух газов, давления смеси 〃 газовой постоянной смеси в резервуаре при свободномолекулярном истечении газа через отверстие

Рис. 2.8. Графики изменения со временем мольных концентраций смеси двух газов, давления смеси 〃 газовой постоянной смеси в резервуаре при свободномолекулярном истечении газа через отверстие

7/23 4t

7/23 4t

反巾+^醫(上爲))(1+爲)1

где p=plpo\ R=R]Ro； Ро и Ro ——соответственно давление и газовая постоянная смеси в начальный момент времени. На рис. 2.8 представлены зависимости %i(f), %2(f),歹(f), A(f) для случая = 4, *oi = *o2 = °，5 (xOi — начальная мольная концентрация

f-го газа). Из графиков видно, что к моменту, когда давление в сосуде составляет одну десятую от первоначального, мольная концентрация тяжелой компоненты возросла до %2=0,85, а легкой уменьшилась до значения %i=0,15.

СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗАВ КАНАЛАХ

Течение разреженного газа в канале является одной из важнейших в прикладном отношении задач динамики разреженного газа. Первые исследования, посвященные этой задаче, были выполнены Кнудсеном в 1909 г. [114], Смолуховским в 1910 г. [171] и Клаузингом в 1932 г. [88]. Дальнейшее развитие теория течения разреженного газа в каналах получила в трудах ряда отечественных и зарубежных исследователей, опубликованных в период с 1960 по 1974 гг.

Анализ свободномолекулярных течений в каналах мы начнем с рассмотрения относительно простого случая — движения газа по соединяющему два резервуара осесимметричному каналу, внутренняя поверхность которого является сферической [97]. При этом будем предполагать, что попавшие на стенку канала молекулы отражаются диффузно. В этом случае отсутствуют математические трудности и, в то же время, сохраняются многие характерные черты течений газа в любых каналах.

. Канал со сферической геометрией

Рассмотрим стационарное течение газа через канал, соединяющий камеры А и В. Размеры канала много меньше размеров камер и средних длин свободных пробегов молекул в обеих камерах. Вдали от входного и выходного отверстий канала газ находится в равновесных состояниях соответственно при давлениях ра и р&, плотностях ра и рь, температуре Та = Тъ=Т. Стенки канала имеют ту же температуру, что и газ в камерах.

Геометрия канала показана на рис. 2.9. Канал имеет на входе диаметр, равный 2厂电 а на выходе — 2厂协 Длина канала равна L. Внутренняя поверхность канала есть часть сферы, вырезанная двумя параллельными плоскостями. Радиус этой сферы равен rs. Будем использовать цилиндрическую систему координат, начало которой расположено в резервуаре .4 на оси канала в точке, отстоящей от центра сферической поверхности на

Рис. 2.9. Пояснительная схема к задаче о течении газа через канал со сферической геометрией величину, равную /• Ось X направлена вдоль оси канала в сторону резервуара В.

Течение в канале можно рассматривать как наложение двух молекулярных потоков, один из которых направлен из резервуара А в В, а второй — из В в Л. При свободномолекулярном режиме эти потоки не взаимодействуют друг с другом. Следовательно, каж

дый поток можно рассматривать отдельно. Будем рассматривать поток из резервуара А.

Как было показано раньше (см. § 2.3), через сечение входного отверстия будет проходить в единицу времени из резервуара Л в полость

N а = ПаN а = Па2冗2冗(2.62)(2.62)канала следующее количество молекул:

N а = Па

N а = Па

2冗

2冗

(2.62)

(2.62)

Однако не все эти молекулы попадут в резрвуар В. Часть из этого числа молекул попадет на стенку канала. Некоторые из них, отражаясь, направляются к выходу из канала. Эти молекулы достигают резервуара В так же, как молекулы, проходящие канал без столкновений со стенками. Некоторые из ударяющихся о стенку молекул отражаются в обратном направлении, в сторону входа в канал. Эти молекулы вернутся в резервуар А. Результирующее число молекул, проходящих в единицу времени из % в 5, меньше, чем число, рассчитанное по формуле (2.62).

Для того чтобы определить результирующий расход молекул, необходимо найти величину обратного потока, возникающего из-за отражения молекул от стенок канала. Для этого нужно знать число молекул, излучаемых в единицу времени с единицы поверхности каждого элемента стенки канала. Количество молекул, излучаемых каждым элементом поверхности канала, найдем из условия баланса потоков частиц для элемента поверхности do. Поскольку стенка предполагается непроницаемой, не поглощающей и не генерирующей частиц (стенка лишь отражает молекулы), то количество падающих и отражаемых частиц должно быть одинаковым, т. е.

d =d Ng + d ^aa, (2.63)

где dNor — поток частиц от элемента do; dNao — поток к элементу do из резервуара A; dNGG — поток к элементу do отраженных от стенок канала молекул (см. рис. 2.13).

Так как распределение по скоростям для отраженных молекул является максвелловским (диффузное отражение), то поток частиц dN^ от do можно выразить следующим образом:

d Nor ^ &о

+ ОО + ОО +8

力(％) (2jiRT)3/2

exp

—do〃r (x)

где &, Е" $т — составляющие скоростей молекул в декартовой системе координат, связанной с элементом do так, что ось а есть нормаль к элементу da; nr(x)—плотность для отраженных молекул, вычисляемая из условия непроницаемости стенки. Величина пг(х) в силу осевой симметрии течения зависит лишь от координаты х.

Теперь перейдем к рассмотрению величины dNOG. Выделим на поверхности канала еще один элемент — do' (см. рис. 2.9). Поток частиц от этого элемента в телесный угол dQ。。, под которым с элемента do' виден элемент do, составит величину (см. § 2.1)

d^N^n^x1) 1/"竺上竺上 dQ。。，(2.65)

где ^Qaa=^a cos е//72; Н — расстояние между 而 и d『；9 и 6Г —углы соответственно между нормалями к площадкам do, do' и отрезком Н.

Из рис. 2.9 видно, что в рассматриваемом случае 6 = 8' и H=2rs cos 0. С учетом этого выражение (2.65) можно представить в следующем виде:

♦(2.66)

Отметим, что dQ = do7%? есть телесный угол, под которым виден элемент do' из центра сферической поверхности.

Из (2.66) следует, что для всех равновеликих элементов поверхности канала с одинаковыми координатами %’ и г' значение cPN^g получается одинаковым. Эти элементы образуют кольцевую поверхность, величина которой равна Sda,=2nrs^x,.

Поток отраженных молекул на элемент do с этой кольцевой поверхности составит величину *

Интегрируя это выражение по х\ получим величину потока dNgg：

/хь dNg= 聲 \ % (北)X(2.67)

xa

Наконец, рассмотрим величину потока dNa^ Для вычисления этол величины введем «контрольную» поверхность, являющуюся боковой поверхностью шарового сегмента, опирающегося на входное отверстие (на рис. 2.9 показана шунктиром). Выделим на этой поверхности элемент doa・ Число молекул, падающих из резервуара 4 на этот элемент, / RT

составляет величину, равную па 1 / do。. Далее с поверхности do。 эти молекулы рассеиваются в сторону отверстия диффузно, т. е. по закону косинуса. Отметим, что такой же поток молекул падает из резервуара А на любой другой равновеликий элемент контрольной поверхности. Теперь вычислим поток молекул, поступающих от do. к элементу do (схема вычислений аналогична вычислению d2Noo):

^Naa=na 1 / 咨(2.68)

?4吟

Из (2.68) видно, что от всех равновеликих элементов контрольной поверхности do. поступают к do одинаковые потоки. Суммируя эти потоки,

получим величину

(2.69)

Здесь JdOq=2jtz\Xq・ Отметим, что Qa=2nrsxa/rl есть телесный угол, под которым видно входное отверстие из центра сферы.

Подставляя результаты вычисления (2.64), (2.68) и (2.69) в балансовое уравнение (2.63), получим следующее интегральное уравнение:

хь

% (х) =\ яг (У) dx‘ + па 嘗"・(2.70)

ха

Уравнение (2.70) есть вырожденное интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода. Решение этого уравнения получим следующим образом. Вве- хъ

дем обозначение С = J яг {xr)dxr. ха

Тогда (2.70) примет вид яг (х)° +•

Умножим это уравнение на dx и проинтегрируем полученное выражение в интервале от ха до %ь・ В результате получим

c= q_"。Та ""二①■

2分1 h

(2.71)

Из (2.71) следует

0 2厂5 - (*厶一*a)

(2.72)

Подставляя (2.72)

в (2.70), получим

%—=const.

…。2%一(/一融)

(2.73)

Формулу (2.73) можно представить также в следующем виде: 〃，(%)= =%丁丛^=乙《,@ -，где °аь 一 телесный угол, под которым видна поверхность канала из центра сферы, £劫=2nA(%ь 二产。)；2^_ телесный угол, под которым видно выходное отверстие канала. Углы Qq, Qb и 。。匕 связаны соотношением Qa-|-^b-^Qab=^n.

Результаты вычислений позволяют сделать два замечания. Во-первых, потоки частиц, поступающие из резервуара А на любые равновеликие элементы поверхности канала, одинаковы. Во-вторых, потоки отраженных частиц от всех равновеликих элементов поверхности канала тоже одинаковы.

Теперь нетрудно найти поток молекул, отражающихся от стенок канала обратно в резервуар Л. Число молекул, падающих из канала на элемент контрольной поверхности do* определим по формуле (2.67), заменив в ней do на dna. Подставляя значение пг, получим

илиили/RT Ха (& — %а)2n 2r5 [2rs — (х6 — ха)]/RT Ха (& — %а)2n 2r5 [2rs — (х6 — ха)]а%，а%，d N ад — иаd N ад — иа(274)(274)

или

или

/RT Ха (& — %а)

2n 2r5 [2rs — (х6 — ха)]

/RT Ха (& — %а)

2n 2r5 [2rs — (х6 — ха)]

а%，

а%，

d N ад — иа

d N ад — иа

(274)

(274)

или Naa=naили Naa=naИ 2л 4л Qa 4-。匕И 2л 4л Qa 4-。匕

или Naa=na

или Naa=na

И 2л 4л Qa 4-。匕

И 2л 4л Qa 4-。匕

Суммарный обратный поток молекул, отраженных стенками канала, составит величину

Результирующий поток молекул через канал из резервуара Л в В получим, вычитая из значения Na обратный поток Nw

N АВ=Па

2 尸 S —*6

2厂$ — (%ь — xa)

(2・75)

Формулу (2.75) можно представить в виде

NAB=na J赛 d

%06

Q@ + %

Аналогичным путем можно найти второй результирующий поток молекул из резервуара В в А:

3/等出

Расход молекул газа через канал будет равен разности Nab и Nba：

f 宀=(…丿空(2.76)

Умножая (2.76) на массу молекулы т, получим формулу для массового расхода газа через канал

Мб=(Ра-Рь) J嗡

%Q6

Qq + Qb

(2.77)

С учетом уравнения состояния (p=pRT) формулу (2.77) можно записать следующим образом: Gar=-^^ 尸° г^ —°凸一.

V(2nRT Qq + Qb

Сопоставим полученные формулы для расхода с формулами для отверстия в тонкой стенке, радиус которого равен радиусу входного отверстия канала, OAB/Ga=NAB/Na =既 где

ц/一 厂 $ Qa% Ш^ Qa 4-。6

(2.78)

Величина W по своему содержанию есть вероятность того, что молекула, войдя через входное отверстие в канал из первого резервуара, попадет во второй резервуар. Эту величину, имеющую фундаментальное значение в вакуумной технике, называют вероятностью прохождения или коэффициентом Клаузинга. С использованием этого понятия формулы для определения расхода через канал можно записать в виде

Gab=W %-•您-*・

V2nRT

尸〃с. 2.10. График зависимости коэффициентов Клаузинга для осесимметричных сферических каналов с одинаковыми входными и выходными отверстиями от Llra:

сплошная линия — теория сферического канала; пунктирная ——теория круглой трубы; точки ——опытные данные для круглой трубы——，一[ПО]; Ч[31,

91]; О — [134]； □ — [80]; ▽ - [161]

В случае канала со сферической геометрией вычисления коэффициента Клаузинга, как это было видно, не связаны с большими трудностями. Определение этого коэффициента для каналов с другой геометрией наталкивается на определенные математические трудности (см. дальше). Поскольку короткие круглые трубы, сужающиеся и расширяющиеся (диффузорные и конфузорные) конические каналы по своей геометрии близки к каналу со сферической геометрией, то формула (2.78) может служить основой для приближенных инженерных расчетов этих каналов. В связи с этим остановимся на некоторых частных случаях геометрии рассматриваемого канала.

Рассмотрим осесимметричный канал со сферической геометрией, у которого Qa = Qb, т. е. у которого входное и выходное отверстия одинаковы: га=гь (рис. 2.10). Формула (2.78) в этом случае может быть преобразована к виду

展 1+十Z2—*|/ 1+十Z2,(2.80)

где 1=中@ ——относительная длина канала. Из (2.80) следует, что при /-> оо значение 取—0,5.

При /W1 рассматриваемый канал близок по своей геометрии к короткой круглой трубе. На рис. 2.10 дается сравнение коэффициентов Клаузинга для коротких круглых труб (см. следующий раздел) и каналов со сферической геометрией. Дополнением к рис. 2.10 является табл. 2.2, где приведены значения W для круглой трубы и канала со сферической геометрией при нескольких значениях 厶 Из сравнения следует вывод о том, что при /^ 1 значения W для круглых труб и каналов со сферической геометрией отличаются не более, чем на 3%.

Таблица 2.2

Коэффициенты Клаузинга для круглых труб и каналов со сферической геометрией

z = L/ra

0,1

0,5

1,0

5,0

10

Сферический канал, W

Круглая труба,取

0,9524

0,9524

0,8048

0,8013

0,6910

0,6720

0,5185

0,3146

0,5049

0,1973

Теперь рассмотрим осесимметричный канал со сферической геометрией, у которого Qa>Qb, т. е. у которого входное отверстие больше выходного: ra>rb (рис. 2.11). Преобразуем формулу (2.78) к более удобному виду, воспользовавшись следующими геометрическими соотношениями:

a +方= 2/>-£，гд = a (2Гs - a), /^=6(2厂$-6),

6 =仆一//^― *, ra—rb^L tg^,(2.81)

где р — полуугол «сужения》канала; а — расстояние между плоскостью входного сечения канала и передней точкой пересечения сферы с осью канала; Ь ——расстояние меж-

Рис. 2.11. График зависимости коэффициентов Клаузинга для конфузорных сферических каналов от /:

сплошные линии — теория сферических каналов; Чтеоретические расчеты конических диффузоров [192]

ду плоскостью выходного сечения и задней точкой пересечений сферы с осью канала; га и гь — соответственно радиусы входного и выходного отверстий.

Приведем формулу (2.78) сначала к виду

22(32 且 2 一(”)一("仆)\ra) rs 2 — (L/rs)(32 且 2 一(”)一("仆)\ra) rs 2 — (L/rs)(2.82)(2.82)

2

2

(32 且 2 一(”)一("仆)

\ra) rs 2 — (L/rs)

(32 且 2 一(”)一("仆)

\ra) rs 2 — (L/rs)

(2.82)

(2.82)

Введем обозначение: Z=(ra/「6)2. При помощи формул (2.81) величинуВведем обозначение: Z=(ra/「6)2. При помощи формул (2.81) величинузить через угол сужения и относительную длинузить через угол сужения и относительную длинуZ можно выраZ можно выра

Введем обозначение: Z=(ra/「6)2. При помощи формул (2.81) величину

Введем обозначение: Z=(ra/「6)2. При помощи формул (2.81) величину

зить через угол сужения и относительную длину

зить через угол сужения и относительную длину

Z можно выра

Z можно выра

Z =Z =1+(1 — Ztg В)2T1+(1 — Ztg В)2TZ4+[(1—Ztg В)2—1]2Z4+[(1—Ztg В)2—1]2•Г'•Г'(2.83)(2.83)

Z =

Z =

1+(1 — Ztg В)2T

1+(1 — Ztg В)2T

Z4+[(1—Ztg В)2—1]2

Z4+[(1—Ztg В)2—1]2

•Г'

•Г'

(2.83)

(2.83)

где l—L!ra ——относительная длина канала.

Отметим, что Zgl. Условию Z=1 соответствует случай, когда радиус входного отверстия равен радиусу сферы и a=rs, а угол 0V 45°. Для таких каналов, как это следует 2 tg ₽

из (2.83), значение / определяется величиной угла сужения hz=i)= п . а 0 о"• 1р

1 —Z 2-Z1 —Z 2-Z%z=i)= 2%z=i)= 2(2.84)(2.84)Наибольшее значение /(z = i)соответствует углу р=45°. Для каналов, у которых а = г«. формулу (2.82) можно преобразовать к виду

1 —Z 2-Z

1 —Z 2-Z

%z=i)= 2

%z=i)= 2

(2.84)

(2.84)

На рис. 2.11 зависимость (2.84) представлена пунктирной линией. Слева от этой линии —область каналов, у которых a>rs, справа ——область а<г«. Максимальная относительная длина «конфузорного» канала со сферической геометрией определяется условием /max = ctg р.

При /=/тах радиус выходного отверстия равен нулю, т. е. гь = 0. В этом случае 1Г=0.

С учетом введенных обозначений формулу (2.82) для конфузорных каналов можно представить в следующем виде:

嗅 2 h 一 y 中T丽[一 У + h一山喪!, (2 85)Z(2—z]/7)

где Z(B，/) дается формулой (2.83). Формула (2.85) применима в интервале значений относительной длины канала OW/Wctg В.

Из (2.85) при 8=0 вытекает формула (2.80).

Рассматриваемые каналы со сферической геометрией при /^1 близки к коническим сужающимся каналам. На рис. 2.11 дается сравнение коэффициентов Клаузинга для этих каналов. Результаты расчетов по формуле (2.85) для ряда значений углов

]l+(l+ZtgB)2 ,% = (2十]l+(l+ZtgB)2 ,% = (2十Z4+[(l +Ztg 3)2 — 1]2Z4+[(l +Ztg 3)2 — 1]2Г-Г-

]l+(l+ZtgB)2 ,

% = (2十

]l+(l+ZtgB)2 ,

% = (2十

Z4+[(l +Ztg 3)2 — 1]2

Z4+[(l +Ztg 3)2 — 1]2

Г-

Г-

Рис. 2.12. График зависимости коэффициентов Клаузинга для диффузорных сферических каналов от L/ra:

сплошные линии — теория сферического канала; пунктирные — теория конических каналов [192]; Чтеоретические расчеты конических диффузоров [1101

сужения представлены на рис. 2.11 в виде зависимостей W(/). Эти зависимости даны сплошными линиями. Результаты расчетов коэффициентов Клаузинга для конических суживающихся каналов при р=15°, 30°, 45° и 60°, взятые из работы [192], обозначены на рис. 2.11 крестиками. Из сравнения можно заключить, что при больших и малых углах сужения коэффициенты Клаузинга для конических конфузоров, относительная длина которых У1, почти не отличаются от значений этих коэффициентов для «суживающихся» каналов со сферический геометрией. При />1 и Р<45° коэффициенты Клаузинга для суживающихся конических

каналов, как показывает теория и эксперимент, заметно отличаются от коэффициентов для каналов со сферической геометрией, имеющих те же значения / и Р [23, 192].

Наконец, рассмотрим осесимметричный канал со сферической геометрией, у которого Qa<Qb, т. е. входное отверстие меньше выходного: га<гь (рис. 2.12). В этом случае выполняются следующие соотношения: гь — ra=L tg Р； a—rs —•

Для расширяющегося канала формулу (2.78) можно преобразовать к следующе

му виду:

(2.86>(2.86>歹=2 [1 ~~ 了1 — % ] [1 — Z JZi + ]Л — Zi ]

(2.86>

(2.86>

Zi(2 — Z，N)

где

Здесь § — полуугол «расширения» канала. На рис. 2.12 дано сравнение коэффициентов Клаузинга для расширяющихся сферических каналов с результатами расчетов конических диффузоров [ПО, 175, 192].

Результаты расчетов по формуле (2.86) представлены сплошными линиями. Результаты расчетов конических каналов, взятые из работы [110], представлены крестиками. Пунктирными линиями нанесены результаты расчетов, взятые из [192]. Данные работы [175] практически совпадают с данными работы [192]. Дополнением к рис. 2.12 является табл. 2.3, где приведены коэффициенты Клаузинга для диффузорных конических и сферических каналов при разных углах раскрытия и относительных длинах. Данные для конических каналов взяты из работы [110].

Результаты сравнения позволяют заключить, что коэффициенты Клаузинга для коротких расширяющихся конических каналов при /^ 1 отличаются от коэффициентов для соответствующих каналов со сферической геометрией не более, чем на 2%. Интересно отметить, что коэффициенты Клаузинга для расширяющихся каналов при Р>60° практически не отличаются от единицы. Это значит, что истечение через такие каналы такое же, как через отверстие в тонкой стенке (/=0). Экспериментальные данные, полученные для конического расширяющегося канала с р=75° и /<1 [161], подтверждают этот вывод.

Перейдем к дальнейшему анализу свойств течения в канале со сферической геометрией. Как отмечалось, коэффициент Клаузинга представляет собой вероятность того, что молекула, войдя в полость канала из камеры А, попадает в камеру В. Можно ввести еще ряд характеристик течения, которые по своему содержанию представляют вероятность того или иного события. Найдем вероятность того, что молекула, попав из камеры А в полость канала, пролетит прямо без столкновений с поверхностью стенки канала в камеру В. Для этого вычислим сначала число таких молекул Nab. Воспользуемся формулой (2.69), в которой лишь нужно заменить теперь do на dob (где dob есть элемент поверхности шарового сегмёнта опирающегося на выходное отверстие):

Таблица 2.3

Коэффициенты Клayзинга для диффузорных конических и сферических каналов

l

₽

1

w

сферический канал

конический канал

сферический канал

конический канал

10°

0,1

0,5

1,0

10

0,9674

0,8719

0,8082

0,8200

0,9673 0,8686 0,7908 0,6172

40°

0,1 0,5 1,0

10

0,9927

0,9778

0,9745

0,9913

0,9927

0,9762

0,9681

0,9605

20°

0,1

0,5

1,0

10

0,9787

0,9214

0,8904

0,9311

0,9786

0,9185

0,8764

0,7964

50°

0,1 0,5 1,0

0,9964

0,9907

0,9905

0,9975

0,9964

0,9896

0,9870

0,9852

30。

0,1

0,5

1,0

10

0,9869

0,9557

0,9434

0,9742

0,9869

0,9534

0,9334

0,9081

60°

0,1

0,5

1,0

10

0,9986

0,9970

0,9974

0,9995

0,9986

0,9965

0,9959

0,9956

2nM

где= --——телесный угол, под которым видно из центра сферы выходное от

верстие. Разделив Nab на число молекул Na, влетающих в полость канала из камеры Л, получим величину Заь, представляющую собой вероятность того, что молекула, попав через входное отверстие в канал, прямо без столкновений с поверхностью стенки пролетит в камеру В,

^ab

Nab Na

：=w

4冗 2r2

4л

Применительно к осесимметричному сферическому каналу эту формулу можно записать в виде wab = 1г[1 —

где Z и W даются для «конфузорных» каналов

(2.85), а для «диффузорных» ——формулами выходное отверстия одинаковы, значение W Z по формуле Z = (1 + -^- /2).

Найдем теперь вероятность того, что

соответственно формулами (2.83) и

(2.86). Для каналов, у которых входное и вычисляется по формуле (2.80), а значение

молекула, попавшая из камеры 4 через

входное отверстие в полость канала, столкнется с поверхностью стенки канала. Сначала при помощи формулы (2.69) вычислим количество молекул из числа Na, сталкиваю-

" "A70卢功 2

щихся со стенкой, = па I/ b ： 2n 4ns

Разделив Naa на Na, получим вероятность За^ того, что молекула, влетевшая в полость

。Ng %Qqb

канала, столкнется со стенкой канала waa = — — = 4n?- где Qab=4n — Qa — Q&.

Найдем, наконец, вероятность w того, что отраженная молекула в итоге попадет в камеру В. Предварительно вычислим число молекул, испускаемых в единицу, времени поверхностью канала по направлению к выходному отверстию. Для этого воспользуемся

формулой (2.74), заменив лишь в ней daa на dGb, N9b= па

И ЗГ4n(% + %)%

Разделив ^ ь на ^aa, мы получим вероятность з：

w =

°b + Qa

Рис. 2.13. Схема молекулярных, потоков в полости сферического канала

Рис. 2.14. Пояснительная схема к вычислению макроскопических параметров течения на оси канала

Рассмотрим теперь уравнение баланса для потока частиц через выходное отверстие (рис. 2.13): Nab = ^аь + Мь = %@匕十 wN©・

Разделив это уравнение на Na, получим выражение, связывающее вероятности W,侬аь， 切曲 н w: 1Г = wab + waow,

В случае течения газа по осесимметричному каналу, не обладающему сферической геометрией, вероятности waQ и w для разных элементов поверхности различны, т. е. будут зависеть от продольной координаты (см. дальше).

Отметим, что общее число молекул ^a ь, испускаемых в единицу времени поверхностью канала в сторону входного отверстия, можно представить в виде

N°bNg

乂产 Mr =(觴也。)-77-，

где Naa —число молекул, прилетающих на стенку из камеры Л; Nаа ——число молекул, падающих на стенку после столкновений с ее поверхностью; Nar ——общее число молекул, испускаемых поверхностью канала в единицу времени. Перепишем это выражение

N°bNg

в следующем виде:= %次——+ 乂匕方一.

N。b

Введем обозначения waa = —— , wah =—：—.

4 arar

Величина ^aa представляет собой вероятность того, что молекула, испускаемая стенкой, упадет снова на поверхность стенки канала.

Величина 侬卩力 есть вероятность того, что испускаемая стенкой молекула проследует прямо к выходному отверстию. Разделим Nab на число молекул, прилетающих из камеры Л на стенку канала 7Vaa . С учетом ранее сказанного получим w=wаЬ 4- w-waa, Это уравнение связывает вероятности w, wab и 侬 ^尸 В случае осесимметричного канала, не обладающего сферической геометрией, вероятности %ь н 侬 g для разных элементов поверхности канала будут различными, т. е. будут зависеть от продольной координаты. Отметим, что именно в таких терминах вероятностей была рассмотрена задача о течении через канал Клаузингом [88].

Перейдем к рассмотрению поля течения в канале со сферической геометрией. Схема расчетов микроскопических параметров течения аналогична той, которая использовалась уже в задаче о течении газа через отверстие (см. §. 2.3). Особенностью является то обстоятельство, что в каждой точке поля присутствуют молекулы двух классов — отраженные от поверхности канала и прилетевшие прямо из резервуара А. Для простоты ограничимся рассмотрением случая, когда у осесимметричного

сферического канала входное и выходное отверстия одинаковы. При этом будем предполагать, что потоком из камеры В в Л можно пренебречь, т. е. давление в резервуаре В пренебрежимо мало по сравнению с давлением в резервуаре Л. По-прежнему будем использовать цилиндрическую систему координат, однако, начало ее поместим на входе в канал (рис. 2.14). Мы ограничимся вычислением макроскопических параметров течения в точках, лежащих на оси канала. Выделим около точки, лежащей на оси X (х>/), малый объем dV (см. рис. 2.14). В этом объеме присутствуют молекулы двух классов. Для молекул, пришедших прямо из резервуара А без столкновений со стенками канала, функция распределения имеет вид= — ?•

(2几欠7) % L 2仪 J

Значения & и 己「этих молекул лежат в следующих интервалах (см. рис. 2.14): 0<&<8, 0<&<厶•資•

Векторы скоростей молекул этого класса лежат внутри заштрихованного конуса на рис. 2.14. Для молекул, пришедших в dV после отражения от стенки канала, функция распределения имеет вид

/f=-— exp ( 一 仪士号.),

где nr согласно (2.73) в рассматриваемом случае будет составлять величину пг=0,5па.

Интервалы возможных значений & н 自「для отраженных частиц в рассматриваемой точке будут следующими: 0V&V8,

Вычислим плотность в рассматриваемой точке

Е*/*8Е*/(*Т)т

P = mj/d3=zn J J 2呜九％%+『J ^TfTdlTd^x , (2.87)

—Lo о6犷」

где х=х/гЛ; /=£/%・

Подставляя выражения для fa и fг в (2.87) и интегрируя, получим

(2.88)(2.88)тпа Г J х + тпг хх — Z

(2.88)

(2.88)

LU运十 1 -2 -/运十 1 V(Н— Q2 十 1 -

Первое слагаемое в (2.88) есть вклад молекул, прилетевших из камеры А без столкновений с поверхностью канала, а второе — вклад молекул, прилетевших после отражения от поверхности. Подставляя в (2.88) значение пг, получим

『寸」Чтй+тй缶г)】’ (2-89)

где р = р/ра. При / = 0 формула (2.89) переходит в формулу для отверстия ь тонкой стенке (см. § 2.3). Полученная формула применима при положительных и отрицательных значениях х. В этом нетрудно убедиться, проделав аналогичные вычисления для х<0. Положив в (2.89) значение 元=0,5厶 получим значение плотности в центре канала р = 0,5ра. Отметим, что в случае, когда Qa^Qb (т. е. га#=г&), плотность в центре канала со-

ставляет величину Р= ・

Qa + Qb

Формулу (2.89) нетрудно обобщить на случай, когда р2¥=0. Путем супер-

Рис. 2,15. График распределения плотности на оси сферического канала с одинаковыми входным 〃 выходным отверстиями при разных значениях относительной длины канала

Рис. 2.16. График распределения плотности тока на оси канала при разных значенияхотносительной длины канала

ПОЗИЦИИ лучим

результатов для двух независимых молекулярных потоков по-

x - Z

m(羣一2)2+ 1 -

(2.90)

На рис. 2.15 показано изменени плотности вдоль оси каналов, имеющих разную относительную длину Z. Кривая / = 0 соответствует случаю истечения через отверстие. На этом же рисунке для сравнения пунктиром дано распределение плотности вдоль оси короткой круглой трубы с относительной длиной / = 2. Данные для трубы взяты из работы [155].

Перейдем к вычислению плотности тока р〃光

(8ОО j/(J)、

f f ^Axfad^x+ [ f2戒岳/7统〃匕・(2・91)

Подставляя в (2.91) функции f. и f「и интегрируя, получим

_ h2 \ +芽 2(分一 Z)2 ]

1 +x2 / Л« [ J2 + 1(X— Z)2 + 1 ]

(2.92)

где 丽* =p〃j Pa

Первое слагаемое в (2.92) есть вклад молекул, прилетающих прямо из камеры Л, а второе ——вклад отраженных о стенки канала молекул. Подставляя в (2.92) значение пг, получим

Е=1I(2.93)

2 L *2+ 1(% —/)2+

Положив в (2.93) х=—I, получим значение р以 в центре канала

—1

p北一 1=.

(*=寸)1 +0,05/2

На рис. 2.16 показано изменение р〃％ вдоль оси каналов, имеющих разную относительную длину Z. Обращает на себя внимание немонотонный характер изменения величины р〃光 при Z> 1.

Рис. 2.17. Пояснительная схема к задаче。течении газа 6 круглой трубе

Значение скорости газа на оси канала получим, воспользовавшись формулами (2.89) и (2.93),

22 L 亍2 + 1 丁(X-炉+12 [

Цилиндрическая круглая труба

Рассмотрим теперь течение газа из камеры 4 в камеру В по круглой трубе радиуса г, длина которой равна Л. Будем использовать систему координат, начало которой находится в точке пересечения плоскости входа с осью трубы (рис. 2.17). Остальные исходные условия те же, что в предыдущей задаче. Найдем расход газа. Число молекул, проходящих в единицу времени из камеры 4 через входное сечение в полость канала, дает выражение (2.62). Часть из этого числа молекул испытает столкновения со стенкой канала и после отражения возвращается обратно в камеру А. Результирующий поток молекул из Л в В будет равен разности потоков молекул, входящих в полость канала и вылетающих после отражения обратно. Вычислим обратный поток молекул. С этой целью рассмотрим баланс частиц для произвольного элемента поверхности трубы do (см. рис. 2.17). Из условия сохранения частиц следует

dN°r=dNa° + dNg、(2.94)

где dNb — число молекул, «излучаемых» в единицу времени элементом do; dNae — число падающих в единицу времени на этот элемент молекул, прилетающих прямо из камеры Л; dNaa — число падающих на элемент молекул, испытавших столкновения со стенкой канала.

Выражение для dNar дается формулой (2.64). Выражение для dNoa получим следующим образом. Выделим еще один элемент поверхности d『(см. рис. 2.17). Число молекул, падающих на do с d『，составит величину (2.65)

d^N„=nr(2.95)

p 2冗 冗

где nr (xz)—числовая плотность для отраженных молекул от элемента * ,cos 9и,

из ； а^ =———телесный угол, под которым виден элемент do с do'; Н ——расстояние между do и do'; 9 и 9’ ——углы соответственно между нормалями к элементам dG, d『и отрезком Н. Значение Н можно выра-

зить через координаты элементов do и do':

" ="х一》)2 + (" 一 夕)2+3 一 才)2.

Переходя к цилиндрическим координатам (х, г, <р), получим

(2.96)(2.96)

(2.96)

(2.96)

Косинусы углов ВиВ' также можно выразить через координаты элементов do и d『：

С。昨勺中）+8中）.一gg中）С。昨勺中）+8中）.一gg中）

С。昨勺中）+8中）.一gg中）

С。昨勺中）+8中）.一gg中）

Переходя к цилиндрическим координатам, получим

(2.97)(2.97)cos 9 = cos 6Л=2 — sin2 /工二'

(2.97)

(2.97)

〃〈2

(2.98)(2.98)Величину элементарной площадки do' можно представить следующим выражением:

(2.98)

(2.98)

d^ — rd^ dx'.

С учетом (2.96) — (2.98) выражение (2.05) можно представить в виде

%(%')%(%')4sin44sin4(X — *')2 + 4厂2 sin2(X — *')2 + 4厂2 sin2dq'dx'dG.dq'dx'dG.(2.99)(2.99)

%(%')

%(%')

4sin4

4sin4

(X — *')2 + 4厂2 sin2

(X — *')2 + 4厂2 sin2

dq'dx'dG.

dq'dx'dG.

(2.99)

(2.99)

Количество молекул, падающих на элемент do с кольца, шириной 2nrdx\ получим, интегрируя (2.99) по углу <р\ При этом удобно отсчитывать угол д/ от значения, соответствующего положению площадки do. Количество молекул, падающих на Ко со всей поверхности трубы, получим, суммируя (интегрируя) потоки с элементарных колец. С учетом сказанного можно записать

dN-^ry蛋"寸叫хndN-^ry蛋"寸叫хnооооsin4("V)sin4("V)(X — %')2 + 4「2 sin2 I-^(X — %')2 + 4「2 sin2 I-^—dx'・12—dx'・12

dN-^ry蛋"寸叫хn

dN-^ry蛋"寸叫хn

о

о

о

о

sin4("V)

sin4("V)

(X — %')2 + 4「2 sin2 I-^

(X — %')2 + 4「2 sin2 I-^

—dx'・

12

—dx'・

12

После интегрирования по д/ получим

[2 (% — 7)2 + 3]2 [G—7)2+ 1]%[2 (% — 7)2 + 3]2 [G—7)2+ 1]%〃r(k)dx',〃r(k)dx',(2.100)(2.100)

[2 (% — 7)2 + 3]

2 [G—7)2+ 1]%

[2 (% — 7)2 + 3]

2 [G—7)2+ 1]%

〃r(k)dx',

〃r(k)dx',

(2.100)

(2.100)

где x=x/2厂；x'=%72厂；L — L/2r.

Теперь рассмотрим поток dNa®. Число падающих на элемент do молекул, стартовавших с элементарной площадки входного сечения трубн, составляет величину

d?N 加=паd?N 加=паda“ cos 0i da cos 62da“ cos 0i da cos 62冗兄冗兄

d?N 加=па

d?N 加=па

da“ cos 0i da cos 62

da“ cos 0i da cos 62

冗兄

冗兄

где Ha — расстояние между площадками do。и do; & — угол между осью канала и отрезком 儿；仇一угол между нормалью к площадке do и отрезком На (см. рис. 2.17). Интегрируя потоки от всех daa, получим

5" = *。/ 啜5" = *。/ 啜1 +2 工21 +2 工2-2%必・-2%必・

5" = *。/ 啜

5" = *。/ 啜

1 +2 工2

1 +2 工2

-2%必・

-2%必・

Подставив результаты вычислений потоков в (2.94) и разделив правую и левую части уравнения на иа, получим уравнение следующего вида:

_匸 _

(2.101)(2.101)询(Е)=/(^)+[К(五千)W*)d»,b

(2.101)

(2.101)

где

К1 + X2К1 + X2— 2*]; К (х.х,]=\—\х — х, \— 2*]; К (х.х,]=\—\х — х, \2(三一*)2 + 3 .2[(7-Р)2-ь'2(三一*)2 + 3 .2[(7-Р)2-ь'

К1 + X2

К1 + X2

— 2*]; К (х.х,]=\—\х — х, \

— 2*]; К (х.х,]=\—\х — х, \

2(三一*)2 + 3 .

2[(7-Р)2-ь'

2(三一*)2 + 3 .

2[(7-Р)2-ь'

硏刀=上心Па

Это уравнение называют уравнением Клаузинга, которое является интегральным уравнением Фредгольма второго рода с ядром К (元，元')， зависящим только от абсолютной величины разности продольных координат. •

Рассмотрение уравнения (2.101) показывает, что распределение w(x) вдоль трубы зависит от единственного параметра — отношения длины трубы к диаметру. Вид функции w(x) можно найти для каждого значения L численным интегрированием уравнения (2.101). На рис. 2.18 даны результаты численного решения (сплошные линии) методом последовательных приближений, взятые из работ [81, 176]. Дополнением к этому рисунку является табл. 2.4, в которой даны значения ш^_ взятые из работы {103}, в зависимости от x = x/L при значении параметра L = L/2r=\. Из рисунка видно, что зависимость w(x) близка к линейной. Функция 侬(％) обладает свойством симметрии, которое заключается в следующем:

® (£—%)= 1 — ®(х). (2.102)

Из (2.102) следует, что независимо от длины трубы всегда w(L/2) = 1/2. Свойство симметрии позволяет рассчитывать функцию ш(х) лишь для половины трубы. Если в интервале O^x^L/2 значения w известны, то в интервале L/2^x^L они могут быть легко вычислены при помощи (2.102). Отметим, что в первом приближении вид функции ш(х) можно установить аналитичским путем, аппроксимируя функцию f{x) и ядро К (х, £), например, экспонентами. Этим путем в работе [20] получена следующая формула:

2(1+力

Расчеты по этой формуле даны на рис. 2.18 пунктирными линиями. Несмотря на кажущееся согласие этой формулы с численным решением уравнения Клаузинга, следует иметь в виду ее приближенный характер. В частности, при расчетах распределения локальных значений макроскопических параметров (скорости, плотности, плотности тока) эта формула может приводить к качественно неверным результатам.

Рис. 2.18. Кривые численного решения уравнения Клаузинга для круглой трубы

Результаты численного решения уравнения Клаузинга при L = 1

x/L

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

缈

0,75762

0,70730

0,65601

0,60420

0,55215

0,50000

После того как найдена функция 侬(％), можно перейти к определению расхода газа. Вычислим обратный поток отраженных молекул. Число частиц, падающих с элемента поверхности канала do на элементарную площадку входного сечения трубы doa, составляет величину

RT do cos”2dOa cos 加RT do cos”2dOa cos 加d2Naa = nr (x)d2Naa = nr (x)2 л2 л(2.103)(2.103)

RT do cos”2dOa cos 加

RT do cos”2dOa cos 加

d2Naa = nr (x)

d2Naa = nr (x)

2 л

2 л

(2.103)

(2.103)

Число частиц, стартующих с элемента do и вылетающих через входное отверстие обратно в камеру Л, получим, интегрируя (2.103) по do.：

=——2хЪа, (2.104)

2 У+ *2]

где da=rd^dx.

Общее число молекул, стартующих со стенки канала и вылетающих обратно в камеру Л, шолучим, интегрируя (2.104) по do:

1 +2内1 +2内2х dx.2х dx.(2.105)(2.105)

1 +2内

1 +2内

2х dx.

2х dx.

(2.105)

(2.105)

Расход молекул (т. е. число молекул, стартовавших из камеры Л и дошедших до камеры В за единицу времени) составит величину

N АВ = N а — N оаN АВ = N а — N оа117_r,

N АВ = N а — N оа

N АВ = N а — N оа

1

1

2 \ 砌工) -1 十 2"2 …——2x dx

(2.106)

Аналогично рассчитывается молекулярный поток из камеры В в камеру 4 Число молекул, стартовавших из камеры В и дошедших до камеры Л, составит величину

Nва = 压ь\/ "^-冗产. 1-2 f—%)1 -1.+ 2(£-空2(£ -%) dx •

卜2冗J L H + 辽一工AJ

(2.107)

Подстановкой 之=£—x получаем интеграл, входящий в (2.107), точно таким же, как в уравнении (2.106). Суммарный расход молекул через канал равен алгебраической сумме потоков Nab и 市ва：

N=N АВ ——Nba =N=N АВ ——Nba =一咽 1 -2 \ ® 仪)о一咽 1 -2 \ ® 仪)о1+2x21+2x2

N=N АВ ——Nba =

N=N АВ ——Nba =

一咽 1 -2 \ ® 仪)о

一咽 1 -2 \ ® 仪)о

1+2x2

1+2x2

(2.108)

Рис. 2.19. График зависимости коэффициента Клаузинга от относительной длины трубы: сплошная линия — теория; точки 一 опытные данные:О- [134]; ▽ — [146]; • -[НО]; + - [31、91]； □ 一 [161]； △ - 95; △- [83]; X -[137]Рис. 2.19. График зависимости коэффициента Клаузинга от относительной длины трубы: сплошная линия — теория; точки 一 опытные данные:О- [134]; ▽ — [146]; • -[НО]; + - [31、91]； □ 一 [161]； △ - 95; △- [83]; X -[137]Рис. 2.20, Пояснительная схема к вычислению плотности тока на оси круглой трубыРис. 2.20, Пояснительная схема к вычислению плотности тока на оси круглой трубы

Рис. 2.19. График зависимости коэффициента Клаузинга от относительной длины трубы: сплошная линия — теория; точки 一 опытные данные:

О- [134]; ▽ — [146]; • -[НО]; + - [31、91]； □ 一 [161]； △ - 95; △- [83]; X -[137]

Рис. 2.19. График зависимости коэффициента Клаузинга от относительной длины трубы: сплошная линия — теория; точки 一 опытные данные:

О- [134]; ▽ — [146]; • -[НО]; + - [31、91]； □ 一 [161]； △ - 95; △- [83]; X -[137]

Рис. 2.20, Пояснительная схема к вычислению плотности тока на оси круглой трубы

Рис. 2.20, Пояснительная схема к вычислению плотности тока на оси круглой трубы

Разделив N на расход молекул через отверстие, т. е. на множитель перед фигурной скобкой в уравнении (2.108), «получим коэффициент Клаузинга для трубы:

取=1 _ 2 (加仪)•…dx. (2.109)

С учетом (2.109) формулы для .молекулярного и массового расходов можно представить в виде

N^W-nr21/ 空(乙一勾)，G=W"(&-%).

у 2л]/2n收

Значения W вычислялись путем решения уравнения Клаузинга рядом исследователей [93, 103, 176]. На рис. 2.19 представлены результаты этих вычислений в виде зависимости коэффициента Клаузинга от величины отношения L]r (сплошная линия). Для сравнения на этом же графике нанесены данные ряда экспериментальных исследований (точки), полученные при больших числах Кнудсена [31, 83, 91, 95, 110, 134, 137, 146, 161]. Наряду с вычислениями W, решая уравнения Клаузинга, эта задача решалась методом*Монте-Карло [86, 87, 90]. В табл. 2.5 дается

сводка результатов вычислений коэффициентов Клаузинга. Там же приводятся для сравнения результаты приближенных вычислений, впервые сделанные Клаузингом, которые сейчас представляют не только исторический, но и определенный практический интерес. Отметим, что для случая Е~>8 можно получить аналитическое решение уравнения Клаузинга. Это асимптотическое решение записывается в виде 旷= ~|"彳・

Для труб конечной длины при £/「^500 эта формула дает ошибку, не превышающую 1%.

После того как решено уравнение Клаузинга, найдена функция w(x), можно рассчитать распределение локальных макроскопических параметров потока. Расчеты проводились рядом исследователей [81, 155, 156, 172]. Ограничимся рассмотрением схемы расчета плотности тока р〃х на оси трубы при условии, когда потоком из камеры В в А можно пренебречь.

Выделим в центре некоторого сечения трубы малую площадку do。(рис. 2.20). Найдем проходящий через единицу поверхности этой площадки поток молекул, стартовавших со стенки канала. Для этого рассмотрим элемент поверхности канала do,

координаты которого 无i, г, ф. Поток молекул с этого элемента поверхности, приходящийся на единицу поверхности элемента do。，составит величину

_ / RT COS 01COS 02,S、

d 5〃*)ь = ПТ (Xi) J ^- do —-^,(2.110)

где do = rd^dx^, "^ = (* — jq)2 + г2；

cos 0i = 〃Но； cos % = * — *i/〃o・

Таблица 2.5

Коэффициенты Клаузинга для круглых труб, W

厶"

Гарел ис [103], 1973 г.

Чунг, [86], 1971 г.

Берман, [75], 1969 г.

Девис [90], 1960 г.

Де Маркус^ [93], 1955 г.

Клаузинг [88], 1932 г.

'0,1

0,95248

0,95240

0,9524

0,2

0,9090

—

0,90919

—

0,90922

0,9092

0,3

—

—

0,86993

—

0,86993

0,8699

0,4

—

—

0,83408

—

0,83408

0,8341

0,5

0,8012

0,80170

0,80127

0,804

0,80127

0,8013

0,6

一

—

0,77115

—

—

0,7711

0,7

—

—

0,74341

—

—

0,7434

0,8

—

0,71778

—

—

0,7177

0,9

—

0,69404

—

—

0,6940

1

0,6720

0,67192

0,67198

0,678

0,67198

0,6720

1,5

0,5815

0,58165

—

0,571

0,58148

0,5810

2

0,5142

0,51486

0,51423

0,522

0,51423

0,5136

3

0,41974

0,42006

0,425

• 0,42006

0,4205

4

—

0,35619

0,35658

0,361

0,35658

0,3589

5

0,3105

0,31074

0,31053

0,315

0,31053

0,3146

6

0,27823

0,27546

—

0,27547

0,2807

7

—

0,24776

—

—

0,2537

8

—

0,22530

—

—

0,2316

9

—

—

0,20668

—

—

0,2131

10

0,1909

—

0,19099

—

0,19099

0,1973

15

0；1370

—

—

—

—

20

0,109

一

0,10934

—

0,10938

0,1135

25

0,0899

—

—

—

—

—

50

0,0488

—

0,04852

—

—

0,0499

100

—

—

0,02529

—

—

0,02558

500

—

—

0,005264

—

—

—

1000

—

—

0,002648

—

—

0,002658

Интегрируя (2.110) по do, получим суммарный поток отраженных молекул через единицу поверхности элемента do。：

(* — *i)[(*-*1)2 + 門2(* — *i)[(*-*1)2 + 門2d*i.d*i.(2.111)(2.111)

(* — *i)

[(*-*1)2 + 門2

(* — *i)

[(*-*1)2 + 門2

d*i.

d*i.

(2.111)

(2.111)

Переходя к безразмерным координатам в (2.111), получим

(几〃*% = 2〃a\ w (五)一二一(*- *1)dxlt (2.112)

У2冗 g[(x~xi)2+ 1]2

где /=£/「； Xj=Xi/r.

Плотность тока молекул, стартовавших из резервуара 4 и без столкновений со стенка

ми долетающих до элемента do。，составит величину [см. формулу (2.52), § 2.3]:

(2.113)(2.113)(пих)а = па I/ ——

(2.113)

(2.113)

У2冗1 + *2

Рис. 2.21. График структуры свободномолекулярного течения в трубе: а ——распределение плотности тока на оси круглой трубы при разных значениях относительной длины трубы; 6 — распределение плотности тока по радиусу трубы в сечениях, отстоящих на разных расстояниях от входа (У — безразмерное расстояние по радиусу от стенки канала)Рис. 2.21. График структуры свободномолекулярного течения в трубе: а ——распределение плотности тока на оси круглой трубы при разных значениях относительной длины трубы; 6 — распределение плотности тока по радиусу трубы в сечениях, отстоящих на разных расстояниях от входа (У — безразмерное расстояние по радиусу от стенки канала)

Рис. 2.21. График структуры свободномолекулярного течения в трубе: а ——распределение плотности тока на оси круглой трубы при разных значениях относительной длины трубы; 6 — распределение плотности тока по радиусу трубы в сечениях, отстоящих на разных расстояниях от входа (У — безразмерное расстояние по радиусу от стенки канала)

Рис. 2.21. График структуры свободномолекулярного течения в трубе: а ——распределение плотности тока на оси круглой трубы при разных значениях относительной длины трубы; 6 — распределение плотности тока по радиусу трубы в сечениях, отстоящих на разных расстояниях от входа (У — безразмерное расстояние по радиусу от стенки канала)

Суммируя результаты вычислений (2.112) и (2.113), получим формулу для плотности тока на оси канала

F 2 f w (五)一二叱•(2.114)

У 2л [ 1 +x2 J[(*_*i)2+i]2-

Введем понятие средней по сечению трубы плотность тока рих = Олг2. Среднюю плотность тока можно выразить следующим образом: ^^ Разделив p〃* на р〃х, получим безразмерную плотность тока:

丄W 1 +х2丄W 1 +х2（工一五）I仪一五）2+1]2（工一五）I仪一五）2+1]2dx\dx\(2.115)(2.115)

丄

W 1 +х2

丄

W 1 +х2

（工一五）

I仪一五）2+1]2

（工一五）

I仪一五）2+1]2

dx\

dx\

(2.115)

(2.115)

Коэффициент 取 для значений D</<1000 дается в табл. 2.5. На рис. 2.21 представлены результаты расчетов р〃工 на оси канала для ряда значений параметра /=£/「. Распределение р〃х по оси канала является симметричным относительно середины трубы. При />2_наблюдается немонотонный характер распределения р〃工.Для труб с /&1 функция з(%1) достаточно хорошо аппроксимируется линейной зависимостью следующего вида:

(2.116)(2.116)w (*1) = ® (0) + [1 — 2w (0)] -^-,

(2.116)

(2.116)

где з(0) есть значение w при %=0 (см. рис. 2.18). Подставляя (2.116) в (2.115) и интегрируя, получим следующую приближенную формулу для труб с /^2:

位尸屮二竺9L+ __J——1

W L 72+ 1(Z-工)2十 1」

[1 — 2w (0)] r -—

~L [arc tg * + arc tg (Z - x)].

Рис. 2.23. Кривые численного решения уравнения Клаузинга для канала, образованного двумя плоскими поверхностями одинакового размера 6 направлении теченияРис. 2.23. Кривые численного решения уравнения Клаузинга для канала, образованного двумя плоскими поверхностями одинакового размера 6 направлении теченияРис. 2.22. График, зависимости коэффициентов Клаузинга от L/h для канала, образованного двумя плоскими поверхностями, отстоящими друг от друга на расстоянии h: а — поверхности имеют одинаковую длину L в направлении течения; б — одна поверхность конечного размера в направлении течения, другая — бесконечнаРис. 2.22. График, зависимости коэффициентов Клаузинга от L/h для канала, образованного двумя плоскими поверхностями, отстоящими друг от друга на расстоянии h: а — поверхности имеют одинаковую длину L в направлении течения; б — одна поверхность конечного размера в направлении течения, другая — бесконечна

Рис. 2.23. Кривые численного решения уравнения Клаузинга для канала, образованного двумя плоскими поверхностями одинакового размера 6 направлении течения

Рис. 2.23. Кривые численного решения уравнения Клаузинга для канала, образованного двумя плоскими поверхностями одинакового размера 6 направлении течения

Рис. 2.22. График, зависимости коэффициентов Клаузинга от L/h для канала, образованного двумя плоскими поверхностями, отстоящими друг от друга на расстоянии h: а — поверхности имеют одинаковую длину L в направлении течения; б — одна поверхность конечного размера в направлении течения, другая — бесконечна

Рис. 2.22. График, зависимости коэффициентов Клаузинга от L/h для канала, образованного двумя плоскими поверхностями, отстоящими друг от друга на расстоянии h: а — поверхности имеют одинаковую длину L в направлении течения; б — одна поверхность конечного размера в направлении течения, другая — бесконечна

В принципе нетрудно вычислить р〃х в любой точке канала. На рис. 2.21, 6 представлены взятые из работы [176] результаты расчетов распределения р〃工 по радиусу трубы. На этом рисунке видно скольжение газа у стенки.

Канал, образованный двумя плоскимипараллельными поверхностями

Рассмотрим перетекание газа из одного резервуара в другой через канал, образованный двумя параллельными плоскими поверхностями одинакового размера L в направлении течения и отстоящими друг от друга на расстоянии h (рис. 2.22, а). Предполагается, что ширина канала & в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка, бесконечно велика. Остальные исходные положения те же, что в предыдущих задачах.

Используя схему анализа, которая уже применялась в предыдущем пункте настоящего параграфа, мы получим для рассматриваемого случая уравнение Клаузинга, отличающееся от уравнения для трубы лишь видом ядра и свободного члена:

1

『К(五亍)加®)加，(2.117)

где

/(%) = —Г11 ;

К阮p)=J四空•

?2[G-工，)2 + (五/厶)2]* '

х—хЩ %'=%7厶；® (%)=〃「(％)/〃&•

Функция w(x) обладает свойством симметрии:如(元)=1—ш(1—J).

Результаты численного решения уравнения Клаузинга для рассматриваемого канала при разных значениях параметра (L/А) представлены на рис. 2..23 [174].

Массовый piacx-од газа, приходящийся на единицу ширины канала» составит величину

Q _ 力(Ра — Р» 取，

М 2 Mг，

где W — коэффициент Клаузинга, который вычисляется по формуле

(2.118}(2.118}

(2.118}

(2.118}

Из (2.117) и (2.118) следует, что коэффициент W зависит л)ишь от отношения длины к высоте канала. Результаты вычислений коэффициента Клаузинга для рассматриваемого канала путем численного интегрировав ния уравнений (2.117) и (2.118) представлены на рис. 2.22 в виде зави^ симости (сплошная линия) W=j(L]h).

При малых значениях параметра (L/九) значения W можно вычис* лить, используя следующую приближенную формулу (74]:

吟■(告)+十(告y

Значения W, даваемые формулой (2.119), при £/九=0,5 отличаются от ре~ зультатов, полученных из численного решения, приблизительно на 0,2%. Эта разница быстро уменьшается с уменьшением параметра L/Л. Если воспользоваться вариационным методом, то можно получить для W еле* дующую приближенную формулу [36, 74]:

囚=^(1一丄仇+ 了匸切庐)一

R/九一In (〃力 + )/ 1 + 厶2/力2)]

?一・(2.120) (0力)3 + 3 (〃力)2 + 4 - (4 + 厶2/力2) j/ 1 + 厶2/五2

Эта формула удовлетворительно согласуется с результатами, полученны* ми из численных решений.

Разновидностью канала, образованного двумя параллельными поверхностями, является случай, когда одна плоская поверхность имеет конечный размер L в направлении течения, а другая безгранична (см. рис. 2.22, б). Такой канал представляет собой модель вакуумного уплотнения (177]. В этом случае задача усложняется. Вместо одного интеграль* ного уравнения здесь для определения распределения числовой плотно* сти пг необходимо решить систему четырех взаимосвязанных интеграль* (ных уравнений. На рис. 2.22 представлена зависимость коэффициента Клаузинга для такого канала от отношения L/й.

Кольцевой канал

Задача о течении газа из одного резервуара в другой по кольцевому каналу решается точно так же, как и предыдущие. Формулу для массового расхода можно записать в следующем виде:

G=(% — А)_ ЛГ2(1~F)步，

/2nRT

где И=г1/г2 — отношение радиусов цилиндров, образующих канал (『2＞门).

Коэффициенты Клаузинга для кольцевого канала (W*104)

k

"(A 一%)

0,1

0,2

0,4

0,6

0,

0,95

0,5

8017

8022

8030

8037

8043

8046

1,0

6737

6754

6783

6808

6829

6842

1,5

5842

5867

5915，

5958

5997

6020

2,0

5175~

5206

5266

5324

5378

5413

2,5

4655

4690

4758

4826

4894

4940

3,0

4237

4274

4348

4423

4501

4558

3,5

3893

3931

4007

4087

4174

4241

4,0

4604

3642

3720

3804

3896

3972

5,0

3123

3181

3260

3347

3448

3538

6,0

2791

2828

2906

2994

3100

3201

7,0 .

2513

2548

2625

2712

2820

2929

8,0

2286

2321

2395

2481

2589

2704

9,0

2099

2132

2204

2288

.2896

2515

10,0

1941

1973

2042

2124

2230

2352

15

1414

1440

1499

1569

1666

1792

25

921,7

941,1

984,5

1038

1116

1230

50

496,0

507,6

533,9

567,4

618,2

700,4

100

258,9

265,4

280,1

299,2

328,9

380,5

200

132,7

136,1

144,0

154,3

170,6

200,1

500

53,97

55,40

58,69

63,04

70,00

82,99

103

27,15

27,88

29,56

31,77

35,34

42,09

104

2,733

2,807

2,978

3,204

3,570

4,273

Коэффициент Клаузинга зависит от двух параметров 笈 и /= =£/(厂2—「1), где L—длина канала по потоку. Результаты вычислений W, полученные при помощи вариационного метода, представлены в табл. 2.6, заимствованной из работы (75]. Отметим, что предельным значениям геометрического фактора 々=0 н 々一＞1 соответствуют цилиндрическая круглая труба и канал, образованный двумя параллельными пластинами, одинакового размера L в направлении течения.

На рис. 2.24 дано сравнёние теории (сплошная линия) с результатами экспериментальных исследований [125, 136, 146]. На этом же гра-

«5%«5%勿4勿4+ ОА7+ ОА70/03OfiO20/03OfiO2须须gg42-42-7夕7夕2424•О•О101274 4101274 4

«5

%

«5

%

勿

4

勿

4

+ ОА7

+ ОА7

0/03

OfiO2

0/03

OfiO2

须

须

g

g

42-

42-

7夕

7夕

2

4

2

4

•О

•О

101274 4

101274 4

Рис. 2.24. График 70Рис. 2.24. График 70

Рис. 2.24. График 70

Рис. 2.24. График 70

зависимости коэффициентов Клаузинга от / для кольцевых

Рис. 2.25. Пояснительная схема к задаче 。течении газа в канале прямоугольного сечения

фике штриховой й штрихпунктирной линиями нанесены зависимости W(L/h) для плоского канала и кругой трубы, сплошная линия —теория кольцевого канала.

Каналы прямоугольного сечения

Рассмотрим перетекание газа из одной камеры в другую по прямому каналу, сечение которого представляет собой прямоугольник со сторонами Л и 6. Будем использовать систему координат, начало которой распо* ложено в плоскости входного сечения канала, а ось направлена вдоль канала (рис. 2.25). Остальные исходные положения такие же, как в предыдущих задачах. Вычислим поток газа из камеры А в камеру В. Следуя ранее уже применявшейся методике, найдем распределение числовой плотности пг. Прежде всего отметим, что в силу симметрии распределения пг на боковых поверхностях канала одинаковы, т. е. 厶〃 (％ У，N = O) = /ZT1(X, ", N = Ь) = %](X, у).

Аналогичное следует сказать о распределении пг на верхней и нижней поверхностях канала nr2 (х, у=0, zj=%2(%，y=h 之)=%2(乂 z)・ Составим уравнение для вычисления пГ2 (^, z). Для этого рассмотрим баланс частиц на элементарной площадке da=dxdz9 расположенной на верхней поверхности канала (см. рис. 2.25). Координаты этого элемента поверхности х, y=h, г. Найдем сначала число частиц, прилетающих на do с левой боковой поверхности канала. Для этого выделим на этой поверхности малый элемент da\=dy\dxi, координаты которого %卜 у\ и 2=0. Расстояние между do и do】 составляет величину

= 1/(%-%1)2 + ® —场产 + 炉.

Углы между нормалями к этим элементам поверхности и отрезком /71 определяются следующими соотношениями:

cos4 = *_ "i ; cos6； = z/〃i・

Поток молекул с элемента do】 на do составит величину

幽匕=吋.(2.121)

С учетом геометрических соотношений ^выражение （2.121） можно записать в виде*

3"=%i S，场）］/空 Jz （牝- ，11У名坐——.（2.122）

"2Л Л ［（*-*02 + （九一的）2+22］2‘ 丿

Число молекул, поступающих на элемент do со всей левой боковой стенки канала, получим, интегрируя （2.122）:

丁 . Л2

叫1=T/箓必仍（X”弘）［"*1）:累％+炉产幽Г②侬）

Аналогичным образом вычисляется поток отраженных мюлекул на do с правой боковой стенки:

<•— Л L

dN；i= ±1/ ^LdA［忆（上 N）电一3 咏 〃!_ .

Л r 2rt J J［（* — *1）2 + （九一91）2 +（2 — 6）2］2

0 0

（2.124）

Теперь найдем поток молекул с нижней стенки канала. Выделим площадку d（T2=d%2d?2・ Расстояние между элементами do и do^ составляет величину

"2 = 了（% -*2产 +九2 + （2 一之2产•

Косинусы углов между нормалями к этим элементам поверхности и отрезком ”2 равны cos 92=cos 8；= —^- •

С учетом геометрических соотношений поток с нижней поверхности канала на элемент do можно выразить следующим образом:

dN^ = - \f 巫山\,码2（*2, ®）九%"经2.

几 U 2Л肉 2，2 丿［（*一*2）2十九2 +（2-22）2］2

0 0

（2.125）

Суммируя результаты вычислений （2.123）, （2.124） и （2.125）, получим поток отраженных молекул на элемент do. Найдем теперь чйсло молекул, прилетающих на элемент do из камеры Л. Выделим на поверхности входного сечения канала элементарную площадку doa = dyadza, координаты которой 力а = 0, у* 2a. Расстояние между dcr и do。составляет величину

” 了炉+①一勿尸+3-zj.

Косинусы углов между нормалями к этим площадкам и отрезком На составляют величины

COS 0а = -— ； cos %=—— У& .На"a

Поток молекул с площадки daa на элемент do составит величину

d^Na=na 亘 士竺^ Ук ,a а V 2л л "2'

где па — числовая плотность молекул в камере Л. С учетом геометрических соотношений получим следующую формулу для определения числа

частиц, прилетающих из резервуара Д на элемент do:

dNadNa厂b Ло о厂b Ло оX（h — t/д） dyadZgF*2 + &—yQ2 + （z-%）2]2X（h — t/д） dyadZgF*2 + &—yQ2 + （z-%）2]2（2.126）（2.126）

dNa

dNa

厂b Л

о о

厂b Л

о о

X（h — t/д） dyadZg

F*2 + &—yQ2 + （z-%）2]2

X（h — t/д） dyadZg

F*2 + &—yQ2 + （z-%）2]2

（2.126）

（2.126）

Поток частиц от элемента do можно выразить через пГ1 （х, z） следую* щим образом:

dNr^= J/^""^"“r2（x，dNr^= J/^""^"“r2（x，2）do.2）do.

dNr^= J/^""^"“r2（x，

dNr^= J/^""^"“r2（x，

2）do.

2）do.

Число частиц, испускаемых элементом поверхности, равно числу частиц, падающих на него, т. е.

dNN=dNa+dNc + dN；i + dN鼠（2.127）

Подставляя в （2.127） результаты вычислений, получим следующее интегральное уравнение:

灰1

徴（元 7）=/2（х, ^） + -，- 叫®,力1）k21（五,7i,三』）右0R +

о о

~b 1

+ ~ J J w2 （х2, *2）＜22 （Е,三2,五 £） dx2dz2. （2.128） о о

Здесь использованы следующие обозначения:

х = хЩ у = уЩ n=n]L;九=万/£, Ь=ЬЩ

敏（五石=上叵互；叫后否）=也一匹，而71〃Па

Л2

［（H-三）2 + 万2 + G一务）2］2 '

《21（五,Z，元三）=《21（五,Z，元三）=£ （五一0 1）I

《21（五,Z，元三）=

《21（五,Z，元三）=

［（x-x^^（h^^+l^

（丁一办（无一方1）

[（X 一 五* + （万一方1）2 + （三一分2]2

В уравнение （2.128） входят две неизвестные функции 侬2（豆，z） и «ь（孔 у）. Аналогичным образом можно составить балансовое уравнение для элементарной площадки, расположенной на боковой поверхности канала. В результате получим еще одно интегральное уравнение:

W 1

叫（三 7）=力（五 У）+ ^\ j®2（& ?2）K12（& 己2,元 7）W右2 +

о 0

71

（2.129）（2.129）+2 /f切 1（五，"i）K"（E, Z,五 7）"五"71, 0 0

（2.129）

（2.129）

b 九 —

力(X，力[% + (7-伉)2 + £/]2 ；

"1 2，2，，勿 ^^^^_^^ 丁

[(* - *2)2 + 诡 + 响

K口 (*1，y1，X, У)— Z 二 二 Z 二 •[(*一*1)2 + (g一力)2十械]2

Для того чтобы найти Wi(x, у) и 如2 (%, z), необходимо решить систему двух двумерных интегральных уравнений (2.128) и (2.129). В работе [3^ для решения этой системы уравнений был применен вариационный метод Ритца и затем была найдена верхняя граница для коэффициентов Клаузинга

-ip= 1+N(£)产

2£ j + 2/ •

Здесь использованы следующие обозначения:

2「Ь/2Л/2-

/='(告一х) 0 力运 %)僉 + j /2(У, *) dx\

О '' I- —b/2—Л/2-

*6/2〜〜*Л/2〜〜

N(x)=l —JdXi J 力②，％1)八1— fd*i j /26, *)d〃；

О -Л/20斗 2

y = y — h/2, z = z — b/2.

В табл. 2.7 даны результаты вычислений W для каналов, у которых L/b=4. Отметим, что условие &/Л->оо соответствует каналу, образованному двумя пластинами. Этот случай рассмотрен в in. 3 «настоящего параграфа. Течение в канале прямоугольного сечения изучалось также методом Монте-Карло [68]. В табл. 2.7 даны результаты вычислений этим методом значений W для накалов, у которых L/b = 2. Данные экспериментальных исследований при L/b=0,24; 8,65; 2,04 и соответственно i/A=447； 89,5; 89, о которых сообщается в работе [45], хорошо согласу- лотся с теорией *.,

Таблица 2.7

Коэффициенты Клаузинга для каналов прямоугольного сечения

"=4

blh

1

5

10

20

50

100

0,242

0,113

0,0729

0,0451

0,0226

0,0131

-£/6 = 2

〃五

1

2

3

4

—

—

W

0,33

0,32

0,285

0,237

一_

—

♦ Корректное сравнение теории и опыта авторы [45] дали позднее, в работе [36].

Рис. 2.26. График зависимости коэффициента Клаузинга от UR для прямоугольного колена:

/ — расчет по методу Монте-Карло; 2 — экспериментальные данные

Каналы сложной конфигурации

При проектировании различных вакуумных систем или аппаратов часто бывает необходимым рассчитывать расход газа через тракты очень сложной конфигурации, включающие в себя такие элементы: как экраны, прямоугольные колена, жалюзи и т. п. Наиболее эффективным методом расчета в этих случаях является метод Монте-Карло. При вычислениях вероятности прохождения (т. е.' коэффициента Клаузинга) поступают следующим образом. Молекулы, которые вошли через входное отверстие в исследуемый тракт, прослеживаются до тех пор, пока они либо покинут тракт через выходное отверстие, либо возвратятся к выходному отверстию. Отношение числа частиц, прошедших через тракт, к числу частиц, вошедших в него, эквивалентно коэффициенту Клаузинга для данного направления: Wab = NabINa. Расход молекул через тракт равен Nав=NWaL N№ьз

Если распределение молекул газа в обеих камерах максвелловское, то

Л^аЬ=А^Ьа, (2Л30)

где Ла, Аъ — площади входного и выходного отверстий канала. Это равенство можно получить, рассматривая случай Nab = 0 и учитывая, что Na〜Аа, Nb 〜Аь. Соотношение (2.130) позволяет ограничиться расчетом вероятности прохождения Wab- Отметим, что для каналов -с Аа=Аъ вероятности прохождения Wab и Wba одинаковы.

Расчеты различных трактов с характерными для практики конфигурациями проводились при помощи метода Монте-Карло рядом исследователей [31, 86, 90, 68]. На рис. 2.26 даны некоторые результаты расчетов.

Влияние характера взаимодействия молекулсо стенкой и макроскопической шероховатостиповерхности канала на течение газа

Рассматривая выше течение газа в каналах, мы предполагали, что падающие на твердую стенку молекулы рассеиваются от нее диффузно (т. е. по закону косинуса). Можно предположить, что так отражается только часть молекул. Другая же часть молекул отражается зеркально. Вводя коэффициент зеркального отражения а$, функцию распределения fr для отраженных молекул с элемента поверхности do можно представить следующим образом:*

«Л©，м，&)=%/&, Ш + ^^-^ехр[—-^Ц|^],(2.131)

+ 8+ 80

где N = - J d^x J J EJ(&，眾，%)磷?； 一OO-Оо-Оо

f — функция распределения падающих молекул;占工，£?, Ez ——составляющие скоростей молекул в системе координат, связанной с элементом Ко, ось которой направлена по нормали от поверхности; а8 ——коэффициент зеркального отражения.

Очевидно, что а8 связан с коэффициентом диффузного отражения следующим соотношением: as= 1 ——。工.Чем больше значение as, тем больше доля зеркально отражающихся молекул. С увеличением коэффициента а8, падает сопротивление трубык т. е. возрастает вероятность прохождения W.

P〃c. 2.27. Зависимость коэффициента Клаузинга для круглой трубы от коэффициентазеркального отражения 匾

^ис. 2.28. График влияния шероховатости трубы на коэффициент Клаузинга (Wo ——ко-эффициент Клаузинга для гладкой трубы, W ——для шероховатой трубы):

■ — опыт для L/r«4,9; теория: ЧL/r=l； о ——L/r=2; △ — L/r=3; X — L/r=5

Задача о течении газа в гладкой круглой трубе с использованием модели взаимодействия, описываемой уравнением (2.130), была рассмотрена в работах [92, 87]. Результаты вычислений коэффициентов Клаузинга для труб с различной относительной длиной (厶/г=1; 2; 100) при разных значениях коэффициента зеркального отражения представлены на рис. 2.27 в виде зависимости 取(“8). При “8 = 0 значения W равны коэффициентам Клаузинга, вычисленным в предположении полностью диффузного отражения. При а8 = 1 значение W для любой длины трубы равно единице. В последнем случае труба не оказывает сопротивления потоку (сколько молекул вошло из камеры в трубу, столько же и выйдет через противоположный конец трубы). На рис. 2.27 приведены также результаты вычислений W при разных а$ методом Монте-Карло (точки) [56].

Результаты численного решения задачи о течении газа в трубе при 0《〃8《1 можно в первом приближении аппроксимировать следующей формулой:

旷旷=匕=匕1 + а$ + №壮(1 — ”s)1 — % +歹d(1+a5)1 + а$ + №壮(1 — ”s)1 — % +歹d(1+a5)(2.132)(2.132)

旷

旷

=匕

=匕

1 + а$ + №壮(1 — ”s)

1 — % +歹d(1+a5)

1 + а$ + №壮(1 — ”s)

1 — % +歹d(1+a5)

(2.132)

(2.132)

где Wd ——коэффициент Клаузинга для гладкой трубы при полностью диффузном отражении молекул от стенки (。8=0);呼—коэффициент Клаузинга при а8#=0. Отметим, что Смолуховским была предложена следующая приближенная формула [171]:

W=Wd= Wd一J ,(2.133)

%1 — as

На рис. 2.27 результаты расчетов по формуле (2.133) представлены пунктирными линиями. Из сравнения этой формулы с результатами корректного решения следует, что область применимости формулы Смолуховского ограничена условиями а8<С 1, L/r》l. При больших значениях а8 формула Смолуховского дает физически неверные результаты.♦

Характеристики течения газа в канале зависят также от вида и степени шероховатости стенок канала. Эффект шероховатости проявляется в том, что падающие из камеры молекулы на поверхность выступов неровностей стенки канала могут иметь большую вероятность отражения обратно в камеру. Это приводит к тому, что коэффициент Клаузинга уменьшается, т. е. сопротивление канала увеличивается. Влияние неровностей различного типа на величину коэффициента Клаузинга можно теоретически -исследовать методом Монте-Карло. Такое исследование в предположении, что отражение молекул от каждого элемента поверхности является диффузным, выполнено Девисом, Левенсоном и Миллероном [91]. Результаты расчетов коэффициентов Клаузинга .для круглых труб различной относительной длины (L/r= 1; 2; 3; 5) при условии, что «а поверхности канала имеется нарезка треугольного вида, представлены на рис. 2.28 в виде зависимости отношения коэффициентов Клаузинга для шероховатой и гладкой труб с одинаковыми в свете сечениями от полуугла раскрытия впадин р. Относительная высота выступов равна 6/г=0,05. Пунктирными линиями представлены сглаженные результаты. Влияние «шероховатости» указанного типа при полууглах раскрытия впадин 8=20+40。наибольшее.

В реальных условиях необходимо учитывать одновременно влияние характера отражения молекул и шероховатости. Эффекты зеркального отражения и шероховатости переплетаются весьма сложным образом.

В табл, 2.8 даны значения измеренных вероятностей прохождения мрлекул различных газов (Н2, Не, Аг, СО2) для круглых стеклянных и медных труб с полированной поверхностью [91]. Ошибки экспериментального определения вероятностей прохождения не превышали 0,6%. Для сравнения в этой таблице даны теоретические значения коэффициентов Клаузинга, подсчитанные для гладких труб при диффузном отражении. Из сравнения опытных и теоретических данных следует, что характер отражения молекул является не полностью диффузным. Однако это отличие весьма незначительно. Если не учитывать эффект шероховатости, то этим опытным данным соответствует значение коэффициента зеркального отражения ав <0,05. Необходимо, однако, иметь в виду, что полированная поверхность в молекулярном масштабе выглядит весьма неровной.

Таблица 2.8

Сравнение опытных значений коэффициентов Клаузинга для полированных труб с теоретическими расчетами гладких труб при диффузном отражении

^изм

^теор

L/r

歹нзм

旷 теор

1,03

0,683

0,667

4,86

0,309

0,315

2,04

0,536

0,509

0,97

0,684

0,679

3,02

0,440

0,419

1,94

0,530

0,522

5,03

0,314

0,309

2,90

0,439

0,428

1,95

2,91

0,531

0,429

0,519

0,428

4,84

0,308

0,317

СТАЦИОНАРНОЕ ОБТЕКАНИЕ НЕВЫПУКЛЫХ ТЕЛБЕЗГРАНИЧНЫМ ПОТОКОМ

Задача о свободномолекулярном обтекании невыпуклых тел имеет огромное прикладное значение. К этой задаче сводятся расчеты аэродинамических характеристик летательных аппаратов сложной формы, воздухозаборников, аэродинамических насадков, турбомолекулярных насосов и т. д.

Общее положение

Будем рассматривать обтекание тел при следующих условиях. Влияние силы отсутствуют или ими можно пренебречь. На достаточном удалении от тела (где возмущение, вносимое в поток телом, практически отсутствует) газ находится в равновесном состоянии, которому соответствует максвелловская функция распределения следующего вида:

expЗЮ%expЗЮ%&—U 8 COS <Р1)2 + dzy—U^ COS 屮2)2 + (岂一Ug COS 屮3* -

exp

ЗЮ%

exp

ЗЮ%

(2.134) где Поо, Us, Г» — соответственно числовая плотность молекул, величина скорости и температура невозмущенного потока; 口卜(р2, Фз — углы между направлением вектора скорости набегающего потока — U^ и осями декартовой системы координат, связанной с телом (рис. 2.29).

Поверхность тела не поглощает и не генерирует молекул. Следовательно, выполняется условие сохранения частиц на поверхности тела. Закон отражения молекул газа от поверхности тела известен, т. е. известен_вид функции (ядра) рассеивания молекул К (厂,Ej Br)« Величина К(「, Ej, $r)d\r есть вероятность того, что после удара о стенку в точке г молекула, имевшая значение скорости от 蚤 до 马+瓦 приобретает скорость в диапазоне от gr до &广+"&尸 Для того чтобы рассчитать по-

Рис. 2.29. Пояснительная схема обтекания невыпуклого тела

ле макроскопических параметров течения около тела, найти силы, действующие на тело, и тепловые потоки в тело, нужно знать функцию распределения во всех точках около тела.

Рассмотрим некоторую точку 4 вблизи тела (см. рис. 2.29). В элементарном объеме, построенном около этой точки, будут находиться молекулы, пришедшие с поверхности тела (отраженные молекулы), и молекулы, пришедшие из окружающего свободного пространства, где поток невозмущен. Векторы скоро*

стей первой группы молекул лежат внутри телесного угла (4л — Qsa), а второй — внутри угла Q8A. Таким образом, функция распределения в точках около тела разрывна в пространстве скоростей /=/оо+Л, где /оо —— функция распределения молекул, скорости которых лежат внутри телесного угла Qooa； fr — функция распределения отраженных молекул. Функция Дю дается выражением (2.134). Функция распределения отраженных молекул в каждой точке на поверхности тела выражается через К (г, &订 %) следующим образом:

(2.135)(2.135)fr （^「）=_[ к 伍弓，白/石，目 dg，

(2.135)

(2.135)

务л<0

где Ej, Er— скорости соответственно падающих на поверхность и отраженных ею молекул; fi (г,自力—функция распределения молекул, падающих на элемент поверхности dG, положение которого задано радиус- вектором г; п — внешняя нормаль к элементу поверхности do (см. рис. 2.29). Чтобы воспользоваться формулой (2.135) для вычисления %, нужно знать функцию 於.Если тело выпуклое, то 尸=葭，так как отраженные от поверхности тела молекулы не могут попасть на тело. Иначе обстоит дело в случае невыпуклого тела. Молекулы, падающие на каждый элемент невыпуклой поверхности, можно разделить на две группы. Первую группу составляют молекулы, пришедшие со стороны свободного пространства из области невозмущенного течения. Векторы скоростей этих молекул лежат внутри телесного угла Qg. Этот угол равен углу, под которым видно с элемента do свободное пространство (см. рис. 2.29). Функция распределения для этих молекул fi^ дается выражением (2.134). Вторая группа молекул — это молекулы, которые приходят на элемент do после отражения от других участков поверхности тела. Векторы скоростей этих молекул лежат в телесном угле, равном (2冗——Qg). Функцию распределения 厶「для молекул второй группы можно представить в виде

九(Z ◎ = J К (7,1 ^г) / (7, /) <, hr С (2л 一 QJ

где g — скорость молекул, падающих на элемент поверхности do', положение которого задано радиус-вектором rz; g仃一скорость отраженных от элемента do' молекул, направляющихся к элементу do;方'——нормаль к элементу поверхности do' (см. рис. 2.29).

Используя условие сохранения молекул на поверхности тела, мы получим следующее уравнение, которому должна удовлетворять функция 力：

J ^frc^=-\^ (詞力8匪+_ J ^firdiV (2.136)

ln> 0LieSoo1出2支-%).

Левая часть этого уравнения есть поток уходящих частиц с единицы площади элемента do, правая часть ——сумма падающих на единицу площади этого элемента потоков молекул, стартовавших из бесконечности и с поверхности тела. Задача отыскания fr при произвольном законе отражения молекул от поверхности тела является весьма сложной.

Ограничимся здесь рассмотрением обтекания тел при диффузном отражении молекул от поверхности тела и полной термической аккомодации. Такой характер взаимодействия молекул с поверхностью наиболее близок к рельным условиям. При диффузном законе отражения вид функции распределения скоростей отраженных молекул не зависит от конкретного вида функции распределения падающих 'молекул:

/г (「，％)=/г (「，％)=力6[2nRTw (万]%力6[2nRTw (万]%expexp2Rj(a2Rj(a(2.137)(2.137)

/г (「，％)=

/г (「，％)=

力6

[2nRTw (万]%

力6

[2nRTw (万]%

exp

exp

2Rj(a

2Rj(a

(2.137)

(2.137)

Будем считать заданным распределением температуры поверхности тела 尸)，если тело «неадиабатное». Если же тело «адиабатное», то Tw(r) определяется из условия равенства нулю теплового потока от газа к стенке. Распределение числовой плотности пг(г) в (2.137), вообще говоря, неизвестно. Чтобы найти 几夕(尸),воспользуемся уравнением (2.136). Число молекул, уходящих с единицы площади элемента поверхности do за единицу времени, получим, подставляя в левую часть уравнения (2.136) функцию (2.137):

%，(；) = &(刁 / ^^ ・(2.138)

Вычислим падающий поток молекул, стартовавших с других участков поверхности тела. Выделим некоторый элемент поверхности тела do', положение которого определяется радиус-вектором rf (см. рис. 2.29). Количество молекул, прилетающих с do' за единицу времени на единицу площади элемента do, составляет величину

8(2」39)

г 2лл〃2

где 0х и 0 — углы между нормалями к рассматриваемым элементам поверхности (do и do') и отрезком 〃；、〃= [г—rz| —расстояние между элементами dor и do'.

Интегрируя потоки со всех элементарных участков поверхности, видимых из элемента do, получим следующую формулу:

G(r, r^d^.G(r, r^d^.(2.140)(2.140)

G(r, r^d^.

G(r, r^d^.

(2.140)

(2.140)

с —八 cos 6 Cos в'

где u(r, г )=—; о ——поверхность тела, видимая из элемента

do. Выражение (2.140) можно представить в виде

N^^=lNr^)Q(F. 7)d『，(2.141)

где Nr (rz) = nr (гг)УRTW (rz)/2jt—поток отраженных частиц с единицы площади элемента do'・

Вычислим, наконец, падающий поток молекул, прилетающих из бесконечности. Введем связанные с элементом do три единичных вектора 叫 п,瓦 соответственно касательный вектор, нормаль и бинормаль (см. рис. 2及9). Отметим, что вектор макроскопической скорости невозмущенного течения U^ составляет с векторами т, п, 5 углы соответственно з, 02, @з・ Воспользуемся сферической системой координат, в которой элемент пространства скоростей определяется выражением d^ = ^d^dQt где dQ = = sin 0d0dp； 0 и 8 — углы, отсчитываемые соответственно от нормали й и вектора т. В результате вычислений получим [41]

N8&)=j/^Qb),(2.142)

где

Q(/7=B A (Z) cos W2; 5(Z)=(1+Z2)exp( — S2) +

+ Y^Z 传+Z2)(l + erfZ)exp(Z2 — S2);

Z—S (cqs % cos 0 sin 8 + cos a2 cos 0 + cos 吗 sin 0 sin 6);

z

S=UsN^T^ erf Z= -Д^- J exp (-/2) di.

Подставляя результаты вычислений (2.138), (2.141) и (2.142) в (2.136) получим интегральное уравнение, аналогичное тому, которое было получено при рассмотрении задачи о течении в каналах (см. § 2.4):

Nr^)=Q^ + ^N ^)0(^,严“，(2.143)

Это уравнение есть уравнение Фредгольма второго рода с симметричным ядром.

Если воспользоваться выражением (2.138), то уравнение (2.143) можно преобразовать к следующему виду:

马@"0(汇戸)(2.144)

где 忘=九了/九8； TW=TWIT^」

В случае, когда температура поверхности тела во всех точках одинакова и равна температуре набегающего потока (Tw=Tg), уравнение (2.144) принимает вид

"(7)=Q(7)+j^(7)G(* rr)d^.(2.145)

В этом случае распределение пт (так же, как потоков отраженных частиц NQ зависит лишь от, геометрии тела, его ориентации относительно вектора скорости набегающего потока 守8 и числа S. Решив уравнение (2.143) или (2.144), мы найдем распределение Nr(r) и пг(г). После этого функция распределения отраженных молекул в каждой точке поверхности тела будет полностью определена.

Отметим, что задача резко упрощается, если тело выпуклое. В этом случае имеем (fioo = 2jt):

{exp( —S2 sin?屮)+ ]ЛГs sin 屮口+erf (S sin 屮川;{exp( —S2 sin?屮)+ ]ЛГs sin 屮口+erf (S sin 屮川;〃/『)=〃8〃/『)=〃8М° = 0;

{exp( —S2 sin?屮)+ ]ЛГs sin 屮口+erf (S sin 屮川;

{exp( —S2 sin?屮)+ ]ЛГs sin 屮口+erf (S sin 屮川;

〃/『)=〃8

〃/『)=〃8

где if ——угол атаки для элемента поверхности do (вектор Uoo образует

Угол (—Угол (——-ф) с внутренней нормалью к поверхности).

Угол (—

Угол (—

Макроскопические параметры течения являются моментами функции распределения. Формулы для вычисления, например, плотности газа р и составляющих макроскопической скорости в некоторой точке А имеют следующий вид:

P=m J /«,^1+ m J frd^,爺。{8面4兀一Q力8)

%•=十加/ j Е?/“Е+\ Wi3d£

Lies a oo运(4-q48)

где i=% у, z

Вычисление локальных тепловых потоков от газа в тело сводится к нахождению энергии, приносимой падающими и уносимой отраженными молекулами. Полная энергия, приносимая падающими молекулами на элемент поверхности do (так же, как энергия, уносимая отраженными молекулами), состоит из энергии поступательного движения молекул и их внутренней энергии. Внутренняя энергия молекулы, согласно принципу равного распределения энергии по степеням свободы, составляет в среднем величину, равную } jmRT, где 丿=)二彳—число внутренних степеней свободы; Т — температура газа; y = cp/cv — отношение изобарной и изохорной теплоемкостей.

Энергия, уносимая отраженными молекулами за единицу времени с единицы площади элемента do, вычисляется по формуле

(2.146)(2.146)£(r)= J翫)牛-力磷+区^-/加К〃・ ln>Q

(2.146)

(2.146)

Подставляя в (2.146) функцию (2.137) и интегрируя, получим следующее выражение:

Er ^)=Nr (7) \2mRTw (7) +mRTw

(2.147)

где NR=nr(7) J2仪圾•

Энергия, приносимая за единицу времени на единицу площади элемента do молекулами, стартовавшими с других участков поверхности тела, вычисляется по формуле

(2.148)(2.148)Eg (7)=,彳^~ 〃"”)• N/7) о (* 刁 d『・

(2.148)

(2.148)

При Tw = const формула (2.148) принимает видПри Tw = const формула (2.148) принимает вид£kF =£kF =Y + 1mRT 硬Y + 1mRT 硬Y— 12Y— 12Энергия, приносимая на единицу площади элемента do молекулами невозмущенного потока, вычисляется по следующей формуле:Энергия, приносимая на единицу площади элемента do молекулами невозмущенного потока, вычисляется по следующей формуле:

При Tw = const формула (2.148) принимает вид

При Tw = const формула (2.148) принимает вид

£kF =

£kF =

Y + 1mRT 硬

Y + 1mRT 硬

Y— 12

Y— 12

Энергия, приносимая на единицу площади элемента do молекулами невозмущенного потока, вычисляется по следующей формуле:

Энергия, приносимая на единицу площади элемента do молекулами невозмущенного потока, вычисляется по следующей формуле:

2(7)= j 鬲噥 fg^NGWjm*. (2.149)

Н、8

Для вычисления первого слагаемого в правой части (2.149) удобно воспользоваться местной сферической системой координат. После интегрирования получим следующее выражение для этого слагаемого:

0,5 (2/?T8)3/2 J D (Z) cos аде,

где

2 + Z2(Z2 +卓

O(Z)=' 丄'exp(-S2) +

,2 л к л

+ *[z4 + 5Z2 + ^](l + erfZ)exp(Z2 —S2).

Плотность теплового потока от газа к телу равняется разности между энергиями, приносимой и уносимой молекулами,

q^E^^E^ ^-Ег^\(2.150)

где qw=d^QldGdt; d2Q — количество тепла, поступившее в тело за время dt через поверхность do.

Если тело «адиабатное», то д^ = 0・ В этом случае из (2.150) с учетом (2.148) получается следующее уравнение:

七；g=七8 斤)+ J £(7)0(% 7)d『，(2.151)

где Е/ — энергия, уносимая отраженными молекулами с единицы площади элемента do за единицу времени при равновесной температуре поверхности Те・

Уравнение (2.151) аналогично уравнению (2.143). После решения (2.151) можно вычислить равновесную температуру

7節)=上；(初/(分 7(2.152)

Вычислим нормальный импульс, передаваемый молекулами единице площади элемента поверхности do. Этот импульс можно представить в виде

р П = р 以8+Р ns~\~P ",р П = р 以8+Р ns~\~P ",(2.153)(2.153)

р П = р 以8+Р ns~\~P ",

р П = р 以8+Р ns~\~P ",

(2.153)

(2.153)

где РП8 — импульс передаваемый молекулами, пришедшими на элемент do из бесконечности; PnQ — импульс, передаваемый молекулами, отраженными от других участков поверхности; Рпг — реактивный импульс.

Найдем величину РПо・ Число молекул со скоростями от J до J + d扇 которые в единицу времени поступают с элемента d『на элемент do, равно

—纟丝―:exp Г二一]E3cos『d/dEdQ, (2.154)

[2冗RjQ)]3/2[ 2RjQ) J

где dQ = da cos 0/Я2 — телесный угол, под которым виден элемент do с элемента d『.

—乎"T(二)——exp[2M%(7)]3/2—乎"T(二)——exp[2M%(7)]3/2Умножая (2.154) на Е cos 0, мы получим нормальный импульс, который эти молекулы передают элементу do:

—乎"T(二)——exp[2M%(7)]3/2

—乎"T(二)——exp[2M%(7)]3/2

^"т：—— Е4 cos 6 cos Mda'dWdQ.(2.155) 2依wG)」

Интегрируя (2.155) по всем значениям g, получим нормальный импульс, передаваемый всеми молекулами, приходящими с элемента d『： а /h% 0) 2RTW(7)、空吵过2匚吟.

4л

Нормальный импульс, передаваемый этими молекулами единице поверхности элемента do, составит величину

V 叫(7)r乙(7)^今粵改.(2.156)

Нормальный импульс, передаваемый единице площади элемента do приходящими со всех участков поверхности тела молекулами, получим, интегрируя выражение (2.156):

尸3斤尸告可叫可依趾内^^斤，7)d/.(2.157)

Реактивный импульс (импульс, передаваемый уходящими с элемента do молекулами) составит величину

Рпг^=т 『 右/ё=2^争"・(2.158)

Теперь формулу для Рп можем записать в следующем виде:

Рп (7) = Р〃8 g + 办石)+ 3 J pnrp) cos 8 • С 斤,7) d/・(2.159)

Тангенциальный импульс, передаваемый единице площади элемента dcr, можно представить в виде р^ (г)=Лоо + Ла, где Рхоо — импульс, передаваемый молекулами, приходящими из бесконечности; Рта — импульс передаваемый молекулами, отраженными от других участков поверхности.

Схема вычисления Рта аналогична той, которая использована для вычисления Рп『Касательный импульс, передаваемый единице площади элемента do молекулами, приходящими с элемента do', составляет величину — mnr (rz)RTW(rz) sinG-0 (r,尸)d『・、

Составляющая этого импульса в направлении т будет равна

~ mnr (rz)RTW (rz) sin 6 cos p.G(r,「')&'・(2.160)

Интегрируя (2.160) по всем dd, получим PTa.

Описанный выше путь решения задачи о свободномолекулярном обтекании невыпуклого тела сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Решение этого уравнения для тел сложной формы представляет известные трудности. Наряду с этим путем в

Рис. 2.30. Пояснительная схема обтекания полусферы

последнее время получил развитие метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Обзор результатов, полученных этим методом, дается в дальнейшем. -

Перейдем к рассмотрению обтекания ряда конкретных тел.

Полусфера

Рассмотрим обтекание полусферы гиперзвуковым потоком (S》l) при условиях, когда вектор скорости набегающего потока параллелен оси симметрии тела и температура поверхности тела всюду поддерживается одинаковой, равной Tw [35, 152].

Для рассматриваемой поверхности выполняются следующие геометрические соотношения (рис. 2.30, а):

8 =『； //=27\cose, где rs — радиус сферической поверхности.

Ядро интегрального уравнения (2.143) в этом случае имеет вид

0(7, 7)=—^— = const.(2.161)

4"；

Подставляя (2.161) в (2.143), получим следующее уравнение:

N「(「) = Nb(「) + —(2.162) 4吒

где C^^N^r^d^} а=2лг5.

Умножив обе части уравнения (2.162) на da и проинтегрировав по всей поверхности, получим

C=NOO^^—C,(2.163)

4*

где N= N{г) d^ — число молекул набегающего потока, падающих за единицу времени на всю вогнутую поверхность а.

Отметим, что общее число падающих молекул набегающего потока равно числу молекул падающих на поверхность круга, радиуса rs. С учетом этого замечания можем записать

+8+8+8

•2V сов 二一口гs

Ej gdE/EydWz，

(2.164)

где /оо =

Зктаз*

ехр[-

(h-卫 8)2+% +

2仪8

Введем переменные

匕一几

cх =-——,су =——…-"

Интеграл в (2.164) преобразуется к виду

展=一广，一- »2/?乙

一 + ОО +8 + оо

%8工=冗厂^〃8 К 2依8 J J J (c* + S)exp[-(c? + c； + c^)]dc*dc〃Cz，

—• ОО —ОО —S

где S=UbIV^^・

Интегрируя, получим следующую формулу:

N^=nrlnoo]/'^^[exp( — S2) + M*S(l+e〕f S)],(2.165)

s

где erf S=J exp (— /) dt.

Подставляя (2.165) в (2.163), найдем значение С:

С —12 л /*$//• ооС —12 л /*$//• оо

С —12 л /*$//• оо

С —12 л /*$//• оо

Число отраженных молекул No(Jf падающих за единицу времени на единицу площади любого элемента вогнутой поверхности, составляет величину

Ngu-^/^sJ^/" ―—— [ехр(一S?)+}/^Ts (1+erf S)] •(2.166)

Формула (2.166) справедлива для любых значений S. При S》1 (практически при S^5) из формулы (2.166) следует, что

(2.167)(2.167)N g=-^-孔8。8・2

(2.167)

(2.167)

Число молекул набегающего потока ^(г), падающих на единицу площади элемента поверхности da за единицу времени, вычислим пренебрегая тепловым движением молекул *:

Ng (r)=〃8。8 cos a,(2.168)

где a — угол между нормалью к элементу поверхности do и вектором Uoo (см. рис. 2.30, а). Отметим, что

cosa=x/z*s，(2.169)

где х — координата элемента do.

Формула (2.168) тем точнее, чем больше число S.

Число молекул N^ уходящих с единицы площади элемента do за единицу времени, получим, подставляя в (2.162) выражения (2.167) и (2.168),

(2.170)(2.170)Подставляя в (2.138) выражения (2.170), найдемПодставляя в (2.138) выражения (2.170), найдемnT = nJJfcosa-j~nT = nJJfcosa-j~(2.171)(2.171)Теперь перейдем к расчетам полей макроскопических параметров течения, тепловых потоков в тело и сил, действующих на вогнутую полусферу. Найдем распределение плотности газа р и плотности тока pg вдоль оси X перед полусферой. В рассматриваемом случае имеемТеперь перейдем к расчетам полей макроскопических параметров течения, тепловых потоков в тело и сил, действующих на вогнутую полусферу. Найдем распределение плотности газа р и плотности тока pg вдоль оси X перед полусферой. В рассматриваемом случае имеем=eхр _(h一u8)2 + 碎—(2门收8严[2R%=eхр _(h一u8)2 + 碎—(2门收8严[2R%能”（一名!卢）,能”（一名!卢）,где пг дается выражением (2.171).После интегрирования получаются следующие формулы:где пг дается выражением (2.171).После интегрирования получаются следующие формулы:Ki 以）；Ki 以）；р〃*= 1 — К? (%), где 0=р/р8； р%=р辽*/PooUco； x=x/rs;1+Vit^)+^{i[1р〃*= 1 — К? (%), где 0=р/р8； р%=р辽*/PooUco； x=x/rs;1+Vit^)+^{i[11(1+*)з/21(1+*)з/2— % 14— % 14击击(2.172)(2.173)(2.172)(2.173)〜1«2 (X) = —2~〜1«2 (X) = —2~1+运\*21+运\*2(1 +^2)3/2三)+可"(1 +^2)3/2三)+可"(1 +/.)2(1 +/.)2'区一1）也石7^"）］卜'区一1）也石7^"）］卜

(2.170)

(2.170)

Подставляя в (2.138) выражения (2.170), найдем

Подставляя в (2.138) выражения (2.170), найдем

nT = nJJfcosa-j~

nT = nJJfcosa-j~

(2.171)

(2.171)

Теперь перейдем к расчетам полей макроскопических параметров течения, тепловых потоков в тело и сил, действующих на вогнутую полусферу. Найдем распределение плотности газа р и плотности тока pg вдоль оси X перед полусферой. В рассматриваемом случае имеем

Теперь перейдем к расчетам полей макроскопических параметров течения, тепловых потоков в тело и сил, действующих на вогнутую полусферу. Найдем распределение плотности газа р и плотности тока pg вдоль оси X перед полусферой. В рассматриваемом случае имеем

=eхр _(h一u8)2 + 碎

—(2门收8严[2R%

=eхр _(h一u8)2 + 碎

—(2门收8严[2R%

能”（一名!卢）,

能”（一名!卢）,

где пг дается выражением (2.171).

После интегрирования получаются следующие формулы:

где пг дается выражением (2.171).

После интегрирования получаются следующие формулы:

Ki 以）；

Ki 以）；

р〃*= 1 — К? (%), где 0=р/р8； р%=р辽*/PooUco； x=x/rs;

1+Vit^)+^{i[1

р〃*= 1 — К? (%), где 0=р/р8； р%=р辽*/PooUco； x=x/rs;

1+Vit^)+^{i[1

1

(1+*)з/2

1

(1+*)з/2

— % 14

— % 14

击

击

(2.172)

(2.173)

(2.172)

(2.173)

〜1

«2 (X) = —

2~

〜1

«2 (X) = —

2~

1+运\

*2

1+运\

*2

(1 +^2)3/2

三)+可"

(1 +^2)3/2

三)+可"

(1 +/.)2

(1 +/.)2

'区一1）也石7^"）］卜

'区一1）也石7^"）］卜

При %=1 имеем К = 2,33 и ^2= 1. Таким образом, у стенки имеем

Р®= 1+ 2,33 UnS р/^-^- ; (р〃*)®=0・

При х = 0 имеем /С = 1 н №=14/12. На рис. 2.31 зависимости (2.172) и (2.173) представлены графически.

Аналогичным образом вычисляется температура газа на оси X перед полусферой

^ = у 告S2+1 + JNS |/总 К](才一告葭(£S2,(2.174)

где 亍=Т]Т& их= ujU^.

□ри S》1 внутренней энергией молекул набегающего потока можно пренебречь по сравнению с энергией поступательного движения. С учетом этого получим

mU?

上8=〃808 cos 0 -^- .(2.176)

Подставляя в (2.150) выражения (2.175)——(2.176), получим следующую формулу:

L Pg"” cos а (容—"|^ 电L Pg"” cos а (容—"|^ 电(2.177)(2.177)

L Pg"” cos а (容—"|^ 电

L Pg"” cos а (容—"|^ 电

(2.177)

(2.177)

Рассмотрим случай адиабатной стенки (4^ = 0). Воспользовавшись уравнением (2.151), найдем £г\ В рассматриваемом случае это уравнение будет иметь вид

月（7）=七"НТ月（7）=七"НТ

月（7）=七"НТ

月（7）=七"НТ

Решая это уравнение аналогично тому, как решалось уравнение (2.162), получим -

f/=〃m(cosa-|—• —-^° •(2.178)

Подставляя в (2.152) выражения (2J78) и (2.170), получим следующее значение равновесной температуры:

乙=乙=Y— 1 0Y— 1 0Y + l R Y+ 1 2cpY + l R Y+ 1 2cp(2.179)(2.179)

乙=

乙=

Y— 1 0

Y— 1 0

Y + l R Y+ 1 2cp

Y + l R Y+ 1 2cp

(2.179)

(2.179)

В рассматриваемом случае равновесная температура одинакова для всех участков поверхности. При S》1 имеем .

2cp2cpMf,Mf,

2cp

2cp

Mf,

Mf,

где То — температура адиабатно заторможенного потока. С учетом этого формулу для равновесной температуры можно представить в виде

Отметим, что %> (丫+1). Следовательно, равновесная температура Те больше То- Коэффициент восстановления температуры в данном случае составляет величину г = 2у/(у+1).

С учетом (2.179) формулу (2.177) можно преобразовать к виду

д®=%р8“в cos а 弋丄(( — %)•(2.180)

Суммарный поток тепла получим, интегрируя (2.180) по всей вогнутой поверхности,

%= %рОоо乙一乙)・(2.181)

Из (2.181) вытекает следующая формула для среднего числа Статона St= 丫^*，где St=%/2nd%p8“8(Te —Г®).

Найдем силу, действующую на единицу поверхности полусферы в центральной точке (% = 〃，У = 0)・ Из (2.157) с учетом (2.161) и (2.171) следует

р廿吟 mrigUg 2 j?>- J (casa + -yj cos90rfo\(2.182)

Отметим следующее (см. рис. 2.30, б):

(2.183)У. Подставляя(2.183)У. Подставляя(2.184)(2.184)(2.185)(2.185)瓦=十(冗—a), cosBsin-^u/"}(1 —cosa),

(2.183)

У. Подставляя

(2.183)

У. Подставляя

(2.184)

(2.184)

(2.185)

(2.185)

cosa=%7「s，d^r=rsd^dx\

где <р — угол, отсчитываемый в плоскости YZ от оси (2.183) в (2.182) и интегрируя, получим

Р/10= %" роо"ОО W nRT®.

Из (2.158) с учетом (2.171) следует

р“=%^р8ao М 而^

Подставляя (2.184) и (2.185) в (2.153), получим

(2.186)(2.186)

(2.186)

(2.186)

где £o=M2ji(^ + ^^)q3,8・

Для теплоизолированной поверхности (Tv = Te) из (2.186) следует

А=4" Р8tЛ 0 + % |/2 ^])・

Рис. 2.32. Графики сопротивления и теплоотдачи полусферы: а — по формуле (2.187); б — по формуле (2.181)Рис. 2.32. Графики сопротивления и теплоотдачи полусферы: а — по формуле (2.187); б — по формуле (2.181)

Рис. 2.32. Графики сопротивления и теплоотдачи полусферы: а — по формуле (2.187); б — по формуле (2.181)

Рис. 2.32. Графики сопротивления и теплоотдачи полусферы: а — по формуле (2.187); б — по формуле (2.181)

Для результирующей силы 尸％, действующей на всю вогнутую поверхность, получается следующая формула:

龜=2 + 慢|/总，(2.187)

где。£)=尸*/"^ } р8tД; £= 1,06}Лгг.

В ряде работ обтекание полусферы исследовалось методом Монте- Карло. На рис. 2.32 представлены результаты вычислений сопротивления и теплообмена, полученные Фэном [99, 100] при диффузном отражении молекул от поверхности и полной термической аккомодации (пунктирные линии). Для сравнения на этом графике сплошными линиями даны результаты расчетов по формулам (2.181) и (2.187). При числах S>5 эти формулы хорошо согласуются с данными, полученными методом статистических испытаний. На рис. 2.33 приведены результаты расчетов теплообмена полуоферы при диффузном отражении с различной степенью термической аккомодации (аз=0+1).

Цилиндрическая поверхность

Рассмотрим обтекание бесконечной цилиндрической поверхности гиперзвуковым (S》l) потоком газа (рис. 2.34) при условии, что отсутствует затенение одних участков другими (т. е. а<«),

и вектор скорости потока Ug перпендикулярен оси цилиндрической поверхности (оси Z).

Для рассматриваемой поверхности можно записать следующие гео

метрические соотношения:

〃=p/cos 屮;〃=p/cos 屮;cos 8 = cos ^r — H cos?屮/2々,cos 8 = cos ^r — H cos?屮/2々,

〃=p/cos 屮;

〃=p/cos 屮;

cos 8 = cos ^r — H cos?屮/2々,

cos 8 = cos ^r — H cos?屮/2々,

где rs — радиус цилиндрической поверхности; Н — расстояние между элементами поверхности do и do';屮一угол между отрезками // и р.

Рис. 2.33. График влияния коэффициента аккомодации на теплоотдачу сферыРис. 2.34. Пояснительная схема обтекания невыпуклой цилиндрической поверхностиРис. 2.33. График влияния коэффициента аккомодации на теплоотдачу сферыРис. 2.34. Пояснительная схема обтекания невыпуклой цилиндрической поверхности

Рис. 2.33. График влияния коэффициента аккомодации на теплоотдачу сферы

Рис. 2.34. Пояснительная схема обтекания невыпуклой цилиндрической поверхности

Рис. 2.33. График влияния коэффициента аккомодации на теплоотдачу сферы

Рис. 2.34. Пояснительная схема обтекания невыпуклой цилиндрической поверхности

Ядро интегрального уравнения (2.143) будет иметь вид

(2.188)(2.188)о (г, 7)=亠学.

(2.188)

(2.188)

Отметим, что в случае бесконечного цилиндра величина М зависит лишь от угловой координаты 6. Подставляя (2.188) в (2.143), получим

N^n^U^ cos (S —а)-]--~— J J Nr (8r) cos2 ф sin'j -5-~ 5 | d^d^-

Интегрируя по получим

十3

2Vr (В)=n ^^ cos (8 - а) + -1- \ Nr(^) sin | ^=-^-p&\(2.189)

з

Решая это интегральное уравнение, получим %「=4+5占一|——п^и^ X 4

X cos (В —а); где A=}?8(78cosa (1十2 sin2~^«)； В = ^ nJJ^ sin а X

COS3 •—•

XX、2

X

X

cos + 3 sin

Формула для определения nr будет иметь вид

(2.190)(2.190)riT =[厶 + 66 -j—~ HooU8 cos (В — а)] / J/^E；w

(2.190)

(2.190)

Схема вычислений макроскопических параметров течения около цилиндрической поверхности, тепловых потоков и сил, действующих на вогнутую поверхность, аналогична той, которая использовалась при рассмотрении сферической поверхности. Выпишем конечные результаты некоторых вычислений. Распределение плотности р вдоль оси X перед 90

Рис. 2.35. График сопротивления невыпуклой цилиндрической поверхности:T^Tg «=0,25； со == 0; а = 0; О — ^^rs = 4； □ — LJr§ ®* 20Рис. 2.36. Пояснительная схема обтекания полого клинаРис. 2.35. График сопротивления невыпуклой цилиндрической поверхности:T^Tg «=0,25； со == 0; а = 0; О — ^^rs = 4； □ — LJr§ ®* 20Рис. 2.36. Пояснительная схема обтекания полого клина

Рис. 2.35. График сопротивления невыпуклой цилиндрической поверхности:

T^Tg «=0,25； со == 0; а = 0; О — ^^rs = 4； □ — LJr§ ®* 20

Рис. 2.36. Пояснительная схема обтекания полого клина

Рис. 2.35. График сопротивления невыпуклой цилиндрической поверхности:

T^Tg «=0,25； со == 0; а = 0; О — ^^rs = 4； □ — LJr§ ®* 20

Рис. 2.36. Пояснительная схема обтекания полого клина

полуцилиндром (со = 0) при нулевом угле атаки (а = 0) описывается следующей формулой:

?=1 + ]/7s|/A^KJ0,?=1 + ]/7s|/A^KJ0,(2.191)(2.191)

?=1 + ]/7s|/A^KJ0,

?=1 + ]/7s|/A^KJ0,

(2.191)

(2.191)

Cd=24- —Cd=24- —где CD=Fx/2rsLz cos «)где CD=Fx/2rsLz cos «)(■^■Po/А)； е=]Лт•/(«)).(■^■Po/А)； е=]Лт•/(«)).

Cd=24- —

Cd=24- —

где CD=Fx/2rsLz cos «)

где CD=Fx/2rsLz cos «)

(■^■Po/А)； е=]Лт•/(«)).

(■^■Po/А)； е=]Лт•/(«)).

где р=р/р8； %=%/〃； cos ср = …；sincp=— _■; ^l(x)=

К 2 + х2H+#

3 ~/ sin 2<р \

=—-—х——(ср2^1cos； -^ — координата, отсчиты

ваемая от оси цилиндрической поверхности вдоль оси X.

При х= +1 имеем К = 1,73.

Для коэффициента лобового сопротивления при нулевом угле атаки (а=0) получается следующая формула:

(2.192)

При <о = О значение f(со) = 1,03, а при со->л/2 f(co)f 1. На рис. 2.35 приведены данные по сопротивлению полуцилиндра (со = О) конечной длины (Lz"$=4h20) при нулевом угле атаки (а = 0), полученные методом статистических испытаний [100] (точки и пунктирная линия). На этом же графике сплошной линией представлены расчеты по формуле (2.192) для бесконечного цилиндра. Для равновесной температуры получается такая же формула, как в случае полусферы (?.179)・

Полый клин

Рассмотрим обтекание бесконечно длинного симметричного полого клина, обращенного вогнутостью навстречу потоку [2, 41]. Размеры, клина заданы величинами L н <о (рис. 2.36). Пусть вектор скорости набегающего потока Uoo направлен по биссектрисе двугранного угла клина, температура поверхности везде равна Tw, отражение молекул — диффузное. На каждый элемент поверхности do, принадлежащий одной из сто

рон угла, падают молекулы невозмущенного потока и молекулы, отразившиеся от поверхности, образующей вторую сторону двугранного угла.

Будем использовать следующие обозначения: Н — расстояние между двумя интерферирующими элементами поверхности d(a и do'; п и 力'一нормали к элементам поверхности; 0 и 0х — углы между отрезком Я и нормалями соответственно п и 広'；х, z — координаты элемента поверхности do (ось Z перпендикулярна плоскости рис. 2.36). Нетрудно видеть, что

//2=z2 + (*2 + %，2- 2%k，cos 2(d) COS"2 0)；с х sin 2з%'sin23

cos 0=; cos 8,=;

"COS 3H COS 3

(2.193)(2.193), dxrdz

(2.193)

(2.193)

& =

COS CO

где z расстояние между элементами do и do' по оси Z. Ввиду бесконечной длины клина по оси Z потоки падающих и отраженных молекул (Nr,而8, No。) зависят только от координаты х. В силу симметрии течения эти зависимости для обеих поверхностей одинаковы. С учетом этих замечаний и соотношений (2.193) из (2.143) получается после интегрирования по z следующее интегральное уравнение:

ххf sin2 2^dxt(运+^2 — 2^7 cos 2з)3/2ххf sin2 2^dxt(运+^2 — 2^7 cos 2з)3/2(2.194)(2.194)1

ххf sin2 2^dxt

(运+^2 — 2^7 cos 2з)3/2

ххf sin2 2^dxt

(运+^2 — 2^7 cos 2з)3/2

(2.194)

(2.194)

Nr {x} = N{x) + ^^Nr(xf)b

где x=x)L.

При x->0 появляется особенность в уравнении (2.194). Чтобы ее раскрыть следует перейти от интегрирования по поверхности к интегрированию по направлениям. В результате удается получить следующую простую формулу для Nr в точке х=0: Nr (Q)=Nж (0)/sin2 «). Если поток гиперзвуковой (S》1), то Ng (0)=〃8。8 sin з и, следовательно, Nr (0)=zioo4/oo/sinпг (0)=Пео^Уco/sin w 1/^旦匕

2л

Некоторые результаты расчетов при Tw/Too = 0i5 и коэффициенте аккомодации аэ=0,14-1 приведены на рис. 2.37. На первом графике дана зависимость коэффициента сопротивления полого клина с со= 15° от скорости потока, т. е. от S, а на втором — от угла раскрытия со (при постоянном значении S = 6). Коэффициент сопротивления отнесен к коэффициенту сопротивления выпуклого тела, получающегося, если закрыть клиновидную полость пластиной шириной 2L sin со. Приведенные результаты позволяют судить о влиянии многократного отражения молекул на сопротивление тела.

Молекулярные заборники газа

Молекулярные заборники газа могут использоваться на искусственных спутниках для сбора газа в разреженных слоях атмосферы с различными целями, например для взятия проб из окружающей среды, для накопления рабочего тела в ионных двигателях и т. д. Заборник представляет собой сужающийся канал, обращенный широкой своей частью к набегающему потоку газа. Геометрия канала может быть сферической, конической и т. д. [6, 35, 68, 192].

Рассмотрим осесимметричный сферический канал с полууглом раскрытия р>0 и радиусами на входе 尸卜 на выходе /*2 (рис. 2.38). Ограничимся следующими условиями: поток гиперзвуковой (S->oo)； отражение 92

Рис. 2.37. Графики сопротивления полого клина в свободномолекулярном потоке: а -1- зависимость относительного коэффициента сопротивления клина от числа S ((о=15°; у=1,4; 7仞/「8 =0,5); б — зависимость относителного коэффициента сопротивления клина от полуугла раскрытия(о (S=6; 々/Л» =0,5; Y==l,4)Рис. 2.37. Графики сопротивления полого клина в свободномолекулярном потоке: а -1- зависимость относительного коэффициента сопротивления клина от числа S ((о=15°; у=1,4; 7仞/「8 =0,5); б — зависимость относителного коэффициента сопротивления клина от полуугла раскрытия(о (S=6; 々/Л» =0,5; Y==l,4)

Рис. 2.37. Графики сопротивления полого клина в свободномолекулярном потоке: а -1- зависимость относительного коэффициента сопротивления клина от числа S ((о=15°; у=1,4; 7仞/「8 =0,5); б — зависимость относителного коэффициента сопротивления клина от полуугла раскрытия(о (S=6; 々/Л» =0,5; Y==l,4)

Рис. 2.37. Графики сопротивления полого клина в свободномолекулярном потоке: а -1- зависимость относительного коэффициента сопротивления клина от числа S ((о=15°; у=1,4; 7仞/「8 =0,5); б — зависимость относителного коэффициента сопротивления клина от полуугла раскрытия(о (S=6; 々/Л» =0,5; Y==l,4)

Рис. 2.38. График зависимости массового расхода газа через выходное отверстие забор-ника газа от полуугла раскрытия р:

сплошные линии — по формуле для сферического заборника [199]; пунктирные — теория кониче-ского заборника [192]

молекул от стенок канала диффузное; температура стенки постоянная (равная Tw)； молекулы, достигшие выходного сечения канала, вернуться назад в канал не могут (обратный поток отсутствует); вектор скорости набегающего потока Ug параллелен оси симметрии канала. Вычислим расход газа и определим расходную характеристику, представляющую собой отношение массового расхода газа через заборник к тому расходу, который имел бы место через отверстие, равное выходному отверстию канала. В рассматриваемом случае расход молекул через отверстие радиуса /*2 при отсутствии заборника составлял бы величину

N g2=nJJ hi*.(2.195)

Общее количество молекул, за единицу времени влетающих в заборник, будет равно

jVooi =(2.196)

Число молекул, сталкивающихся со стенкой канала, будет равно

N” 拉。8 冗(г? 一 d).(2.197)

Найдем распределение потоков отраженных молекул Nr(r). Интегральное уравнение для Nr(r) записывается в виде (2.162). Для данного слу-

чая получаем

_ 一 99 4门广3

e=厶8"8口(r 1 ——Г2) ,

4M — a

где 0 = 2叫厶一поверхность канала.

В результате получается следующая формула для Л^(戸)：

川貝厂)=Ng(r)+ jUg・

4лг2 — о

Плотность падающих потоков частиц невозмущенного потока в точках поверхности, находящихся в «затененной» области, равна нулю, а в «освещенной» N^ (r)= nJJ^ cos^B, где б ——угол между нормалью к элементу поверхности и вектором 瓦о.

Аналогично тому, как это делалось при рассмотрении эффузии через сферический канал (см. § 2.3), найдем число молекул, стартовавших со стенок канала и вылетающих через выходное отверстие:

N ь2ttooLJ 8^2N ь2ttooLJ 8^2门（广；一^）门（广；一^）4лг^ ——a4лг^ ——a

N ь2ttooLJ 8^2

N ь2ttooLJ 8^2

门（广；一^）

门（广；一^）

4лг^ ——a

4лг^ ——a

где а2=2лг56； ^=г$ —— V7二1.

Суммарный расход молекул через заборник составляет величину ^ = ^oo2 + ^a2.

Отношение массового расхода газа через заборник к ра&оду через отверстие с радиусом 『2, если бы перед этим отверстием отсутствовал заборник, составит величину

С=1Н(2.198) [г2(2尸 s — L)

Используя геометрические соотношения, формулу (2.198) можно привести к следующему виду:

G= 1 + [(1 + Ztg。)2 - 1 ",(2.199)

где Z尸产闿Ug吩+口仁*氏吐a「； /=£/力.

Рассмотрим теперь осесимметричный конический заборник с полууглом раскрытия 6 и радиусами: на входе гь на выходе г2. Ограничимся теми же условиями, что и в предыдущем случае. При этих условиях формулы (2.195) — (2.197) применимы и для конического заборника. Интегральное уравнение для Nr в этом случае имеет вид

Nr (х)=пМоа sin ₽ + J Nr (xf) К (х, £)&£,(2.200)

где К(х,』)=； cosBctgp(l—/

X2 + Х,2 —Ixx1 Sin2 Р, оог

С =—-——J； %l=「lCtg§； %2 =「2Ctg0； 修一％2=丄；

2xx' cos2 В

x — координата, отсчитываемая вдоль оси симметрии канала. Численные решения уравнения (2.200) и расчеты расхода G при разных 0 и /=£/г2 проводились рядом авторов [6, 35, 192].

P〃c. 2.39. График зависимости массового расхода газа через конический заборник от относительной длины / при значении параметра / tg 0=5,536;

сплошная линия — теория; точки — эксперимент [6]: О — Не; • —№

На рис,2.38 шредата1влены зависимости G(p) для сферического (оплошные линии) >и конического (пунктирные линии) каналов три значениях /=0,5;丄；2; 5; 10. При /<2 зависимости G(p) для конических «и сферических каналов отличаются незначительно. Эти зависимости для сферических и -конических каналов при больших / сильно различаются. В отличие от конических

сферические каналы не (позволяют увеличить расход больше, чем в два раза. _

На рис. 2.39 представлены результаты вычислений G на основе численного решения уравнения (2.200) для конического заборника при значениях / = 20+14,0 и /tg 6 = 5,536. На этом графике для сравнения нанесены экспериментальные данные, полученные для заборников с таким же значением параметра / tg р при S》l. Опытные данные получены в аэродинамической трубе при использовании в качестве рабочего газа азота и гелия. Диапазон абсолютных значений скорости потока азота составлял 780+2600 м/с, а гелия— 1600+3050 м/с. Модели заборников были выполнены из латуни и стекла. Теория хорошо согласуется с опытом.

Свободномолекулярные зонды давления

Закономерности взаимодействия тел со свободномолекулярным потоком широко используются для измерения параметров течения разреженного газа. Рассмотрим одну из разновидностей зонда давления — тонкостенный резервуар с малым отверстием. На практике обычно используются резервуары сферической или цилиндрической формы (2.40). Теория такого зонда очень проста, если выполняются перечисляемые ниже условия: резервуар имеет такие размеры, что режим его обтекания—свободномолекулярный; размеры отверстия много меньше средней длины свободного пробега молекул как в набегающем потоке, так и в резервуаре; размеры отверстия малы по сравнению с размерами резервуара (так, что этот резервуар можно рассматривать как бесконечную емкость), но очень велики по сравнению с толщиной стенки сосуда (так, что при расчете потоков молекул применимы формулы для бесконечно тонкой диафрагмы); резервуар представляет собой выпуклое тело, вследствие чего отраженные от его внешней поверхности молекулы не могут попасть в отверстие; температура стенок сосуда всюду одинакова. Если такой зонд ввести в поток, то через некоторое время в его полости установится давление, величина которого будет зависеть от параметров набегающего потока и ориентации отверстия относительно вектора скорости потока. При этом число молекул набегающего потока, влетающих через отверстие в резервуар, будет равно числу молекул, вылетающих из резервуара.

Число молекул набегающего потока, проходящих за единицу времени через единицу площади отверстия, равно

N+=〃81/{ехр( —S2 cos?屮)+]/GTs cos屮[1 +erf(S cos屮)]}, (2.201)

где 屮一угол между вектором скорости потока Uoo и нормалью к плоскости отверстия.

Поскольку отверстие мало, то газ внутри емкости находится в равновесии и оно не нарушается из-за незначительного потока влетающих через отверстие частиц. Число молекул, вылетающих из сосуда за единицу времени через единицу площади отверстия, будет равно

(2.202)

где /гь Tw — числовая плотность молекул и температура газа в резервуаре.

Приравнивая правые части выражений (2.201) и (2.202) и используя уравнение состояния, получим следующее выражение для давления в резервуаре:

〃i = 〃8〃i = 〃8{ехр( —S2 со82ф)4-]^л;5 cos屮 口 + erf (S cos 屮)]},{ехр( —S2 со82ф)4-]^л;5 cos屮 口 + erf (S cos 屮)]},(2.203)(2.203)

〃i = 〃8

〃i = 〃8

{ехр( —S2 со82ф)4-]^л;5 cos屮 口 + erf (S cos 屮)]},

{ехр( —S2 со82ф)4-]^л;5 cos屮 口 + erf (S cos 屮)]},

(2.203)

(2.203)

где pg — давление в невозмущенном потоке.

Обозначим через р^ величину давления в резервуаре при 屮=0, а через Рс — величину давления при г|)= л/2. Из формулы (2.203) следует

麻=八 у 尧{exp(-S2) + ]/^[l+erfS]};(2.204)

%=八1/ 先・(2.205)

Разделив друг на друга выражения (2.204) и (2.205), получим следующую формулу:

Pq/Pc = exp (— S2>+ »本(1 {er)・(2.206)

Если измерить р《и р, то затем можно при помощи формулы (2.206) найти параметр потока S.

На рис. 2.40 представлены результаты экспериментальных исследований зондов типа «резервуар с отверстием» при числах Кнудсена Кп = = /по/£>>10 [147, 149]. По оси ординат отложено отношение измеренных значений ро и рс, по оси абсцисс — число S= р/"-— М. Кружочками представлены данные для зондов, представляющих собой полую сферу с отверстием и цилиндр с отверстием на боковой поверхности. Крестиками нанесены результаты для резервуара цилиндрической формы с отверстием на торцевой поверхности. Сферические зонды имели диаметр резервуара D= 10,20 мм, диаметр отверстия d = 0,8 мм, относительную толщину стенки 5/d=0,025. Цилиндрические зонды имели диаметр резервуара D= 4, 5, 8, 10 мм и такие же d и 6. Для сравнения на этом же графике дана теоретическая зависимость (2.206). Опыт и теория находятся в хорошем согласии.

В практике лабораторных исследований получили распространение зонды давления, выполненные в виде трубки (рис. 2.41). Одним концом трубка вводится в поток. Другой ее конец соединен с резервуаром, в котором измеряется давление. Длина трубки выбирается обычно такой, чтобы возмущение потока, которое создается резервуаром, не сказывалось вблизи открытого конца трубки. Найдем соотношение между давлением в набегающем потоке и установившемся давлением в резервуаре Pi при условиях, когда вектор скорости набегающего потока Ug направ-

Рис. 2.40. График зависимости давления 6 полости с отверстием от относительной ско^ рости S:

сплошная линия — по формуле (2.206); точки — данные опытов для сферических и цилиндрических зондов [147, 149]

Рис. 2.41. График зависимости относительного давления 6 зонде от числа S (длинная трубка, L]r》l):

сплошная линия — по формуле (2.212); крестики и кружочки опытные данные соответственно, для трубок с L/r=50 и 200 [149]

лен вдоль оси трубки и размеры трубки малы по сравнению с длиной свободного пробега молекул как в набегающем потоке, так и в резервуаре. Воспользуемся снова тем фактом, что при установившемся режиме поток молекул из резервуара через трубку во внешнюю среду равен потоку молекул в резервуар из внешней среды. При свободномолекулярном режиме молекулы внутри трубки не сталкиваются между собой. Следовательно, эти потоки можно рассматривать независимо друг от Друга.

Число молекул, уходящих за единицу времени из резервуара через трубку во внешнюю среду N-, вычисляется по формуле (2.106), полученной в § 2.4: —

n一=n]厂(z)， (2.207)

где %1=〃1冗厂2 -5Г1 — число молекул, влетающих в трубку из резервуара; пь 7\ — числовая плотность молекул и температура газа в резервуаре; г — радиус трубки; L = L/r; W(L)—коэффициент Кпаузин- га, значения которого даны в табл. 2.5.

Теперь рассмотрим поток молекул из внешней среды в резервуар N+. Следуя той же схеме, которая была использована при выводе фор« мулы (2.106), получим

n+=n8e取(S, Z), ②208)

где 7Veos = /Zoon；r2

1/* [expT)+Gl+erfS)}・

P〃c. 2.42. Теоретические значения величины 取(S, L)/W(L) для коротких трубок: а — пунктирная линия с кружочками — точное решение [192] при S=l; сплошная линия — приближенное решение на основе линейной аппроксимации хфункции w(x) [108, 150, 157]; б — сплошные линии — приближенное решение [108, 150, 157] при L/r=2 и 4; крестики и кружочки — метод Монте-Карло [68]

Значение W(S, L) в (2.208) вычисляется по формуле

步（S,步（S,£)=1-2 卜仪)о£)=1-2 卜仪)о1 + 2*21 + 2*2(2.209)(2.209)

步（S,

步（S,

£)=1-2 卜仪)о

£)=1-2 卜仪)о

1 + 2*2

1 + 2*2

(2.209)

(2.209)

где G=N毋)心;N/i历)/宵;x—x/r; X — координа

та, отсчитываемая вдоль оси трубки (см. рис. 2.41). Входящая в (2.209) функция w(x) определяется из интегрального уравнения (2.143), которое в данном случае можно записать следующим образом:

(2.210)(2.210)一_

(2.210)

(2.210)

w (х)=/ (х, S)+f w(xz) К(五 xf)dx\о

где ^(x, Р)=1 — I x—P I 2(% —%')2十3 一； у(x, SANgBlNgK 2 [(Г- J?)2 + 1]3/2

Ng(元)——число частиц невозмущенного потока, которые падают за единицу времени на единицу внутренней поверхности трубки в точках с координатой х, не испытав перед этим столкновений со стенками трубки (2.142). 一

Вычисление коэффициента W(S, L) на основе численного решения интегрального уравнения (2.210) проводились при 5=1 и различных -значениях L в работе (192]. В работах [108, 150, 157] был использован ^приближенный метод определения W(S, Z), в основе которого лежит ^лийейная аппроксимация функции 侬(W). В этих работах получены обширные результаты, позволяющие оценить влияние на величину 取(S, Е) длины трубки и числа JWaxa. Наконец, в работе [68] был использован для определения 取(S, L) метод статистических испытаний. На рис. 2.42 приведены некоторые результата этих работ. По оси ординат отложено значение коэффициента M(S, Z), отнесенного к значению этого коэффициента, отвечающего условию S = 0. На рис. 2.42, а дается сравнение результатов точного численного решения и приближенного при 5=1 и значениях Е = 0+2. Между результатами точного решения и приближенного имеется некоторое расхождение (до 5%). На рис. 2.42, 6 дается сравнение результатов приближенных вычислений с полученными мето・

дом статистических испытаний при S = 0-=-10 и Е=2,4. Разница между результатами, полученными этими методами, не более 5+6%. После того как решена задача об отыскании 闪(S, Z), нетрудно найти соотношение между давлением в зонде pi и давлением в набегающем потоке Роо. Приравняем правые части выражений (2.207) и (2.208). В резуль* тате получим следующую формулу:

〃尸〃8/壮[exp( — S2)+V^(l+erfS)]叫 Z； S),'(2.211》

где 田(Z, S)=m(S, W(Z).

В случае, когда длина трубки по сравнению с радиусом очень велика (L/r->oo), формула (2.211) принимает вид

(2.212)

Имеющиеся экспериментальные данные [149, 183] хорошо согласуются с выводами теории (см. рис. 2.41).

Тела сложной формы и группы тел

При сложной геометрии течения решение интегрального уравнения для потока частиц с элемента поверхности невыпуклого тела и последующие вычисления аэродинамических характеристик является делом весьма трудоемким. В связи с этим целесообразно использование метода Монте-Карло. Следуя работе [4], кратко опишем общую схему решения задачи свободномолекулярного обтекания тела (или группы тел} методом Монте-Карло при условии, что задана функция распределения молекул по скоростям для набегающего потока и известен закон взаимодействия молекул с поверхностью. Прежде всего выбирается «контрольная» поверхность. При этом необходимо выполнить условие: через контрольную поверхность могут пролетать молекулы из набегающего потока (даже те, которые пролетают мимо тела), но ни одна молекула набегающего потока, достигающая тела, не должна миновать контрольную поверхность. В наиболее общем случае такая поверхность пред* ставляется замкнутой (например, сфера). — _ _

Поток молекул, имеющих скорости от & до (g+dg), через элемент контрольной поверхности dA составляет величину dN=f^d^ sin ^ X Xcos ^d^d^dA, где 屮一угол между внутренней нормалью к элементу dA и направлением скорости 占；<р — орбитальный угол. Далее выбираются с некоторой плотностью вероятности координаты элемента dA на контрольной поверхности, величина скорости и ее направление, задаваемое углами 2 H 屮• Определяется, попал ли поток молекул dN на поверхность тела. Если поток молекул dN достиг тела, то он принес в точку попадания составляющие импульса m^^N, m^ydN, m^^N, энергию^ — m^dN и т. д. Все эти величины запоминаются в ячейках памяти

?ВМ. Закон взаимодействия молекул с поверхностью задан, т. е. задана вероятность отражения в данном направлении с данной скоростью. Разыгрывается с некоторой плотностью вероятности скорость отраженного потока и ее направление. Отраженный поток молекул уносит составляющие импульса m^xrdN, mlyrdN, m^rdN, энергию ~ m^dN. Эти вели

чины также запоминаются в ячейках памяти ЭВМ. Далее определяется» пересек ли отраженный поток поверхность тела или нет. Если пересек»

Рис. 2.43. Аэродинамические характеристики цилиндра с коническим за- острением и оперением (r1=Z1=Z2=4；厶=5门；8=45°; Sw^U^ /V 2RTW, a — угол атаки):

О — с учетом первого отражения; •—с учетом интерференции

потока моле-потока моле-Рис. 2.44. Схема турбомолекулярного насоса: / — диск; 2 — лопатки; 3 — двигатель то определяются координаты точки пересечения и засылаются в ячейки памяти ЭВМ соответствующие молекулярные признаки, а затем вновь разыгрывается отражение и т. д. Этот процесс продолжается до тех пор, пока отраженный поток молекул после n-го отражения не вылетит из контрольного объема. После проведения достаточно большого числа испытаний вычисляются аэродинамические характеристики путем алгебраического суммирования соответствующих молекулярных признаков, запоминаемых

потока моле-

потока моле-

кул на элементы поверхности и отражении этого потока. Результат делится на число испытаний и на величину площади элемента поверхности тела.

При расчете суммарных аэродинамических характеристик следует запоминать молекулярные признаки в момент первого попадания потока молекул dN на поверхность тела и в момент его последнего отражения, после которого частицы вылетят из контрольного объема. Алгебраическая сумма этих признаков делится на число испытаний. Возможность поочередного слежения за разными потоками частиц dN обусловлена тем, что молекулы не взаимодействуют друг с другом. Картину обтекания можно представить затем как наложение многих картин, полученных для каждого отдельного потока.

Возможности метода Монте-Карло иллюстрирует рис. 2.43. На этом рисунке представлены результаты расчетов аэродинамических сил Pn и Рх, действующих на тело (конфигурация которого показана на рис. 2.43, а) в гиперзвуковом (М->8)потоке. На рис. 2.43,6 даны результаты расчетов составляющей силы P^ при различных углах атаки а и диффузном отражении молекул. Величину Pn можно представить в виде суммы Pn=Pn8*NPn、где Pns ——сила, обусловленная первым попаданием молекул на тело; APn — добавка, обусловленная интерференцией и первым отражением. Аналогично (рис. 2.43, в)夕弋二夕旧 + 厶戶一

Турбомолекулярный насос

Для получения высокого и сверхвысокого вакуума, свободного от присутствия органических паров, широко применяются турбомолекуляр- ные насосы. Разработка теории турбомолекулярных насосов была начата Крюгером и Шапиро [118]. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах [158, 159, 160] и др. На рис. 2.44 показана схема простейшего насоса, имеющего один ряд вращающихся лопаток. Насос перекачивает газ из камеры Л в камеру А Газ в обеих камерах настолько разрежен, что столкновениями молекул между собой можно пренебречь при рассмотрении взаимодействия движущихся лопаток с газом. В силу этого поток молекул из камеры Л в В и обратный поток молекул из камеры В в Л можно рассматривать независимо. Число молекул Nab, стартовавших из камеры Л и достигших камеры В, можно выразить следующим образом: "ав=МАи取卜 где М — число молекул, падающих из камеры Л за единицу времени на единицу поверхности входного сечения межлопаточного канала; /工1—суммарная площадь входных сечений всех межлопаточных каналов; Wi — коэффициент Клаузинга для молекул из камеры Л (вероятность прохождения молекулы из камеры Л в В). Аналогичное выражение можно записать для потока

молекул из камеры В в камеру A: Mb4=N2』x2%・ Результирующий расход молекул равен разности потоков Nab и Nba：

'NA^N^^r ~ N2A^2,(2.213)

где N — результирующий расход, приходящийся на единицу площади входного сечения межлопаточного канала.

Разделив правую и левую части выражения (2.213) на NiA^i, получим

W = W.2,(2.214)

где W=N]N\ — результирующая вероятность перехода молекул через рабочее колесо (или коэффициент откачки).

Будем считать, что вдали от диска газ в камерах находится в равновесии при давлениях pi и 卩2 и температурах 7\ и 丁2・ Если функции распределения молекул, падающих из камер Л и В на лопатки, являются максвелловскими, то

М =•(2.215)

У 2лу 2л'

При Л21 = Л22 и 丁1 = 丁2 выражение (2.214) с учетом (2.215) преобразуется к виду

取=取[一网取2,(2.216)

где Пк=Р2//Ъ — степень сжатия в насосе.

Максимальная степень сжатия Пктах реализуется при нулевом результирующем расходе (N'=0, 取=0). Из (2.216) вытекает следующая формула для определения максимальной степени сжатия: лКтах = ^1/^2- При степени сжатия лк= 1 коэффициент откачки W равен разности коэффициентов S и 取2：取=S—%. Степень сжатия Пк и коэффициент откачки W являются основными величинами, которыми характеризуют турбомолекулярный насос. Из сказанного выше видно, что для их определения нужно знать коэффициенты 取i и 1^2-

Задача нахождения 取i и 取2 сводится к задаче о свободномолекулярном течении газа через канал в перегородке, разделяющей два объема* Особенностью является при этом то, что канал движется относительно газа, заполняющего эти объемы. Кроме того, нужно учитывать то, что одна из стенок канала неподвижна и что имеется зазор между лопатками и неподвижным корпусом. Если длина лопаток достаточно велика по сравнению с шириной лопаток и шагом решетки, но мала по сравнению с диаметром диска, то в известном приближении концевыми эффектами можно пренебречь и считать течение плоским. Простейшей конфигурацией лопаток является плоская пластинка.

Рассмотрим плоскую решетку, составленную из тонких пластинок шириной Ь, установленных параллельно друг другу (рис. 2.45). Шаг решетки равен f, угол установки пластин а. Будем использовать систему координат, связанную с решеткой. Газ, заполняющий пространство слева и справа от решетки, движется в целом относительно нее со скоростью U, параллельной решетке. Функции распределения молекул, падающих на решетку, являются максвелловскими. Будем считать, что температуры набегающего потока и пластинок одинаковы, отражение молекул от стенок — диффузное. Выделим один из каналов, образуемых соседними пластинами, и рассмотрим течение газа через него (см. рис. 2.45, а). Следуя той же схеме, которая использовалась при рассмотрении зондов давления и воздухозаборников, сначала рассмотрим поток молекул из камеры Л через канал в камеру 5. Рассмотрим баланс падающих и отраженных частиц для некоторого произвольно выбранного элемента одной из поверхностей канала do (см. рис. 2.45). Положение этого элемента задано координатами х и 2 (х — отсчитывается вдоль ширины лопатки; 2 — вдоль длины). Начало координат поместим на передней

Рис. 2.45. Плоская решетка. К выводу формулы (2.219)Рис. 2.45. Плоская решетка. К выводу формулы (2.219)

Рис. 2.45. Плоская решетка. К выводу формулы (2.219)

Рис. 2.45. Плоская решетка. К выводу формулы (2.219)

дующее количество молекул:дующее количество молекул:№ (*) =№ (*) =кромке лопатки. С единицы поверхности элемента do за единицу времени уходит сле

дующее количество молекул:

дующее количество молекул:

№ (*) =

№ (*) =

Значение иг(х) не зависит от координаты z, поскольку длина лопаток бесконечна. На этот элемент поступают молекулы непосредственно из камеры 4 и молекулы, отраженные от противоположной стенки канала. Найдем поток отраженных молекул к элементу do.,

Выделим на противоположной стенке канала элемент do'ndWdz7, положение которого задано координатами %’ и z‘ (xz — отсчитывается вдоль ширины лопатки от передней кромки). Расстояние между элементами do и d『составит величину (см< рис. 2.45)：

” ="z*2 + Z2,(2.217)

где Z = гг — г (если г = 0, то Z=z‘)； /*2 =(* — *，+ /cos(х)2 + 五2； Л = / sin а* Углы между отрезком Н и нормалями к элементам do и do' одинаковы по величине, 口冲 этом (см. рис. 2.45, а)

ht sin а

cos У = cos 8 = — =—.(2.218)

”[Z2 + /2 sin2 а +(* — *，+ f cos а)2]1/2

С учетом (2.217) и (2.218) формула (2.140) для числа отраженных молекул, падающих на единицу поверхности элемента do за единицу времени, примет вид

b + ОО

m。(已=^) ) m*)m М [方工*id 。+ (*-*，+ /cos 。)耍睜)

0 ~• оо

Интегрируя правую часть (2.219) по z (это можно сделать поскольку %(%') не зависит от z), получим следующее выражение:

“，、1 СR「£2sin2ad*，

Ng {х)^ — \пг (х )1/ — ——;(2.220)

2 ?У2冗[找 si/а+ (* — *，+f cos(1)2产2

Введем безразмерные координаты x=x/f и x'=x']t. С учетом последнего преобра* зуем ⑵220) к виду

Рис. 2.46. Плоская решетка. К выводу формулы (2.230)

Яисло молекул ^(х), падающих непосредственно из камеры А на единицу поверхности ^элемента da за единицу времени, вычислим, используя формулу (2.142):

N1 (*) = Л1

-^ J |tj^ exp (— S2) sin (? + a) 4-

+ exp [ — S2 cos2(Ф + a)】["^" + S2 sin2 (<p + a)]] X

-25 sin (cp+a)

X 1 +I exp(—f2)df |cos <pd<p,

L Un O1I

(2.222)

тде S = U/М2R7;的==arctg * + 侬 ° ； sin a

угол, под которым виден с элемента do вход в канал (см. рис. 2.45, б).

Используя условие баланса частиц и выражения (2.221) и (2：222), получим следующее интегральное уравнение:

〜一 一 sin2 a，dx9c

Hr (x) = /1 (x)十一-—I 〃r (* ) Z~z—,(2.223)

2 J[sin2 a + (* — k + cos a)2]3/2

]/纂

где nr = пг/пъ 力(石=N\g

Аналогичным образом получается уравнение, описывающее распределение ^ir(xf) на .второй поверхности канала:

一

〜一.—,sin2 a 「〜一dx

пт (* )=『2 (* ) + —— \ rir(.x)二~=—.

2 J[sin2 a + (% —*，+ cosa)2]3/2

(2.224)

уде

力(*)=М (7)/山

Функция Ni(%‘) получается из (2.222), если S и а заменить соответственно на (——S) и (л—а). Решить уравнения (2.223) — (2.224) можно численными методами. Результаты численного решения для ряда значений 仪工匕« и S приведены, например, в работе £159]. После того, как найдены зависимости 〃”х) и 出(％'), можно рассчитать Еоток молекул из камеры 4 через канал в камеру 8.

Выделим на поверхности входного сечения канала элемент da^dydz (рис. 2.46》~ Найдем число проходящих за единицу времени через этот элемент (обратно в объем Л) молекул, отраженных от стенок канала.

Выделим на поверхности одной из стенок элемент do=dxdz. Расстояние между элементами do и doi составляет величину

%=]/ Z； + r；,(2.225>

где г^=х2+у2+2ху cos а; х — координата элемента do, отсчитываемая вдоль ширины лопатки; у — координата элемента doi, отсчитываемая вдоль оси У; Z】一 расстояние между элементами do и ds, отсчитываемое вдоль длины лопаток (см. рис. 2.46, 6).

Косинусы углов между отрезком Н】и нормалями к элементам dcj и da соответственно равны

cos 01 = milHi} cos 0 = т/Н\,(2.226)*

(2.226) получается следующая формула для потока отраженных. da на элемент ds：/■万"Mi =九八*) 1/ *7~ G (*，当)公皿，(2.227>八xy sin2aG (*，i/) = r 2 Q с•n + %2 + y2 + 2*y cos a]2по всей поверхности стенки канала, получим число отраженных(2.226) получается следующая формула для потока отраженных. da на элемент ds：/■万"Mi =九八*) 1/ *7~ G (*，当)公皿，(2.227>八xy sin2aG (*，i/) = r 2 Q с•n + %2 + y2 + 2*y cos a]2по всей поверхности стенки канала, получим число отраженныхгде /и】и m — отрезки нормалей к элементам do】и do (см. рис. 2.46, а); 加i=xsina; т=д sin а.

(2.226) получается следующая формула для потока отраженных. da на элемент ds：

/■万

"Mi =九八*) 1/ *7~ G (*，当)公皿，(2.227>

八xy sin2a

G (*，i/) = r 2 Q с•

n + %2 + y2 + 2*y cos a]2

по всей поверхности стенки канала, получим число отраженных

(2.226) получается следующая формула для потока отраженных. da на элемент ds：

/■万

"Mi =九八*) 1/ *7~ G (*，当)公皿，(2.227>

八xy sin2a

G (*，i/) = r 2 Q с•

n + %2 + y2 + 2*y cos a]2

по всей поверхности стенки канала, получим число отраженных

гдегдеС учетом ⑵225) и молекул с элемента

где

где

Интегрируя (2.227) этой стенкой молекул, возвращающихся через элемент площади doi в объем А:

-「 %Tху sin^adxdz小

〃%L dq J J 九'(*)У H 冗[Z2 + *2+&2 + 2*y8sa]2 •(2.228》

О — oo

Поскольку Пт (х) не зависит от Z, то в (2.228) можно выполнить интегрирование по zt

х、у sin<2 gdx(*2 + g2 十 2*у cos а)3/2х、у sin<2 gdx(*2 + g2 十 2*у cos а)3/2(2.229>(2.229>

х、у sin<2 gdx

(*2 + g2 十 2*у cos а)3/2

х、у sin<2 gdx

(*2 + g2 十 2*у cos а)3/2

(2.229>

(2.229>

Поток отраженных молекул, падающих на поверхность входа, равную 〃 (далее примем I— 1), получим, интегрируя (2.229):

=喜"1 j/"纂个г (W) 1 -8S：+匚]石，(2.230)

[ У *2 + 2xcosa + l J

где x = x]t\ nr (x) = nr (x)/ni.

Аналогичным образом вычисляется поток отраженных молекул в объем 4 со второй поверхности канала:

咽「Мл/)咽「Мл/)dai・dai・"(/一身)si/adxZz

咽「Мл/)

咽「Мл/)

dai・

dai・

[Z2 + *，2 +(/一 岁)2 + 2x，« -，)cos a]2

Далее, интегрируя no z и по /, получим

dN『十d%dN『十d%оо任一у) sin2ad*，

dN『十d%

dN『十d%

о

о

[x,2 + (f — y)2 + 2*，(f — у) cos a]3^

Окончательно имеем

N: = ^M J賢f f 汇(彳)1 0.N: = ^M J賢f f 汇(彳)1 0.— cos a^xf2 — 27 cosa+1— cos a^xf2 — 27 cosa+1(2.231)(2.231)

N: = ^M J賢f f 汇(彳)1 0.

N: = ^M J賢f f 汇(彳)1 0.

— cos a

^xf2 — 27 cosa+1

— cos a

^xf2 — 27 cosa+1

(2.231)

(2.231)

W=Wf-W2W=Wf-W2Рис. 2.47, Зависимость отношения и разности коэффициентов 犷i 〃 % от относительной скорости S при различной геометрии решетки: а — 〃b = l; 6 — f/b = l,5; в — t/b—2Рис. 2.47, Зависимость отношения и разности коэффициентов 犷i 〃 % от относительной скорости S при различной геометрии решетки: а — 〃b = l; 6 — f/b = l,5; в — t/b—23 口,512 JS3 口,512 JS

W=Wf-W2

W=Wf-W2

Рис. 2.47, Зависимость отношения и разности коэффициентов 犷i 〃 % от относительной скорости S при различной геометрии решетки: а — 〃b = l; 6 — f/b = l,5; в — t/b—2

Рис. 2.47, Зависимость отношения и разности коэффициентов 犷i 〃 % от относительной скорости S при различной геометрии решетки: а — 〃b = l; 6 — f/b = l,5; в — t/b—2

3 口,512 JS

3 口,512 JS

Общий поток отраженных частиц через рассматриваемый участок поверхности входного сечения канала составит величину 乂工=N91 + N；.

Число частиц, влетающих из объема А в полость канала через рассматриваемый участок

поверхности входного сечения канала, составляет величину?冗

Разность между N^ и ^вS дает число молекул, проходящих в единицу времени

из объема 4 через канал в камеру В:

1 (/ — — Гх + cos а 1 —

где1Г1 = 1 — — М пг (х) 1 — ;二 _.二 二■「：~： dx +

/L V 运+2^cos а 4- 1 j

+ \nr (P)卜-矶, L ^УР2-2хг cosa + 1 JJ

Аналогичным образом можно вычислить коэффициент Клаузинга для потока молекул, стартующих из объема 5.

На рис. 2.47 представлены заимствованные из работы [101] результаты вычислений Wi и W2 при f/b = l; 1,5; 2 и а=10°,.20°, 30°, 45° и 60° в диапазоне значений относительной скорости S=0-7-3. Эти результаты были получены с помощью ЭВМ методом последовательных приближений. На нижних графиках дано отношение коэффициентов Wi/W2 в зависимости от S. Из этих графиков хорошо видно, что 步〉％, т. е. вероятность перехода молекул из камеры А через канал в камеру 5 больше, чем вероятность перехода молекул из камеры В в камеру 4 Отношение 吃/% есть максимально достижимая степень сжатия. На верхних графиках дана разность коэффициентов W=W\ — W2 в зависимости от S. Результаты теоретических расчетов характеристик решетбк хорошо согласуются с данными опытов [118, 158]. Исследование характеристик решеток можно выполнить также при помощи метода статистических испытаний. Этот метод был применен, например, в работах [19, 118].

Наряду с турбомолекулярными насосами- в практике используются механические насосы цилиндрического, дискового и других типов. Приложение теории свободномолекулярного течения к расчету таких насосов дано в работе [19].

§ 2.6. СТАЦИОНАРНОЕ ОБТЕКАНИЕ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ

При свободномолекулярном обтекании выпуклого тела отраженные от его поверхности молекулы газа не могут попасть снова на тело. Это обстоятельство позволяет рассматривать взаимодействие каждого элемента поверхности тела с потоком независимо от других участков поверхности, благодаря чему теория обтекания для выпуклых тел много проще по сравнению с теорией для невыпуклых тел.

Рассмотрим обтекание некоторого неподвижного тела безграничным потоком при отсутствии внешних сил. Отраженные от тела молекулы уходят на большие расстояния, не испытывая столкновений друг с другом и с молекулами, падающими на тело. Плотность отраженных частиц с расстоянием быстро падает. На очень больших расстояниях их плотность становится исчезающе малой, поэтому они не вносят заметных возмущений в набегающий поток там, где могут испытывать первое столкновение. Будем считать, что состояние газа в невозмущенном потоке является равновесным. Функция распределения скоростей молекул в невозмущенном потоке — максвелловская. На поверхности тела выполняется условие непроницаемости ——число падающих молекул равно числу отраженных. Распыление атомов поверхности отсутствует. Условия на поверхности тела (температура поверхности, коэффициент аккомодации, схема отражения) будем считать известными.

Выделим элемент поверхности тела do (рис. 2.48,а). Введем декартову систему координат, связанную и этим элементом так, чтобы начало отсчета находилось на этом элементе, а ось X была направлена вдоль внутренней нормали к этому элементу. Ось У расположим таким образом, чтобы плоскость XY был^ параллельна скорости набегающего потока /Ло. Угол между вектором tAo и внутренней нормалью (т. е. осью X), отсчитываемый от нормали по часовой стрелке, обозначим 屮=л/2—р.

Функция распределения для молекул невозмущенного потока в используемой системе координат будет иметь вид

//(2欢乙严еХр(2欢乙严еХр(殷 一 Uqo Sin B)2 + (& + °8 COS B)2 + 唠(殷 一 Uqo Sin B)2 + (& + °8 COS B)2 + 唠,(2.232),(2.232)

/

/

(2欢乙严еХр

(2欢乙严еХр

(殷 一 Uqo Sin B)2 + (& + °8 COS B)2 + 唠

(殷 一 Uqo Sin B)2 + (& + °8 COS B)2 + 唠

,(2.232)

,(2.232)

где По,; Too — числовая плотность молекул и температура газа.

Вычислим число молекул, падающих на элемент do. Сначала из всех этих молекул выделим те, скорость которых лежит в интервале значений от 自 до E+dJ. Молекулы, обладающие такой скоростью, обязательно попадут на элемент do по истечении единицы времени, если они будут находиться внутри цилиндра, основание которого do, а высота равна J* (см. рис. 2.48,6). Объем этого цилиндра равен Wxdo. Число

Рис. 2.48. Схема обтекания выпуклого тела. К выводу формулы, (2.234)Рис. 2.48. Схема обтекания выпуклого тела. К выводу формулы, (2.234)

Рис. 2.48. Схема обтекания выпуклого тела. К выводу формулы, (2.234)

Рис. 2.48. Схема обтекания выпуклого тела. К выводу формулы, (2.234)

молекул, обладающих указанным значением скорости и находящихся в этом цилиндре, равно

厶3//&%%.(2.233)

Проинтегрировав выражение (2.233) по всем возможным значениям ± и разделив результат на do, получим общее число ^г молекул, падающих за единицу времени на единицу площади элемента:

N 尸〃 8|/*>5SJ(2.234)

Здесь и далее используются следующие обозначения: Sn ——абсолютное значение проекции скорости потока на внутреннюю нормаль к элементу поверхности (т. е. на ось X), деленное на наивероятнейшую скорость хаотического движения молекул в невозмущенном потоке )/2к；

S〃=U〃/yWL； 〃= I t/oo Sin ₽ I.

Функция ^(Sn) в (2.234) имеет следующий вид:

для элементов поверхности, обращенных навстречу потоку (проекция вектора Ug на внутреннюю нормаль к элементу поверхности есть положительная величина):

讨(S%)=ехр (— S^) + У^〃 (1 + erf S〃);

для элементов, находящихся в «теневой» части тела (проекция вектора U^ на внутреннюю нормаль к элементу есть отрицательная величина) :

业(当)=exp ( - S^) — M 芯〃 (1-erf SJ

Умножив выражение (2.233) на 嶼〃do, а затем проинтегрировав результат по всем возможным значениям g, получим тангенциальный импульс РТг, приносимый падающими молекулами за единицу времени на единицу площади элемента:

Rj = P*Ug cos р/箓屮(SJ(2.235)

где poo = /n%oo； m — масса молекулы.

Умножив выражение (2.233) на mgx/da, а затем проинтегрировав результат по всем значениям & получим нормальный импульс РПг, приносимый падающими молекулами за единицу времени на единицу площади элемента:

=к卢(S〃) 土亨(1 土 eri sA (2.236)

У л L/」

В скобках выражения (2.236) берутся знаки плюс, если U^ sin р>0, и знак минус, если sin р<0.

тегрировать затем по всем возможным значениям В результате получим следующую формулу:Здесь и далее S=t/oo/]/2RT.скоростей молекул.)(—5力]・(2.237)тегрировать затем по всем возможным значениям В результате получим следующую формулу:Здесь и далее S=t/oo/]/2RT.скоростей молекул.)(—5力]・(2.237)Для того чтобы вычислить энергию поступательного движения молекул, падающих в единицу времени на единицу площади элемента do, нужно умножить выражение (2.233) на т(^^ + gy2 + ^z2) /2da и проин-

тегрировать затем по всем возможным значениям В результате получим следующую формулу:

Здесь и далее S=t/oo/]/2RT.

скоростей молекул.

)(—5力]・(2.237)

тегрировать затем по всем возможным значениям В результате получим следующую формулу:

Здесь и далее S=t/oo/]/2RT.

скоростей молекул.

)(—5力]・(2.237)

Двух-, трехатомные молекулы обладают помимо поступательной еще и внутренней энергией. Внутренняя энергия каждой падающей мо

лекулы, согласно принципу равного распределения энергии по степеням свободы, составляет в среднем величину 告 jmHTs、где /=^二：—

число внутренних степеней свободы. Умножив энергию одной молекулы на число падающих частиц N», получим поток энергии к единице площади элемента do, обусловленный внутренней энергией молекул:

Е = ―% (RT^ (S J(2.238)

2]<2兀' I丿

где y = cp/cv — отношение изобарной и изохорной теплоемкостей газа.

Теперь перейдем к вычислению нормальной р и касательной т сил, действующих на единицу площади элемента d% и удельного теплового потока в стенку qw. Имеем x = Pzl ~ Pzr, Р=РП1^г +尸〃，夕便=(七；+ 七；)一(月+E), где (Er+Er), Рхг и РЛГ —соответственно энергия, тангенциальный и нормальный импульсы, уносимые отраженными молекулами. Будем считать, как уже говорилось, что нам известны коэффициенты аккомодации импульсов и энергии

(2.239)(2.239)

(2.239)

(2.239)

где 〃т, ая, Лэ, Лэ — коэффициенты аккомодации соответственно тангенциального и нормального импульсов, энергии поступательного движения и внутренней энергии молекул;夕極，Е^, Ew — соответственно нормальный импульс, энергия поступательного движения и внутренняя энергия, уносимые отраженными молекулами при условии, если бы они отражались с максвелловским распределением

(2.240)(2.240)

(2.240)

(2.240)

Значение nw в (2.240) определяется из условия непроницаемости поверхности тела

Значения Pnw и 七北 получим, используя (2.146) и (2.158),

Р『三m$ I/2欢乙,尺=2他欠乙N.(2.241)

Выражение для 七^ получим, умножив число отраженных молекул Nr на среднюю величину внутренней энергии молекулы:

(£.242)(£.242)

(£.242)

(£.242)

Формулы для т, р и 9^ с учетом (2.239) можно представить в виде

(2.243)(2.243)т=%2,・； P=(2-an)Pni + anPnw;

(2.243)

(2.243)

q«=a 式Е i — E w) 4~^э {Ei —石 w)・

Подставляя в (2.243) выражения (2.235), (2.238), (2.241) и (2.242), получим следующие формулы:

т=&Р“8 cos 3т=&Р“8 cos 3^(sny,^(sny,(2.244)(2.244)is［［言jp丿爰is［［言jp丿爰屮(S〃) + *U 士 e「fS" ; (2.245)屮(S〃) + *U 士 e「fS" ; (2.245)g®g®卅 8(К)3/卅 8(К)3/"J/ 2n"J/ 2n% ( ^2+~|2% ( ^2+~|2+++十 g 传一于）（1 -今）］（s〃）-小 xp（-+十 g 传一于）（1 -今）］（s〃）-小 xp（-(2.246)(2.246)Если положить аэ=а3=аэ, то формула (2.246) примет видЕсли положить аэ=а3=аэ, то формула (2.246) примет видРе*""Ре*""｛产｛产2(y-i)Tj y—12(y-i)Tj y—1Y + 1T ® I YY + 1T ® I Y

т=&Р“8 cos 3

т=&Р“8 cos 3

^(sny,

^(sny,

(2.244)

(2.244)

is［［言jp丿爰

is［［言jp丿爰

屮(S〃) + *U 士 e「fS" ; (2.245)

屮(S〃) + *U 士 e「fS" ; (2.245)

g®

g®

卅 8(К)3/

卅 8(К)3/

"J/ 2n

"J/ 2n

% ( ^2+~|2

% ( ^2+~|2

+

+

+十 g 传一于）（1 -今）］（s〃）-小 xp（-

+十 g 传一于）（1 -今）］（s〃）-小 xp（-

(2.246)

(2.246)

Если положить аэ=а3=аэ, то формула (2.246) примет вид

Если положить аэ=а3=аэ, то формула (2.246) примет вид

Ре*""

Ре*""

｛产

｛产

2(y-i)Tj y—1

2(y-i)Tj y—1

Y + 1T ® I Y

Y + 1T ® I Y

Из (2.246) нетрудно найти равновесную температуру элемента поверхности 4о. Равновесной температурой поверхности Те (или температурой восстановления) называют температуру теплоизолированной поверхности (отвод тепла внутрь тела и лучистый теплообмен отсутствуют). Положив в (2.246) 9^ = 0, получим формулу для Те. В частности, при 丫 = 5/3 (одноатомный газ) формула для локальной температуры восстановления имеет вид

Те = Т* S2 +Те = Т* S2 +51 exp(-S^)22 屮(S〃)51 exp(-S^)22 屮(S〃)(2.247)(2.247)

Те = Т* S2 +

Те = Т* S2 +

51 exp(-S^)

22 屮(S〃)

51 exp(-S^)

22 屮(S〃)

(2.247)

(2.247)

Из (2.247) следует, что для любого элемента поверхности, обращенного навстречу потоку (sin Р^О), Те больше температуры адиабатно заторможенного потока 乙〉丁0 = 丁8 (1+^|^ М2)= Т8 (1+-|-S2)• Этот результат объясняется тем, что при адиабатном торможении часть энергии потока расходуется на работу против сил давления, чего не может быть при свободномолекулярном обтекании.

Знание величины Те позволяет судить о направлении теплового потока qw. Если Tw<Te)то тепло отдается газом стенке, если же Tw>7e, то тепло поступает от стенки в омывающий ее газ.

Равновесную температуру принято выражать через температурный коэффициент восстановления г:

1)/_(X^1Ls2・1)/_(X^1Ls2・乙=T8(1+/•宜f 52), где r = (Te/T

1)/_(X^1Ls2・

1)/_(X^1Ls2・

Из (2.247) вытекает следующая формула для коэффициента восстановления при обтекании одноатомным газом:

5 卜2s2 + i)w(S〃) — exp( — S^)

Г[S2 屮(S〃)

На рис. 2.49 показана зависимость г от S для трех положений do. Верхняя кривая соответствует такому положению элемента, когда он обращен навстречу потоку, так что вектор U^ направлен вдоль внутренней нормали к элементу и sin 0=1. Нижняя кривая соответствует случаю, когда элемент находится в «теневой» части поверхности тела, при этом

Рис. 2.49. График зависимости коэффициента восстановления температуры элемента поверхности тела:

/ — для sin 6 = 1； 2 —sinB=—1； 3 — sin B=0

вектор 瓦о направлен навстречу внутренней нормали, sin р= — 1. Если поверхность элемента параллельна скорости потока f/oo, то имеем г=—笃，

Y+1

С помощью выражений (2.244—(2.246) можно рассчитать локальные значения величин т, р, qw. Интегрируя эти выраже

ния по всей поверхности

тела, можно найти сопротивление и подъемную силу для выпуклого тела любой формы, а также общее количество тепла, поступающего (или уходящего) через всю поверхность тела. Приведем конечные результаты интегрирования лишь для некоторых тел (пластинки, шара, цилиндра и конуса).

Бесконечно тонкая пластина (ап = ах=а3=1, 7W=const)

sin20;sin20;(2.248)(2.248)C，= *erf(SsinB) + gC，= *erf(SsinB) + gCOS p；COS p；(2.249)(2.249)С广六exp(-S2si口20)+ 2sin0(l+£)erf(S sin。) +

sin20;

sin20;

(2.248)

(2.248)

C，= *erf(SsinB) + g

C，= *erf(SsinB) + g

COS p；

COS p；

(2.249)

(2.249)

(2.250)(2.250)Y + 1Y + 12424/л sin В erf (S sin §)/л sin В erf (S sin §)S [exp( — S2 sin? B) + 了冗 S sin В erf (S sin p)]S [exp( — S2 sin? B) + 了冗 S sin В erf (S sin p)](2.251)(2.251)

(2.250)

(2.250)

Y + 1

Y + 1

24

24

/л sin В erf (S sin §)

/л sin В erf (S sin §)

S [exp( — S2 sin? B) + 了冗 S sin В erf (S sin p)]

S [exp( — S2 sin? B) + 了冗 S sin В erf (S sin p)]

(2.251)

(2.251)

St=丄“工土 1 [exp (— S2 sin2 卩)+ 了不 S sin 卩 erf (5 sin R)];

UTs 4Y

Здесь использованы следующие обозначения:

пласти-пласти-с尸х/}р“А с^=к/^рЖл；st=a/%p8aо；厂=(乙一T8)/(70 -78)；a = Q/2A(乙一乙)；S=UgN灰匚

пласти-

пласти-

A ——площадь одной стороны пластины; X — сила сопротивления

ны (направлена вдоль вектора скорости Ug); У ——подъемная сила (перпендикулярна X, лежит в плоскости, образуемой нормалью к пластине и вектором [Zoo); Q — суммарный тепловой поток через обе омываемые поверхности пластины; Те — температура пластины, которая реализуется, если Q = 0 и теплопроводность пластины бесконечно большая; 0 — угол атаки (вектор t/oo образует угол ^—卩) с внутренней нормалью к передней поверхности пластины).

При 0 = 0 формулы для аэродинамических характеристик пластины упрощаются:

Сх = 2/Ул 5; С“=0; St=Сх = 2/Ул 5; С“=0; St=Y + 11Y + 114Y VnS4Y VnS；T=2Y/(Y+1).；T=2Y/(Y+1).

Сх = 2/Ул 5; С“=0; St=

Сх = 2/Ул 5; С“=0; St=

Y + 11

Y + 11

4Y VnS

4Y VnS

；T=2Y/(Y+1).

；T=2Y/(Y+1).

Для сравнения приведем также формулы для Сх и Су, которые получаются, если предположить, что отражение молекул является зеркальным 伍3 = °, ^n = 0,生=0)：

sinsin4 sin3 卩4 sin3 卩b2^₽jerf(Ssin 眈b2^₽jerf(Ssin 眈

sin

sin

4 sin3 卩

4 sin3 卩

b2^₽jerf(Ssin 眈

b2^₽jerf(Ssin 眈

Ср。=色/竺2sA exp (— S2 Sid 卩)+ (1^-+4 siM。cos 卩)erf (S sin。)・

Шdp (。71 =。1=。3 =/, 7*w=const)

C* =C* =2s2+ 12s2+ 1expf)+ 4S4+,_erfSexpf)+ 4S4+,_erfS

C* =

C* =

2s2+ 1

2s2+ 1

expf)+ 4S4+,_erfS

expf)+ 4S4+,_erfS

(2.252)

丫 S (2S2 + 1)(S + ierfc S) +(S2 - -yj erf S丫 S (2S2 + 1)(S + ierfc S) +(S2 - -yj erf SS『号(1+专ie&S+蚩erfS) ;(2.253)

丫 S (2S2 + 1)(S + ierfc S) +(S2 - -yj erf S

丫 S (2S2 + 1)(S + ierfc S) +(S2 - -yj erf S

(2.254)

Y+ 1S2 卜2 母 rfc S + V erf S )

Здесь C尸x/}p8fЛ 手；St=%P8“8；ierfcS= J (1 —erfx)^/x; r=(Te — Too)/(T0 — Teoyi

a = Q/[Q(T—w)]；

D — диаметр шара; Te ——температура шара, которая реализуется при Q = 0 и бесконечно большой теплопроводности материала шара; Q — суммарный поток тепла в шар через всю его поверхность.

Сила сопротивления в (2.252) отнесена к площади сечения шара —л£>2, а тепловой поток в (2.253) к полной поверхности шара лЛ2. Для сравнения приведем здесь также формулу для Сх, которая пЬлучается при зеркальном отражении молекул (ат=0, ап = 0):

以=2^L exp (— S2) + 4s弋产二L erf S・° s^2s4

При S》1 формулы для аэродинамических характеристик шара (2.252) — (2.254) упрощаются:‘*

С尸2+年手/笑+专；

St=(Y+l)/8y;，=2Y/(Y+1).

Эти формулы можно практически применять при S^5.

Рис. 2.50. График зависимости коэффициента сопротивления шара от числа М: а — при зеркальном отражении; б — при диффузном отражении

Рис. 2.51. График зависимости коэффициента сопротивления цилиндра от числа М: а — при зеркальном отражении; 6 — при диффузном отражении

Зависимости коэффициента сопротивления шара от числа М при диффузном и зеркальном отражении молекул при 7^/78= 1 представлены графически на рис. 2.50. В табл. 2.9 дана зависимость Сх от числа S при Tw=Te.

Поперечно-обтекаемый круговой цилиндр (a71 =0T=a3 =/, T*w = const)Поперечно-обтекаемый круговой цилиндр (a71 =0T=a3 =/, T*w = const)St=-^4уУ лSt=-^4уУ л吋（年信哈）+ S卩谓+ M訓吋（年信哈）+ S卩谓+ M訓(2S2 + 3) Л)(吾)^S2 + 1)厶传,(2S2 + 3) Л)(吾)^S2 + 1)厶传,(52 + l)Z0(52 + l)Z022+ s暝等）+ s暝等）(2.555)(2.256)(2.257)(2.555)(2.256)(2.257)

Поперечно-обтекаемый круговой цилиндр (a71 =0T=a3 =/, T*w = const)

Поперечно-обтекаемый круговой цилиндр (a71 =0T=a3 =/, T*w = const)

St=-^4уУ л

St=-^4уУ л

吋（年信哈）+ S卩谓+ M訓

吋（年信哈）+ S卩谓+ M訓

(2S2 + 3) Л)(吾)^S2 + 1)厶传,

(2S2 + 3) Л)(吾)^S2 + 1)厶传,

(52 + l)Z0

(52 + l)Z0

2

2

+ s暝等）

+ s暝等）

(2.555)

(2.256)

(2.257)

(2.555)

(2.256)

(2.257)

Здесь C*=X/-|~P8UL“； St=a/CpP8“8；

a = QEDL (乙一乙)；

модифицированные функции Бесселя первого рода

нулевого и первого порядка; D, L — диаметр и длина цилиндра; Те — температура цилиндра при Q = 0 и бесконечной теплопроводности материала. Сила сопротивления X отнесена к площади сечения цилиндра DL、 а суммарный тепловой поток Q отнесен к полной поверхности цилиндра ^DL. В приведенных формулах не учитывается влияние торцов, т. е. предполагается, что цилиндр «бесконечный» (L/Z＞》1).

При S》1 формулы упрощаются:

32S232S2

3

2S2

3

2S2

St=(Y+l)/2YH；r=2Y/(Y+1).

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,公

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,5

3

3,5

4

Cjc сферы

Y = 5/3

41,95

21,15

14,26

10,87

8,861

7,552

6,638

5,969

5,463

5,070

4,506

4,128

3,862

3,669

3,525

3,292

3,178

3,076

3,021

Y = 7/5

41,93

21,13

14,23

10,82

8,801

7,482

6,560

5,884

5,372

4,973

4,399

4,013

3,742

3,544

3,396

3,156

3,018

2,933

2,876

С* цилиндра

у = 5/3

40,62

20,69

13,85

10,59

8,664

7,412

6,543

5,907

5,428

5,056

4,525

4,170

3,923

3,744

1

3,611

3,397

3,275

3,200

3,158

丫 = 7/5

40,60

20,66

13,80

10,52

8,587

7,324

6,445

5,801

5,315

4,936

4,395 L,032

3,458

3,237

3,110

3,032

2,986

Таблица 2.9

Коэффициенты сопротивления сферы и цилиндра в свободномолекулярном потокеодно- и двухатомного газов при диффузном отражении молекул(а т = а “ = а? =1) и Tw = TeКоэффициенты сопротивления сферы и цилиндра в свободномолекулярном потокеодно- и двухатомного газов при диффузном отражении молекул(а т = а “ = а? =1) и Tw = Te

Коэффициенты сопротивления сферы и цилиндра в свободномолекулярном потокеодно- и двухатомного газов при диффузном отражении молекул(а т = а “ = а? =1) и Tw = Te

Коэффициенты сопротивления сферы и цилиндра в свободномолекулярном потокеодно- и двухатомного газов при диффузном отражении молекул(а т = а “ = а? =1) и Tw = Te

Этими формулами можно практически пользоваться при S^5. Если отражение молекул зеркальное, имеем

На рис. 2.51 зависимость коэффициента сопротивления цилиндра от числа М при Tw/Tco= 1 представлна графически. В табл. 2.9 дана зависимость Сх от числа S при Tw = Te.

Прямой круговой конус при нулевом угле атакиdji== dx == ^э== ^л Тз== COIlst)

(ось конуса параллельна скорости набегающего потока)

(2.258)(2.258)+ (1 +表+姿 sin。/制1 + erf (S sin 卩)]-&•

(2.258)

(2.258)

Здесь С*=Х I 千卩上乙^^-； d — диаметр основания конуса; р — полуугол при вершине конуса (sin p = d/2L); L — длина образующей конуса; Со — коэффициент, учитывающий вклад основания конуса в сопротивле

ние конуса:

卜蚩）（i*fs）+卜蚩）（i*fs）+

卜蚩）（i*fs）+

卜蚩）（i*fs）+

(2.259)(2.259)卜蚩丿尧 W不S[l-erfS]-exp(-S2)}・

(2.259)

(2.259)

При S sin В》1 (практические, при S sin Р^5) формула (2.258) упрощается:

CT + ^sinPj/ 尝+击・

Формулы для теплового потока в боковую поверхность температурного коэффициента восстановления имеют видSt=^J-里(S sin Р);4уУГл S尸 г Y (2S2 + 1)屮(S sin В) - exp ( — S2 si/В)Формулы для теплового потока в боковую поверхность температурного коэффициента восстановления имеют видSt=^J-里(S sin Р);4уУГл S尸 г Y (2S2 + 1)屮(S sin В) - exp ( — S2 si/В)конуса иконуса и(2.260)(2.260)Y + 1Y + 1S2里(S win В)S2里(S win В)(2.261)(2.261)

Формулы для теплового потока в боковую поверхность температурного коэффициента восстановления имеют вид

St=^J-里(S sin Р);

4уУГл S

尸 г Y (2S2 + 1)屮(S sin В) - exp ( — S2 si/В)

Формулы для теплового потока в боковую поверхность температурного коэффициента восстановления имеют вид

St=^J-里(S sin Р);

4уУГл S

尸 г Y (2S2 + 1)屮(S sin В) - exp ( — S2 si/В)

конуса и

конуса и

(2.260)

(2.260)

Y + 1

Y + 1

S2里(S win В)

S2里(S win В)

(2.261)

(2.261)

где

St=a/%p8tЛо； a = Q / 吟(乙一Tj

Q — суммарный тепловой поток в конус через его боковую поверхность, 毋 jtdL — боковая поверхност^^онуса; Те — температура боковой поверхности конуса； реализующаяс^Г^ртк^амО, т. е. при условии равенства нулю теплового потока в каждой точке боковой поверхности конуса.

При S sin 6》1 формулы ⑵260) и (2.261) упрощаются:

St^X^sinp； г=-21_.

" 2y 「 y+ 1

Рис. 2.52. График зависимости средних температурных коэффициентов восстановления теплопроводных тел от скорости потока:/ — поперечно-обтекаемая пластина (р = л/2); 2 — поперечно-обтекаемый цилиндр; 3 —тар; 4 — продольно-обтекаемая пластина (В=0)Рис. 2.52. График зависимости средних температурных коэффициентов восстановления теплопроводных тел от скорости потока:/ — поперечно-обтекаемая пластина (р = л/2); 2 — поперечно-обтекаемый цилиндр; 3 —тар; 4 — продольно-обтекаемая пластина (В=0)Рис. 2.53. График зависимости средних чисел Стантона для разных тел от относительной скорости:/ — поперечно-обтекаемая пластина (В = "2); 2 — поперечно-обтекаемый цилиндр; 3 — шар; 4 — продольно-обтекаемая пластина (В=0)Рис. 2.53. График зависимости средних чисел Стантона для разных тел от относительной скорости:/ — поперечно-обтекаемая пластина (В = "2); 2 — поперечно-обтекаемый цилиндр; 3 — шар; 4 — продольно-обтекаемая пластина (В=0)

Рис. 2.52. График зависимости средних температурных коэффициентов восстановления теплопроводных тел от скорости потока:

/ — поперечно-обтекаемая пластина (р = л/2); 2 — поперечно-обтекаемый цилиндр; 3 —тар; 4 — продольно-обтекаемая пластина (В=0)

Рис. 2.52. График зависимости средних температурных коэффициентов восстановления теплопроводных тел от скорости потока:

/ — поперечно-обтекаемая пластина (р = л/2); 2 — поперечно-обтекаемый цилиндр; 3 —тар; 4 — продольно-обтекаемая пластина (В=0)

Рис. 2.53. График зависимости средних чисел Стантона для разных тел от относительной скорости:

/ — поперечно-обтекаемая пластина (В = "2); 2 — поперечно-обтекаемый цилиндр; 3 — шар; 4 — продольно-обтекаемая пластина (В=0)

Рис. 2.53. График зависимости средних чисел Стантона для разных тел от относительной скорости:

/ — поперечно-обтекаемая пластина (В = "2); 2 — поперечно-обтекаемый цилиндр; 3 — шар; 4 — продольно-обтекаемая пластина (В=0)

Формула для определения теплового потока в донную поверхность конуса имеет вид

Qo=MQo=Mр8(*к (Г52 _ (Y + 1)' 2k J__Y_1 x

Qo=M

Qo=M

X [exp( —S2) —/л S (1—erf S)] — ^exp( —S?)},(2.262)

где Qo ——суммарный тепловой поток в донную поверхность;площадь основания конуса.

Приведенные выше зависимости чисел Стантона St и коэффициентов восстановления 厂 от числа S для пластинки, сферы и цилиндров представлены на рис. 2.52 и 2.53 Дополнением к этим рисункам является табл. 2.10.

Из изложенного выше можно сделать следующее заключение. Если задача состоит лишь в определении действующих на тело сил и тепловых потоков, то нет необходимости знать функцию распределения отраженных молекул. Для решения этой задачи достаточно знать лишь коэффициенты аккомодации. Однако, если нас интересует поле течения вокруг тела, то знание функции распределения отраженных молекул необходимо. Схему расчета поля течения рассмотрим на примере обтекания круглой тонкой пластинки, расположенной перпендикулярно скорости набегающего потока (рис. 2.54). Пусть функция распределения для молекул невозмущенного потока дается выражением (2.232), в котором для данного случая следует положить sin 6=1, cos 0=0. Будем пред- полагать4 что функция распределения отраженных молекул есть максвелловская с температурой, равной температуре стенки:

,( 吕+欧+彦、

(2双乙)*eXP \2依w/

Значение nw определяется из условия непроницаемости пластинки

寿n(5).(2.263)

Т а^ л и ц a 2.10

Тело

Параметр

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1 1,2

1,6

2

3

4

5

ОО

Продольнообтекаемая пластинка sin В = 0

ОО

0,7052

0,3526

0,2351

0,1763

0,1411

0,1175

0,0882

0,0705

0,0470

0,0353

0,0282

0

Поперечнообтекаемая пластинка, sin р = 1

ОО

0,7333

0,4076

0,3150

0,2785

0,2626

0,2554

0,2509

0,2501

—

—

—

0,2500

4,0000

3,8982

3,6423

3,3314

3,0341

2,8024

2,6187

2,3800

2,2487

2,1Ш

2,06

2,04

2,0000

Шар

ей丿”

ОО

0,7146

0,3711*

0,2623

0,2117

0,1840

0,1672

0,1493

0,1406

0,1319

0；129

0,128

0,1250

2,6667

2,6551

2,6140

2,5575

2,4927

2,4273

2,3663

2,2659

2,1947

2,0994

2,059

2,038

2,0000

Поперечнообтекаемый цилиндр

ОО

0,7193

0,3745

0,2756

0,2287

0,2040

0,1899

0,1758

0,1695

0,1636

0,1617

0,1608

0,1592

3,0000

2,9708

2,8916

2,7826

2,6651

2,5541

2,4572

2,3115

2,2179

2,1049

2,0605

2,0392

2,0000

Числа Стантона и коэффициенты восстановления продольно обтекаемой и поперечно обтекаемой пластинок, шара и поперечно обтекаемого цилиндра

uuи частицы, отраженные поверхностью тела, си частицы, отраженные поверхностью тела, спостроить в пространстве скоростей (и соответственно в физическом пространстве) обпостроить в пространстве скоростей (и соответственно в физическом пространстве) обгде J(...)rfl= jJJ(...)rfW^z； ¥而一где J(...)rfl= jJJ(...)rfW^z； ¥而一некоторое молекулярное свойство, напри-некоторое молекулярное свойство, напри-

u

u

и частицы, отраженные поверхностью тела, с

и частицы, отраженные поверхностью тела, с

построить в пространстве скоростей (и соответственно в физическом пространстве) об

построить в пространстве скоростей (и соответственно в физическом пространстве) об

где J(...)rfl= jJJ(...)rfW^z； ¥而一

где J(...)rfl= jJJ(...)rfW^z； ¥而一

некоторое молекулярное свойство, напри-

некоторое молекулярное свойство, напри-

P〃c. 2.54. Схема обтекания диска

Из (2.263) вытекает

Значение 九纺 для всех точек передней поверхности одинаково. Аналогичное положение на теневой поверхности пластинки. В каждую точку около обтекаемого тела (например, в точку Л на рис. 2.54) приходят частицы набегающего потока с функцией распределения f» функцией fr. Для каждой точки можно

ласть, в которой лежат векторы скоростей отраженных частиц. На рис. 2.54 векторы скоростей отраженных от тела молекул, пришедших в точку А, лежат внутри телесного угла Qr. Молекулы, векторы скоростей которых лежат в телесном угле, равном 4冗——Qr, приходят из бесконечности. Эти молекулы обладают свойствами, зависящими только от условий в набегающем потоке. Таким образом, функция распределения в каждой

точке разрывна в пространстве скоростей и ее можно представить как сумму двух ФУНКЦИЙ： f = foo4-fr.

Здесь следует учитывать, что f«> равна нулю для скоростей Е из телесного угла Or, a fr равно нулю для 自 из телесного угла (4冗——Q「). Вычисление параметров потока (плотности, плотности тока и т. д.) производится по формуле:

к”，"，z)= J ? (О fr^ + J ^& f ^=^^, у, 2)+ 近(”，"，z), 屈 *rle(4z-Sr)

мер, импульс т^ энергия 万 т^ и т. д. Вычисление q)i и(р2 можно проводить независи

мо. Параметр потока <р есть суперпозиция q)i и(р2.

Ограничимся вычислениями параметров течения на оси симметрии диска, т. е. вдоль оси X. Найдем вначале распределение плотности отраженных частиц вдоль оси X. Эта задача аналогична рассмотренной в § 2.3 задаче о распределении плотности за круглым отверстием (диск можно рассматривать как отверстие, из которого вытекает газ с распределением fr). Воспользуемся результатами, полученными для круглого отверстия. Распределение плотности отраженных частиц на оси X будет описываться следующей формулой:

где 〃i ——числовая плотность отраженных частиц в точке х;

W(S) = exp ( — S2) + /л (1 + erf 5) Sдля x < 0;

W(S) = exp ( — S2) — 了冗(1 — erf S) Sдля x > 0;

x=%/a； a — радиус диска.

Выражение (2.264) можно представить в виде

几 gj/ y^-^F (5)(1-cos ₽),

где В ——полуугол при вершине конуса, основанием которого является диск, а высота которого равна расстоянию от диска до рассматриваемой на оси точки (см. рис. 2.54). Теперь вычислим плотность частиц набегающего потока на оси X. При этом можно воспользоваться следующей формулой:

(2.265)(2.265)几2=几8 — J fgdg. Tesr

(2.265)

(2.265)

Рис. 2.55. Поле плотности около шара, обтекаемого свободномолекулярным потоком, при S = 9,13 (М= 10) и диффузном Ьтражении молекул от поверхности: а - %/'丁8 = 1; 6 - %"8 - 42,67

скоростей искоростей иаз = 2呜dSMx,『8 =k exp(2欢乙)/аз = 2呜dSMx,『8 =k exp(2欢乙)/_(h-U8)2 + E；_(h-U8)2 + E；；2灯8；2灯8(2.266)(2.266)

скоростей и

скоростей и

аз = 2呜dSMx,『8 =k exp

(2欢乙)/

аз = 2呜dSMx,『8 =k exp

(2欢乙)/

_(h-U8)2 + E；

_(h-U8)2 + E；

；2灯8

；2灯8

(2.266)

(2.266)

Для вычисления интеграла в (2.265) удобно использовать цилиндрическую систему

координат, в которой формулы для кольцевого элемента пространства функции распределения имеют вид

(2.267)(2.267)(2.268)(2.268)р = тПдр = тПд1 +VnS1 +VnS(1 — cos В).(1 — cos В).(2.269)(2.269)

(2.267)

(2.267)

(2.268)

(2.268)

р = тПд

р = тПд

1 +VnS

1 +VnS

(1 — cos В).

(1 — cos В).

(2.269)

(2.269)

Подставляя (2.266) в (2.265) и интегрируя, получим для х>0 (за диском)

〃2 = Пд {1 — erf S + cos 0[1 + erf (S cos 0)]},

для x<0 (перед диском)

1

敢=亍几8 {1 + erf S + cos p [1 — erf (S cos B)]},

где cos В = 1 / |/" 1 + 强.

Плотность газа на оси вычисляется по формуле p = /n(〃i+〃2).

При S》1 формулы (2.264) и (2.267) упрощаются. В частности, формула, описывающая распределение плотности газа перед диском вдоль оси симметрии (х<0), будет иметь вид

Аналогичным образом вычисляется макроскопическая скорость, температура и т. д. Поля течений около различных тел рассчитывались в работах [30, 98, 117, 148]. На рис. 2.55 показано поле плотностей около шара при значении относительной скорости S = ^^—" М ^ 9,13 и диффузном отражении молекул от поверхности сферы [117]. На верхней половине рисунка приведены результаты расчетов для холодного шара (Tw/Too — i). На нижней половине показано поле плотностей около адиабатной сферы (Tw=Te). На рис. 2.56 приведены результаты расчетов поля плотностей около сферы при S=0,913 и 7з/78 = 1 (верхняя половина рисунка), 7纺/78 = 1,42 (нижняя половина

Рис. 2.56. Поле плотности около шара при S = 0,913 (М=1) и диффузном отражении молекул:

а -屮8 = 1； G — %/% - 1,42

рисунка). На рис. 2.57 показано поле плотностей около конуса с полууглом при вершине, равном 20°, при S=5, температурном факторе 7纺/「8=4 и диффузном отражении молекул от поверхности конуса [98].

Выше при рассмотрении обтекания тел всюду предполагалось, что обтекается неподвижное тело равновесным потоком однородного газа. Если газ представляет собой смесь, то, вообще говоря, подсчет потоков импульса и энергии нужно проводить отдельно для каждой компоненты газа. Затем результаты суммируются. Однако, если коэффициенты аккомодации для всех компонент не сильно отличаются, то при больших скоростях (S》l) с достаточной точностью можно рассматривать газ как однокомпонентный со средним молекулярным весом [10]. Набегающий поток мощет иметь на бесконечности не максвелловскую функцию распределения. Для течений, близких к равновесным, в качестве функции распределения набегающего потока может быть взята функция навье-стоксовского приближения. Анализ показал, что неравновесность существенно сказывается лишь при малых скоростях и в случае течений с очень большими градиентами [49, 73].

В ряде случаев представляет интерес обтекание осесимметричных вращающихся тел. Рассмотрим обтекание сферы, ось вращения которой перпендикулярна скорости набегающего потока [197]. Из результатов вычислений следует, что сопротивление сферы не зависит от вращения. Подъемная сила 尸(сила в направлении, перпендикулярном скорости потока и оси вращения) составляет величину

2 о

尸=-^ 冗厂(2.270)

где rs ——радиус сферы; S=rsco/£7oo； со — угловая скорость вращения сферы; а т — коэффициент аккомодации тангенциального импульса. Интересно отметить, что сила F направлена противоположно тому, что наблюдается в континуумном потоке.

Схема отражения молекул от поверхности при условиях, которые обычно реализуются в лабораторных аэродинамических установках, близка к диффузной с полной термической аккомодацией. Однако, такая схема отражения не единственно возможная для всех случаев. В частности, при движении спутников в натурных условиях, возможно, что более реальной схемой является диффузное отражение с неполной термической аккомодацией (a^Vl). Это обстоятельство существенно может сказываться на величине температуры в функции распределения отраженных молекул. Так как импульс отраженных частиц при уменьшении аз увеличивается, то изменяются аэродинамические характеристики тела [47]. Чтобы учесть этот эффект, необходимо в ранее приведенных формулах для С« и Су заменить Tw на Тг, где Тт ——соответствует температуре для отраженных молекул. Полученные таким образом формулы будут соответствовать предположению о том, что для всех точек поверхности 7\=const. Значение Тг подби-

Рис. 2.57. Поле плотности около конуса с полууглом у вершины 20° при диффузном отражении, S=5 〃 7«/「8=4, гс ——длина образующей конуса

рается из условия согласования формул с опытом. Некоторые сведения о действительном характере взаимодействия молекул с поверхностью спутников получены из наблюдений за движением спутников. Однако пока еще эти сведения недостаточны. В ряде работ предлагается использовать для расчета аэродинамических характеристик спутников модели отражения, в которых при помощи набора специальных параметров учитывается зависимость функции распределения отраженных молекул от угла падения молекул на элемент поверхности, энергии молекул и т. д. [2, 61]. Однако при использовании этих схем для практических оценок возникают проблемы определения параметров, содержащихся в этих схемах.

ГЛАВА III

ПРОМЕЖУТОЧНАЯ ОБЛАСТЬДИНАМИКИ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

Строгое теоретическое решение той или иной задачи в промежуточной области динамики разреженного газа должно получаться в результате интегрирования уравнения Больцмана (или системы уравнений Больцмана, если газ состоит из молекул разной природы) при соответствующих граничных и начальных условиях. После того как найдена функция распределения, с помощью квадратур определяются любые макроскопические величины (скорость, температура, давление, тепловой поток и т. д., см. § 1.3).

Граничные условия для уравнения Больцмана задаются в виде функции распределения для молекул, движущихся от границы во внутреннюю область газа. Функция распределения во всех внутренних точках должна определяться из решения уравнения Больцмана. Функция распределения в точках границы для молекул, летящих по направлению к ней, также должна быть определена после решения уравнения Больцмана. При решении уравнения Больцмана необходимо еще знать зависимость скоростей молекул после столкновения от скоростей до столкновения. Эта зависимость может быть получена, если известен потенциал взаимодействия двух частиц (см. § 1.2). Строгие аналитические методы решения уравнения Больцмана, пригодные при любых степенях разрежения, отсутствуют. Классический метод, разработанный в трудах Гильберта, Энскога, Чепмена и Барнетта, в конечном итоге приводит в первом приближении к уравнениям Навье — Стокса, т. е. к уравнениям обычной газовой динамики (12, 22]. Второму приближению для функции распределения соответствуют уравнения Барнетта и т. д. Следует отметить, что этот метод позволяет выразить коэффициенты переноса (вязкости, теплопроводности и т. д.) через известные свойства молекул.

Еще недавно (в начале 50-х годов) существовало мнение, что макроскопические уравнения более высоких приближений (барнеттовские, су- пербарнеттовские и т. д.) могут служить основой для описания значительно разреженных газов, когда уже не годятся уравнения Навье — Стокса. Считалось, что при помощи метода Чепмена — Энскога путем увеличения степени приближения можно получить набор макроскопических уравнений для описания режимов течения при какой угодно степени разрежения. При этом лишь существовала некоторая неясность в том, как формулировать граничные условия. Однако проведенные в период с 1950 по 1960 гг. эксперименты, посвященные изучению структуры ударной волны, поглощения и рассеивания ультразвука, температурных и скоростных полей у стенки, показали, что барнеттовские уравнения теряют свою справедливость в ряде случаев даже быстрее, чем уравнения Навье — Стокса.

Исследования метода Чепмена — Энскога привели к выводу о том, что получаемые этим методом решения справедливы лишь в асимптотическом смысле (при Кп->0) [22]. Увеличение порядка приближения в

АТ = Т°一樓АТ = Т°一樓2 — k\d^ 75冗 / / дТ \ аэ 128( ду )砚2 — k\d^ 75冗 / / дТ \ аэ 128( ду )砚большинстве случаев не позволяет расширить диапазон применимости получаемых макроскопических уравнений. Уравнения Барнетта и уравнения более высоких приближений не имеют более широких пределов применимости по сравнению с уравнениями Навье — Стокса. Эти уравнения обычно годны лишь тогда, когда еще вполне хороши уравнения Навье — Стокса. Барнеттовские и супербарнеттовские уравнения имеют весьма ограниченную ценность и дают информацию лишь о некоторых очень тонких характеристиках течения и теплообмена. Исключение составляют лишь особые вырожденные течения. Таким образом, метод Чепмена — Энскога пригоден лишь для условий, когда число Кнудсена очень мало. Этот метод позволяет перейти от описания газа на уровне функции распределения к макроскопическому (гидродинамическому) уровню, где используются уравнения Навье — Стокса. Граничными условиями нулевого приближения для этих уравнений являются условия «полного прилипания». Граничными условиями первого приближения для этих уравнений являются условия скольжения:

АТ = Т°一樓

АТ = Т°一樓

2 — k\d^ 75冗 / / дТ \ аэ 128( ду )砚

2 — k\d^ 75冗 / / дТ \ аэ 128( ду )砚

(3.1)

где у — координата, отсчитываемая от стенки по нормали; Tw — температура поверхности тела; Т。и 厶° — граничные значения температуры и скорости газа при у = 0; 3 — постоянные (^i = 0,827, k2= 1,012,应з = 0,42); I ——средняя длина свободного пробега. Выражения (3.1) и (3.2) получены в предположении, что отражение диффузное и термический коэффициент аккомодации “з не слишком мал по сравнению с единицей. Отметим, что Т° и wx°, являющиеся граничными условиями на стенке для уравнений Навье — Стокса, не равны истинной температуре и скорости газа у стенки.

В промежуточной области динамики разреженного газа, где неприменимы концепции континуума Навье — Стокса с условиями (3.1) и (3.2) или свободномолекулярного режима, необходимо обращаться к уравнению Больцмана. Как уже отмечалось выше, строгие аналитические методы решения этого уравнения, пригодные для промежуточной области, отсутствуют. Однако при помощи современных электронных вычислительных машин можно решать уравнение Больцмана численными методами [9, 55, 56, 57]. Для прямого интегрирования уравнения Больцмана используются различные приемы. Основная трудность численного решения этого уравнения состоит в вычислении интеграла столкновений. Вычисление этого интеграла классическими (регулярными) методами требует слишком много времени даже на наиболее быстродействующих вычислительных машинах. Более эффективным методом вычисления этого интеграла оказался метод Монте-Карло. На основе метода прямого численного интегрирования уравнения Больцмана, базирующегося на проведении итераций этого уравнения и вычислении интеграла столкновения методом Монте-Карло, решен ряд типичных задач динамики газов. Решение задач динамики разреженного газа возможно, вообще говоря, на основе прямого моделирования движения и столкновений молекул [9]. Реальные молекулы заменяются их статистическими моделями и затем при помощи вычислительных машин прослеживается движение одной или нескольких выбранных частиц. Этот метод называют методом численного эксперимента или методом статистических испытаний Монте- Карло. Метод статистических испытаний может быть реализован различными путями.

В основе методов численного эксперимента лежат те же статистические гипотезы, что и уравнения Больцмана. Однако вопрос об эквива-

лентности результатов, полученных при помощи этих методов, решению» уравнения Больцмана требует специального анализа и является далеко не простым {8, 16]. Строго обоснованные методы численного решения уравнения Больцмана пока связаны со значительными затратами ма шинного времени. Однако громадная информация, которая получается в результате интегрирования уравнения Больцмана, при решении многих конкретных вопросов (теплопередача, сопротивление, расход и т. л) оказывается излишней. Обычно при решении инженерных задач интересуются лишь некоторыми макроскопическими величинами, являющимися первыми моментами функции распределения (скорость, давление, температура, тепловой поток и т. д). Моменты являются ицтеграламк от функции распределения и, следовательно, обладают《пониженной» чувствительностью к виду функции распределения. Поэтому для их определения может оказаться достаточным приближенное представление функции распределения. Эти соображения явились основанием для разработки различных приближенных методов решения задач динамики разреженного газа. Всевозможные приближенные методы можно условно разделить на две группы. Первую группу составляют методы, которые базируются на использовании некоторой аппроксимации функции распределения. Аппроксимация подбирается в соответствии с физическими особенностями рассматриваемой задачи. К этим методам относится широкий класс моментных методов. Разновидностями последних являются так называемые интегрально-моментные [1] и дифференциально-моментные методы [11, 24, 25, 66, 71, 122, 123, 127, 128, 129, 187 и др丄

Рассмотрим сущность дифференциально-моментного метода. Первым вопросом, который нужно рассмотреть на пути решения той или иной конкретной задачи, является выбор приближенного представления5 функции распределения. Для граничных задач, к которым относятся задачи о теплообмене и сопротивлении тел в потоке газа, характерной особенностью является разрывность функции распределения в пространстве скоростей, имеющая место всегда, по крайней мере, вблизи поверхности тела. Особенно четко эта разрывность просматривается в свободномолекулярных условиях (см. гл. II). Специфическое поведение функции распределения вблизи границ можно учесть путем использования таких аппроксимаций функции распределения, которые имеют разрывы в пространстве скоростей. Границы в пространстве скоростей, на которых функция распределения терпит разрывы, естественно, найти на основе свободномолекулярного решения. Наиболее простым видом аппроксимации является представление функции распределения в виде некоторой суммы максвелловских функций:

/=/1м +『2м+…+ 九м=£——exp 一＜請凡，(3.3》 召(2球7;・)3/2 L 2R-J

где 力м — функция распределения для первой области пространства ско- росте而;，2м-一то же для второй области пространства скоростей и т. д_ Каждая функция /м, входящая в (3.3), отлична от нуля лишь в «своей» области пространства скоростей. В остальных областях она равна нулю. Макроскопические величины Пг, Т厶〃£В (3.3) в каждой точке физического пространства могут быть различными и, кроме того, со временем могут изменяться. Отметим, что функция распределения в виде (3.3) является точным решением для свободномолекулярного режима, если молекулы отражаются от границ (поверхности тела) диффузно с максвелловским распределением. Сказанное относительно функции распределения (3.3) поясним на примере задачи о стационарной теплопередаче через плоский слой газа. Как отмечалось в первой главе, при свободномолекулярном режиме функция распределения терпит разрыв в пространстве скоростей

на плоскости ^=0. Для полупространства скоростей ^>0, следуя сказанному выше, принимаем аппроксимацию функции распределения в виде

-f _exD 一 卷 g + 彦(3 41

/ M (2球7\)3/2 p[ 2a7\ J,( . ，

Для другого полупространства (^<0) принимается

)2М一 (2Л码严 PL2a0J ,. ,

Таким образом, имеем

/ = /1м + /2м-(3.6,

Функция (3.6) получила название двухпоточной (или двухсторонней) максвелловской функции. В отличие от свободномолекулярного решения здесь величины 〃彳 и 7\ не являются постоянными в физическом пространстве, а зависят от координаты у. Конкретный вид этих зависимостей неизвестен и подлежит отысканию.

Вторым этапом рассматриваемого метода является получение уравнений для определения макроскопических параметров, входящих в аппроксимацию функции распределения, т. е. функций щ(х, у, 2, т)г 7\ (х, у, г, т) и т. д. При этом обращаются к уравнению переноса (см. § 1.6). Подставляя в уравнение переноса аппроксимацию функции распределения (3.3) и задавая различные выражения для 屮(Е%, ^, gz), мы можем получить сколько угодно моментных уравнений. Для определения макроскопических параметров, входящих в аппроксимацию функции распределения, необходимо иметь число уравнений, равное числу этих макропараметров. Здесь поступают следующим образом. Поскольку основной интерес представляют моменты низких порядков, то прежде всего используют уравнения, соответствующие функциям ф, являющимся сумматорными инвариантами столкновений (см. § 1.6). При этих ср моменты интеграла столкновения обращаются в нуль. Уравнения, получающиеся при этом, являются уравнениями сохранения массы, импульса и энергии. К этим уравнениям добавляется необходимое количество моментных уравнений, соответствующих моментам более высоких порядков, например, получающихся при

平=侬昌；LE居0и т. д.(3.7)

При функциях ср, не являющихся сумматорными инвариантами столкновений, моменты интеграла столкновений не обращаются в нуль. Результат интегрирования при этом зависит от закона взаимодействие между молекулами. Структура интеграла столкновения существенно упрощается в случае, если принять, что молекулы взаимодействуют по закону пятой степени (максвелловская модель взаимодействия). В этом случае вычисления моментов интеграла столкновений могут быть выполнены аналитически [40, 111]. Например, при 屮=唯每 имеем

(3.8)

где р, Т-- плотность и температура; Рху — составляющая тензора на- 。 1 2m3

пряжении; —коэффициент вязкости для максвелловского газа (Д2= 1,3682； К — постоянная в законе взаимодействия 尸= = К，-5) в свою очередь величины р, Тит. д., которые содержатся в

могут быть выражены через параметры 〃小 7\, uf, входящие в аппроксимацию (3.3). В частности, в случае рассмотренного выше примера о теплопередаче через слой газа при использовании (3.6) будем иметь

9=m\^fd^=m( \ 九^+ \ /2m霏]=力俨 ^改)(3.9) “>.0jvo 丿

и т. д.

Аппроксимация функции распределения вида (3.3) позволяет точно формулировать граничные условия для получаемых макроскопических уравнений.

Третьим, заключительным, этапом дифференциально-моментного метода является отыскание решения полученной системы дифференциальных уравнений при сформулированных граничных и начальных условиях. Более детальные представления об этом методе можно получить в § 3.2, 3.3, 3.4. Если рассматривать моментный метод в целом, то можно сделать следующее заключение. Этот метод позволяет перейти от описания задачи на уровне функции распределения к описанию на макроуровне, где снимаются определенные математические трудности (разумеется, за счет потери точности). Задача отыскания функции распределения заменяется рассмотрением некоторого континуума, характеризуемого тем или иным набором макроскопических параметров. Характерной чертой метода является определенный произвол в выборе вида аппроксимации функции распределения и моментных уравнений. В принципе этот метод дает лишь приближенные результаты. В интегрально-моментных методах уравнения для макроскопических параметров, входящих в аппроксимацию функции распределения, получаются при помощи интегральной формы уравнения Больцмана. Эти методы в той же степени иррациональны, как и дифференциально-моментные.

Вторую группу приближенных методов решения задач динамики разреженных газов составляют методы, базирующиеся на аппроксимации уравнения Больцмана путем упрощения правой его части, т. е. интеграла столкновений {54, 60, 76]. Уравнения, получаемые из уравнения Больцмана путем аппроксимации интеграла столкновения, называют модельными кинетическими уравнениями или кинетическими моделями. Одной из таких моделей является релаксационная модель, предложенная Бхатнагаром, Гроссом и Круком [76]. Эту модель можно получить из следующих соображений. Поскольку интеграл столкновений в уравнении Больцмана характеризует скорость стремления функции распределения к максвелловской равновесной функции, то в первом приближении эту скорость можщ)представить в виде отношения разности действительной функции распределения f и локально равновесной функции fe к некоторому характерному времени тс. С учетом этого получается следующее уравнение:

"+&—+ &"=上丄•(3.10)

От дх 丁 " ду dz т0

Уравнение (3.10) называют моделью БГК (Бхатнагара — Гросса — Крука). Для то было предложено следующее значение:

^о= ^1 Pt(3.11)

где 卩一коэффициент вязкости; р — давление.

Выражение в правой части модельного уравнения (3.10) обладает всеми важными свойствами интеграла столкновений точного уравнения Больцмана и его следует рассматривать как модель интеграла столкновений. Действительно, эта модель интеграла столкновений зависит от / во всем пространстве скоростей и локальна в физическом пространстве

и времени. Она обеспечивает выполнение законов сохранения, т. е. при

Ф=аи;加Е?； }mE； (4=х, у、z) имеем

『屮『屮d^=0 (ds=dE%dEgdEz)・d^=0 (ds=dE%dEgdEz)・(3.12)(3.12)Метод аппроксимации уравнения Больцмана рассмотрен в работе Е. М. Шахова [60]. Метод Е. М. Шахова позволяет свести уравнение Больцмана к последовательности аппроксимирующих уравнений.Сущность этого метода заключается в следующем. Столкновительный член уравнения БольцманаМетод аппроксимации уравнения Больцмана рассмотрен в работе Е. М. Шахова [60]. Метод Е. М. Шахова позволяет свести уравнение Больцмана к последовательности аппроксимирующих уравнений.Сущность этого метода заключается в следующем. Столкновительный член уравнения Больцмана(3.13>(3.13>заменяется приближенным выражением, структура которого выбирается близкой к виду больцмановского интеграла:заменяется приближенным выражением, структура которого выбирается близкой к виду больцмановского интеграла:q = q+-N3q = q+-N3(3.14)(3.14)В формулах (3.13) и (3.14) использованы следующие обозначения:В формулах (3.13) и (3.14) использованы следующие обозначения:/+= j f j f' f ；gbdbckd3\；—ОО 0 0/+= j f j f' f ；gbdbckd3\；—ОО 0 0+ 8 2тс ООJ f f f\gbdbdzd^ d^^= d^xd^yd^9—OO 00+ 8 2тс ООJ f f f\gbdbdzd^ d^^= d^xd^yd^9—OO 00(/+ и Q+ ——точный и приближенный операторы обратных столкновений; v и ^——точная и приближенная частоты столкновений).Приближенный оператор Q должен выбираться таким образом, чтобы выполнялись условия равенства некоторого числа (от нулевого до i-ro порядка) моментов от точного и приближенного операторов столкновений, т. е.(/+ и Q+ ——точный и приближенный операторы обратных столкновений; v и ^——точная и приближенная частоты столкновений).Приближенный оператор Q должен выбираться таким образом, чтобы выполнялись условия равенства некоторого числа (от нулевого до i-ro порядка) моментов от точного и приближенного операторов столкновений, т. е.илиилиJ Qqds = J J^dat^J Q+<pdu)= J J+^d(at J N5L3 = J wds,J Qqds = J J^dat^J Q+<pdu)= J J+^d(at J N5L3 = J wds,(3.15)(3.16)(3.15)(3.16)где 屮=1； E?,沽力 ERj"，…где 屮=1； E?,沽力 ERj"，…При выполнении условий (3.16) некоторое число моментных уравнений, получаемых из аппроксимирующего и точного кинетического уравнений, будут совпадать.В качестве аппроксимирующей формулы для Q+ можно использовать следующее выражение:При выполнении условий (3.16) некоторое число моментных уравнений, получаемых из аппроксимирующего и точного кинетического уравнений, будут совпадать.В качестве аппроксимирующей формулы для Q+ можно использовать следующее выражение:гдегдеQ+ = Nb+,(3.17)尸+ =九啰。)+ 4% + 喟dp + •••]； Л= @<3/2 exp[-為];Q+ = Nb+,(3.17)尸+ =九啰。)+ 4% + 喟dp + •••]； Л= @<3/2 exp[-為];。⑴一макроскопические параметры, которые выряжаются через моменты функции распределения из соотношений (3.16).Для газа, состоящего из молекул с сечениями столкновений, обратно пропорциональными относительной скорости ста л кив ающихся частиц, частота столкновений ^ не зависит от относительной скорости:。⑴一макроскопические параметры, которые выряжаются через моменты функции распределения из соотношений (3.16).Для газа, состоящего из молекул с сечениями столкновений, обратно пропорциональными относительной скорости ста л кив ающихся частиц, частота столкновений ^ не зависит от относительной скорости:^ = f ftgbdbcUdsi = J^ = f ftgbdbcUdsi = J尸似尸似(3.18)(3.18)

『屮

『屮

d^=0 (ds=dE%dEgdEz)・

d^=0 (ds=dE%dEgdEz)・

(3.12)

(3.12)

Метод аппроксимации уравнения Больцмана рассмотрен в работе Е. М. Шахова [60]. Метод Е. М. Шахова позволяет свести уравнение Больцмана к последовательности аппроксимирующих уравнений.

Сущность этого метода заключается в следующем. Столкновительный член уравнения Больцмана

Метод аппроксимации уравнения Больцмана рассмотрен в работе Е. М. Шахова [60]. Метод Е. М. Шахова позволяет свести уравнение Больцмана к последовательности аппроксимирующих уравнений.

Сущность этого метода заключается в следующем. Столкновительный член уравнения Больцмана

(3.13>

(3.13>

заменяется приближенным выражением, структура которого выбирается близкой к виду больцмановского интеграла:

заменяется приближенным выражением, структура которого выбирается близкой к виду больцмановского интеграла:

q = q+-N3

q = q+-N3

(3.14)

(3.14)

В формулах (3.13) и (3.14) использованы следующие обозначения:

В формулах (3.13) и (3.14) использованы следующие обозначения:

/+= j f j f' f ；gbdbckd3\；

—ОО 0 0

/+= j f j f' f ；gbdbckd3\；

—ОО 0 0

+ 8 2тс ОО

J f f f\gbdbdzd^ d^^= d^xd^yd^9

—OO 00

+ 8 2тс ОО

J f f f\gbdbdzd^ d^^= d^xd^yd^9

—OO 00

(/+ и Q+ ——точный и приближенный операторы обратных столкновений; v и ^——точная и приближенная частоты столкновений).

Приближенный оператор Q должен выбираться таким образом, чтобы выполнялись условия равенства некоторого числа (от нулевого до i-ro порядка) моментов от точного и приближенного операторов столкновений, т. е.

(/+ и Q+ ——точный и приближенный операторы обратных столкновений; v и ^——точная и приближенная частоты столкновений).

Приближенный оператор Q должен выбираться таким образом, чтобы выполнялись условия равенства некоторого числа (от нулевого до i-ro порядка) моментов от точного и приближенного операторов столкновений, т. е.

или

или

J Qqds = J J^dat^

J Q+<pdu)= J J+^d(at J N5L3 = J wds,

J Qqds = J J^dat^

J Q+<pdu)= J J+^d(at J N5L3 = J wds,

(3.15)

(3.16)

(3.15)

(3.16)

где 屮=1； E?,沽力 ERj"，…

где 屮=1； E?,沽力 ERj"，…

При выполнении условий (3.16) некоторое число моментных уравнений, получаемых из аппроксимирующего и точного кинетического уравнений, будут совпадать.

В качестве аппроксимирующей формулы для Q+ можно использовать следующее выражение:

При выполнении условий (3.16) некоторое число моментных уравнений, получаемых из аппроксимирующего и точного кинетического уравнений, будут совпадать.

В качестве аппроксимирующей формулы для Q+ можно использовать следующее выражение:

где

где

Q+ = Nb+,(3.17)

尸+ =九啰。)+ 4% + 喟dp + •••]； Л= @<3/2 exp[-為];

Q+ = Nb+,(3.17)

尸+ =九啰。)+ 4% + 喟dp + •••]； Л= @<3/2 exp[-為];

。⑴一макроскопические параметры, которые выряжаются через моменты функции распределения из соотношений (3.16).

Для газа, состоящего из молекул с сечениями столкновений, обратно пропорциональными относительной скорости ста л кив ающихся частиц, частота столкновений ^ не зависит от относительной скорости:

。⑴一макроскопические параметры, которые выряжаются через моменты функции распределения из соотношений (3.16).

Для газа, состоящего из молекул с сечениями столкновений, обратно пропорциональными относительной скорости ста л кив ающихся частиц, частота столкновений ^ не зависит от относительной скорости:

^ = f ftgbdbcUdsi = J

^ = f ftgbdbcUdsi = J

尸似

尸似

(3.18)

(3.18)

где к — коэффициент вязкости газа; р — давление.

Сохраняя в (3.17) только члены до второго порядка включительно и полагая в (3.16)(р=1, с д , сМв，получим уравнение БГК.

Переходя к следующему приближению и ограничиваясь представлением F+ по свернутым полиномам Эрмита, получим для Q следующее выражение:

Q = р№ {九[1 + (1 — Рг) -у s£ 但一告)]-/},(3.19)

где £= c/" 2RT; Pr — число Прандтля.

Модельное уравнение, например, для рассматривавшейся выше задачи о теплопередаче через плоский слой газа записывается с учетом (3.19) следующим образом:

РкРк(Л [1+(1-Рг)(Л [1+(1-Рг)(3.20)(3.20)

Рк

Рк

(Л [1+(1-Рг)

(Л [1+(1-Рг)

(3.20)

(3.20)

^Дв £ = Eg/V^F； "?=(卷 + 的 + 磋)/ V^F;

P == nkT =告 RT \ ~^fd^

Sy = ^―― ) £“ S f ds； n — ) f dm\ d(o = dgxdggdEz •

Это приближенное кинетическое уравнение называют S-моделью.

На основе интегрирования модельных кинетических уравнений решено большое яисло задач в промежуточной области динамики разреженного газа — теплопередача яерез слой газа, течение Куэтта, течение Пуазейля, обтекание продольно и поперечно поставленных в поток пластинок, обтекание сферы и цилиндра, истечение в вакуум 做 др. (см. § 3.5, 3.6, 3.7). Как правило, качественные и количественные результаты, полученные при решении этих задач, удовлетворительно согласуются с опытными данными.

В отдельную группу можно выделить разнообразные приближенные методы, называемые методами теории первых столкновений [2, 22, 27]. Под теорией первых столкновений понимают теорию, в которой учитывается влияние лишь однократных (первых) столкновений между отраженными и набегающими молекулами. В области, где методы теории первых столкновений применимы, поправки к свободномолекулярному решению обычно не превышают 5+10%. Исключение составляет случай продольного обтекания гиперзвуковым потоком холодной тонкой пластинки. Результаты, полученные при помощи методов теории первых столкновений, носят ограниченный характер.

В заключение обзора необходимо отметить, что теоретическим расчетам всегда присуща некоторая неточность из-за того, что законы межмолекулярных взаимодействий (столкновений) известны лишь приближенно. Для того чтобы получить результаты, точно согласующиеся с экспериментом, иногда приходится перебирать различные модели столкновения молекул. Путь «подгонки» решений к результатам измерений позволяет уточнить сведения о законах взаимодействия молекул. Следует также иметь в виду, что определенные трудности на пути теоретического решения инженерных задач могут возникать из-за неполноты знаний законов взаимодействия молекул с твердой стенкой.

ТЕЧЕНИЕ ГАЗА ОКОЛО СТЕНКИ,ВНЕЗАПНО ПРИВЕДЕННОЙ В ДВИЖЕНИЕ

Рассмотрим нестационарное течение газа, которое возникает, когда плоская безграничная пластина, ранее покоившаяся в газе, внезапно начинает двигаться параллельно своей плоскости с постоянной скоростью U. Решение этой задачи при предположениях, что движение газа описывается уравнениями Навье — Стокса (а на поверхности выполняются условия «полного прилипания») и можно пренебречь изменением плотности в газе, было дано в работе Стокса [186] . При этих предположениях из уравнений Навье-Стокса остается следующее:

где и ——скорость газа, параллельная плоскости пластины; р, (i ——плотность и вязкость газа; у — координата, отсчитываемая по нормали к

пластине (предполагается, что поверхность пластины лежит в плоскост» д = 0).

Начальные и граничные условия формулировались следующим образом:、

при т《0〃=0длявсеху;

при t〉0〃="дляу=0;•(3.22)

〃=0дляу—*8.

Отметим, что плотность и вязкость можно считать постоянными при условиях, когда скорость пластины мала по сравнению со скоростью звука в газе и температура пластины равна температуре газа в невозмущенной части объема. Если эти условия не выполняются, задача становится более сложной [185].

Решение (3.21) с учетом (3.22) имеет вид

g叩 - erf 停/刀],PLdJ 亲 exp (一墨)，(3.23)

где Рху ——напряжение трения..

Из (3.23) следует, что на поверхности пластины (у = 0) при т->0 напряжение трения P^yfoo. Этот результат не соответствует действ и- тельности. В начальный период времени, когда т《"V2F(r(/ ——

средний свободный пробег), отразившиеся от пластины молекулы и падающие молекулы почти не испытывают столкновений. При малых временах режим течения близок к свободномолекулярному. Поэтому для определения скорости газа и касательной силы на поверхности пластины следует воспользоваться теорией свободномолекулярного течения. В случае, если отражение молекул диффузное, получаются следующие предельные (для т->0) значения скорости и напряжения трения на по* верхности пластины:

(恥=о =停。,(рху\у^― Р^ ^/~-^・(3・24)

С течением времени режим движения газа будет все больше отклоняться от свободномолекулярного. Молекулы, сталкивающиеся с пластиной, будут испытывать много столкновений с молекулами, которые перед этим отразились от поверхности пластины. По истечении достаточно большого времени движение газа достигнет околоравновесного состояния, описываемого уравнениями (3.23). В промежуточной области необходимо обращаться к методам кинетической теории. Для решения задачи о течении газа около внезапно начавшей двигаться стенки воспользуемся дифференциально-моментным методом (24]. Рассмотрим движение газа около начавшей двигаться стенки, ограничившись условиями малости числа М (т. е. M=Ul、、RT《\) и равенства температур стенки и невозмущенного объема газа (т. е. Tw = Too). Будем полагать, что отражение молекул от стенки диффузное и взаимодействие молекул газа между собой происходит по закону пятой степени (максвелловская модель молекул).

Воспользуемся аппроксимацией функции распределения вида;

при %<。

/—/1m — (2几欠7\)3/2 呼/—/1m — (2几欠7\)3/2 呼(& — 〃1)2 + (Ед ——01)2 + 咫(& — 〃1)2 + (Ед ——01)2 + 咫(3.25)(3.25)

/—/1m — (2几欠7\)3/2 呼

/—/1m — (2几欠7\)3/2 呼

(& — 〃1)2 + (Ед ——01)2 + 咫

(& — 〃1)2 + (Ед ——01)2 + 咫

(3.25)

(3.25)

при м>о

(3・26)(3・26)-_-—九 2& -敗)2 + (匕-U2)2 + 碎

(3・26)

(3・26)

/2м— (2 冗欠「2)3/2 еХР2 依2

Входящие в (3.25) — (3.26) макроскопические параметры пь п2, Л, 丁2，〃ь 〃2, th,。2 являются неизвестными функциями двух переменных у и у. До начала движения значения этих параметров были

% = ^2=〃《», Ti=T?=Tg、% = ^2 = 0,勺=勺=0. (3.27)

(3.28)(3.28)После того как пластина начала двигаться, имеем при любых т: 〃2=U для у=0;

(3.28)

(3.28)

辽 1 —* ^2 — 0,力 1 —力2 — 0, 〃1 — 〃2 ==九g、Т[ •— Т2 — Тоо ДЛЯ У —► ОО

"^- J 9.加3 + 石"J ^ifd^ = А/,"^- J 9.加3 + 石"J ^ifd^ = А/,Условия (3.28) можно дополнить соотношением, вытекающим из предположения о непроницаемости стенки. Уравнения для определения макроскопических параметров, входящих в (3.25) и (3.26) получим, обращаясь к уравнению переноса, которое для рассматриваемой задачи принимает вид

"^- J 9.加3 + 石"J ^ifd^ = А/,

"^- J 9.加3 + 石"J ^ifd^ = А/,

(3.29)

где =%%〃&•

Поскольку аппроксимация функции распределения содержит восемь неизвестных параметров, необходимо ограничиться системой уравнений, соответствующей восьми линейно независимым функциям (p(gx,自《, &). В качестве таких функций можно выбрать, например:

中2 =m&,中3=晒g屮4=十能(百+废+ eT)；

% =侬乙中6=侬;，▼7 =呜丸，中8 = "^■吗偿+E"彦).

В силу предположений М《1 и Tw=Too мы можем считать, что изменения плотности и температуры в любой точке потока в любой момент времени пренебрежимо малы, т. е.

々 = %[1+О(М2)],乙=Л41 + О(М2)].

Поскольку составляющая скорости газа вдоль нормали к пластине обусловлена изменением плотности (см. уравнение (3.29) при(pi = m), то при рассматриваемых условиях ее величина также очень мала. С учетом сказанного будем иметь

дд1 Г1 Г%加9=十() Е"a⑴ + \ Е"2dt°)=%加9=十() Е"a⑴ + \ Е"2dt°)=\ EgVO\ EgVO—； 厶 1% + 〃2&+ 〃2〃2 erf 2л—； 厶 1% + 〃2&+ 〃2〃2 erf 2л"2М^7"2М^7Ед>。 >]—/%% erfЕд>。 >]—/%% erfт^г)卜т^г)卜(3.30)(3.30)~ ~ (% + 〃2)；~ ~ (% + 〃2)；

д

д

1 Г

1 Г

%加9=十() Е"a⑴ + \ Е"2dt°)=

%加9=十() Е"a⑴ + \ Е"2dt°)=

\ EgVO

\ EgVO

—； 厶 1% + 〃2&+ 〃2〃2 erf 2л

—； 厶 1% + 〃2&+ 〃2〃2 erf 2л

"2

М^7

"2

М^7

Ед>。 >]—/%% erf

Ед>。 >]—/%% erf

т^г)卜

т^г)卜

(3.30)

(3.30)

~ ~ (% + 〃2)；

~ ~ (% + 〃2)；

p〃=j团匕%/a3。〃2忆8м輕他

Здесь мы использовали соотношения

「Y 1； erf (「'二а —("二-у) ；—《％ и т・ п-

1/2R7\\ ”2RTi / Ул V У2RTi ) У 2m

Из (3.30) следует, что для определения тангенциальной скорости течения и и касательного напряжения Рху необходимо найти функции Ui (у, т)

и u2(y, т). Для отыскания этих функций достаточно двух уравнений, которые можно получить из (3.29) при 屮2=加自工 и 屮7 =加&自廿・ Отметим,, что

△J (и?$х)=0,

AJ (侬*Е/=吧史JPxy、AJ (侬*Е/=吧史JPxy、他+ %),他+ %),

AJ (侬*Е/=吧史JPxy、

AJ (侬*Е/=吧史JPxy、

他+ %),

他+ %),

где 卩8 — коэффициент вязкости, который для максвелловской модели взаимодействие молекул определяется по формуле

m*@ +源）+（耍广*@一0=0；m*@ +源）+（耍广*@一0=0；(3.31)(3.31)(3・32)(3・32)(3.33)(3.33)

m*@ +源）+（耍广*@一0=0；

m*@ +源）+（耍广*@一0=0；

(3.31)

(3.31)

(3・32)

(3・32)

(3.33)

(3.33)

(й — постоянная Больцмана, Л2= 1,3682, К — постоянная в законе 尸= = К〃5)・

Итак, уравнения для Ui и и2 при принятых нами ограничениях будут иметь вид

M 亲 他 一 %） + 後厂* @+%）+ 十 泰 （卫一 比1）=0■

Здесь введены безразмерные величины

-р UI

% = %/"; y = y/Z; x = xU11\ Re=——

где l — средняя длина свободного пробега.

С другой стороны имеем《

〃=g(〃l + 〃2)，尸到=专方"!//"潦- 迎卜

Таким образом, уравнения (3.31) можно представить в форме

М 吗 V^ху =0;

比=0, Pq=0；比=0*, Р*g = °；2k + Pxy = 2.比=0, Pq=0；比=0*, Р*g = °；2k + Pxy = 2.(3.34)(3.34)

比=0, Pq=0；

比=0*, Р*g = °；

2k + Pxy = 2.

比=0, Pq=0；

比=0*, Р*g = °；

2k + Pxy = 2.

(3.34)

(3.34)

Соответствующие начальные и граничные условия формулируются так:

при т《0 для всех у

при т〉0 для у — 8

для у = 0

Система (3.33) представляет собой линейную систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для ее решения целесообразно применить преобразование Лапласа по переменной * обозначая

〃*=［方е-m dr, РхУ= , Pxy^-^dx.0 Q

После преобразования получим для изображающих функций и* и Р*ху следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

m V2冗Y"比*+纥%=0;m V2冗Y"比*+纥%=0;(3.35)(3.35)

m V2冗Y"比*+纥%=0;

m V2冗Y"比*+纥%=0;

(3.35)

(3.35)

Решение этой системы должно стремиться к нулю на бесконечности и удовлетворять условию, полученному из (3.34), а именно:

2公(0, ") + Ед(0, 〃)=丄・(3.36)

Решение однородной системы уравнений (3.35) можно представить в виде

比*=а(")е“〃)5「А：д=3 (夕)1(。)亍・，(3.37)

Условием, которому должна удовлетворять о(р), является

о]/2пуМ"о]/2пуМ"=0,=0,

о]/2пуМ"

о]/2пуМ"

=0,

=0,

.из которого следует

(3.38)(3.38)

(3.38)

(3.38)

Выражение (3.38) записано с отрицательным знаком, так как положительный ^корень не имеет физического смысла (при у~>оо искомые функции и и Рху стремятся к нулю).

Значения а и § определяются из соотношения, получаемого подстановкой выражений (3.37) в любое из уравнений (3.35) и в условие (3.36)

Изображения функций 〃产 и и2* мы можем получить, используя (3.37)4(3.39) и соотношения

〃*=子®;十质)，尸入=広一e.

При помощи правил операционного исчисления и существующих таблиц можно теперь найти по изображениям функций Ui* и и2* их оригиналы. В результате получим следующие формулы для скорости газа и каса・ дельного напряжения на стенке (у = 0)：

=11+¥^ехр(-А)/°(А)]8(А-0) +

u L 几_2_

+ ехрА) I^Г jexp (—咨 ％) /° (力威一1 ]月(Л — 0);

4勿 «7 弘 10 100 Л

4 勿勿 1,0 10 100 4

少•S)

^uc. 3.1. Графики зависимости скорости (а) и напряжения трения (б) на внезапно на-чавшей двигаться плоской стенке от времени:

/ — по формулам (3.40) и (3.41); 2 — теория континуума Навье-Стокса

РХуРХуP*g(G 0)р8。1/吟2冗P*g(G 0)р8。1/吟2冗2mл - 22mл - 2expexpA)XA)X

РХу

РХу

P*g(G 0)р8。1/吟2冗

P*g(G 0)р8。1/吟2冗

2m

л - 2

2m

л - 2

exp

exp

A)X

A)X

X 若 iexp(-^/)/°(/)d9(A-。)- ~^Кехр(-Л)./о(Л)0(Л-О).(3.41)

Здесь введены обозначения

4PB — давление; /о (?) —функция Бесселя первого рода нулевого порядка ют мнимого аргумента; 0(Л—0)——ступенчатая функция Хевисайда, равная единице при Л>0 и нулю при Л<0.

Из (3.40) и (3.41) следует, что при Л->0 (т. е. при т->0) скорость хаза и напряжения трения на стенке стремятся к следующим значениям:

Нт—о 1= У2吗2 亠。,44； 亠 1,1.л 一 2 л 一 2

Эти результаты несколько отличаются от (3.24), что объясняется приближенным характером метода решения. Этот недостаток можно устранить путем использования иной аппроксимации функции распределения (см., например, работу [102]). Другой путь — использование модельного кинетического уравнения. Решение этой задачи на основе БГК-модели приведено в рабоче Черчиньяни [54].

При больших временах по сравнению с периодом межмолекуляр- 田нх столкновений, т. е. при poo^TooT^iioo^ 1, формулы (3.40) и (3.41) хороню согласуются с континуумным решением (3.23). На рис. 3.1 зависимости (3.40) и (3.41) представлены графически. Для сравнения на этих же графиках приведены зависимости (3.23).

ПЕРЕДАЧА ТЕПЛА РАЗРЕЖЕННЫМИ ГАЗАМИ,ЗАКЛЮЧЕННЫМИ МЕЖДУ НЕПОДВИЖНЫМИ СООСНЫМИ ЦИЛИНДРАМИ,КОНЦЕНТРИЧЕСКИМИ СФЕРАМИ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛАСТИНАМИ

Цилиндрический слой

Рассмотрим передачу тепла газом, заключенным между двумя соосными цилиндрами, радиусы которых соответственно Г\ и 力(П<Г2). Будем полагать, что длина цилиндров L очень велика по сравнению с

Рис. 32 Пояснительная схема к задаче о передаче теплачерез цилиндрический слой газа

радиусом внешнего цилиндра (勺/LfO), так что концевыми эффектами можно пренебречь. Температура поверхности внешнего цилиндра всюду постоянна и равна 7\成，а внутреннего Twi(Twi V Tw2) • Требуется определить температурное поле в газе и поток тепла, обусловленный движением молекул.

В предельном случае при Knf 0 (при от

сутствии естественной конвенции и небольших температурных перепадах, Twi/Tw2->1) решение записывается в следующем виде [38]:

入(7®1 — Т®2).

厂 In (г2/П)'

T = Twi - (T®i -%2)

Е (r〃i)

In (厂2〃1)

(3.42)

где 厶——коэффициент теплопроводности газа; qrc — тепловой поток, приходящийся на единицу цилиндрической поверхности.

Для другого предельного случая, когда реализуется свободномолекулярный режим (Кп》1), решение задачи о передаче тепла через цилиндрический слой газа было дано выше в гл. II (§ 2.2).

Рассмотрим теперь передачу тепла одноатомным газом в промежуточной области. Воспользуемся при этом разновидностью моментного метода, уже применявшегося нами при решении задачи об импульсивном движении пластины (см. предыдущий параграф).

При рассмотрении цилиндрического слоя удобно воспользоваться цилиндрической системой координат, ось Z которой совпадает с осью цилиндров. В этой системе координат уравнение переноса для рассматриваемого случая записывается следующим образом:

击（ГJ嗚加卄"《舒i舒）fd，=rU,

(3.43)

где г，Ее, ^ — радиальная, тангенциальная и осевая составляющие скоростей молекул (рис. 3.2),屮=屮(储 ％,厶)・

В качестве аппроксимирующей функции распределения возьмем четырехмоментное двухстороннее максвелловское распределение. Молекулы в каждой точке слоя, скорость которых 豆=/抖^ направлена от внтреннего цилиндра, будем характеризовать функцией (см. рис. 32 область /):

/=/1м =―几厂expJ .(3.44)

丿丿1m [2п仪1 (Г)]3/2УL 2s (r) J

Для этих молекул имеем

&=%cos 屮；&=EpSin 屮，

где а< 屮 <л —— а, a = arccos rJ г.

Остальные молекулы будем характеризовать функцией

/ = /2м=——& ⑺ехр[_ 項.+・(3.45)

丿 丿2М [2冗收2 (厂)]3/2 L2仪2 (Г)」

Для этих молекул имеем л—а<г|)<2л+а.

Макроскопические параметры 〃i(r), 〃2(r), 「i(r) и T2(r) являются неизвестными функциями радиального расстояния. Все осредненные величины можно выразить через эти четыре параметра, используя формулу

屮=J yfd®屮=J yfd®农一а 8 十82冗+а 8 +8

屮=J yfd®

屮=J yfd®

f J J中/与叱%砚+ fff脸%叱"3屮.(3.46)

a 0 -8农一a 0 -8

Подставляя в (3.46) последовательно

中=〃；十加%等,

получим с учетом (3.44) и (3.45) следующие выражения для плотности, температуры и радиального теплового потока:

加2л加2л[% (л — 2а) + 〃2 m + 2а)];[% (л — 2а) + 〃2 m + 2а)];(3.47)(3.47)Л1 (л — 2а) + 几2 m + 2а)Л1 (л — 2а) + 几2 m + 2а)П\Г 1 (it — 2а) + п^Г2 (л + 2(х).П\Г 1 (it — 2а) + п^Г2 (л + 2(х).(3.48)(3.48)

加

2л

加

2л

[% (л — 2а) + 〃2 m + 2а)];

[% (л — 2а) + 〃2 m + 2а)];

(3.47)

(3.47)

Л1 (л — 2а) + 几2 m + 2а)

Л1 (л — 2а) + 几2 m + 2а)

П\Г 1 (it — 2а) + п^Г2 (л + 2(х).

П\Г 1 (it — 2а) + п^Г2 (л + 2(х).

(3.48)

(3.48)

分=加 j\ ^ fd^m J^_ cos а [% (R7\严一《2 (灯2严1・(3.49)

Уравнения для неизвестных функций nz (г), Г； (г) получим из (3.43), полагая последовательно 屮=能；/и，；十团中；-^-加8它・ Для первых трех функций <р правая часть (3.43) обращается в нуль. При 中=春团&0 правая часть уравнения не равна нулю. В этом случае, чтобы вычислить момент интеграла столкновений, необходимо знать закон взаимодействия молекул газа между собой. Примем, что молекулы взаимодействуют по закону пятой степени (максвелловская модель). Тогда будем иметь [111]: △/=—М 上分.

3出

После несложных вычислений и преобразований получим следующую систему уравнений:

百/元=自｝/冗*；

(sin 2а — 2а) ^^ (%「i —几2「2)+ 冗…、戸(尸？i + 几2T2)== °；

(3.50)(3.50)区理2 -忌彌/2= Р；

(3.50)

(3.50)

(sin 2a — 2a) M. (〃？；-〃27^)+ П(〃？； + 〃2丁之)+ drdr

(KnJT-^- [%(冗一2a) + ^2(冗+ 2a)] = 0,r

me 质=岩；大尸; Kj=F； =

(Krti ——число Кнудсена; Zi — средняя длина свободного пробега, вычис

"=^/ 矗｝ В"=^/ 矗｝ Влекуллекул—постоянная интегрирования).—постоянная интегрирования).ленная при условиях на внутреннем цилиндре (для максвелловских мо

"=^/ 矗｝ В

"=^/ 矗｝ В

лекул

лекул

—постоянная интегрирования).

—постоянная интегрирования).

Чтобы сформулировать граничные условия, необходимо знать закон взаимодействия молекул со стенками. Примем, что отражение молекуп от стенок диффузное с полной термической аккомодацией. Тогда граничные условия будут записываться так:

〃i=l, 7\=1 при r= 1;

歹 一 Т®2т—厂2 ，(3.51>

/ 2При /.

г 1

Если перепад температур между цилиндрами мал, то уравнения (3.50) можно линеаризовать. Дальнейшие рассуждения будем вести^ полагая, что Twi/Twz-^i, т. е. температуры цилиндров отличаются незначительно. В этом случае функции 方不 и Ti мало отличаются от единицы. Их можно представить в следующем виде:

区=1 + ЛT/,亍(=1+力，(3.52)

где Ni и ti — малые величины по сравнению с единицей.

Подставляя (3.52) в (3.50) и линеаризуя результаты, получим следующую систему уравнений:

mН^"友；

(sin 2a - 2a)~^Т (TVi + 友 - N? - %) +几""^(" 1+厶 + n2+f2)=。；

(М—М)+告伉 i)=P；

-^ (Л+%2)+ 靑 k『p -=-=о

и граничные условия 々=0 и ^ = 0 при г=1, /2=—(1―T^TW^= =—е при r= r2/ri- Последнее уравнение системы (3.53) получена с учетом того, что из первого и третьего уравнений следует 介一方2=厶 №—N\ =~ р. Кроме того, с учетом этих формул из второго уравнения системы имеем Ni + ti+N2+t2 = const. Из граничных условий и соотношения (6—友)=В следует и = —В при г=1;左=。一& при г=г2Л1- Интегрируя последнее уравнение системы (3.53), получим

仿 + 切7； - (А + ‘2)J= — ^ * 1П 言・

Подставляя сюда граничные значения для 力 получим следующее выражение для постоянной

?=

- 41 IГ2

15 Kni ri

Решение системы (3.53) имеет вид

N、=

4 В

15 Кп!

In r；n2=Рe4

41

a= —— In r；/2=_“1T

Ku】L

15 Kni

J1 "15 ~Кщ

In刁；

In rj .

(3.54)

Обращаясь теперь к формуле (3.49) и учитывая (3.54), получим

上=且=1

где Во есть § при КгцтО, ^гс ——тепловой поток, вычисляемый по формуле (3.42), причем 入=专-喈.

Из (3.48) с учетом (3.54) получим формулу для температуры газа 1^7=后+-*3 孑]+(一)為，(3.56)

где』[1+^±吟「

Формулы (3.55) и (3.56) получены в предположении, что термические коэффициенты аккомодации равны единице. Нетрудно получить формулы для произвольных значений коэффициентов аккомодации [109].

Рассмотрим случай, когда на внутреннем цилиндре аккомодация неполная, т. е.

°31°31I % — 7®丿7=iI % — 7®丿7=i< 1.< 1.

°31

°31

I % — 7®丿7=i

I % — 7®丿7=i

< 1.

< 1.

В этом случае первое граничное условие для уравнений (3.3) заменяется выражением

力=(1 — «к) ^2 при 厂=1.力=(1 — «к) ^2 при 厂=1.(3.57>(3.57>

力=(1 — «к) ^2 при 厂=1.

力=(1 — «к) ^2 при 厂=1.

(3.57>

(3.57>

Второе граничное условие оставим прежним. Такие условия представляются реальными для случая 厂2》门 (задача о тонкой проволоке в цилиндре большого диаметра). При граничных условиях (3.57) решение уравнений (3.53) дает следующую формулу для теплового потока:

(3.58)(3.58)

(3.58)

(3.58)

Эта формула при Кп— 8 дает тот же результат, что и свободномолекулярная теория при произвольных коэффициентах аккомодации в случае, если 厂2》几

В случае, если 勺/厂什 1, реальными будут граничные условия следующего вида (a31 =a32 =。3)：

4 = (1 — «3)&^2 = (1 -03)/一ДэЕ4 = (1 — «3)&^2 = (1 -03)/一ДэЕпри Г = 1；ПРИ 7=厂2〃1・при Г = 1；ПРИ 7=厂2〃1・(3.59)(3.59)

4 = (1 — «3)&

^2 = (1 -03)/一ДэЕ

4 = (1 — «3)&

^2 = (1 -03)/一ДэЕ

при Г = 1；

ПРИ 7=厂2〃1・

при Г = 1；

ПРИ 7=厂2〃1・

(3.59)

(3.59)

Из выражения §=(力一编 с учетом (3.59) получим

1 —a9

& =一財。3,力=-в ПPи 广=1；

4 = 3/03一 e, ^2 =-s- ? Пpи г = Г?1 Г\.

。3

Р =Р =(3.60)(3.60)Выражение для 6 будет иметь вид

Р =

Р =

(3.60)

(3.60)

2 — %41 f /"2

丁" + 而后 1117r

С учетом (3.60) получим

1

"(£)传网"用Т

С учетом того, чтоС учетом того, что广2 一 r 1^《1,广2 一 r 1^《1,广1广1эту формулу можно записать в видеэту формулу можно записать в виде

С учетом того, что

С учетом того, что

广2 一 r 1

^《1,

广2 一 r 1

^《1,

广1

广1

эту формулу можно записать в виде

эту формулу можно записать в виде

где Кп = /!/(Г2 — и).

При Kn》1 эта формула согласуется со свободномолекулярной теорией для случая г2"LL

Формула, из которой вытекают как частные случаи (3.55), (3.58) и (3.61), будет иметь вид

(3.62)(3.62)

(3.62)

(3.62)

(3.63)(3.64)(3.63)(3.64)9rm— 9,9rm— 9,QrmQrm0,02.0,02.Подставляя сюда (3.62), получимПодставляя сюда (3.62), получим13 In 厂2“113 In 厂2“1(3.65)(3.66)(3.65)(3.66)аа"1=1/Г["1=1/Г[На рис. 3.3 представлены границы различных режимов, рассчитанные по формулам (3.64) и (3.66). Пунктиром показаны границы областей для r2/^i = 10 при ai=a2—af сплошными линиями для г2/г1 = Ю00. Из полученных результатов видно, что границы областей режимов существенно зависит от геометрии и коэффициентов аккомодации.В работе [66] для решения задачи о передаче тепла через цилиндрический слой газа была использована другая разновидность моментного метода, бази-Рис. 3.3. Границы свободномолекулярной и континуумной областей:/ — континуума; 〃 一 свободномолекулярная;〃/ — промежуточнаяНа рис. 3.3 представлены границы различных режимов, рассчитанные по формулам (3.64) и (3.66). Пунктиром показаны границы областей для r2/^i = 10 при ai=a2—af сплошными линиями для г2/г1 = Ю00. Из полученных результатов видно, что границы областей режимов существенно зависит от геометрии и коэффициентов аккомодации.В работе [66] для решения задачи о передаче тепла через цилиндрический слой газа была использована другая разновидность моментного метода, бази-Рис. 3.3. Границы свободномолекулярной и континуумной областей:/ — континуума; 〃 一 свободномолекулярная;〃/ — промежуточная

(3.63)

(3.64)

(3.63)

(3.64)

9rm— 9,

9rm— 9,

Qrm

Qrm

0,02.

0,02.

Подставляя сюда (3.62), получим

Подставляя сюда (3.62), получим

13 In 厂2“1

13 In 厂2“1

(3.65)

(3.66)

(3.65)

(3.66)

а

а

"1=1/Г[

"1=1/Г[

На рис. 3.3 представлены границы различных режимов, рассчитанные по формулам (3.64) и (3.66). Пунктиром показаны границы областей для r2/^i = 10 при ai=a2—af сплошными линиями для г2/г1 = Ю00. Из полученных результатов видно, что границы областей режимов существенно зависит от геометрии и коэффициентов аккомодации.

В работе [66] для решения задачи о передаче тепла через цилиндрический слой газа была использована другая разновидность моментного метода, бази-

Рис. 3.3. Границы свободномолекулярной и континуумной областей:

/ — континуума; 〃 一 свободномолекулярная;〃/ — промежуточная

На рис. 3.3 представлены границы различных режимов, рассчитанные по формулам (3.64) и (3.66). Пунктиром показаны границы областей для r2/^i = 10 при ai=a2—af сплошными линиями для г2/г1 = Ю00. Из полученных результатов видно, что границы областей режимов существенно зависит от геометрии и коэффициентов аккомодации.

В работе [66] для решения задачи о передаче тепла через цилиндрический слой газа была использована другая разновидность моментного метода, бази-

Рис. 3.3. Границы свободномолекулярной и континуумной областей:

/ — континуума; 〃 一 свободномолекулярная;〃/ — промежуточная

Формула (3.62) согласуется с решениями для Кп->0 и Кп-> 8. При помощи (3.55), (3.62) можно определить границы применимости теорий обычного континуума и свободномолекулярного режима для рассматриваемой задачи.

Наибольшее число Кнудсена Кт*, при котором еще применима теория континуума, найдем, положив, что результаты, полученные при помощи (3.42) и (3.62), не должны отличаться более, чем на 2%:

"Г_0,02・Qrc

Подставляя в (3.63) выражение (3.62), получим

0,00545 In рг、

1 1?/®+^(±Т]

Наименьшее число Кнудсена Kni**, при котором еще применима с точностью до 2% теория свободномолекулярного режима, найдем из условия

Рис. 3.4. График теплопередачи через цилиндрический слой одноатомного газа: сплошная линия — формула (3.62); точки — эксперименты Диббса и Спрингера, Терехова и Фроловой； при г2/п=1,075; 1,105; 1,17: X — Не, ◊ — Аг, ▽ — Ne, □ — Хе; ЧНе rjq = 327;О — Аг h/ri у 332; △ — Ne r^rx — 332Рис. 3.4. График теплопередачи через цилиндрический слой одноатомного газа: сплошная линия — формула (3.62); точки — эксперименты Диббса и Спрингера, Терехова и Фроловой； при г2/п=1,075; 1,105; 1,17: X — Не, ◊ — Аг, ▽ — Ne, □ — Хе; ЧНе rjq = 327;О — Аг h/ri у 332; △ — Ne r^rx — 332

Рис. 3.4. График теплопередачи через цилиндрический слой одноатомного газа: сплошная линия — формула (3.62); точки — эксперименты Диббса и Спрингера, Терехова и Фроловой； при г2/п=1,075; 1,105; 1,17: X — Не, ◊ — Аг, ▽ — Ne, □ — Хе; ЧНе rjq = 327;

О — Аг h/ri у 332; △ — Ne r^rx — 332

Рис. 3.4. График теплопередачи через цилиндрический слой одноатомного газа: сплошная линия — формула (3.62); точки — эксперименты Диббса и Спрингера, Терехова и Фроловой； при г2/п=1,075; 1,105; 1,17: X — Не, ◊ — Аг, ▽ — Ne, □ — Хе; ЧНе rjq = 327;

О — Аг h/ri у 332; △ — Ne r^rx — 332

рующегося на использовании так называемой «бимодальной» аппроксимирующей функции распределения вида

fi =s S)(2冗а7刨)32 exP [ - 2依矶]+ 比("(2欢玄з/2 exp [ - 2依 J

(3.67)

pi (г) — неизвестныеpi (г) — неизвестныеразнице температурразнице температурпри малойпри малойгде f= 1 для области /; i=2 для области II (см. рис. 3.2); at(r) и функции.

pi (г) — неизвестные

pi (г) — неизвестные

разнице температур

разнице температур

при малой

при малой

Полученная этим методом зависимость qr

цилиндров практически не отличается от (3.65).

Задачу о передаче тепла через слой газа можно решить на основе использования БГК-модели. Этот метод был применен в работах [69, 188]. В работе [69] модель Бхатнагара ——Гросса ——Крука преобразуется в систему интегральных уравнений, которые затем решаются вариационным методом. Результаты расчетов для разных Кп】， Г2Л1 и аэь приведенные в этой работе, хорошо согласуются с моментным методом.

На рис. 3.4 приведены результаты экспериментов [48, 96]. Условия, при которых проводили измерение Диббс и Спрингер [96], были следующими. Разность температур цилиндров была незначительной (Tu)t~311 К, —303 К).Отношение радиусов цилиндров составляло величину 厂2/厂1=327 в опытах с гелием и「2/^1=332 в опытах с аргоном и неоном. Значения коэффициентов аккомодации для внутреннего цилиндра, сделанного из вольфрама, были предварительно определены сравнением измеренных тепловых потоков при свободномолекулярном режиме со свободномолекулярной теорией. Они были равны для гелия, неона, аргона соответственно 0,283; 0,467; 0,7328. Таким образом, условия опытов соответствуют предположениям, при которых была получена формула (3.58).

На этом же графике приведены результаты измерений А. Д. Терехова и Е. Н. Фроловой [48]. Эти данные были получены также при малой разности температур цилиндров. Однако геометрический фактор был иным: г2Л1 = 1,0754-1,17. Коэффициенты аккомодации на поверхностях цилиндров, изготовленных из хромоникелевой стали, были определены тем же методом, что и в работе [96]. Значения коэффициентов аккомодации для гелия, неона, аргона и ксенона были равны соответственно 0,265; 0,582; 0,74; 0,99.

Рис. 3.5. График теплопередачи через цилиндрический слой разреженного воздуха: сплошная линия — формула (3.68); точки — опытные данные Терехова и Фроловой

Результаты опытов на рис. 3.4 представлены в виде зависимости qlqTc от комплекса

41«э2 八。?/J /广 1

Значения чисел Кнудсена, имевшие место в опытах, вычислялись по формуле (1.45), приведенной в § 1.5 (гл. I). При этом величина сечений столкновения молекул определялась на основе опытных зависимостей вязкости газов от температуры и формулы (1.62), приведенной в § 1.8 (гл. I). Формула (3.62), представленная на графике сплошной линией, удовлетворительно согласуется с опытными данными.

Помимо упомянутых экспериментальных исследований с одноатомными газами имеется работа Шафера и др. [162], выполненная с аргоном для г2/П = 141. Однако в этой работе не измерялся коэффициент аккомодации. Если принять его таким же, как в работах [48, 96], то данные опытов [162] также удовлетворительно согласуются с формулой (3.62).

Формулы (3.55), (3.58), (3.62) применимы лишь для одноатомных газов, состоящих из молекул одинаковой природы. Методом, который был использован для получения этих формул, можно также рассмотреть и теплопередачу в смеси одноатомных газов [202].

Чтобы учесть многоатомность молекул, нужно ввести поправочный коэффициент перед вторым членом знаменателя формулы (3.62) [178]:

—=—~——:——(3.68)

娱 W丄+三丄一 1 4 Kn 2

L %1广2 \ %24 I1」

где 8 = 1 для одноатомного газа; 8=38/45 для двухатомного газа.

На рис. 3.5 дается сравнение формулы (3.68) с опытными данными для воздуха (48]. Коэффициенты аккомодации в этих опытах были измерены и составляли величину ai— 02=0,693, а геометрический фактор был 力/厂1 = 1,075+1,17. Недостатком других известных экспериментальных работ [78, 162, 153] является то, что не определялся коэффициент аккомодации, что затрудняет сравнение полученных данных.

На рис. 3.6 представлены результаты экспериментов [26, 78, 153] для воздуха в 15

виде зависимости величины qdqrc от комплекса . Сплошная линия отвечает

In /*2"1

формуле (3.68) при а!=а2=1.

Рис. 3.6. График теплопередачи через цилиндрический слой воздуха:

сплошная линия — формула （3.68）; точки — опытные данные Бомельбурга, Кошмарова и Иванова, Проберта и др.

с,「《Я — 7 侬2

Влияние температурного фактора—— рассматривалось теоретически в

ряде работ [26, 132]. При < 0,3 влияние температурного фактора неболь-

<пое и лежит в пределах погрешности приведенных выше данных.

Сферический слой

Рассмотрим теперь передачу тепла через неподвижный одноатомный газ, заключенный между двумя концентрическими сферами, радиусы которых г】и「2 （「iV「2）・ Ограничимся снова условиями, когда температуры поверхностей сфер различаются незначительно, т. е.

7®i 二 5《1. Если предположить, что взаимодействие молекул между собой можно аппроксимировать максвелловской моделью, и считать, что отражение молекул от стенок диффузное с полной термической аккомодацией, то получим, применяя моментный метод с использованием двухсторонней максвелловской функции, следующие формулы для теплового потока и температуры [122]:

言导Г"М1+]/1-（芳）+（1）（3.70） ^8寸+靑/网（1一勻『;k吁％ …^5^f- ЯЛОВОЙ ПОТОК При Kn—*0.

Рис. 3.7. График теплопередачи через сферический слой газа: сплошная линия — формула (3.71); точки — опытные данные Спрингера и Вана, Такао: +Не，〃2=7; О — ВОЗДУХ，1/，2= «о

Если предположить, что на внешней стенке имеет место температурное равновесие, а на внутренней сфере аккомодация неполная (т. е. аЭ1<1), то получается следующая формула для теплового потока:

I± 门.

Условия, для которых получена эта формула, реализуются тогда, когда 「2/^1》L Полученную формулу можно обобщить для газов любой атомности, вводя поправочный коэффициент В перед вторым членом знаменателя:

qr1

1+5 ("^(Kni/* (1 -勻

где В= 1 для одноатомного газа, 8=38/45 для двухатомного газа.

На рис. 3.7 приводится сравнение формулы (3.71) с экспериментальными данными для гелия, заключенного между двумя стеклянными сферами, отношения радиусов которых 厂2侑=7 [179]. Эти опытные данные получены при ATs/Tsi = 0,14. Коэффициент аккомодации в этих опытах был равен аЭ1 = 0,3. На рис. 3.7 приведены также данные для воздуха, полученные в работе [189] при r2/ri-> 00. Коэффициент аккомодации в опытах с воздухом был близок к единице. Результаты всех экспериментов удовлетворительно согласуются с формулой (3.71).

При помощи (3.71) нетрудно установить границы применимости теорий обычного континуума и свободномолекулярного режима. Полагая, как и ранее (д^с — 9r)/9rc = =0,02, получим наибольшее значение числа Кнудсена, при котором еще пригодна с точностью до 2% формула теории обычного контура:

Кп1# = 0,00545аэ1(1 — гг/г^.(3.72)

Аналогично можно найти границу свободномолекулярной области. Если сравнить (3.72) с (3.64), то можно придти к выводу, что граничные числа Кнудсена для сферического и цилиндрического слоев могут заметно различаться.

Плоский слой

Рассмотрим теплопередачу через разреженный газ, заключенный между двумя параллельными неподвижными плоскими поверхностями, имеющими разную температуру. Решим эту задачу для одноатомного газа, снова используя моментный метод.

Уравнение переноса для этого случая имеет вид

(3.73)

Воспользуемся снова аппроксимирующей функцией в виде двухстороннего максвелловского распределения [см. §3.1, формулы (3.4), (3.5)].

Уравнения для макропараметров ni (у) и Г； (у) получим из уравнения (3.73), полагая g=加；他齿 母 m修+©+£)； ^①畠冠+纟+吏)и принимая при этом, что молекулы взаимодействуют между собой по закону пятой степени:

(3.74)(3.74)行1/??=元2/^；加彳1+忌彳2=%；后/亍1 (戸2-戸i) = ag； *-(厶片 + 〃2幅)H+ Kn^&a2(〃1 +〃2)= 1,

(3.74)

(3.74)

где ai и «2 — константы интегрирования; 1^2 =崗L — число Кнудсена; L — расстояние между пластинами； Z2 ——средняя длина свободного пробега, вычисляемая для максвелловских молекул по формуле

出32出32

出32

出32

(P-W2 — вязкость газа при температуре второй пластины 厂®?； ^ — значение & на второй пластине;勺=-^-; 7\ =且-;y=丄).

Ограничимся, как в предыдущих задачах, условием 7网—「破《〔.

Тогда 〃j=l + N?; 7\=1+力，где N( и 力 малые величины по сравнению с единицей. Линеаризуя (3.74), получим следующую систему уравнений:

М + ^-々 = №2 +停看2； -^l~F^2~F^l~F^2 = al ~2； 友一友=咏2；*(4+切侑+切]=0.

Будем считать, что молекулы отражаются от стенок диффузно и коэффициенты аккомодации равны единице. Тогда граничные условия формулируются так:

(3.76)(3.76)/2=0 и ^2 = 0 при у = 0;

(3.76)

(3.76)

^1 = —~— при y=\.

Из третьего уравнения системы (3.75) следует 力=—aia2 при 歹=0 и 22 =a1(12+ (Twi — Tw2)/Tw2 при 亏=1.

Интегрируя четвертое уравнение системы (3.75) с учетом условий (3.76) и аю2<С1 (это следует из третьего уравнения, ai->2), получим

(3.77)(3.77)(3.78)(3.78)T侬1 — T侬2a1。2 =丝1丝

(3.77)

(3.77)

(3.78)

(3.78)

(1 +~^ Kn-lVw2

При Кп->0 имеем

(a@)o=—-孑二％24

Kn-iT破

Рис. 3.8. График теплопередачи через плоский слой разреженного газа:сплошная линия — формула (3.82); пунктирная линия — решение Черчиньяни и Бассанини (модель^ ное уравнение);— решение уравнения Больцмана; экспериментальные данные Теагана и Спрингера, Кошмаров: + — Ar Tw\l%2 " 1，°13; О — NtTwl/Tw2 - 1,013; ▽ — воздух 丁矶/丁哂"】」+ 卜公Рис. 3.8. График теплопередачи через плоский слой разреженного газа:сплошная линия — формула (3.82); пунктирная линия — решение Черчиньяни и Бассанини (модель^ ное уравнение);— решение уравнения Больцмана; экспериментальные данные Теагана и Спрингера, Кошмаров: + — Ar Tw\l%2 " 1，°13; О — NtTwl/Tw2 - 1,013; ▽ — воздух 丁矶/丁哂"】」+ 卜公q = mq = m«•^ fd^~ mnw2^w21/^—员乙2 (看2 - A)・«•^ fd^~ mnw2^w21/^—员乙2 (看2 - A)・(3.79)(3.79)

Рис. 3.8. График теплопередачи через плоский слой разреженного газа:

сплошная линия — формула (3.82); пунктирная линия — решение Черчиньяни и Бассанини (модель^ ное уравнение);— решение уравнения Больцмана; экспериментальные данные Теагана и Спрингера, Кошмаров: + — Ar Tw\l%2 " 1，°13; О — NtTwl/Tw2 - 1,013; ▽ — воздух 丁矶/丁哂"】」+ 卜公

Рис. 3.8. График теплопередачи через плоский слой разреженного газа:

сплошная линия — формула (3.82); пунктирная линия — решение Черчиньяни и Бассанини (модель^ ное уравнение);— решение уравнения Больцмана; экспериментальные данные Теагана и Спрингера, Кошмаров: + — Ar Tw\l%2 " 1，°13; О — NtTwl/Tw2 - 1,013; ▽ — воздух 丁矶/丁哂"】」+ 卜公

q = m

q = m

«•^ fd^~ mnw2^w21/^—员乙2 (看2 - A)・

«•^ fd^~ mnw2^w21/^—员乙2 (看2 - A)・

(3.79)

(3.79)

Тепловой поток выражается через 介 и /2 следующим образом:

Подставляя в (3.79) значение (勾一Л), получим

0Яс0Яс1+^Кп41+^Кп4(3.80>(3.80>

0Яс

0Яс

1+^Кп4

1+^Кп4

(3.80>

(3.80>

•Для температуры получается следующее выражение:

一h-予，(3.81)-

где q© = \ -「^■^■^工；6 =「1 —二——]；入一коэффициент теплопровод* £L 15 Kn J

ности газа.

Формулу (3.80) можно получить, также из решения для цилиндрического (или сферического) слоя, устремив гМ+\. Обратившись к формуле (3.68) для цилиндрического слоя, получим формулу для плоского слоя, учитывающую влияние атомности, газа и коэффициента аккомодации,

公一 1+2-£3BJ5_Kn%4

илиили(3.82>

или

или

2 —a3 15 B Kn

где qm ——тепловой поток, подсчитанный по теории свободномолекулярного режима; Kn=//L число Кнудсена; / — средняя длина свободного пробега молекул; В = 1 и 38/45 соответственно для одноатомного и двухатомного газов.

На рис. 3.8 дается сравнение формулы (3.82) с результатами экспериментов [191} и автора. В этих экспериментах измерялись тепловые потоки через плоские слои аргона, азота и воздуха. Коэффициенты аккомодации в этих опытах равнялись для аргона “3 = 0,826, для азота аэ=0,76, для воздуха а?。0,95. Температурный фактор мало отличался от единицы, т. е. Twi/Tw2^ 1,013. Формула (3.82), представленная на рис. 3.8

сплошной линией, хорошо согласуется с опытными данными. Наряду с измерениями тепловых потоков в работе [191] исследовалось поле плотности в плоском слое при rwi/TW2=l,14 и Кп = 14-0,05. Данные этих измерений хорошо согласуются с моментным решением.

В случае, если разница температур пластин значительна, необходимо решать яелинеаризованную систему уравнений (3.74). Решение этой системы уравнений при граничных условиях, соответствующих полной аккомодации, получено в работе [127]. Теплопередача через слой газа при значениях Twi/Tw2i существенно отличающихся от единицы, в экспериментальном отношении изучена пока мало. Имеются лишь некоторые опытные данные о распределении плотности в слое гелия и азота при 7wi/T〃2=3,72 и Кп=0,5834-0,033 [63]. Сравнение этих данных с решением, полученным при помощи списанного выше метода, показало большое расхождение опытных и теоретических результатов. Это обусловлено тем, что описанный метод при больших температурных перепадах «работает» плохо. Полученное выше решение основывалось на использовании простейшей аппроксимации функции распределения в виде двухстороннего максвелловского распределения.

В работе [121] было использовано шестимоментное распределение вида

2九1

记+

/ — /1 = ■

謂2 QRTgN QRTQ ехр

2仪%，

2九2

/= /2 —"

冗3/2 (2欠乙2)1/2 (2欠7*2)，

_〈2欠乙2

2* 〃 ДЛЯ 七 >

Для отыскания шести неизвестных функций (ni，九2，「*1,「％2，「gi，「Р2)использовались моментные уравнения, соответствующие 屮= /п,加Eg, ——；加牆 加吟;加&局. Полу

ченная при этом зависимость q (Кп) для максвелловской модели молекул почти не отличается от зависимости (3.82).

Еще одна разновидность аппроксимирующей функции в виде бимодального двухлоточного распределения использовалась в работе [71]:

/ = /wi = 5 (g) /矶 + 01 (у) /破 Д^ 匕 < °；

/ = /碗=(Х2 ®) /®1 + 02 (У) “2 ДЛЯ 匕 > 0；

(/刨=(2冗院■产^p [-(/刨=(2冗院■产^p [-

(/刨=(2冗院■产^p [-

(/刨=(2冗院■产^p [-

где Twi ——температура t-й стенки; ^(у), 01(g), а2(у) и 02(4)——неизвестные функции (функции «влияния»).

Результаты этой работы почти не отличаются от тех, которые следуют из (3.82).

Задача о теплопередаче исследовалась также на основе модельных уравнений [60, 54]. Для решения модельных уравнений использовались различные численные методы. Результаты всех упомянутых исследований практически совпадают. На рис. 3.8 представлена пунктирной линией зависимость, полученная в работе [54] для одноатомного /АТ®\

газа [при -——《1 ] на основе решения БГК-модели. В строгой постановке (на осно- \乙1/

ве уравнения Больцмана) задача о теплопередаче через слой газа численно решалась в работах [3, 51, 201]. Метод прямого численного решения основывался на вычислении интегралов столкновения по небольшому числу случайных испытаний (методом Монте- Карло) в сочетании с интегральными итерациями уравнения Больцмана. Газ предполагался одноатомным и однокомпонентным, состоящим из упругих жестких сферических молекул. На стенках было принято условие полной аккомодации. Функция распределения отраженных молекул предполагалась максвелловская. Итерации для каждого числа Кнудсена начинались со свободномолекулярного решения. Сходимость устанавливалась по поведению физических величин плотности, температуры, теплового потока. При достижении сходимости профили плотности и температуры не меняются от «терации к итерации и тепловой поток становится не зависящим от координат. Для получения решения с меньшим числом Кнудсена в качестве нулевого приближения использовалось ранее полученное решение с большим числом Кнудсена. Результаты, полученные на основе прямого интегрирования уравнения Больцмана для небольших температурных перепадов (7w2/「wi=6,7), приведены на рис. 3.8 (темные треугольные точки). С этими результатами хорошо согласуется формула (3.82), полученная моментным методом.

cD/cDt

Рис. 3.9. График зависимости коэффициента трения на внешней (неподвижной) цилинд- ，рической поверхности от степени разрежения:

/ — свободномолекулярный предел; II ——теория континуума Навье-Стокса; III — формула (3.94); +, △, О — опытные данные Талбота и Бауера для криптона при 厂2/门=1,12 и соответственно числах М=0,214; 0,44; 0,88; •，X — опытные данные Талбота и Бауера для аргона при 片/门= 1,12 и числах М=0,211； 0,435; □ — опыты Культо для гелия при r2/ri = 1,235 и М=0,128+0,51; ♦,0 — опыты Культо и Чанга для воздуха при соответственно Г2/Г1 = 1,12 и 1,235, М=0,15+0,55

и М=0,4 +1,4

ТЕЧЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗАМЕЖДУ ВРАЩАЮЩИМИСЯ ЦИЛИНДРАМИ(ТЕЧЕНИЕ КУЭТТА)

Рассмотрим установившееся движение газа между двумя коаксиальными цилиндрическими поверхностями, одна из которых (внутренняя радиуса п) вращается с угловой скоростью со, а вторая (внешняя радиуса r2>^i)—неподвижна (рис. 3.9). Ограничимся условиями, когда температуры поверхностей одинаковы (равны Т), а линейная скорость вращающейся поверхности мала по сравнению со средней скоростью хаотического движения молекул, т. е.

М=5/У^^《1・

В предельном случае при Кп->0, когда применима теория континуума Навье — Стокса с граничными условиями полного прилипания, распределения скоростей газа и касательных напряжений по кольцевому слою при рассматриваемых условиях описываются формулами (ламинарное движение):

(3.83)(3.83)

(3.83)

(3.83)

где г — текущий радиус; ц — вязкость газа.

Из (3.83) вытекает следующая формула для коэффициента трения на внешней цилиндрической поверхности (при г =「2)：

9那)。=击告，(3.84)

где A = r2/^i；где A = r2/^i； Р5(厂2 一厂 1)・ с (匕6 )—2u1

где A = r2/^i；

где A = r2/^i；

《P 3厂1)2

p ——плотность газа.

В другом предельном случае, при 1\п->оо, когда режим течения свободномолекулярный, формула для коэффициента трения на внешней поверхности при диффузном отражении молекул от стенок записывается следующим образом:

&М)『击 (3.85)

где y = cp/cv — отношение изобарной и изохорной теплоемкостей газа.

Задача о цилиндрическом течении Куэтта в промежуточной области динамики разреженного газа теоретически рассматривалась во многих работах [11, 79, 54]. Много внимания уделено было предельному случаю, когда 「2/厂if 1, т. е. течению между плоскими поверхностями [22, 60, 71, 127]. Эти исследования проводились в различной постановке (линейной и нелинейной) и разными методами (моментные методы, численные решения модельных уравнений, метод статистических испытаний Монте-Карло и т. д.). Этой задаче посвящен также ряд экспериментальных исследований (64, 119].

Здесь мы воспользуемся дифференциально-моментным методом, следуя В. С. Галкину [11]. Можно отметить, забегая вперед, что результаты, полученные на основе численного решения линеаризованной Б ГК-модели [79, 54], хорошо согласуются с полученными ниже формулами.

Учитывая геометрию задачи, целесообразно воспользоваться цилиндрической системой координат г, 0, 2. Уравнение переноса для рассматриваемой задачи приводилось уже выше в § 3.3 настоящей главы.

好+ （品一修）2 +彦-好+ （品一修）2 +彦-При рассматриваемых условиях плотность, давление и температуру газа можно считать постоянными во всем поле течения. В соответствии с общими принципами выбранного нами метода примем в качестве аппроксимирующей функции распределения двухстороннее максвелловское распределение:

好+ （品一修）2 +彦-

好+ （品一修）2 +彦-

2А72А7(3.86)(3.86)/= Л = 九斤° • exp

2А7

2А7

(3.86)

(3.86)

，J /(2冗依)3/2 У

Причем:

/=/i，% = 〃i(厂)при а<ф<л —а;

/ = /2, % = %(「)при л; —— а<屮<2л； + а,

где а=arc cos(Гх/r).

Так как М《1, то выражение (3.86) может быть приближенно представлено в следующем виде:

力=力=ии(2 冗欠 7)3/2(2 冗欠 7)3/21+^МЕ丁)ехр(3・87)1+^МЕ丁)ехр(3・87)

力=

力=

и

и

(2 冗欠 7)3/2

(2 冗欠 7)3/2

1+^МЕ丁)ехр(3・87)

1+^МЕ丁)ехр(3・87)

где 戏=虚+以 &=%sin 屮；E8=%cos 屮；Z = 〃i/5・

Подставляя функцию (3.87) в уравнение переноса (3.43) и принимая <p = mge, mgp^e, полчим следующую систему уравнений для функций 〃i(r) и 辽2(г):

(3.88)

(3.89)

где г = г/п; В — постоянная интегрирования; I — средняя длина свободного пробега молекул.

При выводе уравнения (3.89) интеграл столкновений был вычислен для максвелловской модели молекул.

Будем считать, что отражение молекул от стенок диффузное. Тогда граничные условия запишутся следующим образом:

(3.90)(3.90)区=1 при г=1;]

(3.90)

(3.90)

〃2 = 0 При г= А, )

где А=7*2〃1・

Уравнения (3.88) — (3.89) при краевых условиях (3.90) имеют следующее решение:

Rc= рз厂 1(厂2—厂 1)Rc= рз厂 1(厂2—厂 1)(3.91)(3.91)

Rc= рз厂 1(厂2—厂 1)

Rc= рз厂 1(厂2—厂 1)

(3.91)

(3.91)

Макроскопическая скорость газа и напряжение сдвига Р,о выража- ются с помощью (3.87) через 〃i, и2 и р следующим образом:

〃i +敗〃i +敗а + sin a cos аа + sin a cos а22лл(3.92>(3.92>2ё = *p5 / 复.2ё = *p5 / 复.(3.93>(3.93>

〃i +敗

〃i +敗

а + sin a cos а

а + sin a cos а

2

2

л

л

(3.92>

(3.92>

2ё = *p5 / 复.

2ё = *p5 / 复.

(3.93>

(3.93>

Из (3.93) вытекает следующая формула для коэффициента трения на внешней (неподвижной) цилиндрической поверхности:

CD _1CD _1(3.94>(3.94>

CD _1

CD _1

(3.94>

(3.94>

где Свт — коэффициент трения при свободномолекулярном режиме (3.85).

При M/Re->0 из (3.94) вытекает формула (3.84), а при M/Re->oo формула (3.85). На рис. 3.9 дается сравнение полученной зависимости (3.94) с данными экспериментальных исследований, о которых сообщается в работах (54, 119]. На этом рисунке результаты опытов для одноатомных (у = 5/3) и двухатомных (у = 7/5) газов представлены в виде 、(1 + А) 1Re е

зависимости отношения (CD/CDm) от комплекса — I/, R

4A2 b 冗丫 M котором число Re вычислялось по опытным коэффициентам вязкости. Зависимость (3.94) представлена на рис. 3.9 линией 〃/, формуле (3.84) соответствует линия II. Линия / соответствует свободномолекулярному пределу. Интересно отметить, что полученная для частного закона мо* лекулярного взаимодействия формула (3.94) хорошо согласуется с данными экспериментов с различными газами (криптон, аргон, гелий, воздух). Эта формула, как следует из сравнения ее с опытом, пригодна для расчетов трения при числах М< 1. При числах М>1 задача Куэтта существенно усложняется. Метод, использованный выше, в этом случае не* пригоден [60].

ТЕЧЕНИЕ В КАНАЛАХ

Течение между двумя параллельнымиплоскими стенками

Рассмотрим установившееся движение газа в канале, образованном1 двумя параллельными плоскими безграничными поверхностями, при следующих условиях. Температура поверхностей, образующих канал, всюду постоянна и равна 7. Движение газа происходит под действием очень малого градиента давления (перепада давления).

Теоретически эта задача исследовалась различными методами — методом Монте-Карло, моментными методами, на основе численного решения модельного кинетического уравнения [44, 53, 54, 112, 128]. Рассмотрим схему решения задачи на основе БГК-модели.

Модельное уравнение для рассматриваемого случая записывается следующим образом:

（九一/）；（九一/）；(3.95)(3.95)

（九一/）；

（九一/）；

(3.95)

(3.95)

(3.96)(3.96)孔 r _ 終 + 或 +(% - ")2

(3.96)

(3.96)

(2几欠7)3/2p [2欠7

где f=f(汇，2, Ex, Eg, &z) —функция распределения скоростей молекул; х, z — координаты (ось 2 направлена по потоку, а ось % перпендикулярна к стенкам канала, см. рис. 3.10); p = p(z) —давление; n = n(z)——числовая плотность молекул; ц — коэффициент вязкости; 〃 = 〃(％, z) 一一 макроскопическая скорость газа.

Так как градиент давления мал, то S = —■《1. Выраже-

]/2依

ние (3.96) можно линеаризовать относительно S:

九=u+2点司九，(3.97)

где 九=(2；^；；з/2 ехр( — с2)； R=%+& + W; 3 = ^^^ у, г) При рассматриваемых условиях искомая функция f должна мало отличаться от равновесной максвелловской и поэтому ее можно представить в следующем виде:

/=九口 + 点①(点，Q, %, x)],(3.98)

где Cz①(с%, с” Cz, %) —малая по сравнению с единицей добавка. Изменение / вдоль канала учитывается в (3.98) функцией 〃(2), а поперек канала —функцией Ф.

Подставим (3.98) в (3.95). После несложных преобразований получим

с* 乏 一 К (1 + 叁①)=6 QS — Ф),(3.99)

где 6где 6Q 8Q 88181xx——；X - —； N =Kn。——；X - —； N =Kn。

где 6

где 6

Q 8

Q 8

81

81

x

x

——；X - —； N =

Kn。

——；X - —； N =

Kn。

;а —расстояние между стенками.

Так как К《1 и С①)《1, то их произведением можно пренебречь. В результате получим следующее уравнение:

点尊—K = 6(2S -①). дх

(3.100>

Рис. 3.10. График расхода газа через канал, образованный двумя параллельными плоскими стенками:

/ — решение модельного уравнения; II — теория континуума Навье-Стокса; точки — опытные данные Донга и Брамлея: 4На； X — Не; △——СО2; О ——воздух; □——фреон, опытные данные По- роднова и др.; ▽ — Ne, ◊— А

Граничные условия для функции Ф сформулируем, приняв, что отражение молекул от стенок канала диффузное (функция распределения для отраженных молекул — максвелловская):

(2冗欠 7)3/2(2冗欠 7)3/2-1fw = fw 卜=，-1fw = fw 卜=，九（Z） （2гr7）3/2九（Z）九（Z） （2гr7）3/2九（Z）ехр( —с?)；ехр( —с?)；ехр( —с?).ехр( —с?).(3.101)(3.101)(3.102)(3.102)

(2冗欠 7)3/2

(2冗欠 7)3/2

-1

fw = fw 卜=，

-1

fw = fw 卜=，

九（Z） （2гr7）3/2

九（Z）

九（Z） （2гr7）3/2

九（Z）

ехр( —с?)；

ехр( —с?)；

ехр( —с?).

ехр( —с?).

(3.101)

(3.101)

(3.102)

(3.102)

Сопоставляя (3.101) и (3.102) с (3.98), придем к следующим условиям:

①《,=①(х=—-①《,=①(х=—-=0,①^=①(%=+}, Сх=0,①^=①(%=+}, Сх=0. (3.103)=0. (3.103)

①《,=①(х=—-

①《,=①(х=—-

=0,①^=①(%=+}, Сх

=0,①^=①(%=+}, Сх

=0. (3.103)

=0. (3.103)

Интегрируя уравнение (3.100) и учитывая условия (3.103), получим

一—

*_ exp I — -(x 一广)

①+(三県〉0) = 28 j [蚩+ S®)]

(3.104)(3.104)-1/2 L

(3.104)

(3.104)

X

①-(x, cx<0) = 28 J [合+s®)]+ 1/2 L

На рис. 3.10 поясняется содержание величин х и х\ входящих в (3.104).

В (3.104) содержится неизвестная функция S (土). Эта функция может быть выражена через Ф согласно определению макроскопической скорости следующим образом:

+ 8

(3.105)

С учетом (3.98) формулу (3.105) можно преобразовать к следующему виду:

+ во

(3.106)(3.106)S =金-JJJ ^-C^dcxdcydcz.

(3.106)

(3.106)

Поскольку нас интересует не сама функция распределения f (или Ф), а макроскопическая скорость S, то мы преобразуем уравнения (3.104) так, чтобы иметь уравнение для S(元).С этой целью умножим сумму выражений (3.104) на л~8/а с22 ехр (——с?) и проинтегрируем затем no d о—dc^ de у de 2»

В результате получим следующее интегральное уравнение для S (元)：

+ 1/2 s(a=T f [ -12+ 1/2 s(a=T f [ -12к2Sк2SS®)]厶(” x-P I )dJ?,S®)]厶(” x-P I )dJ?,(3.107)(3.107)

+ 1/2 s(a=T f [ -12

+ 1/2 s(a=T f [ -12

к

2S

к

2S

S®)]厶(” x-P I )dJ?,

S®)]厶(” x-P I )dJ?,

(3.107)

(3.107)

где J-x (8 I x —P I )= f }exp [一(後+ / I ^一储 I )] dcx.

6

Это уравнение можно решить численными методами. После того как найдено распределение скорости по сечению канала, нетрудно найти объемный расход газа, приходящийся на единицу площади поперечного сечения канала:

1g=一 а1g=一 а+а/2/ 辽(х) dx.-а/2+а/2/ 辽(х) dx.-а/2Разделив q на ный расход Q:Разделив q на ный расход Q:а dp2р dzа dp2р dzУ 2中,У 2中,получим так называемыйполучим так называемый(3.108)приведен-(3.108)приведен-

1

g=一 а

1

g=一 а

+а/2

/ 辽(х) dx.

-а/2

+а/2

/ 辽(х) dx.

-а/2

Разделив q на ный расход Q:

Разделив q на ный расход Q:

а dp

2р dz

а dp

2р dz

У 2中,

У 2中,

получим так называемый

получим так называемый

(3.108)

приведен-

(3.108)

приведен-

+ 1/2__

Q =京 J S (х) dx.-1/2

В табл. 3.1 приведены результаты расчетов Q для разных значений параметра разреженности 6, взятые из [54, 112].

Таблица 3.1

Зависимость приведенного расхода газа Q от параметра разреженности 6

5

0,01

0,03

0,05

0,07

0,09

0,1

0,3

0,5

0,7

0,9

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

Q

3,0499

2,5242

2,3026

2,1668

2,0716

2,0331

1,7030

1,6025

1,5599

1,5427

1,5396

1,5391

1,5408

1,5441

1,5488

1,5546

5

1,6

1,7

1,8

1,9

2

3

4

5

6

7

8

9

10

20

40

Q

1,5615

1,5692

1,5776

1,5867

1,5963

1,7117

1,8468

1,9928

2,1421

2,2957

2,4516

2,6091

2,7669

4,292

7,454

На рис. 3.10 теоретическая зависимость Q(6) представлена кривой /. На этом же рисунке нанесены результаты опытов Донга и Бромлея [95], а также Б. Т. Породнова и др. [45]. В опытах Донга и Бромлея изучалось течение в длинном канале, высота которого составляла а =

= 3,24-10~3 м, относительная длина Л/а = 392 и относительная ширина 6/L = 0,18. В работе [45] использовался канал, у которого а=18・10~б м, L/a = 445, b/L = 4,45. Температура в опытах была комнатной. Значение приведенного расхода Q вычислялось по результатам измерений следующим образом:

Q=(%万)而、

где 夕=~"^'2 ;、Р=Р\ — Р心 Pi и р2 — соответственно давление перед и за каналом； А=Ь-а — площадь сечения канала; 夕三一измеренный объемный расход.

Данные опытов хорошо согласуются с теоретическим решением при значениях параметра 6》0,1 (т. е. Кп^Ю). При меньших значениях 6 опытные данные отходят от теоретической кривой. Это объясняется тем, что в опытах использовались каналы конечной ширины. При Кп>10 в этих каналах были существенными боковые эффекты.

Как видно из табл. 3.1 и рис. 3.10, зависимость Q(6) является немонотонной. При 6^1,1 наблюдается минимум приведенного расхода. Это явление называют парадоксом Кнудсена.

На риг. 3.10 линией // представлена теоретическая зависимость, полученная в теории континуума Навье—Стокса: Qc= 1/66. Из сопоставления кривых / и // нетрудно сделать заключение о том, что теория кон、 тинуума пригодна лишь при числах Кп^0,01.

Из сравнения опытных данных с теорией можно заключить, что при температурах, близких к комнатной, действительная схема отражения молекул от стенок мало отличается от диффузной, т. е. коэффициент аккомодации тангенциального импульса близок к единице. Вообще говоря, возможны иные ситуации. Зависимость приведенного расхода от величины коэффициента аккомодации тангенциального импульса теоретически исследовалась в работе [53]. С уменьшением этого коэффициента приведенный расход возрастает.

Течение в круглой трубе

Рассмотрим теперь течение газа в круглой трубе бесконечной длины (L/a->oo, а и L радиус и длина трубы) под действием малого градиента давления при постоянной температуре поверхности канала (85]. Воспользуемся снова модельным кинетическим уравнением, которое применительно к данному случаю записывается следующим образом:

% g + Ez 罢=丄(九一/)，(3.109)

игOZ 步

где г — радиус-вектор точки, лежащей в рассматриваемом сечении трубы (начало координат расположено на оси трубы, ось z направлена вдоль по потоку, I г I =)/炉+英)；е —вектор скорости, лежащий в плоско• сти рассматриваемого сечения трубы (丨口 =/ 或+君)；остальные обозначения те же, что в уравнении (3.95). На тех же основаниях, что и в предыдущей задаче,представим искомую функцию f в виде

/=/(瑞 7, Cz,。)=九3)口 +①],(3.110)

rДe ①=①(7, J 介 九⑶=(2*；｝-exp[-c2-W]； 偌=%"2/?7;

c= I E I lV'2RT• Подставляя (3.110) в (3.109) и линеаризируя выражение для 九，получим

看 S—gK = B[2gS —回，(3.111)

где К=刁。；K=--;S=u/V2RT.

p °z р.У2^Т

Макроскопическая скорость S, входящая в (3.111), выражается через Ф следующим образом: + 8

S=Sn)=±?卜 z ① ехр[ —(掇+曲]dc/・(3.112)

Умножая (3.111) на —^z. cz exp (— cl) и интегрируя по составляющей

скорости cz, получим

(3.113)(3.113)

(3.113)

(3.113)

+ оо

гдеФ = Т (гФ, H=7^ZL j %① ехр( —W) dq・

Скорость S(r*) выражается через 屮 следующим образом:

(3.114)(3.114)

(3.114)

(3.114)

Итак, в результате преобразований задача свелась к нахождению функции 屮,т. е. к решению уравнения (3.113).

Граничные условия для 屮 сформулируем, считая, что отражение молекул от стенок трубы диффузное. В этом случае для отраженных молекул (для них сп>0, п — внутренняя нормаль к поверхности трубы, см. рис. 3.11) имеем

九=/(瑞 \г\=а. с2,防〉0) = ^^7rехр[-с2-с2・(3.115)

Из (3.115) и (3.110) следует

Ф^=Ф ( I Г| =а, % 布〉0) = 0,讨(万 I =а,蒞〉0) = 0.(3.116)

Интегрируя (3.113) вдоль направления с (см. рис. 3.11) и учитывая граничное условие (3.116), получим

屮(工刁={ 一亠」-expj-^=£T|dsJ(3.117)

J 丨C|L |c| J

где s=]r*M —— r*[; s —— s，= I 厂* ——厂：I ； 入加一безразмерной радиус-вектор точки M, лежащей на поверхности трубы в рассматриваемом сечении (I 厂*м I =1)・

Используя (3.114) и (3.117), получим интегральное уравнение для макроскопической скорости:

S6)T机負+ S(词货守元(3.H8)

где J0(B I 尸* — r： I ) —интеграл следующего вида:

J о (%) = \ exp [ — с? —~] de.

0

Рис. 3.11. График расхода газа через круглую трубу:/ — решентие модельного кинетического уравнения; 〃 一 теория континуума Навье-Стокса; Ill ——свободномолекулярный предел. Опытные данные Породнова и 驶.：ЧAr; X — Ne и Не. Опытные данные Донга и Брамлея: О — Н2； □ —Не; △ — воздух ; Q —CO2；V — фреон. Штриховая линия — эмпирическая формула КнудсенаРис. 3.11. График расхода газа через круглую трубу:/ — решентие модельного кинетического уравнения; 〃 一 теория континуума Навье-Стокса; Ill ——свободномолекулярный предел. Опытные данные Породнова и 驶.：ЧAr; X — Ne и Не. Опытные данные Донга и Брамлея: О — Н2； □ —Не; △ — воздух ; Q —CO2；V — фреон. Штриховая линия — эмпирическая формула Кнудсена

Рис. 3.11. График расхода газа через круглую трубу:

/ — решентие модельного кинетического уравнения; 〃 一 теория континуума Навье-Стокса; Ill ——свободномолекулярный предел. Опытные данные Породнова и 驶.：ЧAr; X — Ne и Не. Опытные данные Донга и Брамлея: О — Н2； □ —Не; △ — воздух ; Q —CO2；V — фреон. Штриховая линия — эмпирическая формула Кнудсена

Рис. 3.11. График расхода газа через круглую трубу:

/ — решентие модельного кинетического уравнения; 〃 一 теория континуума Навье-Стокса; Ill ——свободномолекулярный предел. Опытные данные Породнова и 驶.：ЧAr; X — Ne и Не. Опытные данные Донга и Брамлея: О — Н2； □ —Не; △ — воздух ; Q —CO2；V — фреон. Штриховая линия — эмпирическая формула Кнудсена

Уравнение (3.118) можно решить численными методами {85, 135]. После этого нетрудно вычислить приведенный расход газа

(3.119)(3.119)Q3)=7=г f 2nr^(r)rfr,

(3.119)

(3.119)

КА М 2依 о

где』=冗。2 — площадь сечения трубы; и (г)—функция, полученная из (3.118).

В табл. 3.2 приведены результаты вычислений Q для различных значений параметра 6. На рис. 3.11 зависимость Q(6) представлена графически (кривая /). Так же, как в случае плоской щели, здесь наблюдается парадокс Кнудсена. Для сравнения на этом же рисунке приведены зависимости для свободно-молекулярного режима (линия Ш) и режима континуума Навье—Стокса с условиями «полного прилипания» (линия //) соответственно:

Q产「•Q产「•(3.120)

Q产「•

Q产「•

(3.121)

Из сопоставления теоретических зависимостей (3.119), (3.120) и (3.121) нетрудно оценить границы областей континуумного и свободномолекулярного режимов. Теория континуума применима при Кп^ 0,01, а теория свободномолекулярного режима при КпЗ 100.

На рис. 3.11 приведены результаты экспериментальных исследований Донга и Бромлея (95], данные Б. Т. Породнова и др. [43]. Приведен-

Таблица 3.2

Зависимость приведенного расхода газа Q через круглую трубу от параметра разреженности 6

5

0,01

0,02

0,04

0,08

0,1

0,2

0,3

0,4

0,6

0,8

1

2

4

6

8

10

Q

1,4768

1,4608

1,4391

1,4131

1,4043

1,3820

1,3767

1,3796

1,3982

1,4261

1,4594

1,6608

2,1188

2,5999

3,0894

3,5821

ный расход Q вычислялся по результатам измерений следующим образом:

где ^ — объемный расход газа через трубу;万=门土偿； 、Р=Р\ — Р亦

Pi и р2 — давления перед и за рабочим участком трубы; а — радиус трубы; Т — температура стенок трубы.

В опытах Бромлея и Донга изучалось течение в трубе, отношение длины которой к радиусу составляло величину L/a^88. В опытах По- роднова и др. изучалось течение при L/a^600. Температура стенок каналов равнялась комнатной. Результаты теоретических расчетов удовлетворительно согласуются с данными опытов. Разброс экспериментальных точек обусловлен с одной стороны погрешностями измерений, а с другой — различным характером взаимодействия молекул разных газов со стенкой.

На рис. 3.11 нанесена также пунктирной линией (линия IV) эмпирическая зависимость Кнудсена:

Q=+ 8,52-^^^—(3.122) 4 \]/2 + 4,943 /

С формулой (3.122) удовлетворительно согласуются (с точностью до 5%) результаты Г. Брауна, А. Динардо, Г. Ченга и Т. Шервуда, проводивших эксперименты с воздухом и водородом в медных и железных трубах при L/a^ 100 [80], а также опытные данные М. Миллигана, полученные для аргона в стальной трубе с L/a = 672 [142].

Гореловым С. А. было проведено теоретическое исследование течения газа в круглой бесконечной трубе на основе уравнения Больцмана [13]. Результаты его расчетов удовлетворительно согласуются с данными, полученными на основе модельного уравнения.

Течение в кольцевом канале

Рассмотрим течение разреженного газа под действием малого градиента давления между двумя соосными круглыми бесконечными цилиндрами радиусов а и Ь<а (рис. 3.12). Так же, как и в предыдущих случаях, будем считать, что температура стенок всюду постоянная и отражение молекул от стенок — диффузное. Воспользуемся снова модельным кинетическим уравнением (3.109). Будем искать решение в виде (3.110). Следуя тем же путем, который использовался при решении задачи о течении в круглой трубе, придем к интегральному уравнению для макроскопической скорости такого же вида, как уравнение (3.118). Отличие будет иметь место лишь в области интегрирования. В табл. 3.3 приведены результаты вычислений расхода для трех значений у [70, 135].

Рис. 3.12. График зависимости приведенного расхода газа через кольцевые каналы, от параметра разреженности при разных значениях, геометрического фактора Ь/а

На рис. 3.12 представлены теоретические зависимости величины Q/(l—у2) от параметра разреженности й(1——у) для ряда значений геометрического фактора у = 0,175; 0,35; 0,523; 0,7; 0,872. В табл. 3.3 и на рис. 3.12 использованы следующие обозначения:

Таблица 3.3

Зависимость приведенного расхода через кольцевой канал от параметра разреженности 6(1—Y) и отношения радиусов цилиндров у=Ь/а

ED

Q

1=0仅

0,175

0,35

0,7

0

1,26

0,95

0,288

0,0001

1,2582

0,9422

0,2876

0,001

1,2537

0,9386

0,2863

0,01

1,2325

0,9210

0,2791

0,1

1,1645

0,8636

0,2549

0,2

1,1408

0,8418

0,2446

0,3

1,1320

0,8321

0,2389

0,4

1,1303

0,8279

0,2354

0,5

1,1327

0,8270

0,2333

0,6

1,1377

0,8283

0,2320

0,7

1,1446

0,8310

0,2313

0,8

1,1527

0,8347

0,2311

0,9

1,1619

0,8393

0,2312

1,0

1,1718

0,8445

0,2316

1,1

1,1823

0,8501

0,2322

1,2

1,1933

0,8562

0,2330

1,3

1,2047

0,8626

0,2340

1,5

1,2284

0,8762

0,2363

1,7

1,2529

0,8905

0,2390

2

1,2908

0,9131

0,2437•

2,5

1,3557

0,9527

0,2525

3

1,4219

0,9939

0,2621

4

1,5557

1,0790

0,2831

5

1,6901

1,1663

0,3053

6

1,8246

1,2551

0,3283

8

2,0931

1,4352

0,3755

10

2,3605

1,6171

0,4237

Экспериментальные исследования движения разреженного газа в длинных кольцевых каналах (L/(a—b) >100) проводились Донгом и Бромлеем {95], Берманом и Маегли [136] и др. при следующих значениях геометрического фактора: у = 0,523; 0,872; 0,665; 0,822; 0,9226; 0,871 Ц 0,9932. Результаты измерений расхода газа при разных числах Кнудсена удовлетворительно согласуются с теоретическими расчетами по описанной выше схеме. Разброс экспериментальных данных около соответствующих каждому значению у теоретических зависимостей Q(6) приблизительно такой же, как на рис. 3.11 для круглой трубы.

Течение в каналах квадратного сечения

(ЗЛ23)(ЗЛ23)Течение в длинных каналах квадратного сечения в промежуточной области динамики газа исследовалось главным образом экспериментальными методами [33, 142]. Результаты опытов показали, что для приближенных оценок расхода газа при L/a>50 можно использовать следующую эмпирическую формулу:

(ЗЛ23)

(ЗЛ23)

_"зF(5^7丿 L 128Kn11 + Kn .

где 2a — длина стороны квадратного сечения канала; L — длина канала^ Ap = Pi—р2 — перепад давлений на длине L; G — массовый расход газа^ Кп — число Кнудсена.

Короткие каналы и отверстия

Выше рассматривались течения разреженного газа в длинных каналах (L/a->8). Полученные зависимости Q(6) можно использовать для практических расчетов течений в каналах с £/а>100. В таких каналах на большей их части течение является полностью развитым и влиянием входной и выходной областей можно пренебречь.

Течение в коротких трубах на значительной их части или даже всюду является неразвитым и зависит от условий на концах трубы [81, 82, 106, 137, 155, 172]. На рис. 3.13 представлены взятые из работы (137J экспериментальные зависимости безразмерного расхода G от числа Рейнольдса Re для круглых коротких труб (厶/0=立+10) с прямоугольным входом (L и D соответственно длина и диаметр трубы) при двух значениях отношений давлений pjp2 = 2 и 100 (pi и 卩2 — давления в камерах перед и за трубой). Величина G представляет собой отношение измеренного массового расхода (т) к расходу через отверстие при изоэнтроп- ном критическом режиме истечения

С=/庇где т^=А^УуР(Г^ p* = %/RT*；

7日(备»i(3)?仙吟

Pi и 7\ — соответственно давление и температура в камере перед трубой; y = cp/cv (в опытах у=1,4). Число Рейнольдса представляет собой величину, вычисляемую по формуле

_ G Г nY(Y+l) У / 2 尸

4向 Kn L 4]丿，

1QT1QT10~110~15)5)

1QT

1QT

10~1

10~1

5)

5)

Рис. З./З. График зависимости расхода газа через короткие каналы от числа Рейнольдса: а — Pi/P2==2; б *■* Р1/р2==Ю0; О—厶/0=2; 口一L[D=3; ◊一L/D—4\ △—£/D=6; 4—LJD^^ ▽ — £/D=10

где p\^=pi/RTi； рц — вязкость;厶一средний свободный пробег при pi и 八；Kn = /i/D — число Кнудсена.

Пунктирными линиями на рис. 3.13 даны значения расхода Gm, подсчитанные по теории свободномолекулярного течения при диффузном отражении молекул от стенок трубы:

(Т + 1)

где W=W(L/D) —коэффициент Клаузинга (см. § 2.4).

Из графиков видно, что при малых числах Re (т. е. при больших Кп) расход для каждого значения геометрического фактора L/D приближается к величине, даваемой теорией свободномолекулярного течения. При больших числах Re величина G стремится к единице. В промежуточной области зависимость G(Re) при Р1/рг^2 имеет монотонный характер.

Предельному значению геометрического фактора L[DfO соответствует отверстие в тонкой стенке. Течение через отверстие изучалось теоретически и экспериментально многими исследователями (5, 32, 126, 144]. На рис. 2.4 представлены все опубликованные результаты экспериментальных измерений расхода через круглое отверстие в области чисел Kn^ 1. На этом же графике приведены теоретические зависимости Р. Нарасимхи, Д. Виллиса и Е. М. Шахова, полученные на основе модельных кинетических уравнений. Результаты вычислений Е. М. Шахова согласуются с данными опытов при Кп 〜1 наилучшим образом.

ПЛОСКОЕ ОБТЕКАНИЕ

S=]/^M《1・S=]/^M《1・Рассмотрим вначале поперечное обтекание бесконечного круглого цилиндра (L/jD->oo, L — длина образующей, D — диаметр цилиндра) потоком разреженного газа при малых значениях макроскопической ско

S=]/^M《1・

S=]/^M《1・

рости набегающего потока, т. е. при

В первом приближении эту задачу можно решить при помощи дифференциально-моментного метода. Воспользуемся аппроксимирующей функцией распределения следующего вида:

(2л：А7)з/2 ^Р/="= (2冗欠туе ехР [(2л：А7)з/2 ^Р/="= (2冗欠туе ехР [& — 〃Г1)2 + (品一/I* + 彦(3 - 〃r2)2 + (国 一 /2)2 + 彦& — 〃Г1)2 + (品一/I* + 彦(3 - 〃r2)2 + (国 一 /2)2 + 彦(3.124)(3.124)

(2л：А7)з/2 ^Р

/="= (2冗欠туе ехР [

(2л：А7)з/2 ^Р

/="= (2冗欠туе ехР [

& — 〃Г1)2 + (品一/I* + 彦

(3 - 〃r2)2 + (国 一 /2)2 + 彦

& — 〃Г1)2 + (品一/I* + 彦

(3 - 〃r2)2 + (国 一 /2)2 + 彦

(3.124)

(3.124)

где 厶一функция распределения для молекул, векторы скоростей которых лежат в области /, а % — для молекул, векторы скоростей которых лежат в области 〃 (см. рис. 3.2); &,区,& ——компоненты вектора скорости молекулы; “「I, 〃т2, 〃ei, 〃62 — неизвестные функции координат г и в (здесь и далее используется цилиндрическая система координат).

Так как М《1, формулы (3.124) можно линеаризовать

力=7脸£)3?[1 + 条%?sin 屮+з С。s屮)]exp (一Д^Д) • (3.125)

Здесь ^=吕+^； ^=arctgЗдесь ^=吕+^； ^=arctg

Здесь ^=吕+^； ^=arctg

Здесь ^=吕+^； ^=arctg

Подставляя (3.125) в уравнение переноса и полагая(p = m; m&; mge； т^е, получим следующую систему четырех уравнений для параметров uri и uec

^^卜〃，1 ^~у — аН^ sin2a)+r〃r2(-^ + a —~ sin 2а)] +

+ 靑回("2"- а -sin 2а) + % 传 + а + "I» sin 叫=0;

今[(^i 一区2)(2 + sin2 а)]'+ 斎[(%】-%?) cos? а] +

+ (04 —区 2)cos3 а = 0;

(3.126)(3.126)强[(41 一 %2)COS2 a] + 备[(以一以2)COS3 а]+

(3.126)

(3.126)

+ (%1-%2)cos3a = 0;

(л1-—a — —,< 24'л1a(л1-—a — —,< 24'л1a2244sin 4a) +%2 传 + a — 十 sin 4a)] + sii)4a) + 〃r2 (^"+a——~ sin 4叫 +sin 4a) +%2 传 + a — 十 sin 4a)] + sii)4a) + 〃r2 (^"+a——~ sin 4叫 +

(л1

-—a — —,

< 24

'л1

a

(л1

-—a — —,

< 24

'л1

a

2

2

4

4

sin 4a) +%2 传 + a — 十 sin 4a)] + sii)4a) + 〃r2 (^"+a——~ sin 4叫 +

sin 4a) +%2 传 + a — 十 sin 4a)] + sii)4a) + 〃r2 (^"+a——~ sin 4叫 +

+ [〃弘 ^-|—a —2 sin 2a +-~ sin 4a^+ «02^ + a + 2 sin 2a ++sin 4叫 + p/"± 崇 cos? a (% - ％) = °，

где a=arccosf-2rj; 0《а《^; M=UдМ、!^Г；

m-nU^DRe =m-nU^DRe =

m-nU^D

Re =

m-nU^D

Re =

<Лю — скорость потока на бесконечном расстоянии от цилиндра.

При вычислении столкновительного члена предполагалось, что молекулы взаимодействуют в соответствии с максвелловской моделью. Изменением плотности, как это можно было заметить из (3.124), мы пренебрегаем. Граничные условия сформулируем, предполагая отражение молекул от поверхности цилиндра полностью диффузным:

(3.127)(3.127)〃r2=—CQS。, 〃62=SinO При Г —>ОО；

(3.127)

(3.127)

〃八=0, %i = 0при г —> 1.

Введем новые переменные

〃八+ 〃r2="l COS °，辽ri — %2 = U2 cos 6；Zn+%2 =『iSin 我 w01-«02=y2 sinG,

где S=a(r); Vi = VI (r).

Граничные условия для новых переменных запишутся* следующим образом:

(3.129)(3.129)(/1 + 仇=。，% + 丿2=опри 7=1;

(3.129)

(3.129)

U*i — “?2^—2,丿1 —I/^u2? п ри г = оэ.

При помощи (3.128) система уравнений (3.126) преобразуется к си стеме обычных линейных дифференциальных уравнений:

声a+7（费声a+7（费sin 2а —а I Ucsin 2а —а I Ucsin 2а —а) V2=0;sin 2а —а) V2=0;(3.130)(3.130)

声a+7（费

声a+7（费

sin 2а —а I Uc

sin 2а —а I Uc

sin 2а —а) V2=0;

sin 2а —а) V2=0;

(3.130)

(3.130)

[(sin2 а + 2) 6/2]z + cos3 a (V2 ~ U^=0;(3.131)

[cos2 a%]' + COS3 a (% — 4) =。；(3.132)

7 [居-十Sin 4a)%[一刁紋2г一传 一T sin 4a) 5 + 必十

(3.133)(3.133)+ (-^ + 十 sin 4a) V\ +卜 + 2 sin 2a +_ sin 4a4-+ 1/17-^00520)^^

(3.133)

(3.133)

где значок «штрих» означает дифференцирование по 尸. Из (3.131) и (3.132) вытекает

U2=*丿2=一々0 —自/31-1.(3.134)

了3天一1

Так как на бесконечности % должно быть конечным, то 財=0. С учетом (3.134) из уравнений (3.133) и (3.130) получается обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка для Ui：

电4。)u；+?(一 _^+ sin 4a+ cos4actga)£7； ++ (-|> sin 4a + cos4actga)4 =

=局 I 2sin 2a4=局 I 2sin 2a4sin 4asin 4a(^ 135)(^ 135)

=局 I 2sin 2a4

=局 I 2sin 2a4

sin 4a

sin 4a

(^ 135)

(^ 135)

Уравнение (3.135) является линейным с переменными коэффициентами. Путем аппроксимации коэффициентов уравнения (3.135) в работе [129] получено приближенное аналитическое решение, согласно которому

5 =(岛-2)+|/^普号 для7»1;(3.136}

Ui=—々о—^"р^~—^F'科4 区”汽 7fl.(3.137)；

Из условия «стыковки» формул (3.136) и (3.137) получается следующее выражение для 归о：

岛=岛=111 + 1,1661 + 1,166(3.138}(3.138}

岛=

岛=

1

1

1 + 1,166

1 + 1,166

(3.138}

(3.138}

Отметим, что M/Re 〜Кп.

Для коэффициента сопротивления получается выражение следующего вида:

Cd=-込—,(3.139>

где CD—XIV PUgDL— коэффициент сопротивления цилиндра; X — сила, действующая на цилиндр длиной L; Cpm=f (у, М) —коэффициент сопротивления, подсчитанный по теории свободномолекулярного обтека* ния (см. гл. II); Cpc=f(Re)—коэффициент сопротивления, подсчитанный по теории континуума Навье-Стокса.

Для малых чисел Маха (М^0,01) формула для С Dm, приведенная во второй главе, преобразуется к виду

%т = ¥^^，(3.140>

м.м.где S=где S=

м.

м.

где S=

где S=

С этим выражением согласуется результат, который следует из рассмотренного выше решения. Для функции CDc(Re) из полученного решения вытекает приближенная формула, хорошо согласующаяся с опытом при Кп->0, если Re〜1. Однако формула (3.139) будет лучше соответствовать предельной (континуумной) теории, если для определения Свс воспользоваться зависимостью, полученной на основе уравнений Навье- Стокса [193]:

Cdc=

8 л

Re曾(2 - In Re 曾)

3。0)■

(3.141)

Rue. 3.14, График коэффициента сопротивления цилиндра, обтекаемого разреженным газом с дозвуковой скоростью:

/ — теория континуума Навье-Стокса; II — теория свободномолекулярного режима; точки ——опытные данные Кудевилля и др.; пунктирные линии — формула (3.139); НS=0,013; О — 5=0,027, △—

S=0,054; 口一5=0,107; ▽-S=0,197

На рис. 3.14 представлено сравнение формулы (3.139) с данными опытов [89]. На этом рисунке сплошной линией (линия /) представлена теория континуума Навье-Стокса (формула (3.141); штрихпунктирны- ми горизонтальными линиями в левой части графика даны значения CDm для значений 5 = 0,0134-0,197.

Зависимости Cp(Re) представлены на рис. 3.14 штриховыми линиями. Из графика видно, что формула (3.139) с использованием (3.141) хорошо согласуется с опытом (при ReV1).

В работе [190] эта же задача анализировалась на основе БГК-урав- нения. Полученные при этом ассимптотические формулы для CD (при Кп-И) и Кп->оо) удовлетворительно согласуются с формулой (3.139).

Рассмотрим теперь другой предельный случай — обтекание цилиндра потоком при больших числах М, т. е. S》l. При числах S>10 сопротивление цилиндра в континуумном потоке (Кп->0) можно рассчитывать на основе модифицированной теории Ньютона, согласно которой

(Y + 1)2 4у(Y + 1)2 4у1/Т—11/Т—1(3.142)(3.142)

(Y + 1)2 4у

(Y + 1)2 4у

1/Т—1

1/Т—1

(3.142)

(3.142)

Для у=1,4 имеем Срс» 1,24.

При свободномолекулярном режиме (см. гл. II) в случае диффузного отражения молекул имеем для S>10:

(3.143)(3.143)гдегде

(3.143)

(3.143)

где

где

Cd =〈 & —分 с ) /( Ci)m~~ С De)

KnD

Рис. 3.15. Коэффициент сопротивления цилиндра в промежуточной области при гиперзвуковом обтекании (y=1,4):

/ — свободномолекулярный предел. Данные опытов: О—М=10.1； /дав0,091 [165], △—М・9,3; %・°J76 [165]; +-М=22+25; /®=0,61+1 [115]; х-М-19+24; f®=0,0%0J6 [115]; 口一乂=9,9+10」；Zw-1 [139];

▽ -Mn8,8;『1 [169]

Сравнивая (3.142) и (3.143), можем заключить, что при изменении числа Кнудсена от Кп=0 до Кп = оо коэффициент сопротивления цилиндра в гиперзвуковом потоке изменяется сравнительно немного. Например, если £第=1, то коэффициент сопротивления изменяется от 1,24 до 2,74. Еще меньше будет изменение, если tw<\.

На рис. 3.15 представлены результаты измерений коэффициента сопротивления. Эти данные представлены в виде зависимости приведенного коэффициента сопротивления Od=(Cd—Cd^丨(Свт—CDc) от числа Кнудсена Kn = /oo/D Значения С” и CDm рассчитаны по формулам соответственно (3.142) и (3.143). Использование приведенного коэффициента 0。удобно в том отношении, что его предельные значения не зависят от температурного фактора tw и равны Ср(Кп->0) =0, Cp(Kn->oo) = 1.

Анализируя данные опытов, можем отметить значительный разброс результатов, полученных разными авторами, при малом температурном факторе 加=0,091 и 0,08—0,16 [115, 165] и числах Кпл; 14-2. Помимо влияния коэффициентов аккомодации на результаты измерений, в этих опытах имели место, по-видимому, систематические погрешности. Результаты'измерений приближенно описываются формулой следующего вида (см. рис. 3.15, пунктирная линия):

Задача об обтекании цилиндра в промежуточной области динамики разреженного газа при числах 1 ^М<10 рассматривалась рядом исследователей [15, 57, 195]. В этих работах для численного решения задачи использовался метод статистического моделирования (метод Монте- Карло) и метод характеристик. Результаты вычислений суммарных аэ- родинамических характеристик (например, коэффициентов сопротивле- ния), полученные разными методами, удовлетворительно согласуются друг с другом и с данными опытов.

Рассмотрим кратко схему решения задачи на основе модельного кинетического уравнения методом характеристик, использованным Е. Ф. Лимаром [57]. Так как функция распределения не зависит от координаты z (ось 2 направлена вдоль оси цилиндра, т. е. перпендикулярна скорости набегающего потока UQ、то целесообразно модельное уравнение осреднить по составляющей & вектора скорости частиц. Для этого умножим правую и левую части этого уравнения на djz и затем проинтегрируем обе части уравнения по всем значениям gz. Записывая результат в безразмерной форме (плотность и температура отнесены соответственно к значениям этих параметров на бесконечности 九8 и Too； скорости молекул и макроскопическая скорость газа к ]/ 2/?乙;координаты к радиусу цилиндра %； интеграл от функции распределения по dgz к величине Поо/ЙлЛТоо), получим для максвелловских молекул (р/пц = const) следующее уравнение:

+ 00

16 步О5 了2冗收16 步О5 了2冗收•где 力=力(％, у, &, ")= J /(х, у, &, &，Ez)〃％；C2=&iJ+& — 〃J,

16 步О

5 了2冗收

16 步О

5 了2冗收

Kn=Kn=число Кнудсена, составленное из длины

Kn=

Kn=

свободного пробега в невозмущенном потоке 1由 и радиуса цилиндра.

Таким образом, вместо функции распределения / мы перешли к •функции 厶.Макроскопические параметры — плотность и составляющие скорости — выражаются через 九 следующим образом:

пп+ °°=~ JJ f \d±xd“+ °°=~ JJ f \d±xd“

п

п

+ °°

=~ JJ f \d±xd“

+ °°

=~ JJ f \d±xd“

+ 0о

4-00

Введем еще одну функцию

+ 8

丿2=/2(*, Уч Е“，Е“)= J Е%/(%, У> Ex，Eg, Ez)"%•

.—8

Для этой функции из модельного уравнения можно получить, умножая его на ^d^z и затем интегрируя по djz, следующее уравнение:

&字吟"倉号［5-升/斗晔）

Введение /г позволяет записать для температуры следующую формулу:

+ 0о

7=壷仃（2С2力+力）唯％.

Граничные условия на бесконечности записываются следующим образом:

/LXP[ —『S)2—学](зл46)

/2=exp[ — & — S)2 —

где S=(l7oo/27?Too.

Чтобы сформулировать граничные условия на поверхности цилиндра, будем считать отражение молекул диффузным, т. е.

/j 2.(3.147)

Плотность nw определяется из условия непротекания. Если положить, что теплообмен отсутствует (адиабатная стенка), то температура цилиндра Tw будет определяться из условия равенства потоков энергии.

Уравнения (3.144) и (3.145) являются интегродифференциальными, так как функции /1 и /2 в правой части содержатся под знаком интеграла (см. формулы для м, 〃 и Т). Эта сцстема уравнений с граничными условиями (3.146) и (3.147) решается численно следующим образом. Около цилиндра в плоскости ху выбирается прямоугольная область G достаточно больших размеров. Условия, заданные на бесконечности, считаются заданными на границе этой области. В области G вводится прямоугольная сетка с шагами Лх и hy по осям % и у. Кроме того, функции распределения и макропараметры вычисляются в узлах, расположенных на поверхности цилиндра равномерно с шагом 九с, при этом учитывается разрыв значений вычисляемых функций на твердой поверхности тела и в газе. Ввиду симметрии задачи макропараметры вычисляются только в одной половине плоскости.

Уравнения (3.144) и (3.145) решаются методом итераций вдоль характеристик. При дифференцировании вдоль траектории молекулы, которая является характеристикой, уравнения могут быть записаны в виде

『^^=(ш")(尸驴一/产 D),(3.148)

где V =у 找+匂；々一номер итерации; /# —координата вдоль характеристики, а = ————； р=1, 2;

5% Кп

P^=R^ expP^=R^ exp02)・勺=?/t Для ^=1; т 丿’ \п для 0=2.

P^=R^ exp

P^=R^ exp

В качестве начальных условий для уравнений (3.148) задаются значения А и % в точке %оУо границы для частиц, вылетающих из этой точки со скоростью 自(&, Jz), которая определяет данную характеристику (%一№)^= (y-物)及.

Введем в пространстве скоростей полярную систему координат V, <р, (gx= Vcosф, gy= Vsin(p). Пусть в каждом из узлов сетки в 宜・й итерации известны значения п, 〃不,〃沙,Т. Для определения этих величин в следующей итерации необходимо вычислить значения функций “ и & в узлах и проинтегрировать их по V и <р. Выбрав для вычисления моментов квадратурную формулу, получим систему узлов Vi,屮力 в которых нужно вычислить функции распределения. Если узлы квадратурной формулы одинаковы для всех точек плоскости %, у, то они образуют сетку характеристик, покрывающую эту плоскость. Проведем, начиная от ка-

2,52,5纱纱弘弘+ +-++0 #24 6827/210-1+ +-++0 #24 6827/210-14-4-4 6 824 6 825)5)4 6 82.勿7 RriD = lglD4 6 82.勿7 RriD = lglD

2,5

2,5

纱

纱

弘

弘

+ +

-++0 #

24 682

7/210-1

+ +

-++0 #

24 682

7/210-1

4-

4-

4 6 82

4 6 82

5)

5)

4 6 82

.勿7 RriD = lglD

4 6 82

.勿7 RriD = lglD

4

2,5 纨

24682468246*82

7/27〃т/101

口）口）仇=，оо〃

口）

口）

%

Рис. 3.16. График сравнения численных решений с опытом при (a) S=3,35 〃 (6) S=4,95: нопытные данные [138]; △, V, ф, ©, Q ~ метод Монте-Карло (для модельного уравнения) (15]. □ _ численное решение модельного уравнения методом характеристики (данные Е. Ф. Ли- 'мара); 0 « метод Монте-Карло [195]

кой-либо точки границы, на которой известны значения макропараметров для соответствующего значения скорости, характеристику, которая определяется координатами V<, <р； одного из узлов квадратурной формулы. Обыкновенные дифференциальные уравнения (3.148) с начальными данными на границе могут быть легко решены численно, если производную по /* аппроксимировать конечноразностным выражением

丿 Jm±L^^(3.149)

AZ*

Здесь индексами 厶(力+l) обозначаются точки пересечения характеристики с линиями сетки. Поскольку они в общем случае не совпадают с узлами сетки, то значения макропараметров в этих точках, необходимые для решения (3.149), должны быть вычислены с помощью интерполяции между ближайшими узлами сетки. С помощью соотношения (3.149) значения функции распределения f^^+i в таких точках можно вычислить последовательно, проходя от границы вдоль характеристики по направлению движения частицы. Однако вычисленные таким образом значения функции распределения в общем случае не лежат в узлах сетки. Для того чтобы получить значения функции распределения в узлах сетки, необходимо воспользоваться интерполяцией. Величина функций распределения fp в узле сетки для заданных значений 丫厶 <р； получается путем интерполяции между двумя значениями fp, вычисленными в точках пересечения с линией сетки двух соседних характеристик (проведенных из двух соседних узлов на границе при одинаковых значениях Vi, ф；), лежащих по разные стороны от узла. При этом можно вести вычисления таким образом, что не будет необходимо запоминать функцию распределения, а можно будет ограничиться запоминанием макропараметров в узлах сетки.

На рис. 3.16 приведены результаты расчетов Е. Ф. Лимара при числах S= р/^ f М =3,95; 4,95, числах Kn =2KnD=0,4—20 и 儿=1・ На графиках отмечены свободномолекулярные (линии /) и континуумные (линии //) пределы. Следует отметить, что результаты расчетов хорошо согласуются с опытом.

Интересно отметить, что использование в расчетах разных моделей молекул (твердые сферы, максвелловская модель) и разных уравнений (Х-модель, ц-модель, моделирование уравнения Больцмана — метод Монте-Карло) приводит к мало отличающимся результатам в коэффициентах сопротивления.. Различие здесь такого же порядка, что и точность имеющихся опытных данных [42, 180, 195].

На рис. 3.17 представлены результаты вычислений поля плотности около цилиндра при S=5, Кп = 1 и tw^\. Следует отметить, что расчеты, основанные на уравнении Больцмана с использованием метода статистических испытаний [195], дают несколько иную картину. Для сравнения на рис. 3.17, б приведены результаты работы [195], полученные для тех же значений S, Кп и 方冲 Результаты расчетов полей позволяют сделать следующие качественные выводы. Толщина сжатого слоя перед цилиндром в области переходного по числам Кпр режима значительно толще, чем в газодинамическом пределе. При уменьшении числа Кп° толщина сжатого слоя уменьшается, а величины плотности и температуры в окрестности точки торможения растут. При увеличении числа М (при фиксированном числе KnD) область сжатия перед телом несколько сокращается, плотность и температура в окрестности точки торможения увеличиваются, размер возмущенной области над телом растет. При этом точка цилиндра, в которой начинается зона разрежения, смещается несколько вниз по потоку.

Рис. 3./7・ Поле плотности около цилиндра при S=5, Kn=l u f紡=1:а — решение модельного уравнения методом характеристик; 6 — метод Монте-Карло [195]Рис. 3./7・ Поле плотности около цилиндра при S=5, Kn=l u f紡=1:а — решение модельного уравнения методом характеристик; 6 — метод Монте-Карло [195]

Рис. 3./7・ Поле плотности около цилиндра при S=5, Kn=l u f紡=1:

а — решение модельного уравнения методом характеристик; 6 — метод Монте-Карло [195]

Рис. 3./7・ Поле плотности около цилиндра при S=5, Kn=l u f紡=1:

а — решение модельного уравнения методом характеристик; 6 — метод Монте-Карло [195]

Рассмотренные выше методы решения задачи об обтекании цилиндра позволяют также анализировать теплоотдачу в промежуточной области динамики газов. Однако систематических результатов, которые в принципе можно получить на основе численного решения кинетических уравнений, сейчас еще не накоплено. В то же время этому вопросу было посвящено большое число экспериментальных исследований, в результате которых накоплен обширный фактический материал (21, 62, 65, 67, 72, 94, 124]. Особенно много изучалась интегральная теплоотдача цилиндра, выполненного из материала с большой теплопроводностью. Интерес к этой задаче связан с широким использованием в испытательской и лабораторной практике термоанемометров.

Экспериментально установлено, что при не очень больших числах Рейнольдса при континуумном обтекании (KnD<0,01) относительная температура восстановления цилиндра г]с = Те/Т0 (где Те и То — соответственно температура восстановления и температура адиабатно заторможенного потока) является только функцией числа Маха и изменяется от Пс=<1 при М->0 до Пс = 0,95 при М>2 [94]:

%=1一0,05不鼻%=1一0,05不鼻(3.150)(3.150)

%=1一0,05不鼻

%=1一0,05不鼻

(3.150)

(3.150)

При свободномолекулярном режиме относительная температура восстановления зависит от y = cp/cv и от числа М, также уменьшаясь с ростом М (см. гл. II). При числах М>10 значение этой температуры почти не отличается от предельного значения (Пт)м_ 8 =——.

Y + 1

При больших М разность (刀耽一т]с) практически не зависит от чис* ла М.

На рис. 3.18 представлены результаты большого числа опытов, проведенных при у= 1,4 и М>0,4 в диапазоне Knn = l^lD = 0,04—11. В работе [94] установлено, что результаты всех опытов в первом приближении можно описать следующей эмпирической формулой (см. рис. 3.18, линия 〃/):

%=К 吟 193

*加г0,493+ Kn#93

Рис. 3.18. График температурного коэффициента восстановления цилиндра в промежуточной области:

7 — континуумный предел; II — свободномолекулярный предел; III — формула (3.151). Опытные данные: из [94]— О *— М=5,8; •—М=3,05; ▼»—М«=2 и 4; X—М=2+3,2; ▲~-М=0,6: △ —М = 1,2; ▽—М = 1,С；①一М=0,8; из [67]1М=4+6; из [21]—□— М*2,7; из [65]——0 — М=0,41; из [21] (дан

Йые Л« В. Козлова) —V— М=3; <—М=4

Рис. 3.19. Теплообмен цилиндра. Зависимость среднего числа Нуссельта Nu()от числа Рейнольдса Re0:

/ — теория свободномолекулярного режима, формула (3.154); // — континуумный предел; точки — данные различных исследователей, суммированные в работе [67], М=1,5+6, и данные Коппен- вальнера [124],，М=20 + 24

где значение Пс определяется по формуле (3.150), а разность (пш—т]с) определяется при помощи следующего выражения:

加-% = 0,2167 —— •(3.152)

0,852+ M2,8

При М>3 формулы (3.150) и (3.152) упрощаются:

Тс = 0,95; т|加—— Пс=0,2167・

(3.153)(3.153)Н（』Г「Н（』Г「-MG) j '-MG) j 'Многочисленные опыты, проведенные при числах Reo = 0,04~-100 и 0,3^/w^l [67, 72, 124], показали, что теплоотдача цилиндра, обтекаемого двухатомным газом при М^2, удовлетворительно (с точностью ± 10%) описывается в промежуточной области (0,01 <Кп< 100) следующей эмпирической формулой (рис. 3.19):

(3.153)

(3.153)

Н（』Г「

Н（』Г「

-MG) j '

-MG) j '

о и £>

где Re0=^-; Nu°=

_ aD . 入(То)'

a—Q；

aD (叮一fw) То

/ 0

Nuo=]/^阡丽^ —а,

片区=1,167-0,217 То

а=0,4582; 6 = 0,17422; а — средний коэффициент теплоотдачи; Q — суммарный тепловой поток, приходящийся на единицу длины (образующей) цилиндра;協(7。) и %(Г0)——вязкость и теплопроводность при температуре адиабатно заторможенного потока Го； Tw — температура поверхности цилиндра.

При Re()f0 (Кп->оо) формула (3.153) преобразуется к виду

(3.154)(3.154)Nu=—— Reo=O,1911 Re0.

(3.154)

(3.154)

2 а

Выражение (3.154) соответствует результату, полученному в теории свободномолекулярного гиперзвукового обтекания при у= 1,4; Рг = 0,7 и аэ=1. При числах М<2 в формуле (3.153) появляется поправочный множитель, сложным образом зависящий от М и Re [67, 94].

Рассмотренная выше задача относится к классу плоских задач внешнего обтекания. Одной из интереснейших задач этого класса является задача об обтекании тонкой пластины конечной (вдоль по потоку) длины и бесконечного размаха. В зависимости от угла атаки характер обтекания пластины существенно различный. При поперечном обтекании (угол атаки равен 冗/2) возникает картина, похожая на картину обтекания цилиндра. При нулевом угле атаки обтекание пластины дает предельную картину течения около тонких заостренных тел.

Теоретические исследования обтекания пластины в промежуточной области проводились на основе численного решения модельных кинетических уравнений [56, 58], на основе численного решения уравнения Больцмана [52], а также методом Монте-Карло [194]. Экспериментальные данные о теплоотдаче пластины конечной длины получены в работе [29]. В результате исследований было установлено, что при больших числах М(М>4) коэффициенты сопротивления Сх = Х —p^U^

и теплоотдачи Сн = ql^Cp(7оо (Те——Tw) для продольно-обтекаемой (при нулевом угле атаки) пластины в области почти свободномолекулярного обтекания (100>Кп>1) существенно больше значений, даваемых теорией свободномолекулярного режима. Таким образом, зависимости Сх(Кп) и Сн(Кп) для пластины при М>4 оказываются немонотонными в промежуточной области динамики разреженного газа. Это явление можно объяснить приближенно так. При больших числах Маха молекулы, пролетающие при нулевом угле атаки около пластины, движутся по траекториям, почти параллельным плоскости пластины. Угол наклона траек-

тории в среднем равен §=arctg——— • На пластину молекулы падают за счет тепловой скорости сg = VWT^ из относительно тонкой зоны над поверхностью пластины. Отраженные молекулы при числах Кп>1 проходят через эту зону без столконовений с падающими на пластину молекулами и сталкиваются с молекулами невозмущенного потока за пределами указанной зоны. После столкновения отраженной молекулы с молекулой набегающего потока одна из них может направиться к пластине. Так возникает направленный к пластине поток большого числа молекул первых столкновений. Эти молекулы обусловливают дополнительные потоки импульса и энергии. При ненулевом угле атаки, когда MsinaRl (а — угол атаки), описанное явление уже не имеет места.

Одним из частных вопросов задачи о продольном обтекании пластины бесконечного размаха является задача о течении вблизи передней кромки бесконечно тонкой пластины, длина L которой, отсчитываемая от передней кромки вниз по потоку, равна бесконечности, т. е. Кп = =(/оо/1~>0. Этому вопросу было посвящено большое число экспериментальных и теоретических работ (см. например, (166]). Следует отметить, что распределение тепловых потоков и касательных напряжений на стенке вблизи передней кромки такой пластины иное, чем на пластине конечной длины. Чем больше число Кнудсена, составленное из длины свободного пробега молекул в невозмущенном потоке и длины пластины L, тем структура течения около кромки больше отличается от той, которая наблюдается при Kn = /oo/L->0.

ОБТЕКАНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ

11С D = С DmС D = С DmРассмотрим задачу о сопротивлении сферы при малых числах Маха. Если воспользоваться дифференциально-моментным методом, который описан в предыдущем параграфе при рассмотрении обтекания цилиндра, то получим следующую формулу для коэффициента сопротивления (подробные выкладки даны в [264]):

1

1

С D = С Dm

С D = С Dm

р и DRe=—-°0--; О —диа・р и DRe=—-°0--; О —диа・(3.155)

р и D

Re=—-°0--; О —диа・

р и D

Re=—-°0--; О —диа・

метр шара; CD=X / [~|"「8"乙(^^)] ； Х —— сила, действующая на шар.

Полученное при этом выражение для CDm [формула (7.2)] в точности соответствует результату, полученному в теории свободномолекулярного режима при диффузном отражении молекул для М~>0 (см. гл. II). Выражение для Срс с точностью до постоянного коэффициента а совпадает с формулой Стокса, полученной в теории континуума. Учитывая, что метод решения является приближенным, целесообразно скорректировать конечный результат таким образом, чтобы при Кп~>0 (т. е.

Cd

(Y +1)2 pi 4Y ](Y +1)2 pi 4Y ]

(Y +1)2 pi 4Y ]

(Y +1)2 pi 4Y ]

0,07-Q,n5 &J8 "—NJ 225 0,12 &" 35

Рис. 3.20. График зависимости коэффициента сопротивления сферы от числа Рейнольдса: пунктирные линии ~ формула (3.158); а — неохлаждаемая сфера (tw «1). Опытные данные: / — М=8,65+ 10,35; 2 — М=8 -4-10; 3 — М=6; 4 —М=5; 5 — М=5 (данные взяты из [105]); 6 — М=6+12 [105]; 7 — М=5 4-9,2 [17] ： 8 — М=8,3 [170]; б — охлаждаемая сфера tw «0,2. Опытные данные: / —М=6, / w =0.26; 21M=5+12,5, ^w=0,08 4-0,125; 3 —М=5; f仞=0,2; 4 — M=5, f®=0,18; 5 — М.= 10,6ч-10,8, /.^=0,10 ч- 0,3 (данные взяты из [105] )： 6 — М=6 -М2, f®=0,25 [105];

7 —М=10, f®=0,2 [140]; 8 —М=15+27, ^ =0,035 [120]

при M/Re->0) из формулы (3.155) вытекала формула Стокса. С учетом сказанного, следует положить а = 24. При этом значении коэффициента а формула (3.155) удовлетворительно согласуется с опытными данными и результатами, полученными на основе численного решения модельного кинетического уравнения [54]. Формулу (3.155) можно применить при Re<0,l и любых числах Кнудсена.

Рассмотрим теперь гиперзвуковое (М》1) обтекание шара. В этом случае при континуумном обтекании коэффициент сопротивления шара, согласно модифицированной теории Ньютона, составляет величину

Рис. 3.21. Температурный коэффициент восстановления сферы в промежуточной области динамики разреженного газа:/ — свободномолекулярный предел; II — формула (3.159); Чопытные данные [37, 28]Рис. 3.21. Температурный коэффициент восстановления сферы в промежуточной области динамики разреженного газа:/ — свободномолекулярный предел; II — формула (3.159); Чопытные данные [37, 28]

Рис. 3.21. Температурный коэффициент восстановления сферы в промежуточной области динамики разреженного газа:

/ — свободномолекулярный предел; II — формула (3.159); Чопытные данные [37, 28]

Рис. 3.21. Температурный коэффициент восстановления сферы в промежуточной области динамики разреженного газа:

/ — свободномолекулярный предел; II — формула (3.159); Чопытные данные [37, 28]

При y= 1,4 из (3.156) следует Сос=0,917. В другом предельном случае — при свободномолекулярном режиме — коэффициент сопротивления шара вычисляется по следующей формуле:

(3.157)(3.157)

(3.157)

(3.157)

На рис. 3.20 представлены в виде зависимости Co=f (Re。) результаты измерений коэффициентов сопротивления в промежуточной области динамики газов (ОД<Reo<lOOO) при гиперзвуковом (М>5) обтекании шара двухатомным газом (воздух, азот). Данные, приведенные на рис. 3.20, а, получены при условии теплового равновесия шара, т. е. при tw = Tw/T0^l [17, 105, 170]. На рис. 3.20, б представлены результаты, полученные при Zw«0,2 (0,l</w<0,3) [105, 120, 140]. Эксперименты [105, 140] проводились при То=3004-3000 К・ В работе [120] температура торможения составляла Т()= 9000К・ Штрихпунктирными линиями указаны предельные значения С。, подсчитанные по формулам (3.156) и (3.157). Из графиков нетрудно заключить, что коэффициент сопротивления шара в промежуточной области зависит от Re0 и tw. Зависимость коэффициента сопротивления от этих параметров удовлетворительно описывается следующей эмпирической формулой (на графиках представлена пунктирными линиями):

'Cd=CDc+―GdlCdc,(3.158)

l+o,16 (ReoG^y

где 厶= 0,8+不磊%=T4； U =

+ O,lReoHUo)

Re°=—; C”=0,917 (для Y=l,4)；

(宁)m2

Cf)/n=：2+。，63/罐(для y=1,4);

“(To)—вязкость газа при температуре адиабатного торможения То； Tw — температура поверхности шара; poo, Us ——плотность и скорость невозмущенного потока; D — диаметр шара.

На рис. 3.21 представлены в виде зависимости r=/(Re0) результаты измерений температурных коэффициентов восстановления шара, сделан-

Рис. 3.22. Теплоотдача сферы обтекаемой гиперзвуковым потоком разреженного газа:

О — опытные данные [28, 37]

400 удовлетворительно описывается формулой следующего вида (кривая 77):400 удовлетворительно описывается формулой следующего вида (кривая 77):(3.159)(3.159)ного из теплопроводного материала. Эти опытные данные получены при сверхзвуковом обтекании шара (2,3VMV3). потоком воздуха [28, 37]. Температура торможения в этих опытах составляла величину То^ЗОО К. Зависимость г (Reo) в диапазоне чисел Reo= 14-

400 удовлетворительно опи

сывается формулой следующего вида (кривая 77):

400 удовлетворительно опи

сывается формулой следующего вида (кривая 77):

(3.159)

(3.159)

1 +0,025Re；/2

гдегде%=含=1,167 (для М>5); ь。,91; у|^

где

где

Наконец, на рис. 3.22 приведены данные (28, 37] по теплоотдаче шара, обтекаемого сверхзвуковым потоком (3<М<8); в виде зависимости NUe=f(Reo), гдеNu. =—, A=nD2 — поверхность сфе-

(北一7®)入(т6) /

ры; Те — равновесная температура шара; Tw — температура поверхности шара;九(Те)——теплопроводность воздуха при температуре, равной 7^； Q — суммарный поток тепла в сферу. На этом же рисунке штрихпунктир- ной линией представлена для сравнения зависимость, полученная в теории свободномолекулярного режима для М》1 и аз= 1;

Num=Pr0Re0 ^0,15 Re0.

Теоретическое исследование сопротивления и теплоотдачи сферы на основе численного решения модельного уравнения проводились И. Н. Лариной [57]. Результаты ее расчетов удовлетворительно согласуются с приведенными выше опытными данными.

Рассмотрим схему решения задачи на основе модельного уравнения:

dfdfдуду¥=丄（九一力,dz n¥=丄（九一力,dz nГДе Л=^^еХР[ГДе Л=^^еХР[& 一 口拼 + ⑸一 以力2 + (Ez - 〃z)2& 一 口拼 + ⑸一 以力2 + (Ez - 〃z)22RT2RT

df

df

ду

ду

¥=丄（九一力,dz n

¥=丄（九一力,dz n

ГДе Л=^^еХР[

ГДе Л=^^еХР[

& 一 口拼 + ⑸一 以力2 + (Ez - 〃z)2

& 一 口拼 + ⑸一 以力2 + (Ez - 〃z)2

2RT

2RT

Приведем это уравнение к безразмерному виду, принимая за характерную скорость j/2/^Гсо, за характерную длину диаметр сферы D, за характерные плотность и температуру — плотность и температуру невозмущенного потока Поо, Too. Кроме того, воспользуемся следующими соотношениями для вязкости и длины свободного пробега молекул:

卩8卩85Р 8 M2球乙5Р 8 M2球乙16

卩8

卩8

5Р 8 M2球乙

5Р 8 M2球乙

где О,5<(о<1. После несложных преобразований уравнение записывается в следующем виде:

疗= 8石 5*КлКп疗= 8石 5*КлКп万…（九一/）,万…（九一/）,(3.160)(3.160)

疗= 8

石 5*КлКп

疗= 8

石 5*КлКп

万…（九一/）,

万…（九一/）,

(3.160)

(3.160)

где Ei=E“2RT8； x=xjD\ 7=勿。；z=z/D; n=n/noo; T=T[T二 / = =(//%)(2/?7\产；Kn=2oo/D

Граничное условие на бесконечности записывается в следующем виде (ось х направлена параллельно скорости потока, система координат связана с шаром):

(3.161)(3.161)7 оо =e-3/2 exp [-(e-S)2 一号一专丸

(3.161)

(3.161)

где 8=17^2^2.

На поверхности сферы будем предполагать диффузное отражение и полную термическую аккомодацию. Тогда для отраженных молекул функция распределения в безразмерном виде записывается следующим образом:

几5 几)3/2Tw几5 几)3/2Tw<3.162)<3.162)

几5 几)3/2Tw

几5 几)3/2Tw

<3.162)

<3.162)

где Tw=Т^/Т оо» ttw == tiwlttоо •

Дополнительным условием является свойство непроницаемости поверхности сферы. В этом случае числа падающих и отраженных частиц одинаковы. Отсюда следует

成=-2(В『 f (W fd^ (盛=屈馮虑).(3.163)

' W ' (Сл)<о

Здесь n — внешняя нормаль к поверхности сферы.

Входящие в (3.160) макропараметры п, 7, йг выражаются через искомую функцию распределения следующим образом:

(J辽"do>・(J辽"do>・(3.164)(3.164)

(J辽"do>・

(J辽"do>・

(3.164)

(3.164)

Решение задачи об обтекании сферы сводится к решению системы уравнений (3.160), (3.163) с граничными условиями (3.161), (3.162), (3.163).

Численное решение этой задачи можно получить при помощи метода интегральных итераций. Так как течение осесимметричное, то для получения полной картины течения достаточно провести расчеты макропараметров в одной плоскости (например, в плоскости xz, проходящей через центр шара и параллельной скорости набегающего потока UQ. При этом целесообразно перейти в этой плоскости к полярным координатам г, а, а в пространстве скоростей — к сферическим координатам g, 0, ф. За ось 0=0 удобно выбирать в каждой точке поля луч а, а угол ф отсчитывать от оси 2・

В методе интегральных итераций используется интегральная форма уравнения (3.160)), которое с учетом сказанного выше можно записать следующим образом:

/(「，а, Е, 4 叫=/(厶，％, Е, 4 ?)exp —у [”(Г, 丫')。屮'+

- о -

Y)九(厶 Y, Е, 8, ?) expY)九(厶 Y, Е, 8, ?) expф-一十f(", Y)W /,ф-一十f(", Y)W /,(3.165)(3.165)

Y)九(厶 Y, Е, 8, ?) exp

Y)九(厶 Y, Е, 8, ?) exp

ф-

一十f(", Y)W /,

ф-

一十f(", Y)W /,

(3.165)

(3.165)

где Z=Z (中)=丿屮 + r2 一 2屮r cos 8;

Y = arccos |~ Г cos a — Ф (cos 6 cos a — sin 6 cos у sin a)^ j心=]/ 1 十 产一2r cos，, если 0<arcsin —;

屮$=/?8, если 6>arcsin —;

cos %= cos § cos a + sin p sin a cos 卩；p=arcsin (r sin 6) — 6; v——赤a-?

5 Ул Kn

r — расстояние от центра шара до рассматриваемой точки, отнесенное к радиусу сферы.

Система уравнений (3.165), (3.164) является нелинейной с неизвестными п, й, Г, /. Схема вычислений выглядит так.

Известные значения 〃(”一"，〃"-", 7(л)и значение 〃^一)，полученное по формуле (3.163) для известной /(й-1), подставляются в правую часть уравнения (3.165), затем найденное значение функции распределения fw служит для определения величин nw, 〃(”), Т“)и п®> в следующем приближении. Такая схема метода итераций удобна тем, что не требует запоминания функции распределения. В каждой итерации следует запомнить для каждой точки координатной сетки лишь четыре первых момента функции распределения и значение плотности отраженных частиц nw на теле.

Таким образом, решение задачи сводится к вычислению четырехкратных интегралов в каждой точке сетки поля. При вычислении функции распределения /(г, а,自)интегрирование вдоль луча с направлением а проводится методом трапеций. Шаг А интегрирования по г|)выбирается в зависимости от ^ и v, так как при малых значениях 自 и больших значениях v экспонента в подынтегральной функции резко затухает. При расчете и, их, uz, Т трехкратные интегралы по скоростям вычисляются методом Монте-Карло. Для повышения точности счета дисперсия уменьшается при помощи вычитания из подынтегральной функции локально-максвелловской функции распределения, умноженной соответственно на 1, Ех, &, (^—й)2, с параметрами 凉辽£一"，忌”一"，「"一" из предыдущей итерации.

Расчеты, проведенные И. Н. Лариной на машине БЭСМ-6, показали, что этот метод дает возможность за 2—5 ч машинного времени (в зависимости от чисел М и Кп) получить решение задачи с точностью 1+2%.

Выше обсуждалось обтекание сферы. Другой характерной задачей внешнего обтекания осесимметричных тел является обтекание острого конуса. Этой задаче было посвящено большое число экспериментальных и теоретических работ (см., например, [113, 116, 196]. Из теории и опытов следует, что сопротивление и теплоотдача конусов при нулевом угле атаки зависят от числа Reo, температурного фактора tw и угла при вершине конуса р.

СПИСОКЛИТЕРАТУРЫ

Баранцев Р. Г. Метод интегральных моментных кинетических уравнений.— В сб.: «Аэродинамика разреженных газов», Л., Изд-во ЛГУ, 1965, вып. 2, с. 62—78.

Баранцев Р. Г. Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми поверхностями. М., «Наука», 1975, 344 с.

Бишаев А. М., Рыков В. А. Теплопередача между бесконечными параллельными пластинами в разреженном газе. — Механика жидкости и газа. Изд. АН СССР, 1972, № 1, с. 87—91.

Богачева А. А., Перепухов В. А., Рухман Э. Е. Применение метода Монте- Карло к расчету аэродинамических характеристик тел сложной формы в свободномолекулярном потоке.——«Журн. вычислительной математики и математической физики», 1968, т. 8, № 6, с. 1395—1402.

Борисов С. Ф. и др. Течение разреженных газов через отверстие при малых перепадах давления.——«Журн. технической физики», 1973, т. 43, № 8, с. 1735—1739.

Боровков И. С., Вершинин И. Д. О коэффициенте расхода воздухозаборника при свободномолекулярном режиме течения.—Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. 1, № 5, с. 72—77.

Валандер С. В. Уравнения и постановка задач в аэродинамике разреженных газов. — В сб.: Аэродинамика разреженных газов. Л., Изд-во ЛГУ, 1963, № 1, с. 7—37.

Власов В. И., Хлопков Ю. А. Вариант метода Монте-Карло для решения линейных задач динамики разреженного газа. — «Журн. вычислительной математики и математической физики». 1973, т. 13, № 4, с. 1075—1079.

Вычислительные методы в динамике разреженных газов. М., «Мир», 1969, 276 с.

Галкин В. С. Об учете молекулярного состава воздуха при расчетах коэффициентов аэродинамических сил и температуры тела в свободномолекулярном потоке при больших сверхзвуковых скоростях. — «Инженерный журнал», 1961, № 1, с. 175——176.

И. Галкин В. С. Цилиндрическое течение Куэтта в разреженном газе. — «Инженерный журнал», 1965, т. 5, № 3, с. 533—555.

Гиршфельдер Д., Кертис Н., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М., ИЛ, 1961, 929 с.

Горелов С. А. Течение разреженного газа в трубе. Механика жидкости и газа. Изв. АН СССР. 1974, № 1, с. 176—179.

Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблица интегралов, сумм, рядов и произведений. М., ГИФМЛ, 1963, 1100 с.

Григорьев Ю. Н., Иванов М. С. Расчет обтекания цилиндра разреженным газом на основе модельного кинетического уравнения. — Численные методы механики сплошной среды. АН СССР СО ВЦ, Новосибирск, 1974, т. 5, № 1, с. 152—154.

Григорьев Ю. Н., Иванов М. С., Харитонова Н. И. К вопросу о решении нелинейных кинетических уравнений динамики разреженного газа методами Монте-Карло. Сб.: «Численные методы механики сплошной среды». Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1971, т. 1, № 4, с. 101—107.

Гусев В. Н., Коган М. Н., Перепухов М. Н. О подобии и изменении аэродинамических характеристик в переходной области при гиперзвуковых скоростях потока.—Ученые записи ЦАГИ, 1970, т. 1, № 1, с. 24—33.

Иванов А. Е., Кошмаров Ю. А. Исследование распределения температуры в кольцевом слое разреженного газа. — Энергетика и транспорт. Изв. АН СССР, 1973, № 3, с. 98—103.

Иванов В. П., Неймарк Ю. И. Расчет молекулярных насосов.——Механика жидкости и газа. Известия АН СССР. 1968, № 3, с. 176—183.

Ивановский А. И. Некоторые вопросы взаимодействия измерительной полости с потоком разреженного газа.—Труды ЦАО. 1964, вып. 56, с. 49—96.

Изаков М. Н., Перов С. П. Исследование теплообмена цилиндра в потоке разреженного газа. — Механика и машиностроение. Известия АН СССР. 1962, № 1, с. 42—51.

Коган М. Н. Динамика разреженного газа. М., «Наука», 1967, 440 с.

Колуэлл. О потоках газов малой плотности в насадках.——Теоретические основы инженерных расчетов. 1969, № 1, с. 92—99.

Кошмаров Ю. А. Течение разреженного газа около стенки, внезапно приведенной в движение.——«Инженерный журнал», 1963, т. 3, № 3, с. 433——441.

Кошмаров Ю. А. К вопросу о влиянии разрежения на процесс газодинамического вдув а или отсоса через омываемую потоком стенку.——«Инженерно-физический журнал», 1964, т. 2, № 6, с. 48—54.

Кошмаров Ю. А., Иванов А. Е. Экспериментальное исследование теплопередачи через разреженный газ между коаксиальными цилиндрами. — Энергетика и транспорт. Известия АН СССР. 1971, № 4, с. 156—161.

Кошмаров Ю. А., Свирщевский С. Б. Теплоотдача пластины в гиперзвуковом почти свободномолекулярном потоке.——Энергетика и транспорт. Известия АН СССР. 1974, № 4, с. 138—145.

Кошмаров Ю. А., Свиршевский С. Б. Теплоотдача сферы в промежуточной области динамики разреженного газа. — Механика жидкости и газа. Известия АН СССР. 1972, № 2, с. 170—172.

Кошмаров Ю. А., Свирщевский С. Б. Теплообмен пластины и влияние передней кромки в потоке разреженного газа.——Механика жидкости и газа. Известия АН СССР. 1975, № 2, с. 118—125.

Ларина И. Н. Поле плотности вокруг конуса в свободномолекулярном потоке.—Механика жидкости и газа. Известия АН СССР. 1968, № 4, с. 172—176.

Левенсон Л., Миллерон Н., Девис Д. Выбор оптимальной проводимости вакуумной системы в режиме молекулярного течения.——В сб.: Современная вакуумная техника. М., ИЛ, 1963, с. 82—93.

Лимар Е. Ф., Светцов В. В., Шидловский В. П. Плоская задача об истечении газа в вакуум при произвольных числах Кнудсена.——«Журнал вычислительной математики и математической физики», 1974, т. 14, № 1, с. 188—197.

Миллигэн, Уилкерсон. Влияние перепада давлений на молекулярный расход при течении разреженного газа в длинных трубах квадратного сечения. — Конструирование и технология машиностроения. 1973, «Мир», № 1, с. 296—299.

Мое. Коэффициенты сопротивления конусов и цилиндров согласно модели Шамберга. — Ракетная техника и космонавтика. 1973, № 3, с. 168—171.

Мусанов С. В. Аэродинамические характеристики осесимметричных полостей в свободномолекулярном потоке. — Ученые записки ЦАГИ, 1972, т. 3, № 5, с. 104—109.

Неудачин И. Г., Породнов Б. Т., Суетин П. Е. Кнудсеновское течение газов в прямоугольном канале конечной длины.——«Журнал технической физики», 1972, т. 42, вып. 6, с. 1306—1309.

Никольский Ю. В., Первушин Г. Е., Черникова Л. Г. Экспериментальное исследование теплопередачи на сферах и тонких конусах в гиперзвуковом потоке разреженного газа. — Ученые записки ЦАГИ, 1970, т. 1, № 1, с. 71—77.

Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике. Под ред. проф. Кошкина В. К. М., «Машиностроение», 1975, 624 с.

Паттерсон Г. Н. Молекулярное течение газов. М., Физматгиз, 1960, 272 с.

Перминов В. Д., Фридлендер О. Г. Моменты интеграла столкновений для максвелловских молекул. ГТМТФ, 1965, № 6, с. 114—116.

Пономарев В. Я. Обтекание невыпуклого клина свободномолекулярным потоком с конечным числом Маха. — Механика жидкости и газа. Изв. АН СССР. 1967, № 4, с. 145—150.

Пономарев В. Я., Филиппова Н. А. Экспериментальное исследование сопротивления цилиндра в разреженном газе.——Механика жидкости и газа. Известия АН СССР. 1969, № 6, с. 166—169.

Породов Б. Т. и др. Экспериментальное исследование течения разреженных газов в капиллярном сите.——《Журн. технической физики», 1974, т. 44, вып. 4, с. 818—823.

Породов Б. Т., Суетин П. Е. Течение разреженного газа между двумя параллельными плоскостями. — Механика жидкости и газа. Изв. АН СССР. 1967, № 6, с. 93—98.

Породов Б. Т., Суетин П. Е., Борисов С. Ф. Течение газов в плоской щели в широком диапазоне чисел Кнудсена. — «Журнал технической физики», 1970, т. 40, вып. 11, с. 2383—2391.

Пярнпуу А. А. 'Взаимодействие молекул газа с поверхностями. М., «Наука», 1974, 192 с.

Спрингер. Влияние термического коэффициента аккомодации на сопротивление сферы и цилиндра в свободномолекулярном потоке.——Ракетная техника и космонавтика. 1964, № 1, с. 167—169.

Терехов А. Д., Фролова Е. Н. Экспериментальное сравнение методов определения термического коэффициента аккомодации. ПМТФ, 1972, № 4, с. 173——176.

Туэрян, Мейз. Теплообмен на сфере при свободномолекулярном течении неоднородного газа.——Ракетная техника и космонавтика. 1963, № 11, с. 232——235.

Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М., ИЛ, 1960, 510 с.

Черемисин Ф. Г. Решение кинетического уравнения Больцмана в задаче о теплопередаче между параллельными бесконечными стенками в разреженном газе.— Механика жидкости и газа. Известия АН СССР. 1970, № 5, с. 185—188.

Черемисин Ф. Г. Решение плоской задачи аэродинамики разреженного газа на основе кинетического уравнения Больцмана. Доклады АН СССР, 1973, т. 209, № 4, с. 811—814.

Черняк В. Г. и др. Плоское течение Пуазейля при произвольной аккомодации тангенциального импульса, Изв. высших учебных заведений. М., «Физика», 1973, № 6, с. 107—110. .

Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. М., «Мир» 1973, 246 с.

Численные методы в теории разреженных газов. Труды ВЦ АН СССР, М., ВЦ АН СССР, 1969, 184 с.

Численные методы в динамике разреженных газов. М., ВЦ АН СССР, 1973, вып. 1, 196 с.

Численные методы в динамике разреженных газов. М., ВЦ АН СССР, 1975, вып. 2, 168 с.

Шахов Е. М. Продольное обтекание пластины потоком разреженного газа.— Механика жидкости и газа. Изв. АН СССР, 1973, № 2, с. 119—126.

Шахов Е. М. Решение осесимметричных задач теории разреженных газов методом конечных разностей.——«Журн. вычислительной математики и математической физики», 1974, т. 14, № 4, с. 970—981.

Шахов Е. М. Метод исследования движений разреженного газа. М., «Наука», 1974, 208 с

Шидловский В. П. Введение в динамику разреженного газа. М., «Наука»； 1965, 218 с.

Aihara Y., Koyama Н. Heat transfer from a circular cylinder in a rarefied gas stream. — AIAA Journal, 1972, v. 10, No. 10, pp. 1386—1387.

Alofs D. J., Flagan В. C., Springer G. S. Density distribution measurements in rarefied gases contained between parallel plates at high Temperature differences. — The Physics of Fluids, 1971, v. 14, No. 3, pp. 529—533.

Alofs D. J., Springer G. S. Cylindrical Couette flow experiments in the transition regime. — The Physics of Fluids, 1971, v. 14, No. 2, pp. 298—305.

Atassi H., Brun E. A. Heat transfer from wires in a rarefied low. speed flow.— Rarefied Gas Dynamics, Academic Press, N. Y., 1967, v. 1, pp. 1221—1234.

Balasubramanian R., Oberai M. Application of a momentum method to some rarefied gas flow problems. — Z. Angew. Math, und Phys., 1970, v. 21, No. 6, pp. 1097—1101.

Baldwin L. V., Laurence J. C., Sandborn V. A. Heat transfer from transverse and yawed Cylinders in continuum, Slip, and Free Molecule air flows. — Journal of Heat Transfer. Transactions of Am. Soc. Meeh. Eng., Ser. C., 1960, v. 82, pp. 77—86.

Ballance J. O. A Monte-Carlo approach to transition and free molecular flow problems. — Rarefied Gas Dynamics, N. Y., Academic Press, 1967, v. 1, pp. 575—588.

Bassanini P., Cercignani C., Pagani C. D. Influence of the accomodation coefficient on the heat transfer in a rarefied gas. — Intern. Journal of Heat and Mass Transfer, 1968, v. 11, No. 9, pp. 1359—1369.

Bassanini P., Cercignani C., Sernagiotto F. Flow of rarefied gas in a tube of annular section. — The Physics of Fluids, 1966, v. 9, No. 6, pp. 1174—1178.

Beck J. W. Gaskinetische Bechandlung der komressiblen Couette-Strommung mittels bimodaler Zweistromverteilung. — Ingenieur-Archiv, 1967, Bd. 35, No. 5, s. 305—322.

Behrens W. Total temperature thermocouple probe based on recovery temperature of circular cylinder. — International Journal of Heat and Mass Transfer, 1971, v. 14, No. 10, pp. 1621—1630.

Bell S., Schaaf S. A. Aerodynamic forces on a cylinder for the free molecule flow of a nonuniform gas. — Journal of the American Rocket Society, 1953, v. 23, No. 2, pp. 314—322.

Berman A. S. Free molecule transmission Probabilities. — Journal of Applied Physics, 1965, v. 36, No. 10, pp. 3356.

Berman A. S. Free molecule flow in an Annulus. — Journal of Applied Physics, 1969, v. 40, pp. 4991—4992.

Bhatnagar P. L., Gross E. P., Krook M. A. A model for collision process in gases. — Phys. Revew, 1954, v. 94, No. 3, pp. 511—530.

Bloxsom D. E., Rhodes В. V. Experimental effect of bluntness and gas rarefaction on drag coefficients and stagnation heat transfer of axisymmetric shapes in hypersonic flow. — Journal of the Aerospace Sciences, 1962, v. 29, No. 12, pp. 1429—1432.

Bomelburg H. J. Heat loss from very thin heated wires in rarefied gas. — The Physics of Fluids, 1959, v. 2, No. 6, pp. 717—718.

Bramlette T. T., Leonard Y. W. Finite element analysis of the linearized BGK Boltzmann equation. — International Journal for numerical methods in engineering, 1972, v. 4, No. 4, pp. 501—507.

Brown G. P., Di Nardo A., Cheng G. K., Sherwood T. K. The flow of gases in pipes at low pressures. — Journal of Applied Physics, 1946, v. 17, No. 10, pp. 802—813.

Cadamer E. O. Radial density variation of the molecular flux from a Short cylindrical tube: a computer solution and comparison with experimental data. — C. A. S. I. Transactions, 1970, v. 3, No. 2, pp. 84—94.

Carley С. T., Smetana F. O. Experiments on transition regime flow through a short tube with a ballmouth entry. — AIAA Journal, 1966, v. 4, No. 1, pp. 47—54.

Carlson K. D., Gilles P. W., Thorn R. J. Analysis of molecular flow in an Isothermal Enclosure. — The Journal of Chemical Physics, 1963, v. 38, No. 9, pp. 2064—2074.

Carlsson K. D. Gilles P. W., Thorn R. J. Molecular and Hydrodynamical effusion of mercury vapor from Knudsen cells. — The Journal of Chemical Physics, 1963, v. 38, No. 11, pp. 2725—2735.

Cercignani C., Sernagiotto F. Cylindrical Poiseuille flow of rarefied gas. — The、 Physics of Fluids, 1966, v. 9, No. 1, pp. 40—44.

Choong P. T. Modified Monte Carlo Technique for clausing factor calculations.— Journal of Computational Physics, 1971, v. 7, No. 2, pp. 358—360.

Choong P. T., Mason E. A. Calculation of obstruction effects on rarefied particle streaming through short Tubes. — Journal of Applied Physics, 1971, v. 42, No. 10. pp. 3755—3761.

Clausing P. Uber die Stromung sehr verdiinnter Gase durch Rohren von beliebiger LaYige. — Ann. der Physik, 1932, v. 12, 5th series, pp. 961—989. (The Journal of Vacuum Science and Technology, 1971, v. 8, No. 5, pp. 636—646.)

Coudeville H., Trepaud P., Brun E. A. Drag measurements in slip and transition flow. — Rarefied Gas Dynamics, Academic Press, N. Y., 1965, v. 1, pp. 444—466.

Davis D. H. A Monte Carlo calculation of molecular flow rates through cylindrical elbow and pipes of other shapes. — Journal of Applied Physics, 1960, v. 31r No. 7, pp. 1169—1176.

Davis D. H., Levenson L. L., Milleron N. Effect of «Rougher-than-Rough» Surfaces on molecular flow through short ducts. — Journal of Applied Physics, 1964, v. 35, No. 3, part I, pp. 529—532.

DeMarcus W. C. The influence of specular reflection on the Knudsen Conductance of circular capillaries. — Rarefied Gas Dynamics, N. Y., Academic Press, 1961, pp. 161—168.

DeMarcus W. C：, Hopper E. H. Knudsen flow througn a circular capillary.— Journal of Chemical Physics, 1955, v. 23, pp. 1344.

Dewey C. F. A correlation of convective heat transfer and recovery temperature data for cylinders in compressible flow. — Intern. Journal Heat and Mass Transfer, 1965, v. 8, No. 2, pp. 245—252.

Dong W., Bromley L. A. Vacuum flow of gases through channels with circular, annular and rectangular gross sections. — Transactions of the eighth national vacuum symposium and second international congress on vacuum science and technology. Pergamon Press, N. Y., 1962, v. 2, pp. 1116 —1132.

Dybbs A., Springer G. S. Heat conduction experiments in rarefied gases between concentric cylinders. — The Physics of Fluids, 1965, v. 8, No. 11, pp. 1946—1950.

Edwards J. G., Gilles P. W. Effusion from spherical orifices. I, Transmission by Molecular flow. — The Journal of Chemical Physics, 1966, v. 44, No. 12, pp. 4426—4430.

Elliott J. P. Density and Velocity tields in collisionless flow past a diffusely reflecting cone. — Canadian Journal of Physics, 1970, v. 48, No. 13, pp. 1628—1631.

Fan C. Monte-Carlo Calculation of free molecule flow over concave spherical surfaces. — AIAA Journal, 1969, No. 9, pp. 1803—1805.

Fan C. Heat transfer and forces on concave surfaces in free molecule flow.— Paper ASME, WA/HT-17, 1971, pp. 2—11.

Frank R. Konstruktiver Aufbau und mathematische Auslegung von Turbomole- kularpumpen des Typs «TURBOVAC》mit senkrecht angeordnetem Axialkompressor.— Vak.-Techn., 1974, v. 23, No. 4, ss. 109—114.

Friedrich R. Gaskinetische Behandlung des Rayleigh-Problems bei mafiig bis stark verdiinnten Gasen. — Ingenieur-Archiv, 1973, Bd. 42, H. 5, ss. 341—354.

Garelis E., Wainwright T. E. Free-molecule flow in a right circular cylinder.— The Physics of Fluids, 1973, v. 16, No. 4, pp. 476—481.

Gustafson W. A., Kiel R. E. Free Molecule Density Field for Orifice Flow.— The Physics of Fluids, 1964, v. 7, No. 3, pp. 472—473.

Hadjimichalis K. S., Brundin C. L. The effect of wall temperature on sphere drag in hypersonic transition flow. — Rarefied Gas Dynamics, DFVLR-Press, GGttingen, 1974, v. 11, pp. D. 13—1 + D. 13—9.

Hanks R. W., Weissberg H. L. Slow viscous of rarefied gases through short tubes. — Journal of Applied Physics, 1964, v. 35, No. 1, pp. 142—144.

Hegna Harwood A., Berman A. S. Rarefied gas flow through a slit — The Physics of Fluids, 1972, v. 15, No. 10, pp. 1850—1852.

Hughes P. C., De Leeuw J. H. Theory for the free molecule impact probe at an angle of attack.— Rarefied Gas. Dynamics, vol. 1, Academic Press, N. Y., 1965, pp. 653—676...

Hurlbut F. C. Note on conductive beat transfer from a fine wire. — The Physics of Fluids, 1964, v. 7, No. 6, op. r^4—960.

Iczkowski R. P., Margrave J. L., Robinson S. M. Effusion of gases through conical orifices. — The Journal of Physical Chemistrv. 1963, v. 67, No. 2, pp. 229—233.

Ikenberry E., Truesdell C. On the pressures and the flux of energy in a gas according to Maxwell's kinetic theory. — Journal Rat. Meeh. Anal., 1956, v. 5, No. 5.

Kanki T., Iuchi S. Poiseuille flow and thermal creep of a rarefied gas between rommung durch Rohren. — Ann. der Physik, 1909, v. 28, s. 75—300.

Keel A. G., Kraige L. C., Passmore R. G., Zapata R. N. Hypersonic low density cone drag. — AIAA Journal, 1972, v. 10, No. 5, pp. 561—562.

Knudsen M. Die Gesetze der Molecular Shrommung uad der inneren Reibungst- parallel plates. — The Physics of Fluids, 1973, v. 16, No. 5, pp. 594—599.

Koppenwallner G. Experimentelle Untersuchung der Druckverteilung und des- Wiederstands von querangstromten Kreiszylindern bei hypersonischen Maschzahlen im Bereich von Kontinuums bis freier Molekularstromung.——Zeitschrift fiir Flugwissenschaf- ten, 1969, 17 jahrhang, Heft 10, ss. 321—332.

Koshmarov Yu. A. Heat transfer of a sharp cone in a supersonic rarefied gas flow. — Intern. Journ. Heat and Mass Transfer, 1966, v. 9, pp. 951—957.

Kraemer K. Gas Stromungsfeld der Kugel' bei unendlich grofier Knudsenzall.— Z. Angew. Math, and Meeh., 1967, b. 47, Sonderheft, ss. 150—153.

Kruger С. H., Shapiro A. H. The axial-flow compressor in the free-molecule range. — Rarefied Gas Dynamics (L. Talbot, ed.), Academic Press, N. Y., 1961, pp. 117—140.

Kuhlthau A. R. Air friction on rapidly moving surfaces. — Journal of Applied Physics, 1949, v. 20, No. 2, pp. 217—223.

Kussoy M. J., Stewart D. A., Hortsman С. C. Sphere Drag in near-free-molecule hypersonic flow. — AIAA Journal, 1970, No. 11, pp. 2104—2105.

Lavin M. L., Haviland J. K. Application of a moment method to heat transfer in rarefied gases. — The Physics of Fluids, 1962, v. 5, No. 3, pp. 274—279.

Lees L. Kinetic theory description of rarefied gas flow.——Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematic, 1965, v. 13, No. 1, pp. 278—311.

Lees. L., Liu C. Kinetic theory description of conductive heat transfer from fine wire. — The Physics of Fluids, 1962, v. 5, No. 10, pp. 1137—1148.

Legge H. Hyperschallstromung geringer Dichte an stumpfen Korpern.— «Theoretische and expetimental Methoden der Stromungsmechanik unter besonderer Beriicksichtigung der Wiedereintritsprobleme», 1971, v. 1, Lehrgang fiir Raumfahrtechnik, Gottingen, pp. 11—1+11—33.

Levenson L. L., Milleron N., Davis D. H. — Molecular flow conductance.— Le Vide, 1963, v. 18, No. 103, pp. 42—50.

Liepmann H. W. Gaskinetics and gasdynamics of Orifice Flow. — Journal of Fluid Mechanics, 1961, v. 10, part 1, pp. 65—79.*

Liu C., Lees L. Kinetic theory description of plane compressible Couette flow. — Rarefied Gas Dynamics, Academic Press, N. Y., 1961, pp. 391—428.

Liu C. Y. Plane Poiseuille flow of a rarefied gas. — The Physics of Fluids, 1968, v. U, No. 3, pp. 481—485.

Liu C. Y., Passamaneck R. Kinetic theory description of flow over a cylinder at low speeds. — Rarefied Gas Dynamics, Academic Press, N. Y., 1967, v. 1, pp. 607—622.

Lord R. G., Hurlbut F. C., Willis D. R. Nearly free molecule flow through a circular orifice at high pressure ratios.——Rarefied Gas Dynamics, N. Y., Academic Press, 1967, v. 2, pp. 1235—1242.

Lou Y. S. Velocity Distribution Measurements in a near-free molecule orifice flow. — Journal of Applied Physics, 1971, v. 42, No. 2, pp. 536—544.

Lou Y. S., Shih T. K. Nonlinear heat conductions in rarefied gases. — AIAA Journal, 1972, v. 10, No. 9, pp. 1149—1150.

Lou Y. S., Stickney R. E. Velocity Distribution Measurements for near-free molecule flow through an orifice. — The Physics of Fluids, 1970, v. 13, No. 2, pp. 528—531.

Lund L. M., Berman A. S. Flow and Self-Diffusion of gases in capillaries.— Part I and IL Journal of Applied Physics, 1966, v. 37, No. 6, pp. 2489—2508.

Loyalka £ K. On numerical solutions of the linearized integral equations in rarefied gas flow.——Rarefied Gas Dynamics (Proceedings of the ninth international Symposium, 1974), DFVLR-Press, PORZ-Wahn, Germany, 1974, v. 1, pp. A5—1+A5—10.

Maegley W. J., Berman A. S. Transition from free-molecule to continuum flow in an Annulus. — The Physics of Fluids, 1972, v. 15, No. 5, pp. 780—785.

Marchman J. F., Mason W. H. Transition regime tube flow. — Paper ASME, 1972, 72-FE-4, pp. 1—12.

Maslach G. J., Schaaf S. A. Cylinder drag in the transition from continuum to free-molecular flow. — Phys, of Fluids, 1963, v. 6, pp. 312—320.

Maslach G. J., Willis R. D., Tang S., Ko D. Recent experimental and theoretical extensions of nearly free molecular flow. — Rarefied Gas Dynamics, Academic Press, New York, 1965, v. 1, pp. 433—443.

Masson D. J., Morris D. N., Bloxsom D. E. Measurements of sphere drag from hypersonic continuum to free-molecule flow. — Rarefied Gas Dynamics, Academic Press, N. Y., 1961, v. 1, pp. 643—661.

Milligan M. W. Low-density gas flow in long tubes. — AIAA Journal, 1966, v. 4, No. 4, pp. 745—746.

Milligan M. W., Patterson K. W. Rarefied gas flow through long square tubes. — Paper ASME (Journal of Engineering for Industry), 1970, No. 70-WA/PID-l, pp. 1—4.

Muntz E. P., Hammel В. B. Rarefaction phenomena in gas and isotope separations.—Rarefied Gas Dynamics, DFVLR-Press, Porz-Wahn, Germany, v. 1, B.l—1+B.l—10.

Narasimha R. Orifice flow at high Knudsen numbers. — Journal of Fluid Mechanics, 1961, v. 10, No. 3, pp. 371—384.

Naumann A., Chun С. H. Mass-flow measurements fol sharp-edged orifices in low density flow. — Rarefied Gas Dynamics, DFVLR-Press, PORZ-Wahn, Germany, 1974, v. 11, p. D21—1+D21—10.

Oatley C. W. The experimental determination of the speed of a vacuum pump and of components of a vacuum system. — British Journal of Applied Physics, 1954, v. 5, No, 9, pp. 358—362.

Onji A. Experiments of an orifice-type pressure, probe set in a body in a nearly- free-molecule flow. — Rarefied Gas Dynamics, Academic Press, N. Y., 1967, pp. 1527—1542.

Ortloff C. R. Wall temperature and speed ratio effects on free molecule flat plate flows. — The Physics of Fluids, 1967, v. 10, No. 2, pp. 460—462.

Patterson G. N. A Synthetic view of the mechanics of rarefied gases. — AIAA Journal, 1965, No. 4, pp. 3—18.

Pond H. L. The effect of entrance velocity on the flow of a rarefied gas through a tube. — Journal of the Aerospace Sciences, 1962, v. 29, No. 8, pp. 917—920.

Porodnov В. T., Suetin P. E., Borisov S. F., Akinshin V. D. Experimental investigation of rarefied gas flow in different chanales.——Journal of Fluid Mechanics, 1974, v. 64, part 3, pp. 417—437.

Pratt M. J. Concave surfaces in free molecule flow. — AIAA Journal, v. 1, No. 7, pp. 1716—1717, 1963.

Probert S. D., Brooks R. G., Thomas T. R., Maxwell J. Heat losses through rarefied fluids. — International Journal of Heat and Mass Transfer, 1967, v. 10, No. 2, pp. 135—148.

Richter G. Numerical solution of the Krook kinetic equation for flow past a cylinder. — The Physics of Fluids, 1973, v. 16, No. 10, pp. 1599—1606.

Robertson S. J. Density field for free-molecule flow through circular ducts.—— The Physics of Fluids, 1965, v. 8, No. 3, pp. 539—540.

Roesner K. Einflufi fester Wande auf die Berechnung von feldgrofien fiir den Grenzfall grofier Knudsen-Zahlen. — ZAMM, Mechanik der Fliissigkeiten und Gase, 1973, v. 53, No. 4, ss. T.119—T.121.

Rothe D. E., De Leeuw J. H. The free-molecule impact pressure probe of arbitrary length. — AIAA Journal, 1963, v. 1, No. 1, pp. 220—221.

Sawada T. The axial flow molecular pump (4-th report). — Bulletin of the JSME, 1973, v. 16, No. 96, pp. 933—1001.

Sawada T., Suzuki M., Taniguchi O. The axial flow molecular pump (2-nd report). — Bulletin of the JSME, 1971, v. 14, No. 67, pp. 48—57.

Sawada T., Taniguchi O. The axial flow molecular pump (3-rd report).— Bulletin of JSME, 1973, v. 16, No. 92, pp. 312—318.

Schaetzle W. J. A Study of free molecular flow through various length cylindrical nozzles.——Transactions of the third international vacuum congress, Stuttgart. Oxford and others, Pergamon Press, 1967, v. 2, part I, pp. 105—114.

Schafer K., Rating W., Eucken A. Uber den Einfluss des Geheimmten Austauschs der Translations und Schwingungs-energie auf das Warmeleitvermogen der Gase. — Ann. der Physik, 1942, v. 42, pp. 176—202.

Scott J. E. Some applications of atomic and molecular beams to fluid dynamics. —Entropie, 1971, No. 42, pp. 3—12.

Scott J. E., Morton H. S., Phipps J. A., Moonan J. F. Distribution function Measurements in rarefied gas flow through an orifice. — Rarefied Gas Dynamics, N. Y., Academic Press, 1966, v. 2, pp. 331—349.

Sharpe C. L. Experimental Cylinder Drag data for hypersonic rarefied flow.— AIAA Journal, 1969, No. 8, pp. 1611—1612.

Shorenstein M. L., Probstein R. F. The hypersonic leading edge problem.— AIAA Journal, 1968, No. 10, pp. 1896—1906.

Sims W. H. Experimental sphere drag result in the near-free molecule regime.— Rarefied Gas Dynamics, Academic Press, N. Y., 1969, v. 1, pp. 751—756.

Smetana F. O., Sherrill W. A., Schort D. R. Measurements of the discharge characteristics of sharp-edged and round-edge orifices in the transition regime.——Rarefied Gas Dynamics, N. Y., Academic Press, 1967, v. 2, pp. 1243—1256.

Smolderen J. J., Wendt J. F., Navesu. The measurement of drag forces in low density flows using a modulation technique.——18 International Astronautical Congress, Belgrad, 1967, Proc. 1968, v. 3, pp. 277—282.

Smolderen J. J., Wendt J. F., Naveau J., Bramlette T. T. Sphere and cone drag coefficients in hypersonic transitional flow.——Rarefied Gas Dynamics, Academics Press, N. Y., 1969, v. 1, pp. 903r-907.

Smoluchowski M. Zur Kinetischen Theorie der Transpiration uad Diffusion Verdiinnter Gase. l Ann. der Physik, 1910, v. 33, 4 series, pp. 1559—1570.

Sparrow E. M., Haji Sheikh. Velocity profile and other Local Quantities in free-molecule tube flow. — The Physics of Fluids, 1964, v. 7, No. 8, pp. 1256—1261.

Sparrow E. W., Jonsson V. K. Simultaneous heat transfer in a circular tube by free-molecule convection and thermal radiation.——Intern.-Journal of Heat and Mass Transfer, 1963, v. 6, No. 9, pp. 841—852.

Sparrow E. M., Jonsson V. K. Fluid flow and convective-radiative energy trans-

fer in a parallel-plate channel under free-molecule conditions. — A. I. Ch. E. Journal. 1963, v. 9, No. 4, pp. 516—523.

Sparrow E. M., Johnson V. K. Free-molecule flow and convective-radiative Energy Transport in a Tapered Tube or conical Nozzle. — American Institute of Aerona- tical and Astronautical Journal (AIAAJ), 1963, v. 1, No. 5, pp. 1081—1087.

Sparrow E. M., Jonsson V. K., Lundgreen T. S. Free-molecule tube flow and adiabatic wall temperatures. — Journal Heat Transfer Transactions of ASME. Ser. C., 1963, v. 85, No. 2, pp. 111—118.

Sparrow E. M., Yu H. S., Lundgren T. S. Free molecule flow through slit and Annular orifices in the presence of participating bounding walls. — Paper ASME N 69-WA/APM-26, 1969, pp. 1—8.

Springer G. S., Ratonyi R. Heat conduction from circular cylinders in rarefied gases. — ASME Paper, 1965, No. 65-HT-4, pp. 1—6.

Springer G. S., Wan S. F. Note on the application of a moment method to heat conduction in rarefied gases between concentric spheres. — AIAA Journal, 1966, No. 8, pp. 800—801.

Sreekanth A. K. Drag measurement on circular cylinders and spheres in the transition regime at a Mach number of 2. — AIAA Journal, 1962, No. 5, pp. 465—471.

Sreekanth A. K. Transition Flow through short circular tubes. — The Physics of Fluid, 1965, v. 8, No. 11, pp. 1951—1956.

Sreekanth A. K. Some Experiments on the Flow of a Rarefied gas through a circular orifice.——Rarefied Gas Dynamics, N. Y., Academic Press, 1965, v. 1, pp. 621——629.

Sreekanth A. K. Experiments on impact probes in a rarefied subsonic gas stream. — AIAA Journal, 1968, v. 6, No. 5, pp. 927—929.

Stephenson W. B., Whitfield D. L. Drag measurement in a lowdensity gas stream. — Aerospace and electronic systems, 1971, v. 7, No. 6, pp. 1131—1137.

Stewartson K. On the impulsive motion of a flat plate in a viscous fluid.— The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 1973, v. 26, part 2, pp. 143—152.

Stokes G. G. On the effect of internal friction of fluids on the motion of pendulums.—Trans. Cambr. Phil., v. IX, No. 8; Math, and Phys. Papers, Cambridge, 1901, v. Ill, pp. 1—141.

Sugimura T., Liu C. Y. Four-moment and six-moment solutions to convective heat transfer from a sphere. — Paper ASME, WA/HT-1, 1973, pp. 1—11.

Su C. L., Willis D. R. Heat conduction in a rarefied gas between concentric cylinders. — The Physics of Fluids, 1968, v. 11, No. 10, pp. 2131—2143.

Takao K. Heat transfer from a sphere in a rarefied gas. — Rarefied Gas Dynamics, Academic Press, New York, 1963, v. 2, pp. 102 —111.

Tamada K・，Yamamoto K. Flow of rarefied gas past a circular cylinder at low Mach numbers.——Memoirs of the Faculty of Engineering Kyoto University. 1968, v. 30, No. 2, pp. 132—152.

Teagan W. P., Springer G. S. Heat-transfer and density-distribution measurements between parallel plates in the transition regime. — The Physics of Fluids, 1968, v. 11, No. 3, pp. 497—506.

Tewnsend S. J” Patterson G. N., Sinclair S. R. M. Free-molecule flow through conical Tubes. — Rarefied Gas Dynamics, N. Y., Academic Press, 1965, v. 1, pp. 641—652.

Tritton D. J. Experiments on the flow past a circular cylinder at low Reynolds numbers. — Journal of Fluid Mechanics, 1959, v. 6, No. 4, pp. 547—567.

Vogenitz F. W., Broadwell Y. E., Bild G. A. Leading edge flow by the Monte- Carlo direct simulation technique. — AIAA Journal, 1970, No. 3, pp. 504—510.

Vogenitz F. W., Bord G. C., Broadwell J. E., Rungaldier H. Theoretical and experimental study of rarefied supersonic flows about several simple shapes. — AIAA Journal, 1968, No. 12, pp. 2388—2394.

Vogenitz F. W., Takata G. Y., Rarefied hypersonic flow about cones and flate plates by Monte-Carlo simulation. — AIAA Journal, 1971, No. 1, pp. 94—100.

Wang С. T. Free molecular flow over a rotating Sphere. — AIAA Journal, 1972, v. 10, No. 5, pp. 713—714.

Willis D. R. Mass flow through a circular orifice and two-dimensional slit at high Knudsen numbers. — Journal of Fluid Mechanics, 1965, v. 21, No. 1, pp. 21—31.

Wu Y. Kinetic theory of thermal molecular flow between coaxial cylinders and concentric Spheres. — The Journal of Chemical Physics, 1970, v. 52, No. 3, pp. 1494—1498.

Wuest W., Koppenwallner G. Experimentelle und theoretische Untersuchungen Verschiedener Konfigurationen von tragenden Wiedereinrittskorpern in hypersonischer Stromung geringer Dichte. — «Jahrbuch Dentsch. Ges. Luft und Raumfahrt》，1970, Koln, 1971, ss. 75—90.

Yen S. M. Monte-Carlo solutions of nonlinear Boltzmann equation for problems of, heat transfer in rarefied gases. — International Journal of Heat and Mass Transfer, 1971, v. 14, No. 11, pp. 1865—1869.

Yen В. T., Frohn A. Stationare Warmeleitung in ruhenden binaren Gasgemischen fiir beliebige Knudsenzahlen. — ZAMM (Zeitschrift fiir angemandt Mathematik und Me- chanik), 1972, Bd. 52, Ht. 4, ss. 90—92.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр

Предисловие

Глава I. Элементы кинетической теории газов_........,..

Молекулярная структура газов

Столкновение частиц

Функция распределения скоростей молекул и макроскопические параметры газа

Уравнение Больцмана

Л\аксвелловская функция распределения и параметры хаотического движения молекул

Общее уравнение переноса и макроскопические уравнения газовой динамики

Взаимодействие молекул с поверхностью твердого тела. Граничные условия для функции распределения

Подобие течений разреженного газа. Режимы течений

Глава II. Свободномолекулярная область механики разреженного газа ...

Общие положения теории свободномолекулярного режима

Теплопередача через неподвижный слой газа при свободномолекулярном режиме .；

Слой газа между безграничными плоскими параллельными поверхностями

Слой газа между коаксиальными цилиндрами

Слой газа, заключенный между концентрическими сферами

Свободномолекулярное течение газа через отверстие в тонкой стенке .

Свободномолекулярные течения газа в каналах

Канал со сферической геометрией

Цилиндрическая круглая труба

Канал, образованный двумя плоскими параллельными поверхностями ..

Кольцевой канал

Каналы прямоугольного сечения

Каналы сложной конфигурации

Влияние характера взаимодействия молекул со стенкой и макроскопической шероховатости поверхности канала на течение газа

Стационарное обтекание невыпуклых тел безграничным потоком ...

Общее положение「

Полусфера • •.

Цилиндрическая поверхность

Полый клин

Молекулярные заборники газа*

Свободномолекулярные зонды давления

Тела сложной формы и группы тел

Турбомолекулярный насос，

Стационарное обтекание выпуклых тел

Глава III. Промежуточная область динамики разреженного газа .......

Теоретические методы

Течение газа около стенки, внезапно приведенной в движение ....

Передача тепла разреженными газами, заключенными между неподвижными соосными цилиндрами, концентрическими сферами и параллельными пластинами

Цилиндрический слой

Сферический слой

Плоский слой

Течение разреженного газа между вращающимися цилиндрами (течение Куэтта)

Течение в каналах

Течение между двумя параллельными плоскими стенками

Течение в круглой трубе

Течение в кольцевом канале

Течение в каналах квадратного сечения■

Короткие каналы и отверстия . . . •

Плоское обтекание

Обтекание осесимметричных тел

3 5 5 6 ю 151832^^^^^^^^^^м^ ^^^^^^^^^^ 1221283 5 5 6 ю 151832^^^^^^^^^^м^ ^^^^^^^^^^ 1221283312 69925789173344 44455555771111 11111111113312 69925789173344 44455555771111 1111111111Список литературы

3 5 5 6 ю 151832^^^^^^^^^^м^ ^^^^^^^^^^ 122128

3 5 5 6 ю 151832^^^^^^^^^^м^ ^^^^^^^^^^ 122128

3312 6992578917

3344 4445555577

1111 1111111111

3312 6992578917

3344 4445555577

1111 1111111111

ПРИКЛАДНАЯДИНАМИКА1АЗРЕЖННОГОГАЗА

Ю. А. КОШМАРОВ, Ю. А. РЫЖОВ

ПРИКЛАДНАЯДИНАМИКАРАЗРЕЖЕННОГОГАЗА

Москва

«МАШИНОСТРОЕНИЕ»

1977

УДК 533.6.011.8 : 532.526.001.2

Рецензент д-р техн, наук, проф. 4 И. Леонтьев

Кошмаров Ю. А., Рыжов Ю. А. Прикладная динамика разреженного газа. М., «Машиностроение», 1977, 184 с.

В книге рассматриваются обтекание тел потоком разреженного газа, течение газа в каналах различной конфигурации, теплообмен в разреженном газе. При обсуждении теоретических основ на первый план выдвигаются физические аспекты описываемых процессов. Систематизированы экспериментальные данные и результаты численных решений большого числа типичных для инженерной практики задач.

Книга рассчитана на научных сотрудников и инженеров, работающих в различных областях техники, а также аспирантов и студентов старших курсов, специализирующихся в области аэромеханики и вакуумной техники.

Табл. 13, ил. 86, список лит. 202 назв.

ИБ № 1148

Юрий Антонович Кошмаров, Юрий Алексеевич РыжовПРИКЛАДНАЯ ДИНАМИКА РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА

Редактор издательства Г. Д. ЖуравлеваХудожник Е. В. Бекетов

Технический редактор Т. С. СтарыхКорректор Е 77. Карнаух

Сдано в набор 14/XII-1976 г.Подписано к печати 10/1 П-1977 г.Т-02160

Формат 7ОХ1О8%6Бумага № 2Усл. печ. л. 16,1Уч.-изд. л. 15,77

цена 2 р. 90 к.Тираж 2400 gНзд・ № 422

Издательство «Машиностроение*, 107885 Москва, Б-78, 1-й Басманный пер., 3.

Московская типография № 8 Союзполиграфпромапри Государственном комитете Совета Министров СССРпо делам издательств, полиграфии и книжной торговли,Хохловский пер., 7. Тип. зак. 1942.

© Издательство «Машиностроение», 1977 г.