ПРЕДИСЛОВИЕ

В

последние годы интерес к основам механики, к ее исходным, наиболее общим понятиям значительно возрос. Сложные математические конструкции отступают на второй план по сравнению с тем, что можно назвать аксиомами механики, ее исходными определениями и законами, не только в популярной литературе, но даже и в специальной. Это объясняется развитием современной науки. Новейшая физика пошатнула (а вернее, осветила новым светом, позволила вывести из более общих допущений) основы классической механики и этим сосредоточила па них интерес весьма широкого круга читателе访.К основам механики теперь приковано внимание не только инженеров, физиков, математиков, но также (особенно в связи с кибернетикой) представителей более отдаленных областей науки и практики.

Некоторый педагогический и литературный опыт убедил автора в том, что историческое изложение дает очень существенный эффект в понимании основ механики, особенно в непрофессиональной среде, для которой остаются недоступными чисто логические и математические попытки аксиоматизации исходных принципов классической механики. Этим и определяется замысел настоящей книги. В ней автор ориентировался главным образом на читателя-неспециалиста, желая помочь ему ознакомиться с исторической модификацией и постепенным созреванием классических понятий массы, силы, импульса, скорости, ускорения и т. д. Именно эта сторона дела интересует

тех, кто встречается с указанными понятиями при изучении современных научных, в особенности физических, идей. В этом смысле последняя глава («Понятия классической механики в оценке Эйнштейна») является ключом к пониманию книги. В ней автор хотел показать, что современная оценка классической механики с позиций теории относительности позволяет точнее раскрыть действительный смысл основных понятий механики и границы их применимости. Собственно говоря, именно такая точка зрения превращает изложение идей Ньютона, Эйлера и Лагранжа и их исторических истоков в историческое изложение. Если принципы классической механики не являются непоколебимыми, единственно возможными основами науки, если они закономерны в определенных пределах приближения, то неизбежно возникает вопрос об исторических условиях, в которых указанные принципы приобрели господствующее значение в науке.

Высказанная точка зрения однозначно определяет хронологические рамки рассматриваемой эволюции механики. Речь идет о тех основных понятиях, которые получили достаточно законченное выражение к концу XVIII в.

Эволюция классической механики в XIX——XX вв. изложена в ряде книг, рассказывающих о крупнейших школах этого периода, в том числе о русских, начиная со школы Остроградского и вплоть до Чебышева, Ляпунова и других.

ГЛАВА ПЕРВАЯ

АНТИЧНАЯ МЕХАНИКА

ВВЕДЕНИЕ

о многих трудах по истории механики основные понятия и принципы античной механики либо вовсе не рассмотрены, либо их рассмотрение ограни

чено областью статических проблем; период первоначаль

ного формирования основных понятий динамики часто не освещается.

Правда, древние не смогли найти принципы динамики. Однако в разработке общих понятий они сделали так много, что эти их достижения почти без изменения могли быть положены в основание новой науки. Основоположникам новой науки в ряде случаев оставалось добавить немного, чтобы придать этим общим понятиям тот специальный смысл, который они получили в классической механике.

Разумеется, между основными понятиями и принципами механики существует тесная связь. Тем не менее, исторические условия их развития были существенно различными. Общие понятия механики с большим успехом разрабатывались уже древними философами, тогда как принципы не могли получить сколько-нибудь законченную форму раньше, чем техника достигла определенного уровня развития.

Развитие общих понятий механики в античную эпоху стояло в прямой зависимости от развития античной техники, преимущественно основывающейся на знании законов статики. Древняя техника, связанная со статикой (строительная механика, фортификация и гидротехника, кораблестроение и т. д.), уже достигла необходимой зрелости для научных обобщений. Зато техника, основанная

на динамике, была еще в зачаточном состоянии, а потому значительные научные обобщения в этой области могли появиться лишь гораздо позже.

Уже из сказанного становится ясным то обстоятельство, что в древности основания механики развивались по двум совершенно различным линиям. Общие понятия механики (время, пространство, масса, сила, движение, инерция и т. д.) и общие проблемы динамики (законы падения, закон инерции, принцип сохранения массы и движения и т. д.) возникли и развивались в тесной связи с философией, тогда как проблемы статики ——в связи с античной техникой и математикой. В средние века ведущая роль в развитии динамики перешла от философии к технике, неизмеримо усилилось также значение математических методов. Однако и философия продолжала оказывать значительное влияние на развитие механики: схоластика, канонизировавшая наиболее реакционные стороны древней философии, служила серьезным препятствием для прогресса динамики; новая динамика не могла появиться рядом со схоластикой. Нужно было разрушить вековые предрассудки, старые представления и традиции, нанести серьезные удары по всей системе средневековой науки, подорвать философские основы старого мировоззрения и лишь после этого строить науку. Конечно, эта задача могла быть решена механикой в тесном союзе с новой теорией познания и методологией. И мы знаем, что исторические судьбы философии переплетаются с прогрессом механики. Механика находилась в тесной связи с развитием 巾и- лософии и в свою очередь оказывала на нее серьезное влияние.

Невозможно поэтому признать обоснованным заявление Дюринга, будто философия всегда выступала враждебно успехам механики. Такая точка зрения в корне искажает перспективу и запутывает выяснение кардинальных исторических проблем.

Мы уже отметили, что прогресс механики, его источники и движущие силы находились в тесной связи с характером общественного производства и техники. Этот вывод противоположен концепции таких авторов, как, например, Г. Клейн, который сводил цели и движущие силы науки к идеалистическим потребностям духовно одаренных мужей, или Э. Мах, усматривавший сущность и цель всякой науки в экономии мышления.

Считаясь с огромной ролью античного наследия, нужно признать, что исследование вопросов развития общих понятий и принципов механики древнего времени имеет существенное значение для правильной разработки истории позднейшей механики.

«Греки навсегда останутся нашими учителями» * ибо они развивали «первоначальный, наивный, но по сути дела правильный взгляд на мир»... «в многообразных формах греческой философии уже имеются в зародыше, в процессе возникновения почти все позднейшие типы мировоззрений». Поэтому мы вынуждены будем «в философии, как и во многих других областях, возвращаться постоянно к достижениям того маленького народа, универсальная одаренность и деятельность которого обеспечили ему в истории развития человечества место, на какое не может претендовать ни один другой народ» .

Прежде чем рассматривать первые попытки древних греков в разработке основных понятий механики, напомним, что Греция выдвинулась тогда, когда Египет, Вавилон и Финикия уже достигли высокого развития. Вместе с тем за сравнительно короткий срок греки не только заимствовали многое ценное от этих древнейших культур, но и сумели вскоре превзойти своих учителей.

Колоссальные сооружения Египта, Ассирии, Вавилона, выполненные в древнейшие времена, доказывают, что тогда были известны такие механические орудия, как клин, рычаг, наклонная плоскость и, может быть, блок. Египетские фараоны стали строить пирамиды за три тысячи лет до новой эры. Наиболее высокой была пирамида Хеопса (IV династия); на ее сооружение употреблено 2 300 000 каменных глыб, средний вес которых равен 2,5 тонны. При сооружении храмов, колоссальных статуй и обелисков вес каменных глыб достигал десятков и даже сотен тонн. Каменные глыбы из каменоломен доставлялись на место на специальных салазках; колесные повозки впервые стали применяться в армии. Однако если доставка камней на место сооружений могла быть выполнена усилиями огромного количества людей (согласно

Геродоту, над постройкой пирамиды Хеопса работало в течение двадцати лет 100 000 человек), то подъем тяжестей и их установка требовали специальных механических приспособлений.

Какие же механические орудия применяли египтяне? В каменоломнях для отрыва каменных глыб от породы служил клин. В отверстие, просверленное в камне, забивали деревянный смоченный водой клин, который от набухания расчленял породу. Подъем тяжестей осуществлялся с помощью наклонной плоскости. Наклонная дорога к пирамиде Хафра имела подъем 45,8 м и длину 494,6 ж. Следовательно, угол наклона к горизонту равнялся 4,4°, и, таким образом, выигрыш в силе при поднятии тяжестей на эту высоту был значительный. Строились также насыпи с более крутым наклоном и ступенчатые насыпи, на которых тяжести, передавались со ступеньки на ступеньку с помощью специальных приспособлений. Наличие выбоин в каменных глыбах, составляющих пирамиды, указывает на то, что для поднятия и установки камней на место применялись специальные механические приспособления. Возможно, что эти приспособления состояли из крючьев для удержания каменных плит и блоков для подъема камней. Для поднятия и горизонтального перемещения каменных глыб служил рычаг. Следует заметить, что рычаг для подъема воды (шадуф) в Египте был известен с древнейших времен. Для облицовки и пригонки камней, а возможно, и для поднятия камней со ступеньки на ступеньку употреблялись качалки. Особыми механическими приспособлениями приходилось пользоваться для установки обелисков и колоссальных статуй.

Характер античной техники определялся экономическими основами рабовладельческого хозяйства. С возникновением рабства были созданы предпосылки для более широкого разделения труда в производстве. Рабство обеспечило более быстрый рост техники, предоставило рабовладельцам досуг для духовной деятельности. Однако рабовладельческое хозяйство содержало в себе не менее мощные начала, тормозившие дальнейший рост техники.

Основной формой разделения труда в древнем рабовладельческом хозяйстве была простая кооперация рабов. Рабы выполняли элементарные виды работ, поэтому их можно было перебрасывать с одной работы на другую. Рабовладельцы поручали рабам такую примитивную ра-

боту, которая или вовсе не требовала орудий труда, или выполнялась крайне грубыми орудиями, которые раб не мог портить. Раб, низведенный сам до степени орудия труда, не был заинтересован в высокой производительности, и если представлялась возможность, он всеми средствами старался вредить рабовладельцу.

Таким образом, из характера рабовладельческой экономики вытекали примитивный характер античной техники и ее медленная эволюция. Массовая техника носила исключительно примитивный и статический характер. Более или менее сложные механические орудия (водяное колесо, червячная передача, архимедов винт, насос и т. д.) применялись сравнительно редко. Рабский труд препятствовал массовому распространению механических приспособлений.

Более значительные импульсы для развития техника древнего мира получала со стороны морского и, особенно, военного дела. Здесь применялись более тонкие, сложные и разнообразные механические приспособления, которыми управляли не рабы, а свободные рабочие или военнослужащие.

Техника военного дела стояла (особенно в эллинисти- чески-римский период) значительно выше техники сельского хозяйства и промышленности. На мощи огромной армии покоился рабовладельческий строй, она была предназначена для захвата рабов и материальных ценностей. Технические средства армии находились в руках свободных граждан, что также являлось необходимым условием технического прогресса.

Уже в V в. до н. э. (Пелопоннесская война) в афинской армии применялись тараны и гелеполы. Гелеполы иногда достигали гигантских размеров. Для метания больших стрел пользовались катапультами; прототипом пулемета был полибол для непрерывного метания стрел; баллисты служили для метания камней; с помощью баллисты ядро в 4 фунта могло быть выброшено на расстояние до 300 ж. Существовали специальные прицельные приспособления и приборы для изменения траектории.

Большое значение в экономике древнего мира имел гражданский и военно-морской флот. На судах рабов использовали лишь для гребли; более ответственные функции (управление рулями, парусами и т. д.) поручались свободным рабочим.

Попятно, что преимущественно при статическом характере античной техники рычаг являлся одним из основных ее элементов, и почти все проблемы древней статики концентрировались вокруг обоснования принципа действия рычага.

Греки и римляне применяли рычаг в самых разнообразных вариантах, но особенно важными были равноплечие весы и безмены самых разнообразных конструкций: с перемещающейся точкой опоры, с неподвижной точкой опоры, но с перемещающимся грузом и т. д. Развитие торговли, появление золота в качестве менового эквивалента, драгоценных камней требовали более точных способов взвешивания. Совершенно очевидно, что практика взвешивания грузов на безменах основывалась на эмпирическом знании закона рычага, и сама она в свою очередь доводила эти законы до степени очевидности. Устройство безмена было основано на твердом убеждении, что двойному грузу, подвешенному к одному плечу рычага (с неподвижной точкой опоры и постоянным по величине противовесом), соответствует вдвое большее удаление противовеса от точки опоры. Более точные способы взвешивания (определение удельных весов, взвешивание драгоценностей) требовали и более точных сведений о законах рычага.

Выше было сказано о применении клина. Последующее развитие торговли и производства привело к более широкому использованию его. Так, например, при развитии виноделия и маслоделия появился рычажный пресс, затем пресс, работающий с помощью вдавливаемого клина, и, наконец, винтовой пресс. Однако, несмотря на многочисленные попытки, древние не смогли дать правильную теорию клина.

Ворот применялся для горизонтального передвижения тяжестей (ворот с вертикальной осью), подъема тяжестей, подъема воды из колодцев и т. д.

Достоверных сведений о времени появления блока у древних народов нет. Грекам и римлянам в строительной технике были хорошо известны как единичные блоки, так и их системы (полиспасты). Теорию блока и полиспастов разрабатывал Архит Тарентский (IV в. до н. э.), но результаты его исследований до нас не дошли.

Колесо рано стало использоваться в военной технике древних народов (боевые колесницы). В греческую и рим- 10

скую эпохи применялись для преобразования вращательных движений зубчатые колеса.

Хорошо знали древние и технические применения винта. Некоторые древние авторы приписывали изобретение винта Архиту Тарентскому. Изобретение бесконечного винта для подъема и передвижения тяжестей и бесконечного водоподъемного винта связывают с именем Архимеда. Появление винта было причиной для постановки ряда новых технических и математических проблем. Известно, что Архимеду принадлежит замечательное исследование спиралей. Папп Александрийский (конец III —IV в. я. э.) рассматривал винт как закрученный клин, приводимый в движение не ударом, а вращением.

В отличие от статики античная динамика для своего развития не имела серьезной технической основы. Сравнительно примитивный характер динамической техники (ударные и метательные орудия) не благоприятствовал разработке более сложных проблем динамики, а потому понятно, что в области принципов динамики древние ничего значительного не оставили.

Говоря о технике как источнике и стимуле развития античной механики, нельзя вместе с тем забывать еще об одной области ——астрономии. Потребность объяснить сложные видимые движения планет (небесные явления, или феномены) приводила к необходимости разлагать их на более простые, представляя сложные движения как результат нескольких круговых. Эту задачу призвана была решить теория гомоцентрических сфер, предложенная Евдоксом Книдским (IV в. до н. э.). Евдокс предположил, что каждая планета неразрывно связана с равномерно вращающейся сферой. Ее объемлет другая, с ней концентрическая, ось которой расположена под известным углом к оси первой. Внутренняя вращающаяся сфера увлекается в своем движении объемляющей и т. д. В центре всех сфер находится Земля. Согласно теории Евдокса, у Луны и Солнца по три сферы, а у планет ——по четыре. С помощью этой гипотезы более или менее удовлетворительно удавалось описать движения наиболее удаленных планет (Сатурн и Юпитер). Евдокс ввел 27 сфер, Аристотель увеличил их число до 56. При пользовании теорией гомоцентрических сфер необходимо было уметь разбираться в довольно сложной кинематике небесных движений.

То же следует сказать о теории эпициклов и деферентов. Чтобы объяснить видимое движение планет, Гиппарх (160—125 гг. до н. э.) ввел предположение об эксцентрических кругах, центры которых не совпадают с центром Земли, а Клавдий Птолемей (70——147 гг. н. э.) дополнил его гипотезой эпициклов ——круговых движений вокруг точки, в свою очередь перемещающейся по эксцентрическому кругу, или так называемому «деференту» (т. е. кругу, переносящему или перемежающему эпицикл).

В сущности вся теория гомоцентрических сфер, эксцентрических кругов и эпициклов покоилась на сложении равномерных круговых движений.

Несмотря на искусственность, теория эпициклов и деферентов сыграла положительную историческую роль в развитии научной астрономии.

Эти попытки дать кинематическую картину небесных движений были тесно связаны с общими успехами кинематического метода в математике. Известно, что древние математики пользовались кинематическим методом при исследовании кривых. Архит Тарентский конструировал для вычерчивания кривых специальные приборы. Гиппий Элидский, живший около IV в. до н. э., нашел новую кривую, известную под названием квадратрисы, сложением двух равномерных движений, а Никомед (II в. до и. э.) нашел аналогичным путем конхоиду.

Кинематический метод применялся также Архимедом.

Вот его определение спирали: если прямая линия равномерно вращается в некоторой плоскости вокруг одного неподвижного конца и если одновременно некоторая точка равномерно движется по этой линии, начиная от неподвижного конца, то она описывает спираль.

Заметим, что кинематические расчеты применялись также при изготовлении различного рода автоматов (счетчики проходимых расстояний, часы и т. д.). Так, например, Архимед изготовил знаменитую модель небесной сферы, в которой автоматически воспроизводились видимые движения светил.

О тесной связи методов механики и математики в эллинистический период свидетельствует «Эфодик» Архимеда —произведение, в котором механика рассматривается как средство для решения геометрических задач. Правда, Архимед не считал механический метод строгим; он скорее рассматривал его как удобный прием для нахож-

дейия геометрических теорем, которым после этого надлежит дать геометрическое доказательство.

Конкретным примером применения теоретических положений механики к геометрии может служить определение площади сегмента параболы, основанное на теоремах о центре тяжести плоских фигур и законе рычага. Архит пользовался механическими (инструментальными) приемами при решении математических задач: ему принадлежит изобретение прибора для нахождения двух средних пропорциональных к двум отрезкам (к чему, как известно, может быть сведено решение задачи об удвоении куба).

Нельзя забывать, что разработка механики и механическое истолкование явлений природы не были оторваны от идеологической борьбы. Так, учение древних атомистов направлено против религии, суеверий, мистики, идеалистических тенденций в естествознании. Уже в самом начале своей поэмы Лукреций отметил великие заслуги Эпикура, смело восставшего против религии и суеверий . Борьба с религией должна быть основана на объективных знаниях; освободиться от суеверий можно только на базе изучения законов природы, механики мироздания. Такую же цель ставит себе и Лукреций:

...учу я великому знанью, стараясь Дух человека извлечь из тесных тенет суеверий.

Философы идеалистического лагеря делали все возможное, чтобы углубить и узаконить разрыв между теоретическим исследованием и практикой. Интересно в этом отношении высказывание Плутарха: «Знаменитому и многими любимому искусству построения механических орудий положили начало Евдокс и Архит, стремившиеся сделать геометрию более красивой и привлекательной, а также с помощью чувственных, осязаемых примеров разрешить те вопросы, доказательство которых посредством одних лишь рассуждений и чертежей затруднительно; такова проблема двух средних пропорциональных — необходимая составная часть многих задач, для разрешения которой оба применили механическое приспособление, строя искомые линии на основе дуг и сегментов. Но так как Платон

негодовал, упрекая их в том, что они губят достоинство геометрии, которая от бестелесного н умопостигаемого опускается до чувственного и вновь сопрягается с телами, требующими для своего изготовления длительного и тяжелого труда ремесленника,——механика полностью отделилась от геометрии и, сделавшись одною из военных наук, долгое время вовсе не привлекала внимания философии» .

Таковы в общих чертах разнообразные факторы, способствовавшие формированию основных понятий античной механики. Нам предстоит теперь более детально ознакомиться с начальными этапами греческой философии, объединявшей в еще нерасчлепенном виде первые знания о самых различных явлениях природы.

РАЗВИТИЕ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ МЕХАНИКИ В ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПЕРВЫХ ГРЕЧЕСКИХ ФИЛОСОФОВ

Уже в ранних стадиях развития греческой философии можно обнаружить зачатки двух принципиально различных механических концепций: кинетической и динамической. Со времени появления научной динамики (XVII в.) эти две концепции легли в основу двух различных методов обоснования механики, и до конца XIX столетия научный прогресс был ознаменован борьбой этих двух направлений.

Основные положения динамической концепции древних сводятся к следующему: материи чуждо самодвижение; сама по себе она может пребывать лишь в покое. Движение материи определяется действием на нее активных, движущих начал — сил, существующих независимо от нее п действующих извне. По Эмпедоклу, например, материя приводится в движение двумя противоборствующими мировыми силами: любовью и враждой.

Напротив, с точки зрения кинетической концепции в природе нет каких-либо особых начал движения, не связанных с материей. Материи свойственно самодвижение. Наиболее последовательными представителями античного кинетизма являлись атомисты (Левкипп, Демокрит, Эпикур и Лукреций). Принцип механического самодвижения

материи в общей форме был выражен в их учении о не- создаваемости и неразрушимости материи и движения. Согласно учению атомистов, природа ничего не содержит, кроме материи, движущейся в пустом пространстве.

Очагом возникновения и развития греческой философии явились, как известно, торговые города Ионии. Наиболее видные представители ионийской натурфилософии были стихийными материалистами. Они считали, что в основе всякого рода изменений лежит преобразование материального субстрата, в основе явлений лежит единая, объективно существующая, вечно движущаяся материя. В качестве такой единой первоосновы вещей Фалес Милетский (1-я четв. VII ——серед. VI в. до н. э.) признавал воду. Каждая материальная вещь, поскольку она движется или движет, обладает душой (например, магнит притягивает железо потому, что имеет душу). Правда, у Фалеса движущая сила не является внешним действующим началом; она внутренним, имманентным образом присуща материи. Однако самое различение движущего (душа) и движимого (материальная вещь) уже содержало в зародыше возможность в дальнейшем коренного противопоставления их, а следовательно, динамической интерпретации процессов движения.

По учению Анаксимандра (конец VII — 1-я пол. VI в. до н. э.), природа ——это материя, пребывающая в вечном движении. Все происходит из беспредельной первоосновы —чрезвычайно тонкой материи, называемой алейроном (бесконечное, неопределенное). Материи приписывается неуничтожимость и отсутствие сознания. В процессе вечного движения материи выделяются чисто механическим путем однородные элементы. Смешение элементов в том или другом отношении представляется как причина образования вещей. Таким образом, многообразие вещей и их качества сводятся к чисто механическому сочетанию элементов единой субстанции. Развитие мира — это вечный, протекающий с необходимостью процесс видоизменения материи. Учение Анаксимандра принадлежит, следовательно, к кинетическому направлению, так как у пего движущая причина пе противопоставляется материи. Причиной всякого частного, местного движения является вечное движение бесконечного.

Третий представитель милетской (ионийской) натурфилософии, Анаксимен (VI в. до н. э.), приписывал пер-

ёостихии (воздуху) вечное движение, разрежение и сгущение. Путем разрежения из воздуха образуется огонь, путем сгущения ——ветер, облака, вода, камни. Таким образом, и здесь самодвижение материи (в виде сгущения и разрежения) является причиной возникновения всех вещей материального мира. Природа пребывает в вечном потоке разрушения и возникновения миров.

Наиболее яркое и определенное выражение идея вечности и универсальности движения нашла у Гераклита Эфесского (ок. 530 — ок. 470 г. до п. э.). Гераклит учил, что все существующее в природе возникает из вечно движущегося огня. Огонь Гераклита нужно понимать но в смысле обычного пламени, но как некую огнеподобную первооснову вещей. Мир как совокупность вещей сотворен не богом или человеком, а был, есть и будет вечно живым огнем, закономерно воспламеняющимся и закономерно угасающим. Об этом фрагменте Ленин замечает: «Очень хорошее изложение начал диалектического материализма» .

Гераклит подчеркивал универсальность движения в мировом бытии. Реальное бытие вещей следует понимать в процессе вечного движения, изменения. Процесс развития состоит в раздвоении единого на враждующие противоположности. Всякое развитие внутренне противоречиво, и это противоречие предполагает отрицание одного и становление другого качества.

Великой заслугой Гераклита перед наукой является его учение о природе как о вечном закономерном процессе изменения материи. В смене вещей Гераклит сумел выделить постоянную, абсолютную основу всех изменений, причем усмотрел ее в единстве материи и в закономерной связи явлений. Понятие логоса (слово, разум) пронизывает все его учение. По свидетельствам древних, Гераклит отрицал вмешательство богов в дела природы, утверждая, наоборот, господство в природе логоса, т. е. абсолютного закона, необходимости, судьбы, рока.

«Когда мы подвергаем мысленному рассмотрению природу..., то перед нами сперва возникает картина бесконечного сплетения связей и взаимодействий, в которой ничто не остается неподвижным и неизменным, а все движется, изменяется, возникает и исчезает... Этот пер-

вонаиапьный, наивный, но по сути дела правильный взгляд на мир был присущ древнегреческой философии и впервые ясно выражен Гераклитом: все существует и в то же время не существует, так как все течет, все постоянно изменяется, все находится в постоянном процессе возникновения и исчезновения» 1.

Реакцией на диалектику ионийцев явилась, как известно, философия элеатов. Элейским философам казалось, что учение Гераклита делает невозможным познание, в корне уничтожает всякую науку об истинном, ибо о том, что меняется, о том, что возникает и уничтожается, ничего сказать нельзя. Элеаты не признавали объективности развития материи. Согласно их учению, истинное бытие едино, абсолютно неподвижно, божественно и познаваемо лишь разумом. Для одного из основоположников элейской философии Ксенофона (ок. 570 ——ок. 470 г. до и. э.) первоосновой всего сущего является неизменная природа, рассматриваемая в целом.

Дальнейшее свое развитие эта концепция получила у Парменида (род. в конце VI в.). Парменид утверждал возможность и истинность лишь внечувственного умозрительного познания; его учение сковывало развитие естественных наук, направленных на познание чувственно данного мира. Физические теории Парменид расценивал лишь как более или менее правдоподобные догадки, не имеющие характера непреложной истины. По физическому учению самого Парменида, всякое чувственное, т. е. кажущееся, неистинное, бытие состоит пз двух про- 1 ивоположных элементов; все возникает из смешения и разложения этих элементов. Движущее начало противопоставляется неспособной к самодвижению материи и представляется в виде начала, находящегося в центре вселенной и управляющего смешением и разложением элементов. Механическая концепция Парменида принадлежит, следовательно, к динамическому направлению: материи приписывается косность, а движущие начала Целиком отделяются от движимой материи.

Учение Парменида о невозможности множественности бытия, о неистинности пространства, времени и движения вызвало резкие возражения со стороны многих Ученых. С защитой основных положений Парменида вы-

7 Ф. Эiw<|iW с. Анти Дюринг. М., Г0@砂<ШгИ・ат, 1957, стр. 20.

А. Т. Григорьян〔7

ступил гениальный мастер древней диалектики Зенон (ок. 490 — ок. 430 г. до н. э.). Зенон защищал правильность взглядов Парменида не прямым, а косвенным путем, обнаруживая противоречия, которые возникают, если стать на точку зрения противников. Все усилия Зенона направлены на доказательство невозможности множественности бытия, невозможности движения, фиктивности времени, пространства и вообще чувственных элементов знания. В этом суть знаменитых апорий (затруднений) ,которые, по мнению Зенона, неизбежно возникают при попытке овладеть природой движения. Зено- новы доказательства невозможности движения замечательны тем, что они впервые со всей отчетливостью раскрыли диалектику движения.

Зенон утверждал, что движущаяся стрела в каждый момент времени должна занимать некоторую часть пространства, но занимать определенную часть пространства это означает быть или покоиться в данном месте. Таким образом, в каждый момент летящая стрела занимает некоторое место, т. е. покоится в нем. А из совокупности состояний покоя не может возникнуть движение. Отсюда Зенон сделал вывод о невозможности движения и объявил весь воспринимаемый нами мир оболочкой единого и неподвижного бытия. Зенон выдвинул и другие аргументы против реальности движения, которые мы рассматривать не будем.

Дальнейшее развитие динамизма представляет собой философия Эмпедокла (ок. 490 — ок. 430 г. до н. э.), которого, в отличие от элеатов, в большей мере привлекали физические вопросы реально существующего мира. Эмпедокл отделил движущие силы от материи. Без движущих сил материя может находиться лишь в состоянии покоя.

Эмпедокл, как уже говорилось, признавал два начала движения: любовь и вражду. Любовь осуществляет гармонический порядок вещей, стройность, красоту. Напротив, вражда разъединяет вещи, вносит асимметрию, уродство. Все состоит из механического смешения четырех элементов: воды, воздуха, огня и земли. Количество материи извечно одно и то же. Все сводится к разложению на абсолютно неизменные элементы и к их сочетаниям. Важным пунктом в учении Эмпедокла является принцип закономерности развития природы; законы рассматрива-

ются как результат устойчивых отношений, возникших в сложной игре первичных элементов.

Согласно Анаксагору (ок. 500—428 г. до н. э.), в ос* нове вещей лежит бесконечное множество качественно отличных друг от друга семян, или гомеоперий, т. е. частиц, делящихся на части, подобные разделяемому целому. Семена существуют извечно, сплошь наполняя пространство. Материя сама по себе косна и неспособна к движению. Движущая причина есть законодательный ум, или разум. «Разум не подвержен воздействию и пе смешан..., ибо таким только образом он может двигать, будучи неподвижным, и может владычествовать, будучи несмешанным» . После возникновения первичного вихря семян последующее развитие мира протекает независимо от верховного ума. Идеалист Платон в диалоге «Федон» с горечью упрекал Анаксагора именно за то, что он по существу при объяснении физических явлений обходится без понятия верховного разума.

Итак, Анаксагор допускает возможность механического самодвижения материи и отчасти примыкает к кинетической концепции. Правда, ум сохраняется в качестве охранителя мирового порядка; однако и в этом случае термин «разум» выражает по существу лишь закономерности мирового развития. Вначале через движение из первобытного смешения выделяются вода, воздух, огонь и земля; но это еще очень сложные смешения гомеоме- рий, и дифференциация продолжается дальше, идя от несовершенного к более совершенному.

Физическое мировоззрение Анаксагора можно назвать качественным атомизмом. Мир есть совокупность бесконечно малых и бесконечно разнообразных в качественном отношении вечно неизменных частиц; все возникает из перемены их внешних, чисто пространственных отношений. Такая концепция представляет ярко выраженную механическую картину мира, в которой нет места для мифологии; все сведено к механике сочетания и разъеди- нения частиц.

Таков процесс постепенного преодоления элейской философии единого и неподвижного, замкнутого в самом себе бытия и возврат на более высокой основе к ионийской идее вечного движения.

Прежде чем перейти к наиболее законченному выражению античного кинетизма — к системе атомистов, скажем несколько слов о пифагорействе. Мы сознательно не говорили о нем ранее, так как хотя время жизни Пифагора (VI в. до н. э.) и относится к более раннему периоду, однако многие сведения о его жизни и деятельности недостоверны и запутаны позднейшими легендами. Для истории механики во всяком случае представляет непосредственный интерес лишь позднейшая фаза развития пифагорейства.

К этому же более позднему времени относятся углубленные занятия пифагорейцев математикой и астрономией. Не вдаваясь в сложный и до настоящего времени во многом спорный вопрос, каков был действительный диапазон научных знаний у пифагорейцев старших поколений и каковы нити исторической преемственности между ними и пифагорейцами IV в. до н. э., ограничимся общими указаниями, достаточными для нашего предмета.

Характеризуя воззрения пифагорейцев, Аристотель писал, что согласно их учению «числа занимали первое место в природе, элементы чисел они предположили элементами всех вещей и всю вселенную признали гармонией и числом... У них, по-видимому, число принимается за начало и в качстве материи для вещей и в качестве выражения для их состояния и свойств» .

Учение пифагорейцев о количественной определимости материи, о господстве в мире математической закономерности сыграло прогрессивную роль в развитии античной математики. Множество разрозненных сведений из области практической математики, добытых древними народами к V в., должно было принять вид последовательной системы истин, выводимых из общих оснований. Без такой переработки математика не могла дальше успешно развиваться. В решение этой задачи внесли свой вклад пифагорейцы.

Известны также заслуги пифагорейцев в области приложения математических методов к естествознанию. Математические исследования пифагорейцев в области акустики (зависимость между длиной звучащей струны и высотой тона) является прологом к созданию математиче-

ской физики. Наконец, пифагорейцы учили о движении Земли вместе с Луной, Солнцем и планетами вокруг некоего «центрального огня», отказавшись от геоцентрических представлений, господствовавших в античную эпоху.

Ближайший интерес для истории механики представляет деятельность Архита Тарентского, расцвет которой приходится на 400—365 гг. до н. э. Диоген Лаэртский («Жизмеописания философов», кн. VIII, § 83) сообщает, что он первый изложил систематически механику, пользуясь математическими принципами. Древние авторы приписывали Архиту изобретение блока, винта и летающего голубя.

ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ В ПРОИЗВЕДЕНИЯХ АНТИЧНЫХ АТОМИСТОВ

Атомистический материализм Демокрита является синтезом лучших достижений греческой науки. Примыкая к естественнонаучной материалистической системе Левкиппа, учение Демокрита вместе с тем отразило и положительную часть воззрений пифагорейцев на математические закономерности, господствующие во вселенной. Атом Демокрита наделен свойствами единого, неделимого и вечно существующего бытия, на что указывали элей- цы. И, наконец, демокритовское учение в целом проникнуто кинетизмом, как у ионийских материалистов. Вселенная рассматривается в вечном изменении; бесчисленное количество миров возникает и вновь уничтожается, чтобы уступить место новым и новым образованиям.

Демокрит (ок. 460——ок. 370 г. до н. э.), обнявший своим гением всю сумму знаний своего времени, положил атомистическую гипотезу в основу объяснения самых разнообразных природных явлений. Маркс говорит, что Демокрит был «эмпирическим естествоиспытателем и первым энциклопедическим умом среди греков» .

Все вещи, по Демокриту, состоят из атомов и пустоты, бытия и небытия. Небытие (пустота) в такой же мере реально существует, как и бытие. Реальное существование пустого пространства Демокрит доказывал ссылкой на движение материальных тел, которые не могли

бы двигаться в сплошь заполненном пространстве, ссылкой на явления сгущения и разрежения, роста и т. д. Атомы бесконечно разнообразны по форме и величине, они являются неделимыми, извечно существующими, неуничтожимыми и невозникающими элементами бытия. Качественного различия между атомами нет; существуют различия лишь в форме, величине, порядке и положении. Движение атомов также извечно и в сумме своей неуничтожимо и несоздаваемо. Причиной изменений движения отдельных тел и атомов является их столкновение.

Поскольку вещество атомов однородно, вес их следует принимать пропорциональным объему; вес же доступных наблюдению сложных тел (комплексов атомов) определяется количеством атомов, содержащихся в объеме сложного тела. В сочинении «О небе» (кн. IV, гл. 2) Аристотель, критикуя эту концепцию, указывал, что «многие тела, будучи меньшего объема, более тяжелые, как, например, медь тяжелее шерсти». «Ввиду этого некоторые,—продолжает он, имея в виду атомистов,— предполагают и выдвигают иную причину, а именно они говорят, что заключающаяся в сложных телах пустота придает телам легкость и делает иногда большие тела более легкими, поскольку они заключают в себе больше пустоты». В нашем мире нет легких тел, есть тела более или менее тяжелые. Даже та материя, которая всегда устремляется вверх, как, например, огонь, в сущности является весомой, движение же вверх объясняется тем, что эта материя выпирается снизу более тяжелыми элементами, подобно тому как бревно выпирается водою из глубин на поверхность жидкости. Излагая взгляды древних атомистов, Аэций говорит, что когда атомы стекались в одно место, тогда «те, которые были крупнее и тяжелее, так и осели внизу, а те, которые были мелкими, круглыми, гладкими и скользкими, были вытолкнуты скоплением атомов и подняты вверх». О том же свидетельствует Симпликий в комментарии к сочинению Аристотеля «О небе». Он пишет: «Школа Демокрита и впоследствии Эпикура утверждает, что все атомы, будучи однородны, имеют тяжесть, но так как среди них есть более тяжелые, то более легкие, выталкиваемые ими, остающимися внизу, уносятся вверх — оттого-то, по их словам, и кажется, будто одни тела легкие, а другие тяжелые». И далее: «Школа Демокрита считает, что все

ДЕМОКРИТ

имеет тяжесть, но огонь, как имеющий меньшую тяжесть, выталкивается теми телами, которые уже рань* ше заняли места, и несется вверх, а потому кажется легким».

В первобытном своем состоянии (т. е. до возникновения упорядоченного космоса) атомы двигались во всевозможных направлениях и со всевозможными скоростями, однако равномерно. В результате взаимных столкновений атомы дают начало вихревым движениям. Дифференциация атомов, участвующих в вихревом движении, приводит к возникновению Земли, планет и всех окружающих нас вещей.

Еще до Демокрита фундаментальную роль вихря в мировом процессе отмечали Эмпедокл и Анаксагор. Однако лишь атомисты поставили вихрь в центре мироздания.

А вот как характеризовал воззрения Левкиппа (учителя Демокрита) Диоген Лаэртский («Жизнеописания философов», кн. IX, § 31): «Левкипп говорит, что из стихий возникают беспредельные миры и снова на них распадаются. Возникают же миры следующим образом: благодаря своему отрыву от беспредельного множество тел всевозможных форм уносится в великую пустоту. Собираясь вместе, они образуют единый вихрь, в котором испытывают столкновения, причем при своем многообразном вращении они разъединяются и сходные тела отходят к сходным. Поскольку же из-за своего множества они не могут вращаться, сохраняя равновесие, постольку наиболее тонкие направляются во внешнюю пустоту, как при просеивании через сито. Остальные же остаются вместе и, переплетаясь, соединяются друг с другом и сначала образуют некую шаровидную систему». Тот же Диоген Лаэртский сообщает о вихревой теории атомистов следующее: «Все происходит в силу необходимости и причина происхождения всего ——вихрь, который Демокрит называет необходимостью». В сочинении «О псбе» (кн. II, гл. 13) Аристотель пишет так о вихревой теории предшественников: «Земля остается на своем месте под влиянием насильственного воздействия, в центр же она переместилась иод влиянием вихря. Эту причину все они приводят, ссылаясь на вихревые явления, наблюдаемые в жидкостях и воздухе. В самом деле, при этих явлениях более крупнее тяжелые предметы всегда перемещаются

к центру вихря. Вот почему все те, кто полагает, что небо возникло с течением времени, утверждают, что земля оказалась в центре не сразу».

Указание Аристотеля, что теория мирового вихря возникла на основе наблюдений над вихревыми явлениями в жидкостях, конкретизируется и дополняется в следующем фрагменте Демокрита: «И животные соединяются в стаи с животными того же самого рода, как, например, голуби с голубями, журавли с журавлями; то же наблюдается и у других неразумных существ. Так же обстоит и с неодушевленными предметами, как можно видеть при просеивании зерен и на примере камешков, выбрасываемых морским прибоем: в первом случае при вращении сита распределяются отдельно чечевица с чечевицей, ячмень с ячменем, пшеница с пшеницей; во втором случае, благодаря движению волн, продолговатые камешки бывают толкаемы в то же самое место, куда и другие продолговатые, круглые ——куда круглые, как если бы в их подобии друг другу заключалось нечто, понуждающее их взаимно сближаться».

Космический вихрь атомов, по мнению атомистов, является причиной вращения небесных тел. Почему же в таком случае небесные тела не падают к центру этого вихря?

Симпликий пишет: «Иные считают причиной того, что небо не падает вниз, природную необходимость — вихрь, который пересиливает присущее небу стремление к падению, поскольку оно слабее. Так говорят Эмпедокл и Анаксагор».

Далее, не соглашаясь с этим мнением, Симпликий указывает, что нельзя говорить, будто круговое движение неба и неподвижное положение земли в центре остается вечным «вследствие быстрого вихревого движения эфирных тел, как, по-видимому, утверждал Эмпедокл и как думали Анаксагор и Демокрит». «Ведь хотя и эфирное тело, и земля имеют тяжесть, но поскольку круговращение происходит с большей скоростью, чем стремление к падению вниз, и оно берет верх над этим стремлением, постольку остаются на тех же местах и земля, расположенная в центре, тт небо, вращающееся по шаровой поверхности. Это происходит, по их словам, так же, как с водой в наше, которая не выливается при круговом дви-

жении чаши, если вращение происходит быстрее, чем стремление воды к падению вниз» ".

Ко взгляду Демокрита примыкает и Лукреций, согласно которому космический вихрь атомов является причиной образования земли и прочих небесных тел.

Физика Демокрита является последовательно-кинетической системой древнего материализма: мир есть развивающаяся на основе механического самодвижения материя. Такая концепция изгоняет из науки всякий элемент антропоморфизации природы. Скрепляет величественную систему Демокрита учение о закономерности.

Идея скрытой материи (отдельные атомы не могут быть предметом ощущения) и скрытых движений не была плодом оторванного от природы философствования; она выросла из стремления познать окружающий мир, самым тесным образом связана с наблюдением естественных явлений. Уже древние атомисты пытались применить свою гипотезу о скрытых движениях к естественнонаучному объяснению целого ряда сложных физических явлений. Новая физика, опираясь на учение древних атомистов, нашла надежную базу для своего успешного развития.

Демокритовский атомизм связан не только с физикой, по и с математикой. У Демокрита теория неделимых, вероятно, была ответом на трудности, выдвинутые Зеноном. Она позволяла по-своему обойти зеноновские апории, возникающие при допущении, что деление может быть продолжено до бесконечности. По Демокриту, при делении тела получается бесконечно большое число не протяженных, а очень малых частиц. Мысленно разлагая тело на тончайшие листочки (плоскости), плоскости—на тончайшие нити (линии), а линии — на мельчайшие зернышки (точки), Демокрит решил ряд геометрических задач. Так, рассекая конус и пирамиду на пластинки сечениями, параллельными основанию, он пришел к заключению, что объем конуса равняется трети объема цилиндра с теми же основанием и высотой, а объем пирамиды соответственно трети призмы. Аналогично определял Демокрит объем шара и площадь круга. Позднее Аристотель утверждал, что подобное признание дискретного строения пространства должно неизбежно при-

11 С им пл и кий. Комментарий к сочинению Аристотеля «О небе». Цит. по статье С. Я. Лурье «Механика Де1мю1К1рита» («Архив исто1ри'и науки и техники», вьш. 7, М.—Л., 1935, стр. 148).

вести к дискретности времени и движения: время состоит из мельчайших мгновений, или «теперь» движение — из мельчайших продвинутостей, или «кинем» (Аристотель обозначил их прошедшим совершенным от глагола двигаться) .Сделал ли такой вывод сам Демокрит, категорически утверждать нельзя.

Несколько нарушая хронологическую последовательность (ради цельности изложения), рассмотрим теперь атомистические взгляды Эпикура (341—270 гг. до н. э.) и Лукреция (I в. до н. э.).

Основные положения эпикурейской физики сводятся к следующему: все существующее материально. В основе вселенной, как и у Демокрита, лежат атомы и пустота. Ничто не возникает из ничего и ничто из существующего не может исчезнуть. Все закономерно возникает из вечного движения атомов и разлагается на атомы. В природе нет никаких нематериальных сил, целей. Атомы Эпикур рассматривает как чрезвычайно малые, реально существующие тельца. В беспредельном пространстве существует бесконечное число миров, беспрерывно возникающих и разрушающихся.

Демокрит приписывал атомам только два свойства: величину и форму, а Эпикур добавил к ним еще третье — тяжесть, ибо необходимо, говорил он, чтобы тела двигались гонимые тяжестью. Другое существенное отличие Эпикура от Демокрита — гипотеза о первоначальном ливне атомов, движущихся в мировом пространстве сверху вниз. Мы видели, что у Демокрита первоначальное движение атомов происходило беспорядочно по всем направлениям мирового пространства. Эпикур отступил от этой концепции, различив в мировой пустоте верх и низ. Для объяснения взаимных встреч падающих атомов он вынужден был поэтому признать, что атомам свойственны чрезвычайно малые самопроизвольные отклонения от линии падения. В результате таких малых и случайных отклонений атомы сталкиваются в вихревых движениях, которые и являются причиной образования небесных тел.

Несмотря на указанное различие, нельзя рассматривать тяжесть, по Эпикуру, как некую особую силу, как нечто внешнее по отношению к материи; скорее она является символом извечного движения в определенном направлении. Вот почему его механическая концепция остается по существу кинетической и в этом сходится с

концепцией Демокрита. Тяжесть в учении Эпикура не является ближайшей причиной первоначального движения тел сверху вниз, потому что разница в тяжести не влияет сама по себе на это движение: и тяжелые, и легкие атомы движутся в мировой пустоте с одинаковой скоростью. Несмотря на признание произвольных и случайных отклонений атомов, механическая концепция Эпикура не содержит идеи беспричинных связей. Обогащая философию фундаментальным понятием случайности, подобная концепция не подрывает естественнонаучных основ Демокритовой атомистики. Благодаря идее малых самопроизвольных отклонений атомов от линии падения, Эпикур (а позднее вслед за ним и Лукреций), в сущности, вводит наряду с необходимостью случайность как объективную форму закономерности. Но раз случайность становится формой закономерной взаимосвязи явлений, то наука о природе уже не может вести к фатализму.

Если, как было сказано выше, у нас нет достаточных данных для утверждения, что Демокрит признавал дискретность времени и движения, то Эпикур совершенно определенным образом мыслил и пространство, и время, и движение дискретными; в мельчайшую неделимую единицу времени атом может проходить только мельчайшую неделимую единицу пути. Отсюда, по Эпикуру, вытекает, что атомы движутся с одинаковой скоростью. Ведь если допустить, что атомы обладают разной скоростью, то можно себе представить, что более быстрый атом будет проходить неделимую единицу пути в часть атома времени, а менее быстрый атом должен проходить за неделимую единицу времени часть неделимой единицы пути; ни то, ни другое невозможно, ибо относительно мельчайших единиц пути и времени было допущено, что они неделимы.

Разница в скоростях воспринимаемых (так сказать, макроскопических) движений объяснялась у Эпикура различным сочетанием атомов и различным распределением кинем (неделимых движений) в составе сложного тела: не меняя скорости своих движений, атомы, всегда подчиненные закону исотахии (равенства скоростей), способны менять ту конфигурацию, в которой скопление их предстает перед чувственным ощущением.

Остановимся здесь еще кратко на воззрениях Лукреция, изложенных в известной поэме «О природе вещей».

Принцип сохранения материй выдвигается им как основной и незыблемый закон природы:

...вещам Н1евозмо1жн(о

Из иитаего B0i3HHKaiTb и, родившись, в ничто обгращаться.

Атомы рассматриваются Лукрецием как абсолютно твердые материальные тельца, которые нельзя разложить внешними силами и которые никогда не распадаются под влиянием внутренних факторов. Тем более они не могут быть полностью уничтожены. Атомам противопоставляется пустота как некоторое вместилище тел:

Кроме того, все то, что само по себе существует,

Действует или само, иль подвержено действию будет, Иль будет там, где вещам находиться и двигаться можно. Действовать илъ no^BeipraiTbCH В1оздейств1ию тело лишь может, Быть же вместилищем тел может только пустое пр@стр规нствкх

Движение извечно присуще материи. Оно неотделимо от материи и в такой же мере несоздайаемо и неуничтожимо, как и сама материя. Атомы находятся в вечном и беспрерывном движении в простирающимся по всем направлениям бесконечном пространстве. Все вещи вовни- кают из взаимного сцепления и устойчивых сочетаний атомов:

Если же думаешь ты, что стать нетодвижню iciroico^Hbi Пе,рвю1Н1а1чал1а вещей и з®【тем возрюдить в иих движенье, Брюдишь от истины ты дал^емо в за'блужденьи глубоком, Ведь, в иуютоте находясь и витая ио ней, иеизбежню Г1е|р1В01Н1а|Ч1ал1а В1ещей уносятся сю'бствеыным весим Или толчками других. И часть, в движеиьи столкнувшись B'M*eiciTei, юдни от других они в сторону прядают сразу.

И удиЕлщттвся не1льзя: ведь они в высшей стен^ни креики, Плотны и вески,眩 вспять Ю1тс1кочить им ничто не мешает.

К фундаментальным завоеваниям древних атомистов относятся учение о закономерности и установление принципов сохранения материи и движения. В дальнейшем пр!инцип сохранения материи ньютоновой механики выражен законом сохранения массы; принцип сохранения движения ——галилеевским законом инерции и декартовским законом сохранения количества движения. Атомисты разработали первые важнейшие положения динамики.

ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ В ТРУДАХ АРИСТОТЕЛЯ

Фундаментальное место в аристотелевской натурфилософии занимает учение о движении. И это понятно. Философия Аристотеля направляет главное внимание на процесс возникновения вещей. Ведь действительность осуществляется из возможно ст,и путем движения (изменения). В «Физике» Аристотель писал: «Так как природа есть начало движения и изменения, а предметом нашего исследования является природа, то нельзя оставлять невыясненным, что такое движение: ведь незнание движения необходимо влечет за собой незнание природы». Аристотель отвергает учение злеатов об абсолютной неподвижности истинного бытия: «...утверждать, что все покоится, и подыскивать обоснования этому, оставив в стороне свидетельство чувств, будет какой-то немощью мысли и спором... не только против физики, но против всех наук, так как все они пользуются деижением» .

Необходимо, однако, помнить, что движение Аристотель понимал широко, в смысле изменения вообще. Механическое движение, или перемещение в пространстве, рассматривалось как один из видов движения. Другими видами его являются качественное изменение и рост. Соответственно и «Физика» Аристотеля трактует не только о механических процессах, но и о химических явлениях, где главную роль играет качественное изменение, биологических (рост и т. д.) и даже психологических и социальных—там, где речь идет, например, об усвоении технических знаний человеком или о технической обработке материала (неоднократно повторяющийся пример с ваятелем и статуей). В этом одновременно и сильная, и слабая сторона «Физики» Аристотеля. С одной стороны, рассматривая в широком философском смысле категорию движения, он сумел уловить некоторые принципиальные особенности того или иного вида изменений (например, скачки), с другой стороны, Аристотель недостаточно и в ряде случаев неверно осветил соотношение между различными видами движения. Так, категорию цели, характерную для технической деятельности человека, он перенес в космос, говоря об объективной целесообразности биологических

явлений и даже целенаправленных процессах в механике и физике.

Не удовлетворяясь учением о механической причинности, ра1звивавши1мся древними атомистами, Аристотель различал четыре вида причин: материальную, действующую (или причину Движения), формальную и финальную (цель, или «ради чего»).

В первой книге «Метафизики» Аристотель отмечает, что до него ученые указывали на материальную причину (ионийские натурфилософы), затем добавили причину движения (элеаты, Эмпедокл и Анаксагор), и, наконец, некоторые учили о формальных причинах, признавая идеи за начала вещей (школа Платона), но лишь он впервые указал на цель, или «ради чего», как на четвертую причину образования вещей. Эти телеологические моменты физического учения Аристотеля были раздуты впоследствии средневековой схоластикой.

На основе различения четырех причин строится и представление об источнике движения. Материя, по Аристотелю, сама по себе является пассивным началом и низшим по отношению к форме: ей чуждо самодвижение. Согласно учению атомистов, в пустоте тела могут сохранять наличное движение сами по себе, без внешних импульсов.

Напротив, в учении Аристотеля центральным пунктом является идея косности, пассивности материи. На первый план выдвигается различие между движимым и двигателем. Даж)е в самодвижущихся (одушевленных) телах Аристотель различал движимое и движущее. Они также требуют наличия двигателя, разница лишь в том, что неодушевленные имеют источник движения вовне, в то время как самодвижущееся тело имеет двигатель в самом себе.

Под силой Аристотель понимает всякую способность, поскольку последняя может быть причиной, началом действия или противодействия.

По отношению к явлениям механики Аристотель считает, что всякое движение предполагает наличие движущей силы. Следовательно, закон инерции был известен ему лишь в первой своей части: тело пребывает в покое до тех пор, пока не будет выведено из этого состояния какой-либо силой. Сила для Аристотеля — причина движения и должна непрерывно поддерживать движение. Но тогда возни-

кает вопрос: чем же поддерживается движение в телах, оторвавшихся от своего двигателя, т. е. силы, которая сообщила им движение?

В ^Физике» читаем: «Раз все движущиеся предметы, которые не движут сами себя, приводятся в движение чем- нибудь иным, то спрашивается, как некоторые из них движутся без соприкосновения с движущим, например тела брошенные».

Ответ дается следующий. Когда мы толкаем по плоскости тело, например шар, то одновременно приводим в движение окружающий его воздух. В образующуюся за движущимся шаром пустоту устремляется воздух и как бы подталкивает его. По этой причине шар останавливается не мгновенно после прекращения действия силы, а некоторое время движется вследствие воздействия окружающей среды. Воздушная среда в данном случае является активным началом движения, ибо, не будь ее, тело должно было бы мгновенно прийти в состояние покоя.

В этом аспекте следует понимать ,и аристотелевское учение io вечности движ|8ния. Аристотель ставит вопрос: «Возникло ли когда-нибудь движение, не будучи раньше, и исчезнет ли снова так, что ничто не будет двигаться? Или оно не возникло ,и не исчезнет, но всегда было и всет|да будет, бессмертное и непрекращающееся?». На этот вопрос Аристотель дает совершенно определенный ответ: «Невозможно допустить, чтобы не было движения... Движение необходимо существует всегда». Таким образом, Аристо- тель резко расходится в этом пункте с элеатами. Но, как мы только что сказали, ои расходится и с древними атомистами: материя не самодвижна. Различая движущее и движимое, Аристотель утверждает, что «...одни из существующих предметов неподвижны, другие всегда движутся, третьи причастны покою и движению». Итак, по Аристотелю, все движущееся должно приводиться в движение чем- нибудь, причем во всем, что движется само собой, движимое и движущее находятся вместе. Сам двигатель может сообщать движение либо посредством собствсппого движения, либо находясь в покое.

Предположим, что движение тела Ai обусловлено движением тела А2, движение тела А2 — движением тела Аз и т. д. Чтобы не продолжать без конца этот процесс, полагал Аристотель, мы должны признать существование первого (двигателя. Теперь ясно, что первый двигатель дол-

жен быть неподвижным или самодвижущимся. В последнем случае нужно различать в нем движимую и движущую части. А так как двигатель в самодвижущемся уже ничем не приводится в движение, то сам он должен быть неподвижным, ибо... «таким только образом возможно для какого-нибудь предмета самодвижение». Следовательно, если рассматривать цепь, в которой всякое последующее звено представляет движимое, то первое звено этой цепи, по мысли Аристотеля, должно быть извечным первичным неподвижным двигателем.

Первичный неподвижный двигатель, по Аристотелю, порождает простые, однородные, непрерывные и бесконечные движения. Круговые движения небесных сфер являются примером таких вечных непрерывных и совершенных движений. Этих божественных первых двигателей столько, сколько небесных с巾ер. Существование неподвижных вечных двигателей аргументируется также ссылкой на вечность движения: если бы не существовало первых начал движения, неподвижных и вечных по своей природе, то движение не могло бы быть вечным. «Однако невозможно, чтобы движение либо возникло, либо уничтожилось, ибо оно существовало всегда» 13.

Таким образом, Аристотель делает первые шаги по пути, который со временем привел к понятию движения по инерции,— он говорит о вечном движении. Но таковым у Аристотеля является только вращательное движение небесных сфер, да и оно еще не мыслится без первого двигателя.

Интересны мысли Аристотеля, которые в какой-то мере можно рассматривать как попытки количественного определения механической силы. В этих попытках нет, правда, и намека на возможность технического употребления понятия силы, нет также формулировки общего закона. Сила определяется как величина, пропорциональная скорости и весу (массе) движимого груза. Для того чтобы лучше разобраться в сути дела, введем некоторые современные термины и обозначения. То, что Аристотель называет движущим, мы будем называть силой и обозначать буквой /. Величину движимого мы будем называть весом движимого тела и обозначать буквой р. Тогда приводимые ниже рас-

13 Аристотель. Метафизика, кп. XII, гл. 6 стр. 208.

33333 А. Т. Григорьян

33

33

суждения Аристотеля сведутся к следующему: сила равна произведению скорости тела и на его вес, т. е.

f = i = P十， ⑴

где s ——пройденный путь, a t ——соответствующее время. Текст самого Аристотеля (с заменой его обозначений только что указанными) примет такой *вид: «В равное время сила, равная /, продвинет половину р на двойную длину s, а на целое s в половину времени t. Такова будет пропорция. И(е»сли одна и та же сила движет одно и то же тело в определенное время на определенную длину, а половину —— в половинное время, то полов!инная сила продвинет половину движимого тела и в то же время на раовную длииу». Далее: «Пусть половина силы / будет f и половина р будет р‘： отношение силы к тяжести будет здесь сходно и пропорционально, так что и в равное время они будут двигать на равную длину» .

Здесь утверждается, что скорости двух тел будут равны, если у них одинаково отношение даужущей силы к весу движимого, т. е. если /: р = const, и, следовательно, формула (4) опять подтверждается. Однако нельзя думать, qto соотношение (1) выражает у Аристотеля общий вакон механических движений и применимо для всех случаев движения. Сам Аристотель вводит существ1енные ограничения. Так, например, если бы соотношение (1) являлось общим законом, то было бы ясно, что половина силы, f : 2, продвинула бы данное тело р за время t на половину полного пути s : 2. Однако Аристотель эту возможность отрицает, несмотря на тю, что она укладывается в указанную им пропорцию. Он ссылается при этом на практику. В самом деле, если сила ста человек передвинет каменную глыбу за время t на расстояние s, то один человек, /: 100. уже не сумеет передвинуть ту же глыбу на расстояние s : 100; может оказаться, что он вообще не сдвинет ее с места. Вот слова самого Аристотеля:《Но если /: 2 передвигает р : 2 во время t на длину s, нет необходимости для / : 2 в одинаковое время двигать р на половину длины s : 2. Именно, если / продвинет р за время t на длину s, половила /, т. е. /:2, не продвинет р за время t или в какую-нибудь часть t на длину s или на часть s, соответственно от-

ношению / к р; и вообще может случиться, кто никакого движения не произойдет. Ведь если целая сила произвела определенное движение, половина ®е не произведет такого движения в какое бы то ни было время; иначе один человек мог бы двигать судно, если только силу гребцов и длину, на которую они все двигали его, разделить на их число» is.

Таким образом, закон, выраженный соотношением (1), обязателен лишь для того случая, когда при сохраненисп движущей силы мы делим на части движимое тело. Напротив, он может не иметь места, если при сохранении движущей силы увеличивать движимый груз. Соотношение (1) может не удовлетворяться и тогда, когда одновременно уменьшаются движущие силы и 血ассы движимых тел. С этой точки зрения Аристотель критиковал парадокс Зенона, утверждавшего, что поскольку ничтожная часть пшеничного зерна неспособна привести в движение воздух и произвести шум, постольку не может произвести такой шум и целая мера (медимн) зерна. По Аристотелю, в результате деления сила может утратить способность производить какой бы ни было эффект и, наборот, суммирование мельчайших элементов силы может привести к иному, большему эффекту, чем можно было ожидать, исходя из величины мельчайших элементов.

Ар1истотель говорит: «Поэтому-то неправильно рассуждение Зенона, что любая часть пшеничного зерна произведет шум, так как вполне возможно, что в какое угодно время она не приведет в движение воздух, который привел в движение при своем падении медимн. И даже той частички воздуха, которую она двинула бы, находясь в составе целого, она не приведет в движение, если будет падагь сама по себе, ибо в целом она существует только в потен* ции». Таким образом, соотношение (1) выполняется при делении движимых масс и движущих сил только в том случае, если заведомо известно, что элементы суммы обладают ощутимым действием. Как говорит Аристотель: «Если же имеются два предмета и каждый из них движет определенное количество в определенное время, то силы их, сложенные вместе, будут двигать сложенные тяжести на одинаковую длину и в то же время согласно аналогии» .

Итак, все эти рассуждения Аристотеля о движимых телах и силах носили еще ограниченный конкретными условиями характер: их нельзя обобщить в виде закона. Аристотелю можно приписать лишь первые попытки; подхода к установлению М1еры силы, но не больше. С попыткой дать более широкое толкование аристотелевскому закону мы встретимся в III веке н. э. у Герона.

Глубокие соображения высказал Аристотель ло поводу взаимоотношения движения, пространства и времени. Понятия пространства и времени, приближающиеся к пред- ставлеииям классической механики, сформировали1сь еще до Аристотеля и в этой своей форме нашли особенно яркое выраж1ение в школе атомистов. Удары элейской критики были направлены как против учения об объективности движения, так и против объективности пространства и времени. Элеаты считали, что пространство и время не имеют сами по себе реального бытия, ибо чувства наши не относятся к источникам объективного знания. Напротив, Аристотель, как и атомисты, утверждал объективность времени и пространства, впервые подвергнув эти понятия всестороннему и детальному анализу.

Вместе с тем Аристотель отверг учение атомистов о существовании абсолютно пустого пространства, независимого от находящихся в нем тел и ин дифф е р ентного ко всякого рода их взаимодействиям. Пространство, понимаемое как чистое протяжение и являющееся пассивным вместилищем тел, несовместимо, по мнению Аристотеля, с понятием движения.

Аристотель исходил из понятия физического пространства, т. е. такого, свойства и сущность которого находятся в известной связи с физическим бытием материи. Он определяет место не как объем, (занимаемый телом в абсолютном пространстве, а как границу объемлющего тела, т. е. тела, сюпр|икасающегося с объемлемым. Место, по Аристотелю, не может быть чем-то принадлежащим предмету. Оно не может быть ни юго материей, ни формой, ибо и материя, и форма неотделимы от предмета, в то время как место меняется в процессе движения. «Поскольку место отделимо от предмета, постольку оно не есть форма, поскольку же юбъемлет (его, дно отличается от материи». Хотя границы объемлющего и объемлемого тела совпадают, однако местом является именно граница объемлющего тела, в то время как граница объемлемого является фор-

АРИСТОТЕЛЬ

мой его. Таким образом, о месте в строгом смысле можно говорить лишь при наличии двух тел: объемлющего и объ- емлемого. Пространство, рассматриваемое как 1совокуп- ность мест, является наполненным; там, где есть место, должно быть наполненное пространство, ибо место и есть не что иное, как граница объемлющей материальной среды. К пустоте понятие места вообще неприменимо. «Тело, снаружи которого находится какое-нибудь другое объемлющее его тело, находится в известном месте. Тело, у которого этого нет, не находится». Поэтому Земля и небесные тела, отдельно взятые, находятся в известных местах, ибо все они окружены мировым эфиром, но мир в целом, т. е. сферическая вселенная, «не находится в месте», так как за пределами этой вселенной больше нет ничего.

Аргумент атомистов в защиту пустоты Аристютель отводил следующим образом: «Они утверждают, во-первых, что иначе движения по отношению к месту, т. е. перемещения и увеличения, не было бы: нельзя предполагать движения, если не будет пустоты, так как наполненное не имеет возможности воспринять что-нибудь». «Но нет никакой необходимости, если существует движение, признавать пустоту..., так как тела могут уступать друг другу место одновременно при отсутствии какого-либо отдельного промежутка наряду с ними. Это очевидно в вихревых движениях сплошных тел и в движениях жидкостей».

Атомисты считали пустоту необходимой для движения; Аристотель, наоборот, из наличия естественных движений, происходящих по различным направлениям, делает вывод об анизотропности пространства и невозможности пустоты. В самом деле, полагал он, если бы пространство было совершенно пустым, то в нем исчезли всякие физические различия, ибо в пустоте все места тождественны, и, следовательно, тело, окруженное пустотой, не имело оснований двигаться в одну сторону предпочтительно перед другими. Напротив, в физическом пространстве однородность мест и изотропность, вообще говоря, отсутствует, и, следовательно, здесь имеются условия для движения в одном направлении по сравнению с другими. «В пустоте,— писал Аристотель,——нет основания двигаться сюда больше, сюда меньше: поскольку это лустюта ——в ней нет различий... Каким же образом может быть движение по природе, если нет никакого различия в пустоте... Ведь, как ничто не заключает в себе никаких разл!ичий, так и несуществующее.

Пустота представляется чем-то несуществующим и лишенностью, а перемещение, согласное с природой, различно... Итак, или ни один предмет никуда не будет перемещаться по природе, или, если это происходит, не будет пустоты».

Таким образом, Аристотель наделяет пространство физическими характеристиками; оно рассматривается не только как среда, но и как действительное основание для всех происходящих процессов. С точки зрения Аристотеля, пустое пространство атомистов является лишь абстракцией чисто геометрических свойств реального физического пространства. Интересно указание, что если стать на позицию Демокрита, то это с необходимостью повлечет признание неприемлемой для аристотелизма инерции движения. Аристотель пишет: «Далее, никто не может сказать, почему тело, приведенное в движение (в пустоте), где-нибудь остановится, ибо почему оно скорее остановится здесь, а не там. Следовательно, ему необходимо или покоиться, или бесконечно двигаться, если только не помешает что- нибудь более сильное».

Пространство к телам не индифферентно. Различным телам, по учению Аристотеля, свойственно двигаться естественным образом в определенные места и по определенным направлениям. Тела могут удаляться из естественных мест насильственными движениями; напротив, движение к естественному месту является естественным, т. е. происходит без приложения внешней силы. Естественные движения протекают сами собой, в силу свойств самих вещей (свободное падение тяжелых тел, течение водь в реке, устремление воздуха и огня вверх и т. и.); насильственные движения противоположны естественным и обычно возникают вследствие практической деятельности человека.

По мнению Аристотеля, всякое тело может пребывать в состоянии естественного покоя лишь в определенном месте, естественном для данного тела, — в однородной с этим телом материальной среде. Воздух, окруженный воздухом, не имеет повода двигаться вверх или вниз. То же относится и к другим элементам: земле, воде, огню. Окруженный более плотной средой (например, водой) воздух будет стремиться вверх, а менее плотной (огнем) —вниз, т. е. в одном случае от центра оферичеюкой вселенной, в другом — к ее центру. Следовательно, согласию Аристотелю, воздух обладает лишь относительной легкостью, как и водц ——относительной тяжестью. Что же касается двух дру-

гих стихий ——огня и земли, то, поскольку не существует более разреженной стихии, чем огонь, он, будучи окружен одной из трех остальных, всегда будет двигаться, бсплы- вать вверх, точно так же, как и самая тяжелая стихия — земля, окруженная огнем, воздухом или водой, устремляется вниз. Огонь обладает, следовательно, только легкостью, земля — только тяжестью. (Отсюда Явствует, что представление об абсолютной легкости огня было у Аристотеля теснейшим образом связано с представлением о конечности мира в пространстве).

Четыре стихии, или элемента, по представлению Аристотеля, концентрическими слоями облегают центр мира следующим образом, считая от центра: земля, вода, воздух, огонь. Следовательно, движение от центра осуществляется вверх, к центру — вниз. «Верх находится не где придется, а куда несутся огонь и легкое тело; равным образом не где придется находится низ, а куда двигаются тела тяжелые и землистые, как если бы эти определения различались не положением только, но и известной силой». «Место есть не только нечто, но оно имеет и какую-то силу» . В одни места, находящиеся ближе к периферии сферической вселенной, устремляются легкие тела, в другие же, т. е. к центру вселенной, тяжелые. Иначе говоря, в сплошь наполненном физическом пространстве Аристотеля место, помимо чистого протяжения, приобретает некоторьге динамические свойства. Поскольку в пустом пространстве атомистов нет никакого разлтгтия мест, постольку оно не может определить различия между естественными движениями. Но если в пустоте не может быть естественных движений, то тем самым устраняется также возможность и насильственных, ибо последние противоположны первым. Таковы мотивы, не позволявшие Аристю- телю принять концепцию пустого пространства атомистов.

Итак, нахождение тела в инородной среде является причиной его устремления вверх или вниз. Мы видели, что атомисты объясняли механизм подобного устремления выталкиванием менее тяжелых тел вверх и оттеснением более тяжелых вниз. Для атомистов все тела тяжелые в большей или меньшей степени. Аристотель, верный общим принципам овоей физики, не признает такой абстракции и

ограничивается констатацией, что в материальных средах одни тела всплывают, другие тонут. Причины того и другого он не вскрывает или вводит мотив финальности, впоследствии раздутый в средневековом схоластическом ари- стотелпзме.

Послушаем самого Аристотеля. В одной из глав своей «Физики» он дает следующий уклончивый ответ на вопрос, почему тела движутся в свойственные им места: «В противоположные места они движутся силой, а в свойственные им ——легкое тело вверх, тяжелое вниз ——по своей природе, а чем они приводятся в движение, это еще не так ясно, как в том случае, когда они движутся против природы». В другом месте «Физики» Аристотель опять ставит вопрос, почему легкие и тяжелые тела движутся в свои места. «Причина этому,— отвечает он здесь,— заключается в том, что они по природе назначены куда-нибудь, и в том именно и состоит различие легкого и тяжелого, что одно стремится вверху, другое ——книзу» . Аристотель замечает при этом, что легкие и тяжелые тела не могут двигаться вследствие препятствий, но когда препятствие устраняется, они все время движутся в свои места.

Прямолинейные движения вверх и вниз свойственны телам, состоящим из четырех стихий подлунного мира. Они неизбежно должны иметь конец в пределах этого мира: огонь должен прийти в состояние покоя, достигнув своей стихии, так же как и земля, достигнув центра мира. Но каким же образом объяснить вечное круговое движение небесных тел? Если оно естественно, а потому и не может прекратиться, то тела, которым оно присуще, полагал Аристотель, должны состоять из особого вещества ——пятой стихии, или эфира, которому круговое движение может быть присуще по природе. Критикуя теорию мирового вихря, развивавшуюся древними атомистами, Аристотель исходил из мысли, что для тяжелых тел круговое движение противоестественно, а потому не может продолжаться долгое время. Вот что пишет об этом его комментатор Симп- ликий: «Аристотель считает неправдоподобным, что такое положение вещей могло бы сохраняться столь долгое время, будучи противоестественным. Надобно ожидатьх что такое движение, которое одолевает стремление падать вниз, может продержаться лишь короткое время, но вечпо

продолжаться ему невозможно, ибо всему имеющему тяжесть присуще стремление падать вниз» .

Таким образом, небесная механика у Аристотеля резко отделяется от физики земных движений.

Посмотрим теперь, как конкретизированы только что изложенные положения у самого Аристотеля. В сочинении «О небе» читаем: «Дерево весом в 1 талант (60 мин) будет тяжелее в воздухе, нежели свинец весом в 1 мину, а в воде будет легче. Причина заключается в том, что все имеет тяжесть, за исключением огня, и все имеет легкость, за исключением земли. Земля же и те тела, которые содержат много земли, по необходимости должны иметь тяжесть везде, тогда как вода должна иметь ее везде, за исключением случая, когда она находится в земле, а воздух ——за исключением тех случаев, когда он находится в воде или в земле. Ибо в своем месте все имеет тяжесть, за исключением огня,——даже воздух. Указанием служит то, что надутый бурдюк тянет больше, чем пустой. Таким образом, если что-либо содержит больше воздуха, нежели земли и воды, то оно может оказаться в воде более легким по сравнению с другим каким-нибудь телом, а в воздухе — более тяжелым, ибо в воздухе оно не всплывает, а в воде всплывает».

Исходя из своей концепции тяжелого и легкого, Аристотель в том же трактате критиковал взгляд, согласно которому тела движутся вверх или вниз вследствие различия своей формы. Различие формы, по его словам, может обусловить лишь большую или меньшую быстроту передвижения, но не само передвижение. «Можно поставить теперь вопрос, почему широкие тела из железа и свинца способны плавать на воде, тогда как менее крупные и менее тяжелые, если они округлые или длинные, как, например, игла, перемещаются вниз, и почему некоторые тела, благодаря своей мелкости, всплывают, как, например, золотые пылинки и прочие землистые и порошкообразные вещества в воздухе. Приписывать всему этому причину, которую приводит Демокрит, будет неправильно. В самом деле, он говорит, что те теплые частицы, которые испаряются из воды, поддерживают тяжелые тела, имеющие широкую поверхность, а в увкие не попадают, поскольку им противостоит небольшая поверхность. Но

тогда в воздухе это должно было бы происходить в еще большей мере, как утверждает и сам Демокрит; однако, принимая это, он дает слабое решение вопроса: ведь он утверждает, будто устремление вверх не является единым по своему направлению, понимая под этим движение тел, перемещающихся вверх».

Вслед за этим Аристотель приводит собственное объяснение: «Поскольку же из непрерывных тел одни поддаются разделению труднее, нежели другие, и точно так же одни способны разделять легче, другие ——труднее, по- стольку в этом и следует усматривать искомые причины. Ведь то, что способно хорошо очерчиваться границами, является хорошо разделяющимся, и тем лучше, чем оно лучше очерчивается; воздух же в этом отношении совершеннее воды, а вода — земли. И более мелкое тело любого рода легче поддается разделению и рассечению. Стало быть, тела широкие, благодаря своему большому охвату, пребывают наверху, мбо при 'большом своем про- тяжении не быстро рассекают среду, тогда как тела, противоположные по форме, вследетвие своего малого охвата, движутся книзу, ибо быстро рассекают ее. И в воздухе делают это гораздо лучше, поскольку он поддается разделению легче, чем вода. А так как тяжелое тело обладает способностью солротивлятыся своему рассечению, то и другое нужно сравнивать друг с Другом: если перевешивает сила тяжелого тела по сравнению с силой непрерывной среды, сопр1отивляю1цейся рассечению и разделению, то такое тело понуждается скорее двигаться книзу, а если она слабее, то тогда тело всплывает».

Таким образом, скорость падения тяжелого или подъема легкого тела зависит как от формы, так и веса или легкости; последние же меняются в зависимости qt различия сред, в которых тела находятся.

Приведем аргументацию Аристотеля: «Мы видим, что тела, имеющие большую силу тяжести или легкости, если в остальном они имеют одинаковую фигуру, скорее проходят равное пространство в том пропорциональном отношении, в каком указанные величины относятся друг к другу». Почему же более тяжелые тела падают быстрее? «В среде наполненной это происходит в силу необходимости, т. е. большее скорее будет разделять ее своей силой. Ведь разделение производится фигурой или импульсом, который имеет движущееся или брошенное тело».

Отвергая существование пустого пространства, Аристотель отвергал ,и существование чистого или пустого времени. Вместе с тем он проводил тонкие различия между временем и движением.

Анализируя понятие времени, Аристотель замечает, что некоторые неправильно принимали круговращение неба за само время; в действительности это круговращение служит средством для измерения времени. Если движение не может быть без времени, то и время не существует без движения. «Время не есть движение, но и не существует без движения». Если бы не было изменений, не было и времени. При отсутствии изменений все «теперь» были бы тождественны и, следовательно, все пребывало в едином и нераздельном «теперь». Что же такое время? Так как «мы вместе ощущаем и время и движение», то «время есть или движение, или нечто, связанное с движением. Но время отлично от движения, так как движения могут иметь различную скорость, и, следовательно, они должны измеряться временем. Время же есть «число движения» или «мера движения».

Поскольку представление о времени возникает из чувственного восприятия предыдущего и последующего в процессе движения, постольку можно сказать, что время есть число движения по отношению к предыдущему и последующему. Можно также сказать, что время является движением в той мере, в какой движение есть число. Далее: «Время есть число непрерывного движения вообще, а не какого-нибудь определенного вида». В этих словах Аристотель распространяет категорию времени на все виды изменений: перемещение в пространстве, качественное изменение, рост. Ведь время одно и то же для различных движений, заканчивающихся вместе, даже если одно движение было перемещением, а другое ——качественным изменением. Время вез“е одинаково, как везде одинаково число, рассматриваемое оамо по себе. Далее: непрерывность и делимость времени до бесконечности вытекаю! из непрерывности и бесконечной делимости пространства и движения. Вследствие непрерывности пространства непрерывно и движение, а благодаря движеншо непрерывно и время. Ведь «мы не только движение измеряем временем, но и время измеряем движением». Но если изменение чего-либо может совершаться быстрей или медленней, то время всегда и везде одинаково и протекает равномерно.

Если бы оно протекало неравномерно, то скорость такого его изменения должна была бы измеряться временем, а следовательно, существовало бы время времени.

Так как время является мерой движения, то оно является также и мерой покоя, ибо как движение, так и покой существуют во времени. Ведь то, что существует во времени, не должно непременно двигаться, поскольку время есть не движение, а число движения. Практически время измеряется круговым равномерным движением сферы. Перемещение является простейшей формой движения, а равномерное кругово(е движение является наиболее простым и наиболее известным из перемещений. Поэтому «временем отмеренного кругового равномерного движения мы измеряем и время, и движение».

Таковы основные положения учения Аристотеля о пространстве и времени. Учение это имеет явно материалистический характер.

Глубокие соображения о природе времени, пространства и движения высказаны Аристотелем в связи с апориями Зенона. В апории со стрелой суть дела, по мнению Аристотеля, состоит в том, что Зенон желает свести опре- 贝еление движения, являющегося по своей природе временным процессом, к характеристикам пространства. Зенон требует, чтобы сторонники объективности движения указали ему необходимые и достаточные признаки, отличающие мгновенное состояние действительного движения от мгновенного состояния действительного покоя.

Итак, существуют ли признаки, отличающие в каждый данный момент времени покой от движения? На этот вопрос Аристотель отвечает следующим образом. Так ставить вопрос нельзя. В мышлении движение может быть представляемо только как временной процесс, ибо таковым по своей природе оно и является. Зенон же хочет рассматривать движение состоящим из невременных элементов и, следовательно, вводит то, что противоречит самому понятию движения и несвойственно движению. Истинное движение, как и время, есть нечто непрерывное и, следовательно, не является простой совокупностью замкнутых в себе первичных элементов. Аристотель замечает, что понятия покоя и движения неприменимы к понятию мгновения, или неделимого «теперь», ибо как движение, так и покой существуют во времени. И вообще все противоречия апории со стрелой связаны с тем, что Зенон

неправильно полагает, будто истинное время слагается из отдельных «теперь», а движение — из отдельных невременных, мгновенных состояний. Согласно взгляду Аристотеля, и пространство, и время, и движение потенциально делимы до бесконечности и не слагаются из актуального множества первичных элементов (точек, мгновений и продви- нутостей, или кинем). С этой точки зрения и рассматриваются апории Зенона.

Обстоятельному разбору подвергнута, в частности, апория дихотомии. У Зенона проблема ставилась следующим образом: перемещение АВ делится пополам, оставшаяся половина еще раз делится пополам и т. д. до бесконечности. Если представить таким образом конечное перемещение АВ состоящим из бесконечного множества ■частичных перемещений, то возникает вопрос: можно ли бескон!ечное множество подобных частичных перемещений осуществить в течение конечного промежутка времени? Аристотель отвечает: да, можно. При произвольном делении перемещения время также делится в определенном отношении и, следовательно, бесконечной оовокуп- ности частичных перемещений соответствует бесконечная совокупность элементарных времен. «Путь непрерывный, если время непрерывно, раз в половинное время проходится половинный путь и вообще в меньшее время —— меньший, ибо одни и те же деления будут и для времени и для перемещения. И если одно из них бесконечно, то бесконечно и другое, и в каком смысле бесконечно одно, ® таком и другое... Поэтому ошибочно рассуждение Зенона, что невозможно пройти бесконечное, т. е. коснуться бесконечного множества отдельных частей в ограниченное время... Бесконечного в количественном отношении нельзя коснуться в ограниченное время, бесконечного же согласно делению ——возможно, так как и само время в этом же смысле бесконечно. Следовательно, приходится проходить бесконечное в бесконечное, а не в ограниченное время и касаться бесконечного множества частей бесконечным, а не ограниченным множеством».

Такое рассмотрение проблемы дает ответ на вопрос: можно ли в ограниченное время пройти или сосчитать бесконечно многое? Сущность же апории состоит в другом: разделяя определенным образом в мышлении непрерывное движение и исследуя полученные отношения, можем ли мы затем эти результаты отождествлять с

реальными свойствами действительных движений? Аристотель отрицает эту возможность. Действительное время я движение непрерывны, и поэтому делить их можно лишь мысленно, но не актуально. В непрерывной линии точки различаются положением, в то время как при делении ——не только положением, но и формой бытия. Точки деления мы считаем дважды: как конец предыдущего и начало последующего отрезка. Таким образом, после разделения единый и простой образ непрерывной линии исчезает и заменяется кусочной линией, в которой точки деления существенно отличаются от всех прочих. Если бы действительное движение можно было разделить на актуально бесконечное число частей, то их нельзя было бы пройти; если же движение разделено потенциально, то это возможно, так как предмет, движущийся непрерывно, «... проходит бесконечное по совпадению, а не прямо; ибо бесконечное число половин в линии есть нечто для нее акцидентальное, а сущность и бытие ее иные».

Апория Зенона «Ахилл и черепаха», по справедливому замечанию Аристотеля, аналогична только что разобранной. Разница лишь в том, что граница, которой должен достичь предмет, не неподвижна, как в случае дихотомии, а перемещается. И там и здесь предел не достигается. Воображая идеальный процесс деления непрерывного уходящим в бесконечность, наше мышление оказывается неспособным завершить такую последовательность частичных перемещений, которая незаввршима по своему существу, в силу самого закона деления. Однако указанный а|бстрактно-|МатематиЧ|еский процесс бесконечного и, следовательно, никогда не завершаемого деления отрезка конечного перемещения можно осуществить лишь мысленно, реальное же движение обладает иной природой. Выводы Зенона неправильны прежде всего потому, что он отождествляет потенциальное с актуальным. Расстояние до места встречи Ахилла и черепахи, представляемое в виде бесконечной последовательности элементарных перемещений, не может быть пройдено лишь в нашей мысли. К реальному движению это не относится. Такое движение делимо до бесконечности потенциально. Другими словами, Аристотель желает отметить существенную разницу между математически мыслимым и физически реальным.

Утверждение, что не все допустимое в мысли существует в природе, является лейтмотивом борьбы Аристотеля

против учения (элеатов. Аристотель признает объективность лишь за теми понятиями, которые не противоречат действительным вещам.

Подведем некоторые итоги. Аристотель трактовал движение более широко, чем древние атомисты, включив в него наряду с механическим перемещением и другие виды изменения, в том числе качественное. Аристотель решительно отверг возможность существования пустого пространства, не желая пользоваться этим понятием даже в порядке предварительного абстрактного исследования вопроса; тела движутся в определенной материальной среде; на скорость такого движения влияют как форма тела, так и соотношение между ним и данной средой («тяжесть» есть величина изменчивая и относительная). Точно так же отвергает Аристотель и существование пустого времени.

Средневековая схоластика во многих пунктах огрубила аристотелевские идеи, а в ряде случаев раздула и догматизировала идеалистические стороны его статики и динамики. Тяжесть и легкость стали рассматриваться как не^ кие противоположные друг другу и абсолютные качества, служащие для объяснения явлений; например, тела движутся вверх потому, что обладают каким-то юсибим таинственным свойством легкости (чего, как мы видели, у самого Аристотеля не было). Схоластическая физика подняла на щит идею финальности, менее резко выраженную у Аристотеля: тела стремятся к своим естественным местам, как к некой цели. Идеи косности материи, неподвижного первого двигателя стали центральными в схоластической натурфилософии, так же как и резкое противопоставление небесной материи стихиям подлунного мира.

С этим догматизированным, искаженным п омертвленным аристотелизмом вела борьбу механика Возрождения. Это не помешало, однако, тому, что многие проблемы, живые искания самого Аристотеля продолжали на протяжении веков будить мысль ученых, исследующих основные принципы механики, так же как аристотелевская концепция бесконечной делимости, ставшая философской основой метода исчерпывания, на протяжении столетий противостояла автоматической концепции неделимых.

«МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ» ПСЕВДО-АРИСТОТЕЛЯ 加

Мы рассмотрели эволюцию некоторых общих понятий механики в связи с важнейшими направлениями античной философской мысли. Рассмотрим теперь некоторые античные произведения, ближе подходившие к решению отдельных задач теоретической механики. Начнем с сочинения «Механические проблемы», долгое время приписывавшегося Аристотелю.

В «Механических проблемах» содержится как бы предыстория теоретической механики. В них перечислены следующие механические средства: рычаг, колодезный журавль с противовесом, равноплечие весы, безмен, клещи, клин, топор, кривошип, вал, колесо, каток, полиспаст, гончарный круг, руль и т. д. Не только задачи, но нередко и решения их даются в форме вопросов, т. е. лишь нащупываются, намечаются вчерне, предположительно.

Иногда вопросы как бы повисают в воздухе. Так, например, мы уже раньше говорили о трудностях, с которыми встречалась аристотелевская теория при объяснении движения брошенных тел: что поддерживает косные, не способные к самодвижению тела при их насильственном перемещении после того, как они разобщились с двигателем? Что замедляет это насильственное движение? Почему в конце концов оно должно прекратиться? Аналогичные вопросы ставит автор «Механических проблем», оставляя без положительного ответа. В § 33 читаем: «Почему брошенные тела перестают перемещаться? Не оттого ли, что тогда прекращается выбрасывающая сила, или от противодействия, или от тяжести, когда эта тяжесть одолевает мечущую силу? Или же вообще бессмысленно ставить вопрос об этом, не считаясь с причиной?».

Центральной проблемой сочинения является принцип рычага. Закон рычага был давно известен древним техникам, и это совершенно понятно, имея в виду применение рычага и его фундаментальное значение как основного элемента в самых разнообразных механических приспо-

20 «Механические проблемы» на самом деле были написаны в начале III века до н. э. в эллинистическом Египте; на это указывает, например, упоминание о приводящих друг друга в движение бронзовых или железных колесах. в святилищах. Такие ко- леса находились в египетских храмах»

49494 А. Т. Григорьян

49

49

с()6леш1ях. Сравнительно давнюю историю имела также практика взвешивания грузов, и этот факт имел особенно важное значение, так как именно практика взвешивания придает закону рычага количественную определенность. У автора «Механических проблем» этот закон приобретает характер универсального принципа статики, и к нему сводятся многие технические приспособления. Так, например: «Почему два человека, неся одинаковую тяжесть на шесте или на чем-либо подобном, испытывают одинаковую нагрузку только тогда, когда груз находится посредине, и испытывают нагрузку тем большую, чем ближе груз к одному из несущих? Не потому ли, что шест при этих условиях становится рычагом, груз ——точкой опоры и из носильщиков тот, что находится ближе к грузу, становится грузом, приводимым в движение, а второй ——грузом, приводящим в движение? Ведь чем дальше этот второй находится от переносимого груза, тем легче он движет и тем более давит книзу на другого, как если бы налегающая тяжесть давила в противоположном направлении и стала точкой опоры. А если груз помещается в середине, то один не оказывается тяжестью для другого и не движет другого, и тот и другой уравновешиваются» . Здесь же встречаем следующий вопрос: «Почему малый руль, при- в(^шенный на корме корабля, имеет столь большую силу?.. Быть может, потому, что руль есть рычаг, а рулевой есть то, что приводит его в действие? Стало быть, место, где он прикреплен к кораблю, становится точкой опоры, руль в целом — рычагом, море — грузом, а руле- вой ——движущей силой» .

Попытка наиболее широких обобщений сделана уже на первой странице сочинения. «Механические проблемы» начинаются словами: «Удивление вызывают из происходящих сообразно природе те явления, причина которых остается неизвестной, а из происходящих вопреки природе те, которые производятся искусством на благо людям...

Таковы случаи, когда меньшее одолевает большее и обладающее малой силой приводит в движение большие тя-

жести, й вообще почти все те проблемы, которые мы называем механическими». И несколько далее: «К затруднениям подобного рода относятся и вопросы о рычаге, ибо кажется несообразным, что большая тяжесть приводится в движение малой силой, и это при еще большей тяжести. Ведь без рычага привести в движение такую тяжесть нельзя, а прибавив тяжесть рычага, можно привести в движение быстрее. Начало причины всего этого заключено в круге и недаром: ибо вполне оправдано, если что-либо удивительное происходит от чего-то еще более удивительного. Но наиболее удивительно совместное возникновение противоположностей, а круг слагается из таковых. Ведь он сразу же возник из движущегося и покоящегося, чьи природы противоположны друг другу».

Из дальнейшего изложения явствует, каково соотношение между кругом, весами и рычагом. Автор продолжает: «Вот почему, как было уже сказано, нет ничего несообразного в том, что круг есть начало всей математики. А происходящее в весах возводится к кругу, происходящее в рычаге — к весам, тогда как почти все остальное, происходящее при механических движениях,— к рычагу. Кроме того, многое удивительное происходит с движениями кругов оттого, что на одной и той же линии, проведенной из центра, ни одна точка не движется с равной скоростью, как и другая, но всегда более далекая от неподвижного конца движется быстрее, что станет ясным в последующих проблемах».

Из сказанного видно, что древние уже установили связь между простыми механическими машинами и заметили, что в основе этой связи лежит общий закоп рычага; они обратили внимание и на тот факт, что равновесие грузов pi, р2 на рычаге находится в некоторой связи со скоростями 〃1, 〃2, которые они могут приобрести при перемещении рычага. Если конкретного вида этой связи автор «Механических проблем» и не дает, то факт существования ее уже обнаружен. Наконец, обстоятельство, что свойства рычага сводятся к свойству коромысла весов, подтверждает наше предположение, что закон рычага, по всей вероятности, был практически осознан прежде всего при взвешивании грузов на коромысловых весах (безменах).

Дальше читаем: «Почему малые силы, как уже было сказано вначале, движут при помощи рычага большие

грузы, несмотря на прибавление веса рычага? Ведь легче двигать меньшую тяжесть, а она меньше без рычага. Не оттого ли, что причиной является рычаг, который представляет собой коромысло весов, имеющее веревку снизу и разделенное на неравные части? В самом деле, точка опоры рычага становится здесь заменой веревки, поскольку и та и другая остаются неподвижными, в качестве центра. А так как под действием равных тяжеютей быстрее движется большая линия, проведенная из центра, в рычаге же имеется три вещи: точка опоры, веревка и центр, во-первых, и во-вторых, и в-третьих, две тяжести ——движущая и движимая, то поэтому приводимая в движение тяжесть так относится к приводящей в движение, как одна длина к другой, но в обратном отношении; ведь всегда, чем дальше она отходит от точки опоры, тем быстрее движется.

Причина же заключается в сказанном раньше: дальше уходящая из центра описывает больший круг. Таким образом, при одной и той же силе движущая тяжесть, дальше отстоящая от точки опоры, пройдет больше».

Следовательно, здесь устанавливается, что интенсивность вращающего усилия прикрепленного к рычагу груза тем больше, чем больше плечо рычага. Если груз А закреплен на конце рычага, то вращать этот груз тем легче, чем дальше от точки опоры движущий груз В. И этот факт автор «Механических проблем» хочет связать с тем, что движущий груз, укрепленный на большом плече, будет иметь большую скорость и по отношению к движимому, а следовательно, и больший путь.

Формулировка закона рычага, данная автором «Механических проблем», привлекала большой интерес и внимание ученых последующего времени (Галилея, Лагранжа и др.).

Все согласны, что безымянный автор знал закон рычага, хотя и не мог дать теоретического обоснования этому давно известному факту технической практики; разногласия сводятся к тому, в какой мере он знал закон обратно пропорциональной зависимости уравновешенных грузов и их возможных (виртуальных) скоростей? В «Рассуждении о телах, пребывающих в воде» Галилей писал: «Такое соотношение между тяжестью и скоростью существует у всех механических инструментов и принимается Аристотелем как принцип в его «Проблемах механики», почему

мы можем принять за достоверное то положение, что не равные по абсолютной величине грузы могут взаимно уравновешиваться и приобретать равные моменты всякий раз, когда их вес будет обратно пропорциональным скорости их движения, т. е. когда один груз будет во столько раз легче другого, во сколько раз скорость его движения будет больше скорости другого» . Итак, с совершенной ясностью и определенностью Галилей приписывает Аристотелю первое знакомство с элементарной формой принципа возможных перемещений. Другое мнение высказал Лагранж. В «Аналитической механике» он пишет: «Уже при поверхностном рассмотрении условий равновесия на рычаге и на других машинах легко установить тот закон, что груз и сила всегда находятся между собой в отношении, обратном отношению пространств, проходимых ими в течение одного и того же времени. Тем не менее, древние, по-видимому, не знали этого закона» . Факты говорят в пользу мнения Галилея, а не Лагранжа. Во всяком случае, если Галилей и неправ, приписывая автору «Механических проблем» первоначальное и всеобщее утверждение принципа возможных перемещений для всех механических инструментов, то тем более неправ Лагранж, сомневающийся в знакомстве древних с принципом возможных перемещений. Если учесть, что статическая техника древних имела значительную историю, то есть веские основания утверждать, что они могли подметить некоторые черты указанного закона равновесия.

Интересны соображения автора «Механических проблем» о сложении движений. Нужно думать, что принцип параллелограмма скоростей и перемещений как в форме сложения, так и в форме разложения движений был известен древним ученым в достаточно развитом виде. В «Механических проблемах» читаем: «Большая линия в равное время описывает больший круг, ибо наружный круг больше внутреннего. Причина эта заключается в том, что линия, описывающая круг, перемещается двумя движениями. Итак, когда она перемещается при определенном

соотношении, она движется необходимо по прямой, и эта прямая становится диагональю той фигуры, которая образуется из линий, сочетаемых в указанном соотношении».

СТАТИКА И ГИДРОСТАТИКА АРХИМЕДА

С другим направлением теоретической мысли мы встречаемся в трудах Архимеда (287—212 гг. до н. э.)— подлинного основателя теоретической статики и гидростатики.

Хотя свою научную деятельность Архимед начал как астроном, но и в астрономии он выделялся, в первую очередь, устройством различных механических приборов, например прибора для измерения поперечника Солнца и сферы, т. е. небесного глобуса. Последняя сделала его знаменитым; с ее помощью можно было наблюдать фазы Луны, движения планет, солнечные и лунные затмения. Все это говорит о том, что уже на самых первых этапах механика интересовала Архимеда больше всего, причем переход к теоретическим обобщениям шел от чисто прикладных вопросов. Но и позже, помимо теоретических исследований в области математики, физики и механики, Архимед занимался также вопросами прикладной механики, в частности в связи с потребностями обороны его родного города Сиракуз. Он обогатил античную технику большим количеством замечательных изобретений. Древние авторы приписывали Архимеду изобретение так называемой «улитки» ——водяного винта, служившего для поливки полей в Египте (правильнее говорить в этом случае об его усовершенствовании). Упоминали также, что при помощи механических приспособленный Архимед передвигал по суше тяжело нагруженный корабль сиракузского тирана Гиерона. Свидетельства древних расходятся в том, каковы были эти приспособления, одни говорят с рычаге, другие ——полиспасте, третьи ——зубчатых колесах, четвертые ——колесах, т. е. указывают почти все так называемые простые машины. Во время осады Сиракуз римлянами, по рассказу Плутарха (в биографии Марцелла), жители города применяли для обороны военные машины, сооруженные по указаниям Архимеда: метавшие снаряды орудия, поворотные краны (клювы), низвергавшие огромные камни на вражеские корабли, привязанные к цепям железные лапы, которые

захватывали нос корабля и ставили его вррпткальпо на корму, и т. д. В настоящее время показана полпая несостоятельность легенды Плутарха, утверждавшего, будто Архимед не придавал большой ценьт свопм техническим изобретениям, считая их чем-то несерьезным. Сочетание практических и теоретических знаний как раз и составляло силу его гения.

Хронологически первыми сочинениями Архимеда были «Книга опор» и «О весах». Поскольку они до нас не дошли, о содержании можно судить по ссылкам в более поздних работах Герона и Паппа, а также по комментариям Евтокия и Симпликия. Анализ этих работ показывает, что во время их написания Архимед еще не знал, что вес тела можно считать сконцентрированным в центре тяжести, хотя и пользовался последним понятием. Рассматривая давление балки на опоры, Архимед приходит, правда, к неверным результатам, но отсюда он перешел к одноопорной балке ——рычагу. Вместе с тем эти ранние работы интересны для выявления генезиса таких понятий, как центр тяжести и момент. Так, например, Евтокий писал: «В рассматриваемой книге Архимед называет центром момента плоской фигуры точку, при подвешивании за которую фигура остается параллельной горизонту; центром момента двух или более плоских фигур он называет точку подвеса рычага, остающегося параллельным горизонту, если прикрепить к его концам указанные фигуры».

В своем более позднем произведении «О равновесии плоских фигур» Архимед заложил основы теоретической статики, построенной на системе аксиом. Несмотря на то, что в указанном сочинении изложена теория равновесия рычага, этот труд, в сущности говоря, можно рассматривать как основоположение общей теории равновесия. Знаменитое изречение Архимеда: «Дай мне точку опоры, и я сдвину землю» подчеркивает общий и фундаменталЬ' ный характер принципа действия рычага.

Архимед пытается выяснить простейшие механические факты, лежащие в основе принципа действия рычага, и тем самым найти его механическое обоснование. Что же касается методов точного и строгого доказательства, то Архимед мог воспользоваться уже готовыми образцами («Начала» и «Оптика» Евклида).

Исходя из действительных и простейших фактов опыта и воспользовавшись математическим методом, Архимед

сумел обобщить эмпирический материал техники, привести его в научную систему и указать механике ее истинные методы и пути прогресса. В этом и состоит заслуга Архимеда.

Теория рычага основана на следующих предпосылках, которые Архимед считает непосредственно очевидными.

Равные тяжести на равных длинах уравновешиваются, на неравных же не уравновешиваются, но перевешивают тяжести на большей длине.

Если при равновесии тяжестей на каких-нибудь длинах к одной из тяжестей будет что-нибудь прибавлено, то они не уравновесятся, и перевесит та тяжесть, к которой было прибавлено.

Точно так же, если от одной из тяжестей будет что- нибудь отнято, то они не уравновесятся, и перевесит та тяжесть, от которой не было отнято.

При совмещении друг с другом равных и подобных плоских фигур совместятся друг с другом и их центры тяжести,

У неравных же, но подобных фигур центры тяжести будут расположены подобно.

Если величины уравновешиваются на каких-нибудь длинах, то на тех же самых длинах уравновесятся и равные им.

Во всякой фигуре, периметр которой везде выпукл в одну и ту же сторону, центр тяжести должен находиться внутри фигуры.

Заметим, что когда Архимед говорит о действии на рычаг подвешенных грузов, он основывается на свойствах центра тяжести, понятие которого предполагается известным.

В частности, предполагается, что центр тяжести тела, свободно висящего на нити, располагается на линии нити и что подвешенные тела действуют на рычаг в точке подвеса весом, сосретодоченных в центре тяжести. В последующих доказательствах Архимед имеет дело лишь с весом тел и их центрами тяжести. Исходя из этих аксиом, он выводит ряд теорем, среди которых отметим теорему III: «Неравные тяжести будут уравновешиваться на неравных длин, причем большая тяжесть на меньшей длине», и теорему IV: «Если две равные величины не имеют одного и того же центра тяжести, то для величины, составленной из обеих этих величин, центром тяжести бу-

дет середина прямой, соединяющей центры тяжести этих величин» 25.

Помимо вышеуказанных принципов, Архимед пользуется в ходе доказательств еще один, который, однако, в числе исходных предпосылок явно не фигурирует. Принцип этот можно сформулировать следующим образом: равновесие рычага не нарушится, если груз, подвешенный в точке А рычага, заменить двумя равными грузами половинного веса, точки подвеса которых расположены симметрично относительно точки подвеса замещаемого груза. Положение это мы будем называть принципом замещения. Хотя в ходе доказательств принцип замещения применяется Архимедом с достаточной отчетливостью, однако он оградил бы сочинение от упреков самых требовательных критиков, если бы вставил принцип замещения в число исходных предпосылок.

Заметим также, что аксиомы Архимеда являются первым существенным шагом в развитии понятия момента силы. Архимед в своих аксиомах с достаточной ясностью отмечает, что действие подвешенного груза на рычаг пропорционально его весу и расстоянию точки подвеса от точки опоры рычага. Оставалось лишь найти форму этой зависимости, и Архимед ее нашел. Он доказал, что действие подвешенного груза на рычаг прямо пропорционально величине груза и расстоянию точки приложения от неподвижной опоры рычага.

«Вникнув в сущность архимедовых аксиом,——писал академик А. Н. Крылов,——мы видим, что он ввел здесь новый элемент, производящий движение, именно произведение силы на ее расстояние до точки опоры,——то, что было впоследствии названо моментом силы и что производит вращательное движение тела» .

Основной закон рычага в формулировке Архимеда гласит: «Соизмеримые величины остаются в равновесии, если расстояния их обратно им пропори ^иональны». Доказатель^ ство распространяется затем и Еа случай несоизмеримых грузов с помощью метода исчерпывания. Многие пытались усовершенствовать доказательство закона рычага, однако

Лагранж считает, что, «нарушив простоту доказательства Архимеда, они почти ничего не выиграли с точки зрения точности». Даже доказательство Гюйгенса, которое Лагранж считал наиболее интересным, «...не дает полностью того, чего действительно нехватает в доказательстве Архимеда»*.

Прежде всего, следует отметить, что разнообразные способы вывода закона рычага (Архимед, Стевин, Галилей, Лагранж) основаны на приведении общей задачи к случаю симметричного рычага. Это приведение осуществляется у всех авторов надлежащим и более или менее очевидным способом распределения первоначально заданных грузов. Различаются же эти методы способом распределения грузов. Метод Лангранжа, как это неоднократно отмечалось в литературе, отличается особенным изяществом и простотой. Однако, если исходить из предпочтительности тех методов, в которых употребляемые принципы выставляются с большей отчетливостью, то в этом смысле Архимед остается непревзойденным.

Авторы упомянутых доказательств в явной форме пользуются единственным принципом симметричного рычага. Не может быть сомнения, что этот принцип, как и прочие приведенные выше аксиомы Архимеда, имеет своим основанием практику применения весовых инструментов и, прежде всего, равноплечих весов. Принцип симметричного рычага является простейшим, непосредственным и каждый раз проверяемым результатом этой практики. Но так как из одного лишь этого принципа, основанного на частной форме равновесия рычага, невозможно извлечь какое-либо положительное знание об остальных, более сложных случаях, то можно быть уверенным, что в ходе доказательства авторы с большей или меньшей отчетливостью пользуются другими принципами, которые в исходных предпосылках явно не выставляются. К таким употребляемым, но ясно не оговариваемым принципам относятся следующие положения.

Центр тяжести есть такая точка, в которой сосредоточен полный вес тела.

Центр тяжести тела, подвешенного на нити, располагается на продолл^ении нити и действует через натяжение нити на точки подвеса с силой, равной весу тела.

Действие на плечо рычага не изменится, если уравновешенный груз заменить половинными грузами, точки подвеса которых равно удалены от точки подвеса заменяемого груза, или, что то же самое, две равные параллельные силы, действующие на плечо рычага, имеют равнодействующую, равноотстоящую от обеих сил и равную их сумме.

Из первых двух принципов следует, что равновесие рычага определяется весом и точкой подвеса, но не формой подвешенного тела. Другими словами, первые два принципа позволяют совершенно отвлечься от физического представления о телах, заменив их чисто математическими образами сил, пропорциональных весу тел и расположенных вдоль нитей, которыми тела прикрепляются к рычагу. Из третьего принципа вытекает возможность преобразования точек подвеса (принцип замещения).

Несомненно, что все три принципа имеют чисто эмпирическое происхождение, достоверность и очевидность которых основываются на опыте взвешивания тел при помощи равноплечих весов, безменов и прочих рычажных приспособлений.

Анализируя каждый из трех принципов, можно заметить, что если первые два имеют значение для развития исходных представлений, то лишь третий (принцип замещения) скрывает в себе то, что составляет существенное содержание закона рычага.

Во второй части работы «О равновесии плоских фигур» Архимед исследует частный вопрос о центре тяжести фигур, образованных сечением параболы прямой, и устанавливает ряд теорем, например: «Если две площади, ограниченные прямой и параболой и могущие быть приложенными к заданной прямой, не имеют одного и того же центра тяжести, то для величины, составленной из них обеих, центр тяжести будет на прямой, соединяющей их центры тяжести, причем вышеупомянутую прямую он разделит таким образом, что ее отрезки будут обратно пропорциональны этим площадям» (теорема I); «У всякого сегмента, ограниченного прямой и параболой, центр тяжести делит диаметр сегмента так, что прилежащий к вершине сегмента отрезок в полтора раза больше отрезка у основания» (теорема VIII) . Все эти теоремы были тесно связаны с работами Архимеда по геометрии.

Другим замечательным трудом Архимеда по механике является его более поздний трактат «О плавающих телах». (Возможно, это была вообще его последняя работа). Согласно легенде, Архимед пришел к открытию своего основного гидростатического закона случайно, решая задачу о составе короны, которую царь Гиерон заказал сделать из золота, но подрядчик изготовил из сплава золота и серебра.

Античная легенда рассказывает о повелении Гиерона и о случайном наблюдении Архимеда, принимавшего ванну. В действительности же открытие основного закона гидростатики было итогом эмпирических наблюдений и целой цепи теоретических размышлений.

В основу всех выводов Архимеда положена следующая гипотеза: «Предполагается, что жидкость по природе своей такова, что при равномерном и непрерывном расположении ее частиц менее сдавленная частица вытесняется более сдавленной и что отдельные частицы этой жидкости испытывают давление отвесно расположенной над ними жидкости, поскольку эта жидкость не замкнута в чем-либо или не испытывает давления со стороны какого-либо другого предмета» . В первых двух предложениях Архимед устанавливает сферичность свободной поверхности воды, окружающей Землю, и совпадение центра этой сферы с центром Земли. Эти утверждения в древности вызвали не~ мало нареканий.

Опираясь на эти опытные предпосылки и исходя из сферичности поверхности жидкости, Архимед доказывает следующие положения:

Твердые тела, имеющие при равном объеме и равный с жидкостью вес, будучи опущены в жидкость, погружаются в нее настолько, что совершенно не выступают над ее поверхностью, но и не опускаются в ней сколько-нибудь глубже (предложение III).

Твердое тело, которое легче жидкости, будучи опущено в жидкость, не погружается сполна и некоторая часть его выступает над поверхностью жидкости (предложение IV).

Твердое тело, которое легче жидкости, будучи опущено в жидкость, погружается настолько, что объем жид-

АРХИМЕД

кос1й, равный объему погруженной части тела* пмеет тот же вес, как и все тело (предложение V).

Твердые тела, которые легче жидкости*, будучи погружены в жидкость, стремятся кверху с силой, равной превышению веса жидкости, взятой в объеме этих тел, над весом самих тел (предложение VI).

Тела, которые тяжелее жидкости, будучи опущены в жидкость, погружаются все глубже, пока не достигают дна и, наоборот, пребывая в жидкости, теряют в своем весе столько, сколько весит жидкость, взятая в объеме этих тел (предложение VII, основной закон Архимеда) .

Далее исследуются вопросы равновесия и устойчивости плавающих тел. Основным методом исследования является способ возмущения состояния равновесия. Равновесие устойчиво, если при отклонении тела от положения равновесия тело стремится возвратиться в это положение. Во второй книге Архимед рассматривает вопросы равновесия и устойчивости некоторых плавающих тел, образованных вращением конических сечений. «Эта книга,— писал Лагранж,——является одним из прекраснейших памятников гения Архимеда, она содержит в себе теорию устойчивости плавающих тел, к которой современные ученые прибавили лишь очень немного».

Интересно, что современная теория корабля оказалась весьма близкой к применяемым Архимедом методам изучения плавания сегмента параболоида, но тем не менее Архимед рассмотрел только частные случаи, не создав общей теории.

Несмотря на замечательные исследования Архимеда по гидростатике, древние и после него имели весьма смутные, а нередко и ложные представления об истинном характере гидростатических явлений. Правильные представления о давлении внутри жидкости были достигнуты лишь в XVI——XVII вв. на основе работ Галилея, Паскаля и Стевина.

Открытие основного закона гидростатики Архимедом нельзя считать случайным озарением, как о том повествовал Витрувий; оно было теснейшим образом связано с накопленным опытом и служило продолжением длительного развития теоретической мысли древних. Представ-

ление о частицах Жидкости, выталкиваемых более плотными телами, напоминает теории древних атомистов. У Архимеда находят также более правильную и точную формулировку размышления Аристотеля о равновесии и движении тел в различных материальных средах.

МЕХАНИКА ГЕРОНА

Развитие механики в последние столетия античного мира связано прежде всего с именем Герона Александрийского, известного также как Герон Механик. О времени жизни и деятельности этого ученого точных сведений не сохранилось: одно время считали, что Герон жил в I в. до н. э., в настоящее время большинство историков науки считает, что он жил во II в. н. э.

Основное сочинение Герона по механике, обычно называемое «Механикой Герона», сохранилось только в арабском переводе сирийца Косты ибн Луки, жившего в конце IX — начале X в. Точное название сочинения Герона, согласно Косте ибн Луке,— «Книга Герона о поднимании тяжелых предметов». Это сочинение появилось в 1894 г. во французском переводе Карра де Во, а в 1900 г. в немецком переводе Л. Никса; к обоим переводам приложен арабский текст, а к переводу Никса ——также отрывки греческого текста, сохранившиеся в передаче Паппа Александрийского (IV в. н. э.). «Механика» состоит из трех книг. Первая книга «Механики» посвящена теоретическим вопросам. Здесь рассматриваются передача движения с помощью зацепленных кругов, сложение движений по правилу параллелограмма, распределение груза между опорами, определяется центр тяжести. Часть этой книги посвящена геометрическим построениям: подобных фигур, двух средних пропорциональных (к которому, как мы указывали, сводится задача об удвоении куба) и т. д. Как указывает Герон, в ней излагается содержание не дошедшей до нас «Книги опор» Архимеда, в которой дается более широкое толкование учению Ари-

стотеля с движимых телах и силах в случаях, когда сила делится до бесконечности.

Вот что он пишет: «Некоторые люди думают, что тяжести, лежащие на земле, могут быть сдвинуты в места только путем приложения эквивалентной им силы. Этот взгляд ложен. Итак, докажем, что тяжести, лежащие так, как было сказано, могут быть сдвинуты с места посредством силы, меньшей, чем любая известная, и раскроем причину, почему подобное явление не оказывается сразу приметным. Представим себе, стало быть, что груз лежит на земле и что этот груз равномерный, гладкий и плотный. Пусть плоскость, на которой груз лежит, может быть наклоняема в обе стороны, а именно вправо и влево. Пусть сначала она будет наклонена вправо. Тогда оказывается, что данный груз скатывается вправо, ибо естественным для грузов является стремлением двигаться вниз, если их ничто не подпирает, препятствуя их движению. Если, далее, наклонная сторона опять поднимется до горизонтальной плоскости и вся плоскость придет в состояние равновесия, то тогда груз пребудет в этом положении. А если она наклонится в другую сторону, т. е. в левую, то и груз будет клонить в ту же сторону, даже при самом незначительном наклоне. Следовательно, груз нуждается не в силе, которая его движет, а в силе, которая его подпирает, препятствуя его движению. Допустим теперь, что груз опять приходит в положение равновесия и не склоняется в какую-либо сторону,——тогда он остается в том же положении и пребывает в покое, пока плоскость не наклонится в какую-нибудь сторону,——в последнем случае и он клонит в ту же сторону. Итак, груз, готовый обратиться к любому направлению, не нуждается ли лишь в незначительной силе, чтобы прийти в движение, и притом в соответствии с силой, которая придает ему наклон. Выходит, что груз может быть приведен в движение любой самой малой силой» .

Это утверждение Герона замечательно тем, что он здесь подошел к формулировке закона инерции. Мы уже указывали, что система механических взглядов древних, в наиболее отчетливой форме выраженная Аристотелем, противоречила закону инерции. Поэтому рассуждение Герона показывает, что античная механика, которая к концу

существования греко-римского мира была гораздо болоо тесно связана с решением технических задач, чем в классическую зиоху, находилась на пороге открытия этого закона.

Во второй книге «Механики» дается описание пяти простых машин: рычага, ворота, клина, винта и блока. Герои указывает, что в изложении теории рычага он развивает идеи Архимеда по «Книге о равновесии». Помимо описания действия этих машин, рассматриваются также соединепи^г их вплоть до соединения рычага, блоков, ворота и винта.

В этой же книге даются ответы на 17 вопросов, относящихся к практическому применению простых машин, а также определяются центры тяжести различных фигур. В третьей книге описываются различные конструкции приборов для поднятия тяжестей и прессов, основанные на комбинациях простых машин.

Герону принадлежат также три трактата по прикладной механике: «Пневматика» 35 — о механизмах, приводимых в действие нагретым или сжатым воздухом или паром, «Об автоматах» 36 ——о конструкциях самодвижущих- ся приборов и «Белопойика» 37 ——о конструкциях луков, катапульт и других видов оружия. Из многочисленных механизмов Герона отметим шар, вращающийся под действием пара, автомат для открывания дверей храма при зажигании алтаря, пожарный насос, водяной орган, механический театр марионеток. В «Пневматике» имеются и 1еоретические рассуждения: Герои объясняет упругость воздуха и пара соударениями мельчайших частиц, из которых, по его мнению, состоят воздух и пар. Некоторые рассуждения Герона показывают, что, хотя он был знаком с гидростатическими законами Архимеда, физическая причина кажущейся потери веса погруженных в жидкость тел была ему неизвестна; он считал ее абсолютной.

Механике посвящена и последняя, восьмая книга《Ма- тематической библиотеки» Паппа Александрийского (III в.

Hero Alexandrinus. Pneumatica, iibers. W. Schmidt, Opera, vol. I, Leipzig, 1899, p. 1—333

Hero Alexandrinus. De automatis, iibers. W. Schmidt, Opera, vol. 2, p. 337—489

Heron К t e s i b i о n. Belopoiika, iibers. H. Diels u. E. Schramm, Abh. d. Preuss. Akad. d. Wiss., Phil.-hist. KL, Ileft 2, 1918, p 1-56.

65655 A. T. Григорьян

65

65

н. э.) 38. Здесь Папп проводит различие между механикой ——теоретической наукой и механикой ——практическим искусством. В книге приводится большое число отрывков из сочинений Архимеда и Герона и решаются разные задачи, относящиеся к центру тяжести и движению по наклонной плоскости (например, задача об определении силы, необходимой для того, чтобы на наклонной плоскости сдвинуть груз, который на горизонтальной плоскости сдвигается данной силой).

Сочинения Герона и Паппа показывают, что александрийские ученые I—III в. н. э. уделяли значительное внимание как теоретическим основам механики (хотя теоретический уровень их работ был значительно ниже уровня работ Архимеда), так и практической механике ——конструированию механизмов, оружия и автоматов.

Pappus Alexandrinus. Collectiones quae supersunt, ed. F. Hultsch, Bd. 3. Berlin, 1878.

ГЛАВА ВТОРАЯ

МЕХАНИКА В СРЕДНИЕ ВЕКА

МЕХАНИКА НА СРЕДНЕВЕКОВОМ ВОСТОКЕ

В

сеобщее обнищание, упадок торговли, ремесла и искусства, сокращение населения, запустение городов, возврат земледелия к более низкому уровню ——таков был конечный результат римского мирового владычества» L Эта, принадлежащая Энгельсу, характеристика раннего западноевропейского средневековья позволяет понять особенности состояния и развития науки в один из наиболее мрачных периодов существования человеческой культуры. Обособленность феодальных хозяйств, натуральный характер производства не способствовали техническому прогрессу. Упадок экономики, сопровождающий переход от античности к средневековью, привел к застою культуры и науки. Наследие греков было утрачено, знания, приобретенные в древности, постепенно терялись. Единственными центрами грамотности оставались монастыри и церкви. «Отсюда,——отмечал Энгельс,— само собой вытекало, что церковная догма являлась исходным пунктом и основой всякого мышления. Юриспруденция, естествознание, философия — все содержание этих наук приводилось в соответствие с учением церкви. Все научные знания сводились, в конечном итоге, к теологии» .

В руках церкви было сосредоточено и образование. Традиционным и незыблемым было деление школьной науки на семь свободных искусств. Первый цикл охватывал тривиум: грамматику — мать и основу семи искусств, риторику —— искусство красноречия и диалектику —— эле-

ментарную логику. Ёторой цикл, или квадриум, составляли арифметика, геометрия, в которую входила своеобразная смесь примитивной геометрии с фантастическими рассказами о чудесах^ астрономия, занимавшаяся главным образом вопросами календаря и гаданием на звездах, и музыка.

В несколько лучшем положении находилась Византия ——восточная часть бывшей Римской империи. Здесь древние традиции Эллады сохранились в большей мере. Это наблюдалось и в отношении к механическим искусствам. Если на Западе слово механика считалось произ - водным от латинского прелюбодействую, что выражало стремление принизить занимаемое этой наукой место, то на Востоке механиками называли инженеров, умельцев, строителей зданий и сооружений, создателей машин. Механики пользовались здесь уважением и занимали видное общественное положение. Известны имена Анфимия Тралльского, строителя константинопольского собора Софии, и его современника Исидора Милетского. Они поддерживали связь с александрийскими математиками, например Евтокием Аскалонским, комментатором Архимеда и Аполлония. В Византии были хорошо известны сочинения Герона, указаниями которого воспользовался строитель Соломонова трона в Константинополе Лев (IX в.).

И все-таки восточная святоотеческая литература отличается таким же безразличием к познанию законов природы, как и западная. Иоанн Дамаскин (VIII в.) писал, что выявление различных вопросов мироздания не столь уж существенно; важно признавать, что все содержится силою творца. Исторические условия даже в Византии не способствовали развитию сохранившегося наследия античности.

В VI в. после закрытия языческих школ многие греческие ученые эмигрировали в Персию; та же участь постигла несколько раньше сирийских несториан. Так греческая наука начала распространяться на Ближний Восток; источниками этого служили также взятые в 640 г. арабами Александрия, Антиохия и Харран, куда остатки накопленных в Александрии знаний проникали в VIII—— IX вв.

Начавшиеся в первой половине VII в. завоевательные войны арабов привели к тому, что к концу 30-х годов

VIII в. территория арабского халифата была больше бывшей Римской империи. Халифат охватывал Аравию, Иран, Сирию, Египет, Палестину, все северное побережье Африки, часть Средней Азии (Хорезм, Самарканд, Бухару), Армению, северо-западную Индию и Пиренейский полуостров. Арабы распространяли среди завоеванных народов свою религию (ислам) и свой язык. И хотя вскоре великое государство арабов начало распадаться на отдельные халифаты, арабский язык в них сохранился. Поэтому развившуюся во всех этих странах науку, которая во многом обогащалась не только переводами с греческого, но и за счет достижений покоренных народов, принято называть арабской. Периодом наибольшего подъема науки в арабских странах были IX——XI вв. Багдад превратился в крупный научный щентр с рядом школ и библиотек, со многими научными обществами. Здесь образовалась большая группа переводчиков и переписчиков, издававшая на арабском языке произведения Платона, Аристотеля, Гиппократа, Евклида, Архимеда, Птолемея. Следует отметить, что в распоряжении переводчиков чаще были сирийские тексты, а иногда только комментарий. Тем не менее арабские переводы сыграли огромную роль, являясь во многих случаях единственными источниками, по которым Европа познакомилась с наукой древности.

Особенностью науки стран ислама было то, что здесь на первый план выдвигается вычислительная математика, которая в таких областях, как связанная с коммерцией арифметика, алгебра, приближенные вычисления, учение о числе, тригонометрия, оставляет достигнутый в свое время александрийскими учеными уровень далеко позади. Значительное развитие на Востоке получили астрономия, оптика и химия. В IX в. центром научной мысли Востока становится Багдадская обсерватория при дворе халифа ал-Мамуна, в которой работал знаменитый хорезмийский математик и астроном Мухаммед ал-Хорезми, автор трактата «Об индийском счете», в котором впервые в странах ислама была изложена заимствованная у индийцев десятичная позиционная система счисления с помощью арабских цифр, трактата «Краткая книга об исчислении алгебры и алмукабалы», положившего основание алгебре, и «Ал-Мамуновых астрономических таблиц». В конце X в. в Каирской астрономической обсерватории при дворе фатимидского халифа ал-Хакима работает выдающийся

физик, математик и астроном Абу Али ибн ал-Хайсам (Альхазен), автор классической «Книги оптики» и известных комментариев к Евклиду. В начале XI в. в астрономической обсерватории при дворе султана в Газне (Афганистан) работает выдающийся ученый-энциклопедист Абу- фир-Райхан ал-Бируни, автор всемирно известных «Канона Масуда по астрономии», «Памятников минувших поколений», «Индии» и «Минералогии». В это же время в Средней Азии и Иране работает выдающийся медик и философ Абу Али ибн Сина (Авиценна), автор монументального «Канона медицинской науки» и энциклопедических трактатов——«Книги исцеления» и «Книги знания», содержащих разделы, посвященные философии, физике, математике, астрономии, теории музыки и логике. В конце XI в. в Исфаханской обсерватории при дворе сельджукского султана Маликшаха работает знаменитый поэт, математик и астроном Омар Хайям, автор сыгравших исключительную роль в истории математики арифметического алгебраического и геометрического трактатов, в которых изложены такие замечательные открытия, как метод извлечения корней любой степени, решение всех видов кубических уравнений с помощью пересечения конических сечений, теория параллельных линий, в которой предвосхищается ряд теорем неевклидовой геометрии, и расширение понятия числа до того, что мы называем положительным действительным числом; Омар Хайям был также автором «Маликшахских астрономических таблиц». В XIII в. в Марагинской астрономической обсерватории при дворе монгольского хана Хулагу Эльхана в Мараге (Азербайджан) работает один из крупнейших математиков и астрономов средних веков Насир ад-Дин ат-Туси, автор тригонометрического «Трактата о полном четырехстороннике», знаменитого «Изложения Евклида» и «Эльханских астрономических таблиц». В XV в. в Самаркандской астрономической обсерватории при дворе Улугбека Гурагана работает плеяда блестящих ученых во главе с Джемшидом Гияс ад-Дином ал-Каши, автором известных математических трактатов «Ключ арифметики» и «Трактат об окружности» ; коллективным трудом самаркандских астрономов были «Новые Гураганские астрономические таблицы».

Специально вопросами механики занимался багдадский ученый Сабит ибн Курра (831—901). Сабит ибн Курра, уроженец города Харрана в Месопотамии, был выходцем

из сабиев — потомков вавилонских жрецов-звездопоклонников, у которых профессии астролога и астронома были наследственными. После завоеваний Александра Македонского сабии усвоили греческий язык и стали носить греческие имена; прадед Сабита носил имя Марин сын Мелеагра. После арабского завоевания Месопотамии сабии стали говорить по-арабски и носить арабские имена, но сохранили знание греческого языка. Поэтому именно сабии были основными переводчиками греческих научных книг на арабский язык. В частности, Сабит ибн Курра был переводчиком большого числа сочинений Архимеда, «Конических сечений» Аполлония, «Алмагеста» Птолемея, а также редактором перевода «Начал» Евклида. Именно в переводах Сабита ибн Курры сохранились те сочинения Архимеда и книги «Конических сечений» Аполлония, которые не дошли до нас в греческом оригинале. Многие математические трактаты Сабита ибн Курры близки по содержанию и методам к сочинениям Архимеда: таковы, например, «Книга об измерении параболы» и «Книга об измерении параболического тела». Сабиту ибн Курре не были известны трактаты Архимеда «Квадратура параболы» и 《0 сфероидах и коноидах», посвященные тем же вопросам, но, отправляясь от известных ему «Измерения круга» и «О шаре и цилиндре», Сабит ибн Курра развил оригинальные интеграционные приемы, представляющие собой развитие аналогичных методов Архимеда. В своих трактатах о параллельных линиях и о составных отношениях Сабит ибн Курра начал разработку вопросов, которые изучал в комментариях к Евклиду Абу Али ибн ал-Хайсам и которые впоследствии привели к замечательным открытиям в геометрическом трактате Омара Хайяма. Механический трактат Сабита ибн Курры, также написанный под несомненным влиянием греков, носит название «Книга о безмене» — «Китаб ал-карастун» . Название безмена у Сабита ибн Курры — карастун — искажение греческого

названия рычажных весов харистион. Этот трактат получил широкое распространение и в XII в. был переведен в Западной Европе на латинский язык под названием «Leber Charastonis». Ал-Бируни в популярной книге «Вразумление в начатках искусства звездочетства», где изложены основы математических и астрономических знаний средневекового Востока, приводит пример безмена, который он, так же как Сабит ибн Курра, называет карастун. Ал-Бируни указывает, что в безмене «длина стрелки относится к длине коромысла до передвижной гири как вес гири к весу взвешиваемого груза в чаше». В «Книге о безмене» Сабит ибн Курра излагает теорию взвешивания на весах на» основе принципов статики «Механических проблем» псевдо-Аристотеля и закона насильственных движений «Физики» Аристотеля. В использованном (хотя четко и не определяемом) ибн Куррой понятии силы движения некоторые современные исследователи видят аналогию с работой силы тяжести тела при его возможном перемещении, так как при заданном грузе сила движения считалась пропорциональной перемещению, а при постоянстве последнего ——пропорциональной весу груза.

Ибн Курра не ограничивается изложением теории невесомого рычага. Стремясь удовлетворить нужды практики взвешивания, он пытается как-то учесть вес коромысла. При этом он опирается на два положения: два равных груза можно заменить одним двойным, подвешенным посредине между ними; распределенный равномерно по рычагу вес можно заменить грузом такого же веса, приложенным к середине рычага. Хотя сами по себе эти исходные предпосылки и верны, окончательные результаты не совсем ясны; данное в конце книги правило градуирования не вытекает из полученных результатов.

Важной областью технического приложения весов было определение удельного веса, особенно драгоценных камней п металлов. Результаты большого числа точных взвешиваний приведены в «Минералогии» ал-Бируни, полное название которой ——«Собрание сведений для познания драгоценностей» . При взвешивании драгоценных камней

ал-Бируии выбирает в качестве эталона сапфир, а металлов ——золото. Специальный трактат «Весы мудростей или об абсолютных водяных весах» принадлежит Омару Хайяму. В нем излагается способ взвешивания с помощью весов, находящихся в воздухе и в воде, и применение метода для определения количества золота и серебра в сплаве. Теория весов мудростей получила дальнейшее развитие у ученика Хайяма Абд ар-Рахмана ал-Хазини, работавшего в Мерве. В своей «Книге о весах мудростей» , законченной в 1121 г., ал-Хазини рассматривает весы различного вида.

Приведенные в работе данные позволяют судить о точности производимых взвешиваний (около 0,1%). Ал-Ха- зини определял объемы, пользуясь специальным отливным стаканчиком, изобретенным ал-Бируни. Зная веса и объемы, ал-Хазини нашел удельные веса различных веществ. Очень интересно сопоставление данных ал-Хазини с современными: удельный вес серебра ——10,30 (современно。 значение — 10,49), золота — 19,05 (19,27), свинца — 11,32 (11,39), ртути - 13,56 (13,557), меди - 8,66 (8,94), железа —7,74 (7,87). Как видно, расхождения незначитель^ ные.

Такая точность позволила обнаружить различие удельного веса воды при разных температурах (для кипящей воды дается число 0,958, что совпадает с современными данными).

Точное определение удельных весов позволило решать ряд практических задач: отличать чистый металл от подделок, устанавливать ценность монет, выявлять подлинность драгоценных камней.

Кроме метрологической части, «Книга о весах мудростей» содержит теоретический трактат, в котором рассматриваются вопросы определения центров тяжести, потери веса телами при их погружении в воду, кажущегося веса тел в воздухе, равновесия плавающих тел, сферической формы жидкости, находящейся в равновесии, и др.

С определением удельных весов мы встречаемся и в XV в. в «Ключе арифметики» самаркандского ученого Джемшида ал-Каши.

Помимо практических и теоретических исследований, связанных со взвешиванием, ученые Востока разрабатывали и учение о движении, оставаясь в основном в рамках взглядов Аристотеля. Так, например, Ибн-Сина в физическом разделе своей «Книги знания» высказывает ряд интересных мыслей о движении:

«Тело не может перемещаться с одного места на другое посредством одного толчка, так как тело разделяется на части и частями отделяется от своего места, а то, что отделяется по частям, не может быть в результате одного толчка... Все, что движется, или движется чем-то извне (например, стрела из лука, вода при нагревании огнем), или движется само по себе (например, камень, падающий сам, или горячая вода, которая сама становится холодной). Движение того, что само движется, происходит не в его телесности, а только в его состоянии и форме. Если бы оно происходило в его телесности, то движение должно было бы быть постоянным и равным для всех тел. Стало быть, оно происходит из какой-то силы» .

Слова Ибн-Сины относятся, как мы видим, не только к механическому движению. Во всех случаях он объясняет движение действием некоторой силы.

МЕХАНИКА В СРЕДНЕВЕКОВОЙ ЕВРОПЕ

Сдвиги в науке и технике Запада начинаются несколько позднее, чем на Востоке,— только с конца XI в. Они вызваны серьезными изменениями в экономике. К этому времени становится более продуктивным сельское хозяйство, возникают ремесла, усиливается рост городов, что вызывает развитие торговли и денежного обращения. Крестовые походы способствовали знакомству Европы с достижениями Востока. Энгельс писал: «...со времени крестовых походов промышленность колоссально развилась и

вызвала к жизни массу новых механических (ткачество, часовое дело, мельницы), химических (красильное дело, металлургия, алкоголь) и физических фактов (очки), которые доставили не только огромный материал для наблюдений, но также и совершенно иные, чем раньше, средства 4n只 экспериментирования и позволили сконструировать новые инструменты. Можно сказать, что собственно систематическая экспериментальная наука стала возможной лишь с этого времени» .

Заметными становятся и успехи техники. В X——XII вв. большое развитие получили водяные мельницы, несколько позже — ветряные. Тогда же арабы привезли в Европу механические часы. Немаловажное значение для накопления знаний о законах природы имело изготовление военного снаряжения, кораблестроение, градостроительство, устройство крупных гидротехнических сооружений.

Развитие промышленности и повышение общего культурного уровня вызвали потребность в подготовке специалистов. Возникли светские школы, а в XIII в. были созданы первые университеты в Болонье, Париже, Падуе, Неаполе, Оксфорде (на основе ранее существовавшей здесь школы). Много университетов было открыто в XIV в. (Пиза, Павия, Краков, Вена, Гейдельберг, Феррара и др.). Старшими факультетами в большинстве университетов считались богословский, медицинский и юридический, младшим ——факультет искусств.

Одновременно росло и могущество церкви. Ее представители приспосабливались к изменяющимся условиям быстрее, чем светские феодалы. Богатства католической церкви росли со сказочной быстротой. Папа Иннокентий III (1198—1216) объявил себя наместником бога на Земле. Теология продолжала играть основную роль в идеологической жизни. Для борьбы с ересями были созданы монашеские ордена доминиканцев и францисканцев и учрежден особый суд ——инквизиция, жертвой которой пали многие видные ученые средневековья. Господствовала схоластика. Она основывалась на догматах христианской церкви и отличалась абстрактными, часто совершенно бесплодными и беспредметными рассуждениями. Но сама схоластика менялась, приспосабливаясь к новым обстоятельствам.

В XII—XIII вв. европейская научная литература обогатилась большим числом переводов с греческого и арабского. Стали доступными для чтения сочинения Евклида, Архимеда, Платона, Аристотеля, Птолемея, Герона, ал-Хорезми, ал-Фараби, Ибн-Сины. Интересно проследить судьбу идей Аристотеля. Сначала его учение казалось для церкви опасным. Против него резко выступали богословы Альберт Великий (1206—1280) и Фома Аквинский (1225—1274). Было выпущено несколько трактатов против аверроизма (арабский вариант аристотелизма), а Парижский университет запретил чтение естественнонаучных сочинений Аристотеля. Вместе с тем Альберт, Фома и их последователи пытались приспособить Аристотеля к священному писанию. По выражению В. И. Ленина, «поповщина убила в Аристотеле живое и увековечила мертвое» ". Уже в 1366 г. церковный декрет повелевал изучать «Логику», «Метафизику» и «Физику», без чего нельзя было получить первую ученую степень. Естественнонаучные взгляды Аристотеля были догматизированы, а всякие возражения против них объявлялись ересью.

В этих сложных условиях происходило развитие естественных наук, в частности механики. Прежде всего отметим, что термин механика по-прежнему понимался в весьма широком смысле. В сочинении Гугона (1096—1141) «Дидаскаликон» в нее включались текстильное дело, изготовление оружия, охота, мореплавание, земледелие и др., т. е. фактически вся область технической деятельности людей. Такое же понимание встречается в различных рецептурных сборниках типа «Записки о различных ремеслах» монаха Теофила (X в.). В книгах, носивших название «Механика», рассматривались лишь прикладные вопросы и элементарная теория пяти простых машин (рычага, полиспаста, клина, винта и ворота).

Однако уже в XIII в. появляются работы, авторы которых стремятся теоретически разрешить ряд проблем статики, кинематики и динамики. Видным ученым был Иордан Неморарий (XII в.). В его сочинении «О тяжестях» и приписываемых ему трактатах «Элементы доказательств о тяжести» и «Книга о пропорции тяжести» прослеживается дальнейшее развитие кинематического варианта статики, истоки которого заложены в «Механических про-

В. И. Ленин. Полное собрание сочинений, т. 29, стр. 326,

блемах» псевдо-Лристотоля. Основным понятием, который оперирует Неморарий, является тяжесть сообразно положению. Эта величина пропорциональна тяжести и проекции на вертикаль возможного при данных связях перемещения груза. «Более тяжелым сообразно положению оказывается то, что при одном и том же положении опускается по линии, менее отклоняющейся от вертикали». Опираясь на древнее представление об естественном п насильственном движении, Неморарий писал: «Прежде всего следует знать, что плечо, опускаясь в весах из своего высшего положения книзу, описывает круг, радиус которого всегда равен плечу весов... Поскольку большая дуга круга более противоположна прямой линии, чем меньшая, падение тяжелого тела по большей дуге более, чем падение по меньшей дуге, противоположно падению тяжелого тела, которое должно происходить по прямой. Очевидно, следовательно, что большее насилие налично в движении по большей дуге, чем по дуге меньшей; ведь иначе движение не становилось бы более противоположным. Поскольку, следовательно, при опускании получается большая помеха, ясно, что оттого становится меньше тяжесть. И оттого, что это происходит в соответствии с положением тяжелых тел, в дальнейшем такая тяжесть будет называться тяжестью соответственно положению» .

На этом основано доказательство того, что при разных длинах плеч, но одинаковых грузах, перетягивает тело, подвешенное на более длинном плече, а также формулировка основного закона равновесия рычага: равенство тяжестей сообразно положению. В «Книге о пропорции тяжести» рассматривается также коленчатый рычаг, причем автор вплотную подходит к понятию о моменте вращения и получает правильные результаты, тогда как в «Элементах» неверное допущение о движении грузов приводит к ошибочным выводам.

Понятие тяжести сообразно положению используется Иорданом м при изучении движения по наклонной плоскости. В результате разложения силы тяжести на нормальную и параллельную плоскости компоненты получается, что если грузы, поднятые на одинаковую высоту, пропорциональны длинам наклона, то скорость в конце

Движения rio наклонным плоскостям будет одна и та же. Таким образом, видно, что вся группа трактатов составляет следующий после Сабита ибн Курры шаг на пути к принципу возможных перемещений. Содержащиеся в них еще в смутной форме динамические понятия могли стать первыми звеньями между статикой и наукой о движении.

Наиболее ранним трактатом, посвященным кинематике, является трактат «О движении» Герарда Брюссельского; в XIV в. эти же вопросы рассматриваются в трудах ученых оксфордской и парижской школ.

Представляет интерес развитие понятия скорости. Еще Аристотель выражал скорость как отношение двух величин: силы, или потенции, р и сопротивления г. Дальнейшее развитие эти идеи получили в трактате «О пропорциях» (1328) Томаса Брадвардина. Он заметил, что необходимым условием существования движения является требование р > г. Если р = г, то, по Аристотелю, скорость становится равной единице, тогда как она должна равняться нулю, потому что движение прекращается. Для исправления этого недостатка Брадвардин предлагает новую формулу, получившую в XIV в. широкое распространение: скорость и пропорциональна показателю степени (мы бы сказали — логарифму) отношения (р:т)。. Поскольку логарифм единицы равен нулю, то эта формула удовлетворяет вышеприведенному требованию.

Брадвардин критикует мнение Аристотеля, будто при постоянном р имеем и】：沙2 =尸2 ：尸1, а при постоянном г "1 ： 〃2 = Pi ： Р2, ибо отсюда вытекает, что при убывании р до бесконечности скорость также убывает до бесконечности, а следовательно, сколько угодно малая потенция может двигать сколь угодно большое тело, но только очень медленно. Кроме того, опыт показывает, что два человека могут двигать тело со скоростью значительно большей, чем двойная скорость, сообщаемая одним человеком. Основной закон скоростей, по Брадвардину, гласит: «Отношение скоростей при движениях меняется соответственно отношению движущих сил к силам сопротивления и наоборот» . Это можно записать в виде % : °2 = ^ : ^・ Таким образом, сложилось представление о скорости как

отношении, в определение которого не входят ни понятие времени, ни понятие пути.

По Марсилию Ингену, о величине скорости аю;кн。 судить либо по отношению потенции к сопротивлению, либо по пространству, пройденному движущимся телом. Предпочтение он отдает второму способу, как более доступному нашему пониманию. Но это верно лишь по отношению к равномерному движению, или к средней скорости за некоторый промежуток времени, и не позволяло при отсутствии ясных представлений о бесконечно малых величинах подойти к понятию мгновенной скорости.

Средневековые ученые различали униформные, т. е. равномерные, и дифформные, т. е. неравномерные, движения. Представитель оксфордского направления (к которому принадлежал и Брадвардин) Уильям Хейтесбери уже прямо определил мгновенную скорость: «В пространственном дифформном движении в любое мгновение скорость определяется по линии, которую прочертила бы наиболее быстро движущаяся точка, если бы на протяжении времени она стала бы двигаться униформно с тем же градусом скорости, с которым она движется в это мгновение —— какое бы мгновение ни взять» .

Понятием точечной скорости пользовался и французский ученый Николай Орем (1323——1382). Он изображал униформные и униформно-дифформные, т. е. равнопеременные (по современному — равномерно-ускоренные) движения, в виде прямоугольников и треугольников. Основания фигур соответствовали времени, высоты — скорости, а площади ——пути. Это позволило ему доказать, что путь в униформно-дифформном движении эквивалентен пути в униформном движении, происходящем со средней скоростью. Таким образом, если в английской школе стремились больше к арифметическому абстрактно-логическому доказательству, то французы предпочитали геометрическое. Изложение у первых было более схоластично и запутано, но зато у вторых стремление к наглядности вынуждало к некоторому упрощению проблемы.

Разработанный математический аппарат не мог быть до конца использован. В этом повинно несовершенство самой физики, отсутствие достаточного эксперименталь-

иого материала, слишком большая приверженность к классическому аристотелизму.

Большую роль в средневековых работах ио механике играла теория так называемого импетуса. Она возникала в связи с попытками объяснения инерционного движения. Как мы уже писали, Аристотель знал только первую часть закона инерции ——тело сохраняет состояние покоя. Не требовали специального объяснения и естественные движения, например падение твердого тела вниз. Но как объяснить движение тела, брошенного вверх или горизон - тально и являющегося насильственным? Древние отвечалг. на этот вопрос двояко. Аристотель считал, что такое движение поддерживается движущимся воздухом, соприкасающимся с телом. Бросающий сообщает способность двигать воздуху, воде, «чем-нибудь иному подобному, что по природе своей способно и двигать и двигаться».

Оставался открытым вопрос о механизме передачи движения. Его пытался разрешить Аверроэс (1126—1198) сравнением с распространением волн на воде. Он считал, что частицы воды способны к взаимопроникновению. Проникновением частиц среды в движущееся тело и поддерживается движение последнего. Другое объяснение давала теория антиперистасиса. Антиперистасис ——род вихревого движения, вызванного тем, что ввиду отсутствия пустоты на освободившееся толом А место становится тело В, на место В — С и т. д. В средневековье сторонником этой теории был известный английский ученый, один из первых глашатаев экспериментального метода, Роджер Бэкон (1214—1292), проведший большую часть жизни в тюрьме, куда он был заключен за свои смелые взгляды.

В поисках ответа на рассматриваемый вопрос и была создана теория импетуса (это понятие отождествить с современными терминами нельзя, но в некоторых случаях его можно считать эквивалентным импульсу). Зачатки теории можно найти у Иоанна Филопопа (VI в.). Филопон говорил о движущей силе, которая сообщается телу и поддерживает его движение, когда оно уже не соприка” сается с источником движения. Аналогичные высказывания были и у Иби-Сины. Некоторые упоминания об импетусе встречаются в западноевропейской литературе XIII в., но наиболее полно теория импетуса разработана в трудах парижского номиналиста Жана Буридана (ум. в

1358 г.). Ее поддерживали также Николай Орем, Альберт Саксонский, Марсилий Инген, Бьяджо Пелакани, Павел Венецианский; благодаря им теория импетуса нашла широкое распространение во Франции, Германии и Италии.

Прогрессивное значение этой теории состояло в том, что при объяснении движения небесных тел она не нуждалась во введении нематериальных так называемых «интеллигенций», или «ангелов», поддерживающих движение небесных сфер. Кроме того, она позволяла ставить вопрос о возможности отвергаемого Аристотелем движения в пустоте. Нематериальному божественному вмешательству предоставлялась только скромная роль сообщения первоначального импульса; дальнейшее движение его участия не требовало. И хотя эта теория не привела, да и не могла привести, к установлению понятия инерции движения, в ней уже были заключены некоторые зародыши идеи самодвижения. Содержащаяся в трудах перечисленных ученых критика аристотелизма расчистила путь для появления новой механики.

Буридан и его последователи пытались применить понятие импетуса при изучении падения тел. Буридан писал: «Это также является, по-видимому, причиной, по которой естественное падение весомых тел беспрерывно ускоряется, ибо в начале этого падения двигала тело одна тяжесть, почему оно падало медленнее, но скоро эта тяжесть запечатлевает некий импето в весомом теле, импето, движущий тело одновременно с тяжестью; поэтому движение становится тем быстрее, чем сильнее становится импето. Отсюда видно, что движение будет беспрерывно ускоряться». Такая точка зрения позволяла опровергнуть восходящее еще к Аристотелю утверждение, что скорость падения тем больше, чем тело ближе к своему естественному месту, т. е. к центру мира. Буридан ссылается на пример, использованный Ричардом из Мидль- тона еще в конце XIII в. Если некоторое тело А, падая с большой высоты, проходит мимо другого тела В, которое в свою очередь начинает падать именно тогда, когда первое тело находилось на одной высоте с ним, то тело А достигнет земли раньше, чем В, тогда как по отвергаемой теории они должны были упасть одновременно. По Бури- дану, скорость падения будет тем больше, чем дальше от своего естественного места находилось тело в начале падения, ибо оно приобретает больший импетус.

Пытаясь в какой-то мере раскрыть количественные связи между величинами, характеризующими движение, сторонники теории импетуса впадали в ту же ошибку, которую допускали аристотелики: они считали, что скорость падения пропорциональна весу. Причина этого состоит в отрыве теории от практики измерения, непонимании инерции, неумении абстрагироваться от влияния реальных условий протекания процесса при переходе к рассмотрению падения в пустоте, что могло дать правильное решение задачи об ускорении свободно падающих тел. Ни античные, ни средневековые теории не могли дать математического выражения для закона падения тел; они только намечали связи между скоростью, высотой и временем. Не смогло разрешить этой проблемы и широко распространенное в XIV—XVI вв. учение о широте форм. Главной задачей этого учения была математизация интенсивностей качеств. Одна из таких интенсивностей — скорость движения. Равномерному движению соответствовала постоянная интенсивность, неравномерному ——переменная. Опираясь на это учение, Орем впервые ввел понятие об ускорении как о постоянной интенсивности движения с равномерно возрастающей скоростью.

В заключение следует сказать, что большинство механических проблем в средневековье изучалось в плане не столько физическом, сколько общефилософском, в связи с понятиями движения, пространства, времени. Кабинетная наука была оторвана от практической деятельности. Вместе с тем нельзя рассматривать средневековье только как период умственного застоя, в течение которого наука не развивалась. Тогда непонятны причины, приведшие к эпохе Возрождения. Критикуя этот неверный подход, Энгельс писал: «В области истории — то же отсутствие исторического взгляда на вещи... На средние века смотрели как на простой перерыв в ходе истории, вызванный тысячелетним всеобщим варварством. Никто не обращал внимания на большие успехи, сделанные в течение средних веков: расширение культурной области Европы, образование там в соседстве друг с другом великих жизнеспособных наций, наконец, огромные технические успехи XIV и XV веков. А тем самым становился невозможным правильный взгляд на великую историческую связь, и история, в лучшем случае, являлась готовым к услугам философа сборником примеров и иллюстраций» .

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

МЕХАНИКА ЭПОХИ ВОЗРОЖДЕНИЯ

В

XV и XVI вв., т. е. в период Возрождения, люди узнали об окружающем мире больше, чем за тысячи предшествующих лет. Великие географические открытия, бурное развитие техники, расширение торговли, в сочетании с осваиваемым наследием древности, доставили естественным наукам обширный материал, нуждавшийся в объяснении и систематизации.

Необходимость в новых решениях технических проблем приводила к постепенному преодолению существовавшего разрыва между наукой и практикой. Этому способствовал и приход в науку людей, непосредственно участвующих в производстве,— инженеров, архитекторов, ремесленников. Их не могли удовлетворить абстрактные схоластические рассуждения и теоретические спекуляции. Нужны были четкие и ясные ответы на поставленные жизнью вопросы. Это наложило определенный отпечаток и на развитие философии.

Наиболее сильное влияние новые веяния оказали на механику. В ее развитии нуждались астрономия, военное дело (особенно артиллерия), гидротехника, техника транспорта и строительства и т. д., т. е. все те искусства, которые и объединялись словом «механика». Когда Леонардо да Винчи (1452—1519) писал, что «механика — рай математических наук, ибо посредством нее достигают математического плода», он понимал ее именно в таком смысле, причем под математическими науками Леонардо да Винчи подразумевал и собственно математику, и физику, и астрономию.

Но если ученые древности и средневековья смотрели на механику пренебрежительно и даже презрительно, то деятели Возрождения считали ее благороднейшим из искусств, сочетающимся с пользой в житейских делах. Об этом писал, например, дель Монте (1545—1607) Анри Монантейль в 1599 г. обращался к французскому королю Генриху IV с призывом не презирать прикладную механику, ибо «наш мир есть машина, и притом машина величайшая, эффективнейшая, прочнейшая, прекраснейшая». Раскрытию тайн этой машины и были посвящены усилия крупнейших ученых эпохи Николая Кузанского (1401—- 1464), Леонардо да Винчи, Николая Коперника (1473— 1543), Симона Стевина (1548—1620), Иоганна Кеплера (1571—1630) и великого Галилео Галилея (1564—1642).

Рассмотрим основные достижения механики (в современном понимании), начиная со статики. Ее кинематический вариант, восходящий к «Механическим проблемам» псевдо-Аристотеля и развитый затем в школе Иордана Неморария, нашел отражение в опубликованных посмертно работах Леонардо да Винчи «Трактат о живописи» и «О движении и измерении воды» и целом ряде заметок. Как и его предшественники, Леонардо интересуется законом равновесия рычага: «Ту же пропорцию, которая существует между длиной рычага и его противорычага, ты найдешь между величиной их весов и медленностью движения и в величине пути, проходимого каждым из их концов, когда они достигнут постоянной высоты своей точки опоры» . Он проводит множество экспериментов по проверке сформулированного закона; менее успешно выполнено им теоретическое обоснование.

С помощью установленного правила решаются конкретные задачи как для линейного, так и ступенчатого рычага. Во многих заметках правило рычага связывается с понятием о центре тяжести тела или системы тел.

Характерен для Леонардо подход к теории с точки зрения практики также и при рассмотрении им весомого рычага. «Наука о тяжестях вводима в заблуждение своею практикою, которая во многих частях не находится в согласии с этою наукою, причем и невозможно привести ее к согласию. И это происходит от осей вращения весов, благодаря которым создается наука об этих тяжестях. Эти

ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ

оси, по мнению древних философов, имеют природу математической линии, и в некоторых случаях являются математическими точками,— точками и линиями, которые бестелесны; практика же полагает их телесными» .

Хотя Леонардо и не сформулировал общего правила равновесия такого рычага, он учитывал вес коромысла балансированием его. Следует отметить введенное им понятие потенциального плеча, т. е. перпендикуляра из точки опоры до направления силы (плечо силы). Он правильно решил задачу о соотношении веса и скорости перемещения грузов, подвешенных на укрепленных в двух точках нитях (полиспасты). Менее удачными были попытки установить условие равновесия на наклонной плоскости и распределение веса в косо поставленном стержне.

Аналогичными вопросами занимались также известные математики Никколо Тарталья (1499—1557) и Джироламо Кардано (1501—1576). Архимедовские геометрические традиции в статике в XVI в. развивали Федериго Комман- дино (1509—1575) и его ученик дель Монте. В основе рас- суждений дель Монте лежат следующие допущения: центр тяжести подвешенной фигуры находится на вертикали, проведенной через точку подвеса; моменты силы тяжести и сил тяги равны. Хотя ои еще не вводит явно понятия момента силы, но фактически уже пользуется им. Еще более четко использовано это понятие в книге Джовани Баттиста Бенедетти (1530—1590) «Книга различных математических и физических рассуждений», в которой дано окончательное решение поставленной еще Аристотелем задачи об устойчивости Т-образных весов в прямом и перевернутом положениях.

Условие равновесия на наклонной плоскости установил фламандец Симон Стевин. Кроме вышеуказанных двух архимедовских принципов, он при этом опирался на невозможность перпетуум мобиле (вечного движения). Приведем его доказательство. Цепь из 14 связанных одинаковых шаров обвивает подставку, составленную из двух наклонных плоскостей и горизонтального основания, Наклонные стороны треугольника относятся как 2: 1. На большей стороне лежат четыре шара, на меньшей ——два. Цепь не может двигаться, поскольку любое движение при-

вело бы ее в такое же положение, в котором она находилась вначале, и движение было бы вечным, что невозможно. Восемь шаров, висящих ниже основания, на равновесие не влияют, поэтому два шара уравновешивают четыре. Значит уравновешиваются грузы пропорционально длине сторон. Стевину принадлежит введение обозначения сил стрелками и установление того, что если три силы образуют треугольник, то они уравновешиваются (силовой треугольник).

В эпоху Возрождения разрешение многих проблем статики было завершено, но динамика фактически начинала делать только первые шаги. Как и раньше, серьезной проблемой оставалось объяснение движения тела после его отрыва от двигателя. Некоторое приближение к пониманию сути инерционного движения видно из следующего высказывания Николая Кузанского: «...совершенно круглый шар... раз начав двигаться, как таковой, никогда не перестанет двигаться, поскольку он не может менять своего состояния». Такие же мысли встречаем и у Кардано: «Всякое сферическое тело, касающееся плоскости в точке, движется в сторону под действием любой силы, способной разделять среду». Если устранить сопротивление воздуха, то тело будет двигаться всегда. Отвергая точку зрения Аристотеля о том, что движение брошенного тела поддерживается воздухом, Бенедетти тоже подчеркивал, что воздух лишь мешает движению и само тело продолжает двигаться благодаря свойственной ему стремительности. Еще более решительно говорил Стевин: «Любые тяжести, движимые по горизонтали, каковы корабли на воде, телеги на равнинах полей и т. п., не нуждаются для своего движения даже в силе одной мухи, если оставить в стороне те препятствия, которые создает окружающая среда и которые мешают движению».

И все же они были еще далеки от формулировки закона инерции. Даже у Кеплера инерция есть лишь сопротивление тела силе, изменяющей его состояние покоя, а не движения. Открыть первый закон движения удалось лишь Галилею. С проблемой движения тел по инерции связано и изучение падения тел. Утверждение Аристотеля о том, что скорость пропорциональна весу тела, все больше

оспаривалось. Тарталья, например, писал, что скорость падения пропорциональна высоте падения. Объясняя причину ускорения, он приводит образное сравнение со странником, который, приближаясь к своей родине, стремится идти с большим напряжением, причем тем большим, чем дальше место, из которого он идет. Как видим, новые веяния у Тартальи своеобразно сочетаются со старыми представлениями о стремлении тел к своему естественному месту. Опровержение аристотелевской формулы могло окончательно прийти не из теоретических спекуляций, а из опыта.

Очевидно, первым, кто занимался системат1ическим экспериментальным изучением падения тел, был Стевин. Он писал: «Эксперимент, опровергающий Аристотеля, таков: возьми два свинцовых шара... и пусть вес одного в 10 раз больше другого. Дай им падать с одинаковой высоты в 30 футов на подставленную внизу доску или на другой твердый предмет, издающий звонкий звук. Тогда мы вполне убедимся, что более легкий шар не в 10 раз медленнее, чем более тяжелый, а одновременно ударяет о доску, так что звук обоих ударов кажется одним» .

Большое значение для развития механики имела гелиоцентрическая система Коперника. Низвергнув Землю до уровня остальных планет, Коперник сделал решительный шаг в установлении нового научного мировоззрения, но здесь нас интересует другое. Его система была чисто кинематической, при ее установлении Коперник исходил только из пространственно-временных соотношений, ибо его главной целью было объяснение видимого движения небесных тел. Основой его теории является понятие движения, не вызывающего никаких эффектов в движущейся системе. Естественное круговое движение Земли, фигурирующее у Коперника, аналогично относительному инерционному движению в классической механике.

Намеки на относительность движения встречались и раньше. Николай Кузанский писал: «Для нас ясно, что земля действительно находится в движении, хотя нам этого и не кажется, потому что мы замечаем движение только по сравнению с чем-нибудь неподвижным... всякий, будет ли он находиться на Земле, или на Солнце, или на другой звезде, полагает, что он находится в неподвиж-

НИКОЛАЙ КОПЕРНИК

ном центре, а все другое движется» . Лишь у Коперника эти идеи оформились в цельную систему. Но динамика в его теории присутствовала только потенциально. Открытию законов движения планет наука обязана Кеплеру. Законы Кеплера позволяют определить траекторию и скорость тел на орбите, но и они, в свою очередь, являются по существу решением уравнений движения. Полностью задача могла быть решена только при более высоком уровне развития динамики, на основе общего соотношения между силами и ускорениями, что и сделал в конце XVII в. Ньютон.

Как ни велико значение открытий Кеплера для небесной механики и классической механики в целом, ему не удалось отыскать динамические принципы, которые дали бы рациональное объяснение движений планет.

Развитие механики в рассматриваемом периоде завершается трудами Галилео Галилея, из которых наиболее существенны «Диалог о двух системах мира» и «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых наук». Обе книги написаны в виде продолжавшихся несколько дней бесед между тремя лицами: Сальвиати и Сагредо, выражающими идеи самого Галилея, и Симнли- чио, отстаивающим учение Аристотеля. Непосредственной целью первой книги было обоснование гелиоцентрической системы Коперника, но, отвергая возражения перипатетиков против этой системы, Галилей вместе с тем разрабатывает основы новой динамики. Через всю книгу проходит атысль о движении Земли как об истинном движении. Но это движение не может быть обнаружено на самом движущемся теле, так как все части его движутся одинаково. Это положение иллюстрируется примером с движением корабля: «Уединитесь с кем-либо из друзей,— пишет он,— в просторное помещение под палубой какого- нибудь корабля, запаситесь мухами, бабочками и другими подобными мелкими летающими насекомыми; пусть будет у вас там также большой сосуд с водой и плавающими в нем маленькими рыбками; подвесьте, далее, наверху ведерко, из которого вода будет падать капля за каплей в другой сосуд с узким горлышком, подставленный внизу. Пока корабль стоит неподвижно, наблюдайте прилежно, как мелкие летающие животные с одной и той же ско-

ИОГАНН КЕПЛЕР

ростью движутся во все стороны помещения; рыбы, как вы увидите, будут плавать безразлично во всех направлениях; все падающие капли попадут в подставленный сосуд, и вам, бросая какой-нибудь предмет, не придется бросать его с большей силой в одну сторону, чем в другую, если расстояния будут одни и те же; и если вы будете прыгать сразу двумя ногами, то сделаете прыжок на одинаковое расстояние в любом направлении. Прилежно наблюдайте все это, хотя у вас не возникает никакого сомнения в том, что пока корабль стоит неподвижно, все должно происходить именно так. Заставьте теперь корабль двигаться с любой скоростью, и тогда (если только движение будет равномерным и без качки в ту и другую сторону) во всех названных явлениях вы не обнаружите ни малейшего изменения и ни по одному из них не сможете установить, движется ли корабль или стоит неподвижно» .

В этом основное содержание галилеевского принципа относительности.

Для установления понятия инерции Галилей пользуется следующим мысленным экспериментом. Если при дви- женим вниз по наклонной плоскости скорость шара увеличивается, а при подъеме уменьшается, то что произойдет, если взять горизонтальную плоскость? Симпличио вынужден согласиться, что величина скорости будет сохраняться. Отсюда Галилей выводит закон движения предоставленного самому себе тела. Необходимо помнить, что у Галилея инерционная траектория является круговой, прямолинейные участки рассматриваются как приближение к кругу при достаточно большом радиусе. Направление инерционного движения совпадает с направлением движения находящихся на Земле тел.

Объяснение движения небесных тел с помощью земной механики стало окончательно возможным после того, как Декарт сформулировал принцип инерции для прямолинейного движения. В сочетании с законом Ньютона этот принцип позволил создать единую механику, объединяющую законы криволинейного движения Кеплера и принципы динамики Галилея.

Понятие движения по инерции позволило Галилею установить понятие ускорения и дать верное соотношение между временем падения и пройденным расстоянием.

ГАЛИЛЕО ГАЛИЛЕЙ

Пропорциональность пути квадрату времени, независимость скорости от массы падающих тел были неоднократно проверены Галилеем экспериментально. Понимая важность точного измерения времени в этих опытах, он отказывается от использования биения пульса и переходит к сравнению относительных времен по количеству вытекающей за это время через узкое отверстие жидкости. Ему же принадлежит установление того факта, что пройден ные в одинаковые последовательные промежутки времени пути относятся ；ак 1:3: 5... Не имея возможности измерять ускорения при свободном падении, Галилей весьма остроумно пользуется наклонной плоскостью с изменяющимся углом наклона, утверждая, что в этом случае действует только параллельная плоскости компонента силы тяжести. Он установил и условие равновесия на наклонной плоскости.

Непосредственно для механики большее значение имели «Беседы». Здесь подробно рассматриваются равномерное и равноускоренное, а также движение брошенных тел. Весьма характерно, что при определении первого Галилей вносит одно весьма существенное дополнение. Он требует равенства расстояний, пройденных не просто за одинаковые промежутки времени, а за любые равные промежутки. Это показывает, что Галилей глубоко чувствовал характер постоянства скорости; его определение весьма близко подходит к современному, когда скорость в точке рассматривается как предел отношения пути ко времени.

Анализ движения брошенных тел приводит к представлению о сложении равномерного горизонтального движения и ускоренного вертикального. В связи с этим Галилей формулирует еще один динамический принцип: независимость действия сил. Таким образом, Галилею удалось установить существенные принципы, легшие в основу дальнейшего развития механики. Принципы относительности, инерции, независимости действия сил, понятия скорости в данной точке, ускорения, сложения движений, хотя и не были доведены до своего окончательного выражения, но составили остов, на который могли опираться дальнейшие исследователи, ибо кинетические по существу воззрения Галилея включали представления о силах и пустом пространстве и, таким образом, действительно могли служить для построения динамики, созданной в XVII в. Декартом, Гюйгенсом и Ньютоном.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ

НАЧАЛЬНЫЕ ЭТАПЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

ВВЕДЕНИЕ

Г

енезис нового, экспериментального естествознания в XVII в. совпал во времени с возникновением новой отрасли механики ——динамики. В первые десятилетия XVII в. в трудах Галилея был сформулирован закон падения тел; Галилей же исследовал законы движения падающих тел и законы качания маятника. В 80-х годах того же столетия появились «Математические начала натуральной философии» Ньютона, в которых проблемы динамики уже получили разностороннюю и глубокую математическую (правда, не аналитическую) разработку. Труд Ньютона был началом нового развития механики на подлинно математической основе, ее совершенствования средствами нового математического аппарата. Основными вехами этого нового периода явились труды Эйлера, прежде всего его двухтомная «Механика» (1736), и «Аналитическая механика» Лагранжа (1788).

Проблема подлинной математизации понятий движения и силы впервые во всей своей широте возникла в XVII в. Правильнее будет сказать, что движение стало в центре внимания не только механиков, но и математиков. «Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено, Ньютоном и Лейбницем» I

Ф. Э н г е л ыс. Диале к гика породы. Госполитиздат, 1952, стр. 206.

В своих «Началах» Ньютон несколько раз настойчиво заявлял, что он рассуждает как математик (см. далее, стр. 146). Это заявление справедливо в особенности применительно к книге I, где Ньютон пытался формулировать проблемы с наибольшей общностью, лишь намечая те возможные конкретные истолкования, которые они получили в двух последующих книгах «Начал». Однако было бы совершенно неверно всецело доверяться в этом отношении внешней структуре «Начал». Если присмотреться к хронологической последовательности открытий Ньютона, нетрудно убедиться, что наблюдение, эксперимент, обобщенный теоретический вывод находились в сложном непрерывном взаимодействии. За абстрактными определениями, законами и теоремами «Начал» стоят собственно физические концепции, связанные с экспериментальными данными. Они в свою очередь обнаруживают зависимость от механико-математических обобщений. Эта сложная, нелинейная зависимость отнюдь не сводится, как можно было бы думать при чтении «Начал», к простой экспериментальной проверке теоретически выведенных положений, к простой сверке теоретических выводов с данными наблюдений.

Сказанное приложимо ко всей исторической обстановке XVII в. в целом. И здесь налицо сложнейшее взаимодействие между работой теоретической мысли, прогрессом экспериментальной техники, новыми наблюдениями, которые подчас неожиданно врывались в мир ученой мысли, вынуждали менять традиционные представления. В этой связи можно было бы напомнить о том, как первый повод к пересмотру старых представлений о боязни пустоты дало Галилею сообщение флорентийских мастеров о предельной высоте подъема воды при выкачивании ее насосами, и как позднее, к 40-м годам XVII в., рассмотрение тех же вопросов было поставлено Торричелли на почву строго продуманного эксперимента.

Можно напомнить также об открытии отставания маятниковых часов при изменении географической широты, которое впервые заметил Ж. Рише во время астрономической экспедиции в Кайенну,— неожиданном наблюдении, приведением впоследствии к уточнению формы Земли, к новым соображениям о соотношении массы и веса и т. д. С другой стороны, для иллюстрации встречи чисто теоретических построений и конкретных техниче-

ских проблем показательно признание Христиана Гюйгенса, который отмечал, что циклоида исследовалась первоначально им, как и многими другими математиками, чисто абстрактно, и лишь затем нашла свое применение при построении циклоидального маятника.

Нужно ли говорить, что успешная разработка динамики в XVII в., в частности в трудах Ньютона, была бы невозможна без астрономических наблюдений, сыгравших в становлении новой механики не меньшую (если не большую) роль, чем «земные» эксперименты, зачастую неточные из-за отсутствия хорошей экспериментальной базы и точных приборов. Наблюдения Тихо Браге послужили отправной точкой для Кеплера при открытии законов движения планет, носящих его имя, а эти последние не только получили свое объяснение в трудах Ньютона, но и явились одним из важных эмпирических подтверждений правильности теоретических выводов великого английского ученого. В дальнейшем мы несколько подробнее коснемся того, как, наоборот, неточные эмпирические данные затормозили на время ход теоретической мысли Ньютона, которая получила новый стимул лишь после точных градусных измерений Пикара.

Интересно проследить древние «атомистические истоки классической механики».

Известно, что механика Галилея ——Ньютона во многом примкнула к физике Демокрита ——Эпикура. В основе ньютонова понятия массы лежит атомистическое представление о материи. Атомисты рассматривали тела как совокупность элементарных, однородных и неизменяемых частиц материи. Атомы неуничтожимы и несоздаваемы, они лишены всяких внутренних состояний и обладают единственным свойством ——подвижностью. В этом учении уже содержалось по существу классическое представление о массе, которое нашло выражение у Ньютона (масса как мера количества материи определяется через плотность распределения частиц материи, заполняющих данный объем) и в несколько иной формулировке у Герца (масса определяется как относительное число атомов, содержащихся в данном объеме в данный момент времени).

Атомистический взгляд на строение материи Ньютон выразил следующим образом: «Бог вначале дал материи форму твердых, массивных, непроницаемых, подвижных частиц таких размеров и фигур и с такими свойствами я

7 А. Т. Григорьян 97

пропорциями в отношении к пространству, которые боле。 всего подходили бы к той цели, для которой он создал их... Природа их должна быть постоянной, изменения телесных вещей должны проявляться только в различных разделениях л новых сочетаниях и движениях таких постоянных частиц».

Постоянство массы вытекает из постоянства атомов: так как атомы однородны и тождественны, то их массы пропорциональны объему. Удельные же веса или плотности сложных тел, представляющих собой комплексы одинаковых атомов, могут различаться, так как не все объемы заполнены атомами равномерно. Поэтому Ньютон и определяет массу сложных тел как меру количества материи, устанавливаемую пропорционально плотности ее и объему. Это определение массы, данное Ньютоном в его «Началах», представлялось многим критикам бессодержательным, ибо, по их мнению, само понятие плотности должно определяться через готовое понятие массы. Однако критика эта теряет основание, если согласиться, что в соответствии с атомистической концепцией Ньютон в приведенном выше определении имеет в виду не плотность массы, а плотность распределения атомов. Именно такое понимание массы, принятое, с нашей точки зрения, Ньютоном, выражено точным образом в определении Герца.

К учению атомистов примыкают в значительной мере также классические представления времени, пространства и движения. Понятия пространства и времени атомисты совершенно отделяли от понятия материи: время и пространство существуют сами по себе, к материальным процессам, протекающим в них, они имеют чисто внешнее отношение. Эту концепцию целиком разделял Ньютон, выразивший ее следующим образом:

«Абсолютное, истинное математическое время само по себе и по самой своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно и иначе называется длительностью...

Абсолютное пространство по самой своей сущности, безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным...

Место есть часть пространства, занимаемая телом...

Абсолютное движение есть перемещение тела из одного его места в другое...

Как неизменен порядок частей времени, так неизменен и порядок частей пространства. Если бы оии переместились из мест своих, то онп продвинулись бы (так сказать) в самих себя, ибо время и пространство составляют как бы вместилища самих себя и всего существующего. Во времени все располагается в смысле порядка последовательности, в пространстве ——в смысле порядка положения» 2.

Нельзя, впрочем, забывать, что конкретно-исторический генезис идей Ньютона был значительно сложнее и наряду с отражением идей древних атомистов в ньютоновом учении об абсолютном пространстве можно найти отголоски позднеантичных концепций, которые дошли до Ньютона через кембриджских платоников.

Интересно также проследить формирование аксиом механики в этой сложной исторической обстановке ——от интуитивного неаксиоматизированного положения, молчаливо полагаемого в основу тех или иных выводов, до четко формулированной, логически осознанной аксиомы.

В этом отношении наиболее интересен, пожалуй, принцип сохранения, к которому в разной форме на разных этапах подходили ученые XVII в.; принцип инерции как принцип сохранения «состояния», принцип сохранения количества движения, живых сил и т. д. В середине XVIII в. Ломоносов, как известно, формулировал принцип сохранения в наиболее общей его форме, утверждая, что «все встречающиеся в природе изменения происходят так, что если к чему-либо нечто прибавилось, то это отнимается от чего-то другого». «Так, сколько материи прибавляется какому-либо телу, столько же теряется у другого, сколько часов я затрачиваю на сон, столько же отнимаю от бодрствования, и т. д. Так как это всеобщий закон природы, то он распространяется и на правила движения: тело, которое своим толчком возбуждает другое к движению, столько же теряет от своего движения, сколько сообщает другому, им двинутому».

ИСТОРИЯ ПРИНЦИПОВ СОХРАНЕНИЯ

Современный историк механики не случайно начинает свою общую характеристику развития механики в XVII в. со следующего положения: «От ожерелья, надетого на наклонную плоскость, до первой подлинно математической физики мировой системы, через законы падения и движения брошенных тел в пустоте, законы удара, теорию колебаний маятника, гидростатику и тяжесть воздуха, сопротивление жидкостей и движение в сопротивляющейся среде ——таков путь, пройденный механикой XVII века» .

При доказательстве теоремы о равновесии на наклонной плоскости Стевин исходит из верного интуитивного принципа ——невозможности вечного движения, возникновения движения из ничего. Мах называл этот еще неакси- оматизированный опыт инстинктивным познанием — определение вряд ли удачное, поскольку здесь налицо некое первичное обобщение повседневного практического опыта, презумпция здравого смысла, лежащая в основе деятельности каждого ремесленника. В этом смысле весьма показательны более ранние высказывания Леонардо да Винчи, проникнутого презрением к искателям вечного движения, а также взгляд Кардано, согласно которым для того, чтобы имело место вечное движение, нужно, чтобы передвигавшиеся тяжелые тела, достигнув конца своего пути, могли вернуться в свое начальное положение, а это невозможно без наличия перевеса, как невозможно, чтобы в часах опустившаяся гиря поднималась сама.

Как нечто само собой разумеющееся (хотя и не возведенное еще в ранг аксиомы) фигурирует тот же принцип у Галилея, ссылающегося на него «мимоходом», в ходе аргументации: «Если невозможно, чтобы тяжелое тело или соединение таковых поднялось само по себе вверх, удаляясь от общего центра, к которому стремятся все тяжелые тела, то одинаково невозможно, чтобы оно само по себе стало двигаться, если его собственный центр тяжести не приближается при этом к общему центру» .

ЭВАНДЖЕЛИСТА ТОРРИЧЕЛЛИ

В 1644 г. ученик Галилея Торричелли опубликовал труд «О движении естественно падающих и брошенных тел», в котором исходил из следующего принципа, игравшего у него роль аксиомы: «Два груза, соединенных вместе, не могут двигаться сами без того, чтобы их общий центр тяжести не опускался. В самом деле, когда два груза связаны друг с другом так, что движение одного влечет за собой движение другого,——безразлично, получается ли такая связь посредством весов, блока или другого механизма,——оба будут вести себя словно один груз, состоящий из двух частей; но такой груз никогда не придет в движение без того, чтобы его центр тяжести не опускался. Стало быть, если груз расположен так, что его центр тяжести никак не может опускаться, он наверняка пребудет в покое в том положении, которое он занимает».

Из этой аксиомы Торричелли выводит закон равновесия на наклонной плоскости: «Если два груза расположены на двух плоскостях разного наклона, но одинаковой высоты, и если веса этих грузов стоят друг к другу в том же отношении, что и длины этих плоскостей, момент обоих грузов будет одинаковый». «В самом деле, мы покажем,—— продолжает Торричелли,— что их общий центр не может опускаться, ибо какое бы движение ни было придано обоим грузам, этот центр всегда находится на той же горизонтальной линии... Таким образом два груза, связанных вмо- сте, двигались бы, а их общий центр тяжести не опускался бы. Это было бы противно закону равновесия, выдвинутому нами в качестве принципа».

В несколько иной формулировке Торричелли дал тот же закон равновесия в другом своем сочинении, «Об измерении параболы». Он исходил здесь из следующего предположения, служившего одновременно определением понятия центра тяжести. Природа центра тяжести, говорит Торричелли, такова, что «тело, свободно подвешенное в одной из своих точек, не сможет пребывать в покое, если центр тяжести не находится в самой низкой точке сферы, по которой оно движется». Отсюда Торричелли выводит, что в момент равновесия центр тяжести находится на вертикали точки подвеса и ниже этой точки .

Гюйгенс обобщил аксиому Торричелли на случай движения. В сочинении «Маятниковые часы» (1673) он вы-

ХРИСТИАН ГЮЙГЕНС

двинул в качестве своего исходного предположения тезис, согласно которому при движении некоторого числа тяжелых тел под действием тяжести, общий центр тяжести этих тел не может подняться выше, чем ои был в начале движения. Эта гипотеза, по словам Гюйгенса, не означает ничего другого, чем то, что никем не оспаривалось, а именно, что весомые тела не движутся наверх. В отноше- нии одного тяжелого тела нет никакого сомнения, что оно не может двигаться наверх, т. е. центр его тяжести перемещаться кверху. «Однако то же самое должно произойти, если мы будем иметь произвольное число весомых тел, соединенных негнущимися связамп, так как ничто не мешает рассматривать их как одно тело. Следовательно, не будет подыматься и их общий центр тяжести». «Если теперь представить себе произвольное число тяжелых тел, не связанных между собой, то мы знаем, что и они имеют общий центр тяжести... Точно так же, как весомые тела, находящиеся в одной горизонтальной плоскости, ие могут под влиянием тяжести все подняться выше этой плоскости, так же мало возможно, чтобы центр тяжести каких- либо тел, как бы они ни были расположены, поднялся до большей высоты, чем та, на которой он сейчас находится» 1.

Свою гипотезу Гюйгенс считал возможным применить к жидкостям и вывести из нее теоремы Архимеда о плавании тел и многие другие теоремы механики. Гипотеза исключает идею вечного двигателя.

Исходя из принципа невозможности вечного двигателя, Стевин в «Прибавлении» к той же «Статике» формулировал применительно к равновесию системы блоков следующее положение: «путь, проходимый грузом, относится к пути, проходимому грузом, испытывающим воздействие, так, как сила этого последнего относится к силе первого».

«Золотое правило» механики было известно древним. У них оно формулировалось применительно к времени или скоростям движения, например у Герона: каково отношение одной силы к другой, таково обратное отношение одного времени к другому. Этот принцип был формулирован им в отношении колес, блоков и рычага.

Применительно к явлениям равновесия, т. е. в области статики, этот принцип соответствовал, следовательно, до

См. X. Гюйгенс. Три мемуара ио механике. М.— Л, 1951, стр. 122—124.

некоторой степени позднейшему принципу виртуальных (или возможных) скоростей.

Известно, что в средневековых трактатах по механике выделяются два направления: одни авторы шли по направлению, намеченному в «Механических проблемах» псевдо-Аристотеля, и сравнивали «виртуальные скорости» (например, перемещения обоих концов рычага); другие рассматривали «виртуальные перемещения», т. е. вертикальные линии подъема и опускания.

По первому пути пошел позднее Галилей, сформулировав принцип статики в прямом соответствии с принципом «Механических проблем».

Принцип сохранения работы Декарт формулировал в небольшом трактате о простых машинах, приложенном к письму Константину Гюйгенсу (отцу Христиана) от 5 октября 1637 г., а в следующем году изложил его почти в тех же словах в письме Мерсенну от 13 июля:

«Изобретение всех простых машин основано на одном единственном принципе, который гласит: та же сила, которая способна поднять груз, скажем в 100 фунтов на высоту 2 футов, способна также поднять 200 фунтов на высоту 1 фута или 400 фунтов на высоту % фута и т. д., если она будет приложена к этому грузу».

Мерсенну он писал о том же в следующих словах, называя этот принцип «основой всей статики»: «Не требуется ни больше, ни меньше силы для того, чтобы поднять тяжелое тело на определенную высоту, и для того, чтобы поднять другое, менее тяжелое, тело на высоту тем большую, чем менее оно тяжело, или для того, чтобы поднять более тяжелое на высоту, во столько же раз меньшую. Так, например, если сила способна поднять груз в 100 фунтов на высоту 2 фута, она способна также поднять груз в 200 фунтов на высоту 1 фут, или 50 фунтов на высоту 4 фута и т. д., если она будет приложена к этому грузу» .

В обоих случаях (в трактате и в письме к Мерсенну) Декарт связывал этот принцип с положением, что всякий результат, или эффект, должен всегда быть равен действию, которое его производит.

Самый принцип Декарт считал аксиоматическим: «он настолько ясен сам по себе, что не нуждается ни в каком

доказательстве». Почему же он все-таки способен породить возражения и недоумения? Во-первых, полагал Декарт, люди стали «слишком учены в механике» и развили в себе придирчивость к принципам, высказанным другими; впрочем, эти принципы, надо признаться, действительно зачастую оказываются неверными. Во-вторых, полагают возможным доказывать без этого принципа вещи, которые Декарт доказывает при его помощи, например, принцип блока. Могло, наконец, ввести в заблуждение и то, что Декарт привел ряд примеров-иллюстраций, способных создать ложное впечатление, будто он стремился доказать свой принцип. Следует добавить: одним из источников споров и недоразумений могло явиться то, что Декарт воспользовался таким неопределенным понятием, как сила, употребив его в новом смысле, расходившемся с повседневным и традиционным. Немудрено, что ему пришлось разъяснять этот термин Мерсенну.

Термин «сила» означает у Декарта не способность производить те или иные действия (в смысле потенции), а действительно реализуемую энергию, или работу.

Работа, которую Декарт называет силой, зависит от двух переменных: от того, что мы теперь называем силой, и от проекции пройденного пути на направление силы. Эти переменные можно рассматривать как прямолинейные координаты, и тогда работа, производимая постоянной силой, будет изображаться посредством прямоугольника. Сам Декарт в письме к Мерсенну воспользовался подобной графической схемой. В этом смысле Декарт говорил, что сила, служащая для подъема груза на какую-либо высоту, имеет всегда два измерения, тогда как сила, служащая для поддержания груза, имеет всего лишь одно измерение, и, таким образом, «обе эти силы отличаются друг от друга настолько же, насколько поверхность отличается от линии».

По примеру Декарта Паскаль исходит не из принципа возможных скоростей, а из принципа возможных пере ■ мещений. Во всех простых машинах — рычаге, блоке, бесконечном винте ——«путь увеличивается в той же пропорции, как и сила». В гидростатике же «совершенно безразлично, заставить ли 100 фунтов воды пройти путь в один дюйм или один фунт воды ——путь в 100 дюймов» .

В те же годы тем же принципом пользовался Роберваль (1602— 1675) в своем трактате по механике.

Прошло, однако, более сорока лет, прежде чем Иоганн Бернулли сформулировал принципы возможных перемещений в общей форме. Это было сделано им в письме к Вариньону из Базеля, датированном 26 января 1717 г. Вариньоп включил его в свою книгу «Новая механика». Заметим, что Бернулли называл возможные перемещения возможными (или виртуальными) скоростями; из текста письма с полной очевидностью явствует, что, говоря «скорость», оп подразумевал соответствующий отрезок пути.

ОСНОВНЫЕ ИДЕИ МЕХАНИКИ ДЕКАРТА

Мы видели, что принцип сохранения работы имел для Декарта характер аксиомы. Такой же характер имел для него принцип постоянства количества движения. В своих «Началах философии» Декарт в сущности не обосновывал его ничем, кроме ссылки на неизменность божественной ВОЛИ*

Несколько подробнее Декарт говорил о принципе сохранения количества движения за несколько лет до издания «Начал философии» в письме к де Бону от 30 апреля 1639 г. Он писал здесь так:

«Я утверждаю, что существует известное количество движения во всей сотворенной материи, которое никогда не возрастает и не убывает. Таким образом, когда одно тело приводит в движение другое, оно столько же теряет в своем движении, сколько отдает. Например, если камень падает с высокого места на Землю, я мыслю, что такая потеря происходит от того, что камень приводит в сотрясение Землю и передает ей тем самым свое движение; но если приводимая в движение Земля содержит в 1000 раз больше материи, чем камень, последний, передавая ей свое движение, сообщает ей лишь 1/1000 своей скорости».

Декарт продолжает: «И поскольку, когда два неравных тела получают одинаковое количество движения, это последнее не сообщает столько же скорости большому, сколько малому, можно в этом смысле сказать, что чем больше тело содержит вещества, тем больше оно имеет природной инертности. К этому можно добавить, что большое тело может лучше передавать свое движение другим телам, не-

ж ели малое, и что оно в меньшей мере может быть движимо последними. Таким образом, существует один вид инертности, зависящий от количества вещества, и другой, зависящий от протяжения его поверхности» .

Здесь остается много неясностей, и чтобы устранить их, нужно точнее раскрыть содержание самого понятия «количества движения».

Прежде всего следует заметить, что когда мы дальше обозначаем в соответствии с установившейся традицией количество движения у Декарта через mv, то обозначение 加 не должно ассоциироваться с позднейшим ньютоновским понятием массы ". Точно так же и обозначение и, как мы увидим, имеет у Декарта своеобразное значение. Итак, рассмотрим подробнее компоненты понятия количества движения у Декарта.

Для Декарта сущность материи заключается в протяженности； поэтому все физические различия и процессы в конечном итоге сводятся к форме и величине тел и их движению. Природа тел, по Декарту, заключается «не в твердости, какую мы иногда при этом ощущаем, или в весе, теплоте и прочих подобного рода качествах, ибо, рассматривая любое тело, мы вправе думать, что оно не обладает ни одним из этих качеств, но, тем не менее, постигаем ясно и отчетливо, что оно обладает всем, благодаря чему оно — тело, если только оно имеет протяженность в длину, ширину и глубину».

Декарт ставил себе в заслугу то, что он без предположения, будто «бог вложил тяготение в вещество, составляющее Землю», показал, каким образом все ее частицы тем но менее должны стремиться к центру.

На ранних стадиях развития механики тяжесть рассматривалась ло большей части как некое свойство самого тяжелого тела, а не как результат воздействия чего-то внешнего (например, притяжения другим телом). Действие тяжести могло изменяться от взаимодействия с другими факторами; в этом смысле говорили о результирующей «акцидентальной тяжести», о тяжести «соответственно положению» и т. д.

Совершенно иной характер приобрело понятие тяжести в картезианской физике, где все физические различия й процессы, как уже сказано, в конечном итоге должны были быть сведены к форме и величине тел и их движению. В картезианской физике сила тяжести оказывается результатом воздействия окружающих тел, а именно результатом движения тончайшей небесной материи. Поэтому в принципе становятся возможными «невесомые» тела.

«Согласно моему мнению,— писал Декарт Мерсенну,— тяжесть заключается не в чем ином, как в том, что земные тела в действительности толкаются к центру Земли тонкой материей».

По Декарту, представления о том, что материи как таковой свойственна тяжесть, что всякой материи как таковой присуще сопротивление пространственному движению, основано на предубеждении наших чувств. Декарт пишет: 《...С самого нашего детства мы привыкли переворачивать лишь тела твердые и обладающие тяжестью, и всегда встречая в этом трудность, убедили себя в том, что трудность эта проистекает из самой материи, а следовательно, является общей всем телам; это нам было легче предположить, чем принять во внимание, что в подобных случаях лишь тяжесть тел, которые мы пытались переворачивать, мешала нам их поднимать, а твердость и неровность их частей мешала нам их волочить, откуда вовсе не следует, будто то же самое должно случаться с телами, лишенными и твердости и тяжести» .

Тяжесть, по Декарту, есть результат вихревого движения частиц тонкой материи (первого элемента), своего рода эфира, вокруг центра Земли; благодаря этому движению более крупные и более грубые частицы того вещества, которое Декарт называл землистым, или третьим элементом, обладающие более медленным движением, вынуждаются (поскольку пустота невозможна) заполнять место удаляющихся к периферии частиц тонкой материи, и это создает впечатление будто тело, состоящее из землистых частиц третьего элемента, стремится к центру Земли.

Гюйгенс, развивший после смерти Декарта подобную же кинетическую теорию, так сформулировал ее принцип:

«Вот в чем, вероятно, заключается тяжесть тел,——можно сказать, что это есть усилие тонкой материи, обращающейся вокруг центра Земли по всем направлениям, удалиться от этого центра и толкать на свое место тела, не следующие за этим движением».

Для пояснения своей концепции Декарт придумал следующий опыт. Чтобы понять, писал он, каким образом тонкая материя, кружащаяся вокруг Земли, гонит тяжелые тела к ее центру, наполните какой-нибудь круглый сосуд маленькими кусочками свинца, смешав вместе со свинцом несколько кусков дерева или другого вещества, более легкого, чем свинец, и заставьте сосуд этот быстро вращаться около центра. Увидите, что кусочки свинца будут прогонять куски дерева или камня к центру сосуда, хотя бы они были гораздо объемистее, чем маленькие кусочки свинца, посредством которых я представляю себе тонкую материю.

В 1669 г. в Парижской академии наук Гюйгенс демонстрировал два опыта, аналогичных тому, о котором говорил Декарт.

Первый заключался в следующем. Вода в круглом неподвижном сосуде приводилась во вращательное движение. В воду бросали кусочки немного более тяжелого вещества. Сначала они оставались около поверхности и увлекались водой, находясь у краев сосуда. Затем они падали на дно, вращаясь медленнее, чем вода, и скапливались в центре под действием центробежной силы воды.

Второй опыт производился также с круглым сосудом, наполненным водой. Но на этот раз вода вращалась вместе с сосудом. Поперек сосуда были натянуты две параллельные нити, по которым, как по рельсам, могло перемещаться небольшое тело, погруженное в воду. В первый же момент тело под влиянием центробежной силы оказывалось на конце диаметра. Затем сосуд внезапно останавливали. Вода продолжала вращаться, но тело съезжало по нитям к центру. Все происходило так, как если бы более медленное тело, находясь в более быстром вихре, притягивалось к центру.

Описания тех же самых опытов можно найти в более позднем сочинении Гюйгенса «Рассуждение о причине тяжести».

На вращающемся диске укреплен цилиндрический сосуд, ось которого совпадает с осью вращения диска. Сосуд

наполнен водой и покрыт стеклянной пластинкой. В воду погружены кусочки размельченного сургуча. Когда диск приводят в движение, эти кусочки устремляются к краю сосуда. Когда вода приобретает скорость вращения, равную скорости диска, последний останавливают: кусочки сургуча устремляются тогда к середине сосуда, так как быстрее движущаяся вода гонит их туда благодаря своей центробежной силе. Поскольку она до некоторой степени продолжает увлекать кусочки, они движутся к оси по спирали; если же устранить это влияние посредством горизонтально натянутых проволок, кусочки направляются к оси радиально.

Декарт предвидел возражение против своей гипотезы: центробежная сила нормальна к оси вращения, следовательно, нормальна к ней и центростремительная сила.

Поэтому тяжесть должна была бы быть направлена не по радиусам к центру Земли, а ло нормалям к земной оси, так, что на экваторе она была бы максимальной, а на полюсе ——бесконечно малой, будучи направлена по касательной к земному шару. Декарт пытался найти выход из затруднения, предположив, что частицы тонкой материи движутся по всем направлениям и в каждой точке сферы равнодействующая оказывается направленной по радиусу. Точно так же Гюйгенс заменил цилиндрический вихрь Декарта сферическим, предполагая, что частицы тонкой материи движутся ло всем возможным направлениям вокруг Земли.

Исходя из своей теории и предположив, что тяжесть тела зависит лишь от той части небесной материи, которая занимает объем, равный объему тела, Декарт следующим образом пытался количественно уточнить понятие тяжести: «Замещая тело, когда последнее опускается, тяжесть любого землистого тела (состоящего из землистых частиц третьего элемента) производится собственно не всей небесной материей, его обтекающей, а лишь той ее частью, которая непосредственно поднимается на его место, когда это тело опускается, и которая потому в точности равна его объему». Но любое землистое тело [твердое тело], как и воздух, заполнено тонкой материей в промежутках между его землистыми [твердыми] частицами. В менее плотных телах такой тонкой материи больше, в более плот

ных ——меньше.

В другом месте «Начал философии» Декарт приводил понятие количества материи в соответствии с плотностью. Это видно из того, что количество движения планет он ставил в зависимость от их плотности, характеризуемой отношением совокупного объема частиц третьего элемента к геометрическому объему планеты.

Отголоски этого картезианского понятия количества материи можно заметить позднее у Ньютона, который начинает свой классический труд со следующего определения: «Количество материи есть мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности и объему ее» . Ньютона упрекали в логическом круге: количество материи определяется на основании плотности, тогда как плотность, в свою очередь, определяется на основании количества материи в данном объеме. Такого круга не будет, если принять во внимание, что за приведенной фразой «Начал» скрывается другое, неявно подразумеваемое определение количества материи как величины, пропорциональной количеству частиц в данном объеме.

Здесь мы сталкиваемся с характерной чертой творчества Ньютона: за аксиоматизированными определениями стоят собственно физические, часто гипотетические построения (в данном случае атомистические) и обобщенные результаты экспериментов. Корпускулярное определение количества материи неизбежно вело к представлению о постоянстве этого количества: совокупный объем частиц в данном геометрическом объеме не может возрасти или убавиться, новые частицы пе могут возникнуть из ничего или обратиться в ничто, для них нет места в пространстве, сплошь заполненном прежними частицами и тонкой флюидной материей. Однако тяжесть, или вес, зависящая, по Декарту, от внешнего воздействия на тело, может пзме~ няться, например, в том случае, если частицы изменят свою форму, т. е. увеличат или уменьшат величину своих поверхностей, испытывающих воздействие омывающей их флюидной материи.

Видимо, именно в этом смысле следует понимать приведенные выше слова Декарта: существует один вид инертности, зависящей от количества вещества, и другой, зависящей от протяжения его поверхностей.

РЕНЕ ДЕКАРТ

8 А. Т. Григорьян

Итак, по Декарту, пропорциональность между количеством материи и тяжестью, или весом, не всегда соблюдается.

В исторической перспективе этой картезианской традиции следует рассматривать позднейшие суждения Ломоносова, который несколько раз весьма решительно заявлял о своем несогласии с ньютоновым принципом пропорциональности количества материи и веса.

Принцип сохранения количества движения был формулирован Декартом в «Началах философии» в теснейшей связи с тремя законами природы, которые он считал основными.

О третьем законе речь будет дальше. Первые два уточняют понятие инерции.

В первом законе в самой общей форме дан универсальный принцип сохранения: «...всякая вещь продолжает по возможности пребывать в одном и том же состоянии и изменяет его не иначе, как от встречи с другими». Состояние —очень широкое понятие, охватывающее, например, такие отличительные особенности тела, как его форма или фигура.

Декарт ссылается на пример квадратной частицы материи, которая пребывает квадратною, пока не явится извне нечто, изменяющее ее фигуру. Покой для Декарта есть такое же состояние материи, как и ее движение. Поэтому всякое изменение как покоя, так и движения немыслимо без разумного основания, или причины. Если та или иная часть материи покоится, она сама ло себе не начнет двигаться. «Мы не имеем также оснований полагать, чтобы, раз она стала двигаться, она когда-либо прекратила это движение или чтобы оно ослабело, пока не встретилось что-либо его прекращающее или ослабляющее». Это последнее утверждение Декарт считал нужным подкрепить ссылкой на то, что «покой противоположен движению, а ничто по влечению собственной природы не может стремиться к своей противоположности, то есть к разрушению самого себя».

Второй закон уточняет первый и гласит: «Каждая частица материи в отдельности стремится продолжать дальнейшее движение не по кривой, а исключительно ло прямой, хотя некоторые из этих частиц часто бывают вынуждены от нее отклоняться...». Здесь Декарт ссылается на неизменность бога, который сохраняет движение «точно

таким, каково оно в данный момент, безотносительно к тому, каким оно могло быть несколько ранее».

Итак, покой ——такое же «состояние», как и движении. Позтому, «когда тело находится в покое, оно имеет силу пребывать в покое, стало быть, противостоять всему, что могло бы изменить его; точно так же движущееся тело обладает силой продолжать свое движение с той же скоростью и в том же направлении» .

Иначе говоря, покой, по Декарту, обладает активным сопротивлением тому, что способно нарушить его, и в этом отношении в каком-то смысле компенсирует отсутствующее в картезианской механике понятие массы. Как мы увидим дальше, при разборе законов соударения тел, Декарт именно на этом основании утверждал, что малое тело неспособно сдвинуть большое, как бы ни была велика скорость движения этого малого тела. Существование состояния покоя у частиц Декарт считал достаточным и для объяснения твердости тел.

Очень важно указание Декарта на то，чем измеряются «сила пребывать в покое» и «сила продолжать свое движение с той же скоростью и в том же направлении». «Судить об этой силе следует по величине тела, в котором она заключена, по поверхности, которой данное тело отделяется от другого, а также по скорости движения и по различным способам, какими сталкиваются различные тела».

Весьма поучительны и показательны в этом пункте позднейшие суждения Мальбранша, воспитанного в атмосфере картезианских идей. Мальбранша не удовлетворяла та концепция Декарта, которая сводила твердость тела к простому покою его частиц. Он прямо и открыто говорил о заблуждениях господина Декарта.

По словам Мальбранша, «этот великий человек» считал, что покой имеет такую же силу, как движение, а потом стал измерять действие силы покоя по величине тел, находящихся в покое.

Для объяснения связанности частиц твердого тела мало одного покоя этих частиц; нужно, полагал Мальбранш, прибегнуть к представлению о движении тонкой материи, окружающей и сжимающей частицы тела. «Мне кажется ясным,— писал он,— что всякое тело само по себе бесконечно мягко, потому что покой вовсе не имеет силы сопро^

тивляться движению, а потому часть тела, испытывающая больший толчок, чем соседняя с ним, должна отделиться от нее.

Таким образом, твердые тела являются таковыми лишь благодаря сжатию невидимой материей, их окружающей и проникающей в поры». Это ——так называемые «малые вихри», которые впервые именно Мальбранш ввел в картезианскую физику.

Для Мальбранша причина, в силу которой частицы твердых тел так крепко связаны друг с другом, заключается в том, что вне их находятся другие небольшие тела, находящиеся в несравненно более сильном движении, чем грубый воздух, который мы вдыхаем, и эти тела их толкают и сжимают. Не их покой является причиной того, что нам трудно разъединить эти частицы, а движение тех маленьких тел, которые их окружают и сжимают. По Маль- браншу, тонкая материя необходимо должна быть причиной твердости тел или того противодействия, которое мы чувствуем, когда делаем усилие, чтобы их сломать. В качестве поясняющего примера Мальбранш ссылался на опыты Герике с «магдебургскими полушариями», прижимаемыми друг к другу давлением окружающего воздуха.

Вопреки и вразрез с Декартом, Мальбранш утверждал, что способность и сила всякого тела пребывать в том состоянии, в котором оно находится, относятся лишь к движению, а не покою, потому что тела сами по себе не имеют никакой силы. По Мальбраншу, «покой не имеет силы, чтобы противостоять движению, и малейшее движение содержит больше способности и больше силы, чем самый большой покой; а значит, и не следует основывать сравнение сил движения и покоя на отношении, существующем между величинами тел, находящихся в движении и покое, как это сделал г-н Декарт» .

Покой для Декарта был противоположностью движения, а потому мог рассматриваться им уже как таковой в качестве некоей силы, активно противодействующей движению. По Мальбраншу, покой есть просто нуль движения. «Движения бывают бесконечно разнообразны, они могут увеличиваться и уменьшаться; покой же есть ничто, а потому состояния покоя не разнятся друг от друга. Один

и тот же шар, когда он катится вдвое скорее, имеет вдвое больше силы или движения, чем когда он катится в два раза медленнее; но нельзя сказать, чтобы один и тот же шар в одно время обладал большим покоем, в другое меньшим».

Согласно идеям Мальбранша, тела, находящиеся в движении, обладают движущей силой, а тела, находящиеся в покое, не обладают силой своего покоя. «Ведь отношение движущихся тел к окружающим их телам постоянно изменяется, а следовательно, нужна постоянная сила, чтобы вызывать эти постоянные изменения... Для того же, чтобы ничего не делать, не нужна сила. Когда отношение какого-нибудь тела к окружающим его телам остается всегда, одним и тем же, то ничего и не происходит» .

Таково развитие, которое идеи Декарта получили в рамках картезианской школы.

Отметим, наконец, что, говоря о количестве движения, Декарт не учитывал направление движения. Он совершенно категорически разделял оба понятия. В письме к Мерсенну от 11 марта 1640 г. он писал, что «сила движения» и «сторона, в которую движение совершается»,— вещи совершенно разные. При этом он ссылался на свою «Диоптрику», где действительно сказано, что «сила, побуждающая продолжать двигаться мяч, отличается от той, которая направляет его предпочтительно в одну сторону, а не в другую», и что направление мяча на определенную точку «может быть изменено, даже если не произошло никаких изменений в силе его движения».

Эти рассуждения вплотную подводят к законам удара тел, которые Декарт рассматривает непосредственно вслед за тремя рассмотренными общими законами.

Известно, что законы Декарта в большей своей части неверны. Поэтому, казалось бы, нет необходимости рассматривать их подробнее. Однако сделать это необходимо, и не только потому, что это позволяет лучше понять декартовский закон сохранения количества движения, но и потому, что на его примере раскрываются существенные вопросы о соотношении теории и эксперимента в механике XVII в.

ИСТОРИЯ ОТКРЫТИЯ ЗАКОНОВ УДАРА

Вопросами теории удара интересовался уже Галилей. Им посвящен «шестой день» знаменитых «Бесед», оставшийся не вполне законченным ". Галилей считал нужным определить прежде всего, «какое влияние на результат удара оказывают, с одной стороны, вес молота, а с другой ——большая или меньшая скорость его движения, и найти, если возможно, способ измерения и выражения того и другого вида энергии» .

При решении этих вопросов Галилей полагал необходимым начать с экспериментов. Но если при экспериментальном исследовании законов падения тел он уже имел в качестве ориентира теоретически выведенную формулу уни- формыо-дифформного движения, то здесь, в теории удара, приходилось начинать заново.

Неизвестно, сколько и какие именно эксперименты произвел Галилей. Нет сомнения, что описываемый ниже опыт был им действительно произведен. Однако он разочаровал Галилея. Опыт заключался в следующем. К коромыслу весов были подвешены на одном конце противовес, а на другом два сосуда: первый с водой, а второй, подвешенный под первым, на расстоянии двух локтей, пустой. Верхний сосуд имел отверстие, которое можно было закрывать и открывать.

Галилей предполагал, что при вытекании воды сила удара заставит опуститься плечо коромысла и величину этой силы можно будет измерить посредством добавочного груза на другом плече. Результат оказался «неожиданным, даже совершенно изумительным»: «Как только отверстие было открыто, и вода начала вытекать, весы наклонились, но в сторону противовеса; когда же вытекающая вода достигла дна нижнего сосуда, дальнейшее опускание противовеса прекратилось и он начал равномерно подниматься, пока не достиг прежнего положения, и весы не пришли снова в равновесие, не отклонившись и на волос в другую сторону».

Для нас теперь в этом нет ничего удивительного.

До того как первая капля достигнет нижнего сосуда и будет производить давление на его дно, имеет место уменьшение давления в результате того, что исключается вес струи жидкости и, кроме того, сказывается направленная вверх реакция вытекающей струи. Такова причина того начального отклонения стрелки, которое заметил Галилей. Когда вытекающая струя достигнет нижнего сосуда, давление на дно компенсирует потерю давления, происходящую в результате указанных причин.

Сам Галилей объяснил это явление тем, что «вся вода, содержащаяся в струе, как бы снята с весов»; пока вода вытекает, действует лишь удар, который соответствует скорости, приобретенной при падении с высоты двух локтей. Однако полная, уточненная количественно, картина явления осталась ему неизвестной.

Вот почему Галилей счел себя вынужденным избрать другой путь и обратиться к опыту забивки свай. Но характерно, что здесь, прежде чем экспериментировать, он стал обстоятельно, во всех деталях обдумывать, что же могут дать подобные эксперименты, какие привходящие условия могут нарушить точность их показаний. Иначе говоря вместо того, чтобы производить опыты вслепую, Галилей сначала стал экспериментировать мысленно. Из самого его изложения видно, что для примера были взяты произвольные величины.

Итак, в землю забивают сваю. Вес бабы 100 фунтов, высота — 4 локтя, глубина, на которую свая входит в землю,——4 дюйма. Предположим, что для достижения того же результата без удара, путем одного лишь давления «мертвого груза», требуется 1000 фунтов. Исходя из этих условных данных, Галилей вскрывает все возможные трудности эксперимента. Если при каждом новом ударе сопротивление грунта возрастает, то ли от его изменения с глубиной, то ли от уплотнения самого грунта при ударе, становится трудным сравнение силы удара и того, что Галилей называл давлением «мертвого груза». Вот почему он пришел к выводу, что нужно начинать с рассмотрения случаев, когда «тело, испытывающее удар, оказывает последнему всегда одно и то же сопротивление».

Однако II новый эксперимент с двумя грузами, соединенными между собой перекинутой через блок нитью, имел свои трудности.

Шестой день «Бесед» остался, как уже сказано, не вполне законченным и обработанным. Вывод, к которому

пришел Галилей, в значительной мере неопределенный и предварительный: сила удара имеет бесконечно большой момент, ибо не существует такого большого сопротивления, которое не могло бы быть преодолено силой даже самого незначительного удара. Однако указание на то, что энергия удара слагается из скорости и веса, что удар слагается из элементарных импульсов и что эффект давления мертвого груза отличен от эффекта удара, весьма важно.

На аналогичные трудности сравнения действия мертвого груза и удара указывал Декарт (напомним, что ему не мог быть известен шестой день галилеевских «Бесед»). Декарт писал: «Сравнивать силу пресса с силой удара можно только ло их эффектам: ибо пресс может действовать всегда ровно на протяжении долгого времени, тогда как сила удара продолжается весьма мало и никогда не бывает одинаковой на протяжении двух моментов подряд» .

Излагая в «Началах философии» законы (или, как он называл их, правила) удара, Декарт закончил следующим заявлением: «Все эти доказательства настолько достоверны, что хотя бы опыт и показал обратное, однако мы вынуждены придавать нашему разуму больше веры, нежели нашим чувствам» .

Это отнюдь не значит, что Декарт игнорировал опыт. Подобно Галилею, он пытался сначала осознать и осмыслить данные опыта и, подобно Галилею, он быстро убедился во всей сложности такой задачи.

Поучительны в этом отношении письма Декарта к Мерсенну, относящиеся к первой половине 1640 г., т. & написанные четырьмя годами раньше, чем только что цитированные «Начала философии».

Декарт рассуждал здесь, например, о том, как при помощи молотка лучше сплющивать пулю ——на мягкой подушке или на твердой наковальне? «Удивляюсь,——писал он,— как вы еще не слыхали, что лучше можно сплющить свинцовую пулю молотком на подушке и на подвешенной наковальне, подающейся под ударом, чем на наковальне, стоящей прочно и неподвижно; ведь этот опыт общеизвестный. И в механике есть бесконечное множество подобных явлений, зависящих от одной и той же причины, а именно: чтобы расплющить свинцовую пулю, недостаточно ударять

по ней с большой силой, но нужно также, чтобы эта сила длилась некоторое время, чтобы части этой пули имели время переменить свои положения. Так вот, когда эта пуля положена на неподвижную наковальню, молоток отскакивает кверху почти в то же мгновение, когда он ударил, а потому не имеет достаточно времени расплющить пулю, между тем как в случае, если наковальня или другое тело, поддерживающее эту пулю, уступают удару, это приводит к тому, что молоток дольше прилегает к ней» 21.

В другом письме Декарт вернулся к деталям тех же операций. «Нужно пользоваться молотком не слишком крупным, потому что если бы он имел достаточную силу, чтобы совершенно расплющить пулю на наковальне, он не мог бы сделать большего на подушке. Кроме того, нужно поместить железную пластинку или какое-нибудь другое тело между пулей и подушкой, дабы она не уходила при ударе вглубь настолько, что молоток терял бы свою силу, уходя в подушку». «Но есть и другой, более общеизвестный опыт, сводящийся к тому же принципу,— добавлял Декарт.— Все парижские повара вас уверят, что когда требуется разрубить кость бараньей ноги, они кладут ее только на свою руку, или на салфетку и, ударяя сверху, легче разрубают ее, чем на столе или наковальне».

И как бы откликаясь иа вопрос Галилея, Декарт заявлял о трудностях сравнения давления с ударом. «Я не могу сказать, сколько тяжести требуется, чтобы сравняться с ударом молотком; ибо это вопрос факта, где рассуждение не ведет нп к чему без опыта» . Какой контраст с последующим заявлением в «Началах»!

Впрочем, опыты сталкиваются с множеством трудностей. «Все части молотка или другого ударного инструмента действуют одновременно, а не так, как солдаты, стреляющие один за другим. Однако для расплющивания пули требуется время, которое нужно для того, чтобы части этой пули успели переменить свое расположение, а это они не могут сделать мгновенно; и в зависимости от того, требуют ли части тел большего или меньшего времени для перемены положения под воздействием удара, можно по ним более эффективно ударять на подушке или наковальне дере-

вяшкой, дубинкой или железным молотком и т. п. Стало быть, эти соотношения варьируют бесконечно».

Или еще категоричнее и разочарованнее в том же самом письме: «Кто смог бы произвести точный эксперимент, определив, какой груз и какой удар производят тот же эффект? Тогда можно было бы узнать, с какой скоростью он начинает двигаться при своем движении вниз. Однако я думаю, что такой эксперимент невозможно даже вообразить». О том же тремя месяцами позже Декарт писал тому же Мерсенну: «Я не вникаю здесь, каким образом можно подсчитать, сколько ударов маленького молотка потребовалось бы для того, чтобы сравниться с силой большого, так как при подобных подсчетах нужно принимать во внимание множество обстоятельств, и притом эти подсчеты трудно приводятся в согласие с опытом и приносят мало пользы; вот почему, думается мне, лучше об этом вообще не говорить».

Нельзя браться за выяснение законов удара путем экспериментирования наугад, без предварительного размышления и без ориентирующей абстрактной схемы.

Такую схему Декарт попытался дать в «Началах». Формулированные им законы неверны. Он не проводит различия между телами упругими и неупругими. Он не принимает во внимание направление скорости, рассматривает скорость как скалярную, а не векторную величину. От одного случая нет логически оправданного, непрерывного перехода к другому. Все это так. Но немаловажно выяснить, почему Декарт сделал именно эти ошибки. Ответ на такой вопрос позволит прояснить исходные кардинальные понятия его механики.

В предыдущем разделе была речь о первых двух законах, которые Декарт считал основными. Третий закон, имеющий непосредственное отношение к сохранению количества движения и законам удара, состоит из двух частей.

Первая его часть гласит: «Если движущееся тело при встрече с другим телом обладает для продолжения движения по прямой меньшей силой, чем второе тело для сопротивления первому, то оно теряет направление, не утрачивая ничего в своем движении». В данном случае Декарт ссылается на опыт: «Твердое тело, будучи брошено и ударившись о более твердое и плотное тело, отскакивает в том направлении, откуда шло, но не теряет ничего в своем

движении; наоборот, встречая на пути мягкое тело, тотчас останавливается, так как передает последнему свое движение». ”

Кроме того, Декарт ссылается на то, что это сопротивление второго тела есть причина, заставляющая первое тело изменить направление движения, однако нет никаких оснований, по Декарту, чтобы это сопротивление было причиной утраты движения: «Причина, заставившая его утратить направление, очевидна, именно — сопротивление тела, препятствующего ему следовать далее; отсюда, однако, для него нет необходимости терять что-либо в своем движении, тем более, что оно у него никогда не отнимается этим телом или какой-либо иной причиною, и что движение движению не противоположно».

Во второй части третьего закона читаем: «Если же движущееся тело имеет большую силу, то движет за собой встречное тело и теряет в своем движении столько, сколько сообщает второму телу». Эту часть закона (т. с. сохранение количества движения при передаче его от одного тела к другому) Декарт в сущности ничем не обосновывает, кроме ссылки на «неизменность действия бога» .

Обратимся теперь к более детальному разбору семи правил удара, сформулированных Декартом. Опи относятся к идеальным неупругим, или, как говорит Декарт, твердым телам, однородным по веществу, рассматриваемым вне соотношения с другими телами, а потому лишенным таких свойств, как тяжесть, порождаемая движением среды. Во внимание принимаются лишь величина тел, скорость их движения, а также сила инерции (т. е. сила, или способность, «пребывать в покое и, стало быть, противостоять всему, что могло бы изменить его» и сила продолжать свое движение с той же скоростью и в том же направлении) ,сила, пропорциональная величине тела и скорости движения 25. Напоминаем, что в применяемых нами дальше обозначениях 〃％ и 勿22 У самого Декарта имеется в виду не масса (четкого понятия которой у него еще не

было), а величина тела: Декарт всюду говорит о большем и меньшем теле, равных телах и т. п. Напомним также, что сохранение количества движения для Декарта ——исходная аксиома, причем разница алгебраических знаков во внимание не принимается.

Следовательно, анализ семи «правил» (или различных случаев) удара основывается на требовании, чтобы до и после удара сумма количества движения оставалась постоянной:

т\щ + т2и2 = m\V{ + 加2〃2・

Из возможных случаев Декарт выбирал такой, при котором перемена в состоянии столкнувшихся тел представлялась ему наименьшей.

Для уяснения всего сказанного важны соображения Декарта, возникшие уже после выхода в свет «Начал философии», а именно в 1645 г. Декарт хотел разъяснить здесь ход мысли, который привел его к ошибочному положению, будто меньшее тело неспособно сообщить движение большему, какова бы ни была скорость этого меньшего.

Декарт писал, что основание, которое заставляет его утверждать, что тело без движения никогда не может быть приведено в движение меньшим телом, с какой бы скоростью это меньшее ни двигалось, заключается в том, что таков закон природы: тело, приводящее в движение другое тело, должно иметь больше силы его двигать, чем это последнее ему сопротивляться. Но этот перевес может зависеть лишь от величины тела, ибо тело без движения имеет столько градусов сопротивления, сколько другое тело имеет градусов скорости. Причина заключается в том, что если такое тело, находящееся в покое, приводится в движение телом, обладающим вдвое большей скоростью, чем прежнее, оно должно получать вдвое больше движения, а такому вдвое большему количеству оно сопротивляется вдвое больше.

Далее Декарт утверждает в общей форме, что перемена в состоянии должна быть наименьшей: «Если два тела встречаются и их состояния несовместимы, должна произойти перемена в этих состояниях, делающая их совместимыми, и перемена эта должна быть наименьшей, иначе говоря, если определенная мера изменения этих состояний

достаточна, чтобы они стали совместимыми, то не произойдет изменения в большей мере, чем она. При этом нужно принимать во внимание в движении два различных состояния: во-первых, движение само по себе, т. е. скорость, и, во-вторых, направленность этого движения в определенную сторону, каковые состояния изменяются одинаково трудно» 26.

Уже в 1652 г., через восемь лет после выхода «Начал философии» Декарта, 23-летний Гюйгенс высказал свои первые сомнения в правильности законов Декарта, за исключением первого закона, который он признал верным (для упругих тел). Двумя годами позже в письме к ван Скоутену, который ему не советовал тягаться с Декартом, Гюйгенс сознавался, что ему самому было неприятно убедиться в ошибках Декарта. Еще двумя годами позже Гюйгенс написал свой первый трактат «Об ударе тел», не собираясь, однако, публиковать его.

В октябре 1666 г. Лондонское Королевское общество объявило конкурс по решению задачи об ударе тел, на который представили свои работы Валлис, Рен и Гюйгенс.

Мемуар Валлиса был доложен 26 ноября 1668 г. Валлис разбирает случаи соударения неупругих тел. Рассматривая «силу» как пропорциональную произведению «веса» (т) и скорости (и), он дает для скорости и после удара соотношение

mi?；i + 次 202

U ——

mi + m2

при движении обоих тел в одну сторону и

при встречном ударе.

Таким образом, в отличие от Декарта, Валлис принял во внимание знаки плюс и минус, стоящие перед количествами движения (ти). При косом ударе Валлис вводит отношение радиуса к секансу угла. Сравнивая удар неупругих тел с ударом упругих, он ограничился каче-

26 А. Т. Григорьян, В. П. Зубов. Очерки..., стр. 204.

ственной констатацией наличия «восстанавливающей силы» в упругих топах.

Несколько позже, 17 декабря 16G8 г., был представлен мемуар знаменитого архитектора Рена. Он подводил итог многочисленным экспериментам над упругими телами, которые Рен произвел совместно с математиком Руком. Выводы Рена совпадали с выводами Гюйгенса.

Мемуар Гюйгенса был представлен позже других (в первых числах января 1669 г.) и напечатан в Англии через несколько месяцев после мемуаров Валлиса и Рена. Не дождавшись его публикации в Англии, обиженный Гюйгенс опубликовал уже в марте во Франции резюме своих выводов. Мы не будем вдаваться в рассмотрение возникших приоритетных споров и в разбор мемуара 1669 г., обратившись прямо к той более полной редакции, которая увидела свет лишь после смерти Гюйгенса (1695),— в издании его посмертных трудов (1703). Этот трактат — «О движении тел под влиянием удара» — один из шедевров механики XVII в.

Гюйгенс ограничился рассмотрением центрального удара упругих тел, состоящих из одного и того же вещества. Исходной точкой при рассмотрении соударения одинаковых масс является для него следующая аксиома (1-е правило Декарта): если два равных тела (шара) сталкиваются друг с другом с одинаковыми, но противоположно направленными скоростями, направление их движения меняется на противоположное без изменения скорости.

При неодинаковых скоростях (по при равных массах) Гюйгенс, основываясь на относительности движения, прибег к остроумному приему, позволившему свести все далее рассматриваемые случаи к первому аксиоматическому. Именно, он представил себе, что удар происходит в лодке, движущейся с постоянной скоростью вдоль ровного берега. Согласно классическому принципу относительности в явлениях удара ничего не должно меняться. Величину скорости лодки в каждом новом случае выбирают такой, чтобы для наблюдателя, находящегося на берегу, явление сводилось к первому случаю, уже ранее разобранному.

Вскоре после конкурса, проведенного Лондонским Королевским обществом, Мариотт напечатал свой «Трактат об ударе или соударении тол» (1678), выдержавший три издания (1679, 1684). Отправляясь от работ Гюйгенса, Валлиса и Рена, он дополнил их исследования новыми многочисленными экспериментами, производившимися им начиная с 1674 г.

Для изучения явлений удара Мариотт придумал прибор, состоящий из двух шаров, подвешенных на двух нитях равной длины и находящихся в соприкосновении в состоянии равновесия. Он начал с изучения удара пластичных тел, беря шарики из глины. Скорости он измерял дугами, описываемыми шариками после столкновения.

В 80-х годах XVII в., упомянув о трудах Рена, Валлиса, Гюйгенса и Мариотта, Ньютон посвятил несколько страниц своих «Начал» произведенным им самим экспериментам. Однако главное, что внес Ньютон в изучение удара, это не столько новые эксперименты, сколько та связь, в которую он поставил явления удара с формулированным им законом равенства действия и противодействия.

Связь законов удара с законом действия и противодействия Ньютон раскрывает в следующих словах: «Если какое-нибудь тело, ударившись в другое тело, изменяет своей силой его количество движения на сколько-нибудь, то оно претерпит от силы второго тела в своем собственном количестве движения то же самое изменение, но обратно направленное, ибо давления этих же тел друг на друга постоянно равны. От таких взаимодействий всегда происходят равные изменения не скоростей, а количеств движения, предполагая, конечно, что тела никаким другим усилиям не подвергаются. Изменения скоростей, происходящие также в противоположные стороны, будут обратно пропорциональны массам тел, ибо количества движения получают равные изменения» .

Что касается существа собственных опытов, Ньютон изложил их в следующих словах: «Производя испытания над маятниками длиною 1U футов и над массами равными и неравными и пуская тела так, чтобы они встречались, пройдя большие промежутки, например 8, 12, 16 футов, я получал с ошибкой, меньшею 3 дюймов, в изме-

рениях, что при прямом ударе между телами изменения их количеств движения были равны и направлены в стороны противоположные, откуда следует, что действие п противодействие между сооою равны... То же самое происходит и при движении тел в одну сторону... Подобное соотношение имеет место и в остальных случаях: полное количество движения, рассчитываемое, взяв сумму количеств движения, когда они направлены в одну сторону, и разность, когда они направлены в стороны противоположные, никогда не изменяется от удара при встрече тел» .

Отсюда отчетливо выявляется неверность декартовской формулировки закона сохранения количества движения, не принимающей во внимание алгебраические знаки.

Ньютон отмечает, что описанные им опыты относятся к неупругим телам,——они «удаются как с телами мягкими, так и с жесткими, и совершенно не зависят от степени твердости их». В случае же тел упругих «необходимо лишь уменьшить скорость отражения сообразно степени упругости тел».

Итак, к 80-м годам уже было прекрасно осознано, что закон сохранения количества движения в том виде, как формулировал его Декарт, неправилен. Более того: если принять его в этом видеЛ с одинаковым успехом может быть доказано и бесконечное возрастание количества движения, т. е. «вечное движение», и, наоборот, убывание его.

ИСТОРИЯ ОТКРЫТИЯ ЗАКОНА ТЯГОТЕНИЯ

Декарт писал 12 сентября 1638 г. Мерсенну: «Невозможно сказать что-либо хорошее и прочное касательно скорости, не разъяснив на деле, что такое тяжесть и вместе с тем вся система мира» . Это заявление диаметрально противоположно заявлению Сальвиатп в «Беседах» Галилея: «Мне думается, что сейчас неподходящее время для занятий вопросом о причинах ускорения есте-

ИСААК НЬЮТОН

ствешюго движения тел, по поводу которого различными философами было высказано столько различных мнений. Будет достаточно, если мы рассмотрим, как он [Галилей] исследует и излагает свойства ускоренного движения (безотносительно к причинам последнего)» .

С заявлением Галилея небезынтересно сопоставить позднейшее, столь же осторожное высказывание Робер- валя, относящееся к 1669 г. Французский ученый указывал, что возможны разные точки зрения на природу тяжести: она заключена в самом тяжелом теле, она — результат взаимодействия между двумя телами, она производится третьим телом, толкающим одно к другому. Ро- берваль не вдавался в подобные дискуссии и заявлял: «Я всегда по возможности буду стараться подражать Архимеду, который именно в связи с тяжестью выдвигает в качестве принципа или постулата постоянный и во все минувшие до сей поры столетия засвидетельствованный факт: существуют тяжелые тела, отвечающие условиям, о которых он говорит в начале своего трактата па эту тему. На этом основании я построю, как и он, свои рассуждения о механике, не затрудняя себя вопросом, что же такое в конце концов начала и причины тяжести, и довольствуясь тем, что буду следовать истине, если она пожелает когда-либо предстать ясно и отчетливо передо мною. Вот правило, которого я всегда хочу держаться в сомнительных рассуждениях...»

Излишне повторять, как часто Ньютон говорил； что он отказывается вникать в природу тяжести. Напомним лишь некоторые наиболее выразительные высказывания.

«Под словом притяжение,— писал он в «Началах»,— я разумею здесь вообще какое бы то ни было стремление тел к взаимному сближению»,——безразлично, происходит ли это стремление от действия самих тел, которые стараются сблизиться или «приводят друг друга в движе- нне посредством испускаемого ими эфира», либо, наконец, оно вызывается материальной или нематериальной средой (эфиром, воздухом и т. и.)» 32. Аналогично в «Оптике»: «То, что я называю притяжением, может происхо- ；п1ть посредством импульса или какими-нибудь другими способами, мне неизвестными. Я применяю здесь это сло-

£о для того, чтобы только вообще обозначить некоторую силу, благодаря которой тела стремятся друг к другу, какова бы ни была причина. Ибо мы должны изучить по явлениям природы, какие тела притягиваются и каковы законы и свойства притяжения, прежде чем исследовать причину, благодаря которой притяжение происходит» .

Ньютон утверждал: «Причину... этих свойств силы тяготения я до сих пор не мог вывести из явлений, гипотез же я не измышляю... Довольно того, что тяготение на самом деле существует и действует согласно изложенным нами законам, и вполне достаточно для объяснения всех движений небесных тел и моря» .

Формулировка закона тяготения и самое формирование понятия силы тяготения были результатом длительного исторического развития. Здесь незачем прослеживать хронологически все те многочисленные и разнообразные подходы к концепции, которые в конечном итоге привели к формулировке закона тяготения и ого приложению к небесной механике. Достаточно отметить некоторые важнейшие вехи.

В ньютоновом законе тяготения мы выделим три наиболее характерных момента. Во-первых, в этом законе сила тяготения есть универсальный принцип. При его выводе из свойств материи принимается во внимание только одно — наличие массы. Масса, по Ньютону,— всеобщая характеристика любой материи. Поэтому закон тяготения, распространяющийся на все тела, безотносительно ко всем другим их свойствам,— это высшее, математизированное выражение идеи единства Вселенной, подготовлявшееся трудами Коперника, Кеплера, Бруно, Галилея. В законе тяготения исчезает противоположность небесного и земного, «подлунного» и «надлунного». Во- вторых, тяготение основано на взаимодействии тел, а не на одностороннем притяжении одного тела другим. И в-третьих, понятие силы тяготения у Ньютона уточнено количественно.

Первые шаги к математизации силы притяжения были сделаны Кеплером. В своей «Новой астрономии» (1609) Кеплер опубликовал первые два закона движения планет, носящие его имя и открытые им при обработке

данных, относящихся к Марсу. Десятью годами позже (1619) в «Гармонии мира» Кеплер дополнил их третьим законом: кубы средних расстояний планет от Солнца пропорциональны квадратам времен их обращения, или, как формулировал сам Кеплер на языке своего времени,—— средние расстояния от Солнца стоят в «полуторном отношении» к времени обращения, т. е.

(А 7)3/2 = Т：£.

К открытию закона, который теперь называется первым (планеты движутся по эллипсам, в фокусе которых находится Солнце), Кеплер пришел после второго закона, или закона площадей: линия, соединяющая планету и Солнце (радиус-вектор), описывает в равные времена равные площади.

Показательно, что уже в 30—40-х годах Декарт задумывался над опытами, которые могли бы позволить определить убывание и возрастание тяжести на разных расстояниях от центра Земли, сознавая вместе с тем всю трудность подобной задачи. Обсуждая в переписке с Мер* сениом вопрос о том, имеет ли тело большую или меньшую тяжесть, находясь к центру Земли ближе, чем находясь вдали от него, Декарт замечает: «Единственно, что можно сказать, это что природа тяжести есть вопрос факта, т. е. люди не могут определить ее иначе, как производя опыты, а из опытов, производимых здесь, в нашем воздухе, нельзя судить о том, что происходит гораздо ниже, около центра Земли, или гораздо выше, за облаками, ибо если убывание или возрастание тяжести происходит, то мало вероятно, чтобы оно происходило везде в одинаковой пропорции» 35.

Проектируя возможный опыт, Декарт тут же отмечал его трудности. Опыт заключается в следующем: кусок свинца вместе с веревкой взвешивается на вершине башни, а затем прикрепляется одним концом к чашке весов и опускается в колодец. Разность взвешиваний должна свидетельствовать о неравномерности земного притяжения. Декарт понимал, что опыт мог дать результаты лишь в том случае, если разница в весе весьма значительна, между тем глубина колодца и высота башни малы по сравнению с радиусом Земли.

85 Декарт. Сочинешия, т. 11, стр. 224—225.

Декарт добавил описания довольно странных для современного читателя опытов или наблюдений над птицами. «Крупным птицам, например журавлям и аистам, гораздо легче летать на высоте в воздухе, чем внизу, и это нельзя целиком отнести на счет силы воздуха, ибо то же самое бывает и в тихую погоду, а это дает основание думать, что их удаленность от Земли делает их более легкими. Подтверждают нам это и бумажные змеи, запускаемые детьми, и весь снег, находящийся в облаках». Наконец, Декарт всерьез обсуждал версию об артиллерийских ядрах, якобы пущенных вертикально вверх и не вернувшихся на Землю.

В этой же связи Декарт высказал и приведенные выше соображения о том, что планеты упали бы па Землю, если бы «большое расстояние между ними не парализовало этого их стремления», т. е. тяжесть должна убывать с увеличением расстояния.

Неудивительно, если Декарт в конечном итоге оказался вынужденным обратиться от проектируемых конкретных экспериментов к теоретическому рассуждению, произвести чисто мысленный эксперимент или, как выражался он сам, «произвести наши вычисления, подобно тому, как астрономы предполагают средние движения светил равномерными, чтобы легче рассчитывать истинные, которые неравномерны».

Через 11 лет после смерти Декарта, в 1661 г., еще до своего официального утверждения, Лондонское Королевское общество поручило особой комиссии исследовать вопрос о природе тяжести. 14 марта 1666 г. Роберт Гук сделал в Обществе сообщение, в котором писал: «Хотя тяжесть, по-видимому, есть одно из самых универсальных начал в мире, до недавнего времени пренебрегали ее изучением. И тем не менее ученая пытливость наших дней нашла в ней предмет новых размышлений; Гильберт делает из нее способность магнитного притяжения, присущую частям земного шара; благородный лорд Верупам- ский частично присоединился к этому мнению, а Кеплер, не без оснований, делает из тяжести свойство, присущее всем небесным телам».

Исходя из подобных же представлений, Гук предполагал, что тяжесть тел должна уменьшаться с возрастанием расстояния от центра Земли. Если Декарт только обдумывал возможности экспериментов, то Гук отва-

жплся и на экспериментирование. Он производил опыты на здании Вестминстерского аббатства и на вершине собора св. Павла. Он взвешивал тело вместе с проволокой на вершине башни и у поверхности земли. Опыты не могли дать, по признанию самого Гука, точных результатов как по причине колебаний столь длинной проволоки, так и по причине движения воздуха. Нескольких гранов на весах достаточно было, чтобы привести весы в колебательное движение.

Вслед за тем Гук столь же безуспешно произвел эксперименты в колодцах глубиной от 90 до 330 футов.

В докладе, сделанном 23 мая того же года, Гук вернулся к вопросу о силе тяжести в связи с движением планет. Криволинейность планетных орбит должна вызываться некоторой постоянно действующей силой: либо большей плотностью эфира около Солнца, либо притяжением тела, находящегося в центре. Наконец, восемь лет спустя, в 1674 г. Гук опубликовал мемуар под заглавием «Попытка доказать годовое движение Земли на основе наблюдений».

Излагаемая им здесь система мира основана на трех предположениях. Во-первых, все небесные тела производят притяжение к их центрам, притягивая не только свои части, как мы это наблюдали на Земле, но и другие небесные тела, находящиеся в сфере их действия. Таким образом, не только Солнце и Луна оказывают влияние на форму и движение Земли, а Земля на Луну и Солнце, но также Меркурий, Венера, Марс, Юпитер н Сатурн влияют на движение Земли; в свою очередь притяжение Земли действует на движение каждой планеты. Второе предположение Гука — это закон инерции: «всякое тело, получившее однажды простое прямолинейное движение, продолжает двигаться по прямой до тех пор, пока пе отклонится в своем движении другой действующей силой и не будет вынуждено описывать круг, эллипс или иную сложную линию». Наконец, третье предположение заключается в том, что «притягивающие силы действуют тем больше, чем ближе тело, на которое они действуют, к центру притяжения».

«Что касается степени этой силы,——заключает Гук,—— то я не мог еще определить ее на опыте; но во всяком случае, как только эта степень станет известной, она чрезвычайно облегчит астрономам задачу нахождение 134

закона небесных движений, без нее же это еювозмо-кпо... Я хотел бы указать это тем, у которых есть время и достаточная сноровка для продолжения исследования и хватит прилежания для выполнения наблюдений и расчетов» .

Мы не будем останавливаться на спорах о приоритете, которые разгорелись между Гуком и Ньютоном. Мож> но с уверенностью сказать, что искусный экспериментатор и эмпирик Гук не смог бы прийти к тем широким математическим обобщениям, к которым пришел Ньютон, самостоятельно размышлявший над проблемами тяготения уже с 1666 г.

Вот подлинные свидетельства самого Ньютона, в полом ие вызывающие сомнений. Из письма Ньютона к Галлею (1686) явствует, что уже в 1665 или в 1666 г. Ньютон вывел из законов Кеплера обратную пропорциональность силы тяготения квадрату расстояния между притягпвающимися телами. В другом письме к Галлею от того же года он сообщал: «В бумагах, написанных более 15 лет тому назад (точно привести дату я не могу, но во всяком случае это было перед началом моей переписки с Ольденбургом), я выразил обратную квадратичную пропорциональность тяготения планет к Солнцу в зависимости от расстояния и вычислил правильное отношение земной тяжести к conatus recedendi (стремлению) Луны от центра Земли, хотя и не совсем точно».

В бумагах Ньютона, кроме того, имеется такая запись: «В том же году я начал думать о тяготении, простирающемся до орбиты Луны, и нашел, как оцепить силу, с которой шар, вращающийся внутри сферы, давит на поверхность этой сферы. Из правила Кеплера о том, что периоды планет находятся в полуторной пропорции к расстоянию от центров их орбит, я вывел, что силы, удерживающие планеты на их орбитах, должны быть в обратном отношении квадратов их расстояния от центров, вокруг коих они вращаются. Отсюда я сравнил силу, требующуюся для удержания Луны на ее орбите, с силой тяжести на поверхности Земли и нашел, что они поч~ ти отвечают друг другу. Все это происходило в два чумных, года, 1665 и 1666, ибо в это время я был в расцвете

мопх изобретательских сил и думал о математике и фило^ Софии больше, чем когда-либо после» 37.

Мы сказали, что нет оснований сомневаться в свидетельствах Ньютона в целом. Однако в одном существенном пункте они требуют исправления. А именно: при своих первых подсчетах Ньютон исходил из старых (грубых) измерений земного радиуса (ошибка в них достигала 15%); поэтому он мог определить, по его словам, соотношение между силой тяжести и центробежной силой Луны «не совсем точно». Такая неточность, видимо, заставила его отложить публикацию своих вычислений.

Между тем в 1672 г. Ппкар произвел новое, более точное градусное измерение меридиана. В том же году соответствующее сообщение было заслушано в Королевском обществе. Находясь в уединении в Кембридже, Ньютон, по-видимому, долго не знал об измерениях Пикара. Усиленные занятия оптикой в 1672—1675 гг. отвлекали его от исследования вопросов тяготения. Он вернулся к ним лишь тогда, когда эти же вопросы поднял Гук. Новое градусное измерение Пикара позволило Ньютону пересмотреть свои вычисления и получить желательный результат. Перед нами поучительный пример связи теоретических построений с эмпирическими данными: неверная величина земного радиуса затормозила на много лет правильный в своей основе ход мысли Ньютона!

Впрочем, некоторые исследователи (Ф. Кэджори и др.) предложили другое объяснение: Ньютон испытывал затруднения в вопросе, как именно измерять расстояние между падающим телом и Землей: брать ли его по отношению к поверхности или центру; только к 1685 г. он уточнил понятие о материальной точке, позволившее рассматривать всю массу Земли сосредоточенной в ее центре.

Выводы, касающиеся тяготения и, в частности, «падения Луны на Землю», тесно связаны с понятием о центробежной силе. В этом пункте Ньютон имел предшественника в лице Альфонсо Борелли. Этот итальянский ученый, пытаясь в 1665 г. объяснить, почему планеты не падают на Солнце, ссылался на пример камня,

С. И. Вавилов. Исаак Ньютон, стр. 102—103,

вращаемого по кругу и сильно натягивающего пить, к которой он привязан: чтобы уравновесить силу, с которой планета стремится к Солнцу, эта планета противополагает ей тенденцию каждого тела удалиться от центра вращения.

Выше мы уже упоминали о вкладе Гюйгенса в механику. Кроме всего сказанного, с именем Гюйгенса в механике связано много открытий и изобретений: изобретение маятниковых часов, изобретение часов с коническим маятником, открытие явления принудительного консонанса, решение вопроса о таутохроне, устройство циклоидального маятника и т. д. В своих работах он широко пользовался механическим принципом относительности. В этом его механика глубоко отличается от механики Ньютона.

По Гюйгенсу, в механике нельзя оперировать понятиями покоя и движения, отнесенными к бесконечному пустому пространству. Даже вращение он рассматривал как относительное движение частей тела, стремящихся в различные стороны и удерживаемых связью. Но в данном случае нас интересуют не столько принципиальные различия в воззрениях Гюйгенса и Ньютона, сколько значение трудов первого в генезисе закона тяготения.

Сочинение Гюйгенса «Маятниковые часы» вышло в свет в 1673 г., когда Ньютон вновь вернулся к размышлениям о законе тяготения. В приложении к нему были напечатаны (без доказательств) «Теоремы о центробежной силе, вызванной круговым движением». Здесь были формулированы основные закономерности, связывающие центробежные силы с расстоянием и скоростями.

В год выхода в свет «Маятниковых часов» Гюйгенс послал через Ольденбурга экземпляр своего труда Ньютону. Гораздо позднее (1714) последний писал: «Все, что с тех пор Гюйгенс опубликовал о центробежных силах, я предполагаю, он знал раньше меня». Это действительно так, ибо Гюйгенс вывел закон центробежной силы уже в 1659 г.

Однако Ньютону не нужно было дожидаться выхода в свет сочинения Гюйгенса для того, чтобы произвести свои собственные расчеты. В приложении к письму Галлею от 14 июля 1686 г. содержится рассуждение, которое Ньютон, как он сам говорит, нашел, разбирая свои старые бумаги. Оно дает основание полагать, уто Ньютон

уже до 1673 г. мог идти своим путем, независимо от Гюйгенса, и вывести центростремительное ускорен。。без гюйгенсовского понятия центробежной силы. А именно: Ньютон рассматривает многоугольник, вписанный в окружность. Тело, обладающее заданной скоростью, движется по периметру, отражаясь в каждой вершине от окружности. Сила отражения пропорциональна скорости, а сумма сил в данное время будет пропорциональна этой скорости и числу отражений вместе. Переходя к пределу, когда длины сторон многоугольника стремятся к нулю, Ньютон определяет силу, с которой движущееся тело давит на окружность, и равное и направленное в противоположную сторону противодействие, оказываемое окружностью на движущееся тело.

В 80-х годах XVII в. над теми же вопросами задумывались и другие английские ученые. По словам Галлея, ему удалось в 1683 г. вывести из третьего закона Кеплера обратную квадратичную пропорциональность тяжести с расстоянием, но он не мог отсюда объяснить и вывести эллиптическое движение светил. Архитектор Рен развивал воззрения, похожие на взгляды Гука, предполагая, что движение планет слагается из их равномерного прямолинейного движения и падения на Солнце. Во время встречи Рена с Гуком и Галлеем Рен предложил премию тому, кто докажет, что под действием силы, убывающей обратно пропорционально квадрату расстояния, возникает движение по эллипсу.

В августе 1684 г. Галлей посетил Ньютона в Кембридже и задал ему прямой вопрос: какова будет траектория планет при предположении, что сила тяготения меняется обратно пропорционально квадрату расстояния их от Солнца? «Эллипс»,— без колебания сказал Ньютон. На вопрос, почему, он ответил: «Потому что я вычислил это». 10 декабря 1684 г. Галлей доложил Королевскому обществу, что Ньютон скоро пришлет важный мемуар «О движении». Этот мемуар был прислан в феврале 1685 г., но не был опубликован, а только зарегистрирован

как заявка на приоритет.

В этом мемуаре со всей отчетливостью было формулировано положение, согласно которому сферическое тело однородной плотности во всех точках, одинаково отстоящих от центра, притягивает внешнюю частицу, как если бы вся масса была сосредоточена в центре.

За этим вскоре последовало опубликование классических «Начал». Первая книга была написана почти целиком в декабре 1684 — апреле 1686 г. Осенью того же года была закончена вторая книга, а редактирование третьей завершено в марте 1687 г.

Выше мы приводили ньютоново определение количества материи как величины, пропорциональной плотности, указав, что такое определение требует допущения корпускулярного строения материи (плотность подразумевалась как число частиц на единицу объема). Но на той же странице «Начал» Ньютон наметил другое определение, отождествив понятие количества материи с понятием массы. Массу, как и вес, можно мыслить чисто математически, сосредоточенными в одной точке. Именно такое абстрактное рассмотрение позволило Ньютону пойти дальше геометрико-механических моделей картезианства.

Ньютон отмечал, что специфической особенностью силы тяготения является ее происхождение от некоторой причины, которая «действует не пропорционально величине поверхности частиц, испытывающих ее воздействие (как это обыкновенно имеет место для механических причин) ,но пропорционально количеству твердого вещества», т. е. массе .

Исследуя, по его собственным словам, явления механики «математически», а не «физически», Ньютон попытался придать своим «Началам» строго геометрическую форму по образцу «Начал» Евклида: за определениями и аксиомами следуют предложения, или теоремы, со следствиями (короллариями) и поучениями (схолиями). На первых же страницах ньютоновских «Начал» сделана попытка как бы кодифицировать основные положения, уже открытые ранее (например, закон инерции) или «носившиеся в воздухе». Многое, однако осталось неполным; многое, предполагаемое само собой разумеющимся, осталось невыясненным, вместо того чтобы быть формулированными в виде аксиом. Присмотримся к общей структуре знаменитых «Начал».

Первая книга, состоящая из 14 отделов, построена в нарочито абстрактном математическом плане. Только в следствиях и поучениях (схолиях) теорем просвечивают

иногда те физические или астрономические применения, которые впоследствии эти теоремы находят. Основное содержание книги — движение материальных точек и твердых тел под действием центральных сил.

Вторая книга, состоящая из девяти отделов, рассматривает движения и действия сил с учетом влияния среды. В ней доказываются теоремы, важные для гидростатики, гидродинамики и баллистики. Но, кроме того, она имеет завуалированный полемический аспект: в пей Ньютон фактически учиняет разгром картезианской физики и, в частности, декартовского учения о вихрях «тончайшей Ячидкой материи», наполняющей мировое пространство.

Напомним, что, по Декарту, вихревое движение тонкой флюидной материи, происходящее вокруг Солнца, увлекает за собой планеты, вращающиеся и вокруг своей оси,— по аналогии с тем, что можно наблюдать на примере кусков дерева, увлекаемых вихревым движением воды и одновременно приводимых во вращательное движение. До известного расстояния от Солнца величина частиц тонкой материи и их угловая скорость убывают, дальше и та и другая становятся постоянными. Каждая планета имеет свою плотность и соответственно разнос количество движения, рассматриваемое как произведение плотности на линейную скорость. ,

Планета остается на своей орбите там, где количество движения частиц тонкой материи равно количеству ее движения. На более близком расстоянии центробежная тенденция берет верх над центростремительным воздействием частиц тонкой материи, на расстоянии же более далеком, наоборот, перевешивает это центростремительное воздействие.

Ньютон опровергает эту концепцию прежде всего ссылкой на данные гидродинамики: «Если в однородной и беспредельной жидкости вращается равномерно около постоянной оси твердый шар, и жидкость приводится в вращательное движение единственно только этим натиском [импульсом] и всякая ее часть продолжает сохранять свое равномерное движение, то тогда времена оборотов частиц жидкости будут пропорциональны квадратам их расстояний до центра шара» .

Ио если времена обращений вихря должны быть пропорциональны квадратам расстояний до центра, т. е. 氏2 ：产=т ：厶 то как привести это в согласие с третьим законом Кеплера, согласно которому R3 : г3 = Т2 :庐？ Это возможно, говорит Ньютон, лишь в двух случаях: а) вещество вихря тем более текуче, чем оно дальше; б) сопротивление, «происходящее от недостатка скользкости частей жидкости, при увеличении скорости разделения частей друг от друга возрастает в большем отношении, нежели эта скорость». Однако, по Ньютону, ни то, ни другое не представляется «сообразным разуму»: ведь к периферии стремятся не более, а менее текучие частицы (если только они не тяготеют к центру), а сопротивление возрастает не в большем, а в меньшем отношении, чем скорость.

«Если же вихри, по мнению некоторых, движутся близ центра скорее, затем до некоторого предела медленнее, затем опять быстрее до окружности, то не может быть получено ни полукубическое, ни какое иное определенное отношение. Пусть философы сами посмотрят, при каком условии может быть объяснено вихрями явление, заключающееся в существовании указанного полукубиче- ского отношения».

В следующем затем предложении Ньютон утверждает: «Тела, которые при переносе вихрем описывают постоянно одну и ту же орбиту, должны обладать одинаковою с вихрем плотностью и двигаться по тому же закону скорости и ее направления, как и части самого вихря».

В поучении (схолии) Ньютон делает отсюда общий вывод: планеты не могут быть переносимы материальными вихрями... И дальше еще резче: «Таким образом, гипотеза вихрей совершенно противоречит астрономическим явлениям и приводит не столько к объяснению движений небесных тел, сколько к их запутыванию» .

То же самое отмечал Ньютон позднее в «Оптике». Против «заполнения неба жидкими средами, если они только не чрезвычайно разрежены», свидетельствуют «правильные п весьма длительные движения планет и комет в небесном пространстве», показывающие, что «небесное пространство лишено всякого заметного со-

противления, а следовательно, и всякой ощутимой материи».

Антикартезианское «Общее поучение», которым заканчиваются «Начала», звучит весьма сурово: «Гипотеза вихрей подавляется многими трудностями. Чтобы планета могла описывать радиусом, проведенным к Солнцу, площади, пропорциональные времени, надо, чтобы времена обращений частей вихря были пропорциональны квадратам расстояний их до Солнца. Чтобы времена обращений планет находились в полукубическом отношении их расстояний до Солнца, и времена обращений частей вихря должны находиться в полукубическом же отношении их расстояний до Солнца. Чтобы меньшие вихри вокруг Сатурна, Юпитера и других планет могли сохранять свое обращение и спокойно плавать в вихре Солнца, времена обращения частей солнечного вихря должны быть между собою равны. Вращение Солнца и планет вокруг своих осей, которое должно бы согласоваться с движениям：!! вихрей, совершенно не согласуется с этими пропорциями. Движения комет вполне правильны и следуют тем же законам, как и движения планет, и не могут быть объяснены вихрями. Кометы переносятся по весьма эксцентрическим орбитам во всех областях неба, чего быть не может, если только вихрей не уничтожить» .

Кульминационным пунктом «Начал» является третья книга, основное содержание которой составляет изложение системы мира. Весьма интересно и важно заявление Ньютона в самом начале этой книги. Из него явствует, что сначала он написал ее, придерживаясь популярного изложения, чтобы она читалась многими. Затем, однако, он переложил сущность этой книги в ряд предложений, по математическому обычаю, так, чтобы они читались лишь теми, кто сперва овладел началами. Сделал это Ньютон, по его собственному признанию, для того, чтобы «те, кто, недостаточно поняв начальные положения, а потому совершенно не уяснив силы их следствий и не отбросив привычных им в продолжение многих лет предрассудков, не вовлекли бы дело в пререкания». Интересно также, что Ньютон особо подчеркивал необходимость хорошенько изучить определения, законы движения и первые три отдела первой книги, после чего можно уже

прямо переходить к третьей книге и обращаться к другим предложениям, «если того пожелают», лишь в тех местах, где на них сделаны ссылки. Три особо рекомендуемых для понимания третьей книги отдела первой книги посвящены: первый отдел математическому аппарату (методу флюксий, или методу первых и последних отношений, которым, кстати сказать, Ньютон пользуется далеко не везде в своих «Началах»); второй отдел озаглавлен «О нахождении центростремительных сил» и третий ——«О движении тел по эксцентричным коническим сечениям». Попробуем последовать указаниям Ньютона и пойти по пути, который он наметил.

Сначала об определениях. Ньютон различает приложенную силу (силу в современном смысле) и силу, которая «врождепа» материи, или заключена в ней. Первая есть «действие, производимое над телом, чтобы изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного движения», вторая — присущая материи «способность сопротивления, по которой всякое отдельно взятое тело, поскольку оно предоставлено самому себе, удерживает свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения». Эту «силу» Ньютон называет также «инерцией материи», являющейся причиной того, что всякое тело лишь с трудом выводится из своего покоя и движения. Ньютон говорит, что «эта сила всегда пропорциональна массе и если отличается от инерции массы, то разве только воззрением на нее».

Вслед за тем Ньютон дает определение центростремительной силы, которая составляет главный предмет первой книги «Начал». Это есть та сила, «с которою тела к некоторой точке, как к центру, отовсюду притягиваются, гонятся или как бы то ни было стремятся».

Как математик Ньютон не вдается, следовательно, в физическую природу силы. Кроме абсолютной величины центростремительной силы, Ньютон различает ускорительную и движущую величину ее. Первая есть «мера, пропорциональная той скорости, которую центростремительная сила производит в течение данного времени». Вторая пропорциональна количеству движения, которое производится центростремительной силой в течение данного времени. Отсюда следует, что

ускорительнан сила — vдвижущая сила — тъ '

йлй, ийаче, движущая сила пропорцйопалъна ускорительной силе, умноженной на массу.

Второй отдел первой книги «Начал» есть «математическая прелюдия» к третьей книге. Первое предло/кенпе определяет зависимость между площадями, которые описывают радиусы, и временами (основа для последующего вывода второго закона Кеплера). «Площади, описываемые радиусами, проводимыми от обращающегося тела к неподвижному центру сил, лежат в одной плоскости и пропорциональны времени описания их». Наоборот, «если тело движется по какой-либо плоской кривой так, что радиусом, проведенным к неподвижной точке или к точке, движущейся равномерно и прямолинейно, описываются площади, пропорциональные времени, то это тело находится под действием центростремительной силы, направленной к указанной точке».

В третьем отделе Ньютон рассматривает движение тел по эксцентричным коническим сечениям под действием центростремительной силы, направленной к фокусу кривой. Отдельно для эллипса (предложение И), гиперболы (предложение 12) и параболы (предложение 13) доказывается, что величина силы обратно пропорциональна квадрату расстояния до центра силы. Отсюда выводится основа второго и третьего законов Кеплера, а именно: «Если несколько тел обращаются около общего центра сил, причем центростремительные силы обратно пропорциональны квадрату расстояния до центра, то главные параметры орбит пропорциональны квадратам площадей, описываемых проведенными к телам радиусами в одно и то же время». И в следующем предложении: «При тех же предположениях утверждаю, что времена оборотов по эллипсам относятся между собою, как большие полуоси в степени 3/2».

Третьей книге предпосланы «Правила философствования», о которых мы скажем позднее, и «Явления», т. е. обобщенные данные астрономических наблюдений. «Явление 1» относится к спутникам Юпитера, орбиты которых <<не отличаются чувствительно» от кругов с центрами в центре этой планеты; к ним применим закон площадей (второй закон Кеплера) и третий закон Кеплера. «Явление 2» ——то же самое справедливо относительно спутников Сатурна. В «Явлениях 3—5» утверждается справедливость второго и третьего законов Кеплера относитель-

по пяти «главных планет» (Меркурия, Венеры, Марса, Юпитера и Сатурна), а в «Явлении 6»—применимость закона площадей к движению Луны.

Поскольку в первой книге «Начал» законы Кеплера уже были выведены теоретически из закона центростремительной силы, а в только что упомянутых «Явлениях» констатировано, что эти законы распространяются на планеты и их спутников, постольку в первых предложениях третьей книги Ньютону уже не остается ничего другого, как сослаться на уже сказанное. Это сделано в полном соответствии с правилами изложения по обычаю геометров, т. е. по образцу «Начал» Евклида. В качестве примера достаточно привести лишь текст предложения 1 и его доказательства: «Силы, которыми спутники Юпитера постоянно отклоняются от прямолинейного движения и удерживаются на своих орбитах, направлены к центру Юпитера и обратно пропорциональны квадратам расстояний мест до этого центра». Доказательство сводится к фразе: «Первая часть предложения следует из явления 1 и предложений 2 или 3 книги I; последняя часть ——из явления 1 и следствия 6 предложения 4 той же книги». Далее Ньютон добавляет: «То же самое разумей и о спутниках Сатурна на основании явления 2》.

Центральное место в третьей книге занимает предложение 4: «Луна тяготеет к Земле и силою тяготения постоянно отклоняется от прямолинейного движения и удерживается на своей орбите».

Отсюда Ньютон делает свой знаменитый вывод, что сила, которая удерживает Лупу на ее орбите, есть та самая сила, которая называется тяжестью или тяготением.

Этот вывод Ньютон основывает на первом и втором правилах философствования, или, как переводит А. Н. Крылов, правилах умозаключений в физике. Первое правило гласит: «Не должно принимать в природе иных причин сверх тех, которые истинны и достаточны для объяснений явлений». В этой связи Ньютон ссылается на старое утверждение философов, что «природа ничего не делает напрасно», что «природа проста и не роскошествует излишними причинами вещей». Отсюда второе правило: «поскольку возможно, должно приписывать те же причины того же рода проявлениям природы».

Следовательно, сила, которая удерживает Лупу па со орбите, и сила тяготения — одна и та же. На основании того же второго правила Ньютон распространяет сказанное на спутников других планет и самые планеты.

Если сопоставить только что сказанное с ранее приведенными положениями Ньютона, нетрудно видеть, что порядок изложения «Начал» — от общих абстрактных выводов к поверке их конкретными эмпирическими данными ——вовсе не соответствует историческому ходу мысли самого Ньютона, где обнаруживается сложнейшее переплетение абстрактного и конкретного. Уместно напомнить, что как раз в годы написания «Начал» (1686—1687) Ньютон беспрестанно обращался к астроному Флемстиду с вопросами относительно точных данных, касающихся орбит Юпитера и Сатурна, сплющенности Юпитера у полюсов, расхождений между новыми наблюдениями Сатурна и таблицами Кеплера и т. д.

Ньютон несколько раз решительно заявлял, что в «Началах» он исследует силы не как физик, а как математик. Так, он писал: «Я придаю тот же самый смысл названиям ускорительные и движущие притяжения и натиски [импульсы]. Названия же притяжение, натиск [импульс] или стремление я употребляю безразлично одно вместо другого, рассматривая эти силы не физически, а математически». Ньютон заявляет, что не хочет этими названиями определить самый характер действия или физические причины происхождения этих сил или же приписывать центрам (которые суть математические точки) действительно и физические силы, хотя и будет говорить о «силах центров и о притяжении центрами» .

В первой книге «Начал» Ньютон рассматривает центростремительную силу как «притяжение», хотя «следовало бы, если выражаться физически, именовать >ее более правильно напором (impulsus)». «Но теперь,— продолжает он,——мы занимаемся математикой и, оставляя в стороне физические споры, будем пользоваться более обычным названием, чтобы быть понятнее читателям математикам».

В другом месте Ньютон говорил, что в своих «Началах» он исследует не виды сил и физические свойства их, а лишь их величины и математические соотношения между

ними. «Матоматическому исследованию подлежат величи^ ны сил и те соотношения, которые следуют из произвольно поставленных условий. Затем, обращаясь к физике, надо эти выводы сопоставить с совершающимися явлениями, чтобы распознать, какие же условия относительно сил соответствуют отдельным видам обладающих притягательною способностью тел. После того, как это сделано, можно будет с большею уверенностью рассуждать о родах сил, их причинах и физических между ними соотношениях» .

Поэтому в известном смысле был прав анонимный рецензент «Начал» (по всей вероятности, ученик Декарта Режи), когда писал вскоре после выхода в свет труда Ньютона, что труд этот есть «чистая механика, самая совершенная, какую только можно вообразить». Это значило в глазах рецензента, что Ньютон еще должен доказать физическую привильно'оть свопх абстрактных механических положений.

Воспитанный в атмосфере декартовских идей, но все более отходивший от правоверного картезианства, Маль- бранш развивал в сущности те же мысли и до, и после выхода «Начал». Природа не абстрактна; рычаги и колеса механические——не математич1еские линии и круги. Геометрия, по словам Мальбранша, -иногда «бывает для нас поводом к заблуждению». «Мы так увлекаемся очевидными и приятными доказательствами этой науки, что недостаточно наблюдаем природу. Вот главная причина, почему не все изобретенные машины бывают удачны... Почему самые точные астрономические вычисления не предсказывают хорошо продолжительности и времени затмений... В движении планет нет полной правильности; носясь в громадных пространствах, они неравномерно увлекаются жидкой материей, окружающей их».

Мальбранш готов признать, чтю «заблуждения, в которые мы впадаем в астрономии, механике, музыке и во всех науках, где применяется геометрия, происходят не от геометрии, науки неоспоримой». Дело в ложном применении ее, в истолковании математических и механических абстракций, как вполне точных отражений физической действительности. «Так, например, предполагают, что планеты в своих движениях описывают совершенно правильные

круги и эллипсы, а это неверно. Такое предположение необходимо для рассуждений, и оно почти верно; но мы должны всегда помнить, что принцип, на основании которого мы рассуждаем, есть только пр еда о лож ение. Точно так же в механике мы предполагаем, что рычаги и колеса совершенно тверды и подобны математическим линиям и кругам, не имеющим тяжести и трения» .

В другом месте Мальбранш указывал, что астрономы нового времени открыли эллиптическую форму планетных движений. Но если они утверждают, что эти эллипсы вполне правильны, они впадают в заблуждение, и такое заблуждение «тем труднее исправить, что наблюдения, производимые над течением планет, не могут быть ни достаточно точны, ни достаточно верны, чтобы обнару жить неправильность их движения». Только одна физика, заключал Мальбранш, может поправить эту ошибку.

Получалась парадоксальная картина. Картезианцы объявляли отвлеченной гипотезой всю теоретическую механику Ньютона и усматривали в картезианской физике вихрей подлинно физическое объяснение, тогда как Ньютон, наоборот, заявлял, что не измышляет гипотез, и объявлял всю картезианскую физику сплошной гипотезой в самом дурном, порицательном значении слова.

Но то, что картезианцы были склонны поставить Ньютону в упрек, было в действительности основным достоинством его основополагающих «Начал».

Напомним слова В. И. Ленина из его «Философских тетрадей»: «Мышление, восходя от конкретного к абстрактному, не отходит ——если оно правильное... — от истины, а подходит к ней. Абстракция материи, закона природы, абстракция стоимости и т. д., одним словом все научные (правильные, серьезные, не вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее. От живого созерцания к абстрактному мышления и от него 左 практике — таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности» .

Если бы Ньютон последовал советам Мальбранша, можно смело сказать, что не было бы «Математических начал натуральной философии». Как математик, он умел

ставить проблемы во всей их абстрактной общности, отвлекаясь от осложняющих моментов, но наряду с тем он же ставил столь же математически вопрос о праве не принимать во внимание до поры до времени подобные «осложняющие» моменты. Так, говоря о взаимодействии Луны и Земли, Ньютон считал возможным пренебречь действием Солнца, но одновременно он выяснял величину этого действия. Именно им были поставлены вопросы о возмущениях близкого к круговому движения двух тел (Луны и Земли) под действием третьего, от них весьма далекого (Солнца).

Ньютон озаглавил свой труд «Математические начала натуральной философии». Мы видели, в каком смысле следует понимать слова «математические начала». Но изложил ли ои в своем произведении математические начала всей натуральной философии? Он рассмотрел ряд важнейших явлений (небесные движения, приливы моря, удар тел, движение брошенных тел и т. д.). Однако не случайно восклицал он: «О если бы и остальные явления природы можно было также вывести путем того же способа аргументации из начал механики!». В деятельности Нью-* тона оставались области, которые не подвергались и еще не могли подвергнуться подобной математизации.

Особые усилия прилагал Ньютон к тому, чтобы добиться союза математики и физики в области оптики. В оставшихся забытыми «Лекциях по оптике» он писал: «Так же как астрономия, география, мореплавание, оптика и механика почитаются науками математическими, ибо в них дело идет о вещах физических, небе, земле, кораблях, свете и местном движении, так же точно и цвета относятся к физике, и науку о них следует почитать математической, поскольку она излагаетюя математическим рассуждением. Точная наука о цветах относится к труднейшим из тех, кои желательны были бы философу. Я надеюсь на этом примере показать, что значит математика в натуральной философии, и побудить геометров ближе подойти к исследованию природы, а жадных до естественной науки сначала выучиться геометрии, чтобы первые не тратили все время на рассуждения, бесполезные для жизни человеческой, а вторые, старательно выполнявшие до спх пор свою работу превратным методом, разобрались бы в своих надеждах, чтобы философствующие геометры и философы, применяющие геометрию, вместо домыслов

и возможностей, выхваляемых всюду, укрепляли бы науку о природе высшими доказательствами».

Обращая внимание на эти малоизвестные строки «Лекций», С. И. Вавилов писал: «Сложное учение о цветах Ньютон впервые поставил на почву измерительного физического опыта и математического расчета. Учение о цветах наряду с геометрической оптикой заняло законное место в quadrivium».

Нет сомнения, что в этой и в аналогичных областях эксперимент и наблюдение должны были играть совершенно иную роль, чем при математическом исследовании математических начал натуральной философии.

Так наука в лице Ньютона на рубеже XVIII в. оказалась лицом к лицу с новыми проблемами математико-механического истолкования явлений и новой необозримой областью научного экспериментирования.

「ЛАВА ПЯТАЯ

ТРУДЫ ЭЙЛЕРА ПО МЕХАНИКЕ

М

еханика наряду с математикой была главной областью творчества Леонарда Эйлера. Первая его работа, написанная в 1725 г., была посвящена изохронным кривым в случае сопротивляющейся среды; она вышла в основантгых Лейбницем «Acta eruditorum» за 1726 г. По механике Эйлер написал свыше двухсот статей и книг -- около четверти всех его публикаций, причем без учета почти ста работ по небесной механике.

Исследования Эйлера охватывали все отделы механики. Более 160 из них относятся к теоретическим проблемам: общим вопросам (учение о пространстве, о природе материи и сил, принцип наименьшего действия), механике точки и твердого тела, давлению и удару? трению, теории упругости и сопротивлению материалов, гидро- и аэромеханике. Остальные сорок имеют своим предметом теорию машин, гидравлику, баллистику, теорию корабля и некоторые другие области прикладной механики.

Вскоре после переезда в Петербург Эйлер приступил к исследованию различных механических задач. Он глубоко изучает творения своих предшественников, от Галилея до Ньютона, Лейбница и его учеников и одновременно выступает в печати с рядом оригинальных результатов. Начиная со второго тома «Commentarii» Петербургской академии наук появляются его статьи о таутохрон- ных кривых в случаях пустоты и сопротивляющейся среды, о колебаниях упругих пластин, об ударе и др. Из 28 работ, представленных им Академии до конца 1734 г.7 девять относились непосредственно к механике. И уже

в первые годы научной деятельности Эйлер составил программу грандиозного и всеобъемлющего цикла работ в этой области. Эта программа изложена в его первой двухтомной монографии «Механика или наука о движении, изложенная аналитическим методом», изданной в Петербурге в 1736 г. В ней Эйлер писал: «Итак, разнообразие тел предопределяет для нас первоначальное деление нашей работы. Сначала мы будем рассматривать тела бесконечно малые, т. е. те, которые могут рассматриваться как точки. Затем мы приступим к телам, имеющим конечную величину,— тем, которые являются твердыми, не позволяя менять своей формы. В-третьих, мы будем говорить о телах гибких. В-четвертых, о тех, которые допускают растяжение и сжатие. В-пятых, мы подвергнем исследованию движение многих разъединенных тел, из которых одни препятствуют другим выполнить свои движения так, как они стремятся это сделать. В-шестых, будет рассматриваться движение жидких тел. По отношению к этим телам мы будем рассматривать не только то, как они, предоставленные самим себе, продолжают движение, но, кроме того, мы будем исследовать, как на эти тела воздействуют внешние причины, т. е. силы» 1.

Реализация намеченной программы растянулась на десятилетия. «Механика» Эйлера содержала основания динамики точки ——под механикой Эйлер разумел именно науку о движении, в отличие от науки о равновесии сил или статики. Отличительной чертой «Механики» Эйлера явилось широкое использование нового математического аппарата — дифференциального и интегрального исчисления. Это нашло отражение уже в названии книги и было особо подчеркнуто в предисловии к ней. Кратко охарактеризовав основные труды по механике, составленные на рубеже XVII и XVIII вв., Эйлер отмечал присущий им синтетико-геометрический стиль всего изложения, чрезвычайно затрудняющий читателей. Именно в такой манере написаны «Математические начала натуральной философии» Ньютона, благодаря которым наука о движении получила наибольшее развитие, и более поздняя «Форономия» Германа——единственное тогда сочинение, в котором эта наука была изложена как само-

Л. Э Пл е р. Основы динамики точки. М. — Л., 1938, стр. 89—90.

ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР

стоятсльиая дисциплина. Эйлер заявлял: «Однако если анализ где-либо и необходим, так это особенно относится к механике. Хотя читатель и убеждается в истине выставленных предложений, но он не получает достаточно ясного и точного их понимания, так что, если чуть-чуть изменить те же самые вопросы, он едва ли будет в состоянии разрешить их самостоятельно, если не прибегнет сам к анализу и те же предложения не разрешит аналитическим методом» . Тут он ссылается на собственный опыт: познакомившись с обоими упомянутыми трудами, Ньютона и Германа, он полагал, что ясно понял решение многих задач, но в действительности оказался не в состоянии решить даже мало отличающиеся от них новые проблемы. Тогда Эйлер стал перерабатывать синтетические доказательства в аналитические и, лучше уяснив суть вопроса, перешел к аналитическому изучению новых задач, что, в свою очередь, привело его к открытию новых методов, обогащающих как механику, так и сам анализ. «Таким образом и возникло это сочинение о движении, в котором я изложил аналитическим методом и в удобном порядке как то, что я нашел у других в их работах о движении тел, так и то, что я получил в результате своих размышлений» .

Чрезвычайные выгоды, связанные с применением в динамике анализа вместо геометрических построений, общеизвестны. Отдельные примеры, свидетельствующие об этом, уже давно разобраны, и мы на них задерживаться не станем. Но следует заметить, что было бы неверно видеть заслугу Эйлера в одном только переводе динамики Ньютона с синтетико-геометрического языка на более простой аналитический. Эйлер создал принципиально новые методы исследования проблем механики, разработал ее новый математический аппарат и с блеском применил его ко множеству новых трудных задач. Он впервые сделал инструментом механики дифференциальную геометрию, дифференциальные уравнения, вариационное исчисление. Синтетико-геометрический метод не был, вообще говоря, адекватным явлениям динамики, поскольку требовал, как правило, индивидуальных построений, приспособленных к каждой задаче в отдельности. Метод Эйлера, развитый как

им самим, так и другими учеными, был единообразным и адекватным предмету.

Выход «Механики» Эйлера сразу привлек внимание ученого мира. Иоганн Бернулли похвалил ее в письме к Эйлеру 6 ноября 1737 г.; в том же году появилось подробное изложение книги в издававшейся группой немецких ученых «Bibliotheque germanique» (т. 39), а еще год спустя восторженный отзыв был опубликован в лейпцигских «Nova acta eruditorum».

Через восемь лет после выхода «Механики» Эйлер обогатил эту науку первым точным выражением принципа наименьшего действия. Принцип наименьшего действия, вообще говоря, состоит в том, что для каждой физической системы существует некоторая величина, именуемая действием, которая принимает наименьше© значение при действительно происходящем движении. Идея принципа зародилась в оптике: П. Ферма (1601—1665) дал в 1662 г. вывод закона преломления света, исходя из принципа кратчайшего времени. Затем эта идея была воспринята И. Бернулли, а в 1744—1746 гг. ее развил применительно к механике Мопертюи. Принцип Мопертюи гласит: когда в природе происходит некоторое изменение, количество действия, необходимое для этого изменения, является наименьшим возможным. Свой принцип Мопертюи обосновывал с помощью метафизических и теологических доводов и пытался найти в нем новые аргументы в пользу существования бога, как творца целесообразных законов природы. В случае механического движения Мопертюи понимал под действием величину mus, т. е. произведение массы, скорости и пути, проходимого телом. Эта величина должна быть минимальна при движении; при покое же, т. е. равновесии, тела должны располагаться так, что если бы они совершили малое движение, то возникшее при этом количество действия было бы наименьшим. Из этих принципов Мопертюи выводил законы рычага и удара.

Математическое выражение принципа Мопертюи было весьма ограниченным. Эйлер самостоятельно пришел к собственной формулировке принципа наименьшего действия в ходе занятий проблемами вариационного исчислени}г. Уже в конце 20-х годов XVIII в. он приступил к систематической работе в этой новой области математики, успешно продолжив исследования, начатые тридцатью годами ранее И. и Я. Бернулли. Результаты, полученные Эйлером на

протяжении 15 лет и частью публиковавшиеся в «Сош- mentarii» Петербургской академии, были суммированы в большом трактате «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле», вышедшем в 1744 г.

28 января 1741 г. в письме из Базеля Д. Бернулли, обсуждая с Эйлером вопрос об орбитах, описываемых под действием центральных сил, запросил его мнение о возможности решения вопроса с помощью изопериметрического (т. е. вариационного) метода. Весной 1743 г. Эйлер уже обладал решением задачи, которое изложил в только что упомянутом приложении, озаглавленном «Об определении движения брошенных тел в несопротивляющейся среде методом максимумов и минимумов». И Эйлер был уверен в существовании экстремальных законов, характерных для всех физических явлений. Он, лодобно Мопер- тюи, еще соединял это положение с теологическими и телеологическими соображениями: великий математик был верующим человеком. «Так как,——писал Эйлер,——все явления природы следуют какому-нибудь закону максимума или минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые описывают брошенные тела, если на них действуют какие-нибудь силы, имеет место какое- то свойство максимума или минимума» . Дале。он замечает, что определить подобное свойство «из принципов метафизики a priori» не так легко. Однако поскольку те же кривые линии можно определить с помощью прямого метода, «то, приложив должное внимание, можно будет заключить о том, что в этих кривых является максимумом или минимумом». Рассуждения Эйлера привели его к выводу, что для траекторий, описываемых под действием центральных сил, экстремальное значение должен иметь интеграл по времени от живой силы, или, как это писал сам Эйлер, «для кривой, описываемой брошенным телом, сумма всех живых сил, находящихся в теле в отдельные моменты времени, будет наименьшей» . Принцип наименьшего действия оказывается связанным с законом живых сил, а его применение ограничивается случаями, в которых силы имеют потенциал.

Эйлер публично признавал первенство Мопертюи в открытии принципа наименьшего действия. В действительности оба они пришли к своим результатам независимо п одновременно. Но для дальнейшего развития вариационных принципов механики отправным пунктом стал именно принцип Эйлера, применимый к непрерывным движениям и дающий дифференциальные уравнения траекторий, между тем как принцип Мопертюи относится лишь к случаю конечных и мгновенных изменений скорости. Преимущество Эйлера в обосновании и применении принципа признавал сам Мопертюи.

На протяжении 1746—1749 гг. Эйлер написал несколько работ о фигурах равновесия гибкой нити, где принцип наименьшего действия получил применение к задачам, в которых действуют упругие силы. Дальнейшее продвижение здесь было достигнуто трудами Лагранжа.

Мы не будем останавливаться на шумном споре о принципе наименьшего действия, развернувшемся в середине XVIII в. Заметим лишь, что в этюй дискуссии, начавшейся в связи с тем, что И. С. Кениг (1712—1757) подверг сомнению приоритет Мопертюи, нашла яркое выражение идеологическая борьба сторонников детерминистической и материалистической картины мира с приверженцами телеологических и теологических концепций. Эйлер поддерживал Мопертюи; противоположные им позиции занимали Вольтер, Даламбер и др. Положительным результатом спора явилось освобождение принципа наименьшего действия от метафизических привесков. В статье «Космология» («Cosmologie»), напечатанной в четвертом томе знаменитой «Энциклопедии» (1754), Даламбер, подводя итоги спору, писал, что принцип минимальности действия «сам по себе полезен для механики и мог бы облегчить разрешение некоторых проблем», особенно подчеркивая, что он «есть только математический принцип».

Годы жизни Эйлера в Берлине (1741 — 1766) были отмечены интенсивной работой в области механики, особенно небесной теории движения твердого тела и гидромеханики. История небесной механики представляет собой часть истории астрономии; исследования Эйлера в этой области стали недавно предметом специального подробного анализа. Мы должны, однако, сказать несколько слов о роли Эйлера в утверждении закона всемирного тяготения Ньютона.

Одной из трудностей, которые должна была преодолеть механика Ньютона, была проблема фигуры Земли. Не меньшие трудности возникали при изучении движения тел солнечной системы и прежде всего Луны. Основанные на законе тяготения расчеты Клеро и Даламбера, произведенные в 1745 г., дали для апогея лунной орбиты период обращения в 18 лет, величину, вдвое превосходившую данные наблюдений. Это ставило под удар всю систему Ньютона. Многие, в том числе Клеро и Эйлер, склонялись к тому, что необходимо внести поправки в самый ньютоновский закон тяготения. Но в 1749 г. Клеро сообщил Эйлеру, что обнаружил недостаточность метода, применявшегося в прежних вычислениях. Ранее Клеро ограничивался первым приближением решения соответствующих дифференциальных уравнений, и этим-то и объяснялось указанное расхождение. Между тем привлечение второго приближения, по утверждению Клеро, дает численный результат, согласный с наблюдаемым. Тем же путем Клеро объяснял расхождение с наблюдениями данных, полученных Эйлером. В письме Эйлеру ют 10 июля 1749 г. Клеро писал: «Я предполагаю, что Вы не пришли к правильному результату потому, что пренебрегли в своем вычислении при интегрировании первых дифференциальных уравнении (т. е. уравнений второго порядка.——А. Г.) членами, происходящими от квадратов возмущающих сил. По крайней мере, именно после того, как я учел эти члены, и я получил почти действительное движение апогея».

Эйлер не был убежден доводами Клеро и для решения вопроса посоветовал Петербургской академии объявить конкурс на тему: «Согласуются или же нет все неравенства, наблюдаемые в движении Луны, с теорией Ньютона? И какова истинная теория этих неравенств, которая позволила бы точно определить местоположение Луны для любого времени?» Конкурс был объявлен в конце 1749 г. Эйлер вошел в состав жюри. Клеро представил на конкурс свое сочинение. Ознакомившись с ним, Эйлер с полным беспристрастием отказался от своей прежней точки зрения. Он оценил труд Клеро как великолепный, и в 1751 г. премия была присуждена французскому ученому за «Теорию Луны, выведенную из одного только принципа притяжения, обратно пропорционального квадратам расстояния».

Но Эйлер не ограничился разбором теории Клеро. Чтобы проверить ее, оп дополнительно исследовал вопрос с 158

помощью другого, собственного метода, который изложил в «Теории движения Луны, выявляющей все ее неравенства», опубликованной за счет Петербургской академии в Берлине в 1753 г.

Так Клеро и Эйлер утвердили теорию тяготения Ньютона. Вычислительные приемы Эйлера получили и практическое применение. На основе его формул немецкий астроном Т. Майер (1723—1762) составил таблицы видимого движения Луны, которые были вскоре использованы в справочниках для мореплавателей для определения долготы в открытом море по угловым расстояниям Луны от Солнца и еще некоторых удобных для наблюдения ярких светил.

Такой способ определения долготы корабля применялся на практике, наряду с определением с помощью хронометра, изобретенного в 1761 г. Т. Гаррисоном (1693— 1776), более ста лет. Тогда же английский парламент выдал установленную в 1714г. премию за способ определения долготы в море с точностью до V2 градуса: 20 000 ф. ст.—— Гаррисону, 3000 ф. ст.— наследникам скончавшегося Майера и 300 ф. ст.——Эйлеру за формулы, использованные при вычислении майеровских лунных таблиц.

Не останавливаясь на других работах Эйлера по не* беснюй механике, в частности по движению планет, и на его позднейшей новой теории Луны, заметим еще, что в них содержатся и валшые результаты по общей механике и специально по динамике системы точек. Эти результаты были подытожены вместе с его открытиями по теории движения твердого тела в большом труде, законченном в 1760 г. и опубликованном в 1765 г.: «Теория движения твердых тел, выведенная из первоначальных принципов нашего познания и примененная ко всем движениям, которые могут иметь этого рода тела».

Динамике твердого тела Эйлер предпосылает большое введение из шести глав, в котором вновь изложена динамика точки. Это позволяет читателю не обращаться к «Механике», вышедшей почти тридцатью годами раньше. В отличие от прежнего изложения, Эйлер пишет здесь уравнения движения точки, пользуясь проектированием на оси неподвижных прямоугольных координат, как он поступал уже и ранее, например в «Теории движения Луны» 1753 г. «Этим путем,— писал Эйлер,——устраняется необходимость в довольно неприятных исследованиях, касающихся кри-

визны описанного пути, а также и двоякой кривизны, — в том случае, когда движение происходит не в одной и той же плоскости... Так как я в предыдущих частях механики не пользовался этим приемом, я там приходил к слишком запутанным вычислениям».

Следующий за введением «Трактат о движении твердых тел» состоит из 19 глав. В основу положен принцип Далам- бера, высказанный французским математиком в «Трактате о динамике» 1743 г. и представлявший собой развитие идеи, содержавшейся еще в «Форономии» Германа (1716). Рассматривая задачу о центре колебания сложного маятника, Герман использовал такое начало: движущие силы, под влиянием которых должны находиться грузы, образующие маятник, чтобы иметь возможность двигаться совместно, эквивалентны тем силам, которые получаются под действием тяжести и, таким образом, первые, если направить их в противоположную сторону, должны находиться в равновесии с последними. Принцип Даламбера, сводящий задачи динамики несвободной системы к рассмотрению равновесия некоторой системы действительных и фиктивных сил, Эйлер формулирует в главе 1 «Трактата». Он вводит понятие элементарной силы, приложенной к точке тела в любой момент его движения, как силы, которую следовало бы к ней приложить, чтобы, будучи свободной, она совершала то же самое движение. Принцип Даламбера выступает при этом как положение о равновесии между элементарными силами и данными внешними силами.

Коротко остановившись на поступательном движении твердого тела и введя понятие центра инерции, Эйлер рассматривает вращения вокруг неподвижной оси и вокруг неподвижной точки. Здесь подробно разработан аппарат разнообразных формул для проекций мгновенной угловой скорости, углового ускорения на оси координат, используются так называемые углы Эйлера (впервые введенные им в 1748 г.) и т. д. В главах 5—6 рассмотрены свойства момента инерции и вычислены моменты инерции ряда плоских и пространственных фигур. Главные оси определяются с помощью их экстремальных свойств (эллипсоид инерции еще отсутствует). В следующих главах разработана самая динамика твердого тела. Особый интерес представляет глава 10, где рассмотрена задача о вращении твердого тяжелого тела вокруг его неподвижного центра тяжести при отсутствии внешних сил.

В двух последующих главах Эйлер без труда решает задачу для случаев трех или двух равных главных моментов инерции. В случае попарно неравных моментов при отсутствии внешних сил он выражает закон движения через дуги конических сечений, т. е. через эллиптические интегралы, и рассматривает условия, при которых дело сводится к элементарным интегралам. Мы не можем здесь останавливаться на дальнейшей истории этой основной в теории гироскопа (волчка) задачи, ставшей предметом изысканий многих ученых. Скажем лишь, что новый шаг вперед сделал вскоре Лагранж, давший решение для случая, когда два главных момента инерции равны, а центр тяжести тела лежит на оси третьего момента (в дифференциальные уравнения входят тогда дополнительные члены, зависящие от координат центра тяжести). Новые глубокие исследования проведены были еще через сто лет С. В. Ковалевской.

До сих пор Эйлер рассматривал вращение твердого тела при условии, что равнодействующая внешних сил проходит через неподвижную точку. В главе 15 он выводит дифференциальные уравнения движения твердого тела под действием каких-либо данных сил ——общие «уравнения Эйлера», которые приводятся ныне во всех руководствах по теоретической механике в записи, мало отличной от той, какую им дал великий математик.

Следует добавить, что в главе 11 Эйлер впервые показал, что мгновенное движение твердого тела можно всегда составить из поступательного перемещения вдоль прямой и мгновенного вращения: этим и объяснялось то внимание, которое он уделил вращательному движению. Теорему о том, что всякое бесконечно малое движение твердого тела можно рассматривать как элементарное винтовое движение вокруг мгновенной винтовой оси, иногда называют по имени французского геометра М. Шаля (1793—1880).

В последних главах содержатся некоторые приложения общей теории к вращению небесных тел, в частности к явлениям либрации и нутации, к движению волчка на горизонтальной плоскости и другим вопросам, а в обширном приложении рассмотрен еще вопрос о движении с трением.

11 А. Т. Григорьян

ГЛАВА ШЕСТАЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА В XVIII и XIX вв.

ЛАГРАНЖ

В

развитии механики появление в 1788 г. «Аналитической механики» Лагранжа (1736—1813) было выдающимся событием. В 4813—1815 гг. этот труд вышел вторым, дополненным изданием, и с тех пор несколько раз в течение девятнадцатого столетия переиздавался с дополнениями и примечаниями других ученых 1.

Лагранжу принадлежат многие выдающиеся работы по механике. К периоду его деятельности до первого издания «Аналитической механики» относятся исследования о задаче трех тел, о применении в механике принципа наименьшего действия, о задаче вращения твердого тела вокруг неподвижной точки («гироскоп Лагранжа»), по теории волн на поверхности жидкости и другие.

Как в этот период, так и после первого издания своего трактата Лагранж занимался небесной механикой и получил в этой области немало важных результатов: по расчету орбит планет и комет и по общим методам решения уравнений, определяющих движение тел солнечной системы. В «Аналитическую механику» включены многие замечательные достижения Лагранжа, но она вошла бы в историю нашей науки даже без них ——благодаря оригинальности системы изложения и единству метода, использованного ее автором. В предисловии к первому изданию Лагранж с полным основанием писал, что «существует уже много

Ж. Лагранж. Аиалитичеокая механика, пар. с франц. В. С. Г о х м а н а, т. I иод ред. и с прим. Л. Г. Лойцянского и А. И. Лурье; т. II под р>ед. и с прим. Г. Н. Дуботина. М.— Л., 1950.

ЖОЗЕФ-ЛУИ ЛАГРАНЖ

11*

трактатов по механике, но план настоящего трактата является совершенно новым. Я поставил себе целью свести теорию механики и методы решения связанных с нею задач к общим формулам, простое развитие которых дает все уравнения, необходимые для решения каждой задачи». И с законным удовлетворением Лагранж добавил к этому: 《Я надеюсь, что способ, каким я постарался этого достичь, не оставляет желать чего-либо лучшего». Поэтому особенно поучительно познакомиться с тем, на основе каких исходных положений и какими средствами Лагранж создал стройную систему своей (аналитической) механики.

Сам Лагранж характеризовал свои методы таким образом: они «не требуют ни построений, ни геометрических или механических рассуждений; они требуют только алгебраических операций, подчиненных планомерному и однообразному ходу. Все любящие анализ (подразумевается: математический анализ, анализ бесконечно малых.—— Л. Л) с удовольствием убедятся в том, что механика становится новой отраслью анализа, и будут мне благодарны за то, что этим путем я расширил область его применения» . Эта характеристика, если принять ее безоговорочно, означает, что аналитическая механика Лагранжа является ветвью анализа, что она 一 механика, лишенная «механических рассуждений», так как в ней указаны общие методы для составления уравнений любой задачи механики, после чего решение становится чисто математической проблемой. Когда Эйлер в 1736 г. издавал свою «Механику в аналитическом изложении», он начинал то построение аналитической механики, которыми затем много занимались он сам, Клеро, Данамбер, Даниил Бернулли и другие менее крупные ученые XVIII в. Но у Эйлера задачи механики, хотя и решаются средствами анализа бесконечно малых, но каждая сводится к решению уравнений по-своему. Кроме того, сочинение Эйлера 1736 г. — это механика материальной точки. В своих дальнейших трудах, как мы уже знаем, Эйлер и другие ученые развили динамику твердого тела. Лагранж охватил механику системы материальных точек и тел и создал единообразный и общий метод сведения механических задач к решению соответствующих математических задач. Но ясно, что при этом ему приходилось исходить из каких-то физических,

экспериментальных положений. Каковы эти положения? И насколько общими являются методы Лагранжа, действительно ли они охватывают все задачи механики?

Ответы на эти вопросы познакомят нас с тем, что действительно можно назвать механикой Лагранжа. Эта механика делится на две части: статику и динамику. Статика у Лагранжа основана на принципе виртуальных (возможных) скоростей. «Под виртуальной скоростью следует понимать скорость, которую тело, находящееся в равновесии, готово принять в тот момент, когда равновесие нарушено, то-есть ту скорость, какую тело фактически получило бы в первое мгновение своего движения». Принцип виртуальных скоростей формулируется так: «Если какая- либо система любого числа тел, или точек, на каждую из которых действуют любые силы, находится в равновесии и, если этой системе сообщить любое малое движение, в результате которого каждая точка пройдет бесконечно малый путь, представляющий ее виртуальную скорость, то сумма сил, помноженных каждая соответственно на путь, проходимый по направлению силы точкой, в которой она приложена, будет всегда равна нулю, если малые пути, проходимые в направлении сил, считать положительными, а проходимые в противоположном направлении считать отрицательными» 3.

Вводя этот принцип, Лагранж ссылался на данные опыта. Он указывал на общий закон равновесия машин: отношение сил друг к другу обратно отношению скоростей точек, к которым они приложены, причем скорости должны измеряться в направлении сил. Это положение, взятое в общем виде, и составляет принцип виртуальных скоростей, который «можно рассматривать как своего рода аксиому механики». Впрочем, Лагранж дал и два доказательства принципа виртуальных скоростей, но, разумеется, эти доказательства состоят в том, что этот принцип сводится к другим положениям статики. Наиболее известно доказательство, приведенное во втором издании «Аналитической механики». Оно основано на «принципе блоков». Считая последний принцип вполне наглядным, Лагранж рассматривал его как естественное основание для принципа виртуальных скоростей.

Ж. Л(а г р а н ж. Аналитичеокая мехниьжн, т. I, стр. 39—42*

Чтобы записать принцип виртуальных скоростей в виде формулы, обозначим через Р, Q,凡... силы, приложенные к телам, из которых состоит рассматриваемая система, и действующие по определенным направлениям. Эти силы для наглядности будем представлять себе как бы стремящимися к каким-то точкам, расположенным .на линиях действия сил, и будем называть эти точки центрами сил. Через р, q, г,... обозначим соответственно отрезки на линиях действия сил Р, Q, 7?,... Такие отрезки можно считать расстояниями от центров сил до тех точек систем, в которых приложены силы. Наконец, через dp, dq、dr,... обозначим вариации, или дифференциалы этих отрезков, «поскольку они могут получиться в результате какого- либо бесконечно малого изменения положения различных тел или точек системы. Ясно, что эти дифференциалы выразят величины путей, которые будут пройдены в одно и то же мгновение силами (т. е. точками приложения сил. — А. Г. ) Р, Q, 7?,... Таким образом, дифференциалы dp, dg, dr,... будут пропорциональны виртуальным скоростям сил Р, Q, R... и, следовательно, могут быть для простоты представлены вместо этих скоростей» . При введенных обозначениях общая формула статики для равновесия любой системы сил получается в виде.

Pdp + Qdq + Rdr + …=0 …(4)

Хотя Лагранж говорил о скоростях, в этой формуле нет величин, связанных с изменением во времени, она выражает принцип виртуальных перемещений, а не скоростей. Входящие в нее произведения вида Pdp, Q&q,... Лагранж называл (виртуальными) моментами сил Р, Q,…но, так как момент силы употребляется и в другом смысле (момент относительно точки, относительно оси), позже стали такое произведение называть работой (силы Р на перемещении dp) при бесконечно малом пути dp — элементарной работой. Поэтому сейчас мы можем сказать, что общая формула (1) Лагранжа выражает принцип виртуальных (возможных) работ.

После общей формулировки своего принципа Лагранж должен был показать, что на этой основе действительно осуществлено сведение механики к чисто аналитическим операциям. «Все дело сводится только к тому, чтобы вы-

разить аналитически и в наиболее общем виде значения отрезков р, д, г, ..., взятых по направлению сил Р, Q, R,..., и тогда путем простого дифференцирования получаются значения виртуальных скоростей dp, dg, dr, ...»5. И здесь Лагранж вводит в рассмотрение связи. Понятие связи является одним из основных в механике Лагранжа и рассматривается им в весьма общем виде. Составляющие механическую систему тела могут быть заранее ничем не ограничены в своем движении, их перемещения определяются только силами, к ним приложенными извне системы (внешние силы), и силами взаимодействия входящих в систему тел (внутренние силы). При отсутствии заранее заданных ограничений движения мы говорим, что механическая система свободна. Такова система тел, со* стоящая из Солнца, планет и их спутников. Различные части машины или механизма связаны друг с другом, что ограничивает их движение, и о такой механической системе тел мы говорим, что на нее наложены связи: поршень может ходить только взад и вперед вдоль оси цилиндра, насаженная на ось рукоятка может двигаться только в определенной плоскости и т. п.

Лагранж исходит из того, что каждую связь, наложенную на систему, можно записать в виде уравнения, схематически ——в виде L = 0、М = О, ... Это различные «условные уравнения, вытекающие из природы системы», как выражается Лагранж. Их левые части ——функции координат, определяющих положение тел системы. С помощью условных уравнений, или, как теперь принято говорить, с помощью уравнений связи, можно выразить некоторые из отрезков р, 7, г,... и их ди(^)ференциалы, т. е. бесконечно малые приращения dp, dq, dr, ..., через остальные отрезки II дифференциалы последних. После подстановки в общую формулу (1) и приведения в ней подобных слагаемых, т. е. слагаемых, умноженных на одинаковые дифференциалы, число слагаемых в ней уменьшится м мы получим минимально необходимое число условий равновесия. Но каждому из уравнений 厶=О, М О, ... соответствует определенная физическая связь между телами системы, сама эта связь тоже представляет собой тело имп систему тел, действующих на изучаемую систему. Иначе говоря, наличие связи эквивалентно тому, что к системе

приложена некоторая сила ——реакция связи. Реакция связи нам неизвестна. Если связь осуществляется без трения (практически — с пренебрежимо малым трением), ее называют идеальной. Лагранж рассматривал только идеальные связи. В этом случае, использовав уравнения связи, чтобы получить минимально необходимое число условий равновесия, мы не введем в эти условия реакций связи. Получающиеся таким образом уравнения равновесия называются уравнениями Лагранжа второго рода. Реакции связи надо будет определить дополнительно. Но Лагранж показывает и другой способ получения условий равновесия из общей формулы (1), так называемый способ множителей. В этом случае в уравнения равновесия войдут реакции связи, число уравнений получается большим и они содержат больше неизвестных. Однако, учитывая уравнения связи, мы получаем достаточное число уравнений, чтобы определить и положение равновесия системы, и значение реакций наложенных на нее связей. Сами же уравнения равновесия, полученные по способу множителей Лагранжа, принято называть уравнениями Лагранжа первого рода. Выведя в общем виде свои уравнения равновесия, Лагранж тем самым впервые создал аппарат аналитической статики. Кроме того, он применил его не только к системам, состоящим из твердых тел и материальных точек, но и к упругим телам и жидкостям. При этом он исходил из соответствующего обобщения формулы (1), т. е. он распространил принцип виртуальных работ на механику сплошной среды, иначе говоря на континуальные системы.

В динамике Лагранж исходит из двух законов: закона инерции и закона сложения движений (по правилу параллелограмма). Второй закон механики Ньютона Лагранж как бы выводит из этих двух следующим образом. В равномерно-ускоренном движении существует постоянное отношение между скоростями и временами. Это отношение принимается за меру ускоряющей силы, непрерывно действующей на тело,——ведь эта сила может быть измерена только по такому ее действию. В общем же случае, «каковы бы ни были движение тела и закон его ускорения, но согласно природе дифференциального исчисления мы можем признать постоянным действие каждой ускоряющей силы в течение бесконечно малого времени; таким образом всегда можно определить величину силы,

действующей на тело в любое мгновение, если вызванную в это мгновение скорость сравнить с продолжительностью этого мгновения...» . Эту схему перехода от равномерноускоренного движения (Галилей) к общему случаю Лагранж связывает с именем Гюйгенса, построившего теорию центробежных сил. Ньютон, по Лагранжу, обобщил эту теорию Гюйгенса на все кривые линии и тем дополнил учение о неравномерных движениях и об ускоряющих силах, способных их вызвать. Сам Ньютон постоянно пользовался геометрическим методом, но «в настоящее время это учение сводится лишь к нескольким очень простым дифференциальным формулам». Эти дифферснциаль- ные формулы мы находим во втором отделе: «пользуемся тремя прямоугольными координатами n, у, z для определения положения тела (т. е. материальной точки) в момент 力；тело можно считать движущимся одновременно со

dx dy dz

скоростями 凉, 五, 豆； эти скорости вследствие существования между телами связи и под действием влияющих на них ускоряющих сил в течение мгновения dt получают приращения d灰， c?^j , d苏， откуда ускоряющие силы выразятся через

d^X 〃2у d?Z

а если эти силы помножить на массу т тела, на которое „濯》 d2y d2z

они действуют, то 加誘, "諺' 〃？而 выразят силы, примененные непосредственно для того, чтобы в течение времени dt двигать тело /п параллельно осям координат» . Так Лагранж приходит к дифференциальным уравнениям движения материальной точки.

Аналитическая динамика Лагранжа основана на общей формуле, которую сейчас называют уравнением Даламбера ——Лагранжа, или общим уравнением динамики. «Развитие этой формулы, если при этом принять во внимание условия, зависящие от природы системы, дает все уравнения, необходимые для определения движения каждого тела, после этого остается только эти уравнения интегрировать, что является уже задачей анализа» .

Исходя из своего общего уравнения динамики, Лагранж вывел дифференциальные уравнения движения в двух видах, соответствующих двум видам уравнений статики. Это знаменитые уравнения движения jiarpaHaca первого и второго рода. Уравнения движения второго рода замечательны тем, что для систем, при движении которых не изменяется их полная механическая энергия (консервативные системы), эти уравнения можно составить, зная общее выражение только двух величин: кинетической энергии системы и ее потенциальной энергии. Число этих уравнений минимально, оно равно числу степеней свободы системы. Вместе с тем уравнения Лагранжа весьма общи: их можно использовать для разных физических систем, если состояние таких систем характеризуется значениями их кинетической и потенциальной энергии. Кроме того, уравнения движения в форме Лагранжа второго рода имеют определенную структуру с математической точки зрения. Поэтому задача их решения (интегрирования) в общем виде является достаточно определенной, чтобы исследовать ее чисто математически. Знаменитый физик Максвелл имел все основания писать в своем «Трактате об электричестве и магнетизме», касаясь значения «Аналитической механики» Лагранжа:

«Так как благодаря созданию математической теории динамики, развитие идей и методов чистой математики сделало возможным выявление многих истин, которые нельзя было бы открыть, не обучившись математике, то если мы хотдм создать динамическую теорию других наук, мы должны воспринять и эти динамические истины, и математические методы.

Формулируя идеи и термины любой науки, имеющей дело, как науки об электричестве, с силами и с их действиями, мы должны постоянно иметь в виду идеи, являющиеся достоянием основной науки — динамики, чтобы мы могли с самого начала развития науки избежать противоречий с тем, что уже установлено, а также для того, чтобы с уточнением наших взглядов принятый нами язык нам помогал, а не мешал» .

Принципом наименьшего действия Лагранж много занимался в первые годы своей научной деятельности, в

связи с работами по вариационному исчислению. При систематическом изложении механики этот принцип отходит у Лагранжа на второй план. Все же существенно было то, что Лагранж формулировал этот принцип с полной определенностью как чисто механическую теорему, справедливую при соблюдении определенных условий. Эта формулировка такова: при движении любой системы тел, находящихся под действием взаимных сил притяжения, или сил, направленных к неподвижным центрам и пропорциональных каким-либо функциям расстояний, кривые, описываемые различными телами, а равно их скорости необходимо таковы, что сумма произведений отдельных масс (т) на интеграл скорости, умноженной на элемент кривой, является максимумом или минимумом ——при условии, что первые и последние точки каждой кривой рассматриваются как заданные. Эта формулировка, как видим, приводит к уже знакомой нам записи: обращается в нуль вариация суммы величин вида

где т ——масса одной из точек системы, и ——ее скорость, ds ——элемент пути, или, иначе говоря, бесконечно малый отрезок траектории точки т. К этому Лагранж добавляет, что ds = udt (<Й обозначает тот бесконечно малый промежуток времени, в течение которого точка т проходит путь ds), поэтому вместо mfvds можно написать т/v2dt или /mv2dt. Тут под знаком интеграла мы видим (удвоенную) живую силу точки, а так как нам надо взять сумму таких величин для всей рассматриваемой механической системы, то в итоге под знаком интеграла окажется (удвоенная) живая сила всей системы в любое мгновение. Таким образом, говорит Лагранж, рассматриваемый принцип сводится собственно к тому, что сумма живых сил всех тел от момента, когда они выходят из заданных точек, до того момента, когда они приходят в другие заданные точки, является максимумом или минимумом. Следовательно, этот принцип можно было бы с большим основанием назвать принципом наибольшей или наименьшей живой силы.

По мнению Лаграпжа, такая формулировка имела бы то преимущество, что она была бы общей как для движе-

ния, так и для равновесия, так как в статике Лагранж доказывал, что при прохождении положения равновесия живая сила системы бывает наибольшей или наименьшей.

Мы уже упоминали о том, что Лагранжу принадлежат многочисленные работы по механике сплошной среды. И в «Аналитической механике» немало места уделено гидростатике, гидродинамике, теории упругости. В этих разделах Лагранж систематизировал все результаты, по- лученные им и его предшественниками. В теории упруго- сти Лагранж не располагал общими уравнениями ( они были выведены позже, в 20-е годы XIX в.) и рассматривал равновесие и колебания около положения равновесия уп- ругих тел одномерных или двумерных — типа нити, стру- уравнениями для идеальной жидкости (т. е. совершенно' ны, мембраны. В гидродинамике Лагранж оперировал лишенной внутреннего трения), выведенными до него； Эйлером.

Математические трудности тут оказались настолько большими, что в общем случае Лагранж мог предложить только приближенный способ решения уравнения движения. Понадобилось немало времени, чтобы с помощью новых математических методов удалось добиться дальнейших результатов там, где вынужден был остановиться Лагранж.

ГАМИЛЬТОН. ОСТРОГРАДСКИЙ

Как мы видели, итогом трудов нескольких поколений ученых, от эпохи Галилея ——Ньютона до начала девятнадцатого столетия, было развитие и уточнение системы основных понятий и законов механики, а также создание ее аналитического аппарата. Не следует, впроием, думать, что было достигнуто полное единодушие по всем вопросам. Среди ученых-теоретиков в первой половине XIX в. расхождения касались преимущественно методики изложения основ механики, но некоторые ученые прикладного направления были настроены более критически: в стремлении сократить путь от абстракций теоретической механики к техническим применениям они ставили под сомнение целесообразность введения таких понятий, как материальная точка, точка приложения силы и т. п., даже призывали к созданию особой системы понятий «техни-

ВИЛЬЯМ ГАМИЛЬТОН

ческой» или «промышленной» механики. Но действительно плодотворным оказалось не отрицание абстрактных построений теории, а их использование под контролем опыта, указывающего пределы применимости теории и пути iee совершенствования. Благодаря все более широкому применению механики в технических вопросах, что было совместным делом механиков, физиков, ученых-инженеров, в первой половине XIX в. выделяется в самостоятельную отрасль науки кинематика механизмов, закладываются основы динамики машин, разрозненные исследования по механике упругих тел объединяются в общую теорию упругости, а на основе этой теории оформляется такая важная техническая наука, как сопротивление материалов. В теории окончательно вводятся и укореняются понятия работы, механической энергии, векторные представления. Во второй половине века новое направление в кинематике механизмов создает математик П. Л. Чебышев (1821—— 1894) и в связи со своими кинематическими исследованиями он разрабатывает методы новой отрасли математики —— теории наилучшего приближения функций. Физик Гельмгольц, один из творцов закона сохранения энергии, обогащает гидродинамику 'теорией вихревых движений, созданной в связи с работами по электродинамике, и теорией струй, подсказанной опытом и наблюдением. Инженер Сен-Венан, классик теории упругости, становится одним из основателей векторного исчисления. Мы приводим эти примеры с целью показать, что, несмотря на высокую степень абстракции, характерную для теоретической механики, она оставалась тесно связанной с техникой, физикой и другими науками, обогащая практику и обогащаясь ею.

В девятнадцатом столетии механика сохраняет положение ведущей дисциплины теоретического естествознания, завоеванное ею в этаоху от Ньютона до Лагранжа. Поэтому не прекращается развитие ее общих методов. Наибольшее значение здесь имели труды М. В. Остроградского, В. Р. Гамильтона, К. Якоби.

Мы видели, что в механике Лагранжа центральное положение занимает принцип возможных перемещений. Его значение главным образом состоит в том, что он дает единообразный метод исследования механических систем со связями. Но у Лагранжа принцип сформулирован для двусторонних связей, которые исключают, запрещают

м. в. ОСТРОГРАДСКИЙ

движение в данном направлении, если с ними несовместимо движение в прямо противоположном направлении. Но весьма распространенным видом ограничения движения являются связи односторонние; например, твердая поверхность, по которой катится тело, не позволяет ему двигаться по нормали к поверхности в одном направлении, скажем вниз, и не ограничивает движения тела по нормали к поверхности в противоположном направлении, скажем вверх. Одна из заслуг М. В. Остроградского (1801——1862) состоит в том, что он существенно дополнил механику Лагранжа, распространив ее на системы с односторонними (освобождающими) связями. Остроградский много сделал и в области интегральных вариационных принципов механики, он получил значительные результаты в теории дифференциальных уравнений динамики. Тут его исследования тесно связаны с исследованиями В. Р. Гамильтона и К. Якоби.

Первые работы Гамильтона (1805——1865) посвящены оптике. Гамильтон начинал свою научную деятельность как астроном и в связи с этим занимался теорией оптических инструментов. В это время в физике шла борьба между так называемой эмиссионной теорией света, имевшей за собой авторитет Ньютона (свет — поток частиц, испускаемых светящимся телом), и волновой теорией света Гюйгенса, которую вновь выдвинули и обосновывали Юнг и Френель. Хотя Гамильтон сначала был, видимо, сторонником эмиссионной теории, он стремился дать такое построение оптики (геометрической), которое не (зависит от представлений относительно природы света. Опираясь на самое малое число исходных положений, обоснованных опытным путем, Гамильтон все дальнейшие результаты получает дедуктивно.

У Гамильтона впервые геометрическая оптика становится цельным учением и, если исключить несколько основных физических предпосылок — ветвью математики. В этом Гамильтон явно следовал примеру Лагранжа, «Аналитическую механику» которого он тщательно изучил и считал научной поэмой. Не удивительно, что так называемая оптико-механическая аналогия, в той или иной форме встречающаяся у таких его предшественников, как Ферма и Лаплас, не ускользнула от внимания Гамильтона. Так, в одной из своих первых работ Гамильтон выводит уравнение вариационного характера, связывающее коордииа-

ты точки, из которой исходит световой луч, и показатель преломления среды, в которой луч распространяется, с координатами точки падения луча на отражающее зеркало. Это уравнение Гамильтон называет принципом наименьшего действия.

Перейдя к механике, он показал значение в ней своего нового вариационного принципа, а его характеристическая функция для задач механики («функция Гамильтона» Я) оказалась, при довольно широких услювиях, совпадающей с энергией механической системы. Зная, как выражается функция Н через координаты и импульсы составляющих систему материальных точек, можно сразу составить дифференциальные уравнения, определяющие координаты и импульсы. Получающаяся система дифференциальных уравнений («канонические уравнения») равносильна системе уравнений движения, в частности — системе уравнений Лагранжа второго рода, но обладает некоторыми особыми свойствами, облегчающими ее исследование. Наконец, Гамильтон связал свою каноническую систему дифференциальных уравнений первого порядка с соответствующим дифференциальным уравнением в частных производных, которому, как выяснилось, удовлетворяет его характеристическая функция Н. Получилась обширная теория. Она дала новую удобную форму уравнений движения, новый подход к проблеме их решения (интегрирования) .Она вскрывала более полно и глубоко аналогии между механикой и оптикой, выявила новые возможности геометрической интерпретации, наконец, она вела к выявлению связи между волновыми и корпускулярными представлениями ——но последнее достаточно полно раскрылось лишь через столетие. Необходимо сказать, что очерченная выше теория не была дана Гамильтоном в достаточно общем и законченном виде: он вел свои исследования, переходя к механике, преимущественно в предположении, что имеет дело с системой свободных материальных точек, взаимодействующих с силами, зависящими только от взаимных расстояний. Обобщение результатов и методов Гамильтона, устранение излишних ограничений, тщательная разработка математических методов является заслугой К. Якоби (1804—1855) и М. В. Остроградского. Поэтому часто можно встретить в литературе термин «теория Гамильтона——Якоби», но исторически более справедливо говорить о теории Гамильтона — Якоби — Остроградского.

Эта теория является основным достижением аналитической механики XIX в. Поначалу казалось, что ее главное значение ——в развитии аналитических методов. Но более глубокое выявление связи механики с юптикой и раскрытая возможность нового геометрического истолкования механических проблем имела принципиальное значение. Во второй половине XIX в. накопление новых фактов и разработка новых методов в аналитической механике шло главным образом по линии геометризации. В начале двадцатого столетия, когда это направление сочеталось с новыми течениями в физике, именно на созданной им основе были пересмотрены основные понятия классической механики.

ГЛАВА СЕДЬМ АЯ

ПОНЯТИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

В ОЦЕНКЕ ЭЙНШТЕЙНА

П

осле Лагранжа в течение всего девятнадцатого столетия шло совершенствование аналитического аппарата механики, но система ее основных понятий и законов оставалась неизменной. Развитие кинематики, оформившейся под влиянием запросов техники в самостоятельную диюциплину, и создание векторного исчисления, т. е. векторной алгебры и векторного анализа, дали возможность отчетливее формулировать и компактнее излагать основы механики. Во второй половине XIX в. анализ основ механики, которым занялись главным образом физики под влиянием затруднений, с которыми они сталкивались в попытках ввести в русло механических представлений электродинамику, привел к уточнению представлений об инерциальных системах отсчета и о методах измерения времени. По-прежнему загадочной была природа силы тяготения, необъяснимым был факт совпадения инертной массы и тяжелой массы, но ньютоновы законы движения оставались непоколебленными. Непюко- лебленными оставались и представления о пространстве и о безоговорочной справедливости для реального пространства геометрии Евклида, и о времени, течение которого никак не могло зависеть от физических процессов, происходящих в рассматриваемой системе тел, что давало возможность, не задумываясь, оперировать «наивным» понятием одновременности. Можно сказать, что на рубеже XIX п XX вв. еще сохранилось представление о ньютоновых законах движения как об окончательном решении коренных вопросов бытия. «Вначале (если таковое было) бог создал

ньютоновы законы движения вместе с необходимыми массами и силами. Этим все и исчерпывается; остальное долж- но получиться дедуктивным путем, в результате разработки надлежащих математических методов» L

По мнению Эйнштейна, XIX век дал достаточно оснований для такого взгляда на ньютоновы законы движения. Особенно поразительными были успехи теорий, в которых применялись уравнения в частных производных. Первым классическим примером применения диф ф ер енци а льных уравнений в частных производных была ньютонова теория распространения звука. Далее Эйлер написал дифференциальные уравнения гидродинамики. Но это были теории распространения деформаций в непрерывной среде. Для XIX в., по мнению Эйнштейна, характерно систематическое и детальное исследование движения дискретных тел, причем механика дискретных тел оказалась юсновой всей физики в целом.

Когда Эйнштейн познакомился с основами классической физики, наибольшее впечатление на него произвели не столько структура механики Ньютона и методы решения механических задач, сколько применение механики к собственно физическим и физико-химическим задачам. Эйнштейн перечисляет результаты механических концепций в физике: оптику как механику квазиупругого эфира, кинетическую теорию газов и атомистическую химию (которая, впрочем, в механическом естествознании XIX в. стояла особняком).

Эйнштейн писал о себе и о своих сотоварищах студенческих лет: «На студента наибольшее впечатление производило не столько построение самого аппарата механики и решение сложных задач, сколько достижения механики в областях, на первый взгляд совсем с ней не связанных: механическая теория света, которая рассматривала свет как волновое движение квазитвердого упругого эфира, и прежде всего кинетическая теория газов. Здесь следует упомянуть независимость теплоемкости одноатомных га-

Gm. статью Эйнштейн|а «Творческая авто|биография» в сб. «Эйнштейн и совремеиная физкка» (М., Гостехиздат, 1956, стр. 26— 71). В сборнике 1то|мещена также статья В. А. Фюка «Эамеч)ания к „Творческой ав1тобиографиии Альберта Эйнштейна», (которая соде|р- жит весьма важные к|рнтиче©кие 3alMетаишт, отно)сящи1еся к эйн- штейно1В1С1К1ой трактовке абсолютного Лрос;тра1йств1а и других исходных понятий ньютоновой механики.

АЛЬБЕРТ ЭЙНШТЕЙН

зов от атомного веса, вывод уравнения состояния газа и его связь с теплоемкостью, а главное, численную зависимость между вязкостью, теплопроводностью и диффузией газов, которая давала и абсолютные размеры атом、 Эти результаты служили одновременно подтверждением механики как основы физики и подтверждением атомной гипотезы, которая тогда уже твердо укрепилась в химии.

Однако в химии играли роль только отношения атомных масс, а не их абсолютные величины, поэтому там атомную теорию можно было рассматривать скорее как наглядную аналогию, а не как познание действительного строения материи» .

Классическая механика может служить основой термодинамики. Правда, для этого необходимо взять статистическую совокупность молекул, движения которых подчиняются соотношениям классической механики. Но факт остается фактом: за статистическими закономерностями термодинамики стоят непреложные законы движения и соударения тел, установленные механикой Ньютона. Поэтому классическая термодинамика считалась ——да и действительно была — свидетельств ом универсального характера механики Ньютона. Эйнштейн пишет, что «глубочайший интерес вызывало и то, что статистическая теория классической механики была в состоянии вывести основные законы тер<модинамики; по существу это было сделано уже Больцманом» .

Классическую механику Ньютона считали основой и электродинамики. Это было вполне естественным результатом универсального понимания классической механики. Сознательной тенденцией Максвелла и Герца было механическое обоснование электродинамики. В то же время объективная историческая тенденция, пробивавшая себе дорогу в классической электродинамике, состояла в отрицании классической механики как основы физических представлений.

«Нельзя поэтому удивляться,——пишет Эйнштейн,—— 卫н。физики прошлого века видели в классической механике незыблемое основание для всей физики и даже для всего естествознания; они неустанно пытались обосновать

на механике и максвелловскую теорию электромагнетизма, медленно пробивавшую себе дорогу. Максвелл и Герц в своем сознательном мышлении также считали механик〉 надежной основой физики, хотя в исторической перспективе следует признать, что именно они и подорвали доверие к механике, как основе основ всего физического мышления» .

Сознательную ревизию классической механики Эйнштейн увидел в книге Маха «История механики». Здесь необходимо строго разграничить: 1) мысль о невозможности .построить здание науки на фундаменте классической механики; 2) так называемый принцип Маха, согласно которому силы инерции зависят от взаимодействия масс, и

3) философские взгляды Маха.

В части ютказа от догматического и универсального понимания классической механики Эйнштейн прочел в «Истории механики» больше того, что в ней содержалось. Мах оспаривал идею абсолютно ускоренного движения в том виде, в каком эта идея была высказана в «Началах» Ньютона. Знаменитый пример с вращающимся ведром казался Маху неубедительным. Но замечания Маха не содержали хотя бы в неявной форме мысли о других, неклассических закономерностях механики и не приводили к мысли о немеханических исходных закономерностях природы.

В своей критике ньютоновой механики Эйнштейн исходил из принципиально иных критериев, чем Мах. Для Эйнштейна первым критерием всякой физической теории служило ее соответствие данным опыта, под которым Эйнштейн понимал познание объективных процессов в природе. Физическая теория должна соответствовать опыту. Но это еще непосредственно не гарантирует правильности теории; данным опыта могут соответствовать различные концепции, причем очонь часто существующую концепцию можно привести в соответствие с опытом с помощью дополнительных гипотез. Действительно, концепция, объясняющая непротиворечивым образом ряд экспериментальных результатов, еще не имеет гарантированной единственности, она мо)жет быть (заменена иной, иногда более общей концепцией, объясняющей более широкий круг фактов.

Речь здесь идет, однако, не о расширении, уточнении и обобщении теории в связи с переходом к иному, более широкому кругу явлений. «Относительно ,,об ласти при- менимости" теорий мне можно здесь не говорить ничего, поскольку мы рассматриваем только такие теории, предметом которых является вся совокупность физических явлений» 5. Таким образом, первый эйнштейновский критерий допускает лишь альтернативную оценку: данная теория либо соответствует всей совокупности известных физических явлений, либо не соответствует ей. Разумеется, такое соответствие не гарантировано на будущее, поскольку объем эмпирических физических знаний непрерывно растет. Именно поэтому критерий соответствия фактам (Эйнштейн называет его критерием „внешнего оправдания44) всегда сохраняет свое значение при оценке научной теории.

Второй критерий Эйнштейн назвал критерием внутреннего совершенства. Речь идет о следующем.

Каждая т'еория может быть охарактеризована — подчас интуитивно, подчас сравнительно строгим образом — степенью ее логической стройности. Эйнштейн формулирует этот критерий с большой осторожностью, указывая на его неточность.

«Во втором критерии речь идет не об отношении к опытному материалу, а о предпосылках самой теории, о том, что можно было бы кратко, хотя и не вполне ясно, назвать «естественностью» или «логической простотой» предпосылок (основных понятий и основных соотношений между ними). Этот критерий, точная формулировка которого представляет большие трудности, всегда играл большую роль при выборе между теориями и при их оценке» .

Нельзя свести этот критерий к определению числа независимых допущений, из которых исходит теория. Эйнштейн говорит о несопоставимости логического качества одной теории с логическим качеством конкурирующей с ней, иной теории. Кроме числа независимых предпосылок, здесь существенна их сила, т. е. возможность однозначным образом определить вытекающие из них утверждения, исключив иные.

«Речь идет здесь не просто о каком-то перечислении логически независимых предпосылок (если таковое вообще

возможно однозначным образом), а о своего рода взвешивании и сравнении несоизмеримых качеств. Далее, из двух теорий с одинаково ,,простыми" основными положениями следует предпочесть ту, которая сильнее ограничивает возможные a priori качества систем (т. е. содержит наиболее определенные утверждения)».

К естественности (логической простоте) теории и ее определенности присоединяется еще одна составляющая внутреннего совершенства. Теория совершеннее, если она выбрана с максимальной принудительностью, с наименьшим произволом.

«К внутреннему совершенству теории я причисляю также и следующее: теория представляется нам более ценной тогда, когда она не является логически произвольным образом выбранной среди приблизительно равноценных и аналогично построенных теорий» .

Эйнштейн не претендовал на точность сформулированных им критериев: «Недостаточную определенность моих утверждений в двух последних абзацах я не буду оправдывать недостатком отведенного мне в печати места; я прямо признаю, что так сразу я не могу, а может быть и вообще но в состоянии, заменить эти наметки точными определениями. Однако я считаю, что более точная формулировка возможна. Во всяком случае мы видим, что между „авгура- мн“ большею частью наблюдается полное согласие в суждении о „внутреннем совершенстве44 теорий и в особенности о степени их ,,внешнего оправдания4*» .

С указанными критериями Эйнштейн подошел прежде всего к вопросу: может ли классическая механика быть основой физики в целом? «Внешнее оправдание» для этого становится сомнительным в оптике. Прежде всего механическая картина эфира противоречила фактам. История учения об 1эфире завершилась окончательной дискредитацией механических моделей эфира. Решающим аргументом, поколебавшим традиционную оценку механики как основы физики, была электродинамика Максвелла и подтвердившие ее опыты Герца.

Механическая интерпретация электродинамики Максвелла становилась все более затруднительной по мере того, как процессы, в которых не участвовали весомые массы,

оказывались объектами электродпиампки. Вместе с тем такая интерпретация становилась все менее плодотворной. «Так, почти незаметно, взгляд на механику как на основу физики был оставлен; это произошло потому, что приспособление механики к опытным фактам оказалось безнадежным. С тех пор существуют две системы элементарных понятий: с одной стороны, взаимодействующие на расстоянии материальные точки, а с другой стороны — непрерывное поле. Это состояние физики, в котором отсутствует единая ее основа, является как бы переходным; при всей его неудовлетворительности оно далеко еще не преодолено» .

Однако основное содержание характеристики ньютоновой механики в «Автобиографии» Эйнштейна связано с критерием «внутреннего совершенства». Здесь мишенью критики служат основные понятия «Математических начал натуральной философии». Ведь критерий «внутреннего совершенства» относится к исходным положениям теории, и в данном случае не может быть выделен частный случай — движения по инерции. Вспомнив, что говорил Эйнштейн о критерии «внутреннего совершенства», мы понимаем, почему этот критерий применяется к основам учения о движении в общем случае, т. е. к учению об ускоренном движении.

Ньютон относит ускоренное движение к абсолютно пустому пространству и видит доказательство абсолютного характера ускоренного движения в появлении сил инерции. Напомним читателю строки «Начал», излагающие эту концепцию.

«Проявления, которыми различаются абсолютное и относительное движение, состоят в силах стремления удалиться от оси вращательного движения, ибо в чисто относительном вращательном движении эти силы равны нулю, в истинном же и абсолютном они больше или меньше, сообразно количеству движения» .

«Если на длинной нити подвесить сосуд и, вращая его, закрутить нить, пока она не станет совсем жесткой, затем наполнить сосуд водой и, удержав сперва вместе с водой в покое, пустить, то под действием появляющейся силы сосуд начнет вращаться п это вращение будет поддерживать-

ся достаточно долго раскручиванием нити. Сперва поверхность воды будет оставаться плоской, как было до движения сосуда. Затем сосуд сплою, постепенно действующей на воду, заставит и ее участвовать в своем вращении. По мере возрастания вращения вода будет постепенно отступать от середины сосуда и возвышаться по краям его, принимая впалую форму поверхности (я сам это пробовал делать); при усиливающемся движении она все более и более будет подниматься по краям, пока не станет обращаться в одинаковое время с сосудом и придет по отношению к сосуду в относительный покой. Этот подъем воды указывает на стремление ее частиц удалиться от оси вращения, и по этому стремлению обнаруживается и измеряется истинное и абсолютное вращательное движение воды, которое, как видно, во всем совершенно противоположно относительному движению. Вначале, когда относительное движение воды в сосуде было наибольшее, оно совершенно не вызывало стромления удалиться от оси ——вода не стремилась к окружности и не повышалась у стенок сосуда, а ее поверхность оставалась плоской и истинное вращательное ее движение уменьшалось, повышение ее у стенок сосуда обнаруживало ее стремление удалиться от оси, и это стремление показало ее постепенно возраста ющее истинное вращательное движение, и когда оно стало наибольшим, то вода установилась в покое относительно сосуда.

Таким образом, это стремление не зависит от движения воды относительно окружающего тела, следовательно по таким движениям нельзя определить истинное вращательное движение тела. Истинное круговое движение какого-либо тела может быть лишь одно, в полном соответствии с силою стремления его от оси, относительных же движений в зависимости от того, к чему они относятся, тело может иметь бесчисленное множество; но независимо от этих отношений эти движения совершенно не сопровождаются истинными проявлениями, если только это тело не обладает, кроме этих относительных, и сказанным единственным истинным движением» и.

Появление сил инерции означает, что основа классической механики ——принцип, согласно которому ускорения зависят от взаимодействия тел,——нарушена.

11 Ньютон. Начала, стр. 33—34.

Назвав инерцию силой, мы сохранили связь ускорения тела (вызванного ускорением системы и доказывающего абсолютный характер ускорения системы) с «силой», но последняя перестала выражать взаимодействие тел.

Мах, объявив взаимодействие масс причиной сил инер- “1!И, хотя спасти основу классической механики ——зависимость ускорений от такого взаимодействия. По существу он выступил против ньютонова абсолютного пространства с классических позиций. Эйнштейн первоначально считал принцип Маха существенным элементом общей 1еории относительности. Впоследствии он изменил эту оценку. В автобиографии он пишет:

«По мнению Маха, в действительно рациональной теории инертность должна, подобно другим ньютоновским силам, происходить от взаимодействия масс. Это мнение я долгое время считал в принципе правильным. Оно неявным образом предполагает, однако, что теория, на которой все основано, должна принадлежать тому же общему типу, как и ньютонова механика: основными понятиями в ней должны служить массы и взаимодействия между ними. Между тем, нетрудно видеть, что такая попытка решения не вяжется с духом теории поля .

Приведенные строки имеют первостепенное историческое значение. Характеристика принципа Маха связана с исторической трактовкой классической механики.

Во всех своих работах по общей теории относительности Эйнштейн критиковал теорию Ньютона с позиций иной теории, также исходящей из картины масс, движущихся в пространстве и взаимодействующих друг с другом. В своей «Автобиографии» Эйнштейн подходит к оценке ньютоновой механики с иной, более радикальной позиции.

Далее Эйнштейн указывает на другие существенные дефекты классической механики как основы физики с точки зрения «внутреннего совершенства» механики. Среди них -— существование независимых один от другого: 1) закона движения и 2) выражения для силы или же для потенциальной энергии. Закон движения в классической механике независим от законов поля. Он вместе с тем бессодержателен, если не заданы силы. Но выражение для силы выбирается с широким произволом, который особенно усугубляется требованием, чтобы силы зависели от поло-

冰ения тел, йо н。зависели от йх скоростей. Это требойа- ние не вытекает сколько-нибудь однозначным образом из основ классической механики и отнюдь не является очевидным. Общность, однозначная связь с наименьшим числом исходных принципов, отсутствие произвола -— эти критерии «внутреннего совершенства» заставляют отказать ньютоновой механике во внутренней простоте и естественности.

Произвольной для классической механики является и потенциальная функция 1/г, определяющая действие сил тяготения и сил электрического притяжения и отталкивания к точечной массе или точечному заряду, создающим соответствующие силовые поля. Эйнштейн связывает этот дефект классической механики с идеей дальнодействия. Потенциальная функция 1/г является центральносимметричным решением инвариантного по отношению к вращениям дифференциального уравнения А(р = 0. Потенциальная функция не будет произвольной, если она вытекает из некоторого закона, указывающего ее распределение в пространстве. Но такой закон не может быть исходным принципом ньютоновой механики. Он появился в качестве описания реальных процессов в физической среде под влиянием фактов и был направлен против дальнодействия.

Перечисленные дефекты классической механики, как и другие, указанные дальше в «Автобиографии» Эйнштейна, нарушают ее «внутреннее совершенство». Если для специальной теории относительности первостепенное значение имел другой критерий («внешнее оправдание»), то при дальнейшем расширении этой теории ——переходе к общей теории относительности ——важнейшую роль играл критерий «внутреннего совершенства» — простоты, естественности и однозначности. Для нас существенно выяснить действительный смысл этого критерия. Пристально вглядевшись в него, мы можем отметить некоторую аналогию между собственно научным методом Эйнштейна и его историко-научным методом, сформулированным в «Автобиографии».

Если самым общим образом определить собственно научный метод Эйнштейна, то его можно назвать методом инвариантов. Теория относительности была великим торжеством этого метода, и дальнейшее развитие этой теории показало очень отчетливо роль инвариантно-аналитиче-

ских представлений в ее внутренней структуре. Эйнштейн стремился выразить объективные закономерности природы с помощью величин, инвариантных по отношению к координатным преобразованиям.

Та же тенденция, обращенная в прошлое, лежит в основе оценки, данной Эйнштейном ньютоновой механике.

Простота теории — критерий ее истинности. Что собственно означает слово «простота»? Нетрудно видеть, что у Эйнштейна здесь нет ничего от старых критериев «простоты», с которой действует природа. Речь идет о том, что картина мира в своем развитии лишается антропоморфных представлений и выражает объективную действительность все более объективными методами, не зависящими, в частности, от методов измерения, инвариантными по отношению к выбору методов измерения и систем отсчета. К этому же сводится требование «естественности» и уже явным образом ——требование об исключении произвола при получении выводов из исходных посылок.

Изложенная выше оценка классической механики, принадлежащая величайшему физику нашего столетия, данная с позиций (современной науки, характеризует роль и значение классической механики как всеобщей физической теории. При этом остается в стороне вопрос о ее практической применимости. Теория, которая не в состоянии охватить вполне удовлетворительным образом все факты, может быть превосходным приближением к действительности в более узких пределах.

В таких пределах она может оставаться основой для понимания и расчета явлений и процессов. Не нужно доказывать, что это в полной мере относится к классической механике: достаточно сослаться на тот факт, что в течение столетий она фактически была основой всей физики. Создание теории относительности не отменило классическую механику, а показало, что ее применимость ограничена условием, чтобы скорости рассматриваемых тел были малы по сравнению со скоростью света. Появление квантовой механики показало, что классическая механика не применима в микромире — при изучении элементарных частиц современной физики. Но классическая механика остается превосходным приближением в огромной области явлений, более того, область ее применений продолжает расширяться (достаточно сослаться на космонавтику и инерционную навигацию).

Продолжается совершенствование аналитического аппарата классической механики и она, сохраняя свои основы, продолжает обогащаться новыми методами и представлениями. Оказались неосновательными стремления сделать классическую механику универсальной основой наук о природе, но соответствующее ограничение ее применимости позволило гораздо точнее, чем раньше, определить ту область, где она является надежной основой. И эта область охватывает огромное число технических процессов и явлений природы.

3 5 53 5 514213049546367677483142130495463676774835 5 0 7 8 9 19 9 а о 1 2 54а 4а 4а 41 4Л5 5 0 7 8 9 19 9 а о 1 2 54а 4а 4а 41 4Л6262179179

3 5 5

3 5 5

14213049546367677483

14213049546367677483

5 5 0 7 8 9 1

9 9 а о 1 2 5

4а 4а 4а 41 4Л

5 5 0 7 8 9 1

9 9 а о 1 2 5

4а 4а 4а 41 4Л

62

62

179

179

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

Глава первая. АНТИЧНАЯ МЕХАНИКА

Введение

Развитие основных понятий механики в произведениях первых греческих философов ....,.

Вопросы механики в произведениях античных атомистов

Вопросы механики в трудах Аристотеля «Механические проблемы» псевдо-Аристотеля •.

Статика и гидростатика Архимеда

Механика Герона

Глава вторая. МЕХАНИКА В СРЕДНИЕ ВЕКА ...

Механика на Средневековом Востоке

Механика в Средневековой Европе

Глава третья. МЕХАНИКА ЭПОХИ ВОЗРОЖДЕНИЯ .

Глава четвертая. НАЧАЛЬНЫЕ ЭТАПЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Введение

История принципов сохранения

Основные идеи механики Декарта

История открытия законов удара

История открытия закона тяготения

Глава пятая. ТРУДЫ ЭЙЛЕРА ПО МЕХАНИКЕ ...

Главашестая. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА В XVIII И XIX вв

Лагранж162

Гамильтон. Остроградский172

Глава седьмая. ПОНЯТИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ В ОЦЕНКЕ ЭЙНШТЕЙНА

Ашот Тигранович Григорьян

Популярные беседы о механике

Утверждение к печати редколлегией научно-популярной литературыАкадемии наук СССР

Редактор издательства В. А. НикифоровскийТехнический редактор В. В. Тарасова

Сдано в набор 5/XI 1964 г. Подписано к печати 3/11 1965 г. Формат 84х108%2 Печ. л. 12(6)=9,84 усл. л. Уч.-изд. л. 9,7. Тираж 20000 акз. Т-03103 Изд. № 5039/04. Тип. зак. № 1424. Темплан НПЛ 1965 г. № 50.

Цена 29 коп.

Издательство «Наука» Москва, К-62. Подсосенский пер., 21

2-я типография издательства «Наука» Москва, Г-99, Шубинский, пер.» 10

1 К. Маркс и Ф. Энгельс. Из ранних произведений. М., Г'О1Сйолитиздат, 1956, стр. 205.

15 Там же, стр. 164. Как и ранее, в текст введены ooibременные обознааенкя взамен арис то те лев ых.

25 Архимед. Сочинения. Пер. И. Н. Веселовского. М., 1962, стр. 272.

1 К. Маркс и Ф. Энгельс. Сочиыения, т. 21, стр. 148.

5 Абу-р-Р|айхан ал-Вируни. Собрание сведений для познания драгоценностей (Минералогия), пер. А. М. Беленицкого, под |ред. Г. Г. Леммлейтаа, X. X. Барац1оаза ц А. А. Долининри, 72

2 И. Ньютон. Mia т ема тиче с кие наза ⑪ а натуральной: философии. Поучения.— В кн.: А. Н. Крылов. Собрание трудов, т. 7. М.~ Л., Изд-во АН СССР, 1936, стр. 30—32 (далее: Ньютон. Начала).

11 Напомним, что, по Ньютону, «количествю движения есть ме|ра такового, устанавливаемая прюпо'р'циоиальтао скорости и Miac- се».— Ньютон. Начала, стр. 24.

17 Как известно, первое издание «Бесед», выпущенное в 1638 г., содержало лишь беседы четырех первых дией. Отрывютг, Kiaoaromne- ся <<силы удара» и составившие «шестой день», увидели виервие свет в 1718 г.

21 Декарт. Сочинения, т. III, стр. 10.

25 Р. Д е к ia ;р т. Из5р. прюизв., стр. 492—496. Далее, цитируя других авторов, мы вводим и унифицируем буквенные обозначения, ()|боз1нач1ая 呻ак q6rbeмы\ так и соответствующие Атассы тел через т{ и т/г?, скорости до удар1а, через 〃】и 〃2, скорости1 после удара иероз ui и 也

32 Ньютон. Начала, кн. I, отд. II, стр. 244.

5 Там же, стр. 37.

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

Научно-популярная серия

А.Т. Григорьян

nOOWPHUE БЕСЕДЫ

о МЕХАНИКЕ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУК А»

Москва 1965

Светлой памяти друга —Василия Павловича Зубова —посвящаю.

Автор.