Глава 9

Римановы субмерсии

А. Введение

Понятие риманова вложения (см. 1.70) интенсивно изучалось с самого зарождения римановой геометрии. Первыми рассмотренными римановыми многообразиями оказались поверхности, вложенные в R3. Поэтому дифференциальная геометрия римановых вложений хорошо изучена и представлена во многих учебниках (см., например, [Ko-Ni 1, 2], [Spi]).

Напротив, «двойственное» понятие римановой субмерсии, по-видимому, сформировалось совсем недавно. Локальная дифференциальная геометрия субмерсий впервые была изложена в 1968 г. (см. [ONe 1], [Gra 6], а также более ранние работы [Her], [Kob 9], [Nag 9]). Поэтому эта теория еще не вошла в учебники, и мы дадим ее подробное изложение.

Первые пять параграфов (§ В — F) посвящены общей теории, прежде всего локальной. После основных определений (§ В) мы вводим инварианты О'Нейла 4 н Т субмерсии (§ С). Они используются для вычисления кривизны тотального пространства субмерсии через кривизну базы и слоя (§ D). Затем переходим к глобальным вопросам, предполагая при этом полноту тотального пространства (§ Е). В частности, в 9.42 мы доказываем следующий результат： "

Теорема (Р. Херман, [Her]). Риманова субмерсия с полным тотальным пространством является локально тривиальным расслоением.

В § F мы рассматриваем частный случай римановых субмерсий с вполне геодезическими слоями. Это позволяет получить очень интересные примеры.

Теорема ([Her]). Все слои римановой субмерсии с вполне геодезическими слоями изометричны между собой. Группа ■голономии такой субмерсии содержится е группе изометрий слоя 〃, с ледова тел ьно, является группой Ли.

Формулы для кривизны в данном случае можно упростить. Мы рассматриваем, как они изменяются при масштабных преобразованиях метрик базы и слоя (§ G).

9・5・ В § Н описывается применение теории римановых суб- мерсий к изучению однородных многообразий Эйнштейна. С помощью простой леммы Л. Берара-Бержери можно получить множество примеров однородных многообразий Эйнштейна. В частности, в 9.86 мы описываем все однородные метрики Эйнштейна на сферах и проективных пространствах (эта клас- сификация получена В. Циллером в [Zil 2]). Для полноты изложения в § I приводятся примеры однородных метрик Эйнштейна, которые нельзя получить с помощью указанной леммы.

В § J мы изучаем скрещенное произведение многообразий.

Наконец, в § К с помощью аппарата, развитого в § F, G, J, мы кратко описываем конструкцию первых известных примеров неоднородных многообразий Эйнштейна положительной скалярной кривизны (четырехмерный пример принадлежит Д. Пейджу ([Pag]), а его обобщение на все четные размерности — Л. Бе- рару-Бержери ([Вё Вег 3])). Другие неоднородные примеры： см. в дополнении.

Римановы субмерсии

Пусть (M, g) и (В,我)—римановы многообразия, а 冗： Mf В — гладкая субмерсия. Для xwM и & = л(х) введем обозначения

& =冗-i (力)=F*；

Тх — касательное подпространство Тх (Ffc) к слою 加 в ТХМ;

第* — ортогональное дополнение к %* в ТХМ*

X,第一распределения соответствующих под пр остр а нств (а также ортогональные проекции на эти распределения);

Зь — ограничение метрики g на слой 尸力.

Назовем

М ——тотальным пространством}

В ——базой (или базовым пространством);

Fb — Fx — слоем в точке & (или слоем, проходящим， через х);

%* — вертикальным подпространством в точке х;

Т — вертикальным распределением (или проекцией); 徹* ——горизонтальным подпространством в точке х;

鑑一горизонтальным распределением (или проекцией)..

Векторное поле U назовем вертикальным, если €/* = %*, Ух^М.

Векторное поле X назовем горизонтальным^ если Х*е 兆壮 Vx wM

На протяжении этой главы буквы U, V, ГТ, ... обозначают вертикальные поля, а буквы X, У, Z, X',...— горизонтальные поля.

Отметим, что касательное отображение 打.：тхм -> тьв

имеет ядро к* и индуцирует линейный изоморфизм 非％ на ТьВ.

Определение ([ONe 1]). Отображение л (точнее, набор {(М, g), (В, ^), л} называется римановой субмерсией, если л*

Рис. 9.8.

при каждом х w М индуцирует изометрию евклидова пространства (非施 g"%J на (TbB9gB), где & = л(х) (см. рис. 9.8).

Приведем примеры различных субмерсий.

Произведения. Пусть (В,") и (F,@) — два римановых многообразия, а (М, g) = (В >< F,建 + g)—их риманово произведение (см. 1.37). Канонические проекции pi и р? на сомножители В и F являются римановыми субмерсиями.

Произведение с изменяющейся на слоях метрикой. Пусть (8р) — риманово многообразие, a gb — гладкое семейство римановых метрик на F, параметризованное точками R Определим риманову метрику g =:宜 + 倉匕 на произведении М =■ =В X F, полагая, что ее значение в точке (瓦 х)三 В 义 F равно

g(> %) = Р；(点 S)) + P2(统(%))•

Тогда первая проекция pi： Л1fB является римановой субмерсией.

Отметим, что 歹*, 〃) отождествляется с TUF, а 第(仇〃)一 с ТЬВ. В частности, горизонтальное распределение 雍 в этом случае интегрируемо. В общем случае это не так (см. 9.24).

Скрещенное произведение. Особенно важную роль играет один частный случай предыдущей конструкции. Положим 創= f(b)g, где g — фиксированная риманова метрика на 爲 a f—положительная функция на В.

Тогда риманово многообразие (В Х F,我 + fg) называется скрещенным произведением многообразий (В, g) и (尸,g) со скрещивающей функцией / и обозначается через B%fF (см.* например, [Bi-OM]).

Факторы по изометрическим действиям. Пусть (7W, g)— риманово многообразие, а G — замкнутая подгруппа его группы изометрий.

Предположим, что проекция л многообразия М на пространство орбит В = М/G является гладкой субмерсией. Тогда на В существует единственная риманова метрика g, превращающая зт в риманову субмерсию. (Напомним, что, согласно общей теории срезов действия группы изометрий (см. [Ра! 5], [Вге], а в некомпактном случае [Yau 6]), существует такое открытое всюду плотное подмногообразие U многообразия М (объединение главных орбит), что ограничение зт Г U: U-^U/G есть гладкая субмерсия. Таким образом, наша гипотеза состоит в том, что все орбиты являются главными, т. е. С = М.)

Расслоения однородных пространств. Пусть М = G/К—■ однородное риманово многообразие, а Н — замкнутая подгруппа Ли G.

Предположим, что все подгруппы Н Г) (сс-17<а), a w G, сопряжены в Н.

Тогда пространство H\G/K двойных классов смежности является многообразием, а отображение л: G/K-^H\G/K― гладкой субмерсией (и даже локально тривиальным расслоением со слоем Н/Н Г] К). Кроме того, многообразие H\G/K каноническим образом снабжается римановой метрикой, которая превращает л в риманову субмерсию.

Замечания, (а) Предостережение. Если мы исходим из произвольной левоинвариантной метрики на группе G н К = ={е}, то эта конструкция приводит к римановой метрике на H/Gt которая не всегда оказывается G-однородной.

(Ь) Частный случай. Предположение (9.13) выполняется, если Н есть замкнутая инвариантная подгруппа группы G. Обо-

значим через Gi фактор-группу G/H, а через К — образ группы К при гомоморфизме G —G/〃. Тогда естественная проекция многообразия G，K на Gi-однородное риманово многообразие Gi/Ki является римановой субмерсией со слоем "/"ПК (см., например, [Вё Вег 5]).

Общая конструкция. Пусть л: М^В ——гладкая суб- мерсия,鑑一распределение на Mt дополнительное к вертикальному распределению У1 = Кег л,金一риманова метрика на В, а 倉匕—гладкое семейство римановых метрик на слоях F&, b ^М, субмерсии п. Тогда существует единственная риманова метрика g на М, для которой отображение л: (Л1, g)~^(Bt g) является римановой субмерсией с горизонтальным распределением 鄧 и индуцированной на слое Fb метрикой 飢(упражнение).

Инварианты А и Г

Обозначим через D связность Леви-Чивита метрики g, а через 力一семейство связностей Леви-Чивита римановых метрик ^ь слоев Fb, bwS. Отметим, что DuV есть вертикальное векторное поле на М (напомним, что буквы U, V всегда обозначают вертикальные векторные поля):

buV^TDuV.

Каждый слой Fb является замкнутым подмногообразием многообразия М. Поэтому для него определена вторая фунда» ментальная форма (см. 1.71), которая является первым тензорным инвариантом римановой субмерсии. Для упрощения обозначений объединим все эти формы и сопряженные к ним в одно тензорное поле на М.

Определение ([ONe 1]). Обозначим через Т тензорное доле типа (2, 1) на М, значение которого на векторных полях £ь 七2 задается формулой

<9・17)心耳=ЖОге^Е2 +勿。齊鑑七％

Простые преобразования (использующие 1.5) показывают, что. Т есть тензорное поле.

Непосредственно из определения вытекают следующие свойства тензорного поля Т:

(9Л8а)TXU = TXY = O;

<9.18b)TvV =第Qu 匕 ТЦХ = TDyX;

(9.18c)Т』= 7>и；

《9・18d) оператор 7° кососимметричен, в частности,

(Т/, Х) = -“，V).

(Напомним в последний раз, что U, V, W — вертикальные векторные поля, а X, У, Z ——горизонтальные векторные поля.) Отметим, что TuV есть вторая фундаментальная форма слоев, которая, как известно, симметрична (т. е. выполняется (9.18с) )^ С помощью (9.18d) можно выразить ТиХ через g и TuV.

Очевидно, что вертикальное распределение 歹 интегрируемо и его интегральными многообразиями являются слои F》. Однако горизонтальное распределение 非 не всегда интегрируемо: естественным препятствием к его интегрируемости является второй тензорный инвариант римановой субмерсии, который также можно рассматривать как тензорное поле на ЛЕ

Определение ([ONe 1]). Обозначим через Д тензорное поле типа (2, 1) на М, значение которого на векторных полях £ь 瓦 задается формулой

4 巴=%。疲丁氏+ V。能后舒e2.

Здесь также легко убедиться (с помощью (1.5)), что Л есть тензорное поле.

Непосредственно из определения вытекают следующие свойства тензорного поля А:

(9・21а)АуХ = A(jV = 0;

(9.21b)AXU =制 DR、AXY = TDXY;

(9.21c)4хУ = —"yX (cm. 9.24);

(9.21 d)оператор Ax кососимметричен, в частности,

(&У, U) = -(AXU, У).

С помощью (9.21d) можно выразить AXU через AXY и g・ В 9.24 мы покажем, как AxY связано с препятствием к интегрируемости распределения 雍 но сначала нам понадобится одно вспомогательное понятие.

Базисные векторные поля. Векторное поле Е на многообразии М называется проектируемым, если существует такое векторное поле Е на В, что л#(£х) = Д, V% 〜М, Ь = л(х). В этом случае говорят, что поля Е и Ё п-связаны.

Очевидно, что если поля £\ и f2 л-связаны с полями 瓦 и 员,то поле [£*1, £2] n-связано с [Еь Е^. Поскольку векторное поле является вертикальным тогда и только тогда, когда оно л-связано с нулевым полем, векторное поле [Е, U] вертикально» если поле Е проектируемо.

Определение. Векторное поле X на Л1 называется базисным, если оно проектируемо и горизонтально.

Отметим, что для любого векторного поля X на 5 существует единственное базисное поле X на М, которое л-связано с X (если отображение я сюръективно). Более того, если X, У — базисные поля, то 箔[X, У]——базисное векторное поле, которое л-связано с [X, У], а 鑑О^У—базисное поле, которое зх-связано с D^Y где D ——связность Леви-Чивита на В). Отметим, что функция g(X, Y) = g (冗 У) постоянна вдоль слоев, если поля X, У являются базисными. Наконец, если X—базисное, a U — вертикальное поле, то поле [X, U] вертикально.

Предложение ([ONe 1]). Для любых, горизонтальных, векторных полей X, У

《9.24)&У = 3]ПХ, У].

Таким образом, AXY характеризует препятствие к интегрируемости распределения 愈.

Доказательство. Достаточно показать, что АхХ = 0, так как

Г [X, Y] = rDxY - VQyX = AXY 一 А/.

Поскольку Л — тензор, можно считать, что X ——базисное поле. Но тогда для любого вертикального поля U

(U, АхХ) = (U, DxX) = 一 (OxU，X).

Поскольку поле [X, U] вертикально, (DxUf X) = (DM，X) и, значит, (U, АхХ) = ^ U • (X, X). Но последнее выражение равно нулю, так как функция (X, X) постоянна вдоль слоев. □

Определение (сводка формул для связностей). Если 〃，V — вертикальные поля, а X, У—горизонтальные поля, то формулы

(9.25а)D^ = В^У + % 匕

(9.25b)DuX = ТЕ + 為。以，

(9.25c)DXU = rDxU + AxU,

(9.25d)DXY = AXY + 為以丫

описывают разложение ковариантных производных на вертикальные н горизонтальные составляющие.

Обращение в нуль полей Т и Л. Поскольку поле Т связано со второй фунда мента л ьной формой, оно тождественно равно нулю тогда и только тогда, когда все слои вполне геоде- зичны. Этот случай подробно рассматривается в § F.

Аналогично, поскольку поле Л связано с препятствием к интегрируемости распределения 為，оно тождественно равно нулю тогда и только тогда, когда распределение 劣 интегрируемо. В этом случае многообразие (М, g) изометрично (по крайней мере локально) произведению В X F с римановой метрикой 声 + 倉匕，как в примере 9.10 (где Т = /л). Наконец, если 力=0 и 7 s 0, то многообразие (М, g) изометрично (по крайней мере локально) риманову произведению BXF, как в примере 9.9. В самом деле, поскольку ортогональное разложение ТМ = =夕㊉鑑 параллельно, применима теорема де Рама о разложении (см. 16.43).

Формулы Олеила для кривизны

Обозначим через R тензор кривизны метрики g, через Л — семейство тензоров кривизны римановых метрик gb на слоях Fb, а через R(X, У, Z)——горизонтальное векторное поле, определяемое равенством

弘依(X, y)Z) = A(%X, n))%Z,

где 府一тензор кривизны метрики g на А

Непосредственные вычисления, которые мы опускаем (см. [ONe 1]), позволяют доказать следующие формулы.

Теорема ([ONe 1], [Gra 2]).

(9.28а)(/?(£/, V) Г, IT) = (R(U, V) Г, Г7) — (Т^Г, Ту!Г) +

+ (TyW, TVW^

(9・28b) (R (U, У) Г, X) = ((Q“)u Г, X) — ((。“％ Г, X);

(9.28c) (R (X, U) Y, V) = ((O")u 匕 У) — (^, TVY) +

+ ((^Л)ХУ, v)+(Axuy 4V);

(9・28d) 伍(U, V) & У) = ((O/)x У J) — ((％A)x У，S +

+ (AU, AyV)^{AxV9 &U)-(TuX, TFy)+(rFX, ВД；

(9.28e)(R(X, V)Z, U) = ((DZA)XY,。) + (厶匕7也)一

-(AYZf ^X)^(AzXf T/);

(9・28f) (R (X, У) Z, Z) = ДО, У) Z, Z。一 2 (&匕 ^Л +

+ (&Z, AxZf)-(AxZ, &Z').

Отсюда вытекают следующие формулы для секционных кривизн К, R н 於 метрик g, & и 倉加

Следствие. Пусть 11/ Л У| = 1, |Х| = | U|= 1,'|ХА Л У| = 1. Тогда

(9.29а) К (U, V) = R (U, V) +1Т/ F - (?/"/)；

(9.29b)К (X, U) = ((Ох?)и U, X) -1 了以 I2 +1 厶〃 I2；

(9.29с)К (X, У)=太(％, f) — 31 AXY 匕

Замечания, (а) Из формулы (9.29с) сразу видно, что если М имеет положительную (соответственно неотрицательную) секционную кривизну, то В имеет также положительную (соответственно неотрицательную) секционную кривизну. Этот факт часто используется в приложениях (см. [Che], [Gr-Me], [ESC], [Rig]).

(b) Если слои вполне геодезичны (т. е. 7 三 0), то «смешанная» секционная кривизна К(Х, U) всегда неотрицательна. Кривизна К(Х, U) положительна для любых ненулевых X и U тогда и только тогда, когда расслоение является《полним》в смысле Вейнстейна (см. [Wns 1], а также [Вё Вег 6] и [De-Ri]).

Замечания. В формулы для кривизны R входят ковариантные производные тензоров / к Т・ Между различными (вертикальными и горизонтальными) составляющими тензоров 4 Т, DA и DT существует много соотношений. Мы приведем их без доказательства. Отметим, что величины ((方必)хУ, V), ((DxA)yZ. V), ((OxT)uV, У) и ((D[jT)vW, X) не выражаются через Л и Г (в точке х).

Соотношения между Л, Т, DA и DT.

Величины (Ое7)& и (叫4)& кососим метричны относительно 且，屍；

величина ((Q^Tu匕 X) симметрична относительно U, V;

величина ((DEA)XY, U) кососимметрична относительно X, У;

(ОхТ)у = — Т//；(О“)х= —'「их；

((3).v, W) = (AxV9 TvW)^(AxW, 7屮)；((DxT)vY9 Z) = (AxY9 ^-(A^ T“)；((3)y 取，w^ =(Tvw, TvWf)-(TvW\ TVW);

((Q“)pX, У) = (М，TvY)-(TvXy ВД;

(DVA)V = 一 ％/ (DxA)u = —4*；

((%A)xK 吃= (ЛЛ, AxW)-(TvW9 А』)；

((DvA)xYf Z) = (W, TvY)^(AxY9 TVZ);

(“)ya V) = (AXU, 4/)一 (&匕 AyU);

((DxA)yZ, Z，) = (&Z, AYZf)-(AxZ\ AyZ);

'((Ох4у Z, U) + ((%4)z X, U) + ((OzQx К S =

=(AXY, TVZ) + (AyZ, ЗД + (AZX, T/);

((DVA)XY, V) + (“)x К S = ((O“)uV, X) —((OxCc/V, У).

Доказательство см. в [ONe 1] и [Gra 6] (последнее соотношение получено только в [Gra 6], но с неверным знаком). □

Кривизна Риччи: подготовительный материал. Поскольку кривизна Риччи является для нас основным объектом изучения, введем для ее описания некоторые специальные обозначения.

Обозначим через (Х/%^/ локальный ортонормированный базис распределения 鑑％, а через (“)/七,——локальный ортонормированный базис распределения 歹*. Тогда

(9.33а)(厶，&) = £ (厶&,冬匕)=£ (AxUh AyU^,

(9.33b)(&，『и) = § (&X“ 7周)=£ (&“，T//);

(9.33c) (AU, ЛУ) = £ (Ax卩,&У)；

(9.33d) (TX, TY)=多(T呼,[и/)；

и для любого тензорного поля Е на М

(9.33е)法=一¥(以卢)也；/

(9.33f)б£ = - £ (D^E)^

(9.33g)6E = bE + $E,

Определим, наконец, симметрический 2-тензор $Т, положив

(9.33h)(ST)(U, Ю=Е ((Ох/)。V, &).

Вектор средней кривизны. Вектор средней кривизны слоев (определенный в 1.73) можно рассматривать как горизонтальное векторное поле

N^^Tu^i，

Отметим, что N = 0 тогда и только тогда, когда все слои являются минимальными многообразиями. Это равносильно тому, что риманова субмерсия является гармоническим отображением (см. [Ee-Sa]).

Упражнение. Доказать следующие формулы:

6Л = * 6Г=О； £(伍『)。門,Х) = дм X)；

Sn = —2(8t)(S，S)；

—дм х) —дм у》=2((%/)/, S).

Определение. Будем говорить, что 非 удовлетворяет условию Янга — Миллса, если для любого вертикального вектора U и любого горизонтального вектора X

(М (X), U) - (4х，『и) = 0.

Отметим, что это условие зависит только от 為 н &, но не зависит от семейства метрик 倉ь на слоях. (Действительно, тензор F (ОхЛ)у Z — TAxZX для горизонтальных векторов X, У, Z зависит только от 爲 н D.) Это понятие, введенное Янгом и Миллсом в физике, сейчас интенсивно изучается как в математической физике, так и в чистой математике (см., например, (At-Hi-Si] и [Don]). Оно оказывается важным и для исследования эйнштейновых римановых субмерсий, как мы увидим в 9.73 и далее.

С помощью непосредственных вычислений можно доказать

Предложение. Пусть г, г, г ——кривизны Риччи римановых метрик g, р 〃倉 соответственно. Тогда

(9.36а)，(“ V) = f(U, У) — (М 7») + (Ж/, AV)+(fiT)(U9 V);

(9.36b) г (X, U) = ((67) U, X) + (DM X) — ((M) X, U) 一

一2(厶,?и)；

(9.36с) г (X, У) = 〃Х, У) — 2 (4, 4) 一(7Х, ТУ) +

+ 9 ((000 Y) + (DyN, X)),

где г — горизонтальная симметрическая 2-форма на М, определяемая соотношением

〃Х, У) = 〃％Х, %У).

По поводу применения этого предложения к построению метрик положительной кривизны Риччи см. [Che], [Nas], [Poo 2], ДВё Вег 6].

Следствие. Пусть s, s и § — скалярные кривизны (в точках х и Ь) римановых метрик gt g и g соответственно. Тогда

s = s о л + s -1 Л |2 -1Г |2 -17V |2 — 267V, где

д右 m(гд右 m(гмр=Е (^хг 厶J =

д右 m(г

д右 m(г

|T|2=§(TXj, TXJ =

、 По поводу применения этой формулы к изучению скалярной кривизны однородных пространств см. [Вё Вег 1].

Е. Полнота и связности

Рассмотрим теперь глобальную структуру римановых субмерсий. Будем предполагать, что отображение зт сюръективно, а многообразия М и В связны, но не будем предполагать

связность слоев. Путем назовем кусочно гладкое отображение интервала в многообразие со всюду отличной от нуля производной. Путь в М называется горизонтальным, если его касательные векторы горизонтальны. Горизонтальным лифтом пути у на базе В называется такой горизонтальный путь с в М, что л?с = у (см. рис. 9.38).

Определение (Эресман, [Ehr 1]). Пусть л: М —В — субмерсия, а 為——распределение в М, дополнительное к вертикальному распределению Т = Кег (л#). Говорят, что распределение 為 полно (по Эресману) или, другими словами, что 非 есть связность Эресмана, если для любого пути ^ в В с началом в точке b 三 В н любой точки % = Fb = ki(b) существует горизонтальный лифт пути y с началом в х.

Теорема ([Ehr 1]). Если распределение 鑑 полно, то л есть локально тривиальное расслоение.

Набросок доказательства. Для любого пути у: [0, /] ->В и любой точки “三尸у(о)обозначим через 丁丫{尤)конец единственного гор изо нта льного лифта пути у с началом в х (т. е. с(0)=х, с{1) =ty(x))• Легко видеть, что ty есть диффеоморфизм FY(0)на Fy«)(см. рис. 9.38).

Покроем В строго выпуклыми открытыми шарами Ui (относительно некоторой римановой метрики) и в каждом шаре рассмотрим горизонтальные лифты радиальных геодезических, выходящих из центра. Это определит локальную тривиализацию расслоения. □

Определение. Группой голономии Gb связности 鑑 в точке b 三 В называется группа всех диффеоморфизмов т。слоя Fb, порожденных замкнутыми путями о в В с началом в Ь.

Отметим, что для любого пути у группы GY(0)и GY(0 сопря- жены диффеоморфизмом т*

Теорема (Р. Херман, [Her]). Пусть л: Mf В — риманова субмерсия. Если риманово многообразие (Л4, g) полно, то В и,窈 полны, а л является локально тривиальным расслоением.

Для доказательства теоремы сделаем несколько предварительных замечаний о базисных векторных полях и геодезических.

Пусть X — базисное векторное поле на М, которое л-свя- зано с полем X на В. Обозначим через 屮去 и 瑜 однопараметрические (локальные) группы локальных диффеоморфизмов, порожденные X и X. Из условия л*Х =穴 следует, что

冗0中f =寸70冗，V/.

В частности,叩方 отображает слой Fb в слой F@p. Точнее говоря, путь c(t) = ф^(х) (с касательным векторным полем X) представляет собой горизонтальный лифт пути 丫(/) = @“冗(％)) с началом в х. Для геодезических отсюда вытекает следующая лемма.

22 А. Бессе, т. 2

Лемма (Б. О'Нейл, [ONe 1]). Если геодезическая с многообразия М горизонтальна в одной точке, то она горизонтальна всюду и ее проекция ? = л。с является геодезической базы (с тем же параметром длины дуги).

Доказательство. Пусть X — такое локальное векторное поле на В, что

(i)力Е=。，

Х(лоС (幻)=% (d (/J),

где вектор 6(%) горизонтален. Обозначим через X базисное векторное поле, которое л-связано с X. Из формулы (9,25d) видно» что DxX = АхХ + 兆DxX. Но поле 兆DxX л-связано с полем 力戈X = 0 и АхХ = 0. Поэтому DxX = 0 и интегральные кривые поля X являются геодезическими. В частности, XC[t^ = c(f^y т. е. геодезическая с является интегральной кривой поля X н, значит, всюду горизонтальна. Далее,冗。с есть интегральная кривая поля X и, значит, геодезическая. Наконец, |Х| = |Х|. поэтому |с| = Iу|.□

Доказательство теоремы 9.42. Если многообразие М полно, его горизонтальные геодезические являются горизонтальными лифтами геодезических базы В. .Следовательно, многообразие В полно. Из того, что любая геодезическая базы 6 допускает лифты, с помощью предельного перехода (состоящего в аппроксимации путей кусочно геодезическими путями) получаем, что любой путь из 6 допускает лифты. Поэтому распределение 非 полно и применима теорема 9.40.口

9・46・ Замечание. Если риманово многообразие М полно, то любой слой Fb с индуцированной метрикой &ь полон как замкнутое подмногообразие многообразия М

К сожалению, может оказаться, что многообразия (6,金)， (凡,創)，6三6, и распределение 須 полны, но многообразие gj не полно. Для полноты (M, g) требуются дополнительные условия. Одним из достаточных условий является существование для каждой точки b 三 8 такой окрестности W и такой константы К>0, что <倉丫(1)》尺倉6 для любого пути у из W9 выходящего из точки 6. Это условие выполняется, например, для скрещенного произведения.

Структурные группы. Локально тривиальное расслоение л: MfB часто описывают набором локальных трнвналн- заций, т. е. с помощью задания покрытия В набором открытых множеств (и)" вместе с набором диффеоморфизмов

耽：G(UJf QXF,

для которых pt о(р/ = л Г n-l(Ui), где pi — проекция на первый сомножитель. При этом в случае, если U〃 = Ui(]Uj ^ 0, диффеоморфизм

屮订=0 叫尸 1 (〃 订 XF): G/XF-U“XF

имеет вид <pz/ (x, у) = (x, ^q (x)у), где 电"％) — некоторый диффеоморфизм слоя F,

Группа диффеоморфизмов G слоя F называется структурной группой расслоения л (относительно данной тривиализации (Uf,屮Jiwi)，если 寸订(％)wG для всех t, jw/, %wU订.

Отметим, что группа G всегда допускает расширение, а также сопряжение в группе всех диффеоморфизмов слоя 尸(подробности см. в [Nom 3]).

Из доказательства теоремы 9.40 следует

Предложение ([Wol 1]). Пусть 鑑—связность Эрес- мана расслоения л: М —В с группой голономии Gb 6 точке 6 = В. Тогда Gb есть структурная группа расслоения л.

Предыдущее замечание показывает, что любая подгруппа группы диффеоморфизмов Diff(F), которая содержит подгруппу, сопряженную к подгруппе 6ь, является структурной группой расслоения л.

Определение. Пусть 箔——связность Эресмана расслоения л: Mf В, a G — некоторая подгруппа группы диффеоморфизмов слоя Fb для b ^ В. Связность 金 называется G-связностью, если ее группа голономии Gb сопряжена в Diff(Fb) к некоторой подгруппе группы G.

Это понятие обобщает понятия главной, ассоциированной и линейной связностей. Кратко опишем связь между этими понятиями.

Пример 1. Произведения. Если в расслоении л: М — В существует связность 鑑 со структурной группой G = {IcIf} (т. е. G редуцируется к единичной группе), то расслоение М изоморфно тривиальному расслоению BXF— В, а л представляет собой проекцию на первый сомножитель. При отождествлении ТМ = TB\TF распределение 鑑 отождествляется с ТВ и, значит, является интегрируемым, т. е. А 三 0. Таким образом, мы приходим к ситуации, описанной в 9.10. Отметим, что метрика слоев Fb = {&} X F может зависеть от Ь.

Пример 2. Линейные связности. Напомним, что векторное расслоение n: Af —8 представляет собой локально тривиальное расслоение со слоем F, являющимся векторным пространством, и структурной группой GL(F).

Пусть 彌 есть GL (F) -связность, s—сечение расслоения л и х = ТьВ. Для любого пути у, выходящего из точки Ь в направлении вектора х, обозначим через 力 его ограничение на отрезок [0,力.Тогда величина

%=方(対 67(伪к。

зависит только от у н s н определяет оператор V ковариантной производной в л.

Обратно, если определен оператор ковариантной производной в л, то для любого пути у можно определить сечения, параллельные вдоль 丫 (как сечения s, для которых VySwO). Это позволяет построить распределение 咏 как распределение, состоящее из касательных векторов к параллельным сечениям вдоль всевозможных путей в В.

Таким образом, понятие GL (F) -связности в векторном расслоении эквивалентно понятию ковариантной производной.

Отметим, что если векторное расслоение является евклидовым, комплексным или эрмитовым (т. е. соответствующая структурная группа G = O(F), GL(F, С) или U(F)), то связность Эресмана 鑑 является G-связностью тогда и только тогда, когда соответствующий оператор ковариантной производной V сохраняет евклидову, комплексную или эрмитову структуру соответственно.

Кривизна, Отметим, что если заданы субмерсия л: Л1-> ^В и распределение 鑑,дополнительное к вертикальному распределению Т = Кег п*, то можно определить тензорное поле А:鑑X%f 歹，являющееся препятствием к интегрируемости 第, положив

(9.53а) AxY = ^T[X, У],

где X, У — векторные поля из Ж.

Если 為 есть GL(F) -связность в векторном расслоении л, то поле А выражается через кривизну соответствующей 鑑 ковариантной производной V по формуле

(9.53b)(厶“ =—J Rv (叫(X), % (у》,，Vx wM, VX, У 三招, где, как обычно,歹％ отождествляется с 尸冗(*)・

Пример 3. Главные связности. Напомним, что главное расслоение представляет собой локально тривиальное расслоение р: Р f В、где р — отношение факторизации по свободному (правому) действию группы Ли G на Р. В соответствии с этим главное расслоение является локально тривиальным расслоением со структурной группой G и слоем G, на котором структурная группа G действует слева.

Главной связностью называется 1-форма 0 на Р со значе-

инем в алгебре Ли g группы G, для которой

(9.54а)a*e = Ad(aT)。仇 VaeG,

(9.54b)9(R)=匕 W^g,

где D — вертикальное векторное поле, порожденное однопара- метрическои группой exp tV преобразований многообразия Р.

Отметим, что векторные поля вида Р, V^q, порождают все распределение У. Легко проверить, что 鑑—Ker б есть G-связность в Р и, обратно, любая G-связность 鑑 определяет единственную главную связность 0, для которой 鑑=Ker 6. В частности, распределение 鑑 является G-связаностью тогда и только тогда, когда оно G-инвариантно. Подробности см. в [Ko-No 1].

Наконец, соответствующее 鑑 тензорное поле А выражается через 2-форму кривизны Q G-связности 0 по формуле

(9.54с)(46 = -т(6Л 〃х)т®х(X, У))

(напомним, что 0 определяет изоморфизм 外 на д).

Пример 4. Л ссоциированные связности. Пусть р:尸一＞ —6 — главное G-расслоение, a F ——многообразие, на котором группа G действует слева. Тогда G свободно действует на P%F справа по формуле

PrXFXGf PXF:

(х, у, а) Г (ха, а%).

Фактор-многообразие М =尸 X F/G обычно обозначается через PXgF. Отображение Р* 户 f В, переводящее (х, у) в р(%), индуцирует отображение л: М — Е. Оно представляет собой локально тривиальное расслоение, которое называется расслоением, ассоциированным со слоем F и главным расслоением р: Р — В. Отметим, что любая локальная тривиализация расслоения р определяет локальную тривиализацию расслоения л со структурной группой G.

Любая главная связность 9 на 尸 индуцирует G-связность 鑑 на М, где 鑑 есть образ Ker 0Х TF при проекции 夕义尸― f 尸乂gF・ Обратно, любая G-связность 宠 на М индуцируется единственной главной связностью 6 на Р (см. [Ко-No 1] и [Nom 3]) •

F. Римановы субмерсии с вполнегеодезическими слоями

Напомним, что слои римановой субмерсии являются вполне геодезическими тогда и только тогда, когда Т = 0 (см. 9.26).

Теорема (Р. Херман, [Her]). Пусть 冗：Mf В—рима- нова субмерсия с вполне геодезическими слоями. Тогда для любого пути у: [0,/] —В диффеоморфизм ty (если он определен) является изометрией. Если при этом распределение 鑑 полно по Эресману, то ty есть изометрия слоя fY(0)на слой F^i)и для любого b 三 В группа голономии Gb является подгруппой группы изометрий j(F加 倉。〃，значит, ее замыкание является группой Ли.

Доказательство. Если X—базисное, a U, V—вертикальные поля, то

дх/)= -(х, т/)=0・

Обозначим через 倉 тензорное поле на М, составленное из метрик gb на слоях. Его производная вдоль поля%равна

(Zx4(U/) = (OuX, V) + (O/, U) = 0.

Таким образом, поле 倉 инвариантно относительно базисных полей. С другой стороны, отображение ty индуцировано локальной однопараметрической группой диффеоморфизмов, порожденной базисным векторным полем (см. 9.40). Значит,旳 сохраняет @, что и доказывает теорему.□

Замечание. Как отметил Ж- П. Серр, существуют локально тривиальные расслоения, структурная группа которых не редуцируется к группе Ли ни при каком выборе семейства локальных тривиализаций. Например, любое главное G-pac- слоение над S3 тривиально, если G есть группа Ли (поскольку [S2, BG] = л2 (G) = 0). Этот результат принадлежит Э. Картану ([Саг 11]). В то же время S3 допускает нетривиальные сферические расслоения (см., например, [Ап-Bu-Ka]). Таким образом, тотальное пространство этих расслоений не допускает римановой метрики, относительно которой проекция была бы римановой субмерсией с вполне геодезическими слоями.

Следствие. Пусть 冗：М-> В ——риманова субмерсия с вполне геодезическими слоями, а X, У ——два базисных векторных поля. Тогда вертикальное векторное поле AXY вдоль каждого слоя является киллинговым. Точнее говоря, вдоль каждого слоя Fb поле AxY порождает однопараметрическую группу преобразований из группы голономии Gb・

Доказательство. Это следует из формулы А^У =七歹[X, У]. □

Отметим, что доказательство теоремы 9.56 сводится к доказательству следующей теоремы.

Теорема ([Vil]). Пусть G — группа Ли, р: Р-^В — главное G-расслоение, a F — многообразие с действием группы G. Обозначим через л: Мт5 расслоение, ассоциированное со слоем F (т. е, М = Р Xg F) •

Для любой римановой метрики & на В, любой G-инвариантной римановой метрики g на F и любой главной связности 0 на Р существует единственная такая риманова метрика g на Mt что п есть субмерсия (М, g) на (В,倉)с вполне геодезическими слоями, изометричными (F, @), 〃 полным горизонтальным распределением, ассоциированным с 0.

Если при этом многообразия (В, &) 〃 (F,倉)полны, то полно 〃(М g).

Пример. Пусть л: Mf 5 ——евклидово векторное расслоение, типовым слоем которого является евклидово пространство F, а V—метрическая связность в л. Для любой римановой метрики & на 5 м любой О (F)-инвариантной римановой метрики 倉 на F (например, канонической евклидовой метрики) существует единственная риманова метрика на М удовлетворяющая условиям теоремы 9.59.

В § Н приводится много однородных примеров.

Рассмотрим теперь кривизну Риччи и уравнение Эйнштейна. Из формул 9.36 немедленно вытекает

Предложение. Пусть п: М-^В ——риманова субмерсия с вполне геодезическими слоями. Тогда многообразие (Xf, g) является эйнштейновым в том и только в том случае, если выполняются следующие условия:

(9.61а) 6Д = 0 (т. в.彌 есть связность Янга — Миллса);

(9.61b) f(U, V) + (AU, AV) = Л (U9 У) для любых вертикальных векторов U, V;

(9.61с) f{X, У) — 2 (Лх, Ду)=九(X, У) для любых горизонтальных векторов X, У,

где 九 ——некоторая константа.

К сожалению, вопрос о существовании в данном расслоении хотя бы одной связности Янга ——Миллса оказывается весьма сложным, а два других условия накладывают еще более сильные ограничения. Например, мы сразу получаем

Следствие. Пусть п: Мт 5 — риманова субмерсия с вполне геодезическими слоями. Если многообразие (Л4, g) эйнштейново, то функции § 〃 |4|2 постоянны на Mt а функция s постоянна на В.

Доказательство. Взяв след в формулах (9.61b) и (9.61с), получим

(9.62а)s + |4|2 = AdimF,

(9.62b)④。冗一21 А |2 =九 dim 5.

Поскольку функция 6。冗 постоянна на слоях, функции \А\2 и s тоже постоянны на слоях. Но любые два слоя изометричны. Следовательно, функция s, а значит, и |А|2 постоянны на М, а функция s постоянна на В.□

Отметим, что из формул (9.61) не следует эйнштейновость метрик @ н 金 (см. 9.93).

Частный случай. В качестве иллюстрации рассмотрим частный случай главного G-расслоения, где G ——компактная простая группа Ли. В качестве 金 выберем стандартную биинва- риантную метрику на G, которая является эйнштейновой (см. 7.75). Из формулы (9.54с) видно, что для элементов U, V алгебры Ли группы G скалярное произведение (АО, ДУ) постоянно на слоях и, более того, Ad(G)-инвариантно относительно U и К Отсюда следует, что для любых вертикальных векторов W и Wf

(ДГ, W) = n (吃 IT),

Таким образом, мы получаем следующий результат, который представляет собой не что иное, как переформулированную в наших обозначениях интерпретацию Пале уравнений Калузы —— Клейна (см. [Pal 4]).

Следствие. Пусть р: Р —В — главное G-расслоение с компактной простой группой G. Предположим, что р является римановой субмерсией с вполне геодезическим и слоями, изомет- ричными группе G со стандартной римановой метрикой. Тогда многообразие (Р, g) является эйнштейновым в том и только в том случае, если

(9.64а) 第 есть связность Янга — Миллса и s = const;

(9.64b) f (X, У) — 2 (4, %)=喘翼(X, У)

для любых гор изо нт ал ь ных векторных полей X, У.

Отметим, что уравнение (9.64b) ввиду его G-инвариантности можно рассматривать как уравнение на многообразии В.

в!-расслоение. Рассмотрим еще один интересный случай: главное S1-расслоение р: Р — В. В этом случае кривизна Q

главной связности 6 является обратным образом замкнутой 2-формы(о на В.

Пусть р — риманова субмерсия с вполне геодезическими слоями длины 2л. Ассоциированная с 0 главная связность (см. 9.54) удовлетворяет условию 6(0)= IwR, где О — единичное векторное поле, порождаемое действием группы S【на Р. Формула (9.54с) принимает вид

AxY = -^^(X9 Y)U9

где X, У — произвольные горизонтальные векторы на Р.

Легко доказать, что бЛ = 0 тогда и только тогда, когда форма(о на В козамкнута (т. е. 6(о = О). Поэтому из предло- жения 9.61 вытекает

Следствие. Пусть р: Р — В ——главное S}-расслоение, являющееся римановой субмерсией с вполне геодезическими слоя- ми длины 2n. Обозначим через(о 2-форму на В, обратный образ которой при отображении Р есть форма кривизны главной связности, ассоциированной с 為.Тогда многообразие (Р, g) является эйнштейновым 8 том и только 8 том случае, если (9.66а) форма(о замкнута, козамкнута и имеет постоянную норму;

(9.66b)〃Х, У) — / ®х，叫)=呼(X, У)

для любых векторов X, У и ТьВ, где

(<0х，<0у)=1«)(Х, 乂)3 (У, X)

а (X。一 ортонормированный базис 8 ТЬВ.

Напомним, что замкнутая и козамкнутая форма(о является гармонической. Если многообразие В компактно, то верно и обратное. Мы пока не знаем всех решений уравнения (9.66b). -Примеры решения приводятся в 9.76, 9.77 и в § А до^ полнения.

G. Каноническая вариация

Очень интересная деформация метрики g тотального пространства римановой субмерсии получается при масштабном изменении метрик на В н F. Введем следующее определение.

Определение. Пусть л: Mf В ——риманова субмерсия.

Определим каноническую вариацию gt римановой метрики g на М, положив

gt\r=tg\r.

g」％ = gf爲，g/冷箔) = 0.

Свойства, (а) При каждом f > 0 отображение л: (М, g£)f (6, g) является римановой субмерсией с одним 〃 тем же горизонтальным распределением 為 при всех f и метрикой (勧 ь = t^b на слое А, Ь^В.

В частности, вертикальные, горизонтальные и базисные векторные поля одинаковы для всех метрик gt・

(b) Если слои являются вполне геодезическими относительно метрики g, то они будут вполне геодезическими и относительно всех метрик gt, f > 0.

Эти свойства вытекают из следующих формул, которые доказываются непосредственно.

Лемма. Обозначим через А\ 7\ … тензорные инварианты метрики gt, а через Д, Т,…一соответствующие инварианты метрики g = gi. Тогда

(9.69а) /у = &У, 冬 U = tAxU\

(9.69b) 7 俨=£Т/, 小=小；

(9.69c) [{(DxA)y Z, S『=t ((DXA)Y Z, U);

(9.69d) [(“)x y, v)f = t ((ZW)x У，V) + (/ — 产){(&а а/ - — (&V，AyU)}；

(9.69e) [((£>хПа 匕 F)『=t^DxT)v 匕 У);

(9.69f)[((。“須昭,X)f = t((DvT)v 昭，%) + (/-t2)(TvW, &S；

(9.69g) [M]f = M;

(9.69h)[画)и, X)『=mu, X) + (1 _ f)(Tu，Ax)；

(9.69i)(6Ty = t(fiT),

(9.69j) № = N.

В частности, кривизну метрики gt можно выразить через инварианты 员，斐，Д, Т, DA, DT метрики g.

Формулы (9.69d) и (9.69f) наводят на мысль, что инварианты ((DuA)xYf У) + (Ахи,АуУ) — (АхУ,АУи)и ((DuT)vW9 X) + (TvW9AxU) более интересны, чем ((DuA)xY9 U) и ((DyT^yW. X).

Приведем формулы для кривизны Риччи в случае вполне геодезических слоев.

Предложение. Пусть л: М-> 8 ——риманова субмерсия с вполне геодезическими слоями. Тогда кривизна Риччи rt и скалярная кривизна Sf метрики gt определяются формулами

(9.70а) Г/ (С/, V) = f(U, V) + t2(AU9 AV) для любых вертикальных векторов U, V;

(9.70b) Г/ (X, У) = г (X, У) — 2/ (Ах, Лу) для любых горизонталь- них векторов X, У;

(9.70с)勺(X, U) = / (位4) (X), U);

(9.70d) s# = ；§ + “3i-/m|2.

Вспомогательная 'функция. Напомним, что (по крайней мере в компактном случае) эйнштейновы метрики являются крн・ тическими точками некоторых римановых функционалов, в частности скалярной кривизны (см. гл. 4). Поэтому эйнштейнова метрика вида gt является критической точкой ограничения соответствующего функционала на каноническую вариацию {gt}. Согласно следствию 9.62, можно считать, что функции s, s и \А\2 постоянны и IЛI #= 0. Определим функцию 屮 на 口+, положив

(9・71)$ ⑴=■^^Г =什 F)，n^ + s-t\A I)

Ясно, что если метрика gt эйнштейнова, то(р'«) = 0. Поскольку производная функции(р(/) легко вычисляется, нетрудно убедиться, что функция (р(/) имеет 0, 1 или 2 критические точки в R+. Точнее говоря, справедливо

Предложение. Функция ф на R+, заданная формулой (9.71), имеет

две критические точки, если § > 0, s > 0 и

d = (s dim 尸户一461 A F dim В (dim В + 2 dim 尸)> 0;

одну критическую точку, если

либо §>0, 6>0 〃d = 0,

либо § = 0 〃 § > 0,

либо 6 V 0;

не имеет критических точек в остальных случаях.

При этом в критической точке £ выполняются следующие условия:」

Sf>0, если §》0 или s < 0t s > О, «2 + 4§|Л|2>0;

st = 0, если £ V 0, § > О, s + 4s | Д |2 — О;

st < 0, если £ V 0, § & 0 или 6 V 0, s > О,

?+46| 川2 Vo.

Графики функции 屮 показаны на рис. 9.72.

Конечно, не всякой критической точке £ функции 屮 отвечает эйнштейнова метрика gt. Однако можно описать ситуацию.Конечно, не всякой критической точке £ функции 屮 отвечает эйнштейнова метрика gt. Однако можно описать ситуацию.

Конечно, не всякой критической точке £ функции 屮 отвечает эйнштейнова метрика gt. Однако можно описать ситуацию.

Конечно, не всякой критической точке £ функции 屮 отвечает эйнштейнова метрика gt. Однако можно описать ситуацию.

когда в случае 9.72(a) обе критические точки определяют эйнштейновы метрики. Из формул (9.70) немедленно следует

Теорема (Л. Берар-Бержери, не опубликовано). Пусть л: М f 8 — риманова субмерсия с вполне геодезическими слоя-

ми. Тогда существование ровно двух различных метрик Эйнштейна, являющихся канони ческам и вариациями исходной метрики g на М равносильно выполнению следующих условий:

<9・73а) 匏 есть (неинтегрируемая) связность Янга — Мимса; (9.73b) g есть эйнштейнова метрика положительной скалярной кривизны}

(9.73с) g есть эйнштейнова метрика положительной скалярной кривизны}

<9・73d) функция I А |2 постоянна 〃

(AUf AV) = ух (U, V) для любых вертикальных векторов U, V,

(Ах, Ay)=w(X, У) для любых горизонтальных векторов X, У;

<9.73е)仇)2 — 4冗也 + 2w) > 0.

(Здесь」=繩,г = Л^. Отметим, что | Д |2 =(i dim F = v dim В.)

В следующем параграфе мы воспользуемся этой теоремой Лля построения новых примеров однородных эйнштейновых многообразий на основе римановой субмерсии с эйнштейновым тотальным пространством. Для этого теорему удобно переформулировать следующим образом.

Основная техническая лемма. Пусть л: М —В — риманова субмерсия с вполне геодезическими слоями. Предположим, что метрики g,倉〃金 эйнштейновы 〃 А 美 0. Тогда существует такое (единственное) положительное число ，娱 1, что метрика gt является эйнштейновой 6 том 〃 только 6 том случае, если 0 V会耍/工

Доказательство. Из формулы (9.61) следует, что 徹 есть связность Янга — Миллса, значит, 〃(Х, О) = 0 для всех Д Далее, (AU, 4V)=(九一"(О, V) и 2(Ах, Ау) = а — К)(Х, У),

откуда Z < ^ < Я,и условия (9.73а ——d) выполняются. Эйнштей- новость метрики gt теперь равносильна тому, что число / удов- мЛетворяет уравнению (А — X) /2 — Z/ + X = 0. Кроме корня f = 1, это уравнение имеет корень«= J 夕,положительный и не равный единице, если 0 < 力耍}工п

S1-расслоение с компактной эйнштейновой базой. Даже если мы не знаем общего решения уравнения (9.66b), мы можем ох ар актер изов ать его решения в частном случае, когда базой В является компактное эйнштейново многообразие. Пере-

ходя при необходимости к двулистному накрытию, можно считать, что р: Р — В есть главное Si-расслоенне.

Напомним, что главные Si-расслоения на компактном связном многообразии В соответствуют элементам группы когомологий 〃2(民 Z). Если а е Я2(В, Z) — класс когомологий, соответствующий расслоению Р, a aR — его образ при морфизме замены коэффициентов Н2{В9 Z)-^//2(B, R), то для любой связности 6 в Р класс когомологий [<о] е Й2(В, R) ассоциированной с 6 замкнутой 2-формы(о (см. 9.65) имеет вид

(9.75) [со] = 2лак.

Обратно, для любой замкнутой 2-формы со из класса когомологий 2naR в Р существует главная связность е кривизны Q = p*s (см., например, [Kob 8]).

Теорема. Пусть (В, g) — компактное многообразие Эйнштейна (с г = Х^), а р: Р — В ——главное S1-расслоение над В> соответствующее элементу а е Я2(В, Z).

Тогда многообразие Р допускает однозначно определенную 5х-инвариантную эйнштейнову метрику g, относительно которой р является римановой субмерсией с вполне геодезическими слоями, в том и только в том случае, если выполняется одно из двух условий:

Л = 0, aR = 0 “ конечнолистное накрытие многообразия Р является римановым произведением BXS〔；

К> 0 и на В существует такая почти кэлерова структура (J, g, s'), что класс когомологий [s'] кратен aR.

Напомним, что почти кэлеровой структурой называется эрмитова структура с замкнутой формой со. Отсюда сразу следует, что форма со козамкнута (см. [Gr-He]).

Доказательство (b). С учетом того, что г = Xg, условие (9.66b) принимает вид

(Зх, Зу) =(2兀一粤)(Х, У).

Элементарные вычисления показывают, что формула (о (х, у)= = &(//, У) определяет почти комплексную структуру ассоциированная кэлерова форма с/ которой кратна со.

Обратно, пусть дана почти кэлерова структура (/, ^,(о), для которой класс когомологий [ш] кратен aR. С точностью до пропорциональности можно считать, что [cd] = 2naR. Тогда в Р существует главная связность 6 кривизны р：(о. Поскольку форма со козамкнута, соответствующая связность 第 является связностью Янга — Миллса. Рассматривая на В метрику eg с некоторой константой с, легко показать, что выбором с можно добиться выполнения условия (9.66b). □

Примеры. Условие (Ь) теоремы 9.76 выполняется, в частности, в том случае, если (В, g, J, со) — компактное многообразие Кэл ер а — Эйнштейна положительной скалярной кривизны, а а кратно 6(В). Тогда 岡=2冗q(B)R. При этих предположениях теорема 9.76 доказана Ш. Кобаяси ([КоЬ 9]). Сформулированное здесь обобщение принадлежит Л. Берару-Бержери. Существует гипотеза, что любое компактное почти кэлерово многообразие Эйнштейна является кэлеровым (см., например, IGol]))-

Приведем два примера.

Пусть В — СРп с канонической метрикой Фубини — Штуди, являющейся метрикой Кэл ер а ——Эйнштейна. Если а есть образующая группы Я (В, Z), то соответствующее расслоение 尸 есть расслоение Хопфа р： Р = S2n+1->tCP == В (см. 9.81).

Пусть 8 = G：+i—грассманиан opиентироваиных 2-плоскостей в iR2"+* рассматриваемый как комплексная квадрика с естественной симметрической метрикой Кэлера — Эйнштейна. Если а =、-q (8), то соответствующее расслоение есть расслоение T\Sn-^B единичных касательных векторов на сфере. Его тотальное пространство (многообразие Штифеля) допускает однородную эйнштейнову метрику. Отметим, что при и = 3 или п = 7 многообразие TS диффеоморфно произведению S2X 5 или соответственно S6XS’, однако оно не является произведением ни как однородное пространство, ни как многообразие Эйнштейна.

Теорему 9.76 можно применять и в случае неоднородной базы, см. § А, С дополнения.

Замечание. Пусть (В, &, J,(о) — почти кэлерово многообразие с эйнштейновой метрикой g с Х<0, а р: Pf В — главное расслоение, соответствующее элементу а ^ Я2 (В, Z) с [s]=NgR (для некоторого g). Тогда на В существует единственная $1・инвариантная лоренцева метрика Эйнштейна h, такая, что для ассоциированной с s связности 非

А (Г,舒) = 0;

форма h \ Ж (соответственно 九｝ W) положительно (соответственно отрицательно) определена;

проекция р*к困xfTpgZ является изометрией относительно метрик h f Жх и gx для любого % w Р.

Аналогичным образом результаты 9.71—9.73 можно использовать для построения псевдоримановых метрик Эйнштейна сигнатуры (dim В, dimF), если рассмотреть отрицательные критические точки функции ф.

Н. Применение к однородныммногообразиям Эйнштейна

Следующая простая конструкция позволяет получить множество примеров римановых субмерсий с вполне геодезическими слоями для однородных многообразий. Пусть Н, К — компактные подгруппы группы Ли G, причем К и " Возникает естественное расслоение

л: GlKfGIH,аК Н">а”со слоем Н]К и структурной группой Н. Точнее говоря, л естьрасслоение, ассоциированное с главным //-расслоением р: G —-> G/" и слоем Н/К・

Пусть g—алгебра Ли группы G, a b=)f — ее подалгебры, соответствующие Н м К. Зафиксируем Ado (//) -инвариантное дополнение ш к。в g н Ado (К) -инвариантное дополнение » к 1 в D. Тогда 卜〶 ш есть Ado (К) -инвариантное дополнение к t в д. Произвольное AdG (Я) -инвариантное скалярное произведение (•, •) в ш определяет G-инвариантную риманову метрику g в G/H9 a AdG (К) -инвариантное скалярное произведение в А определяет //-инвариантную риманову метрику 金 в Н/К. Наконец, ортогональная прямая сумма этих скалярных произведений определяет G-инвариантную риманову метрику в G/K・ (Отметим, что, вообще говоря, не любую G-инвариантную риманову метрику в G/К можно получить таким образом.) Справедлива

Теорема (Л. Бер ар - Б ержер и, [Вё Вег 5]). Отображение 冗 есть риманова субмерсия многообразия (G/K, g) на многообразие (G/H, g) с вполне геодезическими слоями, изометрич- ными (7//К,金).

Доказательство. В силу G-инвариантности проекции л достаточно рассмотреть отображение л* в точке еК. Из 7.22 сразу следует, что л есть риманова субмерсия. Пусть теперь V и W — киллинговы поля, касательные в точке еК к слою Н/К. Из 7.28 следует, что в точке еК

DvW = -^\V,叫©m + U"，■吩

Но первое слагаемое принадлежит пространству ». Покажем, что U (V,昭)=» (в точке 次).Действительно, для Х = т

(U (匕 Г), Х) = %{([Х, У]®, Г) + (У, [X,叭㊉-}・

Но [X, V] е m и [X, F] е ш. Значит, U(V, W)m = 0. Таким образом, DyW е ))и Т = 0.□

Пример 1. Расслоение Хопфа. Пусть G = SU(m + 1), Я = S(U(i) 1/(/и)) и К = SU(/n)・ Соответствующее расслоение, согласно 7.13—7.15, имеет вид

Л： S2^+l —СР01

и называется расслоением Хопфа.

Отметим, что стандартная §£/(〃+ 1)-инвариантная метрика на S27n+1 не является эйнштейновой. Выберем на S?"』】 каноническую метрику g постоянной кривизны 1 (которая инвариантна относительно SU(m + 1))- Тогда л есть риманова субмерсия с вполне геодезическими слоями на базу СРт с симметрической метрикой 点(кривизна которой меняется от 1 до 4). Отметим, что слоями S】= 〃/К будут большие круги сферы S2m+l т. е. слои имеют длину 2л.

В этом случае г = 0 и, значит, g есть единственная риманов а я метрика Эйнштейна из семейства gt. В обозначениях 9.72—9.74 имеем X = 2m,力=0, X = 2m + 2. Отсюда \ А^ = 2m и

(9・81)(р(/) = 2 mm+1(2m + 2 — £).

Известно, что метрики gt реализуются как индуциров а иные метрики геодезических сфер S(x°, r)= {х + d (х, %。)= г} в комплексном проективном пространстве 匕尸加+】(при EV1) и в двойственном комплексном гипер бол ич еско м пространстве СЯт+1 (при f > 1), см. [Во-Ка].

Рассмотрим обобщение этой конструкции на кватернионный и октавнн访 случаи.

Пример 2. Пусть G = Sp(q + 1), " = Sp⑴Sp(g), K = Sp(g). Соответствующее расслоение имеет вид 冗：S4<7+3 -> —HP" co слоем S3. Выберем на S’q+з метрику g постоянной кривизны 1. Тогда метрика g на слоях также имеет постоянную кривизну 1, а метрика g на базе является симметрической и имеет кривизну, которая меняется от 1 до 4.

В этом случае 入=4q + 2,冗=2, 2 = 4q + 8. Отсюда |4F=12q и

4g

幼=2「^^ (3 + 8q (g + 2) £ — 6qQ).

При t。=-尸[- соответствующая Sp(q+ 1)-инвариантная ри- манова метрика gto на ,СР2д^ является эйнштейновой и не изометр ична метрике g.

23 & £ея«е, т. 2

Пример 3. Пусть G = Sp(q + l)t Н = Sp(l)Sp(q), K=“l)Sp(q). Соответствующее расслоение имеет вид л: QP2g+if 启戶。со слоем S?. Выберем на |СР2^1 симметрическую метрику g кривизны, меняющейся от I до 4. Тогда метрика g на слоях имеет постоянную кривизну 4, а метрика 金 на базе является симметрической, причем ее кривизна меняется от 1 до 4.

В этом случае 九=4q 十 4, Х = 4, А = 4q + 8. Отсюда ”？ = 8д и

<р(0 = а-^7 (1 + 2q (д + 2) / — q"

При /0 = д ； f соответствующая Sp(^+ 1)-инвариантная метрика на CP'9+i является эйнштейновой и не изометрична метрике g.

Пример 4. Пусть G = Spin(9), Я = Spin (8), К = =Spin (7), где Я с= G — стандартное вложение, а вложение К и 〃 получается из стандартного в результате применения нетривиального тройственного автоморфизма. (Напомним, что так называется внешний автоморфизм группы Spin(8), который не индуцируется никаким автоморфизмом группы Spin (9). Таким образом, вложение Spin (7) и Spin (9) не является стандартным, см. [Вог 2]・)Соответствующее расслоение имеет вид л.： S】5fs8 со слоем S7. Метрику g можно выбрать так, чтобы метрики g, g и g имели постоянную кривизну (равную 1 для g и g и 4 для g). В этом случае 九=14, Х = 6, 兀=28. Отсюда М I2 = 56 и

叫/) = 14「宕(3+16/ — 4产).

При Z0 = yp соответствующая Spin (9) -инвариантная риманова метрика g^ на S^ является эйнштейновой и не изометрична ни метрике g, ни метрике из 9.82 с q = 3.

Замечания. Все описанные расслоения называются обобщенными расслоениями Хопфа. Как и в 9.81, сферы из 9.82 и 9.84 реализуются как геодезические сферы в соответствующих симметрических пространствах (см. [Wns 2] и [Во-Ka]). Неканонические эйнштейновы метрики из 9.82 (на сфере S4q^3), из 9.83 (на ；СР2°+1) н из 9.84 (на S15) были найдены соответственно Г. Йенсеном ([Jen 3]), В. Циллером ([Zil 2]) и Ж.-П.Бургиньо- ном и Г. Кархером ([Во-Ka]).

Отметим, что некоторые из построенных метрик можно получить и при описании G-однородных метрик, где G= U(m-\-i) или Sp(l)Sp(q + 1). В частности, полной связной группой

изометрий метрики g^ для сферы S?m+i является группа U(m+ 1), для S4q+3 — группа Sp(l)Sp(g + 1), а для СР24^1 — группа U(l)Sp(q + !)• Тщательный анализ этих случаев вместе с классификацией транзитивных действий групп Ли на сферах и проективных пространствах (см. 7.13 и 7.15) показывает, что если (G/K, g) есть однородная сфера или проективное пространство, то либо пространство G/К изотропно неприводимо, либо g принадлежит семействам gf, либо G = Sp(q + 1), Н = =Sp(l)Sp(q), K = Sp(q) и слоями соответствующего расслоения являются Sp (1) -однородные сферы S3 (метрика которых не обязательно имеет постоянную кривизну). Явное вычисление кривизны Риччи в последнем случае приводит к следующей теореме.

Теорема (В. Циллер, [Zil 2]). Однородные римановы, метрики Эйнштейна на сферах и проективных пространствах исчерпываются (с точностью до пропорциональности} стандартными метриками 〃 описанными выше метриками g^. Таким образом, на S】5 существуют ровно три (с точностью до пропорциональности) однородные метрики Эйнштейна, на ©夕函+工 и S4q+3(ду=з)— 08е такие метрики, а на S2m, S"+i, СР2mti HP* СаР2 — одна такая метрика.

Вообще, теория стандартных однородных многообразий Эйнштейна в сочетании с аппаратом, развитым в § F, G, позволяет построить много новых примеров однородных многообразий Эйнштейна. Приведем прежде всего несколько примеров нестандартных эйнштейновых метрик на однородных пространствах М = G/К, для которых стандартная метрика является эйнштейновой.

В дополнение к предположениям 9.79 потребуем, чтобы выполнялись следующие условия:

G есть компактная полупростая группа Ли;

стандартные G-инварйантные метрики g на G/К н р на G/Н эйнштейновы;

/f-кнварнантная риманова метрика g на Н/К, задаваемая формой (——8g) Г Ь (где Bg ——форма Киллинга группы G), эйнштейнова.

Тогда из основной технической леммы 9.74 следует, что при О < Л 5^ у Л на G/К существует нестандартная G-инвариантная риманова метрика Эйнштейна.

Если Н/К не является тором, то, очевидно, % > 0・ Отметим также, что условие (с) выполняется, если потребовать, чтобы

(с') Вн = cBG или, шире, Вн，= с%, где 〃'——нормальная подгруппа группы Н, действующая на 〃/К транзитивно и почти

эффективно. (В частности, (с') выполняется, если группа Н (или 4) проста.)

Действительно, в этом случае метрика @ пропорциональна стандартной метрике на Н/К и в силу предложения 7.92 многообразие (〃/К, g) эйнштейново, поскольку многообразие (G/K, g) эйнштейново, а представление изотропии пространства Н/К входит в представление изотропии пространства GJK как слагаемое в прямой сумме.

Применяя эту конструкцию к однородным пространствам G/К из табл. 7.108 и табл. 7.109 и находя максимальную подгруппу Н группы G, содержащую К, можно получить многочисленные примеры многообразий Эйнштейна. Полный список таких примеров (в предположении, что выполняется условие (с‘)н группа G проста) приводится в [Wa-Zi 2]. Отметим, что в некоторых случаях 厶=万入. Особый интерес представляет следующий частный случай.

Пусть К = {1}, g =——BG н подалгебра U не является идеалом в д. Тогда можно показать (см. [Da*Zi]), что левоинвариантная метрика gt на G будет эйнштейновой при некотором (всегда единственном) значении / ^ 1 в том н только в том случае, если Вя = cBG и стандартная метрика на G/Н эйнштейнова. С помощью табл. 7.102——7.109 легко получить полный список всех таких эйнштейновых метрик для простых групп G (см. [Wa-Zi]). В частности, все примеры из 7.95 удовлетворяют условию Вн = cBG и приводят к большому семейству эйнштейновых метрик. В работе [DA-Zi] показано, что метрика gt является эйнштейновой ровно при одном значении f V 1 и что такая метрика является нормально однородной относительно группы G X //, транзитивно действующей на G (где Н действует на G справа).

В частном случае, когда G/Н — неприводимое симметрическое пространство, неравенство f V 1 сразу следует из того, что

九=5， а = с« (см. 7.93) н с VI, поскольку 与 не является идеалом алгебры Ли д. Этот результат принадлежит Йенсену ([Jen 3]). В общем случае доказательство неравенства £V1 требует более тщательной оценки константы с.

Рассмотрим в качестве примера симметрическое пространство /7Х Н/Н типа II. В этом случае мы получим левоинвариантную эйнштейнову метрику на // X ", не изометричную метрике прямого произведения. (Например, если Н = SU(2) = S3, то получается эйнштейнова метрика на S^XS?.)

Для построения новых однородных эйнштейновых метрик можно использовать и непосредственно предложение 9.70. Пусть К и 〃 и G, как в 9.79, а метрики g,穴 м g определяются формой ——Bg. Предположим, что метрики g и g эйнштейновы. Тогда из биинвариантности формы BG сразу следует, что

За = 0,

(AU, AV) = -^Bg(U, у)+ ； 8H (U, У),

(&, 4，) = J (С%,内 У) — } (С(х ”)“X, У),

где х* — представление изотропии пространства G/H. a q — ограничение формы —BG на £

Поэтому (AU, AV) = р (£/, V) тогда и только тогда, когда Вн \ >p = cBG f р, и в этом случае р — —^—■ Аналогично, (厶，Лу) = V (X, У) тогда и только тогда, когда С/ ^D，q = a • Id, и в этом случае

— dim F — (1 — c) dim F

V ~ 卩 dim В -―4 dim 5'

где F = "/К, В = G/H.

Отметим, что условие BHlV = c(BG ^) выполняется, если Вн = cBG (например, если группа " проста) или, шире, если Вн，= cBg, где "'——нормальная подгруппа группы Н、действующая транзитивно и почти эффективно на Н/К-

Пусть, например, стандартные метрики на G/H в "/К эйнштейновы и

Gx* t f). q = a* Id, BH = cBG (или Внг — сВа). Предположим также, что

rf = X2 — 4Z,(卩 + 2v)=

= (H"^dim〃y —c(l —c)(l+2磊)X Х(т+ 2dimF Zs,(l—c)).

Тогда из предложения 9.70 следует существование одной (если d = 0) или двух (если d > 0) эйнштейновых метрик gt на G/K, одна из которых может быть стандартной. Нам неизвестно, в каких случаях выполняется дополнительное условие d > 0, но есть примеры, когда dvO, d = 0 и d>0 (см. 9.95).

Предположим, что G/H ——изотропно неприводимое пространство, причем ограничение %* FI его представления нзотро- пии на подалгебру f неприводимо, а стандартная однородная метрика на 〃/К эйнштейнова. (Это так, например, если G/H—

=BO(p + g)/SO(p)SO(q), a K=RSO(q), где подгруппа К】и S0(p) такова, что стандартная метрика на SO (р)/Кг эйнштейнова.) Тогда, если d = ” 一 4Л (ц + 2v) > 0, то на G/К существуют две однородные эйнштейновы метрики. 八

Интересный пример можно получить следующим образом. Подгруппа SO (2九一1) группы SO(2孔) действует транзитивно на симметрическом пространстве SO(2n)/U(п) и имеет стабилизатор U(и——1). Поэтому возникает расслоение

SO (2п — 2)/U 仇一1) f SO (2紅 一 1)/U 5 — 1)->

—SO(2〃一 1)/SO (2n - 2).

Слои и база этого расслоения являются симметрическими пространствами, а тотальное пространство диффеоморфно симметрическому пространству. Поскольку %* есть стандартное Представление группы SO(2n ——2), представление %*【f неприводимо. Имеем

^=т- Отсюда^=т- Отсюда2" 一 4 行 1 n - 2整一12〃二 3，入=C 万=2〃一 3 * 卩 + « = 4 (2一二 3) •2" 一 4 行 1 n - 2整一12〃二 3，入=C 万=2〃一 3 * 卩 + « = 4 (2一二 3) •d =力一万（四+ 2V） = } -（"质,”3工工＞0d =力一万（四+ 2V） = } -（"质,”3工工＞0

^=т- Отсюда

^=т- Отсюда

2" 一 4 行 1 n - 2整一1

2〃二 3，入=C 万=2〃一 3 * 卩 + « = 4 (2一二 3) •

2" 一 4 行 1 n - 2整一1

2〃二 3，入=C 万=2〃一 3 * 卩 + « = 4 (2一二 3) •

d =力一万（四+ 2V） = } -（"质,”3工工＞0

d =力一万（四+ 2V） = } -（"质,”3工工＞0

Таким образом, на SO(2〃一1)/U(n—1) существуют две эйнштейновы метрики gf. Одна из них изометрична метрике симметрического пространства SO(2〃)/U(〃), а другая является но* вой (см. [Wa-Zi 3]).

Условие d > 0 всегда выполняется в том случае, если G/H — изотропно неприводимое пространство и Н = КК', где К, К' — нетривиальные нормальные подгруппы группы ", причем подгруппа К' неабелева и В^ = сгВв. В этом случае существуют значения f V 1 и f > 1, для которых метрика gt является эйнштейновой.

Действительно, Сх* yt = a ^ Id и Н]К = К'——стандартное эйнштейново многообразие. Условие эйнштейновости метрики gt принимает вид ](/) = % — А + (卩 + 2v)产—0. Поскольку 屮(0)= =Z 2> 0 и

爪1)= "十2-荘% = 中 (1+2能爲)-

-(т + ^kr [(1 一 c) dim К + (1 — с') dim К']) + % =

_(l-c)dimK

=芽血Tё - v °，

квадратное уравнение 牛(/) = 0 имеет решения t\ и /2, для которых 0 V介V 1 V坛

В случае когда G/Н — неприводимое симметрическое пространство, этот результат принадлежит Г. Йенсену ([Jen 3]). (Случай G/〃 = SO(p + q)/SO(p)SO(q) был ранее исследован Саглем в [Sag].) В общем случае результат получен Д'Атрн II Циллером ([DA-Zi]). В [DA-Zi] также показано, что метрики gt являются естественно редуктивиыми относительно транзитивного действия группы G 义 К' на G/K.

Можно также построить много эйнштейновых метрик, рассматривая субмерсии Н]К— G]К— G]Н, для которых метрика на G/Н является эйнштейновой, а метрика на Н/К ——произведением эйнштейновых метрик с различными масштабными множителями ti, которые соответствуют сомножителям пространства Н[К. При этом уравнение Эйнштейна сводится к системе квадратных уравнений относительно 左.В [DA-Zi] построены все метрики, которые можно получить таким способом в том случае, если G/Н ——изотропно неприводимое пространство, а Н разлагается в произведение Н = КК' нормальных подгрупп. Поскольку Н]К = К, группа К' должна иметь не менее двух простых сомножителей, а значит, группа “ 一 не менее трех (она может иметь два сомножителя только при К = {1}). Большинство эйнштейновых метрик, которые удается построить таким образом, являются левоинвариантными метриками на группах Ли (т. е. соответствуют случаю К={1}). Типичный пример связан с пространством G/〃 = SO(p + д)戸O(p)SO(q)・

Умножая ограничения В fSO(p) н В f SO(q) киллинговой формы В алгебры Ли SO(p*q) на подходящие коэффициенты 厶，/2, можно построить четыре эйнштейновы метрики на SO(p + q). Одна из них (при 介=友=1) отвечает форме —В, а три другие соответствуют парам значений 力 V1, f2 V 1; 九 >1,方2 之 1； /1 < 1, f2 > 1 (при р = q две последние метрики изометр ичны). С другой стороны, для G/H = Sp(p + + q)/Sp(p)Sp® два из этих четырех решений при малых значениях \р — q\ оказываются комплексными. Здесь также все метрики естественно редуктивны относительно транзитивной группы G X К•

Примеры компактных односвязных G-однородных многообразий, не допускающих G-инвариантной эйнштейновой метрики. Как и выше, рассмотрим компактную полупростую группу Ли G и две ее компактные подгруппы К и//. Будем предполагать, что (в обозначениях 9.79) присоединенные представления группы К в » н m неприводимы и неизоморфны. Отсюда следует, что любая G-инвариантная метрика на G7K подобна стенке, которая получается из стандартной метрики g с помощ? ю канонической вариации gf, соответствующей римановой с “ юрсии

с вполне геодезическими слоями я: G/K-^G/H (см. 9.80). Поскольку пространства G/H и Н]К по нашему предположению изотропно неприводимы, они являются многообразиями Эйнштейна (7.44) и условия (9.73а—d) теоремы 9.73 выполняются. Мы рассмотрели много примеров, для которых величина d = (X)2 — 4Z (ц + 2w) из (9.73е) положительна. Однако известно также много примеров, для которых d V 0. В этих случаях многообразие G/К не допускает G-инвариантной эйнштейновой метрики. М. Ванг и В. Циллер ([Wa-Zi]) построили множество таких примеров, один из которых мы сейчас приведем.

Предложение. Пусть G = SO(2m), Н = U(п) и К = = (/(1)Х§О(м), где (/(1) — центр группы, U(п), а вложения U(и) cz SO (2竝),SO (枕)и SU(枕)являются стандартными.

Тогда при 枕》4 многообразие SO(2n)/U{l)\SO(n) не допускает SO (2и) -инвариантной эйнштейновой метрики.

Доказательство. Заметим, что G/H и Н/К — неприводимые симметрические пространства. Поэтому для стандартных метрик 兀=. и £=§, где Bsu(n)=^cBSo(n^ Простые вычисления показывают, что с = 今 / Р~к • Как и в 9.90, получаем

d = 靜 -4力("十 2") = } -1Ц^(1 +^^)=

L —(〃 — 2) (丁 + 1)

4(雑一i)2■

При /г > 4 имеем d V 0.□

Замечания, (а) При 及=3 получаем d = 0. Соответствующее пространство SO (6) /£/ (1) X SO (3) не является изотропно неприводимым, но имеет единственную (с точностью до пропорциональности) SO (6) -инвариантную эйнштейнову метрику. Существует и много других примеров подобного рода.

(Ь) Мы уже знаем, что многообразие может допускать несколько различных транзитивных групп Ли преобразований. Однако М. Ванг н В. Циллер построили пример компактного односвязного однородного многообразия, не допускающего ни одной однородной эйнштейновой метрики. Приведем без доказательства их результат.

Предложение. Пусть G = SU(4) и Н = Sp(2) (со стандартным вложением Sp (2) и SU (4)). Рассмотрим (по существу единственное) вложение группы К = SU(2) как максимальной подгруппы группы Sp (2). Соответствующее многообразие G(K = SU®/S(Ja} не допускает ни одной эйнштейно-

с вполне геодезическими слоями я: G/K-^G/H (см. 9.80). Поскольку пространства G/H и Н]К по нашему предположению изотропно неприводимы, они являются многообразиями Эйнштейна (7.44) и условия (9.73а—d) теоремы 9.73 выполняются. Мы рассмотрели много примеров, для которых величина d = (X)2 — 4Z (ц + 2w) из (9.73е) положительна. Однако известно также много примеров, для которых d V 0. В этих случаях многообразие G/К не допускает G-инвариантной эйнштейновой метрики. М. Ванг и В. Циллер ([Wa-Zi]) построили множество таких примеров, один из которых мы сейчас приведем.

Предложение. Пусть G = SO(2m), Н = U(п) и К = = (/(1)Х§О(м), где (/(1) — центр группы, U(п), а вложения U(и) cz SO (2竝),SO (枕)и SU(枕)являются стандартными.

Тогда при 枕》4 многообразие SO(2n)/U{l)\SO(n) не допускает SO (2и) -инвариантной эйнштейновой метрики.

Доказательство. Заметим, что G/H и Н/К — неприводимые симметрические пространства. Поэтому для стандартных метрик 兀=. и £=§, где Bsu(n)=^cBSo(n^ Простые вычисления показывают, что с = 今 / Р~к • Как и в 9.90, получаем

d = 靜 -4力("十 2") = } -1Ц^(1 +^^)=

L —(〃 — 2) (丁 + 1)

4(雑一i)2■

При /г > 4 имеем d V 0.□

Замечания, (а) При 及=3 получаем d = 0. Соответствующее пространство SO (6) /£/ (1) X SO (3) не является изотропно неприводимым, но имеет единственную (с точностью до пропорциональности) SO (6) -инвариантную эйнштейнову метрику. Существует и много других примеров подобного рода.

(Ь) Мы уже знаем, что многообразие может допускать несколько различных транзитивных групп Ли преобразований. Однако М. Ванг н В. Циллер построили пример компактного односвязного однородного многообразия, не допускающего ни одной однородной эйнштейновой метрики. Приведем без доказательства их результат.

Предложение. Пусть G = SU(4) и Н = Sp(2) (со стандартным вложением Sp (2) и SU (4)). Рассмотрим (по существу единственное) вложение группы К = SU(2) как максимальной подгруппы группы Sp (2). Соответствующее многообразие G(K = SU®/S(Ja} не допускает ни одной эйнштейно-

вой метрики, которая была 6bl однородной относительно некоторой транзитивной группы преобразований.

I. Другие примеры однородныхмногообразий Эйнштейна

Методы построения однородных многообразий Эйнштейна не исчерпываются методами, описанными в § Н. Большинство однородных римановых многообразий не являются тотальными пространствами нетривиальных римановых субмер- сий с вполне геодезическими слоями. (Отметим однако, что любое однородное пространство G/К является базой субмерсии G —G/K.)

Опишем однородные многообразия Эйнштейна, полученные другими методами.

Пусть % — представление изотропии пространства G/K в касательном пространстве р, а р =力㊉ … 巾升一разложение % (К)-модуля ” на неприводимые подмодули. Предположим, что представления %? = х Г V* попарно неэкв ив ал ентн ы. Тогда любая G-инвариантная риманова метрика g на G/К задается скалярным произведением вида (•, •)= /1(—BG) F Vi + …+。(一В J 上 F»r. Ограничение тензора Риччи метрики g на слагаемое 壮 пропорционально (•, -). Поэтому уравнения Эйнштейна сводятся к системе г полиномиальных уравнений с г неизвестными £1, •.., tr.

Пусть, например, г = 2. Нормируя метрику, можно считать, что 6 = 1, ^2 = t. Непосредственные вычисления с использованием (7.30) и формулы

и (X, У) = ? [X, У]| + "Ц^ [X,八

[X, x,b|2 + ；iK XJF)} +[X, x,b|2 + ；iK XJF)} +(9.99)+步(9.99)+步(где [X, У] / — проекция вектора [X, У] на 必 Z = 1, 2) показывают, что метрика gt является эйнштейновой тогда и только тогда, когда

[X, x,b|2 + ；iK XJF)} +

[X, x,b|2 + ；iK XJF)} +

(9.99)

+步

(9.99)

+步

{线? ip%' -BgX, X) + £ (； I [X, XL I2 +1 [X, XL F)} _

-’['g ('Х2, -"gу-’['g ('Х2, -"gу,y)+ ?(IK}%F + ；l[y,力/)},y)+ ?(IK}%F + ；l[y,力/)}++

-’['g ('Х2, -"gу

-’['g ('Х2, -"gу

,y)+ ?(IK}%F + ；l[y,力/)}

,y)+ ?(IK}%F + ；l[y,力/)}

+

+

+ XGl『，％liF + ；IU,切2『)=。

для любых Xwpi, У = ©2, нормированных условием Вс(Х, Х)= = Вс(У, У) = —1, где (X/) и (У/) — ортонормированные (относительно —Вс) базисы р] и .2 соответственно, а |Х| — норма вектора X, ассоциированная с —Вс.

Отметим, что если [pi, »i]u»i ㊉ f (соответственно [p2. V2I cz 匚:功㊉力 то коэффициент при F (соответственно свободный член) обращается в нуль и уравнение (9.99) становится квадратным. В этом случае вновь получается метрика, согласованная с субмерсией (как в 9.90 с Ь =初㊉ f или с 功 ㊉ t), н мы приходим к рассмотренному ранее случаю, когда существуют две, одна или не существует ни одной G-инвариантной эйнштейновой метрики.

В остальных случаях .коэффициент при /3 отрицателен, а сво- бодный член положителен. Следовательно, уравнение (9.99) всегда имеет положительное решение, и, значит, многообразие допускает по крайней мере одну G-инвариантную эйнштейнову метрику. (Это было указано автору М. Вангом н В. Циллером.) Отметим, что все решения уравнения (9.99) положительны. Автору неизвестно, когда существуют три (или два) решения.

Наконец, опишем семейство примеров, для которых представление изотропии Ado (К) имеет четыре неприводимые компоненты.

Пусть G = SU⑶ и

К = {ft = diag(e2nffee,曰〃®, —2也з+ое), BrR}uG,

где 左，/ ——взаимно простые целые числа. Тогда Mk, 1 = G/К есть семимерное ^многообразие с группой когомологий Н^Му, 了), которая является циклической группой порядка |力2 丄 О + 左/|. Таким образом, существует бесконечно много гомотопических типов многообразий М風 /.

М. Ванг получил следующий результат.

Теорема (М. Ванг, [Wan]). Для любых 左，/ на многообразии Mk, / существует 5(7(3)——инвариантная метрика Эйнштейна. Таким образом, существует бесконечно много гомотопических типов семимерных многообразий Эйнштейна.

Мы приведем лишь набросок доказательства этой теоремы. Пусть %——представление изотропии многообразия М%【в пространстве р. Разложение х (К)-модуля г на неприводимые подмодули имеет вид А = Ро ㊉力巾 / ㊉ Аз, где dim Vo = L dim р； = 2, i = 1, 2, 3. Поэтому G-инвариантная метрика на Mk,i задается скалярным произведением вида

(.,•) =九(一В f А。) + ~ (— ^) t Pi + 十(—В)}冷2 + ； (― 5)上 %•

Нормируем метрику условием X = 8л2 (fe2 + /2 + klf. Тогда, как показывают непосредственные вычисления с использованием (7.38), условие эйнштейновости метрики (•, •) принимает вид

3济炉 + 3/V + 2吐=6x + 6у 一 厚,

2m2x2 + 3/岁 + 3肥# = 6y + 6z —平，

I 2m2x2 + 2臨2 + 3出# = 6尤 + 6z 一餐，

где т = -(左+ 0.

Топологическая теорема о неподвижной точке показывает, что система (9.101) при любых 幺 I. т имеет вещественное решение х > 0, у > 0, z > 0.

Если k — I = 19 то соответствующую эйнштейнову метрику можно получить, как в 9.90, где G/H = SU⑶/S(U⑴X U⑵), a K = SO(2)—центр Н. Можно показать, что при других значениях 左，I соответствующие многообразия Эйнштейна не являются тотальными пространствами нетривиальных римановых субмерсий с вполне геодезическими слоями и эйнштейновой базой. Отметим, что мы не получили явного решения, поскольку воспользовались топологической теоремой о неподвижной точке.

Другой метод доказательства существования решения позволяет получить следующий результат, который мы приведем без доказательства.

Теорема. (М. Ванг, В. Циллер, [Wa~Zi]). Пусть G — компактная связная группа 力〃,а К — ее компактная подгруппа, соответствующая максимальной подалгебре f алгебры Ли% группы, G. Тогда однородное пространство (j/К допускает G-инвариантную риманову метрику Эйнштейна.

Действительно, в предположениях этой теоремы нормированная полная скалярная кривизна (т. е. скалярная кривизна метрики, нормированной так, чтобы объем многообразия G/К был равен единице) ограничена сверху и является собственной функцией на пространстве G-инвариантных римановых метрик многообразия G/К. Метрика, реализующая максимум этой функции, существует и является эйнштейновой. Отметим, что могут существовать и другие эйнштейновы метрики, не реализующие максимум.

J. Скрещенные произведения

До сих пор мы строили явные примеры эйнштейновых метрик только с помощью римановых субмерсий с вполне геодезическими слоями. Однако для этого можно использовать и

другие классы римановых субмерсий. Простейшим из них является класс скрещенных произведений (определенных в 9.11). К сожалению, на этом пути пока не удалось получить новых примеров компактных многообразий Эйнштейна. Тем не менее скрещенные произведения позволяют строить новые примеры полных многообразий Эйнштейна, причем уравнения Эйнштейна принимают достаточно интересный вид.

Для того чтобы высветить специфические особенности скрещенных произведений в классе римановых субмерсий, определим бесследовую часть 7° тензора Т соотношениями

Tlv = TuV ~ ^'^ N,

TlX = ТиХ + ^-} U,

我=0,

где р = dim F,

Легко доказывается

Предложение. Пусть М — В % f2F—— скрещенное произ^ ведение многообразий (В, g) и (F,倉。)с положительной скрещивающей функцией 产 〃Q В (как в 9.11). Тогда проекция п\ М-^ В на первый сомножитель является римановой субмерсией, причем ее слоем в точке b = В является (F, f(b)2倉о). При этом тензорные инварианты субмерсии л имеют вид

(9.104а)А = 0,

т° = от° = о(9.104b)

т° = о

т° = о

и

(9.104с) вектор средней кривизны N является базисным.

Более тоао, поле N оказывается я-связанным с векторным полем

——干 bf на В, где Df — градиент функции f относительно ».

Обратно, условия (9.104а, Ь, с) локально характеризуют скрещенные произведения среди всех римановых субмерсий.

Это предложение показывает, что все тензоры, которые входят в выражение для тензора кривизны скрещенного произведения, выражаются через функцию f и ее производные (и через тензоры 矣肘 员).В частности, для любого вектора Е, любых горизонтальных векторов X, У н любых вертикальных

векторов U, У выполняются соотношения

(9.105а) ((DeT^V, X) = $ (U, V)(DEN,司，

(9.105b) ($7 (U), X) = QuM X) = 0,

(9.105c)初(U, V) = — ^(U, V) BN,

Г1>»Z~-s^1-чг»«»Х T

(9.105d) дм Y) = p[-j-Ddf(X, y)+ -^-dfW^(nj°R, (9.105e)5% = "学 + 红沪卜n，

где 反=% (X),历=% (V), а 5 df и Kf обозначают гессиан и лапласиан функции f относительно метрики g.

Приведем формулы для кривизны Риччи.

Предложение. Кривизна Риччи г скрещенного произведения М — В yif2F задается формулами

(9.Ю6а) r(U, Ю = г0(6/, V) + (U, У)[^-(р-1)-^°л],

(9.106Ь) r(U, У) = 0,

(9.106с) г(Х, Г) = г(Х, Y)-^-Ddf(X, У), где U, V——вертикальные векторы, X, У ——горизонтальные векторы, X = %Х, У = п*У — их проекции, a rQ и г — кривизны Риччи многообразий (F, go) 〃 (В, g) соответственно.

Уравнения Эйнштейна принимают следующий вид.

Следствие. Скрещенное произведение М = В Хр^7 兄в- ляется эйнштейновым (с г ^ 入g) тогда и только тогда, когда go, g и f удовлетворяют следующим условиям:

(9.107а) многообразие (F,倉°) является эйнштейновым

(с ГО = Wo),

(9.107b) 卑一(p—1)耳i^—h 卓■==九，

(9.107c) f — ^-Ddf= Xg.

Отметим, что (9.107а) накладывает ограничение только на метрику 負，в то время как соотношения (9.107b) и (9.107с) представляют собой дифференциальные уравнения

относительно / н g. До конца не известно, когда эти два уравнения допускают положительное решение f на данном многообразии (даже локально). Конечно, уравнения (9.107b) н (9.107с) имеют положительное постоянное решение тогда н только тогда, когда g есть эйнштейнова метрика скалярной кривизны того же знака, что и у метрики go. В этом случае уравнения принимают вид%=产会о н m есть риманово произведение. Если нас интересуют только непостоянные решения, то уравнения (9.107b) и (9.107с) можно заменить одним уравнением

г — / Qdf = 9(4 + 2P号一p(p—1) J-^p—|- р-р

—■(/ +，一 2)A)衣，

где q = dim 民(Этот результат автору сообщил Л. Берар-Бер- жери.)

Действительно, (9.108) и (9.107с) имеют одинаковые бессле- довые части. Уравнение (9.107b) и след уравнения (9.107с) можно получить, рассматривая подходящую лнне負ную комбинацию следов уравнения (9.108) и уравнения, получающегося при сокращении дивергенции уравнения (9.108) на df. (Напомним, что г —— 七 V衣 имеет нулевую дивергенцию, см. 1.94.)

Рассмотрим уравнение (9.108) в частном случае, когда д = =dim В ^ 2.

Скрещенные произведения с одномерной базой. Пусть g = dimB=l н р>1. Тогда можно параметризовать В длиной дуги / относительно метрики g и рассматривать f как функцию /. Уравнение (9.108) превращается при этом в обыкновенное дифференциальное уравнение

,产+弓产=自，

Поведение его решений зависит от знака чисел 入 и Хо. Непо- стситннне решения уравнения (9.109) (с точностью до подобных преобразований метрик g, go и g) содержатся в следующей таблице.

Ло

—(р— 1)

0

p 一 1

p— I

p-1

А

—р

—Р

一"

0

p

f

ch t

J

sh t

t

sin t

Отсюда следует

Теорема. Пусть М = B%f2F — скрещенное произведение с q = dim В = 1 〃 р = dim F ＞ 1. Если М есть полное многообразие Эйнштейна, то либо М является риччи-плоским римановым произведением, либо Н = R, многообразие F есть многообразие Эйнштейна неположительной скалярной кривизны. а многообразие М имеет отрицательную скалярную кривизну.

Доказательство. Если многообразие М полно, то многообразие В также полно, а функция f определена на всей прямой R. Если при этом В = S' то функция f является периодической. Отсюда следует, что либо М есть риманово произведение (К = =%о = 0), либо f — cht или е* и слои имеют отрицательную или нулевую скалярную кривизну.

Скрещенные произведения могут описывать открытые всюду плотные по дм ногообр а зия полных многообразий. Например, такая ситуация складывается при рассмотрении полярных координат евклидова пространства.

Пусть М = R" с канонической плоской метрикой и С/ = =IRn— {0}. Относительно индуцированной метрики многообразие U является скрещенным произведением ]0, 8〔＞＜尸5"~\ где сфера S"-i снабжена канонической метрикой, a f есть расстояние до начала координат в R". Это равносильно известной формуле

g = dt2 + 产 О。，

задающей евклидову метрику в полярных координатах.

Хорошо известно, что эта формула легко обобщается на случай симметрических пространств постоянной кривизны. Пусть M = S〃 (с канонической метрикой). Зафиксируем точку x^Sn и противоположную ей точку —х. Тогда U = S"——{х,——％} есть скрещенное произведение ] 0, л [ Xgjn^S^"1. Аналогично, если M=RP〃 (с канонической метрикой) н Сх — множество раздела точки х= ：RP" (т. е. сопряженная к х гиперплоскость), то U = =RP»—({x}UC) есть скрещенное произведение ]0, л/2[Х Xsin= Q •

Наконец, если М= Нп (гиперболическое пространство), то U = Нп— {%} есть скрещенное произведение ] 0, оо [ Xsh2/5Я~1 .

Отметим, что эти примеры реализуют три последних решения f уравнения (9.109), а параметр t каждый раз интерпретируется как расстояние до некоторой точки.

Если рассмотреть расстояние до некоторой гиперповерхности, можно получить новую серию примеров.

Пусть а — нетривиальная изометрия полного риччи-пло- ского многообразия (F,go). На римановом произведении RXF свободно действует группа изометрий И, порожденная изометрией а:(厶 ％)*—>(，+2, а(%)), где / ——положительная константа. Фактор-пространство М = R X F/Z является полным риччи- плоским римановым многообразием. При этом проекция произведения R X 尸 на первый сомножитель индуцирует риманову субмерсию л: Л1-> S】=K//Z, которая хотя и не является скрещенным произведением, но становится им при ограничении на любое собственное связное открытое подмножество окружности SL

Аналогично, пусть а и р ——две изометрии, свободно действующие на полном риччи-плоском римановом многообразии (F,go), причем 廿=俨=Id. Группа G изометрий риманова произведения R X F, порожденная изометриями а: (Л х)«—^ >—>(—/, а(х)) и В： (/, х)ь->(/ ——£, В(х)) (где / ——положительная константа), действует свободно, и фактор- пространство М = =R X F/G является полным риччи-плоским римановым многообразием. Проекция множества (R — /Z)XF на М является •открытым всюду плотным подмногообразием U в М изометрич- ным прямому произведению ]0, / [ X F.

Пусть а ——изометрия, свободно действующая на полном многообразии Эйнштейна (F, go) отрицательной скалярной кривизны, причем а2 = Id. По теореме 9.110 скрещенное произведение R Xch2 tF является многообразием Эйнштейна. Отображение а: (/, %)»-->(——f, а (х)) является свободно действующей изометрией, причем а2 = Id. Поэтому фактор-пространство M=RX Xch2fF/{/d, а} является полным многообразием Эйнштейна (отрицательной скалярной кривизны). Отметим, что М можно рассматривать как тотальное пространство одномерного нетривиального векторного расслоения над фактор-пространством F/{/d, а} и что дополнение U к нулевому сечению этого расслоения изометрично скрещенному произведению ] 0, оо [ Xch2 # 尸.

Наконец, гиперболическое пространство Нп можно рассматривать как скрещенное произведение RXe^R' L (Этот результат представляет собой частный случай теоремы 9.110, где R^-i снабжено канонической евклидовой метрикой.) Пусть а — изометрия пространства Нп, коммутирующая с проекцией рг\ на первый сомножитель JR и индуцирующая на нем сдвиг на / =# 0. Тогда группа Z = {а% 九三£} действует на Нп свободно и фактор-пространство М = Hn/Z является полным многообразием Эйнштейна (секционной кривизны —1). При этом рп индуцирует риманову субмерсию л: M-^S1 = R/ZZ, которая не является скрещенным произведением, но становится скрещен-

ным произведением ](),/[又2£ R"】 при ограничении на 冗 т($1— {0}).

Теорема. Пусть (Л1, g)~ полное многообразие Эйнштейна, содержащее открытое всюду плотное подмножество U, которое (относительно индуцированной метрики) является скрещенным произведением с одномерной базой 江 полным слоем F.

Тогда либо (7И, g) есть скрещенное произведение (как s теореме 9.110), либо (М, g) совпадает с одним из примеров 9.111, 9.112.

Доказательство. Мы дадим лишь набросок доказ а тел ьств а этой более или менее известной теоремы. Подробности читатель сможет найти в работе Пале, Тёрнга и Дердзиньского, которая скоро будет опубликована, а также в [Вё Вег 3], где рассматривается частный случай многообразий кооднородности один.

Выберем максимальное подмногообразие U. Если база В полна, то М есть скрещенное произведение и применима теорема 9.110. В противном случае В есть открытый интервал ]0, /[ (где, возможно, / = оо) и U=]0,/[*户・ Легко проверить, что скрещивающая функция f имеет конечные пределы на конечных границах базы В и что М можно получить из ]0, /[X X F или ]0, 8[Х 尸 с помощью соответствующего отождествления границ. Для того чтобы в этом убедиться, можно, например, рассмотреть горизонтальные геодезические в U. Если f (0) = 0, то слои {£} X F в U при f f 0 стягиваются к одной точке m号М. Поскольку при достаточно малых f слой {f} X F представляет собой множество точек, находящихся на расстоянии / от точки т, ясно, что слой 尸 есть сфера. Теперь нужно воспользоваться следующим известным результатом, который мы приведем без до ка зательств а.

Лемма. Отождествим проколотый шар {% 三 R", 0V V I х I V е} с произведением ] 0, е [ X S”t с помощью полярных координат. Тогда риманову метрику класса С°° вида 2产 + + $2(0go (аОе t ——параметр пз ] 0, е [, a go — метрика на сфере S^-i) можно продолжить до римановой метрики класса С°° s шаре {xeiRn, |х| < е} в том 江 только в том случае, если 倉。= = Agcan, где gCan — каноническая 'метрика сферы S^-* X = =const >0, а ； $ есть ограничение на интервал ]0, е[ нечетной функции, определенной на интервале ] — е, е [, для которой 4v(о)= 1.

Указания на литературу и обобщения см. в [Ka-Wa 5].

Таким образом можно получить различные случаи, описанные в 9.111, в зависимости от поведения функции / вблизи точки /. Если функция имеет ненулевой предел в точке 0 (а значит^ и в точке /), то отождествление границ произведения [0, 4XF или [0, 8 [ X F задается

либо свободно действующей изометрией второго порядка слоя {0} X F на себя (и аналогично в точке /, если / < оо); в этом случае / есть ограничение четной функции класса С00, определенной в окрестности нуля (аналогично для точки /);

либо изометрией слоя {0} X F на слой {/} X F; в этом случае f есть ограничение такой функции класса Сто на R, что /(o)/u + O = f(/)f(O- '■

Более детальный анализ позволяет выделить различные случаи, описанные в 9.112. Отметим, что в случае (d) нужно воспользоваться следующим известным результатом, который мы приведем без доказательства.

Лемма. Полные римановы многообразия (М, g) 〃 (А4, Rg), где 卩=const =# 1, изометричны тогда и только roada, когда(М g) есть евклидово пространство.

Скрещенные произведения с двумерной базой. Для скрещенного произведения В X尸F над двумерной базой (в обозначениях 9.104 и последующих пунктов) мы имеем f — ^q н q = 2. Поэтому условие эйнштейновости (9.108) упрощается и принимает вид

(9..116) Ddf^-^^lf-ip-l) 1^ + 字_—)足

Как известно, это уравнение имеет непостоянные решения только в том случае, если метрика g допускает локальные ненулевые киллинговы поля. Точнее, справедлива

Лемма. На двумерном многообразии (В, g) уравнение Ddf = cpg имеет непостоянное решение f тогда w только тогда, когда 6 окрестности каждой точки. 6 которой df =# 0, существуют такие локальные координаты (/,〃)，что f не зависит от ""点=必2+г")24"2 (?* " = %)• при ЭТОМ 屮=f".

(Обобщение этого результата на n-мерный случай получено в [Bri].)

С учетом этой леммы уравнение (9.116) становится (по крайней мере локально на В) обыкновенным дифференциальным уравнением относительно функции f(t):

(9.117а) 2f" + (p—1)个一乎 + 浦=0.

Интегрируя (9Л 17а), получаем уравнение

九21

(9.U7b)产.= Ur -E产+ 端？

где с = const.

Опишем некоторые решения уравнения (9.117b), которые определяют полные метрики Эйнштейна на произведении М = R2 文尸，「де ‘-мерное многообразие F снабжено полной метрикой Эйнштейна с г0 = Хо^о. Рассмотрим на плоскости R2

либо метрику g = dZ2 + h(t)2d^, где (/, 6) — полярные координаты. a h ——нечетная функция на прямой, удовлетворяющая условиям //(0) — 1 и Л(/) > 0 при £ > 0,

либо метрику g = dw2 + h (w) Му2, где (〃，и)——декартовы координаты, a h ——положительная функция на прямой.

Определим на М метрику скрещенного произведения 点 + + 产go, где f——функция одной переменной f (или соответственно 〃).

Пусть 元=夕一1, a f — функция на [0, оо [, однозначно определяемая условиями

〃0)=1,"》0,『2=]一+Р

Тогда метрика скрещенного произведения

g = d庐+ 君看*+ "。2瓦

на многообразии 7И = R2X f является полной и риччи-плоской.

Эту метрику можно рассматривать как риманов аналог метрики Шварцшильда (по крайней мере в том случае, когда F = S2). Действительно, положив f = г и выразив t через г, получим метрику

d/ 4(1 —З-р) I 9A

g =+(рт)3 +，—

которая при р = 2 совпадает с точностью до знака с метрикой Шварцшильда лоренцевой геометрии (ср. с 3.28).

Пусть 冗о = 0. Тогда метрика g = du2 + е2Kd炉 + e2啥о на R2 X 户 является полной и риччи-плоской. Отметим, что g можно рассматривать как метрику скрещенного произведения как с базой ( Р, dw2), так и с базой (R2, du2 + e2udv2).

Пусть 左= 1 ——р, a f ——функция, однозначно задаваемая условиями

〃0) = 1,">0, -= 一1 + 产+2：；：〉尸？

Тогда метрика скрещенного произведения g = di^ + ^(и)2^^^ +『(〃)洎о на М = R2X ^ является полной и эйнштейновой (с Г=—(р+ l)g).

Отметим, что в примерах (Ь) и (с) сдвиги по координате и являкхтся изометриями метрики g. Поэтому, факторизуя многообразие М по группам изометрий Z, порожденным однич таким сдвигом, мы получаем семейство метрик Эйнштейна на R X Х S】X F. Если многообразие 尸 допускает свободно действующую изометрию второго порядка, возможна н дальнейшая факторизация.

Пусть а — вещественное число, причем Q > 0, если i©^ 0, и а> 7 ^^^ , если Zo < 0. Определим число Ь соотношением 4~=互尹。+ 露 н обозначим через f функцию, однозначно определяемую условиями

"0) = a, 「》0,产П占+产一(砂+1 + 自ат)尸一Р

Тогда метрика скрещенного произведения g = й^-^-Ь^(t^d^2-^ + f (/) 2g© на M = R?X 尸 является полной и эйнштейновой (с 厂=—(Р+ l)g).

Отметим, что таким образом мы получаем однопараметрическое семейство неизометричных метрик Эйнштейна одной и той же скалярной кривизны с параметром а.

В частном случае, когда £0 = 1 ——р и q = 1, имеем f = ch /. В качестве метрики g на R2 можно взять метрику dt2 + sh2/d02 постоянной кривизны —1.

Все эти примеры описаны в [Вё Вег 3] (для однородного слоя F).

Сформулируем без доказательства следующую теорему.

Теорема. Пусть М ——полное многообразие Эйнштейна^ являющееся скрещенным произведением над двумерной базой. Тогда многообразие М либо является римановым произведением, либо совпадает с одним из примеров 9.118.

По поводу этой теоремы и ее обобщения на случай, когда предполагается лишь то, что открытое всюду плотное подмногообразие многообразия М является скрещенным произведением над двумерной базой (см. работу Пале, Тёрнга и Дердзмнь- ского). К сожалению, на этом пути не удается построить новых компактных многообразий Эйнштейна.

Отметим один пример. Пусть М есть R% S" или Нп (с канонической метрикой), а С—полная геодезическая в М.

Тогда многообразие U = М — С изометрично скрещенному произведению N X产S”-2, где сфера S"-2 снабжена канонической метрикой, N есть связная компонента многообразия R2, S2 или "2 соответственно с удаленной полной геодезической, a f =力 sin / или sh / соответственно, где £—расстояние до этой геодезической.

В заключение отметим, что скрещенные произведения естественным образом описывают открытые всюду плотные подмногообразия полных многообразий в следующей ситуации. Пусть (Л1, g)—полное риманово многообразие, a G — такая замкнутая связная подгруппа группы его изометрий, что главные орбиты группы G в М являются изотропно неприводимыми G-однородными пространствами F. (Отметим, что отсюда следует, что неглавные орбиты представляют собой фактор-про- странства F/Z или, быть может, точки, если 尸一сфера.) Мы уже отмечали в 9.12, что объединение U всех главных орбит есть открытое всюду плотное подмногообразие в М, причем отображение факторизации U ~> U/G является римановой субмерсией (относительно индуцированной метрики в U н естественной фактор-метрики в U/G). Из изотропной неприводимости главных орбит легко выводится

Предложение. Риманова субмерсия U f U/G является (по крайней мере локально на U/G) скрещенным произведением.

Из этого предложения следует, что предыдущие результаты дают классификацию полных многообразий Эйнштейна, группа изометрий которых имеет изотропно неприводимые главные орбиты коразмерности один или два. Грубо говоря, такие многообразия либо однородны, либо совпадают с одним из приведенных выше примеров (с однородными слоями F). Легко видеть,, что мы получаем также классификацию полных многообразий Эйнштейна, группы изометрий которых имеют главные орбиты коразмерности один в предположении, что эти орбиты являются произведением изотропно неприводимые пространств на R или SL (Подробное исследование многообразий коразмерности один см. в [Вё Вег 3].)

К. Примеры неоднородных компактныхмногообразий Эйнштейнаположительной скалярной кривизны

До недавнего времени все известные примеры компактных многообразий Эйнштейна положительной скалярной кривизны исчерпывались однородными многообразиями. Пер-

внм неоднородным примером стала метрика Эйнштейна на связной сумме СР2ф СР2 двух экземпляров СР2 с противоположной ориентацией. Эта метрика была найдена Д. Пейджем {[Pag]) как риманова метрика, двойственная метрике Тауба — НУТ лоренцевой геометрии (с использованием локальных координат). Затем Л. Берар-Бержери ([Вё Вег 3]) предложил конструкцию, обобщающую пример Пейджа и позволяющую получить семейство примеров в любой четной размерности. Мы опишем конструкцию Л. Берара-Бержери, слегка обобщив ее. При этом некоторые технические детали доказательства будут лишь найечены (подробности см. в [Вё Вег 3]).

Пусть (6,《,J, з) — компактное почти кэлерово много- юбразие Эйнштейна положительной скалярной кривизны, как в 9.76. Обозначим через и — 2 размерность В (где число и четно) и нормируем метрику g так, чтобы ее кривизна Риччи удовлетвори- ^ла условию г = ng (это так, например, для канонической метрики комплексного проективного пространства с секционной кривизной, меняющейся от 1 до 4). Как и в 9.76, предположим, что класс когомологий [со] формы (о в H2(Bf R) пропорционален вещественному образу 。口 неделимого целочмеленного класса когомологий а = Н2(В, Z), и определим положительное число q соотношением n [со] = 2nqaR. Примерами таких многообразий являются компактные односвязные эрмитовы симметрические пространства. В этом случае q — целое положительное число, удовлетворяющее соотношению Ci(B)= qa в Н2(ВУ Z), где а — неделимый класс. В неприводимом случае число q вычислено в [Bo-Hi] 1). Мы получаем следующую таблицу.

G/K

д

G/K

д

SU(p + pf)/S(U(p)U(pf))

р + р'

SO (2p)/U(p)

2P — 2

Sp (р)/и (р)

р + 1

SO (р + 2)/SO (р) • SO (2)

Р

Еб/Spin (10)・ SO (2)

12

Е7/Е6 • SO (2)

18

Отметим, что, как показали Ш. Кобаяси и Т. Отиаи ([Ко- Ос)), в кэлеровом случае всегда q W 〃/2, причем равенство имеет место только тогда, когда В есть комплексное проективное пространство СР(п~2^2 с канонической метрикой.

О Для всех однородных многообразий Кэлера ——Эйнштейна положительной скалярной кривизны число qy удовлетворяющее указанному соотношению, вычислено в работе [Алексеевский Д. В., Переломов А. М. Инвариантные метрики Кэлера——Эйнштейна на компактных неоднородных пространствах.—— Фупкц. анализ и его прилож.» 1986, т. 20, № 3, с. 1—16]. — Прим, персе.

Обозначим через 尸(s) тотальное пространство 5красслоения над В, соответствующее элементу saw"2(8, Z), где 金一положительное целое число. (Отметим, что P(s)= P(l)/Zs.) Обозначим 52-расслоение над В, ассоциированное с 尸(s) и стандартным действием окружности S1 = 50(2) на S” (вращением вокруг оси), через M(sj. Тогда справедлива

Теорема. (Л. Берар Бержери, [Вё Вег 3]). Многообразие M(s) при 1 W s W q допускает метрику Эйнштейна положительной скалярной кривизны.

Доказательство, Мы ограничимся основными идеями доказательства, подробности см. в [Вё Вег 3].

Многообразие M(s) можно рассматривать как прямое произведение [0,/]XP(s), в котором обе связные компоненты границы, диффеоморфные P(s), заменены базовым многообразием В с помощью проекции р: P(s)-^B. (Отметим, что, поскольку расслоение 卩 имеет слой S* при этом получается многообразие без границы.) Рассмотрим на произведении [О, 4Х 尸(s) сингулярную на границах риманову метрику вида dt2 + g(f (0» ^(0)» где t ^ [0, /}, f, h — функции на [0, /], a g(Q, Ь)—такое двухпараметрическое семейство метрик на P(s), что р: (P(s),. g(a9 b) )->(В, bg) есть риманова субмерсия с вполне геодезическими слоями S】длины 2ло и горизонтальным распределением, ассоциированным с главной связностью кривизны р*(з) (см. 9.75).

Отметим, что метрика dt2 -^ g(f(t), h(t)) индуцирует несингулярную риманову метрику на M(s) тогда и только тогдах когда функции f и h удовлетворяют следующим условиям:

функция f положительна на ]0,/[, удовлетворяет условию f'(0) =—厂(/)= 1 и «нечетна» в точках 0 и /, т. е. является ограничением такой нечетной функции f на R, для которой fU + t)=-f(l-ty,

функция h положительна на [0, /] и «четна» в точках О и /, т. е. является ограничением такой четной функции h на 欢， для которой /г(/ + £)= h(l — f).

Этот результат аналогичен лемме 9.114, характеризующей гладкие метрики в полярных координатах.

С помощью (9.65) нетрудно вычислить кривизну Риччи метрики g(a, Ь), а затем вычислить кривизну Риччи метрики dt2 + + g(f«),九«))，пользуясь тем, что проекция на первый сомножитель есть риманова субмерсия с Д = 0. Приведем только окончательный результат.

Риманова метрика dt2 + g(f(t)t h(t)) является эйнштейновой (с константой 入)тогда и только тогда, когда функции /, h удов-

летворяют следующим трем дифференциальным уравнениям:

(1)(1)(п-2)^- = Л,(п-2)^- = Л,⑵⑵_A(d 修 +_A(d 修 +5 - 2)挖2s2产5 - 2)挖2s2产⑶⑶f'h'f'h'fhfhz"'2(〃 一з)-^5~z"'2(〃 一з)-^5~4q2九1 «十庐一4q2九1 «十庐一〃 2s2产 _ 2严州=儿・〃 2s2产 _ 2严州=儿・

(1)

(1)

(п-2)^- = Л,

(п-2)^- = Л,

⑵

⑵

_A(d 修 +

_A(d 修 +

5 - 2)挖2s2产

5 - 2)挖2s2产

⑶

⑶

f'h'

f'h'

fh

fh

z"'2

(〃 一з)-^5~

z"'2

(〃 一з)-^5~

4q2九

1 «十庐一

4q2九

1 «十庐一

〃 2s2产 _ 2严州=儿・

〃 2s2产 _ 2严州=儿・

■⑷(5)■⑷(5)Особый интерес представляют линейные комбинации этих уравнений (2) — (1) и (2) — (1) +(九一2) (3), деленные на (и — 2):

■⑷

(5)

■⑷

(5)

h fh ' 4q2h4'

2f'h'/论'2 n2s2f2 . n .

Интегрируя (4), получаем f =——-/ 1 -, где a = const. Для ” ns V1 — afi?

того чтобы получить решение, удовлетворяющее условиям (а) и (Ь), нужно взять а > 0. Введем теперь возрастающую функцию <р, положив f= 2」Т_ Тогда /г= «1 —(р2 и уравнение (5)

принимает вид

(6)注一例_3)痛声一7rs戸十小

Интегрируя это уравнение, получаем

⑺⑺д，2 = ] — ф2 _|_д，2 = ] — ф2 _|_((〃 一1)—九)Р (q) + bq(1 _q 2严/2)-1((〃 一1)—九)Р (q) + bq(1 _q 2严/2)-1

⑺

⑺

д，2 = ] — ф2 _|_

д，2 = ] — ф2 _|_

((〃 一1)—九)Р (q) + bq(1 _q 2严/2)-1

((〃 一1)—九)Р (q) + bq(1 _q 2严/2)-1

где b = const, a P ——такой четный полином, что 尸(0)=1 и 尸〃 ($)=九(1 —(р2)(〃/2)—i Чтобы получить требуемое решение, нужно положить 6 = 0. Возьмем положительные числа 入,х, однозначно задаваемые условиями

(1 一必产 +((п-1)-Л)Р(х) = 0, 一肾 + 〃 =九(1 一/),

и определим 屮 как единственное решение уравнения (7) при 6 = 6, для которого(р(0) = —х. Положим

5 - 1 一九)р®(1_у2 严/2)-15 - 1 一九)р®(1_у2 严/2)-1

5 - 1 一九)р®(1_у2 严/2)-1

5 - 1 一九)р®(1_у2 严/2)-1

Тогда <р (/) = %, и, значит, функции f и h удовлетворяют условиям (а) и (Ь).□

Замечания, (а) При п = 4 существует только одна возможность: В = S?. Но тогда q = 2, и мы получаем лишь один пример (с s= 1). Это как раз и есть пример Д. Пейджа.

Многообразие Л1(«) всегда допускает почти комплексную структуру, которая является комплексной, если база В кэлерова. Эйнштейнова метрика из теоремы 9.125 является эрмитовой, но не кэлеровой. (Если база В кэлерова, то на Al(s) существуют также кэлеровы метрики, но они не могут быть эйнштейновыми.)

Если В есть G-однородное многообразие (как в гл. 8), то группа G действует на M(s) изометриями, причем ее главные орбиты имеют коразмерность единица. Однако метрика Эйнштейна на M(s) не может быть однородной.

Антиподальное отображение на S2 коммутирует с дёй> ствием группы SO (2) и, значит, определяет свободно действующую изометрию порядка два на 府(s). Поэтому многообразие M(s) допускает риманову факторизацию по группе 心 В примере Д. Пейджа при этом получается метрика Эйнштейна на связной сумме СР2 H RP&

Более подробный анализ уравнений (1), (2), (3) показывает, что они не имеют других решений, удовлетворяющих условиям (а) и (Ь), в частности, нет решений при s》q. Если _В = S2, многообразие M(s) диффеоморфно S?XS2, когда s четно, и С/#.СР2, когда s нечетно. Однако для СР?# #СР? эти уравнения имеют только одно решение (каноническая метрика на S2X 52 в некотором смысле соответствует расслоению М(0)). Возвращаясь к общему случаю, отметим, что можно некоторым образом охарактеризовать все приведенные примеры. Мы не будем этого делать, а рассмотрим лишь один: частный случай (и сформулируем результат без доказательства, хотя все необходимое для доказательства у нас уже есть).

Теорема (Л. Берар-Бержери, [Вё Вег 3], А. Дердзинь- ский, [Der 3]). Пусть М — компактное четырехмерное многообразие Эйнштейна. Предположим, что его группа изометрий G удовлетворяет одному из следующих условий'.

(a) dim G > 4,

(nG =戸，

(c) G = SO(3) 〃 главными орбитами являются многообразия S2 или RQ2.

Тогда М есть либо локально симметрическое многообразие, либо многообразие из примера Д. Пейджа, либо его фактор по группе Z2 (описанный в 9.126).

Результат (а) принадлежит Л. Берару-Бержери, результат (с)——А. Дердзиньскому, результат (Ь) отмечается ими обоими,, но, вероятно, был известен и раньше.

Отметим, что для dim G = 3 остаются неисследованными только случаи G = SU(2) н SO(3) с трехмерными главными •орбитами.

Примеры некомпактных полных многообразий Эйнштейна. Уравнения (1) — (3) позволяют построить много других метрик Эйнштейна, которые при соответствующем выборе граничных условий оказываются полными.

Обозначим через E(s) двумерное векторное расслоение над В, ассоциированное с #(s) и стандартным двумерным представлением группы S〔 = SO(2). Многообразие E(s) можно рассматривать как прямое произведение [0, оо [X ^(5), граница {0} X P(s) которого стянута в многообразие В с помощью проекции {0} X P(s)-^ В. Сингулярная на границе метрика вида d〃 + g(f ⑴，九(/)) на [0,8〔XP(s) определяет полную (несин- гулярную) риманову метрику на £(s) тогда и только тогда, когда h ——четная положительная функция, a J—нечетная функция, положительная при £ > 0 и удовлетворяющая условию Г(0)= 1. Уравнения (1), (2), (3) имеют семейство решений с этими начальными данными (н с 匕子 0 в (7)), которое определяет однопараметрическое семейство негомотетичных полных метрик Эйнштейна (с X < 0) на 七(s). Отметим, что E(s) является комплексным линейным расслоением над В и обладает естественной почти комплексной структурой (которая является комплексной структурой, если В — комплексное многообразие). Метрики этого семейства являются почти эрмитовыми, но не почти кэлеровыми (за исключением случаев, перечисленных ниже).

Конечно, dt2 -j- g(f(t), h(t)) есть метрика на 尸(s)XR, которая является полной, если функции f н 九 определены и положительны на всей прямой R. Однако уравнения (1), (2), (3) не имеют таких решений, и, значит, мы не можем построить полные метрики Эйнштейна на P(s)*R таким способом.

Рассмотрим, наконец, случай, когда В—компактное почти кэлерово многообразие Эйнштейна (с 冷[со] = 2ngа~, где а — неделимый целочисленный класс), а константа X неположительна. Конструкция, аналогичная описанной выше, позволяет получить уравнения, очень похожие на предыдущие, и построить полные метрики Эйнштейна на Е(s) и P(s)X R (но не позволяет получить метрики Эйнштейна на 7W(s)). Сформулируем окончательный результат (подробности можно найти в [Вё Вег 3], где рассматривается также лоренцев случай).

Теорема (Л. Берар-Бержери, [Вё Вег 3]). Пусть (В, ^, /о)——компактное почти кэлерово многообразие Эйнштейна (с г = Х^), причем класс когомологий [о] его кэлеровой

формы удовлетворяет условию 〃，①]=2冗〃。口, где а ——целочисленный неделимый класс. Нормируем метрику g условием 入= 士〃，если 兀耍 0, 〃 условием ^ = 1, если 入=0. Пусть P(s) есть S}-главное расслоение, соответствующее элементу sa 巨 е H2(Bf Z), а E(s)—ассоциированное c P(s) комплексное линейное расслоение. Тогда описанная выше конструкция приводит к полным метрикам Эйнштейна на E(s) и P(s)X R только в следующих случаях:

многообразие ^(s) допускает однопараметрическое семейство полных негомотетичных почти эрмитовых метрик Эйнштейна (с 入 V 0) для любых X u s ^ 1;

при 兀《О произведение P(s)XR допускает однопараметрическое семейство негомотетичных полных почти эрмитовых метрик Эйнштейна (с 入 V 0) для любых s W 1;

при 兀 > 0 многообразие £ (s) допускает

полную риччи-плоскую почти эрмитову метрику при s V q,. полную риччи-плоскую почти кэлерову метрику при s = q, полную почти кэлерову метрику Эйнштейна (с 入 V 0) при s>q;

〃р〃 尢 W0 многообразия E(s) и P(s)XK допускают полную почти кэлерову метрику Эйнштейна (с 九 V 0). Если база В есть комплексное многообразие, то эти почти эрмитовы или почти кэлеровы метрики являются эрмитовыми или соответственно кэлеровыми.

Если В есть комплексное проективное пространство СР^п/2>^1 с канонической метрикой, то многообразие Р(1) является сферой Sn-】，и в качестве граничных условий можно потребовать, чтобы f и Л были нечетными функциями с 〃(0)="(0)=1. В компактном случае так можно получить только канонические метрики на S", RP” и(СРп/2 (при соответствующем выборе граничных условий при /==/). Однако можно получить также семейство решений, определенных на полупрямой [0, оо [.

Теорема (Л. Берар-Бержери, [Вё Вег 3]). Существует однопараметрическое семейство негомотетичных U (п/2)-инвариантных полных эрмитовых метрик Эйнштейна на Rn(=；Cn/2)^ из которых одна является риччи-плоской, но не плоской, а остальные имеют отрицательную скалярную кривизну.

Глава 10

Группы ^голономии

А. Введение

Глава о группах голономии включена в книгу, посвященную многообразиям Эйнштейна, по следующей причине: из основной классификационной теоремы 10.90 следует, что римановы многообразия с некоторыми группами голономии автоматически оказываются эйнштейновыми* а иногда даже риччи-пло- скнмн (см. 10.111). Поскольку путь к этому результату весьма долог и запутан, мы решили, что группам голономии стоит посвятить целую главу. Еще одна причина связана с важной ролью, которую играют многообразия с группами голономии SU5) и Sp(l)Sp(n) (см. 10.28, 10.32 и гл. 14, 15).

Советуем при чтении этой главы обратить внимание на табл. 1 и ключевые пункты 10.15, 19, 38, 43, 51,58,79, 85, 92, 96, 108, 111, 114, 117.

По-видимому, понятие группы голономии впервые было введено в статьях Э. Картана [Саг 5] и [Саг 8]. В работе [Саг 8] Картан дал систем этическое описание двух- и трехмерных многообразий, снабженных аффинной (более общей, чем линейная) связностью с заданной аффинной группой голономии. В [Саг 6] Картан использовал группы голономии для классификации симметрических пространств. (Завершив эту классификацию, он обнаружил, что полученный список совпадает со списком вещественных простых алгебр Ли, и сразу же доказал эту за ко но м ер ность непосредственно, см. 10.71.) Но, за этим исключением, математики, занимающиеся дифференциальной геометрией, полностью игнорировали группы голономии вплоть до 1950 г. Затем появились основополагающие работы Бореля, Шевалле, Лихнеровича, Нийенхейса, Амброза и Зингера [Bo-Li], [Nij 1], [Nij 2], [Ат-Si].

В 1955 г. появилась основная классификационная теорема 10.90, 10.92, которую Дж. Саймонс впоследствии доказал более прямым методом. Затем группы голономии опять были забыты. Наконец, в серии работ, начатой Алексеевским в 1968 г. и продолженной Брауном н Греем в 1972 г. и Калаби в 1979 г., а затем в 1982 и 1985 г. (с существенным использованием идеи Яу доказательств а гипотезы Калаби), большинство проблем,

связанных с группами голономии, было решено (см. [Вег 1], [Sim], [Br-Gr], [Ch-Gr 1], [Ale 1], [Cal 5], [Bea 2], [Brg 1, 2]. По поводу нерешенных проблем см. также 10.95, 10.115, дополнение и гл. 14.

Неодносвязный случай остается практически неисследованным (см. первую часть этой главы), но он меньше связан с многообразиями Эйнштейна.

Не нужно путать рассматриваемое понятие голономии с понятием голономии, которое используется в теории слоений (см., например, [Нае]). Эти понятия не имеют ничего общего, кроме названия (так по крайней мере кажется в настоящее время). Что касается этимологии названия, то оно образовано из греческих слов 《oAog» — «целый, полный» и «vopto^» ——《закон, правило». Таким образом, слово «голономия» означает «точный закон》,а группа голономии представляет собой группу, измеряющую дефект голономии, т. е. отклонение параллельного обноса векторов вдоль петель от тождественного преобразования.

Понятие группы голономии можно определить в значительно более общем контексте, чем римановы многообразия (которыми мы здесь занимаемся). Поскольку это понятие основано только на понятии параллельного переноса, группу голономии можно определить для любого главного или векторного расслоения со связностью, в частности для любой линейной связности в касательном расслоении многообразия (причем не требуется, чтобы связность имела нулевое кручение). Но тогда нельзя рассчитывать на получение какой-либо теоремы, подобной основной классификационной теореме 10.92. Это вытекает из следующего результата Ха но н Одзеки (см. [Ha-Oz]). Предположим, что касательное расслоение многообразия М раз- мерности п редуцируется к связной замкнутой подгруппе G полной линейной группы GL(n, R) (возможность такой редукции — это чисто топологическое условие). Тогда существует связность касательного расслоения с группой голономии G. Примеры применения понятия группы голономии можно найти в работах [Mic] и [КоЬ 7]. Отметим, что понятия, которые используются в 10.15, 19, 21, 24, 56, 58, имеют смысл для произвольных линейных связностей.

Связность с группой голономии G, существование которой доказано в работе [Ha-Oz], как правило, имеет кручение. Отсутствие у связности кручения накладывает определенные ограничения на ее группу голономии (см. по этому поводу [Вег 1]). По-видимому, эти результаты не получили дальнейшего развития.

Пусть (Mg)—риманово многообразие. Его каноническая линейная связность не имеет кручения, а метрика g инвариантна относительно нее. Это накладывает ряд чрезвычайно сильных ограничений на группу голономии этой связности, начиная с теоремы замкнутости Бореля — Лихнеровича и теоремы разложения де Рама и кончая основной классификационной теоремой 10.90. Как мы уже отмечали, именно следствием этой теоремы и обусловлено рассмотрение групп голономии в нашей книге. Основная причина, по которой групп голономии римановых многообразий оказывается так мало, связана с тождеством Бьянки в сочетании с теоремой Амброза-Зингера 10.58, которая утверждает, что алгебра Ли группы голонсмнм порождается тензорами кривизны.

Как мы уже отметили в 10.3, группа голономии возникает как подгруппа полной линейной группы. Поэтому вместо группы голономии мы часто будем говорить о соответствующем представлении голономии. Этот термин, по-видимому, раньше в литературе не использовался |). ,

При изучении групп голономии возникает два естественных вопроса:

Какие линейные группы могут быть группами голономии римаковых многообразий?

Как найти группу голономии данного риманова многообразия?

.7. Более подробное изложение теории групп голономии можно найти в монографиях [Lie 3], [Wak], [Ko-No 1], [Ко- No 2]. Наиболее полно этот вопрос рассматривается в книге [Wak], снабженной также отличной библиографией. К сожалению, эту книгу трудно найти. Советуем также обратиться к примечаниям 1, 12 в книге [Ко-No 1] и к указанной там библиографин. В работе [No-Da] развивается интересный подход, который отличается от нашего.

Есть и более новые работы, в которых отражены различные взгляды на группы голономии: [Маг], [Poo 1], с. 162, [Mic], с. 1144, [Gra 1].

В. Определения

Здесь мы будем рассматривать только связные римановы многообразия класса С°° (не обязательно полные), снабженные канонической связностью (см. 1.39).

】)Возможно, потому, что, за исключением случая симметрических пространств (и малых размерностей, где существуют специальные изоморфизмы классических групп), абстрактная группа голономии риманова многообразия имеет единственное линейное представление голономии, см. 10.93-

¥0.8. Для любой С1-кусочно гладкой петли X на многообразии Л1 с началом в точке р = М обозначим через т(九)параллельный обнос вдоль 九(см. рис. 10.8). Таким образом, т(*) есть элемент ортогональной группы О(Тр). Если — обратная петля, a XUh —композиция петель, то т^-1) == (т(Х))- н т^и

Рис. 10.8.

Un) = t(入)°т(ц). Эти соотношения позволяют дать следующее определение.

W.9. Определение. Группой голономии многообразия (М, g) в точке р (или представлением голономии многообразия (М, gj в точке р) называется подгруппа Но1(р) ортогональной группы О(ТР), порожденная преобразованиями вида т(А), где X — произвольная С1-кусочно гладкая петля с началом в точке р. Если при этом рассматривать только петли, гомотопные постоянной петле, состоящей из одной точки р, получается ограниченная группа голономии многообразия (Л1, g) в точке р, которая обозначается через Но1°(р).

Отметим, что группа Но1°(р) содержится в специальной ортогональной группе SO(TpM) (см. 10.24). В 10.51 мы покажем, что Hol。® есть замкнутая подгруппа группы SO(TpM), однако это утверждение далеко не тривиально. Более того, для произвольных линейных связностей оно неверно (контрпримеры см. в [Ha-Oz]).

ЮЛ. Зафиксируем точки р, q = М н выберем произвольный С^кусочно гладкий путь о, соединяющий р н д (см. рис. 10.8). Тогда Hol(q) = т(с)Но1(р) (т(о))—〔 н аналогично Hol°(q) = =t(o)Hoi°(p)T(o)-i для ограниченных групп. Таким образом, представления голономии в различных точках изоморфны. Это позволяет говорить просто о группе (и представлении) голономии риманова многообразия (М, g)——как полной, так н ограниченной, которые обозначаются через Hol(g) и Hol°(g) соответственно.

Если фундаментальная группа многообразия М тривиальна, т. е.冗i(M) = 0, то, очевидно, Hol° (g) = Hol (g). Однако это равенство может выполняться и в неодносвязном случае. Примером служит плоский тор (см. 10.25). В качестве

упражнения читатель может убедиться (и притом разными способами), что группой голономии стандартной сферы (S% сап) является группа SO(〃). В 10.54 мы покажем, что это верно и для римановых многообразий общего положения.

Пример. Пусть Af = R£XSi ——произведение евклидовой плоскости 吵 и окружности SL Его можно получить, отождествляя границы -R2X {0} и R2X {1} многообразия с границей R2X [0, 1]. Если отождествление производится с помощью поворота /(а) на угол а, то на М индуцируется плоская риманова метрика g(a). Поскольку (M, g(a)j есть полное плоское много- образие, его ограниченная группа голономии (как и для любого плоского многообразия) тривиальна: Hol°(g(a))== {id} (см. 10.25). Однако Hol(g(a)) является подгруппой группы 0(2), порожденной поворотом f(a), т. е. конечной группой, если а —— рациональное кратное числа л, и всюду плотной (и, значит, незамкнутой) подгруппой, абстрактно изоморфной группе 二，в противном случае. Таким образом, группа Hol(g) может быть некомпактной даже для полных многообразий. Аналогичный вопрос для компактных многообразий остается открытым (см. 10.115).

Казалось бы, можно предположить, что структура представления голономии определяет структуру многообразия (Mg). Это приводит к задаче классификации римановых многообразий по их представлениям голономии. Но классификационная теорема показывает, что представлений голономии существует очень мало, поэтому такая классификация оказывается очень грубой. Более разумная точка зрения состоит в том, что группа Hol°(g) несет большую информацию о структуре много* образия (Л4, g), если ее размерность мала по сравнению с размерностью группы О(п), равной п(п + 1)/2 (см. 10.97).

Из определения группы Hol°(g) следует существование канонического гомоморфизма 加(初)-> Hol (g) /Но1°(^). Отсюда вытекает

Предложение. Группа Hol°(g) является нормальной подгруппой группы Hol(g), причем фактор-группа Hol(g)/Hol°(g) счетна.

Действительно, фундаментальная группа многообразия счетна. Более того, группа Hol°(g) есть связная компонента единицы группы Hol (g). Этот более сложный результат будет доказан в 10.48.

Обозначим через (府,看)риманову универсальную накрывающую многообразия (Mg). Тогда

Hol® = HoH(g)=Hol。®.

С. Обращение в нуль ковариантных производныхинвариантов голономии. Примеры

Рассмотрим на римановом многообразии (М, g) тензорное поле а (см. (1.4)). Предположим, что оно параллельно, т. е. инвариантно относительно параллельных переносов. Это означает, что для любого С1-кусочно гладкого пути 九,соединяющего произвольные точки р, q е М, выполняется равенство т*(Х) (а(р))= «(<?), где т* (九)——параллельный перенос тензоров, индуцированный параллельным переносом t(K): TpMf ffqM векторов вдоль пути X. Тогда, согласно определению 10.9, тензор а(р) пространства ТРМ инвариантен относительно действия группы голономии Но1(р) и О (ТРМ) в пространстве тензоров.

Обратно, пусть ао — тензор касательного пространства 7PM инвариантный относительно группы голономии Hoi(p). Он очевидным образом продолжается до параллельного тензорного поля а на многообразии М

a(g) = t* (Х)(а0),

где 九一произвольный С^кусочно гладкий путь, соединяющий точки р и q. Остается только аккуратно проверить дифференцируемость поля а.

Два указанных эквивалентных свойства поля а эквивалентны третьему, которое заключается в том, что поле а ко- вариантно постоянно, т. е. имеет нулевую ковариантную производную: Da = 0. Эту экв ив а лентность можно установить с помощью формулы

(Z)a)(Xb ..., XS^X) = DK (a (Xb .... Xs)) 一 s

'a(Xi, • • DxX‘，•.., Xs).

Выберем параллельные вдоль пути 九 векторные поля Xi, ...

Xs и обозначим через X = N поле скоростей пути 兀 Тогда DxXi = 0, i = 1, .••, s, и условие Рх« = 0 эквивалентно условию (Dxa) (Xi,…，Х$) = 0, т. е. тому, что функция а(Х】，... …，&) постоянна вдоль X. С другой стороны, всегда можно выбрать путь X с заданным начальным вектором скорости 九'= =X (р). Тем самым мы доказали

Фундаментальный принцип. Пусть (М, g) — риманово многообразие. Тогда следующие три условия эквивалентны：

на (М, g) существует параллельное тензорное поле a типа (г, s);

25 А. Бессе, т. 2

на (М, g) существует ковариантно постоянное тензорное поле а типа 亿 s);

в касательном пространстве ТРМ произвольной точки р существует тензор а0 типа (г, s), инвариантный относительно действия группы голономии Но1(р) в пространстве тензоров.

Замечания. Аналогичный результат справедлив и для линейных связностей.

Инвариантность относительно группы Но1°(р) приводит к соответствующему локальному результату.

Наконец, этот принцип можно распространить на геометрические объекты, более общие, чем тензорные поля. В частности, в дальнейшем нам понадобится следующий результат.

Предложение. Пусть k—натуральное qucao, не превосходящее п—1. Тогда следующие условия эквивалентны'.

на (М, g) существует параллельное поле k-мерных касательных подпространств 歹(т. е. k-мерное параллельное распределение) ;

группа голономии Hol(g) имеет инвариантное k-мерное подпространство.

Более того, любое параллельное распределение У инволю- тивно (в смысле теоремы Фробениуса).

Эквивалентность этих условий очевидна. Инволютивность доказывается следующим образом. Пусть X, У — векторные поля, принадлежащие распределению 歹.В силу инвариантности распределения относительно параллельных переносов поля Ох У и DyX принадлежат 歹.Но тогда и скобка [X, Y] = DXY — DYX принадлежит 歹. □

Замечание. Предложение 10.21 можно сформулировать и с использованием внешних дифференциальных форм: условия (i), (ii) эквивалентны существованию ненулевой разложимой дифференциальной формы а, для которой Оа = 0.

Действительно, выберем локальное поле ортонормированных реперов Xi, ..., Хп таким образом, чтобы векторные поля Xi, ... ....Xk порождали распределение У, и определим форму а условиями а(Х1, •・., Xk) = 1 и а(Х( ..., Х[^ = 0, если один из индексов ", ...,ik больше А. Тогда по формуле из 10.18 получаем Оа = 0.

Мораль. Задача нахождения на данном римановом многообразии (М, g) параллельных (или, что то же самое, ковариантно постоянных) геометрических объектов а (для которых Оа = 0) эквивалентна алгебраической задаче описания инвариантов представления голономии Hol(g). Мы приведем раз-

нообразные примеры таких объектов, поскольку нам еще предстоит встретиться с ними.

Пример 1. Ориентируемые многообразия. Многообразие (М, g) ориентируемо тогда и только тогда, когда Hol (gj и czSO(n). Очевидное доказательство предоставляем читателю. Впрочем, можно воспользоваться и принципом 10.19, если заметить, что внешняя форма максимальной степени инвариантна относительно группы SO(zi).

Пример 2. Плоские многообразия. Риманово многообразие является плоским тогда и только тогда, когда оно допускает локальные параллельные поля реперов. Поэтому, согласно фундаментальному принципу 10.19, многообразие (Mg) плоско тогда и только тогда, когда Hol°(g)= {id}. Отметим, что, вообще говоря, в этом случае Hol(g)#= {id}. Например, из 10.24 следует, что для плоской бутылки Клейна Hol(g)= Z2. Однако по теореме Бибербаха (см. [Wol 4], с. 100) группа голономии Hol(g) плоского компактного многообразия всегда конечна и, значит, компактна (ср. с примером 10.13).

Пример 3. Кэлеровы многообразия. Риманово многообразие (府,g) размерности n = 2m называется кэлеровым, если оно допускает параллельную 2-форму о максимального ранга. Согласно фундаментальному принципу 10.19, это равносильно тому, что внешняя 2-форма максимального ранга инвариантна относительно группы голономии Hol(g). Значит» Hol(g)и U(гл), где U(m)——унитарная группа пространства >С.т. Параллельная 2-форма s и риманова метрика g определяют параллельную почти комплексную структуру J в М по формуле g (УХ, У) = со (X, У). Эта почти комплексная структура интегрируема (см. 2.11) и по теореме Ньюлендера — Ниренберга определяет на М структуру комплексного многообразия. Метрика g, очевидно, является эрмитовой и кэлеровой, и, таким образом, данное определение кэлерова многообразия эквивалентно определению 2.28.

Предлагаем читателю в качестве упражнения проверить, что Hol (g) = U (m) для канонической кэлеровой метрики g на комплексном проективном пространстве СР? В 10.55 мы покажем, что Hol (g) = U (m) для кэлеровых многообразий общего положения.

Пример 4. Специальные кэлеровы многообразия. Комплексной формой объема 6 кэлерова многообразия (М, g) комплексной размерности m называется ненулевая параллельная (7)0 = 0) дифференциальная форма типа (т, 0) (см. 2.6). Отметим, что стандартная m-форма 2； А ... Д zm комплексного

пространства СР инвариантна относительно тех преобразований g 曰 U(fn), для которых detg=l, т. е. которые принадлежат специальной унитарной группе SU(m) = {g^ U(m)f detg=l}・

Предложение (Ивамото, [Iwa], Лихнерович, [Lie]). Рассмотрим для кэлерова многообразия (Af, g) тр〃 условия-.

многообразие (М g) риччи-плоско: г = 6;

многообразие (府，g) допускает комплексную форму объема^

Hol (@ и SU (机)•

Условия (ii) 〃 (iii) эквивалентны 〃 влекут за собой условие (i). Обратно, из условия (i) следует условие Hol°(g)u SU(/n), а 6 случае односвязности многообразия М также условия (ii) и (iii).

Определение. Кэлерово многообразие (М, g) называется специальным, если оно удовлетворяет условию (i), т. е. является риччи-плоским.

Эквивалентность условий (ii) и (iii) сразу следует из фундаментального принципа 10.19. Для того чтобы получить условие (i), заметим, что связность Леви-Чивита индуцирует в каноническом комплексном линейном расслоении f\m(TfM^ связность V, причем ее кривизной служит форма Риччи р, введенная в 2.44. Условие (ii) означает, что связность V является плоской, т. е. р = 0 и, значит, г = 0. Более подробное доказательство приводится в § F гл. 2.

Пример 5. Гиперкэлеровы многообразия. Это римановы многообразия, допускающие более одной кэлеровой структуры (см. гл. 14). Здесь мы отметим лишь некоторые их свойства. Гиперкэлерово многообразие определяется как риманово многообразие (М g) размерности 4m, допускающее три параллельные кососимметрические относительно g почти комплексные структуры /, J, К, связанные кватернионными соотношениями /J = —JI = К・ Из определения симплектической ортогональной группы Sp(m)czi О (4m) и принципа 10.19 следует, что многообразие (疝 g) гиперкэлерово тогда н только тогда, когда Hol(g)uSp(/n). Отметим, что если m = 1, то Sp(l) = SU(2) и гиперкэлеровы многообразия являются специальными кэлеро- выми многообразиями. Заметим также, что кэлерово многообразие (М, g) является гиперкэлеровым тогда и только тогда, когда оно обладает параллельной 2-формой типа (2,0) максимального ранга. Очевидное включение Sp(m)czi SU (2m) показывает (с учетом 10.29), что гиперкэлеровы многообразия являются риччи-плоскими.

Примеры можно найти в гл. 14 н 15. Напомним только, что Калаби в 1979 г. одним из первых построил примеры полных, но некомпактных гиперкэлеровых многообразий. Компактные примеры построил Бовиль ([Веа 2]) с помощью доказанной Яу гипотезы Калаби.

Пример 6. Кватернионно-кэлеровы многообразия. Эти многообразия обстоятельно изучаются в гл. 14. Для удобства читателя мы приведем здесь некоторые сведения о них. Условие гиперкэлеровости накладывает на многообразие сильные ограничения. Например, кватернионное проективное пространство HP" не является гиперкэлеровым. Однако оно допускает следующую структуру. Рассмотрим, как и в 10.31, риманово многообразие (7И, g) размерности n = 4m с римановой метрикой g, инвариантной относительно трех локально определенных почти комплексных структур /, J, К, связанных кватернионными соотношениями. Заменим условие параллельности структур /, J, К более слабым условием существования таких 1-форм а, 0, у, что для любого вектора X

DxI = x(X)^-^(X)-Kf

OxJ = -Y(X)・/+a(X)・K, QxK = B(X)・/ — a(X)•丄

Это означает, что поля /, /, К порождают трехмерное подрасслоение векторного расслоения эндоморфизмов, причем это подрасслоение глобально определено и параллельно. Можно показать, что такое многообразие (называемое кватернионно-кэле- ровым) имеет группу голономии Hol(g), которая содержится в Sp(l)・Sp(机)и 0(4机). Верно и обратное утверждение. Отметим, что кэлеровы формы & rj, g, ассоциированные с почти комплексными структурами I, J, К, также определены только -локально и, вообще говоря, имеют ненулевые ковариантные производные. Однако 4-форма 6 = ^2 + rj2 + ?2 определена глобально и имеет нулевую ковариантную производную, т. е. параллельна. Это сразу следует из приведенных формул. Можно показать, что кватернионно-кэлеровы многообразия являются эйнштейновыми. Это одна из причин, по которой в нашу книгу включена глава о группах голономии (см. также 10.96 и 10.109). Примеры кватернионно-кэлеровых многообразий, отличных от цт, см. в гл. 14, где также рассматривается 4-форма 6.

D. Римановы произведения и голономия

Римановы произведения. Пусть (Mi, gi) и (M2f g'2)—— римановы многообразия. Произведение М 乂而2 естественным юбразом наделяется римановой метрикой gi X g2f относительно

которой обе проекции являются субмерсиями (см. 1.37 и 9.8). Для любой точки (pi, Р2)w Mi ><从2 касательное пространство Г(г“ Р2)(М1 X 川2) отождествляется с ТР1МХ X ТР7М^ Метрика gi X g2 определяет в этом касательном пространстве евклидову структуру, которая соответствует прямому произведению евклидовых структур сомножителей. Отметим, что распределения, которые определяются касательными пространствами к All и Л12> инволютивны, а их листами являются подмногообразия М\ X X {『2} н М2 X {рг} соответственно. При этом листы являются вполне геодезическими подмногообразиями. Риманово многообразие, изометричное (соответственно локально изометричное) риманову произведению, называется приводимым (соответственно локально приводимом).

Эти два распределения инвариантны относительно группы голономии Hol(gi*g2) в смысле 10.21. Если многообразия М и Л12 ориентируемы, то в силу 10.21 на произведении Mi X М2 определены две параллельные разложимые формы степеней ni = dim All и 〃2 = dim М2. Поэтому, согласно принципу 10.19, группа Hol(giXg2)имеет два инвариантных взаимно дополнительных ортогональных подпростр а нств а:

Hol (gi X g2)u 。 的)X0(九2)u。(久 + 供)■

На самом деле группа Hol(giXg2)допускает еще более поразительную редукцию:

Hol (❷ X gj = Hol (&) X Hol (g)

где Hol (&) и О (nt), Hol (g2) и。(n2).

Для доказательства этой формулы достаточно заметить, что любая петля 入，лежащая в листе THj X {Р2}, определяет парал- лельный перенос т(&)三 O(«i)X О(〃2)и O(«i + п2), проекция которого на 0(^2)есть тождественное преобразование.

Пример. Отметим, что плоский тор в общем случае не является глобальным римановым произведением. Например, тор R2/A, где А ——решетка в R2, порожденная векторами 〃 = =(0, 1) и V = (х, у), не является произведением, если % 三一 е]0, 1/2] н%2 + />1.

Формула 10.35 допускает неожиданное обращение.

Теорема. Пусть (Mg) — 〃е обязательно полное риманово многообразие и р^М. Обозначим через То с: ТРМ подпро- странство векторов из ТРМ, неподвижных относительно преобразований из группы Но1(р), ■ через То ——его ортогональное дополнение в ТРМ. Поскольку группа Но1(р) ортогональна, подпространство Tq инвариантно относительно нее и разлагается:；

6 ортогональную прямую сумму То =Г1©Т2ф ・.• ®Tkyede Tt — НоЦр) -неприводимые инвариантные подпространства. Тогда многообразие (М, g) локально разлагается в риманово произведение, причем g = goXgi Xg2X ... Xg% ?de метрика go является плоской. При этом группа Hol (р) (как линейная группа) имеет вид Hol (р) = Л1 X ^2 X • • • X 才而？0е Ai — подгруппа группы 0{Ti), действующая неприводимо на подпространстве Л и тривиально на остальных подпространствах Т『，\ ^ i (i = О, 1,...,论)•

Замечание. Удивительно: как только представление изотропии оказывается приводимым, оно разлагается в прямое произведение представлений. Отсюда, например, видно, что диагональная подгруппа О(/п) группы О (2m), состоящая из преобразований вида тХт, те О(т), не может определять представление голономии. Это обусловлено тождествами Бьянки в •сочетании с тем, что голономия порождается тензорами кривизны (см. 10.63).

Доказательство теоремы 10.38. Прежде всего покажем, что из приводимости группы Но1(р) следует, что метрика g локально разлагается в риманово произведение. В силу предложения 10.21 на М существуют два взаимно дополнительных ортогональных распределения 力 н 皆=歹丄.По теореме Фробениуса они интегрируемы и, таким образом, задают два ортогональных слоения. Покажем, что каждый лист любого из этих слоений есть вполне геодезическое подмногообразие. Действительно, карательное расслоение листа инвариантно относительно параллельных переносов (предложение 10.21). Поэтому геодезическая многообразия (М, g), которая в начальной точке касается листа, целиком содержится в этом листе. Это означает полную геодезичность. Отсюда легко можно получить, что многообразие (М, g) локально представляет собой риманово произведение. □

Отметим, что мы доказали только локальное утверждение. € помощью 10.16 и несложных индуктивных рассуждений глобальное утверждение можно свести к тому, что в предположении односвязности М из проводимости представления голоно- мнн следует, что оно является прямым произведением. Это выте- кает из следующей леммы.

Лемма о лассо ([Lie 3], [Ко-No 1], [Wak]). Пусть М ——многообразие, q 久一его открытое покрытие. Тогда любая гомотопная нулю петля е М является произведением некоторого числа лассо (см. рис. 10.40), рабочие петли которых содержатся ,з открытых множествах покрытия Q/.

Из соображений компактности следует, что петля содержится в объединении конечного числа открытых множеств из 久.Рисунок 10.40 показывает, как разложить петлю в произведение лассо. Все участки попарно сокращаются, кроме тех, которые

Рис. 10.40.Рис. 10.40.

Рис. 10.40.

Рис. 10.40.

определяют границу гомотопии. Но она как раз совпадает с данной петлей.

Следствие. Ограниченная группа голономии Hol°(g) произвольного риманова многообразия (Л4, g) разлагается в прямое произведение

Hom(g) = 4X4X …Х4и0(а)Х0(〃2)Х

X ... X0(%)u О (① + — + 肤)，

где каждый ортогональный сомножитель Л/, i = 1, ..., k, неприводимо действует на соответствующем подпространстве Ti.

Замечание- Если многообразие (М, g) неполно, возникает некоторая тонкость. Дело в том, что априори не ясно, являются ли сомножители /^ (ограниченными) группами голономии. Если многообразие полно, это очевидно, поскольку 4 = = Hol°(gt), где gt — риманова метрика f-го сомножителя, входящего в разложение де Рама универсальной накрывающей (2Й, g) многообразия (Л1, g) (см. теорему 10.43). Для неполных многообразий, подобных изображенному на рис. 10.42, дело обстоит сложнее. Вертикальные листы 尸 н 尸‘ могут иметь разные римановы метрики и неизоморфные группы голономии Hol(g) и Hol(q‘) в точках qwF и д'=尸'.Полная группа голономии многообразия (М, g) включает в себя группы Hol(q) и Hol (д'). Тем не менее мы покажем, что сомножители Аь являются группами голономии некоторых римановых многообразий, но для этого доказательства потребуются дополнительные

знания.

Теорема (де Рам, [Rha]). Полное односвязное риманово многообразие с приводимым представлением голономии является римановым произведением ).

Замечание. По поводу обобщения теоремы де Рама на более широкий класс связностей см. [Ko-No 2], примечание 12, и § J.

Отметим также, что, согласно [Lie 3], с. 264, все неприводимые неплоские сомножители, входящие в разложение де Рама кэле- рова многообразия, являются кэлеровыми многообразиями.

Доказательство теоремы де Рама. Локальное утверждение является простым и сводится к теореме 10.38. Глобальное утверждение намного сложнее. По-видимому, простого и короткого доказательства пока нет. Эту задачу можно рассматривать как специальный случай «задачи аналитического продолжения», или «задачи монодромии», которая в односвязном случае должна быть тривиальной. Мы приведем набросок доказательства из [Ko-No 1].

Предположим, что касательное пространство ТРМ в точке р^М разлагается в ортогональную прямую сумму Тр = =Т1 Ф Тг подпространств, инвариантных относительно Но1(р). Обозначим через Mi и А42 максимальные листы соответствующих интегрируемых распределений. Они являются полными вполне геодезическими подмногообразиями в М. Мы хотим доказать, что (М, g) представляет собой риманово произведение (Mi,g|M】)X(M2,g|M2).

Для любой кривой z: [0,1] —М с z(0) = p можно определить ее проекцию 之】на М】следующим образом. Пусть Z ——развертка кривой г в аффинном касательном пространстве ТРМ. Обозначим через Zi ортогональную проекцию 2 на подпростран-

ство 7ь Развернем кривую Ziu7\ в кривую z\ многообразия (M,g|M) и сопоставим точке 之(1)三兩 точку &⑴三而].Из односвязности М следует, что точка 21(1) зависит только от точки г(1) и не зависит от выбора кривой z, соединяющей р с г. Таким образом, мы определили проекцию рк М — М, г(1)ь->2!(1). Аналогично определяется проекция р?： М —M?・ Теперь нетрудно проверить, что отображение (pi, Р2)： М —МХ X ”2 является локальной (а в силу односвязности М и глобальной) изометрией. Это завершает доказательство. □

Мораль. Полученные результаты показывают, что для ответа на вопросы А и В из 10.6 можно ограничиться случаем римановых многообразий с неприводимой группой Hoi0, по крайней мере если мы имеем дело с полными односвязными многообразиями. Это сразу следует из 10.41——10.43. По поводу неполных многообразий см. 10.107.

Е. Структура I

В этом параграфе мы докажем теорему 10.51, которая утверждает, что ограниченная группа голономии (не обязатель- го полного) риманова многообразия всегда компактна. Для псевдор и м а новых многообразий этот результат не справедлив (см. [Ha-Oz]). Доказательство не является очевидным и разбивается на несколько шагов. Подчеркнем, что рассматриваемые многообразия не обязательно должны быть полными.

Предложение. Группа Но1° является линейно связной подгруппой группы, О (и).

Пусть % ——гомотопная нулю петля. Согласно теории аппроксимации, эту гомотопию можно реализовать С1-кусочно гладкими петлями 九九 Поскольку параллельный перенос описывается решением дифференциального уравнения, классическая теорема о непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от параметра показывает, что отображение /ь->т(%^) со значениями в О(п) непрерывно по 厶 Значит, т (九)принадлежит линейно связной компоненте единицы группы О (и). □

Следствие. Группа Но1° есть подгруппа Ли группы от). '

Точный смысл этого утверждения заключается в том, что Но1° есть образ некоторой подалгебры алгебры Ли группы О (и) при экспоненциальном отображении. Отметим, что такой образ не всегда замкнут. Утверждение следствия вытекает из тонкой теоремы Ямабе о том, что любая линейно связная подгруппа группы Ли сама является группой Ли (доказательство см. в

[Yam 1]). Отметим однако, что предложение 10.46 нетрудно усилить и доказать не только линейную связность, но и С*-кусочно линейную связность подгруппы Но1° в группе O(zi). В этом случае доказательство теоремы Ямабе сильно упрощается (см. [Ко-No 1], с. 275). Основная идея состоит в описании скобки левоинвариантных векторных полей на группе с помощью предела некоторой последовательности параллелограммов. □

Следствие. Группа Но1° является связной компонентой единицы группы, Hol.

В 10.75 мы уже отмечали, что группа Но1/Но!° счетна. Поскольку мы имеем дело с группами Ли, отсюда следует, что dim Hol0 = dim Hol. Для завершения доказательства достаточно заметить, что группа Но1° связна. □

Лемма. Пусть G — подгруппа Ли группы О(п)・ Если группа G связна 〃 неприводима, то она замкнута е 0(") 〃, еле- ^довательно, компактна.

Пусть g — алгебра Ли группы G. Поскольку g есть подалгебра алгебры Ли о (и) группы О (и), форма Киллинга (Л, В)= =——tr{2 алгебры о(〃) положительно определена на g. Отсюда следует, что алгебра g допускает ортогональное относительно (•, •) разложение д = @ + 8, где 8 — центр алгебры Ли g, а ® — полупростой идеал в д. Для завершения доказательства леммы достаточно проверить замкнутость образов идеалов С и 3 ПРИ экспоненциальном отображении. Для полупростой подалгебры ® это утверждение является классическим. Что касается центра 3, то по лемме Шура (см. [Ко-No 1], с. 277, и [Wak], с. 17) в силу неприводимости группы G его размерность, а также размерность замыкания его образа при экспоненциальном отображении не превосходят единицы. Отсюда следует замкнутость образа центра, а значит, и всей группы G. □

Замечание. Утверждение 10.49 остается справедливым и для связных неприводимых подгрупп группы (?£(〃, R), однако доказательство усложняется (см. [Wak}, с. 17). Не следует забывать о контрпримере из [Ha-Oz] (см. 10.10).

Теорема (Борель, Лихнерович, [Bo-Li]). Ограниченная группа голономии Hol°(g) произвольного риманова многообразия (М, g) является замкнутой 〃，следовательно, компактной подгруппой группы О (").

Это сразу следует из 10.48 и 10.49. 口

В 10.13 мы убедились, что полная группа голономии Hol может быть некомпактной. Подчеркнем, что теорема 10.51 спра-

ведлива только для римановых многообразий. Контрпримеры можно найти даже среди линейных связностей без кручения (см. [Ha-Oz]).

Для изучения структуры групп голономии нам придется поближе познакомиться с симметрическими пространствами и выяснить, как группа голономии порождается тензорами кривизны.

F. Голономия и кривизна

Как найти Но1°? Теоретически — с помощью кривизны. Пусть %, у — векторы касательного пространства ТРМ в точке

р w М. Продолжим их до коммутирующих векторных полей X* У на М, для которых [X, У] = 0. Попробуем описать параллельный обнв вдоль петли 入力 с началом в точке р, состоящей из отрезков. траекторий полей X, У м представляющей собой криволинейный пар а ллелогра м м со сторонами длины £ (см. рис. 10.52). Обозначим через R (х, у) оператор кривизны, получающийся в результате свертки тензора кривизны в точке р с векторами %, у. Согласно классической формуле (которая иногда используется для определения кривизны), скобка горизонтальных лифтов Xя, Уя полей X, У на многообразии ТМ имеет вид

[X^Y^](p) = ^R(x9 у).

Из определения параллельного переноса и формулы, дающей геометрическую интерпретацию скобки векторных полей как производной коммутанта соответствующих однопараметрических подгрупп, следует, что

IX% Н](р) = ±(т&))(0).

Две последние формулы показывают, что алгебра Ли Ь°1(р) группы Но1(р)и О(ТрМ) содержит операторы кривизны R (х, у) при всех х, у ^Тр (М) •

Следствие, Для римановых многообразий общего положения Hol0 = SO (м).

Действительно, если (М, g) есть многообразие общего положения, то для ортонор мированного базиса {%±} общего положения касательного пространства ТрМ операторы кривизны R(%i, %。，i V j, i, j = 1,…，п, линейно независимы в пространстве кососимметрических эндоморфизмов и, значит, образуют базис алгебры Ли о (и) группы О(〃").

Мы не будем строго определять понятие общего положения. Вместо этого приведем несколько примеров:

малое возмущение канонической метрики сферы имеет группу голономии SO (и);

кэлерово многообразие общего положения (например малое возмущение (CPW, сап)) имеет группу голономии U(m)^

из описания римановых метрик в нормальных координатах (см., например, [Be-Ga-Ma], с. 91) следует, что любой алгебраический тензор кривизны (см. (1.108)) реализуется как тензор кривизны риманова многообразия в некоторой точке.

Пусть р, деМ. Зафиксируем Сикусочно гладкий путь 九，соединяющий р с д. Те же рассуждения, что и выше, показывают, что .

(т 仇))-1。R (т 3)(х), I 的 ®)。工(九)三 М(р)

для любых х, у е ТрМ. Для этого достаточно рассмотреть лассо, рабочей петлей которого служит малый криволинейный параллелограмм с вершиной в точке q (см. рис. 10.57).

Другими словами, алгебра Ли bol(p) содержит все операторы, которые получаются из всевозможных операторов кривизны R(x, у), V%, у е TqM, Yq 号 М, с помощью параллельных переносов в точку р по всевозможным путям. Сформулируем основную теорему об алгебре Ли группы голономии.

Поскольку понятие риманова многообразия общего положиия не было определено, приведенные эвристические соображения нельзя считать доказательством. Впрочем, многообразие общего положения можно определить как многообразие, для которого операторы кривизны R (匐，X/) для некоторого базиса {х»} касательного пространства ТРМ некоторой точки р линейно независимы. Тогда следствие 10.54 вытекает непосредственно из 10.53. Многообразия общего положения (в смысле этого определения) образуют открытое всюду плотное множество в пространстве всех римановых многообразий (с фиксированной дифференциальной структурой) в подходящей топологии.—— Прим, перев.

Теорема (Амброз, Зингер, [Arn-Si], [Ko-No 1], с. 89). Алгебра Ли }о1(р) представляет собой подалгебру алгебры Ли 50(ТрМ), порожденную операторами вида (т(Х))-1 ®7?(т(Х) (х), т(А)(у))。工(九)，где х, у е ТРМ9 а % — произвольный С1-кусочно гладкий путь с началом в точке р.

Доказательство проводится с помощью главного расслоения Р над М, которое строится следующим образом. Зафиксируем ортонормированный репер % касательного пространства

ТРМ в некоторой точке р w М. Тогда множество Р всех реперов f, которые получаются из /0 параллельными переносами вдоль кривых, выходящих из точки р, очевидно, образует главное расслоение над М со структурной группой Но1(р). Обозначим через g алгебру Ли группы Но1(р) и определим подалгебру 『алгебры Ли кососимметрических операторов о (и) как подалгебру, порождаемую операторами кривизны R(%, р), х, у 三 ТрМ, и их сопряжениями с помощью ортогональных преобразований, переводящих репер % в один из реперов / 三 Р в точке р.

Из формулы (10.57) следует, что д' и д, а утверждение теоремы равносильно равенству д' = д.

Рассмотрим^ следующее распределение D на Р, Для f е Р определим подпространство O(f)u7}P как прямую сумму горизонтального подпространства и вертикального подпространства д'", задаваемого послойным действием алгебры Ли д' в расслоении Р. Можно проверить, что распределение D интегрируемо. Рассмотрим его максимальный лист £(%), проходящий через fo- Из определений Р и О следует, что £ (%)=尸 и, значит, g = д'. □

Замечание. Можно дать и более наглядное доказательство теоремы Амброза ——Зингера. Для этого нужно взять гомотопную нулю петлю с началом в точке р, натянуть на нее гладкую поверхность и заменить разложение петли в произведение лассо по лемме 10.40 соответствующим интегралом по поверхности. Такой подход позволяет представить параллельный обнос вдоль петли в виде интеграла по поверхности от некоторой формы. Этот метод был развит Нийенхейсом (см. [Nij 1]).

Теорема Амброза — Зингера и ее доказательство допускают непосредственное обобщение на случай произвольной связности.

Замечание. Отметим следующее свойство алгебры Ли группы голономии, которое использовалось в работе [Вег 1] (впрочем, оно нам не понадобится). Алгебра Ли ^о! содержит все ковариантные производные операторов кривизны, сопряженные с помощью произвольных параллельных переносов (как в (10.57)). Точнее, пусть К — произвольная О-кусочно гладкая кривая с началом в точке р, а х, у, %ь ..., %々——произвольные векторы из ТРМ. Тогда

(т (簿)т & <*)》•••&(£) (s)R (т (九)х, Т (九)у) о Т 纷三—I (р).

Доказательство см. в [Ко-No 1], с. 101, 152, или в [Wak],

с. 107. Оно основано на геометрических соображениях, обоб

Рис. 10.60.Рис. 10.60.щающих рассуждения 10.56. Случай k — 1 иллюстрирует рис. 10.60.

Рис. 10.60.

Рис. 10.60.

Замечание. Помимо эстетических достоинств теорема 10.58 имеет и теоретическое значение, хотя и не дает эффективного средства вычисления группы голономии. На первый взгляд эта теорема выглядит несколько странно, поскольку описывает алгебру голономии через саму голономию. Мы вернемся к этому якобы порочному кругу в 10.101. Отметим, что теорема 10.58 используется в 10.66 н в i0.95. Отметим также, что с по-

мощью этой теоремы можно усилить утверждение 10.60: для вещественно аналитического риманова многообразия (М, g) алгебра Ли ^о! (р) линейно порождается

последовательными ковариантными производными операторов кривизны, вычисленными в точке р. Доказательство см. в [Ко-No 1], II. 10 и IIL 9.

Примеры. Приведем несколько примеров применения тривиальной части теоремы 10.58, т. е. формулы (10.57). Часть из них нам не понадобится, но мы надеемся, что они помогут читателю приобрести некоторую интуицию в том, что касается групп голономии. Другие примеры являются более важными и позволяют лучше понять связь между различными типами многообразий Эйнштейна. Эта связь описывается в следствии 10.111.

Пример 1. О замечании 10.39. Вернемся к тому удивительному факту, что из приводимости группы голономии следует ее разложимость в прямое произведение. Пусть ТРМ = = 7]㊉ А где Тъ Т2 — подпространства, инвариантные относительно Но1(р). Обозначим через Q, 6, ... (соответственно /, т,…)индексы тензоров, соответствующих базисным векторам из 7\ (соответственно из 丁2)・ Тогда для тензора кривизны в точке р мы имеем Rxyai = 0 для любых индексов х, у. В частности, Rbmai = 0. Но тогда из алгебраического тождества Бьянки следует, что 欠亜痴=0. Это равенство означает, что операторы кривизны, задаваемые векторами из 八，действуют на 72 тривиально.

Пример 2. Многообразия с представлением голономии Qu О⑺.Особую простую группу G2 можно определить как группу, алгебра Ли которой состоит из кососимметрических матриц порядка 7, удовлетворяющих соотношениям

4 + 1, £+3 + 4+2, /+6 + /f+4, £+5 = °，

где индексы рассматриваются как элементы группы вычетов Z7. С помощью тождества Бьянки и формулы (10.57) можно доказать (путем вычислений), что кривизна Риччи многообразия с группой голономии Hol и G? равна нулю (см., например, [Bon 1]). Итак, любое семимерное риманово многообразие с Hol и G2 является риччи-плоским.

Пример 3. Многообразия с представлением голономии Spin ⑺ и 0(8). Группу Spin (7) можно определить как подгруппу группы 0(8), алгебра Ли которой состоит из кососимметрических матриц порядка 8, удов летвор яющих соотношениям

4,7 十 4+1,i+3 + #i+2, f+6 + ”£+4, i+7 ^^ 0,，W Z8.

Как и в предыдущем примере, можно показать, что если группа голономии многообразия (Mg) содержится в Spin(7)с: 0(8), то многообразие риччи-плоско. Для обоих случаев G2 и Spin (7) хотелось бы получить невычислительное доказательство обращения в нуль кривизны Риччи (например, основанное на разложении тензора кривизны на неприводимые компоненты относительно действия этих групп)).

Пример 4. Многообразия с представлением голономии, содержащимся в Т • Sp(m)czO(4m)t /п 力 2. Здесь Т — окружность вращений, порождаемая почти комплексной структурой (см. 10.32). Например, для структуры I из 10.32 окружность Т

состоит из операторов умножения на комплексные числа, по модулю равные единице. Из тождества Бьянки и формулы (10.57) с помощью вычислений можно вывести, что в этом случае операторы кривизны имеют нулевую проекцию на алгебру Ли группы Т. Теорема 10.58 позволяет доказать, что если группа голономии риманова многообразия содержится в Т - Sp{m), то она содержится н в Sp(zn), т. е. многообразие является гипер- кэлеровым.

Пример 5. Специальные кэлеровы многообразия. Обоснуем предложение 10.29 с помощью формулы (10.57). Напомним, что алгебра Ли группы SU(т) состоит из комплексных косоэрмитовых матриц с нулевым следом. Пусть Hol°(g)u uSU(/t)・ Тогда из формулы (10.57) следует, что trcR(%, ^) = 0 для любых векторов х, у. Но из свойств симметрии тензора кривизны кэлерова многообразия (см. 2.42) вытекает, что trc R = —р. Значит, р = 0.

Как найти группу голономии? Лучше всего воспользоваться основной классификационной теоремой 10.92. Для того чтобы решить, к какой группе из приведенного там списка относится группа голономии данного многообразия (М, g), нужно воспользоваться табл. 10.124: сравнить параллельные формы на этом многообразии с формами, приведенными в таблице.

Отметим, что параллельная форма а ковариантно постоянна (Qa = 0) и, следовательно, замкнута (см. 1.19(c) или [Gr-Kl- Ме], с. 42), поскольку ее дифференциал равен альтернированной ковариантной производной. Двойственная к ней форма 奈а также параллельна и, значит, замкнута. Отсюда следует, что любая параллельная форма гармонична. Поэтому теоремы Ходжа н де Рама позволяют сделать некоторые выводы о топологии многообразия с данными параллельными формами. О применении этого метода см. [Mic], с. 1144, н [КоЬ 4].

G. Симметрические пространства и их голономия

Введение и немного истории. В этом параграфе мы приведем основные сведения о симметрических пространствах, большинство которых будет использоваться в дальнейшем (в частности, это относится к основной классификационной теореме 10.92). Другие результаты и доказательства читатель найдет в [Hei] и в [Ko-No 2], гл. XI (см. также [Los] и § F гл. 7).

Понятие симметрического пространства было введено Э. Картаном в 1925 г. Картан пытался классифицировать римановы многообразия, тензор кривизны которых имеет нулевую

ковариантную производную: DR = 0. Одновременно этой проблемой занимались его коллеги. Картан попробовал решить эту задачу с помощью теоремы 10.19 и формулы (10.57): тензор кривизны такого многообразия инвариантен относительно его группы голономии. Этот подход привел его к алгебраической задаче- описания тензоров кривизны, инвариантных относительно неприводимых ортогональных представлений. Картан полностыа решил эту задачу, однако это потребовало очень больших вычислений, особенно для особых групп Ли. При этом он воспользовался полученной им ранее классификацией приводимых линейных представлений компактных групп Ли.

К своему удивлению Картан обнаружил, что все (полные, неприводимые и односвязные) римановы многообразия распадаются на два класса. Элементы каждого из этих классов представляют собой пары многообразий: компактного и некомпактного. Первый класс состоит из пар вида (G, Gc), где G — произвольная компактная односвязная простая группа Лн, a Gc —— ее комплексификация. Второй класс состоит из пар (G/H, G^/H), где G — произвольная некомпактная простая односвязная группа Ли, Н — ее максимальная компактная подгруппа (определенная однозначно с точностью до сопряжения), a G* — компактная форма группы G. Обдумывая этот озадачивающий результат, Картан сумел установить непосредственнук> связь между многообразиями с DR = 0 и вещественными формами простых групп Ли, классифицированными им в [Саг 3]. Это позволило ему свести классификацию многообразий с QR = 0 к более простой алгебраической задаче классификации вещественных форм простых алгебр Ли. Современное изложение этой классификации 《а ля Дынкин» см. в [Hei] (второе издание).

Термин «симметрическое пространство» обязан своим появлением третьему эквивалентному определению многообразий рассматриваемого типа. Их можно определить как римановы многообразия, для которых геодезическая симметрия относительно произвольной точки (по крайней мере локально) является изометрией (см. 7.63). Результаты Картана можно кратко сфор му лировать следующим образом.

Теорема (Эли Картан). Для риманова многообразия (〃е обязательно полного) следующие условия эквивалентны'.

QR = 0;

геодезическая симметрия sp относительно любой точки р (определенная, вообще говоря, только локально) является изометрией.

Для полного риманова многообразия (М, g) следующие условия эквивалентны:

геодезическая симметрия относительно любой точки р^М определена глобально и является изометрией}

многообразие М можно отождествить с фактор-простран- ством G/Н связной группы Ли G по компактной подгруппе Н, снабженным G - инвар иан тной римановой метрикой. При зтом существует такой инволютивный автоморфизм о группы G, что Se и 〃 и S, где S — множество неподвижных точек автоморфизма о, a Se — его связная компонента единицы.

Более того, если многообразие (М, g) удовлетворяет условию (iii) или (iv), то оно удовлетворяет условиям (i) и (ii). Обратно^ если (М, g) — полное односвязное многообразие^ удовлетворяющее условию (i) или (ii), то оно удовлетворяет условиям (iii) и (iv).

Замечание. Связь между (iv) и вещественными формами простых групп Ли описывается в рамках теории алгебр Ли (см. [Hei]). При этом инволюция определяется комплексным сопряжением комплексной алгебры Ли относительно вещественной формы.

Основные идеи доказательства. Связь между (i) и (ii) устанавливается следующим образом. Пусть DR = 0. Тогда поля Якоби (1.30) вдоль данной геодезической являются решениями дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Поэтому в данный момент времени t такие поля, определяемые фиксированными начальными значениями, имеют одинаковые нормы. В частности, их нормы сохраняются при геодезической симметрии. С помощью геодезических координат можно показать, что этого достаточно для того, чтобы геодези- ческая симметрия была изометрией (см. теорему Картана—Римана об экспоненциальном отображении, [BejGa-Ma], с. 91).

Обратно, предположим, что геодезическая симметрия sp относительно точки р является изометрией. Тогда она сохраняет любой инвариант римановой метрики, в частности ковариантную производную кривизны DR. С другой стороны, поскольку тензор DR имеет порядок 5, получаем £>R(p) = Sp(QA) (р)= =—DR (рj. Отсюда DR (р) = 0.

Связь между (iii) и (iv). Рассмотрим группу всех изометрий многообразия (7И, g). По теореме Майерса ——Стинрода 1.77 (см. также [Ko-No 2], с. 239) она является группой Ли. Обозначим через G ее подгруппу Ли, порожденную геодезическими симметриями относительно всевозможных точек из М. Группа G транзитивно действует на М, и М можно отождествить с фактор-пространством G/Н, где Я —— стабилизатор

фиксированной точки р из М. Искомый инволютивный автоморфизм о задается формулой g»~~>SpgSp, где sp — геодезическая симметрия относительно р. Обратно, в пр ед положениях (iv) представим алгебру Ли g группы G в виде g = Ь 十 т, где b — алгебра Ли группы Я, a m — собственное подпространство инволюции о, соответствующее собственному значению —1. Зададим на m скалярное произведение, инвариантное относительно присоединенного действия (компактной) группы //. Соответствующая инвариантная риманова метрика в G/Н превращает G/Н в риманово многообразие, удовлетворяющее условию (iii).

Связь между (i) V(ii) и (iii)V(iv). Это наиболее тонкая часть теоремы, поскольку из односвязности М непосредственно не следует глобальная определенность геодезической симметрии. Возможны два подхода к доказательству импликации (ii)#(iii). Первый подход изложен, например, в [Ко-Но 2], с. 223. Он сводится к доказательству того, что геодезическая симметрия на самом деле определена глобально. Это доказательство довольно длинно и использует вещественную аналитичность рассматриваемых структур.

Второй подход — это одно из замечательных достижений Эли Картана. Фактически это идея его первой классификации. Требуется вывести из условия DR = 0 существование пары групп G, Н、удовлетворяющей (iv). Зафиксируем точку р^М и обозначим через m касательное пространство ТРМ. Рассмотрим подалгебру b алгебры Ли o(TpM)t порождаемую операторами кривизны 7? (х, у), х, у ^ш. Естественное действие алгебры Ли》на эти операторы кривизны определяет скобку [г, х] для г 三 6 и х 三 т. Аналогично определяется скобка [г, s] для г, s 三》.Наконец, определим скобку [х, у} векторов х, у = т, положив [х, y] = R (х, у) е 1). Легко убедиться, что эти скобки задают на прямой сумме g = b + m структуру алгебры Ли. Условие DR = 0 означает, в частности, инвариантность тензора кривизны R относительно операторов кривизны R (х, у). Отсюда следуют тождества Якоби. Теперь остается ввести группы Ли G, Н с алгебрами Ли д, ^ и проверить соответствующие условия. Отметим, что теорема Амброза—Зингера и результаты из § С показывают, что для многообразий с DR = 0 алгебра голономии Ьо【(р) порождается операторами кривизны R(x, у), х, у е ТРМ. Это позволяет предположить, что для симметрических пространств группа голономии более или менее совпадает с группой изотропии. Подробнее об этом см. 10.79.

Определение. Риманово многообразие называется локально симметрическим, если оно удовлетворяет эквивалентным условиям (i) и (ii) из 10.72, и симметрическим, если удовлетво-

ряет эквивалентным условиям (iii) и (iv) из 10.72. Оно называется неприводимым симметрическим, если является симметрическим и имеет неприводимую группу голономии Но1°. Симметрические римановы многообразия часто называют симметрическими пространствами.

Замечание, Понятие симметрического пространства можно ввести и в более общем случае, чем случай римановых многообразий, например для лоренцевых многообразий и многообразий с линейной связностью (см. [Ko-No 2], гл. И и § J этой главы).

Неприводимость. Односвязное симметрическое пространство однозначно разлагается в риманово произведение евклидова пространства и неприводимых симметрических пространств. Для неодносвязных симметрических пространств это утверждение справедливо локально (иначе говоря, с точностью^ до накрытия). Это позволяет нам в дальнейшем ограничиться рассмотрением односвязных неприводимых симметрических пространств. В односвязном случае в обозначениях 10.72 (iv) группа G односвязна и " = S&. Доказательство см. в [Hei] (второе издание) или в § F гл. 7.

Группы голономии сим метрических пространств. Из 10.75 вытекает

Предложение. Группа голономии односвязного неприводимого симметрического пространства G/Н совпадает с группой изотропии.

Справедливость этого предложения вытекает из 10.75, однако нужно учесть, что многообразие М можно представить в виде однородного пространства G/Н разными способами: например, S2 叶 1 = О (2九 + 2) /О (2九 + 1) = U (九 + 1) / U (1) U 5) или S6 — О (7) /О (6) = G^/SU (3). Поэтому необходимо доказать, что если выполнено условие (iv) теоремы 10.72, то такое представление единственно. Это не представляет трудности. □

Таким образом, для симметрических пространств группу голономии можно считать известной. Эти пространства позволяют получить важные примеры групп голономии. Более того, согласно классификационной теореме 10.92, кроме групп голономии симметрических пространств существует очень мало возможных групп голономии. Для несимметрических однородных пространств G/Н общего способа вычисления группы голономии нет. Обычно для этого используют классификационную теорему (см. [Ko-No 2], X. 4).

Ранг и транзитивность группы голономии. Будем по- прежнему рассматривать неприводимые симметрические пространства. Пусть g = b + m — редуктивное разложение алгебры Ли g группы движений G. Э. Картан доказал, что все максимальные абелевы подалгебры подпр остр а нств a m сопряжены относительно присоединенного действия стационарной подгруппы 〃 (доказательство см. в [Hei 1]). Общая размерность таких подалгебр называется рангом симметрического пространства G/H.

Максимальные абелевы подалгебры подпространства m называются картановскими подалгебрами симметрического пространства М = G/Н. В односвязном случае их образы при экспоненциальном отображении являются плоскими вполне геодезическими торами, если М компактно, и вполне геодезическими подмногообразиями, изометричными евклидову пространству, если М некомпактно.

Поскольку любой элемент из m содержится в картановской подалгебре, из результата Картана вытекает, что в компактном односвязном симметрическом пространстве геодезические устроены так же, как геодезические плоского тора, а в некомпактном симметрическом пространстве геодезические являются замкнутыми прямыми (изоморфными R).

Второе следствие результата Картана состоит в том, что симметрическое пространство G/Н имеет ранг единица тогда и только тогда, когда представление изотропии группы Н транзитивно на единичной сфере касательного пространства. Отсюда сразу следует, что все геодезические компактного симметрического пространства ранга единица замкнуты (подробнее об этом см. [Bes 1]).

Укажем простой способ проверки транзитивности представления изотропии. Касательное пространство к орбите Я (х) точки хеш имеет вид [Ь, х]. Для формы Киллинга В получаем В([Ь, х], у) = В(Ь, [х, у]), Уу е ш. Поэтому если у ортогонально орбите "(%), то [х, у\ = 0, т. е. % н у лежат в одной картановской подалгебре. В 10.99 мы увидим, что эти рассуждения играют решающую роль в доказательстве классификационной теоремы, предложенном Саймонсом. При этом тождество B(q, [Ь, с]) = =5( [а, 6], с), справедливое для формы Киллинга, заменяется тождеством Бьянки для тензора кривизны.

Симметрические пространства ранга единица. Это важный класс симметрических пространств. В компактном случае такие пространства исчерпываются сферами и проективными пространствами над R, С, Н и числами Кэли. В односвязном случае этот класс совпадает с классом метрических пространств.

для которых группа изометрий транзитивно действует на множестве пар точек, находящихся на равных расстояниях (см. [Bes 1], [Cha], [Mat], [Bus]). Список таких пространств приводится в табл. 10.125, 10.126.

Замечание. Как и предвидел Картан (см. [Саг 6],. с. 590), симметрические пространства играют в геометрии такую， же важную роль, как пространства постоянной кривизны. Подтверждение можно найти в [Los], [Bes 1] и в табл. 10.125〉 10.126 (в колонке геометрических интерпретаций).

Замечание. Любое неприводимое симметрическое пространство (М, g), согласно 10.79 и 7.44, является эйнштейновым. При этом в силу 7.61 знак скалярной кривизны всегда отличен от нуля (если dimM > 1). Он равен +1 для компактных пространств и —1 для некомпактных. В приводимом случае симметрическое пространство допускает инвариантную метрику Эйнштейна тогда и только тогда, когда все его неприводимые компоненты одновременно компактны или, наоборот, некомпактны.

Топология. Неприводимые некомпактные симметрические пространства всегда односвязны и диффеоморфны Кл. Топология компактных симметрических пространств хорошо изучена (см. [Be-La], с. 25, [Во-Hi], [Gr-Ha-Va]). В последней монографии содержится также информация о произвольных однородных пространствах.

Классификация. Картан в [Саг 6] построил полную классификацию неприводимых односвязных симметрических пространств. Более современную и простую классификацию можно найти в [Hei] (второе издание). Для получения классификации используются разнообразные н глубокие математические результаты. Отметим, что в первом издании книги [Hei], целиком посвященной симметрическим пространствам, их классификация была приведена без доказательства. Этот пробел был восполнен 16 лет спустя во втором издании. Первый шаг классификации состоит в разбиении симметрических пространств (неприводимых н односвязных) на четыре типа: I, II, III, IV. Затем доказывается, что каждому типу соответствует конечный список, состоящий из бесконечных серий однородных пространств классических групп н конечного числа однородных пространств особых групп. Все эти списки приводятся в таблицах в конце главы. Здесь мы опишем лишь общую структуру пространств четырех типов.

Тип /. М = GJH, где G — компактная простая односвязная группа Ли, а Н — связная компонента единицы множества

неподвижных точек нетривиального инволютивного автоморфизма группы G.

Тип IL Многообразие М есть компактная простая односвязная группа Ли, снабженная би инвариантной римановой метрикой. Представление в виде G/Н получается следующим образом: G = М\ М (прямое произведение группы М на себя), Н — диагональная подгруппа в МХМ (изоморфная М), инволюция о переставляет сомножители в М X М

Тип IIL М = G/Н, где G ——некомпактная односвязная простая группа Ли, Н ——ее максимальная компактная группа, а о — инволюция, соответствующая Н (см. замечание в 10.72).

Тип /V. М = G/Н, где G — комплексная односвязная группа •Ли, Н—ее максимальная компактная подгруппа, а о — комплексное сопряжение в G, тождественное на Я.

Двойственность. Перечисленные типы распадаются на две пары: I, III и II, IV. Каждая пара состоит из взаимно двойственных сим метрических пространств. Такие пространства имеют одну и ту же комплексификацию G^ группы движений G, одинаковые стационарные подгруппы // и их представления изотропии. Двойственные пары пространств типов I, III находятся во взаимно однозначном соответствии с некомпактными односвязными простыми группами Ли. Пары пространств типов II, IV находятся во взаимно однозначном соответствии с простыми компактными односвязными группами Ли. Список пар типов I, III намного больше, чем список пар типов II, IV.

Ранг. Ранг симметрических пространств типов II, IV совпадает с рангом соответствующих им простых групп Ли. Ранг пространств типов I, III указан в соответствующих таблицах.

Кэлеров случай. Картан показал, что неприводимое симметрическое пространство является эрмитовым (и, следовательно, кэлеровым) в том и только в том случае, если стационарная подгруппа Н имеет центр положительной размерности. В этом случае размерность центра всегда равна единице. Список таких пространств см. в табл. 10.125, 10.126, а доказательство — в [Ko-No 2], с. 261.

Таблицы. Мы пользуемся главным образом обозначениями из книги [Не1]. В нарушение наших соглашений мы указываем в качестве групп движений неодносвязные ортогональные группы (а не их спинорные односвязные накрывающие). Это не влияет на структуру соответствующих фактор-про-

странств М = G/H: сфер, грассманианов и т. д. Думаем, что читателю будет приятнее иметь дело с ортогональной группой О(п), чем со спинорной группой Spin(n).

Н. Структура II

Сформулируем основную теорему этого параграфа.

Теорема (Берже, [Вег 1], Саймонс, [Sim]). Пусть (Л4, g)——риманово многообразие с неприводимой ограниченной группой голономии Hoi0. Тогда либо группа Но1° транзитивна на единичной сфере (т. е, группа Но1° (р) транзитивна на UPM и ТРМ), либо (М, g) есть локально симметрическое пространство ранга ^2.

Доказательство Берже ([Вег 1]) основано на классификации неприводимых вещественных линейных представлений вещественных компактных групп Ли, полученной Эли Картаном (см. [Саг 1], [Саг 2]). Идея Картана заключается в том, что каждое такое представление можно получить из так называемых фундаментальных представлений с помощью тензорных произведений и разложения последних на неприводимые компоненты. Доказательство Берже сводится к проверке того, что такие представления (за небольшим числом исключений) не могут являться представлениями голономии: из тождеств Бьянки и формулы (10.57) следует, что QR = 0, если представление голономии содержит больше одного тензорного сомножителя. Остается исследовать только фундаментальные представления, явно описанные в книге Картана [Саг 1, 2]. С помощью сложных вычислений для них также удается показать, что из тождеств Бьянки и формулы (10.57) вытекает, что либо DR = 0, либо R = 0, за небольшим числом исключений, указанных в списке 10.92. Список 10.92 совпадает со списком групп Ли, транзитивных на сферах (из которого нужно исключить группу Т-Sp(n), см. 10.66). Это сообщил автору в письме А. Борель. Классификацию групп, транзитивных на сферах, см. в работах [Mo-Sa 1, 2], [Bor 1], [Вог 2], а также в 7.13. В связи с этим возникает искушение попытаться получить прямое доказательство того, что риманово многообразие, для которого группа голономии не транзитивна на единичной сфере, является локально симметрическим. Это было сделано только семь лет спустя Дж. Саймонсом ([Sim]). Поскольку доказательство Саймонса довольно длинно (хотя и короче оригинального доказательств а), мы приведем сначала некоторые следствия теоремы 10.79, чтобы сделать текст более приятным для чтения. Приводимый

•случай рассматривается в 10.107, а симметрический ——в 10.79. Набросок доказательства Саймонса приводится в 10.98.

Следствие. Пусть (М, g)——риманово многообразие размерности п с неприводимой группой голономии Но1°, не являющееся локально симметрические Тогда его группа голономии Но1° содержится в следующем списке:

(I) Hol0 = SO (n);

(П)加

— 2m,

Hol0 = U (tn} (m》2);

(III) 〃二

=2加，

Ho!° = St/(m) (m > 2);

(IV) n

= 4/n.

Hol0 = Sp (l)Sp(m) (m > 2);

(V) n

= 4m,

Hol0 = Sp (m) (m》2);

(VI) n

= 16,

Hol0 = Spin (9);

(VII) n

=8,

Hol0 = Spin (7);

(VIII) 〃

=7,

Hol° = G2-

В этом списке не указано явно представление голономии, поскольку оно однозначно определяется указанной размерностью и пространства представлений. Явное описание этих представлений дано в 10.28, 31, 64, 65 (за исключением представления VI, которое есть представление изотропии симметрического пространства СаР2 = F4/Spin (9), см. 10.96 (VI)).

Замечание. Из следствия 10.92 вытекает, что некоторые многообразия почти полностью определяются своим представлением изотропии. Так, если (Mg) — односвязное симметрическое пространство ранга больше единицы, то любое односвязное полное многообразие (М 九)с тем же представлением голономии, что (М, g), изометрично либо (М, g), либо двойственному симметрическому пространству. В 10.96 (VI) мы увидим, что такой же результат справедлив и для симметрического пространства СаР2 ранга единица.

Для доказательства следствия достаточно воспользоваться результатами из [Mo-Sa 1, 2] и [Вог 1, 2], где получен полный список компактных связных групп Ли G, транзитивных на сферах.

Вот список таких групп, транзитивных на - сфере S^"1 раз- мерности и— 1 (см. также 7.13):

G = SO(〃)；

〃 = 2m, G = U(m) (m^2);

n = 2m, G = SU(m)(机 >2);

(IV) п =

4m,

G = Sp (1) Sp (m) (m > 2);

(IV') п =

4m,

G = T • Sp (m) (m》2);

(V) п =

4m,

G = Sp (m) (〃z>2);

(VI)"=

16,

G = Spin (9);

(VII) лг =

8,

G = Spin (7);

(VIII) п =

7,

g = g2.

10.95. Отметим,

что в списке перечислены абстрактные груп

пы Ли G, транзитивно действующие на сфере S"-】，но не указано само это действие. Однако мы знаем, что это действие линейно и однозначно (с точностью до сопряжения в ортогональной группе) определяется размерностью п представления. Поэтому доказательство следствия 10.92 сводится к исключению случая (IVх), что уже сделано в 10.66.

Ответ на вопрос А из 10.6. Вопрос был такой: какими могут быть представления голономии римановых многообразий? Для того чтобы ответить на него, нужно поочередно рассмотреть все восемь представлений из следствия 10.92. Симметрический случай можно отбросить ввиду 10.79. В каждом случае мы постараемся ответить на три вопроса:

Существует ли риманова метрика g с данным представлением голономии?

Существует ли такая полная метрика g?

Существует ли такая метрика g на компактном многообразии?

Ответы сведены в табл. 10.124.

(I): SO(n). В 10.54 показано, что это случай общего положения.

(II): U(m) (п = 2т, т ^ 2). Этот случай соответствует кэлеровым многообразиям общего положения (см. 10.55).

(Ill): SU(m) (и = 2m, m ^ 2). В 10.55 показано, что случай HoiO(g)uSUiw) соответствует специальным кэлеровым многообразиям. Однако мы требуем выполнения более сильного условия Hol°(g)= SU(〃z). Еще в 1960 г. Калаби построил примеры таких специальных кэлеровых многообразий, однако соответствующие метрики были локальными и неполными (см_ [Cal 5], а также § С гл: 15). В 1970 г. Калаби нашел пример полной метрики (не опубликованный), весьма трудный для письменного изложения. Первых компактных примеров пришлось ждать до 1978 г., когда Яу доказал наконец гипотезу Калаби (теорема 11.15). Теперь мы знаем, что на любом компактном кэлеровом многообразии с нулевым первым классом Чженя существует кэлерова метрика с Hol0 c^SU(m) (см._

[Yau] или [Ast]). Но мы требуем, чтобы Hol0 = SU(т). Для того чтобы добиться выполнения этого условия, рассмотрим в качестве исходного кэлерова многообразия алгебраическую гиперповерхность степени m + 2 в 'СРт^. Она имеет нулевой первый класс Чженя. Отметим, что группа Но1° всегда неприводима, так как в противном случае многообразие разлагается в топологическое произведение (как односвязное многообразие). Однако это противоречит результатам по топологии алгебраических гиперповерхностей (см. [Веа 2]). Таким образом, группа Но1° содержится в списке из следствия 10.92. Единственной группой из этого списка, которая содержится в SU(т) в качестве собственной подгруппы, является группа Sp(m/2). Соответствующая ей метрика будет гиперкэлеровой. Но такая метрика в силу 10.31, 32, 68 не сможет реализоваться на гиперповерхности, поскольку ее второе число Бетти не превосходит двух (при /г ^ 3). По поводу этого классического результата см. [Веа 2]. Таким образом, рассматриваемая метрика имеет группу голономии SU(m).

(IV): Sp(l)Sp(4m) (n = 4m, /и >2). Как отмечалось в 10.32, включение Но1° и Sp ⑴ Sp (т) означает, что соответствующее многообразие является кватернионно-кэлеровым. Но мы требуем, чтобы имело место равенство. Очевидным примером такого многообразия является кватернионное проективное пространство для любого НР^・ А есть ли другие примеры? Отметим только некомпактные однородные примеры Алексеевского с Hol0 = Sp(l)Sp(zn) (см. [Ale 2]). Подробнее об этом см. гл. 14.

(V): Sp(m) (и = 4mf m ^ 2). Согласно 10.31, включение Hol°u Sp(m) эквивалентно гиперкэлеровости многообразия. Первые нетривиальные (т. е. неплоские) примеры гиперкэлеро- вых многообразий были построены Калаби лишь в 1979 г. ([Cal 5]). Это полные, но некомпактные многообразия. Нетрудно убедиться, что в этих примерах Hol0 = Sp(m). Компактные примеры для случая m = 2 были построены лишь в 1981 г. с помощью доказанной Яу гипотезы Калаби. Аналогичные примеры для 机 >2 были получены в 1982 г. (см. [Веа 2]).

(VI): Spin (9). Браун и Грей ([Br-Gr]) показали, что из условия Hol°cz Spin (9) следует, что либо многообразие является плоским, либо его тензор кривизны в каждой точке пропорционален тензору кривизны проективной плоскости Кэли (СаР?, сап). Ранее это было указано Алексеевским ([Ale I]))-

Причина отмечена в 10.97: поскольку коразмерность Spin (9) в SO (16) достаточно велика, условие 10.57 в сочетании с тождествами Бьянки приводит к такому виду тензора кривизны. Браун и Грей показали, что из поточечных условий на кривизну следует, что рассматриваемое многообразие изометрично (с точностью до масштаба) симметрическому пространству (СаР?, сап) или двойственному ему симметрическому пространству (см. табл. 10.124). Таким образом, группу голономии Spin(9) имеют только два указанных симметрических пространства.

(VII) и (VIII): Spin(7) и G2. Р. Брайант [Вгу] недавно доказал существование ростков метрик в R8 и R7 c группами голономии Spin (7) и G? соответственно. Его метод состоит в интерпретации условий на группу Но1° как внешней дифференциаль- яой системы относительно неизвестной дифференциальной формы ср. Действительно, метрика в R7 с группой голономии ©2 обладает единственной параллельной 3-формой с нормой единица. Обратно, любая «невырожденная» 3-форма <р в R7 определяет некоторую метрику g((p)・ А. Грей ([Gra 1]) показал, что Hol°(g((p))u С?2, т. е. Qg(屮)(р = 0 тогда и только тогда, когда d(p = Sg(0)(p = 0. Теория Картана — Кэлера позволяет доказать существование решения этой системы. Решение зависит от 20 произвольных функций от 6 переменных. Более того, можно показать, что любой риччи-плоский тензор кривизны реализуется как тензор кривизны метрики с Hol0 = G2 в некоторой точке. Аналогичные рассуждения можно провести и для группы Spin (7). Другие примеры см. в § В дополнения.

До снх пор неизвестно, существуют ли полные многообразия с группой голономии Hol0 = Spin (7) или G2 】).По этому поводу см. также [Маг]. Отметим, что такие многообразия, согласно 10.64, 10.65, будут риччи-плоскими.

Выводы. Все сказанное можно резюмировать следующим образом:

если коразмерность группы голономии в группе О (и) мала (как для О (и), U (т)), то о соответствующем римановом многообразии ничего определенного сказать нельзя;

если эта коразмерность достаточно велика (как для симметрических пространств или Spin (9)), многообразие полностью определяется группой голономии;

б промежуточном случае группа голономии содержит некоторую (неполную) информацию о многообразии: многооб-

1) В статье [Bryant R, Salamon S. On the construction of some complete metrics with exceptional holonomy. — Duke Math. J., 1989, 58, № 3, 829—850] построены полные римановы метрики кооднородности единица с группами голономии G2 и Spin (7). — Прим, перев.

разие является риччи-плоским, если Hol° = SU(m)9 G2, Spin (7), Sp(т), и эйнштейновым, если Hol° = Sp(l)Sp(m).

Основные идеи доказательства теоремы 10.90 по Саймонсу ([Sim]). Рассмотрим многообразие с неприводимой группой голономии Hol°(p)= G, которая не транзитивна на единичной сфере UPM в ТРМ. Достаточно показать, что многообразие (Af, g) является симметрическим. Для этого используется в основном алгебраический аппарат.

Первый шаг состоит в доказательстве того, что существует много нулевых операторов кривизны: R (а, 6) = 0. Формула (10.57) показывает, что касательное пространство Тх (Gx)

орбиты Gx точки % w UPM относительно группы G содержит векторы вида R(〃，ь)х, 〃，v е ТРМ (см. рис. 10.100). Поскольку группа G не транзитивна на сфере UpM, существует вектор a w ТрМ, ортогональный Тх (Gx). Но тогда g (R (u, v)x, z) = 0 для любых 〃, и w ТрМ Отсюда, учитывая симметрию тензора кривизны, получаем g(R(乂 z)〃，v) = 0. Таким образом,

(10.100) R(%, N)= 0・

Такие нулевые операторы кривизны важны для доказательства, но с ними предстоит еще много работы по следующей причине. Рассмотрим риманово произведение (Ah X 府2， gi X g2)・ Для него R(%i, %2)= 0, если %i ^ TMif х2 ^ ТМ2. Поэтому для того, чтобы доказать, что «наличие большого числа нулевых операторов кривизны влечет за собой симметричность», нужно существенно использовать неприводимость представления голономии.

10.101. Второй шаг. Сделаем еще одно замечание, которое уже упоминалось в 10.61. Введем следующие обозначения: V — «евклидово пространство, R ——алгебраический тензор кривизны пространства V, gw SO (V)——ортогональное преобразование. Определим действие преобразования g на R:

(10.102) g (R) (х, у) = gT。R (gx, gy) о g.

Из теоремы 10.58 следует, что

<ю.юз) g(R)(%,护eg, Vg = G,

где R = R(р) — тензор кривизны многообразия (М, g) в точке р, a G = Hol°(p)——его группа голономии с алгеброй Ли д. Мы лолучили заколдованный круг, поскольку по теореме Амброза—Зингера для описания алгебры Ли группы голономии G требуется тензор кривизны R(p) и сама группа G! Этот заколдованный круг — со всеми своими недостатками и достоинствами—лежит в основе доказательства Саймонса. В качестве поучительного примера рассмотрим случай симметрического многообразия. В этом случае g(R) = R для любого элемента g 三 G. Основная идея Саймонса заключается в использовании соотношения g (R) (g(%), g (z)) = 0, которое получается из (10.100) действием группы G. Определим насыщенную голоном- ную систему как тройку {匕欠，G}, состоящую из евклидова векторного пространства V, алгебраического тензора кривизны 火 и группы GuSO(V), алгебра Ли g которой порождается операторами вида g(R) (х,у), gw G, %, у = У, где g(A) определяется формулой (10.102). Насыщенная голономная система называется симметрической, если g(R) = R для всех gwG. Это эквивалентно тому, что A (R) = 0 для всех А = д, где действие А на R определяется как производное действие элемента алгебры Ли д, ассоциированное с действием (10.102) группы G. Саймонс прежде всего доказал, что насыщенная голономная система с неприводимой группой G, не транзитивной на единичной сфере, является сим метр ической. Это чисто алгебраическое утверждение. Набросок его доказательства приводится в следующих двух пунктах. В 10.106 мы выведем из этого результата основную теорему.

Третий шаг. Рассмотримz насыщенную голономную систему (V, R, G) с неприводимой группой G, не транзитивной на единичной сфере. Пусть 取 и V—максимальное подпространство, удовлетворяющее условию R (х, у) = 0, Vx, у ^W. Из (10.100) следует, что существуют такие подпространства W9 размерность которых больше единицы. Из свойств симметрии тензора кривизны вытекает, что g(/?) (х, у) = 0, VgwG, %, у =

三取• С помощью тождества Бьянки, условия неприводимости группы G и некоторых преобразований Саймонс доказал существование специального максимального подпространства Z (動)п n W9 которое вполне геодезично, т. е. удовлетворяет условию g(R) (х, y)z^Z(W) для х, у, z^Z(W). Подпространство Z(W) определено таким образом, что из равенства Z(W) = V следует симметричность системы. Для завершения доказательства Саймонс использовал двойную индукцию по размерностям V н G.

Четвертый шаг. Из предположения индукции и определения W следует, что алгебру Ли g можно разложить в прямую сумму 0 = J^t в/ подпространств, обладающих следующим свойством: для каждого i размерность векторного подпространства пространства д, порожденного операторами вида А (/?) (х, у) г А ед/, х, у 巨 У, меньше, чем размерность д. С учетом этой разложимости из предположения индукции и полной геодезичности Z(W) выводится, что A(R) = 0 для А 三 д〃 Отсюда следует симметричность системы {К A, G}.

Пятый шаг. Остается только воспользоваться полученным для насыщенных голономных систем алгебр а ическим результатом в применении к римановым многообразиям. Теорема Амброза ——Зингера 10.58 позволяет ассоциировать с каждой точкой р^ М насыщенную голономную систему {V = ТРМУ R(p), HW(p)}. Если предположить, что группа Но1° неприводима и не транзитивна на сфере, то, согласно 10.105, все эти системы будут симметричны. Остается доказать, что Но1(0> (р) -ин- вариантные тензоры кривизны R(p) определяют параллельное поле тензоров кривизны R. Ситуация аналогична случаю Spin (9) из 10.96. Из неопубликованной теоремы Коста на следует, что тензор кривизны R неприводимой симметрической насыщенной голономной системы определен однозначно с точностью до пропорциональности. Поэтому поле тензоров кривизны R имеет вид R = fR* где R】一параллельное поле, которое получается в результате параллельного разнесения тензоров R(p). И—— тождества Бьянки сразу следует, что функция f постоянна (и равна единице). □

Скова о редуктивном случае. Мы уже отмечали в 10.42, что классификациднная теорема 10.92 и следствие 10.41 не решают до конца проблему описания всех групп голономии, по крайней мере в том случае, если риманово многообразие редуктивно и неполно. Теперь мы можем завершить решение этой проблемы. Достаточно заметить, что группы А/ из 10.41 по построению определяют голономные системы, поэтому для них полностью справедливо доказательство Саймонса. Априори

группы Аз не обязаны быть группами голономии римановых многообразий, но, в соответствии с доказательством Саймонса, они должны содержаться в списке групп голономии симметрических пространств или в списке из 10.92. Таким образом, мы получаем следующий результат (по-видимому, не отмеченный в литературе).

Теорема. Ограниченная группа голономии Но1° произвольного (не обязательно полного) риманова многообразия как линейная группа разлагается в прямое произведение Но1° = АХ …XЛ^ линейных групп 4,…,Aki,причем каждая линейная группа At является либо группой голономии неприводимого симметрического пространства (〃з табл. 10.125— 10.127), либо группой из списка 10.92.

Приложения. Укажем некоторые приложения основной классификационной теоремы (следствие 10.92).

Первое приложение： описание параллельных дифференциальных форм. Основная идея состоит в следующем. Классификационная теорема показывает, что групп голономии римановых многообразий очень мало. Но тогда из фундамента ль- кого принципа 10.19 следует, что только для небольшого числа типов римановых многообразий (а именно для тех, для которых Но1° 声 SO (〃)) существуют нетривиальные параллельные формы. Прежде всего отметим, что можно ограничиться неприводимыми многообразиями (см. 10.108). Кроме того, мы будем предполагать, что рассматриваемые многообразия не симметричны, а значит, их группы голономии содержатся в списке 10.92. Рассмотрим каждый случай в отдельности. При этом опустим тривиальные случаи параллельных форм степени нуль (постоянные функции) и степени n=dimM (формы объема, определенные для неориентируемых многообразий лишь локально, см. 10.24).

(I): SO (л). Параллельные формы отсутствуют.

U(m) (n = 2m, т^ 2). Относительно группы U(m)cz и0(2/и) инвариантны только стандартная 2-форма и ее степени. Таким образом, параллельные формы на соответствующем многообразии (М, g) исчерпываются степенями кэлеровой формы 1).

(Ill): SU(т) (п = 2аи, ап》2). Относительно группы SU(m)cz О(2т) инвариантны (кроме степеней 2-формы) только комплексная форма объема (см. 10.28) и сопряженная к ней форма. Таким образом, параллельные формы на специальном кэлеровом многообразии с Hol0 = SU(ап) исчерпываются степе-

Здесь и далее инвариантные и параллельные формы перечисляются с точностью до пропорциональности. — Прим, перев.

27 А. Бессе, т. 2

нями кэлеровой формы, комплексной формой объема и сопряженной к ней формой.

(IV): Sp (1) Sp (m)(九=4/n,机 > 2). Нетрудно проверить, что все внешние формы, инвариантные относительно группы Sp(l)Sp(m)cz О(4/п), исчерпываются степенями 4-формы 6 из 10.32. Это можно доказать либо алгебраически, либо с помощью следующего приема. Согласно 10.68, параллельные формы гармоничны и определяют классы когомологий. Но числа Бетти многообразия НР^ известны и равны единице в размерностях 4, 8, ..., 4m и нулю в остальных размерностях. Поэтому все гармонические (а значит, и параллельные) формы исчерпываются формами вида Gkf k — 1, ... t т. Таким образом, параллельные формы на многообразии с группой голономии Sp(l)Sp(/n) исчерпываются степенями формы 6.

(V): Sp(m) (и = 4m, /и >2). Вероятно, все формы на R4m, инвариантные относительно группы Sp(m)cz О (4/и), исчерпываются формами, которые порождаются тремя стандартными 2-формами Е, n, & описанными в 10.32. Мы уверены, что это простое утверждение верно 】)• Если вернуться к римановым многообразиям, оно означает, что внешняя алгебра параллельных форм на гиперкэлеровом многообразии с группой голономии Sp(m) порождается тремя кэлеровыми формами.

(VI): Spin (9). Поскольку существуют только два римановых многообразия с такой группой голономии (см. 10.96 (VI)), этот случай не очень интересен. Отметим лишь, что относительно группы Spin(9)u 0(16) инвариантна только одна 8-форма. Это следует, например, из того, что единственным ненулевым числом Бетти 6/, 0 之 IV 16, многообразия СаР? является число 仇=1.

(VII) и (VIII): Spin (7) и бг. Относительно группы Spin (7) cz и О (8) инвариантна только одна форма, которая имеет степень четыре, а относительно группы G? инвариантна только одна 3-форма н двойственная к ней 4-форма (см., например, [Bon 1]). На этих результатах основан подход Р. Брайанта (см. [Вгу 1, 2]).

Следствие. Пусть (М, g) — полное локально неприводимое риманово многообразие^ обладающее ненулевой неразложимой параллельной формой а. Тогда (TH, g) есть либо локально симметрическое пространство, либо кэлерово многообразие, либо кватернионно-кэлерово многообразие, либо многообразие с группой голономии G2 или Spin (7).

Оно доказано, например, в работе Фуками [Fukami Т. Invariant tensors under the real representation of symplectic groups and their applications. Toh. Math. J„ 1958, 10, № 1, 81—90]. — Прим, перев.

Это следствие немедленно вытекает из предыдущих рассуждений, замечания 10.22 и результатов 10.96, относящихся к группе Spin (9). Учитывая 10.29, 31, 32, 64, 65, можно заметить, что в любом случае мы получаем многообразие Эйнштейна. Таким образом, мы доказали еще более удивительное утверждение.

Следствие. Пусть риманово локально неприводимое многообразие (М, g) обладает ненулевой неразложимой параллельной формой а. Если многообразие кэлерово, предположим дополнительно, что форма а не пропорциональна никакой степени кэлеровой формы. Тогда (М g) есть многообразие Эйнштейна.

Это следствие недавно получило ряд применений (см., например, [Mic] и [КоЬ]).

Неодносвязный случай

Из 10.15 следует, что Hol(g)u Norm(Hol°(g)), где Norm обозначает нормализатор в группе О (л) соответствующей подгруппы группы SO(n). Сначала опишем (независимо от геометрических приложений) нормализаторы различных групп Но1°. Прежде всего с помощью 10.43 опишем нормализатор в группе О (и), м = "о + 〃т + .… + Ий, ее подгруппы 4i X 力2 X •・♦ .•.义厶々，сохраняющей прямое ортогональное разложение R"= = То㊉ Ti ㊉ ... Ф Tkf где группа Ai тривиально действует на подпространствах Т/, j 子 i, и неприводимо действует на подпространстве Ti как подгруппа группы О(/г», nz = dim Тг. Справедлива следующая простая лемма.

Лемма. Фактор-группа

Norm (А〕X …X 4)/Normo(%)(Id) X Normo«)(4) X …

... XNormo(/)(4) конечна.

Опишем теперь нормализаторы групп из следствия 10.92 и укажем свойства групп голономии симметрических пространств (совпадающих, согласно 10.79, с группами изотропии).

Предложение. Для неприводимого симметрического пространства фактор-группа Norm(Hol°) /Но1° нормализатора Norm(Hol°) группы голономии Но1° по группе Но1° конечна.

Нормализаторы восьмерки специальных групп голономии имеют следующий вид:

(I): Norm SO (и) = О (и);

(II): Norm U (m) = U (т);

(III): Norm SU (/n) = U (m);

(IV): Norm (Sp (1) Sp (机))=Sp (1) Sp (机)；

(V): Norm (Sp (m)) = Sp (1) Sp (/n);

(VI): Norm (Spin (9)) = Spin (9);

(VII): Norm (Spin (7)) = Spin (7);

(VIII): NormG2 = G2.

Утверждение о симметрических пространствах доказано в [Wol 5], с. 540. Нормализаторы «восьмерки» находятся элементарно (см. [Вег 1], с. 326—327).

Вернемся к вопросу, поставленному в 10.13: будет ли группа голономии компактного многообразия компактной^

Окончательный ответ на этот вопрос пока неизвестен. Однако мы сейчас увидим, что в большинстве случаев ответ будет положительным. К сожалению, в доказательстве используется ряд глубоких результатов: классификационная теорема, несколько более простая теорема о разложении и, наконец, теорема Чигера — Громола о разложимости риччи-плоских некомпактных многообразий. Хотелось бы получить более прямое доказательство.

Отметим, что поскольку группа Но1° всегда компактна (10.51), многообразие всегда можно заменить его конечнолистным накрытием. Лемма 10.113 и предложение 10.114 показывают, что некомпактная группа голономии Hol cz Norm (Hol0) может появиться только в том случае, если один из неприводимых сомножителей разложения де Рама имеет ограниченную группу голономии /2uO(〃o), и ^ 2, SU(机)или Sp(m). Это уже кое-что. Согласно 10.26 и 10.31, многообразия с группой голономии SU(m) или Sp(m) имеют нулевую кривизну Риччи. Из теоремы де Рама о разложении следует, что универсальная накрывающая компактного многообразия (М, g) допускает разложение ^=R%XN°XNi, где Nq — риманово произведение неплоских неприводимых сомножителей разложения де Рама с группами голономии вида SU(tn) и Sp(m)f а ^1 ~ риманово произведение остальных неплоских сомножителей. Из глубокой теоремы Чигера ——Громола ([Ch-Gr 2] н 6.65) следует, что многообразие N。компактно. Если М = Rn°, то многообразие М локально плоско. Но по теореме Бибербаха группа голономии компактного локально плоского многообразия конечна (см. 10.25). Неприятности могут возникнуть лишь в том случае, если п0 > 1, многообразие N\ некомпактно, а многообразие М получается из ЛГ= R"° X TV。X Ni факторизацией по дискретной

группе движений Н, которая косо вложена в прямое произведение /(R"°) X / (^o) X / (Ni) групп движений сомножителей (в этом случае непонятно, компактна ли группа Hol). Переходя к конечнолистному накрытию, можно считать, что проекция Н на сомножитель /(No) тривиальна. В частности, мы доказали следующее утверждение.

Теорема (Чигер, Громол, [Ch-Gr 2]). Пусть (Mg)— компактное риманово многообразие,。应=R'° X N — разложение его универсальной накрывающей в произведение евклидова сомножителя и многообразия N, не имеющего евклидовых сомножителей. Тогда группа голономии Hol(g) компактна, если 〃о & 1 или если многообразие N компактно.

Лоренцевы многообразия

Рассмотрим теперь лоренцевы 4-многообразия, т. е. четырехмерные гладкие многообразия, снабженные полем невырожденных симметрических билинейных форм сигнатуры (-|). Как уже отмечалось в 10.3, для лоренцевых много

образий также определено понятие группы голономии. Встает задача описания групп голономии таких многообразий.

Насколько нам известно, в литературе этот вопрос рассматривается на квазифольклорном уровне, поэтому в нем довольно трудно разобраться. Поэтому мы ограничимся тем, что приведем основные факты, касающиеся группы Hol°(g) (которую будем обозначать через Н), и укажем лишь несколько полезных работ.

Основным инструментом исследования является теорема By, обобщающая теорему де Рама 10.43 о разложении. Поскольку приводимые подгруппы группы SO0(l, 3) могут не быть вполне приводимыми, нужно действовать достаточно осторожно. Рассмотрим более общий случай псевдориманова многообразия (М, g) с ограниченной группой голономии Н = =Hol°(g). Предположим, что группа Н сохраняет разложение касательного пространства в ортогональную прямую сумму подпространств

Т = То㊉Ti㊉•••㊉。

н имеет вид /7 = Яо X ^i X …Х"ь где при каждом i группа Hz действует тривиально на Г/, j =й= 2, при i>0 группа Hi действует слабо неприводимо на Л (т. е. в А нет нетривиальных Н»-инвариантных невырожденных подпространств), и % = ={1办

Теорема By ([Wu 1, 2]) утверждает, что многообразие (М, g) локально (и даже глобально, если оно полно и односвязно) изометрично прямому произведению плоского многооб- разия (Mo, go) и многообразий (Mi, gj, t ^ 1, со слабо неприводимой группой голономии. Если такое разложение нетривиально, то многообразие (М, g) называется разложимым.

Для двумерного многообразия (Mg) сигнатуры (Н) группа Н равна SOo(l, 1) или {1}. В последнем случае многообразие является плоским. Обе возможности реализуются эйнштейновыми и даже симметрическими многообразиями.

Для трехмерного многообразия (М, g) сигнатуры (-))помимо очевидных групп Н = {1} и Н = SO0(l, 2)

существуют две вполне приводимые подгруппы Н = {1} X XSO(2) и 力=SOo(l, 1)Х {1}. Кроме того, существуют две слабо неприводимые подгруппы группы SO0(l, 2), которые мы обозначим через А1 и Л2. При отождествлении SOo(l,2) = =SL(2, R)/{±1} они задаются формулами

4T(: "YR}' Л2 = {(о ；)a = R"，』}

Подгруппа Л1 группы SO0(l, 2) состоит из преобразований, оставляющих неподвижным заданный изотропный вектор, а подгруппа Л2 ——из преобразований, оставляющих неподвижной заданную изотропную прямую. Приведем примеры метрик, имеющих группы голономии И = А1 и Д2:

для Н = Д1: f (?) d%2 + 2dp dz, f > 0;

для /7 = Л2: f (?) d%2 + 2dy dz + g (?) d/, f > 0, g > 0.

Существует даже сим метрическое пространство с " = #i： пространство Коэна——Валлаха, описанное в 7.117.

Рассмотрим теперь лоренцевы 4-многообразия с метрикой g сигнатуры (Ч). Перечислим очевидные подгруппы группы SOo(L 3):

SO°(1, 3), {1}XSO(3), SO0(l, 1)XSO(2), SO(1, 2)X{1}；

SO°(1, 1)X{1}X{】}, {1}X{1}XSO(2);

川 X{1}X{1}, 々X{1}X{1}, {!}.

Можно проверить, что помимо этого для Н остается только четыре возможности: однопараметрическая подгруппа В1 группы

SOo(L l)XS0(2), которая не лежит ни в одном из сомножителей, и подгруппы В2, Ве, В4, которые при отождествлении 50о (1,3) = SL (2, .С) задаются следующим образом:

К： ：}ус}；

& = {(о \а)： aeRi, Ьек}ееС, |8|=1;

0 = {(о 1/а): аеС*, 6右斗

Группа В4 состоит из преобразований, оставляющих неподвижной фиксированную изотропную плоскость, а ее подгруппа В2 ——из преобразований, которые помимо этого оставляют неподвижным изотропный вектор этой плоскости.

Что касается существования лоренцевых (и в частности эйнштейновых и сим метр ич еских) многообразий с группами голономии В； ", Be, S4, то, по нашим сведениям, дело обстоит так. Группа В не может быть группой голономии. Это следует из теоремы By, которая показывает, что в лоренцевом случае справедлив аналог теоремы 10.38. В [Sch] и [Gb-Ke] приводятся следующие примеры эйнштейновых метрик с Н = =В2, S4:

для Н — В2: dx2 + dy2 + 2dudv +(и (х, у) dt^, Д(о = О;

для Н = ": d/ + dy2 + 2 d卫 do + 2P dx d〃 + (s — "|^ o) du2

(с некоторыми ограничениями на о и p).

В [Sch] доказано, что не существует эйнштейновых лоренцевых 4-многообразий с Н = Ве. Но, насколько нам известно, вопрос о существовании лоренцевых многообразий с Н = Bl остается открытым 】).

Вопрос о существовании симметрических лоренцевых пространств с различными группами голономии, по-видимому, остается открытым. Исключение составляет группа В2, которая является группой голономии симметрического пространства Коэна — Валлаха из 7.117.

424424К. Таблицы

424

424

Таблица 1. Восемь кандидатов в группы голономии

G с= S。向

n

dim G

Normo(n)G

Включение Hol(g)uG

Метрика

Образующие алгебры параллельных форм (кроме формы объема)

Существование многообразий

Существование нетриви- альиых компактных деформаций

локальное

полных

компактных

(I) SO (n)

n

几（冷一1）

0(")

/

/

Нет

Римановы многообразия общего положения

Да

2

（И）

。他）

2m

序

U (m)

Эквивалентно кэлеро- вости

/

Кэлерова форма

Кэлеровы многообразия общего положения

Да

(П1)

SU (m)

2m

加2 — 1

U (m)

Эквивалентно кэлеро- вости с нулевой кривизной Риччи

Риччи- плоская

Кэлерова форма, комплексная форма объема и двойственная к ней форма

Да

Да

Да

Да

(IV) Sp ⑴ Sp(m)

4加

/+

+ 50；3

Sp⑴X XSp (m)

Эквивалентно кватер- нионно-кэ- леровости

Эйнштейнова

4-форма

Да

Однородные пространства, найденные Алексеевским

Да, но известны только симметрические пространства

?

sX)

4m

机 2 + 2/П

Sp⑴X XSp (m)

Эквивалентно гиперкэ- леровости

Риччи- плоская

Три кэлеровых 2-формы

Да

Да

Да

Да

гл・ 10・ ГРУППЕ зьояогяя

•—*

(VI) Spin (9)

16

36

Spin (9)

?

Эйнштейнова

Одна 8-форма

Многообразия необходимо локально изометричные СаР” илн двойственному к нему пространству

Нет

(VII)

Spin (7)

8

21

Spin (7)

?

Риччи- плоская

Одна 4-форма

Да

~ ?

?

?

(VIII) G2

7

14

G2

?

Риччи- плоская

Одна 3-форма

Да

?

?

10Л25, Таблица 2・ Неприводимые симметрические пространства типа I

К Таблнин

Тип по Хелга- сону

G

н

dim G/H

Ранг

Представление изотропии1)

Кэлерово или нет

Геометрическая реализация

AI

SU®

so®

(n-l)X xm+2)

2

n — 1

/\°so S)冬 ® APSO (n), (2, если n нечетно, p一13, если n четно

Нет

Множество подпространств RP厶-1 в QPn~x илн множество вещественных структур в Сп, сохраняющих комплексный определитель

АП

SU(2/2)

SpS)

(H-DX X(2 叶 1)

n — 1

△" Sp (n)

Нет

Множество кватернионных структур в С叫 согласованных с эрмитовой структурой, илн множество согласованных с метрикой расслоений $3 _> ср2“т •> НР"Т

426

гл・ 10・ Группы голономнк

Тип по Хелга- сону

G

Я

dim GIH

Ранг

Представление изот ропии1)

Кэлерово или нет

Геометрическая реализация

АШ

SU (р + q)

S (U (P) X X。(q)) p《q)

2Pq

min(p, q)

S(U(P)<^U(q))

Да

Грассманнан комплексных р・ подпространств в С°+° (в。 частности, СР。прн p = i)& нлн множество плоскостей} сррт в cpp+q—] "

BDI

SO (p + q)

SO (p) x X SO S)

pq

min (p, q)

SO (p) ® SO (q)

Да, если р = 2 нлн q = 2, нет, если р =# 2, 件2

Грассманнан вещественных р-подпространств в 曰+‘ (в частности, RP° прн р = 1) нлн множество плоскостей Rpl в RpP+qT

Dili

SO (2n)

US)

n (n — 1)

圉

八七⑺

Да

Множество комплексных структур в r2「согласованных с евклидовой структурой, нлн множество согласованных с метрикой расслое- НИЙ §1 — Rp2〃T _ СР“Т

CI

Sp (n)

US)

n (n + 1)

U⑺妙и (п)

Да

Множество плоскостей СР“Т в НР"Т нлн множество комплексных структур в 1Hzi

СП

sp (p, q)

sp (p) X X Sp (q) p《q

4Pq

min (p, q)

Sp (р) ® Sp (g)

Нет

Грассманнан кватернионных р-подпространств в 研+° (в частности, НР° прн р= 1) нли множество плоскостей 1НрР-1 в нрр+дт

Продолжение табл. 10.125

К Таблицы

EI

&

Sp(4)

42

6

△*p⑷

Нет

Множество антицепей в (С® 8 Са) Р?

ЕП

®

SU⑹X xsu⑵

40

4

N SU⑹®su⑵

Нет

Множество плоскостей (С ® ®IH)Ps в (С@Са)р2

EIII

&

S。(10) X X so (2)

32

2

Spin (10) SO (2)

Да

Эллиптическая проективная плоскость Розенфельда (С® ® Са) Р?

EIV

&

F4

26

2

F«

Нет

Множество плоскостей СаР” в (С ❷ Са)Р2

EV

日

SU(8)

70

7

八's。(8)

Нет

Множество антицепей в (Н @ ® Са) Р2

EVI

曰

SO (12) X X SU (2)

64

4

Spin (12) g SU ⑵

Нет

Эллиптическая проективная плоскость Розенфельда (И®

® Са) Р2

EVI1

呂

&XSO ⑵

54

3

E60SO ⑵

Да

Множество плоскостей (С 0 ® Са) Р2 в (Н ® Са) Р?

EVIH

国

SO (16)

128

8

Spin (16)

Нет

Эллиптическая проективная плоскость Розенфельда (Са® ®Са) Р2 2j

EIX

&

bXSU ⑵

112

4

/\‘E7®su ⑵

Нет

Множество плоскостей (Н ® ® Са) Р2 в (Са ® Са) Р?

FI

尸4

Sp⑶x

X SU (2)

28

4

^Sp^SU (2)

Нет

Множество плоскостей HP' в СаР2

Тип по] Хелга- сону

G

н

dim GIH

Ранг

Представление изотропии1)

Кэлерово или нет

Геометрическая реализация

FII

&

S。(9)

16

1

Spin (9)

Нет

Эллиптическая проективная плоскость Кэли СаР?

GI

g2

St/(2)X

X St/ (2)

8

2

^SU (2)®st7 ⑵

Нет

Множество кватернионных подалгебр в Са

Продолжение табл. 10.125

I) Здесь А (соответственно ®) означает внешнее (соответственно тензорное) произведение представлений, а Д (соответственно ®)— старшую неприводимую компоненту произведения.——

По-видимому, в настоящее время отсутствует хорошее алгебраическое определение этой проективной плоскости над Са ® Са (см, [Fre] и [Ros]).

428

10.126. Таблица 3. Неприводимые симметрические пространства типа III

Тип по Хелга- соиу

G

dim G/〃

Ранг

Представление изотропии1)

Кэлерово нли нет

Геометрическая реализация

AI

SL (n, R)

SO (п)

(n-l)X Xd + 2)

2

П — I

ДР so 伺 冬 A" s° («) p = 2, если n нечетно; p = 3, если n четно

Нет

Множество евклидовых структур в R" или множество плоскостей RP編 в СР組

АП

SU* (2%)= =SL (п, Ш)

Sp (n)

(n — 1)X X(2"+l)

n — 1

△" Sp (n)

Нет

Множество плоскостей НР%/； в СР篇

гл・ 10・ rpylHIsгоь-ономни

К Таблицы

АШ

SU (р, <7)

S(U(P)X X и (g)) p《q

2Pq

min (p, q)

s (U (P) ® U (G)

Да

Грассмаииан положительно определенных подпространств СР в С。" нли множество плоскостей СР統｝ вСР*^* (в частности, комплексное гиперболическое пространство СР%р при р= 1)

BDI

so。(р, q)

SO (p) x X so (g) p<q

pq

min (p,q)

SO (p) ® SO (q)

Да, если "=2 или 5 = 2, нет, если р * 2, 卄2

Грассмаииан положительно определенных подпространств RP в RP" или множество плоскостей RP統;в RP統"〔 (в частности, вещественное гиперболическое пространство RP£gp, обозначаемое в 1.37 через Hq, прн р=1)

Dili

SO* (2力= =SO (n, IH)

ug

孔 m — 1)

l«/2]

/\'u ⑺

Да

Множество кватернионных квадратичных форм в Р нли множество плоскостей СР隔; в hyp

CI

Sp (ft, R)

U(〃)

忍 m +1)

n

U(n)^U (〃)

Да

Множество лагранжевых подпространств в R?" или множество плоскостей СР^р в м%р

430

Тип по Хелга- сону

G

я

dim G/H

Ранг

Представление изотропии 1)

Кэлерово или нет

Геометрическая реализация

СП

Sp (р, q)

Sp (р) X X Sp (q) p&q

4Pq

min (p, q)

Sp (p) ® Sp (q)

Нет

Грассманиан положительно определенных подпространств Н" в Н" ° илн множество плоскостей HPg^ в Н^^+4 (в частности, кватернионное гиперболическое пространство НР%” прн " = 1)

EI

Е?

Sp(4)

42

6

…Asp⑷

Нет

Множество антицепей в (С ® ®Са)Р 結

ЕП

婦

SU⑹x xsu⑵

40

4

A 3 SU ⑹®SU⑵

Нет

Множество плоскостей (С ® ®М)户統 в (С®Са)Р%

ЕШ

В”

SO (10) x X s。(2)

32

2

Spin (10)-SO (2)

Да

Гнперболическая проективная плоскость Розенфельда (С ® ®Са)Р 小

EIV

Е/6

尸4

26

2

尸4

Нет

Множество плоскостей Са Р^ур в (С ® Са) Plyp

EV

El

SU (8)

70

7

A4 St/(8)

Нет

Множество антицепей в (Н ® ®Са)Р 統

1

Продолжение табл. 10.126

гл・5・ Группы голономнн

К Таблшхы

EVI

Е/

SO (12) х xsu⑵

64

4

Spin (12)③ SU ⑵

Нет

Гиперболическая проективная плоскость Розенфельда (Н ® ® Са) Р統

EVII

与辛

Ее X SO ⑵

54

3

EeSO (2)

Да

Множество плоскостей (С® ® Са) Р統 в (И® Са)户猛

EVIII

理

SO (16)

128

8

Spin (16)

Нет

Гиперболическая проективная плоскость Розенфельда (Са® ®Са)Р “)

EIX

Ej

E7XSU ⑵

112

4

A2E7®St/(2)

Нет

Множество плоскостей (Hg ® Са)端р в (Са ® Са) Р統

FI

普

Sp⑶X

X SU (2)

28

4

_A3 sp ⑶® su ⑵

Нет

Множество плоскостей ^Phyp в Са Р 統

FII

尸「20

SO (9)

16

1

Spin (9)

Нет

Гиперболическая проективная плоскость Кэли Са Р統

GI

su⑵x

X SU (2)

8

2

③3 SU (2) g SU (2)

Нет

Множество кватернионных подалгебр без деления алгебры Кэли без деления

I) Здесь Д (соответственно ®) означает внешнее (соответственно тензорное) произведение представлений, а Д (соответственно ®)— старшую неприводимую компоненту соответствующего произведения.

2) По-видимому, в настоящее время отсутствует хорошее алгебраическое определение этой проективной плоскости над Са ® Са (см. [Frei и [RosJ).

10.127. Таблица 4. Неприводимые симметрические пространства типов II и IV

Тип II: M=G

Тип IV: G

dim G

rank G

SU 5 + 1)

SL (n + 1, C)

n (n + 2)

n

SO (2n + 1)

SO (2n + 1, C)

n (2也 + 1)

n

Sp⑺

Sp (小 C)

n (2n + 1)

n

SO (2n)

SO(2”，C)

n (2n — 1)

n

&

磋

78

6

/

功

133

7

%

壻

248

8

f4

巧

52

4

G2

14

2

Глава 11

Метрики Кэлера——Эйнштейнаи гипотеза Калаби

Среди известных нам многообразий Эйнштейна немало

кэлеровых. Например, все известные компактные многообразия Эйнштейна неположительной скалярной кривизны либо кэле- ровн, либо локально однородны. На комплексных многообразиях часто удается построить метрики Кэлера ——Эйнштейна с помощью специальных комплексных методов. Причина, возможно, состоит в том, что на многообразии с заданной ком- плексной структурой тензор Риччи зависит от кэлеровой метрики довольно слабо: тензор Риччи, или, точнее, форма Риччи, зависит только от формы объема. С другой стороны, класс когомологий формы Риччи на компактном многообразии определяется комплексной структурой (в частности, знак скалярной кривизны метрики Кэлера — Эйнштейна определяется комплексной структурой). Благодаря этому в контексте кэлеровой геометрии оказывается возможным доказать теорему существования метрик Эйнштейна, которая не имеет аналога в обычной римановой геометрии.

В § А мы рассматриваем фундаментальное условие на когомологии компактного комплексного многообразия, необходимое для того, чтобы многообразие допускало метрику Кэлера — Эйнштейна. В случае нулевой и отрицательной кривизны Риччи оно оказывается и достаточным. Это вытекает из теорем существования, сформулированных в § В, где также описаны их основные приложения. В частности, там показано, как с помощью уравнений Эйнштейна можно получить результаты, на первый взгляд никак не связанные с этими уравнениями. В § С кратко излагается схема доказательства теорем существования (недостаток места не позволяет полностью привести доказательство, использующее сложный аппарат анализа).

Это доказательство не проходит в случае положительной кривизны Риччи. В этом случае появляется ряд дополнительных препятствий к существованию метрики Кэлера ——Эйнштейна, которые обсуждаются в § D. Отметим, что все известные препятствия связаны с голоморфными векторными полями. Е. Калаби и А. Лихнерович предложили рассматривать более слабое

28 А. Бессе, т. 2

свойство кэлеровых метрик: так называемую «экстремальность». Э. Калаби показал, что существуют компактные комплексные многообразия, не допускающие метрик Кэлера — Эйнштейна, но допускающие экстремальные метрики. Эти вопросы обсуждаются в § Е.

А. Метрики Кэлера — Эйнштейна

В этой главе буква М всюду обозначает комплексное многообразие (т. е. многообразие, снабженное фиксированной комплексной структурой) комплексной размерности т.

Кэл еров а метрика на комплексном многообразии называется метрикой Кэлера — Эйнштейна, если она эйнштейнова как риманова метрика. Это равносильно тому, что ее форма Риччи р пропорциональна кэлеровой форме(о:

(11.2) р = Мо,

или, другими словами, что кэлерова форма(о является собственным вектором кэлерова оператора кривизны с собственным значением А = s/2m.

Замечание. В кэлеровом случае можно дать простое доказательство теоремы 1.97: поскольку формы ри© замкнуты, из условия р = As сразу следует, что функция 九 постоянна, если иг》2.

Определение. Класс когомологий из H2{Mt R) называется положительным (соответственно отрицательным), если его можно представить вещественной положительной (соответственно отрицательной) 2-формой типа (1, 1), см. 2.26.

Легко убедиться, что эти два случая взаимно исключают друг друга: класс когомологий не может быть одновременно положительным и отрицательным. При этом знак класса когомологий (если он определен) зависит только от комплексной структуры.

Предложение. Знак (постоянной) скалярной кривизны s любой метрики Кэлера — Эйнштейна на данном компактном комплексном многообразии М (если такая метрика существует) определяется комплексной структурой. При этом значение s определяется соотношением

u-产=里绊二咽

аОе с/ — число Чженя, ассоциированное с т-й степенью первого класса Чженя ci многообразия М (и зависящее только от комплексной структуры), a R ——полный объем многообразия М.

Доказательство. Согласно предложению 2.75, форма Риччи любой кэлеровой метрики на М представляет (с точностью до положительного множителя) первый класс Чженя q многообразия М. Поэтому первое утверждение следует из 11.4. Но тогда соотношение (11.5) непосредственно вытекает из (11.2). □

Замечание. Полный объем V данной кэлеровой метрики зависит только от класса когомологий [о] ее кэлеровой формы со, следовательно, то же самое относится и к константе Эйнштейна 九=喘「За счет масштабного изменения метрики эту константу можно сделать равной —I, 0 или I, причем конкретное значение зависит только от комплексной структуры.

Замечание. Как мы только что убедились, необходимым условием того, чтобы данное компактное комплексное многообразие допускало метрику Кэлера — Эйнштейна, является наличие знака (отрицательного, нулевого или положительного) у его первого класса Чженя с】. Отсюда следует, что компактное комплексное многообразие «общего положения» не допускает метрики Кэлера — Эйнштейна.

Совершенно не очевидно, будет ли это необходимое условие достаточным. Значительная часть главы посвящена рассмотрению этого вопроса. Оказывается, что ответ будет положительным в случае отрицательной и нулевой кривизны Риччи и отрицательным в случае положительной кривизны Риччи.

Подобно тому как простейшими многообразиями Эйнштейна являются римановы многообразия постоянной секционной кривизны, простейшими многообразиями Кэлера — Эйнштейна являются кэлеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны, т. е. компактные фактор-пространства открытого единичного диска 0m в ；Ст, снабженного метрикой Бергмана, в случае отрицательной кривизны, фактор-простран- ства плоского комплексного тора Tm =(С严/] в случае нулевой кривизны и комплексное проективное пространство СР^ с метрикой Фубини ——Штуди в случае положительной кривизны (см. § D гл. 2).

Как уже отмечалось в гл. 8, любое компактное односвязное однородное кэлерово многообразие допускает метрику Кэлера ——Эйнштейна положительной скалярной кривизны (см.

8,95). Этим исчерпываются все известные примеры метрик Кэлера —Эйнштейна положительной скалярной кривизны.

Найти первый класс Чженя данного комплексного многообразия и проверить, имеет ли он знак, может оказаться непросто. Однако иногда это можно сделать непосредственно с помощью стандартного аппарата комплексной геометрии: например, в случае, когда М есть гладкая комплексная гиперповерхность комплексного проективного пространства 'СР', т. е. множество нулей однородного (комплексного) полинома фиксированной степени d. В этом случае

Q(M) = (N+l-d)A,

где Л ——ограничение на М (положительной) образующей группы H2(CPN, Z). Отсюда видно, что класс С\ (М) всегда имеет знак: положительный, если d W 后,нуль, если d=N+L и отрицательный, если d> N.

Теоремы Калаби — Яу и Обина — Яу (11.15 и 11.17) показывают, что любая гиперповерхность степени d > N допускает метрику Кэлера — Эйнштейна. Однако эта метрика никогда не будет индуцированной метрикой (см. [Ko-No 2], замечание 26, или [Smy]). Вообще, з (而)можно найти в явном виде, если М есть пересечение нескольких комплексных гиперповерхностей общего положения в СР* (см. [Hir], приложение 1). Формула (11.10) остается справедливой, если под d понимать сумму степеней комплексных гиперповерхностей.

Согласно знаменитой теореме К. Кодаиры, компактное комплексное многообразие М с положительным или отрицательным первым классом Чженя является проективно алгебраическим, т. е. голоморфно вкладывается в комплексное проективное пространство lCP"・ Точнее говоря, некоторая r-я степень канонического линейного расслоения К (см. 2.95) в отрицательном случае или антиканонического линейного расслоения К* в положительном случае очень обильна： каноническое отображение, сопоставляющее каждой точке р^ М гиперплоскость голоморфных сечений расслоения Кг или (К*)', обращающихся в этой точке в нуль, является голоморфным вложением многообразия М в двойственное проективное пространство, ассоциированное с пространством голоморфных сечений расслоения (К*)' или К「.

Поскольку каноническое линейное расслоение и двойственное расслоение являются комплексными инвариантами, группа 霞(М) комплексных автоморфизмов многообразия М отождествляется с подгруппой группы комплексных автоморфизмов соответствующего пространства, сохраняющих подмногообразие

М. Отсюда видно, что 叫М) есть алгебраическая группа и имеет конечное число связных компонент (см. 2.138).

Хотя комплексные многообразия, первый класс Чженя которых не имеет знака, можно рассматривать как многообразия общего положения, привести примеры таких многообразий, отличных от произведений, непросто.

Для комплексной поверхности М (щ = 2) существует простой критерий: если класс Ci(Af) положителен, отрицателен или равен нулю, то число Чженя с；(М) неотрицателъно.

Для построения комплексной поверхности с с； (М) < 0 воспользуемся стандартной операцией комплексной геометрии: раздутием точки комплексного многообразия Му т. е. заменой точки р^М множеством комплексных касательных направлений в этой точке (без изменения других точек М). При этом получается новое комплексное многообразие Л? и его голоморфное отображение на Л4, биголоморфное над М— ｛卩｝ и имеющее в точке р слой【СРтт (см., например, [Bes 2], доклад VI, § 5, и указанную там литературу). Слой в точке р называется особым дивизором раздутия.

Для комплексной поверхности М особый дивизор определяет по двойственности Пуанкаре элемент е^ Н2(7Й, Z), квадрат которого отождествляется с числом —1. Легко видеть, что класс Чженя ci(JQ) равен Ci(Af)—е, а число Чженя с；(后)равно с2(М)—1 (см. [Bes 2]).

Таким образом, операция раздутия уменьшает число Чженя с；・ Поэтому, исходя из комплексной проективной плоскости СР] для которой с； = 9, и раздувая ее не меньше чем в девяти точках, мы получаем комплексную поверхность с индефинитным классом Чженя.

Можно показать (см. [Hit 3], [Yau 4]), что комплексные поверхности £，, получающиеся из QP2 раздутием г различных точек О W 尸 W 8, имеют положительный первый класс Чженя, если точки находятся в общем положении. Это означает, что никакие три из них не лежат на одной прямой, никакие шесть не лежат на одной конике, а если г = 8, то все они являются простыми точками любой кубической кривой, проходящей через все восемь точек.

Многообразия £? исчерпывают все (компактные) комплексные поверхности с положительным первым классом Чженя (не считая СР? и CPiXCPi). Поэтому только на этих комплексных поверхностях возможно существование метрики Кэлера — Эйнштейна положительной скалярной кривизны. При этом

известно, что поверхности Sb £2, £3 не допускают такой метрики, поскольку их связная группа комплексных автоморфизмов не редуктивна (см. 11.54).

Вопрос о существовании метрик Кэлера — Эйнштейна на поверхностях Sr, 4 < г W 8, остается открытым 】).

Замечание. При 1 ^ г ^ 6 многообразия Sr называются поверхностями Дель Пеццо степени 9 ——г (см. [Веа 1], с. 60). Среди них содержался лишь два семейства поверхностей, которые реализуются как полные пересечения (см. 11.10) в комплексном проективном пространстве: поверхности 厶，которые являются комплексными гиперповерхностями третьей степени в СР3, и поверхности S5, которые являются пересечениями двух квадрик (комплексных гиперповерхностей второй степени) в СР& Напомним, что СР〔又 СР】 реализуется как квадрика в С№

В. Доказательство гипотезы Калаби и ее следствия

Согласно 2.75, форма Риччи любой кэлеровой метрики на компактном комплексном многообразии М принадлежит фиксированному вещественному классу когомологий, а именно классу 2лС1 (М). Обратно, справедлива следующая фундаментальная теорема.

Теорема. (Э. Калаби, [Cal 2], С. Т. Яу, [Yau 3]). Пусть М ——компактное кэлерово многообразие с кэлеровой формой со, а С](М)—вещественный первый класс Чженя многообразия AL Тогда любая замкнутая вещественная 2-форма типа (1, 1), принадлежащая классу 2mci(M), является формой Риччи единственной кэлеровой метрики, кэлерова форма которой когомологична форме со.

Из этой теоремы немедленно вытекают следующие фундаментальные результаты (напомним, что комплексное многообразие называется кэлеровым, если оно допускает кэлерову метрику)・

Компактнее кэлеровы многообразия с нулевым первым классом Чженя есть в точности компактные комплексные многообразия, допускающие кэлерову метрику с нулевой формой Риччи (т. е. метрику, ограниченная группа голономии которой содержится в специальной унитарной группе, см. 10.29).

I) Положительный ответ на этот вопрос при некоторых слабых дополнительных предположениях получен в работе [Tian G., Yau S. Т. On the Ricci curvature of a compact Kahler manifold and the complex Monge — Ampere equation. — Commun. Math. Phys., 1987, 112. 175—203].—Прим, перев.

Компактные комплексные многообразия с положительным (отрицательным) первым классом Чженя есть s точности компактные комплексные многообразия, допускающие кэлерову метрику с положит ел ьной (отрицательной) формой Риччи.

Частичный ответ на вопрос, поставленный в 11.7, дает следующая теорема.

Теорема (Т. Обин, [Aub 5], С. Т. Яу, [Yau 3]). Любое компактное комплексное многообразие с отрицательным первым классом Чженя допускает метрику Кэлера ——Эйнштейна (отрицательной скалярной кривизны}. Эта метрика единственна с точностью до гомотетии.

Замечание. Из 2.138, 11.11 и 11.16 (ii) следует, что группа автоморфизмов 旣(М) компактного комплексного многообразия М с отрицательным первым классом Чженя конечна (более элементарное доказательство, не использующее теорему 11.15, см. в [Lie 1], § 13).

Более того, из утверждения теоремы 11.17 о единственности вытекает, что любое преобразование из 51 (М) представляет собой изометрию метрики Кэлера — Эйнштейна.

Как мы уже видели в 11.13, аналог теоремы 11.17 для случая положительного первого класса Чженя неверен. Причиной оказывается возможность существования нетривиальной алгебры Ли 4(Л1) инфинитезимальных голоморфных преобразований. По крайней мере, все известные сейчас препятствия к существованию (не говоря уже о единственности) метрик Кэлера — Эйнштейна на компактном комплексном многообразии с положительным первым классом Чженя связаны с алгеброй Ли §1(М) (подробное описание этих препятствий см. в § D). Все эти препятствия исчезают при 81(М) = 0, н в этом случае о существовании метрики Кэлера ——Эйнштейна ничего не известно 9-

Теоремы 11.15 и 11.17 обычно называют теоремами Калаби ——Яу и Обина—Калаби — Яу (см. теоремы I и II в [Ast]).

Фигурирующие в них метрики Кэлера — Эйнштейна (определенные в каждом кэлеровом клессе однозначно с точностью до гомотетии) называются метриками Калаби — Яу, если первый класс Чженя многообразия М равен нулю, и метриками Обина — Калаби — Яд, если первый класс Чженя отрицателен. В последнем случае метрика обычно нормируется так, чтобы ее скалярная кривизна была равна —2, а константа Эйнштейна

Существуют и другие препятствия. Например, касательное расслоение многообразия Кэлера——Эйнштейна должно быть стабильным или приводимым (см. работу, указанную в примечании к 11.13). — Прим, перев.

была равна ——1 (см. 11.6). Такая метрика определена однозначно и называется метрикой Обина — Калаби — Яу комплексного многообразия.

В § С приводится набросок доказательства этих теорем (по книге [Ast]). Оставшаяся часть § В содержит краткий обзор важных геометрических приложений теорем 11.15 и 11.17.

Калаби воспользовался теоремой 11.15 (еще не полностью доказанной) для описания кэлеровых компактных комплексных многообразий с нулевым первым классом Чженя. При этом он использовал естественное отображение комплексного многообразия в его тор Альбанезе (см. [Cal 2]).

Появление знаменитой теоремы Дж. Чигера и Д. Громола о расщеплении для римановых многообразий неотрицательной кривизны Риччи (см. 6.66(e)) и полного доказательства Яу теоремы 11.15 позволило дать простое доказательство следующей теоремы.

Теорема. Пусть М — компактное кэлерово многообразие с нулевым вещественным первым классом Чженя. Тогда М допускает конечнолистное голоморфное накрытие, которое является произведением комплексного тора и односвязного компактного кэлерова многообразия с нулевым вещественным первым классом Чженя.

Набросок доказательства (подробности см. в [Веа 2]). По теореме 11.15 многообразие М, а значит, и его универсальная накрывающая, допускают риччи-плоскую кэлерову метрику. Из теоремы Чигера—Громола вытекает, что разложение де Рама кэлерова многообразия М определяет разложение М в риманово произведение плоского комплексного евклидова пространства и компактного односвязного риччи-плоского кэлерова многообразия. Теперь утверждение теоремы следует из конечности группы изометрий компактного риччи-плоского многообразия (см. 1.84). □

Замечание. Согласно 2.139, связная группа комплексных автоморфизмов компактного кэлерова многообразия М с нулевым вещественным первым классом Чженя представляет собой комплексный тор, вещественная размерность которого равна первому числу Бетти 力i многообразия М. Эта группа совпадает с группой связных изометрий любой метрики Калаби —— Яу на М. Отметим, что размерность комплексного тора из теоремы 11.21 не меньше, чем 仇.

Теорема 11.21 позволяет при изучении компактных кэлеровых многообразий с нулевым первым классом Чженя ограничиться односвязными многообразиями. В свою очередь эти односвязные многообразия, снабженные произвольной метрикой

Калаби — Яу, разлагаются в произведения неприводимых компактных односвязных кэлеровых многообразий с группами голономии SU(m> и Sp (mj/2)\ где пи, т^ — комплексные размерности соответствующих сомножителей (см. теоремы 10.43 и 10.92).

Отметим, что эти многообразия не могут быть симметрическими, поскольку первый класс Чженя односвязного компактного однородного кэлерова многообразия положителен (см. гл. 8).

Указанное разложение не зависит от выбора метрики Ка- лаби — Яу на М в следующем смысле: комплексное многообразие М можно разложить в произведение М\ X • •・ ХМ/г компактных односвязных комплексных многообразий Mt (комплексной размерности /л。таким образом, что для любой риччи-пло- ской кэлеровой метрики g на М существуют такие риччи-пло- ские кэлеровы метрики g( на сомножителях Mi с группами голономии SU (mi) или Sp(/nj/2), что многообразие (Mg) разлагается в риманово произведение многообразий (M,gJ. Это утверждение является простым следствием теоремы 11.15 (см. [Веа5],§5).

Более того, можно показать, что существование на данном компактном комплексном многообразии кэлеровой метрики с группой голономии SU(т) или Sp(/n/2) зависит только от его комплексной структуры. При т>2 эти два случая взаимно исключают друг друга (см. [Веа 2], § 3, 4). Все примеры комплексных компактных односвязных многообразий с нулевым первым классом Чженя, которые приводятся в этой главе (в частности, в 11.10), относятся к первому случаю (т. е. допускают метрику с группой голономии SU(т)). Примеры многообразий второго типа, так называемых гиперкэлеровых или сим- плектических кэлеровых многообразий, для m > 2 построены лишь недавно (см. гл. 14).

Если комплексное многообразие М имеет положительный первый класс Чженя, то мы ничего не можем сказать о группе §1(М) (за исключением случая, когда М допускает метрику Кэлера — Эйнштейна или хотя бы кэлерову метрику постоянной (положительной) скалярной кривизны). Однако справедлива следующая лемма.

Лемма (С. Бохнер). Компактное комплексное многообразие с положительным первым классом Чженя не допускает нетривиальных голоморфных р-форм.

Доказательство. Выберем кэлерову метрику с положительной формой Риччи 1) и рассмотрим общую формулу Бохнера, рас-

】)Существование такой метрики следует из теоремы Кодаиры 11.11 и теоремы Калаби—Яу 11.15. — Прим, перев.

пространенную по С-линейности на комплексные р-формы. Заметим, что если форма голоморфна и имеет тип (р, 0), член нулевого порядка в формуле Бохнера (см. 1.156) содержит только кривизну Риччи. Это позволяет получить такую же оценку, как для 1-форм. □

Следствие. Для компактного комплексного многообразия с положительным первым классом Чженя числа 渺，° и Л°»р равны нулю при р = 1, • • •, п. В частности, голоморфная эйлерова характеристика %(MQ) равна единице.

Это утверждение следует из 2.104, 2.105 н 2.116.

Из него сразу вытекает следующая теорема.

Теорема (Ш. Кобаяси). Компактное комплексное многообразие М с положительным первым классом Чженя односвязно.

Доказательство. По теореме Майерса 6.52 универсальная накрывающая М многообразия М компактна. Кроме того, она естественным образом снабжается комплексной структурой, относительно которой проекция на М голоморфна. Кэлерова метрика на Л4 с положительной формой Риччи индуцирует кэлерову метрику того же типа на М. В частности, обе эйлеровы характеристики х(Л4,0) и %(М 3) равны единице. С другой стороны, их можно представить в виде интегралов по М (соответственно по 而)от некоторого универсального полинома от кэлеровой кривизны (см. 2.117). Отсюда следует, что %(М,庁)= 4%(М С), где 左一кратность накрытия. Таким образом,左=L □

До сих пор мы рассматривали только первый класс Чженя. Если рассмотреть второй класс Чженя, можно получить еще одно следствие теоремы 11.15.

Следствие. Если первый и второй (вещественные) классы Чженя компактного кэлерова многообразия М равны нулю, то М голоморфно накрывается комплексным тором “ все его последующие классы Чженя также равны нулю.

Доказательство. По теореме 11.15 многообразие М допускает риччи-плоскую метрику. Тензор кривизны этой метрики совпадает с тензором Вейля W. Но в силу (2.80а) тензор Вейля также равен нулю и, значит, метрика является плоской. Остается воспользоваться 2.60 и 2.73. □

Следствие (С. Т. Яу, [Yau 5]). Пусть М — кэлерова многообразие комплексной размерности m с отрицательным пер-

вьш классом Чженя.女？。。

(— 1 产(2 (m + 1)。2呼-2 — у) > 0.

Равенство имеет место тогда 〃 только тогда, когда голоморфная секционная кривизна метрики Обина — Калаби ——Яу постоянна ® отрицательна). 8 этом случае многообразие М голоморфно накрывается единичным шаром пространства ；£.叫

Доказательство. Достаточно рассмотреть метрику Обина — Калаби ——Яу (теорема 11.17 и замечание 11.20), кэлерова форма со которой представляет класс ——2jis(A1), и воспользоваться формулой (2.82а). □

Замечание. Если /п = 2, неравенство (11.28) принимает вид

3電一％ = с； — Зс? & 0

и содержит только (ориентированные) топологические инварианты. Таким образом, мы получаем уточнение общего неравенства Торпа 6.35 для многообразий Кэлера — Эйнштейна.

Если предположить существование метрики Кэлера ——Эйнштейна нулевой и, соответственно, отрицательной скалярной кривизны, то следствия 11.27 и 11.28 вытекают непосредственно из формулы Апта (2.80), а неравенство (11.29) доказано Гуген- хеймером.

В заключение сформулируем без доказательства два результата относительно пространств постоянной голоморфной кривизны.

Теорема. Любое кэлерово многообразие, гомеоморфное многообразию СРт, биголоморфно изоморфно CW.

Теорема ([Yau 5]). Пусть N — компактная комплексная поверхность, накрывающая которой есть шар 8 С2. Тогда любая комплексная поверхность М, ориентируемо гомотопически эквивалентная N, биголоморфно изоморфна N.

К. Кодаира и Ф. Хирцебрух доказали теорему 11.30 для нечетного m и «частично доказали» для четного m (см. [Ko-Hi]). Возникающие трудности можно устранить с помощью теоремы 11.17. При т = 2 теорема 11.30 допускает следующее усиление.

Теорема ([Yau 5]). Пусть М — компактная комплексная поверхность, гомотопически эквивалентная СР2. Тогда поверхность М биголоморфно эквивалентна СР2.

Набросок доказательства теоремОбина — Калаби — Яу

Мы не будем давать полное доказательство теорем 11.15 и 11.17, а лишь приведем общую схему доказательства и наметим несколько простых шагов. Доказательства сложных оценок можно найти в оригинальных работах [Cal 2], [Aub 2], [Yau 3] и в книгах [Ast] и [Aub 6].

Другая формулировка теоремы 11.15. Как отмечалось в 2.101, теорема 11.15 означает, что для любой кэлеровой формы со с формой объема ①切 любая не обращающаяся в нуль 2-форма, имеющая тот же полный объем, что и форма (от, является формой объема единственной кэлеровой формы, когомо- логичной форме(о. Другими словами, для любой гладкой функции Д удов л етвор яющей условию \乂6‘8根=\瓶 功爲，существует единственная положительно определенная (1, 1)-форма Gw 巨[со], для которой 益巾=dgm.

Заметим, что 4/лемма 2.110 позволяет параметризовать элементы вещественного класса когомологий [о] вещественными гладкими функциями 屮,для которых、乂甲①拼二。.Имея дело с уравнениями в частных производных, удобнее рассматривать функции из класса Гёль дер а С^+а (см. приложение, § А). Обозначим через 非 пространство вещественных С2+а-функций 屮 на М, для которых 2-форма со ——^ dd'qp положительно определена и (рсот = 0, а через 為'一пространство таких вещественных Са-функций f на М, что \乂。％龍=、.①‘ Тогда теорема 11.15 вытекает из следующего утверждения.

Утверждение. Отображение

Cal:鑑-> %', (р — Cal (ф) = log ((co - 112dde硒口 есть диффеоморфизм на 鑑。

В то время как уравнения Эйнштейна образуют систему диф- фер енци а л ьных уравнений относительно неизвестной вектор- значной функции, задача построения кэлеровой риччи-плоской метрики на комплексном многообразии сводится к решению одного уравнения с одной неизвестной (вещественной) функцией. В локальных комплексных координатах уравнение прини-

мает вид

Cal((p) = log det^-一备)T。g det g•

Это пример комплексного уравнения Монжа — Ампера.

Мы неявно использовали тот факт, что для гладкой функции f любое С2+а-решение уравнения Са1(ф) == f является гладким. Это следует из общих свойств оператора кривизны Риччи (см. теорему 5.20). В рассматриваемом случае можно дать и прямое доказательство (ср. замечание, следующее за теоремой 40 приложения). Пусть g, g——метрики, соответствующие формам(о и G = co——^-ddc(p. Предположим, что <pw w O+a Дифференцируя уравнение (11.35), получаем

*(号)=条-盲(产-g。B)礬，

где оператор Лапласа △ метрики g является эллиптическим оператором с коэффициентами класса гладкости C^-2+a По теореме 40 приложения黑 еС^+а и, значит, феС"+1+а.□

Для того чтобы доказать утверждение 11.34, прежде всего нужно убедиться, что отображение Са1 инъективно, а затем ——что оно является локальным диффеоморфизмом. Наконец (это трудная часть доказательства, которую мы не будем излагать подробно), нужно показать, что отображение Са1 является собственным. Отсюда следует замкнутость его образа, а значит, и сюръективность.

Инъективность. Замечательное свойство инъективности отображения Са1 было открыто Э. Калаби в 1955 г. ([Са1 2]). Вот его доказательство. Предположим, что когомологичные кэ- леровы формы(01 и ®2 = 3i ^ dd°(p имеют одинаковые формы объема. Поскольку четная часть внешней алгебры коммутативна, условие з『=соГ можно записать в виде

0 = (О^ — (О^ = ^ ^ cof А з『-кт) А (^2 — ®1)・

Таким образом, %ddc(p А от = 0, где or= £ 3fAs尸* есть замкнутая вещественная [?加一2)-форма типа (т—1, т—1).

В локальных координатах форма о принимает вид

g= X 逝嘘虑1 А ... A dZa А ... A dzm A dzx А ... а, В

..• A dZp А ... A dzm.

Легко убедиться, что матрица (м0^) положительно определена. Поэтому на компактном многообразии М функция ф, удовлетворяющая уравнению V 川唯•纟！ = 0, постоянна и (с "а, в02汨尹

учетом условия нормировки) тождественно равна нулю.

Локальная обратимость. С помощью координатного представления (11.34) легко вычислить дифференциал отображения Cal в точке 屮巨鑑.Он равен Ca% = gA, где Д—оператор Лапласа кэлеровой метрики со= со——72^СФ- Поскольку форма й положительно определена, оператор А эллиптичен. По теореме 27 приложения оператор А определяет изоморфизм

на пространство {%,на пространство {%,пространства Гф^ = {ф,,m田=0}

на пространство {%,

на пространство {%,

\乂力而团=。}，которое представляет собой касательное пространство 7cai((p)鑑。Следовательно, можно вое пользов а ться теоре-， мой об обратной функции (теорема 43 приложения), в силу которой отображение Cal является локальным диффеоморфизмом.

Сюръективность. Можно показать, что отображение Cal является собственным. Доказательство сводится к получению априорных оценок решений уравнения Са1(ф) = f. Точнее говоря, нужно оценить верхнюю границу С2> а-нормы решения ф и нижнюю границу кэлеровой метрики 5 = со —ddc^ при фиксированной кэлеровой метрике(о, зависящей только от f.

С. Т. Яу получил С°-оценку и неравенство const(о W 齿 & 〈const'(о, которое можно рассматривать как С2-оценку решения ф. С помощью двукратного дифференцирования уравнения Cal((p)= f удается получить С2-оценку. При этом идея А. В. Погорелова ([Pog 1]) позволяет исключить члены, содержащие третьи производные функции ф.

Нужно получить С2+а-оценку. На самом деле метод, который, заключается в оценке норм выражений вида

S g ё①唯Y①以10

содержащих неизвестную метрику, позволяет получить даже С3-оценку. Этот шаг доказательства восходит к работе Э. Ка・ лаби [Cal 3].

Сейчас известно, что С2+а-оценку можно вывести из (^-оценки. Это вытекает из общих свойств уравнений типа уравнения Монжа — Ампера (см. [Eva] или [Gi-Tr], второе издание, теорема 17.14, с. 461).

Другая формулировка теоремы 11.17. Вопросы существования метрик Кэлера — Эйнштейна с константами Эйнштейна —1 и +1 удобно рассматривать одновременно. Поэтому положим е = ±1 и будем считать класс когомологий eq(M) по ложительн ы м. Пусть ш ——кэлерова форма из этого класса. Ее форма Риччи р принадлежит классу Ci(M). Следовательно, существует такая гладкая функция 厶 что р = есо——^" ddcf. Если © = соddc(p ——кэлерова форма, когомологичная форме о, то ее форма Риччи р задается формулой (2.98):

0 — p =——ddc log (冴他m).

Поэтому форма 小 задает метрику Кэлера ——Эйнштейна (т. е. р = ей) тогда и только тогда, когда log( ©^1/^)—&p = f + + const. Отсюда видно, что теорема 11.17 вытекает из следующего утверждения.

Утверждение. При е = — 1 отображение 屮 н-^ CaF (<р)= =Са! (<р) — е(р является диффеоморфизмом пространства V = = {<ре с2+а(М),(8 -义"<р) > о} на С2 (М).

Инъективность отображения Cal-. Предположим, что кэлеровы формы д и ш2 = ©i^-dd°(p связаны соотношением

log (限/①/)- eq) = 0.

Пусть х^М ——точка максимума функции <р. Тогда в этой точке функция log (®^/со^) неотрицательна. Действительно, выберем координаты, в которых 8* = %，。?屮/。之叼沙=儿6唯・ Тогда 儿<0 и log(s『/sT) = —Z log(l+勾)・ Значит, ——еф(х) ^ 0. Аналогично доказывается, что в точке минимума у функции ср выполняется неравенство —е(р(у) ^ 0. При е =——1 отсюда вытекает, что <р = 0.

С^-оценка. Аналогично можно получить С°-оценку ре-1 шений уравнения Cal-((p)=f. Действительно, если х — точка максимума, а у ——точка минимума функции ф, то из уравнения

log ( (s — 4~ ddc^ / о/72) — вер = f

следует, что —£屮(*)Wf(*) и —eqp(i/) ^ f (у)- При 8 =——1 отсюда вытекает, что

sup屮 ——inf屮《 sup f ——inf f.

.11.44. Локальная обратимость. Дифференциал отображения Са1€ в точке 屮 w V равен

(Са1ф) = %А — 8,

где Д -^ оператор Лапласа метрики со——72^СФ. Поэтому можно воспользоваться теоремой о неявной функции, если только число 2е не является собственным значением оператора А. Для е = =—1 это условие, очевидно, выполняется.

Для завершения доказательств а теоремы 11.7 нужны оценки, аналогичные оценкам из 11.39. Однако они в некотором смысле проще, чем указанные выше С°-оценки.

Компактные комплексные многообразияс положительным первым классом Чженя

Если класс с\ (М) положителен, ни один шаг намеченного нами доказательства теоремы 11.17 не проходит.

Более того, утверждение о единственности в теореме 11.17 не допускает обобщения. Действительно, комплексное проективное пространство снабжается метрикой Фубини—Штуди с кэлеровой формой со, которая является метрикой Кэлера ——Эйнштейна и допускает неизометричные автоморфизмы. Если 屮一 такой автоморфизм, то метрика с формой 屮*(о является новой метрикой Кэлера — Эйнштейна. Если при этом автоморфизм 屮 принадлежит связной компоненте единицы группы Sl(CRm), то 巾*s = s―■ xl2ddc^. Таким образом, уравнение Са1+(ф) = 0 допускает два различных решения: 0 и ср. Так же обстоит дело для любого комплексного многообразия М с по ложитель ны м первым классом Чженя и нетривиальной связной компонентой единицы группы 21(М) (см., однако, § D дополнения).

Несостоятельность доказательства единственности решения отражается (на инфинитезимальном уровне) в отсутствии локальной обратимости. Мы видели, что отображение Cal十 об-

ратимо в точке <р = 0 тогда и только тогда, когда 2s/m не является собственным значением лапласиана на 2-формах. В 11.52 мы покажем, что если форма s задает метрику Кэ- лера — Эйнштейна, то ядро оператора А отождествляется с пространством голоморфных векторных полей, т. е. с алгеброй Ли группы §1(М).

Наконец, полученные оценки также несправедливы в том случае, если Ci (М) > 0 (это очевидно, например, для С°-оценки 11.43). Покажем, что существование метрики Кэ- лера — Эйнштейна положительной скалярной кривизны накладывает дополнительные ограничения на компактное комплексное многообразие, в частности на его группу автоморфизмов.

Теорема (А. Лихнерович, [Lie 1]). Пусть М — компактное комплексное многообразие комплексной размерности т, снабженное кэлеровой метрикой g с тензором Риччи, для которого

⑴.49) 「》肃g，

где k — положительная константа. Тогда первое ненулевое собственное значение 入]оператора Лапласа А (действующего на функциях) не меньше чем k/m.

Объединяя формулы (2.53), (2.55) и (2.56) н интегрируя по многообразию Лк получаем для любой 1-формы g

〈纯，0-2(г(目，3 + ｝〈用 隔=8《°*》

Пусть / — собственная функция оператора А с собственным значением 入 1. Тогда 1-форма df является собственным вектором оператора А (действующего на 1-формах) с тем же собственным значением. Поскольку оператор А коммутирует с 7, это верно и для 1-формы Jdf. Применяя (11.50) к козамкнутой 1-форме dcf, получаем

从—Jdf) = 2(r(Jdf), Jdf) +〈6*(Jdf), 6*Qdf)〉>>今〈9,阿〉+ 8*(/“)，6*(/d》

Отсюда сразу следует утверждение теоремы. □

Замечание. Может оказаться, что в предположениях теоремы 11.49 число k/m принадлежит спектру оператора А. В этом случае приведенное доказательство показывает, что для любой собственной функции / с собственным значением k/m векторное поле (/df)# является киллинговым (см. 1.81 (с)). При

29 А. Бессе, %. 2

более сильном предположении эйнштейновости метрики g справедлива следующая теорема.

Теорема (И. Мацусима, [Mat 3]). Пусть М — компактное комплексное многообразие вещественной размерности п = =2m, снабженное метрикой Кзлера ——Эйнштейна положительной скалярной кривизны. Тогда алгебра Ли i(M) шиллинговых векторных полей является вещественной формой комплексной алгебры Ли вещественных голоморфных векторных полей. Если алгебра Ли i(Af) нетривиальна, то первое ненулевое собственное значение оператора А на функциях равно s/俏，а соответствующее ему собственное пространство (снабженное структурой алгебры Ли, индуцированной скобкой Пуассона) изоморфно алгебре Ли шиллинговых векторных полей.

Этот результат немедленно следует из предложения 2.151. Действительно, поскольку форма Риччи равна (s/m)s, уравнение (2.151) принимает вид

С другой стороны, из положительной определенности тензора Риччи следует отсутствие ненулевых параллельных векторных полей (см. 1.84). Это приводит к изоморфизму между собственным подпространством оператора А с собственным значением s/m и пространством киллинговых векторных полей. Легко проверить, что скобка двух глобально определенных гамильтоновых векторных полей, двойственных к I-формам dcf и dch, является гамильтоновым полем, двойственным к 1-форме dc{f, h}, где скобка Пуассона {f, й} задается равенством

{f, h} = (df, d%) = — A (df A dh}, □

Алгебра Ли g компактной группы Ли является прямой суммой своего центра и производной подалгебры [д, д]. Это верно и для комплексификации алгебры Ли дс. Комплексные алгебры Ли, обладающие этим свойством, называются редук- тивными (см. [Нос]). Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Следствие. Связная компонента единицы 3(° (М) группы автоморфизмов компактного комплексного многообразия, обладающего метрикой Кэлера — Эйнштейна, редуктивна.

Замечание. Согласно предложению 2.151, достаточно и более слабого предположения о существовании кэлеровой метрики постоянной скалярной кривизны. Для всех известных примеров компактных иэлеровых многообразий положительной по-

стоянкой скалярной кривизны (т. е. для примеров из § С дополнения и для однородных пространств из гл. 8) группы Ли 21 (М) и /(М) полупросты, т. е. центр группы изометрий /(М) конечен. Мы не знаем, верно ли это в общем случае.

Примеры. Пусть М——комплексная поверхность, полученная раздутием комплексной проективной плоскости СР2 в одной точке р (см. 11.12). Легко убедиться, что группа автоморфизмов 叫7И)многообразия М совпадает со стационарной подгруппой точки р в группе 3l(CP2)= PGL(3,C), Алгебра Ли группы §1(А1) состоит из матриц вида

(0 X X、о X X

1о X X 丿

где крестики обозначают произвольные комплексные числа. Эта алгебра Ли нередуктивна. Действительно, ее центр тривиален, а производная алгебра состоит из матриц с нулевой первой строкой и изоморфна алгебре Ли g【(2. С).

Аналогично, связная компонента единицы группы автоморфизмов поверхности, полученной раздутием двух точек из СР2, является подгруппой группы 尸G£(3, С), оставляющей эти две точки неподвижными. Ее алгебра Ли также нередуктивна. В силу следствия 11.54 эти два многообразия не допускают метрик Кэл ер а — Эйнштейна.

Еще одно препятствие обусловлено теоремой Футаки (см. замечание 2.162).

Теорема (А. Футаки, [Fut]). Пусть М — компактное комплексное многообразие с положительным первым классом Чженя Ci(M). Если М допускает метрику Кэлера — Эйнштейна, то функционал Футаки любой кэлеровой метрики, кэлерова форма которой принадлежит ci (АГ), равен нулю.

А. Футаки ([Fut]) построил следующий пример компактного комплексного многообразия с положительным первым классом Чженя, которое имеет редуктивную группу автоморфизмов (т. е. препятствие 11.54 отсутствует), но не допускает метрики Кэлера ——Эйнштейна.

Обозначим через Hi расслоение гиперплоскостей комплексного проективного пространства СР', i= 1, 2, т. е. голоморфное линейное расслоение, двойственное к тавтологическому линейному расслоению (или расслоению Хопфа), слоем которого в произвольной точке，三 СР' является сама эта точка, рассматриваемая как комплексная прямая в C+L Отметим, что стан-

дартная эрмитова метрика в С'+】 естественным образом индуцирует эрмитову метрику в слоях расслоения 〃『.Рассмотрим произведение М X ”2 как голоморфное векторное расслоение над произведением СР1 X СР2 и обозначим через М соответствующее проективное расслоение. Тогда М есть компактное комплексное многообразие комплексной размерности 4.

Проективная группа P(G£(2, С)Х &£(3,С)) действует на М как группа автоморфизмов и изоморфна полной группе автоморфизмов ?1(Л1), которая таким образом оказывается редук- тивной.

Рассмотрим де访ствне группы С* на М, индуцированное на сомножителе Hi из "i X "2 умножением на элементы А 三 = С*. Другими словами, каждое из расслоений //】н "2 определяет сечение расслоения М над СР1 ХСР2, а С* представляет собой подгруппу группы 4(М), поточечно сохраняющую оба этих сечения. Обозначим через X соответствующее голоморфное векторное поле.

Для того чтобы построить кэлерову форму из первого класса Чженя Ci(M), поступим следующим образом. Прежде всего определим кэлерэву форму ше на тотальном пространстве /Л X %— {нулевое сечение}, положив

®е = Р*П + 8dde log I и у,

где 固 ——кэлерова форма на .СР1 X СР2, являющаяся произведением форм Фубини — Штуди сомножителей; р ——проекция 〃1Х”2 на СР1 X СР2; \v\ — норма элемента и в "1Х”2； £ — положительное число, настолько малое, что форма йе положительно определена. Форма G^ очевидным образом индуцирует кэлерову форму(ое на М. Ее форма Риччи обозначается через ре.

Устремив £ к нулю, получим положительную форму <о = lim р£, которая, как и требовалось, принадлежит классу е-»0

Ci(M). Обозначим через р форму Риччи кэлеровой формы со. Формы со и р принадлежат классу q(M), причем форма(о равна гармонической части формы р и потенциал Риччи F определяется условием ddcF = р —(о.

А. Футаки показывает, что интеграл ^ (X • F) со4 положителен. Поэтому, согласно 11.57, многообразие М не допускает метрики Кэлера — Эйнштейна.

Группа изометрий кэлерова многообразия размерности /и имеет размерность, не превосходящую ди2 + 2т ([Kob 4J, теорема 5.1). По теореме 11.52 это число ограничивает также

dime 51 (Л1), если метрика эйнштейнова. Более того, справедлива следующая теорема.

Теорема (Ю. Саканэ, [Sak]). Пусть М — компактное комплексное многообразие комплексной размерности m > 5, допу- екающее метрику Кэлера ——Эйнштейна, Если dimcH(M)〉帆？—— ——2m + 8, то 7И изоморфно одному из канонических многообразий CPm, СР1\СРт~\ СР2X СРт~2.

Е. Экстремальные метрики

Пусть Q — фиксированный кэлеров класс на компактном комплексном многообразии М вещественной размерности 2m. Будем рассматривать элементы мз Q как кэлеровы формы, а также как соответствующие им кэлеровы метрики. Рассмотрим три функционала

Ss (g) = \ s2“g, Sp (g) = \ I p I2 — SR (g) = \ I R F Mg,MMM

где g — кэлерова метрика нз Q, a s, p н R, как обычно, ее скалярная кривизна, форма Риччи и тензор кривизны соответственно. Согласно (2.80а) и (2.81а), все эти функционалы аффинным образом выражаются через любой из них, например через Ss, причем коэффициенты зависят только от кэлерова класса Q и первых двух классов Чженя многообразия М.

Определение. (Э. Калаби, [Cal 1]). Кэлерова метрика g называется экстремальной, если она является критической точкой одного из функционалов Ss, Sp, SR на его кэлеровом классе (в этом случае она будет критической точкой и для двух других функционалов).

Первая вариация кэлеровой формы s метрики g из й определяется 2-формой ddcf,・T. е. скалярной функцией，(см. 2.114). Справедлива следующая лемма.

Лемма. Первая производная функционала Ss по направлению f равна

Ss£f) = -4〈f, №£Tds>

Доказательство. Из леммы 2.158 сразу следует, что

Ss^ (f) = {d^f, (2As + s2) ш — 4sp) = (/, 66° [(2As + s?) s — 4sp]〉.

Имеем

6。[(2As + s2) s]=—冴(2As + s2) J© = d (2As + s2).

Согласно (2.32),

—46е (sp) = —4sb°p + 4d°s J р = —2s ds + 4d°s J p.

Окончательно получаем

6。[(2As + s?) s — 4sp] = 2 (Ads + 2d，s _J p)=

=46£>- ds

(cm. (2.53) и (2.55)). Отсюда немедленно следует утверждение леммы.□

Таким образом, уравнение Эйлера вариационной задачи для функционала Ss (а также Sp и SR) в данном кэлеровом классе принимает вид

б。。- ds = 0.

Для компактного многообразия М это уравнение эквивалентно уравнению

Q— ds = 0.

Из предложения 2.124 сразу следует

Теорема. Кэлерова метрика экстремальна тогда и только тогда, когда градиент Ds является (вещественным) голоморфным векторным полем.

Замечание. При этом векторное поле JDs будет кил- линговым (см. замечание 2.128).

Пусть а — вещественное число, заданное соотношением

c】(M) = £Q + ® (М))о,

где (С1(7И))о означает примитивную часть первого класса Чже* ня относительно кэлерова класса й. Легко видеть, что след гармонической части у формы Риччи не зависит от выбора метрики из кэлерова класса и равен та.•

Таким образом, скалярная кривизна s равна

s = 2та — 2A 尸，

где 尸 означает потенциал Риччи (см. 2」42). Отсюда следует, что функционал Ss ограничен снизу числом 4/%2a2丫, где R — полный объем, V = ^ Q机.Эта граница достигается на метриках с гармонической формой Риччи или, что эквивалентно, на метриках постоянной скалярной кривизны.

Отметим, что если класс С\(М) либо равен нулю, либо положительно или отрицательно определен, причем й =

= ±2nci(M), то метрика постоянной скалярной кривизны из Q является эйнштейновой (действительно, форма Риччи р является единственной гармонической формой из класса 2nci (Л!), следовательно, р =0,(о или —(о соответственно). Таким образом, мы доказали следующее утверждение.

Если с】(М) = 0, то для любого кэлерова класса Q нижняя грань inf«Ss = 0 достигается ровно на одной метрике из Q, которая является риччи-плоской.

Если класс Ci (Л4) отрицательно определен 〃 Q = ——2nci (М), то inf ySs = 4m2V достигается ровно на одной метрике из ◎, которая является метрикой Кэлера ——Эйнштейна.

Существование положительной нижней грани, которая иногда достигается, а иногда нет (например, если группа £俨(財)нередуктивна), делает вариационную задачу минимизации функционала Ss весьма привлекательной. Однако когда Э. Калаби в 1954 г. ввел понятие экстремальной метрики (см. также [Lie 6]), он хотел прежде всего расширить проблему существования метрик Кэлера ——Эйнштейна. Поскольку существуют многообразия с положительным первым классом Чженя, не допускающие метрик Кэлера — Эйнштейна, возникает вопрос: любое ли компактное комплексное многообразие с положительным первым классом Чженя допускает экстремальную метрику?

К сожалению, как заметил сам Э. Калаби ([Cal 7]), существование на компактном многообразии М экстремальной метрики накладывает ограничения на его группу автоморфизмов. Действительно, замечание 11.66 показывает, что в этом случае группа автоморфизмов многообразия М (если она не дискретна) должна содержать нетривиальную связную компактную подгруппу. Поэтому существуют многообразия, не допускающие экстремальной метрики.

Простой пример ([Lev]) получается раздутием многообразия СРХСР в четырех точках (0,8), (0, 1),(8,8)и (1, оо). В этом примере связная компонента единицы группы автоморфизмов изоморфна аддитивной группе С. Подробности см. в [Lev].

В то же время Э. Калаби ([Cal 6]) показал, что существуют экстремальные кэлеровы метрики непостоянной скалярной кривизны.

Простейший пример можно построить на комплексной поверхности F], полученной из положительного расслоения Хопфа Я над С Pi компактификацией каждого слоя с помощью добав-

ления бесконечно удаленной точки. Поскольку расслоение Хопфа естественным образом отождествляется (как комплексная поверхность) с плоскостью СР2 с выколотой точкой, поверхность Fi можно отождествить с комплексной поверхностью, полученной раздутием плоскости СР2 в этой точке.

Пусть So (соответственно Soo)—нулевое (соответственно бесконечное) сечение расслоения Я. Оба сечения можно рассматривать как комплексные кривые в 凡 изоморфные С戶* а открытое множество U = F、— (SoUSg) естественным образом отождествляется с С2— {(0, 0)}.

Мы ищем кэлерову метрику, имеющую группу симметрий U2, подобно метрике Д. Пейджа (см. 9.125). Она задается кэлеровы м потенциалом на U, зависящим только от нормы вектора из U = С2— {(0, 0)}.

Следуя [Cal 6], запишем кэлеров потенциал в виде вещественной функции и от переменной /, где е‘一обычная квадратичная норма в С2. При этом кэлерова форма принимает вид

(о = 114ddetI,

а соответствующа я метрика g описывается следующим образом.

Каждая точка х^С2 ——{(0,0)} определяет комплексную прямую /х и ортогональную ей прямую /^ относительно обычной эрмитовой структурой. Касательное пространство в точке xw е С2—{(0, 0)} разлагается в прямую сумму /%㊉». Определим метрику g условием, что прямые /х и /土 ^-ортогональны и g-норма на /х и 片 равна и! н 〃" соответственно. В частности, потребуем, чтобы производные 〃‘ и 以〃 были положительны на всей прямой ——оо V f V 8. Теперь продолжим метрику g на S。и Soo. Рассмотрим сечение So (сечение Sg рассматривается аналогично).

Комплексная кривая So — СР1 представляет собой предел сфер 2/, состоящих из точек, обычная квадратичная норма которых равна е*. Каждая такая сфера 2/ является сферой Берже S3, снабженной метрикой Берже, которая определяется параметрами 他(f) и 〃“(f). Точнее, метрика, индуцированная на базе СР1 слоения Хопфа 工才―СР, имеет постоянную голоморфную- секционную кривизну, равную (/(£))-* а длина соответствующих слоев S】равна 2(u/f(t))i/2.

Теперь легко видеть, что метрику g можно продолжить на S。(соответственно на SQ тогда и только тогда, когда функции 〃‘ и 〃“е» (соответственно 〃“е-») имеют положительные пределы. Продолженная метрика будет гладкой при f =——оо (соответственно при f = оо) в том и только в том случае, если функции и' и 〃〃仪(соответственно /№)гладкие.

Пусть а (соответственно 6)—предел функции 〃‘ при f — -^—оо (соответственно Z—>оо). Поскольку н" > 0, очевидно, а > Ь. Так как So и Soo порождают ”2(Fi, Z) (см. [Bes 2], доклад IV), пара чисел (а, Ь) определяет класс когомологий кэ- леровой формы со.

Напомним, что первый класс Чженя многообразия Fi задается парой (1, 3) (см. [Bes 2], с. 121). Пусть g — произвольная кэлерова метрика на Fi, принадлежащая этому классу. На открытом множестве U ее форма объема pig имеет вид

% =优"@-2也@,

где |ig( — форма объема стандартной плоской метрики, задаваемой кэлеровым потенциалом а(/) = е*. Кроме того, для любой функции w на U, зависящей только от /,

grad®)=^X,

где X — тавтологическое векторное поле на С2-{(0,0)}, со- поставляющее каждой точке саму эту точку, р ассм атр ив а емую как касательный вектор. Отсюда следует, что

⑴.73)а@ = —4(% +筝).

Из (11.71) и 2.98 следует, что форма Риччи р метрики g равна

p = ~^-ddcv,

где V ——зависящая только от f функция

и = 2f — log〃'一 log。".

Но тогда, согласно (11.74), скалярная кривизна s равна

s = —a° = 4(/+%).

С другой стороны, метрика g экстремальна тогда и только тогда, когда grad(s) есть (вещественное) голоморфное вектор- ное поле. Поскольку поле X голоморфно на U, из 11.72 сразу следует, что метрика g экстремальна тогда и только тогда, когда функция § постоянна или, что эквивалентно, когда (11.77)s = aip + p,

где а, В — вещественные константы, а буквой 屮 обозначена функция 〃‘. После двукратного интегрирования последнее урав-

некие принимает вид

(11.78)中45'=-表 W 一金6巾3+ 42一；*_6 =p帥)》

где 丫, 6 ——вещественные константы.Все константы определяются из асимптотических при которых кэлеров потенциал можно продолжить на Эти условия заключаются в том, чтополином 尸(*) обращается в нуль при 叱=а и положителен при а V 叱 V 8;Р /Р (яЬ)、отношение ^соответственно 方昔Q равно ветственно Ь) при 屮 = а (соответственно при 巾= 6).Отсюдагде 丫, 6 ——вещественные константы.Все константы определяются из асимптотических при которых кэлеров потенциал можно продолжить на Эти условия заключаются в том, чтополином 尸(*) обращается в нуль при 叱=а и положителен при а V 叱 V 8;Р /Р (яЬ)、отношение ^соответственно 方昔Q равно ветственно Ь) при 屮 = а (соответственно при 巾= 6).Отсюдаусловий.условий.Su и SSu и Sи -ф = &и -ф = &а (соот-а (соот-,— (屮一а) S — 4) (2а@2 + (〃 一 a22ab)屮 + 2a2b—~'(b — а) (а2 + b2 + 4ab),— (屮一а) S — 4) (2а@2 + (〃 一 a22ab)屮 + 2a2b—~'(b — а) (а2 + b2 + 4ab)

где 丫, 6 ——вещественные константы.

Все константы определяются из асимптотических при которых кэлеров потенциал можно продолжить на Эти условия заключаются в том, что

полином 尸(*) обращается в нуль при 叱=а и положителен при а V 叱 V 8;

Р /Р (яЬ)、

отношение ^соответственно 方昔Q равно ветственно Ь) при 屮 = а (соответственно при 巾= 6).

Отсюда

где 丫, 6 ——вещественные константы.

Все константы определяются из асимптотических при которых кэлеров потенциал можно продолжить на Эти условия заключаются в том, что

полином 尸(*) обращается в нуль при 叱=а и положителен при а V 叱 V 8;

Р /Р (яЬ)、

отношение ^соответственно 方昔Q равно ветственно Ь) при 屮 = а (соответственно при 巾= 6).

Отсюда

условий.

условий.

Su и S

Su и S

и -ф = &

и -ф = &

а (соот-

а (соот-

,— (屮一а) S — 4) (2а@2 + (〃 一 a22ab)屮 + 2a2b

—~'(b — а) (а2 + b2 + 4ab)

,— (屮一а) S — 4) (2а@2 + (〃 一 a22ab)屮 + 2a2b

—~'(b — а) (а2 + b2 + 4ab)

Таким образом, мы построили (к сожалению, в неявном виде) однозначно определенную экстремальную кэлерову метрику рассматриваемого типа на поверхности Fi, принадлежащую данному кэлерову классу. Отметим, что

—96。24 — 一 3№)

a = (b - 〃)(标 + 庐 + 4指)，口 = * - a) (a2 + 52 + 4a6)- -

Можно проверить, что при любых значениях параметров а и & скалярная кривизна экстремальной метрики всюду положительна. При этом она не может быть постоянной, поскольку 屮‘ =〃"> 0 при —оо с f V 8 (см. также 11.56).

Эта конструкция допускает обобщение на случай произвольного линейного расслоения над проективным пространством СРт.

Напомним предложенный Д. Пейджем и Бераром- Бержери метод построения метрик Эйнштейна 9.125. Он применим к широкому классу С尸-расслоений над CPW и показывает, что любое многообразие такого вида допускает два типа выделенных метрик, инвариантных относительно действия группы U(т): единственную (с точностью до масштабного множителя) метрику Эйнштейна и одноп ар а метр ическое семейство экстремальных кэлеровых метрик (также определенное с точностью до масштабного множителя), построенное аналогичным образом. Эта аналогия (по крайней мере в четырехмерном случае) представляет собой пример поразительной связи между классом экстремальных кэлеровых метрик и классом эйнштейновых не- кэлеровых метрик, которая была обнаружена А. Дердзиньским.

Рассмотрим локальные метрики в R4. Поставим вопрос: можно ли эйнштейнову метрику сделать кэлеровой (и обратно, кэлерову метрику — эйнштейновой) с помощью конформной замены? Заметим, что искомый конформный множитель (если он существует) определен однозначно.

Действительно, пусть g ——метрика Эйнштейна. Предположим, что для некоторой положительной функции f метрика fg кэлерова. Тогда с точностью до постоянного множителя

/=1旷『/3, f = 1K[2/3.

Обратно, пусть g ——кэлерова метрика. Предположим, что для некоторой положительной функции k метрика kg эйнштейнова. Тогда с точностью до постоянного множителя

k — s/

Теорема. (А. Дердзиньский, [Der 3]). (i) Пусть (М, g) — ориентированное ^-многообразие Эйнштейна, и пусть автодуальная часть W+ тензора Вейля не обращается в нуль. Тогда следующие условия эквивалентны:

тензор W^ имеет не боле& двух различных собственных значений в А '；

г точностью до двулистного накрытия метрика | W+12/3g является кэлеровой (относительно некоторой комплексной структура в М, согласованной с данной ориентацией).

) Обратно, пусть (M,/, g)—кэлерово ^-многообразие непостоянной скалярной кривизны s. Тогда следующие условия эквивалентны：

g есть экстремальная кэлерова метрика, а функция

s3 — 6sAs — 121 曲 F постоянна',

метрика s-2g является эйнштейновой (там, где она определена) .

Утверждение (i) доказано в 16.67.

Мы знаем (см. 4.78), что метрики, конформные метрикам Эйнштейна, являются критическими точками квадратичного функционала SW. Поэтому утверждение (ii) в определенном смысле следует из того, что для кэлеровых метрик ф}^нкционал SW является комбинацией функционала Ss и кэлерова класса.

Пример. Пусть Н — многообразие, полученное из СР2 раздутием одной точки, a g ——метрика Пейджа (см. 9.125) на 尸 1. Тогда 呼+展 0 (по теореме 13.30 или по следующим соображениям: поскольку t(Fi) = 0, из 6.34 следует, что W = 0, но по теореме Кюйпера 1.171 многообразие 尸卜 будучи компактным

и односвязным, не допускает конформно плоских метрик). Поскольку стабилизатор любой точки в группе изометрий нетривиален, оператор 叩~ имеет двукратное собственное значение и конформная метрика | I^+|2/3g является кэлеровой (относительно некоторой U(2) -инвариантной комплексной структуры^ фактически являющейся стандартной комплексной структурой в Fi). В силу 11.81 (ii) последняя метрика экстремальна и U(2)- инвариантна, т. е. представляет собой один из примеров Калаби.

Отметим, что оператор 旷 также имеет в каждой точке двукратное собственное значение. Поэтому метрика | W" 12/3g также является кэлеровой относительно другой комплексной структуры (согласованной с противоположной ориентацией). Это означает, что 尸【допускает антиголоморфную инволюцию^ которая коммутирует с группой U(2) и сохраняет метрику Пейджа (см. 9.126(d)).

Обратно, из единственности метрики Пейджа (см. 9.126(a)) следует, что в однопараметрическом семействе экстремальных метрик Калаби на 尸】лишь одна метрика удовлетворяет приведенному выше условию для скалярной кривизны.

С помощью (11.72), (11.7印，(11.77) и (11.78) легко показать, что в обозначениях 11.70

s3 — 6sAs — 121dsi2 = 6а (8a6 —「丫)*ф-1 + const.

Обе части равенства постоянны тогда и только тогда, когда (8а6 ——Py) = 0 или, что эквивалентно, когда числа а и b связаны соотношением

("-3〃2)2=1баЗ 瓦

Легко проверить, что уравнение (х2 — 3)2= 16х имеет единственное вещественное решение, превосходящее единицу (обозначим его через 卩).Отметим, что кэлеров класс, соответствующий выделенной экстремальной метрике, не совпадает с первым классом Чженя (秣= 3,184..., в то время как наклон первого класса Чженя равен трем).

Замечание. Все известные примеры компактных 4-многообразий Эйнштейна либо удовлетворяют условию IF± = 0, либо конформны кэлеровым многообразиям. Вот полный перечень таких примеров.

Локально симметрические пространства. При этом приводимые пространства (т. е. локально представляющие собой произведения поверхностей) являются кэлеровыми, а для неприводимых пространств из условий DW+ = 0 и Ц7+/ 0 легко выводится, что旷三0 (см. 16.70).

Метрики Кэлера — Эйнштейна, описанные в теоремах 11.15 и 11.17, и их факторы по инволюциям.

Метрика Пейджа и ее фактор.

Замечание. В четырехмерном случае возможно существование других метрик Эйнштейна, близких метрике Пейджа. Однако существует лишь конечное число компактных 4-многообразий, которые допускают метрику Эйнштейна, конформную экстремальной кэлеровой метрике. Действительно, такое многообразие является комплексной кэлеровой поверхностью, обладающей голоморфным векторным полем с нулями. Согласно [Са-Но-Ко], такая поверхность получается либо раздутием СР2 в конечном числе 丸 точек, либо раздутием голоморфного СР】- расслоения над СР1 в / точках. Из неравенства Хитчина — Торпа 6.35 следует, что 左 W 8, / W 7, т. е. мы получаем лишь десять различных топологических типов (см. [Ма-Мо]). В то же время существует множество некомпактных метрик Эйнштейна, подобных метрике Пейджа (см. [Bes 2], доклад XVII, и [Der 5]).

Глава 12

Пространство Модулейэйнштейновых структур

А. Введение

Эта глава посвящена изучению множества всех эйнштейновых структур на компактном гладком многообразии М. Эйнштейновой структурой называется класс эквивалентных римановых метрик Эйнштейна. Другими словами, мы не различаем метрику Эйнштейна g и эквивалентную ей метрику g = c^g, где с>0 — константа, а <р — диффеоморфизм многообразия М. Фактор-пространство пространства метрик Эйнштейна пс этому отношению эквивалентности называется Пространством Модулей эйнштейновых структур на Л1 и обозначается через 若(М).

Случай, когда М представляет собой поверхность, был и остается объектом интенсивного изучения. Пространство Модулей эйнштейновых структур на ориентированной поверхности М совпадает с пространством модулей комплексных структур, а также конформных структур на М Некоторые результаты, полученные для этих пространств, приводятся в § В. В общем случае пространство / (Л1) не является многообразием, но допускает связное разветвленное накрытие /(М), которое называется пространством Тейхмюллера поверхности М и обладает следующими свойствами: пространство 咅(М) есть гладкое мно- ообразие; пространство 占(М) есть фактор-пространство пространства 罟(М) по некоторой дискретной группе; стабилизатор структуры [g], которая является сингулярной точкой 吝(М), представляет собой дискретную часть группы изометрий метрики g. Похожая ситуация складывается и для 3-тора Т? (на котором метрики Эйнштейна являются плоскими метриками).

Эти примеры позволяют предположить, что и в общем случае Пространство Модулей с точностью до факторизации по дискретной группе будет конечномерным многообразием. На протяжении значительной части этой главы мы пытаемся (отчасти успешно) доказать это.

В отличие от условия постоянства секционной кривизны, решения уравнений Эйнштейна нельзя описать с помощью локальных моделей. В размерности п ^ 4 это сильно усложняет под-

ход с точки зрения пучков (см. [СаЦ или [BB-Bo-La]). Наш подход к пространству модулей основан на анализе пространства метрик (как в гл. 4).

Пространство Модулей по определению есть подмножество пространства всех римановых структур на М (см. 4.2). В окрестности класса эквивалентных метрик Эйнштейна g карта этого фактор-пространства задается срезом 知 в g действия группы диффеоморфизмов на метрики. В этой карте Пространство Модулей эйнштейновых структур выглядит как подмножество всех метрик Эйнштейна из $?g. Оно определяется системой нелинейных уравнений в частных производных

Для того чтобы лучше понять это нелинейное уравнение, рассмотрим его линеаризацию E'(g). Пусть Л — симметрическое 2-тензорное поле. Представим его в виде 九=喘-》《)|~0> положим g(0) = g и определим

e'® •人=与e信(/))"

В § С мы покажем, что этот линейный оператор в касательном пространстве к срезу 3g эллиптичен. Отсюда следует, что его ядро — векторное пространство инфинитезимальных эйнштейновых деформаций метрики g—конечномерно. Это пространство можно рассматривать как «формальное» касательное пространство к Пространству Модулей в точке [g].

В § F мы с помощью теоремы о неявной функции построим экспоненциальное отображение пространства инфинитезимальных деформаций в конечномерное вещественно аналитическое подмногообразие Z среза, содержащее окрестность точки [g] в Пространстве Модулей в качестве вещественно аналитического подмножества. Таким образом мы получим основную структурную теорему. Она позволяет свести вопрос о том, является ли Пространство Модуле访 многообразием (т. е. совпадает ли оно локально со всем многообразием Z), к формальной задаче. Получающаяся при этом алгебра во многом остается загадочной. Н. Ко»со построил пример, в котором Пространство Модулей является собственным подмножеством множества Z. В этом примере, в частности, существуют «формальные» ка・ сатсхтьные векторы, которые не являются касательными векто- рамк кривых в Пространстве Модулей.

В § G собраны все известные в настоящее время глобальные свойства Пространства Модулей. Например, существуют несвязные Пространства Модулей: с помощью расслоения Хопфа на сфере S^+3 можно построить две, а иногда три эйнштейновых структуры с различными константами Эйнштейна. В связи с этим возникает интересный вопрос: что представляет собой множество (соответствующим образом нормированных) констант Эйнштейна на данном компактном многообразии или на всех многообразиях данной размерности?

Структурная теорема позволяет свести «доказательство устойчивости эйнштейновой структуры (g] (т. е. того, что [g] есть изолированная точка Пространства Модулей) к доказательству теоремы об отсутствии ненулевых решений линейного эллиптического оператора E'(g). Две такие теоремы доказываются в § Н с помощью формулы Вейценбёка (см. § I гл. 1). Из этих теорем, в частности, следует, что большинство локально симметрических пространств устойчиво. Аналогично можно оценить размерность ядра оператора E'(g) с помощью общего метода П. Ли ([Li]) и С. Галло ([Gal 3]). Это позволяет оценить сверху размерность Пространства Модулей.

За исключением случая поверхностей и модулей пло* ских метрик, все известные примеры непрерывных семейств эйнштейновых структур строятся с помощью теорем Обина ——Калаби——Яу 11.15 и 11.17. Если метрика Эйнштейна g является кэлеровой относительно некоторой комплексной структуры У, можно надеяться получить исчерпывающее описание оператора f'(g). Например, доказано, что если комплексная структура / имеет отрицательный или нулевой первый класс Чженя и универсальное семейство деформаций, то метрики Обина ——Калаби—Яу, соответствующие близким комплексным структурам и кэлеровым классам, заполняют целую окрестность точки [g] в Пространстве Модулей, которое в этом случае в окрестности точки [g] является многообразием (см. § J).

В частности, любую инфинитезимальную эйнштейнову деформацию можно продолжить до кривой в пространстве структур Кэлера ——Эйнштейна. Такое хорошее локальное поведение Пространства Модулей структур Кэлера ——Эйнштейна позволяет рассматривать их как наиболее разумное обобщение пространства Тейхмюллера (см. гл. О и [Koi 4]).

Изучение предельного случая неравенства Хитчина —— Торпа 6.35 показывает, что любая метрика Эйнштейна на многообразии, гомотоптически эквивалентном плоскому 4-многообразию (соответственно КЗ-поверхности), является плоской (соот-

ветственно кэлеровой относительно некоторой комплексной структуры на КЗ). Вследствие этого Пространство Модулей для таких многообразий (но, к сожалению, только для них, если 修 > 4) оказывается полностью известным. В § В рассматривается элементарный случай плоских многообразий. Более сложный случай Пространства Модулей КЗ-поверхности мы отложим до § К.

Сложный аппарат, развитый в § С ——F, все же позволяет получить лишь частичные результаты. Читатель увидит, что пока мы знаем о Пространстве Модулей очень мало. В значительной мере из-за недостатка примеров (см. тем не менее § А дополнения) основные вопросы остаются открытыми:

——Может ли Пространство Модулей иметь особенности?

—Может ли Пространство Модулей иметь бесконечное число компонент?'

—Существуют ли непрерывные семейства положительных эйнштейновых структур?

Типичные примеры: поверхностии плоские многообразия

Двумерное риманово многообразие является эйнштейновым тогда и только тогда, когда оно имеет постоянную кривизну. Соответствие между метриками постоянной кривизны, конформ- ными структурами и комплексными структурами на поверхности делает теорию чрезвычайно богатой. Дадим краткий обзор результатов, которые допускают обобщение на случай многообразий Эйнштейна и Кэлера — Эйнштейна.

Риманову структуру постоянной положительной кривизны допускают лишь 2-многообразия S2 и RP[ причем эта структура единственна.

Плоские структуры существуют лишь на многообразиях с нулевой эйлеровой характеристикой, т. е. на торе Г2 и на бутылке Клейна. Плоские структуры на торе Г2 параметризуются модулярной областью

SO(2)\SL(2, R)/SL(2, Z).

Плоская бутылка Клейна является фактором плоского прямоугольного тора, пространством параметров для нее является прямая (а не луч, подумайте об этом пару секунд и посмотрите на рис. 12.12).

30 А. Бессе, т. 2

Случай отрицательной кривизны, соответствующий многообразиям М с отрицательной эйлеровой характеристикой» оказывается значительно более сложным. Существует хорошо

известное соответствие: комплексные структуры» -<=> «римановы структуры постоянной кривизны». Поэтому вопрос сводится

к изучению комплексных структур на компактной поверхности

Рис. 12.12.Рис. 12.12.рода 丫 > 1，Этому вопросу посвящено большое число работ, укажем лишь [Еа-Ее] и [Rau]. С точки зрения римановой геометрии эти вопросы рассматриваются в [BB-Bo-La] и [Bsr], Сформулируем основные выводы (при этом мы будем свободно пользоваться указанным соответствием).

Рис. 12.12.

Рис. 12.12.

«Локальные деформации, локальная теория. Прежде всего отметим, что все ростки комплексных многообразий биголоморфно эквивалентны, а все ростки римановых многообразий кривизны —1 изомет- ричны. Поэтому, какой бы подход мы ни выбрали (комплексный или риманов), теорию пучков можно применять в любом случае. Мы выберем метрический подход.

который лучше соответствует нашим интересам. Инфинитезимальные деформации, сохраняющие постоян

ную кривизну ——1, удовлетворяют уравнению s； •九=0, где s；——

(12.14)(12.14)s[ •力=0, 6g •无=0.s[ •力=0, 6g •无=0.линеаризация оператора скалярной кривизны gi~~>sg (см. 1.184 и 4.17). Как мы уже отмечали в 12.3, нужно рассматривать деформации, ортогональные орбитам точки g относительно группы диффеоморфизмов, т. е. тензор h должен удовлетворять системе уравнений

(12.14)

(12.14)

s[ •力=0, 6g •无=0.

s[ •力=0, 6g •无=0.

Можно показать, что такие тензоры h являются вещественными частями голоморфных квадратичных дифференциалов (относительно комплексной структуры, заданной метрикой g). Это не удивительно, поскольку альтернативные рассуждения в рамках теории пучков показывают, что деформации комплексных кривых параметризуются голоморфными рсвадратлчными диффе- ренкналамк (см. [Еа-Ее]). По теореме Римана — Роха про- странстБо таких дифференциалов имеет комплексную размерность 3丫一3. Поэтому пространство решений системы (12.14) имеет вещественную размерность 6丫 一 6.

Глобальная теория. Обозначим через /-】пространство метрик постоянной кривизны ——1 на М. Тогда Пространство Модулей есть не что иное, как фактор-пространство 劣-1/电 пространства 挑一| по группе диффеоморфизмов S). Оно не является многообразием, поскольку некоторые метрики постоянной кривизны на М допускают нетривиальные изометрии (иначе говоря, нетривиальные биголоморфные преобразования). Такие изометрии не изотопны тождественному преобразованию (см. [Bsr]). Обозначим через 2)0 группу диффеоморфизмов, изотопных тождественному преобразованию. Тогда группа ©0 действует на《婿-1 свободно. Элементы фактор-пространства Jt~x j%^ отождествляются с «отмеченными римановыми поверхиостя?ли» классической теории (см. [Rau] или [Bsr]), a /-i/S)o есть знаменитое пространство Тейхмюллера. Оно является многообразием размерности бу —6, голоморфным шару, и естественным образом проектируется на Пространство Модулей 風一、自 как разветвленное накрытие. Этот подход предложен С. Эрлом и Дж. Иллсом ([Еа-Ее]), а другой ——чисто геометрический ——подход развит П. Бузером ([Bsr]).

Что к этому можно добавить? Пространство /-【/S)。 обладает естественной римановой метрикой. Действительно, если обозначить через [g] класс смежности 2>；g метрики g из /-* то касательное пространство 丁[金(/一1/宏。)изоморфно пространству решений системы (12.14). На этом пространстве можно задать глобальное скалярное произведение 也,/〉=[做(瓦 九‘)卩中 для которого ©-инвариантность проверяется непосредственно. Это так называемая метрика Вейля — Петерсона (см. [Ahl]). В рамках комплексного подхода очевидно, что многообразие <<-i/Go обладает естественной почти комплексной структурой. Можно показать, что эти структуры согласованы, г е. метрика Вейля ——Петерсона кэлерова.

А как обстоит дело с неориентнруемыми поверхностями постоянной кривизны? Нетрудно проверить (см. [ВВ- Bo-La]), что для них пространство инфинитезимальных деформаций имеет размерность 3丫 ——3, где у-—род ориентируемого накрытия. Другим способом, вычисляя эйлерову характеристику пучка ростков киллинговых векторных полей на М, можно показать, что эта размерность равна —3%(Л1), если М — ориентируемая или неориентируемаи поверхность с отрицательной эйлеровой х а р а ктер истикой.

12Л7. Дадим краткое описание пространства модулей плоских структур на торе и его факторах по конечным группам.

Структура этого пространства позволяет ожидать от него того же, что от Пространства Модулей эйнштейновых структур. И в самом деле, на плоских многообразиях размерности 冷 W 4 эйнштейновы и плоские структуры совпадают. Действительно^ из предложения 1.120 следует, что любое трехмерное многообразие Эйнштейна имеет постоянную секционную кривизну. Для тора 户 и его факторов эта кривизна не может быть положительной (по теореме Майерса 6.52) и не может быть отрицательной (по соображениям, связанным со скоростью роста шаров, см. [Mil 1]). Значит, она равна нулю. В четырехмерном случае на метрики Эйнштейна накладывается ряд ограничений, например (см. 6.37), любая метрика Эйнштейна на многообразии с нулевой эйлеровой характеристикой является плоской. Таким образом, метрики Эйнштейна на Т4 являются плоскими. Эти рассуждения справедливы и для других плоских 4-многообразий.

Плоские структуры на торе Тл. Обозначим через ®г группу диффеоморфизмов тора М =『,тривиально действующих на его фундаментальной группе, а через 声一фактор-пространство пространства плоских метрик объема единица на М по действию этой группы. Пространство модулей 歹 плоских структур на М получается из 夕 факторизаиией по действию дискретной группы ©/©Л = GL(nt Z).

Связная компонента единицы группы изометрий любой плоской метрики на М равна Rn/Zn. Любые две такие группы диффеоморфизмов М сопряжены диффеоморфизмом из ©z. Поэтому для описания 夕 достаточно рассмотреть левоинвариантные метрики относительно фиксированной групповой структуры на М.

Пусть g, g‘——плоские метрики на М, причем g‘ = q*g, где <р w 5'. Индуцированное ф преобразование @ универсальной накрывающей 麻 является изометрией евклидова пространства, которое сохраняет решетку в 70. Значит, @ есть параллельный перенос и g = g\ Таким образом, пространство 炉 гомеоморфно пространству левоинвариантных метрик объема единица на r〃/2>, т е. открытому выпуклому множеству в векторном (п{п+ \)[、

пространстве размерности I—^―^ 1 ).

Другие плоские 2-, 3- и 4-многообразия. По теореме Бибербаха ([Bie]) М допускает конечнократное накрытие Т“ — f М, п = 2, 3, 4. Обозначим через F кристаллографическую группу скольжений этого накрытия. Тогда пространство 声(М) отождествл я ется с множеством F-инвариантных плоских структур на 7", или с множеством F-инвариантных скалярных произ-

ведений объема единица на R'/Z". Пространство 斤 также является открытым выпуклым множеством.

Для того чтобы получить 劣,нужно профакторизовать 声 по аффинному действию группы 2)/3/ (нормализатору 尸 в GL(n, Z)).

Замечание. Вероятно, существуют плоские многообразия, для которых Пространство Модулей сводится к одной точке (но пока это не доказано).

Основной аппарат

Пространство Модулей эйнштейновых структур на М по определению является подмножеством пространства всех римановых структур, точнее, фактор^пространством пространства /1 метрик полного объема единица по действию группы диффеоморфизмов 沁，снабженным фактор-топологией. Для локального описания этого множества было бы удобно располагать локальными сечениями отображения 劣 f 劣/沁.Это почти достигается благодаря теореме Д. Г. Эбина о срезе ([Ebi 2])_

Напомним обозначения из гл. 4 и из 1.52.

Касательное пространство многообразия /1 в точке g, которое обозначается через ТЁЛ\, состоит из всех симметрических 2-тензоров %, имеющих нулевой полный след относительно g.

Касательное пространство к орбите %g в точке g состоит из всех производных Ли метрики g по направлению векторных полей X. Поскольку, согласно 1.60, Lxg = 26^Хь, будем обозначать его через Im (д* \

Дифференциальный оператор 8；: QiM —丁旦/】является переопределенным эллиптическим оператором. Поэтому к нему применимо следствие 34 из приложения. Следовательно, образ Im (6*) является замкнутым ортогональным дополнением к ядру сопряженного оператора 6: ТёЛ\-^ОУМ (см. 1.59). Таким образом,

3 = Im (6；)㊉储風 П Ker 6].

Теорема о срезе ([Ebi 2]) утверждает, что это ортогональное дополнение определяет вещественно аналитическое подмногообразие Sg в /1, которое является срезом действия группы S. Оно обладает следующими свойствами:

подмногообразие % инвариантно относительно группы изометрий /(M,g) метрики g;

если中三纪н中*,n,，0, то屮е/(大4,動)；

существует такое локальное сечение %: 5)//(Л1, g)f 2), определенное в окрестности смежного класса I (М, g), что локальное отображение £〃(М, g) X ®g ■-> 4卜(@, g) ^^ % (巾)十g, является диффеоморфизмом на некоторую окрестность точки g в /「

В частности, индуцированное отображение I(M, g)\®g-> —£) \/i есть гомеоморфизм на некоторую окрестность римано- во访 структуры [g], определяемый метрикой g,

Определение. Пусть g—метрика Эйнштейна на ЛЕ. Множество метрик Эйнштейна из среза ©g в точке g назы- вается пространством предмодулей эйнштейновых структур 6 окрестности точки g.

Далее мы будем рассматривать это пространство предмодулей. Для того чтобы получить настоящую окрестность эйнштейновой структуры [g] в Пространстве Модулей, достаточно про- факторизовать пространство предмодулей по действию компактной группы Ли изометрий метрики g.

Замечание. Если скалярная кривизна s метрики g отрицательна или равна нулю, то связная компонента единицы 7® группы /(М, g) тривиально действует в пространстве предмодулей эйнштейновых структур в окрестности g.

Таким образом, Пространство Модулей можно получить факторизацией пространства предмодулей по действию конечной группы /(М, g)/£

Действительно, по теореме Бохнера (см. 1.84) при sVO группа изометрий /(М, g) конечна. Если s = 0, то, как мы увидим в 12.52, метрики Эйнштейна g, близкие к метрике g, также являются риччи-плоскими. Для таких метрик 营 киллинговы поля и гармонические 1-формы параллельны, поэтому dim (/ (Mt g))= bi (M) — dim (/(M, g)). Если gw%, то из 12.22 следует, что /(М, g) и /(М, g) и, значит, /^ = /\.

Замечание 12.24 показывает, что нам часто будут встречаться пространства, которые локально получаются из многообразий в результате факторизации по конечной группе. Ввиду отсутствия общепринятой терминологии назовем такие объекты орбифолдами Ч.

Условие эйнштейновости можно записать разными способами. Поскольку метрики Эйнштейна являются критическими

])В настоящее время 310T термин стал общепринятым.——Прим, перев.

точками функционала полной скалярной кривизны

S (g) = \ SgRg,м

нам удобнее всего воспользоваться следующей формой:

«метрика g является эйнштейновой тогда и только тогда..

когда /[ =Г7-Г-р-».

g « vol (g) &

Определение. Дифференциальный оператор

Е: / - /М,£ (g) = % — ! S (g) g

называется оператором Эйнштейна.

Инфинитезимальные эйнштейновы деформации

Пусть g — метрика Эйнштейна на М. Если существует гладкая кривая g(f) в пространстве предмодулей, для которой g(°) = g，то ее первая струя 力=^^「 удовлетворяет линеаризованному уравнению Эйнштейна

■ ®=』£(g(/))" = °，

где £：(&) вычисляется с помощью формулы (1.182). Поскольку метрика g эйнштейнова, S^ (й) = 0 и, значит, Ега(Л) == г^ (Л)—— —^-й. Отсюда

(12.28a)2£"九)—D*Dh — 26* 5九—Di (tr 也)—2员九

С использованием лапласиана Лихнеровича Ае, определенною в 1.143, это равенство можно переписать в виде

(12.28b)2£^ (А) = ^Lh — 23* 6九—Dd (tr 九)一2 £ 九.

Таким образом, исследование Пространства Модулей нужно начать с изучения линейного дифференциального оператора Е； в касательном пространстве среза.

Определение. Инфинитезимальной эйнштейновой деформацией метрики Эйнштейна g называется такое симметрическое 2-тензорное поле Л, что

£； (Л.) = 0, 3 J = 0, \ tr/“& = о.

Пространство таких полей обозначается через £(g).

Теорема (М. Берже, Д. Г. Эбин, [Ве-Eb]). Симметрическое 2-тензорное поле h является инфинитезимальной эйнштейновой деформацией эйнштейновой метрики g тогда 〃 только тогда, когда оно удовлетворяет уравнениям

(%4 —2儿)九=0，у = о, %2 = о.

Доказательство. Если й ——инфинитезимальная деформация метрики g, то D*Dh — Dd(tr h) — 2R/z = 0. Вычислив след, получим A tr Л = — tr й. Но число — не может быть ненулевым соб- ПпJ

ственным значением лапласиана на функциях, поскольку (см. [Lie 1]) его наименьшее ненулевое собственное значение не меньше чем 几 J^ . Поэтому либо trg ft = 0, либо s = 0 н tvgh= =const. В любом случае t『g 九=0.□

Замечание. Более геометрическое доказательство см. в [Bou 5].

Следствие. Пространство E(g) инфинитезимальных эйнштейновых деформаций конечномерно.

Это вытекает из приложения 31, поскольку оператор D^D — 2А：夕2M — В2M является эллиптическим.□

Формальная интегрируемость

Пусть g ——метрика Эйнштейна на М. Будет ли пространство предмодулей в окрестности g подмногообразием среза ®g с касательным пространством z(g) в точке g?

Для того чтобы непосредственно применить теорему о неявной функции к отображению Е, нужно сначала убедиться, что его дифференциал 耳 сюръективен. К сожалению, образ отображения Е： удовлетворяет дифференциальному уравнению, которое вытекает из дифференциального тождества Бьянки "+1/2由=0 (см. 1.14).

Введем оператор Бьянки Pg = 6g + 7г^ trg. Тогда в силу 1.94 (см. также 4.19) для любой метрики g

6g (七 ®) = 0・

В результате дифференцирования по g получаем, что для любого А

% (九)(£(由)+-(或(九))=0.

Поэтому для метрики Эйнштейна g

б/与=0.

Поскольку отображение % не сюръективно, поищем более слабые условия, при которых любая инфинитезимальная эйнштейнова деформация Л интегрируется до кривой в пространстве метрик Эйнштейна, по крайней мере формально.

Следующие рассуждения справедливы для произвольного гладкого отображения Е между банаховыми пространствами и являются классическими в теории деформаций комплексных структур (см. [Gri]).

Для гладкой кривой g(f), выходящей из точки g и имеющей струи

七=~^g")， ' = 1, 2,・•.， положим

穏(九1，…，-) 一1Tе便(0儿=()•

Отображение £, полиномиально no 力口 ...,九々 н имеет первую” степень по 九左.С его помощью можно определить действие Е на формальных степенных рядах.

Определение. Для формального ряда g(/) = g +

Е

+8 /

ТГ положим

々=1 k\ е

+ 8 力

E(g(/)) = E® + 2% 硬(6…，勺)■

Касательный вектор % 三 Ker ” называется формально инте- грируемым, если существует такой формальный ряд g(f) = =g + 恤 + Ea=4 к что £(g(/)) = 0.

Очевидно,

审(札…，…吋/)(曙，…,“))■

=Z dhj 磁(%一••，%)♦力雷+ 年(九I， • • •, &一1‘ &+1) • ]-0

По индукции получаем

Q(仁…，砧=片(.,…，&_]) + "(%),.

тде Р：——полином, зависящий только от 〃“ ..., hk_v Эта формула показывает, что если отображение Е： сюръективно, то отображение М^^Е乳％,…，&) также сюръективно при любых Ар ..., Л^_г Поэтому для заданного h{ е Кег £*： можно шаг за шагом построить формальное решение уравнения Е (g(t)) =0.

Если £) не сюръективно, существует такое линейное •отображение Bg в некоторое банахово пространство, что ImEg ci Ker Bg. (В качестве Bg можно взять, например, проекцию на (imf'p1.)

Предположим, что такое отображение Вё определено для всех g, достаточно близких к g, и гладко зависит от g. Тогда

Bg（M/£（g（/））） = °・Bg（M/£（g（/））） = °・тождествотождестводля любого формального ряда g(f) выполняется формальное

Bg（M/£（g（/））） = °・

Bg（M/£（g（/））） = °・

тождество

тождество

Построим по индукции формальное решение g(f) уравнения _£ = 0. Предположим, что мы уже нашли Аь ..., /以，для ко

торыхторых以(％, ..., %) = ().以(％, ..., %) = ().

торых

торых

以(％, ..., %) = ().

以(％, ..., %) = ().

Для g(/) = g +2；=0彳 hj имеем

0 =無统⑺(*?依(切)=^ (:)(器В.(。)(謀E(g(f))).

При / = 0 получаем

。=? ()(封舔⑺ X。)(£，S" …,

+ — (%_.,%, 0)),

" °4(P片(4,…，%))=。.

■Согласно (12.37), на следующем шаге нужно найти решение 九龙+1 уравнения

Если Im/= Кег % это уравнение всегда имеет решение и, значит, любой вектор % w Kei•线 формально интегрируем. Поэтому фактор-пространство Ker BJImE： обычно называют пространством препятствий уравнения Е = 0 с условиями инте- грируемости В.

Отметим, что эти рассуждения справедливы и для - условия интегрируемости вида Bg(E(g))= 0.

Пример. Деформация комплексных структур. Будем пользоваться определениями и обозначениями из гл. 2. Зафиксируем интегрируемую почти комплексную структуру / на М. Первая струя / = -—-/(/) |/=0 вариации /(/) структуры J удовлетворяет линеаризованному уравнению

〃 + 〃 = 0, N； (/) = 0.

Первое уравнение означает, что / можно рассматривать как сечение расслоения Л 0,1 М ® Г1»^. Легко проверить, что

N； (/) = %/ ■ d"I е Л °'2M ® "W.

Очевидными решениями уравнений (12.40) являются 1 -струи тривиальных деформаций. Они имеют вид LXJ, где X ——вещественное векторное поле. Положим X = Z + 2, где Z ——сечение расслоения Г1» °Л4. Тогда

LxJ = d^Z 三 Л °」М ® Т'-йМ.

Оба встретившихся нам оператора d" являются частью- комплекса Дольбо голоморфного векторного расслоения Т{^М, т. е. комплекса пучков

0f gfji,0f △°，1合工|,。^ Д0-2® 71.0 _> ДО-3® 71.0_^ который является резольвентой пучка 0 ростков голоморфных векторных полей на (М,/) (см. [Ко-Mo]). Теорема Дольбо устанавливает изоморфизм между нашим пространством инфинитезимальных деформаций Ker (dfr) /df, (С°°Т^ °М) и Н1(М, 0).

Соотношение d"od" = 0 является условием интегрируемости для дифференциала d": Л0,1 M.®TX'QM ^ A0,2 M®TWM. Соответствующее пространство препятствий имеет вид

Ker m〃)/d"(С8 (Л0'1^® Ti，°M)) а "2(м, @)

Пример. Деформации эйнштейновых структур. Наиболее естественно условие интегрируемости описывается с помощью оператора Бьянки 13g. Пространство препятствий описывает следующая теорема, которую мы приведем без доказательства.

Теорема (Н. Коисо, [Koi 4]). Пусть g — метрика Эйнштейна объема единица на М. Тогда подпространство Ке『％ пространства Т&Л\ разлагается 8 ортогональную сумму KerPg= = Im£g®E(g).

Другими словами, пространство препятствий для уравнения Эйнштейна совпадает с самим пространством инфинитезимальных деформаций. Следовательно, критерий интегрируемости, состоящий в том, чтобы это пространство равнялось нулю, становится бессодержательным. Нужно более тщательно исследовать полиномиальные отображения

戸：£(g「厶 KerBgf Ker a/Im£Zv£(g).

H. Коисо сделал это для компактных симметрических пространств. В частности, он обнаружил, что симметрическая метрика g на СР2^Х СР】 не аннулирует полином Р2. Это означает, что метрика g имеет инфинитезимальные деформации, но ни одна из них не является формально интегрируемой. Этот пример очень важен, поскольку он показывает сложность проблемы описания эйнштейновых деформаций. Эта сложность по своей природе не является аналитической (см. следующий параграф), она связана с алгебраической структурой системы уравнений. Мы вернемся к этому примеру в 12.51 и 12.77.

Структура пространства предмодулей

Мы уже сформулировали достаточные условия того, что оператор Эйнштейна £ имеет формальные решения в виде степенных рядов. Теперь рассмотрим вопрос об их сходимости. Аналитическое свойство, которым мы воспользуемся, состоит в том, что образ оператора Е, замкнут. Это свойство следует из теоремы 12.45, но мы приведем полное доказательство.

Лемма. Пусть g — метрика Эйнштейна на М Тогда образ линейного оператора Е) Т^а ->9^2М замкнут.

Доказательство. Заменим неэллиптический оператор Е； эллиптическим. Положим

F: /М，м, /г = 2Е^ + 2d*6 = D*D ~1R — Dd tr.

Тогда Im(F) есть замкнутое подпространство и F (Т^е)= =Е； (Tg^g)。 Действительно, соотношение

tr F = 2(A--J) tr

показывает, что под пр остр а нство F(Tg/) замкнуто. Из формулы 12.33 следует, что

(12.48)%。F = 2“6*6 = Gbg,

где G = 266*——d6 ——эллиптический оператор.

Очевидно, F (Tg“)и Кег %. Обратно, пусть h = Fk ^ Кег “, где h — T邕加、.Имеем Gdgk = PgFk = 0, т. е. 0^4 принадлежит конечномерному векторному пространству Ker G. Это доказывает включение

F (片 j и F^T^^ П Ker pg и F (%必 fl . Ker G).

Поскольку подпространство Т©@ замкнуто и имеет конечную коразмерность в Т&凰 П。7 Ker G, образ F (T^Sg) замкнут в F (ТёЖ{ П б^1 Ker G). (Это рассуждение типично для теории топологических векторных пространств, см. [Pal 1].) Таким образом, подпространство F(TgCg) замкнуто в подпространстве F(Tg«<i)n Л Ker pg, которое в свою очередь замкнуто в /М. □

Теорема (Н. Коисо, [Koi 4]). Пусть g — метрика Эйнштейна на М. Тогда срез ©g содержит такое конечномерное вещественно аналитическое подмногообразие Z, что

касательное пространство к пространству Z в точке g совпадает с E(g), т. в. состоит из всех инфинитезимальных эйнштейновых деформаций метрики g;

подмногообразие Z содержит пространство предмодулей •окрестности g 8 качестве вещественно аналитического подмножества.

Доказательство. Обозначим через р ортогональную проекцию пространства ^М на 或(Т卢&). Вещественно аналитическое отображение ро£": Sg—^E^T^S^) является субмерсией в точке g. Поэтому Z — (р ^Е)~х (0) представляет собой вещественно аналитическое по дм ногообр а з ие вблизи g и имеет в точке g касательное пространство Kei•召[П 々露=£ ®. На этом вещественно аналитическом многообразии отображение £ является вещественно аналитическим. Таким образом, пространство предмодулей Е-1 (0) является вещественно аналитическим подмножеством. □

Следствие. Инфинитезимальная эйнштейнова деформация интегрируется до кривой в пространстве метрик Эйнштейна тогда и только тогда, когда она формально интегрируема.

Доказательство. Если g(£)——настоящая гладкая кривая в пространстве предмодулей вблизи g, для которой g(0)=g, g'(O) = /z, то ее ряд Тейлора является формальным решением уравнения Е = 0 с 1-стр у ей 无.Обратно, согласно _М. Артену ([Art]), любую формальную кривую в вещественно аналити-

ческом множестве можно аппроксимировать (в смысле формальных рядов) сходящимися к ней кривыми из этого множества. □

Замечание. В силу следствия 12.50 проблема интегрируемости инфинитезимальных эйнштейновых деформаций не является аналитической.

Вернемся к примеру Коисо 12.46. Сим метрическая структура [go] на многообразии СР1 X СР2Л представляет собой изолированную точку в Пространстве Модулей. Действительно, если вещественно аналитическое множество имеет точку накопления, то оно содержит кривую. В этом случае размерность пространства предмодулей строго меньше чем dime(g°) = 4(4々？一 1). Пространство предмодулей вблизи точки go также является многообразием. Тем не менее трудно надеяться, что пространство предмодулей всегда будет многообразием. Однако примеры пространств предмодулей с особенностями пока не известны.

G. Множество констант Эйнштейна

Теорема 12.49 содержит информацию о топологии пространства модулей.

Следствие. Пространство Модулей эйнштейновых структур на М локально (вещественно аналитически) линейно связно. Полная скалярная кривизна S является локально постоянной функцией и принимает на Пространстве Модулей не более чем счетное множество значений.

Доказательство. Локальная связность имеет место для окрестности каждой точки пространства предмодулей, а значит, и для Пространства Модулей. Поскольку метрики Эйнштейна являются критическими точками функционала S, он постоянен на каждой связной компоненте пространства предмодулей. Кроме того, топология Пространства Модулей (как и многообразия v#i) имеет счетный базис. Поэтому это пространство имеет не более чем счетное число связных компонент. □

Таким образом, Пространства Модулей могут быть несвязными. Действительно, метод растяжения послойных метрик римановой субмерсии, предложенный Г. Йенсеном, позволяет построить на сфере S4n^3 две эйнштейновы структуры с различными полными скалярными кривизнами. На сфере S15 две субмерсии

S7 fsi$ — СаЯ= S* S3—S5 f HP3

позволяют получить три эйнштейновы структуры с различными полными скалярными кривизнами. Следовательно, на сфере $4^+3 Пространство Модулей имеет не меньше двух связных компонент, а на сфере S15 — не меньше трех.

Известны также случаи, когда Пространство Модулей связно. Например, это справедливо для поверхностей. Рассмотрим 3-многообразие постоянной секционной кривизны. Эйнштейн нова структура единственна, если кривизна положительна (Дж. А. Вольф, [Wolf 4]) или отрицательна (Г. Д. Мостов, {Mos]). В § В мы показали, что Пространство Модулей для трех- и четырехмерных плоских многообразий связно. Это справедливо и для КЗ-поверхности (см. § К).

Для полноты изложения заметим, что Пространство Модулей эйнштейновых структур хаусдорфово, поскольку содержится в пространстве всех римановых структур. Хаусдорфовость следует из компактности множества изометрий и квази-изометрий. В то же время существуют нехаусдорфовы пространства модулей комплексных структур (см. 12.113).

Согласно следствию 12.52, множество констант Эйнштейна всех метрик Эйнштейна объема единица на данном многообразии М счетно. В некоторых случаях оно состоит из одного элемента, в других может быть бесконечным (см. § А дополнения) .

Перейдем ко второму вопросу. Рассмотрим все многообразия Эйнштейна данной размерности м объема единица. Каким будет множество всех констант Эйнштейна? Метрики удобнее нормировать таким образом, чтобы константа Эйнштейна л (см. 1.95) равнялась ±(м——1), как это обычно делается в теории пространств постоянной кривизны (нулевой случай мы пока не рассматриваем). Тогда вопрос сводится к описанию множества объемов "-мерных многообразий Эйнштейна с константой Эйнштейна (м——1) или ——(м ——1). Рассмотрим известные примеры.

Если (М, g)—поверхность с эйлеровой характеристикой %(М) н г = 土g, то

vol (g) = 23T[x(M) |.

Вообще, если (М, /, g) есть 2т-мерное многообразие Кэлера — Эйнштейна, то из условия г = ±(2m —l)g следует, что р = =土(2m — 1)(о и

v~(g)=(田)」Р”(—с«)『

(обозначения см. в гл. 2). Если многообразие М биголоморфно гиперповерхности степени 4>机 + 2 в CP^+i, то из (11.10) следует, что

vol (g) = d(2 盆時 2)" vol 紡产).

Отметим, что в силу теоремы Обина — Яу эти гиперповерх- ности обладают отрицательной метрикой Эйнштейна с произвольно большим объемом.

Многообразие М может обладать несколькими комплексными структурами и, значит, несколькими структурами Кэлера——Эйнштейна. Однако во всех известных примерах они имеют один и тот же первый класс Чженя и, следовательно, один и тот же объем >

Поскольку 3-многообразия Эйнштейна имеют постоянную секционную кривизну, в этом случае мы располагаем исключительно полной информацией о возможных объемах. Для многообразий кривизны +1 эти объемы можно указать явно. Они образуют убывающую последовательность с первым членом 2冗2 (соответствующим стандартной сфере) и пределом нуль (соответствующим линзовым пространствам, являющимся факторами стандартной сферы по циклическим группам).

Точные значения объемов компактных многообразий постоянной кривизны —1 неизвестны. Тем не менее можно найти приближенные значения объемов (см. [Thu 2]), например а0.98. Предполагается, что это наименьшее возможное значение. В [Thu 1] и [Gro 5] показано, что объемы компактных 3-многообразий постоянной кривизны ——1 образуют хорошо упорядоченное множество в R+. Оно не дискретно, т. е. содержит сходящиеся последовательности. Неизвестно, является ли предельная точка объемом компактного многообразия постоянной кривизны (однако она является объемом полного многообразия постоянной кривизны).

Сделаем два замечания о пространствах постоянной кривизны.

В четномерном случае обобщенная формула Гаусса ——Бонне показывает, что объемы пропорциональны эйлеровым характе-

】)В работе [Алексеевский Д. В., Переломов А. М. Инвариантные метрики Кэлера—Эйнштейна на компактных однородных пространствах.——Функц. анализ и его прилож., 1986, т. 20, № 3, с. 1—16] описаны все инвариантные комплексные структуры и их классы Фженя на компактных однородных пространствах. Из этих результатов следует, что может существовать сколь угодно много комплексных структур с различными классами Чженя и, значит, структур Кэлера ——Эйнштейна с различными объемами.——Прим, перев.

ристикам и, значит, образуют замкнутое дискретное множество. В нечетномерном случае существуют линзовые пространства и, значит, сколь угодно малые объемы пространств постоянной кривизны. Для многообразий постоянной отрицательной кривизны это не так (по теореме Д. А. Каждана и Г. А. Маргулиса, см. [Ка-Ма]). Множество объемов компактных n-мерных многообразий постоянной кривизны ——1 дискретно и замкнуто, если 紅 2 4 (см. [Wng]).

Для высших размерностей получен лишь один результат. Для положительных многообразий Эйнштейна из неравенства Р. Бишопа (см. 6.61, 0.65 или [Bis]) вытекает верхняя оценка объема: из соотношения г = (п—ijg следует, что

vol (g)^vol (Sn, can).

Ввиду недостатка примеров очень трудно делать какие-либо предположения. Тем не менее поставим два вопроса.

Вопрос. Верно ли, что на данном многообразии М объем метрик Эйнштейна принимает лишь конечное число значений?

(У нас нет ни одного примера, когда для отрицательного многообразия Эйнштейна объем принимает более одного значения.)

Вопрос. Верно ли, что множество объемов отрицательных (соответственно положительных) многообразий Эйнштейна размерности п дискретно и замкнуто (соответственно имеет единственную точку накопления нуль?

В качестве обоснования можно привести следующий результат. Существует такая положительная константа £〃, что если n-мерное многообразие (М, g) удовлетворяет условию у = =——(п——l)g н одному из следующих условий (i), (ii), (iii), то vol (g) > Em

(M, g) является локально симметрическим пространством некомпактного типа (Д. А. Каждан, Г. А. Маргулис, [Ка-Ма]). *

Многообразие М имеет ненулевой симплициальный объем (М. Громов, теорема изоляции, [Gro 2], с. 14 и далее). Симплициальный объем является топологическим инвариантом многообразия (см. 6.43). Он отличен от нуля для многообразий, обладающих метрикой отрицательной секционной кривизны, а также для их произведений и связных сумм, но равен нулю для всех односвязных многообразий.

31 А. Бессе, т. 2

Многообразие М удовлетворяет введенному М. Громовым гомотопическому условию (см. [Gro 3], предложение 6.6.D, с. 70), например, допускает неприводимую метрику неположительной секционной кривизны.

Н. Устойчивость эйнштейновых структур

Определение. Эйнштейнова структура называется устойчивой, если она является изолированной точкой Пространства Модулей.

Примеры. Мы покажем, что метрики постоянной ненулевой секционной кривизны устойчивы (как эйнштейновы структуры) .Напротив, плоская метрика на торе неустойчива. Метрика Кэлера — Эйнштейна на КЗ-поверхности также неустойчива.

Из теоремы 12.49 вытекают следующие достаточные условия устойчивости.

Следствие. Если эйнштейнова структура не имеет инфинитезимальных эйнштейновых деформаций, то она устойчива.

Действительно, пространство предмодулей, содержащееся в Z, в этом случае сводится к точке.□

Это условие выполняется при некоторых предположениях относительно кривизны.

Теорема (Н. Коисо, [Koi 1]). Пусть g — метрика Эйнштейна на М. Обозначим через а。наибольшее собственное значение оператора нулевого порядка Rg в пространстве бесследо- вых симметрических 2-тензорных полей, т. е.

ao = sup{(7?/i, й)/||й||2 для h^C^^M}}.

Если 痴 V max {——/, ^-}, то метрика g не допускает инфинитезимальных эйнштейновых деформаций (〃， следовательно, устойчива).

s s I n * 2n)s s I n * 2n)Замечание. Фактически мы докажем, что метрика

s s I n * 2n)

s s I n * 2n)

Эйнштейна с % V max {——Эйнштейна с % V max {——устойчива в смысле опреде

Эйнштейна с % V max {——

Эйнштейна с % V max {——

ления 4.63.

Доказательство теоремы 12.67. Утверждение теоремы следует из двух формул Вейценбёка (ср. с 1.151 и [Bes 2])・

Сначала рассмотрим симметрический 2-тензор й как 1-форму со значениями в кокасательном расслоении Т^М. Соответствующее расслоение очевидным образом снабжается оператором ко вариантного дифференцирования Леви-Чивита D. Поэтому на расслоении Т*7И-значных дифференциальных форм индуцируется дифференциал d。. Для 0-формы а и 1-формы h со значениями в Т*М он имеет вид

d% (х) = Dm, dDh (% А ') = Dxh (у, •) — Dyh (х, •).

2

Рассмотрим сопряженный к нему оператор 6П: С°° Д1「М ® ® Т*М) -> С°° ( А 0 Т*М ® Т*М). С помощью простых вычислений получаем формулу Вейценбёка

(2d0+ 产6。) Л = D*Dh 一埶 + 五。匚

Обозначим через S симметризованную ковариантную производную на сим метр ических р-тензорах. Если hegpM> то

S丘(X], • •- > 无p+i) ^^ Dyih (%2, • • •,尤p+i) + DJi (尤3,...

• • •，％p+i，尤i) + ♦ • • + Q%p+/ (%i, • • •, %)•

Рассмотрим сопряженный к S оператор S*:尹+】Alf GAL Если p = 1, то S* = б и S = б*. С помощью простых вычислений получаем вторую формулу Вейценбёка

(SS — 6*6) Л = D'Dh + 2Rh - 2"。г.

Если Л ——инфинитезимальная эйнштейнова деформация метрики g, то

о &II6%『+ и dDh^ ^D*D 一员 + 费)％ 九〉=〈(R + 3)瓦 A〉& 《(a。+ /)11川|2,

0 <||S/z||2 = ( [p*D + 2R-2^)h,公=((4员一2初,Л)<

&4(«o-备)ll九『•

Еслн 九，0, то Oo》max {—专，热}.□

Максимальное собственное значение ао можно оценить с помощью секционной кривизны. Прежде всего заметим, что а° ограничено сверху величиной

sup sup {(Ар% т))/| nF, n w S沁 M}・

Поскольку метрика g эйнштейнова, tr 貞к =三如 h и, значит, %(e8s興)u е8s興.

Алгебраическая лемма (Т. Фудзита ни, [Fuj]). Пусть R ——алгебраический тензор кривизны п-мерного евклидова пространства R% 打 пусть Kmin, Kmax — минимальное 〃 максимальное значения его секционной кривизны. Тогда

。=sup {(Лп,叫/I П F,不三 5^КЛ} &

& min I (n — 2) Kmax — 9 胃一九Kmin } •

Доказательство. Выберем тензор ”，для которого Rq =的, н рассмотрим базис, в котором тензор п имеет диагональный вид с собственными значениями Хь ...,九小 причем 入 i = sup | '』| н £；т% = 0・ Тогда

乱1 = a/i =成叫11 = z Riiki^ik = ]纟]Rt"的.

Таким образом,

а% = £ Кщах% — Е (кmax 一七 1门)% 《 yi*耍 I

《 一入iKmax + 入 1 g] (Kniax - &"1)=

=((九一2) k max 一 /)九 1.

В то же время

а% = ^2 Kmln% + 2 (Rflfl — Kmin)斯 &

& —入[Kmin + % 2 (R“订—Kmln)=

У 1

=(—Mmin + 5)九1 •口

Следствие (Ж.-П. Бургиньон). Эйнштейнова структура ^-ограниченной секционной кривизны, где 6 > 九/ . является устойчивой.

Действительно, в силу сделанного предположения 2n/Cmin > > 7з (« — 2) /Стах- Поэтому Либо 撩 > ?/з S — 2) Кщах，Либо В V 2rzKmin* В обоих случаях а。V 訂.

Следствие, Эйнштейнова структура отрицательной секционной кривизны устойчива, если п ^ 3.

Действительно, из условия Kmax V 0 следует, что & < ——-^ • □

Более ранние результаты можно найти в [Вег], [Fuj], {Gal 1].

В 1962 г. А. Вейль ([Wei]) доказал, что локально симметрические пространства некомпактного типа устойчивы как симметрические пространства. На самом деле уточненный вариант леммы 12.71 показывает, что эти пространства не имеют даже эйнштейновых деформаций.

Предложение (Н. Коисо, [Koi 1]). Локально симметрическое эйнштейново пространство некомпактного типа устойчиво, если оно не имеет локальных двумерных сомножителей (б разложении де Рама).

Для локально симметрических пространств компактного типа теорема 12.67 оказывается слишком слабой. Однако в этом случае теория представлений позволяет вычислить инфинитезимальные эйнштейновы деформации непосредственно.

Предложение (Н. Коисо, [Koi 3]). Неприводимые симметрические пространства компактного типа устойчивы, возможно, за исключением пространств

SU(p + q)/S(U(p)XU(q)), p>q》2; SU(喻/SO (喻;

SU (2m)/Sp (m); SU (m), m ^3; &/%♦

Замечание. Эти исключительные пространства допускают инфинитезимальные эйнштейновы деформации, но мы не знаем, являются ли они устойчивыми.

В результате анализа известных примеров возникает вопрос: любое ли многообразие Эйнштейна положительной скалярной кривизны устойчиво? На примере симметрических пространств видно, что для решения этого вопроса недостаточно исследовать только инфинитезимальные эйнштейновы деформации.^ Необходимо рассматривать также «деформации второго порядка». Н. Консо добился успеха в этом направлении (см. 12.46).

Симметрическая метрика на iC.-P1 X>C-P2fe устойчива, хотя она имеет инфинитезимальные эйнштейновы деформации.

Размерность Пространства Модулей

Пусть g—метрика Эйнштейна на М. Обозначим через V ее объем, а через Kmm — минимальное значение секционной кривизны. Поскольку Kmin и скалярная кривизна s не

инвариантны относительно масштабных преобразований метрики, их точные значения дают лишь информацию о знаке. Поэтому мы введем величины x(g) и 4(g), равные значениям кривизн Кпнп и s, нормированных диаметром, т. е. x(g)=居川鄒第 A (g) = —4~гг “2. Положим

п (п — 1)

а(〃)= 〃*№"(注;Г(7Г=^) + *叱

貝Х)=口[1+部臂MW可* хn。，十8[,

где В = 7 rq, если п^З, и р = 100, если п = 2.

Теорема ([Gal 4], [Gal 2]). Для любого п-мернога многообразия Эйнштейна (冗，g) размерность £ (g) меньше “ем

n・w「2S—i)/二2耿]』(〃+!)

С2"2.р-2m眈2'

a C — изопериметрическая константа inf (( ；,；?“〃)，之。？ ^ пР°* бегает все области с vol Q ^ V/2.

Прежде чем доказывать эту теорему, приведем несколько» следствий, которые формулируются более наглядно.

Следствие ([Gal 4]). Можно явно указать такую непрерывную функцию т]： N X R f R+, 〃то для любого п-мерного многообразия Эйнштейна (М, g), удовлетворяющего условию x(g)> 应，размерность пространства инфинитезимальных эйнштейновых деформаций метрики g меньше чем ^(п, ^).

Доказательство. Суть доказательства заключается в изопериметрической оценке С • y-【"d > F (A (g)) (см. [Gal 2] и [Gal 3]), где

Г (а) = 2~1/n Н (а), если а》0,

Г(а) = |а|3"[ \ (~^у +」2 / sh[由],если а < 0,

/(1/2)[а“2、-1

"(а) = |а|1/2(,cos/*%/) , если а>0,

Н (а) = 2, если а = 0,

(

(1/2)| а [1/2、Т

\ chf"i dt ) , если а < 0.

Поскольку 々 W 乂 W A W * утверждение следствия вытекает из теоремы Майерса 6.51, причем

т]仇，期=N苛Г(一向新■涉].□

Замечание. Размерность пространства e(g) невозможно оценить сверху только через размерность п. Действительно, даже для поверхностей размерность e(g) может быть сколь угодно велика. Примеры в высших размерностях можно получить, рассматривая прямые произведения поверхностей.

Отметим, что размерность пространства e(g) для плоского тора в точности равна N (см. 12.17). Поскольку g(x) стремится к единице, когда % стремится к нулю, из 12.80 и 12.81 вытекает

Следствие ([Gal 2, 4]). Для каждой размерности п существует такая положительная константа а (и), что среди всех п-мерных многообразий Эйнштейна (М, g), для которых

(〃 一1) A (g)—耿(g) & а (n), размерность пространства e(g) инфинитезимал ьных эйнштейновых деформаций не больше, чем для плоского тора.

Замечание. Для КЗ-поверхности A (g) = 0 и N = 9. Посколь- ку размерность Пространства Модулей в этом случае равна 57 (см. 12.106), следствие показывает, что значение 乂 (gj далеко от нуля.

Доказательство следствия 12.83. Согласно 12.30, любой элемент из e(g) представляет собой сечение й расслоения бессле- довых симметрических 2-тензоров (с Af-мерным слоем), удовлетворяющее, в частности, условию (0*0 + 2友)(无)=0. Поскольку •(筋，h) > (〃Kmm — 3 ) I 九 F (см. 12.71),имеем

(0*0瓦九)《2 (仇 一 1) A (g) — nx (g)) • d-21 九匕□

Следующая теорема завершает доказательство теоремы 12.79.

Теорема ([Gal 2], теорема 3.3, ср. с [Li]). Пусть Е — расслоение над М с метрикой (-, •) 〃 римановой связностью D. Обозначим через I размерность слоя расслоения Е. Пусть 歹 .есть некоторое подпространство пространства С2 сечений расслоения Е, и пусть А — любое вещественное число, Если для

любого Т е 歹 и любой точки из М выполняется неравенство (0*0 - М) т, Т) W 0, 7。dim 歹 w / • Е (—у_^) •

Идея доказательства состоит в том, чтобы получить в явном виде неравенство Соболева для включения ”; и 丄2〃/九一2 (《м. приложение, 8).

Из [Gal 3] следует, что для любой функции f 三 Н：, удовлетворяющей условию ^ f • jxg = 0, выполняется неравенство 11川海《唔|同必，

где р и а(п) определены в 12.78. Из предположений теоремы вытекает, что

|Т|・А(|Т|)《(О*", Т)<Л2|Тр.

В результате интегрирования получаем

IS(口 F)电&£「#・||Т 脸.

Пользуясь методом из [Li] и применяя неравенство Соболева к функции I Т 产，находим

» Т 嗑+ W (1 + а ⑺ W^ FTlhr) L" • « T %旷 Поскольку IIT ||^2pj стремится к || Г ||£00 при /->+ оо, в пределе получаем

■S 鹏-《[^^)」%.

Поскольку оператор Q*Q эллиптичен, пространство 歹 конечномерно (см. приложение, 31). В каждой точке m^ М можно выбрать ортонормированный базис (Тz) слоя Ет относительно скалярного произведения (-, •). Существует такая точка /и, что dim 歹 & V • Z IМ(团)匕 Следовательно,

dim 歹&V・N・sup||TJ2 &

<"M^M・口

Несколько открытых проблем.

—Для многообразий неотрицательной секционной кривизны размерность Пространства Модулей ограничена некоторой константой С(п) (согласно 12.80). Можно ли улучшить эту оценку,.

заменив С(п) размерностью Пространства Модулей плоского тора?

—Для заданных а, 6, и обозначим через "а, ь множество всех n-мерных многообразий, для которых A (g) > q, d < 6. М. Г ромов ([Gro 1]) доказал, что пространство &,ь с метрикой Хаусдорфа предкомпактно (см. 0.67). В связи с этим возникает вопрос: можно ли в теореме 12.80 заменить 乂 (g) на ■(g)? Отметим, что если эта замена возможна, то полученная таким образом верхняя оценка не будет обладать сильным свойством 12.83, если ограничиться предположением A(g)>—a(n), Например, для КЗ-поверхности Л (g) = 0, но размерность Пространства Модулей больше, чем для плоского тора 74.

— Можно ли при нормировке заменить диаметр объемом, т. е. можно ли оценить сверху размерность Пространства Модулей эйнштейновых структур через —s・H" или хотя бы через —Kmin・y2/“？ Такая нормировка была бы более удобной, поскольку функционалы на пространстве метрик на М обычно нормируют с помощью объема (см. гл. 4).

J. Деформация метрик Кэлера — Эйнштейна

В гл. 11 мы уже говорили о связи между комплексными структурами и метриками Эйнштейна.

Если первый класс Чженя отрицателен, то по теореме Калаби — Обина каждой комплексной структуре / отвечает единственная метрика Эйнштейна g, для которой пара (g, /) кэлерова. Мы воспользуемся простым локальным вариантом этой теоремы, чтобы показать, что деформации комплексной структуры индуцируют деформации метрик Эйнштейна.

Аналогично, для заданной комплексной структуры с нулевым первым классом Чженя деформация заданного кэлерова класса также приводит к деформации метрики Эйнштейна.

Напомним некоторые факты, касающиеся комплексных деформаций. Пусть 0 ——пучок ростков голоморфных векторных полей на комплексном многообразии (М,/)• Инфинитезимальной комплексной деформацией комплексной структуры J называется вектор пространства когомологий Н】(М, 0). Будем называть инф ин итези м а льную деформацию интегрируемой, если она задается ^-замкнутой 7，1>0(7Й)-значной (0,1)-формой, которая формально интегрируема в смысле 12.36. Согласно результатам К. Кодаиры, Л. Ниренберга и Д. Спенсера ([Ko-Ni- Sp]), такая инфинитезимальная деформация представляет собой 1-струю кривой комплексных структур /(/). В частности, если все инфинитезимальные комплексные деформации структуры J

интегрируемы, то пространство модулей комплексных структур на М является (вблизи точки J) ор бифо л дом (см. 12.25) с касательным пространством "i(M©)・

Сформулируем основную теорему (которая будет доказана в 12.99 и 12.100).””

Теорема (Н. Коисо, [Koi 4]). Пусть (g, J) — структура Кэлера — Эйнштейна на М. Предположим, что

первый класс Чженя комплексной структуры J отрицателен или равен нулю;

все инфинитезимальные комплексные деформации структуры / интегрируемы.

Тогда пространство предмодулей эйнштейновых структур в окрестности точки g является многообразием с касательным, пространством E(g) s точке g・ При этом любая метрика g из этого пространства является кэлеровой относительно некоторой комплексной структуры 7, близкой к J.

Такие структуры Кэлера — Эйнштейна образуют з Пространстве Модулей эйнштейновых структур открытое подмножество, которое является орбифолдом (см. 12.25).

Пример. Гиперповерхности в '^Рт, т^З. Как было показано в 11.10, первый класс Чженя гиперповерхности степени d ^ m + 2 отрицателен. По теореме К. Кодаиры и Д. Спенсера ([Ko-Sp]) условие (ii) также выполняется. Более того, все комплексные деформации данной гиперповерхности реализуются гиперповерхностями в том же самом проективном пространстве. Это означает, что пространство модулей комплексных структур на многообразии, которое биголоморфно эквивалентно гиперповерхности, локально является орбифолдом комплексной

(m + d\

размерности I 丿一(m + 2)2. Согласно теореме 12.88, открытое подмножество Пространства Модулей эйнштейновых структур на рассматриваемом многообразии является многооб- ат-\- d\、

2 丿一恤+ 2)2丿.

Прежде чем доказывать теорему 12.88, покажем, как условие кэлеровости метрики Эйнштейна g относительно некоторой комплексной структуры J на М упрощает изучение инфинитезимальных эйнштейновых деформаций.

Контравариантный 2-тензор распадается на эрмитову часть

h(Jx, Jy) = h(x, у)

и косоэрмитову часть

А(/х, %) = —也(％, у),

что позволяет по-новому интерпретировать различные тензорные величины. Для 2-тензора h и эндоморфизма / обозначим через Л °/ 2-тензор

九。/(%, y) = h(x9 Iу).

Тогда, если Л — косоэрмитова симметрическая 2-форма, то 屮= — h°J есть вещественная дифференциальная 2-форма типа (1, 1). Соотношение

g О/ =九。J

позволяет сопоставить симметрической эрмитовой 2-форме й вещественный симметрический эндоморфизм /, антикоммутирующий с комплексной структурой /, для которого // + // = 0. Как было показано в 12.40, эндоморфизм / можно рассматривать как Т1*°7И-значную 1-форму типа (0, 1).

С учетом этих сопоставлений систему уравнений для инфинитезимальных эйнштейновых деформаций, включающую операторы 0*0 — 2R, 6, tr, можно записать с помощью более привычных операторов.

Если h — эрмитова симметрическая 2-форма на М, то ее след tr h представляет собой скалярное произведение формы 屮= =h^J и кэлеровой формы о. Кроме того,

(12.92а)6Л = —б*фо/,

•а обычный (вещественный) лапласиан Ходжа—де Рама А удовлетворяет формуле Вейценбёка

(12.92b)^ = (D*D~2R)h»J + 2^-^.

Если й — косоэрмитова симметрическая 2-форма на М, то

(12.93а)tr 九=0, &h = — Jo(^I)

и комплексный лапласиан А" = d"6" + 6"d" удовлетворяет формуле Вейценбёка

(12.93b)g。(А‘7) = (。*0- 2次)九。丄

Лемма. Пусть g — метрика Кэлера — Эйнштейна на М Если й есть инфинитезимальная эйнштейнова деформация метрики g, это же верно и для ее эрмитовой 〃 коэрмитовой частей Ля u力4.

Доказательство. Из условия кэлеровости DxJY = DYJX и вытекающего из него тождества Rjx, jy = Rx, у для тензора кривизны следует, что оператор D^D — 2R сохраняет пространство эрмитовых и косоэрмитовых форм. Значит, (0*0 — 2&)坛= =(D*D — 2央)hA = 0. Из формулы (12.93b) теперь следует, что △"/ = 0 н 6九а = —Jo (6"/) = 0. Поскольку tr ftA = 0, тензорное поле 也幺(а значит, и hH = h —— 九力)является инфинитезимальной эйнштейновой деформацией. □.

Формула (12.92b) позволяет дать следующее описание эрмитовых инфинитезимальных эйнштейновых деформаций.

Если скалярная кривизна (или, что эквивалентно, первый класс Чженя) отрицательна, такие деформации отсутствуют.

Если первый класс Чженя равен нулю, эрмитовы инфините- зимальные деформации находятся во взаимно однозначном соответствии с вещественными дифференциальными (1, 1) -формами, гармоническими и ортогональными кэлеровой форме. Такие формы образуют пространство размерности dim 〃R 1 (Af, /)—1.

Другими словами, с каждой 1-струей деформации класса когомологий можно ассоциировать инфинитезимальную эйнштейнову деформацию.

Косоэрмитовы инфинитезимальные эйнштейновы деформации соответствуют симметрическим гармоническим р, ^М-значным 1-формам /, г. е. симметрическим инфинитезимальным комплексным деформациям. Это соответствие является взаимно однозначным, поскольку, согласно теории Ходжа,

"1 (М @) a Ker d〃/d〃(。8 (Д °，1 м 慘 г-。川))亠

~ Ker (А") fl С"(八 а 1 慘 уч, о)

Что можно сказать о кососимметрических инфинитезимальных комплексных деформациях? Сечение / расслоения Л °'1 Л1 *® Т1- °М кососимметрично тогда и только тогда, когда g©/ есть дифференциальная 2-форма типа (2,0). Сечение / гармонично тогда и только тогда, когда соответствующая 2-форма g©/ гармонична и, следовательно, голоморфна. Таким образом, кососимметрические инфинитезимальные комплексные деформации находятся во взаимно однозначном соответствии с голоморфными 2-формами. Размерность соответствующего пространства равна 2 dime Я2»0 (Л4, J).

Замечание. Классическая теорема С. Бохнера об обращении в нуль (см. 11.24) утверждает, что если многообразие М допускает ненулевую голоморфную 2-форму 叱，то его кривизна

Риччи равна нулю, а форма 屮 параллельна. Предположим, что многообразие М имеет неприводимое представление голономии (см. 10.41). Тогда форма 屮 невырожденна. В общем случае из существования формы * следует, что один из неприводимых сомножителей имеет группу голономии, содержащуюся в Sp(4), т. е. является гиперкэлеровым. Это довольно сильное условие, которое пока не до конца осмыслено (см. гл. 14).

Обобщая все сказанное, можно сформулировать

Предложение (Н. Коисо, [Koi 4], Ж.-И Бургиньон (для КЗ-поверхности)). Пусть (g, J)——структура Кэлера — Эйнштейна на М

Если сх (/) < 0, то dim е (g) = 2 dime Я1 (М9 0).

Если сх (/) = 0, то dim е (g) = dim 缥】(М, J) — 1 +

+ 2 dime "1 (M @) — 2 dime "°，2(Af, J).

Если cx (7) > 0, то dim e (g)》2 dime fl4 (N, в).

В третьем случае неравенство может быть строгим. Каноническая комплексная структура на СТ^ХСР?^ устойчива (Р. Ботт, [Bot]), в то время как симметрическая кэлерова метрика допускает эйнштейновы деформации (см. 12.46). Конечно, все они эрмитовы.

Доказательство теоремы 12.88, случай Ci (J) < 0 Пусть (g, /)——структура Кэлера ——Эйнштейна на многообразии М, удовлетворяющая предположениям теоремы 12.88. Из предположений относительно J следует, что пространство модулей комплексных структур является в окрестности точки J многообразием с касательным пространством №(Л1, 0у) в точке /•

Согласно К. Кодаире и Д. Спенсеру ([Ko-Sp]), для каждой комплексной структуры 7 из окрестности точки J существует кэлерова метрика со (7), гладко зависящая от 7, которая в точке J равна(o(J) = g。/. Как и в 11.40, будем искать метрику Кэлера—Эйнштейна в классе когомологий формы о (7), т. е. в виде

s (J) —^ dd}(p,

где <р 三伯М. Уравнение

сa年354)=L中，

которое нужно решить, приводится в явном виде в 11.41. Там же показано, что производная отображения Cal- по <р является изоморфизмом. Поэтому существует гладкое решение ф(/, co(J)) указанного уравнения, т. е. метрика g(7). Можно считать, что

метрика g(7) принадлежит срезу ®я и, в частности, многообразию Z из теоремы 12.49 с касательным пространством £(g).

Остается проверить, что отображение 7ь-> g(7) является субмерсией. Пусть кривая 7(f) имеет 1-струю / =力 + /。，а соответствующая ей кривая g(7(f)) имеет 1-струю Л = Ад + йя. Поскольку кривая g(7(f)) по условию принадлежит срезу, поля Лд и % являются инфинитезимальными эйнштейновыми деформациями. Дифференцируя кэлерову форму g(£)。了 (£), получаем, ЧТО 应。J-pgo/ = MoJ + gojs4*A”oJ + go/a есть замкнутая дифференциальная форма. Ясно, что симметрическая часть ha © J + g。卜 должна быть равна нулю. (В силу (12.93b) отсюда следует Ангармоничность поля /$.) Таким образом, производная отображения J»—> g (J) представляет собой изоморфизм, о котором шла речь в 12.96. (Напомним, что при q V О члены с % н I。отсутствуют.) □

Доказательство теоремы 12.88, случай Ci(J) = 0. Пусть 帝.—многообразие комплексных структур 7 в окрестности точки / максимальной размерности, а о (7) — гладко зависящее от 了 семейство кэлеровых метрик. Далее, пусть %】」——гладкое векторное расслоение над 穹，слой которого в точке 7 состоит из вещественных гармонических (1, 1)-форм относительно метрики (о(7).

Пусть дан элемент (7, х) из 舒L * т. е. комплексная структура 7 и гармоническая (1, 1)-форма и. Будем искать метрику Кэл ера ——Эйнштейна в классе когомологий формы (о(7) + х, т. е. в виде

s(J) + 乂 一 ％ dd}①.

Как было показано в 11.38, к этой задаче можно применить теорему о неявной функции, следовательно, существует гладкое решение 屮(7, х), т. е. метрика Кэл ер а — Эйнштейна g (7, х). Здесь также можно предполагать, что метрика g(7, н) принадлежит срезу ©g.

Для того чтобы убедиться, что отображение (7, M)»—>g (工 х) является субмерсией, рассмотрим кривую (7(f),乂(£)) из 鑑"L Ее 1-струя состоит из базовой компоненты Is + /Л и компоненты слояф 巨 第3 1 (J). Пусть hA + Ля ——1 -струя соответствующей кривой g(f) пространства метрик. Дифференцируя кэлерову форму g(£)。了(£), получаем, что 心。/ = —g"s и что Ан ° J + g ° /а есть замкнутая дифференциальная форма из класса когомологий формы 池.Поскольку Ля есть инфинитезимальная эйнштейнова деформация, форма hH ° J гармонична (в силу (12.92b)). Анализ разных типов показывает, что Hh^J — ^- Производное

отображение (/, х)»—>h является сюръекцией, следовательно, отображение (J, x)i>g(J, х) представляет собой субмерсию. □

Замечания, (i) Как уже отмечалось в 11.47, доказательство 12.99 справедливо и в том случае, если Ci(J)>0, при дополнительном предположении, что многообразие (М, J) не допускает голоморфных векторных полей. В результате мы получим утверждение, что метрики Кэлера — Эйнштейна образуют подмногообразие пространства предмодулей в окрестности g с касательным пространством, состоящим из всех кососимметрических ин ф инитез им а ль н ых эйнштейновых деформаций. Однако мы не можем проиллюстрировать это .утверждение, поскольку все известные примеры метрик Кэлера — Эйнштейна с Ci > 0 обладают голоморфными векторными полями.

Если ci = 0, то рассуждения 12.100 дают больше, чем доказательство теоремы 12.88.

Определение. Пространством структур Кэлера — Эйнштейна на М называется фактор-пространство множества пар Кэлера — Эйнштейна (/, g) из С°° (End ТЛ4) X М\ по действию группы диффеоморфизмов S). Обозначим его через 密(М)・

Теорема. Пусть 亿 g] — структура Кэлера — Эйнштейна на М, для которой q (J) = 0, причем все инфинитезимальные комплексные деформации комплексной структуры J интегрируемы. Тогда пространство / 8 окрестности точки [J, g] является многообразием (с точностью до действия конечной группы). Его естественное отображение на пространство модулей комплексных структур ^ является субмерсией, а естественное отображение на Пространство Модулей эйнштейновых структур является локально тривиальным расслоением с компактным слоем (также с точностью до действия конечной группы}.

Пример КЗ-поверхности показывает, что отображение /->В не обязательно является расслоением (см. 12.113).

К・ Пространство Модулей на КЗ-поверхности

Определение. КЗ-поверхностью называется комплексная поверхность с нулевым первым классом Чженя, не допускающая глобальных голоморфных 1-форм.

Эти поверхности образуют особый тип в классификации комплексных поверхностей, полученной Кодаирой (см. [Kod 3]). Они хорошо изучены, в частности, доказано, что все они диффеоморфны одному многообразию М вещественной размерности 4, что объясняет их название.

Согласно Тодорову и Сиу ([Siu 2]), любая КЗ-поверхность допускает кэлерову метрику, а значит (по теореме Калабн — Яу), и метрику Кэлера ——Эйнштейна. Эти поверхности хорошо иллюстрируют результаты, полученные для Пространства Модулей структур Кэлера ——Эйнштейна.

Локальные деформации. Основные числовые инварианты КЗ-поверхностей можно найти следующим образом. По- скольку q = 0, по теореме Римана — Роха %(Л1) = с? = 24. Кроме того, поскольку числа Бетти 63 (7И) = &i (7И) = 2Л°»1 = 0, получаем 62(М) = 22. Можно показать, что каноническое линейное расслоение К тривиально, т. е. существует не обращающаяся в нуль голоморфная 2-форма 九.Очевидно, любая голоморфная 2-форма должна быть пропорциональна 儿 Поэтому й2»0 = 1 и, следовательно, /?，1 = 20.

Голоморфная 2-форма 九(так называемая комплексная сим- плектичестя структура) индуцирует изоморфизм пучков ❷〜S2L Поэтому

dim "2 (м, 0) = dim Я2 (М, Q1)=胪】=Л0-1 = 0,

dim Я1 (М, 0) = dim 川(М, Q!)=》•】=0.

Отсюда вытекает, что пространства модулей комплексных структур 皆，структур Кэлера ——Эйнштейна 渡 и эйнштейновых структур 3 на 加 являются (с точностью до действия конечной группы) многообразиями вещественной размерности 40, 59 и 57 соответственно.

В [Bes 2], доклад XVI, инфинитезимальные эйнштейновы деформации описываются с помощью оператора Ходжа 柴 на гармонических 2-формах. Поскольку нашей целью является глобальное описание пространства 3(Л1), мы не будем развивать этот подход. Предоставим читателю самому продираться сквозь джунгли изоморфизмов и отождествлений 0~Q! в 12.95, 12.96 и [Bes 2], доклад XVI, чтобы получить описание эрмитовых и косоэрмитовых инфинитезимальных эйнштейновых деформаций в рамках подхода Бессе.

Глобальное описание пространства ^ (/И). Напомним, что 昌(М) есть фактор-пространство пространства метрик Эйнштейна объема единица по группе диффеоморфизмов. Обозначим через 汾'группу диффеоморфизмов многообразия М тривиально действующих на группе когомологий Я2 (Л1, Z). Определим пространство Тейхмюллера 咅(М) как фактор-пространство пространства метрик Эйнштейна объема единица по группе 2/. В 12.108 мы построим гомеоморфизм пространства ^(Л1) на

открытое подмножество Г симметрического пространства

SO (3, 19)/SO(3)XSO(19).

Точнее говоря, Г является дополнением к счетному объединению подмногообразий коразмерности три (ср. с [Tod 2]).

Следовательно, Пространство Модулей 疗(М) гомеоморфно фактор-пространству области Т по некоторой дискретной подгруппе группы 50(3, 19).

Отображение периодов для эйнштейновых структур на М. Прежде всего отметим, что все комплексные КЗ-структуры на М индуцируют одну и ту же ориентацию. Действительно, все они имеют одни и те же числа Ходжа 九小久 а значит (в силу формулы Ходжа для индекса), одну и ту же сигнатуру

2

т= £ (-if ^^ =—16.

р，g=i

Форма пересечения на Н2(М9 R) (которая обозначается точкой) относительно этой естественной ориентации имеет три плюса и 19 минусов. Это означает, что для любой римановой метрики g на М подпространство 減+(g)u"2(M, R)автодуальных (踪а = а) гармонических форм имеет размерность 3 и форма пересечения положительно определена на этом подпространстве.

Если метрика g эйнштейнова, то подпространство 鄧+(g) обладает выделенной ориентацией. Это следует из теоремы Хитчина 6.40. Автодуальные гармонические (и на самом деле параллельные) формы а нормы единица находятся во взаимно однозначном соответствии с комплексными структурами /, согласованными с метрикой и ориентацией： Для любых комплексных структур / #= J базис (/, J, IJ) задает выделенную ориентацию в %+、(g).

Таким образом, на 3 (М) корректно определено отображение периодов ре

g mod 2y — p Jg]=為十(g) w U, где U—пространство ориентированных положительно определенных 3-плоскостей в H2(Mf R).

Инъективность этого отображения совершенно не очевидна, так же как и вид его образа. Воспользуемся глубокими результатами, полученными для отображения периодов для кэ- «леровых КЗ-поверхностей.

Пусть Ж — пространство пар (J, А), факторизованное по действию группы 6'. Здесь J — почти комплексная КЗ-структура

32 А. Бессе, т. 2

на М, а 冗三 〃2(М, R)——класс когомологий, содержащий некоторую кэлерову форму (относительно /), такой, что 冗•况=1. Теорема Калаби — Яу определяет отображение Ж (Л1) -> ё (Л1). По теореме Хитчина 6.37 это отображение сюръективно.

Пусть J — почти комплексная КЗ-структура на М Подпространство №»0(J) cz Н2(Mt ЬС.) есть прямая С% где 九•入=0 и 入•入 >0. Периодом pc(J) комплексной структуры / называется положительно определенная 2-плоскость л в Н2(М, R) вместе с ориентированным базисом (九 +入，^~~Г^~} • Легко убедиться, что период рс корректно определен на пространстве 它 комплексных структур 卩],рассматриваемых с тон- ностью до преобразований из ^.

Определим теперь отображение периодов pk на пространстве %, положив

(J, х) mod £' ь-> pk ([J], х) = (л, х).

Попробуем угадать, каким будет отображение pk. Поскольку подпр остр а нств а разных типов №•1 (J) и H2^(J) пространства "2(而,.С) взаимно ортогональны, кэлеров класс х лежит в 冗丄. Если у есть первый класс Чженя голоморфной кривой или, в более общем случае, эффективного дивизора С, то пересечение п-у = площадь(С) > 0 для любой метрики из класса х. По теореме Лефшеца о (1, 1)-классах любой целый класс у из 7/1，1 (/)=冗丄 является первым классом Чженя некоторого дивизора С. В общем случае мы не можем сказать, будет ли дивизор С эффективным или нет. Однако если ?•? =——2, из формулы Римана — Роха ([Hir], с. 149) следует, что один из дивизоров С, —С эффективен. Такой класс у называется кор- ием, и в этом случае ?・х#=0 для любого кэлерова класса х. Значит, образ отображения периодов содержится в множестве ^П = {(п, Y)I 冗一ориентированная положительно определенная

2-плоскость в 〃2(Л4, R),况三 冗丄,х • х= 1,

X • Y =# 0, Vy《F},

где Г = {у е Я2 (М, Z), 丫 • Y = —2}——множество корней.

Отображение pk есть гомеоморфизм пространства %(М) на одну из двух связных компонент множества КП. Это утверждение представляет собой переформулировку теоремы Торелли Д. Бёрнса и М. Рапопорта ([Bu-Ra]) и теоремы сюръективности А. Тодорова ([Tod 1], см. также [Siu 1]), слегка уточненной Лоэйенгой ([Loo]). В самом деле, наше пространство Н(М) совпадает с введенным Лоэйенгой Простран-

ством Модулей КМ отмеченных кэлеровых КЗ-поверхностей: ясно, что %(М) гомеоморфно открытому и замкнутому подмножеству множества КМ поскольку множество КМ замкнуто, .宏(М) = КМ. Это рассуждение одновременно доказывает, что группа S5+/S/ имеет индекс два в группе Aut(№(Af, Z)), где g)+ ——группа диффеоморфизмов, сохраняющих ориентацию.

Итак, мы получаем коммутативную диаграмму

宏(A4)f *(А4)]“]Ре

КПт

где 7 — образ /СП в U, т. е.

Г = {положительно ориентированные 3-плоскости т cz Я2 (М, R),

для которых Тх П Г = 0}.

По построению Т есть образ отображения р©・ Пусть g, g'— такие метрики Эйнштейна на М, что ре [g] = т = ре [g']・ Обозначим через л ор иентиров а иную плоскость в т, а через % — ее положительно ориентированный единичный нормальный вектор. Тогда ^-гармоническая (соответственно ^-гармоническая) форма в х определяет такую комплексную структуру J (соответственно /'), что пара (g, J) (соответственно (g‘, J')) является кэлеровой структурой с кэлеровым классом %. Поскольку 必亿 %] = р虱Г, х] = (л, х), имеем [J, %] = [Г, х] в X (М) и, значит, [g] = [g‘] в 舍(М)・ Таким образом, отображение ре инъективно.

Поскольку метрики Эйнштейна на М имеют выделенную ориентацию, изометричные метрики Эйнштейна отличаются диффеоморфизмом из 金+. Поэтому пространство 3 (М) совпадает с фактор-пространством пространства 咅(М) по группе 飴河 и, значит, гомеоморфно фактор-пространству пространства Т по дискретной подгруппе Aut(№ (М, Z)) f] SO (3,19) группы Aut("2(M, Z)) индекса два.

Замечания, (i) Обозначим через /(М) фактор-пространство пространства комплексных КЗ-структур на М по группе S)z. Теорема Бёрнса — Рапопорта ([Bu-Ra]) показывает, что соответствующее отображение периодов имеет вид 小： J mod S)z ь-> (л, Kj), где К」—связная компонента открытого множества С, = {乂三 冗丄,х • х > 0, х • Y ^： 0, Vy е Г}, содержащая все кэлеровы классы комплексной структуры 丄 Действительно,

ре есть гомеоморфизм пространства 京(М) на одну из двух связных компонент пространства

П = {(冗,К) I 冗—ориентированная положительно определенная 2-плоскость в Н2 (Л1, R), К — связная компонента множества С J

Очевидно, проекция КП —И является субмерсией, но не расслоением, поскольку число компонент открытого множества Сп (в общем случае равное двум) может меняться (оставаясь всегда конечным). На самом деле пространство П не хаусдорфово.

Решетка Н?(М, Z) хорошо изучена. Она является четной (см. [Bes 2], доклад XVI). Это позволяет определить ее структуру. Решетка разлагается в сумму пяти четных неприводимых слагаемых: двух положительных решеток ранга 8, изоморфных &, и трех индефинитных решеток ранга 2. Решетка Н2(М9 Z) имеет довольно большую группу автоморфизмов (см. [W11], где указаны ее образующие).

Утверждение единственности в теореме Бёрнса — Рапопорта ([Bu-Ra]) показывает, что группа автоморфизмов комплексной КЗ-структуры J на М (а также группа изометрий метрики Эйнштейна g) вкладывается в группу Aut (Я2 (TH, Z)) f) Л 50(3, 19) в качестве стационарной подгруппы соответствующего периода рс [/] е П (соответственно ре [g*] ^ Т). Возможные группы изометрий, т. е. конечные подгруппы группы Aut(772 (М, Z)H 50(3, 19)), перечислены в [Nik) и [Muk]. В [Nik] можно найти разнообразную информацию о группах автоморфизмов (например, об их конечности).

(iv) Пространство Модулей эйнштейновых структур на КЗ-многообразии М оказывается «хорошим》(симметрическим) пространством с дырами. Можно рассмотреть сходящуюся к краю дыры последовательность, состоящую из структур Кэлера —Эйнштейна, подчиненных фиксированной комплексной структуре. Предельная точка соответствует кэлерову классу к, который уже не лежит в кэлеровой камере К』. Таким образом, существует последовательность эффективных дивизоров, площадь которых стремится к нулю. Что можно сказать об этом коллапсе? Можно ли интерпретировать точки дыры как геометрические объекты?

Глава 13

Авто дуальность

Введение

В четырехмерном случае ориентированная риманова геометрия обладает рядом особенностей, связанных в основном с оператором Ходжа *. С помощью этого оператора можно разложить 2-форму на автодуальную и антиавтодуальную составляющие. Аналогично можно получить разложение средней группы когомологий компактного 4-многообразия и формы кривизны любого расслоения со связностью над ориентированным 4-многообразием.

13・2・ Связности с автодуальной кривизной на ориентируемом 4-многообразии автоматически оказываются точками абсолютного минимума функционала Янга ——Миллса на пространстве связностей. В рамках этой модели можно интерпретировать и условие Эйнштейна. Оно оказывается эквивалентным автодуальности связности Леви-Чивита, индуцированной на расслоении автодуальных 2-форм.

Тензор Вейля конформной кривизны W на ориентированном четырехмерном многообразии разлагается на две компоненты W+ и 片，неприводимые относительно действия специальной ортогональной группы. Многообразия, для которых одна из этих компонент обращается в нуль, называются конформно по- луплоскими. Типичными примерами таких многообразий могут служить стандартная сфера, комплексное проективное пространство и КЗ-поверхности с риччи-плоскими метриками. Двумя первыми примерами исчерпываются все конформно полуплоские многообразия Эйнштейна положительной скалярной кривизны. Мы приведем новое доказательство этой теоремы, использующее теорему об индексе для скрученного оператора Дирака на некотором расслоении.

К конформно полуплоским многообразиям применима твисторная конструкция Р. Пенроуза. На ориентированном римановом многообразии рассматривается пространство комплексных структур, согласованных с ориентацией. Это пространство называется пространством твисторов. Оно имеет почти ком-

плексную структуру, интегрируемую тогда и только тогда, когда 取 + = 0. Комплексная структура в пространстве твисторов кодирует конформную структуру базового многообразия. Антиав- тодуальные связности в векторных расслоениях соответствуют (1,0)-связностям в голоморфных векторных расслоениях над пространством твисторов. Эта конструкция особенно успешно применяется для некомпактных многообразий, а также для построения полей Янга ——Миллса в расслоениях над стандартной сферой (в последнем случае пространство твисторов отождествляется с iCP3). Отметим, что метрики Тауба — НУТ являются лоренцевыми аналогами конформно полуплоских метрик Эйнштейна на R4, которые мы строим с помощью твисторных методов (см. гл. 3).

Автоду ал ьность

Напомним определение оператора Ходжа 柴.Если а, 0— внешние р-формы а(о@ — форма объема на ориентированном римановом многообразии (М,£) (см. 1.50), то

а А * В = (а, В) %.

При dim М = 4 и р = 2 оператор Ходжа задает эндоморфизм*： /\йт*м^ /\2т*м,

для которого *2 = Е. Два его собственных подпространства с собственными значениями +1 и —1 обозначаются через Д Т*М и Л Т*М. Они определяют два трехмерных векторных расслоения, которые называются расслоениями автодуальных и антиавтодуальных 2-форм на М.

Очевидно, ㊉".

Оператор кривизны /?: А 2-> А2 относительно этого разложения можно представить в блочном виде

Из тождества Бьянки вытекает самосопряженность R, следовательно, Л = Л*, С = 8*, D = О*. Разложение тензора R на неприводимые составляющие (см. 1.126) показывает, что

tr』=tr Q = s/4; B = r — -^sg;

(° q丿一s/12 = IF (тензор Вейля).

Две компоненты 取+ = /—s/12 и W^ = D — s/12 тензора Вейля называются его автодуальной и антиавтодуальной составляющими.

Поскольку оператор Ходжа 騎 коммутирует с лапласианом на формах, разложению Д = Л + ® Д соответствует разложение гармонических форм. Если многообразие М компактно, то, согласно теории Ходжа, двумерная группа когомологий допускает разложение

4(m, R)=%+㊉制=

Если а ——автодуальная 2-форма, то в силу (13.5) форма ада есть положительное кратное формы объема Sg (см. 1.50)* а если а — антиавтодуальная 2~форма, то а д а есть отрицательное кратное(og. Поэтому многообразие М имеет сигнатуру

1：=力* ——b_, где b± = dim 鑑土.

По теореме Хирцебруха о сигнатуре ([Hir])

t(M) = ^Pl(M),

где pi — первое число Понтрягина, а по теореме Чженя ——Вейля ([Ko-No])

；Р1(М) =諄 \ tr(R А&),

м

где тензор R рассматривается как матричная 2-форма. Поскольку операторы В и В* действуют на ортогональных пространствах»

tr (R 八 R) = tr(/八/) + tr (О 八 О)==一2(1 環+12-1 旷 12)3g

(так как а д а = | a |2(og, если форма а автодуальна). Теорема о сигнатуре приводит к формуле

T=%一6一=击 \(1呼+|2-1環-f)%,

которая уже испол ьзов а л ась в 6.34.

Согласно теореме Гаусса — Бонне, эйлерову характеристику можно представить в виде интеграла

% （М）=费 \ tr （*А）2 <0g =

=* \tr （"一288* +。2）/

В частности, если метрика g эйнштейнова, то В = 0 и

置М）=白\打（4 + 02）底=

хм

1 г1、

=费\（1k+F+I旷Г+击s2）~

м

2

Как и в 6.35, отсюда следует неравенство /《■§■%, в котором знак равенства достигается тогда и только тогда, когда % = 0 н s = 0.

Интерес физиков к римановым многообразиям Эйнштейна отчасти объясняется связью этих многообразий с полями Янга — Миллса. С точки зрения дифференциальной геометрии такие поля представляют собой связности V в главном G-pac- слоении Р над 4-многообразием М с компактной группой G.

Определение. Инстантоном Янга — Миллса называется критическая точка функционала

YM（V）= J|F|2<og,

м

где F^CX（9® А2） —кривизна связности （д обозначает алгебру Ли группы G）. Кривизна F таких критических точек V гармонична:

匹f=0,严F=0,

где rfv — оператор внешнего ковариантного дифференцирования, определенный в 1.12.

По теореме Чженя——Вейля второй класс Чженя C2（V） векторного расслоения V, ассоцииров а иного с Р н представлением группы G, равен

e2 （V）=费\ tr （尸人尸）=

=*，（1尸+1f.|2）吸，

м

где с ——некоторая универсальная константа, а 尸土 есть g ③八 ±- составляющие кривизны F. Таким образом,

УМ“)>^|С2(У)|,

причем минимум УАГ (V) достигается тогда и только тогда, когда F+ = 0 или F— = 0.

Определение. Автодуальной связностью называется связность, кривизна которой удовлетворяет условию 『=0.

Такая связность является критической точкой функционала Янга ——Миллса.

Между уравнениями Эйнштейна и Янга — Миллса существует близкая аналогия. Действительно, на многообразии Эйнштейна кривизна связности Леви-Чивита гармонична и, следовательно, является критической точкой функционала Янга —— Миллса. Кроме того, справедлива следующая теорема.

Теорема (Зингер, [At-Hi-Si]). Четырехмерное многообразие М является многообразием Эйнштейна тогда и только тогда, когда связность Леви-Чивита в Д+ автодуальна.

Доказательство. Кривизна связности в Д+ задается первой строкой блочного разложения (13.6) тензора кривизны. Поэтому антиавто дуальная составляющая В* обращается в нуль тогда и только тогда, когда М есть многообразие Эйнштейна. □

В то же время на уровне функционалов аналогия между уравнениями Эйнштейна и Янга — Миллса не сохраняется (см. 4.82).

С. Конформно полуплоские многообразия

В этом параграфе мы рассмотрим с точки зрения дифференциальной геометрии те многообразия Эйнштейна, которые- мы называем конформно полуплоскими. Они связаны с общими многообразиями Эйнштейна так же, как автодуальные решения связаны с общими решениями уравнения Янга — Миллса.

Определение. Ориентированное 4-многообразие (Mg) называется конформно полуплоским, если % = 0.

Очевидно, что это условие конформно инвариантно.

Примеры, (i) Этому условию удовлетворяет любое конформно плоское 4-многообразие, в частности

M = R* s* Т* SXS3.

Связные суммы этих многообразий также имеют конформно плоскую (и, значит, полуплоскую) структуру (см. [Kul 1]).

Проективная плоскость СР2 с ориентацией, заданной комплексной структурой, и метрикой Фубини — Штуди является конформно полуплоской. Это следует из инвариантности ее тензора кривизны относительно действия группы изотропии С/(2). Поскольку группа U (2) и SO (4) на Д действует неприводимо, по лемме Шура компонента D из 13.6 является скалярным оператором.

КЗ-поверхность с противоположной ориентацией и метрикой Калаби — Яу является конформно полуплоской. Действи-

7 2

тельно, в этом случае неравенство 丁《言％ превращается в равенство, поскольку для канонической ориентации т =——16 и % = 24.

Прежде чем продолжить исследование, обобщим нашу технику на случай произвольных четырехмерных ориентированных римановых многообразий. Главное расслоение Р ориентированных ортонормированных реперов на таком многообразии имеет структурную группу SO (4». Трехмерное подрасслоение Д + имеет индуцированную метрику и ассоциировано с расслоением Р и представлением

V: SO ⑷— SO (3),

имеющим ядро SU(2). Аналогично, подрасслоение А задается представлением Д-: SO(4)->SO(3). Ядра этих представлений являются коммутирующими нормальными подгруппами группы 50(4), которые изоморфны группе SO(3) и пересекаются по лодгруппе {±1}. Следовательно, имеет место изоморфизм

SO ⑷ dSU(2)XSU ⑵/Z2,

где группа Z2 порождена элементом —1 = diag(—1, —1).Таким образом, нетривиальное двулистное накрытие Spin (4) группы SO (4) изоморфно группе sO(2)XSU(2).

Обозначим через W+ и 三一 два комплексных векторных расслоения над М, ассоциированных с двумерными представлениями сомножителей SU (2). Они глобально определены лишь в том случае, если М — спинорное многообразие, т. е. если второй класс Штифеля ——Уитни w2 (Af) = 0. Обозначим через $加£± симметрическую m-ю степень расслоения W±. Это комплексное расслоение размерности m + 1- Согласно теории представлений, любое расслоение, ассоциированное с неприводимым

представлением группы Spin (4), имеет вид

SmS+®SnS"

(см. [Var]) и является представлением группы SO (4) в том и только в том случае, если элемент diag(—1,——1) действует тривиально, т. е. если m + п четно.

Базисное представление W+ обладает симплектической： структурой (поскольку SU(2)uSL(2, ：С)) и унитарной структурой (поскольку SU(2)uU(2)), которые определяют изоморфизмы

"于4(工+)*,2+ 4 (月+)*.

Композиция этих изоморфизмов представляет собой кватер нионную структуру

которая является антилинейиой (/(Хи) =X/(v)) и удовлетворяет условию 尸=—1.

Аналогично, эти две структуры при нечетном т индуцируют на Sm2+ си мп лектическую и кватернионную структуры, а при. четном т—метрику н вещественную структуру.

Трехмерные представления 入土 определяют естественные изоморфизмы

A±^S22±.

Кроме того, единственное четырехмерное вещественное представление группы Spin (4) определяет изоморфизм

А1 ~ s+ ® s~.

Завершающий вклад в построение нашего формализма вносит формула для разложения тензорного произведения

min (т, п)

SmS+®Sn2+ ^ ф sm+n-2k^+

4=0

(см. [Var]), которая доказывается с помощью повторных сверток тензоров относительно симплектической формы. Перечисленные свойства неприводимых представлений позволяют свести к минимуму сложности тензорного исчисления.

Рассмотрим с этой точки зрения компоненты блочного разложения оператора кривизны. Имеем

в^с"(Д + ® Л ~) =^ с°° (Sx+ ® s%-)

(причем соответствующее расслоение неприводимо) и

ЛеС°°(А + ® A_)^C°°(S2S+ ®S2S+).

Из (13.22) следует, что

S2S+ ® S2S+ 4 S4S+ ㊉ S2S+ ㊉ S°E+,

причем кососимметрические операторы лежат в S2S+. Поскольку оператор А симметричен, А^С°° (S°E+ ㊉ S4S+). Расслоение S°E+ является тривиальным расслоением, соответствующим скалярным операторам, поэтому операторы с нулевым следом, в том числе W+, лежат в неприводимом расслоении S4S+. Аналогично, r-eC°°(S4E-).

Рассмотрим теперь расслоение S^E-. Ковариантная производная D связности Леви-Чивита определяет дифференциальный оператор

О: С°° (Sm^~^C°° (Sm^® Л1).

Разложение расслоения 5酬£一 ® ,Л! на неприводимые компоненты имеет вид

ST g ЛI 4 S”_ ®S+®S-~ (sm+勺- ® 工+)㊉(sra-Is~ ® е+).

Композиция оператора D с проекциями на эти компоненты определяет два дифференциальных оператора

《13.25) Dm: С°° (SmS~) -^ С°° (Sm-IS~ ® S+), Пга: С°° (SmS-) -^ С°° (Sm+IS- ® S+).

Можно рассмотреть также формально сопряженные к ним операторы

О：: С°° (Sm-IS- ® S+) -> С°° (SraS~),

方工 с°° (sm+Is_ ® s+) -> с°° (sms~).

13.27. Предложение. Если М — конформно полуплоское ^-многообразие, то последовательность дифференциальных операторов

С°° (ST) " с°° £+七- ® 工+)С°° S+2£-)

является эллиптическим комплексом.

Доказательство. Прежде всего убедимся, что это комплекс, t. e. чтоQ丁+2Dm=0.

Каждый оператор выражается через ковариантную производную D, следовательно,

Dm+2Dm = п/)2,

где о 巨 С°° (Hom (SmS~ ® Д1 ® Д1, sm+2 2~)) — некоторое линейное отображение. Поскольку отображение о определяется с по- мощью SO (4)-инвариантного проектирования, оно также должно быть инвариантным. Ограничение отображения о на симметрические формы должно лежать в Hom (SmS~ ®(S2S+ ® S22'+ + 1), S机+2工一).Но разложение тензорных произведений показывает, что в этом пространстве нет инвариантных элементов. Значит, оператор D^n^Dm является инвариантной линейной функцией кососимметрической части оператора О?, 丁. е. кривизны. Существует лишь одна такая функция — отображение симметризации

ST ® Л-^ ST ® $2工_ — S^E-,

которое зависит только от компоненты W~ 三 S4S~ кривизны. Если многообразие М конформно полуплоско, W^ = 0 и, следовательно, Om+20m = 0・

Доказательство эллиптичности сводится к проверке эллиптичности оператора

万*③。* З

с°° (sm+12~ ® 2+) —~^ С°° (Sm2~ ® Sm+22~).

Заметим, что .

ST ㊉ Sm+2S~ ~ Sm+12~ ® £_

и у нас уже есть естественный эллиптический оператор ——оператор Дирака 勿。с коэффициентным расслоением Sm+iW~

@D： С°° (sm+12~®2+)^Coo(Sm+12_ ® 2~).

Поскольку оператор ⑦。выражается через ковариантную производную и инвариантное проектирование, его можно представить в виде 又)D = &Om ㊉。2。帆+2・ Из эллиптичности оператора 2° следует, что коэффициенты Ci и С? отличны от нуля. Следовательно, исходный комплекс эллиптичен.□

Для каждого из этих комплексов можно рассмотреть двойственный комплекс

.ОD*

(13.28) С「(Sf-)上^ С8 (Sm+12~ ® Е+)二 C°°(Sm2").

Например, при m = 0 комплекс принимает вид С8&С8(Д|)£С8(Л-), где d~ = -^ (d — * d). При этом двойственный комплекс

с8(л5&С8(лЗ)&с8(л4)

можно рассматривать как《половину》комплекса де Рама.

Если т нечетно, то комплекс (13.28) глобально определен лишь в том случае, если многообразие М спинорно.

Проведенные рассуждения позволяют наложить сильные ограничения на структуру конформных полуплоских многообразий. В частности, с их помощью можно доказать следующую теорему.

Теорема (Хитчин). Пусть М — компактное конформно^ полуплоское многообразие Эйнштейна, Тогда

если s > 0, то М изометрично S4 или СР2 со стандартными метриками^

если s — G, то М либо плоско, либо накрывается К3-〃о- верхностью с метрикой Калаби — Ну.

Доказательство, (i) Пусть s > 0. Рассмотрим комплекс

С°°(S2S~) * С" (s32~ 8 工+) 3 С8 (s4x~).

Согласно теории Ходжа, индекс этого комплекса равен

index = dim Кег D^ + dim Кег D^— dim Ker О；㊉万.

Но это выражение совпадает (как мы уже видели) с индексом оператора Дирака

，：сто (s~ ® s3s_) -^ с°° (s+ ® s3s~).

По теореме Атьи — Зингера об индексе ([At-Si], [Sha]) этот индекс равен

ind 勿。=-ch (S3) A (M)=

= (10c2(S_) -4)(1- pi/24)["]=

=5% — 7T

(здесь мы воспользовались теоремой о сигнатуре).

Применяя формулу Вейценбёка (см. 1.151) к оператору Дирака с коэффициентами в расслоении S3S~, получаем (13.32)(勿。)2 = D*Z) - 4 (а2® 1 + а® р) (/?),.'

где о—представление группы St/(2) в пространстве S~, а р — представление в пространстве S3S~.

Поскольку метрика является конформно полуплоской и эйнштейновой, кривизна ее связности Леви-Чивита на S3S~ полностью определяется скалярной кривизной s (см. 13.6).

Нам уже известно (см. 1.152), что п2 (7?) = —^ s. Поэтому при вычислении члена, содержащего кривизну, в формуле Вей- ценбёка можно считать, что R = cg® g. Пусть {X»—ортонор- мированный базис алгебры Ли о(п) относительно киллинговой формы. Тогда оператор казимира (см. [Var]) представления р: о(/г)т EndV имеет вид

С (U) = р2 ( Е & ③ ％) = £ р (XJ2 е End к

По лемме Шура этот оператор скалярен, если представление неприводимо. Для группы SO (4) имеем

С (s”+ 2 SnS~) = -^-(m(m + 2) + n(n + 2))

(см. [Var]) и

c(s® S'-) = К (о2 ®П +' 2f®p +1®Р2) (g泊 g)

для некоторой положительной константы К. Отсюда

(。2住 I +。③р)(R)=手(с(S®s%-) + c(s)-c(s%-))

'-^- на S+qS^ c:S®S3S_,一~^ на SX uEoSW.

В силу теоремы Бохнера об обращении в нуль 1.137 при с〉ОКег “ = 0, Ker Q；㊉耳=0.

Поэтому из (13.31) следует, что

dim Ker А = ind 3)D = 5% — 7т.

Применяя теорему об обращении в нуль к комплексу при 加=0, т. е. к комплексу

。8 上 С8 (А I) £ С» (八-)

получаем, что 6i = 0 и &__ = 0. Следовательно,

Х = 2 + Z?+, т = 6+

и, значит,

dimKer 方2=10 —26+.

Используя теперь интегральное неравенство ■ 2

получаем, что 匕十 & 4. Поскольку s > 0, равенство невозможно, следовательно, &+ < 3. Таким образом,

dimKer》2>4.

Теперь нам нужна следующая лемма.

Лемма. Пусть М — эйнштейново 4-многообразие, и пусть а е С°°(Л ) удовлетворяет условию 瓦а = 0. Тогда век- торное поле X, задаваемое равенством da = ix^g, является кил- линговым.

Доказательство. Пусть л「Л ® Л1 ® Л1 -► Л ® Л+ — инвариантная проекция, а я2: Л -^ Л ® Л1 ——естественное включение

х+ ③ X- - (х+ ® 歹)㊉(х+ ® s^~).

Тогда композиция

几 1 (冗20也)：a1® a1-^A"®Л +

либо равна нулю, либо кратна единственному инвариантному отображению. На самом деле, вычисляя ее на разложимом эле- менте, легко доказать, что она нетривиальна.

Рассмотрим теперь элемент £)2аеС°°(Л ® Л ® Л 9- Проекция “Z^a кососимметрична относительно Л1 ® Л1 и, значит, равна 打《Ra). Из эйнштейновости многообразия М следует, что тензор R не имеет Л ③ Л +-компоненты, т. е.冗i(Ra) = 0. Кроме того, поскольку D^i = 0, проекция элемента Da на 2+ ® 532~-компоненту пространства S?工-⑥ AJ равна нулю. Таким образом, DaeC°° (三+⑥工一).При изоморфизме S+ ® 2一亠 Л3 элементу Da соответствует da или X (если с помощью метрики определить векторное поле).

Итак,打］£>2а =冗】(冗？ ® id) DX. Поскольку л^а — 0, поле X удовлетворяет единственному инвариантному уравнению Л1 (эт2 ® id) DX = 0, т. е. бесследовая симметрическая составляющая тензора DX равна нулю. Из равенства 22a = о следует, что

divX = 0. Таким образом, вся симметрическая составляющая тензора DX равна нулю, т. е. поле X киллингово. □

Если D2a = 0 и da = 0, то форма а должна быть ко- вариантно постоянной и, значит, гармонической. Но поскольку bi = 0, это невозможно. Поэтому из (13.35) вытекает следующая оценка размерности группы G изометрий многообразия М:

dim G》dim Ker О2》4.

Поскольку О W b+ W 3, достаточно рассмотреть три случая. Сначала предположим, что Ь+ > 2. Тогда на М определены две линейно независимые (над R) гармонические автодуальные 2-формы ai, аг- Предположим, что на некотором открытом множестве а2 = /а, где f — некоторая С°°-функция. Тогда

О = dct2 = df Д aP

Значит, «! = 0 A df, где df 崂 0, откуда сц 八 ％ = 0. Но форма cq автодуальна. Поэтому а{ /\ щ=\щ |2(og и, значит, f = const. Из условия гармоничности форм аь а2 следует, что если форма а2 —放1 обращается в нуль на некотором открытом множестве, то она тождественно равна нулю (см. [Аго]). Таким образом, мы доказали, что если формы ©, аг линейно независимы над R, то найдется точка х^ М, в которой они линейно независимы.

Элементы из связной компоненты Go группы G сохраняют каждую гармоническую форму. Пусть "uG。一стабилизатор точки х. Тогда 〃uS0(4) и Н сохраняет формы он и а2. Поскольку они линейно независимы в точке х,

〃uS〃2) = Kei•入+.

Если dim" = 0, то, поскольку G есть компактная группа размерности не меньше четырех, многообразие М изоморфно однородному пространству G/Н, где И — конечная подгруппа. Но это невозможно, поскольку %(М)*0. Значит, dim// = 1, 2 или 3.

Пусть Ti — максимальный тор группы Н, а Т2—изоморфная окружности подгруппа группы G, коммутирующая с Гр Если 丁2=^丁1, то касательное направление к орбите группы Т2 инвариантно относительно группы 储.Но среди элементов группы SU(2) вещественные собственные значения имеют лишь элементы ±1. Следовательно, Т2 = Ть т. е. ранг группы G равен единице. Это противоречит тому, что dim G 为 4. Таким образом, осталось рассмотреть случаи, когда Ь+ = 0 или 1.

33 А. Бессе, т. 2

Если fe+ = 0, то из (13.38) следует, что dim G ^ 10. Отсюда сразу вытекает, что рассматриваемое ориентированное многообразие М изометрично S4 (см. [КоЬ 4]).

Если Ь+ = 1, то dim G = 8. Пусть Н — стабилизатор точки общего положения. Поскольку группа Н сохраняет ненулевую автодуальную 2-форму, она содержится в U⑵.Отсюда dim " = 4, dim G = 8 J). Рассуждения о максимальном торе (аналогичные приведенным выше) показывают, что rank G — 2. Отсюда следует, что Go есть фактор-группа группы SU⑶，а М — фактор-пространство проективной плоскости СР?. Поскольку т = 1, нетривиальные фактор-пространства отсутствуют и многообразие М изометрично СР2 c однородной метрикой. Существует лишь одна такая эйнштейнова метрика — метрика Фу би ни — Штуди (см. гл. 8). Таким образом, утверждение теоремы 13.30 доказано.

Пусть теперь s = 0. Тогда %(М) > 0 (см. [Hit 2]), причем равенство достигается только для плоского многообразия М. Если & =# 0, то по теореме Бохнера 1.155 на М существует параллельная (и, значит, всюду отличная от нуля) 1-форма, поэтому % = 0. Таким образом, если многообразие М неплоско, то 匕i = 0, причем то же самое верно для любого его конечнолнстного накрытия. Из теоремы о расщеплении 6.65 для многообразий с г ^ 0 следует, что группа щ (Л1) конечна.

Таким образом, универсальная накрывающая № многообразия М компактна (и односвязна). Из условий г = 0 и W^ = 0 следует, что кривизна связности в расслоении Л также равна нулю (см. 13.6). В силу односвязности № редуцируется к подгруппе KerA- = SU⑵ группы SO(4). Таким образом (см. 10.29), М есть кэлерово многообразие с нулевой кривизной Риччи. В частности,仇=0 м q = 0, т. е. № есть КЗ-поверхность (см. 12.104). □

D. Конструкция Пенроуза

Возможно, самым важным свойством понятия автодуальности является его связь с голоморфной геометрией. Оказывается, методы алгебраической геометрии можно применять в четырехмерной римановой геометрии. В частности, можно строить автодуальные метрики Эйнштейна, исходя из семейства голоморфных кривых в комплексном многообразии. При этом

Эти равенства показывают, что группа G действует на М транзитивно, т. е.応 4 G/Н. Поскольку %(М) ； 0, отсюда сразу следует, что XfdSU (3)/ /U ⑵—С户2 с метрикой Фубинн—Штуди. — Прим, перев.

исходная геометрия определяется не тензорным объектом типа метрики, а инфинитезимальными свойствами инцидентности кривых семейства. Этот подход был разработан Пенроузом ([Реп 2]) для решения задач математической физики.

Рассмотрим в качестве отправной точки некоторое расслоение л: Р->М. Выберем в качестве Р расслоение S(A М) единичных сфер трехмерного вещественного векторного расслоения . Это расслоение шестимерного многообразия на 2-сферы. Отождествим с помощью метрики 2-формы с кососимметрическими эндоморфизмами расслоения ТМ. При этом анти- автодуальная 2-форма в точке xwM отождествляется с эндоморфизмом J, для которого

J* = — /, J2 = — 1,

т. е. с комплексной структурой в касательном пространстве ТХМ. Каноническая ориентация, задаваемая /, противоположна ориентация многообразия М.

С помощью связности Леви-Чивита можно расщепить касательное расслоение многообразия Р:

ТР亠Г尸㊉пТМ,

где TF——касательное расслоение слоя.

Но тогда для каждой точки z — Jx^ Р можно задать в TZP комплексную структуру, считая, что она равна Jx на ТХМ и совпадает со ста ндартной комплексной структурой слоя (сферы Римана) на TZF.

Определение. Пространством твисторов многообразия М называется многообразие P = S(A М), снабженное описанной выше почти комплексной структурой.

Теорема (Р. Пенроуз, [Реп 2], М. Ф. Атья, Н. Дж. Хит- чин, И. М. Зингер [At-Hi-Si]). Пусть (М, g) — ориентированное риманово ^-многообразие, aP=S(八 М)—его пространство твисторов. Тогда почти комплексная структура на Р интегрируема 8 том и только 8 том случае, если многообразие (М, g) конформно полуплоско.

Доказательство. Нам будет удобнее воспользоваться несколько иным описанием почти комплексной структуры на Р и более фундаментальным понятием комплексных чисел. Можно показать, что

Р~Р(2~)

(см. [At-Hi-Si]), где справа стоит проективизация расслоения Мы будем работать локально на восьмимерном многообразии S_\0 (т. е. на тотальном пространстве расслоения ，- без нулевого сечения), а его фактор-пространство по действию группы С ненулевых комплексных чисел обозначим через Р(£~).

Расслоение 丸*£- над тотальным пространством расслоения л: S~\0 -> М имеет тавтологическое не обращающееся в нуль сечение Ф. Определим почти комплексную структуру на S~\0, расщепив Т(S~\0) с помощью связности и определив (1,0)- формы на горизонтальном пространстве 2^ТХМ как формы вида 屮⑥①，где 叩三(三+)%・ При этом мн используем изоморфизм Л1 ^S+ ®2~. Выберем на вертикальных подпространствах стандартную комплексную структуру слоев, которые представляют собой двумерные проколотые комплексные векторные пространства.

Выберем теперь локальное ортонормированное поле реперов {е?} касательного расслоения ТМ и соответствующие базисные поля {«а}, {фа} сечений расслоений W+ и £一. Тогда многообразие S_\0 имеет локальную параметризацию

2

(%，九)-2入аЯРа (%)，а=1

а тавтологическое сечение Ф имеет вид

2

ф= Z 九а<Ра・а=1

Пусть о)ав — форма связности расслоения S~ относительно репера {<ра}. Тогда пространство (1,0)-форм на S~\0 порождается формами

f ^а ^^ "% X 似九。^^ L 2, (13.48)§V

I06 =屮В ® ①，B = 1, 2.

Связность определяет проекцию на касательные пространства слоев расслоения S~\0, которая в выбранных локальных координатах имеет вид

Обозначим через 板 £一\0-> Р каноническую проекцию

М = (%6]-%4)/胃条=耽品•

где |л =九 1/九2 ——аффинная координата (при Хг =# 0) в слоях проективного расслоения Р(2-).

Тогда пространство (1, 0)-форм на Р порождается формами

(e/腸。丿％, %/%) = (% 必《)，

которые являются однородными формами нулевой степени и, следовательно, отождествляются (при 12 =# 0) с функциями от h =入4/入2。

13.50. По теореме Ньюлендера — Ниренберга (см. [Ne-Ni], а также 2.12) условием интегрируемости почти комплексной структуры является замкнутость идеала », порожденного формами 好，Пр 硝，относительно внешнего дифференцирования d. Для упрощения вычислений будем считать, что выбранное поле реперов геодезично в фиксированной точке х^ М. Тогда Зав I % = О Отсюда следует, что Н' = 8/九= d|i в точке х.

Взяв внешнюю производную в точке х, получим

d = rfp д (必③ q),

,/2

d河) = ®(①,R-(①))/*，

где R-三 C°° (End 2~ ® Д2) — тензор кривизны расслоения S~, a s — симплектическая форма на S~ Следовательно, d(o&) = ?・ Поскольку форма d6' не содержит члена с rfp, она принадлежит идеалу ? тогда и только тогда, когда

両 д а； л^ = ^а (ф, /Г (①))д(Ф®Ф) = 0,

где б АО2 =/③① при отождествлении Л aS%- (см. 13.21).

Поскольку а д Р = 0, если а ^ А.+ и р ^ Д , очевидно, что Л+-составляющая кривизны (т. е. В* в обозначениях 13.6) не влияет на это условие. То же самое относится н к скалярной кривизне, поскольку

Gs(Ф®Ф)Л(Ф®Ф)== 2&S®(Ф, Ф) = 0.

Остается рассмотреть %* w С°°(S/—). Если рассматривать IF— как однородную симметрическую форму четвертой степени, то условие интегрируемости почти комплексной структуры принимает вид

W~^t Ф, Ф, Ф) = 0.

Поскольку пара (11, К?) принимает произвольные значения, отсюда следует, что W~ = 0. Итак, почти комплексная структура

на Р интегрируема тогда и только тогда, когда 步一 =0. Теорема доказана.■ । □

Рассмотрим теперь расслоение 2~\0 над Р и покажем, что оно канонически ассоциировано с Р.

Если * = 0, то легко убедиться, что формы {6а,哨 порождают пространство (1, 0)-форм относительно интегрируемой комплексной структуры на £-\0, для которой отображение 冗2： £-\0f 尸 голоморфно. Рассмотрим глобально определенное сечение

а = 6 八 5 а о?三 С°°(S~ \ 0,乳:К),

где К4 八&°Р — каноническое линейное расслоение над Р.

Локально

а =像，д《А «•

Из (13.52) следует, что

de，л о； л《=о

и что в точке х в геодезическом репере 6' = dji

О' д da^ = 0.

Кроме того, в точке х имеем 4% = %三 А?°Р・ Отсюда

d"% =^ 0 и, значит,

Мх = 0.

Таким образом, форма а определяет голоморфную тривиализа- цию расслоения л2K над 2~\0. Если 九=С*, то

a (Xz) = A4a (z),

поскольку а ——однородная форма четвертой степени по (九匕入2). Поэтому a: S~\0/Z4->K\0 есть биголоморфное отображение, ком мутирующее с группой С*, действующей послойным умножением. Другими словами, £一\0 с естественным действием группы С* есть главное расслоение голоморфного расслоения 必/* для которого

点心44 K.

Линейное расслоение ^/4 на Р определено глобально, если М есть спинорное многообразие. В любом случае существует выделенное голоморфное линейное расе刀оеннеК“'=2- \ 0 Xz С, для которого

'К"'绥 K^dK.

Заметим на будущее, что форму 0 =九261 ——入i®2 можно рассматривать как сечение из c°° (к一"投 ③ А l。).

Условия интегрируемости из теоремы 13.46 конформно инвариантны. Поэтому не удивительно, что почти комплексная структура на Р зависит только от конформного класса метрики. Пусть метрика g конформна метрике g =/g, а {&}—ориентированный ^-ортонормированный базис касательного пространства ТХМ. Тогда матрицы связностей Леви-Чивита метрик g и g относительно этого базиса связаны соотношением

《13.58)而订=о订 + 与(df, g) — g (df,与)

(см. [Hit 4]), где векторы и 1-формы отождествляются с помощью метрики g. На спинорном расслоении имеем

2

《13.59)而"=®@в —彳 ^2〈"' •①а，％〉％ ③①В•

Из (13.48) следует, что

2

0а=0«-4Г <^-中 а, %〉％,

Y=1

6а = е&・

Таким образом, пространство (1, 0)-форм, порождаемое формами 6\ di, & (см. 13.49), при конформной деформации метрики не меняется.

Мы предпочли не менять симплектическую форму в спинорном расслоении при конформной деформации метрики. При этом удается доказать конформную инвариантность почти комплексной структуры, но голоморфная форма а = 6 △ о】△为 не является конформно инвариантной. Действительно, из (13.60) и (13.61) следует, что

О A 存1 А 存2 = e2通 Aо1 А02•

Если считать, что при конформной деформации метрики

g f е2fg

симплектическая форма на спинорах преобразуется по закону〈,〉~> е，〈,〉，

то форма а становится конформно инвариантной и формулы (13.60) и (13.61) принимают вид

(13.62)(13.62)ёа = е-1/2(еа + Еаарар), За = е"2匕⑦

(13.62)

(13.62)

Возникающие здесь весовые множители делают оператор Di конформно инвариантным и являются основой «более инвариант* ной》трактовки в [At-Hi-Si].

Предложение, (i) Слои расслоения 冗：尸—Л1 являются голоморфными кривыми с нормальным расслоением Н ® Ну где Н ——голоморфное линейное расслоение над СР】с q(")= 1.

Расслоение Р обладает свободно действующей антиголо- морфной инволюцией т: Р f Р, сохраняющей слои.

Доказательство, (i) Мы будем работать в расслоении S~\0. Формы а], о?, ограниченные на слои, тождественно равны нулю. Кроме того, в геодезическом репере в точке 尤 форма 6а равна d兄％ а = 1, 2, и является (1, 0)-формой относительно стандартной комплексной структуры на слое (S~)x. Отсюда следует, что каждый слой голоморфен, а следовательно, каждый слой проек- тивизации Р (£一) = Р является голоморфной кривой.

Формы о】и о? порождают конормальное расслоение слоя (£-)% и голоморфны, поскольку формы do(x не содержат членов с d入в- Поэтому они тривиализуют конормальное расслоение в S~\0. Однако они линейны по 九 и, значит, при проекцивиза- ции тривиализуют расслоение Н ® /V*, где Н — положительное расслоение Хопфа, а № — конормальное расслоение. Отсюда следует, что

N ^Н®Н

или, в более инвариантной форме,

Nd〃^(E+)%,

поскольку индексы в па относятся к базису в S+

(ii) Кватернионная структура /: ，- —£一 определяет свободную инволюцию t на Р (заметим, что ее квадрат 产=—1 есть скалярный оператор, откуда т2 = id). Поскольку связность Леви- Чивита на，- имеет группу голономии SU(2), она сохраняет эту структуру. В частности, /*6 и /*п также являются (1,0)-формами, а инволюция т антиголоморфна. Очевидно также, что йна сохраняет слои.□

Примеры. Пусть М = R4—плоское евклидово пространство. Тогда P~S2X R4 и в обозначениях 13.46 комплексная структура задается 1-формами

6' = d|i,

* =屮1 ■ (НФ1 + ф2),《=叩2③(四1 + %)■

Поскольку {(ра} н {屮廿} есть SU(2)-базисы, имеем /屮1 =叩2, /Ф1 = ф2, где j ——кватернионная структура. Зафиксируем q)i н рассмотрим на R4 комплексную структуру, задаваемую отображением ip —> Re (*ф ® ф]),屮 三 £+亠 С?. Тогда в декартовых координатах (21, 22)на ,С2

9' = с?ц,

a| = Ц tfe]一成2，

^2 = Ц dz2 + dir

Отсюда видно, что соответствующая комплексная структура не является структурой прямого произведения.

Функции

工⑵1 =n?1 -22， з2 =从?2 + 21

являются локальными голоморфными функциями на Р, определенными при 入2 耍 0. Аналогично, функции

血1=4 一广2, 电=出十(4

определены и голоморфны при % 子 0. Поскольку 卩敏х =侬а, проективное пространство P(R“) становится комплексным голоморфным векторным расслоением Н® Н над QPL

Вещественная структура т определяется кватернионной структурой в слоях расслоения Р. Отсюда следует, что антиго- ломорфная инволюция т имеет вид

t也,4, г2) = (—Д-, Z],电)，

T(", g,%) = (—+,一普,警).

Слоями проекции являются кривые 21 = с】,22 =。2, т. е.

@=“]-% g =ne2+ еЬ

Это в точности голоморфные сечения расслоения Н® Н, инвариантные относительно т.

Пусть М = S4. Метрику постоянной кривизны на S4 можно рассматривать как метрику симметрического пространства HP】=Sp(2)/Sp(l)XSpjl), т. е. кватернионной проективной прямой. Тогда расслоение £一 есть просто однородное векторное расслоение, определяемое двумерным представлением одного из сомножителей 5р(1), т. е. кватернионным расслоением Хопфа.

Если рассматривать двумерное кватернионное векторное про- .странство Ц2 как комплексное векторное пространство ,С?,

снабженное оператором j, то точками тотального пространства расслоения Хопфа являются произвольные ненулевые векторы. Поэтому проективное расслоение Р есть просто 心户.

Слоями расслоения Р будут проективные прямые в СР\ инвариантные относительно кватернионной структуры j. Соответственно, точки из НР представляют двумерные подпространства с С4, инвариантные относительно /.

Поскольку дополнение к точке в S’ конформно эквивалентно к", дополнение к прямой в СР? должно быть, согласно 13.64, голоморфно эквивалентно "㊉". Действительно, эту эквивалентность задает проекция на произвольную прямую, не пересекающуюся с исключенной прямой.

Пусть М = Г4——плоский тор, т. е. фактор-пространство евклидова пространства Р4 по решетке. Тогда расслоение Р(Т4) получается факторизацией расслоения Я ® Я по соответствующему действию этой решетки. Тотальное пространство есть компактное многообразие, голоморфно расслоенное над СР комплексными торами. Такие расслоения изучал Бланшар (см. [В1а]). 1

Пусть М = S3 X S1. Это фактор-пространство многообразия 英4\0 по конформному действию группы ：, порожденной гомотетией хь->Хх, где 厶三飞\{0, 士 1}. Многообразие P(S3 X S1) есть компактное комплексное многообразие, днффео- морфное S1 XS2XS3. Оно голоморфно расслоено над QP поверхностями Хопфа.

Оба последних примера некэлеровы. Можно показать, что только S。и СР2 являются компактными кэлеровыми пространствами твисторов (см. [Hit 4]). Это позволяет получить другое доказательство теоремы 13.30 (см. [Fr-Ku]).

Е. Обращение конструкции Пенроуза

Мощь подхода Пенроуза заключается в том, что он позволяет получить метод построения полуплоских структур, а затем и конформно полуплоских многообразий Эйнштейна. Это достигается благодаря следующей теореме (обратной к теореме 13.46).

Теорема (Р. Пенроуз, [Реп]). Пусть Q — комплексное ^-многообразие, которое

расслаивается на проективные прямые, имеющие нормальные расслоения Н® Н\

обладает свободной антиголоморфной инволюцией т, сохраняющей слои.

Тогда Q голоморфно эквивалентно пространству твисторов 尸(М) некоторого автодуального многообразия М.

Доказательство. Условие (а) определяет многообразие М как базу расслоения. Поскольку комплексную структуру в Р(М) обусловливает не сама метрика, а ее конформный класс, теорема определяет конформную структуру в М

Поскольку мы располагаем голоморфными начальными данными, нужно применять голоморфные методы. Воспользуемся теорией продолжений Гриффица ([Gri]) для того, чтобы построить на М конформную структуру, рассматриваемую как G-структура второго порядка (см. [КоЬ 4]).

Пусть YuQ — проективная прямая из формулировки теоремы, т. е. слой расслоения р: Qf М, a Z = Р (3\4) = Я ® Я — пространство твисторов для Р4. Выберем изоморфизм f: У->Z проективной прямой У на нулевое сечение расслоения Z. Препятствием к продолжению этого изоморфизма на инфинитезимальную окрестность первого порядка по дм ногоо бр аз ия У и Q является элемент группы когомологий "〔(У, f^Z包牙)с коэффициентами в указанном пучке. Однако на нулевом сечении /(У) = =CPuZ

TZ с^Н2^НеН

и по условию теоремы

N ~Н$Н.

Поскольку Н1 (СР1, Hk) == 0 при 狗>—1 (см. [Wei]), отсюда следует, что Я1 (У, fTZ ® N*) = 0. Таким образом, отображение ? продолжается до отображения 产* окрестности первого порядка подмногообразия『(У)и Q.

Продолжение f^ имеет производную

У 三 小(У, Hom gQ,「？)).

Пусть 冗：А/㊉"—СР】一естественная проекция. Тогда 时：У-> т- С Pi — изоморфизм и, значит, Ker (nf)z = £ cz TQ | ^ ——голоморфное подрасслоение ранга два, трансверсальное к ГУ, т. е. расслоение, изоморфное нормальному расслоению N. Поскольку разность двух таких продолжений лежит в Н° (У, f*TZ ® N) из (13.71) и (13.72) следует, что продолжение всегда можно исправить таким образом, чтобы его производная「стала изо мор* ■физмом. Выберем именно такое продолжение.

Препятствием к продолжению 产 на второй порядок является элемент группы Н'М ф ® SW) (см. [Gri]). Эта

группа также равна нулю и, значит, существует продолжение /(2). Далее, по определению Е производная (л/)7 обращается в нуль на направлениях из Eu^Q. Поэтому существует корректно определенная вторая производная

(哂〃三〃。(匕 Hom (S2£, (лЛ^СР1)).

Разность двух продолжений лежит в Я0 (У, fTZ 0 S2N*). но поскольку ТУ0 (СР1, "7) = 0, отображение

л: "。(У, rfz ⑤ S/*) — 〃。(У,(吋)* TCP1 ® S2y)

является изоморфизмом. Отсюда следует, что всегда можно выбрать второе продолжение f таким образом, чтобы вторая производная (冗/)" обращалась в нуль.

Вещественная структура т на Q и соответствующая вещественная структура на P(R4) (см. 13.64) позволяют рассматривать все группы когомологий как вещественные векторные пространства, если исходный изоморфизм f согласован с т. Поэтому существует вещественное продолжение изоморфизма f на второй порядок.

Поскольку конструкция пространства твисторов конформно инвариантна (см. 13.57), группа сохраняющих орнен- тацию конформных преобразований сферы S* т. е. группа SO(5, 1), действует как группа голоморфных преобразований пространства СРз, сохраняющих вещественную структуру т. Но вещественная группа SO(5, 1) является вещественной формой группы SL(4, С). Поэтому любое биголоморфное преобразование пространства СР3, сохраняющее т, принадлежит группе SO(5, 1).

Рассмотрим вопрос об однозначности выбора продолжения N). Из (13.71) и (13.72) следует, что

dim〃°(y, f?Z ⑤&*) = 8.

Любые два продолжения, являющиеся изоморфизмами, получаются друг из друга изоморфизмом окрестности первого порядка нулевого сечения f(V)uZ на себя, тождественным на самом сечении. Подгруппа группы SL(4, С), оставляющая неподвижными все точки прямой из СР3, представляет собой связную восьмимерную подгруппу. Поскольку пространство Z отождествл я ется с открытым по дм ножество м в СР3, а его нулевое сечение соответствует прямой /, из 13.76 следует, что любые два вещественных продолжения изоморфизма / на первый порядок сопряжены элементом конформной группы, действую-

щей в 尸(IK*). Этот элемент оставляет неподвижной любую точку прямой /. Два различных исходных вещественных изоморфизма f отличаются на элемент группы SU(2), действующей на прямой /. Таким образом, мы получаем голоморфный изоморфизм окрестности второго порядка подмногообразия У

f(2)： Qf р (尺〉

определенный с точностью до действия группы 2。三 SO (5,1) на Р(К4), где 必о——подгруппа, сохраняющая точку в S“ (или, что эквивалентно, прямую в С Р3).

Рассмотрим, наконец, отображение

R4竺呼h x s2 4P(r)a⑵)二q—m.

Его можно рассматривать как 2-репер в точке р(У)= х^М, определенный корректно с точностью до преобразований из группы 2о・ При изменении х все такие 2-реперы образуют конформную структуру на М (см. [КоЬ 4]), причем по построению имеет место изоморфизм Q~P(Af).

С точки зрения теории G-структур различные 2-реперы, образующие конформную структуру, представляют собой 2-струи геодезических координат для всех метрик данного конформного класса. Комплексный репер 6', о；,《на Р(М) эквивалентен в геодезических координатах плоскому реперу на P(R> Таким образом,

% = f(2)4,哈 м — /⑵虱 X

Поскольку эти формы имеют тип (1,0) относительно данной комплексной структуры на Q, которая по условию теоремы интегрируема, по теореме 13.46 многообразие Q есть пространство твисторов конформно полуплоской метрики на М. □

Замечание. Существует и более конструктивный метод построения конформных структур. Теорема 13.69, обратная к теореме 13.46, гарантирует, что при этом получаются полу- плоские структуры.

Отправной точкой метода является теорема Кодаиры ([Kod 2]). Если X ——комплексное многообразие, а УиХ ——его компактное комплексное подмногообразие, для которого 〃1(У, N) = 0, то У принадлежит локально полному семейству, параметризованному некоторым комплексным многообразием Z. Кроме того, существует естественный изоморфизм Т^ — 4//°(丫2, N), где N ——нормальное расслоение многообразия У2» z w Z, этого семейства.

Положим У = л-1 (х) и X = Q. Поскольку N ~ Н 會 Н и Н1(СР19 Н®Н) — 0, можно воспользоваться теоремой Кодаиры. Так как石。(心p,日㊉日)=4, комплексное многообразие имеет размерность четыре.

Из связности М следует включение MuZ_ Таким образом, мы построили комплексификацию многообразия М. Поскольку Yz есть достаточно близкая к Ух, х^ М, кривая семейства, кривая т(Уг) в силу локальной полноты также принадлежит семейству. Таким образом, окрестность многообразия М в Z допускает антиголоморфную инволюцию, для которой М является множеством неподвижных точек, поскольку т по условью сохраняет слой Ух. Это означает, что М есть вещественная форма комплексного многообразия всех кривых семейства, порожденных слоями расслоения л.

Рассмотрим теперь изоморфизм T^d Н° (}], А『)а положим

С ^{е^Н^ (%,纺 I е (") = 0 Для некоторого у 三 匕},

Поскольку N^Н ® Н, голоморфное сечение е задается парой линейных форм (。卩 + 力，сн +日)и обращается в нуль в некоторой точке тогда и только тогда, когда ad ——be = 0. Следовательно, С задает на Tz квадратичную форму, определенную с точностью до пропорциональности, т. е. комплексную конформную структуру. Таким образом, мы получаем вещественную конформную структуру над точкой х^ М. Для того чтобы убедиться, что это и есть та структура, о которой говорится в теореме 13.69, достаточно найти ее для ₽4 (в нормальных координатах). Согласно 13.64, т-инвариантные кривые в случае 7И = R4 имеют вид

叫=HG - с0, 侬2 =ne2 + &・

Касательные векторы многообразия М задаются сечениями расслоения Я® Я вида е = (м・с； —乙，卩《+ 弓).Поэтому конформная структура определяется квадратичной формой с芻 + с；爲， т. е. евклидовой метрикой.

Пример. Пусть Q—многообразие флагов F3 = = SU(3)/T. Это многообразие состоит из пар (т, /), где m 三 w СР?, а /—прямая в СР?, проходящая через точку т. Можно дать и другое (эквивалентное) определение: F3 есть проективи- зация голоморфного касательного расслоения проективной плоскости С Р2.

Определим отображение л: F3 -> 1С Р2

л(/〃，/) = /П"1 丄.

Двумерное ортогональное дополнение к одномерному подпространству, соответствующему точке т, мы определим с помощью скалярного произведения в С3, а соответствующую проективную прямую обозначим через т1.

Определим отображение т:尸3一 尸3

т （m, Z） = （/丄,m1）.

Отображение т антиголоморфно, инволютивно （т2 = id） и не имеет неподвижных точек, поскольку m 陆『口丄.Очевидно, что я коммутирует с т. Хотя отображение л не голоморфно, его слои л-1 （х） являются голоморфными кривыми. Действительно,

冗-】（％） = ｛（m, /）, % w。机 w %丄｝, т. е. слои состоит из всех прямых, проходящих через точку % （и образующих СР）, вместе с выделенными на них точками пересечения с 尤丄.Это определяет голоморфную проективную прямую в F3, инвариантную относительно т.

Для того чтобы найти конформную структуру на СР2, задаваемую комплексным многообразием F3, рассмотрим сначала полное голоморфное семейство кривых Z. Положим

Z = ｛（?, ш） w СР2 X СР2*, z 陆 w｝, где СР?——двойственное проективное пространство прямых. Вещественная структура на Z задается инволюцией т, где

T（2,侬）=（如丄，2l）.

В однородных координатах точки из Z представляются парами （N, w）^ C3X С3, причем Т（2, W）=（W,芝）.

Если сечение нормального расслоения кривой 厶 в некоторой точке обращается в нуль, то соответствующий касательный вектор из Т2 касается однопараметрического семейства кривых, проходящих через эту точку. Условие пересечения кривых, задаваемых парами （乙功）,（杀，血）巨 Z, состоит в том, что пересечение прямых w и й должно лежать на прямой, соединяющей точки z и 2 т. е.

（

马21N2、

г（）芝 Iг2I = 0.

劭I扬？ - g2庇1 侬2初0 一 侬0应2 侬0施1 一 也1血0' Следовательно, условие инфинитезимальности в аффинных координатах принимает вид

det I 0d,q 日电 I = °,

\ w｛ dw2 — 42 d侬 1 — dwo dwi /

т. е.

da】dw、+ da? dw2 + (之［d?2 —之2 d^i)(如i dw2 — w2 dw{) = 0.

На вещественной части СР2 многообразия Z выполняется равенство 切=2. Поэтому конформная структура задается метрикой

g = dzx dzx + da? d^2 + (之1 d& ——& d?i)(纟1 dz2 —— 幺2 d^i), которая конформно эквивалентна метрике Фубини—Штуди.

F. Построение конформно полуплоскихмногообразий Эйнштейна

Вернемся к задаче построения метрик Эйнштейна из данного конформного класса конформно полуплоских метрик. Напомним, что в пространстве твисторов Р корректно определен элемент е = лд-九包 е с00 (к-"? ® А1- °),

зависящий от метрики.

Теорема. Пусть (M, g) — конформно полу плоское риманово ^-многообразие. Тогда

метрика g является эйнштейновой в том и только в том случае, если сечение 0 ^ С°°(Р(М),七”?③八丄 °) голоморфно} (ii) если сечение 0 голоморфно, то скалярная кривизна метрики g равна

s=eAdee〃。(尸,к~1^)к) = н\р, с)= с.

Доказательство, Геодезический репер в точке xwM определяет тривиализацию расслоения K~i/2 при 入2 =# 0, которая по построению (см. 13.47) голоморфна вдоль слоя Рх. Относительно этой тривиализации элемент 6 можно представить (1, 0)-формой & из 13.44. При этом

曲，= s((D, R-((D))%.

Поэтому d"」=0, если со(①,R~ (①))“'" = О.

Вклад скалярной составляющей кривизны R- в форму "8’ имеет вид С^Ф® Ф (см. 13.51). Поскольку это выражение есть (2, 0) -форма, вклад в d"8' отсутствует. Учитывая, что W~ = 0, получаем, что ненулевой вклад может вносить только А -составляющая кривизны 7?一， т. е. компонента В. Такой вклад представляет собой форму типа (1, 1), т. е. оператор / действует тривиально. Поскольку параметры (Хь 九2) изменяются, отсюда следует, что d〃6' = 0 тогда и только тогда, когда 8 = 0.

Таким образом, drf^ = df, (^®7) = ^ тогда и только тогда, когда метрика g эйнштейнова. В этом случае

d& = С^Ф ® Ф/Л| (в точке х)==

—CSCF] Д О?， Следовательно,

6 a de =補6’ л de，=

=Cs)^ △工△ a=

—~— CsH /\ Oj /\ о?-—

=Cs,

где мы воспользовались изоморфизмом S~\0 -> ^/4\0, задаваемым формой 6/\ S 八。2 (см. 13.54). Для вычисления константы С достаточно рассмотреть случай 4-сферы.□

Сформулируем обратную теорему, которая позволяет строить метрики Эйнштейна.

Теорема. Пусть Q — комплексное многообразие, удовлетворяющее условиям теоремы 13.69, а 中一голоморфное сечение расслоения К ”？③ А'°. Предположим, что

ограничение <р на любой слой отлично от нуля,

7*(р = ср.

Тогда на многообразии М с конформной структурой, которое определяется изоморфизмом Q~P(7W) из теоремы 13.69, существует единственная подчиненная этой конформной структуре метрика Эйнштейна, для которой 6 = <р.

Доказательство. Прежде всего отметим, что на каждом слое Рх имеют место изоморфизмы N — Н 8 Н, ТРХ^ И2 и, значит, Kq~〃-4 Следовательно, KqI/2® A l,G Рх есть тривиальное голоморфное линейное расслоение. Поэтому из условия (а) следует, что сечение ср почти всюду отлично от нуля. Если зафиксировать метрику из конформного класса, то форма 0 определяет на каждом слое Рх тривиа л изацию расслоения К”？③ ® А 1ОРХ, голоморфную в направлении слоя Рх, но, вообще говоря, не голоморфную в других направлениях. Таким образом,

Ф = e- + — s + 仇。2， где / е С°°(Л4).

Из 13.57 следует, что, конформно деформируя метрику, можно добиться выполнения условия

Ф = 0 +a101 +a2。2,

34 А. Бессе, т. 2

где о」，«2 ——локальные С°°-сечения расслоения К"4. С учетом предположения d〃q = 0

0 = 3®, /Г （<р）产 ° 十 d〃 QaeJ

При ограничении форм на слой 尸戈 член, содержащий кривизну» обращается в нуль, так как он горизонтален, а из （13.52） следует, что d"% = 0. Значит, d〃Qa = 0, т. е. Qa — голоморфные сечения расслоения /<~1/4 — Я на P^dCPL В силу линейности Get Н。（入 1,九2）

（p = e + Z %е6入（106，

где 口呻三。8（財，S+ ® S~） — некоторые 1 формы. Формы d〃B и ""■сф горизонтальны. Кроме того, в геодезическом репере df,Ka = 0 в точке х. Из （13.51） следует, что в аффинных координатах форма d〃OB включает сомножитель djx. Поэтому нз уравнения d"（p = 0 вытекает, что

» （"10世 +。20）（% ® 屮 1） ' = °・

Из определения почти комплексной структуры （13.49） видно> что （牛 ® <Р1）°*1 = 0 тогда и только тогда, когда ц = оо или ф = 0. Таким образом,

£ （a中貝 + Gap） % =。，Vp,

откуда。仪0 = 0 и, значит,屮= В. Теорема доказана （другое доказательство можно найти в [Leb]）.□

Пример. Пусть Q = Н S Н — пространство твисторов для К'. Тогда форма 0 = Z2dZi — ZidZ2 определяет плоскую ев клидову метрику. Поскольку Kq — р* （Я-4）, сечение Bw"°（Q, К~"2旧 A i'°） является обратным образом канонической три- виализации расслоения Н?旧 长 на CPL

Пример. Рассмотрим пространство Q = СР3 с однородными координатами （го, гь %2, %з） н инволюцией

（n0，21，之2，之3）-（之1，——之0，之3，——之2）.

Положим 0 = z^dz\ ——N；dNo 十 гг^гз ——z^dz^ 'Поскольку К — Я-4, где Н ——положительное расслоение Хопфа, форма 0 корректно определена как сечение расслоения №1/20 A h °.

Зададим кватернионное подпространство пространства -С4 уравнением

На этом подпространстве форма

0 = (1 + I tz I2 + I & р) (г0 dz-, — г1 力备)

отлична от нуля.

Форма 6 определяет метрику постоянной положительной кривизны на S4.*

Если положить

8 = «го4之1—— 之1 da0—— 之21% + 之3d22， то на кватернионном подпространстве

В = (1 —丨 a F — I 6 F)(备 ％ - & %)•

Таким образом, форма 0 определяет на шаре \а\2 + |6j2 < 1 гиперболическую метрику.

Пример. Пусть Q = F3 ——пространство твисторов для •СР2. Тогда F3~ Р (Т*СР2) и на 尸3, как на любом проективном кокасательном расслоении, существует каноническая контактная форма, которой соответствует метрика Фубини ——Штуди на СР2.

Пример. Из теоремы 13.81 следует, что 6 .A d0 = О тогда и только тогда, когда тензор Риччи равен нулю. Но это не что иное, как условие интегрируемости Фробениуса для голоморфного поля 2-плоскостей 6 = 0. Соответственно, из условий 節；一 =0, г = 0 следует, что расслоение £一 является плоским, а интегральные многообразия его формы связности представляют собой комплексные поверхности, определяемые формой 6.

Если при этом многообразие М односвязно, то связность тривиализует расслоение Р(S~) и, таким образом, P'MXS? как гладкое многообразие. Голоморфная структура многообразия Р такова, что проекция л: Р —S? голоморфна, а слои (листы распределения, задаваемого формой 6) являются комплексными поверхностями, диффеоморфными М. В этом случае форма 0 определяет не обращающееся в нуль голоморфное сечение расслоения К”? ®£К, или, что эквивалентно, изоморфизм Kq4^*(〃-4)・

Как мы уже видели, условия I丿一 =0, - = 0 означают, что группа голономии редуцируется к SU(2) и, значит, мы имеем дело с кэлеровьш многообразием с нулевым тензором Риччи. По теореме 13.82 любое такое многообразие можно получить из комплексного 3-многообразия, расслоенного над СР и снабженного семейством выделенных голоморфных сечений (каждое с нормальным расслоением Н ® Н, изоморфизмом К = ^ (Н~4) и антиголоморфной инволюцией т).

Единственным таким нетривиальным компактным многообразием является многообразие, которое накрывается КЗ-поверхностью. Таким образом, существование метрики Калаби — Яу влечет за собой существование компактного комплексного 3-многообразия Р с указанными выше свойствами. Его еще нужно исследовать с других точек зрения, но уже сейчас можно перечислить некоторые его свойства:

многообразие Р диффеоморфно произведению КЗ-поверхности и сферы S?;

многообразие Р имеет числа Чженя

% = 48, 年2 = 96, 窗=0；

размерность Кодаиры многообразия Р равна —оо；

алгебраическая размерность многообразия Р равна единице.

В качестве последнего нетривиального примера приведенной конструкции построим семейство полннх кэлеровых метрик с нулевым тензором Риччи на С2, деформируя для этого плоскую метрику. Поскольку нас интересуют конформно полу- плоские метрики нулевой скалярной кривизны, будем искать комплексные З^многообразия, расслоенные над СР】 со слоем С2. В плоском случае таким многообразием будет Р ="㊉". Можно дать и другое описание этого пространства твисторов:

a = {(%, /力右"㊉"㊉;^旳=力

Отображение х = гь у = 22,之=之1之2 определяет изоморфизм

Рассмотрим стандартные координатные окрестности

4 = {(%,马)w CP】I %o，0},

.J = {(之0, 21)三 СР 1 I Z\ 耍 0},

и пусть 设=之1/之0 есть аффинная координата в Uo.

Тотальное пространство расслоения "2 накрывается двумя координатными окрестностями. Действительно, так как "2 а 4?，СР* отображение

⑵ ")》3

задает голоморфную систему координат на множестве %, накрывающем О。.

Рассмотрим линейное расслоение L над Н2У заданное функцией перехода 屮=冴?/" на Uo А иъ и положим

Q = {(х, у)右(L ㊉丄*) ® 冗*" Yxy = 2}.

Здесь г — тавтологическое сечение расслоения 朮Н? над "2, а я: IP — С Р】—проекция. Тогда Q есть комплексное 3-многообразие, расслоенное над СР】 со слоями, голоморфно эквивалентными С2. Более того, соответствующее расслоение будет локально тривиальным С2-расслоением над СР】с выделенным сечением х = у = w = 0, однако оно не будет векторным расслоением. Форма dx Л dy определяет изоморфизм八，T*FXH-2, или, что эквивалентно,製〜冗*"-".

Расслоение "2 допускает антиголоморфную инволюциюt(w, 〃) = (2/"2, —1/〃)

Если число с вещественно, эта инволюция индуцирует антиго- ломорфное отображение

т: Л - > Л*.

Расслоение Н допускает также антиголоморфное кватернионное отображение о: Н — Н(/ =—】)，и мы можем сконструировать из этих отображений инволюцию

т(х, у) = (— ву, а%) без неподвижных точек.

Для того чтобы построить сечение, положим г (и)=。証2 + + 2bu — а, где 匕=瓦 Это сечение расслоения И2, инвариантное относительно т. Пусть а, р — корни уравнения z(") = 0. Положим

х (") = Аес<аи+ь)(к — q),

у (〃)=反-с 3+3 (к — В) относительно локальной тривиализации расслоения £ на 0。 с функцией перехода е^/". Тогда над С\

х (〃) = Аехр (с (аи + Ь) — с (。“ 士 产 一 "))(〃 —а)；=

"exp(一c(b _?))(1 V)

Эта функция регулярна при 〃 = 8.

口a 一>土"炉+10产

Поскольку а, р =!—•-,

без ограничения общности можно считать, что

一-^ + V^2 "F I ^ I2 0 —-'—":2+]a]2

Поскольку АВ = а, если ху = z, то из инвариантности кривой, задаваемой функциями хну, относительно т вытекает

соотношение

4-=—+ "冴+ g匕

Таким образом, мы получили семейство кривых, параметризованное вектором £ = (Ь, imo, Reo)eR3 и угловой координатой Л — arg А. Поскольку "1 (CPI End%) = 0 из теоремы Кодаиры о деформациях следует, что при достаточно малых С эти кривые определяют деформации сечения расслоения "㊉ 〃 н имеют одно и то же нормальное расслоение. Теперь мы можем найти метрику.

Касательный вектор (4', а', В') деформации определяет сечение нормального расслоения кривой с помощью уравнений

2’ (〃)= а'"? + 2Ь'〃 一 G',

КМ 工 £ * с (а'〃 4- //)———=« — а

+ с (с^и + bf)—+ с (с^и + bf)—АА(аа'〃 + &')

+ с (с^и + bf)—

+ с (с^и + bf)—

А

А

где г =、/济 + I а FКонформная структур а определяетсягде г =、/济 + I а FКонформная структур а определяется2нг

где г =、/济 + I а F

Конформная структур а определяется

где г =、/济 + I а F

Конформная структур а определяется

условием, что уравнения %，(〃) = 0 и л/(〃) = 0 имеют общий корень. Это условие имеет вид

(ег 一 ])一(优@，+ "2)=(号 + 与-手)二

Поскольку А А = 6 + 尸=——а&, последнее выражение представляет собой квадрат чисто мнимого числа, и положительно определенная конформная структура задается формулой

(ег 一 })%公 + 个)+(1m (左-粤)广

При 〃 = 0 локальные координаты у, г на слое принимают вид z = г (0) = — а,

У = у (0) = Ве-cb (与工)=Ае~сЬ.

Следовательно, Дхг аа'I . а*'

Г^у-+сЬг^—-

Мы уже знаем, что

感(左一嘤)=m

Таким образом,

Зафиксируем метрику из конформного класса, потребовав, чтобы длина голоморфной 2-формы dx z\ dy = dz ^ dy/y на слое была равна единице. Если положить с =——1 /т, метрика (13.88) примет вид

(1 +竽)生它L (1+拳)7 ① +年二产厂

Это не что иное, как метрика Тауба — НУТ (см. [Eg-Gi-Ha], а также 3.38 и дополнение, Д. 12).

В локальных координатах z =之池 и ^ = Zi в .С2 эту метрику можно записать в кэлеровой форме:

g = Ydzdz+Y 4^- + — где

Y=1 4-2m/VFTW，

,6=1— 〃"♦ + I z |\

a b находится из уравнения

I w2 = a + "庐 + I 2 -砂""

(аналогичные конструкции см. в [Hit 4]).

Глава 14

Кватернионно-кэлеровы многообразия

А. Введение

В этой главе мы рассмотрим 4/г-мерные римановы многообразия, группа голономии которых содержится в Sp(〃) или в Sp(n)Sp(l) (см. гл. 10). Отметим, что группа Sp(n) содержится в §U(2m), поэтому римановы многообразия, группа голономии которых содержится в Sp(〃), представляют собой частный случай кэлеровых многообразий нулевой кривизны Риччи, В то же время группа Sp(〃)Sp(l) не содержится в U(2〃). Это следует, например, из классификации Е. Б. Дынкина максимальных подгрупп по л у простых групп Ли (см. [Dyn 2]).

Предложение. Подгруппа Sp(〃)Sp(l) является максимальной подгруппой группы SO (4/1) (непосредственное доказательство см., например, в [Gra 7]). Мы будем рассматривать случаи Sp(n) и Sp(n)Sp(l) по отдельности, несмотря на то, что они имеют ряд общих свойств. Начнем с того, что дадим им разные названия.

Определение. Риманово 4/2-мерное многообразие называется・

гиперкэлеровым, если его группа голономии содержится в Sp(〃)；

локально гиперкэлеровым, если его ограниченная группа голономии содержится в Sp(〃).

Этот термин принадлежит Э. Калаби, который построил первые нетривиальные полные примеры гиперкэлеровых многообразий размерности 4/г > 8 (см. [Cal 5]).

В § В мы воспользуемся для изучения гиперкэлеровых многообразий теорией кэлеровых многообразий нулевой кривизны Риччи. Отметим, что нетривиальные компактные примеры (для л ^ 2) построены лишь недавно (см. работы А. Фудзики [Fjk], С. Мука и [Muk], А. Бов иля [Веа 2]). Мы наметим конструкцию этих компактных примеров в § С, но отложим рассмотрение полных некомпактных примеров Калаби до гл. 15.

Определение. Риманово 4п-мерное многообразие называется

кватернионно-кэлеровым, если его группа голономии содержится в Sp(九)Sp(l);

локально кватернионно-кэлеровым, если его ограниченная группа голономии содержится в Sp(n)Sp(l).

Сформулируем основной результат, который объясняет наш интерес к этим многообразиям.

Теорема (М. Берже, [Вег 7], см. 14.39). Если 紅扌 2, то кватернионно-кэлерово многообразие является многообразием. Эйнштейна.

Эта теорема будет доказана в § D, где мы также покажем, что теория кватернионно-кэлеровых многообразий естественным образом делится на две части, поскольку справедлива следующая теорема.

Теорема (М. Берже, [Вег 1], см. 14.45). (а) Кватер- нионно-кэлерово многообразие с нулевым тензором Риччи локально гиперкэлерово.

(Ь) Кватернионно-кэлерово многообразие с ненулевым тензором Риччи является (даже локально) неприводимым (если 九》2).

В настоящее время теория негиперкэлеровых кватернионно- кэлеровых многообразий далека от завершения. В частности,, мы знаем очень мало полных примеров, причем все известные примеры являются однородными. Среди них есть и несимметрические многообразия, найденные Д. В. Алексеевским ([Ale 3, 4]). Мы наметим их конструкцию в § I. В компактном случае все известные примеры являются симметрическими. Они классифицированы Дж. А. Вольфом (см. [Wol 2] и § Е).

В § F мы введем понятие кватернионного многообразия. Такие многообразия задаются кватернионной структурой и являются кватернионным аналогом комплексных многообразий* Они интенсивно использовались при изучении многообразий с группой голономии, содержащейся в U(/i). Оказывается, кватернионный случай существенно отличается от комплексного. В частности, кватернионно-кэлеровы многообразия не всегда интегрируемы как кватернионные многообразия.

В § G мы опишем новый подход к изучению этих многообразий, развитый независимо С. Саламоном ([Sal 1, 2, 3, 4]) и Л. Бераром-Бержери ([Вё Вег 7] и [ВВ-Ос]). Он представляет собой обобщение знаменитой теории пространств твисторов.

Р. Пенроуза (см. гл. 13) и позволяет свести изучение кватернионных многообразий к некоторым задачам теории комплексных многообразий (вещественной размерности 4〃+ 2).

В § Н мы укажем некоторые приложения теории пространств твисторов к изучению кватернионно-кэлеровых многообразий, например, приведем очень красивую характеризацию кватернионных проективных пространств, полученную С. Сала моном (см. 14.89). Основным результатом здесь будет следующая теорема.

Теорема (С. Саламон, [Sal 2], Л. Берар-Бержери, [Вё Вег 7], см. 14.80). Пусть (М, g) — компактное ^п-мерное (х > 2) кватернионно-кэлерово многообразие положительной скалярной кривизны. Тогда 〃а его пространстве твисторов существует метрика Кэлера ——Эйнштейна, относительно которой естественная проекция на М является римановой субмерсией с вполне геодезическими слоями.

К сожалению, эта теорема не справедлива в случае отрицательной скалярной кривизны. Многообразия Кэлера — Эйнштейна положительной скалярной кривизны пока не классифицированы. Их классификация связана со сложной частью обобщенной гипотезы Калаби (см. § D гл. 11). Поэтому теорема 14.9 позволяет получить лишь некоторые частные результаты для кватернионно-кэлеровых многообразий.

В. Гиперкэлеровы многообразия

Теория групп голономии позволяет охарактеризовать гиперкэлеровы многообразия с помощью инвариантов римановой метрики.

Предложение. Риманово многообразие (М, g) является гиперкэлеровым тогда и только тогда, когда на 7И существуют две такие комплексные структуры /, J, что

обе они параллельны (т. е. g есть кэлерова метрика относительно каждой из них);

〃 = —//.

Отметим, что произведение К — IJ также является параллельной комплексной структурой на М. Вообще, любая тройка (%, у, 2)三代3, дЛЯ которой %2 + ^2 + z2 = 1, определяет на М параллельную комплексную структуру %/ + у/ + 2K. Та- ким образом, на М существует целая сфера S2 параллельных комплексных структур.

14Л2. Выберем раз и навсегда одну из этих комплексных структур (скажем, /) и будем в дальнейшем рассматривать М как комплексное многообразие относительно /. Отметим, что «естественного» способа такого выбора, вообще говоря, нет, но этот выбор нужно сделать, если мы хотим использовать комплексную геометрию. (Альтернативный способ выбора сводится к выбору одной из подгрупп SU (2п) группы SO(4n), которая содержит Sp(釘).) Напомним, что (М g, /) есть кэлерово многообразие, группа голономии которого содержится в SU (2п). Поэтому из 10.67 вытекает следующая теорема.

Теорема (М. Берже, [Вег 1]). Гиперкэлерово многообразие риччи-плоско.

В частности, если многообразие М компактно, то его первый (вещественный) класс Чженя Ci(M) равен нулю (это, очевидно, справедливо и для любой другой параллельной комплексной группы J, К,...).

Мы хотим как-то выделить гиперкэлеровы многообразия среди всех кэлеровых многообразий. Введем для зтого новое определение.

Определение. Комплексно симплектической структурой на комплексном многообразии (Л4, /) называется невырожденная в каждой точке замкнутая голоморфная 2-форма.

Очевидным примером комплексно симплектической структуры служит постоянная 2-форма £ [d? Л dzi+n на С2П. Позже мы встретимся с другими примерами (компактными в 14.25 и в 14.28 и некомпактными в 14.33). Отметим, что если многообразие М допускает комплексную с и м пл ектич ес кую структуру (о, то оно имеет комплексную размерность 2п (и, значит, вещественную размерность 4п). Кроме того, на М существует комплексная форма объема 八"(о (которая в локальных координатах ®,…，加)на М записывается в виде Л “ s=f(2)ds4 л • • • ..・八 d?2〃, где f ——не обращающаяся в нуль голоморфная функция).

Следующее предложение является простым следствием 14.10.

Предложение. Пусть (М, g) — гиперкэлерово многообразие, а /, J — две антикоммутирующие комплексные структуры, у доел створяющие условиям предложения 14.10. Тогда комплексная 2-форма

(14,15)(14,15)(о(Х, Y) = g(JX, Y) + ig(IJX9 У)

(14,15)

(14,15)

параллельна и 1-голоморфна, т. е. является комплексно сим- плектической структурой на комплексном многообразии (М, /).

Таким образом, гиперкэлеровы многообразия являются комплексно симплектическими многообразиями (если зафиксирована комплексная структура /). Обратное утверждение также справедливо, по крайней мере в компактном случае.

Теорема (А. Бов иль, [Веа 2]). Пусть (М,/) — компактное комплексное многообразие кэлерова типа, допускающее комплексно симплектическую структуру з.

Тогда для любого кэлерова класса а е Я2 (Л4, R) существует такая однозначно определенная риманова метрика g в М, что

метрика g гиперкэлерова;

комплексная структура / многообразия М g-параллельна^ (с) кзлеров класс пары (g, /) есть в точности а.

Доказательство. Поскольку Л2(о есть голоморфная форма типа (2/г, 0), не обращающаяся в нуль, каноническое линейное расслоение многообразия М тривиально и, значит, его первый класс Чженя равен нулю. Поэтому можно применить теорему Калаби ——Яу 11.15. Таким образом, для любого кэлерова класса а на Л4 существует единственная риччи-плоская риманова метрика g, которая является кэлеровой относительно / и имеет кэлеров класс а. Поэтому утверждение (а) вытекает из следующей леммы.

Лемма (С. Бохнер, [Bo-Ya]). Пусть (М, g,/) — кэле- рово многообразие с нулевым тензором Риччи. Тогда любое ао- мморфное тензорное поле на М является g- параллельным.

Доказательство. Для любого голоморфного тензорного поля 厶Н2 М

А(ЦЛ||2)=||ПЛ||2

(см. 1.156). Интегрируя по М, получаем DA = 0.□

(Обобщения и ссылки на более новые работы см. в [Mic] и [КоЬ 5].)

Из этой леммы следует, что любая комплексно симплекти- ческая форма на М параллельна. Отсюда, в частности, вытекает, что группа голономии содержится в Sp(〃).□

Отметим, что риманово произведение двух гиперкэлеровых многообразий очевидным образом является гиперкэлеро- вым. Обратно, рассмотрим разложение де Рама гиперкэлерова многообразия. Напомним, что любое риччи-плоское однородное риманово многообразие является плоским (см. 7.61). Поэтому

симметрические сомножители разложения будут плоскими. Анализ списка Берже групп голономии приводит к следующему результату.

Теорема, (а) Пусть (М, g) — полное гиперкэлерово многообразие. Тогда его универсальная накрывающая (窺，盲) разлагается s риманово произведение пространства Hfe(=R4*) с плоской метрикой w конечного числа полных односвязных 4&- мерных гиперкэлеровых многообразий М, с группами голономии Sp(&).

(b) Если, кроме того, многообразие М компактно, то каждый сомножитель Mt также компактен. В этом случае существует конечное накрытие (ТЙ, g) многообразия (М, g), которое является римановым произведением плоского гиперкэлерова тора и описанных выше многообразий М».

Отметим, что утверждение (Ь) следует из теоремы Чигера — Громола 6.65.

Неприводимые компактные гиперкэлеровы многообразия можно также охарактеризовать с помощью комплексно симплек- тических структур.

Теорема (А. Бовиль, [Веа 2]). Пусть (М,/) — 4п-мер- ное комплексное компактное многообразие кэлерова типа. Тогда многообразие М допускает кэлерову метрику с группой голономии 5р(м) тогда и только тогда, когда многообразие М односвязно и допускает единственную (с точностью до масштабного множителя} комплексно симплеэтическую структуру.

Дсказатель ст во. Поскольку все комплексно симплектические структуры из доказательства теоремы 14.16 g-параллельны, по теореме о голономии существует лишь одномерное (комплексное) пространство таких структур, если многообразие М. голо- номно неприводимо. Сложность представляет только доказательство односвязности М. В силу 14.19(b) группа m (М) конечна. Утверждение теоремы вытекает теперь из следующей леммы, примененной к универсальной накрывающей многообразия М.

Лемма. Пусть (М/) — 4п-мерное компактное гиперкэлерово многообразие с группой голономии Sp(n). Тогда пространство {глобальных) голоморфных р-форм на М имеет вид

Г 0, если р нечетно,

I если р = 2д, U《q《〃，

где со ——^единственная^ комплексно симплектическая структура.

£ частности, эйлерова характеристика канонического пучка %。乂)=九+1 зависит только от размерности. Это влечет за собой односвязность многообразия М.

Доказательство. Согласно лемме 14.17, все голоморфные формы параллельны. Поскольку группа голономии в точности равна Sp(n). нетрудно показать, что все они исчерпываются (с точностью до комплексных множителей) степенями комплексно симплектической структуры. Поэтому

%(%)=] (ТУ dim//°(М, Q') = 〃+ 1.

Последнее утверждение следует из того, что универсальная накрывающая 而 многообразия М является компактным гиперкэ- леровым многообразием. Поэтому % (<?^) = и + 1 = X (^)- Отсюда видно, что накрытие однолистно, т. е. № = М □

С. Примеры гиперкэлеровых многообразий

В частном случае п = 1 имеем Sp(l) = SU(2)и SO(4). Таким образом, четырехмерное риманово многообразие гипер- калерово тогда и только тогда, когда оно кэлерсво и риччи- плоско. Это показывает, в частности, что любая компактная комплексная поверхность кэлерова типа с нулевым первым классом Чженя есть либо тор, либо односвязная поверхность, допускающая комплексно симплектическую структуру, т. е. КЗ-поверхность.

Так называемые поверхности Энриквеса представляют собой Z2-факторизации КЗ-поверхностей. Они служат примерами локально гиперкэлеровых многообразий, не являющихся гипер- кэлеровыми. Их ограниченная группа голономии равна Sp(l), а полная группа голономии равна Sp(l)Xz2 04(u U(2)) (см., например, [Bou 2]).

При и ^ 2 группа Sp(n) строго меньше, чем SU(2n). Сейчас мы располагаем примерами компактных гиперкэлеровых многообразий любой размерности 4п. Первыми примерами были построенные А. Фудзики восьмимерные многообразия, а в по* следнее время стали известны примеры во всех размерностях 4п (обобщающие пример Фудзики), построенные С. Мука и ([Muk]) и А. Бовилем ([Веа 2]). Мы приведем примеры Бо- виля (без доказательств, которые можно найти в [Веа 2]).

Пусть S — компактная комплексная поверхность. Обозначим через S(d симметрическую r-ю степень поверхности S (т. е. фактор-пространство прямого произведения S，по симметрической группе ©г) / Комплексное пространство S(‘)не является

гладким многообразием, но поскольку многообразие S двумерно, его пространство Дуади S"】(или схема Гильберта в алгебраическом случае) является гладким комплексным многообразием комплексной размерности 2r. Другими словами, «многообразие S【'l параметризует конечные аналитические подпространства Z поверхности S, для которых lg(Oz) = г (при этом S⑺ рассматривается как многообразие эффективных нуль-циклов степени г)>. Бов иль доказал следующую теорему.

Теорема ([Веа 2]). Если каноническое линейное расслоение поверхности S тривиально, то многообразие S"1 имеет комплексно симплектическую структуру.

Бовиль показал, что если S есть КЗ-поверхность, то многообразие SK】односвязно ■》2 = 23. Кроме того, из недавно полученных результатов Дж. Варочаса следует, что многообразие SK1 всегда имеет кэлеров тип (т. е. допускает кэлерову метрику).

Теорема. ([Веа 2]). Пусть S — КЗ-поверхность. Тогда многообразие S【〃 односвязно 〃 допускает кэлерову метрику с группой голономии Sp(r).

Пусть теперь Т ——комплексный двумерный тор н 厂》2. Если Т—многообразие кэлерова типа, то многообразие 7卜十" допускает гиперкэлерову метрику, но не является односвязным. Рассмотрим отображение и: Т^Г^-^Т, задаваемое формулой

г г з

”([p(j +…+ [pr] ) = i XPi •

r=0 J

Композиция этого отображения и проекции 丁卜+Uf T(「+D определяет отображение и: У卜+"—> 7\ которое У-эквиварлантно относительно действия Т на Т^г^^, индуцированного сдвигами (/, %)h-^% + (r+ 1)，юра Т. Таким образом, v есть комплексное расслоение. Обозначим через К? слой расслоения о. Бовиль доказал следующее предложение.

Предложение ([Веа 2]). Симплектическая структура на 7V+U индуцирует симплектическую структуру на К?・

Кроме того, Бовиль показал, что многообразие КГ односвязно и 历=7 (если г ^ 2), а также что многообразия ^r и S【H биголоморфно неэквивалентны. Отметим, что Ki есть так называемая куммерова поверхность тора Т и, в частности, КЗ-поверхность.

Теорема ([Веа 2]). Пусть Т ——кэлеров комплексный двумерный тор. Тогда многообразие К，односвязно и допускает гиперкэлерову метрику с группой голономии Sp(r).

В работе [Веа 2] Бовиль исследует также пространство модулей таких многообразий. Существует много деформаций многообразий SI'】н К? в другие комплексные многообразия кэлерова типа с комплексно симплектической структурой. Они, конечно, тоже диффеоморфны многообразиям 6" или Кг, но отличаются от ннх как комплексные многообразия. В частности, большинство из них уже нельзя получить по той же схеме, что S「【и К「Доказательство основано на следующей теореме.

Теорема (В. А. Богомолов, [Bog]). Пусть М — компактное комплексное многообразие кэлерова типа, допускающее ^единственную^ комплексно симплектическую структуру. Тогда его пространство модулей Кд ранней является гладким 6 базовой точке.

Замечания, (а) Отметим, что теорема 2 из [Bog] неверна: в п. 8 есть ошибка. Однако теорема 1 верна.

Полная классификация комплексно симплектических многообразий остается открытой проблемой даже в компактном случае.

Недавно А. Н. Тодоров анонсировал, что любое компактное комплексно симплектическое многообразие допускает кэлерову метрику ([Tod 3]).

Известно много примеров некомпактных комплексно симплектических многообразий. Простейшие примеры можно построить следующим образом. Пусть N — комплексное многообразие (компактное или некомпактное). Обозначим через М= 八(l°)N его комплексное кокасательное расслоение, т. е. расслоение 1-форм типа (1,0). Тогда М можно рассматривать как четномерное комплексное многообразие: если (г1,…，гп)— локальные комплексные координаты в открытом множестве U и N, то (dz\ …，dzn) есть базис пространства (1,0)-форм. Поэтому, обозначив через &, ..., & координаты формы относительно этого базиса, мы получим локальную систему координат (Ei, …，&, г1, ..., 2") на открытом подмножестве A"°)U из 人(i，o)N = M. 几

При этом 1-форма £；=]当〃父 является ограничением корректно определенной 1-формы 0 на М. Форма s = d6 представляет собой комплексно симплектическую структуру на М, поскольку в локальных координатах она принимает вид s= X；=i ^/ A dz‘.

Пока неизвестно, при каких условиях многообразие М = ==/\“.°)N допускает гиперкэлерову метрику, а тем более полную гиперкэлерову метрику. Тем не менее существует по крайней мере один такой пример для произвольной (четной) размерности. Этот пример, построенный Э. Калаби, оказался первым примером полного многообразия с группой голономии Sp(n).

Теорема. (Э. Калаби, [Cal 5]). Комплексное кокаса- тельное расслоение канонического комплексного проективного пространства (произвольной размерности) допускает полную гиперкэлерову метрику.

Описание конструкции Калаби см. в 15.24, а другие примеры—в § Е дополнения.

D. Кватернионно-кэлеровы многообразия

Четырехмерные римановы многообразия с группой голономии Sp(l)Sp(l) представляют собой не что иное, как ориентированные римановы многообразия, поскольку Sp ⑴ Sp6 = = SO(4)・ Мы опустим этот случай и будем в дальнейшем считать, что

п》2 .

(Некоторые результаты остаются справедливыми и при 〃 = 1, но, как мы увидим, полным аналогом четырехмерных кватер- нионно-кэлеровых многообразий являются автодуальные многообразия Эйнштейна, которые мы уже рассматривали в гл. 13.)

С помощью теоремы о голономии и описания инвариантов группы Sp(〃)Sp(l) можно охарактеризовать кватернионно-кэлеровы многообразия следующим образом.

Предложение. Риманово многообразие (М, g) является кватернионно-кэлеровым тогда и только тогда, когда существует такое покрытие многообразия М открытыми множествами U, и такие почти комплексные структуры /, J на каждом множестве 5, что

метрика g|U эрмитова относительно / и относительно /;

" =一〃；

ковариантные производные эндоморфизмов I и J являются линейной комбинацией эндоморфизмов /, J, К = /J;

для любой точки х^ Ui(]Uj векторное пространство эндоморфизмов пространства ТХМ, порожденное эндоморфизмами /, J, /С, является одним и тем же для всех i и ].

35 А. Бессе, т. 2

Доказательство. Это утверждение следует из того, что подгруппу Sp(n)Sp(l) группы SO(4и) можно охарактеризовать как группу преобразований, сохраняющих трехмерное векторное пространство эндоморфизмов пространства R4n = Нл, порожденное умножениями на мнимые единицы /, /, k справа (в то время как группа Sp (п) действует слева кватернионными матрицами порядка и, а группа Sp(l) действует справа умножением на единичные кватернионы). □

Отметим, что в общем случае эндоморфизмы /, /, К нельзя определить на М глобально. Например, каноническое кватернионное проективное пространство НРП является кватер- нионно-кэлеровым, поскольку его группа голономии совпадает с группой изотропии, равной Sp(n)Sp(l). Однако пространство HP" не допускает почти комплексных структур по топологическим причинам.

В то же время в каждой точке из М корректно определено векторное пространство эндоморфизмов, порожденное /, /, К (условие (d) предложения 14.36), поэтому мы имеем трехмерное подрасслоение £ расслоения эндоморфизмов End(TM). Условие (е) означает, что подрасслоение Е глобально параллельно относительно связности Леви-Чичита D метрики g (но, вообще говоря, не параллелизуемо). Точнее говоря, ортогональная проекция расслоения End(TN) на £ является параллельным тензором.

Сформулируем основную теорему и приведем два ее доказательства: «элементарное»,' использующее только 14.36 и свойства симметрии тензора кривизны, и менее элементарное, основанное на теории представлений (принадлежащее Д. В. Алексеевскому, см. [Ale 1]).

Теорема (М. Берже, [Вег 7]). Кватернионно-кэлерово многообразие является многообразием Эйнштейна (если оно имеет размерность 4九》8).

Первое доказательство (С. Исихара, [Ish 2]). Поскольку условия Эйнштейна являются локальными, мы можем выбрать открытое подмножество U и две почти комплексные структуры / и J, удовлетворяющие условиям предложения 14.36.

Рассматривая вторую альтернированную ковариантную производную тензоров I, J, К =门 и используя тождество Риччи, получаем тождества

(14.39а) 【R (X, У), /] = у (X, У) J — р (X, У) К, (14.39b) 【R (X, У), J] = — у (X, У) / + а (X, У) К,

(14.39с) 【R (X, У), К] = В (X, У) / — а (X, У) Z,

где X, У — произвольные векторные поля на U, а а, р, у — некоторые 2-формы на U.

Эти формы связаны с тензором Риччи г следующим образом.

Лемма. Если п ^29 то

(14.40а)а (X, У) = -^「«X, У),

(14.40b)В (X, У)=喘方 г (JX, У),

(14.40с)丫 (X, У) = ~^ г (КХ, У).

Доказательство леммы. Воспользуемся (14.39с) для векторного поля Z и свернем полученное векторное поле с полем JZ с помощью метрики g. Получим

(14.40d) q (X, У) IZ F = g (R (X, У) Z, /Z)十 g (R (X, У) JZ, KZ).

Выберем теперь локальное поле X/ ортонормированных реперов, содержащее вместе с каждым векторным полем Х【поля IXt, JXj, К黄厶 В этом случае множества пар вида (X。/X。и пар вида (/Х», KXi) совпадают. Суммируя по всем полям М, получаем 4%

(14Л0е) 4na (X, У) = 2 £ g (R (X, У) X,, /X)

Применяя тождество Бьянки к слагаемым правой части, находим

4%

2曲(X, У)= £ [g(R(X, XJF, IX,)-g(R(X, IX)Y, X). i=!

Аналогичный результат получается при суммировании по множеству пар вида (Х^,/X» и по множеству пар вида (/Х〃——ХА:

4п4п

па(Х, У)= £ g(R(X, Х,)У, /Х,)= — £ g(/R(X, %) У, XJ.

i=l士=1

Применяя теперь (14.39а), имеем

4n

па (X, У) = — £ [g (R (X, X,) /У, X,) — 丫 (X, XJ g (JY, X。+ i = l

+ B(X, XJg(KK %)], откуда

на(Х, У) = — г(Х, /У) + у(Х, 〃)一B(X, КУ)・

Заменяя в этой формуле У на /У, получаем

па (X, /У) + В (X, /У) + у (X, КУ) = г (X, У).

Аналогичные преобразования для 0 и у дают

а (X, /У) = В (X, /У) = у (X, КУ) = "^ г (X, У).

Учитывая, что тензор 尸 симметричен, а тензоры а, § н у кососимметричны, получаем требуемый результат.□

Завершение первого доказательства теоремы. Используя четыре раза (14.40d), легко получаем, что для любых X н Z

g(R(X, /X)Z, /Z) + g(R(X, /X)/Z, KZ) + g(R(JX, KX)Z, /Z) + + g(R(/X, KX)JZ, KZ) = £r(X, X)||Z『 = 3r(Z,Z)||X『・

Таким образом,

NX, X)= A||X『

и многообразие M эйнштейново.□

Второе доказательство (С. Саламон, [Sal 2]). Воспользуемся теорией представлений для того, чтобы описать разложение тензора кривизны кватернионно-кэлерова многообразия на неприводимые компоненты относительно действия группы Sp(n)Sp(l) и сравнить его с разложением 1.101 относительно группы О (4п). Идея доказательства принадлежит Д. В. Алексеевскому, который указал это разложение (без доказательства)) для всех возможных групп голономии в работе [Ale 1]. Полное и подробное доказательство в кватернионно-кэлеровом случае приводится в [Sal 1] и [Sal 2]. Здесь мы приведем только набросок доказательства из [Sal 2] •

Из 10.53 мы знаем, что в кватернионно-кэлеровом случае (4,0) -тензор кривизны R принадлежит подпространству S(a) и uS2(/\2?xM), где а — алгебра Ли группы Sp(〃)Sp(l), которая рассматривается как под пр остр а нство пространства кососимметрических эндоморфизмов касательного пространства ТХМ, отождествляемого с А ТХМ. Поскольку группа Sp (и) Sp (1) не проста, Sp(n)Sp(l)-модули а и S2(а) приводимы.

Обозначим через 厶 каноническое представление группы Sp(zz), действующей слева в пространстве Н", а через р — каноническое представление группы Sp(l), действующей справа

в Ц- Это комплексные представления размерностей 2п и 2 соответственно с кватернионной структурой. Поэтому их тензорное произведение 入 NcP есть комплексное представление размерности 4п с вещественной структурой, т. е. комплексификация вещественного представления, а именно канонического представления группы Sp(/i)Sp(l) в Н? В дальнейшем мы будем иметь дело с комплексными представлениями, а не с вещественными. В этом контексте неприводимые представления группы Sp(n)XSp(l) реализуются как инвариантные подпространства тензорных произведений (戸大)区(⑥p), причем они факторизуются до представлений группы Sp(n)Sp(i) тогда и только тогда, когда р + q четно. В частности, присоединенное представление группы Sp(n)Sp(l) в пространстве а разлагается в прямую сумму (S2X) ® (S2p). Отсюда следует, что

S2 ⑺=S2 (S2 九)㊉(S2X。S")㊉ S2 Sp),

где。означает симметрическое произведение. В этом разложении неприводимо только слагаемое S2^ ° S2p. Последнее слагаемое допускает разложение на неприводимые подпространства S2(52р)= RBi ® S?p, где Bi 右 S2(S2p) — форма Киллинга алгебры Ли S2P группы Sp(l)・ Разложение первого слагаемого $2(52^) на неприводимые подпространства более сложно, и мы не будем его описывать.

Теперь воспользуемся первым тождеством Бьянки и применим проектор & из 1.107. Получим

(14.41) S2 (а) П Ker (b) = R/?0®S4Z,

где Ro — тензор кривизны канонического кватернионного проективного пространства НР〃・ Простейший способ доказательства заключается в том, чтобы указать элементы общего положения из (S?九)о (§2р) и S2p, которые не аннулируются проектором b (например элементы (S2x)。(S^y) или Sy для любых х 三 Im(X), у 三 =Im(p)). Группа голономии пространства НеравнаSp(n)Sp(l). Поэтому тензор кривизны Ro не содержится в S2 (S2Z) и имеет ненулевую проекцию на РВь Таким образом, любой тензор кривизны R кватернионно-кэлерова многообразия записывается в виде R = aRo + Ri, где а — функция на М、a Ri ——тензор пространства S2 (S2^). В каждой точке тензор Ri является алгебраическим тензором кривизны, соответствующим группе голономии Sp(n)czSU(2n). В частности, c(Ri) = 0, где с ——свертка Риччи, определенная в 1.109. Поскольку тензор c(R) = ac(Ro) пропорционален римановой метрике g, многообразие 714 эйнштейново. Напомним, что тензор Ro не является неприводимой составляющей тензора R из 9, определенной в 1.114 (поскольку простран-

СТВО HP" не является пространством постоянной кривизны). Однако он принадлежит пространству ^ФЖ (поскольку HP"— многообразие Эйнштейна). На самом деле с помощью 7.72 можно показать, что R> = — (Bi + /), где & — форма Кил- линга алгебры Ли S2X группы Sp(n).

Доказательство равенства S2 (S2X) f| Ker (6) = S4X требует дополнительных преобразований, которые мы опускаем, поскольку это равенство нам не понадобится (см. [Sal 1]).□

Замечание. Между компонентами тензора кривизны существует ряд важных соотношений. Например, для любого X (ИЛ2а) g (R (X, IX) X, IX) + g (R (X, /X) X, JX) +

+ g(R(X, KX)X, KX) = ^||X||* Далее, если

g(X, y)= g(X, /y)= g(X, JT) = g(X, КУ)= о, то

(14.42b) g(R(X, Y)X, Y) + g(R(X, IY)X, IY) +

+ g (R (X, JY) X, ”) + g (R (X, КУ) X, КУ)=畳 IIX И2 И У『.

Сформулируем без доказательства одно следствие.

Теорема (М. Берже, [Вег 8]). Компактное ориентируемое кватернионно-кэлерово многообразие положительной секционной кривизны изометрично каноническому кватернионному проективному пространству.

Упражнение. Тензор кривизны R。канонического кватернионного проективного пространства удовлетворяет соотношениям

4R° (X, У) Z = g (X, Z) У — g (У, Z) X + 2g (/X, Y)IZ +

+ g(/X, Z)IY~g(IYy Z)IX +

+ 2g(/X, Y)JZ + g(JX9 Z)〃一

-g(", Z)JX + 2g(KX, Y)KZ +

+ g(KX, Z)Ky — g(KK Z)KX.

Проведенный анализ позволяет показать, что теория кватер- нионно-кэлеровых многообразий естественным образом распадается на два совершенно различных случая, соответствующих гиперкэлеровым и негиперкэлеровым многообразиям.

Теорема (М. Берже, [Вег7]). Пусть (Mg)—кватер- нионно-кэлерово многообразие (〃>2). Тогда

многообразие (Mg) риччи-плоско s том и только в том случае, если оно локально гиперкэлерово;

если многообразие (М, g) не является риччи-плоским, то оно (даже локально) неприводимо (в смысле де Рама).

Доказательство, (а) В обозначениях 14.40 из условия 九=0 следует, что а = В = у = 0 и что можно указать (по крайней мере локально) эндоморфизмы /, /, К, которые будут параллельны. Значит, по крайней мере ограниченная группа голономии содержится в Sp(/i). Для доказательства утверждения (Ь) нам понадобится следующая лемма.

Лемма. Если (М, g) — кватернионно-кэлерово многообразие, не являющееся риччи-плоским (〃>2), то его группа голономии содержит сомножитель Sp(l) из Sp(r?)Sp(l).

Доказательство леммы. Воспользовавшись (14.40е) и (14.40а), получим

£g(R(X〃 /%)Х, У) = 2〃а(Х, 丫)=告1r (/X, У)==|g(/x，У).

Отсюда / = £髯 Z；=iR(X±, IX), поскольку 1=/=0.

Но мы знаем, что операторы R (X, У) принадлежат алгебре Ли §о1 группы голономии. Таким образом, эндоморфизмы /, J, К, а значит, и слагаемые вр(1) алгебры Ли 5р(п)Ф $р(1) группы Sp(〃)Sp(l) принадлежат алгебре Ли Ьо【. Остается заметить, что Sp ⑴ есть связная подгруппа группы SO(4n), которая полностью определяется своей алгеброй Ли §0(1).□

□□Доказательство 14.45(b). Предположим, что локально ТМ = =Ei Ф Е2, где £"1, £2 — взаимно ортогональные распределения, инвариантные относительно группы голономии. Пусть X н У — ненулевые векторы из £i и Е2 соответственно. Поскольку /, /, ^ принадлежат группе голономии, векторы /У, /У, КУ лежат в Е?. В частности, g(R (X,/X) У,/У) = 0 и g(R(Xt IX) JY, ЛУ) = 0. С другой стороны, сумма левых частей этих равенств равна а (X, /X) IУ I2 =力2^ IX ЕIУ F 护 о Получаем противоречие. Сле-

□

□

довательно, многообразие (М, g) неприводимо.

Следствие (М. Берже, [Вег 7]). Если ограниченная группа голономии Я риманова 4п-мерного многообразия (九>2) содержится в Sp(n) U(1), то она содержится и в Sp(n).

Доказательство. Поскольку Sp (及)U (1) и U (2п), легко видеть, что можно так выбрать локальные эндоморфизмы /, /, К> удовлетворяющие условиям предложения 14.36, чтобы эндоморфизм / был параллельным. Тогда в обозначениях теоремы 14.40 имеем Р = V = 0. Следовательно, г = 0, т. е. можно применить 14.45(a). □

Замечание. Если же и = 1, то Sp(l)U(l)= U(2)u и SO (4). Поэтому не риччи-плоские кэлеровы (комплексные) поверхности являются 4-многообразиями с группой голономии Sp(l)U(l)・ В этом случае поле / параллельно (поскольку комплексная структура всегда параллельна относительно связности Леви-Чивита кэлеровой метрики). Таким образом, в обозначениях теоремы 14.39 р = v = 0, однако тензоры ан, могут быть отличны от нуля. Если и = 1, доказательство леммы 14.40 дает лишь равенство г(Х, У) = а(Х,/У), и больше ничего. Случай а = г = 0 соответствует многообразиям с ограниченной группой голономии Sp(l) = SU(2)uSO(4). Отметим, что составляющая Sp(l) группы Sp( 1)0(1) определяет вторую кватернионную структуру на многообразии М’ Соответствующие эндоморфизмы /ь 厶，К коммутируют с 厶 J, К. Но это, по-ви- димому, не проливает дополнительного света на рассматриваемые многообразия.

Сим метр ические кватернионно-кэлеровымногообразия

Сначала мы приведем примеры симметрических про-* странств, которые являются кватернионно-кэлеровыми. Напомним, что однородные римановы многообразия нулевой кривизны Риччи являются плоскими. Поэтому однородные гиперкэлеровы римановы многообразия представляют собой произведения плоских торов н евклидовых пространств.

Пусть (М, g) — симметрическое риманово многообразие, которое является кватернионно-кэлеровым и не риччи-плоским. Обозначим 亜рез G связную компоненту единицы ее группы изометрий, а через К стационарную подгруппу. Из теоремы 14.45 следует, что М есть неприводимое симметрическое пространство. Двойственное симметрическое пространство М* = G*/K, очевидно, также является кватернионно-кэлеровым. Поэтому можно ограничиться анализом компактного случая (т. е. компактных MhG).

Напомним, что представление голономии многообразия М совпадает с представлением изотропии группы К. По-

этому из леммы 14.46 следует, что К содержит простую нормальную подгруппу, изоморфную Sp(l), причем ее представление изотропии изоморфно представлению нормальной под- группы Sp(l)uSp(〃)Sp(l) в пространстве Н九=R4"・

Обратно, если группа изотропии К симметрического пространства содержит нормальную подгруппу Sp ⑴ с указанным выше представлением изотропии, то имеет место разложение K = KiSp(l), причем пересечение нормальной подгруппы Ki группы К с Sp ⑴ содержится в центре {土 1} группы Sp ⑴. Поскольку представление изотропии <р группы К коммутирует с представлением изотропии гр группы Sp(l), группа 屮(Ki) содержится в централизаторе Sp (九)группы изотропии 6(S"(1))・ Таким образом, многообразие М кватернионно-кэлерово.

Теперь нетрудно выделить в списке Картана неприводимых симметрических пространств (табл. 7.102) все симметрические пространства с такими стационарными подгруппами.

Теорема (Дж. А. Вольф, [Wol 2]). Пусть (М, g) — кватернионно-кэлерово симметрическое риманово многообразие ненулевой кривизны Риччи. Тогда многообразие М неприводимо, односвязно 〃

либо имеет положительную кривизну Риччи, и тогда оно компактно и является одним из пространств G/К 〃з табл. 14.52;

либо имеет отрицательную кривизну Риччи, и тогда оно некомпактно и является одним из пространств G*/K из табл. 14.52.

Таблица. Кватернионно-кэлеровы симметрические римановы многообразия ненулевой кривизны Риччи.

G

G*

К

dim M

Примечания

Sp (п+1)

Sp (n, 1)

Sp (n) Sp(l)

4n (n > 1)

M = IHP%

SU (п + 2)

SU (n, 2)

S(U (n) U (2))

4n (n > 1)

Sp(l) = SU(2), cm. 14.53 (b)

SO (п + 4)

SO (л, 4)

SO (n) SO (4)

4n (n>3)

1 Здесь SO (4)=

G?

弓

SO (4)

8

J =Sp⑴・Sp⑴

F,

№°

Sp ⑶ Sp (1)

28

Еб

境

SU (6) Sp(l)

40

号

E^

Spin(12)Sp(l)

64

七8

E/4

E7sp ⑴

112

Замечания, (а) Напомним, что мы предполагаем лишь то, что группа G действует на G/К почти эффективно. Например, для пространства [}Рп настоящей группой изометрий является группа *р(几 + 1)/{±1}.

Симметрическое пространство SU(п -\- 2) /S (U(п) U(2)) обладает также такой параллельной комплексной структурой /о, что (AI, g,」о)—кэлерово и, более того, эрмитово симметри- ческое пространство. При этом комплексная структура /о отлична от всех локальных комплексных структур вида %/ + ,」+ + zK (х2 + у2 + z2 = 1), порождающих кватернионную структуру. Алгебра Ли 9。(〃)㊉ 3乜(2)㊉：R группы К, рассматриваемая как алгебра голономии в точке еК, содержит /0 как образующую слагаемого R и (/, J, К) как образующие слагаемого би(2) = =河⑴.

Отметим, что результаты § 3 работы Вольфа [Wol 2] неверны (это относится, в частности, к теоремам 3.5 и 3.7): ошибка содержится в лемме 3.4 о кватернионных структурах с «комплексной скалярной частью» (в терминологии Вольфа). Однако остальные результаты работы верны.

Табл. 14.52 показывает, что компактные кватернионно- кэлеровы симметрические пространства взаимно однозначно соответствуют компактным простым группам Ли (кроме SU⑵). Дж. Вольф в работе [Wol 2] дал априорное доказательство этого результата в рамках теории корней.

Пусть g ——компактная простая алгебра Ли, t — ее картанов- ская подалгебра, а а ——корень максимальной длины. Ему соответствует трехмерная подалгебра Ли (На, Ха, Уа} = ^р(1). Рассмотрим централизатор % подалгебры ,(1) в д, а также подалгебру f = fi ® 5р(1), которая, очевидно, содержит t. Если G — односвязная компактная простая группа Ли с алгеброй Ли д, а К — соответствующая f подгруппа группы G, то G/К есть компактное кватернионно-кэлерово симметрическое пространство.

Отметим еще раз, что пока этими пространствами исчерпываются все известные примеры компактных кватернионно- кэлеровых многообразий. В некомпактном случае Д. В. Алексеевский в [Ale 3, 4] доказал существование несимметрических однородных (и, значит, полных) кватернионно-кэлеровых многообразий (см. § I). Однако он также доказал, что справедлива следующая теорема.

Теорема (Алексеевский, [Ale 2, 3]). Пусть М — кватер- нионно-кэлерово риманово многообразие, которое G-однородно относительно редуктивной группы G. Тогда многообразие М симметрично.

В частности, любое компактное кватернионно-кэлерово од- лородное риманово многообразие симметрично.

Доказательство см. в [Ale 2].

F. Кватернионные многообразия

Между теорией кэлеровых и кватернионно-кэлеровых многообразий существует аналогия (как подсказывает уже само название). Напомним, что кэлерово многообразие (TH, g, /) можно рассматривать как риманово многообразие (М g) вместе с такой почти комплексной структурой J, что (g, J) есть почти эрмитова структура и структура 了 параллельна относительно связности Леви-Чивита Q метрики g. Поскольку связность D не имеет кручения, из условия DJ = 0 следует, что / на самом деле является комплексной структурой. Мы хотим описать аналогичным образом и кватернионно-кэлеровы многообразия.

Для этого нам потребуется кватернионный аналог понятий почти комплексной и комплексной структур. Здесь существует несколько возможностей. Прежде всего отметим, что в кватернионном случае отсутствует «хорошее» понятие голоморфной функции, как показывает следующая теорема.

Теорема (Ш. Эресман, [Ehr 2]). Пусть f： U-> 口妬一 дифференцируемое отображение открытого подмножества пространства 应4"= н% Если его дифференциал f'(x) в любой точке xw U принадлежит группе G£(n, Н), то f есть аффинное отображение.

Тем не менее существует так называемое «кватернионное голоморфное исчисление», развитое Р. Фуэтером (см. [Fue], а также недавний обзор А. Садбери [Sud]), однако оно не соответствует нашей цели.

Можно взглянуть на вещи с точки зрения теории 6-структур. Тогда утверждение теоремы 14.58 эквивалентно тому, что подгруппа GL(n, Н) группы GL(4n, R) «имеет первый порядок», т. е. ее первое продолжение (в картановском смысле) равно нулю. Отсюда сразу следует, что любая интегрируемая GL(n, Н)-структура на самом деле является аффинной. Но как бы то ни было, группа GL(n, Н) нам не подходит, поскольку даже кватернионное проективное пространство HP" по топологическим причинам не допускает GL(n, Н)-структуры (даже не- интегрируемой). По поводу GL(n, Н) -структур см. работы [Som] и [Воп 2].

Рассмотрим лучше подгруппу GL (и, H)Sp(l) группы GL(4〃jR), определенную по аналогии с Sp(n)Sp(l), Отождествим R4" с правым векторным пространством Цп над телом кватернионов Н- Тогда GL(n, Н) представляет собой действующую слева группу лнне访ннх преобразований векторного пространства Н〃 над Н, a Sp⑴，как и прежде, есть группа единичных кватернионов, действующая на Н〃 умножениями на скаляры справа. Ясно, что группы GL(n, Н) н Sp(l) коммутируют и пересекаются по центру группы Sp(l), равному {±1} (отметим, что центр группы GL(n, Н) совпадает с подгруппой гомотетий R* группы GL (4zi, R)). Легко убедиться, что Sp(〃)Sp(l) есть максимальная компактная подгруппа группы G£(〃，H)Sp⑴.

Определения (Э. Бонан, [Воп 2]). (а) Почти кватернионным многообразием называется 妬-мерное многообразие вместе с GL (и, Ц) Sp (1) -структурой (т. е. редукцией главного расслоения реперов к подгруппе G£(〃，H)Sp(l)u GL(4〃，R)).

(b) Риманово многообразие с почти кватернионной структурой называется кватернионно-эрмитовым, если существует общая редукция GL (и, Н) Sp (1) -расслоения и SO (4п) -расслоения ортонормированных реперов к подгруппе Sp(n)Sp(l)).

Почти кватернионную структуру можно эквивалентным образом определить, задавая покрытие {%} многообразия М вместе с парой таких почти комплексных структур /, J на каждом открытом множестве Ut, что IJ = —JI и трехмерное векторное пространство эндоморфизмов, порожденное в любой точке xwM эндоморфизмами /, /, /J, не зависит от выбора ГЛ. Тогда риманова метрика g является кватернионно-эрмитовой, если она эрмитова относительно обеих почти комплексных структур /, J. Результаты, полученные для таких структур, см. в [Воп 2].

По аналогии с комплексным случаем дадим следующее определение.

Определение (С. Саламон, [Sal 1, 3]). Кватернионным, многообразием называется почти кватернионное многообразие,, допускающее GL(n, Н) 5р (1) -связность без кручения.

Отметим, что такая связность (если она существует) не может быть единственной. Поскольку связность «Певи-Чивита не имеет кручения, справедливо следующее предложение.

Предложение. Кватернионно-кэлерово многообразие является кватернионно-эрмитовым и кватернионным.

Напомним, что почти комплексная структура /, допускающая такую комплексную связность D без кручения, что DJ = 0, интегрируема и, значит, является (по теореме Ньюлендера ——Ниренберга, см. 2.12) комплексной структурой. Но аналогичное утверждение для кватернионных многообразий несправедливо, тут наша аналогия не сохраняется.

По определению G-структура является интегрируемой, если на М существует такой атлас {(17/, <pz)} локальных карт, для которых функции перехода ^f/ = <p； °ФГ1 на 鼻口口为)имеют дифференциалы, принимающие (в любой точке) значения в группе GuGL(/t,必).В нашем случае группа GL(nt H)Sp(l) имеет второй порядок в картановском смысле (как подгруппа группы GL(4n, R)), и это приводит к определенной жесткости. Из общей теории интегрируемых G-структур второго порядка выводится следующая теорема.

Теорема (Р. Кулкарни, [Kul 3], см. также [Sal 1,3]) • Пусть М — интегрируемое кватернионное многообразие. Тогда существует этальное отображение f универсальной накрывающей М многообразия М в HP", согласованное с кватернионными структурами.

В частности, если многообразие М компактно 〃 односвязно, то оно изоморфно НР"・

В этой теореме кватернионное проективное пространство НР〃 предполагается снабженным канонической кватернионной структурой, которая описывается следующим образом. Рассмотрим HP"как однородное пространство GL(n+1, Ц)/G£(l, п； Н), где G£(l, п; Н) — замкнутая подгруппа группы GL(n+ 1, Н), оставляющая неподвижным пространство 白 и Ц X НЛ = Н九+L т. е. состоящая из матриц вида (: ：), где Q 三 Н*, Хе Н", 4 — обратимая матрица пХ^. Отметим, что группа G£(九十 1, Н) действует на НР「 не эффективно, поскольку ее центр Z = ={a/d, a = R*} содержится в GL(1,〃； Ц)- Для того чтобы получить эффективное действие, нужно рассматривать факторгруппу PGL(n+U H)=G£(n+l, H)/Z, но мы этого делать не будем. (Можно было бы рассмотреть и другие подгруппы группы GL(n + 1, Ц), действующие на НР^ транзитивно и почти эффективно, например SL(n+ 1, Ц) или Sp(n+ 1).)

Представление изотропии р группы G£(l, n; Н) не является точным. Оно имеет ядро N, которое представляет собой нор-

мальную подгруппу, состоящую из матриц вида (: [)，где gwR*, Xw Нл, а / — единичная матрица пХ и. Образом отображения р является группа GL(n, H)Sp(l), а расслоение Р = ==GL(n + 1, Ц)/Л^-^ Н^л есть главное GL(n, Н)5р(1)-расслоение. При этом векторное расслоение, ассоциированное с Р и представлением р, отождествляется с касательным расслоением ТНР〃・ Поэтому Р можно рассматривать как редукцию главного расслоения реперов, т. е. как кватернионную структуру. Анализ функций перехода между каноническими локальными системами координат (ассоциированными с однородными координатами проективного пространства НР“) показывает, что эта кватернионная структура интегрируема.

В заключение отметим, что многообразие HP1 не допускает факторизации по конечной группе (с сохранением структуры многообразия). На самом деле Н^п не может быть тотальным пространством никакого нетривиального гладкого расслоения над многообразием, как доказано Дж. С. Беккером, Д. X. Готт- либом и Р. Шульцем (см. [Be-Go]). В частности, любое компактное интегрируемое кватернионное многообразие с конечной фундаментальной группой изоморфно НР"・

Отличные от HP" компактные кватернионно-кэлеровы симметрические многообразия являются компактными односвязными кватернионными многообразиями, которые, как нетрудно убедиться с помощью топологических рассуждений, не диффео- морфны НР〃・ Поэтому они представляют собой неинтегрируе- мые кватернионные многообразия.

Кватернионные многообразия в определенном смысле яв- ляются примерами «полуинтегрируемых» G-структур. В следующем параграфе мы разовьем аппарат для изучения этих многообразий, предложенный независимо С. Саламоном и Л. Бера- ром-Бержери.

G. Пространство твисторовкватернионных многообразий

Пусть М — кватернионное многообразие (в смысле определений 14.61 и 14.62). Обозначим через £ трехмерное векторное подрасслоение расслоения эндоморфизмов End(TM), порожденное в каждой локальной карте (U»,屮力 эндоморфизмами 》,/, К = /J. По определению Е есть глобально определенное векторное расслоение над М (оно может быть нетривиальным, в частности, может не иметь глобальных сечений, как, например.

для HP"). Расслоение 七 можно рассматривать как векторное расслоение, ассоциированное с данным GL(n, H)Sp(l)-расслоением и трехмерным представлением группы GL(n9 由)Sp(l) в пространстве R3, на котором группа GL(n, Ц) действует тривиально, а группа Sp(l) действует с помощью присоединенного представления на своей алгебре Ли 5P (1)= R3.

В частности, расслоение Е имеет естественную евклидову структуру на слоях, относительно которой тройка (/, /, К) образует ортонормированный базис слоя £х, % 三 Ut, для каждой карты (Ui, ф/). Ассоциированное с 七 расслоение Z единичных векторов из Е имеет в качестве слоя в точке % е М 2-сферу, состоящую из линейных комбинаций эндоморфлзмов 7, /, К, которые являются комплексными структурами в ТХМ.

Определение (С. Саламон, [Sal 1, 2, 3, 4], Л. Берар- Бержери, [Вё Вег 7]). Ассоциированное с Е расслоение Z единичных векторов называется расслоением твисторов или пространством твисторов кватернионного многообразия М.

Это название выбрано для того, чтобы подчеркнуть, что рассматриваемая теория является прямым обобщением развитой Пенроузом теории пространств твисторов автодуальных многообразий (см. гл. 13). Другие обобщения этой теории см. в [ВВ-Ос]. “

Теорема (С. Саламон, [Sal 1, 2]). Пусть М — кватернионное многообразие размерности 4п 为 8. Тогда его расслоение твисторов Z обладает естественной комплексной структурой, относительно которой слои проекции л: Zf М являются компактными комплексными кривыми рода нуль.

Замечание. В четырехмерном случае это неверно. Действительно, группа GL(1, H)Sp(l) изоморфна ориентированной конформной группе R；S。(4). Поэтому четырехмерные кватернионные многообразия представляют собой не что иное, как ориентированные многообразия с конформной структурой. В этом случае на многообразии Z также существует естественная почти комплексная структура. Однако она интегрируема только в том случае, если многообразие автодуально (как показано в гл. 13).

Доказательство. Мы не будем приводить доказательство Саламона, красивое и вполне концептуальное, но использующее теорию представлений в чересчур большом объеме. Ограничимся наброском более элементарного доказательства, предложенного Л. Бераром-Бержери.

Выберем GL(n, Н) <Sp (1) -связность 6 без кручения в данном GL(n, Н) «Sp (1) -расслоении Q. Она индуцирует линейную связность D без кручения на М. Поскольку £ и Z——ассоциированные с Q расслоения, связность 6 индуцирует также метрическую связность в Е и расщепление касательного расслоения TZ = =У° ㊉劣 в сумму вертикального распределения F (касательного к слоям расслоения л) и дополнительного к нему горизонтального распределения 徹(зависящего от 6). Отметим, что горизонтальный перенос векторов из 劣，определенный в 9.40, сохраняет каноническую метрику на слоях S2 расслоения твисто- ров л и их ориентацию. Отсюда следует, что он сохраняет также каноническую комплексную структуру слоев S2, которая однозначно определяется канонической метрикой и ориентацией. Поскольку вертикальное распределение У* касается слоев, эта комплексная структура индуцирует на каждом пространстве 歹幻 2wZ, эндоморфизм 了，для которого 方=—/d.

В то же время каждая точка z三Z по определению представляет собой комплексную структуру в векторном пространстве ТЯ(2)М Поскольку касательное отображение 冗* отождествляет 雍g и T^Z)M, комплексную структуру 2 можно поднять до эндоморфизма 7 пространства 箔г, для которого 尸=—/&

Теперь можно определить почти комплексную структуру J на Z, положив

7(Г) = Г, J｝斤=了，"%) = %, 〃%=了

(см. рис. 14.71). Нетрудно убедиться, что комплексная структура 了 на самом деле не зависит от выбора GL(n, Ц)Sp (1) -связности 6 без кручения.

Для того чтобы доказать интегрируемость почти комплексной структуры /, рассмотрим ее тензор Нийенхейса NJ (см. 2.11), точнее, его компоненты, соответствующие расщеплению 72 =夕㊉鑑.

Очевидно, что если векторные поля U, V вертикальны, то вертикальными будут и поля JU, JV, а также всевозможные скобки этих полей. Поскольку 了 есть комплексная структура на каждом слое, NJ (U, V) = NJ( U, V) = 0.

Пусть теперь X, У—базисные векторные поля (см. 9.22). Поскольку горизонтальный перенос сохраняет 7, имеем [X, JU] = /[X, U] (так как поле [X, U] вертикально, если поле U вертикально). Заметим, что несмотря на то, что поле JX не является базисным, выполняется равенство У[/Х, JU] = ="[JX, U], поскольку при горизонтальном поле X оно имеет

тензорный характер. Для того чтобы вычислить оставшуюся (горизонтальную) составляющую поля NJ (X, U), спроектируем его на базу. Легко проверить, что

% (% [JX, U])= —仇(U)冗

где <р — отображение слоя Zm расслоения Z в точке т^ М в End ТтМ. сопоставляющее точке 2 соответствующую ей комплексную структуру в Тл(г)Л4.

Рис. 14.71.

Равенство NJ(X, 1/) = 0 вытекает теперь из следующей леммы (которая легко проверяется, например, в локальных координатах) •

Лемма. Для любого вертикального вектора U 8 точке z巨Z

0白s匸中⑵。？1*0)-

Для любой точки 2三 Z выберем такое локальное сечение s расслоения Z над окрестностью V точки m = n(z), что Ds = 0

36 А. Бессе, т. 2

(где s рассматривается как сечение расслоения Е). Это определяет почти комплексную структуру S на V, к проекции 鑑(夠 鑑) (ограниченную на s(V)) можно рассматривать как тензор Нийенхейса NS этой структуры S. Поскольку связность D не имеет кручения и DS = 0 в точке 加，тензор Нийенхейса NS равен нулю в точке т. Таким образом,鑑NJ(鑑，鑑)=

Наиболее тонкую часть доказательства составляет проверка равенства 夕N/俠,弟).В 9.53 показано, что 夕[鑑，徹]есть тензор, выражающийся через тензор кривизны R связности D. При соответствующем отождествлении равенство 夕AV (裔非)=0 эквивалентно следующему утверждению.

Лемма. Если эндоморфизмы /, J, К определены как в 14.61, то тензор кривизны R связности D удовлетворяет тождеству

(14.74а) [R (SX, SV), S] — S [R (SX, У), S] —

-S[R(X, SV), S] — [R(X, У), S] = 0

для любого эндоморфизма S = xl + yJ + zK, где х2+у2+г2=Е

Доказательство. Поскольку D есть GL (九,Ц) Sp (1) -связность» ковариантные производные полей /, J, К являются их линейными комбинациями (как в 14.36(c)). Рассмотрев вторые ковариантные производные этих полей, мы получим те же формулы, что в 14.39.

Обозначим через / (R)(X, У, Z) результат применения первого слагаемого из (14.74а) (с S = /) к вектору Z. В результате непосредственных вычислений с использованием тождества Бьянки получим

(14.74b) / (R) (X, У, Z) + / (R) (У, Z, X) + I (R) (Z, X, У) = 0.

Теперь достаточно взглянуть на формулу 14.39, чтобы убедиться, что вектор /(R) (X, У, Z) является линейной комбинацией векторов JZ и KZ. Поэтому из формулы (14.74b) следует, что если вектор У не является линейной комбинацией векторов X и IX» то /(R) (X, У, Z) = 0. С другой стороны, непосредственные вычисления показывают, что если У = “X + Ь1Х, то также /(R)(X, F,Z) = 0. 口

Примеры, (а) Кватернионное проективное пространство Ц^п есть фактор-пространство пространства Hn+1— {0} по действию группы Н* справа. Кроме того, HP" можно рассматривать как однородное пространство GL(n + 1, H)/G£(l,〃； Н), причем расслоение Р~> НР", описанное в 14.64, является главным GL (л, Н) 5р (1) -расслоением, которое определяет кватер-

«ионную структуру. Расслоение 田+】一{0} ассоциировано с этим расслоение и получается в результате факторизации структурной группы до группы GL(〃，H)Sp⑴/SX(^г, Н)= Н*.

Поскольку GL(n, Н)U(l)/sZ(/i, Н) = С*, пространство твисторов Z пространства ЦРп при отождествлен и и 屮+1 = С 计 2 отождествляется с комплексным проективным пространством ，С尸2叶1 =(,©2叶2—{о})/С*, а 52-расслоение C.P2〃+i = Z—Н。" представляет собой просто расслоение Хопфа из 9.83.

(Ь) Аналогично, пусть М = G/К (где K=HSp(l)) есть одно из симметрических кватернионно-кэлеровых многообразий из табл. 14.52. Тогда расслоение твисторов многообразия М есть комплексное однородное многообразие Z = G/HU (1) (соответствующее включению U⑴uSp(l)).

G£(n, Н) -многообразия. Пусть М есть GL (n, Н)-многообразие с GL(n, Н)-связностью без кручения. Тогда расслоение Е тривиально и поля /, J, К можно выбрать таким образом, чтобы они были параллельны. В этом случае многообразие твисторов Z является произведением ТИХ52 (как вещественное дифференцируемое многообразие). Однако оно не является произведением комплексных многообразий даже в том случае, если М = Н〃・ Тривиализация расслоения Z с помощью эндоморфизмов /, 7, К определяет голоморфное расслоение q: Z->S?, слоем которого в точке S = %/ + у/ + nK базы S2 является комплексное многообразие (M, S). Таким образом, расслоение q в общем случае не тривиально.

Например, пространство твисторов Z(H") для Н" есть тотальное пространство комплексного векторного расслоения 七⑥с С?" над S^ = СР\ где L — комплексное линейное расслоение, индуцированное расслоением Хопфа (см. [Som]). В частности, Z (中)не изоморфно С2〃ХСР‘ как комплексное многообразие.

Если М есть комплексный тор Т4п = Нп/Г, где Г—некоторая решетка, пространство твисторов является компактным ком- ллексным многообразием, не допускающим кэлеровой метрики (этот пример принадлежит Бланшару, см. [В1а]).

Н. Применение теории пространств твисторов

Теория пространств твисторов позволяет свести изучение кватернионных многообразий к изучению комплексных многообразий. Например, поскольку любое комплексное многообразие аналитично, любое кватернионное многообразие также аналитично.

К сожалению, пространство твисторов часто оказывается довольно сложным комплексным многообразием, как мы уже видели в случае пространства Н& Рассмотрим теперь негипер- кэлеровы кватернионно-кэлеровы многообр азия. Единственным результатом общего характера является следующая теорема.

Теорема (С. Саламон, [Sal 1]). Пусть (Mg)—кеа- тернионно-кэлерово многообразие ненулевой кривизны Риччи. Тогда его пространство твисторов Z допускает комплексную контактную структуру (т. е. такое семейство голоморфных 1-форм (0? на открытых множествах Ui покрытия многообразия Z, что

(di A(d(di)2n #= 0;

на Ui П Uj существуют такие голоморфные функции 厉, ЧТО (0j = ///СО/).

Доказательство. Связность Леви-Чивита D многообразия М можно рассматривать как Sp(n)Sp(l)-связность, которая, как и в 14.70, определяет расщепление 7Z = k㊉鑑,согласованное с комплексной структурой в Z. Поскольку 歹 есть комплексное линейное расслоение над Z, проекцию 鑑：TZ-^T можно продолжить до голоморфной 力-значно員 1-формы s на Z. Кроме того, расслоение 歹 обладает естественной связностью 15, определяемой канонической связностью в S2. Рассмотрим дифференциал d%. Ограничение 2-формы d% на %Х非 связано с препятствием Л к интегрируемости распределения 鑑(см. 9.24) формулой

d%(X, У) = —2о(ЛхУ),

где X, У——произвольные векторы из 鑑.Но тензор Л выражается через кривизну R метрики g по формуле (9.53b), если воспользоваться отображением ф из 14.72. Пусть /, J, К — локальный ортонор мированный базис расслоения Е. Тогда в точке S = =х/ + у/ + zK w Z (где х2 + у2 + г2 = 1) имеем

.78)ф(ЛхУ) = -|[^(лЛ( л.У), S].

Теперь утверждение теоремы следует непосредственно из формул 14.39 н 14.40.□

Замечание. Если дополнительно предположить, что многообразие М компактно, то теорема Ш. Кобаяси ([Kob 1]) устанавливает следующую связь между первыми классами Чженя:

q (Z)=(几 + 1) с】(勿).

Мы уже знаем (см. 14.76), что пространство твисторов компактного кватернионного многообразия не всегда является кэ-

леровым. Поэтому следующий результат представляет особый интерес.

Теорема (С. Саламон, [Sal 1, 2], Л. Берар-Бержериг [Вё Вег 7]). Пусть (7И, g)——кватернионно-кэлерово многообразие положительной кривизны Риччи. Тогда его пространство твисторов Z допускает метрику Кэлера — Эйнштейна положительной кривизны Риччи, относительно которой проекция л: Z-> —М есть риманова субмерсия с вполне геодезическими слоями.

Доказательство. Напомним, что многообразие (Af, g) эйнштейново, поэтому, нормируя метрику, можно считать, что г = = (〃 + 2)g (как для канонической метрики в ЦРП)- Определим метрику g на Z условиями, чтобы проекция л была римановой субмерсией с вполне геодезическими слоями, изометрич- ными стандартной сфере S2 (постоянной кривизны единица), а горизонтальное распределение 彌 индуцировалось связностью- Леви-Чивита D (как в 14.78). Очевидно, что метрика g определяется этими условиями однозначно и является эрмитовой относительно комплексной структуры /. Покажем теперь, что она кэлерова и эйнштейнова. Это вытекает из следующих свойств тензора О'Нейла Я.

Лемма. При сделанных выше предположениях для любого вертикального векторного поля U и базисных векторные полей X, У выполняются соотношения

(a) Du (JX) = JAxU, (b) JAXU = & (W), (14.81) (c) Ax(JY) = J(AxY)9 (d) IMxIF = %IIX『，

(e) IIЛ：7И2 = nHi/И2.

Доказательство леммы. Формулы 14.81 (b) — (e) легко следуют из формул 14.39 и 14.40 с учетом отождествления 14.78. Основной является формула 14.81 (а).

Рассмотрим тот же локальный базис /, J, К, что и в 14.78. Если вертикальное векторное поле U в точке / w Z удовлетворяет условию ф (U) = 〃/ + vK, то % (О。(JX)) = uJX + vKX, где X = %Х. С другой стороны,冗* (」(』xS) = /%GxS = / (—〃KX + + vJX) = nJX + vKXf поскольку g (/才〃，У) = —g (U, &У)= = —〃g(K冗 F)+^(JX, У). □

Завершение доказательства теоремы 14.80. Если поля

U, V вертикальны, то (DVJ) V = 0, поскольку это верно на каждом слое. Если X — базисное векторное поле, то TDVX = 0 и 鑑QM = ЛxU, Значит, (Dvf) X = DV (JX) — J (DVX) = 0. Поле

(X, U] также вертикально, и F (DXU) — [X, U}. Поэтому из 14.72 следует, что 7° (DXJ) U — Q, Из 14.81 (Ь) вытекает, что 能 g/)y = 0.

Кривизна Риччи г метрики g вычисляется теперь по формулам (9.61). Формулы (14.79d) и (14.81b) показывают, что г = =(и + 1)^, т. е. (Z,/,咬)есть многообразие Кэлера ——Эйнштейна. □

Следствие 1 (С. Саламон, [Sai 1, 2]). Компактное кватернионно-кэлерово многообразие(А1, g) положительной кривизны Риччи односвязно, а все его нечетные числа Бетти равны нулю.

Доказательство. По теореме Кобаяси 11.26 имеем m(Z) = 0, откуда е (М) = 0. Второе утверждение следует из того, что многообразие Z имеет только (р, р) -когомологии (см. [Sal 2]).

Следствие 2 (Л. Берар-Бержери). Если (М, g)—компактное кватернионно-кэлерово многообразие положительной кривизны Риччи, то его пространство твисторов Z допускает не- кэлерову эрмитову метрику Эйнштейна, относительно которой л есть риманова субмерсия с вполне геодезическими слоями.

Доказательство. Это сразу следует из теоремы 9.73. □

Аналогично можно рассмотреть главное SO (3) -расслоение л': У-> М, ассоциированное с Q и получающееся в результате факторизации Sp(n)Sp(l)/Sp(n)= SO(3). Нетрудно показать, что существует главное ^-расслоение 冗〃：7->Z, которое определяет на У структуру контактного многообразия. Рассуждения, аналогичные 14.80, позволяют доказать следующее предложение.

Предложение. Пусть (М, g) — кватернионно-кэлерово многообразие положительной кривизны Риччи. Тогда описанное выше расслоение У допускает две различные метрики Эйнштейна, относительно которых л' есть риманова субмерсия с вполне геодезическими слоями. Относительно одной из них 冗〃 также является римановой субмерсией над (Z, g) с вполне геодезическими слоями,

Замечания, (а) К сожалению, поскольку все известные примеры кватернионно-кэлеровых многообразий положительной кривизны Риччи исчерпываются симметрическими пространствами вида G/HSp(l) из 14.52, таким образом можно получить лишь однородные метрики над Z = G/HU (1) и У = G/H.

(Ь) Если (Mg)—кватернионно-кэлерово многообразие отрицательной кривизны Риччи, конструкция 14.80 приводит к ри-

мановой метрике g на Z, которая не является ни кэлеровой, ни эйнштейновой (хотя и является эрмитовой). Но если вместо g рассмотреть псевдориманову метрику й сигнатуры (4九，2), определяемую условиями ft (F,鑑)=0, h \ Т = —g 1k 歹，h \ Ж = —g f Ж (и нормировать g так, чтобы г =—(九+ 2)g), то эта метрика будет псевдокэлеровой н эйнштейновой. Кроме того, существует еще одна псевдориманова метрика сигнатуры (4м, 2), которая является эйнштейновой, но не кэлеровой. Аналогично^ многообразие У допускает две псевдоримановы метрики Эйнштейна сигнатуры (4и, 3).

Рассмотрим теперь характеристические классы и характеристические формы на компактном кватернионно-кэлеро- вом многообразии М Поскольку Е есть SO (3) -расслоение, на нем фактически существуют два интересных характеристических класса: второй класс Штифеля — Уитни w2 (£) е Я2 (7И, Z2) н первый класс Понтрягина pi (Е) е Я4 (Af, Z) (поскольку первый класс Штифеля ——Уитни Wi (Е) = 0) •

Определение (С. Мартифава, Г. Романи, [Ma-Ro]). Класс 自=切2(七)называется фундаментальным классом многообразия М.

Основным результатом, касающимся g, является следующая теорема.

Теорема (С. Саламон, [Sal 1, 2]). Компактное кватер- нионно-кэлерово многообразие (М, g) положительной кривизны Риччи, для которого Е (М) = 0, изометрично (с точностью до масштаба) каноническому кватернионному проективному пространству Н「"・

Доказательство. Очевидно,冗*七=打㊉ R. Отсюда д(犷)=0. Это означает, что R = LNL (над С), где L — некоторое комплексное линейное расслоение. Учитывая (14.79), получаем

с, (Z) = (2n + 2)q (L).

По теореме Ш. Кобаяси н Т. Отиаи ([Ко-Ос]) многообразие Z изоморфно -CP2w+1.

В силу теорем Мацусимы 11.52, 8.2, 8.95 н теоремы 14.80 многообразие Z даже изометрично каноническому проективному пространству ：CP2〃+L Формулы О'Нейла 9.29, связывающие кривизны многообразий Z и М, показывают, что секционная кривизна многообразия М положительна. Поэтому по теореме Берже многообразие М изометрично каноническому проективному про- стр анству Н Р〃・ □

Замечание. Оригинальное доказательство Саламона завершается несколько иначе. Он получает нижнюю оценку размерности группы изометрий многообразия М, используя для этого различные вариационные комплексы на Z. Этот метод можно применять даже в том случае, если g #= 0 (см. [Sal 1,2]).

Поскольку связность D индуцирует связность в Е, первый класс Понтрягина pi (Е) может реализоваться некоторой 4-формой Й на М. Эта форма является кватернионным аналогом кэлеровой формы комплексной геометрии. Нетрудно убедиться, что форма Q имеет следующий вид.

Предложение (В. Крайнее, [Кга]). Пусть (Mg)— кватернионно-кэлерово многообразие с локальными полями J, /, К. Рассмотрим соответствующие им локальные 2-формы ^(X9Y) = g(IX,Y), B(X,y)= g(JX,Y), Y(X,V) = g(KX,y)・ Гог- да 4-форма

£2 = аАа + 6Лр + уАу

глобально определена на М, параллельна и невырожденна (т. е. Q"=#0), причем

[Q]=8n2p](E)w“4(M, R)

Определение. (В. Крайнее, [Кга]). Форма й называется фундаментальной ^формой многообразия 7И.

Формой Q можно воспользоваться для получения информации “о когомологиях многообразия М по аналогии с использованием кэлеровой формы в кэлеровой геометрии. Например, можно получить следующий результат.

Теорема (В. Крайнее, [Кга], Э. Бонан, [Во 2, 3]). Пусть (М, g)—компактное кватернионно-кэлерово многообразие ненулевой кривизны Риччи. Тогда его числа Бетти bi удовлетворяют неравенствам

ь2p《Ь2P+ 4,b2。一1<b2"1

、j dim M

для всех р <п = ———.

(В работе [Воп 3]) уточняются и обобщаются более ранние результаты работ [Кга] и [Воп 2].) Полезно сравнить этот ре- .зультат со следствием 14.83, где многообразие М имеет положительную скалярную кривизну.

Наконец, теорема Лере — Хирша устанавливает связь между когомологиями многообразий Z и М.

Теорема (С. Саламон, [Sal 1]). Вещественные когомологии пространства твисторов 之 компактного кватернионного' многообразия М ненулевой кривизны Риччи являются "*(М, R)- модулем, порожденным 2-формой /, для которой [Р] = [Q].

Точнее говоря, / представляет собой вещественный класс,, соответствующий gq (夕)(если Е = 0, то класс / является целочисленным) .

I. Примеры несимметрическихкватернионно-кэлеровых многообразий

Пока что мы описали лишь один класс примеров ква- тернионно-кэлеровых многообразий ненулевой кривизны Риччи: симметрические пространства G/К и G你/К (см. табл. 14.52). Мы утверждаем, что компактными пространствами вида G/К из табл. 14.52 исчерпываются все известные примеры кватернион- но-кэлеровых многообразий положительной кривизны Риччи (отметим, что, согласно 14.83, их нельзя факторизовать). В случае отрицательной кривизны Риччи некомпактные пространства. 5[К допускают большое число факторизаций по дискретным группам, причем некоторые из этих групп являются компактными (действительно, по теореме А. Бореля ([Вог 5]) любое симметрическое пространство обладает компактным (гладким) фактор-пространством). Все эти фактор-пространства являются полными кватернионно-кэлеровыми многообразиями.

Существуют также примеры локально несимметрических полных кватернионно-кэлеровых многообразий (отрицательной кривизны Риччи). Они были открыты Д. В. Алексеевским ([Ale 3, 4]) в процессе классификации кватернионно-кэлеров ых многообразий с транзитивной разрешимой группой изометрий. Д. В. Алексеевский получил следующий результат, в формулировке которого N(p) означает число Радона ——Гурвица, определяемое соотношениями N(8p + <у) = 8兩(g), N(l) = 1, N(2) = 2, N(3) = N(4) = 4, N(5) = A^6)= ДЦ7)= N(8) = 8.

Теорема (Д. В. Алексеевский, [Ale 3, 4]).

Существуют два семейства односвязных разрешимых групп 〃〃：

W (р, q) (где。《р < д) размерности 4 (4 + р + д) и

V (р, q) (где 1《р, 0 & 9)размерности 4 (4 + g + 2pN ®)— допускающих кватернионно-кэлерову левоинвариантную риманову метрику (определенную однозначно с точностью до масштаба) .•

Эти метрики не являются локально симметрическими, за исключением следующих случаев, которым соответствуют симметрические пространства, указанные 6 таблице：

昭(0, q)

so (g + 4,4)/SO (q + 4) SO (4)

V (Р, 0)

Sp (p + 4,l)/Sp (p + 4) Sp(l)

V(l, 1)

F：/Sp (3) Sp (1)

V(l, 2)

El/SU (6) Sp (1)

V(l, 4)

Ejs/Spin (12) Sp ⑴

v(l, 8)

E/4/e7sp ⑴

Обратно, пусть (Л1, g) — кватернионно-кэлерово риманово многообразие, дотекающее транзитивную разрешимую группу изометрий.

Тогда (М, g) либо является симметрическим пространством, либо изометрично одному из многообразий W (р, q), V (р, q).

Мы не приводим доказательство теоремы 14.98, поскольку оно очень длинно и технически сложно ')• Мы даже не даем точных определений групп W (р, 7) и V (р, q), поскольку

1) В последнее время физики С. Чекотти, С. Феррара и Л. Жир ар делло (см. [Cecotti С., Ferrara S., Girardello L. Geometry of type II superstrings and the moduli of superconformal field theories.—CERN, TH 5080, UCLA/88/TEP/21, June 1988]) обнаружили глубокие связи между однородными кватернионно- кэлеровыми многообразиями и некоторыми современными суперсимметричными теориями поля (теорией (N = 2)-супергравитации и теорией суперструн). в работе С. Чекотти [Cecotti S. Homogeneous Kahler manifolds and T~algebras in (N = 2)-supergravity and superstrings.— CERN, TH 5/64/88, August 1988], где эта связь развивается в разных направлениях, отмечается, что соображения стандартной теории (N = 2) -супергравитации позволяют получить новое, более простое доказательство классификационной теоремы 14.98 и других результатов из [Ale 4]. На языке физики задача классификации однородных кватернионно-кэлеровых многообразий сводится к интегрированию системы уравнений Гамильтона—Якоби, соответствующих системе гармонических осцилляторов, взаимодействующих с постоянным магнитным полем. При этом возникают неожиданные и загадочные связи с рядом математических теорий и объектов: 7-алгебрамн Винберга, магическим квадратом Фрейденталя, некоторым классом однородных кэлеровых многообразий и т. д.——Прим, перев.

они требуют использования тонкой техники, которая применяется для классификации однородных некомпактных кэлеровых многообразий. Объясним лишь, откуда берутся числа ^(p). Ключевой момент заключается в том, что семейство V(р, q) определяется с помощью теории представлений X2-градуироваиных клиффордовых модулей над алгебрами Клиффорда. Напомним», что алгебра Клиффорда Ср обладает единственным непрнводн- мым Z 2-градуированным модулем, который имеет размерность. N(p). Группа R(p, д) строится с помощью Ср-модуля, который равен прямой сумме q экземпляров этого неприводимого модуля. Подробности см. в [Ale 4].

Замечания, (а) Напомним, что если G*/K — некомпактное неприводимое симметрическое пространство, то в группе G* существует разрешимая подгруппа А, которая действует на G*/K просто транзитивно (это сразу следует из классического разложения Ивасавы группы G*).

В [Ale 3] Д. В. Алексеевский утверждает, что на многообразиях W(pt 9) и V(p, д) (в последнем случае только при 9 = 0) существует единственная инвариантная комплексная структура (некэлерова относительно описанной в теореме 14.98 метрики), а также почти кэлерова инвариантная почти комплексная структура (неинтегрируемая). Здесь инвариантность означает /?-инвариантность, в отличие от б*-инвариантности в симметрическом случае. 4

В [Ale 4] Д. В. Алексеевский дополнительно предполагает, что группа «вполне разрешима», отмечая, что в общем случае результат остается тем же, хотя вычисления становятся еще сложнее.

Автору неизвестно, допускают ли несимметрические многообразия 伊(р, д) и V(p, д) фактор-пространства, в частности компактные фактор-пространства (являющиеся римановыми многообразиями) 9.

】)Несимметрические многообразия W(р, q) и V(p, q) не допускают компактных фактор-простра нств, поскольку их полные группы изометрий не уни- модулярны. С другой стороны, можно показать, что если кватернионно-кэле- рово многообразие допускает унимодул яркую транзитивную группу изометрий, то оно является симметрическим.——Прим, перев.

Глава 15

Немного о некомпактном случае

А. Введение

Поскольку в этой книге мы в основном рассматриваем •компактные многообразия, глава о некомпактных многообразиях задумана просто как краткий обзор.

Некомпактных многообразий Эйнштейна в некотором смысле намного больше, чем компактных. Отметим все же, что, согласно теореме Майерса 6.52, полные некомпактные метрики Эйнштейна всегда имеют неположительную константу Эйнштейна. Других препятствий к существованию полных метрик Эйнштейна на некомпактных многообразиях мы не знаем (даже в четырехмерном случае).

Помимо локальных примеров Ж. Гаски ([Gas]), приведенных в гл. 5, в которых описываются лишь ростки метрик, известно много глобальных примеров, в основном связанных с раз- ..личными расслоениями. Наиболее интересны, конечно, полные примеры.

Случай однородных метрик Эйнштейна на некомпактных однородных пространствах уже рассматривался в гл. 7. Самый поразительный результат, полученный для этих пространств,.—теорема Алексеевского и Кимельфельда 7.61, которая утверждает, что риччи-плоское локально однородное многообразие является плоским. Этот результат обусловлен тем, что риччи-плоские многообразия являются пограничными между многообразиями, имеющими положительную и отрицательную кривизны Риччи. Здесь используется теорема Чигера — Громола 6.65 и рассуждения, связанные с группой изометрий. По поводу кэлерова случая см. 15.47.

В § В мы опишем давно известную конструкцию неоднородных метрик Эйнштейна» предложенную Э. Калаби, хотя она и перекрывается более новыми результатами. С помощью этой конструкции были построены первые неоднородные примеры полных метрик Кэлера ——Эйнштейна. Она демонстрирует красивое взаимодействие вещественного и комплексного аппарата и позволяет ввести ряд понятий, которые понадобятся нам

в дальнейшем. Метрики, построенные Э. Калаби, оказываются метриками кооднородности один (см. гл. 9).

15・4・ В § С мы дадим обзор конструкций, связанных с расслоениями, которые позволяют получить другие примеры полных метрик Эйнштейна. Одно семейство таких метрик, построенное •Л. Бераром-Бержери, уже было описано в гл. 9. Здесь мы приведем лишь окончательный результат. Другое семейство, построенное Э. Калаби, представляет собой кэлеров аналог первого семейства и весьма интересно, так как позволяет получить примеры некомпактных многообразий с группой голономии 5р(/п). Кроме того, оно содержит некоторые примеры, найденные Эгучи, Хэнсоном и Хитчином, которые можно получить также с помощью конструкции Пенроуза (см. гл. 13).

Отдельный параграф (§ D) посвящен описанию глубоких результатов, характеризующих ограниченные области, которые допускают полные метрики Кэлера ——Эйнштейна и являются их ограниченными областями голоморфности. Эти результаты получены Н. Моком и С. Т. Яу на основе более ранних работ С. Я. Ченга и С. Т. Яу. Для их доказательства используется сложный аналитический аппарат, который имеет много точек соприкосновения с гипотезой Калаби (см. гл. 11).

Конструкция неоднородных метрик Эйнштейна

Прежде чем описывать примеры Калаби, нужно ввести ряд понятий комплексной геометрии, которые будут использоваться в этом параграфе и в § D.

Область 宏 в С机(т. е. связное открытое множество) называется областью голоморфности, если на ней существует голоморфная функция, которую нельзя продолжить до голоморфной функции некоторой окрестности произвольно взятой точки р границы。勿.

Хорошо известно, что любая область в С, является областью голоморфности. В высших размерностях это понятие оказывается весьма ограничительным. Примерами областей голоморфности могут служить полицилиндры.

Рассмотрим комплексную трубчатую область М = Dy^ XiRm, где D ——произвольная область в km. Хорошо известно (см. [Во-Ma], с. 90——92), что М есть область голоморфности тогда и только тогда, когда область D выпукла. Это станет ясно немного позже.

В [Cal 4] Э. Калаби снабдил область М кэлеровой метрикой, инвариантной относительно группы чисто мнимых параллельных переносов. В некоторых примерах такие метрики оказываются

инвариантными относительно полной евклидовой группы Ет = =SO(m)X Rm- Эти кэлеровы метрики определяются кзлеро- выми потенциалами Ф специального вида (см. 2.11), заданными в области М: для zr D

① Q) = 〃ReQ)),

где f — вещественная функция на D.

Для того чтобы форма s = dd。① была кэлеровой формой метрики, необходимо, чтобы матрица I ―—«-) была положи- I dzadz^ /

тельно определена (в этом случае говорят, что Ф — строго плю- рисубгармоническая функция). С учетом соотношения между f и Ф это равносильно строгой выпуклости функции f (действн- тельно, 3 丿Т в)，если za = xa + tya — комплексные координаты в。X ZRm).

Из 2.100 немедленно следует, что в этом случае метрическая форма объема М записывается в виде

Qw_^ detf—— r ) d# A d^i A ... A dz^ A dzm.

I dxadx₽ 丿

В частности, форма ①租 совпадает с формой объема плоской метрики в 7И и，С т, если det ( @ :/~Г)=】•

Легко видеть, что это скалярное уравнение имеет много локальных решений. С другой стороны, как объясняется в 2.101〉 если функция f удовлетворяет этому уравнению, то соответствующая кэлерова метрика является риччи-плоской. Непосредственное вычисление полного тензора кривизны метрики, задаваемой формой ©, показывает, что эта метрика является плоской тогда и только тогда, когда функция f квадратична.

Недостаток этих примеров состоит в том, что возникающие метрики (за исключением тривиальных примеров) не полны и определены не на всем пространстве (если D =吆加).Это было доказано в процессе изучения несобственных аффинных гиперсфер (см. [Са1 3] и [Pog 3]).

Если функция f удовлетворяет обобщенному вещественному уравнению Монжа — Ампера

(15.9)^detf-^-y)^!,

то соответствующая метрика g является метрикой Кэлера — Эйнштейна с константой Эйнштейна X. Если мы хотим получить полную метрику, то константа 九 должна быть отрицательной.

Так можно построить примеры произведений неприводимых однородных многообразий Бергмана (соответствующим образом выбирая константы Эйнштейна на сомножителях).

Другие примеры можно получить, выбирая в качестве D открытый шар радиуса г, а в качестве f — функцию, зависящую только от расстояния г до его центра: f(x)=(р(г). Так получаются метрики кооднородности один. Отметим, что в этом случае полная евклидова группа чисто мнимого сомножителя действует как группа изометрий.

Если ф есть решение уравнения

<15.10а)(景)帆 ％"=叫

то функция f удовлетворяет (15.9).

Для того чтобы гарантировать гладкость соответствующей метрики в начале координат, нужно потребовать, чтобы

(15.10b)<р，(0) = 0, mg" (0)=拙。)・

Для того чтобы убедиться, что функция f задает гладкое выпуклое решение уравнения (15.9), сходящееся на границе, а соответствующая метрика полна, нужно использовать барьерные функции, являющиеся субрешениями н суперрешениями уравнений (15.10а), (15.10b). Этот же аппарат используется в § D.

В [Wol 6] Дж. А. Вольф привел красивое доказательство того, что метрики такого вида не могут быть локально однородными. Оно основано на групп-теоретических рассуждениях, использующих 七相-ннварнантность таких метрик.

С. Конструкции, использующие расслоения

Основная идея таких конструкций состоит в разбиении уравнения Эйнштейна на части с помощью геометрических структур. При этом можно считать, что некоторые части уравнения (например уравнения, индуцированные на базе и слое) удовлетворяются, если соответствующие блоки удовлетворяют яекоторым геометрическим условиям (например условиям, из которых автоматически следует эйнштейновость метрик на базе и слое или какое-нибудь близкое к эйнштейновости свойство). Тогда задача в некотором смысле сводится к контролю соединения метрики на базе н слое в метрику на тотальном пространстве.

Если база одномерна, то задача сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Если при

этом тотальное пространство компактно, то базой является либо окружность, либо отрезок. Второй случай более интересен, но он приводит к появлению особых слоев, на которых задаются два граничных условия системы уравнений. При этом система оказывается переопределенной. Поэтому неудивительно, что проще строить примеры на некомпактных многообразиях: над лучом на систему накладывается лишь одно граничное условие, а над прямой граничные условия отсутствуют.

Первый результат, полученный в рамках этого подхода, является классическим. Его можно найти в [Koi 5]. Он основан на интерпретации уравнений Эйнштейна как эволюционных уравнений с начальными условиями Коши на гиперповерхности.

Теорема ([Koi 5], теорема А). Пусть (Mg)—вещественно аналитическое риманово многообразие постоянной скалярной кривизны. Тогда существует многообразие Эйнштейна (府，g), в которое многообразие (М, g) изометрически вложено в виде вполне геодезической гиперповерхности,

Конечно, если искать полные метрики Эйнштейна, нужно дополнительно проделать сложную работу. Например, Л. Берар-Бержери доказал ([Вё Вег 3], предложение 5.8), что многообразие G，KXR не допускает полных G-инвариантных метрик Эйнштейна, если все G-инвариантные метрики на G/K пропорциональны.

Первый простой пример метрики Эйнштейна (см. [Вё Вег 3], предложение 9.3)—это определенная на ТИХ R метрика

證£ (cosh/)2 g+ 或2,

которая является эйнштейновой, если g ——эйнштейнова метрика на (п——1)-мерном многообразии М с отрицательной константой Эйнштейна X.

В случае двумерной некомпактной базы помимо тривиального примера прямого произведения пространств постоянной кривизны можно привести следующие примеры.

Предложение. ([Вё Вег 3], предложение 9.5). Пусть [М, g)— полное многообразие Эйнштейна с константой Эйнштейна X. Тогда

если 入 > 0, то многообразие Л1X R2 допускает полную риччи-плоскую метрику;

если 入 V0 (соответственно А = 0), то многообразие М X S? X R допускает полную метрику Эйнштейна с отрицательной (соответственно нулевой) константой Эйнштейна^

при любом значении X многообразие Л1X R2 допускает однопараметрическое семейство полных метрик Эйнштейна с отрицательной константой Эйнштейна,

Интересно отметить, что это предложение справедливо н для лоренцевых метрик (подобно многим конструкциям, которые связаны с .расслоениями). Например, метрика Шварцшильда (см. гл. 3) соответствует случаю (i), если взять (AI, g)= = (S2, сап), а многообразие R2 с лоренцевой метрикой рассматривать как базовое пространство.

Перейдем к описанию конструкции полных метрик Кэл ер а — Эйнштейна на некомпактных многообразиях, связанной с расслоением. Будем следовать Э. Калаби ([Kal 5]). Для начала заметим, что хотя конструкция римановых субмерсий с вполне геодезическими слоями и не приспособлена к голоморфным расслоениям, но ее можно использовать в кэлеровом случае. Требование, чтобы дифференциал отображения проекции не только являлся изометрией на каждом горизонтальном подпространстве, но сохранял бы также комплексную структуру, выполняется только в тривиальном случае прямого произведения. Однако это условие можно ослабить. Если л: L + M ——голоморфное векторное расслоение над кэлеровым многообразием (7И,(ом), снабженное послойной эрмитовой метрикой t и соответствующей ей канонической эрмитовой связностью V, то достаточно потребовать, чтобы искомая кэлерова метрика на тотальном пространстве L обладала указанным выше свойством вдоль нулевого сечения. Тогда существует не более одной кэлеровой метрики 1) col на L, которая индуцирует данную эрмитову метрику f на слоях и для которой горизонтальные векторы связности V ортогональны вертикальным векторам. Иногда бывает удобно интерпретировать метрику f как функцию, квадратичную на слоях. В рамках этой интерпретации подходящим кандидатом на место кэлерова потенциала кэлеровой метрики со丄 оказывается функция / + Ф о л, где Ф — кэлеров потенциал базовой метрики сом. Преобразования в соответствующем репере (составленном из дифференциалов голоморфных координат на базе и ковариантных дифференциалов голоморфных базисных сечений расслоения) показывают, что в точке I тотального

D Здесь и далее кэлерова форма 。丄 отождествляется с определяемой ею кэлеровой метрикой.——Прим, перев.

37 А. Бессе, т. 2

пространства £

(15.19)3l = 3m + #*RV(& Е)+ 厶

где форма кривизны R° отождествляется (с помощью вертикальной эрмитовой метрики t) с 2-формой на базе со значениями в косоэрмитовых формах на слоях, a t означает продолжение функции t на касательное расслоение Т£, равное нулю на гор изо нтальных векторах. Из формулы (15.19) видно, что форма со厶 положительно определена в окрестности нулевого сечения. Более того, если эрмитово расслоение (L, /) положительно, то форма si, глобально положительно определена.

Возникает естественная идея обобщения этой конструкции на случай открытого (и, значит, некомпактного) под- расслоения Е расслоения L. Снабдим слои (не обязательно плоской) эрмитовой метрикой, инвариантной относительно структурной группы эрмитова расслоения. Ясно, что кэлеров потенциал такой метрики имеет вид 〃。力 где и: [0, +°° [^'R — функция одной переменной. В этом случае

% = л*(йм + ddc (и о/).

С учетом (15.19) получаем, что в точке t三七

о£ = h(dm + /R”圖 E) + 〃“(VC, VO +

+ u〃t®t&,晦宜,£)•

Форма(0£ положительна вдоль слоев тогда и только тогда, когда для любого х^О

〃‘ (х)》0, 〃‘ (х) + xurf (х)》0.

15.22. Мы хотим, чтобы форма (ое задавала метрику Эйнштейна. Для этого прежде всего предположим, что ®м задает метрику Кэл ер а — Эйнштейна. Рассуждения упрощаются, если слои одномерны, что мы н будем предполагать. В этом случае форму кривизны R" связности V можно рассматривать как обычную 2-форму на базе. Предположим дополнительно, что форма R" пропорциональна кэлеровой форме, т. е. R" = ZcoM. Это условие может выполняться только в том случае, если класс когомологий [Zg)m] целочислен. Поскольку мы предположили, что форма сом задает метрику Кэл ер а ——Эйнштейна с константой Ам, класс когомологий [九мо)м] является целочисленным.

Пусть 厶財啜 0. Тогда число / принадлежит некоторой решетке группы R, если [й)м]=/=0. Если же [сом] = 0 (и, значит, многообразие М некомпактно), то / может быть любым вещественным числом.

Пусть теперь Хм = 0. Тогда справедливы те же рассуждения» но форма(ом должна с точностью до пропорциональности зада* вать метрику Ходжа. В дальнейшем мы будем считать, что это условие выполнено.

Тогда форму se можно представить в виде

(15.23) % = (1 + ZI g F 优)а%m + (优 + "" 11F) "忆 黄).

15.24. Теорема ([Cal 5], предложение 4.1). Пусть л: L-^M — голоморфное эрмитово линейное расслоение с эрмитовой метрикой / кривизны / над (т—1) верным кэлеровым многообразием. Пусть и — вещественнозна чная С^-функция на луче [0, оо [. Обозначим через / и R интервал, на котором

1 + 1^ (х) > 0, 〃‘ (х) + х〃" (％) > 0.

Тогда формула (15.23) задает метрику Кэлера ——Эйнштейна сое с константой 励 в области Е = /-1 (/) тотального пространства в том и только в том случае, если функция “ удовлетворяет диф- ференц иальному уравнению

(1 + Ixu! (х))т~' (хи№(х) + и!(х))ехр(kEu(х)) = сх(1+Ке~^11 г где с — некоторая положительная константа.

Если Z = 0, необходимо, чтобы Хм = ^r = X. При Z =/= 0 уравнение (15.26) имеет решение

九〃 (х) = 2 log (1 + 成尤“)+ В log х + 丫，

где a, p, 丫 w R, a，0, а при 九=0 — решение

и (х) = a2xa + В log х + у.

Основное наблюдение относительно уравнения (15.26) заключается в том, что оно имеет интегрирующий множитель Ам —九е ——Wie〃‘(х). Геометрический смысл этого интегрирующего множителя пока не известен.

При /=#0 метрику Кэлера — Эйнштейна можно продолжить на нулевое сечение, если Хе = *е — I и 〃' (0) > 0, а при / = 0 — если в решении отсутствует логарифмический член. Тогда уравнение сводится к нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка

(机 + 1)^м [(1 + 氏优(%))m — 1]—

-mkE [(1 + 氏a'(x))m+i - 1] =axle~kuM + В.

Еще более важным результатом является следующий критерий полноты кэлеровой метрики s®

Теорема ([Cal 5], теорема 4,3). Кэлерова метрика со上 полна на своей максимальной области определения тогда и только тогда, когда

базовая метрика 〜полная

(ii)九e=力m——/；

[>0 〃九e <0・

Э. Калаби также заметил, что решения уравнения (15.26) можно найти в явном виде, если 九上=0 и / > 0. При этом решения определены на всем тотальном пространстве L исходного линейного расслоения. Этим результатом можно воспользоваться для тотального пространства канонического расслоения многообразия Кэлера — Эйнштейна с положительной константой Эйнштейна, которое, таким образом, допускает полную риччи-плоскую кэлерову метрику. Сделанное замечание справедливо, в частности, для СР1. Метрика Кэлера — Эйнштейна, полученная таким способом на T*CPi, совпадает с метрикой, построенной Т. Эгучи и А. Дж. Хэнсоном, а также Н. Хитчином (см. [Eg-Ha], [Hit 4]) с помощью конструкции Пенроуза. Этот подход обсуждается в гл. 13, где условие Эйнштейна переводится на язык твисторов. Отметим, что конструкция Пенроуза тоже позволяет строить только некомпактные примеры (ср. с 13.87).

С помощью сходной конструкции метрик в касательном расслоении Э. Калаби построил полную метрику Кэлера —— Эйнштейна на тотальном пространстве голоморфного кокаса- тельного расслоения пространства 'СРт. Эта метрика на Т*СРт имеет группу голономии Sp(m) (см. гл. 14 и § Е дополнения).

В гл. 9 описаны также метрики Кэлера ——Эйнштейна на тотальном пространстве некоторых (почти) расслоений как метрики кооднородности один (см. 9.129).

D. Ограниченные области голоморфности

В этом параграфе мы приведем некоторые результаты, полученные для некомпактных комплексных многообразий и устанавливающие связь между их голоморфными н дифференциально-геометрическими свойствами.

Первый класс Чженя с】(М)三 〃2(м, Z) компактного комплексного многообразия М является инвариантом его комплексной структуры. Один из способов введения дифференциальногеометрических объектов, связанных с этим классом когомологий, сводится к предположению, что образ класса а (М) в

группе Н2(М9 R) представляется невырожденной замкнутой знакоопределенной 2-формой (т. е. кэлеровой или противоположной к кэлеровой).

Если Ci (М) V 0, то на многообразии М существует единственная (с точностью до масштаба) метрика Кэлера — Эйнштейна (см. 11.17).

Для некомпактного многообразия М это предположение относительно первого класса Чженя можно заменить следующим предположением：《на многообразии М существует полная эрмитова метрика, форма Риччи которой ограничена сверху отрицательным кратным кэлеровой формы». Это предположение, очевидно, выполняется, если многообразие допускает полную метрику Кэлера — Эйнштейна с отрицательной константой Эйнштейна.

Вопрос состоит в том, как голоморфные свойства М связаны с существованием полных метрик Кэлера — Эйнштейна.

Сначала напомним некоторые понятия комплексной геометрии, которые нам понадобятся. Область в С尸 (т. е. связное открытое множество) с С2-гладкой границей называется псевдовыпуклой (соответственно строго псевдовыпуклой), если существует не обращающаяся в нуль С2-функция <р, равная на границе нулю и плюрисубгармоничная (соответственно строго плюрисубгармоничная), т. е. такая, что ее форма Леви ddc(p неотрицательна (соответственно положительна).

Еще одно важное понятие——область голоморфности. Говорят, что область D есть область голоморфности, если в ней существует голоморфная функция, которую нельзя продолжить до голоморфной функции некоторой окрестности любой точки границы. Любая область в С обладает этим свойством. В выс- ших размерностях это понятие оказывается значительно более ограничительным. Примерами областей голоморфности могут служить полицилиндры.

Теорема Оки (см. [Oka 1] и [Ока 2]) утверждает, что D есть область голоморфности тогда и только тогда, когда функция —logPd曾(где Pg。一 евклидово расстояние до границы dD) плю- рисубгармонична. Если обобщить понятие псевдовыпуклости на случай области, граница которой не является С2-гладкой, то можно сказать, что область ОиС^1 является областью голоморфности тогда и только тогда, когда она псевдовыпукла.

Далее необходимо обобщить понятие области в Ст, т. е. ввести понятие накрытия области в .Ст, или так называемой римановой области над СР. Это обобщение понятия

римановой поверхности из теории функций комплексной переменной необходимо для изучения отображений типа 芥—/住(Z?wN*). С помощью накрывающего отображения понятия псевдовыпуклости и области го л о мор ф ности непосредственно переносятся на случай римановых областей над С.т (см., например, [Fr-Gr], с. 66). ……“*

Сформулируем основной результат.

Теорема ([Mo-Ya], основная теорема). Следующие утверждения эквивалентны:

D есть ограниченная риманова область голоморфности над ©Г;

ограниченная риманова область D над Ст допускает полную метрику Кэлера — Эйнштейна;

ограниченная риманова область D над Ст допускает полную эрмитову метрику ограниченной неположительной кривизны Риччи.

Эта теорема усиливает результаты С. Я. Ченга и С. Т. Яу (см. [Ch-Ya 2]), доказавших существование полных метрик Кэлера ——Эйнштейна для широкого класса псевдовыпук- лых областей, содержащего, в частности, области с С2-границей.

Мы приведем лишь схему доказательства. Доказательство того, что из (i) следует (iii), сводится к решению соответствующего уравнения Монжа — Ампера. Если D — строго псевдовы- пуклая область в Ст с гладкой границей, то в качестве исходной кэлеровой метрики (о можно взять метрику id'd"(——logPo。). Сложности возникают, если граница оказывается негладкой или область не является строго псевдовыпуклой. Подробности см. в [Ch-Ya 2]. ”

Приятная особенность указанной метрики состоит в том, что она почти эйнштейнова вблизи границы. Уравнение Монжа — Ампера, возникающее при доказательстве теоремы, имеет такой же вид, как в компактном случае (ср. с 11.41):

log ((s —ddc(p^ /<0m)-A(p =尸.

В нашем случае 九 V 0・ Решающим свойством здесь является ограниченность функции F на замыкании D области D.

Для того чтобы доказать существование решения методом непрерывности, нужно правильно выбрать функциональное неравенство, с помощью которого доказывается открытость множества значений параметра t, для которых уравнение с правой частью tE разрешимо. Доказательство замкнутости требует априорных оценок решения (вплоть до третьих производных), по-

зволяющих применить оценки Шаудера функций с С2- а-гёльде- ровой регулярностью. Такие оценки можно получить так же, как в компактном случае: с помощью обобщенного принципа максимума. Доказательство можно найти в [Ch-Ya]. Набросок доказательства приведен также в обзорной статье [Be-Fe-Gr]. Отметим, что здесь, в отличие от компактного случая, нужно дополнительно требовать или выводить ограниченность рассматриваемой геометрии.

Следует отметить также более ранние работы X. Грауэрта [Gra], Ч. Фефермана [Fef] н К. Дидериха и П. Пфлуга [Di-Pf].

Существует единственное решение о, метрически эквивалентное исходной метрики з, т. е. такое, что Cis V d V С2со для некоторых констант Ci, С2. Приятным следствием этого факта оказывается следующая теорема, устанавливающая связь геометрических и голоморфных свойств. Она показывает, что полная метрика Кэлера — Эйнштейна является в некотором смысле «наилучшей» метрикой, которую можно найти на многообразии.

Теорема ([Ch-Ya], предложение 5.5)・ Любое биголоморфное отображение комплексных многообразий является изометрией относительно полных отрицательных метрик Кэлера — Эйнштейна.

Проверка полноты полученной метрики является одним из тонких мест доказательства. В работе [Ch-Ya 2] эта проверка опущена и доказано лишь то, что метрика является почти полной. Доказательство полноты дано в [Mo-Ya]. Основным моментом здесь является нижняя оценка рассеяния (относительно новой метрики) между точками 2о, zi области Р через функцию log (— log p5Z) (^о))»「Re p^^—расстояние до границы относительно евклидовой метрики. Эту оценку удается получить с помощью следующего обобщения леммы Шварца, предложенного Яу.

Теорема ([Mo-Ya], § 1). Пусть М\ и М2 — m-мерные комплексные многообразия. Предположим, что многообразие М\ допускает кэлерову метрику со скалярной кривизной, ограниченной снизу константой —月卜 а многообразие М2 допускает форму объема ?2, форма Риччи которой отрицательно определена и допускает оценку (ddc log V2)m ^ ^v2. Тогда для любого не всюду сингулярного отображения f справедливо неравенство

Доказательство основано на принципе максимума для полных римановых многообразий, который представляет самостоятельный интерес и формулируется следующим образом.

Принцип максимума для полных римановых многообразий ([Yau 1]). Пусть М — полное риманово многообразие с ограниченной снизу кривизной Риччи, a f ——ограниченная снизу С2-функция на М. Тогда для любого е > 0 существует точка р^М, в которой

I df (р) I < е, Д/(р) < е, f (р) < inf f + е. м

Отметим, что метрика Бергмана на ограниченных областях голоморфности не всегда полна (ср. с [КоЬ 3]). Это замечание показывает, что метрика Кэлера ——Эйнштейна, которая, как мы знаем, всегда существует на ограниченной области голоморфности, более интересна, чем метрика Бергмана.

На самом деле эти две метрики связаны между собой. В [Ch-Ya 2], § 6, показано, что поведение метрики Кэлера — Эйнштейна на границе зависит от характера регулярности метрики Бергмана на границе. В частности, С. Я. Ченг и С. Т. Яу доказали почти оптимальную регулярность решений задачи Дирихле, которая ранее рассматривалась Ч. Феферманом при изучении ядра Бергмана (см. [Be-Fe-Gr]).

В [Mo-Ya] получено также обобщение теоремы 15.38 на некоторые многообразия Штейна (а также на некоторые неограниченные области голоморфности). Напомним, что многообразием Штейна называется m-мерное комплексное многообразие, которое допускает конечные голоморфные отображения в С^ и в котором голоморфные выпуклые оболочки компактных множеств компактны.

Некомпактные однородные многообразия Кэлера — Эйнштейна. На однородной ограниченной области существует ровно одна инвариантная метрика Кэлера — Эйнштейна, а именно метрика Бергмана. Она имеет отрицательную кривизну Риччи. Впервые это отметил Э. Картан ([Саг 13]). Верно и обратное: все некомпактные однородные кэлеровы многообразия отрицательной кривизны Риччи (включая отрицательные многообразия Эйнштейна) представляют собой ограниченные области с метриками Бергмана. Это было доказано в неопубликованной работе Ж- Л. Козюля [Koz 2] (см. также [Nak], теорема 13).

Глава 16

Обобщения условий Эйнштейна

А. Введение

В этой главе мы обсудим вопросы, связанные с обобщением понятия метрики Эйнштейна, и рассмотрим некоторые классы римановых многообразий, которые характеризуются тензорными условиями, вытекающими из уравнений Эйнштейна. Мы будем рассматривать прежде всего те обобщения, которые уже изучались в литературе по дифференциальной геометрии, так как их можно проиллюстрировать интересными при- мерами.

Поскольку условие Эйнштейна — это алгебраическое линейное уравнение относительно кривизны Риччи г, представляется естественным рассмотреть обобщающее его линейное дифференциальное уравнение. Простейшее такое уравнение имеет вид Ог = 0 н характеризует многообразия, которые локально представляют собой произведения многообразий Эйнштейна. Непосредственным обобщением этого условия являются естественные линейные условия, которые заключаются в том, чтобы приравнять нулю только одну или несколько неприводимых компонент тензора Dr относительно действия ортогональной группы.

Пространство тензоров, которому принадлежит тензор Dr, разлагается в сумму трех неприводимых инвариантных подпространств. Таким образом получается еще шесть (помимо уравнения Dr = 0) условий этого типа, которые представлены (для /г》3) в таблице (стр, 586).

В § D — G мы рассматриваем только первые четыре условия, поскольку условие Qrw C°°(S Ф А) изучается в гл. 4, а про условие Dr е C°°(Q Ф А) известно очень мало.

В § С отдельно рассматриваются тензоры Кодацци (по причине, которая объясняется в 16.6).

Наконец, в § Н мы изучаем ориентированные римановы 4-многообразия, удов л етвор яющие условию 6 胴+ = 0, которое является естественным линейным условием на Dr относительно специальной ортогональной группы.

Условие

Известные примеры компактных многообразий данного типа, отличные от многообразий Эйнштейна н их локальных произведений

dr = 0, т. е. г — тензор Ко- дацци. В этом случае Dr принимает значения в инвариантном подрасслоении, которое обозначается через S.

Эквивалентные условия:

6R = 0 (гармоничность кривизны);

(прн м》4) 6昭=0 и постоянство скалярной кривизны.

Компактные конформно плоские многообразия постоянной скалярной кривизны.

Компактные фактор- пространства многообразия (R X М, d产 + 尸/〃(/)• g), где (М, &)——эйнштейново многообразие скалярной кривизны s > 0, a f — положительное решение уравнения

d2f/dt2 --^n(n- I)"1 寸1-4/н = cf,

с = const < 0.

Компактные фактор-пространства многообразия (Ml х м2, f"2(gi X g2)), где (Mi, gi)——пространство постоянной кривизны Ki V 0,

(М2, g2)——многообразие Эйнштейна скалярной кривизны

S? = — 〃2 (% — 1) К. ni = dim 坊 > 2, q == 2 ("i + 冷2)("i + 厶2 — 2) 1， 殁 > % — K] %,

齡一наименьшее положительное собственное значение лапласиана Д многообразия (Mi, gi),

f: Af 1 ~> (0, °°) 一 С°°-решение уравнения

ar 十 彳("一九2)(九 1 + 也2 - 2) Kif= =cfOT,

с = const > 0.

Другие примеры см. в 16.40.

2(м — 1) (м + 2)普[г — (2н — —2厂1 sg] = (" — 2) dsog.

Тензор Dr принимает значения в инвариантном под- расслоении, которое обозначается через Q (нз этого условия следует, что dlF=0).

Компактные фактор-пространства многооб- разня (R X Я d产 + 厂2 «). g), гда (访,必_ многообразие Эйнштейна скалярной кривизны s < 0, a f — положительное решение уравнения

c^fldt2 -2(п— 1)Т(" — 2厂 15户=cf,

с = const > 0.

Продолжение

Условие

Известные примеры компактных многообразий данного типа, отличные от многообразин Эйнштейна и их локальных произведений

(Q/)(X, Х) = 0, УХ ^М.

Тензор Dr принимает значения в инвариантном подрасслоении, которое обозначается через А (из этого условия следует постоянство скалярной кривизны).

Компактные фактор-пространства естественно редуктивных римановых однородных пространств.

Нильмногообразия, накрываемые обобщенными группами Гейзенберга в смысле А. Каплана.

d [г — (2n ——2)Т sg] = 0, т. е. г — (2м — 2)т sg есть тензор Кодаццн.

QrwL(Q ㊉ S).

Эквивалентное условие (при м》4)

6昭=0

(гармоничностьтензора

Вейля).

Компактные конформно плоские многообразия.

Компактные многообразия, локально изометричные многообразию (М X Мг, f (gi ㊉ g2)), Hie dim M± =切 > L (Mf, gf) имеет скалярную кривизну st и либо а) многообразие (Mi, gi) имеет постоянную кривизну, а многообразие (М?, g2) эйнштейново и пх (п^ — 1)$2 + 紅2(电— ——l)Si =0 (например,小=1), a f — произвольная положительна я функция на Afi； либо

Ь) «! = 2, многообразие (М2, g2)двумерно н имеет постоянную крнвнзну,

f = [2s2 + n2 ("2 一 1) Si]2/(3-3 > 0.

6г = 0 (постоянство скалярной кривизны).

Dr^C°° (S ㊉ 4).

Любое компактное многообразие допускает такую метрику. Подробности см. в гл. 4.

9х [г — 2 5 +

+ 2厂%0)(m Х) = 0 VX 右 ТМ.

Оу 5 (Q ㊉ 4).

См. примеры для Dr е C°°(Q) нлн Dr w 三08(用・

Естественные линейные условия на Dr

Для того чтобы описать неприводимые компоненты тензора Dr относительно действия ортогональной группы, прежде всего напомним, что для любого риманова многообразия 3-тен- зорное поле Dr имеет два дополнительных алгебраических свойства симметрии. Одно из них обусловлено симметричностью

тензора Риччи г, а второе следует из тождества Бьянкидг=—/dg (см. 1.94). Таким образом. Dr есть сечение векторного расслое- ння " = " (М, g) и ГМ ® S2M и 区3 т*м слой которого в точке % 三 М состоит из трилинейных отображений g касательного пространства ТХМ в R, для которых

п

& (X, У, Z) = Е (X, Z, У), 2 0 (Х“ ％, X)— $ Е (X, Н %)] = о,

VX, У, Z е ТХМ, где (Ль ..., Хп) — ортонормированный базис пространства ТХМ.

Описание неприводимых компонент тензора Dr можно найти в статье А. Грея [Gra 3].

Пусть (Mg)—риманово многообразие размерности 〃》3. Тогда определены следующие естественные гомоморфизмы расслоения ^^Т*М: свертка у: ^ГМ^ГМ, частичное альтернирование а: ^ГМ^ /\2М<^Т*М, частичная симметризация а: (^3 Т*М -> (^)3 Т*М и естественный гомоморфизм <р: Т^М-> Н(М, g). Они задаются формулами

(Y居))Х=£а(%, Х〃 X),

z=i

(а (目)(X, У, Z) = } [g (X, У, Z)—貝У, X, Z)],

(о(Е))(Х, У, Z) = 4•低(X, У, Z) + E(y, Z, X) + E(z, X, У)],

(<p @) (X, У, Z) = (X, У) Y (Z) + (X, Z) V (У) +

十2似"一2)t(y, Z) Y(冷 для Vg 三密 T：M, X, У, Z w TJ4, g w T：M и любого ортонор- мированного базиса (Ар …，Х〃)пространства Т；М

Поскольку (п — 2) у ° ср = (п—1) (〃 + 2) •/dr*M и (〃一 2)Х X(<P(dE) = (7〃一6)(Y(E),g) для всех Iw〃M,Ww〃(Mg), инвариантное n-мерное подрасслоение Q — Q (7И, g) — Im ф расслоения Н = Н (М9 g) совпадает с ортогональным дополнением к 〃 Г) Кег у в Н. Подраёслоения S — S (М, g) — //Cl Ker а и Кег у и А — А (М, g) — H(] Ker ст cz Ker у расслоения Н взаимно ортогональны. Легко видеть, что

H = Q®S®A

есть ортогональное разложение расслоения Н в прямую сумму инвариантных (а значит, естественных) подрасслоений. При

этом тензорное поле 自="имеет компоненты

%=(" 一2)(n 一 1尸5+ 2尸<f (y (勖,厶=0(自一汕

Стандартные рассуждения теории инвариантов показывают, что это разложение Н на неприводимые компоненты определено однозначно. Попарные суммы компонент этого разложения можно охарактеризовать следующим образом:

(i)自 wS㊉Aoy(自) = 0;

E w Q ㊉ S 0 a [自一仇一1尸 Y0)®g] = O；

(iii)自 wQ㊉а0g居一45 + 2)-3低)③g] = 0.

Пусть (M, g)—n-мерное риманово многообразие, n ^ 3. Для тензорного поля Те歹信+】，°)М (см. 1.4) определим дивергенцию 5Т 三歹s，°)M как в 1.58, положив

(6Т) (М,・・・，X。= 一 储[(У, Z)f (О“)(Z, X],.…&)]•

Таким образом, дивергенции 6R и 6W тензора кривизны R и тензора Вейля W представляют собой сечения расслоения 〃м® Л2 л/, с помощью обычной перестановки аргументов их можно отождествить также с сечениями расслоения /?м®т*м При этом в силу дифференциального тождества Бьянки

6R = —dr, 6Г = -5^4 d[r- (2и 一 2尸 sg],

где db означает внешнюю ковариантную производную симметрического 2-тензорного поля Ь (рассматриваемого как Т*Л/-знач- ная Ьформа, см. 1.12), т. е. di> = 2a(Db). Будем говорить, что многообразие (М, g) имеет гармоническую кривизну (соответственно гармонический тензор Вейля), если 6R = 0 (соответственно 61Г = 0). Симметрическое 2-тензор ное поле Ь называется тензором Кодацци, если db = 0, т. е. если b удовлетворяет уравнению Кодацци (Dxb) (У, Z) = (Dyb) (X Z), где X, У, Z ——произвольные касательные векторы.

Учитывая 16.2 и 16.3, можно рассмотреть следующие естественные линейные условия на тензор Dr риманова многообразия (М, g) размерности п ^ 3:

Dr е С°° (Q) или, что эквивалентно, D[r — (2п — 2尸 sg]= =4"(九一2)(九 + 2)-1 (и - I)-1 ds。g;

Dr e C°° (S), что эквивалентно любому из следующих условий:

a (Dr) = 0;

dr = 0, т. е. г■——тензор Кодацци;

6R = 0, т. е. кривизна R гармонична;

(при 〃》4) многообразие (М, g) имеет гармонический тензор Вейля и постоянную скалярную кривизну;

(при п = 3) многообразие (М, g) конформно плоско и имеет постоянную скалярную кривизну (см. 1.164); (iii) Dr 三 С°° (Л) или, что эквивалентно, о (Or) = 0, т. е.

(Dxr)(X, X) = 0, VX 三 ТМ;

(iv) Dr ^ С°° (S ф А) или, что эквивалентно, s = const;

(V)Qr = C°°(Q ㊉ S), что эквивалентно любому из следующих условий:

а (О [г — (2п — 2尸 sg]) = 0;

d[r — (2〃 一 2)т sg] = 0, т. e. г — (2n — 2)™1 sg — тензор Кодацци;

(при n^4) &W = 0, т. е. тензор Вейля гармоничен;

(при 〃 = 3)многообразие (М, g) конформно плоско (см. 1.170);

(vi) Dr w С°° (Q 由 Л) или, что эквивалентно, a(D [г — —2 . + 2尸 sg]) = 0, т. е. Dx (卜—2 . + 2尸 sg]) (X, X)= =0, VXwTM.

16S. В случае ориентированного четырехмерного риманова многообразия (Mg) разложение /\М=/\ Л1® Л М (см. 1.122) приводит к дополнительному разложению расслоения Н — Н (7Й, g), инвариантному относительно специальной ортогональной группы (т. е. определяемому метрикой н ориентацией). Именно, А= А+® Д~, где Л± = AQ Кег (冗土。а),冗士： A 2M⑥ TMf —/\ M ® Т^М — естественная проекция. Из разложения W = =W^+ W~ легко выводится, например, что естественное линейное условие Dr^C°°(Q®S ФЛ~) (т. е. условие d(г — sg/6) w е С°° (Д М ® Т*М)) равносильно условию 5 Kz+ = 0. Отметим, что 6^ есть(Т*М ⑥/\ ± М)-ком1Юненты тензора 8IF = =——^-d(厂 ——sg/6) (см. 16.3). Это немедленно следует из инвариантности расслоений 八土 М относительно параллельных переносов.

С. Тензоры Кодацци

Тензоры Кодацци естественным образом возникают при изучении римановых многообразий с гармонической кривизной или с гармоническим тензором Вейля (см. 16.4(ii)b), 16.4 (v)b)), причем значительная часть результатов, касающихся таких многообразий, легко выводится из общих теорем о тензорах Ко-

дацци. Поэтому в данном параграфе мы отдельно рассмотрим эти тензоры. Сначала мы приведем ряд примеров, а затем сформулируем некоторые теоремы, связывающие тензоры Кодацци со структурой операторов кривизны (см. 16.9, 16.14, 16.21). На протяжении всего параграфа для данного ковариантного 2-тензора Кодацци & на (М g) будем обозначать через В соответствующий ему тензор Кодацци типа (1,1), определяемый с помощью метрики g.

Простейшими примерами тензоров Кодацци могут служить

параллельные тензоры;

вторые квадратичные формы гиперповерхностей в пространствах постоянной кривизны, см. 1.72;

любая функция f в пространстве (Л1, g) постоянной кривизны К определяет тензор Кодацци & = Ddf + Kfg (как показал Д. Ферус ([Frs]), этими тензорами исчерпываются (локально) все тензоры Кодацци в таких пространствах); аналогично, для любой поверхности (М, g) гауссовой кривизны К тензор b = 2D а К + К2g является тензором Кодацци;

согласно 16.4(v), риманово многообразие (Mg) имеет• гармонический тензор Вейля тогда и только тогда, когда & = =г — (2п — 2)-】sg есть тензор Кодацци (п ^ 4, примеры см. в § D); поэтому любое конформно плоское многообразие допускает тензор Кодацци, который не пропорционален метрике (ср- с (iii)).

Предложение ([Mat 3], [Tan 1], [Gra 5]). На кэлеро- вом многообразии (М, g, J) любой эрмитов (т. е. коммутирующий с оператором /) тензор Кодацци В параллелен.

Действительно, композиция [ = J。В является кососимметрическим тензором. Поэтому выражение ((DX^)Y, Z)= (J((DXB) У), Z) симметрично по X, У и кососимметрично по У, Z и, значит, равно нулю.

Теорема (М. Берже, [Be-Eb], [Rya], [Sio 2], [Weg], [Bou 8], [Gra 5]. Любой тензор Кодацци & с постоянным следом на компактном римановом многообразии (М, g) неотрицательной секционной кривизны К параллелен. Если при этом в некоторой точке К > 0, то тензор & пропорционален g.

Доказательство. Для тензора Кодацци Ь формула Вейцен- бёка 1.136 принимает вид

60。+ Dd (/%b) = R(b) — bor.

Выберем ортонормированный базис (X。касательного пространства Т%М, х^М, для которого Ьх (Xz, X/) = Mt/. Тогда

(Ь,貞⑹一b°r) = -£R(乂，X/, X" X/)& —1)2&0.

Ki

С другой стороны, \ м (А 606) • Ng = \ м I Об 产 Ng > 0. Теперь утверждение теоремы следует из формулы (16.9).口

Пусть Ь — симметрическое 2-тензорное поле на римановом многообразии (Л1, g). Для любой точки 尤三 М обозначим через Vx(x)cz ТХМ собственное подпространство соответствую- щего оператора Вх с собственным значением 1.

Обозначим через Мъ открытое всюду плотное подмножество в М состоящее из точек, в которых число различных собственных значений оператора В локально постоянно. Тогда на каждой связной компоненте множества Мь собственные значения оператора В определяют попарно различные гладкие собствен- ные функции и каждая такая функция 入 определяет гладкое распределение *—> 匕仆)(％) собственных подпространств оператора В. Если 1, ц — две такие собственные функции, то в силу правила Лейбница для любых векторных полей X ^ С°°( V^), у ^ С°°( Уц), Z^9^M выполняется соотношение

(16.10) (Dzb)(X9 У) = (X, У) • ZA + (九一卩)(OzK У)・

Предложение ([Der 2], [Hi-Re]). Пусть & — тензор Ко- дацци на римановом многообразии (Mg), 〃 X — его собственная функция, определенная на связной компоненте множества Мь и М. Тогда

собственное распределение 14 интегрируемо^

любое интегральное многообразие N распределения 14 омбилично в М, т. е. для любой другой собственной функции 卩=# 无〃 любых сечений X, Z расслоения % 〃 У расслоения Vu Y-компонента hY второй квадратичной формы h подмногообразия N имеет вид

■(Z, х)= — дх, у)=. — X)-1(X, Z)• п；

если dim 14 > 1, то функция 入 постоянна вдоль' К-

Доказательство. В обозначениях (ii) имеем (X, У)= = (Z, У) = 0. Поэтому из (16.10) следует, что

■ -■([Z, X], У) = (О-)(Х, Y)-(Dxb)(Z9 У) и

仇一N) (OzX, У) — (X, Z) УА = (Dzb)(Xf У) —(ад(Х, Z).

Теперь утверждения (i) и (ii) вытекают из уравнения Кодацци. Если dim К > 1 n X w。8(%), то можно выбрать локальное ненулевое поле У=С°°(1\), ортогональное полю X. Применяя (16.10) с 入=樣，получаем

IУ р ха =(。避)(У, У) = (О— (X, У) = 0,

что завершает доказательство. □

В качестве приложения 16.11 получим локальную классификацию тензоров Кодацци Ь, имеющих ровно две различные собственные функции 入,ц (с dim Vz^ dim Уц). Для простоты дополнительно предположим, что dim 力 > 1 или trg b = const (относительно второго случая см. [Der 2]). Вообще говоря, можно было бы обойтись и без этих предположений. Будем также считать, что dimAd = 〃 > 3.

Согласно 16.11, распределение % (соответственно Уц) интегрируемо, а его интегральные многообразия являются омбилическими подмногообразиями с вектором средней кривизны % = =(ц —九)-1 (О入)从(соответственно ЯЦ = (Х —卩)一1(。卩)仆，где индексы 入，ц указывают компоненты разложения 穴=入九 + *卩三 w 14 ㊉ Vp = ТМ.

Если dim 以 > 1 (или, шире, если функция 九 постоянна вдоль К, ср. с 16.11 (iii)), то (£>Х)= (Оц)z = 0. Отсюда

% = — (。log I 入一Ц 1)ц, "и = — (О log I 九一И Ik-

Нетрудно проверить, что распределения 14 и Vu параллельны относительно метрики & =(九一pj^g, конформной метрике g. Поэтому разложение ТМ = 14 ㊉ Уи соответствует локальному разложению многообразия (М g) в риманово произведение. Таким образом, локально

M = MiXM2, g =(九一")т (畐 X 血)，Ь = ^ — |Л)~2 (^gj + №), где 入：Mzf R, н： Mi —R — функции, постоянные на дополнительных сомножителях. Обратно, если даны римановы многообразия (Mi, gi), j= 1, 2, и функции X, р. с этими свойствами, то приведенная формула определяет риманово многообразие (М, g) с тензором Кодацци Ь, удовлетворяющим нашим условиям.

Пусть теперь тензор Ъ имеет постоянный след н не является параллельным.

Тогда из (i) следует, что dim 匕= 1 (поскольку в (i) функции X и ц зависят от разных переменных). Согласно 16.11 (ii), (iii), функции 入，卩 постоянны вдоль Уи, а интегральные кривые распределения % являются геодезическими, т. е. можно выбрать локальное сечение X распределения % таким образом, что DxX = 0. Каждое интегральное многообразие распределе-

ния Уц имеет среднюю кривизну т)=(Х, 〃口)=(九 ——h)-】Xr, постоянную вдоль этого многообразия. Действительно, для любого векторного поля У е С°°(Уц.) имеем

У" =(九一卩尸 YX^ "n=[/, X] g,

в то время как

(【У, X], X) = — (/)〃，Х) = (匕 ОхХ) = 0.

Отсюда [У, X]三。8 (vj н УХр = 0 = У”. Поскольку распределения Vx, Уц интегрируемы (см. 16.11 (i)), в окрестности любой точки х^М можно выбрать такие координаты (/, уъ ..., у〃一〔), что dt = d/dt 三 丫入,О/ = d/dyt w У以(1《t V п). Поскольку [&, dt] = 0, из 16.11 (ii) следует, что

g.1出|2 = 2(卩一入尸]@(2仇入=0.

Поэтому, заменяя при необходимости координату /, можно считать, что 0» = Х. Аналогично, & (Q, %) = —2 (&曾〃 &)= = 2r}(G, Oj). Поскольку。湧=0, получаем (Q, 0,=产雨,где &里=0, 0屮/0/=刀=3 —卩尸氏卩 и digif — O. Эти соотношения вместе с условием trg6 = Со = const позволяют локально представить многообразие (Af, g) в виде

м = /х 兩，g = dt2 + e^^-g, b = Kdt2+iie^»^g,

% = G" + (I — n) Ce-〃 * ⑴，卩=С。"十 Ce-理《),

где / — интервал, (Л?> g)——риманово (n——1)-мерное многообразие, а С — константа. Обратно, такие данные и произвольная функция 屮 на / определяют (по формулам (16.13)) риманово многообразие (М g) с тензором Кодацци рассматриваемого типа.

Теорема (А. Дердзиньский, Ч.-Л. Шэн, [De-Sh]). Пусть 月一тензор Кодацци типа (1, 1) на римановом многообразии (М, g), % — точка из Mt а Л,卩一собственные значения оператора В*. Тогда подпространство Кх(х) Л Иц(х) и /\2?\М, порожденное всеми внешними произведениями элементов из %(%) 〃九(％), инвариантно относительно оператора кривизны 凡〜 wEnd 人 27力.

Доказательство. Добавляя к полю В скалярный оператор, можно считать, что в некоторой окрестности Mz точки х операторы 斗，у ■ М‘, невырожденны. Таким образом, поле В определяет автоморфизм расслоения ТМ\ который преобразует

метрику g в новую метрику G = В*у, где G(X, F) = g(BX, ВУ), а связность D — в новую связность V — B*D9 где В (yxY)=DxBY- Очевидно, что VG = 0 и тензор кривизны R связности V имеет вид 反= 3*R, т. е. G&(X, У) Z, U) = у (R (X, Y)BZ, BU). Как заметил Н. Хикс ([Hie]), уравнение Кодацци для В означает лишь то, что связность V не имеет кручения. Поэтому связность Леви-Чивита DG метрики G и ее ковариантный тензор кривизны RG имеют вид

£>о= V, R°(X, У, Z, U) = R(X, F, BZ, 3s.

Пусть X 三 VK (x), У 三 Vu (x), Z e Vv (x), U e 喰(％)• Используя сокращенную форму записи Rxyzu = R(X, У, Z, U), в силу (16.16) получаем

喷 Rxyzu = R?yzu = R&xy =入卩 Rxyzu

и, аналогично,

(卩自-九г)Rxzvv =(n"-解)Rxuyz = 0.

С другой стороны, согласно тождеству Бьянки для R%

0 =，占 Rxyzu + 卩占 Rxzuy + 卩『Rxuyz・

Эти уравнения можно объединить в одно матричное уравнение

г Л 自 v~i

,2 “「R(X, У,2, U)]

「• R(X, Z, и, У) =0.

V ц л

[；i Lr(x, a f, z)」

Если Rxyzu/G, to коэффициенты из первой матрицы удовлетворяют соотношениям

(Z — g) (Л + g — р. — V)=(V — X)(V + А — ц — g)=

=(九一四)(九 + 卩一v - ^) = 0,

из которых видно, что Л совпадает с одним из чисел р.,『，& Поэтому значение тензора R* на четырех собственных векторах оператора Вх равно нулю, если им соответствует более двух различных собственных значений. Таким образом, RxyZ = 0, если собственные значения А,卩，v попарно различны. С другой стороны, если 厶=卩=/=% то из (16.16) следует, что

0 = 5 (感yZ + 础zX + R%F)=

=Rxy (BZ) + Ryz (BX) + Rzx (ВУ) = (2 — 笛 &遥，.

что и завершает доказательство.□

Следствие (Ж.-П. Бургиньон, [Bou 9]). Пусть & — тензор Кодацци на римановом многообразии (М, g). Тогда

тензор & коммутирует с г,为(Ь) и Dd (trg &) + bDb;

эндоморфизмы R, g®r и W пространства A2TM коммутируют c g®b.

Доказательство. Согласно 16.14, г(Х, У) = R(b) (X, У)= О, если X, У ——собственные векторы тензора Ъ с различными собственными значениями. Отсюда видно, что г и R(b) коммутируют с &. Последнее утверждение из (i) следует теперь из формы (16.9) (из которой также видно, что тензоры биг коммутируют) .Далее, поскольку пространство Д2 ТХМ порождается подпространствами вида 力(%)八乙(%), а тензор (g®b)% действует на каждом таком подпространстве как скалярный оператор (厶 + 卩)/4, утверждение (ii) сразу следует из 16.14.□

Говорят, что ортонормированный базис (Xi,…，XQ евклидова пространства £ диагонализует алгебраический тензор кривизны R w@E, если все внешние произведения % Л X/, iVj, являются собственными векторами тензора R (рассматриваемого как оператор пространства Л2^» т. е. R(Xt, Х/)Х^ = О для попарно различных i, j, k. Следуя Майо ([Mai 1], [Mai 2]), будем говорить, что тензор R 三穹七 является чистым, если существует ортонормированный базис, который его диагонализует. Говорят, что риманово многообразие (而，g) имеет чистый оператор кривизны (соответственно чистый тензор Вейля), если в любой точке х 三 М оператор кривизны R% (соответственно тензор Wx) является чистым. Если n = dim£ = 2, то любой ортонормированный базис диагонализует любой тензор R =穹£. Если л ^ 3, то ортонормированный базис диагонализует тензор Rw 穹七 тогда и только тогда, когда он диагонализует 取(R) и c(R). Поэтому любое из следующих условий гарантирует чис- тоту оператора кривизны риманова многообразия:

dim М = 2 или 旷=0 (например, достаточно, чтобы выполнялось dimМ — 3, см. 1.119);

(ii} (М, g) есть гиперповерхность пространства постоянной кривизны (см. уравнение Гаусса (1.72с));

(М g) есть риманово произведение многообразий е чис- тыми операторами кривизны.

Кроме того, очевидно, что

свойство многообразия иметь чистый тензор Вейля конформно инвариантно.

Если тензор R = %Е имеет чистую компоненту Вейля W = /(R) (например, если сам тензор R чист), то все формы

Понтрягина pi (/?)^Д41 £*, /^1, равны нулю (см. [Mai 1]). Действительно, легко видеть (см. [Gre]), что 卩便)=川(昭)и что подалгебра p(R) = p(W) внешней алгебры Л £*, порожденная формами pi(W), имеет другую систему образующих Qj 三 /\* 七*, где Qi — форма, получаемая альтернированием отображения

(匕，.…匕i) f tr w (%A %)。…。取(匕一 л уа].

Однако если ортонормированный базис (X), ..., XQ диагона- лизует тензор W, то W (X/ Л X/) о W (Xk Л X/) = 0 для попарно различных индексов /, /,也 /. Отсюда 〃(»)= Д °£* = R.

Лемма. Пусть Е — четырехмерное евклидово пространство, a W ^ Ж(£)— чистый тензор. Тогда тензоры 取 + и 片, рассматриваемые как эндоморфизмы пространств /\+Е и Л一七 соответственно, имеют одинаковые спектры, т. е. | W+\ — \ W~\ 〃 det r+ = detW7~.

Доказательство. Поскольку тензор W чист, W(Xi ЛХ；) = =Az/Х： АХ； для соответствующего ортонормированного базиса X], ..., Хп пространства К Если {厶 /, k, /}——четная перестановка индексов {1, 2, 3,4}, то 若(冗 Л X；) = Xk А X/. Отсюда 厶订=А,*/, поскольку операторы 取 н * коммутируют (согласно 1.128). Поскольку формы вида Xi AXj ±Xk /\Xz образуют базис пространства /\ ± Е, операторы 取十 и W~ имеют одинаковые спектры. □

Теорема ([De-Sh], [Bou 9]). Пусть b — тензор Кодацци на п-мерном римановом многообразии (М, g).

Если Ь имеет п различных собственных значений во всех точках некоторого всюду плотного подмножества из М9 то для любой точки х^ М существует ортонормированный базис пространства ТХМ, диагонализующий одновременно R% и 力叱 В этом случае все формы Понтрягина (о значит, и классы Понтрягина) многообразия (М, g) равны нулю.

Если 几=4 〃 6 ——(trgb)g/4=/=0 на всюду плотном подмножестве из М, то в каждой точке х^ М существует ортонормированный базис пространства ТХМ9 диагонализующий одновременно Wx и 6%. При этом форма Понтрягина 〃 многообразия (М, g) равна нулю u pi (Af, R) = 0. В этом случае в любой точке х операторы Wx и Wx имеют одинаковые спектры.

Доказательство. Утверждение (i) очевидным образом следует из 16.14, 16.19 и непрерывности. Согласно 16.19 и 16.20, для доказательства (ii) достаточно убедиться, что в каждом касательном пространстве 7%М найдется ортонормированный

базис, диагонализующий Wx и Ь*. В некоторой окрестности М‘ точки х тензор Ь имеет т различных собственных функций 九(1), .••,九(机)，2 0 机<4, кратностей 局，…，妬，財 W ... …< km. Возможны четыре случая:

.机=2,自=%=2; II.机=2,电=1,局=3;

.加=3,左 1 =局=1,左3 = 2; IV.加=4.

В случае I из 16.12(i) сразу следует, что в окрестности точки х метрика g конформна метрике риманова произведения двух двумерных метрик, причем сомножители соответствуют собственным подпространствам тензора Ь. Утверждение 弘 следует теперь из 16.18(i), (iii), (iv).

Рассмотрим теперь случай II (соответственно III). Поскольку подпространство 匕⑴ А %⑵ инвариантно (соответственно под- пространства V^(i)A V^(2)и 卜厶(1)八卜入(з) инвариантны) относительно действующего в f\2TMf самосопряженного оператора IF, существует ортонормированный Ьх-собственный базис (Хь ... …，XQ пространства ТХМ9 для которого W(Xi АХ«) =ц«Х1 АХ/, 2 W i W 4. Теперь из того, что оператор W коммутирует с оператором 弟 при любом выборе ориентации (см. 1.128), следует, что все бивекторы Xi АХ； являются собственными векторами оператора Wx, как и требовалось. Наконец, в случае IV утверждение сразу следует из (i) и 16.18, что и завершает доказательство. □

Случай Dr^C^ (Q® S): римановы многообразия с гармоническим тензором Вейля

Римановы n-мерные многообразия (М, g), для которых тензор Dr является сечением расслоения Q©S, т. е. г — —(2п — 2)-】sg есть тензор Кодацци, при п ^ 4 также характеризуется условием 51^ = 0. Если же п = 3, то эти многообразия можно охарактеризовать как конформно плоские многообразия (см. 16.4(V)). В этом параграфе мы рассмотрим такие многообразия при 〃》4. Они называются многообразиями с гармоническим тензором Вейля. Название объясняется тем, что из условия 6昭=6 вытекает тождество Бьянки dW = ^ и, таким образом, Д2 7И-значная 2-форма W одновременно замкнута и коза мкнута (подробности см. в 16.41).

Сначала мы приведем ряд примеров многообразий с гармоническим тензором Вейля, а затем сформулируем две общие теоремы о структуре их оператора кривизны (16.28, 16.31) и один локальный классификационный результат (16.32).

Простейшими примерами многообразий с гармоническим тензором Вейля являются.

многообразия с Dr = 0, локально изометричные произведению многообразий Эйнштейна;

конформно плоские многообразия (W = 0). Этот класс содержит много компактных примеров, отличных от пространств постоянной кривизны: отображение инверсии Xi—> \Х\~2Х модельного пространства Rn позволяет определить операцию взятия связной суммы в классе конформно плоских многообразий ([Kul 1]). Отметим, что риманово произведение является конформно плоским тогда и только тогда, когда оба сомножителя имеют постоянную кривизну н либо один из сомножителей одномерен, либо сумма их кривизн равна нулю (см. 1.167).

Более сильное условие DW = 0 не приводит к новым примерам многообразий с 6取=0, поскольку, согласно В. Ро> теру (см. [De-Ro]), из этого условия следует, что DR = 0 или W = 0 (см. также [Miy] и 16.75 (iii) относительно случая м=4). Кроме того, класс многообразий с 5取=0 не замкнут относительно операции вычисления римановых произведений (по крайней мере если один из сомножителей имеет переменную скалярную кривизну).

Другие примеры многообразий с 6W = 0 можно получить с помощью конформных деформаций. При конформной деформации g' = e2fg метрики g в n-мерном случае тензор 6取 преобразуется по формуле

(16.25) %，昭 g，= bW ~-{n-^W (Qf,.,.,.)

(ср. c 1.159). Поэтому можно взять риманово многообразие с Dr—0 и искать на нем такую функцию 厶 что W(Df,.9.9.)=0. Простые преобразования позволяют получить следующий результат.

Лемма. Пусть (M, g) — риманово произведение двух многообразий Эйнштейна (”厶 gj. Ненулевой вектор X е ТМ удовлетворяет условию W (X, .,.,.) = 0 тогда и только тогда, когда 人2 (言2 — 1) S] + 力(〃i — 1) ^2 ^^ 0 〃 ^^t (X], ♦,.,.)== 0, i = 1« 2, ?0e я； = dim AG > 1; Sj, Wi ——скалярная кривизна и тензор Вейля метрики gf； Xf — Mi-компонента вектора X (если 九色《3, считается, что 吃=0).

Эта лемма дает обоснование следующей конструкции.

Пусть (М, g)—многообразие Эйнштейна, а (/, dt2)—одномерное многообразие. Тогда для любой положительной функции F на / метрика g ==^应2 +尸0g=济。g尸⑴[f一2d产㊉g] на многообразии М — 1У^М удовлетворяет условию 6昭=0.

В частности, пусть многообразие М компактно, / = R, функция 77_периодична с периодом Т, а Ф — изометрия многообразия 餌 g). Тогда отображение (/, y)^->(t + Л Ф (у)) является изометрией многообразия (Mt g) и порождает вполне разрывное действие группы Z на М. Фактор-пространство (At, g) /Z (см. [Ко-No 1], с. 44, а также 9.11) с индуцированной метрикой является примером компактного риманова многообразия с гармоническим тензором Вейля. Его можно рассматривать как тотальное пространство расслоения над окружностью со слоем Л1. В общем случае это многообразие не является конформно плоским (если метрика g не является метрикой постоянной кривизны, см. 16.24(H)), а его тензор Риччи не параллелен (условие 0r = 0 накладывает на функцию F ограничения, которые несовместимы с ее пер иодичностью и положительностью).

Пусть (Ah, gi)——пространство постоянной кривизны Къ а (Л42, ^2)——многообразие Эйнштейна скалярной кривизны s2 = =——几2(几2——l)Ki, где пг = dim М2. Для произвольной положительной функции F на М\ метрика скрещенного произведения g =尸gi + F2g2 = e"°g 尸(gi Ф g2)на Л4 = Afi X М2 имеет гармонический тензор Вейля. Как и в (i), метрика g в общем случае не относится к типам 16.24(i), (ii). Выберем, например, в качестве (Ah, gi) сферу, а в качестве (М2, ^2) односвязное компактное комплексное многообразие с q V 0, снабженное метрикой Кэлера ——Эйнштейна (см. 11.17). Тогда мы получим пример компактного односвязного многообразия, для которого 6絞=0, но 取耍 0 и Dr，0.

С помощью конформных деформаций можно получить и другие примеры. Пусть (Mg) — риманово многообразие с рекуррентной конформной кривизной (см. [Ad-Mi]), т. е. 2\W\2-DW = d(\W\2) ® W. Согласно 16.25, метрика g'= =| 命|2"3f)g, определенная в области, где 取耍 0 (п = =dim М》4), удовлетворяет условию 6g，％，= 0. В. Ротер ([Rot]) показал, что при 〃》5 аналитическими многообразиями с рекуррентной конформной кривизной являются лишь многообразия с W = 0 или DR = 0, а также произведения поверхностей и пространств постоянной кривизны. В четырехмерном случае существуют и другие варианты: например, римановы произведения двух поверхностей. Таким образом, если (Л4, g)= =(Ah, gi)X(M2, g2), причем dim Mi = 2, а метрика g2 имеет постоянную секционную кривизну или же dim М2 = 2, то определенная выше метрика g' имеет гармонический тензор Вейля. Поскольку для такой метрики функция | 昭 | пропорциональна функции |Kj + Л2|, где К — гауссова (соответственно постоянная секционная) кривизна метрики gt, эта конструкция позво-

ляет получить много примеров компактных многообразий с гармоническим тензором Вейля, в том числе и односвязных. Действительно, если многообразия М, № компактны и кривизна К2 нигде не равна нулю, то, заменяя метрику gi пропорциональной, можно добиться того, что I Wgl е g21 > 0 всюду в М Таким образом, метрика g' глобально определена на Л1 = = м,хм2.

Из 16.4(V), 16.21 и 16.18 вытекает следующая теорема.

Теорема. Пусть (Mg) — риманово многообразие с гармоническим тензором Вейля 〃 dim М — п^ ^.

Если тензор г имеет п различных собственных значений в точках всюду плотного подмножества из М, то многообразие (М, g) имеет чистый оператор кривизны 〃 pi(M, R) = 0 для всех i^l.

Если 九=4 〃 厂——sg/4 У= 0 в точках всюду плотного подмножества из М, то многообразие (Л1, g) имеет чистый оператор кривизны, pi(M, R) = 0 и в каждой точке х^М операторы Wx и Wx имеют одинаковый спектр.

Следствие ([De-Sh], [Der 3], [Bou 9]). Пусть ориентированное риманово четырехмерное многообразие (М g) имеет гармонический тензор Вейля и удовлетворяет условию W~ = 0. Тогда IF®(г — sg/4) = 0 всюду в М, т. е. многообразие (Mg) конформно плоско или эйнштейново.

Действительно, согласно 16.28(ii), если г — sg/4 ? 0, то I 呼+| = I 片 I = 0. Относительно последнего утверждения см. доказательство 16.31. □

Предложение ([Mat], [Tan 1], [Gra 5]). Пусть (М, J, g) — кэлерово многообразие вещественной размерности 九》4 c гармоническим тензором Вейля. Тогда его тензор Риччи параллелен.

Действительно, поскольку тензор Риччи г коммутирует с оператором / (см. 2.42), утверждение сразу следует из 16.4 (v) и 16.8. Отметим, что в этом случае многообразие (Л1, J, g) локально является произведением многообразий Кэл ера — Эйнштейна. Из 16.24 (ii) нетрудно вывести, что конформно плоское кэлерово многообразиене являющееся плоским, четырехмерно и локально изометрично произведению поверхностей постоянной кривизны с кривизнами, отличающимися только знаком (см. [Ya- Мо] и 1.167).

Теорема (Д. Де Тюрк, X. Гольдшмидт, [DT-Go]). Пусть (М g) — риманово многообразие с гармоническим тензором

Вейля 〃 dim Л1 = и ^ 4. Предположим, что в некоторой точке х^М тензор гх имеет и различных значений и Wx = 0. Тогда многообразие (Л1, g) конформно плоско.

Доказательство. Выберем в окрестности точки х ортонорми- рованное поле реперов (Хь ...,爲),диагонализующее тензор г. Согласно 16.4(v), 16.14 и 16.17(i), оно диагонализует и тензор W. Поэтому ненулевые компоненты тензора W имеют вид 侬犷= =Wji = W(Xit X/, X/, X/), i^ ]. Из условия 8W — 0 и его следствия dW = 0 (см. 16.23, 16.42) вытекает, что

D逑建=2 ©.Ь 一—» i^k,

Dkwtl = (wz/ —功財)Г* + (wz/ —畋,「方，i 耍 j 耍々耍 i, где Dt — производная по направлению поля Xf и 瑞=《\3泌》 Таким образом, функции w订 удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных. По условию w订(％) = 0. Следовательно, IF — 0 в окрестности точки х, а значит и всюду, поскольку поле W удовлетворяет эллиптической системе уравнений (6d + d6)IF = 0 (см. [Аго]).□

Сформулируем для случая и = 4 локальный классификационный результат. Доказательство см. в 16.70.

Предложение. Пусть (М, g) — ориентированное риманово четырехмерное многообразие с гармоническим тензором Вейля. Предположим, что тензор W^, рассматриваемый как эндоморфизм пространства Д +Л1, имеет в любой точке 尤三 Л1 не более трех различных собственных значений. Тогда в окрестности любой точки х^ М, в которой W，0 〃 г，sg/4, метрику g можно получить с помощью конформной деформации метрики риманова произведения поверхностей, как в 16.27. Эта метрика риманова произведения равна | W^g.

Случай Dr^C00 (S): римановы многообразияс гармонической кривизной

Римановы многообразия с Dr е С°° (S) (т. е. многообразия, для которых тензор Риччи г является тензором Кодацци или, что эквивалентно, 6/? = 0, см. 16.4 (ii)) интересны еще и тем, что связаны с уравнениями Янга — Миллса (см. 16.34). С учетом того, что на любом многообразии выполняется тождество Бьянки dR = 0 (см. 1.14), такие многообразия естественно назвать многообразиями с гармонической кривизной.

Д. Де Тюрк и X. Гольдшмидт ([DT-Go]) недавно показали, что все многообразия с 6R = 0 аналитичны 6 соответствующих координатах. С другой стороны, при п ^ 4 такие многообразия х ар а ктеризуются гармоническим тензором Вейля и постоянной скалярной кривизной. Поэтому все рассуждения из § D остаются справедливыми и для многообразий с гармонической кривизной. В частности, для них справедливы теоремы Бургиньона 16.28 (ii) и 16.29 ([Bou 9]), теорема Мацусимы — Танно 16.30, теорема Де Тюрка и Гольдшмидта 16.31, а также теоремы 16.28 (i) и 16.32 с очевидными упрощениями: в 16.28 можно заменить плотное подмножество точкой.

В этом параграфе мы опишем известные примеры компактных римановых многообразий с гармонической кривизной и сформулируем две теоремы (16.36, 16.38) о таких многообразиях, включая теорему классификации. В заключение мы рассмотрим вопрос о гармоничности произвольных полей алгебраических тензоров кривизны.

Условие 67? = 0 возникает так. Пусть Е ——векторное расслоение над компактным римановым многообразием (应 g) с послойной метрикой g^. Каждой связности V в Е, сохраняющей gE, можно сопоставить интеграл Янга ——Миллса YM(V)= =\乂|/?厂|2卩且,Где /^v — кривизна связности V. Связность V является критической точкой функционала Янга — Миллса тогда и только тогда, когда 6VRv = 0 (см. [Par], 4.82 и 13.11). Если Е=ТМ, a gE — g, то последнее уравнение принимает вид 67? = 0.

Примеры. Учитывая 16.33, можно построить много при- меров (в основном некомпактных) многообразий с гармонической кривизной, вводя в 16.24, 16.26 и 16.27 дополнительное требование постоянства скалярной кривизны. Таким образом получаются следующие примеры компактных многообразий с гармонической кривизной.

Компактные многообразия с Dr — 0.

Компактные конформно плоские многообразия постоянной скалярной кривизны.

Поскольку в конформно плоском случае справедлива гипотеза Ямабе (Р. Шоэн, [See]), на любом компактном конформно плоском многообразии (например, на связной сумме торов, см. 16.24 (ii) или 6.77) существует конформно плоская метрика с 6R = 0.

Компактные многообразия, локально изометричные произведению многообразий с 5R = 0.

Пусть (М, g)—компактное многообразие Эйнштейна размерности и—— 1》2 скалярной кривизны 勺 > 0, F — непо-

стоянная положительная периодическая функция на 'R, а Ф — изометрия многообразия (〃，&)• Тогда нетрудно убедиться, что многообразие (М, g)/Z, определенное в 16.26(i), имеет постоянную скалярную кривизну в том н только в том случае, если функция f = F"/? удовлетворяет дифференциальному уравнению (16.35iv) /〃成2 -!„(„_!)->. sf-^ = _J耐，

где Co — произвольная константа. Выбрав в качестве f непостоянное положительное периодическое решение этого уравнения (по поводу его существования см. 16.37), мы получим компактное риманово многообразие с гармонической кривизной, а именно тотальное пространство расслоения со слоем М над окружностью S1 со скрученной метрикой скрещенного произведения (см. [Der 1]). Полученные таким образом многообразия не удовлетворяют условию Dr = 0 и не могут быть конформно плоскими, если метрика g имеет переменную кривизну (см. 16.26 (i)).

(V) Пусть (Mi, gi)—компактное многообразие постоянной секционной кривизны Ki V 0, а (М2, g2)— компактное многообразие Эйнштейна скалярной кривизны s?=——九2(九2—l)Ki, где ш = dim Mi ^ 2, / = 1, 2,叫 > 九】——KF4九卜 a 九】—— наименьшее положительное собственное значение оператора Лапласа А многообразия (Mi, gi), действующего на функциях. Положим q = =2(«i + п2) (ni + 做一2)-1, а = } («!—供)的 + 供一2) R, т. e. g > 2, а > Li(g —2)-i н g V 2Ml(为一2)-1 (если 修 > 2).Тогда для любой положительной С°°-функции f на М】метрика скрещенного произведения g = fq~2 (gj ㊉ g?) на М = М}\М2 удовлетворяет условию 6R = 0 в том и только в том случае, если она имеет постоянную скалярную кривизну s (см. 16.26(ii)). Это условие в свою очередь эквивалентно тому, что функция f удовлетворяет уравнению △/ + &/ = cf^-1, где с ——константа (см. 1.161). Можно показать, что c = ；s(m】 + m2 — 2)(п{ + п2 — ——I)-4. Поскольку при любом с>0 существуют непостоянные положительные решения f этого уравнения на многообразии (М, gi) (см. 16.37), мы получаем примеры метрик g с гармонической кривизной на компактном многообразии М = М〕X ХМ2 (см. [Der 4]). Отметим, что dimM>5 и группа Л1 (7Й) бесконечна. Если метрика g? не является метрикой постоянной кривизны, то построенное многообразие не будет локально изо- метричным ни одному из многообразий, описанных в (i) — (iv) (см. [Der 4]). Эта конструкция допускает обобщение: вместо произведения М\ X ^2 можно взять некоторые расслоения М

над Mi co слоем Af2, определенные произвольными гомоморфизмами группы jii(Afi) в группу изометрий многообразия (Л12, ^2)- Полученные таким образом многообразия обладают скрученной метрикой скрещенного произведения с гармонической кривизной.

Теорема (М. Берже, см. [Be-Eb], [Sio 2], [Bou 8], [Gra 5]). Любое компактное риманово многообразие с гармонической кривизной и неотрицательной секционной кривизной К удовлетворяет условию Dr = 0. Если при этом хотя бы в одной точке К > Оу то многообразие эйнштейново.

Это сразу следует из 16.4 (ii) и 16.9.

Лемма, (i) Пусть и — С2-функция на отрезке [ 〃 厶,加三 —/. Тогда существование на прямой R непостоянной периодической С2-функции f с областью значений [〃，厶],удовлетворяющей уравнению 42〃4产=〔友/什)，эквивалентно выполнению условий fi V白, u(fj=u(/2),。'(才•。'(%)，0 "u伉)>。《 для всех fo^(fi9 f2)•

(Ямабе, [Yam 2], см. также [Aub 6], с. 115—119). Для любого компактного риманова многообразия (М, g) и вещественных чисел a, q, с, для которых </ > 2, с S 0, а>%(д —— ——2)-i (где 九【——наименьшее положительное значение оператора Лапласа) и q <2п(п — 2)-1 (если и = dim М > 2) ил〃夕 V 8 (если п = 2), уравнение

(16.37ii) Af + af = cfq~1

имеет непостоянное положительное С°°-решение f: М-> R.

Доказательство, (i) Легкое упражнение.

Метод Яма бе ([Aub 6], с. 115—119) позволяет найти положительное С°°-решение уравнения (16.37ii) с некоторой константой с > 0, минимизируя функционал

lAh = (\\dfriig + a\f^-仆

в классе функций f из первого Соболевского пространства ”, для которых f》0 н f[ig > 0. Умножая f на константу, можно получить решение для любого с > 0. Если минимизирующая функция f постоянна, анализ второй вариации функционала Iq приводит к неравенству \ 3 d屮 12 flg》а (д — 2) \ м屮Tg， где w一 произвольная С°°-функция с ^ipp,g = O. Отсюда a(g ——2)《九i (см. [Be-Ga-Ma], с. 186), что противоречит условиям леммы. □

Теорема (А. Дердзиньский, [Der 1]). Пусть (Mg)— компактное риманово многообразие с гармонической кривизной, dim Л1 = и ^ 3. Если его тензор Риччи не параллелен 〃 имеет в каждой точке менее трех различных собственных значений» то многообразие (М g) изометрически накрывается одним из компактных многообразий, описанных в 16.35(iv). Верно и обратное утверждение,

Доказательство. Зафиксируем точку xrM, в которой /*%=/= s(%)g*/〃 и (Dr)x^ 0. Согласно 164(h) и 16.12(ii), в окрестности точки 尤 метрика g имеет вид (16.丄3)для некоторого риманова (п——1)-мерного многообразия (М, g), некоторой функции 4r на интервале I п b — г. Вычисляя тензор Риччи г этой метрики g и сравнивая его с 6, получаем, что многообразие (〃,&) является эйнштейновым, а функция f = «〃屮/? удовлетворяет уравнению (16.35iv), где s ——скалярная кривизна метрики g. Элементарные симметрические функции от собственных значений тензора г аналитичны в М (см. 16.33), и в силу (16.13) хотя бы одна из ннх непостоянна, поскольку (Dr)x =# 0. Соответствующая регулярная поверхность уровня такой функции определяет продолжение многообразия (М, @[до компактного многообразия Эйнштейна. Обозначим через (Mt g) его универсальную накрывающую.

Легко проверить, что в обозначениях (16.13) кривые

/ m / *—> с (0 = (/,力三 / X 后 и М являются геодезическими и удовлетворяют уравнению (16.39)d?『叫d¥ = (1 - и)-1 г (с, с)产.

Поскольку многообразие (M, g) является полным и аналитиче- ским (см. 16.33), линейное дифференциальное уравнение (16.39) позволяет аналитически продолжить функцию f"n на всю прямую R. Это продолжение всюду отлично от нуля. Действительно, если бы оно обращалось в нуль в некоторой точке % w R, то из уравнения (16.35iv), записанного для функции 产/% следовало бы, что 6 > 0 (поскольку df2/n/dt 耍 0 при ^ = /0 в силу единственности решения уравнения (16.39)) и что (16.35iv) определяет (с точностью до знака) разложение функции 产友 в степенной ряд в точке /о・ Поэтому функция 尸/〃 должна была бы совпадать с одним из «очевидных» решений уравнения (линейным, тригонометрическим или гиперболическим), а значит, в окрестности точки х выполнялось бы условие Dr = 0. Но это противоречит нашему предположению. Таким образом, функцию f можно продолжить до положительной аналитической функции на R, которая обозначается той же буквой.

Скрещенное произведение (M\ gz) = (R X ^Й> dt2 + f4/ng) является аналитическим многообразием (см. [Bi-ON], с. 23), и некоторое его открытое подмногообразие изометрично открытому подмногообразию в (Mg)・ Поэтому универсальная накрывающая многообразия (Mg) изометрична (М,g。(см. [Ko- No 1], с. 252) и, значит» (Мg) = (М‘,g')/Г, где Г — дискретная группа изометрий. Ясно, что группа Г сохраняет распределения многообразия М‘ = R X 凡 касательные к сомножителям (которые одновременно являются собственными распределениями тензора г). Переходя при необходимости к конечнолистному накрытию, можно считать, что группа Г сохраняет и ориентацию в R-направлении. Используя уравнение (16.35iv) и учитывая, что (Dr)x =И= 0, легко доказать, что все элементы группы Г действуют на R X М как произведения параллельного переноса прямой R, сохраняющего 厶 и изометрии многообразия (7Й, g). При этом существует элемент Г X ①三 Г с ненулевым параллельным переносом Т, так как в противном случае проекция M'f R определяла бы на М неограниченную функцию. Таким образом, функция f является периодической и, согласно 16.37, s > 0 и Со < 0. Действие группы Z на М', порожденное преобразованием Т X ①， определяет конечнолистное накрытие (М\ gf) /Z многообразия (Mg) вида (16.351V), что и завершает доказательство.□

Другие примеры. Произведение S?XS2, а также другие произведения компактных поверхностей допускают нестандартные метрики гармонической кривизны (типа 16.27), которые можно определить с помощью бифуркаций (см. [Der 6]).

Пусть R — поле алгебраических тензоров кривизны на римановом многообразии (М, g) размерности м > 4. Будем говорить, что поле R замкнуто (как Д2Л1-значная 2-форма), если оно удовлетворяет дифференциальному тождеству Бьянки dR = 0, где

(dR)(X,匕 Z, U, Ю =(ад)(Г, Z, U, V) + (OyR)(Z, X, U9 V) + +(ад)(х, г, и, У),

н козамкнуто, если 6R = 0. Пусть R = U + Z+IT —— разложение поля R, описанное в 1.114, и пусть F = c(R), s = trg г.

Предложение (К- Номидзу, [Nom 1], Ж.-П. Бургиньон, [Bou 4]). В наших обозначениях

условия dU = 0, 6U = 0 и ds = 0 попарно эквивалентны}

условия dZ = 0 и 6Z = 0 эквивалентны. Они экви- валентны также условию dr = 0, 7. е. тому, что г есть тензор Кодацци.

Если, кроме того, dR = 0, то условие dW = 0 эквивалентно условию 6昭=0, а также условию d [г—(2〃 一 2)"1 Mg] =0.

Если dR = O, то 吧，e_R козамкнуто тогда и только тогда9 когда козамкнуты поля N, Z, W.

Доказательство. Утверждения (i) и (ii) сразу следуют из (1.116) и легко проверяемого факта, что для любого симметрического 2-тензорного поля а условия 6 (^ ® ^) = 0 и da = 0 эквивалентны (если tr^ а = const), а условие d (а @ ^) == 0 эквивалентно условию da = 0. Последняя экв ив ал ентность вместе с разложениемR=(〃一 2)тgО [г — (2n —2)~!s^] + W (см. 1.116) и соотношением

6Г = _(П-З)(п-2)7 d[r- (2п — 2)7 sg]

(полученным из dR — 0 в результате свертки, см. 16.3) доказывает (iii). Далее, поскольку ER = ——6г и 26г =—曲，если dR = 0 (см. 16.3 и 1.94), из условия dR = 6R = G следует, что й = const. Теперь (iv) сразу вытекает из (i) и (ii), что и завершает доказательство. □

F. Случай Dr ^ C°°(Q)

Класс римановых многообразий, для которых Ог = ^ С°° (Q) (эквивалентные условия см. в 16.4 (i)), рассматривается в работах [Gra 5], [Sin], [Siv]. При 親>4 все такие многообразия имеют гармонический тензор Вейля (см. 16.4). Таким образом, для них справедливы все результаты § Е). В этом параграфе мы построим примеры компактных многообразий, для которых Dr^ C°°(Q) и Pr ¥= 0, и докажем для них теорему расщепления. Мы обсудим также некоторые вопросы, связанные с локальной классификацией таких многообразий.

Примеры. Согласно 16.42, достаточно потребовать, чтобы многообразия из § D удовлетворяли дополнительному условию OrwC°°(Q), и мы немедленно получим следующие примеры компактных многообразий с。尸三 C°°(Q):

компактные многообразия с Dr = 0;

(ii\ расслоение над S1 со слоем М со скрученной метрикой скрещенного произведения, которое строится как в 16.26 (i), где компактное многообразие Эйнштейна (М, &) имеет скалярную кривизну s < 0, a f = F~1 есть непостоянное положительное

периодическое решение уравнения

-2〃成2 = 2(n- l)-1(tt- 2)T s/3 + С/

с С = const > 0 (такое решение f существует в силу 16.37). Эти примеры никогда не удов л етвор яют условию Dr = 0. Некоторые из них (те, для которых метрика g имеет постоянную кривизну) конформно плоски.

Предложение. Пусть (Al, g)—компактное риманово многообразие с Dr ^С°° (Q) и

(п—1) (п + 6) г ^ 4s, /i = dimAf>3

(в частности, это условие выполняется, если поле г достаточно С^-близко к полю <pg, где <р ——отрицательная функция). Тогда Ог = 0.

Следствие. Пусть go — метрика Эйнштейна отрицательной скалярной кривизны на компактном многообразии М. Если метрика g на М удовлетворяет условию Dr 三 С°° (Q) и достаточно С2-блазка к go, то ее тензор Риччи параллелен.

Доказательство предложения 16А4. Из 16.4 (i) и 16.3 следует, что 2(n — 1) (6/?) (X, У, Z) = (X, У)ds(Z) — (X, Z)ds(Y). Применяя к 16.4 (i) формулу Вейценбёка, вычисляя дивергенцию и используя формулу “Qs) = dAs — SDds (см. 1.155), получаем

(п — 2) 6D ds = (м + 6) г (Qs) — 4(п — 1尸 s ds.

Отсюда легко выводится, что

(п — 2) ДI Ds |2 = 2 (п + 6) г (Ds, Qs) — 8(п — I)"1 s\ Dsf —

—2仇一2)|Ddsp

(см. [Sin]). Интегрируя это равенство и используя неравенство (16.44), получаем, что Qds = 0. Отсюда s = const и в силу 16.4 (i) Qr = 0, что и требовалось доказать.□

Согласно 16.4(i), условие Dr ^ С°° (Q) можно представить в виде

D& = g о g, g = (n + 2)-1 d (trg &), n = dimM,

где b —r — (2n — 2) —〔sg. Для того чтобы описать локальную структуру всех решений (М, gt Ь) уравнения (16.47), прежде всего отметим, что для любого такого решения и любых

39 А. Бессе, т. 2

различных собственных функций X, v тензора b выполняются условия

(0 x•入= 3g(X), Z" = g(Z), VX巨08(p人)，zwC8(九)；

если функция Л постоянна вдоль 14 (в частности, если dim Vk > 1, см. 16.11 (iii)), то все собственные значения тензора b постоянны вдоль 14, а 1-форма g равна нулю на 14 и ? — d儿

Действительно, положив в формуле (16.10) сначала Л = = H=v, Z=y = X, а затем Л == м =/= v, Y = Х, получим 16.37 (i). Если функция 入 постоянна вдоль Vx, то из (i) следует ^(X) = 0, X •入=t(X) = O и Z •入=。(力，что и доказывает (ii).□

Локальная классификация решений (М, g, Ь) уравнения (16.47), находящихся s общем положении (т. е. таких, что для любого хмМ тензор Ьх имеет п различных значений и ограничение 1-формы £ на любое его собственное подпространство отлично от нуля). Положим %£ = (〃 +2)九\ — trgb, где At ——собственные значения тензора b, 1 &2<м. Согласно 16.46(i),

X •修=2Х • (tr") = 2- + 2)t(X)耍 0, У •々=0,

если X ^С^ (Vt), X =И= 0, У ^ С°° (V/")， где Vt — собственное распределение тензора &, соответствующее собственному значению X/. Ф)лнкции 尤力 образуют локальную систему координат, причем

g = § 也找，6 = § 现电我，% = (2n + 4)T(2先 + § 芍)， где 切=| 困2, dj = g/d%j Поскольку [(?/, dj] = 0, из 16.11 (ii) следует, что

d也=-2 {po.dt,心)=2也(%.一一尸现,/ * ».

Отсюда

皿=exp (仇(kJ) ,П I %/ —左 I,

где Qi ——функции одной переменной. Обратно, легко проверить, что в любой области D и R〃，в которой функции 尤？ являются декартовыми координатами, приведенные выше формулы с произвольными функциями gt(%i) задают решение (Л1, g, &) уравнения (16.47) общего положения.

Существуют решения (М, g, Ь) уравнения (16.47), для которых Db =И=0 и которые не находятся в общем положении.

Пример. Пусть (M],gi,6]) — решение уравнения (16.47), соответствующее 1-форме J, и dim Mi =/и》1. Обозначим через

Di связность ,Л.еви>Чивита метрики gi. Предположим, что многообразие М] односвязно и что для некоторого 卩о = R существует обратный тензор Т =(仇一kgi)-\ где pi =(Hi + 2)-1 X Xtr&bi+fio. Локально эти предположения всегда выполняются. Для любого риманова многообразия (Л12, g2)можно определить расширение тройки (Mi,gi,力 J с помощью (М2, g2), положив

М = Л1], X М2, g = gi + ewg2, b = bl + ^g2,

где ф ——функция на М】.Тройка (М, g, Ь) удовлетворяет урав- нению (16.47) тогда и только тогда, когда 2Т (dp,) = d(p. Для того чтобы доказать, что такая функция <р существует (или, эквивалентно, что d(Td[i) = 0), заметим, что в силу (16.47) &л = “，следовательно,

((2)хТ)(У, Z) = -r(如，У)Т(Х, Z)-r(4i, Z)T(X, У).

С другой стороны, в силу (16.47)

А^也&仇)+"。1仇=mа 如+ &n■ gi.

Поэтому, согласно 16.17(i), тензор Didg коммутирует с 財，а значит и с Г. Отсюда d(T)pj = O, что и требовалось доказать. □

Локальная классификация произвольных решений (M, g, 6) уравнения (16.47) в точках общего положения. Предположим, что М = Мь и что С аннулирует фиксированное собственное распределение Vu (см. 16.46(ii) и 16.47). Мы утверждаем, что, если тензор Ь не параллелен, любое решение (7И, g, b) локально можно получить из решения общего положения в результате конечного числа расширений, описанных в 16.49. Действительно, если X е С°°(Уя,). У 三。8(vq, 7 е C°°(Vv), где 九， 芳 H#=w, то из (16.10) и (16.47) следует, что (% —卩)(Oz£ У)= = (X,Z)《(y)= 0, т. е. &XwC8((VQ丄).Согласно 16.11, распределения Uj и V口 вполне интегрируемы, причем листы V^ являются вполне геодезическими подмногообразиями, а листы Vu — омбилическими подмногообразиями. Поэтому решение допускает локальное представление (16.49), где (Mi, gi), i=l,2,— римановы многообразия, причем dwS2Ml (тензор Ь\ постоянен вдоль М2, см. (16.47)),屮一функция на Mi X М2, а (而i,gi,瓦)一 решение уравнения (16.47), соответствующее J = g н b{ (d^ —— —|idi(p = 2dgd/, где dj——внешний дифференциал вдоль многообразия Mf. Поскольку 壮2卩=0 в силу 16.46(i), отсюда следует, что (61 — Mgi) (d2dl叩)=0 н, с учетом предположения об общем положении, <р = Ф1 + <Р2, где q)i ——функция на М^ i = 1, 2. Заменив g2 на (ехр Фг)^2, получим соотношение (16.49), в котором 屮 есть функция на М2. Таким образом, решение (М, g, b) является расширением в смысле 16.49. Повторив эту процедуру

несколько раз, мы последовательно расщепим все собственные распределения тензора 6, аннулируемые 1-формой & и придем к решению общего положения.

Естественным образом встает проблема локальной классификации (в точке общего положения) всех римановых многообразий, для которых Dr^ C°°(Q). На поверхности лежит идея использования классификации 16.48,16.50 решений (Л4, gtb) уравнения (16.47) при дополнительном условии 6 = г — (2п —— ——2)-】sg. Но этот лобовой подход приводит к безнадежным вычислениям.

G. Случай Dr^C°° (А): римановы многообразия,удовлетворяющие условию (Dxr) (X, ЛС) = 0для всех касательных векторов X

Риманово многообразие (М, g) удовлетворяет условию Dr^ С°°(Л) тогда и только тогда, когда о(Ьг) = 0 (см. 16.4 (iii)) или, что эквивалентно, (Dxr) (X, X) = 0, VX 三 ТМ. Это условие является следствием некоторых геометрических предположений. Оно выполняется для всех пространств Д'Атри ([Va-Wi]), т. е. таких римановых многообразий, для которых локальная геодезическая симметрия с центром в произвольной точке х (переводящая ехр%(——X) в ехр“Х для всякого X rT%M, достаточно близкого к нулю) сохраняет с точностью до знака элемент объема ?g. Более того, все римановы многообразия (М, g), для которых оператор f”~^(r, Ddf), действующий на функциях, коммутирует с лапласианом, удовлетворяют условию o(Qr) = 0 (см. [Sum]).

В этом параграфе мы приведем примеры многообразий с о(О，) = 0 и сформулируем для них две теоремы.

Примеры римановых многообразий^ для которых, о (Dr) = 0, т. е.

(0N)(X, X) = 0, VX 三 ТМ.

Многообразия с Dr — 0.

Пространства Д'Атрн (см. 16.55 (i)). Этот класс содержит все однородные римановы многообразия, являющиеся ре- дуктивными (относительно некоторых G и V, см. 7.84), в частности нормально однородные римановы многообразия (см. [DA-Ni 2]). Итак, все такие многообразия удовлетворяют условию о(力尸) = 0. Это позволяет получить большой класс примеров компактных локально однородных многообразий с (£>х，) (X, X) = 0, включая все метрические сферы в симметрических пространствах ранга единица (это непосредственно дока-

зали Чен и Ванхекке, см. [Ch-Va], а также [Zie 1]), все почти кэлеровы 3-симметрические пространства (результат Грея, см. [Gra 5}, [Gra 2], [Tr-Va 2]) и много компактных групп Ли с соответствующими левоинвариантнымн метриками, построенными Д'Атрм и Циллером ([DA-Zi]). Для большинства этих примеров Dr，0. Кроме того, существуют однородные пространства Д'Атрн, которые не являются естественно редуктивными (при любом выборе G и р): А. Каплан (см. [Кар 1], [Кар 2], [Кар 3], а также [Tr-Va 2]) построил класс левоинвариантных метрик на некоторых двухступенно нильпотентных группах Ли, которые обладают свойством пространств Д'Атрн в общем случае, не будучи при этом естественно редуктивными. Многие примеры Каплана допускают компактные фактор-многообразня ([Кар 2]).

Римановы произведения многообразий с о(Ог) = 0.

Теорема (У. Симон, [Sio 1 ], ср. с [Gra 5]), Пусть (44, g)——компактное риманово многообразие неположительной секционной кривизны К, для которого (Охг) (X, X) = 0, VX w е ТМ. Тогда Ог = 0. Если, кроме того, в некоторой точке KV0, то (Mg) есть пространство Эйнштейна.

Доказательство. Для любого симметрического 2-тензорного поля Ь на (М, g), для которого (Dxb) (X, Х) = 0, VXeTM, формула. Вейценбёка 1.143 принимает вид

6 Db + Dd (trg b) = b^ г -\- r^b — 2R (&).

Если 6 = г, то trg b = const (см. 16.4) и утверждение доказывается с помощью интегрирования (как в 16.9).□

Теорема (Ж- Э. Д'Атрн, X. К. Никерсон, [DA-Ni 1], [DA-Ni2], [DAt]).

Любое пространство Д'Атри (44, g) удовлетворяет условию (Oxr) (X, X) = 0 для всех векторов X.

Любое естественно редуктивное однородное риманово многообразие есть пространство Д'Ат ри.

Доказательство, (i) Пусть (Mg)—произвольное риманово многообразие, х w М н X 三 ТХМ. Тогда

(ZV) (X, X)=累 log 0 (exp* /X)『°,

где 6 = 0х — нормальная функция объема с центром в точке % (см. 1.48). Это доказывается с помощью прямых вычислений в нормальных координатах с началом в точке х с использованием простого тождества Е«, / ё11дкёц = dk log det git и соотношений, получающихся при дифференцировании тождества (1.92). В про-

странстве Д'Атрн функция /«~^0х(ехрх tX) четна. Отсюда следует (i). Доказательство (ii) см. в [DA-Ni 2] или в [DAt]. □

Открытые проблемы, (i) Построить примеры римановых многообразий с (D^r) (X, X) = 0, которые не являются локально однородными и имеют непараллельный тензор Риччи.

Существуют ли пространства Д'Атрн, не являющиеся локально однородными? (См. [Tr-Va 1].)

Н. Ориентированные римановы 4-многообразияс 冲+ = о

Для ориентированных римановых четырехмерных многообразий условие 6 必+ = 0 эквивалентно линейному условию на Qr:

d (г - sg/6) е С"(八 一"0 гм)

(ср. 16.5). В данном параграфе мы рассмотрим многообразия, удовлетворяющие этому условию, и покажем, что некоторые из них связаны с конформными деформациями кэлеровых многообразий. Это позволяет построить много примеров компактных многообразий такого типа. Мы приведем также некоторые результаты, касающиеся поведения функций det ^+ на таких многообразиях,

При изучении ориентированных четырехмерных многообразий (М, g) удобно пользоваться локальной тривиализа- цией расслоения Д М, задаваемой собственными векторами оператора W+. На открытом всюду плотном подмножестве Mw+ и М, состоящем из точек, для которых число различных собственных значений оператора W+^ C°°(End А+А1) локально постоянно, можно выбрать локальные С°°-функции 山 и взаимно ортогональные С°°-сечения s? расслоения А , для которых |®|2 = 2 и Ц7+(电)\=山(班，1 W i W 3. Отметим, что любой орто- нормированный базис Xj, ..., Х4 пространства ТХМ определяет ортонормированный базис 2~1/2(=FXiЛХ2 — Х3ЛХ4), 2-1/2(干XiA △ Хз — Ха Л%2), 2-i/2(4=Xi ЛХ4 — ^гЛ^з) пространства Л Г М. Это соответствие, как нетрудно проверить, эквивариантно относительно двузначного гомоморфизма SO (4)—SO(3)X SO(3), причем любую пару соответствующим образом ориентированных ортонормированных базисов пространств Л% М и Лх ^ можно получить подобным образом из некоторого ориентированного ортонормированного базиса пространства ТХМ. Поэтому,

изменяя при необходимости знак одной из 2-форм д, можно считать (см. 1.128), что

I)吗吗=叫=一 s严j при £订在=1, (о? = 一 /d,

呼+ = ；2山例8例，2山=0,

где в订走——символ Риччи (кососимметрический по i, /, k и удов- лЧетворяющий условию Е12з=1)・ Из инвариантности расслоения /\ + (7И) относительно параллельных переносов следует, что

D^i = L ⑥铀一& N ^й при 包％ = 1,

где [i — некоторые С°°-локально определенные на М取+ 1-формы. Вычисляя кривизну римановой связности в Д+ М через формы связности ^ (для чего нужно применить тождество Риччи 1.21 к (16.60)), получаем

d& + &• А ：交=3 — s/6) 9 + g (rs, + s/)

ПрИ £订走=1.

16“62. Предложение (см. [Gra 3], [Pol 2], [Der 3]). Пусть (M, J,g)——кэлерово многообразие вещественной размерности четыре с естественной ориентацией (относительно которой кэлерова форма s является сечением расслоения А М). Тогда Ц7+(❿)= (s/6)(o и Ц7+(т]) = —(s/12)” для любой 2-формы п® = А * М ортогональной о).

Доказательство. Из формулы Вейценбёка для 2-формы 期

2W (叫=0* Q. — Ат] + 2 (и — I) 】伍一2厂I st] +

+ (n — 4) (га — 2)T (rn + W)

(см. 1.154) при n= 4, n = s с учетом равенства О①=0 следует, что W (со) = (s/б) со. На подмногообразии Mw+ (см. 16.58) положим coz = со для фиксированного 乙 Тогда 卩》= s/6. Из (16.60) н (16.06) следует, что 々=0 и 厂例 + со/= (s/З — 2固)(о/ при 1Ф I, Поскольку 9 = ®/ (см. 2.42), в силу (16.59) (s/З — 2切)绘=① J(s/3 — 2出)吗]=g (r^ + s*) = /*% + со/ = =(s/3——2卩在)s丸 для таких индексов /,幺 что &订在=L Отсюда

】)Здесь 2-формы со, отождествляются с помощью метрики с кососимметрическими эндоморфизмами» а ®д означает произведение этих эндоморфизмов. —Прим, перев.

с учетом (16.59) вытекает, что & =卩力=—s/12, что и требовалось доказать.□

Замечание. Согласно 16.62, любое кэлерово многообразие (М, /, g) вещественной размерности четыре удовлетворяет условию

(16.64)弁 Spec(A+)V+《2,

т. е. эндоморфизм W пространства Д + 7И имеет в каждой точке меньше трех различных собственных значений. В силу конформной инвариантности тензора Вейля W условие (16.64) выполняется для любой метрики, конформной кэлеровой метрике g. С другой стороны, 16.62 показывает, что для кэлерова многообразия (М, /, g) выполняется равенство 取 + = sT, где Т — некоторое тензорное поле, зависящее только от со и Д + 7И, а значит, параллельное. Следовательно, s • 6 W+ + 取 + (Ds, •,-,.) = 0. Поэтому (см. (1.25) и (16.5)) для любого кэлерова многообразия (Л1, /, g) метрика g，= g/s? = g/(24| W+\2), определенная в точках, где IF+，0, удовлетворяет условиям

峭取。=0, #5рес(л+)Г^<2.

Очевидно, что g =(24g'(H7》，取扌))"»'. По поводу обратного утверждения см. 16.67.

Примеры компактных ориентированных четырехмер- ных римановых многообразий с 6 必+ = 0・

Компактные ориентированные четырехмерные многообразия с Dr = 0 (см. 16.57).

Компактные многообразия, удовлетворяющие конформно инвариантному условию W+ = 0. Единственными известными примерами многообразий этого типа являются конформно плоские 4-многообразия и (соответствующим образом ориентированные) многообразия, конформные фа ктор - м ногоо бр аз ию КЗ-поверхности с риччи-плоской кэлеровой метрикой, или стандартной проективной плоскости СР2, или компактному фактор- многообразию двойственного к СР2 гиперболического пространства (см. [At-Hi-Si] и 13.3).

Компактные многообразия вида (М, gf) = (Mt s~2g), удовлетворяющие условию 6g，, 1Г§^ = 0, конформные компактным четырехмерным кэлеровым многообразиям (М, J, g) скалярной кривизны s, всюду отличной от нуля. Рассматривая малые кэлеровы деформации метрики Фубини ——Штуди (см. 2.113), легко построить большое семейство примеров на многообразии СМ

В обозначениях 16.58, согласно (16.59) и (16.60), условие b!F+ = O принимает вид

d氏=(山一闻3式&)+他一叫电(身)при取〃=1,

где s([)=—氐s = s(・，I) для любой 2-формы со и 1-формы [.

Справедлива следующая теорема, обратная к утверждению из 16.63.

Теорема (А. Дердзиньский, (Der 3]). Пусть ориентированное четырехмерное риманово многообразие (М g) удовлетворяет условию (16.64) и 6步+ = 0. Тогда метрика ^ = (241 W+\2) 1/3g, определенная s области, где IF+=#0, является (локально) кэле- ровой метрикой относительно некоторой комплексной структуры, заданной (с точностью до знака) s явном виде в области, где И7+ = 0, и согласованной с данной ориентацией. Кроме тоао, Sg，=(pi/3, а。。(р/6 ——простое собственное значение оператора 昭+ 〃 gnSg’g'.

Доказательство, В обозначениях 16.58 положим 6囚= =—12|.i/ =——12卩々 = q)для фиксированных t, /,々 с 巧泳=1. Тогда ф есть гладкая функция в области, где W+，0. Очевидно, что(р2 = 24| W+\2 и g，=啖3g Формула (16.66) принимает вид

dqp = 3 屮叫(D + 3<pSj &).

Мы утверждаем, что

3(р • Ох® + d(p /\ g (X) + coz (d(p)八 X = О

для любого касательного вектора X. Действительно, обозначим 2-форму, стоящую в левой части равенства (16.69), через 刀.Поскольку любой тензор g w /\ М, ортогональный к Dx@t, коммутирует с st (см. 16.58, 1.125), имеем (т), §) = 0. С другой стороны, из (16.59), (16.60), (16.68) следует, что (®Е)= (Х, 6屮 J + + 2со^ (rfqp)) = 0 и аналогично (s®n) = (Sf，n) = 0, что и доказывает (16.69). Теперь нетрудно проверить (см. 1.159а), что равенство (16.69) означает, что D^(<p2/3coz) = 0, т. е. что / — кэлерова метрика с кэлеровой формой, определяемой (с точностью до знака) исходной метрикой g (поскольку формы g)i — это простые собственные векторы оператора W+). Утверждение теоремы следует теперь из очевидных соотношений между спектрами операторов Wg и 昭訖 действующих в А М, и из 16.62.

Доказательство предложения 16.32. В силу 16.28(ii) в окрестности точки х выполняются условия j W+1 = j W~ | > О

и # Spec(『)呼一 <2. Поэтому по теореме 16.67 метрика g'= = |RZ|2/3g, определенная в окрестности точки х, является кэлеровой относительно двух комплексных структур J+ и J-, соответ- ствующих различным ориентациям в окрестности точки %. Соответствующие им кэлеровы формы ①土 являются сечениями расслоений Д 一(附).Поэтому комплексные структуры J+ н J- коммутируют (так как ^ = ^ Хг д Х2 — Х3 д Х4 для некоторого ло- кального ^-ортонормироваиного репера Хь ..., Х& см. 16.58). Следовательно, а = /+7一 есть ^-параллельное поле самосопряженных эндоморфизмов с а2 = Id, det а = I и а ^= ±Id. (Отметим, что (/+)-】=—/+.) Следовательно, собственные подпространства поля а с собственными значениями 十1 и ——1 образуют ^-параллельные распределения в окрестности точки х. Отсюда и из правила преобразования | W\ при конформных деформациях метрики следует доказываемое утверждение. □

Пусть (М, g) — ориентированное четырехмерное риманово многообразие с 8W+ = 0. В обозначениях 16.58 из (16.59) и (16.61) следует

(д, &) — — ®i (£/,壶)+ 2因 + s/6,

(3j, d^) = - co；俗，[比)， 同, d&)=-①为偽，J).

Отсюда с учетом (16.60) получаем

6 (g (金))=8/ (金，卜)一叫(G, C/) + 例偽，原)一2因-s/6

при 9汴=1.

Используя (16.66), получаем равенство

△% = 2日什 4出ь-s • gz/2 + 2 (冉一人)|次 +

+ 2(m一氏)10F

при ££/ft = 1 (см. [Der3]).

Предложение. Пусть (М, g) — ориентированное четырехмерное риманово многообразие^ удовлетворяющее условиям dlF+ = 0 〃 detA+r+ = 0. Тогда Г+ = 0.

Доказательство. Локально в области Mw+ для некоторого фиксированного £ имеем 阳=0 (в обозначениях 16.58). Предположим, что W^^O в точке х е Mw+. Согласно (16.59), имеем 卩/ =——卩4寺0 при Zijk = 1. Поэтому В силу (16.66) 3/(U) = =(0〃&), откуда |^/| = 1^1. Но тогда из (16.71) следует, что 0 =厶卩2 = 4卩/卩々.Это противоречие завершает доказательство. □

Предложение. Любое ориентированное четырехмерное риманово многообразие с 61^4 = 0 удовлетворяет соотношению (16.73) А| 步+ F = 一 s| 昭+ |2 _|_ зб detA+ W+ 一 2| DW+ |2.

Доказательство. В обозначениях 16.58 положим У£ = (р,/ — —n»(M3，r〃e ^ifk = 1. Из (16.59) и (16.60) следует, что \DW^ P = Xi(\diii^ + 2\Yi^. Находя Д|1Г+|2 нз (16.71), по- лучаем (16.73).□

Теорема. Пусть (Mf g) — компактное ориентированное четырехмерное риманово многообразие с 6片=0 〃 s > 0. Рассматривая W+ как эндоморфизм расслоения Д М, имеем (16.74)\det【/+ng》O,

где неравенство выполняется строго при W^ 美 0.

Доказательство. Нестрогое неравенство выводится из (16.73) с помощью интегрирования. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда。肥+二。и s|IF+| = 0, откуда следует, что I W^\ = const. Таким образом, в силу (16.73) равенство в (16.74) имеет место тогда и только тогда, когда(^八+昭十 =0. Но тогда % = 0 в силу 16.72.□

Замечания, (i) Из (16.59) сразу следует, что для любого ориентированного четырехмерного риманова многообразия (Mg) выполняются тождества W = \W ^ g и W^ = \ W±\i g9 где для любого алгебраического тензора кривизны Т тензор 7 задается формулой Т(Х, У) = (Т(Х, •, •, •), Т(У, •,・，•))，см. 1.131 (а), (4.72) и [Вас]. Отсюда видно, что гомоморфизм векторных расслоений, отображающий вектор X rTM в тензор 昭+(X, •,・，•)w 〃Л1 ③(М), инъективен, если IF+#=0. Из правила

6gWp = 6W+ — W+(Dft •, •, •)

преобразования тензора 6IF+ при конформной деформации g'= =Hg метрики g на ориентированном 4-многообразии (см. (16.25) и (16.5)) следует, что на открытом подмножестве такого многообразия, определяемом условием W+?=0, конформный класс метрики g не может содержать двух существенно различных (т. е. не пропорциональных) метрик с бМ+ = 0・

Ориентированное риманово 4-многообразие (М g) удовлетворяет условию £Н" = 0 тогда и только тогда, когда И7+=0 или метрика g является локально кэлеровой (т. е. кэлеровой

относительно комплексной структуры, определенной на двулистном накрытии многообразия) и имеет постоянную скалярную кривизну. При этом локальная кэлерова структура должна быть согласована с данной ориентацией. Действительно, если поле W+三С°°(5о 八 +可)(см. 1.128) параллельно и отлично от нуля, то оно имеет простые собственные значения. При этом локальное сечение з соответствующего собственного линейного подрасслоения расслоения А М, нормированное условием |з|2 = 2* параллельно. Поэтому наше утверждение вытекает из 16.63.

В четырехмерном случае теорему Ротера о том, что для риманова многообразия (Mg) с DW = 0 всегда 取=0 или DR = 0 (см. 16.24 (iii)), можно доказать следующим образом. Если IF * 0, то метрика g локально кэлерова в соответствии с (ii). Из 16.30 следует, что Dr = 0. Отсюда н из того, что DW = 0, вытекает, что DR = 0 (см. 1.1).

Приложение

Пространства Соболеваи эллиптические операторы

Для изучения лапласианов и других связанных с ними эллиптических операторов нужно ввести некоторые функциональные пространства. Оказывается,——нравится нам это или нет,— что пространства, которые первыми приходят в голову, а именно С°, С1, С2 и т. д., для этого не подходят. Приходится использовать более сложные пространства. Например, если А〃 = f w Ck, хотелось бы получить решение и 三 С。. Для пространств Ck это не верно (см. [Мог], с. 54), однако аналогичное утверждение оказывается верным для пространств, которые мы сейчас введем.

Для простоты будем предполагать, что М ——компактное и-мер ное риманово С°°-многообразие без границы, а Е, F ——глад^ кие векторные расслоения со скалярным произведением над М. Основные результаты, конечно, допускают обобщение и на случай многообразий, не принадлежащих С°°, а также на случай многообразий с границей.

А. Пространства Гёльдера ([Gi-Tr])

Пусть 4 и R〃 и О V а V 1. Отображение /: / — R называется непрерывным по Гёльдеру с показателем а, если вели

чина(1)чина(1)Ша, ЛШа, Л=supх, у^Ах* у=supх, у^Ах* у|〃*)一〃必1|〃*)一〃必1

чина

(1)

чина

(1)

Ша, Л

Ша, Л

=sup

х, у^Ах* у

=sup

х, у^Ах* у

|〃*)一〃必1

|〃*)一〃必1

конечна.

Простейшим примером такой функции является функция f(X)= |%|a，%е R (в (1) допускается значение а = 1, однако в § С и Н — К это значение нужно исключить). Пусть Q и R — открытое множество. Пространством Гёльдера Cfe+a(Q) называется банахово пространство вещественных функций f на Q, все частные производные которых вплоть до k-ro порядка непрерывны по Гёльдеру с показателем а. Норма в этом пространстве задается формулой

II f "尼+а=11川＜?面 + аа个епа6

где II Tic*(立)—обычная Ck норма, / = (/1г . . ., /п) и д'= = (д/дх1У，.. .(д/дх^п： На многообразии М пространство Ck^a(M) определяется с помощью разбиения единицы. Отметим, что если О < а < Р < 1, то по теореме Арцела — Асколи d+B(M)j ^Ck+a (M)t причем это вложение компактно. (Напомним, что непрерывное отображение Т: А—^В банаховых пространств называется компактным, если для любого ограниченного множества QuZ замыкание его образа 7(Q) компактно.)

В. Пространства Соболева

'Для любой функции fwC°°(M), числа р, 1 ^ р < оо, и целого числа 4 > 0 определим норму

疗心£ \D<f\^gT，P,

0</<fe」

где 」。厅|——поточечная норма /-й ковариантной производной функции f, a jug ——риманов элемент объема. Пространством Соболева Lk(M) называется пополнение пространства С°°(Л4) по этой норме. Эквивалентное определение можно дать с помощью локальных координат и разбиения единицы: можно определить пространство £? (М) как пространство классов эквивалентности измеримых функций, частные производные которых вплоть до А-го порядка принадлежат L"(M). Пространство 厶2(М) является банаховым, а при р = 2 ——гильбертовым пространством с очевидным скалярным произведением. Для исследования линейных задач (например, в теории Ходжа) обычно достаточно простейшего пространства, соответствующего р = 2. Однако для нелинейных задач часто приходится вводить пространства с произвольными значениями р. Наряду с Lk используются также обозначения Нр,左 и 昭2. Для векторного расслоения Е со скалярным произведением пространство 厶2(£) его сечений определяется аналогично.

Отметим, что хотя при изменении метрики на компактном римановом многообразии (М g) нормы (и скалярные произведения) в пространствах Ck^a(M) и 厶2(Л1) изменяются, новые нормы оказываются эквивалентными старым, т. е. топология пространств не меняется.

С. Теоремы вложения ([Fri], § 8—11)

Очевидно, стоит исследовать связь между пространствами 。少+° и 厶2. Например, как мы убедимся, имеет место обнаде-

живающий факт, что если f ^ Lk для всех 幺 то f 三 С°°. Вот одно простое, но полезное наблюдение: если для f 三 С°(М) по- ложить

II f lloo = maxlf (х)|,% wM

ТО

⑷lim疗小(m)= 1山/

р->оо

[Доказательство. Для заданного £ > 0 положим 札= ={х 三 М |/(X)|> llflloo —е}. Тогда

(II 儿-6) vol (也严 < II f |1厶"(M)《 И 川-vol (mm。.]

Другое элементарное неравенство, вытекающее непосредственно из неравенства Гёльдера, заключается в том, что если 1 W 9 < Р, т。

(5)疗忆(m)<vo1(M)("-g/叫 I 川...

Значит, если / < 力 и q & р, то существует непрерывное вложение 厶2 (М) j L? (М). Теоремы вложения Соболева дают много других примеров таких соотношений. Напомним, что и = dimAf, н положим d(p, k) — k ——у .

Теорема (неравенство и теорема вложения Соболева). Пусть О W / W 左一целые числа и f ^ Lk (М). Тогда

(а) если 3(р,左)之厶 т. е. k ——/ < n/pf и число q удовлетворяет неравенству

3(д, /)<6(р, /г), г. е.七一中 <七，

то существует такая не зависящая от f константа с > 0, что

疗ILuEcllflip.

Таким образом, существует непрерывное вложение 丄2(M)f j/J (М). Если при этом I V h и в (7) выполняется строгое неравенство, то это вложение является компактным отображением.

(Ь) Если / < 6(р, fe)c: / + 1, г. е.仅一/)—1 < п/р < k — /, положим а = 6(р,应)一I (при этом OVaVl). Тогда существует такая не зависящая от f константа с, что

" f Иб (р, Л) = "11,+6с||Н/.

Таким образом, существует непрерывное вложение 厶2(М) J "6 0 同(М) и компактное вложение £* (Л1) jC丫 (М) при О < Y < 3 (р, А).

Конечно, при вложении Lk^Cl+a мы отождествляем функции, различающиеся лишь на множестве меры нуль. Утверждение о компактности в (а) было доказано Реллихом (при р=2) и обобщено Кондрашовым. Отметим, что все сформулированные результаты сначала были доказаны для гладких ограниченных открытых подмножеств в Rn, а затем с помощью разбиения единицы обобщены на случай векторных расслоений над компактным многообразием. Перечислим некоторые полезные следствия этой теоремы:

если f ^ Lk (Л1) и р > и, то f е Ck~' (М);

если f ^ Lp (АГ) и pk > п, то f w С° (М);

если f е L? (М), то f ^ j}n^n~^(д1) (при п^З) и существуют такие константы А, В > 0, что

(I。)II f llL2n/(n-2) ^A\\Df^2 +B||f||£2.

Число q = 2n/(n ——2) в (10)—наибольшее число, для которого выполняется неравенство (8) при ^ = 1, р = 2. Это «предельный случай» неравенства Соболева. Наименьшее значение Л, для которого существует такая константа В, что выполняется неравенство (10), известно (см. [Gi-Tr], с. 151, и [Aub 3]). Это наименьшее значение не зависит от многообразия М. С другой стороны, при фиксированном В > 0 наименьшее возможное значение А зависит от геометрии многообразия М и связано с изопериметрическим неравенством (см. [Gal 4]). Соответствующие предельные неравенства получены в [Тги 2], [Br-Wa], [Aub 3] н играют важную роль в некоторых геометрических задачах.

Поскольку условие (7) и аналогичное условие из (Ь) могут показаться загадочными, отметим, что они оптимальны и получить их достаточно легко. Для того чтобы убедиться в этом, например, при / = 0, рассмотрим функцию qp е Со° (| х | < 1),屮，0, и положим /\(%)=屮(九％)三 С『([% [ < 1) при 九 > 1. Применив неравенство (8) к функции f^ в результате несложных преобразований получим

1母忆《e入宀他7/叫中1/・

Если условие (7) не выполнено, то, устремив 入 к бесконечности, получим противоречие. Поскольку мы воспользовались конформным отображением хь-^Хх, можно предположить, что с помощью конформной деформации метрики можно получить предельный случай неравенства Соболева. Это предположение проверяется в гл. 4.

D. Дифференциальные операторы

Будем обозначать через 尸(％, 0厶〃)，а (х, dku) и т. п. произвольный (возможно, нелинейный) дифференциальный оператор порядка k. При этом мы будем пользоваться локальными координатами в Rw и рассматривать на векторзначных функциях и дифференциальный оператор

F (х, dku) = X % (%, д1и)д1и + f (%, 0%),

где а ——мультииндекс н / W 左.Уравнение F(x, dku) = 0 линейно, если коэффициенты (которые могут быть комплексными матрицами) и функция f не зависят от неизвестной функции ^ и ее производных, и квазилинейно, если функции 生 н f зависят только от производных д^и порядка не выше 力——1, т. е. ，W 月——1. В этом случае функция F линейна по старшим производным. Стандартные формулы для различных кривизн риманова многообразия можно рассматривать как примеры квазилинейных дифференциальных операторов второго порядка относительно метрики g. Другими примерами могут служить уравнение минимальных поверхностей и уравнение Эйлера — Лагранжа для различных вариационных задач. В то же время гауссова кривизна К поверхности и:必―R в ：R3 удовлетворяет (в обозначениях их = ди/дх и т. п.) уравнению

иххиуи -^у-К(X, ^) (1 + U2 + ^)2 = О,

которое относительно и не квазилинейно, а полностью нелинейно. Другим полностью нелинейным уравнением является уравнение Монжа ——Ампера для метрики Кзлера — Эйнштейна (уравнениями Монжа ——Ампера обычно называют нелинейные уравнения, содержащие гессиан неизвестной функции).

Часто встречаются квазилинейные уравнения второго порядка в дивергентном виде

div Л (х, 〃，Du) = f (х, w, DG,

где A — векторное поле. Например, в 权〃 такое уравнение принимает вид

—Х-^-ТГС% 〃，Du) = f(x,卫，Du),

Очевидно, что если и^ С2 есть решение этого уравнения в открытом множестве Q и R", то для любой функции <р е L? с носителем Q

\ X/V (х, 〃，£)〃)岩■%= \ f (х, ", Ou)q)L

40 А. Бессе, т. 2

Во многих случаях эта формула сохраняет смысл даже тогда, когда функция и принадлежит неС’(О), a g(Q) (например, если Л (х, и, Du) = grad u). Поэтому 〃三 丄；(Q) называется слабым решением исходного уравнения, если для всех 屮三 L： с носите^ лем в Q выполняется (13). (Не следует забывать, что существуют и другие—неэквивалентные ——понятия «слабого решения».)

Эти понятия главным образом используются в задачах вариационного исчисления, где требуется найти критические точки ф)нкционала

J (〃)= \ 尸(％, 〃, Q〃)Не-

соответствующее уравнение Эйлера — Лагранжа для критической точки “(/) имеет дивергентный вид. Поэтому (13) можно рассматривать как слабую форму уравнения Эйлера ——Лагранжа.

Расширение класса допустимых решений путем включения в него слабых решений позволяет упростить доказательство существования решений. В то же время при этом приходится решать часто весьма трудную проблему регулярности: при каких условиях слабое решение является гладким.

Е. Сопряженные операторы

Пусть £,尸——гладкие эрмитовы векторные расслоения над М, а Р: C°°(£jf。8(尸)—линейный дифференциальный оператор. Тогда с помощью скалярного произведения пространства 丄2 можно определить формально сопряженный оператор Р*, для которого

〈Р〃，力戶=〈〃，Р* 力Е

для .любых сечений 〃三。^(七)，у е C°°(F). Поскольку можно считать, что носители сечений и и у лежат в координатной окрестности, сопряженный оператор Р* можно вычислить локально с помощью интегрирования по частям. Например, если и: Rf RN и p〃 = Q〃 (где D = d/dx), то Р*и = —Dv, а если Ри=А (%) D2u, то P*v = Q2 0* (%) и), где Л* — матрица, сопряженная к матрице Л.

Мы используем термин «формально сопряженный оператор», чтобы не спутать его со строго сопряженным оператором неограниченного оператора в гильбертовом пространстве.

F. Главный символ

С линейным дифференциальным оператором Р: С°°(Е) — f С°° (尸)порядка А и любым ковектором g 三 Т；Л4 в произвольной точке xwM можно ассоциировать алгебраический объект: главный символ о*(Р, %), или просто о&(Р). Если в локальных координатах

рu= £ %(%)0%,

I а| <4

где о” 一 матрицы порядка dim FX dim£, то о&(Р, х) представляет собой матрицу

<15)%(p,Х)=匹 2 醯⑴廿(，： = A/二?).

I a 1 =生

Здесь 自° = И/自°九 (Часто бывает удобно опускать множитель ik в (15) н (16). Хотя это слегка усложняет приведенное ниже свойство (iii), но зато позволяет устранить неуклюжий множитель г в примере 17, где М — вещественное многообразие, н поэтому комплексные числа абсолютно неуместны.)

Для того чтобы определить символ инвариантным образом, обозначим через £х н Fx слои расслоений Е i｛尸 в точке х^ М й предположим, что и е С°°(Е), 〃 (x) = z и 屮三 С°°(Л1), причем 屮(х) = 0 н d(p(х) = g. Тогда символ о*(Р, %): E^fEx по определению есть эндоморфизм

气(Р, Х)2=^Р((Д)1

Суть в том, что многие свойства оператора Р зависят только от его старших производных. Главный символ ——это простой инвариантный способ выделения членов, содержащих старшие производные оператора Р (но иногда бывает удобно рассматривать полный символ оператора, включающий в себя н члены с низшими производными, а не только главную часть оператора). Например, накладывая на символ Qt (Р) некоторые алгебраические ограничения, мы определяем понятие эллиптического дифференциального оператора (см. ниже). При этом из алгебраических условий вытекают аналитические следствия.

Символ обладает очевидными, но полезными алгебраическими свойствами:

⑴气(P + Q) =。式Р)+ 久(Q);

(ii)气(PQ) = %(P)%(Q)；

% (P*) = % (P)* (эрмитов эндоморфизм, сопряженный к 气(Р)).

Отметим, что если опустить множитель * в (15) и (16), то в равенстве (iii) появится дополнительный множитель (——1)\ поскольку (д/дх)* = —д/дх.

Пример. Внешняя производная d:》(")—。卩+】(М) обладает свойством d (<ра) = d(p Л а + q)da для 屮巨 С°° (痴),а w wQp(M). Поэтому

)о^ (d) а = z^ д а.

Аналогично, для любого векторного расслоения £ над М со связностью оператор ковариантной производной D: й°(£)-^ —Q1 (Е) удовлетворяет условию D (<pv) = d屮⑥ и + 屮。口 для Ф ^ С°° (Л1), у ^ й° (Е). Поэтому

气(О) и =疋③и.

G. Эллиптические операторы

Линейный дифференциальный оператор Р: С°° (£)->C°°(F) называется эллиптическим в точке х 三 附,если его символ 。三(尸，х) для любого вещественного ковектора 自 三 7；М ——{0} является изоморфизмом. Очевидно, для этого необходимо, чтобы выполнялось условие dim Ех = dim Fx. Отметим, что существует более общее понятие эллиптичности систем дифференциальных уравнений, допускающее разные порядки для разных зависимых переменных (см. [Do-Ni] и [Ag-Do-Ni 2]).

Пример. Рассмотрим скалярное уравнение второго порядка

) Ри = £ ач ^ -dSz + Е 6/ ^~^： + с ^ и'

Л/1 『 jJ

где неизвестная переменная и и коэффициенты являются вещественными функциями. Тогда для любых х и g

气(Р, X)= — £ a，i W ^1-

Поэтому оператор Р эллиптичен тогда и только тогда, когда матрица (Q〃(％)) положительно или отрицательно определена.

Пример. Уравнение Коши—Римана ди = */г (д/дх + + id/dy)u = 0 в R2 =，С эллиптично.

Пример. Рассмотрим последовательность С°° (£) —^ —> С°° (尸)一> С°° (G), где Р, Q — линейные дифференциальные операторы первого порядка, а £, F, G — эрмитовы векторные

расслоения над М. Оператор второго порядка

L = PP^ + Q*Q: С°° (尸)f (Г (F)

эллиптичен в точке х, если последовательность символов

точна в члене Fx для каждого ^ ^ ТХМ — {0}.

[Доказательство. Достаточно воспользов аться формулой (30).]

Формула (23) описывает стандартный способ построения эллиптических операторов. Если Е= Л р~', F — Л р, G = Л р+\ а Р, Q — операторы внешнего дифференцирования, то лапласиан Ходжа ——де Рама на р-формах строится именно таким способом. В другом частном случае, при Р = 0, оператор Q*Q является эллиптическим, если символ o&(Q) инъективен.

Оператор Р называется недоопределенным эллиптические оператором в точке х, если его символ о^ (Р, х) сюръективен при любом £ = Т；Л1 — {0}. (Простейший пример — дивергенция векторного поля в К71.) В этом случае оператор РР* эллиптичен в точке х.

Аналогично, оператор Р называется переопределенным эллиптическим оператором в точке х, если его символ о^(Р, х) инъективен при любом W = 7； (М)——{0}. (Простейший пример —— градиент вещественной функции, еще один пример ——уравнение Коши — Римана для аналитической функции нескольких комплексных переменных.) В этом случае оператор Р*Р эллиптичен в точке х.

〃инеаризацией нелинейного дифференциального оператора 尸(尤，dku) в точке и называется линейный оператор

Pv^^F(x, dk(u + tv])\t=0・

Например, линеаризация квазилинейного оператора (11) (гдег напомним, /& 龙——1) в точке и представляет собой оператор 左-го порядка

Ри= £ аа (х, д1и) dav + члены низшего порядка,

I a [=在

а линеаризация оператора (12) в точке и представляет собой оператор

Pv = uyyvxx ——2uxyvxy + uxxVyy + члены низшего порядка.

Нелинейное уравнение F(x, dku) = 0 называется эллиптическим в точке (х, и) (т. е. эллиптическим в точке х для функции 〃)，если его линеаризация в точке и является эллиптическим оператором в точке %. Аналогично вводятся понятия недоопределенного и переопределенного эллиптического уравнения. Из (26) следует, что уравнение (12) эллиптично в точности в тех точках, где К > 0. Уравнение иихх + иуу = 0, очевидно, эллиптично, если 〃 > 0, н не эллиптично, если 〃 W 0. Таким образом, и(х) = +1 ——эллиптическое решение, а 〃(％)三一1 — неэллиптическое решение этого уравнения.

Н. Оценки Шаудера и Lp-оценки линейныхэллиптических операторов

Сейчас, после примерно ста лет упорной работы, мы знаем, что основным техническим результатом в теории линейных эллиптических операторов является следующее неравенство (напомним, что Е,尸—векторные расслоения над компактным многообразием М без границы) 9-

Теорема. Пусть Р: С°°(£)-> C°°(F) — линейный дифференциальный оператор порядка k. Для заданной константы 0 V V S V 1 〃 целого числа / ^ 0 существуют такие константы °1, Се, ..., ‘6，“то

(а) (оценка Шаудера) для любого и ^ Ck^l+a (Е)

11〃 *2+。<q II Р〃 ll/ + a +，2 II 〃 lie (Е) &。3 II 〃 "兑+2 +а'

(Ь)(£р-оценка) для любого 〃 ен £^+/ (£), 1 < р < 8,

II ” II*, ш < С4II 尸〃 lip, / + % II 〃 必 <。6 口 〃 %,尼+广

Если при этом рассматривать только функции 〃，ортогональные в L?(E) ядру КегР, можно положить，2=「5 = 0 (с другими константами С\ и с4).

Ясно, что при возрастании I ядро КегР|л^+/(£) может только уменьшаться. На самом деле та часть теоремы 31, которая относите к регулярности, утверждает, что Ker Р cz С°°(Е), поэтому в формулировке теоремы 27 нет двусмысленности. Отметим, что правые неравенства (28) и (29) очевидны. Мораль

В дальнейшем мы будем рассматривать линейный дифференциальный оператор Р :。8(石)->。8(戶)ПОрядка k. Этот оператор однозначно продолжается до оператора на пространстве 。比+"+(1(Е)или Z^+z (£). Мы будем рассматривать такое продолжение там, где понадобится, в частности в теоремах 27, 31 и в следствии 32.

оценок (28) и (29) такова: в соответствующих пространствах Гёльдера и Соболева ||尸〃|| представляет собой норму, которая будет эквивалентна стандартной норме, если в случае Ker Р耍О добавить к ||Р〃|| дополнительный член, поскольку в этом случае В戶〃II есть только полунорма. Эта теорема доказана (в более общей формулировке) в [Do-Ni], [Ag-Do-Ni 1, 2] н [Мог], теорема 6.4.8. Поскольку многообразие М не имеет границы, для доказательства теоремы 27 достаточно воспользоваться полученными в этих работах «внутренними» оценками и разложением единицы. (В частности, здесь, как и всюду в этом прило- женнн, не нужно требовать «собственной эллиптичности».)

Существование решений линейныхэллиптических уравнений

.Если L: лк-> •<* ——линейное отображение, то, как известно,, уравнение Lx = у разрешимо тогда и только тогда, когда вектор у ортогонален Кег 厶*.

[Доказательство. Убедимся, что (Im 厶)丄 = Ker L*. Имеем z ± Im L -4^ <Lx, 2> = 0 для всех хч=^-<х, £*г> = 0 для всех л: v> L*z = 0.]

Это утверждение означает, что

Rk — ZAKlEKerL*,

и может быть сформулировано в виде альтернативы: «либо- уравнение Lx = у всегда разрешимо, либо Ker L* =# 0, и тогда решение существует в том н только в том случае, если вектор у ортогонален Кег"》.

Если L ——непрерывное линейное отображение гильбертовых пространств, то эти рассуждения остаются сп ра ведл и в ы м и и доказывают, что (Im L) J- = Кег £*. Отсюда Im (厶)=(Ker 厶*)丄.Однако в этом случае для получения аналога разложения (30J еще нужно доказать, что образ L есть замкнутое подпространство..

Оценки из теоремы 27 позволяют доказать, что образ оператора Р замкнут. Таким образом, теорема существования решений линейного эллиптического уравнения на компактном многообразии имеет тот же вид, что и в конечномерном случае. Она часто называется альтернативой Фредгольма.

Теорема (существования). Пусть Р： С°°(E)-^Coc(F)— линейный эллиптический дифференциальный оператор k-го порядка, Тогда ядра КегР и КегР* конечномерны 〃 содержатся в С°°. Если f 三 /Л (F), то решение и w 以+? (£) уравнения 尸〃 =f существует тогда и только тогда, когда функция f ортогональна КегР*(6 "(F)). Если потребовать, чтобы решение 〃 было

ортогонально КегР* (в /?(七))，то такое решение единственно. Если Е = F、то любое собственное пространство Кег(Р — ХЕ) конечномерно.

Если при этом 1 < р <оо и f = £夕，С1+а или С°°, то решение л принадлежит 厶2*% С +"+° 〃/〃 С°° соответственно.

Доказательство для f е L? или С°° можно найти, например, в [War], гл. 6. Последнее утверждение вытекает из теоремы регулярности 40.

Сформулируем следствие, обобщающее часть теоремы 31 на случай недоопределенных или переопределенных систем. Ценность утверждения (Ь) этого следствия для решения геометрических задач впервые была отмечена в [Ве-ЕЬ].

Следствие. Пусть 尸：С°° (£)-> С°° (F) — линейный дифференциальный оператор А-го порядка.

Если оператор Р является эллиптическим или недоопределенным эллиптическим, то ядро Ker Р* и С°° конечномерно 〃 (33i)厶"F) = P (型+с(Е))㊉ КегР* (1<р<оо),

<33п)С’+а (尸)=Р {ck+l+a (£))田 Ker Р*,

(331 ii) С°° (F) = Р (С°° (£))㊉ Ker Р*.

Если Р — переопределенный эллиптический оператор, то формуле^ (33) справедливы, если заменить КегР* пересечением Ker Р* с "(F), Cl+a(F) и С°° (F) соответственно (〃р〃 I V 力 пересечение Ker Р* с L?(尸)состоит из распределений).

34. Доказательство, (а) Если Р — эллиптический оператор, то это утверждение сразу следует из теоремы 31. Если Р — недоопределенный эллиптический оператор, то достаточно приме- нить теорему 31 к эллиптическому оператору Q = РР* и заметить, что Ker Q — Ker Р*, поскольку〈Qu, и〉=〈РР*е,。〉= = ||Р?||2 в L2”

(b) Сначала докажем аналог формулы (33i). Поскольку Р*Р ——эллиптический оператор и в 厶？(尸)определено скалярное произведение, образ Im Р* ортогонален ядру КегР=КегР*Р. В силу (33i) для любой функции f ^ Li (F) существует решение и 三 L^+k уравнения Р*Ри = Р*Д Но тогда Ри — f е Ker Р* П П L? (F). Функция Ри ортогональна подпр остр а нству КегР*П Г)丄夕(F), поскольку если 4r w Ker Р* П 厶夕(尸)，то в L2 имеем 〈尸％ 屮〉=〈〃，尸*屮〉=0. Таким образом, Ри — f = 0 тогда и только тогда, когда функция f ортогональна пересечению

Кег Р* П Lf (F). Доказательство для / е Ck+a проводится аналогично. □

Для того чтобы ^получить классическое разложение Ходжа, достаточно применить (33) к эллиптическому оператору 厶= = db + 6d (см. 23), действующему на дифференциальные формы. (Напомним, что в наших обозначениях б = d*.)

Приведем полученный Р. Т. Снлн ([See]) пример эллиптического оператора Р, для которого любое комплексное число 九 является собственным значением. Пусть М ——произвольное компактное риманово многообразие с лапласианом Дм, а 0 < 8 V V 23T — координата на окружности SL Тогда оператор

Р" = —(е-2 备У〃 +宀込財"

(или его вещественная и мнимая части — для тех, кто предпочитает иметь дело с системой вещественных уравнений) является эллиптическим на S1 X М・ Выполнив замену переменной / = “Ае‘е, мы убедимся, что для любого комплексного числа 入 耍 0 функция и = ехр (± 2 д/ А ехр/0) является собственной функцией оператора Р с собственным значением X, а функция и = I является собственной функцией с собственным значением нуль. Эта странная ситуация невозможна для строго эллиптических операторов. Для того чтобы ввести это понятие, рассмотрим символ оператора Р: С°° (Е)^- С°° (Е) в локальных координатах как квадратную матрицу [。匕(尸，％)]订.Строгая эллиптичность оператора Р в точке % означает, что для некоторого комплексного числа у и положительного числа с (которые могут зависеть от %, но не от ^ и 刀)выполняется неравенство

Q(П)= Re { Y 3 & (尸；Х)]〃 ％力}》с IТ] F

для всех комплексных векторов 刀 и единичных вещественных ковекторов 自〜Г*Л1. Другими словами, квадратичная форма Q(r)) положительно определена для любого единичного ковек- тора & Замена 三 на —三 показывает, что оператор Р в этом случае имеет четный порядок. Например, лапласиан на формах или тензорах является строго эллиптическим, в то время как урайиение Коши — Римана в SR2, уравнение (35) и оператор второго порядка (д/дх + id/dy)2 в R2 не являются строго эллиптическими.

Теорема ([Мог], 6.5.4). Если Р: С°°(Е)^ 6°°(£)—строго эллиптический оператор, то он эллиптичен (что очевидно), а его спектр дискретен и имеет предельную точку только в бесконечности.

В качестве простого примера использования £〃-теорнн и теории Шаудера для нелинейных уравнений рассмотрим ограниченную С^-функцию f(x, s) на M X R и решение 〃三& (Л4) уравнения

A〃 = f(x, и).

Мы утверждаем, что на самом деле 〃 = С°°(Л1). Функция f (х, 〃) по условию ограничена и, значит, принадлежит £卩 при всех 夕 V 8. Поэтому по теореме 31 имеем 〃三 Lg, d V 8. Выберем р > n = dim М. Тогда по теореме вложения Соболева и е С1+а для некоторого а, 0 Va V 1. Следовательно, это верно и для функции A〃 = f(x, 〃). ПЪ теореме 31 имеем “wC3” Но тогда \и = f (х, и) ^ С3+а и 〃三 G+a, и т. д. Эти рассуждения часто называют «шнуровкой», потому что доказательство регулярности решения и напоминает шнуровку ботинка.

Для того чтобы воспользоваться той частью полученных результатов, которая касается существования решений, н решить уравнение Ри = f на М, необходимо убедиться, что Ker Р = 0. Рассмотрим, например, скалярное уравнение

Р〃 = Ап + с (х)卫，

где с(х)>0. (Напомним, что мы договорились считать, что Ли = —〃“ на R.) Мы утверждаем, что Ker Р = 0. Докажем это двумя способами. Первое доказательство использует очевидный принцип максимума', если Р〃 & 0, то м & 0, т. е. i нс может иметь положительного локального максимума. Действительно, в точке такого максимума А〃》0 и с〃 > 0, откуда Ри > 0. Таким образом, если функция 〃三 КегР, то она не может иметь положительного максимума и отрицательного минимума. Значит, 〃三 0. (Существует более сильный принцип максимума, справедливый при с》0: если Ри & 0, то в точке локального максимума 〃 V 0, если и #= const, см. [Pr-We].) *) Основная идея этого доказательства применима и к вещественным нелинейным скалярным уравнениям второго порядка.

Второе доказательстве сводится к умножению обеих частей уравнения Ри = 0 на и и к интегрированию этого уравнения по М. Интегрируя по частям (и используя теорему о дивергенции), получаем 》

0 = \ 〃 (А〃 + с〃)卩且=(\ Du ^ + er?) kg. м м

Поскольку с > 0, отсюда следует, что и = 0.

Это доказательство применимо к векторзначным функциям 〃,когда с есть положительно определенная матричная функция, а также к аналогичным уравнениям в векторных расслоениях. Бохнер и другие математики эффективно использовали эти рассуждения в геометрии для доказательства《теорем об обращении в нуль》.

В нашем примере Р =尸.Поэтому КегР* = 0 и для любой функции / ^ С°°(Л1) существует единственное решение уравнения △卫 + с〃 = /. При этом и w С°°.

Оба приведенных доказательства показывают, что ядро оператора А в пространстве скалярных функций состоит из констант. Следовательно, уравнение А〃 = f разрешимо тогда и только тогда, когда <Д 1> = 0, т. е. \ ^fpg = 0. □

J. Регулярность решений эллиптических уравнений

Коротко говоря, решения эллиптических уравнений оказываются настолько гладкими, насколько позволяют коэффициенты и начальные условия. Эти результаты, конечно, имеют локальный характер. Рассмотрим сначала линейную систему

尸〃三 X аа (х) д^и = / (х).

Теорема (регулярности). Пусть оператор Р эллиптичен в открытом множестве ◎ и R", причем в й для некоторого целого числа /》0 〃 некоторого о, 0 VoV 1, выполняются условия

аа (х) ^ С1 или О+а или С°° или С® и соответственно

f (х) = Щ (1 V р V 8)или С“° или С°° или С&.

Если функция и^ Lk (Q) удовлетворяет уравнению Pu = f почти всюду в Q, то в Q

“三 Uk+t или Ck+l+0 или С°° или Си соответственно.

Эта теорема объединяет результаты, полученных в [Ag- Do-Ni 2], теорема 10.7, [Do-Ni], теорема 4, и [Мог], теоремы 6.2.5, 6.6.1, где доказан несколько более общий результат.

При первом знакомстве с подобными результатами может возникнуть вопрос, встречаются ли на практике уравнения с коэффициентами, не принадлежащими классу С°°. Однако для решения нелинейных уравнений часто требуются результаты, полученные для линейных уравнений при минимальных предположениях о гладкости. (На самом деле часто бывают нужны

даже результаты, касающиеся уравнений с ограниченными измеримыми коэффициентами.)

В качестве примера рассмотрим решение 〃三 О квазилинейного эллиптического уравнения

X аа(х, д1и) даи = f (х, д1и), |а]<2

где / & 1, а коэффициенты a% f являются С°°-функциями своих аргументов. Мы утверждаем, что на самом деле и = С°°. Для доказательства воспользуемся «шнуровкой». Поскольку и 三 С2, функции аа (х, д1и (х)) и f (х, д1и (х)) как функции от х принадлежат классу С1, а значит н классу С。, 0 VoV 1. Тогда из теоремы 40 следует, что и w 0?+° для всех о, О V о V 1. Значит, &а, / 三 С】+°. Тогда и 三。3+。, н т. д. Эти рассуждения остаются справедливыми и в том случае, если предположить лишь то, что .卫三 L§ для некоторого р > п.

Для нелинейной системы F(x, d亙〃)=0 справедлива аналогичная локальная теорема регулярности.

Теорема. Пусть функция F(x, s), зависящая от переменной х из открытого множества S3 и 只〃 〃 переменной s 三 R принадлежит классу С1 (или См при некотором целом / ^ 1 〃 0 V VoVl, или С°°, или Cw), и пусть 〃=О&) — эллиптическое решение уравнения F(x, d在辽)=0 порядка 々.Тогда и ^ Cfe+X(Q) для любого 入，0 V 九 V 1 (или CA+z+a(J2), или С°°(й), или 0(0 соответственно).

Доказательство см. в [Ag-Do-Ni], теорема 12.1, или в [Мог], теоремы 6.7.6, 6.8.1. Основная идея заключается в использовании теоремы 40. Для доказательства регулярности переопределенной эллиптической системы в окрестности точки х° рассматривается линейная эллиптическая система P\F (х, д1и) = 0, где Р°——линеаризация оператора F в точке (/о, "〃)， a jku — k- струя функции и в точке Хо.

К. Существование решений нелинейныхэллиптических уравнений

Общей теории существования решений нелинейных уравнений пока нет. Мы располагаем лишь рядом важных примеров и несколькими полезными методами. Здесь мы сформулируем два результата, полученных с помощью теоремы о неявной функции, а затем приведем небольшой список методов.

Первый результат касается решения нелинейного уравнения (или системы уравнений)左-го порядка

F (х, dku-, 0 = О

с параметром t. Предположим, что оно имеет решение при / = %. Верно ли, что существует решение и при /, близких к f0? Можно предположить, что теорема о неявной функции (в банаховом пространстве) позволит ответить на этот вопрос. Напомним, что мы имеем дело с компактным многообразием М без границы, поэтому вопрос о граничных условиях отпадает.

Теорема (о возмущении). Пусть в (42)尸 есть С^-функ- ция всех своих аргументов. Предположиму что

〃。三 Ck — решение уравнения (42) при / = %;

линеаризация Р оператора F в точке 〃о эллиптична;

линеаризованное уравнение Pv = f шмеет единственное решение для любой функции f^Ca (при некотором о, О V VOV1).

Тогда при достаточно малых | / — /°| существует решение 〃三 С^+а уравнения (42).

Доказательство. По теореме 41 решение 畑 принадлежит классу Ck^a(M), а на самом деле н классу С°°(Л1). Положим Г(w, t) = F(x, dku\ /). Тогда Т: Cfe+a(M)X R ~^ Са(М) есть гладкое отображение. Отметим, что Т(〃о, %) = 0 и что производное отображение Т〃("о, %) = Р： О+а(м)—О(М) биективно. Требуемый результат следует теперь из теоремы о неявной функции (см. [Nir 2]). Поскольку мы предположили, что F е С°°, можно утверждать, что и 三 С°°. Однако очевидно, что для гладкости и 三 С^+а достаточно значительно более слабых предположений о гладкости функции Е□

Эта теорема часто используется в методе непрерывности (см. ниже, а также гл. 11) и в разнообразных методах возмущения. Если линеаризация Р является эллиптическим, но не обратимым оператором, нужно исследовать высшие члены ряда Тейлора для Т(〃，/) вблизи точки (〃о, %) н попытаться определить, когда нелинейное уравнение Г(w, /) = 0 разрешимо. Эта идея развивается в теории бифуркации (см. [Nir 2]).

На практике часто используются более простые модификации теоремы о возмущении.

В часто встречающейся ситуации, когда уравнение (42) квазилинейно, вместо пространств Гёль дер а можно использовать пространства Соболева. При этом рассматривают линеаризацию Р:丄2—>/Л, где р > dim М, поскольку в этом случае по

теореме вложения Соболева коэффициенты в (11) при |0|W W 良一1 непрерывны. Примеры см. в [Ka-Wa 2, 3] и в гл. 4.

При исследовании недоопределенных эллиптических систем часто комбинируют теорему о возмущении с идеей доказательства следствия 32(a).

Существует простая ситуация, в которой теоремой о возмущении можно воспользоваться для необратимого Р: если оператор обратим на некотором подпр остр а нстве, «инвариантном» относительно F. Пусть, например, Л = |/е С^(М), ,乂 / = О } и F: О+а п А — Са п/, причем линеаризация Р:。々+叩4 f。叩厶 обратима (например, если Р = А). Тогда можно применить теорему о возмущении, которая даст нам существование решения и е С*+а П Л (при условии, что ug^A). По этому поводу см. [Aub5], [Yau3] и гл. 11.

Обсудим теперь локальную разрешимость нелинейного уравнения (или системы) F(x, dku) = 0 порядка k. Это довольно скромная постановка вопроса, поскольку мы ищем решение только в некоторой окрестности точки х0, а не на компактном многообразии, и не задаем никаких граничных условий. Известный пример Леви (см. [Nir 4]) показывает, что такого решения может не существовать даже для линейного уравнения с гладкими коэффициентами. Однако в предположении эллиптичности все трудности пропадают, если уравнение разрешимо хотя бы в одной точке. Последнее ограничение позволяет исключить явно неразрешимые задачи, например задачу нахождения вещественного решения уравнения (Ди)2 = —1.

Теорема (о локальной разрешимости). Пусть F(x, dku) есть С^^функция всех своих аргументов, a uq(x)^ Ck — эллиптическое решение уравнения F(x, ^uo) = 0 в точке % =工°. Тогда в некоторой окрестности точки х0 существует решение 〃三 С^ (и, значит, и е С°°) уравнения 尸(х, 0左〃) = 0. Более того, можно считать, что даи = dauG для |а| W 力一 1 в точке х&

Доказательство см. в [Mal 2], § 9, [Nir 4] и [DeT]. Можно назвать 〃° инфинитезимальным решением. Тогда теорема утверждает, что если оператор F(x, %〃) эллиптичен в точке 〃о, то инфинитезимальная разрешимость влечет за собой локальную. Используя схему доказательства следствия 32(a), можно доказать локальную разрешимость недоопределенного эллиптического уравнения. Одно из возможных применений описано в 1.69, другим является доказательство Мальгранжа теоремы Ньюлендера — Ниренберга (см. [Nir 4] или [Mal 2]). Если линеаризация оператора F в точке (хо, 〃о) строго эллиптична, воз-

можны различные расширения. В этом случае можно решать задачу Дирихле в малом шаре, вместо того чтобы требовать выполнения условия даи = dauo, |a|W^—l, в начале координат.

В заключение перечислим различные методы, которые используются для доказательства существования решений нелинейных эллиптических задач, и укажем ряд работ (см. также обзор [Nir-1]).

Метод вариационного исчисления. Для того чтобы доказать существование решения некоторого уравнения, показывается, что это уравнение является уравнением Эйлера — Лаг- ранжа некоторой вариационной задачи (и, значит, квазилинейно), а затем доказывается, что вариационная задача имеет критическую точку (см. [Сои], [Ka-Wa 1], [Lem], [Sa-Un] и гл. 4).

Метод непрерывности. Для того чтобы решить уравнение F(x, dku) = 0 порядка 々，рассматривается семейство уравнений

尸(х, 0%; /) = 0, 0 & f《1,

где F(%,d女〃；1) = F(x, dku)——исходный оператор, a F(x, dku\ 0)= =0—более простое уравнение» которое мы умеем решать. Пусть А — множество значений / ^ [0, 1 ], для которых уравнение разрешимо. Мы знаем, что f = 0 w А. Обычно с помощью теоремы о возмущении удается доказать, что множество А от крыто. Последний шаг сводится к доказательству замкнутости множества А, откуда сразу следует, что z4 = [0, 1 ]. Пусть последовательность tj ^А сходится к t. Тогда существует такая последовательность ш, что F (х, дки^\ //) = 0. Для того чтобы доказать, что t^ А (т. е. что множество Л замкнуто), достаточно найти подпоследовательность последовательности (и；), которая сходится в классе С七 Стандартный подход заключается в доказательстве ограниченности множества {红/} в Ck^° для некоторого о, 0 V о V 1, н последующем применении теоремы Ариела—Асколи. При этом встает задача «априорного оцениваниям (обычно достаточно сложная): если 〃 一 решение уравнения F(x, 0女〃；/) = 0 для некоторого f 三[0, 1], требуется показать, что 11〃11宀 W const, где константа не зависит от t. Два примера применения этого метода можно найти в [Nir 3]. [Aub 5] и [Yau 3] (см. также [Ast] и гл. 11).

Теорема Шаудера о неподвижной точке. Доказательство того, что уравнение 戶(尢,0女〃)=0 имеет решение, сводится к доказательству того, что соответствующее уравнение, содержащее компактный оператор, имеет неподвижную точку. (Эта теорема является обобщением теоремы Браудера о неподвижной точке.)

Например, пусть для заданной произвольной функции и существует решение 〃 = Т (и) линеаризованного уравнения

X &(%, dv)dau = f(x, dlv) I a | =△

(которое предполагается разрешимым). Тогда неподвижная точка и = Т (〃)является решением соответствующего квазилинейного уравнения. Отметим, что Т: С”т+° — С*+° jC*t+° есть компактный оператор, поскольку включение СЛ+О ^-> ^-1 +а компактно. Один из возможных путей реализации этого метода сводится к нахождению такого шара В = {«, ||п||< с} в классе CJ+。，который отображается оператором Т в себя. Другими словами, нужно показать, что если ||о]|《с, то ||〃||=|]Ти|| W с, т. е. получить априорные оценки решения уравнения Т (о) = и. Примеры применения и модификации этого метода можно найти в [Со-Hi], [Gi-Tr], гл. 10, и [Nir 2].

Степень Лере — Шаудера. Этот метод похож на метод неподвижной точки, но несколько сложнее. Он основан на обобщении понятия степени Браудера на случай банаховых пространств (см. [Nir 2]).

Монотонность. Этот метод применяется к некоторым квазилинейным уравнениям, для которых плохо работает метод вариационного исчисления (см. [Мог], § 5.12).

Суб- и суперрешения. В применении к скалярным уравнениям второго порядка этот метод часто оказывается весьма простым (конечно, если он вообще работает). Например, функция 〃—называется субрешением уравнения !) △〃 =，(％,〃), если Au_ ^ f(x, W-), а функция 〃+ называется суперрешением, если для нее выполняется противоположное неравенство. Если существует субрешение 〃— и суперрешение 〃+, причем 〃— < 〃+, то между ними заключено решение и, т. е. 〃一 W 〃& 〃斗.В качестве простого примера рассмотрим уравнение ^u=f(x) — g(x)e", где f, g—положительные функции. Тогда в качестве 〃+ и 〃_ можно взять константы. Это доказывает существование решения. Оно единственно, так как если 〃，о — два решения, то функция w = и — V удовлетворяет уравнению Аш = —с (х) ш, где с(х)〉0. Но тогда рассуждения по поводу формулы (38) показывают, что ш = 0 (см. [Ka-Wa 1]).

Метод Александрова. Этот метод применим только к скалярным уравнениям F (х, д2и) = 0 второго порядка, где и — вы-

пуклая функция, и состоит в использовании выпуклости для построения приближенного кусочно линейного (многогранного) решения с последующим переходом к пределу (см. [Pog 1,4]).

Уравнение теплопроводности. Для получения решения уравнения 尸(％,。2〃) = 0 решается соответствующее уравнение теплопроводности du/dt = F(x, й2и) и показывается, что при ff 8 решение стремится к стационарному решению (0〃/0А->0), т. е. к решению исходного уравнения. Этот метод используется в [Ee-Sa] (см. также [Ee-Le]). Он также применяется в [Ham 2] (см. обсуждение в гл. 5).

Метод наискорейшего спуска. Этот метод представляет собой альтернативу метода вариационного исчисления. Для того чтобы минимизировать функционал (и получить решение соответствующей вариационной задачи), осуществляется спуск по градиентным линиям. Метод очень напоминает метод уравнения теплопроводности (см., например, [Ino]).

41 А. Вессе,宣.2

Дополнение

В это дополнение мы включили недавно полученные результаты (1985), связанные с темой книги.

Бесконечное множество констант Эйнштейна на S 2Х S2m+,

Пусть (Mif gi), i = 1, ..., m, — многообразия Кэл ер а — Эйнштейна с положительными скалярными кривизнами, и пусть Ci (Mi) = q^Li. где qt ^ Z, а ос/ е H2(Mi\ Z)—неделимый целочисленный класс когомологий. Положим М = AG X ... X 川帆 н обозначим через m проекцию М на М. Пусть

n：p比] % 一m

есть главное Si-расслоенне над М с классом ЗЛлера £^ А,л；(а,.

Д.1. Теорема (М. Ванг, В. Циллер, [Wa-Zi4]). При любом выборе целых чисел 力卜...，左帆，не равных нулю одновременно, S1-расслоение 尸&, ..., Pkm допускает метрику Эйнштейна положительной скалярной кривизны.

При m = I это просто теорема Кобаяси 9.76. В этом случае многообразия 尸々,соответствующие различным 4, являются накрытиями друг друга. При m > 1 многообразие Р односвязно тогда и только тогда, когда числа 左卜...,km взаимно просты. Соответствующие метрики строятся так же, как метрика Ко- баяси, т. е. расслоение л превращается в риманову субмерсию с вполне геодезическими слоями, причем кривизна главной связности является гармонической формой, представляющей класс Эйлера, а метрика базы имеет вид ^z х^ь где Xi ——соответствующим образом выбранные положительные числа.

Если все многообразия М однородны, то многообразие Р также однородно. Но если выбрать в качестве Mi неоднородные многообразия, построенные Н. Коисо и Ю. Саканэ ([Ko-Sa]),

можно доказать

Д・2. Следствие, Для любого натурального числа / существует компактное многообразие Эйнштейна положительной скалярной кривизны кооднородности /.

Если выбрать М = СР и М2 = CPmf можно доказать

Д.З. Следствие. Существует бесконечное множество попарнб неизометричных метрик Эйнштейна положительной скалярной кривизны на S2 X S2n?+1, m^ i, на единственном нетривиальном 54Л+1 -расслоении над S2, k^ \, и на единственном нетривиаль^ ном «R Р2т^-Х-расслоении над S2, и? ^ 1.

Все эти метрики однородны, но относительно разных транзитивных действий. Например, произведение S2 X S^ днффео- морфно S3 X S3/S} при любом вложении группы S* причем при каждом таком вложении многообразие S3 X S3/S! допускает единственную S? * 53-инвариантную метрику Эйнштейна. Однако в общем случае многообразия Pkx... km при разных наборах чисел 左％ ..., km имеют различный гомотопический тип.

Если нормировать все метрики бесконечного семейства из Д.З так, чтобы все они имели объем единица, то их константы Эйнштейна будут иметь точку накопления нуль. В частности, Пространство Модулей структур Эйнштейна на S? X S3 имеет бесконечное число связных компонент.

Примеры из Д.З показывают, что условие Пале——Смейла нарушается для функционала скалярной кривизны на множестве метрик полного объема единица, поскольку бесконечная последовательность критических точек не имеет сходящейся подпоследовательности. Однако если рассматривать сходимость Хаусдорфа по Громову (см. [Gro 1], гл. 3), то последовательность метрик Эйнштейна всегда имеет подпоследовательность, которая сходится к метрике риманова произведения на Mi X ...XМт, в общем случае не являющейся метрикой Эйнштейна.

Примеры семимерных многообразий Эйнштейна из Д.1, т. е. Si-расслоення над СР2 X СР1 и над СР】XСР】X С巨，были независимо получены несколькими физиками в работах [Ca-OA-Fr], [OA-Fr-VN], [Pa-Pol], где на этих пространствах построены однородные метрики Эйнштейна. Эти метрики используются в теории супергравитации Калузы ——Клейна, представляющей собой единую теорию поля в пространстве 八必*〃?, где 7И4 — пространство Минковского, а М7 — многообразие Эйнштейна положительной скалярной кривизны. Как отмечено в [Ca-Ro-Wa], отсюда следует, что любое компактное односвязное однородное пространство размерности 7 (и меньше) допускает однородную метрику Эйнштейна положительной скалярной кривизны. Помимо указанных 5красслоений над С^ХСР1 и

СР^ХСРХСР известны примеры М. Ванга на SU(3)/S】 (см. 9.102, а также [Ca-Ro] и [Ра-Ро 2]), метрика Йенсена (9.82) на S7, метрика Кобаяси (9.77b) на многообразии Шти- феля TS, изотропно неприводимые пространства Sp⑵/Sp(l) и S7 (7.107), а также симметрические пространства S2XS2X53, S4X53, S5XS2, CP2XS3 и S^XSU⑶/SO(3)・

Явные метрики с группами голономии G2 и Spin (7)

ДЛ. Теорема (Р. Брайант, [Вгу 2]). Существуют явно описываемые метрики кооднородности один с группами голономыи G2 〃 Spin (7).

Два примера строятся как конусы над однородными пространствами. Конусом мы называем многообразие М = R+XM снабженное метрикой вида g = d* ㊉伊g^. Отметим, что такая метрика является риччи-плоской в том и только в том случае, если gN есть метрика Эйнштейна с константой Эйнштейна dimN— 1.

В примере с группой голономии G? в качестве gN берут нормальную SU(3) -инвариантную метрику ^6 на № = SU ?)炉, где Т2 ——максимальный тор в SU(3). В примере с группой голономии Spin (7) берут Sp (2) -инвариантную метрику g^ на N‘ = Sp(2)/K, где KuSp(2) — подгруппа, изоморфная SU(2), но вложенная в Sp(2) нестандартным образом. (Вложение К в Sp (2) однозначно характеризуется тем, что однородное пространство Sp ⑵/К изотропно неприводимо.)

Напомним, что ранее известные примеры метрик с особыми группами голономии (см. 10.96 (VII), (VIII)) были получены с помощью теоремы существования решений уравнений в частных производных, а примеры, указанные здесь, можно построить в явном виде.

Обозначим через Ф каноническую О2-инвариантную 3-форму в пространстве Im Са чисто мнимых чисел Кэли. Поскольку стабилизатор формы Ф в группе G£(7, R) равен неприводимой компактной линейной группе G?, форма Ф определяет в ImCa евклидову структуру н ориентацию. Отметим, что для того, чтобы построить метрику с группой голономии, содержащейся в G2, достаточно указать такую дифференциальную 3-форму 屮 в размерности 7, что

в каждой точке ф линейно эквивалентно Ф;

тогда 屮 определяет риманову метрику ^ф и оператор Ходжа *Ф:

d(p = 0, d *<р <р = 0.

Аналогично, существует каноническая 4-форма 屮 в пространстве Са чисел Кэли со стабилизатором Spin(7), и для того,

чтобы построить метрику с группой голономии, содержащейся в Spin (7), достаточно указать замкнутую дифференциальную 4-форму *ф, в каждой точке линейно эквивалентную форме 4r (отметим, что тогда автоматически 弟屮屮=屮).

Семимерный пример. Пусть х ——каноническая 0и(3)-значная левоинвариантная 1-форма на SU(3). Ее можно записать в виде

(

_Ю3 一@i加2、

(о1 一也一作而2 83 -池丿

Вещественная и мнимая части форм с? образуют тривиализа- цию F： T/f R6 однородного пространства № = SU?)[Т?. Положим

G =山㊉/F： ТАГ —R7,

где M7 = ；R+XN. Это тривиализация касательного расслоения ТМ7. Отождествим R7 с Im С а. Тогда дифференциальная 3-фор- ма <р = б*Ф удовлетворяет условию (i). Убедимся, что формы 屮 и 弟《р屮 замкнуты. Имеем

<p = d (g r),卜①=d (一 g 日), где

Q = У (о1 А й1 + о2 A ©2 + <03 д 硝，

S = Im ®i 八 со? д g)3).

Поскольку форма -ф однородна степени три относительно гомотетий сомножителя R+, метрика ^ однородна степени два и, значит, является метрикой конуса. Остается проверить, что группа голономии не является собственной подгруппой группы G2 (см. [Вгу2]).

Восьмимерный пример. Неприводимое четырехмерное комплексное представление группы SU(2) унитарно н сохраняет симплектическую форму. Это определяет вложение

SU⑵ fKuSp (2).

Соответствующее представление изотропии р группы К семимерно и неприводимо, причем р(К)и &. Поэтому 9p (2)/Г можно отождествить с Im С а. Поскольку каноническая 3-форма Ф является /(-инвариантной, она определяет дифференциальную 3-форму 屮 на " = Sp(2)/K. Можно проверить, что

d(p = 4 *фф.

Если 尸：TN7flmcа — такая тривиализация, что F*O = <р, то тривиализация

G = dZ㊉*: TA48->R®ImCa = Ca

(где Af8 = ,R+xM) определяет на Ms дифференциальную 4-форму 屮—G*中，которая удовлетворяет (i). Но тогда *2屮=少 и

^=^(4ф)-

Поэтому соответствующая метрика g” 一 это каноническая метрика с группой голономии, содержащейся в Spin (7). Как и выше, остается проверить, что группа голономии не является собственной подгруппой группы Spin (7) (см. [Вгу 2]).

Неоднородные метрики Кэлера — Эйнштейнаположительной скалярной кривизны

Пусть N — компактное многообразие Кэлера — Эйнштейна с положительным первым классом Чженя. Представим первый класс Чженя в виде c、(N) = qa, где а^ H2(N. Z)—неделимый целочисленный класс. Пусть LfN — голоморфное линейное расслоение над N, для которого Ci(L) = ka, a L乂 L — NXN —— соответствующее ему С ® С-расслоение. Рассмотрим С P-расслоение Nm = P(LXL) над NXN. Можно показать, что G (NQ > 0 тогда и только тогда, когда 左 V 〃• Н. Коисо и Ю. Сака нэ обобщили более ранние результаты Ю. Саканэ ([Sae 2]) и доказали следующую теорему.

Д.5. Теорема ([Ko-Sa]). При h V q многообразие N互 допускает метрику Кэлера — Эйнштейна.

Конструкция этой метрики представляет собой вариант конструкции из [Вё Вег 3]. Пусть 户—М ——главное Х^расслоение над комплексным многообразием М, снабженное главной связностью 0. Рассмотрим стандартное действие окружности S】изометриями на проективной прямой СР】с канонической метрикой и обозначим через Г расстояние до одной из неподвижных относительно S1 точек. Положим

m=pxs^p^

Тогда п: М^М есть голоморфное ,С：Рг-расслоение над М, снабженное горизонтальным распределением и функцией /. Будем искать метрику Кэлера — Эйнштейна в виде

G =冗*叫㊉ и (0(оС1,

где(0/ ——однопараметрическое семейство кэлеровых метрик， на М, a u(t)—некоторая положительная функция от f.

Метрика й является кэлеровой тогда и только тогда, когда g =剣一U (О Р,

где р — кривизна связности 0, а функция U определяется функцией 〃.

В нашем распоряжении остается три параметра: кэлерова метрика (оо на М, связность 0 в Р и вещественная функция U одной переменной. Предположим, что

метрика <оо является метрикой Кэлера ——Эйнштейна, т. е. ее форма Риччи удовлетворяет условию po = so；

форма р имеет постоянные собственные значения относительно ©о- Это достигается выбором формы р из класса когомологий [ш0] •

Тогда уравнения Эйнштейна метрики ш сводятся к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка относительно функции U, которое всегда имеет решение на интервале ]0, л/2 [• Одно из этих решений определяет гладкую метрику Кэлера ——Эйнштейна на Л?, при условии, что некоторый интеграл, включающий функцию U, равен нулю. Этот интеграл——не что иное, как функционал Футаки 尸(X), который вычисляется на образующей X группы .Ci*, действующей на слоях и являющейся комплексификацией группы преобразований SL

Если многообразие (М, ©0) однородно, то полагают р =々р» Соответствующая метрика 而 является метрикой кооднородности один, а многообразие М можно охарактеризовать его группой автоморфизмов ([Hu-Sn]). Это приводит к следующему результату.

Д・6・ Теорема ([Ko-Sa]). Пусть М — компактное комплексное многообразие с группой автоморфизмов, которая имеет открытую орбиту, разделяющую М. Для таких многообразий обращение в нуль функционала Футаки является необходимым и достаточным условием существования метрики Кэлера ——Эйнштейна.

Однако построить примеры многообразий описанного типа с нулевым функционалом Футаки довольно сложно. Для того чтобы перейти к теореме Д.5, нужно взять М = NXN и расслоение Р, с которым ассоциировано линейное расслоение L ® £♦. Из соображений симметрии функционал Футаки автоматически оказывается равным нулю.

По поводу различных подходов к функционалу Футаки см. [Fut 2], [Fu-Mo], [Bou И] и Д.9.

Здесь н ниже кэлеровы метрики отождествляются со своими кэлеро- вымн формами.— Прим, перев.

Единственность метрики Кэлера — Эйнштейнаположительной скалярной кривизны

Д・7・ Теорема (С. Бандо, Т. Мабуки» [Ва-Ма]). Пусть М — комплексное многообразие с положительным первым классом Чженя. Если многообразие М допускает две метрики Кэлера — Эйнштейна соо, o)i е 2nci (Л1), то существует такой автоморфизм а 三 01° (М), что

(о]—а助)■

Будем отталкиваться от попытки Т. Обина ([Aub 7]) доказать существование метрики Кэлера — Эйнштейна методом непрерывности (ср. с теоремой 45 приложения). Обозначим через ^ пространство кэлеровых метрик из класса когомологий 2зхС1(Л1). Форму Риччи метрики со 三府 можно записать в виде

р =(о — ] ddcf

(ср. с 2.75, 2.110). Одной арам етрическое семейство уравнений.

(Д-8)log ((з — g ddc^n 1^ = % + f

интерполирует уравнение Калаби (при / = 0), связанное с задачей Калаби нахождения метрики ю с заданной формой Риччи со (см. 2.101 и 11.34), и уравнение Эйнштейна (при / = 1), см. 11.41. Для любых начальных данных (о существует решение -фо уравнения (Д.8) при / = 0 (см. [Yau 3]), которое можно непрерывно продолжить до решения 屮土 при / е [0, т [, т > 0. Это решение единственно. Однако пока не удалось доказать, что решение 屮,определено при всех / е[0,1]. Причина состоит в том, что функционал (см. ниже), который можно использовать для получения априорных оценок, возрастает с ростом £.

Обратно, предполагая существование метрики Эйнштейна 0 三 死,С. Бандо и Т. Мабуки показали, что для метрики общего вида со 三 記 существует такое решение

со* = со —dd^^f

уравнения (Д.8), что(oo = «, a si принадлежит а0(7И)-орбите метрики 0.

Отождествим касательное пространство к 記 в точке со с пространством функций 穹М. Тогда уравнение

% @) = \ Ф®т

определяет дифференциальную 1-форму а на 应.Она замкнута и, следовательно, точна. Обозначим через L функцию, для которой а = dL. Если

а/ =(о — / dd° ①, то положим

N (со, с/) = L (с/)—厶(со) — % (<р).

Функция N на 况 X 况 ведет себя подобно квадрату расстояния. При фиксированном о функция N(g>, •) достигает своего единственного минимума на орбите метрики 0 относительно группы Sl°(M). Если © ——точка общего положения, то гессиан функции N(so, •) положительно определен в точке минимума ал. Это позволяет построить решение со/ уравнения (Д.8) для f wje, 1]. Теперь сама функция N задает априорную границу решения д, и поэтому решение 硒 существует при всех 2三]0, 1]. К сожалению, эта граница неограниченно возрастает при ff 0. Поэтому для доказательства существования решения при / = 0 требуются дополнительные оценки (см. [Gal 5] и [Yau 3]).

Предположим, что в 範 существует несколько различных орбит группы 31° (М), состоящих из метрик Эйнштейна. Тогда при соответствующем выборе точки (о найдутся кривые решений уравнения (Д.8), соединяющие точку s с каждой такой орбитой. Однако поскольку при малых f уравнение (Д.8) имеет только одно решение, это невозможно. Следовательно, существует не более одной орбиты группы 4°(М), состоящей из метрик Эйнштейна.

Д.9. В [Mab 1] и [МаЬ 2] Т. Мабуки дал красивое описание пространства 贪 Он заметил (см. также [Bou 11]), что функционал Футаки (2.153) можно интерпретировать как дифференциальную 1-форму у на 况,т. е. для любого вещественного голоморфного векторного поля X и любой метрики со 曰贪

尸因= Y8(/(exp(g*s)).

Поскольку форма у замкнута (по теореме Калаби — Футаки 2.160), она является дифференциалом некоторой функции 卩,которая называется отображением К-энергии. Критические точки функции к есть в точности метрики Эйнштейна.

Естественная риманова метрика в 駝 имеет неположительную секционную кривизну, а функция ц является выпуклой. Далее, если функция р. постоянна на геодезической, последняя целиком лежит в одной орбите группы 9(° (М). В частности, если геодезическая соединяет две метрики Эйнштейна, то выпуклая функция 出 постоянна на ней. Значит, конечные точки принадлежат

одной орбите группы 81°(Л1). К сожалению, эти красивые рассуждения не доказывают теорему Д.7: нельзя ожидать, что риманово многообразие 更 будет геодезически полным. Это не так даже для конечномерного Пространства Модулей (см. [Wop]).

Гиперкэлеровы фактор-многообразия

Метод построения некомпактных, но полных гиперкэлеровых многообразий с помощью факторизации был предложен Н. Хит- чином, А. Карлхеде, У. Линдстрёмом и М. Рочеком в работе [Н-K-L-R]. Этот метод основан на симплектической редукции Дж. Марсдена и А. Вейнстейна (см. [Gu-St)].

Д.10. Пусть (Ms)—симплектическое многообразие, a G — группа его симплектических преобразований. Тогда каждому элементу Лед алгебры Ли д группы G отвечает векторное поле Ха, для которого LX/^ = 0. Поскольку

0 = Lx2 = d Q (XR з) + Z (XQ do

и форма со замкнута, при дополнительном предположении Я1 (Л1, R) = 0 существует такая функция %, что

dgRXRs.

Функция /л корректно определена с точностью до постоянного слагаемого. Рассматривая всевозможные элементы 4 = д, можно определить отображение момента

卩：ЛГ->9*, положив

(и(/и), /〉= fA(zn), т^М, Дед.

Если группа G компактна и полупроста, то, используя неоднозначность выбора 以，отображение момента можно сделать эквивариантным. Неоднозначность выбора 卩 сводится к добавлению абелева характера в д*.

Если группа G свободно действует на 呼】(0) с хаусдорфовым фактор-многообразием |А-1 (0)/G, то это фактор-многообразие естественным образом снабжается симплектической структурой и называется фактор-многообразием Марседена — Вейнстейна.

Пусть (Mg)—гиперкэлерово многообразие с кэлеровыми формами g)i, с)2, ®з, соответствующими комплексным структурам /, J, К, a G — группа «Ли изометрий, сохраняющая формы соь &2, &з・ Мы получаем три отображения момента pi,卩2, Нз, соответствующих каждой из этих симплектических форм, которые

можно рассматривать как одно отображение

N： ТИ —д* ③ R3.

Конструкция факторизации описывается следующей теоремой.

Д.11・ Теорема ([H-K-L-R]). Пусть М — гиперкэлерово многообразие, G ——группа его изометрий, сохраняющая все параллельные комплексные структуры, а 卩： М -^ g* 0 R3—соответствующее отображение момента. Если группа G свободно действует на р-1 (0) с хаусдорфовым фактор-многообразием IX-1 (0) /G, это фактор-многообразие с индуцированной на нем метрикой является гиперкэлеровым.

Отметим, что если многообразие М полно, а группа G компактна, то многообразие ц-1 (0) /G также полно.

Д.12. Эта конструкция позволяет получить множество примеров гиперкэлеровых многообразий, если в качестве М взять кватернионное векторное пространство со скалярным произведением, а в качестве G — подходящую подгруппу группы евклидовых движений. В частности, можно выбрать произвольную подгруппу G группы Sp(AW). Однако для того, чтобы выполнялось условие р"1 (0) =/= 0, необходимо, чтобы группа G имела нетривиальный связный центр.

Примеры.

М = "2 = с? X С2, G = R с действием

/(21，马，叫，吟)=-%, e-%，з1 + 力，32)■

Это приводит к метрике Тауба — НУТ (см. 3.38, 13.87).

М = H^+i = .Cm+i XC^+i, G = S1 с действием e"(z,侬)= (e"z, e~ltw).

Это приводит к метрике Калаби ([Cal 5]) на Т*СРт,

М = НЕ G = Т — максимальный тор группы SU(m), действующей в 巾=С^Х (.С严产 Это приводит к гравитационному мультиинетантону Гиббонса и Хокинга ([Hit 4]).

П. Кронхеймер обобщил пример 3 и построил гиперкэле- рову метрику на многообразии, получающемся при разрешении рациональной двойной точки ([Кго]). В этом случае tuS(7(2)—— конечная группа с фиксированным регулярным представлением в векторном пространстве У, М = (End I/® С?)р — инвари-

антное относительно Г подпространство, a G = SU(V)r — подгруппа неподвижных относительно Г точек.

Обобщение этой конструкции на бесконечномерный случай, когда М—пространство связностей, a G ——группа калибровочных преобразований, приводит к гиперкэлеррвым метрикам на конечномерных Пространствах Модулей (см. [At-Hi], [Hit 6]).

[Ab-Ма][Ada] [Ad-Mi] [Ag-Do-Ni 1][Ag-Do-Ni 2][Ahl][Ale 1][Ale 2][Ale 3][Ale 4][Al-Ki 1][Al-Ki 2][Am-Si][An-Bu-Ka][Apt][Ab-Ма][Ada] [Ad-Mi] [Ag-Do-Ni 1][Ag-Do-Ni 2][Ahl][Ale 1][Ale 2][Ale 3][Ale 4][Al-Ki 1][Al-Ki 2][Am-Si][An-Bu-Ka][Apt]

[Ab-Ма]

[Ada] [Ad-Mi] [Ag-Do-Ni 1]

[Ag-Do-Ni 2]

[Ahl]

[Ale 1]

[Ale 2]

[Ale 3]

[Ale 4]

[Al-Ki 1]

[Al-Ki 2]

[Am-Si]

[An-Bu-Ka]

[Apt]

[Ab-Ма]

[Ada] [Ad-Mi] [Ag-Do-Ni 1]

[Ag-Do-Ni 2]

[Ahl]

[Ale 1]

[Ale 2]

[Ale 3]

[Ale 4]

[Al-Ki 1]

[Al-Ki 2]

[Am-Si]

[An-Bu-Ka]

[Apt]

Литература

Abraham R., Marsden J. Foundations of Mechanics, Benjamin, New York (1967).

Adams F. Lectures on Lie groups, W. A. Benjamin, Inc. New York (1969).

Adati T., Miyazawa T. On a Riemannian space with recurrent conformal curvature. Tensor, N. S. 18, 348—354 (1967).

Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for the solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions, I, Comm. Pure, AppL Math 12, 623—727 (1959). [Имеется перевод: Агмон С., Дуг- лис А., Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических уравне- иий вблизи границы в частных производных при общих граничных условиях. — М.: ИЛ, 1962.]

Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for the solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions, II, Comm. Pure Appl. Math. 17, 35—92 (1964).

Anlfors L. V. Some remarks on Teichmiillers's space of Riemann surfaces. Annals of Math. 74, 171—191 (1961).

Алексеевский Д. В. Римановы многообразия с необычными группами голоиомий.——Функц. анализ и прилож. 2 (2), 1— 10 (1968).

Алексеевский Д. В. Компактные кватернионные пространства.—Функц. анализ н прилож. 2(2), 11—20 (1968).

Алексеевский Д. В. Кват«)ниониые римановы пространства с транзитивной редуктнвной или разрешимой группой движений.—Функц. аналнз и прилож. 4 (4), 68—69 (1970).

Алексеевский Д. В. Классификация кватернионных пространств с транзитивной разрешимой группой движений.—— Изв. АН СССР, сер. матем. 39 (2), 315—362 (1975).

Алексеевский Д. В., Кнмельфельд Б. Н. Структура однородных римановых пространств с нулевой кривизной Риччи.—— Функц. анализ и прнлож. 9 (2), 5—11 (1975).

Алексеевский Д. В., Кимел^ельд Б. Н. Классификация однородных конформно плоских римановых многообразий.— Матем. заметки 24, 103—НО (1978).

Ambrose W., Singer I. М. A theorem on holonomy, Trans. Amer. Math. Soc. 79, 428—443 (1953).

Antonelli P. L., Burghelea D., Kahn P. J. The non-finite homotopy type of some diffeomorphism groups, Topology 11, 1—49 (1972).

Apte M. Sur certaines classes caracteristiques des varietes kah- l^riennes compactes, C. R. Acad. Set Paris 240, 149—151 (1955).

ГАгп] [Аго]FArt] [Ast][At-Bo-Sh] fAt-Hi][At-Hi-Si][Ati 1] [Ati 2] fAt-Si 1] [At-Si 2] [At-Si 3] [Aub 1][Aub 2]fAub 3][Aub 41 [Aub 5][Aub 6] [Aub 7].[Avz 1][Avz 2] [Ba-Ma]ГАгп] [Аго]FArt] [Ast][At-Bo-Sh] fAt-Hi][At-Hi-Si][Ati 1] [Ati 2] fAt-Si 1] [At-Si 2] [At-Si 3] [Aub 1][Aub 2]fAub 3][Aub 41 [Aub 5][Aub 6] [Aub 7].[Avz 1][Avz 2] [Ba-Ma]Арнольд В. И. Математические методы классической механики.—М.: Наука, 1974.

ГАгп] [Аго]

FArt] [Ast]

[At-Bo-Sh] fAt-Hi]

[At-Hi-Si]

[Ati 1] [Ati 2] fAt-Si 1] [At-Si 2] [At-Si 3] [Aub 1]

[Aub 2]

fAub 3]

[Aub 41 [Aub 5]

[Aub 6] [Aub 7].

[Avz 1]

[Avz 2] [Ba-Ma]

ГАгп] [Аго]

FArt] [Ast]

[At-Bo-Sh] fAt-Hi]

[At-Hi-Si]

[Ati 1] [Ati 2] fAt-Si 1] [At-Si 2] [At-Si 3] [Aub 1]

[Aub 2]

fAub 3]

[Aub 41 [Aub 5]

[Aub 6] [Aub 7].

[Avz 1]

[Avz 2] [Ba-Ma]

Aronszjan N. A unique continuation theorem for solutions of elliptic partial differential equations or inequalities of second order. J. Math. Pures Appl. 35, 235—249 (1957).

Artin M. On the solutions of analytic equations, Inventiones Math. 5, 277—291 (1968).-

Premiere ciasse de Chern et courbure de Ricci: preuve de la conjecture de Calabi, Seminaire Palaiseau 1978, Aster is que 58, Societe Math, de France (1978).

Atiyah M. F., Bott R, Shapiro A. Clifford Modules, Topology 3 (Supp. 1), 3—38 (1964).

Atiyah M. F., Hitchin N. Low-energy scattering of non-abeiian magnetic monopoles, Phil. Traps.. R. SocJ Lorid- A315, 459—469 (1985). [Имеется перевод в сб. Монополи. -г-М.: Мир, 1989.] Atiyah М. F., Hitchin N. J., Singer. М. Self Quality in fourdimensional Riemannian geometry, Proc. Roy.、London A 362, 425—461 (1978).“

Atiyah M. F. Complex fibre bundles and ruled surfaces, Proc. London Math. Soc. 5, 407—434 (1955).

Atiyah M. F. Geometry of： Yang-Mills fields, Fermi Lectures Notes, Scuola Normale Sup. di Pisa, Pisa (1979).

Atiyah M. F., Singer I. M. The Index of elliptic operators III, Ann. of Math. 87, 546—604 (1968).

Atiyah M. F., Singer I. M. The index of elliptic operators IV, Ann. of Math. 92, 119—138 (1970)：.''''

M. F. Atiyah, I. M. Singer. The index of * elliptic operators V, Ann. of Math. 93, 139—149 (1971).：

Aubin T. Metriques riemanniennes et Ebiirb近fe, J. Diff. Geom.

383—424 (1970).「

Aubin T. Equations differeiitielles non lineaires et probleme de Yamabe cohcernant la courbure scataire, J： Math. Pures Appli. 55, 269—296 (1976).*. ；

Aubin T. Meilleurs constarites dans Ie theoreme d'inclusion de Sobolev et un theoreme de Fredhplm non lineaire pour la transformation con forme, de la courbure scalajre, Funct. Anal. 32, 148—174 (1979)..

Aubin T. Problemes isopenrrietfiqiies .et espaces de Sobolev, J. Diff. Geom. 11, 573—598 (1976)/

Aubin T. Equations du type de Morlge-Ampere sur les varietes kahleriennes Compactes, C. R. Acad. Sei, Paris 283, 119—121 (1976)..

Aubin T. Non-linear analysis on Manif6id§, Monge>Ampere Equations, Springer-Verlag, New York (1982).

Aubin T. Reduction du cas positif de liquation de Monge- Ampere sur ies varietes kahieriennes compactes a la demonstration d'une inegalite, J. Funct. Anai. 57, -143—153 (1984). Avez A. Valeur moyenne du scaiaire. de* cqurbure sur une variete compacte Applications reiativistes, C. R. Acad. Sci, Paris 256, 5271—5273 (1963).

Avez A. Remarques sur ies varietes de dimension 4, C. R. Acad. Sci. Paris A 264, 738—740 (1967).

Bando S., Mabuchi T. Uniqueness of Einstein Kahier metrics modulo connected group actions, Preprint Tohoku University, Sendai (1985).

[Вас][BB-BoLal[BB-Ocl[Bea 1][Bea 2][BeBer 1][ВёВег 2][ВёВег 3][ВёВег 41[ВёВег 5][ВёВег 6][ВёВег 7][Ве-ЕЬ1[Be-Eh]fBe-Fe-Gr][Be-Ga-Ma][Ве-Go][Ве-La][Вег 1][Вег 2][Вас][BB-BoLal[BB-Ocl[Bea 1][Bea 2][BeBer 1][ВёВег 2][ВёВег 3][ВёВег 41[ВёВег 5][ВёВег 6][ВёВег 7][Ве-ЕЬ1[Be-Eh]fBe-Fe-Gr][Be-Ga-Ma][Ве-Go][Ве-La][Вег 1][Вег 2]Bach R. Zur Weylschen Reiativitatstheorie und der Weylschen Erweiterung des Kriimmungstensorbegriifs. Math. Z. 9, 110— 135 (1921).

[Вас]

[BB-BoLal

[BB-Ocl

[Bea 1]

[Bea 2]

[BeBer 1]

[ВёВег 2]

[ВёВег 3]

[ВёВег 41

[ВёВег 5]

[ВёВег 6]

[ВёВег 7]

[Ве-ЕЬ1

[Be-Eh]

fBe-Fe-Gr]

[Be-Ga-Ma]

[Ве-Go]

[Ве-La]

[Вег 1]

[Вег 2]

[Вас]

[BB-BoLal

[BB-Ocl

[Bea 1]

[Bea 2]

[BeBer 1]

[ВёВег 2]

[ВёВег 3]

[ВёВег 41

[ВёВег 5]

[ВёВег 6]

[ВёВег 7]

[Ве-ЕЬ1

[Be-Eh]

fBe-Fe-Gr]

[Be-Ga-Ma]

[Ве-Go]

[Ве-La]

[Вег 1]

[Вег 2]

Berard Bergery L., Bourguignon J. P., Lafontaine J. Deformations localement trivia les des metriques riemanniennes» Proc. Symp. Amer. Math. Soc. 27, 3—32 (1973).

Berard Bergery L., Ochiai T. On some generalizations of the construction of twistor spaces, in «Global Riemannian Geometry», ed. T. J. Willmore, N. Hitchin, page 5—58, Ellis Horwood, Chichester (1984).

Beauville A. Surfaces Algebriques complexes, Asterisque 54, Soc. Math. France, Paris (1978).

Beauville A. Varietes Kahleriennes dont la lere classe de Chern est nulle, J. Diff. Geom. 18, 755—782 (1983).

Berard Bergery L. Sur la courbure des metriques riemannien- nes invariantes des groupes de Lie et des espaces homogenes, Annales Sc. Ec. Norm. Sup. 11, 543—576 (1978).

Berard Bergery L. La courbure scalaire des variety rieman- niennes, Seminaire Bourbaki, 1979—80, expose n° 556. Lecture Notes 842, Springer, Berlin (1981).

Berard Bergery L. Sur de nouvelles varietes riemanniennes d'Einstein. Publications de Flnstitut E. Cartan n° 4 (Nancy), 1—60 (1982).

Berard Bergery L. Scalar curvature and isometry groups, in «Spectra of Riemannian manifolds», ed. M. Berger, S. Mura- kami, T. Ochiai, Kagai, Tokyo, pp. 9—28 (1983).

Berard Bergery L. Sur certaines fibrations d*espaces homogene riemanniens, Composition Math. 30, 43—61 (1975).

Berard Bergery L. Certains fibres a courbure de Ricci positive, C. R. Acad. Sci. Paris, A 286, 929—931 (1978).

Berard Bergery L. Varietes quaternionniennes, Notes d*une conference a la table ronde «Varietes d'Einstein》，Espalion (1979). (Unpublished).

Berger M., Ebin D. Some decompositions of the space of symmetric tensors on a Riemannian manifold. J. Diff Geom. 3, 379—392 (1969).

Beem J., Ehrlich P. Global Lorentzian Geometry, Dekker, New York (1981). [Имеется перевод: Бим. Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия. — М.: Мир, 1985.]

Beals М., Fefferman С., Grossman R. Strictly pseudoconvex domains in О, Bull. Amer. Math. Soc. 8, 125—322 (1983).

Berger M., Gauduchon P., Mazet E. Le spectre d*une variete riemannienne, Lecture Notes in Math. n° 194, Springer, Berlin (1971).

Becker J. C., Gottlieb D. H. Applications of the evaluation map and transfer map theorems. Math. Ann. 211, 277—288 (1974).

Berger M., Lascoux A. Varietes kahleriennes compactes. Lecture Notes n° 154, Springer-Verlag, Berlin (1971).

Berger M. Sur les groupes d%olonomie des varietes a connexion affine et des varietes riemanniennes. Bull. Soc. Math. France 83, 279—330 (1955).

Berger M. Sur quelques varietes d'Einstein compactes, Annali di Math. Рига e Appl. 53, 89—96 (1961).

[Вег 31[Вег 4][Вег 5][Вег 6][Вег 7][Вег 8] [Bes 1]fBes 2][Bie][Bi-Оп][Bis][Bia]ГВ1е][Bln][Вос 1][Boc 2] [Bo-Eb-Ma][Bog] [Bo-Hi][Bo-Ka][Bo-La][Bo-Lil[Вег 31[Вег 4][Вег 5][Вег 6][Вег 7][Вег 8] [Bes 1]fBes 2][Bie][Bi-Оп][Bis][Bia]ГВ1е][Bln][Вос 1][Boc 2] [Bo-Eb-Ma][Bog] [Bo-Hi][Bo-Ka][Bo-La][Bo-LilBerger M. Sur les varietes d'Einstein compactes, C. R de la 111° reunion du groupment des mathematiciens d'expression latine, Namur (1965).

[Вег 31

[Вег 4]

[Вег 5]

[Вег 6]

[Вег 7]

[Вег 8] [Bes 1]

fBes 2]

[Bie]

[Bi-Оп]

[Bis]

[Bia]

ГВ1е]

[Bln]

[Вос 1]

[Boc 2] [Bo-Eb-Ma]

[Bog] [Bo-Hi]

[Bo-Ka]

[Bo-La]

[Bo-Lil

[Вег 31

[Вег 4]

[Вег 5]

[Вег 6]

[Вег 7]

[Вег 8] [Bes 1]

fBes 2]

[Bie]

[Bi-Оп]

[Bis]

[Bia]

ГВ1е]

[Bln]

[Вос 1]

[Boc 2] [Bo-Eb-Ma]

[Bog] [Bo-Hi]

[Bo-Ka]

[Bo-La]

[Bo-Lil

Berger M. Quelques formules de variation pour une structure riemannienne, Ann. Sc. Ec. Norm. Sup. 3, 285—294 (1970). Berger M. Sur la premiere valeur propre des varietes rieman- niennes, Compositio Math 26, 29—149 (1973).

Berger M. Rapport sur les varietes d'Einstein, in Analyse sur les varietes (Metz 1979), Asterisque 80, Soc. Math. France, Paris (1980k

Berger M. Kemarques sur le groupe d'holonomie des varietes Riemanniennes, C. R. Acad. Sci. Paris 262, 316—318 (1966). Berger M. Trois remarques sur les varietes riemannienes a courbure positive, C. R. Acad. Sci. Paris 263, 76—78 (1966). Besse A. L. Manifolds all of whose geodesics are closed, Er- gebnisse der Math. n° 93, Springer (1978). [Имеется перевод: Бессе А. Многообразия с замкнутыми геодезическими.——М.: Мнр, 1981.]

Besse A. L. Geometric riemannienne еп dimension 4, Cedic-Fer- nand Nathan, Paris (1981). [Имеется перевод: Четырехмерная риманова геометрия. Семинар Артура Бессе. — М.: Мир, 1985.]

Bieber bach L. Uber die Bewegungspgruppen des Euklidischen Raume I, II, Math. Ann. 70, 297—336 (1911), 72, 400—412 (1912).

Bishop R. L., O'Neill B. Manifolds of negative curvature, Trans. Amer. Math. Soc. 145, 1—49 (1969).

Bishop R. L. A relation between volume, mean curvature and diameter. Notices Am. Math. Soc. 10, 364 (1963).

Blanchard A. Sur les varietes analytiques complexes, Ann. Sc. Ecole Norm. Sup. 73, 157—202 (1956).

Bleecker D. D. Critical Riemannian manifolds, J. Diff. Geom. 14, 599—608 (1979).

Blancheton E. Equations aux variations de la Relativite Generale. C. R. Acad. Sci. Paris 245, 284—287 (1957).

Bochner S. Vectors fields and Ricci curvature, Bull. Am. Math. Sc. 52, 776—797 (1946).

Bochner S. Curvature in Hermitian metric. Bull. Amer. Math. Soc. 53, 179—195 (1947).

Bourguignon J. P., Ebin D., Marsden J. E. D. Sur le noyau des operateurs differentiels a symbole injectif et non surjectif. C. R. Acad. Sc. Paris 282, 867—870 (1976).

Богомолов В. А. Гамильтоновы кэлеровы многообразия.— ДАН СССР, сер. матем. 243, 1103—1104 (1978).

Borel A., Hirzebruch F. Characteristic classes and homogeneous spaces, I, II, HI, Amer. J. Math. 80, 315—382 (1958), 81, 31—382 (1959), 82, 491—504 (I960).

Bourguignon J. P., Karcher H. Curvature operators: pinching estimates and? geometric examples, Ann. Sc. Ec. Norm. Sup. Paris 11, 71—92 (1978).

Bourguignon J. P., Lawson H. B. Yang Mills theory: its physical origins and differential geometric aspects, in Seminar on Diff. Geometry (ed. S. T. Yau), Princeton University Press, Princeton, 395—422 (1982).

Borel A., Lichnerowicz A. Groupes d'holonomie des varietes riemanniennes, C. R. Acad. Sci. Paris 234, 1835—1837 (1952).

[Bo-Mal[Bon I][Bon 2] [Bon 31[Bo-Po][Bor 11[Bor 2][Bor 3][Bor 4][Bor 5] [Bo-Re] [Bot l|[Bot 2][Bou I] [Bou 2][Bou 3][Bou 4] [Bou 5][Bou 6][Bou 7|[Bo-Mal[Bon I][Bon 2] [Bon 31[Bo-Po][Bor 11[Bor 2][Bor 3][Bor 4][Bor 5] [Bo-Re] [Bot l|[Bot 2][Bou I] [Bou 2][Bou 3][Bou 4] [Bou 5][Bou 6][Bou 7|

[Bo-Mal

[Bon I]

[Bon 2] [Bon 31

[Bo-Po]

[Bor 11

[Bor 2]

[Bor 3]

[Bor 4]

[Bor 5] [Bo-Re] [Bot l|

[Bot 2]

[Bou I] [Bou 2]

[Bou 3]

[Bou 4] [Bou 5]

[Bou 6]

[Bou 7|

[Bo-Mal

[Bon I]

[Bon 2] [Bon 31

[Bo-Po]

[Bor 11

[Bor 2]

[Bor 3]

[Bor 4]

[Bor 5] [Bo-Re] [Bot l|

[Bot 2]

[Bou I] [Bou 2]

[Bou 3]

[Bou 4] [Bou 5]

[Bou 6]

[Bou 7|

Bochner S., Martin W. T. Several complex variables, Princeton Math. Ser. 10, Princeton Univ. Press, Princeton (1948). [Имеется перевод: Бохнер С., Мартин У. Функции многих комплексных переменных.—М.: ИЛ, 1951J

Bonan Е. Sur des varietes riemanniennes a groupe d'holono- mie G2 ou Spin (7), C. R. Acad. Sci. Paris 262, 127—129 (1966). Bonan E. Sur les G-structures de type quaternionien, Cahiers Top. et Geom. Diff. 9, 389—461 (1967).

Bonan E. Sur 1'algWbre exterieure d'tmd variete presque hermi- tienne quaternionique, C. R. Acad. Sci. Paris 295, 115—118 (1982).

Bourguignon J. P., Polombo A. Integrands des nombres caracteristiques et courbure: rien ne va plus des la dimen* sion 6, J. of Diff. Geom. 16, 537—550 (1981).

Borel A. Some remarks about Lie groups transitive on spheres and tori. Bull. A. M. S. 55, 580—587 (1949).

Borel A. Le plan projectif des octaves et les spheres comme espaces homogenes, C. R. Acad. Sc. Paris 230,1378—1380 (1950). Borel A. Sur la cohomologie des espaces fibres principaux et des espaces homogenes de groupes de Lie compacts, Ann. of Math. 57, 115—207 (1953).

Borel A. Kahlerian coset spaces of semi-simple Lie groups, Proc. Nat. Acad. Sci. US 40, 1147—1151 (1954).

Borel * A. Compact Clifford-Klein forms of symmetric spaces, Topology 2, 111—122 (1963). '

Borel A., Remmert R Uber Kompakte homogene Kahlersche Mannigfaltigkeiten, Math. Annalen 145, 429—439 (1962).

Bott R. Homogeneous vector bundles, Ann. of Math 66, 203— 248 (1957).

Bott R. The geometry and representation theory of compact Lie groups, in: Representation theory of Lie groups, London Math. Society, Lecture Notes Series 34.

Bourguignon J. P. Une statification de Fespace des structures riemanniennes, Compositio Math. 30, 1—41 (1975).

Bourguignon J. P. Sur les geodesiques fermees des varietes quaternioniennes de dimension 4, Math. Ann. 221, 153—165 0976).

Bourguignon J. P. Premieres formes de Chern des varietes Kahleriennes compactes, Seminaire Bourbaki, n° 507, vol. 1977— 79, Lecture Notes 710, Springer, Berlin (1979).

Bourguignon J. P. Sur les formes harmoniques du type de la courbure, C. R. Acad. Sci. Paris A 286, 337—339 (1978).

Bourguignon J. P. Deformations des varietes d*Einstein, in Analyse sur les varietes (Metz 1979), Asterisque 80, Soc. Math. France, Paris (1980).

Bourguignon J. P. Les surfaces КЗ, in Geometrie riemannien- ne en dimension 4, Cedic, Fernand Nathan, Paris (1981). [Имеется перевод в сб. Четырехмерная риманова геометрия.——М.: Мир, 1985, с. 138—153.]

Bourguignon J. Р. Formules de Weitzenbock en dimension 4, Seminaire A. Besse sur la geometrie riemannienne en dimension 4, Cedic Fernan Nathan, Paris (1981). [Имеется перевод в сб. Четырехмерная риманова геометрия.——М.: Мир, 1985, с. 260—279.1

[Bou 8] [Bou 9][Bou 10][Bou 11][Bou 12][Bo-Ya][Bre] [Br-Gr][Bri] fBrs][Br-Wa][Bry 1] [Bry 21[Bse][Bsr][Bu-Ra][Bus 1][Bus 2] [Ca-Ho-Ko] [Cal 1][Bou 8] [Bou 9][Bou 10][Bou 11][Bou 12][Bo-Ya][Bre] [Br-Gr][Bri] fBrs][Br-Wa][Bry 1] [Bry 21[Bse][Bsr][Bu-Ra][Bus 1][Bus 2] [Ca-Ho-Ko] [Cal 1]Bourguignon J. P. On harmonic forms of curvature type (unpublished).

[Bou 8] [Bou 9]

[Bou 10]

[Bou 11]

[Bou 12]

[Bo-Ya]

[Bre] [Br-Gr]

[Bri] fBrs]

[Br-Wa]

[Bry 1] [Bry 21

[Bse]

[Bsr]

[Bu-Ra]

[Bus 1]

[Bus 2] [Ca-Ho-Ko] [Cal 1]

[Bou 8] [Bou 9]

[Bou 10]

[Bou 11]

[Bou 12]

[Bo-Ya]

[Bre] [Br-Gr]

[Bri] fBrs]

[Br-Wa]

[Bry 1] [Bry 21

[Bse]

[Bsr]

[Bu-Ra]

[Bus 1]

[Bus 2] [Ca-Ho-Ko] [Cal 1]

Bourguignon J. P. Les varietes de dimension 4 a signature non nulle dont la courbure est harmonique sont d'Einstein. Invent. Math. 63, 263—286 (1981).

Bourguignon J. P. A review of Einstein manifolds, in DD2 Proceedings (Shanghai-Hefei 1981), Science Press, Beijing (1984).

Bourguignon J. P. Invariants integraux fonctionnels pour des equations aux derivees partielles d'origine geometrique, to appear in《Proc. Conference on Differential Geometry and Global Analysis, Peniscola (1985)》，Lecture Notes in Math., Springer, Berlin (1986).

Liquation de la chaleur associee a la courbure de Ricci (d'apKs R. S. Hamilton), Seminaire Bourbaki, expose n° 653, 1985—1986.

Bochner S., Yano K・ Curvature and Betti numbers, Ann. Math. Studies n° 32 Princeton Univ. Press, Princeton (1953). (Имеется перевод: Я но К., Бохнер С. Кривизна и числа Вет- тн. —М.: ИЛ, 1957.]

Bredon G. Е. Introduction to compact transformation groups. Academic Press, New York, London (1972).

Brown R., Gray A. Riemannian manifolds with holonomy group Spin (9), in Diff. Geometry in honor of K. Yano, Kino- kuniya, Tokyo, 41—59 (1972). '

Brinkmann H. W. Einstein spaces which are mapped conformally on each other. Math. Ann. 94, 119—145 (1925).

Bers L. Finite dimensional Teichmiiller space and generalizations. Bull. Amer. Math. Soc. 5, 131—172 (1981).

Breizis H., Wain ger S. A note on limiting cases of Sobolev Imbedding and Convolution Inequalities, Comm. Part Diff. Eq.

773—789 (1980).

Bryant R. Local existence of Riemannian metrics with holonomy G2 or Spin (7), to appear.

Bryant R. Explicit metrics with holonomy G2 and Spin (7), Preprint I. H. E. S., Bures-sur-Yvette (1985).

Besse J. Sur le domaine d'existence d'une fonction analytique, Comment. Math. Helv. 10, 302—305 (1938).

Buser P. Riemannsche Flachen and Zangenspectrum vom Trigonometrischen Standpunkt aus, Habilitations-schript, Univer si tat Bonn (1980).

Burns D., Rappoport M. On the Torelli problem for Kahle- rian КЗ surfaces, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup., 8, 235—274 (1975).

Busemann H. The Geometry of Geodesics, Academic Press, London (1955). [Имеется перевод: Буземан Г. Геометрия геодезических.—М.: Физматгиз, 1962.]

Busemann Н. Recent Synthetic Differential Geometry, Ergeb- nisse bd 54, Springer, Berlin (1970).

Carrel J., Howard A, Kosniowski C. Holomorphic vector fields on complex surfaces, Math. Annalen 204, 73—81 (1973).

Calabi E. The space of Kahler metrics. Proc. Internal. Congress. Math. Amsterdam 2, 206—207 (1954).

[Cal 2]ICal 31[Cai 4][Cal 5|[Cal 6][Cal 7]fCal 8J[Car 1][Car 2][Car 3][Car 4][Car 5][Car 61[Car 71[Car 8][Car 9][Car 10][Car 11][Cal 2]ICal 31[Cai 4][Cal 5|[Cal 6][Cal 7]fCal 8J[Car 1][Car 2][Car 3][Car 4][Car 5][Car 61[Car 71[Car 8][Car 9][Car 10][Car 11]Calabi E. On Kahler manifolds with vanishing canonical class, in Algebraic geometry and topology, a symposium in honor of S. Lefschetz, Princeton Univ. Press, 78-^89 (1955).

[Cal 2]

ICal 31

[Cai 4]

[Cal 5|

[Cal 6]

[Cal 7]

fCal 8J

[Car 1]

[Car 2]

[Car 3]

[Car 4]

[Car 5]

[Car 61

[Car 71

[Car 8]

[Car 9]

[Car 10]

[Car 11]

[Cal 2]

ICal 31

[Cai 4]

[Cal 5|

[Cal 6]

[Cal 7]

fCal 8J

[Car 1]

[Car 2]

[Car 3]

[Car 4]

[Car 5]

[Car 61

[Car 71

[Car 8]

[Car 9]

[Car 10]

[Car 11]

Calabi E. Improper affine hyperspheres of convex type and generalization of a theorem by K. Jorgens, Michigan Math. J. 5, 105—126 (1958).

Calabi E. A construction of non homogeneous Einstein metrics. Differential Geometry, Proc. Symp. Pure Math. 27, 17—24 (1975). *

Calabi E. Metriques kahleriennes et fibres holomorphes, Ann. Ecol. Norm. Sup. 12, 269—294 (1979).

Calabi E. Extremal Kahler metrics, in Seminar on Differential Geometry, ed. S. T. Yau, Annals of Math. Studies 102, Princeton Univ. Press, Princeton, 259—290 (1982).

Calabi E. Extremal Kahler metrics II, in «Differential Geometry and complex analysis》，ed. I. Chavel, H. M. Farkas, Springer, Berlin； 95—114 (1985).

Calabi E. An extension of E. Hopfs maximum principle with an application to Riemannian geometry, Duke Math. J. 25, 45—56 (1957).

Cartan E. Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicite plane. Bull. Soc. Math. Fr. 41, 53—96. (1913) ou Oeuvres completes t I, vol. 1, p. 355—398.

Cartan E. Les groupes projectifs continus reels qui ne laissent invariante aucune multiplicite plane, J. Math, pures et applic- quees 10, 149—186 (1914) ou Oeuvres completes t. I, vol. 1, 493—530.

Cartan E. Les groupes reels simples finis et continus, Ann. Scient. Ecol. Norm. Sup. 31, 263—355 (1914) ou Oeuvres completes t. 1, vol. 1, 493—530.

Cartan E. La deformation des hypersurfaces dans： Fespace conforme reel a p ^ 5 dimensions, Bull. Soc. Math. France 45, 57—121 (1917) ou Oeuvres completes t. Ill, vol. 1, 221—286. Cartan E. Sur les varietes a connexion affine et la theorie de la relativite generalisee I et II, Ann. Sci. Ecol. Norm. Sup. 40, 325—412 (1923), et 41, 1—25 (1924) ou Oeuvres completes t. III. 659—746 et,799—824.

Cartan E. Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann, Bull. Soc. math. France 54, 214—264 (1926), 55, 114—134 (1927) ou Oeuvres completes t. I, vol. 2, 587—659.

Cartan E. Sur la possibilite de plonger un eSpace riemannien donne dans un espace euclidien, Ann. Soct Pol. Math. 6, 1—17 (1927) ou OCuvres completes t. Ill, vol. 2. 1091—1098. Cartan E. Les groupes d'holonomie des espaces generalises, Acta. Math. 48, 1—42 (1926) ou Oeuvres completes, t. ITT, vol. 2, 997—1038.

Cartan E. Sur certaines formes riemanniennes remarquables de geometries, a groupe fondamental simple, Annales Sci, Ecol. Norm. Sup. 44, 345—467 (1927) ou Oeuvres completes t. I, vol. 1, 867—990.

C.artan E. Les espaces de Finsler, Exposes de Geometrie, Hermann, Paris, 1934.

Cartan E. La topologie des espaces representatifs des groupes de Lie, Act. Sci. Ind. n° 358, Hermann, Paris (1936), ou Oeuvres completes, t. 1, vol. 2, 1307—1330.

[Car 12][Car 13][Ca-OA-Fr] fCa-Ro][Ca-Ro-Wa][Cas] [Ca-Wa] [CB-DW-DB][CB-Le][Cha][Che] [Ch-Eb][Ch-Gr-1]『Ch-Gr 2] [Chv][Ch-Va][Ch-Ya 1][Ch-Ya 2][Chr 1][Chr 2][Chr 3][Car 12][Car 13][Ca-OA-Fr] fCa-Ro][Ca-Ro-Wa][Cas] [Ca-Wa] [CB-DW-DB][CB-Le][Cha][Che] [Ch-Eb][Ch-Gr-1]『Ch-Gr 2] [Chv][Ch-Va][Ch-Ya 1][Ch-Ya 2][Chr 1][Chr 2][Chr 3]

[Car 12]

[Car 13]

[Ca-OA-Fr] fCa-Ro]

[Ca-Ro-Wa]

[Cas] [Ca-Wa] [CB-DW-DB]

[CB-Le]

[Cha]

[Che] [Ch-Eb]

[Ch-Gr-1]

『Ch-Gr 2] [Chv]

[Ch-Va]

[Ch-Ya 1]

[Ch-Ya 2]

[Chr 1]

[Chr 2]

[Chr 3]

[Car 12]

[Car 13]

[Ca-OA-Fr] fCa-Ro]

[Ca-Ro-Wa]

[Cas] [Ca-Wa] [CB-DW-DB]

[CB-Le]

[Cha]

[Che] [Ch-Eb]

[Ch-Gr-1]

『Ch-Gr 2] [Chv]

[Ch-Va]

[Ch-Ya 1]

[Ch-Ya 2]

[Chr 1]

[Chr 2]

[Chr 3]

Cartan E. Sur la determination d'un systeme orthogonal com- Й(1ап$ un espace de Riemann symetrique clos, Rendic. Circ.

Palermo 53, 217—252 (1929) ou Oeuvres completes, t. 1, vol. 2, 1045—1080.

Cartan E. Sur les domaines bornes homogenes de Fespace de n variables complexes, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 11, 110— 162 (1936) ou Oeuvres completes t. I} vol. 1, 1259—1306.

Castellani L., O'Auria R, Fre P. SU(3)齿 SU(2)齿 U⑴ from D == 11 supergravity, Nuclear Phys. 239B, 610—652 (1984). Castellani L., Romans L. J. N = 3 and ^ = 1 supersymmetry in a new class of solutions for D == 11 supergravitv, Nuclear Phys. 238B, 683—701 (1984). 一

Castellani L., Romans L. J., Warner N. P. A classification of cornpactifying solutions for О = 11 supergravity Nuclear Phys. 241B, 429—469 (1984).

Castellsni L. Einstein metrics on homogeneous spaces and D=ll supergravity, Phys. Lett. 14 9B, 103—106 (1984).

Cahen M., Wallach N. Lorentzian symmetric spaces, Bull AMS 76, 585—591 (1970).

Choquet-Bruhat Y., De Witt-Morette C., Dillard-Bleick M. Analysis, Manifolds 8nd Physics, North-Holland, Amsterdam (1977).

Choquet-Bruhat Y., Leray J. Le probleme de Dirichlet quasi lineaire d*ordre 2, C. R. Acad. Sc. Paris 214, 81—85 (1972). Chavel L Riemannian symmetric spaces of rank one, Marcel Dekker, New York (1972).

Cheeger J. Some examples of manifilds of non-negative curvature, J. Diff. Geom. 8, 623—628 (1973).

Cheeger J., Ebin D. Comparisons theorems in Rierhannian Geometry, North Holland, Amsterdam (1975).

Cheeger J., Gromoll D. The splitting theorem for manifolds of non-negative Ricci curvature, J. of Diff. Geometry 6, 119—128 (1971).

Cheeger J., Gromoll D. On the structure of complete manifolds Of nonnegative curvature, Annals of Math. 96, 413—443 (1972). Chevalley C. Theory of Lie groups, Princeton Math. Series, N 8 (1946). [Имеется перевод: Шевалле К. Теория групп Ли. Т. L —М.: ИЛ, 1948.]

Chen В. Y., Vanchecke L. Differential geometry of geodesic spheres, J. reine angew. math. 325, 28—67 (1981).

Cheng S. Y., Yau S. T. On the regularity of the Monge- Ampere equation det (d2u/dxidyj) — FG，У), Comm. Pure and App. Math. 30, 31—68 (1977).

Cheng S. Y., Yau S. T. On the existence of a complete Kahler metric on non compact complex manifolds and the regularity of Fefferman*s equation, Comm. Pure Applied Math. 33, 507— 544 (1980).

Chern S. S. An elementary proof of the existence of isothermal parameters on a surface, Proc. Amer. Math. Soc. 6, 771—782 (1955).

Chern S, S. Complex manifolds without potential theory. Second Edition, Universitext, Springer, Berlin (1979).

Chern S. S. Geometry of characteristic classes. Proc. 13th Bien- nal Seminar, Canadian Math. Congress, 1—40 (1972), now an appendix in {Chr 2].

[Coh][Со-Hi][Сои](Crr][DA-Ni 1][DA-№ 2][DAt】[DA-Zi][De-Ka][De-Kol[Del][Der 1][Der 2][Der 3][Der 4][Der 5][Der 6]2е*П[Pe-Ro][Coh][Со-Hi][Сои](Crr][DA-Ni 1][DA-№ 2][DAt】[DA-Zi][De-Ka][De-Kol[Del][Der 1][Der 2][Der 3][Der 4][Der 5][Der 6]2е*П[Pe-Ro]

[Coh]

[Со-Hi]

[Сои]

(Crr]

[DA-Ni 1]

[DA-№ 2]

[DAt】

[DA-Zi]

[De-Ka]

[De-Kol

[Del]

[Der 1]

[Der 2]

[Der 3]

[Der 4]

[Der 5]

[Der 6]

2е*П

[Pe-Ro]

[Coh]

[Со-Hi]

[Сои]

(Crr]

[DA-Ni 1]

[DA-№ 2]

[DAt】

[DA-Zi]

[De-Ka]

[De-Kol

[Del]

[Der 1]

[Der 2]

[Der 3]

[Der 4]

[Der 5]

[Der 6]

2е*П

[Pe-Ro]

Cohn-Vossen S. Totalkiimmung und geodatische Linien auf Einfach Zusammenhangenden, offenen, vollstandigen Flachen- stiicken, Mat. Sb. 43, 139—163 (1936). [Имеется перевод: Кон-Фоссен С. Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом. — М.: Физматгиз, 1959.]

Courant R., Hilbert D. Methods of Mathematical Physics, II, Interscience-Wiley, New York (1962). [Имеется перевод: Курант Р.» Гильберт Д. Уравнения с частными производными.—М.: Мир, 1964.]

Courant R. Dirichlefs principle, conformal mapping, and minimal surface, In terscience-Wi ley, New York, (1950). [Имеется перевод: Кураит P. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности.—М.: ИЛ, 1953.]

Carr R. 4-manifolds of positive scalar curvature, PhD thesis, Stony Brook (1984).

D'Atri J. E., Nickerson H. К Divergence-preserving geodesic symmetries, J. Differential Geometry 3, 467—476 (1969).

D'Atri J. E., Nickerson H. K. Geodesic symmetries in spaces with special curvature tensors, J. Differential Geometry 9, 251—262 (1974).

D'Atri J. E. Geodesic spheres and symmetries in naturally reductive spaces. Michigan Math. J. 22, 71—76 (1975).

D'Atri J. E., Ziller W. Naturally reductive metric and Einstein metrics on compact Lie groups, Memoirs Amer. Math. Soc. 18, No. 215 (1979).

DeTurck D., Kazdan J. Some regularity theorems in Riemannian geometry, Ann. Scient. Ec. Norm Sup 4° serie, 14, 249—260 (1981).

DeTurck D., Koiso N. Uniqueness and non-existence of metrics with prescribed Ricci curvature, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. 14, 249—260 (1984).

Deloff E. D. Naturally reductive metrics and metrics with volume preserving geoaesic symmetries on NC algebras. Thesis, Rutgers (1979).

Derdzinski A, On compact Riemannian manifolds with harmonic curvature, Math. Ann. 259, 145—152 (1982).

Derdzinski A. Some remarks on the local structure of Codazzi tensors, in Global differential geometry and global analysis. Lecture Notes in Math, No. 838, Springer-Verlag, Berlin, a 251—255 (1981).

Derdzinski A. Self-dual Kahler manifolds and Einstein manifolds of dimension four. Comp. Math. 49, 405—433 (1983). Derdzinski A. An easy construction of new compact Riemannian manifolds with harmonic curvature (Preliminary report). Preprint SFB 40-MPI n° 21, Bonn (1983).

Derdzinski A. Heripitign Einstein metrics, in «Globa! Riemannian Geometry, ed. N. Hitchin., T. J. Willmore, Ellis Horwood, Chichester (1984).

Derdzinski A. Riemannian metrics with harmonic curvature on 2-sphere bundles over compact surfaces, Preprint Math. Sci. Res. Inst., Berkeley (1985).

Derdzinski A., Rigas A. Unflat connections in 3-sphere bundles over S< Trans. Д. M, S, 266, 485—493 (1981).

Derdzinski A., Roter W. On conformally symmetric manifolds with metrics of indices 0 and 1, Tensor, N. S. 31, 255— 259 (1977).

[De-Sh]

Derdzinski A., Shen C. L. Codazzi tensor fields, curvature and Pontryagin forms. Proc. London Math. Soc. 47, 15—26 (1983).

[DeT 1]

DeTurck D. Metrics with prescribed Ricci curvature, in Seminar on Differential Geometry, ed. S. T. Yau, Annals of Math Studies 102, Princeton University Press, Princeton, 525—537 (1982). '

[DeT 2]

DeTurck D. Existence of metrics with prescribed Ricci curvature: Local theory, Inventiones Math. 65, 179—201 (1981).

[DeT 3]

DeTurck D. The Cauchy problem for Lorentz metrics with prescribed Ricci curvature, Compositio Math. 48, 327—349 (1983).

[DeT 4]

DeTurck D. Deforming metrics in the direction of their ,Ricci tensors, J. Differential Geometry 18, 157—162 (1983); the corrected version, preprint, U. of Pennsylvania).

[DeT 5]

DeTurck D. Non linear Douglis-Nirenberg systems in geometry, lecture notes. Universita di Roma (1982).

[Die]

Dieudonne J. Fondements de Г Analyse Moderne, Cahiers Sci. 28, Gauthier-Villars, Paris (1963).

[Di-Pf]

Diedrich K・，Pflug P. Uber Gebiete mit vollstandiger Kahlef- metrik. Math. Ann. 257, 191—198 (1981).

[D-G-M-S]

Deligne P., Griffiths Ph., Morgan J., Sullivan D. Real homotopy theory of Kahler manifolds, Inventiones math. 29, 245—274 (1975).

[DoM]

Doti-Miatello I. Ricci curvature of left-invariant metrics on solvable unimodular Lie groups. Math. Zeit. 180, 257—263 (1982).

[Don]

[Do-Ni]

Donaldson S. An application of Gauge Theory to four-dimensional topology, J. Diff. Geom. 18, 279—315 (1983).

Douglis A., Nirenberg L. Interior estimates for elliptic systems of partial differential equations, Comm. Pure and Appl. Math. 8, 503—538 (1955).

[DT-Go] [Du-Ni-Po]

FDyn 1] [Dyn 2] [Ea-Ee] 圧 bi 1]

DeTurck D., Goldschmidt H. Preprint Univ. Pennsylvania, Philadelphia, PA (1984).

Duff M. J., Nilsson В. E. W., Pope C. N. Kaluza-Klein supergravity, Phys. Rep. 130, 1—142 (1986).

Дынкин E. Б. Полупростые подалгебры полупростых алгебр Ли. — Матем. 72, 349—462 (1952).

Дынкин Е. Б. Максимальные подгруппы классических

групп. — Тр. Моск, матем. об-ва 1, 39—166 (1952).

Earle С. J., Eells J. A. Fibre bundle description of Teich- muller theory, J. Differential Geoni. 3, 19—43 (1969).

Ebin D. G. Espace des metriques riemanniennes et mouvement des fluides via les varietes d*applications, Ecole Polytedhnique*

[Ebi 2] 圧 e-Le] 圧 e-Sa] 圧 g-Gi-Ha]

Paris (1972).

Ebin D. G. The space of Riemannian metrics. Proc. Syrnp. AMS n° 15, Global analysis； 11—40 (1968).

Eells J., Lemaire L. A report on harmonic maps, Btll. London Math. Soc. 10, 1—68 (1978).

Eells J., Sampson J. M. Harmonic mappings of Riemannian manifolds, Am. J. Math. 86, 109—160 (1964).

Eguchi T., Gilkey P., Hanson A. J. Gravitation, Gauge Theories and Differential Geometry, Physical Reports 66. 213—393 (1980).

[Eg-На][Ehr 1][Ehr 2][Ein][Eis][EH][Eps][Es-OS][Esc][Es-He]圧va][Fa-La-Po][Fef][Fer][Fjk][Fra][Fre][Fr-Gr][Fri] [Fr-Ku][Frs][Eg-На][Ehr 1][Ehr 2][Ein][Eis][EH][Eps][Es-OS][Esc][Es-He]圧va][Fa-La-Po][Fef][Fer][Fjk][Fra][Fre][Fr-Gr][Fri] [Fr-Ku][Frs]

[Eg-На]

[Ehr 1]

[Ehr 2]

[Ein]

[Eis]

[EH]

[Eps]

[Es-OS]

[Esc]

[Es-He]

圧va]

[Fa-La-Po]

[Fef]

[Fer]

[Fjk]

[Fra]

[Fre]

[Fr-Gr]

[Fri] [Fr-Ku]

[Frs]

[Eg-На]

[Ehr 1]

[Ehr 2]

[Ein]

[Eis]

[EH]

[Eps]

[Es-OS]

[Esc]

[Es-He]

圧va]

[Fa-La-Po]

[Fef]

[Fer]

[Fjk]

[Fra]

[Fre]

[Fr-Gr]

[Fri] [Fr-Ku]

[Frs]

Eguchi T., Hanson A. J. Asymptotically flat self dual solutions to Euclidean Gravity, Phys. Lett. 237, Lett. 249—251 (1978).

Ehresmann C. Les connexions inifinitesimales dans un espace fibre differentiable, Colloque de Topologie, Bruxelles, 29—55 (1950).

Ehresmann C. Sur la theorie des espaces fibres, Colloque international du CNRS n° 2, Paris 1947, CNRS, Paris, 3—15 (1949).

Einstein A. Naherungsweise Integration der Feldgleichungen der Gravitation, S. B. Preuss. Akad. Wiss., 688—696 (1916). Eisenhart L. P. Riemannian Geometry, Princeton University Press, Princeton (1966). [Имеется перевод: Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия. — М.: ИЛ, 1948.]

Eliasson Н. Т. On variations of metrics, Math. Scand. 29, 317—327 (1971). '

Epstein D. B. A. Natural tensors on Riemannian manifolds, J. Differential Geometry 10, 631—645 (1975).

Eschenburg J. H., O^ullivan J. Jacobi tensors and Ricci curvature, Math. Ann. 252, 1—26 (1980).

Eschenburg J. H. New examples of manifolds with strictly positive curvature. Invent. Math. 66, 496—480 (1982).

Eschenburg J. H., Heintze E. An elementary proof of the Cheeger-Gromoll splitting theorem, Preprint, Math. Institut der Universitat Munster.

Evans L. C. Classical solutions of fully non linear, convex 2nd order elliptic equations. Comm. Pure Appl. Math. §5, 333— 363 (1982).

Fathi A., Laudenbach F., Poenaru V. Travaux de Thurston sur les surfaces, Asterisque 66—67, Soc. Math, de France, Pa> ris (1980).

Fefferman C. Monge-Ampere equations, the Bergman kernel, and geometry of pseudo-convex domains, Ann. of Math. 103, 395—416 (1976).

Ferrand J. Les geodesiques des structures conformes, C. R Acad. Sci. Paris 294, 629—632 (1982).

Fujiki A. On primitively symplectic compact Kahler V-mani- folds of dimension four, in «Classification of algebraic and analytic manifolds, ed. Ueno, Progress in Math. n° 39, Birkhauser (1983).

Frankel T. Gravitational curvature. Freeman, Boston (1979). Freudenthal H. Bericht uber die Theorie der Rosenfeldschen elliptischen Ebenen, in Proc. Coll. «Algebraic and Topological Foundations of Geometry», Utrecht 1959, Pergamon Press, Oxford, 35—37 (1962). '

Fritsche К.» Grauert H. Several complex variables. Graduate texts in Math. 38, Springer-Verlag, New York (1976). Friedman A. Partial Differential Equations, Holt, New York (1969).

Friedrich T., Kurke H. Compact four-dimensional self dual Einstein manifolds with positive scalar curvature, Math. Nacbr 106, 271—299 (1982).

Ferus D. A remark on Codazzi tensors in constant curvature spaces. Global Differential Geometry and Global Analysis, Lecture Notes in Math. No 838, Springer-Verlag, Berlin, p. 257 (1981).

[Fue][Fuji [Fu-Mo][Fut 1]fFut 2][Gal 1][Gal 2][Gal 3][Gal 4][Gal 5][Gao][Gas 11[Gas 2] [Gas 3] [Gau]fGa-Ya]FGer][Cil][Gi・Tr][Go-Ke]『Gol][Fue][Fuji [Fu-Mo][Fut 1]fFut 2][Gal 1][Gal 2][Gal 3][Gal 4][Gal 5][Gao][Gas 11[Gas 2] [Gas 3] [Gau]fGa-Ya]FGer][Cil][Gi・Tr][Go-Ke]『Gol]Fueter R. Die Funktionentheorie des Differentialgleichungen Д« = 0 und ДД« = 0 mit vier reellen Variabeln, Comment. Math. Helv. 7, 307—330 (1935).

[Fue]

[Fuji [Fu-Mo]

[Fut 1]

fFut 2]

[Gal 1]

[Gal 2]

[Gal 3]

[Gal 4]

[Gal 5]

[Gao]

[Gas 11

[Gas 2] [Gas 3] [Gau]

fGa-Ya]

FGer]

[Cil]

[Gi・Tr]

[Go-Ke]

『Gol]

[Fue]

[Fuji [Fu-Mo]

[Fut 1]

fFut 2]

[Gal 1]

[Gal 2]

[Gal 3]

[Gal 4]

[Gal 5]

[Gao]

[Gas 11

[Gas 2] [Gas 3] [Gau]

fGa-Ya]

FGer]

[Cil]

[Gi・Tr]

[Go-Ke]

『Gol]

Fujitani T. Compact suitably pinched Einstein manifolds. Bull. Faculty Liberal Arts, Nagasaki Univ. 19, 1—5 (1979).

Futaki A., Morita S. Invariant polynomials of the automorphism group of a compact complex manifold, J. Differential Geom. 21, 135—142 (1985).

Futaki A. An obstruction to the existence of Einstein Kahler metrics, Inven. Math. 73, 437—443 (1983).

Futaki A. On compact Kahler manifolds of constant scalar curvature. Proc. Japan. Acad. Sci. 59, 401—402 (1983).

Gallot S. Varietes dont Ie spectre reseble a celui de la sphere, Asterisque 80, 33—52, Soc. Math, de France, Paris (1980).

Gallot S. Estimees de Sobolev quantitatives sur les varietes riemanniennes et applications, Comptes rendus Acad. Sci. Paris, 292, 375—377 (1981).

Gallot S. Minorations sur le 斯 des varietes riemanniennes, Seminaire Bourbaki n° 569, Lecture Notes 901, Springer, Berlin (1981).

Gallot S, Inegalites isopermetriques, courbure de Ricci et invariants geometriques I, Comptes rendus Acad. Sci. Paris, 296, 365—368 (1983).

Gallot S. Inegalites isoperimetriques, courbure de Ricci et invariants geometriques II, Comptes rendus Acad. ScL Paris, 296, 365—368 (1983).

Gao L. Z. The construction of negative Ricci curved manifolds. Math. Ann. 271, 185—208 (1985).

Gasqui J. Sur la courbure de Ricci d'une connexion lineaire, Comptes rendus Acad. Sci. Paris, Serie A 281, 283—288 (1975). Gasqui J. Connexions a courbure de Ricci donnee, Math. Z. 168, 167—179 (1979).

Gasqui J. Sur la resolubilite locale des equations d'Einstein, Compositio Math. 47, 43—69 (1982).

Gauss C. F. Allgemeine Auflosung des Aufgabe die Theile einer gegebenen Fl ache auf einer andern gegebenen Fl ache so abzu- bilaen, dass die Abbildung dem algebildeten in den kleinsten Theilen ahnlich wird. Opera omnia t. IV, p. 193 (1825).

Gao L Z., Yau S. T. The existence of negatively Ricci curved metrics on three-manifolds, to appear in Inventiones Math.

Geroch R. Positive sectional curvature does not imply positive Gauss-Bonnet integrand, Proc. Am. Math. Soc. 54, 267—270 (1976).

Gilkey P. The index theorem and the heat equation. Math. Leet. Series, Publish or Perish Inc., Boston (1974).

Gilbarg S., Trudinger N. S. Elliptic partial differential equations of second order, second edition, Grundlehren series, v. 224, Springer-Verlag, Berlin (1983).

Goldberg J. In., Kerr R. V. Some applications of the infinitesimal holonomy group to the Petrov classification of Einstein spaces, J. of Math. Physics 2, 327—332 (1961); Kerr R. V., Goldberg J. N. Einstein spaces with 4 parameter holonomy group, J. of Math. Physics 2, 332—336 (1961). Goldberg S. I. Integrability of almost Kahler manifolds, Proc. A. M. S. 21, 96—100 (1969).

[Gotl[Gra 1] [Gra 2][Gra 3][Gra 4] fGra 5][Gra 6] fGra 7] [Gre] [G『f] [Gr・Ha][Gr-Ha-Val[Gr-He] [Gril [Gr-La-1][Gr-La 2][Gr-La-3][Gr-Me] [Gr-KLMe]fGro 1] [Gro 2] [Gro 3] [Gro 4}[Gotl[Gra 1] [Gra 2][Gra 3][Gra 4] fGra 5][Gra 6] fGra 7] [Gre] [G『f] [Gr・Ha][Gr-Ha-Val[Gr-He] [Gril [Gr-La-1][Gr-La 2][Gr-La-3][Gr-Me] [Gr-KLMe]fGro 1] [Gro 2] [Gro 3] [Gro 4}Goto M. On algebraic homogeneous spaces, Amer. J. Math. 76, 811—818 (1954).

[Gotl

[Gra 1] [Gra 2]

[Gra 3]

[Gra 4] fGra 5]

[Gra 6] fGra 7] [Gre] [G『f] [Gr・Ha]

[Gr-Ha-Val

[Gr-He] [Gril [Gr-La-1]

[Gr-La 2]

[Gr-La-3]

[Gr-Me] [Gr-KLMe]

fGro 1] [Gro 2] [Gro 3] [Gro 4}

[Gotl

[Gra 1] [Gra 2]

[Gra 3]

[Gra 4] fGra 5]

[Gra 6] fGra 7] [Gre] [G『f] [Gr・Ha]

[Gr-Ha-Val

[Gr-He] [Gril [Gr-La-1]

[Gr-La 2]

[Gr-La-3]

[Gr-Me] [Gr-KLMe]

fGro 1] [Gro 2] [Gro 3] [Gro 4}

Gray A. Weak holonomy groups. Math. Z. 123, 290—300 (1971).

Gray A. Riemannian manifolds with geodesic symmetries of order 3, J. Differential Geometry 7, 343—369 (1972).

Gray A. Invariants of curvature operators of four-dimensional Riemannian manifolds, Proc. 13th biennal Seminar Canadian Math. Congress, v. 2, 42—65 (1972).

Gray A. Compact Kahler manifolds with non-negative sectional curvature, Inventiones Math. 41, 33—43 (1977).

Gray A. Einstein-like manifolds which are not Einstein, Geo- metriae Dedicata 7, 259—280 (1978).

Gray A. Pseudo-Riemannian almost product manifolds and submersions, J. Math. Meeh. 16, 715—737 (1967).

Gray A. A note on manifolds whose holonomy group is a subgroup of Sp(n)Sp(l), Mich. Math. J. 16, 125—128 (1965).

Greub W. H. Pontrjagin classes and Weyl tensors, Comptes rendus Math. Rep. Acad, Sci. Canada 3, 177—182 (1981).

Greenleaf F. P. Invariant means on topological groups. Van Nostrand, New York (1969).

Griffiths P. H., Harris J. Principles of algebraic geometry, Wiley-Interscience, New York (1978). [Имеется перевод: Гриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии.—— М.: Мир, 1982.]

Greub W., Halperin S., Vanstone R. Connections, curvature and cohomology (3 volumes), Academic Press, London (1972— 73—76).

Gray A., Hervella L. The sixteen classes of almost Hermi- tean manifolds, Ann. Mat. Рига e App. 123, 35—58 (1980). Griffiths P. The extension problem in complex analysis II, Amer. J. Math. 88, 366—446 (1966).

Gromov M., Lawson H. B. Spin and scalar curvature in the presence of a fundamental group, Ann. of Math. Ill, 209— 230 (1980).

Gromov M., Lawson H. B. The classification of simply con* nected manifolds of positive scalar curvature, Ann. of Math. Ill, 423—434 (1980).

Gromov M., Lawson H. B. Positive Scalar curvature and the Dirac operator on complete Riemannian manifolds, Publ. Math. I. H. E. S. 58, 83—196 (1983).

Gromoll D., Meyer W. An exotic sphere with nonnegative sectional curvature, Ann. of Math. 100, 401—406 (1974).

Gromoll D., KKngenberg W., Meyer W. Riemannsche Geometric im Grossen, Lecture Notes n° 55, Springer-Verlag, Berlin (1988). [Имеется переаод: Громол Д., Клиигенберг В.» Мейер В. Риманова геометрия в целом. — М.: Мир, 1971.) Gromov М. Structures metriques pour Ies varietes riemannien- nes, Cedic Nathan, Paris (1981).

Gromov M. Volume bounded cohomology, Publ. Math. I. H. E. S. 56, 5—99 (1982).”

Gromov M. Filling Riemannian manifolds, J. Diff. Geo. 18, 1—147 (1983).

Gromov M. Oral communication (1983).

[Gro 5][Gro 61[Grr] fGrt][Gr-Va][Gu-St] [Hae] [Ha-El][Ham 1] [Ham 2] (Ham 3] [Ham 4] fHa-Oz](Heil[He-Ka][Hei 1](Hei 21[Her][Hie] [Hi-Re][Hil][Hir][Gro 5][Gro 61[Grr] fGrt][Gr-Va][Gu-St] [Hae] [Ha-El][Ham 1] [Ham 2] (Ham 3] [Ham 4] fHa-Oz](Heil[He-Ka][Hei 1](Hei 21[Her][Hie] [Hi-Re][Hil][Hir]

[Gro 5]

[Gro 61

[Grr] fGrt]

[Gr-Va]

[Gu-St] [Hae] [Ha-El]

[Ham 1] [Ham 2] (Ham 3] [Ham 4] fHa-Oz]

(Heil

[He-Ka]

[Hei 1]

(Hei 21

[Her]

[Hie] [Hi-Re]

[Hil]

[Hir]

[Gro 5]

[Gro 61

[Grr] fGrt]

[Gr-Va]

[Gu-St] [Hae] [Ha-El]

[Ham 1] [Ham 2] (Ham 3] [Ham 4] fHa-Oz]

(Heil

[He-Ka]

[Hei 1]

(Hei 21

[Her]

[Hie] [Hi-Re]

[Hil]

[Hir]

Gromov M. Hyperbolic manifolds according to Thurston and Jorgensen, Seminaire Bourbaki n° 546, Lecture Notes 842, Springer, Berlin (1981).

Gromov M. Hyperbolic manifolds, groups and actiot.s, in Seminar on Diff. Geometry, ed. S. T. Yau, Ann. of Math. Studies 102, Princeton Univ. Press, Princeton (1982).

Gerretsen J. Ch. Tensor calculus and differential geometry, P. Noordhoff N. V., Groningen (1962).

Grauert H. Charakterisierung der Holomorphiegebiete durch die Vollstandige Kah'lersche Metrik, Math. Am. 131, 38—75 (1956).

Gray A., Vanhecke L. Riemannian geometry as determined by the volume of small geodesics balls, Acta Math. 142, 157— 198 (1979).

Guillemin V., Sternberg S. Symplectic techniques in physics, Cambridge Univ. Press, Cambridge (1984).

Haefliger A. Varietes feuilletees, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 16, 367—397 (1962).

Hawking S., Ellis G. The large scale structure of space-time, Cambridge University Press, Cambridge (1973).

Hamilton R. S. The inverse function theorem of Nash and Moser, Bull. Amer. Math. Soc. (New series) 7, 65—222 (1982). Hamilton R. S. Three manifolds with positive Ricce curvature, J. Diff. Geom. 17, 255—306 (1982).

Hamilton R. S. The Ricci curvature equation, Lecture notes. Math. Sci. Research Inst. Berkeley, (1983).

Hamilton R. S. Four-manifolds with positive curvature operator, Preprint U. S. San Diego (1985).

Hano J., Ozeki H. On the holonomy group of linear connections, Nagoya Math. J. 10, 97—100 (1956).

Heintze E. Riemannsche solvmanigfaltigkeiten, Geom. Dedicata 1, 141—147 (1972).

Heintze E., Karcher H. A general comparison theorem with applications to volume estimates for submanifolds, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 11, 451—470 (1978).

Helgason S. Differential geometry and symmetric spaces. Аса- demic Press New York and London (1962), second edition (1978). [Имеется перевод: Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и сим метрически е пространства. — М.: Мир, 1964.1 Helgason S. The Radon transform, Birkhauser, Basel (1980). [Имеется перевод: Хелгасон С. Преобразование Радона.——М.: Мир, 1983.1

Hermann R. A sufficient condition that a mapping of Riemannian manifolds be a fibre bundle, Proc. A. M. S. 11, 236—242 (I960).

Hicks N. Linear perturbations of connections, Michigan Math. J. 12, 389—397 (1965).

Hiepko S., Reckziegel H. Uber spharische Blatterungen und die Vollstandigkeit ihrer Blatter, Manuscripta Math. 31, 269— 283 (1980).

Hilbert D. Die grundlagen der physik, Nach. Ges. Wiss. Gottingen, 461—472 (1915). [Имеется перевод в сб. Вариационные принципы механики. — М.: Фйзматгиз, 1959, с. 589—598.] Hirzebruch F. New topological methods in algebraic topology, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York (1966). [Имеет-

ся перевод: Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии. — М.: Мир, 1973.]

[Hit 1] Hitchin N. On compact four-dimensional Einstein manifolds, J. of Diff. Geometry 9, 435—442 (1974).

[Hit 2]Hitchin N. Harmonic spinors, Adv. in Math. 14, 1—55 (1974).

[Hit 3]Hitchin N. On the curvature of rational surfaces, in «Differen

tial Geometry», Proc, of symp. Pure Math. 27, 65—80 (1975).

[Hit 4]Hitchin N. Polygons and gravitons. Math. Proc. Camb. Phil.

Soc. 85, 465—476 (1979).

[Hit 5]Hitchin N. Kahlerian twistor spaces, Proc. London Math. Soc.

133—150 (1981).

[Hit 6]Hitchin N. Metrics on moduli spaces, Proceedings of Lefschetz

Centennial Conference, Mexico City (1984), to appear in Contemporary Mathematics.

fH-K-L-R] Hitchin N. J., Karlhede A., Lindstrom U., Rocek M. Hyperkahler metrics and supersymmetry, to appear.

[Hoc]Hochshild G. The structure of Lie Groups, Holden-Day, San

Francisco (1965).

[Hop]Hopf E. Elementare Bemerkungen fiber die Losungen partieller

Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typ, Sitz. Ber. Preuss. Ak. d. Wiss. 19, 147—152 (1927).

[Ног 1] Hormander L. The Frobenius-Nirenberg theorem, Arkiv for Mathematik 5, 425—432 (1964).

[Ног 2] Hormander L. Pseudo differential operators and non-elliptic boundary problems, Ann. of Math. 83, 129—209 (1966). [Имеется перевод в сб. Псевдодифференциальные операторы.—— М.: Мир, 1967, с. 166—296.1

fHu-Sn] Huckleberry А. Т., Snow D. М. Almost homogeneous manifolds with hypersuf ace orbit, Osaka Math. J. 19, 763—786 (1982).

[Ino]Inoue A. On Yamabe's problem by a modified direct method,

Tohoku Math. J. 34, 499—507 (1982).

fish 11Ishihara S. Homogeneous Riemannian spaces of four dimen

sions, J. Math. Soc. Japan 7, 345—370 (1955).

[Ish 2]Ishihara S. Quaternion Kahlerian manifolds, J. of Diff. Geom.

483—500 (1974).

[Iwa]Iwamoto H. On the structure of Riemannian spaces whose

holonomy fix a null system, Tohoku Math. J. 1, 109—135 (1950).“

『Jac]Jackiw R. Quantum meaning of classical field theory, Rev.

Modern Phys. 49, 681—706 (1977).

[Jan]Janet M. Sur la possibilite de plonger un espace riemannien

donne dans un espace euclidien, Ann. Soc. Pol. Math. 5, 38— 42 (1926).

[Jen 1] Jensen G. R. Homogeneous Einstein spaces of dimension 4, J. of Diff. Geom. 3, 309—349 (1969).

[Jen 2] Jensen G. R. The scalar curvature of left invariant Riemannian metrics, Indiana Univ. Math. J. 20, 1125—1143 (1971).

[Jen 3]Jensen G. R. Einstein metrics on principal fibre bundles, J.

Diff. Geom. 8, 599—614 (1973).

『Jen 4] Jensen G. R. Imbeddings of Stiefel manifolds into Grassma- nians, Duke Math. J. 42, 397—407 (1975).

[Jin]Jin Z. Conformal deformation of Riemannian metrics on a

class of non-compact complete Riemannian manifolds and the Yamabe problem. Preprint (1986).

『Joh]Johannsen K. Homotopy equivalence of 3-manifolds with boun

daries, Lecture Notes 761, Springer, Berlin (1979).

[Jor]fKa-Kr][Ka-Ma][Кар 1][Кар 2]ГКар 3] [Kat][Ka-Wa 1][Ka-Wa 2][Ka-Wa 3]fKa-Wa 4][Ka-Wa 5][Kaz 1]「Kaz 2] [Kaz 3] [Kir][Kle][Jor]fKa-Kr][Ka-Ma][Кар 1][Кар 2]ГКар 3] [Kat][Ka-Wa 1][Ka-Wa 2][Ka-Wa 3]fKa-Wa 4][Ka-Wa 5][Kaz 1]「Kaz 2] [Kaz 3] [Kir][Kle]Jorgensen T. Compact 3-manifolds of constant negative curvature fibring over the circle, Ann. of Math. 106, 61—72 (1977).

[Jor]

fKa-Kr]

[Ka-Ma]

[Кар 1]

[Кар 2]

ГКар 3] [Kat]

[Ka-Wa 1]

[Ka-Wa 2]

[Ka-Wa 3]

fKa-Wa 4]

[Ka-Wa 5]

[Kaz 1]

「Kaz 2] [Kaz 3] [Kir]

[Kle]

[Jor]

fKa-Kr]

[Ka-Ma]

[Кар 1]

[Кар 2]

ГКар 3] [Kat]

[Ka-Wa 1]

[Ka-Wa 2]

[Ka-Wa 3]

fKa-Wa 4]

[Ka-Wa 5]

[Kaz 1]

「Kaz 2] [Kaz 3] [Kir]

[Kle]

Kazdan J. L., Kramer R. Invariant criteria for existence of solutions to second order quasilinear elliptic equations. Comm. Pure Appl. Math. 31, 619—645 (1978).

Каждая Д., Маргулис Г. А. Доказательство гипотезы Сель- берга. — Мат. сборник, 1968, т. 75 (117), с. 163—168.

Kaplan A. Fundamental solutions for a class of hypoelliptic PDE generated by composition of quadratic forms, Trans. Amer. Math. Soc. 258, 147—153 (1980).

Kaplan A. Riemannian nilmanifolds attached to Clifford modules, Geom. Dedicata 11, 127—136 (1981).

Kaplan A. On the geometry of groups of Heisenberg type, Bull. London Math. Soc. 15, 35—42 (1983).

Kato T. Perturbation theory for linear differential operators. Grundlehren n° 132, Springer, Berlin (1966). [Имеется перевод: ато T. Теория возмущений линейных операторов.——М.: Мир, 1972.]

Kazdan J. L„ Warner F. W. Curvature functions for compact 2-manifolds, Ann. of Math. 99, 14—^47 (1974). [Имеется перевод в сб. Исследования по метрической теории поверхностей.—М.: Мир, 1980.]

Kazdan J. L., Warner F. W. Existence and Conformals De- formation of metrics with Prescribed Gaussian and Scalar curvature, Ann. of Math. 101, 317一331 (1979). [Имеется перевод в сб. Исследования по метрической теории поверхностей.—М.: Мир, 1980.]

Kazdan J. L., Warner F. W. A Direct approach to the determination of Gaussian and scalar curvature functions. Inven- tiones Math. 28, 227—230 (1975). (Имеется перевод в сб. Исследования по метрической теории поверхностей.——М.: Мир, 1980.]

Kazdan J. L., Warner F. W. Prescribing curvature, in «Differential Geometry», Proc. Amer. Маш. Soc. Symp. Pure Math. 27, 219—226 (1975). [Имеется перевод в сб. Исследования по метрической теории поверхностей.—М.: Мнр, 1980.] Kazdan J. L., Warner F. W. Curvature functions for open 2-ma- nifolds. Ann. Math. 99, 203—219 (1974). [Имеется перевод в сб. Исследования по метрической теории поверхностей.—— М.: Мир, 1980.]

Kazdan J. A remark on the preceding paper of Yau, Comm. Pure and Appl. Math. 31, 413—414 (1978).

Kazdan J. L. Another proof of Bianchi's identity in Riemannian Geometry, Proc. A. M. S. 81, 341—342 (1981).

Kazdan J. L. Deformation to positive scalar curvature on complete manifolds, Math. Ann. 261, 227—234 (1982).

Кириллов А. А. Элементы теории представлений.一М.: Наука, 1972.

F. Klein Vergleichende Berachtungen uber neuere geometrische Forschungen, Math. Ann. 43, 83—100 (1893), or Klein's Ge- ssamelte Mathematische Abhandlungen Springer Berlin, 1921—23, vol. 1, 460—497, or Bull. N. J. Math. Soc. 2, 215 •(1892), or Annales ENS 8, 87—102, 173—199 (1891). [Имеется перевод в сб. Об основаниях геометрии. — М.: ГТТИ, 1956. с. 399—434.1

ГКоЬ 1|[КоЬ 2][КоЬ 3][КоЬ 4][КоЬ 5](КоЬ 6] ГКоЬ 7] ГКоЬ 8] [КоЬ 91 [Kod Ц[Kod 2]fKod 3][Ко-Hi] [Koh][Koi 1] [Koi 21『Koi 31 FKoi 4][Koi 51 fKoi 6] [Koi 7] [Ko-Mol [Ko-Ni-Spl[Ko-No 1]ГКоЬ 1|[КоЬ 2][КоЬ 3][КоЬ 4][КоЬ 5](КоЬ 6] ГКоЬ 7] ГКоЬ 8] [КоЬ 91 [Kod Ц[Kod 2]fKod 3][Ко-Hi] [Koh][Koi 1] [Koi 21『Koi 31 FKoi 4][Koi 51 fKoi 6] [Koi 7] [Ko-Mol [Ko-Ni-Spl[Ko-No 1]Kobayashi S. Remarks on complex contact manifolds. Proc. AMS 10, 164—167 (1959).

ГКоЬ 1|

[КоЬ 2]

[КоЬ 3]

[КоЬ 4]

[КоЬ 5]

(КоЬ 6] ГКоЬ 7] ГКоЬ 8] [КоЬ 91 [Kod Ц

[Kod 2]

fKod 3]

[Ко-Hi] [Koh]

[Koi 1] [Koi 21

『Koi 31 FKoi 4]

[Koi 51 fKoi 6] [Koi 7] [Ko-Mol [Ko-Ni-Spl

[Ko-No 1]

ГКоЬ 1|

[КоЬ 2]

[КоЬ 3]

[КоЬ 4]

[КоЬ 5]

(КоЬ 6] ГКоЬ 7] ГКоЬ 8] [КоЬ 91 [Kod Ц

[Kod 2]

fKod 3]

[Ко-Hi] [Koh]

[Koi 1] [Koi 21

『Koi 31 FKoi 4]

[Koi 51 fKoi 6] [Koi 7] [Ko-Mol [Ko-Ni-Spl

[Ko-No 1]

Kobayashi S. On compact Kahler manifolds with positive definite Ricci tensor, Ann. of Math. 74, 570—574 (1961).

Kobayashi S. Geometry of bounded domains, Trans. Amer. Math. Soc. 92, 267—290 (1959).

Kobayashi S. Transformations groups in differential geometry, Ergebnisse der Mathematik, und Ihre Grenzgebiete, 70, Springer-Verlag, Berlin (1972). [Имеется перевод: Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии.—— М.: Наука, 1986.]

Kobayashi S. First Chern class and holomorphic tensor fields, Nagoya Math. J. 77, 5—11 (1980).

Kobayashi S. Recent results in complex differential geometry, J. be£ d. Dt. Math-Verein 83, 147—158 (1981).*

Kobayashi S. Recent results in complex differential geometry, preprint, Berkeley (1982).

Kobayashi S. Principal fiber bundles with 1-dimensional toroidal group, Tohoku Math. J. 8, 29—45 (1956).,

Kobayashi S. Topology of positively pinched Kahler manifolds, Tohoku Math. J. 15, 121—139 (1963).

Kodaira K. On Kahler varieties of restricted type (an intrinsic characterisation of algebraic varieties), Ann. of Math. 60, 28— 46 (1954).

Kodaira К A theorem of completenes of characteristic systems for analytic families of compact submanifolds of complex manifolds, Ann. Math. 84, 146—162 (1962).

Kodaira K. On the structure of compact complex analytic surfaces I, Amer. J. Math. 86, 751—798 (1964). (Имеется перевод в сб. Математика, 6 : 6, 19—56 (1962).1

Kodaira К., Hirzebruch F. On the complex projective spaces, J. Math, pures et App. 36, 201—206 (1957).

Kohn J. J. Harmonic integrals of strongly pseudo-convex manifolds, I. Ann. of Math. 78, 206—213 (1963).

Koiso N. A decomposition of the space of Riemannian metrics on a manifold, Osaka, J. of Math. 16, 423—429 (1979).

Koiso N. Non deformability of Einstein metrics, Osaka, J. of Math. 15, 419—433 (1978).

Koiso N. On the second derivative of the total scalar curvature, Osaka, J. of Math. 16, 413—421 (1979).

Koiso N. Rigidity and stability of Einstein metrics. The case of compact symmetric spaces, Osaka J. Math. 17, 51—73 (1980). Koiso N. Hyper surf aces of Einstein manifolds, Ann. Sci. de FEcole Norm. Sup., Paris, 14, 433—443 (1981).

Koiso N. Rigidity and infinitesimal deformabilty of Einstein metrics, Osaka J. Math. 19, 643—668 (1982).

Koiso N. Einstein metrics and complex structures, Inventiones Math. 73, 71—106 (1983).

Kodaira K., Morrow J. Complex manifolds, Holt, Rinehart and Winston Inc., New York (1971).

Kodaira K., Nirenberg L.. Spencer D. C. On the existence of deformations of complex analytic structures, Ann. of Math. 68, 450—459 (1958).”

Kobayashi S., Nomizu K. Foundations of differential geometry, vol. I, Interscience Wiley, New York (1963). [Имеется пере-

[Ko-No 2][Kool[Ко-Ос](Kor][Kos] fKo-Sa][Ko-SplfKoz 1][Koz 2] FKra][Krol[Kuil[Kul 1]FKul 2]fKul 3][Laf 1] [Laf 2][Laf 3][Lan 1][Lan 21 (Lan 3] [La-Sp-Ur][Leb][Ko-No 2][Kool[Ко-Ос](Kor][Kos] fKo-Sa][Ko-SplfKoz 1][Koz 2] FKra][Krol[Kuil[Kul 1]FKul 2]fKul 3][Laf 1] [Laf 2][Laf 3][Lan 1][Lan 21 (Lan 3] [La-Sp-Ur][Leb]вод: Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1. — М.: Наука, 1981.]

[Ko-No 2]

[Kool

[Ко-Ос]

(Kor]

[Kos] fKo-Sa]

[Ko-Spl

fKoz 1]

[Koz 2] FKra]

[Krol

[Kuil

[Kul 1]

FKul 2]

fKul 3]

[Laf 1] [Laf 2]

[Laf 3]

[Lan 1]

[Lan 21 (Lan 3] [La-Sp-Ur]

[Leb]

[Ko-No 2]

[Kool

[Ко-Ос]

(Kor]

[Kos] fKo-Sa]

[Ko-Spl

fKoz 1]

[Koz 2] FKra]

[Krol

[Kuil

[Kul 1]

FKul 2]

fKul 3]

[Laf 1] [Laf 2]

[Laf 3]

[Lan 1]

[Lan 21 (Lan 3] [La-Sp-Ur]

[Leb]

Kobayashi S. and Nomizu К. Foundations of differentiable geometry, vol. II, Interscience, Wiley, New York (1969). (Имеется перевод: Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 2. — М.: Наука, 1981.]

Kobayashi О. A differential equation arising from scalar curvature, J. Math. Soc. of Japan 34, 665—675 (1982).

Kobayashi S., Ochiai T. Characterizations of complex projective spaces and hyperquadries, J. Math. Kyoto Univ. 13, 31—47 (1973).

Korn A. Zwei Anwendungen der Methode der suksessiven Annanherungen, Scwarz Festschrift, Berlin, 215—229 (1919). Kostant B. On differential geometry and homogeneous spaces II, Proc. N. A. S. U. S. A. 42. 354—357 (1956).

Koiso N., Sakane Y. Non-homogeneous Kahler-Einstein metrics on compact complex manifolds, Preprint Univ. Osaka (1985). Kodaira K・，Spencer D. C. On deformations of complex analytic structures, I—II, Ann. of Math. 67, 328—466 (1958), III, Ann. of Math. 71, 43—76 (I960).

Koszul J. L. Sur la forme hermitienne canonique des espaces homogenes complexes. Can. J. of Math. 7, 562—576 (1955). Koszul J. L. Sur les /-algebres propres. Preprint (1966).

Kraines V. Y. Topology of quaternionic manifolds, Trans, AMS 122, 357—367 (1966).

Kronheimer P. Gravitational instantons and Kleinian singularities, to appear.

Kuiper N. H. On conformallv flat spaces in the large, Ann. of Math. 50, 916—924 (1949)/-

Kulkarni R. S. Conformally Flat manifolds, Proc. Mat. Acad. Sci. USA 69, 2675—2676 (1972).

Kulkarni R. S. On the Bianchi identities. Math. Ann. 199, 175—204 (1972).

Kulkarni R. S. On the principle of uniformization, J. of Diff. Geom. 13, 109—138 (1978).

Lafontaine J. Remarques sur les varietes conformement plates. Math. Ann. 259, 313—319 (1982).

Lafontaine J. Courbure de Ricci et fonctionneles critiques, C. R. Acad. Sc Paris, 295, 687—690 (1982).

Lafontaine J. Sur la geometrie d'une generalisation de Fequa- tion differentielle d'Obata, J. Math. Pures Appliquees 62, 63<— 72 (1983).

Lanczos C. Ein vereinfachendes Koordinatensystem fur die Einsteinschen Gravitations-gleichungen, Phys. Z 23, 537—539* (1922).

Lanczos C. A remarkable property of the Riemann-Christoffel tensor in four dimensions, Ann. Math. 39, 842—850 (1938). Lanczos C. The splitting of the Riemann tensor. Rev. Modern Phys. 34, 379—389 (1962).

Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева H. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.—— М.: Наука, 1967.

Lebrun С. R. //-spaces with a cosmological constant, Proc. Roy. Soc. Lond. A 380, 171—185 (1982).

[Le-DM](Lem] 『Lev】[Lil[Lie Ц[Lie 2][Lie 3][Lie 4][Lie 5][Lie 6] [Lie] [Lit][Loo][Losl [Mab 1] fMab 2] [Mag][Mai I]『Mai 2][Mal 1] [Mal 21 [Ma-Mo][Le-DM](Lem] 『Lev】[Lil[Lie Ц[Lie 2][Lie 3][Lie 4][Lie 5][Lie 6] [Lie] [Lit][Loo][Losl [Mab 1] fMab 2] [Mag][Mai I]『Mai 2][Mal 1] [Mal 21 [Ma-Mo]Leite M. L., Doti Miatello I. Metrics of negative Ricci curvature on SL(n, R), n > 3, J. of Diff. Geom. 17, 635—641 (1982).

[Le-DM]

(Lem] 『Lev】

[Lil

[Lie Ц

[Lie 2]

[Lie 3]

[Lie 4]

[Lie 5]

[Lie 6] [Lie] [Lit]

[Loo]

[Losl [Mab 1] fMab 2] [Mag]

[Mai I]

『Mai 2]

[Mal 1] [Mal 21 [Ma-Mo]

[Le-DM]

(Lem] 『Lev】

[Lil

[Lie Ц

[Lie 2]

[Lie 3]

[Lie 4]

[Lie 5]

[Lie 6] [Lie] [Lit]

[Loo]

[Losl [Mab 1] fMab 2] [Mag]

[Mai I]

『Mai 2]

[Mal 1] [Mal 21 [Ma-Mo]

Lemaire L. Applications harmoniques de surfaces riemannien- nes, J. Diff. Geom. 13, 51—78 (1978).

Levine M. A remark on extremal Kahler metrics, J. Differential Geom. 21, 73—77 (1985).

Li P. On the Sobolev Constant and the p-spectrum of a compact Riemannian manifold, Ann. Sc. E. N. S. Paris 13, 451— 469 (1980).

Lichnerowicz A. Geometrie des groupes de transformation, Du- nod (1958).

Lichnerowicz A. Propagateurs et comniutateurs et relativite generale, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 10, 293—344 (1961). Lichnerowicz A. Theorie globale des connexions et des groupes d'holonomie, Dunod, Paris (1955). [Имеется перевод: Лихне- рович А. Теория связностей в целом и группы голономий.—— М.: ИЛ, I960.]

Lichnerowicz A. Spineurs harmoniques, С. R. Acad. Sci. Paris 257, 7—9 (1963).

Lichnerowicz A. Espaces homogenes kahleriens, in «Coll. Intern. de geom. differentielle, Strasbourg (1953)», CNRS, Paris, 171—184 (1953).

Lichnerowicz A. Analytic transformations of Kahler manifolds, Mimeo. notes Univ. Illinois (I960).

Seminaire S. Lie (lere annee 1954/55) Ecole Normale Superie- ure, Paris.

Lichtenstein L. Neuere Entwicklung des Theorie partieller Dif- ferenzialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus, in Ens. d. Math. Wiss 2.3.2., 1277—1334 (1924) Teubner, Leipzig (1927).

Looijenga E. A Torelli theorem for Kahler-Einstein КЗ surfaces in «Geometry Sumposium, Utrecht (1980)》，Lecture Notes n° 894, Springer-Ver lag. New York, 107—112 (1982).

Loos O. Symmetric spaces, Benjamin, New York-Amsterdam (1969).

Mabuchi T. A functional integrating Futaki's invariant. Proc. Japan. Acad. Sci. 61, 119—120 (1985).

Mabuchi T. Some symplectic geometry on compact Kahler manifolds, I. Preprint Max-Planck-Institut, Bonn (1986).

Margerin Ch. Pointwise pinched manifolds are spaceforms, in «Geometric Measure Theory and Calculus of Variations, Arcata 1983》，Proc. Amer. Math. Soc. Symp. in Pure Math. 44, 307— 328 (1986).

Maillot H. Sur les varietes riemanniennes a operateur de cour- bure pur, C. R. Acad. Sci. Paris A 278, 1127—1130 (1974).

Maillot H. Sur roperateur de courbure d*une variete rieman- nienne. These (3° cycle), Uni versite Claude-Bernard, Lyon (1974).

Malgrange B. Pseudo-groupes de Lie elliptiques, Seminaire Lera у College de France (1969—70).

Malgrange B. Equations de Lie, I, II, J. Differential geometry 6, 503—522, 7, 117—141 (1972).

Mandelbaum R” Moishezon B. The topological type of algebraic surfaces: Hypersurfaces in Рз(С), Proc. Symp. Pure Math. 30, Part 1, 277—283 (1977).

[Man 1][Мап 2][Man 3]ГМа-Ro][Matl[Маг][Mat 1][Mat 2][Mat 3] fMicl[Mil 11[Mil 21『Mi-Th-Wh][Miy][Moil [Monl[Mo-Sa 11[Mo-Sa 2][Mor][Mos][Mo-Sil『Mo-Ya][Man 1][Мап 2][Man 3]ГМа-Ro][Matl[Маг][Mat 1][Mat 2][Mat 3] fMicl[Mil 11[Mil 21『Mi-Th-Wh][Miy][Moil [Monl[Mo-Sa 11[Mo-Sa 2][Mor][Mos][Mo-Sil『Mo-Ya]Мантуров О. В. Однородные нес нм метр ическне римановы пространства с неприводимой группой вращений.——ДАН СССР, 141, 792—795 (1961).

[Man 1]

[Мап 2]

[Man 3]

ГМа-Ro]

[Matl

[Маг]

[Mat 1]

[Mat 2]

[Mat 3] fMicl

[Mil 11

[Mil 21

『Mi-Th-Wh]

[Miy]

[Moil [Monl

[Mo-Sa 11

[Mo-Sa 2]

[Mor]

[Mos]

[Mo-Sil

『Mo-Ya]

[Man 1]

[Мап 2]

[Man 3]

ГМа-Ro]

[Matl

[Маг]

[Mat 1]

[Mat 2]

[Mat 3] fMicl

[Mil 11

[Mil 21

『Mi-Th-Wh]

[Miy]

[Moil [Monl

[Mo-Sa 11

[Mo-Sa 2]

[Mor]

[Mos]

[Mo-Sil

『Mo-Ya]

Мантуров О. В. Римановы пространства с ортогон альными и симплектическими группами движений н неприводимой группой вращений. — ДАН СССР, 141, 1034—1037 (1961).

Мантуров О. В. Однородные римановы многообразия с неприводимой группой изотропии.——Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 13, 68—145 (1966).

Marchiafava S., Romani G. Sui fibrati con struttura quaternionale generalizzata, Ann. Math. Рига Appl. 107, 131—157 (1976).

Matsumoto H. Quelques remarques sur les espaces riemanniens isotropes, C. R. Acad. Sc. Paris 272, 316—319 (1971).

Marchiafava S. Alcune osservazioni riguardanti i gruppi di Lie C2 e Spin (7), candidati a gruppi di olomonia Annali di Mat. pura ed appl. 129, 247—264 (1981).

Matsushima Y. Sur les espaces homogenes Kahlerens d'un grupe reductif, Nagoya Math. J. 11, 53—60 (1957).

Matsushima Y. Sur la structure du groupe d^omeomorphismes analytiques d*une certaine variete kahlerienne, Nagoya Math. J. 11, 145—150 (1957).

Matsushima Y. Remarks on Kahler-Einstein manifolds, Nagoya Math. J. 46, 161—173 (1972).

Michelsohn M. L. Clifford and spinor cohomology of Kahler manifolds, Amer. J. Math. 102, 1084—1146 (1980).

Milnor J. A note on curvature and fundamental group, J. of Diff. Geom. 2, 1—7 (1968).

Milnor J. Remarks concerning spin manifolds, Differential and combinatorial Topology, a symposium in Honor of Marston Morse, Princeton Univ. Press, Princeton, 55—62 (1965).

Misner C., Thorne K, Wheeler J. Gravitation, Freeman, San Francisko (1973). [Имеется перевод： Мизиер И., Тори К. С., Уиллер Дж. А. Гравитация. — М.: Мир, 1977.]

Miyazawa Т. Some theorems on conformally symmetric spaces, Tensor, N. S. 32, 24—26 (1978).

Mori S. Projective manifolds with ample tangent bundles, Ann. of Math. 110, 593—606 (1973).

Montgomery D. Simply connected homogeneous spaces. Proc. Amer. Math. Soc. 1, 457—469 (1950).

Montgomery D., Samel son H. Transformation groups of Spheres, Annals of Math. 44, 454—470 (1943).

Montgomery D., Samelson H. Groups transitive on the «-dimensional torus. Bull A. M. S. 49, 455—456 (1943).

Моггеу С. В. Multiple Integrals in the Calculus of Variations, Grundlehren Series, vol. 130, Springer-Verlag, Berlin (1966). Mostow G. D. Quasiconformal mapping in n-space and the strong rigidity of hyperbolic space forms, Publ. Math, de 1'I.H.E.S, 34, 53—104 (1968).

Mostow D,, Siu T. A compact Kahler surface of negative curvature not covered by the ball, Ann. of Math. 112, 321—360 (1980).

Mok N., Yau S. T. Completeness of the Kahler-Einstein metric on bounded Riemann domains and the characterization of domains of holomorphy by curvature conditions, in The ma-

[Msr] [MukJ[Mum 1][Mut I] [Mut 2] [Муе 1] [Mye 2] [My-Stl [Nabi fNag][Nai] [Nak] [Nas] [Ne-Ni][Nij 1] (Nij 2] [Nik][Nir 1][Nir 2] [Nir 3][Nir 4] fNom 1][Nom 2][Msr] [MukJ[Mum 1][Mut I] [Mut 2] [Муе 1] [Mye 2] [My-Stl [Nabi fNag][Nai] [Nak] [Nas] [Ne-Ni][Nij 1] (Nij 2] [Nik][Nir 1][Nir 2] [Nir 3][Nir 4] fNom 1][Nom 2]thematical heritage of Henri Poincare, Proc. Symp. Pure Math. 39, part 1, 41—60 (1983).

[Msr] [MukJ

[Mum 1]

[Mut I] [Mut 2] [Муе 1] [Mye 2] [My-Stl [Nabi fNag]

[Nai] [Nak] [Nas] [Ne-Ni]

[Nij 1] (Nij 2] [Nik]

[Nir 1]

[Nir 2] [Nir 3]

[Nir 4] fNom 1]

[Nom 2]

[Msr] [MukJ

[Mum 1]

[Mut I] [Mut 2] [Муе 1] [Mye 2] [My-Stl [Nabi fNag]

[Nai] [Nak] [Nas] [Ne-Ni]

[Nij 1] (Nij 2] [Nik]

[Nir 1]

[Nir 2] [Nir 3]

[Nir 4] fNom 1]

[Nom 2]

Moser J. On the volume element on a manifold, Trans. AMS 120, 286—294 (1965).

Mukai S. Symplectic structure of the moduli space of sheaves on an abelian or КЗ surface, Preprint.

Mumford D. Algebraic geometry I, complex projective varieties, Springer-Verlag, Grundlehren 221, Springer, Berlin (1976). [Имеется перевод: Мамфорд Д. Алгебраическая геометрия. I. Комплексные проективные многообразия. — М.: Мир, 1979J Muto Y. On Einstein metrics, J. Diff. Geom. 9, 521—530 (1974).

Muto Y. Riemannian submersions and critical Riemannian met- rics, J. Math. Soc. Japan 29, 493—511 (1977).

Myers S. B. Riemannian manifold with positive mean curvature, Duke Math. J. 8, 401—^404 (1941).

Myers S. B. Riemannian manifolds in the large, Duke Math. J. 1, 39—49 (1935).

Myers S. B., Steenrod N. The group of isometries of Riemannian rrtanifold, Annals of Math. 40, 400—416 (1939).

Nabonnand P. Snr les varietes riemanniennes completes a cour- bure de Ricci positive, C. R. A. S. 291, 591—593 (1980).

Nagano T. On fibred Riemannian manifolds. Sc. Papers of the college of General Education, Univ, of Tokyo 10, 17—27 (I960).

Наймарк M. А. Теория представлений групп. — М.: Наука, 1976.'

Nakajima К. On j-algebras and homogeneous Kahler mani- folds, Hokkaido Math. J. 15, 1—20 (1986).

Nash J. C. Positive Ricci curvature on fiber bundles, J. of Diff. Geom. 14, 241—254 (1979).

Newlander A., Nirenberg L. Complex analytic coordinates in almost complex manifolds, Ann. of Math. 65, 391—404 (1957).

Nijenhuis .A. On the holonomy group of linear connections. Indag. Math. 15, 233—249, (1953); 16, 17—25 (1954).

Nijenhuis A. A note on infinitesimal holonomy groups. Nagoya Math. J. 12, 145—147 (1957).

Никулин В. Конечные группы автоморфизмов кэлеровых поверхностей типа КЗ. — Тр. Моск, матем. об-ва, 38, 75—137 (1979).

Nirenberg L. Variational and topological methods in non linear problems. Bull. Am. Math. Soc. (New Series) 4, 267— 302 (1981).

Nirenberg L. Topics in non linear functional analysis. New York.University Lecture Notes (1974).

Nirenberg L. The Weyl, and Minkowski problems in differential geometry in the large, Comm. Pure Appli. Math. 6, 337— 394 (1953).

Nirenberg L. Lectures on linear partial differential equations, Amer. Math. Soc. 1973.

Nomizu K. Ori the decomposition of generalized curvature tensor fields, Differential geometry, conference in honor of K. Yano, Kinokiiniya, Tokyo, 335—345 (1972).

Nomizu K. Un theoreme sur les groupes d'holonomie, Nagoya Math. J. i0, 101—103 (1956).

[Nom 3][Oba][Oka 1] [Oka 2] [Oa-Fr-Vn]fOmo][One 11 [One 2][One 3] [Onil [Pag] [Pal 1][Pal 2] [Pal 3][Pal 4][Pal 5] [Pa-Po 1]ГРа-Ро 2] [Par] [Pat] [Pen 1][Pen 21[Nom 3][Oba][Oka 1] [Oka 2] [Oa-Fr-Vn]fOmo][One 11 [One 2][One 3] [Onil [Pag] [Pal 1][Pal 2] [Pal 3][Pal 4][Pal 5] [Pa-Po 1]ГРа-Ро 2] [Par] [Pat] [Pen 1][Pen 21Nomizu K. Lie Groups and Differential Geometry, Publ. Math. Soc. Japan n° 2 (1956). (Имеется перевод: Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. — М.: ИЛ, I960.] Obata М. Certain conditions for a Riemannian manifold to be isometric with a sphere, J. Math. Soc. Japan 14, 333—340 (1962).

[Nom 3]

[Oba]

[Oka 1] [Oka 2] [Oa-Fr-Vn]

fOmo]

[One 11 [One 2]

[One 3] [Onil [Pag] [Pal 1]

[Pal 2] [Pal 3]

[Pal 4]

[Pal 5] [Pa-Po 1]

ГРа-Ро 2] [Par] [Pat] [Pen 1]

[Pen 21

[Nom 3]

[Oba]

[Oka 1] [Oka 2] [Oa-Fr-Vn]

fOmo]

[One 11 [One 2]

[One 3] [Onil [Pag] [Pal 1]

[Pal 2] [Pal 3]

[Pal 4]

[Pal 5] [Pa-Po 1]

ГРа-Ро 2] [Par] [Pat] [Pen 1]

[Pen 21

Oka К Dornaines finis sans point critique interieur, Japanese J. Math. 23, 97—115 (1953).

Oka K. Domaines pseudoconvexes, Tohoka Math. J. 49, 15—52 (1942).

O'Auria R., Fre P., Van Nieuwenhuizen P. ^ — 2 matter coupled supergravity from compactification on a coset G/H possessing an additional Killing vector, Phys. Lett. 136B, 347— 353 (1984).

Omori H. On the group of diffeomorphisms of a complete manifold, Global Analysis, Proc. Sympos. Pure Math. 15, 167— 183 (1968).

O'Neill B. The fundamental equations of a submersion, Mich Math. J. 13, 459—469 (1966).

O'Neill B. Submersions and geodesics, Duke Math J. 34, 363— 373 (1967).

O'Neill B. Semi-riemannian geometry. Academic Press, New York (1983).

Онищик А. Л. Транзитивные компактные группы преобразований. —Матем. сб. 60(102), 447—485 (1963).

Page D. A compact rotating gravitational instanton, Phys. Lett. 79 B, 235—238 (1979).

Palais R. S. Foundations of global non-linear analysis, New York, Benjamin (1968).

Palais R. S. The principle of symmetric criticality, Comm. Math. Phys. 69, 19—30 (1979).、

Palais R. S. Critical point theory and the minimax principle, in global Analysis (Proc. Symp. Pure Math.), Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, XX, 185—212 (1970).

Palais R. S. Applications of the symmetric criticality principle to mathematical physics and differential geometry, in DD2 Proceedings (Shanghai-Hefei 1981), Science Press, Beijing (1984).

Palais R S. The classification of G-spaces, Memoirs of the A. M. S. n° 36 (I960).

Page D. N., Pope C. N. Which compactifications of 0=11 supergravity are stable? Phys. Lett. 144B, 346—350 (1984). Page D. N., Pope C. N. New squashed solutions of D = 11 supergravity, Phys. Lett. 14 7B, 55—60 (1984).

Parker T. H. Gauge theories on four dimensional Riemannian manifolds, Comm. Math. Phys. 85, 563—602 (1982).

Patterson E. H. A class of critical riemannian metrics, J. London Math. Soc. 12, 349—358 (1981).

Penrose R. Nonlinear gravitons and curved twistor theory, Gen. Relativ. Grav. 1, 31—52 (1976). [Имеется перевод в сб. Твисторы н калибровочные поля. — М.: Мир, 1983, с. 225— 249.]

Penrose R. Techniques of differential topology in relativity, SIAM (1972).'

[Per][Per][Pis][Pog 11 [Pog 2] [Pog 3] [Pog 4] [Pol 1] [Pol 2][Poo 1] fPoo 21 fPr-We][Rau][Rbg 1] [Rbg 2]FRha]「Rigl [Rol] [Ros][Rot] [Run][Rya][Sae 1][Pis][Pog 11 [Pog 2] [Pog 3] [Pog 4] [Pol 1] [Pol 2][Poo 1] fPoo 21 fPr-We][Rau][Rbg 1] [Rbg 2]FRha]「Rigl [Rol] [Ros][Rot] [Run][Rya][Sae 1]Perry M. J. Gravitational instantons, in Seminar on Diff. Geometry, ed. S. T. Yau, Ann. Math. Studies n° 102, Princeton Univ. Press, Princeton 603—630 (1982).

[Per]

[Per]

[Pis]

[Pog 11 [Pog 2] [Pog 3] [Pog 4] [Pol 1] [Pol 2]

[Poo 1] fPoo 21 fPr-We]

[Rau]

[Rbg 1] [Rbg 2]

FRha]

「Rigl [Rol] [Ros]

[Rot] [Run]

[Rya]

[Sae 1]

[Pis]

[Pog 11 [Pog 2] [Pog 3] [Pog 4] [Pol 1] [Pol 2]

[Poo 1] fPoo 21 fPr-We]

[Rau]

[Rbg 1] [Rbg 2]

FRha]

「Rigl [Rol] [Ros]

[Rot] [Run]

[Rya]

[Sae 1]

Петров A. 3. Пространства Эйнштейна.—М.: Фнзматгиз, 1961. Pirani F. Survey of gravitational radiation theory, in Recent Developments in General Relativity, Pergamon, Oxford (1962). Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций. — М.: Физматгнз, 1961.

Погорелов А. В. Многомерная проблема Минковского — М.: Наука, 1975.

Pogorelov А. V. Monge-Ampere equations of elliptic type, Noordhoff, Groningen (1964).

Pogorelov A. V. On the improper convex affine hyperspheres, Geonietriae Dedicata 1, 33—疝6 (1972).

Погорелов А. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей.—М.: Наука, 1969.

Polombo A. Nombres caracteristiques d'une variete rieman- nienne de dimension 4, J. of. Diff. Geoni. 13, 145—162 (1978). Polombo A. Nombres caracteristiques d'une surface Kahlerien- ne compacte, C. R. Acad. Sci. Paris A283, 1025—1028 (1976). Poor W. A. Differential Geometric structures, McGraw Hill, New York (1981).

Poor W. A. Some exotic spheres with positive Ricci curvature. Math. Annalen 216, 245—252 (1975).

Protter M. H., Weinberger H. F. Maximum principles in Djfferential Equations, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. J. (1967).

Rauch H. E. A transendental view of the space of algebraic Riemann surfaces, Bull. Amer. Math. Soc. 71, 1—39 (1965).

Rosenberg J. C*-algebras, positive scalar curvature, and the Novikov Conjecture, Publ. I. H. E. S. 58, 197—212 (1983).

Rosenberg J. C*-algebras, positive scalar curvature, and the Novikov Conjecture П, Preprint University of Maryland (1984) (to appear in Proc. U. S. Japan Seminar on «Geometric Methods in Operator Algebras» Kyoto, Japan, 1983, E. Effros and H. Araki, eds).

de Rham G. Sur la r^ductibilite d'un espace de Riemann, Comm. Math. Helv. 26, 328—344 (1952).

Rigas A. Some bundles of nonnegative curvature, Math. Annalen 232, 187—193 (1978).

Rolfsen A. Knots and links, Math. Leet. Ser. 7, Publish or Perish, Boston (1976).

Rosenfeld B. A. Einfache Lie-Gruppen und Nichteuklidische Geometrien, in Proc. Coll «Algebraic and Topological Foundations of Geometry, Utrecht 1959, Pergamon Press, Oxford» p. 135—155 (1962).

Roter W. Some existence theorems on conformally recurrent manifolds, in preparation.

Rund H. The difierential geometry of Finsler spaces, Springer (1959). [Имеется перевод: Рунд X. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств. — М.: Наука, 1981.}

Ryan Р. A note on conformally flat spaces with constant scalar curvature. Proc. 13 biennal Seminar Canadian Math. Coness, vol. 2, 115—124 (1972).

Sakane Y. On compact Einstein-Kahler manifolds with abundant holomorphis transformations, in «Manifolds and Lie

ISae 2] [Sag] [Sak] (Sal 1] [Sal 2] [Sal 3] [Sal 4][Sa-Shl(Sa-Uh] [Sa-Wu][Sch] [See][Scol[Sc-Ya 1][Sc-Ya 2][Sc-Ya 31[Sc-Ya 41[See] jSer 1][Ser 21ISae 2] [Sag] [Sak] (Sal 1] [Sal 2] [Sal 3] [Sal 4][Sa-Shl(Sa-Uh] [Sa-Wu][Sch] [See][Scol[Sc-Ya 1][Sc-Ya 2][Sc-Ya 31[Sc-Ya 41[See] jSer 1][Ser 21groups» (Notre-Dame, Ind. 1980), pp. 337—351, Progr. in Math. 14, Birkhaiiser Boston (1981).

ISae 2] [Sag] [Sak] (Sal 1] [Sal 2] [Sal 3] [Sal 4]

[Sa-Shl

(Sa-Uh] [Sa-Wu]

[Sch] [See]

[Scol

[Sc-Ya 1]

[Sc-Ya 2]

[Sc-Ya 31

[Sc-Ya 41

[See] jSer 1]

[Ser 21

ISae 2] [Sag] [Sak] (Sal 1] [Sal 2] [Sal 3] [Sal 4]

[Sa-Shl

(Sa-Uh] [Sa-Wu]

[Sch] [See]

[Scol

[Sc-Ya 1]

[Sc-Ya 2]

[Sc-Ya 31

[Sc-Ya 41

[See] jSer 1]

[Ser 21

Sakane Y. Examples of compact Einstein Kahler manifolds with positive Ricci tensor, Preprint Univ. Osaka (1985).

Sagle A. A. Some homogeneous Einstein manifolds, Nagoya Math. J. 39, 81—106 (1970)."

Sakamoto K. On the topology of quaternion Kahler manifolds, Tohoku Math. J. 26, 389—405 (1974).

Salamon S. M. Quaternionic manifolds, D. Phil. Thesis, Oxford (1980).

Salamon S. M. Quaternionic Kahler manifolds, Invent. Math. 67, 143—171 (1982).

Salamon S. M. Quaternionic manifolds, Symposia Mathema- tica, 26, 139—151 (1982).

Salamon S. M. Quaternionic structures and twistor space, in «Global Riemannian Geometry», ed. T. J. Willmore and N. Hitchin, Ellis Horwood, Chichester, p. 65一74 (1984).

Сабитов И. X., Шефель С. Связь между порядком гладкости поверхности и ее метрикой. — Сиб. матем. ж. 17, 916— 925 (1976).

Sacks J., Uhlenbeck К. The existence of minimal immersion of 2-spheres, Ann. of Math. 113, 1—24 (1981).

Sachs R., Wu H. General relativity for Mathematicians, Springer (1977).

Schell J. F. Classification of 4 dimensional Riemannian spaces, J. of Math. Physics 2, 202—206 (1961).

Schoen R. Conformal deformation of a Riemannian metric to constant scalar curvature, J. Differential Geom. 20. 479—495 (1985).

Scott P. The geometries of 3-manifolds, Bull. London Math. Soc. 15, 401—487 (1983). [Имеется перевод: Скотт П. Геометрия на трехмерных многообразиях. — М.: Мир, 1986.] Schoen R., Yau S. Т. Existence of incompressible minimal surfaces and the topology of three dimensional manifolds with non negative scalar curvature, Ann. Math. 110, 127—142 (1979).

Schoen R., Yau S. T. Incompressible minimal surfaces, three dimensional manifolds with non-negative scalar curvature and the positive mass conjecture in general relativity. Proc. N. A. S. U. S. A. 75, 2567 (1978).

Schoen R., Yau S. T. On the structure of manifolds with positive scalar curvature, Manuscripta Math. 28, 159—183 (1979).

Schoen R., Yau S. T. Complete three dimensional manifolds with positive Ricci curvature and scalar curvature, in «Seminar on Differential Geometry», ed. S. T. Yau, p. 209— 227, Princeton Univ. Press, Princeton (1982).

Seeley R. T., in Notices of Amer. Math. Soc. 11, 570 (1964). Serre J. P. Representations lineaires et espaces homogenes kahleriens des groupes de Lie compacts, (d'apres resultats non publes de A. Borel et A. (Weil) Seminaire Bourbaki, n°' 100, 1953/54, Benjamin, New York (1966).

Serre J. P. Algebres de Lie semi-simples complexes, W. A. Benjamin, Inc. (1966). [Имеется перевод: Cepp Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. — М.: Мир, 1969.]

[Sevl[Sha][Sim][Sin][Sio 1][Sio 2] [Si-Th][Siu 1] [Siu 21 [Siu 3] rsiv] [Si-Ya][Si-Yg]fSmyl fSom] [Spil fStp] rstr][Sud] [Sul][Sum] [Tan 1] [Tan 2][Sevl[Sha][Sim][Sin][Sio 1][Sio 2] [Si-Th][Siu 1] [Siu 21 [Siu 3] rsiv] [Si-Ya][Si-Yg]fSmyl fSom] [Spil fStp] rstr][Sud] [Sul][Sum] [Tan 1] [Tan 2]

[Sevl

[Sha]

[Sim]

[Sin]

[Sio 1]

[Sio 2] [Si-Th]

[Siu 1] [Siu 21 [Siu 3] rsiv] [Si-Ya]

[Si-Yg]

fSmyl fSom] [Spil fStp] rstr]

[Sud] [Sul]

[Sum] [Tan 1] [Tan 2]

[Sevl

[Sha]

[Sim]

[Sin]

[Sio 1]

[Sio 2] [Si-Th]

[Siu 1] [Siu 21 [Siu 3] rsiv] [Si-Ya]

[Si-Yg]

fSmyl fSom] [Spil fStp] rstr]

[Sud] [Sul]

[Sum] [Tan 1] [Tan 2]

Severi F. Some remarks on the topological caracterization of algebraic surfaces. In studies presented to R. Von Mises, Academic Press, New York, 54—61 (1954).

Shahanan P. The Atiyah-Singer Index theorem： An introduction, Lecture Notes in Math. 638, Springer Verlag, Berlin (1976).

Simons J. On transitivity on holonomy systems, Ann. Math. 76, 213—234 (1962).

Синюкова E. H. Геодезические отображения пространств 厶.一Изв. вузов, матем., № 3, 57—61 (1982).

Simon U. On differential operators of second order on Riemannian manifolds with nonpositive curvature, Colloq. Math. 31, 223—229 (1974).'

Simon U. Compact conformally symmetric Riemannian spaces. Math. Z. 132, 173—177 (1973).'

Singerland I. M., Thorpe J. A. The curvature of 4-dimensional Einstein spaces, in «Global Analysis», Papers in Honour of K. Kodaira, Princeton University Press, Princeton, 355—365 (1969).

Siu Y. T. A simple proof of the surjectivity of the period map of КЗ surfaces, Manuscripta Math. 35, 225—255 (1981).

Siu Y. T. Every КЗ surface is Kahler, Inventiones Math. 73, 139—150 (1983).

Siu Y. T. Pseudoconvexity and the problem of Levi, Bull. Amer. Math. Soc. 84, 481—512 (1978).

Сииюков H. С. Геодезические отображения римаиойЫх многообразий.—М.: Наука, 1979.

Siu Y. T., Yau S. T. Compact Kahler manifolds of positive bisectional curvature., Inv. Math. 59, 189—204 (1980).

Siu Y. T., Yang P. Compact Kahler-Einstein surface of non-positive bisectional curvature, Invent. Math. 64, 471—487 (1981).

Smyth B. Differential geometry of Hypersurfaces, Annals of Math. 85, 246—266 (1967).“

Sommese A. Quaternionic manifolds, Math. Ann. 212, 191—214 (1975).

Spivak M. Comprehensive introduction to differential geometry, Publish or Perish (1975).

Stephani H. Allgemeine Relativitatstheorie, VEB Deutsdhen Verlag der Wissenschaften, Berlin (1980).

Stredder P. Natural Differential operators on Riemannian manifolds and representations of the orthogonal and special orthogonal groups, J. Differential Geometry 10, 647—660 (1975). Sudbery A. Quaternionic analysis. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 85, 199—225 (1979).

Sullivan D. Travaux de Thurston sur les groupes quasi-Fuch- siens et les varietes byperbcliques de dimension 3 fibrees sur S< Seminaire Bourbaki n° 554, Lecture Notes 842, Springer, Berlin (1981).

Sumitomo T. On the Commutator of differential operators, Hokkaido Math. J. 1, 30—42 (1972).

Tanno S. Curvature tensors and covariant derivatives, Ann. Mat Рига Appl. 96, 233—241 (1973).

Tanno S. The automorphism groups of almost hermitian manifolds, Trans. Amer. Math. Soc. 137, 269—275 (1969).

[Teri[Thu 11[Thu 2][Thu 3][Tho 11[Tho 2] [Tho 3][Tod 1][Tod 2][Tod 3] [Top][Tr-Va Ц [Tr-Va 21[Tru 1][Tru 2] [Va-Wi] 『Var] [Viel[Vil][Waki[Wall[Wan] [War][Teri[Thu 11[Thu 2][Thu 3][Tho 11[Tho 2] [Tho 3][Tod 1][Tod 2][Tod 3] [Top][Tr-Va Ц [Tr-Va 21[Tru 1][Tru 2] [Va-Wi] 『Var] [Viel[Vil][Waki[Wall[Wan] [War]

[Teri

[Thu 11

[Thu 2]

[Thu 3]

[Tho 11

[Tho 2] [Tho 3]

[Tod 1]

[Tod 2]

[Tod 3] [Top]

[Tr-Va Ц [Tr-Va 21

[Tru 1]

[Tru 2] [Va-Wi] 『Var] [Viel

[Vil]

[Waki

[Wall

[Wan] [War]

[Teri

[Thu 11

[Thu 2]

[Thu 3]

[Tho 11

[Tho 2] [Tho 3]

[Tod 1]

[Tod 2]

[Tod 3] [Top]

[Tr-Va Ц [Tr-Va 21

[Tru 1]

[Tru 2] [Va-Wi] 『Var] [Viel

[Vil]

[Waki

[Wall

[Wan] [War]

Terng C. L. Natural vector bundles and natural differential operators, Amer. J. Math. 100, 775—828 (1978).

Thurston W. Geometry and Topology of 3~manifold, preprint Inst for Adv. Study Princeton (1980).

Thurston W* Three dimensional manifolds, Kleinian groups, and hyperbolic geometry. Bull. Amer. Math. Soc. 6, 357—381 (1982).

Thurston W. Hyperbolic structures on 3-manifolds, I, deforma* tions of acylindrical manifolds, preprint Inst. Adv. Study» Princeton.

Thorpe J. Curvature and the Petrov canonical forms. Journal of Mathematical Physics 10, 1 (1969).

Thorpe J. Curvature invariants and space-time singularities. Journal of Mathematical Physics 18, 960 (1977).

Thorpe J. A. Some remarks on the Gauss-Bonnet integral^ J. Math. Mec. 18, 779—786 (1969).

Todorov A. Applications of the Kahler-Einstein Calabi-Yau metrics to moduli of КЗ surfaces, Inventiones Math. 61, 251—265 (1980).

Todorov A. How many Kahler metrics has а КЗ surface, in «Arithmetic and Geometry», papers dedicated to I. R. Shafare- vitch on the occasion of his sixtieth birthday, volume 2, page 451—464, Birkhauser, Boston-Basel-Stuttgart (1983).

Todorov A. N. Every holomorphic symplectic manifold admits a Kahler metric. Preprint Univ. Sofia (1986).

Топоногов В. А. Метрическое строение римановых пространств неотрицательной кривизны, содержащих прямые линии.—Снб. матем. журнал, V, 6 (1964).

Tricerri F., Vanhecke L. Naturally reductive homogeneous spaces and generalized Heisenberg groups, to appear.

Tricerri F., Vanhecke L. Homogeneous Structures on Riemannian Manifolds, London Math. Socc. Lecture Notes Series* № 83, Cambridge Univ. Press, Cambridge (1983).

Trudinger N. S. Remarks concerning the conformal deforma- tion of Riemannian structures on compact manifolds, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 22, 265—274 (1968).

Trudinger N. S. On imbeddings into Orlicz spaces and some applications,〕. Math. Meeh. 17, 473—483 (1967).

Vanhecke L., Willmore T. J. Interaction of tubes and spheres» Math. Ann. 263, 31—42 (1983).

Varadarajan V. S. Lie groups, Lie algebras & their representations, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ (1965).

Ville M. Sur le volume des varietes riemanniennes princees, to appear in Bull. Soc. Math. France (1985).

Vilms J. Totally geodesic maps, J. of Diff. Geom. 4, 73—79 (1970).

Wakakuwa H. Holonomy groups, Public. Study Group of Geometry, 6 Okayama Univ., Okayama (1971).

Wallach N. R. Compact homogeneous Riemannian manifolds with strictly positive curvature, Ann. of Math. 96, 277—295 (1972).

Wang M. Some examples of homogeneous Einstein manifolds in dimension seven, Duke Math. J. 49, 23—28 (1982).

Warner F. Foundations of differential manifolds and Lie groups, Scott, Foresman, Chicago (1971).

[Wa・Zi 1][Wa-Zi 21[Wa-Zi 31[Wa-Zi 4] [Wa-Zi 5] [Wa-Zi 61[Web][Werf 【Wei 11[Wei 2] [Wei 31 [WellfWey][Whi][Wil] [Wol 1][Wol 21[Wol 3][Wol 4][Wol 5][Wol 6][Wa・Zi 1][Wa-Zi 21[Wa-Zi 31[Wa-Zi 4] [Wa-Zi 5] [Wa-Zi 61[Web][Werf 【Wei 11[Wei 2] [Wei 31 [WellfWey][Whi][Wil] [Wol 1][Wol 21[Wol 3][Wol 4][Wol 5][Wol 6]Wang M., Ziller W. On the isotropy representation of a symmetric space, in Proc. Conf. «Differential geometry on homogeneous spaces, Torino (1983)》，Rend, Sem. Mat. Univ. Po- litec. Torino, 253—261 (1983).

[Wa・Zi 1]

[Wa-Zi 21

[Wa-Zi 31

[Wa-Zi 4] [Wa-Zi 5] [Wa-Zi 61

[Web]

[Werf 【Wei 11

[Wei 2] [Wei 31 [Well

fWey]

[Whi]

[Wil] [Wol 1]

[Wol 21

[Wol 3]

[Wol 4]

[Wol 5]

[Wol 6]

[Wa・Zi 1]

[Wa-Zi 21

[Wa-Zi 31

[Wa-Zi 4] [Wa-Zi 5] [Wa-Zi 61

[Web]

[Werf 【Wei 11

[Wei 2] [Wei 31 [Well

fWey]

[Whi]

[Wil] [Wol 1]

[Wol 21

[Wol 3]

[Wol 4]

[Wol 5]

[Wol 6]

Wang M., Ziller nifolds, Ann. Sci. Wang M., Ziller geneous Einstein (1986).Wang M., Ziller nifolds, Ann. Sci. Wang M., Ziller geneous Einstein (1986).W. On normal homogeneous Einstein ma- Ec. Norm Sup. 18, 563—633 (1985).

Wang M., Ziller nifolds, Ann. Sci. Wang M., Ziller geneous Einstein (1986).

Wang M., Ziller nifolds, Ann. Sci. Wang M., Ziller geneous Einstein (1986).

W. Existence and Non-existence of HomoMetrics, Inventiones Math. 84, 177—194

Wang M., Ziller W. Einstein metrics with positive scalar curvature, preprint I. H. E. S. Bures-sur-Yvette (1985).

Wang M., Ziller W. New examples of Einstein metrics on principal bundles, preprint (1986).

Wang M., Ziller W. Isotropy irreducible spaces, symmetric spaces, and maximal sub-groups of classical Lie groups, in preparation.

Weinberg S. Gravitation and Cosmology, Wiley, New York (1972). [Имеется перевод: Вейнберг С. Гравитация и космология.—М.: Мир, 1975.]

Wegner В. Codazzi-Tensoren and Kennzeichnungen spharischer Immersionen, J. Differential Geometry 9, 61—70 (1974).

Weil A. Introduction a Petude des varietes kahlferiennes, Hermann, Paris (1958). [Имеется перевод: Вейль А. Введение в теорию кэлеровых многообразий.——М.: ИЛ, 1961.]

Weil A. Sur les modules des surfaces de Riemann, S6m. Bourbaki, Benjamin (1958).

Weil A. On discrete subgroups of Lie groups II, Annals of Math. 75, 578—602 (1962).

Wells R. O. Differential analysis of complex manifolds, Graduate texts in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin (1979). [Имеется перевод: Уэллс P. Дифференциальное исчисление на комплексных мнгообразиях.—М.: Мнр, 1976.]

Weyl Н. Classical groups, their invariants and representations, Princeton University Press, Princeton (1946). [Имеется перевод: Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления.—М.: ИЛ, 1947.]

White, Hail to Chern, Choral communication, Oberwolfach (1981).

Wall С. T. C. On the orthogonal groups of unimodular quadratic forms. Math. Ann. 147, 328—338 (1962).

Wolf J. A. Differentiable fibre spaces and mappings compatible with Riemannian metrics, Mich. Math. J. 11, 65—70 (1964).

Wolf J. A. Complex homogeneous contact manifolds and qua- ternionic symmetric spaces, J. of Math, and Meeh. 14, 1033-— 1047 (1965).

Wolf J. The geometry and structure of isotropy irreductible homogeneous spaces, Acta Math. 120, 59—148 (1968); Erratum, Acta Math. 152, 141—142 (1984).

Wolf J. Spaces of constant curvature, Publich or Perish, Boston, Mass (1974). [Имеется перевод: Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны. — М.: Наука, 1982.]

Wolf J. A. Discrete groups, symmetric spaces, and global holonomy, Amer. J. Math. 84, 527—542 (1962).

Wolf J. A. On Calabi's inhomogeneous Einstein-Kahler mani- folds. Proc. Amer. Math. Soc. 63, 287—288 (1977).

[Wopl [Wng][Wns 1] [Wns 21 [Wu 1] [Wu 2] fWu 3] [Wu 4] [Yam 1] [Yam 2] [Ya-Mo] fYan][Yau 1] [Yau 2] [Yau 3][Yau 4] [Yau 5][Yau 6] [Yau 7][Zil 1][Zil 2] [Zil 3][Wopl [Wng][Wns 1] [Wns 21 [Wu 1] [Wu 2] fWu 3] [Wu 4] [Yam 1] [Yam 2] [Ya-Mo] fYan][Yau 1] [Yau 2] [Yau 3][Yau 4] [Yau 5][Yau 6] [Yau 7][Zil 1][Zil 2] [Zil 3]Wolpert S. Non-completeness of Weil-Petersson's metric on Teichmuller space, Pacif. Math. J. 61, 573—577 (1977).

[Wopl [Wng]

[Wns 1] [Wns 21 [Wu 1] [Wu 2] fWu 3] [Wu 4] [Yam 1] [Yam 2] [Ya-Mo] fYan]

[Yau 1] [Yau 2] [Yau 3]

[Yau 4] [Yau 5]

[Yau 6] [Yau 7]

[Zil 1]

[Zil 2] [Zil 3]

[Wopl [Wng]

[Wns 1] [Wns 21 [Wu 1] [Wu 2] fWu 3] [Wu 4] [Yam 1] [Yam 2] [Ya-Mo] fYan]

[Yau 1] [Yau 2] [Yau 3]

[Yau 4] [Yau 5]

[Yau 6] [Yau 7]

[Zil 1]

[Zil 2] [Zil 3]

Wang H. C. Topics in totally discontinuots groups, in Symmetric spaces, ed. Boothby-Weiss, New York, 460—485 (1972). Weinstein A. Fat bundles and symplectic manifolds. Adv. in Math. 37, 239—250 (1980).

Weinstein A. Distance spheres in complex projective spaces. Proc. A. M. S. 39, 649—650 0 973).

Wu H. Decomposition of Riemannian manifolds, Bull A. M. S., 70, 610—617 (1964).

Wu H. On the de Rham decomposition theorem, Illinois J. Math. 8, 291—311 (1964).

Wu H. Holonomy groups of indefinite metrics, Pacific J. of Math. 20, 351—352 (1967).

Wu H. An elementary method in the study of nonnegative curvature, Acta Math. 142, 57—78 (1979).

Yamabe H. On an arc wise connected subgroup of a Lie group, Osaka Math. J. 2, 13—14 (1950).

Yamabe H. On a deformation of Riemannian structures on compact manifolds, Osaka Math. J. 12, 21—37 (I960).

Yano K” Mogi I. On real representations of Kahlerian manifolds, Ann. Math. 61, 170—189 (1955).

Yang C. N. Fibre bundles and the physics of the magnetic mo- nopole, in The Chern Symposium 1979, ed. W. Y. Hsiang, Springer, Berlin (1980).

Yau S. T. Harmonic functions of complete Riemannian manifolds, Comm. Pure and Appl. Math. 28, 201—228 (1975).

Yau S. T. A general Schwarz lemma for Kahler manifolds, Amer. J. Math 100 (1), 197—203 (1978).

Yau S. T. On the Ricci Curvature of a compact Kahler mani- 一 fold and the complex Monge-Ampere equation I, Com. Pure and Appl. Math. 31, 339—411 (1978).

Yau S. T. On the curvature of compact Hermitian manifolds, Inventiones Math. 25, 213—239 (1974).

Yau S. T. On Calabfs conjecture and some new results in algebraic geometry, Proc. Nat Acad. Sci. USA 74, 1798—1799 (1977).

Yau S. T. Remarks on the group of isometries of a Riemannian manifold. Topology 16, 239—247 (1977).

Yau S. T. Problem section, in Seminar on Differential Geometry, ed. S. T. Yau, Ann. of Math. Study n° 102, Princeton University Press, Princeton, 669—706 (1982).

Ziller W. The Jacobi equation of naturally reductive compact Riemannian homogeneous spaces, Comment. Math. Helvetia 52, 573—590 (1977),

Ziller W. Homogeneous Einstein metrics on spheres and Projective spaces. Math. Ann. 259, 351—358 (1982).

Ziller W. Homogeneous Einstein metrics,in «Global Riemannian Geometry», ed. N. Hitchin and T. Willmore, Ellis Hor- wood, Chichester (1984).

Послесловие

После выхода оригинального издания этой книги в 1987 г. как математики, так и физики продолжали активное изучение многообразий Эйнштейна. За эти несколько лет был получен ряд новых результатов. Не претендуя на полноту, укажем некоторые из них.

М・ Ванг и В. Циллер [Wang М., Ziller W. On Isotropy Irreducible Riemannian Manifolds.——Preprint, 1989] получили классификацию изотропно неприводимых однородных римановых многообразий, которые автоматически являются многообразиями Эйнштейна (см. гл. 7). Этот класс многообразий оказался существенно шире класса строго изотропно неприводимых многообразий, классифицированных О. В. Мантуровым и Дж. Вольфом (гл. 7).

Используя конструкцию Н. Хитчина гиперкэлеровой факторизации (см. дополнение Е), П. Б. Кронхеймер получил полную классификацию всех асимптотически локально евклидовых ги- перкэлеровых 4-многообразий [Kronheimer Р. В. The construction of ALE spaces as hyper-Kahler guotients. — J. Dif. Geom., 1989, v. 29, p. 665—697].

В работе [Bando S., Kasue A., Nakajima H. On a construction of coordinates at infinity on manifolds with fast curvature decay and maximal volume growth.——Invent. Math., 1989, v. 97, p. 313——349] доказана асимптотическая локальная евклидовость риччи-плоского многообразия M(〃, g), у которого объем шара радиуса t растет не медленнее, чем ctn, с = const > 0, а кривизна R удовлетворяет условию、乂丨欠丨门/②卩且 < °°- Отсюда выводится теорема об устранимости точечной сингулярности с конечным интегралом кривизны для метрик Эйнштейна, аналогичная теореме К. Уленбек об устранимости си нгул яр но стей связностей Янга ——Миллса.

В работах [Tsuji Н. Existence and degeneration of Kahler —— Einstein metrics on minimal algebraic varieties of general type.— Math. Ann., 1988, v. 281, p. 123—133],

[Tian G・，Yau S. T. Existence of Kahler — Einstein metrics on complete Kahler manifolds and their applications to algebraic geometry. —Math. Aspect of String Tneory, ed. S. T. Yau. Adv. Ser. Math. Phys., v. I, Singapore, 1987, p. 574—628],

[Bando S., Kobayashi R. Ricci-flat Kahler metrics on affine algebraic manifolds.— Leet. Notes in Math., 1988,v. 1339, p. 20—31]9 [Bando S. Einstein Kahler metrics of negative Ricci curvature on open Kahler manifolds.——Preprint, 1989] доказывается существование метрик Кэлepa ——Эйнштейна отрицательной или нулевой кривизны Риччи на некомпактном многообразии, которое получается из проективного алгебраического многообразия удалением дивизора, удовлетворяющего некоторым условиям.

Пейдж и Поуп в работах [Page D. N., Pope С. N. Inhomogeneous Einstein metrics on complex line bundles. — Class Quantum Grav., 1987, v. 4, p. 213—225] и [Page D. N., Pope C. N. Einstein metrics on quaternionic line bundles. — Class. Quantum Grav., 1986, v. 3, p. 249—259] предложили конструкцию неодно* родных некэлеровых метрик Эйнштейна на 52-расслоениях над многообразием Кэл ер а ——Эйнштейна (М, g) и на 54-расслоениях над кватернионно-кэлеровым многообразием, которая представляет собой некоторую модификацию конструкции Л. Берара- Бержери (см. гл. 9, § К). Эта конструкция позволяет написать в явном виде неоднородную метрику Эйнштейна на Р, если известен потенциал метрики Кэл ера ——Эйнштейна на базе (М, g).

В работе [Алексеевский Д. В.» Переломов А. М. Инвариантные метрики Кэл ер а ——Эйнштейна на компактных однородных пространствах. •— Функц. анализ и его прилож.» 1986, т. 20, № 3, с. 1 ——16] получена классификация всех инвариантных метрик Кэ- лера ——Эйнштейна на компактных однородных пространствах, использующая схемы Дынкина, и вычислены потенциалы таких метрик (в случае классических групп движений). Это позволяет с помощью конструкции Пейджа ——Поупа указать явный вид неоднородных метрик Эйнштейна на 52-расслоениях над однородными многообразиями Кэл ер а ——Эйнштейна.

Долгое время считалось, что для физиков интерес представляют только четырехмерные лоренцевы многообразия Эйнштейна. В настоящее время для построения различных моделей теории поля широко используются как лоренцевы, так и комплексные и римановы многообразия Эйнштейна различной размерности. Например, в теории гетеротической струны Е. Виттена пространство-время описывается как прямое произведение пространства Минковского и риччи-плоского шестимерного многообразия. Уже в рамках общей теории относительности использование комплексных и римановых многообразий Эйнштейна оказывается весьма полезным ——отчасти в связи с тем, что в этом случае су-

шествуют частицеподобные автодуальные решения уравнения Эйнштейна (см. гл. 13). Выход в комплексную область, лежащий в основе твисторного подхода Р. Пенроуза, позволил применить к исследованию и решению уравнения Эйнштейна и других уравнений математической физики мощный аппарат комплексного анализа и интегральной геометрии и получить новые методы построения метрик Эйнштейна (см. монографию [Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. — М.: Мир, 1988] и статьи [Гиндикин С. Г. Новые решения автодуального уравнения Эйнштейна. — Функц. анализ и его прилож., т. 19, № 3, с. 58— 61]; [Гиндикин С. Г. Твисторы и уравнения Эйнштейна.— В сб.: Методы топологии и риманова геометрия в математической физике, 1983, с. 21—36].

С помощью обращения конструкции Саламона пространства твисторов для кватернионно-кэлерова многообразия К. Ле Брюн в работе (Le Brun С. Quaternionic-Kahler manifolds and conformal geometry. — Math. Ann., 1989, v. 284, p. 353—376] установил соответствие между комплексными контактными многообразиями и комплексными римановыми кватернионными многообразиями (с группой голономии Sp(l, С) - Sp(n, С)). Это позволило ему получить конструкцию, сопоставляющую произвольной аналитической конформной псевдор и м а новой метрике сигнатуры (3, k——1) некоторое кватернионно-кэлерово 4^-многообразие.

Связь между конформными метриками и метриками Эйнштейна с нулевой кривизной Риччи была установлена в работе Фефермана и Грэхема [Fefferman С., Graham С. R. Conformal invariants. — Asterisque, hors serie, 1985, p. 95—116], где эта связь использовалась для классификации конформных инвариантов римановой метрики.

Оригинальный и эффективный подход к изучению и построению гиперкэлеровых многообразий развивается в работе [Galperin A., Ivanov Е., Ogievetsky V., Sokatchev Е. Hyper-Kahler metrics and harmonic syperspace. — Comm. Math. Phys., 1986, v. 103, p. 515—526]. Он основан на интерпретации уравнения гиперкэ- леровости как условия суперголоморфности в некотором суперпространстве и, видимо, связан с твисторным подходом Пенроуза.

Отметим ряд работ, посвященных различным обобщениям уравнений Эйнштейна.

В работе [Миклашевский И. Р. Конформная геометрия и уравнения Эйнштейна.——Функц. анализ и его прилож., 1987, т. 21, № 4, с. 79—80] определяются и изучаются обобщенные уравнения Эйнштейна для связностей в векторных расслоениях с метрикой и устанавливается их связь с обычными уравнениями Эйнштейна для римановых метрик.

В работе Т. М. Ли [Lee Т. М. Pseudo-Einstein structure on CR manifolds. — Amer. J. Math., 1988, v. 110, № 1, p. 157—178] получен ряд глубоких результатов, касающихся псевдоэйнштейновых структур на CR-многообразиях, для которых, в частности, возникает аналог проблемы Калаби.

Одним из наиболее естественных обобщений понятия метрики Эйнштейна является введенное Ш. Кобаяси понятие структуры Эрмита — Эйнштейна в голоморфном векторном расслоении. Полученные в последнее время глубокие результаты, касающиеся связи между существованием структуры Эрмита ——Эйнштейна и стабильностью соответствующего векторного расслоения, изложены в монографиях [Kobayashi S. Differential geometry of complex vector bundles. — Princeton Univ. Press, 1987] и [Siu Y. T. Lectures on Hermitian — Einstein metrics for stable bundles and Kahler — Einstein metrics. — Birkhauser Verlag, 1987]. В работе [Kobayashi R. Einstein — Kahler metrics on open Satake V- spaces with isolated quotient singularities.——Math. Ann., 1985, v. 272, p. 385—398] изучаются метрики Кэлера ——Эйнштейна на многообразиях с особенностями, моделируемыми фактор-про- странством комплексного шара по конечной группе.

Укажем также ряд естественных обобщений уравнения Кэлера ——Эйнштейна, которые получаются в результате применения идей гл. 16 к кэлеровым многообразиям.

Пусть (М, h)——кэлерово многообразие вещественной размерности 2m. Кэлерову метрику h =(九аВ) можно рассматривать как вещественное сечение расслоения Tr ® Т", где 厂 и Т〃 ——комплексные расслоения векторов типа (1, 0) и (0, 1) соответственно, см. гл. 2, § В. Кэлеров тензор кривизны R (Ra8y8)можно понимать как вещественное сечение расслоения S27V ® 専丁"，которое следующим образом разлагается в сумму трех неприводимых относительно унитарной группы U (т) компонент (см., например, [Ale 1]):

S2F® 学Т = (С力©Л) ®(Л® (Г ® 7〃)) ф S2X ® S2T". Здесь символ。означает естественное умножение в тензорном произведении ST'住 ST" симметрических алгебр ST', ST〃, а символ ® — выделение старшей компоненты в соответствующем тензорном произведении представлений (другими словами, кронеке- ровское произведение). В соответствии с этим кэлеров тензор кривизны допускает разложение

/? = (сЛ®Л)©(А©р°)фВ = (Л®р)фВ,где р = с九㊉ р° w 7V ③ 7" = С九㊉(7'& Т")—эрмитова форма,связанная с эрмитовой формой Риччи г соотношением г ==(加 + 2)夕+而n*ij 九 Р° — ее бесе ледовая часть, s=4m(m+l)c—

скалярная кривизна, а В ——бесследовая часть тензора кривизны R, называемая тензором Бохнера.

Аналогично, ковариантную производную DR эрмитова тензора кривизны R можно рассматривать как вещественное сечение расслоения

S3『® S27" = (7‘。九。勿㊉仇。(ST ® T〃))㊉ S厂 & S2T"), а ковариантную производную Dr эрмитовой формы Риччи г — как вещественное сечение расслоения

S2r ® Г〃 = (?' & 九)㊉(S27V ® Т〃).

Она имеет вид

Dr= lr^drs®h+^^-&B

и автоматически удовлетворяет условию Кодацци dr = 0 (т. е. Dr(X, У, Z) = Dr(Y, X, 2) для X, У w Т‘，Z 三 Т". Отсюда получаются следующие условия, обобщающие условие Эйнштейна:

s = const <=> dp = 0 <=> 6R = 68 <=> Dr = ^^-^ 38；

6В =。令。г天詰丁d's(g)/io

0 6R =記 Ho； d's © /I；

4 (m 4-

ds = 6B = 0 <=> Dr— 0 <=> многообразие (Af, А) локально является произведением многообразий Кэлера ——Эйнштейна;

В = 0оR = h&)p》Dp = .(J+~j)d's。h

(такие многообразия являются кэлеровыми аналогами конформно плоских многообразий и называются псевдоконформно плоскими кэлеровыми многообразиями; они были введены Э. Кар- таном, см., например, [Webster S. М. On the pseudo-conformal geometry of a Kahler manifold. — Math. Z., 1977, v. 157, p. 265 — 270]);

8 = 0, s = const <=> многообразие (M, Л) имеет постоянную голоморфную кривизну и, значит, локально изометрично комплексному проективному пространству с метрикой Фубини ——Штуди, двойственному гиперболическому пространству или плоскому пространству.

Д. В. АлексеевскийД. В. АлексеевскийДругие возможные обобщения условия Эйнштейна упоминались в предисловии.

Д. В. Алексеевский

Д. В. Алексеевский

Именной указатель

Аве A. (Avez А.) 165

Аверу Ж- (Averous G.) 8

Алексеевский Д. В. 239, 255, 256, 380, 412. 537, 546, 548, 554, 569, 571

Амброз В. (Ambrose W.) 380, 398

Артен М. (Artin М.) 477

Атья М. Ф. (Atiyah М. F.) 515

Бандо С. (Bando S.) 648

Беккер Дж. (Becker J.) 558

Берар-Бержери Л. (Berard>Bergery L.) 8, 165, 167, 223, 326, 351, 352, 366, 374, 375, 377, 378, 379, 458, 537, 538, 558, 559, 566, 573, 576

Берже М. (Berger М.) 8, 176, 207, 217, 409, 456, 472, 537, 539, 546, 550, 551, 591, 605

Бессе Ж. (Besse J.) 8

Бишоп Р. Л. (Bishop R. L.) 29, 225, 481

Бланшар A. (Blanchard А.) 522, 563

Бликер Д. (Bleecker D.) 160

Бовнль A. (Beauville А.) 389, 536, 540, 541, 542, 543, 544

Борель A. (Borel А.) 241, 303, 380, 395, 409, 569

Ботт Р. (Bott R) 303, 493

Богомолов В. А. 544

Бонан Э. (Вопап Е.) 556, 568

Бохнер С. (Bochner S.) 62, 206, 223, 441, 492, 540, 635

Брайант Р. (Bryant R.) 413, 418, 644

Браун Р. (Brown R.) 380, 412

Бузер П. (Buser Р.) 467

Бургиньон Ж.-П. (Bourguignon J.-P.)

8, 168, 172, 177, 354, 484, 493, 596

Валер Л. ((Valere L.) 8

Ванг М. (Wang М.) 238, 239, 254, 268, 360, 362, 363, 642, 644

Ванхекке Л. (Vanhecke L.) 613

Варнер Ф. (Warner F.) 157, 166, 167

Варочас Дж. (Varouchas J.) 543

Вейль A. (Weil А.) 485

Вейль Г. (Weyl Н.) 12

Вейнстейн A. (Weinstein А.) 333, 650

Виль М. (Ville М.) 93

Вольф Д*. A. (Wolf J. А.) 238, 250, 251, 252, 253, 479, 537, 553, 554, 575

Галло С. (Gallot S.) 31, 224, 464

Гамильтон Р. С. (Hamilton R. S.) 24, 197, 199, 204

Гао Л. (Gao L.) 198

Гаски Ж- (Gasqui J.) 192, 572

Гаусс К Ф. (Gauss С. F.) 88

Гильберт Д. (Hilbert D.) 156, 160, 162, 198

Годушон П. (Gauduchon Р.) 8

Гольдшмидт X. (Goldschmidt Н.) 601, 603

Готтлиб Д. X. (Gottlieb D. Н.) 558

Грауэрт X. (Grauert Н.) 583

Грей A. (Gray А.) 253, 380, 412, 413, 613

Гриффиц Ф. (Griffiths Р.) 523

Громов М. (Gromov М.) 30, 31, 184, 207. 208, 221, 224, 230, 481, 489

Громол Д. (Gromoll D.) 32, 208, 225, 226, 231, 421, 440

Гугенхеймер X. (Guggenheimer Н.) 443

Д'Атрн Ж. Э. (D'Atri J. Е.) 163, 254, 359, 613

Делофф Э. Д. (Deloff Е. D.) 255

де Рам Ж. (de Rham G.) 393

Дердзиньский A. (Derdzinski А.) 8, 182, 250, 369, 372, 377, 458, 459, 594. 606, 617

Де Тюрк Д. М. (DeTurck D. М.) 8, 187, 189. 190, 192, 193, 194, 195, 196, 199, 204, 205, 601

Дидерих (Diederich К.) 583

Доти-Миателло И. (Doti-Miatello I.) 255

Дынкин Е. Б. (Dynkin Е. В.) 536

Зингер И. М. (Singer I. М.) 380, 398, 505, 515

Ивамото X. (Iwamoto Н.) 388

Ивасава К. (Iwasawa К.) 243

Илле Дж. (Eells J.) 467

Исихара С. (Ishihara S.) 250, 546

Йенсен Г. Р. (Jensen G. R.) 20, 163,

354, 359, 478

Йоргенсен Т. (Jorgensen Т.) 214

Каждан Д. A. (Kazhdan D. А.) 481

Каждая Дж. Л. (Kazdan J. L.) 8, 157, 162, 166, 173, 193, 194, 195, 196

Калаби Э. (Calabi Е.) 18, 205, 235, 380, 389, 411, 434, 438, 440, 445, 447, 453, 455, 536, 545, 572, 573, 577, 580

Каплан A. (Kaplan А.) 587, 613

Карлхеде A. (Karlhede А.) 650

Картан Э. (Cartan Е.) 17, 87, 239, 257, 342, 380, 401, 402, 406, 407, 408, 409, 584

Кархер Г. (Karcher Н.) 8, 31, 354

Кимельфельд Б. Н. 256

Кириллов А. А. 26

Клейн Ф. (Flein F.) 239

Кобаяси Ш. (Kobayashi S.) 19, 24, 351, 374, 442, 564, 567

Кодаира К. (Kodaira К.) 436, 443, 489 490 493 495

КозюАь 双.Л. '(KoszW J. L.) 38, 122, 280, 281, 289, 584

Коисо Н. (Koiso N.) 8, 14, 21, 170, 171, 176, 204, 205, 463, 475, 476, 477, 482, 485, 490, 493, 642, 646

Кон-Фоссен С. (Cohn-Vossen S.) 226

Корн A. (Korn А.) 88

Костан Б. (Kostant В.) 263

Крайнее В. (Kraines V.) 568

Кронхеймер П. (Kronheimer Р.) 651

Кулкарни Р. (Kulkarni R.) 557

Кюйпер Н. (Kuiper N.) 88

Лаицош К. (Lanczos С.) 183, 193

Лафонтен Ж. (Lafontaine J.) 8, 178

Лейте М. (Leite М.) 255

Ли П. (Li Р.) 464

Линдстрём У. (Lindstrom U.) 650

Лихнерович A. (Lichnerowicz А.) 25, 79, 176, 208, 228, 229, 380, 388, 395, 433, 499

Лихтенштейн A. (Lichtenstein L.) 88

Лоусон X. Б. (Lawson Н. В.) 208, 230

Лоэйенга Э. (Looijenga Е.) 498

Мабуки Т. (Mabuchi Т.) 648, 649

Майерс С. Б. (Myers S. В.) 60, 208,

222

Майо A. (Maillot Н.) 596

Мантуров О. В. 253

Маргулис Г. A. (Margulis G. А.) 481

Марсден Дж. (Marsden J.) 177, 650

Мартифава С. (Marchiafava S.) 567

Мацусима И. (Matsushima Y.) 20,

302, 450

Маэда М. (Maeda М.) 31

Милнор Дж. (Milnor J.) 30, 224, 229

Мозер Дж. (Moser J.) 158

Мок Н. (Mok N.) 573

Монтгомери Д. (Montgomery D.) 241,

281, 294

Мостов Г. Д. (Mostow G. D.) 479

Мукан С. (Mukai S.) 536, 542

Набоннан П. (Nabonnand Р.) 223

Нийенхейс A. (Nijenhuis А.) 380, 398

Никерсон X. К. (Nicherson Н. К.) 613

Ниренберг Л. (Nirenberg L.) 489

Номидзу К (Nomizy К.) 24, 607

Ньюмен Э. Т. (Newman Е. Т.) 153

Обата М. (Obata М.) 175

Обин Т. (Aubin Т.) 14, 19, 157, 164,

198, 222, 439, 648

Одзеки X. (Ozeki Н.) 381

Ока К (Ока К) 581

Омори X. (Omori Н.) 170

О'Нейл Б. (O'Neill В.) 338

Онищик А. Л. 242

О'Салливан Дж. (O'Sullivan J.) 32

Отиаи Т. (Ochiai Т.) 374, 567

Пале Р. С. (Palais R. S.) 159, 163, 344, 369, 372

Панею П. (Pansu Р.) 8

Пейдж Д. (Page D.) 19, 326, 374, 377, 456, 458

Пенроуз Р. (Penrose R.) 26, 155, 501, 515, 522, 538, 559

Петров А. 3. 75, 129, 279

Погорелов А. В. 446

Поломбо A. (Polombo А.) 8

Пфлуг П. (Pflug Р.) 583

Реммер Р. (Remmert R.) 303

Ринов В. (Rinow W.) 56

Рнччи Г. К. (Ricci G. С.) 28

Романи Г. (Romani G.) 567

Ротер В. (Roter W.) 599, 600

Рочек М. (Rocek М.) 650

Сагль A. (Sagle А.) 359

Садбери A. (Sudbery А.) 555

Саймонс Дж. (Simons J.) 380, 406, 409, 410, 414, 415, 416, 417

Саканэ Ю. (Sakane Y.) 453, 642, 646

Саламон С. (Salamon S.) 537, 538, 548, 556, 558, 559, 564, 565, 566, 567, 569

Самелсон X. (Samelson Н.) 241, 242

Серр Ж.-П. (Serre J.-P.) 342

Силн Р. Т. (Seeley R. Т.) 633

Симон У. (Simon U.) 613

Сиу Ю. Т. (Siu Y. Т.) 496

Смейл С. (Smale S.) 230

Спенсер Д. (Spencer D.) 489, 490, 493

Спивак М. (Spivak М.) 38

Стинрод Н. (Steenrod N.) 60

Сурьо Х.-М. (Souriau J.~M.) 26

Тамбурине Л. (Tamburino L.) 153

Тауб A. (Taub А.) 153

Тёрнг К- Л. (Terng С. L.) 369, 372

Тёрстон В. (Thurston W.) 207, 211, 213, 214, 215, 216

Тодоров А. Н. (Todorov A. N.) 496, 544

Том Р. (Thom R.) 10

Топоногов В. А. 226

Торп Дж. A. (Thorpe J. А.) 8, 75, 207, 217

Трудингер Н. С. (Trudinger N. S.) 164

Уйо Ж- (Houillot J.) 8

Унти Т. (Unti Т.) 153

Уолл Ч. (Wall С.) 253

Феферман Ч. (Fefferman С.) 583, 584

Ферус Д. (Ferus D.) 591

Фудзики A. (Fujiki А.) 536, 542

Фудзитани Т. (Fujitani Т.) 484

Футаки A. (Futaki А.) 451, 452

Фуэтер Р. (Fueter R.) 555

Хайнце Е. (Heintze Е.) 31, 231, 256

Хано Ж. (Hano J.) 381

Херман Р. (Hermann R.) 325, 337, 342

Хёрмандер Л. (Hdrmander L.) 175

Хикс Н. (Hicks N.) 595

Хирцебрух Ф. (Hirzebruch F.) 443

Хитчин Н. Дж. (Hitchin N. J.) 8, 207, 208, 217, 218, 229, 510, 515, 573, 580. 650

Хопф Э. (Hopf Е.) 56, 235

Хэнсон А. Дж. (Hanson A. J.) 573, 580

Циллер В. (Ziller W.) 163, 238, 239, 254, 268, 326, 354, 359, 360, 362, 363, 613, 642

Чен Б. (Chen В.) 613

Ченг С. (Cheng S.) 573, 582, 588

Чжень Ж. Ж. (Chern S. S.) 18, 88, 183

Чигер Дж. (Cheeger J.) 32, 208, 225, 226, 421, 440

Шевалле К. (Chevalley С.) 380

Шэн Ч.-Л. (Shen C.-L.) 594

Шоэн Р. (Schoen R.) 157, 165, 223,

230, 603

Шульц Р. (Schultz R.) 558

Шур Ф. (Schur F.) 64

Эбин Д. Г. (Ebin D. G). 177, 469, 472

Эгучи Т. (Eguchi Т.) 573, 580

Эйнштейн A. (Einstein А.) 13, 193

Эресман Ш. (Ehresmann С.) 40, 555

Эрл К. (Earle С.) 467

Эшенбург Дж. X. (Eschenburg J. Н.) 231

Ямабе X. (Yamabe Н.) 157, 164, 605

Янг Ч. Н. (Yang С. N.) 23

Яу С. Т. (Yau S. Т.) 14, 18, 19, 198, 223, 230, 380, 389, 411, 412, 438, 439, 440, 442, 446, 573, 582, 584

Предметный указатель

абсолютно простая группа (absolutely simple group) 261, 271

автодуальная связность (self-dual connection) 505

—форма (form) 502

автоморфизмов группа (automorphism group) 119, 436, 440, 449, 450, 500 алгебраический тензор кривизны (al

gebraic curvature tensor) 69

Альбанезе тор (Albanese torus) 440

Амброза—Зингера теорема (Ambrose—Singer theorem) 398

аменабельная группа (amenable group) 212”

антиавтодуальная связность (antiself-dual connection) 501, 505

—форма (form) 502

антика ионическое линейное расслоение (anti-canonical line bundle) 113, 436

Апта формула (Apte formula) 111

ассоциированная связность (associated connection) 380

—2-форма (2-form) 99

аффинная связность (affine connection) 380

базисное векторное поле (basic vector field) 330

Баха тензор (Bach tensor) 182

Бергмана метрика (Bergmann metric) 107, 435

—многообразие (manifold) 575

Берже—Саймонса теорема (Berger— Simons theorem) 409

Бетти число (Betti number) 216, 224, 412, 418, 440

Бирхгофа теорема (BirkhofFs theorem) 152

Бишопа теорема (Bishop's theorem) 29

Бореля—Лихнеровича теорема (Borel—Lichnerowicz theorem) 395

Бохнера метод (Bochner method) 77, 441, 540, 635

—теорема (theorem) 82, 223, 514

Буземана функция (Busemann function) 232

Бьянки отображение (Bianchi map)

69

—тождество (identity) 44, 62, 161, 186, 391, 400, 401, 409, 472, 588

Ванга一Циллера теорема (Wang—

Ziller theorem) 363

Вайнгартена уравнение (Weingarten

equation) 59

Вейля группа (Weyl group) 304

—камера (chamber) 304

—тензор (tensor) 71, 86, 459, 503

гармонический (harmonic) 589, 601

чистый (pure) 596

Вейля——Схоутена тензорное поле

(Weyl—Schouten tensor field) 88

Вейценбёка формула (Weitzenbock

formula) 77, 104, 227, 464, 491, 591

векторное поле (vector field) 36

базисное (basic) 330

вертикальное (vertical) 326

гамильтоново (Hamiltonian)

450

—•~* голоморфное (holomorphic) 120,

449, 450, 452, 454

горизонтальное (horizontal) 326

киллингово (Killing) 55, 61,245, 454, 470, 512

фундаментальное (fundamen

tal) 282

вертикальное векторное поле (verti*

cal vector field) 326

—подпространство (subspace) 326

—распределение (distribution) 326

внешнее умножение (exterior product)

100

внешний дифференциал (exterior de

rivative) 37, 40, 97

внутреннее умножение (interior product) 100

вполне геодезическое погружение (totally geodesic immersion) 59

подмногообразие (submanifold)

390, 391, 393

времениподобнаякривая(timelike

curve) 130

времениподобный вектор(timelike

vector) 130

вторая фундаментальна я форма погружения (second fundamental form of immersion) 58, 86

гамильтоново векторное поле (Hamiltonian vector field) 450

гармоническая кривизна (harmonic curvature) 589

гармонические координаты (harmonic coordinates) 193, 194, 195

гармонический тензор Вейля (harmo

nic Weyl tensor) 589

гармоническое отображение (harmonic map) 334

Гаусса лемма (Gauss lemma) 51

— формула (formula) 59

Гаусса—Банне теорема (Gauss—Bonnet theorem) 216, 504

гауссова кривизна (Gauss curvature) 72

геодезическая (geodesic) 44, 50, 56, 143, 147

—неполнота (geodesic incompleteness) 151

—симметрия (symmetry) 257, 402, 403

геодезические нормальные координаты (geodesic normal coordinates) 50, 193, 195, 196

гессиан (Hessian) 53

Гёльдера класс (Holder class) 193, 444

— пространство (space) 621

гиперболическое пространство (hyperbolic space) 47, 212, 242

гиперкэлерово многообразие (hyper- kahlerian manifold) 219, 388, 389, 401, 412, 441, 536, 538

гиперповерхность (hypersurface) 436, 490

главная орбита (principal orbit) 328

—связность (connection) 341

главное давление (principal pressure) 131

— приливное напряжение (tidal stress) 133

главный символ (principal symbol) 228

горизонтальное векторное поле (horizontal vector field) 326

—подпространство (subspace) 326

—распределение (distribution) 326

горизонтальный лифт (horizontal lift) 336

голоморфная секционная кривизна (holomorphic sectional curvature) 106

—форма (form) 119

голоморфное векторное поле (holomorphic vector field) 120, 449, 450, 452, 454

—линейное расслоение (line bundle) 112

голоморфности область (domain of holomorphy) 573, 581

голоморфный потенциал (holomorphy potential) 121

голономии группа (holonomy group) 383 一

ограниченная (restricted) 383, 392

—представление (representation) 383 гомотопически аторондальное много* образие (homotopically atoroidal manifold 212

гравитационный потенциал (gravitational potential) 131

градиент (gradient) 53, 159

грубый лапласиан (rough Laplacian) 73

группа голономии (holonomy group) 383

ограниченная (restricted) 383, 392

—диффеоморфизмов (diffeomorphism group) 156, 157, 463

—изометрий (isometry group) 60, 62, 239, 242, 257"

—ортогональная (orthogonal group) 242

—фундаментальная (fundamental group) 212, 221, 224, 230, 238, 253

Д'Атри пространство (D'Atri space) 612, 613

действие (action) 156

Дель Пеццо поверхность (Del Pezzo surface) 438

Дена хирургия (Dehn surgery) 214 де Рама теорема (de Rham's theo- rem) 332, 393

диаметр многообразия (diameter of а manifold) 57, 222, 487

дивергенция (divergence) 54, 168,625

дивизор (divisor) 498

—особый (exceptional) 437

—эффективный (effective) 498

Дирака лапласиан (Dirac Laplacian) 80

—оператор (operator) 80, 501, 509 диффеоморфизмов группа (diffeomor- phism group) 156, 157, 463

дифференциальная форма (differentia] form) 36

длина (length) 55

Дольбо комплекс (Dolbeault complex) 475

—теорема (theorem) 115, 475

дополнительные корни (complementary roots) 292

евклидова связность (Euclidean connection) 41

естественно редуктивиая метрика (natural reductive metric) 263

—редуктивное многообразие (natural reductive manifold) 264, 613

二一пространство (space) 259, 264, 613

зацепление (link) 214

Ивамото—Лихнеровича теорема (Iwamoto—Lichnerowicz theorem) 388

Ивасавы разложение (Iwasawa decomposition) 243

изометрий группа (isometry group) 60, 62. 239, 242, 257"

изометрия (isometry) 59

изотропии представление (isotropy representation) 17, 240, 244, 250, 264, 274

изотропная кривая (null curve) 130

изотропно неприводимое пространство (isotropy irreducible space) 17, 160, 250, 273, 274

изотропный вектор (null vector) 130

инволютивное распределение (invo- lutive distribution) 386

инволютивный автоморфизм (invol u- tive automorphism) 403, 408

инволюция (involution) 403, 408

инстантон Янга—Миллса (Yang—

Mills instanton) 504

интегрируемая почти комплексная структура (integrable almost complex structure) 96

интегрируемости условие (integrability condition) 474, 475

инфинитезимальная комплексная деформация (infinitesimal complex deformation) 489

кососимметрическая (skew- symmetric) 492

симметрическая (symmetric) 492

——эйнштейнова деформация (Einstein deformation) 471, 477, 491

косоэрмитова (skew-Hermitian) 491, 492

эрмитова (Hermitian) 491, 492

инфинитезимальный автоморфизм (infinitesimal automorphism) 119

——наблюдатель (observer) 131

Казимира оператор (Casimir operator) 264, 511

Калаби гипотеза (Calabi conjecture) 115, 438

Калаби—Экмана многообразие (Calabi —Eckmann manifoldj 116

Калаби-Яу метрика (Calabi—Yau metric) 439

Калузы-Клейна теория (Kaluza—

Klein theory) 344, 643

каноническая вариация (canonical variation) 346

канонический пучок (canonical sheaf) 542

каноническое линейное расслоение (canonical line bundle) 113, 388, 436, 496, 543

Картана теорема (Cartan theorem) 402

Картана—Жане теорема (Cartan—Janet theorem) 196

Картана—Каллинга форма (Cartan—

Killing form) 247, 266

Картана—Кэлера теория (Cartan—

Kahler theory) 413

картановская подалгебра (Cartan subalgebra) 406, 554

касательное расслоение (tangent bundle) 36

квадратичный функционал (quadratic functional) 178

квазилинейное уравнение (quasilinear equation) 625

кватернионное многообразие (quater- nionic manifold) 556

кватернионно-кэлёрово многообразие (quaternion-Kahler manifold) 389, 418, 537, 545

симметпическое (symmetric) 552, 553

кватернионно-эрмитово многообразие (qu a tern ion -Hermitianmanifold)

556

киллингово векторное поле (Killing vector field) 55, 61, 245, 454, 470, 512

Клейна бутылка (Klein bottle) 387

Клиффорда алгебра (Clifford algebra) 227

ковариантная производная (covariant derivative) 38, 42, 385

Кодацци——Майнарди уравнение (Со- dazzi—Mainardi equation) 59

Кодацци тензор (Codazzi tensor) 589

—уравнение (equation) 589

кодифференциал (codinerential) 54 кокасательное расслоение (cotangent bundle) 36

кольцо ориентированных кобордизмов (oriented cobordism ring) 230

комплексная размерность (complex dimension) 94

—связность (connection) 41

— форма объема (volume form) 288, 387

комплексно симплектическая структура (complex symplectic structure) 539, 544

комплексное многообразие (complex manifold、96

—проективное пространство (projective space) 106

комплексный лапласиан (complex Laplacian) 80

—тор (torus) 107

конформная деформация метрики (conformal change of metric) 83

—метрика (metric) 163, 459

конформно плоская метрика (conformally flat metric) 181, 183

—плоское многообразие (conformally flat manifold) 86, 87, 164, 183

—полуплоская метрика (half conformally flat metric) 182, 183

—полуплоское многообразие (half conformally flat manifold) 182, 183, 501, 505, 515*

кооднородность (cohomogeneity) 643, 644, 647

космологическая постоянная (cosmological constant) 132

кривизна (curvature) 40

—гармоническая (harmonic curvature) 589

—гауссова (Gauss curvature) 72

——кэлерова (Kahler curvature) 103

—Риччи (Ricci curvature) 11, 28, 64

—секционная (sectional curvature) 64

голоморфная (holomorphic sectional curvature) 106

—скалярная (scalar curvature) 65, 249, 434

полная (total scalar curvature) 13, 156, 161

кривизны оператор (curvature operator) 396, 404, 414

чистый (pure) 596

Кристоффеля символ (Christoffel symbol) 39, 49, 195

—тензор (tenzor) 39

критическая точка (critical point) 156, 160, 162, 178, 179

Крускала модель (Kruskal model) 151

кручения тензор (tortion tensor) 42

Кулкарни—Номидзупроизведение

(Kulkarni—Nomizy product) 70

куммерова поверхность (Kummer surface) 543

Кэлера——Эйнштейна метрика (Kah- 1ег—Einstein metric) 434

структура (structure) 495

кэлеров класс (Kahler class) 117

—потенциал (potential) 117

кэлерова кривизна (Kahler curvature) 103

—метрика (metric) 99

—форма (form) 99

кэлерово многообразие (Kahlerian manifold) 438

кэлеровой кривизны оператор (Kahler curvature operator) 103

Кэли числа (Cayley numbers) 406

лагранжиан естественный (natural Lagrangian) 159

лапласиан (Laplacian) 53

—грубый (rough Laplacian) 73

—Дирака (Dirac Laplacian) 80

—Лихнеровича (Lichnerowicz Laplacian) 80, 178, 471

— комплексный (complex Laplacian) 80

—Ходжа (Hodge Laplacian) 80

—Ходжа—де Рама (Hodge—de Rham Laplacian) 54

Леви форма (Levi form) 117

Леви-Чивита связность (Levi-Chivita connection) 48, 245

левойнвариаитная риманова метрика (left-invariant Riemannian metric) 245, 255

ddc-лемма (ddc-lemma) 113, 114

Ли производная (Lie derivative) 37

линейная связность (linear connection) 38, 339

ловушечная поверхность (closed trapped surface) 155

локальная разрешимость (local solvability) 638

локально кватернионно-кэлерово многообразие (locally quaternion-Kah- ler manifold) 537

—приводимое риманово многообразие (locally reducible Riemannian manifold) 390

— сим метрическое лоренцево многообразие (locally symmetric Lorentz manifold) 277

пространство (space) 259, 266, 405, 409, 413, 485

локальное изометрическое вложение (locally isometric embedding) 196

лоренцева метрика (Lorentz metric) 46, 577

Эйнштейна (Lorentz Einstein metric) 351

лоренцево многообразие (Lorentz manifold) 46, 421

симметрическое (Lorentz symmetric manifold) 277

луч (ray) 57, 225

Майерса теорема (Myers theorem) 197, 203, 222

метрика естественно редуктивная (naturally reductive metric) 263

—Калаби — Яу (Calabi—Yau metric) 439

—конформная (conformal metric) 163, 459

— конформно плоская (conformally flat metric) 181, 183

полуплоская (half conformally flat metric) 182, 183

—Кэлера—Эйнштейна (Kahler—Einstein metric) 434

—кэлерова (Kahler metric) 99

—лоренцева (Lorentz metric) 46, 577

—нормальная (normal metric) 283, 296

— Обина—Калаби—Яу (Aubin—Calabi—Yau metric) 439

—псевдорим анова(pseudo-Riernan-

nian metric) 46

—риманова (Riemannian metric) 9, 46

левоинвариантная (left-invariant Riemannian metric) 245, 255

——риччи-плоска я (Ricci-flat metric) 167, 173

——стандартная однородная (standard homogeneous metric) 265

一 Тауба—НУТ (Taub—NUT metric) 153, 502, 535

—Фубини—Штуди(Fubini—Study

metric) 351, 354

—Шварцшильда (Schwarzschild metric) 142, 577

— Эйнштейна (Einstein metric) 471

лоренцева (Lorentz Einstein metric) 351

—экстремальная (extremal metric) 453

—эрмитова (Herm辻ian metric) 98

минимальное погружение (minimal immersion) 59

Минковского пространство (Minkowski space) 276

3-момент (3-mornentum) 131

момента отображение (moment map) 651

Монжа―Ампера уравнение (Monge— Ampere equation) 445, 574, 582 монодромии задача (moriodromy problem) 393

насыщенная голономная система (saturated holonomy system) 415

неприводимое сим метрическое пространство (irreducible symmetric space) 160, 405, 485

неприводимый диффеоморфизм (irreducible diffeomorphism) 213

несжимаемая поверхность (incompressible surface) 213

Нийенхейса тензор (Nijenhuis tensor) 96, 562

нормальная метрика (normal metric) 283, 296

нормальное однородное многообразие (normal homogeneous manifold) 263

Ньюлендера—Я иренбергатеорема

(Newlander—Nirenberg theorem) 96,

Нэша—Мозера теорема о неявной функции (Nash—Moser implicit function theorem) 199

обильное расслоение (ample bundle) 123, 436

Обина—Калаби—知 метрика (Aubin—Calabi—Yau metric) 439

теорема (theorem) 439 область голоморфности (domain of holomorphy) 573, 581

объем метрики (volume of a metric) 435, 479

—многообразия (volume of a manifold) 435, 479

объема форма (volume form) 52, 288

комплексная (complex) 387

—элемент (volume element) 51 однородное кэлерово многообразие (компактное) (homogeneous Kahler manifold (compact)) 280, 300

(некомпактное) ((non-com- pact)) 584

—лоренцево многообразие (homogeneous Lorentz manifold) 276 однопараметрическая подгруппа (one parameter subgroup) 243, 258 омбилическое многообразие (umbilic manifold) 592

—погружение (immersion) 39

О'НеИла тензор (O'Neill tensor) 329 оператор кривизны (curvature operator) 396, 404, 414 чистый (pure) 596 опорная функция (support function) 232

орбита (orbit) 280

—главная (principal) 328

—планетная (planetary) 143

—полная (complete) 281

орбифолд (orbifold) 470, 490

ортогональная группа (orthogonal group) 242

особый дивизор (exceptional divisor) 437

отрицательная2-форма (negative

2-form) 99

отрицательныйкласс когомологий

(negative qohomology class) 434

£р-оценка (Lp-estimate) 630

оценка Шаудера (Schauder estimate) 630

Пале—Смейла условие (Palais—Smale condition) 204

параллельное сечение (parallel section) 41

параллельный обнос (parallel transport) 383

Пейджа метрика (Page metric) 377, 458, 459

Пенроуза конструкция (Penrose construction) 514, 522

пересечения форма (intersection form) 497

период (period) 498

периодов отображение (period mapping) 497, 498

петля (loop) 383

плоское многообразие (flat manifold) 468

плюрисубгармоническая функция (plurisubharmonic function) 574

КЗ-поверхиость (КЗ-surface) 218, 464, 495, 501, 506, 510, 542

полная орбита (complete orbit) 281

—скалярная кривизна (total scalar curvature) 13, 156, 161, 172, 471, 478

полное многообразие (complete mani- 56

Эресману) распределение (Eh-

resmann-complete distribution) 337 положительная 2-форма (positive 2-form) 99

положительный класс когомологий (positive cohomology class) 434

полупростая группа Ли (semi-simple Lie algebra) 261, 267, 281, 451

Понтрягина класс (Pontryagin class) 16

—число (number) 16, 503

почти кватернионное многообразие (almost quaternionic manifold) 556 ——комплексная структура (almost complex structure) 95, 388

—кэлерова структура (almost Kahler structure) 350

прецессия перигелия (perihelion procession) 146

приводимое риманово многообразие (reducible Riemannian manifold) 390

приливный тензор напряжений (tidal stress tensor) 133

примарное многообразие (primary manifold) 211

примитивная форма (primitive form) 100

принцип максимума (maximum principle) 584

присоединенное представление (adjoint representation) 244, 260, 267, 280

причинная геодезическая (causal geodesic) 147

произведение (product) 47, 66

простая группа Ли (simple Lie group) 261, 266, 270

простой корень (primitive root) 301 пространственноподобнаякривая

(spacelike curve) 130

пространственноподобныйвектор

(spacelike vector) 130

Пространство Модулей эйнштейновых структур (Moduli Space of Einstein structures) 21, 462, 478, 490, 495, 643, 650

пространство предмодулей эйнштейновых структур (premoduli space of Einstein structures) 470, 477, 490 —препитствий (obstruction space) 474

псевдоа косовский диффеоморфизм (pseudo-Anosov diffeomorphism) 213 псевдовыпуклая область (pseudo-convex domain) 581

псевдориманов а метрика (pseudo-Rie- mannian metric) 46

псевдориманово многообразие (pseu- do-Riemannian manifold) 46

—погружение (immersion) 58 прямая (line) 57, 225, 231

Пуанкаре гипотеза (Poincare*s conjecture) 198

Пуассона скобка (Poisson bracket) 450

путь (path) 336

раздутие (blowing up) 437, 451, 455, 461

ранг (rank) 406, 408

расслоение отрицательных спиноров (negative spin bundle) 228

—положительных спиноров (positive spin bundle) 228

расстояние (distance) 56

регулярный элемент алгебры Ли (regular element of Lie algebra) 284

редуктивная алгебра Ли (reductive Lie algebra) 450

Римана—Роха—Хирцебруха теорема (Riemann—Roch—-Hirzebruch theorem) 118, 496, 498

риманов функционал (Riemannian functional) 159

риманова метрика (Riemannian metric) 9, 46

—область (Riemann domain) 581

—структура (Riemannian structure) 9, 463

—субмерсия (Riemannian submersion) 325, 327

с вполне геодезическим и слоями (with totally geodesic fibres) 325, 331, 341

риманово многообразие (Riemannian manifold) 9, 46

—произведение (product) 389

Риччи кривизна (Ricci curvature) 11, 28, 64

— потенциал (Ricci potential) 124

—свертка (Ricci contraction) 69

一 символ (Ricci symbol) 615

—тензор кривизны (Ricci curvature tensor) 64

— уравнение (Ricci equation) 59

—форма (Ricci form) 103, 289, 293, 388, 434, 581

— формула (Ricci formula) 43

риччи-плоская метрика (Ricci-flat metric) 167, 173

риччи-плоское многообразие (Ricci-

宀 flat manifold) 256, 388

S-род (A-genus) 229

свертка (contraction) 100, 588 ,

связная сумма (connected sum)' 212, 219, 221

связность (connection) 38

G-связность (G-connection) 339

GL-связность (G£-connection) 340

связность автодуальная (self-dual connection) 502, 505

—антиавтодуальная (anti-self>dual connection) 502

—ассоциированная (associated connection) 341

—аффинная (affine connection) 380

— главная (principle connection) 340

—евклидова (Euclidean connection) 41

—Леви-Чивита (Levi-Chivita connection) 48, 245

—линейная (linear connection) 38, 339

—комплексная (complex connection) 41

―■ тривиальная (trivial connection) 39

—Чженя (Chern connection) 113

—Эресмана (Ehresmann connection) 337

—эрмитова (Hermitian connection) 41

секционная кривизна (sectional curvature) 64

Серра двойственность (Serre duality) 116

сигнатура (signature) 13, 129, 189, 195, 217, 497, 503

символ (symbol) 627

симметрическое пространство (symmetric space) 249, 299, 401

кватернионно-кэлерово (qua- ternion-Kahler) 553

компактное неприводимое (compact irreducible) 270, 425, 426, 427, 428, 432

некомпактное неприводимое (non-compact irreducible) 271, 428, 429, 430, 431, 432

симплектическая структура (symplec- tic structure) 296, 650

симплицнальный объем (simplicial volume) 220

сингулярность пространства-времени (spacetime singularity) 155

скалярная кривизна (scalar curvature) 65, 249, 434

3-скорость (3-velocity) 131

скрещенное произведение (warped product) 328

след (trace) 100, 102

Соболева неравенство (Sobolev inequality) 202, 623, 624

—пространство (Sobolev space) 622

—теорема вложения (Sobolev embedding theorem) 623

сопряженные точки (conjugate points) 46

специальное кэлерово многообразие (special Kahler manifold) 388

спинорное многообразие (spin manifold) 227, 506

спиноров расслоение (spinor bundle) 228

среднее приливное напряжение (mean tidal stress) 133

средней кривизны вектор (mean curvature vector) 59, 334

срез (slice) 463, 469

стандартная однородная метрика

(standard homogeneous metric) 265

стандартное однородное многообразие (standard homogeneous manifold) 265

стационарная подгруппа (isotropy subgroup) 240, 244, 256, 261

строго изотропно неприводимое пространство (strongly isotropy irreducible space) 251

——эллиптический оператор (strongly elliptic operator) 633

субгармоническая функция (subharmonic function) 235

тавтологическое сечение (tautological section) 283

Tay ба—НУТ метрика(Taub—NUT

metric) 153, 502, 535

твисторов пространство (twistor space) 515, 538, 559'

Тейхмюллера пространство (Teich- miiller space) 462, 467, 496

тензор кривизны (curvature tensor) 48, 63, 205, 413

алгебраический (algebraic curvature tensor) 69

—напряженностимассы-энергии

(stress tensor of mass/energy) 131

一 энергии-импульса(stress/energy

tensor) 131

теорема об индексе (Index theorem) 228, 501, 510

тип вектора (type of vector) 95

——неприводимогосимм етрического

пространства (of irreducible symmetric space) 261

—формы (of form) 95

тор (torus) 242, 302, 383, 390

— комплексный (complex torus) 107 трансгрессия (transgression) 297, 299 тривиальная связность (trivial con

nection) 39

универсальная накрывающая (universal cover) 223, 256, 259, 440

унимодулярная группа (unimodular group) 247, 255

устойчивая метрика Эйнштейна (stable Einstein metric) 177

устойчивая эйнштейнова структура (rigid Einstein structure) 482

финслерово многообразие (Finsler manifold) 9

флагов многообразие (flag manifold) 284

формальная интегрируемость (formal integrability) 474, 477, 489

формально сопряженный оператор (formal adjoint operator) 626

формальный ряд (formal series) 473, 478

фотонная сфера (photon sphere) 145

Фредгольма альтернатива (Fredholm alternative) 631

Фролихера спектральная последовательность (Frdhiicher spectral sequence) 116

Фу бини—Штуди метрика (Fubini— Study metric) 351, 354

фундаментальная группа (fundamental group) 212, 221, 224, 230, 238, 253

фунда ментальн оевекторное поле

(fundamental vector field) 282

фундаментальный класс (fundamental class) 220

—принцип голономии (fundamental principle of holonomy) 385

Фу таки теорема (Futaki theorem) 451

—функционал (functional) 126, 451, 647

хакеново многообразие (Haken manifold) 214

Хермана теорема (Hermann theorem) 337, 342

Хирцебруха теорема о сигнатуре (Hir- zebruch signature theorem) 503

Хопфа расслоение (Hopf fibration) 353, 520

обобщенное (generalized) 354

частичная симметризация (partial symmetrization) 588

частичное альтернирование (partial alternation) 588

черная дыра Шварцшильда (Schwarzschild black hole) 151

Чженя——Вейля гомоморфизм (Chern—

Weil homomorphism) 109

Чженя класс (Chern class) 109, 110, 411, 436, 504

—связность (Chern connection) 113

—число (Chern number) 437, 532

Чигера—Громола теорема (Cheeger—

Gromoll theorem) 231, 420, 440

чистый оператор кривизны (pure curvature operator) 596

—тензор Вейля (pure Weyl tensor) 596

Шаудера оценка (Schauder estimate) 630

Шварцшильда метрика (Schwarzschild metric) 142, 577

—модель (Schwarzschild model) 144, 150

—черная дыра (Schwarzschild black hole) 151

«штаны» (pair of pants) 210

Штейна многообразие (Stein manifold) 584

Эбина теорема о срезе (Ebin's slice theorem) 469

Эйлера число (Euler number) 118

Эйлера——Лагранжа уравнение (Euler—Lagrange equation) 164

эйлерова характеристика (Euler characteristic) 216, 442, 504, 542

Эйнштейна метрика (Einstein metric) 471

—многообразие (Einstein manifold) 11

一 оператор (Einstein operator) 471

—структура (Einstein structure) 462

—уравнение (Einstein equation) 131, 141, 152

— — линеаризованное (linearized) 471

экспоненциальное отображение (exponential map) 45

экстремальная метрика (extremal metric) 453

эллиптический комплекс (elliptic complex) 508

—оператор (elliptic operator) 628

недоопределенный (under determined) 629

переопределенный (overdetermined) 629

Энриквеса поверхность (Enriques surface) 219, 542

Эресмана связность (Ehresmann connection) 337

—теорема (Ehresmann theorem) 337 эрмитова инфинитезимальная эйнштейнова деформация (Hermitian infinitesimal Einstein deformation) 491, 492

—метрика (Hermitian metric) 98

—связность (Hermitian connection) 41

эффективный дивизор (effective divisor) 498

Юнга симметризатор (Young symmet- rizer) 69

Якоби поле (Jacobi field) 45, 140, 146, 403

—уравнение (Jacobi equation) 147

Нмабе инвариант (Yamabe invariant) 164

—метод (Yamabe method) 605

— проблема (Yamabe problem) 165, 603

Янга—Миллса инстантон(Yang—

Mills instanton) 504

интеграл (Yang—Mills integral) 603

условие (Yang—Mills condition) 335

функционал (Yang——Mills functional) 183, 501

3-момент (3-momentum) 131

3-скорость (3-velocity) 131

А-род (A-genus) 229

ddc-лемма (ddc'lenima) 113, 444

G-связность (G-connection) 339

GL-связность (GL-connection) 340

КЗ-поверхность (КЗ-surface) 218, 464, 495, 501, 506, 510, 542

Ьр-оценка (Z>-estimate) 630

Содержание т. I

От переводчика

От автора

Глава 0. Введение

§ А. Определения и краткие пояснения. § В. Зачем нужна книга о многообразиях Эйнштейна? § С. Существование. § D. Примеры. § Е. Единственность и модули. § F. Краткий обзор содержания по главам. § G. Путе* водитель. § Н. Как почувствовать кривизну Риччи. § I. Основные открытые проблемы.

Глава 1. Основные сведения

§ А. Введение. § В. Линейные связности. § С. Римановы н псевдорим а- новы многообразия. § D. Римановы многообразия как метрические пространства. § Е. Римановы погружения, изометрии и киллинговы векторные поля. § F. Многообразия Эйнштейна. § G. Разложение алгебраических тензоров кривизны на неприводимые компоненты. § Н. Применение к римановой геометрии. § I. Лапласианы и формулы Вейценбёка. § J. Конформная деформация римановых метрик. § К. Первая вариация поля тензоров кривизны.

Глава 2. Основные сведения (продолжение): кэлеровы многообразия

§ А. Почти комплексные и комплексные многообразия. § В. Эрмитовы и кэлеровы метрики. § С. Тензор Риччи и форма Риччи. § D. Голоморфная секционная кривизна. § Е. Классы Чженя. § F. Форма Риччи как форма кривизны линейного расслоения. § G. Теория Ходжа. § Н. Голоморфные векторные поля и инфинитезимальные изометрии. § I. Теорема Калаби—Футаки. °

Глава 3. Теория относительности

§ А. Введение. § В. Физическая интерпретация. § С. Полевое уравнение Эйнштейна. § D. Приливные напряжения. § Е. Нормальные формы кривизны. § F. Метрика Шварцшильда. § G. Планетные орбиты. § Н. Прецес-

сия перигелия. § I. Геодезические вселенной Шварцшильда. § J. Отклонение луча света. § К. Расширение Крускала. § L. Как может нарушаться полнота. § М. Теоремы сиигулярностя.

Глава 4. Римановы^функционалы

А. Введение. § В. Основные свойства римановых функционалов. § С. Полная скалярная кривизна: свойства первого порядка. § D. Существование метрик постоянной скалярной кривизны. § Е. Образ отображения скалярной кривизиы. § F. Многообразие метрик постоянной скалярной кривизны. § G. Снова о полной скалярной кривизне: свойства второго порядка. § Н. Квадратичные функционалы.

Глава 5. Кривизна Риччи как уравнение в частных произ** водных

А. Точечная (инфинитезимальная) разрешимость. § В. От точечной разрешимости к локальной: препятствия. § С. Локальная разрешимость уравнения Ric(g) = г для невырожденного цензора г. § D. Локальное построение метрик Эйнштейна. § Е. Регулярность метрик с гладким тензором Риччи. § F. Аналитичность метрик Эйнштейна и ее применение. § G. Метрики Эйнштейна иа трехмерных многообразиях. § Н. Теорема единственности для кривизны Рнччн. § I. Несуществование глобальных решений.

Глава 6. Многообразия Эйнштейна и топология

А. Введение. § В. Существование метрик Эйнштейна в двумерном случае.

С. Трехмерный случай. § D. Четырехмерный случай. § Е. Кривизна Риччи и фундаментальная группа. § F. Скалярная кривизна и спинорное препят- ствие. § G. Доказательство теоремы Чигера—Громола о полных многообразиях неотрицательной кривизны Риччи.

Глава 7. Однородные римановы многообразия

§ А. Введение. § В. Однородные римановы многообразия. § С. Кривизна.

§ D. Примеры однородных многообразий Эйнштейна. § Е. Общие результаты для однородных многообразий Эйнштейна. § F. Симметрические пространства. § G. Стандартные однородные многообразия. § Н. Таблицы. § I. Немного об однородных лоренцевых многообразиях.

Глава 8. Компактные однородные кэлеровы многообразия

§ 0. Введение. § А. Орбиты присоединенного представления компактной группы Ли. § В. Каноническая комплексная структура. § С. 6-инвариант- ная форма Риччи. § D. Симплектическая структура Кириллова——Костана— Сурьо. § Е. Инвариантные кэлеровы метрики на орбитах. § F. Компактные однородные кэлеровы многообразия. § G. Пространство орбит. § Н. Примеры.

Оглавление

Глава 9. Римановы субмерсии325

325326329332336341345352361363373325326329332336341345352361363373Введение

325326329332336341345352361363373

325326329332336341345352361363373

Римановы субмерсии .

Инварианты 4нТ

Формулы О*Нейла для кривизны

Полнота и связности

Римановы субмерсии с вполне геодезическими слоями ...

Каноническая вариация

Применение к однородным многообразиям Эйнштейна ...

Другие примеры однородных многообразий Эйнштейна ..

Скрещенные произведения

К Примеры неоднородных компактных многообразий Эйнштейна ложительной скалярной крирнзны

Глава 10. Группы голономии 380

Введение . . . . . 380

Определения382

Обращение в нуль ковариантных производных инвариантов голо

номии. Примеры ... . .385

Римановы произведения и голономия ■■ . 389

Структура I . . .. .. . . 394

Голономия и кривизна 396

Симметрические пространства и их голономия. . .401

Структура II .. .. . 409

Неодносвязный случай419

Лоренцевы многообразия 421

К. Таблицы424

Глава 11. Метрики Кэл ер а — Эйнштейна и гипотеза Калаби 433

Метрики Кэлера — Эйнштейна .....434

Доказательство гипотезы Калаби и ее следствия ..... 438

Набросок доказательства теорем Обина — Калаби ——Яу - - .444

Компактные комплексные многообразия с положительным первым классом Чженя .. . . 448

Экстремальные метрики453

Глава 12. Пространство Модулей эйнштейновых структур 462

4444444444444444444444Введение

44444444444

44444444444

Типичные примеры: поверхности и плоские многообразия ..

Основной аппарат

Инфинитезимальные эйнштейновы деформации

Формальная интегрируемость ...

Структура пространства предмодулей

Множество констант Эйнштейна .

Устойчивость эйнштейновых структур ...

Размерность Пространства Модулей .

Деформация метрик Кэлера ——Эйнштейна ......

Пространство Модулей на КЗ-поверхности 一 •

Глава 13. А втоду а л ь ность 501

Введение501

Автодуальность . . . .502

Конформно полуплоские многообразия . . 505

Конструкция Пенроуза 514

Обращение конструкцииПенроуза522

Построение конформно полуплоских многообразий Эйнштейна . 528

Глава 14. Кватернионно-кэлеровы многообразия536

Введение536

Гиперкэлеровы многообразия . 538

Примеры гиперкэлеровых многообразий .... 542

Кватернионно-кэлеровы многообразия . ...545

Симметрические кватернионно-кэлеровы многообразия....552

Кватернионные многообразия 555

Пространство твисторов кватернионных многообразий. 一 .558

Применение теории пространств твисторов563

Примеры несимметрических кватернионно-кэлеровых многообразий569

♦ 572♦ 572Глава 15. Немного о некомпактном случае

♦ 572

♦ 572

A.B.CD.A.B.CD.Введение572

A.B.CD.

A.B.CD.

Конструкция неоднородныхметрик Эйнштейна573

Конструкпии, использующиерасслоения . . .. 575

Ограниченные области голоморфности.. 580

Глава 16. Обобщения условий Эйнштейна .... 585

Введение .. . . .585

Естественные линейные условия на Dr587

Тензоры Кодацци . . . . 590

Случай Dr е С°° (Q ® S): римановы многообразия с гармоническим тензором Вейля598

Случай Dr е С00 (S): римановы многообразия с гармонической кривизной 602

Случай 。，三。8 (Q)608

Случай Dr e C°° (А): римановы многообразия, удовлетвориющие условию (Ох г) (X, X) = 0 для всех касательных векторов X . . 612

Ориентированные римановы 4-многообразия с 6ТГ+ = 0 .. 614

Приложение. Пространства Соболева и эллиптические операторы 621

Пространства Гельдера

Пространства Соболева

Теоремы вложения

Дифференциальные операторы

Сопряженные операторы

Главный символ

Эллиптические операторы

Оценки Шаудера и £₽-оцеики линейных эллиптических операторов I. Существование решений линейных эллиптических уравнений ..

J. Регулярность решений эллиптических уравнений .

666666666666666666• ДополнениеБесконечное множество констант Эйнштейна иа S⑵ X S2m+J ...Явные метрики с группами голономии G2 и Spin(7)Неоднородные метрики Кэлера ——Эйнштейна положительной скалярной кривизны Единственность метрики Кэлера ——Эйнштейна положительной скалярной кривизны Гиперкэлеровы фактор-многообразия• ДополнениеБесконечное множество констант Эйнштейна иа S⑵ X S2m+J ...Явные метрики с группами голономии G2 и Spin(7)Неоднородные метрики Кэлера ——Эйнштейна положительной скалярной кривизны Единственность метрики Кэлера ——Эйнштейна положительной скалярной кривизны Гиперкэлеровы фактор-многообразия2462464244466 6 64244466 6 6806465806465К. Существование решений нелинейных эллиптических уравнений .

666666666

666666666

• Дополнение

Бесконечное множество констант Эйнштейна иа S⑵ X S2m+J ...

Явные метрики с группами голономии G2 и Spin(7)

Неоднородные метрики Кэлера ——Эйнштейна положительной скалярной кривизны

Единственность метрики Кэлера ——Эйнштейна положительной скалярной кривизны

Гиперкэлеровы фактор-многообразия

• Дополнение

Бесконечное множество констант Эйнштейна иа S⑵ X S2m+J ...

Явные метрики с группами голономии G2 и Spin(7)

Неоднородные метрики Кэлера ——Эйнштейна положительной скалярной кривизны

Единственность метрики Кэлера ——Эйнштейна положительной скалярной кривизны

Гиперкэлеровы фактор-многообразия

2

4

6

2

4

6

424446

6 6 6

424446

6 6 6

806465

806465

Литература653

Послесловие681

Именной указатель686

Предметный указатель689

Содержание т. I 699

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!

Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода н другие просим присылать по адресу: 129820, Москва И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2, издательство 《Мир》.

НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ

Артур Бессе

МНОГООБРАЗИЯ ЭЙНШТЕЙНА

В 2-х томах

Т. И

Зав. редакцией чл.-корр. АН СССР В. И. АрнольдЗам. зав. редакцией А. С. ПоповНаучный редактор О. Р. Чуян

Мл. науч. ред. Т. А. Денисова, Н. С. ПоляковаХудожник О. С. ВасильковаХудожественный редактор В. И. ШаповаловТехнический редактор М. А. СтрашноваКорректор В. И. Киселева

ИБ № 7537

Сдано в набор 07.09.89. Подписано к печати 21.05.90. Формат 6ОХ88%6・ Бумага типогр. № 1. Печать высокая. Гарнитура литературная. Объем 12,0 бум. «л» Усл. печ. л. 24,0. Усл. кр.-отт. 24,0. Уч.-изд. л. 22.91. Изд. № 1/7155. Тираж 4250 экз. Зак. 293. Цена 3 р. Юк.

Издательство «Мир» В/О «Совэкспорткиига» Государственного комитета СССР по печати

129820, ГСП, Москва, И-110, 1-й Рижский пер., 2

Набрано в Ленинградской типографии № 2 головного предприятия ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техиическал книга» нм. Евгении Соколовой Государственного комитета СССР по печати. 198052, г. Ленинград, Л-52,. Измайловский проспект, 29. Отпечатано в Ленинградской типографии № 4 ордена Трудового Красного Знамени Леиииградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Государственного комитета СССР по печати. 190000. Ленинград..

Прачечный переулок. 6.

Многообразия Эйнштейна

Том II

Arthur L. Besse

Einstein Manifolds

With 22 Figures

SpringerAferlag

Berlin Heidelberg New York

London Paris Tokyo

А.Бессе

МногообразияЭйнштейна

В двух томах

Том II

Перевод с английского

Д. В. Алексеевского

Москва «Мкр» 1990

ББК 22.152

Б53 УДК 515.1

Бессе А.

Б53 Многообразия Эйнштейна: В 2-х т. Т. II. Пер. с англ.— М.: Мир, 1990. — 384 с.

ISBN 5-03-002066-7

Книга известного французского математика, посвященная одному из современных н активно развивающихся направлений геометрии. Многообразия Эйнштейна ——это многомерный аналог поверхностей постоянной кривизны, которые возникли в общей теории относительности и связаны с кэлеровой кватернионной геометрией, алгебраическими поверхностями н полями Янга ——Миллса. Автор начинает с основных понятий н дает обзор применяемых методов в различных приложениях.

Русское издание выходит в двух томах.

Для математиков (геометров, специалистов по группам Ли, алгебраической геометрии, функциональному анализу), для физиков-теоретиков, аспирантов и студентов университетов.

1602050000-437^~041(01)-90-

10-90

ББК 22.152

Редакция литературы по математическим наукам

ISBN 5-03-002066-7 (русск.)

ISBN 5-03-001423-3

ISBN 3-540-15279-2 (англ.)

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1987 All rights reserved

Authorized translation from English language edition published by Springer-Ver- lag Berlin Heidelberg New York Tokyo

© перевод на русский язык,

Д. В. Алексеевский, 1990