Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ОТ РЕДАКТОРОВ
Надежность работы машин и различных механических систем в большой сте'нени обусловлена их динамической устойчивостью, исследование которой применительно к системам с газовыми подшипниками явилось предметом настоящей монографии В. Н. Дро- здовича, изданной посмертно. !
Чтобы правильно понять значение основных идей, методов и результатов, изложенных в этой книге, следует прежде всего напомнить о специфике анализа устойчивости систем с газовыми подшипниками, которая связана с тем, что уравнения газоёой смазки существенно нестационарны, нелинейны и, строго говоря, неотделимы от уравнений динамики системы. Однако наиболее корректный подход к анализу устойчивости^ основанный на совместном интегрировании уравнений газовой смазки и уравнений динамики машины, оказывается сложным и требует чрезмерных затрат времени на ЭВМ. Поэтому усилия исследователей в течение последнего десятилетия были направлены на разработку более простых приближенных методов анализа устойчивости, достаточно надежных (пр крайней мере, не опирающихся на квазистационар- ные теоретические модели газовых опор) и позволяющих в то же время рассматривать интегрирование уравнений газовой смазки и определение динамических реакций газовых опор как автономную задачу, решение которой дает исходные данные к следующему этапу анализа —исследованию уравнений динамики. В числе методов, основанных на таком подходе к анализу устойчивости систем с газовыми подшипникамй, метод, развитый В. Н. Дроздо- вичем, представляется в некоторых отношениях наиболее удачным; его достоинства —минимальная трудоемкость, возможность технической реализации с помощью простых ‘ вычислительных средств, которыми располагает любое заводское конструкторское бюро, даже при исследовании сложных механических систем. В то же время анализ, связанный с построением метода и обоснованием различных его сторон, выполнен автором, на самом современном теорётическом уровне.
Автор сумел не только преодолеть серьезные трудности, с которыми приходится сталкиваться при интегрировании трехмерного нестационарного уравнения газовой смазки, особенно в случае профилированного подшипника (даже численное интегрирование такого уравнения с применением ЭВМ оказывается далеко не простой задачей), но и представить его решение в обозримой
&Й а лирической форме, которай, B^actnoctH, oxfeatwfeaet Такуро разновидность газовых опор, особенно трудно поддающуюся анализу, как подшипники со спиральными (винтовыми) канавками. Это открывает возможность для разработки более совершенных прикладных методов их расчета, не опирающихся на широко известную, но довольно трубую «теорию узких канавок» и различные ее модификации. . 、
Исследование устойчивости автор производит на основе линеаризованных уравнений динамики. Этот традиционный подход вполне надежен в определении границ устойчивости, по отношению к малым случайным возмущениям состояния равновесия исследуемой системы (разумеется, при условии, что динамические реакции системы найдены с достаточной точностью), хотя линеаризация уравнений динамики может исказить картину поведения системы на границе устойчивости.
Важное достоинство метода В. Н. Дроздовича состоит в том, что его можно эффективно применять, к анализу устойчивости механических систем с большим числом степеней увободы. Для сравнения следует отметить, что к таким системам в какой-то степени приспособлен и метод ступенчатого воздействия (см. п. 3), однако специфические приемы этого метода относятся не столько к непосредственному исследованию устойчивости, сколько к определению матрицы динамических реакций газовых подшипников на скачкообразные изменения положения равновесия в различных степенях свободы; 'кстати определение этой матрицы предполагает использование достаточно мощных вычислительных машин. Основная же идея В. Н. Дроздовича состоит в подходе к анализу устойчивости сложных систем с газовыми подшипниками как к синтезу результатов исследования устойчивости отдельных сравнительно# простых подсистем. Обоснованием такого подхода является теорема, доказанная в гл. II, согласно которой устойчивость системы в целом обеспечивается при достаточно большом запасе устойчивости каждой подсистемы и слабых перекрестных связях между подсистемами. Устойчивость же изолированных подсистем (йапример, подсистем поступательных и угловых колебаний ротора) может быть исследована сравнительно простыми средствами,, если найдены динамические реакции подшипников. В качестве таких средств автор использует специфические приемы теории автоматического регулирования, которая является той областью, где техника реализации классических методов исследования устойчивости достигла особенно высокого уровня развития; именно В. Н. Дроздович был первым, кто эффективно применил подобные приемы к задачам газовой смазки.
Следует заметить, что при исследовании устойчивости достаточно простых систем с газовыми подшипниками методы^ теории автоматического регулирования, по-видимому, не имеют решающих преимуществ по сравнению с другими методами, например методом гармонического баланса, разновидностями которого яв- 4
ляются методы Марша и Пэна. В п. 28 автор обращает внимание на качественное отличие своих результатов по расчету границ устойчивости профилированного радиального подшипника от соответствующих результатов, полученных с помощью метода Пэна (рис. 30); однако вероятной причиной такого расхождения является то, что в последнем случае была использована более грубая теоретическая модель для расчета реакций смазочного слоя, а не какие-то принципиальные недостатки самого метода Пэна. Как показал сам автор в гл. V, метод частотного годографа, заимствованный из теории автоматического регулирования, и метод гармонического баланса приводят к одной и той же форме условия устойчивости радиального подшипника, содержащей так называемую вихревую жесткость; с максимизацией этой величины связаны рассмотренные в гл. VI практические приему проектирования газовых опор, обладающих наибольшим запасом устойчивости.
Весьма интересны результаты сравнительного анализа различных способов стабилизации радиальных газовых подшипников. Хотя радиальная нагрузка сама по себе является стабилизирующим фактором, однако способ'стабилизации нагружением оказывается наименее эффективным, как показано 卫 гл. VI. Большим запасом устойчивости обладает двухвтулочный подшипник, в ко*/ тором ненагруженный вал расположен эксцентрично за счет, оттока газа из смазочного слоя через отверстие в стенке втулки; внутреннюю, втулку в этом случае можно рассматривать как стакан с податливым креплением, которое согласно анализу гл. V само по себе повышает запас устойчивости. Однако наиболее эффективным способом стабилизации оказывается профилирование смазываемой поверхности втулки или вала со спиральными канавками; другие искусственные профили (например, многолепестковые или эллиптические) гораздо менее эффективны. Радиальноупорные подшипники более устойчивы по отношению к угловым возмущениям, чем радиальные (п. 27).
Коллектив -сотрудников, готовивших эту книгу к печати, надеется, что она принесет ощутимую пользу как инженерам и конструкторам, непосредственно занимающимся расчетом и проектированием машин и приборов с газодинамическими опорами, так и лицам, которые занимаются или собираются заняться теоретическими исследованиями в области газовой смазки, и что плодотворные идеи и методы, выдвинутые безвременно умершим автором этой книги В. Н. Дроздовичем, получат дальнейшее развитие в трудах его последователей.
В статье С. В. Пинегина, С. В. Серенсена, И. В. Крагельского,- Н* Н. Краснощекова «Научно-техническая революция и перспективы машиноведения», опубликованной в журнале «Машиноведе- нне》№ 2, М.,《Наука》，1976, отмечается интенсивное развитие научных исследований и расширение области практического применения опор скольжения с газовой смазкой.
В ближайшие годы в первую очередь будут совершенствоваться конструкции гироскопов на газовых опорах и приборов на газовой смазке. Будут развиваться пневмо- и электрошпиндели на воздушных опорах, направляющие станков на воздушной подушке и т. д. Большой объем экспериментальных научных исследований должен быть выполнен в процессе создания опор на газовой смазке для турбин, компрессоров и других машин. Внедрению опор с газовой смазкой будут способствовать новые способы получения покрытий поверхностей (электрохимическим осаждением, катодным распылением и т. п.); новые антифрикционные материалы и передовые способы технологии обработки деталей, запланированные в десятой пятилетке.
Издание книги было поддержано рядом известных ученых: акад. А. Ю. Ишлинским, засл. деят. науки и техники проф. д-ром техн, наук С. В. Пинегиным и проф. д-ром физ.-мат. наук Л. Г. Лойцянским, проф. д-ром техн, наук С. Ф. Фармаков- ским, проф. д-ром техн, наук С. А. Шейнбергом, проф. д-ром физ.-мат. наук Л. Г. Степанянцем, проф. д-ром техн, наук Г. А. Завьяловым, проф. д-ром техн, наук Г. А. Поспеловым.
Предельная требовательность В. Н. Дроздовича к своей работе была причиной того, что публикации его трудов весьма кратки. Преждевременная смерть помешала ему закончить рукопись данной книги. В книге в основном сохранены текст, стиль и обозначения В. Н. Дроздовича, за исключением того, что отмечено в предисловии.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Внедрение опор с газовой смазкой позволяет создавать новые типы высокоскоростных машин и приборов, отвечающих повышенным требованиям, предъявляемым к их точности, надежности и долговечности.
За последние 10—15 лет опоры с газовой смазкой получили распространение во многих областях техники, и к настоящему времени накоплен значительный опыт их практического использования в самых разнообразных машинах и приборах.
Основной целью книги является детальная разработка проблемы устойчивости механических систем с типовыми разновидностями газодинамических опор. .
Автор книги ——известный специалист в области устойчивости опор с гязовой смазкой не успел завершить работу над книгой. Это издание является посмертным. Подготовку рукописи к изданию по просьбе кафедры «Бортовых приборов управления» Ленинградского института точной механики и оптики, где работал канд. техн, наук В. Н. Дроздович, взяли на себя канд. техн, наук П. А. Ильин и канд. техн, наук В. В. Иванова. В этой работе над рукописью им оказали помощь канд. физ.-мат. наук И. Е. Сипен- ков и канд. техн, наук С. Г. Дадаев. -
В книге новые параграфы написаны: п. 1 —канд. техн, наук В. В. Ивановой и д-ром техн, наук А. А. Лохматовым, п. 3,36 —— канд. техн, наук В. В. Ивановой и канд. физ.-мат. наук И. Е. Си- пенковым, п. 2, 9, И —канд. физ.-мат. наук И. Е. Сипенковым, п. 35 ——канд. техн, наук В. В. Ивановой и инж. Н. Г. Проскуряковым, п. 7 дополнен критерием устойчивости, выведенным С. Г. Дадаевым, гл. III отредактирована канд. физ.-мат. наук И. Е. Сипенковым.
Замечания и предложения- по книге просим] присылать по адресу: 191065, Ленинград, Д-65, ул. Дзержинского, 10, издательство «Машиностроение».
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
а ——коэффициент вихревой жесткости одной втулки;
D ——диаметр радиальйого подшипника;
Е — половина глубины канавки; , е —эксцентриситет шипа и подшипника;
，一главный вектор сил реакции подшипника； .尸в —главный вектор внешних сил;
F± = Fx + iFy — комплексный вектор сил смйзочного слоя； 尸if = F.xt + i尸у» ——комплексный вектор сил вязкого трения;
G 仇 I); G(s, i) — передаточные функции подшипника, рассматриваемого как звено системы убавления, где i = )/^1; р, s —переменные преобразования по Лапласу;，
% —толщина смазочного слоя;
Я —безразмерная толщина смазочного слоя; 第一комплексная функция толщины смазочного
,слоя;
/о; /——осевой и экваториальный момент инерции ротора соответственно;
卷——комплексная функция, действительная часть которой представляет распределение давления в смазочном слое;
К —кинетический момент ротора;、
Кп —число Кнудсена;
А ——длина подшипника;
Li.——длина профилированной зоны подшипника;
2 — главный момент сил смазочного слоя от
носительно оси ротора;
①в ——главный момент внешних сил относительно оси ротора;
St — главный момент сил трения относительно оси ротора;
М —масса ротора;
Мст —масса статора;
М —безразмерная масса ротора;
必一безразмерная критическая масса ротора;
Л —критерий устойчивости;
п — число канавок;'
р —давление в смазочном слое;
卩窑一наружное давление на периферии смазочного слоя;-
Р —относительное давление в смазочном слое;
R —радиус шипа;
Ri — радиус подшипника;
Re ——число Рейнольдса;
尸——радиальная координата;
г, 0, <р ——сферические координаты;
S —число Струхала;
/ —время;
U —характерная скорость газа;.
и ——функция, определяющая форму искусственного профиля;
— линейная скорость поверхности шипа;
— скорость газа в смазочном слое подшипника;
W ——функция, определяющая структуру решения линеаризованного уравнения Рейнольдса в изображениях по Лапласу;
X, У, Z ——оси декартовой системы координат, в которой определяются силы и моменты, действующие на ротор или статор;
文。，声。，z° — орты координатных осей X, У, Z;
У — статическое решение краевой задачи для центрального положения шипа с учетом канавок;
у ——радиальная координата, отсчитываемая от поверхности шипа；
а —угол ориентации микроканавок на поверх-、 ности подшипника; 、
а, р —углы, определяющие ориентацию собственного вращения ротора;
Y —коэффициент жесткости крепления статора;
6——средний ^зазор подшипника;
е —относительный эксцентриситет ротора;
工一относительная осевая координата;
М —коэффициент нагрузки;
t П ——относительный параметр профиля подшипника;
0 —полярный угол;
X ——относительная длина подшипника;
卩一динамический коэффициент вязкости газа; g, г], С — система координат Резаля;
p — плотность газа;
о —отношение D/Ц
т —безразмерное время;
т — тангенциальное напряжение в смазочном слое;
<р ——меридианальный угол;
ф — угол нагрузки;
力 А —параметры сжимаемости;
4f —безразмерная зависимая переменная, равная РН\
Q—угловая скоростьг собственного вращения ротора;
со —мгновенная абсолютная угловая скорость ротора;
g)i —экваториальная составляющая угловой скорости, обусловленная угловыми колебаниями оси ротора относительно подшипника;
4 = Re{%};
B = 4m{%};
岡=1
%=---k 1一力%，
ГЛАВА I
СОСТОЯНИЕ ТЕОРИИ И ПРАКТИКИ ПРИМЕНЕНИЯ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ПОДШИПНИКОВ
Типы газодинамических подшипникови их применение в современной технике
Газовыми подшипниками называются подшипники скольжения с газовой смазкой. Газы, подобно другим видам смазок, обладают некоторыми только им присущими достоинствами и недостатками, которые вытекают из основных различий в свойствах газов и жидкостей. .
Газы имеют малую вязкость, например при 15―20° С динамическая вязкость воздуха примерно в 4 тыс. раз меньше вязкости машинного масла и в 60—100 раз меньше вязкости воды и керосина. С повышением температуры вязкость жидкостей резко падает, а вязкость газов несколько увеличивается, например динамическая вязкость машинного масла при атмосферном давлении с увеличением температуры от 20 до 80° С уменьшается в 14 раз, в то время как для воздуха при тех же условиях она увеличивается в 1,16 раза. Вязкость газов в пределах диапазона давлений работы подшипников не зависит от давления.
Газы химически стабильны в значительно более широком интервале температур, чем жидкости.
Газ ——сжимаемая среда, поэтому при движении в зазоре подшипника его плотность существенно зависит от изменения давления, скорости и проходного сечения.
Газ — некавитирующая среда. В отличие от жидкостной смазки при смазке газами отсутствуют разрывы в смазочной пленке.
Наиболее важным преимуществом газовой смазки в противоположность тем, которые проявляются лишь в определенных обстоятельствах, является использование малой вязкости газов по сравнению с вязкостью жидкостей. Малая вязкость газов позволяет осуществить высокие скорости вращения при незначительных потерях на трение, а следовательно, и малом повышении температуры смазки и опор. Следствием малых потерь на трение является возможность получения малого износа и большой долго-
вечности работы таких опор, повышенной экономичности и точности машины или прибора при их применении.
Примеры применения высокоскоростных подшипников можно привести из различных областей техники: в станкостроении —— во внутришлифовальных головках для обработки отверстий малых диаметров [57 ], что позволяет повысить производительность и улучшить качество шлифования; в приборостроении —в гироскопических и других приборах [46, т. 91, № 1], что повышает надежность, долговечность и точность прибора; в компрессоро- строении в центробежных нагнетателях [34； 57； 18], где при сравнительно небольших весах роторов и высокой их уравновешенности можно при применении таких подшипников значительно увеличить число оборотов ротора, а следовательно, получить большую производительность и более высокий к. п. д. компрессора.
Примерами применения газовой смазки в устройствах статического типа, где необходимо иметь малые собственные моменты трения, являются динамометры, аэродинамические весы, подвесы.
Газовая смазка исключает проблемы, связанные с граничной Ыазкой, так что вопрос приработки в таком смысле, как он стоит при жидкостной смазке и в подшипниках качения, не имеет места в подшипниках с газовой смазкой.
Высокая термическая стабильность свойств газа позволяет использовать подшипники с газовой смазкой в турбостроении и криогенной технике [34; 46, т. 90, № 4]. В турбодетандерах в качестве смазки можно использовать газы при температурах, близких к точке превращения газа в жидкость, например в [41 ] приводится малогабаритный высокоскоростной (л = 350 000 об/мин) турбодетандер, разработанный Британской кислородной компанией для сжижения гелия. В нем применены подшипники с гелиевой смазкой, которые работают в интервале температур 50—13 К.
При высоких температурах качественные характеристики опор с газовой смазкой определяются в основном прочностью узлов и деталей машин, а не смазкой.
Стабильность физико-химических свойств газа в условиях радиации вызывает применение газовой смазки в атомной энергетике, химической промышленности и других специальных областях техники [40].
Кроме достоинств подшипников с газовой смазкой, связанных с перечисленными свойствами газов, их применение может обеспечить до пол нитель ные преимущества по отношению к подтип 二 никам с жидкостной смазкой: герметичность системы, снижение загрязнения, устранение необходимости уплотнений валов, устранение громоздкого оборудования для хранения, подогрева и охлаждения, нагнетания и откачки жидкостных смазок, упрощение и удешевление конструкции подшипника, снижение вибрации и шума. Если учесть, что при этом сокращаются габариты и вес всего механизма, упрощается эксплуатация, обеспечивается кон- 12
диционность среды, то понятен тот интерес, который проявляется в последние годы к их применению в целом ряде случаев. Подшипники с газовой смазкой приобретают важное значение и там, где необходимо предотвратить загрязнение окружающей подшипник среды продуктами испарения обычных смазок или самой смазкой. Это имеет место в замкнутых системах, где производятся операции с газами высокой . чистоты, в атомных реакторах, в ряде механизмов и машин текстильной и пищевой промышленности [41 ].
В принципе смазкой может служить любой газ или смеси газов. Они мало различаются по тем свойствам, которые важны для подшипников, но воздушная смазка более практична и экономична, поэтому, за исключением частных случаев, в качестве смазки используется воздух.
Одновременно с преимуществами газовой смазки, в основном определяемыми первыми двумя из перечисленных свойств газа, малая вязкость газа приводит к понижению несущей способности газовых подшипников по сравнению с жидкостными. Повысить । несущую способность подшипников можно различными способами:； нагнетанием газа, уменьшением зазоров между рабочими поверх-' костями опор, увеличением эксцентриситета (смещения оси вала).」 Анализ этих факторов приведен в работах [25; 57].
По принципу создания несущей способности подшипники с газовой смазкой можно разделить на два типа: статический ——с внешним нагнетанием давления (так называемые Изостатические подшипники) и динамический —с внутренним нагнетанием давления (так называемые газодинамические подшипники). В последних поддерживающая сила возникает вследствие газодинамических процессов, происходящих во время работы Н газовом зазоре, такие подшипники можно назвать самоподдерживающимися. Этот эффект может иметь место и в газостатических опорах. Если он в них играет заметную роль, то подшипники называют гибридными.
Самоподдерживающиеся подшипники можно разделить на две разновидности: с продольным и поперечным перемещением поверхностей ^газового слоя; последние получили название вибронесущих [40; 41 ].
Каждый тип подшипников имеет множество различных конструктивных решений. Выбор типа подшипника определяется предъявляемыми к нему требованиями.
Газостатические подшипники применяются как в скоростных, так и в тихоходных машинах. Они допускают реверс и обладают большей несущей способностью, чем газодинамические опоры, требуют меньшей точности изготовления, выдерживают постоянные и пульсирующие нагрузки. Главным их недостатком, ограничивающим область применения, является необходимость установки насоса. На рис. 1 показаны схемы таких подшипников: а — цилиндрический радиальный, 6 — плоский упорный, 6 —— сферический радиально-упорный.,
Разработка в ЭВМ лентопротяжных механизмов и устройств для магнитной записи на ленте с гибкой основой стимулировала появление и исследование ленточных газовых опор с внешним и внутренним нагнетанием давления [40]. На рис. 2 дано схематическое изображение ленточного подшипника: 7, 2, 5 — ленточные секторы; 0 — положение центра шипа при отсутствии вращения и нулевой нагрузке. Эти подшипники интересны возможностью ис-
Рис. 1Рис. 1
Рис. 1
Рис. 1
пользования их в качестве опор турбомашин [46, т. 92, № 4 ]. Появившиеся вибронесущие подшипники [46, т. 91, № 1 ] находят применение в аксельрометрах и реверсивных машинах малой мощности. Высокочастотные колебания с незначительной амплитудой по направлению к нормали их несущей поверхности позволяют
выдерживать малые нагрузки в опорах такого назначения.
В последнее время в приборах точной механики находят применение смешанные опоры, например магнитогазодинамические [40 ] •
В данной работе рассматриваются самоподдерживающиеся подшипники с продольным перемещением поверхностей газового слоя (за исключением ленточных). Их обычно и называют газодинамическими подшипниками.
■ Газодинамические подшипники
нашли применение в машинах, гироскопах и других приборах как скоростные подшипники, которые могут работать как самоподдерживающиеся при определенной скорости вращения. Они применяются для восприятия сравнительно небольших нагрузок (несколько десятых килограмма на квадратный сантиметр).
::Малое демпфирование газовой смазки, кроме преимуществ, имеет существенный недостаток —— создает повышенную склонность к колебаниям вала в подшипниках. Для устранения этих колебаний необходимо применять специальные меры. При рас-
смотрений колебательных явлений нужно принципиально различать их природу в газостатических и газодинамических подшипниках. Наиболее часто колебания в газодинамических подшипниках возникают при скоростях вращения, равных половине какой-то критической скорости. Это явление называется «полу- скоростным вихрем» [41; 57]. При возникновении полускорост- ного вихря подшипники почти полностью теряют несущую способность и разрушаются.
Рис. 3
。По конструктивному выполнению газодинамические опоры условно проклассифицируем следующим образом:
по геометрическим признакам: цилиндрические, плоские, конические, сферические, полусферические (они определяют вид подшипника по воспринимаемой нагрузке: радиальный, радиальноупорный, осевой);
по характеру выполнения несущих поверхностей: цельные и разрезные (сегментные), гладкие и с рельефом, одноцентровые и многоцентровые;
по характеру крепления опор в корпусе: с жестким и с эластичным креплением, с креплением типа кардана и др.;
по количеству и виду опор; одноопорные (катушечные, шаровые, полусферические и др.), многоопорные (двухопорные и др.)(
Выбор вида зависит от конструктивных особенностей статора и ротора, условий компоновки и т. д.
На рис. 3—6 приведены различные тапы газодинамических подшипников. На рис. 3 изображены подшипники с обращенной схемой [46, т. 91, № 4 ], применяемые для подвеса осей собственного вращения гироскопа： а — конусный; б——катушечный, пред-
15,
ставляющий компоновку цилиндрического радиального подшипника с плоским упорным; 6——сферический; г ——полусферический, где / — ось; 2 —— вращающаяся часть. На рис. 4 показаны диски упорных подшипников с канавками; а — спиральными; 6 — радиальными с карманами. На рис. 5 приведены схемы подшипников: а — секторного с полусферическим шарниром; 6 — секторного с резиновой мембраной; 6 — многоцентрового; г — двухлепесткового. На рис. 6 дана конструктивная схема эластичного крепления подшипника [41 ], где 1 — втулка подшипника; 2 —— резиновые кольца; 3 ——корпус прибора. Между корпусом и втул-
Рис. 5Рис. 5
Рис. 5
Рис. 5
кой в камеру с кольцами "подается под давлением масло. Вибрация вала в этом случае передается через газовую пленку корпусу подшипника и часть ее энергии рассеивается де мп фи р ующи - ми кольцами.
Конструктивные особенности газодинамических подшипников, требования к технологии их изготовления, выбору материалов вызваны особенностями их работы： получением несущей способ； ности и устойчивости, режимами сухого
трения в период пуска и остановки.
Несущая способность газодинамических подшипников возрастает с увеличением скорости скольжения и площади несущих поверхностей и резко уменьшается с увеличением радиального зазора, т. е. длй получения большей несущей способности нужно делать развитые несущие поверхности и очень малые зазоры. Эти же требования согласуются с требованиями устойчивости, хотя для этой цели их может быть недостаточно. На рис. 7 показан высокооборотный трехфазный электродвигатель на газодинамических подшипниках с жестким креплением. Компоновка двигателя позволяет получить большие рабочие поверхности опор. Зазоры в опорах 10—20 мкм [69].
При изготовлении газодинамических опор необходим жесткий контроль точности их геометрии. Например, в работе Денхарда и Пэна, [46, т. 90, № 4] приводятся следующие данные: при контроле глубины канавок, диаметров сфер и полусфер или диаметров 16
цилиндрических элементов катушечных подшипников точность замеров была около 0,25 мкм. Неперпендикулярность в катушеч
ных подшипниках контролировалась с точностью нескольких микрон на метр, зазоры — с такой же точностью. Величина зазоров была от 0,75 до 5 мкм в зависимости от конструкции, глубина канавки — примерно от 0,75 до 4 мкм. Полусферический,
Рис. 6Рис. 6ских и полусферических подшипников необходим контроль поверхностей с двойной кривизной, чтобы обеспечить точность геоских и полусферических подшипников необходим контроль поверхностей с двойной кривизной, чтобы обеспечить точность геоа также сферический подшипники по сравнению с подшипниками катушечного типа не ставят таких жестких требований к перпендикулярности упорных поверхностей. В конусных подшипниках требования к соосности по точности близки к требованиям по перпендикулярности катушечных подшипников, однако для сфериче-
Рис. 6
Рис. 6
ских и полусферических подшипников необходим контроль поверхностей с двойной кривизной, чтобы обеспечить точность гео
ских и полусферических подшипников необходим контроль поверхностей с двойной кривизной, чтобы обеспечить точность гео
метрии, в то время как цилиндр и упорная плоскость катушечного подшипника контролируются обычными в машиностроении приборами. В связи с развитием подшипников всех этих типов выбор одного или другого варианта должен быть сделан с учетом не только требований к ним, но и имеющихся возможностей в технологии изготовления и контроля.
Задача реализации в газодинамических опорах сверхмалых рабочих зазоров и наличие в них сухого трения в момент пуска и остановки требует выбора соответствующего материала для их изготовления. В ряде работ, например Рои [46, т. 90, № 4 ], рассматриваются результаты применения различных материалов и покрытий. В работе Рои получены хорошие результаты при применении керамических материалов и монокр иста л ийеского сапфира, покрытых тонкой (0,05 мкм) золотой пленкой. В работе Ден харда и Пэна [46, т. 90, № 4 ] обращается внимание *на трудности, которые возникают при сочетании некоторых высокотвердых материалов с другйми конструкционными материалами прибора и при выборе материала покрытия.
В настоящее время накоплен опыт по выбору материалов подшипников с газовой смазкой [37], хотя можно предполагать появление новых материалов. Помимо улучшения качества материала могут быть применены другие способы для уменьшения
2 В. Н. Дроздович 17
износа и сокращения бремени работы механизма в режиме сухого трения при пуске и остановке. Так, например, в опытах А. А. Лохматой а [34 ] в нагнетателе при запуске ротора всплытие его в газодинамических подшипниках происходило при нормальной скорости пуска за один оборот, в течение которого он находился в режиме сухого трения. При увеличении ускорения запуска,ротора это время сокращалось до 1/8 оборота (всплытие вала фиксировалось на осцилограмме). Для полного устранения сухого трения применяют подачу воздуха при пуске.
Остановимся на некоторых примерах применения газодинамических подшипников.
Рис. 8
Экономические преимущества применения газодинамических подшипников можно продемонстрировать путем сравнения работы высокооборотных вентиляторов, центробежных электронагнетателей и других подобных механизмов малой мощности на опорах с газовой и негазовой смазкой. Несмотря на современные достижения аэродинамических качеств проточной части этих машин, громадное число их, выпускаемых мировой промышленностью без применения газовой смазки, имеет коэффициент полезного действия не выше 35—40%. Причина этого заключается в относи- тельно большой доле энергии, расходуемой на преодоление сопротивления в опорах с масляной смазкой. На рис. 8 показана конструктивная схема центробежного нагнетателя с подшипниками на газовой смазке [4], В качестве опорных подшипников здесь применены гладкие цилиндрические подшипники, а в качестве упорных ——подшипники со спиральными канавками. Для само- установки опор применены кардановые подвесы, обеспечивающие простоту сборки механизма и его работоспособность при неизбежных силовых и температурных деформациях корпуса механизма.
совершенно упразднены уплотнительные устройства, поскольку в качестве смазки используется перекачиваемая газовая среда. Перевод опор нагнетателя с подшипников качения на газодинамические подшипники увеличил его к. п. д. с 38 до 68%, Помимо существенного улучшения экономичности, значительно повысилась надежность его работы* Находясь в тяжелых условиях эксплуатации, нагнетатель с такими опорами безупречно наработал свыше 5000 ч и имел до 1000 пусков, при этом износ подшипников еще не достиг предела, ограничивающего их работоспособность.
Из работ, опубликованных французской фирмой «Рато», известно, что ею, начиная с 1959 г., производится серийный выпуск малорасходных центробежных нагнетателей с подшипниками на газовой смазке, предназначенных для перекачки различных газов при температуре до 600° С. Выпуск центробежных малорасходных компрессоров с опорами, смазываемыми газом, рядом фирм США по данным на 1969 г. превысил 10 тыс. шт.
Весьма перспективным оказалось применение газодинамических подшипников в различных приборах и оборудовании систем навигации. Здесь прежде всего они получают признание в качестве опор гироблоков. Опыт использования гироскопов с газовой смазкой подшипников показал, что срок их службы увеличивается во много раз. Отдельные гиромоторы имеют наработку свыше 32 тыс. ч. Помимо резкого снижения стоимости при серийном изготовлении (что объясняется уменьшением числа деталей), оказалось возможным значительное повышение надежности и, самое главное, точности работы систем [41 ].
В сравнении с опорами каления подшипники с газовой смазкой отличаются резко сниженным уровнем вибраций. Уровень вибраций в шарикоподшипниках с течением времени меняется, что приводит к нарушению стабильности прибора. Причиной тому является изменение форм несущих поверхностей колец и тел качения вследствие износа. По мере износа подшипников меняется распределение масс и величина натяга, что приводит к нарушению балансировки и равножесткости. В гироскопических приборах эти явления ведут к потере точности и выходу их из строя.
К скоростным подшипникам в приборостроении предъявляются строгие требования по обеспечению высокой жесткости при малых уровнях собственных'вибраций, причем упругие характеристики опор должны сохраняться без изменений. Опоры с газодинамическими "подшипниками при надлежащем выборе геометрических и рабочих параметров могут не уступать по жесткости шарикоподшипниковым опорам. Например, по данным работы [46, т. 90, №4], газодинамические сферические подшипники гироскопа катушечного типа при диаметре шипов 19,5 мм и зазоре 1,9 мкм обеспечивают осевую й радиальную жесткость около 100 000 кгс/см. Эта жесткость соизмерима с жесткостью пары шарикоподшипни- 2* 19
ков, даже без учета податливости других элементов конструкции гироскопа.
Одним из серьезнейших в эксплуатации механизмов на опорах с газовой смазкой является вопрос обеспечения устойчивости вращения роторов. Наибольшую опасность представляет неустойчивость типа полускоростной вихрь. Она возникает при превышении определенного в каждом конкретном случае скоростного предела, зависящего от типа опор, а также при уменьшении или исчезновении нагрузки (например, в условиях невесомости или в наземных условиях при отклонении оси ротора механизма). В этих случаях уменьшается эксцентричность положения вала в подшипнике и снижается жесткость газового смазочного слоя. В результате возмущений от случайных сотрясений корпуса механизма или от локальных микронеровностей на рабочих поверхностях опор возникают смещения вращающегося вала от равновесного положения, близкого к центру подшипника. Вектор восстанавливающей газодинамической силы реакции со стороны смазывающего слоя обычно не совпадает по направлению с линией эксцентриситета в подшипнике. По этой причине появляется неуравновешенный момент, под действием которого центр цапфы, вращающейся с угловой скоростью Qt, начинает совершать ускоренное орбитальное движение (прецессию) с угловой скоростью й2- Это движение можно сопоставить с эквивалентным вращением втулки подшипника со скоростью — ^2・ При Q2 勺。万注 расход смазки через зазор близок к нулевому значению. Одновременно исчезают и .силы, действующие на ротор со стороны газовой смазки и удерживающие его от прямого контакта с поверхностью втулки подшипника.
Препятствовать возникновению полускоростного вихря возможно нагнетанием газа в зазор подшипника через систему питающих отверстий, но и в таком уже газостатическом подшипнике всегда имеется газодинамическая сила со стороны смазочного слоя, порождающая орбитальное движение. Опасность повреждений подшипника в этом случае лишь переносится в область более высоких скоростей вращения вала и неизбежно возникает вновь, когда центробежная сила от прецессии становится сравнимой с поддерживающей силой, обусловленной наддувом.
В ряде высокооборотных механизмов малой мощности газостатические подшипники оказываются нерентабельными или неприменимыми из-за отсутствия источника сжатого воздуха. Обычные же газодинамические подшипники с гладкими несущими поверхностями действуют надежно лишь при достаточно большом относительном эксцентриситете (равном 0,7亠0,8), вызванном постоянной нагрузкой. Жесткость смазочного слон в данном случае достаточно велика, поэтому смещения ротора от сотрясений корпуса (или по другим причинам) ничтожны, а возникающая неуравновешенная нагрузкой восстанавливающая сила направлена под малым углом к линии эксцентриситета и ее момент относи- 20
тельно оси подшипника недостаточен для преодоления сил вязкого трения при орбитальном движении.
В газодинамических подшипниках со ступенчатыми профилями, сегментных или с канавками на несущих поверхностях результирующая сила со стороны смазочного слоя направлена всегда под меньшим углом к линии эксцентриситета, чем в гладких цилиндрических подшипниках, что обеспечивает более высокий скоростной порог полускоростного вихря. Однако в случае применения ступенчатых и сегментных радиальных опор помимо усложнения технологии снижается и несущая способность.
отвод энергии от которого повы-отвод энергии от которого повы-Рис. 9Рис. 9Исследования показывают, что полу скоростной вихрь связан
отвод энергии от которого повы-
отвод энергии от которого повы-
Рис. 9
Рис. 9
с автоколебательным процессом, шает критическую скорость возникновения неустойчивости вращения. Поэтому весьма рационально применение простых цилиндрических подшипников с использованием в конструкции опорных узлов демпфирующих элементов: резиновых колец, гофрированных лент и т. п. Но демпфирование не исключает неустойчивости при уменьшении
или исчезновении нагрузки.
Кардинальным решением вопроса является сочетание демпфирования с каким-либо способом сохранения нагрузки на подшипники в любых условиях эксплуатации. Последнее, например, можно осуществить путем применения подшипников, составленных из двух гладких втулок, эксцентрично расположенных относительно друг друга (рис. 9). Вал ротора в таких подшипниках, будет располагаться эксцентрично относительно втулок, даже при отсутствии внешнего нагружения, чем обеспечивается его стабилизация. Естественно, что такая стабилизация вращения уменьшает полезную несущую способность опор, как и при использовании сегментных подшипников, поэтому вполне приемлемая в невесомости она менее пригодна для использования в наземных условиях в высокоскоростных механизмах с горизонтальным валом, особенно когда их по
ложение относительно горизонта может внезапно изменяться. В таких условиях обычно работает большинство механизмов в составе различных установок подвижных объектов (самолетов, судов и т. п・). Для них следует признать весьма рациональным принцип стабилизации, разработанный для высокооборотного нагнетателя [341. Вал этого нагнетателя опирается на два основных
опорных цилиндрических подшипника, между которыми расположен ротор электродвигателя. Поверхности ротора и статора электродвигателя выполнены гладкими и образуют третий (вспомогательный) радиальный подшипник, рабочий зазор в котором (он одновременно является и магнитным зазором) иа порядок
больше зазора в основных подшипниках. Основные подшипники установлены в карданных подвесах, а в цапфы последних встроены упругодемпферные элементы, состоящие из пружин и замкнутых плунжерных пар. Пружины обеспечивают податливость основных опор. Выталкивание и всасывание воздуха через микрозазоры плунжерных пар при смещениях их поршней в процессе автоколебаний ротора вносит демпфирование. При работе нагнетателя в горизонтальном положении вес ротора и действующие на него радиальные силы (от остаточного дисбаланса, от неравномерности ' поля давления вокруг центробежного колеса) воспринимаются * только основными опорами. Для этого их упругие элементы (пружины) настраиваются так, чтобы эксцентриситет во вспомогательном подшипнике был близок к нулю. Полу скоростной вихрь в нем в данном случае не может развиться, поскольку значительным смещениям ротора препятствует жесткость основных опор, выполняемых с весьма малым зазором. Устойчивость вращения в основных опорах обеспечивается приложенной нагрузкой и подбором коэффициента демпфирования (т. е. регулировкой проходных сечений для воздуха в плунжерах). При отклонении оси нагнетателя от горизонтального к. вертикальному положению уменьшается весовая нагрузка на^оответствующие пружины кардановых подаесов, они разжимаются, в результате чего во вспомогательном подшипнике возникает эксцентриситет и образуются действующие на ротор газодинамические силы, достаточные для обеспечения его устойчивого вращения. Испытания показали, что данный нагнетатель с простыми цил индр ическ им и подшипниками надежно работает в любом положении при скорости вращения до 60 000 об/мин, оказавшейся предельной по условию прочности центробежного колеса.
Приведенные примеры не исчерпывают области применения подшипников с газовой смазкой, внедрению которых несомненно будут способствовать теоретические и экспер имен тал ьные исследования, совершенствование технологии изготовления и методов расчета таких опор.
Современное состояние теоретических исследованийи методов расчета газодинамических опор
Хотя идея использования газа в качестве смазочного вещества была высказана еще в работе Хирна, опубликованной в Париже в 1854 г., однако на протяжении последующих 80 лет теоретические и экспериментальные исследования опор с газовой смазкой носили эпизодический характер, поскольку развитие таких исследований тогда еще не стимулировалось потребностями практики. Единственной известной попыткой теоретического анализа газовых подшипников в этот период была работа английского исследователя Гаррисона [58], опубликованная в 1913 г.
Начало планомерным исследованиям в области газовых подшипников как в Советском Союзе, так и за рубежом было положено в 30-х годах в связи с проблемами приборостроения, а также прецизионного станкостроения, инициатором развития которого на базе эффективного использования опор с газовой смазкой явился советский ученый С. А. Шейнберг. Первое лабораторное испытание технического устройства (гироскопа), в котором использовался газовый подшипник, было проведено в 1932 г. в США.
Основы газодинамической теории смазки были сформулированы в начале 50-х годов, т. е. к тому времени, которое можно считать началом перехода от лабораторных исследований к промышленному внедрению газовых опор. Основополагающей следует считать работу С. А. Шейнберга [57], где установлен определяющий физический критерий подобия газодинамических опор скольжения (который теперь принято называть параметром сжимаемости ) и проанализированы их специфические - свойства, обусловленные сжимаемостью газовой смазки. Эти свойства проявляются прежде всего в том, что при неограниченном увеличении параметра сжимаемости (% 一 оо), например за счет увеличения угловой скорости вала, несущая способность газового подшипника остается ограниченной. Как отмечается в работе 157], основное дифференциальное уравнение газовой смазки, трудно поддающееся интегрированию ввиду его нелинейности (это свойство уравнения есть следствие сжимаемости газа), в предельном случае % — оо имеет сравнительно простое решение, которое часто оказывается пригодным для оценочных расчетов подшипников в реальных эксплуатационных условиях. В работе [57] предложен приближенный метод построения такого предельного решения для радиального цилиндрического подшипника, впоследствии оно было уточнено Элродом и Бургдорфером [67; 25]; более общая форма предельного решения, применимая к газовым подшипникам различной геометрии, была получена Я- М. Котляром [28].
Вышеупомянутые работы посвящены газодинамическим опорам скольжения, которые работают за счет обычного эффекта «смазочного клина》, обусловленного изменением толщины смазочного слоя в направлении скольжения при эксцентричном смещении ротора под действием внешней нагрузки. Кроме исследований этого типа подшипников, характерные разновидности которых описаны в п. 1, коротко рассмотрим работы, посвященные еще двум другим типам газовых опор: с внешним наддувом и с высокочастотным поперечным сдавливанием смазочного слоя (вибронесущие опоры). Разработка основ аэродинамической теории подвесов
с внешним наддувом была завершена к концу 50-х годов; основной вклад в эту разработку внесли Л. Г. Лойцянский, Л. Г. Степанянц со своими сотрудниками [32; 14; 511 и Я. М. Котляр [26; 27]. В дальнейшем эта теория была распространена на гибридные опоры с наддувом, в частности, в работах Лунда [54, т. 86, № 2J, Л. Г. Степан янца и др. 146, т. 91, № 1 ], Н. Д. Заблоцкого и др. [15]. Следует заметить, что еще в конце 30-х начале 40-х годов над созданием теории газовых опор с наддувом работал известный советский физик акад. П. Л. Капица, работа которого была прервана Великой Отечественной войной.
Что касается развития теории вибронесущих газовых опор, то здесь основная заслуга принадлежит зарубежным ученым. К числу nepwx исследований в этой области, относятся работы Тэйлора и Сэффмена [551,(Ланглуа [701, Салбю [54, т. 86, №21, выполненные в конце 50-х начале 60-х годов. Для дальнейшего развития прикладной теории и методов расчета опор этого типа особенно большое значение имела работа Пэна [751, где предложен общий асимптотический метод расчета вибронесущих опор произвольной геометрии с произвольной формой колебаний поверхности, который основан на использовании предельного решения уравнения газовой смазки для случая о — оо (о — параметр сдавливания, пропорциональный частоте вибраций). В работе Диприма [46, т. 90, № 3] показано, что в случае, когда оба физических параметра о и X (характеризующие вибронесущие опоры скольжения) неограниченно возрастают, предельные решения задачи газовой смазки могут качественно отличаться от вышеупомянутых решений Шейнберга (X— оо) и Пэна (а —* оо), а при определенных уснбвнях могут вообще не существовать.
Опыт практического применения вибронесущих опор пока невелик, и к настоящему времени теория и методы их аэродинамического расчета, опирающиеся почти исключительно на предельное решение Пэна [75], разработаны в гораздо меньшей степени, чем это сделано для обычных газовых подшипников скольжения и для опор с наддувом скольжения.
Предметом настоящей монографии являются газодинамические опоры скольжения.
В газодинамической теории смазки можно выделить три основных типа задач: прямые задачи, связанные с определением аэродинамических сил и моментов опоры по заданной геометрии смазочного слоя; обратные задачи ——определение геометрии или отдельных геометрических параметров смазочного слоя на основании некоторых условий, накладываемых на аэродинамические силы, моменты или другие связанные с ними характеристики опоры; комбинированные задачи, в которых приходится одновременно определять геометрию смазочного слоя и аэродинамические характеристики опоры по заданным внешним нагрузкам.
Чтобы дать более отчетливое представление о том, в каких случаях приходится иметь дело с каждой из упомянутых задач 24
при исследовании газодинамических подшипников скольжения, целесообразно классифицировать последние в зависимости от тех факторов, за счет которых создается эффект «смазочного клина» —— источник несущей способности опор рассматриваемого типа. Такими факторами являются: 1) поступательные и угловые перемещения элементов опоры под действием внешней нагрузки, создающие естественный «смазочный клин»; 2) предварительное профилирование рабочей поверхности опоры с целью обеспечения искусственного «смазочного клина»; 3) деформируемость рабочей поверхности опоры.
В качестве характерных разновидностей подшипников, для которых реализуется первый фактор, можно привести гладкий радиальный подшипник в жестко закрепленном стакане, радиальный подшипник с плавающей втулкой, сегментный радиальный подшипник или подпятник с поворотными вкладышами, которые могут быть подпружинены. Второму фактору соответствуют подшипники со спиральными микроканавками, со ступенчатым, многолепестковым или другим искусственным профилем. Что касается третьего фактора, то здесь имеются в виду, прежде всего, ленточные подшипники.
Наиболее характерным примером прямых задач газовой смазки — первого из трех вышеупомянутых типов задач — является получение стационарных решений нелинейного уравнения Рейнольдса (основного дифференциального уравнения газовой смазки, описывающего распределение давления в смазочном слое) применительно к опорам, в которых реализуются первый и второй факторы. При этом предполагается, что заданная геометрия смазочного слоя соответствует состоянию равновесия системы ротор—подшипники, т. е. статические внешние нагрузки, действующие на элементы системы, уравновешиваются реакциями смазочного слоя, которые определяются с помощью уравнения Рейнольдса. Эти стационарные реакции представляют самостоятельный интерес как • важные характеристики подшипника, и в то же время они могут рассматриваться в качестве исходных данных для анализа динамической устойчивости подшипников. Заметим, что некоторые методы анализа устойчивости, применимые к газодинамическим опорам скольжения, опираются на нестационарные решения уравнения Рейнольдса, относящиеся к случаю, когда толщина смазочного слоя задана периодической функцией времени. Для получения таких решений могут оказаться полезными методы расчета вибронесущих опор.貝
Среди обратных задач газовой смазки практическое значение имеют задачи оптимизации формы смазочного слоя профилированных опор; речь идет об определении такой формы йскусственного профиля в некотором классе функций, чтобы подшипник имел наибольшую несущую способность или аэродинамическую жесткость, наименьший момент сопротивления и т. п. Наиболее примитивный путь решения такой задачи —— простой перебор решений уравне- '25
ния Рейнольдса, соответствующих различным формам профиля; можно также, рассматривая выражения аэродинамических сил и моментов как функции параметров профиля, определять оптимальные значения этих параметров на основании обычных условий экстремума функции многих переменных. Подобные приемы целиком опираются на решение прямой задачи смазки и не являются специфическими методами решения обратной задачи. Строго з воря, обратная задача подразумевает использование специальных методов оптимизации, опирающихся на методы вариационного исчисления 15] или теории оптимального управления {43]. Такая вариационная задача оптимизации формы смазочного слоя была впервые поставлена и решена еще в 1918 г. английским физиком Рэлеем для плоского подпятника с несжимаемой смазкой; оптимальная форма в этом случае описывается кусочно-постоянной функцией с одной точкой разрыва (подпятники с таким профилем впоследствии были названы ступенчатыми подшипниками Рэлея). Аналогичную вариационную задачу для плоского газового подпятника решили всего лишь несколько лет назад Медэй [46, т. 90, № 41, а также иным методом ——Г. А. Завьялов и др. [45, ч. 11, которые получили оптимальный профиль, отличный от профиля Рэлея. Из других весьма немногочисленных работ такого рода можно отметить работу [161, где с помощью методов теории оптимального управления найдена оптимальная форма оси спиральной канавки на поверхности кольцевого газового подпятника. Это направление газодинамической теории смазки пока не получило достаточного развития; все опубликованные работы относятся к тем случаям, когда уравнение Рейнольдса может быть сведено к обыкновенному дифференциальному уравнению.
Наконец, комбинированные задачи газовой смазки чаще всего связаны с совместным интегрированием системы, состоящей из нестационарного уравнения Рейнольдса и уравнений динамики ротора и других подвижных элементов опоры, если таковые имеются (например, поворотных вкладышей). К основным разновидностям таких задач относятся: исследование переходных режимов работы подшипника (в частности, процессов разгона и торможения); исследование установившихся колебательных режимов, обусловленных периодическим изменением внешней нагрузки или реакции смазочного слоя; анализ динамической устойчивости ротора на смазочном слое или устойчивости системы ротор——подшипники в равновесных и неравновесных режимах, к которому имеют непосредственное отношение и задачи об автоколебаниях в газовых опорах. Особое внимание в последние годы уделялось проблеме динамической устойчивости равновесия опор с газовой смазкой как одному из наиболее важных|в прикладном отношении направлений газодинамической теории смазки.
Специфической разновидностью комбинированных задач газовой смазки является аэродинамический расчет ленточных опор, (см., например, работы Эшела [66], Уилдмена [46, т. 91, № 4], 26
Лихта [46, т. 91, №3]). Профиль смазоЧйого слоя ленточной опоры не может быть заранее задан, его даже при стационарном режиме работы приходится рассчитывать одновременно с распределением давления в газовом слое путем совместного интегрирования уравнения Рейнольдса и уравнения упругой деформации ленты. Впрочем, часто используемое допущение об идеальной гибкости ленты позволяет свести эту систему уравнений к одному дифференциальному уравнению толщины смазочного слоя.
Основу прикладной теории газовой смазки составляют стационарные решения нелинейного уравнения Рейнольдса при заданном распределении толщины смазочного слоя. Точное квадратурное решение этого уравнения, кроме специального случая оо и не представл я ющих интереса случаев, когда избыточное давление во всем смазочном слое равно нулю, применительно к газодинамическим опорам скольжения удалось получить (в неявной форме) только для плоского подпятника бесконечного удлинения с функцией распределения толщины смазочного слоя, состоящей из одного или нескольких участков, на каждом из которых толщина меняется по линейному закону либо остается постоянной [58; 25].
Теоретическая модель опоры бесконечного удлинения, которая позволяет свести стационарное уравнение Рейнольдса к обыкновенному дифференциальному уравнению, оказалась также полезной для расчета радиальных подшипников и впервые была применена к расчету статических характеристик цилиндрического газодинамического подшипника с гладкой поверхностью японскими исследователями Катто и Сода еще в 1952 г. 176; 67]. Использованный ими приближенный метод интегрирования является разновидностью метода возмущений [3]. Как следует из анализа работы [571, применение модели «бесконечного» подшипника к газодинамическим опорам конечного удлинения тем более оправдано, чем больше параметр сжимаемости %; в этой работе предлагается рассчитывать конечный радиальный подшипник, корректируя численное решение уравнения Рейнольдса для соответствующего «бесконечного» подшипника с помощью коэффициента «торцевой утечки》.
Более строгие методы решения пространственной задачи газовой смазки, основанные на интегрировании двумерного уравнения Рейнольдса, были разработаны к концу 50-х началу 60-х годов. Одним из наиболее практичных аналитических методов оказался широко известный в настоящее время метод линеаризации уравнения Рейнольдса, впервые предложенный Османом [53, т. 83, № 2]; удачный метод линеаризации разработан Н. Д. За- блоцким [4]. Численное интегрирование нелинейного уравнения Рейнольдса для гладкого радиального подшипника с использованием ЭВМ впервые было выполнено Стернлихтом [52] и Раймонди [58; 25], численное решение пространственной задачи газовой смазки для прямоугольного подпятника получено Гроссом [67 ]. К настоящему времени накоплен значительный опыт применения 27
Численных методов интегрирований уравнений в частных производных к решению задач газовой смазки, в том числе и нестационарных. Современное состояние этого вопроса отражено в обзорной статье Кастелли и Пирвикса[46,т. 90, № 4] и в работе Коулмена [46, т. 94, №4]. Иногда оказывается целесообразным искать стационарные численные решения как предел последовательности соответствующих нестационарных решений, используя так называемый «метод установления» [49], как это сделано, например, в работе [78] применительно к расчету прямоугольного подпятника.
На современном этапе развития вычислительной техники широкое внедрение численных методов интегрирования уравнения Рейнольдса в практику расчета газовых опор оказывается экономически оправданным в тех случаях, когда речь идет о расчете статических характеристик опор с достаточно простой геометрией смазочного слоя. В других случаях разумнее использовать в качестве основы массовых расчетов приближенные аналитические методы, прибегая к численным методам для получения минимально необходимого объема «эталонных» результатов, по которым можно было бы судить о точности аналитических методов. Плодотворным может быть использование смешанных аналитико-численных методов, примером которого является работа [771, где рассчитывается сферический газовый подшипник с искусственным профилем.
Для расчета опор со сложной геометрией смазочного слоя перспективными представляются так называемые «дивергентные» (однородные) конечно-разностные схемы [49], а также метод «конечных элементов》，изложенный в работе Букера и Хюбнера 146, т. 94, № 4], который следует рассматривать как особую разновидность численных методов.
Среди газовых подшипников сложной микрогеометрии, особенно трудно поддающихся аэродинамическому расчету, наиболее широкое практическое применение нашли подшипники со спиральными канавками. Этот тип искусственного профиля, которьш фактически создает «смазочный клин》как в направлении скольжения, так и в направлении оси канавки, оказался одним из самых эффективных, поэтому методы расчета подшипников со спиральными канавками заслуживают особого рассмотрения. В инженерной практике получил распространение метод «узких канавок», разработанный в его первоначальном виде Уипплом [56; 73] применительно к случаю несжимаемой смазки. Этот метод позволяет заменить уравнение Рейнольдса со сложной структурой коэффициентов ,отражающих геометрию смазочного слоя, гораздо более простым приближенным уравнением, из которого можно найта распределение давления, «сглаженное» в направлении скольжения движущейся поверхности. В работах Вора и Чау, Ма- ланоски и Пэна [54, т. 87, № 3] этот метод формально распространен на случай, когда смазочное вещество рассматривается как сжимаемая среда. Тем не менее оказалось, что его при- 28
Мененйе К исследованию Газовык йодшипников приводит к некоторым качественно неверным результатам, в частности, определенная таким путем несущая способность не имеет характерного' для газодинамических подшипников конечного предела при неограниченном увеличении параметра сжимаемости (%—> g)・
На недостаток теории узких канавок, обусловленный тем, что ее основные допущения в скрытой форме предполагают влияние сжимаемости смазки незначительным, впервые указали У илдмен [46, т. 90, №11, Константинеску и Кастелли [46, т. 91, №11. Однако метод узких канавок обеспечивает удовлетворительную точность расчета газовых опор различной конфигураций, профилированных спиральными канавками, если их число достаточно велико, а значение параметра у является умеренным в том смысле, что влиянием сжимаемости на аэродинамические характеристики подшипника действительно можно пренебречь. Такая возможность, впервые отмеченная С. А. Шейнбергом [57 ], реализуется для диапазона, в котором характер изменения несущей способности подшипника по параметру % близок к линейному. Для практического применения метода узких канавок важно то, что у газодинамических опор со спиральными канавками этот диапазон может быть достаточно широким, охватывая область изменения параметра %, которая соответствует реальным эксплуатационным условиям.
Модификации метода узких канавок, предложенные А. В. Емельяновым [12] и др., несколько расширяют область его применения к опорам с газовой смазкой, однако они не устраняют неограниченного роста погрешности расчета с увеличением пара、 метра сжимаемости.
Применение аналитических методов интегрирования уравнения Рейнольдса, не опирающихся на теорию узких канавок, к расчету опор со спиральными канавками до сих пор не было особенно успешным. Теоретическая модель опоры в виде бесконечной по- л осы с шевронными канавками малой относительной глубины и синусоидального профиля для произвольных значений параметра сжимаемости была рассчитана в работе Уилдмена [46, т. 90, № 1 ] с помощью метода возмущений; Метод разложения в ряд по собственным функциям задачи был использован Мюйдерманом [73], который интегрировал уравнение Рейнольдса применительно к кольцевому подпятнику со спиральными канавками без. учета сжимаемости смазки. Решение соответствующего линейного урав、 нения представлялось в форме, справедливой в пределах тех участков смазочного слоя, где его толщина не меняется по координатам, а на линиях скачкообразного изменения толщины слоя задавались дополнительные условия сращивания. В целом такой подход к расчету опор со спиральными канавками оказался гро- моздким и малоэффективным. В работе Фостера, Кароу и Бенсона [46, т. 91, № 11 рассчитан радиальный газовый подшипник с шевронными канавками на основе метода линеаризации уравнения Рейнольдса, предложенного Османом [53, т. 83, № 2], решение 29
пинеарьзованно^с уравнений найдено в форме Гармонического -полинома. Методика, использованная в работе Фостера и др., представляет некоторый практический интерес, поскольку она не накладывает ограничений на параметр сжимаемости, на форму сечения канавок, их относительную глубину и другие геометрические параметры; удалось ее применить к исследованию как стационарных, так и нестационарных режимов работы подшипника. Однако расчеты по этой методике весьма трудоемки, а точность результатов может оказаться недостаточной, если распределение толщины смазочного слоя описывается негладкой функцией.
Численные методы интегрирования уравнения Рейнольдса пока не получили распространения в практике расчета опор со спиральными канавками, вместе с тем подобные методы довольно часто применяются к интегрированию приближенных уравнений теории узких канавок, как это сделано в работе Смолли [46, т. 94, №4]. Для условной модели опоры в виде полосы с шевронными канавками уравнение Рейнольдса численно проинтегрировано Константинеску и Кастелли [46, т. 91, № 11, причем приведенные результаты относятся к канавкам малой относительной глубины. Некоторые результаты численного анализа реальных сферических газовых подшипников со спиральными канавками приведены в работе И、Е. Сипенкова и Б. С. Григорьева [45, ч. 1 ]. В качестве своебразного примера сочетания теории узких канавок с численным интегрированием линеаризованного уравне- нйя Рейнольдса в области, примыкающей к границе смазочного слоя, можно указать на работу Гупта и др. [68].
Важнейшим условием надежности технических устройств с газовыми подшипниками является их динамическая устойчивость, анализ которой должен опираться на систему уравнений, состоящую из нестационарного уравнения Рейнольдса и уравнений динамики подвижных элементов опоры. Уравнение Рейнольдса для подшипников с сжимаемой смазкой, наряду с нелинейностью, обладает еще одной особенностью: при описании процессов, зависящих от времени, оно оказывается существенно нестационарным, тогда как аналогичное уравнение для подшипника с несжимаемой смазкой будет квазистационарно (время содержится в нем лишь как параметр, а не как переменная интегрирования). Квазистацио- нарный характер уравнения Рейнольдса для гидродинамическйх подшипников позволяет расчленить любую задачу, связанную с исследованием их динамики, на два последовательных этапа: сначала отдельно интегрируется уравнение Рейнольдса, решение _ которого допускает представление в форме, справедливой дд賓？ произвольных движений элементов подшипника под действием внешних нагрузок и гидродинамических сил, а затем исследуются уравнения динамики, описывающие действительные движения этих элементов, с учетом выражений для реакций смазочного слоя, полученных на основании ранее найденного решения уравнения Рейнольдса.
Только что описанный способ поэтапного интегрирования комбинированных задач гидродинамической теории смазки, в которых заранее неизвестны не только давления в смазочном слое, но и профиль толщины слоя, неприемлем в качестве универсального подхода к решению аналогичных задач газовой смазки. В этом случае нестационарность уравнения Рейнольдса является причиной того, что оно, вообще говоря, неотделимо от уравнений динамики. Тем не менее известные в настоящее время приближенные методы исследования динамической устойчивости опор с газовой смазкой, как правило, приводят к тому, что интегрирование аэродинамических уравнений оказывается автономной задачей.
Простейший подход к анализу устойчивости газовых опор, особенно широко распространенный до середины 60-х годов, основан на замене нестационарного уравнения Рейнольдса его приближенным квазистационарным аналогом, тем самым не учитывается предыстория процессов, происходящих в смазочном слое в данный момент времени. В теории подобия аэродинамических явлений отсутствие такого учета может быть допустимо при малых значениях числа Струхала [30; 31] — основного параметра нестационарных процессов в жидкостях и газах, обратно пропорционального характерному масштабу времени (например, периоду колебаний). Нарушение динамической устойчивости равновесия газовой опоры часто сопровождается возникновением автоколебательных режимов, типичные примеры которых рассмотрены в п. 1 (асинхронная прецессия вала — полускоростной вихрь —— и пневмомолот в опорах с наддувом [41; 581). Этим режимам обычно соответствуют умеренные значения числа Струхала, так, в режиме полускоростного вихря это число близко к 0,5. Именно в силу последнего обстоятельства квазистационарный подход к анализу устойчивости пригоден для инженерных оценок как само поддерживающихся газовых опор, (см., например, работы Рентцеписа и Стернлихта [53, т. 84, №4], Османа [53, т. 85, №4]), так и опор с наддувом, к которым он был впервые применен еще в 1958 г. в работе Лихта, Фуллера и Стернлихта [53, т. 80, №2]. Такой подход в ряде случаев позволяет выявить основные факторы/ способствующие нарушению устойчивости подшипника и хотя бы грубо оценить диапазон изменения параметров подшипника, в котором можно ожидать потери устойчивости. Интересно отметить, что явление полускоростного вихря, характерное для опор с газовой смазкой, впервые было теоретически предсказано для жидкостных радиальных подшипников [61 ], хотя уравнение Рейнольдса в этом случае само по себе квазистационарно. Полускоростной вихрь в гидродинамических подшипниках не наблюдается лишь потому, что в них практически не выполняется условие отсутствия разрывов смазочного слоя, на которое опирается теоретический анализ в работе [61 ]. В жидком слое образуется кавитационная зона, которая снижает несущую способность подшипника, но зато играет стабилизирующую роль.
К середине 60-х годов наметился переход к новому этапу в исследовании вопросов динамической устойчивости опор с газовой смазкой; стало ясно, что, несмотря на некоторые достоинства ква- зистационарных моделей смазочного слоя, они не могут рассматриваться как надёжная основа анализа устойчивости газовых опор. Подход к исследованию устойчивости гидродинамических и газовых опор должен быть различным. Первой из опубликованных работ, в которых строгая постановка задачи динамической устойчивости газового подшипника доведена до важных конкретных результатов, следует считать работу Кастелли и Элрода [54, т. 87, № 1}. Использованный ими для анализа устойчивости гладкой радиальной опоры метод «переходных режимов» позволяет судить об устойчивости непосредственно по виду траектории центра вала (или в общем случае по изменению положения подвижных элементов опоры со временем), определяемому прямым численным интегрированием системы уравнений, состоящей из нестационарного уравнения Рейнольдса и уравнений динамики. Инте^ грирование выполняется на большом временном интервале при произвольном начальном положении вала (или подвижных элементов). Этот метод, примененный в дальнейшем и к радиальному подшипнику с самоустанавливающимися вкладышами [62], является наиболее точным и универсальным методом исследования динамического поведения газовых опор и дает исчерпывающую картину поведения опоры произвольной геометрии для любого конкретного набора значений параметров, входящих в систему уравнений н граничные условия рассматриваемой задачи. Однако применение такого метода к определению границ области устойчивости в многомерном пространстве параметров опоры связано с весьма большими затратами времени на ЭВЦМ, особенно если уравнение Рейнольдса содержит три независимые переменные интегрирования, что обычно имеет место в нестационарных задачах газовой смазки реальных опор. В упомянутой работе Кастелли и Элрода, а также в работе [62] исследовалась идеализированная модель радиального подшипника — опора бесконечного удлинения. Это позволило исключить из уравнения Рейнольдса одну переменную интегрирования — осевую координату. Примером применения метода переходных режимов к опорам конечного удлинения является работа Шапиро (46, т. 91, № 1 ], где рассмотрен радиальный подшипник с внешним наддувом. '
Недостаточная надежность квазистационарных моделей смазочного слоя в задачах динамической устойчивости газовых опор и чрезмерная трудоемкость метода переходных режимов послужили стимулами к созданию целой группы приближённых методов анализа устойчивости, гораздо более практичных, чем метод переходных режимов, и в то же время достаточно строго учитывающих существенно нестационарный характер процессов в смазочном слое газовой опоры при динамических режимах ее работы. Эта группа методов связана с расчетом динамических реакций
смазочного слоя на специальные виды возмущений: а) мгновенное случайное, б) скачкообразное, в) периодическое. Важным достоинством такого подхода является возможность выделить уравнение Рейнольдса из исходной системы уравнений и проинтегрировать его независимо от уравнений динамики подвижных элементов не прибегая к каким-либо «квазистационарным» приемам, т. е. сохраняя время в уравнении Рейнольдса как переменную интегрирования. Обычно считается, чТо、перемещение подвижного элемента опоры под действием возмущения' того или иного вида происходит в малой окрестности предполагаемого положения равновесия. Это позволяет, во-первых, значительно упростить интегрирование уравнения Рейнольдса, представив его решение в виде разложения по малому параметру, за который можно принять, например, максимальную величину относительного отклонения подвижного элемента от положения равновесия. Первый член такого разложения представляет собой стационарное решение уравнения Рейнольдса, используемое также для определения последующих членов, описываемых рекуррентной системой линейных нестационарных уравнений в частных производных, с коэффициентами, которые зависят от стационарного решения. Если в упомянутом разложении пренебречь членами второго и более высоких порядков малости, то интегрирование нелинейного нестационарного уравнения Рейнольдса будет состоять из двух последовательных этапов: сначала интегрируется нелинейное стационарное уравнение, а затем линейное нестационарное уравнение. Во- вторых, в малой окрестности положения равновесия уравнения динамики подвижных элементов опоры допускают линеаризацию. Если коэффициенты линеаризованных уравнений постоянны, то анализ устойчивости сводится к исследованию расположения корней соответствующих характеристических уравнений на комплексной плоскости, для чего часто используются известные критерии Рауса—Гурвица и Михайлова——Найквиста [36; 1 ].
3333Таковы общие черты приближенных методов анализа устойчивости, основанных на определении реакций газовой опоры на специальные возмущения. Остановимся на некоторых особенностях этих методов, обусловленных выбором вида возмущений. Метод исследования устойчивости механической системы по ее реакции на мгновенное случайное бесконечно малое возмущениесостояния равновесия восходит к классическим работам основоположника общей теории устойчивости движения А. М. Ляпунова [35] и иногда называется первым методом Ляпунова. Система устойчива, если после устранения источника возмущения ее отклонение от равновесного состояния неограниченно уменьшается со временем. А. М. Ляпунов установил условия, при которых в уравнениях движения системы в малой окрестности равновесного состояния можно пренебрегать величинами второго и высших порядков малости. В качестве типичного примера применения этого классического метода исследования устойчивости к газовым подшипни-
33
33
3 В. Н. Дроздович
кам можно упомянуть работу Кастелли и Элрода [54, т. 87, № 1 ], где использован также метод переходных режимов.
Для анализа устойчивости систем с газовыми подшипниками, имеющих большое число степеней свободы, эффективным оказался так называемый метод ступенчатого воздействия, разработанный американскими исследователями Элродом, Мак Кейбом, Чу [65; 46, т. 90, № 1; 46, т. 91, № 3], -Шапиро и Колшером [46, т. 92, № 3]. Согласно этому методу произвольное возмущение, описываемое непрерывной функцией времени, рассматривается как суперпозиция большого числа малых скачкообразных (ступенчатых) возмущений. Последовательно сообщая рассматриваемой механической системе мгновенные малые отклонения от предполагаемого положения равновесия в одной из степеней свободы и удерживая систему в новом положении, из уравнений Рейнольдса можно определить матрицу удельных реакций смазочного слоя на эти отклонения, которая затем может быть многократно использована при исследовании динамического поведения системы. Эти удельные реакции представляют функции времени, стремящиеся к конечному пределу с увеличением аргумента, их удобно аппроксимировать разложениями по полиномам Лагерра. Связь аэродинамических сил и моментов с произвольными перемещениями подвижных элементов и с удельными реакциями на скачкообразное возмущение осуществляется через посредство интеграла Дюамеля. Описанная выше процедура метода ступенчатого воздействия относится только к определению аэродинамических сил и моментов, входящих в уравнения динамики, и не накладывает ограничений на выбор метода исследования этих уравнений. Непосредственный анализ устойчивости можно проводить, в частности, на основании численного интегрирования системы уравнений динамики, как это делается в работе [65], или на основании характеристического уравнения линеаризованной системы [46, т. 92, № 3].
Методы исследования устойчивости равновесия газовых опор по реакции смазочного слоя на периодическое возмущение (идея такого подхода к анализу устойчивости опор с газовой смазкой, по-видимому, впервые высказана С. А. Шейнбергом) получили- развитие в работах как зарубежных (Пэн [74 ], Марш [72; 41 ], Флеминг и др. [46, т. 92, № 2 ]), так и советских авторов (Г. А. 'Поспелов [44] и др.). Суть этих методов состоит в следующем. Задается некоторая траектория периодического движения оси ротора или другого подвижного элемента опоры в малой окрестности предполагаемого положения равновесия, и соответствующее линеаризованное уравнение Рейнольдса с периодическими коэффициентами интегрируется для некоторого спектра частот. Затем определяются частота, при которой заданное движение динамически возможно, и условия его затухания, рассматриваемые как условия устойчивости равновесия. Например, если задано равномерное вращение центра ротора по круговой траектории вокруг концентричного положения, то его частота определяется из условия, 34
что аэродинамическая сила в каждый момент времени Направлена вдоль вращающейся линии центров, а устойчивость ненагружен- ного ротора обеспечивается в том случае, когда эта сила направлена противоположно центробежной силе, обусловленной прецессирующей массой ротора, и превышает ее по величине. Такой подход к анализу устойчивости, особенно привлекательный своей простотой в случае ненагруженных опор, которые наиболее склонны к потере устойчивости, используется в настоящей монографии, наряду с методами исследования устойчивости «в малом»； опирающимися на классическую теорию А. М. Ляпунова [35].
Особое место среди работ по устойчивости подшипников с газовой смазкой занимает исследование Гореца [46, т. 95, № 2], которое представляет пример применения к газовым опорам второго метода А. М.. Ляпунова (называемого прямым или качественным методом Ляпунова [35; 36]). Этот фундаментальный метод анализа устойчивости механических систем, основанный на исследовании некоторых свойств так' называемых функций Ляпунова, не получил распространения в задачах газовой смазки ввиду значительных трудностей, связанных с построением таких функций, и отсутствия общих правил, которые определяли бы технику их построения. '
Вышеупомянутые работы по динамике газовых опор посвящены, главным образом, определению условий динамической устойчивости равновесия. Вопрос о том, как ведут себя опоры при нарушении такой устойчивости и могут ли они в этом случае оставаться работоспособными, изучен в гораздо меньшей степени. Между тем нарушение устойчивости равновесия газовых опор иногда проявляется в возникновении автоколебаний ограниченной амплитуды, при которой отсутствует контакт между поверхностями смазочйого слоя, хотя такие режимы более характерны для опор с внешним наддувом. Теоретическое исследование автоколебательных режимов в таких опорах проведено Р. 3. Алиевым [45, ч. 1 ]. Нарушение устойчивости равновесия газодинамических опор скольжения (в радиальных подшипниках оно проявляется в форме полускоростного вихря) обычно приводит к аварийным последствиям. Опыт показывает, что лишь в редких случаях, которые пока не удается теоретически предсказывать, ротор в режиме полускоростного вихря может длительное время совершать прецессионные колебания, не сопровождающиеся сухим трением (Каннингэм и др. [46, т. 91, № 1 ]). Теоретический анализ автоколебаний затрудняется тем, что к нему неприменимы линейнйе математические модели, поскольку автоколебания в динамических системах сами по себе обусловлены нелинейностью последних [1; 48].
3*3*Мало исследованной остается весьма важная для практики проблема динамического поведения опор с газовой смазкой в условиях вынужденных колебаний и, в частности, вопрос об у.стой- чивости движений элементов опоры, вызываемых периодической
3*
3*
35
вынуждающей силой. Источниками вынужденных колебаний несущего элемента опоры могут быть как периодические изменения внешней нагрузки по величийе или направлению (Р. 3. Алиев [45, ч. 1 ], Осман [54, т. 87, № 3 ]), так и аналогичные изменения реакции смазочного слоя', обусловленные вибрациями основания (В. А. Биушкин и др. [45, ч. 1 ]), дебалансом ротора [41] или скольжением профилированной поверхности смазочного слоя [7], Вынужденные колебания могут специально генерироваться как. источник несущей способности так называемых вибронесущих газовых опор; исследованию динамической устойчивости такого рода опор посвящены работы Пэна и Чанга [46, т. 91, № 1 ], Г. А. Завьялова и др. [45, ч. 1 ]. Малоизучен вопрос о резонансных явлениях в газовых опорах; должное внимание было уделено только одной характер ной разновидности таких явлений ——резкому увеличению амплитуды синхронной прецессий, обусловленной дебалансом ротора при определенной скорости вращения [41 ].
Еще одна важная группа комбинированных задач газодинамической теории смазки, которая пока не стала объектом систематического исследования, связана с изучением динамического поведения газовых опор при переходных режимах, в частности при запуске и останове.
Таковы основные проблемы, теоретические методы и результаты, характеризующие современный уровень развития газодинамической теории смазки. '
Основные этапы решения задачиустойчивости газодинамических подшипников
В приборах и скоростных машинах малой и средней мощности при решении задачи устойчивости приходится рассматривать сложные механические системы, имеющие большое число поступательных и вращательных степеней свободы, с подшипниковыми узлами, содержащими легконагруженные газодинамические подшипники. Автором предлагаются основы расчета и проектирования таких подшипников, которые обеспечили бы динамическую устойчивость системы, выдерживая в то же время заданную нагрузку без сухого трения. Решение этой задачи разбивается на ряд этапов.
Первый этап (гл. II) заключается в построении математических моделей, описывающих динамику систем ротор——подшипники различной геометрии и учитывающих возможность поступательных и угловых перемещений как ротора, так и статора, поскольку податливость статора может оказывать значительное влияние на устойчивость. Ограничиваясь случаем малых колебаний механической системы, можно линеаризировать соответствующую систему уравнений динамики и, что особенно важно, разбить ее на ряд сравнительно простых подсистем, перекрестные связи между которыми могут быть достаточно слабыми (например, при симметричном расположении масс). Основным результатом гл. II яв-
Лй'еТся Теорема, определяющая условия, при выполнении которых из устойчивости изолированных подсистем вытекает устойчивость системы в целом с учетом перекрестных связей.
Вторым этапом является уточнение структуры динамических уравнений, сформулированных в гл. II, речь идет о тех членах уравнений, которые определяют реакции газодинамических подшипников. Для определения этих реакций необходимо выбрать ту или иную математическую модель смазочного слоя газового подшипника. В качестве такой модели обычно употребляется нелинейное уравнение Рейнольдса, которое описывает распределение давления в смазочном слое и содержит в общем случае три независимые переменные ——две координаты и время. Его численное интегрирование связано с большими затратами времени на ЭВМ, к тому же численная форма решения неудобна для последующего динамического анализа. Удобное приближенное аналитическое решение получается в результате линеаризации уравнения Рейнольдса, предварительно преобразованного к новой искомой функции 中=РН (尸——давление, Н ——местная толщина смазочного слоя), с помощью итерационного метода, который является модификацией метода Ньютона——Канторовича. Уравнение первого приближения совпадает с уравнением, которое ранее было получено Османом [53, т. 83, № 2] на основании полуинтуитив- ных соображений. В гл. III, посвященной обоснованию вышеупомянутого метода, который условимся называть обобщенным методом ^//-линеаризации, показано, что во многих случаях вместо построения довольно громоздкого второго приближения более целесообразно корректировать первое приближение с помощью аддитивной поправки. В гл. IV этот метод использован для приближенного интегрирования стационарного уравнения Рейнольдса применительно к конкретным типам газовых подшипников и для получения соответствующих аналитических выражений статических реакций подшипников. Эти стационарные решения представляют самостоятельный интерес, и в то же время они существенно используются в начале гл. V при построении нестационарных решений задач газовой смазки тем же методом Р//-линеаризации и при определении динамических реакций подшипников, выражения которых непосредственно входят в уравнения динамики системы ротор——подшипники.
Третьим, заключительным этапом решения поставленной задачи является исследование линеаризованных уравнений динамики ротора с целью установления условий устойчивости «в малом» и других динамических характеристик колебательной системы, необходимых для оптимального проектирования подшипников (гл. V). Анализ устойчивости подсистем, описывающих поступательные и угловые колебания ротора в радиальных и радиально-упорных подшипниках, производится с помощью частотных методов, основанных на применении критерия Михайлова —— Найквиста, более удобного для систем высокого порядка, чем
обычно применяемый критерий Гурвица; при этом эффективно используются идеи и средства теории автоматического регулирования, согласно которой система ротор——подшипники рассматривается как многоконтурная система стабилизации положения вращающегося ротора относительно подшипников, с обратными связями, причем роль регулятора прямого действия выполняет смазочный слой. Устойчивость определяется величиной, названной «вихревай жесткостью» подшипника, которая первоначально рассчитывается методом Р//-линеаризации в первом приближении, а затем уточняется методом гармонического баланса. Условия устойчивости представлены в такой форме, которая позволяет легко производить расчет оптимальных параметров газовых подшипников по критерию максимума запаса устойчивости с по мощью ЭВМ, имеющих ограниченный объем памяти.
Следует отметить, что одной из наиболее эффективных разновидностей газодинамических подшипников, получившей в последние годы широкую популярность, являются подшипники, профилированные спиральными (или шеврднными) канавками. ГЬэтому такого рода опорам уделено основное внимание в настоящей монографии (гл. IV—VI). До сих пор расчет подшипников со спиральными канавками, как уже упоминалось в п. 2, проводился почти исключительно на основе различных модификаций метода узких канавок, первоначально разработанного Уипплом [56]. Этот метод, при всей его практичности, имеет некоторые принципиальные недостатки. Обобщенный метод Р//-линеаризации позволил получить более корректные решения задач газовой смазки подшипников со спиральными канавками, с помощью которых проведен критический анализ метода узких канавок и уточнены границы его применимости.
В конце книги (гл. VI и приложения) показано применение теории, разработанной в предыдущих главах, к расчету некоторых характерных разновидностей газодинамических подшипников и дано сравнение теоретического анализа с экспериментальными, данными. °
Подчеркнем, что теорётический анализ устойчивости, выполненный в настоящей монографии, доведен до инженерных методов расчета границ устойчивости машин и приборов с газодинамическими подши пни к ами, имеющими различную геометрию рабочих поверхностей.
ГЛАВА II
УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ РОТОРА В ПОДШИПНИКАХ СКОЛЬЖЕНИЯ С ГАЗОВОЙ смазкой
Уравнения динамики машин со свободным ротором
При изучении устойчивости и виброустойчивости машин и гироскопов, роторы которых вращаются в гидродинамических подшипниках, необходимо учитывать дополнительные степени свободы относительного поступательного перемещения ротора и статора, связанные с податливостью последнего. Эти степени свободы могут явиться источниками погрешностей приборов при динамических перегрузках и вибрациях, поэтому их учет необходим при исследовании точностных характеристик.
Для гироскопа в кардановом подвесе, кожух которого имеет три угловые степени свободы и может совершать поступательные перемещения за счет податливости подшипников, учет дополнительных степеней свободы ротора приводит к системе с 12 степенями свободы. Описание и исследование поведения такой сложной системы обычными методами связано с серьезными трудностями из-за большого числа переменных, входящих в дифференциальные уравнения.
Для того чтобы преодолеть эти трудности и сделать описание динамики легко обозримым, будет использоваться комплексная форма записи дифференциальных уравнений в опорной системе координат, движущейся поступательно. Задачи, которые будут рассматриваться, не потребуют учета переносных вращательных движений этой опорной системы координат.、
Рассмотрим вначале простейший случай одноопорной машины,, например сферический гироскоп со свободным ротором [20], схема которого показана на рис. 10. В такой машине ротор,, имеющий идеальную сферическую поверхность, вращается в газодинамических подшипниках, образованных двумя полусферическими чашами. Предположим, что центр масс ротора совпадает с центром его сферической поверхности. СтатЪр жеётко закреплен в кожухе и составляет с ним одно твердое тело, а кожух укреплен на платформе, установленной в кардановом подвесе и стабилизированной с помощью следящей системы. В этом случае платформа совершает только поступательные движения и, если учесть податливость колец карданова подвеса, система будет иметь 9 степеней свободы, из которых 6 относятся к ротору. Будем рассматривать случай, когда ротор имеет симметричный эллипсоид инерции.^ Положение и ориентацию ротора определим с помощью систем координат O^X^Y^Z^- OXYZ и орта 羽 направленного . по оси фигуры (рис. 11).
Система координат O1X1Y1Z1 жестко связана со статором 'гироскопа, а система координат OXVZ имеет начало О в центре масс ротора и ее орты параллельны ортам опорной системы
Смещение центра масс О ротора относительно статора опре- делим вектором е, а ориентацию оси фигуры ——проекциями орта t° на оси координатной системы OX YZ, Заметим, что ориентацию оси фигуры можно определить либо углами Эйлера аир,
Второй способ позволяет записать уравнения движения гироскопа в комплексной форме, удобной для решения задач устойчивости газодинамических подшипников, поэтому ему оказано предпочтение.
Обозначим через Q угловую скорость собственного вращения ротора вокруг оси фигурьц тогда вектор мгновенной угловой скорости ротора можно представить в виде
з = Q^° 十 со】，(2.1)
где &1 ——экваториальная составляющая угловой скорости.
Учитывая, что
乙=F X 考，(2.2>
(2.3)(2.3)составим выражение для вектора момента количества движения ротора
(2.3)
(2.3)
где / ——экваториальный; /о — осевой моменты инерции. По теореме об изменении момента количества движения имеем
(2-4)
или, учитывая (2.1), (2.2) и ⑵3),，
/ X + 停& + Q 冬)=(2.5)
Обозначим через X, У н Z проекции 百。на оси OX, 0K 0Z, тогда
3 = Х°Х + 货У + 方么(2.6)
Проектируя уравнение (2.5) на оси OX YZ и учитывая при этом равенство (2.6), получим:
/(y2—zy)+ kx + K£ = Zx + ZxB； '
/ (ZN 一 x2) + KY + KY = Sy + Вув； (2.7) k = Zz + Zzb，
где К = Q/o —— кинетический момент; ①^， By，^z —— проекции главного момента всех сил реакций смазочного слоя, действующих на ротор; Zxb，①ув，Zzb — проекции главного момента внешних сил.
Уравнения (2.7) эквивалентны уравнениям движения симметричного гироскопа [2] и отличаются от последних отсутствием в коэффициентах тригонометрических функций. Уравнения (2.7) обладают замечательным свойством симметрии, которым воспользуемся для приведения их к комплексной форме. ,
Будем определять угловое положение оси ротора с помощью комплексной величины
и =Х+V (i = ]/^T).(2.8)
Умножая первое уравнение (2.7) на i и вычитая почленно из второго, получим систему двух уравнений:
IZU - IZU 一 i(KU + KU) = — (Bx + %) — t (2хв + iSY^\ 1
K = Bz + Zzb， ，J
(2.9) где
В системе уравнений (2.9) комплексное уравнение представляет первые два нелинейных уравнения из (2.7).
Поступательные движения ротора относительно кожуха можно также описать дифференциальным уравнением в комплексной
41
форме. Действительно, по теореме о движении центра масс будем иметь в проекциях на оси。尤 OY, OZ:
Мех = ?х + &в； ^еУ = ^y yB^ M?z =樓 + ?2в,⑵ 1。)
где M ——масса ротора; FXt Fy, Fz ——проекции главного вектора сил реакцци подшипника; FXb> 戸Ув，Fzb ——проекции возмущающих сил. '
Me^F^F^ ]Mez^Fz^~FZB. IMe^F^F^ ]Mez^Fz^~FZB. I(2.H)(2.H)Если представить е =勿 + iey； F = F% + iFy； FB =尸& + + FVb,_ то уравнения (2.10) будут иметь следующий вид:
Me^F^F^ ]
Mez^Fz^~FZB. I
Me^F^F^ ]
Mez^Fz^~FZB. I
(2.H)
(2.H)
Члены уравнений с индексом «в» обозначают внешние возмущающие силы и моменты.
Таким образом дифференциальные уравнения движения ротора одноопорной машины разбиваются на две подсистемы (2.9)—— (2.11), описывающие соответственно сферическое и поступательное движения. В правых частях этих уравнений стоят силы и моменты, которые зависят от координат и их производных. Силы и моменты могут быть записаны в комплексно访 форме и в общем случае являются некоторыми функциями комплексных переменных U, е и вещественных переменных ez，R, t
На основании уравнений (2.9)—(2.11) можно компактно изложить основные законы движения симметричного гироскопа в случаях Эйлера и Лагранжа [2]. Например, в случае тяжелого гироскопа Лагранжа, полагая ех =匆=ez = Q, Lz ~ 0, из (2.9) получим:
IZU — IZU— iKU = — PIU, К = const. (2.12)
На рис. (2 показана ориентация относительно выбранной системы координат симметричного гироскопа: а —— силы тяжести Р;
42
6 — опор двухопорного гироскопа (машины). В уравнении (2.12) предполагается, что сила тяжести Р направлена по оси 0Z, центр тяжести О ротора смещен на величину I от центра опоры 0「
Для нахождения всех возможных случаев прецессии гироскопа достаточно представить искомое решение уравнения (2.12) в виде:
U = аехр (4%).(2.13)
Подстановка (2.13) в (2.12) приводит к простому алгебраическому уравнению относительно постоянной а:
/02仪+ KQa = — Pla.(2.14)
Из решения этого уравнения могут быть выведены все возможные стационарные режимы движения гироскопа. Анализ устойчивости этих режимов при периодических возмущениях можно провести методами нелинейной теории колебаний [35; 1; 48].
Уравнения (2.9), (2.11) могут быть использованы для изучения динамики сферического гироскопа. Последний обычно работает в режиме свободного гироскопа. Для того чтобы сферический гироскоп с газодинамическим подвесом был свободным, его кожух устанавливается на стабилизированную платформу, которая управляется с помощью следящей системы так, чтобы ось фигуры / ротора была все время совмещена с общей осью подвеса и статора. При таком совмещении осей тормозящий момент сил вязкого трения уравновешивается крутящим моментом электрического привода, в силу чего кинетический момент гироскопа К остается постоянным. Все это верно в условиях отсутствия гравитационного поля и инерционных перегрузок, когда смещение центра масс ротора равно нулю {е ~ 0).
При смещении центра масс ротора под влиянием внешних сил тяжести или сил инерции момент тангенциальных сил вязкого трения полностью не уравновешивается и появляется экваториальная составляющая этого момента, которая порождает вредную прецессию. Для газодинамических подшипников моменты Ox，By, Zz и силы Fx, Fy, Fz в уравнениях (2.9)—(2.11) являются функциями смещений ех, еу, ez и времени /.
Структура этих функций изучается в теории газовой смазки. Здесь же ограничимся выводом нелинейной системы дифференциальных уравнений (2.9), (2.11) в комплексной форме. Эти уравнения справедливы для любой машины с неподвижным статором, ротор которой имеет симметричный эллипсоид инерции.
5・ Уравнения движения двухопорной машиныс учетом угловых перемещений статора
Рассмотрим машину с ротором, вращающимся в двух сфери- ческих подшипниках, геометрические центры которых не совпа- дают. Предположим, что оба тела ——статор и ротор машины—
43
имеют симметричные эллипсоиды инерции, причем статор может совершать лишь сферическое движение относительно некоторой точки 0工，а ротор может совершать, как сферическое, так и поступательное движения. Отнесем систему статор——ротор к системе координат OiXiYiZi, движущейся поступательно. Положение центра масс ротора О в этой системе координат определим вектором е =。工О, а ориентацию ——единичными векторами Е° и С?, направленными соответственно по осям симметрии эллипсоидов инерции ротора и статора (рис. 12, 6).
'Расстояние между центрами цапф ротора Аг и Л2 равно 2/, положение центров цапф относительно Опор В工 и В2 определяется векторами смещений и
Предположим, что вал ротора оканчивается двумя сферическими цапфами, расположенными на одинаковом расстоянии от центра масс ротора О, а оси симметрии эллипсоидов инерции ротора и статора совпадают соответственно с геометрическими осями симметрии цапф и подшипников.
Для того чтобы получить уравнения движения машины, введем систему координат OX YZ с началом в центре масс ротора .и осями, параллельными осям опорной системы координат
01Х1ylz「〉 >,
Единичные векторы ^° и й, определяющие мгновенную ориентацию осей фигур ротора и статора, представим в проекциях на соответствующие оси координат 0ХУ2 и OiXiY^Z工
X0X~\-Y°Y + Z°Z\ Z =/匸 Х2 —Н；
->->-> (2.15)
Здесь-X°, У0, Z°；敕 Я,方——орты соответствующих осей коорди- нат; X, У, Z; Xi, Y1, Zi —проекции векторов £ С? на оси координатной системы OX YZ, движущейся поступательно вместе с центром масс ротора О.
Рассматривая сферические движения ротора и статора отдельно, каждое из которых происходит под действием своей системы сил, можно написать уравнения, описывающие эти движения [см. уравнение (2.9) 1:
izii—iZU—i 区u + UK)= — i旨 + 史n K = Zz +必zb；/iZQ； —~I %U 1—"KiUi+UiKJ =—"% + В1в)；ki = Szi + 2zib・
,(2.16)
Здесь U = X + iY； [/工=*工十»}\ — комплексные коорди- наты, определяющие угловое положение оси фигуры ротора и 44
статора;①=Zx 一卜 i^y — проекция на плоскость ОХУ вектора результатирующего момента всех сил, действующих на ротор; ① 1 = в*] + iZyi — проекция на плоскость О^Х^Уi вектора результатирующего момента, действующего на статор; ^z и ^г1 —— осевые составляющие соответствующих моментов; К = /。° и Л\ = ^oi^i — кинетические моменты ротора и статора соответственно; /, /1 — эквивалентные моменты инерции; 10 и /01 — полярные моменты инерции; Q к Q工——угловые скорости собственного вращения ротора и статора.
Левые части уравнений (2.16) содержат в качестве неизвестных две комплексные переменные U н U i н две вещественные ——К н К± Моменты, стоящие в правых частях, являются функциями переменных U, 力，е, е「
Таким образом, взаимодействие между ротором и статором устанавливается по правым частям уравнений (2.16).
Векторы моментов ^ и ^ь действующих на ротор и статор соответственно, можно представить в виде:
当=一百X (尸一尸")一 Zc — Zc —①叩+ %B・J
Здесь 曲 и Ff,——главные векторы реакций смазочного слоя подшипников, продолженных к цапфам Л t и Л 2; ^1С и £2c ——моменты тангенциальных сил / сопротивления, действующих на цапфы; Впр ——момент привода с учетом момента сопротивления аэродинамических сил, действующих вне смазочной пленки; ^в и %в — возмущающие моменты, которые включают, моменты сил инерции переносного движения основания и гравитационных сил.
Поступательное движение ротора будет совершаться под действием сил инерции и гравитационных сил, а уравнения поступательного движения запишутся согласно теореме о движении центра масс следующим образом:
(2.18)(2.18)Me^Ff+F,f + F^
(2.18)
(2.18)
Alez =Fz ~^г Fz 尸zb,
где e -= ex + ieY\ 尸‘=尸攵+tF",尸"=尸女+ i耳；居=Fxb +，尸0? Силы F',尸"，Fz,尸％ определяются из решения уравнения Рейнольдса и представляют собой функции угловых и линейных перемещений цапф в подшипниках (см. гл. III).
Уравнения (2.16), (2.18) представляют собой замкнутую систему дифференциальных уравнений движения машины, содержащую в качестве неизвестных три комплексные U,力，е н три вещественные К, 兄，ez переменные, которые в свою очередь являются функциями времени /. Уравнения (2.16), (2.18) углового
45
и поступательного перемещения ротора и статора эквивалентны 9 скалярным уравнениям в обычной форме.
Эти уравнения были выведены в предположении, что эллипсоиды инерции кожуха и ротора являются симметричными. Обобщение их на случай несимметричных эллипсоидов инерции не вызывает принципиальных затруднений, но связано с некоторым усложнением системы уравнений.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением симметричных роторов, а несимметричность эллипсоида инерции статора будем учитывать в каждом частном случае отдельно.
Будем изучать, главным образом, газодинамические подшипники, их жесткостные свойства как в статическом, так и динамическом режимах. В связи с этим обратим внимание на то, что уравнения в форме (2.16), (2.18) удобны для изучения динамики гироскопов с учетом податливости подшипников..
Уравнения (2.16), (2.18) пригодны также для описания динамики гироскопов и машин с любыми другими опорами. В частности, с помощью этих уравнений можно описать динамику машины с электромагнитными или электростатическими опорами, для чего требуется лишь выразить правые части уравнений через соответствующие реакции подшипников. '
При выводе уравнений (2.16), (2.18) с целью упрощения рао смотрена машина, статор который может совершать только угловые перемещения. Однако полученные уравнения могут быть легко распространены на случай, когда статор закреплен упруго и может совершать дополнительно поступательные перемещения.
Линеаризация уравнений движения машиныметодом малых возмущений
Исследование динамики машины или гироскопа с газовыми подшипниками в общем виде представляет собой чрезвычайно сложную проблему, что обусловлено не столько большим числом степеней свободы, сколько сложностью представления реакций газовых подшипников в аналитической форме. Зависимости между перемещениями ротора и реакциями газовых подшипников определяются обычно на основании решения уравнения Рейнольдса для сжимаемой смазки.
Получение этих зависимостей в аналитическом виде в свою очередь представляет серьезную проблему, которая в настоящее время еще полностью не решена. В связи с этим весьма важное значение имеет метод малых возмущений, который позволяет рассмотреть проблему в линейном приближении [35].
Как будет видно из последующих разделов, динамические реакции газовых подшипников в случае малых перемещений в первом приближении могут быть описаны линейными интегро- дифференциальными операторами и даже представлены передаточными функциями. /
46
Рассмотрим предварительно дифференциальные уравнения малых движений для одноопорной машины, примером которой является сферический гироскоп.
Предположим, что идеально уравновешенный ротор гироскопа установлен на неподвижной платформе и совершает установившееся вращательное движение вокруг оси фигуры, которая совпадает с осью симметрии сферических подшипников. Предположим также, что возмущающие силы и моменты равны нулю (гравитационные силы относим к возмущающим). Это состояние динамического равновесия будем называть невозмущенным.
Предположим далее, что невозмущенное состояние динамического равновесия ротора асимптотически устойчиво в известном смысле по Ляпунову [20].
Тогда при любых достаточно малых начальных возмущениях ротор будет совершать затухающие колебания в окрестности невозмущенного состояния равновесия. ,
Заметим, что требование асимптотической устойчивости весьма существенно для работоспособности подшипников на газовой смазке. '
Для получения уравнений малых колебаний ротора сферического гироскопа будем исходить из уравнений (2.9), (2.11).
Варьируя эти уравнения в окрестности центрального положения динамического равновесия, когда Uo = е0 = eoz = 0; Z。= 1; Ко = const; Fо ~ oz ~ L°x = L°y = LqZ = 0, получим в первом приближении:
I \U—iK0^U = — \
AK = AZz； /
М Аё= AF+AFB; I
.. (2.20)
- М А〃 = А尸zb・
Здесь AU, Де, Aez, АК — вариации соответствующих переменных; Ко = Q。/ 一 установившееся значение кинетического момента; А%1 = АВх 十必必＞；厶尸=NFx + i^FY — вариации моментов и сил, действующих на ротор, которые определяются на основании решения краевой задачи- газовой смазки для подшипника.
Уравнения возмущенного движения (2.19), (2.20) могут быть записаны в проекциях на любые другие оси координат, например на оси Резаля 0±叮匕(рис. 11), связанные с ротором гироскопа, но не участвующие в его собственном вращении. Так как невозмущенное положение оси фигуры гироскопа совпадает с осью OZ, а отклонения предполагаются малыми, то с точностью до членов второго порядка малости вариации сил и моментов запишутся
так:
NFy 卜 А“)；(2.21)
Agy 〜A芻，(2.22)
откуда получаем:.
A出4 A笺+方A当；(2.23)
А尸4 А& + »А/.(2.24)
В дальнейшем мы будем отличать задачи исследования устойчивости и виброустойчивости подшипников от задач, связанных с определением точности гироскопа как измерительного прибора.
В задачах первого типа влияние внешних возмущений изучается с точки зрения виброустойчивости или вибропрочности подшипников. В этих задачах главную роль играет движение ротора по отношению к кожуху. В последующих главах главным образом уделяется внимание задачам первого типа.
При исследовании малых поступательных движений ротора сферического гироскопа в газодинамических опорах удобно рассматривать уравнения (2.20) в проекциях на оси Резал я: /
М А% = AF + 厶£;
а I J(2.25)
где А尸в = AQb +込尸吋'
Можно показать, что экваториальная А尸 и осевая А尸目 составляющие вариаций сил реакций смазочного слоя в первом приближении представляются независимыми линейными функциями:
AF = f (Ле) +。(Ае, А空)；)
AG = f；(A% +(MAe, Ae；)J(
где f (. . .), %(•••)——некоторые линейные операторы; О (...), 仇(•…)—перекрестные связи. ■
Система (2.25) в линейном приближении разбивается на две подсистемы, если перекрестные связи достаточно слабые. В этом случае малые колебания ротора в экваториальной плоскости и в осевом направлении можно изучать раздельно, влияние же перекрестных связей, которыми пренебрегаем, можно оценить с помощью метода, рассмотренного ниже.
Перейдем к рассмотрению машин, роторы которых имеют ось, вращающуюся в двух подшипниках с газовой смазкой. Как и 48
в п. 4, будем рассматривать машину, как систему состоящую из двух твердых тел, ротора и статора, с общим количеством степеней свободы равным девяти.
Представим себе невозмущенное движение машины, при котором все переменные состояния остаются постоянными, за исключением циклической координаты, определяющей вращение ротора вокруг оси фигуры. Все внешние возмущающие силы и моменты, включая и гравитационную силу, будем при этом принимать равными нулю. Заметим, что силу тяжести также относим к возмущающим силам. Делается это ради того, чтобы сохранить симметричную форму уравнений.
Рассматриваемое невозмущенное движение может быть реализовано в условиях невесомости или при вертикальном расположении вала.
В состоянии динамического равновесия ось фигуры ротора будет совпадать с осью цапф. Для невозмущенного состояния переменные будут иметь следующие значения:
U。= U。］ — % = %z = °； Ко = const j Koi =。，^o =1； I So — ^oi — Soz ~ ^o^i ~ S& = ^ib = 0; Fq — Fq ~ Fob — 0. J
(2.27)
Заметим, что 驳。歩 0, тогда как KOl = 0. Это значит, что ротор вращается с постоянной угловой скоростью относительно инерциальной системы координат, тогда как статор остается неподвижным, хотя в общем случае он может также вращаться вокруг своей оси.
Соответствующие уравнения малых колебаний получим из уравнений (2.16)—(2*18) путем варьирования последних в окрестности невозмущенного положения динамического равновесия. При варьировании будем учитывать, что Z。= 1. В результате получим систему уравнений:
/А。一iK°AU = —iAZ —iAB/ '
А^ = А然十 А%в；
A% =А必"+A丝扇(2,28)
М\ё = A 尸'+ A 尸"+ АЛВ;
財 А& = A& + AF£ + A尸В
В уравнениях (2.28) все переменные являются вариациями. В правых частях уравнений стоят силы и моменты, которые предполагаются достаточно малыми.
4 В. Н. Дроздович49
В отличие от сферического гироскопа уравнения двухопорной машины в правых частях содержат моменты не только сил сопротивления, но и сил реакций F' к F" подшипников.
Система дифференциальных уравнений (2.28) может быть разбита на группы, представляющие подсистемы. Для того чтобы это осуществить, следует в правых частях (2.28) выделить главные члены и члены, представляющие слабые перекрестные связи. Обращаясь к выражениям (2.17), заметим, что моменты 纟匕 и 俨仃， действующие на ротор и статор, складываются из моментов сил сопротивления и привода. При установившемся невозмущенном движении сумма этих моментов равна нулю тождественно, т. е. момент сил сопротивления уравновешивается крутящим моментом статора.
Сумма этих моментов будет оставаться малой, при малых колебаниях, и ее можно отнести к малым перекрестным связям. Одно- - временно будут малыми и проекции этих моментов на ось фигуры ротора и ось цапф, что дает нам основание принять в первом приближении AR q К\ = 0. Таким образом, 2 и 4-е уравнения системы '(2.28), определяющие движение ротора и статора по циклическим координатам, в первом приближении на колебания по другим переменным влияния не оказывают. Чтобы это было верно, необходимо еще потребовать, чтобы подсистема
■ ДЛ-Д^+ДЖ； АК1 = АВз + АВб (2.29)
была устойчива по переменным А/( и АД\, что возможно лишь при наличии дополнительных связей, ограничивающих вращение статора вокруг его оси симметрии. В противном случае с течением времени вариации Л^ и АД\ могут стать настолько большими, что их влиянием на другие подсистемы уже нельзя будет пренебрегать.
Рассмотрим далее первые члены правых частей уравнений (2.17), которые выражают главные восстанавливающие моменты подшипников.
Тогда, как это видно из рис. 12, 6, можно написать:
/ =е + /(^о-Й); 2=Л—/(也—氟(2.30)
Первые члены правых частей выражений (2.17) можно представить следующим образом:
隽。X (А尸'一 ДГ) = / 昼(A/— А%) + 瞰(△& — А&)];
一//X (心'一力')=一? 個。尸品 — А』)+ 福А% — AFiM.
Из них с точностью до членов 2-го порядка малости получим
А2 = —А% = А以+，• A2Tl = 〃。尸一АР). (2.31)
Учитывая далее, что в первом приближении AF' и Л/7''выражаются с помощью линейного оператора через Ае' и Ае" (2.23), будем иметь
АВ = 〃 什(А* — f (Ае〃)] = И [f (Де7 一厶е")]・(2.32)
Из (2.30) с точностью до членов 2-го порядка малости
Ad - Ае" = 2/ 图(X 一 X]) + ri (F — Y^ откуда получаем
应—底"=2/ (AU — AUJ.(2.33)
Подставляя (2.32) в (2.31) и учитывая (2.33), найдем с точностью до перекрестных связей
AZ = — А% = 2il2f{\U~ AU)(2.34)
Правые части последних двух уравнений системы (2.28) также можно линеаризовать.
Действительно, для тех же условий, что и выше, можно написать:
Ak + AF" = f(Ae，+ Ae〃)；]
Учитывая (2.30), найдем
Де7 + 底〃 =2 Де.(2.36)
Следовательно,
AF + A^ = 2f(Ae);]AF£ + A^ = 2%(Ae)J
Подставляя выражения (2.34) и (2.37) в уравнения (2.28), получим:
/ AU — iKo А。- 2『f (AU — AU0 — i A^B;(2.38)
Л A& = — 2/2/ (AU — A〃) 一 i A%B；(2.39)
M A? = 2/ (Ae) + A&；(2.40)
M^e^2fz(^e^ + ^F^(2.41)
Таким образом, с точностью до перекрестных связей наша система (2.28) оказалась представленной пятью линейными подсистемами (2.29), (2.38)—(2.41). Возможность разделения полной системы уравнений на простейшие подсистемы имеет чрезвычайно важное значение для аналитического исследования гироскопов и машин на подшипниках с газовой смазкой.
Следует отметить, что выведенные выше уравнения малых колебаний справедливы для случая, когда в невозмущенном состоя- НИИ все внешние силы ^Ов ==尸心=°・ В более общем случае, когда за невозмущенное принимается смещенное положение динамического равновесия е0 娱 0, т. е. в невозмущен- 4*
ном состоянии на ротор действует постоянная гравитационная сила, уравнения малых колебаний будут несколько сложнее.
В этом последнем случае смещение е0 уже нельзя принимать малым, в силу чего функции, выражающие отображения смещений Ас и А/ в реакции AF и А&, следует варьировать в окрестности смещенного положения равновесия.
Дифференциальные уравнения малых колебаний для машины с газодинамическими подшипниками иной конфигурации (конические, цилиндрические и т. д.) будут иметь ту же форму, что и для сферических подшипников.
Действительно, если цапфы несферических подшипников имеют симметричные формы, т. е. несущие поверхности их являются поверхностями вращения, а ось симметрии цапф совпадает с осью фигуры ротора, то выбрав две точки О' и О" на оси цапф так, чтобы они располагались на одинаковом расстоянии от центра масс, мы можем привести реакции смазочного слоя к главным векторам Е',尸"и главным моментам В , относительно точек
Формы поверхностей подшипников будут влиять только на структуру операторов, с помощью которых смещения е‘，е" отображаются в реакции F,
При выводе уравнений мы всюду предполагали, что несущие поверхности цапф являются поверхностями вращения, оси симметрии которых совпадают с осью фигуры; это же относится и к несущим поверхностям подшипников.
В действительности реальные формы упомянутых поверхностей отклоняются от идеальных. Отклонения, обусловленные погрешностями изготовления, можно рассматривать как «возмущения» и учесть их в правых частях уравнений как переменные во времени возмущающие силы и моменты.
К этому следует добавить, что отклонение оси фигуры от оси симметрии эллипсоида инерции ротора также можно отнести за счет погрешностей несущих поверхностей цапф. Последнее обстоятельство позволяет учитывать статический и динамический дисбалансы совместно с погрешностями несущих поверхностей в виде эквивалентных внешних возмущающих сил и моментов.
Основные понятия, устойчивостии виброустойчивости машин на подшипникахс газовой смазкой
Составной частью общей проблемы развития и применения подшипников с газовой смазкой является проблема обеспечения устойчивости и виброустойчивости роторов машин и гироскопов на газодинамических подшипниках.
Нормальный режим работы гироскопа или машины с газодинамическим подвесом ротора иногда называют режимом «левитации^. В таком режиме ротор вращается в газодинамических опорах без сухого трения, обусловленного механическими контактами между несущими поверхностями. Поддержание этого режима есть необходимое условие работоспособности подшипников с газовой смазкой в большинстве случаев. Исключение составляют некоторые гироскопы и слабонагруженные машины, подшипники которых при разгоне и остановке могут работать в режиме граничной смазки.
Нарушение режима левитации может произойти при чрезмерных перегрузках, когда смещение \е\ ротора относительно подшипников будет соизмеримо с величиной рабочих зазоров.
Обычно подшипники рассчитывают так, чтобы они выдерживали заданную статическую нагрузку без нарушения нормального режима. В этом случае соответствующее статическое смещение должно быть меньше некоторого 6—%口，где %口 一 наименьший допустимый зазор; 6 ——средний зазор при е — 0 [58]. Такой расчет еще не обеспечивает работоспособности подшипников машины или гироскопа, так как положение динамического равновесия может оказаться неустойчивым.
Обычно при потере устойчивости равновесного состояния центр масс ротора совершает периодическое движение с частотой, близкой к половине скорости вращения ротора.
Другими источниками возникновения колебаний центра масс ротора могут служить вибрации основания или удары.
Неустойчивость равновесного состояния должна быть исключена, так как при этом нарушается режим левитации. Но одной устойчивости недостаточно для работоспособности подшипников, так как при наличии значительных вибрационных перегрузок возможен механический контакт цапфы и подшипника. Последнее обстоятельство особенно опасно для гироскопов, которые обычно работают на* подвижных основаниях, испытывающих значительные вибрации.
Количественно виброустойчивость можно оценить амплитудой вынужденных колебаний ротора относительно статора, порождаемых вибрацией основания. В общем,случае как устойчивость, так и виброустойчивость может быть исследована методами спектрального анализа по частотным характеристикам.
При исследовании колебаний ротора машин, даже в простейшем случае неподвижного статора, уравнения движения довольно сложны иЗ'За сложности операторов, представляющих реакции газодинамических подшипников.
В рамках теории малых колебаний реакции подшипников могут быть приближенно выражены линейными зависимостями от векторов смещений ротора. В этом случае реакции можно определить с помощью передаточных функций. Например, для цилиндриче-
ского подшипника при малых радиальных колебаниях цапфы в окрестности центрального положения реакция AF представляется в виде
AF = — G (р, t) Ае,AF = — G (р, t) Ае,(2.42)(2.42)
AF = — G (р, t) Ае,
AF = — G (р, t) Ае,
(2.42)
(2.42)
где AF — А& + 込尸；Ле = А空 + 込％ — изображения по Лапласу соответствующих переменных, а р — параметр преобразования Лапласа по времени 九.
Передаточная функция радиальной реакции G (р, /) играет особенно важную роль при исследовании возможных вихревых форм неустойчивости. Эта передаточная функция представляется в общем случае мероморфной функцией.
Таким же образом могут быть представлены реакции других、 типов подшипников., Это представление весьма удобно получается на основе решения краевой задачи газовой смазки.
Для уточнения передаточных функций может быть применен метод гармонического баланса. Представление реакций подшипников с помощью передаточных функций открывает возможность применения к исследованию подшипников с газовой смазкой частотных методов. Заметим, что частотные методы можно применять к газодинамическим подшипникам и не пользуясь передаточными функциями, а применяя к уравнению Рейнольдса метод гармонической линеаризации. По этому пути пошли Пэн [74] и Марш [72].-
В дальнейшем не отдается предпочтения какому-либо одному из этих методов, а применяется комбинированный подход, сочетающий представления реакции через передаточные функции с последующим уточнением элементов частотных характеристик методом гармонической линеаризации. В соответствии с этим исследование устойчивости проводится с помощью известного критерия Михайлова——Найквиста. Применение критерия Гурвица к рассматриваемым здесь задачам затруднительно или вообще невозможно, так как приходится иметь дело с уравнениями довольно высокого порядка, имеющими комплексные коэффициенты./
Частотный критерий устойчивости Михайлова——Найквиста основан на принципе аргумента теории функций комплексного переменного.
Напомним формулировку этого критерия.
Если дано характеристическое уравнение А (р)三尸⑵十 + Q (р) = 0, причем функция Г (р)=尸(p)/Q (р) имеет т по пюсов в правой полуплоскости комплексного переменного р, а все остальные в левой, то для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы приращение аргумента функции 1 + Г (is) при изменении со от —оо до 十8 было равно —2пт, т. е. вектор го- дографа функции Г (必)должен повернуться вокруг точки
-——】~Н° ровно т раз. Если это условие не выполняется, то харак-
теристическое уравнение А (р) = 0 имеет корни в правой полуплоскости и, следовательно, система неустойчива. 。
При применении этого критерия для исследования усто访чн・ вости подсистем, описывающих колебания ротора ,в газодинамических подшипниках, встречается случай，когда функция имеет двукратный полюс р = 0. В этом случае частотный критерий требует уточнения в соответствии с принципом аргумента теории функций комплексного переменного.
Анализ распределения корней характеристического уравнения А (р) = 0 можно провести и по другому. Предварительно укажем, что для газовой смазки задачу о характере распределения корней уравнения А (р) = 0 можно заменить задачей о рас-
Рис. 13
пределении нулей функции V (р)三 Мр® 十 G (р, i), т. к. структура рассматриваемых подсистем определяет тождество нулей функций Д (р) и V (р). Функция V (р) имеет особенности» равные полюсам функции G (р, 0, которые, как можно показать, лежат в левой полуплоскости комплексного переменного р.
На основании принципа аргумента можно заключить, что все нули функции V (р) будут лежать в левой полуплоскости, если число полных оборотов вектора V (р) вокруг начала координат в плоскости V при изменении р вдоль контура с =. с+ 十 сГ (рис. 13, а) в положительном направлении будет равно нулю.
Изменяя р вдоль контура с, будем считать число оборотов, которые при этом совершает вектор, изображающий функцию V (р), вокруг начала координат.
Будем сначала изменять р вдоль полуокружности С+ бесконечно большого радиуса (рис. 13, а). Введем замену по формуле р = р ехр ”)，(2.43)
тогда при р —получим
lim V (р) limMp2 exp (i2(p) + lim G [р exp (i(p), 口. (2.44)
P->OOp->OOp今 8
Ввиду того что на контуре с+ функция G (р, i) не содержит особенностей, второе слагаемое в (2.44) ограничено по
55
модулю и
1 im V (р) = lim Мр? exp (，2屮). (2.45) Р">8 Р~>8
Из равенства (2.45) видно, что при обходе контура вдоль с+ модуль V (") остается неизменным, а аргумент получает приращение, равное 2л.
Таким образом, вектор, изображающий функцию V (р), повернется в плоскости V на угол 2л против хода часовой стрелки, т. е. совершит один оборот вокруг начала координат.
Тогда, согласно принципу аргумента и критерия устойчивости по которым полное число оборотов вектора |V (р) при обходе точкой р контура с = с^ + С~ должно равняться нулю, приходим к критерию, сходному с критерием Найквиста——Михайлова для систем с распределенными параметрами: для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при изменении р вдоль мнимой оси от +гоэ до ——is число оборотов вектора V (р) по часовой стрелке вокруг начала координат равнялось единице.
Выделение области изменения параметров, определяющих устойчивость, может быть осуществлено с помощью известного в теории автоматического регулирования метода D-разбиения *.
Весьма полезными для исследования динaмик^^ газовых подшипников являются идеи и средства теории автоматического регулирования. Действительно, систему ротор——подшипники можно рассматривать как многомерную систему стабилизации положения вращающегося ротора относительно подшипников.
Каждую из подсистем можно рассматривать как отдельнуй канал системы стабилизации с обратной связью, в которой роль регулятора прямого действия выполняет смазочная пленка, а регулирующим воздействием является соответствующая составляющая силы реакции. .
В этой схеме смазочную пленку можно рассматривать как бесконечномерное континуальное звено с интегральными выходами по нескольким каналам.
Отдельные каналы в общей структуре являются двухмерными и представляются комплексными уравнениями.
Так подсистема, описываемая уравнением (2.40), выступает как канал стабилизации центра масс ротора в его экваториальной плоскости по координатам е& и ?刀,эквивалентным одной комплексной переменной е =空 + %刀.Эквивалентная структурная схема (рис. 13, б) содержит два звена: объект стабилизации с передаточной функцией 1/Мр2 и регулятор с передаточной функцией G (р, i). Это соответствует уравнениям канала:
е = •^■(△尸一■ АЗ); \F = —G(p,i) е.. (2.46)
* Теория автоматического регулирования. Под ред. Солодовникова. Кн. 1. М., Машиностроение, 1967. 768 с.
56
Здесь е, AF, AFB —— изображения по Лапласу, р —— оператор преобразования Лапласа по времени f; G (р, f) —— комплексная передаточная- функция смазочной пленки как эквивалентного регулятора соответствующего канала.
Исходя из этого представления, получаем передаточную функцию эквивалентной разомкнутой цепи стабилизации, равную 门 Р)= ^^・@.47)
Точно так же можно построить структурные схемы и найти соответствующие передаточные функции эквивалентных разомкнутых цепей для всех прочих подсистем.
Для исследования устойчивости и виброустойчивости подсистем типа (2.46) следует исходить из амплитудно-фазового критерия для комплексных передаточных функций. Особенностью применения этого критерия к комплексным передаточным функциям является то, что годограф частотной характеристики будет уже несимметричен относительно вещественной оси, так что его следует строить для всего диапазона изменения: р 二心;——со < < (0 < + 8.
К вопросу о влиянии перекрестных связейна устойчивость роторав газодинамических подшипниках
Обозримость и простота результатов исследования устойчивости ротора в газодинамических опорах ^зависят от упрощений, и, в частности, от разделения замкнутой системы на подсистемы. При этом приходится пренебрегать перекрестными связями, в состав которых могут входить и линейные.
В данном параграфе рассматривается способ, позволяющий
учитывать влияние линейных составляющих перекрестных связей между подсистемами на устойчивость связанной системы.
Дальнейшее исследование динамики роторов в подшипниках с газовой смазкой базируется на том, что при малых движениях
ротора в окрестности равновесного положения вариации составляющих реакций AF и А必 могут быть представлены линейными операторами. Относительно этих операторов еще предполагается, что они допускают применение преобразования Лапласа. Другими словами, предполагается, что вариации реакций подшипников АЛ, А“ и А& выражаются через передаточные функции.
В общем случае эти выражения записываются в виде:
(2.48)(2.48)А?自=——gu A空——G12 Ae刀——G13 A用 I
(2.48)
(2.48)
A尸n = - G2i A空——g22 Ae式 ——G23 A空；
A 尸з——G31 A 空—G32 AeT G33 A气，
где G'Jk = GJk (p, e|, ^. eg); /, fe = 1, 2, 3 — передаточные функ^ ции, зависящие от трех скалярных параметров и параметра преобразования Лапласа р. Можно показать, что все передаточные функции являются рациональными дробями с полюсами, распо' ложенными в левой полуплоскости р.
Условимся для случая несмещенного положения равновесия, когда 理 = % = eg = 0, вариации записывать без значка А, так как в этом случае все переменные сами являются вариациями.
Для несмещенного положения равновесия формулы (2.48) упрощаются и принимают вид:
Q = —Си空一G^e”； G招=0;
齐“ = — &&—G22^； Gz3= 0； (249)
& = — ^^ ^31 G32 = 0.
Из (2.48) следует, что при колебаниях в окрестности смещенного положения равновесия (е0 壬 0) имеют место линейные перекрестные связи, которые можно считать слабыми только при достаточно малом |е/
Все вышеизложенное справедливо и для моментов 必& Z” и 2g с той лишь разницей, что их вариации для несмещенного положения равновесия относительно е^, ?刀 и е自 будут представляться уже членами второго порядка малости.'
Таким образом, подсистемы не содержат линейных перекрестных связей только в случае центрального положения динамического равновесия, когда е0 = 0.
Это свойство ненагруженных подшипников удобно использовать и при исследовании нагруженных. Применяя методы тео-' рии возмущений, можно в первом приближении пренебречь пере- крестными связями и в случае е0 / 0, но при этом следует оценивать их влияние на устойчивость.
Идея метода оценки основана на принципе аргумента теории функций комплексного переменного, упомянутого выше.
Представим себе связанную линейную систему, в состав которой могут входить подсистемы как с вещественными, так и.комплексными переменными состояния.
Предположим, что в результате последовательного применения к дифференциальным уравнениям этой системы преобразования Лапласа и формул Крамера мы разрешили их относительно одной из переменных состояния
以=耳焉£^(〃办*2(2.50)
Здесь Zk и 尸『в ——изображения по Лапласу fe-й переменной состояния и /-й возмущающей силы соответственно; р —— параметр
преобразования Лапласа по времени f; R (р, i); G^ (р, i)— рациональные функции комплексного переменного р, имеющие вид: \
R(…縉(2-51)
где А (р, i); Q (р, i); Р/ (р, i)； Q信(р, i) —— многочлены с комплексными коэффициентами; Q (р, г)——многочлен, равный наименьшему общему ' кратному многочленов Q/左(р, i).
Предположим далее, что все нули функций Q/k (р, ；) располагаются в левой полуплоскости комплексного переменного р. Представим рациональную функцию R (р, i) в виде суммы:
'R(p,i) = R0(P^) + S(PJ)，\(2・52)
где R()(p，i) —— функция, соответствующая несвязанной системе; S (р, i) —— функция влияния перекрестных связей. Относительно функции влияния S (р, i) предполагается, что она так же, как и функция Ro (р, »), регулярна в бесконечности и все ее полюсы лежат в левой полуплоскости р.
Таким образом, устойчивость связанной системы определяется расположением в плоскости комплексного переменного р нулей характеристического мнбгочлена или нулей функции R (р, 0. Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все нули функции R (р, i) располагались слева от мнимой оси.
Поставим теперь задачу найти условия, при выполнении которых из устойчивости подсистем в несвязанной системе следует устойчивость связанной системы. Другими словами, требуется найти условия, накладываемые на функцию влияния S 6, i), при выполнении которых все нули функции R (р, i) располагаются в левой полуплоскости р, если там расположены все. нули функции Ro (р, О-、
Ответ на вопрос, поставленный в задаче, может быть найден на основе следующей теоремы.
Теорема. Если все нули N口 и полюсы 戶о функции RQ (р, i) и все полюсы Р1 функции S (р, i) лежат в левой полуплоскости комплексного переменного р и если на контуре С = С^ + С^ (рис. 13, а) выполняется условие
[R0(p,i)\>\S(p,i)\,(2.53)
то все нули N функции R。(R i)十 S (р, i) будут также лежать в левой полуплоскости р.
Доказательство. Эта теорема доказывается на основе принципа аргумента так же, как известная теорема Руше для целых функций. Если принять за область D всю правую полуплоскость комплексного переменного р, ограниченную кривой 59
q ： °* + С (рис. 13, о), то представив функцию R。(р, i) + 十 3 (0 ») в виде
&(Р，9 + S(р, i) &⑵ 0[l+ 岩綜],⑵54)
найдем
Arg 因(p, i)十 S (p, i)] = Arg R。(p, i) + Arg Г1 + -⑵55) L \P> '丿」 /
При обходе контура С, когда р принимает значения, соответствующие точкам этого контура, приращение Arg [1」「优拼：；] в силу условия теоремы будет равно нулю, так как при функции I S (〃i)/Ro (〃 г) I < 1 соответствующий вектор не делает ни одного оборота вокруг начала координат, отсюда на основании
(2.56)(2.56)принципа аргумента и условий теоремы получаем N — Р = Nq Pq = 0.
(2.56)
(2.56)
Так как все полюсы функций Ro (р, i) и S (р, /) лежат в левой полуплоскости р по условию теоремы, а полюсы суммы Ro (р, i) + + S (р, i) не содержат значений, не совпадающих с полюсами функций R。(？，i) н S (р, 0, то Р — число полюсов суммы R0 (рМ)+ + S (р, z), лежащих в правой полуплоскости,—— равно нулю. Из (2.56) получаем
N = 0, (2.57) что и требовалось доказать.
Из доказанной теоремы вытекает ответ на вопрос о влиянии перекрестных связей на устойчивость взаимодействующих между собой подсистем.
В самом деле, если известно, что подсистемы при отсутствии перекрестных связей устойчивы асимптотически, то при достаточно слабых перекрестных связях, когда функция влияния удовлетворяет условию | RQ (is, i) | < | S (is, i) I для всех w :(——8, +g), связанная система будет также устойчива асимптотически.
В качестве примера рассмотрим сферический гироскоп на газодинамических опорах с профилированной поверхностью, когда положение динамического равновесия смещено вдоль оси фигуры eof f€o- Уравнения малых поступательных колебаний гироскопа в окрестности положения равновесия на основании выражений (2.48) могут быть записаны в следующем приведенном виде:
Mf^ Де = — бц Ае — (1 十 i) G13 А经十尸巴；
(2.58)(2.58)Л4P2 A纥=—G33 A经(1 — О G31 Ae —
(2.58)
(2.58)
1今 4
一击(1十0g3С^十ез
Здесь М.——масса ротора; Ае = Ае& + »А%}——изображение по Лапласу комплексного смещения центра масс в экваториальной плоскости; Ае* — комплексно сопряженное с Ае; Aq — изображение по Лапласу осевого смещения из положения равновесия; G工I = Gug + Gu叮 ——комплексная передаточная функция; G33 —— вещественная передаточная функция; G13, G31 ——передаточные функции перекрестных связей.
Передаточные функции G13 и G31 зависят от смещения е0 как параметра и обращаются в нуль при е0 工 0.
К уравнениям (2.58) необходимо еще присоединить сопряжен
ное уравнение
Мр2 Де. — —Ggg 矗 ——j-(l + 0 G31 Ае*(1 j) G31 Ае + %
Рассматривая (2.58) и (2.59) как систему линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными А% Ае* и 厶气，можно свести ее к системе двух уравнений относительно Ае и АеК
Определитель последней будет иметь следующий вид:
R (Р，力)=R。(〃 о{1 - ^Д) [ Gi3G31 (Л 十 Л*) — 2G^1]}, (2.60) где \
兄例,i)= 4g,i)父 д, о；]
А (^ /) -4М^ + Gu (р, /)] [Мр^ + Сзз (р)];(2.61)
/*3,，)=/(〃,一2).J
Допустим, что передаточные функции Gu (р, i); G13 (р); G31 (р); G33 (р) не имеют полюсов в правой полуплоскости комплексного переменного р. Кроме того, если подсистемы устойчивы при отсутствии перекрестных связей, то все нули функции R。(р, i) будут лежать в левой полуплоскости р. Поэтому, чтобы перекрестные связи не нарушали асимптотической устойчивости, достаточно выполнить условие (2.53) теоремы.
Так как все нули и полюсы функции А。(р, z) лежат в левой полуплоскости р, то для точек мнимой оси существует такое L 声 0, что j Л (/со,川 > 厶 и I A (is, —" >■£. Кроме того, в силу свойств передаточных функций G13 и G31, для любого 8 > 0 можно указать такое е^, что
|Gi3(^)|<e; \G31(i^\<：^(2.62)
как только I е0| < ет.
Тогда получаем оценку
I G13G31 (Л + Л*) - Щ^^ \^\G G J】丄 1 、丄 2©3GM
<岑十若•(2.63)
Величину £ в неравенстве (2.63) можно рассматривать как величину запаса устойчивости, несвязанных подсистем. В частей ости, если подсистема находится на границе области устойчивости и запас устойчивости нулевой, из (2.61) следует, что L = 0.
Таким образом, из оценки (2.63) и условия теоремы (2.53) следует, что при достаточно малом статическом смещении ет (малое &) и большом запасе устойчивости подсистем (большое L) из асимптотической устойчивости несвязанных подсистем следует устойчивость всей связанной системы.
Необходимо помнить, что в общем случае перекрестные связи могут как уменьшать, так и увеличивать запас устойчивости всей системы.
ГЛАВА 1И
УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ СМАЗКИ ПОДШИПНИКОВ СКОЛЬЖЕНИЯ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Основные предпосылки к постановкекраевых задач для газодинамических подшипниковскольжения
Целью, преследуемой в данной главе, является постановка краевых задач для нестационарного течения сжимаемой смазки между движущимися относительно друг друга несущими поверхностями подшипников различной конфигурации. В этой главе обсуждаются также известные методы решения краевых задач газовой смазки и выбирается методика, которая принимается в качестве основной- для дальнейшего анализа.
Рассмотрим современные взгляды на традиционные физические допущения классической теории смазочного слоя, начало которой было положено работами Н. П. Петрова и О. Рейнольдса, относящимися к 80-м годам прошлого столетия [6], и которая была обобщена на случай сжимаемой (газовой) смазки в 50-х годах нашего века. Хотя в последнее время в теоретических исследованиях по гидродинамическим и газовым опорам все чаще наблюдается не всегда оправданный отход от этих классических допущений, тем не менее и сейчас большинство новых работ в этой области продолжает опираться на них, и если даже они специально не оговариваются, то обычно подразумеваются.
Приведем краткую формулировку этих допущений, расположив их в таком порядке, чтобы каждое последующее допущение имело более частный характер, чем предыдущие, охватывая в то же время наиболее типичные задачи, которые составляют основной предмет гидрогазодинамической теории смазки:
смазочное вещество может рассматриваться как сплошная среда;
62
динамический коэффициент вязкости смазки не зависит от давления;
режим течения в смазочном слое является ламинарным;
тепловой режим в смазочном слое можно считать изотермическим; ，
силами инерции смазки можно пренебречь.
Первое допущение позволяет отвлечься от того факта, что любая среда, в конечном счете, состоит из дискретных частиц, и ввести понятие бесконечно малого объема жидкости (газа), оправдывая тем самым использование эффективного математического аппарата механики сплошных сред — дифференциальных уравнений в частных производных, в которых независимыми переменными являются пространственные координаты (и, вообще говоря, время). Различные сплошные среды, изучаемые гидроаэродинамикой, реологией [31], теорией упругости и пластичности, характеризуются тем или иным законом связи между внутренними напряжениями и соответствующими деформациями элементарных объемов. Гидроаэродинамика имеет дело с так называемыми ньютоновскими средами, Для которых тензор напряжений линейным образом связан с тензором скоростей деформации [31 ], причем эта связь осуществляется через динамический коэффициент вязкости; последний не может зависеть от компонент упомянутых тензоров в силу линейного характера связи между этими тензорами. Именно отсюда следует второе из сформулированных выше пяти допущений гидрогазодинамической теории смазки: поскольку давление обычно трактуется как среднее арифметическое диагональных компонент тензора напряжений, то динамическая вязкость ньютоновских сред не может зависеть и от давления.
Третье допущение надо понимать в том смысле, что из двух основных режимов течения жидкостей и газов —— ламинарного и турбулентного — более характерным для тонких смазочных зазоров реальных подшипников является ламинарный режим. Ламинарные течения, в отличие от турбулентных, допускают более строгий математический анализ, не связанный с применением полуэмпирических или статистических методов, опирающийся на известные уравнения Навье—Стокса [31 ]. Эти уравнения динамики вязких ламинарных потоков составляют в общем случае единую систему с уравнением сплошности и уравнением баланса энергии. Однако допущение об изотермичности потока (четвертое допущение) позволяет исключить последнее уравнение из упомянутой системы. Наконец, пятое допущение позволяет значительно упростить уравнения Навье——Стокса, исключив из них «инерционные» члены. Следует подчеркнуть, что именно это последнее допущение представляется наиболее характерным для гидрогазодинамической теории смазки, которую часто определяют как теорию медленных (безынерционных) течений жидкостей и газов в тонких зазорах. Заметим, что в потоках смазки, кроме сил инер-
ции, пренебрегают также массовыми силами, влияние которых оказывается ничтожным и в большинстве других задач гидро- аэродинамики. Таким образом, теория смазки имеет дело с течениями, в которых основную роль играют поверхностные силы: давления и внутреннего трения (вязкости).
Из этих предварительных замечаний видно, что сформулированные выше допущения образуют некоторую систему, в которой каждое из них занимает определенное место. Проведем теперь более подробный анализ этих допущений, их важнейших следствий, условий применимости к гидродинамическим и газовым подшипникам, возможных обобщений, а также взаимосвязи между отдельными допущениями.
Первое допущение лимитируется величиной числа Кнудсена, определяемого (применительно к задачам смазки) как Кп = =/р/用。， где /р —— средняя длина свободного пробега молекулы жидкости или газа,用。——характерная толщина зазора; иногда под числом Кнудсена понимают обратную величину. Строго говоря, среда может считаться сплошной при Кп —> 0, практически же влияние дискретности среды становится ощутимым лишь при Кп 0 (10~2). Если в гидродинамических подшипниках последнее условие всегда выполняется, то в газовых подшипниках длина свободного пробега может оказаться соизмеримой с толщиной зазора. Действительно, в настоящее время уже используются газовые опоры со средней толщиной зазора в 1——2 мкм, а минимальная толщина может измеряться десятыми долями микрометра. Для сравнения заметим, что средняя длина свободного пробега молекулы воздуха, который чаще всего используется в качестве газовой смазки, при обычных атмосферных условиях приблизительно равна 0,06——0,07 мкм, а на значительной высоте над поверхностью земли—еще больше. Тем не менее в диапазоне 0 (Ю-2) мКп&О (10"), который обычно соответствует приведенным выше размерам, допустимо пользоваться обычными дифференциальными уравнениями гидроаэродинамики сплошной среды, если видоизменить граничные условия на омываемых газом твердых поверхностях, учтя в этих условиях эффект проскальзывания газа вдоль поверхности, не наблюдающийся в сплошных средах [59 ]. Именно такой подход позволил Бургдорферу [601 применить уравнение Рейнольдса (см. п. 10), которое описывает распределение давления в смазочном слое газового подшипника (его вид зависит от упомянутых граничных условий), для случая, когда подшипник смазывается слабо разреженным газом, введя в это уравнение поправочные коэффициенты, зависящие от числа Кнудсена и не меняющие общей структуры уравнения.
Заметим, что при более высокой степени разреженности газа [0 (Ю"1) ^ Кп < 0 (1)] требуют уточнения не только граничные условия, но и основные уравнения гидроаэродинамики, а при исследовании течений сильно разреженных газов эти уравнения вообще не могут быть положены в основу анализа, и приходится
использовать кинетическую теорию газов [59]. Если учесть, что в реальных подшипниках 允=hjL《1, где 厶——характерный размер подшипника (на практике 兄=10—+10—), то из уравнения сплошности следует, что поперечные скорости vn в жидком смазочном слое, а также в стационарном газовом слое весьма малы по сравнению с продольными скоростями и§, а именно vn/vs 〜0 (х). Тогда, используя уравнения Навье——Стокса, удается показать, что с точностью до величин порядка 0 (х2) изменением давления поперек слоя можно пренебречь, т. е. принять др/дп = 0 (где р ——давление в слое; ■ п — координата, отсчитываемая по нормали к его поверхности). В нестационарных задачах газовой смазки этот результат не всегда допускает формальное обоснование, и тогда его принимают как дополнительную гипотезу.
Важно отметить, что условие 兄《1, несмотря на его кажущуюся очевидность, может быть безоговорочно принято лишь при достаточно плавном изменении толщины смазочного ело斗 по координатам. Если же на смазываемой поверхности имеются участки, где толщина слоя резко меняется, то для каждого такого участка следует вместо параметра х ввести локальный параметр xz =用。/厶订 принимая за характерный продольный размер Lz протяженность i-ro участка в направлении наиболее быстрого изменения толщины слоя. Величина xz может быть сколь угодно большой, поэтому на указанных участках давление может ощутимо меняться поперек смазочного слоя. Отсюда, в частности, следует, что линии скачкообразного изменения толщины смазочного слоя следует рассматривать как особые линии в области интегрирования уравнения Рейнольдса, вблизи которых обычные приближения теории смазки несправедливы.
Второе допущение, сформулированное в начале параграфа, не опровергает того факта, что динамическая вязкость реальных смазок может зависеть от давления. Однако если такая зависимость имеет место и подлежит учету, то использование обычной гидрогазодинамической теории смазки является некорректным. В этом случае теория смазки должна опираться не на гидроаэродинамику, а на реологию, изучающую течения неньютоновских жидкостей, к числу которых относятся и смазки с вязкостью, зависящей от давления. Проблема разработки реологической теории смазки (Аппелдорн [46, т. 90, № 31) актуальна в первую очередь для жидкостных подшипников, поскольку при тех умеренных давлениях в смазочном слое, которые характерны для газовых опор, вязкость газов практически не зависит от давления [25].
Третье допущение (о ламинарности потока смазки) сейчас уже не является общепринятым. К середине 60-х годов были разработаны основы полуэмпирической теории турбулентной смазки [63], которая получила дальнейшее развитие в трудах симпозиума «Гидродинамическая смазка: турбулентность и родственные явления», состоявшегося в США в 1973 г. [46, т. 96, № 1 ].
5 В. Н. Дроздович 65
Принято считать, что турбулентный [)е*нм начинает развиваться при условии, что число Рейнольдса Re, для смазочного зазора равное pUh/卩 (где щ р, U, h0 — характерные значения динамической вязкости, плотности, продольной скорости и толщины зазора соответственно), превышает некоторое критическое значение Re* 〜0 (103). Основной предпосылкой возникновения турбулентности является нарушение гидродинамической устойчивости ламинарного потока [311. Условие перехода от ламинарного режима к турбулентному в Смазочном слое подшипника можно записать”в виде .
Rec = xRe = -^- > xRe* = Re：, (3.1) где Rec — «смазочное» число Рейнольдса, употребление которого в качестве характерного физического критерия подобия потоков жидкости и газа в тонких зазорах 仇《1) вместо обычного числа Рейнольдса Re является более оправданным 151 ]. Критическое значение «смазочного» числа Рейнольдса R% есть величина порядка единицы. Поскольку число Рейнольдса можно интерпретировать как отношение сил инерции потока к силам вязкости [311, то из условия (3.1) вытекает, что турбулентный поток не может быть безынерционным. Поэтому следует подвергнуть серьезному критическому анализу возможность применения к турбулентным потокам наиболее характерного физического допущения теории смазки о пренебрежимой малости влияния инерционных эффектов в смазочном слое (пятое допущение). Этот вопрос рассмотрен, в частности, в трудах вышеупомянутого симпозиума [46, т. 96, № 1 ]. Тем не менее инерционными эффектами чаще всего пренебрегают и в задачах турбулентной смазки. 、 、
Для газовых подшипников турбулентные режимы течения смазки представляются гораздо менее характерными, чем для гидродинамических подшипников. Есть основания сомневаться в том, что в газовом слое толщиной в несколько микрометров вообще может развиться турбулентный режим, так как нижняя граница масштабов турбулентности (определяемых длиной пути турбулентного перемешивания [311), которые могут иметь место в газовых потоках, вероятно, превышает толщину слоя. Во всяком случае, условия нарушения л^минарности газового потока в тонком'зазоре нельзя связывать только с величиной числа Рейнольдса, как это ^обычно делается; существенную роль ^десь, по-видимому, играет число Кнудсена.
Четвертое допущение (об изотермичности теплового режима в подшипниках) получило широкое распространение в силу того, что вопросы нагрева подшипников, особенно газовых, в которых перепады температур в смазочном слое обычно не превышают нескольких десятков"градусов [71 ], во многих случаях не представляют самостоятельного интереса. Гипотеза изотермичности намного упрощающая анализ, оказывается, как правило, прием 66
лемой в Тек задачах смазки, kotopbie не связаньт с йссЛеДоваййёМ тепловых процессов/ обеспечивая удовлетворительную точность расчета сил и моментов, создаваемых смазочным слоем. Следует, правда, оговорить, что для тех опор, смазываемые поверхности которых подвержены значительным тепловым деформациям, на справедливость предыдущего вывода можно рассчитывать лишь при условии, что эти деформации учтены в уравнении профиля толщины смазочного слоя.
Важным следствием гипотезы изотермичное™ является постоянство динамического коэффициента вязкости смазки, который для данного смазочного вещества, рассматриваемого, согласно второму допущению, как ньютоновская среда, может зависеть только от температуры. Это следствие иногда рассматривают как самостоятельное допущение, распространяя его на случаи неизотермических режимов течения смазки. При таком подходе изотермическое уравнение Рейнольдса, описывающее распределение давления в смазочном слое (см. следующий параграф), может быть легко распространено на любой баротропный режим, частными случаями которого являются адиабатический и политропический режимы [25].
Имеется значительное число работ по гидродинамической и газовой смазке, в которых тепловой режим не предполагается заранее заданным, вязкость рассматривается как функция температуры, а искомые распределения давлений и температур рассчитываются путем совместного интегрирования' уравнения Рейнольдса н уравнения теплового баланса. Однако работы, где неизотермическая задача смазки поставлена и решена вполне корректно, немногочисленны, среди них следует, в частности, отметить работу Л. Г. Степанянца [51 ].
Исследованию тепловых режимов гидродинамических подшипников с турбулентным смазочным слоем посвящены работы Хюбнера, Сафара, и Сери [46, т. 96, № 1 ].
Пятое допущение, которое постулирует возможность пренебречь влиянием инерционных эффектов в смазочном слое на характеристики подшипников, было бы неправильно связывать только с малостью числа Рейнольдса (пропорционального, как уже упоминалось, величине сил инерции потока), хотя условие Rec<^l, выполняющееся во многих реальных подшипниках, само по себе является достаточным основанием для проведения анализа без учета сил инерции смазки. Можно, однако, привести примеры вязких ламинарных потоков； в которых силы инерции тождественно обращаются в нуль при произвольных значениях числа Рейнольдса (течение Куэтта, течение Пуазейля [50]). Поэтому не должен вызывать удивления общий вывод, полученный многими исследователями с помощыоразличных методов [19; 25; 64], что прн стационарных ламинарных режимах течения с дозвуковой скоростью влиянием инерционных эффектов внутри смазочного слоя на характеристики гидродинамических и газовых подшип- 5* 67
ников можно пренебречь, по крайней мере, вплоть До значений .1 口询 у 1, сравнительно редко достигаемых на практике. Это J влияние наименее ощутимо в опорах с гладкой поверхностью; J вблизи ступенек или изломов реальные'давления в смазочном слое J могут заметно отличаться от давлений, определенных без учета ? сил инерции смазки, но все же эти отличия имеют, как правило, ? локальный характер и не вносят значительных изменений в основ- 彳 ные интегральные характеристики подшипника, например в не- j сущую способность.:
В сверхзвуковых газовых потоках смазки инерционные эффекты ; связаны с явлениями, до некоторой степени аналогичными стоячим ударным волнам — скачкам уплотнения [311, которые ока-- зывают вредное влияние на работу подшипника, снижая его несущую способность. Возникновение сверхзвуковых зон характерно, в первую очередь, для некоторых разновидностей опор с внешним наддувом (Харуо Мори [53, т. 83, № 2 ]).；
До сих пор речь шла о стационарных задачах смазки. К числу £ первых исследований, посвященных интегрированию нестацио- [ нарных уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости 扌 в смазочном слое с учетом сил инерции жидкости, относится ； работа А. Т. Полецкого ■ [42]. Аналогичная нестационарная задача для газового слоя решалась Г. А. Завьяловым, А. И. Сно-. повым и др. [4; 45, ч. 1; 47], причем в последней работе, наряду с инерционными, учтены и тепловые эффекты, а в других работах упомянутых авторов показано стабилизирующее влияние сил инерции емазки на динамическую устойчивость слабонагру- женных газовых подшипников. Однако в целом вопрос о степени и характере влияния инерционных эффектов в смазочном слое при нестационарных режимах работы подшипников мало изучен, и остается неясным, в каких случаях удержание инерционных членов в нестационарных уравнениях Навье——Стокса, применяе- - мых к тонким зазорам, является оправданным. Можно лишь утверждать, что инерционные эффекты в нестационарных задачах смазки играют тем меньшую роль, чем меньше число Рейнольдса, а также упомянутое в п. 2 число Струхала S = -而 (где Т ——характерный масштаб времени). Поэтому, хотя применение безынерционной модели смазочного слоя стало обычным как в стационарных, так -и в нестационарных задачах смазки, поскольку такая модель в большинстве случаев хорошо предсказывает действительное поведение подшипника, результаты ' теоретического анализа нестационарных режимов работы подшипника, полученные на основании классической теории смазки, следует все же подвергать особенно тщательной экспериментальной проверке. Естественно ожидать, что в турбулентном смазочном слое инерционные эффекты более ощутимы, чем в ламинарном, а турбулентные режимы, как уже упоминалось, не могут существовать при числах Рейнольдса, которые можно было бы считать
пренебрежимо малыми. Проблема у^ета сил инерции в задачах турбулентной смазки затронута в работах Константинеску, Смолли и др. [46, т. 96, № 1 ].
Несмотря на то что рассмотренные здесь допущения гидро- газодинамической теории смазки не являются бесспорными и подлежат дальнейшему критическому анализу, их совокупность оказывается разумным приближением к действительности в большинстве задач гидродинамической и газовой смазки, выдвигаемых современной инженерной практикой.
Основное уравнение газовой смазкив сферических координатах
микроканавками той илимикроканавками той илиРассмотрим газодинамическую опору, несущие поверхности которой имеют сферическую или почти сферическую форму. Будем считать, что малые отклонения от сферичности обусловлены искусственным профилем, например, иной конфигурации на поверхности подшипника или шипа. Они предназначены для создания эффекта «смазочного клина» при соосном положении шипа и подшипника, так как без этого невозможно обеспечить осевую жесткость смазочного слоя газодинамической опоры и устойчивость центрального положения шипа. Обычно сферический подшипник имеет несущую поверхность в • виде сферического пояса, который может быть ограничен, например, отверстиями для выхода—
микроканавками той или
микроканавками той или
вала.办/х4 一
На рис. 14 показаны три си- /
стемы координат, имеющие фик-Рис. 14
сированную ориентацию: две декартовые 0XYZ, О/1yl2力
соответствующие оси которых параллельны (первая из них связана - А->
с центром шипа, вторая—с центром подшипника, 0^0 = е — вектор смещения), и сферическая система г, 0, ср. Первые две предназначены для описания динамики подвижных элементов подшипникового узла, а последняя — для описания движения смазочной среды в тонком слое между несущими поверхностями сферической опоры.
Согласно изотермической теории газовой смазки мгновенное состояние смазочной среды в данной точке можно определить
четырьмя переменными: давлением р и тремя Составляющими век- / тора скорости газа vr, % %, которые связаны между собой сле
(3⑵(3.3)(3⑵(3.3)дующими уравнениями Рейнольдса [25; 311：
(3⑵
(3.3)
(3⑵
(3.3)
R sin ё 0屮 n0户'
Jдр 一 .. 02。0 .
絹=。；(3・4)；
dр .] a (叫).]0 (川8) .扌
' 我十 R sin ё 即 十R 0е 十:
+ 产券go 十噜，) =0.(3.5):
Здесь t — время; R — радиус шипа;卩 一 динамический коэффи-； циент вязкости. Эти уравнения являются частным следствием общих уравнений ламинарного движения вязкого газа (уравнений : Навье—Стокса), в которых согласно допущениям п. 9 отброшены инерционные члены, а также все члены порядка 0 也JR), где 3 -hQ —— характерная толщина смазочного слоя; в реальных газовых i подшипниках hJR 〜10-4. Границы области интегрирования системы уравнений (3.2)——(3.5) определяются границами несущих : поверхностей. В случае, когда несущая поверхность подшипника имеет вид сферического пояса, область интегрирования уравнений ； будет лежать между двумя параллелями, т. е. ei + ei《8《 < 02 + е2, где 0Т и 02 — углы, определяющие границы сферического пояса при е = 0; ех и е2 — малые вариации, обусловленные вектором смещения е, которыми следует пренебречь как величинами порядка 0 (耳/А).
Уравнения (3.2) и (3.3) проинтегрируем дважды по переменной г с учетом того, что согласно (3.4) давление не меняется поперек смазочного слоя,ка коэффициент 卩 принимается постоянным (см. п.9). При интегрировании используем характерные для сплошной среды условия прилипания газа к несущим поверхностям шипа и подшипника. В результате получим следующие выражения продольных составляющих скорости газа через давление 125; 311:
“ =-%r \ е 罂&—加)+ % (1 —Г);々 б、
% =聶黑® J 初)+ % (1 --‘
где 九=用(屮，0, /)——зазор между несущими поверхностями; у = г — R — радиальная координата сферической системы, отсчитываемая от поверхности шипа; %, /е—проекции вектора 70，
линейной скорости поверхности шипа. Этот вектор можно определить по формуле Эйлера, известной из курса теоретической механики:
+ (3・7)
Вектор угловой скорости шипа s относительно системы координат OXYZ можно представить в виде
(о = Qg。-f- 5, (3.8) где Q — угловая скорость собственного вращения ротора;(^\ — экваториальная составляющая вектора со, обусловленная угловыми колебаниями оси вращения. Направление этой оси определяется единичным вектором 事，который совпадает с осью Z при отсутствии колебаний (рис. 14).
В сферических подшипниках составляющая ⑴工 обычно весьма мала по сравнению с со и ее влияние на распределение давления в смазочном слое незначительно. Поэтому положим (ох ^ О, что приводит к следующим приближенным выражениям для искомых проекцией вектора V:
Vq ^0; 7ф«QR sinQ. • (3.9)
Основное уравнение теории газовой смазки в сферических координатах получается из уравнения сплошности (3.5) путем почленного интегрирования по координате г в пределах от 厂=R до г = R + 用 с учетом выражений (3.6) и граничных условий для поперечной скорости и~ которые следуют из того, что скорость газа^на твердой поверхности равна скорости самой поверхности. После соответствующих выкладок получим
" ^^ + 2R ；п е 击(厶叫-ёй^йГё) +
+ 2R \n e -^" [sme (九陷—"^"黑)]=。. (3」°)
Введем следующие обозначения: 6 — минимальный зазор между несущими поверхностями сферического шипа и подшипника при центральном положении шипа; Е — половина максимальной глубины мй^роканавок; ра — давление окружающей атмосферы; Р = р/ра — относительное давление в смазочном слое; Н — =относительный зазор. Используя (3.9) и умножая все члены уравнения (3.10) на надлежащий размерный множить, приведем основное уравнение газовой смазки, описывающее распределение давления в смазочном слое и обьшно называемое
уравнением Рейнольдса, к безразмерному виду
备("3尸黑)+ sin® 备(Sin9〃3p 黑)=
sin2 e ^^ + sin2 e 当嘗.(З.Н)
оа / и6 闷 R2
Здесь t =豆-方—безразмерное время; % =厂百十 Е戸一 определяющий критерий подобия газодинамических подшипников, который будем называть параметром сжимаемости, следуя принятой терминологии.
Полученное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка содержит три независимые переменные 0, ф, т.
Если уравнение (3.11) рассматривается изолированно от уравнений динамики опоры, то относительный зазор Н считается заданной функцией координат и времени. Чтобы определить вид этой функции, обратимся к рис. 15. Через R обозначен радиус- вектор произвольной точки Л на несущей поверхности шипа - S в системе координат OX YZ, связанной с центром шипа. Несущая поверхность подшипника S' пересекается с направлением 内 в точке Д' (ААГ =九)，радиус-вектор которой в системе координат OyXyY^Zx, связанной с центром подшипника, обозначен через Rl При наличии искусственного профиля, нанесенного на
неподвижную поверхность S', из рис. 15 непосредственно Следует векторное равенство
员(1+左)=他+6+九)普一託
где 用工 ——глубина искусственного профиля в точке /'• Почленное скалярное умножение на вектор R/R? приводит это равенство
1 + А = А+А±2и cos%1 + А = А+А±2и cos%(е, R)(е, R)克)через проекции тогда с учетом того,克)через проекции тогда с учетом того,к виду
1 + А = А+А±2и cos%
1 + А = А+А±2и cos%
(е, R)
(е, R)
克)через проекции тогда с учетом того,
克)через проекции тогда с учетом того,
Представим скалярное произведение (е, векторов на оси системы координат OX VZ, что
c°s X = 1 — 0 ()
из предыдущего равенства получается следующее приближенное выражение для толщины смазочного слоя:
九=6 + /ц ——ex cos ф sin 0 ——ey sin 屮 sin 9 ——ez cos0,
где 勿，Cy， ez — проекции вектора смещения е на соответствующие оси. Наконец, разделив все члены этого выражения на 6 + £, где Е = ^imax/2, получим искомую безразмерную функцию зазора
Н=1 — 8Х cos ф sin 0 — еу sin ф sin 0 —
—ez cos Q-^^u (0, ф).(3.12)
Здесь e = e/(6 + E) — относительный эксцентриситет шипа, который может зависеть от времени; п 口 Е/(6 丄 Е) — безразмерный параметр искусственного профиля; и (0, ф) — знакопеременная функция (——1 V 〃 V +1), определяющая форму профиля.
Таким образом, структура основного уравнения (3.11) полностью определена Оно является ключевым при решении задач газовой смазки. Проинтегрировав его при соответствующих граничных условиях, которые будут рассмотрены в п. 11, можно затем вычислить динамические реакции подшипника, и если это необходимо, с помощью соотношений (3.6) найти распределение скорости в смазочном слое, что, в свою очередь, позволяет рассчитать трение в подшипнике [31].
Основные типы граничных условийк уравнению Рейнольдса и способы постановкикраевых задач для сферического подшипника
Наиболее типичными граничными условиями к уравнению Рейнольдса (3.11), описывающему распределение давления в смазочном слое сферического подшипника, или к подобным уравне-
73
ниям для газовых подшипников иной геометрии (см. п. 12) являются： “
условие непрерывности решения вблизи внешнего контура смазочного слоя Г, которое имеет вид
Р/г= 1,(3.13)
если за масштаб давлений принято давление окружающей среды;
условие периодичности решения по одной из координат; например, для случая, когда функция распределения толщины смазочного слоя (方)в уравнении (3.11) является периодической по координате <р с периодом 2л, оно имеет вид
Р (屮，8,/)=/(о+2叫斗办(3.14)
Заметим, что непрерывность решения обеспечивается во всей области интегрирования, включая контур Г, если функция Н внутри области непрерывна или имеет конечные разрывы (то или другое, очевидно, всегда выполняется), а физические параметры подшипника —число сжимаемости % и число Струхала S в уравнении Рейнольдса —остаются ограниченными. В специальных случаях %—» 8 и S — 8 уравнение имеет бесконечно малый параметр при старших производных, порядок его понижается, что приводит к нарушению непрерывности давлений вблизи контура-Г или, по крайней мере, некоторых его участков, а также линий скачкообразного изменения толщины смазочного слоя (Диприма [46, т. 90, № 3], Константинеску [25] и др.).
В п. 9 уже указывалось, что если на смазываемой поверхности подшипника имеются ступеньки или изломы—линии, нарушающие непрерывность или гладкость функции распределения толщины смазочного слоя 忆 то их следует, строго говоря, рассматривать как особые линии в области интегрирования уравнения Рейнольдса, поскольку на них не выполняются некоторые основные допущения теории смазки; вблизи этих линий более правильно было бы применять общие уравнения Навье——Стокса. Поэтому наиболее корректным представляется такой подход к решению уравнения Рейнольдса, когда область интегрирования делится на ряд подобластей, внутри каждой из которых функция Н является непрерывной и гладкой, и решения, полученные для каждой подобласти, сращиваются на вышеупомянутых особых линиях. Если отвлечься от специальных случаев % 一 8 н S 一 8, то в качестве одного из условий сращивания решений на линии нарушения непрерывности или гладкости функции И следует принять условие непрерывности решения
Р- = Р+,(3.15)
где индексы минус и плюс соответствуют точкам, расположенным непосредственно перед и за линией сращивания.
Совокупность условий (3.13)—(3.15) недостаточна для однозначного определения искомого решения уравнения, Рейнольдса в каждой из рассматриваемых подобластей. Дополнительные условия можно установить, исходя из того, что уравнение Рейнольдса (3.11) физически является частным следствием закона сохранения массы. Оно связывает изменение массы газа в элементарном объеме hR2 sin 0d0d(p с массовым расходом через поверхность, ограничивающую этот объем. На вышеупом ян утых линиях сращивания^ где нарушаются основные допущения, использованные при выводе уравнения Рейнольдса, оно несправедливо, и здесь закон сохранения массы выражается в форме следующего условия баланса массовых расходов:*
пг = m+; т = pvnH.
где р — плотность газа； % 丁- осредненная по толщине смазочного слоя величина составляющей скорости газа, направленной вдоль поверхности слоя по нормали к линии сращивания. При постоянной температуре в смазочном слое (см. п. 9) из (3.15) следует, что р- = р+, и тогда условие баланса массовых расходов можно заменить условием баланса объемных расходов:
q;r = q扌；以= б/・(з」б)
Если же линия сращивания представляет собой излом (Н~ = "+), то получим простое условие непрерывности осредненной скорости потока смазки и/ =姑 Условие (3.16) применимо к газодинамическим опорам любой геометрии. Для сферического подшипника в случаях, когда линия сращивания направлена по меридиану или расположена параллельно плоскости экватора, соответственно будем иметь, используя выражения (3.6):
q(p Дъ 半 + %” sin 0;
q(3.17)
%〜一”3羽.
Только что описанный способ постановки краевых задач газовой смазки, связанный с- введением дополнительных условий сращивания (3.15), (3.16) на линиях, где терпят разрыв коэффициенты уравнения Рейнольдса или их производные по координатам, оказывается неудобным для практического использования при большом числе линий разрыва в области интегрирования, а также при их несовпадении с координатными линиями (вдоль которых обычно направлены границы области интегрирования). В подобных случаях, характерных для подшипников, профилированных спиральными канавками, более целесообразной может быть аппрокси-
мация действительного профиля толщины смазочного слоя Н некоторой функцией Н, непрерывной и гладкой во всей области интегрирования, тогда решение получается сразу для всей области с Помощью условий (3.13), (3.14). Примечательно, что если построить некоторую последовательность аппроксимирующих функций Н, имеющую своим пределом кусочно-непрерывную функцию ", то соответствующая последовательность решений уравнения Рейнольдса при % < оо, S < оо сходится именно к тому решению, которое получается упомянутым выше способом сращивания давлений и расходов на линиях разрыва функции // и ее производ
ных. Таким образом, лодтверждается, что конечные разрывы функции Н сами по себе не нарушают непрерывности эпюры давления. Учитывая это обстоятельство, а также имея в виду, что различия в давлениях, рассчитанных для тонкого слоя с помощью уравнения Рейнольдса и на основании более точных уравнений Навье—Стокса, локализуются вблизи ступенек и изломов , можно непосредственно искать единое решение уравнения Рейнольдса с кусочно-непрерывными коэффициентами, охватывающее всю область интегрирования, без выделения разрывов в качестве особых линий. Этот способ применяется довольно часто, и результат получается тот же, что и при использовании условий сращивания (3.15), (3.16). Однако гораздо удобнее иметь дело с непрерывными и дифференцируемьши функциями толщины слоя, с помощью которых можно аппроксимировать кусочно-непрерывную функцию и получить решение с любой желаемой степенью точности. Такие гладкие функции обычно и будут использоваться в дальнейшем.
В заключение рассмотрим два характерных примера конструкций сферических подшипников и сформулируем для них граничные условия к основному уравнению (3.11).
Вентилируемый подшипник (рис. 16, а) имеет несущую поверхность в виде сферического пояса 8】w В V 02, который сообщается с окружающей атмосферой как со стороны экватора, так и со стороны полюса. Часть несущей поверхности подшипника, расположенная между параллелями 0О и 02 (0О^ 0(), профилирована спиральными микроканавками или ступенями Рэлея. В последнем случае соседние секции ступенчатого профиля разделены глубокими вентиляционными канавками, направленными по меридиану. Рассматриваемым опорам соответствуют граничные условия:
•Р/е=ех = Р/е=% = 1；
Р(Ф，6,/) = Р(ф4-2л, 0,/);(3.18)
Р/ 2Л = 1, i =0,1,…，2—1,
где N ——число секций профиля Рэлея (шириной вентиляционной канавки, можно пренебречь по сравнению с протяженностью секции по углу ф). Последнее условие может относиться лишь к профилированному поясу 90 < 9 < 02. В пределах непрофилиро- ванной части несущей поверхности следует пользоваться вторым выражением (3.18).
Если несущая поверхность профилирована спиральными канавками, то она обычно состоит из двух поясов: профилиров анного (называемого иногда зоной нагнетания) и непрофилированного (называемого зоной утечки). Решение уравнения (3.11) можно искать отдельно для профилированного и непрофилированного поясов (хотя это не обязательно), тогда согласно (3.15), (3.17) задаются следующие дополнительные условия на их общей гра- 、 нице 0 = 00："
尸&з。"/2+。；("噹%=『。=(环釣о』#。.(3.]9)
Рассмотрим подшипник, не имеющий полюсного отверстия (рис. 16, 6), его профилированный пояс 8】V® V 9纟 через свою верхнюю границу сообщается с окружающей атмосферой, а нижней границей примыкает к закрытому объему 0 三 В W В^ Условия (3.18) остаются в силе, только первое из них относится лишь к сечению 0 — 02. Если толщины зазоров в областях 0^0 V % и 02 < 0 ^ 02 соизмеримы (закрытый объем можно рассматривать как часть смазочного слоя), то. к упомянутым условиям следует присоединить условие ограниченности решения на полюсе Р |е^о W W/ <8 (Л — некоторая положительная величина), которое в случае чисто осевой нагрузки заменяется условием
• 羽-0
Можно также задать дополнительные условия (3.19) в сечении 0 = б】. Если же толщина зазора в закрытом объеме много больше, чем в профилированной зоне, то во всем объеме, включая граничное сечение 0 = 8丄,давление близко к постоянной величине. Эта неизвестная константа может быть определена из условия сохранения массы газа в рассматриваемом объеме, которое представим в форме интегрального условия, выражающего равенство нулю массового расхода через сечение 0 = 8「
Учитывая (3.16) и (3.17), а также изотермическое соотношение р 〜", получим
[(風切0=%+。 d中〜j (环P黑)у8 0^T =。. о о 1
Поскольку уравнение Рейнольдса (3.11) нестационарно, то, помимо граничных условий, основные разновидности которых были рассмотрены выше, его решение в общем случае должно подчиняться и некоторым начальным условиям, описывающим распределение давления или других связанных с ним величин вдоль смазочного слоя в момент времени т = 0.
Краевые задачи газовой смазки для цилиндрического,плоского, кругового и конического подшипников
В гироскопах часто используются газоди нами чес кие опоры катушечного типа, образованные одним цилиндрическим радиальным подшипником и двумя плоскими упорными (рис. 17).
для цилиндрического подшипника. Чтобы получить основное уравнение типа (3.11) для цилиндрического подшипника, можно было бы првторить весь вывод'п. 10, записав исходные уравнения (3.2)—(3.5) в цилиндрических координатах. Однако тот же ре-для цилиндрического подшипника. Чтобы получить основное уравнение типа (3.11) для цилиндрического подшипника, можно было бы првторить весь вывод'п. 10, записав исходные уравнения (3.2)—(3.5) в цилиндрических координатах. Однако тот же ре-' Сформулируем краевую задачу газовой смазки
для цилиндрического подшипника. Чтобы получить основное уравнение типа (3.11) для цилиндрического подшипника, можно было бы првторить весь вывод'п. 10, записав исходные уравнения (3.2)—(3.5) в цилиндрических координатах. Однако тот же ре-
для цилиндрического подшипника. Чтобы получить основное уравнение типа (3.11) для цилиндрического подшипника, можно было бы првторить весь вывод'п. 10, записав исходные уравнения (3.2)—(3.5) в цилиндрических координатах. Однако тот же ре-
Рис и. зультат можно получить,
'исходя непосредственно из
уравнения (3.11).
Действительно, рассмотрим весьма узкий сферический поясок шириной L и радиусом R, расположенный симметрично относительно экватора Q = ~ в области 手专+ & (рис. 18). Очевидно, что при достаточно малом е такой поясок можно приближенно рассматривать как часть цилиндрической 78
поверхности. Из соотношения z R (-^6), справедливого при |z|《R, где z -^осевая координата, следует, что
&备；Sin9i
Учитывая эти j,，координате 己=2г/£ (j | v 1), а =2/?/厶 получим из (3.11)Учитывая эти j,，координате 己=2г/£ (j | v 1), а =2/?/厶 получим из (3.11)^（环囁卄噥（环噹）=х瓚2+嘿・綻。）^（环囁卄噥（环噹）=х瓚2+嘿・綻。）преобразования, переходя к безразмерной осевой ~I также вводя обозначение о =
Учитывая эти j,，
координате 己=2г/£ (j | v 1), а =2/?/厶 получим из (3.11)
Учитывая эти j,，
координате 己=2г/£ (j | v 1), а =2/?/厶 получим из (3.11)
^（环囁卄噥（环噹）=х瓚2+嘿・綻。）
^（环囁卄噥（环噹）=х瓚2+嘿・綻。）
Подробный вывод этого основного уравнения газовой смазки цилиндрического подшипника можно найти в [58; 25]. Уравнение для безразмерного, зазора " в случае чисто поступательных смещений вала может быть получено из уравнения (3.12), если положить в нем 6 =万;
Н = 1 — &xcos ф—еу sin 屮 十 n〃(g, ф).
(3.21)
Выражения для окружной и осевой составляющих скорости газа
в смазочном подшипникав смазочном подшипника(3.6):(3.6)::%=击需0一初).:%=击需0一初).слоа цилиндрического аналогичны формулам
в смазочном подшипника
в смазочном подшипника
(3.6):
(3.6):
:%=击需0一初).
:%=击需0一初).
Наиболее типичные граничные условия к уравнению (3.20) в соответствии с (3.13) и (3.14) запишутся в виде:
Р/匕==土 1 = L；Р/(р =尸/ ф-{*2л*
Для плоского кругового упорного подшипника основное уравнение в полярных координатах г, <р также получится из уравнения (3.11), есЛи рассмотреть последнее в окрестности одного из полюсов сферы радиуса 点(8 = 0 или.0 = л). Например, в окрестности точки 6 = 0 можно положить:-
3*； sme =呑
тогда из (3.11) следует、
氯环囁)+噜(次嚐)
(3.22)79(3.22)79产 / а(НР). д(нр)\
(3.22)
79
(3.22)
79
=若'l、Z —5^ ' дт~丿，
а ВЫ^а^е™е(3 ⑵ при осевых смещениях ротора принимаета ВЫ^а^е™е(3 ⑵ при осевых смещениях ротора принимает〃 =1 — 7 + W (г,叫.〃 =1 — 7 + W (г,叫.(3.23)(3.23)Заметим, что радиус R в уравнении (3.22) играет роль формаль' ного масштаба и может быть выбран произвольно (y/N не зав и" сит от R и, следовательно, фактически R не входит в уравнение).Граничные условия к уравнению (3.22) могут быть сформулированы по аналогии с соответствующими условиями для цилиндрического подшипника как частное следствие условий (3.13), (3.14).Заметим, что радиус R в уравнении (3.22) играет роль формаль' ного масштаба и может быть выбран произвольно (y/N не зав и" сит от R и, следовательно, фактически R не входит в уравнение).Граничные условия к уравнению (3.22) могут быть сформулированы по аналогии с соответствующими условиями для цилиндрического подшипника как частное следствие условий (3.13), (3.14).Рис. 19Рис. 19XXего длина в осевомего длина в осевомС помощьюС помощьюаналогичных приемованалогичных приемовможно получить уравнение Рейнольдса для конического подшипника. Будем рассматривать поверхность короткого конического под-можно получить уравнение Рейнольдса для конического подшипника. Будем рассматривать поверхность короткого конического под-шипника (рис. 19.) как положение поверхности кого пояска |0—90 | ^ sшипника (рис. 19.) как положение поверхности кого пояска |0—90 | ^ sё。=子_?,ё。=子_?,предельное сфер и чес- при е —> Определьное сфер и чес- при е —> О(3.24)(3.24)где у —угол полураствора конуса. Пусть R —радиус сферы; & 二 = R cos у ——средний радиус конического подшипника; L —длина подшипника по образующей; L工— направлении. Тогда, вводя обозначениегде у —угол полураствора конуса. Пусть R —радиус сферы; & 二 = R cos у ——средний радиус конического подшипника; L —длина подшипника по образующей; L工— направлении. Тогда, вводя обозначениео =о =竺_也 工一石，竺_也 工一石，(3.25)(3.25)
а ВЫ^а^е™е(3 ⑵ при осевых смещениях ротора принимает
а ВЫ^а^е™е(3 ⑵ при осевых смещениях ротора принимает
〃 =1 — 7 + W (г,叫.
〃 =1 — 7 + W (г,叫.
(3.23)
(3.23)
Заметим, что радиус R в уравнении (3.22) играет роль формаль' ного масштаба и может быть выбран произвольно (y/N не зав и" сит от R и, следовательно, фактически R не входит в уравнение).
Граничные условия к уравнению (3.22) могут быть сформулированы по аналогии с соответствующими условиями для цилиндрического подшипника как частное следствие условий (3.13), (3.14).
Заметим, что радиус R в уравнении (3.22) играет роль формаль' ного масштаба и может быть выбран произвольно (y/N не зав и" сит от R и, следовательно, фактически R не входит в уравнение).
Граничные условия к уравнению (3.22) могут быть сформулированы по аналогии с соответствующими условиями для цилиндрического подшипника как частное следствие условий (3.13), (3.14).
Рис. 19
Рис. 19
X
X
его длина в осевом
его длина в осевом
С помощью
С помощью
аналогичных приемов
аналогичных приемов
можно получить уравнение Рейнольдса для конического подшипника. Будем рассматривать поверхность короткого конического под-
можно получить уравнение Рейнольдса для конического подшипника. Будем рассматривать поверхность короткого конического под-
шипника (рис. 19.) как положение поверхности кого пояска |0—90 | ^ s
шипника (рис. 19.) как положение поверхности кого пояска |0—90 | ^ s
ё。=子_?,
ё。=子_?,
предельное сфер и чес- при е —> О
предельное сфер и чес- при е —> О
(3.24)
(3.24)
где у —угол полураствора конуса. Пусть R —радиус сферы; & 二 = R cos у ——средний радиус конического подшипника; L —длина подшипника по образующей; L工— направлении. Тогда, вводя обозначение
где у —угол полураствора конуса. Пусть R —радиус сферы; & 二 = R cos у ——средний радиус конического подшипника; L —длина подшипника по образующей; L工— направлении. Тогда, вводя обозначение
о =
о =
竺_也 工一石，
竺_也 工一石，
(3.25)
(3.25)
получим следующую связь между полярным углом 0 и линейной координатой с маштабом L/2, отсчитываемой вдоль образующей конуса от линии касания со сферой к его вершине (или, что то же самое, относительной осевой координатой С = 2”£。：
。=0о1- 9》1).。=0о1- 9》1).(3.26)(3.26)
。=0о1- 9》1).
。=0о1- 9》1).
(3.26)
(3.26)
Учитывая, что согласно (3.24) и (3.26)
诵 а — О 比；sin 0^ cos V — -^ Sin R
получим из (3.11) следующее уравнение:
^ ("叩器)+ 炉(cos 專 Sin Y)凱〃3(cos'
一專SE ?)噹卜回Y一| sEy『Ь曙+学斗
)C!< 1.(3.27)
При а —> оо уравнение (3,27) упрощается и принимает вид
以嚟+嗜1(3.28)
Граничные условия для конического подшипника аналогичны таковым для цилиндр и ческо го и сферического.
Выражение для безразмерного зазора Н между несущими поверхностями конического подшипника при поступательном смещении шипа получается из (3.12), если сделать замену:
• sin0 cos 7； cos0 « sin 7， которая следует из (3.24) и (3.26) при а оо,
Н = 1 ——(excos(p -f~ £у sin 屮)cos 7 ——EzSiny + 刀以信 屮).(3.29) Выражения (3.21), (3.23) и (3.29) справедливы лишь при отсутствии угловых перемещений оси вала относительно подшипников.
Заметим, что способ вывода уравнений (3.20), (3.22) и (3.27) как частных следствий уравнения (3.11) не позволяет обосновать области определения соответствующих дифференциальных операторов, так как в основе его лежит допущение。малой протяженности одной из криволинейных координат. Более полный и строгий вывод можно было бы получить, исходя йз уравнений движения газа в векторной форме (Пэн [53, т. 85, № 2; 75]).
Аналитическое представление толщинысмазочного слоя при угловых рассогласованияхосей шипа и подшипника'
Величина зазора между несущими поверхностями опор (за исключением сферических) зависит не только от поступательных перемещений шипа, но и от угловых перемещений его оси. При угловых перемещениях обычно возникает восстанавливающий момент реакции смазочного слоя.
8181Рассмотрим коническую опору (рис. 20), с которой свяжем три декартовые системы координат: OXYZ,龔联，O1X1Y1Zlt где О ——центр сферы радиуса 欠，касательной к несущей поверхности конического шипа в точках окружности, которая делит образующие пополам; 3 —центр сферы радиуса & > 瓦 аналогичным образом связанной с несущей поверхностью подшипника. Соответствующие оси систем OXYZ и O^^^Zj^ параллельны и их направления фиксированы, а ось £ системы。占刀已 направлена по оси вращения шипа. При совмещении центров О, О19 а также продольных осей шипа и подшипника все три системы координат совпадают, а функция распределения толщины смазочного слоя зависит только от профиля несущей поверхности подшипника (поверхность шипа считается строго конической и абсолютно гладкой). Изменение этой функции может быть обусловлено как поступательными
81
81
6 В. Н. Дроздович
перемещенйямй типа ех, Су, Cz, так и угловыми перемещениями оси ” которые будем характеризовать д/умя углами поворота аир относительно осей OV и О| соответственно (рис. 20, 6).
Условимся в дальнейшем рассматривать лишь малые смещения. Тогда зазор между несущими поверхностями можно представить в виде '
无=阮+ (A/i)n0CT + (А%)у「л + … (3.30) Здесь hQ =无。(<p, z)——зазор при несмещенном положении шипа; (А%)пост 存(А%)угл ——независимые вариации зазора, соответствую
щие поступательным (рассмотрены в п, 12) и угловым смещениям шипа относительно подшипника.
Учитывая только угловые смещения шипа, составим векторное уравнение (рис. 20, а)'
2 = 3 +孤(3.31)
где р и Pi —радиус-векторы точек' Л и 4, расположенных на поверхностях шипа и подшипника соответственно (ААГ = %); п — орт нормали к поверхности шипа. Выразим эти векторы через их составляющие по координатным осям, пометив орты осей индексом нуль:
= ^ + ^ +沃；p^x^^Y^Z^,(3.32)
今 -►今4
n = g° cos y cos 屮 + 唄 cos т sin 屮 + 扌° sin у. (3.33)
Угловая координата <р отсчитывается вдоль окружности шипа по оси J
Заметим/что при отсутствии поступательного смещения шипа нет необходимости делать различие между системами координат 82，
OXYZ и OiXi%Zi・ Тогда, рассматривая поворот оси шипа как ортогональное преобрЦование трехмерного векторного пространства и ограничиваясь лишь малыми углами поворота а, В (рис. 20, б), при которых cos а q co&Q r 1; sin a q a; sin P ^ P，представим уравнение (3.31) с учетом (3.32) и (3.33) в виде
0С»)0С»)+ h+ hcos у cos фcos у sin ф、siny ,cos у cos фcos у sin ф、siny ,(3.34)(3.34)
0С»)
0С»)
+ h
+ h
cos у cos фcos у sin ф、siny ,
cos у cos фcos у sin ф、siny ,
(3.34)
(3.34)
Согласно рис. 20, a:、
g = г cos q)f T] = r sin ф； ^ = c ——rctg% (3.35)
где a= R esc y.
Искомое выражение для h можно получить, подставляя X， К Z из (3.34) в следующее уравнение поверхности подшипника:
X2 + H = (ZT)Kg%(3.36)
Для определения (А/1)угл достаточно ограничиться уравнениями в вариациях. Варьируя уравнения (3.34) и (3.36) и отбрасывая малые члены, содержащие множители a (A/i)yrJ1, 0 (A/i)yrJ1, 九0Az, /ioa, /iop, получим: '
(3.37)(3.37)UX + nA^-(S-^)tg3YAZ；AX q 8 + (А/1)угЛсо$ у cos ф；AY r 酬 + (А/1)угл cos 7 sin <p；
(3.37)
(3.37)
AZ r — ga — i]P + (Ah)yr口 sin ”
Отсюда с учетом (3.35) находим выражение вариации зазора, обусловленной угловыми перемещениями шипа в коническом подшипнике,'
(Ah)yr门弋(产 sin у ——C cos у) (a cos q> -f~ P sin 屮)• (3.38)
Из (3.38) как частные случаи получаем вариации зазоров:
для цилиндрического подшипника (у 一 0)，
(A/i)ym q —Z (a cos ф + P sin <p);(3.39)
для плоского упорного подшипника (丫-一 弓
(3.40)(3.40)(А% R 广(a cos ф + P sin (p).
(3.40)
(3.40)
6*6*Формулы (3.38)——(3.40) позволяют най^и добавочные члены выражений (3.29), (3.21) и (3.23), которые определяют толщину смазочного слоя в опорах различной геометрии без учета перекоса осей шипа и подшипника.
6*
6*
83
14.14.К вопросу о выборе метода решения
14.
14.
краевых задач газовой сказки
Решение краевых задач газовой смазки связано со значительными трудностями, которые обусловлены, прежде всего, нелинейностью уравнения Рейнольдса. Наиболее высокая точность решения таких задач может быть получена численным интегрированием с помощью ЭВМ (см. п. 2), однако этот способ часто оказывается дорогостоящим для массовых расчетов и неудобным в инженерной практике.
Наряду с численными методами, к решению задач газовой смазки применяют приближенные аналитические методы, среди которых, выделяют метод возмущений и его модификацию (метод Р/f-линеаризации Османа [53, т. 83, № 2]).
Метод P/7-линеаризации привлекает к себе внимание благодаря его простоте и результативности. Сопоставление статических и динамических характеристик простого цилиндрического подшип- 'ника, рассчитанных на основании этого метода, с результатами других теоретических методов и с экспериментальными данными [25 ] дает хорошее качественное и вполне у до ветвор ительное количествежое совпадение.
В вышеупомянутой работе Османа метод Р/7-линеаризации не получил строгого обоснования. В работе П. П. Моеговенко [41 ] показано, что этот метод, который заключается в замене нелинейного уравнения Рейнольдса его упрощенной математической моделью——уравнением, линейным относительно функции 3 = 『Р〃, эквивалентен линеаризации уравнения Рейнольдса с помощью обычного метода малого параметра в первом приближении, если в этом уравнении предварительно перейти к новой искомой функции Т.
Метод Р//-линеаризации можно интерпретировать и с позиций функционального анализа. Для определенности рассмотрим уравнение Рейнольдса (3.20), соответствующее цилиндр и ческому под» шипнику; сделаем подстановку
Р =备，(3.41)
тогда уравнение (3.20) запишется в виде
/ф, Н) = [¥(^Я —WX +
+ о2 IT ^Н — T/Z015 — хТф — Ф = 0.(3.42)
Здесь и далее штрихи и подстрочные индексы ф,《обозначают частные производные по. соответствующим координатам, точка — производную по времени.
Уравнение (3.42) представляет собой квазилинейное уравнение параболического типа. Если его левую часть R (У, Н) рассматри 84
вать как функцию независимых переменных ф (ф, К т), то соотношение
R (Т, ") = 0(3.43)
можно трактовать как осуществляемое оператором R отображение банахова пространства функций {屮} X {H\t где Н——заданный, a 4f ——искомый элемент этого пространства； в другое банахово пространство {①} [24].
Применим к уравнению (3.42) обобщенный метод Ньютона — Канторовича [21, 24 ], согласно которому искомое решение аппроксимируется последовательностью функций:
出〃+1 =屮几—[R'CFe ")尸r(屮小 ")，(3.44)
где Rr (Tn, H)——сильная производная оператора R в точке Trt банахова пространства;[欠‘(屮'小 〃)尸一обратный оператор; n = 0, 1, 2, . . . Как показано в [24 ], процесс последовательных приближений, определяемый рекуррентной системой уравнений (3.44), может быть заменен другим, более удобным с вычислительной точки зрения
出"+1 = 里. 一 К'(屮。，'。)尸R (出"，")•(3.45)
Эта формула отличается от предыдущей тем, что на каждой итерации обратный оператор [R，(更⑺ Н^ ]~х определяется в одной и той же точке То банахова пространства при фиксированном значении Н =儿.
Примем в качестве исходной точки То — 1 при Н°= 1. В нашем случае оператор R (中,〃)имеет сильный дифференциал (дифференциал Фреше), который в рассматриваемой точке можно определить по формуле
R，(▽0, %)m = lim R(% +大"，犁一r(中。，"。)(3.46)
как операцию над элементом и банахова пространства, где 九 —— числовой параметр. Учитывая структуру оператора R в уравнении (3.42) и производя дифференцирование, получим
R (То, %)〃 =嶋屮+ 炉喩一％/"o〃j —良(3.47)
Положив далее в уравнении (3.45)孔=0; Wq = 1; Н° = 1 и применив к нему оператор (3.46), найдем
R' фо, "°)出I - R' (4% 〃。)(1) — R CF。，〃)「
Учитывая, что R (То, "о)(1) = 0, используя выражения (3.47) и (3.42) при То = 1
R(K, Н)^-(НГ^^Н^ получим
(用)/ + m (屮忌 一%(叫)$一 *=% + 。?"毎(3・48)
85
Таким образом, определение 1-го приближения по схеме модифицированного метода Ньютона——Канторовича сводится к решению линейного неоднородного дифференциального уравнения параболического типа (3.48) при соответствующих граничных и начальных условиях. Это уравнение и есть ^//-линеаризованное уравнение Рейнольдса, полученное впервые Османом.
Уравнения второго и последующих приближений могут быть найдены аналогично; так, во втором приближении будем иметь
(屮2)林 +。2(彩底一%(屮2为一中2 = H^ + ^-R^ ")•
(3.49)
Сходимость процесса последовательных приближений, описываемого уравнением (3.45), зависит от выбора начальных элемен- тов То, Во, а также от свойств функции Н (ср, J, т). Здесь сошлемся на теорему, которая приводится в монографии [24]. С незначи^ тельными изменениями в формулировке эта теорема действует и в данном случае.
Все вышеизложенное применимо также к основному уравнению газовой смазки в сферических, полярных, конических координатах; например, уравнение (3.11) для сферического подшипника подстановкой (3.41) приводится к виду
А (里 ”)•三[W ^H — W^ + sin 0 [sin Э. ^F (WeH — We)]e —
—% swe•屮；p—side •屮=o.(3.50)
В этом случае дифференциал Фреше (3.46) равен при 叫 = ="о = 1
R' (%, %)〃 = иффЦ-51П0(з1п0'ие)е — sin2 0 (%u^ Ц- u).
(3.51) Соответствующие Р//-линеаризованные уравнения 1 и 2-го приближений, аналогичные уравнениям (3.48) и (3.49), можно представить в виде:
^ (^о, H^^^Q^, 6, т);(3.52)
Rf (То, %)匕=Q (屮，В, т) — R (У。〃).(3.53)
Левые части уравнений (3.52) и (3.53) получаются из (3.51) заменой 以 на 屮】или 叭，функция R — из (§.50) (4r 一 ％), а функция Q равна
Q 〃％ + sin 0 (sin 0-//0)6 •
Сделаем теперь одно важное для дальнейшего анализа замечание, которое касается уточнения решения Р//-линеаризованной задачи. Хотя решение уравнения 1-го приближения (для Т\) может быть представлено в конечном виде, но оно получается довольно сложным, что затрудняет вычисление поправочного члена R (屮1, “) в правой части уравнения 2-го приближения, В связи с этим может оказаться более целесообразной коррективе'
ровка 1-го приближения с помощью аддитивной или какой-либо иной поправки, не противоречащей граничным условиям задачи.
Такая корректировка особенно проста, если задача стационарна (заданные и искомые функции не зависят от времени) и ее решение удовлетворяет условию периодичности по одной из координат, например условию (3.14). В частности, для цилиндрического подшипника стационарное решение 1-го приближения 4fl (<р, J), имеющее период 2л по координате $р, можно уточнить с помощью аддитивной поправки А (§
"『阴@0 + А©(3.54)
Подставляя Т2 вместо 屮2 в (3.49)； полагая там Ф2 = 0 и почленно интегрируя его по <р в пределах от 0 до 2л, получим:
2л
•^^-~^\ R(呼，〃)dq>.(3.55)
о
Подынтегральная функция в (3.55) вычисляется на основании решения ^工 стационарного уравнения 1-го приближения, которое получается из (3.48) при 明三 0.
Другой способ вычисления поправочного члена А (0 может быть основан на методе Галеркина—Канторовича [22], согласно которому дифференциальное уравнение для А получается' из условия ортогональности
j R(4\ + A, 〃)d<p = O.(3.56)
О
При корректировании нестационарных решений 1-го приближения необходимо учитывать зависимость поправки от времени. Если краевые условия по-прежнему допускают аддитивную поправку △ 怎 т) в виде (3.54), то вместо обыкновенного дифференциального уравнения (3.55) будем иметь уравнение в частных производных 2л
炉燄g一a=一击Jr (屮],")№(3.57)
о
правая часть которого — известная функция gut.
Метод Р/У-линеаризации дает возможность найти решение уравнения Рейнольдса, а вместе с ним и зависимости реакций газодинамических подшипников от смещений шипа в удобной аналитической форме, что значительно упрощает исследование динамики ротора (гл. V, VI). Однако ввиду нелинейного характера упомянутых зависимостей иногда целесообразно прибегать к их линеаризации, ограничиваясь случаем малых колебаний ротора, '87
что приводит к дальнейшим упрощениям ^//-линеаризованного уравнения Рейнольдса, которое в этом случае можно заменить уравнением в вариациях с последующим применением к нему преобразования Лапласа.
ГЛАВА IV
СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ
ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ ЗАДАЧИ ГАЗОВОЙ СМАЗКИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ ОПОР
В этой главе дается решение основных краевых задач газовой смазки для стационарных режимов ротора. Эти режимы возможны лишь при постоянных нагрузках и отсутствии дисбалансов и погрешностей форм несущих поверхностей ротора.
Решение краевых задач статики и определение основных статических характеристик подшипников производится на базе основного уравнения Рейнольдса методом, указанным в конце предыду- дущей главы. Как будет видно из дальнейшего, этот метод дает возможность рассмотреть с единой точки зрения подшипники с произвольным профилем на несущей поверхности, в том числе подшипники со спиральными или шевронными канавками. Существенно, что основные результаты для шевронных, или спиральных, подши пни ко в могут быть получены методов Р Я-линеаризации лишь во втором приближении. В работе Уилдмена и др. [46, т. 90, № 4; т. 91, № 1 ] показано, что РЯ-линеаризованное решение уравнения Рейнольдса в первом приближении не обнаруживает эффекта «поперечного» нагнетания , создаваемого спиральными канавками. Уточнение, которое получается в результате вычисления второго приближения, весьма существенно и для подшипников с простым периодическим профилем, частным случаем которых является цилиндрический подши пни к с гладкой втулкой или втулкой, профилированной системой осевых канавок.
В дальнейшем упомянутый метод решения краевых задач газовой смазки мы будем называть обобщенным методом РН-т- неаризации, подразумевая под этим метод РЯ-линеаризации Османа [54, т. 83, № 2; т. 85, №41, дополненный вторым приближением.
Решение стационарной задачидля гладкого цилиндрического подшипника
Впервые решение краевой задачи статики для цилиндрического подшипника с гладкой втулкой было получено С. А. Шейнбергом на основании численного уравнения Рейнольдса. Несколько позже та же задача была решена численным интегрированием уравнения Рейнольдса с помощью ЭВМ. В результате этих работ в настоящее время в теории газовой смазки имеются достаточно подробные таблицы для расчета основных статических характеристик цилиндрического подшипника. Несмотря на это, были
предприняты исследования уравнения Рейнольдса с целью получения аналитического решения краевой задачи статики. Дело в том, что при исследовании динамики ротора статические характеристики опор приходится использовать в качестве исходных данных, а использование этих данных в виде таблиц крайне затруднительно. Поэтому, например, в работе Г. А. Поспелова [44 ] при исследовании устойчивости ротора в цилиндрических подшипниках цифровые данные из работы [57] интерполируются с помощью тригонометрических полиномов. В связи с этим в данном параграфе приводится аналитическое решение упомянутой краевой задачи обобщенным методом РЯ-линеаризации.
Рассмотрим цилиндрический шип в цилиндрическом подшипнике, вращающийся вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью Q. Предположим, что ось шипа смещена относительно оси подшипника и остается параллельной последней. Положение шипа относительно подшипника определим вектором е (рис. 21). Предположим, что положение центра шипа О соответствует равновесию внешних нагрузок и реакций смазочного слоя. Тогда вектор смещения е можно считать постоянным. Для определения реакций смазочного слоя необходимо решить основное уравнение распределения давления (3.20) при соответствующих граничных условиях: 尸 k=±i — 1; 尸 |屮 = 尸卜+2 冗 (так как решается статическая задача, то нестационарный член д {НР)!^х отбрасывается). Преобразованное уравнение (3.20) с помощью подстановки (3.41) к виду (3.42), дает уравнение и граничные условия краевой задачи
статики для цил и ндр и ческо го подшипника в виде:
(4-2)89(4-2)89[Т ^Н — ^Н^ + о§ [Т ^Н—^Н'^~^ = 0;(4.1)
(4-2)
89
(4-2)
89
屮7g= ± 1 = 〃/g= ± 1；屮7屮=^Р/ф+гл)
где
2R°о и 77，. Хо2R°о и 77，. Хообозначения остальных величин, даны в гл. III.Для рассматриваемого здесьобозначения остальных величин, даны в гл. III.Для рассматриваемого здесь_ 6闺个
2R
°о и 77，. Хо
2R
°о и 77，. Хо
обозначения остальных величин, даны в гл. III.
Для рассматриваемого здесь
обозначения остальных величин, даны в гл. III.
Для рассматриваемого здесь
случая с целью упрощенияслучая с целью упрощениявходящих в уравнение (4.1),
случая с целью упрощения
случая с целью упрощения
выкладок положим ех = е0; £у = 0； % = е/6. Отбрасывая в (3.21) последний член, который для гладкого подшипника равен нулю, получим для функции зазора следующее выражение:
Я = 1 — е0 cos (р. .(4.3)
Применим к решению (4.1), (4.2) обобщенный метод Р//-линеаризации (см. гл： III). Согласно (3.48) уравнение (4.1) в 1-м приближении будет иметь вид
(用G +就(用沧-加(用)j = %1P+就仇，丨MV1. ' (4.4)
Делая подстановку
W^H + Y,(4.5)
приведем краевую задачу 1-го приближения к однородным граничным условиям:
Y"vv + ^-^ = ^H^(4.6)
Нс=± 1 = °； Н<₽ = ^1ф4- 2л = 0.(4.7)
С целью сокращения выкладок решение (4.6), (4.7) будем проводить в комплексной форме. Для этого рассмотрим следующую краевую задачу:
一％林+0務气一%)弘;=如附;；(4.8)
%心=士i = °；田 q>=歹 q)+2n,(4.9)
где Ж ——комплексная функция зазора,
匏=1 —%е—佗(4.10)
Нетрудно заметить, что, решив (4.8), (4.9), найдем решение и для
Г-Rej^}.(4.11)
Решение краевой задачи (4.8), (4.9) ищем в виде
勿士 eJ(G)cT叱(4.12)
Подставляя (4.12) в (4.8) и учитывая условия (4.9), придем к уравнению для функции / @“
0旷一 (1-m济=%, f(± 1) = 0.(4.13)
Решени^ этого уравнения может быть записано в таком виде: 回一务需，(4」4)
где 9о = —К 1 —兀•-
90'
Заметим, что уравнение (4.13) эквивалентно системе двух вещественных уравнений с двумя неизвестными функциями, а его решение (4.14) представляет собой комплекснозначную функцию, вещественная и мнимая части которой суть решения эквивалентной системы дифференциальных уравнений с вещественными коэффициентами. Таким образом, мы получили решение Р//-линеаризованного уравнения (4.4) в квадратурах.
Действительно, "подставляя f (0 из (4.14) в (4.12) и отделяя вещественную часть согласно (4.11), получим из (4*5) искомое решение '
.，里二 "+%Re{_品[1—黯]小屮(4.15)
Решение (4.15) соответствует решению Османа, которое отличается от него только по форме [53, т. 83, № 2; т. 85, № 4 L Сравнение этого решения с решениями других авторов проводилось Константинеску [25]. Эго сравнение показало, что решение 1-го приближения по методу РЯ-линеаризации вполне удовлетворительно, а при введении поправочного коэффициента дает хорошую количественную оценку.
Для уточнения решения (4.15) подставим 4fl из (4.15) в уравнение аддитивной поправки (3.55). Подстановка дает
2л2л
仅6 = 一言 j [%(%E-用所)Kd(p = _ ^J (屮出底加.(4.16) оо
При преобразованиях здесь учитывалось, что все функции периодичны по 屮，а "2 三 0. Учитывая далее, что аддитивная поправка А (《)должна обращаться в нуль при .^ = ±1, и интегрируя (4.16) по С, получим
一 2Л
А (С)=—負]屮彳"d(p + } (1 十 ■叫 (4.17) о
или
V2л
А (9 = — J [1 —60cos(p + ^-е0&т<₽ + f*eW)]2 X
О
"小+%"小+%X (1——80COS (р) d(p, где
"小+%
"小+%
加 Г [ — chgK 1 .
1 十》%o- ch %「
Вычисляя интегралы, получим выражение
(4.18)(4.18)' A(Q = ^[Re{/(Q}-±|f(g ：2].
(4.18)
(4.18)
Решение 2-го приближения запишется так:
匕=% + А © =〃 + £。Re 厅 @ e—呼 +
(4.19)
При больших числах сжимаемости %。можно получить оценку точности этого решения из сравнения с точным предельным решением
屮 8 = limW = ]/1 +等密屮 8 = limW = ]/1 +等密(4.20)(4.20)
屮 8 = limW = ]/1 +等密
屮 8 = limW = ]/1 +等密
(4.20)
(4.20)
Переходя к пределу при х°—~ +оо в (4.19) и учитывая, что limf @ = 1, будем иметь
屮28 - lira 出2= 1 +4-喘屮28 - lira 出2= 1 +4-喘(4.21)(4.21)(4.22)(4.22)加令+ 8
屮28 - lira 出2= 1 +4-喘
屮28 - lira 出2= 1 +4-喘
(4.21)
(4.21)
(4.22)
(4.22)
Учитывая, что
J^ ] + 年 嗡 =1 Н1- £о^- £§ + .…, получим оценку погрешности в предельном случае
I 屮2оо —屮8 I，
ГМ < 32/ТТТ忘Г，
в частности, при £ < 0,5
0,015,
а при e0 < 0,8
[Кб 8|
Как будет видно из дальнейшего, обобщенный метод РН-ли- неаризации достаточно чувствителен и дает возможность исследовать эффекты второго порядка, которые оказывают определяющее влияние на работу подшипников со спиральными канавками.
Статическая реакция цилиндрического подшипника с гладкой втулкой
На базе полученного решения (4.19) можно вычислить все статические характеристики подшипника: несущую способность, жесткость, момент сопротивления и т. д. Здесь мы ограничимся вычислением главного вектора сил давления, действующих на шип со стороны смазочной пленки. Если пренебречь тангенциаль- 92
сравнению с нормальными силами даВЛё- будут определять статическую реакцию вектор сил давления вычисляется по
йымй силамй 勺ренн夕 по ния, то последние и подшипника. Главный следующей формуле:йымй силамй 勺ренн夕 по ния, то последние и подшипника. Главный следующей формуле:3 =丸 + % = —%R 勺 j j (Р — 1)陋四必(4-23)
йымй силамй 勺ренн夕 по ния, то последние и подшипника. Главный следующей формуле:
йымй силамй 勺ренн夕 по ния, то последние и подшипника. Главный следующей формуле:
(s)
Интегрирование в (4.23) проводится по всей поверхности шипа
S : 0 ф 2л;白 V L
Учитывая, что
и принимая во внимание решение (4.19), получими принимая во внимание решение (4.19), получим尸1尸1PaRLPaRL1 2ло о12Л1 2ло о12Л~-Н~-Нcos 2tpcos 2tpо оо оЯЯ1 41 42л2л12лоО12лоОdtpdtp12nd(p + e0 j Re{/} d^ j 若？d@ —12nd(p + e0 j Re{/} d^ j 若？d@ —о2ло2лоо%］財F题j ^%］財F题j ^ооооdtp .dtp .(4.24)(4.24)p_i ―屮一н
и принимая во внимание решение (4.19), получим
и принимая во внимание решение (4.19), получим
尸1
尸1
PaRL
PaRL
1 2л
о о
12Л
1 2л
о о
12Л
~-Н
~-Н
cos 2tp
cos 2tp
о о
о о
Я
Я
1 4
1 4
2л
2л
12л
оО
12л
оО
dtp
dtp
12n
d(p + e0 j Re{/} d^ j 若？d@ —
12n
d(p + e0 j Re{/} d^ j 若？d@ —
о
2л
о
2л
о
о
%］財F题j ^
%］財F题j ^
о
о
о
о
dtp .
dtp .
(4.24)
(4.24)
ch减ch^~ch减ch^~d窗 ?=/+ 阻 J*=4—®d窗 ?=/+ 阻 J*=4—®
ch减ch^~
ch减ch^~
d窗 ?=/+ 阻 J*=4—®
d窗 ?=/+ 阻 J*=4—®
Введем обозначения:
о
1о1［产第о，1〃汗盟=о1о1［产第о，1〃汗盟=о左)(%0- ‘)夕1十烂一"左)(%0- ‘)夕1十烂一"%0 (笈+ ')，*.1十圖-，%0 (笈+ ')，*.1十圖-，1十需1十需G+*b)・G+*b)・(4-25)(4-25)Подставляя (4.25) в (4.24) и вычисляя прочие интегралы (см. приложение 1), после простых преобразований получимПодставляя (4.25) в (4.24) и вычисляя прочие интегралы (см. приложение 1), после простых преобразований получим&&2Л802Л80PaRL/1 — 8g (1 + Kl —闘)PaRL/1 — 8g (1 + Kl —闘)協4十工用1 + Хо協4十工用1 + Хо4一曲В 笈才斗百4一曲В 笈才斗百(1十告醋一(4.26)(1十告醋一(4.26)Учитывая выражения (4.14), будем иметь:
1
о
1
［产第
о，
1
〃汗盟=
о
1
о
1
［产第
о，
1
〃汗盟=
о
左)(%0- ‘)夕1十烂一"
左)(%0- ‘)夕1十烂一"
%0 (笈+ ')，*.
1十圖-，
%0 (笈+ ')，*.
1十圖-，
1十需
1十需
G+*b)・
G+*b)・
(4-25)
(4-25)
Подставляя (4.25) в (4.24) и вычисляя прочие интегралы (см. приложение 1), после простых преобразований получим
Подставляя (4.25) в (4.24) и вычисляя прочие интегралы (см. приложение 1), после простых преобразований получим
&
&
2Л80
2Л80
PaRL/1 — 8g (1 + Kl —闘)
PaRL/1 — 8g (1 + Kl —闘)
協4十工用
1 + Хо
協4十工用
1 + Хо
4一曲В 笈才斗百
4一曲В 笈才斗百
(1十告醋一
(4.26)
(1十告醋一
(4.26)
.где / = Re(JJ; X = im 储J；力=1一
VO
Полученная формула дает аналитическое представление главного вектора сил давления, действующих со стороны смазочной пленки на шип. Формула позволяет рассчитать как несущую способность цилиндрического подшипника, так и угол нагрузки. Несущая способность определяется модулем, а угол нагрузки-—— аргументом комплексного,выражения (4.26). При расчете по формуле (4.26) возникают лишь некоторые трудности, связанные с вычислением величин Д и В, которые зависят от двух параметров подшипника а0 и %。； эти трудности легко устранить табулированием функции % =内(а0, %0) (см. приложение 2).
Сопоставление результатов расчета несущей способности и угла нагрузки по этой формуле показывает хорошее совпадение с результатами в работе [57 ] (см. приложение 3),
Решение краевой задачи статикидля цилиндрического подшипника с шевроннымиканавкам% имеющими синусоидальный профиль
Как известно, цилиндрические подшипники с гладкой поверхностью при малых радиальных нагрузках не обеспечивают достаточного запаса устойчивости [58]. В связи с этим, в машинах малой мощности, а также при вертикальном положении вала применяются профилированные подшипники. В настоящее время 'все более широкое применение находят подшипники со спиральными канавками. Первая теоретическая разработка упорного подшипника со спиральными канавками была опубликована Уипплом в 1949 г. Методика, предложенная Уипплом, применяется для расчета и радиальных подшипников с шевронными канавками, имеющими прямоугольный профиль. В более поздней работе Вора и Чау дается теория идеализированных подшипников со спиральными канавками произвольной геометрии. В этой работе, а также в ряде других решение аадачи не является равномерно точным для всех значений параметра сжимаемости и пригодно лишь для достаточно малых значений этого параметра. Этот вопрос подробно анализировался в работах Уилдмена [46, т. 90, № 4], Константинеску и Кастелли [46, т. 91, № 1 ].
В данном параграфе мы рассмотрим краевую задачу статики для цилиндрического подшипника с шевронными канавками при нулевом эксцентриситете (е = 0), что соответствует случаю, когда подшипник свободен от нагрузки. Постановка задачи остается такой же, что и для гладкого подшипника (см. п. 15).
На рис. 22 изображена опора длиной А: а ——с шевронными канавками (厶工= L); 6 ——с частичным профилированием (厶1 < V L); в — выбор начала координат. В этом случае функция 94
зазора
"н 1 — т)cos 仇屮 + PC)»(4.27)
где 卩=posign W(po = const); “ =君十公—относительная ампли- туда изменения глубины канавки; В。= —- n tg об—коэффи- циент, характеризующий наклон канавок; п——число канавок; сс — угол наклона канавок к образующей; Е—амплитуда профиля синусоидальных канавок, равная половине их глубины;
%/万 £ —относительная координата, отсчитываемая вдоль образующей шипа от средней линии ^ = 0. . Учитывая сим
метрию, будем решать краевую задачу, выраженную урав- ненйями (4.1), (4.2), для одной половины подшипника (0 冬吕 V W 1). В этом случае граничные условия (4.2) можно заменить такими:'
вk=Н = %=+"а1k = 0；、中|中=中|叶2冗:
Второе условие не относится к специальному случаю, когда профилированные зоны смыкаются в точке С = 0 (рис. 22, а). В формуле (4.27) следует положить 卩=р0. Применяя обобщенный метод Р//-линеаризации, решим задачу в первом приближении. Опуская промежуточные рассуждения и выкладки, которые будут такими же, как и в л. 15, сформулируем задачу 1-го приближения в комплексной форме. Для этого определим комплексный зазор, соответствующий формуле (4.27):
箔=1—芈tr(4.28)
где①=也中+仪，，
Краевая задача, соответствующая (4.8), (4.9), с учетом новых граничных условий, преобразуется к виду:
獨)中+幽缀—如招=^陈一吗(4.29)
第心=i = 0； Ж^ (^=о — 0;爺|中=第|叶2П.(4.30)
(4.31)95(4.31)95Решение уравнения (4.29) будем искать в форме.
(4.31)
95
(4.31)
95
侬1 =若"@味’吗
Подставляя (4.31) в (4.29) и учитывая (4.30), получим одномерную краевую задачу для 九(？：
J2阿；,一+电 号；]
(仇力/丿
加(0)=0；%(+1) = 0，
где
。=*；
Эта линейная задача может быть решена в конечном виде
九隽)=备(L6。书三/—1卜 (4・33) где
产=-不产 + 险 &, 2 = ± q + фо-
В отличие от подшипника с гладкой втулкой, в случае шевронного профиля решение 1-го приближения (4.33) получается довольно сложным, поэтому в следующем параграфе мы займемся анализом уравнения (4.32) другим способом.
Заметим, что для цилиндрического подшипника с синусоидальным профилем при нулевом угле наклона (а = 0) из (4.33) получается решение вида (4.14)
%@ = _各(1-時). (4.34)
Рассмотрим теперь 2-е приближение. Для вычисления поправки снова обращаемся к уравнению (3.55). В данном случае Н^大0 и уравнение (3.55) будет иметь вид
2л
Ак = - 4^ j t(Tf//)S - ^^ ^Ф.(4.35)
О
Граничные условия для A (G) должны быть нулевыми, так как решение первого приближения Тх удовлетворяет граничным условиям точно. Для области | 白 | V 1 имеем
/Г(0)= А(+1)= 0.-(4.36)
Интегрируя (4.35) два раза, получим
2л£ 2л
A@ =-亲j屮出西+言К"用线dq)+浓+ "О
После нахождения произвольных постоянных' это выражение примет вид
2лС 2л
А© = 4 J (Я3-ВДИф + ^ [ dg J 屮册两.(4.37)
О1 о ,
Учитывая (4.28), сделаем замену переменной интегрирования по формулам:，
屮=；(s —関)；— В "^7 ； dtp — ~-.(4.38)
В результате получаем:
2л1 2л
A(O = WJ伊 3一臂")如-曾 Jd]叫明ds, (4.39) оС О
где /7 = 1 —т] cos ①；①=几屮 + М; О <С W v L
При W = 0 следует полагать 0 = 0, тогда выражение (4.39) будет справедливо в замкнутом промежутке 0 w J v L Эта особенность объясняется тем, что функция зазора Н терпит разрыв 1-го рода в точке* С = 0.
Для того чтобы вычислить поправку А (С) окончательно, необходимо подставить в (4.39) решение 1-го приближения %, которое согласно (4.33) имеет выражение,
^^Н^^^^^},'(4.40)
отсюда можно получить
照=} [4 + d(I +疗厂的+ d (1 +攝2产8 +
+ 4т](1 +/„) e—w + 仙(1 + 店产 + 2d I 1 + 巾.(4.41)
Здесь fn —сопряженная комплексная функция. Подставляя это выражение в (4.39) и вычисляя интегралы, получим
A@ =瞋便{%}一；1加2)-等阮)皿解女，(4.42)
где р = р0 > 0 при 0<С^1ир = 0 при W = 0.
Первое слагаемое в полученном выражении соответствует поправке к решению в случае подшипника с гладкой втулкой, но отличным от нуля эксцентриситетом (см. 4.18), а второе слагаемое характеризует эффект поперечного нагнетания.
Полное решение во втором приближении запишется в виде % = % + △©= 1 —T]coss + riRe{〃(《)e—叫 +
+ 唄(Re {fn (0J-4-I 九 © 户)一等削2 j Im {九 ©}也
B = Bo； 0VWV1； Ov(pv2m(4.43)
В этом решении co = n(p + PC, a fn (W) определяется выражением (4.33). Напомним, что здесь мы получили решение для случая несмещенного шипа, когда е = 0, однако оно позволяет вычислить важнейшие статические и динамические характери-
7 В. Н, Дроздович97
стики —статическую и《вихревую》жесткость подшипника (см. гл. V). Кроме того, полученное решение пригодно для исследования упорного кольцевого подшипника с шевронными канавками, точнее, его модели в виде прямолинейной полосы бесконечной длины. Такой моделью пользовался Уилдмен [46, т. 90, № 4] при исследовании упорного подшипника с шевронными канавками.
Можно показать, что все результаты этой работы вытекают из данного решения.
Качественное исследование упорного подшипникас шевронными канавками
Рассмотрим модель упорного подшипника, образованную разверткой концентрически расположенных несущих поверхностей радиального подшипника. На рис. 23 показаны упорный кольцевой подшипник с шевронными канавками и его модель: а ——упорный диск; 6 —• развертка диска в полосу (вид'сверху); в — продоль-
Рис. 23
ный разрез полосы подшипника. Для этой модели будут справедливы все результаты, полученные в предыдущем параграфе, если мы потребуем, чтобы скорость скольжения верхней полосы с гладкой поверхностью была равна окружной скорости шипа V = QR. В этой модели угол 屮 будет играть роль безразмерной координаты, а радиус R ——роль единицы масштаба.
Результирующая сила давления смазочного слоя на верхнюю пластину длиной 2nR = 2лгв и шириной 厶 =、—— 勺 может быть вычислена по следующей формуле:
(S)
= -£г I〕｝"-") d(P 関，(4.44)
(S)
где Т2 можно взять из (4.43); область интегрирования S заключена в пределах: —lv^w+1； 0v 屮 V 2n.
Расчет несущей способности по формуле (4.44) целесообразно делать на ЭВМ, несмотря на то что все интегралы вычисляются 98
В конечном виде. Именно этим путем производилось исследование упорного подшипника Уилдменом на базе решения уравнения Рейнольдса методом малого параметра [46, т. 90, №4].
Для качественного исследования удобно, по крайней мере на первом этапе, иметь аналитические представления основных характеристик подшипника. Для того чтобы найти аналитическое представление несущей способности и жесткости упорного подшипника желательно прежде всего, упростить выражение (4.33) для функции /л (С). Такое упрощение может быть получено путем разложения функции /л (J) в ряд по собственным функциям оператора дифференциального уравнения (4.32).
Рассмотрим для этого следующую вспомогательную краевую задачу типа Штурма—Лиувилля:
生(①)=①正一2用0①£ 一产①①；]
①工一2 = 6什2,)(4.45)
где 卩——произвольная константа.
1 i （2Л）匕1 i （2Л）匕叫=2叫=2(4.46)(4.46)Cootветствующие краевой задаче (4.45) собственные функции и собственные числа будут таковы:
1 i （2Л）匕
1 i （2Л）匕
叫=2
叫=2
(4.46)
(4.46)
Собственные функции ①先(《)удовлетворякл следующим условиям ортогональности:
(6, Ф；)三 f 6①；女=[1 "PH ' = j； (4.47) [ о при /.
Зпесь ①/ (С)——сопряженная комплексная функция по отношению к①々(С).
Принимая собственные функции (4.46) в качестве координат- ннх, представим искомое решение уравнения (4.32) в виде суммы ряда
九 @ = 2 а,(①/ + Ф/-1)*(4.48)
Легко видеть, что каждый /-й член этой суммы удовлетворяет граничным условиям: ^ = 0;《= +1.
Подставляя (4.48) в (4.32) и учитывая (4.45), получим в силу линейности оператора、
+ со
纪％ @三£% (生①j +生①三
三£叫m圈+ %03)=亲・
Умножая почленно последнее ураййенйе на Ф* и интегрируя
в пределах от —1 до +1, получим в силу условия ортогональности
(4.47)откуда найдем ai =(4.47)откуда найдем ai =^i^i,①;)=*(1,①力
(4.47)
откуда найдем ai =
(4.47)
откуда найдем ai =
(4.49)(4.49)_国土1尸 ,23
(4.49)
(4.49)
曰⑵—1)W，А 3 4，
Подставляя эти коэффициенты в (4.48), найдем искомое аналитическое представление функции 九(? в виде суммы ряда Фурье 〃 © =鑫 £ W^ 8s 曰⑵一1"・(4.50) Здесь
Вычисляя интегралы,Вычисляя интегралы,получим:получим:
Вычисляя интегралы,
Вычисляя интегралы,
получим:
получим:
Сумма ряда (4.50) сходится абсолютно и непрерывно при всех значениях параметров. Быстрота сходимости зависит от величин параметров: при малых % = 笈/冷 сходимость лучше, чем при больших.
Не останавливаясь на анализе распределения давления, что можно было бы сделать исходя из (4.44) и (4.50), перейдем к вопросу о влиянии числа канавок п, угла наклона а и других параметров канавок на несущую способность упорного подшипника. Для вычисления несущей способности упорного подшипника с шевронными канавками согласно (4.43) и (4.44) будем иметь
1 2л Г
00 L
+ * (Re ｛加一％")— 翡 J Im ｛加對 他 (4.51)
1+8"=j對"〃©% = о г'1+8"=j對"〃©% = о г'гг因⑵一1)2 +8 у 几202乙 /=1因⑵一1)2 +8 у 几202乙 /=11 了1 2(-1)/-「而⑵二л(2/-1)1 了1 2(-1)/-「而⑵二л(2/-1)内=『%『*=粽£内=『%『*=粽£m『⑵一1)m『⑵一1)где Н = L ——n cos со, а /л определяется формулой (4.50).
1+8
"=j對"〃©% = о г'
1+8
"=j對"〃©% = о г'
г
г
因⑵一1)2 +8 у 几202乙 /=1
因⑵一1)2 +8 у 几202乙 /=1
1 了1 2(-1)/-「
而⑵二л(2/-1)
1 了1 2(-1)/-「
而⑵二л(2/-1)
内=『%『*=粽£
内=『%『*=粽£
m『⑵一1)
m『⑵一1)
Для йсследоьаййя влияний отдельных параметров подшипника на несущую способность его рассмотрим асимптотические свойства интегралов J；, о72 и d73. Прежде всего обратим внимание ла собственные числа М/. Внося о2 под знак суммы, мы получим в знаменателях. отдельных слагаемых множители с^ и ^^. Преобразуем эти множители следующим образом:
Учитывая выражения для ^о и Ро, найдем, что
炉出=-1 -[?⑵—1)0- tga『+ /%.(4.52)‘
Величины он% убывают с увеличением п обратно пропорционально числу канавок, в то же время величина o2ptz- остается ограниченной при фиксированном /. В пределе при 九 一 +сю будем иметь
凿 у&. = — — tl а二一费.(4.53)
Очевидно, что это верно лишь для конечных значений /, у。， о。，а > 0.
Возвращаясь к (4.50), заметим, что в силу (4.53) имеет место асимптотическое представление
-+8
必2‘％ c°s& а 々 £ -(17~Т cos 专⑵一1) 3
Существенно, что предельное выражение, аналогичное (4.53), можно получить и другим путем, не связывая его с числом канавок п,
Ит^И/ = — 1—tg2a + iX= -^l^+ix.(4.54)
Зто выражение, как и (4.53), может быть определено лишь при ограниченных /, но при любых %. Уменьшение параметра о возможно не только за счет увеличения числа канавок, но и за счет уменьшения геометрического параметра о = D/Lt т. е. за счет увеличения поперечного размера полосы, что эквивалентно вслу- чае цилиндрического подшипника увеличению его длины 厶. Далее, заметим, что ряды, с помощью которых представляются интегралы /工，/ 窑，/才，一быстро сходящиеся.-
При достаточно малых о будем иметь приближенные выражения Для интегралов:
—роз
%-^SW 2 w^u _ (一尸Si吟⑵一)小
?2 ^?2 ^一8iy cos a 十 ] I _ 2 (一 1尸】л2 (1 ——/%cos2a) 乙 (2/—I)2 冗⑵一1)
?2 ^
?2 ^
7 〜8y2 8S& а у ] ■ a、О歹3^而干3c2cos4码乙⑵—1)2, a〉u.
Суммируя ряды, получим при о т 0 асимптотические значения интегралов в виде:
o7i^o7i^—z% cos2 a—z% cos2 a1 — t%cos2a—iy cos2 a1 — t%cos2a—iy cos2 a(D；(D；2 (1 — z%cos2a) '2 (1 — z%cos2a) '(4.55)(4.55)d7产d7产%2 cos4 a%2 cos4 a1 + у2 cos4 a1 + у2 cos4 a,a>0.,a>0.
o7i^
o7i^
—z% cos2 a
—z% cos2 a
1 — t%cos2a
—iy cos2 a
1 — t%cos2a
—iy cos2 a
(D；
(D；
2 (1 — z%cos2a) '
2 (1 — z%cos2a) '
(4.55)
(4.55)
d7产
d7产
%2 cos4 a
%2 cos4 a
1 + у2 cos4 a
1 + у2 cos4 a
,a>0.
,a>0.
Рассмотрим теперь асимптотическую несущую способность. Для этого найдем из (4.55) следующие интегралы:
J Re ｛加配=Re ｛с/山=。=岸黑，一； О
у cos2 a1 十 у2 cos4 aу cos2 a1 十 у2 cos4 a1
у cos2 a
1 十 у2 cos4 a
у cos2 a
1 十 у2 cos4 a
J Im ｛加 d^ = Im ｛/止=o — о
у cos® a
Подставляя эти интегралы в (4.51), получим асимптотическое выражение несущей способности упорного подшипника
nDLpanDLpadcodco1%2 cos4 a f cos(o dw (T4- %2 cos4 a J 1 — n cos(0 十1%2 cos4 a f cos(o dw (T4- %2 cos4 a J 1 — n cos(0 十2лI 3 n 产 cos4a f 丁 4 1 十 у? cos4 a J2лI 3 n 产 cos4a f 丁 4 1 十 у? cos4 a J2лf dw2лf dw.ЗВ у COS3 a — I — T] cos w 十-F П 1 十 ％2 cds4 a 丿匸 n cosw.ЗВ у COS3 a — I — T] cos w 十-F П 1 十 ％2 cds4 a 丿匸 n cosw
nDLpa
nDLpa
dco
dco
1
%2 cos4 a f cos(o dw (T4- %2 cos4 a J 1 — n cos(0 十
1
%2 cos4 a f cos(o dw (T4- %2 cos4 a J 1 — n cos(0 十
2л
I 3 n 产 cos4a f 丁 4 1 十 у? cos4 a J
2л
I 3 n 产 cos4a f 丁 4 1 十 у? cos4 a J
2л
f dw
2л
f dw
.ЗВ у COS3 a — I — T] cos w 十-F П 1 十 ％2 cds4 a 丿匸 n cosw
.ЗВ у COS3 a — I — T] cos w 十-F П 1 十 ％2 cds4 a 丿匸 n cosw
О = *《tg a; a〉0.
Вычисление оставшихся интегралов не представляет труда и окончательно получим丨
尸 — Зт)2 十 4(1 — /Г—*) x2cos4a —
^ПЕ^ =4/Т^^ I + x2 cos4 a —
(4.56)(4.56)3 刀2 % sin 2a
(4.56)
(4.56)
百 /1 — ^ 0- (1 + x2 со^аУ
Напомним смысл величин, входящих в эту формулу. Левая часть выражает удельную статическую реакцию подшипника, приходящуюся на единицу площади и отнесенную к атмосферному давлению ра. Площадь модели упорного подшипника равновелика площади поверхности радиального подшипника радиуса R и длины 厶.В правую часть (4.56) входят геометрические параметры 刀，о, а н так называемое число сжимаемости %, зависящее от геометрических параметров подшипника и физического состояния смазочной среды. В этом случае
(4-57)(4-57)6pVR
(4-57)
(4-57)
= Ра(6 + Е)2 •
Перейдем к анализу формулы (4.56). Прежде всего из нее вытекают все результаты работы Уилдмена [46, т. 90, № 4].Перейдем к анализу формулы (4.56). Прежде всего из нее вытекают все результаты работы Уилдмена [46, т. 90, № 4].Рис. 24Рис. 24
Перейдем к анализу формулы (4.56). Прежде всего из нее вытекают все результаты работы Уилдмена [46, т. 90, № 4].
Перейдем к анализу формулы (4.56). Прежде всего из нее вытекают все результаты работы Уилдмена [46, т. 90, № 4].
Рис. 24
Рис. 24
В этой работе данная задача решалась методом малого параметра в предположении, что 刀 《 L В результате расчетов на ЭВМ были построены графики зависимости несущей способности от числа сжимаемости при различных значениях геометрического параметра т]《1・
Для того чтобы привести формулу (4.56) в соответствие с графиками работы Уилдмена [46, т. 90, №4], показанными на рис. 24, необходимо в ней произвести упрощение, основанное надопущении, что 刀《1. В результате упрощения получится формула, которая в наших обозначениях имеет вид
尸 〜色 У2 cos4 a , 3_ у sE 2a 伍取、 YnQLpa ~ 4 1 %2 cos4 a 丁 8 a (1 %2 cos4 a)' ('丿
Положив в (4.58) % = оЛа； о = о*/2л (где о* в работе Уилдмена есть отношение длины канавки к ее ширине, Ла названо числом подшипника, вычисленным по его ширине, обозначенной через а), можно убедиться, что результаты расчета, проведенные
для а = 50° и о* = 0,5, соответствуют графику Уилдмена (кривая § на рис. 24). На рис. 24 обозначено пунктиром решение Уиппла, сплошной линией ——решение Уилдмена для различных значений 1/о*: / —0,01; 2 —0,2; 3 —0,5; 4 — 1,0.
Формула (4.56) дает более общий результат, так как она справедлива во всем диапазоне изменения числа сжимаемости % при любых а, удовлетворяющих условию tga > о. Кроме того, при %~ +сю из (4.56) получается более точное значение несущей способности.
Из формулы (4.56) вытекает, что в подшипнике с шевронными канавками при a > 0 имеет место эффект поперечного нагнетания. Этот эффект выражается вторым членом, который при определенных условиях значительно превосходит первый, выражающий обычный продольный эффект смазочного клина. Поперечный эффект нагнетания при прочих равных условиях тем больше, чем больше ширина полосы и число канавок /г, т. е. чем меньше о = aQ/n.
Как показано в работе Уилдмена, при достаточно малых у и о, продольным эффектом можно пренебречь. В этом случае формула (4.56) упрощается и принимает вид
(4.59)(4.59)F3 炉 % sin 2a
(4.59)
(4.59)
nDLpa§" Ji 一 j a (1 + %2 cos^a)
На основании (4.59) можно установить, что для постоянных п и а максимальный поперечный эффект достигается при %m = 1/cos2 a. Подставляя это значение в (4.59), получим:
^DLpa 8 j/"i —“а % .片^DLpa 8 j/"i —“а % .片(4.60)(4.60)
^DLpa 8 j/"i —“а % .片
^DLpa 8 j/"i —“а % .片
(4.60)
(4.60)
При %《%m = 1/cos2 a эффект увеличивается монотонно, приблизительно пропорционально увеличению % = %0//г.
Произведем оценку максимальной удельной несущей способности, когда /г = 8; a = 45°; о。= 0,5; п = 0,6.
■Подставляя эти значения в (4.60), получим
尸max2-3*0,62-8 —9 7
RDLpa 8/1 — 0,62
Соответствующее число сжимаемости, при котором достигается максимум, будет равно:
%° — cos2 a%° — cos2 a81公=市=16; % =81公=市=16; % =
%° — cos2 a
%° — cos2 a
81公
=市=16; % =
81公
=市=16; % =
Вычислим теперь первый член в (4.56)$ выражающий продольный эффект,
3・0,62 + 4(1 — /Цб2)4・о,25〜° 29
4j/TZT^1 + 4-0,25 〜，'
Таким образом, Даже при сравнительно малом числе канавок (〃 =8), поперечный эффект превосходит продольный и составляет около 89% от полной несущей способности..
При больших значениях п вклад поперечного эффекта в общую несущую способность будет еще больше превосходить соответствующий вклад продольного эффекта, если параметр % не слишком велик. На этом Свойстве шевронных спиральных подшипников основана теория узких канавок, разработанная в своем первоначальном виде Уипплом [56], в которой предполагается, что при большом числе канавок можно не учитывать продольный эффект. Согласно этой теории несущая способность монотонно возрастает с увеличением числа сжимаемости, в действительности это имеет место лишь при достаточно малых значениях числа сжимаемости. Из (4,59) видно, что верхняя граница применимости теории узких канавок определяется максимум F (%) и при этом %。 должно удовлетворять требованию
ь <^-' (4.61)
В действительности это условие должно выполняться с некоторым запасом, так как вблизи точки максимума несущей способности погрешность теории Уиппла будет значительной (рис. 24).
На основании вышеизложенного можно сделать следующие пр едвар ител ьные выводы.
Подшипники с шевронными или спиральными канавками характеризуются эффектом поперечного нагнетания, который исчезает при нулевом угле наклона канавок (а = 0).-
При большом числе канавок п, когда о = и'п《tg а, распределение давления в подшипнике приближается к асимптотическому, которому отвечает решение краевой задачи при п —» +оо.
Это асимптотическое решение может быть найдено из (4.43) в результате предельного перехода. Действительно, из (4.43) имеем
Р— 1 三=普{/尸з—cos 硏+咨(Re {/„}—
1
—Г \ fn I2) ~ 嗡"『J Im {加哀・ (4.62)
Из (4.50), учитывая (4.53) при п +сю и у"% = const, получим асимптотическое выражение
/п (0i 8s2 а.(4.63)
Подставляя это выражение в (4.62), получим асимптотическое выражение для давления, которое с точностью до членов О (刀？)
105
запишется так:
Р— 1 〜3貌•(] —。sin 2a —武 T]2Xo cos2a —
^- nXo cos2 a sin(о (1 + t]8S(o), (4.64)
где з =九① + ВС； О V у V 2n; О V 白 V L
Из этого выражения можно видеть, что распределение давления по длине имеет периодическую составляющую, первая гармоника которой сдвинута по фазе относительно функции зазора на четверть периода, достигает максимума в конфузорной^а минимума в диффузорной области смазочного слоя. Асимптотические эпюры давления вдоль образующих профиля (s = const) имеют прямолинейный характер. По мере увеличения числа канавок переменная составляющая убывает, но интегральное действие всех канавок сохраняется, о чем свидетельствует первый член (4.64), отражающий эффект поперечного нагнетания.
Асимптотическое решение (4.64) носит осциллирующий (колебательный) характер, при п —> +сю частота осцилляций будет бесконечно большой.
Влияние шевронных канавокна жесткость радиального подшипника
В общем случае жесткость радиального подшипника может быть определена с помощью матрицы четырех вещественных коэф
фициентов. Матрица устанавливает взаимосвязь между приращением А? главного вектора сил давления и приращением Ае век
тора смещения. Коэффициенты этой матрицы определяются на основании решения краевой задачи газовой смазки путем вычисле
ния главного вектора. 、
Будем определять жесткость подшипника в центральном положении шипа, предполагая число канавок п большим. Для этого вычислим реакцию смазочной пленки радиального подшипника с канавками при малом смещении центра шипа вдоль оси ОХ (см. рис. 21), Эта реакция может быть вычислена так же, как и для гладкого подшипника. Предполагая, что эксцентриситет £ мал, варьируем уравнение (4*23) и, учитывая, что
Р + АР = ：Й^；厶「=<■—徐 А"，(465)
представим удельную реакцию подшипника в следующем виде:
£г=~4Ш卷-青(4.66)
(s)
где 尸1 =尸自 + if ——комплексная сила реакции; HQ = 1 —
—p cos(o —безразмерный зазор при центральном положении
шипа; ЛЯ = —8 cos ф — вариация зазора, обусловленная малым смещением шипа £； АУ —статическое решение краевой задачи (4.6) для гладкого подшипника при малом смещении шипа; YQ —— статическое решение краевой задачи для центрального положения шипа с учетом наличия канавок. При интегрировании первого члена в. правой части (4.66) можно воспользоваться результатами п. 15. Подставляя в первый член вместо АУ величину 4% ——Н, из (4.19) получим
、1 2л
G-T仃强Ed3 - № f吗空3四师 (s)О О
где①=冷屮+ В£
Далее, учитывая (4.24) и (4.25), получим при /г 3
12л
G1= —Г ,~^—二私.(4.67) 2 JJ 1 — 11 COS <0 p 1 —[ + 爲、丿
о о
Для интегрирования второго члена в правой части (4.66) воспользуемся решением (4.43). Из (4.43) для YQ получаем выражение
几三 Ч%-% = т] Re ｛雇(0 e—心｝十 Л ©(4.68)
Подставляя это выражение в (4.66), получим
2л
& = 一 * J喝纥2У© №(4.69)
Это уравнение аналогиедо выражению (4.51) и отличается от последнего только коэффициентом и степенью в знаменателе подынтегральной функции. Примем далее, что выполняется условие о《tg а, которое было принято в п. 18. Обращаясь сразу к формуле (4.56), вытекающей из (4.51), и заменяя в интегралах (1 —л cos(о) на (1 —т] cos ①尸，получим искомый результат
2л
%2 СО$4 0c Г COS (0 如 丄1 + %2 cos4 a J (1 —笃 cos ①)2 十
I 3 n 严cos4a4 ' 1 + X2 cos4aI 3 n 严cos4a4 ' 1 + X2 cos4a2лJ (1 — T] cos©)22лJ (1 — T] cos©)22a
I 3 n 严cos4a4 ' 1 + X2 cos4a
I 3 n 严cos4a4 ' 1 + X2 cos4a
2л
J (1 — T] cos©)2
2л
J (1 — T] cos©)2
3 6n ycosZa fd①
4 " 1 + %2 C0S4 a J (1 — n COS ①)2
(4.70)
Этот результат справедлив при o《tga (см. п. 18). Суммируя (4.67) и (4.70), получим правую часть (4.66). После деления на 8 ° приведения подобных членов, получим для удельной жесткости
'107
подшипника следующую формулу:
++ЛТ)2ЛТ)2&= 我夕(观;%)嫦一，Х0 ,电PaRL — pl — d 1 + zg 十( 7%2 cos4 a 丄 3% sin 2а&= 我夕(观;%)嫦一，Х0 ,电PaRL — pl — d 1 + zg 十( 7%2 cos4 a 丄 3% sin 2а4(1 —I)2) pl —1]2 \ 1 + 炉 cos4 а ' 2а 1 + %2 cos' а4(1 —I)2) pl —1]2 \ 1 + 炉 cos4 а ' 2а 1 + %2 cos' а)• (4.71))• (4.71)
+
+
ЛТ)2
ЛТ)2
&= 我夕(观;%)嫦一，Х0 ,
电PaRL — pl — d 1 + zg 十
( 7%2 cos4 a 丄 3% sin 2а
&= 我夕(观;%)嫦一，Х0 ,
电PaRL — pl — d 1 + zg 十
( 7%2 cos4 a 丄 3% sin 2а
4(1 —I)2) pl —1]2 \ 1 + 炉 cos4 а ' 2а 1 + %2 cos' а
4(1 —I)2) pl —1]2 \ 1 + 炉 cos4 а ' 2а 1 + %2 cos' а
)• (4.71)
)• (4.71)
Все обозначения здесь те же, что и в предыдущих параграфах. Первый член правой части представляет собой коэффициент жесткости цилиндрического подшипника при малых смещениях. Этот коэффициент может быть вычислен по формулам пп. 15, 16, в которых Хо определяется по формуле (4.57).
Первый член (4.71) может быть вычислен и с помощью численных данных С. А. Штейнберга [57]. Второй и третий члены отражают влияние канавок, так как видно, что ,при т] —» 0 эти члены исчезают. Существенно, что так же, как и для упорного подшипника (п. 18), второй член отражает эффект продольного нагнетания, а третий — поперечного. Выведенная формула пригодна, когда о < tg а, т. е. в случае большого числа канавок или длинного подшипника.
Проверка показала, что формула (4.71) при % т+сю дает результат, который отличается от точного в членах четвертого порядка относительно Т). Предельное значение FJ^RLp，полученное на основании точного решения, равно
+ у П2
一 Х.+ 0 (в”(4.72)
•&R缈+8 (! — n2)Kl — П2丿
Приближенное выражение получается предельным переходом
-Q ——+ о (е2).(4.73)
eRLpa (1— d)/】一炉 I
Сравним результаты вычисления по формуле (4.71) с результатами вычисления по теории Вора и Чау [54, т. 87, № 3]. В этой работе приводится пример расчета радиальной жесткости шевронного подшипника в асимптотическом случае большого числа канавок прямоугольной формы. Ширина канавки и выступа, принята одинаковой, отношение максимальной величины зазора к минимальной равно 2,1, относительная длина L/D = 1, угол наклона канавок к образующей равен 57,2°.
Произведем рабчет радиальной жесткости подшипника с указанными выше параметрами по формуле (4.71). Предполагаем, что прямоугольный профиль заменен синусоидальным, причем так, что глубина канавок остается той же. В наших обозначениях параметры подшипника, эквивалентного рассмотренному в работе 108 .
Вора и Чау, следующие: а = 57,2° —yrojj наклона канавок; о。= 1 —геометрический пар аметр; п = 研R = 0,36 — относительная величина амплитуды изменения зазора.
Результаты вычисления радиальной жесткости по формуле (4.71) показаны крестиками на рис. 25, где приводятся также данные расчета по методике Вора и Чау (точки). По оси абсцисс отложено число сжимаемости а по оси орди- нат ——радиальная жесткость, которая определена по формуле
I FI cos Ф&LDpaI FI cos Ф&LDpa2 J/" 1 —唄2 J/" 1 —唄f %?-«%«„ 1( Зат Y%°sin2a f %?-«%«„ 1( Зат Y%°sin2a
I FI cos Ф&LDpa
I FI cos Ф&LDpa
2 J/" 1 —唄
2 J/" 1 —唄
f %?-«%«„ 1( Зат Y%°sin2a
f %?-«%«„ 1( Зат Y%°sin2a
где ①=arg F. При вычислении по этой формуле значе-炉《 ння? (% о, о。) в^яты из при-' ложения 2.
Как видно из рисунка,. совпадение получилось хоро- 4/ шим, несмотря на то, что расчет производился для слу-裔 чая синусоидального профи- ля. Такое хорошее совпадение ' мы должны рассматривать, по-видимому, как результат рада упрощений, приня- о тых в работе Вора и Чау. Кривая, рассчитанная по (4.71), имеет максимум, кото
рый на рис. 25 не обнаруживается, так как достигается при большом значении
А^ Q (1 — n)2 cos® а ・ *
Например, при /г = 18 получим для рассматриваемого случая 0,29^0,4 ^150-
Асимптотическое решение краевой задачи статикидля подшипника с шевронными канавкамипроизвольного профиля
Результаты, полученные для подшипников с синусоидальным профилем могут быть распространены на подшипники с произвольным периодическим профилем, описываемым дифференцируемой функциейЪазора. Более того, если функция зазора представляется быстро сходящимся рядом Фурье, то достаточно ограничиться учетом только первой гармоники этого ряда. На практике при-
109
ходится иметь дело с подшипниками, имеющими канавки прямо- угольного сечения. В этом случае функция зазора имеет разрывы непрерывности 1-го рода и разлагается в ряд Фурье, сходящийся медленно. Учет только первой гармоники здесь может оказаться слишком грубым приближением.
Для оценки этого приближения можно было бы учесть при разложении функции зазора в ряд Фурье несколько членов с тем, чтобы оценить вклад каждой гармоники в полученном решении. Этот вопрос требует специального рассмотрения, и мы его оставим в стороне. Рассмотрим асимптотическое решение, соответствующее большому числу канавок /г другим методом, отличным от обобщенного метода ^//-линеаризации. Метод, которым мы будем пользоваться, не требует разложения функции зазора в ряд Фурье и применим к шевронным и спиральным подшипникам с любым профилем поперечного сечения канавок.
Рассмотрим краевую задачу газовой смазки или н^лНндриче- скоцо подшипника с шевронными канавками при нулевом эксцентриситете. Постановка этой задачи дана в пп. 17, 18, но на этот раз me будем исходить из уравнения Рейнольдса в форме (3.20), которое перепишем, обозначая производные штрихами и подстрочными индексами,
(НЗРР&% + 说(环 Р/诙=加(HP) j・(4.74)
Граничные условия для рассматриваемого случая будут иметь вид:
P/g±i = 1； Р/ф = Р/ф+2冗.(4.75)
Функция зазора для шевронного подшипника определяется с помощью выражения
"=1+巾(硯・(4.76)
'1, 0<У1；
где(о — /г(р ~р р^； § =0, 白=0;
—1, —10・
Смысл всех обозначений остается прежним. Дополнительного пояснения требует лишь сложная функция и (со), характеризую、 Щая форму профиля. Функция и (<о) предполагается периодической с периодом 2л. Ее аргумент, в свою очередь, является кусочнолинейной функцией координат ср н £ Таким образом, эта функция дифференцируема почти всюду, за исключением точек разрыва 1~г0 рода. Для профиля в виде прямоугольной волны функция
и ®) = sign (cos s)・(4.77)
Следует заметить, что существование решения уравнения (4.74) с граничными условиями (4.75) при разрывных коэффициентах проблематично. Для того чтобы не заниматься этой проблемой, предположим, что функция зазора Н = Н (з) непрерывна и дифференцируема требуемое число раз, а по форме близка к реальной. n0，
разрывной функцией (4.77) мы будем пользоваться лишь на конечном этапе при вычислении интегралов.
Основываясь на результатах исследования, проведенного в п. 18 для шевронного подшипника с синусоидальным профилем, предположим, что и в данном случае существует некоторое асимптотическое решение, к которому приближается истинное решение при уменьшении параметра о = о0//г.
Для нахождения этого решения преобразуем уравнение Рейнольдса (4.74), граничные условия (4.75) к новым независимым переменным(о, v с помощью следующих соотношений:
(4.78)(4.78)(0 =也中+优；
(4.78)
(4.78)
В результате преобразования получим следующую краевую задачу: (Я3РР«)о + о2 \[Н3Р (卩凡 + &)]耶 +【”叩(рР« + &)]彳-
__|о_0(ЯР)о = 0.(4.79)
Здесь 0 ——величина постоянная в каждом из частичных интервалов [см. (4.76)], § = tga/o； Н = Н (з) — периодическая функция (о с периодом 2л; Р (з」у)——периодическое по(о решение уравнения (4.79).
Решение уравнения (4.79) должно удовлетворять следующим граничным условиям:
'P/* = ±i = l； Р& = Р®+2т(4.80)
Имея в виду симметрию шевронного подшипника,, решение краевой задачи можно искать лишь для одной его половины 0 v W V L Предположим, что при достаточно малом ° = о。/% решение может быть представлено в виде ряда
pМ尸。+02 +022+(4.81)
в котором Ро, Р1, . . .—суть функции координат(о, V. Подставляя (4.81) в (4.79) и приравнивая нулю члены при одинаковых степенях малого параметра о (начиная с нулевой), получим уравнения для определения функций Ро, /\, . . : Первое такое уравнение будет со дер жать только функцию Ро
,1 (H^PQP^ = 0.(4.82)
Общий интеграл этого уравнения
网=e)篇+&，(4.83)
о
где Ci и С2 — произвольные функции одной координаты v. Учитывая, что по условиям задачи решение должно быть 2л-периоди-
III
ческим по переменной со, тогда как интеграл в (4.83) не является : периодической функцией, необходимо положить С\ = 0, тогда R
РА® = 0； Ри = Ро(V).(4.84) j
Такмм образом, первый член суммы ряда (4.81) должен Выть 1 функцией только координаты v.?
Второе уравнение получается приравниванием нулю членов первой степени относительно о. В исходном уравнении (4.79) ， после подстановки разложения (4.81), учитывая (4.84), получим .& 乃 результате простых выкладок следующее уравнение:+
(1 + tg2a) (HsP\^a + tga(№)^PJv ='Я«,(4.85)：
которое устанавливает связь между двумя|неизвестными функциями 7 PQ(V)и Р* (①，V), причем вторая функция зависит уже от двух ; координат.I
Заметим, что граничные условия (4.80) не позволяют опреде- Я лить вид функции1 Ро, поэтому используем дополнительное услр- : вие, которое получим, интегрируя уравнение Рейнольдса (4.74) ； по <р в пределах от 0 до 2л. В результате интегрирования полу- чим для симметричного подшипника с шевронными канавками 騎 2Л2л弓
J (№P2)£d(p —3j Я2Я^Ч<р = С1.(4.86)
' 0°I
Действительно, если функция Н дифференцируема всюду, то % в точке ^ = 0 должно выполняться условие "£ = 0. Тогда, Т полагая в (4.86) ^ = 0, учитывая симметрию решения н Р£ = 0,；
получим в левой части (4.86) нуль.
В случае, когда функция Я(^) непрерывна, но ее производная|
имеет разрыв в точке 扌=0, производная может быть доопреде-§
лена так, чтобы "£ = 0. В этом случае снова, в силу симметрииf
Р£ = 0 при С = 0. Таким образом, для симметричного подшип-?
ника уравнение (4.86) запишется в виде|
2л2Л
[(环Р2)*(р —З]环瓦R.d<p = 0, 0《У1,(4.87)1
0.0
PoPovPoPov"2%Pi d①="2%Pi d①=(4.88)(4.88)так как достаточно рассмотреть только одну половину симметричного подшипника (0 V 4 V 1). Подставляя в (4.86) решение в форме ряда (4.81) и удерживая только те члены, которые не зависят от малого параметра и, а также учитывая формулы преобразования (4.78), получим
PoPov
PoPov
"2%Pi d①=
"2%Pi d①=
(4.88)
(4.88)
- Итак, получены два уравнения (4.85) и (4.88) с двумя неизвестными функциями Р()и Ри образующие замкнутую систему. П2
Решение этой системы для симметричного шевронного подшипника можно получить в квадратурах, так как при этом С\ = 0 и в уравнении (4.88) множитель Ро можно сократить. Интегрируя уравнение (4.85) один раз по со, получим
(4.89)(4.89)P® ="器把一% sin a cos a * 先.
(4.89)
(4.89)
Постоянная интегрирования D может быть найдена из условияпериодичности функции Рг (①，v). Интегрируя (4.89) п。①-делах от 0 до 2л, получим уравнение для определения D 2л2rt0 = ^- cos2 a J ^2nPov sin а cos а 十 D JПостоянная интегрирования D может быть найдена из условияпериодичности функции Рг (①，v). Интегрируя (4.89) п。①-делах от 0 до 2л, получим уравнение для определения D 2л2rt0 = ^- cos2 a J ^2nPov sin а cos а 十 D Jв пре-в пре-d①Н'd①Н'(4.90)(4.90)отсюда найдемD =отсюда найдемD =—PAvSin 2а—榦-cos2 а,—PAvSin 2а—榦-cos2 а,g3g3g3。。g3。。(4.91)(4.91)гдегде2лf d(o .g— J H^'о2лf d(o .g— J H^'о2Лg3= J中⑧「о 、2Лg3= J中⑧「о 、(4.92)(4.92)
Постоянная интегрирования D может быть найдена из условияпериодичности функции Рг (①，v). Интегрируя (4.89) п。①-
делах от 0 до 2л, получим уравнение для определения D 2л2rt
0 = ^- cos2 a J ^2nPov sin а cos а 十 D J
Постоянная интегрирования D может быть найдена из условияпериодичности функции Рг (①，v). Интегрируя (4.89) п。①-
делах от 0 до 2л, получим уравнение для определения D 2л2rt
0 = ^- cos2 a J ^2nPov sin а cos а 十 D J
в пре-
в пре-
d①
Н'
d①
Н'
(4.90)
(4.90)
отсюда найдем
D =
отсюда найдем
D =
—PAvSin 2а—榦-cos2 а,
—PAvSin 2а—榦-cos2 а,
g3
g3
g3。。
g3。。
(4.91)
(4.91)
где
где
2л
f d(o .g— J H^'о
2л
f d(o .g— J H^'о
2Л
g3= J中⑧「о 、
2Л
g3= J中⑧「о 、
(4.92)
(4.92)
(4.88). Для по частям+(4.88). Для по частям+Подставляя (4.91) в (4.89), получим следующее решение: p'“ 普("一齧)赍-管)#93)
(4.88). Для по частям
+
(4.88). Для по частям
+
С помощью (4.93) исключим Pi (s, v) из уравнения этого достаточно произвести в нем интегрирование и сделать подстановку. В результате будем иметь
(2л2 冗\
J № dco — sin® a j №dco-j- ~~ sin2 a)
+ 尸。＜Л%0 Sin a cos сс = &,(4.94)〉
九=j ("一*)如о
Для симметричного подшипника С* — 0 уравнение (4.94) упрощается и находим
№尸一7——K曲疝把 丁:~W
2% г cos2a j H§d3 + —- sin2a j
8 В. И. Дроздович
Для определения следующего приближения необходима интегрй-； ровать уравнение (4.93), используя интегральное условие (4.88)； при С = 0. Поскольку второй член разложения (4.81) содержит | множителем малый параметр о предположим, что можно пренеб-] речь остальными членами разложения, по крайней мере, для под-: шипников с дифференцируемой функцией зазора, при достаточно ； больших п, это подтверждается результатами анализа фор- мулы (4.64). Из п. 18 следует, что полученное решение справедливо при выполнении следующих условий:
%。《爲；*《tga.(4.96)：
Первое условие накладывает ограничение на число сжимаемости 二 и характеризует пределы применимости теории Уиппла. Смысл этого ограничения раскрыт в работе Уилдмена [46, т. 90, № 4].: Второе условие характеризует границы применимости получен-: ного здесь приближенного решения (см. рис. 25, прямую ).
Из этого условия следует, что асимптотическое решение может ； быть применено в качестве приближения к истинному не только в случае большого числа канавок, но и в случае любого конечного их числа, если подшипник достаточно длинный: £>/厶《/г tg а.
Покажем, наконец, что полученное здесь асимптотическое решение согласуется с решением, полученным по методу Уиппла [46, т. 90, №4].
Уиппл рассматривал математическую модель упорного подшипника со спиральными канавками в виде полосы. Канавки принимались прямоугольной формы. Решение Уиппла применимо и для модели шевронного подшипника.
Учитывая, что решение (4.95), выведенное для радиального подшипника (при нулевом эксцентриситете), справедливо и для полосы, мы можем применить его к вычислению несущей способности полосы (рис. 23).
Рассмотрим случай, когда профиль канавки задан в виде прямоугольной волны и описывается уравнением (4.76), (4.77). Взяв из-за симметрии подшипника только одну его половину (0 V 匕 W V 1), запишем функцию зазора в виде:
Я — 1 + т] sign (cos(о)； s = /zq)+ M； р = |30> 0.(4.97)
Подставляя (4.97) в (4.95) и вычисляя интегралы, получим
РА 一笃2 (3 + 哨 ％。sin 2a ,4 9外
2a0 [(1 + 3n2)2cos2 a + (I — ^2)3 sin2 a] * 一 '
Учитывая граничное условие Po/：=i = 1 и интегрируя (4.98), найдем
р 1 IП2 (3+ п2) %оsi口 2a/1—力/4 99)
0 一 十2% [(1 + 3哨2 cos? a +(] — ^2j3Sin2a]^ G丿•「,
Согласно (4.44) несущая способность модели упорного подшипника будет равна
1 2л
显Г = J 叫(Ро— 1) dtp =о о
т]2 (3 + т)2) X。sin 2ат]2 (3 + т)2) X。sin 2а— 4% [(] + 3哨2 со$2 & + (] 一 哨з sin2 仪]*— 4% [(] + 3哨2 со$2 & + (] 一 哨з sin2 仪]*(4.100)(4.100)
т]2 (3 + т)2) X。sin 2а
т]2 (3 + т)2) X。sin 2а
— 4% [(] + 3哨2 со$2 & + (] 一 哨з sin2 仪]*
— 4% [(] + 3哨2 со$2 & + (] 一 哨з sin2 仪]*
(4.100)
(4.100)
Эта формула тождественна формуле Уиппла, приведенной в работе Уилдмена [46, т. 90, №4]. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно заменить обозначения на принятые в указанной работе Уилдмена.
Таким же путем можно решить краевые задачи статики в рамках асимптотической теории Уиппла для других случаев в полярных, сферических и других координатах.
ГЛАВА V
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ МАШИН С ПОДШИПНИКАМИ СКОЛЬЖЕНИЯ
НА ГАЗОВОЙ СМАЗКЕ
В настоящее время в машинах приборного типа и гироскопах применяются в основном негладкие газодинамические подшипники, которые обеспечивают динамическую устойчивость положения равновесия как при наличии радиальной нагрузки, так и без нее. Наиболее важные теоретические результаты по исследованию устойчивости роторов в газодинамических подшипниках были получены в работах Марша и Пэна [54, т. 86]. В этих работах применялся, по существу, один и тот же метод эквивалентной линеаризации нестационарного уравнения Рейнольдса в окрестности решения краевой задачи статики.
В более поздней работе Каннингема и др. [46, т. 91, № 1 ] проводилось исследование динамической устойчивости роторов в радиальных подшипниках с шевронными канавками, которые применяются в гироскопах [46, т. 90, № 4]. В настоящей главе исследование устойчивости роторов в газовых подшипниках производится с помощью обобщенного метода РЯ-линеаризации. На основе решения краевой задачи динамики в 1-м приближении определяются передаточные функции результирующих сил реакции подшипников, которые позволяют производить предварительное качественное исследование частотных характеристик подшипников, с последующим их уточнением во 2-м приближении. 8*115
Динамическая реакция радиального подшипникапри малых поступательных колебанияхв окрестности центрального положения равновесия
Рассмотрим краевую задачу динамики для цилиндрического подшипника при малых поступательных колебаниях шипа в окрестности центрального положения равновесия. Предположим, что несущая поверхность подшипника имеет перйодический профиль. Рассмотрим цили ндр и чески й шип, вращающийся с постоянной угловой скоростью 0 и предположим, что ось шипа совершает малые поступательные колебания, оставаясь все время параллельной оси подшипника^ Положение шипа относительно подшипника определим вектором ех = ^ + ie^ (см. п. 7).
Для определения мгновенного распределения сил давления, действующих на шип со стороны потока смазки, следует решить основное уравнение (3.20) при граничных условиях 「卜=土1工0； Р|? = ^ф-Ь2л, но в отличие от статической, задачи, рассмотренной в гл. IV, необходимо учитывать нестационарный член d(HP)/dr. Кроме того, в силу переменности вектора смещения «】=«^ j ie^ функция зазора зависит не только от координат ф, но и от времени т. Линеаризируя уравнение (3.20) по схеме, изложенной в предыдущей главе, получим в первом приближении согласно (3.48) и (3.21) с учетом граничных условий (4.2):
平麻+需/4一%。^ 一中=/4₽ +。汨& 、(5.1)
V k=±i ="%=土 i；呼(f =屮%+2储(5.2)
"=1 —①⑴ cos Ф — en (т) sin 中 + 恥(ф,白).(5.3)
К этим уравнениям необходимо еще добавить начальные условия, которые характеризуют распределение давления в момент времёйи т = 0. Искомое решение краевой задачи (5.1)—(5.3) будет представляться некоторой функцией трех аргументов: ф» 备 и т.
Предположим, что шип начинает совершать малые колебания около стационарного положения, в котором он находится неограниченно долго.
Тогда начальное распределение давления будет соответствовать исходному стационарному и в последующие моменты времени будет мало отличаться от этого стационарного распределения. Малые колебания давления в смазочном слое можно описать его вариацией АР. Обозначая вариации функций Ун" через A4f и А" и варьируя уравнения (5.1)—(5.3), получим уравнения краевой задачи в вариациях:
A^фф +君А呼卷-%0 А^ф— А中=ДЙфф +届A筑卷；
厶屮：£=±i = А" *土 1 ；厶屮；屮=А^|ф+2я;(5.4)
А" = — Де£ cos 屮一Деп sin 屮.
Соответствующие стационарные значения давления 戶，функций V и Н будем обозначать через Ро, 4% и Яо. Введем теперь вместо функции 4f другую функцию Y с помощью подстановки
屮=/У + 匕(5.5)
тогда уравнения (5.4) упростятся:
ag屮屮+荡Аmg一%о а^(р 一A声=心Mi + bli；
、 AYk=±i = 0； АУ|<₽ = АУ|<₽+2“；(56)
А" н — A% cos 中一A% sin ф.
Поступая так же, как и при решении соответствующей задачи статики (см. п. 15), можно вместо краевой задачи (5, 6) рассмотреть соответствующую ей задачу в комплексной форме:
А笈(р(р + о^ А%аа~~ %о Д^ф ——А% = %о А雖<р + А礎； A%k=±i=O； А% |屮=А% |叶2 储(5・7)
А% = — Aqe-叱 A% = A^ + i A8 Tp
где А% и А% связаны сАУнА" соотношениями:
AY = Re {A%}; △" = Re {厶雖}・(5.8)
Искомая вариация давления
дР= 1 ду_ * Г0АЯ.(5.9)
以0而
Предполагая, что малые колебания начинаются из центрального равновесного положения, можно написать начальные условия в виде
АР |х=о — AY |т=о = А% |т=о = Ав1 |т=о = 0* (5.10)
Преобразуем далее все переменные, входящие в уравнения (5.7) — (5.9), по Лапласу.
Для этого введем следующие обозначения:
+8+8
др= [ AP/ST 祢；厶讶=I . A^-sTdr;
00
aЯ = I А"l切r;磷=[A飴e-sTdt;
0'0
AX1=J 处107工也 и т. д.
Уравнения (5.7)—(5.9) в изображении по Лапласу при выполнении условий (5.10) запишутся следующим образом:
『•11) помощью(5.12) функция『•11) помощью(5.12) функцияa彩編+宕А凌^-%。а秃中一sK = м。а誘①+ 5А源；)А% к=土 1 = 0; А% |ф = А% |ф4-2л I
『•11) помощью
(5.12) функция
『•11) помощью
(5.12) функция
А蕤=—Дё^-^ф; Лё】=А% + i Ag^.
Преобразованную краевую задачу можно решить с подстановки—
Д^= r(s, ^, Ое-^Дёр
Здесь W (s,备 i)——неизвестная комплексно-значная координаты 白 и параметра s.
Подставляя (5.12) в (5.11), после простых преобразований получим уравнение для W (s, ^, i)
оЖ —(1 —ixo + s)r = t%o —S； Г|:=±1 =0.(5.13)
Сравнивая это уравнение с уравнением (4.13), заметим, что оно отличается только наличием параметра £ Решение уравнения (5.13) запишется по аналогии с (4.14)
(5.14)(5.14)取(s,窗 i) = —~ j-S_ Г 1 _ ch侬)1 — i%o + sch g
(5.14)
(5.14)
где
g =才 1 — i%o + s .u0
Подставляя найденную функцию W в (5.12), получим решение краевой задачи в изображении по Лапласу. Согласно (5.8) и (5.9) получим изображение АР в виде
△戸=崇一奇А"=+Re ｛公招一
一丽 Re ｛%｝ A" = -^- Re [W (s,e，i) 0-加友｝ -
—-^Re 陷｝ A". (5.15)
В этом выражении неопределенной осталась только функция %()， соответствующая задаче статики для цилиндрического подшипника при А% = 0 и % = 0.
' Для шевронного подшипника с синусоидальными канавками %。определяется из уравнений (4.29)——(4.30). Таким образом, получим решение нестатической задачи газовой смазки для цилиндрического подшипника с произвольным профилем несущей поверхности и, в частности, для шевронного подшипника с синусоидальными канавками. Для определения распределения давления осталось сделать обратное преобразование Лапласа в (5.15).
Не останавливаясь на этом, заметим, что путем применения теоремы свертки это решение можно было бы привести к виду интеграла Дюгамеля (2], т. е. представить вариацию давления АР в смазочном слое через функцию Грина данной краевой задачи. Однако, периодические режимы удобнее изучать частотными методами исходя из (5.15) непосредственно.
При изучении колебаний шипа основное значение имеет не распределеннная вариация давления, а интегральная характеристика ——главней вектор сил давления, который является реакцией подшипника на перемещение. Удельная величина этой реакции может быть вычислена путем варьирования формулы (4.23) в окрестности центрального положения шипа и последующего преобразования по Лапласу
厶戶1 =——P&RL j j APd④ dqd*(5.16)
(s)
Подставляя в эту формулу (5.15), получим:
譌?=_g j J [*■ Re ｛暁fA研一
—靑 Re ｛融o｝N]erWdq)a =
=—-J J击(取eKp^+IT^a Аё*)е®сЦ> 對 + ($) 0
Н—工 J J 4〃2 (笈о + %o)〈卜艷 + N瓢)/* ^Ф d^・
Здесь IF*, J^o, A幽* ——сопряженные значения комплексно-знач* ных функций.——
Учитывая, что а品 — —A%e一"； a蕤* = —Age叫 A打= =A竺 + iA%； Ae* = A空一込6Tp получим
爲Ь "Г A%j ](£- +靑 Re 陷｝)dcpd—
'(s)
A& ] 1(^—Re 從o｝) /"dcpdg, (5.17)
где Ho = 1 + t)u (ф, E); W, W* определяется подформуле (5.14), причем W* = W (s, 3 —i). Таким образом, выражение для удельной реакции, преобразованное по Лапласу, имеет следующую структуру:
G(s, i)^—G(s, —f)Aei.(5.18)
119
выражается в 1-мвыражается в 1-мприближении с помощьюприближении с помощьюдвухдвухкомплекснокомплексноИз этой формулы видно, что реакция радиального подшипника
выражается в 1-м
выражается в 1-м
приближении с помощью
приближении с помощью
двух
двух
комплексно
комплексно
значных передаточных функций и ее следует рассматривать как стабилизирующее воздействие некоторой двухканальной системы
автоматического регулирования прямого действия, а зависимость (5.18) —как уравнение этого регулятора.
Из (5.18), как частный случай, получается формула для подшипника с симметричным периодическим профилем.
Если профиль подшипника периодический с периодом 2冗/几 при п ^ 3, то выражение (5.18) упрощается. Действительно, при - несмещенном равновесном положении 【шипа как функция зазора 方°, так и функция распределения давления должны быть периодическими с периодом 2冗/儿 Тогда второй член в (5.17) исчезает, как интеграл от производных ортогональных функций, и изображение реакции принимает более простой вид:
■^^ =■1~ A% J J (备"+4f Re {%})"屮哀三一G(s, i) A®
(5.19)
Положение равновесия при е = 0 (центральное) характерно для гироскопов и машин, работающих в условиях невесомости или малых радиальных нагрузок.
Ограничиваясь здесь выводом формулы для главного вектора реакции радиального подшипника, мы должны заметить, что полученное выше решение (5.15) может быть применено и для вычисления момента сил трения. Последние при определении реакции А尸i обычно не учитываются вследствие своей малости. Влияние вариации давления АР на момент сопротивления также предполагается весьма малым по сравнению с основным статическим моментом.
Динамическая реакция радиального подшипникана угловые перемещения вала
Краевая задача динамики при малых -угловых перемещениях вала может быть исследована тем же путем, что и при малых поступательных колебаниях шипа.
При исследовании угловых колебаний ротора в газодинамических подшипниках важно иметь аналитическое выражение мгновенного значения момента сил реакций подшипников.
Рассмотрим малые угловые колебания шипа, при которых ось подшипника все время пересекается с осью шипа в его средней точке. Такие колебания, называемые коническими, могут иметь место в гироскопе катушечного типа (п. 1), радиальная опора которого состоит из одного цилиндр ическо го подшипника. На рис. 26 изображена схема ориентации вала относительно си- 120
стемы координат OXYZ, связанной с опорой, и О^т)^, связанной с осью вала (система координат Резаля): 。一угловых перемещений вала относительно, подшипника; 6 ——комплексной силы давления, действующей на элемент поверхности шипа. В качестве исходных используем уравнения нестационарной краевой задачи
газовой смазки (5.1), (5.2). Изменится лишь уравнение функции зазора (5.3), которое в данном случае согласно (3.39) запишем в видегазовой смазки (5.1), (5.2). Изменится лишь уравнение функции зазора (5.3), которое в данном случае согласно (3.39) запишем в видеН=1Н=12 (3十厉2 (3十厉С (a cos①十С (a cos①十+ 卩 sin(р)+т)打 3,9・(520)+ 卩 sin(р)+т)打 3,9・(520)Здесь 寸—безразмерная координата, отсчитываемая вдоль оси шипа от средней точки; а и р — угловые перемещения осиЗдесь 寸—безразмерная координата, отсчитываемая вдоль оси шипа от средней точки; а и р — угловые перемещения осиРис. 26Рис. 26шипа в проекциях на ко-шипа в проекциях на ко-ординатные плоскости , ZOX и ZOY (рис. 26, а).Ввиду принятых обозначений системы координат Резаля чё- рез Е, % 白 величина Е/(6 + £), ранее обозначенная через % в этом параграфе обозначена через 刀*; функция и (ф, Е) имеет прежний смысл. Не повторяя рассуждений и выкладок, приведенных в предыдущем параграфе, обратимся сразу к уравнениям (5.11). Учитывая, что в данном случае вариация комплексногоординатные плоскости , ZOX и ZOY (рис. 26, а).Ввиду принятых обозначений системы координат Резаля чё- рез Е, % 白 величина Е/(6 + £), ранее обозначенная через % в этом параграфе обозначена через 刀*; функция и (ф, Е) имеет прежний смысл. Не повторяя рассуждений и выкладок, приведенных в предыдущем параграфе, обратимся сразу к уравнениям (5.11). Учитывая, что в данном случае вариация комплексного
газовой смазки (5.1), (5.2). Изменится лишь уравнение функции зазора (5.3), которое в данном случае согласно (3.39) запишем в виде
газовой смазки (5.1), (5.2). Изменится лишь уравнение функции зазора (5.3), которое в данном случае согласно (3.39) запишем в виде
Н=1
Н=1
2 (3十厉
2 (3十厉
С (a cos①十
С (a cos①十
+ 卩 sin(р)+т)打 3,9・(520)
+ 卩 sin(р)+т)打 3,9・(520)
Здесь 寸—безразмерная координата, отсчитываемая вдоль оси шипа от средней точки; а и р — угловые перемещения оси
Здесь 寸—безразмерная координата, отсчитываемая вдоль оси шипа от средней точки; а и р — угловые перемещения оси
Рис. 26
Рис. 26
шипа в проекциях на ко-
шипа в проекциях на ко-
ординатные плоскости , ZOX и ZOY (рис. 26, а).
Ввиду принятых обозначений системы координат Резаля чё- рез Е, % 白 величина Е/(6 + £), ранее обозначенная через % в этом параграфе обозначена через 刀*; функция и (ф, Е) имеет прежний смысл. Не повторяя рассуждений и выкладок, приведенных в предыдущем параграфе, обратимся сразу к уравнениям (5.11). Учитывая, что в данном случае вариация комплексного
ординатные плоскости , ZOX и ZOY (рис. 26, а).
Ввиду принятых обозначений системы координат Резаля чё- рез Е, % 白 величина Е/(6 + £), ранее обозначенная через % в этом параграфе обозначена через 刀*; функция и (ф, Е) имеет прежний смысл. Не повторяя рассуждений и выкладок, приведенных в предыдущем параграфе, обратимся сразу к уравнениям (5.11). Учитывая, что в данном случае вариация комплексного
зазора может быть записана в виде
a第=一刃綜3+喲厂吃a第=一刃綜3+喲厂吃(5.21)(5.21)
a第=一刃綜3+喲厂吃
a第=一刃綜3+喲厂吃
(5.21)
(5.21)
и подставляя ее в правую часть первого уравнения (5.11), будем иметь:
А%7фф + 宕 А%^а— %о'А%\р ——s \Ж =
=万諄斤(i%0 —s)G —吊)；(5.22)
△密仁±1=0； Л^|ф= Д^；ф+2Л-
Решение ищем в форме •
А% = Т(б；Е)取(邑窗 0 с-如 G + Ф).(5.23)
Подставляя (5.23) в (5.22), получаем
и懇一(1 — i%o — s)W = (i%o — s)C；坦k=±i == 0.(5.24)
Здесь в отличие от (5.13) правая часть оказывается зависящей от безразмерной координаты £
Обозначая, как и прежде,
q2 =丄二等(5.25)
представляем общее решение уравнения (5.24) в виде
^ = &chK + &sh 优一-
Используя граничные условия и определяя произвольные постоянные С\ и С2, окончательно находим:
步二百%［一 .(526)
В данном случае функция W (£ s, f) имеет несколько другой вид, чем в п. 21, но решение для вариации давления АР сохранится в форме (5.15), где, кроме Wf изменится лишь выражение для функции А". Функция Ж^ остается той же, что при поступательных колебаниях шипа, так как она определяется для одного и того же невозмущенного положения равновесия.
Переходим к вычислению восстанавливающего момента смазочной пленки. Определим вначале дифференциал dFкомплексной силы давления, действующей на элемент поверхности шипа длиной d£ Учитывая формулу (5.16), найдем:
2л2лdF± =倏 + I d/.dF± =倏 + I d/.
2л
2л
dF± =倏 + I d/.
dF± =倏 + I d/.
Здесь d戶 1 — вектор в комплексной форме, приложенный к концувектора； = g- L*。, определяющего положение рассматриваемого
элемента; So —°РТ ℃и.
Сила "1 порождает момент dR工 относительно точки О как полюса. Этот момент также представляется в комплексной форме. Согласно рис. 26, б имеем:
Составляя векторное произведение, получим 三。限白。
d①1 = 2x%= 0 0 C京=a2(瞰"自一?0dF^,
% d “ О
Отсюда находим
(/%=才级什^乡=北专此.(5.27)
Интегрируя это выражение по 白 от —1 до +1，получим искомый момент
+1•
'^1 = i^\^dF1 = ~paR^i\\i ДРе^б/ф ^.(5.28)
(S)
Для того чтобы вычислить этот момент окончательно, надо преобразовать (5.28) по Лапласу и подставить вместо АР его выражение через а + ®. Найдем это выражение исходя из (5.23) й (5.26). С учетом (5.8) и (5.9) будем иметь
Д? =吉 Re ｛А招-$ Re ｛符｝ △后=
=号F * Re ｛%*(a + 勸一备 Re 陷｝ А反(5.29) где
A" = I (△秃 + △雍*) = - 4(聋耳[(a + Ф) e-如 +
+ (a—ф)е('ч>].(5.30)
Подставляя (5.29) в выражение (5.28), предварительно преобра- зовав последнее по Лапласу, учитывая (5.30) и производя упро-
123
щейий, полупим
=一‘i61号百(a +浴)J J白(备+青Re {能о} 9 d屮dj
- 而；e)G一力)JJ 白(得 + * Re {£。} 9 e2'" d屮 dg. (5.31) Интегрирование здесь производится по всей несущей поверх- ностн s: —1 W С W 1; 6 V 屮 V 2л. Формула (5.31) по своей структуре аналогична формуле (5.18), но в данном случае она представляет реактивный момент смазочной пленки подшипника, возникающий прд угловых колебаниях шипа вокруг центральной точки О.
Таким образом, реакция цилиндрического подшипника на угловые смещения (без учета поступательных), как и реакция на поступательные смещения, представляется с помощью двух передаточных функций в виде, аналогичном (5.18).
Для периодического профиля с периодом 2л/п (/z ^ 3) при малых колебаниях в окрестности среднего положения формула (5.31) упрощается так же как и в (5.18), второй интеграл в (5.31) обращается в нуль.
龜 Напомним, что результаты этого и предыдущего параграфов получены обобщенным методом Т3//-линеаризации в первом приближении. Заметим, что во втором приближении поправки могут быть найдены методом гармонического баланса либо из уравнения (3.57), либо непосредственно из уравнения Рейнольдса. В последнем случае объем вычислений резко возрастает и требует применения вычислительной техники.
Исследование поступательных колебаний роторав газодинамических подшипниках в первом приближении
Результаты, полученные в предыдущих параграфах, можно непосредственно применить к исследованию поступательных и угловых колебаний ротора в профилированных подшипниках с газовой смазкой.
Рассмотрим машину с обращенным ротором и вентилируемыми подшипниками. В качестве примера такой машины может служить гироскоп катушечного типа. Вентиляционные каналы служат для улучшения обмена смазочной среды и одновременно обеспечивают независимость течения смазки в радиальном и упорном подшипниках.
Рассмотрим вначале поступательные колебания ротора при жестко закрепленном статоре. Профилированная поверхность 124
(шевроййЫе КаНавкн) предполагайся неподвижной, а Вращающаяся —гладкой.
Положение ротора при чисто поступательных колебаниях можно определить вектором смещения е. Согласно сказанному в гл. II эти колебания можно разделить на осевые и радиальные, так как они в первом приближении независимы.
Оставляя в стороне осевые колебания, рассмотрим только радиальные. Мгновенное положение ротора при радиальных колебаниях удобно определить комплексным вектором £丄=£己 + i£1r
где 历=к：」;en =臭 3 ; 6—минимальный зазор при централь- g о с 1 о 十七
ном положении ротора; £ ―- половина глубины канавки.
Запишем уравнение малых радиальных колебаний ротора в вариациях; согласно (2.10)
(6 + Е) М А& = АА + А%,「(5.32)
где М —- масса ротора; Af\ = А& + iA/ —комплексная сила реакции подшипника; AFiB — А&в + 込尸那—комплексная возмущающая сила; точки обозначают дифференцирование по времени t、
Переходя в этом уравнении к безразличному времени т = =力 получим
(6 + Е) M Aei = AR + А/.(5.33)
Штрихи здесь обозначают дифференцирование по безразмерному времени т.,
Если внешние возмущения не зависят от времени, т. е.
尸1в ==尸?в u1 Const, имеем уравнение
%(6+ё)mA向=a吊,(5.34)
которое соответствует случаю малых свободных колебаний ротора около положения равновесия, смещенного относительно центра подшипника (ею R 0) при Нв R 0・
Предположим теперь, что начальные условия нулевые и Fib = 0, но. А爲\ 弟 0, т. е. рассмотрим случай вынужденных поступательных колебаний ротора около центрального положения равновесия (к = 0). —
Преобразуя уравнение (5.33) по Лапласу и подставляя Af\ из (5.19), найдем
需…一…十急，…
125
учитывая (5.14), получим^
[[^■"中 ^ = 2J (s)不*^ j 芸；(s)о
J J -^~ Re {Ж^ dtp dq = 4a = const;
勿 s) = J(l—體)dSl — *; 0
Рис. 27Рис. 27/ (s)〜1;/ (s)〜1;Первый интеграл в общем виде выражается довольно сложно, поэтому рассмотрим его асимптотическое значение при сг0《 L Для достаточно длинного подшипника имеем:
Рис. 27
Рис. 27
/ (s)〜1;
/ (s)〜1;
G(s, i)〜а + bG(s, i)〜а + bТогда асимптотическое представление
G(s, i)〜а + b
G(s, i)〜а + b
(5.36)
Здесь а и 6 ——постоянные коэффициенты, которые вычисляются на основе стационарного решения краевой задачи для центрального положения ротора.
Для исследования колебаний и устойчивости применим частотный метод Михайлова——Найквиста. Рассмотрим эквивалентную Одноконтурную систему автоматического регулирования [29], представленную для полученных уравнений на рис. 27.
Передаточная функция разомкнутой цепи эквивалентного контура с обратной связью с учетом (5.35) и (5.36) будет
G°(s,舂導，(5-37)
где % ="盘7 ； G (s, i) = а + Ь ^С^Й^ •
Полагая s = гео и задавая значения со в пределах от ——8 до +оо построим амплитудно-фазовую частотную характеристику [29, с. 82], представляющую собой годограф комплексного вектора G (ico^) на комплексной плоскости 員 126
Оказывается, что в зависимости от соотношения параметров, возможны два случая, построенные на рис. 28:。——устойчивость при а/九qQ2 > 1; 6 ——неустойчивость при 。/九。叁纟 < 1.
Таким образом, получаем условие устойчивости в виде
1 V М (б + Е) N •(5.38)
Обратим внимание на то, что в условие (5.38) не входит коэффициент Ъ и, кроме того, это условие не зависит от замены W (邑 J, /)
приближенным асимптотическим выражением. Это значит, что условие (5.38) справедливо и при больших значениях параметра и。— DI L.
Учитывая выражение для коэффициента а, перепишем (5.38) в следующем виде：
竺嘰产1 V 4а 三 JJ * Re 陷｝ d<₽ 第. (5.39) (S)
Это условие полностью согласуется с критерием устойчивости по А. С. Шейнбергу [58], а также с результатами работы ПО]. Невыполнение этого условия приводит к возникновению неустойчивости типа полускоростного вихря. При этом ротор, вращаясь вокруг своей оси с угловой скоростью Q, начинает совершать орбитальное движение по расходящейся спирали с угловой скоростью близкой к -Q/2.
Как уже отмечалось выше, явление полускоростного вихря в случае использования гладких подшипников было хорошо изучено в работах А. С. Шейнберга и других авторов [54, т. 87, № 1 ]. Оно являлось долгое время препятствием широкому распространению газодинамических подшипников-. Только в последнее
' 127
время было выяснено, что в легконагруженных машинах для обе- I спечения устойчивости необходимо применять профилированные ? подшипники [54, т. 86; 46, т. 90, № 4]. Перепишем условие (5.39): в другом виде号
^2- < 4^+% П ^ Re {^^ d(P ^-(5.39')；
В таком виде левая и правая части имеют размерность жесткости. Можно показать, что правая часть (5.39') выражает среднюю по времени радиальную жесткость подшипника при малом смещении шипа из центрального положения вдоль линии центров, в режиме орбитального движения с угловой скоростью, равной * Q/2. Левая часть (5.39') представляет собой величину градиента центробежной силы, обусловленной орбитальным движением ротора, масса которого считается сосредоточенной в его центре. Назовем правую часть (5.39') «вихревой жесткостью», тогда условие (5.39‘)можно сформулиров.ать следующим образом.
Для асимптотической устойчивости уравновешенного ротора в центральном положении при жестко закрепленных подшипниках необходимо, чтобы градиент центробежной силы был меньше средней вихревой жесткости' подшипников.
Следует заметить, что оценка вихревой жесткости по формуле (5.39) является приближенной, так как эта формула получена на базе краевой задачи в 1-ом приближении. Более точно вихревую жесткость можно рассчитать, исходя из. нелинейного уравнения Рейнольдса. К этому надо добавить, что определение самого понятия вихревой жесткости требует уточнения. Дело в том, что угловая скорость- орбитального движения, соответствующего порогу неустойчивости, может несколько отличаться от значения 0/2: Более точно угловая скорость орбитального движения на пороге неустойчивости определяется из условия обращения в нуль средней за' период тангенциальной составляющей главного вектора всех сил, действующих на вал ротора со стороны смазочной пленки.
Возвращаясь к частным характеристикам, обратим внимание на то, что они дают возможность определить другие важные динамические характеристики подшипников с газовой смазкой. Например, динамическая жесткость при гармонической вибрации основания с частотой ① будет выражаться комплексным вектором ]+ ^о (必，О-
Амплитуда синхронного ^вяхря при наличии статического дисбаланса может быть определена через модуль динамической жесткости I 1 + Go (2t%0, i) |, вычисленной при частоте со = 2%0, соответствующей угловой скорости вращения ротора £2.
Все динамические характеристики, найденные в 1-м приближении, могут быть*уточнены во 2-м приближении методом гармо- нического^балансаГ
Исследование угловых колебаний роторав газодинамических подшипниках
Кроме поступательных радиальных колебаний, рассмотренных выше, ротор может совершать угловые колебания. Эти колебания могут совершаться одновременно с радиальными, но, учитывая сказанное в гл. II и предполагая, что перекрестные связи малы, рассмотрим отдельно угловые колебания. Рассмотрим снова мо-. дель машины (гироскопа) с обращенным ротором в профилирова- ных цилиндрических подшипниках (см. рис. 17). Для простоты предположим, что влиянием упорных пластин можно пренебречь (можно показать, что они влияют на количественные оценки).
Предполагая еще, что ротор вращается с постоянной угловой скоростью Q и совершает малые угловые колебания, запишем дифференциальные уравнения в форме одного комплексного уравнения (2.19)
I \U~iKQ^U = — 1^ — 1 Д^хв. (5.40)
Здесь AU = АХ + iAY — комплексная координата; Ко — кинетический момент; А① 1 = А乞匕 + 必①修一комплексный вектор момента сил, действующих на ротор со стороны смазочного слоя; AZib = А①gB + 込①“в — комплексный вектор - момента внешних возмущающих сил.
Это" уравнение эквивалентно двум линейным уравнениям, описывающим малые угловые колебания гироскопа вокруг неподвижной точки.
Для случая малых углов a q АХ; р q AY момент сил реакции смазочной пленки согласно (5.31) будет равен (в изображениях по Лапласу)
录^ = — 16-(6+ £)好Н К普 + 靑 Re 陷｝白)d屮题.(5.41)
Напомним, что формула (5.41) справедлива для подшипника с периодическим профилем при л 为 3 (см. п. 20). Поступая так же, как и в п. 23, перейдем в уравнении (5.40) к безразмерному времени и преобразуем его по- Лапласу по аналогии с уравнением (5.32)
—i恒—i а宮(5.42)
Здесь начальные условия, как и ранее, приняты нулевыми. Обозначая далее
129129Gi & D = 16.(6 +£)] Н С (帯 + 靑 Re 陷｝ фф 對(5.43) (s)
129
129
9 В, Н . Дроздсвич
и исключая А① 1 из (5.42) с помощью (5.41), получим:
—&(s, i)/ —等.(5.44)
Это уравнение аналогично уравнению (5.35). Так же, как и раньше, вместо G (s, i) рассмотрим его асимптотическое представление, справедливое при малых а0, т. е. для достаточно длинного подшипника
С】(s, i) ~ % 十 bi -jqry^^ •(5.45)
Эта формула по структуре аналогична (5.36).
Из (5.26) получаем
'^(^S.(5・46).
Подставляя(5.46) в(5.43), получим:
1-г(5Ъ)Ш2^1^^
RE)!!备；(5.47)
12л
оо
ИнтегрировЖие ведется по всей поверхности подшипника s: ——1 V 白 V 十1; О V 屮 V 2л. Поступая и дальше по аналогии с п. 23, мы могли бы построить эквивалентную структурную схему цепи с обратной связью, найти передаточную функцию разомкнутой цепи Go (s, i) и исследовать динамические процессы в рамках асимтотической модели частотными методами. Так же, как и в предыдущем случае, частотные характеристики модели допускают уточнение методом гармонического баланса.
Ограничимся здесь выводом условия устойчивости. Условие устойчивости можно получить непосредственно из (5.44) и (5.45), для чего достаточно вычислить значение передаточной функции замкнутой цепи Go (s, i) при s = i%。口 потребовать, чтобы это значение не превосходило —1.
Из (5.44) легко вывести выражение для эквивалентной передаточной функции разомкнутой цепи Go (s, f), которая будет иметь вид：
G°(s, i)=G°(s, i)=Gi(s, i)
G°(s, i)=
G°(s, i)=
/ a 2.& Q
丁吃研6 一 " PaRU项斎
где Gi (s, i) определяется ё рамках асимптотической модели формулой (5.45). Полагая в (5.45) s = i%0> что соответствует частоте полускоростного вихря, получим 〃i = Gi (i%o， 0- Полагая затем s = i%o в (5.42) и учитывая (5.47), на основании вышесказанного выведем условие устойчивости
где К。= иначе:где К。= иначе:/4 K值/「4%RL2 ~ 2加吟 \ 小/4 K值/「4%RL2 ~ 2加吟 \ 小(5.48)(5.48)，搗 а а】 определено в (5.47). Запишем формулу (5.48)，搗 а а】 определено в (5.47). Запишем формулу (5.48)[(6+Ц4 - 4)^[(6+Ц4 - 4)^<*内三号.<*内三号.(5.49)(5.49)
где К。= иначе:
где К。= иначе:
/4 K值/「
4%RL2 ~ 2加吟 \ 小
/4 K值/「
4%RL2 ~ 2加吟 \ 小
(5.48)
(5.48)
，搗 а а】 определено в (5.47). Запишем формулу (5.48)
，搗 а а】 определено в (5.47). Запишем формулу (5.48)
[(6+Ц4 - 4)^
[(6+Ц4 - 4)^
<*内三号.
<*内三号.
(5.49)
(5.49)
Тогда коэффициент а! будет выражаться так:
(S)
Неравенство (5.49) выражает второе необходимое условие устойчивости, дополнительное к условию (5.39). Для устойчивости ротора в равновесном режиме должны выполняться оба условия. Не останавливаясь на следствиях, которые вытекают из представленных условий (обсуждение этих условий можно найти в цитируемой выше литературе) отметим,.что основную роль здесь играет величина а', характеризующая вихревую жесткость подшипников. Примеры вычисления вихревой жесткости приводятся в гл. VI.
Влияние на устойчивость податливостикрепления машины (гироскопа)
В работе Марша [54, т. 86] отмечалось, что до пол н ител ь н ые степени свободы, обусловленные нежесткостью крепления подшипников, могут оказывать сильное влияние на устойчивость. Попытаемся выяснить этот вопрос в рамках асимптотической модели в 1-м приближении. Для этого возьмем снова машину с обращенным ротором, которая рассматривалась в п. 23, но расположим ось фигуры ротора вертикально (рис. 29).
Представим себе, что статор машины упруго закреплен в кар- дановом кольце с помощью растяжек с' нс" (рис. 29). Получается модель гироскопа с эластичным креплением кожуха в кардано- вом подвесе.
Рассмотрим малые поступательные колебания ротора и статора машины в экваториальной плоскости без учета угловых перемещений. Колебания такой системы можно описать двумя дифференциальными уравнениями следующего вида:
'М (А%； + Аё10) = АЗ + 厶Зв； IJ не
(5.5U)
= — NFд)
9*9*131
9*
9*
где М —масса ротора; 的一масса сТатора; A^i = А 空 + + 也“厶&0 = A%g 十 iAe(m —комплексные смещения ротора и статора соответственно; с——жесткость крепления.
Силами сопротивления движению статора мы пренебрегаем и предполагаем, что крепление имеет одинаковую жесткость при смещении в экваториальной плоскости в любом направлении.
После преобразования по Лапласу с учетом нулевых начальных условий уравнения перепишутся так: г
Рис. 29Рис. 29心（6 + e）②1 e（6 + е）-荻尸 公1。十 麻L心（6 + e）②1 e（6 + е）-荻尸 公1。十 麻LA%=G (s, i) A%.(5.51)A%=G (s, i) A%.(5.51)Здесь Д810 = Де10/(6 + E); остальные обозначения даны в п. 23. В сокращенных обозначениях эти уравнения, можно переписать:Здесь Д810 = Де10/(6 + E); остальные обозначения даны в п. 23. В сокращенных обозначениях эти уравнения, можно переписать:М ~xF s* (А% + А%) = — G А% + /1В;(3 ^~ s* + %) Лею = G А%,М ~xF s* (А% + А%) = — G А% + /1В;(3 ^~ s* + %) Лею = G А%,где % =где % =М (6 十 Е).入 _ Mi (6 十 Е).4%RL ， % 一 4PaRL ，М (6 十 Е).入 _ Mi (6 十 Е).4%RL ， % 一 4PaRL ，c(6 + E)paRLc(6 + E)paRL
Рис. 29
Рис. 29
心（6 + e）②1 e（6 + е）
-荻尸 公1。十 麻L
心（6 + e）②1 e（6 + е）
-荻尸 公1。十 麻L
A%=G (s, i) A%.
(5.51)
A%=G (s, i) A%.
(5.51)
Здесь Д810 = Де10/(6 + E); остальные обозначения даны в п. 23. В сокращенных обозначениях эти уравнения, можно переписать:
Здесь Д810 = Де10/(6 + E); остальные обозначения даны в п. 23. В сокращенных обозначениях эти уравнения, можно переписать:
М ~xF s* (А% + А%) = — G А% + /1В;(3 ^~ s* + %) Лею = G А%,
М ~xF s* (А% + А%) = — G А% + /1В;(3 ^~ s* + %) Лею = G А%,
где % =
где % =
М (6 十 Е).入 _ Mi (6 十 Е).
4%RL ， % 一 4PaRL ，
М (6 十 Е).入 _ Mi (6 十 Е).
4%RL ， % 一 4PaRL ，
c(6 + E)paRL
c(6 + E)paRL
Исключая из уравнения (5.51) Де10 и пользуясь опять представлением эквивалентной систему с обратной связью, найдем эквивалентную передаточную функцию разомкнутого контура, соответствующего случаю нежесткого крепления,
G；G；嚇九（）Q2s2嚇九（）Q2s20 (s, О0 (s, О1 +1 +G(s, i)3 в s" + Yi-Л0 )G(s, i)3 в s" + Yi-Л0 )(5.52)(5.52)
G；
G；
嚇
九（）Q2s2
嚇
九（）Q2s2
0 (s, О
0 (s, О
1 +
1 +
G(s, i)
3 в s" + Yi
-Л0 )
G(s, i)
3 в s" + Yi
-Л0 )
(5.52)
(5.52)
где G (s, i) определяется выражением (5.36). В случае жесткого крепления передаточная функция G (s, i) получается из G* (s, г) предельным переходом у】—+оо. Это значит, что при достаточно большой жесткости подвеса амплитудно-фазовые частотные характеристики Go (is, i) и Go (is, i)二 lim G； (is, t) будут npo- ходить близко друг от друга.
Зная, что устойчивость определяется положением точки К пересечения частотной характеристики с вещественной осью, посмотрим в какую сторону перемещается эта точка, когда коэффициент жесткости yi уменьшается (рис. 28, а). Из (5.52), пола-
гая s = i%(), получаем для этой точки
G»(%，0 =-备二一%— •(5.53)
+ % 一大揭2
Отсюда видно, что при достаточно большой, но конечной жесткости, когда % —储0〉0, уменьшение жесткости приводит к уменьшению запаса устойчивости.
Влияние податливости крепления на устойчивость может быть значительным, это обстоятельство необходимо учитывать при конструировании машин (гироскопов), особенно в тех случаях, когда по техническим условиям предусматривается амортизация.
Интересно, что при малых значениях жесткости подвеса или достаточно больших угловых скоростях, когда 丫^ ——^С? < 0, запас устойчивости может быть положительным.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика при этом претерпевает качественное изменение. Отметим, что существенное значение имеет демпфирование поступательных колебаний машин.
Все эти вопросы можно исследовать с помощью асимптотической передаточной функции и уточнить методом гармонического баланса, но мы их оставим в стороне, так как они выходят за рамки данной работы.
Уточнение динамичёских характеристик методомгармонического баланса
Из изложенного в предыдущих параграфах следует, что важнейшей динамической характеристикой газодинамических подшипников является вихревая жесткость. Мерой вихревой жесткости является величина а, которая в первом приближении определяется интегралом в условии (5.39). Количественная оценка вихревой жесткости, сделанная на основании решения краевой ■ задачи в 1-м приближении, может быть уточнена в рамках обобщенного метода ^Я-линеаризации путем вычисления аддитивной поправки. Вихревую жесткость можно найти и непосредственно из уравнения Рейнольдса путем применения метода гармонического баланса.
Рассмотрим машину (гироскоп), уравновешенный ротор которой вращается в- цилиндрических газодинамических подшипниках с произвольным профилем. Предположим, что ротор не испытывает радиальных нагрузок и вращается с постоянной угловой скоростью Q вокруг оси фигуры, совпадающей с осью подшипника. Как мы уже знаем, это положение динамического равновесия при определенных условиях может оказаться неустойчивым. Найдем эти условия.
Для этого представим себе более общий случай орбитального движения центра масс ротора под влиянием круговой вибрации 、133
основания, когда ось подшипника описывает в пространстве цилиндрическую поверхность.
Движение ротора в этом случае можно описать с помощью одного комплексного уравнения следующего вида (см. гл. II):
М (6 + Е)為 ®' + sio) = Fi [si],(5.54)
где 810 =眺 +—смещение оси подшипника; % =空 +
+ 俯修 ——смещение оси ротора относительно подшипника;尸[ej — комплексно-значная операторная функция, выражающая зависимость силы реакции подшипников от &" обозначения параметров прежние (см. п. 21—23); штрих обозначает дифференцирование по безразмерному времени т = Q/2x0 力 Движение основания зададим уравнением
=(5.55)
где Ео^ ―■ комплексная амплитуда； v ——безразмерная частота круговой вибрации основания.
Если положение динамического равновесия устойчиво асимптотически, то при достаточно малой величине | Ео^ | ось ротора в установившемся режиме будет совершать вокруг оси подшипника орбитальное движение, близкое по форме к круговому, с той же частотой V. Это утверждение следует из теории устойчивости [36] и подтверждается опытом. Следовательно, установившееся движение оси ротора можно представить рядом Фурье в комплексной форме
%= £ £i0”vp..(5.56)
Для того чтобы найти это решение, можно применить известный метод гармонического баланса; подставить ряд (5.56) в уравнение (5.54), разложить в ряд Фурье правую часть уравнения (5.54) и т. д. Аналогично тому, как это часто делается на практике, ограничимся лишь одной гармоникой, предполагая, что высшие гармоники малы и их можно отбросить
£ -冤/5(5.57)
В правой части (5.54), также удержим лишь правую гармонику '2л
爲尸1 底]eT5"q.(5.58)
О
Подставляя (5.55)——(5.58) в (5.54) и отождествляя коэффициенты, получим приближенное уравнение для
2л
—Л1 (6 + £) ^| 公(勿他 + %m)=费 J 爲[£i/v』e-ivT, dq. (5.59) °о
В этом уравнении неизвестная slm является комплексной амплитудой. Можно, однако, задать sOw так, чтобы sm было вещественно.
Предположим, что это условие выполнено, и обозначим slm =
二 р. Перепишем уравнение в следующем виде:
2лV
財(6 + Е)募 v2p + 2+ J FA^ ] dq =
=—財(6 + E)蒜 v&仲(5.59')
Это уравнение дает возможность определить радиус р средней орбиты установившегося вихревого движения оси ротора и arg %也 при заданных v, | sOm| и прочих параметрах. Следует помнить, что искомый режим реализуется лишь при выполнении дополнительных условий устойчивости, которые не следуют из (5.59) Если мы из (5.59‘)перейдем к пределу при 丨£呼|一0, то получим уравнение свободных незатухающих колебаний, которые возможны лишь на пороге устойчивости, при этом частота свободных колебаний должна удовлетворять уравнению
2л
V
財(6 + Е)磊 V + 费 linj j -у Л [pe；v』e-g dq = 0. (5.60)
Так как первый член вещественный, то из (5.60) получаем следующие условия:
2л
(5.61)(5.61)M(6FE)^v + /im [ ；Re{FJpeivqe*5d; = 0; ，%0 /兀 p->0 j1 P
(5.61)
(5.61)
2Л
V
/lim f — Im {Ft [pefVTi] e-I，VT4 ^Ti 0-
加 p^o , P
Разделив все члены первого уравнения на P&RL представим его в виде"
2л
lim 許 i ； Re {尸Jpek ] е-У}丸=0.
PaRLWpaRL р)о 2л J p J
一 (5.62)
Сравнивая это уравнение с условием (5.39), найдем, что второй член выражает вихревую жесткость подшипника с обратным знаком (см. п. 23).
Таким образом, получается другое выражение для коэффи-' циента а, входящего в условие устойчивости (5.39). Это выражение можно записать так:
где V —определяется из уравнения ‘V-Im f lim — Fr [pe^G ]dqгде V —определяется из уравнения ‘V-Im f lim — Fr [pe^G ]dqа = - Ъ^Г Re 1 鍔 * 3【PAG ] e-^t dx\ (5.63)
где V —определяется из уравнения ‘
V-
Im f lim — Fr [pe^G ]dq
где V —определяется из уравнения ‘
V-
Im f lim — Fr [pe^G ]dq
0. (5.64)
Выражение в фигурных скобках представляет собой среднюю за период 2n/v комплексную жесткость при движении оси вала ротора по бесконечно малой орбите вокруг оси подшипника.
Вычисление а и v согласно (5.63) и (5.64) производится Нутем решения краевой задачи газовой смазки для установившегося орбитального движения вала по окружности бесконечно малого радиуса р. На основании этого решения вычисляется комплексная реакция ^ [peivXi ], а затем интеграл, входящий в (5.63) и (5.64).
Исходное уравнение Рейнольдса для цилиндрического подшипника имеет вид (3.20), но решается это уравнение для функции зазора 反 соответствующей орбитальному движению.
Здесь следует различать два случая: неподвижного и вращающегося профиля. '
В первом случае функция зазора Н зависит от времени только через посредство эксцентриситета, и при нулевом эксцентриситете стационарна. Во втором случае функция зазора зависит от времени явно даже при нулевом эксцентриситете, тогда в первом случае функция зазора может быть записана в виде:
я= Re{^};雍=1—pe"vLS + 叩也,屮)； (5.65) во втором случае — в виде:
方=Re {符；场=1 - pM "as + 欣(& 中,矶 (5.66) где 〃 (白，屮，т)——периодическая функция времени т с периодом 2л/и; р ——радиус орбиты;身—относительная амплитуда профиля. ”
В случае периодического профиля функции и (£ ф) и и (& 屮，т) имеют период по ф, равный 2п//г (/г ——число секций профиля).
.Решение краевой задачи в обоих случаях можно-искать в виде ряда
= А + рА + Р嗚 + … (5.67) Так как р —бесконечно малая величина, то можно ограничиться только двумя членами. Подставляя (5.67) в уравнение Рейнольдса 136
в котором Н надо заменить выражением Н из (5.65) или (5.66), и группируя члены при одинаковых степенях р, можно получить два уравнения для 尸。и А* Первое из них соответствует несмещенному положению' вала, второе уравнение линейно. Решение обоих уравнений связано с большим объемом вычислений на ЭВМ. Желая получить простое аналитическое решение, рассмотрим вычисление вихревой жесткости, с применением обобщенного метода РЯ-линеаризации. Выразим комплексную реакцию 3 в форме (4.66). Тогда можно записать、
-十3血巧=攵；paRL J j懐一需A方)e师d(p第,(5.68)
где тильдой отмечены функции, соответствующие орбитальйому движению.' -
Для определенности положим, что профиль неподвижен. Тогда функция зазора Н = HQ + А方 выразится по формуле (5.65):
"о н 1 + W G屮)；А方 — Re {ре，)},(5.69)
где 〃 (С, ф) — периодическая функция по ф с периодом равным 2л/л, где л^З.
Функции Уо (& 屮)и ДУ (С, ф, т, р) определяются как слагаемые периодического решения .(У) нестационарного уравнения Рейнольдса, первое из которых соответствует концентрическому положению вала. Согласно определению функции У имеем
出-后=月(户 _1)= Re{死}.(5.70)
Определим вначале функцию У в 1-м приближении. Исходя из уравнения (3.48), после подстановки ^ = Н + Y получим:
^Ф + 就% 4-%。%一 У = %。% + 自；
声/匕=±1 = °；岁/屮=声/叶2П.(5.71)
В комплексной форме соответствующая задача будет иметь вид:
Ж ф(P + 君宏 k — %。*嗽 ф—%1 — %0%屮 + 欢；%片=士1 =。；党/(p二宏/叶2冗.
(5.72)(5.72)Подставляя в (5.72)國 из (5.65) и полагая Ж =应()+ 厶物，ролу- чим два уравнения:
(5.72)
(5.72)
(物 0)中中 + 君(%0)乩 — %0(%0)中=饰u屮；
А%；中十埔 A%1/ —%0 а物屮一А宓=ip% —u) / m一叫.(5.73)
137
Решив эти уравнения при однородных граничных условиях:
Жо/£=±1 = AJ^/^=±1 =0； Жо/ф = Жо/ф+2л； AJ^/ф = Д^/ф4-2л,
(5.74)
легко найдем искомое первое приближение
К = Re ｛死。+ А密 J =匕。+ △匕(5.75)
Для определения 2-го приближения будем исходить из уравнения (3.57) для поправки.
Так как правая часть уравнения (3.57) от ф не зависит, то поправку можно представить в виде
А = M@ + pR(C"),(5.76)
где М @ -— поправка к стационарному решению при нулевом радиусе орбиты (находится из рассмотрения стационарной краевой задачи для центрального положения вала, см. приложение 4); Фо (G,工)—некоторая периодическая функция т, обращающаяся в нуль, при С = ±1. Таким образом, во 2-м приближении решение представляется в виде
步=Pi + А = % + До© + рФ0 信 т) (5.77)
или согласно (5.75):
九=匕。+ 厶@； AF= ДУ1 + рфой,т). (5.78)
Подставим (5.78) в (5.68) и рассмотрим получающиеся интегралы при л з 3. Первый интеграл равен
(S)(S)(s)-
(5.79)
Заметим, что член, пропорциональный р, при интегрировании обращается в нуль в еилу ортогональности периодических функций, так как предполагается, что число канавок подшипника п > > 3. Второй интеграл в первой части (5.68) в силу (5.69) преобразуется так:
^佘А班"丽第=рh甯[gf (VT—屮)+ Q-i (VT—Ф)] «2 dtp d(= (S)(S)°
=—-~ pe* j j ^M dtp d&(5.80)
(S)°
Здесь второй член также обращается в нуль по ортогональности функций.
Действительно, Уо (£, ф) является периодическим решением стационарной задачи; и так как 〃 (ф, С) имеет период 2п1п (л 为 3), то и Уо (С, Ф)будет иметь тот же период. Следовательно, функ-
ция %/"； ортогональна' функции е?'① на интервале интегрирования 0 < ф < 2л.
Учитывая (5.79) и (5.80), получим для (5.68) преобразованное выражение,
十储[ре切=—%R厶击j J*魂dcp第一
(S)-
-PaRL^e^^^d^dZ,(5.81)
-(S)°
где Yq = У10 + До (C); Ai\ = Re {A%};厶疹 определяется как решение уравнения (5.74). Далее, возвращаясь к исходному выражению (5.63) для вихревой жесткости, вычисляем
2л,
V
春费j А [р№ ] e-w&办尸
О
2л
V
= -paRL±-^\ e-^dr^^e^d^dZ-о(s)
—PaRL ； J J 佘 d(p 親.(5.82)
(s) 0
Обратим теперь внимание на то, что второй член в правой части выражения (5.82) вещественен, а первый обращается в нуль при V = %0. Действительно, согласно (5.74) при v = %0 получаем А冗 =0, следовательно, н А 夕^ = 0.
Итак, во 2-м приближении получаем из (5.68) следующее выражение для вихревой жесткости при л 为 3:
& = }口患 d(pdj}J J 厶曙@面照.(5.83)
(S)°.(S)°
Отсюда видно, что уточнение вихревой жесткости в рассматриваемом случае сводится к вычислению аддитивной поправки к статическому решению У10, которое получается как 1-е приближение РЯ-линеаризованной краевой задачи. Так как при v = Хо — выполняется условие (5.64), то, следовательно, угловая скорость вихревого движения на пороге устойчивости равна половине угловой скорости собственного вращения ротора； Это значит, что во 2-м приближении с учетом сделанных допущений поправка к угловой скорости вихря равна нулю.
Напомним, что результат (5.83) получен для нулевой радиальной нагрузки и гладкого вала в предположении, что профиль подшипника периодический по координате ф с периодом 2冗/几 при л^З.—
Для случая смещенного положения динамического равновесия при постоянной радиальной нагрузке в выражении (5.83) появляются дополнительные слагаемые. Действительно, при наличии смещения функция зазора Но соответствующая положению равновесия, будет уже иметь период по гр, равный 2冗(а не 2л/п), следовательно, ее ряд Фурье содержит ненулевую первую гармонику. Это отразится на выражениях (5.79) и (5.80), в которых теперь следует учитывать дополнительные члены.
Известно, что в случае непрофйлированных радиальных подшипников устойчивость достигается за счет смещения положения динамического равновесия под действием постоянной радиальной нагрузки. Можно показать, что для профилированных подшипников нагрузка увеличивает запас устойчивости.
Рассмотрение случаев п = 1 и 2 как для смещенного, так и несмещенного положений динамического равновесия можно провести тем же методом с учетом сделанных выше замечаний.
Покажем, что для неподвижных гладких подшипников и профилированного вала при отсутствии нагрузки и п ^ 3 вихревая жесткость может быть вычислена также с помощью формулы (5.83).
В самом деле, если профиль расположен на валу, которзый вращается со скоростью С и совершает орбитальное движение со скоростью Q/2, то функция зазора (5.66) может быть записана так:
膨= 1 一 рм еT一叫 + n〃 @ 屮_vt).
Функции Yq и Hq входящие в (5.68), теперь^зависят от времени т; обозначим их соответственно через Уо и 瓦.Далее заметим, что вариация зазора, обусловленная вихревым движением, останется такой же, как и в случае невращающегося профиля. В силу этого уравнение (5.74) также не изменится. Если проследить вывод 4юрмул (5.79) и (5^0), то можно убедиться, что структура их не изменится, но вместо HQ и Уо надо подставить в них.方° и YQ.
Дальнейшие выводы по аналогии дают следующий результат:
а =需 J dTJJ 焉d(pd£ (5.84)
Так как У。и Но определяются относительно неподвижных координатных осей, связанных с подшипниками, а профиль вращается с угловой скоростью вала Q то, учитывая связь между безразмерным и размерным временем т = Р%。/ имеем:
Н = Н0 (<р —2х0т);匕)=匕伸一2%оТ), (5.85) где Уо и Но соответствуют случаю невращающегося профиля. Подставив (5.85) в (5.84) и сделав замену переменной интех^иро- 140
вания ср】=<р ——2%0т, получим:
(s)
Отсюда следует, что при отсутствии радиальной нагрузки и прочих равных условиях вихревая жесткость для вращающегося профиля будет равна вихревой жесткости для невращающегося профиля. Это более наглядно можно понять, представив себя наблюдателем в системе координат, вращающейся с линией центров,
Влияние упорных подшипников на запас устойчивости ротора катушечного типа по отношению к коническим колебаниям
В п. 24 рассматривался вопрос об устойчивости динамического равновесия при угловых колебаниях роторов машин с опорами катушечного типа, при этом учитывалось влияние упорных подшипников. В действительности упорные подшипники в машинах (гироскопах) катушечного типа увеличивают жесткость опоры и оказывают дополнительное стабилизирующее влияние.
Как главный вектор, так и главный момент сил давления в смазочном слое упорного подщипника Могут быть вычислены аналог гично радиальному с той лишь разницей, что для упорного подшипника краевые задачи статики и динамики следует формулировать в полярных координатах. Заметим,, однако, что в большинстве конструкций несущая часть упорного подшипника имеет форму кольца. Это позволяет иногда произвести приближенную оценку на основании решения модельной краевой задачи для прямоугольной полосы или цилиндрического подшипника.
Нас будет интересовать в первую очередь момент, создаваемый упорными подшипниками, при угловых перемещениях вала. Этот момент мы вычислим следующим образом. Обозначим вариацию безразмерного давления в смазочном слое при угловых перемещениях вала (см. рис. 20) через ДРуп. Эта вариация, действует на элементарной площадке ds 二 ra^dr и вызывает элементарную осевую силу dj» = раДРупг d(p dr. Соответствующий элементарный момент пары сил двух упорных пластин относительно центра О подшипника
d 刍口 = 2 (ОЛ х dFyJ =
go卜 刀0《0
=2 r cos фr sin ф - — = 2r (^ sin ср — r)° cos <p) dFyn. (5.86)
00dF^
В комплексной форме этот момент запишется так:
d% = 2 (г d尸уп sinф — itdFyncos 屮)工—2ire仰金勺匸(5.87)
、141
Интегрируя полученное выражение по всей несущей поверхности упорной площади syn, будем иметь
(①i)yn = — ^Ра J J г2 А/\пС'屮 d屮 dr.(5.88)
Gyn)
Знак минус, в формуле (5.88) соответствует случаю обращенного движения ротора гироскопа катушечного типа.
Для вычисления вариации ДРуп в нестационарном случае следует исходить из уравнения Рейнольдса (3.22). Величина R в уравнении (3.22) играет роль нормы и ее можно выбрать произвольно. Удобно принять R = %，где га ——внешний радиус упорной пластины ротора (см. рис. 23). В этом, случае будем иметь:
.(5.89) а уравнение (3.22) и граничные условия запишутся в виде:
击(环P器升得("Р票)=笈号智U
.十疗噌；..(5.9。)
P/r=U = Р/r=ra = 1； P/学=Р/叶 2m(5.91)
Граничные условия (5.91) здесь записаны для вентилируемого упорного' подшипника.
К решению задачи (5.90), (5.91) можно также применить обобщенный метод Р//-линеаризации, причем все выводы будут проводиться аналогично тому, как это было сделано для цилиндрического подшипника. Например, уравнение для функции 屮 = =HP в первом приближении будет аналогично (3.48) или (3.52)
(屮1)林一-證尸(用)$ + %(呼)力一与% = "/ + "出力.(5.92)
Функция зазора Н при учете симметричных угловых перемещений в первом приближении запишется аналогично (5.20)
Н = 1^7g (a cos (р + § sin 屮)+ пв (屮，0,(5.93)
а ее вариация в комплексной форме будет иметь вид, аналогичный (5.21),
А% =—-拉丁 (а 4-渺 e-節."(5.94)
Легко показать, что и уравнение для комплексной вариации в изо- бражениях Лапласа, аналогичное уравнению (5.22), может быть
получено из (5.92). R данном случае оно будет Иметь вид：
△羽^+ г(г(a/)；)；-宏j -s与A宏=,
т aт a
=依。一s) G + 审);(5-95)
ra з十七)
A%7r=g = A£r=% — 0； A%7(p — A%7(p+2jt・(5.96)
Решение задачи (5.95), (5.96) можно искать в виде, аналогичном (5.23),——
А% = 6, ^ (s, г, i) е-^ (а + 吊).(5.97)
Подставляя (5.97) в (5.95), получим уравнение для функции W(6,- г, i), решение которого представляется в бесселевых функ
циях.
Для выяснения влияния упорных подшипников на запас устойчивости подсистемы угловых колебаний ротора нет необходимости производить окончательное вычисление вариации АК Действительно, на пороге устойчивости при 5 — /%0 вариация обращается в нуль, что видно из (5.95). В силу этого установившийся момент сил реакции смазочной пленки двух упорных подшипников при симметричных конических колебаниях ротора на частоте полу- скоростного вихря запишется в следующем виде:
(史)уп = — 2ipa j J г2 AAyne" d(p dr =Gyn)
=-2ipa [[产(ЛЯ)уп = d^dr, (5.98)
(Syn)
где (ДЯ)уп —вариация функции зазора при конических колебаниях; (#о)уп ——невозмущенная функция зазора; тильда обозначает установившийся периодический режим с частотой полуско- ростного вихря; Жq ——комплексная функция, представляющая решение задачи статики для невозмущенного течения смазки в первом приближении по методу Р//-линеаризации.
(自)yn = - 2ipJ 卜仍協計(А现nd屮dr.(5.98‘)(syn)(自)yn = - 2ipJ 卜仍協計(А现nd屮dr.(5.98‘)(syn)Учитывая, что (<^0)уп =(屮о — ^о)уп = [(/>о)уп — 1 】"о, перепишем (5.98) в следующем виде:
(自)yn = - 2ipJ 卜仍協計(А现nd屮dr.(5.98‘)
(syn)
(自)yn = - 2ipJ 卜仍協計(А现nd屮dr.(5.98‘)
(syn)
Заметим теперь, что момент сил реакции радиального подшипника, который мы здесь обозначим через (①丄)р^, при тех же условиях в силу (5.31) запишется так:
(史)paA = -，％R 4- JJ 白卫皖廿。方)paad屮 dj. (5.99) (8раД)
Заметим, что в такой форме уравнения (5.98‘)и (5.99) пригодны для любого числа п канавок. 、
Результирующий момент, обусловленный угловыми колебаниями вала машины катушечного типа, найдется как сумма моментов (0% + (区储灯
■ Учитывая, что структура вариаций (Д^)уп и (Д^)рад одинаков3* можно сделать вывод» что упорные подшипники увеличивают запас устойчивости подсистемы угловых колебаний.
Все вышесказанное справедливо в первом приближении. Но если ввести поправку по методике, применявшейся нами в ц. 28, то получим практические формулы для вычисления запаса устойчивости, вносимого упорными подшипниками.
Когда колебания симметричны, полагая а + ^₽ = ре^т , где р — угловая амплитуда полускоростного вихря, представим вариации зазоров (ДЯ)уп и (ДЯ)рад в виде:
(5.100)(5.100)(△方)Ра“ = — ^тД^- р е(%。。一叫 + е-«-(ХоГ-ф));
(5.100)
(5.100)
(ае)y口 =^y^gp p (恭仪战一屮)+ g-f 竄。8一屮)).
Предполагая далее, что число канавок на несущих поверхностях как упорных, так и радиальных подшипников м》3, получим из (5.98‘)н (5.99): 丿
12)рад = к，(产亭E 产以。Т f f Y断idtp 心
i№(ОраД 十七 рад)*J」 (％)рад 屮、，
便％='亏早…h产■^曰⑷侬 (Syn)-.
Учитывая выражение для 〃' в условии устойчивости (5.49) н обобщая последнее на случай влияния упорных подшипников, получим его в виде:
(6рад + &ад) ("^А»)(6рад + &ад) ("^А»)PaRL3PaRL3-V等 @ + a")；-V等 @ + a")；(5.102)(5.102)
(6рад + &ад) ("^А»)
(6рад + &ад) ("^А»)
PaRL3
PaRL3
-V等 @ + a")；
-V等 @ + a")；
(5.102)
(5.102)
a' = ~Hk 唸竄1d屮時(5.ЮЗ)
•(Span)、
. a"=忘鬻i器4卜噺戸加dr.(5.104)
“(Syn)*
Коэффициент a" учитывает вклад пары упорных подшипников в общий запас устойчивости подсистемы угловых колебаний; (^о)рад и (Ро)уп вычисляются на основании решений краевых залач статики для центрального динамического положения равновесия ротора. Статические решения могут быть получены на 144
основе как обобщенного метода PH-линеаризации, так и любым другим способом. Наиболее просто интегралы в (5.103) и (5.104) вычисляются для ненагруженных подшипников со' спиральными и шевронными ^канавками. В этом случае (/>о)рад и (/>0)уп могут быть определены как средние асимптотические распределения давлений "м. гл. IV). '
ГЛАВА VI
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА И НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ГЛАДКИХ И ПРОФИЛИРОВАННЫХ ПОДШИПНИКОВ
Рассмотрим использование теоретических результатов предыдущих глав к решению некоторых задач, наиболее важной из которых является определение вихревой жесткости профилированного радиального подшипника. Эта задача является ключевой при расчете и проектировании машин, работающих в условиях инерционных перегрузок.
Вычисление вихревой жесткостицилиндрического подшипника с шевронными канавками.
、 Результаты теоретических исследований, проведенных в гл. V, показали, что мерой запаса устойчивости самогенерирующихся подшипников служит величина интеграла в (5.39) или (5.83). Эту величину мы условились называть вихревой жесткостью.
При проектировании машин (гироскопов), предназначенных для работы в условиях невесомости или переменных инерционных перегрузок, основным требованием, предъявляемым к газодинамическим подшипникам, является динамическая устойчивость равновесного режима вращения ротора. Очевидно, что при прочих равных условиях устойчивость будет тем быше, чем больше вихревая жесткость^ поэтому она может служить в качестве критерия оптимальности и при расчете параметров должна делаться максимальной. Другими словами, оптимизация параметров самогенерирующихся подшипников должна производиться по критерию максимума вихревой жесткости.
Полученные результаты позволяют произвести расчет вихревой жесткости радиального подшипника с любым периодическим профилем, но здесь мы подробно рассмотрим только шевронный подшипник со спиральными канавками прямоугольного профиля. Сопоставим результаты расчетов с экспериментальными данными Каннингема, Флеминга, Андерсеиа [48, т. 91, № 1 ]. Будем исходить из условия устойчивости (5.39), которое представим в виде +1 2 л'
畔抨弋仁卜叮5师g)
—1 о
10 В. Н. Дроздович145
где У% 三 Re ｛宏о｝三(Ро — 1) Но —функция распределения давления в стационарном режиме при нулевом эксцентриситете.
Рассмотрим цилиндрический подшипник с шевронными канавками, имеющими прямоугольный- профиль (см. рис. 22), протяженность канавок и выступов в направлении скольжения примем одинаковой, как это имело место в указанных экспериментах. Подшипник имеет две зоны нагнетания длиной 厶丿2 каждая, разделенные гладким пояском. Предполагая число канавок п достаточно большим, будем исходить из асимптотического решени-я (4.98).'
В силу симметрии рассмотрим половину подшипника. Согласно (4.98) при выполнении условия (4.96) будем иметь
i =旦_牌(1一盘)，°<寸三装；
отсюда, используя (6.1), найдем коэффициент вихревой жесткости а АЛ« одного подшипника
=一匸干(1-6)" 一痂十20(1 一匈；(6 2)
где
/ =戸(3 + 喇 笈 sin 2a.
2仇[(1 + 3t]2)2cos2 a + (1 —刀2)3 sin2 a]，
號=(1 —02 十 2 (1 —噌(1 — 0) 0.(6.3)
Учитывая (6.2) и (6.3), приведем условие (6.1) к форме, удоб- ■ ной для сопоставления,
而三而三炉LD炉LD(4"Y<*(n，a).(4"Y<*(n，a).(6.4)(6.4)ЗдесьЗдесь"(% a)="(% a)=д2 (I — г)”(3 + г]*) sin 2aд2 (I — г)”(3 + г]*) sin 2a(1 + П)【(I + 3“2)2 cos2 a + (1 —俏3 sin2 a],(1 + П)【(I + 3“2)2 cos2 a + (1 —俏3 sin2 a],(6・5)(6・5)
而三
而三
炉LD
炉LD
(4"Y<*(n，a).
(4"Y<*(n，a).
(6.4)
(6.4)
Здесь
Здесь
"(% a)=
"(% a)=
д2 (I — г)”(3 + г]*) sin 2a
д2 (I — г)”(3 + г]*) sin 2a
(1 + П)【(I + 3“2)2 cos2 a + (1 —俏3 sin2 a],
(1 + П)【(I + 3“2)2 cos2 a + (1 —俏3 sin2 a],
(6・5)
(6・5)
(6.6)(6.6)A6 阳 R2
(6.6)
(6.6)
Обозначение А дано no [46, t. 91, № 1 ], где 6 —минимальный зазор.
В левой части неравенства (6.4) стоит безразмерный комплекс М, который в работе Каннингема и др. [46, т. 91, № 1] называется безразмерной массой.
146
Правая часть в (6.4) представлена аналитически через безразмерные параметры Л, о。，п и угол наклона канавок а.
Напомним, что условие (6.4) выведено на основании асимптотического решения краевцй задачи для шевронного подшипника, которое справедливо при выполнении условий (4.69). Эти условия в данном случае перепишутся в виде:
Л《= —т：—；—2— ; о 三《tg а» (6.7) 、m (1—n) cos2 a，ft °
Результаты п. 18 позволяют оценить погрешность аппроксимации точного решения принятым здесь асимптотическим решением Уиппла. Погрешность можно учесть поправочным коэффициентом
__―,(6.8)
1 + — (1 — Л)4, Л2 cos4 а
который получается, если предположить, что интегральные характеристики (несущая способность, вихревая жесткость и т. д.) для подшипников с прямоугольным и синусоидальным профилем приблизительно подобны (см. гл. IV).
Таким образом, правая часть условия устойчивости (6.4), представляющая критическую безразмерную массу, убывает с увеличением параметра Л, вначале как Л"1, а затем как Л~з
= 一.(6.9)
仇 1_ (1一 -ц)4Л2 cos4 а
Графическое изображение функции (6.9) в плоскости параметров Л и Л1 будет определять границу области устойчивости, причем в области устойчивости должно выполняться условие М. <
В соответствии с выражениями (6.4) и (6.5) на рис. 30 построены границы областей устойчивости в плоскости параметров с^М и Л. Эти границы позволяют произвести сопоставление с данными экспериментов Каннингема и др. С этой целью расчитан коэффициент запаса устойчивости для пяти роторов, рассмотренных в указанной работе [46, т. 91, № 1 ], отличающихся лишь параметрами канавок, приводимых в табл. 1.-
На рис. 30 прямая / соответствует границе устойчивости, рассчитанной для оптимальных параметров: T|opt — 0,45; aOpt = 二 66°; £ = 1,亿=&), вычисленным по теоретическим формулам; прямая 3 — границе устойчивости для параметров:刀= = 0,31； 口 = 55°； £ — 0,6, имеющих место в экспериментах Каннингема.и др. (табл. 1), прямая 2 —границе устойчивости для параметров:刀=0,31; aOpt = 66°, J — L Пунктирные кривые соответствуют расчету границы устойчивости по методу узких канавок. На этом же рисунке нанесены точки, полученные из данных испытаний пяти роторов^ табл. 1. 10*
ииaaРис. 30Рис. 30Испытания проводились в двух серн成：а) с малыми зазорами от 8,9 до 12,7 мкм, соответствующие нм точки обозначены треугольниками,. а роторы — 4; б) с большими зазорами от 13,5 до 1 оИспытания проводились в двух серн成：а) с малыми зазорами от 8,9 до 12,7 мкм, соответствующие нм точки обозначены треугольниками,. а роторы — 4; б) с большими зазорами от 13,5 до 1 оразмеры подшипников принимались одинаковыми (2gM]—
и
и
a
a
Рис. 30
Рис. 30
Испытания проводились в двух серн成：а) с малыми зазорами от 8,9 до 12,7 мкм, соответствующие нм точки обозначены треугольниками,. а роторы — 4; б) с большими зазорами от 13,5 до 1 о
Испытания проводились в двух серн成：а) с малыми зазорами от 8,9 до 12,7 мкм, соответствующие нм точки обозначены треугольниками,. а роторы — 4; б) с большими зазорами от 13,5 до 1 о
2,75 кгс; L = D = 2R = 38 мм), В результате этих экспериментов было установлено, что полускоростной вихрь легко достигается лишь в серии испытаний с большими зазорами. На рис. 30
Таблица 1. Параметры экспериментальных роторов по [46, т. 91, № 1]
Обозначение ротора
мкм
6,
а°
Q
кр， .тыс.
■ об/мин
&
/I8九"%1
А-1
7,4
14,0
0,35
60
27,9
0,11
0,79
0,49
А-2
8,1
15,7
0,34
55
18,3
0,096
0,78
0,42
А-3
6,85
15,2
0,31
55
24,2
0,090
0,79
0,40
А-4
7,75
14,7
0,35
50
21,7
0,10
0,79
0,40
А-5
9,0
18,0
0,50
60
16,0
0,11
0,72
0,45 .
для точек, обозначенных треугольниками, по данным эксперимента при малых зазорах - возникновение полускоростного вихря не наблюдалось вплоть до угловых скоростей Q = 60 000 об/мин.
Заметим, что теоретические границы устойчивости были построены для aopt = 66°, тогда как в экспериментах а = 50+60°, однако расчеты показали, что это отклонение в угле а приводит к незначительному изменению положения границы области устойчивости. К такому же изменению области устойчивости приводит уменьшение параметра 刀 от оптимального значения 0,45 до 0,30. Это можно увидеть из сравнения границ устойчивости прямых /,
Из рис. 30 видно, что экспериментальные точки располагаются ближе к границе устойчивости, отвечающей оптимальным параметрам. Вследствие отклонений действительных форм несущих поверхностей подшипников от идеальных запасы устойчивости экспериментальных роторов оказываются несколько больше теоретических. Это превышение запаса устойчивости, как видно из рис. 30, незначительно.
Из проведенных теоретических исследований обратим внимание на следующее. 一
Оптимальные значения параметров (刀opt = 0,45 и aOpt = =66°) соответствуют максимуму запаса устойчивости для значений А, меньших Ат・ Эти значения были получены путем вьь числения максимума функции f± (tj, а), определенной формулой (6.5). Максимум этой функции равен 0,122. Подставляя оптимальные значения т), а и /х в формулу (6.9), получим уравнение границы области устойчивости
两к两к冉 2]冉 2](6.10)(6.10)
两к
两к
冉 2]
冉 2]
(6.10)
(6.10)
где Ам определяется по формуле (6.7).
При А' > Лт оптимальные значения а н 刀 будут другими и их уже надо определять из условия максимума функции (6.9). Большие значения Л соответствуют большим угловым скоростям Q или малым зазорам и здесь уже необходимо считаться с эффектом проскальзывания.
С целью сравнения теории с экспериментом при расчете границ областей устойчивости было принято о。= 1, но все выведенные формулы справедливы и для других значений а0. Из формулы (6.10) следует, что область устойчивости расширяется при уменьшении а0. Отсюда следуёт, что длина подшипника L оказывает существенное влияние на устойчивость. Вместо 6езраз~ мерной массы целесообразно рассматривать, величину ОоМ, при этом расчет устойчивости можно производить, используя области устойчивости на рис. 30..
Вычисление Лт для указанных выше параметров показы^ вает, что область устойчивости-^простирается в сторону увеличе-
149
ния Л значительно дальше, чем это предсказывается теорией Пэна | [54, т. 86}. Для оптимальных параметров (刀 0,45; а = 66°) J имеем Лт 弋 400.;j
29. Вычисление вихревой жесткостипростого цилиндрического подшипникапри постоянном эксцентриситете
Хорошо известно, что в простых цилиндрических самогенери- рующихся подшипниках стабилизация вала ротора обеспечивается за счет эксцентричного смещения положения динамического равновесия [53, т. 85, № 4; 54, т. 86]. В случае, если ротор устанавливается в двух коаксиальных цилиндрических подшипниках, необходимый эксцентриситет создается путем нагружения вала внешней радиальной силой, например силой тяжести. Отмечалось, что такой способ стабилизации не пригоден для машин с вертикальным валом или при отсутствии гравитационных нагрузок. Однако можно создать искусственное нагружение, например, путем применения подшипников с несколькими, втулками, эксцентрично расположенными относительно друг друга.
В соответствии с выводами предыдущих параграфов будем вычислять вихревую жесткость подшипников для случая центрального положения динамического равновесия.
Вихревая жесткость одного подшипника, состоящего из двух втулок (см. рис. 9), при наличии вентиляционного канала, соединяющего проточку между втулками с окружающей атмосферой, может быть найдена как сумма вихревых жесткостей двух простых цилиндр и ческих подшипников.
Устойчивость вала в простых цилиндрических подшипниках, находящихся под постоянной нагрузкой, исследовалась в ряде работ [44; 53, т. 85, № 4; 54, т. 87, № 1 ] и др. Результаты большинства этих работ представлены в виде диаграмм, причем так, что один из определяющих параметров зависит от нагрузки. Для рассматриваемой здесь задачи более удобными являются диаграммы устойчивости, не содержащие нагрузки. Такие диаграммы были построены в работе Кастелли и Элрода [54, т. 87, №」].
Следуя С. А. Шейнбергу [58], примем результаты работы [54, т. 87, № 1 ] в качестве эталона для сравнения и попытаемся найти приближенное аналитическое представление критерия устойчивости.•
Будем вычислять коэффициент а вихревой жесткости одной втулки при постоянном эксцентриситете 8 = 80. Заметим, что применить непосредственно формулу (5.83) нельзя, так как эта формула выведена применительно к случаю п 3. В данной задаче n = 1 и коэффициент вихревой жесткости а должен вычисляться иначе.
Будем исходить из решения нестационарной краевой задачи (5.71) для цилиндрического подшипника с гладкой втулкой (и = 150
-—-cos ф), и вычислим коэффициент вихревой жесткости в предположении, что орбита вихревого0 движения круговая, а частота полускоростного вихря на границе устойчивости близка к Q/2. Для этого воспользуемся формулами (5.63) и (5.68), которые дают
2л
]Jj (冢一箒△方)e'@d屮典.(6.11) o(S)■°°
Здесь AV и \H—установившиеся вариации, соответствующие микровихрю,
aН =^" р停尊人一叫 + g-t з—а)；
‘- %cos 中；A^=Re{A把}.(6.12)
Что касается 厶声，то ее можно найти исходя из (5.12)
0 = ge {例-
=等 W(s/,i)eTw^i + /s/, —i)e师友;],(6.13) где Aei — А空 + iA%； Asi =厶空一/Леп.
Для установившегося вихря имеем:
縞=р/х^ ;友;=p「"w.(6.14)
Переходя в (6.13) от йзображений Лапласа к функциям времени, учитывая (5,14) и рассматривая каждое слагаемое как независимую реакцию на гармоническое воздействие, получим для установившегося режима при s =玖。
(6.15)(6.15)g； h号1屮為(s)g； h号1屮為(s)什1 = }[/城，备 i)ef)爲 + 取(一次，g,T)e‘0友;1 =0. Учитывая это обстоятельство и подставляя (6.12) в (6.11) после интегрирования по т, найдем
(6.15)
(6.15)
g； h号1屮為(s)
g； h号1屮為(s)
чением.Заметим, чточением.Заметим, чтоотличаетсяотличаетсяЭтот результат является приближенным и должен быть уточнен. Прежде всего необходимо уточнить функцию под знаком интеграла, что можно сделать с помощью аддитивной поправки (4.18) к функции 九丄.Кроме того, можно произвести коррекцию формулы (6.15) путем сравнения асимптотического значения а из (6.15) при %о — +оо с его истинным асимптотическим зна-
чением.
Заметим, что
чением.
Заметим, что
отличается
отличается
намеченный здесь путь - уточнения
от обычного. Последний долженот обычного. Последний долженбыл бы заключаться в вычис
от обычного. Последний должен
от обычного. Последний должен
лении динамической поправки клении динамической поправки кпервому приближению А 匕
лении динамической поправки к
лении динамической поправки к
151
согласно формуле (5.78), что, однако, связано с громоздкими вм； кладками. Поэтому довольствуемся на 1-м этапе только статиче- ^ ской поправкой А°(《)， которая уже вычислена в п. 15. j
Таким образом, на первом этапе из (6.15) с учетом (4.18), (4.19) получаем
（S）
+1 2л
=今J d][靑Re仍一呼+靑（Re｛外一士肝）卜屮=
—1°Л
е0Х§е0Х§-2(1+嘘)-2(1+嘘)d①+等%d①+等%• (6.16)• (6.16)0Учитывая выражение для "° из (6.12) и вычисляя после проведения необходимых выкладок, получим0 笈/1十温0Учитывая выражение для "° из (6.12) и вычисляя после проведения необходимых выкладок, получим0 笈/1十温интегралы,интегралы,4（1-諸严4（1-諸严(6.17)(6.17)
е0Х§
е0Х§
-2(1+嘘)
-2(1+嘘)
d①+等%
d①+等%
• (6.16)
• (6.16)
0
Учитывая выражение для "° из (6.12) и вычисляя после проведения необходимых выкладок, получим
0 笈/1十温
0
Учитывая выражение для "° из (6.12) и вычисляя после проведения необходимых выкладок, получим
0 笈/1十温
интегралы,
интегралы,
4（1-諸严
4（1-諸严
(6.17)
(6.17)
Здесь Ло и Во о。)из (4.24),Здесь Ло и Во о。)из (4.24),вещественная и мнимая части интеграла ^7 (%0,вещественная и мнимая части интеграла ^7 (%0,
Здесь Ло и Во о。)из (4.24),
Здесь Ло и Во о。)из (4.24),
вещественная и мнимая части интеграла ^7 (%0,
вещественная и мнимая части интеграла ^7 (%0,
4 = Re {夕；& = Im {%4 = Re {夕；& = Im {%(6.18)(6.18)
4 = Re {夕；& = Im {%
4 = Re {夕；& = Im {%
(6.18)
(6.18)
“Полученная формула (6.17) дает оценку коэффициента вихревой жесткости одного цилиндрического подшипника с учетом торцевой утечки. Для апробирования этой формулы сравним результаты вычисления а по формуле (6.17) с численными данными Костелли и Элрода. [54, т. 84, № 1] и С. А. Шейнберга [58]. Сравнение это можно сделать, если заметить, что на диаграмме устойчивости, приводимой в работе Кастелли и Элрода [54, т. 87, № 1 ], по оси абсцисс откладывается величина %0/о, а по оси ординат ——критерий устойчивости М、— 4а. Следует также учесть, что результаты этой работы относятся к цилиндрическому подшипнику бесконечной длины, тогда в (6.17) необходимо положить 儿=1； Во = 0.'
Величина(^厶 фигурирующая в критерии устойчивости Кастелли и Элрода, может быть вычислена по формуле
弛=(1_第2•(619)
На рис. 31 показано сравнение диаграмм устойчивости, полученных по теории автора — кривые / и по теории Кастелли и Элрода —кривые 2 для значений 80 = 0,4 и 80 = 0,2.
Из диаграммы видно, что расхождение имеет место особенно при больших таслах сжимаемости х0 и больших %. Качественно же результаты согласуются хорошо.
152х
Для количественного уточнения формулы (6.17) рассмотрим асимптотику при %。一＞ +оо. Из рис. 31 видно, что параметр о^, а следовательно а при увеличении Хо стремится к некоторому предельному значению, которое зависит только от %.
Будем исходить из того, что периодическое решение Р//-линеаризованной краевой задачи, отвечающее вихревому движению шипа при хо — °°，стремится к некоторому пределу Т1ОО, которое может отличаться от истинного предельного значения 中8 при тех же граничных условиях некоторым периодическим членом
готическое значение решения
точного уравнения Рейнольдса, так как краевая задача "
в пределе имеет разрывные граничные условия. В силу этого искомое асимптотическое решение будем искать исходя из модельного решения при конечных %0 путем предельного перехода.
Малые поступательные колебания шипа в окрестности смещенного положения равновесия описываются уравнением (5.33). Если подставить в это уравнение AJ из (5.18) и представить вариацию зазора в изображениях Лапласа ”
ДЯ=—4 (尸中 ^] + 产友;)， (6.22)
то оно запишется в таком виде:
仇旷（S, * i） + y。 瑤仇旷（S, * i） + y。 瑤dtp dg —dtp dg —%闪(5, & 一Q + 匕)%闪(5, & 一Q + 匕)产中 d(p^ + AF1B,产中 d(p^ + AF1B,(6.23)(6.23)
仇旷（S, * i） + y。 瑤
仇旷（S, * i） + y。 瑤
dtp dg —
dtp dg —
%闪(5, & 一Q + 匕)
%闪(5, & 一Q + 匕)
产中 d(p^ + AF1B,
产中 d(p^ + AF1B,
(6.23)
(6.23)
где M =JAi^lpaRL-, 九=屮。一％;-匕)一стационарное решение; AF1B.— внешнее возмущение.
Уравнение (6.23) содержит неизвестные As и
иметь систему:иметь систему:уравнение может быть получено как сопряженное, будем
иметь систему:
иметь систему:
△£：. ВтороеВ результате△£：. ВтороеВ результате拡卞+ "修'"学dg+
△£：. Второе
В результате
△£：. Второе
В результате
%o J J/
\ (S)\ (S)(s)/
\ (S)
\ (S)
仇取'+ 匕)尸2® J «С. I "7~ .
^2 e dtp dj ) △% +
Здесь и томЗдесь и томзвездочка обозначает сопряженные операторы при одномзвездочка обозначает сопряженные операторы при одномже операционном параметре s.Для исследования устойчивости составим характеристическийже операционном параметре s.Для исследования устойчивости составим характеристическийопределитель и приравняем его нулюопределитель и приравняем его нулюA (s,拡)三 I М *A (s,拡)三 I М *Х V xj +Х V xj +（S）（S）(s)(s)勺修^ у。拠d（pdH х勺修^ у。拠d（pdH хXX(6.24)(6.24)
Здесь и том
Здесь и том
звездочка обозначает сопряженные операторы при одном
звездочка обозначает сопряженные операторы при одном
же операционном параметре s.
Для исследования устойчивости составим характеристический
же операционном параметре s.
Для исследования устойчивости составим характеристический
определитель и приравняем его нулю
определитель и приравняем его нулю
A (s,拡)三 I М *
A (s,拡)三 I М *
Х V xj +
Х V xj +
（S）
（S）
(s)
(s)
勺修^ у。拠d（pdH х
勺修^ у。拠d（pdH х
X
X
(6.24)
(6.24)
Для определения границы устойчивости положим s = Zv и составим два уравнения:
Re{A (tv,找)} нО; Im {Д (iv, о^)} = 0.(6.25)
=i(V - 笈).京* =步*=iv 1 +，(V — Xo)—s=.=i(V - 笈).京* =步*=iv 1 +，(V — Xo)—s=.Г = ГГ = ГОграничимся случаем о。= D1L — 0. Тогда согласно (5.14)
=i(V - 笈).京* =步*
=iv 1 +，(V — Xo)—s=.
=i(V - 笈).京* =步*
=iv 1 +，(V — Xo)—s=.
Г = Г
Г = Г
= i (v + 笈)
Dv 1 十 i (v + %。)•
(6.26)
Рассмотрим уравнения (6.25) в предельном случае при 断一 +<х). Для упрощения вывода воспользуемся известным свойством угловой скорости V полускоростйого вихря [54, т. 87, № 3]
(6.27)(6.27)lim / = 1,%0一》十8 Л0
(6.27)
(6.27)
отсюда будем иметь:
(6.28)(6.28)历8=limR = 0; Г： = limF* = 1.
(6.28)
(6.28)
*0今+8*0今 + 8
Учитывая все это и используя (6.24)； можно получить предельное характеристическое уравнение, соответствующее %0 一 4-оо.
Введем обозначения для асимптотических значений интегралов, входящих в (6.24):
dtp dg = 4&o；dtp dg = 4&o；d(p dg =d(p dg =(S)(S)e^d^dZ^b^e^d^dZ^b^d(p dg — boo + Gw.d(p dg — boo + Gw.(6.29)(6.29)
dtp dg = 4&o；
dtp dg = 4&o；
d(p dg =
d(p dg =
(S)
(S)
e^d^dZ^b^
e^d^dZ^b^
d(p dg — boo + Gw.
d(p dg — boo + Gw.
(6.29)
(6.29)
Учитывая эти обозначения и подставляя в (6.24) вместо s значение ，％(), получим
(4。。0 Q/^)'+ q7 ОО (4% Q/^) bio bgGg = 0.(6.30)
ший корень= 4aoeший корень= 4aoe2（県土空*2（県土空*(6.31)(6.31)Квадратное уравнение (6.30) имеет два вещественных корня, порогу возникновения полускоростного вихря отвечает наимень
ший корень
= 4aoe
ший корень
= 4aoe
2（県土空*
2（県土空*
(6.31)
(6.31)
Этот корень и есть искомое асимптотическое значение критерия устойчивости, обозначенного в работе [581 через s:
；o^i = lims.(6.32)
С помощью (6.31) можно вычислить поправку к формулам (6.17) и (6.19). Исходя из (6.29) и принимая во внимание, что
Pg 三 Woo — "о = J/ 1 Т^ So — "о,(6.33)
получим:
"(Ro-1 + 喲.(Т产，"(Ro-1 + 喲.(Т产，匕8 + Gg = 4л 屮 8匕8 + Gg = 4л 屮 8阕+2(1—喻 3/2 — 2阕+2(1—喻 3/2 — 2GooGoo2 — 22 — 2(6.34)(6.35)(6.36)(6.37)(6.34)(6.35)(6.36)(6.37)
"(Ro-1 + 喲.
(Т产，
"(Ro-1 + 喲.
(Т产，
匕8 + Gg = 4л 屮 8
匕8 + Gg = 4л 屮 8
阕+2(1—喻 3/2 — 2
阕+2(1—喻 3/2 — 2
Goo
Goo
2 — 2
2 — 2
(6.34)
(6.35)
(6.36)
(6.37)
(6.34)
(6.35)
(6.36)
(6.37)
С помощью полученных выражений можно получить точную оценку вихревой жесткости в асимптотике. Легко видеть, что второй член в (6.31) является аддитивной поправкой к предельной вихревой жесткости 4а, вычисленной по формуле (6.16). Обозначая эту поправку через Д-, представим (6.31) в виде
找1 = 4а — Доо. (6.38)
、Используя полученные выше формулы, вычислим аддитивную поправку приближенно с точностью до 0 (呦.Для этого разложим выражения (6.33)——(6.37) в ряды по степеням 80 и отбросим члены выше четвертого порядка. В результате получим следующее выражение： ,
(6.39)(6.39)по формулампо формулам(6.40)(6.40)Доо f^—^-冗8彳 +
(6.39)
(6.39)
по формулам
по формулам
(6.40)
(6.40)
Главную часть критерия (6.31) можно вычислить (6.33) и (6.34)
4a _ 4〃(L -1+ 喻.7崎
0T 尸〜(fa .
Сопоставляя (6.40) с (6.19), замечаем, что приближенное значение критерия устойчивости (6.19) отличается от точного значения главной части 4〃8 членами. 0 (圖).Кроме того, необходимо учитывать аддитивную поправку (6.39). Скорректированное выражение критерия устойчивости, соответствующее формуле (6.19), можно записать в виде ‘
加lh一::产一A"壹.加lh一::产一A"壹.(Q.41)(Q.41)
加lh一::产一A"壹.
加lh一::产一A"壹.
(Q.41)
(Q.41)
Таким же образбм МбЖйО уточнись и формулу для коэффициента вихревой жесткости в случае подшипника конечной длины (о0 >
>0)
（642）
Результаты вычисления асимптотических ^значений критерия устойчивости по формуле (6.41) и соответствующие данные работы Кастелли и Элрода [54, т. 87, № 1 ] приведены в табл. 2.
w
1
сг
с5а
百色星
d次
0,1
0,22
0,24
0,0005
9
0,2
0,94
0,74
0,008
20
0,4
4,4
3,5
0,12
20
0,6
15,0
12,0
0,61
20
Таблица 2. Сравнение значений 成^Таблица 2. Сравнение значений 成^системы цилиндрических втулоксистемы цилиндрических втулокИз сравнения видно, что численные данные работы 1 154, т. 87, № 1 ] при больших %0 отличаются от асимптотических значений примерно на 20%, тогда как результаты вычисления по приближенной формуле (6.19) отклоняются при больших х0 от асимптотических значений приблизительно на 2 — 3%.
Таблица 2. Сравнение значений 成^
Таблица 2. Сравнение значений 成^
системы цилиндрических втулок
системы цилиндрических втулок
Выведенная выше формула (6.17) или уточненная формула (6.42) дают возможность оценить зарас устойчивости одного цилиндрического подшипника и
в случае составного подшипникав случае составного подшипника(см. рис. 9).
в случае составного подшипника
в случае составного подшипника
Проще всего это можно сделать в случае двух втулок при отсутствии радиальной нагрузки, когда эксцентриситет 80 определяется только относительным смещением втулок.
При наличии нагрузки необходимо предварительно определить эксцентриситеты для каждой втулки отдельно исходя из уравнений статики. ，
Критерий устойчивости для цилиндрического подшипника с гладкими втулками можно представить в такой же форме как и в случае шевронного подшипника (см. п. 28). Рассмотрим критерий- устойчивости для двухвтулочного ненагруженного подшипника. Чтобы получить выводы, аналогичные выводам п. 28, отнесем безразмерную массу к минимальному зазору %iri
(6.43)(6.43)MjpaR / 九min、5
(6.43)
(6.43)
Здесь M] ——масса, приходящаяся на одну втулку; Лх ——длина одной втулки； /zmin = 6 —с。——минимальный зазор; 6 ——средний зазор; с。一эксцентриситет.
Число сжимаемости отнесем также к минимальному зазору
加== 孕 У =А(1_*,(6.44)
гдегдера^ '笃—「ра^ '笃—「(6.45)(6.45)
где
где
ра^ '笃—「
ра^ '笃—「
(6.45)
(6.45)
Здесь 6 не минимальный (в отличие от п. 28), а средний зазор между валом и втулкой, минимальный же зазор в данном параграфе обозначен через hmln и равен 6 ——е0. Учитывая сказанное, можно вывести условие устойчивости, аналогичное условию (6.4) предыдущего параграфа. Для этого надо в (6.1) подставить выражение для а из (6.42) и сделать необходимые преобразования. В результате получим
"＜疏1 + ^(1-^ [4 + Л(1-^ ] •(6・46)
Здесь М ——безразмерная масса, определенная в (6.4); 4。и 50 зависят от о。, Л и 13 и определяются согласно формулам:
Aq — Re {^7}; Bq = Im {^7),где ^ —определено в п. 16 (приложение 2).
Для длинного подшипника, когда для каждой втулки о。= — D/L《 1, можно положить 4。^1; В。q 0. Тогда из (6.46) получается условие устойчивости
М 一 12%紹(1一》)3 .
/同 V _ 哨3/2 [1 + А2(1 —联]・ 丿 Исходя из условий (6.46) или (6.46‘)，можно произвести исследование устойчивости машины (гироскопа) по заданным параметрам и изучить влияние каждого параметра на запас устойчивости; в частности, можно рассмотреть вопрос об оптимизации при некоторых ограничениях [58].,
В качестве критерия оптимальности здесь следует принять максимум запаса устойчивости при ограничениях, накладываемых на минимальный зазор hmin и прочие параметры. В качестве варьируемого параметра удобно взять величину 刀 二 /zmin/6, при hmln — 二 const, тогда оптимизация будет сводиться к определению экстремума правой части выражения (6.46). Для случая длинного подшипника о。《1 н малых Л оптимальное значение 刀 можно найти, исследуя на максимум коэффициент
(6.47)(6.47)出2 （1 一出）5（1 一出2产2
(6.47)
(6.47)
Дифференцируя это выражение и составляя необходимое условие экстремума, получим квадратное уравнение
d + ^n — ； = 0.(6.48)
Отсюда находим искомое оптимальное значение
刀opt Q 0,32.,(6.49)
Следует заметить, что этот результат получен при сильных ограничениях. В общем случае 刀opt зависит от Л и с его увеличением растет, кроме того, на величину 刀opt оказывает влияние торцевая утечка.
Если утечку не учитывать о。一 0, то из (6.46') можно установить, что:'
Нт* (Л) = 1.(6.50)
Л->-|-00,
Таким образом, в зависимости от Л оптимальное 刀 может принимать различные значения в промежутке от 0,31 до 1.
На основании вышеизложенного можно сделать следующие предварительные выводы.
Оценка вихревой жесткости по формуле (6.17) или критерия устойчивости оМ、по формуле (6.19) при достаточно'больших числах сжимаемости %0 лучше согласуется с асимптотической оценкой, чем результаты численных расчетов Кастелли и Элрода [54, т. 87, № 1].
Допущение о близости орбиты вихревого движения на границе устойчивости к круговой оправдывается, по крайней мере, в асимптотике при больших значениях %0. Вместе с тем оправдывается приближенный метод расчета вихревой жесткости на базе решения Р//-линеаризованной краевой задачи газовой смазки с учетом второго приближения.
Формула (6.17) применима как для одного цилиндрического подшипника, так и для системы цилиндрических втулок, смещенных эксцентрично относительно друг друга и имеющих между собой вентилируемые проточки. Вихревая жесткость такого составного подшипника найдется как сумма вихревых жесткостей его частей.
Вихревая жесткость цилиндрических подшипниковс синусоидальным профилем
Результаты, изложенные в предыдущем параграфе, можно распространить на многолепестковые цилиндрические подшипники с синусоидальным профилем [46, т. 91, № 1J. Частным случаем таких подшипников является эллипсный подшипник.
Методика вывода формулы для коэффициента вихревой жесткости а остается такой же, как и в п. 29, необходимо лишь в (6.16) подставить соответствующие значения величин У10, До и HQ. Yq — У。]十 До для многолепесткового подшипника можно получить из (4.43), если положить р = 0 и отбросить первые два члена, представляющие собой Н『
В результате получим
У。=У。1 + % = 1) Re {九e-f + 不(Re {%} 一 ；力了)，(6.51)
где /п при любом п определяется по (4.34).
Для многолепесткового подшипника функция зазора, отвечаю- :^В щая равновесному положению вала,
儿=1 — tjcos n(p.(6.52)
Подставляя (6.51) в (6.16), получимД
+ ] 2л /
/2л2л
Здесь % = 鲁； хо = §請2,；刀= 3 "片,1] играет роль экс- fl центриситета %; 6 —средний зазор; £ = (/imax —啞口)1/2. Я Вычисляя интегралы, которые будут иметь те же значения, что и для расчета кругового подшипника (при п = 1), получим ； следующий результат:-
' 小£严 Т>(4 +分• '(6.54)：
Величины А и В будут зависеть в данном случае от % — %0/п; о = о0/и и могут быть вычислены из (4.24) с помощью приложения 2.
Формула (6.54) отличается от аналогичной формулы для простого цилиндрического подшипника значениями параметров % и о. Эта формула может быть уточнена путем вычисления асимптотического значения коэффициента а, при % —> +оо путем, указанным в п. 29./
Заметим, что коррекция по асимптотике при и ^ 3 будет давать незначительную поправку, обусловленную лишь погрешностью метода РЯ-линеаризации во втором приближении. Для эллипсного подшипника эта поправка может быть вычислена так же, как и в п. 29, при этом надо учесть в формуле (6.39) другие значе- ' ния bg, Goo и 夕8, определяемые интегралами в (6.29).
126口刀2 (1 —哨5126口刀2 (1 —哨5М V頑=М V頑=(6.55)(6.55), Рассмотрим эллипсный подшипник. Если для простоты пренебречь торцевой утечкой и выразить %。 через Л по формуле 、, (6.44), то можно из (6.54) получить условие устойчивости, аналогичное (6.46'),
126口刀2 (1 —哨5
126口刀2 (1 —哨5
М V頑=
М V頑=
(6.55)
(6.55)
4(1 —m)3/2 [1 + 0,25 (1 一 *4 a2]'
где М —безразмерная масса, которая определяется так же, как и в (6.4).
Из сравнения (6.55) и (6.46') видно, что свойства эллипсного подшипника аналогичны свойствам двухвтулочного цилиндри- 160
ческого подшипника, но максимальный возможный запас устойчивости эллипсного подшипника при прочих равных условиях будет меньше чем цилиндрического.
Для эллипсного подшипника с малой относительной длиной, когда о0 = D/L > 1, правая часть неравенства (6.55) должна быть умножена на коэффициент утечки
кут = 4 +入(1吃 П户•
Постоянные А и В могут б&ть определены также из (4.24) с помощью приложения 2. .
Рассмотрим пример. Пусть эллипсный подшипник имеет следующие геометрические параметры: £> = 50 мм; L = 150 мм; 用max = 26,7 МК； %п = 14,0 МК.
Таблица 3. Параметры QKp и Л для экспериментальных роторов
Наименование ротора
Масса вала, кг
Для вертикального вала
Пороговая скорость £2Кр для горизонтального вала, об/мин'
(эксперимент)
Q, об/мин (эксперимент)
Л (расчет)
р-1
10,9
18 000
6,8
20 000
Р-2
21,8
15 000
5,7
16 000
р-з
32,7
11 000
4,16
13 000
Экспериментальные данные по этому подшипнику имеются в работе 141 ], некоторые из них приведены в табл. 3, где указаны также значения чисел сжимаемости Л, рассчитанных по формуле (6.45).
Построим границу .области устойчивости в плоскости параметров М Л. Для этого вычислим
- n 一 九тaX 一九min 一 26,7 - 14,0 _nq[П 一 十方侬口 — 26,7+14,0 —
Подставляя 刀 в правую часть (6.55), получим уравнение границы области устойчивости. Область устойчивости и данные экспериментов с. вертикальными валами из табл. 3 представлены на рис. 32, где точками показаны расчетные значения, соответствующие экспериментальным, показанным крестиками. Из рис. 32 видно, что в двух случаях из трех теория хорошо согласуется с экспериментом.
161161Рассмотрим еще вопрос о выборе оптимального Т]. В предыдущем параграфе говорилось, что T)Opt зависит от Л. Если А = 0, то оптимальное значение близко к значению 0,31, что видно из графика, построенного на рис. 33.
161
161
11 В. Н. Дроздович
На рис. 32 кривые устойчивости построены для двух значений т], равных 0,31 (оптимальное) и 0,5.
Рассмотрим ротор р-2 (см. табл. 3) и вычислим его безразмерную массу по формуле (6.4)
布=/ Яm1п \521,8・2,5，(14)5.10一如
"丄= 炉5 \- 981，15-5， I,* (2,5)，10-20 ~u,jl
Будем увеличивать /?тах, оставляя все прочие параметры неизменными, при этом будет увеличиваться параметр 斗 В результате граница области устойчивости деформируется (рис. 32), но расчетная точка р-2 остается на прежнем месте, так как при измене
нии Т] И Zlmax величины М. и Л остаются постоянными. Примем новое значение т] = 0,5 и, подставив его в правую часть (6.55), построим новую границу. Из рис. 32 видно, что от новой границы точка р-2 будет отстоять дальше и, следовательно, запас устойчивости ротора увеличится.
Исследование устойчивостиравновесного режима вращенияротора гироскопа в кардановомподвесе
*С целью выяснения условий
работы газодинамических подшипников в гироскопических приборах рассмотрим модель сим
метричного уравновешенного гироскопа, вал ротора которого установлен в газодинамических опорах катушечного типа (см. рис.[17). Кожух гироскопа предполагается установленным в идеаль-
ном кардановом подвесе, допускающем угловые перемещения относительно двух ортогональных осей.“-Рассматриваемая модель может служить схемой поплавкового гироскопа с тремя степенями свободы.Будем изучать малые колебания гироскопа с учетом тольконом кардановом подвесе, допускающем угловые перемещения относительно двух ортогональных осей.“-Рассматриваемая модель может служить схемой поплавкового гироскопа с тремя степенями свободы.Будем изучать малые колебания гироскопа с учетом толькоугловых перемещений в условиях невесомости, например, в условиях лаборатории, находящейся на орбите спутника Земли.Перекрестными связями между подсистемами угловых и поступательных движений ротора и кожуха будем пренебрегать, пред-угловых перемещений в условиях невесомости, например, в условиях лаборатории, находящейся на орбите спутника Земли.Перекрестными связями между подсистемами угловых и поступательных движений ротора и кожуха будем пренебрегать, пред-полагая их достаточно малыми.Для простоты пренебрежем также влиянием упорных пластин, которые при угловых колебаниях будут несколько увеличивать угловую жесткость подвеса, и примем эллипсоид инерции кожуха симметричным.Предположим далее, что ротор и кожух совершают малые колебания в окрестности положения, в котором ось фигуры ротора перпендикулярна оси OY наружной рамки карданова подвеса (рис. 34). В этом случае уравненияполагая их достаточно малыми.Для простоты пренебрежем также влиянием упорных пластин, которые при угловых колебаниях будут несколько увеличивать угловую жесткость подвеса, и примем эллипсоид инерции кожуха симметричным.Предположим далее, что ротор и кожух совершают малые колебания в окрестности положения, в котором ось фигуры ротора перпендикулярна оси OY наружной рамки карданова подвеса (рис. 34). В этом случае уравнениямалых колебаниймалых колебанийкожуха будем пренебрегать, пред-кожуха будем пренебрегать, пред-М2М2Рис. 34Рис. 34ОбозначаяОбозначаякожуха некожуха несодержать гироскопических членов.содержать гироскопических членов.1 комплексные угловые отклонения осей фигур1 комплексные угловые отклонения осей фигуркожуха от оси дующем виде:кожуха от оси дующем виде:через AU ротора ичерез AU ротора иOZ, запишем уравнения малых колебаний в сле-OZ, запишем уравнения малых колебаний в сле-
ном кардановом подвесе, допускающем угловые перемещения относительно двух ортогональных осей.“-
Рассматриваемая модель может служить схемой поплавкового гироскопа с тремя степенями свободы.
Будем изучать малые колебания гироскопа с учетом только
ном кардановом подвесе, допускающем угловые перемещения относительно двух ортогональных осей.“-
Рассматриваемая модель может служить схемой поплавкового гироскопа с тремя степенями свободы.
Будем изучать малые колебания гироскопа с учетом только
угловых перемещений в условиях невесомости, например, в условиях лаборатории, находящейся на орбите спутника Земли.
Перекрестными связями между подсистемами угловых и поступательных движений ротора и кожуха будем пренебрегать, пред-
угловых перемещений в условиях невесомости, например, в условиях лаборатории, находящейся на орбите спутника Земли.
Перекрестными связями между подсистемами угловых и поступательных движений ротора и кожуха будем пренебрегать, пред-
полагая их достаточно малыми.
Для простоты пренебрежем также влиянием упорных пластин, которые при угловых колебаниях будут несколько увеличивать угловую жесткость подвеса, и примем эллипсоид инерции кожуха симметричным.
Предположим далее, что ротор и кожух совершают малые колебания в окрестности положения, в котором ось фигуры ротора перпендикулярна оси OY наружной рамки карданова подвеса (рис. 34). В этом случае уравнения
полагая их достаточно малыми.
Для простоты пренебрежем также влиянием упорных пластин, которые при угловых колебаниях будут несколько увеличивать угловую жесткость подвеса, и примем эллипсоид инерции кожуха симметричным.
Предположим далее, что ротор и кожух совершают малые колебания в окрестности положения, в котором ось фигуры ротора перпендикулярна оси OY наружной рамки карданова подвеса (рис. 34). В этом случае уравнения
малых колебаний
малых колебаний
кожуха будем пренебрегать, пред-
кожуха будем пренебрегать, пред-
М2
М2
Рис. 34
Рис. 34
Обозначая
Обозначая
кожуха не
кожуха не
содержать гироскопических членов.
содержать гироскопических членов.
1 комплексные угловые отклонения осей фигур
1 комплексные угловые отклонения осей фигур
кожуха от оси дующем виде:
кожуха от оси дующем виде:
через AU ротора и
через AU ротора и
OZ, запишем уравнения малых колебаний в сле-
OZ, запишем уравнения малых колебаний в сле-
(6.56)(6.56)/ Ai/— tKg AU — — i AZ】；［
(6.56)
(6.56)
Здесь AU = a + 帀；А/ = a】+ ф1； A<g\ = A^ + 必①刀; AZib = AZ^b + 丛①咿；/,厶—экваториальные моменты инерции соответственно ротора и кожуха; К。= /0Q —кинетический момент ротора; А% и 厶①心一комплексные восстанавливающий и возмущающий моменты.
Так же как и в п. 24, А% в первом приближении представляется с помощью передаточной функции, только в данном случае восстанавливающий момент А<2\ будет зависеть от разности угловых смещений AU —AU「R изображениях Лапласа этот момент запишется в виде
(6.57)163(6.57)163А% = — ipaRUGi (s, 0 (zW — AU)
(6.57)
163
(6.57)
163
где &(s，i) — передаточная функция подшипника находится из решения нестационарной краевой задами газовой смазки； ее асимптотическое представление имеет вид (5.45).
Пусть ротор и кожух совершают малые угловые колебания вокруг общей неподвижной точки, когда соответствующие уравнения, описывающие эти колебания, могут быть получены из (6.56) и (6.57) путем преобразования по Лапласу при нулевых начальных условиях:
(W82-^8)血=—© (s, i)。"一加J
(6.58)
談耦尹W-G(s,i)阈-Aa)+流.
Напомним, что эти уравнения справедливы лишь в условиях невесомости и в случае, когда оба тела — ротор и кожух'— имеют симметричные эллипсоиды инерции, а их центры масс в состоянии динамического равновесия совпадают с точкой пересечения осей идеального карданова подвеса. Кроме того, следует иметь в виду, что представление реакции подшипника с помощью передаточной функции в форме (5.45) справедливо лишь в рамках Р//-линеаризованной теории газовой смазки.
Таким образом, мы имеем дело с математической моделью первого приближения, что, однако же, не мешает использовать ее для качественного исследования.
Комбинируя уравнения (6.58), можно свести их к одному относительно разности SZ7—瓦\：
咆 $ — 2paRL^ 4paRL^ 十
■ + Gi (s，0 (-^ -^ «2 - ^^F s) ](^- д^)=
互T6 + 2"。r厚笈S)麻声. (6•59)
Из этого уравнения можно получить характеристическое уравнение. Нулевой корень не является полюсом передаточной функции замкнутой системы, описываемой уравнением (6.59), в силу чего при рассмотрении только относительных колебаний ротора и кожуха характеристическое уравнение запишется в виде
(夢 s —木。)4 %2 2 炉 + G] (s, i) [ ”” S — 木。]=0.
(6.60)
В левой части этого уравнения множитель Gg /) является, вообще говоря, мероморфной функцией, все полюсы которой имеют отрицательные вещественные части; в случае цилиндрического профи-
лированного подшипника достаточно большой длины он имеет
асимптотическое представление (5.45).
Уравнение (6.60) можно переписать в виде
(6.61)(6.61)1 + Gi (s, i) G2 (s, 0 = 0.
(6.61)
(6.61)
Здесь согласно (5.45)
9)= %"Ш4,9)= %"Ш4,(6.62)(6.62)где Pi 三 в видегде Pi 三 в виде% + %% + %,а функция G2 (s, г) может быть,а функция G2 (s, г) может бытьпредставленапредставленаG? (s, i)z= &G? (s, i)z= &声(т77—力*声(т77—力*(6.63)(6.63)
9)= %"Ш4,
9)= %"Ш4,
(6.62)
(6.62)
где Pi 三 в виде
где Pi 三 в виде
% + %
% + %
,а функция G2 (s, г) может быть
,а функция G2 (s, г) может быть
представлена
представлена
G? (s, i)z= &
G? (s, i)z= &
声(т77—力*
声(т77—力*
(6.63)
(6.63)
где
& ==& ==4"aRU%g .4"aRU%g .2/()%о ''2/0%02/()%о ''2/0%0
& ==
& ==
4"aRU%g .
4"aRU%g .
2/()%о ''2/0%0
2/()%о ''2/0%0
Второе слагаемое в уравнении (6.61) представляет собой передаточную функцию разомкнутой цепи некоторого эквивалентного контура с обратной связью, а множители G^s, i) и G2(s, i) — суть передаточные функции двух динамических звеньев в этой цепи. Передаточная функция разомкнутой цепи
Go (s, 0 = Gi (s, /) G2(s, i).(6.64)
Для исследования устойчивости равновесного режима применим метод амплитудно-фазовых частотных характеристик 129].
Предварительный анализ показывает, что следует различать три случая:
%0< 专<春；-Ц-^-</о(рис. 35,а);
彳(рнс.35,6);
11Г
— < — < %о；/о< 万(рис. 35,6).
Амплитудно-фазовые характеристики, построенные для этих случаев при s = IV, —ро < V < 十8, представлены на рис. 35. Анализ кривых приводит к выводу, что асимптотическая устойчивость имеет место только в первом случае при дополнительном условии, что точка, соответствующая s = i%0 лежит слева от критической точки ——1 + iO.
-На основании этого приходим к следующим необходимым и достаточным условиям устойчивости подсистемы угловых пере-
мещений гироскопа:.
厶/。_万8厶/。_万8PaRL* ( /0 —PaRL* ( /0 —/о +厶/о +厶< 4%；* 厶 < /0-< 4%；* 厶 < /0-(6.65)(6.65)22
厶/。_万8
厶/。_万8
PaRL* ( /0 —
PaRL* ( /0 —
/о +厶
/о +厶
< 4%；* 厶 < /0-
< 4%；* 厶 < /0-
(6.65)
(6.65)
2
2
При построении ямплитудно-фазовых частотных характеристик подсистемы угловых колебаний необходимо учитывать, что передаточная* функция эквивалентного разомкнутого контура G0(s, i) имеет полюсы sli2 = 0 и s3 — 〃т, которые расположены
Рис. 35Рис. 35
Рис. 35
Рис. 35
на мнимой оси комплексной плоскости s. Поэтому при определении условий устойчивости рекомендуется пользоваться теоремой Руше *, из которой критерий Михайлова——Найквиста вытекает как следствие.
Условия устойчивости (6.65) относятся к подсистеме угловых колебаний и их выполнение не гарантирует устойчивости всей системы, к условиям устойчивости (6.65) необходимо добавить еще условие (5.39).
Полученные выше условия (6.65) могут быть уточнены количественно путем вь1числения вихревой жесткости на основе результатов предыдущих параграфов.
Кроме того, можно получить уточнение отдельных фрагментов частотных характеристик путем учета коэффициента утечки и т. д. ，
Вычисление моментов сил трения
Выше при исследовании поступательных колебаний ротора тангенциальными силами трения мы пренебрегали и учитывали только главный вектор нормальных сил гидроди намическо го давления. Правильность такого упрощения при исследовании устойчивости подтверждается теорией и практикой [25; 58].
♦ Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного* (Учебник для вузов). Изд. 2-е. М. «Наука», 1967. 444 с.
166•
При исследовании точности приборов пренебрежение составляющей главного вектора сил трения может оказаться недопустимым. Кроме того, для расчета механических характеристик двигателя необходимо знать главный момент сил трения, приложенных к ротору.
Расчет главного момента сил трения в простых радиальных подшипниках можно производить по известным формулам [25; 58].
Здесь мы остановимся на вычислении главного момента сил трения в случае радиального подшипника с шевронными канавками.
Рассмотрим равновесный режим вращения ротора. Главные момент и вектор тангенциальных сил вязкого трения, действующих на один шип, можно найти по следующим формулам:
St = К? JJ qdtpdz;(6.66}
(s)
Fu = iR J J qe2 dcpdz.(6.67)
(s)
Здесь q —напряжение сил трения на поверхности шипа; Fu = =Ffx + 旧丫 — главный вектор касательных сил трения в комплексной форме； %* — главный момент касательных сил трения относительно оси шипа； s(0v<₽v2ji; ——|- vZvL/2)—— область интегрирования.
Величина тангенциального напряжения pt для цилиндрического подшипника определяется на основании решения краевой задачи по известным формулам [581:
% = " (需k一L肃黑("初)+R (1 -灯Q・◎68)
Здесь у —локальная координата, отсчитываемая по нормали к поверхности шипа.
Исходя из формул (6.66), (6.67) и (6.68) путем преобразования к безразмерным переменным, получим:
纟=一 PaRL А^ J J(7/鳥 + 卷)d<p d《；(6.69)
尸"=-i%RL^^ JJ("P$+證)e"d(pd《. (6.70> (S) '
Здесь s (О V 屮 V 2л; ——1 v 白 W 十1) — область интегрирования для одного шипа； все прочие обозначения имеют прежний смысл.
Вычислим главный момент сил трения в случае ненагруженного радиального подшипника с шевронными канавками в предположении, что все условия применимости асимптотической теории выполняются. Ограничимся случаем, когда канавки образуют в профиле прямоугольную волну, т. е. ширина канавок равна
167
ширине выступов. Исходя из асимптотического представления решения краевой задачи для подшипника с шевронными канавками в виде суммы ряда (4.81) и удерживая в этой сумме первые два члена после подстановки его в (6.69) и интегрирования, получим 团=—PaRL 6^~ Е JJ Н (—?■ ®ф + 務i) ^Ф 题=
(s)
—2冗卩火也Q[]丄 3^2(1 — T|2) cos2a
=一(1十叫6廿H 中31^ X
乂 Г 1 I唄(3+ 佇 sin2a— R (6 71)
* ]十 4 [(1 十 3唄户 cos^cc + (T—哦)3 sin^cc] J/'< 丄丿
Здесь ^^ — момент сил трения одного подшипника относительно оси шипа.
Для оптимальных значений (а = 66°; п = 0,45), соответствующих максимальному запасу устойчивости, вычисления дают
①宀一0,75 密， - (6.72)
где 斤？ = —g—— 一момент сил вязкого трения при отсутствии канавок.
Рассмотрим влияние сил трения на перекрестные связи между подсистемами поступательных и вращательных движений ротора.
Предположим, что крутящий момент двигателя сводится к паре сил, инвариантной относительно выбора полюса приведения» тогда уравнения равновесия сил и моментов относительно оси шипа запишутся в виде:
3 4- Л* 士 Ав = о；]纟+ 2кр = 0. j )
Здесь все силы записаны в комплексной форме, причем 尸工= =&■ + iFy —вектор гидродинамических сил давления; Fu = = Fxt + iPyt —вектор сил вязкого трения; F13 = /^в + 汴Ув — вектор всех внешних сил； 2/ ——главный момент сил трения относительно оси шипа; ^кр — крутящий. момент.
Если привести все силы к оси подшипника, то первое уравнение не изменится, а второе примет вид
2； + ① кр — eyF tx + exF r^ = 0, (6.74) где 27 ——главный момент сил трения относительно оси подшипника.
Различие в моментах St и Z имеет существенное значение в точных приборах, например гироскопах. Действительно^ раз- ность 纟一St будет вызывать момент реакции опор подшипников, и если опоры не жесткие, то корпус машины будет поворачиваться вокруг оси подшипников.
Величина реактивного момента очень мала. Например, в гироскопах радиальная жесткость пары подшипников может достигать 168
с == 10 кгс/мкм. Если выбрать направление координатных осей OXY так, чтобы еу = 0, то для радиального смещения получим оценку
Тогда из уравнений (6.73) и (6.74) будем иметь
•1团一乡户&•居/V经止.
Если %в создается силой собственного веса ротора в 300 гс, то получим,
|Z —纟|＜爷=0,9・10-з гс・см. ,
Влияние сил вязкого трения на. величину главного вектора 爲 незначительно лишь при ограниченных угловых скоростях собственного вращения ротора. Это видно непосредственно из выражения (6.70) для Fu в общем виде. Действительно, в силу ограниченности ]”j и |Л；| при очень больших угловых скоростях Q величина | 尸/ может стать соизмеримой по порядку с | 尸/, так как второй интеграл в (6.70) может увеличиваться с возрастанием Q беспредельно.
Однако, такие большие скорости соответствуют уже турбулентным режимам течения смазки и лежат й области неустойчивости типа полускоростного вихря. Практика показывает, что условие I & I《I 爲 I обычно выполняется.
33・ Примеры расчета радиальныхгазодинамических подшипников с учетом требованийк запасу устойчивости
Рассмотрим примеры расчета радиальных подшипников, которые наиболее интересны в смысле определения устойчивости движения по отношению к самовозбуждающимся радиальным колебаниям.
Первые два примера относятся к машинам приборного типа, например гироскопам, опоры которых либо испытывают переменные нагрузки, либо вообще могут быть ненагруженными. Третий пример относится к машине с горизонтальным валом, радиальные подшипники которого находятся все время под постоянной нагрузкой собственного веса ротора.
В качестве первого примера рассмотрим расчет радиальных подшипников, работающих при малых нагрузках. Расчет должен производиться, исходя из условия устойчивости. При этом подшипники должны иметь стабилизирующие канавки, например шевронные.'-
'169
Если угловая скорость вращения ротора Q и масса Mlt приходящаяся на один подшипник, заданы, то дело сводится к определению оптимальных размеров £), L и геометрических параметров канавок. Как было показано в п. 28, оптимальные по критерию максимума запаса устойчивости геометрические параметры шевронных канавок могут быть определены заранее. При отношении ширины канавки к ширине выступа, равном единице, оптимальные параметры канавок таковы:
小pt = § 十 е q 0,45, ctopt 66 .
Число канавок п должно быть взято настолько большим, чтобы выполнялись условия применимости асимптотической теории (см. п. 18).
Отсюда видно, что для определения оптимальной глубины канавок необходимо знать минимальный зазор 6. Зазор 6 должен выбираться как можно меньшим, причем нижняя граница определяется технологическими погрешностями и стабильностью геометрических форм. Действительно, если запас устойчивости измерять отношением массового параметра М. к его критическому значению Мк (см. п. 28).
то из выражений для критической массы (6.9) и момента вязкого трения (6.71) можно установить, что при варьировании 6 и R и фиксированных прочих параметрах, включая и коэффициент у, потери на преодоление момента трения будут тем меньше, чем меньше 6.
Исходя из тех же соображений, можно установить, что длина подшипника должна быть максимальной, т. е. отношение о0 = =D/L должно быть как можно меньшим. Верхняя граница определяется конструктивными и технологическими соображениями. Вместо длины при расчете удобно задать параметр о0, тогда все дело сводится к определению ROpt по заданным Afi, % Q, 6mln> 仃0， 2，ра； после определения Ropt находится Lopt.
Таким образом, задавая коэффициент запаса устойчиврста у и минимальный допустимый радиальный зазор 6mln, можно вычислить оптимальную глубину канавок и оптимальный радиус шипа по прочим заданным параметрам.
При расчете оптимальных параметров по критерию максимума запаса устойчивости статические интегральные характеристики, такие как несущая способность и жесткость, могут оказаться недостаточными. В силу этого после расчета оптимальных по запасу устойчивости параметров необходимо сделать поверочный расчет статических характеристик. Если окажется при этом； что жесткость подшипников недостаточна, то следует уменьшить коэффи- 170
циент запаса устойчивости 丫 и произвести расчет заново. Уменьшение у приведет к увеличению Ropt н повышению статической жесткости.
Рассмотрим авиационный гироскоп, схема которого приведена на рис. 17. В работе Паттерсона [46, т. 90, № 4 ] указывается, что радиальный подшипник имеет шевронные канавки, йо глубина их не приводится. Вычислим глубину канавок и коэффициент запаса устойчивости, предполагая, что профиль канавок имеет форму прямоугольной волны. Оценим также величину радиальной жесткости и момент вязкого трения.
За исходные данные примем следующие параметры радиального подшипника: L = 38 мм ——длина подшипника; D — =9,5 мм —диаметр шипа; М = 0,36 кг —масса ротора; Q = =24000 об/мин ——угловая скорость; 6 = 1,75 мкм —средний радиальный зазор без учета канавок; pi = 1,82-10-4 ——коэффициент вязкости; /?а= 1 кг/см2 — атмосферное давление. —
На основании этих данных рассчитываем массовые параметры М и MKt определенные формулами (6.4), (6.10), при Л < Лт. Относительная длина подшипника 九 = 4; параметр о0 三 1/Х = = 0,25; число сжимаемости *■
a 6uQ / ^ \2 6-1,8-Ю-10-2500.0,482 О1 .
А 丿= 1,752-10-8 = 21， безразмерная масса ротора
而二 м必R _ 0,36(1,75.10-4)5 —
=:典D(又丿一2・981・ 1伊 10-20.0,952 - u,ug
критическая безразмерная масса
По формуле (6.75) находим коэффициент запаса устойчивости
мм0,036ТзГ0,036ТзГ* 0,027.* 0,027.
м
м
0,036ТзГ
0,036ТзГ
* 0,027.
* 0,027.
Этот запас устойчивости будет иметь место в том случае, если шевронные канавки имеют оптимальную глубину, соответствующую углу наклона aopt = 66° и параметру T]Opt = 0,45 при условии, что профиль имеет форму прямоугольной волны. Учитывая,, что - ‘
Е
найдем оптимальную амплитуду волны профиля
Eopt =Eopt =q 1,4 мкмq 1,4 мкм曜=0,45 ・ 1,75
Eopt =
Eopt =
q 1,4 мкм
q 1,4 мкм
1 一刀一L1 — 0,45
и глубину канавок
2Eopta 2・ 1,4 ^2,8- мкм.
гс-CM.гс-CM.По формуле (6.72) вычислим момент сил вязкого трения 0 ] _ П 7H 2:rQR2Lp. 0,75・6,28・2500・0,482・3,8・l,82・10T6 斤/ - 0,75 —g— = р^^^ * П
гс-CM.
гс-CM.
■ Мощность, затрачиваемая на преодоление сил вязкого трения, бдат равна
QBf= 1,1 • 10~4-2500^0,28 кг-м/с^2,7 дж/с.
К этой мощности надо прибавить вентиляционные потери и мощ-, ность, затрачиваемую в упорных подшипниках.
«Дл才 оценки радиальной статической жесткости подшипника будем исходить из формулы (4.71). Эта формула выведена для синусоидального профиля, и поэтому в данном случае она будет давать -заниженные результаты.
Вычисляем %0
笈=А (1 — п)2 = 21 (1 — 0,45)2 勺 &,4.
Находим комплексный интеграл из приложения 2
7 (%。，％) = /о + iBo q 0,9 — 0,06i・
Подставляя значения всех величин в формулу (4.71) и произ- зодя вычисления, получим удельную радиальную жесткость
I尸т I cos①€paDLI尸т I cos①€paDL~5,2~5,2
I尸т I cos①€paDL
I尸т I cos①€paDL
~5,2
~5,2
к угол нагрузкик угол нагрузкиФ = argF ^ — 4°.Ф = argF ^ — 4°.
к угол нагрузки
к угол нагрузки
Ф = argF ^ — 4°.
Ф = argF ^ — 4°.
Отсюда найдем следующую оценку для радиальной жесткости лодшипника
l^ilcosd) 一 5,2.3,8-0,48 кл nnn .
сj-yrj ю-454 000 кгс/см.
Таким образом, как запас устойчивости, так и радиальная жесткость оказываются достаточно высокими.
В качестве второго примера рассмотрим расчет ненагру- женных радиальных подшипников в случае, когда каждый из них состоит из двух простых цилиндрических втулок со смещенными^ относительно друг Друга параллельными осями (см. рис. 9). Устойчивость ротора в таких подшипниках достигается при отсут- ствии внешней нагрузки благодаря эксцентричному смещению вала относительно втулок.
Расчет оптимальных параметров будем производить, исходя из критерия максимума запаса устойчивости, при некоторых условиях, накладываемых на параметры подшипника.
Если ввести в рассмотрение коэффициент запаса устойчивости у < 1, то критерий устойчивости для ци л и ндр и ческо го подшипника (6.46) можно представить в виде
м = умк(小 л, %),
.(6.76)
где
м=—
"1Лз
.「= Мд . , — 6闷.
，41九]九min，"a '
(6.77>
Л412блп2(1 —п)5
.*Ут• b —A.4-
Bo
к (1 -俨
1 +A2(1 —n)4， yT “ ]
A (1 -11/‘
(6.78)
Лт1п ——минимальный зазор; %х =厶丿。——относительная длина одной втулки;々ут—коэффициент утечки； Мг —масса ротора» приходящаяся на одну втулку; т] = 1 ^5——-эксцентриси
тет; А = 6咆(—число сжимаемости. Остальные обо Ра \ 九 mln /
значения прежние.
Из выражения для критической массы Мк видно, что она зависит только от параметров % А и 入工.
При оптимизации параметров' будем предполагать, что задаются параметры Лт1п и %п а средний зазор 6 является варьируемым вместе с радиусом R шипа. Все остальные параметры —卩> Л» Q, Ms Y —также предполагаются заданными. Таким образом, уравнение (6.76) содержит две независимые варьируемые вели* чины 6 n R.
Второе уравнение мы получим из условия максимума безразмерной критической массы Мк:
(6.79>(6.79>дМк —内 一
(6.79>
(6.79>
Решая последнее уравнение относительно 刀 и подставляя затем это решение в (6.76), получим одно уравнение с одной неизвестной Л
(6.80>(6.80>М = ушах Мк(ri，Л, %).
(6.80>
(6.80>
<п>
Решение этого уравнения дает AoPt, которое зависит от всех заданных параметров, включая и параметр у. По найденному Aopt находится T]Opt» а затем и 60Pt.
Для случая достаточно длинной втулки, когда 九丄》U коэффициент утечки "т 〜 1；
Это обстоятельство позволяет упростить процедуру ^вычисления оптимальных параметров путем итераций. При первой итерации принимаем ^ут = 1 и рассчитываем оптимальные параметры без учета утечки. Уточнение получим при второй итерации^
173
А°р| а 12, а по графику для 限(А)А°р| а 12, а по графику для 限(А)九mm1 — 110Pt九mm1 — 110Pt1,75Г-0,621,75Г-0,62〜4,6 мкм.〜4,6 мкм.
А°р| а 12, а по графику для 限(А)
А°р| а 12, а по графику для 限(А)
九mm
1 — 110Pt
九mm
1 — 110Pt
1,75Г-0,62
1,75Г-0,62
〜4,6 мкм.
〜4,6 мкм.
Y2 = ^MK(^t Л) находим A()pt как абсциссу точки пересечения.
По графику для У? (рис. 37) определяем (рис. 38) находим nopt 弋 0,62, откуда
Рассчитаем величину
匕匕6闷6闷6-1,82-10-10-2,5.103'f6-1,82-10-10-2,5.103'fа2,7・10Т.а2,7・10Т.
匕
匕
6闷
6闷
6-1,82-10-10-2,5.103
'f
6-1,82-10-10-2,5.103
'f
а2,7・10Т.
а2,7・10Т.
Из выражения для Л находим:
Ropt = Лт1Н М= 1,75-10-4 М_^_. 10-6 = 0,37 см, отсюда получаем:
厶=九iD = 2・2・0,37а 1,5 см.
Общая длина 4 втулок будет равна
L = 4L工弋6 ем.
Полученные результаты уточняем путем вычисления второго приближения. Для этого находим вначале feyT，
Вычисляем
%。= A°pt (1 一 ％pt)2 = 12-0,382 А 1,73.
По вычисленному %。= 1,73 и ijopt — 0,62 с помощью приложения 2 находим коэффициенты:：力。〜0,7; В。q ——0,17. Вычисляем 归丫丁 по формуле (6.78)
Учитывая этот коэффициент в знаменателе выражения для Ylt производим переУчитывая этот коэффициент в знаменателе выражения для Ylt производим пере勺t = Яо н*=。,7方家r°6
Учитывая этот коэффициент в знаменателе выражения для Ylt производим пере
Учитывая этот коэффициент в знаменателе выражения для Ylt производим пере
Рис. 38Рис. 38расчет оптимальных параметров
Рис. 38
Рис. 38
у； = 竺七 2・К)3.
С помощью графиков для 刀° И % находим: A；pt ~ 16,5;加卩尸 〜0,67, и далее
紹 1，75 r &
6°pt= 1—0,67 Q 5,3 МКМ；
《似=1,75 • IO- у 諮% * о,4з см;
L； = 2・2・0,43q 1,7 см; I? = 4・ 1,7~ 6,8 см.
Производя еще одну итерацию, можно убедиться в том, что процесс сходится.
Сопоставим теперь полученные здесь результаты с результатами расчета радиального подшипника с шевронными канавками в первом примере. В обоих случаях минимальный зазор, масса, угловая скорость и физические параметры смазки одинаковы. Длина во втором примере получалась несколько большей, но зато радиус меньше. Выясним, на сколько изменится коэффициент запаса у шевронного подшипника в первом примере, если принять R — 0,43; L = 6,9 см. Можно показать, что соответствующий множитель будет равен
(鴨
а коэффициент запаса устойчивости шевронного подшипника увеличится с 0,027 до 0,03. Таким образом в рассмотренных двух примерах при одинаковых минимальных зазорах и размерах шевронный подшипник обеспечивает больший запас устойчивости, приблизительно в два раза.
Рассмотрим в качестве третьего примера расчет оптимальных параметров простых радиальных подшипников, нагруженных собственным весом ротора. Предположим, что несущие поверхности шипов и подшипников имеют формы идеальных круговых цилиндров, причем оба подшипника идентичны, а ротор симметричен и его массы распределены равномерно на подшипники.
175
Здесь необходимый для устойчивости эксцентриситет создается собственным весом ротора, вал которого при этом предполагается горизонтальным.
При расчете, так же как и в предыдущем примере, будем исходить из критерия максимума запаса устойчивости (6.79), (6.80). Различие рассматриваемого примера от предыдущего состоит в том, что эксцентриситет здесь уже зависит от нагрузки и, следовательно, от массы ротора. Это приводит к необходимости учитывать дополнительное соотношение между коэффициентом нагрузки & как функции числа сжимаемости Л, эксцентриситетом т] = 80 и относительной длиной %
& 三 ^養"=4H (a,刀，九). (6.81)
Наличие дополнительного условия (6.81) стесняет выбор параметров, и в данном случае * относительная длина 九 при заданной массе ротора М = 2Мг должна рассматриваться как варьируемый параметр.
Следует различать два варианта задачи:.
определение 7?opt, 60Pt и Mopt при заданных 卩,ра, /imln, Q入；
определение R°pt, 6Opt, Aopt при заданных 卩，ра, hmiat
При составлении уравнений для оптимальных параметров, как и прежде, принимаем в расчет оптимальную зависимость 唄=т]° (Л,九)и условие (6.80), при этом безразмерную массу М, входящую в условие устойчивости, выразим через коэффициент нагрузки & следующим образом：
гдегдеЛ4 _ MiPaR / 九 mm V _ ^ 匕 2d 一R丿一点，(6.82)H 一 PQL — 4%%网，(6.83)匕三6阳.d三"»min .Pa ' 一 g^ '(6.84)A三学4赞7三乂触? •(6.85)Л4 _ MiPaR / 九 mm V _ ^ 匕 2d 一R丿一点，(6.82)H 一 PQL — 4%%网，(6.83)匕三6阳.d三"»min .Pa ' 一 g^ '(6.84)A三学4赞7三乂触? •(6.85)
где
где
Л4 _ MiPaR / 九 mm V _ ^ 匕 2d 一R丿一点，
(6.82)
H 一 PQL — 4%%网，
(6.83)
匕三6阳.d三"»min .
Pa ' 一 g^ '
(6.84)
A三学4赞7三乂触? •
(6.85)
Л4 _ MiPaR / 九 mm V _ ^ 匕 2d 一R丿一点，
(6.82)
H 一 PQL — 4%%网，
(6.83)
匕三6阳.d三"»min .
Pa ' 一 g^ '
(6.84)
A三学4赞7三乂触? •
(6.85)
В выражении (6.82) варьируемыми параметрами являются & и Л, тогда как 力 и，d определяются заданными параметрами g, ра, °, hmln. Таким образом, варьируемый параметр связан с Л и является зависимым.
Учитывая формулу (6.82), и принимая коэффициент запаса 7 < 1, запишем условие устойчивости в виде
(6.86)(6.86)А2Я—
(6.86)
(6.86)
~д~^н Ob А,九)=уМк 5, Л, А).
Это условие связывает три варьируемых величины 刀,А и % Используя условие оптимальности (6.79), выразим 刀 через Л и %. Тогда получим уравнение с двумя неизвестными
幣 ^ [限(Л, %), Л, %]=例脑叭A。, Q； А, %]. (6.87)
(6.81)(6.88)(6.81)(6.88)Еще одно уравнение для неизвестных. Л и % получается из и (6.83)
(6.81)
(6.88)
(6.81)
(6.88)
Здесь отмеченные нулем величины определяются при 刀=т)° (Л, %), причем 麻 вычисляется по формуле
就二喘制吗产告綜弟｝,(6.89)
а Й вычисляется как удельная статическая нагрузка по данным гл. IV или [57].
Если решить систему уравнений, то по найденным AoPt и %Opt с помощью формул (6.83) и (6.85) можно рассчитать ^Opt, 6opt, Lopt 0 4н opt*
В общем случае систему уравнений (6.87), (6.88) и (6.89) следует решать с помощью ЭВМ, приближенное же решение можно получить методом последовательных приближений.
На каждом этапе последовательных приближений решается уравнение (6.87), при фиксированном 九,"найденном из уравнения (6.88), на предыдущем этапе.
Экстремальные 俄 и 7^ как функции параметра Л можно рассчитать по (6.89), представить и* в виде однопараметрического семейства кривых с параметром 九.Графики асимптотических значений T]t и ТИкоо, отвечающие % —* 十8, представлены на рис. 39.
Для приближенного расчета оптимальных параметров можно воспользоваться следующим .модифицированным условием оптимальности:
Коэффициент утечки вычисляется по формуле
/ feyT =儿十‘
где %。= А (1 —啮产
В. Н. Дроздович 1"
Рассмотрим, первый вариант задачи расчета оптимальных параметров на примере.
Пример. Пусть требуется найти оптимальные значения диаметра D, среднего радиального зазора 6, длины L, а "также оптимальную массу М^ ротора, приходящуюся на один подшипник, при следующих исходных данных:
卩=1,82-10-10 кгс/см2; ра = 1 кгс/см2;
Q = 12 000 об/мин; Лтщ — Ю мкм;九=1; у ~ 0,34.
Так как в этом варианте параметр 九 задан, то требуется решить только одно уравнение (6.87) относительно Л. Решение можно найти графически путем построения графиков функций:
^ = ^[11° (Л,九)，А, м；二=謠m頑[唄е，2，a，巾
Упрощая задачу, будем исходить из модифицированного условия оптимальности и строить графики следующих функций:
壮=白盯脸(a), А, М；
Здесь значения 刀。и М ® от • о пр едел яются по графикам рис. 38;归;丁 — вычисляется по формулам; Aq и 8。определены из приложения 2; коэффициент удельной нагрузки 以 находится по данным [57]. Результаты расчета представлены графиками У；, У] на рис. 39, откуда следует, что Лор^ 3;刀。卩| q 0,44; gH opt^0,2.
По этим результатам с помощью формул (6.84), (6.86) рассчитываем:
',6 闷6・l,82・10T°・il50
о = —!— =i弋 1,3 • 10 6;
Pa1
Ropt =九min "j/^"= 10・10一4 "|/^ j § ]0-旷Q I" см；
Dopt — 2Ropt 3,0 cm,-
Далее получаем:
厶 opt =入Dopt ^^ 3,0 см;
60Pt = 丁"也—=-j~Q 18 мкм.
1 — nopt 1 — 0,44
Оптимальную массу ротора рассчитываем по формуле:
Pa〃opt 厶 1 opt
Mi opt —Wnopt = l・3・3・0,2 =1,8 кг;
尸Mopt = 2Л4] opt ^^ 3,6 кг.
Расчет торцевых (упорных)газодинамических подшипниковс шевронными канавками
Из опубликованных данных 146, т. 90, № 4 ] следует, что в гироскопах торцевые газодинамические подшипники снабжаются обычно спиральными канавками. Различают конструктивные раз- 178
новидности таких подшипников： а) с одной зоной нагнетания к центру или от центра; б) с двумя зонами нагнетания (см. рис. 23).
Подшипники первой разновидности с одной зоной нагнетания могут быть вентилируемыми или замкнутыми в зависимости от наличия или отсутствия утечки. Замкнутые подшипники обладают большей несущей способностью, но чаще применяются вентилируемые с уплотнением. Расчет таких подшипников производится по теории Уиппла [56 ] либо по более совершенной теории Завьялова, Емельянова и других авторов ИЗ; 46, т. 91, № 1 ].
Подшипники с двумя зонами нагнетания обычно называются подшипниками с шевронными канавками. Роль уплотнительного пояска в этих подшипниках выполняют спиральные канавки, которые создают встречный напор смазочной среды. При определенных геометрических размерах шевронных канавок встречные потоки в радиальном направлении уравновешиваются и подшипник может работать как замкнутый.
Приведем здесь краткое изложение модифицированной теории Уиппла замкнутого шевронного подшипника.
Рассмотрим подшипник с шевронными канавками, имеющими очертания логарифмических спиралей (см. рис. 23). Установившееся гидроди нами ческое давление в смазочном слое найдем из а си мптоти ческого решения уравнения Рейнольдса в координатах 3, V：
(НЗРР^ + ； {[、”зр (凡网 + р^ 风 + [、”зр (р^ +
+汽)m=号^("p爲. (6.90)
Здесь Н =九/传 + Е) —безразмерный зазор, где 6 = /imln; Е =
(九max 一九mm)；孔—ЧИСЛО КЗНаВОК； 、=Г И to = Иф + + Р (г) ——криволинейные координаты; %0 — ^^Га!ра (6 +^)2 —— параметр сжимаемости； га —наружный радиус.
Функции Я (со) и р(V)определены выражениями:
"(з)= 1 — Tjsign (sin со),(6.91)
где т] = Е/(6 + Е);、
一欣 1口 :； % VrV%；
₽(v) = ]“(6.92)
+ nfe Inr< rB,
ra
где fe = tg a;(o = n(p + P (v). Решение уравнения (6.90) разыскиваем в виде суммы ряда:
Р = А(з) + }А(①,、)+ 3А(①，、)+(6.93)
12*179
йрй Гра甘нНнЬх услойиях^
P/v=ri = P/v^ra = К P (①)=P (s + 2冗).(6.94)
Подставляя (6.93) в (6.90) и интегрируя по ю в пределах от 0 до 2л, получим
- 2л2л*
vPo (Ро)； J Я3 dm — — J Р1№Яе dm = const. (6.95)
一 .0" о
Еще одно уравнение для Р2 найдем из уравнения (6.90) по методу малого параметра
(1 +硝阳3 {р^Га)+ 尿(Н% (А)； =(6.96)
Интегрирование этого уравнения и последующее исключение из (6.95) дает следующее уравнение:
ЗдесьЗдесьvPo [(Po)v + 尿]=力=const.vPo [(Po)v + 尿]=力=const.(6.97)(6.97)fe — xfe — xJ%a sin 2aJ%a sin 2agi cos2 a 4-gi cos2 a 4-гдегде竺 sinrg3竺 sinrg32л2лgi = j № ds;夕=gi = j № ds;夕=• 2л• 2л02лg2= J 斤2 d3；002лg2= J 斤2 d3；0J (TWJ (TW"匸"匸2 лg3= J ・H-3ds;0rB<r^ra-,2 лg3= J ・H-3ds;0rB<r^ra-,
Здесь
Здесь
vPo [(Po)v + 尿]=力=const.
vPo [(Po)v + 尿]=力=const.
(6.97)
(6.97)
fe — x
fe — x
J%a sin 2a
J%a sin 2a
gi cos2 a 4-
gi cos2 a 4-
где
где
竺 sinrg3
竺 sinrg3
2л
2л
gi = j № ds;夕=
gi = j № ds;夕=
• 2л
• 2л
0
2л
g2= J 斤2 d3；
0
0
2л
g2= J 斤2 d3；
0
J (TW
J (TW
"匸
"匸
2 л
g3= J ・H-3ds;
0
rB<r^ra-,
2 л
g3= J ・H-3ds;
0
rB<r^ra-,
Все постоянные интегрирования, в том числе и 力 находятся из граничных условий:>
Ро/ v=ri =Ро/▽=% = 1； Ро/у=Гв~о ~ Pd/v=r^-0»(6*98)
Решение уравнения (6.97) дает асимптотическое распределение гидродинамического давления при большом числе канавок п.
В частном случае, когда выполняется условие замкнутости
2%=*+尤(6.99)
решение краевой задачи получается в конечном виде
(6.100)(6.100)Р _丄j 々小一产)；rB<r^ra;
(6.100)
(6.100)
。—~~^{k (? —d)； %0Г<Гв.
В этом случае средний расход смазки в радиальном направлении равен нулю (Ь = 0).
180
Интегрируя избыточное давление (р —%) по поверхности подшипника, найдем согласно (6.100) несущую способность
击№注(小一用2.(6.101)
Коэффициент k для расчета зазора, определенного формулой (6.91), представляется в виде
万= am(1一叫 2(3 + 刀2)sm2 tx09]
—2吟(1 + 3tj2)2 8s2(x+(1—t]2)3 si112 ct 'w・丄и/丿
где Л = &^Га1р^.
На основании (6.102) устанавливается, что
л，
々opt 三 max ｛屁 0,097r
<л. а〉1 а'
при aopt Q 74°; n°pt 弋 0,56.
Эти результаты хорошо согласуются с данными Уиппла [56] и других работ [46, т. 91, № 1 ].
Исходя из (6.101), путем варьирования коэффициента k в окрестности оптимальных значений получается формула для жесткости подшипника:
F = Wp/°pt 储一冷(6.103)
Заметим, что формула (6.103) справедлива лишь при выполнении условия (6.99) и только для оптимального 々.Остальные параметры могут быть произвольными.
Выведенное уравнение (6.97) и его решение (6.100) справедливы в рамках допущений, которые обычно делаются в теории Уиппла. В случае конечного числа канавок п решение (6.100) является лишь приближенной аппроксимацией истинного решения.
Влияние конечного числа канавок можно учесть приближенно с помощью коэффициента (см. п. 13)
网勺 1 —青 А2(1 —т))4 cos4 а(6.104)
при условии, что второй член достаточно мал.
При весьма малых зазорах, соизмеримых по порядку величин со средней длиной свободного пробега молекул, необходимо учитывать еще один коэффициент [25; 46, т. 91, № 1 ]. Этот коэффициент заметно отличается от единицы при kn = L/6 > 0,01. Для воздуха при нормальных условиях / = 0,064 мкм. Следовательно, при 6 > 6,5 мкм влиянием проскальзывания можно пренебречь. При kn = 0,05 и 0,1 необходимо вводить коэффициент k2 = 0,9 и 0,8 соответственно.
Следует также иметь в виду, что отклонения форм подшипника от оптимальных как вследствие технологических погрешностей, так и по причине термических и упругих деформаций могут также привести к уменьшению его несущей способности и жесткости.
181
Пример. Рассчитываем несущую способность и жёсткость подшипника, имёю* щего следующие параметры: га — 50 мм;冗=25 мм; 5 = 5 мкм;卩=1,82х X 10~10 кгс/см3; Q = 10 000 об/мин; ра = I кгс-с/см3;冷=20.
Из условия замкнутости (6.99) находим
「в =丿(502 十 252)/2 弋 39,4 мм.
о 口 — 26nopt2現m=不=亏7о 口 — 26nopt2現m=不=亏7Оптимальная глубина канавок
о 口 — 26nopt
2現m=不=亏7
о 口 — 26nopt
2現m=不=亏7
2-5-0,56 lo „匸晒^12'7 мкм・
Рассчитываем 々。卩,из выражения для Л и 々。卩, 厶 n nn Л 0,09-6-1,82-10-10-1040П4_2
feopt 三 0,09-^ =1.25/0-8~—弋0,41 2 см.
Несущая способность согласно (6.101)^ будет равна
1，
F =石，3,14.0,41 (52—2,52)2^57 кге.
Жесткость найдется по формуле (6.103)
户三户三лО,4Ц52 —2,52)лО,4Ц52 —2,52)4・5」0«4・5」0«q 228 000 кгс/см.q 228 000 кгс/см.
户三
户三
лО,4Ц52 —2,52)
лО,4Ц52 —2,52)
4・5」0«
4・5」0«
q 228 000 кгс/см.
q 228 000 кгс/см.
Число сжимаемости будет равноЧисло сжимаемости будет равно=6闷吟=6闷吟6・1,82」0Т°・1040・521・52・10~86・1,82」0Т°・1040・521・52・10~8〜114.〜114.
Число сжимаемости будет равно
Число сжимаемости будет равно
=6闷吟
=6闷吟
6・1,82」0Т°・1040・521・52・10~8
6・1,82」0Т°・1040・521・52・10~8
〜114.
〜114.
Коэффициент влияния конечногоКоэффициент влияния конечногочисла канавок найдем по (6.104)числа канавок найдем по (6.104)
Коэффициент влияния конечного
Коэффициент влияния конечного
числа канавок найдем по (6.104)
числа канавок найдем по (6.104)
,,1142自— 1 _ _疥",,1142自— 1 _ _疥"
,,1142自— 1 _ _疥"
,,1142自— 1 _ _疥"
(1 — 0,56)4 cos& 74° ^0,99.
Напомним, что данный расчет производился для оптимальных значений а = 74° ит)— 0,56 при условии равенства ширины канавки и ширины выступа. Если же оптимизировать все параметры, в том числе и ширину канавок, то несущая способность и жесткость получаются еще большими. Данный подшипник соответствует по размерам подшипнику со спиральными канавками в примере [41 ]. Сравнение показывает, что шевронный рельеф дает больший эффект, чем простой спиральный с гладким уплотнением.*
Определим динамическую жесткость торцевого подшипника при угловых колебаниях.
Рассчитаем вихревую угловую жесткость торцевого подшипника при коническом вихре с частотой, равной половине синхронной частоты.
Для этого воспользуемся формулой (5.101), согласно которой комплексный вектор восстанавливающего момента в режиме конического вихря пары упорных подшипников равен
21 уп = ip尹。"母 J J r3^! dcp dr. (6.105) (Syn)
Здесь опущены индексы при б и Е.
182
Для вычисления вихревой жесткости торцевого подшипника с шевронными канавками достаточно вычислить интеграл в формуле (6.105) при значениях Ро и HQ из (6.91) и (6.100). В результате вычисления получим следующую формулу для модуля вихревой жесткости одного подшипника:
* I 更 уп 仁 з端*) [1 - МУ -(77)4 +(77)6] • (6.106) Подставляя значения параметров из решенного примера получим
2p[Hiynl 32.1,54-5-10-4 \416 十 64 丿
1,8-106 кгс-см/рад.
Некоторые результаты экспериментальныхисследований газодинамических подшипников
В Ленинградском институте точной механики и оптики под руководством автора книги теоретические исследования слабо- нагруженных опор приборов сочетались с опытно-конструкторскими работами: было спроектировано и испытано несколько вариантов экспериментальных установок для исследования статических и динамических характеристик газодинамических цилиндрических подшипников. Повышенные требования к геометрии и чистоте рабочих поверхностей подшипников, сложность измерительной аппаратуры, высокая частота вращения испытываемых роторов, быстрота и сложность процессов, протекающих в чрезвычайно малых смазочных зазорах, обусловливают трудности, возникающие при создании таких экспериментальных установок. Существует множество различных типов подшипников, в каждом из которых имеется целый ряд важных параметров. Невозможно экспериментально исследовать все варианты, важно иметь теоретические методы- определения устойчивости и жесткости опор. Однако в настоящее время теоретические методы расчета требуют опробирования и дальнейшего усовершенствования, поэтому результаты экспериментального исследования могут представлять как проверочный, так и самостоятельный интерес при проектировании таких опор. С этой целью здесь рассмотрены экспериментальные модели, созданные на базе высокоскоростного асинхронного трехфазного электродвигателя от электрошпинделя марки Э72/06 мощностью 0,6 кВт (при напряжении 220 В и частоте 1200 Гц).
Предварительные испытания малорасходного нагнетателя с гладкими газодинамическими подшипниками при диаметре цапфы вала ротора 10 мм, длине подшипника 15 мм, диаметральном зазоре 13 мкм конструкции А. А. Лохмато в а [46, т. 90, № 4] показали, что к-арданный подвес подшипников, обладая несомненными положительными качествами, может оказывать влияние на характеристики подшипников вследствие 'наличия дополнительных степеней свободы. В этих испытаниях вал обкат^ывался 183
по поверхности шипа и наблюдался полускоростной вихрь в диапазоне 13,5—15,6 тыс. об/мин.
Для исключения влияния дополнительных степеней свободы была спроектирована и изготовлена установка с жестким креплением подшипников в корпусе. Испытуемая модель (рис. 40) представляет собой двухопорный ротор 1 с высокочастотным электродвигателем трехфазного тока. Диск упорного подшипника 2, втулки радиальных подшипников 5 и 6, статор электродвигателя 7 запрессованы в корпус 3 и крышку корпуса 4, изготовленные из серого чугуна, обладающего свойством гасить вибрации вследствие наличия в его структуре свободного углерода в виде графита. Втулки радиальных и пластины упорных подшипников изготовлены из пропитанного баббитом углеграфита марки
Рис. 40
АГ-1500-Б83. Левый подшипник имеет диаметр 20 мм и длину 25 мм, правый из условий сборки имеет диаметр 25 мм и длину 30 мм. Ротор изготовлен из инструментальной стали ХВГ, цапфы закалены и. после посадки на ось прошлифованы и доведены, масса ротора 0,42 кг. Диаметральные -зазоры в подшипниках в начале работы были 12—13 мкм. После 100 ч работы имела место овальность формы отверстий втулок 3—5 мкм. Замеры диаметров отверстий втулок производились при помощи микроскопа УИМ-22 и приспособления для замера отверстий ИЗОЛ.
Для ■ регулирования числа оборотов ротора от нуля до 72 000 об/мин питание электродвигателя производилось через специально разработанный преобразователь частоты и контролировалось измерителем тока, напряжения и мощности К-50. Преобразователь частоты представляет трехфазный мостовой транзисторный инвертор, который обеспечивает получение частот в диапазоне 250——1200 Гц 118]. Частота вращения ротора измерялась с помощью фотоэлектрического датчика, оптическая система которого объединяет в одном узле излучатель (лампочку накаливания) и приемную часть (фотодиод). Пучок света отражался от полированного торца ротора, имеющего зачерненный сектор. Измеряемая частота фиксировалась электронно-счетным частотомером марки 43-12 и на осциллографе.
Для фиксации перемещения ротора в пределах смазочного зазора по двум координатам ——вертикальной и горизонтальной —— подшипник был оснащен двумя емкостными датчиками.
Запись перемещения вала ротора —задача довольно трудная, так как радиальные зазоры в газодинамических подшипниках имеют величину 0,004—0,01 мм, а их рабочие поверхности движутся с высокими скоростями. Из нескольких способов преобра-- зования механического перемещения в электрическую величину был выбран емкостный из-за простоты выполнения и малогабаритности датчиков, их, высокой чувствительности при изменении малых зазоров. Датчик представляет собой малогабаритный конденсатор площадью 12 мм2, одна пластина которого укреплена в корпусе, а другой пластиной служит поверхность цапфы. Для расширения рабочей зоны датчиков и сохранения линейности их характеристик начальный зазор между пластинами был равен 0,03 мм. Рабочая поверхность датчиков концентрична поверхности ' подшипника, это достигнуто их совместной доводкой ступенча-. тыми притирами.
Малая площадь обкладок датчиков и значительное расстояние между ними потребовали мощной усилительной аппаратуры. Преобразователь линейных перемещений в напряжение собран по генераторной схеме. Емкостный датчик является элементом колебательного контура высокочастотного генератора. Частота генератора изменяется по закону изменения ёмкости, а следова- • тельно, и изменения расстояния между цапфой и подшипником. Частота генератора при изменении зазора от 8 до 20 мкм менялась в пределах ^±0,15 мГц. Далее напряжение генератора через усилитель-ограничитель подавалось на вход дискриминатора, выходное напряжение которого изменялось по величине и по знаку при отклонении от частоты на 7 мГц. Характеристика дискриминатора линейна при изменении частоты на ±150 кГц от резонансной. При тарировке вал перемещался с помощью микрометрического винта на величину, которая контролировалась индикатором с ценой деления 1 мкм.
Использование принципа частотной модуляции позволило создать аппаратуру с очень низким порогом чувствительности, с большим коэффициентом усиления.'
Выходнойхигнал в виде напряжения, изменяющегося по закону изменения емкости датчика, подавался на регистрирующие приборы либо на стрелочные,, при определении положения цапфы в подшипнике, либо на электронный осциллограф при исследовании динамических режимов.
Пример осциллограмм, фиксирующих число оборотов вала (верхняя кривая) и вертикальное перемещение вала в правом подшипнике (нижняя кривая), показан на рис, 41, где, можно проследить развитие полускоростного вихря: а —при частоте вращения ротора 460 с-1 (27,6 тыс. об/мин) двойная амплитуда колебаний перемещений" ротора при полускоростйом вихре достигла 185
максимального значения 5 мкм; 6 — при 390 с"1 (23,4 тыс. об/мин) колебания отчетливо имеют уже частоту, равную половины частоты вращения вала; 8 — при 222 с"1 (13,3 тыс. об/мин) полускоростного вихря еще нет, а имеют место синхронные колебания с амплитудой меньше микрона, обусловленные дисбалансом ротора. Испытания в этом случае производились при горизонтальном положении ротора. Расчет [45] показывает, что статическая нагрузка, обусловленная только весом ротора, не обеспечивает запаса устойчивости, найденного экспериментально, если считать форму несущих поверхностей строго цилиндрической; этот запас устойчивости определяется овальностью их формы.
Для исследования работы газодинамических подшипников, профилированных винтовыми канавками, была изготовлена модель, показанная на рис. 42.
При ее изготовлении большое внимание было уделено точности формы несущих поверхностей. Подшипниковые втулки выполнены из бронзы марки БрОФЮ-1 с присадкой 10% углеграфита и 5% дисульфида молибдена. Втулки запрессованы в корпусе, совместно расточены и доведены. Их номинальные размеры одинаковы, диаметр 24 мм, длина 36 мм. Упорный газодинамический подшипник изготовлен из углеграфита марки АГ1500-Б83 и состоит из двух пластин： одна после обработки вклеена в корпус, другая ——укреплена в стальной обойме, которая установлена в крышке корпуса с помощью карданова подвеса. Каждая из пластин имеет 18 спиральных канавок глубиной 0,02 мм постоянной ширины, нарезанных по дугам окружности.
Испытываемые роторы с различным профилированием цапф изготовлены из стали 40Х. Гладкая, без ступеней, форма роторов 186
позволила выполнить совместную обработку обеих цапф циливдри
ческим притиром, благодаря этому получена высокая точность обработки. Погрешность формы цапф всех роторов' (конусность,
бочкообразность, некруглость) не превосходит 2 мкм.
Для нагружения подшипника радиальной силой на ротор насажена стальная втулка диаметром 18 мм, на которую навешивается аэростатический подшипник. Масса ротора с нагрузочной втулкой —0,540 кг, без втулки — 0,502 кг. Серия испытаний, проведенных на этой модели, имела целью исследовать: 1) силовые характеристики и устойчивость подшипников при различных типах профилирования; 2) распределение давления в смазочном слое при различной ориентации оси ротора и различных режимах работы; 3) «нагнетательные» свойства профилированных подшипников.
Для определения поля давления в смазочном слое во втулке подшипника было сделано 8 отверстий диаметром 0,4 мм, расположенных по образующей цилиндра с шагом 3,5 мм (рис. 42). К отверстиям подпаяны медные трубки, выведенные на торец корпуса модели. Давление измерялось образцовыми манометрами типа МО. Манометры смонтированы в щите и соединены с трубками дренажа гибкими шлангами. Давление в различных точках по окружности подшипниковой втулки определялось
путем поворота модели во
круг оси подшипников. После этой серии экспериментов гибкие шланги были обрезаны, а медные трубки были залиты эпоксидной смолой. -
187.
Цапфы роторов профилированы винтовыми (спиральными) канавками. Профилирование выполнено трех типов, показанных на рис. 43: q——сплошное (тип А), когда канавками покрыта вся поверхность цапфы; б — частичное симметричное (тип В); 6 —несимметричное (тип С).
Параметры канавок приведены в табл： 4. В ней обозначены: L —длина подшипника; Lr —длина нарезной части цапфы；
Рис. 43
D —диаметр цапфы; п ——количество канавок; а —угол наклона оси канавки к образующей цилиндра цапфы; ак = 0,5 ——относительная ширина канавки (ширина канавки и выступа одинакова).
Таблица 4. Параметры заз(^м и канавок экспериментальных роторов,
Ротор
а
п
G/L
Глубина канавок, мкм (осред- неииая)
Радиальный зазор, мкм
I
П
III
А1
53
24
1
22
6,5
7,0
7,5
А2
53
15
1
8
6,5
7,0
7,5
АЗ
52
6
1
И
ё,8
7,3
7,8
В1
53
-24
0,6
9
6,0
6,5
7,0
В2
62
18
0,6
14
6,2
6,7
7,2
С1
53
24
0,6
10
6,4
6,9
7,4
Профилирование рабочих поверхностей газодинамических подшипников является сложной технологической задачей, обусловленной высокими требованиями, предъявл немыми к точности выполнения канавок, геометрией поверхности цапф и канавок и высокой твердостью материала подшипников.
На экспериментальных валах канавки выполнены двумя способами: механическим—шлифовкой абразивными доводочными кругами и химическим —травлением в ванне со специальным составом. При механическом способе каждая канавка нарезалась в отдельности, и это привело к значительным различиям в геоме- 188
I трии канавок (по глубине и форме поперечного сечения). Травле- ；ние с маской — менее трудоемкий и более воспроизводимый способ: все канавки вытравливаются одновременно, поэтому разно- размерность канавок значительно меньше, а форма правильнее. Чистота поверхности канавок при механическом способе почти не отличается от чистоты поверхности цапфы, при травлении поверхность получилась^ грубее, чистота ее на 3—4 класса ниже чистоты поверхности цапфы. Травлением были получены канавки только на одном роторе АЗ.
Рассмотрим результаты испытаний на этой модели. ，
Эпюры избыточного давления вдоль образующей при центральном положении ротора показаны на рис. 44, где номера по оси абсцисс соответствуют номерам дренажных отверстий при отсчете от левого конца подшипника, а номера кривых —различным роторам табл. 4: 1—В2; 2—BI; 3 — Cl； 4—A2;5—Al; 6 —— АЗ. Частота вращения всех роторов была равна 500 с-1.
Все испытания производились в окружающей среде (воздухе) при нормальном атмосферном давлении. Температура подшипни* ков на всех режимах работы поддерживалась постоянной, равной 40° С.
Самое' высокое давление в центральном сечении ——у ротора А2, имеющего сплошное профилирование цапф. На величину генерируемого давления оказывают влияние глубина канавок, их количество и протяженность профилированной зоны. Давление в центре подшипника у ротора АЗ, имеющего 6 канавок, меньше, чем у роторов В1 и В2.
По характеру профилирования и количеству канавок самое высокое давление должен был развивать ротор А1, но вследствие
большей глубины канавок он уступает по этому параметру даже ,[ ротору С1, работающему с осевым потоком смазки.
Зависимость давления в центральном сечении подшипника при вертикальном положении ротора от числа сжимаемости %。= =6p.Q/?2/(pa62) представлена на рис. 45, номера кривых здесь соответствуют следующим роторам: 1 —А2, 2 —В2, 3 —Bl, 4 „ci, 5 —Al. ,
,Соотношение величин давления, генерируемого различными роторами, сохраняется таким же, как на рис. 44.
При работе ротора в горизонтальном положении он под действием силы тяжести смещается из центрального положения и вследствие этого эпюра давления в поперечном сечении изменяется. На рис. 46 показаны эпюры давления в центральном поперечном сечении подшипника при испытании ротора В2 в горизонтальном положении. Цифрами /, 2, 3 обозначены эпюры давления при частотах вращения ротора, равных 200 с"1, 450 с-1 и 700 с"1 (соответственно %0 = 5,4; 12,2; 19,0). Буквы а и b отмечают эпюры давления, полученные при разных радиальныХ/Зазорах (табл. 4): a — I,力一II.
При сравнении эпюр давления в поперечных сечениях гладких и профилированных подшипников с горизонтальным расположением валов видно существенное различие: у профилированных подшипников отсутствует зона разрежения в верхней части подшипника, характерная для гладких подшипников, т. е. давление смазочного слоя по всей окружности цапфы выше атмосферного.
По характеру эпюр можно видеть, что с увеличением частоты вращения ротора разница давлений в верхней и нижней точках смазочного слоя уменьшается, ротор поднимается к центральному положению.
Силовые характеристики подшипника определялись при горизонтальном положении оси. Испытано было 3 ротора: А2, В1 и В2.
Подшипники с роторами, цапфы которых со сплошным профилированием, имеют несколько большую несущую способность, чем с частичным. На рис. 47 показана зависимость безразмерной несущей способности ~W = W/(paLD) от относительного эксцентриситета е0 для двух роторов: А2 и В2 (двойные линии соответствуют ротору В2). Эти зависимости определены для двух значений частот вращения: 500 с-1 (%0 = 9,6 и 10,9) и 700 с-1 (%0 = 二 13,3 и 15,3).
При исследовании стабилизирующего действия на вращение ротора винтовых канавок предварительно был на той же модели испытан ротор с гладкими цапфами (диаметральный зазор 14 мкм; L/D = 1,5; масса ротора 0,54 кг). Появление неустойчивости типа орбитального движения ротора при его горизонтальном положении было зафиксировано на частоте вращения 110 с"1 (6,6 тыс. об/мин), при малейшем увеличении частоты вращения амплитуда полускоростного вихря резко возрастала, появлялся стук при вращении.
190 *
P 口制］
Способность газодинамическихСпособность газодинамических
Способность газодинамических
Способность газодинамических
триситета от собственного веса ротора, следовательно, другие стабилизирующие факторы в подшипнике отсутст в у ют.
Все испытываемые роторы с профилированными цапфами пока- зали спокойную работу на частотах вращения от 200 с"1 до 700 с"1
при горизонтально^ и вертикальном положениях основания. При разгоне роторов А2, В1 и В2 в вертикальном положении до максимально возможной частоты ни один нз них не проявил признаков неустойчивости вплоть ' до частот 1005 с"1, 1003 с'1 соответственно. Амплитуда синхронного вихря, фиксируе- мая на экране осциллографа, не превышала величины 1,5— 2,0 мкм.
一 подшипников с винтовыми
канавками создавать осевой поток смазки открывает возможность их использования в режиме насоса (например, для поддува опор в период пуска). Сжатый газ можно отбирать или с торца подшип- 192
ника (при профилировании типа С) или из центрального сечения (профилирование типа А). Для определения нагнетательной способности таких подшипников отбор прокачиваемой газовой смазки производится через четыре средних дренажных отверстия; остальные заглушены. При горизонтальном положении ротора отбор газа производится из нижней части подшипника в контрольный баллон. Так как дренажные отверстия создают значительное сопротивление потоку, часть газа оставалась в зазоре и образовывала несущую подушку.
На рис. 48 показан процесс заполнения контрольного баллона、 емкостью 350 см3 сжатым воздухом, накачиваемым различными роторами с частотой вращения 700 с-1 (42,0 тыс. об/мин), при зазоре III (табл. 4). По оси абсцисс отложено время в минутах, по оси ординат —давление газа (воздуха) в баллоне в ати. Кривые обозначены: / —для ротора А1, 2 —А2, 3 —В2, 4 —Bl. Как видно из рисунка, лучшую нагнетательную способность имеет ротор А1 с наиболее глубокими канавками. Роторы В1 и В2 имеют значительно меньшую производительность и генерируют меньшее давление. Нагнетательную способность ротора А1 при тех же значениях частоты вращения и зазора можно значительно увеличить путем углубления канавок и увеличения относительной ширины канавок.
Экспериментальные исследования показали, что при выполнении на несущей поверхности цапф канавок с рекомендуемыми параметрами радиальные газодинамические подшипники имеют высокий предел устойчивости (выше 70,0 тыс. об/мин) и могут работать в отличие от гладких цапф с ненагруженным ротором.
36・ Некоторые перспективы дальнейшего развития исследований в области газодинамических подшипников
Тенденции современной техники, которые явились предпосылкой к широкому практическому внедрению газовых подшипников, продолжают стимулировать дальнейшее развитие методов газодинамической теории смазки. Возможности газовых подшипников как эффективного средства повышения быстроходности, точности, надежности и долговечности машин и приборов еще далеко не исчерпаны, и реализация этих возможностей в значительной степени обусловлена созданием более совершенных, научно обоснованных методов расчета и проектирования опор с газовой смазкой, достаточно полно и точно учитывающих весь комплекс технических факторов, которые могут оказывать существенное влияние на работу опор того или иного назначения.
Приводимый ниже перечень направлений, по которым, на наш взгляд, должна развиваться газодинамическая теория смазки на современном этапе, не может, разумеется, отразить всего многообразия специфических требований, предъявляемых к газовым подшипникам в различных областях техники. Этот перечень 13 В» Н. Дроздович193
не претендует на полноту и потому, что в соответствии с темой данной монографии, посвященной газодинамическим подшипникам скольжения, в нем не затрагивается вопрос о газовых опорах других типов — опорах с наддувом и вибронесущих опорах. <Гем не менее в этом перечне нашли отражения некоторые наиболее общие потребности современной практики использования газовых подшипников, во многом сочетающиеся с потребностями внутренней логики развития газодинамической теории смазки как науки. Эти направления сформулируем следующим образом.
Дальнейший критический анализ основных допущений.
Некоторые допущения газодинамической теории смазки (см. п. 9), прежде всего допущения о возможности пренебрежения силами инерции в смазочном слое, при решении ряда задач представляются недостаточно обоснованными. Это относится к таким актуальным задачам газовой смазки, как исследование нестационарных режимов работы газовых подшипников при больших числах Струхала (например, в условиях высокочастотных вибраций), аэродинамическому расчету крупногабаритных подшипников, в смазочном слое которых могут возникать околозвуковые и сверхзвуковые скорости. Последняя группа задач затронута в работе [64 ] (русский перевод в журнале «Прикладйая механика», 1971, т. 37, № 4), где однако не учитывается возможность возникновения газодинамических разрывов (скачков уплотнения), которые как раз и следует считать наиболее характерной формой проявления инерционных эффектов в сверхзвуковых потоках.
При исследовании высокоскоростных потоков газа, особенно со скачками уплотнения, становится, по-видимому, непригодным и другое распространенное в теории смазки допущение об изо- термичности потока.
Следует тщательно изучить вопрос о границах применимости обычных для теории смазки приближенных методов оценки влияния инерции смазочного слоя, связанных с осреднением уравнений Навье—Стокса (либо некоторых членов этих уравнений) по толщине слоя или с разложением искомого решения в ряд по числу Рейнольдса. В частности, вызывает сомнение возможность правильного учета инерционных эффектов вблизи границ смазочного слоя в рамках этих методов.
В тех случаях, когда по технологическим или иным соображениям приходится изготавливать газовые подшипники с большими зазорами (порядка нескольких десятков микрометров), повышается вероятность нарушения ламинарности смазочного слоя. По крайней мере, экспериментально доказана возможность турбулизации газовых потоков в каналах шириной порядка 100 мкм, однако решению вопроса о целесообразности и основных направлениях разработки методов расчета газовых подшип-
ников с турбулентным смазочным слоем должны предшествовать хорошо обоснованные с позиции теории подобия и тщательно поставленные эксперименты по выявлению условий возникновения и специфики турбулентных режимов в реальных газовых подшипниках.
Отметим, наконец, еще две группы задач, в которых может представлять интерес учет влияния числа Кнудсена — критерия сплошности среды (см. п. 9). Это, во-первых, исследование процесса формирования смазочного слоя при пуске ротора, когда толщина слоя в подшипнике может измеряться долями микрометра, и, во-вторых, анализ работы газовых подшипников в условиях разреженных сред, например на значительной высоте над поверхностью земли.
Развитие вариационных методов оптимизации газовых подшипников.
Это направление приобретает особое значение сейчас, в свете задач, поставленных XXV съездом КПСС, который объявил десятую пятилетку пятилеткой качества и эффективности. Его развитие является важной предпосылкой оптимального проектирования газовых подшипников на качественно новом уровне.
Вариационные методы, определяющие специфику так называемых обратных задач теории смазки, до последнего времени применялись лишь к теоретическим моделям подшипников, которые могут быть описаны обыкновенными дифференциальными уравнениями (см. п. 2). Полученные Ю. Я. Болдыревым новые результаты вариационного определения оптимальной формы профиля смазочного слоя газовых подшипников при использовании стационарного уравнения Рейнольдса с двумя независимыми переменными частично опубликованы в работе . Использованная методика, в частности, открывает возможность для окончательного решения вопроса о том, всегда ли (а если нет, то при каких условиях), спиральные микроканавки обеспечивают наибольшую несущую способность подшипника по сравнению с другими искусственными профилями.
В вышеупомянутых работах единственным критерием оптимальности была максимизация несущей способности подшипника. Дальнейшее усиление прикладного значения вариационных методов оптимизации в задачах газовой смазки связано с использованием других, не менее важных для практики критериев, в частности, максимизации предела устойчивости.
Значительный интерес представляют и вариационные задачи с ограничениями типа неравенств (можно поставить, например, вариационную задачу, в которой оптимальный по несущей способности профиль смазочного слоя, определяется среди профилей, обеспечивающих заданный минимальный предел устойчивости).
Примером более узкого, невариационного подхода к проблемам оптимизации подшипников является работа Флеминга, Хамрока [79, С1 ], в которой задача о максимизации минимального предела устойчивости радиального подшипника со спиральными канавками, исследуемого в рамках теории узких канавок, сводится к задаче об определении экстремума функции нескольких переменных.
Исследование газовых подшипников^ с упругими элементами.
Применение упругих элементов — один из наиболее перспективных способов стабилизации газовых подшипников. Известно, нанрнмер, что ленточные подшипники не теряют устойчивости вследствие податливости ленты. Кроме традиционных видов ленточных подшипников, в которых ленты можно считать идеально гибкими, в последнее время используются опоры с лентами, обладающими значительной изгибной жесткостью, что устраняет необходимость их предварительного натяжения, и с профилированными лентами (Деккер О. [79, F1 ]).
Нашли применение два варианта опор с упругими элементами. В первом- варианте упругие элементы образуют рабочую поверхность смазочного слоя (ленточные опоры, опоры из резиноподобных материалов и др： Во втором — рабочие поверхности практически недеформируемые, но' сам подшипник смонтирован на упругих элементах (Андерсон [46, т. 97, №2]).
Базой для создания надежных методов расчета такого рода подшипников являются: во-первых, выбор и обоснование теоретических моделей упругих элементов, во-вторых, разработка методов интегрирования систем, состоящих из уравнения Рейнольдса и уравнений теории упругости.
Анализ нестационарных периодических режимов работы газовых подшипников. 、
До сих пор среди комбинированных нестационарных задач смазки газодинамических подшипников (см. п. 2) объектом основного внимания был сравнительно узкий, хотя и очень важный класс этих задач, анализ устойчивости равновесия систем ротор— подшипники при постоянных внешних нагрузках. Современная практика настоятельно требует более широкого подхода к изучению динамики таких систем, включающего всестороннее исследование их динамического поведения в условиях, когда толщина смазочного,слоя и давление оказываются периодическими функциями времени. Имеются в виду не только режимы вынужденных колебаний; при постоянной внешней нагрузке и периодическом изменении реакции смазочного слоя (например, в случае, когда искусственный профиль нанесен на вращающуюся поверхность) могут возникать параметрические колебания [48], а нарушение устойчивого равновесия, как отмечалось в п. 2, может проявляться в форме автоколебаний. К этому следует добавить, что вопрос об условиях существования устойчивых предельных циклов при таких формах потери устойчивости равновесия под- 196
шипников, как цилиндрическая или коническая асинхронная прецессия (полускоростной вихрь) требует специального изучения.
При исследовании резонансных явлений в газовых подшипниках следует учесть возможность параметрического резонанса, более опасного, чем обычный, поскольку спектр его частот не является дискретным. Очень важно проанализировать те особенности колебательных режимов, которые обусловлены нелинейностью систем с газовыми - подшипниками, существенно нестационарным характером уравнения Рейнольдса и, в частности, формы проявления этих особенностей в резонансных эффектах и в механизме взаимодействия различных типов колебаний, например вынужденных колебаний и автоколебаний (Р. 3. Алиев [45, т.1 ]).
Анализ переходных режимов.
От поведения газодинамических опор при переходных режимах в весьма большой степени зависит их надежность и долговечность, поскольку наиболее тяжелые условия работы обычно связаны именно с такими режимами. Достаточно сказать, что процесс запуска машины (если не используются специальные методы запуска, например внешний наддув) неизбежно сопровождается сухим трением в подшипниках. Этим в первую очередь обусловлена важность выбора материалов газовых подшипников, изучения фрикционных свойств материалов и механизма износа, а также учета шероховатости смазываемых поверхностей (примером анализа газового подшипника с шероховатой поверхностью является работа Л оу и Хармана [46, т. 97, № 1 ]). Перспективным может быть, в частности, использование неметаллических (керамических) газовых подшипников
Кроме режимов запуска и останова,- представляет интерес изучение динамического поведения подшипников при ударных нагрузках, а также'работрспособности опор с наддувом при внезапном отключении питания их газом, когда опора, по существу, начинает функционировать как обычный газодинамический подшипник.
В целом динамика переходных режимов представляется наиболее сложной и наименее изученной проблемой газодинамической теории смазки. Для успешного теоретического исследования таких режимов особенно важна разработка эффективных численных методов решения комбинированных нестационарных задач газовой смазки (см. п. 2), постановка которых должна в общем случае отражать упругие свойства и контактную прочность материалов смазываемых поверхностей.
Из вышеизложенного видно, что дальнейшее развитие при- кладнойГ газодинамической теории смазки возможно только в тесном контакте с целым комплексом механических и технических наук и при активном использовании современных методов прикладной математики.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1Определенные интегралы
2л
[* dtp _ 2л
J 1 — 8 COS ф ― 71=^ 5
2л
「 cos 屮 dtp —2л£
J 1 — ecos 屮—- 丿 1=?(1 + 丿 匸e2)
2л [* cos2 ф dtp2n
J 1 - ecos(p -
2Лe 加J (1 —8 COS ф)3О2Лe 加J (1 —8 COS ф)3О2л'
2Л
e 加
J (1 —8 COS ф)3
О
2Л
e 加
J (1 —8 COS ф)3
О
2冗(1—吁；cos 屮 dtp _ 2儉(1一COS 屮)2 — —(1—戌)3/2 .2冗(1—吁；cos 屮 dtp _ 2儉(1一COS 屮)2 — —(1—戌)3/2 .f sin2 ф dtp2 冗
2冗
(1—吁；
cos 屮 dtp _ 2儉(1一COS 屮)2 — —(1—戌)3/2 .
2冗
(1—吁；
cos 屮 dtp _ 2儉(1一COS 屮)2 — —(1—戌)3/2 .
J 1 一 £ cos 屮一]十,匸二^
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Значения 力 и В в выражении J =力 + iB
%0 (А»)
& В
0,25
0,50
0,75
1,0
1,25
1,50
1,75
2,00
0,5
4
0,760
0,530
0,361
0,235
0,151
0,105
0,083
0,075
В
0,056
0,096
0,088
0,081
0,068
0,056
0,044
0,032
1,0
л
0,804
0,606
0,410
0,256
0,167
0,116
0,089
0,076
5
0,095
0,153
0」60
0,157
0,134
0,111
0,088
0,065
1,5
4
0,836
0,668
0,482
0,330
0,226
0,160
0,118
0,090
В
0,088
0,175
0,223
0,217
0,186
0,153
0,124
0,101
3,0
4
0,886
0,772
0,640
0,487
0,348
0,245
0,175
0,128
В
0,082
0,166
0,251
0,299
0,296
0,266
0,228
0,192
4,5
4
0,909
0,819
0,724
0,604
0,469
0,347
0,252
0,184
В
0,073
0,146
0,226
0,298
0,334
0,330
0,302
0,265
6,0
л
0,923
0,845
0,769
0,676
0,561
0,440
0,333
0,248
в
0,066
0,131
0,200
0,275
0,332
0,354
0,346
0,318
7,5
4
0,932
0,863
0,796
0,722
0,627
0,517
0,408
0,314
В
0,060
0,120
0,181
0,250
0,315
0,356
0,366
0,352
9,0
4
0,938
0,876
0,816
0,752
0,674
0,577
0,474
0,376
В
0,055
0,111
0,166
0,229
0,294
0,345
0,371
0,372
12,0
л
0,947
0,894
0,841
0,790
0,732
0,660
0,574
0,482
в
0,049
0,098
0,146
0,198
0,256
0,313
0,357
0,380
15,0
4
0,953
0,906
0,859
0,813
0,767
0,710
0,641
0,561
В
0,044
0,088
0,132
0,177
0,227
0,281
0,330
0,367
А
0,957
0,914
0,872
0,830
0,789
0,743
0,686
0,619
18,0
В
0,040
0,081
0,121
0,162
0,205
0,254
0,304
0,346
Примечание. Для 1,5 < %。< 18 табулирование производилось на ЭВМ.
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
К вопросу расчета несущей способности и угла нагрузки.
Сравнение расчетных данных по углу нагрузки Ф из (4.26) с результатами [57] показывает, что заметные отклонения наблюдаются лишь при малых ^0 и больших &q. Можно предположить, что эти отклонения могут быть уменьшены, если в поправке к 1-му приближению по методу РЯ-линеаризации учесть гармонические составляющие.
Вычисление главного вектора сил гидродинамического давления в смазочном слое при смещенном равновесном положении шипа для случая малых %0 можно произвести исходя из нелинейного уравнения Рейнольдса методом малого ^параметра. При'этом окажется, что член О (х0) будет всегда мнимым, а первый член вещественный ——О (%3). Это значит, что асимптотическое значение угла нагрузки Ф — —л/2 будет при любом 0<1.
Влияние гармонических составляющих поправки к первому приближению имеет место и в задачах динамики. Оценка влияния их на запас устойчивости цилиндрического подшипника произведена для подшипника бесконечной длины (приложение 4). Поправку в задачах статики не уточняем, так как для цилиндрического подшипника имеются численные данные [57].
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Уточнение выражения для поправки к формуле (5.76).
Поправка (5.76) может быть уточнена путем учета дополнительных членов
Д= До (?) + рФо (?, Т)+ рФх © е‘ (ЕВ + рф2 @ е—"Е。*.
Если учесть эту поправку в (5.74), то получим
причем интегралы, содержащие ①q (甘，т) и ⑦】&) е‘傳一％。力 здесь обращаются в нуль вследствие тех же причин, что и в п. 26. Для вычисления Ф3 следует исходить из уравнения для поправки следующего вида:
2л
о
2л
=-击j R (鹭，切e"®f m即，
О
которое получается из уравнения (3.49) путем интегрирования его почленно с весовым множителем屮f °初
Варьируя это уравнение в окрестности центрального положения равновесия и вычисляя интегралы, получим уравнение для Ф2 (0.
Проведем гармонический анализ уравнения для поправки Д в частном случае радиального ненагруженного подшипника с осевыми канавками весьма большой длины (ст0 —> 0).
Предположим, что вал совершает орбитальное движение с частотой полуско- ростного вихря вокруг центрального положения равновесия. Тогда функция зазора будет иметь вариацию
启=_ ^ р аt(Ф-Хот) + / ($_%。吗)，
где р — радиус орбиты; %0 — безразмерная частота вихревого движения.
Для рассматриваемого случая будем иметь (см. п. 17):
乩= i-^n(L"屮十/吗；
%i = 4'叭(l"①十内屮);
*一不%"； %=為a"
Подставляя в уравнение поправки выражение для А и учитывая вышеприведенные зависимости, получим
2л
①2 = -q- j* {(% +%0)[(н0)屮 а方 一 Fi0 AJ/ф] + 0
十必[(% 0//一%0(%)小 e" 1cg dp
Это выражение получается путем варьирования уравнения поправки в окрестности центрального положения вала с учетом условия, что АУ^ = 0. При вычислен нии вариации AR (оператора уравнения Рейнольдса) используется выражение (3.42).
В результате всех выкладок получим для коэффициента следующее выражение:
① 2 =4 'n"f Im{r)+ i(|rp-Re {Г})] = у^“，
где %= Х0/п; п^З.
Таким образом, в рассматриваемом случае учет гармонической составляющей ие вносит существенного вклада в расчет вихревой жесткости, ио появляется ” неур авновешенная тангенциальная составляющая гидродинамических сил.
Это значит, что необходимо внести поправку к частоте вихревого движения и установившийся вихрь иа пороге устойчивости будет совершаться с безразмерной частотой, отличной от %。.
Из выражения для Ф2 можно видеть также, что наиболыцее отклонение частоты вихря от %。будет иметь место при средних значениях этого параметра, близких к значению п. При %0 -> 0 и %0 -> +оопоправка к частоте обращается в нуль. Максимальное отклонение частоты вихря от %。достигается при %。= п, а соответствующий коэффициент
(①2)пих — t -g-Xo«
Для приближенной оценки смещения частоты имеем условие
，Im U J Q吐Р幫:吧2 /3 d<p % °,
где
aЛ = Re {A切};心=p \/(?户。).l.
Эго условие после подстановки в него значений АУ» и ①g Дает уравнение
ImIm=о,=о,一T叩笈，一T叩笈，№ 一 笈）一 ] .（哈С。
Im
Im
=о,
=о,
一T叩笈，
一T叩笈，
1 十 i （* — У。）2
отсюда при п = у。получим
1 + (v —Хо)¥
что дает приближенно
Найдем соответствующее изменение запаса устойчивости, которое определяется выражением
+ Р学内叶g d屮恋｝.
4s)
Для значений %@ <3 2加 это выражение йриближенио равно
1 П4Хо「fd(pd 白
(S)
Таким образом, запас устойчивости изменяется в сторону увеличения.
Оценка запаса устойчивости с помощью интеграла J J 歹(Р° ——1) dtp d^ О) °
является приближенной, так как она получена обойденным методом РЯ-линеаризации с учетом в поправке только нулевой гармоники. Для уточнения результата необходимо учесть гармонические составляющие в поправке к первому приближению, при этом запас устойчивости и частота вихревого движения на границе устойчивости несколько изменяется.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Бабаков И. М. Теория колебаний. М., «Наука», 1968. 560 с.
Булгаков Б. В. Прикладная теория гироскопов. М,, Гостехтеориздат, 1955. 355 с.
Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. (Пер. с англ.) М., «Мир», 1967. 311 с.
Газовая смазка подшипников. (Сборник докладов на совещании по газовой смазке подшипников). М.» Институт машиноведения, 1968. 312 с.
■5. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. М., Физматгиз, 1961. 228 с.
Гидродинамическая теория смазки. (Сборник классических работ). Под ред. Л. С. Лейбензона. М.—Л., 1934. 574 с.'
Григорьев Б. С. Движение вязкого газа в секторных газовых подшипниках. —《Механика жидкости и газа», 1971, № 2, с. 167—171.,
Дроздович В. Н. О смазке сферического подпятника.——В кн.; Вопросы теории и расчета гироприборов и приборов точной механики. Л., 1958, вып. 36, с. 38—44.
Дроздович В. Н. О вычислении динамической реакции радиального подшипника с газовой смазкой.—《Нзв. вузов СССР. Приборостроение», 1969, т. 12, № 2, с. 99—102.
Дроздович В. Н. К вопросу об устойчивости ротора в многоцентровых подшипниках с газовой смазкой.——«Изв. вузов СССР. Приборостроение», 1970, т. 13, № 11, с. 98—101.
Дроздович В. Н. К расчету статических характеристик торцевого газодинамического подшипника с шевронными канавками. — «Труды ЛИТМО», [972, вып. 72, с. 94—98.
Емельянов А. В., Емельянова Л. С. Теория газового подшипника со спиральными канавками, учитывающая эффект скольжения и местной сжимаемости. —«Механика жидкости и газа», 1971, № 5, с. 84—93.
Емельянов А. В., Завьялов Г. А., Шмелев А. А. Исследование упорного газового подшипника со спиральными канавками и утечкой смазки через зазор радиального подшипника. — «Машиноведение», 1969, № 3, с. 84—92.
Заблоцкий Н. Д. Линеаризация граничных условий в теории воздушных подвесов.—《Трудм Л ПИ», 1961, № 217, с. 127—132.
Заблоцкий Н. Д., Карякин В. Е-, Спиенков И. Е. Сферический газовый подшипник с принудительным наддувом. — «Механика жидкости и газа》，1970, № 3, с. 147—154.
Завьялов Г. А” Левина Г. А. Торцовая опора с оптимальным очертанием канавок.—«Машиноведение», 1973, № 1, с. 105—110.
Иванова В. В» Дроздович В. Н. К вопросу о стабилизации ротора в газодинамических подшипниках с эластичным креплением.—《Изв. вузов СССР. Приборостроение», 1971, т. 14, № 3, с. 103—105.
Иванова В. В., Коровничеико Б. А., Проскуряков Н. Г. Экспериментальный стенд для испытания гидродинамических нагнетателей приборного типа.—— «Изв. вузов СССР. Приборостроение», 1974, т. 17, № 7, с. 111—117.
Иванова Н. Г. Влияние сил инерции смазки на характеристики подшипников скольжения. — В кн.; Развитие гидродинамической теории смазки подшипников быстроходных машин. М., 1962, с. 174一206.
Инерциальная навигация. Анализ й проектирование. Под ред О'Дон- нела. М., «Наука», 1969, 592 с.■
Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М., Физматгиз, 1959. 684 с.
Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.—Л., Физматгиз, 1962. 708 с.
Ковалев М. П. Опоры и подвесы гидроскопических приборов. М., «Машиностроение», 1970. 286 с.■
Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., «Наука», 1972. 496 с.
Константинеску В. Н. Газовая смазка. (Пер. с румынского). М., «Машиностроение», 1968. 718 с.
Котляр Я. М. Течение вязкого газа в зазоре между двумя коаксиальными цилиндрами. — <{Изв. АН СССР. Отд-ние, техн, наук», 1957, № 10, с. 12—18.
Котляр Я. М. К теории воздушных подвесов сферического типа. — «Изв. АН СССР. Отд-ние техн наук. Механика и машиностроение», 1959, № 6, с. 21—26.
Котляр Я. М. Асимптотические решения уравнения Рейнольдса.—— «Механика жидкости и газа», 1967, № 1, с. 161—165.
Кузбвков Н. Т. Теория автоматического регулирования, основанная на частотных методах. М., Оборонгиз, 1960. 446 с.
Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой. М., Физматгиз, 1962. 480 с.
Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М., «Наука», 1973. 848 с.
Лойцянский Л. Г., Степаняиц Л. Г. Гидродинамическая теория сферического подвеса. — «Труды Л ПИ», 1958, № 198, с. 89—98.
Лохматое А. А. Расчет радиального газодинамического подшипника.—— «Машиностроение», 1971, № 4, с. 82—84.
Лохматое А. А. Некоторые вопросы внедрения газовой смазки опор турбомашин.—«Вестник машиностроения», 1972, № 11, с. 7—10.
Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. Собр. сочинений. Т. 2. М.—Л., АН СССР, 1956, с. 7—263.
Малкии И. Г. Теория устойчивости движения. М., «Наука», 1966. 530 с.
Материалы опор с газовой смазкой. (Сер. C-IX. Новые материалы в машиностроении). М., НИИмаш, 1972. 116 с.
Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М., «Наука», 1969. 379 с.
Пинегин С. В. Развитие и внедрение опор с газовой смазкой ——важное направление технического прогресса. — «Вестник машиностроения», 1970, № 19, с. 3—8.
Пинегин С. В., Коровчинский М. В., Жедь В. П. Международный симпозиум по газовой смазке. (Отчет о научной командировке в США). М., Институт машиноведения, 1968. 132 с.
Подшипники с газовой смазкой. Под ред. Грэссема и Пауэлла. (Пер. с англ.) М., «Мир», 1966. 424 с.
Полецкий А. Т. К интегрированию дефференциальных уравнений не- установившегося течения тонкого вязкого слоя.— «Изв. АН CQ2P. Отд-ние техн, наук. Механика и машиностроение», 1961, № 4, с. 33—37.
Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов, М., «Наука», 1969. 384 с.
Поспелов Г. А. Устойчивость и критические скорости роторов в подшипниках скольжения, — «Труды КХТИ», 1971, вып. 49, с. 3—12.
Проблемы развития газовой смазки. Доклады на Всесоюзном координационном совещании. М., «Наука», 1972, ч. *1, 300 с; ч. 2, 303 с.
Проблемы трения и смазки. (Пер. с англ.) 一 «Труды Американского общества инженеров-механиков. Сер.尸》, 1968, т. 90； 1969, т. 91； 1970, т. 92； 1972, т. 94; 1973, т. 95; 1974, т. 96; 1975, т. 97.
. Рабинович Е. Б., Снопов А. И. Вибрирование пластины над слоем вязкого теплопроводного газа. — «Машиноведение», 1970, № 3, с. 75—82. •
Роэенвассер Е・ Н. Колебания нелинейных систем. М.,《Наука》, 1969. 576 с.
Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М., «Наука», 1971. 552 с.
Слезкин Н. А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М., Гостех- издат, 1955. 520 с.
Степаняиц Л. Г. Некоторые методы газодинамической теории смазки.— 《Труды ЛПИ», 1967, № 280, с. 27—43.
Стернлихт Б. Газовые цилиндрические подшипники скольжения конечной длины. (Пер. с англ.) — «Прикладная механика», 1961, т. 28, № 4, с. 62—70.
Техническая механика. (Пер. с анг”・)——《Труды Американского общества инженеров-механиков. Сер. Д».( «Мир», 1961, т. 83; 1962, т. 84； 1963, т. 85； 1958, т. 80.1
Теоретические основы инженерных расчетов. (Пер. с англ).——《Труды Американского общества инженеров-механиков. Серия Д», (964, т. 86; 1965, т. 87; 1967, т. 89.
Тейлор, Сэффмеи. Влияние сжимаемости при малых числах Рейнольдса. —«Механика», 1958, № 2 (48),с. 29—45.
Уитли С., Уильямс Л. Упорный подшипник с газрвой смазкой, снабженный спиральными канавками.——«Экспресс-информация. Сер. Детали машин》, 1962, № 2, с. 10—12, с. 15—24.
. Шейнберг С. А. Газовая смазка подшипников скольжения (теория и р ас- счет). —«Трение и износ в машинах», 1953, вып. 8, с. 107—204*
Шейнберг С. А., Жедь В. П., Шишеев М. Д. Опоры скольжения с газовой смазкой. М・,«Машиностроение», 1969. 336 с.
Шидловский В. П. Введение в динамику разреженного газа. М., «Наука》, 1965. 220 с.
Burgdorfer A. The influence of the molecular mean free path on the performance of hydrodynamic gas-lubricated bearings. — «Trans. ASM.E», ser, D, 1959, vol. 81, N 1, p. 94—100.
Burwell J. T. The calculated performance of dynamically loaded sleeve bearings.—《Trans. ASME», 1951, vol. 73, p. 393—404.
Castelli V., McCabe J. T. Transient dynamics of a tilting pad gas-bearing system. —«Journal of Lubrication Technology (Trans. ASME, ser. F)», 1967, vol. 89, N 4, p. 499—509.
Cons tan tinescu V. N. Teoria lubrificatesei in regini turbulent. Bucuresti, Akademiei RPR, 1965, 343 p.
Constantinescu V. N., Hsing F. C. A qualitative study of gas bearings operating at high subsonic and supersonic speeds. — «Journal of Applied MeAianics (Trans. ASME, ser. E)», 1971, vol. 37, N. 4, p. 803—812.
. Elrod H. G., McCabe J. T.t Chu T. Y. Determination of gas-bearing stability by response to a step-jump. — «Journal of Lubrication Teclinology (Trans. ASME, ser. F)>>, 1967. vol. 89, N 4, p. 493—498.
Eshel A. Transient analysis of a planar hybrid foil bearing model. — «Journal of Lubrication Technology (Trans. ASME, ser, F)», 1974, vol. 96, N 3, p. 432— 435.
Gross W. A. Gas film lubrication. N. Y.—L.» Wiley and sons, 1962, 413 p.
Gupta P. K・，Coleman R. L.t Pan С. H. T『Ambient edge correction for the locally insompressible narrow-groove theory. — «Journal of Lubrication Technology (Trans. ASME,. ser. F)》，1974, vol. 96, N 2, p. 284—290.
Hoffman M・ Ober Theorie und Anwendung von Aerelangern,—《Indu- strie-Anzeiger», 1967, N 52, p. 18—22.
Langlois W. E. Isothermal sgueeze films. — «Quarterly of Applied Ma- tematics», 1962, vol. 20, N 2, p. 131—150.
Licht L.t Branger M., Anderson W. J. Gas-lubricated foil bearinge for high speed turboalternator—construction and performance. — «Journal of Lubrication Technology (Trans. ASME, ser. F)», 1974, vol. 96, N 2, p. 215—222.
Marsh H. The stability of aerodynamic gas bearings. — «Mechanical Engineering Science Monograph». N 2. Institute of Mecanical Engineering, Westminster, 1965. 44 p.
204
Muijderm^n E. A. Spiral groove bearings.—《Philips Research Reports》, Supplements N 2, 1964, 196 p.
Pan С. H. T. Spectral analyses of gas bearing system for stability studies.— «Dynamics and Fluid Mechanics», vol. 3, p. 2 of «Developments of Mechanics», N. Y., Wiley, 1965, p. 431—447.
Pan С. H. T. On asympototic analysis of gaseuos sgueeze Him bearing,— «Journal of Lubrication Technology (Trans. ASME, ser. F)»( 1967, vol. 89, N 3, p. 245—253.
Pinkus O., Sternlicht B. Theory of hydrodynamic lubrication. N. Y.— Toronto—L., «McGrow-Hill Book Company》，1961. 465 p.
Sagot J.t Godet J. M. Computation of load capacity and torques for hydrodynamic grooved spherical bearings. — «The Gas Bearing Symposium Proceedings^ University of Southampton, 1969, vol. 1, paper N 16, 25 p.
Tang I. C. The design and analyses of rectangular gas slider bearings.— 《Wear», 1971, vol. 20, N 1, p. 59—65.
Proceedings of the 6 th International Gas Bearing Symposium. Southampton, 《Cranfield», 1974, Paper Cl, 12 p; Paper El, 26.; paper El, 14 p.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакторов .,. Предисловие Условные обозначения
Глава I. Состояние теории и практики применения газодинамических подшипников 11
Типы газодинамических подшипников и их применение в современной технике —
Современное состояние теоретических исследований и методов расчета газодинамических опор 22
Основные этапы решения задачи устойчивости газодинамических подшипников 36
Глава II. Уравнения динамики ротора в подшипниках скольжения с газовой смазкой 39
Уравнения динамики машинсо свободным ротором ——
перемещений статора 43
Линеаризация уравнений движения машины методом малых возмущений ； 46
Основные понятия устойчивости и виброустойчивости машин на подшипниках с газовой смазкой 52
К вопросу о влиянии перекрестных связей на устойчивость ротора в г азодинамических подшипниках 57
Глава III. Уравнения газовой смазки подшипников скольжения и краевые задачи 62
Основные предпосылки к постановке краевых задач для газодинамических подшипников скольжения ——
Основное уравнение газовой смазки в сферических координатах ,69
Основные типы граничных условий к уравнению Рейнольдса и способы постановки краевых задач для сферического подшипника 73
Краевые задачи газовой смазки для цилиндрического, плоского, кругового конического подшипников 78
Аналитическое представление толщины смазочного слоя при угловых рассогласованиях осей шипа и подшипника 81
К вопросу о выборе метода решения краевых задач газовой смазки 84
Глава IV. Стационарные решения линеаризоваииой задачи газовой смазки для некоторых типов опор 88
Решение стационарной задачи для гладкого цилиндрического подшипника . 89
Статическая реакция цилиндрического подшипника с гладкой ' втулкой 92
206
94981061099498106109115115116120124129131133141116120124129131133141146150159162166169178‘183193198199146150159162166169178‘183193198199
94
98
106
109
94
98
106
109
115
115
116
120
124
129
131
133
141
116
120
124
129
131
133
141
146
150
159
162
166
169
178
‘183
193
198
199
146
150
159
162
166
169
178
‘183
193
198
199
Решение краевой задачи статики для цилиндрического подшипника с шевронными канавками, имеющими синусоидальный профиль
Качественное исследование упорного подшипника с шевронными канавками
Влияние шевронных канавок на жесткость радиального подшипника
Асимптотическое решение краевой з-адачи статики для подшипника с шевронными канавками произвольного профиля
Глава у. Некоторые задачи динамики машин с подшипниками скольжения на газовой смазке
Динамическая реакция радиального подшипника при малых поступательных колебаниях в окрестности центрального положения равновесия
Динамическая реакция радиального подшипника на угловые перемещения вала :
Исследование поступательных колебаний ротора в газодинамических подшипниках в первом приближении
Исследование угловых колебаний ротора в газодинамических подшипниках
Влияние на устойчивость податливости крепления машины (гироскопа)
Уточнение динамических характеристик методом гармонического баланса
Влияние упорных подшипников на запас устойчивости ротора катушечного типа по отношению к коническим колебаниям .,
Глава VI. Примеры расчета и некоторые результаты экспериментального исследования гладких и профилированных подшипников
Вычисление вихревой жесткости цилиндрического подшипника с шевронными канавками
Вычисление вихревой жесткости простого цилиндрического подшипника при постоянном эксцентриситете
Вихревая Жесткость цилиндрических подшипников с синусоидаль- . ньгм профилем
Исследование устойчивости равновесного режима вращения ротора гироскопа в кардановом подвесе .：
Вычисление моментов сил трения
Примеры расчета радиальных газодинамических подшипников с учетом требований к запасу устойчивости ...
Расчет торцевых (упорных) газодинамических подшипников с шевронными канавками
Некоторые результаты экспериментальных исследований газодинамических ПОДШИПНИКОВ ,
Некоторые перспективы дальнейшего развития исс^дований в области газодинамических подшипников . . ^
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Приложение 4 -• •
Список литературы г■
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Стр*
Строка
Напечатано
Должно быть
41
8-я снизу
+ kU
+ ки
45
21-я снизу
продолженных
приложенных
82
3-я снизу
по
от
85
Формула (3.47)
— %//"%
— %"%
197
3-я снизу
механических
физических
Дроздович В. Н., заказ № 1004
Владислав Николаевич ДРОЗДОВИЧ
ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОДШИПНИКИ
Редактор издательства Н. А. Жукова Переплет художника С. С- В ен е диктова Технический редактор Л. В. Щ е т и н и на Корректоры Т. Н. Г ринчук и 3. С. Р о- манора
Ленинградское отделение издательства
■ «МАШИНОСТРОЕНИЕ»/
191065, Ленинград, Д-65, ул. Дзержинского; 10
Сдано в производство 19/V 1976 г.
Подписано к печати 29/IX 1976 г.
М"23215. Формат бумаги 60乂90%6
Бумага типографская № 3. Печ. л. 13,0 Уч.-изд. л. 13,3. Тираж 8000 экз. Зак. 1004 Цена 83 коп.
Ленинградская типография № 6 Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
193144, Ленинград, С-144, ул. Монсеенко, 10
1
J庙｛弘｝题= о
В. Н. ДРОЗДОВИЧ
ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ
ПОДШИПНИКИ
ЛЕНИНГРАД «МАШИНОСТРОЕНИЕ» ЛЕНИНГРАДСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ 1976
УДК 621.822.57
Научные редакторы кандидаты техн, наук В. В. ИВАНОВА, П. А. ИЛЬИН и д-р техн, наук А. А. ЛОХМАТОВ.
Рецензент засл. деят. науки д-р техн, наук Н. В. БУТЕНИН
.Дроздович В. Н. Газодинамические подшипники. Л., «Машиностроение» (Ленингр. отд-ние), 1976.
208 с：
В книге рассмотрены особенности процесса газовой смазки, приведена классификация опор с газовой смазкой, указаны Перспективы нсполъзоваиия и приведеиыТтримеры применения газодииамических подшипников в приборах и машинах. Даны теоретические основы расчета и 吵оектнровання газодинамических подшипников приборов и быстроходных мащии малой мощности. Предлагаемый в книге метод расчета учитывает динамические свойства как смазочной пленки, так и машины а целом.
Книга рассчитана на инжеиерио-технических работников, заиимцющихся проектированием и исследованием газодинамических подшипников.
Табл. % ил. 48, список лит. 79 “азв.
31305 — 038 38 — 76© Издательство «Машиностроение», 1976 г,
038(01) — 76