Глава 1. Введение

丄 Фильтры: краткое введение

Активные фнльтры

Каскадное соединение фильтров второго порядка

Глава 2. Честотнвя хервктеристика и передаточные функции

.J. От технических требований к передаточной функции ....

.2. Функции цепей второго порядка

Глава 3. Чувствительность и поквзатель качества ..........

Некоторые полезные единицы измерения чувствительности ...

Произведение усиление-чувствительность (ПУЧ)

Чувствительность коэффициента

Показатель качества

Учет частотной коррекции

Глава 4. Функционвльные узлы для каскадного проектирования фильтров

Низко добротные функциональные узлы (д「W 2)

Среднедобротные функциональные узлы [qP ^ 20)

Высокодобротные функциональные узлы (qP > 20)

Глава 5. Рвсчетные урввненйя и алгоритмы

Критерии проектирования

Расчетные уравнения и алгоритмы

Исходные данные для расчета низкодобротных цепей (^р《2)

Исходные данные для расчета среднедобротных цепей (办 W 20)

Исходные данные для расчета высокодобротных цепей (qp > 20) Литература

Глава 6, Настройке активных фильтров

Функциональная и детерминистическая настройкн ......

0,2, Функциональная настройка

Точность функциональной настройки

Детерминистическая настройка

Точность детерминистической настройки

5 6 8 8 о н

^ 8

27

230313336

9 9 14

3 3 4 4

47474950586878

^7981868992

Сочетание детерминистической и функциональной настроек ..

Настройка звеньев фильтров второго порядка

Простая фазовая цепь для настройки активных фильтров . •.

Глава 7. Проектирование вктивных фильтров л-го порядив

7.1.

7.2.

7.3.

7.4.

5 _^ 7 0^

Передаточная функция n-го порядка Основные типы фильтров Передаточные функции полиномиальных фильтров Графическое и аналитическое проектирование фильтров n-го порядка общего вида Масштабирование по частоте и уровню сигнала Частотные преобразования Формирование пары полюс — нуль Оптмальная последовательность звеньев

5 51725

3357596874 «1 *1 11 *1 1л

^ то ^ ^^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 111111 2 2223^ то ^ ^^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 111111 2 2223

^ то ^ ^^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 111111 2 2223

^ то ^ ^^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 111111 2 2223

Глава 8. Практические рекомендации по проектированию активных фильт* ров

Оперативный метон проектирования активного фильтра ....

Выбор активных и пассивных элементов

Решение проблемы устойчивости

Внешняя частотная коррекция Литература

Приложение А. Записи программ для карманного калькуляторе SR-59 Приложение Б. Распечатка программы нв языке Фортран для ЭВМ PDP-11

Приложение В. Рвспечвткв программы на языке Бейсик ди* мини-ЭВМ TRS-80

Приложение Г. Численная проверка программ

Дополнение .

Предметный указатель

Георг Мощиц» Петр Хорн

Проектирование активных фильтров

Старший научный редактор Н. В. Серегина, Младший научный редактор Е. П. Орлова Художник Н. И. Василевская. Художественный редактор В. В. Прищепа Технический редактор Н. И. Борисова. Корректор Т. П. Пашковская

ИБ № 3577

Сдано в набор 03.10.83. Подписано к печати 18.05.84. Формат 60Х€0%б・ Бумага типографская №2 Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 20,00. Объем 10,00 бум< л. Усл. кр.-отт. 20,00. Уч.-изд. л. 19,77. Изд. № 20/2497. Тираж 30 000 экз. Зак. 810. Цена 1 р<М к.

И3ДАТЕЛЬСТВО «МИР> Москва, 1-й Рижский пер., 2.

Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполнграф- прома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книж ной торговли. 198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.

ББК 32.844

М87

УДК 621.372.54

Мошиц Г., Хорн П.

М 87 Проектирование активных фильтров: Пер. с англ.——М.： Мир, 1984. — 320 с., ил.

Книга специалистов из Швейцарии представляет собой справочное пособие по методам практического проектирования и настройки активных фильтров, находящих широкое применение в современной радиоаппаратуре Для выбора параметров фильтров предусмотрено использование разнообразных вычислительных устройств — от программируемых карманных калькуляторов до миии-ЭВМ с программированием на языках Фортран нли Бейсик Приведены соответствующие программы.

Для разработчиков, радиолюбителей, аспирантов и студентов соответствующих специальностей вузов.

мм2401000000-216F(0>84〔54-84, ч.2401000000-216F(0>84〔54-84, ч.11ББК 32.8446Ф2.13ББК 32.8446Ф2.13

м

м

2401000000-216

F(0>84〔54-84, ч.

2401000000-216

F(0>84〔54-84, ч.

1

1

ББК 32.844

6Ф2.13

ББК 32.844

6Ф2.13

Редакция литературы по новой технике

Copyright © 1981 by John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved. Autorized translation from Bnglish language edition published by John Wiley & Sons, Inc.

⑥ Перевод на русский язык с дополнением, «Мир», 1984

Можно считать, что история современных активных ^С-фильтров начинается с появления в начале 60-х годов интегрального операционного усилителя, который и определил столь быстрое развитие активной фильтрации. За прошедшие два десятилетия соответствующая техническая литература прошла путь от отдельных журнальных статей до обобщающих монографий. Теперь настало время и справочников !), что позволяет предположить близкое завершение темы. Приходится констатировать, что в настоящее время, когда требования к обработке сигналов повсеместно растут, реализация чисто активных ^С-фильтров, характеристики которых определяются элементами R и С, достигла уже предела возможностей современной гибридной технологии.

Сейчас активные ^С-фильтры успешно заполняют освобождающуюся от LC-巾ильтров огромную нншу в радиоаппаратуре в части микроминиатюризации первого порядка, где нет пока необходимости или возможности использования интегральной гехнологии. Особенность этого процесса состоит в том, что помимо традиционного применения фильтры широко внедряются в бытовую, медицинскую, геофизическую и другую аппаратуру, разработчики которой не знакомы с тонкостями проектирования фильтров. В этом отношении весьма полезным может оказаться предлагаемое справочное пособие по расчету активных фильтров, которое предназначено как для новичков, так и для специалистов.

В справочнике кратко (что необходимо отметить как особую заслугу авторов) представлен весь комплекс вопросов практического проектирования активных фильтров, начиная от аппроксимации заданной характеристики н оптимального расчета величин элементов схемы до особенностей настройки. Как принято в последнее время, расчет фильтров ведется по рабочим параметрам, а их построение основано на каскадном соединении звеньев второго порядка.

Удачно выбрана форма изложения материала, которая позволяет специа- лнсту-фильтровику легко дополнять справочник своим опытом разработки. Книга хорошо продумана и скомпонована. После ее прочтения возникает такое ощущение завершенности темы, которое наводит на мысль о лебединой песне если ие вообще для литературы по активным RC-фильтрам, то, во всяком случае, для основного автора книги Мошица ——давнего и известного специалиста.

При подготовке книги к печати было решено дополнить ее в части использования отечественных настольных вычислительных средств. Соответствующие программы для ПЭКВМ «Искра-125» по расчету всех представленных схем звеньев фильтров составлены М. Н. Микшисом,

Перевод книги выполнен И. Н. Теплюком (предисловие, гл. 1) и М. Н. Микшисом (гл. 2——8, приложения).

Я. Н. Теплюк

В 1983 г. только в отечественных издательствах «Радио и связь» и «Энергоатомиздат» вышло по одной книге отечественных и зарубежных авторов.

До появления интегральных схем н активных фильтров большинство электротехнических учреждений имело своих собственных специалистов по фильтрам, которые и решали все вопросы, связанные с проектированием классических LC-фипьтров. Хотя они еще есть (и необходимость в них не отпала при проектировании фильтров), но ряды этого поколения специалистов-филь- тровиков редеют. Это можно объяснить тем, что многие предприниматели считают, что любой пз их инженеров может встроить любой фильтр, даже активный, если понадобится. Такое убеждение проистекает из распространенного мнения, что активный фильтр——это не более как ряд частотно-избирательных усилителей, которые легко собираются с помощью нескольких проектных схем и таблиц для разработчиков, взятых из любого находящегося под рукой специализированного журнала. Подобное отношение к созданию активного фильтра может быть оправдано для большинства простьгх случаев применения. В любой же более сложной конструкции во избежание многочисленных ошибок потребуется вложить больше усилий и знаний. Задачей этой книги и является обеспечение как профессионального разработчика активных фильтров, так и неспециалиста такими дополнительными сведениями, с помощью которых можно без особого труда проектировать оптимизированные дешевые активиьге фильтры, которые будут хорошо работать в самых разнообразных конструкциях.

Помещенный в книге материал и представленные схемы фильтров являются результатом многолетней деятельности авторов в качестве консультантов н разработчиков активных фильтров. За это время стало очевидным, что существует большое число сравнительно небольших электротехнических фирм, которым требуется широкий выбор низкочастотных активных фильтров, и. кроме того, эти фильтры при наличии небольшой дополнительной информации могут быть существенно улучшены. Многие изготовители, для того чтобы обеспечить заданные характеристики, уже на последней стадии вводят в свои конструкции активные фильтры, созданные по рекомендациям специали- зированого журнала, а потом вынуждены решать проблемы устойчивости и паразитного самовозбуждения либо в процессе изготовления, либо, что еще хуже, позже, в процессе эксплуатации Книга и предназначена в первую очередь таким разработчикам.

В ней подробно представлено более двадцати хорошо опробованных схем активных фильтров для большинства возможных применений. Выбор этих фильтров основан на малом числе RC-злементов, минимальной потребляемой мощности (т. е. минимальном числе усилителей), низких чувствительиостях к пассивным и активньгм элементам, простоте настройки и хорошей устойчивости в эксплуатации Вся необходимая для проектирования и настройки информация обеспечивается расчетными уравнениями и алгоритмами, которые можно реализовать программируемыми ручными калькуляторами или миниЭВМ. Приводятся листинги для программируемого ручного калькулятора SR-59 фирмы Texas Instruments, на языке Фортран для ЭВМ PDP-11/45 и на языке Бейсик для мини-ЭВМ. Поскольку расчет актнвннх фильтров стано-

вится более критичным с увеличением добротности полюсов, то фильтры разделяют иа три категории: низкодобротные, срсдпедобротные и высоко- добротиые. Алгоритмы для средне- и высокодобро!ных фильтров включают основные процедуры оптимизации, которые обеспечивают некоторую защиту от влияния неидеальности операционных усилителей. Главы по расчету и настройке этих активных фильтров (гл. 5 и 6 соответственно) являются ядром книги и могут использоваться независимо от других глав, тем не менее некоторые основы проектирования активных фильтров включены в начальные главы для лучшего понимания разработчиком материала по расчету.

В гл. 1 кратко изложены основополагающие понятия и элементы теории классических фильтров. В гл. 2 представлена передаточная функция фильтра и поясняется ее связь с частотной характеристикой фильтра и требованиями к нему. Необходимые для оптимизации активных фильтров понятия рассматриваются в гл. 3 и более подробно в гл 5. Сюда входят главным образом общие представления о чувствительности н расчет показателя качества. В гл. 4 даются в общем виде указанные выше три категорч!：! фильтров, а в гл. 5 они рассматриваются подробно. В пределах каждой из трех категорий по добротности полюсов рассматривается любой возможный тип фильтра второго порядка. Приведены их расчетные уравнения и алгоритмы для оптимизации, а также при необходимости данные по настройке. В гл. 6 детально представлена настройка активных фильтров второго порядка. Первые шесть глав книги посвящены в основном фильтрам второго порядка. Необходимый материал для проектирования активных фильтров высокого порядка путем каскадного соединения функциональных узлов второго порядка приводится в гл. 7. Наконец, гл. 8 содержит практические рекомендации по проектированию сложных фильтров. В ней рассмотрены некоторые наиболее часто встречающиеся, но редко упоминаемые затруднения в проектировании активных фильтров. Изложение требует минимальных знаний из курса электро юх- ники, а это расширяет круг возможных разработчиков, что в конечном итоге и является основной целью этой книги.

Фильтры: краткое введение

Фильтрами, или электрическими фильтрами, являются частотно-избирательные цепи, спроектированные для «пропускания» или передачи синусоидальных сигналов в одной или более непрерывных частотных полосах и «остановки» или заграждения в дополняющих полосах. В зависимости от полосы ча- сют прохождения сигнала фильтры с одной полосой пропускания классифицируются на фильтры нижних частот, верхних

(л)2(л)2ПОАОСНО- , пропускающий фильтр (施)ПОАОСНО- , пропускающий фильтр (施)

(л)2

(л)2

ПОАОСНО- , пропускающий фильтр (施)

ПОАОСНО- , пропускающий фильтр (施)

Рис 1.1. Типовые частотные спектры на входе и выходе полосно-пропускаю- щего фильтра

а •— частотный спектр входного сигнала; б — частотный спектр выходного сигнала (ПФ)

частот и полосно-пропускающие (полосовые). Например, полоса пропускания показанного на рис. 1.1 полосового фильтра простирается от частоты и” до «2. Существуют и другие типы фильтров, такие, как всепропускающие, частотовыделяющие (узкополосные) и частотоподавляющие (режекторные). Все они подробнее будут рассмотрены в следующих разделах. Другая классификация фильтров основана на тех положениях теории цепей, по которым они рассчитываются. Она включает фильтры по характеристическим параметрам и фильтры по рабочим параметрам.

Фильтр по характеристическим параметрам составляется каскадным соединением четьтрехполюсных звеньев, характери-

стические сопротивления которых согласованы при их соединении. Если при этом фильтры согласованы и с нагрузками на зажимах, то в полосе пропускания «характеристическое затухание» будет равно нулю. Однако из-за частотной зависимости характеристического сопротивления и резистивных нагрузок фильтр на своих зажимах не согласован на всех частотах, что

фильтрафильтраЗитдханнеА〉ЗитдханнеА〉

фильтра

фильтра

ЗитдханнеА〉

ЗитдханнеА〉

приводит к ненулевому значению затухания в полосе пропускания.

Альтернативный метод расчета фильтров основан на рабочих параметрах затухания. На рис. 1.2 приведены типовые требования на полосно-пропускающий фильтр. Рабочие параметры предусматривают обеспечение затухания в полосе пропускания (в диапазоне частот от g)bi до g)b2)ниже определенного максимального значения 4тах, измеряемого в децибелах или неперах, и затухания в полосе задерживания (для частот ниже g)$i и выше з$2) выше заданного минимального значения Лтш. Ширина интервалов 傾—(Osi и g)s2 —④敢 характеризует требуемую частотную избирательность. Из-за паразитного рассеяния в элементах фильтров реальная кривая затухания существенно отличается от теоретической, особенно на краю полосы и в окрестностях точек бесконечно большого затухания. Одно из достоинств теории рабочих параметров состоит в том, что указанное влияние неидеальности элементов компенсируется методом предыскажения, который, однако, дает постоянное значение затухания в полосе пропускания. Часто для той же (что и у характеристического фильтра) структуры рассчитанный по рабочим параметрам результирующий фильтр обеспечивает (при одном и том же числе звеньев) лучшие характеристики. Это улучшение получается за счет существенного усложнения вычислений, что являлось главным сдерживающим фактором до современного распространения компьютеров. С расширением в настоящее время вычислительных возможно-

стен проектирование фильтров по рабочим параметрам стало повсеместно доступным в виде таблиц фильтров типа помещенных в книге Zverev A. I. Handbook of Filter Synthesis, Wiley, Inc., N. Y., 1967. В предлагаемой книге проектирование фильтров также основано на методе рабочих параметров и исполь Зуется, как указано в гл. 7, для определенных применений в качестве исходных данных упомянутого справочника.

Активные фильтры

Вместо затрат значительных средств на совершенствование теории, технологии и изготовления ЛС-фильтров, расширяется тенденция по исключению последних из современной электронной аппаратуры, поскольку интегральные схемы полностью изменили обычные системы и критерии, принятые раньше в разработках. Таким образом, ЛС-фильтры наряду со всеми другими типами схем, не соо1ветствующими данному направлению микроминиатюризации, быстро заменяются более подходящими. Среди них находятся активные фильтры, где резисторы, конденсаторы и активные приборы объединены в активные цепи с фильтровыми характеристиками, сравнимыми или превосходящими аналогичные параметры ЛС-прототипов. В качестве активного прибора неизменно используется операционный усилитель благодаря своим исключительным свойствам, прием^ лемой стоимости и быстрой поставке. Термин «активные фильтры» включает множество различных построений схем и методов проектирования, важнейшие из которых можно сгруппировать в следующие три категории.

Каскадное проектирование фильтров

Здесь подразумеваются изолированные звенья фильтров второго порядка (часто называемые биквадратными схемами или «биквадами»), соединяемые каскадно для реализации требуемых передаточных функций более высокого порядка. Отдельные узлы, составляющие фильтр, могут быть второго или третьего порядков и включать один или более операционных Усилителей (ОУ).

Имитация ЛС-фильтров

Исходной позицией является структура LC-фильтра. Далее она реализуется либо имитацией каждой индуктивности гираторно-конденсаторной цепью, либо преобразованием первоначальной схемы фильтра таким образом, чтобы ее можно было реализовать с помощью обобщенных конверторов сопротивления (ОКС), например частотно-зависимых отрицательных со、 противлений (ЧЗОС). Как гираторы, так и ЧЗОС строятся на основе операционных усилителей.

Связанные фильтры

В общем случае здесь исходной точкой является каскадное соединение активных фильтров первого и второго порядков (предпочтительно функциональных узлов общего назначения), которые затем охватываются дополнительными петлями отрицательной обратной связи. Последние вводятся для обеспечения в результирующей каскадной структуре активного фильтра той же стабильности, которая достигается в имитируемой схеме LC-фнльтра.

1В3Й Каскадное соединение фильтров второго порядка

Каскадное соединение фильтров второго порядка или, короче, «каскадное проектирование фильтра》 является самым распространенным мет о дом расчета активных фильтров по умеренным требованиям. Именно на этом методе основаны расчеты, описываемые в данной книге.

Причина такого выбора проста. В современных системах связи и обработки данных значительная часть обработки сигнала осуществляется с помощью цифровых БИС. Поэтому требования на периферийные аналоговые фильтры часто умеренные, что соответствует, в частности, относительно низкой добротности полюсов. С другой стороны, еще больше снижается минимум потребляемой мощности. В этих условиях каскадное проектирование звеньев второго порядка на одном усилителе представляет почти идеальное решение проблемы фильтрации. Для высококачественных фильтров, т. е. при высоких добротностях полюсов и требованиях очень низкой чувствительности, можно применять многоусилительпые звенья, т. е. каскадное соединение звеньев второго порядка на нескольких усилителях каждое и при необходимости дополнительное согласование между звеньями.

Каскадное проектирование имеет еще преимущество в простоте расчетов, подгонке элементов, настройке фильтра и минимальной мощности. Последнее обусловлено тем, что число операционных усилителей на звене фильтра второго порядка может изменяться в соответствии с заданными параметрами на фильтр. Так, малоизбирательный (т. е. с низкой добротностью полюсов) фильтр можно строить на одном ОУ, тогда как для обеспечения стабильной работы звена с более высокой добротностью может потребоваться звено на двух усилителях. Из многочисленных фильтровых звеньев второго порядка (на одном и нескольких усилителях), пригодных для каскадного проектирования, для данной книги отобраны те, которые лучше всего удовлетворяют требованиям простоты расчета и качеству реализуемых параметров. В частности, выбор производился по

минимальной мощности, простоте настройки и методу изготовления и по умеренным требованиям на допуски. Для большинства промышленных применений такие фильтры будут характеризоваться малыми сериями производства и относительно несложной технологией. Под последней подразумевается скорее толстопленочная, чем тонкопленочная технология гибридных интегральных схем, и, когда невозможно (и все еще широко распространено), изготовление активных фильтров на дискретных элементах.

Частотная характеристика и передаточные функции

От технических требований к передаточной функции

Большинство схем фильтров, н в частности те, которые рассматриваются в этой книге, принадлежит к семейству конечных линейных цепей с сосредоточенными параметрами Сюда обычно не входят нелинейные, распределенные и бесконечные цепи или их сочетания.

Выходной сигнал рассматриваемой цепи 〃-го порядка можно определить через входной сигнал, решая линейное дифференциальное уравнение м-го порядка вида

апу {{( dy {

ап ——+ ・..++ а()у =

atn~[dt

(2.1)

где 尤(％) является соответственно входным, а y(t} — выходным сигналом и п т.

Применяя к этому уравнению преобразование Лапласа, получаем передаточную функцию T(s) = Y(s)/X(s) в виде отношения двух полиномов ^(s) и Z)(s), а именно

[2⑵ I)[2⑵ I)Т ($) = N ($) _ Ьг^т + 87n7$也 1 + …+ 匕2 + M“($)+ dti—\Sn ' + ... + 〃2 + 〃o

[2⑵ I)

[2⑵ I)

где s = о + /w представляет собой комплексную частоту, а N(s) и Q(s) являются полиномами переменной s с вещественными коэффициентами 。工 и Ь}, Записывая полиномы ^(s) и O(s) в виде сомножителей, получаем полюсы и нули передаточной функции

т — ^i) (s — г2).. .(s — * 口i==i($ — &) О &、

T ⑻=к 吃М二 • (2・з)

Сами полюсы р; и нули w, могут быть либо вещественными, либо комплексно-сопряженными. Объединяя комплексно-сопряженные нуль и полюс, получаем частный случай передаточной

')Квадратные скобки применяются и результатов

для выделения важных определений

Рис. 2.1. Диаграмма полюсов и нулей передаточной функции второго порядка.Рис. 2.1. Диаграмма полюсов и нулей передаточной функции второго порядка.соотношением (2.1), положимсоотношением (2.1), положим

Рис. 2.1. Диаграмма полюсов и нулей передаточной функции второго порядка.

Рис. 2.1. Диаграмма полюсов и нулей передаточной функции второго порядка.

соотношением (2.1), положим

соотношением (2.1), положим

функции второго порядка

(S — р) (s —

Р*)s2 + ®]q}s +時

(2.4)

где а,

Z* = —% 土 /йг,

(2.5а)

-% 土而川

(2.56)

Полюсы и нули можно изобразить на плоскости комплексной частоты или 5-плоскости, как показано на рис. 2.1. Отметим, что

* =十稣，(2.6а)

9z = 3 丿2久，q = %/2%.(2.66)

Для нахождения частотной характеристики цепи, описываемой

входной сигнал синусоидальным, и поскольку это линейная цепь, получаем синусоидальным и выходной сигнал. Эта характеристика определяется при подстановке s = /со в уравнение (2.3), следовательно,

.11；=| 0w-Р/)

= |T(j(n)| е№(®.(2.7)

Логарифмируя соотношение (2.7), получаем

mT(j(D)=ln|T(j① |) +

+ /arg Г (/со) ==а((о) + /<р (со), (2.8)

где а (со) ср (w) представляют со- бой амплитудно-частотную и фазово-частотную характеристики, заданные соответственно в неперах и градусах. Амплитудно-

частотная характеристика в децибелах определяется следующим образом:

【29【29«дБ ®) = 20 lg |Т (jto) I = ~^^ а ®) = 8,686а (со),

【29

【29

а характеристика группового времени замедления ——в виде

% (to) = —dtp ((o)/d(o.

[2.10]

向又一口 5946向又一口 5946а,95а,95屮(5屮(5十拙）十拙）ggРис. 2.3. Характеристики передаточной функции, заданной уравнением (2.11): амплитудно-частотная (а), фазово-частотная (б) и группового времени замедления (8)Рис. 2.3. Характеристики передаточной функции, заданной уравнением (2.11): амплитудно-частотная (а), фазово-частотная (б) и группового времени замедления (8)

向

又一口 5946

向

又一口 5946

а,95

а,95

屮(5

屮(5

十拙）

十拙）

g

g

Рис. 2.3. Характеристики передаточной функции, заданной уравнением (2.11): амплитудно-частотная (а), фазово-частотная (б) и группового времени замедления (8)

Рис. 2.3. Характеристики передаточной функции, заданной уравнением (2.11): амплитудно-частотная (а), фазово-частотная (б) и группового времени замедления (8)

В качестве примера рассмотрим следующую передаточную функцию пятого порядка:

Т©= [s2 + (®pi/?pi) s + api] [s2 + (шрг/?р2)s + арг](s + а)'^'1

Следует отметить, что функция T(s) обладает только конечными полюсами, поскольку ее числитель представляет собой по-

x-h>- ь

J 0,2157

7745

-0,0666 又…

乂"也伤"

Рис. 2.2. Расположение полюсов передаточной функции, заданной уравнением (2.11).

стоянное число (считается, что ее пять нулей находятся в бесконечности). Расположение полюсов приведено на рис. 2.2, а характеристики (амплитудно-частотная, фазово-частотная и группового времени замедления) изображены на рис. 2.3.

Передаточная функция Т(s) обусловливает только амплитудно-частотную характеристику, т. е. отношение выход-вход нашей цепи, в то время как технические требования, предъявляемые к фильтру, очень часто выражаются через характеристику затухания, а именно отношения вход-выход. Для актив-

ных цепей, которые рассматриваются в этой книге, соотношение между амплитудно-частотной характеристикой и затуханием тривиально. Во всех случаях будем полагать, что активный фильтр возбуждается от источника напряжения, а выходной сигнал снимается с выходного контакта операционного усилителя. Это означает, что полное сопротивление источника сигнала равно нулю, а сопротивление нагрузки бесконечно. По

Активный ,. фильтр вых| 0

Рис. 2.4. Типовые условия работы активного фильтра,

этой причине передаточная функция будет равна отношению напряжений выход-вход, что соответствует изображенным на рис. 2.4 условиям работы, т. е.

T(s) = (九前九x)(s)・(2.12)

Функция затухания "(s) задается тогда следующим образом:

^(s) =(yBX/VBb[X)(s)=l/r(S).(2.13)

Для случая синусоидального входного воздействия определим характеристики затухания и фазово-частотную в виде

In Я (W) = 口 "(加)I + /arg H (心)= Л(со) + jB (s) (2.14) и логарифмическую характеристику затухания как

&в®)0 201gl"(Ло) |.[2.15]

Характеристика затухания функции цепи (2.11) приведена на рис. 2.5.

Из вышеприведенных условий функционирования активных фильтров (рис. 2.4) следует, что характеристика затухания Л дб очень просто находится из амплитудно-частотной характеристики схдБ что в свою очередь можно непосредственно установить, анализируя саму передаточную функцию [см. уравнение (2.9)]. Сравнивая соотношения (2.9), (2.13) и (2.15), получаем

4вН-%в®)・⑵ 16]

Кроме того, характеристика Лдб соответствует рассмотренным в гл. 1 вносимым потерям и, следовательно, обеспечивает переход к классическим аналитическим методам синтеза и, в частности, дает возможность использовать таблицы по расчету традиционных LC-фильтроВ. Отметим, что приведенная на рис. 2.5 характеристика затухания соответствует показанным

на рис. 1.2 (гл. 1) требованиям на допустимые отклонения в полосе пропускания. Однако на рис. 2.5 показана характеристика фильтра нижних частот пятого порядка, где Аmax И 43" сюта среза (ос характеризуют полосу пропускания, частотный

4 05

Рис. 2.5. Характеристика затухания, соответствующая передаточной функции, заданной уравнением (2.11).

интервал з$ ——со, определяет избирательность, a 4mm ——минимальное затухание в полосе задерживания. Следовательно, применительно к активным фильтрам амплитудно-частотная характеристика и характеристика затухания непосредственно связаны с передаточной функцией Т(s) через соотношения (2.8) и

Рис. 2.6. Порядок проектирования активных фильтров.

На основании этого получаем представленную на рис. 2.6 методику расчета. По заданным техническим требованиям на амплитудно-частотную, фазово-частотную характеристики или характеристику затухания можно синтезировать такую передаточную функцию T(s), для которой |Т(/со)|е/叭①) удовлетворяет этим требованиям. Поскольку определена подходящая функция Т(s), далее начинается этап конструирования активного фильтра. Он состоит в выборе схемы активного фильтра, обладающей передаточной функцией T(s). При этом

в зависимости от назначения фильтра на эту схему налагаются дополнительные ограничения (например, минимальная потребляемая мощность, минимальная чувствительность, максимальный динамический диапазон).

Представленная на рис. 2.6 методика не подразумевает, что всегда можно создать единственную передаточную функцию 『(s) по исходным амплитудно-частотной, фазово-частотной характеристикам или характеристике затухания. Однако для большинства практических применений, как будет показано в гл. 7, существует такая единственная взаимосвязь. Она в особенности очевидна для передаточных функций низких порядков п, а именно для цепей второго порядка (孔=2). Подобные цепи играют наиболее важную роль при каскадном построении фильтров и будут рассмотрены далее.

Функции цепей второго порядка

Лмплшудно-частотную и фазово-частотную характеристики, соответствующие передаточной функции T(s), можно получить I рафически, исходя из диаграммы ее полюсов и нулей. Если функция T(s) выражена через свои полюсы и нули

*(S %i)($ -22)-•(S -2加)/0 [71

то для любой частоты coo соответствующие амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики определяются из следующего выражения:

7，(Мо)=|7'(/®о)1^(а«> =

二三 0①9 一—%2)...(沁0 一 %加) /л I

(j^O 一 pl) (/(j>0 — P2)• • • (i^Q 一 pn) *

Каждый сомножитель в уравнении (2.18) представляет собой комплексный вектор, который можно изобразить графически на 5-плоскости Для

(j®0 — Zi) = Лг; (а>о) ехр /%(%),(2.19а)

(Мо — Р/) = Лр;. (и0) exp jeP/ (<оо)(2.196)

из уравнения (2.18) находим, что

丨 T (加0)1 =儿1/2 …. 4m//p[4p2 /р/г (2.20а) и ф (д)=(必 + &2 + ・…+ 也力一％i —脏—…一 ^рп)^ ⑵206)

Рассмотрим, например, передаточную функцию вида

T(s) = K (М + 或)/(« + 20Ps + 峭)(s + a).(2.21)

Соответствующие полюсы и нули в s-плоскости изображены на рис 2.7. Из соотношения (2.9) находим, что усиление на частоте (о0 равно

адв(8。)= 20 1g лр1 (ао) лр2 (й0) Api (со»)，(2.22а)

а значение фазы составляет

ф (д) = %1 (%) + 0г2 (^0)— %!(①。)一002 (^0)— %3 (例)・(2.226)

Следует отметить, что' Лг1 (①之)=0 и вследствие этого IТ (/(ог) I = 0, Таким образом, нули передачи, которые распо-

Рис. 2.7. Диаграмма полюсов и нулей передаточной функции, заданной урав- чением (2 21).

ложены на мнимой оси в точках ±/(ог, являются причиной снижения амплитудно-частотной характеристики до нулевого значения на частоте 仇

После этих предварительных замечаний очень просто найти амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики, соответствующие передаточным функциям второго порядка. Их можно разделить на шесть следующих основных функций.

а Цепь нижних частот (НЧ) обладает передаточной функцией вида

т (s) = K%/(S? + 5s + %).(2.23)

Следует отметить, что 】)

(2.24)(2.24)20P = %仇 и 2% = sj£,

(2.24)

(2.24)

где Ор и Оа представляют собой отрицательные вещественные части соответственно полюсов р, р* и нулей а, г* [см. уравнение (2.5)]. Диаграмма полюсов показана на рис. 2.8, а, а ам-

Рис. 2.8. Функция цепи нижних час ют второго порядка.Рис. 2.8. Функция цепи нижних час ют второго порядка.

Рис. 2.8. Функция цепи нижних час ют второго порядка.

Рис. 2.8. Функция цепи нижних час ют второго порядка.

а — диаграмма полюсов и нулей； б — амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики

плитудно-частотная и фазово-частотная характеристики для (7卩=2 приведены на рис. 2.8,6. Полезно отметить, что графическое представление полюсов и нулей функций цепей низких порядков позволяет выявить различные критические частоты и другие характерные особенности полученной геометрически частотной характеристики. Исходя из рис. 2.8, о, получаем, что значение амплитудно-частотной характеристики на любой частоте s определяется следующим образом:

1T (加)I = Ks沙 1(8)m2(8).1T (加)I = Ks沙 1(8)m2(8).(2.25)(2.25)

1T (加)I = Ks沙 1(8)m2(8).

1T (加)I = Ks沙 1(8)m2(8).

(2.25)

(2.25)

Область Л, которая представляет собой образованный тремя точками Pi,p2 и s = /со треугольник, можно выразить в виде

(2.26а)(2.266)(2.26а)(2.266)a = %卩山2 sE中，а также Л = % (2йрар).

(2.26а)

(2.266)

(2.26а)

(2.266)

Отрицательные вещественные величины Up и а2 целесообразно использовать при графическом изображении полюсов и нулей на s-плоскости. Величины же (Ор и qp представляют собой физические измеряемые параметры и более удобны, когда рассматривается конструирование фильтра; оии используются в приведенных в гл. 5 расчетных уравнениях.

Следовательно, соотношение (2.25) можно переписать следую 1цим образом:

I Т (Ло) I = (К国〃2M久)sin ф (з).(2.27)

В этом уравнении единственной частотно-зависимой величиной является q?(co). Таким образом, максимального значения Ттах

Рис. 2.9. Функция цепи верхних частот второго порядка.Рис. 2.9. Функция цепи верхних частот второго порядка.

Рис. 2.9. Функция цепи верхних частот второго порядка.

Рис. 2.9. Функция цепи верхних частот второго порядка.

а —диаграмма полюсов и нулей; б — амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики.

амплитудно-частотная характеристика достигает на частоте ①团, что соответствует 屮=90°, а именно

9p》19p》1Kqp. (2.28)Kqp. (2.28)Tmax = I ?® = gj I =-5^丁 =一、金■ 2®pGp “1 + 1/4若

9p》1

9p》1

Kqp. (2.28)

Kqp. (2.28)

Частота ит расположена на пересечении окружности с диамет- ром р — р* («окружность резонансного всплеска》)и оси /со; таким образом,

3m = M。^ —(2.29)

Частота ①切 всегда меньше частоты ①卩,поскольку полюсы р, р* Должны находиться по левую сторону от оси /(о. Из диаграммы также легко можно установить, что 屮(о)р)=——90°.

Цепь верхних частот (BQ) обладает передаточной функцией вида

Т (s) = K§Z + 2%s + 纬). (2.30)

Диаграмма полюсов и нулей и амплитудно-частотная и фазовочастотная характеристики приведены соответственно на Рис. 2.9,。и б. Значение амплитудно-частотной характеристики

на любой частоте со задается следующим образом:

(2.31)(2.31)17 (j(o) I = k ［州(3)产/山(⑴卩2 (s).

(2.31)

(2.31)

Из этого выражения можно вывести наиболее важные особенности частотной характеристики, которая симметрична характеристике нижних частот.

Полосно-пропускающая (77/7) цепь обладает передаточной функцией вида

(2.32)(2.32)Г (s) = K2%s/(s2 + 2ар5 + 崂).

(2.32)

(2.32)

Диаграмма полюсов и нулей изображена на рис. 2.10, а, а соответствующие амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики ——на рис. 2.10, б. Амплитудно-частотная характери-

Рис. 2.10. Функция полосно-пропускающей цепи второго порядка.Рис. 2.10. Функция полосно-пропускающей цепи второго порядка.

Рис. 2.10. Функция полосно-пропускающей цепи второго порядка.

Рис. 2.10. Функция полосно-пропускающей цепи второго порядка.

а — диаграмма полюсов и нулей； б — амплитудно частотная и фазово-частотная характеристики.

стика, полученная на основе векторов в s-плоскости, определяет

ся какся какI Т (До) J = 2%Kv(з)Ач ®)卩2 ®)・I Т (До) J = 2%Kv(з)Ач ®)卩2 ®)・(2.33)(2.33)

ся как

ся как

I Т (До) J = 2%Kv(з)Ач ®)卩2 ®)・

I Т (До) J = 2%Kv(з)Ач ®)卩2 ®)・

(2.33)

(2.33)

Для полосно-пропускающего фильтра второго порядка частота максимального значения ①团 совпадает с частотой полюса (о户. Это максимальное значение амплитудно-частотной характеристики, следовательно, равно

%ах = I Т ® =①小)I = К・(2.34)

Следует ответить, что полоса пропускания по уровню 3 дБ полосно-пропускающего фильтра второго порядка равна 2о*, таким

образом,

八 частота максимального значения/с

Q 5~= %/2% = %.(2.35)

уполоса пропускания по уровню 3 дБр '〃'/

Эквивалентность Q и екающих фильтровЭквивалентность Q и екающих фильтровРис. 2.11. Функция частотно-заграждающей цепи второго порядка.Рис. 2.11. Функция частотно-заграждающей цепи второго порядка.а — диаграмма полюсов и нулей; б — амплитудно-частотная и фазово частотная характеристикиа — диаграмма полюсов и нулей; б — амплитудно-частотная и фазово частотная характеристики4р имеет силу только для полосно-пропу- второго порядка. Изображенная на

Эквивалентность Q и екающих фильтров

Эквивалентность Q и екающих фильтров

Рис. 2.11. Функция частотно-заграждающей цепи второго порядка.

Рис. 2.11. Функция частотно-заграждающей цепи второго порядка.

а — диаграмма полюсов и нулей; б — амплитудно-частотная и фазово частотная характеристики

а — диаграмма полюсов и нулей; б — амплитудно-частотная и фазово частотная характеристики

рис. 2.10, б характеристика является геометрически симметричной, т. е. о)2 = <0^2， где сщ и(о2 представляют собой граничные частоты полосы по уровню 3 дБ.

Уастотно-заграждающая цепь (ЧЗЦ), также называемая полосно-заграждающей (方 3) цепью, полосно-исключающей Цепью или просто полосно-задерживающей, характеризуется передаточной функцией вида

Т (s) = К ($2 + 2%s + 吒)/d Т - 2。产 + %), (2.36а) где % < % (т. е. qz > %). (2.366) Диаграмма полюсов и нулей изображена на рис. 2.11,。， а амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики ——на рис. 2.11, б. Неравенство (2.366) подразумевает, что нули являются доминирующими по отношению к полюсам (т. е. всегда расположены ближе к оси /ш). Это характерно для частотно- заграждающей цепи. Для случая ①广=①之 амплитудно-частотная характеристика имеет минимум, равный

Tmi 门I Т (/①р) I = К%/% =长％/«2・ (2.37) Если аг — 0 (т. е. ^2 = оо), то нули располагаются на оси js (рис. 2.12, Q)； получаем случай, подобный тому, который описывается соотношением (2.21). при этом нули передачи полностью

подавляют синусоидальный сигнал, т. е. имеется «подавление» на частоте сог (т. е. | Т (/(ог) | = 0). Это изображено на рис. 2.12, б. Если же а)2 ¥= соР, то показанная на рис. 2.11, б амплитудно-частотная характеристика становится несимметричной. В общем случае имеем, что

17(0)1 = К®丿％)2(2.38а)

иI Т (/со) [ед^оо = К.(2.386)

Таким образом, получаем заграждающую характеристику с ну~ 凡ем передачи (подавление определенной частоты)： при з? >

Рис. 2.12. Функция частотно-заграждающей цепи с «частотой подавления».

а -—диаграмма полюсов и нулей； б — амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики.

> со* — нижних частот (НЧ-Д), поскольку | 7(0) | А | Г (оо) |, а при 3n V 3"——верхних частот (ВЧ-Д). Приведенный на рис. 2.12,6 случай соответствует характеристике НЧ-Д.

Частотно-выделяющая цепь (ЧВЦ) обладает передаточной функцией вида

Т (s) = К (s2 + 2%s + 吟)/(s2 + 2%s + 稣)， (2.39a) где % > % (т. е. qz < %). (2.396) Поскольку полюсы являются доминирующими по отношению к нулям (т. е. Oz > о*), сигналы с частотами в окрестности частоты (0р подчеркнуты, а характеристика имеет полосно-пропу- скающий характер. Диаграмма полюсов и нулей (рис. 2.13, а) и амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики (рис. 2.13,6) демонстрируют, что ЧЗЦ и ЧВЦ можно рассматривать как взаимообратные.

Рис. 2.13. Функция частотно-выделяющей цепи второго порядка.Рис. 2.13. Функция частотно-выделяющей цепи второго порядка.

Рис. 2.13. Функция частотно-выделяющей цепи второго порядка.

Рис. 2.13. Функция частотно-выделяющей цепи второго порядка.

а — диаграмма полюсов и нулей, б — амплит)дно частотная и фазово-частотная характеристики.

Рис. 2.14. Функция всепропускающей цепи второго порядка.Рис. 2.14. Функция всепропускающей цепи второго порядка.

Рис. 2.14. Функция всепропускающей цепи второго порядка.

Рис. 2.14. Функция всепропускающей цепи второго порядка.

а — диаграмма полюсов и нулей； б — амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики.

е. Всепропускающая передаточной функциейе. Всепропускающая передаточной функцией(В/7) цепь второго порядка обладает вида

е. Всепропускающая передаточной функцией

е. Всепропускающая передаточной функцией

Т (s) = к (s2 - 2Gos + 喲/3 + 2。泸 + 喲.(2.40)

Сами полюсы и нули расположены симметрично относительно оси /ш (рис. 2.14,。), амплитудно-частотная характеристика является частотно-независимой (т. е. постоянной), а фазово-частот-

ная характеристика определяется следующим образом：

①(①)=—2arcctg {q [(铀/①)一®/g)]},(2.41 a)

гдеq = ^Q/2oQ.(2.416)

Время замедления, или наклон фазово-частотной кривой, тогда определяется как

На частоте о)о имеем 貝g)=-4q/g,⑵ 43a)

в то время как максимальная задержка имеет место на немного более низкой частоте, а именно

%ах = 8。I —Wl? i ] •(2.436)

Амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики все- пропускающей цепи второго порядка изображены на рис. 2.14, б.

Чувствительность и показатель качества

Некоторые полезные единицы измерения

Сами элементы, на которых строятся активные фильтры, подвержены изменениям вследствие перемен окружающей среды (например, температуры и влажности) и старения. Для того чтобы оценить это отклонение рабочих характеристик фильтра, вызванное смещением или изменением значений элементов было введено понятие чувствительности цепи. Для одномерной относительной чувствительности

s£, = a [in F}/d [in 招g(A尸/尸)/。招/打)[3.i]

относительное отклонение функции цепи или параметра F вследствие малого изменения элемента х『задается в виде

А尸/尸=Sj (А%/看).(3.2)

Таким образом, относительное изменение параметра F, вызванное отклонениями N элементов, определяется следующим образом:

AF/F=Z3s£(A%/x)[3.3]

F может быть любой величиной, которая характеризует заданную цепь, например передаточной функцией Т(s), входным полным сопротивлением Z(s), коэффициентом передаточной функции с, центральной частотой со* и т. д. Следует отметить, что параметр F может быть функцией переменной s или просто вещественной или комплексной величиной, которая зависит от некоторых или всех N элементов 打.

Если определить отклонение функции 尸,вызванное относительным изменением элемента %八 как

А尸/尸=吨=5%(А力/修)，(3.4)

то в наихудшем случае отклонение задается следующим образом:

/ — (А/7/^)иаихудший случай " Z/z 1%/[3.5]

Так называемый критерий Скоефлера (Schoeffler) или сумма квадратов предоставляет другой полезный показатель качества, а именно

①= 23MJ. [3.6]

Относительную чувствительность функции F можно вычислить, взяв производную функции 尸 по переменной х и умножив ее на 尤/尸，таким образом

S^(dF/dx)(x/F). (3.7)

Исходя из соотношения (3.7), можно получить перечень полезных выражений для нахождения чувствительности, которые при- ведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1. Формулы чувствительностей

L酸=1

密S『=1

S^ = n

sf в 孔S纟

S^ =心喻嵬

酸у = s{

Sg = $纟戸步 + S^S? + ..., где у = y (〃i, a,…，〃九)

s^^4ivy^y

5瞑 l=ReS纟

sr = (s^)*

S?u = (l/%)ImS纟

S"…= S*+S^+ …

S^ = S«-S«

屮=一翼

В $h = — S纟

8У+с = [у/(у + с)]8У

S*+。+…=口/(〃+°+ . ,.)](«S^+

+ oS^ + …)

$您=Sg

su, = %a^-s^ = s* — s恥

S^ =負号

S% = (l/lnp) S纟

S” У = 9 ctg в S纟

S江 У = 一 у tg yS±

S*cse“ = У ctggS纟

S^rccos y = У arctg ySg

* с H 汽 являются постоянными числами.

** у, и м v представляют собой однозначные дифференцируемые функции переменной х, а также у=| у 丨 е'畑

В некоторых случаях полезно определить полуотносительную чувствительность

^х ~ fSx = dF/d [In х].[3,8]

Она используется наряду с другими параметрами, которые характеризуют чувствительность полюса или нуля к изменению элемента и по этой причине иногда называется корневой чувствительностью. Она также полезна, когда интересуются отклонением амплитудно-частотной характеристики вследствие изменения элемента. Поскольку амплитудно-частотная а(з) и фазово-частотная 屮(з) характеристики связаны с самой передаточной функцией T(s = /(o) [см. гл. 2, уравнение (2.8)] следующими соотношениями:

а (со) = Re [In 7 (М)],(3.9а)

屮(со) = Im [In Г (/со)],(3.96)

то для вещественного значения элемента % получаем

^(Ш)== Re= Re Is'</а，1 • [3.10а]

Аналогичным образом

丝=誹然=Im [，読?产]=hp回吗.[3.106]

Следовательно, изменение амплитудно-частотной характеристики Аа((о), вызванное относительным отклонением элемента Ах/х, определяется следующим выражением：

Аа -外(Ах/х) = Re 図/以…(3.11)

Из формулы (9) в табл. 3.1 находим, что

竺=Re [\т/Т] = Re [Sf] (Ax/x) = S^ 1 (Ах/х) = А|7|/|7Ч [3.12]

где s =沁 Далее будем везде считать, что элемент % имеет вещественное значение. Для того чтобы оценить погрешность амплитудно-частотной характеристики для наихудшего случая, которая вызывается изменением ^ элементов х, из уравнений (3.4) и (3.5), следовательно, находим, что

(3.13)(3.13)/а === ^^иаихудший случайZfni|ReU%|s==/£

(3.13)

(3.13)

Тогда из критерия Скоефлера следует

Z3|Re吃(3.14)

являетсявходного(3.15а)являетсявходного(3.15а)Индекс а означает, что рассматриваемой функцией амплитудно-частотная характеристика а(со). В случае полного сопротивления Z имеем

являетсявходного

(3.15а)

являетсявходного

(3.15а)

J% = А2/2нанхудший случай

ии(3.156)(3.156)

и

и

(3.156)

(3.156)

3・2. Произведение усиление-чувствительность (ПУЧ)

В предыдущем разделе мы предполагали, что сами элементы %2 являются пассивными и вещественными. Однако на характеристики активных фильтров оказывают также влияние отклонения параметров активного элемента, из которых наиболее часто рассматривается коэффициент усиления Л операционного усилителя. Теоретически коэффициент усиления Л является бесконечным в неограниченной полосе частот; на практике же ОУ обладает конечным произведением усиление-полоса частот. Вообще саму зависимость функции цепи F от коэффициента усиления Л можно выразить приблизительно в виде

F(A)^ F. + iFJA},(3.16)

где функции 尸工 и Fa не зависят от коэффициента усиления Л. Вычисляя чувствительность функции 尸 к изменению Л, получаем, что

=0.(3.17)

Для того чтобы работать эффективно, ОУ должен всегда использоваться в том диапазоне частот, где его коэффициент усиления Л очень велик. Таким образом, согласно соотношению (3.17), чувствительность S] стремится к нулю и, вероятно, выпадает из любого процесса оптимизации, предназначенного для минимизации чувствительности функции 尸 к изменению элементов. Для того чтобы предотвратить такую ситуацию, а также из-за различных других причин полезно как параметр ввести произведение усиление-чувствительность (ПУЧ), которое обозначается F, а именно

Гд = AS а = — ~^-|=—鲁.[3.18]

Эта величина остается конечной при 4foо, и вследствие этого ее можно включить в процесс оптимизации. Сама функция F может представлять собой любую величину, которая уместна для описания цепи (например, передаточная функция, входное полное сопротивление, полюс, нуль,①力令口 и т. д.).

Рассмотрим, например, изображенный на рис 3.1 инвертирующий ОУ. Его коэффициент усиления с замкнутой петлей обратной связи 0 задается в виде

(3.19a)

где₽о =(仆 + RgRRg*

(3.196)

Чувствительность 0 к изменению Л

В。<4 + ВоВ。<4 + Воа параметр ПУЧ остается конечным, а именноа параметр ПУЧ остается конечным, а именно2 =2 =碑о•4 十 Bj碑о•4 十 Bjр0'р0'(3.20а)(3.206)(3.20а)(3.206)

В。

<4 + Во

В。

<4 + Во

а параметр ПУЧ остается конечным, а именно

а параметр ПУЧ остается конечным, а именно

2 =

2 =

碑о

•4 十 Bj

碑о

•4 十 Bj

р0'

р0'

(3.20а)

(3.206)

(3.20а)

(3.206)

Следует отметить, что параметр Г? уменьшается при снижении ро. Аналогичным образом, полагая входное сопротивление ОУ

Рис. 3.1. Инвертирующий операционный усилитель.Рис. 3.1. Инвертирующий операционный усилитель.

Рис. 3.1. Инвертирующий операционный усилитель.

Рис. 3.1. Инвертирующий операционный усилитель.

равным Ri Ом, входное полное сопротивление при замкнутой петле обратной связи составит

Zr^Rg + RpI[\+AB^(3.21а)

где Rp = RfR№Rf + R) и 筑=凡/(仆 + 兄).(3.216)

Сама чувствительность стремится к нулю при увеличении коэф» фициента усиления А, таким образом

S/x = % + & + %& 4》]f °，(3-22а)

а параметр ПУЧ остается конечным, а именно

4(Rf + &) I_R宀(3 226)

J - Rp + Ri + ARi•(3.226)

Следует отметить, что параметр F；bx растет при увеличении Rf・

Чувствительность коэффициента

Если функция цепи 戶(s) задается в виде отношения двух полиномов с вещественными коэффициентами, например

(3.23)(3.23)尸(s)= Z気

(3.23)

(3.23)

то чувствительность коэффициента характеризует относительное отклонение коэффициента с『，вызванное относительным изменением элемента х. Как таковое это определение не отличается от определения любой другой относительной чувствительности [см. уравнение (3.1)], а именно

S? = д [In Cj]/d [In хг] ^ (Ag/s)/(厶修/看). [3.24]

Однако возникают осложнения, если номинальное значение коэффициента, о котором идет речь, равно нулю, поскольку тогда заданная уравнением (3.24) величина стремится к бесконечности. Если, например, отклонение функции 尸，вызванное элементом 先，желательно выразить через чувствительность коэффициента, то получаем

号=(6:匐)(5/%). (3.25)

Для номинального значения з = 0 первый член чувствительности в уравнении (3.25) равен нулю, а второй — бесконечности. Однако этого легко можно избежать, деля первый и умножая второй член чувствительности на 力，таким образом

W「(S：Jq)(cM)(M",)・ [3.26]

При этом способе выгода от использования членов относительной чувствительности (например, применение табл. 3.1) сохраняется, в то время как обеспечивается нх независимость от самого значения Аналогичным образом, отклонение функции F, вызванное коэффициентом усиления Л, выражается через чувствительность коэффициента следующим образом：

Расчет отклонения AF/F на основе уравнений (3.26) и (3.27) очень полезен. Первый член чувствительности зависит только от исходной функции цепи 尸(力，s) и берется в виде заданной частотно-зависимой весовой функции. Второй же член, включающий в себя чувствительность коэффициента, как правило, минимизируется. Этот член будет зависеть от типа выбранной для реализации функции 尸(с『，s) схемы. Наконец, сами относительные изменения элементов Ах，/%» или А4/42 всецело зависят от используемой при реализации фильтра технологии и должны учитываться как заданное ограничение. Для снижения этих изменений требуется применение высококачественной технологии, которая в свою очередь обусловливает высокую стоимость окончательной цепи.

Показатель качества

При проектировании активного фильтра второго порядка на одном усилителе существует, как правило, больше степеней свободы, чем заданных требований или расчетных уравнений. По этой причине в зависимости от технических требований есть возможность оптимизировать схему разнообразными способами. Получаемая степень оптимизации измеряется показателем качества. Полезным показателем качества активных фильтров является степень снижения чувствительности амплитудно-частотной характеристики к изменению элементов, которой можно добиться. Как было показано, эта достижимая минимальная чувствительность может быть представлена либо для наихудшего случая, либо в виде суммы квадратов, что отражено соответственно в уравнениях (3.13) и (3.14). Рассматривая, например, оптимизацию для наихудшего случая, показатель качества для минимальной чувствительности амплитудно-частотной характеристики активного фильтра на одном усилителе в зависимости от изменений 广 резисторов R〃 с конденсаторов С； и коэффициента усиления А определяется следующим образом:

/а = 2」Re [唄"什胃」Re h用I I Re储W卡|- [3.28a] Как следует из уравнения (3*14), соответствующий показатель качества с точки зрения суммы квадратов задается в виде ①а = 2」Re [咽”『+ 2：」Re叫”『+ I Re H?竽『•

[3.286]

Для минимизации заданных соотношением (3.28) функций 1а или ①么 предполагается использование машинных программ оптимизации, которые теперь превосходят производительность карманных калькуляторов. Тем не менее можно показать, что хорошим показателем минимизации функции /а или Фа служит минимизация параметра ПУЧ, а именно только функции 里 Однако ее необходимо еще больше упростить, поскольку 「”①) представляет собой частотно-зависимую функцию, которая пригодна для оценки только для ограниченного числа частот. В случае же функции второго порядка это число частотных точек достаточно мало вследствие того, что сами характеристики соответствующей цепи наиболее чувствительны к смещению элемента в окрестности частоты полюса. Кратко это будет показано в дальнейшем.

Рассмотрим передаточную функцию второго порядка общего вида

т(S)= К (П-=1 (s(s — %))•(3.29)

Отклонение функции T(s), вызванное изменением ее полюсов, нулей и коэффициента К, задается в виде

(3.30)(3.30)dT (s) dK ^-\2 dz, "^"^2&卩/

(3.30)

(3.30)

Т (s) — "^= i S — ％ + 乙/=1 s- р； •

Если добротность полюса qp достаточно высока, что оправдывает оптимизацию для получения минимальной чувствительности, то соотношение (3.30) необходимо оценить в окрестности полюса р = pi = —o* + jGp, комплексно-сопряженное значение которого составляет р* = р?=——о*——/юр. Действуя таким об、 разом, уравнение (3.30) можно переписать в приближенном виде *

(3.31)(3.31)吟1I

(3.31)

(3.31)

Т (s) Ь Яй j®p S — Р Is В j®p

dT （2 ]?（加）儿土 0PdT （2 ]?（加）儿土 0PВыражение (3.31) необходимо оценивать на тех частотах, на которых функция dT(/(о)/Т(/о) наиболее чувствительна к изменению элемента. В случае функции цепи второго порядка об' щего вида это происходит на частотах s = j(^p ± пр), которые для полосно-пропускающей цепи второго порядка соответствуют частотам снижения уровня сигнала на 3 дБ. Таким образом, уравнение (3.31) преобразуется к виду

dT （2 ]

?（加）儿土 0P

dT （2 ]

?（加）儿土 0P

干 D + 力® °± 1).干 D + 力® °± 1).=det (<0p 土 о卩)+ j d(p (% 土 ％)=

干 D + 力® °± 1).

干 D + 力® °± 1).

(3.32)

Ограничивая себя Нахождением показателя качества только амплитудно-частотной характеристики [уравнение (3.28)], из со* отношения (3.32) получаем

Аа (о)р 土咽=£Аа (о)р 土咽=£(3.33)(3.33)Наш показатель качества теперь соответствует либо наихудшему случаю, либо сумме квадратов погрешностей амплитудно-ча-« стотной характеристики на частотах Зр 士 ％. Принимая во внимание ошибку в амплитудно-частотной характеристике, в наихудшем случае находим, что7a = А^наихудший случайНаш показатель качества теперь соответствует либо наихудшему случаю, либо сумме квадратов погрешностей амплитудно-ча-« стотной характеристики на частотах Зр 士 ％. Принимая во внимание ошибку в амплитудно-частотной характеристике, в наихудшем случае находим, что7a = А^наихудший случай1 Мр1 Мр万万+ %+ %①卩①卩[3.34][3.34]

Аа (о)р 土咽=£

Аа (о)р 土咽=£

(3.33)

(3.33)

Наш показатель качества теперь соответствует либо наихудшему случаю, либо сумме квадратов погрешностей амплитудно-ча-« стотной характеристики на частотах Зр 士 ％. Принимая во внимание ошибку в амплитудно-частотной характеристике, в наихудшем случае находим, что

7a = А^наихудший случай

Наш показатель качества теперь соответствует либо наихудшему случаю, либо сумме квадратов погрешностей амплитудно-ча-« стотной характеристики на частотах Зр 士 ％. Принимая во внимание ошибку в амплитудно-частотной характеристике, в наихудшем случае находим, что

7a = А^наихудший случай

1 Мр

1 Мр

万

万

+ %

+ %

①卩

①卩

[3.34]

[3.34]

где предполагается qp》0,5. В последующем будем рассматривать только отклонение амплитудно-частотной характеристики вследствие изменения коэффициента усиления А ОУ. Тогда,

!) Moschytz G. S., Linear Integrated Networks: Design, Van Nostrand Reinhold Co., New York, 1975, p. 86.

= “4%_ 1 1т= “4%_ 1 1т；)(Re[*]+"m[^])J(3.396)；)(Re[*]+"m[^])J(3.396)

= “4%_ 1 1т

= “4%_ 1 1т

；)(Re[*]+"m[^])J

(3.396)

；)(Re[*]+"m[^])J

(3.396)

применяя соотношение (3.28а) к уравнению (3.34), получаем

几崇[)=41啲+|沙*|， 3"[3.35]

гдеU* = r*(A///2)(3.36а)

иК* = Г^р(АЛ/Д2).(3.366)

Для определения отклонений сор и д* в уравнении (3.36) ис пользуем тот факт, что

d(op/(op = Re [dp/p] == Re [}%](3.37a)

и 鲁=-“4涼—1 Im [子]=-“4gj二Tim [闾.(3.376)

Учитывая, что коэффициент усиления А ОУ не является постоянным, а на практике сам будет функцией частоты, которая по этой причине имеет вещественную и мнимую части, т. е.

(3.38)(3.38)力(S = /(0)==Re Д (/(о) +/1тЛ (До),

(3.38)

(3.38)

из уравнений (3.37) находим ^=V% = Re [г^] =

+ "т [号])+ "т [号])(3.39 а)(3.39 а)=Ч(1•出 М

+ "т [号])

+ "т [号])

(3.39 а)

(3.39 а)

и—-

Для всех практических целей предположим, что функции Г* и F% являются вещественными. Следовательно, выражения (3.39) упрощаются, а именно

^ = Г* Re 底]+ ^=tr Im [学] B40a]

Учет частотной коррекции

Для того чтобы оценить уравнения (3.40), необходимо исследовать частотную зависимость коэффициента усиления A (s). В звеньях фильтров, таблицы которых приведены в гл. 5, предполагается внутренняя частотная коррекция, т. е. ОУ скорректирован для формирования однополюсного спада его амплитудно-частотной характеристики. Таким образом, 4(s) имеет вид

Л (s) = A)Q/(s + Q) = %/(s + Q), (3.41)

где Q представляет собой частоту, на которой коэффициент усиления ОУ с разомкнутой петлей обратной связи спадает на 3 дБ, a 3g = 40Q — произведение усиление-полоса частот. Для типового случая A(s — /(о) будет обладать амплитудно-частотной и фазово-частотной характеристиками, как показано на

Рис. 3.2. Типовые амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики ОУ при частотной коррекции с «однополюсным спадом».

рис. 3.2. Следует отметить, что в относительно широком диапазоне частот (приблизительно от 300 Гц до 300 кГц) амплитудно- частотная характеристика имеет спад ——6 дБ/октава, а фазовочастотная —постоянный сдвиг в ——90°. Поскольку это именно тот частотный диапазон, для которого и предназначены активные фильтры, то A(s) можно приближенно представить в виде

4(5)1/阿*一八%/(0),(3.42)

и в этом случае

Im [АЛ/Л]-=0.(3.43а)

Из уравнения (3.42) следует, что

RefAA/42] = 0(3.436)

иIm [ЛЛ/Л2] = Im [l/A (s = /со)] (АД/Д).(3.43в)

Таким образом, из соотношений (3.40) и (3.43) для однополюсной частотной коррекции получаем

ии(3.44а)(3.446)(3.44а)(3.446)

и

и

(3.44а)

(3.446)

(3.44а)

(3.446)

Если, кроме того, частота Зр практически не зависит от коэффициента усиления Д, то Г^р = 0 и остается только подставить соотношение (3.44а) в уравнение (3.35). Если же используется более сложная внешняя коррекция или если сам усилитель работает в диапазоне частот, для которого уравнение (3.42) уже не имеет силу, то для оценки выражения (3.35) необходимо учитывать все члены уравнения (3.40).

Для случая же внутренней частотной коррекции заданные

выражения (3.44) имеют силу. При подстановке в уравнение (3.35) показатель качества для ошибки амплитудно-частотной характеристики в наихудшем случае определяется следующим образом：

『伍"4%二，事+ ^^ 卜m [生].(3.45)

При qp》1 оно упрощается, а именно

+[3.46]

Для большинства приведенных в гл. 5 схем Гд^ q 0, так что

人〜号，(3-47)

т. е. он подходит для минимизации параметра ПУЧ в отношении ,".Для остальных схем соответственно взвешенные F* и Р£" [см. уравнение (3.28а)] должны минимизироваться. Если заданная соотношением (3.286) величина суммы квадратов Фа используется как показатель качества, то при qp》1 однополюсная частотная коррекция дает

吗=[I %Р* Г + т1 Г* Г] iIm [崇]Г- 【3.48]

которая в большинстве случаев также упрощает минимизацию

Если используется более совершенная схема частотной коррекции, чем установленная в соотношении (3.44) при однополюсном спаде амплитудно-частотной характеристики, то задан-

ные уравнением (3.4① выражения должны быть подставлены в выражение (3.35) или в эквивалентное выражение для Фа. Таким образом, например, при qp》1 получаем

/—■Il 祟 1 + 1%堂

=I' R"［界］—b Im ［学］I I a Im ［苦］+ b Re ［界］|， (3.49) где q = ^F) (3.50a) и b^=q^. (3.506) Из соотношения (3.49) следует, что

£ | = k*Re$］ + *r*Im［^"H (3.51а) н I祟卜卜*Re［-^］ - 2qJ*Im ［岁口 (3.516) Таким образом, при использовании подходящей частотной коррекции вещественную и мнимую части (ДД/Л2) можно преобразовать так, что или I А(ор/(Ор|, или |厶夕口/夕卩|, но не обе величины сразу возможно минимизировать.

Заданные соотношениями (3.46) и (3.48) показатели качества представляют собой значительно упрощенные интерпретации первоначальных величин ［уравнения (3.28а) и (3.286)］. Такое упрощение необходимо, если расчет и оптимизация звеньев активных фильтров второго порядка должны производиться на мини-ЭВМ или даже на карманном калькуляторе. К счастью, эти упрощенные величины первого порядка представляют собой очень хорошие единицы измерения степени оптимизации, достижимой для любого заданного звена фильтра второго порядка. Минимумы функций /а и Фа в зависимости от отклонений пассивных' элементов относительно плоские и в большей степени зависят от минимизации функции Гдр,а в соответствующих случаях от 7рГ^р. Если же в виде показателя качества должны использоваться заданные соотношениями (3.28) полные выражения функций /а или ①々 из-за того, что, например, амплитудно-частотная характеристика а((о) оказывается очень чувствительной к изменению пассивных элементов или ожидаются значительные отклонения номиналов пассивных элементов, то для минимизации этих функций потребуется использование большой ЭВМ. Расширенное исследование этого типа оптимизации, для которой в процедуру расчета включаются все чувствительности пассивных элеменТр^в, достаточно просто, поскольку предварительные шаги представлены выше. Однако это выходит за рамки настоящей книги. -

для каскадного проектирования фильтров

Низкодобротные функциональные узлы | ^ ^ 2)

Поскольку усложнение предъявляемых к активным фильтрам требований вызывает увеличение добротности полюсов их передаточных функций, целесообразно ввести категорию низкодобротных функциональных узлов, главной особенностью которых является их предельная простота. Последнее особенно характерно для систем связи, в которых требования по избирательности для различных формирующих фильтров вполне обеспечиваются функцией, добротность доминирующего полюса которой не превышает, скажем, 2. Для того чтобы оговорить предельную простоту таких звеньев фильтров второго порядка или функциональных узлов, предположим, что они имеют： а) минимальную потребляемую мощность (т. е. единственный операционный усилитель); б) минимальное число элементов; в) минимальные требования по настройке или, если возможно, их отсутствие.

Низкодобротные функциональные узлы, таблицы которых приведены в гл. 5, основаны на двух изображенных на рис. 4.1 топологиях активных фильтров. Они обе являются взаимодополняющими; модель с отрицательной обратной связью (рис. 4・1,〃) использует ОУ с разомкнутой петлей обратной связи, а модель с положительной обратной связью (рис. 4.1, б) •— ОУ в режиме повторителя напряжения с коэффициентом передачи, равным единице Для того чтобы математически описать эти цепи, полезно ввести следующие передаточные функции по напряжению:

%12(S)''

_ "К⑻

/12(S)=

九⑶_

(4.1a)

У34 0

胃⑶

_八32⑻

色(s)=

鳥(s) _

(4.16)

，32 2 丿

看(s)

匕==0

诡(S)

/1 = 0

Следует отметить, что степень полиномов числителя меньше или равна 2Г полиномы знаменателя имеют вторую степень и явля-

ются одинаковыми для двух передаточных функций одной и той же RC-цегш.

Из уравнений (4.1) получаем цепь с отрицательной обратной связью (или класс-3) D

T(S)=九 Нх/ивх = 一 力小/(1 + /32)・(4.2)

Здесь операционный усилитель включен в режиме с разомкнутой петлей обратной связи, вследствие этого 4》1 н

Т (s) L » 1 =—沁(s)偽2 (s) = — «12(S)伍32 (s).(4.3)

Таким образом, нули функции T(s) Представляют собой ,нули пассивной передаточной функции в прямом направлении /i2(s),

Рис. 4.1. Низкодобротные функциональные узлы.Рис. 4.1. Низкодобротные функциональные узлы.

Рис. 4.1. Низкодобротные функциональные узлы.

Рис. 4.1. Низкодобротные функциональные узлы.

а — с отрицательной обратной связью при использовании ОУ в режиме с разомкнутой петлей обратной связи, б — с положительной обратной связью при использовании ОУ в режиме с единичным коэффициентом усиления

а ее полюсы~—нули пассивной передаточной функции обратной связи /з2($)・

При введении параметра р, который представляет собой коэффициент усиления ОУ с замкнутой петлей обратной связи, получаем для цепи с положительной обратной связью (или класс-4) D

T(s) = t” = B」4丄(4.4)

*) Moschytz G. S, Linear Integrated Networks： Design, Van Nostrand Reinhold Co., New York, 1975, p. 133.

Поскольку этот коэффициент усиления ОУ с замкнутой петлей обратной связи равен единице,

Т / ,《2(s)儿(S)

? ® I…=资(St而)•(4.5)

Следовательно, нули функции Т (s) определяются нулями функции /12 (s), а ее полюсы являются корнями полинома d‘(s) — —П32 (s). Эти полюсы и нули обоих изображенных на рис. 4.1 функциональных узлов определяются самой пассивной R& цепью. Коэффициент усиления задается либо равным единице, либо как коэффициент усиления ОУ с разомкнутой петлей обратной связи и в дальнейшем не может быть подрегулирован. Добротность полюса определяется в виде отношения двух резисторов Rq s R или двух конденсаторов & и С, так что, как правило,

RJR 〜嶋 ИЛИ CJC 〜4哈(4.6)

В общем виде параметр ПУЧ выражается через qP следующим образом:

=嶋(4.7)

где постоянный множитель k является функцией пассивных элементов. Следует отметить, что простота представленной на рис. 4.1 топологии достигается дорогой ценой. Из уравнения (4.6) видно, что разброс номиналов резисторов и конденсаторов растет пропорционально 4哈 Кроме того, параметр ПУЧ в уравнении (4.7) прямо пропорционален д^. Таким образом, использование этих простых функциональных узлов фильтров ограничено только низкодобротными применениями. При их применении до значений добротности полюса

%《2(4.8)1)

недостатки, описываемые уравнениями (4.6) и (4.7), становятся несущественными.

Среднедобротные функциональные узлы (^ W 20)

Функциональные узлы фильтров, значения параметра qp которых достигают, скажем, 20, называются ссреднедобротными» функциональными узлами, для которых требование обеспечения предельной простоты уже не может сохраняться. Для того чтобы исключить пропорциональности 7^ разброса резисторов и параметра ПУЧ, что присуще низкодобротным функциональным

В Естественно, что этот верхний предел до некоторой степени является произвольным и зависит от требований, предъявляемых к конкретному применению.

узлам, необходимо ввести некоторую дополнительную цепь, как показано на рис. 4.2. Изображенная на рис. 4.2,а схема с отрицательной обратной связью отличается от схемы на рис. 4.1,а тем, что в нее включена ступень положительной обратной связи а, где

a = Rg/(Rg + R).(4.9)

Эта положительная обратная связь преобразует передаточную функцию (4.2) следующим образом:

т (S) ^VBblx/VBK = -At 12/[1 +4 %— а)].(4.10)

Следовательно, при использовании ОУ с разомкнутой петлей обратной связи, т. е. коэффициент усиления А》1, получаем

力2 (s) 一 a几в? (s) — a，(s)

В данном случае отношение резисторов а обеспечивает дополнительный параметр настройки, который можно использовать

Рис. 4.2. Среднедобротные функциональные узлы.

с — с отрицательной обратной связью； 6 —с положительной обратной связью.

для независимой в первом приближении от частоты полюса со* регулировки qp.

Приведенная на рис. 4.2,6 структура с положительной обратной связью отличается от структуры на рис. 4.1,6 тем, что коэффициент усиления ОУ с замкнутой петлей обратной связи 0 не является теперь единичным, но может быть отрегулирован на

вполне определенное значение, а именно, считая операционный усилитель идеальным, имеем

6 = l + (Rq/R)・(4.12)

Используя передаточную функцию (4.4), находим теперь, что т (S) = V3bKIV^ = 4 (s)/[『(s)-嗝2 (S)].(4.13)

Здесь коэффициент В снова представляет собой параметр настройки, с помощью которого можно независимо от частоты полюса(ор (в первом приближении) отрегулировать значение qp.

Рис. 4.3. Соотношение между показателем качества qp и настроечным резистором Rq для средне- и высокодобротных функциональных узлов.

Для обеих показанных на рис. 4.2 схем соотношение между Rq и qp задается в следующем виде:

Rg =岛一(局/%>),(4.14)

где параметры k\ и 々2 имеют размерность сопротивлений. Графическое представление этого выражения приведено на рис. 4.3. Следует отметить, что недостаток, связанный с увеличивающимся разбросом номиналов резисторов при росте q$ исключен. С другой стороны, из рис. 4.3 становится очевидной еще одна проблема, а именно что при увеличении qp все в большей степени становится необходимым обеспечение точного значения резистора Rq. Следовательно, максимально достижимое значение qp зависит от того, с какой точностью можно подогнать номинал резистора Rq к требуемому значению. Это в свою очередь определяется имеющимся в наличии оборудованием, на котором производится настройка, а также технологией, по которой изготавливаются сами резисторы.

Кроме проблемы точной настройки высоких значений параметра которая отражена на рис. 4.3, существует и вторая связанная с ней проблема. Если рассмотреть чувствительность параметра qp к изменению сопротивления RQi то из уравнения (4,14) находим, что

S^ = (&/局)"，(4.15)

т. е. сама чувствительность прямо пропорциональна д°. Эга пропорциональность qp чувствительности к изменению пассивных элементов типична для среднедобротных схем, и ее нельзя избежать. Таким образом, за исключением случая использования весьма высококачественных (например, тонкопленочных танталовых) резисторов, в большинстве применений параметр (gp)max должен находиться в пределах

4р<20. (4.16)

В противоположность низкодобротным схемам, где произведение усиление-чувствительность пропорционально 7^ [см. уравнение (4.7) ], для среднедобротных схем оно пропорционально д% т. е.

中〜九， (4」7)

Это еще одна причина, вследствие которой схемы, используемые для реализации среднедобротных функциональных узлов, могут применяться для значений д*, почти на порядок превышающих максимальные значения qPi рекомендованные для низкодобротных схем.

Высокодобрстные функциональные узлы {qp > 20)

В предыдущем разделе было показано, что среднедобротные функциональные узлы, таблицы которых приведены в гл. 5, позволяют достигать значений qp не более 20 по двум причинам, а именно: а) требования по настройке усложняются при увеличении qp (см. рис. 4.3) и б) чувствительность qP к изменению некоторых пассивных элементов прямо пропорциональна qp [см. уравнение (4.15)]. Как правило, по этой причине область применения активных фильтров, реализованных на одном усилителе, ограничена низкодобротными случаями, более высокие значения 7Р достигаются только при увеличении числа усилителей.

Основная структура на сдвоенном усилителе, которая наиболее пригодна для высокодобротных использований, приведена на рис. 4.4,а. Эта цепь может применяться как для реализации активного полного сопротивления (т. е. активных двухполюсников), так и передаточных функций по напряжению (т. е. активных четырехполюсников). Для получения передаточных функций по напряжению выходной сигнал снимается с выходных контактов ОУ, в то время как источник входного напряжения подсоединен к общему входному контакту, как изображено на рис. 4.4, б.

Из контекста этой книги следует, что правила проектирования для получения оптимальной схемы (рис. 4.4), как при использовании в виде активного полного сопротивления или для реализации передаточных функций по напряжению с комплекс-

но-сопряженными полюсами, в смысле достижения минимальной чувствительности к изменению элементов остаются по существу теми же. Можно показать, что схемы являются оптимальными, если два используемых в ней конденсатора (а схема является канонической по отношению к конденсаторам) равны по зна-

Рис. 4.4. Высокодобротные функциональные узлы.

а — основная конфигурация на сдвоенном усилителе; б — конфигурация для реализации передаточных функций по напряжению.

чению С и если номиналы всех резисторов, за исключением одного, равны Ro?

где

Ro=l/$C(4.18)

а со* ——частота полюса. Оставшийся резистор Rq предназначен для обеспечения требуемого значения добротности полюса и определяется следующим образом:

儿=&焱=(拠/3。)(1/e).(4.19)

Следует отметить, что эта пропорциональность номинала резистора Rq параметру qp существенно упрощает методику настройки (см. рис. 4.3). На практике не обязательно точно реализовывать оптимальное значение резистора Ro； может оказаться более удобным выбрать дискретный резистор со стандартным номиналом, например Ra, просто близким к R。. Разность между

значениями резисторов R& и R。можно реализовать с помощью специально предназначенного для этого резистора, номинал которого Rc связан со значениями резисторов R。и Rd следующим соотношением:

Rc = R；/Rd. (4.20)

Следует отметить, что эта схема особенно легко настраивается. Она пригодна для высокодобротных применений благодаря низкой чувствительности к изменениям пассивных элементов (всегда меньше 1), а легкость ее настройки и простые правила проектирования отмечены выше. Эти правила обеспечивают получение схем, которые оптимальны с точки зрения параметра произведение усиление-чувствительность и обладают минимальным шумом и максимальным динамическим диапазоном.

Расчетные уравнения и алгоритмы

Критерии проектирования

В этой главе представлены исходные данные, необходимые для расчета описанных в предыдущей главе типов активных фильтров второго порядка. В целом показано, что схемы выбирались таким образом, как было уже отмечено в гл. 1, чтобы удовлетворялись общие требования по обеспечению минимальной потребляемой мощности, простоты настройки и умеренных допустимых отклонений. Однако эти требования никоим образом не являются единственными, поскольку для любой заданной функции фильтра существуют, вероятно, более одного типа схемы, которые этим требованиям удовлетворяют. Кроме того, сами расчетные уравнения для любой выбранной схемы обеспечивают большее число степеней свободы, чем можно было бы определить исходя из технических характеристик фильтра и предъявленных пока требований. На практике такой проблемы фактически не существует, поскольку дополнительные специальные требования обычно определяются из назначения фильтра. Несмотря на это, в практических целях, чтобы снабдить хорошо апробированными фильтрами основные области их применения, с которыми обычный инженер, по-видимому, сталкивается, необходимо (и исходя из опыта это возможно) составить перечень требований и критериев, которые будут охватывать большинство общепринятых использований. В то же время такой перечень является достаточно исчерпывающим, что делает выбор типа фильтра и соответствующих расчетных уравнений относительно нетрудным. Для представленных в этой главе схем использовался следующий набор требований:

Минимальное число пассивных элементов.

Минимальное число ОУ и как следствие минимальная потребляемая мощность.

Минимальная чувствительность передаточных характеристик к изменению пассивных элементов.

Минимальное произведение усиление-чувствительность, что позволяет либо снизить потребность в высококачественных ОУ (например, широкая полоса пропускания, низкая потребляв-

мая мощность, высокий коэффициент усиления с разомкнутой петлей обратной связи), либо использовать выбранный тип ОУ в наиболее широком диапазоне частот.

Простые настройка и способы производства.

Минимальный разброс номиналов элементов, в частности при использовании гибридно-интегральных (например, тонкопленочных) пассивных элементов.

Очевидно, что все эти требования невозможно удовлетворить одновременно для каждой отдельной схемы. Однако внутри любой данной группы схем (например, низко-, средне- и высокодобротных) будет существовать подгруппа требований, которые первоначально обеспечиваются. Большинство видимых преимуществ и недостатков, свойственных такой частичной оптимизации, будет кратко изложено при описании соответствующей группы фильтров.

После выбора схемы фильтра фактически и начинается его расчет. Основное назначение представленного в этой главе материала состоит в том, чтобы в значительной степени упростить используемую конструктором методику расчета. По этой причине расчетные уравнения для каждой из представленных здесь 23 схем выражены через наиболее важные конструктивные параметры (например, частоту полюса, добротность полюса и т. д.). Для каждой отдельной схемы приведен также обстоятельный алгоритм, который дает возможность конструктору составить программу вычислений (используя любой язык ЭВМ), с помощью которой он может непосредственно модифицировать, улучшить или упростить готовую схему. Каждый из приведенных алгоритмов был запрограммирован на языке Фортран для использования на ЭВМ типа PDP-11, на языке Бейсик, а также была составлена программа карманного калькулятора (карманный калькулятор SR-59 фирмы Texas Instruments). В конце этой книги представлены полные тексты этих трех типов программ для каждой из 23 схем соответственно в приложениях Л, Б и В. Каждая из программ была тщательно отлажена, а по получеш^ш данным в лабораторных условиях было собрано соответствующее звено фильтра и проверена его результирующая характеристика. Численные примеры, основанные на использовании этих программ, даны в приложении Г. Для большинства средне- и высокодобротных схем также приведена соответствующая информация по настройке. Она включает в себя как определение регулируемых резисторов, так и последовательность, с которой они должны настраиваться.

В заключение подчеркнем, что каждая из приведенных в этой главе схем была собрана и испытана в лабораторных условиях с тем, чтобы в рамках данных выше критериев проектирования выбрать наиболее достойную схему.

Расчетные уравнения и алгоритмы

В следующих трех разделах этой главы представлены схемы и расчетные уравнения 23 цепей второго порядка. Они распределены на три категории, а именно низкодобротпые цепи (разд. 5.3), среднедобротные цепи (разд. 5.4) и высокодобротные цепи (разд. 5.5). Для наиболее общей цепи второго порядка с передаточной функцией по напряжению вида

T(s) = KT(s) = K§2 +(0』q) s +(4 $2 + (①р/Ч?) S + 時§2 +(0』q) s +(4 $2 + (①р/Ч?) S + 時(5.1)(5.1)

T(s) = K

T(s) = K

§2 +(0』q) s +(4 $2 + (①р/Ч?) S + 時

§2 +(0』q) s +(4 $2 + (①р/Ч?) S + 時

(5.1)

(5.1)

задается совокупность из шести расчетных уравнений. Они выражают параметры польоса и нуля, а также постоянного коэффициента К через номиналы резисторов R и конденсаторов С; схемы. Кроме того, еще задается произведение усиление-чувст- вительность ПУЧ как функиия элементов схемы. Таким образом, в общем случае существуют шесть расчетных уравнений следующего вида:

а) для параметров полюса

qp = f q口(a，C了)；

(5.2)

(5.3)

б)

для параметров нуля

%之(凡，a)， 农йfqz (a，c)；

(5.4)

(5.5)

в)

для постоянного коэффициента усиления K = fK(Ri, &);

(5.6)

г)

для произведения усиление-чувствительность

(5.7)

Естественно, что для полиномиальных цепей (т. е. нули распо^ ложены в бесконечности) уравнения (5.4) и (5.5) отсутствуют. Кроме того, для всех цепей с нулями на конечных частотах (т. е. полосно-заграждающие цепи), за исключением всепропускаю- щей цепи, установим, что их нули расположены на оси /со (т. е. цепи с бесконечным подавлением). Для этого случая параметр qz равен бесконечности и не используется в расчетных уравнениях, а во всепропускающих цепях он задается как qp, поскольку Qz=== qp.

Сразу вслед за схемой и расчетными уравнениями даны алгоритмы, которые устанавливают вычисление всех не определенных элементов схемы Кроме того, при определении параметров цепи (например,⑴卩，qPj ①之，К) имеется возможность установись

номиналы конденсаторов, а в некоторых случаях также и номиналы отдельных резисторов. Каждый алгоритм позволяет быстро произвести вычисление оставшихся элементов схемы на карманном калькуляторе (например, SR-59 фирмы Texas Instruments или HP 67 и HP 97 фирмы Hewlett-Packard) или мини-ЭВМ (см. приложения А — Г в конце этой книги). Следовательно, точно заданные величины составляют исходные данные для результирующей программы анализа. Если точное задание некоторых элементов является необязательным, то это указывается в блоке ввода алгоритма, например Rz (необязательный параметр) или С； (необязательный параметр). Если необязательный элемент не задается, то приведенные в приложениях программы анализа автоматически присваивают им подходящие значения.

Одним из параметров цепи, который в большинстве случаев нельзя установить произвольным образом, является постоянный коэффициент усиления К. Для этого существуют две причины. Во-первых, сам усилитель может обеспечить только ограниченный коэффициент усиления, в частности когда используется режим с замкнутой петлей обратной связи. Во-вторых, топология данной схемы должна быть такой, чтобы постоянный коэффициент усиления не превышал максимального значения К°. В большинстве описываемых алгоритмами последовательностях расчета постоянный коэффициент усиления может, но не обязательно быть определен, т. е. он всегда представляет собой необязательный параметр. Если установленное значение коэффициента Квх превышает максимально допустимое значение К。, то сам постоянный коэффициент усиления К получается в окончательной схеме (появляется в блоке «печать» в конце каждого алгоритма) и будет по необходимости ограничен значением К» Если же коэффициент Квх задан ниже чем Ко, то окончательное значение постоянного коэффициента усиления К будет равно Квх. Таким образом, для задания постоянного коэффициента усиления К характерны три случая.

Квх (необязательный параметр) задан меньше чем К。， Т. е. Хвх Ко ТоГДа К Квх*

Квх (необязательный параметр) превышает Ко, т. е. Квх > 〉Ко, тогда по умолчанию К = К。.

Квх (необязательный параметр) не определяется. В программе анализа это соответствует подстановке Квх = 0. Тогда по умолчанию К =及山

Исходные данные для расчета низкодобротных цепей 例 W 2)

Чувствительность передаточной характеристики (т. е. амплитудно-частотной и фазово-частотной характеристик) к изменениям элементов по существу является низкой для низкодоброт-

ных цепей. Сами же требования к чувствительности для таких цепей будут вследствие этого некритичными. По этой же самой причине к ним не должны предъявляться требования по настройке. Исходя из установленного нами перечня критериев проектирования, предельная простота схемы обладает наивысшим приоритетом для этой категории фильтров. Это означает, что для них главным является наличие минимального числа пассивных элементов и только одного ОУ, работающего в режиме либо с разомкнутой петлей обратной связи, либо с единичным коэффициентом усиления. На практике цепи верхних и нижних частот, обладающие нулями на конечных частотах (т. е. частот- но-заграждающие цепи верхних и нижних частот, или ЧЗЦ), как правило, требуют реализации добротности свыше 2, так что они не были включены в эту категорию.

Для обозначения низкодобротных цепей, исходные данные по расчету которых приведены в этом разделе, используются следующие сокращения:

НЧ — HQ (цепь нижних частот — низкодобротная).

ПП ——HQ-Л (полосно-пропускающая цепь ——низкодобротная—резистивный вход).

ПП ——HQ-С (полосно-пропускающая цепь ——низкодоброт- пая ——емкостный вход).

ВЧ — HQ (цепь верхних частот—низкодобротная).

5а. ВП — Q.5-FI (всепропускающая цепь — добротность 0,5 — положительная).

ВП — Q.5-0 (всепропускающая цепь — добротность 0,5 — отрицательная) .

ВП ——HQ (всепропускающая цепь ——низкодобротная).

ПЗ ——HQ (полосно-заграждающая цепь ——низкодобротная).

HU —HQ

Рис. 5.1.

Г(5)= К{%/6 + (%/(” + %]} (В)，& = Ru| 因 2(16),

%=1/&C2&С4(1b),

qP = "%e2*g/(1 + RM(lr),

К = R12/(R11 + R12)(1д)> ПУЧ = <7p “。2夭1/。4欠3(le).

ПП —HQ-7?

Рис. 52

т (s) = - к {(%/%) S/1 +(8 Jq.) S + %] }(2а),

" = &因2 (26),%=1/旦仆?3旦(2в),

斑=“凡。2*。3/(1 +С2/С3) (2r), K = RMRU + Rl2) (2.Д), 勺=]1^ = %口 + (c3/С2)]曲)■

ПЦ-HQ-R

ПП —HQ-C

Рис. 5.3.、

т ⑻=一 к {(%/%) s/y +(%/%)$ + %]}(За),

&=Cu+&2 (36),吗=1/С 供 2&。4(Зв),

qp = “R3&/&CJ(1 + &/&) (3г),《=&风/(&|+4) (Зд),

Ко = ПУ Ч = qp ^СМС^(Зе).

/7"-攸一e

ВЧ —HQ

Рис. 5,4.

T(s) = Ks2/[s2 +(%/qjs + %](4а),

С1 = Сц + С12(46),%=1/С供2C3R4(4в),

qp = V№^/(1 + С,/С3)(4г), К = Сп/(Са + С^ (4д),

ПУЧ = %[1+(Сз/&)](4е).

вн-на

5а. ВП —Q.5-H

Рис. 5.5а,

56. ВП —Q.5-0

Рис. 5.56.

Тр（S）=卜2 — （％例）S + ®2]/[s2 + （\例）S + 咽（5a）,

?N （S） = - 1 一（8 J%） S + 明/г2 + （%例）S + 明（56）, 凡=兄 + 凡（5в）, Cs = CC2/（& + C2）（5r）,

%=1/&耳еЗсз=1/凡&e02（5д）. %=1/%（凡с3+%с2）（5e）.

ВП-Ц.5

* Существуют два решения при определении резисторов R4—Кб （например, R44H ^4В）, оба решения имеют ситу для цепей рис 5а и 56 Рекомендуются гакне их зна- цения, которые приводят к меньшему разбросу номиналов резисторов.

ВИ —HQ

Рис. 5.6.

Т ⑻=74s2 - (％/啞 s + 明/1 + Зр/g/ S + 咽(6a), %к1/&С©%(66),

2 [(1/RO + (1/凡 Сз)] = (1/RG)限典)(6в),

qP = ^JJRJWC^ + V^A) (6r), "R/Rs + RJ (6a), ПУЧ = 7рЛ/^С7ВД(6e).

Примечание Начальные условия G2 = C3 или C2 > C3 для низких значений ПУЧ.

ПЗ —HQ

Рис. 5.7.

Т (s) = к (s2 + ®p)/[s2 + (ир/7р) s + 吗](7а)

% = 1伏re3此(76), (1伏&) + (1/凡С3)= (1/Re2)(&/4)(7в), ^ = “石瓦/("晒+"次)(7г), к = аб/(&+&) (7д), ПУ Ч — 7Р д/R4C3/R{C2(7е).

F3-HQ

Примечание Начальные условия С2=С3 или С2>Сз для низких значений ПУЧ.

5.4. Исходные данные для расчета среднедобротных цепей {qp & 20)

Приведенные в этом разделе среднедобротные схемы были выбраны исходя из обеспечения минимального произведения уси-

ление-чувствительность (ПУЧ), минимального числа пассивных элементов и использования только одного ОУ. Некоторые виды настройки, которые более подробно рассматриваются в гл. 6, требуются для этих схем. По этой причине потребовалась функциональная настройка (т. е. настройка работающей схемы), для нее приведены необходимые исходные данные (т е. регулируемые элементы и последовательность настройки). В большинстве случаев методика настройки очень простая. Только для одной схемы (схема 14, НЧ-Д/ВЧ-Д ——CQ) функциональная настройка относительно сложная и требует вычисления оптимальной последовательности настройки для каждой отдельной конструкции фильтра. Оптимальную последовательность настройки можно получить, вычисляя матрицу чувствительностей по всем элементам схемы Подробно это описано в гл. 6. Альтернативной схемой, которую можно очень легко настроить, является фильтр № 15, ПЗ — НЧ-Д/ВЧ-Д — CQ. Эта легкость настройки достигается ценой того, что число конденсаторов уже не минимально, поскольку для реализации частотно-подавляющей характеристики используется /?С-нагруженный двойной Т-мост.

Для обозначения среднедобротных цепей, исходные данные по расчету которых приведены в этом разделе, используются следующие сокращения:

НЧ — CQ (цепь нижиих частот — среднедобротная).

ПП — CQ'R (полосно-пропускающая цель ——среднедобротная——резистивный вход).

ПП ——CQ-C (полосно-пропускающая цепь ——среднедобротная ——емкостный вход).

ВЧ ——CQ (цепь верхних частот — среднедобротная).

ВП ——CQ (всепропускающая цепь ——среднедобротная).

ПЗ ——CQ (полосно-заграждающая цепь ——среднедобротная).

НЧ-Д/ВЧ-Д — CQ (цепь нижних и верхних частот с нулем передачи ——среднедобротная).

ПЗ ——НЧ-Д/ВЧ-Д ——CQ (полосно-заграждающая цепь —— цепь нижних и верхних частот с нулем передачи — среднедобротная).

H4-CQ

?⑸=К%/产+0)焉州+%](8a),

& = Ru|因2(86),%=1/RG&C4(8b),

qp ^ NRgRCh 1 + (&/&) 一 (&C2/R5c4)](8r),

К = [RW(Ru + &2)] U + (&/&)](8a),

ПУЧ = qp “RQ/aCJl + (Аб/&)]2(8e).

Настройка: (1) fp резистором R3, (2) qp резистором R§.нч-са

ПП — CQ-R

Рис. 5.9.н

т(S)= — к (%/%) S/1 + (%/%) S + 嶋](9а),

Ri = Ru|因2(96),维=1/R//3此(9B),

穽=“RA/RG/11 + СУСз) - {R^IRM (9г), К ^ [R12/(R1 + R12)] «0 [1 + (凡/凡)]VR4C3/RC2 (9л), nyq=% [1 + (2/&)К “W^(9e).

Настройка: (1)力 резистором R4, (2) qp резистором /?5.

(Алгоритм на с. 62. — Прим, ред.)

Рис. 5Л0.=

Т (s) = — К (%/%) s/l + (%/%) S + 吋] (Юа),

С尸С—% (Юб)，吗= 1/&R典С,(10в),

夕。=“СКз/С^/П + (RM - (C^/CM (Юг), k = (&1/(&1 + &2)]拆 U +(R/&)] «&&/C4R3(1。八),

ПУ Ч = % [1 + (RdR^2 “。十對4欠3(Юе).

J1”CQ-R

Настройка： (1) % резистором R2 или /?3> (2) qp резистором R5.

ПП-CQ-CПП-CQ-CИ. ВЧ —CQИ. ВЧ —CQРис. 5.11.Рис. 5.11.

ПП-CQ-C

ПП-CQ-C

И. ВЧ —CQ

И. ВЧ —CQ

Рис. 5.11.

Рис. 5.11.

Т (s) = Ks'71 + (%/%) S + 吗](11 а),

C| = Cu+&2 (Нб), з^ = I/&R2C3R4("в),

qp = 7ад7Ж/[1 +(&/Сз) — 依4凡/欠2&)]° I»，

К = (&，&) □ +(&/&)](ид)，

ПУЧ = 7Р[1 + (A/®)? «R4C3/R2cl(Ue).

Настройка： (1) % резистором R2 или /?4, (2) ^ резистором /?6.

B4-CQ

12. ВП — CQ

Рис* 5.12.

7' (s) = 1 - (%例)s + 咽/G + (%仞)s + ®|j(12a),

R产&1国5 SB,%=1伏0夕3%(12в),

%=^p/[WRpC2)(当/&) 一(l/RQ) -(1/%。3)]=

=、/[(l/RG) + (1/R&) + (1/RR) - (1/R5c2)依7/&)] (12г), ПУq = qp (&/&) П + ER恥《RCjRpCz(12д).

Настройка： (1) fp резистором Ri, (2) | Т(fp) | = 1 резистором R© (3) 7р резистором R7.

BR-CQ

13. ПЗ —CQ

Рис. 5.13.

т ⑸=0 + 唠/『+ (ap/7p)s + 咽(13a),

R. = R/& (136),% = 1/皿凡 (13в),

(1 阳С?) + (l/RG) = (l/RpCJ (兄/&)(13г),

00 = 8訊(1*С2)+ (1/R03)+ (1*47)一(1/&02)俅7由6)](13д),

Пy q = qp (&/&* + (a偏)]2 "AR/RQ(13e).

3 Зак. 810

Настройка： (1) fp резистором &, (2) \ Т(fp) | =0 резистором С, (3) qp резистором А.

ПЗ-CQ

М. НЧ-Д/ВЧ-Д —CQ

Рис, 5.14.

s2 +磋

(14a),

K =石疆Мб），

"о R^C.Ci [ Rs Re% (& + &)](〔匂)'

НЧ-Д

2 一(r + 凡)(凡 + 爲)У

凡R2C3C4凡凡1)’

вч-д

R + R2

R1R2C3C4

R7 (R8 + R" RsR^Rg

(14r")

e4 . I (e3 +.c4)(R5 + &)

瓦"十"丽

e4七(R8 + g9)R'RsRq

(14不),

Ci 丄C3 + C4 __R7 (Rs +Rs) ( C& IC3 + C4)

石疋一= 冗瓦 1而十 几丿

(14心),

(Me).

qp н Сз + &「1]RiRb (R + R2) 一

C3C4 [石 一 &①(R7 + R万J 一 C3&R2R9 (七 + 几丁

НЧ-Д/ВЧ-Д-СЦ

S2 + Cd^

Cs = z 笛；2(156), К = ；± 会胧 (15в)，

a=飞+ &(15г), 吒=方今石=瓦热而(15*

Р ° V 1 + C,/Cs I 丿'42“(1 + &/&)(1+&/Сз)

口— с 1NRsCbIRKs + NRsCzIRG、

uy“一q八 1 十石丿 ―戸a/cj(5/g)—

Настройка： (1) fz резистором &, & и R? (итеративно), (2) fp резистором А, (3) qp резистором R@

Исходные данные для расчета высокодобротных цепей " > 20)

Для высокодобротных активных цепей требуются по крайней мере два ОУ при реализации каждой функции фильтра второго порядка. Принимая во внимание тот факт, что активна兄 цепь второго порядка может быть реализована на двух ОУ, иногда желательно получить несколько функций (например, нижних частот и полосно-пропускающую) от того же самого функционального узла. Это легко осуществимо в схемах на трех ОУ, на которые ссылаются как на универсальные фильтры. Сами фильтры, принадлежащие к высокодобротной категории, обладают, как правило, более низкой чувствительностью к изменению пас-

ПЗ-НЧ-Д/ВЧ-Д~СЦПЗ-НЧ-Д/ВЧ-Д~СЦсивных и активных элементов, чем их аналоги на одном ОУ. Кроме того, методика их функциональной настройки обычно проще, поскольку частоту полюса и его добротность часто можно настраивать независимо друг от друга.

ПЗ-НЧ-Д/ВЧ-Д~СЦ

ПЗ-НЧ-Д/ВЧ-Д~СЦ

Для обозначения высокодобротных цепей, исходные данные по расчету которых приведены в этом разделе, используются следующие сокращения:

16.17.1819.2016.17.1819.20НЧ — BQ (цепь нижних частот — внсокодобротная), ПП — BQ(полосно-пропускающа 兄 цепь — высокодоброг-

16.

17.

18

19.

20

16.

17.

18

19.

20

ная).

ВЧ — BQ (цепь верхних частот — внсокодобротная).

ВП — BQ (всепропускающая цепь ——высокодобротная).

ПЗ - BQ (полосно-заграждающая цепь ——высокодоброт- ная)<

НЧ-Д/ВЧ-Д — BQ (цепь нижних и верхних частот с нулем передачи — высокодобротная).

У1 (универсальна兄 цепь 1).

У2 (универсальна兄 цепь 2).

HU — BQ-

Рис. 5.16,

T(s)nK5/F + (%/qJs + %] (16а),К=1+©/Нб)(166),

嵋 и R6/R2&R7CC4(16в),qp н ①pR£(16г).

Настройка； (1) fp резистором R7) (2) qp резистором Ri・

Примечание (для схем 16—22). Rq представляет собой оптимальное значение резистора для низкого значения ПУЧ, a R~ является его номинальным значением, которое выбирается как можно ближе к Ло.

ПП —BQ

Рис. 5.17.

T(s) = K(%K)s/[s2+ (%/%)$ +明(17а), к = 1+(&/&) (176), 吟= RJR风RSQs ("в),勺卩匸①杷7cqQ7「).

Настройка： (1) % резистором R4, (2) qp резистором Я7л

ПП-ВЦ

Рис* 5.18,

(18a)(18a)т (s) = Ks2/[s? + (Зр/q Js 十稣]

(18a)

(18a)

k=1+便2依6)(186),纬二&/&自&С307(18b),qp = ®pR8c7 (18г).

Настройка： (1) % резистором /?4) (2) qp резистором Rs.

В"-BQ '

ВП — BQ

Рис. 5.19.

Т (s) = [S2 — (ap/q4) S + %]/[s2 + (з/р) s + 哨(19а),3^ = &/RR典СзС? (196).

qp^^ ®pC7R& (19в), /?2 = R5 (19г).

Настройка: (1) % резистором 火© (2) др резистором R&.

вп-вр

ПЗ 一 BQ

Рис. 5.20.

Т (s) = (s2 + 稣)/卜2 + (Зр/gJ s + 咽(20a),

% = R2/旦凡r。3С7(2。6),限=3к7长7尺/(% + &)] (20B),

弋£=r5% (20г),

Настройка； (1) fp резистором R4, (2) \T(fp) | ^0 и qp резистором 2 и R& (итеративно),

ПЗ-BQ

Рис. 5.21.

T ⑹=(« + %)/［炉 +(5例)s + 吗］(21a),

吟= RJR\R&RS&(216), qp = 8p&R8 (21в),

б^НЧ-Д =①。"I +(凡依8)(21r),

Szb+Д = 4 "1 — (RRJR3R8 (21д).

Настройка： (1) % резистором R4, (2) fp резистором R5, (3) д「 резистором

нч-д/вч-д-ва

22. У1

Рис. 5.22.

Тви ⑶=Кви £/［s2 + （%/q J s + з詛（22a）,

Kbu=（1 + RJR3）/（R/&+1）（226）,

Лш ⑹=Tg «sjqj s/6 +（3.例）s + 3詠（22b）,

Knn = &/&（22r）, Мт ⑼=Kht ｛崂心2 +（3。例）s + 咽｝ （22д）,

Кт=-（^+^т^+Ч Q2e）,^^VaWs^s（22ж）＞qP и ［（1 + &/&）/（l + 此伏3）］ “冗灰Г（22з）.

Настройка： （1） % резистором R4, （2）,卩 резистором R2.

23. У2

Рис. 5.23.

Т1m ⑸=—Ku ｛(Зр/啞 S心2 + gqjs + 3汾(23a),

к!ш -弋/弋(236), 7Hql ⑹=Khg ｛%/О2+(%例)s + 明｝ (23в).Кнт = R?R』R\R$(23r),

Тм ⑻=—/и? ｛咱5 + 0凡)s + 咽｝(23д),

Кни尸旦阳(23е),嵋=R8/R2RR7C3C8(23>к),

7p = RQ% (23з).

Настройка： (1) % резистором R5, (2) qp резистором R* (3) К резистором R】.

Я2

Ссылки на литературу по рассмотренным схемам

Схема

Литература

Схема

Литература

ЛИТЕРАТУРА

Moschytz G. S. Linear Integrated Networks: Design, Van Nostrand Reirv hold Co., New York, 1976.

Sallen R. P., Key E. L. A practical method of designing RC active filters, IRE Trans. Circuit Theory, CT-2, 74—85 (March 1955).

Cohn С. E. Note on the simulation of higher-order linear systems with single operational amplifier, Proc. /ЕЕЕ, 1964, 874 (July 1964).

Dutta Roy S. C. RC active all-pass networks using a diiferential-input operational amplifier, Proc. IEEEf 1969, 2055—2056 (November 1969).

Kerwin W. J., Huelsman L. P The design of high performance active RC band-pass filters, 1ЕЕЁ Int. Conv. Rec, 14, part 10, 74—88 (1966).

Deliyannis T. High-Q factor circuit with reduced sensitivity, Electronics Letters, 4, No. 26, 577—579 (December 1968).

Deliyannis T. RC active allpass sections, Electronics Letters, 8, No. 3, 59—60 (February 1969).

Moschytz G. S. Sallen and Key filter networks with amplifier gain larger than or equal to unity, IEEE Journal of Solid-State Circuits, 1967, 114—116 (September 1967).

Friend J. J., Harris C. A., Hilberman D. STAR: an active biquadratic filter section, IEEE Trans. Circuits and Systems, CAS-^2, No. 2, 115—121 (February 1975).

Flie^e N. A new class of second-order RC-active filters with two operational amplifiers, ^achrichtentechn. Zeitung, 26, Helf 6, 279—282, 1973.

Mikhael W. B., Bh僦tach且ryya B・ B., A practical design fqr in^isitive RC-active filters, iffEE Trans. Circuits and Systems, CAS•芽2, 407—415 (May 1975),

Kerwin W. J., Huelsman L P., Newcomb R. W. State-variable synthesis for insensitive integrated circuit transfer functions, IEEE /. Solid-State Circuits SC-2, 87—92 (September 1967).

1. H4-HQ22. ПП 一 HQ・R3з. rm - нс3(дуаль-наясхема)4. ВЧ— HQ25. ЙП - Q. 54h. H 一 Hf)77. 1 IH — H()7ч —(.()29・ ПП — CQ-«610. ПП — CQ/6(дуаль-н@ясхема)1. H4-HQ22. ПП 一 HQ・R3з. rm - нс3(дуаль-наясхема)4. ВЧ— HQ25. ЙП - Q. 54h. H 一 Hf)77. 1 IH — H()7ч —(.()29・ ПП — CQ-«610. ПП — CQ/6(дуаль-н@ясхема)11. ВЧ- CQ212. ВГТ- CQ113. ПЗ 一 CQ114. НЧ-Д/ВЧ-Дт-CQ915. ПЗ-НЧ-Д/ВЧ-Д-CQ5, 816. ни - bq1117. ГТГТ-BQ10, 1118. Bq — BQ10, 1119. ВП-BQ10, 1120. ПЗ 一 BQ1021. НЧ-Д/ВЧ-Д - BQ1022. У11?23. У21311. ВЧ- CQ212. ВГТ- CQ113. ПЗ 一 CQ114. НЧ-Д/ВЧ-Дт-CQ915. ПЗ-НЧ-Д/ВЧ-Д-CQ5, 816. ни - bq1117. ГТГТ-BQ10, 1118. Bq — BQ10, 1119. ВП-BQ10, 1120. ПЗ 一 BQ1021. НЧ-Д/ВЧ-Д - BQ1022. У11?23. У213Tow J” A step-by-step active-filter design, IEEE Spectrum, 6, 64—68 (December 1969),

1. H4-HQ

2

2. ПП 一 HQ・R

3

з. rm - нс

3

(дуаль-

ная

схема)

4. ВЧ— HQ

2

5. ЙП - Q. 5

4

h. H 一 Hf)

7

7. 1 IH — H()

7

ч —(.()

2

9・ ПП — CQ-«

6

10. ПП — CQ/

6

(дуаль-

н@я

схема)

1. H4-HQ

2

2. ПП 一 HQ・R

3

з. rm - нс

3

(дуаль-

ная

схема)

4. ВЧ— HQ

2

5. ЙП - Q. 5

4

h. H 一 Hf)

7

7. 1 IH — H()

7

ч —(.()

2

9・ ПП — CQ-«

6

10. ПП — CQ/

6

(дуаль-

н@я

схема)

11. ВЧ- CQ

2

12. ВГТ- CQ

1

13. ПЗ 一 CQ

1

14. НЧ-Д/ВЧ-Дт-CQ

9

15. ПЗ-НЧ-Д/ВЧ-Д-CQ

5, 8

16. ни - bq

11

17. ГТГТ-BQ

10, 11

18. Bq — BQ

10, 11

19. ВП-BQ

10, 11

20. ПЗ 一 BQ

10

21. НЧ-Д/ВЧ-Д - BQ

10

22. У1

1?

23. У2

13

11. ВЧ- CQ

2

12. ВГТ- CQ

1

13. ПЗ 一 CQ

1

14. НЧ-Д/ВЧ-Дт-CQ

9

15. ПЗ-НЧ-Д/ВЧ-Д-CQ

5, 8

16. ни - bq

11

17. ГТГТ-BQ

10, 11

18. Bq — BQ

10, 11

19. ВП-BQ

10, 11

20. ПЗ 一 BQ

10

21. НЧ-Д/ВЧ-Д - BQ

10

22. У1

1?

23. У2

13

Глава 6

Настройка активных фильтров

Функциональная и детерминистическая настройки

Поскольку разрабатываемые активные фильтры все в большей и большей степени используются в современных системах связи, вопрос о том, как наиболее эффективно и с минимальными затратами настроить их рабочие характеристики, становится как никогда актуальным. Так как эта проблема наиболее остро стоит при реализации активных фильтров в гибриднопленочном исполнении (т. е. тонко- или толстопленочном), то

^ненастр^настрРегулировочный резистор *^ненастр^настрРегулировочный резистор *八八Рис. 6.1. Функциональная настройка значения параметра No регулировкой резистора RРис. 6.1. Функциональная настройка значения параметра No регулировкой резистора R纪昌纪昌

^ненастр^настр

Регулировочный резистор *

^ненастр^настр

Регулировочный резистор *

八

八

Рис. 6.1. Функциональная настройка значения параметра No регулировкой резистора R

Рис. 6.1. Функциональная настройка значения параметра No регулировкой резистора R

纪昌

纪昌

в этой главе основной акцент будет сделан на гибридно-интегральные активные фильтры. При использовании же дискретных элементов методика настройки аналогична и вообще-то проще. Это будет очевидно из приведенного материала.

На практике можно выделить два основных несхожих метода настройки, а именно функциональную и детерминистическую настройки.

Функциональная настройка подразумевает настройку нормируемых параметров цепи при ее функционировании, т. е. в рабочем режиме. Поскольку сама цепь собирается так, как если бы она окончательно работала в системе, то любые при-

с》щне этой цепи паразитные параметры автоматически принимаются во внимание и «выгоняются» в процессе настройки. Функциональная настройка, как правило, является итеративной, особенно если этапы настройки взаимосвязаны (рис. 6.1). Само число итераций увеличивается при повышении требуемой степени точности настройки. Чем больше число итеративных

Регулировочный резистор R

Рис. 6.2. Детерминистическая настройка значения параметра N。регулировкой резистора R

циклов настройки, тем длительнее и, следовательно, более дорогим будет процесс настройки. В большинстве случаев функциональная настройка более предпочтительна в лабораторных условиях и при средне- и мелкосерийном производстве.

Детерминистическая настройка предполагает настройку или подгонку номиналов отдельных элементов цепи, что продиктовано сочетанием исчерпывающих уравнений цепи (в которых уже учтены паразитные эффекты) и измеренными значениями самих элементов (рис. 6.2). Решения этих уравнений (как правило, полученные с помощью управляемых вычислительных средств) обеспечивают значения подстраиваемых элементов. Настройка выполняется «по номиналу», следовательно, нет разницы в том, является ли цепь действующей или нет. Поскольку в качестве подстраиваемых элементов обычно выступают резисторы, этот метод заключается в 《подгонке резисторов» в противоположность настройке параметров цепи (например, амплитуды, фазы, частоты), что характерно для функциональной настройки. Этот метод очень прост (например, подгонка резисторов «по номиналу» является неотъемлемой частью любого завода по производству гибридных интегральных схем) и быстр по исполнению (требуется в основном небольшое число итераций). Однако необходимы мощные машинные про-

граммы для решения нелинейных уравнений цепи, в которых необходимо учитывать паразитные эффекты не только первого, но и второго порядка. Из этих двух методов детерминистическая настройка является наиболее продуктивной, но необходимость затрат управляемых вычислительных средств, а также требуемые первоначальные усилия по программированию могут, как правило, оправдаться только при крупносерийном производстве.

На практике очень часто оказывается полезным сочетать функциональную настройку с детерминистической. Начальные регулировки будут выполняться с помощью метода детерминистической настройки, при которой значения элементов получаются либо из идеализированных уравнений цепи, либо из уравнений, в которые входят паразитные эффекты не выше первого порядка. А для того чтобы скомпенсировать более тонкие паразитные параметры второго порядка, затем предпринимается этап окончательной доводки функционирующей схемы (т. е. собранной и подключенной к источнику питания) с помощью функциональной регулировки одного или нескольких нормируемых параметров. При этом способе вычислительные сложности, присущие чисто детерминистической настройке, можно значительно снизить.

Функциональная настройка основывается на наборе уравнений цепи, в которых изменения заданных параметров цепи F], j = 1,2, m связаны с бесконечно малыми приращениями значений элементов %% i = 1, 2, ..., п через матрицу чув- ствительностей. Следовательно,

М/修I

^i/Xi ,(6.1)

где сами чувствительности S：； определяются так же, как и в гл. 3, а именно

Таким образом, если a% (t= 1, ..., м) представляют собой характеристические параметры настройки функции цепи F(at)t a Ra/ — соответствующие подстраиваемые резисторы (рис. 6.3)?

то настройка параметров от значений at 十 Аа^ к at будет преобразовывать функцию цепи от ее первоначального вида 尸(@i + Aaj к требуемому виду 尸(aj. Подставляя

5馬="8网)/d(此/凡)(6.3)

получаем тогда соотношение чувствительностей

~ da{/a{ 一

^Ra\

qQ1

0Ra2 •

《al ~ ♦ ^Ran

' dRaJRaJ

dajai

=

>Ral

>Ra2 .

• J Ran

dRajlRaj

[6.4а]

т d(1rlic1rl 一

Srq2 •

• ^Ran _

一 dRa&lRan -

или[da/a] = [S][dR/R]t[6.46]

где [S] —матрица чувствительностей.

Для того чтобы получить невзаимодействуюпхую и, следовательно, неитеративную методику настройки, матрица чувствительностей должна быть диагональной матрицей, а именно

尸(〃№・・q)

Рис. 6.3. Функциональная настройка регулируемых характеристических параметров а( с помощью соответствующего резистора R&/ для получения расчетной функции 户口).

Gj—характеристические параметры настройки; &,•—подгоняемые элементы.

все не лежащие на диагонали элементы матрицы должны быть равны нулю (рис. 6.4, а). На практике же это будет крайне редкий случай. Однако имеется возможность преобразовать матрицу чувствительностей таким образом, что она станет треугольной, т. е. элементы, расположенные в верхнем треугольнике, равны нулю (рис. 6.4,6). Для каждого характеристического параметра ak цепи тогда существует элемент настройки 2Ra讶 который не оказывает влияния на все ранее настроенные параметры 叫/V 力).Сама же последовательность

настройки теперь становится критичной, и она формируется непосредственно из матрицы чувствительностей после того, какнастройки теперь становится критичной, и она формируется непосредственно из матрицы чувствительностей после того, как

настройки теперь становится критичной, и она формируется непосредственно из матрицы чувствительностей после того, как

настройки теперь становится критичной, и она формируется непосредственно из матрицы чувствительностей после того, как

последняя преобразована к треугольному виду. Полученная последовательность обеспечивает однопроходовую (или 《за одну попытку») невзаимодействующую процедуру настройки, не требующую итераций (т. е. повторений). Если же невозможно получить точно

треугольную матрицу в виде, показанном на рис. 6.4, б, то ее необходимо аппроксимировать, упорядочивая элементы таким образом, чтобы их значения по правую сторону от диагонали уменьшались (рис. 6.4,8). При таком способе число итераций при настройке можно свести к минимуму.

Рассмотрим, например, цепь второго порядка с двумя комплексно-сопряженными полюсами pi, 2 n—о。土/б». Соответствующая передаточная функция имеет вид

T(s) = N (s)/(s ~ р{)(6 — 夕2)・

(6.5) Полагая, что оба полюса 0 и 卩2 точно определены и должны быть реализованы настройкой, составим теперь матричное уравнение типа (6.4), выраженное через п резисторов цепи. (В гибридно-интегральных схемах нельзя регулировать конденсаторы, и по этой причине их не рассматривают

лучаем

Диагональная матрица , 么 Произвольная ^взаимодействующая последовательность настройки

Треугольная матрица

б, Предписанная невзаимодействующая ИослеВовательность настройки.

в.Предпистая взаимодействующая последовательность настройки 修- 自广…+当广…+а"

Рис. 6.4. Виды функциональной настройки.

а — невзаимодействующ.ая; 6 — взаимрде^- ствующая, однопроходовая； в — обобщей- ная взаимодействующая.

как элементы настройки.) По-

dpjpi

d〃勿2

^и + /^п

我21 + Ml

修2 + /^12 • • •

"22 + 初22 • • •

u\n + /S"

我 2л + /V2n

"dR/Ri ■

-dRJRti

(6.6a)

или в матричной записи

[dp/p] = [w + jv] [dR/R].(6.66)

Приращение полюса dp/p можно теперь связать соответственно с приращениями частоты dsp/sp и добротности dqp/qp, как установлено в гл. 3 [уравнение (3.37)], а именно

dp/p = (d%/%) ~/ (1/“4%一 I )(歯 J%),(6.7)

где % = “皆 + %, a 9卩=<oj20P. Таким образом, в соотношении (6.6) для полюса pi находим, что

“I 尸 S",(6.8а)

Следовательно, при переводе сти 7Р полюса из соотношения

(6.86)

на язык частоты и добротно- (6.6а) получаем, что

dRi/R

」L」L〃12〃22〃12〃22(6.9 a)(6.9 a)— dR/R"— dR/R"Г dcOpi/OpiLd3成/3或Г dcOpi/OpiLd3成/3或歯 pi/qpiL dqP2/qP2歯 pi/qpiL dqP2/qP25162 …Vln 1U2IU22 • • • ^2"」5162 …Vln 1U2IU22 • • • ^2"」一dRJRn 一一dRJRn 一(6.96)(6.96)

」L

」L

〃12

〃22

〃12

〃22

(6.9 a)

(6.9 a)

— dR/R"

— dR/R"

Г dcOpi/Opi

Ld3成/3或

Г dcOpi/Opi

Ld3成/3或

歯 pi/qpi

L dqP2/qP2

歯 pi/qpi

L dqP2/qP2

5162 …Vln 1

U2IU22 • • • ^2"」

5162 …Vln 1

U2IU22 • • • ^2"」

一dRJRn 一

一dRJRn 一

(6.96)

(6.96)

Поскольку полюсы 卩 1 и 卩2 являются комплексно-сопряженными, то приращения частот ①內，3卩2 и добротностей qph qp? не будут взаимонезависимыми и для цепи второго порядка необходимо исследовать только приращения dcop/wp и 壮夕卩/夕卩.

Для того чтобы проиллюстрировать применение матрицы чувствительностей при разработке весьма эффективной последовательности настройки (т. е. с минимальным числом итераций), рассмотрим активную полосно-пропускающую цепь второго порядка, которая представлена на рис. 6.5. Ее передаточная функция по напряжению имеет следующий вид:

7(s)=K—^= К(s-Pi)(s — P2)7(s)=K—^= К(s-Pi)(s — P2)S2 + (%/伪 s + 時S2 + (%/伪 s + 時(6.10)(6.10)

7(s)=K—^= К

(s-Pi)(s — P2)

7(s)=K—^= К

(s-Pi)(s — P2)

S2 + (%/伪 s + 時

S2 + (%/伪 s + 時

(6.10)

(6.10)

На практике же требуется определить скорее параметры з» и 夕力 чем полюсы Pi и р2, поскольку они представляют собой точно измеряемые величины. Кроме того, необходимо задать постоянный параметр К, хотя, как правило, с гораздо большими допусками, чем сор и qp. Составляя матрицу чувствительно-'

стей, выраженную через пять резисторов цепи, получаем

FK/K] 「一10б/(Ор/(Ор I = I 0,25 一0,25 一歯Р例」L 0,25 -1,75FK/K] 「一10б/(Ор/(Ор I = I 0,25 一0,25 一歯Р例」L 0,25 -1,75-dRVR「01-1"dR?/ Rz-0,5 00%/&• (6.11)1,5 1,5 -1,5.dR4/R4-dRVR「01-1"dR?/ Rz-0,5 00%/&• (6.11)1,5 1,5 -1,5.dR4/R4

FK/K] 「一10

б/(Ор/(Ор I = I 0,25 一0,25 一歯Р例」L 0,25 -1,75

FK/K] 「一10

б/(Ор/(Ор I = I 0,25 一0,25 一歯Р例」L 0,25 -1,75

-dRVR「

01-1"

dR?/ Rz

-0,5 00

%/&

• (6.11)

1,5 1,5 -1,5.

dR4/R4

-dRVR「

01-1"

dR?/ Rz

-0,5 00

%/&

• (6.11)

1,5 1,5 -1,5.

dR4/R4

Теперь требуется переформировать матрицу чувствительностей (6.11) таким образом, чтобы обеспечить последовательность настройки, которая включает в себя три резистора и требует

Рис. 6.5. Полосно-пропускающая цепь второго порядка.Рис. 6.5. Полосно-пропускающая цепь второго порядка.

Рис. 6.5. Полосно-пропускающая цепь второго порядка.

Рис. 6.5. Полосно-пропускающая цепь второго порядка.

минимального числа итераций. Очевидно, что нельзя получить ни чисто диагональную, ни треугольную матрицу. Лучший результат можно получить, используя резисторы Ri, R3 и R4, а именно

dK/K [「一10d%® = —0,25 —0,5 dqp/qp JL 0,251,5dK/K [「一10d%® = —0,25 —0,5 dqp/qp JL 0,251,5101,5101,5dRK/RK " dR%IR0p dRqJRqp —dRK/RK " dR%IR0p dRqJRqp —(6.12)(6.12)

dK/K [「一10

d%® = —0,25 —0,5 dqp/qp JL 0,251,5

dK/K [「一10

d%® = —0,25 —0,5 dqp/qp JL 0,251,5

1

0

1,5

1

0

1,5

dRK/RK " dR%IR0p dRqJRqp —

dRK/RK " dR%IR0p dRqJRqp —

(6.12)

(6.12)

где Rk = R, R®p = R3 и Rqp == Л4. Тогда оптимальной последовательностью настройки является следующая: Ri(K)f f Кз(o)p)f R4 (夕°), посредством которой будет накоплена небольшая погрешность в значении К, поскольку Sr 抻 0. Однако это не столь существенно, поскольку ошибка в установке параметра К приводит только к погрешности в уровне сигнала в полосе пропускания, тогда как ошибка в установке параметров о)р и 7Р приводит соответственно к погрешности задания центральной частоты или избирательности характеристики фильтра. В большинстве случаев скорее можно допустить первое, чем второе.

6.3. Точность функциональной настройки

При настройке частотной характеристики цепи имеется выбор (для случая минимально-фазовых цепей 9) в регулировке либо определенной амплитудно-частотной, либо фазово-частотной характеристики. Вопрос состоит только в том, насколько

Рис. 6.6. Индикаторы функциональной настройки.

а — амплитудный; б — фазовый.

удобным индикатором в процессе настройки являются эти две физические величины? Если настраивается амплитудно-частотная характеристика, как показано на рис. 6.6, а, то интерес представляют приращения ее значения (например, в децибелах) на определенной частоте з,, вызванные приращением значения соответствующего регулировочного резистора R” Таким образом, для введенной в гл. 3 полуотносительной чувст-

')В противоположность неминимально-фазовым цепям минимально-фазовые не содержат н^^лей в правой половине s-плоскости. За исключением все- пропускающих цепей, все остальные описанные в этой книге цепи являются минимально-фазовыми.

вительности получаем, что

гдегде夕翁=da/(dR/R).夕翁=da/(dR/R).(6.13а)

где

где

夕翁=da/(dR/R).

夕翁=da/(dR/R).

(6.136)

Аналогичным образом при настройке фазово-частотной характеристики (рис. 6.6,6) соответствующее соотношение между ее значением 屮(з/ и регулировочным резистором R^ будет иметь следующий вид：

[d屮(叫=m*)][%网],(6.14a)

где桀==d<p/(dR/R).(6.146)

На первый взгляд может показаться, что чувствительности (6.136) и (6.146) определяют, какая характеристика (амплитудно-частотная а или фазово-частотная 屮)представляет собой предпочтительный индикатор настройки заданной минимально-фазовой цепи. Однако можно показатьJ), что независимо от типа самой цепи, фазово-частотная характеристика всегда является более точным индикатором, по которому настраивается сама цепь. В самом деле точность настройки амплитудно-частотной характеристики полиномиальной цепи второго порядка лежит в пределах ±2-Аф % или ±0,2 Аф деци* бел, если настройка производится с помощью фазометра с точностью ±Аф градусов и не зависит от добротности полюса. Таким образом, при достижимой точности установки фазы, определенной в А(р градусов, результирующая амплитудно-частотная характеристика будет иметь точность

Да ^ 2 Аф [ % ]0,2 Аф [дБ].[6.15]

Из этого следует, что погрешности в установке фазово-частот* ной характеристики в 1° соответствует погрешность в 0,2 дБ в амплитудно-частотной характеристике. Существующие фазометры с точностью в пределах 0,1° обладают значительно меньшей стоимостью, чем измерители напряжения (вольтметры) сравнимой точности (т. е. 0,02 дБ), Из этого следует, что везде, где возможно^ функциональной настройке по фазово-частотной характеристике необходимо отдавать предпочтение над настройкой по амплитудно-частотной характеристике. Тогда погрешность частоты полюса, которую вызывает ошибка фазового сдвига в Д(р градусов, составит

円%]=Ip円%]=Ip—л • 100Дф36% — А(Р——л • 100Дф36% — А(Р—[6.16][6.16]

円%]=

Ip

円%]=

Ip

—л • 100Дф

36% — А(Р—

—л • 100Дф

36% — А(Р—

[6.16]

[6.16]

I) См. Moschytz G. S., Linear Integrated Networks: Design, Van Nostrand Reinhold Co., New York, 1975』p. 405,

нах частот второго порядка.нах частот второго порядка.филь- фуНК'филь- фуНК'崂崂T(s) = KT(s) = KS2 +(8/件)S +崎S2 +(8/件)S +崎(6.18)(6.18)(6.19а)(6.19а)(6.196)(6.196)

нах частот второго порядка.

нах частот второго порядка.

филь- фуНК'

филь- фуНК'

崂

崂

T(s) = K

T(s) = K

S2 +(8/件)S +崎

S2 +(8/件)S +崎

(6.18)

(6.18)

(6.19а)

(6.19а)

(6.196)

(6.196)

где Д(р измеряется в градусах, a qp представляет собой добротность полюса. Следует отметить, что чем выше значение параметра q力 тем меньше погрешность установки частоты, вызванная заданной ошибкой фазово-частотной характеристики. Таким образом, ошибке задания фазового сдвига в 0,1° будет соответствовать погрешность в установке частоты —0,1 %, если 备=1, и —0,01 %, если ^=10. Можно показать, что точность регулировки параметра %, соответствующая погрешности задания фазового сдвига в А(р градусов, не зависит от самого значения qp. Она приближенно задается следующим образом:,

^qPlqP [%] -з,5 • д(р [6.17]

при условии, что фазовый сдвиг измеряется как значение фазового сдвига на частоте полюса плюс или минус 45°.

Рассмотрим, например, показанные на рис. 6.7 ам-

плитудно-частотную и фазово^частотную характеристики ipa нижних частот. Из соответствующей передаточной ции

получаем амплитудно-частотную характеристику (гл. 2)

a(s) = In I Т (js) I

и фазово-частотную характеристику

Ф (со) = arg 7(/w).

Для настройки расчетных значений параметров з» и qp установим на частоте 3*/2冗 фазовый сдвиг —90°, используя соответствующий резистор Rsp, а на частоте о)45/2л (или о)135/2л)—— фазовый сдвиг ——45° (или ——135°) с помощью соответствующего резистора R%. При использовании фазометра с точностью Д(р градусов погрешности в установке значения амплитудно-частотной характеристики, частоты и параметра qp будут определяться соответственно соотношениями (6.15), (6.16)

6.4. Детерминистическая настройкаДля заданной цепи методика детерминистической настройки на рис. 6.8 алгоритмом. Поэтому6.4. Детерминистическая настройкаДля заданной цепи методика детерминистической настройки на рис. 6.8 алгоритмом. ПоэтомуИзмерить параметры конденсаторов (блл团如 потери)Измерить параметры конденсаторов (блл团如 потери)Рис. 6,8. Последовательность детерминистической настройки.Рис. 6,8. Последовательность детерминистической настройки.

6.4. Детерминистическая настройка

Для заданной цепи методика детерминистической настройки на рис. 6.8 алгоритмом. Поэтому

6.4. Детерминистическая настройка

Для заданной цепи методика детерминистической настройки на рис. 6.8 алгоритмом. Поэтому

Измерить параметры конденсаторов (блл团如 потери)

Измерить параметры конденсаторов (блл团如 потери)

Рис. 6,8. Последовательность детерминистической настройки.

Рис. 6,8. Последовательность детерминистической настройки.

и (6.17). Постоянный параметр К также можно настроить, и погрешность его задания означает ошибку в установке коэффициента усиления цепи на постоянном токе.

описывается представленным для приведенной на рис. 6.9 цепи нижних частот второго порядка, передаточная функция которой описывается соответственно уравнением (6.18), далее установим следующее ):

а. Выведем зависимости трех характеристик параметров цепи, а именно К, а)р и qp от ее элементов, т. е. К =/к(3 &， &, 。4)， Sp = Ai)p(R1，及2，凡，e3，С4)， qP = tqP®，R 电 r4，c3，С4)■ 16. Измерим номиналы конденсаторов С3) С4 и коэффициент усиления ОУ с замкнутой петлей обратной СВЯЗИ р.

в. Вычислим следующие значения резисторов как функции величин, которые были или рассчитаны, или измерены, т. е. Ri = f%X Х(К, %,夕力 Сз, С4, р), &= =f&(К, sp, qp, Сз, а, В), R4 ^1 fr&(K, зр, qр> Сз, С4, 6)・

г. Подгоним номиналы резисторов R?, R2 и R4 K вычисленным в п.《в》 значе-

ниям.

При использовании этих четырех этапов, которые являются типичными для детерминистической процедуры настройки, необходимо помнить следующее:

Полученные на этапе п.《а》 уравнения представляют собой те же самые расчетные уравнения, которые были даны в гл. 5 для каждой отдельной схемы. Процессу настройки предшествует этап составления расчетных уравнений, которые и определяют номинальное значение каждого элемента, включая и коэффициент усиления р. Следовательно, конструктивное или номинальное значение каждого элемента уже известно до начала процесса настройки.

Сформированные на этапе п.《в» уравнения представляют собой уравнения настройки^ а не расчетные уравнения. Кроме того что они содержат проектные параметры (например, К, о)Р,

Рис. 6.9. Цепь нижних частот второго порядка.

Й

, в них включены также и измеренные величины (например, С4 и р). Хотя для изображенного на рис. 6.9 примера и известно номинальное значение коэффициента усиления р, его действительное значение, которое получено после изготовления, определяется на этапе п.《в» с помощью номиналов резисторов Кб и R7. Следует отметить, что с этих позиций сам усилитель предполагается идеальным.

Приведенные на рис. 6.5 и 6.9 схемы предназначены скорее Для среднедобротных применений, чем для низкодобротных, учитывая тот факт, что для параметра 处 заданы жесткие допуски. Следовательно, коэффициент усиления 0y с замкнутой петлей обратной связи р уже не является единичным, а несколько больше (например, между единицей и двойкой) с тем, чтобы имелась возможность провести окончательную, не воздействующую на частоту полюса ①卩 функциональную коррекцию. Введение в схему дополнительного резистора (например, R? на рис. 6.9) несомненно незначительная цена за возможность проведения окончательного доводочного этапа настройки. Резистор, включенный между выходным и инвертирующим входным контактами (например, резистор Rs на рис. 6.9), необходим в любом случае, а именно для того, чтобы сбалансировать смещение ОУ по постоянному току. Ухудшение стабильности коэффициента усиления, вызванное превышением его значения над единицей, не принимается в расчет, в особенности для гибридно-пле-

ночного исполнения фильтров благодаря очень согласованному изменению сопротивлений, достижимому для тонко- или толстопленочных резисторов. Здесь подразумевается комбинация из детерминистической и функциональной настроек, которая будет рассмотрена дальше в разд. 6.6.

Измерение номиналов конденсаторов (т. е. С3 и С4, как указано выше на этапе п.《6》) должно предпочтительно выпол-

няться после того, как сами конденсаторы уже установлены на

подложку. (Очевидно, что в случае тонкопленочных конденсаторов нет другого выбора.) Это позволяет при проведении измерения учесть паразитные емкости и отклонения номиналов элементов уже собранной схемы. Хотя и существуют методы точного измерения значений отдельных конденсаторов, когда они подключаются к отдельной измерительной цепи 1), более предпочтительный способ преодоления

а,36а,36Рис. 6.10. Частотно-зависимый коэффициент усиления операционного усилителя.Рис. 6.10. Частотно-зависимый коэффициент усиления операционного усилителя.этой проблемы состоит в том,

а,36

а,36

Рис. 6.10. Частотно-зависимый коэффициент усиления операционного усилителя.

Рис. 6.10. Частотно-зависимый коэффициент усиления операционного усилителя.

чтобы к краям подложки подсоединить дополнительный конденсатор. Это позволяет точно измерять или отдельные конденсаторы, или комбинации из параллельных или последовательных пар, что требуется для последующих вычислений.

Для обеспечения однопроходовой процедуры настройки па

разитные эффекты, вызванные неидеальностью элементов схемы, необходимо, как правило, учитывать в полученных на этапе п.《в》 уравнениях настройки. Однако это значительно усложняет необходимые вычисления. Главные паразитные эффекты, с которыми необходимо вести борьбу, следующие:

Во f В (s) a 3g/(S + 3)Во f В (s) a 3g/(S + 3)(6.20)(6.20)Неидеальность характеристик активных приборов (например, частотная зависимость коэффициента усиления операционных усилителей). Из рис. 6.10 следует, что вместо того, чтобы в наших уравнениях использовать постоянный коэффициент усиления ро, теперь необходимо подставлять В (s), следовательно,

Во f В (s) a 3g/(S + 3)

Во f В (s) a 3g/(S + 3)

(6.20)

(6.20)

Потери в конденсаторах и их частотная зависимость. Например, тонкопленочные конденсаторы обладают как потерями, так и частотной зависимостью. Если .же потери конденсатора составляют tg 6^ тогда вместо С/ необходимо подставить его

I) Moschytz G. S., Linear Integrated Networks: Design, Van Nostrand Reinhold Co., New York, 1976, p. 413.

приближенное значение следующего вида:

& f 気 “ У / — &)•(6.21)

Теперь учтем, что тонкопленочные конденсаторы являются частотно-зависимыми и, согласно соотношению

С^С^^Сое'^(6.22)

постоянная времени тс характеризует используемую технологию. Если предположить, что значение С (со) измеряется на двух частотах (рис. 6.11), то его значение C(g)q) можно получить с помощью метода экстраполяции следующим образом：

log С^р) = log С (铀)+ тс (% — со) (6.23а) гдетс = log [С (%)/С ®М/(Зр — ®i),(6.236)

Паразитные емкости подложки схемы и резистивные потери проводящих участков. Эти паразитные параметры необхо-

Рис, 6.1L Частотная зависимость тонкопленочного конденсатора.

димо учитывать в такой степени, чтобы характеристика окончательно смонтированной схемы была реализована с той же степенью точности, которую обеспечивала бы функциональная настройка. При таком задании приведенные выше (этап п.《в») требуемые вычисления становятся существенно более сложными, а уравнения крайне нелинейными ——третьего или даже более высокого порядка. При их увеличивающейся сложности допустимы только их численные решения на ЭВМ, тогда как для идеальных элементов получены в основном аналитические решения.

Точность детерминистической настройки

При использовании процедуры детерминистической настройки достижимая ее точность зависит от точности, с которой можно измерить номиналы конденсаторов и резисторов, а также и от точности подгонки резисторов к номинальному значений).

Полагая, что погрешности для наихудшего случая в измерении номиналов всех конденсаторов и подгонки номиналов всех резисторов составляют соответственно ДС/С и AR/A, погрешность установленной частоты составит

丨 As/s Imax & I NR]R Imax + I A。/。|max-[6.24]

При использовании для емкостного моста с точностью 0,1 % и если имеется возможность подгонки и измерения номиналов резисторов с точностью приблизительно 0,05%, погрешность установки частоты в наихудшем случае будет составлять 0,15 %.

Точность, с которой измеряются потери в конденсаторе, будет также оказывать влияние на точность установки частоты, добавляя еще одно слагаемое в уравнение (6.24). Полагая измеренную ошибку за счет потерь равной А5, получаем этот дополнительный член

Аз/з - (1/2%)[1 +(1/4д?)]М.(6.25)

Эта погрешность значительно меньше, чем описываемая уравнением (6.24) ошибка, и ею зачастую можно пренебречь. Измеряя потери в конденсаторе с точностью в пределах 10 % (т. е. AS = =0,1) и полагая значение добротности равным 2 (т. е. д* = 2), заданная уравнением (6.25) погрешность установки частоты составит 0,02 %.

Как правило, любая функция F, величина которой настраивается с помощью резистора R% будет задана со следующей точностью： 尸(1 土 а尸/尸)，где

"/尸= S^(ARf/Rf),(6.26)

a i\Rf/Rf представляет собой точность измерения и подгонки номинала резистора R尸.Рассмотрим, например, ситуацию, при которой параметр qp должен настраиваться детерминистически с помощью регулировки коэффициента усиления ОУ с замкнутой петлей обратной связи р. Он в свою очередь определяется отношением резисторов, скажем R^R、где R^ — подстраиваемый резистор (например, резистор RQ или R7 на рис. 6.9). Точность задания параметра qp получается из следующего соотношения:

Ад勘= S*S%(AR"R6).(6.27)

Для показанной на рис. 6.9 схемы оно преобразуется к виду 祟=(1 一 m(号—0 岑，(6.28)

где R§ = Rs. Если в качестве R§ использовался бы резистор R7t то выражение в правой части соотношения (6.28) было бы отрицательным. Добротность полюса пассивной RC-цепп, входящей в состав активного фильтра, составляет q. Она определяется при

подстановке в выражение для параметра qp коэффициента В， равного нулю, т. е.

С (В =。)・(6.29)

Если имеется возможность измерить и подстроить резистор R|3 с точностью в пределах 0,05%, то для типовых значений, а именно Р = 2, « = 0,4 и qp = 20, получаем точность задания параметра 先 в пределах 1 %. Следует отметить, что при имеющемся в наличии измерительном оборудовании детерминистическая настройка с точки зрения точностных характеристик может конкурировать с функциональной при условии, что в этот процесс заложены отвечающие современным требованиям вычи* слительные средства и проведено достаточно качественное программирование.

Сочетание детерминистической и функциональной настроек

Основные сравнительные характеристики функциональной и детерминистической настроек приведены в табл. 6.1.

Функциональная настройка концептуально проще, поскольку все случайные и паразитные эффекты реальной схемы можно Таблица 6.1 Основные характеристики функциональной и детерминистической настроек

ФункциональнаяДетерминистическая

Цепь в действииКонцептуально простая, применима непосредственноПодгонка резисторов для обеспечения определенных значений функции (например, амплитудно-частотной и фазово-частотной характеристик, частоты)Требуются точные фазовые и частотные измеренияЭтапы настройки, как правило, взаимодействующиеПаразитные параметры при настройке исключаютсяИтеративная настройка (длительная по времени)Последовательность настройки определяется из матрицы чувствитель- ностейПригодна для лабораторных целей и мелкосерийного производстваЦепь в действииКонцептуально простая, применима непосредственноПодгонка резисторов для обеспечения определенных значений функции (например, амплитудно-частотной и фазово-частотной характеристик, частоты)Требуются точные фазовые и частотные измеренияЭтапы настройки, как правило, взаимодействующиеПаразитные параметры при настройке исключаютсяИтеративная настройка (длительная по времени)Последовательность настройки определяется из матрицы чувствитель- ностейПригодна для лабораторных целей и мелкосерийного производстваЦепь не функционируетВычислительные сложности, требуется значительный предварительный анализИзмерениеноминаловэлементови вычисление значений резисторов, подгонка номиналоврезисторовк вычисленным значениямТребуются точные измерения номиналов резисторов и конденсаторовПодгонка резисторов небзаимодей- ствующаяПаразитные параметры учитываются в уравнениях цепиОт одного до двух этапов подгонкиТребуются вспомогательные управляемые вычислительные средства и «... и подпрограммы для решения нелинейных уравнений»Пригодна для крупносерийного производстваЦепь не функционируетВычислительные сложности, требуется значительный предварительный анализИзмерениеноминаловэлементови вычисление значений резисторов, подгонка номиналоврезисторовк вычисленным значениямТребуются точные измерения номиналов резисторов и конденсаторовПодгонка резисторов небзаимодей- ствующаяПаразитные параметры учитываются в уравнениях цепиОт одного до двух этапов подгонкиТребуются вспомогательные управляемые вычислительные средства и «... и подпрограммы для решения нелинейных уравнений»Пригодна для крупносерийного производства

Цепь в действии

Концептуально простая, применима непосредственно

Подгонка резисторов для обеспечения определенных значений функции (например, амплитудно-частотной и фазово-частотной характеристик, частоты)

Требуются точные фазовые и частотные измерения

Этапы настройки, как правило, взаимодействующие

Паразитные параметры при настройке исключаются

Итеративная настройка (длительная по времени)

Последовательность настройки определяется из матрицы чувствитель- ностей

Пригодна для лабораторных целей и мелкосерийного производства

Цепь в действии

Концептуально простая, применима непосредственно

Подгонка резисторов для обеспечения определенных значений функции (например, амплитудно-частотной и фазово-частотной характеристик, частоты)

Требуются точные фазовые и частотные измерения

Этапы настройки, как правило, взаимодействующие

Паразитные параметры при настройке исключаются

Итеративная настройка (длительная по времени)

Последовательность настройки определяется из матрицы чувствитель- ностей

Пригодна для лабораторных целей и мелкосерийного производства

Цепь не функционирует

Вычислительные сложности, требуется значительный предварительный анализ

Измерениеноминаловэлементов

и вычисление значений резисторов, подгонка номиналоврезисторов

к вычисленным значениям

Требуются точные измерения номиналов резисторов и конденсаторов

Подгонка резисторов небзаимодей- ствующая

Паразитные параметры учитываются в уравнениях цепи

От одного до двух этапов подгонки

Требуются вспомогательные управляемые вычислительные средства и «... и подпрограммы для решения нелинейных уравнений»

Пригодна для крупносерийного производства

Цепь не функционирует

Вычислительные сложности, требуется значительный предварительный анализ

Измерениеноминаловэлементов

и вычисление значений резисторов, подгонка номиналоврезисторов

к вычисленным значениям

Требуются точные измерения номиналов резисторов и конденсаторов

Подгонка резисторов небзаимодей- ствующая

Паразитные параметры учитываются в уравнениях цепи

От одного до двух этапов подгонки

Требуются вспомогательные управляемые вычислительные средства и «... и подпрограммы для решения нелинейных уравнений»

Пригодна для крупносерийного производства

устранить «в ситуации», когда сама схема функционирует. Главными недостатками этого метода являются требующие значительных затрат времени итерации и необходимость в высокоточных измерениях таких параметров фильтров, как фазовый сдвиг, амплитуда и частота. Такие измерения, как правило, несвойственны типовому оборудованию гибридно-пленочного производства, которое оснащено приборами только для высокоточных измерений сопротивления и емкости. Функциональная настройка, следовательно, становится пригодной, в частности, при изготовлении прототипа, лабораторных исследований и для мелкосерийного производства.

Детерминистическая настройка основывается на более сложной концепции, а именно на аналитическом предварительном вычислении всех относящихся к делу паразитных эффектов, при этом за основу берутся измеренные значения элементов и их вычисленные номиналы резисторов, которые подгоняются к значениям, обеспечивающим требуемую характеристику цепи. По существу этот процесс «одного выстрела» в том смысле, что в идеальном случае каждый резистор необходимо подгонять только один раз. Недостатки этого метода связаны со сложностью первоначальных вычислений и программирования, а также с издержками по содержанию управляемых вычислительных средств. Однако такие достаточно высокие производственные Показатели, как начальные затраты интеллектуальной и вычислительной мощности, оправданы и впоследствии легко окупаются.

Поскольку детерминистическая настройка связана только с измерением значения элемента, вычислением и подгонкой (резистора), то это, конечно, более предпочтительный метод настройки для крупносерийного производства, для которого оправданы и начальные вычислительные издержки (т. е. формирование уравнений цепи, включающих паразитные эффекты), и стоимость вспомогательных управляемых вычислительных средств. Очень часто начальные затраты на программирование можно значительно уменьшить, если создать уравнения идеализированной цепи, а после проведения детерминистической настройки скорректировать результирующую погрешность с помощью выполнения небольшого числа шагов функциональной настройки. Такая методика, как показано на рис. 6.12, позволяет исключить многочисленные и требующие больших затрат времени итеративные шаги настройки, которые, как правило, необходимы при чистой процедуре функциональной настройки. Это осуществляется с помощью введения небольшого числа (как правило, одного или двух) резисторов, предназначенных для окончательной отделки Или доводки схемы с помощью функциональной регулировки После того, как она была предварительно 《грубо отрегулирована» детерминистически на основе простых, т. е. идеализированных расчетных уравнений. Таким образом, для наиболее общей

«промежуточной» ситуации, когда объемы производства не слишком большие, но и не маленькие и где не избежать решения

Рис. 6.12. Сочетание детерминистической и функциональной настроек.

вопроса о наиболее подходящем месте настройки, сочетание функциональной и детерминистической настроек дает ыаилуч- шие результаты.

Настройка звеньев фильтров второго порядка

В данной книге рассматривается настройка представленных в гл. 5 цепей второго порядка. Обычно предполагается тип комбинированной детерминистической и функциональной настрой、 ки, который был рассмотрен в предыдущем разделе и в виде алгоритма изображен на рис. 6.12. Этап начальной детерминистической настройки включает в себя решение идеализированных расчетных уравнений, и в то же время учитываются некоторые другие ограничения (например, минимальная чувствительность, минимальное произведение усиление-чувствитель-

ность, максимальный динамический диапазон, приемлемые номиналы элементов). В этот этап не должны включаться паразитные эффекты, поскольку они учитываются на последующем этапе функциональной настройки. Следует отметить, что в гл. 5 уже было найдено решение идеализированных расчетных уравнений и получены номинальные значения всех элементов схемы. Сами значения элементов находятся при решении идеализированных расчетных уравнений при условии минимизации произведения усиление-чувствительность. В большинстве случаев это дополнительное ограничение может быть обеспечено, поскольку элементов схемы больше, чем расчетных уравнений. По тем же самым причинам значения некоторых элементов (как правило, конденсаторов) можно выбрать с точки зрения практической реализуемости и минимальной стоимости (так как конденсаторы больших номиналов стоят дороже). Предполагается, что для приведенных в гл. 5 двадцати трех схем уже были выполнены предварительные вычисления, необходимые на первом этапе детерминистической настройки, и что все номинальные значения

элементов получаются из приведенных машинных программ. В случае же гибридно-пленочных схем те элементы, которые обозначены как регулирующие элементы (например, «⑴卩一для настройки частоты полюса ⑴卩，резистор Rqp — для настройки добротности полюса (?”), должны настраиваться первоначально к значению ниже номинального (в типовом случае на 10—20 %) вследствие того, что пленочные резисторы можно подстраивать только в сторону увеличения номинала. Тогда эти 《регулирующие резисторы» подходят для этапа функциональной настройки, которая и завершает всю процедуру настройки. Именно этот этап функциональной настройки схем фильтров второго порядка, которые приведены в гл. 5, будет в общих чертах представлен в оставшейся части этой главы.

Как было показано в разд. 6.3, функциональная настройка с большей степенью точности производится по фазово-частотной характеристике, а не по амплитудно-частотной. Необходимые данные по настройке обычно приводятся отдельно для трех основных категорий цепей второго порядка, а именно полиномиальных цепей, цепей с конечными нулями и неминимальнофазовых цепей.

Полиномиальные цели

Под полиномиальными цепями подразумеваются такие цепи, передаточные функции которых обладают комплексно-сопряженными полюсами, а их нули расположены только в начале координат или бесконечности (т. е. цепи нижних и верхних частот и полосно-пропускающие). Рассмотрим функцию фильтра

(6.30)(6.30)нижних частот

(6.30)

(6.30)

т(S)= К師/1 + (®р/<7р) S + 3"

Для s =，з на рис. 6.13 приведены соответствующие амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики. Для высоких значений параметра qp (например, больше 5) частота подъема амплитудно-частотной характеристики приблизительно соответствует частоте Зр, а параметр qp определяется приблизительно как отношение частоты з” к ширине полосы частот по уровню

Рис. 6.13. Амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики передаточной функции (6 30).Рис. 6.13. Амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики передаточной функции (6 30).

Рис. 6.13. Амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики передаточной функции (6 30).

Рис. 6.13. Амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики передаточной функции (6 30).

3 дБ. Однако амплитудно-частотная характеристика в окрестности частоты 3" достаточно плоская и вследствие этого точная регулировка частоты ①卩 затруднительна. Это серьезный недостаток, поскольку частоты полюсов необходимо подстраивать наиболее точно (как правило, лучше чем 0,2 %).

Из рис. 6.13 следует, что в противоположность амплитудно* частотной характеристике фазово-частотная имеет максимальную крутизну на частоте з* н в ее окрестности (т. е. занимая диапазон частот по уровню 3 дБ). Таким образом, по кривой фазово-частотной характеристики производятся более точные измерения параметров з. и qPi чем по кривой амплитудно-частотной характеристики. Для s = /з частотная характеристика функции T(s) имеет следующий вид:

? (W) = К®р/[«2 ~®2 + /® (®р/<7р)]>(6.31)

фазово-частотная：

ф (и) = - arctg [®®р/7р(Юр - ю2)].(6.32)

(6.33)(6.33)Фазовый угол в ——90° получается при

(6.33)

(6.33)

Для фазовых углов ——45 и ——135° аргумент в уравнении (6.32) равен 土 1. Решая его относительно частоты з, находим

%5 = (%/2%) (д/^ТТ— 1),(6.34а)

®135 = (®р/Ч)(7^РН + 1)，(6.346)

частот (НЧ)частот (НЧ)а относительно параметра qp для цепи нижних

частот (НЧ)

частот (НЧ)

получаемполучаем(9")Hq = %/(3135 — 345).(9")Hq = %/(3135 — 345).(6.35)(6.35)

получаем

получаем

(9")Hq = %/(3135 — 345).

(9")Hq = %/(3135 — 345).

(6.35)

(6.35)

верхних частот, ППЦ — полосно-пропускающая цепь. НЧЦ — цепь нижнихверхних частот, ППЦ — полосно-пропускающая цепь. НЧЦ — цепь нижнихвторого ПО-второго ПО-ииqp = з(рз/(др° — 3隼)qp = з(рз/(др° — 3隼)(6.366)(6.366)

верхних частот, ППЦ — полосно-пропускающая цепь. НЧЦ — цепь нижних

верхних частот, ППЦ — полосно-пропускающая цепь. НЧЦ — цепь нижних

второго ПО-

второго ПО-

и

и

qp = з(рз/(др° — 3隼)

qp = з(рз/(др° — 3隼)

(6.366)

(6.366)

Следует отметить, что уравнения (6.33) и (6.35) имеют силу для всех значений параметра д”，включая и значения, которые

Рис. 6.14. рядка.

ВЧЦ — цепь

меньше 0,5. Кроме того, для цепей верхних частот и полосно-

пропускающих их нули дают дополнительный сдвиг кривой фазово-частотной характеристики на постоянную величину (рис. 6.14). Это означает добавление 90° к кривой фазово-частотной характеристики полосно-пропускающей цепи и 180° — для цепи верхних частот. Таким образом, соотношения (6.33) и (6.35) приводятся к виду

(6.36а)

где для цепи нижних частот cpi =——45°,(р2 =——135°,(р3 ==——90°; для полосно-пропускающей цепи (pi == 45°, (р2 =——45°,(р3 = 0°; для цепи верхних частот(pi = 135°,屮2 = 45°,(р3 = +90° и

%" *『［%幽^№^ 干1).(6，37)

Теперь процедуру функциональной настройки можно кратко

описать следующими двумя этапами:

Регулировка частоты ①卩 На частоте 3力 установить для цепи фазовый сдвиг(рз・

Регулировка параметра 篆.Из уравнения (6.37) вычислить частоты 3G и (Од? и отрегулировать на соответствующей частоте фазовый сдвиг q)i или 屮2・

Крутизна фазово-частотной характеристики(р(з), т. е. групповое время замедления, находится с помощью дифференцирования соотношения (6.32) [см. гл. 2, уравнение (2.10)]. Таким

(6.38)(6.38)образом,

(6.38)

(6.38)

ds^(«р — ®2)2 + ffl2®p

тт2gp2gpСледовательно, на частоте з”

т

т

2gp

2gp

(6.39)

Таким образом, чем больше значение параметра 夕力 тем круче наклон фазово-частотной характеристики и тем больше задержка т. Это очень полезное свойство, поскольку для высоких значений параметра qp все более важной становится точность регулировки частоты, так как можно показать, что погрешность амплитудно-частотной характеристики на частотах по уровню 3 дБ составляет qp^p/mp. К счастью, при увеличении значения параметра qp становится легко достижимой более высокая точность установки частоты.

Согласно рассмотренным в разд. 6.2 матрицам чувствитель- ностей, приведенная выше методика настройки действительно будет «двухэтапной», если имеется невзаимодействующая, т. е. диагональная или треугольная, матрица чувствительностей. Если это не так, то два указанных выше этапа настройки необходимо повторять итеративно до тех пор, пока не будет достигнута желаемая точность.

В описанной выше методике регулировки параметра qp имеется выбор в установке на соответствующей частоте фазового сдвига фь или ф2- По определению частота ①屯 представляет собой наибольшую из этих двух частот, следовательно, если операционный усилитель вносит паразитный фазовый сдвиг запаздывания, например Аф градусов, то он более явно проявляется на частоте а не на Однако коррекция этого паразитного фазового сдвига на частоте 3屯 настройкой только на (ф2 ——Аф) градусов может привести к перекоррекции фазово-частотной характеристики на частоте 3屮「 Таким образом, какую из этих двух частот следует выбирать для регулировки параметра qPt зависит от того, какая из них (①必 или ①①丿 распо-

ложена в более критической области полосы фильтра. Наоборот, среднее значение паразитного фазового сдвига можно скорректировать на частоте сор с помощью настройки на ней фазового сдвига [ф(Зр)——А(р/2] градусов, регулируя фазовый сдвиг 屮】 или(р2 соответственно на частотах ①吶 или

Описанный выше метод функциональной настройки влечет за собой необходимость установки требуемых частот з口 и, скажем, з①2 на генераторе входных синусоидальных сигналов, а затем настройку соответственно фазовых сдвигов 屮^卩 и ф2- Естественно, что для высокоточной настройки сами частоты з* и з畢？ должны быть тщательно установлены, а это процесс, который либо занимает время, когда используется генератор средней точности, либо дорог при применении, например, синтезатора частот. Для того чтобы устранить необходимость в высокоточной установке частоты, можно использовать генератор средней точности (но высокостабильный) в сочетании с высокоточным частотомером, таким образом можно установить частоты Зр и соф? приблизительно, например и ①^, а соответствующие фазовые сдвиги 必卩 и ^2 вычислить из уравнения (6.32). Однако поскольку значение arctgq)(G)p) при з/* з卩 будет очень неточным, в этом случае используются две частоты s，J и з$2， которые вычисляются из уравнения (6.37). Тогда для трех типов цепей получаем:

для цепи нижних частот(р[ = <p(w^),屮$ =屮(3^)；

для полосно-пропускающей цепи (р[ ~ 90° + ф (^ф(), Ф2 = 90°+ 十中(端)；

для цепи верхних частот <pi = 180° + <р (з$),①2 = 180° + 屮(①$J. Настроечные регулировки на частотах и з$? здесь заменяют регулировки на частотах з口 и, например, соф2, и по ним настраиваются параметры схемы сор и qp. Следует отметить, что в противоположность регулировке на частотах з* и з①上 эти два этапа настройки теперь становятся взаимодействующими, поскольку как фазовый сдвиг <р「так и 必 являются функциями параметров Зр и qp. Настройка постоянного коэффициента К, как правило, не очень критична. Хотя параметры з^ и qp можно настроить соответственно несколькими итеративными этапами, редко целесообразно увеличивать их число ради точного задания коэффициента Однако если же требуется высокоточное значение коэффициента К, то его можно, как правило, достичь с помощью регулировки усиления или затухания, которое устанавливается либо до, либо после нашей цепи. В любом случае регулировка коэффициента К представляет собой установку коэффициента усиления, который задает общий уровень выходного сигнала, в большинстве же случаев начальное или ненастроенное значение коэффициента К с точностью в несколько процентов будет вполне достаточным.

Цепи с конечными нулями

Здесь рассматриваются минимально-фазовые цепи с передаточной функцией общего вида

Т(в) = КТ(в) = К:2十(①z/%) 5 一卜①2之 / + (①卩瓦)S +端:2十(①z/%) 5 一卜①2之 / + (①卩瓦)S +端(6.40)(6.40)

Т(в) = К

Т(в) = К

:2十(①z/%) 5 一卜①2之 / + (①卩瓦)S +端

:2十(①z/%) 5 一卜①2之 / + (①卩瓦)S +端

(6.40)

(6.40)

гл. 5.гл. 5.①(sjh)=①(sjh)=72g {市糸/ }72g {市糸/ }

гл. 5.

гл. 5.

①(sjh)=

①(sjh)=

72g {市糸/ }

72g {市糸/ }

Теперь кроме параметров полюса з* и qp необходимо также отрегулировать параметры нуля з^ и qz. Соответствующая фазовая функция имеет вид

ЧР(8)= Wz (з) — фр(8)=

K^]—a2g [初(641)

Здесь характер влияния нулей такой же, что и у полюсов, но

противоположного знака.

В тех случаях, когда нули реализуются с помощью операции суммирования (например, гл. 5, схема 14), их можно первоначально удалить из схемы, размыкая суммирующий узел.

Тогда полюсы настраиваются отдельно, как описано выше, а

значение фазово-частотной характеристики измеряется на двух частотах 端 и 叫2・ Затем, восстановив суммирующую цепь, на частоте % настраиваются нули, так чтобы

(6.42)

а на частоте з$? получилось эквивалентное значение фазовочастотной характеристики 中(①Ц

В других же схемах (например, гл. 5, схема 15) ответственная за реализацию полюса петля обратной связи может измеряться и настраиваться отдельно от цепи, реализующей нули, путем простого измерения цепи между соответствующими контактами. Рассмотрим, например, обобщенную структуру схемы 15 гл. 5, которая приведена на рис. 6.15. При обычной работе контакт / заземлен и заданная передаточная функция по на-

пряжению определяется следующим образом (см. гл. 4):

T'(s) =T'(s) =N©N©—Уз 〜^12— М12匕 ％2 — ‘321 — В%2—Уз 〜^12— М12匕 ％2 — ‘321 — В%2(6.43)(6.43)

T'(s) =

T'(s) =

N©

N©

—Уз 〜^12— М12

匕 ％2 — ‘321 — В%2

—Уз 〜^12— М12

匕 ％2 — ‘321 — В%2

(6.43)

(6.43)

где функция /12 определяет нули функции T'(s) и имеет вид

, VoN (s),

九===圈r，(6.44)

%д=05 +(①"/4州+①"

а функция 匕2 реализуется с помощью пассивной полосно-про- пускающей /?С-цепи, т. е.

4=-^-= 2 / "黑2-(6.45)

32% 哈。s2 + 3Jo)s +磁、丿

И，32 =(几/匕)lp『o = 1/В •(6.46)

Как функция /J, так и /32 реализуются одной н той же пассивной /?С-цепью (но сигналы на нее подаются в разных входных контактов), и вследствие этого обе имеют одинаковые вещественные полюсы (т. е. 0 V 0,5).

Вычисляя передаточную функцию между контактом / и выходом при заземленном контакте /', получаем

Т⑹=匕少尸-t^-t^,(6.47)

где функции /32 и /32 задаются соотношениями (6.45) и (6.46) и

/i2 = (V2/71)|V3==0-(P™l)/p.(6-48)

Функция T(s) не зависит от /% и вследствие этого является независимой от нулей заданной передаточной функции T'(s). С другой стороны, полюсы функции Т (s) в точности соответствуют полюсам функции T^s), Из уравнений (6.45)——(6.48) находим, что

s^pp/^-i七吱(6 49)

s2 + ®/g.)s} 4 '

гдеqP = ql^ — P (332/%)外(6.50)

Параметр qp определяет добротность заданного знаменателя D (s) [уравнение (6.43) ], а функция Т (s) представляет собой частотную характеристику частотно-выделяющей цепи (ЧВЦ) {гл. 2, разд. 2.2) безотносительно & нулям функции T'〈s). Таким образом, полюсы ЧВЦ, которые встречаются между зажимами / и 3 обобщенной цепи, можно настроить первыми, а затем провести отдельную настройку нулей.

Сами же полюсы [уравнение (6.49)] настраиваются следующим образом. Из уравнения (6.41) находим

叭—arctg I(時…,叭—arctg I(時…,(6.51)(6.51)

叭—arctg I(時…,

叭—arctg I(時…,

(6.51)

(6.51)

а для сор = сог оно имеет вид

$®) = arctg 巴铁胃芻&(6.52а)

гдеQ = (з卩/①)一(①/%)•(6.526)

При Q = 0, т. е. co =①力 получаем, что

中(%)= 180。(6.53)

Когда знаменательввыражении (6.52а)равен нулю, то фа*

зовый сдвиг ср составляет 90 или 270°. Находя решение отно^ сительно соответствующих частот, имеем

Й90.270 = (%/2 “薪)(V4Mz+ 1 干 L (6-54)

Для того чтобы настроить параметры соР и qp, выберем две частоты (например, з* и соЭо) и установим соответствующий фазовый сдвиг. Для вычисления частоты (о9о или о)27о параметр qz заменяется на 0, который вычисляется или при номинальных значениях элементов цепи (т. е. qp (6 = 0) = 4), или измеряется согласно соотношению (6.45). Нули же настраиваются после того, как схема приведена в нормальное рабочее состояние (контакт 1 заземлен). Сами нули более предпочтительно настраивать по соотношению (6.43), а не (6.44), поскольку контакт 2 является точкой с высоким полным сопротивлением и

вследствие этого является чувствительным к внешнему измерительному оборудованию, тогда как выходное полное сопротивление контакта 3 низкое.

Выражение (6.52), которое описывает фазово-частотную характеристику ф(со), является наиболее общим для функции второго порядка при з卩=3z. Следовательно, в зависимости от того, больше или меньше qp по сравнению с qz, оно описывает фазово-частотную характеристику соответственно симметричной частотно-выделяющей цепи или частотно-подавляющей цепи (ЧПЦ).

В частотно-подавляющей цепи (ЧПЦ), для которой нули располагаются на самой оси jco или в непосредственной близости от нее (т. е. 8), фазовый вклад нулей, а именно q)z(3)ограничен узким диапазоном частот вблизи частоты сог- Это показано на рис. 6.16, где функция ср2(со) вычерчена для больших значений параметра qz Для типовых же значений qz необходимо помнить, что глубина нуля передачи симметричной ЧПЦ (т. е.①之=со?) пропорциональна qp/q2i так что при глу-

бине нуля передачи в ——60 дБ и ^р = 5 необходимо обеспечить qz = 5000. Даже в случае пассивного двойного Т-моста с 。= =0,25 qz должно быть равно 250. Для увеличения глубины нуля передачи соответственно необходимо повышать значение параметра qz. Таким образом, из рис. 6.16 следует, что нет нужды в том, чтобы частота з^ отличалась значительно от частоты со*, как раньше, когда фазовым вкладом нулей к соответствующему фазовому сдвигу, определяемому полюсами, можно было пренебречь. В таких случаях полюсы и нули можно

9“9“Рис. 6.16. Влияние отношения •стотно-подавляющей цепи.Рис. 6.16. Влияние отношения •стотно-подавляющей цепи.co/coz на фазово-частотную характеристику ча-co/coz на фазово-частотную характеристику ча-

9“

9“

Рис. 6.16. Влияние отношения •стотно-подавляющей цепи.

Рис. 6.16. Влияние отношения •стотно-подавляющей цепи.

co/coz на фазово-частотную характеристику ча-

co/coz на фазово-частотную характеристику ча-

настраивать отдельно и между теми же самыми контактами вход-выход, а не между двумя различными парами контактов, как было описано выше ^. Следовательно, для диапазона <о?/з卩 меньше 0,5 и больше 2 фазовым вкладом функции ср2(со) к функции в уравнении (6.41) можно пренебречь, а сами полюса настраивать так же, как и в полиномиальной цепи. Для диапазона со2/сор, заключенного в пределах от 0,9 до 1,1, фазовый вклад нулей к фазовому сдвигу, определяемому полюсами, становится значительным, и они должны настраиваться отдельно, как указано выше.

Тот факт, что некоторые цепи можно настроить легче, когда их (конечные) нули расположены достаточно далеко от полюсов, необходимо помнить при выборе пары полюс — нуль; этот

')Следует отметить, что нули необходимо настраивать раньше полюсов.

процесс будет рассмотрен в гл. 7. Таким образом, при прочих равных условиях для удобства настройки предпочтительнее выбирать в пару к полюсу такой нуль, который по возможности наиболее удален от него или по крайней мере обеспечиваются отношения со2/сор ниже 0,9 или выше 1,1. Следовательно, например, для применений, имеющих некритические требования по динамическому диапазону и отношению сигнал/шум, выбор пары полюс ——нуль производится непосредственно для упрощения процесса настройки. Это в свою очередь подразумевает комбинирование доминирующих или наиболее критических полюсов с наиболее удаленными нулями.

Представленная в гл. 5 полосно-заграждающая цепь (схема 15) примечательна тем, что некоторая, хорошо исследованная часть этой цепи, а именно двойной Т-мост реализует нули, в то время как дополнительные независимые элементы (цепь, нагружающая двойной Т-мост) используются для настройки полюсов. Поэтому эта схема поддается особенно простой форме настройки. Сначала настраиваются нули двойного Т-моста, а в дальнейшем без последующей его регулировки для настройки полюсов используются нагружающая его цепь и коэффициент усиления ОУ. Эти последние регулировки не оказывают влияния на предварительно настроенные нули при условии, что ча* стоты сог и Зр разнесены достаточно далеко.

Немииимально-фазовые цепи

В случае же неминимально-фазовых цепей второго порядка ограничимся рассмотрением только всепропускающих цепей», поскольку любую другую функцию всегда можно разложить на каскадно соединенные всепропускающую цепь и цепь с конечными нулями в левой половине плоскости. Это разложение 口о стигается с помощью добавления фантомной пары полюс — нуль в левую половину s-плоскости, следовательно,

„ s?—®/%)s + <^ s?+ ®/%) s + 磋

Функция Т1 (s) описывает всепропускающую цепь, a r2(s) — минимально-фазовую, как показано на рис. 6.17.

Обобщенная передаточная функция всепропускающего фильтра второго порядка задается в следующем виде:

7 (s) = [s2 — (%/q) s 十 ®2]/[s2 + (%/g) s + 峭.(6.56)

Рис. 6.17. Разложение функции неминимально-фазовой цепи второго порядка с помощью добавления фантомной пары полюс ——нуль для получения все、 пропускающей функции цепи C(s) и минимально-фазовой функции цепи 72估).

Вместо добротности корня эта функция очень часто характеризуется показателем《жесткости》Ь, где

b = 2q.(6.57)

Из соотношения (6.52) следует, что

Ф (й) = — 2 arcctg {q [(w0/co) — (w/w0)]}.(6.58)

Время замедления, или крутизна, фазово-частотной характери

стики тогда определяется как

тН = -_包1a吟,(6.59)

' /d①So 1 + у?(①/①о —①о/①)2')

а на частоте о)о

七(д)=匂/g.(6.60)

Следует отметить, что максимальная задержка расположена на немного более низкой частоте, а именно

5max = 8o(«4-(l/q2)— 1).(6.61)

Сама же всепропускающая цепь характеризуется двумя параметрами со。и q. Из соотношения (6.58) находим, что

(р(0) = 0。，(р®)= 180\(р((о —8) = 360。.(6.62)

Из уравнения (6.54) следует, что частоты, на которых фазовый сдвиг составляет соответственно 90 и 270°, равны

«90 , 270 = («о/2?) («4д2 + I 干 1).(6.63)

Таким образом, методика настройки всепропускающей цепи второго порядка следующая:

Установить частоту 3之=з» = зо, отрегулировать фазовый сдвиг(р(соо) на 180°.

Установить параметр —qz = 项 = 仏 отрегулировать на частотах со go или 3270 фазовый сдвиг соответственно на —90 или —270。.

Как и при настройке других, рассмотренных выше функций, здесь установлено, какие параметры цепи настраиваются (например, со* и г. д.), а какие измеряются (например, фазовый сдвиг). На практике каждую заданную цепь необходимо

Рис. 6.18. Влияние этапа п. «6》 процедуры настройки на всепропускающую цепь второго порядка.

исследовать отдельно для того, чтобы установить элементы, наиболее пригодные для настройки каждого параметра, а также оптимальную последовательность их регулировки. Эта информация совместно с другими исходными данными для расчета приведена в гл. 5 для каждой отдельной цепи.

Необходимо также отметить, что для некоторых цепей при настройке какого-либо параметра могут потребоваться другие измерения. Рассмотрим, например, случай всепропускающей цепи, в которой настройка элемента хг, используемая в приведенном выше п.《6》, сдвигает нули дальше от оси /со, в то же время передвигая полюсы ближе к ней (рис. 6.18). Это будет происходить, если параметр qz обратно, а параметр qp прямо пропорциональны приращениям элемента 尤入 В этом случае уменьшение фазового вклада нулей приблизительно компенсируется увеличением фазового вклада полюсов и, таким образом, несмотря на высокие значения чувствительностей S?? и S；”， об-

щий фазовый сдвиг при регулировке элемента х, по существу будет сохраняться постоянным. Тогда при регулировке параметра q по амплитудно-частотной характеристике получаются лучшие результаты, чем при настройке по фазово-частотной характеристике. При qp =——qz = q значение амплитудно-частотной характеристики на частоте з° должно быть равно ее значению и на постоянном токе, и на любой другой частоте. Заметим, что, хотя предлагаемые выше фазовые измерения, как правило, представляют собой наиболее подходящие индикаторы при регулировке параметров цепи, для данной реализации цепи может потребоваться и другой индикатор. Каждый раз, следовательно, необходимо выбирать индивидуальный оптимальный индикатор настройки при использовании различных типов цепей.

Простая фазовая цепь для настройки активных фильтров

В предыдущем разделе было показано, что для обеспечения наилучшей точности звенья фильтров второго порядка должны предпочтительно настраиваться 《по фазе》,а не 《по амплитуде». Все сказанное выше означает, что требуемая частота полюса и его добротность настраиваются при регулировке соответствующих «элементов настройки» так, что на заранее установленной частоте измеряется определенное значение фазового сдвига. Фазовые измерения не являются такими же обычл ными, как амплитудные, и необходимость приобретения фазометра обычно с точностью, не превышающей одного градуса, иногда можно рассматривать как недостаток. В этом разделе предлагается метод использования простых легко реализуемых вспомогательных схем, позволяющих исключить потребность в фазометре и с помощью которых активные фильтры можно достаточно точно настраивать для большинства их применений.

Фазовые измерения требуются в основном при регулировке частот полюсов. (Частоты подавления полосно-заграждающей цепи и нули всепропускающей цепи, расположенные в правой половине s-плоскости, как правило, можно настраивать с помощью измерения значений амплитудно-частотной характеристики, как было установлено в предыдущем разделе.) К счастью, значения фазового сдвига, требуемые для регулировок частоты полюса и его добротности, хорошо известны и задаются обычно числом, кратным 45° (см. рис. 6.14), а именно 0, ±45, ±90, 士 135°. Таким образом, при проектировании фазово-рас- щепляющих цепей, которые обеспечивают значения фазового сдвига, точно кратные 45° в достаточно широком диапазоне частот, можно отрегулировать частоты полюсов и без использо-

вания фазометра. Настройка полюса производится тогда с помощью получаемых на экране осциллографа фигур Лиссажу.

Рассмотрим цепь активного фильтра, у которой разность фаз между входным и выходным сигналами составляет ^d градусов, как показано на рис. 6.19, а. Теперь добавим в измерительную структуру фазово-расщепляющую цепь с тем же самым сдвигом фй (рис. 6.19,6). При подсоединении выходов

МктиЕнь粒■] ФазометрМктиЕнь粒■] ФазометрРис. 6.19. Измерение фазового сдвига 屮d активного фильтра.■а — прямая структура, 6 —с дополнительно фазово-расщепляющей цепью.Рис. 6.19. Измерение фазового сдвига 屮d активного фильтра.■а — прямая структура, 6 —с дополнительно фазово-расщепляющей цепью.

МктиЕнь粒

■] Фазометр

МктиЕнь粒

■] Фазометр

Рис. 6.19. Измерение фазового сдвига 屮d активного фильтра.

■а — прямая структура, 6 —с дополнительно фазово-расщепляющей цепью.

Рис. 6.19. Измерение фазового сдвига 屮d активного фильтра.

■а — прямая структура, 6 —с дополнительно фазово-расщепляющей цепью.

фильтра и фазово-расщепляющей цепи соответственно к входам хну осциллографа результирующая фигура Лиссажу будет представлять собой прямую линию с наклоном 45 или 135° в зависимости от того, равен ли фазовый сдвиг между входами х и у нулю или 180°. Таким образом, для настройки частоты и добротности полюса активного фильтра соответствующий фазовый сдвиг 屮讶(который кратен 45°) получается при регулировке соответствующих элементов настройки до тех пор, пока исходный эллипс не выродится в прямую линию.

Двойная фазово-расщепляющая цепь, которая обеспечивает постоянный фазовый сдвиг как 45, так и 90° в полосе частот от 10 Гц до 100 кГц, приведена на рис. 6.20. Сами цепи А и В, которые обеспечивают фазовый сдвиг 45°, состоят из кас- кадно соединенных всепропускающих цепей второго порядка, изображенных соответственно на рис. 6.21, о и б. Аналогичным образом, на рис. 6.22, а и 6 приведены всепропускающие схемы второго порядка, с помощью каскадного соединения которых реализуются фазово-расшепляющие цепи С и D с фазовым сдвигом 90°. Перечень соответствующих частот полюсов (нулей) и их добротностей приведен в табл. 6.2. Следует отметить, что добротности всех полюсов и нулей не превышают 0,5, т. е.

каждая пара полюс-нуль лежит на вещественной оси симметрично от начала координат.

Всепропускающие цепи, которые используются для реализации фазово-расщепляющих цепей 4 н В (рис. 6.21) с фазовым сдвигом в 45 °, соответствуют приведенной в гл. 5 схеме 12

Рис. 6.20. Фазово-расщепляющая цепь

Цепи Л и В обеспечивают фазовый сдвиг в 45°, а цепи С и D — 90е

(ВП — CQ). Было установлено, что достаточно настроить эти схемы детерминистически, т. е. на основе расчетных уравнений (гл. 5), вычисляя номиналы резисторов, соответствующих измеренным номиналам конденсаторов. Не требуется никаких дополнительных этапов функциональной настройки, поскольку максимальную погрешность фазово-частотной характеристики, которая составляет 0,7 ° на частоте 100 к Гц, можно рассматривать как незначительную.

Всепропускающие схемы, которые используются для реализации фазово-расщепляющих цепей С и D (рис. 6.22) с фазовым сдвигом в 90°, соответствуют схеме 5,а гл. 5 (ВП ——Q.S-П), Показано, что для этих цепей необходим этап функциональной настройки, поскольку глубина нуля схем двойного Т-моста настраивается на минимум на соответствующих частотах полюсов (см. табл. 6.2). Для того чтобы снизить остающуюся фазовую погрешность, в последнем всепропускающем звене цепи D ис* пользуется конденсатор с номиналом 10 пФ. В результате по*

10,0

7厶3 4=3—1

微6

酶尸%而741—?—IH

51,4

£±1~

4J7

7cz7СП

Ж^~^"об

5&〃

侬

Рис. 6.21. Фазово-расщеппяющие цепи с фазовым сдвигом в 45°. а цепь — цепь R в кОм, С в нФ.

Рис. 6.22. Фазово-расщепляющие цепи с фазовым сдвигом в 90°.

А — цепь С» 6 — цепь D, R в кОм, С в нФ,

Таблица 6.2

Цепь

Частот ы полюса (нуля) Гн

Пары полюсов (нулей); f ,

Ги

Цепь

Частоты полюса (нуля) Ги

Пары полюсов (нулей); %, Гц

厶 一 14,36

29,23

fi = 11,65

用=24,2

/2 = 59,5

9ni — 0,3958

『2 = 50,29

qa = 1),3908

% = 225,23

/р2 H 436,9

%= 190,8

fP2 = 370,2

/[

力-847,4

g#2 = 0,473

g 718,1

9*2 = 0,4073

『5 = 3187,6

勿з = 6191,7

” 2 701

/рз = 5244,1

『6 = 12 027

9"3 = 0,4070

%= Ю 182

g =0,4071

% = 47 479

/р4 = 168 950

才 ^ 39 636

%4 = 10841：

% = 601 216

% = 0,2605

f8 = 296 534

9浦4 n 0,3225

力 8 1,66

/р【=5,92

/1 = 3,372

/pi = 9,224

『2 = 21,06

%25,23

9pi = 0,3225

”83,14

『”165,5

/з === 98,22

力2= 190,7

%=313,7

<7р2 = 0,4070

厶=370,2

9p2 = 0,4071

В

g 1 180

〃3 = 2288,9

D

% == 1 393

fp3 = 2701,5

% = 4 440

qp3 = 0,4073

” 5 240

9рз = 0,4073

力=16 806

片4 и 34 200

% == 19 887

% = 69 615

qp& = 0,3958

% = 85 830

q?4 = 0,3908

грешность в установке фазового сдвига с 3° уменьшается до 0,6°. На частотах ниже 100 кГц эта погрешность существенноменьше.

Достижимая точность установки фазового сдвига в наихудшем случае для фазово-расщепляющих цепей с фазовым сдвигом 45 и 90° составляет приблизительно 0,6°. Согласно уравнению (6.15), это соответствует достижимой точности в задании значения амплитудно-частотной характеристики 0,12 дБ, что для большинства практических применений вполне достаточно. Точность в установке фазового сдвига можно в дальнейшем улучшить, подсоединив выходной сигнал (х)активного фильтра и выходной сигнал (у) фазово-расщепляющей цепи к осциллографу через возможно более короткие и равные по длине коаксиальные кабели. Для выравнивания оставшихся фазовых погрешностей в этих кабелях и во входных усилителях осцил* лографа необходимо провести без активного фильтра первоначальные калибровочные измерения. Кроме того, при перемене- местами кабелей хну можно установить среднюю частоту, соответствующую фазовому сдвигу фа> который в действитель* ности и требуется.

Глава 7

Проектирование активных фильтров n-го порядка

7Л- Передаточная функция п-го порядка

Так называемая задача аппроксимации представляет собой одну из наиболее существенных проблем при проектировании активных фильтров. С точки зрения проектирования активного фильтра и рассмотренных в гл. 2 основных понятий ее решение связано с нахождением рациональной передаточной функции п~го порядка следующего вида:

(7.1)(7.1)Т ⑶— N (s) — b/n"71 + b/n—1sm '+ •… + Ь】6 + bo

(7.1)

(7.1)

D (s)0^5n +。" 一 [6" 1 + . . . +。]6 +。0

Здесь при s = /w

a (①)=Re In T (，①)=由 | T (j①)|(7.2a)

ии屮(①)==Im In Г (js) = arg T (js)(7.26)

и

и

представляют собой заданные соответственно амплитудно-частотную и фазово-частотную характеристики. Полюсы функции T(s), т. е. корни полинома D (s), как правило, являются комплексно-сопряженными числами. Используя введенные в гл. 2 обозначения, саму передаточную функцию общего вида можно поэтому представить в виде произведения передаточных функций второго порядка, а именно

=n；），⑸=п二冷，=n；），⑸=п二冷，(7.3)(7.3)

=n；），⑸=п二冷，

=n；），⑸=п二冷，

(7.3)

(7.3)

где предполагается, что d/(s)——это четная функция с комплексно-сопряженными корнями, а корни полинома n；(s), если являются конечными, то будут располагаться либо на оси /со, либо симметрично полюсам в правой половине s-плоскости. В общем случае функция T/(s) имеет следующий вид:

0⑸=Q0⑸=Q「外（气儿加+力 s? + ®s +脸「外（气儿加+力 s? + ®s +脸(7.4)(7.4)

0⑸=Q

0⑸=Q

「外（气儿加+力 s? + ®s +脸

「外（气儿加+力 s? + ®s +脸

(7.4)

(7.4)

Если же 打 представляет собой нечетное число, то само произведение (7.3) домножается на член первого порядка общего

(7.5а)(7.56)(7.5а)(7.56)

(7.5а)

(7.56)

(7.5а)

(7.56)

вида

%(5)= Ка [(S + аг)/(5 + %)] либо в случае функции нижних частот

Та (s)=Ko/(s + a).

Полагая, что показатель п является четным числом, задан' ную соотношением (7.3) передаточную функцию Т ($) можно реализовать с помощью каскадного соединения м/2 функциональных узлов фильтров второго порядка, основные классы ко* торых представлены в гл. 5. Это изображено на рис. 7.1,а.

1上

Рис. 7.1. Каскадное соединение фильтровых функциональных узлов второго порядка.а — для л чет кого； б — при п нечетном добавляется звено первого порядка.Рис. 7.1. Каскадное соединение фильтровых функциональных узлов второго порядка.а — для л чет кого； б — при п нечетном добавляется звено первого порядка.

Рис. 7.1. Каскадное соединение фильтровых функциональных узлов второго порядка.

а — для л чет кого； б — при п нечетном добавляется звено первого порядка.

Рис. 7.1. Каскадное соединение фильтровых функциональных узлов второго порядка.

а — для л чет кого； б — при п нечетном добавляется звено первого порядка.

Выходной сигнал каждого функционального узла снимается с выходного контакта ОУ, который обладает очень низким выходным полным сопротивлением. В результате этого отдельные функциональные узлы изолированы один от другого и могут соединяться каскадно в любой последовательности. Однако,как будет показано в разд. 7.8, может существовать такая последовательность их соединения, которая позволяет получить максимальный динамический диапазон у результирующего фильтра 几-ro порядка. Если же n-нечетное число, то необходимо использовать звено первого порядка (разновидность которого показана на рис. 7.1,6) для того, чтобы реализовать заданную соотношением (7.5а) функцию Та (s) общего вида. Тогда, исходя из этого соотношения, получаем, что

Ка匸卩&/&, (7.6а)%=1/&&, (7.66)%=1/R.G，(7.6в)

где % = R便2(R 十 a)「аеp=&=e2.

Как следует из уравнения (7.5,6), в схеме звена нижних частот первого порядка требуются только резистор Ri и конденсатор С2 (см. рис 7.1,6), где

^a = B/RQ (7・6г) и a— 1/RG・ (7.6д)

Звено верхних частот первого порядка легко получить, если в приведенной на рис. 7.1,6 схеме оставить только конденсатор С] и резистор 8.

Из вышеприведенного рассуждения следует, что после того, как получена функция T(s), саму процедуру конструирования фильтра можно легко реализовать на основе каскадного соединения функциональных узлов второго (или третьего) порядка. Функция T(s), заданная в основном через ее полюсы и нули, разлагается на пары полюс——нуль (разд. 7.7), каждая из которых описывает функцию второго порядка Г； (s) вида (7.4). Каждая эта функция T『(s) реализуется на основе приведенного в гл. 5 перечня схем. Затем результирующие функциональные узлы соединяются каскадно, как показано на рис. 7.1, с тем чтобы обеспечивалась желаемая функция Г(s) n-го порядка.

Если же функция T(s) первоначально задана в виде отношения полиномов, т. е. аналогично выражению (7.1), то сначала необходимо вычислить корни полиномов N(s) и D(s) с тем, чтобы представить функцию T(s) в требуемом виде (7.3). Вопрос о том, какая пара комплексно-сопряженных полюсов объединяется с какой парой нулей для формирования каждой функции Tj(s), будет кратко рассмотрен в разд. 7.7. Хотя теоретически каждая из (п/2)! возможных комбинаций пары полюс — нуль и приводит к той же самой передаточной функции T(s) общего вида, можно показать, что существует их оптимальный выбор, обеспечивающий максимальный динамический диапазон и минимальный уровень шума. Однако сначала необходимо сосредоточить свое внимание на центральном вопросе, оставшемся в этом разделе, а именно как найти наиболее подходящую передаточную функцию T(s), способную обеспечить заданные амплитудно-частотную и фазово-частотную характеристики. Это и будет основной темой оставшейся части этой главы.

Основные типы фильтров

Наиболее важные типы фильтров, которые исследованы наи- л>чшим образом, описываются характеристиками фильтра нижних частот. В разд. 7.2 будет показано, что можно легко найти связь всех остальных типов фильтров (например, полосно-пропу- скающих, верхних частот и т. д.) с характеристиками нормированного фильтра нижних частот. Таким образом, решив задачу аппроксимации (т. е. формирование рациональной функции T(s), которая удовлетворяет заданным амплитудно-частотной

и фазово-частотной характеристикам) в 《области нижних частот», относительно просто получить соответствующие характеристики других фильтров.

Линейная амплитудно-частотная характеристика идеального фильтра нижних частот приведена на рнс.7.2,а, а соответствующие ей потери отражения в децибелах показаны на рис. 7.2, б.

4 064 06gs)lgs)lРис. 7.2. Характеристики идеального фильтра нижних частот.а — амплитудно-частотная характеристика, б — вносимые потери.Рис. 7.2. Характеристики идеального фильтра нижних частот.а — амплитудно-частотная характеристика, б — вносимые потери.ахп 旨dsEXDddx gh,OHQ力Enyuwvахп 旨dsEXDddx gh,OHQ力EnyuwvПереходная область =GПереходная область =G

4 06

4 06

gs)l

gs)l

Рис. 7.2. Характеристики идеального фильтра нижних частот.

а — амплитудно-частотная характеристика, б — вносимые потери.

Рис. 7.2. Характеристики идеального фильтра нижних частот.

а — амплитудно-частотная характеристика, б — вносимые потери.

ахп 旨dsEXDddx gh,OHQ力Enyuwv

ахп 旨dsEXDddx gh,OHQ力Enyuwv

Переходная область =G

Переходная область =G

Идеальный фильтр нижних частот характеризуется: а) нулевыми потерями и пульсациями в полосе пропускания, б) бесконечной крутизной характеристики затухания на частоте среза fc (т. е. нулевой шириной переходной области) и в) бесконечным затуханием в полосе задерживания. Вследствие очевидных причин идеальный фильтр нижних частот с характеристикой такого вида часто называется фильтром «кирпичная стена》.В основном предполагается также, что его фазово-частотная характеристика является линейной. Этот идеальный фильтр нижних частот выделяется тем, что не существует рациональной передаточной функции T(s), пригодной для точного его описания. Следовательно, аналитическое описание идеального фильтра нижних частот в лучшем случае может быть аппроксимировано. В области теории классических цепей было создано много таких аппроксимаций. Лучшие и наиболее часто применяемые можно сгруппировать в основные классы, характеристики которых качественно изображены на рис. 7.3. Кратко их можно описать следующим образом.

Фильтры Баттерворта, или фильтры с максимально плоской амплитудно-частотной характеристикой

Фильтры с максимально плоской амплитудно-частотной характеристикой или аппроксимация по Баттерворту идеального фильтра нижних частот изображены на рис. 7.3, а. Во многих отношениях фильтр Баттерворта обеспечивает определенный

Рис. 7.3. Характеристики основных типов фильтров.

Амплитудно-частотные характеристики фильтров* Баттерворта (а), Чебышева (6), ин* версиого Чебышева (в), Чебышева — Кауэра, или эллиптического (г), Лежандра (3), Бесселя (е); ж — фазово-частотные характеристики

компромисс. Он обладает максимально плоской амплитудно-частотной характеристикой в полосе пропускания, но это достигается за счет линейности фазово-частотной характеристики (рис. 7.4) и плавности нарастания затухания. Однако крутизна затухания фильтра Баттерворта достаточно хорошая, и поскольку он обладает приемлемой импульсной характеристикой.

Рис. 7.4. Сравнение фильтров пятого порядка по характеристике затухания и группового времени замедления.

/ — Бесселя； 2 — Баттерворта； 3 ~ Чебышева (0,1 дБ); 4 — Чебышева — Кауэра (0,1 дБ). (Воспроизведено из Filter Specification and Selection с разрешения ELECTRON, 1РС Business Press и согласия автора Mr. W. Meek of Kemo.)

обеспечивает отличную универсальную аппроксимацию идеальной характеристики фильтра. Этот фильтр является одним из наиболее употребляемых типов фильтров.

Фильтры Чебышева, или равноволновые фильтры

Если же крутизна нарастания затухания, особенно в районе частоты среза, является более важным параметром, чем прямолинейность харакгеристики в полосе пропускания, то часто используется фильтр с характеристикой Чебышева, которая изображена на рис. 7.3, б. Фильтр Чебышева характеризуется возрастающей длительностью переходного процесса при воздействии на него ступенчатого сигнала и проектируется с заранее определенным размахом колебаний коэффициента передачи (т. е. ранноволновым) в полосе пропускания, например от 0,01 до 3 дБ. Отсутствие гладкой характеристики в полосе пропускания каст определенные преимущества, а именно обеспечивается высокая скорость нарастания затухания вблизи края полосы пропускания. За исключением диапазона частот, вблизи полосы пропускания характеристическая кривая вне ее идет параллельно кривой характеристике фильтра Баттерворта эквивалентного порядка.

Как фильтры Баттерворта, так и фильтры Чебышева нижних частот обеспечивают бесконечное затухание только на бесконечной частоте, т. е. все нули передачи расположены в бесконечности. На любой другой частоте некоторые сигналы будут проходить через фильтр, т. е. даже в полосе задерживания. .Если же на определенной частоте в полосе задерживания тре-

буется бесконечное подавление, то можно использовать показанную на рис. 7.3,6 характеристику инверсного фильтра Чебышева. В полосе пропускания колебания коэффициента передачи отсутствуют, но они существуют в полосе задерживания, и затухание на определенных частотах (так называемых полюсах затухания) становится бесконечным,

Фильтры Чебышева — Каузра, мли эллиптические фильтры

Фильтры Чебышева ——Кауэра, или эллиптические фильтры (иногда также называемые полными фильтрами Чебышева, двойными Чебышева, Дарлингтона или Золотарева), обладают колебаниями коэффициента передачи как в полосе пропускания, так 〃 в полосе задерживания. Здесь быстро достигается заданное затухание за пределами полосы пропускания и сохраняется его минимальное значение на нежелательных ча~ стотах. Аналогично инверсным фильтрам Чебышева на определенных конечных частотах в полосе задерживания они имеют бесконечное затухание, т. е. полюсы затухания. Такая характеристика приведена на рис. 7.3, г. Для аппроксимации амплитудно-частотной характеристики идеального фильтра в смысле числа элементов цепи эллиптические фильтры, по-видимому, наиболее эффективны. При заданном порядке функции имеется возможность создать наиболее экономичный фильтр либо с очень крутой переходной областью, либо с очень высоким затуханием в полосе задерживания. С другой стороны, само затухание не спадает монотонно к бесконечному значению за пределами полосы затухания, а сохраняется на заранее обусловленном уровне. Следует отметить, что фильтры Чебышева и инверсные Чебышева представляют собой частные случаи более общих фильтров Чебышева — Кауэра.

Фильтры Лежандра, или оптимальные монотонные фильтры

Как было подчеркнуто, фильтр Баттерворта обладает максимально плоской амплитудно-частотной характеристикой в полосе пропускания, а семейство фильтров Чебышева обеспечивает хорошую ее крутизну затухания. В некоторых же применениях крутизна характеристики затухания фильтра Баттерворта является недостаточной, а колебания коэффициента передачи фильтра Чебышева недопустимы. Проектирование же фильтра Чебышева, который будет обладать очень маленькой или даже нулевой неравномерностью передачи, не поможет делу, поскольку фильтры Чебышева и Баттерворта относятся к одному классу, а именно фильтр Чебышева с нулевой неравномерностью представляет собой фильтр Баттерворта. Для решения зто 济 задачи можно использовать фильтр Лежандра, или

оптимальный монотонный фильтр. Амплитудно-частотная характеристика такого фильтра приведена на рис. 7.3, 0. Для сравнения на нем же приведена также характеристика фильтра Баттерворта. Следует заметить, что амплитудно-частотная характеристика фильтра Лежандра не такая плоская, как у максимально плоского фильтра Баттерворта в полосе пропускания, но наклон характеристики затухания фильтра Лежандра круче. Типовым свойством фильтров Баттерворта и Лежандра является монотонность их характеристик, т. е. для любого значения коэффициента усиления существует единственная частота. В противоположность этому в фильтрах Чебышева определенные значения коэффициента передачи будут встречаться на нескольких частотах, поскольку его амплитудно-частотная характеристика колеблется. В фильтре Лежандра сделана попытка скомбинировать лучшие черты характеристик фильтров Баттерворта и Чебышева. Здесь наклон характеристики затухания сделан по возможности более крутым при соблюдении ограничения на то, что сама характеристика остается монотонной.

Фильтры Бесселя, или фильтры с линейной фазово<частотной характеристикой

До сих пор фильтры рассматривались главным образом с точки зрения их амплитудно-частотных характеристик, которые представляют собой графики зависимостей коэффициента усиления (или затухания) от частоты. Однако эти графики не описывают полностью свойства передачи фильтра. Например, фазово-частотная характеристика цепи является одним из наиболее важных параметров фильтра, спроектированного для передачи прямоугольных или импульсных сигналов. Когда прямоугольный импульс пропускается через фильтры Баттерворта, Чебышева или Лежандра, то в соответствующем выходном сигнале будут появляться колебательные выбросы переходного процесса. Если же это нежелательно, то можно применять один из так называемых фильтров Гаусса. Наиболее известный из них называется фильтром Бесселя вследствие того, что в знаменателе передаточных функций используются полиномы Бесселя. Эти фильтры иногда также называют фильтрами Томсона по имени создателя метода их расчета (W. Е. Thomson, 1949).

Если же необходимо избежать колебательных выбросов при фильтровании импульсов, то фазовый сдвиг между входным и выходным сигналами фильтра должен быть линейной функцией частоты или, говоря по-другому, скорость изменения фазово-частотной характеристики в зависимости от частоты или групповое время замедления [см. уравнение (2.10) гл. 2] должны быть постоянными. Основной эффект постоянства группового времени фильтра состоит в том, что все частотные компо-

Входной сигналВходной сигналненты сигнала, передаваемые через фильтр, запаздывают на одну и ту же величину, т. е. отсутствует дисперсия проходящих через фильтр сигналов. Следовательно, поскольку импульс состоит из сигналов различных частот, то не будет их дисперсии, т. е. форма импульса при фильтрации его цепью, которая обладает линейной фазово-частотной характеристикой или постоянным групповым временем замедления, будет сохраняться. Как раз именно фильтр Баттерворта обеспечивает лучшую аппроксимацию идеального случая, т. е. «совершенную максимально плоскую амплитудно-частотную характеристику» в полосе

Входной сигнал

Входной сигнал

Выходной сигнал фильтра Чебышева.

выходной сигнал фильтра Баттерворта.

Выходной сигнал фильтра. Бесселя

Рис. 7.5. Отклик различных фильтров на прямоугольный сигнал.

пропускания фильтра, в то время как фильтр Бесселя в полосе- пропускания обеспечивает лучшую аппроксимацию идеального случая при 《максимально плоской характеристике группового времени замедления». Однако эти фильтры применимы только при реализации фильтров нижних частот, поскольку фильтры Бесселя верхних частот и полосно-пропускающие не имеют свойства линейности фазово-частотной характеристики.

На рис. 7.3, е сравниваются амплитудно-частотные характеристики фильтров Бесселя и Баттерворта одинаковых порядков. Следует отметить, что фильтр Бесселя дает худшую аппроксимацию идеальной характеристики как в полосе пропускания, так и по крутизне затухания. В полосе пропускания отсутствует точка, на которой потери становятся нулевыми, характеристика спадает очень плавно по направлению к частоте среза (или 3 дБ), а затем продолжает падать так же плавно, достигая возможной при известных обстоятельствах предельной крутизны, определяемой порядком фильтра. Эта крутизна затухания будет направлена параллельно кривым фильтров Баттерворта.

и Чебышева, но будет расположена дальше от полосы пропускания.

Сравнение фазово-частотных характеристик идеального фильтра нижних частот и фильтров Баттерворта и Бесселя приведено на рис. 7.3, ж. У идеального фильтра фазовый сдвиг ли-

0.20,4 0,60,81246 8 Ю О 24 68121620；*

Рис. 7.6. Кривые затухания и переходные характеристики фильтров Бесселя, Баттерворта и Чебышева (0,1 дБ)

(Воспроизведено из Filter Specification and Selection с разрешения ELECTRON, IPC Busmess press и согласия автора Mr W Week of Kemo )

нейно зависит от частоты, а групповое время замедления постоянно для всех частот. Групповое же время замедления фильтра Баттерворта не является постоянным, поскольку график зависимости фазового угла от частоты нелинеен. В противоположность ему фильтр Бесселя обладает приемлемой линейностью характеристики фазового угла в зависимости от частоты в полосе пропускания и вследствие этого дает хорошую аппроксимацию постоянного группового времени замедления. Более подробно это показано на рис. 7.4, где игэбражены характер

ристики затухания и группового времени замедления фильтров Бесселя, Баттерворта, Чебышева и Чебышева — Каузра (последний имеет неравномерность передачи 0,1 дБ) пятого порядка.

Типовые характеристики различных фильтров при входном прямоугольном колебании качественно представлены на рис. 7.5. Для фильтров Баттерворта и Чебышева в характеристиках наблюдаются колебательные выбросы, которые появляются в результате нелршейности их фазово-частотных характеристик, отсутствие же выбросов в фильтре Бесселя показывает, насколько хорошо этот тип фильтра аппроксимирует желаемую линейную фазово-частотную характеристику. Как и ожидалось, характеристика фильтра Чебышева хуже остальных двух, поскольку его фазово-частотная характеристика еще более нелинейна, чем у фильтра Баттерворта (см. рис. 7.4). Более подробно это изображено на рис. 7.6, где приведены кривые затухания и переходные характеристики фильтров Бесселя, Баттерворта и Чебышева (с неравномерностью 0,1 дБ) для фильтров вплоть до 10 порядка.

Существуют также переходные фильтры, которые дают компромиссные характеристики, сочетающие свойства двух типов фильтров. Одним из наиболее употребительных является фильтр Баттерворта — Томсонаf в котором сделана попытка скомбинировать максимально плоскую амплитудно-частотную характеристику фильтра Баттерворта с максимально плоской характеристикой группового времени замедления фильтра Бесселя или Томсона.

73 Передаточные функции полиномиальных фильтров

Полиномиальные фильтровые цепи характеризуются тем, что pix передаточные функции не содержат конечных нулей. Типовая передаточная функция n-го порядка описывается следующим образом:

T(s) = K/D(s) = K/n：j(s — p). (7.7)

Таким образом, ее числитель задается как постоянное число, а сама передаточная функция содержит только полином n-го порядка в ее знаменателе. Поэтому фильтры с такими передаточными функциями называются полиномиальными. Считается, что л нулей функции Т(s) располагаются в бесконечности (замерим, что limi0 оо I 71 (/со) I = 0). Из рассмотренных в предыдущем разделе основных типов фильтров к классу полиномиальных относятся фильтры Баттерворта, Чебышева, Лежандра, Бесселя и Баттерворта ——Томсона. В противоположность им считается, что инверсные Чебышева и Чебышева — Кауэра фильтры содержат конечные нули. В этом случае числитель функции Т(s) также

представляет собой полином, корни которого (т. е. нули функции Т (s)) являются конечными, т. е. лежат на оси /о)сопряженными парами. В любом случае порядок п функции T(s) связан с порядком полинома знаменателя O(s), т. е. порядок определяется числом полюсов функции Т (s). Для того чтобы реализовать полиномиальную цепь /г-го порядка, необходимо соединить каскадно п/2 полиномиальных цепей второго порядка^

Рис. 7.7. Сравнение размещения полюсов фильтров Бесселя, Баттерворта и Чебышева.Рис. 7.7. Сравнение размещения полюсов фильтров Бесселя, Баттерворта и Чебышева.Рис. 7.8. Обозначения полюсов, соответствующих уравнениям (7.8) —(7.10).Рис. 7.8. Обозначения полюсов, соответствующих уравнениям (7.8) —(7.10).

Рис. 7.7. Сравнение размещения полюсов фильтров Бесселя, Баттерворта и Чебышева.

Рис. 7.7. Сравнение размещения полюсов фильтров Бесселя, Баттерворта и Чебышева.

Рис. 7.8. Обозначения полюсов, соответствующих уравнениям (7.8) —(7.10).

Рис. 7.8. Обозначения полюсов, соответствующих уравнениям (7.8) —(7.10).

как описано в разд. 7.1. Если же функция T(s) имела конечные нули, то соответствующее число цепей второго порядка также должно содержать конечные нули. В любом случае полиномиальная цепь будет всегда более простой для реализации, чем цепь с конечными нулями. В частности, отсутствует проблема настройки конечных нулей (см. гл. 6, разд. 6.7), что является одним из главных преимуществ полиномиального фильтра. О других его преимуществах, таких, как более линейная фазово-частотная характеристика и, следовательно, лучшая импульсная характеристика, было кратко упомянуто в предыдущем разделе.

Для того чтобы определить, какая из основных полиномиальных цепей наиболее приюдна в данном применении, полезно провести последовательное сравнение их характеристик: ампли- тл дно-частотной, фазово-частотной и группового времени замедления. Эти характеристики определяются расположением п полюсов функции T(s) в s-плоскости. Так, полюсы фильтра Баттерворта лежат на полуокружности в левой половине s-плоскости, полюсы фильтра Чебышева расположены на эллипсе, который с

увеличением неравномерности передачи становится уже, а полюсы фильтра Бесселя находятся на кривой, лежащей вне окружности фильтра Баттерворта. Качественно все это изображено на рис. 7.7. Исходя из данных на рис. 7.8 обозначений (см. также в гл. 2 разд. 2.2), амплитудно-частотная характеристика полиномиального фильтра п-ного порядка определяется следующим образом：

I Т (W) = ^/| D (М) I = к/ПЗ Api ®).(7.8)

При

APi (з) = I S — " If ="哈 + (з - Sp/)2-(7.9}

Эта амплитудно-частотная характеристика задается в виде

I Т (2)1= К/П* 〃哈 +(3一 ％/)2.[7.10]

При соответствующем выборе параметра К амплитудно-частотную характеристику можно пронормировать так, что максимум характеристики будет равен единице для всех значений частоты ①.За исключением фильтра Чебышева нечетного порядка п, этот максимум располагается в точке о)=0, т. е. |Т(0) |= 1. Использование этого нормирования позволяет осуществить эффективное сравнение амплитудно-частотных характеристик наиболее важных полиномиальных цепей нижних частот, как изображено на рис. 79 Следует отметить, что эти характеристики вычерчены в логарифмическом масштабе согласно выражению (2.9) для адв гл. 2. Кроме того, сами характеристики также пронормированы и по частоте относительно частоты затухания 3 дБ (①3^5), т. е. g)=g)3 дБ =1 рад/с. Это нормирование является обычным для фильтров Баттерворта и Лежандра, а не для остальных типов фильтров, чьи характеристики приведены на рис. 7.9. Однако в целях сравнения можно использовать только нормирования по частоте (рис. 7.9).

Фазово-частотная характеристика функции T(js) задается в виде

ф (со) = arg Т (/м) = — Х/=1 ер/.(7.11)

Из рис. 7.8 следует, что

%, = arctg [® —后加/ —(rp/],(7.12)

таким образом, q)(o)) = — 52^i arctg [(g)—后卩力/ — %,]• [7.13] Соответствующие уравнению (7.13) фазово-частотные характеристики основных типов полиномиальных фильтров вычерчены на рис. 7.10 относительно нормированной оси частот (т. е. G)= о)здБ =1). Хотя линейность фазово-частотной характеристики и является здесь важным параметром, из приведенных гра-

5

5-5^-/5加吻女

Чебышева с неравномерностью 2Gb

_^ ^ ^

力

5

5

7歐

у

7妣

-cis^

*-/(7历g g团 7//§

у

G 5 6 刃 5 Z -_^м

7mm

Рис. 7.9. Нормированные амплитудно-частотные характеристики различных полиномиальных фильтров нижних частот

(Воспроизведено с разрешения A S McAllister из Modern Low Pass Filter Characte， ristics by С P. Eggen and A. S, McAllister, Electro-Technology, August 1966 )

加| I丨丨丨丨I丨丨 丨 丨丨1

4776

w,pafl/c.

Рис. 7.10. Нормированные фазово-частотные характеристики различных полиномиальных фильтров нижних частот

(Воспроизведено с разрешения A S McAllister из Modern Low-Pass Filter Characteristics by С P Eggen and A S McAllister Electro-Technology, August 1966 )

5 Зак 810

фиков оценить ее нелегко В самом деле, скорость изменения по частоте фазово-частотной характеристики является более наглядным критерием, по которому в основном и судят о ее линейности, а это, как было установлено в предыдущем разделе, не что иное, как групповое время замедления. Из гл. 2 [уравнение (2 10) ] имеем

q (о))二一dtp (s)/do), (7.14) из соотношения (7.13) для полиномиального фильтра получаем, что

% (о) = Xj=i ^pJ\^pi + (s —①打)]' [7.15]

Вычерчивая характеристику группового времени замедления для изображенных на рис. 7.9 и 7.10 фильтров, получаем кривые запаздывания, которые показаны на рис. 7.11. Вследствие нормирования по частоте относительно частоты о)3 дб сама задержка Tg, заданная на рис. 7.11 в секундах, нормирована аналогичным образом. Реальное время замедления находится с помощью деления нормированного группового времени замедления на значение частоты среза по уровню 3 дБ. Следовательно, если задержка нормированного фильтра на определенной частоте составляет Tg секунд, то его задержка по частоте по уровню 3 дБ % (в герцах) составляет

Tg [s] = %/0)3 дБ = Т^/2л/з дБ> (7.16)

где как xg, так и Tg задаются в секундах, а в уравнении (7.16) используется только размерность значения о)з 口в* Например, нормированный фильтр Чебышева пятого порядка с неравномерностью передачи 0,1 дБ имеет групповое время замедления tg= =4 с на частоте(о = 0,1 рад/с. Если же этот фильтр реализован так, что его полоса по уровню 3 дБ задается частотой /з дБ = Ю кГц, то его задержка на этой частоте равна

Tg(10 кГц) = 4/2л • 105 = 6,37 мкс.

Исходя из вычерченных на рис. 7.9—7.11 характеристик полиномиальных фильтров, имеется возможность выбрать те характеристики, которые удовлетворяют техническим требованиям каждого конкретного применения. Если это так, то желаемую передаточную функцию T(s) можно получить, выбирая соответствующие нормированные размещения нулей, приведенные в табл 7.1. Рассмотрим, например, фильтр Чебышева пятого порядка с неравномерностью передачи пульсации 2 дБ. Из табл. 7 1 находим,что

卩=一 0,2157, 也3 = — 0,1745 士 /0,5946,

p%5 K 0Q666 ±泣962L (7.17) При р^ = -а + /б) (7.18)

4 M7w86 42〃 当香單nm 空2daogouund」4 M7w86 42〃 当香單nm 空2daogouund」W727Z7夕 6 42〃0ss^s^ KW3d8 BOBQUUd」5W727Z7夕 6 42〃0ss^s^ KW3d8 BOBQUUd」5$$a/ca/cЧебышева—с неравномерностью 2游Чебышева—с неравномерностью 2游о), рМ/со), рМ/с%/2加&6 42 夕u^ IMWawom 至乱9 甥9QUU1」%/2加&6 42 夕u^ IMWawom 至乱9 甥9QUU1」Рис. 7.11. Нормированные характеристики группового времени замедления различных полиномиальных фильтров нижних частот.Рис. 7.11. Нормированные характеристики группового времени замедления различных полиномиальных фильтров нижних частот.7y72勿 g 6 4 2 〃 u&2 wwy^考ч'左售 9盲 u-d」7y72勿 g 6 4 2 〃 u&2 wwy^考ч'左售 9盲 u-d」з, раЭ/сз, раЭ/с

4 M7w86 42〃 当香單nm 空2daogouund」

4 M7w86 42〃 当香單nm 空2daogouund」

W727Z7夕 6 42〃

0ss^s^ KW3d8 BOBQUUd」

5

W727Z7夕 6 42〃

0ss^s^ KW3d8 BOBQUUd」

5

$

$

a/c

a/c

Чебышева

—с неравномерностью 2游

Чебышева

—с неравномерностью 2游

о), рМ/с

о), рМ/с

%/2加&6 42 夕u^ IMWawom 至乱9 甥9QUU1」

%/2加&6 42 夕u^ IMWawom 至乱9 甥9QUU1」

Рис. 7.11. Нормированные характеристики группового времени замедления различных полиномиальных фильтров нижних частот.

Рис. 7.11. Нормированные характеристики группового времени замедления различных полиномиальных фильтров нижних частот.

7y72勿 g 6 4 2 〃 u&2 wwy^考ч'左售 9盲 u-d」

7y72勿 g 6 4 2 〃 u&2 wwy^考ч'左售 9盲 u-d」

з, раЭ/с

з, раЭ/с

(Воспроизведено с разрешения A S McAllister из Modern Low Pass Filter Characte， ristics by С P Eggen and A S McAllister, Electro Technology, August 1966 )

У

Таблица 7.1. Размещение полюсов фильтров, показанных на рис. 7.9—7.11 (нормированные относительно частоты %дв)・

(Воспроизведено с разрешения A. S. McAllister из Modern Low-Pass Filter Characteristics by С. P. Eggen, A. S. McAllister» Electro-Technology, August 1966).

фильтр $[ =—0,7071 ±/0,7071

Баттер' ‘ ворта

S[ = —1,0000土/0“ 2=-0,9239±/0,3827 S] = j1,0000±/0s【2= -0,9659±/0,2588 Sj - l,0000±/0

s? 3 = -0,5000±/0,8660 S3 4=-0,3827±/0,9239 兄 3 = -0.8090+/0.5878 53' 4 = -0,7071 ±/0,7071 ^2 3=—0,9010土拉4339

''%'「一0,3090±也9511 s「「=-0,2588 土沔,9659 s/『一0,6235 土泣7818

's；'；=-0,2225±/0,9749

Фильтр s. 9=—0.6104±/0,7106 Чебы-L

с неравномерностью

si==-0,6979±/0" 2=-0,5257土泪,3833也=-0,4749±沔" 2--0.3916+/0.2590 Sj-0.3527+/0

% 3=-O,3489±/O,8683 s ' =—0,2177±/0,9254 s2 3=-~0,3842±/'0,5884 S3'《=-0,2867±j0,7076 ^2 3=-0,3178±川,4341

''$* — (>,^±/0,9521 s，=-Q1049土/0,9666 $/<=-0,2199土川,7822

''s：： ；= -0,0785±/0,9754

0,1 дБ

фильтрS[ 2=—0,3741 ±/0,7572

Чебы-'

шева с иерав-'

иомер

s =一0,3572土jOS =-0,2486±/0,3896»! =-0,2157±/0s^ 2^-0,1738+/0.2609$〔=-0」544土汕

s2 3= -0,1786±/0,8938 5/ =-0,1029±/0,9406 s2 3=-0,1745±/0,5946 s3' 4=-0,1272±/0,7128 s^ 3 = -0,1391 ±/0,4364

''s4' 5 = -0.0666±/0,9621 s/ 6 = -0,Q465±/0,9737 s4' 5-0,0962±/0,7865

''s6' 7 = -0,0343±/0,9807

ностью

2 дБ

фильтр8^ 2=-0,8615±/0,6977

переход- '

ный Бат- тервор-

S1=-l,1249±/0“ 2 = 一】.0858土/0,3987 Sj = -1,1771±/0

So „=-0,6942±/0,9368 s4\=-0,5543+/1.0605 $2 3= T，OO59±/0,6428

4力"s； 5=-0,5103士儿 1442

n = 2

n=3

n—4

"=5

rz = 6

n = 7

та -Том-

фильтр 5t 2=-1,1O16±/O,6364

Бесселя '

S1=-l,3226±/05=-1,3700+/0,4102 衍=一 1,5023土/0s】2= 1,5716+/0.3209 s( = - l,6827±/0

s =-1,0474土/0,9992 sJ . =-0,9952±/1,2571 ^21-3808+/0.7179 s^ 4= - l,3819±/0,9715 也 3===-1,6104土抱5886

'°叽 4sdf .= -0,9576+71,4711 s]0,9307 土〃,6620 s；冃=-1,3775土儿1904

''s：：； =-0,9089土儿8346

Фильтр Лежандра

S[H—0,6200±№S] 2==-0,5500±/0.3590 S1 =-0,4680±/0s【2= ~0,4390±/0,2400

§2 3=-0,3450±/0,9010 S3'4 = —"2320±川,9460 s? 3=-0,3880±/0,5890 s3' 4 =-0,3090±/0,6980 's； 5 —0,1540土儿9680 s^ 6=~0.1152±/0,9780

и 〃丫 = —о — / со получаем

(8р)м V = VPuPv = Vff2 + ®2>

(7.19а)

(%/<7р)|л, V = —(Р|Л + “ = 2б,

(7.196)

(<7P)n，v== V°2 + ®72o.

(7.19в)

Таким образом, для полюсов в уравнении (7.17) имеем

(%)2,3 = 0,6197, 仇)2,3 = 1,7756

(7.20а)

(①р)4,5 = 0,9644,仞)4,5 = 7,24.

(7.206)

Поэтому желаемая передаточная функция описывается

следую-

щим образом:

[Т(5)]чсбышев 2 дБ = (S + 0,2157) (S2 + 0,3495 + 0,384) (s2 +0^1335 + 0~930)'

(7.21)

Она представляет собой передаточную функцию, нормированную относительно уровня передачи и частоты среза по уровню 3 дБ. Для заданной частоты среза по уровню 3 дБ ((о3 дБ ) каждый нормированный по частоте член необходимо домножить на значение частоты ①з дб, так что результирующая передаточная функция остается безразмерной величиной, следовательно,

T(s) =

(7.22)

где s = Зсоздб. Для того чтобы обеспечить заданный уровень сигнала, скажем на частоте ①=0, соответствующим образом должен выбираться параметр К・ Более подробно это будет рассматриваться в разд. 7.5 при описании вопроса масштабирования.

Графическое и аналитическое проектирование фильтров тг-го порядка общего вида

В предыдущем разделе были приведены некоторые типичные характеристики каждого из наиболее важных полиномиальных фильтров. Они позволяют осуществить предварительный выбор передаточной функции фильтра в зависимости от заданных технических требований к конкретному применению. Если же ничего подходящего не удалось обнаружить, то будут полезны следующие графические и аналитические вспомогательные средства, поскольку их можно распространить и на полиномиальные фильтры более высокого порядка и на фильтры с конечными нулями, т. е. фильтры инверсные Чебышева и Чебышева — Кауэра. Как обычно принято для справочников по фильтрам, этот материал

представлен в основном через характеристики затухания, а не коэффициента усиления. Кроме того, он ограничен рассмотрением фильтров нижних частот, поскольку описанные в разд. 7.6 частотные преобразования позволяют легко распространить его на другие типы фильтров.

4 ЭБ4 ЭБРис. 7.12. Основные технические требования к типовому фильтру нижних частот.Рис. 7.12. Основные технические требования к типовому фильтру нижних частот.На первом этапе проектирования фильтра любого типа необходимо установить его сложность, т. е. требуемое число его полюсов 几.Это в свою очередь будет определять число звеньев второго (или третьего) порядка, которые требуются

4 ЭБ

4 ЭБ

Рис. 7.12. Основные технические требования к типовому фильтру нижних частот.

Рис. 7.12. Основные технические требования к типовому фильтру нижних частот.

для реализации передаточной функции n-го порядка. Для того чтобы найти порядок п передаточной функции T(s) любого фильтра, обычно требуются следующие исходные данные (рис. 7.12): а) неравномерность передачи в полосе пропускания Атах； б) минимальное затухание в полосе задерживания Xmin； в) переходная область, которая характеризуется отношением начальной частоты минималь-

ного затухания fs к граничной ния %•ного затухания fs к граничной ния %•частоте полосы пропуска-

ного затухания fs к граничной ния %•

ного затухания fs к граничной ния %•

Как будет показано в дальнейшем, эту информацию можно использовать для определения по номограммам порядка п фильтров Баттерворта, Чебышева и Чебышева — Кауэра.

Фильтры Баттерворта, или фильтры с максимально плоской амплитудно-частотной характеристикой

Фильтры Баттерворта не имеют колебаний коэффициента передачи в полосе пропускания. Тем не менее максимальное затухание 若max, занимающее частотный диапазон до частоты среза fc, будет определяться аналогичным образом. Следовательно, порядок п можно связать с типичными параметрами фильтра, показанными на рис. 7.13, а, следующим соотношением:

[7.23][7.23]= log[(10°'4dn — ])/(10°m3x一 ])]2 log(G)s/g)

[7.23]

[7.23]

где #min и 4max задаются в децибелах.

Пример. Для фильтра, который характеризуется следующими параметрами: 4щах = 0,1 дБ, Amin = 30 дБ и (о5/юс = 1,5, из уравнения (7.23) находим, что 拄=13,15. Поскольку порядок 拄 должен быть целым числом, то

Д ЗБ

"min

72

2 J 4 5 6 7 8910

11 IHHI

4 J 2 /

〃加 ЗУ 7 6 6

'гтйп

一 一一一 一 一一一 一一一 一一

6

Э -

匂 為加 / ^ ^

23 4 5 6 7 8910

77нижних частот.нижних частот.С ~ 3$/%

7

7

нижних частот.

нижних частот.

Рис. 7.13. Фильтр Баттерворта

Q — технические требования； б — номограмма для определения порядка п. (Воспроизведено с разрешения Wiley, Inc. из Handbook of Filter Synthesis by A. I. Zverev. Wiley, Inc., New York, 1967.)

Апя обеспечения указанных технических требований необходимо выбрать цепь И-го порядка.

Вместо вычисления порядка п из уравнения (7.23) для каждого набора исходных данных можно создать очень удобную номограмму, которая приведена на рнс. 7.13,6. Для того чтобы оценить порядок п фильтра, проводится

прямая линия между точками Лmax И Amin И ПрОДОЛЖЭвТСЯ В Правую Ч ЭСТЬ номограммы, как указано на рис. 7.14. Проводя от левой точки (Рз) линиюпрямая линия между точками Лmax И Amin И ПрОДОЛЖЭвТСЯ В Правую Ч ЭСТЬ номограммы, как указано на рис. 7.14. Проводя от левой точки (Рз) линиюРис. 7.14. Методика использования номограммы.Рис. 7.14. Методика использования номограммы.(Воспроизведено с разрешения Wiley, Inc. из Handbook of Filter Synthesis by A. I Zverev, Wiley, Inc., New York, i967 )(Воспроизведено с разрешения Wiley, Inc. из Handbook of Filter Synthesis by A. I Zverev, Wiley, Inc., New York, i967 )форма задания полинома D(s) (см. табл, сопряженные полюсы, наиболее удобна.форма задания полинома D(s) (см. табл, сопряженные полюсы, наиболее удобна.параллельно оси Q до требуемого отношения з$/зс, находим порядок 九 требуемой передаточной функции T(s). После получения порядка 〃 из табл. 7.2 можно определить коэффициенты соответствующего полинома знаменателя D(s). В этой таблице полином D(s) задан в виде произведения сомножителей с комплексно-сопряженными и отрицательными вещественными корнями (часть «а»), а также приведены значения параметра qp комплексно-сопряженных пар полюсов (часть 《6》). Отдельные полюсы фильтров с порядком до седьмого включительно были даны в табл. 7 1. Они связаны с приведенными в табл. 7.2 величинами выражениями (7.19). При расчете активного фильтра такая 7.2, часть «а»), т. е. через комплексно- Таким образом, например, нормиро-параллельно оси Q до требуемого отношения з$/зс, находим порядок 九 требуемой передаточной функции T(s). После получения порядка 〃 из табл. 7.2 можно определить коэффициенты соответствующего полинома знаменателя D(s). В этой таблице полином D(s) задан в виде произведения сомножителей с комплексно-сопряженными и отрицательными вещественными корнями (часть «а»), а также приведены значения параметра qp комплексно-сопряженных пар полюсов (часть 《6》). Отдельные полюсы фильтров с порядком до седьмого включительно были даны в табл. 7 1. Они связаны с приведенными в табл. 7.2 величинами выражениями (7.19). При расчете активного фильтра такая 7.2, часть «а»), т. е. через комплексно- Таким образом, например, нормиро-

прямая линия между точками Лmax И Amin И ПрОДОЛЖЭвТСЯ В Правую Ч ЭСТЬ номограммы, как указано на рис. 7.14. Проводя от левой точки (Рз) линию

прямая линия между точками Лmax И Amin И ПрОДОЛЖЭвТСЯ В Правую Ч ЭСТЬ номограммы, как указано на рис. 7.14. Проводя от левой точки (Рз) линию

Рис. 7.14. Методика использования номограммы.

Рис. 7.14. Методика использования номограммы.

(Воспроизведено с разрешения Wiley, Inc. из Handbook of Filter Synthesis by A. I Zverev, Wiley, Inc., New York, i967 )

(Воспроизведено с разрешения Wiley, Inc. из Handbook of Filter Synthesis by A. I Zverev, Wiley, Inc., New York, i967 )

форма задания полинома D(s) (см. табл, сопряженные полюсы, наиболее удобна.

форма задания полинома D(s) (см. табл, сопряженные полюсы, наиболее удобна.

параллельно оси Q до требуемого отношения з$/зс, находим порядок 九 требуемой передаточной функции T(s). После получения порядка 〃 из табл. 7.2 можно определить коэффициенты соответствующего полинома знаменателя D(s). В этой таблице полином D(s) задан в виде произведения сомножителей с комплексно-сопряженными и отрицательными вещественными корнями (часть «а»), а также приведены значения параметра qp комплексно-сопряженных пар полюсов (часть 《6》). Отдельные полюсы фильтров с порядком до седьмого включительно были даны в табл. 7 1. Они связаны с приведенными в табл. 7.2 величинами выражениями (7.19). При расчете активного фильтра такая 7.2, часть «а»), т. е. через комплексно- Таким образом, например, нормиро-

параллельно оси Q до требуемого отношения з$/зс, находим порядок 九 требуемой передаточной функции T(s). После получения порядка 〃 из табл. 7.2 можно определить коэффициенты соответствующего полинома знаменателя D(s). В этой таблице полином D(s) задан в виде произведения сомножителей с комплексно-сопряженными и отрицательными вещественными корнями (часть «а»), а также приведены значения параметра qp комплексно-сопряженных пар полюсов (часть 《6》). Отдельные полюсы фильтров с порядком до седьмого включительно были даны в табл. 7 1. Они связаны с приведенными в табл. 7.2 величинами выражениями (7.19). При расчете активного фильтра такая 7.2, часть «а»), т. е. через комплексно- Таким образом, например, нормиро-

Таблица 7.2. Полиномы знаменателя фильтров Баттерворта (нормированные относительно частоты 曳＞

а) Сомножители нормированных полиномов знаменателя

1(1 + s)

2(1 + 1,414s + 仪)

3 (l + s)(l +s + $2)

4 fl + 0,765s + s?) (1 + 1,848s + s2)

5 (1 +s) (1 + 0,618s 十 $2)(1 + 1618s + s2)

6(1+0,518s + s2) (1 + 1,414s +У) °+ 1,932$ 十$2)

7(1+s) (1 + 0,445s + s2) (1 + 1,247s + 炉)(1 + 1,802s + s«)

8(1+0,390s + s?)(1 + 1,Шк +仪)(1+ 1,663s +sD (1+ 1,902s+s2)

9(1+s) (1 + 0,347s + s?) (1 + $+ s2)(1 + 1,532s+ s2)(1 + 1,879s+ s2)

10(1+o,313s + $2)(1 + a908s +炉)(1+ 1,414s +s2) (1+ 1,782s+s2)(1 +

+ 1,975s + s2)

б) Добротности qp комплексно-сопряженных пар полюсов

n

2

3

4

б

6

7

8

9

10

qp

0,71

1,00

1,31

1,63

1,93

2,25

2,57

2,88

3,19

0,54

0,62

0,71

0,80

0,90

1,0

1,10

0,52

0,55

0,60

0,65

0,71

0同

0,63

0,56

0,51

ванная передаточная функция фильтра Баттерворта пятого порядка получается в виде

Т($) = K/d 十 1,618s + 1) (s2 +0,618s 4- D (s+ 1)・(7.24)

Соответствующий активный фильтр можно реализовать в виде каскадного соединения полиномиальных активных цепей второго порядка с добротностью полюса соответственно 1,62 и 0,62 (см. табл. 7.2, часть《6》)и ЛС-звеном первого порядка, как показано на рис. 7.1,6. Альтернативный путь состоит в реализации каскадного соединения фильтра нижних частот соответственно третьего и второго порядков. В этом случае пара полюсов с более низкой добротностью предпочтительно должна комбинироваться с третьим полюсом. Следовательно, вместо уравнения (7.24) функция T(s) задавалась бы следующим образом:

Т (s) = К/(§з + 2,618N + 2,618$ + 1) (s2 + 0,618s + 1).(7.25)

При ее реализации на звеньях второго порядка можно использовать приведенную в гл. 5 схему 1 (НЧ ——HQ), поскольку значение параметра qp для обеих схем не превышает 2. При реализации же на основе звена второго и третьего порядков само звеио третьего порядка нижних частот можно разработать с помощью приведенных в дополнительной литературе3) рекомендаций.

Фильтры Чебышева, или равноволновые фильтры

Амплитудно-частотные характеристики фильтров Чебышева имеют колебания коэффициейта передачи в полосе пропускания и спадают монотонно в полосе задерживания. Исходя из приведенных на рис. 7.15, а характеристик параметров фильтра, порядок п определяется следующим образом:

w = Arch[(10°'lx™"- l)/(10°JAmax_ l)]i/2/Arch (<Os/fflc) [7.26] где 4min и 4тах задаются в децибелах.

Пример. Как и в приведенном выше примере, Т. е. 4гпах 二^ 0,1 дБ, Лтщ н =30 дБ и (os/(oc = 1,5, из уравнения (7.26) находим, что 拄=6,26, таким образом, порядок п должен выбираться как ближайшее большее целое число, а именно равным 7. Следует отметить, что сам порядок 枕 снижается от 14-го ——для фильтра Баттерворта до 7-го ——для фильтра Чебышева только йа счет введения неравномерности передачи 0,1 дБ. При увеличении же неравномерности необходимо еще больше увеличить крутизну затухания, а требуемый порядок фильтра снизить. Однако, как правило, допустимая неравномерность передачи в полосе пропускания точно обусловлена и не подлежит изменению.

Само выражение (7.26) также можно представить в виде номограммы, как показано на рис. 7.15, б. Эта номограмма используется вслед за приведенной на рис. 7.14 процедурой. Раз порядок п установлен, то для заданной неравномерности передачи в полосе пропускания (т. е. значения Дтах) из табл. 7.3 можно определить соответствующий полином D(s). Здесь полиномы Q(s), которые представлены в виде сомножителей с отрицательными вещественными и комплексно-сопря?кенными полюсами (часть 《а》)и соответствующих добротностей полюсов (часть «6»), заданы соответственно для 4шах = 0,1, 0,5, 1, 2 н 3 дБ и передаточных функций до 10-го порядка

')Moschy也 G. S・，Linear Integrated Networks: Design, Van Nostrand Reinhold Co., New York, 1975, p. 247.

11

10

9

8

2

234 5 帛 7 8 910

П a з$ ®

12

234 5 6 7 8 9 Ю

140±

120^

110

100

90；〉

二一二二二：三：三11:二三二二三一二 о о о о о о о 064 87654321

4

^так

20…

-l.H-- +二♦Т三*1二+，主*二一一-一 08 6 432 о,C2 J ^м 200

0,001

0,0005

0,0001

0,00005

Рис. 7.15. Фильтры Чебышева иижних частот.

а — технические требования； б — номограмма для определения порядка п. (Воспроизведено с разрешения Wiley, Inc. из Handbook of Filter Synthesis by A. I. Zverev, Wiley, Inc., New York, 1967,)

Таблица 7.3. Полиномы знаменателя фильтров Чебышева (нормированные относительно частоты 曳)

а) Сомножители нормированных полиномов знаменателя

拄 Неравномерность передачи 0,1 дБ (е — 0,153)

1(6,552 + s)

2(3,314 + 2,372s + s2)

3 (0,969 + s) (1,690 + 0,969s + s2)■

4 (1,330 + 0,528s + 52) (0,623 + 1,275s + s2)

5 (0,539 + s) (1」95 + 0,333s + s2) (0,636 + 0,872s + s2)

6 (1,129 + 0,229s + S2) (0,696 + 0,627s + s2) (0,263 + 0,856s + s2)

7 (0,377 + s) (1,092 + 0,168s + s2) (0,753 + 0,470s + s2) (0,330 + 0,679s + s2)

8 (1,069 + 0,128s + s2) (0,799 + 0,364s + s2) (0,416 + 0,545s 十 s2) (0,146 + + 0,643s + s2)

9 (0,290 + s) (1,054 + 0,101s + s2) (0,834 + 0,290s + s2) (0,498 + 0,445s + + s2) (0,201 + 0,546s + s2)

10 (1,044 + 0,082s + s?) (0,862 + 0,237s + s2) (0,568 + 6,369s + s2) (0,274 +

+ 0,465$ + s2) (0,092 + 0,515s + M)

拄 Неравномерность передачи 0,5 дБ (е = 0,349)

1(2,863 + s)

2(1,516+ 1,426s + s2)

3(0,626+ s) (1,142 + 0,626s + s2)

4(1,064+ 0,351s + С)(o,356 十 0,847s + 炉)

5(0,362+ s) (1,036 + 0,224s + s2) (0,477 + 0,586s +s2)

6(1,023+ 0,155s + s2) (0,590 + 0,42 4s + s2) (0,157 + 0,580s+s2)

7(0,256+ 5)(1,016 + 0,114$ + s2) (0,677 + 0,319$ +s2) (0,254+0,462s + s2)

8 (1,012 + 0,087s + s2) (0,741 + 0,248s + s2) (0,359 + 0,372s + s2) (0,088 十 + 0,439s + s2)

9 (0,198 + s) (1,009 + 0,069s + s2) (0,789 + 0,198s + s2) (0,453 + 0,304s + + s2)(o」56 + 0,373s+ s2)

10 (1,007 + 0,056$ + $2) (0,862 + 0,162s + s2) (0,532 + 0,252s + «) (0,238 +

+ 0,318s + s2) (0,056 + 0,352s + s2)

n Неравномерность передачи 1 дБ (e — 0,509)

12345678 91012345678 910(1,965 +s)

12345678 910

12345678 910

(1,103 + 1,098s + s2)

(0,494 + s) (0,994 + 0,494s + s2)

(0,987 + 0,279$ + s2) (0,279 + 0,674s + s2)

(0,289 + s) (0,988 + 0,179s + s2) (0,429 + 0,468s + s2)

(0,991 + 0,124$ + s2) (0,558 + 0,340s +、') (0,125 + 0,464s + s2)

(0,205 + 5)(0,993 + 0,091s + s2) (0,653 + 0,256s + s2) (0,230 + 0,370s + s2) (0,994 + 0,070s + s2) (0,724 + 0,199s + s2) (0,341 + 0,298s 十 s2) (0,070 + + 0,352s + s2)

(0,159 + s) (1,00 + 0,06s + 肝)(0,78 + 0,16s+ s2) (0,44十 0,24s + s2) (0,14 + + 0,30s +s2)

(0,996 + 0,045s + s2) (0,814 十 0,130s + s2) (0,521 + 0,203s + s2) (0,227 +

+ 0,255s + s2) (0,045 + 0,283s + s2)

и Неравномерность передачи 2 дБ (е = 0,765)

12345678 9 о12345678 9 о(1,308 + s)

12345678 9 о

12345678 9 о

(0,823 + 0,804s + s2)

(0,369 + s) (0,886 + 0,369s + s2)

(0,929 + 0,210$ + s2) (0,222 + 0,506s + s2)

(0,218 + s) (0,95 2 + 0,135s + s2) (0,393 + 0,353$ + s2)

(0,966 + 0,094s + s2) (0,533 + 0,257s + s2) (0,100 + 0,351s + s2)

(0,155 + s) (0,975 + 0,069s + s2) (0,635 + 0,194s + s2) (0,212 + 0,208s + s2)

(0,980 + 0,053s 4- s2) (0,710 + 0,151s + s2) (0,327 + 0,226s + s2) (0,057 + + 0,266s + s2)

(0,⑵ + s) (0,984 + 0,042s + s2) (0,764 + 0,121s + Z) (0,428 + 0,182s + s2) (0,987 + 0,034s + s?) (0,806 + 0,099s + s2) (0,512 + 0,153s + s2) (0,218 十 + 0,193$ + s2) (0,036 + 0,214s + s2)

Неравномерность 3 дБ (e = 1)

1234567812345678(1,002 + s)

12345678

12345678

(0,708 + 0,645s + s2)

(0,299 + $) (0,839 + 0,299s + s2)

(0,903 + 0,170s + s2) (0,196 + 0,41 Is + s2)

(0,178 + s) (0,936 + 0,110s + $2) (0,377 + 0,287s + s2)

(0,955 + 0,076s + s2) (0,522 + 0,209s + s2) (0,089 + 0,285s + s2)

(0,126 + s) (0,966 + 0,056s + s?) (0,627 + 0,158s + s2) (0,204 + 0,228s + s2) (0,974 + 0,043s + s2) (0,704 + 0,123s + s2) (0,321 十 0,184s 十 s2) (0,050 + + 0,217s+ s?)

9 (0,098 + s) (0,980 + 0,034s + s2) (0,760 + 0,098s + s2) (0,423 + 0,151 s + + s2) (0,127 + 0,185s + s2)

10 (0,983 + 0,028s + s2) (0,802 + 0,080s + s2) (0,508 + 0,125s + s2) (0,214 十

+ 0,158s + s2) (0,032 + 0,175s + s2)

б) Добротности qp комплексно-сопряженных пар полюсов 0,1 дБ

П2345678910

qp0,771,342,183,284,636,238,0810,1812,52

0,620,911,331,852,453,143,92

0,600,851,181,592,04

0,590,821,13

0,59

0,5 дБ

H2G45678910

夕卩0,861,712,944,546,518,8411,5314,5817,92

0,71t,181,812,583,474,495,61

0,681,091,612,212,89

0,681,060,67

1 дБ

пп6 4 6 6 5c^s 石 37^- 6^ _ц^ к- о^6 4 6 6 5c^s 石 37^- 6^ _ц^ к- о^3 3 15■6'6氏*-^3 3 15■6'6氏*-^4 7 6 522974 7 6 522970 6 09/1ГЗ,0 6 09/1ГЗ,6 о5-4>6 о5-4>6 8576 857°2°266

п

п

6 4 6 6 5c^s 石 37

^- 6^ _ц^ к- о^

6 4 6 6 5c^s 石 37

^- 6^ _ц^ к- о^

3 3 15

■6'6

氏*-^

3 3 15

■6'6

氏*-^

4 7 6 5

2297

4 7 6 5

2297

0 6 09/1ГЗ,

0 6 09/1ГЗ,

6 о5-4>

6 о5-4>

6 8

57

6 8

57

°2

°2

6

6

2 дБ

rt234567891d

qp1,132,554,597,2310,4614,2818,6923,6829,27

0,931,782,844,125,587,259,11

0,901,652,533,544,66

0,891,602,41

0,89

3 дБ

л234567891d

qp1,303,075,588,8212,7817,4622,8729,0035,85

1,082,143,465,026,838,8711,13

1,041,983,084,325,70

1,031,932,95

1,03

включительно. С помощью этой формы записи (т е в виде произведения сомножителей) полинома D(s) в табл. 7.3 активные фильтры Чебышева можно реализовывать на основе каскадного соединения звеньев второго и третьего порядков, как уже было описано выше для фильтров Баттерворта.

Можно показать, что полюсы передаточной функции фильтра Чебышева T(s) (т. е. корни полинома D(s) можно вывести исходя из полюсов соответствующей функции фильтра Баттерворта. Как известно, полюсы фильтра Баттерворта располагаются на единичной полуокружности в левой половине плоскости, что изображено на рис. 7.16 для фильтра пятого порядка Каждая пара плюсов фильтра Баттерворта имеет следующий вид;

PL - "в 土『亩厅 (7.27а)

(7.276)(7.276)Полюсы же фильтра Чебышева лежат на эллипсе, который расположен внутри единичной окружности филыра Баттерворта (см. рис. 7 16) Эксцентриситет этого эллипса е определяется количеством колебаний коэффициента передачи в полосе пропускания. Каждый полюс фильтра Чебышева рс можно получить из полюса рв с помощью умножения as на е Таким образом, из уравнения (7.27а) следует, что

(7.276)

(7.276)

也=一 8万 ±面厅

加加Рис. 7.16. Формирование полюсов фильтра Чебышева (на эллипсе) из полюсов фильтра Баттерворта (на полуокружности).Рис. 7.16. Формирование полюсов фильтра Чебышева (на эллипсе) из полюсов фильтра Баттерворта (на полуокружности).Заметим, что мнимая часть полюса рс предполагается равной G^, а это верно только в первом приближении. Сам же эксцентриситет е зависит от «коэффициента неравномерности» е, где

加

加

Рис. 7.16. Формирование полюсов фильтра Чебышева (на эллипсе) из полюсов фильтра Баттерворта (на полуокружности).

Рис. 7.16. Формирование полюсов фильтра Чебышева (на эллипсе) из полюсов фильтра Баттерворта (на полуокружности).

е = л/10cM'max 一 1,(7.28а)

или, выражая через него #тах, находим, что

』тах = 10 log (1 + ^2) [дБ].(7.286)

неравномерности внеравномерности вЭтот коэффициент неравномерности е изменяется от нуля к единице при уве- 一юсе пропускания 14mdх от 0 до 3 дБ. Он связан

неравномерности в

неравномерности в

с размахом пульсаций амплитудно-частотной характеристики, как показано на рис. 7.17, и задается в табл. 7.3 для соответствующих их значений. Сам эксцентриситет е, который также представляет собой коэффициент, на который необходимо домножать вещественную часть полюсов фильтра Баттерворта для получения соответствующих полюсов фильтра Чебышева (см. уравнение (7.276)], зависит от коэффициента неравномерности е следующим образом:

е —th|(l/n) Arsh(l/e)]. (7.29)

Надо отметить, что из рис. 7.17 следует, что частота среза полосы пропускания ①с не равна частоте по уровню 3 дБ(о3 В самом деле, они совпадают только при е = 1 или 14mах = 3 дБ. При 0 V е V 1 частота ®3 дБ превышает ①仆 т. е. (о3 дБ/(ос > 1. Соотношение между частотой ст3 дБ порядком п и коэффициентом пульсации е имеет вид

ЗзнВ = ch [(1/n) Arch (1/е)]%.(7.30)

Само соотношение(oc/wСамо соотношение(oc/wе厶 max，iдБе厶 max，iдБ234234565678789109103 9 9 55 4 0 6 0J*5 7 о3 9 9 55 4 0 6 0J*5 7 оa，1 2 3a，1 2 33 9 9 5 85 4 0 6 913 5 7 9 仇仇&Q3 9 9 5 85 4 0 6 913 5 7 9 仇仇&QL у 2 з9'5 7 8 9 8L у 2 з9'5 7 8 9 8Q7 3 82 5 1678 S9 п^ п^ п^ п^-1Q7 3 82 5 1678 S9 п^ п^ п^ п^-14 5 0 22 15 88 9 9 9а14 5 0 22 15 88 9 9 9а114 7 88 4 6 8 8>9J9>9f п^ п^-п^ п^-114 7 88 4 6 8 8>9J9>9f п^ п^-п^ п^-15 0 8 216 7 989,33аа15 0 8 216 7 989,33аа1^ ^м ^ ^^ ^м ^ ^li 00 TH LO5 7 8 9939 &о о о о 1li 00 TH LO5 7 8 9939 &о о о о 112 0 66 8 9 99>9 89aQl12 0 66 8 9 99>9 89aQl8 5 2 76 8 9 9В9 9 98 5 2 76 8 9 9В9 9 9второе показывает, насколько близко к частоте со3 дБ подходит граница полосы пропускания, приводится в табл. 7.4 для используемых в табл. 7.3 размахов пульсаций и порядков п Заметим, что Таблица 7.4, Относительная полоса пропускания o^/Og дБ фильтров Чебышева

Само соотношение(oc/w

Само соотношение(oc/w

е厶 max，i

дБ

е厶 max，i

дБ

234

234

56

56

78

78

910

910

3 9 9 5

5 4 0 6 0

J*5 7 о

3 9 9 5

5 4 0 6 0

J*5 7 о

a，1 2 3

a，1 2 3

3 9 9 5 8

5 4 0 6 9

13 5 7 9 仇仇&Q

3 9 9 5 8

5 4 0 6 9

13 5 7 9 仇仇&Q

L у 2 з9'5 7 8 9 8

L у 2 з9'5 7 8 9 8

Q7 3 8

2 5 16

78 S9 п^ п^ п^ п^-1

Q7 3 8

2 5 16

78 S9 п^ п^ п^ п^-1

4 5 0 2

2 15 8

8 9 9 9

а1

4 5 0 2

2 15 8

8 9 9 9

а1

14 7 8

8 4 6 8 8>9J9>9f п^ п^-п^ п^-1

14 7 8

8 4 6 8 8>9J9>9f п^ п^-п^ п^-1

5 0 8 2

16 7 9

89,33

аа1

5 0 8 2

16 7 9

89,33

аа1

^ ^м ^ ^

^ ^м ^ ^

li 00 TH LO

5 7 8 9

939 &

о о о о 1

li 00 TH LO

5 7 8 9

939 &

о о о о 1

12 0 6

6 8 9 99>9 89

aQl

12 0 6

6 8 9 99>9 89

aQl

8 5 2 7

6 8 9 9

В9 9 9

8 5 2 7

6 8 9 9

В9 9 9

для фиксированного порядка п существует взаимообмен между неравномерностями и частотой среза; для небольших неравномерностей определяемая частотой (0с полоса пропускания уже. Для того чтобы обеспечить как небольшую неравномерность, так w широкую полосу пропускания (ос, сам порядок п должен выбираться достаточно большим.

i^(»li^(»lРис. 7.17. Коэффициент пульсаций е и частота бьгшева.Рис. 7.17. Коэффициент пульсаций е и частота бьгшева.по уровню 3 дБ фильтров We-

i^(»l

i^(»l

Рис. 7.17. Коэффициент пульсаций е и частота бьгшева.

Рис. 7.17. Коэффициент пульсаций е и частота бьгшева.

Фильтры Чебышева — Кауэраг или эллиптические фильтры

Эллиптические фильтры обладают равноволновыми колебаниями коэффициента передачи как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. Передаточные функции характеризуются полюсами и конечными нулями, а характеристика затухания——нулями и полюсами затухания. Последнее схематично изображено на рис. 7.18, а. Соотношение между порядком фильтра п и указанными на рис. 7.18, а величинами является более сложным, чем у фильтров Баттерворта и Чебышева, и поэтому здесь не приводится. Тем не менее на рис. 7.18, б приведена номограмма, которая представляет это соотношение, такая же удобная, как и предыдущие. Используя эту номограмму для того же самого примера фильтра, т. е. Атах = 0,1 дБ, 4тп = =30 дБ и (о5/(ос==1,5т как было показано выше, находим, что теперь порядок п снизился до 5. Следовательно, при введении двух пар нулей можно исключить одну пару полюсов фильтра Чебышева. Это снова иллюстрируеет тот факт, что в смысле только амплитудно-частотной характеристики эллиптические фильтры яеляются наиболее эффективными. Естественно, что когда важна и фазово-частотная характеристика, т. е. при передаче и фильтрации импульсов, то относительно плохие рабочие характерстики эллиптического фильтра могут продиктовать выбор другого типа фильтра.

Как известно, эллиптические фильтры не являются полиномиальными, т. е. знаменатель и числитель предстаеляют собой полиномы, чьи полюсы и нули должны быть известны для того, чтобы реализовать соответствующие активные фильтры. Если вспомнить, что таблицы полиномов знаменателя передаточных функций фильтров Чебышева, приведенные в предыдущем разделе, занимали значительное место и никоим образом не являлись исчерпывающими, то будет очевидно, что объем таблиц фильтров Чебышева — Кауэра значительно превышает

Рис. 7.18. Фильтры Чебышева — Кауэра нижних частот

«— технические требования; ^ — номограмма для определения порядка п (Воспрризве- дено с разрешения Wtley, Inc из Handbook of Filter $ynthe&lj by A I. ZVefev, Wiley, Inc , New York, 1967 )

возможности этого справочника. Поскольку превосходные таблицы по расчету этого типа фильтров существуют в виде справочников, то выберем один из них и кратко объясним их использование при формировании передаточных функций фильтров Чебышева —Кауэра.

Рекомендуется пользоваться справочником Зверева °, в котором таблицы фильтров Чебышева — Каузра или, как они обозначены в этой книге, фильтров СС, приведены, начиная по существу со стр. 169. Типовая страница этого раздела книги Зверева приведена на рис. 7.19) ) Параметры, требуемые при выборе каждого конкретного фильтра, согласно заданным техническим требованиям, будут определены ниже. Некоторые из этих параметров, такие, как Лтах и Qs, которые являются мерой крутизны затухания, преобразованы таким образом, чтобы получились понятные и легко используемые таблицы. Это следующие параметры:

Порядок полинома п. Как было объяснено выше, он находится из приведенной на рис. 7.18, б номограммы.

Коэффициент отражения р. Эта величина пропорциональна неравномерности передачи в полосе пропускания Лтах. Однако 』тах не пригоден для использования в качестве параметра таблицы, поскольку теоретически он изменяется от нуля до относительно больших значений. Для набора кратких таблиц требуется параметр, который лежит в хорошо известных пределах и может быть предпочтительно задан линейными целыми величинами. Коэффициент отражения, который связан с 4тах следующим соотношением:

р = VI 1 - Ю^°'1Л^|' [7.31] превосходно отвечает этим требованиям. Качественный график зависимости р от Лтах, приведенный на рис. 7.20, ярко иллюстрирует это. Тогда как значение Amax, представленное в децибелах, увеличивается до бесконечности, коэффициент р, заданный в процентах, увеличивается от 0 до 100.

Таблицы Зверева упорядочены согласно целочисленным значениям р в процентах, а именно р — 1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 15, 20, 25 и 50 % (табл. 7.5). Следовательно, неравномерности передачи в полосе пропускания в 0,3 дБ приблизительно соответствует рн25%. Следует отметить, что целочисленным значениям р соответствует относительно малое число точно выраженных значений Дшах- Таким образом, чтобы проектировать фильтры с достаточной степенью надежности обеспечения требуемых характеристик, само значение Amax необходимо округлять к ближайшему меньшему значению р, а это значит, что для Лтах = 0,1 дБ должно использоваться р — 15 %.

о 则 ％ а й

84 "min Go °l

60,2470 30,1274 20,0893 15,0176 12,0620

10,0565 8,6247 7,5516 6,7175 6,0507

5,5057 5,0520 4,6684 4,3401 4,0559

3,8076 3.5888 3,3946 3,2212 3,0654

2,9246 2,7970 2,6807 2,5743 2,4767

2,3868 2,3038 2,2270 2,1556 2,0892

2,0274 1,9695 1,9154 1,8646 1,8170

1,7722 1,7299 1,6901

1,6525 1,6170

1,5833

8 5 7 9 2 7

6 8 8 8 9 9

3 3 3 3 3 3

6 6 6 66O，CT a aa a

2 8 5 2 1

0 0 12 31-44446 6 6 6 6

n 2 3 6 о4 5 6 7 94 4 4 4 46 6 6 6 6o，£so，a

4 0 6 4 2

0 2 3 5 7

5 5 5 5 5

6 6 6 6 6

2 3 4 7 1

9 13 5 8

5 6 6 6 6

6 6 6 6 6crao，ao.

°632598717

7 7 7 7 8

668 6 8

仇°'°'°'o

7 9 2 6 1

4 7 14 8

8 8 9 9 9

6 6 6 6 6

8 6 5 5 7

15 9 3 7^**1 ~ J 二-n n

7 7 17 Дacraaa

〔4654

1,4396 1,4150 1,3916

0 5 18 7

2 6 15 0

2 2 3 3 4

7 7 7 7 7

QQ & Q o.

97,4775

48,7389

32,4927

24,3697

19,4959

16,2468

13,9260

12,1854

10,8316

9,7486

8,8625

8.1241

7,4993

6,9638

6,4997

6,0936

5,7353

5,4168

5,1318

4,8753

4,6433

4,4323

4,2397 4,0631

3,9007

3,7507

3,6Ц9

3,4829

3,3629

3,2508

3,1460 3,0476

2,9553

2,8683

2,7864

2,7089

2,6356

2,5662

2,5003

2,4377

2,3781

2,3213

2,2672

2,2154

2,1660

2,1187 2,0733

2,0299

о о о о о fl-

3 3 3 3 3

3 3 3 3 3 о о о о о

0 0 9 9 8

3 3 2 2 2

3 3 3 3 3о о о о о

8 8 7 6 6

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3о о о о о

5 4 4 3 2

2 2 2 2 2

3 3 в 3 3о о о о о

10 9 8 7333в3о о о о о

5 4 3 10 °303030303

юю 6 4 2 оо о о о о3 3 3 3 3о о о о о

86 4 1 8

9 9 9 9 8

2 2*2 2о о о о о

ОО

ОО

0.42450

-0,13118

-0,34343

57,2987

212,22

0,42454

-0,13115

-0,34342

28,6537

182,11

0,42465

-0,13109

-0,34341

19,1073

164,49

0,42484

-0,13698

-0,34340

14,3356

151,99

0,42511

-0,13082

-0,34338

11,4737

142,29

0,42545

-0,13063

— 0,34335

9,5668

134,36

0,42587

-0,13039

— 0,34332

8,2055

127,65

0,42637

-0,13010

— 0,34329

7,1853

121,84

0,42695

-0,12978

-0,34324

6,3925

116,70

0,42761

-0,12941

— 0,34319

5,7588

112,11

0,42834

-0,12899

-0,34313

5,2408

107,94

0,42916

— 0,12854

-0,34307

4,8097

104,14

0,43006

-0,12804

-0,34299

4,4454

100,63

0,43104

—0,12749

-0,34291

4,1336

97,39

0,43210

-0,12690

—0,34282

3,8637

94,36

0,43325

-0」2627

-0,34272

3,6280

91,52

0,43448

— 0,12560

-0.34261

3,4203

88 85

0,43580

-0,12489

—0,34248

3,2361

86,33

0,43720

-0,12413

-0,34235

3,0716

83,94

0,43870

-0,12333

— 0,34220

2,9238

81,66

0,44029

-0,12248

-0,34204

2,7904

79,50

0,44197

-0,12160

— 0,34187

2.6695

77,43

0,44375

-0,12067

-0,34168

2,5593

75,45

0,44562

-0.11970

-0,34147

2,4586

73,51

0,44759

— 0,11869

-0,34125

2,3662

71,71

0,44967

-0,11763

-0,34101

2,2812

69 95

0,45185

-0,11654

-0,34074

2,2027

68,25

0.45413

-0 11540

-0,34046

2,1301

66.60

0,45653

-0,11422

-0,34015

2,0627

65,01

0,45904

-0,11301

— 0,33981

2,0000

63,47

0,46166

-0,11175

-0,33945

1,9416

61,97

0,46440

-0,11045

—"33906

1,8871

60,51

0,46727

-0,10911

-0 33864

1,8361

59,10

0,47027

-0,10773

-0,33819

1,7883

57,72

0,47339

-0,10631

-0,33770

1,7434

56,37

0,47666

-0,10485

-0,33718

1,7013

55,06

0,48006

-0,10336

-0,33662

1,6616

53,78

0,48361

-0,10182

-0,33601

1,6243

52,53

0,48731

-0,10025

-0,33535

1,5890

51,30

0,49117

-0,09864

-0,33465

1,5557

50,10

0,49519

-0,09699

-0,33390

1,5243

48,92

0,49939

-0,09531

-0,33309

1,4945

47,76

0,50376

— 0.09359

-0,33222

1,4663

46,63

0,50832

-0,09183

— 0,33129

1,4396

45,51

0,51307

-0,09004

— 0,33029

1,4142

44,42

0,51803

-0,08822

-0,32922

1,3902

43,34

0,52320

-0,08636

-0,32807

1,3673

42,27

0,52859

-0,08446

-0,32684

1,3456

41,23

0,53422

-0,08254

-0,32551

工{о Oto, -L-2 о^д^^

为ко о Q^7^ я^а^-л^

о о0，为为 ОО0 QO

ко,о,о О' о f о ОО о о о о оLcsf 岂 4，1ЛГ 6^7^0^-910» ъ9^о^-4^^22222 22223 33333

ооооо ооооо ооо

6 7 8 90 12345 678

33334 44444 444

49,01,325040,190,54010 -0,08058-0,324101,02771,98810.76171,3693 |

7

80

9 7 3 8 1

7 8 0 2 6

2 0 9 7 5

3 3 22 2,

112 5 0

3 9 5 18

7 7 89 9

7 —7:7Q о>о> о, a

5 4 6 19

9 2 628

0 7 3 9 6

9 8 8 8 7

2 0 4 6 4

0 5 0 6 3

4 2 19 8

2 2 2 11

6 4 4 5 8

4 18 5 2

0 112 3

8 8 8 8 8

а о, о, Q о.

S 7 7 7 5

6 5 5 6 8

3 0 7 4 1

7 7 6 6 6

1,3054

39,17

0,54624

-0,07860

-0,32258

1,0273

1,2865

38,16

0,55266

-0,07658

—0,32096

1,0270

1,2690

37,17

0,55937

-0,07453

— 0,31922

1,0266

1.2521

36,18

0,56639

-0,07246

-0.31736

1,0292

1,2361

35,21

0,57374

-0,07036

-0,31537

1,0259

1,2203

34,24

0,58144

-0,06823

-0,31323

1,0254

1,2062

33,29

0,58952

-0, e 6608

— 0,31095

1,0250

1,1924

32,34

0.5979?

— 0,06390

-0,30850

1,0246

1,1792

31,40

7,60690

-0,06170

—0.30588

1,0241

1,1666

30,46

0,61626

-0,05948

-0,30308

1,0236

1,1547

29,53

0,62612

-0,05725

-0,30008

1,0231

°'14 0^-0^-4^.5^ д7'асгсг5555555555a

a -k ЛШ1П °0%%% Й2 "з 乳

ЕЕЗ

I"3制

S^4 ^^2

Значения всех 5 являются отрицательными

Рис. 7.19. Страница из книги Zverev А 1., Handbook of Filter Synthesis, Wiley, Jnc., New York, 1967. (Воспроизведено с разрешения Wiley, Inc.)

Модульный угол 0. Модульный угол 0 связан с частотой Q” которая является мерой крутизны затухания между полосами

р%р%Рис. 7.20. Качественный график зависимости р от 4тах・Рис. 7.20. Качественный график зависимости р от 4тах・

р%

р%

Рис. 7.20. Качественный график зависимости р от 4тах・

Рис. 7.20. Качественный график зависимости р от 4тах・

пропускания и задерживания, т. е., исходя из рис. 7.18, получаем

% =(0З/(0^(7.32)

Как и в случае параметра Лтах, частота Qs так же непригодна, как параметр таблицы. Как правило, частота й5, которая должна быть больше единицы (поскольку фильтр с идеальной характеристикой физически нереализуем), будет иметь значения от единицы до, скажем, пяти. Однако теоретически частота Qs может иметь произвольно большое значение. Вопрос в том, как преобразовать частоту в параметр, который допускает провести классификацию в линейных членах, придавая в то же время особое значение низким значениям частоты ◎$, лежащим в диапазоне около единицы. Этот используемый параметр,

Таблица 7.5. Соотношение между коэффициентом отражения р и неравномерностью передачи в полосе пропускания

Стах

1 р 1, %

%ах，АВ

IP I. %

^тах' дБ

0

0

10

0,044

1

0,00043

15

0,099

2

0,0017

20

0,18

3

0,0039

25

0,28

4

0,007

35

0,57

5

0,011

50

1,25

8

0,028

а именно модульный угол 0 выполняет эту задачу отлично. Он связан с частотой Qs следующим соотношением：

(7.33)(7.33)0 = arcsin (1/QS).

(7.33)

(7.33)

Диаграмма зависимости угла 0 от частоты Qs схематично показана на рис. 7.21 и иллюстрирует тот факт, что угол лежит в пределах от 0 до 90°, а наиболее линейная и протяженная часть этой кривой занимает диапазон частот как раз около единицы. Следовательно, частоте

уместен только дляуместен только для1,5 соответствует1,5 соответствуетмодульный угол 0 = 42°. Снова, для того чтобы гарантировать при проектировании заданные требования при линейном распределении угла 0, в таблицах требуется округление значения частоты й5.

уместен только для

уместен только для

1,5 соответствует

1,5 соответствует

г. Показатель симметрии & Эта величина характеризует требуемое равенство или неравенство нагрузочных сопротивлений фильтра. Он пассивных LC-фильтров, а при проектиро-

вании активного фильтра, с которыми имеют дело в этом справочнике, им можно пренебречь.

Пример. Теперь в иллюстративном примере найдем передаточную функ* цию фильтра Чебышева — Кауэра, или фильтра СС, которая соответствует заданным на рис. 7.22 техническим требованиям на фильтр. Из номограммы (рис. 7.18,6) сначала определим порядок п = 5, из табл. 7.5 найдем

р = 25 %, а из уравнения (7.33) вычислим, что 0 = 49°. В параметрах справочника Зверева желаемый фильтр классифицируется следующим образом:

ССФильтрЧебышева — КауэраССФильтрЧебышева — Кауэра05Порядокполинома05Порядокполинома25492549КоэффициентКоэффициентотраженияотраженияР，%Р，%Модульныйугол 0,градМодульныйугол 0,град(7.34)(7.34)

СС

Фильтр

Чебышева — Кауэра

СС

Фильтр

Чебышева — Кауэра

05

Порядокполинома

05

Порядокполинома

2549

2549

Коэффициент

Коэффициент

отражения

отражения

Р，%

Р，%

Модульныйугол 0,град

Модульныйугол 0,град

(7.34)

(7.34)

В справочнике Зверева, начиная со стр. 169, можно найти таблицы фильтров Чебышева ——Кауэра, или фильтров СС. Каждая отдельная таблица характеризуется порядком 九 и коэффициентом отражения р. Следовательно, для 幫=5 н р = 25 % (т. е. на стр. 220) найдем показанную иа рис. 7.19 таб-

405

4w№碰4w№碰ПолосаПолосапрописка-прописка-

4w№碰

4w№碰

Полоса

Полоса

прописка-

прописка-

Рис. 7.22. Пример технических требовании на фильтр Чебышева — Кауара.

лицу. Здесь для 0 = 49° найдем нормированные вещественные и мнимые части полюсов и нулей функции T(s), как указано в приведенном ниже таблицы примечании Заметим, что Зверев использует для обозначения полюсов кружочки, а нулей — крестики *). Полюсы и нули передаточных функций в общем-то всюду обозначаются другим способом (см., например, рис. 7.7). Однако обозначения Зверева соответствуют характеристике затухания, приведенной над каждой таблицей, и, следовательно, нулям затухания (в полосе пропускания) и полюсам затухания (в полосе задерживания). Используя обозиачения полюсов и нулей, которые соответствуют применРнньгм в других местах этой и других книг по активным фильтрам (см. рис. 7.23), получаем длх 0 = 49° следующие нормированные полюсы и нули-

ри = — Оо = — 0,54010,

卩1，Р； = 5 士 旭1 = — 0,08058 土 /1,0277,

&,庆=а3 土 源3 = 一 0,32410 土 /0,7617,(7.35)

之2，%? = 土 /◎? = 土 /1,9881,

之4，乞4 = ± /Q« = 士 /1,3693.

Тогда в результате соответствующая передаточная функция имеет вид

Т(6 = К(炉 + 3,9525) (“ 1,8750) 6)

{ (s + 0,540l)7sH- 0,1612s Т 1,6б27)-(52 + 0,6482s + 0,68523)'〔，'

I) Это противоположно приведенным на рис. 7.19 обозначениям.

Значения параметров шр и у. можно получить из выражения (7.19), где нашему значению частоты(о соответствует частота Q Зверева. Сама передаточная функция нормирована в отлюшении уровня передачи н частоты среза (ос.

Для заданной частоты среза со© эту передаточную функцию можно соответственно промасштабировать, т. е каждый нормированный частотный член должен быть домиожен на частоту со” так что результирующая функция T(s) останется безразмерной величиной. Это было показано в соотношениях (7.21) и (7.22), а более детально это будет рассматриваться в разд. 7.5. Аналогичиьш образом для получения заданного уровня, например на частоте (о = 0, нужно выбирать соответствующим образом коэффициент К・ При IТ(0) I = 1 этот коэффициент К должен выбираться так. чтобы

3,9525 • 1,8750—

К 0,5401 • 1,0627-0,68523 =

или К = 0,053.(7.37)

Следует отметить, что в справочнике Зверева существует и вторая страница для каждого значения п и р, на которой приведены нормированные значения индуктивностей и емкостей соответствующего ЛС-фильт-

z<

归名I叫

рМ I々X

z之

Рис. 7.23. Диаграмма полюс — нуль фильтра, представленного на рис. 7.22

ра (например, стр. 221 в нашем примере). Естественно, что при каскадном построении активных RC-фп/ьтров эта вторая страница не представляет интереса.

Фильтры Бесселя, или фильтры с линейной фазово-частотной характеристикой

Фильтры Бесселя представляют собой полиномиальные фильтры, т. е. их числитель является постоянным числом, а знаменатель — D(s) — полиномом 孔-ro порядка [см. уравнение (7.7)]. Как уже было отмечено в разд. 7.2 при рассмотрении фильтров Бесселя, важным параметром этих фильтров помимо избирательности их амплитудно-частотной характеристики является линейность их фазово-частотной характеристики или постоянство группового времени замедления. Было также установлено, что эти фильтры часто используются при передаче импульсов и прямоугольных колебаний и, следовательно, переходная характеристика этих фильтров является крайне важным параметром. Так, изображенный на рис. 7.6 пример показывал, что переходная характеристика фильтра Бесселя лучше характеристик фильтров Баттерворта и Чебышева тем, что колебательные выбросы у фильтра Бесселя ощутимо меньше, чем у двух других типов фильтров. Это улучшение переходной характеристики достигается ценой снижения избирательности фильт-

ра, поскольку наклон характеристики затухания фильтра Бесселя гораздо менее крутой, что также было показано на

Таблица 7.6. Колебательные выбросы

фильтров Баттерворта и Бесселя

Порядок

Фильтр Баттерворта, %

Фильтр

Бесселя, %

1

0

0

2

4,3

0,43

3

8,15

0,75

4

10,9

0,83

5

12,8

0,76

рис. 7.6. Следовательно, практический критерий выбора фильтра Бесселя должен бы быть связан с ответом на вопрос： «Что-то подобное фильтру Баттерворта, но с лучшей переходной характеристикой?» С этой стороны полезно сравнить колебательные

Таблица 7.7. Полиномы знаменателя фильтров Бесселя (нормированные относительно т^(1) = 1с)

а) Сомножители нормированных полиномов знаменателя

1(1,000 + s)

2 (3,000 + 3,000s + s2)

3(2,322 + s) (6,459 + 3,678s 十 s2)

4(9,140 + 5,792s + s2) (11,488 十 4,208s + s2)

5(3,647 十 s) (14,272 + 6,704s 十 s2) (18,156 十 4,649s + s2)

6(18,801 + 8,497s + M) (20,853 十 7,471s + s2) (26 514 十 5,0 32s + s2)

7(4,972 + s) (25,666 十 9,517s + s2) (28,937 十 8,140s + s2) (36,597 +

+ 5,371s + s2)

8(31,977 + 11,176s + s2) (33,935 + 10,410s 十 s2) (38,569 十 8,737s) +

+ s2) (48,432 + 5,678s + s2)

9(6,297 十 s) (62,041 + 5,959s 十 s2) (49,789 十 9,277s 十 s2) (43,647 +

+ 11,209s + s2) (40,589 + 12,259s + s2)

10(77,443 + 6.218s + s2) (62,626 + 9,772s + s2)(54,839 + 11,935s +

+ s2) (50,582 + 13,231s 十 s2) (48,668 十 13,844s 十 s2)

б) Добротности qp комплексно-сопряженных пар почюсов

*234567

8

9

10

夕卩0,580,690,810,921,021,13

1,23

1,32

1,42

0,520,560,610,66

0,71

0,76

0,81

0,510,53

0,56

0,59

0,62

0,51

0,52

0,54

0,50

выбросы фильтров Баттерворта и Бесселя, что и сделано в табл. 7.6 для фильтров до пятого порядка включительно. Фильтры Бесселя обладают только десятой частью колебательности фильтров Баттерворта, и этот параметр у них улучшается при увеличении порядка п, в то время как у фильтров Баттерворта он становится хуже. Как следует из рис. 7.7, тот факт, что по

Порядок

Фильтр Баттерворта

Фильтр

Бесселя

1

2,20

2,20

2

2/5

2,73

3

2,29

3,07

4

2,43

3,36

5

2,56

3,58

Таблица 78 Время нарастания фильтров Баттерворта и БесселяТаблица 78 Время нарастания фильтров Баттерворта и Бесселялюсы фильтра Бесселя расположены дальше от оси До, чем у фильтров Баттерворта, й объ-

Таблица 78 Время нарастания фильтров Баттерворта и Бесселя

Таблица 78 Время нарастания фильтров Баттерворта и Бесселя

ясняет их лучшую переходную характеристику и худшую частотную избирательность. Таким образом для каждого полинома Баттерворта существует соответствующий полином Бесселя, корни которого сдвинуты дальше от мнимой оси. Перечень этих полиномов приведен в табл. 7.7 для порядков п до десятого включитель

но. Как и в табл. 7.2 и 7.3 полиномы Бесселя представлены в виде произведения сомножителей с комплексно-сопряженными й отрицательными вещественными корнями (часть «а»), а также приведены значения добротностей qp соответствующих комплексно-сопряженных полюсов (часть《6》).

Основные параметры, по которым производится сравнение фильтров Бесселя и Баттерворта, не ограничиваются только колебательностью переходной характеристики и избирательностью. Для фильтров одинакового порядка время нарастания переходной характеристики фильтра Баттерворта в действительности меньше, чем у фильтра Бесселя, что нашло свое отражение в приведенном в табл. 7.8 сравнении. Следовательно, если рассматривать фильтры Бесселя и Баттерворта как два крайних случая, где первый обеспечивает максимально плоскую характеристику времени замедления, а второй——максимально плоскую амплитудно-частотную характеристику, то естественно задать вопрос： 《Можно ли найти набор таких функций, характе

ристики которых в установившемся й переходном режимах занимают промежуточное положение между этими двумя крайними случаями?» Рассмотрим рис. 7.24, где полюсы фильтра Баттерворта определяются как

рв = гве,(ь呢)=』(nf),рв = гве,(ь呢)=』(nf),(7.38а)(7.38а)

рв = гве,(ь呢)=』(nf),

рв = гве,(ь呢)=』(nf),

(7.38а)

(7.38а)

а полюсы фильтра Бесселя

(7.386)(7.386)рт = гте1 ^\

(7.386)

(7.386)

Полюс р, положение которого Меняется плавно между размещениями полюсов фильтров Баттерворта й Бесселя, теперь можно

[7.39][7.39]плоского времени замедления, илиплоского времени замедления, илиРис. 7.24. Формирование полюсов фильтра Бесселя из полюсов фильтра БаттервортаРис. 7.24. Формирование полюсов фильтра Бесселя из полюсов фильтра БаттервортаО — полюсы фильтру Баттерворта (В), •— полюсы фильтра Бесселя 件)О — полюсы фильтру Баттерворта (В), •— полюсы фильтра Бесселя 件)

[7.39]

[7.39]

плоского времени замедления, или

плоского времени замедления, или

Рис. 7.24. Формирование полюсов фильтра Бесселя из полюсов фильтра Баттерворта

Рис. 7.24. Формирование полюсов фильтра Бесселя из полюсов фильтра Баттерворта

О — полюсы фильтру Баттерворта (В), •— полюсы фильтра Бесселя 件)

О — полюсы фильтру Баттерворта (В), •— полюсы фильтра Бесселя 件)

получить, вводя параметр m так, что

Р = Рв(Рт/Рв)т-

Следует отметить, что при m = 0 р = рв, т. е. получаем максимально плоскую амплитудно-частотную характеристику, или характеристику фильтра Баттерворта, а при т = \, р = рт —

характеристику максимально характеристику фильтра Бесселя. Для каждого О W W /и W 1 набор полюсов выражается через набор полюсов фильтров Баттерворта и Бесселя следующим образом:

p = W, (7.40а)

где 厂=嘴 (7.406)

0 = m0p + (1 — m) 0B. (7.40в)

Фильтры с такими полюсами носят название переходных фильтров Баттерворта— Томсона. Поскольку параметр m уменьшается от единичного значения, ширина полосы частот амплитудно

частотной характеристики увеличивается, тогда как фазовочастотная характеристика, максимально линейная при m = 1, при уменьшении параметра m становится более нелинейной. Кроме того, при увеличении m от нулевого значения к единичному время нарастания затягивается, а колебательность умень- гпается. Естественно, что отсутствуют ограничения на задание значения параметра m в пределах от 0 до 1, если вследствие этого результирующая характеристика становится более пригодной.

Инверсные фильтры Чебышева

Инверсный фильтр Чебышева имеет сходство с фильтром Баттерворта, поскольку он обладает максимально плоской характеристикой в полосе пропускания, но в отличие от последнего в полосе задерживания содержит полюсы затухания. Следовательно, что касается полосы задерживания, то он аналогичен фильтру Чебышева ——Кауэра и, подобно последнему, не является полиномиальным фильтром, а имеет передаточную функцию, заданную в виде отношения полиномов, т. е., другими словами, сама передаточная функция содержит конечные нули (см. при-

веденную на рис 7.3,6 амплитудно-частотную характеристику). Из-за этих конечных нулей инверсный фильтр Чебышева имеет гораздо более крутую переходную область, чем соответствующий фильтр Баттерворта. Однако достаточно интересен тот факт, что его переходная область не круче, чем у соответствующего фильтра Чебышева. Таким образом, если рассмотреть характеристику затухания типового инверсного фильтра Чебышева, которая изображена на рнс. 7.25,0, то найдем, что порядок п полинома знаменателя Q(s), определяемый исходя из параметров Дтах, Атт И fs/fc, идентичен порядку п соответствующего фильтра Чебышева (см. рис. 7.15, а), удовлет* воряющего тем же самым техническим требованиям. Следовательно, неравномерность передачи в полосе пропускания фильтра Чебышева в сочетании с монотонным наклоном характеристики затухания в полосе задерживания являются такими же эффективными——в смысле повышения избирательности фильтра, — как и максимально плоские в полосе пропускания характеристик инверсного фильтра полюсами затухания. Тог

〃

Рис. 7.25. Инверсный фильтр Чебышева а — характеристика за гухания; б — сравнение с фильтром Баттерворта.

Чебышева в сочетании с конечными

да очевидным становится вопрос: 《Зачем вообще следует использовать инверсные фильтры Чебышева, если они не обеспечивают лучшие характеристики, чем более легко реализуемые фильтры Чебышева?^ (Напомним, что полиномиальные фильтры, например фильтры Чебышева, всегда реализуются легче, т. е. проще настраиваются и требуют меньшего числа элементов, чем фильтры с конечными нулями, такие, как инверсные фильтры Чебышева.) Ответ состоит из двух частей. В обоих случаях максимально плоские характеристики в полосе пропускания

обеспечивают инверсному фильтру Чебышева лучшие характеры、 стики времени замедления, и, как следствие этого, они более пригодны для фильтрации импульсов, чем обычные фильтры Чебышева. В других случаях добротности полюсов qp инверсных фильтров Чебышева ниже, чем у соответствующих фильтров Чебышева. Это достаточно правдоподобно, если представить инверсный фильтр Чебышева как фильтр Баттерворта, крутизна характеристики затухания которого резко увеличивается на дискретных частотах (т. е. на полюсах затухания), что качественно отражено на рис. 7.25,6. Напомним, что добротности полюсов фильтров Баттерворта существенно ни?ке, чем у соответствующих фильтров Чебышева (см. табл. 7.2 и 7.3) и вследствие этого инверсный фильтр Чебышева можно считать «фильтром Баттерворта с равноволновой полосой задерживания».

Поскольку инверсный фильтр Чебышева тесно связан с фильтром Чебышева (первый имеет равноволновую характеристику в полосе задерживания, а второй в полосе пропускания), то соответствующую передаточную функцию можно легко создать на основе функции фильтра Чебышева. Для того чтобы получить порядок п, используем номограмму для фильтров Чебышева на рис. 7.15,6 или уравнение (7.26), поскольку сам порядок одинаков для обоих типов фильтров при заданном наборе технических требований. Полином знаменателя DlC(s) функции инверсного фильтра Чебышева находится из полинома знаменателя Dc(s) функции обычного фильтра Чебышева при следующей подстановке:

Dic(s) = snDc(s). [7.41]

Это получается вследствие того факта, что амплитудно-частотные функции, которые создаются исходя из полиномов DlC(s) и Dc(s), идентичны, за исключением того, что частоте(о в одной функции соответствует частота 1 /(о в другой. Заметим, что сам полином Qc(s), а именно полином Чебышева, нормирован относительно частоты среза со。. Обращая внимание на то, как формируется одна характеристика из другой, а также исходя из сравнения рис. 7.17 и 7.25,6, становится очевидным, что полином Dc(s) нормирован относительно частоты границы полосы задерживания ws. Таким образом, в противоположность фильтру Чебышева [см. уравнение (7.30)] частота среза полосы пропускания по уровню 3 дБ инверсного фильтра Чебышева задается как

% дб = kh [(1 伍)Arch (l/e)]}f 吗，

г^е W3 ДБ < J [7.42]

Из рис. 7.25 следует, что заданному затуханию 4mm в полосе задерживания соответствует коэффициент пульсаций е, где само затухание в полосе задерживания составляет е (1 + е2)_!/2. Затухание внутри полосы пропускания Атах соответствующего

полинома Чебышева Dc(s) равно (l + e?)-%, где используется один и тот же коэффициент пульсаций е. Следовательно, например, при п = 3 и е = 0,5 нз табл. 7.3 находим, что Dc{s)= =(0,6纟6 + s) (1,142 + 0,626s + s?), где используется несколько меньшее значение е = 0,349 для того, чтобы гарантировать коэффициент сохранности полосы пропускания. Из уравнения (7.41) следует, что Dr?(s) — s3(0,626 + 1/s) (1,142 + 0,626/s + + 1/s2) =0,715(s+ 1,597) (s2 + 0,54 8s+ 0,876).

выражениявыраженияСам же полином числителя ^(s) функции Т(s) находится из

выражения

выражения

[7.43][7.43]^(S)^ (— S)=0)2"С^ (1/(0)|d—s2,

[7.43]

[7.43]

где C〃(s)——так называемый полином Чебышева п-го порядка, перечень которых приведен в табл. 7.9. Эти полиномы играют важную роль в формиро- Таблица 79 Нормированные полиномы вании равноволновых Чебышева Сп (®)функций, т. е. таких, как

-у фильтров Чебышева.

拉спОднако нет необходимо-

сти приводить их здесь,

со2① 2 _ 14(о3 — 3(о8 со4 — 8(о2 + 116co§ — 20g)3 + 5 ①32co6 — 48co4 + 18co2 — 164co7— 112co5 +56g? — 7co128co8 — 256d + i60o)4 一 32(o2 + 1со2① 2 _ 14(о3 — 3(о8 со4 — 8(о2 + 116co§ — 20g)3 + 5 ①32co6 — 48co4 + 18co2 — 164co7— 112co5 +56g? — 7co128co8 — 256d + i60o)4 一 32(o2 + 1поскольку в наличии имеется много таблиц и других средств расчета, в которых они уже учтены. В уравнении (7.43) определяется произведение двух полиномов, а именно N(s) и N(—s). Однако

со

2① 2 _ 1

4(о3 — 3(о

8 со4 — 8(о2 + 1

16co§ — 20g)3 + 5 ①

32co6 — 48co4 + 18co2 — 1

64co7— 112co5 +56g? — 7co

128co8 — 256d + i60o)4 一 32(o2 + 1

со

2① 2 _ 1

4(о3 — 3(о

8 со4 — 8(о2 + 1

16co§ — 20g)3 + 5 ①

32co6 — 48co4 + 18co2 — 1

64co7— 112co5 +56g? — 7co

128co8 — 256d + i60o)4 一 32(o2 + 1

一 一 поскольку нули полинома

N(s) должны располагаться на оси js, то нули полинома /V(——s) будут идентичны, т. е. оба полинома содержат одинаковые сомножители, которые все имеют вид (s2 + а). Таким образом, из табл. 7.9 для приведенного примера при п = 3 получаем Сз((о)=4о)з — 3(о, а из уравнения (7.43) N(s)N(—s) = w6(4/(o3 — 3，s)2| 心_导=(4 — —3(о2)2|й).= _ s5— (3s2 + 4)2. Поэтому N(s) = 3« + 4, а переда

точная функция имеет следующий вид:

T(S)= k 《 + 1597)(我+ 0,548s 斗飞,876)‘，

где постоянный коэффициент 0,715 в полиноме Dic(s) исключили и ввели его в постоянный коэффициент К. Как и в предыдущем примере, коэффициент К будет определяться исходя из уровня сигнала на заданной частоте, например, для того чтобы |Т(0) I = 1, коэффициент К должен быть приблизительно равен 1,6.

Наконец, хотя это и не обязательно для формирования передаточных функций, может быть интересно сравнить амплитуд-

но-частотные характеристики фильтра Чебышева | 7с(/а)) | и инверсного фильтра Чебышева |Пс(/з)|, выраженные через полиномы Чебышева С\((о), и коэффициент пульсаций е. Для фильтра Чебышева имеем

I Тс (拘)I = 1/“ 1 + е?不(® .[7.44]

Анализ полиномов Чебышева в табл. 7.9 показывает, что для нечетного порядка п

丨 Тс (0)1=1，(7.45а)

а для четного I Тс (0) | ~ \^ 1 + ^2-(7.456)

Уравнение (7.456) характеризует неравномерность передачи в полосе пропускания (см. рис. 7.17). Поскольку сами полиномы &((о) нормированы относительно частоты среза 仇，то Сп((о =(ос) = Сп(1) = 1 для всех порядков п. Следовательно, при со = (Ос

1%⑴ LI/УГГ^,,(7.45в)

что также изображено на рис. 7.17.

Для инверсного фильтра Чебышева имеем

I Т；с (応)丨=е& (I/®)/" 1 + е?片(1/8).[7.46]

Следовательно, для всех значений порядка п

|小)1=1,(7.47а)

а для со =(os (см. рис. 7.25,6) и всех порядков п

⑵с ⑴匸е/“ГТ/.(7.476)

Уравнение (7.476) характеризует полосу задерживания.

7-5- Масштабирование по частоте и уровню сигнала

Масштабирование по частоте

Передаточные функции фильтров нижних частот, заданные в этой главе через их полюсы и нули, все были нормированы относительно некоторой сговоренности частоты ①入 Это делается для удобства их табличного задания. При введении нормированных частот

Q=o)/a)r(7.48а)

иS = s/®(7.486)

типовая передаточная функция второго порядка будет иметь вид

T(S)^ к S + (Qz/9z) s + Q纽[S?十(Qp/q。) S + Q讣(7.49)

Данные в уравнении (7.48) обозначения полезны в тех случаях, когда оговорена процедура нормирования по частоте и уровню сигнала. При обсуждении различных типов фильтров нижних частот и их полюсов и нулей в предыдущих разделах этой главы было отмечено, относительно какой частоты соответствующие полиномы и связанные с ними величины были нормированы. За исключением инверсных фильтров Чебышева, где это была частота границы полосы задерживания <о$, в основном используется частота среза которая представляет собой граничную частоту полосы пропускания фильтра нижних частот. (Следует

б — реальные технические требования.б — реальные технические требования.Рис. 7.26. Фильтр нижних частот, а — нормированные технические требования;Рис. 7.26. Фильтр нижних частот, а — нормированные технические требования;

б — реальные технические требования.

б — реальные технические требования.

Рис. 7.26. Фильтр нижних частот, а — нормированные технические требования;

Рис. 7.26. Фильтр нижних частот, а — нормированные технические требования;

отметить, однако, что для показанных на рис. 7.9—7.11 кривых в качестве частоты ①尸 используется частота по уровню 3 дБ, т. е.(оздБ. Это обычно характерно для описывающих фильтры Баттерворта и Лежандра функций). Таким образом, технические требования предъявляемые к нормированному фильтру нижних частот, задаются, как правило, в изображенном на рис. 7.26,0 виде. Для Q W 1 потери в полосе пропускания не должны превышать Дтах, а для Q》Qs затухание в полосе задерживания должно быть больше 4min- На практике же технические требования к фильтру нижних частот будут задаваться в показанном на рис. 7.26,6 виде, т. е. нормированную передаточную функцию необходимо промасштабировать относительно оговоренной частоты со, = wc. Для описываемого уравнением (7.49) примера соответствующая масштабированная или денормиро- ванная передаточная функция получается, следовательно, из уравнения (7.48), а именно

Т (s) = К [s? + s<?偉丿农)s + ①跄费/У + 仇(Qp/qp) s + s阻社(7.50) Следует отметить, что в любом случае размерность передаточной функции цепи должна сохраняться той же самой. В случае же передаточных функций, заданных уравнениями (7.49) и (7.50), они обе должны быть безразмерными,

Масштабирование уровня сигнала

Как было показано в различных примерах, значение постоянного коэффициента К, которое получается первоначально при формировании передаточной функции, не обязательно обеспечивает необходимый фактически уровень сигнала. Естественно, что этот уровень сигнала можно установить только на заданной частоте. В случае фильтра нижних частот он, как правило, устанавливается на постоянном токе, т. е. на нулевой частоте. Если же полученный постоянный коэффициент К' фактически не обеспечивает установленный уровень сигнала 厶，скажем, на частоте ①丄,то новое его значение должно определяться из следующего соотношения:

Tga = N@)IDW) = L.(7.51а)

Для описываемого уравнением (7.49) примера при sl = 0 находим

K = LQ^Q^.(7.516)

Если К > К', то, для того чтобы обеспечить желаемый уровень сигнала L на постоянном токе, необходим дополнительный усилитель; если же К V К', то как каскад активного фильтра можно ввести резистивный или емкостный аттенюатор.

Частотные преобразования

Рассматриваемые до сих пор функции использовались при проектировании в основном фильтров нижних частот. К счастью, нет необходимости исследовать отдельно эквивалентные функции других типов фильтров, таких, как, например, фильтры верхних частот и полосно-пропускающие (см. гл. 2), поскольку с помощью простых частотных преобразований легко можно получить соответствующие функции фильтров этих типов. При рассмотрений таких частотных преобразований мы, как й в предыдущем разделе, будем использовать переменную S в качестве исходной переменной, a s, которая была масштабированной переменной,——как преобразованную.

Преобразование типа НЧ ВЧ

Технические требования к фильтрам верхних частот задаются так, как качественно изображено на рис. 7.27. Показаны как реальная, так й нормированная оси частот, и, как обычно, частота нормирования(ог была выбрана равной граничной частоте полосы пропускания Зс, т. е. сог ==(ос. Передаточную функцию фильтра верхних частот Т вч(5) можно определить исходя из нормированной функции Тнч (s) фильтра нижних частот,

производя подстановку

S = s]6r ' ^rls sjs，(7 ・52)

т.е.Твн (s) = Тнч ®/s)・(7.53)

При проектировании фильтра верхних частот потребуется также и обратная процедура, т. е. должны быть найдены заданные в приведенных на рис. 7.27 определениях технические требования к фильтру верхних частот и соответствующие нормированные

4 05

A /WOT ^задерживания无%К勿勿乡Переходная/ областьA /WOT ^задерживания无%К勿勿乡Переходная/ область•|п 4•|п 4I ПолосаI Полоса7 пропускания7 пропускания

A /WOT ^задерживания

无%К勿勿乡Переходная

/ область

A /WOT ^задерживания

无%К勿勿乡Переходная

/ область

•|п 4

•|п 4

I Полоса

I Полоса

7 пропускания

7 пропускания

ww*3产心

w

w

%70二①网，

Рис 7.27, Технические требования к фильтру верхних частот.

характеристики фильтра нижних частот в определениях, обозначенных на рис. 7.26. Таким образом, для данного набора требований К фильтру верхних частот, а именно Xmin, Атах, 3s и Sr, сначала получим соответствующие характеристики нормированного фильтра нижних частот Дт1п, Лтах, Йс = 1 и из соотношения (7.52)

ВЧ->НЧ

Q§ — g/co广> Qs = coj(o$.(7.54)

Из этих нормированных требований к фильтру нижних частот можно сформировать соответствующую передаточную функцию Thh(s), а затем, используя частотное преобразование (7.52), получить функцию Твд(5)в определяемом уравнением (7.53) виде.

Пример. Найдем передаточную функцию Гвч (s) фильтра Чебышева верхних частот, описываемого следующими исходными данными: Лт1п = 25 дБ, Лтгх п 2 дБ, со, н 1000 рад/с н з§ = 500 рад/с. Эквивалентные характеристики нормированного фильтра нижних частот изображены на рис. 7.28, т. е. <4min === 25 дБ, Ащах === 2 дБ, Qc 1 и °s == 2.

Следует отметить, что для фильтра нижних частот частоты со© и ш5 переставлены местами, т. е. сос = 500 рад/с, a cos — 1000 рад/с. Используя кривые фильтра Чебышева с неравномерностью 2 дБ, которые приведены на рис 7.9, для определения требуемого порядка находим, что при п ~ 3 эти технические требования выполняются Однако сами кривые на рис 7.9 нормированы относительно не частоты шс, а относительно частоты s3AB. Эта раз-

ница доказана на двух нормированных осях Q и Q' (рис. 7.28). Из табл. 7 4 находим, ЧТО При AZ = 3 и 4щах = 2 Д.6 Зс/Зуб = 0,968 и поэтому ®з дБ (% = 3) = 500/0,968 = 516 рад/с. Следовательно, Q, — д/33 дБ = =1000/516 = 1,94. Из анализа показанных на рис. 7.9 кривых следует, что Для нормированной частоты 1,94 (а не 2, как предполагалось первоначально)

4浙

А

25沥-

/I&=з/%с

%:然/%BE6=I"叱db

Рис. 7.28. Нормированный фильтр нижних частот для примера расчета фильтра верхних частот.

этот порядок п — 3 является предельно минимальным, таким образом, выбираем 〃 =4. Из табл. 7.1 находим тогда соответствующие нормированные полюсы (относительно частоты <о3 дБ ) 丸 2 = —0,2486 士 /0,3896, рз, & — =—0,1029 ± /0,9406. Следовательно, из заданного соотношения (7.19) получаем передаточную функцию фильтра нижних частот

『Hq (S) = 1/(S2 + 0,4975 + 0,214) (S2 + 0,206S + 0,895).

Соответствующая же функция фильтра верхних частот T^q (s) формируется при замене переменной S на wr/s = w3 дБ /s. Поскольку теперь выбран порядок 九=4, необходимо найти соответственно новое значение частоты Зз^е* Из табл. 7.4 определяем, что 3с/3здв = 0,982 и, таким образом. g)3hE(〃 = 4) = 509 рад/с. При подстановке вместо переменной S величины 509/s в функцию Тнч($)получаем

Тв^ (s) = 5s4/(s2 + 1182s + 1,211 • 106)($2 + 117s + 0,289 • 10).

Эта передаточная функция будет описывать характеристику фильтра Чебышева верхних частот с неравномерностью 2 дБ, которая удовлетворяет предъявленным выше требованиям.

Преобразование типа НЧ -> ПП

На рис. 7.29 качественно изображены технические требования, предъявляемые к полосно-пропускающему фильтру. Предполагается, что его полоса пропускания геометрически

симметрична, т. е.симметрична, т. е.3в|3в2=%1%2 = 3^3в|3в2=%1%2 = 3^(7.55)(7.55)

симметрична, т. е.

симметрична, т. е.

3в|3в2=%1%2 = 3^

3в|3в2=%1%2 = 3^

(7.55)

(7.55)

Для получения геометрически симметричной функции полосно- пропускающего фильтра, соответствующей нормированной функции фильтра нижних частот, необходимо сделать подстановку

S = s/Зг —Ч~>ПГ>- (s2 + 喻IBs, (7.56а) где В = 3в2 — зв\ (7.566) И 3「= д/зв1382 =，3§13s2・ (7.56в)

Параметр В представляет собой ширину полосы пропускания фильтра. Следовательно, передаточная функция полосно-про- 4沥

Рис. 7.29. Технические требования к полосно-пропускающему фильтру.Рис. 7.29. Технические требования к полосно-пропускающему фильтру.

Рис. 7.29. Технические требования к полосно-пропускающему фильтру.

Рис. 7.29. Технические требования к полосно-пропускающему фильтру.

пускающего фильтра 「□□ (s) находится из функции T^(s) при подстановке

Лш($)= &“ [d+ 吟)/Bs].(7.57)

На практике же характеристики полосно-пропускающего фильтра будут задаваться так, как показано на рис. 7.29, и их необходимо преобразовать в параметры соответствующей нормированной функции фильтра нижних частот. Получив это, можно использовать различные вспомогательные средства расчета нормированных фильтров нижних частот, которые приведены в этой главе, для нахождения соответствующих нормированных передаточных функций. Тогда соотношение (7.57) позволяет осуществить переход к полосно-пропускающей передаточной функции, удовлетворяющей исходным техническим требованиям.

Для того чтобы получить нормированную функцию фильтра нижних частот (см. рис. 7.26) на основе предъявленных на рис. 7.29 технических требований к полосно-пропускающему

фильтру, необходимо подставить

Qs = ®s2 —① sl)/®B2 —① bi).(7.58)

Таким образом, для заданного набора технических требований к геометрически симметричному полосно-пропускающему фильтру (рис. 7.29), т. е. 4max, 4mm, 3si, зв1, з§2,(0в2, где соотношение (7.55) выполняется, найдем сначала соответствующие нормированные параметры фильтра нижних частот, а именно Лmax,厶min.

Рис. 7.30. Преобразование несимметричных технических требований к полосно- пропускающему филыру в симметричные.

Qc = 1, а исходя из соотношения (7.58), найдем ◎$. После того как сформирована соответствующая нормированная функция фильтра нижних частот Тнч($), сама функция полосно-пропу- скающего фильтра определяется по соотношению (7.57).

Если же исходные характеристики полосно-пропускающего фильтра не соответствуют геометрически симметричному фильтру, то эти технические требования необходимо соответственно модифицировать. Затухание в полосе задерживания можно увеличить, а несимметричную граничную частоту полосы пропускания уменьшить, т. е. изменить их в сторону ужесточения требований к фильтру. Тогда результирующий геометрически симметричный фильтр с более жесткими требованиями будет гарантировать выполнение исходных технических требований на геометрически несимметричный фильтр.

Пример Найти передаточную функцию 7口口 (s) полосно-пропускающего фильтра Чебышева, описываемого следующими параметрами- Лтах = 0,1 дБ, Лтт = 20 дБ, fsi = 300 Гц, fei = 500 Гц, % ~ 3000 Гц, %2 = 6000 Гц. Следует отмеи^ть, что этот фильтр является геометрически несимметричным, поскольку feife2 =#= fsifS2. Для получения геометрической симметрии верхнюю частоту 『$2 можно уменьшить до значения ^2, как изображено на рис. 7 30, так чтобы выполнялось соотношение (7.55), а именно f；2 = fBife2lfsi = —5000 Гц Если же затухания в полосе задерживания на нижних и верхних частотах были заданы различными, т е, как показано на рис. 7 30, Атш 1 ¥= /Imin 2, то необходимо увеличить Лт1П 2 так, чтобы оно стало равно Amin 1 или наоборот.

Теперь параметры нормированного фильтра нижних частот задаются следующим образом: /1тах = 0,1 дБ, /1т]Г — 20 дБ, Qc =1, Qs = =(5000—300)/(3000—500) = 1,88. Используя номограмму, приведепну!О на рис. 7.15, находим, что предъявленным требованиям будет удовлетворять фильтр Чебышева с порядком % = 4. Из табл 7.3 получаем

Гнч (S) = 1/(S2 + 0,528S + 1,330) (S2 + },275S + 0,623).

Из соотношений (7.55) и (7.56а) следует, что S= [s2 + 4л2 (1,5- 106)]/(2л X X2500)s. Постановка этого члена в функцию Гнч (s) уравнения (7.57) достаточно громоздка. Однако сама функция фильтра нижних частот будет

всегда содержать члены второго порядка общего вида

Тт (S) = 1/(S2 + qS + b).(7.59)

Следовательно, при подстановке

S = $ + a)/Ps(7.60)

каждый член второго порядка становится членом четвертого порядка вида Гпп ⑶=^s2Дs4 + 仪3$3 + a2s2 +。科 + Q“(7.61а)

гдеК =吃 (7.616)«2 = 2a + b^,(7.61д)

«о = а2Л (7.61 в) аз = Q§(7.61е)

ai = асф, (7.61г)

Следует отметить, что частотное преобразование типа НЧ -> ПП удваивает порядок соответствующего знаменателя функции нижних частот л-го порядка и вводит член s及 в числитель. Это означает, что каждому полюсу функции нижних частот соответствуют два полюса в полосно-пропускающей функции. Необходимо также отметить, что добротности (т. е. qp) вновь преобразованных полюсов полосно-пропускающей функции всегда больше, чем у исходных полюсов функции нижних частот.

Вместо использования процедуры подстановки на основе соотношений (7.59) —— (7.61) имеется возможность получить пары полюсов полосно-пропускающей функции, соответствующие отдельным полюсам функции нижних частот, графически *). Хотя результаты и получаются недостаточно точными для проектирования фильтров, они дают оценку первого порядка требуемых частот полюсов и, что более важно, их добротностей.

Нормированный вариант частотного преобразования (7.56) имеет вид

5 =(户+1)/方〃(7.62а)

где S представляет собой нормированную комплексную частоту нижних частот, нормированную относительно ①人 В полярных координатах она задается следующим образом:

S = Me^t(7.626)

1) Premoli A., A Frequency Transformation Chart for RC Active Band-Pass Filters, Alta Frequenza, 41. No 6, 468—469 (June 1972),

S £

о о

0 о00 о0- _ eG 0。- _ eG 0。geo° g-0° о-。 290。 0寸00-0geo° g-0° о-。 290。 0寸00-00~00。01.0goo。0~00。01.0goo。%「ю(о (т.=1)%「ю(о (т.=1)25。16010025。160100300010005003000100050025016010063402516106,34Q25016010063402516106,34Qq j000 8 го ш о o' оq j000 8 го ш о o' оON 29- 0一 g一 9一 0二 oqol gz。 03 29。。 0寸001ON 29- 0一 g一 9一 0二 oqol gz。 03 29。。 0寸001OZOOL 01二 gi.L ~000с ▼OZOOL 01二 gi.L ~000с ▼зоо81000500зоо81000500

0 о0

0 о0

- _ eG 0。

- _ eG 0。

geo° g-0° о-。 290。 0寸00-0

geo° g-0° о-。 290。 0寸00-0

0~00。01.0goo。

0~00。01.0goo。

%「ю(о (т.=1)

%「ю(о (т.=1)

25。

160

100

25。

160

100

3000

1000

500

3000

1000

500

250

160

100

63

40

25

16

10

6,3

4Q

250

160

100

63

40

25

16

10

6,3

4Q

q j000 8 го ш о o' о

q j000 8 го ш о o' о

ON 29- 0一 g一 9一 0二 oqol gz。 03 29。。 0寸001

ON 29- 0一 g一 9一 0二 oqol gz。 03 29。。 0寸001

OZOOL 01二 gi.L ~000с ▼

OZOOL 01二 gi.L ~000с ▼

зоо8

1000

500

зоо8

1000

500

彳便m2 = 1 /тз = 1,062

Е

Рис. 7.31. График частотного преобразования для проектирования полосно- пропускающего фильтра.

(Воспроизведено из A Frequency Transformation Chart for RC Active Band-Pass Filters by A Prcmoli, Alta Frequenza, June 1972 с разрешения A. Premoli, Associazione Elect- rotechnica et Electtronica Italiana.)

Комплексная частота полосно-пропускающего фильтра, нормированная относительно ①匕 равна р. В полярных координатах

р = s/% = me 仰.(7.62в)

Наконец, параметр b представляет собой нормированную относительно частоты со? ширину полосы пропускания 5, т. е. из соотношения (7.566) получаем

b = В/з「=(3g2 —①bi)/①г*(7.62г)

Добротности полюсов функций фильтров нижних частот и полосно-пропускающего соответственно равны

Ql=1/2 cos ①(7.63а) и Qs = 1/2 cos ср. (7.636)

Для нахождения пар полюсов полосно-пропускающего фильтра, соответствующих отдельным полюсам фильтра нижних частот, можно теперь использовать приведенный на рис. 7.31 график частотного преобразования. Полюс фильтра нижних частот Si

(7-64)(7-64)характеризуется параметрами 4『и Q% где Ai — Mfi.

(7-64)

(7-64)

Полюсы полосно-пропускающего фильтра р…находятся тогда из этого графика при считывании с него показателя качества Qb и пары коэффициентов 团乩 и mv, где

(7.65)(7.65)mu = l/mv》1.

(7.65)

(7.65)

Пример. Рассмотрим нормированный фильтр нижних частот третьего порядка с вещественным полюсом и комплексной парой полюсов, заданый следующими параметрами: Мц = 0,97, Q^1 = 0,5, М2 = 1,3, Q〃 ~ 1,34. Полагая, что относительная ширина полосы частот полосно-пропускающего фильтра 匕= 0,1,Пример. Рассмотрим нормированный фильтр нижних частот третьего порядка с вещественным полюсом и комплексной парой полюсов, заданый следующими параметрами: Мц = 0,97, Q^1 = 0,5, М2 = 1,3, Q〃 ~ 1,34. Полагая, что относительная ширина полосы частот полосно-пропускающего фильтра 匕= 0,1,Рис. 7.32. Частотное преобразование НЧ -> ПП в s-плоскости.Рис. 7.32. Частотное преобразование НЧ -> ПП в s-плоскости.

Пример. Рассмотрим нормированный фильтр нижних частот третьего порядка с вещественным полюсом и комплексной парой полюсов, заданый следующими параметрами: Мц = 0,97, Q^1 = 0,5, М2 = 1,3, Q〃 ~ 1,34. Полагая, что относительная ширина полосы частот полосно-пропускающего фильтра 匕= 0,1,

Пример. Рассмотрим нормированный фильтр нижних частот третьего порядка с вещественным полюсом и комплексной парой полюсов, заданый следующими параметрами: Мц = 0,97, Q^1 = 0,5, М2 = 1,3, Q〃 ~ 1,34. Полагая, что относительная ширина полосы частот полосно-пропускающего фильтра 匕= 0,1,

Рис. 7.32. Частотное преобразование НЧ -> ПП в s-плоскости.

Рис. 7.32. Частотное преобразование НЧ -> ПП в s-плоскости.

получаем А[ = bMi = 0,097, А2 — ЬМ? = 0,13. Работая с графиком, как показано на рис. 7.31, находим соответствующие три пары полюсов, выраженные через параметры т и Qs, а именно mi = 1, Qbi = 10,0, m2 = l/m3 = =1,062 и Qb2, з = 21.

Заметим, что графйк приведенный на рис. 7.31, позволяет быстро оценить добротности полюсов сомножителей полосно- пропускающей функции, поскольку известны полюсы нормированного фильтра нижних частот. Качественно это преобразование, выполняемое в данном примере, изображено на рис. 7.32. Он демонстрирует, как низкие добротности сомножителей функции фильтра нижних частот третьего порядка значительно увеличиваются в соответствующем полосно-пропускающем фильтре шестого порядка. В типовом случае ступенчато-настроенный полоспо-пропускающий фильтр состоит из трех полосно-

пропускающих фильтров второго порядка, где добротности первого и третьего звеньев равны и больше, чем у центрального звена.

Преобразование типа НЧ -> ПЗ

На рис. 7.33 качественно изображены предъявляемые к по- лосно-заграждающему фильтру технические требования. Полос- но-заграждающий фильтр представляет собой инверсный аналог полосно-пропускающего фильтра в том смысле, что их полосы

4 06木1П1П4 06木1П1ПmaxmaxПолоса пропускания'"////"/////"//АПолоса пропускания'"////"/////"//Аw*Сw*С%〃〃〃/〃〃〃〃〃〃,%〃〃〃/〃〃〃〃〃〃,Полоса пропусканияПолоса пропусканияРис. 7.33. Технические требования к полосно-заграждающему фильтру.Рис. 7.33. Технические требования к полосно-заграждающему фильтру.

4 06木

1П1П

4 06木

1П1П

max

max

Полоса пропускания

'"////"/////"//А

Полоса пропускания

'"////"/////"//А

w

*

С

w

*

С

%〃〃〃/〃〃〃〃〃〃,

%〃〃〃/〃〃〃〃〃〃,

Полоса пропускания

Полоса пропускания

Рис. 7.33. Технические требования к полосно-заграждающему фильтру.

Рис. 7.33. Технические требования к полосно-заграждающему фильтру.

пропускания и задерживания поменялись местами. Вспомним, что из подобных рассуждений мы установили, что фильтр верхних частот является также инверсным аналогом фильтра нижних частот (полосы пропускания и задерживания поменялись местами) и формируется из прототипа нижних частот при подстановке 1/S вместо S. Соответственно характеристику полосио- заграждающего фильтра можно получить при инвертировании частотного преобразования НЧ -> ПП. Исходя из уравнения (7.56а), находим

S = s回 口3aES/($2 + 硝，(7.66a)

где8 = Зс2 —叽1(7.666)

И①г = “叫13(:2 = л/秹2 •(7.66в)

Параметр В описывает ширину полосы задерживания, а уравнение (7.66в) подразумевает геометрическую симметрию. Таким образом, передаточная функция Гиз (s) полосно-заграждающего фильтра получается из нормированной функции Тнч (s) фильтра нижних частот при подстановке

Tg(s)= THq[Bs/(s2 + 3^.(7.67)

На практике же заданную на рис. 7.33 полосно-пропускающую характеристику необходимо сначала преобразовать в характе ристику нормированной функции нижних частот. Задав параметры полосно-заграждающего фильтра Лmax,厶min, 3ci,①si, 3s2 H ①c2, где предполагается геометрическая симметрия [см, уравнение (7.66в)], находим следующие параметры соответствующего фильтра нижних частот： Лтах,厶ms, Qc == 1 и

& = ®С2 —■ Зс1)/(3$2 — 3si). (7.68)

На основе этих параметров можно определить желаемую передаточную функцию Тт (s) фильтра нижних частот, используя таблицы и другие средства проектирования, приведенные в этой главе. При подстановке S = Bs/(s2 + со^) в выражение для функции Тнч(5) получается соответствующая функция Гпз(5)полосно-заграждающего фильтра [см. уравнение (7.67)]. Из-за прямой аналогии между формированием полосно-пропускающей и полосно-заграждающей передаточных функций нет необходимости продолжать здесь дальнейшее рассмотрение полосно-заграждающего фильтра. Следует отметить, что в случае геометрически несимметричных технических требований к полосно- заграждающему фильтру их необходимо модифицировать, т. е получить более жесткие, но геометрически симметричные требования, как было уже сделано для полосно-пропускающего фильтра. Тогда результирующий геометрически симметричный полосно-заграждающий фильтр будет надежно удовлетворять требованиям, предъявляемым к заданному несимметричному фильтру.

Формирование пары полюс — нуль

Вопрос формирования пары полюс ——нуль является достаточно запутанным, подробное исследование этой проблемы выходит за рамки материала этого справочника и освещен в дополнительной литературе » Однако некоторые краткие рекомендации и эмпирические определения будут даны, поскольку они часто являются достаточными при проектировании универсальных активных фильтров.

При формировании пары полюс ——нуль предполагается, что функция фильтра n-го порядка представлена в виде сомножителей второго порядка, каждый из которых можно реализовать одним из приведенных в гл. 5 функциональных узлов второго порядка. Что такое разложение никоим образом не является единственным будет ясно из следующего.

*) Moschytz G. S., Linear Integrated Networks: Design, Van Nostrand Reinhold Co., New York, 1975, p. 15,

Рассмотрим показанную на рис. 7.34 диаграмму полюс — нуль, соответствующую полосно-пропускающему фильтру четвертого порядка. Соответствующая передаточная функция имеет вид

Т (s) = Ks/s2 + (Шр1/^Р1) s + %] 3 + ^lqp^ s + 唯].(7.69)

Эту функцию можно разложить на произведение двух сомножителей второго порядка

T(s) = C(s)T2(s),(7.70)

где?1 (s) = K[S2/卜2十(％/%) s +%](7.71а)

и=++(7.716)

т. е. 7\ (s) и「2 ($) — функции соответственно фильтров верхних и нижних частот. Однако функцию можно также разложить в произведение вида

T(s) = T；(s)T；(s), (7.72)

где

и

Т； (s) = K；s/[s?十(％囱|) s + 峭](7.73a)

T；(s)=心/俨 + ^/q^s + 叫.(7.736)

В этом случае как функция Т{ (s), так и 7；(s) соответствуют

полосно-пропускающим цепям. Отличие частотной характеристики соответствующих разложений HQf

f Bq и ПП->ПП качественно изображено丿⑴

на рис. 7.35. В общем виде трудно решить,义

какое из этих двух разложений или формирований пар полюс — нуль лучше. Это 义 зависит от критерия или критериев, исполь

А 6А 6XXРис. 7.34. Диаграмма полюс — нуль, соответствующая уравнению (7.69).XXРис. 7.34. Диаграмма полюс — нуль, соответствующая уравнению (7.69).зуемых при определении стратегии оптимального выбора пар полюс — нуль. Существуют различные критерии, согласно которым и производится формирование пар полюс ——нуль и их важность с этой стороны будет зависеть от имеющихся активных приборов и пассивных элементов. Наиболее важными являются следующие критерии.

А 6

А 6

X

X

Рис. 7.34. Диаграмма полюс — нуль, соответствующая уравнению (7.69).

X

X

Рис. 7.34. Диаграмма полюс — нуль, соответствующая уравнению (7.69).

Обеспечение максимального динамического диапазона. Это важно в том слу-

чае, когда активный фильтр предназначен

для обработки сигналов большой амплитуды, в то время как нх искажения должны оставаться достаточно малыми. Очевидно,

что входные сигналы можно контролировать достаточно хорошо с тем, чтобы отсутствовала перегрузка первого каскада, но о перегрузках отдельных звеньев фильтров судить достаточно трудно. Уровень выходного сигнала любого звена T」(s) может перегружать следующий каскад без каких-либо заметных эф-

измерении может зна- расчетной характери-измерении может зна- расчетной характери-Рис. 7.35. Частотные характеристики, соответствующие различным выборам пар полюс — нуль функции (7.69),Рис. 7.35. Частотные характеристики, соответствующие различным выборам пар полюс — нуль функции (7.69),а — разложение (7.71); б — разложение (7.73).а — разложение (7.71); б — разложение (7.73).том, что активные элементы Следовательно, отношение сиг- параметром, где сам шум, о ко- собой шум внутри активнойтом, что активные элементы Следовательно, отношение сиг- параметром, где сам шум, о ко- собой шум внутри активной

измерении может зна- расчетной характери-

измерении может зна- расчетной характери-

Рис. 7.35. Частотные характеристики, соответствующие различным выборам пар полюс — нуль функции (7.69),

Рис. 7.35. Частотные характеристики, соответствующие различным выборам пар полюс — нуль функции (7.69),

а — разложение (7.71); б — разложение (7.73).

а — разложение (7.71); б — разложение (7.73).

том, что активные элементы Следовательно, отношение сиг- параметром, где сам шум, о ко- собой шум внутри активной

том, что активные элементы Следовательно, отношение сиг- параметром, где сам шум, о ко- собой шум внутри активной

фектов на выходе всего фильтра, в то время как общая частот-

ная характеристика при тщательном ее чительно отличаться от заданной или

стики.

Обеспечение минимальных потерь s полосе пропускания. Этот критерий тесным образом связан с критерием 《а》. Он тре

буется для того, чтобы преодолеть потери в полосе пропускания или обеспечить действительный коэффициент усиления, т. е. коэффициент усиления отдельного каскада увеличивается до такого значения, когда наблюдаются перегрузки следующих звеньев, вследствие чего снова вызываются искажения сигнала. Было установлено, что здесь существуют оптимальное разложение функции T(s) на пары полюс — нуль, оптимальное распределение постоянных коэффициентов усиления К] и оптимальная последовательность включения соединяемых каскадно звеньев T/(s) для обеспечения минимальных потерь внутри полосы пропускания или обеспечения коэффициента усиления, не вызывающего искажений сигнала.

Обеспечение максимального соотношения сигнал/шум. Это

важно в тех случаях, когда уровни поступающих сигналов очень низкие и шумы, создаваемые активным элементом, приводят к их ухудшению. Один из недостатков активных цепей по сравне

нию с пассивными состоит в обладают внутренними шумами, нал/шум здесь является важным тором идет речь, представляет

цепи.

Обеспечение минимальной общей чувствительности передачи. Можно показать, что в определенном типе цепи выбор пар полюс ——нуль оказывает непосредственное влияние на чувствительность передачи относительно приращений параметров используемых активных приборов.

Минимизация смещения no постоянному току. Активные фильтры в противоположность их пассивным аналогам могу г давать недопустимые напряжения смещения по постоянному току в выходных сигналах. Например, это может происходить в фильтрах нижних частот, которые используются для отфильтровывания нежелательных гармонических составляющих сигнала, чьи переходы через нуль являются критичными.

У прощение методики настройки. Некоторые активные фильтры второго порядка проще в настройке, чем другие, что зависит от их передаточной функции и способа реализации. По лосно-пропускающий фильтр можно настроить гораздо проще (или встречается гораздо чаще в данной системе), чем фильтр верхних или нижних частот. Следовательно, сопоставляя с приведенным выше разложением функции (7,69), можно сказать, что ее разложение (7.73) с этой точки зрения более предпочтительно, чем разложение (7.71).

Общим из наиболее общих и важных критериев выбора пар полюс — нуль является первый из вышеперечисленных, а именно обеспечение максимального динамического диапазона. Он становится все более значительным для цепей высоких порядков и обладающих конечными нулями на оси /со. Методика оптимального выбора пар полюс — нуль, т. е. получение «оптимального назначения пары полюс ——нуль», оказывается относительно сложной и может быть найдена в дополнительной литературе . Задачу этой процедуры можно кратко сформулировать следующим образом:

Для того чтобы получить максимальный динамический диапазон и коэффициент усиления в полосе пропускания цепи фильтра n-го порядка, сами полюсы и нули отдельных звеньев второго или третьего порядка должны выбираться таким образом, чтобы обеспечивалась по возможности наиболее плоская характеристика каждого звена в заданном диапазоне частот.

Как эмпирическое определение это оптимальное назначение пар полюс ——нуль с точки зрения обеспечения «максимально плоской» характеристики в полосе пропускания получается при комбинировании высокодобротных полюсов функции Т ($) с нулями, которые наиболее близки к ним.

Рассмотрим, например, передаточную функцию пятого по рядка

T(s)=KT(s)=K(s' + %) (d + 唸)(s' + %) (d + 唸)(7.74)(7.74)

T(s)=K

T(s)=K

(s' + %) (d + 唸)

(s' + %) (d + 唸)

(7.74)

(7.74)

Moschytz G. S., Lineai Integrated Networks: Design, Van Nostrand Reinhold Co., New York, 1975.

где % = 29,2 крад/с, %? = 43,2 крад/с, % =16,8 крад/с, рр р；= = — 9,7 土 “7,5 крад/с, %，Р； = —2,36 ± j 22,4 крад/с.

На рис. 7.36 изображена диаграмма полюс—нуль, а частотная характеристика | Т(jgj) | показана на рис. 7.37. При следующем задании пар полюс—нуль (сплошные линии на рис. 7.36)：

7'o(s)=16,8/(s — po),(7.75а)

% (s)0,47 (« + 呜)/($ — р J ($ — 硝， (7.756)

厶(s) - 0,27 (M + ^^s 一 办)(S 一 p；)(7.75b)

получаем показанные на рис. 7.38 частотные характеристики. Следует отметить, что коэффициенты Ко, Ki и К2 были выбраны так, чтобы |Т/(0) J ~ 1. Это делает сравнение этих частотных

Рис. 7.37. Частотная характеристика, соответствующая функции (7.74).Рис. 7.37. Частотная характеристика, соответствующая функции (7.74).

Рис. 7.37. Частотная характеристика, соответствующая функции (7.74).

Рис. 7.37. Частотная характеристика, соответствующая функции (7.74).

характеристик более наглядным. Используя критерий обеспечения максимального динамического диапазона, получаем показанное на рис. 7.36 штриховой линией назначение пар полюс—— нуль. Это приводит к следующим передаточным функциям：

T°(s)=16,8/(s — po),(7・76а)

Т：⑹-0,21 (« + 吒J/G 一 円)(s 一 p)(7.766)

爲(s) - 0,6 (б? + 吗］)/(s —应)(s — 网)，(7・76в)

а частотные характеристики показаны на рис 7.39. Сравнение изображенных на рис. 7.38 и 7.39 характеристик показывает, что при сочетании высокодобротных полюсов р2, р； с нулями, лежа-

щими к ним наиболее близко (т. е.①之卜①之力 функция |T；(js)| становится более плоской в полосе пропускания (от 0 до 3 кГц). Функция же To(s) остается в каждом случае одинаковой и может, конечно, быть скомбинирована с любой парой комплексных полюсов для формирования функции третьего порядка. В любом случае ее влиянием на частотную характеристику можно пренебречь.

Необходимо отметить, что в приведенном выше примере кроме выбора пар полюс—нуль существует и другая степень

Рис. 7.38. Частотная характеристика, соответствующая назначению пар по- 7'юс — нуль (7.75).

свободы в разложении данной функции цепи T(s), а нмсьн-、 так называемое распределение коэффициента усиления. Это относится к выбору индивидуальных постоянных коэффициентов К」， которые относятся к каждой функции второго или третьего порядка Т/(s)・ Постоянные коэффициенты К, распределяются так, чтобы

= (7.77)

где К представляет собой постоянный коэффициент усиления функции T(s) к-го порядка, а сам порядок п в соотношении (7.77) предполагается четным. Ограничение (7.77) никоим образом не является окончательным; имеется бесконечное число способов распределения коэффициентов К,, при которых соотношение (7.77) удовлетворяется. Таким образом, распределение коэффициента усиления обеспечивает свободный параметр, для которого можно рассмотреть те же критерии, что и критерии, связанные с проблемой назначения пар полюс——нуль. В самом

деле, существует методика оптимизации распределения коэффициента усиления для обеспечения максимального динамического диапазона или минимизации чувствительности, на которую были даны соответствующие ссылки в литературе. Говоря в широком смысле, сам критерий обеспечения максимального динамического диапазона снова связан с созданием максимально

Усиление, 86Усиление, 86Рис. 7.39. Частотные характеристики, соответствующие назначению пар g люс — нуль (7.76).Рис. 7.39. Частотные характеристики, соответствующие назначению пар g люс — нуль (7.76).

Усиление, 86

Усиление, 86

Рис. 7.39. Частотные характеристики, соответствующие назначению пар g люс — нуль (7.76).

Рис. 7.39. Частотные характеристики, соответствующие назначению пар g люс — нуль (7.76).

плоской характеристики в полосе пропускания и попыткой исключить большие различия уровней сигнала отдельных каскадов фильтра. Следовательно, эта оптимизация основывается на достижении «равных средних уровней» в полосе пропускания построенной каскадно цепи п-го порядка.

Оптимальная последовательность звеньев

В предыдущем разделе мы имели дело с оптимальным разложением функции цепи T(s) rz-ro порядка на произведение функций Т/($) второго и третьего порядков на основе соответствующей стратегии выбора пар полюс ——нуль и распределения коэффициента усиления. Единственная степень свободы, остающаяся после того, как были выполнены эти два этапа оптимизации; состоит в том, чтобы установить оптимальную последовательность, в которой соединяются каскадно результирующие функциональные узлы фильтров. Следовательно, например, функцию восьмого порядка

(7.78)(7.78)Г(5) = 11/^ л (s)

(7.78)

(7.78)

можно получить, составляя из четырех звеньев любую из 24 (т. е. 4!) возможных последовательностей, часть которых изображена на рис. 7.40. Поскольку предполагается, что отдельные звенья развязаны между собой, то последовательность их каскадирования не будет оказывать влияния на общую чувствительность. Это обеспечивает оптимальный динамический диапазон, т. е. выполнение наиболее важного критерия, согласно которому и должна определяться последовательность каскадно соединенных звеньев.

Используемые реальные алгоритмы получения оптимальной юследовательности каскадно соединенных звеньев аналогичны

^гтеЗовательпостъ 0f43HZHZH1IF

Вторая посмдовате/1ЬНОШЬВторая посмдовате/1ЬНОШЬ

Вторая посмдовате/1ЬНОШЬ

Вторая посмдовате/1ЬНОШЬ

последовательность |，|| з || z || 7 |

Рис. 7.40. Некоторые из двадцати четырех возможных последовательностей каскадно соединенных четырех звеньев цепи.

алгоритмам выбора оптимальных пар полюс—нуль и не менее сложны. Таким образом, их детальное рассмотрение также выходит за рамки этого справочника и может быть найдено в дополнительной литературе【). Для обеспечения максимального динамического диапазона эти проблемы также схожи с задачами определения пар полюс ——нуль. В задаче выбора мы стараемся обеспечивать возможно более плоскую частотную характеристику отдельного звена в полосе пропускания, здесь же необходимо соединять звенья каскадно таким образом, чтобы при сопряжении двух звеньев спектр сигнала 8 полосе пропускания оставался наиболее плоским. В частном случае результирующая оптимальная последовательность, обеспечивающая максимальный динамический диапазон, оказывается последовательностью, в которой добротность полюсов каскадно соединяемых звеньев второго порядка увеличивается от входа к выходу.

В некоторых случаях при выборе последовательности звеньев фильтров принимают во внимание другие требования, а не

оптимизацию динамического диапазона. Например, иногда необходимо использовать в первом каскаде звено нижних частот или полосно-пропускающее звено для того, чтобы сохранить высокие частоты усилителей и посредством этого избежать проблем, связанных со скоростью нарастания. Аналогичным образом в последнем каскаде желательно иметь звено с характеристикой верхних частот или полосно-пропускающей, чтобы устранить пульсации источника питания или шумы, существующие в самих усилителях, в выходном сигнале. Если такие ограничения наложены на первый и последний каскады, то последовательность соединения остальных звеньев можно определить согласно описанным выше рекомендациям.

Практические рекомендации по проектированию активных фильтров

Даже усиленное изучение теории активных фильтров само по себе не заставит работать фильтр. Это выясняется в первые же часы лабораторных занятий по фильтрам. Многие студенты, которые никогда не имели каких-либо затруднений в теоретических вопросах, часто бывают озадачены своим первым опытом с операционным усилителем. Последний реально оказывается более сложным, чем идеальный усилительный элемент, объединяющий один выходной и два входных узла. Теоретический материал по активному фильтру второго порядка с одной парой комплексных полюсов легко понять, но при претворении этой теории в практику весьма вероятно возникнут проблемы, особенно для начинающих.

Эта глава может служить в качестве введения для начинающих и как справочная для уже имеющих опыт использования операционных усилителей, но не в проектировании активных фильтров.

Оперативный метод проектирования активного фильтра

Первым этапом расчета активного фильтра являются запись и проверка машинной программы (см. приложение Г) для выбранных из гл. 5 звеньев активных фильтров.

На втором этапе прогоняется данная программа до получения решений, удовлетворяющих заданным требованиям с учетом рассматриваемых в разд. 8.2 соображений.

Третий этап состоит в построении фильтра с использованием вычисленных на втором этапе значений элементов, которые в большинстве случаев представляют компромисс между различными требованиями. В общем случае этот этап сопровождается описанной в гл. 6 детерминистической настройкой (разд. 6.4).

В последний четвертый этап выносятся измерения активного фильтра. Сюда включаются измерения характеристик прежде всего отдельных фильтровых звеньев и затем всего построен-

ного каскадного фильтра. В некоторых случаях за этим этапом должна следовать функциональная настройка отдельных звеньев, как описано в гл. 6 (разд. 6.2).

При переводе заданных программ на язык ЭВМ на первом этапе в большинстве случаев, вероятно, придется столкнуться с проблемами их программирования. Сами же программы были тщательно проверены и перепроверены так, что ошибок в них не предвидится. Для проверки правильности перевода программ на машинный язык в приложении Г даны численные примеры.

После второго этапа, т. е. прогона программы для наиболее совершенных цепей (например, схемы 14 и 15 в гл. 5), для неопытного разработчика многие вопросы могут остаться открытыми. В цепях, для которых необходимо задавать несколько входных величин, такие, как номиналы конденсаторов, начальный параметр, номинал необязательного резистора и/или постоянный коэффициент, и которые могут выбираться независимо и оказывают влияние на результирующее произведение усиление-чувствительность (ПУЧ), рекомендуется выполнять несколько прогонов программы. Это позволит разработчику исследовать поведение самой цепи от данных параметров, как, например, частоты полюсов и нулей и добротностей. После прогона нескольких моделей каждой отдельной цепи появится чувство того, в каком направлении следует менять входные параметры так, чтобы получались не слишком высокие значения ПУЧ и не было чрезмерного разброса номиналов пассивных элементов. Особое внимание следует уделить изучению следующего разд. 8.2, в котором рассматривается тесная взаимосвязь между выбором активных и пассивных элементов.

Наилучший способ получения практических расчетных значений элементов цепи состоит в следующем： во-первых, выбрать и точно измерить номиналы конденсаторов, во-вторых, ввести эти измеренные значения в соответствующую программу и, в-третьих, варьировать оставшимися свободными параметрами программы до тех пор, пока не будут получены практические номиналы резисторов. При таком эмпирическом определении результирующее значение параметра ПУЧ не должно превышать 4Q, если оно вычисляется из программы.

В большинстве же случаев для низко- и среднедобротных цепей в этих программах сначала вычисляется оптимальное значение параметра Р, чем обеспечивается минимальное значение ПУЧ для заданных номиналов конденсаторов. Тогда сама программа позволяет изменять значение Р. Это изменение очень полезно, когда должны использоваться дискретные номиналы некоторых резисторов (например, те, которые в дальнейшем не предназначены для функциональной настройки), Второе преимущество того, что имеется возможность варьировать параметр Р, заключается в том, что удается снизить разброс

номиналов без нежелательного увеличения значения ПУЧ. Это связано с тем, что сама характеристика параметра ПУЧ яв ляется достаточно плоской вблизи ее минимума.

После окончательного вычисления номиналов можно сконструировать саму цепь, для чего оставшиеся недискретные ре зисторы подгоняются детерминистическим способом.

На четвертом этапе проводятся измерения номинальных параметров цепи (например, частоты полюсов, добротности, затухания), которые задаются в исходных данных программы. Точность результирующего фильтра будет зависеть от того, с какой точностью измеряются номиналы конденсаторов и резисторов и насколько идеальным является ОУ. Для низких значений добротностей и частот можно предположить, что ОУ близок к идеальному, на более же высоких частотах будет смещение значения частоты и добротности, которое может или быть приемлемым, или нет. Если же такой результирующий сдвиг недопустим, то его можно исключить либо с помощью функциональной настройки (см. разд. 6.2), либо выбирая более качественную высокодобротную схему, либо с помощью предыскажений параметров схемы.

В случае предыскажений первоначально требуемые параметры домножаются на величину, обратную мультипликативному коэффициенту, получаемому из измеренных искажений. Этот этап повторяется до тех пор, пока не будет достигнуто равновесие. Например, если требуемая частота равна 10 000 Гц, а измеренное ее значение составляет 9850 Гц (из-за влияния неидеальностей), то этот мультипликативный коэффициент составит 0,985. Тогда предварительно искаженная частота равна 10 152,3 Гц и будет использоваться в качестве нового исходного параметра в программе вычисления номиналов резисторов с предыскажениями. Однако необходимо отметить, что для единственной схемы более быстрой является функциональная настройка, а не процедура предыскажений, которая обычно применяется при крупносерийном производстве данной схемы.

Выбор активных и пассивных элементов

Существует много различных характеристик большей или меньшей важности, которые необходимо принимать во внимание при выборе операционного усилителя при конструировании активного фильтра. Наиболее важными характеристиками являются： коэффициент усиления ОУ с разомкнутой петлей обратной связи и фазово-частотная характеристика, их температурная стабильность, выходное и входное полные сопротивления, уровень шумов, скорость нарастания и искажения. Температурная стабильность коэффициента усиления ОУ с разомкнутой петлей обратной связи и фазово-частотной характеристи-

ки или график его частотной характеристики на различных температурах часто не включаются в технические условия, поставляемые изготовителями ОУ. Диаграмма фаза — частота вблизи частоты единичного коэффициента усиления, использующая в качестве параметра емкость нагрузки, также является очень важным индикатором устойчивости ОУ и иногда в технических условиях отсутствует. При относительно больших масштабах производства активных фильтров рекомендуется поэтому выбирать оптимальный ОУ с точки зрения его стоимости и рабочих характеристик, исходя из намерений, выполненных, как правило, для данного его применения. Для низкодобротных и низкочастотных использований удовлетворительные результаты обеспечивает ОУ типа 741. Здесь наиболее подходит счетверенный ОУ типа 4741 фирмы Harris, поскольку помимо его низкой стоимости и других преимуществ ОУ аналогичного класса он имеет также исключительную температурную стабильность коэффициента усиления с разомкнутой петлей обратной связи и очень низкий уровень собственных шумов. Можно предположить, что к моменту выхода этой книги из печати другие фирмы-изготовители также выпустят высокочастотные, термостабильные ОУ приемлемой стоимости, которые позволят расширить используемые диапазоны частот и добротностей активных фильтров.

После выбора типа ОУ, основанного на тщательном его испытании в сочетании с возможными измерениями его характеристик, можно определить пределы номинальных значений резисторов, которые должны использоваться в данной /?С-цепи. Это в свою очередь зависит от входного и выходного сопротивления ОУ. Необходимо отметить, что машинные программы расчета активных фильтров, которые представлены в этом справочнике, предполагают использование идеального ОУ. На практике же используемые в RC-цепи номиналы резисторов, как правило, должны быть больше выходного либо меньше входного сопротивления ОУ по крайней мере на порядок. Применение этого эмпирического определения для ОУ типа 741 с выходным сопротивлением 100 Ом и входным 1 мОм подтверждает, что допускается относительно узкий диапазон номиналов резисторов, а именно от 1 до 100 кОм. Действительно, после тщательного изучения технических условий на операционный усилитель этого типа видно, что большинство приведенных характеристик имеет силу только для нагрузочного резистора не менее 2 кОм (хотя обычно характеристики снимаются с нагрузочным резистором в 10 кОм). Таким образом, оставшийся диапазон номиналов резисторов даже еще меньше, а именно не превышает двух порядков. Этот факт необходимо принимать во внимание при прогоне программ и изменении но-

миналов конденсаторов в исходных данных, так чтобы оставаться в пределах ограниченного диапазона номиналов резисторов, как определено из технических условий на ОУ.

Решение проблемы устойчивости

С проблемами устойчивости активных фильтров приходится сталкиваться в силу ряда причин, поскольку в некоторых случаях вместо фильтра можно получить генератор. Главными источниками неустойчивости в активных фильтрах являются: а) ОУ, которые слишком критичны к частотной коррекции, 6) существование высокочастотных паразитных полюсов и в) чрезмерная емкостная нагрузка. Для выявления причин неустойчивости фильтра первым шагом является проверка правильности подсоединения всех пассивных элементов и всех контактов ОУ. Кроме того, нельзя забывать, что для питания усилителя необходимы два симметричных напряжения и часто требуются элементы внешней частотной коррекции. Естественно, что выгодно, перед тем как использовать ОУ, тщательно изучить его технические условия, а также сравнить схему реализованного активного фильтра с его схемой, приведенной в этой книге.

Если даже после проверки активный фильтр все еще продолжает самовозбуждаться, то рекомендуется закоротить входной контакт схемы на земляную шину. Это делается потому, dto существует много типов фильтров, которые устойчивы только с заземленным входом. На практике это означает, что они должны питаться от источника напряжения с низким полным выходным сопротивлением. Таким образом, если после заземления входного контакта происходит срыв паразитных колебаний, то они вызываются, следовательно, высоким выходным полным сопротивлением предыдущего или питающего каскада. Подключение на вход схемы активного фильтра повторителя напряжения или развязывающего усилителя с низким выходным полным сопротивлением должно, таким образом, решить эту проблему. Однако даже если самовозбуждение еще продолжается, все дальнейшие исследования должны проводиться с заземленным входным контактом фильтра.

Для подключения выходного контакта ОУ к осциллографу необходимо использовать высокоомный щуп с низкой собственной емкостью. Если же такой щуп отсутствует, то следует использовать включенный последовательно со щупом резистор (например, 10 кОм), поскольку сама емкость подсоединяющего осциллограф кабеля может быть достаточной, чтобы вызвать возбуждение ОУ.

Существуют, как правило, два основных типа самовозбуждения, которые присущи активным фильтрам. Частота самовоз-

буждения первого типа близка к частоте полюса фильтра и имеет обычно большую амплитуду, чем самовозбуждение вто рого типа, частота которой близка к частоте единичного коэффициента усиления ОУ.

Если же коэффициент усиления ОУ с замкнутой петлей об ратной связи слишком большой или, говоря другими словами, если определяющие добротность резисторы надлежащим образом не настроены, то имеет место самовозбуждение первого типа, т. е. вблизи частоты полюса. В этом случае средство борьбы с ней состоит в уменьшении или увеличении номиналов соответствующих резисторов. Резисторы, о которых идет речь, как правило, зарезервированы для функциональной настройки добротностей полюсов активного фильтра.

Самовозбуждение второго типа, которое встречается на гораздо более высоких частотах (т. е. вблизи частоты единичного коэффициента усиления ОУ), является наиболее серьезной проблемой из этих двух и вызывается неправильной частотной коррекцией ОУ. При использовании ОУ с внешней коррекцией сама цепь коррекции (иногда только один конденсатор) могла быть неправильно определена. Помимо изучения технических условий на ОУ и в качестве дополнительной информации по частотной коррекции и руководств по их применению необходимо соблюдать следующие практические рекомендации. Небольшой конденсатор (номинал которого лежит в пределах от десятков до нескольких сотен пикофарад) следует подключать параллельно другим конденсаторам корректирующей цепи (если они имеются), параллельно резистору, включенному с выхода ОУ на его инвертирующий вход, или параллельно резистору, включенному между неинвертирующим входом ОУ и земляной шиной. Желаемый эффект достигается за счет уменьшения напряжения, подаваемого с выхода ОУ на его неинвертирующий вход, и в то же время увеличения напряжения, подаваемого с выхода ОУ на его инвертирующий вход с тем, чтобы снизить коэффициент усиления ОУ на высоких частотах.

Если же выполнение этих этапов не позволит снять паразитное самовозбуждение, то сам ОУ необходимо испытать отдельно, т. е. отключив от него элементы, образующие схему активного фильтра, но при том же самом коэффициенте усиления с замкнутой петлей обратной связи, повторив указанные выше этапы. Если же ОУ продолжает самовозбуждаться и дополнительная информация по его применению от изготовителя отсутствует, то следует выбрать менее критичный ОУ.

Внешняя частотная коррекция

Хотя задача этой главы состоит в том, чтобы дать практические рекомендации по проектированию активных фильтров, не вдаваясь в теоретические подробности, полезно привести не-

сколько уравнений для объяснения тех преимуществ, которые достигаются при использовании внешней коррекции ОУ. В гл. 3 [см. уравнения (3.40а) и (3.406) ] относительное смещение частоты (0卩 и добротности 7Р полюса цепи ро вследствие изменения коэффициента усиления ОУ с разомкнутой петлей обратной связи А задается через произведение усиление-чувствитель- ность Г. Можно показать, что очень похожие выражения получаются при вычислении смещения параметров шр и qPi вызванного тем фактом, что коэффициент усиления ОУ с разомкнутой

Рис. 8.1. Всепропускающая схема второгоРис. 8.1. Всепропускающая схема второгопорядка (схема 12 гл. 5).порядка (схема 12 гл. 5).

Рис. 8.1. Всепропускающая схема второго

Рис. 8.1. Всепропускающая схема второго

порядка (схема 12 гл. 5).

порядка (схема 12 гл. 5).

упростить：упростить：1% (ро)1% (ро)(8.2а)(8.2а)(8.26)(8.26)

упростить：

упростить：

1

% (ро)

1

% (ро)

(8.2а)

(8.2а)

(8.26)

(8.26)

двухдвуха — схема цепи, б — коррекция с однополюсным наклоном (ОН)； в •— коррекция полюсная с одним нулем (ДПОН).

двух

двух

петлей обратной связи является конечным, а не бесконечным. Получены следующие выражения:

「"Re[丄(8.1a) (■^)^Г™Р^Ч-1 lm[-jir]~rxPRe['77^y](&16)

где индекс f обозначает относительные приращения Д(ор/(ор и А,卩/夕卩 из-за «ограниченного^» коэффициента усиления.

Поскольку это происходит, то почти всем цепям на одном ОУ, приведенным в гл. 5 (исключение составляет схема 14), в общем присуще то, что параметр ПУЧ для частоты полюса (Ор равен нулю. Тогда для этих цепей уравнение (8.1) можно

Для внутренней или внешней коррекции на основе одного конденсатора они обе дают так называемый тип коррекции с «однополюсным наклоном》(ОН) и можно использовать уравнения (3.42) и (3.43) гл. 3. В частности, важным является уравнение (3.436). Перепи

Рнс. 8.2. Амплитудно-частотная (а) и фазово-частотная (6) характеристики всепропускающей схемы второго порядка с частотной коррекцией типа ОН и ДПОН. 1 — частотная коррекция на рис, 8.1,6; 2 — частотная коррекция на рис. 8.1, 8.Рнс. 8.2. Амплитудно-частотная (а) и фазово-частотная (6) характеристики всепропускающей схемы второго порядка с частотной коррекцией типа ОН и ДПОН. 1 — частотная коррекция на рис, 8.1,6; 2 — частотная коррекция на рис. 8.1, 8.санное в данном контексте, оно имеет вид

Рнс. 8.2. Амплитудно-частотная (а) и фазово-частотная (6) характеристики всепропускающей схемы второго порядка с частотной коррекцией типа ОН и ДПОН. 1 — частотная коррекция на рис, 8.1,6; 2 — частотная коррекция на рис. 8.1, 8.

Рнс. 8.2. Амплитудно-частотная (а) и фазово-частотная (6) характеристики всепропускающей схемы второго порядка с частотной коррекцией типа ОН и ДПОН. 1 — частотная коррекция на рис, 8.1,6; 2 — частотная коррекция на рис. 8.1, 8.

Re[lM(p0)]OH-0. (8.3)

Из соотношений (8.2) и (8.3) следует, что в случае коррекции типа ОН вследствие конечного коэффициента усиления ОУ следует ожидать смещение в частоте полюса ①卩， а не добротности qp.

Не вдаваясь в детали можно также показать, что в случае более совершенной частотной коррекции, а именно «двухполюсной с одним нулем》 (ДПОН) получаем вместо уравнения (8.3) дополнительное выражение

Im[l/A(Ро)]дпон р °- (8.4) Таким образом, в случае коррекции типа ДПОН конечное значение коэф- зать смещение а не

фициента усиления ОУ будет внзфициента усиления ОУ будет внзчастоты (0р. Предыдущее рассуждение подразумевает, что смещения параметров щр и qp, вызываемые конечностью коэффициента усиления (и полосы пропускания) ОУ, можно контролировать с помощью типа используемой частотной кор рекции. Это очень важно, поскольку можно показать, что смещение частоты гораздо вреднее для заданной высокочувствительной частотной характеристики, чем смещение добротности ,р. Следовательно, соответствующим выбором типа коррекции следует исключить смещение частоты, если это вообще возможно. Поэтому частотную коррекцию типа ДПОН стоит рассматривать в тех ситуациях, когда требуется высокая частотная избирательность (т. е. для высоких значений добротности полюсов) или необходима работа на высоких частотах относительно имеющейся полосы пропускания ОУ.

фициента усиления ОУ будет внз

фициента усиления ОУ будет внз

Для того чтобы привести пример эффективности частотной коррекции типа ДПОН, рассмотрим всепропускающую цепь [(ВП — CQ)—схема 12 гл. 5], которая изображена на рис. 8.1, а. Частотные коррекции типа ОН (см. рис. 8.1,6) и типа ДПОН (рис. 8.1, е) сравниваются при их использовании во всепропускающей цепи ОУ типа SN 72748. Результирующие измеренные амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики приведены на рис. 82 При использовании коррекции типа ОН максимальная погрешность в амплитудно-частотной характеристике составляет около 3 дБ, в то время как для коррекции типа ДПОН она не превышает 0,1 дБ. Естественно, что при проведении этих измерений в каждом случае ничего не менялось, за исключением самой частотной коррекции ОУ. Это ярко демонстрирует, насколько эффективна коррекция типа ДПОН может быть в критических применениях.

ЛИТЕРАТУРА

Теория и расчет фильтров

Blinchikoff Н. J., Zverev A. L, Filtering in the Frequency Domans, John Wiley, New York, 1976,

Humpherys D. S., The Analysis, Design, and Synthesis of Electrical Filters, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1970.

Johnson D. E., Introduction to Filter Theory, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1976.

Rhodes J. D., Theory of Electrical Filters, John Wiley, New York, 1976.

Temes G. C., LaPatra J. W., Introduction to Circuit Synthesis and Design, McGraw-Hill, New York, 1977.

Temes G. C., Mitra S. K. (Eds.), Modern Filter Theory and Design, John Wiley, New York, 1973. [Имеется перевод: Современная теория фильтров и их проектирование. Под ред. Г. Темеша, С. Митра. — М.: Мир, 1977.]

Теория и расчет активных фильтров

Budak A., Passive and Active Network Analysis and Synthesis, Houghton Mif- lin Co., Boston, 1974.

Daryanani G., Principles of Active Network Synthesis and Design, John Wiley, New York, 1976.

Heinlein W. E., Holmes W. H., Active Filters for Integrated Circuits, SpringerVerlag, New York, 1974. [Имеется перевод: Хейнлейн В., Холмс В., Активные фильтры для интегральных схем.——М.: Связь, 1980.]

Huelsman L. Р. (Ed.), Active RC Filters: Theory and Application, Benchmark Papers in Electrical Engineering and Computer Science, Vol. 15, Dowden, Hutchinson and Ross, Inc., Stroudsburg, Pennsylvania, 1976.

Johnson D. E., Hilburn J. L., Rapid Practical Designs of Active Filters, John Wiley, New York, 1975.

Lam H. Y.-F., Analog and Digital Filters: Design and Realization, PrenticeHall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1979. [Имеется перевод: Лэм Г., Аналоговые и цифровые фильтры. — М_： Мир, 1982.]

Lindquist С. S., Active Network Design with Signal Filtering Applications, Stewart and Sons, Long Beach, California, 1977.

Mitra S. K., Analysis and Synthesis of Linear Active Networks, John Wiley, New York, 1969.

MosQhytz G. S., Linear Integrated Networks： Fundamentals, Van Nostrand Ren hold Co., New York, 1974.

Moschytz G. S., Linear Integrated Networks.- Design, Van Nostrand Reinhold Co., New York, 1975.

Moschytz G. E., Single-Amplifier Active Filters: A Review, Monograph, Scientia Eiectrica, Birkhauser-Verlag, Basel, Switzerland, 1980; Scientia Electrica, 26, No. 1, 146 (1980).

Sedra A. S., Bracket P. O. Filter Theory and Design: Active and Passive Matrix Publishers, Inc., Illinois, 1978.

Williams A. B., Active Filter Design, Artech House, Inc., Dedham, Massachusetts, 1975.

Теория чувствительности и настройка фильтров

Geher К., Theory of Network Tolerances, Akademiai Kiado, Budapest, 1971 Mitra S. K-, Analysis and Synhesis of Linear Active Networks, John Wiley.

New York, 1969.

Moschytz G. S., The sensitivity problem in active filters, Scientia Electrica (BirkhausQr-Verlag, Basel, Switzerland), 21, No. 4, 81—105 (1975).

Moschytz G. S., Linear Integrated Networks: Design, Van Nostrand Reinhold Co., New York, 1975.

Moschytz G. S., Functional and deterministic tuning of hybrid-integrated active filters, Electrocomponent Science and Technology, 5, 79—89 (1978).

Теория аппроксимации

Daniels R. W., Approximation Methods for Electronic Filter Design, McGraw- Hill, New York, 1974.

Su K. L., Tim^-Domain Synthesis of Linear Networks, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1971.

Terries G. C., №i$a §. K. (Eds.), Modern Filter Theory and Design, John Wiley, New York, 1973, Chap. 2. [Имеется перевод: Современная теория фильтров и их проектирование. Под ред. Г. Темеша, С. Митра ——М.: Мир, 1977.1

Таблицы по расчету фильтров

Biey М., Premoli A., Tables for Active Filter Design (based on Cauer and MCPER functions), Georgi Publ. St. Saphorin, Switzerland, 1980.

Christian E., Eisenmann E., Filter Design Tables and Graphs, John Wiley, New York, 1966. [Имеется перевод: Христиан Э., Эйзенман Е., Таблицы и графики по расчету фильтров.——М.: Связь, 1965.1

Hansell G. Е., Filter Design and Evaluation, Van Nostrand Reinhold Co., New York, 1969.

Saal R., Handbook of Filter Design, Allgemeine Elektrizitatz-Gesellschaft AEG- Telefunken, Berlin, 1979.

Skwirzynski J. K-, Design Theory and Data of Electrical Filters, Van Nostrand Reinhold Co., New York, 1965.

Zverev A. I., Handbook of Filter Synthesis, John Wiley, New York, 1967.

Автоматизированный анализ цепей, оптимизация и расчет

Calahan D. A., Computer-Aided Network Design, McGraw-Hill, New York, 1972.

Chua L, O., Lin P. M., Computer-Aided Analysis of Electronic Circuits Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1975,

Daniels R. W.( An Introduction to Numerical Methods and Optimization Techniques, North-Holland, New York, 1978

Director S. W. (Ed.), Computer-Aided Circuits Design： Simulation and Optimization, Benchmark Papers in Electrical Engineering and Computer Science, Vol. 5, Dowden, Hutchinson and Ross, Inc., Stroudsburg, Pennsylvania, 1973.

Director S. W., Circuit Theory: A Computational Approach, John Wiley, New York, 1975.

Staudhammer J., Circuit Analysis by Digital Computer, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1975.

Szentirmai G. (Ed.), Computer-Aided Filter Design, IEEE Press, Inc., New York, 1973.

Vlach J., Computerized Approximation and Synthesis of Linear Networks, John Wiley, New York, 1969.

Карманные калькуляторы и мини-ЭВМ

Ball J. A., Algorithms for RPN Calculators, John Wiley, New York, 1978.

Crowley T. H., Understanding Computers (Paperback), McGraw-Hill, New York, 1967.

Sanderson P. C., Minicomputers, Newnes-Butterworths, London, 1976.

Smith J. M., Scientific Analysis on the Pocket Calculator, John Wiley, New York, 1975.

Проектирование схем на операционных усилителях

Clayton G. В., Operational Amplifiers, Butterworth, London, 1971.

Tobey G. E., Graeme J. G., Huelsman L. P., Operational Amplifiers, McGraw- Hill, New York, 1971. [Имеется перевод: Грэм Д., Тоби Д., Хьюлсман Л., Проектирование и применение операционных усилителей. — М.: Мир 1974.]

Wait J. V・，Huelsman L. P., Korn G. A., Introduction to Operational Amplifier Theory and Applicasions, McGraw-Hill, New York, 1975.

Приложение А

Записи программ для карманного калькулятора SR-59

Записи программ карманного калькулятора SR-59 фирмы Texas Instruments для каждой из 23 представленных в гл. 5 цепей приводятся на последующих страницах.

Описание программы, процедура прогона, клавиши, метки флажки и регистры данных составляют основу первой страницы каждой записи программы В тех же случаях, когда на предварительно отпечатанной первой странице не хватает места, перечень используемых регистров данных продолжается на последней странице после распечатки программы расчета схемы.

Перед прогоном новой программы все регистры данных должны быть очищены путем нажатия соответствующих клавиш или с помощью выключения и повторного включения питания калькулятора Это необходимо делать, в частности, в тех случаях, когда значения необязательных параметров не установлены. При этом программа выбирает содержимое регистра необязательной входной переменной и оно будет равно нулю, а не значению, оставшемуся после предыдущей программы.

Название 1 НН — HQ

Стр 1 — 3

TI Программируемый

Программке^ Хор:

Дата 15 8 7S

Запись программы

Разделение (Ор 17)

4 7 9 5 9

Модуль библиотеки

Печатающее устройство ДА

Перфокарты 1

Описание про) раммы

Вычислить значения резисторов Ra, R12, Кз Значение К можно задать от 0 до 1, если требование не предъявлено, то К = 1(Ri2 今 00)

Условие реализуемости: Q > 4,；。4

В противном случае《& слишком велнко》.

十 + 2s

Регистры данныхРегистры данныхМетки (Ор 08)Метки (Ор 08)

Регистры данных

Регистры данных

Метки (Ор 08)

Метки (Ор 08)

Команды пользователя

Шаг

Процедура

Ввод

Нажать

Индикация

1

Подготовка текста, если имеется печатающее устройство

2nd

А，

14 24 22.

2

Частота [Гц]

fp

А

fp・

3

Добротность

В

Яр

4

& [Ф]

С

&

5

С4 [Ф]

&

D

&

6

При необходимости 0 V KW

V 1

к

Е

К

7

RUN

2nd

Е，

0.00

Определяемыепользо-вателемклавнши

А

в Яр с &

% косвенный

адрес

(К ПУЧ

02 qp

30 косвенный адрес

I

2

回回回回回区 国[jaJ/Цто] ErcT] [sum]叵 ш га ш и cz 画m回国国m

D

&

Оз fp

3

+/-=

四юц 旧

Е

К

0. К

24

R

EQ3

А，

TEXT

05。4

25

С2/&

|Ехс・

Prd

1Н| ESI К£Я ШЬ

В，

Об Кз

2б

©/(2С&)]-1

EISI И?НДЕВЯ Е^1 и^Д

р

С/

()7 С2

^7

1 ил ■

!^£Я №8Я ^^И BS5I Б£^1

1 —к

D，

08 R【2

Е，

RUN

О9 & !

требуемое К

h

Adv,

Рг+

Флажки

01

234

5

6

789

Текст в 31—39, 42—43

© 1977, Texas Instruments

76LBL

058

95 =

116

76 LBL

17В'

059

42 STO

117

10E'

57ENG

060

38 38

118

02 2

73 RC*

061

01 i

119

32X : T

30 30

062

05 5

120

43 RCL

69 ОР

063

00 00

121

07 07

04 04

064

03 3

122

55+

73 RC*

065

42 STO

123

43 RCL

00 00

066

37 37

124

05 05

69 ОР

067

03 3

125

55 -?~

06 06

068

05 5

126

42 STO

01 1

069

00 0

127

25 25

22INV

070

04 4

128

02 2

44 SUM

071

42 STO

129

55 +

30 30

072

36 36

130

43 RCL

97DSZ

073

01 1

131

02 02

00 00

074

05 5

132

33 X2

00 00

075

00 0

133

95 =

02 02

076

05 5

134

77 GE

98 ADV

077

42 STO

135

33 X2

92RTN

078

35 35

136

69 OP

76 LBL

079

02 2

137

00 00

11 А

080

06 6

138

43 RCL

42 STO

081

42 STO

139

35 35

03 03

082

34 34

140

69 OP

92 RTN

083

02 2

141

01 01

76 LBL

084

01 1

142

43 RCL

12 В

085

42 STO

143

42 42

42 STO

086

33 33

144

69 OP

02 02

087

03 3

145

02 02

92 RTN

088

04 4

146

43 RCL

76 LBL

089

42 STO

147

43 43

13 c

090

32 32

148

69 OP

42 STO

091

02 2

149

03 03

07 07

092

02 2

150

69 OP

92 RTN

093

03 3

151

05 05

76 LBL

094

06 6

152

98 ADV

14 D

C95

03 3

153

25 CLR

42 STO

05 05

92 RTN

095

097

098

03 3

42 STO

31 31

154

155

156

157

158

159

160

92 RTN 76 LBL

33 X2 75 — 01 1

95 = 42 STO

76 LBL

099

03 3

15E

42 STO

100

101

07 7

03 3

19 19

102

02 2

161

26 26

92 RTN

103

03 3

162

33 X2

76 LBL

104

02 2

163

75 —

16 Az

105

42 STO

164

01 1

03 3

106

42 42

165

95 =

05 5

107

01 1

166

34 ГХ

00 0

108

04 4

167

85 +

02 2

109

02 2

168

43 RCL

00 0

110

04 4

169

26 26

02 2

111

02 2

170

95 =

42 STO

112

02 2

171

42 STO

39 39

113

42 STO

172

27 27

85 +

114

43 43

173

65 X

01 1

115

92 RTN

174

43 RCL

01234^26,7890123456789012345678 9 O12345G 789012345678901234

Оооол^юоооо1111111п-112^ю^222 22223333333333444444444455555 ооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооо

^ м 7

175

05 05

209

42 STO

243

42 STO

176

65 X

210

01 01

244

09 09

177

43 RCL

211

09 9

245

43 RCL

178

07 07

212

42 STO

246

24 24

179

95 =

213

00 00

247

55 +

180

34 ГХ

214

03 3

248

43 RCL

181

65 X

215

09 9

249

28 28

182

02 2

216

42 STO

250

95 =

183

65 X

217

30 30

251

42 STO

184

89 я

218

25 CLR

252

08 08

185

65 X

219

32X:T

253

71 SBR

186

43 RCL

220

43 RCL

254

17 B‘

187

03 03

221

19 19

255

25 CLR

188

95 =

222

67 EQ

256

92 RTN

189

35 1/Х

223

35 1/X

257

76 LBL

190

42 STO

224

94 +/—

258

35 1/X

191

24 24

225

85 +

259

43 RCL

192

65 X

226

01 1

260

24 24

193

43 RCL

227

95 =

261

42 STO

194

27 27

228

22 INV

262

09 09

195

95 =

229

77 GE

263

01 1

196

42 STO

230

35 1/X

264

52 EE

197

06 06

231

67 EQ

265

09 9

198

43 RCL

232

35 1/X

266

00 0

199

25 25

233

42 STO

267

42 STO

200

55 +

234

28 28

268

08 08

201

43 RCL

235

43 RCL

269

01 1

202

27 27

236

24 24

270

42 STO

203

95 =

237

55 +

271

04 04

204

34 ГХ

238

43 RCL

272

61 GTO

205

65 X

239

19 19

273

02 02

206

43 RCL

240

42 STO

274

53 53

207

02 02

241

04 04

275

03 3

208

95 =

242

95 =

276

92 RTN

Название 2. ПГ

—HQ —R Стр.

1-3

Г1 Программируемый

Программист ХорнДата

7.8.78

Запись программы

Разделение (Ор

17}Модуль

I ичагающее

Перфокарты 1

4 7 9 Е

9библиотеки

устройство ДА

Описание программы

Вычислить значения резисторов R”，82,兄

Значение К, если не определено взбирается максимальным.

К工

¥ +才+ Sw

Метки (Ор 08)Метки (Ор 08)A fp00 косвен30 косвенныйныйадресадресВ0t ПУЧС (%02 4"2D СзОз fp3Е Ко4 к^4 Kmax — КA'TEXTО5 R4^5 KmaxВ，о( а2б C3/C2С，0?0227 & = Rn IKD，08 R12?8 p = R4/Rl可RUN09 R11I9 КвхA fp00 косвен30 косвенныйныйадресадресВ0t ПУЧС (%02 4"2D СзОз fp3Е Ко4 к^4 Kmax — КA'TEXTО5 R4^5 KmaxВ，о( а2б C3/C2С，0?0227 & = Rn IKD，08 R12?8 p = R4/Rl可RUN09 R11I9 КвхI INV| |lnx I I СЕ I I CLR| "吓 I x2 I 田[^画[^0 И nЛ @ Ш Ш Ш @ ИI INV| |lnx I I СЕ I I CLR| "吓 I x2 I 田[^画[^0 И nЛ @ Ш Ш Ш @ ИPMPM

Метки (Ор 08)

Метки (Ор 08)

A fp

00 косвен

30 косвенный

ный

адрес

адрес

В

0t ПУЧ

С (%

02 4"

2

D Сз

Оз fp

3

Е К

о4 к

^4 Kmax — К

A'TEXT

О5 R4

^5 Kmax

В，

о( а

2б C3/C2

С，

0?02

27 & = Rn IK

D，

08 R12

?8 p = R4/Rl

可RUN

09 R11

I9 Квх

A fp

00 косвен

30 косвенный

ный

адрес

адрес

В

0t ПУЧ

С (%

02 4"

2

D Сз

Оз fp

3

Е К

о4 к

^4 Kmax — К

A'TEXT

О5 R4

^5 Kmax

В，

о( а

2б C3/C2

С，

0?02

27 & = Rn IK

D，

08 R12

?8 p = R4/Rl

可RUN

09 R11

I9 Квх

I INV| |lnx I I СЕ I I CLR| "吓 I x2 I 田[^画[^0 И nЛ @ Ш Ш Ш @ И

I INV| |lnx I I СЕ I I CLR| "吓 I x2 I 田[^画[^0 И nЛ @ Ш Ш Ш @ И

PM

PM

Команду пользования

Шаг

Процедура

Ввел

Нажать

Индикация

1

Подготовка текста, если имеется печатающее устройство

2nd

А，

22 36 33.

2

Частота [Гц]

fp

А

3

Добротность

q「，

В

9"

4

e2 [Ф]

с2

С

5

Сз [Ф]

Сз

D

&

6

При необходимости к = \т(мр)1

к

Е

К

7

RUN

2nd

Е，

0.00

Регистры данных

Опреде ляемые пользователем клавиши

Флажки 0123456789

95 =

42 STO

28 28

65 X

43 RCL 06 06

65 X

43 RCL 07 07

95 =

34 ГХ

65 X

02 2

65 X

89 л

65 X

43 RCL 03 03

95 =

35 1/X

42 STO

27 27

65Х

43 RCL

28 28

95 =

42 STO 05 05 09 9

42 STO

00 00

03 3

09 9

42 STO

30 30

43 RCL 26 26

85 + 01 1

95 =

65 X

43 RCL 02 02

33 X2

95 =

42 STO 01 01

43 RCL 26 26

65 X

43 RCL

28 28

95 =

34 ГХ

65 X

43 RCL 02 02 95 =

42 STO

о

о

эт^15озэт^ +1 8T36

о

Т035

о 4 о 3 т 3 2 1 т 3

3 5 о 5 S 2 6 S

Т032

S 34 S

223633sI?RTNLBLicL呼沪=畿+*2 ^^^

щ^8н-5юз2п-^н-^^6350525^62421^334222236332126036537526555255 3 2 3

430000438094300004300430043004300000043971405409428380 96 4 о 3

90123456789012345678901234567891123456 789012 345678901234 5 6 7

56666666^Ю66^М7777 777778888^8888899999999990000000000 ! 1 1 к 1 1 п 1

о о ли о о о о о о о ОО о ОО о о ОО о ^и о о о <о о с^ о ^^ о о о с> о о о о HW о о о^ .1 и и 1 11- и 1 1 1- 11 1 1 1 1- I 11 1

L G * * 3 v^ ^ WNL о NL 02歩毙器隹 ^^1晶装 ^ ^ADRTLBAST盥LBBSTO

с 嚼旣 DST0揺TSI?

N

о

RLA35O2O2S

39+

6773094'3ю'9|6〃'2т07,00 吃 8261232622226327264262652926635020223 5 1 5

7 1 5736 о 7 о 6 о о 2 4 3 9 о о 0 9 9 7 140 97140971409714 о 9714 171 о о о о о 0 4 3 8 0 9

0123456^иш90123456789012345678901234567890123456789012345 6 7 8

0000000юю0и-пин-1ин-1н-122222222223333333333444444444455555-^ 5 5 5

00000000000000000000000000000000000000000000000^0000000^ Q^

177

25 25

198

27 27

219

92 RTN

178

43 RCL

199

55 4-

220

76 LBL

19 19

200

43 RCL

221

35 1/Х

67 EQ

201

19 19

222

43 RCL

35 1/Х

202

42 STO

223

27 27

94 +/—

203

04 04

224

42 STO

85 +

204

95 =

225

09 09

43 RCL

205

42 STO

226

01 1

25 25

206

09 09

227

52 EE

95 =

207

65 X

228

09 9

22INV

208

43 RCL

229

00 0

77 GE

209

04 04

230

42 STO

35 1/Х

210

55 +

231

08 08

67 EQ

211

43 RCL

232

43 RCL

35 1/Х

212

24 24

233

25 25

42 STO

213

95 =

234

42 STO

24 24

214

42 STO

235

04 04

43 RCL

215

08 08

,236

61 GTO

25 25

216

71 SBR

237

02 02

65 X

217

17 В'

238

16 16

43 RCL

218

25 CLR

239

92 RTN

Название 3. ПП —HQ —С

Стр. 1-3

TI Программируемый

Программист Хорн

Дата 9.8.78

Запись программы

Разделение (Ор 17)МодульПечатающее Перфокарты I

4 7 9 5 9библиотекиустройство ДА

Описание программы

Вычислить значения резисторов R2, R$ Значение ^ можег изменяться при изменении Си и Ci2

Для обеспечения максимального значения К установить С12 равным нулю Условие реализуемости: Сн + С12 ^ 4q^C4 В противном случае «& слишком велико».

Команды пользователя

Шаг

Процедура

Ввод

Нажать

Индикация

1

Подготовка текста, если име-

2nd А，

14 24 22

ется печатающее устройство

2

Частота [Гц]

3

Добротность

Си

Си

С12

RUN

2nd Е，

ПУЧ

Регистры данныхРегистры данныхМетки (Ор 08)Метки (Ор 08)

Регистры данных

Регистры данных

Метки (Ор 08)

Метки (Ор 08)

Определяемые пользователем клавиши

a ip

Oo косвен

30 косвенный

ный

адрес

адрес

в qp

0i ПУЧ

1

e以

2 ，

D Ci2

Оз fP

3

E C4

04 К

4

A'TEXT

0е &

25 a/С4

B，

Об R3

2б & = Сц + &2

C，

О7 R2

2了尸

D，

°8（；2

28С1/(c4,2碓)_1

E‘ RUN

09 &1

|~INV| |Тпх] Г5ЁП Г^1 |х旺 I « [ И曰画画画БЗ ® ш га ш и и 项三回国回口

Флажки

0

1

234

56

7

8

9

Текст в 31—39,

41—43

ООО

76LBL

021

76LBL

042

15 E

001

17 В'

022

И А

043

42 STO

002

57ENG

023

42STO

044

05 05

003

73 RC*

024

03 03

045

92 RTN

004

30 30

025

92 RTN

046

76 LBL

005

69 ОР

026

76 LBL

047

16 A'

006

04 04

027

12В

048

01 1

007

73 RC*

028

42 STO

049

05 5

008

00 00

029

02 02

050

00 0

009

69 ОР

030

92 RTN

051

02 2

010

06 06

031

76 LBL

052

00 0

011

01 1

032

13C

053

02 2

012

22 INV

033

42 STO

054

42 STO

013

44 SUM

034

09 09

055

39 39

014

30 30

035

92 RTN

056

85 +

015

97DSZ

036

76 LBL

057

01 1

016

00 00

037

14 D

058

95 =

017

00 00

038

42 STO

059

42 STO

018

02 02

039

08 08

060

38 38

019

98 ADV

040

92 RTN

061

03 3

020

92 RTN

041

76 LBL

062

05 5

ООО

122

10 E‘

95 =

03 3

123

02 2

42 STO

42 STO

124

32X:T

27 27

37 37

125

43 RCL

65 X

85 +

126

09 09

43 RCL

01 1

127

85 +

26 26

95 =

128

43 RCL

65 X

42 STO

129

08 08

43 RCL

36 36

130

95 =

05 05

01 1

131

42 STO

95 =

05 5

132

26 26

34 ГХ

ООО*

133

55 +

65 X

05 5

134

43 RCL

02 2

42 STO -

135

05 05

65 X

35 35

136

55 +

89 я

02 2

137

42 STO

65 X

06 6

138

25 25

43 RCL

42 STO

139

02 2

03 03

34 34

140

55 +

95 =

02 2

141

43 RCL

35 1/X

01 1'

142

02 02

42 STO

42 STO

143

33 X2

07 07

33 33

144

95 =

65 X

03 3

145

77 GE

43 RCL

04 4

146

35 1/X

27 27

42 STO

147

69 OP

95 =

32 32

148

00 00

42 STO

02 2

149

43 RCL

06 06

02 2

150

41 41

43 RCL

03 3

151

69 OP

25 25

06 6

152

01 01

55 +

03 3

153

43 RCL

43 RCL

03 3

154

42 42

27 27

42 STO

155

69 OP

95 =

31 31

156

02 02

34 ГХ

01 1

157

43 RCL

65 X

05 5

158

43 43

43 RCL

00 0

159

69 OP

02 02

05 5

160

03 03

55 ~

42 STO

161

69 OP

42 STO

41 41

162

05 05

01 01

03 3

163

98 ADV

43 RCL

07 7

164

25CLR

26 26

03 3

165

92 RTN

65 X

02 2

166

76LBL

43 RCL

03 3

167

35 1/X

09 09

02 2

168

75 —

95 ~

42 STO

169

01 1

42 STO

42 42

170

95 =

04 04

01 1

171

42 STO

09 9

04 4

172

28 28

42 STO

02 2

173

33 X2

00 00

04 4

174

75 —

03 3

02 2

175

01 1

09 9

02 2

176

95 =

42 STO

42 STO

177

34 ГХ

30 30

43 43

178

85 +

237

71 SBR

92 RTN

179

43 RCL

238

17 B'

76LBL

180

28 28

233

92 RTN

345678901234 ^оь 7 8С^ 012 0^-4567890123456789012345678901 Ал 3 45678 9 о 1 666666677777777778888888888999999999900000000001 .11111111 1 2 2 о о о о о о Q о о о о о о о о о о о о о о о о о о о ли о о о о о о о о о Q 14 11 1 111-1 1 1 III 1 11111 1 1 1

Название 4. ВЧ — HQ

Стр. 1—3

TI Программируем з1й

Программист Хорн

Дата 15 8.78

Запись программы

Разделение (Ор 17)

4 7 9 5 9

Модуль библиотеки

ПечатающееПерфокарты 1

устройство ДА

Описание

программы

Вычислить значения резисторов R2, R&

Значение К может изменяться от 0 до 1 при изменении Си и С12

Для обеспечения максимального значения К = 1 установить Ci2 = 0.

Команды пользователя

Шаг

Процедура

Ввод

Нажать

Индикация

1

Подготовка текста, если имеется печатающее устройство

2nd

А7

22 36 33・

2

Частота [Гц]

А

fp

3

Добротность

9。

В

qp

4

Си [Ф]

Си

С

5

При необходимости Си [Ф]

&2

D

&2

6

& [Ф]

Сз

Е

&

7

RUN

2nd

Ez

0.00

Определяемые пользователем клавиши

Регистры данных

(回g)

Метки (Ор 08)

А

Ip

Оо

косвен-

Зо

косвенный

1 inv 1 1 inx 1 1 се ] ®Г| [777] 1 хГ|

ный адрес

адрес

П^П П7Я [STO~| [^] [sum]

В

Яр

0】

ПУЧ

1

С

Си

02

qp

2

@ Q @ Ш @ Q

D

012

Оз

fp

CLRl

I lNV ■ log 1

1 CP 1

Е

Сз

04

К

1 tm ■ Pgm 1

P+R|

I sin ■ cos 1

CMS I

А，

TEXT

Об

R4

5

■ Exc ■ Prd 1

IM 1

I Eng В Fix I

lint 1

В，

0е

Сз

2б

Р

I 旅g ■ Pause 1

|x=“

1 Nop ■ Op I

Rad

С，

。7

R?

27

&/Сз

I № ■ x^t 1

1 £+ 1

I x ・Grad |

[stfigl

D，

08

&2

28

& =& 1+&2

ВБН kim

1 " 1

BBi ига

"sr [

Е‘

RUN

09

Сн

9

■ Adv— Prt 1

Флажки0

1

2

3

45

6

7

89

Текст

в 31—39

000

76 LBL

026

76 LBL

052

00 0

001

17BZ

027

12B

053

02 2

002

57 ENG

028

42 STO

054

42 STO

003

73 RC*

029

02 02

055

39 39

004

30 30

030

92 RTN

056

85 +

005

69 OP

031

76 LBL

057

01 1

006

04 04

032

13C

058

95 =

007

73 RC*

033

42 STO

059

42 STO

008

00 00

034

09 09

060

38 38

009

69 OP

035

92 RTN

061

03 3

010

06 06

036

76 LBL

062

05 5

011

01 1

037

14D

063

00 0

012

22INV

C38

42 STO

064

03 3

013

44 SUM

039

08 08

065

42 STO

014

30 30

040

92 RTN

066

37 37

015

97DSZ

041

76 LBL

067

01 1

016

00 00

042

15 E

068

05 5

017

00 00

043

42 STO

069

00 0

018

02 02

044

06 06

070

04 4

019

98 ADV

045

92 RTN

071

42 STO

020

92 RTN

946

76 LBL

072

36 36

021

76 LBL

047

16 A'

073

03 3

022

11 A

048

01 1

074

05 5

023

42 STO

049

05 5

075

00 0

024

03 03

050

00 0

076

05 5

025

92 RTN

051

02 2

077

42 STO

Программист ХорнПрограммист ХорнДата 27.10.78Дата 27.10.78Запись программыЗапись программыРазделение (Ор 17)4 7 9 5 9Разделение (Ор 17)4 7 9 5 9Модуль библиотекиМодуль библиотекиПечатающее Перфокарты 1 устройство ДАПечатающее Перфокарты 1 устройство ДАОписание программыОписание программы

Программист Хорн

Программист Хорн

Дата 27.10.78

Дата 27.10.78

Запись программы

Запись программы

Разделение (Ор 17)

4 7 9 5 9

Разделение (Ор 17)

4 7 9 5 9

Модуль библиотеки

Модуль библиотеки

Печатающее Перфокарты 1 устройство ДА

Печатающее Перфокарты 1 устройство ДА

Описание программы

Описание программы

35 35

114

42 STO

150

95 =

02 2

115

27 27

151

42 STO

06 6

116

85 +

152

05 05

42 STO

117

35 1/Х

153

43 RCL

34 34

118

85 +

154

26 26

02 2

119

02 2

155

55 +

01 1

120

95 =

156

43 RCL

42 STO

121

65 X

27 27

33 33

122

43PCL

95 =

03 3

123

02 02

34 ГХ

04 4

124

33 X2

65 X

42 STO

125

95 =

43 RCL

32 32

126

42 STO

02 02

02 2

127

26 26

95 =

02 2

128

65 X

42 STO

03 3

129

43 RCL

01 01

06 6

130

28 28

43 RCL

03 3

131

65 X

09 09

03 3

132

43 RCL

55 +

42 STO

133

06 06

43 RCL

31 31

134

95 =

28 28

92 RTN

135

34 ГХ

95 =

76LBL

136

65 X

42 STO

10 Е‘

137

02 2

04 04

43 RCL

138

65 X

09 9

09 09

139

89乳

42 STO

85 +

140

65 X

00 00

43 RCL

141

43 RCL

03 3

08 08

142

03 03

09 9

95 =

143

95 =

42 STO

42 STO

144

35 1/X

30 30

28 28

145

42 STO

71 SBR

55 +

146

07 07

17B'

43 RCL

147

65 X

25 CLR

06 06

148

43 RCL

92 RTN

95 =

149

26 26

890123456789012345678901234567890123 778888888888999999999900000000001111

о ОО о о о ОО о о о -^^ о о о о о о о ^и ^и ^и 1- 1 1- 1- 1- и 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- и

TI ПрограммируемыйTI ПрограммируемыйS р дS р дНазвание 5. ВП — Q,5Стр. 1 — 3

TI Программируемый

TI Программируемый

S р д

S р д

Команды пользователя

Шаг

Процедура

Ввод

Нажать

Индикация

1

Подготовка текста, если имеется печатающее устройство

2nd

А，

14 24 22

2

Ввод частоты полюса [Гц]

F

А

F

3

Ввод добротности 0,5

Q

В

Q

4

а [ф]

G

С

Ci

5

С2 [Ф]

。2

D

С2

6

Сз [ф]

Сз

Е

Сз

7

RUN

2nd

Е，

0.00

Повторить шаги 4—7 аля других значений С

Определяемые пользователем клавиши

Регистры даннтх

Метки (Ор 08)

A fP

В 9р

С С1

D С2

Оо,

0, 02

0з

30 косвенный адрес

Яр

fp

loС2

h Ci

12 & +02

1302 +e3

回,恒回回国м SvB画画画БП

иоешиш

mi 1 = i

1 CLR 1

■ in”

1 M 1

CP I

Е Сз

04

^5В

U 2gp

A' TEXT

■ ®.・ Pgm I

P+R

1 s№ ■

COS ■

CMs I

о5

^4В

I5 5 • С'з

16 "方

В，

■ Ехс ■ Prd I

1 Eng ■

Fix ■

Int I

об

Rga

R 5A

ESI ЕЕШ

x=+

1 Nop ■

Op I

Rad —

С

и?

h 2%

08

Lbl —XAt ■

1+

1又■

Grad ■

smg・

D'

R4A

U時

Е‘ RUN

09

50, 51, 52

ESiEI ЬШй!

〔w 1

Write ■

Dsr .

Сз

косвен-

■ Adv i Prt I

ный адрес

Флажки

01

23

456

78

9

Текст в per. 31—43

О N 3 О 3 7 О J о 7 3 О I > О О zyzz^^^^gzX^^ II Й 2： ~ +Й2 ^й 2 х^с^2 +к § „Й 2 ^ёг хё S ^Й s li ++^ ll^guuSSoS Z 寸 zaacoz90 9icg — да 寸 ggcogiLOcoo,寸 аадсосоодсоб 计 acoLOggiLOg6 计 Gtoq 计 Sigzz 寸寸 cqggz OOoO 寸寸 6Z1O9 寸 06 寸 18910 寸—8 计—g 寸—9LO 寸 18 寸 09 寸 igg 计—9 寸 OLOb— 668。6ZZgg 寸 iQ 寸

0138 寸 S9Z86OiZC3 寸 99Z006。— cqgbS9Z86OiZc0 寸 S9Z86O — ag 寸 LC9r-006OiC4g 寸 99ZG06 NNNNaNNNCMNgCGCOeoCOCOCQgcOCC 寸寸计寸寸寸寸寸寸寸 LOLO9g9iO9LOLOgg999999g99b-zzZZZZZZZ •« ^^ г—< ^^ »~^ ^^ т—< «—( •—< ^^ »~^ ,—« »—> г—< г—< •—< »—> >—4 1—Ч т—Ч ^^ г—< »—1 »—> •—< »—1 •—< »—> «м т-и 1—' г—< т—( »~и WM »—> ，—' •« г—< г—< V—I »~и •—4 т—Ч »~и »~и <—<，—' «-Ч v—I , ,_< ^-1 ^-1 >—< 丁 , ,—( , - t ,—(

о 2Й§ +iN s常о 2Й§ +iN s常со S О LO —СО6 6со S О LO —СО6 6О оО ООII Й СО 4~^ N&5篇 4~6 6 11ЙЙ4"*- ИЙсосч—ЙйО оО ООII Й СО 4~^ N&5篇 4~6 6 11ЙЙ4"*- ИЙсосч—ЙйооCOyfSgcoZcoNcOZSCOyfSgcoZcoNcOZS摩I中摩I中aog]Loa6ggОдтсосчоод — даддббдаь-д — да 寸 дббдадд — юасосч — аасо 寸 Zigzgacoazcqi 计 寸寸806寸8o00000寸000006寸008006寸88o6寸700006计8806寸800寸800寸8000000寸寸00OiZg 寸 109186。— Zg 寸 g9Z006Oiag 寸 109Z860iNgbS9Z86 0iZg 寸 99186。178 寸 Ю9Г-С06 9999999999ZZZZZZZZb-b-0080088C08C08oo6666666666。。。。。。。。。。— — — — II — — I — 00000000000000000000000000000000000000001111111 - - iiiiiiiiiiiaog]Loa6ggОдтсосчоод — даддббдаь-д — да 寸 дббдадд — юасосч — аасо 寸 Zigzgacoazcqi 计 寸寸806寸8o00000寸000006寸008006寸88o6寸700006计8806寸800寸800寸8000000寸寸00OiZg 寸 109186。— Zg 寸 g9Z006Oiag 寸 109Z860iNgbS9Z86 0iZg 寸 99186。178 寸 Ю9Г-С06 9999999999ZZZZZZZZb-b-0080088C08C08oo6666666666。。。。。。。。。。— — — — II — — I — 00000000000000000000000000000000000000001111111 - - iiiiiiiiiii

о 2

Й§ +iN s常

о 2

Й§ +iN s常

со S О LO —СО6 6

со S О LO —СО6 6

О оО ОО

II Й СО 4~^ N&5篇 4~6 6 11ЙЙ4"*- ИЙсосч—Йй

О оО ОО

II Й СО 4~^ N&5篇 4~6 6 11ЙЙ4"*- ИЙсосч—Йй

о

о

COyfSgcoZcoNcOZS

COyfSgcoZcoNcOZS

摩I中

摩I中

aog]Loa6ggОдтсосчоод — даддббдаь-д — да 寸 дббдадд — юасосч — аасо 寸 Zigzgacoazcqi 计 寸寸806寸8o00000寸000006寸008006寸88o6寸700006计8806寸800寸800寸8000000寸寸00

OiZg 寸 109186。— Zg 寸 g9Z006Oiag 寸 109Z860iNgbS9Z86 0iZg 寸 99186。178 寸 Ю9Г-С06 9999999999ZZZZZZZZb-b-0080088C08C08oo6666666666。。。。。。。。。。— — — — II — — I — 00000000000000000000000000000000000000001111111 - - iiiiiiiiiii

aog]Loa6ggОдтсосчоод — даддббдаь-д — да 寸 дббдадд — юасосч — аасо 寸 Zigzgacoazcqi 计 寸寸806寸8o00000寸000006寸008006寸88o6寸700006计8806寸800寸800寸8000000寸寸00

OiZg 寸 109186。— Zg 寸 g9Z006Oiag 寸 109Z860iNgbS9Z86 0iZg 寸 99186。178 寸 Ю9Г-С06 9999999999ZZZZZZZZb-b-0080088C08C08oo6666666666。。。。。。。。。。— — — — II — — I — 00000000000000000000000000000000000000001111111 - - iiiiiiiiiii

^台證^^盜^兆1忍彩^^訳^V融 ^8^^。^ = ^а^^3^^之iOZ^+一 II 9b-з^соОб 寸 r~coo69ia寸。zooacocoagiZaa9cqeч — адсос — ад寸 GOa9Loa6a99iLOONz—LOig ZiCqgzC09 0uOZ09 00N寸 C06 0 00666b-i 寸 O6Z1 计。6b-i 寸 i6Z —计 i6ZibO6Z — OO。。寸计 0006

о — асо 寸 L09ZC06 0 — ag 寸 LO9ZCO6。— agbg9z86O — ZgbL09Z006O — ag 寸 99АСОбО — а8 寸 1Л9Ь-006 ciooo 心 oooooiiiiiiiii'iGGaaaGaazZmcomgcQcQmcococobb 寸寸 W 寸寸廿 bbgL0L0L0Lf5gL0gt0L0 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

80^^8384

5678901234567890123456789012345678900988889999999999000000000011111111142

111111111111111222222222 22 2222222222

52 52 07 7

42 STO

51 51 08 8

42 STO

50 50

43 RCL

16 16

71 SBR 22INV 03 3

42 STO

52 52 044

42 STO

51 51 05 5

42 STO

50 50

43 RCL 1616

94 +/— 71 SBR 22INV 01 1

01 1

42 STO

00 00

04 4

01 J

42 STO 30 30

71 SBR

17 B‘

25 CLR

92 RTN

76 LBL

34 ГХ

69 OP 00 00

43 RCL

262

95 =

40 40

263

72 ST*

69 OP

264

50 50

01 01

265

65 X

43 RCL

266

43 RCL

42 42

267

17 17

69 OP

268

33 X2

02 02

269

42 STO

43 RCL

270

1818

43 43

271

65 X

69 OP

272

43 RCL

03 03

273

1515

69 OP

274

65 X

05 05

275

43 RCL

98 ADV

276

10 10

91 P/S

277

95 =

92 RTN

278

35 1/X

76 LBL

279

65 X

22 INV

280

43 RCL

85 +

281

12 12

01 1

282

95 =

95 =

283

72 ST*

55 +

284

51 51

53 (

285

85 +

89 л

286

73 RC*

65 X

287

50 50

02 2

288

95 =

65 X

289

65 X

43 RCL

290

43 RCL

02 02

291

10 10

54)

292

65 X

42 STO

293

43 RCL

17 17

294

11 11

55 +

295

65 X

02 2

296

43 RCL

55 +

297

18 18

43 RCL

298

95 =

01 01

299

35 1/X

55 +

300

72 ST*

43 RCL

301

52 52

13 13

302

92 RTN

123456789012345678901234567 890123466 r"89Ql 22222222233333333334444444444555555555566 22222222222222222222222222222222222222222

Название 6 ВП — HQ

С гр 1-3

TI Программируемый

Программист Хори

Дата 23.8.78

Запись программы

Разделение (Op 17)

4 7 9 5 9

Модуль библиотеки

Печатающее устройство ДА

Перфокарты 1

Описание

программы

Вычислить значения резисторов Rit R4i R^ Установить значение резистора R& равным 10 кОм, если не определяется Начать при Сг = Сз или G > Сз

Шаг

Процедура

Ввод

Нажать

Индикация

Команды пользователя

1

Подготовка текста, если имеется печатающее устройство

2

Частота [Гц]

3

Добротность

4

С2 [Ф]

5

Сз [Ф]

6

При необходимости &

7

RUN

2nd

А，

22 36 33.

fp

A

fp

В

qp

G

С

С2

Сз

D

Сз

&

Е

&

2nd

Е，

0.00

Определяемые пользователем клавиши

Регистры данных

Метки (Ор 03)

I List

\ 11

/

A fp

В qp

С с2

D Сз

Е &

A7 TEXT

В' PRINT

С，

D，

Е‘ RUN

Оо, 30 косвенный адрес

0iПУЧ

。2др

Озfp

04К

О5&

оеа5

о7R4

Os&

ОдС?

loR

1

2

3

4

5

6

2? С2/С3

2з Р = &/А

9

回回回 画画区 恒И/И画画ЕЙ

画ГЗ画田恒□□

CLR

INV

屬1

CP

tan

Pgm

М3

Sin

Exc

Prd

Ixl

Pause

x = +

Nop

E1B

UA

ЕШ

iffig

List

Adv

Prt

Флажки

0123456789

Текст в 31—40

^+Jz iix跄負 11Ййха§ха§ иЙХсчХкх^з II黯^x* /^2a+沃 Hux^g i化己2^器三^^ Nzgggaggcoc4mgc4 8gE8gE6gyfvoc4g6gEEg9c4ogE8gc4ZE810coz9寸式5 00 6»9川100 9卜-9 сч z m 寸z55e8O69 寸 0小6寸СЧ9寸09 寸 06890989 寸 O6E 寸 i9寸 СЧ6寸о寸СЧ1ЛР<СЧ6Е9寸 O6P"OvO9E СЧ Z CO

86OiC4Ep"g9Z86OiC4E 寸 109Z86 0iC4E 寸 109 卜■860iC4EP'g9Z860iC4EP'g9Z860iC4 00 寸 Ш 9 —iZC4C4C4C4G1C4ZC4C4EEEEEEEEEE 寸寸寸寸寸寸寸寸寸VlOggggggggg9999999999zZZZ Z Z Z —I I I I I <—i I I I—t ^—t <—i I I I I >—« III Г*Ч I I—t I ^4 f-M I f-M ,—< I I I I I I—t f—< III I—t I I f—I »—< •—< ^— •—< 1—' •—< 1-4，"，" I •—< I •—< •—< I I

о О О о о О О О 2ми

^+i И c/)cocomomoOco U^^+i II иотесчсооо^сч^оососо'^'оотеСЧСЧЕ9coe0S^НЗ山寸o^^iOS^H^*l О- о II 6gliосч88gogNZgigzgvoigzga9co 寸 СЧ1СЧЕЕ 寸 счсчсчсче9coe0diC49o 寸 oc40iozoco6io co oo g 8806 寸 eoOOOO 寸 C08O6寸E8O6 寸EOO寸 EOO 寸EOO 寸EOOOOOO 计 CO6Z—00寸 COOO 寸О 寸 О1Л 寸 О 6

6О1СЧЕ 寸 g9Z86OiC4E 寸 lft9Z86OiZm 寸 g9Z860iC4COFi09Z860iC4E 寸 S9Z86OiZE 寸 1Л 9 Z L09999999999Zzb-ZS«ZZb-ZZ65888888888666666 66660000000000iiiii i i i OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO'—' I I I

з с К c >W N ^N3 о N3 о N3 о zu о N3 О NTоо

3и§а^о3а8о8~2й^а8§§°а3<йз&3шй§&3ий§&3с1й§&3шйёа3<со1ооо)й§-1п осой

9HЕО6 寸 C0O69iC4V«OZOOC48z9iZC0Gl9GleЧСЧСЧ9ЕСЧ6СЧ9 寸 C48Z9gziЛСЧ99С090СЧСЧ019 О СО СЧ Zig 卜■0090 卜■0900C4yE600066Ziy06Zip'06ZiV06Zip'06ZiV'06Zi0000 寸寸 ОО о о 寸

OiZE 寸 109Z86OIC4C0 寸 109Z86oiZcOP'io9Z860iC4E 寸 S9Z8 6OiC4g 寸 99Z86OIC4C0 寸 1Л 9 Z 00 oooOOOOOOOiiiiiiiiiic4C4C4C4C4C4C4C4C4C4eecoeecococococop'V'P'MvP'Mi 寸寸 Мюдюдюю tn g g OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO О О о

65 X

190

42 STO

203

25CLR

53 (

191

06 06

204

92 RTN

01 1

192

55 +

205

76 LBL

85 +

193

43 RCL

206

35 1/X

43 RCL

194

05 05

207

01 1

27 27

195

85 +

208

52 EE

54)

196

01 1

209

04 4

55 +

197

95 =

210

42 STO

43 RCL

198

35 1/X

211

05 05

28 28

199

42 STO

212

61 GTO

65 X

200

04 04

213

01 01

02 2

201

71 SBR

214

77 Z7

95 =

202

17 B‘

215

92 RTN

Название 7 ПЗ — HQ

Стр. 1-3

TI Программируемый

Программист Хорн

Дата 23 8 78

Запись программы

Разделение (Op 17)

4 7 9 5 9

Модуль

ПечатающееПерфокарты 1

библиотеки

устройство ДА

Описание программы

Вычислить значения резисторов Ri, /?4,火5

Установить значение резистора & равным

10 кОм, если не определяется

S? +J + ?s +時S? +J + ?s +時Начать при Сг = С3 или С2 > Сз.

S? +

J + ?s +時

S? +

J + ?s +時

Команды пользователя

Шаг

Процедура

Ввод

Нажать

Ииднкацня

1

Подготовка текста, если имеется печатающее устройство

2nd

А，

22 36 33.

2

Частота [Гц]

fp

А

fp

3

Добротность

qp

В

9р

4

С2 [Ф]

с2

С

&

б

Сз [Ф]

&

D

С3

6

При необходимости &

&

Е

&

7

RUN

2nd

Е，

0.00

Определяемые пользователем клавиши

Регистрь

данных

ИИ)

Метки (Op 08)

A厶

В 9р с с2 D Сз

Е &

A'TEXT

В' PRINT и

D，

Е‘ RUN

Оо, 30 косвенный адрес

01 ПУЧ

。2qp

Оз }

04 К

О5 Rq

Об Rs

О7 R4

Оз &

09 e2

loR

i

2

з

4

5

6

27 c2/С3

28 P = R4/R1

画回国函回0 Ш回画函画EZJ

画 ЕЗ 回国画 口

CLR

INV

CP

tan

М3

IHI

sin

困 國

Prd

画

Pause

x = t

Nop

Lbl

工十

X

奸佝

UMS

List

Write

Adv

PM

Флажки0

1

2

3

45

6

7

89

Текст

в 31—40

000

76 LBL

012

22 INV

024

03 03

001

17 B‘

oi§

44 SUM

025

92 RTN

002

57 ENG

014

30 30

026

76 LBL

003

73 RC*

015

97DSZ

027

12B

004

30 30

016

00 00

028

42 STO

005

69 OP

017

00 00

029

02 02

006

04 04

018

02 02

030

92 RTN

007

73 RC*

019

98 ADV

031

76 LBL

008

00 00

020

92 RTN

032

13C

009

69 OP

021

76 LBL

033

42 STO

010

06 06

022

11 A

034

09 09

Oil

01 1

023

42 STO

035

92 RTN

678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345

333344444444445555555555666666666677777777778888888888999999 oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

76 LBL 14D

42 STO 0808

92 RTN 76 LBL 15Е

42 STO 05 05

92 RTN 76 LBL 16 A' 03 3 05 5 00 0 02 2

42 STO 40 40 01 1

05 5 00 0 03 3

42 STO 39 39

85 + 01 1 95 = 42 STO 38 38 03 3 05 5 00 0 05 5

42 STO 37 37

85 + 01 1 95 =

42 STO 36 36

85 + 01 I 95 =

42 STO 35 35 02 2 06 6

42 STO 34 34 02 2

01 1

42 STO 33 33 03 3 04 4

42 STO 32 32 02 2 02 2 03 3

06 6

155

42 STO

03 3

156

07 07

03 3

157

43 RCL

42 STO

158

28 28

31 31

159

55 +

92 RTN

160

43 RCL

76 LBL

161

27 27

10 Ez

162

95 =

04 4

163

34 ГХ

ООО

164

65 X

42 STO

165

43 RCL

30 30

166

02 02

01 1

167

95 =

ООО

168

42 STO

42 STO

169

01 01

00 00

170

43 RCL

43 RCL

171

05 05

09 09

172

67 EQ

55 +

173

35 1/X

43 RCL

174

22 INV

08 08

175

77 GE

95 =

176

35 1/X

42 STO

177

65 X

27 27

178

53 (

85 +

179

01 1

35 1/X

180

85 +

85 +

181

43 RCL

02 2

182

27 27

95 =

183

54)

65 X

184

55 +

43 RCL

185

43 RCL

02 02

186

28 28

33 X2

187

95 =

95 =

188

42 STO

42 STO

189

06 06

28 28

190

55 +

65 X

191

43 RCL

43 RCL

192

05 05

08 08

193

85 +

65 X

194

01 1

43 RCL

195

95 =

09 09

196

35 1/X

95 =

197

42 STO

34 ГХ

198

04 04

65 X

199

71 SBR

02 2

200

17 B‘

65 X

201

25CLR

89 л

202

92 RTN

65 X

203

76 LBL

43 RCL

204

35 1/X

03 03

205

01 1

95 =

206

52 EE

35 1/X

…207

04 4

42 STO

208

42 STO

10 10

209

05 05

65 X

210

6FGT0

43 RCL

211

01 01

28 28

212

77 77

95

213

92 RTN

67890123456789012345678901234567890123456789012345678901234 99990000000000111111111122222222223333333333444444444455555

^u ли ^4 ^> 11 11 1 11 11 и 11 11 J n 11 11 11 11 11 11 n ^1 11 11 «1 11 11 n ^1 11 11 «1 11 11 I 11 11 11 IX IX IX IX lx lx IX lx 11 IX J ^1 a 11 11 и IX n 11 11 ^1

Название 8. НЧ —CQ

Стр. 1 — 3

TI Программируемый

Программист Хорн

Дата 4.8 78

Запись программы

Разделение (Ор 171

1 7 9 5 9

Модуль библиотеки

ПечатающееПерфокарты 1

устройство ДА

Описание

программы

Вычислить значение резисторов Rh, R12, Кз, &

Установить значение резистора 砾 равным 10 кОм, если не определяется Значение К, если не определено, выбирается максимальным (Ri2 f 8) RUN—Р вычисляет Р =^ R3/R11 II 火隐 для минимального значения ПУЧ.

Команды пользователя

Шаг

Процедура

Ввод

Нажать

Индикация

1

Подготовка текста, если имеется печатающее устройство

2nd

А，

22 36 33.

2

Частота [Гц]

%

А

fp

3

Добротность

др

В

Яр

4

С2[Ф]

с?

С

G

5

С4[Ф]

&

D

&

6

При необходимости К

к

Е

К

7

При необходимости R5 [Ом]

R5

2nd

С，

R5

8

Вычисление Р для минимального значения ПУЧ

2nd

D，

P

9

При заданном Р RUN

Р

2nd

Е，

0.00

10

Повторить шаг 9 для нового

При необходимости:

11

стереть печать значения R11 — Q

2nd

St fig

0

12

печатать Rn — Q (только однажды после шага 9)

13

удалить шаг И

INV

2nd

St fig

0

Определяемые пользователем клавиши

Регистры данных

(И Ш1)

Метки (Op 08)

А /р

В Яр

С с2

D &

Е К

A' TEXT

В' PRINT

С &

D‘ RUN—Р

Е‘ P-RUN

Оо косвенный адрес

0】qp

。2 fp

Оз к

。4 &

05 R5

06 &

07R3

08 g,2

0g R12

Ifl Rll

1g Квк

2? Kmax — К

2з I+&/R5

回回回回ЕЕГ区 И Е® И И ЕЕ И Ш Ш Ш И И 画三回国回口

I+/-1 日

CLR

INV

■ log I

CP

2, 7PCg

2丹 Ri =Rn ]]R}3

26 P

27 ПУЧ

20 C4/C2

30 косвенный адрес

tan

P+R

sin

ca$

CMs

1 Exc I

Prd

EH

Fix

Int

Pause

x = t

Nop

Op

Rad

Ё^4 КЯ №■

Grad

SHLg

UMS

List

Write

Dsr

Pr-t

•Флажки

01

2

3

45

6

7

89

Текст в

per. 28,

29, 31—40, К в

19

000

76 LBL

023

11 A

046

92 RTN

001

17 B‘

024

42 STO

047

76 LBL

002

57 ENG

025

02 02

048

18 C‘

003

73 RC*

026

92 RTN

049

42 STO

004

30 30

027

76 LBL

050

05 05

005

69 OP

028

12B

051

92 RTN

006

04 04

029

42 STO

052

76 LBL

007

73 RC*

030

01 01

053

16 A'

008

00 00

031

92 RTN

054

03 3

009

69 OP

032

76 LBL

055

05 5

010

06 06

033

13C

056

00 0

Oil

01 1

034

42 STO

057

02 2

012

22INV

035

08 08

058

00 0

013

44 SUM

036

92 RTN

059

02 2

014

30 30

037

76 LBL

060

42 STO

015

97DSZ

038

14D

061

40 40

016

00 00

039

42 STO

062

85 +

017

00 00

040

06 06

063

01 1

018

02 02

041

92 RTN

064

95 =

019

98 ADV

042

76 LBL

065

42 STO

020

98 ADV

043

15E

066

39 39

021

92 RTN

044

42 STO

067

01 1

022

76 LBL

045

19 19

068

05 5

II Йё-о§8^©Й^^ё2ё§щ§Х—^8 •l-^§X^o^_^§s •|-a3 + +--i+^^X«S^ НЙЗ-1-аЙ +- n gaziOGlOP(OZOEgazgZggEcOE910co8ge40ё0 9 寸寸 7寸10 001寸9 00110 00 9 寸 10 00 0寸97寸9 0010 9 U 喙 бР'ооор*ооор'сор'оаг-со9Е9юдр<одр<09Р'счксчдеор'счдр'обоо'Л08Р'Сч1Л9У<сч1ЛбР'одр'0 со о "‘

t^-00 05O^-'C4C0'^'mcDt^-00 05O-—<C4CO'^'mcDt^OOOiO^C4CO'^,m<X)t^QOCbO'—'CJCO-rf-mcOt^-OOOO'—'СЧСО-сГШСО^-ООСЬО^СЧ co 寸 出 88866666666660000000000iiiiiiiiiiZC4C4G1C4NC4C4C4C4COCOECOEECOEECO 寸寸寸寸寸工 1111111111111асчасчасчасчаасчсчсчасчсчсчсчсчсчасчсчсчсчасчсчсчасчасчасчсчаасчсчсчсчсч сч сч g

О 3 7 NU 0 3HJ 7 X。 3

I化^+— iiXiax%己岗+i ИЙ+-。叉+2^+e9・i・^己艾 lE^&^^xZ^xZ^ iiuxMXt?x^g и^йй хё^ тсчою^1лт^счщсо-—•coio^m-^'m^mcoiocoomcocoioco—<comc4cooc4cDtncoacmcocDm'^'ioc4iocxmcooqiOtOc4iA io co 9 6 寸 СЧ8О69ОО9 寸 OE8O6E8O6E9P'GigOOgp'OC066Zi 寸 СЧ9 寸 09 寸 060090989 寸 О6ЕУСЧ 9 寸 СЧ

86О1СЧЕ 寸 109Z860iC4g 寸 109Z860iC4E 寸 109Z86 0iC4E 寸 109Z860iZCO 寸 99Z86OiZm 寸 9 9 NC4EEC0C0EC0C0EEE 寸寸寸寸寸寸寸寸寸寸 10109gSgggsg9999999999ZZZZZZZZzZ8888 00 00 8 г—4 ^-4 WM ^ I ^-Ч ₽*Ч ^-Ч ^И *м ^Ч ^-Ч ^Н ^ ^Н *М ^^ ^ ^ ^Н *М ^-Ч ^Н ^*н ^*н ^н ^ ^^ ^ «»Ч ^Н ^Н 1 ₽-Ч ^Н ^-Ч ^-Ч ^-Ч ^Н ^-4 ^Н ^-Ч WM ^-Ч ^-Ч »—Ч ^-Ч ^-Ч »—Ч »—Ч ^н >_, ^-Ч ^-Ч »—> — ^^ <-rt ^-<

Y amta君outid匚

ООО ocoScocog。寸 SEiiooioSco

poo

EgO9^^+i II Йтесчсооососч-нслй

ео 寸 55 8сч сч со 9 coeо S §5Hl*1* Ct о

ОС0СЧ8Е10О 寸 C4ZiV0010C49eog09C4ggiga 寸 C49ZC0ZiC4C4C0 寸 ZiCOcOZ8aze09coe0N6C496co9 1Л CO go OO 寸 EOOOO 寸 Eoooo 寸 COOOOO 寸 E8O6 寸 COoO 寸 EOO 寸 EOO 寸 eooo 寸 СЧОООООО 寸 C46Zi 寸 о s 计 о

601700寸1091--8601700 寸 99Z860iG!EP*G9Z860iGlEP'g9Z860iC4COP'g9ZC060i7COV S 9 Z 9ZZZZZZZzZZ8888888888666666666600 0 0000000iiiiiiiiiiC4NZZC4 СЧ CM Z 0。0。。。。。00。OQoOooooOOo匕oOOOOOOoiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii I I I

678901234567890123456789012345678901

444455555555556666666666777777777788

222222222222222222222222222222222222

42 STO

23 23

33 X2

65 X

43 RCL 01 01

55 +

43 RCL

24 24

95 =

42 STO 27 27

43 RCL

28 28

69 OP

04 04

43 RCL

26 26

69 OP

06 06

43 RCL

29 29

69 OP 04 04

43 RCL

27 27

69 OP 06 06

98 ADV

43 RCL 19 19

67 EQ

33 X2

94 +/—

85 4

43 RCL

23456789012345678901234567890123456

88&8&8889999999999000O00O00011I1I11 22222222222222222233333333333333333

23 23

95 =

22 INV

77 GE

33 X2

67 EQ

33 X2

42 STO 22 22

43 RCL 23 23

55 + 43 RCL 19 19

42 STO

03 03 65 X 43 RCL 25 25

95 =

42 STO

10 10

65 X

43 RCL 03 03

55 + 43 RCL 22 22

95 =

42 STO

09 09

87 IFF

00 00

03 03

19 19

,7,8,9202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505, 33333333333333333333333333333333333

71 SBR 17 В' 25CLR

92 RTN 76LBL

35 1/Х 01 1

52 ЕЕ 04 4 42STO 05 05

61 GTO 02 02 05 05

92 RTN 76LBL

33 X2

43 RCL

25 25 42STO 10 10

01 1

52 ЕЕ 09 9 ООО

42 STO 09 09

43 RCL 23 23

42 STO 03 03

61 GTO 03 03 1313

92 RTN

Название 9. ПП — CQ — R

Стр 1 — 3

TI Программируемый

Программист Хорн

Дата 3 8.78

Запись программы

Разделение (Ор 17)

4 7 9 5 9

Модуль

ПечатающееПерфокарты 1

библиотеки

устройство ДА

Описание программы

Вычислить значения резисторов Лц, Ra, Ru

Значение К, если ив определено, выбирается максимальным

Установить значение резистора & равным 10 кОм, если не определяется

Rip ° =兄編■•

Команды пользователя

Шаг

Процедура

Ввод

Нажать

Индикация

1

Подготовка текста, если имеется печатающее устройство

2nd

А，

22 36 33・

2

Частота [Гц]

3

Добротность

С2 [Ф] е3 [①]

При необходимости К =

—1 т (Л°р) 1

7

При необходимости Re [Ом]

%

2nd

С，

&

8

Вычисление 尸 для минимального значения ПУЧ

2nd

D，

Р

RUN при заданном Р

Р

2nd

Е，

0.00

10

Повторить шаг 9 дли нового р

При необходимости:

11

стереть печать значения Ru — Q

2nd

St fig

0

12

печатать R“ 一 Q (только однажды после шага 9)

2nd

В，

13

удалить шаг 11

INV

2nd

St fig

0

Определяемое пользователем клавиши

Регистры данных

(иш)

Метки (Ор 08)

А

1р— входное данное

00 косвенный

1о

Rh

画恒回画区]EZ]

адрес

2(

亘 ЕЮ,® @ @ Ш

В

^р—входное данное

01 Яр

К щах — К

С

С2—входное данное

。2 fp

22

К max

画L3画И回И

D

С3—входное

Оз К

2з

1 + R5/&

+/-11 = I tail 1ЕЯ ksi МЫ

данное

Е

К— входное

0《Re

24

«2/C3P

lion ■

Pgrn

.P.R. sin 1 cos . C兩

данное

Ri=Rii IIR12 р

[Exc I

Prd

кня |зя !№■ riBH

A' TEXT

05 /?5

2б

В' PRINT

Об R&

26

|Deg I

Pause

■ x = t В Nop I Op ■ Rad

С' R6—входное

07 Сз

2?

ПУЧ

|M I

■ L+ I x ■ Grad ■ SI fig

данное

D，

RUN Р

。8 c2

20

C2/C3

KUEI

DMS

■亦■ List・讷也■ Dsr

Р— RUN

仇R】2

30

кос венный адрес

PM

① лажкн0123456789

Текст в per. 28, 29, 31—40, К в 19

01234567890123456789012345678901234567890123456789012345678

M00000000011H1111112222222222333333333344444444^4^55^55555

w^ttoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

76 LBL 17B'

57 ENG

73 RC*

30 30

69 OP 04 04

73 RC* 00 00

69 OP 06 06 01 1

22 INV

44 SUM

30 30 97DSZ 00 00 00 00 02 02

98 ADV

98 ADV 92 RTN 76 LBL

11 A

42 STO 02 02

92 RTN

76 LBL 12B

42 STO 01 01

92 RTN

76 LBL 13C

42 STO 08 08

92 RTN

76 LBL 14D

42 STO 07 07

92 RTN

76 LBL 15E

42 STO 19 19

92 RTN

76 LBL 18C'

42 STO 04 04

92 RTN

76 LBL

19 D‘

43 RCL 08 08

55 +

43 RCL 07 07

9012345678901234567890123456789012345678901234567^901234567

56666666666777777777788888888889999999999000000000011111111OOOOOOOOQOOOOOOOOOOOOQO^-QOOOOOQO^-OOOOQOOQllllllllllllllllll

42 STO 20 20

35 1/Х

85 + 01 1

02 2 65 X 43 RCL 01 01

33 X2 85 + 01 1

95 = 34 ГХ 75 — 01 1 95 =

33 X2 65 X 43RCL 20 20

55 + 04 4

55 + 43 RCL 01 01

33 X2 95 =

92 RTN 76LBL 10 E‘

42 STO 26 26 65X

43 RCL 08 08

65 X 43 RCL 07 07 95 = 34 ГХ

65 X 02 2

65 X 89 л

65 X 43 RCL 02 02 95 =

35 1/X 42 STO

25 25 65 X

43 RCL 26 26

118

95 =

119

42 STO

120

06 06

121

01 1

122

ООО

123

42 STO

124

00 00

125

04 4

126

ООО

127

42 STO

128

30 30

129

43 RCL

130

04 04

131

22 INV

132

77 GE

133

35 1/X

134

67 EQ

135

35 1/X

136

65 X

137

53 (

13a

53 (

139

43 RCL

140

08 08

141

55 +

142

43 RCL

143

07 07

144

55 +

145

42 STO

146

20 20

147

43 RCL

14s

26 26

149

54)

150

34 ГХ

151

42 STO

152

24 24

153

55 +

154

43 RCL

155

01 01

156

94 +/—

157

85 +

158

53 (

159

01 1

160

85 +

161

43 RCL

162

20 20

163

54

164

55-

165

43 RCL

166

26 26

167

54)

168

95 =

169

42 STO

170

05 05

171

55 +

172

43 RCL

173

04 04

174

85 +

175

01 1

176

95 =

о о о о о 222^2g р

§ +i II ^庚 igom&5?§ ~h— II Ййсошоюиоэт 4-w II слЙ +一 llfewotco^coot—*ЙЙсо^слоОсоеоЙйс<»с<»соососос/эйс^

ogig76igocoz8gigazcogogz9gigzgg—ga 寸 agzcoz—zzg 寸 a—eocoz8zzc096mz0 仪 寸806寸000000寸00806寸000000寸c0806寸00806寸0000寸0000寸0000寸0000寸7000000寸76

Z86OiZCQ 寸 g9Z006OiZC0 寸 g9Z86OiZB 寸 g9Z86Oi7C0 寸 g9Z860 — ZcO 寸 g9Z86OiZCQW 666 000 00000ooiiiiiiiii — G|GJZZGJZC4GJZZEeOCOeOeOCOcOCOCOCO 寸寸寸寸寸寸寸寸寸寸 9915Kg azzcococoeococococomcoeocOECOeococoeocOEgcocoBmeomeoeoeoeoeocoggmcocoBBgcoeoeoeogmcogmgmBcoco

03To 工 H XN3£ 「 О О gJ 30О T 。 2О

化3X2€，12h 11^巴碧若热淡^>1阻^^能旣2^2I^6O^2?^兆^0^之6903 0 7^

iczogeoeogcoiga6zoagizgc49giz 寸z 寸 ii9Z9coeogzoic460768zaeoiZ6a9900gozozz 6寸 i9寸 ОЮ寸Z6寸 08009ZIZ6ZCO090 寸 09066ZCO寸0<»寸1。900寸。寸 Z寸 090寸 6Z — OOOO。。寸

Z86OiZe0 寸 99Z860IZCO 寸 99Z860iZcO 寸 99Z86OIZB 寸 99Z86O—7CO 寸 g9b•86OIZ8 寸 Ш9 COC0CO 寸寸寸寸寸寸寸寸寸寸 gggggggggg9999999999ZZZZZzZZZZ88888888886666666 77ZZ7ZC4Z777C4ZZZZZZZ7ZZZZZC4ZZ7Z7C4ZZZZZC4Z7Z77ZZ777C4ZZC47ZZZZZZZ

zcomcoigco 寸 gzc<igeocogc<izeo86 寸 B969CO66 寸 8Z698eo6Zeovgcoc<iqC4Zcozco7ieo7gB67eogcog 寸 Z9寸09寸76寸79寸Z6寸cЦу"cМ60寸790寸Z90寸С4906寸 i9C068 寸Z6ZZgQg 寸Z 寸39寸1寸09寸zzcomcoigco 寸 gzc<igeocogc<izeo86 寸 B969CO66 寸 8Z698eo6Zeovgcoc<iqC4Zcozco7ieo7gB67eogcog 寸 Z9寸09寸76寸79寸Z6寸cЦу"cМ60寸790寸Z90寸С4906寸 i9C068 寸Z6ZZgQg 寸Z 寸39寸1寸09寸z

zcomcoigco 寸 gzc<igeocogc<izeo86 寸 B969CO66 寸 8Z698eo6Zeovgcoc<iqC4Zcozco7ieo7gB67eogcog 寸 Z9寸09寸76寸79寸Z6寸cЦу"cМ60寸790寸Z90寸С4906寸 i9C068 寸Z6ZZgQg 寸Z 寸39寸1寸09寸z

zcomcoigco 寸 gzc<igeocogc<izeo86 寸 B969CO66 寸 8Z698eo6Zeovgcoc<iqC4Zcozco7ieo7gB67eogcog 寸 Z9寸09寸76寸79寸Z6寸cЦу"cМ60寸790寸Z90寸С4906寸 i9C068 寸Z6ZZgQg 寸Z 寸39寸1寸09寸z

Z0060iZCObg9Z860iZeObg9Z860iZeObg9Z860iZCOvg9Z860 — ZcObg9Z860iZcObg9 ZZZ888888888866666666660 0oOOOOOOOiiiiiiiiiiZcqC4ZZZ77C4ZCOEBCOCOCOcO iiiiiiiiiiiiiniiiiiiiiZzzzzzzcMZcMZazzzzazzzzzcMCMZZzzaaazaazza

Название 10. ПП — CQ — С

Стр 1-3

TI Программируемый

Программист Хорн

Дата 4 8 78

Запись программы

Разделение (Ор 171

4 7 9 5 9

Модуль библиотеки

ПечатающееПерфокарты &

устройство ДА

Описание программы

Вычислить значения резисторов R?, /?з> R5, К Установить значение резистора R® равным 10 кОм, если не определяется RUN—Р вычисляет Р = R；欣2 для минимального значения ПУЧ Требуемого значения К можно достичь, изменяя Р, С“ или Ci2 Значение Cf2 можно установить равным нулю (удаленный).

Команды пользователя

Шаг

Процедура

Ввод

Нажать

Индикация

1

Подготовка текста, если имеется печатающее устройство

2nd

А7

22 36 33.

2

Частота [Гц]

fp

А

/卩

3

Добротность

9卩

В

qp

4

Си

С”

С

б

С12

&2

D

С[2

6

&

&

Е

&

7

При необходимости % [Ом]

Кб

2nd

С，

Re

8

Вычисление R для минимального значения ПУЧ

2nd

D7

р

9

RUN при заданном Р

р

2nd

Е，

0.00

10

Повторить шаг 9 для нового Р

При необходимости:

11

стереть печать значения С^—Q

2nd

St fig

0

12

печатать Сц — Q (только однажды после каждого шага 9)

2nd

В，

13

удалить шаг 11

INV

2nd

St fig

0

Опреде ляемые пользо вателем клавиши

Регистры данных

（回亜）

Метки （Op 08）

A fp

В qp

Оо косвенный адрес

01 qp

1q Ch

2（+强）><

И И И И E53 И 画 Pa~Ij[sto~1 [RciTI [sum] ГУ!

网e际E丽e

С С】

02 fP

22 C4/&

必山eЗ皿

1ЕЯ №■

D &2

Оз К

2з】+叁

Esdl шз eq

■ cos В CMs I

e &

ESI

■ Fix ■ Int I

04 Кб

24 «PC"G

A'TEXT

О5 R5

25 cl = &1 + &2

.Op . Rad 1

В'PRINT

Об с《

26 P

I Lbl .x»t. Z+ I 7

0? Кз

27 ПУЧ

[ifflg.DMS ■ or ■ List

.Write. Dsr

D‘ RUN—Р

о8 r2

8

BP-RUN

0g & 2

30 косвенный адрес

1 Adv H Prt ^^^^^^^H

Флажки

0I

23

4

56

7

8

9

Текст в per.

28, 29,

31-40

000

76 LBL

019

98 ADV

038

14 D

001

17 Bz

020

98 ADV

039

42 STO

002

57 ENG

021

92 RTN

040

09 09

003

73 RC*

022

76 LBL

041

92 RTN

004

30 30

023

11 A

042

76 LBL

005

69 OP

024

42 STO

043

15E

006

04 04

025

02 02

044

42 STO

007

73 RC*

026

92 RTN

045

06 06

008

00 00

027

76 LBL

046

92RTN

009

69 OP

028

12B

047

76 LBL

010

06 06

029

42 STO

048

18 0

Oil

01 1

030

01 01

049

42 STO

012

22INV

031

92 RTN

050

04 04

013

44 SUM

032

76 LBL

051

92 RTN

014

30 30

033

12C

052

76 LBL

015

97DSZ

034

42 STO

053

16 A'

016

00 00

035

10 10

054

01 1

017

00 00

036

92 RTN

055

05 5

018

02 02

037

76 LBL

056

00 0

а О аа х О а О 3 х3 з О а О а |

+а8_ЙЙХа8 II 乎ХзХнХ?^ IlH^^X?得 И fcfeа35о^ы^Х^^а§ -I аЙХЙйё^^иЙЗ； •1-аЗ++-^一

K66vzggco99 寸 gzg69cozggc40ogE9 迫 zzeo 寸 zzgzggBBE9gcoggzzm9P 寸 сч 寸 юсе —寸 geo — 8寸09 寸Z9寸066909009 寸 O6E 寸09寸 76 寸0 寸SzZB9E9gg寸 09 寸CN9 寸Zpagco 寸049寸0鼻力90

99Z006 0iC4CO 寸 g9Z860iGCO 寸 99Z86OiC4E 寸 991006。1<>1€0 寸 99Z86。— Gg 寸 99Z86。一СЧСО ZZZZZQOQ088Q0008Q080066666666660000 000 000iiiiiiiiii7C4CMac4C<IC<IC<lC<l7eOecocO iiLiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiGC4C4C9C9C9C4aZ7C'lC'lC4C'lC'lC9C4C'lC'4C4C'lAzC47c4C>J7C4C'17C4C'lC'4

О N3 3Tl)0只за N3 о 3

mco^S^^K^^ *Р^аг2 +2^^ II Й§}ИХ—-счХе^оХ II И U. +— II X Фео о *1'ёсЗ '1'^оХ II £ S Ш fe S Х^^2

сосоабсч96co9gm8ogco6vgac<igiggic<igBieggig 寸 gigBgE9geo7gmicogc<i90c<i9gcoEO 00 寸 Z6ZiVo9gV — S5Vo96 寸 7000690。9 寸ОЕ60006С0806С01ЛООШ 寸 rg 寸。CO66Z1 寸 C49gqi

О ООоОО 2°°° н

еосч^5§ +1 II© со 00 сотюо 寸^^igogs^mgo9S^+i И^mmsS5c<i сч co со

zoazogigc46Bgoco7oocogovzzigogz9Bgo9zggigzb797coziC4zcobZiCOco78zcMC09 ООО 寸寸 806寸 eooooo寸 co oooovcooooo寸 cooo。。寸C000O6寸 CO。0寸 CO。0 寸 co。。寸 coo。寸СЧООО。

85 +

264

10 10

294

06 06

43 RCL

265

55 +

295

98 ADV

26 26

266

43 RCL

296

01 1

54)

267

25 25

297

00 0

65 X

268

95 =

298

42 STO

43 RCL

269

42 STO

299

00 00

22 22

270

03 03

300

04 4

54)

271

43 RCL

301

00 0

95 =

272

21 21

302

42 STO

42 STO

273

65 X

303

30 30 *

05 05

274

43 RCL

304

87 IFF

55 -

275

23 23

305

00 00

43 RCL

276

95 =

306

03 03

04 04

277

42 STO

307

10 10

85 +

278

27 27

308

71 SBR

01 1

279

43 RCL

309

17 B‘

95 =

280

28 28

310

25 CLR

42 STO

281

69 OP

311

92 RTN

23 23

282

04 04

312

76LBL

65 X

283

43 RCL

313

35 1/X

43 RCL

284

26 26

314

01 1

01 01

285

69 OP

315

52 EE

55 +

286

06 06

316

04 4

43 RCL

287

43 RCL

317

42 STO

24 24

288

29 29

318

04 04

95 =

289

69 OP

319

61 GTO

42 STO

290

04 04

320

02 02

21 21

291

43 RCL

321

10 10

65 X

292

27 27

322

92 RTN

43 RCL

293

69 OP

456789012345678901234567890123

333333444444444455555555556666

222222222222222222222222222222

Название И. ВЧ — CQ

Стр. 1—3

TI Программируемый

Программист Хорн

Дата 3,8.78

Запись программы

Разделение (Op 17)

4 7 9 5 9

Модуль библиотеки

Печатающее устройство ДА

Перфокарты 1

Описание

программы

Вычислить значения резисторов

Ra,儿，Re

Установить значение резистора R5 равным 10 кОм, если ие определяется

RUN—Р вычисляет Р — R4/R2 для минимального значения ПУЧ

Требуемого значения К можно достичь, изменяя Р, С12 или Сц

Значение С12 можно установить равным нулю (удаленный).

Команды пользователя

Шаг

Процедура

Ввод

Нажать

Индикация

1

2

3

4

5

9

10

11

12

13

Подготовка текста, если имеется печатающее устройство Частота [Гц] Добротность

Сц[Ф]

Только при необходимости &2 [Ф]

& [Ф]

При необходимости Rs [Ом] Вычисление Р для минимального значения ПУЧ RUN при заданном 尸

Повторить шаг 9 для нового 尸

При необходимости: стереть печать Си — Q печатать Сн — Q (только однажды после шага 9) удалить шаг 11

fp 僚 &2

С3 %

р

2nd

А В

С D

Е 2nd 2nd

2nd

2nd 2nd

INV

А，

С，

D，

Е，

St fig

В，

2nd

0

St fig

22 36 33.

L 関 &2

C3 Rs

P

0.00

0

Определяемые пользователем клавиши

Регистры

/

данных

Метки (Ор 08)

(И

List

\ 11

/

A%

в qP

C Ch

Oo косвенный адрес

0i qP

o2 fp

1q &i

1 Cl/Сз

2?1+告

И И @函画,И Щ [WljfsTo] [та]画 Ш Е Ш Ш Ш И И @ Q ® Ш И Ш

D &2

Оз к

2з “&/РСз

1+/-1 1 =] ш

INV

■ 1。9 ■

CP

E C3

O4 Re

24

1 ton В Рдт

■ p+R —

Sin

1 COS I

CMs

A，TEXT

BzPRINT

O5 R5

25&=&i+C12

1 Ехс ■ Prd

ihi ISI

■ ix 1

Int

Об R4

26р

C‘ R5

O7 Сз

27 ПУЧ

ЕЯ К

|x= 1

Nop

Rad

D'RUN—P

Ug必

8

1 Lbl . х »t

III

X

■ Grad ■

SfUg

E，P—RUN

0g &2

30 косвенный адрес

[ifflg.DMS

1 в 1

List

■ Write!

Dsr

Флажки

0

123456

7

8

9

Текст в per. 28, 29, 31—40

ga®Q^2+^g II -(-aS I化gj^+i 11Х-о,ХаЗ>< + ~ «d I - «xXag}-l-^-I-kSx II аЗщЙ8Х^а2+а§^ 6Z96momcO6ggcozgzzggiggiZggiBgigv 9—*969879 vgcoicosz9oz9gcocoo9co9 Z6Zi 寸—8 寸069寸06 Vze08069009寸000000600、06009寸7909寸00066、1寸799寸18寸09"'：5"

ООбО — ечВ寸 g9Z86OiZCQ 寸 99Z860IZCO 寸 99Z860IZCO 寸 99Z860iZCO 寸 g9Z860iC4cObq 坦 iizz 货 azzzzzzcocogcocoEcococoeo 寸寸寸寸寸寸寸寸寸寸 gggggggggg9999999999zzzzzz 二 ^^ .—t ^H ^Н ^^ v~4 ^H ^^ ^^ ^^ ^Н (МЧ w« »»< ^^ ^4 viM ^н ^^ ^4 ^4 Hf 1—< ^4 *"< ^Н ^< ^Н ^Н ^Н —« ^Н ИМ 1—< *—< ^Н ^ч ^Н ■—> ^Н ^^ ^4 ^^ ^Н •—« ^^ —« —« —« ^Н ^ w« ^Н ^Н ^М ум —* —«

О О О О О О ° 2 2

z^^+i II ЙйсоюосоЙсЗ — юо^Йсоеоюсю^^+1 N^^?+i II опЙоиоЙсоо» — ^ЙсО-^СЛеОСОООС/ЭСЧО»a со 9mms zzogigz6cogocoaooigovzzcogogz9g*"*g<N 1cgiюсц 寸 E9ZcoziazE 寸 ojico 虫 Z8ZZ9 9 虫8d 0寸寸 806 寸 соо000中000000寸 COOO00寸 CQ8O6 寸 出806 寸 COO0寸 E00寸 800 VCOOO 寸 ZOOOOOOV

6 0iZCO 寸 99Z8601cЦё0 寸 g9Z860iZCO 寸 99z8601(?<16 寸 99z86o1700 寸 g9Z86Oiam 寸 99Z g999999999©zzzzzzzzzzo0800008008008006666666666o0 00000000iiiiiii — ooOOoooooOOooOoooOoooOobOOoooooooosoooo^oiiiiiiiiiiiiiiiiii

^ So Q ^ ^ О К н^ О ^ —白 s ^ 2 ^ ^ 3 V V 总^ V ^ 3Hqeо ^ ^ ^^ и ^ 闩 н^ a S5 3 £■<_)tu ^ ^ £• ^ 匕 В ^ ^а X — g о z о CDt^b*OOOClTfCOOaiCD*-C4"4fOt^.OOC<taOQOCNCD—OtCNCNCDOtOt — <NCDC0C4OOtCDTf(NCnC<tCDlOC<tt^.(NCDa0C<tl0C<tOO—^^<^>2 Zi9ZC090Z0 900C<l寸 CO6 000666Z—* 寸06、1寸o6z1寸16z一寸06b-1寸06、1寸06、100000

OiCQcO 寸 99、86。17€0 寸 99Z86。— ZcOVg9Z86 0iZCO 寸 99Z86Oi7m 寸 g9Z86 0iZCOVggZ02 oooooOooooiiiiiiiiiizzezzGjzzzzcocoeococococococoeo 寸寸寸寸寸寸寸寸寸vmgggg虫虫 g© ooo己oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooOoooooooooooooqo

177

25 25

223

24 24

269

42 STO

178

65 X

224

55-r-

270

27 27

179

43 RCL

225

43 RCL

271

43 RCL

180

07 07

226

01 01

272

28 28

181

95 =

227

94 +/-

273

69 OP

182

34 ГХ

228

85 +

274

04 04

183

65 X

229

53 (

275

43 RCL

184

02 2

230

01 1

276

26 26

185

65 X

231

85 +

277

69 0P

186

89 л

232

43 RCL

278

06 06

187

65 X

233

22 22

279

43 RCL

188

43 RCL

234

54)

280

29 29

189

02 02

235

55 +

281

69 0P

190

95 =

236

43 RCL

282

04 04

191

35 1/Х

237

26 26

283

43 RCL

192

42 STO

238

54)

284

27 27

193

08 08

239

95 =

285

69 OP

194

65 X

240

42 STO .

286

06 06

195

43 RCL

241

04 04

287

98 ADV

196

26 26

242

55 +

288

01 1

197

95 =

243

43 RCL

289

000

198

42 STO

244

05 05

290

42 STO

199

06 06

245

85+'

291

00 00

200

43 RCL

246

01 1

292

04 4

201

05 05

247

95 =

293

00 0

202

22 INV

248

42 STO

294

42 STO

203

77 GE

249

23 23

295

30 30

204

35 1/Х

250

65X

296

87 IFF

205

67 EQ'

251

43 RCL

297

00 00

206

35 1/Х

252

10 10

298

03 03

207

65 X

253

55 +

299

02 02

208

53 (

254

43 RCL

300

71 SBR

209

53 ('

255

25 25

301

17 B‘

210

43 RCL

256

95 =

302

25CLR

211

25 25

257

42 STO .

303

92 RTN

212

55十

258