Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ИЗДАНИЯ
Предлагаемая вниманию читателей в русском переводе книга известного польского специалиста в области электротехники и электродинамики Я. Туровского является результатом обобщений современных методов расчета электромагнитных полей в электрических машинах, трансформаторах и электротехнических устройствах, появившихся в результате бурного развития прикладных задач в области электродинамики и электротех- вических систем в течение последнего десятилетия.
Особое внимание в книге автор отводит современным численным методам расчета электромагнитных полей, включая методы Галер- кина, Канторовича и метод конечных элементов, а также чрезвы* чайно важной на современном этапе проблеме — определению и вычислению электродинамических параметров индуктивностей и активных сопротивлений, входящих в матричные уравнения движения электрических машин на основе вариационной задачи Гамильтона и уравнения Эйлера—Лагранжа.
В отличие от многих книг, посвященных аналогичным проблемам, книге Я. Туровского свойственно предельно ясное изложение материала, практическая четкость 8 постановке инженерных задач, доведение их решений до реализуемых на практике формул, построений или программ.
Особенно приятно отметить, что во всех этих сложных случаях автор стремится не потерять физиче
ской сути проблемы и наглядно показывает, что паст。это стремление по сравнению с чисто формальными методами пом огает получить более простое и достаточно точное решение. Настоящая книга, конеч* но, освещает ряд частных проблем современной электродинамики, но вместе с тем может рассматриваться как обстоятельное справочное пособие по аналитическим и численным методам исследования и решения задач прикладной электродинамики и электромеханического преобразования энергии
При переводе и редактировя' нии книги в некоторых случаях по сравнению с оригиналом изменена система обозначений и индексации величин, связанная с нх «переводом» на русский язык для нашего читателя. В остальных случаях оставлены индексы и обозначения, принятые в оригинале. Приведенные условные обозначения существенно облегчают читателю работу над книгой.
Настоящий перевод книги Я-Туровского «Электромагнитные расчеты элементов электрических машин» может быть весьма полезен инженерам и научным работникам, занимающимся проектированием и исследованиями в области прикладной электродин амики и электромеханики. Несомненный интерес книга представит для аспиран* тов и студентов старших курсов, испытывающих обычно необходимость в конкретных справочных пособиях*
Г. С. Тамоян
Предлагаемая книга, так же как и изданная в Советском Союзе книга «Техническая электродинамика» (Моста, Энергия, 1974), предназначена в помощь инженерам н студевтам старших курсов» выполняющих пртектно-нсследователь- ские работы на базе широкого использования методов технической электродниамнкн. Однако теперь в данной книге больше внимания уделяется конкретным задачам в электрических машинах и устройствах. Это позволило более глубоко рассмотреть проблемы возбуждающих полей в электрических машинах (гл. 3» § 5.1, 6.1, 8.1, 9.1) с учетом важных граничных и начальных условий. Более широко рассмотрены вычислительные методы н уделено больше внимания очень важной современной проблеме — определению электродинамических параметров Af^, R” для матричных уравнений движения вращаю* щихся машин (гл. 4) н трансформаторов (§ 8.1 и 8.4) на основе вариационной задачи Гамильтона и уравнення Эйлера—Лагранжа .(§ 41).
Одна из главных идей книги — объединение наиболее эффективных с практической точки зрения двух современных методов ——технической электродинамики и технической электромеханики — в одно стройное целое (рис. В.1). Эта задача, однако, находится в начальной стадии решения.
Вторая главная мысль книги— трактованке технических расчетов и исследований на базе экономического принципа окупаемости, так 4
же как в каждой области хозяйст- веииой деятельности (§ 1.1 и 1.7). Отсюда следует поиск прмтых путей, в том числе и аналитических (ср. § 1.8, п. «6», пп. 8.6.1 и 8.6.2)> которые ведут к той же цели, что и более дорогие н трудоемкие методы. Стремление к созданию тер* рии и обобщенных методов, одиако, не должно заслонять того факта, что большинство технических заданий быстрее н точнее можно решать на основе остроумных моделей, основанных на хорошем знаяин физики явления, н с помощью упрощенных теорий н специализированных методов.
Предлагаемая книга издается в стране, чьи специалисты внзлн значительный вклад в теорию и практику применения технической электродинамики в области электрических машин и электротехнических устройств ——начиная от ранних работ В. К. Аркадьева (1913 г.) и Л. Р. Неймана {1949 г.) по лннеар^анни параметров стали н до многочисленных современных работ ленинградской школы (ЛПИ, ЛПЭО «Электросила»), киевской (Институт электродинамики Украинской академии наук, КПИ)? московской (ВЭИ, МЭИ), новоснбир- ской (Институт горного дела Сибирского отделения Академии наук СССР) и др. Некоторые нз этих работ цитируются в соответствующих разделах.
Техническая электродинамика в настоящее время развивается интенсивней, чем когда бы то ии бы* ло. Доказательством этого служит большое число работ, представляв-
мых на постоянных международных конференциях Compumag, Intermag и др., а также на проходивших в Польше международных симпозиумах «Электродинамика» (Лодзь, 1979) н «Электромагнитные расчеты» (Варшава, 1985). Этн успехи обусловлены возможностями, которые появились в последнее время вследствие внедрения новых вычислительных систем н разработки современных эффективных программ расчетов. Сейчас апробиро* ваиы всевозможные методы — от аналитических и численио-аналити- уескнх, основанных на рядах (п. 323 и § 9.3) нлн преобразованиях (п. 8.1.1) Фурье, через метод зеркальных отражений (§ 1.3 и п. 6.8.2), интегральных уравнений (п. 8.6.2) до наиболее популярных в настоящее время методов конечных разностей (§ 6.7), конечных элементов (§ 1.6).
Отдельную группу образуют методы синтеза электромагнитного поля, связанные с решением уравнений при некорректной формулировке 〈§ 1.9). Одна ко здесь техника расчетов применима только для простых геометрических структур, мало пригодных при создании электрических машин.
Несмотря на развитие вычислительной техники, остается открытым вопрос расчета трехмерных полей в приемлемое время и при э коном нческн обоснованной памяти вычислительных машин.
И, наконец, к группе важнейших практических задач следует отнести создание условий непосредственного диалога инженера- конструктора с ЭВМ. Здесь большое значение имеют интерактивные методы анализа н синтеза полей — электрических, магнитных, тепловых — с учетом нелинейности стали (§ 1.8). Можно предположить, что наиболее широкое применение получил метод конечных элементов (§ 1.8, п. <а>).
Использование в этом случае программы не вызывает трудностей, но построение последней требует много времени* хорошего знания соответствующих разделов математики, техники численных расчетов н соответствующей технической аппаратуры. Более простым, по крайней мере в некоторых задачах» является метод магнитных цепей (п. 1. 8. 6).
Выбор соответствующего метода и конкурентоспособность различных ^нслениых методов ие однозначны, поскольку большое значение здесь имеет собственный опыт и возможности исследователя. Результатом таких поисков является все возрастающее число различных методов исследований поля, большая часть которых описана в гл. 1, а также большое количество публикаций» посвященных сравнению этих методов.
В русском издании книги ие только устранены ошибки и опечатки, замеченные автором в польском нзданпн, ио и введены новце разделы § 1.7—1.10v отражающие прогресс во взглядах на методы исследований поля, происшедший сО времени появления польского издания. Поэтому книга содержит ие только результаты исследова- ииА и расчетов, но и постановку некоторых проблем и описания способов решения.
Автор будет признателен читателям за замечания и пожелания, которые просит направлять непосредственно по адресу Politechnika L6dzka. Instytut Maszyn , Elektrycz- nych i Transformatorow. 90—924, L6dz, Polska.
Пользуясь случаем, выражаю благодарность Энергоатомиздату за интерес, проявленный к моей книге, и за приятное и полезное сотрудничество при переводе.
Автор
ОТ АВТОРА
Одним из основных условий решения технических задач на основе соответствующих уравнений является создание адекватных математических моделей исследуемых процессов и особенно правильный выбор физических параметров, вводимых в эти модели.
В книге описаны методы расчета конкретных элементов и конструктивных узлов, а также электрических параметров с целью анализа и моделирования электрических машин и устройств; особое внимание уделено упрощенным методам, необходимым для проведения оптимизационных и инженерных расчетов. Успешные расчеты машин и электромеханических систем как единого целого в значительной степени зависят от точное сти расчетов их элементов и параметров.
Материал, представленный в книге, основан как на собственных работах автора, так и на имеющих методологическу ю и учебную ценность работах других авторов. Автор считает своим прият
ным долгом выразить сердечную благода рность всем, своим коллегам в Лодзинском по л итех ни^еском институте, Институте электротехники, Вроцлавском политехническом институте, а также из других центров, фрагменты работ которых, с их любезного согласия, используются в данной книге.
Выражало благодарность редакциям журналов IEEE Transactions и Proceedings IEE, а также издательствам «Наукова думка》в Киеве, 《Энергия»* в Москве, Birkhauser Verlag в Базеле, «Машиностроение» в Москве за нх любезное согласие на цитированяе опублико* ванных работ.
Глубокую благодарность выражаю проф. Холевйцкому как за ценные советы при написании книги, так и за детальную рецензию. Выражают благодарность также электротехнической редакции издательства WNT за успешное сотрудничество.
С 1981 г. Энергоатомиздат.
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
а - поверхность, da — вектор элемента поверхности
Д — магнитный векторный потенциал, Вб/м, мгновенное значение
4 —модуль магнитного векторного потенциала Ат=Ате^— комплексная форма магнитного векторного —потенциала, причем Ат= \Лт\ е^, где Ат —
максимальное значение (амплитуда), переменная в пространстве
Д*, Ат*— величины, сопряженные относительно А и Ат Л ms一поверхностное значение амплитуды магнитно
го векторного потенциала
А — линейная нагрузка (токовая), А/м
В — магнитная индукция, Тл (остальные возможные обозначения аналогичны обозначениям при А)
с—3-Ю8 м/с — скорость света в вакууме
С — емкость конденсатора, Ф d — толщина листа или экрана, м D— электрическая индукция, Кл/ м2 (остальные — возможные обозначения аналогичны обозначениям при А)
е— электродвижущая сила, мгновенное значение, В
е— основание натуральных логарифмов (е = = 2,718281)
Е— напряженность электрического ноля, В/м (остальные возможные обозначения аналогия- ны обозначениям при А)
f——частота; f^=pni ——синхронная частота, Гц
F—сила» Н
/е— электромагнитная сила, мгновенное значение, Н
Еп— МДС (магнитодвижущая сила), максимальное значение, А (остальные возможные обозначения аналогичны обозначениям при 4) й — высота, м
Я— напряженность магнитного поля, А/м (возможны обозначения, аналогичные обозначен ниям при А)
i——электрический ток, мгновенное значение, А, причем t=Z ]/2 8s (@工+屮)
Z— электрический ток, действующее значение, А, / = /те j®竹з), 1т — максимальное значение
厶 /，尼——единичные векторы в прямоугольн©й системе координат, j=卜一1, /2=—1
J — плотность тока, А/м* (возможны обозначения, аналогичные обозначениям при А) постоянная затухания волны в металле, м-〔； см. Г и а
kc— коэффициент воздушного (немагнитного) зазора (коэффициент Картера)
/ — длина, м
L, Мт— индуктивность собственная или взаимная, Гн т — число фаз те— мгновенное значение электромагнитного момента, Н м
tn, М— коэффициенты зеркальных отражений
л — частота вращения, об/с или 2л рад/с; ni = =fi/p синхронная частота вращения
р— число пар полюсов синхронной или асинхронной машины
pz==：P-p/Q— кажущаяся (или полная) мощность, В-А» при-чем Р — активная мощност ь, Вт; Q — реактив
ная мощность. В*А
Pi — мощность, приходящаяся на единицу поверхности, В т/м2 г— радиус, м 尸一радиус-вектрр
/——единичный радиальный вектор
R—активное сопротивление (активное электрическое сопротивление), Ом
% — магнитное сопротивление, Гн-】
S— вектор Пойнтинга, В ・А/м?
S=Sp+jS =y(EmX" m)— комплексный обозначения, А и Pz) f — время, с Г ——обобщенный и — напряжение.
вектор П ойнти нга (возможны аналогичные обозначениям при
вектор мощности мгновенное значение,
можны обозначения, аналогичные
В (воз- обозначе-
ниям при %* — магнитное ние, А Um^— магнитное ние, А 。——линейная V — объем, м3
О напряжение, мгновенное значе-
напряжение, максимальное значе-
скорость, м/с
V— электрический потенциал, В
%—магнитный скалярный потенциал, А
X—реактивное сопротивление (электрическое реактивное сопротивление), Ом
w — число витков
Z=R+jX— полное (комплексное) сопротивление, кажу
—щееся электрическое сопротивление, Ом; Z* =
=R—jX
Zi— волновое полное сопротивление i-й среды»
a = K/®RY =U +/)*—a = K/®RY =U +/)*—-Ом
a = K/®RY =U +/)*—
a = K/®RY =U +/)*—
постоянная распространения для проводящей среды (металла), м-1; «♦=(!—/)*; ja" = =аа* = У诃=，^
—^― проводимость (удельная электрическая про- Р водимость), См/м
7— постоянное р аспростр анение для длинной ли- ннн,尸
r==az+/В‘— постоянная распространения в пространстве для полей, М"1, причем а7 — постоянная затухания в пространстве; pz — фазовая постоянная; для металлов Гме*=а;
=А
Г — собственная функпия экрана
6 =——
эквивалентная глубина проникновения волны в металл, м
бр— воздушный зазор в электрической машине; 6i^s6j)论с, м
А — прнращенне величины
V2 — лапласиан； для прямоугольной системы ко-
ординат
V8 = ―—— -4-
V 孙寸
д» , а
不+ *
в —^г— абсолютная диэлектрическая проницаемость; е0 = ^-— = 8,8541 • 10"12 Ф/м — диэлектрическая проницаемость вакуума; ег — относительная диэлектрическая проницаемость
翼，*，£— коэффициенты влияния толщины электромагнитного экрана
kw — обмоточный коэффициент
Л — магнитная проводимосаъ» Гн 九—длина волны, м
卜=卩0见一абсолютная магнитная проницаемость» Гн/м; 阳)=4“■10*7 Гн/м - магнитная
мость вакуума; |ir — относительная проницаемость
полюсное деление в электриче€кой
проницае- магнитная
машине, м
明 ф —углы фазового сдвига» временное
Ф— мгновенное значение магнитного потока; Фтах — максимальное значение патока во времени, Вб o=2«f — круговая частота» рад/с £2=2ял— угловая пространственная скорость, рад/с АХВ — векторное произведение; Д -В — скалярное произведение
Под вектором понимается вектор трехмерного пространства, в терминах матричной алгебры — матрица-столбец.
Все величины приводятся в единицах системы СИ. Другие обо- значения оговариваются в тексте.
ВВЕДЕНИЕ
В последние годы теория и практика электромашиностроения проходят новую и интенсивную фазу развития, характеризующуюся большим разнообразием новых форм и 'методов преобразования энергии и информации, а также возникновением, развитием и внедрением в практику универсальных теорий и методов их исследования и расчета.
Перед современным конструктором все чаще ставятся совершенно новые требования, такие, например, как создавие электрических машин и электротехнических устройств повышенной мощности (200, 500, 1500 MB-А), использование новых принципов действия (крио- генераторы^ линейные двигатели, беспазовые машины, *магяитная левитация), увеличение использования материалов и конструктивного пространства (локальная концентрация поля, экранирование, лак аль- <ный перегрев), повышение точности срабатывания или точи ости переработки инфор1м ации (элементы автоматики).
Во всех таких случаях информаций, опирающейся на предыдущие результаты исследований, недостаточно и приходится создавать новые теории и методы, основанные на более универсальных пркнцилах. Описание явлений должно быть по возможности полное, с заранее обусловленной точностью.
Этим требованиям соответствует прикладная максвелловская теория поля, называемая сокращенно технической электродинамикой [1.22], а также основанная на вариационном принципе минимального возму- 10
щения (принципе Гамильтона) обобщенная теория электромеха1ни- ческого преобразования энергии, которую- по аналогии можно назы- йать технической электромеханикой [3.6, 4.12].
Обе эти взаимодополняемые дисциплины образуют теоретическую основу современной электротехники (рис. В.1). Поскольку в макроскопических системах физические явления имеют полевой характер, основой анализа являются уравнения Максвелла. Теория цепей и основанная на ней современная техническая электромеханика являются производными электроди- 'намики, получаемыми как дедукци- онные выводы из уравнений Максвелла с помощью теоремы Стокса [122].
Правильно выбранный путь для получения уравнений движения электромеханической системы приводит непосредственно к электродинамике (путь а—bt рис. В.1). В сложных преобразователях и системах трудно, избежать, однако, использования теории цепей с ее интегральными законами Ома, Фарадея и т. д. Тем не менее благодаря достижениям вычислительной техники происходит постепенное стирание границ между теорией цепей для системы контуров и узлов и теорией поля, основанной на численном анализе пространства, разделенного на дискретные элементы (например, в методах конечных элементов, конечных разностей и т. д.).
Математическая связь и равновесие интегральной и дифференци-
1Уравнения Максвелла[
Теорема
1 Классическая эпектроданамика | 5°恥匕|Теория цепей|
\ а
1Физика материалов 卜
\
w| Избранные разделы физнюг
\ \
]Технология卜
*]Технология
1Т ^рмокинетика|*
\
ТТермокинетика
\
1Надежность объектов 卜
\
*|Надежность систем|
1Моделирование полей |*
Параметры、
L,MCR 、
*| Моделирование систем
Т ехническая э п ектродлна мика
(ЭД.)Техническая _ Сети, . Другие
элек тромеханик& системы
ЭД электрических машин н трансформато ров
*■
ЭД лданй и раздели тельных устройств
*
Динамика электрических маш^н (неустановившиеся режимы)
ЭД нагревательных устройств.
*
Динамика приводов
ин аукционных
и электростатических
*
Системы автоматики
ЭД высокочастотных устройств
Системы электроники|
(антенны, волноводы,
радиоэлектрические помехи)
Динамика измерителъных
систем и элементов
ЭД ТВН (электростатика)
*
Энергоормен в телло-паро- механо-электрических блоках
ЭД полупроводников и электронных ламп
Электрохимичесюю преобразования и др.
ЭД плазмы (дуга, МГД, космические явится)
W
к
*
Динамические режимы нелинейных цепей
1ЭД све рхпроводников
Р елятаьигстекая ЭД (строение материиF ядерная техника, космонавтика)
*
Динамика биотоков|
Другие1
Биологическая и химическая ЭД(охрана окружающей средыот искусстаенных полей,диффузионные процессы)
Другие
Рис. ВЛ. Место технической электродинамики в системе современных дисцнплнн
В
зльной теорий следуют из анализа вариационного принципа [см. (1.113)], из которого путем простых преобразований получаются асе основные методы и уравнения анализа для электрических машин и устройств.
Для непосредствениого нахождения экстремума функционала (1.113) используются приближенные методы Ритца (1905 г.), Галер* кина (1916 г), Треффтца и Канторовича (1950 rj. Эти методы также применяются в методе конечных элементов, в котором извесТ' яые дифференциальные уравнения
электрод™амики (Лапласа, Пуассона, Гельмгольца) приводят непосредственно к интегральной вариационной теореме (1.113).
Решением вариационной задачи (1Л13) и обязательным условием существования экстремума этого функционала является уравнение Эйлера (1.130), которое ъ свою очередь соответствующим выбором подынтегральной функции 尸 приводит к вариационной задаче Гамильтона (1.131), уравнению Эйлера — Лагранжа (1.134), уравнению Лапласа (1,136), Пуассона (1.138) и Гельмгольца (1.140).
Глава первая
МЕТОДИКА РАСЧЕТОВ
Рис. 1.1. Основной цикл научно-исслёдовательной работыРис. 1.1. Основной цикл научно-исслёдовательной работы
Рис. 1.1. Основной цикл научно-исслёдовательной работы
Рис. 1.1. Основной цикл научно-исслёдовательной работы
ОРГАНИЗАЦИЯ И ЭФФЕКТИВНОСТЬ ИССЛЕДОВАНИЯ
Исследовательский цикл.
Полный цикл научно-исследова' тельской р аботы с кладываетс я из четырех основных этапов (рис. И.1) —от заказа (практики) через анализ и синтез к применению (практике). Назовем эти этапы.
Формулировка задания и определение условий реализации.
Анализ методами классической электродин амики, включаю - [ЦИЙ：
подразделение исходного зада ния на элементы, позволяющие проводить теоретический анализ с использованием известных методов и упрощенных расчетных моделей;
нахождение обобщенной функции» описывающей поле внутри и вне исследуемой зоны;
нахождение начальных и граничных условий;
выбор постоянных, при которых найденная функция удовлетворяет начальным и граничным условиям, т. е. .нахождение конечного математического описания явления.
Техническая электродинамика требует выполнения следующих условий:
эксперимента таной проверки
теоретических положений, упрощений, полуэмпирических коэффициентов и верификация конечных результатов：
представления решения в упрощенной форме, пр испособленной к применению в практике (формулы, графики).
Синтез, в который включаются: проектирование* и создание прототипа устройства или описание практического метода и оптимизация результатов.
Реализация» основанная на внедрении и оценке эффективности и целесообразности повторения исследовательского цикла в целях достижения большей точности.
Каждый из оиисан/нкх этапов характеризуется определенной спецификой, однако при технических исследованиях общим критерием является эффективность исследований.
Эффективность исследований Исследовательские работы, как и каждая сторона технической деятельности, должны быть подчинены принципу экономии усилий и расходов. Работа должна, таким об-
ма^аяма^аясредняясредняяСР 皿竺世竺СР 皿竺世竺0,5%。Допустимая ошибка исследований J. отн. &d.0,5%。Допустимая ошибка исследований J. отн. &d."12 0 ОО 6 - " 2- .eH，KnHD90p3u?n 3i工> 济工ь工音3§"12 0 ОО 6 - " 2- .eH，KnHD90p3u?n 3i工> 济工ь工音3§
ма^ая
ма^ая
средняя
средняя
СР 皿竺世竺
СР 皿竺世竺
0,5%。
Допустимая ошибка исследований J. отн. &d.
0,5%。
Допустимая ошибка исследований J. отн. &d.
"12 0 ОО 6 - " 2- .eH，KnHD90p3u?n 3i工> 济工ь工音3§
"12 0 ОО 6 - " 2- .eH，KnHD90p3u?n 3i工> 济工ь工音3§
Рис. 12 К вопросу об эффективности научных исследований
разом, состоять из возможно более дешевых и коротких циклов. Особенно следует избегать чрезмерного расширения этапа анализа, в противном случае легко впасть в детальные малопродуктивные, но трудоемкие исследования.
Переход к следующему, вьГсше- му циклу должен происходить, в принципе, после апробации упрощенного цикла. Рентабельность последующего усовершен ствов ания обусловлена анализом стоимости первоначального, приближенного цикла исследований и стоимости риска (СР), который возникает при внедрении приближенных решений.
Следует считаться с тем, что стоимость усовершенствования может возрастать очень быстро (рис. 11.2), причем стоимость перехода к 100% чной теоретической точности возрастает в общем быстрее стоимости эксзпериментальных и гмо- дельных исследований. При допустимой ошибке б стоимость Кт теоретических исследований можно
аппроксимировать функцией вида
Кт=4/62—В》0. (1.1)
При оценочных пересчетах с грубой допустимой ошибкой стоимость Кг незначительна. Получение .чисто теоретическим путем малой погрешности расчетов в сложных системах практически невозможно из-за введения упрощающих предположений.
Стоимость экспер им ент альн ых исследований, даже при простом моделировании, требует определенных начальных расходов на аппаратуру. Кривую стоимости экспери' ментальных исследований можно аппроксимировать функцией
Ко=С/6+П (1.2) Постоянные Л, В» С, D в (il. 1) и (il.2) могут быть оценены при планировании конкретных исследований.
С точки зрения производства может быть целесообразно проведение исследований выше границы рентабельности О. Эта граница определяется СР (рис. 1.2), т. е. стоимостью перестройки объекта при йеудачной попытке внедрения. Расходы ла исследования должны быть тем больше, чем 'больше СР. Начиная от некоторого уровня точности (около 20—25%) следует учитывать возможность перехода к экспе- риментальны-м исследованиям на более тонких физических моделях.
Переход границы рентабельности G полностью, обусловлен при начальных иоследовамиях, а также при работах, связанных с повышением квалификации Ааучных работников.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
В макросистемах все явления имеют полевой характер, поэтому основой конструктивных расчетов является макроэлвктродинамика, базирующаяся на уравнениях Максвелла. В зависимости от принятой системы координат можно пользоваться уравнениями Максвелла
для систем, как неподвижных в пространстве, так и находящихся в движении с линейной скоростью и. Т ожде?ственнрсть этих способов рассмотрена в п. 1.2.2.
L2.1. Уравнения электродинамики для систем, неподвижных в пространстве. Применяемые уравнения электродинамики имеют вид rot 〃 = J или V х 〃 = J； rot£ = — dBjd^ или ▽><£=—d
divB = 0 или у・В = 0:divB = 0 или у・В = 0:div D или v・Z) = p；
divB = 0 или у・В = 0:
divB = 0 или у・В = 0:
В = *〃； Z)=^E;
J = ^Е -\-dD/dt.
Плотность энергии, Дж/м3,
-3#4 ^6-7-0^aa U о о (-3#4 ^6-7-0^aa U о о (№= J E^dD+^H^dB- DoBq
-3#4 ^6-7-0^aa U о о (
-3#4 ^6-7-0^aa U о о (
магнитная энергия, Дж, №m = gj JXSW=｝丄产.
Обобщенный вектор плотности мощности. Одной из целей исследования поля является изучение преобразования энергии электромагнитного поля в другие виды энергии — механическую, тепловую, световую и т. а, которые могут быть полезными (электрические ма- шины? электротермия) или вредными (потери мощности, превышение температуры изоляции): В машинах и электрических устройствах существует необходимость одновременного исследования различных видов анергии, поэтому в [il.22 и 1.23] с учетом законов сохранения энергии, а также теорем Пойнтинга и Умова сформулирована теорема об обобщенном векторе 7 плотности мощности физических полей. Полная мощность Р2, поступающая в замкнутое пространство V с поверхностью а (или выходящая из этого пространства), равняется интегралу от нормальной составляющей обобщенного вектора плотно
сти мощности Т по всей замкнутой поверхности
匕=步 T-da,(1.9)
где обобщенный вектор, В ■ А/м1 или Вт/м*
/ = $+"+0戶 + 0"+ q58+附 + + 纥+ / + %+・・・， (1.9a) причем S = Е^Н — вектор Пойнтин- га, который для сииусовдально изменяющихся полей имеет комплексные составляющие
修=1/2(4//"-"/加*)；)
3=1 似 EgUmJ—Em1cHm"(1.96)
Sz=l /2 (EmxHmy^ — E^H^),
где U^vdW^/dV — вектор Умова плотности потока механической мощности в упругой среде; q— q“， q sb — векторы плотности потока тепловой мощности, отдаваемой посредством теплопроводности (закон Фурье); q f=—X grad •&,, отдаваемой |посредетвом конвекций (закон Ньютона); 0 №= /vCt(^вт—仇ш)— вектор плотности потока тепловой мощности, отдаваемой посредством излучения (закон Стефана — Больц- мнна);
05冃=7呎”(8 -8в1П)；
М —вектор плот1ности потока све
излучаемой с по-вектор плотностиизлучаемой с по-вектор плотноститовой мощности, верхиости; Е е —
излучаемой с по-вектор плотности
излучаемой с по-вектор плотности
потока световой мощности, падаю
щей на поверхность (интенсивность поглощения); / —вектор плотности акустической мощности (интенсивность звука); S ^ — вектор
плотности потока электрохимической мощности.
Мощность 2 кроме полезной и
мощности потерь включает мощность dWah/dtt равную приросту энергии тепловой аккумуляции, механической, кинетической и потенциальной энергий, электрического и магнитного полей, электрохимических процессов (аккумулятор) и
дНдН
дН
дН
т. д, в пространстве У (а) [см. (5.51)].
Дифференциальные уравнения поля. Решения (1.3) — (1.9) основываются на преобразовании их к форме, в которой сохраняется только одна из величин Н или Е. Для ИЗОТРОПНЫХ (Цж= Цу = Ц2= М； 8х= = ev=ez=e; yx=yv=yz=y и линейных сред (g=const; e=const; 7=>const) первое уравнение Максвелла (1.3) можно путем подстановки (1.4) преобразовать к форме rot rot Я = (丫 + & ~j rotE =
тн
Ц8 —•
产0?
Учитывая тождественность векторной операции rot rotH= = g『addivH—Ан, а также отсутствие ИСТОЧНИКОВ В ЛИННИ ПОЛЯ (>1.5), получаем дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее магнитное поле в не- идеалъном диэлектрике,
V% = РТ粤 + 師器"• (LIO)
Аналогично можно получить уравнение для напряженности электрического поля при отсутствии свободных зарядов (divZ) = O) V'Ef 丫嘗+開崇•(】•“)
Для синусоидального поля 厶="总叫 "m= I Hm\e^ £m = %e/* J = |%|e№E (I，IIa) и (1.10) и(1Л) принимают вид V也=「/; Aq =『J，3116) причем F=V}tDP(Y+ j®6)=a' + +/B1 где Г — постоянная раапрост- ранення; а ——постоянная затухания; В' — фазовая постоянная.
Для металлических сред Гмет= —Ct； а'мет== В'мет==Е・
В линей-ных средах для проводников плотностью токов смещения dD/dt <можно пренебречь по сравнению с плотностью токов проводимости 、Е, и тогда (1Л0) н (1.11) 16
для 卩=const и 8=const приобретают форму
^H=^dHjdt\ 炉Е=ру@Е/次(1.12)
Уравнения (1.12) описывают од-но- временяо диффузию поля в проводнике в динамических режимах, поэтому их также называют диффузионными уравнениями.
Для синусоидального поля (Lila) уравнение (ilJ12) принимает внд
YHgGH^ ^Ет=^Ет, (1.13)
причем
a = J/呻Y = (1 + j)尼=展 4 ;
(1.14) e=丁=/沪
Решение (1.13) для плоской поляризо ванной вол№, характеризуемой формулами
^mу = ^тг = °； 七m* == £m；
Н(пх = HmN=6 "mg="m； дН^дк^дН^ду^ d"K 力 *0,
принимает вид
Нт = А^ + А^г(1.15)
Рис. 1.3. Проникновение плоской волны в металлическое пространство
Поток <на единицу длины, Вб/м,Поток <на единицу длины, Вб/м,'ли == ^m == Jт пов'ли == ^m == Jт повImi 丨 I 4n I == I，пповImi 丨 I 4n I == I，ппов=山6=山6магнит- (на 1 м см. рис видмагнит- (на 1 м см. рис вид
Поток <на единицу длины, Вб/м,
Поток <на единицу длины, Вб/м,
'ли == ^m == Jт пов
'ли == ^m == Jт пов
Imi 丨 I 4n I == I，ппов
Imi 丨 I 4n I == I，ппов
=山6
=山6
магнит- (на 1 м см. рис вид
магнит- (на 1 м см. рис вид
В.нутри металлического полупространства (рис. 1.3) напряженность поля Н (z~>оо)=/=оо, тогда решение (1.16) принимает вид (см. [1.22])
Н^Н^^Е^Н^-Л
Y }(1・16) 3通厂.
а также
"心=(1+/)У^%(1-18)
Мощность, В・А, внутри металла определяется из теоремы Пойнтннга
р —(^)S da или a = P + jQ =
= $Sd%(1.19)
причем для синусоидальной плоской волны Вектор Пойнтинга
邑(Z)— ~2~ (^тх^ту^)=
= (【+/) У 雾学士 е-血.(1.20)
При z=0 вектор представляет плотность полной мощности, В • A/iM2, поступающей в полупростр анство, ^P.+i^^+hV^^-
(1.21)
Эквивалентная глубина проникновения, на которой амплитуда поля Нт уменьшается в е раз, 』；=М£(L22)
Эта величизна представляет собой толщину эквивалентного по
верхностного слоя массивного металлического полупространства, которое для постоянного тока представляет собой такое же сопротивление Ri, какое представляет полупространство для переменного тока вследствие поверхностного эффекта.
Макси1м альное значение тока /mi в полупрострайстве, приходящееся на 1 «л длины, называемое К электрических машинах линейной нагрузкой Ат или поверхностной линейной плотностью /тпов тока, аналогично (1.17)
=J J1nseт&! =空=(1 Т)今■ 6
ИЛИ
Таким образом, можно считать, что в слое б плотность тока постоянна и ее максимальное значение
1 составляет -7=. / -2
Аналогично можно рассчитывать величину 7?阳 металлического полупространства для единичного пото* ка C>mi (1.17), а также поток I①mi|=^^6, принимая, что индукция в слое б постоянна и состав*
1 »
ляет片〒力?ns，
Ком1плекс1ное единичное ное сопротивление, Гн-1 длины вдоль ОСИ X И Z/, 1.3), для потока Фт! имеет
=а+嗚，(i-23>
где Rjh означает магнитное сопротивление материала; &止 обусловлено реакцией вихревых токов.
1+ /丫3(1.24)1+ /丫3(1.24)(1.28)(1.28)
1+ /
丫3
(1.24)
1+ /
丫3
(1.24)
(1.28)
(1.28)
Единичное сопротивление, Ом, для тока /mi
Полное сопротивление Zi представляет одновременно полное волновое сопротивление, которое описывается уравнением
мет=Е="^ —~W =
=(1 +//雪=/平 J 7 (1.25)
Для меди при 50 Гц волновое сопротивление | Zcu | = 2,7 • 10~6 Ом, для стали с проницаемостью 阿> >1200 ZFe>100 Zcu-
Длина волны в металле
(1.26)
Скорость волны в металле
соU = # = q- = (Об =соU = # = q- = (Об =(1-27)(1-27)
со
U = # = q- = (Об =
со
U = # = q- = (Об =
(1-27)
(1-27)
Диэлектрики. Для диэлектриков (7=0) из (11.10) и (il.L1) получаем волновые уравнения
при этом скорости волны в диэлектрике и воздухе соответственно равны
V = 1 /У^ё; v = c — ^У^е^ (L29)
где с==3' 108 м/с; ц0—4л-10~7 Гн/м; £о=8,854・ IO—】?①/м
Полное волновое сопротивление в диэлектрике
V ЕнадДотр1 Л U,
z =万-=一方—=и F=吃，
"над〃отр， £
(1.30)
для воздуха 2воз= V^/ s0 = = 377 Ом, для трансформаторного масла 2мас=243 Ом (1.31) 18
Длина волны в воздухе при /= =50 Гц составляет
^*50= ^Я — 6000 км.(1,3 2)
Векторный потенциал. Все виды полей можно исследовать с помощью магнитного векторного потенциала, который определяется как
5 = rot 4(1.33)
Тогда для мгновенных^ синусоидальных значений
£= —04/》一 gradV; ](1.34)
поскольку rot£=—rot dA/dt= = —rot (dA/dt + grad V);
rot grad V=0.
Принимая во внимание условие div 4=0, получаем
" =一3(j=Y?)；(1.35)
^A=^ dA/dt или ДЛт=а2Лт— ^,
(1.36) а также
где J ст —ллотность стороннего тока; г — расстояние от элемента dV проводника с током до точки, в которой определяется векторный потенциал 4
Уравнения электродинамики для медленно движущихся сред (и《с). Если система координат, связанная с наблюдателем, расположена таким образом, что происходит относительное движение исследуемого тела со скоростью и относительно исходной системы координат (рис. 11.4), то в каждой точке (%, у, z) внутри исследуемого тела индукция D или В будет функцией координат %, у, z этой точки, а также времени Л
Для электрического поля (рис. 1.4,а) в правой части уравнения (1.8) находится величина 0 =
Рис. 1Л. Движение тел со скоростью и:
а — в электрическом поле; б — в магнитном поле (р — плотность заряда)
=Z) (х, у, N, /), причем вследствие перемещения положение рассматриваемой тотаи из1меняется во времени, т. е. %=%(f); y=y(t); z— =z(f)・ Частную производную dD/dt в (1.8) следует в этом случае заменить полной производной сложной функция
dD (%, y,z,t)—dD dx dD dy
di dx
dQ dz dD
dt • dy dt
■+
(1.38)
Поскольку
производные
dx dt
dy dz ~dt
являются соответствую-
щими составляющими вектора ско- д д д
пости тела о,—состав-
1оу
ляющими оператора grad, постольку (1.38) можио зависать в форме
^- = (o-grad)D +^-.(1.39)
Из тождества векторного исчисления
rot (z 乂 D)三 z div D — D div z 十 十(D ・grad) z — (z・ grad) D (1.40) получаем
(z-grad)Z)三z• divD — rot WX D)— —Ddiv0 + (D・gr2d)智.
Принимая во внимание (1.6), а
также divo=U, т. е.—=—=—=0 Ох ду Oz
получаем
D (г, у, z, /) = up + rot (D X и) +
+f-o-
Для магнитного поля (рис. 1.4,6), аналогитао предыдущему случаю введем в (1.4) функцию В=В(х, у, W /) и получим выражение, аналогичное (1.40). Учитывая (1.5), div © = 0, также (D -grad) z = 0, получаем
靑3(居 у. z, f) = *+rot(BX。).
(1-42)
Если поле не изменяется во времени (db/df=O), то из (1.42) и (1.4) следует
rot £ = — rot (В X 叫 или Е =
= zX5 —grad%,(1.43)
поскольку rot grad Уц.=О. Если потенциальное поле отсутствует (Уц.= = 0), то
Е = р X В или J = 丫(z X В). (1.44)
Общие уравнения электродинамики для тел, находящихся в движении со скоростью и《с, принимают вид
rot〃=J;(1.45)
rotE = — dB/dt 一 rot (В X b); (1.46) div 5 = 0;(1.47)
div D = p;(1.48)
В = nH , D = sjE;(1.49)
19
j^E^dDldt+J^?v +
+ rot(DX»,(L50)
в (1.50) входят составляющие: уЕ — плотность тока проводимости, индуктированного в исследуемой среде вследствие изменения индукции во времени и движения ■ тела в магнитном поле. Если разделить этот ток на ток трансформации и ток вращения 7E=Y(Ez+t>xB), то (1.46) и (1.50) примут вид
rot 日=—dB/dt;
丿=Y日+加/决 + Y 2，x5) + ат + + pe +期(0 X 砌；(1 .50a)
00
—плотность тока диэлектриче
ского смещения; t(zXB)—плотность тока проводимости, индуктированного в проводящей среде, перемещающейся со скоростью 0 относительно принятой системы координат (например, относительно индукции В)； J ст = т£ст — плотность стороннего тока, подводимого извне или обусловленного сторонними электродвижущими силами неэлектромагнитного происхождения (ЭДС термоэлектрические, диффузионные, эффекта Холла и т. д.); pz = z di V Z) —плотность тока конвекции; rot(Z>X^)—'плотность тока, обусловленного перемещением электрического поля или поляризованного диэлектрика (рис. IL4,。).
Упрощенные методы расчетов. Точное аналитическое решение уравнений поля является часто экономически не обоснованным, поэтому, как правило, вводятся упрощения и используются приближенные методы, к которым относятся уменьшение числа координат, замена сферических или цилиндрических систем координат линейной системой, линеаризация магнитной проницаемости стали, определение граничных условий на основе метода зеркальных отображений, аппроксимации упрощенными функциями, полуэмпирические корректирующие коэффициенты, численные методы. 20
Рмс. 1.5. Проникновение и отражение электромагнитной волны от поверхности металла
Уменьшение числа координат 〃 замена цилиндрической системы координат линейной системой. Если электромагнитная волна, падающая под углом ф1 (рис. 1.5) на металлическую поверхность, проникает внутрь под углом ср?, то она описывается уравнением
sin cpjsin <?2 = vjv2 = XJ^. (1.51)
Если Принять V\ = C И 02 = UFe = =У2(o/(|iy), то при 50 Гц,阿= =800 и 7=7-106 См/м отношение (IL51) составит 109 [1.22]. Это означает, что независимо от угла падения со стороны диэлектрика электромагнитная волна в металле практически всегда распространяется перпендикулярно поверхности.
В металле плоская синусоидальная вол1на изменяется согласно (1J16) (см. рис. 1.3). Уже на глубине Л/4 мощность волны (1.20) уменьшается до 4,3, а на глубине V2 — ДО 0,185% поверхностного значения. Таким образом, когда толщина, и радиус кривизны массивного металлического элемента больше, чем 九/2 (рис. 1.6), такой элемент можно рассматривать в качестве металлического полупространства, на -поверхность которого перпендикулярно падает плоская волна (ом. рис. 1.3).
Линеаризация магнитной проницаемости стали. Точный расчет
Рис. J .6. Глубина z—X/2 проникновения поля в металл, иа которой электронагнитиое поле (//, £ /)• ослабляется да 4,3 м, мощность ——до 0,185% значения иа поверхности
электромагнитного поля в стальных телах затрудняется нелинейностью характеристики намагничивания. Для' массивных стальных элементов можно в соответствии с концепцией [1.39], основанной на идее Неймана [1.32], разработанной в [1.22] и особенно в трудах Закржевского [1.44, 11.45], использовать в первом приближении уравнения линейной теории, вводя в 'них полуэмиириче- ские значения проницаемости (табл. 1」1), которые составляют для уравнений (1.14), (1.22), (1.26), модулей (1.17) — (1.18), а также действительной части уравнений (1.21), (1.24), (1.25)
Мр и3 а%рР*$ (ар == 1,3 Т" 1,5 〜1,4), (1.52а) для комплексной части уравнений (1.211), (1.24) и (1.25)
Ng= ^^s (@q= 0,8-н0,9^0,85), (1.526) где Ns=Ns(〃m$)—значение проницаемости на поверхности, полученное по кривой, намагнич'ивания' для значения Hms на поверхности; Ят— амплитуда первой гармонической.
Аналитические аппроксимации. В целях 'Получения приближенных аналитических выражений можно пользоваться одним из следующих аппроксимирующих выражений:
по Нейману [1.32] 1
Bm—cHnm или |рь| =сНтп , (1.53) где с — коэффициент, выбираемый в зависимости от конкретных кри： вых намагничивания, причем показатель степени п принимает разные значения для индукции 3, превышающей значения из табл. 1.2;
ло [1.22, 1.40]
)/^〃2 =%〃 + %#, (1.54) причем для конструкционной стали при 0W〃W180・102 а/м с】 = 310Х ХЮ2 А/м; 02=7,9;
по [1.22, 1.41]
1/PV=4 +4/出 Я, (1.55) причем для конструкционной стали 50 А/м<Я<200-102 А/м
A = 14(^h 4 = 0,1377；
g Таблица 1.1 Основные уравнения, описывающие массивное металлическое полупространство, на которое падает синусоидальная плоская монохроматическая волна
№
Величина
Металл с магнитной проницаемо с тью 甘二const
Сталь,m=m%§)53[% k 1,4; % k 0,85
1
Эквивалентная глубина проникновения, м
о = 1/ = ~
a。 f叩5Y也
2
Длина волны в металле, м
_ / 2
入=2тсЗ — 23T I /
?3出丫
2тс т Г ~2
入=2就=——1/
ар у 叫丫
3
Магнитный поток иа единицу длины, Вб/м, поперек линий вектора напряженности магнитного поля Н
①团1—(1—/) 1/ QHms
aq + l^p
侬巾哈+喈И "s ml
1 Ф/ni 1 = Op {1I
1 Hms 1- 1/ —^ 1 ① ml 1
ap r Ms
4
Потеря активной мощности на единицу поверхности, Вт/м2
1 У2丫2к 2(л2
=5^ 丨 Hms 11Ф/П1'
1° У2丫2a.2Hs 2
=2 KT 丨 Hms II ①mi 1
5
Потребление реактивной мощности на единицу поверхности, вар/м2
Q一“ 2 丫 2 一公一叩 2 眼 2,
6
Активное и реактивное сопротивление на единицу длины вдоль и поперек тока, Ом・м/м = Ом
&=ар|/ 第
Zy=Rl + jX1
7
Единичное магнитное со противление, А・м/В6*м= =FL
фт1
=时1 + iR^b
-Г (DY
Таблица 1.2. Показатели степени в ураниеиии (1.53), аппроксимирующем характеристику иамагиичиваиия
Сорт стали
Слабые поля
Сильные поля
В, Тл, менее
л
В, Тл, более
Л
Пермаллой
0,35
0,32
0,7
20
Электролитическое железо
0,55
0,45
1,3
14
Трансформаторная сталь
0,90
0,55
1,2
10
Мягкая сталь
0,60
0,55
1,3
9,5
Твердая сталь
0,90
0,68
1,1
7,5
по [1.31, 1.43]
Н = с(У^Н^,(1.56)
где для конструкционной стали с= = 1,05-10-5 尸号；〃=i,77.
В последнее время получен ряд выражений [1.45, 1.30, 1.27], применение которых целесообразно при более точном анализе.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
Общей основой электромагнитных расчетов, базирующихся на полевых методах, является теорема о единстве поля и однозначности решений уравнения Максвелла. Условиями получения для данного объема V однозначных решений в форме -напряженности электрического поля Е и напряженности магнитного поля Н в произвольном временном интервале от fo до t являются: знание начальных 1величин Ео(%, У, г), Я0(х, у, 2) в момент /=/о в произвольной точке исследуемого объема V, ограниченного поверхностью Л;
знание касательных составляющих вектора Е или Н в произвольной точке, ограничивающих поверхности Л по времени от % до 厶 или знание распределения полей Е и Я в наружном объеме, окружающем исследуемый объем V;
знание распределения проницаемости ц(х, у, 2), е(х, у, 2)и проводимости у(х, у, z) в объеме V, а также их независимость от времени.
От объема с известным распределением поля переходят к исследуемому объему через граничные условия для нормальных составляющих п и касательных t
% = %; % = 〃“； (1.57)
/Е?% = %七1胃；Еа^ = Eg (L58)
Если на граничной поверхности имеется бесконечно тонкий слой поверхностных токов с плотностью J пов, А/м, или поверхностных зарядов с плотностью а, Кл/м2, то можно пользоваться зависимостями % — "” = %；] (1.59) еа^2п — si^in °* J
Из условий (1.57), (1.58) получаются зависимости между составляющими электромагнитной волны на границе сред (рис. 1.7) падающей, отраженной и проникающей
Ейтл. + Eforp = Е±пр‘) (] gQ) "£пад + "toTp "于叩' J
Ei^MEt^ /Лотр=-М〃5ап；(1・61) £士叩=(1 +m)邑睜；] /J 62) "，叩= (1—/ 一
причем
M =必。=(Z叩-Znaa)/(Znp + Zg)
(L63) является коэффициентом отражения, где 7Пад» Znp — полные волновые сопротивления сред 0L25)»
Рис. 1.7. Отражение и проникнонеиие электромагнитной плоской волны в металлическое тол у пр остр а нство
0), из которых волна выходит или в которые проникает (см. рис. 1.3).
Если отражающая поверхность является наружной поверхностью тела, состоящего из нескольких слоев (ом. далее рис. 2.5), разннх материалов, то при определении коэффициентов отражения в (1.63) вместо полного сопротивления Znp=Z2 следует подставить входное полное сопротивление ZBx слоистой системы
%р = 9 匚)％ (L63a) 厶х т々ад
Полное сопротивление ZBx рассчитывается по величинам Е【2 и "12 на границе перехода из среды / в среду 2 (рис. 1.7)
аналогично расчету полного входного сопротивления системы длинных линий (см. далее табл. 2.2),
Определение граничных условий в большинстве технических задач является не менее трудной проблемой, чем расчет поля.
Метод зеркальных отражений. Из граничных условий (1.57) на основе рис. 1.8,6, в получаем
叫i+ "2 =计［*一厶)и i - i^i - ii,
(L64)
откуда i2 = ii=Mi и i—i\ = mi, причем
М=—— и m = М =
Nii + Ni
一 2出
Nii + Ni
Еели среда / - воздух (同=血), а среда II ——имеет постоянную проницаемскть цп = ЦгЦо^Цо, то
М =也二^ ~ 1 и /п =——《1.
Nr + 1Pr + 1
(1.66)
Используя метод зеркальных отражений, можно определить напряженность магнитного поля на поверхности даже для сложных геометрических систем, для которых поле в воздухе определяется путем замены стали эквивалентными токами Mit размещаемых непосредствен-
夕
8)
Рис. 1.8. Метод зеркальных отражений:
а, б, в — определение токов li=l2BMi;蜀，е — вычерчивание линий поля действительного тока f вблизи поверхности стали
a)
*一0 M沁 i ®/m点i
5):
各М介杀
Рис. 1.9. Определение поля методом многократных зеркальных отражений:
а — действительная система; 6 — поле в воздухе; в — поле в металле с проницаемостью 卩工；2 —
+1 - u0u11 - н0
поле в металле с проницаемостью шц； М] =; рщ= ; mj = 1 — М\ ; пгц =1 —М[]
Р4 + Рюиц + Но
но в воздухе. Поле в стали определяется путем замены воздуха эквивалентными токами mi (рис. 1.9). Аналогично определяется поле воздушного пространства, ограничейно- го стальными плоскостями, установленными под углом л/п (рис. 11.10), где п= 1, 2, 3... После установления системы эквивалентных токов i, Mi, M2it M3i поле в произвольной точке в зоне рассматриваемого угла л/п определяется как суперпозиция полей от всех эквива-
Рис. 1.10. Определение поля тока i в пространстве, ограниченном двумя стальными плоскостями, пересекающимися под углом
... 出Н一廿[
兀/九； Ж =
出 II - '
лентных токов, размещенных в воздухе.
Зеркальное отражение переменного тока. Метод зеркальных отражений предназначен в принципе для расчета магнитостатических и электростатических полей. Принимая во внимание его простоту и наглядность, метод целесообразно применить и для переменного тока. В этом случае, однако, следует учитывать влияние реакции вихревых токов, которые не только дают эффект мнимого уменьшения проницаемости металла, но также искажают картину поля и изменяют ее фазовые параметры. При применении метода отражений для переменных токов можно использовать в (1.65) так называемые квазипроницаемости nq [1.22]. Квазипроницаемость выбирается на основе полуэмпири- ческих исследований, поэтому она не является величиной однозначной. Ее значение зависит от физических и геометрических параметров системы и может приобретать комплексную форму.
Для переменного тока аналогично (1.66) мож<но записать Mq=0v-i)/(iv+i)・(1-67)
Эквивалентный коэффициент отражения Mq может использоваться прежде всего для определения со стороны диэлектрика нормальной составляющей напряженности магнитного поля Нп на поверхности стали или касательной составляющей Ht на поверхности металлического проводника (Си, А1). Применение коэффициента mQ для расчета поля внутри металла не рекомендуется из-за малой точности метода (большой разброс значений znQ). Имея определенные граничные условия, при помощи коэффициента MQ и уравнений типа (1.13) можно провести анализ поля в металле.
Поскольку поле на поверхности металла рассчитывается в этом случае в виде суперпозиции поля действительного тока i и отраженного Mq〃 то вместо Mq более желательно пользоваться средним коэффициентом зеркального отражения
片(叶%0/(2，) = (1 十 g)/2. (1.68)
Значения Mq,刀，Nq являются однозначными для всей поверхности и имеют простое представление только в том случае, когда стенка, вблизи которой протекает переменный ток, а также сам ток удовлетворяют следующим условиям:
при цп—>оо или при большей частоте 什—*8) тело ведет себя как идеальный диамагнетик, т. е. Mq = — 1；刀=0； Nq「=
= (1+Mq)/(1 — MqK0.(1.69)
Эти выражения применимы при /^50 кГц для стали и при f^5 Гц для Си и А1 [1.47];
тело немагнитное (цг=)1) без вихревых токов (?н = 0)； в этом случае
Mq'=0；刀=。，5;卩Q?= 1; (1.70)
ферромагнетик без вихревых токов (цг^> 1, ун = 0), например магнитопровод из феррита или пакетированный из листов, тогда
g=m =(因一1)/(|Аг+1)； ?!=
=(1+М)/2；呪产因； (L71)
идеальный ферромагнетик (Цг—Y))
Mq ==z I ；刀=~ 1 ； NqL^ 8 • (1.72)
Во всех промежуточных случаях следует учитывать реакцию вихревых токов, уменьшая коэффициент MQ= 1 для массивной стали до значения MQ st=0,4+0,6 (乳=0,7+ 0,8) и увеличивая Mq——1 для массив'ной меди до значения Mq cu==—0,9ч—0,8 (т|:= 0,5-4~0,1).
1пГ 寸+ (у-告『с"(у+4~)2 一1пГ 寸+ (у-告『с"(у+4~)2 一(173)(173)Для двух бесконеч'ных полос с переменным током (рис. 1.11) в [1.47] получено общее выражение, которое удовлетворяет всем оговоренным выше условиям. При анализе общей в широком диапазоне значений постоянной затухания волны в металле К (1.14) комплексный коэффициент отражения М отличается значительным разбросом. Для нормальной составляющей поля коэффициент Mq практически постоянен и определяется так:
1пГ 寸+ (у-告『с"(у+4~)2 一
1пГ 寸+ (у-告『с"(у+4~)2 一
(173)
(173)
Рис. 1.12. Коэффициенты неполного зеркального отражения переменного тока в стальной плите (по рис. 1.11):Рис. 1.12. Коэффициенты неполного зеркального отражения переменного тока в стальной плите (по рис. 1.11):1СИМОСТН от места； б — в зависимости от насыщения — измерение при L-01 м- с^ са-0Д)66 лк / = 50 Гц [1.28]： расчет по (1.73) прн £*0,58 м; с, = 0,16 м; с2 = 0,28 м- ;”71W С/м； /«50 Гц (1.4711СИМОСТН от места； б — в зависимости от насыщения — измерение при L-01 м- с^ са-0Д)66 лк / = 50 Гц [1.28]： расчет по (1.73) прн £*0,58 м; с, = 0,16 м; с2 = 0,28 м- ;”71W С/м； /«50 Гц (1.471= 0,01 м:дПг=1200= 0,01 м:дПг=1200Из (1.73) следует малое влияние насыщения на величину Мп= ==Mq, что подтверждает предыдущие выводы (рис. 1.12).
Рис. 1.12. Коэффициенты неполного зеркального отражения переменного тока в стальной плите (по рис. 1.11):
Рис. 1.12. Коэффициенты неполного зеркального отражения переменного тока в стальной плите (по рис. 1.11):
1СИМОСТН от места； б — в зависимости от насыщения — измерение при L-01 м- с^ са-0Д)66 лк / = 50 Гц [1.28]： расчет по (1.73) прн £*0,58 м; с, = 0,16 м; с2 = 0,28 м- ;”71W С/м； /«50 Гц (1.471
1СИМОСТН от места； б — в зависимости от насыщения — измерение при L-01 м- с^ са-0Д)66 лк / = 50 Гц [1.28]： расчет по (1.73) прн £*0,58 м; с, = 0,16 м; с2 = 0,28 м- ;”71W С/м； /«50 Гц (1.471
= 0,01 м:
дПг=1200
= 0,01 м:
дПг=1200
ОБЗОР ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
Численные методы приближенного определения граничных условий поля основываются на преобразовании сформулированного для данной проблемы дифференциального уравнения в частных производных в систему алгебраических уравнений. Система затем решается при помощи цифровой ЭВМ.
Метод конечных разностей (метод сеток/ Уравнения дифференциального типа (1.10), (1.12), (1.28) в более сложных системах можно решать при помощи математических машин путем замены дифференциальных уравнений разностными уравнениями, используя метод сеток [1.3, 1.4, 1.16, 1.29, 1.45, 1.46].
Для того чтобы .иайти распределение исследуемой функции, напри
мер векторного потенциала 4 = =4(% у), следует разделить исследуемую область Q (рис. 1.13) с известными граничными условиями АР) (1.74) на поверхности S(PwS) (условие Дирихле) на прямоугольную сетку с шагом интегрирования Дх=Ду= =九.Значения функции Д (х, у) в соседних узлах в соответствии с формулой Тейлора выражаются в форме
4 (—(*) + 击 4 (*)+ +^ 4" (х)十…+£/(")(*)； А (х — Л) = Д (к) —^- А (х)+ +身4，(*)一...+^4叫現
(1.75)(1.75)откуда
(1.75)
(1.75)
/ (х + 力)+ 4 (х —九)=24 (х) +
+ h2Atf(x)^B(h4)r(1.76)
Х； = "х a)Х； = "х a)Рис. 1.13. Метод сеток;a — для разностных уравиеинй; б — для метода Моите-КарлоРис. 1.13. Метод сеток;a — для разностных уравиеинй; б — для метода Моите-КарлоООXXгде &(九4) представляет собой ошибку упрощения, содержащую четвертую и высшие четные степени шага 九.Пренебрегая этой ошибкой, найдем
Х； = "х a)
Х； = "х a)
Рис. 1.13. Метод сеток;
a — для разностных уравиеинй; б — для метода Моите-Карло
Рис. 1.13. Метод сеток;
a — для разностных уравиеинй; б — для метода Моите-Карло
О
О
X
X
4 (%)
I /办2
A (x + h) — 24(%) + A (x — A)
一 Af + i,k—2力班 + 4f—1小(]77)
Проделывая аналогичные процедуры для переменной у, получаем
^A q dg2^A q dg2力£*+1- 24fzz + 力 f 小一1力£*+1- 24fzz + 力 f 小一1Уравнение Пуассона. ляя (1.77) и (1.78) в Пуассона (1.35)
^A q dg2
^A q dg2
力£*+1- 24fzz + 力 f 小一1
力£*+1- 24fzz + 力 f 小一1
0弘 0乂 aх?十行
(1-78)(1-78)Подстав- уравнениеПодстав- уравнение(1.79)(1.79)где J (xt, у/t) является известным распределением составляющей /г плотности тока, получаем для областей, где этот ток сходится в узел (/,尼)，следующее значение векторного потенциала:
(1-78)
(1-78)
Подстав- уравнение
Подстав- уравнение
(1.79)
(1.79)
4* = 1 /4 (4+1,在 + 4»+1 + 4-1次 +
+ 4,j + №%,&)•(1.80)
Сетку формируют таким образом, чтобы ее крайние узлы лежали
на границе S исследуемой области, и вводят по мере потребности замещающую границу S，(рис. 1.13). Если на границе области расстояния между узлами не равны между собой, то значения функции в точке 0 определяются методом интерполяции или экстраполяции [L4].
Уравнение Лапласа. В областях, в которых нет токов (J=0), векторный потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа и представляет собой среднеарифметическое потенциалов в соседних точках
4 点=1/4(4+3々 + 4»+i +
+ 4-1力 + 4,i)・(L81)
На границе области в точке О (рис. 1.13) значение векторного потенциала можно определить из интерполяционного выражения [М3]
% _№2dз% Г 1/Л_ Аз\
°4% + d2d$ |_厶 + % \ %d J
+ $ 後 + 仔)122)
причем значения 4卜 А2 находятся из граничного условия (1.74).
В обоих случаях, (1.80) и (1.81), составляющие индукции в точке (i, А) находятся из уравнения
29
В=rot А, т. e.
加ду л , 与伍一
Уравнение Гельмгольца. Подставляя (1.77) и (1.78) в уравнение Гельмгольца (1.13)
芋Нт付寸 + d^HmlW』^Hmt (1.84) получаем напряженность магнитного поля в точке (% Л) для вращающихся полей
"從_-4+；④(%+** + "…，+
+ " л +"li)・ (1.85)
Для комплексной величины так же, как и в уравнении (1.14) следует разделить и анализировать отдельно действительную и мнимую части.
Уравнение диффузии. Переходные процессы диффузионного характера описываются в § 6.7 [(6.94), (6.96)].
Уравнения (1.80), (1.81), (1.85) и (6.96) преобразуют соответствующие дифференциальные уравнения в частных производных в систему линейных алгебраических уравнений. Число этих уравнений равно числу узлов сетки внутри граничной линии S, т. е. уравнений столько, сколько неизвестных. Полученная система уравнений решается одним из известных методов.
Для получения удовлетворительных результатов необходимо большое число узлов и соответствующих им уравнений, решение которых возможно только с помощью математических машин. Для решения систем дифференциальных уравнений чаще всего используется метод последовательных приближений или методы релаксации и прогонки с использованием так называемой неявной схемы.
Координаты отдельных узлов определяются как
打=勺+访；九=% + ^, (1，86) 30
где хо, ^о — координаты исходной точки; i,々=1, 2, 3...
Метод последовательных приближений (итераций). В соответствии с граничным условием (1.74) граничным узлам приписываются заданные значения As, а для остальных узлов сетки принимаются произвольные значения А^ искомой функции, например нулевые значения или такие, которые можно ожидать исходя из накопленного опыта. Это так называемое нулевое приближение. Затем, используя граничные условия As в граничных узлах, реализуются для получения первого приближения функции 4。〉 уравнения (1.80), (1.81) или (1.85) в каждом узле.
Затем повторяем операцию (рис. 1.14) до получения в каждом узле для функции Лд точности max I A/U-硯)I «е,(1.87)
где /=0, 1, 2, 3... — номер очередной итерации; е — точность.
Пример 1.1. Рассчитать методом итераций с точностью е=0,04 распределение магнитного потенциала 乙 в пазу элект-
Данные:исследуемая область f?,граничная велиyitHa А§,точность £, шаг сетки !)
Выбор эквивалентнойВыбор эквивалентнойПересчет As из S в SfПересчет As из S в Sfобласти С、'области С、'Выбор значенийнулевого прмближен/1я А&"
Выбор эквивалентной
Выбор эквивалентной
Пересчет As из S в Sf
Пересчет As из S в Sf
области С、'
области С、'
Расчет А⑴по (1.80), (1.81), (1.85)
Поправки интер-и экстраполяционныеграничных функций по (1.82)
Проверка точностирешения по (工.87)
Нет( 一iw= i+1Нет( 一iw= i+1Печать А^~IПечать А^~IРис. 1.14. Структурная схема расчета поля методом итерацяЙ
Нет( 一iw= i+1
Нет( 一iw= i+1
Печать А^~I
Печать А^~I
NN?=%二含#S 8/叩=70?=%二含#S 8/叩=70Рис. 1.15. Определение магнитного потенциала в пазу электрической машины по осн у методом итераций (см. табл. 1.3)Рис. 1.15. Определение магнитного потенциала в пазу электрической машины по осн у методом итераций (см. табл. 1.3)AA22рнческой машины по осн у (рис. 1.15).
N
N
?=%二含#S 8/叩=70
?=%二含#S 8/叩=70
Рис. 1.15. Определение магнитного потенциала в пазу электрической машины по осн у методом итераций (см. табл. 1.3)
Рис. 1.15. Определение магнитного потенциала в пазу электрической машины по осн у методом итераций (см. табл. 1.3)
A
A
2
2
Решение. Принимаем произвольно (табл. 1.3) в качестве нулевого приближения, что потенциалы в точках /, 2,3,4 равняются номерам этих точек, а точки 5—8 вследствие симметрии имеют такие же значения. Для первой итерации по (1.81) получаем
1 +04-04-2
%=.:=0,75 =乙;% =
2+1+0+3
4
3+2+0+43+2+0+444=2,25 = %; V4 ==2,25 = %; V4 ==4,25 = V8, Последующие величины рассчитываем на основе предыдущих итераций по выражению
3+2+0+4
3+2+0+4
4
4
=2,25 = %; V4 =
=2,25 = %; V4 =
Метод релаксации и подрелаксации. Процесс итерации можно существенно ускорить, если вместо среднего значения соседних узлов Лег, рассчитанного по (1.81), в узел (г,宜)подставим величину /%+" = 4? + “Asr — 52) или 黑+D = A^ + r (4L)一/依)，(1.89) где г — коэффициент релаксации.
Простейший метод релаксации [1.4] при г=1 идентичен описанному методу итераций. Соответствующим выбором г>1, обычно *?= = 1,1 亠 1,3 [1.18], получаем так называемый метод подрелаксации, применением которого можно ускорить уменьшение ошибки. Однако точность выбора нулевого приближения в первом методе играет более важное значение.
Метод прогона. Более быстрым методом решения разностных систем по сравнению с методом итераций считается метод прогона с использованием так называемой неявной схемы [1.16]. Например, одномерное уравнение Пуассона d2V/5x2 = p(x) можно в соответствии с (1.77) для А-й строки представить в виде
4%一1 一 &匕十々匕十1 = =一巴，t = l, 2,…，N—1(1.90)
(1.88)до получения точности 力⑺—д(б)^ 0,04,где Ai, Bt, Ct, "1, %, "2,夕2 - ные параметры; ^ — число{ала У,伊 D в пазу методом итераций-задан- ячеекТаблица 1.3. Расчетмагнитного потеиц!Номер итерации匕%匕匕%九匕%01234123410,751,502,254,250,751,502,254,2520,561,132,004,130,561,132,004,1330,420,921,824,030,420,921,824,0340,340,791,693,960,340,791,693,9650,280,711,613,910,280,711,613,9160,250,651,563,880,250,651,563,8870,230,621,523,860,230,621,523,86(1.88)до получения точности 力⑺—д(б)^ 0,04,где Ai, Bt, Ct, "1, %, "2,夕2 - ные параметры; ^ — число{ала У,伊 D в пазу методом итераций-задан- ячеекТаблица 1.3. Расчетмагнитного потеиц!Номер итерации匕%匕匕%九匕%01234123410,751,502,254,250,751,502,254,2520,561,132,004,130,561,132,004,1330,420,921,824,030,420,921,824,0340,340,791,693,960,340,791,693,9650,280,711,613,910,280,711,613,9160,250,651,563,880,250,651,563,8870,230,621,523,860,230,621,523,86唄n+H4+i+WD,/+ML唄n+H4+i+WD,/+ML(1.91)(1.91)с граничными условиями 匕-亿匕 + 91； ^^ = P^N — \ + ?2>
(1.88)
до получения точности 力⑺—д(б)^ 0,04,
где Ai, Bt, Ct, "1, %, "2,夕2 - ные параметры; ^ — число
{ала У,伊 D в пазу методом итераций
-задан- ячеек
Таблица 1.3. Расчет
магнитного потеиц!
Номер итерации
匕
%
匕
匕
%
九
匕
%
0
1
2
3
4
1
2
3
4
1
0,75
1,50
2,25
4,25
0,75
1,50
2,25
4,25
2
0,56
1,13
2,00
4,13
0,56
1,13
2,00
4,13
3
0,42
0,92
1,82
4,03
0,42
0,92
1,82
4,03
4
0,34
0,79
1,69
3,96
0,34
0,79
1,69
3,96
5
0,28
0,71
1,61
3,91
0,28
0,71
1,61
3,91
6
0,25
0,65
1,56
3,88
0,25
0,65
1,56
3,88
7
0,23
0,62
1,52
3,86
0,23
0,62
1,52
3,86
(1.88)
до получения точности 力⑺—д(б)^ 0,04,
где Ai, Bt, Ct, "1, %, "2,夕2 - ные параметры; ^ — число
{ала У,伊 D в пазу методом итераций
-задан- ячеек
Таблица 1.3. Расчет
магнитного потеиц!
Номер итерации
匕
%
匕
匕
%
九
匕
%
0
1
2
3
4
1
2
3
4
1
0,75
1,50
2,25
4,25
0,75
1,50
2,25
4,25
2
0,56
1,13
2,00
4,13
0,56
1,13
2,00
4,13
3
0,42
0,92
1,82
4,03
0,42
0,92
1,82
4,03
4
0,34
0,79
1,69
3,96
0,34
0,79
1,69
3,96
5
0,28
0,71
1,61
3,91
0,28
0,71
1,61
3,91
6
0,25
0,65
1,56
3,88
0,25
0,65
1,56
3,88
7
0,23
0,62
1,52
3,86
0,23
0,62
1,52
3,86
唄n+H4+i+WD,/+ML
唄n+H4+i+WD,/+ML
(1.91)
(1.91)
Л7(п+о»в) — Htn)0,5тЛ7(п+о»в) — Htn)0,5тHS屮 1)—〃9+0,ь)HS屮 1)—〃9+0,ь)0,5т0,5т= ^Н(п^)^^Н^= ^Н(п^)^^Н^=4"（5，5）+=4"（5，5）+(1.100)(1.100)_1_//(2+0.5)_ 2/2_1_//(2+0.5)_ 2/2
Л7(п+о»в) — Htn)0,5т
Л7(п+о»в) — Htn)0,5т
HS屮 1)—〃9+0,ь)
HS屮 1)—〃9+0,ь)
0,5т
0,5т
= ^Н(п^)^^Н^
= ^Н(п^)^^Н^
=4"（5，5）+
=4"（5，5）+
(1.100)
(1.100)
_1_//(2+0.5)_ 2/2
_1_//(2+0.5)_ 2/2
исследуемой области вдоль оси х (см. рис. 1.13).
Решение (1.90) ищется в форме
—i = 0, 1, 2,...
…，N-L(1.92)
где Qf+i, &i+i — неизвестные пока коэффициенты прогона.
Используя (1.92) в качестве рекуррентного выражения
%一I = aе+1%+i + a也+i + d (1.93) и подставляя (1.93) и (1.92) в (1.90), получаем
画+i 34 - 0 + 8力匕+i+
+ t(ai^i ~ C) 4 + 1 + /也十尸j=0.
(L94)
Из (1.94) следует, что (1.90) будет выполняться при условии, что каждое из выражений в квадратных скобках уравнения (1.94) равняется нулю. Отсюда получаются рекуррентные формулы для коэффициентов прогона
(1.95)
Граничные величины а и 6 определяются при приравнивании (1.92) для условия i=0 к (1.91), откуда
a1 =21； Ь1 = P2.(1.96)
Величина УЛ, необходимая для начала расчетов по (1.92), определяется подстановкой (1.92) при1= =N—1 в (1.91), откуда
九={pJ^N + 力)/(1 - aNP^- (1.97)
Выражения (1.92), (1.95) —(1.97) определяют алгоритм решения (см. рис. 1.14) граничного уравнения (1.90), (1.91). Последовательность действий при так называемых правых прогонах заключается в следующем:
получение входных данных (граничные условия, сетка);
расчет а, b по (1.96);
расчет Qf+i, &г+1 по (1.95), начиная от аг,匕2 и перемещаясь от левой границы к правой (прямой прогон);
32
расчет Yn по (1.97);
/1 馬зет узловых функций 匕 по (1.92), начиная от Vn—i и переме- 1уаясь от правой границы к левой (обратный прогон).
Существуют аналогичные выражения для левых прогонов.
Условия стабильности прогона по [1.16]:
4>о； в；>о； с, >4+田； °《р< 1 (а = 1, 2).(1.98)
Смешанный метод решения мно- номерных зидач, В многомерных за- qaqax используется соединение итерационного метода с методом прогона. Например, уравнение проводимости (1.12)
》0吋1汲2十汕户
"|s = 9 代 〃 f); Н (к, yt 0)= ="。(稲 У)(1.99)
представляем, в соответствии с [1.16] в разностной форме
где Л=Лх+Лу — разностный оператор, причем Ад：=*/@ 吟 屛= =d2/dy2; п,- «4-1 — временные диапазоны сетки с шагом интегрирования т.
После некоторых преобразований (1.100) принимает форму, соответствующую методу прогона,
1
十/^"皆挈"=一储；, = 1, 2....
亦一1； "0+。方)=中("+。方)，
i = 0, M；(1.101)
*"券-2位+ 3"l)+
+ 4V)= — &，，左=1, 2...
m一 1; "(田)=用 1), 左=0, 乂.(1.102)
рии, попадем в точку ставляетР(х, 〃 山，s) = 2・/MСреднее значениерии, попадем в точку ставляетР(х, 〃 山，s) = 2・/MСреднее значение(1.103) потенциала(1.103) потенциала
рии, попадем в точку ставляет
Р(х, 〃 山，s) = 2・/M
Среднее значение
рии, попадем в точку ставляет
Р(х, 〃 山，s) = 2・/M
Среднее значение
(1.103) потенциала
(1.103) потенциала
Если известно Н=Н(п* то рассчитываем F, затем методом прогона вдоль строк ^=1,. 2» N2—1 решаем (1.101), определяя 〃(计。声) во всех узлах сетки. Затем рассчитываем 尸 и решаем (1.102) вдоль столбцов 1=1, 2,…，М —1, определяя "(计 1). При переходе от слоя л+1 к слою п+2 процедура повторяется.
Метод линий. К смешанным методам относится метод линий [1.29, 1.37], который основывается на том, что в решаемом дифференциальном уравнении остаются производные от одной независимой переменной, а производные от остальных независимых переменных заменяются произведениями конечных разностей. В двумерных системах это соответствует разделению поля на 九 параллельных слоев. В зоне каждого слоя действует обычное дифференциальное уравнение. Для всего пространства, занятого полем, в результате получается система 九 обычных уравнений.
Метод Колорадо [1.37, 1.38]. Этот метод основан на численном решении нелинейного уравнения Пуассона для магнитного векторного потенциала. При этом учитывается переменная проницаемость стали. После разностных преобразований дифференциального уравнения получается система нелинейных алгебраических уравнений, которая затем решается итерационным методом подрелаксации. В результате решения определяются значения векторного потенциала во всех дискретных точках исследуемого пространства с плоским стационарным или квазистационарным магнитным полем, возбуждаемым током с известной плотностью 丄
Метод Монте-Карло. Данный метод основан на получении потенциала V в произвольном узле сетки (см. рис. 1.13,6) при условии, что известны граничные значения V(Ui, s) в узловых точках (〃厶 S) граничной линии С, окружающей выделенную область потенциального поля.
После выхода из узла (xf, у г) (рис. 1.13,6) движение происходит вдоль линии сетки шагами, выбираемыми случайно после каждого перемещения среди четырех значений ±Дх, 土Ад. После достижения произвольного граничного узла операция повторяется. При очень большом числе повторений ^ перемещение заканчивается 九i раз в граничной точке (〃i, 6),九2 раз — в точке («2, ^2), nt раз — в точке (修，s), причем 九 1+九2+...=N.
Вероятность того, что, выходя из точки (х, д) по случайной траекто-
卩(〃，и)*由 на конце случайной траектории, начинающейся в точке (х, у), определяется [1.13] как p(",。产=十园V("1，力)+ +〃"侬，%)+ ...+ 〃y("i,。,)]= =?p(爲 У- %，S)V(%, S) (1.104)
и равняется потенциалу в рассматриваемой начальной точке
V(х, y)^=V(u, у)х,у.(1.105)
Вероятность (1.103) удовлетворяет приближенное разностное уравнение Лапласа (1.81). Метод Монте-Карло не совсем точен и требует большого времени на проведение расчетов и применения генератора случайных чисел. Однако этот метод применим для приближенных качественной и количественной оценок сложных процессов [1.5].
Метод интегральных уравнений. В экстремальных задачах электродинамики проводящих сред часто неизвестны условия на границе исследуемого тела, поскольку их конечное описание зависит от реакции среды на известное первичное возбуждающее поле. Классическим примером этого является реакция вихревых токов, индуктированных в сечении массивных по-
л ос или металлических стенок, размещенных в переменном магнитном поле. Такая задача ранее решалась методам последовательных реакций вихревых токов, т. е. итерационным методом, причем с учетом вычислительных трудностей обычно ограничивались первой итерацией, что иной раз приводило к большим ошибкам.
Эти трудности можно устранить, применяя для описания задачи интегральное уравнение Фредгольма второй степени в виде
9(x) = g(x) + A『К(х, s)g(s)ds,
&(1.106)
где у(х) — искомая функция; g(x) — данная функция; К(爲 s) — ядро интегрального уравнения, определяемое для каждой пары цифр квадрата Q《Kb; q《s《力； X — цифровой параметр, действительный или комплексный.
Уравнение (1.106) является одновременно уравнением Эйлера — Фредгольма вариационной задачи экстремальностиквадратичного
функционала
ьь ь
Z [у] = J [у (s)]2ds — x^ Jk*(k, S)义
Xy(*y(s)dxds—
-2fg⑸g(s)ds +以(1107)
Если выполняются условия [1.10]:
g(x) интегрируем в Q 6);
max [К (х, s)] < t; s^b,
Mb—а)'(1.108)Mb—а)'(1.108)yg= S ^gi(«)>/=0yg= S ^gi(«)>/=0(1.109)(1.109)то (1.106) имеет одно и только одно решение в интервале(Q, Ь) в виде суммы сходящегося ряда Неймана (называемого также рядом Борна)
Mb—а)'
(1.108)
Mb—а)'
(1.108)
yg= S ^gi(«)>
/=0
yg= S ^gi(«)>
/=0
(1.109)
(1.109)
где go(x)=g(%), а также
gi(x) = jK(x, s)gj(s)曲.(1.110)
Интегральное уравнение Фредгольма (1.106) решается обычно численным методом последовательных приближений или при помощи метода конечных разностей.
Метод конечных сумм [/.6]. Этот метод основывается на том, что интеграл в (1.106) заменяется соответствующей суммой ь*=〃
jr(x)dx=』4中(4)+ р(中).(1.111) а论=1
Затем (1.106) заменяется системой линейных алгебраических уравнений
gg) = g(%・) + 4 £&K(j 4)х
X"(/) + Zpi，力=1，2, 3…，(1.112) где р£ = %р[К(*力 s)g(s)]; хА (A = =1, 2, 3, ..., n) — точки интервала (a, 6); Ak 优=1, 2, 3, ...» n) — постоянные цифровые коэффициенты, независимые от выбора функции ф(х); р((р) — остаток (ошибка) (1.111).
Неизвестная величина Хрг отбрасывается, и получается решение в форме цифровых значений д(к) в узловых точках %厶 Более подробно о методе конечных сумм см. [1.6].
ПРИБЛИЖЕННЫЕ
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Основой вариационного метода является определение таких функций и<(х,办 при которых интеграл I некоторой комбинации этих функций и их производных принимает экстремальное значение. В физических задачах обычно под экстрему* мом имеется в виду минимум. Интеграл /, будучи функцией, зависимой от некоторых функций, играющих роль аргументов, называется функционалом.
В задачах электродинамики и электромеханики наиболее важное
(1.U4) последова- Фо(х, y)i(1.U4) последова- Фо(х, y)i
(1.U4) последова- Фо(х, y)i
(1.U4) последова- Фо(х, y)i
значение имеет функционал вида
/ = JJf ("' %：，"屮 X，y)dxdy,
2(l.H3a)
где их=^ди/дх\ иу=ди[ду、причем искомая функция 〃(х, у) и ее производные непрерывны в пространстве Q и приобретают на границе С исследуемого пространства заданные значения. Решение вариационной задачи имеет вид
/= J J F(ut 〃#, 〃《, х, у)dx:dy — min
(1.113)
и является уравнением Эйлера.
Для непосредственного нахождения экстремума функционала (1.113) используется приближенный метод Ритца и его варианты, называемые методами Галеркина, Канторовича и Трефтца.
Метод Ритца. Этот метод позволяет получить приближенное решение вариационной задачи типа (1.113) путем нахождения такой линейной комбинации
"(К, 9)=%(х，9)+ 2а^(*. 9) 论=1
произвольно выбранной тельности функций
中1(尤，乡)，…， линейно независимых в интервале (О, С), чтобы функция (1.114) реализовала минимум функционала (1.113). Функция(ро(х, р) удовлетворяет в этом случае граничным условиям, заданным для функции 〃(х, у), т. е. 〃仍)=f(P) для PwC. Остальные функции принимают нулевые значения на границе С пространства Q, т. е.
▼力(0) = 0; ^п(С) = 0, /г=1, 2, 3.
(1.II5)
Исходная задача сводится, таким образом, к определению 九 параметров (коэффициентов) аь а2,— ...,@小 которые реализуют экстремум функционала (1.113), выража-
емый в этом случае в форме функции этих параметров /=/(内，а2,...
На основе теоремы Ферма [1.21] о необходимом условии существования экстремума дифференцируемой функции коэффициенты (параметры) ал определяют исходя из условия существования экстремума функционала
dl/dak = 0, А= 1,2,..., /г.(1.116)
Выражение (1.116) представляет собой систему из 九 уравнений с 九 неизвестными.
Пример 1.2. Для уравнения Пуассона (1.79), если заданную функцию / (х, у) можно разложить в интервале В (О^х^л; 0&У九)в ряд Фурье
ОО
J@, У)= £ Ср^ &[пРх&^ЯУ* (1」17) р.，=〔
ОО
причем ряд 2 |Ср/ сходится, то с
использованием (1.114) последовательность функций ф*(х, у) выбираем таким образом, чтобы
^тп = ^тп (%, У)=
=—2 2 Wq sin必csingg. (1.118)
После выполнения необходимых операций [1.14] получается, что aPQ = =—Cpg/(p2+g2) И / (у, У) ■ a 3, У)=
8 С
=-£- sinpxsin^ (1.119)
Метод Канторовича. Представлением коэффициентов @々 в методе Ритца в форме ai(x), a2(x), ... ...,an (х) (1.114) принимает более общий вид
"(X，9)= %(х，9)+ S ak (х) <fk (к, 9), 4=1
(1.1ЭД что позволяет получить более точное решений. После подстановки (1.120) в (1.113) и интегрирования относительно у получается новый функционал, зависимость которого
35
OR°%OR°%0,月=1,2,.…%(1.122)0,月=1,2,.…%(1.122)ди^х 二^ ~7 —， 〃gди^х 二^ ~7 —， 〃g
OR
°%
OR
°%
0,月=1,2,.…%
(1.122)
0,月=1,2,.…%
(1.122)
ди
^х 二^ ~7 —， 〃g
ди
^х 二^ ~7 —， 〃g
от 九 неизвестных функций 夕丸(х) имеет вид
#3
/[а,(х)，…，％(*)] =，尸/а，а^, x)dK,
(1.121)
где a\=dak[dx,也=1, 2,…,n.
Функционал (1.121) имеет форму, аналогичную форме функционала действия в теореме Гамильтона [1.24]. Необходимым условием существования экстремума функционала (1.121) является, таким образом, уравнение Эйлера [сравни с (1-132)]
из которого при данных граничных условиях находятся функции а】(х), Q2(x),Qn(x}・
Примеры использования методов Ритца и Канторовича приводятся в [1.4, 1.21].
Метод Галеркина. Данный метод используется для решения определенного типа дифференциальных уравнений L(y) =0 как в частных производных, так и в обычных путем сведения уравнений к вариационной форме (1.113). После формирования функционала, соответствующего данному дифференциальному уравнению, аналогично случаю (1.114) пишутся такие комбинации линейных последовательностей ФУНКЦИИ <ро(Х, у), ф1 (х, у) чтобы функционал приобретал нулевое значение,
JL £4后中A(*)]中0(К)dх=°， о L*=i 」
(〃=1, 2,…，〃).(1.123)
Из системы р уравнений (1.123) определяются последовательно п коэффициентов Qi, ..., ап искомой линеЗной комбинации (1.114) функции фл(х) [1.21].
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Формы уравнения Эйлера и соответствующие им функционалы.
36
Аналогично вариационным методам задачи расчета электромагнитного поля, описываемые дифференциальными уравнениями Лапласа Д4= =0, Пуассона (1.35) и Гельмгольца (1.36), а также электромеханическим уравнением Эйлера — Лагранжа (1.132), можно привести к вариационной формулировке (1.113)
/ = J Jf伍，l%，辽屮"，y)d*dy = min
уравнение затем решается методом конечных элементов.
Функция F выбирается при этом таким образом, чтобы данное дифференциальное уравнение было уравнением Эйлера для функционала (1.113).
Уравнение Эйлера, представляющее собой обязательное условие существования минимума интеграла (1.113), получаем путем поиска в пространстве переменных и(х, у} такой функции Fo (рис. 1.16), удовлетворяющей граничным условиям и (С), чтобы значение интеграла (1.113) для этой функции было наименьшее по сравнению со значением, которое преобретает интеграл для каждой другой функции F, удовлетворяющей тем же самым граничным условиям и лежащей достаточно близко к функции Fo.
Рис. 1.16. Иллюстрация нарнацнонной задачи для одномерной функции u(x)； —ди/дх
Для семейства функций F вводится новое вспомогательное обозначение
%(*，9)= 〃(х，y) + ag(x, 9)，
где g(xt у) — произвольная функция, удовлетворяющая граничному условию g(C)=0； а — произвольный параметр соседних относительно Fo функций, для которых интеграл (1.113а) приобретает вид /⑷叩F [(+g),屮，
29士 ag) , x,"改弘.(1.124)
西 J
При условии, что функция имеет непрерывные производные до третьей включительно, уравнение (1.124) представляется рядом Тейлора /(a) = /(0) +a/’(0) + 詛〃(0) + + а 嘖(а).(1.125)
Поскольку прн а=0 ua=u(xt р), обязательным условием существования экстремума (1.113) является условие, чтобы п^вая вариация была равна
" = q〃(0) = 0,(1.126)
т. е.
"=叫(黑)g严9 =
=叫(器g +詐点+
(1.127)(1.127)+ 戸 dxdy = 0, 叫 /
(1.127)
(1.127)
причем
duy — dg g尸F=R
Последние две составляющие (1.127) преобразуются по формуле Римана
JJ(登一等产叫可(p〃+Q%)， 2(C)C(2)
(1.128)
тогдаQтогдаQOFOFgy^dxdy=-gy^dxdy=-= DK（g詛+专（粉mL 一产後詈+合崙）5 =
тогда
Q
тогда
Q
OF
OF
gy^dxdy=-
gy^dxdy=-
訝d”一g言也-訝d”一g言也-TJg後診+*券）点吻 2
訝d”一g言也-
訝d”一g言也-
Конечная форма первой вариации (1.127) при условии 0〃= =Qg (匕 У)
5/ = a f / 包-dy— dx \ +
J \ duxduy 丿十
里一±里—
J J \ du dux
-导許)^ = 6(1.129)
Поскольку по условию g(C) = =0, первый из интегралов (1.129) равняется нулю, что в свою очередь позволяет сформулировать условие для функции u(xt у), приводящей функционал (1.113) к экстремуму, в виде дифференциального уравнения Эйлера
(1.130)
Можно рассмотреть четыре основных варианта функции F.
Принцип Гамильтона, Если подынтегральная функция в (1.113) имеет форму функции Лагранжа F(〃, 〃工,Uy,匕 у) = L(g&, 4々,/)= =厂一匕 то (1.113) будет представлять принцип Гамильтона
JL (仇, qkt f)力= miiL (1.131)
Подстановкой 尤=f; у = 0 и (爲 У)=Qh(t)=u(x)\ ux=q и uy=0 получается из (1.130) уравнение
37
(1.132)(1.132)К(登 У+ V)2]К(登 У+ V)2]dxdy = min.(1.135а)dxdy = min.(1.135а)2X dxdy = min.2X dxdy = min.+专他警）一Q+专他警）一Q(1-141)(1-141)(1.143)(1.143)
(1.132)
(1.132)
К(登 У+ V)2]
К(登 У+ V)2]
dxdy = min.
(1.135а)
dxdy = min.
(1.135а)
2
X dxdy = min.
2
X dxdy = min.
+专他警）一Q
+专他警）一Q
(1-141)
(1-141)
(1.143)
(1.143)
Эйлера — Лагранжа для консервативных электромеханических систем [1.24]
Поскольку неконсервативный лангранжиан [1-24]
厶 fg = (T + Tf) — U + %), (1.133) получается уравнение Эйлера —— Лагранжа для диссипативных электромеханических систем
OLd f dL \OF
。夕总dt 〈 dqk 丿dqk
(1.134)
где L=7‘一匕 причем Т7 — коэнер- гия или кинетическая энергия; V— потенциальная энергия; F =
=一 2 nR2 — функция потерь Рей-
ли; Gk — возбуждающие силы (напряжения) [1.24].
Потенциальное поле без источников. Если в (1.113) подынтегральная функция имеет вид
F = (dujdK'f + (ди/ду)2,(1 • 135)
то функционал примет форму
Подстановкой (1.135) в (1.130) доказывается, что уравнением Эйлера для функционала (1.113а) будет уравнение Лапласа д2и/дк2^д2и/ду2 = 0.(1.136)
Потенциальное поле с источниками, Если подынтегральная функция имеет вид
F (ди!дх^ + (ди/ду)г - 2wp (х:, у), (1.137)
то функционал в свою очередь
JJ[燈 У+缁丫+ 2"**
(1.137а)
Обязательное условие существования экстремума функционала 38
в форме уравнения Пуассона получается подстановкой (1.137) в (1.130)
д2и/дк2^дги/ду2 = ^(к, у). (1.138) Вихревые поля. Для подынтегральной функции
+ 亩歸— ЛА,(1.139)
функционал
Wi•借)t) "
а2 2 г л У 11.
+ — m — Jm aw = mm,
“J (1.139а)
и после подстановки (1.139) в (1.130) обязательное условие существования экстремума функционала (1.113) в форме диффузионного уравнения (1.36) для синусоидального изменяющегося векторного потенциала примет вид
дгАт)д^ 4- дгАт/ду2 = aMm - ^ст-
(1.140)
В общем случае решение уравнения в пространстве Q в форме
эквивалентно получению минимума интеграла
dKdydz = min,
(1.142) в обоих случаях при граничных условиях
〃 = %&, g, Z) или
+ au = 0,(1.144)
(Ы47)(Ы47)
(Ы47)
(Ы47)
где 厶,%, Zz — направляющие косинусы наружной нормали к поверхности С, ограничивающей исследуемое пространство; в тепловых задачах: g — поток тепла через единицу поверхности; си/ — конвекционные потери.
Если 々х—尼旷二—財；;g~—0; ct-—0, то (1,144) приобретает вид d〃/dn= =0.
Метод конечных элементов для вихревых полей. На основе п. 1.6.1 утверждается, что задачу решения дифференциального уравнения, описывающего поле (Лапласа, Пуассона и т. п.), можно заменить задачей нахождения соответствующего функционала (1.113), для которого предыдущие уравнения являются уравнениями Эйлера.
Магнитное поле синусоидально изменяющегося векторного потенциала AZ=A, описанное диффузионным уравнением (1.140), можно в соответствии с (1.139) и (1.113) исследовать, решая вариационную задачу для функционала
+ 画Г”' — 44)dxdy. (1.145)
При этом исследуемое пространство Q (рис. 1.17) делится на конечные элементы. Для получения значений векторного потенциала4/, Ди) 4n в узловых точках производится минимизация функционала (1.145) с помощью вариационного метода Ритца или метода Галерки- на. Процедура дискретизации пространства следующая.
Аналогично методу Ритца (1.114) усредненные значения векторного потенциала А внутри каждого элемента е аппроксимируются при помощи так называемой функции разложения в произвольной форме, например суммы многочленов высшей степени [1.36, 1.35, 1.25]. Поскольку реализация метода элементов высокого порядка весьма трудоемка [1.25], обычно ограничиваются многочленами вида
Рис. 1.17. Разделение плоского пространства на конечные элементы
М= 》[(a在+瓦X+0创4/=
=(% +力卢+ e也)儿 +(@m +力质+ + СтУ)4m + (ал + bn尤 + C就儿=
=4，(L146)
где "丸=。丸+力丸%+С々弘 причем k- ==厶 m9 n.
Коэффициенты 。储力丸，са определяются подстановкой в (1.146) значений потенциала в узлах %* (乱勿)=4；4e(%m, f/m) = ^m；
Ae(xn, yn)=Anf откуда получается система уравнений
ДЛЯ
*?，勿(勿+九七十 С出e)/?+ А~(атА~Ь^1 + C^^A^ + (an + ^Л + СпУ1^п =
=4 十0 + о；
ДЛЯ
%，Уm (包+力卢m+
+ Ciy^^l + (am + 力 mJ 十 + СтУ/ 4m + (ал + ЬпХт + + CM)儿=0+ 4 十。； %, уп (々+勿工+б%)4十 十(@m + 力/〃 + J%) Ап + 十(％ + ^Л + СпУп) 4 = =0+0+4
или в матричной форме записи
[С] = [Е];[司=
'1оо
О О- 1
О 1
(1.147 а)
где
Ап в процессе минимизации функционала (1.145), который является в конечном итоге функцией узловых потенциалов. Подстановкой (1.146) в (1.145), а также — в соответствии
[ai+bi^i + ciyi О О
一 1也勿h死也一 =1 ^тут 11 ^^ %6"•
J xnynilctcmcn_
0
0
0
0
an + bnXn + cnyn_
Из решения системы (1.147) или 1.147а) следует, что коэффициенты 仇，瓦，ck являются эпементами мат- рицы
а, лт а” 1 bi Ьт Ьп = \ 一勺 j cnj [ 1
с условием (1.116) существования экстремума функционала — приравниванием нулю производной по каждому узловому потенциалу получается для каждого из элементов
勺yt f
% Ут ，
/ уп 一
(1.148)
纟器二*寻№*/圜+ 危=1在=1 a
причем
a —*雜住—кПуm力_ 〃m一如
'2D ；' =2D~
+偌居置）№+
cl =
*n —*m
~2D—
+ЯИ藹曲-一巾（許"
(1.151)
J Г1々汇 0= 丁det 1 % Ут -поле
тре
После алгебраических преобразований [1.26] получаем
угольного элемента.
Максимальная индукция (Вгп= =3)
3 = 2 =管-/需(S49)
Подстановкой (1.146) в (1.149) получаем
舐計匕呢(btbmAk +
十CbCmA在)虑+
+ "^" JJ g(包+勿* + au)( /+
в= ^iAkck-jAkb^. (1.150)
+ %m +C而公 +J JJ2(G[ +
Уравнение (1.150) не зависит от координат, поэтому индукция В является постоянной величиной в пространстве каждого треугольника.
Поиски значений векторного потенциала А сводятся теперь к определению узловых значениЗ At, Ат,
-\-btK-\-cty)ds^9(1.152)
а затем, после интегрирования каждого из уравнений (1.152), получается окончательное матричное уравнение минимизации функционала в виде
PA + QA = R, (1.153)
где
0勿勿Н-力％Р =不 ％勿 + cmct [%加十以力0勿勿Н-力％Р =不 ％勿 + cmct [%加十以力「4「4&%十0隔 b也+0卢j ЬщЬщ + ^mPm ^m^n +。小％ ； bnbm + cncm Ь^п^спсп_&%十0隔 b也+0卢j ЬщЬщ + ^mPm ^m^n +。小％ ； bnbm + cncm Ь^п^спсп_(1.154)(1.154)
0勿勿Н-力％
Р =不 ％勿 + cmct [%加十以力
0勿勿Н-力％
Р =不 ％勿 + cmct [%加十以力
「4
「4
&%十0隔 b也+0卢j ЬщЬщ + ^mPm ^m^n +。小％ ； bnbm + cncm Ь^п^спсп_
&%十0隔 b也+0卢j ЬщЬщ + ^mPm ^m^n +。小％ ； bnbm + cncm Ь^п^спсп_
(1.154)
(1.154)
А= 4 • (1Л55)
Принимая во внимание, что значение Z (1.145) равняется сумме его значений во всех элементах Iе, получаем систему уравнений всего комплекса узловых значений 4左 (也=1, 2, 3, ..., п), который можно представить в матричной форме
SA + y TA = U. (1.156)
Матрицы S, Т, U формируются на основе матриц Р, Q и R, полученных для отдельных элементов А=[4, Я2, ...» 4]т, где s — число узлов.
Уравнения эти решаются непосредственно или итерационным методом. В результате находятся значения вектора А=Ат2(х, у).
Для нахождения других величин через векторный потенциал рекомендуются уравнения
m 厶2Dk=l
В*-纟驚；Е = Т“.
(1.157)
Потери мощности следует определять методом полного сопротивления источника поля» поскольку в этом случае не требуется вычислять объемные или поверхностные интегралы. Полное сопротивление источника, приходящееся на единицу длины для прямолинейного проводника, проходящего над металличе
ским полупространством, определяется в форме
z = ”‘」),(1.158)
где Е — напряженность электрического поля на поверхности источни- ка; / — высота расположения проводника на проводящей поверхности; & — максимальный ток в проводнике.
Подстановкой (1.157) в (1.158) определяются потери мощности на 1 м длины проводника, параллельного поверхности металлического полупространства (см. рис. 1.8,г), p = Р ReZ;z=_/3嘗,/)(] м9)
В [1.26] приводятся рассчитанные указанным способом кривые индукции при различных конфигурациях проводников.
МЕТОД МАГНИТНЫХ ЦЕПЕЙ
Метод магнитных цепей следует непосредственно из метода конечных разностей (п. 1.4.1). Уравнение Пуассона (1.79) для сетки с различными шагами интегрирования (рис. 1.18) в направлении оси хну приобретает вид
+ &丿=*，(1.160)
откуда (рис. 1.19, a)
(4 — 4)Rg + (4 — 4) Rg 十
+ (4 — 4)R*+(4 — 4) % = — 4, 0.161) где
Rg = a/M・l, Rx = hl^a*\.(1.162)
41
Рис. 1.18. Взаимная связь элементов магнитных цепей и конечных разностей
Одновременно
Фс・=,,Bdsi = J J rot AdSi = J Atdl^ SfSfll
(1.163)
Затем, учитывая векторные потенциалы отдельных узлов сетки (рис. 1.18), получаем
①1 = 4 — 4； R = 4 — 4；
Ф,= Л0-Д; Ф4 = Д-Д. (1.164)
После подстановки (1.164) в (1.161) получаем «магнитный закон Кирхгофа»
ФЛ+①凡+ФЛ+ФЛ = Л
4
или £◎& =/©•(1.165)
Проблема расчета поля сводится, таким образом, к расчету параметров (1.162). Эта задача для непроводящих сред является простой геометрической задачей (рис. 1.18). На границе исследуемых объектов, на которых элементы «трубки поля»
значительно отличаются от прямоугольных, можно использовать выражения для проводимости так называемых тел Ротерса .
В случае, если необходимо учесть конечные размеры обмоток, при известном распределении магнитодвижущей силы можно использовать предложение К. Карпентера (Proc. IEE, 10-1968), в соответствии с которым поле, разделенное на элементы Ail% (рис. 1.20), можно заменить сеткой контуров таким образом, что смещение тока 厶厶图 из элемента (*=3, г=1) через границу 22—4 2 вызовет появление в контуре этой границы источника МДС F=AtiZi, а также удвоение МДС в элементе (尤=3, г=3). Предыдущий элемент (3.1) остается, таким образом, пустым. Метод этот основан на том, что на оси границы соседних элементов можно разместить гипотетическую катушку (прямоугольники на рис. 1.20) с аналогичной магнитодвижущей силой (——А〃？1), но противоположной по знаку по отношению к первому элементу. Действие последней магнитодвижущей силы по этой оси компенсируется также гипотетической МДС (рис. 1.20,а). Последующее смещение МДС происходит по аналогичной процедуре, но уже для двойного тока элемента. Повторением указанных операций можно заменить катушку (рис. 1.20,а) схемой с реактивными сопротивлениями и сосредоточенными магнитодвижущими силами (рис. 1.20,6).
Рис. 1.19. Преобразование разностной ветки в магнитную цепь:
а—по закону полного тока： б — по закону Кирхгофа дл* магнитной цепи
Рис. 1.20. Отображение величии Ag при помощи сосредоточенных источников магнитодвижущей СИЛЫ f1=&同.
Метод магнитных цепей отличается простотой и наглядностью расчетов и может быть легко приспособлен для расчетов трехмерных и трехфазных полей (см. рис. 8.15).
ДИАЛОГОВЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА И РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
Целью диалогового проектирования является облегчение и ускорение работы инженера таким образом, чтобы он мог делать практические выводы из непосредственного диалога с вычислительной машиной. Для этого необходимо иметь программу простого ввода и подготовки данных для непосредственной программы расчетов — так называемый препроцессор, а также программу обработки конечных результатов, так называемый постпроцессор, которая позволяет оценивать результаты на экране графического дисплея и выбирать оптимальное конструктивное решение.
а) Диалоговое проектирование на основе метода конечных элементов. Примером использования этого метода является пакет программ Mag-Net Eleven, основанный на методе конечных элементов и разработанный группой английских и канадских ученых . Система складывается из пяти главных частей, оп-
ределениым образом организованных и приспособленных для совместной работы с четырьмя реестрами данных:
реестр решений, содержащий полные потенциальные решения полевых задач;
реестр проблем, содержащий полное описание разрешимых полевых задач;
реестр моделей, содержащий геометрические модели устройств или их частей;
реестр материалов, содержащий кривые, описывающие свойства материалов.
Целью системы Mag-Net Eleven является разрешение двух главных проблем：
подготовка данных и разбиение на сетку конечных элементов при помощи программы «препроцессор»;
диалоговый анализ и обработка результатов с помощью программы «постпроцессор».
Система трудоемка, разработана большим коллективом высококвалифицированных специалистов, проста в обращении, но для реализации требует быстродействующего высококачественного графического дисплея.
Диалоговое проектирование методом магнитных цепей. В целях упрощения подготовки программ в 1984 г. под руководством автора разработана простая диалоговая программа (рис. 1.21), основанная на описанном методе магнитных цепей. Эта программа, названная
Данные
Препроцессор 卜
•| MSR-2 [■
■ Результат
J Постпроцессор I》
Диалог
丈
Результатырасчета В и Н
Рис. 1.22. Модель поля рассеяния трансформатора при анализе поля при помощи программы MSR-2Рис. 1.22. Модель поля рассеяния трансформатора при анализе поля при помощи программы MSR-2
Рис. 1.22. Модель поля рассеяния трансформатора при анализе поля при помощи программы MSR-2
Рис. 1.22. Модель поля рассеяния трансформатора при анализе поля при помощи программы MSR-2
Рис. 1.21. Структура программы MSR-2 для анализа поля и диалогового проектирования (синтеза) с помощыр метода магнитных цепей
MSR-2, содержит специализированный препроцессор, предназначенный для расчета элементов магнитной цепи конкретного объекта, например поля рассеяния трансформатора (рис. 1.22), универсальную программу MSR-2 для автоматического решения многоэлементных электрических цепей и также специализированный постпроцессор для пересчета отдельных потоков Ф^ на индукцию Bt или напряженность поля //右 которые затем графически изображаются в выбранных проектировщиком осях. Работа проектировщика сводится к введению на『 чальных конструктивных размеров трансформатора, затем — к последовательным изменениям соответствующих магнитных сопротивлений .
Рис. 1.23. Результаты диалогового анализа влияния высоты медного экрана на поле Hs на внутренней поверхности бака, индукцию Вс иа поверхности сердечника, индукцию 瓦 иа поверхности бака
В качестве задания проектировщику может быть, например, анализ влияния высоты медного экрана на поверхности бака трансформатора (рис. 1.23) на поле Hs на этой поверхности. Это поле считается ответственным за потери мощности и локальные превышения температуры массивных металлических поверхностей.
СИНТЕЗ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
Синтез поля является обратной задачей по отношению к анализу. Анализ основан на определении распределения поля при известных граничных условиях, размещении источников поля и физических свойств среды. Задача анализа сводится к решению уравнений Максвелла при заданных граничных условиях и характеризуется однозначностью решения.
Синтез поля основан на поиске такого размещения источников поля, а также материала и формы граничных поверхностей, которые обеспечивают создание в некотором объеме поля с требуемым распределением.
Задача синтеза не всегда имеет однозначное решение или решения. Простейшим методом решения задачи синтеза можно считать метод проб и ошибок. Этот метод основан на изучении по дисплею влияния изменения определенных геометрических и физических параметров системы на форму поля и введении коррекций этих параметров. Существует несколько методов интуитивного решения, но наиболее универсальным методом можно считать (К. Адамяк, 1983) сведение задачи к решению интегрального уравнения Фредгольма (1-го рода)
J К(х, s)?(s)ds = 〃(s), с <x<d,
(1.166) где z(s) является искомым решением в пространстве С [а, Ь]； 〃(尤)—данная функция, определен
ная в пространстве £2|с, d], интегрируемая по Лебегу на интервале [с, d].
Решение уравнений такого типа, однако, представляет серьезную проблему вследствие ряда причин, например нестабильности вычислений. Наиболее точные результаты, по мнению К. Адамяка , дает применение метода регуляризации.
При использовании метода поиска минимума функционала соответствующее этому минимуму уравнение Эйлера для уравнения (1.166) приобретает вид
複乍⑸]+ §£(%, s)z{s)dx = w{K),
(1.167) где
£(r, s) = J ^ (u, x)K 仅，s)d〃；
3 (%) = j К 也 г) и ®) dv,
где R(z)——стабилизирующий функционал; это может быть произвольный непрерывный положительный функционал, обусловливающий
[г] — z(s);
а — параметр регуляризации.
К труднейшим задачам синтеза относится выбор величины а. По мнению К. Адамяка, эта величина не может быть чрезмерно большой, чтобы введение стабилизирующего функционала не вызывало больших ошибок, а также не может быть чрезмерно малой, чтобы обеспечить стабильность вычислений. Поскольку не существует однозначных методов определения а, применяется метод последовательных итераций.
Вследствие сложности методов синтеза поля последние применя-
ются чаще для расчета систем простейших форм. Наиболее применимым является метод оптимизации формы полюсных наконечников, простых магнитопроводов и размещения ампер-витков возбуждения. Методы синтеза поля постоянно развиваются, и будущее покажет их конкурентоспособность с диалоговыми методами, описанными в разд. 1.8.
ВЫБОР ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА
Выбор наиболее эффективного и наиболее дешевого из рассматриваемых методов анализа и синтеза поля зависит от изменяющихся
условий и опыта. Наиболее популярными считаются в настоящее время метод конечных элементов и метод конечных разностей. Все чаще начинает использоваться метод магнитных цепей . Однако, несмотря на достоинства метода конечных элементов [1.25, 1.26, 1.34— 1.36], для наиболее детального анализа [1.38, 1.33] все еще более целесообразен, по крайней мере в некоторых случаях, метод конечных разностей.
Глава вторая
ОБОЛОЧКИ И ЭКРАНЫ
КЛАССИФИКАЦИЯ ЭКРАНОВ
К экранам в широком смысле следует отнести металлические оболочки, сетки, короткозамкнутые витки и обмотки, магнитные шунты.
По критерию принципа действия различаются экраны:
электромагнитные, вытесняющие переменный поток из защищаемой зоны на основе реакции вихревых токов (например, алюминиевые экраны баков больших трансформато- ров);
магнитные, действующие на основе магнитньтх шунтов, отводящих постоянный или переменный магнитный поток из защищаемой зоны;
электростатические, металлические или из диэлектрика [2.5], не пропускающие электрическое поле в защищаемую зону.
По критерию размещения защищаемой зоны относительно источника поля экраны разделяются на:
наружные, предохраняющие окружающую среду от проникновения поля из пространства, окруженного экраном (например, защита от ра- 46
диоэлектрических помех, генерированных электрическими машинами) ;
внутренние, предохраняющие пространство, охваченное экраном, от воздействия наружного поля (например, защита измерительной аппаратуры от влияния поля земли и промышленных помех).
По критерию эффективности действия экраны могут быть:
непроницаемые (непрозрачные), в которых проникающая в них электромагнитная волна практически гасится перед противоположной стенкой экрана (например, стальные покрытия больших трансформаторов) ;
проницаемые (прозрачные), в которых проникающая в них электромагнитная волна, достигая противоположной стенки экрана, сохраняет еще достаточное с практической точки зрения значение и отражается от стенки или проникает в последующее пространство (например, электротехническая сталь сердечника).
По критерию проницаемости различаются экраны:
закрытые, в которых поле может выйти из экрана исключительно через стенку экрана;
открытые, в которых поле может огибать экран;
полузакрытые» в которых поле проникает в зону вне экрана двумя упомянутыми выше путями.
По критерию способа создания обратного действия (отталкивания) экраны могут быть:
реактивные, действующие на основе реакции вихревых токов, индуктированных возмущающим полем (например, клетки роторов, короткозамкнутые витки);
компенсационные, действующие с помощью магнитного поля сторонних токов или постоянных магнитов (например, компенсационные обмотки, размагничивающие катушки кораблей).
Наиболее действенными являются непроницаемые и закрытые экраны. Однако один и тот же экран может быть открытым или закрытым в зависимости от размещения по отношению к полю. Это видно на примере экранов для трехфазных шин конечной длины (рис. 2.1,а), которые для собственного ПОЛЯ Фсоб. являются открытыми, а для наружного поля соседних шин Фвш закрытыми.
Аналогично магнитный экран дросселя (рис. 2.1,6) при располо
жении зазора вдоль линии действует закрыто, при поперечном расположении зазора магнитное поле легко выходит в окружающее пространство (открытый экран).
Стальной бак большого трансформатора для электромагнитной волны непроницаем, однако, благодаря тому, что бак является одновременно открытым экраном, энергия электромагнитного поля может беспрепятственно проникать через отверстия в бак (рис. 2.2) [1.22].
Для того чтобы экран электрической машины или другого электрического устройства был абсолютно замкнут электрически, это устройство следует полностью окружить сплошным электрически непроницаемым кожухом. Такой способ экранирования используется тогда, когда необходимо защитить окружающее пространство от ра- диоэлектрических помех, создаваемых электрической машиной. В этом случае, однако, провода питающей сети могут действовать как излучающие высокочастотные антенны, поэтому соответствующие высшие гармонические исключаются при помощи электрических фильтров.
При проведении полного электромагнитного расчета экрана исследуемое пространство делится на три основные части: 1) бесконечная зона снаружи экрана; 2) экранируе-
Рис. 2.1. Действие экранов в качестве закрытых (правильно) и открытых (неправильно) в зависимости от расположения по отношению к возбуждающему полю: а —экраны электромагнитные трехфазных шин； б — магнитный экран дросселя
Рис. 22 Линии вектора Пойнтинга
Si, иллюстрирующие проникнове-ние поля в бак трансформатора
мая внутренняя зона; 3) внутренность стенок экрана. Для двух первых частей проводимость ?=0 и действует уравнение Лапласа (V2V=0). Внутри стенки у#=0 и действует уравнение Гельмгольца ^2Н=а2Н. Для магнитостатических экранов во всех зонах ^=0.
С точки зрения способа определения постоянных в уравнениях типа (1.10), (1.11), описывающих поле в экране и его окружении, следует различать два основных условия в зависимости от расположения возмущающего поля относительно защищаемого пространства.
Возмущающее наружное поле. Такое поле на достаточном удалении от экрана приобретает форму данного возмущающего поля, т. е. поле реакции (отклик) экрана исчезает. Внутри экранируемого пространства поле не может возрастать до бесконечности.
Возмущающее внутреннее поле. Такое поле на достаточном удалении от экрана в наружном пространстве исчезает до нуля, внутри оно имеет конечное значение. Наружное и внутреннее поля припасовываются на основе граничных условий.
Такое объединение уравнений электромагнитного поля (1.10) и (1.11) для всего пространства, основанное на граничных условиях (1.57) и (1.58), является наиболее общим способом нахождения постоянных интегрирования. В большинстве случаев задачу можно упростить, используя аналогию с 48
длинной линией, при помощи метода зеркальных отражений и т. п.
2-2. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЭКРАНЫ
Непроницаемые экраны. Металлические стенки, толщина которых много больше глубины проникновения электромагнитной волны в металл (см. рис. 1.6), могут при расчетах рассматриваться как металлическое полупространство (рис. 2.3), на поверхность которого перпендикулярно падает плоская электромагнитная волна. Это предположение также применимо, если на поверхность экрана со стороны диэлектрика падает плоская волна под некоторым углом, поскольку в соответствии с (1.51) внутри металла волна распространяется практически всегда перпендикулярно.
Электромагнитная волна в экране при синусоидальных процессах и линейной среде (p,=const, Y=const) удовлетворяет уравнениям (1.13), решение которых имеет форму (1.15) — (1.27). Таким образом, амплитуды напряженности магнитного и электрического полей и плотности тока в непроницаемом экране уменьшаются и по мере проникновения определяются в соответствии с уравнениями
论(2.1)
Рис. 2.3. Подавление электромагиитиои плиты при p.r=const：а — уменьшение амплитуд； б ——коэффициент проннкновення 6Рис. 2.3. Подавление электромагиитиои плиты при p.r=const：а — уменьшение амплитуд； б ——коэффициент проннкновення 6полны внутри массивной стальнойзатухания k н эквивалентная глубинаполны внутри массивной стальнойзатухания k н эквивалентная глубинаПример 2.1. При подключении двигателя постоянного тока с параллельным возбуждением к выпрямителю в массивном стальном ярме статора с прямоугольным сечением аХЬ = 30Х100 мм и длиной /=0,2 м (рис. 2.4) возникает 'синусоидально изменяемая составляющая потока частотой 300 Гц и амплитудой, равной 10% главного потока. Последний составляет 2,7Х Х10~3 Вб. Необходимо исследовать влияние переменного поля на характеристики магнитопровода.
Рис. 2.3. Подавление электромагиитиои плиты при p.r=const：
а — уменьшение амплитуд； б ——коэффициент проннкновення 6
Рис. 2.3. Подавление электромагиитиои плиты при p.r=const：
а — уменьшение амплитуд； б ——коэффициент проннкновення 6
полны внутри массивной стальной
затухания k н эквивалентная глубина
полны внутри массивной стальной
затухания k н эквивалентная глубина
Решение. Ярмо имеет вид открытого, непроницаемого экрана.
Рис, 2.4. Массивное ирмо статора машины постоиииого тока
На основе результатов, представленных на рис. 1.6 при 300 Гц и цг^200, делается вывод, что переменное электромагнитное поле практически исчезает в стали уже на глубине 入/2V3,5 мм. Сравнение с толщиной ярма а=30 мм позволяет проводить рассмотрение электромагнитных процессов в ярме, как в металлическом полупространстве. Проводимость стали при 20 ℃ составляет 6,7-10е См/м, при 75 ℃ ?75=6,7・ К)б(1+55.о,оо52)= 8fx ХЮ6 См/м. Расчет проводится в соответствии с формулами табл. 1.1.
Напряженность переменного магнитного поля на поверхности ярма при цг=300, А/м,
I ap Г 2(a + 6)
—1 [/2т300・8,6.I06 * M Г 300^0,4n;10-6 Л
2^必口 =4864, 2(0,03 + 0,1)
鼻丿鼻丿人 2(a + b)人 2(a + b)
鼻丿
鼻丿
人 2(a + b)
人 2(a + b)
что соответствует по кривой для стали с относительной проницаемостью |irS=250. После корректировки I"1Asi =4864画0/300=4440 А/м^ ^4500 А/м.
Эквивалентная глубина проникновения переменного поля в ярме
2тг-300-0,4л.10-6.250-8,6- 10s
=0,45，10-3 m；
скорректированная длина волны Х=2лб = 2,83 мм.
Магнитное сопротивление ярма для переменного потока по табл. 1.1 [1.44]
ар\/ар^ + а^ '也 0,85
-1,4，1,42 +0,852
х/譜工^=2,66.10";
% +吟'％ aq
_2± 2,66-10-6 = 4,38 • 106 Гн-1;
—0,85
■Rpiz г R»i jR〉ib —'
= (2,66 +j・4,38)10, Гн-1;
0泊=春/書=5,13.10rL
Магнитное Напряжение для переменного потока в ярме
V产①m&zl = =舒舒⑵66+凡38)2>< X0,2 = (552 + j909,7)A
ИЛИ
= aq + Wp / 3厂乂
%/效2 +喈 网
/ = (552+ /909,7) A;
|VJ = 1064A.
50
Потери мощности в ярме PLV哼容=
—4 I/ 2л^300-250-0,4л. 10^6丫
У 2-8,6-lOe X
53282 QAQ7 D /2 X—厂=3687 Вт/м2;
戶= 2(a+b"R = 2(0,03 + 0,1)0,2 X
X 3687 = 191,8 Вт.
Плоские проницаемые экраны. Непосредственный метод. Если электромагнитный экран толщиной d (рис. 2.5) отделен от защищаемого металлического пространства 4 изоляционным слоем а и на экран падает плоская синусоидально изменяющаяся волна Ет= —Ет^, то уравнение (1.11) для напряженности * электрического поля
V2E = ^дЕ/df 十 p,s^2E/d尸
можно выразить по [1.22] в форме
V2£m< = r/mi； Гi =НjsMYi+j%), (2.2) причем для соответствующих “х слоев
n =a: = /2 向 Y,_=(1 +j)①;
也=/再，=2,4;
i\ = /—<»Vt£t , / = 1,з.
Рис. 2.5. Электромагнитный экран в четы- рехслойиой системе:
/ — диэлектрик; 2 — экран А1 нлн Си; 3 — диэлектрик; 4 — защищаемое металлическое пространство (например, сталь), Zi, Z2, Z3, Z4 — полные волновые сопротивления участков
(2.Ю)(2.Ю)на-на-力.__ jsp*J/ms2一%(1-当/4)力.__ jsp*J/ms2一%(1-当/4)(2.12)(2.12)(2.13)(2.13)(2.14)(2.14)
(2.Ю)
(2.Ю)
на-
на-
力.__ jsp*J/ms
2一%(1-当/4)
力.__ jsp*J/ms
2一%(1-当/4)
(2.12)
(2.12)
(2.13)
(2.13)
(2.14)
(2.14)
Общее решение уравнений (2.2)
Emi=AfiiZ + В^1г, » = 2, 3, 4.
(2.3)
Принимая во внимание второе уравнение Максвелла, которое для синусоидальной плоской волны имеет форму
ОЕ 1nli Oz = — iwHmt，(2.4)
получаем следующее уравнение:
"mi = — Ti/j明)(4・еГ『—В；е-г产);
i = 2, 3, 4.(2.5)
Постоянная Л4=0, поскольку Z―>8；小4,8； Нт4%8. Другие постоянные определяются из условий (1.57) и (il.58) для касательных составляющих напряженностей полей на границе, т. е. при 2 = 0
Eg =』2 + & = Ems；(2.6)
"g=^4儿_伉)="£(2.7)
при z = d
Emz = Eg； 4e%d + B2e-^d =
= J43er«d4-5se-r»d;(2.8)
"m=〃m；生(儿e3 —旦е-з)=
=厶(4еМ - В，е-М);(2.9)
用8
при z = d-\-a
Е =£ ; Лег»<d+fl)—
—^з£—Ге (d+a)—-石霜―％ (d+a)；
Нтг^Нт--^-[А^^~
—В*—°，(d+°) ] = -^- 54e—ot4 ("а).
(2.Н)
После решения (2.6) — (2.11) ходим постоянные [2.7]
где
区C% 一卩2 62a 亮.
4含 С% + р-2
С =廿з [匕「з(] + в?、%)— 丁 Г3№(1-е2г«а)-
—卩3%( [ — е2『за )}"一因%(1+广")]
Подставляя (2.12) в (2.3), находим fm2 (г), а затем распределение плотности тока в экране
— Н a2(ea2 + 闷)Y
一 g0%(62乖一])—户式]+含亮)X
X(ea“+*p).(2.15)
\5 + p<a /
Потери мощности в экранирующей системе рассчитываются при помощи вектора Пойнтинга S, который равняется плотности потока мощности, проходящей через плоскость ху в точке z. Внутри экрана в соответствии с (2.3) и (2.5)
S(z) = Sp(z) + jS,(z) = =}(eg><"；点)=
=—蒜{A^z + &е-м)X
X {A^^ — 52*е-^*г), 0 W n W d.
(2.16)
Входная мощность экрана (г —0)
S = Sp 十 jS,=[―力修砧(44* — 一 ^2* + В2Д*- В2В2*).(2.17)
Пример 2.2. Исследовать влияние воздушного зазора а (рис. 2.5) и частоты f на эффективность экранирования стальной стенки с параметрами у4=7・10б См/м, цг4 = =1000 медным экраном d=§ мм> 72=68-106 См/м, если со стороны экрана падает синусоидальная плоская волна, создающая на поверхности экрана поле Hms=50x ХЮ2 А/м.
Решение. После подстановки исходных данных в (2.17) с учетом (2Л2)——(2.14) определяется активная единичная мощность [2.7], Вт/м2, потребляемая в экране,
/7 — /У р—az・ F/7 — /У р—az・ F—-у "mse-F—-у "mse-FМ23М23\ "над，2з\ Диад / 2з\ "над，2з\ Диад / 2з
/7 — /У р—az・ F
/7 — /У р—az・ F
—-у "mse-F
—-у "mse-F
М23
М23
\ "над，2з\ Диад / 2з
\ "над，2з\ Диад / 2з
3 ]04 (1,4 sir^X + 10,4 cos2 X + , (1,1 sin2 X + 100 cosaX —
_ +9sinxcosx — 9sinx — 0,8 cos % + 8,8sinxcosx —
卜 +0,4)2 + ( —0,6sE2% —9,6cos2% + —7,7 sinx —
+9 sin xcos %—8,2 sin %+20 cos %—10产f— 0,3 соГ% + 100)2，
(2.18) где х=2ша/с, причем с — скорость света.
При f=50 Гц, х=[4л-50/(ЗХ ХЮ8)] а=2,09* 10~5 а. Например, при。=0十1 м, х=0-=-2,09-10-6 м sin %。％, cos х^ 1, откуда следует, что практически независимо от толщины зазора а потребляемая экраном мощность является постоянной величиной и составляет S= = 75,12 Вт/м2.
Из рассмотренного примера следует, что при электромагнитном экранировании машин и электрических устройств воздушный зазор за экраном не оказывает никакого влияния и его применение не является необходимым [2.7].
Однако при больших частотах, окрло МГц, может проявляться значительное влияние зазора а на эффективность экранирования. Здесь следует различать два характерных случая: 1) если 0,01V V%Vk/2, тогда одновременно с увеличением зазора возрастают потери в экране и уменьшается напряженность магнитного поля на экранируемой стальной поверхности; 2) если аргумент %>л/2, тогда распределение мощности поля имеет волновой характер и эффективность экранирования зависит от того, расположен ли экран вблизи узла или вблизи амплитуды стоячей волны.
Волновой метод. Этот метод [1.39, 1.22] дает ту же точность, что и предыдущий, однако отличается большими наглядностью и удобством анализа. Практические рекомендации можно получить уже на основе качественного анализа. 52
Когда плоская электромагнитная волна, перемещающаяся в среде / (см. рис. 1.7), наталкивается на поверхность другой среды 2, то она частично проникает, частично отражается от этой поверхности. Связь между атнмн составляющими (1.60) — (1.63) обусловлена граничными УСЛОВИЯМИ Е2t = 3h Ни = Нц. Коэффициент отражения волны от граничной поверхности (1.63) выражается зависимостью
М — Zgp — Z^afl — — "отр — Еотр 0Tp ^др + -^пад "над £пад (2.19)
Поскольку |2мет|《|2ДИэл|» НЗ- пример для стали с цг> 1000 при 50 Гц, ZFe>100ZCu=(l+f)-2,4X 义10-4 Ом, а для воздуха ZQ = = Р%/% =377 Ом, то в слоистых системах чаще всего Мотр^ 士 1 в зависимости от очередности слоев.
Одностороннее падение электромагнитной волны. После проникновения в металлическое полупространство [1.22] электромагнитная волна перемещается со скоростью и=М=1/豆=с亜Z S
? NY У НгГ
Q 10"9 м/с, а ее амплитуда и фаза уменьшаются в соответствии с (1」6)
В экране с конечной толщиной d (рис. 2.5), ограниченной поверхностями /, 〃，///, волна отражается от поверхности II с коэффициентом (1.63)
Z3—~ Z2
Z3 + Z*
а также от поверхности / с коэффициентом
也=_（然［=佬）尸
Z1 — Zz
Рис. 2.6. Отражение и наложение магнитной Я н электрической Е составляющих волн внутри экрана
Hmse-a%e-^
&〃，…厶-a(d~Z) y^e M23e
母"qs。
-az
Z?
丝 7 ―*■у^ М?з
九(Z)= "ms九(Z)= "ms"m(2)= Н ms"m(2)= Н msSh a(d — 2)Sh adSh a(d — 2)Sh ad
九(Z)= "ms
九(Z)= "ms
"m(2)= Н ms
"m(2)= Н ms
Sh a(d — 2)
Sh ad
Sh a(d — 2)
Sh ad
Например, если Zi=Z3=Z4= -—• ^диэл И Z 2 — 2мет, ТО Zi —Z3 》|Z21, откуда м23=m21~ + 1 и магнитное поле Н отражается с противоположным знаком, а электрическое поле Е — с совпадающим (рис. 2.6).
Сложение всех падающих и отраженных волн в единичной стенке экрана [1・22] ведет к общим выражениям равнодействующего поля в экране (табл. 2Л, рис. 2.7):
ekd—z) —MX" S-z)e“d—М 23e-"d
(2.20а)
Дроби в (2.20) называются собственными функциями плоского экрана.
В системе диэлектрик — металл—диэлектрик, а также с достаточным приближением в системе диэлектрик — медь — сталь имеет место равенетво м23=m21 = L Тогда (2.20) упрощается
а также
1 "m(Z)| =
I rr [ ]/ch2^(d — 2)— cos2k(d — z),
— \nms\ У ch2Ы—cos 2kd ，
(2.21)
el (d—z) + ge—a(d—z)(2.206)el (d—z) + ge—a(d—z)(2.206)
el (d—z) + ge—a(d—z)
(2.206)
el (d—z) + ge—a(d—z)
(2.206)
Em(z) = ； Jm(z)=
|Jm(Z)|=|"msM力 X
3/Ch2^(d—z)壬8$2尼(d —z) /9 994 义 V ch 2也d —cos 2也d(山)
у Таблица 2.1. Распределение напряженности поля Н и плотности тока J в плоских экранах
/№
Величина
Односторонний экран
Двустороннее падение плоской волны
симметричное (например, сердечник)
антисимметричное (например, шнна с током)
1
2
3
4
5
1
Распределение поля .жZi — Zg
11 Zl+Z,
«жZ3 — Zg
Л4ао —
3 Z3 + Z2
HeS
电 7 M23
Л
2，'
H幽尸仞
勿3
绛展匕眩5仞
Mzi 也3
2
” m(Z)=
e^(d-г) — Мне-а(4~z) ms ed—MtlMi3^ad
2ch a传一2卜6叫2_m2se一叫
2sha传一卜收信+他「吗
〃，"Se»d_AfjiAfj3e-ad
〃mse«d_AfjlA4J3e-«d
3
Jm (Z)=
ea(d-2)+ M e-a S-z) aHmS*_ 他 iM^e-M
2sha f—— z^(ead/2 —Af23e~ad/2)
2ch a (1 —Z^^+M^-^l2)
“〃"，sead — MziMae—ad
〃/mse^ — M^M^-^
При I Zg I « I Z] I и Zg《Z3, т. е.財21 = ”'纟8 = I
4
"仙）=
Sha (d —z) mShad
Cha 隨—z)
Hfnsad
ch — 2
sh a 1—z)
"ms 一ad
sh
2
5
1 〃m(Z)1 =
[/ ch 2A (d—z)—cos 2也(d—z) 1 "^1 У ch 2kd — cos 2kd
_ / ch k(d—2z)4-cos k (d—2z)
1 Нз 丨 Уch kd + cos kd
1 / ch^ (d—2z)—cos 尼(d—2z)
1 "m§ 1 Уch kd—cos kd
s
Ch a（d —— N）
sha（-^-г）
_ Cha 传 T）
6
Jm（2）=
sh aa
a"ms0d
sh — 2
7
1 Jm（2）1 =
/2 k 1 Hms 1 X
V2'k\Hms\^
/Г 也 11 X
X]/ ch 2左（d—2）+ cos 2尼（d—z）
Уch kd—cos kd
〔 / ch 尼（d—2z）—cos尼（d—2z） Уch kd+ cos kd
/Fch k （d — 2z） + cos 尼（d — 2^） Уch kd — cos kd
8
9
На поверхности 21
（2 = 0）
〃m⑼=
Jm（0）=
a〃ms Cth ad
M订也 1 "ms 1 X
ad a"ms th —
ad
Cth —
-у一 ，. I / ch 也d — cos kd ”2 论 1 Hms 1 у 曲尼d + cos kd
,_- / ch kd 4- cos kd
11 Гch kd — coskd
10
1 Jm⑼|=
* 1 /сЬ2Ы 4-cos 2尼d
* Г ch2^d —cos2^d
11
На поверхности 23 （2=d） Hm （d）=
0
Hms
一Hms
12
J"i （d）=
Hms ■^77 sh ad
—a〃ms th —
ad aHjns Cth —
13
1（⑷1 =
2尼
….1/ Ch 尼d—cos Ad
k\ Н^ \ у chM + cOsW
V^k 1 Hms \ ）/ ch kd — coskd
11 pch 2尼d—cos 2kd
14
Распределение плотности активной мощности, Вт/м8,
?1 1 /凉Г 1 "ms 1 2
3（z）=才 У 药 2
‘8 T /叩 I ^ins\ 2
^^^= V y 芬 2
必（9= d y 2Y 2
W（2）=
1
ch 2尼（d—z）4-cos 2尼（d—z） 丫ch 2kd — cos 2kd
ch 尼（d——2г） — cos 尼（d—2z）
‘2 一 2尼"曲论d+ cos kd
ch k （d — 2z）~|-cos 尼（d—2z）
=7~ 丨 Jm（z）|2
2 丫
丫ch kd— cos kd
№
Величина
Односторонний зкран
Двустороннее падение плоской волны
симметричное (например, сердечник)
антисимметричное (например, шина с током)
1
2
3
4
5
15
Активная мощность в экране Ри Вт/м2
Pl = Sp(0) —Sp(d)=
1 Z соц 丨 Ни1s 1 *
У 芬 2
[EEd — MzJe—2ad +
% —(еа^ + Л1212M 2a2e—£S ——
+ 24^3 sE2也d -1 +m2J]
—2M21M23 cos 2尼d]
пpй М21 =m23 — 1
sh 2kd + sin 2kd
ch 2尼d — cos 2尼d
А = 2sp⑼=М j/ ^ 1 Hms 12
При 442] = ”23 = 1
_ sh kd sin ch 尼J + cos kd
Pi = 2Sp(0)=T)/^| "，“s| 2 при м21 = m23 = 1
sh 尼 d +sin^d2
' ch kd — cos kd kd »
R〜尼d sh hd + sin 尼d
КR — R=- 2 ch kd — cos kd
Kr — коэффициент увеличения активного сопротивления при переменном токе (при f = 0 Kr = 1)
16
Реактивная мощность, выделяемая в экране, Qt, вар/м2
Ql = Sq(O)—Sg (d)=
E J^3卩丨"〃2S I 2
[eakd—Mz/eT 妞一 E — [e2^ +Л4212Л1232е-2^— 一
—2Л?2з sin 2尼d—• 1 + 加23円
—2M21 也3 cos 2尼d
При Afg] = Л!* = 1
sh 2kd — sin 2Ad
& ch 2^d — cos 2尼d
Ql = 2sq(0) =Ф ]/^ 1 Hms 12
При M?i = 4^23 ~ 1
sli kd + sin /d
ch £d + cos kd
Qi = 2Sq (0) =х J/詈丨 〃ms|2
прим21 =m23 =[
sh kd—sin kd kd
* - ch kd — cos kd 3 “X
X 3 sh kd — sin kd
“X — X。~kd ch kd ——cos kd
Kx — коэффициент уменьшения реактивного сопротивления шииы при переменном токе (при f = 0, К* = 1)；儿一реактивное сопротивление при равномерной плотности тока
Рис. 2.7. Действие одностороннего экрана:
а — распределение поля Hm(z) внутри экрана; б — распределение плотности тока Jm(z)； & —зна ченне Нт и J^ на поверхности падения (г=0) н на противоположной поверхности (z=d) в зависимости от толщины d;々си*】 см-1;月4]8。,8 см-1; Аре«Ю-1 см
Q 1 /М.Q 1 /М.
Q 1 /М.
Q 1 /М.
Распределение плотности мощности, Вт/м3, (рис. 2.8) внутри экрана рассчитывается на основе плотности тока ш(г) = J2p (табл. 2.1, строка 14, графа 4). Полная активная мощность Pi, Вт/м2, и реактивная Qi, Вар/м2, выделяемые в одностороннем экране на единицу поверхности (рис. 2.9), рассчитываются по разности вектора Пойн- тинга S , поступающего в экран S (0) и выходящего с противоположной стороны S (d) (табл. 2.1, строка 15, графа 4).
Если за односторонним экраном 2 (например, медным) находится металлическое пространство 3 (например, сталь), то к потерям мощности в самом экране следует прибавить потери мощности в стали, определяемые (табл. 1.1, строки 4 и 5) для напряженности поля Hm(d) по (2.20а) и соответствующих коэффициентов Af2b М23. При малой толщине экрана (Zd《l) суммарные потери мощности в экране и стали, Вт/м2, составят [1.22]
Р…，V聚今■义
义（1+詰■/盡■卜（2.23）
,sh 2尼，+ sin 2尼J
причем 乂 =-
ch 2尼d——cos 2kd
Для медных экранов выражение в скобках в (2.23) приобретает вид l+a"d [1.22], где ар = 5>5-10~5 м. Таким образом, потери мощности в экранируемой системе равняются потерям в самом экране
ве+…台)/需4(2.24)
Если kd>\ (большие частоты), то можно принять х= I и ap/d=0, тогда
Ae+Fe~/喏」偿М . (2.25)
Пример 2.3. Рассчитать увеличение потерь мощности в экранированной стальной стенке при толщине медного экрана, уменьшенной
57
0^/0 加"
0,2 0,4 46 kz/kd
Рис. 2.8. Функции распределения плотности активной мощности wz в экранах:
а — односторонних <р：; б — двусторонних симметричных ф2; в — двусторонних антисимметричных Фз
от 4 до 3 мм, при условии, что напряженность магнитного поля на поверхности экрана не меняется.
Рис. 2・9・ Функции активной х в реактивной
X
Е МОЩНОСТИ COS ▼ = у 2“+声 В одностороннем экране в зависимости от толщины d; "屮缕第；qe/>3
I
kd=OtQ1
О %2 〃# gf *z/xd
Решение. При частоте 50 Гц постоянная 月cu= V%。丫J2一= cm-* t. e.用dVL Тогда no ⑵23) и табл. 2.1 (строка 15, графа 4)
乂 sh 2尼d + sin 2月d
3ch 2kd ——cos 2kd—
—sh 0,6 + sin0,6 —о ?зб・ ch 0,6 — cos 0,6 —''
& =皿生迎”=2,504;
ch 0,8— cos 0,8
Рз
kd^
3,336
2,504
= 1,332 или
Р, kd3
二 1,333.
Двустороннее падение электромагнитной волны. Если на плоский экран падает электромагнитная волна с двух сторон, то равнодействующее распределение поля внутри экрана является суперпозицией процессов (2.20). При этом к выражениям ”m(z) и Em(z) следует добавить выражения %&'), Em (之‘)，где N‘=d—N・
Рис. 2.10. Действие двустороннего симметричного экрана:
а — распределение поля 〃m(z) внутри экрана; б — распределение плотности тока /т(г)； а — величины 〃т н /т на поверхностях z=0 и z=d в зависимости от толщины экрана d; Hme, Jma — поверхностные значения при d-*oo
"mi l AШ1ПР Wi"mi l AШ1ПР WiBL"BL"
"mi l A
Ш1ПР Wi
"mi l A
Ш1ПР Wi
BL"
BL"
При этом различают два основных случая: симметричное распределение поля Я (табл. 2.1, графа 4, рис. 2.10) и антисимметричное распределение поля Н (табл. 2.1, графа 5, рис.2.11). Первый случай может наблюдаться в сердечнике трансформатора, второй — в шине с током или в пазу электрического двигателя.
Распределение плотности мощности внутри экрана (рис. 2.8,6 и & табл. 2.1, строка 14, графы 4 и 5) определится из выражения J・ 2P. Суммарная активная Pi и реактивная Qi мощности (рис. 2.12 и 2.13) на 1 м, выделяемые в экране, определяются по теореме Пойнтинга.
В двусторонних экранах (табл. 2.1, строка 15, графа 5) векторы Пойнтинга S, формирующие плотность проникающей через противоположные поверхности мощности, взаимоуничтожаются в центральной плоскости экрана. Мощность в экране равняется, таким образом, сумме векторов Пойнтинга на обеих поверхностях. Поскольку поле
симметричное, сумма векторов 2s = 2S(d).
Если поле несимметричное, принцип суперпозиции также применим. Однако в (2.20) должны представляться разные поверхностные значения "ms/ и Hmsii [сравним выражение (4.10) и табл. 2.1, графы 5, 6].
Многослойный плоский экран. Волновые методы расчета экранов благодаря возможности использовать принцип суперпозиции позволяют получать более общие выражения для многослойных систем (см. рис. 2.5). Получение выражений иллюстрируется на примере единичного одностороннего экрана (рис. 2.14). В пространстве I (см. рис. 2.5) в соответствии с (2.3) и (2.5) возникает волна
£\ 叩=Bffsfe—门 z = Bg/s “у/。)； ^"rninp = ^1е~Г125
(2.26)
^v
to
48 夕6
44
42
О у
-0,6
28
&5
74
42
10
ка-o^o^oi
8
4
2
伉2
i丿I fcl
kb二 2 н 3 4
么"
〃必
7岳姿
w
72
/公0,07 I
丝
0,05
尸0
% 20
-*d=3〃4 20、50
-\ — \47 夕
^^'
0%2 > 0,6 Kz/kd 0
5)
46
%6
伏
42
勿
Рис. 2.11. Действие двустороннего антисимметричного экрана:
а — распределение поля 〃m(z) внутри экрана; б — распределение плотности тока /m(z)； в — величины Нт и /т иа поверхностях z==0, z=d в зависимости от толщины зкрана d; 〃 , J — поверхностные значения при df 8
бегущая в направлении оси со скоростью с1 = /(о/Гр а также встречная волва
£10тр = Bfi^^ = B«m(f+z/。)，
(2.27)
Полное волновое сопротивление t-ro слоя
Z? = Emi/〃mf =/9步"「(2.28)
Бегущая волна лосле встречи с поверхностью другой среды частично отражается с коэффициентом (1.63)
Мотр = (Znp — Zna/XZnp + 2пад), частично проникает с коэффициентом
^отр = Ецр/Епад = 1 十 Мотр =
= 2Znp/(Znafl+Znp).(2.29)
60
Для единичного экрана равнодействующие волны определяются суперпозицией падающих, отраженных и проникающих волн (рис. 2.14). Волна в среде 1 является суммой первичной падающей волны Em/inEms/C 7*, отраженной волны Emel^^EmjH (^^OjMize= =EmSpMi2e г 叱 а также бесконечного ряда волн, обусловленных внутренним отражением в среде 2. Последние можно представить бесконечным геометрическим рядом о=14-М28Л121е-2^ +
+ (應мeh吁 +(Mmg-2吗，+... ... +(Л!2!М21е-2г^)л = =1_/仆-2，
Полное поле в среде /, таким образом,
Eg⑵=e" +eз十 + EmspNl2M23N 2 ^-^e^ =
о 1 2 3 4 5 6 kdо 1 2 3 4 5 6 kdРис. 2・12・ Функции активной ? и реактивной 耍 мощностей, cos у = ?/К?2 + ф2 в двустоРис. 2・12・ Функции активной ? и реактивной 耍 мощностей, cos у = ?/К?2 + ф2 в двустороннем симметричном экранероннем симметричном экранеот толщины d для материалов для (Fe) Pt= g/洋 I Hmsот толщины d для материалов для (Fe) Pt= g/洋 I Hmsв зависимости с р, = const нI2; Q『в зависимости с р, = const нI2; Q『Рис. 2.13. Функции активной т} и реактивной у мощностей, cos Фвт}/(Л2+Х2)» в двустороннем антисимметричном экране в зависимости от толщины d; R% Rx — коэффициенты изменения активного н реактивного сопротивления при переменном токе; Р1=刀]/ 器 l"ms 件；Qi ==Х!/ 费^"ms 卩Рис. 2.13. Функции активной т} и реактивной у мощностей, cos Фвт}/(Л2+Х2)» в двустороннем антисимметричном экране в зависимости от толщины d; R% Rx — коэффициенты изменения активного н реактивного сопротивления при переменном токе; Р1=刀]/ 器 l"ms 件；Qi ==Х!/ 费^"ms 卩Emsp 6rlz+ еМ 瞩2十Emsp 6rlz+ еМ 瞩2十N iWai 附 аз第異一 小Л1aLN iWai 附 аз第異一 小Л1aL.)]•.)]•(2.31)(2.31)где
о 1 2 3 4 5 6 kd
о 1 2 3 4 5 6 kd
Рис. 2・12・ Функции активной ? и реактивной 耍 мощностей, cos у = ?/К?2 + ф2 в двусто
Рис. 2・12・ Функции активной ? и реактивной 耍 мощностей, cos у = ?/К?2 + ф2 в двусто
роннем симметричном экране
роннем симметричном экране
от толщины d для материалов для (Fe) Pt= g/洋 I Hms
от толщины d для материалов для (Fe) Pt= g/洋 I Hms
в зависимости с р, = const н
I2; Q『
в зависимости с р, = const н
I2; Q『
Рис. 2.13. Функции активной т} и реактивной у мощностей, cos Фвт}/(Л2+Х2)» в двустороннем антисимметричном экране в зависимости от толщины d; R% Rx — коэффициенты изменения активного н реактивного сопротивления при переменном токе; Р1=刀]/ 器 l"ms 件；Qi ==Х!/ 费^"ms 卩
Рис. 2.13. Функции активной т} и реактивной у мощностей, cos Фвт}/(Л2+Х2)» в двустороннем антисимметричном экране в зависимости от толщины d; R% Rx — коэффициенты изменения активного н реактивного сопротивления при переменном токе; Р1=刀]/ 器 l"ms 件；Qi ==Х!/ 费^"ms 卩
Emsp 6rlz+ еМ 瞩2十
Emsp 6rlz+ еМ 瞩2十
N iWai 附 аз第異一 小Л1aL
N iWai 附 аз第異一 小Л1aL
.)]•
.)]•
(2.31)
(2.31)
Nl2 = 1 十 M]2 = 2Zz/(Z] + Z2)j 必尸 2ZJ(Z—Z2);
臨8 = Z — ^2)/(28 + 22)；
M^iZ.-Z^Z. + Z^ ^msp = Z i"msp，E^js = ^msp + 石侬。 =(1 + Л112) Emsp = NJgp.
Волна в среде 2 представляется суммой волн, перемещающихся вправо, Етзр—^12Qe -г *г и суммой волн, перемещающихся влево, Ems/M2M2зое - nd), в результате
Eg ⑵=Е 開spN、z = — е14(d-z)+ 加2眠一门(d-z) /異一m2ML異
При допущении Zi》Z* Z3》Z2, Z2=a/v получаем выражения
Рис. 2.14. Суперпозиция отраженных и проникающих волн в экранеРис. 2.14. Суперпозиция отраженных и проникающих волн в экране. Волна в среде 3 (zAd) образуется вследствие наложения поля EwspNg проникающего в среду 2, а также его многократных отражений в среде 2 (EmspM2a), приобретающих на поверхности z—d со стороны среды 3 равнодействую-
Рис. 2.14. Суперпозиция отраженных и проникающих волн в экране
Рис. 2.14. Суперпозиция отраженных и проникающих волн в экране
шее значение EmspN 12^~г^^2з и перемещающихся вправо с направляющим коэффициентом ^一门伊一内
Eg (z) = E^pN^^N^-1'*( j)=
=EgspN 瀏、з=EgspN 瀏、зef нт)；e2r2d —M23M2ief нт)；e2r2d —M23M2i(2.33)
=EgspN 瀏、з
=EgspN 瀏、з
ef нт)；
e2r2d —M23M2i
ef нт)；
e2r2d —M23M2i
Мз = 1 + 臨3 — 2Z8/£ + Z?).
Магнитные составляющие волны в отдельных средах определяются из второго уравнения Максвелла и (2.31)-(2.33)
"询=一丄字，i=1, 2, 3.
/сои? dz
(2.34)
Аналогично, используя коэффициенты Л40тр, N”p, а также суперпозицию о» отраженных волн, бегущих вперед产 и назад е「产 в пределах каждой среды (i=l, 2, 3, ...» п) (рис. 2.15), можно ввести общие рекуррентные формулы для исследования поля в произвольном слое n-слойного экрана.
Пример 2.4. Определить демпфирование экрана, дБ, защищающего окружающую среду от поля радиоэлектрических помех, генерируемых электрической машиной.
Решение. Экран является симметричным четырехполюсным, тогда эффективность затухания или демпфирования
人=20电a =
=20电1士生约上
I**23
поскольку из (2.31)—(2.33)
Egl — ^mi(2 = 0)=七加(z = 0)=
『氨+〃230一r義 .
er»d—M21A42ae-rid，
Ju = Eg (z = d) = Eg (z = d)=
=EmspN、z end-；：%4se—M •
Если по обе стороны металлического экрана расположен диэлектрик, то Z3=Zi^>|Z2|, тогда М2з = =1 ； “23 = 2； 「2 = @= (1+j)左；& =
— у(о^/2 и
人=20 lg] ch а&] =
=101g (ch2 kd — sin2 kd).
При больших частотах 左d》l; таким образом, sh kd^ch kd^ ^ l/(2eAd) и ослабления, дБ,
Ae— ICHgC/F^ — sin2 kd).
Рис. 2.15. Принципы общего волнового метода расчета п-слойиого экрана, иа который падает плоская волна нз пространства z<0
Аналогично определяется коэффициент демпфирования для составляющей поля Н
/〃=io 眩[^^с/е〃+sin2 Ы)]
Метод аналогии с длинной линией. Этот метод позволяет рассчитывать и проводить аналоговое моделирование при помощи простых электрических контуров для электромагнитных процессов, возбуждаемых плоской волной к многослойных экранах (см. рис. 2.5). Метод основывается на формальной аналогии волновых сопротивлений и кривых u, i в длинных линиях и волновых сопротивлений (II .25) и кривых £ и Я в экранах.
Волновые уравнения (1.10), (1.11) в иеидеальиом диэлектрике
для синусоидальных полей 〃 = =Н^^ и плоской волны (рис. 2.5) можно представить в форме
0ЕМ^2 =「Е〃； d2Hmidz2 = VHm， (2.35)
гдег=匕叩(Y + 扣2),
Поскольку для длинной линии (рис. 2.16) уравнения формально имеют ту же самую форму, получаем
d2Ujd^ = Z^JJ;炉//公2 = 2¥/
(2.36)
где Zq=Tq+jcoAq； Yo—go + /соСо —
полное единичное сопротивление и единичная проводимость линии.
Используя чисто формальное подобие уравнений (2.35) и (2.36), можно получить соответствующие уравнения длинной линии и электромагнитного поля (табл. 2.2).
Пример 2.5. Используя метод аналогии поля с длинной линией, спроектировать двухслойное покрытие стальных стенок, уменьшающих отражение от этих стеиок радиолокационных воли частотой 3000 МГц 3=c/f= 10 см).
Решение. В соответствии с теорией длинных линий отражеииая волна не появляется, если на конце линии подключается сопротивление^ равное полному волновому сопротивлению линии (так называемая согласованная нагрузка). Аналогичный процесс происходит с электромагнитной волной, если стенка, иа которую падает плоская волна, будет иметь входное полное сопротивление Zbx, равное полному волновому сопротивлению Zi среды, из которой волна падает, т. е.
7 — 7•
厶 6х —а пай，
=377 Ом.=377 Ом.апад -乙1 -乙。 —апад -乙1 -乙。 —
=377 Ом.
=377 Ом.
апад -乙1 -乙。 —
апад -乙1 -乙。 —
В соответствии с этим коэффициент отражения от поверхности / (рис. 2.5) Mi2 = 0 (табл. 2.2, строка 9).
Считается, что экран d выполнен из тонкого слоя графита с про-
Рис. 2.16. Элемент длинной линии с распределенными параметрами как модель волновых процессов в экранах
о Таблица 2.2. Уравнения, описывающие длинную лннню И плоскую электромагнитную волну
№
Однородная длинная линия (рис. 2.16)
Плоская электромагнитная волна (рис. 2.5)
1
d^ld^^Z^^ d2//dz2=Z0r0/
产品Jd评=Р％
dZHmM = PHm
2
u=冬十十块"
Em = Ле~Гг -j- 8e「“
3
Zq =厂。+ jsLq； У。= go + /wCq； Y = u "Ь /Р = |/"Z()^o = = !/(“ + 24) (go + MJ
Y = ——постоянная распространения; a = ——постоянная демпфи- 22
b ровання; p = — — фазовая постоянная
r = /WMy + 2) = w + /伊
a'=3j/ 子(У-J；
Р=з/写 W +昼+1)
Fd=/s|/坪 一в диэлектрике; 兄紀丁 = a = |/沁出丫 = (1 +/)/；
& = p^металле
4
/ = ——(4eT —Bel )
"切=—丄{А^-В^}
/wp. dzZ
5
Полное волновое сопротивление линии (характеристическое полное сопротивление):
общее Z/ = J/Zq/Yq = | Z, | e'°
для постоянного тока Z,.片尸 |/R詆°
на больших частотах Z,,『小=|/Lq/Cq； Z/, f=0>Zlt /=r00
Полное волновое сопротивление среды (характеристическое полное сопротивление) :
,с 7/3科Г
оэщее Z ——
Г Y + jse
в диэлектрике Zo =
7仪О + /)归A e 4I
в металле ZMeT ——力丨厶мет 1
6
Длина н скорость волны 入= 2л/0;入f==co/0
Длина н скорость волны 入=2几/4；u = Af = 固h
7
Напряжение и ток в произвольной точке z линии при данных U» /2 на конце линнн
U = U 2 ch уг + Z“2 sh уг
1
/ = — ^2sh fz+ /2 ch 丫2
Поле внутри экрана при данных значениях Ет и и Нт н на противоположной поверхности экрана
Ещ = % н ch Гг + ZHg 口 sh Гг
1
Нт =% п sb Гг + Нт Г1 ch Гг
в
Входное волновое полное сопротивление линии
7 U* — Z? + Z[ th 丫【Z? + Zrx . к
BX 一 厶 _ I ZethYZ + Zjyx’x Zz + Z*x
Z2 — нагрузка на конце длинной лиинн; ZBX t X=Z/ cth у/—входное волновое полное сопротивление линии в режиме холостого хода (Z2Tоо, Z2 = 0); ZBx,K=Zfthy/ — входное волновое полное сопро- тавленне лнннн в режиме короткого замыкания на койне (Z2 = 0,
Входное волновое полное сопротивление экрана
7— ? Z§ + Z th Ed「Z3 + Zrx. к
“Z/hrd + Z "вх,х Zs+Zbx,x
Z3 — волновое полное сопротивление среды за экраном толщиной d; Zrx, х = Z cth Fd — входное волновое полное сопротивление экрана прн 厶 т оо н Нт и = 0; Zbx , к = Z th Fd— входное волновое полное сопротивление экрана прн Z3 = 0 н Е^ 口 = 0
9
Коэффициент отражения волны от нагрузки Z2 на конце лнннн
."0Tp'Р1rp _ Zz — Zi 一2壮
J “ /пад Z2+Z1 е
Uorp, С/пад, /吨，7nад——напряжения н токи прямой н обратной волн в произвольной точке лниии
Коэффициент отражения волны от поверхности полупространства (рис. 1.3) прн г= 0
Е°тр 一 一 "отр — Z* — Zi — Zup -^цад “В Е^ад"лад Z2 + Z] Zup + 2пад
Коэффициент О1ражеиня от многослойного тела (рнс. 2.5) прн г= 0
土вх 十 /над\/г=о
водимостью 丫2=0,1"1°6 См/м, диэлектрик а имеет относительную проницаемость егз=2,5. Тогда
Z = 2мет = (1 + j)(电/丫 J《Z/
Г == а = (1 + j)网；
_/ ^Г^ЮО • 108 • 4几• 10-? • 0,1 • 108—
= 3,49・104мт.
Поскольку ^d《l, тогда thrd* r rd = (1 十 j)財d;
2, = Кр^=377//2^= 238,4 0m.
Из условия Zbxii = Zo получается
zO+jW_+jZA_z
/(1 +i)k'A + Z~ 1
《Z; 4 = tg(2na/%);
где加=无J八《
Z 加(Z —左'4) + 炉4(G‘ + Z4) + ：
(Z —加4产+*
，+/【(々' + Z4)(Z—炉 4)—他阕 z
f+仅'4)2~ ,
Вполне очевидно, что мнимая часть равняется нулю. С учетом того, что^^/Л и "《Z, получаем ZA (Z—紀4)-炉2{q0； Z^Zf^A^ откуда
Входное полное сопротивление экрана (табл. 2.2, строка 8)
A = tg —a
人3
Z
储/h
238.4
i?5.而
ZbxI = Z
Za + Z th Fd Z3 th Fd + Z
=Ex
X
Zs + (l+j)&(l + j/zd z^ + n^d+^+j)-^- 丫 2
~a十吟
Zg( 1 + j)Ed
=M・
Из условия Zbx i=ZnaA получается 1/(у2d)=Zq, откуда d=l/ (377X XO.1-106) = 2,66-10-8 м 2,7 X X 10~5 мм. Следовательно, выполняется условие A2d=3,49- 104-2,66X ХЮ-8=9,3-10-4<^1.
Аналогично рассчитывается входное полное сопротивление изоляционного слоя а (см. рис. 2.5) между экраном； и поверхностью III стальной стенки 4.
В этом случае Z=Z3=238,40 м; Z4 = Zpe = 04/74 = (1+/)2,5 X Х10~6 Ом;
Г = /со p^fie = jw/v =『露加他； th fa = /tg (2加/4)a；
2axil =Z
Z« + Z th Га— Z^thFa + Z—
Z Z4 + jz tg(2?M/%)
/Z« tggna/入J +Z'
= 95,4.10» 10«q.
Затем 2ла/13 = arctg Ю8 ^ л/2, откуда толщина изоляционного слоя должна составлять а= =%3/4=U3/(4f)三〃(4 HR)= = 3 • 108/(4 /需• 3000 • 106) = =0,0158 м= 1,58 см.
Аналогичным образом можно рассчитывать внутреннее покрытие стенок помещений (например, лабораторий) с целью исключить внутренние отраженные волны или стоячие волны, генерируемые источником, находящимся в этом помещении. При некорректно выбранных размерах корпусов и оболочек электрических машин между машиной и оболочкой может возникнуть резонанс волн поля радиоэлектриче- ских помех в форме стоячих волн, которые будет усиливать антенное действие выводов. В этом случае необходимо использование действенных фильтров, блокирующих сеть от источника помех.
2.3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЭКРАНЫ
Цилиндрические экраны используются для защиты шин и проводов. Такие экраны находятся под действием собственного поля шины и сторонних нолей. Наиболее типичным
ские экраны:ские экраны:а — в периферийном поле; 6 — в осевом магнитном полеа — в периферийном поле; 6 — в осевом магнитном поле(2.38)(2.38)Рис. 2.18. Коробчатый электромагнитный экран в равномерном полеРис. 2.18. Коробчатый электромагнитный экран в равномерном поле
ские экраны:
ские экраны:
а — в периферийном поле; 6 — в осевом магнитном поле
а — в периферийном поле; 6 — в осевом магнитном поле
(2.38)
(2.38)
Рис. 2.18. Коробчатый электромагнитный экран в равномерном поле
Рис. 2.18. Коробчатый электромагнитный экран в равномерном поле
примером цилиндрического экрана являются трубы, находящиеся под воздействием переменных периферийного контурного или осевого полей (рис. 2.17).
В решении обеих задач существует аналогия, поэтому они представлены вместе в табл. 2.3. При решении в таких случаях широко используются функции Ганкеля [2.3]
乩⑴⑶= l“(z) + /N〃(z);]
Н户⑵=1〃 ⑵一j№(z), J ；
где In(2), М(2)— функции Бесселя и Неймана n-го порядка; z=x+
— см. [2.1].
Важность функции Ганкеля Нп(2) для практического применения при определении постоянных С на основе заданных граничных условий (табл. 2.3) заключается в том, что эти функции единственные среди функций Бесселя приобретают нулевые значения при бесконечных значениях комплексного аргумента 2 [2.2, 2.3]:
При 2—8 Н〃С)(2)— 0, если Im z >0;
при 2—>оо Hj2)(z) 一0, если Iniz <0.
В других случаях обе функции будут возрастать до бесконечности аналогично экспоненциальным функциям [2.3], причем Нп⑴(z) напоминает функцию e」z, Нп(2)(2)— функцию е~/г.
Если переменная z является действительной величиной (2三尤)，то функции 1п(х) и Nn(x) аналогично тригонометрическим функциям имеют колебательный характер.
КОРОБЧАТЫЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЭКРАНЫ
В простейшем коробчатом экране, размещенном в равномерном синусоидальном поле ЯВш (рис. 2.18), при размере /》2R в первом приближении можно пренебрегать граничными явлениями, обусловленными конечными размерами короба. Анализ проводится по одномерному уравнению (1.10) в виде
^Hi/dz^V^H^
「=力叫 d+jteq),(2.39)
где i= 1, 2, 3.
Если пренебречь токами смещения гд D/д t9 то Г1 = Г3 = 0; Г2= =а= ]/ %卩2丫2= (1 + j)瓦 Общее решение (2.39) для отдельных участков i=l, 2, 3 (рис. 2.18) имеет вид
/У】=儿2 + %; ^a = В^г + 民e-弋
& =(?/ + &•(2.40)
Таблица 2*3 Расчет электромагнитных цилиндрических бесконечно длинных экранов
№ п/п.
Периферийное поле Н (рис. 2.17, а)
Осевое поле (рис. 2.17, б)
Уравнения внутри стенки экрана (общие)
1
d/de = 8/8г=0; нт = нт
Нп=\Нт\^н-, Ет = Ет^1
2
fOt Нщ = /т； Tot Ет = —(аа/у)Л/т
3
▼'Em ~ а^^т»
寸 Hm = GH 1n
4
а = 1/ 了3|1丫 = (1 + j)k =丿2& J 1t/4； k = 1 /6 = 1/ зр/у/2
5
p = t\f — «2 = jar =e — (1 —
./)Йг = х/ УГ = —X е- / 叫4叫
6
у =吸ir
== |/ 3出y
Граничные условия системы
7
Hr = Hz = 0; £「= J = 0
Нг = Нц = 0; Er = Ez = 0
8
Нц = H Ez= E
Hz = Н Eg = £
9
"mQ = "m(%) П |/2〃(2仃%)
〃m(Ri) = ^ms
Уравнения Бесселя (нулевого порядка)
10
k+；k=a%
d吋m 1 1dHmg
/ ；dr
Общие решения [1.22]
Em = С】Iq (р) + С、Nq (р)=
Hm = C^ I0(p) 4~ Ce N0(p)=
=心卦1)(?)+ &用2)(?)
= C,H(1)(p)+C8H(1)(p)
11
& = %(&—/G)； c^^i^c. + jc^
Решение уравнений через функции Кельвина (Томсона), для которых су шествуют таблицы:
Функции Бесселя н Неймана нулевого порядка
12
」。(尸)=%(对元)=ber%+ jbei%
13
N0(p) = N0(x/ Kj) = yer %+ / yer x=—^bei x + — kerxj + j (ber%—— kei*)
Сопряженные функции Ганкеля нулевого порядка
14
Hf)(р) =Н$)(xj ^j) = her х + j hei x =— (kei x— j ker x)
15
H俨(p) = н俨(Xj 1/7) = 21。(尸)-H*S) = 2 (berx -： kei x) +
+ j2 (bei%+丄 ker%)
Продолженис табл. 23
№
Периферийное поле Я (рис. 2.17, а)
Осевое поле (рис. 2.17, б)
Вторая составляющая поля после
подстановки решения (11) в (2)
16
1 dHm
Нт = ~ —= a3 dr
Em= -3=
Y dr
= -j/± 叫 Н$1)'(р)+С4Hp'(尸)]
=一 /平心用1)’(p)+ 4用2)'(p)],
2
глеH<1>，(p) = y (
kei'%—j ker'%);
Н 旷(р) =2 卜 el %—— kei
，乂) + j2 (bei” + ^- ker* x^
Условие определения постоянных
17
При № 0, ber х = 1, bei х = 0, beJ% = 0, bei*% = 0
х = 0; kerx =4-00； kerzx =-
При г = & 〃т = 〃(Т叫)
Для открытой трубы конечной длины при /• = Ri "m= "(|/^叫)
-oo； keKx =0
Для бесконечно длинной трубы при г = =Ri //m = ^m0―'равно начальному окружающему полю
Для трубы конечной длины прн г = R】 Hms = "m@ —NJ f, где //—намагниченность; ^ -^- коэффици-
Для трубы бесконечно длинной или замкнутой величина ^ml определяется из граничных условий после расчета поля для наружного пространства из уравнения V2^m Вщ=0 Н условия Ет Вш=° при Г-юо
ент размагничивания
Поскольку при 2f 8 HifH# #8, то Л1=0, Л2=ЯВш, откуда Я1 = ЯВш. Это означает, что экран не вносит искажений в наружное поле.
Для внутреннего участка из условий симметрии Н(2)=Н (—2) следует &=0, &=Нвт, откуда Нз = Явт. Следовательно, поле внутри экрана также является равномерным.
Внутри стенки экрана в соответствии с (1.3) rot Н=уЕ; Ех = =十_^, откуда
邑= (a/Y)(3 伊2一3片7). (2.41)
Для внутреннего участка в свою очередь из (1.4) следует, что rotE =—加卩冃；dEx/dz = /соцЯу, тогда
%=，明""+e (2.42)
Поскольку Ез(2)=—Ез(—2), то в (242) постоянная С=0. Из условия равенства касательных составляющих Н и Е:
для z = R-\-d
8俨低+内+ Вe"® 便+d)= "皿；
для z = R
BgaR + B^^ = //w；
для z = R
Bg吹 + Bae-®^ — RH^.
(2.43)
После решения системы уравнений (2.43) определяется коэффициент экранирования
Явт1
Рн = — ，
ЯВЩ — ch ad + (a^/Hf)3h ad *
(2.44)
69
Используя обозначения симметричных четырехполюсников в виде Явш/Явт = ea+Jft=ea(cos Ь+j sin b)t где a — коэффициент подавления в пространстве, b — фазовый коэффициент в пространстве, находят эффективность экранирования в неперах (1 Нп=8,686 дБ)
Из (2.44) получаются приближенные выражения для экранов других форм:
при малых частотах (dV6= =М 2/(叩 у)
"=叫制=也嘉"
~十叩+(墻竺井(2.46) при больших частотах (d>6)
a =+ 与
|"вт I 82|/2Ы
(2.47)
при этом для коробчатого экрана (рис. 2.18) /п=1, D=2R, для цилиндрического экрана (см. рис. 2.17) т=2, Q=2Ro, для шарового экрана /п=3, D—диаметр экрана.
При помощи (2.46) и (2.47) можно решить обратную задачу — нахождение толщины экрана при заданных эффективности а и диаметре D：
Пример 2.6. Измерительное устройство, размещенное в плоской деревянной коробке глубиной 20 см, необходимо экранировать от наружного поля помех при помощи алюминиевого листа. При частоте f= = 100 кГц коэффициент подавления должен составлять а=6,9 Нп, что соответствует коэффициенту экранирования ]р^ |=0,001. Необходимо рассчитать толщину листа экрана.
Решение:
2
— у 2п 100.10«.0Л^* 10^8-34.108
=0,265-10-3 м = 0,265 мм.
Из (2.47)
d = 3=
L ц 2l/TwS j
=0,265 [б,9 - Ini —tJ^]=
L2 |/2.1.0,265 J
=0,348 yo,4 ivim.
При изготовлении экрана следует обратить внимание на то, чтобы в нем не было щелей, поскольку в противном случае требуется эффективность экранирования не получается.
МАГНИТНЫЕ ЭКРАНЫ
Магнитные экраны, называемые также магнитными шунтами, предназначены для отведения мешающего магнитного потока из защищаемого пространства. Для переменных полей магнитные экраны изготовляются шихтованными из электротехнической стали.
Продольные экраны. Простейший метод расчета продольных экранов для поля переменного тока (рис. 2.19) основан на использовании магнитного закона Ома. По схеме замещения делаются следующие условия экранирования [122].
Если МДС Fmi, действующая вдоль экранированной стальной стенки, постоянна, то потери в экранируемой массивной стенке остаются после экранирования неизменными, т. е. такими же, как и перед экранированием.
Если полный поток Фт1 в стали остается после экранирования таким же, как и перед экранированием, то поток в массивном стальном элементе уменьшается в отношении
° = 6msi 一 Rc
① FRei + R$1
1 + (1 +/)也—
У
£/77 /
力ЕУ %”
分7G必用学7中
а потери мощности уменьшаются приблизительно в отношении
二 Fmsi I2
Рр Q ~ф- Q 77=R тг *
心何 I(/2 + П)2 + n2 〃
(2.49) где n — число листов трансформаторной стали толщиной 0,35 мм в экране, толщина которого d= =0,35几；6=)/2/ (①卩y) — эквива
лентная глубина проникновения поля.
Поперечные экраны. Экраны, размещаемые поперек линий магнитного потока (рис. 2.20), являются, несомненно, менее эффективными, по сравнению с продольными, особенно если защищаемое пространство имеет большой объем
Например, относительная толщина d/Квт магнитостатического цилиндрического экрана в зависимости от требуемого процентного ослабления поля /Ibt=(”b""z) 100% внутри экрана составляет [1.21]
Rs，1—4( 100 — Лвт)/(НЛт)
(2.50)
Плоские магнитостатические экраны в двумерном поле. Поле единичного проводника, расположенного вблизи стальной стенки (рис. 2.21,а), можно представить с помощью равнодействующего поля бесконечных последовательностей эквивалентных отраженных токов [1.22]. В соответствии с теоремой зеркальных отражений (см.
Рис. 2.20. Эффективность магнитного экраиироваиии в зависимости от толщины d стенок и диаметра D цилиндрического поперечного экрана
"忘洋2df
@
££・w中/ 飞¥工介
爲个罩0—一
0二q
EZGW-W 中/ 竺
1£e--/-2
三岳曝
Рис. 221・ Определенне поля проводника вблизи стальной плиты：
а — действительная система; 6 — токи, возбуждающие поле в пространстве /; в — токи, возбуждающие поле в экране 2; г — токи, возбуждающие поле в пространстве 3 [1.22]
рис. 1.8) на основе первого отражения тока i в плоскости 2=0 (рис. 2.21), можно описать поле в пространстве / с помощью тока i и его отражения М^ размещенного в точке (а, 0), а поле в пространстве 2 с помощью тока mi в точке (—а, 0), причем
М=上匸J m = l — м=
Р-2 + ШP-a+Hl
(2.51)
С другой поверхностью экрана (z=d) граничит теперь непосредственно поле фиктивного тока в экране 欣.В поверхности z=d отражается только ток mi, создавая в экране 2 поле, которое является суперпозицией полей токов mi в точке (—а, 0), а также Mzmi в точке (a+2d, 0), причем
Mj = (Pa — »2)/(% + %)・(2.52)
В пространстве 5 возникает поле дополняющего тока, размещенного в точке (—а, 0), причем
%=1 — М = 2%/(% + %).(2.53)
Ток 私加 в свою очередь отражается от поверхности 2=0, создавая поле в экране 2 последовательностью фиктивных токов mi, Mzini, а также MiM2fni=—MM2fni в точке [—(&+2d), 0], причем
Mi = g —隔)/3i + 卩2)= — M. (2.54)
Одновременно поле в пространстве / становится суперпозицией полей токов г, Mi от первого отражения, а также фиктивного тока 7nlM2加 в точке (a+2d, 0), где 加1 = 1= 1 + m = 2也/(n 2 + %)，
(2.55)
Рассматривая аналогичным способом последующие отражения, устанавливаем, что в пространстве / поле образуется рядом фиктивных токов i, Mi, M1n一1〃2nmimi (рис. 2.21,6), размещенных на оси z соответственно в точках (—а, а) и также (。+2欣)，где л=1, 2, 3, причем все пространство заполняет среда J с проницаемостью 卩卜 Поле в экране 2 создается двумя последовательностями токов (рис.2.21,в), размещенными в среде с проницаемостью 卩2. Поле в защищаемом пространстве 3 (рис. 2.21,г) образуется последовательностью токов M}nM2ntn2tni, размещенных в точках (a+2nd) на оси z, где п= =0, 1, 2, 3,...» причем все пространство заполнено средой с проницаемостью 卩3.
Поле в произвольной точке исследуемых пространств является суперпозицией полей от всех фиктивных токов данной последовательности (рис. 2.21).
Нормальная составляющая индукции от единичного проводника (рис. 2.21,а) на поверхности экрана (z=0) имеет в соответствии с законом Био — Савара и принципом суперпозиции значение
&®) =翁卩+М)冷+
ОО*
I 乙 11 (a + 2nd)2+ 炉
rt=I」
(2.56)
Поле 8 экране от пари проводников. Нормальная составляющая индукции от пары проводников (рис. 2.22) на поверхности экрана (2 = 0)
&®)Т[а+м)(卄
X[ m + 2“d)2 + g2-3+ 2田2十4 ]}•
(2.57)
Рис. 2.22. Поле пары проводников на поверхности стального экрана.Рис. 2.22. Поле пары проводников на поверхности стального экрана.Часть потока от пары проводников, проникающих в экран на высоте I/ и на единицу длины проводников [2.9]
Рис. 2.22. Поле пары проводников на поверхности стального экрана.
Рис. 2.22. Поле пары проводников на поверхности стального экрана.
8
①cz ®)二 J & (у) dy =
二巫（14-М）In二巫（14-М）In加+炉a?+g2加+炉a?+g2+気的1臨出加111 “ + 2M户+驴.
二巫（14-М）In
二巫（14-М）In
加+炉
a?+g2
加+炉
a?+g2
2 1(a+2M产+炉
n=l
(2.58)
Если принять, что магнитная проницаемость экрана 口2》口卜 то MqI и mH Тогда поток, проникающий в экран в пункте у,
我 z®)u*ln 芸督(2.58а) а2 + 屮
Полный поток, входящий в экран 2 через поверхность г=0, получается подстановкой у=0 в (2.58) или (2.58а)
Гоо
$工=号^ in -^-+ ^Л^М^т In X
乂 b+ 2mdа + 2nd乂 b+ 2mdа + 2nd^旦Lin上 л а^旦Lin上 л а(2.59)(2.59)Нормальная составляющая индукции на противоположной стенке экрана 2, со стороны среды 3, всо- 73
乂 b+ 2md
а + 2nd
乂 b+ 2md
а + 2nd
^旦Lin上 л а
^旦Lin上 л а
(2.59)
(2.59)
[a + (2n+l)d]^ + y^[a + (2n+l)d]^ + y^[b + (2n + \)dy + y^[b + (2n + \)dy + y^(2.60)(2.60)(2.61)(2.61)
[a + (2n+l)d]^ + y^
[a + (2n+l)d]^ + y^
[b + (2n + \)dy + y^
[b + (2n + \)dy + y^
(2.60)
(2.60)
(2.61)
(2.61)
ответствии с рис. 2.21,г при z=i/ впЛу)=^^^^м^х м=0
Полный поток, проникающий в пространство 3 через поверхность z—d, на единицу длины проводника
①『煤±£屮%“]6
6+(2〃十 l)d
X。十(2〃 + \)d '
Для пары шин высотой L (см. рис. 1.11) или при большем числе проводников для определения нор
мальной составляющей индукции на поверхности экрана можно применить принцип суперпозиции, используя (2.57) и условие
£/2
BnL(y)= J Bn(y + l)dl. (2.62)
—'L/2
Описанный метод можно использовать также для анализа переменных токов [2.29] (см. рис. 2.19).
Если пространство5 (рис. 2.21,а) является массивной толстой стальной стенкой (например, стенка бака трансформатора), то основой расчета потерь мощности и потока в этой стенке в соответствии с (1.21), (1.17) и табл. 1.1 является касательная составляющая Ht3=Hms на поверхности z=d, которая рассчн； тывается на основе закона Био — Савара аналогично нормальной составляющей индукции по (2.57).
Глава третья
ПОЛЯ ВОЗБУЖДЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Задачей технической электродинамики применительно к электрическим машинам и устройствам является разработка методов расчета при проектировании новых машнн и расчете основных конструктивных узлов существующих машин, определении локальных перенапряжений машин во время эксплуатации (силы, локальное превышение температуры), расчете сосредоточенных параметров А н М математической модели электрической машины.
Известные методы расчетов электрических машин, основанные на законах и уравнениях цепей (Ома, Фарадея, Кирхгофа), по мере развития знаний уточнялись при помощи все большего числа поправок, корректирующих коэффициентов, вспомогательных таблиц. Благодаря этому достигается значительное соответствие расчетов с экспериментальными результатами в области установившихся режимов обычных машин и трансформаторов.
Методы эти, одиако, часто неприменимы для новых разработок в области машин и трансформаторов большой единичной мощности (200, 500, 1200 МВ • А) или нового принципа действия (криогенераторы, беспазовые машины, линейные двигатели), большой степени использования материалов 74
(при локальной концентрации поля, анизотропии, экранировании) или большой точности реакции иа возмущение (элементы автоматики). Поэтому возникает необходимость создания новых методов анализа и расчетов, основанных на общих принципах электродинамики.
Повышенные требования и сложные условия эксплуатации вызывают в существующих машинах все большие тепловые и динамические перенапряжения в условиях перегрузок, перевозбуждений и случайных динамических режимов.
Следующей важной задачей технической электродинамики, значение которой существенно возросло, является разработка формул расчета индуктивности и активных сопротивлений проводников и обмоток в матричных уравнениях динамики электромеханических преобразователей энергии. Структурно математические модели электромеханических преобразователей достигли уже значительного уровня отображения [4.12, 5.16, 4.18]. Этого, однако, нельзя сказать о расчете параметров, которые в этих моделях часто определяются упрощенно —без учета влияния тепловой и магнитной нелинейности, поверхностного эффекта, магнитной асимметрии н т. п.
ВРАЩАЮЩИЕСЯ ПОЛЯ В ЗАЗОРЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ МАШИНЫ
Магнитодвижущая сила однофазной обмотки. Распределение нндукцнн в зазоре электрической машины оказывает решающее влияние на свойства машины. Зависит оно от распределения МДС в зазоре н вдоль контура якоря, т. е. от распределения проводников н токов на поверхности статора н ротора, а также от размеров зазора. Несколько меньшее, но достаточно существенное влияние оказывает насыщение магннтопровода, анизотропия листов сердечника и т. п. Вследствие нелинейности магнитопровода индукцию нельзя определять по принципу суперпозиции полей, создаваемых отдельными токами и обмотками. Однако можно складывать МДС проводников н обмоток. Поэтому анализ МДС считается основой исследований н проектирования распределения полей в зазоре.
Неравномерный зазор. В соответствии с законом полного тока ^ffd Z= iw сумма z
магнитных напряжений для силовой линии магнитного поля, проходящей через точку х на контуре машины (рнс. 3.1), равняется
НЩ + /£' + 工/ex /х =汕，(3・ 1)
где з ——число витков.
Поскольку проницаемость стали jFe》 》Мо, можно в первом приближении при
нять для каждой нз силовых линий Е”Ре%е = 0, откуда
H'pK + H；$；N^.(3.1а)
Поскольку возбуждающая МДС iwr не сконцентрирована, как на рис. 3.1, а непрерывно распределена вдоль якоря в форме линейной токовой нагрузки Л(х,力 А/м, переменной во времени н пространстве, то (3.1а) приобретает интегральную форму
"о (0 50 (0 + Н (х, /)% ⑴弋
nJ А (%, f) dx.(3.16)
о
Тогда индукция в зазоре машины в произвольной точке х н для произвольного момента времени f описывается уравнением 8р (%，0 弋
А (х, tyd^^H^ (Обо (0 ,А (х, tyd^^H^ (Обо (0 ,
А (х, tyd^^H^ (Обо (0 ,
А (х, tyd^^H^ (Обо (0 ,
(3.2)
где Яо(О =Я(0, 0); 6о(О =6(0, 0)— начальные значения; Bx(f，=b(x, /) — длина зазора в точке х и прн положении ротора 9t (рнс. 3.1).
Зависимость (3.2) является основой формирования поля в зазоре. Например, в синхронных машинах явнополюсной конструкции желательно иметь распределение индукции под полюсом Вр(х) =ВтРХ Xcos (пх/т), 3=0. Подстановкой этой за-
Рис. 3.1. Магнитодвижущая сила укороченного витка S/t=0,615
висимости в (3.2) находится требуемая форма зазора под полюсом
(3.4)
” СОЗ (пх/т)
Равномерный зазор. В большинстве случаев (за исключением реактивных двигателей, явнополюсных синхронных машин, специальных машин) можно считать зазор равномерным, т. е. б(х, ^) =6S = const и шаг витка S。％ тогда в (3.1)才рж— = 〃"「н = Нр и индукция в зазоре
Виток с диаметральным шагом. Для витка с диаметральным шагом и витка с небольшим укорочением (Sqt) распределение магнитного напряжения и индукции вдоль оси х становится периодическим (рис. 3.1), и его можно представить в форме
“№ f)
4 w*
，•:0'_出0/^ 一 п0
8P (x)R№ 所=Ff=阪％
(3.2а)
3
1
^~ i (/) ( cos —x —
h 2\个
cos 3 — x 4cos 5 — x —工5t
где Ри = 2upb=iw,— МДС; % — магнитное напряжение в зазоре в точке х; bi — =j也с — расчетная (идеальная) длина зазора; kc — коэффициент воздушного зазора [3.8],
々c = f/(fi-Yb), (3.3)
(М)2 陋
ПрИ，еМ 丫=耳亦；= Т ~Па' зовое деление по расточке статора диаметром D и числе пазов Z;瓦一открытие паза (см. далее табл. 4.1).
При полузакрытых пазах (см. далее рис. 4.8) обычно fee =^ 1,05-^-1,1, при открытых (рис. 4.5,6)—kc = l,^ 1,3.
Как следует из (3.2а), при Цре=оо и 6* = const индукция в зазоре имеет постоянное значение, пропорциональное магнитному напряжению и^ . Постоянная 画/6*=九6 является единичной магнитной проводимостью воздушного зазора.
Укороченный виток. Для укороченного витка S<t н 6х = const индукция В，「в зо- нс витка будет больше, чем индукция В〃р вне витка (рис. 3.1). Из условия равенства потоков 6=0)" следует B'»S= = В〃р(2к—S), откуда, принимая 〃\ + 十〃 "ix=i3‘=2 气，
——cos 7
7
1
...+ 0cos —% + …
4 必
cos ¥— х, (3.5)
где o=sin м(п/2) = 士 1; v= 1, 3, 5, 7,... …，oo — ряд гармонических пространственного распределения магнитного напряжения в зазоре.
Распределенная обмотка. Для обмоткн, распределенной в q пазах на полюс и фазу, магнитные напряжения отдельных витков можно складывать на основе суперпозиции (рис. 3.2)
4 0必 %■(*，')=_уу"‘)
-^созЗ—х + -^- СОз5—
3x5t
—cos 7 — %.
7 x
=1, 3, 5,..・，8,
(3.6)
где w = wfpq — число последовательных
витков в фазе; %、— обмоточный коэффициент для v-й гармонической поля,
%у = &pv&yv&cv,(3.7)
&pv— коэффициент распределения,
3.1.2. Несимметричные двухфазные обмотки. При произвольном простраиствеииом смещении а осей двух фазных обмоток (рис. 3.3) и при питании этих обмоток переменными токами 以，仃，сдвинутыми во времени иа произвольный фазовый угол 屮, равнодействующая МДС v-x пространственных гармонических является суммой МДС от обеих обмоток: % = kv ； 〃財“，при этом
здесь q — число пазов иа полюс и фазу; Q — число пазов на фазу (в трехфазных обмотках Q=3g, в двухфазных симметричных обмотках Q=2g, в однофазных обмотках со вспомогательной фазой Q=3g/2); / — коэффициент укорочения,
% = sin(v-^~|"); (3.9)
%A^ = Um^^ V—XCOS 3f
亍 U*v Г СОЗ (к + Т%) +
左с»— коэффициент скоса,
sin vy/2Н/2
(3.10)
+ cos(3 — v 二%)];
人历=%m产5 Y 仔 % 一 a)x
(3.14)
причем у 一 угол скоса паза относительно образующей ротора.
Времеиндя и пространственная амплитуда первой гармонической (v=l) равнодействующей МД С на пару полюсов, действующей вдоль оси обмотки, при переменном токе определяются зависимостью
Хеоз И -ф)=『2><
X Icos(3f+y」-% - ya —力 +
4-соз ((0/ - y% 一屮 + 加)];
Rn = 2^ти1 =
(3.11)
где一
Ug = "V 匕―*L F~ 丁 / •
(3.12)
2丿2 3%.
Um* =J
Л
a = sin v= 士 1；
2 丄
у = 1, 3, 5,…，оо.
(3.15)
Для v-й пространственной гармоническойДля v-й пространственной гармонической厶尸2%"“ =。丁磕и呻1厶尸2%"“ =。丁磕и呻1рис. 3.3. Несимметричная двухфазная обмоткарис. 3.3. Несимметричная двухфазная обмотка
Для v-й пространственной гармонической
Для v-й пространственной гармонической
厶尸2%"“ =。丁磕и呻1
厶尸2%"“ =。丁磕и呻1
рис. 3.3. Несимметричная двухфазная обмотка
рис. 3.3. Несимметричная двухфазная обмотка
Из (3.14) следует, что вращающееся круговое поле основной гармонической (v= =1) возникает только при условии равенства МДС обеих обмоток ^тиД1 = ^m^BX = ^mp.1 н сдвиге во времени иа уг。』屮，дополняющий угол пространственного сдвига а до л радиан, т. е,
a + 屮=тт.(3.16)
Суммарная МДС в зазоре
Г / f —
——х^—соз (з/^旦%+ 2а)]=
= ^ти1з1п 01 SE (зГ — — X + a) .(3.17)
Максимальная МДС возникнет при расположении обмоток под углом а==л/2, т. е. а=ф=п/2, тогда
НЦ1 = ^ти] СОЗ [sf —(5)х]・(3.18)
77
Подставляя a=W=?t/2 в (3.14), можно проанализировать распределение поля высших гармонических
以113V = i/2Um»Bv «os W，+ y (冗/工)x —
—(у + 1) л/2] + cos [со/ — v (冗/т) х + +(Y-1)冗/2]}.
то возникают следующие v-e пространственные гармонические фазы МДС в зазоре:
以廿庙у = и^нлуСЗ Y-^XC3 Y3f =
j/JwJcos ("3/ + v-^-x)+
Встречное поле в равнодействующем поле 以廿у =以廿 Av + 以廿 Bv исчезает, если cos[(o/+v(n/T)x—(v+l)n/2] = —cos (®f+ +v(n/x)x; (o/4-v(n/T)x—(v+ 1)л/2=(о^+ +v(^/t)x—(2也一1)л, k= 1, 2, 3, откуда следует, что согласные гармонические имеют номера Vw& = 4A—3=1, 5, 9, 13 ...
Если амплитуда полей U*» = %в尸 nUm^v и v=#2A, то равнодействующее распределение магнитного напряжения в зазоре, а также и магнитной индукции ВР
+ cos ( 〃cof — v -^- %
X -
%2“v = °тм” COS V
=Wmg |cos 加 + Y十X一
「
—(у + п) + cos 几cof —
他」 I
以И=](汉Mv +以卩bJ =
= £u,fCos(3f—”£x),(3.19)
2冗
-УX +(V -")：
“M =UmgCOSV
X -
причем o=sin v^/2=±l; v= 1, 3, 5, 7, 9 ...
Таким образом, каждая очередная пространственная гармоническая вращается встречно по отношению к предыдущей со скоростью, равной % = 土 и"» м/с, где У1=лПп1.
Если УтиЛ, ^ Um^ (а также прн v=2A), то присутствуют согласная и встречная составляющие всех гармонических. Это может иметь место в специальных машинах, а также в однофазных н двухфазных машинах малой мощности. Анализ полей высших гармонических, проведенный с точки зрения их подавлеввя или использования, играет важную роль, особенно в области электромашинных элементов автоматики.
3.1.3. Симметричные /n-фазные обмотки, пнтаёмые n-й временной гармонической симметричного /n-фазного тока. Если к фаз* ннм обмоткам тп-фазной машины, симметрично размещенным (см. рнс. 3.2,@), подводятся токн
,2л 1 Г
-(也--1) -- cos п со/ 一
-(e - b呷m X
X<cos zuof + ¥ — X — ( ¥ +
2大]「
+ n)(A — 1)1 + cos n^t —
—V % + (v —n)(k ——1)
0…=%»cosv [十X —
,2冗]Г
-(m — I) cos 几 3f —现」L
-(m-1) T"] = 1/45 X
(3.21)
iyt = ^mn^ 〃端
^ ^ /тп cos n (з/ — 2л/т);
imn=Imn COS П [to^ —(7П — 1) 2л/т], 78
x{cos [zicof + v —-% — (v +
+ n)(m — 1) "—j + cos 卜曲一
Трехфазная машина. Суммарная МДС в зазоре при н=1 н т=3Трехфазная машина. Суммарная МДС в зазоре при н=1 н т=3% =力/v, % = йн/тг = 2fz,% =力/v, % = йн/тг = 2fz,(3.23)(3.23)(3.24)(3.24)
Трехфазная машина. Суммарная МДС в зазоре при н=1 н т=3
Трехфазная машина. Суммарная МДС в зазоре при н=1 н т=3
% =力/v, % = йн/тг = 2fz,
% =力/v, % = йн/тг = 2fz,
(3.23)
(3.23)
(3.24)
(3.24)
Рис. 3.4. Образование зонных гармонических в трехфазной машине
(3.22)
где v= + l, —5, +7, —11,十 13. ■—17, ..., —(6a—1),十(6«+1), причем а—0, 1, 2,3,…，ос. Сумма остальных составляющих (3.21) равна
нулю.
Окружная скорость v-й пространственной гармонической МДС при п=1 тем меньше, чем выше порядок гармонической
где v=+ 1, —5, +7, —11 ...
Максимальная МДС обмотки якоря, приходящаяся на пару полюсов прн v= =п=1,
т2 VT wkwi
Fm = 2—Um^ = —^-m~l.
Для v = am нлн n — amt а= 1, 2, 3 ..., соответствующие косинусы в многочленах (3.21) равны между собой, а остальные образуют сходящуюся к нулю /и-фазную систему. Поэтому в трехфазных обмотках (тп=3) не проявляются третьи и кратные трем пространственные гармонические МДС. Пространственные гармонические с амплитудами, определяемыми по (3.15), вращаются со скоростью, определяемой по (3.23), таким образом, что каждая последующая гармоническая вращается во встречном направлении по отношению к предыдущей. Аналогично третья временная гармоническая подводимого тока (п=3) не вызывает первой гармонической суммарной МДС в зазоре симметричной трехфазной машины.
В общем случае первая пространственная гармоническая (v=l) поля в зазоре, образованная n-й временной гармонической тока, характеризуется следующими свойствами：
%="1； Рп = Pd 5 = G； 5 = 3产п]к = ПУГ
(3.25)
Этн гармонические сильно подавляются в машине индуктированными вихревыми токами, поэтому нх поля значительно меньше полей пространственных гармонических, обусловленных первой временной гармонической тока.
Зонные (зональные) гармонические трехфазных обмоток. Суммарная МДС в за
зоре трехфазной машины (3.22) является суперпозицией трех сдвинутых на угол 2л/3 фазных МДС (см. рис. 3.2). Как видно, при дискретном распределении МДС по пазам суммарная кривая распределения МДС в зазоре при переходе от паза к пазу изменяет скачком свою ординату на значение, равное половине МДС паза %»». В укороченных обмотках имеются пазы, содержащие проводники разных фаз. Тогда скачок равнодействующей МДС равен половине геометрической суммы МДС верхнего н нижнего слоев паза.
Увеличение числа пазов на полюс и фазу q сглаживает этн скачки, преобразуя распределение МДС к трапецеидальной форме. Однако даже при непрерывном распределения МДС по контуру 0f 8)остаются зонные гармонические, обусловленные конечной шириной зоны, занимаемой соседними фазными обмотками (рнс. 3.4). На рис. 3.4 показаны два крайних случая трехфазной МДС и ее отклонения от синусоиды.
БЕГУЩИЕ ПОЛЯ В ЗАЗОРА ЛИНЕЙНОГО ДВИГАТЕЛЯ
Принцип действия. Линейный двигатель как специальное исполнение асинхронного двигателя с несимметричными магнитоприводом и обмотками (рис. 3.5,а) описывается теми же законами, что и вращающийся асинхронный двигатель (табл. 3.1).
Бегущее поле Bmh = Bmk cos (со/—лх/т), образованное в зазоре 6 многофазной обмоткой (рис. 3.5,6), добегая до конца якоря, создает на этом конце [3.7] магнитное напряжение, изменяющееся по закону '/2尸m cos cot Это напряжение действует по всей длине зазора 6, создавая в нем равномерно изменяющееся поле с индукцией Во. Суперпозиция бегущего н переменного полей создает в зазоре суммарное магнитное поле (рис. 3,5г)
Bp = BmdOS (со/—лх/т) — ( — I"%。*
X cos sf. (3.26)
厶=27
Рис. 3.5. Поле в зазоре линейного двигателя: а — вращающийся двига* тель, из которого образуется линейный двигатель после разреза в точке А; б — линейный двигатель с переменным и бегущим полем; 8 — создание пульсирующей МДС %尸m cos(of на конце якоря; г — влияние составляющей индукции 瓦
Таблица 3.1. Аналогия между асинхронным вращающимся и линейным двигателями
Параметр
Вращающийся двигатель
Линейный двигатель
Первичный контур
Якорь
Якорь
Вторичный контур
Ротор-клетка массивный, сфериче-
Вторичный элемент массивный.
ский
немагнитный, экранированный
Полюсное деление
т = лП/ (2р)
Равняется шагу витка
Синхронная скорость
«1 = "р
% = 2代
(частота вращения)
。1 —n0几1 = сот/л = 2ft
при 50 Гц % = т
Рабочая скорость (частота вращения)
? = %(1 - s)
% — %(1 — §)
Электромагнитная мощ-
Поле иращающееся
Поле бегущее
иость
p^ = MQ]=尸%; Qi = 2冗〃1
尸3m =尸%
Полезная сила, момент
必=М — AM
尸b = F —А尸
Потери мощности во вторичном контуре
现1/2 *2 == 5 尸 3m
Электромагнитные момент
Момент
Сила тяжения
и сила
Al = ?几工戏R；/(sQJ
7nlz2%2 г =
s%
Сила, перпендикулярная
Уравновешена
Неуравновешена, при стально»
зазору
подвижном элементе /> 尸
Полезная мощность
P = MQ — ДРмех
Р = Fu — А&ех
Механическая характеристика
M = f(n)
SEP」立2SEP」立2получим коэффициент учаполучим коэффициент уча
SEP」立2
SEP」立2
получим коэффициент уча
получим коэффициент уча
Из закона Ома для переменного потока
Mi。為+訂)=
где Вто=Фто1(а1). С учетом того, что
стия переменного поля, введенный А. Воль- деком [3.7],
ко = Вт" Втр = с ] @ 十 с).(3・27)
110 [3.7]h=由+森(。 育，не 6= 1,66 для одностороннего и 6 = 0,83 для двустороннего двигателя.
Как видно, переменное поле В^о, которое искажает распределение индукции в зазоре (рис. 3.5) и ухудшает характеристики машины (встречная сила, дополнительные потери), можно ослабить уменьшением шунта с, который символизирует не только удлинение якоря, но также и пути внешнего потока рассеяния. Дополнительное ослабление потока Фо достигается использованием короткозамкнутых витков или компенсационных лобовых соединений [3.7, 4.20L Целесообразно также увеличение длины машины 厶
Кроме того, магнитное поле в зазоре линейного двигателя, так же как и во вращающемся двигателе, подвергается влиянию ряда других факторов: дискретного распределения проводников в пазах, переменной во времени и пространстве МДС пазов, переменной вследствие наличия пазов магнитной проводимости зазора, переменного магнитного напряжения в сердечнике якоря, обусловленного влиянием насыщения, изменения глубины проникновения ПОЛЯ в подвижный элемент, а также реакции токов, индуктированных в последнем.
Линейные двигатели имеют немагнитный зазор много больший, чем в обычных асинхронных двигателях (рис. 3.6). Это способствует ослаблению влияния высших
пространственных и временных гармонических, но одновременно приводит к большому увеличению потока рассеяния и намагничивающего тока. Индукция в немагнитном зазоре может подвергаться при этом значительному ослаблению.
В специальных системах возможно также уменьшение деформации поля путем изменения формы зазора, введения дополнительных обмоток, компенсирующих экранов и даже постоянных магнитов. Для регулирования и самоторможения можно вводить встречные поля при помощи асимметрии питания.
Поскольку от распределения поля в зазоре зависят практически все характеристики и свойства машины, анализ поля должен считаться основой проектирования. С этой целью необходимо создать соответствующую модель расчета, основанную на возможно полном математическом описании, которое в общем случае может быть скорректировано на основе экспериментов.
Расчетная модель линейного двигатели с непрерывным распределением МДС якоря. Для упрощения теоретического анализа, основанного на общих принципах технической электродинамики (уравнениях Максвелла), дискретное распределение МДС по пазам заменяется бесконечно тонким слоем тока, размещенным на поверхности гладкого беспазового якоря, т. е. равномерной линейной токовой нагрузкой Л (х, £)，А/м (рис. 3.7).
При распределении МДС в пазах (рис. 3.7,а) или на поверхности главного якоря (рис. 3.7,6) в воздушном зазоре проявляется составляющая поля Нх, представляющая поле рассеяния.
В упрощенных расчетах часто пренебрегают составляющей Нх, принимая, что поле в зазоре содержит только составляющую "z, которая для кругового поля и первой гармонической имеет пространственно- временное распределение вида
Н ~ Hz = Нт cos (со/ —лх/т). (3.28)
Точное выполнение условия "н = 0 в зазоре, как на рис. 3.7,а, 6, невозможно, поскольку в этом случае не выполняется первое уравнение Максвелла rot Я= /. Если же принять Нх = 0, причем "z описывается (3.28), то для машины, бесконечно длинной
Рис. 3.6. Основные типы линейных двигателей:
° — со стальным вторичным элементом; б — с экранированным стальным вто- ричиым элементом; в — с немагнитным вторичным элементом н двусторонним якорем
Рис. 3.7. Последовательные ступени упрощения поля асиихроииого двигателя: а — действительное дискретное распределение МДС; 6 — распределение МДС на гладких поверхностях сердечника; в — распределение МДС в зазоре
в направлении осн у (т. е. Яу=0; ЪНг!ду^ = 0), проекции ротора составляют
„ дНх дНг
' дг дх
—Нт sin (cof —%); rotxH = 0;
rotz〃 = 0.
Это означает, что rotv Н*0・ Поэтому условие "工=0 выполняется только в том случае, если предположить, что весь ток возбуждения якоря сосредоточен в зазоре и распределен в этом зазоре равномерно с плотностью Jy = J = ~(n/x)Hm sin [<о/— —(冗х/т)], причем Jx=/z=O (рнс. 3.7,8).
В большинстве случаев, особенно в машинах с малым зазором, такое предположение чаще всего выполняется. В линейных двигателях, однако, могут быть большие зазоры; в этом случае необходимо учитывать влияние длины зазора 6 иа уменьшение индукции во вторичном контуре.
Поле линейного двигателя конечной длины. Магнитное поле в зазоре электрической машины описывают общие уравнения
rot Я = 0; divB = 0; Я = р.0^7. (3.29) 82
На основе тождества rot grad 17^=0 н первого из уравнений (3.29) следует, что
Н = —grad % = —f 专一/ 西一 %
一h不、(3.30)
где 卩世=卩卩(招 у, г)——магнитный скалярный потенциал.
Из тождества div grad У卩=叫h уравнений (3.29) получается уравнение Лапласа, описывающее потенциальное поле,
02p冲u 02K ?2%=丽+犷+声 =°■(3・31)
Это уравнение решается подстановкой Фурье [1.22]
ОО
Vh =S CnXn(x)Yn(y)Zn(z). (3.32) 门=1
Для каждой составляющей Хп, Уп, Zft этой суммы после подстановки (3.32) в (3.31) можно записать
Х*Хп + “/% + Z/% = 0.(3.33)
Поскольку каждая из составляющих зависит от другой независимой переменной, (3.33) выполняется только в том случае, если
Х/，/Х〃=4; У/'/У/г = 8〃； Znr,JZn = =—(4i + %)・(3.34)
Количество этих постоянных может быть бесконечно большим (n= 1, 2, 3 .. .)• Получаемая система обычных дифференциальных уравнений имеет вид
Хи" — 4iX〃 = о；]
8м=0；，(3・35)
z/ +(4 + Bq zn = о, которая при условии, что произвольные постоянные отрицательны, т. е. Ап=—₽%, Вп =—т)2п, имеет решение X" = CmCOsBm+I
+。方 sin 也％ = Сзп $Е (B«x + Y") ； I Yn=C4nco& ^H-C^sin %y=I
= Cwsin(^+<pn);(3.36)
Z" = Cm，ch m〃z + Cyi sh тм — причем
⑵ =m吃 + *V；06w = % (°7rt -
—Cyi)； Cion = 1/9 (°拒 + Cyi)•(3.37)
Если предположить, что произвольные постоянные являются положительными величинами, то переменные Хп и У^ будут выражаться через гиперболические функции,
ИХИХРис. 3.8. Замена якоря конечной длины 2/ бесконечнойпоследова-тел ьностьюфиктивныхякорей в направлении ос в X： а — расчетная модель двигателя; 6 — соответствующее распределение линейной нагрузки 44叫а)、!/ /、吋 гармоника/\/0\ I /J/力 工展二 //?m J=2L, /% . 方二_亠 1「4(1+h)J6)Рис. 3.8. Замена якоря конечной длины 2/ бесконечнойпоследова-тел ьностьюфиктивныхякорей в направлении ос в X： а — расчетная модель двигателя; 6 — соответствующее распределение линейной нагрузки 44叫а)、!/ /、吋 гармоника/\/0\ I /J/力 工展二 //?m J=2L, /% . 方二_亠 1「4(1+h)J6)
ИХ
ИХ
Рис. 3.8. Замена якоря конечной длины 2/ бесконечнойпоследова-
тел ьностьюфиктивных
якорей в направлении ос в X： а — расчетная модель двигателя; 6 — соответствующее распределение линейной нагрузки 4
4叫а)
、!/ /、吋 гармоника/
\/0\ I /J
/力 工展二 //?m J=2L, /% . 方二_
亠 1「4(1+h)J6)
Рис. 3.8. Замена якоря конечной длины 2/ бесконечнойпоследова-
тел ьностьюфиктивных
якорей в направлении ос в X： а — расчетная модель двигателя; 6 — соответствующее распределение линейной нагрузки 4
4叫а)
、!/ /、吋 гармоника/
\/0\ I /J
/力 工展二 //?m J=2L, /% . 方二_
亠 1「4(1+h)J6)
а переменная Zn — через тригонометрические [1.22]. Из периодической структуры поля в машине следует, что второй вариант должен быть исключен из рассмотрения.
Общее решение уравнения Лапласа (3.31) для зазора можно представить в соответствии с (3.32) в форме комбинации полиномов, удовл етвор яющих уравнению [2-6]
+泌露改步图…3.38)
где ] cos j означает косинус или синус.
Из периодичности распределения поля вдоль осн хну следует, что Nn = Qt тогда из (3.38) получим
% = £ (^w §Е 卩戸 sm %У sh тпг +
+ M2n sin 瓦％ cos riny sh 次歩 +
+ Мзл sin 卩戸 sin 刀也 ch тпг +
+ Л44n sin 卩以 cos %y ch mnz +
+ 〃皿cos 脏 sin 力1g sh m^ +
+ 加叫 cos РлХ cos %g sh 次歩 +
+ М1П cos pn % sin 刀也 ch 次歩 +
+ M^ cos pn x cos 砧/ ch w) •(3 • 39)
Граничные условия определяются нз предположения, что единичный якорь конечной длиной 2/ по оси х и 2a по оси у можно заменить бесконечной системой гипотетических якорей (рис. 3.8), разнесенных на расстояние 2Л, которые модулируют бегущие синусоидальные волны, проявляющиеся в зоне каждого якоря. Влияние соседних якорей будет тем меньше, чем больше будет отношение 2Л/(2/). Однако это
приводит к увеличению влияния высшнх гармонических.
Картина распределения линейной нагрузки, аналогичная рнс. 3.8, вдоль оси g будет при замене параметра 2/ на 2a и при замене 2九 на 2c.
Если линейные нагрузки на верхней Ag и нижней Ad гладкой поверхностях сердечников (рис. 3.7,6) образуют в зоне каждого из якорей бегущие синусоидальные волны, сдвинутые по фазе относительно друг друга на угол 也 то
^g = gxgy I 力mg I cos (st—心/叫；I "d = gx§y I And I COS ®f — U/t + J
+ Ф) =gxgy I 4nd‘ 丨 cos (sf— } (3.40)
—w/t) +gxgy I 力久 I sin (血—I
-心/，)J
или в комплексной форме
-S = gxg&m；
(3・41>
—/ — X
^rf = Qx^y^iJid^ '»
причем
4% = Mmg| J叫 Ami = 14“dIu з’+屮).
-(3.42)
Волны этн модулируются инфрагармо- иическими с пространственным распределением (рис. 3.8)
ОО
4 С 1 Ы
gx = — У ] — si п —cos;
н £ 左2(/+ft) 2"+九)'
(3.43)
00
4 С 1/лаi冲
g“ = у . — sin cos .
注 4 42 (а + с) 2 (а + с)
(3.44)
Прн более точном анализе следует ввести аналогичное модулирование реактивных
субгармонических в соответствии с выражением (3.2). Для упрощения, однако, принимается, что зазор 6# равномерный, а пространство между якорями вдоль направления оси % заполнено сталью.
Поскольку NFe》Ro, для верхнего н ннжнего сердечников принимается р,= оо (рис. 3.8,а), откуда следует, что в области стали "=0. Граничные условия для составляющей Нх на поверхности зазора 6i=6kc со стороны воздуха определяются нз закона полного тока
g Нт dl = "m*A% = ЛтД%,
откуда
(3.45)
На основе (3.30) н (3.41)
也
(%)6,=—加 а =
г= т г=т-
Дифференцируя (3.39) по х, получаем
%=-警=—£(2“cos 际 sin 小义
X 4 sh m" + 〃方闻 cos ₽nX cos ад sh 次层 +
+ 財肌饱 cos Bn% sin ад ch m„z +
+ HJ^Prt cos 际 cos ^ ch 小标—
—川皿仇 sin prtx sin %g sh m"—
—儿叫瓦 sin 限 cos ад sh /^г —
一m7命 sinp^sin刀成chm庐一
—Mg„闻 sin 3м cos』пу ch m向.(3.47)
Подстановкой в (3.47) граничных условий (3.46) для верхней поверхности находим (г = ^1^
工[(KsChSn"^■+
+ Кгп sh %：+ Кгп sh %：~^cos %№ +~^cos %№ ++chwrt 告 + Kn Sh m〃 善丿 sin ^jx
+ Кгп sh %：
+ Кгп sh %：
~^cos %№ +
~^cos %№ +
Xcos BnX —Xcos BnX —
Xcos BnX —
Xcos BnX —
+ Ke« sh mn 善)cos %У +(K7M ch mn ^十
+ К w sh 咻善卜i n ■ад]+ К w sh 咻善卜i n ■ад]sin 昵=sin 昵==gxgy^tg=gxgy^tgcos—% — jsin — % ). (3.48)
+ К w sh 咻善卜i n ■ад]
+ К w sh 咻善卜i n ■ад]
sin 昵=
sin 昵=
=gxgy^tg
=gxgy^tg
Правая часть (3.48) имеет вид gxg&B 卜。S 十% — jsin£x) =
ОО
论=1
cos p% cos — % — j cos p% sin% )=
(3.46)(3.46)причем
(3.46)
(3.46)
左注
p=20 +九)；
41Ыc LC、
Qg=g& T 丁sin 帀而•(3-50)
Приравнивая (3.49) левой части (3.48), находим, что ряд Е следует разбить на два, содержащих функции cos 夕戸，cos р^пХ и sin0'〃nX, sin pIvnx.
Тогда для верхней границы зазора
^ {[4231] cos р„*х + [423Г] cos“"X —
—[8675] sin 昵"х — [8675] sin 舗〜}=
=£ [%cos Q+—)x+%cosG_
—/ — sin ^― + 夕丿 ％ —
-j^sin (~g--?)^-j^sin (~g--?)^(3.51)(3.51)где выражения в прямоугольных скобках равны выражениям в прямоугольных скобках (3.48) н пронумерованы индексами постоянных в соответствующих скобках (3.48)
-j^sin (~g--?)^
-j^sin (~g--?)^
(3.51)
(3.51)
0)=?+n/$肌"=?一Н八；伝'"=
П储；*V= 一胱"(3.52)
а также
[423Г] nQg/2; [8675] = jQg/2・ На поверхности г = —6f/2
(3.53)(3.53)66 \
(3.53)
(3.53)
ch тп ——К2n shmn — ]X
Xcos w+ (Kyich，％ ——
sin ^ny cos 院一sin ^ny cos 院一
sin ^ny cos 院一
sin ^ny cos 院一
/ 6 八
X cos 刀* + (K7fIch тп—-К^1 Sh mn —jX X sin t^j sin 娥= —gxgy^rnd (cos ： X— —j sin—-xj . (3.54)
Правая часть (3.54) имеет такую же форму, что и в (3.49), ио вместо Amg подставляется линейная иагфузка Ата с противоположным знаком. Соответственно Q& заменяется Qd. Аналогично (3.51) для нижней границы зазора
]cos В/% + [4231] cos М% —
—[8675] sin 阮"У —[8675] sin 也必}
=S[_^cos (，+£)*-
Qd ~TCOSQd ~TCOS（尸-十尸+ /*e（十+（尸-十尸+ /*e（十++ 夕)* + j+ 夕)* + j学■sing-尸)4学■sing-尸)4(3.55)(3.55)откуда
Qd ~TCOS
Qd ~TCOS
（尸-十尸+ /*e（十+
（尸-十尸+ /*e（十+
+ 夕)* + j
+ 夕)* + j
学■sing-尸)4
学■sing-尸)4
(3.55)
(3.55)
[4231] q —Qd/2; [8675]=—汽辽/ 2; (3.56)
4 1 knl
"一g公^丁Sё^^. (3.57)
Вследствие того, что функция gv в правой части (3.48) и (3.54) является четной относительно у, другие составляющие в левой части этих уравнений должны равняться нулю для каждого у、т. е.
《anch т〃6/2 + Кщ sh mJ/2 0;
KmCh加5/2 + K6”shтип$/2 = 0;(3 ^^)
Ksn ch 加疝/2—Kmshm疝/2 = 0;
《?nchm川/2—Kyj sh т?глЗ/2 =0.
Уравнения (3.58) одновременно удовлетворяются только в том случае, если Кзп = К1п =К7пяКвп =0.
Приравнивая последовательно левые части (3.48), (3.54) с функцией gv (3.44), получаем
С087)д(/ = С05——у, j =0, 1, 2, •・•, оо,
2 а + с
(3.59)
откуда
刀пс ； 十
2 a -|— c
Для получения постоянных используются
и (3.52)
曲=/\8:户+%2； w ^т^\)60
Уравнения (3.48) и (3.54), а также (3.53) и (3.52 имеют смысл для каждого значения у. При у=0 в соответствии с (3.44)
4 g 1 inaL^厶「11淞”4 g 1 inaL^厶「11淞”(3.61)(3.61)уравнения (3.55) при у = 0 имеют вид
4 g 1 ina
L^厶「11淞”
4 g 1 ina
L^厶「11淞”
(3.61)
(3.61)
Ksch 次號/2+«2以 sh m//2)=Q" 2; [6
你8n＜：117^/2+/(6戸h乙6/2)=凡/2 J ‘ * а уравнение (3.56)
(K^ch m疝/2—KyjSh m疝/2)=—Qd/2; ]53)
(KyjCh m疝/2—KertShm疝/2)=—/Qd/2 j '
Определение постоянных Kn для отдельных волн В'п и §"п производится суммированием и вычитанием соответствующей пары уравнений (3.62) и (3.63)
Kschmn 6/2 = i/£Qg—Qd); }
Км ch тп 6/2 = %(Qg —Qd)=
=3 jKs ch m〃 $/2;
K2nshm„ «/2 = i/4(Qe + Qd); }(3&)
К4n sh tnn 6/2 = //《(Qg + Qd)= =jKsn §h mn 6/2,I
причем в соответствии с (3.50) и (3.57)
Q』+ Qd =gyo Mrrtg + 4f^)左 x
义sE前方.(3•65)
Формула (3.65) получается из (3.48) путем подстановки k=n——1. Постоянные Кп, К"п и т. д. определяются соответственно для р\, В"п ... и m^, m"n ...
Приравнивая последовательно (3.64), с учетом (3.65), получаем
1 左力(3・66)
m2"卩"=k2n = к也；丿
加贫 В：" = — M；；卩；=—笈；11 т・ Д.
Выражения (3.47) приобретают форму
£* = — £ №募(cosp/x—jsinROX
/г—1
X cos 屯 gsh mJ z+ % (cos 能％ +
+ j sin ₽^x)cos %g sh m；z +
+ K；〃 (cos P；x— /sin P；%)cos uch * + +К2(со$ p；% + j sin P")cos %“h m；z], откуда в конечной форме
У* 0 — 2 1(Кгп sh m/z + Ks ch m/z)X m=1
X〕'凯 * + (Кгп Sh %'z +
+ K^ch m^z}^n X1 cos W. (3.67)
Составляющая Нг определяется в соответствии (3.30) дифференцированием (3.39) по z
^г= ~~дг= ^Jj (^m^sinprtxX n=l
X Sin 刀^ ch mnz + ^^mn sin 卩戸 X
Xcos т)п^chmnz 4- ... ).(3.68)
Примеиеинем к (3.67) операции
% = £Ju妙% = £Ju妙(3.69)(3.69)получаем окончательную форму
% = £Ju妙
% = £Ju妙
(3.69)
(3.69)
%= —/£[(“”『m/叶
п=1
+ 欝 sh 嗚 — Рп/
一 (^^ "r // °" %1" z +
+ «a "f^ 砧什"，e#/"卜os %g.
“(3.70)
Неточность решений (3.67) и (3.70) обусловлена тем, что в расчетной модели (рис. 3.8) заложена равномерность зазора 6i = const по всей длине машины, в то время как в действительности на участках 2Л происходит разрыв непрерывности стали якоря (6i = oo). Однако благодаря учету дискретности линейной нагрузки получаемые решения могут приближаться к реальным в большей степени, чем прн решении для бесконечно длинной машины. Неравномерность зазора можно дополнительно учесть введением в (3.66) изменяющегося скачком переменного эквивалентного зазора. Характер изменения последнего можно установить путем анализа поля рассеяния на торцевых границах якоря (см. далее рис. 3.16). В средней части машины поле в зазоре можно исследовать на основе более простой теории бесконечно длинной и бесконечно широкой машины.
Поле двигателя бесконечно длинного и бесконечно широкого. Если ограничиться рассмотрением исключительно первой гармонической поля в бесконечно длинной и широкой машине, то в (3.43) и (3.44) следует подставить /->оо.
Тогда
ёх^ ёу~ 1 •(3.71)
Из (3.50) р = 0, а из (3.48) и (3.52) ?п = ₽л = ^/х；瓦"=—n/з(3.72)
Из (3.59) т)п = 0, из (3.60)
mJ = "5” =次门=Bn =注/t；з 73)
К2rl = к2fl = К2 H ^4п~^4п = К「
Из (3.65), принимая во внимание обе волны р\ и В%,
Qg + Qd =4mg + ^md*
Из (3.64) для первой гармонической (九=1〉
Kk三也"岑證=肉；
К-?此 Rte^QK.К-?此 Rte^QK.Ang — ^md 4ch лЙ/(2т)Ang — ^md 4ch лЙ/(2т)(3.74)(3.74)3*宅篩
К-?此 Rte^QK.
К-?此 Rte^QK.
Ang — ^md 4ch лЙ/(2т)
Ang — ^md 4ch лЙ/(2т)
(3.74)
(3.74)
При ЭТОМ
Кз = К] = К? = Ks = 0・
Из (3.47) при наложении обеих волн К7 и К"
Нх = 2К2 I cos —% — j sin — xj sh — z—
—2K& [cos — x—j sin二x) ch —2
ИЛИ
Рис. 3.9. Двигатель с линейно-вращательным движением:
；—индуктор якоря (статора); 2 — ротор; 8 — экран ротора; 4 — немагнитный корпус
2
@〃2 + 3nd
+
Тот же самый результат (3.75) получается подстановкой в (3.67) выражений (3.72) —(3.74).
Составляющая Hz определяется из (3,75) применением операции, описанной (3.69),
必= —j f 2К2 ch — z4-2Ke sh -^- zj e ”
или
4门g +ch 工 z
2sh 力/(2t) +
+ &g—Sh т 2.
2ch 疝/(2t)丿
(3.76)
Упрощенные уравнения (3.75) и (3.76) имеют форму, аналогичную приведенной в [3.7], но полученную без учета фазового сдвига 屮(3.40) между линейными нагрузками верхнего и нижнего якорей.
3.3. ПОЛЯ ВРАЩАТЕЛЬНО-БЕГУЩИЕ
В специальных машинах и специальных режимах работы возникает необходимость анализа полей сложного вращательно-бегу- щего движения. Такне поля можно создать соответствующим механическим (рис. 3.9) и электрическим (рис. 3.10) соединениями элементарных трехфазных линейных двигателей (называемых индукторами) в единый общий якорь (статор).
Сеть 3~<»
В 0
Рис. 3.10. Соединение шести линейных индукторов статора в целих создания вращательно -бегущего поля (по [3, 9])
Линейная токовая нагрузка Лх(2о, f) единичного трехфазного индуктора в системе координат хо, у。, 2о, связанной со статором (рнс. 3・9), в соответствии с (3.22) описывается выражением
&(人，t)=
=£儿m尸p [h - /卜^"人+屮J],
'(3.77)
где Ахт ¥ — амплитуда v-й гармонической токовой нагрузки; % — полюсное деление первой гармонической Ах вдоль оси 20; 5 — начальный угол фазового сдвига ^xmii V= 1, —5, 7, . . .； —(б/t—1), (6孔+ + 1)…；m=1, 2, 3
Соединением соседних индукторов статора (рнс. 3.10) таким образом, чтобы МДС каждого индуктора была сдвинута по отношению к предыдущему на л/3, бегущему полю (377) в направлении осн 20 сообщается дополнительное вращательное движение. Изменением способа питания нлн соединения отдельных индукторов можно получить три вида движения по спиральной траектории (вращательно-лннейное движение), линейное н вращательное, причем с возможностью реверса н управления.
Равнодействующая линейная токовая нагрузка вращательно-лннейного поля (рнс. 3.11) определяется уравнением [3.9] 4(%о, г0, f)=力]+ 力？ + 力严=
sin k —— x
V k
X exp [jsf — / (у £ z0 + 左 £%j ]，(3.78)
где Тх=лР/6 — полюсное деление по контуру якоря; а — ширина индуктора v,左=
Рис. 3.11. Вращательно-бегущее распределение первой гармонической линейной токовой цагрузки Ах на поверхности якоря (по [3.9])
=1, —5, 7, ..., —(6п—1), (6п+1),-.. • • м= 1, 2, 3
Скорость поля находится из (3.78) дифференцированием по времени выражения d
—[со^ —v(7t/t2)z0 —й(к/^)х0] =0;
з 一у (北八N)%, 一左(北/勿)%论=S откуда каждая нз составляющих снихроиных скоростей
и*论==st*/(左兀)=%[/左；％у = ^^а/(^л) =я
=%[/у .(3.79)
Скорость некоторой точки Р на роторе по отношению к v,々-京 гармонической поля якоря, т. е. скорость скольжения, составляет
Используя определение скольжения аналогично вращательной машние, а также с учетом (3.79)
(0 =北沙*1/**=北%1/七, получаем обобщенную формулу для скольжения [3.9]
s”k 32V 々/з= 1—У%/&1—左％/%1,(3.8》
где Uxi, %】 ——синхронные скорости поля (вращательная н линейная, так называемые фазовые скорости); их> % — скорости ротора (вращательная н линейная).
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ ПЕРЕМЕННОЙ МАГНИТНОЙ ПРОВОДИМОСТЬЮ ЗАЗОРА
Кроме высших гармонических, обусловленных дискретным распределением МДС в пазах (см. рнс. 3.1 н 3.2), и зональных гармонических (см. рис. 3.4) важную роль в электрических машинах играют гармонические, обусловленные переменной магнитной проводимостью, к которым относятся зубцовые гармонические (рис. 3.12) и гармонические, обусловленные искусственной неравномерностью зазора (см. рис. 3.1), как, например, в асинхронных однофазных двигателях с короткозамкнутой вспомогательной фазой, в линейных двигателях н т. п.
Важной задачей электромагнитных расчетов считается расчет распределения поля на границах магинтопровода. Прн исследовании поля в области, ограниченной ломаной линией, часто используется метод конформных преобразований, основанный на теории аналитических функций комплексной переменной [1.3, 1.4, 3.1, 3.7]. По-
Рис. 3.12. Образование гармонических магнитной проводимости зазора:
小Hwv^# А；
а — реактивного двигателя; 6 — зубцовые гармонические; / — поле в зазоре; 2 — первая гармоническая； 3 — зубцовые гармонические с амплитудой, пропорциональной В; 4 — разложение биений на зубцовые гармонические mpv =Z/p±1^2mq± 1
(3.86)(3.86)，(％, z) = % &e21，(％, z) = % &e21sin "sin "(3・88)(3・88)
(3.86)
(3.86)
，(％, z) = % &e21
，(％, z) = % &e21
sin "
sin "
(3・88)
(3・88)
ле под зубцами в границах якоря также можно рассчитывать классическими методами.
Расчетная модель. Для расчета распределения поля на границе между сердечником и зубцами (рис. 3.13) можно использовать модель (рис. 3,13, в), позволяющую проводить аналитические расчеты. Задача сводится к нахождению магнитного скалярного потенциала % = Р плоского поля внутри воздушного пространства, ограниченного проводящими плоскостями Х = 0, Х—Ь, 2 = 0 (рис. 3.13,8). Плоскости х=0 и х—Ь имеют потенциал V=0, а плоскость 2=0—потенциал V=%=
=" Вт max >； Вт max — МЭКСИМЭЛЬ- №
ная индукция под серединой паза.
В воздушном пространстве ток /=0, вследствие этого первое уравнение Максвелла приобретает вид rot Н=0. Тогда
〃=_*!//0% — JdV/dz;(3.82)
d^V/d^ + dW/dz2 = 0.(3.83)
По методу Фурье
v^t г) = ^Xn(x)Zn(zY，(3.84)
П = 1
X； — АпХп =0; Z[ + AnZn = 0.(3.85)
В предположении периодичности распределения вдоль оси х считается Ап = =—Хп2, тогда
爲(%) = c] cos入戸+ e2 sin入加; Zn{z) = Qe*i + C^^-
Поскольку Xn (0) —Xn (6)=0 (рис. 3.13,右),функциия Xn (x) ие содержит косинусов, т. е. G=0. В свою очередь благодаря симметрии системы sin Xn& = sin 0, откуда 九п^=пл, т. е. Хп=пл/Ь, причем "=1, 2, 3 ... При 2—>8, Р=#8, т. е. Zn(z)=8, тогда при 九п>0 постоянная Сз=0.
Подставляя (3.86) и определенные постоянные в (3.84), получаем уравнение для п-й гармонической
%(%, г) =Сле ” sinn "^"^- (3.87)
Полное решение является суперпозицией элементарных решений, т. е.
Постоянные Cn определяются из условия, что при z=0 должно выполняться равенство V= Vo, откуда
ОО
Vo = ^^ Crtsin п(3.89)
п=\
в?
Рис. 3.13. Отображение поля на гранях: а — сердечника; б — зубцов； в — расчетная модель
о
Рис. 3.14. Разложение в ряд Фурье потенциала %
„0К(х, 2)
тс . н ch (注/b)z
2匕 b b %sh2(y；/b)z=二]卜 Sin2(n/加',
sh2(注/b)z
” sin2 —— % + sh2г
о b
(3.95)
Постоянные Сп являются, таким образом, коэффициентами разложении % в ряд Фурье (рнс. 3.14). В соответствии с рнс. 3.14 Cn=4V0/(njt) при п=2 左+ + 1 н Сп=0 при п=2й,左=0, 1, 2, 3...
Таким образом, сотс
з)=乎£詣严屮义Л=0
Индукция на поверхности ротора или подвижного элемента линейного двигателя (см. рнс. 3.6) прн z=0 н условны Vo= = Нтах 6( определяется выражением
8nz (%) 2立 1
Вщ max 方 sin(3u/6) X
%26,
arcsin —■—; 26f《b, bb
(3.96)
Xsin(2^ + !)-—%.
(3.90)
Используя подстановку (в соответствии с [3.5])
% +
fi) u = e °
+ / sin — %
(3.91)
а также разложение
Arth u== 2j 2左 + i ПРН I 口 丨 VL (3,92)
где Вт max ——максимальная индукция в зазоре под серединой зубца; b — ширина паза; 6t = 6左с； kc ——коэффициент воздушного зазора.
Основной причиной неточности (3.96) является пренебрежение в расчетной модели воздушным зазором б. Это упрощение приводит к увеличению расчетной индукции Bmz. Ошибку эту можно скорректировать, принимая во внимание, что на грани паза (х=0) должно удовлетворяться условие Bmz/Bm max— 1. После корректировки (3.96) индукция под пазом может быть определена полуэмпнрнческим уравнением
Л=0 можно (3.90)
У(%, и) =В
4匕
=Im Arth u.
Если учесть, что
Arth и = — j arctg jut
представить в виде суммы
ОО ,
-——-==
2左+ 1
尼=0
(3.93)
то распределение потенциала в пазовом (межзубцовом) пространстве (рнс. 3.13, 6)
8m (%) 2勺1 8m max =b 2bilb + ^^b)^
причем
Вщ minium max =2〃/(b + 2〃)；
Bmp = °，5 ( 8m max + Bm "?加；
Вт max
Bmp1 + Вт та/Вт max
Bm "M门_2 Вm ma* _
8mp^mp
2B1nminl В1nmax 一
1 + Вт min]Вт rnax
(3.97)
(3.98)
2兀
У (%, г) == ~ arctg
sin (次)% .sh S/b) z
(3.94)
3.4.2. Индукция в зазоре под пазами (рис. 3.13,6). Распределение нормальной составляющей напряженности Яг магнитного поля в зоне паза получается дифференцированием потенциала (3.94) на основе (3.82)
где Bm min ——индукция под серединой паза.
Для линейных двигателей в качестве величины 6( в (3.96) —(3.98) следует подставить в соответствии с рнс. 3.6: бр^с — при стальном подвижном элементе (рнс. 3.6, а); 8p^c + d ——при экранированном стальном подвижном элементе (рнс. 3.6,6); 6р^с+ + d/2 — прн немагнитном подвижном элементе в двустороннем двигателе (рис. 3.6, в).
42 0,4 0,6 0,8 A
Рис. 3.15, Распределение индукции в зазоре: а — под пазом; 6 —в зоне зубцового шага ti—b^-c
(3.99)(3.99)(3.100)(3.100)Рис. 3.16. Распределение не сердечника якоря .Рис. 3.16. Распределение не сердечника якоря .индукции на тор-индукции на тор-Bmp 1 + лх/(23)Bmp 1 + лх/(23)(3.101)(3.101)
(3.99)
(3.99)
(3.100)
(3.100)
Рис. 3.16. Распределение не сердечника якоря .
Рис. 3.16. Распределение не сердечника якоря .
индукции на тор-
индукции на тор-
Bmp 1 + лх/(23)
Bmp 1 + лх/(23)
(3.101)
(3.101)
Пример 3.1. Оценить распределение индукции в зоне паза линейного двигателя SL=5 со следующими данными: Ь= 10 мм; с=6 мм;七4=8 мм;仇=1+2 мм.
Решение. В соответствии с (3.3) fee = 1,44-?-1,29：&=1,44+2,58мм;
Вт min/Вт шах = 0,22 + 0,34；2&/Ь =
=0,29 + 0,52, откуда по (3.97) определяется Вщ?jВт max (рНС 3.15)； ПО (3.98) амплитуда пазовых гармонических 9
1+(0,22+0,34) j/+ + 1,49； Вт min/Bmp = 2—(1,64+1,49) = = 0,36+0,51.
3 4.3. Индукция иа торце якоря. Распределение поля на торцовой грани магнитопровода (рнс. 3.13, а) получается подстановкой в (3.94) величины b—>»8, откуда
У (%, г) = (2%%)arctg (%/z),
так как
Не / sE(n/&)X \
8 \ Sh (п/&) г /
./ ( — nlbz) хсоз (л/Ь) х \ х
=ит I —； =—
&->00 \ (― 7t/da) zch (л/b) г / z
Распределение составляющей Hz напряженности магнитного поля на торцовой грани магнитопровода якоря со стороны воздушного зазора в соответствии с (3.82) и (3.99) 口0К (Х, 2)2%—X/Z2
次—北 1 + (x/z)2
2% x
где Vo=Hp^i — магнитное напряжение
в зазоре.
Уравнение (3.100) не учитывает зазора о. В действительности наличие зазора
приводит к ослаблению индукции пропорционально размеру зазора (рмс. 3.16). Если предположить, что силовая линия поля равняется четверти круга радиуса х, то ослабление поля определяется отношением
2л%/4хг
=—. После коррек-
6 + 2冗%/4 2S/n + ^
тировкн (3.100) получается распределение индукции на поверхности подвижного стального элемента (г=0) в виде
Уравнение (3.101) почти точно совпадает с распределением, полученным в [3.7] (рис. 3.16). В [3.7] также предлагается приближенное вьтажеиие BmzIBmp = =0,83 ехр[—х / (2S)].
На окончательную форму поля в зазоре имеет, кроме того, большее нли меньшее влияние насыщение стальных частей магнн- топровода, магнитная анизотропия электротехнической стали, тип обмотки и т. п.
Глава четвертая
РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
[3.6].[3.6].и потенциальная энергия системыи потенциальная энергия системы十小 =十小 =(4.2)(4.2)
[3.6].
[3.6].
и потенциальная энергия системы
и потенциальная энергия системы
十小 =
十小 =
(4.2)
(4.2)
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Современные методы анализа и проектирования систем электропривода вое чаще опираются на обобщенную теорию электромеханического преобразования энергии [3.6, 4.12, 4.16—4.18]. Здесь используется вариационный принцип Гамильтона (1.131)
L ("，仇，/)成= min,
где L (”， 厶， t)^T—V — функция состояния Лангранжа; Т и V — кинетическая
=叫他，呜位:；3[:：…)
В (4,3) Mg,, M8W, M叫 Mww являются матрицами собственных индуктивностей статора (ss), ротора (侬叫 или взаимных индуктивностей между статором и ротором (s叫 w). Матрицы М в (4.3) имеют форму, идентичную соответствующим четвертям матрицы индуктивностей в (4.2)..
Правая iqacTb (4.3) представляет собой электромагнитный момент машины 加е・
Условием экстремума функционала (1.131) ивляется уравнение Эйлера——Лагранжа для диссипативных систем
-G/,(4.1)-G/,(4.1)
-G/,(4.1)
-G/,(4.1)
где 左=1, 2, 3...; I ——число степеней свободы системы；户一функция потерь Рейли； Gk — возмущающие .силы электрического (напряжения) и механического (силы и моменты) происхождения.
Из (4.1) после преобразования получается (九 十加 + 1) уравнений движения для электрической n-фазиой машины с m элементарными обмотками на роторе.
Решение (4.2) и (4.3) позволяет найти экстремальные величины »左=£走(£) и те = те (f). Получение простого решения возможно только в наиболее примитивных моделях. Уже для двух- и трехфазных машин трудоемкость получения решения резко возрастает, хотя составленная однажды программа позволяет многократно ее использовать для исследования динамики различных машин. При этом часто достаточно только изменить соответствующие параметры, однако от точности расчета этих параметров может зависеть успех расчетов. Уравнения (4.2) и (4.3) используются прежде всего для исследования асинхронных двигателей.
(4.4)(4.4)[%]= Е =[%]= Е =Рис. 4.1. Схема машины с п обмотками статора и т обмотками ротораРис. 4.1. Схема машины с п обмотками статора и т обмотками ротора左4左4hglt + G2f + Ghglt + G2f + G(4.7)(4.7)
(4.4)
(4.4)
[%]= Е =
[%]= Е =
Рис. 4.1. Схема машины с п обмотками статора и т обмотками ротора
Рис. 4.1. Схема машины с п обмотками статора и т обмотками ротора
左4
左4
hglt + G2f + G
hglt + G2f + G
(4.7)
(4.7)
ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЦЫ АКТИВНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ
Матрицы активных сопротивлений.
Для многофазной машины (рис. 4.1) с п обмотками статора и т обмотками ротора матрицы активных сопротивлений статора s и ротора w имеют вид
“Ri Q0 ... О *
О ^2 0 ... О&$ =；
.О О 0…Rn.
"Rn+i 0... О "
о R〃+2 * • • о
Rf=
Активные сопротивления симметричных обмоток можно выразить при помощи единичных матриц
&s=RJ6fU； & = %[6 加，
где матрица [6,^] — единичная квадратная матрица,
причем
/0, если / k
=,—дельта-функция Кро-
I】，если i = я некера.
В обычных машинах активные сопротивления обмоток фаз статора и фазного ротора рассчитываются как активное со-
противление проводников R= при постоянном токе, увеличенное в kd раз, где 左d —— коэффициент дополнительных потерь, причем Ad = Au 林，
wlz с + £ АР _、 R = dR==坛 ~V7TT=~7r， (4-5) где 侬 ——число последовательных витков обмотки; lz — длина витка; S — поперечное сечение проводника; у — проводимость материала проводника при температуре 力； f — температура обмотки； с=235 — для меди, с=24б ——для алюминия; ku ——коэффициент дополнительных потерь is обмотке, вызванных ш<дуктированными в теле проводника потоком рассеяния вихревыми токами;阮一коэффициент дополнительных потерь от вихревых токов, индуктированных в массивных частях конструкции, в торцовых поверхностях сердечника и т. п. — потоком лобовых соединений, или в массивных поверхностях полюсных наконечников — высшими гармониками вращающегося поля (и зубцовыми гармониками; в больших машинах коэффициент 左m может достигать значения, равного или больше 2; расчет 左& затруднителен и обычно оценивается приближенно на основе, например, непосредственного измерения потерь АР = mI2R + АРдоп.
Влияние вытеснения тока на активное сопротивление. Коэффициент увеличения активного сопротивления в результате вытеснения тока в проводниках на переменном токе, называемый также коэффициентом дополнительных потерь в обмотках, определяется в форме
瓦=RJR= == &Pul&Pp,(4・6)
где R 〜一активное сопротивление обмотки при переменном токе; R= — активное сопротивление обмотки при постоянном токе; АР 〜 пАРп + АРдоп — полные потери в обмотке при переменном токе; &P= = ml2R =—основные потери; ДРд0п — дополнительные потери.
Для части обмоток, лежащих вне па* зов (например, лобовых соединений), можно принять в первом приближении 几czQl, для пазовой части обмоток ^UZ>1.
Средний коэффициент дополнительных потерь в обмотках
где Lf — длина якоря; 2cz—длина лобового- соединения. В современных машинах большой мощности обычно ^и^1,1-=-1,5.
Расчет величины kuz. В соответствии с методом зеркальных отражений (см., рис. 1.8 и 1.9 в [1.22] проводники размером аХй, размещенные в пазу с полным током Iw (рис. 4.2), можно заменить бесконечной плитой с толщиной 2йь не содержащей стали и составленной из сетки проводников тех же самых размеров. Для упрощения
шшио 口 口 :П 口
8乡
[O
7
吕
吕
吕
口口 UZI C□口
口
口 口
口 口
в
Рис. 4.2. Определение распределения плотности тока, дополнительных потерь и активного сопротивления в пазу методом зеркальных отражений
@ □ □
ш о о □□ о
о о о □□ о □ □ и ш ш
〃m〃msh * (Л — z);sh * (Л — z);
〃m
〃m
sh * (Л — z);
sh * (Л — z);
«анализа предполагается, что проводники в пазу занимают всю ширину паза Ь, т. е. вводится уменьшенная расчетная проводимость V=〃Y/b. Слои проводников (рис. 4.2) заменяются тогда сплошными проводящими слоями, иа которые с обеих стброи падаег плоская иесимметричиая волна Е*, Ну (см. рис. 1.3), описываемая в соответствии с (1.13) уравнением ^Hm]d^ =a"”m, решение которого
Яш(г) = 416at + /в—"?, где
W = М№卩У = (!+/)左?；Л =
=厶叫)(s出兩.(4.8)
При условии, что токи / во всех про
водниках одинаковы, определяются граничные условия (рис. 4 2):
при z = 0 〃т(0) = ^~~^, откуда 力什
+ 4=!/声子/;(4.9)
при г=Л Hm(h) =(P-1*J , от
куда Ае"” + Лге—а，А = 1/2- ° J /.
На основе предыдующих уравнений
4 = !/5~：sha" [(p_1)_m-'个；4 =
”fLf"JLB・ (4」。)
После подстановки постоянных
"m (z) = KL 1)sh "Z -
—psha^(z —Л)].(4.11)
Из первого уравнения Максвелла получается
Em(Z)= —"7■市=у。sha”【PCha'(z—
—h) — (p— 1) ch a'z].(4.12)
Эти же выражения можно получить, используя волновой метод (см. рис. 2.6), при условии, что на р-й слой падает сверху и снизу плоская волна с параметрами, определяемыми по (4.9).
Отношение плотности тока /«(z)= =yEm(z) к средней плотности /т Ср= = l!(ah) (рис. 4.3")
/т(Z) а%
[pch W (Z—九)一 / mcp Sh а/
_(p—1) Cha^].(4.13)
Для единичного проводника в пазу при р=1 (рис. 4.3,6) получается плотность тока
У 2 /аЛ
厶=asha^- cha，(/z —z); I zm I =
2^'(/z——z)+ cos 2左，(九 ——z) ~ch 2kfh —cos 2kfh，
(4.14)
а также напряженность магнитного поля
Рис. 4.3. Распределение плотности тока в пазу:
а — для двух проводников； б — в двигателе с глубоким пазом (々=52 мм; 6=6 мм; а/%=0,85; Yqu—55-10® См/м)
Kr =Kr =(4.20)(4.20)
Kr =
Kr =
(4.20)
(4.20)
\Нт\ =
у亍/ 1 Zch 2^z (Л—z)—cos2^z (Л—a)
* 2 方 У ch 2^Л —cos 2kfh ，
(4.15)
(ср. табл. 2,1 „ графа 5, строки 5—7 при
d=2h).
Мощность Pz, проникающая в р-й проводник слоя (рис. 4.2), рассчитывается с помощью вектора Побитиига (1.19) как разность потоков мощности, проникающих через верхнюю (2=0) и иижнюю (z=/z) поверхности проводника,
Pz — Ы [3 /2( EmX 〃m*)z=0 —
—l/2(EmX"m*j・(4.16)
После преобразований
Pn = /z 二-…，小[(2戸一2р+ 1)Х «丫 |sh а，〃 I2
X ch a' h sh W* h — 2P(p— 1 )sh az* h].
(4J7)
Выделяя из (4.17) действительную часть Re[Pz]=/2R, а также активное сопротивление для постоянного тока R== ==Z/(yah), получаем для р-го проводника в пазу коэффициент увеличения активного сопротивления при переменном токе (коэффициент Эмде)
kup = «/^= )Р = ^ + Р(Р— 1 )Ф, (4.18)
где (рис. 4.4)
sh 2^7/ + sin 2kfh
p=1= k，h ch2^，〃一cos2^'〃
(4.19)
является коэффициентом [4.15] увеличения сопротивления Фильда для двигателя с глубоким пазом при р=1 (см. рис. 4.8,6) при 左'/i>2, Кк^Л%, тогда
с , sh h'h — sin k^h
@U 2欠力 ch k*h + cos kfh
Как следует из (4.18), наибольшие потери происходят в верхнем слое р=т.
Средняя величина kuz для всех т проводников, размещенных в пазу,
紘=/=Kr + f £ Р(Р— 1)屮=
P=1
= Kr+^^ 屮.(4.21)
Выделением из (4.17) мнимой части Im[Pz]=/2X и введением базисной величины Xq=®卩(也/ЗЬ)/ получаем для р=1 коэффициент уменьшения реактивного сопротивления проводника в роторе двигателя с глубоким пазом (рис. 4.3,6 и 4.4)
_ /3、3 sh2h'h—sin2h'h
Kl \ ^7ур=1= 2k'h ch 2k'h — co&2k,h
(4.22) при 〃/г>2; Kzx3/(2左％).
Рис. 4.4. Коэффициент увеличения активного сопротивления Kr и уменьшение реактивного сопротивления Kl двигателя с глубокими пазами; вспомогательные коэффициенты 归 н 吋 для (4.18) и (4.42)
Величина h'hx& (4.19) —(4.22) называется редуцированной или приведенной высотой проводника, В обмотках трансформаторов и электрических машин, за исключением двигателей с глубокими пазами и двойной клеткой, эта величина лежит в границах 0WE《L В этом случае можно приближенно заменить гиперболические и тригонометрические функции первыми тремя членами соответствующих рядов, в результате чего из (4.19)—(4.22) получаются широко используемые при расчетах электрических машин и трансформаторов (рис. 4.5) приближенные выражения
KR、1十(2/15)早；归=(1/3)耳；
瓦№ + (现2-0,2)耳/9； l=Wh.(4,23)
Прн большем числе проводников в пазу или катушке трансформатора
k = y^^~.(4.24)
Сравнивай рис. 4.2 и 4.5,6, можно увидеть аналогию между полем рассеяния в пазу и трансформаторе. Для трансформаторов размер Л является шириной проводника в радиальном направлении, размер а — его высота. Размер b представляет собой эквивалентную длину силовой линии потока рассеяния в зазоре трансформатора [4.4]
buLa/^kr；左рог 弋 1 —(网 + °2 + 6)/(TtL“).
(4.25)
По отношению к проводникам с круглым сечением и диаметром d используется
коэффициент увеличения активного сопротивления при переменном токе
左"0弋1 +(加2一0,2)f/15,25, E=^d,
(4.26) при этом в расчете принимается a=h=d. В трансформаторах вместо числа 15,25 в знаменателе (4.26) рекомендуется число 19,4.
Критическая высота проводников. Увеличением высоты проводника в пазу h при a=const достигается уменьшение основных потерь aQ==/2Rf но при этом быстро растут дополнительные потери (4.23). Высота проводника (в трансформаторах — ширина), при которой увеличение дополнительных потерь АРдсп начинает превалировать над уменьшением основных потерь, называется критической. Определяется она из условия экстремума
dс1,32
石(МР=)= 0, откуда %
(4 27)
Подстановка 九打 в (4.21) .позволяет заключить, что в правильно спроектированной обмотке при 加＞1 коэффициент 左ug 《1,33. Высота проводника й не должна превышать 5 мм [4,11],
Фазовый сдвиг токов 8 пазу. Если в отдельных слоих паза (рис. 4.5,а, в) проходят разные по значению токи с разным фазовым сдвигом, то коэффициент (4.18) для р-го слоя составляет
/J + /р/ц cos 丫 左“г = Kr + у^ 屮， (4.28) где 7Р ——суммарная МДС рассматриваемо^ го р-го слоя； /и—суммарная МДС от р-го слоя до дна паза; у — угол фазового сдвига между 4 и 7n.
•///〃//〃/"
miiilll iiiiiiII RW
Izllll W
s
」0dygH37
-B%zl 11 11 11 >協[21 a 冒勿皆I 11 11 lz 俗 rpl^l^lllllllllllI協回
Рис. 4.5. Определение коэффициента дополнительных потерь А^ и увеличения активного сопротивления (по [4,23]):
а — обмотка в пазах; б — обмотка трансформаторов; з — полые проводники в пазах [уравнения (4.29)—(4.33)1
=I + (加2/24)(8/з + cosy)". (4.32)=I + (加2/24)(8/з + cosy)". (4.32)В-ВВ-В101022c-gc-g6互У6互У:D-D:D-D97827364978273641010色色--ЧП--ЧП王т王тРис. 4.6. Принцип транспозиции проводников на 360°Рис. 4.6. Принцип транспозиции проводников на 360°
=I + (加2/24)(8/з + cosy)". (4.32)
=I + (加2/24)(8/з + cosy)". (4.32)
В-В
В-В
10
10
2
2
c-g
c-g
6
互
У
6
互
У
:D-D
:D-D
9
7
8
2
7
3
6
4
9
7
8
2
7
3
6
4
10
10
色
色
--ЧП
--ЧП
王
т
王
т
Рис. 4.6. Принцип транспозиции проводников на 360°
Рис. 4.6. Принцип транспозиции проводников на 360°
Полые проводники. Расчет дополнительных потерь в обмотках из полых проводников (рис. 4.5,8), используемых в больших машинах, основывается на описанных выше принципах. Однако дли снижения трудоемкости вычислений вводятся различные упрощения, что приводит к несколько разнящимся уравнениям [4.7, 4.1, 4.19].
Один из простых методов [4.7] не учитывает дополнительные потери в боковых стейках проводника с размерами 坛 и а—а0, что дает коэффициент дополнительных потерь для р-го полого проводника прн одинаковых токах во всех проводниках %=1 + (р—1 )*4/3,(4.29)
где
早=娅％; х4= [1—(Л0/Л)3](ай/5);(4.30)
s=ah—ао^о — сечение проводника.
Средний Коэффициент дополнительных потерь для всего паза с полыми проводниками
ь , (2m—1)5 —1)
m 2
(4.31)
При фазоБом сдвиге у между токами верхнего и нижиего слоев обмотки в пазу
Обмотки с укороченным шагом, В синхронных машинах используются обычно обмотки с укорочением шага 0=s/t=%-e- 12/з- Тогда иа q пазов фазовой зоны приходится Зд(1—⑶ пазов со сдвигом у=п/3 между токами, верхнего и иижиего слоев и д(3р—2) пазов с одинаковыми токами (у= =0). Коэффициент для пазовой части укороченной обмотки
Mzb% 1 + (М —0,2守/9)- (1 — Р) М0/16・
(4.33)
В целях уменьшения дополнительных потерь в обмотках применяется уменьшение высоты стержня Л; в больших турбогенераторах, в которых необходимо размещение в пазу параллельных проводников, нспользуетси транспонирование проводников (рис. 4.6). Это уменьшает так называемые циркуляционные потери, вызванные уравии- тельиымн токамн в параллельных проводниках.
Вследствие транспозиции проводников в пазовой части обмоток нлн лобовых соединеииих каждый из проводников занимает в пазу всевозможные положения. Таким способом достигается выравнивание электродвижущих сил в нескольких параллельно соединенных проводниках. Чаще всего используются стержни с транспозицией на 360° [4.8]. В мощных турбогенераторах для дальнейшего снижения циркуляционных потерь применяется транспозиция на 540е.
ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЦЫ ИНДУКТИВНОСТЕЙ
Типы индуктивностей. Для создания электромагнитного момента те в электрической машине (см. рис. 4.1) в соответствии с формулой
п+тп+т/=1 k=lп+тп+т/=1 k=ld也/£▼)d也/£▼)важное значение играет зависимость ии・ дуктивности Mjk от угла поворота ф. Если М/М屮)=const, то те=0.
п+тп+т
/=1 k=l
п+тп+т
/=1 k=l
d也/£▼)
d也/£▼)
В соответствии с (4,2) и (4.3) различают три типа индуктивностей М”： Afss и М〃 при i=h — собственные индуктивности обмоток статора и ротора; Afss и Мгг при *々一взаимные индуктивности только в статоре или только в роторе; Msa—Mrr при j娱左一взаимные индуктивности между обмотками статора и ротора.
Индуктивность /-го нелинейного контура рассчитывается по потоку 屮厶 сцепленному с витками ws /-й катушки,
屮/=$3"@"
/=1
собственная индуктивность
,吗 ^j (i. х)
Взаимная индуктивность рассматриваемого /-го контура, размещенного в потоке ^-го контура с током,
,吗％ ^/(^ х)
где Wjk — потокосцепление /-й катушки, обусловленной 左・м током.
В нелинейных контурах со сталью (рис, 4,7) различаются индуктивность статическая М〃 ст=^/0 и индуктивность динамическая М“ дин==& 屮/d". При слабых насыщениях 屯‘疥弋闪巾 и можио принять» ЧТО Л^днн^^Л^с т ^^^*
Собственная индуктивность статора или ротора. В электрической машине с nf т обмотками (рис. 4.1 и 4.7)
со
М於=Lf3ft十 £ "$v，j=左=1, 2, 3,..., я；
V = 1
(4.34)
[3.6][3.6]00Mik=Law + ^Mr»00Mik=Law + ^Mr»
[3.6]
[3.6]
00
Mik=Law + ^Mr»
00
Mik=Law + ^Mr»
или по магнитной коэиергии (рис. 4.7)
где Wmjгде Wmjконтра. [3.6] аконтра. [3.6] аоснове преобразования Лежандраоснове преобразования ЛежандраX”=3Z°s； Х°2 = з%г；X”=3Z°s； Х°2 = з%г；(4.36)(4.36)% =% =。吃/（i，X）。吃/（i，X）M$v, 44rv-—главные нидуктивиости статора и ротора для тока &; при №1,加=3 их можио рассчитать по выражению AfJV« U/MmhM$v, 44rv-—главные нидуктивиости статора и ротора для тока &; при №1,加=3 их можио рассчитать по выражению AfJV« U/MmhdiydiyРис. 4.7. Определение собственных нидуктивностей:а — потока рассеяния статора; б — влияние нелинейности сталиРис. 4.7. Определение собственных нидуктивностей:а — потока рассеяния статора; б — влияние нелинейности сталина собственную индуктивностьна собственную индуктивность
где Wmj
где Wmj
контра. [3.6] а
контра. [3.6] а
основе преобразования Лежандра
основе преобразования Лежандра
X”=3Z°s； Х°2 = з%г；
X”=3Z°s； Х°2 = з%г；
(4.36)
(4.36)
% =
% =
。吃/（i，X）
。吃/（i，X）
M$v, 44rv-—главные нидуктивиости статора и ротора для тока &; при №1,加=3 их можио рассчитать по выражению AfJV« U/Mmh
M$v, 44rv-—главные нидуктивиости статора и ротора для тока &; при №1,加=3 их можио рассчитать по выражению AfJV« U/Mmh
diy
diy
Рис. 4.7. Определение собственных нидуктивностей:
а — потока рассеяния статора; б — влияние нелинейности стали
Рис. 4.7. Определение собственных нидуктивностей:
а — потока рассеяния статора; б — влияние нелинейности стали
на собственную индуктивность
на собственную индуктивность
^J=^/-^/= j 巧&・j,
if fdWr} — магнитная энергий
j = ^ =：n + 1,"+2,…，" +加， (4.35)
где L 冗， L皿 一 индуктивности рассеяния обмоток статора и ротора, рассчитанные по реактивным сопротивлениям рассеяния этих обмоток,
Расчет индуктивности рассеяния. Индуктивность рассеяния на фазу определяется как
2厶
4 = ®а "^-(入加 + 入cn + 入3)=炉£a
(4.37)
где w = wzpq — число последовательных витков фазы; Wz—число проводников в пазу; X ——магнитная проводимость для потока рассеяния на единицу идеальной длины паза;九мд ——дифференциальная проводимость ГОЛОВОК зубцов； Xcz — проводимость лобовых соединений； Хд —дифференциальная проводимость; £а—суммарная проводимость в фазной обмотке;厶一идеальная Длина паза, l*=lt—ng 匕'==炉/仅十弘)；％ — Длина стали якоря; п — число радиальных вентиляционных каналов шириной 瓦
Рассеяние пазовое и между головками зубцов. Индуктивность рассеяния паза (табл. 4.1, п. 1)
勺
工吗戏(4・38)
х=0
При условии цре>Ио индукция в пазу в точке 尤
вх = ^ОНХ = 厂汕а при Х>Л1
%
Поток, сцепленный с проводниками в пазу,
Wz = % / (g y*^ Bxdx + wzB2h^i =
61
i""。保+豈卜(4.39)
Поскольку фазная обмотка занимает Zm=2pq последовательных пазов, полная индуктивность фазы
G= 2pq —■—=пу2入 z；
力 pq
Соответствующие выражения Хг для пазов различной формы приведены в табл. 4.1. В обшем виде
g屮旦仆(4.41)
В укороченных обмотках (S/tV1) в некоторых пазах находятся проводники соседних фаз, ослабляющих поле рассеяния.
Это явление учитывается коэффициентами а и 6 (табл. 4.1, пп. 7.8).
При большом числе проводников (g= = ^</>1) реакция вихревых токов ослабляет поток рассеяния (см, рис. 4.3), нэме- ияя несколько пазовую индуктивность, В этом случае часть пазовой индуктивности на высоте, занятой обмоткой, следует умножить на коэффициент демпфирования (табл. 4.1)
加2—1
%=蒞勺+寸屮<1,^>1*
(4,42)
где m ——число стержней высотой 瓦 лежащих на высоте Л] паза одни иад другим; Kl=Kl 侬d) по (4.22) и рис. 4.4;
ch kfh—sin krh kfh ch k*h -f- cos kfh
(4.43)(4.43)При 肥九VL t. e. Лси^1 см, можно принять kti^\t тогда коэффициент kti (4.42) для обычных обмоток не имеет практического значения.
(4.43)
(4.43)
К пазовой проводимости Xz по табл. 4.1 следует добавить проводимость по головкам зубцов Kg. Поток рассеяния между головками зубцов по сравнению с осталь- иымн составляющими незначителен и трудно рассчитывается из-за сложной формы силовой линии между головками (рисунок к п. 1 в табл. 4.1). При больших зазорах (например, в синхронных машинах) можно использовать формулу [4.3]
53 3S/t + 1 匕卩
LM 欣+1Й -~4— ~
(4.44)(4.44)где bp — ширина полюсного наконечника.
(4.44)
(4.44)
Для машин с малым зазором рассеяние между головками зубцов рассчитывается как средняя проводимость двух крайних положений (рис. 4.8):
в статоре
入gs = P'O入gs = P'OJr-(紘 + b什)3S/c + 1 .Jr-(紘 + b什)3S/c + 1 .16516544(4.45)(4.45)в фазном роторе
入gs = P'O
入gs = P'O
Jr-(紘 + b什)3S/c + 1 .
Jr-(紘 + b什)3S/c + 1 .
165
165
4
4
(4.45)
(4.45)
入g® = Ro入g® = Ro/16'- (匕4$ + 匕")3S/c + 1/16'- (匕4$ + 匕")3S/c + 116316344(4.46)(4.46)Суммарная и идуктнвиость рассеяния н головок зубцов
入g® = Ro
入g® = Ro
/16'- (匕4$ + 匕")3S/c + 1
/16'- (匕4$ + 匕")3S/c + 1
163
163
4
4
(4.46)
(4.46)
пазовогопазового% =炉—^-(入z + %) .% =炉—^-(入z + %) .(4.47)(4.47)Рассеяние лобовых соединений. Вследствие сложной геометрической конфигурации расчет поля рассеяния лобовых соединений затруднителен н ие точен. В этом случае можно использовать метод зеркальных отражений [1.22], позволяющий заменить стальные поверхности и зазор между ними 6 воздушным простраиством с отра-
пазового
пазового
% =炉—^-(入z + %) .
% =炉—^-(入z + %) .
(4.47)
(4.47)
Для а 入 z =^ р<0Для а 入 z =^ р<0(大"+3(大"+3…。（争"+簣哈^）…。（争"+簣哈^）
Для а 入 z =^ р<0
Для а 入 z =^ р<0
(大"+3
(大"+3
…。（争"+簣哈^）
…。（争"+簣哈^）
Таблица 4.1. Расчет пазовой индуктивности 厶=必 ^i■入％ нлн реактивного пазового сопротивления 乂之=3厶
№ п/п.Обмотки
Однослойные
ДЛЯ 4入z =出0 (*■ kti + "a j 4 +力华員)，
где ku — коэффициент ослабления поля рассеяния вследствие реакции вихревых токов (4.42); при 月“« < 1, т. е. прн 力cu W 1 см 月"弋1
Н53收（%他）=章（瓦+分）
Зи Г 1 — и
2(1 —〃)+(1—и)2+2Е〃
■2(17)3
=%/阮
Обычно 0,5《坛/瓦<2, тогда 々"=%:1
а = дг/ 匕 ° прн Ьг = Ьо, а = 1 х — 1
入z =圆卜新 М + Va arcsin/r—(力/%户+ -—
3 I . Ina11
J --—
(I +«)2 I (1 +a)2(1 —a)22(1—a)
一一7"!' b/ bz
入z = в0 I 0,1424 + 用一財上 + 金■十+ 十 arcsin |/1—(i>4/*z)2 + 含］kft определяются по формулам п. 2
№п/п.
Обмотки
5
入z = No(0,644〃+ })
Эквивалентное раскрытие паза для закрытых пазов произвольной формы
〃 =/ш2* 10~4 см, где Iwz—действующее значение МДС паза, Л
7
8
陪"^伍同2 + 3出+券］
Двухслойные8 трехфазной обмотке
а = 0,25 + 0,75b
S2 s
b = 0,75 + 0,25 при —《—« 1
丄，L s1s2
Ь= 1,5—-0,25 при -^《-《— X3 t3
人i口胃M +Ь(今+窗:，П V+
В открытых пазах b& = &z,厶2 =力з = °, в двухфазных двухслойных обмотках b = S/u
:%=簣0，1424 + 紐，,+^ 財,，+备+"
飞 4--^ arcsin /H=(W + v)+^b? 2'3 lg ^ +<?，^ ] ^
:r 〃e b‘ = 1 + 3 — ; C* = 1,5 —0,5;曲厂，也“〃 по п. 2
женными эквивалентными токами (рис. 4.9). Таким образом, задача сводится к расчету собственной и взаимной индуктивностей прямолинейных участков проводников и рамок соответствующих форм (рис. 4.9,8). При расчетах рекомендуется использовать также метод векторного магнитного потенциала 4
Поток Ф2ь обусловленный током рам・ ки / и сцепленный с рассматриваемой
частью 成2 рамки 2
=；§厶為2A血,
(4.48)
Рис. 4.8. Определение мостн рассеяния между машннах с малымРис. 4.8. Определение мостн рассеяния между машннах с малымfir -(b4$+ b").fir -(b4$+ b").4・234・23Xg2 ^ ОXg2 ^ О
Рис. 4.8. Определение мостн рассеяния между машннах с малым
Рис. 4.8. Определение мостн рассеяния между машннах с малым
fir -(b4$+ b").
fir -(b4$+ b").
4・23
4・23
Xg2 ^ О
Xg2 ^ О
магнитной проводи- головкамн зубцов в
зазором % =
人$Г=~ (入gl+ %2)；
Интегрированием (4.48) по всему сечению рамкн 2 находится полный поток, сцепленный с рамкой,
^21 = У ф 厶曲2厶2办2 = ~~ j /2^2^^2-
$2，2。2
(4.49)
Векторный потенциал Д2 по контуру рамкн 2 обусловлен током рамкн 1. В соответствии с (1.37)
откуда
"盖h"d%diq, (4.50)
тогда общая завнснмость, описывающая взаимную индуктивность рамкн 2 от тока ii рамкн /,
fl »2
(4.51)
где r — расстояние между элементарными объемами dV\ и d% обенх рамок.
Поскольку рамки (можно заменить достаточно тонкими проводинками /jJg aV\dV^==i{izd l^d^ то в соответствии с
М”и^§§ 绡， (4・52)
G U
при этом иитегрированне проводится первый раз вдоль контура / и второй раз по контуру 2 (рнс. 4.10,6).
Собственная индуктивность контура 厶 получается из (4.51) прн условии, что оба контура идентичны н сближаются друг с другом до полного слияния. Тогда /1=г2= gf,%==%=к откуда
L = -^r^^-dVdV'.(4.53)
Иитегрированне проводитсядвукратно
(рис. 4.10,。).
Для тонких проводников (4.53) нельзя интегрировать 2 раза [как в (4.52)], поскольку результат стремится к бесконечности, В этом случае отдельно рассчитывается внешняя индуктивность Lz для потока Фг> ограниченного внутренним контуром 厶(рнс. 4.10,6), которая затем складывается с внутренней индуктивностью
Рис. 4.9. Метод расчета поля рассеяния лобовых частей с использованием зеркальных отражений:
а — реальная система; б —■ представление зазора; в — представление влияния зазора п стали; М=(%—1)/(% + 1)； для стали(m》1)Mr + 1, для медного экрана (цзг«0)Л1«—1
Рис. 4.10. Расчет собственной индуктивности контура:
а — hdh произвольной форме и произвольном распределении плотнрстн тока； б—из тонкого провода
контура. Последняя рассчитывается как для прямолииейирго круглого проводника L»= =М/8九 Тогда
l=厶 + g=~^~ ^ ^^~+^в(4屈)
Выражения (4.53) и (4.54) используют так называемый метод участков [4.5] для расчета индуктивности. С этой целью контур 1 (рис. 4.11) разделяется на m участков, а контур 2—на п участков. Тогда линейные интегралы в (4.52) по контурам Zi и 厶 предстаиляются суммой иитегралои по выделенным участкам 厶在 и ZiP
財21 = £ g 必3 2Р，(4.55)
А=1 р=1
где
Mkpbjj /竿. (4.56) '1А Z2p
Выражение (4.56) можно рассматривать как взаимную иидуктивиость между А-м участком контура 2 и р-м участком контура 1. Аналогично рассчитываетси собственная индуктивность [4.5]. Для этого контур (рис. 4.10,6) делится на m участков и (4.54) приобретает вид
При А=р выражение под знаком двойной суммы можно рассматривать как внешнюю индуктивность LXk ^-го участка контура. При 力*" эту величину можно трактовать как взаимную индуктивность М初 между А-м и р-м участками контура. При расчете Мм (рис. 4.10,6) можно принять
^1A, 2P N ^lk, ip = Mfep； ^lp. 2fe^： ^ip, lfe= ^pfe»
Поскольку Mfgp = Мрк，то [4.5]
^ = 2 厶識+2 2 S Mkp + J， (4・58) 业=1々=】？=1
где
\fe Zlp
причем d Z j — элемент иа оси Л-го участка; 2『1 — элемент на оси р-го участка.
Собственная индуктивность элемента системы лобовых соединений. Основным элементом системы проводников, отображающих лобовые соединения (см. рис. 4.9), является рамка с, s (рис. 4.12). Это соответствует случаю ферромагнитной торцовой поверхности сердечника, т. е. здесь следует учитывать взаимную индуктивность с возникшими отраженными токами.
Рис. 4.11. Расчет методом участков
взаимной
индуктивности
Рис- 4.12. Определение собственной индуктивности элемента лобового соединения (рис. 4.9 при 因》1)
Arshx =Arshx =d = /c2-|-S2・d = /c2-|-S2・
Arshx =
Arshx =
d = /c2-|-S2・
d = /c2-|-S2・
Если торцовая поверхность магнитопровода экранируется медным листом, то можно принять в первом приближении а“^0, тогда отраженные токи меняют направление, рассматриваемая элементарная рамка имеет размеры 2G s и дополнительные сцепления отсутствуют.
Если с》л)и s》r(), т。можно воспользоваться выражением (4.58). Поскольку dlzdl2 —dl\dl2 cos 0, взаимная индуктивность между перпендикулярными сторонами равняется нулю (cos 0=0). Для противоположных сторон cos 0=—1. Для собственной индуктивности Lzk значение 8s 0=1.
Сначала рассчитывается взаимная индуктивность MkP между противоположны* ми сторонами длиной с.
В соответствии с (4.59)
1/p,0 Л е Г 由]或2
M = ~СОЕ 9 j )=
5厶2
!/事 + (工二 *1)2 о о
=-豈 j (Arsh 宁+Arsh^)厶]= 0
_&fArsh 卫小= о
(Ar$h
(4 60)
Используя преобразование =ln(x + 厶工不),получаем
S・61)
Соответственно для сторон д лииой $
Внутреннюю собственную индуктивность проводников всей рамки длиной 2(c+s) описывает выражение
ЛМСМ】(с+5)・(4.65)
Таким образом, с учетом (4.58) собственная индуктивность одновитковой рамки (рис. 4.12)
厶=2〃 + 2〃 + 2检+2独 + % =
Г 2cs2cs
=—— с In + s In
"[ r0(c + d} r0 (s + d)
—2(c + s — d)] + -^― (с 4-5).(4.66)
Следовательно, расчет индуктивности сводится к манипуляциям с геометрически- «мн параметрами, определяемыми длиной лобовых соединений Z«=2c+s.
В действительности в каждом лобовом соединении имеется wf=w/(pq} витков, а в группе лобовых соединений — g единичных, если лобовые соединения располагаются в двух плоскостях, и д/2 соединений, если они находятся в трех плоскостях [3.6].
Контуры с более сложной конфигурацией можно по принципу суперпозиции свести к простым формам, описываемым (4.66). Например, индуктивность L контура 123456781 (рис. 4.13) «можно рассчитать как сумму элементарных прямоугольных рамок
L = L1234581 + L56785 十 2Л4,(4.67)
где М — взаимная индуктивность рамок 1234581 и 56785.
Точный расчет индуктивностей лобовых соединений, а затем снл и дополнительных потерь в этой зоне требует в каждом случае анализа на основе (4.66) и (4.67) с учетом всех отраженных токов н действительной конфигурации соединений. Эта процедура может быть реализована на вычислительной машине.
Модель без стали (рис. 4.9, 6) создает более удобные условия физического моделирования. В некоторых случаях метод физического моделирования позволяет быстрее получить требуемую информацию по сравнению с расчетными методами.
Ms — —— In；+}.
2л \ s+сГ s /
(4.62)
Наружная собственная индуктивность прямолинейного проводника следует из (4.61) и (4.62) при условии cos 0=1. Тогда если c^s, s^rQt то
(4・63)
Рис. 4.13. Применение принципа суперпозиции для расчета индуктивности контура 123456781 при помощи индуктивностей прямоугольных рамок
%=咪（*一
(4.64)
Таблица 4.2. Расчет индуктивностей лобовых соединений обмоток Lcz = ш —- Xcz и реактивного сопротивления Хсг = co/cz
№
Асинхронные двигатели; обмотки статоров н фазвых роторов
1
2
Двухслойные с раздельными группами
Г f q/2 4^F ^cz ~ Р*о . (^^^сг一 0,43т/)
Трехслойные
倫Л« = Ро— (0,47/сг —0,3т-)
D — hz
大—冗 ；■;力z — высота зубца
3
Однослойные [4.6] 入cz= 0,2*0 F lcz
4
ДвухслоГные петлевье или Еолновые:
п。[4. 6] X^z = ^О-^- (°,34/cz — 0,22т//), у= —
по [4. 11] 必=Nq% 个 ~~ М3{/ — 1)
При р — 1 kcz = 0,45； при p > 1 Acz = 0,3; при p^ 1 и магнитных бандажах kcz ^ = 0,7; m—число фаз
5
Двухслойные [4.9]
1//у/〈j〃 ^^ — sin ^_^_ -^-^ —коэффициент укорочения
6
Однофазные при g>4 入：厶2 [4.11]
7
Асинхронные двигатели; обмотки короткозамкнутых роторов
«Х6 — сечение короткозамыкающего кольца； Д = 2 sin ——
8
Синхронные машины [4.13, 4.2]
q/т S \rD
Acz = Рч> —1сг\а—Ь-— , t=—
Продолженае табл. 4.2
Внд обмотки
Форма соединений
Ротор цилиндрический
Явные полюса
а
6
а
6
Лобовые соединения в двух плоскостях
0,493
0,419
0,440
0,270
0,513
0,458
0,457
0,308
0,571
0,498
0,477
0,290
0,605
0,577
0,518
0,380
0,544
0,469
0,483
0,320
Лобовые соединения в трех плоскостях
0,342
0,380
0,199
0,250
0,297
0,324
0,065
0,109
0,371
0,205
0,324
0,329
0,081
0,161
Катушки одинакового размера
Однослойные обмотки
0,205
— 0,218
0,236
— 0,205
Двухслойные
0,167
— 0,155
0,187
— 0,168
На практике используются чаще всего полуэмпирические упрощенные выражения в виде
9/, ьс2 = го3 ―— Acz>(4.68)
pq
где 九cz ——проводимость рассеяния лобовых соединений на один паз и на единицу длины машины (табл. 4.2).
Дифференциальное рассеяние. Дифференциальным рассеянием называется разность между действительным распределением поля в зазоре (3.22) и его основной гармонической (v=l). Рассеяние это* обусловливается магнитной проводимостью Хд для высших гармонических (см. рис. 3.4), зубцовых (рис. 3.12).
В синхронных машинах из-за большого зазора б поля высших гармонических играют иезиачительиую роль. В асинхронных машинах пренебрегать влиянием этих полей нельзя. Высшие пространственные гармонические МДС независимо от порядка v всегда вызывают в обмотке статора электродвижущую силу £v с частотой сети 厶, поскольку в соответствии с (3.23)
加=门1/Y；几=叮以
fv = P/у =、pq = pn* = fV
Сумму ЭДС 2£v в статоре и роторе можно трактовать как падение напряжения в статоре на дифференциальном реактивном сопротивлении 爲 обмотки статора. Реактивное сопротйвление можно рассчитать из энергии поля Li^/2=Wm или на основе гармонического анализа поля.
Определение дифференциальной индуктивности 丄口 из энергии поля. В соответствии с определением
丄以 -丄——l"(=£mi(步m/犷ml - D =
=厶"1(2戸- 1),(4.69)
где Wm — ^Li2 — энергия действительного поля в зазоре, пропорциональна я квадрату действующего значения 尸28K реальной кривой МДС с зазоре; Wmi = 42Lmli2 — энергия поля первой гармонической, пропорциональная квадрату действующего значения первой гармонической (Гт1/У2 )2—
Поскольку реальная МДС 尸=尸1 + +》戸，а ее действующее значение
嵐=%倍"+%Х 嗑，(4.70)
то после подстановки (4.70) в (4.69) 丄д = ^ПИ 2 (尸mv/尸mJ2,(4.71 )
где Lm\ — так называемая полная главная индуктивность, учитывающая ие только поток Фт собственной фазы, ио и сумму потоков (т/2) Фт всех т фаз.
Принимая во вннмание расчет собственной индуктивности Mij статора, по (4.34) получаем для т = 3 и v= 1
Lmi = 1,5Л4$,у=] В у
-/%4,442 •
Выражение (4.72) позволяет производить расчет или экспернмеитальное определение как Lmi, так и М%、』иа основе параметров машины, причем р= 1,1-=-1,5 — коэффициент, учитывающий, что энергия поля сосредоточена не только в зазоре, но н в других частях магнитной системы машины. Расчет индуктивности по (4.72) иа основе конструктивных данных основывается иа анализе гармонических поля.
Определение индуктивности Ед из анализа гармонических поля. Максимальная МДС v-й гармонической Fmv равняется сумме магнитных напряжений вдоль силовой линнн. Дли асинхроииого т-фазного двигателя
Fm = °—^―«!у j 1 = 2勿 + 2% +
+ 2嗅2 + И;1 +【％、2Vpk& (4.73) где Vp = (^l^o)^mp^c ——магнитное напряжение в зазоре
° = sin ук/2 = + 1; kns =(ур + У21 + + %2)/勿、1,05+1,6(4.74)
—коэффициент насыщения, учитывающий падение магнитного напряжения 匕【и Vz2 в зубцах статора и ротора.
Из (4.73) следует
8呻、=%盡^；纥=
= 4,44f%» (~!"十"%?)(4 75)
причем величина о=，±1 принимает значение только 十 1.
После расчета суммы ЭДС £ £v=
=/Хд с учетом Хд=(о£д, а также (4.41) определяется удельная магнитная дифференциальная проводимость
”=廿。Т^Г尼 £ (~F)，(4・76)
а также дифференциальная иидуктивиость |丄产爲/s = J [2〃/(留)]入4. (4.77)
Используя уравнения для обмоточных коэффициентов (3.7)——(3.10), можно рассчитать параметр s(^)2 - °- ток с разным числом паэов на полюс и фазу и при разном шаге укороченных витков S/r (рис. 4.14 и 4.15).
Выражение (4.76) применимо для фазных обмоток статора и фазного ротора (рнс. 4.14, а). Дифференциальная магнитная проводимость обмоток статора асинхронных двигателей с клеточным ротором рассчитывается также по (4.76) с последующим умножением результаты иа коэффициент f (рис. 4/4, 6, в).
Магиитиую проводимость и дифференциальное реактивное сопротивление короткозамкнутых роторов (рис. 4.14, г) рассчитывают так:
母宼工(М);
Хул =甸"—к(4.78)
Для двухфазных и однофазных машин используют (4.76) и кривую на рис. 4.15.
2, Расчет главных индуктивностей Msv, Мт^. Общий метод расчета индуктивности обмоток основан иа определении составляющих индукции &, /,瓦 в зазоре (см. рис. 4.7, а).
Магиитиое поле в зазоре описывается уравнениями 丿=丫后=0, rot〃 = 0; div fi = 0； 8 = = Ro〃；(4.79)
на основе тождества rot grad V^sO и rot Я=0 можно записать
Яgrad V = 一/ 叫 一 / % —
дх д
九
一吋，(4・8。)
где %=%(% У，2) — скалярный магнитный потенциал.
На основе тождества divgrad 厶= =АУИ и divB=0 получается уравнение Лапласа divH=A%=0 или
^Vp/dx2 + dW^/dy + 不 丫卩/勿纟=0. (4.81)
Уравнение (4.81) решается методом разделения переменных путем подстановки
匕l= 2 ^n^n(x)Yn(y)Zn(g) t(4.82)
n=l
тогда для V^n получается
XJ/( + Ynff/Yn + Zn^/Zn= 0.(4.83)
6
夕二2
Рис. 4.14. Коэффициенты для расчета индуктивности по (4.77) и реактивного дифференциального сопротивления рассеяния Хд=з£д в трехфазных асинхронных двигателях (/7г = 3; w = 5, 7, 11, 13 ...):
а — обмотки статора двигателей с фазным ротором и фазного ротора； 6 — обмотки статора двигателей с короткозамкнутым ротором и нескошенными пазами; в — обмотки статора с ^коротко- замкнутым ротором и скошенными относительно статора на одно пазовое деление зубцами; г — обмотки короткозамкнутых роторов (/ — прямые пазы, 2 — со скосом относительно статора на одно пазовое деление)
Поскольку каждое из слагаемых (4.83) зависит от другой переменной, уравнение выполняется только в случае, если
Х„Т1Хп= 4,
откуда X/ — Ап^п = О；
I
откупа У『一8餘=0;(2 84)
Znr lzn = — (4 + 8亩，
откуда Z/+ (4 + %)=0. I
Если предположить, что Ап =—饱纟，
вЛ= _f总tо 108
Xh = Сщ cos 6门用 + Cgn sin 卩产；
Уп = Сзд cos 7]пу -f~ С^л sin ^]^；■(4. 85)
Zn = Суг ch m„z + Cgn sh m&
После определения постоянных из граничных условий по (1.82) определяется функция "p,= Vp,(% У，z), а затем по(4.80) составляющие икдукцнн
8*= —а/%/。》； В尸 fdVJ。％
%=一户叫/火.(4.86)
Индуктивность определяется нз L = =d中/或 путем интегрирования индукции по контуру вктка или обмоткн. В обычных электрических машинах в первом Приблп-
Рис. 4.15. Коэффициент для расчета дифференциальной индуктивности Ед и реактивного дифференциального сопротивления рассеяния Хд в двухфазных (т=2) и однофазных машинах (m=I) (по [4.1!])Рис. 4.15. Коэффициент для расчета дифференциальной индуктивности Ед и реактивного дифференциального сопротивления рассеяния Хд в двухфазных (т=2) и однофазных машинах (m=I) (по [4.1!])
Рис. 4.15. Коэффициент для расчета дифференциальной индуктивности Ед и реактивного дифференциального сопротивления рассеяния Хд в двухфазных (т=2) и однофазных машинах (m=I) (по [4.1!])
Рис. 4.15. Коэффициент для расчета дифференциальной индуктивности Ед и реактивного дифференциального сопротивления рассеяния Хд в двухфазных (т=2) и однофазных машинах (m=I) (по [4.1!])
ция /-й фазовой обмотки составит
/) = ：* 屮 X
(4.89)(4.89)X £ о cos V -^- х,
(4.89)
(4.89)
причем начало оси х переносится иа магнитную ось рассматриваемой фазной обмотки. Ниже рассматриваются только фазные обмотки.
Собственный поток ❿ “ (см. рис. 4.7,а) v-й гармонической индукции (4.89), сцепленный с /-й обмоткой,
"2
W“ = a%dj = ai%11t § Вр(х, t)dsc =
—т/2
420⑵2%.... =才万k '/■420⑵2%.... =才万k '/■
420⑵2%.... =才万k '/■
420⑵2%.... =才万k '/■
(4. 87)(4. 87)
(4. 87)
(4. 87)
жении ограничиваются часто рассмотрением только основной составляющей индукции в зазоре Bzv = BPv (х, /). В соответствии с (3.2) и (4.73) мгновенное значение индукции в зазоре
4b(М f)=i©"2.
Построение математической модели машины может основываться на матрице индуктивности отдельных витков при исследовании влияния внутренних витковых асимметрий (например, коротких замыканий и т. п.) иа динамику матнин или на матрице иидуктивиости фазовых обмоток при исследовании динамики симметричной машины.
Если отдельные обмотки /== 1, 2,...» п (см. рис. 4.1) представлены единичными проводниками или w витками, то индукция в зазоре с учетом высших пространственных гармонических МДС v = 1, 3, 5 ... в контуре /-го витка в соответствии с (4.87) и (3.5) составляет
Собственная главная индуктивность фазной обмотки статора 》Mv по
(4.34) или ротора 2 М叫 п0 (4.35), рассчитанная по полному потоку, сцепленному с /-й фазой ” W中V /, определяется выражением
(4.90)
причем дли статора (/=s)/ = l, 2, 3,… ...,л — см. (4.34); для ротора (/=ш)/ = =м 十 1,门+2, ..., п-\-тп — см. (4.35).
При расчете по (4.90) для v>l можно использовать графики на рнс. 4.14 н 4.15.
Взаимные индуктивности только статора или только ротора. В машине с п, т обмотками (см. рис. 4.1) поток, сцепленный с рассматриваемой /-й обмоткой ^jk — ^i^ikFk, создается МДС Fk
X cos Vх,(4.88)X cos Vх,(4.88)Рис. 4.16. Определение потокосцепления 中ja с /-й обмоткой статора (2л/л) или ротора (2”т)Рис. 4.16. Определение потокосцепления 中ja с /-й обмоткой статора (2л/л) или ротора (2”т)
X cos Vх,(4.88)
X cos Vх,(4.88)
Рис. 4.16. Определение потокосцепления 中ja с /-й обмоткой статора (2л/л) или ротора (2”т)
Рис. 4.16. Определение потокосцепления 中ja с /-й обмоткой статора (2л/л) или ротора (2”т)
где 6<=6^с kns； o=sin V л/2= ± 1;尤 一 координата по контуру машины, считая от осн /-й обмотки.
Если обмотки t=l, 2, 3,..., л являютси фазными обмотками многофазной машины с числом витков на фазу w^w^pq, то МДС одного витка для v-й гармонической (4.88) следует умиожнть на qkwv, и индук
А-й обмотки (рис. 4.16). Поэтому с учетом (4.89)
т/2
屮次=5/А/& =侬/k C Bp(xJ)dx =
—*2
+ (j - 1)— —(用 一 л -■ 1) — > dx.
(4.94)
После интегрирования (4.94) отиоси-
,4 因
"22
若J£e—1/2 v2л "I I
тельио
%,
中公по ik
X
ность
ротора W2
X cosv —%+ (j—总)；dx.
(4.91)
M
, а затем дифференцирования находится взаимная иидуктив-
между обмотками статора W\ и
4阿咿2内
/=寸一^-7
s
厶Blv&gv2 х
где 6/=5用с用g； a=sinvn/2=±l.
После интегрирования (4,91) дится взаимная индуктивность —d^fk/dik многофазных обмоток = Wk=W):
в пределах статора
m用=_2X
/ М Р 0£
нахо- М"= (5『
Г2тс
XCOSY ср + (j—1)—-
2% I
—但—1)——， mI
х£ (汩丁v(j「©
2冗
(4.92)
t = l, 2,..., л; А= 1, 2,..., л; пределах ротора
j#； в
22л
cos y(j-尼)-
(4.93)
где /=л4-1, л+2, ..., л4-т；也=门+1, п+ +2, ..., п+т; j*总
4.3.4. Взаимные индуктивности между обмотками статора и ротора. Поток Т/а,
(4.95) j=l, 2, ... л; k — п -}- 1, л4~2> •••, л-f-^» М ih = М/
Пример 4.1. Определить элементы матрицы иидуктнвиостн трехфазиого двигателя с фазным ротором.
Решение. Если принять л=т = 3 и ограничиться рассмотрением первой про- страиствеииой гармонической поля (*v=l), то собственная индуктивность статора или ротора
M/h = Lr + M=i =
const
где
也=1, 2, 3 или 也=4, 5, 6,
(4.96)
сцеплеииый с /-й обмоткой здаиный 也-м током ротора
屮用=5jA/k% =
статора и со- (рис. 4.17),
мУ二]
Ei 4h.о芸%%*
ЗВ kflj 1^ р $1
.(4.97)
=5山 j Bp(x, t)dx = wfl[-^-^~ х
а также главные индуктивности: взаимная только статора или ротора
X
-cosy 卜 +
27c
М/ ^ M”=i cos (j —也)
J / ^ A; j t A = 1, 2, 3 или Xf j 尹；7, A = 4, 5, 6;
(4.98)
взаимная между обмотками статора и ротора
伙&
Рис. 4.17. Определение потока, сцеплеино- кого с обмотками статора и ротора
^/fe =
叫1
i)
M=icos ? + (/ —
1, 2, 3;也=4, 5, 6. (4.99)
Главное фазное реактивное сопротивление трехфазиой машины в т/2 раз больше и составляет
з £^ Ar』=~ ^iHoh х
^\ th
Главапятая
АСИНХРОННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ
О 7234О 7234Рис. 5.1. Метод расчета параметров двигателя с глубокими пазами:а — действительный паз; б — отображение в форме плнты с толщиной d—2h (направляющая линейного двигателя)Рис. 5.1. Метод расчета параметров двигателя с глубокими пазами:а — действительный паз; б — отображение в форме плнты с толщиной d—2h (направляющая линейного двигателя)КХКХvr^^-^xvr^^-^x
О 7234
О 7234
Рис. 5.1. Метод расчета параметров двигателя с глубокими пазами:
а — действительный паз; б — отображение в форме плнты с толщиной d—2h (направляющая линейного двигателя)
Рис. 5.1. Метод расчета параметров двигателя с глубокими пазами:
а — действительный паз; б — отображение в форме плнты с толщиной d—2h (направляющая линейного двигателя)
КХ
КХ
vr^^-^x
vr^^-^x
ПОЛЯ ВОЗБУЖДЕНИЯ И ПАРАМЕТРЫ СТАТОРА
Поля возбуждения и параметры статоры (якоря) асинхронных двигателей рассчитываются по зависимостям, описанным в гл. 3 и 4. Значительная часть уравнений применима для расчета как асинхронных, так и синхронных машин.
В гл. 5 рассматриваются дополнительные вопросы, связанные с расчетом параметров роторов с учетом явления вытеснения тока.
РОТОРЫ С ГЛУБОКИМИ ПАЗАМИ, ДВУСТОРОННИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ДВИГАТЕЛИ С НЕМАГНИТНОЙ ВТОРИЧНОЙ ЧАСТЬЮ, ДВИГАТЕЛИ С ПОЛЫМ РОТОРОМ
Стержень ротора, размещенный в прямоугольном пазу (см. рис. 4.3,6), заменяется на основе метода зеркальных отражений бесконечно длинной медной шиной (рис. 5.1), на которую с двух сторон асимметрично падает поляризованная плоская электромагнитная волна (1.12) —(1.27). Электромагнитные процессы в такой шине описывает уравнение (1.15), решение которого приведено в табл. 2.1 (графа 5). Приравнивая аналогично (4.17) потери активной и реактивной мощности I2R^ и /?Х, определяют сопротивления ротора при переменном токе
R~ = R°Kr； Х = Х°К&(5 1)
т=к%=}ка
Рис. 5.2. Относительные сопротивления роторов двигателей с глубокими пазами (h — высота паза), полых роторов и подвижного элемента двустороннего лннеп- иого двигателя (d — толщина стенки)
где в соответствии с (4.19), (4.22) и рис. 5.2
sh 2也‘力 + sin 2也‘力
" ch 2论‘万一cos 2kfh
3sh 2也‘万-sin 2即力
'2欠力 ch 2kfh—cos 2也‘九'
/九
Ro = —~= 3卩/ =
、ahЗа
2(”九)2
(5.2)
±=а力=左'力=/ 彳 3戶Л— гак называемая редуцированная высота стержня; а — ширина стержня; Ь — ширина паза.
В двигателях с глубокими пазами обычно 九=40+55 мм, Ь = 2-^ 6 мм. Поскольку при 50 Гц коэф-
фициент acu=左 cuqI cm^1; Aai^ q 0,7 см-1, to E=^%=§,2+5,5. В этом диапазоне KR^k'h и Kl= = 3/(2也％) (рис. 5.2).
Это приводит при пуске машины к резкому вытеснению тока (рис. 4.3,6) почти трехкратному увеличению активного сопротивления RzpKrRo и почти двухкратному уменьшению реактивного сопротивления X2^KlXq. Однако вследствие большой высоты стержня Ai реактивное сопротивление Х2 является при 50 Гц величиной того же порядка, что и активное сопротивление 丸・
По мере увеличения скорости ротора частота скольжения %= =5fi_ уменьшается, причем 左си~ qJZT и 占必了家.Это приводит к постепенному уменьшению активного сопротивления и увеличению реактивного сопротивления таким образом, что при скольжении s^O」 получается KrbKlM и отношение R2/X2 принимает значение в несколько раз (примерно в 5 раз) меньше, чем при s=L В этом случае двигатель работает как бы без вытеснения тока (см. рис. 4.3,6).
Линейные двусторонние двигатели и двигатели с полым ротором. Как показано на рис. 5.1, электромагнитные процессы в проводнике, размещенном в пазу высотой Л, аналогичны процессам в проводящем листе толщиной d=2h. Такой лист играет роль вторичного контура (ротора) двустороннего асинхронного линейного двигателя с немагнитным вторичным элементом (направляющей) (см. рис. 3.6,8) или двухфазного исполнительного двигателя с полым ротором (см. ниже рис. 7.1).
Отличие от двигателя с глубоким пазом заключается прежде всего в значительно меньшей толщине стенок d, которая достигает 6— 2 мм в линейном двигателе и 1 — 0,2 мм — в двигателях с полым ротором. Из (5.1) следует
X 一芻心_sh 2论‘九-—sin 2论'九 ,5不
RoKr— sh 2肥九 + sin 2k「h ' ，) 112
При малых толщинах d или малых частотах, таких, что 2ЛЛЛ = =^d《l, т. е. dca《10 мм и dAi《 《12 мм (при 50 Гц), после представления (5.3) рядом, в котором отброшены малые высших порядков, получим
XIR~3&kd『 kd《L (5.3а)
Это означает, что при толщине стенок меньше нескольких миллиметров участие реактивного сопротивления ротора резко уменьшается и уже при d=3 мм и 50 Гц составляет менее 3%. Благодаря этому в большинстве линейных двигателей и двигателей с полым ротором реактивным сопротивлением Х2 можно пренебречь.
Элементы матрицы сопротивлений R2 ротора двигателей с короткозамкнутой клеткой, линейного двустороннего и с полым ротором. Активное сопротивление роторов рассчитывается так же, как двигателя с короткозамкнутой клеткой (табл. 5.1), при этом непрерывный вторичный элемент подразделяется на участки, соответствующие фиктивным стержням клетки ротора. Активное сопротивление такого стержня полого ротора составляет гр — Рг -二：？ “冗 Dd/Zg
где р2 — удельное сопротивление материала стакана ротора; D—диаметр ротора; d — толщина стенки; Z2 ——число условных стержней.
Другие линейные двигатели. Параметры вторичных элементов линейных двигателей рассчитываются в зависимости от конструкции. Расчет ступенчатых вторичных элементов производится так же, как короткозамкнутых двигателей. Для массивных элементов, стальных, экранированных, и цилиндрических экранированных расчет обязательно следует производить методами электродинамики, основанными на уравнениях Максвелла. После расчета активного и реактивного сопротивлений на основе теоремы Пойнтинга можно произвести раз-
Т аб лица 5.1. Расчет активного сопротивления короткозамкнутых и массивных роторов
Тнп двигателя
С полым ротором
Параметры ротора
Короткозамкнутый
产
■11
и
力2
3
Е dlllllltlllllb
Число стержней
Число фаз
m2 =: Zg/p
Число последовательных витков в фазе
32 = %
Обмоточный коэффициент
統 v2 = 1
Активное, сопротивление стержня гр—
Зубцовое деление az=
2叩
Ток в кольце
/仁
2sin npj^2
Активное сопротивление участка кольца
Активное сопротипле- иие фазы ротора, приведенное к контуру статора, R^ —
х/Г" + ―-—}х 2sin^ / 22
Xw鶴1
Z? T 8
Z2 T 8
加 2 = Z^/P
加 2 = Zg/p
%! = %
吗=»/2
%v2 = 1
论3V2 •= 1
P2而
aZ2
P2 "Г cd
2”，° z「
—> 0
2np/Z2
2方//2
nD
c
w Z也d
к〈DdT加52d丿入
X m扯喙
или
&оо'紘
R；g = 4* 碌 1 ~
2T
^cz = 1 + ~
2电十丄
\ cd 丁泊川坛d丿人
x 臨
или
&O04cz
嚷=4次岡臨善
L,2T
«cz = 1 + —^
из
Рис. 5.3. Коэффициенты увеличения активного сопротивления Kr и уменьшения реактивного сопротивления Kl в стержнях для глубоких пазов различной формы (по И.Ю])114Рис. 5.3. Коэффициенты увеличения активного сопротивления Kr и уменьшения реактивного сопротивления Kl в стержнях для глубоких пазов различной формы (по И.Ю])114
Рис. 5.3. Коэффициенты увеличения активного сопротивления Kr и уменьшения реактивного сопротивления Kl в стержнях для глубоких пазов различной формы (по И.Ю])
114
Рис. 5.3. Коэффициенты увеличения активного сопротивления Kr и уменьшения реактивного сопротивления Kl в стержнях для глубоких пазов различной формы (по И.Ю])
114
биение вторичного элемента на Z2 фиктивных участка (табл. 5.1), из которых каждый рассматривается как элементарный виток.
Для расчетов можно использовать (5.1), принимая высоту паза й для массивного одностороннего вторичного элемента равной толщине d; для двустороннего стального элемента —толщине d/2; для экранированного стального элемента — толщин экрана d； для немагнитного элемента двустороннего двигателя —толщине d/2 (d — толщина экрана).
Индуктивность короткозамкнутого ротора. Пазовая индуктивность короткозамкнутых двигателей рассчитывается методами, описанными в разд. 4.3 с учетом (5.1) для глубоких Прямоугольных пазов. Для трапецеидальных пазов с увеличением сходимости стенок паза возрастает активное сопротивление и ослабляется эффект уменьшения индуктивности (рис. 5.3). Индук
тивность лобовых соединении рассчитывается при помощи приближенных полуэмпирических выражений (табл. 4.2, п. 8).
Роторы с двойной клеткой (рис. 5.4). В роторах с двойной клеткой для двигателей меньших мощностей применяются общие кольца. В двигателях большой мощности вследствие различного теплового расширения стержней в различных режимах работы каждая клетка имеет собственное кольцо.
Общее активное сопротивление обеих клеток Rw для общего кольца равняется активному сопротивлению гк (табл. 5.1) межпазовых участков замыкающего кольца. При раздельных кольцах [4.6] можно счйтать Rw^0, Общее реактивное сопротивление Xw обусловлено потоком рассеяния, сцепленного с двумя клетками. Для обоих типов колец оно одинаково [4.6]. Тогда индуктивность
厶酬=Хк。)=近24%/("9)=2 厶2⑫/"；
Рис. 5.4. К расчету сопротивленийРис. 5.4. К расчету сопротивлений2)2)двухклеточного роторадвухклеточного ротора忌=%(0,66 + 儿/九十0,2), (5.5) причем для двигателей с клеткой принимается w=q = ”& и ги2= =^2/р.
Рис. 5.4. К расчету сопротивлений
Рис. 5.4. К расчету сопротивлений
2)
2)
двухклеточного ротора
двухклеточного ротора
Активные сопротивления Ra н/?ь стержней рассчитываются как активные сопротивления в двигателе с клеткой (табл. 5.1). Реактивное сопротивление пусковой клетки XavO. Реактивные сопротивления рабочей клетки Хь обусловлены потоком рассеяния, проходящим нижней клеткой и через зазор между клетками. Для стержней с прямоугольным сечением (рис. 5.4) расчет поля рассеяния и потерь мощности в клетках можно производить на основе рис. 4.2 и выражений (4.12), (4.13) и (4.17). Проводимость круглых стержней нижней клетки составляет [4.6]
Къ 千 ％ (0,75 - O,5feo/d6 + %/b°). (5.6)
Взаимная индуктивность верхней и нижней клеток (рис. 5.4,а)
Л4 —IX м] s —■ //%м/р j
где Хм=|1оЛа/ (2ba) (рис. 5.4。); 九м=阿冗/4 (рис. 5.4,6).
Разветвленная цепь (рис. 5.4) при расчетах заменяется последовательным соединением сопротивлений, эквивалентных сопротивлениям Rz и Х2 обычного двигателя с клеткой. Поскольку ХцрО, -^м^О, эквивалентные сопротивления ротора
凡弋Ra凡弋RaX2 ~ХьX2 ~Хь(Ra +凡 y + s^Xf(Ra +凡 y + s^Xf(5.7)(5.7)凡(凡一凡)+s2x户(Ra + Rb)2 + s2X；
凡弋Ra
凡弋Ra
X2 ~Хь
X2 ~Хь
(Ra +凡 y + s^Xf
(Ra +凡 y + s^Xf
(5.7)
(5.7)
МАССИВНЫЕ РОТОРЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ДВИГАТЕЛИ С МАССИВНОЙ ФЕРРОМАГНИТНОЙ ВТОРИЧНОЙ ЧАСТЬЮ
Поле в зазоре. Расчет асинхронных двигателей с массивным ротором можно проводить аналогично расчету двигателей с клеткой. В обоих случаях статические характеристики машины определяются на основе схемы замещения (рис. 5.5). Отличие заключается в расчете параметров ротора X% = =X%(s), Rr2—Rf2 (s) и 九，которые вследствие вытеснения тока являются функциями скольжения.
При расчете чаще всего встречаемых стальных и стальных экранированных роторов дополнительные- трудности обусловливаются нелинейностью магнитной проницаемости. Определение параметров ротора основано на знании распределения напряженности магнитного поля на поверхности ротора.
При этих расчетах можно предположить, что известно распределение линейной токовой нагрузки Л (х, у, z, /) на поверхности якоря^
Рис. 5.5. Схема замещения асинхронного двигателя с массивным ротором
■а также распределение индукции в зазоре ВР(х, у, z,力
Выбор системы координат. Расчет поля в зазоре и роторе можно проводить как в цилиндрической, так и в прямоугольной системе координат. Прямоугольная система координат приводит к простым выражениям, поэтому принимается чаще. Критерием допустимости применения прямоугольной системы координат можно принять отношение эквивалентной 6S глубины проникновения электромагнитной волны в ротор к радиусу R ротора. Систему прямоугольных координат (см. рис. 1.6) можно использовать, если RA%/2, т. е.
А/3s = R / s 叩 у/2》г. (5.8) По [5.1] эта величина может, однако, быть и несколько меньше (0,9л).
При пуске (n=0, s=l) аквнва- -лентная глубина проникновения волны в массивную сталь 6口 = = 1+2 мм (см. рис. 2.3), в рабочем режиме при скольжении s= = 3+5%, обычно 68=5+10 мм.
Таким образом, ориентировочно, при нормальной работе, уже при диаметрах свыше 5—6 см, а при пуске — свыше 1 см можно использовать в первом приближении прямоугольную систему координат.
Рис. 5.6. Системы координат, используемое при расчете электрических машин:Xh, “з, 20 — связанная с якорем； Хз 丄八.г- — связанная с осью поля； х, у, z — связанная с рото-Рис. 5.6. Системы координат, используемое при расчете электрических машин:Xh, “з, 20 — связанная с якорем； Хз 丄八.г- — связанная с осью поля； х, у, z — связанная с рото-Выбор начала системы координат и уравнений поля (р〃с. 5.6). Процесс выбора не влияет на конечный результат вычислений, но может облегчить проведение послед-
Рис. 5.6. Системы координат, используемое при расчете электрических машин:
Xh, “з, 20 — связанная с якорем； Хз 丄八.г- — связанная с осью поля； х, у, z — связанная с рото-
Рис. 5.6. Системы координат, используемое при расчете электрических машин:
Xh, “з, 20 — связанная с якорем； Хз 丄八.г- — связанная с осью поля； х, у, z — связанная с рото-
них. При этом следует правильно учитывать скорость движения поля S и ротора V. Из рассмотрения (1.4) и (1.46) для трех возможных систем, представленных на рис. 5.6, и с учетом распределения поля, как на рис. 5.7, следует:
В системе хо, г/о, го, связанной с якорем, первая гармоническая нормальной индукции в зазоре описывается зависимостью
в21 = Ng cos (就-賓芻/T)или / (sf— — *о)
巨"=区小1 T丿， (5.9) где
Bfnzi Q ^ ^mo 卜OUHee Bmzi — =款(尸硒一叫 Fe), CM. C.75); £mo =+ £m；
(5.10)
Из (5.9) и (1.4) следует
Если хо является координатой точки на поверхности ротора, вращающегося со скольжением s = =(s—u)/ui, то линейная скорость этой точкиdxo/dt=v=vi(l——s),
причем У1 = йп/л, откуда rotE = iosBmzl sin 卜£ —，
(5.11)
илиилиrot £ =—rot £ =—訂BMos （成一千 x）］ 一訂BMos （成一千 x）］ 一—rot I Bm cos (成一十儿)x
или
или
rot £ =—
rot £ =—
訂BMos （成一千 x）］ 一
訂BMos （成一千 x）］ 一
X г>,(1 — s)l.(5.12)
Рис. 5.7. Поле в равномерном зазоре машины переменного тока： а — поперечное сечение машины； б — распределение поля
В принятой системе координат рассматриваются только составляющие 5=gBz，^=»и；с； с учетом того, что k\i=j , получается rot (5* X^)=rot[J(Bv)J.
При условии, что поле в зазоре не изменяется по осям у н 纟,т. е. дВ[ду=дВ/0z=0, получим {Bv)x = (Bv)y = Q; rot(BX^) =
=rotz (8义刃)=d (BS〃d%,
откуда (5.12) приобретает вид
Если Xi является координатой точки, расположенной на вторичном элементе линейного двигателя, то линейная скорость этой точки относительно рассматриваемой системы d%i/df=—ss, а угловая часто
та d%〔7： (ОТ
та-^^―5 =—(os, отку-
t df■： к
да, принимая во внимание, что %【= =%о—5% получим аналогично (5.11)
tot Е = шВ^ sin (成
rot Е = — ^sBmzi sin — Xj =
一三分(1 - s) 8msit1 (血
=wsBm2i sin
（成一“
—⑴ s8/" sin
2. В системе %【，yit 己，связанной с осью поля, индукция в произвольной точке этой системы является ■постоянной во времени и имеет распределение
Выражение (5.11) может быть получено с помощью уравнения (1.46) rotE = -訂8g cos_l xj —
% = 8gcos£x「
(5.13)
—rot [(8心 cos ~^"X[) (—qs)]=
Из (5.13) и (1.4) следует
rot£ —
也I
т
dt
sin — %
3. В системе x, у, z, связанной с ротором, индукция описывается уравнением, аналогичным (5.9),
X (Сз“е ” +С”е “).X (Сз“е ” +С”е “).(5.15)(5.15)""心Ц""心Ц
X (Сз“е ” +С”е “).
X (Сз“е ” +С”е “).
(5.15)
(5.15)
""心Ц
""心Ц
при условии, что угловая частота поля (02 = cos， т. е.
% =综2, cos(sa)^ —(財 Т)х),(5.1 За)
тогда
r。tE =一等-: ^)х
X sin 卜《rf ———xjz=
— <nsBinzi sin (血
поскольку скорость рассматриваемой точки ротора составляет теперь v—dx/clt=6t а также х=хо— —Ui (1 —s) t*
При помощи (1.46) вновь получается выражение (5.11)
rot Е = — * % — rot[BmzlXO]=
=3sBm Siti ( o)f
Определение поля на основе известного распределения линейной токовой нагрузки А (х, у, z, t) на поверхности якоря. Магнитодвижущая сила паза статора заменяется непрерывным периодическим распределением
/(%)=彥(4金"+“*),
Л=1
(5-14) сосредоточенным в бесконечно тонком поверхностном слое якоря.
Составляющие поля в зазоре Н и Е описываются уравнением Лапласа (3.83), решение которого в [5.2] представлено для каждой из составляющих Н” и Hpz бесконечно длинной машины в форме
Нр = 2 (С^1Кх + С2ре^х)Х
Поле в роторе описывается уравнением (1.13), которое после решения методом Фурье приводит к за- 8
писи составляющих H?工 и H2z в форме
/ =彥(以「% Х + C/e‘% ") X
X(C3,e^z + C4ZZ), (5.16) где ВУ=〃2+а2, причем для периодических полей Xv=v^; %=л/т; V—— порядок пространственной гармонической поля в воздушном зазоре др.
Постоянные интегрирования CiV в (5.16) определяются из граничных условий (1.57) —(1.59) для z-> оо, z=0 и z=—др. При г=—бр в соответствии с (3.45) Нрх(х9 —бр) =： —А (х).
В [5.2] после определения постоянных и сравнения решений рассчитываются коэффициенты ослабления составляющих поля при переходе через воздушный зазор дР
/"r 6p ' (1，家N
6£v 1 + (1+ j}k /Ггр где 々=]A*f/2 ； (0=2啪；s - скольжение; рг=ц/цо — относительная проницаемость стали ротора.
Поскольку обычно wVl и bvV V1, амплитуды высших гармонических поля уменьшаются при переходе от поверхности статора (г= =—%) к поверхности ротора (z= =0). При увеличении порядка гармонической V коэффициент av быстро уменьшается, в то время как fev=const. Это означает, что форма нормальной составляющей индукции в зазоре Вр(х) практически не изменяется при переходе через зазор. Форма кривой Нх(х) на поверхности ротора наиболее приближена к синусоиде. Этот вывод позволяет применять метод классического расчета поля в зазоре.
Расчет параметров на основе распределения индукции в зазоре. Аналогично (5.9) v-я пространственная гармоническая рас-
пределения индукции в системе координат хо, go, No (рис. 5.7) имеет вид
Bzv = Bmzv COS ^ш； — v — X, ИЛИ / (gf —v 三 *о)
Bmzv = Bmz^ “.(5・18)
Это поле вращается с окружной скоростью
力=(1 /v) % = (1 /v)((Bt/ic),(5.19)
причем
Bg = + 京 Bmzi ~ b"^ 尸g； (5.20)
o = sinv-^-™± 1; v = + ^> —5,
+ 7, -11,+13,…，一(6a — 1), 一"(6a-}-1); a：^ 1, 2, 3
Электромагнитные расчеты ротора наиболее целесообразно проводить в системе координат х, у, г, связанной с ротором, который вращается с окружной скоростью и = =01 (1—s), где и1 =(от/л.
В этой системе
%= *+就= * +(1 — S)((ot/t:)/；
Uq = У； Zq=2*(5.21)
В системе координат х, у, г (5.18) имеет вид
%=32+宀弋(5 22)
Синхронная скорость v-й гармонической в новой системе определяется из условия 1 ™v+sv—V (л/т)х— =const, откуда
ч\ = (1 — *v + sv) a)t/(wx).(5.23)
Выражение (1.12) для амплитуды составляющей Hmzv= (1 /》)Bmzv внутри стали ротора при 》= =const приобретает вид
624)
где
CCy=Mj(l — V -|- SV)虫世丫 =
=pl 一勺 + 6” a;
a = ]//юру =( 1 +淤=]/派 J 4 ； k =/呻Y/2.
(5.25)(5.25)Уравнение (5.24) можно решить методом Фурье при помощи подстановки
(5.25)
(5.25)
〃wy=X,a)yXg)Z〃(z), (5.26) откуда получается система обычных дифференциальных уравнений Х；(х) — AnXn{K)=^Q\
匕®)-В/®)=0；
Z“ (г) — (a： — А” 一 Вп) Zn(z) =0.
(5.27)
При периодическом распределении поля вдоль осей хну (рис. 5.7,6) целесообразно принять Дп = —рп2, Вп = —т]п2, благодаря чему из (5.27) получаются ур авнения в форме
X” (к) = 4 cos 总 +
-Ksn sin 队*=Qn sin (P„x：+<pn);
匕gXCaCOS%"
+ c6n sinii“£/ =
= Ce“ sin (%" + %)；
z〃(3)=C7„exp(-avnz)+
+ C8neXP(av^)>
(5.28)(5.28)причем
(5.28)
(5.28)
a“=Ma?+ 匿+ *•
Определение постоянных в (5.28). Функция "тз после перехода 2с полюсных делений tv= 1t/v должна принять то же самое значение, т. е. cos 0n% = cos рп (%+2с“) и sin pnx = sin рп (х + 2crv). Тогда PnX=pn (x4-2ctv) —2сл, откуда % =*x/t；(5.29)
е = cos v ——к — jsinv — к, т. е. С2п = — jCin.(5.30)
вать как металлическоевать как металлическоеполупрост-полупрост-H =工H =工Вт 论о?」〃1—v+sv)9f 丫Вт 论о?」〃1—v+sv)9f 丫НтгНтгNo26PNo26P
вать как металлическое
вать как металлическое
полупрост-
полупрост-
H =工
H =工
Вт 论о?」〃1—v+sv)9f 丫
Вт 论о?」〃1—v+sv)9f 丫
Нтг
Нтг
No
26P
No
26P
Считая, что распределение поля (5.26) вдоль оси у (рис. 5.7) содержит только четные функции (косинусоиды), получаем Csn=0. Кроме того, при 驴=〃2 должно быть Yn (у) = C4nCOS Т]п' 72=0, откуда % =(2〃 一 1)哂，(5.31)
где п=1, 2, 3 ... — порядок гармонической распределения поля вдоль оси у.
Метод выбора постоянных С7п и С8п зависит от отношения D/^ в (5.8), причем D=2R — диаметр ротора; длина волны % =2хЗу,(5.32)
где
Зу =]/2/(1 — V -|- sv)«)卩丫 =
=3// 1 - Iv + sv.
Среди электрических машин чаще всего встречаются три типа ротора: массивный ротор (0/^> 1), полый ротор, массивный ротор, экранированный медью или алюминием.
Массивный стальной ротор асинхронного двигателя или турбогенератора. При асинхронной скорости ротора относительно данной гармонической поля обычно D/kv> > 1. Тогда ротор можно рассматри-
ранство. Поскольку при z->8 "力 =/=оо, то С8п=0, откуда v, n-я гармоническая поля в роторе
Xef『ef Zcos(2〃一 1)宁珞(5.33) где в соответствии с (5.10) Втр = =BmzlQ(》o/(26&))尸m0・
Мгновенное значение поля в роторе является суммой всех гармонических. Принимая во внимание (5.20) и (5.10), получаем
Y= 1 Л—I
X「卜不％-%"Zcos(2〃 — 1) ~~y, (5.34)
где i, ^—число рассматриваемых гармонических поля.
В большинстве случаев достаточно принять V— 1, тогда
х COS (2/2 — 1) —у;1х COS (2/2 — 1) —у;1(5.35)(5.35)(5.36)(5.36)
х COS (2/2 — 1) —у;
1
х COS (2/2 — 1) —у;
1
(5.35)
(5.35)
(5.36)
(5.36)
Для стали с параметрами цг = = 500-^-1000; 7=7-106 См/м при скольжениях, близких ks= 1, величина |аа| =соцу = (1,44-2,8) 106 м-2. Поэтому при небольшом числе гармонических (например, м《7) и не слишком малом скольжении можно принять
Re [sa2]》(х/丁 + (2〃 一 1У (х/ ту,
т. е. a„ "J/sa.(5.37)
При этом параметре е~л^ в (5.35) можно вынести за знак суммы, которая в этом случае является разложением в ряд Фурье кривой поля Нтр(у) = (1/ц)Втр(у) в зазоре вдоль оси машины. В окончательном виде амплитуда радиальной составляющей поля в роторе ДЛЯ V=1
〃mz ~ (1 /2 В”(9)=
=(1 伍)％ 伍)е*Е「(『+" “)
(5.38)
Аналогичные выражения можно получить для всех составляющих поля Ящ, Em и /т на основе (1.3) и (1.4).
Расчет параметров ротора. Если машина достаточно длинная (/》 》т), то концевые эффекты играют меньшую роль и в первом приближении расчеты можно проводить^ как для участка длиной I бесконечно длинной машины с последующим введением корректирующего коэффициента. В уравнения Макс-
велла и уравнение (5.34) вместо / подставляется ，一>оо, откуда Ех= =^z=0, Ну=0, dHz/dy=0, cos (2л— —1) (W)g=0, а также в соответствие с (5.37) принимается ап^ 弋 К5а.
При этих условиях из второго уравнения Максвелла (1.4) для синусоидального изменения во времени
через 1 м2 его поверхности, в соответствии с теоремой Пойнтинга (1.10) равняется нормальной составляющей вектора Пойнтинга на этой поверхности
Sz = Spz + jSgz = 一 'I式EmyHg)
(1 —j№
2，so41f
Jms =
дЕту/дХ= —jSmi>.Hmz,
步薔］/} sW姦脸•（5.44）
откуда из (5.38)
尸 ——
；Jm尸—jssp. J Hmzdx-{-C=
^^Втр^гГ^\ (5.39)
причем при х=0 Еу=0, т. е. С= =0.
Максимальная плотность тока в роторе
J ту —J匸，
Jms = (S3「/m)Bmp.(5.40)
Модуль действующего значения плотности тока в роторе
|."=僻е-、(5.41)
Подстановкой (5.39) в уравнение Максвелла находится тангенциальная составляющая магнитного поля
Интегр ал плотности мощности (5.44) во всей поверхности л£)/ротора представляет потери активной мощности и потребляемую обмоткой ротора реактивную мощность. Потери эти можно также выразить через ток 〃2 и активное сопротивление &‘2
D3 Z/2-
f SzdKdy =
-//2Jz=o
-ар总=《片心 (5.45)
Максимальная МДС вихревых токов ротора, приходящаяся на пару полюсов, рассчитывается по (5.40)
Лио ~
ОЕтудг
Нтх
"сор,
(5.42)
Сравнением (5.42) и (5.38) определяем отношение нормальной и тангенциальной составляющих магнитного поля ротора для v=l
J 8m* 丨._ I ^ I _ y2sk—=
Вщр I Hg jл
0 О
(5.46)
После приравнивания модуля МДС (5.46) и МДС ротора, приведенной к статору, находится ток ротора, приведенный к статору.
up
2 Vskm^w^k^
七"^的2R
2泌加1叫瓦）im"
(5-48)
(5.43)
Кажущаяся мощность электромагнитного поля, вращающегося относительно ротора с угловой скоростью scoi, проникающая в ротор
Подстановкой (5.48) в (5.45) определяются активное и реактивное. сопротивления ротора, приведенные к статору,
R； а а*
2加 i(5/m)2
SSРв+АРмех + А% (5.51)Рв+АРмех + А% (5.51)+Н(и+^)а,+ ®М0=+Н(и+^)а,+ ®М0=f-cvf-cvdv . d%ndv . d%ndt dtdt dt耳Yё加+耳Yё加+
S
S
Рв+АРмех + А% (5.51)
Рв+АРмех + А% (5.51)
+Н(и+^)а,+ ®М0=
+Н(и+^)а,+ ®М0=
f-cv
f-cv
dv . d%n
dv . d%n
dt dt
dt dt
耳Yё加+
耳Yё加+
XjQ 誥 RJ, (5.49)
где Acz 弋 1 +2т/ (л/) — поправочный коэффициент, учитывающий конечную длину машины (а*。1,4; %。 弋0,85) (см. табл. 1.1).
В действительности распределение индукции Вг (у) в зазоре машины конечной длины имеет искаженную реакцией токов ротора прямоугольную форму, как на рис. 6.3. Искажение прямоугольной формы тем больше, чем большее значение принимают параметры К/т/Нг(т2/6р) и L/т.
Параметры (5.48) и (5.49) представляют собой элементы схемы замещения двигателя (см. рис. 5.5).
Намагничивающий ток асинхронного двигателя с массивным ротором рассчитывается аналогично току обычного двигателя на основе закона полного тока, но при условии, что магнитное напряжение в роторе определяется из (5.42) при z=Q
V^l HmX0dx. (5.50) о
Баланс мощности двигателя, В соответствии с теоремой (1.9) об обобщенном векторе мощности Т вся электромагнитная мощность (мощность вр ащающегося пол я Рэм), переходящая из статора в ротор, передается через поле, вращающееся относительно статора со скоростью Qi = 2nfi/p. Векторы поля (6.36) и (5.42) вращаются относительно ротора со скоростью sC = = (2n/p)sfi. Для расчета полной электромагнитной мощности, передаваемой в ротор, следует в (5.39) представить s=l и в выражение вектора Пойнтинга (5.44)— £^/*= (l/s)EmJ・ После интегрирования в соответствии с (1.9) полного вектора мощности Т получается полный баланс мощности, совпадающий с результатом, получаемым на основе классической теории установившихся режимов 122
асинхронных машин,
PsMiDlRef 制凡 4 =
где Рв — полезная мощность на валу; АРмех — механические потери; А「2 — потери в обмотке ротора.
Мощность и потери не являются векторными величинами и поэтому не входят в обобщенный вектор Т. В соответствии € (1.9) -полный баланс мощностей в неустановив- шемся режиме машины, включая механическую, тепловую, электрическую и магнитную составляющие, описывается выражением
+ J pE%W + J 丫七(Ecm + ° X B) dV, (5.52)
где aw — среднее сечение вала;分— средняя температура машины, которая рассматривается как однородное тело; 闪如=%①户+卩屮)一 энергия электрического и магнитного полей.
Полый ротор или тонкостенный вторичный элемент линейного двустороннего двигателя. В этом случае толщина стакана d (см. рис. 3.6) много меньше длины волны в металле (5.32), т. е. d《 《入”,и следует учитывать взаимное наложение электромагнитных волн внутри стакана ротора.
Поскольку магнитное поле проникает в немагнитный элемент в направлении оси z (под прямым углом), для определения постоянных можно использовать условие
"mz |z=o lz=d‘ (5.53) которое после подстановки в (5.26)
и (5.28) дает уравнение
с,〃 + а. - &" eid + С8„ е吗(5.54) откуда С*—,
где
9 =，吟+ V? (т八у十(2〃 一 1『⑺厅.
После подстаиовки постоянной Сап в (5.28) Z〃(z)=C,/erz + e%i)] = qd
= 2&е 2 chg(z—d/2).
Суммарное мгновенное значение у нормальной составляющей напряженности магнитного поля описывает выражение, аналогичное выражению (5.34),
义凶皿一^产一+mх
Xе “I cos(2〃一 1)十у. (5.55)
Остальные составляющие поля Н, £, J находятся по уравнениям Максвелла. Мощность вихревых токов и параметров рассчитываются из теоремы Пойнтинга аналогично процедуре, описанной (5.44) и (5.45), но при этом вектор интегрируется по двум поверхностям. В большинстве случаев толщина подвижного элемента и частота тока в ней настолько малы, что вытеснение тока можно не учитывать. В противном случае вытеснение учитывается аналогично графе / (табл. 2.1).
Линейный двигатель с экранированной вторичной частью. Применением метода зеркальных отражений (см. рис. 1.8) односторонний двигатель (см. рис. 3.6) можно описать через двусторонний двигатель (рис. 3.6,в) при условии, что толщина воздушных зазоров 6р остается без изменений, а толщина подвижного вторичного эле
мента d увеличивается вдвое. Поэтому можно использовать все выражения из п. 5.3.4, заменив при этом размер d на 2d.
Поле и параметры линейного цилиндрического двигателя. Уравнение (5.24) записывается в цилиндрических координатах при условии dHm/dQ—G
02"
+ -^ =炉"m. (5.56)
При бесконечно длинном вторичном подвижном цилиндрическом элементе (рис. 5.8) имеются только 'СОСТЗВЛЯЮЩИе "mr, Нтх, ErnB, Jm8・ Составляющая Ятг, перпендикулярная поверхности цилиндра, вместе с тангенциальной составляющей Етб образует вектор Пойнтинга Sx, представляющий перемещение мощности поля вдоль оси элемента. Эта мощность не используется при расчете параметров подвижного элемента. Мощность, проникающую в подвижный элемент, определяет составляющая вектора Пойнтинга Sr=】/zEmsHmx. Поскольку гр анич- ные условия предопределены нормальной составляющей индукции (5.9) на поверхности подвижного элемента, за основу анализа принимается уравнение (5.56), которое
Рис. 5.8. Система координат цилиндрического двигателя [4.201：
/ — 7рехф азная обмотка якоря; 2 — сердечник якоря; 3 — сердечник подвижного элемента; 4 — зкран медиый или алюминиевый
решается методом Фурье и имеет вид
H^=Rn{r)Xn(^(5.57)
После подстановки (5.57) в (5.56) для п-й гармонической записывается уравнение
+ £(Х；-а2Х, = 0. (5.58)
Поскольку слагаемые в (5.58) зависят от разных переменных и одновременно должны быть равны и иметь противоположные знаки, то, следовательно, они могут быть приравнены постоянной Ап- С учетом этого получаем систему из двух уравнений
R'n' + l.R^±.R_AnRn=0-,
Хп - ^-А^Хп = 0.
(5.59)(5.59)После введения новой переменной и—rV^ — Ап находятся уравнения Бесселя
(5.59)
(5.59)
£^ , dRn)
du?十五 d〃十
+ 0一土)心=°；(5.60)
礬-…")簿"
Решение второго уравнения (5.60) может иметь степенную форму (если Лп<0) или тригонометрическую (если Ип>0).
Поскольку поле в рассматриваемой расчетной модели является периодическим по оси х, принимаем An = bn2J и решение примет вид 此(«)=К1пн^ ⑷+K"/F)⑷二 =匕丿]他)+ 以.%®);(5.61)
爲(X)= K*〃 cos (6： — а? к + + K,〃sin(^ — a?)x,(5.62)
где Hi⑴(и) и ”i(2)(〃)一взаимно сопряженные функции Ганкеля первого порядка; Л (и)—функция Бесселя первого рода первого порядка; N\ (и)——функция Бесселя второго
рода первого порядка, т. е. функция Неймана.
Функция Хп(х) после прохождения 2с полюсных делений tv== = (1/v)t должна иметь то же самое значение, т. е.
cos (碎一a：) К = cos (明-确(Х+2%)； sin 储-aз м = sin (吟-碎)(X +2%), затем
(Z>2 -a2)« = (62 -<х2)(Х： + 2с\)+ 2cit, откуда
偿一片=土v穴/t；b几=士/a；士 V加/T； u — jrbn,(5.63)
Аналогично (6.37) для не слишком малых лолюсных делений т и не слишком высоких порядков гармонических V и для малых значений скольжений s можно принять 〃〜js = qj ]/^9(5.64)
где q =r]/(l — v + sv)(o叩 ▼ = +【，-5,十7, -11, 4-13...
Сравнивая (5.62) с разложением поля на поверхности (5.33) по оси х
Ke =几 cos V — х —
—К4П sin V — г,(5.65)
получаем условие для постоянных К4п=；Кзп・ Тогда решение (5.62) примет вид
尤代)=兀代一七:(5.66)
Для дальнейшего анализа выбирается первое из решений уравнения (5.52). По [2.1] *)Qe士咛*) je%(z) 土 ± jheip(z);
heip(z)=-—кегр(г);
冗(о.о7)
her (г) = —keip(z);
Ip(ze±Q )=-be%(z)士jbeip(z),,
откуда получается
^^ут)= ^(д^) =
=hei\ , +jheL q =
2
=—(kei^ —jker, q);
L(g/M7)=L (g 户*)=
=bei\ 夕十/beL q.
По [3.3]
(5.68)(5.68)^\ze~in)^-e1Kp^\ze~in)^-e1KpУчитывая, что е: чаемУчитывая, что е: чаем限⑵.、士加—一限⑵.、士加—一(5.69)(5.69)1,1,полу-полу-(5.70)
(5.68)
(5.68)
^\ze~in)^-e1Kp
^\ze~in)^-e1Kp
Учитывая, что е: чаем
Учитывая, что е: чаем
限⑵.
、士加—一
限⑵.
、士加—一
(5.69)
(5.69)
1,
1,
полу-
полу-
В свою очередь по [2.1] H；)(zem*) = eTSH；)(z) — -2eTs sin” [⑺,I
sin pre
откуда с учетом (5.70)
н 汐⑷，『)=Hp)(-qj/7) = =Н『)(д/У7*)=
После подстановки (5.68) вполучаем в окончательном виде
(5.71)(5.71)(572)(5.72)(572)(5.72)Н步(<?/ V?) = - he«\ « - j he、卄 十 zber^ + jSbei^.(5.73)
(5.71)
(5.71)
(572)
(5.72)
(572)
(5.72)
Подстановкой (5.68) и (5.73) в (5.61) находим общее выражение для радиальной составляющей поля 〃М = Кзп е_/ ~Х ^ [Кщ (keii q - -j ker, q) — К*” (ke^ q — j kert q — —— 力 bei\ q — j к be* 7)].(5.74)
Постоянные в (5.74) определяются из условия, что при г—>0 (4—>0) для всех % ke" q—>оо, Heng—>8, beri，7—Н), beiig—>0. Целесообразно (5.74) перегруппи
ровать для выделения функций kei и кег, т. е.
he=k3rte1 ■^■[因几一解几肘e"一
—/ kei\ q) + К小(b% 夕 + j be% 7)].
(5.74а)
Поскольку При г =0 Н 次 8, то И ^„ ~К2п=0 или К1п = K2nt тогда получим
Н^= Се I (berm+ jbe、办 (5.746)
Если r=R, т. e. q = q® и при 尤=0, Нтгч = "mrvs, ТО
С — berx^ +jbeii^ •
Подстановкой этого значения в (5.746) найдем
н「吟\ ber^ + jbei^
Ье& 仇 +J bek^R
(5.75)
ПрИНИМЯЯ ^imrvs — ( 1/|X)^mrvs> аналогично (5.34) получим напряженность магнитного поля в произвольной точке (г, 9, х) бесконечно длинного массивного (d=0) подвижного цилиндрического элемента при несинусоидальном пространственном распределении МДС якоря
〜,尸то £叽У /и—у+s»)9f *
Xe-m beg be& 9r+ J beh 伙
Остальные составляющие поля и параметры подвижного элемента определяются так же, как и для плоской машины при помощи уравнений Максвелла, записанных в цилиндрических координатах. Для упрощения конечной формы уравнений можно при некоторых ограничениях использовать асимптотические выражения цилиндрических функций [1.22, 2.1].
Глава шестая
СИНХРОННЫЕ МАШИНЫ
ПОЛЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ И ПАРАМЕТРЫ СТАТОРА
Поле возбуждения и параметры статора синхронных машин рассчитываются по зависимостям, приведенным в гл. 3 и 4. Значительная часть этих выражений относится как к асинхронным, так н к синхронным машинам. В гл. 6 представлены только некоторые более детальные вопросы -синхронных машин.
ПОЛЕ БЕСПАЗОВЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН И КРИОГЕНЕРАТОРОВ
В турбогенераторах мощностью свыше 2000 МВт возникает необходимость применения беспазовых обмоток [6.3, 6.6—6.9]. Она обусловлена рядом конструктивных ограничений:
чрезмерным увеличением глубины паза и увеличением пазового рассеяния;
увеличением площади паза, занятой пазовой изоляцией;
ограничением при частоте вращения 3000 об/мин значений диаметра ротора 1,28—1,34 м и его длины 8——10 м вследствие увеличенных механических напряжений [6.6];
ограничением насыщения зубцов статора и ротора до 2,1—2,2 Тл [6.6];
ограничением линейной токовой нагрузки статора до (4+4,6)义 XIО5 А/м;
ограничением габаритных размеров статора.
Переход к беспазовой конструкции статора и ротора при масляном охлаждении обмоток статора и водяном ротора позволит увеличить мощность турбогенераторов до 3000 МВт при 3000 об/ми-н [6.6]. Теория машин с беспазовыми обмотками особенно важна для турбогенераторов со сверхпроводяти- 126
ми обмотками, т. е. для криогенераторов, в которых возможно получение номинальных мощностей до 10 000 МВ-А Бри удельной массе на единицу мощности около 0,25 кг/ /(кВ-А) (по сравнению с 1,35— 0,75 кг/ (кВ - А) в обычных турбогенераторах мощностью 150— 600 МВт [6.17]).
В беспазовых машинах проводники с током i размещаются между стальными поверхностями статора и ротора (рис. 6.1). Во всех трех пространствах /, 2, 3 магнитный векторный потенциал А при бесконечно длинной машине удовлетворяет уравнению Лапласа тв цилиндрических координатах
怨_ +丄型+丄也=0. (6.1) dr2 г dr
Предполагается [3.4], что решением (6.1) является суперпозиция полей
А = А\-\- Ац,(6.2)
где 4 = -^ $ 史=-^-In R — векторный потенциал в точке Р(г, ф) неискаженного поля прямолинейного проводника с током i; R=
尸+凡2-2R2r cos * 4i=出工(C〃尸 +
-\-Dnr~n) cos nq> ——потенциал иска-
Рис. 6.1. Определение поля токовой нити в зазоре беспазовой электрической машины
Рис. 6.2. Определение поля обмоток в бесконечно длинной машине с беспазовымн обмотками [6.3]Рис. 6.2. Определение поля обмоток в бесконечно длинной машине с беспазовымн обмотками [6.3]4=壊m/?+/?4=壊m/?+/?4广"COS "g.(6.3b)4广"COS "g.(6.3b)(6.5)(6.5)丿丿
Рис. 6.2. Определение поля обмоток в бесконечно длинной машине с беспазовымн обмотками [6.3]
Рис. 6.2. Определение поля обмоток в бесконечно длинной машине с беспазовымн обмотками [6.3]
4=壊m/?+/?
4=壊m/?+/?
4广"COS "g.
(6.3b)
4广"COS "g.
(6.3b)
(6.5)
(6.5)
丿
丿
жаютего толя, обусловленного действием стальных поверхностей (так называемая цилиндрическая гармоническая функция).
В пространстве ротора / (0《 Wr《Ri) при г—乂) потенциал Лп¥=оо, т. е. Dn=0, откуда
4 =嵯 к "+% £ с Jcos “%
(6.3а)
в зазоре 2 (RwyR》)имеет применение общее выражение
4 =嗤 In R + 工 &尸 + Dn2r~n) X
X cos л<р;(6.36)
в пространстве статора 3 (RsWrV <оо) при г—>оо потенциал Дц^ *8, Сп=0, откуда
Векторный потенциал обмотки с произвольным сечением и плотностью тока является суперпозицией векторных потенциалов от элементарных токов (рис. 6.2)
由=Jda— idpdc. (6.4)
Векторные потенциалы в точках Р 亿 ф) отдельных пространств 1, 2, 3 от элементарного тока (6.4) принимают вид [6.3]
dA.=——!^In RdMc 4-
12*(&2—仪) L 1
+% 工CJcosa® - B);
dA2 =——^In RdMc +
2g(&2 —仪)* 丁
+ % 工 С"'" +
+&D cos〃(<p-p);
dA, =!^—— In RdMc 4-
' 2ла(Саг —C1«)「丁
+ % £，广"cos n(^ — p),
причем
R = ]/尸 + 俏一2〃 cos((p —P). (6.6)
Постоянные С^ь СП2, Dn2, Опз определяются из граничных условий для тангенциальных составляющих напряженности ттоля "$ и нормальных составляющих индукции Вг
"屮 1(Г=&)"屮2(r=R“‘
〃屮2(Г=&)—"屮3(r=%)；(6 7)
Bri(r=Ri) ^^ 3r2(r=&)，
Bf2gRg) = 8r3(r=Rs)・
Векторные потенциалы Ab A2, Аз получаются в результате интегрирования (6.5) по всем сечениям всех обмоток, размещенных в зазоре. Составляющие индукции в зазоре находятся по определению векторного потенциала B=rotА
3,2 =丄今；斗 2 = 一赞.(6.8)
127
Собственная L и взаимная М12 индуктивности обмоток находятся из уравнения энергии магнитного поля
/L产 и 吃甕=/m/%(6.9)
и урав-нения энергии, рассчитанной по плотности мощности ПОЛЯ [1.3] в объеме V,
W=/j4JdV,(6.10)
откуда
丄二;\AJ^ M12^^\AJdV.
声 JJ
(6.11)
Из приведенных выражений следует, что интегрирование достаточно проводить исключительно по сечениям с током плотностью /. В [6.3] приводится обширный анализ поля и параметров беспазовой синхронной машины со сверхпроводящей обмоткой возбуждения.
ПРОБЛЕМА ТОРЦОВОЙ ЗОНЫ РОТОРА
.3.1. Поле торцовой зоны. В мае* сивном роторе, особенно на его концах, возникают отрицательные граничные явления, которые обусловлены двумя основными причинами:
вытеснением поля Bz(y) к лобовым соединениям ротора (рис. 6.3) вследствие реакции токов, индуктированных в роторе обратно вращающимся полем (несимметричная нагрузка турбогенератора) или прямым полем (асинхронный режим);
действием поля рассеяния лобовых частей обмоток статора и ротора.
При несимметричной нагрузке в случае увеличения токовой нагрузки статора А значение торцовых потерь зависит от отношения А2/8р. Поэтому для сохранения той же допустимой кратности токов обратной последовательности при увеличении номинальной мощности турбогенератора необходимо соответствующее увеличение воздушного зазора 6Р. 128
Рис. 6.3. Вытеснение поля & в зазоре к торцам массивного ротора при различных скольжениях s (по [5.3])； шаг по оси yt см. остальные размеры — в мм)
При синхронной работе и симметричной нагрузке проявляется практически только второе явление, которое может быть причиной значительных добавочных потерь мощности (по [6.23] эти потери достигают 2,2 МВт в генераторе 1200 МВт, т. е. 16% общих потерь).
Общие добавочные потери (выраженные в ваттах) в торцовых частях турбогенераторов можно оценить по эмпирическому выражению [6.2]
А&论=5(40f К)-* (6.12)
где Л ——линейная нагрузка статора; D — внутренний диаметр статора.
Благодаря применению интенсивного охлаждения в последнее десятилетие мощность турбогенераторов достигла 1200 МВт при относительно небольшом (20—30%) увеличении диаметра D и двухтрехкратном увеличении линейной нагрузки—1300—1800 А/см в турбогенераторе 300 МВт; 2200— 2800 А/см в машине 1200 МВт и
Рис. 64 Влияние экранов на поле в торцовой зоне турбогенератора：и - - дисковой магнитный экран па лобовой поверхности сердечника; 6 — э.'1ектр()м：1 глитнып экран;“ -цилиндрический магнитный экран на поверхности лобовых соединенийРис. 64 Влияние экранов на поле в торцовой зоне турбогенератора：и - - дисковой магнитный экран па лобовой поверхности сердечника; 6 — э.'1ектр()м：1 глитнып экран;“ -цилиндрический магнитный экран на поверхности лобовых соединений2900—3400 А/см в проектируемой машине мощностью 2000 МВт [6.10]. Это вызывает резкое увеличение полей рассеяния на торцах машины и сопровождается увеличением добавочных потерь и локальных превышений температуры.
Рис. 64 Влияние экранов на поле в торцовой зоне турбогенератора：
и - - дисковой магнитный экран па лобовой поверхности сердечника; 6 — э.'1ектр()м：1 глитнып экран;
“ -цилиндрический магнитный экран на поверхности лобовых соединений
Рис. 64 Влияние экранов на поле в торцовой зоне турбогенератора：
и - - дисковой магнитный экран па лобовой поверхности сердечника; 6 — э.'1ектр()м：1 глитнып экран;
“ -цилиндрический магнитный экран на поверхности лобовых соединений
Точный аналитический расчет этих явлений не всегда возможен. Поэтому решение часто получают при помощи различных методов моделирования [6.21] и с привлечением опыта эксплуатации. На основе приближенного качественного анализа отрицательные явления, например локальные превышения температуры, исключаются или ослабляются путем соответствующего выбора конструкции, применением экранов и т. п. (рис. 6.4). При этом следует помнить, что проводящие электромагнитные экраны вытесняют потоки рассеяния из зоны их размещения и могут приводить к их усилению на прилегающих к экрану стальных поверхностях (рис. 6.4,6).
Правильным ледборсм магнитных шунтов можно осуществить формирование поля рассеяния (рис. 6.4,s) [6.7]. С точки зрения большой неравномерности распределения поля в торцовой зоне каждое изменение в конструкции должно предусматривать отдельное исследование распределения поля (рис. 6.5) [6.15].
.3J. Упрощенная расчетная модель зоны лобовых частей статора при симметричной нагрузке. Получение приближенных аналитических выражений возможно только при
DJq?2/9卷2舌9DJq?2/9卷2舌9sqHenH2aEa工 awHDQ 工gsqHenH2aEa工 awHDQ 工g力力00"4夕 qg %。 49 46 47cos 夕cos 3
DJq?
2/9卷2舌9
DJq?
2/9卷2舌9
sqHenH2aEa工 awHDQ 工g
sqHenH2aEa工 awHDQ 工g
力
力
0
0
Перевозбуждение Недовоз^дждение
Рис. 6.5. Прирост температуры торцов сердечника якоря в зависимости от возбуждении и материала бандажного кольца ротора турбогенератора- 60 МВт, 11,8 кВ; cos 屮“ =6,8; 3670 А; 3000 об/мин
I — магнитная нажимная плита и немагнитные нажимные пальцы
весьма больших упрощениях — от первой ступени идеализации торцовой зоны турбогенератора с бесконечно тонкими лобовыми соединениями (рис. 6.6) до простейших расчетных моделей, в которых бесконечно тонкие лобовые соединения с двумерным распределением линейной нагрузки А (х, у) располагаются между двумя металлическими полупространствами с различными свойствами (рис. 6.7).
Рис. 6.6. Первая ступень идеализации торцовой зоны турбогенератора [6.1, 6.7, 6.17]： /, 2 — лобовые соедииеиия обмоток статора и ротора; 5 — нажимная плита; 4 — экран; 5 — диски для направления газа; 6 — корпус; 7 — ротор; 5 — центрирующее кольцо немагнитного бандажного кольца
Принимая [6..11], что распределение линейной нагрузки в обоих направлениях по х и у синусоидально найдем
4(%, У f) = Атх + iAng =
=Ат elat е ' X
xgosN + j^si 吁 4(6.13)
Для отдельных участков /, 2, 5, 4 (рис. 6.7) лрименяются уравнения (1J3) в форме
^Етзс — а『Е^х； qEmg — *『？тр； 看= /й^, (6.14)
причем £т2=0; 1=1» 2, 3, 4 — номер участка.
Решение (6.14) представляется в виде
.(6」5)
X cos个9(e:у「"斗Q卢产)， причем аналогично (5.36)
a" =/時+⑺n十⑺厅.(6.16)
Подстановкой (6.15) в (1.6) при р = 0
div Ет = дЕтх/дк + дЕту/dy—Q
(6.17)
получаем
^mxi=/ —ех
x5也品以2产“/+2・戸产）；
(6.18)
Emyl = e t X ^cos^-yfC^i^D^,
1
zz
z
z
причем в участках 1 = 2 н i=3 出=%； 丫 = 0；%=% = °，
Если ротор (участок /) вращается с синхронной скоростью, то частота поля в нем f—О и также ai=0, откуда 吁)H+(Wf・ (6.19)
Рис. 6.7. Поле линейной нагрузки %(х,乡),распространяющееся вдоль оси х и периодическое по осям % н 夕
%L XT)义X js& ch %262 cos(7t〃)g(1 + j)3瓦ch%% '生Е= — 4еГТ*)4хX 乎用 cos 2 9；ch a128p/%L XT)义X js& ch %262 cos(7t〃)g(1 + j)3瓦ch%% '生Е= — 4еГТ*)4хX 乎用 cos 2 9；ch a128p/т ch a, . лт ch a, . л(6.23)(6.23)
%L XT)义
X js& ch %262 cos(7t〃)g
(1 + j)3瓦ch%% '
生Е= — 4еГТ*)4х
X 乎用 cos 2 9；
ch a128p/
%L XT)义
X js& ch %262 cos(7t〃)g
(1 + j)3瓦ch%% '
生Е= — 4еГТ*)4х
X 乎用 cos 2 9；
ch a128p/
т ch a, . л
т ch a, . л
(6.23)
(6.23)
Для участка 4 при s=l аналогично (5.37) М0Ж1Н0 вследствие больших размеров / и т принять с большей точностью
产「|》(叫)2 + (叫片T. e. a" = % =
=(1-Н)財， (6.20)
「“е 拓="/64)，叩JJ2; 64-эк- вивалентиая глубина проникновения.
На участке 4 при z—>—оо величина еm喉 8, t. e.q4u=0.
Составляющие Н» Ну, Hz определяются подстановкой (6.18) во второе уравнение Максвелла rot Ет =——/o)gffm, причем составля- ющне HXt "z поля имеют вид
и /а1£ ■
^mxl ~ е
X
где
(6.21)(6.21)瓦亠+器龍+醬仇2。+瓦亠+器龍+醬仇2。+冷tg%…. %4卩3冷tg%…. %4卩3
(6.21)
(6.21)
瓦亠+器龍+醬仇2。+
瓦亠+器龍+醬仇2。+
冷tg%…. %4卩3
冷tg%…. %4卩3
x COS刃(Q户产_&.,户7吟；
"…訖0+舒Т『х X ^^-yiC^u^D^Y
Постоянные C\g, Diy определяются нз граничных условий при м=0, У =0：
при z = 62 Ятх1 = Ятх2；
2用 mzi =f4〃mz2；
при Z —0 Нтх, — Нты =
_ Л% м (6.22)
—Ап，肘 2”Е2—肘户 ma*，
ПРИ Z = f Нтх^Нт^
После решения системы (6.22) и введения упрощений, следующих из условия a2=ai； Цг=Цо； shai262<Ccha1262； 固》眼；т//^5, получаются [6.1] выражения для тангенциальных составляющих на- пряжен!ности поля на поверхности участка 4
Мощность, выделяющаяся на единице поверхности участка 4, может быть определена из теоремы Пойнтинга (1.19). Среднее значение потерь активной мощности на участке длиной / составляет в соответствии с (1.96)
〃2
о
—%题/)dy— -^- I Amy pZ~^ x x(謫;)'(】 + /• (h)
При расчете потерь в элементах конструкции конкретных машин [6.1 ] требуется проведение детального анализа поля, которое позволяет найти тангенциальные составляющие Е н 〃 на поверхности этих элементов и определить потери при помощи выражений
4一人- 一 乎仞 статора Z\\\\\\\\\\\\\\\、\\\2>1 \ г Воздушный зазор В'4一人- 一 乎仞 статора Z\\\\\\\\\\\\\\\、\\\2>1 \ г Воздушный зазор В'Ротор ；必 1Ротор ；必 15 ：5 ：Рис. 6.9. Аналитическая модель ротора турбогенератора. / — клинья; 2 — зубцыРис. 6.9. Аналитическая модель ротора турбогенератора. / — клинья; 2 — зубцы
4一人
- 一 乎仞 статора Z\\\\\\\\\\\\\\\、\\\2>
1 \ г Воздушный зазор В'
4一人
- 一 乎仞 статора Z\\\\\\\\\\\\\\\、\\\2>
1 \ г Воздушный зазор В'
Ротор ；
必 1
Ротор ；
必 1
5 ：
5 ：
Рис. 6.9. Аналитическая модель ротора турбогенератора. / — клинья; 2 — зубцы
Рис. 6.9. Аналитическая модель ротора турбогенератора. / — клинья; 2 — зубцы
1.9). Следует подчеркнуть, что описанный метод является упрощенным.
ВЛИЯНИЕ КЛИНЬЕВ НА ПАРАМЕТРЫ РОТОРА ТУРБОГЕНЕРАТОРА ПРИ НЕСИММЕТРИЧНОЙ НАГРУЗКЕ
В первом приближении расчеты тока и потерь мощности в роторе турбогенератора, относительно которого вращается данная гармоническая поля, производятся по процедуре, описанной в п. 5.3.3, т. е. при условии, что ротор является массивным стальным цилиндром. Эксперименты, описанные в [6.21], показывают, что пазы ротора приводят к значительному ослаблению рассчитанных паразитных эффектов (рис. 6.8). Потери в концевой части зубца приблизительно в 2 раза, а в середине — в 100 раз меньше, чем в однородном цилиндре. В конечной части клина потери приблизительно в 6 раз меньше, чем в конечной части зубца, т. е. поте-
Рис. 6.8. Распределение относительных поверхностных потерь АР】 вдоль ротора турбогенератора 800 МВт (0 — торец ротора): 7 ——зубцы; 2 — клннья; 3 ——крайний клин, прилегающий к большому зубку; 4 — середи н а большого зубца; 5 — однородный цилиндричг- скиП вал -
ри обратно пропорциональны проводимости материала у.
Метод Каунаса и Линга [6.11]. В [6.11] на основе упрощенной модели (рис. 6.9) получены выра-
Решение (6.25) имеет видРешение (6.25) имеет вид/加代z) = J。L bh%一m L"+/加代z) = J。L bh%一m L"+4丫24丫2(6.29)(6.29)е-з + е-У ；(6.34)(6.35)(6.36)е-з + е-У ；(6.34)(6.35)(6.36)fJoYifJoYiCh(匕Xf — a2身瓦)Ch(匕Xf — a2身瓦)靑Mx, /, z)H;(^'厶 Z)~ 0；靑Mx, /, z)H;(^'厶 Z)~ 0；/用"2（""，N）~/用"2（""，N）~X L zX L zXX(6.39)(6.39)(6.40)(6.41)(6・42)(6.40)(6.41)(6・42)(6.43)(6.44)(6.43)(6.44)(6.45)(6.45)
Решение (6.25) имеет вид
Решение (6.25) имеет вид
/加代z) = J。L bh%一m L"+
/加代z) = J。L bh%一m L"+
4丫2
4丫2
(6.29)
(6.29)
е-з + е-У ；
(6.34)
(6.35)
(6.36)
е-з + е-У ；
(6.34)
(6.35)
(6.36)
fJoYi
fJoYi
Ch(匕Xf — a2身瓦)
Ch(匕Xf — a2身瓦)
靑Mx, /, z)H;
(^'厶 Z)~ 0；
靑Mx, /, z)H;
(^'厶 Z)~ 0；
/用"2（""，N）~
/用"2（""，N）~
X L z
X L z
X
X
(6.39)
(6.39)
(6.40)
(6.41)
(6・42)
(6.40)
(6.41)
(6・42)
(6.43)
(6.44)
(6.43)
(6.44)
(6.45)
(6.45)
жения для определения вихревыл токов и потерь в роторе с пазами.
Используя симметрию системы относительно плоскости /—А (рис. 6.9), принимаем, что электромагнитное поле в этой плоскости можно рассматривать как двумерное, имеющее только одну составляющую плотности тока Jy=yEy. В соответствии с этим условием и с учетом (1.13), амплитуда гармонической плотности тока в клиньях (，=1) и зубцах (i=2) удовлетворяет уравнению
■^~，М +Ли»； = *即用川 iul, 2
(6.25)
при граничных условиях
-V- 4(у； = 0, если г — 0, а также
х=Ь] +力 2；(6.26)
(切=0, если 2 — 00；(6.27)
丄儿〃=^—丿"圖2，если к ~bv (6.28)
+…[；
4*2 (心 Z)=
_7 V (ch [VaJ-aj (% -瓦一•62)】
。丫21—— XX ef ? +"2%(6.30)
где Jo — постоянная интегрирования; ai^Vj^^i^ (l+j)E・
Если принять, что поверхность ротора гладкая, т. е. ai = a2, 71 — =丫2, то (6.29) и (6.30) переходят в (5.40). Поле вне плоскости А—А рассчитывается из предположеиия, что благодаря центробежной силе на границах cd и ef существует хороший электрический контакт. На границах cf и de контакт плохой, и можно принять, что ток через эту поверхность не проходит. Тогда для пространства вне плос-
кости А—Л применимы
уравнения
для двух составляющих щей форме:
в следую-
四理+生出2J
@d 1 dR£
(6.31а)
"'m矶 J "An?"2».
(6.316)
dx 十 dy 一°
(6.32)
при следующих граничных
условиях:
М*，о, z)=o；
(6.33)
ch (Каг2— a22%)
4^1 （м，У，2）= 〃勿（-X，，2）； （6・37） 」т*1（“，4，Z）=—厶“打（一X, У» Z）；
（6.38）
〔ch [|AtJ — aj(x—瓦—6J
I ch (|/ 寸一^0 +n；
，т*2（Х‘。，2）=0；
4*2 a’ 厶 Z）=0； "^_Jmx2（M，， 2）一;0；
^mxs* yt z)= — 4*J—x + 2(Z +
+儿)，弘4；
^mxi (^1» 1Л 4)р，е2(61，th 2)；
.. д .—
Yi@U
=丄jmg2； (P =幻，
丫 2
причем pp— активное сопротивление перехода между зубцом и клином,
Вихревые токи в клиньях. После решения (6.31) и (6.32) методом разделения переменных с использованием граничных условий 133
Х(_& = J。》Х(_& = J。》zz=l, 3, 5,…，N.(6.48)zz=l, 3, 5,…，N.(6.48)1"小"=^ ( 一 1 )1"小"=^ ( 一 1 )e…二也一e…二也一-a?厂卜a"?-a?厂卜a"?(6.54)(6.54)
Х(_& = J。》
Х(_& = J。》
zz=l, 3, 5,…，N.
(6.48)
zz=l, 3, 5,…，N.
(6.48)
1
"小"=^ ( 一 1 )
1
"小"=^ ( 一 1 )
e…二也一
e…二也一
-a?厂卜a"?
-a?厂卜a"?
(6.54)
(6.54)
—(6.37) получены выражения для составляющих плотности тока в клиие (i=l) [6.11]
'mxi （“，У、之）==
X cos 管 у)，"1，3,5,…,м
(6.46)
^mpi (七，У* ^)=
义 sin 肾"，(6.47)
где n=l, 3, 5, ..., ^; G<n(^)—коэффициент аппроксимации, рассчитанный методом наименьших квадратов следующим образом.
Из (6.47) и (6.34) при у — 1
£б]Ю・2с!1[ |/"а」+(贯)vj X
ch (/^-g2^)
Ch(|/ a J — c^ 瓦)X
Если обозначить правую часть (6.48) через f (х) и преобразовать левую часть по уравнению вида 2chanx —е "*+е "： то можно оценить ошибку аппроксимации для каждой величины 0《％&历 как
N
/=«)- £ ^„(^(е^ + е^Х /1=1,3
Х(—1 严，(6.49)
причем
Q“ = Ра「+ 隔/(2/)『.(6.50)
134
Среднеквадратичная ошибка аппроксимации составляет, таким образом,
(6.51)
Функции Gm(N), минимизирующие ошибку аппроксимации (6.51), находятся из условия
6М = 4 f (еу5еу + £y8e7V)dx ^ °-
(6.52)
С учетом условия, что каждая из функций 6in(N) может изменяться независимо от остальных, из (6.52) получим [6.11] ♦
2 %£“(?)= 口 (х)е% 产 dx + n6
+ М(к)е-*〃, т=1, 3, 5,..., М
6
(6.53) где
a*—ain
e(a“-a；)"_l厂⑵―0"_1
an—am
e-(%+嗫)"_ 1% + a；
причем am* — величина, сопряженная с коэффициентом %
Из (6.53) получается линейная система (犷+1)/2 уравнений, из которых рассчитываются (^+l)/2 коэффициентов бщ.
Вихревые токи в зубцах. Аналогичным образом из (6.31) и (6.32), а также граничных условий (6.39) — (6.43) получено в [6.11] выражение для составляющих плотности тока в зубцах (i = 2)
4«(*. У. z^^2G2m{z)^bl+bl}^[km(x-b,-b^s\Ti\^-y,(6.55)
丿“2 (%，У，z) = ^ G2M(z) ~ km е%”"")ch 瓦(х i —
一/ [cos管)-(一产卄厶"若諜笠守e』+「]，т = 2, 4, 6,…，оо, (6.56)
где 瓦尸人:+切而修g(6.57)
Коэффициенты G2m определяются с помощью аппроксимации методом наименьших квадратов.
Потери мощности. Удельные потери мощности в зубцах или клиньях находятся по выражению a? (%,，z)=卩/(2Y)]("山J工 + ^^myi^nyi), i t 2.(6.58)
Потери мощности в стыке зубцов с клиньями
АРр (匕 ％) =^ Рр厶м J；z*i, » (6*59) где рр — активное сопротивление перехода.
При помощи описанных выражений в [6.11] рассчитаны кривые распределения плотности тока и потерь мощности в клиньях и зубцах. На основе полученных данных построен график пространственного распределения потерь в роторе, обусловленных обратным полем от установившегося тока обратной последовательности, значение которого составляет 10 % номинального (рис. 6.10).
Рис. 6.10. Распределение плотности потерь мощности на поверхности (z = 0) ротора турбогенератора 700 МВ А при асимметрии для тока обратной последовательности /? = 0//“ (по [6.11])
Рис. 6.11. Определение поля и сил з пазу методом зеркальных отраженийРис. 6.11. Определение поля и сил з пазу методом зеркальных отраженийРис. 6.12. Коэффициенты уменьшения сил при коротком замыкании в пазовой части обмоток вследствие насыщения зубцовРис. 6.12. Коэффициенты уменьшения сил при коротком замыкании в пазовой части обмоток вследствие насыщения зубцов
Рис. 6.11. Определение поля и сил з пазу методом зеркальных отражений
Рис. 6.11. Определение поля и сил з пазу методом зеркальных отражений
Рис. 6.12. Коэффициенты уменьшения сил при коротком замыкании в пазовой части обмоток вследствие насыщения зубцов
Рис. 6.12. Коэффициенты уменьшения сил при коротком замыкании в пазовой части обмоток вследствие насыщения зубцов
СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ПАЗОВУЮ ЧАСТЬ ОБМОТОК
Увеличение номинальной мощности турбогенераторов сопровождается увеличением электродинамических сил, действующих на пазовую часть обмоток. Эти силы могут вызвать механическую эрозию изоляции вследствие ударов о дно паза и клин. Разрушающее действие такого типа наиболее опасно для твердой изоляции. Поэтому целесообразным считается размещение на дне паза или под клином упругих элементов и изолирующих прокладок [6,24].
Расчет этих сил производится при помощи аналитических, численных или аналоговых методов. В каждом случае следует учитывать насыщение зубцов, поскольку в противном случае расчеты приведут к получению чрезмерно больших значений этих сил. Соотношения размеров пазов и зубцов могут быть весьма разнообразными в зависимости от мощности и конструктивного решения турбогенератора. Магнитное поле и силы в пазу можно рассчитать или численным методом, например методом конечных элементов, или методом зеркальных отражений.
При использовании наиболее распространенной двухслойной укороченной обмотки (рис. 6.11) существуют пазы, в которых лежат проводники одной фазы (小=小1), а также пазы, в которых встречаются витки соседних фаз (/门=^е-〃2。). Заменой действительного паза полем соответствующих токов, отраженных с коэффициентом Л4 = =(因一1) /(Br+1) VL могут быть получены следующие выражения [6.16]:
Сила, прижимающая ко дну паза обмотку на высоте g при h — i\\ (однослойная обмотка) 尸" = 一 (%/2) h饵炉一 /亙球*
(6.60) где k — коэффициент, зависящий от параметров паза и проницаемости 136
ц (насыщения) зубцов в направлении оси х (рис. 6.12).
Если в пазу размещаются только два стержня (/щ = = /?п・2/(b/i)), то на дно паза действует максимальная сила
%н尸一2»。(/,；/&)々，卜(6.61)
причем /,“=(1,6 十 1,8)()/»U“/XJ) = = (l,6+l,8)(100]/27“/xJ) (6.62)
—наибольший ударный ток нижнего стержня (нижнего слоя) при коротком замыкании.
Сила, направленная ко дну паза и действующая на единицу поверхности нижнего слоя паза на
-/ - высоте у при 1и = Це 3 , fmr-Nj： (^rfsin2®# +
+ 0,87^ sin2orf)y, (6.63) где kd,后，——коэффициенты, определяемые по рис. 6.12.
Сила, определяемая по (6.63), достигает максимального значения при 5弋丿3k' / (^kd)+nn/2t n^ =1, 3, 5, ...» и составляет
儿… 一 МЛ【1 +1,5…/)】!/•
(6.64)
Если в ннжнем слое расположен только один стержень, то максимальная сила
3-^子施.(6.65)
Из сравнения (6.61) и (6.65) следует, что сила, действующая на дно паза для двухслойной обмотки, при слабом насыщении в 4 раза, а при сильном насыщении — приблизительно в 2,5 раза меньше по сравнению с силой при однослойной обмо7ке.
Максимальная сила, действующая на клин в двухслойной обмотке со стержнями в пазу, принадлежащими разным фазам, 几产毕子丸(6.66)
Как видно, эта сила приблизительно на 30 % меньше силы, рассчитанной по (6.65), действующей на дно паза.
В фазных роторах асинхронных двигателей к силе, определяемой по (6.66), следует цобавить центробежные силы. Как следует из рис. 6.12, габаритные соотношения паза (большое значение отношения 力/Ь), а также насыщение зубттов могут существенно влиять на умень
шение механических напряжений в пазу. Соответствующую проницаемость в зубце цг можно оценить по граничному условию 日mN产才力却口0 в среднем сечении по высоте паза, причем
%Та 吟т10 (6.67)
При коротких замыканиях происходит сильное насыщение зубцов, приблизительно соответствующее индукции насыщения 8话=1,9+ 2,15 Тл. При этом условии в первом приближении Нщгф] = Вк+
Принимая во внимание, что Нтг — =(1/得八"'卅箝, получаем 卩"艮()= =(Bis/H,-mp)iir}+^ откуда в первом приближении
"(〜(6.68)
После определения проницаемости ЦП из (6.68) рассчитывается первое приближение напряженности магнитного поля в зубце Нтг\ = ="'切夕/卩门； затем можно определить следующее приближение проницаемости 卩厂2, откуда рассчитывается величина "用N2 ="'切"/卩「2, и т. д. Этот метод последовательных приближений используется до выполнения УСЛОВИЯ Ути ^^гп- Величина цгп =同 позволяет затем использовать кривые рис. 6.12.
Для узких и длинных зубцов следует в соответствии с рис. 2.21 рассмотреть влияние полей соседнего паза, проходящих через зубец.
爪6. ОСНОВЫ РАСЧЕТА ПОЛЕЙ И СИЛ В ЛОБОВЫХ ЧАСТЯХ ОБМОТОК
В п. 4.3.2 рассмотрены общие методы расчета индуктивности элементарных контуров, входящих в лобовые соединения. При этом можно рассмотреть влияние стали и воз- пушного зазора. Аналогичные методы можно использовать для расчета сил.
Метд Лоуренсона [6/3]. В Гб.13] описывается компьютерный метод расчета сил в эвольвемт- пых лобовых соединениях двухпо-
137
Рис. 6.13. Представление лобового соединения при помощи токовой нити (по [6.13])Рис. 6.13. Представление лобового соединения при помощи токовой нити (по [6.13])люсных обмоток. Метод этот может также применяться для произвольных лобовых соединений, а также произвольной пространственной конфигурации проводников.
Рис. 6.13. Представление лобового соединения при помощи токовой нити (по [6.13])
Рис. 6.13. Представление лобового соединения при помощи токовой нити (по [6.13])
Основное значение при расчетах играет точное рассмотрение формы обмоток, при этом влияние границ менее существенно и в среднем приводит к ошибкам: 5—10% —при замене проводника бесконечно тон- кой центральной нитью с током; ±10%—при исключении лобовых поверхностей машины.
Лобовые соединения могут быть заменены большим числом бесконечно тонких элементарных сегментов, причем одновременно в цилиндрической и прямоугольной системах координат (рис. 6.13). Распределение сил, действующих на витки, представляется с помощью радиальных kr, тангенциальных Л© и аксиальных kz составляющих плотности силы, проявляющихся в середине сегмента.
Метод расчета основывается на обычном сложении в центральной точке сил, обусловленных совокупностью элементарных сегментов. Входными данными для расчета (кроме тока) являются координаты концов этих сегментов. Последние определяются по чертежам.
Плотность силы 尸 в произвольной точке Т (х, у, z) на проводнике UV (рис. 6.14), вызванную током в проводнике R瓦 можно представить как
F=BX%(6.69)
а также
"。^ (sin 9(/ + sin 9f/+1) sin a =
：卩川/麻十屋
4需方\ TR 元
Обозначив
—X 产 1； bx=X—
点=Xq + 1 - X；
@g% — % 4*1 ‘ Ьд У — %’
% = %+1 一 y；
&=4 - 2小；6z=Z_q；
G ~ 2q+i '一 Z,
(6.70)(6.70)можно представить
(6.70)
(6.70)
^=>a『 + aJ + W；
乐=}/6/+++厅；(6.71)
Рис. 6.14. Определение силы 尸=5 X /р взаимодействия двух участков проводников с током (по [6.13])
138
а также направляющие косинусы прямой RS
厶—aJRS;农—ay/RS\ % — a/RS、
(6.72)
откуда
RP = lpx + mvby + 〃也；(6.73)
TP =0顶一而二(6.74)
В целях определения sin а следует определить направляющие косинусы /', т\ а/ вектора В, который перпендикулярен плоскости TRS,
/' = (“2% — ОуС z)[G；
nV = (%展一azc^)/G;(6.75)
"==(dyC x — %c jiG、
где
G = M(oq 一 咏)2 十f
十(axCz — azCS 十(。/% — axCy^'
(6.76)
Направляющие косинусы /2, m2i 九？ прямой
厶= (% -ЮД用;
m2=(% -%宀)/师(6・77)
а 尸(Zp-zQW
причем
UV= M(4 — %р+1)Ч~®厂％+了+
+ 亿一и』)?.(6.78)
Учитывая, что
cos а = /7? + 欣恨 + /г'%，(6.79)
можно определить sin а= =f/ 1 — cos? а в функции координат, затем из (6.69а) силу F. Направляющие косинусы L, М, N вектора силы 尸，перпендикулярного В и UV, определяются из уравнений
" + 〃‘〃' + "〃'=°；)(6.80)
〃3 + М恤 + n"3=°， I
откуда
执2献一•?И’/Ц〃/ %门‘
—/2mz—，加2 sin a
Из (6.81) с использованием (6.75) — (6.78) можно определить 工 М, N через координаты, затем из (6.79а) рассчитываются составляющие силы F.
Алгоритм программы в этом случае следующий [6.13]:
установить расположение обмоток в машине по чертежам, учитывая зеркальные отражения по рнс 4.9;
выбрать точки (хр,力)，之尸)， которые определяют форму и размеры витка；
рассчитать координаты всех витков, используя данные из пп. 1 -и 2;
выбрать виток, например Л, для которого будут рассчитываться силы;
выбрать величину р, которая определяет элемент на витке, для которого следует рассчитать плотность силы k\
выбрать первый виток, например В, влияние которого на Л следует рассчитать, и определить характеризующие его точки (х9, i/g» Nq)；
принимая д=0, рассчитать силы k в середине элемента с граничными точками (хр, у/, zp) и (Хр+ь 纭+h гр+1) и обусловленные элементом с точками %о, j/o, No и хь j/i, 2】；расчеты проводятся на основе (6.69) — (6.81);
повторить п. 7, принимая q— =1, и сложить со значением, полученным в предыдущем расчете;
повторить п. 8, принимая q— = 2,3 ... — до последнего элемента витка В;
повторить пп. 6—9 для всех витков в рассматриваемой фазе, действующих на виток А;
И) записать полученные величины 財 обусловленные воздействием группы, содержащей виток В, на единичную точку Д;
Расстояние 〃о эвольвентеРасстояние 〃о эвольвентеРис. 6.15. Кривые составляющей 论8 сил, действующих в лобовых соединениях (по [6.13]):при проницаемости ]1=а; при проницаелюсти ц —О (идеальный медный экран)Рис. 6.15. Кривые составляющей 论8 сил, действующих в лобовых соединениях (по [6.13]):при проницаемости ]1=а; при проницаелюсти ц —О (идеальный медный экран)
Расстояние 〃о эвольвенте
Расстояние 〃о эвольвенте
Рис. 6.15. Кривые составляющей 论8 сил, действующих в лобовых соединениях (по [6.13]):
при проницаемости ]1=а; при проницаелюсти ц —О (идеальный медный экран)
Рис. 6.15. Кривые составляющей 论8 сил, действующих в лобовых соединениях (по [6.13]):
при проницаемости ]1=а; при проницаелюсти ц —О (идеальный медный экран)
повторить пп. 6—11 для всех элементов витка Л, для которых необходимо рассчитать силы;
повторить пп： 5—13 для всех витков в группе, к которой принадлежит виток 4
Для получения полного распределения сил в обмотках п. 7 должен повториться N раз, причем
N = S2c°g/n,
где S — число сегментов в витке; С — число витков в группе; g — число групп в фазе; т — число фаз.
При расчетах двухполюсного турбогенератора с двухслойной об- моткЬй, которая содержит 36 катушек с шагом 150, число повторений п. 7 составило 9,5-104. Полученные таким способом кривые показаны па рис. 6.15.
6.7. ОСНОВЫ РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В РОТОРЕ
В массивных роторах турбогенераторов при форсировании возбуждения, гашении поля, ударных коротких замыканиях и других неуста-
новившихся режимах процесс накопления и отвода магнитной энергии из массивного ротора совершается в течение определенного времени, тем большего, чем сильнее реакция вихревых токов в массиве ротора и других демпфирующих контурах (демпферная клетка, обмотка возбуждения). В общем случае эти явленич описываются при помощи реактивных переходных X'd и сверхпереходных X'% сопротивлений, а также соответствующих постоянных времени.
Переходные процессы в массивном роторе имеют характер диффузионных процессов и описываются диффузионными уравнениями (L12)'
△" =卩Y0"/兑
Диффузия поля 8 ротор при 核=const. С определенным упрощением исследование диффузии поля в ротор можно заменить исследованием диффузии поля в массивный стальной магпитопровод (рис. 6.16,6), па поверхности кото-
t=0 t>0t=0 t>0Рис. 6.16, Скачкообразное возбуждение поля в массивном металлическом полупространстве:“ 一ротор гурбогонератора; 6 — физическая модель; в — диффузия поля в металлРис. 6.16, Скачкообразное возбуждение поля в массивном металлическом полупространстве:“ 一ротор гурбогонератора; 6 — физическая модель; в — диффузия поля в металлрого в момент f=0 создается поле %=厶 -у . Поскольку Нх = Hz = =0, (1.12) принимает форму
t=0 t>0
t=0 t>0
Рис. 6.16, Скачкообразное возбуждение поля в массивном металлическом полупространстве:
“ 一ротор гурбогонератора; 6 — физическая модель; в — диффузия поля в металл
Рис. 6.16, Скачкообразное возбуждение поля в массивном металлическом полупространстве:
“ 一ротор гурбогонератора; 6 — физическая модель; в — диффузия поля в металл
д2Н/дх2 ^dH/dt.(6.82)
В момент f=0 поле внутри металла (—aVxVn)
"(% 0)=0,
а при f—► оо Н(х, /)—► Яо.
Решение (6.82) может быть представлено в виде
Я(х, <)-//« + £ 〃“(Х,力(6.83)
П=1
причем функции Нп (х, /) удовлетворяют условиям
lim/(x,/)=0;]
ffcoS
"“(一〃，‘)="式〃，f)=0, npnf>oJ
(6.84)
Подстановкой в (6.82) многочлена функции "п(м /)=Хя(х)Х 义7办(f) получается в соответствии с методом разделения переменных
匕〃+必吹=0； I
Г/十卩/(м)]“也,=0,)■
откуда
"门(X，/)= ""北:二二(Cz COS Nnx + 一也
+ Dn sin Nflx) e 叫(6.86)
Из условий симметрии (6.84) следует, что D〃=0 н cos УЛЛ-^О, от・ кУДа
Nn = (2/z - 1)大/(2°).
Из условия Н (х, 0)—0 при —а<х<а, а также из (6.83) следует
0 = % + *“cos%^x, n=I
откуда [1.4]
- ；一(2%-1)E,—I cos —dx
J 2a c“= — ~~5：
小乌二』X
J 2a о 一1)%%
一к(2п — 1)
(6.87)(6.87)В окончательном виде напряжен
(6.87)
(6.87)
ность магнитного поля в стали
以(*,/)=几一
一空屯一三学cos(2"U"x
Xexp [_(2宁？* “{6.88)
L4卩付1
Поток, проходящий через тело площадью 2修，
<К(/) = М J Я(х, t)dx, (6.89)
а плотность тока в соответствии с первым уравнением Максвелла rot Л< — J
n—1
2a 1 [4m。2 J
(6.90 丿 Ток в массивном блоке i(t)= = J」z(x, t)dx. Индуктивность об- 0
мотки возбуждения рассчитывается как
厶我)=业 нлн
(6.91) Диффузионные процессы при ц = ц(Я). В ферромагнитных нелинейных средах действуют уравнения Максвелла
rot" ~у£; rctE = — dB/dt.
При помощи тождества rot rot 〃=g「ad div H—А" и зависимости div В=0 для изотропных сред (цх=
=卩？=卩2=卩)получается уравнение
А〃 — ydB/df = нА") 丫°"/扰，(6.92) в котором сомножитель
^(")亠需=计(”)+ 體"(6・93) представляет собой динамическую магнитную проницаемость.
Уравнение (6.92) обычно решается приближенными методами — численными или аналоговыми.
Для плоского поля и плоской границы существует одна составляющая НУ = Н (х, 0, которой соответствует динамическая проницаемость gd(x, t) =0В(х, t)/®H (х, f). Уравнения (6.92) для поля Н и потока Ф внутри массивного ферромагнетика приобретают идентичную форму
啓W=Pd(x，/) 丫吟2 (6.94) причем для потока вместо Н подставляется Ф.
В [6.22] при условии, что поле на поверхности и полный поток в ферромагнетике изменяются во времени апериодически
〃=”8(1—(6.95)
Рнс. b.i /. Данные для численного решения (6.94) на цифровой ЭВМ:Рнс. b.i /. Данные для численного решения (6.94) на цифровой ЭВМ:а — сетка координат А*. Д/； б — первичная кривая намагничивания В и динамическая проницаемость 牍@ сталиа — сетка координат А*. Д/； б — первичная кривая намагничивания В и динамическая проницаемость 牍@ сталиполучено решение (6.94) численным методом (методом сеток) (рис. 6.17,а).
Рнс. b.i /. Данные для численного решения (6.94) на цифровой ЭВМ:
Рнс. b.i /. Данные для численного решения (6.94) на цифровой ЭВМ:
а — сетка координат А*. Д/； б — первичная кривая намагничивания В и динамическая проницаемость 牍@ стали
а — сетка координат А*. Д/； б — первичная кривая намагничивания В и динамическая проницаемость 牍@ стали
Разностное уравнение для (6.94) в соответствии с (1.77) имеет вид
”1-1, /+1 — 2^L /+1+ ^ + 1. /-1-1 —
=他("，"产'宀工也3.96)
при условии стабильности и сходимости решения
(6.97)
Напряженность электрического поля на основе первого уравнения Максвелла у£г — дНу\дх
勺,尸电ё，
(6.98) магнитный поток во всем объеме массивного ферромагнетика на единицу длины вдоль оси г
虱"=?跳/ + B*/ + 4(B」.十 + ^з, /+ …) + 2(В?, j + S4i y + ••■)]•
(6.99) Статическая и динамическая индуктивности:
%(0, Г)=①(/)//«) или 恥。~ = =公.///不(6.Ю0)
“(О' /)= *- = /ст(0，/) +
+/(/)崇
или
гфо, /+1~фо,
(6.101)
Программы на языке Алгол 1204 описаны в [6.22]. Характеристика намагничивания и рассчитанная на
Рис. 6.18. Сравнение статическом и динамической индуктивности для массивной стали ц = const (пунктирная линия) и U=p.(") (сплошная линия) при нарастании магнитного поля при условии 仇= = 50-1012 А/м и П = 4 мс
ее основе динамическая проницаемость 卩& представлялись в форме интерполяционных многочленов Ньютона. Рассчитанные индуктивности представлены на рис. 6.18.
Приведенные в [6.22] решения можно использовать для полного расчета тока включения и диффузии поля в массивную сталь по следующему алгоритму:
предполагается, что поле возбуждения в соответствии с (6.95)
〃 = 〃8[1—схр(—〃Т)]
при 卩=const, причем 7\=厶阳；
рассчитывается индуктивность 厶2 (f) по (G.96) — (6.101);
определяется активное сопротивление» моделирующее массивную сталь, &(/)=注2u)/产，а также второе приближение постоянной времени T2=L2(t) //?2 (Z)^const;
подставляется % из операции 3 в (6.95) и повторяются операции 2 и 3 до получения Тз = =L3(0/^3(0^const；
операция 4 повторяется до получения повторяющихся результатов 厶(f), &"), i(f) с требуемой точностью.
Примеры анализа динамических режимов приведены в [6.14].
6.8. ЭКРАНИРОВАНИЕ В ТУРБОГЕНЕРАТОРАХ
Обычные машины. В турбогенераторах в целях уменьшения действия полей рассеяния на конструктивные элементы торцовой зоны используются немагнитная сталь и магнитные и электр ома гни тны е экраны. Тип экрана мало влияет на поле и силы в самих лобовых соединениях обмоток, но существенно влияет на потери и локальный нагрев в торцовых нажимных плитах, стягивающих сердечник статора.
При применении электромагнитных экранов потери мощности почти полностью локализуются в экране. Потери в медном экране приблизительно можно оценить по табл. 2.1 или из рис. 2.9 применительно к бесконечно длинной экранирующей стенке. Экраны конечных размеров являются полузакрытыми экранами, в которых индуктированные токи проходят по большему пути, чем в замкнутых экранах, вследствие чего эффективность экранов с ко11ечными размерами меньше.
Магнитные экраны (рис. 6.19) рассчитываются на основе выражений, описанных в разд. 2.5.
Экраны криогенераторов. В турбогенераторах с вращающейся сверхпроводящей обмоткой возбуждения экраны играют важную роль. Они образуют многослойную структуру. В беспазовом статоре наружный магнитный экран (ярмо якоря), а также размещенный на нем электромагнитный экран служат для замыкания потока якоря и защиты внешнего пространства от потоков рассеяния. В роторе со сверхпроводящей обмоткой на криостате размещается многослойный экран (рис. 6.20), в котором отдельные слои образуют: цилиндр, передающий момент; термический экран; электромагнитный экран, защищающий сверхпроводник от переменного поля; демпферную обмотку; корпус криостата и т. д.
Наиболее действенным методом расчета таких многослойных экранов является метод волновых отражений [1.39, 1.22, 6.20].
Рис. 6.19. Магнитные экраны в большом турбогенераторе:
/ — экран; 2 — удлинение активной стали для улучшения компенсации МДС лобовых соединений статора и ротора
Рис. 6.20. Схема криогене* ратора:
/ — несущая конструкция ротора; 2 — сверхпроводящая обмотка ротора; 3 — медный экран; 4 — многослойный корпус криостата (не' магнитная сталь); 5 — медный экран; 6 — зазор; 7 — внутренняя несущая втулка, служащая одновременно наружной стенкой вакуумного дюара; 8—беспазовая обмотка якоря, разделенная изоляционной втулкой; 9 — наружная втулка якоря, передающая момент; 10— наружное ярмо, выполняющее роль магнитного экрана; 11 — наружный электромагнитный экран
(6.106)(6.106)при ГТ 8 0, Eg(8)*145при ГТ 8 0, Eg(8)*145
(6.106)
(6.106)
при ГТ 8 0, Eg(8)*
145
при ГТ 8 0, Eg(8)*
145
Метод основывается на том, что электромагнитная волна (Е@ Hip), падая со стороны среды / (см. рис. 1.7) на поверхность среды 2, частично отражается (Ею, /Ло) обратно в среду 1, а частично (£2w, 〃2w) проникает в среду 2 Связь между составляющими этих волн обусловлена граничными условиями (1.60).
В [6.20] этот метод приспособлен для цилиндрических систем. При пренебрежении граничными явлениями и при условии безразмер- ности токового слоя якоря 4v = =Avmexp [/(©/—vp(p)] определяется поле в зонах / н 〃 £2, Яг, Яф (рис. 6.21).
В передаче мощности поля че* рез экраны принимает участие только радиальная составляющая вектора Пойнтинга Sr—Ez'XH^ Другая составляющая S屮=^ЕКНГ иллюстрирует циркуляцию мощности поля вдоль контура экранов.
Рис. 6.21. Определение поля в цилиндрическом многослойном экране волновым методом
Подстановкой dE/dz=0, дН/дг= =0, Ernz=Emz^(at-vp^ в уравнение Гельмгольца (2.2) в цилиндрических координатах получаем:
для проводящих сред (Г=а= =]7rj«)肘Y — уравнение Бесселя
力2十二 dr
一产+(子)y"=0，(6.102)
общее решение которого
Eg (г) =。1/小(订)+ СлКи(аг); (6」03)
для диэлектриков (Г а 0) — урав* нение типа уравнения Эйлера
с общим решением
Emz (г) = D户 + D广". (6.1 05
В решениях (6.103) и (6.105) первые слагаемые получили название отрицательных волн (обозначение N), вторые — положительных (обозначение Р), что следует из их движения относительно оси г.
В зоне / (OWr^?o) при 『=0 hp(0) =0, К、р(0)=00； поскольку, однако, £mz(°)于 8, то С2=0, аналогично 力2=0, откуда:
для проводников Е^«(г) = С]/ур(аг); для диэлектриков £%(W
В зоне II (rNRo) Zvp(ОО)=ОО, Kg(8)=
(6.107)(6.107)(6.108)(6.108)Рис. 6.22. Определение собственной функции цилиндрического слоя:Рис. 6.22. Определение собственной функции цилиндрического слоя:Q — для положительной волны Р； 6 — для отрицательной волны ^Q — для положительной волны Р； 6 — для отрицательной волны ^
(6.107)
(6.107)
(6.108)
(6.108)
Рис. 6.22. Определение собственной функции цилиндрического слоя:
Рис. 6.22. Определение собственной функции цилиндрического слоя:
Q — для положительной волны Р； 6 — для отрицательной волны ^
Q — для положительной волны Р； 6 — для отрицательной волны ^
*8, т. е. Ci=O и Di=O, откуда: для проводников Е*(г)=СКр(аг); для диэлектриков ^(Г) =&厂叱
Составляющие "〃 "ф определяются из уравнений Максвелла, постоянные С и D — нз граничных условий. Полные волновые сопротивления для зон / и /7 определяются по известному выражению z= =E/Ht причем в цилиндрической системе сопротивления зависят от направления распространения волны и по [6.20] равны: для проводников
zp(r)=z„p(r)p.rx X Kvp+](ar)—Kvp—i(ar)
K”+i(ar)+K»_i(ar)' z^(r)=z/(r)Prx X (/>-l(ar)-/力+1(吋)； ^p-l(ar) +I4p+l(ar) для диэлектриков
V(0 = -/—r Z°N(r)=©r.
(6.109)
Положительная или отрицательная волна, падающая на границу двух сред, отражается от последней в соответствии с (1.63) с коэффициентом
(R) = z3(”w 依)■, Z：a„(Z) +Z：pR
i = Р, ^,(6.110)
где Z* — волновые полные сопротивления (6.108) и (6.109) для соответствующих сил.
Коэффициенты (6.110) на границе металла и изолятора близки по значению к ±1 и несколько уменьшаются с уменьшением радиуса кривизны R (от 1 до ОД м), проводимости у (от55*106 до2-106См/м) и частоты (от 1000 до 50 Гц). Коэффициенты равны также для положительной и отрицательной волн.
Собственные функции цилиндрического слоя. Электромагнитная волна, проникая в стенку экрана, подвергается многократному отражению. Поле является эффектом суперпозиции этих волн, причем для положительных волн Р и отрицательных ^> падающих на проводящий экран (рис. 6.22), распределение электрического поля внутри экрана можно представить в форме Е/ (г)=風 пр (&) Г；】 (г), i=P или М
(6.111) где собственные функции ПJ(г) экрана имеют вид (6.20)
Р(г)= к叩(气%)/力(%Г)+ 「
.+ 闾24p(aR)Kvp(* (6U2)
—^i2^10^(al^a)^vp(al^l)
причем i—P, j=N — для положительной волны, i=N, j=P—для отрицательной волны;
乩 np(RJ=(i+M^)J'(R) i — Р или М
(6.113)
где EmRR) ^*(^1). — волны, падающие на поверхность r=R экрана со стороны источника поля (токового слоя).
Собственные функции для непроводящего слоя являются частным случаем функции (6.112), в которых в (11=//出肘1y1 следует при- нять 州=0.
Таким образом, знание собственных функций (6.112), а также первичной волны и начальных условий достаточно для получения распределения электрического поля в произвольном цилиндрическом слое. Плотность тока в этих слоях находится из закона Ома /=?Е, составляющие Я —■ из уравнений Максвелла (1.3), (1.4).
Собственная функция послойного экрана. Для каждого из п слоев можно записать его собственную функцию (6.112) в форме Гц (г), 广22(尸),...» Гпп(г). Если со стороны токового слоя Л (рис. 6.22) на поверхность r=Ri падает первичная волна Em^{Ri}, то в глубь этого слоя проникает волна (6.113), а ее распределение вдоль радиуса описывается выражением (6.111). Величина Em* ⑺ (6.111) на границе г=Т?2 следующего слоя £т< (^?2) будет одновременно представлять волну, проникающую в слой 2;
Е~ пр у £/ (&)；風 пр (RJ Г1м&).
Радиальное распределение поля в слое 2 приобретает в соответствии с (6.111) форму
Е$(г)=風np(RJ г ；1 (&)%(，)•
(6.114)
Для следующих слоев расчет повторяется. На рассматриваемые волны накладываются отраженные волны, возвращающиеся от противоположных внутренних стенок слоев 2, 3 ... и т. д. В результате суперпозиции всех волн можно собственную функцию многочлена экрана представить через собственные функции отдельных слоев.
волны (рис. 6.23) описывается зависимостями
Е久(Г) = О 十"6 ^тпр (^)ГС(Г)；
(6.115)
砒(г)= —-号 g ；(6.Н6)
/з 卩dr
明 6L. (6.117)
В этих выражениях Гдр(г)— суммарная собственная функция fe-ro слоя, учитывающая влияние других слоев и описываемая уравнением
11 (г)=儿{唱(Г) +
+ СЛп[ГГ+1>п(^+1)-1]Г^(г)},
(6.118) причем
唱(%+1):Х[Г^№)-11(6.120)唱(%+1):Х[Г^№)-11(6.120)
唱(%+1):
Х[Г^№)-11
(6.120)
唱(%+1):
Х[Г^№)-11
(6.120)
帀KXkKj}义；(6J19)
Х{1 -【If 1 (&) 一 1】[1^(&)-1]}
Распределение составляющих электромагнитного- поля в произвольном 尼・м слое п-слойного экрана под действием положительной
Рис. 6.24. Влияние числа п изолированных слоев в экране иа эффективность экранирования рн составляющих Нг и Н^ магнит- иого поля и иа коэффициент экранирования мощности р$ при Ri = 0,45 м, d=6 см, у= 1,43- 10е См/м (иемагиитиая сталь), /=100 Гц (по [6.20])
С —Г&(%+1).
kn 1 — lrfe+i, n(^fe+i)— ИХ
X[唱(&+力一1]
(6.121)
Поле в 尼-м слое л-слойного экрана, находящегося под действием отрицательной волны, рассчитыва
ется при помощи (6.115) — (6.121), при этом нумерацию слоев, радиусов и собственных функций следует принимать со стороны наружного источника, изменить все индексы .V на Р и наоборот [6.20]. Распределение мощности рассчитывается с помощью вектора Пойнтинга S = =ЕХН・
Коэффициент эффективности магнитного экранирования (рис. 6.24) рн определяется отношением амплитуд поля, проникающего через экран, и поля в этой же точке при отсутствии экрана %=L^np(&+" , i = N или Р.
(6.122)
Коэффициент экранирования мощности (энергетическая эффективность экранирования) представляется в форме
Ps = ]S：p (甩+i)l(6.123)
1 5：而6+1)1
В [6.20] описана структурная схема программы расчета л-слой- ных экранов.
Г лава седьмая
ЭЛЕКТРОМЛШИННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ АВТОМАТИКИ
РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ДВУХФАЗНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
Двухфазные асинхронные двигатели, применяемые в системах авто
матики в качестве серводвигателей, могут иметь различное исполнение роторов: классическая беличья клетка, полый немагнитный ротор (рис. 7.1), полый стальной ротор,
Рис. 7.2. Влияние типа подвижного элемента на свойства линейного двигателя:а — механическая характеристика (сила натяжения 尸工)； б — сила притяжения к подвижному элементу Fz; / — лестничный подвижный элемент; 2 —— двусторонний двигатель с алюминиевым подвижным элементом; 3 — стальной подвижный элемент, экранированный алюминием или медью; 4 — массивный стальной подвижный элементРис. 7.2. Влияние типа подвижного элемента на свойства линейного двигателя:а — механическая характеристика (сила натяжения 尸工)； б — сила притяжения к подвижному элементу Fz; / — лестничный подвижный элемент; 2 —— двусторонний двигатель с алюминиевым подвижным элементом; 3 — стальной подвижный элемент, экранированный алюминием или медью; 4 — массивный стальной подвижный элемент
Рис. 7.2. Влияние типа подвижного элемента на свойства линейного двигателя:
а — механическая характеристика (сила натяжения 尸工)； б — сила притяжения к подвижному элементу Fz; / — лестничный подвижный элемент; 2 —— двусторонний двигатель с алюминиевым подвижным элементом; 3 — стальной подвижный элемент, экранированный алюминием или медью; 4 — массивный стальной подвижный элемент
Рис. 7.2. Влияние типа подвижного элемента на свойства линейного двигателя:
а — механическая характеристика (сила натяжения 尸工)； б — сила притяжения к подвижному элементу Fz; / — лестничный подвижный элемент; 2 —— двусторонний двигатель с алюминиевым подвижным элементом; 3 — стальной подвижный элемент, экранированный алюминием или медью; 4 — массивный стальной подвижный элемент
массивный стальной однородный или покрытый слоем меди ротор.
Общей чертой этих машин является увеличенное по сравнению с обычными машинами критическое скольжение (s/i=2宀4), благодаря чему достигается отсутствие самохода (самоторможение) и линейность механической характеристики при изменении амплитуды или фазы управляющего напряжения.
Точный расчет этих машин с учетом всех граничных явлений, нелинейности стали, влияния температуры, асимметрии питания и т. д. затруднителен, и поэтому на практике используются упрощенные методы анализа. В целом методы аналогичны тем, которые используются при расчете полей в других асинхронных машинах. Специфика расчетов двухфазных машин проявляется в задании граничных условий. Фазные обмотки этих машин сдвинуты в пространстве на угол <х = =л/2 электрических радиан и питаются от источника напряжения возбуждения Ua = const и источника напряжения управления UB^ При этом различают управление: амплитудное (Ua = const,屮=л/ 2=const, UB=var); фазовое (UB=UA=const, 屮=var)； амплитудно-фазовое (UA=const, 〃B=var, ^=var).
При каждом типе управления магнитное поле в зазоре может быть пульсирующим или эллиптическим. Например, при амплитудном управлении линейная токовая нагрузка Л (х, t) представляется суммой двух круговых полей, вращающихся в противоположных направ
лениях с амплитудами, зависящими от значения управляющей МДС Л Вл
<(*, f) = d叫 4mB X
Xcos (血-^_ *)+
十.3". COS (血+？4(7.1)
В общем это эллиптическое поле. Аналогичное выражение для эллиптического поля получается при фазовом управлении.
УПРАВЛЯЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ
ДВИГАТЕЛИ
Асинхронные линейные двигатели имеют механические (рис. 7.2) регулировочные характеристики, аналогичные характеристикам двухфазных исполнительных асинхронных двигателей. Вследствие большого активного сопротивления подвижного элемента R& линейные управляемые двигатели имеют механические характеристики, близкие к прямолинейным, и обладают самоторможением при отключении одного из фазных напряжений.
Кроме классического управления напряжением широко применяется управление с помощью тиристорных преобразователей переменного тока, преобразователей частоты и т. п. [7.4]. Эти системы позволяют регулировать и стабилизировать скорость перемещения подвижного элемента. Регулировка заключается в затормаживании дви-
лежки:лежки:а — пуск при различной нагрузке (/ — без нагрузки, 2 —с вагоном в 80 т); б — торможение вагона 80 т прн скорости 4,5 м/с; %=4100 Н — статическая пусковая силаа — пуск при различной нагрузке (/ — без нагрузки, 2 —с вагоном в 80 т); б — торможение вагона 80 т прн скорости 4,5 м/с; %=4100 Н — статическая пусковая сила
лежки:
лежки:
а — пуск при различной нагрузке (/ — без нагрузки, 2 —с вагоном в 80 т); б — торможение вагона 80 т прн скорости 4,5 м/с; %=4100 Н — статическая пусковая сила
а — пуск при различной нагрузке (/ — без нагрузки, 2 —с вагоном в 80 т); б — торможение вагона 80 т прн скорости 4,5 м/с; %=4100 Н — статическая пусковая сила
гателя в заданной точке с точностью останова 1—2 см.
Теоретический анализ работы автоматизированного привода с линейными двигателями базируется на математической модели (4.2) и (4.3), параметры которой М沐 и Rk рассчитываются методами электродинамики. В [7.5] приводятся результаты анализа движения и управления маневровых тележек с линейными двигателями. Уравнения движения типа (4.2) и (4.3) решались численным способом по процедуре Рунге — Кутта четвертого порядка. В результате расчетов получены кривые изменения сил (рис. 7.3), скорости, токов и т. д. при импульсном изменении скорости, ускорении и торможении вагонов. По этим данным возможен вы- бор электрических и механических устройств, проведение электромагнитных и тепловых расчетов линейных двигателей.
При электромагнитных расчетах линейных двигателей, управляемых от преобразователей, появляются дополнительные трудности, обусловленные сильным искажением синусоиды тока и магнитного поля. Последнее приводит к необходимости рассмотрения высших гармонических.
ЗАЩИТНОЕ ЭКРАНИРОВАНИЕ
В электрических машинах и электротехнических устройствах применяется как электромагнитное, так 150
и магнитное экранирование. Последнее имеет целью защиту внешней среды от магнитных полей помех, создаваемых машинами.
Для экранирования постоянных полей применяются магнитные экраны, которые можно анализировать и рассчитывать с помощью следующих методов: зеркальных отражений тока в стальной плите, зеркальных отражений тока в стальном цилиндре, конформных преобразований; векторного потенциала; конечных элементов.
Метод зеркальных отражений в стальной плите. При достаточно больших диаметрах машин постоянного тока ярмо статора можно рассматривать в первом приближении как стальную плиту, обмотки возбуждения вместе с полюсами —как сосредоточенные токи, размещенные на внутренней поверхности ярма (рис. 7.4,а).
В упрощенной модели поле справой стороны экрана толщиной d можно рассматривать как поле, созданное бесконечной последовательностью четных отражений действительного поля, размещенных с левой стороны экрана.
Поле вне статора рассчитывается по методу суперпозиции полей. По оси q в произвольной точке 尤 напряженность магнитного поля составляет
"产置5(х +爲工口•亿2) п=1
Рис. 7.4. Идеализация модели поля машины постоянного токаРис. 7.4. Идеализация модели поля машины постоянного тока
Рис. 7.4. Идеализация модели поля машины постоянного тока
Рис. 7.4. Идеализация модели поля машины постоянного тока
Выражение (7.3) отличается простотой, удобством программирования.
Метод зеркальных отражений в стальном цилиндре. При необходимости рассмотрения влияния кривизны статора можно использовать метод отражений токов, размещенных внутри стального цилиндра. В этом случае в первом приближении машина представляется стальным цилиндром, диаметр которого равен наружному диаметру статора. Считается, что токи возбуждения находятся внутри этого цилиндра. Поле вне цилиндра тогда определяется как поле однородного воздушного пространства, в котором размещены фиктивные токи замещения.
В целях определения силовых линий магнитного поля токов 厶，％ можно использовать метод определения эквипотенциальной поверхности двух соответствующих зарядов Qi и Q2. Если % — величина потенциала, то
4ic6%/Q]=m и k=Q1IQ2Q.iJi2t
(7.3)
Поле внутри цилиндра можно определить как поле однородного стального пространства, в котором размещены токи ——действительный ток i и фиктивный ток (цо—卩)〃 /(卩0 +卩)-i.
Некоторые другие методы анализа внешнего поля рассматриваются в гл. 9.
Глава восьмая
ТРАНСФОРМАТОРЫ
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АНАЛИЗА ПОЛЕЙ ВОЗБУЖДЕНИЯ
8.1.L Обобщенный метод. Наиболее общими методами формирования уравнений поля, а также электродинамического и электромеханического преобразования мощности являются вариационный метод и метод обобщенного вектора мощности.
На основе вариационного условия (1.113)
хп х2,..., хл)dxj dx2... dxn — min
(8.1)
путем выбор а соответствующей формы подынтегральной функцииF можно получить два эквивалентных
уравнения — в интегральной и дифференциальной форме — для каждого вида поля и электромеханической системы.
Интегральные уравнения решаются при помощи приближенных вариационных методов или методом конечных элементов. Дифференциальные уравнения (Лапласа, Пуассона, Гельмгольца, Эйлера ——Лагранжа) решаются классическими или приближенными методами.
При помощи (8.1) формируется вариационный принцип Гамильтона (1.131), для которого обязательным и необходимым условием являете* уравнение Эйлера —— Лагранжа для диссипативных систем
dL d /泣、 济 с
々=1, 2, , /,
где 厶=Т——У —— функция состояния Лагранжа;夕冗=(?丸 или х^ — обобщенная координата; qk=ik или 。左； Т — обобщенная кинетическая энергия; V — обобщенная потенциальная энергия；尸——функция потерь Рейли; Gk ——возмущающие силы (подключаемое напряжение или внешние силы) ； / ——число степеней свободы, равное числу координат без числа уравнений связи.
Исследование электродинамических сил в тр а нсфор м атор ах должно основываться на полном уравнении динамики (4.1) с учетом нелинейной (динамической) индуктивности, механических коэффициентов трения, упругости и т. д., а также всех возможных степеней свободы %力 Qi системы. В большинстве случаев, однако, возможно введение различных упрощений.
В трансформаторах, если считать индуктивность линейной, выражения кинетической и потенциальной энергии имеют вид
M%Q,Q++£/n 曲;
J —1 й=1 / = 1
(8.2)
"=手工号(&3) j=lJ=1
где n — число рассматриваемых уравнений или их частей вместе с зеркальными отражениями в сердечнике и баке; Mjk — собственная или взаимная индуктивность элементов обмоток с токами Q/, Qk / — масса этих обмоток; С； — емкости; К, — коэффициенты упругости пружин различных конструктивных элементов; Q)— заряд; х；— координата; х； — скорость.
Электродинамические силы в соответствии с принципом виртуальной работы % = (dWfm/dXi)i ^const описываются выражением
j=l k=l
i =1, 2, 3，…，/•(8.4)
Трансформатор в переходных режимах (особенно при коротком замыкании) подвержен воздействию многих электродинамических сил, которые классифицируются на основе (8.4) в зависимости от числа степеней свободы системы и зависимости Mjk (修)•
Например, в простой системе обмоток (рис. 8.1) составляющая электродинамической силы, действующей в направлении Х{,
厶=也М2 + 陷\ 2
十十需，(8.5)
поскольку в нормальных условиях Mn(Xi)=const, Af22(Xi)=const.
Из классического уравнения для взаимной индуктивности симметричных обмоток (с=0)
此2=XJs =卩押2 (2大〃力)X
X“& + 6 + '/№)(8.6)
Рис. 8.1, Виды сил, действующих на обмотки трансформатора: а —в статическом режиме в зависимости от степени свободы xi =б, г, ht с; б — определение мгновенных сил fx, %, дей ствующих на отдельные элементы обмо-
ток, причем
по (8.7)
'2K RtjR”
следуют три степени свободы х： = б, г,力 и три соответствующие им составляющие сил (рис. 8.1,а):
еслиxi = 6z,―—>0, откуда
%>0, т. е. отталкивание;
если %2 = г/,— >0, откуда
or
}>0, т. е. расширение;
если %3=力 /, / V0, откуда AV。，т. е. сдавливание.
При осевой асимметрии с возникает еще одна сила:
если Х4 = с 尸「£ >0, откуда
Рис. 8.2. Определение индуктивности ЛЬ-, методом средних геометрических расстояний:
fc>0 — увеличение асимметрии.
Уравнения (8.6), (8.4) и (4.1) позволяют рассчитать значение этих сил в статических и динамических
а — элементарные контуры； б — разделение- поперечных сечений обмоток на элементарные квад-
режимах.
При расчетах динамических режимов (рис. 8.1,6) или в более сложных системах обмоток следует рассчитывать собственные и взаимные индуктивности Mjk (х0 между отдельными элементами обмо
ток, например, при помощи специального метода [8.3]. По этому методу взаимная индуктивность двух контуров ij (рис. 8.2,а)
匕 同
// 2тс
In G'闽"
(8-7)
собственная индуктивность
—-—In*
2不gf闾，"
(8.8)
между сечениями ай 。力 которое для квадратных поверхностей приблизительно равняется расстоянию Rj (рис.- 8.2,6) между их центрами, для прямоугольника Rij = = 0,224(a+匕)，где а и & — стороны прямоугольника.
Разделением прямоугольных сечений обмоток на Л1 и 孔2 элементарных квадратов можно рассчитать среднее геометрическое расстояние gi2 между обмотками по выражению 历0尸七七纟2In Rkp = k=l P=1
где / — длина проводника; g 订一 среднее геометрическое расстояние
(8.9)
Каждое из расстояний R” представляет собой новую степень свободы системы и определяет значение, знак и направление силы, действующей в данной точ-ке обмотки. Эти силы следует учитывать при расчетах и проектировании крепежных элементов обмоток [44].
В некоторых случаях степенью свободы может быть также изменяющаяся магнитная проницаемость 卩,удельное сопротивление р, реакция вихревых токов и тому подобные физические явления, которые также влияют на силу.
Применение обобщенного вектора плотности мощности. Одной из главных целей исследования поля в трансформаторах и других электрических устройствах является преобразование энергии электромагнитного поля в другие виды энергии: механическую, тепловую, акустическую, энергию, аккумулируемую в магнитном и электрическом полях, энергию радиоэлектри- ческих помех, световую.
В трансформаторах большинство видов преобразования энергии тщательно исследуются в целях последующего исключения их отрицательного влияния. Плотность всех этих видов энергии можно представить с 1помо1цью обобщенного вектора плотности мощности Т (1.9а) и соответствующей теоремы.
Теорема (1.9) является аналогом закона сохранения энергии и может быть использована для получения системы уравнений энергетического баланса электромагнитных и тепловых полей при иоследо- ватии локальных превышений температуры конструктивных элементов и определении локальных потерь мощности термометрическим методом [1.22].
Исследование динамики электромагнитных процессов в трансформаторах играет в настоящее время все большую роль [8.8]. Большинство расчетов полей основывается <на предположении квази- статических синусои,даль1ных полей. 154
Расчет квазистатических полей. Цель электромагнитного расчета зоны рассеяния трансформатора (рис. 8.3) заключается в определении индукции, потерь мощности и сил в произвольной точке этой зоны с учетом:
трехмерного распределения поля;
треюфазной системы обмоток;
изменений конфигурации и размещения обмоток;
суперпозиции полей соседних обмоток, соединений;
кривизны обмоток;
переменной геометрии корпуса;
нелинейности проницаемости стали сердечника и бака;
реакции вихревых токов, ин- д^лктированных в массивных элементах конструкции;
зависимости собственной проводимости металлических частей от температуры;
переходных процессов.
Однако точный расчет с учетом указанных выше условий при современном развитии вычислительной техники практически невозмо-
Рис. 8.3. Зона рассеяния трехфазиого трансформатора
(8.12)(8.12)〃，〃，呷呼叫Жж呷呼叫Жж^iiiiiiimiiiiiiiiiiiii^iiiiiiimiiiiiiiiiiiii
(8.12)
(8.12)
〃，
〃，
呷呼叫
Жж
呷呼叫
Жж
^iiiiiiimiiiiiiiiiiiii
^iiiiiiimiiiiiiiiiiiii
жен или нецелесообразен. Поэтому вводятся различные упрощения, которые ограничивают число условий, рассматриваемых при расчете, первыми тремя.
В обычных тр ансфор матор ах рассматриваются две зоны: поле в концевой части бака и в окне, а также поле в прямолинейной части бака. Следует принять во внимание, что пренебрежение кривизной сердечника, обмоток и бана может быть причиной ошибки около 10% и больше в зависимости от радиуса кривизны [8.4]. Менее всего в настоящее время исследовано поле в зоне прямолинейной части бака.
Аналогия с бегущим полем линейного двигателя. Зона поля рассеяния между баком и сердечником в прямолинейной части заменяется плоской системой (рис. 8.4,а), причем учитывается только обмотка /. Для неэкранированного или магнитно-экранированного бака влияние стенки бака можно учесть зеркальным отражением обмотки с сердечником в поверхности бака (рис. 8.4,6). Таким образом, исходная система трансформируется в систему, представленную ранее на рис. 3.8, причем зазор 山=纵+的 (см. рис. 8.3). Принципы расчета поля в этом случае описаны в п. 3.2.2.
При наличии электромагнитного экрана зеркальное отражение охватывает также экран; система на рис. 8.4,8 становится подобной системе, представленной на рис. 3.6,8. Теперь расчет можно проводить так же, как и для линейного двигателя.
Используя векторный потенциал. А (1.33) — (1.37), при условии div4=0, J =/г(х, у)е^ из (1.36) и (1.50а) следует
=炉才忆一独丫 ®X(rot Л)], (8.10)
где 。一скорость; для трансформатора 0=0.
Ток возбуждения имеет только одну составляющую /=^/工，откуда A = iAx. Можно считать, что составляющая Н—0 и существуют только составляющие Ву = дА/дг1 Bz=——дА/ду. Для определенных R, a, d формула (8J10) принимает вид
△ 4 = 0；△4 = 0；△4 一 ^d ^d 一
-МЛ dAd/dy^=O(8.П)
при граничных условиях
1 °Ar 1 дАа ? /、
产 dz Na dzК，勿
%=现,t. e體=譚
Рис. 8.4. Определение поля рассеяния трансформатора путем аналогии с линейным двигателем:a — развернутая зона рассеяния из рис. 8.3： б — расчетная модель для магннтио-зкраинрованного или иеэкранированного (d=Q) бака; в — расчетная модель для электромагннтно・，краннрован；‘оп) бака； / — внутренняя обмотка； 2 — наружная обмотка； 3 —зкран; 2h — длина п еримегра, 厶一 линейная плотность токаРис. 8.4. Определение поля рассеяния трансформатора путем аналогии с линейным двигателем:a — развернутая зона рассеяния из рис. 8.3： б — расчетная модель для магннтио-зкраинрованного или иеэкранированного (d=Q) бака; в — расчетная модель для электромагннтно・，краннрован；‘оп) бака； / — внутренняя обмотка； 2 — наружная обмотка； 3 —зкран; 2h — длина п еримегра, 厶一 линейная плотность токапри z = ± (% + а®
Рис. 8.4. Определение поля рассеяния трансформатора путем аналогии с линейным двигателем:
a — развернутая зона рассеяния из рис. 8.3： б — расчетная модель для магннтио-зкраинрованного или иеэкранированного (d=Q) бака; в — расчетная модель для электромагннтно・，краннрован；‘оп) бака； / — внутренняя обмотка； 2 — наружная обмотка； 3 —зкран; 2h — длина п еримегра, 厶一 линейная плотность тока
Рис. 8.4. Определение поля рассеяния трансформатора путем аналогии с линейным двигателем:
a — развернутая зона рассеяния из рис. 8.3： б — расчетная модель для магннтио-зкраинрованного или иеэкранированного (d=Q) бака; в — расчетная модель для электромагннтно・，краннрован；‘оп) бака； / — внутренняя обмотка； 2 — наружная обмотка； 3 —зкран; 2h — длина п еримегра, 厶一 линейная плотность тока
1 дАа 1 dAd na dz 一阿山 dAa dAd
dz — dz
при 2= ± d.при 2= ± d.(8.13)
при 2= ± d.
при 2= ± d.
При условии, что векторный потенциал имеет только одну составляющую Ах=Ах(х, z)d% с использованием интегрального преобразования Фурье в форме
济{4 (%, г)}=彳(Е, z)=
8
Л(х, г)е~^хйх,Л(х, г)е~^хйх,(8.14)(8.14)—ОО
Л(х, г)е~^хйх,
Л(х, г)е~^хйх,
(8.14)
(8.14)
уравнение (8.11) приобретает вид
d2&d2&Ув^Г?»。； ^T = G》d，Ув^Г?»。； ^T = G》d，(8.15)
d2&
d2&
Ув^Г?»。； ^T = G》d，
Ув^Г?»。； ^T = G》d，
где A — трансформата Фурье функции 4(%, 2)；
°—5а + 加 dYd (氏 + о)) = Е51 + a\
при и =0.
Общее решение (8.15) имеет форму (1.15) или (3.36). Для сердечника при 2—+8 4片8, тогда
Л^ — С^^2,(8.16)
Для зазора
Aa=C^^C^z.(8.17)
Векторный потенциал в экране вследствие симметрии относительно оси х описывается только четными функциями, т. е.
4 = GchG2.(8.18)
Постоянные G—С5 определяются из граничных условий (8.12)—— (8.13), но при этом вместо Ди/ следует брать трансформаты Z& 4a,才d,九.
Трансформата первичного тока имеет вид [7.2]
QO
/； (х) = J Jln^-ibx^-^xdx =
—00
=]厶mt生-/5dx = =一^"口-e-仆州，(8.19)
где Ь = л/т; т — значение полюсного деления трехфазной системы токов.
В [7.2] приводятся рассчитанные указанным способом значения постоянных &—Сб, а также обратное преобразование Фурье для составляющих магнитного векторного потенциала и уравнения для индукции в зонах A a, d (рис. 8.4,8).
Метод суперпозиции векторных потенциалов. Если предположить, что в зоне 2 (рис. 8.5) проходят токи i=/m!cos(о/ в направлении оси х, то векторный потенциал имеет только одну составляющую Ах—А, которая удовлетворяет условиям
A，mi ^^aJAm； % ^^ К/05%丫с z £(—8, — 〃〉；(8.20)
△4^2 = 一 ^m или ^Amz = 0;
z£V—4, 0>;(8.21)
А，тз = %%з； & = Mj叩 з 丫 з； z£<0, d>;(8.22)
△力侬=0; z£Vd, d + 6>;(8.23)
Рис. 8.5. Определение поля методом суперпозиции векторных потенциалов [1.23]
длт» = a：4„s； а5 =匕3%丫5；
г G<d4-8, оо).(8.24)
Постоянныеинтегрирования
20) — (8.24) находятся из граничных условий для тангенциальных составляющих напряженности электрического и магнитного полей Етх — 一Нту = — '，* ,
n OZ
а также нормалыных составляющих индукции Втг=—дАтх/ду на граничных поверхностях z=—а, 0, d, d+6, а также z=±oo.
Расчет проводится для единичного бесконечно тонкого проводника с током i=Im cos mt с последующей суперпозицией полей от всех проводников. При этом считается, что векторный потенциал тока в зоне рассеяния 2 состоит из двух составляющих [3.4]
^т2 — ^т2 И- 412,(8.25)
где Д^ — векторный потенциал, созданный током Im=Ine^t и его полным отрицательным зеркальны-м отражением в идеально проводящем экране; /"m2 — дополнительная составляющая, обусловленная действием реакции вихревых токов и насыщением проводящих участков.
Векторный потенциал единичного прямолинейного проводника в соответствии с (1.37) f§FTx
X J |Лх2+(4—b)2+(C+Z件二 —ОО
=—± In [(У — б)? + (с + г)2]十伉
(8.26) откуда максимальный комплексный векторный потенциал /欣 для двух проводников — действительного и отраженного (рис. 8.6)
4義二一吐in 3业士匕.
4П (У — Ь)2 +(С—2)2
(8.27)
Рис. 8.6. Определение векторного потенциала от действительного i и отраженного ——г токов
Выражение (8.27) удовлетворяет уравнению Лапласа (8.21). Вследствие симметрии системы относительно ОСИ 2 ПОЛе 4"т2 должно описываться четной функцией вдоль оси у (рис. 8.6), поэтому решение для него записывается в форме суммы 孔 гармонических
矶二》/n(z)cosX„(y-&).(8.28)
n—Q
Потенциал Л^2 должен также удовлетворять уравнению Лапласа. После подстановки (8.28) в △/慳2=0 получаем
令 ⑵一儿％ (Z) = 0; skad /,, (z)=
-=С^пг +Dn^ .(8.29)
Подстановкой (8.29) в (8.28) находим
硯=玄(C“e*+D“e-*)X п=0
X cos 儿(у — b).(8.30)
Поскольку постоянная Ап может иметь произвольное значение, наиболее общее решение для линейных систем определяется с учетом разложения поля в форме интеграла
ОО
硯=J [С (%) е〃 + D(z)е-R у о
X cosX(y — b)dX.(8.31)
Векторные потенциалы в других зонах (см. рис. 8.5) находятся 157
аналогично из (8.20) — (8.24)
41=『ЛЦ"^7^ X о
X cos Я (у — b)dZ;(8.32)
4и=「Е(2)"Е + Е(2)Х о
X е- 了雜+…斗 COs Я(у — 6)d2;(8.33)
= f (G (Я) e*z + H (2) i] cos 2 X о
X(y~b)d^(8.34)
OO
4s = J К (A) e~ и”+а* cos A (y—匕)或.
(8.35)
Неизвестные подынтегральные функции С (А), О(Х), Л1(Х), Е(А), 户(A), G(A), Я(Х), &(А) определяются из системы уравнений, записанной на основе граничных условий. Соответствующие выражения можно найти в [1.23, 2.9, 8.18] и др. Суммарный векторный потенциал в данной точке зоны, созданный п проводниками с током, находится как сумма 孔 векторных потенциалов Лт(, созданных в этой точке отдельными токами. Составляющие индукции находятся из уравнения B=rot Д.
Описанный метод позволяет рассматривать разные конфигурации обмоток. При условии конечной длины прямолинейных участков проводников (рис. 8.7) в [8.18] рассчитано поле трехфазной системы, в первом приближении отображающее поле рассеяния трехфазного трансформатора. По приведенной в [8.18] программе можно производить расчеты следующих вариантов:
распределение составляющих Лх, Ну, активной и реактивной мощности в произвольной точке зон 2 и 4 (рис. 8.7);
распределение составляющей Аг в зоне 2;
распределение составляющей "n в зоне 2;
158
Рис. 8.7. Расчетная модель зоны рассеяния трехфазного трансформатора:
/ — сердечник; 2 — зона рассеяния обмоток; 3 — экран; 4 —зазор; 5 — стальной бак
распределение составляющих Фу и Фг в неэкранированном баке5;
распределение составляющих Фу и Ф2 в экранированном баке (зоны 5.4.3).
Исходными данными для расчета являются:
число расчетных вариантов (о;
номер расчетного варианта г;
частота тока f;
проницаемость бака 卩5, экрана 卩з и сердечника 卩i；
проводимость бака ?5, экрана Уз и сердечника『；
геометрические размеры a, d, б (рис. 8.5);
число расчетных точек тг вдоль оси z;
число расчетных точек тх(у вдоль осей х и у при некотором значении z;
геометрические размеры /-го проводника 也，а^ 厶；
координаты центра Lro проводника Q,6ь虫；
максимальная МДС 1т( и фазовый угол ф£ 1-го проводника (i= = 1‘, 2'，•…川)；
таблица значений 之左(々=1, 2,...
•…论)；
таблица значений 工厶 у； (/= 1, 2, . . г ^х,у) •
К недостаткам метода относится пренебрежение кривизной системы
Рис. 8.8. Зеркальные отражения обмоток трансформатора в поверхностях стенок бакаРис. 8.8. Зеркальные отражения обмоток трансформатора в поверхностях стенок бака
Рис. 8.8. Зеркальные отражения обмоток трансформатора в поверхностях стенок бака
Рис. 8.8. Зеркальные отражения обмоток трансформатора в поверхностях стенок бака
обмоток и бака; влиянием поверхности крепежных балок, дна бака и ярм при исследовании поля в окне трансформатора; изменением проницаемости.
Кривизна бака в больших трансформаторах при сильных полях играет незначительную роль (погрешность около 10 % [8.4]), кривизна обмоток может иметь большее значение. Стальные горизонтальные поверхности в плоскости XZ можно заменить зеркальными отражениями (см. рис. 4.2). Наибольшие трудности представляет собой выбор эквивалентной проницаемости для бака 卩5 = const. Принимая, однако, во внимание разброс количества примесей и кристаллографической структуры, т. е. характеристик намагничивания стали, можно в первом приближении использовать обычную кривую намагничивания, причем полученную для данного поля на поверхности стали.
Величину pis следует умножить на корректирующий коэффициент а2р в соответствии с (1.52а), табл. 1.1, строка 3.
Рассмотрение кривизны обмоток. Напряженность магнитного поля "n в точке Р (рис. 8.8) можно
рассчитывать на основе суперпозиции полей всех обмоток и их отражений в баке. Принимая, что коэффициент отражения М=(因一 —1)/(卩r+1) = const <1, определяем значение составляющей Hz — = Hz(iit &, »з)・ Эта составляющая пропорциональна углу а, под которым с высоты h наблюдается обмотка из точки Р (рис. 8.9,а),
"mz= ”;/，et, (8.36)
а также синусу угла 0 (рис. 8.9,6), под которым из точки Р наблюдается элемент d/ контура обмотки,
dH ^^s\n^. (8.37)
В создании магнитного поля в точке Р принимает участие только та часть контура обмотки (участок КМ рис. 8.8), которая «видна» из точки Р. Остальная часть контура заслоняется сердечником или даег угол р, близкий к нулю.
Рис. 8.9. Зависимость напряженности магнитного поля dHm вРис. 8.9. Зависимость напряженности магнитного поля dHm вточке Р от углов аирточке Р от углов аирПринимая за начало системы цилиндрических координат ось ОР (рис. 8.9,6), проходящую через середину дуги KN, можно определить векторный потенциал, созданный
Рис. 8.9. Зависимость напряженности магнитного поля dHm в
Рис. 8.9. Зависимость напряженности магнитного поля dHm в
точке Р от углов аир
точке Р от углов аир
участком тока КМ
4 = 4 =上 (KN4 = 4 =上 (KNidl cos 9 出iRidl cos 9 出iR>(C cos9d9(8.38)
4 = 4 =上 (
KN
4 = 4 =上 (
KN
idl cos 9 出iR
idl cos 9 出iR
J J/+ P2 — 2^Pcos9 —ф
поскольку /•=丿/?2十 pa — 2Rp cos 6 , dl = RdB. Остальные составляющие 4=4=0 [в соответствии с (1.37)]. Составляющие индукции в точке Р в соответствии с (1.33) находятся как
纬=7等-怨k 3--（醬-"）=。；
约=丁 [-^一而J*
(8.39)(8.39)Наибольшее значение индукции Втг достигается в плоскости витка
(8.39)
(8.39)
или на уровне середины высоты обмотки, где одновременно составляющая Вр = 0, а также
°(Мб) с
-^~=°・
Тогда
Втг^А1?-\-дА/д?.(8.40)
Подстановкой (8.38) в (8.40) находится напряженность магнитного ПОЛЯ Hmz В точке Р в плоскости витка
e=亡/(卜沙 (8叫
гдегдеффcos 8曲|/1 +依一2/scos8cos 8曲|/1 +依一2/scos8фф(也一cos 8)cos 8d8/R 49、
где
где
ф
ф
cos 8曲
|/1 +依一2/scos8
cos 8曲
|/1 +依一2/scos8
ф
ф
(|/1 +央—2也 cos 8)"('
一屮
Интегралы (8.42) можно найти через эллиптические интегралы, для которых существует таблица. Здесь представлен приблизительный расчет распределения поля вдоль контура бака трехфазного трансформатора.
При условии 卩= const поле в точке Р (см. рис. 8.8) является суперпозицией полей, созданных участками ^^ отдельных фазовых токов и их зеркальных отражений. Эти участки (так называемые дуги ^^) своим центром всегда обращены к анализируемой точке (рис. 8.9). Поле, созданное в точке 力 обеими обмотками одной фазы (вместе с их отражениями), приблизительно пропорционально разности полей, созданных внешней обмоткой Hz(Rz. pz,(р2) и внутренней Hw(Rwt р^, фз). Если ввести для упрощения средние размеры, общие для обеих обмоток: 4 =
1/2 (Rz + Roj) ； Р^^ '/2 (pz + pui) ； 0 = = %((Pz+(pG； 6 = Rz—A硏 то максимальное значение поля в точке Р, созданное обмоткой одной фазы,
”тД= С ("w — "maJ = С 工"*
~c-^f (方，6(8・43)
где с V1 — коэффициент, учиты
вающий многократноевающий многократноеотражениеотражениетоков в стенках бака и сердечника. Этот коэффициент можно оце-
вающий многократное
вающий многократное
отражение
отражение
нить на основе (8.43),нить на основе (8.43),если извест-если извест-но значение поля НтА в точке b (рис. 8.10), определенное для плоской системы (см. рис. 8.5). Выражение (8.43) определяет одновременно напряженность магнитного поля на участке abc (рис. 8.10), поскольку поле других частей практически не оказывает влияния.
нить на основе (8.43),
нить на основе (8.43),
если извест-
если извест-
Максимальное значение напряженности магнитного поля на прямолинейных поверхностях cod бака можно также определить по принципу суперпозиции (рис. 8.10) Hfnp ~ НтА + Нтв + "他=
2比
I 13
'9)+'9)++紊
'9)+
'9)+
+—еРс
4P
3
Рис. 8.10. Суперпозиция полей на поверхности бака
/ Рс
I耳
(8.44)
Угол ф (см. рис. 8.9) имеет малое значение, благодаря чему можно существенно упростить (8.42). Например, при(р^10° и 々 = р/丸＞1,5 в подыинтегральной функции в (8.42) можно с точностью до 10 % принять cos 0= 1. Тогда
j(P/R，＜p)~2?R2/(p — RF,
а также
НтР^с，了 2р
Рл (PlR)：
+R2© з + ре з
Рв(Рв —R)2 Pc (Pc —R)2
(8.45)
На рис. 8.10 на основе (8.45) нанесены кривые распределения напряженности поля Hmz(x) вдоль участка cOd контура бака. Эксперименты подтвердили полученный характер распределения, за исключением точки е, в которой поле практически нивелируется вследствие са- мокомпенсации потоков рассеяния, реакции вихревых токов и насыщения бака.
Принимая во внимание, что потери мощности в баке пропорциональны напряженности H^z в степени 2 или выше, можно ожидать, что доля потерь в прямолинейной
части бака cOd по отношению к потерям в криволинейных участках abc тем меньше, чем ближе стенка бака к обмоткам.
Метод зеркальных отражений. Этот метод, основанный на уравнениях (1.64) — (1.73), отличается простотой и наглядностью. Основным недостатком этого метода, как и всех методов, основанных на суперпозиции полей, считается необходимость предположения постоянной квазипроницаемости nq и постоянного коэффициента отражения Mq, который должен учитывать влияние реакции вихревых токов (см. рис. 1.12). Величину Mq можно оценить только приблизительно по (1.69) — (1.73), что в большинстве практических случаев дает удовлетворительные результаты.
Метод отражений основывается на добавлении в исследуемых точках Р (х, у) составляющих 〃*i и "期 созданных действительными обмотками и зеркальными отражениями i=l, 2, 3, ..., ^ (рис. 8.11). При р обмотках (шинах) в окне и при 用 учитываемых отражениях число участвующих в расчетах обмоток составляет
"=川明色+ 1)+1].(8.46)
В [8.9] установлено, что при р = 2 точность расчетов незначительно зависит от числа учитываемых отражений и практически до-
161
1^1 gl
L^J国
I L5J
LKj l_
r
「-［「r I「-［「r I门 Г--!门 Г--!IЛ кIЛ кF闺F闺L」〃L」〃LJLJTTTTОтражение 7Отражение 7I Отражение 7I Отражение 7一生一生「1「1L」L」Г 1「】 ［导！ IГ 1「】 ［导！ IL：」L：」%%IIIII lit LJL_I lit LJL_门厂门厂%呻哂ние2%呻哂ние2
「-［「r I
「-［「r I
门 Г--!
门 Г--!
IЛ к
IЛ к
F
闺
F
闺
L」〃
L」〃
LJ
LJ
T
T
T
T
Отражение 7
Отражение 7
I Отражение 7
I Отражение 7
一生
一生
「1
「1
L」
L」
Г 1「】 ［导！ I
Г 1「】 ［导！ I
L：」
L：」
%
%
II
II
I lit LJL_
I lit LJL_
门厂
门厂
%呻哂ние2
%呻哂ние2
Рис. 8.11. Поле отражений обмоток в окне транформатора прн различных коэффициентах отражения М в боковых стенках,丸一 в верхней н нижней стенках
статочно принять 仇=2, что при р = 2 дает ^ = 50. При разбиении обмоток на зоны при р>2 числом резко возрастает.
Составляющие напряженности магнитного поля в точке Р(х, у) от ^ обмоток (рис. 8.11) рассчитываются на основе следующих выражений, полученных из закона Био—Савара ［1.22］:
爲［—)х
х ( arctg —arctg ^^ )—
-(У-У1-儿)(arctg • gj—牝_ \X 一片一0/
-arctg 纟 if) (% 一 ％，)X
%一修 /2
X ］口 (%一/产+ (g—以户 _
(%-々产+匂一矶一也)2
鼠(* - Xi - ai) X
*1n(% 一々一。f产+匂一力产1
(%一看一%产+ (y一外一用产｝
(8.47)
i=l
x(arctg匕丝_arctg "—"‘一瓦)一
\ x—xtX—X， /
-(X - Xi - %) f arctg —
一 arctg gff(9 - 勿)X
% 一看一。f/2
(%—々一/)2 + (У—勿户
^~（У -锵一儿）X
(%一 勺一。Е户 + ®- у1-力 г)"' (S.48) где i=l, 2, 3, ..., {p[4Ai(Ai+l) + + 1]}; At — суммарный коэффициент зеркального отражения данного тока.
При технических расчетах поля вне обмоток часто можно полное поперечное сечение обмотки с током заменить полным током /〃 сосредоточенным на оси (отрезок АВ на рис. 8.11). Тогда (8.47) и (8.48) упрощаются
1=1
"7就2陪吃 (&49)
Rj = 了^"卜一/一 ^") +(y _ yj； /=>/'《一勺一"^)十(g一协一力〃工 氏=《(&」) (8.50)
Процедура составления программы для цифровых ЭВМ (рис. 8.12) основывается на (8.46) — (8.50). При расчетах можно принять произвольными коэффициенты отражения для каждой из стенки в границах —YMqW十 1 в соответствии с используемым материалом [см. (1.67) — (1.73)], причем при ферромагнитных стенках (Mq^ 0,5+1) большая точность достигается для нормальной к поверхности составляющей Ятп； при хорошо проводящих немагнитных стенках, например медных, алюминиевых (Mq ^ 0,9+0,8), — для тангенциальной составляющей Ят^. При использовании метода отражений в системах с сильным влиянием токов, индуктированных в стенках, например при М^ — 1, Мо^ ^ + L следует соблюдать осторожность, поскольку токи, отражен-
Рис. 8.12. Структурная схема расчета поля рассеяния трансформатора методом зеркальных отражений
ные с противоположным знаком, являются фиктивными величинами. Полученные результаты рекомендуется проверить другими способами.
Указанного выше недостатка не имеет метод суперпозиции векторных потенциалов, который оперирует с действительным распределением плотности токов, индуктированных в экранах. В обоих, однако, случаях конечные размеры экранов в направлении оси х требуют более точного трехмерного анализа.
Метод Рота. В этом методе [8.16] за основу принимается поле однослойных (Л1 = Л10= + 1, рис. 8.11) зеркальных отражений, а также уравнений векторного по-
163
тенциала при Л ==Лг; АХ = АУ = О
А4 =
О — в бестоковом пространстве;
——*(/ ——в проводнике током.
с (8.51)
Из общего решения
"=??点｛器｝県х X ｛舞｝的，B = rot a
(8.52)
и условия равенства нулю тангенциальных составляющих индукции на поверхности стальных стенок частное решение имеет вид
/= £ £c^cos(/i— 1)^ cos(月一 Л=1 A=1
一号以=乳,3寸(8,53)
где 力=1, 2, 3…；々 = 1, 2, 3t...;
叫=(力一1)十；4 =(左一 1)-^"；
。血
Метод Роговского. Классический метод Роговского [8.15] используется для решения многих задач, связанных с полями рассеяния в машинах, трансформаторах и других электрических устройствах. Система шин в стальной шине (рис. 8.13) заменяется системой распределенной МДС вдоль оси у с периодом /. Из уравнений векторного потенциала
А4=
0 ~ в зонах /, 〃，/К; —%/ — в зоне 〃/,
(8.54)
(m^ + n^)ab
х
N
£
sin加m々+々）一sE加力/ Х
где
ап cos пру\ ап =
祖X Л 75
5in tikfyi + 用f)—Sinnkyt X
X，in〃p^~ 1)"sin〃р^]； (8.55)
Рис. 8.13. Метод Роговского:
p = 2大//; 九 一二 1, 2, 3…
а — действительная система шин с током; 6 — эквивалентная последовательность зеркальных отражений в горизонтальных плоскостях;
8—эквивалентное распределение плотности тока /(g)
(8.56)(8.56)(8.57)(8.57)
(8.56)
(8.56)
(8.57)
(8.57)
Решение (8.54) даст для отдельных зон /——/К следующие результаты:
4 = * S ^п е"" cos пру\ я= 1
4i= S[Cne^ + D„e-^] X n=l
X COS npy\
n= 1
+ G〃ef"+^Jcos 〃川；
Xiv — ^Knr^npx cos npy.
л=1
Из граничных условий определяются постоянные Bn, Cn, Dn, 尸n, Gn, Кп・ Из (8.56) на основе уравнения B = rot Д находятся составляющие индукции Вх, By. Линии Л = const являются одновременно линиями индукции, т. е. силовыми линиями магнитного поля.
РАСЧЕТ РЕАКТИВНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ ТРАНСФОРМАТОРА С ПОМОЩЬЮ ЦИФРОВОЙ ЭВМ (МЕТОД РАБИНСА)
Для цилиндрической системы с осевой симметрией (рис. 8.14)
Рис. 8.14. Расчетная модель трансформатора：
а — эскиз трансформ атора; б — пример распределения МДС в функции высоты ?
уравнение векторного потенциала при Аг=Аг = 0 и Ле=Л имеет вид
Если принять распределение плотности тока 厶 и векторного потенциала Ло вдоль оси z (рис. 8.14,6) в виде ряда Фурье
ОО'
厶=J°+ 2 厶 COSTWZ,n=l
m=~-; n= 1, 2, 3…；(8.58)
4 = 4 + S4COS%, л=1丿
то после подстановки (8.58) в (8.57) получается
(8.60) для каждого п.
Уравнение (8.59) соответствует потоку рассеяния, направленному только вдоль оси z, и дает индуктивность £о- Уравнение (8.60) определяет наиболее интересную часть потока рассеяния от n-й пространственной гармонической. Общее решение (8.60) имеет вид
4 = Q (х)十。& (Х) _ 礬 L (к),
(8.61)
где x=mr\ 1Ь Ki ——модифицированные функции Бесселя первого и второго рода нулевого порядка; Li (%)——модифицированная функция Струве [2.1]; С и D — постоянные, определяемые из граничных условий.
Для системы без обмотки 2 (рис. 8.14) решение (8.61) для от- 165
дельных зон /, //, III имеет вид
^n^cS^ + D^Y
4pi нс?]】(к)+。2Kl(汇)一
Aim =Сз： «)+АК] (г). 丿
После определения из граничных условий постоянных С/ и Dj при использовании принципа суперпозиции суммарный векторный потенциал в пространстве, занятом обмоткой /, имеет вид
学｛1，«串 К@+
+ K间霭沁衣宀巾一 о J
_ ^~L(к)｝+等卜,(к)jкк@ +
+ К,(х:)^Ь [хк, drl; (8.63)
в пространстве, занятом обмоткой 2, 4"=^ ｛【'(*)f *К9* + КМ*)Х о
x[瑞沁心- jig]_ х9О
一科⑴，+ 号kg)x
乂1 需沁dx + fxk叫.(8.64) *1Xi
Индуктивность рассеяния находится из энергии поля
^ = yL/! = y Cfp X Л^у =
00\
А> + 2 九 cos тг Xп=\丿
X^А + 2 (cos加，rdOdzdr. (8.65)
При интегрировании все многочлены, не относящиеся к одному и тому же порядку, равняются нулю, тогда
W =l^\lQAQrdMr +
+ 工子 j j，nAnrdMr • л=1
Интегрирование производится только в зоне обмоток, поскольку только там плотность /п=/=0. Индуктивность от высших пространственных гармоник описывается выражением
оО2л га
巾儿х〃=1О Г1
X rdOdr + f J hn^^^r •(8.66)
6 n/
Полная индуктивность обмоток L=Lq-\-Lw
В [8.14] приводится полное расчетное выражение для реактивного сопротивления рассеяния двухобмоточного трансформатора. Оно предполагает численное интегрирование функций Бесселя и Струве с помощью цифровой ЭВМ и применения аппарата степенных и асимптотических рядов.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЯ РАССЕЯНИЯ ТРЕХФАЗНОГО ТРАНСФОРМАТОРА
Применение описанных выше аналитических методов обусловливает введение стольких ограничений,что одновременное рассмотрение условий 1 — 10, введенных в п. 8.1.2, практически невозможно. В такой ситуации весьма целесообразно математическое моделирование с помощью аналоговой системы, состоящей из пространственной сетки сопротивлений (рис. 8.15).
Магнитодвижущая сила фазных обмоток V^2/w подразделяется на три части, моделируемые при помо-
Рис. 8.15. Сеточная аналоговая модель потока рассеяния трехфазного трансформатораРис. 8.15. Сеточная аналоговая модель потока рассеяния трехфазного трансформаторащи фазных напряжений UA = =旷2/3) 1^, ив £ (/2/3) /в% %£ (丿2/3) Л?5c (знак £ означает, что напряжение U численно равняется 1/3 МДС фазы, т. е. (/2/3)%). Модель может быть использована как для экспериментальных целей, так и для численных расчетов. В экспериментальных исследованиях в качестве источника напряжений Ua, U& Uc можно использовать вторичные обмотки вспомогательного трехфазного трансформатора.
Рис. 8.15. Сеточная аналоговая модель потока рассеяния трехфазного трансформатора
Рис. 8.15. Сеточная аналоговая модель потока рассеяния трехфазного трансформатора
Соединение обмоток в трехфазную систему осуществляется через сеть сопротивлений (рис. 8.15). Модель позволяет производить измере
ния и расчет с требуемой точностью. Сопротивления и токи в ветвях имеют тройные индексы, соответствующие координатам х, у, z. Четные числа обозначают координаты узлов, нечетные — координаты соединяющих сопротивлений. Напряжения, измеряемые на соответствующих сопротивлениях, пропорциональны потоку рассеяния или индукции в данной точке пространства.
Для удобства монтажа системы и локализации сопротивлений пространственная схема (рис. 8.15) представлена на плоскости (рис. 8.16).
Значение отдельных сопротивлений определяется по данным исследуемого трансформатора.
&ул
4
-210^^
гГШ?
回
Рис. 8.16. Аналоговая модель трехмерной; сетки в плоском варианте 168
賤孤吟i照矶辞啰||金事0公№92
013徒@5注
乃
Бак
ОСНОВЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ
Среди двух основных методов расчета электродинамических сил, действующих на контуры с током, все большее значение приобретает метод, основанный на обобщенном уравнении движения электромеханических систем (4.1). Уравнение в случае колебаний катушки с массой m в вертикальном направлении У аналогично (4.2) и (4.3) приобретает форму системы матричных уравнений
旧酬 + ^^；(8.67)
m 也+0血+ Kg =
力2 1 成厂9
=《~ i‘ -™- Mi 十 mg>(8.68)
где u, i ——векторы напряжений и токов в отдельных обмотках; R, М — матрицы активных сопротивлений, собственных и взаимных индуктивностей этих обмоток; D ——коэффициент механического демпфирования (например, трения); К — коэффициент упругости; g — ускорение свободного падения.
Первое слагаемое в правой части (8.68) представляет собой электромагнитную силу, действующую на исследуемую катушку, второе слагаемое — внешнюю гравитационную силу.
При произвольном числе степеней свободы (направлений колебаний) электродинамическая сила представляется уравнением (8.4). Уравнения (8.4), (8.67) и (8.68) полностью описывают токи и статические и динамические силы, а также колебания обмоток и их элементов. Уравнения базируются на теории контуров с сосредоточенными параметрами. Элементы М^(х<) матрицы индуктивности рассчитываются на основе результатов анализа поля. В [8.8] представлен такой анализ поля двухобмоточного трансформатора.
Второй метод основывается непосредственно на анализе поля
и чаще применяется для исследования сил в статических режимах. Силы в этом случае подразделяются на осевые и радиальные. Элементарная сила, действующая на проводники с током /=Jda, размещенные в поле с индукцией В, рассчитывается по двум законам:
закону Ампера, определяющего силу dr t действующую на элемент df проводника с током / в магнитном поле с индукцией В, dF = / (df X В) или dF —
= IdlB sin^.(dl, 8).(8.69)
Полная сила, действующая на проводник с током длиной /, F=/J〃X В;(8.70)
закону Лоренца для плотности силы
『rJXB = J><rot4 (8.71)
При синусоидальных временных процессах и комплексных амплитудах Jmt Bm> Ат средняя сила описывается уравнением fcp =子 Re [ Jm X 现]=
zz： --^-Re [/ЛтХ rot Л；],(8.72)
и ее составляющие в системе координат —уравнениями
ср = Т Re [%*%z —，m^U；
f У ср =万 Re &Z 纥up—Jmx 纥』；「(8.73)
厶5 w 3 Re Umx^ig—丄加乡纥J
Полная сила, действующая на произвольную часть обмотки, F=^(J\B)dV.(8.74)
В трансформаторах исследуется распределение составляющих силы. (8.74) как по контуру, так и по высоте обмотки. С этой целью рассчитываются составляющие индукции В в зоне обмотки при помощи какого-
169
% с учетом (8.6) составит% с учетом (8.6) составит(8.76)(8.76)(8.77)(8.77)
% с учетом (8.6) составит
% с учетом (8.6) составит
(8.76)
(8.76)
(8.77)
(8.77)
либо из описанных в предыдущих разделах методов. Наиболее часто применяется уравнение Пуассона ДД=—ц0 J (1.35), в результате решения которого определяются составляющие индукции B=rot А.
При статических расчетах [4.1] предполагается, что распределение плотности тока J =л/ (х, у, г) (см. рис. 8.11) известно. Тогда задача расчета сил короткого замыкания сводится к определению Вх и Ву индукции.
Составляющая Ву предопределяет так называемые радиальные силы %, % (см. рис. 8.1), которые относительно легко рассчитываются, а также осевые силы f〃 fc, являющиеся предметом многих исследований [4.7, 8.7, 8.8, 8.12, 8.26]. Полное решение задачи должно охватывать динамические процессы [8,26, 8.7].
Один из способов расчета электродинамических сил основывается на принципе так называемых виртуальных работ [1.22]. Принцип этот гласит, что перемещения dg (рис. 8.17) элементов обмоток в направлении и под действием электромагнитной силы fg настолько малы, что не вызывают изменения тока ift. Поскольку работа силы рав- няется приросту энергии системы fgdg= (dgW) ife=COnst, то мгновенная сила, действующая на ^-й элемент обмотки в направлении g, равняет- ся частной производной от энергии магнитного поля в этом же направлении
(8.75)
Например, в двухобмоточном трансформаторе радиальная сила
Рис. 8.17. Перемещение dg проводника с током и под действием силы fgРис. 8.17. Перемещение dg проводника с током и под действием силы fg
Рис. 8.17. Перемещение dg проводника с током и под действием силы fg
Рис. 8.17. Перемещение dg проводника с током и под действием силы fg
где /Ср — средняя длина витка; Ли— высота обмоток.
Энергия магнитного поля в объеме 匕 в котором /=0, определяется уравнением w■丄『=^ = "^§/或=
Расчет сил короткого замыкания в трансформаторе производится чаще всего в зоне окна трансформатора, так как здесь они значительно больше. Поскольку в окне трансформатора можно с большой точностью считать, что коэффициенты отражения М = Л4о= + 1, а также использовать систему прямоугольных координат, то описанный в п. 8.1.2 метод зеркальных отра-
Рис. 8.18. Влияние коэффициентов отраже- имя М； на осевые силы в обмотке IIН
жений полностью применим для расчета сил короткого замыкания. Вне окна выбор коэффициентов отражения Mq затруднителен, но си- ”7 в этом случае меньше [8.12]. Следует отметить, что электромагнитные экраны могут вызвать изменения распределения электродинамических напряжений в обмотках, и особенно во внутренней обмотке (рис. 8.18).
ПОТЕРИ МОЩНОСТИ В БАКЕ
И СТАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИИ ТРАНСФОРМАТОРОВ И МЕТОДЫ ИХ ЭКРАНИРОВАНИЯ
8・5・1・ Метод расчета. Работы по расчету дополнительных потерь в баке трансформатора проводятся по двум основным направлениям: получение возможно более простых полуэмпирических, статистических выражений; теоретический анализ в целях разработки точного математического описания явлений.
Достоинствами простых методов являются их дешевизна и наглядность. Со вторым направлением исследований связана надежда, что прогресс в теории и технике расчета позволит разработать всестороннюю и точную программу расчета всех процессов рассеяния в трансформаторе.
В настоящее время ни один из основных методов не получил своего завершения. В обоих случаях удельные потери мощности определяются через действительную часть нормальной составляющей вектора Пойнтинга (1.96) к поверхности исследуемого элемента. Полные потери определяются по теореме Пойнтинга (1.9).
В приближенных методах можно в большинстве случаев использовать уравнения из теории плоских волн (1.12) —(1.27) с учетом линеаризации свойств стали. На основе этой теории удельные потери мощности в баке и конструктивных элементах с толщиной и радиусом кривизны большим, чем 九/2 (см.
рис. 1.6), можно рассчитывать по выражению
в которое введена линеаризация свойств стали.
Расчет потерь мощности в конструктивных элементах сводится к нахождению распределения тангенциальной составляющей напряженности магнитного поля Нт§(%, у) на поверхности, а затем к интегрированию (1.21) по всей поверхности 4 Полные потери в элементах с толщиной больше 儿/2
Р ~ + V^ ® MF I"" d4
4(8.78)
где ар01,4 — для стали; ар=1 — для неферромагнитных металлов.
С учетом аппроксимирующего выражения (1.54)
/雪 m%i/s(”)i +
+ c/Hms(x，у)\2]dxdy.(8.79)
Для плит с толщиной dV%/2, к которым можно отнести экраны из немагнитных металлов, а также тонкую листовую сталь, (8.78) приобретает вид
P^k(d)y^^Hms\(x,y^X А
X dxdyt(8.80)
где в зависимости от способа возбуждения поля на поверхности коэффициент 々(d)=x(d), g(d) или 刀(力)[см. рис. 2.9, 2.12, 2.13]. Поверхность Л в (8.80) охватывает теперь только одну сторону листа. Для тонких стальных листов с большой неравномерностью распределения поля на поверхности "皿(尤，у) целесообразно применение (8.78) с соответствующим коэффициентом &Fe(d)=XFe, ©Fe, ИЛИ "Fe, уЧИТЫВИ- ющим нелинейность стали (Ы)ре= = арЫ.
8.5.2. Расчет поля на поверхности тела. Расчет распределения магнитного поля HMX> У) на поверхности исследуемого тела можно провести одним из описываемых ниже методов. Одним из простейших методов является метод зеркальных отражений, однако при этом следует учесть, что метод дает точные результаты вблизи значений М = =+1 (см. рис. 8.11) только для нормальной составляющей, а вблизи Mq= —1 — для тангенциальной составляющей. Переход от нормальной составляющей к тангенциальной (и наоборот) получается затем с помощью уравнений Максвелла (1.12) и граничных условий Вп1=Вп2 в соответствии с (1.57) и аналогично (5.36) —(5.41).
Типичное распределение составляющих поля Нтх (х, у) и Нту (х, у) единичной шины представляет (8.47) и (8.48) при M『i=l и Л1< >1=0. Для поля произвольного числа р шин в прямоугольном окне и при М，0 следует пользоваться теми же уравнениями.
Для единичной силы (/ на рис. 8.19), размещенной вблизи стальной поверхности, нормальная составляющая на поверхности стали со стороны воздушного пространства (после учета отражения /' при М=1)
%9)=爲 9 + %)Х
h/+ — + (g + %)2
Xin沁
(У—亍)+(g + ©l)2
h
+ 2(g+-^) arctg^ h г
(8.81)
Нормальная составляющая поля на поверхности стали от двух шин / и 2 является суперпозицией полей (8.81).
〃zo = 〃zo (g) - 〃zo (g + 3 十 ％).
(8.82)
Если пренебречь влиянием толщины обмоток ai и 。2, то получается упрощенное выражение для обеих шин
f 土"+.勿2上- zo 2M [ c^ + (y—h/2)2
—]寸 + 3 + 九/空](8.83)
c^ + (y-h/2^\
Рис. 8.19. Определение магнитного поля шин на поверхности стальной плиты (по [1.22]):
/, 2 — действительные МДС; /, 2' — отраженные МДС
причем n= (1—・М)/2<1 является в соответствии с (1.68) эмпирическим коэффициентом, учитывающим возможное неидеальное зеркальное отражение тока в поверхности стали.
8.5.3. Потери в неэкранированном баке и элементах конструкции. Общий метод. Расчет потерь в стальных конструктивных элементах включает два основных этапа: нахождение распределения магнитного поля на поверхности данного элемента; расчет электромагнитного
Рис. 8.20. ТипичныеРис. 8.20. Типичныепримеры распределенияпримеры распределенияна поверхности стального полупространствана поверхности стального полупространстванормальной составляющей полянормальной составляющей поля"тнС:п"тнС:п
Рис. 8.20. Типичные
Рис. 8.20. Типичные
примеры распределения
примеры распределения
на поверхности стального полупространства
на поверхности стального полупространства
нормальной составляющей поля
нормальной составляющей поля
"тнС:п
"тнС:п
поля и потерь активной мощности и потребление реактивной мощности.
Классический метод основывается на решении уравнения Лапласа V2/m=0 со стороны диэлектрика и уравнения Гельмгольца VMm= =а2Ат со стороны проводника с последующим определением постоянных окончательного решения для составляющих поля Я и Е с учетом граничных условий (1.57) и (1.58).
Практически первый этап можно реализовать с помощью, например, метода зеркальных отражений. Полученное таким образом распределение нормальной составляющей поля HzQ (х, у) на металлической поверхности ху [см. (5.9а) и (8.83)] используется как граничное условие для решения уравнения типа (5.22) (рис. 8.20). После решения (5.22) методом разделения переменных (5.24) в [1.22] получено выражение для напряженности магнитного поля внутри металла
"тх(Х，9, 2)~3%)Х
X "so (х，4, 2)е-% а = ]//•<*(■,
(8.84)
которое для двумерного поля приводит к решению в виде
Бтх= — i^^Fy； "/=-(1 + + /)凤 / "У" -р^ 尸у L,(8.85)
где
询 5) = — J Нтг^у, 0)% + С°. (8.86)
Постоянную Со определяют из граничных условий для данного распределения поля на поверхности (рис. 8.20).
Из (8.85) введением аналитической аппроксимации (1.55) исключается сомножитель 1 //卩, благодаря чему на основе вектора ПоЙНТИНГЯ *Szo^= 12^ тх^ ту В [1.22] определены потери активной мощности и потребление реактивной мощности на длине пространственного периода Т (рис. 8.20,а) на единицу длины по оси %
Г/2
рг1 = pi + А = j Sz=ody = -772
=(%+%)s/斫g+佐/斫)，
(8.87)
где
Г/2
% =舒^ j F^^dy''
-Г/2
Г/2
%=耨 J F；/dy
—Г/2
(8.88)(8.88)являются коэффициентами поверхностного распределения поля, которое рассчитывается в зависимости от формы функции 尸"у) численными методами на цифровых ЭВМ (рис. 8.20,а) или аналитически (РИС. 8.20,6,8,2).
(8.88)
(8.88)
При распределении "mzo®, 0)= = HmzQSin(ji/r)yt в соответствии с (8.86)
乙(9)= (c/n) Нтга COS (*) g + С°.
(8.89)
Значение постоянной зависит от граничных условий. Здесь можно рассмотреть четыре случая:
конечные размеры элемента в направлении оси у (рис. 8.20,6), тогда при у^т и у&—т составляющая 〃從2。(у, 0) =-： Нту ■— 0 j из (8.85) следует, что 尸#=0, а из (8.89) С()= 0. При таком условии часть магнитного потока должна замыкаться по другому пути. После решения (8.88) и (8.87) получается
Рг1 = & +『%)赤訂"S丿斫X
(8.90)
для случая, подобного (рис. 8.20,в), в [1.23] получено Со = = (r/n)HmzOt затем рассчитано потребление мощности на длине периода
匕2 = Зр +/«9)；嚣2 3 V^i X
X 硯。(4+空VMl/mz。)； (8.91)
для системы, изображенной на рис. 8.20 [1.23], для Со = 0 установлено, что потребление мощности 174
определяется уравнением типа (8.90);
для системы, изображенной на рис. 8.20,г, для волны, бегущей в направлении у со скоростью v= =(от/л, потери на двойном полюсном делении 2т составляют Р$з= —2Ps2.
Потери в стальной плите, размещенной 8 поле параллельных шин (рис. 8.19). Принимая для Hmz0 (у, 0) распределение в соответствии с (8.83), в [1.22] получили выражения для потерь мощности в стальной поверхности на единицу длины шин
巳=1,75X1。-%^*尸义
Х(网 + 6,6.10-经2，后7)/)；(8.92)
Qi = 0,785/\,(8.93)
где P[ — активная мощность, Вт/м; Qi — реактивная мощность, вар/м; 刁 q 0,7 + 0,8;
(力©)(力©)厶/（勿力厶/（勿力
(力©)
(力©)
厶/（勿力
厶/（勿力
『@奴；乙="4;『@奴；乙="4;(8.94)(8.94)『而汕j勻一吋
『@奴；乙="4;
『@奴；乙="4;
(8.94)
(8.94)
A/2ri
(8.95)
Потери 8 неэкранированном баке трансформатора. Выражение (8.92) использовано в [8.19] в качестве основы для разработки упрощенного метода расчета потерь в баке трансформатора с применением цифровых ЭВМ. С этой целью введены дополнительные коррективы, учитывающие:
разделение потока рассеяния в зазоре Фб на поток сердечника Фг и бака Фа (рис. 8.21);
влияние двумерности путей замыкания вихревых токов в действительном баке трансформатора;
переменное вследствие кривизны расстояние между баком и обмотками;
Рис 8.21. Размеры трансформатора, необходимые для расчета потерь мощности в баке (по [8.19])
влияние наложения полей обмоток;
кривизну системы.
Упомянутые факторы учитываются в [8.19] следующим образом.
Потери в баке вызывает только часть потока рассеяния ①走.Поскольку 6《儿 зазор 6 представляет собой основное реактивное сопротивление на пути полного потока рассеяния Фт6=©т/г+©тг, бла- годаря чему эти составляющие пропорциональны току/в обмотках (более ТОЧНО ①mLC/彳 где В=1+0,9).
Аналогично в системе с односторонней стальной стенкой (см. рис. 8.19), которая описывается выражением (8.92), поток Фтг, проникающий в стенку, пропорционален току / (8.92). Если через / обозначить ток действительного трансформатора, то потери мощности в стенке бака можно будет рассчитывать приблизительно при помощи (8.92). Однако в этом случае вместо действительного тока I следует подставить в (8.92) расчетное значение тока 厶
厶~/4薪传时(8.96)
Для больших трансформаторов можно принять, что Фтб подразде-
ляется между сердечником и баком обратно пропорционально расстояниям аг и а走(рис. 8.21). Учитывая шунтирование бака воздушным пространством 爲，можно записать
左卢г ①而. aГ+ 礙 Фmz
〜1
「+0,38%"；
脸=靑(/亚计e)；"=3+
+、№ + Q; hR = hRR； (8.98)
Kr ~ 1j— & + & + 3) < 1. (8.99)
Поток Фт2| входящий в стенки бака, рассчитывается интегрированием (8.83) со стороны воздуха при i=V2I
СО
①用2=计」"g匂)吻(8.100)
Исходное выражение (8.92) и решение из п. 1 относятся к одномерному полю токов, индуктированных в стальной стенке. В действительности токи эти образуют двухмерную петлю, что приводит, как показано в [8.19], к уменьшению в 2 раза потерь по сравнению с одномерным полем. Выражение для потерь мощности в баке состоит из двух частей:
больших потерь, выделяющихся в закругленных участках бака на постоянном расстоянии от обмоток;
меньших потерь (20—25%), выделяющихся в прямолинейных участках бака, где поля (см. рис. 8.10) в значительной степени взаимно компенсируются. Здесь переменное расстояние обмоток от бака заменяется эквивалентной величиной ^Аср=^а+0, 108Dcp.
Приближенное выражение для потерь мощности в неэкранированном баке с учетом размеров и при 175
дополнительных упрощениях имеет вид [8.19]
P^3,44km-10~"AkhfVfjx
Х“(质十б」」。-。电/斤4), (8.101)
причем уменьшенная МДС обмотки одной фазы
/*=(/з)В&/*=(/з)В&2叫ar+akD/Dz2叫ar+akD/DzXX1
/*=(/з)В&
/*=(/з)В&
2叫ar+akD/Dz
2叫ar+akD/Dz
X
X
,呼岳"炉I e/2Gh—
In - v \ +2( —1 arctg-
1+(2q优尸 т l 九 * 2q
2% h \
(8.102)(8.102)где p = 0,994-0,98, 0 учитывает влияние реакции вихревых токов в баке; km — коэффициент, учитывающий специфику конструкции и число фаз трансформатора, причем для однофазных двухстержневых 々т^ »1; однофазных броневых 也т= =0,2+0,3; трехфазных броневых 67n=0,4+0,6; трехфазных трехстержневых ^т=1,2^-1,3; трехфазных трехстержневых с переключателями 瓦? = 0,9+0,96.
(8.102)
(8.102)
Выражение (8.101) может быть запрограммировано на цифровой ЭВМ (рис. 8.22).
Потери в крышках трансформаторов. Для расчета потерь в крышках трансформаторов малой и средней мощности, вызванных полем рассеяния, можно использовать приближенные выражения:
в трехфазных трансформаторах с немагнитными вставками между отверстиями под вводы
АраЗ,15.10-2/2 /疝斤 X
X [0,74 + 61n(a/R)]； (8.103)
в однофазных трансформаторах с немагнитными вставками между отверстиями под вводы
&р、3,5・ 10-2/2 /丽In(a/R);
(8.104)
Рис. 8.22. Структурная схема расчета потерь мощности в баке трансформатора на цифровых ЭВМ по (8.101)Рис. 8.22. Структурная схема расчета потерь мощности в баке трансформатора на цифровых ЭВМ по (8.101)в стальных крышках без немагнитных вставок
Рис. 8.22. Структурная схема расчета потерь мощности в баке трансформатора на цифровых ЭВМ по (8.101)
Рис. 8.22. Структурная схема расчета потерь мощности в баке трансформатора на цифровых ЭВМ по (8.101)
Ар~飞・5,5・10т/а(1 十嘗 Т),
(8.105)
где / — ток; а — расстояние между осями отверстий под вводы; 2R — диаметр отверстий под вводы; с= = R/a; mi = l ——для однофазного трансформатора, т= ]/ 3 —для трехфазного.
Выражения (8.103) — (8.105) применяются при 0JlVcV0,3; 〃а > 15 А/см ——для однофазных, //а>28 А/см — для трехфазных трансформаторов.
Потери 8 крепежных несущих стальных элементах [8.22]. В соответствии с (1.21) можно записать
PK^n^DlapPK^n^Dlap(8.106)(8.106)
PK^n^Dlap
PK^n^Dlap
(8.106)
(8.106)
где ns — число гаек; D, / — диаметр и длина гайки.
54 Экранирование бака. При проектировании и производстве трансформаторов задача заключается не только в расчете потерь
Рис. 8.23. Потери мощности в баке трансформатора:
а — в зависимости от линейных размеров; 6 — в зависимости от номинальной мощности; / — участок, вне которого экранирование бака необходимо
Рис. 8.24. Схема распределения потока рассеяния прн экраннрованнн бака трансформатора:а — магнитном; 6 — электромагиитиомРис. 8.24. Схема распределения потока рассеяния прн экраннрованнн бака трансформатора:а — магнитном; 6 — электромагиитиомХидХидxnHh-daexnHh-daeРис. 8.25. Смешанные экраны бака трансформатора [8.21]:/ — листы медиые или алюминиевые； 2 — шихтованный пакет из электротехнической сталиРис. 8.25. Смешанные экраны бака трансформатора [8.21]:/ — листы медиые или алюминиевые； 2 — шихтованный пакет из электротехнической стали
Рис. 8.24. Схема распределения потока рассеяния прн экраннрованнн бака трансформатора:
а — магнитном; 6 — электромагиитиом
Рис. 8.24. Схема распределения потока рассеяния прн экраннрованнн бака трансформатора:
а — магнитном; 6 — электромагиитиом
Хид
Хид
xnHh-dae
xnHh-dae
Рис. 8.25. Смешанные экраны бака трансформатора [8.21]:
/ — листы медиые или алюминиевые； 2 — шихтованный пакет из электротехнической стали
Рис. 8.25. Смешанные экраны бака трансформатора [8.21]:
/ — листы медиые или алюминиевые； 2 — шихтованный пакет из электротехнической стали
мощности, но в существенном уменьшении этих потерь. Эта проблема наиболее важна в больших трансформаторах, в которых увеличение потерь в баке в функции мощности весьма значительно. Из рис. 8.23, полученного на основе выражения (8.101) при условии Iw=C\l2, 5х=Сз/4, 87n=const, J=const по отношению к однофазному двухстержневому трансформатору 250/3 МВ・А, 242/УЗ кВ, следует, что в таких трансформаторах целесообразно применение экранирования бака уже от мощности выше 50—60 МВ-А в зависимости от требуемой степени умень- шен-ия потерь в баке. В трехфазных трансформаторах соответствующая граница составляет 75—90 МВ-А. Это значение может быть больше или меньше в зависимости от соотношения размеров &左/&尸(см. рис. 8.21) [1.22].
В трансформаторах применяются два основных типа экранов стенок бака: экраны (шунты)) магнитные (рис. 8.24,а) и экраны электромагнитные (рис. 8.24,6), а также смешанное исполнение. В смешанном экране (рис. 8.25) электромагнитные элементы / (медь или алюминий) вытесняют поток рассеяния из закругленной части бака, где этот поток наиболее существен. Поток рассеяния вытесняется в магнитные .элементы 2, в которых потоки взаимно компенсируются. Такое -конструктивное решение дает большую экономию цветных металлов и эффективно действует при несимметричных коротких замыканиях по сравнению с полными экранами.
Рис. 8.26. Схема распределения потока рассеяния в трансформаторе [1.22]：
а — поперечное сечение обмоток большого трансформатора (свыше 200 МВ А); б — схема заме- щеннн; в — упрощенная схема (Fm = УТ Iw~ максимальная МДС одной обмотки； б^т, Фгт» ФДтп — суммарные потоки рассеяния в зазоре, сердечнике и 6@ке; * — реактивное сопротивление эквивалентного зазора между обмотками 6'; R&r — суммарное реактивное сопро< тивление изоляционного пространства между зазором н сердечником; Rr — реактивное сопротивление сердечника вместе с прилегающим изоляционным слоем; Rbi и Rb2 — реактивные суммарные сопротивления изоляцноинога пространства между зазором и ярмом; R&月— реактивное сопротивление изоляционного пространства между зазором я баком; R& — реактивное суммарное сопротивление бака вместе со слоем изоляции между обмоткой и баком; R$ — суммарное реактивное сопротивление крепежных гаек Ярма; е( — магнитный экран бака; е2 — поперечный мяг- иитиый экран)
^min^min(8.107)(8.107)
^min
^min
(8.107)
(8.107)
Магнитные экраны. Магнитные экраны бака наиболее просто рассчитываются на основе схем замещения распределения потока рассеяния (рис. 8.26). Определенная таким образом максимальная с учетом насыщения толщина магнитного экрана составляет
_ аг у2/叫х()7ar + ak 8击r
где в[= 1,4Tл; 6‘=6+1/2(q1+a2)； /Ir = /z/Kr>/z； Kr^I — (。1+。2； +6) (лЛ) — коэффициент Рогов
ского.
Из схемы замещения (рис. 8.26) следует, что если МДС М2/叫 действующая в магнитном контуре потока рассеяния, практи-
чески не изменяется, то потери в стенке бака после магнитного экранирования останутся такими же, как до экранирован'ия; если суммарный поток Ф/tm (рис. 8.26) после экранирования остается таким же, как до экранирования, то экраны эффективно отводят поток из массивной стальной стенки, а потери в стенке уменьшаются (2.49).
Коэффициент уменьшения, на который следует умножить потери в неэкранированном баке (8.101), после эмпирических поправок [1.23] можно определить по выражению
рт —,(8.108)
(4,2 + п)2*МI丿
где n ——число листов горячекатаной
ПосколькуПоскольку)/一蓝『.(^而10- 6・35 而)/一蓝『.(^而10- 6・35 而
Поскольку
Поскольку
)/一蓝『.(^而10- 6・35 而
)/一蓝『.(^而10- 6・35 而
трансформаторной стали; К= 1,34- 1,5 — коэффициент запаса, учитывающий нелинейность стали; kHm— коэффициент, учитывающий изменение конфигурации поля на поверхности бака после наложения экрана.
На основе (8.107) и (8..108) необходимое число листов трансформаторной стали выбирается равным большему значению двух величин 〃=(屮 1)УЩ^_ 4,4 -2,1 или /2= dminjdQt(8.109)
где h ——длина бака; /е — суммарная длина экрана; do==O,35X ХЮ-3 м — толщина листа трансформаторной стали; остальные обозначения (8.107) и (8.108).
Поверхность экранов должна быть возможно большей, но она не должна быть сплошной по контуру бака. Разрывы рекомендуется размещать вблизи оси окон. Тогда коэффициент уменьшения потерь в баке определится выражением [1-22]
где Re=l/(卩/) ； Rw = (1+/) X X /丽(2%), остальные обозначения—как в выражении (8.109).
Кроме экранов & на стенках бака используются магнитные экраны (шунты) а (рис. 8.26), целью которых является защита перемычек и ярма около обмоток. Это так называемые поперечные экраны, эффективность которых много меньше, чем продольных.
Электромагнитные экраны. Электромагнитные экраны получаются облицовкой внутренних стенок бака медными или алю1миние- выми листами. Экраны должны быть замкнуты в электромагнитном отношении (см. рис. 2.1). Принимая, однако, во виимание, что в некоторых зонах бака поле рассеяния слабее (см. рис. 8.10), приходим к выводу, что даже разомкнутые экраны (например, экран / на рис. 8.25) могут действовать эффектив
но. Эффективность электромагнитных экранов не зависит от того, существует ли изоляционный зазор а (см. рис. 2.5) между экранами и стальной стенкой или его нет.
Потери мощности на единицу поверхности, покрытой экраном, можно оценить по уравнению (2.23), полученному для плоской волны. Коэффициент х (см. рис. 2.9) сильно зависит от параметров экрана d, у н частоты f. Поскольку при Ы^ 1 потери практически не зависят от толщины экрана d, а при ^<4, х^ 1/Ы выбор толщины экрана должен быть компромиссом между уменьшением потерь в баке и экономией меди или алюминия. Из рис. 2.9 следует, что наименьшие потери соответствуют х= 1, т. е. они имеют место при kd^ 1 и dcu》10 мм (%и=1 см-1) или daN 12,5 мм. На практике можно допустить даже двукратное увеличение этих потерь выше минимального значения (хси^2), благодаря чему требуемая толщина электромагнитных медных экранов может быть уменьшена до dcu=4+5 мм.
Чтобы получить такие же потери мощности при алюминиевом экране, следовало бы так увеличить его толщину, чтобы уменьшение коэффициента x^l/^d компенсировало в (2.23) уменьшение проводимости материала экрана,
=2 7 35J3S/H1 55
У 58.10е S/m
откуда ^/ai ~ 1/乂厶[=1/1，55 =0,645.
=83,12 м-1,
необходимая толщина алюминиево
го экрана, эквивалентного по потерям мощности медному экрану толщиной dcu=5 мм, составит
179
月=/ 岑. (8.111)月=/ 岑. (8.111)
月=/ 岑. (8.111)
月=/ 岑. (8.111)
dAI = 0,645/83,12-1000=7,76 мм^ a8 мм.
Из рис. 2.9 следует, что чрезмерно малая толщина экрана может вызвать резкое увеличение потерь и локальные перегревы экранов.
После экранирования стенок бака практически все потери переносятся из стальной стенки в экран, в котором резко уменьшаются благодаря его меньшей проницаемости (20—30 раз) и большей проводимости (2—3 раза).
Практически потери на 1 м2 экранированной стали можно оценить по выражению
Как следует из (8.111), потери пропорциональны произведению Р2〃2щ$, т. е. зависят от тока и температуры аналогично потерям в обмотках, определяемым как『R. Коэффициент уменьшения, на который следует умножить потери в неэкра- нированном баке (8J101), приблизительно оценивается так [1.23]:
Ре 〜专/^ kli 〜О'"0" kH'
(8.112)
где Y2=Ycu=54-llO6 См/м или 丫2= ==yAi=34-106 См/м; 7з=уре= (64- 8) 106?ь;7-106 См/м; цз=цоЦ2з 一 проницаемость стали перед экранированием (卩 гз= 150+200); d 一 толщина экрана, м.
В действительности токи, индуктированные в экране, имеют двумерный характер и их точный расчет очень сложен. Это может привести к определенному увеличению коэффициента ре, особенно локальному, при конечных размерах экранов [8.5, 8.6].
Коэффициент 々Н^ (Ynse/"ms» ,1 учитывает увеличение напряженности магнитного поля на поверхности экрана вследствие изменения потока рассеяния под влиянием реакции токов, 'индуктированных в экране. Экранированная стенка имеет значительно большее реактивное сопротивление по сравнению с неэкранированной. При коротком замыкании или трехфазной нагрузке увеличение напряженности поля Hmse невелико, поскольку поток, вытесненный из стенки бака, легко проникает в сердечник (см. рис. 8.24,6). Это приводит к значению 々нз=1+3; в общем случае 矶〜49《吐产maГ广了.代/⑶
Поток нулевой последовательности почти полностью вытесняется в узкий зазор между обмоткой и стенкой бака (рис. 8.27,6), что приводит к большому увеличению напряженности магнитного поля на поверхности экрана и значениям коэффициента йн= 154-30.
Коэффициент 论н можно оценить по выражению
々“=(1+0,37/cJ・(8.114)
Таким образом, потери в баке от потока нулевой последователь-
Рис. 8.27. Увеличение напряженности Нт» на поверхности бака прн сохранения фазы потока после наложения электромагнитного экрана： a — стальной бак без зкрана (малая напряженность поля); б — бак с электромагнитным экраном (е — электромагнитный экран)
总* =若in +才~2，总* =若in +才~2，(8.117)(8.117)КрышкаКрышкаXUHT&aJXUHT&aJ22ааааДноДнох«дх«дЛЛ攵攵а)а)Рис. 8.28. Влияние конечной высоты экрана йс на потери в баке (по [8；6])：а — расчетная модель： б — распределение удельных, потерь на поверхности экранированного бака г модели при аг=!=0,09 м; ah =0,23 м： /? = 0,6 м; 叫・2 м; rfCu —3 ммРис. 8.28. Влияние конечной высоты экрана йс на потери в баке (по [8；6])：а — расчетная модель： б — распределение удельных, потерь на поверхности экранированного бака г модели при аг=!=0,09 м; ah =0,23 м： /? = 0,6 м; 叫・2 м; rfCu —3 мм
总* =若in +才~2，
总* =若in +才~2，
(8.117)
(8.117)
Крышка
Крышка
XUHT&aJ
XUHT&aJ
2
2
а
а
а
а
Дно
Дно
х«д
х«д
Л
Л
攵
攵
а)
а)
Рис. 8.28. Влияние конечной высоты экрана йс на потери в баке (по [8；6])：
а — расчетная модель： б — распределение удельных, потерь на поверхности экранированного бака г модели при аг=!=0,09 м; ah =0,23 м： /? = 0,6 м; 叫・2 м; rfCu —3 мм
Рис. 8.28. Влияние конечной высоты экрана йс на потери в баке (по [8；6])：
а — расчетная модель： б — распределение удельных, потерь на поверхности экранированного бака г модели при аг=!=0,09 м; ah =0,23 м： /? = 0,6 м; 叫・2 м; rfCu —3 мм
ности или от третьей гармонической потока практически не уменьшаются после экранирования, а только переносятся из стальной стенки в экран.
Частичные экраны. Приведенные выше понятия и выражения описывают бесконечно длинные экраны, на которые падает плоская волна. В действительности экран в трансформаторах имеет конечные размеры. Особенно это относится к высоте экранов, которая часто сравнима с высотой обмоток. На гранях такого экрана происходит скачок магнитного поля и удельных потерь, что может быть причиной локальных превышений температуры.
Один из методов решения этой задачи основан на решении уравнений векторного потенциала (1.36) для системы, представленной на рис. 8.28,а, в которой векторный потенциал имеет только одну составляющую A=Az(x, у).
Для зоны II бака предполагается [8.22], что, за исключением малых участков вблизи точек (х= =0,士也/2),
дА[дх》дА[ду, откуда >第/改=公成，(8.115)
где а=力叫к для |g|>/iJ2 и а=丿/3也爲 для \у\ <he/2.
Общее решение (8J115) вследствие симметрии относительно центра экрана имеет вид ОО
鳳(м, g)=e" W。“cosa也 |х|< 0.
(8.116)
Для непроводящей среды / решение (8J115) при а=0 (7=0) можно принять как суперпозицию полей
Слагаемое 41ml в (8.117) является векторным потенциалом маг-
нитного первичного поля без стенки бака (в соответствии с [8.6])
/ ОО
S ап Iе " + cos by,
I 8
I W e^cos by,
I 〃= 1
(8.118)
где
« — 2 頂佃 sin 6(九/2) [e—ba2_ e~^i .飾一価—1十
J ^勿。?一2a) — ^(cit—2u) j,
О" = a；/(e-2°/ + e-2% b = 2耽/源.
Потенциал вторичного поля, созданного токами, индуктированными в стенке бака, выбирается таким образом, чтобы суммарный потенциал в диэлектрике 41m из (8.) 17) равнялся на границе х=0 потенциалу 4% (8.116),
X cos by.(8.119)
Таким способом удовлетворяются граничные условия непрерывности нормальной составляющей индукции Вх=дА^/ду, а также касательной составляющей напряженности электрического поля Emz= =—沁4mz на стенке бака (%=0)・
С учетом непрерывности составляющей иту= --—-粤丝на
р. ох
стейке бака задача сводится к решению системы алгебраических уравнений, которая содержит и неизвестных постоянных Dn,
师2+彥以心产0+嗚觴,
где 〃=1, 2...; Rn,k и фп — определенные в [8.6] функции геометрических размеров и параметров ц, у системы. После решения системы (8J20) на цифровой ЭВМ с учетом около 300 ура：внений получены со- 182
ставляющие напряженности магнитного поля, а та«же удельные потери на поверхности бака. Из анализа решения следует, что на высоте границы экрана появляются локальные скачки удельных потерь (рис. 8.27,6) на поверхности экрана, значение которых в зависимости от высоты экрана может достигать двукратного максимального значения удельных потерь на поверхности бака в неэкранированной системе [8.22]. Это значение определяет возможность возникновения локальных превышений температуры бака [1.22]. Мерой эффективности экранирования принимается отношение максимальных потерь в системе С частичным экраном Ртахе К максимальным потерям на поверхности бака в системе без экрана Ртах (РИС. 8.29)
П = Ртах elРтз (8-121)
Как следует из кривых на рис. 8.29, с точки зрения локальных превышений температуры наиболее безопасными являются экраны с высотой he=h и he>2h\ при he< V0,9h локальные потери резко возрастают.
ПОТЕРИ МОЩНОСТИ В ОБМОТКАХ ИЗ ФОЛЬГИ И ЛЕНТЫ
Аналитические выражения. Дополнительные потери в трансформаторных обмотках, изготовленных из фольги и лент, составляют небольшую часть (2—8%) основных потерь, поэтому в большинстве случаев достаточно их оценивать упрощенными выражениями. Выражения эти, в соответствии с [8.23 и 8.24], получаются следующим образом.
Граничные условия. Вследствие большого магнитного сопротивления м ежо бм о точи о го зазора можно обмотки трансформатора (рис. 8.30,а) заменить моделью, показанной на рис. 8.30,6. Вследствие слоевой структуры обмотки из фольги 2 ток вытесняется только в нашрав- лении оси у, как в двигателе с глу-
Рис. 8.29. Зависимость максимальных удельных потерь иа поверхности экранированного медью бака от относительной высоты экрана в трансформаторе с 。？=0,195 м: Оа =0,393 м;九=1,776 м; йа=4(4 м [8.6]
Рис. 8.30. Обмотка трансформатора (ко [8.23]):
а — действительная; б — расчетная модель; 7 — стержневая обмотка с равномерным распределением плотности тока /01 2 — обмотка из фольги с искомым распределением плотности тока 〃у)・ =/计厶
I 门
"ms
%7S
рис. 8.31. Представление проводника двигателя с глубоким пазом или обмотки из фольги при помощи бесконечной проводящей плиты
боким(и тазами (см. рис. 4.3,6). Такая структура в свою очередь на основе метода зеркальных отражений может рассматриваться как участок бесконечной алюминиевой или медной шины толщиной Л и размещенной в воздушном пространстве (рис. 8.31), на которую с обеих сторон падает плоская волна.
При глубоком пазе на поверхности такой шины напряженность магнитного поля Hms=Y2Iw/(2a)t В реальных трансформаторах, одна-
ко, большая часть МДС приходится на зазор, в котором в соответствии с классической теорией
нтЪ=Ц^^ KraI -& + %+
+ 8)/(^).(8.122)
где L=h^hi, причем h — высота чистого металла; 自一суммарная высота изоляции. Для непрерывной фольги L=h.
Из закона полного тока, примененного к обмотке 2 (рис. 8.30,6), получается, что
"m&W + 2Hm3atl = ]/^/磔
После подстановки (8.122) определяется поле на поверхности эквивалентной шины
『惫(1宀=需，(8.123)
откуда
N — 2gg2а2
一(1一()九1 % + & + 6
~2-ь2,5.
(8.124)
больше нескольких сантиметров можно принять, ЧТО (ПЛОТНОСТИ токов, индуктированные на обеих гранях обмоток, имеют действующие значения при OWyW应/2
…J(A), (8.128) где
С учетом принятых упрощений коэффициент N следует трактовать как полуэмпирический и выбирать его значения в границах, обусловленных (8.124), или несколько меньше.
Распределение плотности тока в обмотке из фольги, В системе, представленной на рис. 8.31, присутствуют только составляющие НХ=Н и 厶=丄 Из уравнений Максвелла rot Hm=yEm и rotE,n= =—js»Hm для синусоидальных процессов получается дифференциальное уравнение (1.13)
a 〃 alw
后心=丽
，方山
Nh
Ge号.
(8.129)
Одновременно в обмотке из фольги должна проявляться составляющая плотности тока Jo, значение которой определяется из условия
Л/2
aj(/。+ 人)""=4■/期 О
(8.130)
OHmlW 炉”加；а = (1 + j)后
左=/<0计y/2,
(8.125)
решение которого при граничных условиях Нт(—九/2) =—〃m (无/2), "m (无/2) =—Hmsi Hmy= Hmz= 0 имеет вид
причем a=〃2—% — суммарная толщина проводников; a： — суммарная толщина изоляции фольги.
Подстановкой (8.128) и (8.129) в (8.130) после интегрирования находится значение равномерно распределенной плотности тока
~ 厶. (8.131)
〃m(U)= —〃ms
Shaysh (aft/2)
丿m ®) = aHg
ch ay
sh (ah/2)*
(8.126)
Для обмоток высотой 瓦 большей 九(см. рис. 1.6), т. е. большей 6—7 см, можно принять shxa q(1/2)叫 вследствие чего ллот- ность тока (8.126) можно представить зависимостью
Суммарная плотность тока в обмотке из фольги
J =4+厶=
°(8.132)
ah
ЗЛУ^аН^ 2 chay =
Действительная составляющая Re[J], которая находится в фазе со всей МДС Iw обмотки, составляет
(8.127)
ХСОФ/1(Т-'Г)-т]}
(8.133)(8.133)
(8.133)
(8.133)
Как следует из этого выражения, лри высоте обмоток из фольги 184
Мнимая составляющая Im [J], сдвинутая на тс/2 относительно всей МДС,
(8.134)
Распределение плотности тока в верхней и нижней половинах обмотки из фольги (0》у?—Л/2) симметрично.
Рассчитанные в [8.23] с использованием аналитических выражений (8.133) и (8.134) распределения плотностей тока при N=l,75 (рис. 8.32) сраэниБались в [8.24] с результатами, полученными при помощи более сложных численных методов. Сравнение показало соответствие результатов.
Коэффициент дополнительных потерь. Подстановкой комплексной и сопряженной величин (8.132) в общее выражение потерь в обмотке
Рис. 8・32. Распределение плотности тока в обмотке нз фольги при /切=8500 A; f= =50 Гц; й = 38,05 см; ai= 1,75 см;或= =1,19 см; 6ср=6+(1/2) (s+s) =2,82 см; результаты расчетов по (8.133), (8.134) [8.24];— — результаты расчетов числен
ными методами [8.11, 8.13]
из фольги со средней длиной витка /
ft/2
Р = —J JJ*dy(8.135)
получаются после интегрирования потери мощности
° Y I r kh 厶，
x〔2 (1 —eFcos-^-)——
一閔(一切｝.
Для фольги высотой А>5+6см
можно принять ?一丸九《1 и kh
е 2 cos(feft/2) с 1, благодаря чему с небольшой ошибкой потери мощности в обмотке из фольги составляют
2号[1+*毕х
*(2+醫)尸。-["
+京(叶瑞" (8」36)
Если разделить (8.129) на (8.131), то
_4— 『
Коэффициент дополнительных потерь получается из (8.136)
d f ahi 丁 Nh \ 丁 2N
(8.137)
Выражение (8.137) проверялось экспериментально. При этом было обнаружено удовлетворительное совпадение расчетов с экспериментальными замерами для обмоток как из фольги, так и из ленты.
Приведенные выражения относятся к симметричной системе обмоток (см. рис. 8.30). При более сложной конфигурации обмоток, особенно при их асимметрии, следует уточнить метод определения 185
XX186186
X
X
186
186
коэффициента ^ (8.124) или перейти к численным методам [8.11, 8.13].
Численный метод решения интегральных уравнений Фредгольма. Основная трудность расчета вытеснения тока и потока в обмотках заключается в определении граничных условий. В предыдущем п. 8.6.1 применением коэффициента N эту трудность удалось избежать. В более сложных системах можно использовать уравнение Фредгольма [8.11, 8.13], которое описывает распределение плотности тока в обмотке из фольги (см. рис. 8.30). Если рассмотреть развернутые слоя обмотки из фольги (рис. 8.33), в которой проявляются только составляющие /z=/(尤,у) и Вх=В(х, и), то можно [8.11, 8.13] для контура abed в соответствии с законом Фарадея е=—d®df, т. е. Em=Jm/y= =—/соФш и, считая, что вдоль линий Ьс и da не происходит падения напряжения, написать ，mj (%，У)—」mj (%。)=
У
=—抄丫 J Bmj (x, v)dv, (8.138) 0
где Bmj (x, v)——индукция в j-й обмотке из фольги, созданная всеми обмотками и их зеркальными отражениями (см. рис. 8.111). Если та-
Рис. 8.33. Иллюстрация закона Фарадея (8.138) применительно к /-й обмотке, размещенной в поле ^ обмоток
КИХ# обмоток М ТО Bmj (爲 U)= ~ 2 Smii(х>。)・ Индукцию
ВтгДх, и), образованную стержневыми обмотками с известным распределением плотности тока 厶(爲 У), можно рассчитать на основе (847), (8.48) и (8.81). Распределение плотности в обмотках из фольги неизвестно, но его можно выразить в интегральной форме. В общем виде с учетом суперпозиции всех обмоток в окне и их отражений можно записать [8.11]
% (%，。) =£J 就%)X
(=0 a=1扭也%
X(% + 九一d) “%亠
(Х0 + %/д — %)2 + (% + yik— и 户
+S Е ，又
(%。-%伍-%产+ (%+p优-J户o仇'
(8.139)
где s — число зеркальных отражений каждой обмотки; f — число обмоток из фольги; (/—f)—число обмоток с известным распределением плотности тока; Mi — коэффициент зеркальных отражений; &拓 九丸—— ширина и высота 々・й обмотки;尤泣, ytk — расстояние между центром Л-й обмотки в i-м отражении и началом системы координат.
Подстановкой (8.139) в (8.138) получается распределение плотности тока в /-й обмотке из фольги в виде интегральных уравнений Фредгольма второго рода [8.11] J/(x, y)=Gj(x, g) +
hk
f ~2~
+<X 2 J }k(x, y0)Kk(x, y, y0)dy0,
~2
j = l ⑴ f.(8.140)
Принимая одинаковыми высоту ■и плотность тока для всех обмоток из фольги, (8.140) можио свести к одному уравнению Фредгольма второго рода
J (%, y)^G(x, g) +
九/2
+а ] J(x,如)0(х, у, y^dyv,
叫丫2л叫丫2л(8.141)(8.141)решение которого можно записать в виде ряда Неймана
叫丫2л
叫丫2л
(8.141)
(8.141)
〃匕 У)= 4(х, У)+ а/](х, у) +
+ 炉厶(％，У)+…，(8.142)
где
人(匕 У)= J(七 0) + аК〃х, //)；(8.143) /1/2
4(%，g)= f Kf(x，9, %)X
—/1/2
X Jn-I(x> y0)dy0.(8.144)
Неизвестная величина / (x, 0) рассчитывается из условия
Л/2
ах f J(xt y)dy = Ix, (8.145)
-Л/2
причем ах> /х — ширина и полный ток единичной обмотки из фольги с координатой х; Kd(%, у)—эквивалент второго слагаемого правой части (8.139), учитывающий влияние обмоток других типов.
В [8.11] установлено, что ряд (8.142) характеризуется быстрой сходимостью. Поэтому рассмотрение более трех слагаемых нецелесообразно. Вместе с тем ограничение ряда только одним слагаемым приводит к заметной ошибке.
В [8.11] описана программа расчета плотности тока, индукции, потока рассеяния, сил короткого замыкания и коэффициента дополнительных потерь в обмотках из фольги (рис. 8.34).
Смешанное электромагнитное и тепловое поле обмоток из фольги. Из-за сильной неравномерности распределения плотности тока по высоте обмотки из фольги
(рис. 8.32) и связанной с этим неравномерностью нагрева полное решение задачи должно учитывать в (8.133) и (8.134) однаврементное изменение проводимости у под влиянием нагрева. Перепад температуры фольги 仆=8(г, z) относительно охлаждающего масла описывается уравнением Пуассона в цилиндрических координатах г, z
где
，=外产⑵8)%(1+旳8);(8.147)
kz ——отношение полной и незащищенной поверхности обмотки из фольги;々ф — коэффициент заполнения алюминием; /(z,仆)一плотность тока в фольге [в соответствии с (8.133)], z=h/2+y (см. рис. 8.30);月=]/ с：碎• s — V 2(1 + 叮3)'
температурный коэффициент сопротивления р;
叫bhz + (2吗一母丽
—средняя тепловая проводимость обмотки из фольги в радиальном направлении; wr—число витков в радиальном направлении; /г — толщина межвитковой- изоляции; Ь —— толщина фольги; Ааь М — тепловая проводимость алюминия и изоля^ ции.
Граничные условия на поверх- ности обмотки
入厂二—=一及丁； ЛA1——;
drdr dz
厶若 +a“z)[8 —u(r, z)]=0;
«(r, z) = Д&/,
где 勿一коэффициент теплоотдачи на поверхности обмотки; А^о — постоянная. На поверхности изоляции (8.146) трансформируется в уравнение Лапласа А&=0.
(Старт^)
Считывание данных
Геометрические размеры, прово-димость, частота, МДС, число /уточек,в которых проводится расу\ не* коэффициенты отражения, /\ число членов ряда Неймана /
Определение координат расположения отдельных обмоток, i действительных и отраженных
1
(Расчет ядра Kf
I интегрального уравнения (8.144)
IРеализация выражения,
Iучитывающего влияние
|провоххниковых обмоток Кj (8.143)
Расчет первого членаряда Неймана (8.143)J i(x,y) = J(x,O) + aKd(x,y)
Расчет последующих выражений по ряду Неймана (8.144) "2
Jn(x,y)=J Jn-i(x,y0)Kf(x,y,y0)dy0
Определение J(x,O)из интегрального условия (8.145)h/2
ах J J(x..y)dv=rx f/2
Расчет действительной частиплотности тока
Ji(x(y) = Re{Sa,H L(x,y)}
Расчет мнимой частиплотности тока
N
L( Х,у)= Im % ЛI J.i(x,y)}
Расчет модуля плотности тока
Jm=&；+"
Расчет коэффициента дополнительных потерь 卜3卜2 h/2
Kd二一^― Г Jm(x,y)dy I2 -b/2
(—&отт )
Рис. 8.34. Структурная схема расчета на цифровой ЭВМ токов н поля обмоток из фольги методом интегральных уравнений Фредгольма [8.11]
Глава девятая
ЭЛЕКТРОТЕРМИЧЕСКИЕ И РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЕ УСТРОЙСТВА
ПОЛЯ ВОЗБУЖДЕНИЯ ШИН И ВОЗБУДИТЕЛЕЙ
Аналитический метод. Принцип расчета электромагнитных полей шин и проводников опирается на теорию, представленную в предыдущих разделах. В [1.22] описываются методы расчета сильноточных токовво- дов п вихревых токов, индуктированных в массивной стальной стенке расположенными вблизи проводниками н лентами с переменным током.
В большинстве случаев для определения векторного потенциала в воздушной среде / (рис. 9.1), в которой используется уравнение ДЛ/=0, применяется метод суперпозиции векторных потенциалов (8.25) Amj—A^mj^-A^ml ОТ СОбСТВвННОГО ТОКЭ И его зеркального отражения 力7/, а также от поля токов помех, индуктированных в
металлической стенке Affmi. Решение представляется суммой выражений (8.27) н (8.31). В этом случае среда / считается неограниченной в направлении оси —г. Поскольку при N-3^—оо поле (8.31) не может
Рис. 9.1, Прямолинейный проводник с током над бесконечным металлическим полупространством
расти до бесконечности, постоянная D = 0. Векторный потенциал проводника со стороны диэлектрика н на поверхности металла описывается выражением
аm1 = I e (人)户 cos Ху d入一 о
如.e心（叶力
4 兀产 + （4一2）2
2《0.
(9.1)
Среда 〃 описывается уравнением AAii=q2Aii. Для OczVqo аналогично (8.35)
ОО
4mli =j К (入)e-"”+a'z cos Xgd入.(9.2) о
Из уравнения B=rot А определяются составляющие поля
1 ОАк
Етх =
(9.3)
Подынтегральные функции С (入)и К(九)находятся из граничных условий непрерывности тангенциальных составляющих Hv и Ех
%」=%吐=0 или
。之 I z=o
77|г=0
(9.4)
£-vl|z=0 = Ex Il|z=o =4n% II I z = 0・
ИЛИ
Лтх1|г=го =
(9.5)
Подстановкой (9.1)
(9.5) получим
и (9.2) в (9.4) и
亡-衣加+卜eО 8S 2"=6
Составляющие £工 и Hv определяются из (9.3). Это позволяет найти распределение плотности тока в металлической плите Jm(y, z) =уЕт(У, n) и нормальную составляющую вектора Пойнтинга S2 = j/zEm*方*my, откуда распределение плотности активной мощности, выделяемой на единицу поверхности плиты,
Pi = Re {5г|г=0}% Re {^tnx^my*}z ~ 仇
(9.10)
Более сложные системы шин анализируются на основе (9.1) н (9.2) с применением суперпозиции векторных потенциалов, выражения (9.3) и условия g=const. Расчеты эти достаточно трудоемки и обычно реализуются численными методами [9.7, 9.8].
Приближенный метод. При упрощенных расчетах распределение действующего значения плотности тока /х в плите при действии поля единичной ленты толщиной ^i =/2/(0)¥£丫力 проводящей ток /,, можно определить по выражению [9.2] г г >.2a/g
/x = /£_arctg ______ =
尸(当—L(9.11)
где Jh — плотность тока в поверхностном слое плиты толщиной ^p = m 2/(3 卩"Y")；
ё /芯 (4历尸+з伍产一1
(9.12)
—функция распределения плотности тока в плите (рис. 9.2).
Если ширина ленты 2g>(8+10)а, то почти весь ток концентрируется в той части плиты, которая размещается под лентой, причем линейная плотность тока почти такая же, как и в ленте [9.2]. Это условие соответствует упрощенному исследованию поля реакции вихревых токов, индукти-
J e （入）cos入川入=
(9.6)
к （入）cos入yd入.
(9.7)
Если в (9.6) ввести
护，j e" cosM о
то из (9.7) и (9.8) найдем
С0)=К(А) =
——е—аХ
一兀(入从Г+m人2+ a2
(9.8)
(9.9)
Рис. 9.2. Распределение плотности тока в плите под действием поля от тока Л в прямолинейном проводнике [9 2]
Рис. 9.3. Нахождение распределения плотности тока в плите методом суперпозиции на основе кривых рнс. 9.2 и выражения (9.11) [9.2]
рованных в стенках бака трансформатора или при индукционном нагреве.
На основе (9.11) и рис. 9.2 можно методом суперпозиции определить плотность тока в плите под действием поля нескольких ленточных проводов (рнс. 9.3). Этим способом также можно рассчитывать поле трехфазных токов.
Распределение мощности, выделяемой в плнте, определяется нз кривой суммарной плотности тока (рнс. 9.2 и 9.3) с помощью зависимости р=/2/?.
Явление близости. Явлением близости называется увеличение плотности переменных токов на обращенных друг к другу поверхностях проводников, проводящих ток в противоположных направлениях (рис. 9.4). Если токи имеют согласное направление, то увеличение плотности тока происходит иа внешних поверхностях.
Это явление обусловлено тем, что линейная плотность тока, индуктированного в массивном проводнике с резко выраженным поверхностным эффектом, при больших частотах равна иапряжеииости магнитного поля на поверхности проводника [см. (3.45)]. Вместе с тем распределение плотности тока в шннах зависит от конфигурации магнитного поля и его локальных изменений.
Это явление особенно важно в системах с тоководами на большие токн, состоящими нз множества параллельных шин. В этих случаях шины, проводящие токи противоположного знака, должны транспонироваться при укладке, поскольку в противном случае плотность тока в шннах была бы неравномерна.
Явление близости следует учитывать в тех системах, в которых размеры проводников больше эквивалентной глубины проникновения.
Метод расчета распределения плотно* стн тока и полного сопротивления проводников с учетом явления близости описан в [2.5].
9・2. ПРОХОЖДЕНИЕ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА ЧЕРЕЗ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ТОКОВВОД
Внутри цилиндрического токоввода (рнс. 9.5) применимо уравнение Гельмгольца, которое при сниусоидальном токе плотностью Jm=yEm—Jmx имеет вид
-^-十7—^еnи а = //3出丫 。 (9.13)
Рис. 9.4. Явление близости
Рис. 9.5. Цилиндрический то- коввод с переменным, током
Решение этого уравнения выражается через функции Бесселя Jo и Неймана No нулевого порядка
Em=CiJ£jw) +C2N0(/ar).
(9.14)
Внутреннее полное сопротивление то- коввода с учетом (9.16)
2ц,=凡 + jXw =—-—=
Поскольку при г->0 величина No(jctr) — оо, а также £т#：оо( то Сг=0. Тогда, принимая во внимание, что dJ(z)/dz=—Ji (г), получим
W J£W)
，2 丫価 h(/aR)
(9.18)
1 дЕт
Em = C1W!Hmi{R}== —
dr
—~ h(次
где Ji(jar)является функцией вого порядка.
Поскольку
Hms= Hrra(R) = ]^ril(2nR),
(9.15)
Бесселя пер-
то
—/сор.
а ]/2 TtRJi(jaR)'
После подстановки величины получаем
Ci в (9.15)
/"2 в 丫 Ет?
闷 Jо(jar)
Ит
‘н/'М Ji(jaR)' / h(jar)
|/2 kRjw哝)■
(9. 16)
Вследствие того, что отсутствуют таблицы функций Бесселя с комплексным аргументом回7行W丽=打]/7", где 工=г/з廿丫，следует пользоваться функциями Томсона
j0(打M厂)=ber%+ jbetx;
^i ^Т)^]^(ber# х + /bei^x), (9.17)
для которых существуют подробные таблицы [2.1].
Отношение этой величины к сопротивлению токоввода при постоянном токе Ro=l/(nR2y) определяет зависимость изменения активного сопротивления, реактивного сопротивления и индуктивности от частоты тока [2.5].
9.3. ИНДУКЦИОННЫЙ НАГРЕВ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛ
Индукционный нагрев чаще всего применяется для нагрева цилиндрических элементов самого разнообразного вида (рис. 9.6). Электромагнитные расчеты таких систем проводятся в упрощенной форме — как бесконечно длинных, или более точно — с учетом конечной длины.
Бесконечно длинный цилиндр в продольном поле. Если принять, что нагре* ваемое тело / и возбудитель 2 в системе (рис. 9.6,а) являются бесконечно длинными, то напряженность магнитного поля Нт — = "mz внутри нагреваемого тела описывается уравнением Гельмгольца, аналогичным (9.13), ^Нт 1 dHm尸
~77~+~ ~7~ =^Нт, a = ]//сор.у .
(9. 19)
Тогда распределение напряженности поля и плотности тока внутри нагреваемого тела
Нщ = "ms
Jog .
Jl(jaR)'
人（拉「）
Jo(W?)
(9 20)
Рис. 9.6. Виды возбудителей для индукционного нагрева цилиндрических тел [9.5]: / — нагреваемое тело； 2 — обмотка; 3 — магнитный шунт
Из анализа (9.20) следует, что эти функции аналогичны функциям, полученным для толстой металлической плиты (см. рис. 2.8).
Индукционные нагреватели конечной длины, расчет систем с возбудителями конечной длины (рис. 9.6) можно проводить так же, как линейных двигателей с коротким якорем (см. п. 3.2.3). Единичный возбудитель с цилиндрическим нагреваемым телом (рис. 9.6,а) заменяется бесконечной последовательностью возбудителей (рис. 9.7), для которых токовую нагрузку можно представить при помощи ряда Фурье (3.43),
ОО
Поскольку векторный потенциал имеет только угловую составляющую Лтд —Ат9 То (9.22) примет вид
^_丄吆咏
0「2十"7 H十》2十
+(厂—十)Ann 0.
(9 23)
门=1
Подстановкой (9.21) и (9.23) получается система уравнений
со
[力2 —dr
л=0
Тогда векторный потенциал можно представить в виде
00
力那+1(小。5 --(9.21)
л=0
一产产宀外…
Xcos
(2n + 1)RN
：0・
(9・24)
При синусоидальном токе из уравнений rot "m=(Y+jS£)Em； Вт = rot Дт；及= =/зАтп, а также из тождества rot rot Дт = = grad div Ат при условии, что div力т = 0 [1.221, следует уравнение векторного потенциала
Для того чтобы сумма (9.24) равнялась нулю для каждого значения cos [(2п + +1)лг/Z], слагаемые в фигурных скобках должны равнятьси пулю, т. е.
0242n+1
104那+1
（2几+ 1尸炉
V2Am= ? 2аm\「= !/73廿(丫+佃£)・(9.22)
一广+|
丛・「1 ~ о-
(9. 25)
Рис. 9.7. Расчетная модель возбудителя (рис. 9.6,а) конечной длины： а — бесконечная последовательность фиктивных возбудителей; б — распределение МДС
欠+UZH7
В (9.25) для диэлектриков / и 2 (рнс. 9,7а) Г2=—(о2це, для проводящего иагре- ваемого тела (зона 3) Г =q— /jco户丫 = = (l+j)&; .1/6=1/兩»
Уравнение (9.25) является дифференциальным уравиеннем Бесселя, решение которого дли отдельных зон нме^т вид [9.5]
4(r, Y)= °1(Y)K1(% г)； 4(r, Y)=
=e2（Y"式岗，「）十02（ 丫）k］（孔，Г）；
4（r, 丫）=G（V），i（入у, г） + Оз（У）К1（入у, г）,
（9.26）
где V = 2п + 1 ；尼 J = (2п 十 1)2л2/Д2 + i尸; 入v = (2zz + 1)2m/l2 + jcop•丫； Zi(*v,r) И к\ &, г) —модифицированные функции Бесселя первого порядка.
Постоянные D〔, Сз,。2，Сз, Оз определяются из граничных условий (9.4), (9.5); напряженность магнитного и электрического поля—из (9.3); выделяемая в нагреваемом теле мощность — из (9.10).
Более детальные решения приведены в [9.4—9.6].
(9.27)(9.27)
(9.27)
(9.27)
9.4. ПРОНИКНОВЕНИЕ ЭНЕРГИИ В НАГРЕВАЕМОЕ ТЕЛО ПРИ ИНДУКЦИОННОМ НАГРЕВЕ
При индукционном нагреве или закалке массивного стального тела можно различить три специфических термоэлектромагнитиых состояния (рис. 9.8), из которых основными являются — холодное с параметрами уз, р.з и горячее с параметрами т? и цз. В холодном состоянии (начальный режим, рис. 9.8,а) сталь однородна и имеет параметры у3»
В промежуточном иеустаиовившемся состоянии (рис. 9.8,6) около поверхности стали образуется горячий слой толщиной
d < % = 1/2/(小甘2丫2)
и температурой выше точки Кюри (около 800 ℃). Параметры горячего слоя (0&N& Wd) имеют значения y2VYз и n2《卩3. В остальном пространстве (2>d) металл остается холодным при начальных параметрах у3» “з. Такой режим возникает при индукционном поверхностном закаливании.
В конечном квазиустановившемся состоянии (d>&) (рис. 9.8,6)нагреваемое тело полностью нагревается до температуры выше точки Кюри. Тело в этом состоянии характеризуется параметрами 丫2,卩2. Такое состояние (丫2,財)возникает при нагреве с целью плавки, ковки, закалки металла.
Распределения иапряжеиности магнитного поля и плотности тока в металле в начальном и конечном состояниях описываются уравнениями
а
в которые следует подставить соответствующие значения уз,卩§ или 丫2, Ца-
Переход от начального холодного состояния к установившемуся горячему сопровождается в стали почти 90-кратным увеличением глубины проникновения волны 6. Увеличение это обусловливается резким уменьшением проницаемости р, (с"к1000+ +2000 раз) и проводимости у С^ у6+10раз)・ Поэтому если толщина или диаметр нагреваемого тела меньше, чем (2+3)，2/(з%%) = (2+3)%
то следует учитывать внутренние отражения электромагиитной волны с помощью выражений, используемых для анализа экранов.
Распределение плотности мощности, выделяемой внутри нагреваемого тела, определяется по выражению
尸 1 = Jr^l(2x)；Jm = ^Em
В иеустаиовившемся состоянии слой стали, нагретый до температуры Кюри (около 800 ℃), можно рассматривать в первом приближении как немагнитный экран е параметрами Y2=Y3川’и й2=n3儿" (см. рис. 2.6), наложенный иа холодную сталь с параметрами 丫§ и цз- Плотность тока в слое 2 (рис. 9.8, б) можно в этом случае определить из (2.206)
醉 m—z) + 从23e一a (d-z)
earf—.М21/И23е-^
(9.28)
Рис. 9.8. Распределение плотности тока при индукционном нагреве стальных тел:
a — начальное холодное состояние; б — двухслойное переходное состояние; 8—конечное горячее состояние
В соответствии с (1.25) и (1.30) полное волцовое сопротивление %=/『77OM»[ZmetB
Т%= М手 е 4 .(9.29)
Полные волновые сопротинления сред 1, 2, 3 (рис. 9.8, 6) составляют &|»闵＞修1,
поскольку
Коэффициенты отражения (1.63) приобретают значение
% =
Z] — Z?
Z] + z?
и Л?23
Zg —Z?
Z3 + Z2
N 1,
откуда плотность тока в нагретом слое 2
/m2（2）=丫2斗^2）нa?hms工
ch а?( d ■ N ) sh a2d
(9. 30)
Из сравнения (9.29) и (1.16) можно найти распределение плотности тока на граничных поверхностях для состоииий, представленных на рис. 9.8, a—s при л me = const. По обеим сторонам границы N=d в переходном состоянии (рис. 9.8, 6) существует одна и та же напряженность электрического поля, однако вследствие неравенства 丫3＞丫2 плотность тока /з иа этой поверхности со стороны холодной стали значительно больше, чем плотность /2 с горячей стороны, причем /тз и /m2 соотносятся как
=—^=6-- 10. (9.31) I /m2 lz=d 丫2
В [9.2, 1.22] установлено, что до тех пор, пока толщина горячего слоя d больше, чем 2^2, наибольшая плотность тока, т. е. и ■наибольшее количество тепла, концентрируется ие на поверхности закаливаемого тела, а на границе между нагретым и холодным слоями. Вследствие этого не происходит пережога поверхностного слоя даже при сильных полях.
силы и напряжения возникают как между отдельными элементами проводников с током, так я между проводниками и металлическими стенками. Если это ферромагнитные стенки, то происходят притяжение проводника к стенке (см. рис. 1.8, г), если стеики с хорошей проводимостью, например медные, — отталкивание.
Задача расчета электродинамических сил сводится к расчету индукции В, токов в проводниках ", й, а также собственных и взаимных индуктивностей М/Мм) рассматриваемых элементов токоэводов.
В первом приближении силы и напряжения рассчитываются для квазиустано- вившихся режимов иа основе закона Ампера (рис. 9.9)
d£ = QR炽В) =nidlB sinP， (9.32)
где 6 — магнитная индукция в точке, в которой находится элемент dl проводника с током f; р = ＜$ (d/, 6).
Силу воздействия поля иа элемент проводника объемом dV с плотностью тока J можно рассчитать по выражению
dfe=(JxB)dV. (9.33)
Полная индукция от тока 厶 в элементе 成2 (рис. 9.9) в соответствии с законом Био—Савара описывается уравнением
Bi=詈gf里f或1. (9.34)
4 冗 J г2
Элементарная сила в соответствии с (9.32)
4/^2 = %®4х81)=
I/*
=%或#2d%dig• (935)
JiByiBzi
9.5. ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ В ТОКОВВОДАХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
Рис. 9.9. Определение электродинамических снл, действующих между двумя проводниками с током
В электрических аппаратах и распределительных устройствах проводники с током и проводящие поверхности образуют различные конфигурации. Электродинамические
1 4
И sin a sin §」，」，И sin a sin §」，」，(9.36)(9.36)
И sin a sin §」，」，
И sin a sin §」，」，
(9.36)
(9.36)
Полная сила, действующая на участок токо- ввода дпииой.
fe2 ，2 I 8] Sill §或2 =: ~'"^1^2 X
J4力
талость материала, шум. Для анализа таких динамических процессов в электромеханической системе следует использовать уравнение (8.4), которое позволяет рассчитать мгновенные значения составляющих сил в зависимости от степеней свободы системы X,, на основе принципа виртуальных сил. Составляющая этих сил по координате Xi описывается выражением
В системах со сложной структурой можно использовать численные методы, применяемые для расчета сил в лобовых соединениях обмоток электрических машин.
При коротком замыкании элементы аппаратов и распределительных устройств подвергаются вибрациям, вызывающим ус
fei=4XS^
/=1 月=1
.叫MZ)
дх£
(9.37)
Электрические и механические колебания всей системы в неустановившихся режимах короткого замыкания описываются уравнениями движения систем (4.2) и (4.3).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Binns К. I.f Lawrenson Р. L.: Analysis and computation of electric and magnetic problems. New York, Pergamon Press [963
Byron F. W., Fuller R. W.: Mate- matyka w hzyce klarycznej i kwantowej, Warsawa, PWN, 1974.
Goworkow W. A.: Pola elektryczne i magnetyczne, Warszawa, WNT, 1962.
Kacki E.: Rownania rozniczkowe czQstkowe w elektrotechnice, Warszawa, WNT, 1971.
Kierzkowski Z・：Elementy informa- tyki. Warszawa, PWN, 1976.
Kowalczyk R.: Macierze i ich zas- tosowanie, Warszawa, WNT, 1976.
Matusiak R.: Theoria pola elektro- magnetycznego. Warszawa, WNT, 1976.
Michlin S. G., Smolicki C. J.: Meto- dy przyblizone rozwigzywania rownan roz- niczkowych i calkowych. Warszawa, PWN, 1970.
Moon P., Spencer D. E.. Theoria pola. Warszawa, PWN, 1966.
Piskorek A.: Rownania calkowe. Warszawa, WNT, 1971.
LIL Siedow, L. I.: Analiza wymiarowa i teoria podobienstwa w mechanice. Warszawa, WNT, 1968.
Sikora R.: Teoria pola elektromag- netycznego. Warszawa, WNT, 1977.
Simonyi K.: Theoretische Elektro- technik. Berlin, VEB Deutscher Verlag der Wiss., 1956.
Smirnow W. J.: Matematyka wyz- sza, t. IV. Warszawa, PWN, 1966.
Stoll R. L.: The analysis of eddy currents. Oxford, 1974.
Сухоруков В. В.: Математическое моделирование электромагнитных полей в проводящих средах. М.: Энергия, 1975.
Tatarkiewiez К.: Rachunek waria- cyjny, cz. П. Warszawa, WNT, 1970.
Thomas D. T.: Engineering electromagnetics. New York, Pergamon Press Inc., 1972.
Tichomirow A. N.( Samarski A. A.: R6wnania fizyki matematycznej. Warszawa, PWN, 1963.
Тозоии О. В.: Расчет электромагнитных полей на вычислительных машинах. Киев, Техника, 1967.
Trajdos-Wrdbel Т.: Matematyka dla inzynierow. Warszawa, WNT, 1965.
Turowski J.： Elektrodynamika tech- niczna. Warszawa, WNT, 1968.
Туровский Я. Техническая электродинамика. М.: Энергия, 1974.
Turowski J.： Teoria maszyn elek- trycznych, cz. II. Przetworniki elektrornecha- niszne prqdu przemiennego. Lodz, skrypty PL, 1978.,
Zienkiewicz О. C.: Metoda elemen- t6w skonczonych. Warszawa, Arkady, 1972.
Chari M. V. K. Finite — element solution of the eddy-current problem in magnetic structures. IEEE Trans. PAS Vol. PAS-93, s. 62—69, Jan./Feb. 1974.
Gieras J., Jozefowicz W.： Wspdl- czynniki linearyzujQce do obliczeri impedanc- ji i strat mocy w ekranowanych plytach fer- romagnetycznych. Rozprawy Elektrot., 22, nr 2, 1976, s. 269—286.
Janowski T., Turowski J.: Kryte- rium wyboru metody pomiaru strat mocy w kadziach transformatorow. Rozprawy Elek- trot, 16, nr 1, 1970, s, 205—226.
Jones D. J., South J. C.t Klun- ker E. B.: On numerical solution of elliptic partial differential equations by the method of lines. Journal of Computational Physics. Vol. 9, № 3, 1972, s. 496—527.
Kozmierski M.: Przenikalnosd zas- t?pcza ferromagnetykdw ekranowych. Rozpr. Elektrot, 22, nr 2, 1976, s. 287—301.
Kozlowski M” Turowski J.： Stray- losses and local overheating hazard in transformers, CIGRE. Paris 1972 Session. Report 12—10, s. i—12.
Неймаи Л. П.: Поверхностный эффект в ферромагнитных проводах и магнитных цепях. Электричество, 1950, № L с. 18—25.
Sato Т., Inui Y., Saito S.: 'Solution of magnetic field, eddy current and circulating current problems, taking magnetic saturation and effect of eddy current and circulating current path into account. IEEE PES Winter Meeting, New York, Paper A 77 168—8, 1977, s. i—9.
Sikora J., Wincenciak S., Metoda elementu skonczonego w zastosowaniu do anaiizy p61 elektrycznych stacjonarnych w osrodkach niejednorodnych i anizotropowych. Archiwum Elektrot. XXV, nr. 2, 1976, s. 463—471.
Sikora J., Wincenciak S.: Metoda elementow skoAczonych wyzszego rzedu i jej zastosowanie w badatiiach pol elektro- statycznych. Archiwum Elektrotechniki, № 2, XXVII, 1978, s. 353—366.
Silvester P.: High-order polynominal triangular finite elements for potential problems. Internal. Journal of Engineering Science, Vol. 7, 1969, s. 849—861.
Siomczynska J.: Pole magnetyczne magnesu trwalego maszyny elektrycznej po stabilizacji w powietrzu. Rozprawa doktor- ska. Polit. Warsz. 1975.
Siomczynska J.: Numeryczna metoda wyznaczania rozkladu pola magnetyczne- go maszyny elektrycznej po stabilizacji w powiet. rzu. Roxprawy Elektrot. 23, nr. 3, 1977, s. 683—718.
Turowski J.: Pole elektromagne- tyczne i straty w obudowie transformatorn. Zess. Nauk. Pol. Lodzkiej «Elektryka», nr. 3, 1957, s. 47—65.
Turowski J.： Straty w pokrywach transformatorow jedno — i trojfazowych. Roxprawy Elektrot., t. V, nr. i, 1958, s. 87—119.
Turowski J.： Metody obliczania strat dodatkowych wywoiywanych polem rozproszenia w transformatorze. Rozprawy Elektrot., t. VIH, nr 3—4, 1962, s. 563—599.
Turowski J.: Straty i lokalne przegrzania wywolane strumieniami rozproszenia, Zesz. Nauk, Polit. Lodzkiej «Elekty- ka>, nr. 11, 1963, s. 89—179.
Turowski J., Pawlowski J.: Pinkie- wicz I.: Badanie modelowe strat rozpros- zeniowych w transformatorach. Zesz. Nauk. Polit. Lodzkiej «Elektryka», nr. 12, i963, s, 95—1 i5.
Туровски Я” Закжевски К.: Проблемы создания сильных магнитных полей. Всемирный Электротехнический Конгресс. Доклад 1.59, Москва, 2i—25. VL 1977, с. 18.
Zakrzewski К.： Praktyczna metoda obliczania mocy czynnej i biernej w masyw- nym zelazie. Rozprawy Elektrot 2i, nr. L s. 213—233, 1975.
Zakrzewski K.: Pole elektromagne- tyczne w cialach ferromagnetycznych prze- wodzqcych. Zesz. Nauk. Polit Lodzkiej «Elektryka», nr. 38, 1972, s. 5—i 12.
Zakrzewski K., Sykuiski J.: Odbicie swierciadlane pr@d6w przemiennych w jed- nostronnym ekranie przewodzQcym w swietle metody potencjalu wektorowego. Ro prawy Elektrot. 23, nr. i, 1977, s. 73—92.
Antoniewicz J.: Tablice funkcji dla inzynerdw. Warszawa, PWN, 1969.
Jahnke E.T Emde F.： Tabiice funkcji. Moskwa, 1959.
Кадей Г.： Электройагиитные экраны. М.: Госэнергоиздат, 1957.
Konorski В.: Podstawy elektrotech- niki, t. 1—1965, t. П—1951, t. Ш—1967. Warszawa, PWN.
Konorski B.: Elektrotechnika teore- tyczna. Teoria pol. Skrypty Polit, Lodzkiej, 1971.
Нетушид A. B.t Поливанов К. M.: Основы электротехники. Ч. 3. М.: Госэнер- гоиздат, 1956.
Turowski J., Brulikowski J.： Wplyw odleglosci ekranu od ekranu od 百ciany sta- lowej na straty mocy w ukladzie ekrano- wanym. Materialy Sesji 25-lecia Wydz. Elektr. Polit. Lodzkiej. Z. 2, Lodz, maj 1970.
Wojciechowski M.: Wlasnosci ekra- now w polu zaklocen radioelektrycznych. Materialy Sympozjum Elektrodynamiki ITMA. Polit. Lodzka — OLI EL Uniejow 26—28, 09.1974.
Zakrzewski K” Turowski J.： Metody anaiizy ekranowania magnetycznego kad- zi transformatorow. Rozprawy Elektrot. 18, nr. 3, 1972, s. 575—601.
Dabrowski M.: Pola i obwody magnetyczne maszyn elektrycznych Warszawa, WNT, 1971.
Pawluk K-, Szczepanski W.： Silniki elektryczne liniowe. Warszawa, WNT, 1974.
Рыжик И. M., Градштейи И. С.: Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Гостехиздат, 1951.
Stafl М.: Electrodynamics of electrical machines. Praha, Academia, 1967.
Szulkin P., Pogorzeiski S.: Podstawy teorii pola elektromagnetycznego. Warszawa, WNt 1964.
Turowski J.: Teoria maszyn elektrycznych. Cz. II. Przetworniki elektrome- chaniczne pr^du przemiennego. Skrypty Polit. Lddzkiej, 1978.
Вольдек А. И.: Индукционные маг- иитоги^родинамические машины с жидкометаллическим рабочим телом. Л.: Энергия, 1970.
Carter F. W.: The magnetic field of the dynamo-electric machine. J. 1ЕЕ» 1926, s. 115.
Mendrela E., Turowski J.： Rotary- linear induction motor. Paper № A 78 091— l.IEEE PES Winter Meeting. New York, s. 1—8, Jan. 29—Feb. 3, 1978. Catalog № 78 CH 1295—5—PWR.
Данилевич Я. В., Кашарский В. Г.: Добавочные потери в электрических машинах. М.: Госэнергоиздат, 1963.
Dubicki В.： Maszyny elektryczne, t. III. Silniki indukcyjne. Warszawa, PWN, 1964.
Jezierskl E.: Maszyny synchroniczne. Warszawa, PWT, 1951.
Jezierski E.: Transformatory. Pod- stawy ieoretyczne. Warszawa, WNT, 1965.
Калантаров П. Л” Нейман Л. P.: Теоретические основы электротехники. М.: Госэнергоиздат, 1951.
Kozlowski Н. S・,Turowski Е.: Sib niki indukcyne. Warszawa, WNT, 1961.
Ламеранер И., Штафль M・：Вихревые токи. М.: Энергия, 1967.
Latek W.: Turbogeneratory. Warszawa, WNT, 1973.
Liwschitz—Garik M., Whipple С. C.: Alternating current machines New York, D. van Nostrand Co., 1961.
Петров Г. H.: Электрические машины. Ч. II. М.: Госэнергоиздат, 1963.
Постников И. М.: Проектирование электрических машин, Киев： Гостехиздат, i960.
Puchala A.: Dynamika maszyn i uklad6w elektromechanicznych. Warszawa, PWN, 1977.
Richter R.. Synchronmaschinen und Einankerumformer. Bond П. Basel/Stuttgart, Verlag Birkhauser 1953.
Emde P.: Einseitige Stromverdran- gung in Ankernuten E. u. M. 1908, s. 703.
Field A. B.: Eddy current in large slot wound conductors. AIEE, 1905, s. 761—788.
Kolek W., Puchala A.： Analiza stanow niesymetrycznej pracy maszyn asyn- chronicznych. Arch. Elektrot. VII, nr. I, 1958, s. 99—119.
Nitka S.: Problemy przetwarzania energii w silnikach asynchronicznych о ruchu posuwistym liniowym. Rozprawa dok- torska. AGH, Krakow 1969, s. 1—107.
Noga M.: Analizy awaryjne zwia- zane z wewnetrzna niesymetrig silnikow asynchronicznych. Zesz. Nauk. AGH. Elek- tryfikacja i Mechanizacja Gornictwa i Hut- nictwa, nr. 68, 1975, s. 1 —78.
Schonfeld H.: Untersuchung der Stromverdrangung und Berechnung des Widerstandsverhaltnisses fur Hohlleiter —
Roebelstabe ч Wissenschaft Zeitschrift T. H. Dresden, 7/1957/58, s. 1215.
Turowski J.: Metody obliczania po- la i parametrow biezni indukcyjnych silni- k6w liniowych. Rozprawy Elektrot. 19, nr. 2. 1973, s. 371—390.
Concordia C.: Synchronous machine with solid cylindrical rotor. Pt. II. Trans. IEEE Pow. Appl. and Syst. nr. 46, 1960,
s. 1650—1657.
Lasocinski J.: Pole elektromagne- tyczne w szczelinie nieskonczenie dlugiej maszyny о masywnym wirniku ferromagne- tycznym. Rozprawy Elektrot., XI, nr. 4, 1965, s. 743—766.
Lasocinski J.: Pole elektromagne- tyczne w szczelinie maszyny о masywnym wirniku ferromagnetycznym przy uwzglcd- nieniu skonczonej dltigosci maszyny. Rozprawy Elektrot. XII, nr. 1, 1966, s. 69—92.
Постников И. M. и др.: Электромагнитные и тепловые процессы, в концевых частях мощных турбогенераторов. Киев: Наукова Думка, 1971.
Титов В. В. и др.: Турбогенераторы. Расчет н конструкция. Л.: Энергия, 1967.
Antal L.: Analiza parametrow bez- zlobkowej maszyny synchronicznej z nad- przewodzacym uzwojeniem wzbudzenia. Rozprawa doktorska. Komunikat nr. 55, Inst. Uki. Elektromasz. Polit. Wrocl., 1975.
Antal L., Teodorowicz Z., Zielinski P.: Kriogeniczne maszyny synchroniczne. Prace Nauk. Inst. Uki adow Elektromasz. Polit. Wrocl. nr. 16, 1974.
Березин И. С., Жндков Н. П-: Методы вычислений. Т. 1, 2. М.: Физматгиз, 1962.
Danilevich J. В., Shapiro A. S., Tchubraeva L. I.: Non-magnetic active zone turbo-generators. World Electrot. Congress, Paper 1.08.Moscow, June 21—25, 1977.
Darrieus M. G.： Modern problems of high power turboalternators CIGRE Ra- port 133, s. 1—13, Paris, 1964.
Davies E. J., Airgap windings for- large turbogenerators. Proceedings IEE, Vol. 118, № 3—4, 1971, s. 529—536.
Demidowicz В. P., Maron I. A., Szuwalowa E. Z・：Metody numeryczne, t. 1 i 2, Warszawa, PWN, 1965.
Fritsch T., Wallenstein M., Tur- bo-alternateurs de puissance limite de conception classique des derniers decades du 20е siecle. World Electrot. Congress., paper 1.05, Moscow, 1977.
Kounas P. S., Ling F. F.: Analytical modell of currents in rotor teeth and wedges of cylindrical — rotor generators. IEEE PE$ Winter — Meeting & Tesla Symposium. New York. Paper № A 76 033—1, s. 1—8, January 25—30, 1976.
Kullsiewlcz B.: Ocena odpornosci turbogeneratorow na krotkotrwale obciazenie niesymetryczne. Rozprawa doktorska. Kated- ra Elektrycznych Ukladow Napedowych Polit. Wrocl. Marzec 1967, s. 1—94.
Lawrenson P. J.: Forces on turbogenerator end windings. PROC. IEEE. Vol. 112, № 6, June 1965, s. H 44—1158.
Lipinski W.: Analiza dynamiki pola elektromagnetycznego w srodowiskach prze- wodzacych. Prace Nauk. Polit. Szczecinskiej, Nr 63, Inst. Autom. Przemysl. 1976, s. 1—-81.
Mason T. H., Aylett Р. D., Birch F. H.： Turbo-generator performance under exceptional operating conditions. Proceedings IEE, 106A, № 29, 1959, s. 357—380,
Turowski J.: Wplyw nasycenia na sily w uzwojeniach maszyn elektrycznych. Archiwum Elektrot. IX, nr. 4, 1960, s. 677—691.
Turowski J.： Tendencje rozwojowe w budowie turbogeneratorow. Przegl. Elektrot XLI, nr. 11, 1965, s, 456—459.
Turowski, J.： Nienormalne stany pracy wielkich maszyn synchronicznych. C1GRE 1972. PrzegL Elektrot XL1X, nr. 5, 1973, s. 211—213,
Turowski J., Zakrzewski K.: Prob- lemy budowy maszyn elektrycznych. i transformatorow. Przegl. Elektrot. LIV, nr. 3, 1978, s. 95—100.
Uczkiewicz J.: Ekranowanie nad- przewodzgcego uzwojenia wzbudzenia gene- ratora synchronicznego od zmiennych zew- netrznych pol magnetycznych. Instytut Ukla- dow Elektromaszynowych Pol it. Elektrot. Wrocl. Komunikat, nr. 3, 1978, s. 95—100.
Важное А. И., Звидерис А. П., Попов В. В.: Потери в роторе турбогенератора при несимметричных режимах. Электротехника, 197i, № I, с. 2—3.
Wiak S.: Metoda obliczania pola elektromagnetycznego wzbudzonego aperio- dycznie w wycinku obwodu ferromagnetyc- znego. Zesz. Nauk. Polit. Lodzkiej «Elektry- ka>, nr. 52. 1977, s. li—37.
Wiedemann E.: Brown Boveri Review, 1966, 53, 9.
Ваксер Б. Д. и др.: Исследование систем крепления пазовой части обмоток стетора крупных генераторов. Электричество, 1978, № 7, с. 74—77.
Nasar S. A., Boidea J.: Linear motion electric machines. New York, J. Wiley 1976.
Yamamura S.: Theory of linear induction motors. University of Tokyo Press, 1972.
Nitka S.: Wybrane zagadnienia pracy silnikow liniowych w napcdzie przenos- nikow. Zeszyty problemowe В ORME《Mas- zyny Elektryczne», nr. 24. 1976, s. 21—25.
Paszek W., Siiwa B., Sztajer T.： Wlasciwosci plaskiego jednostronnego silni- ka liniowego zasilanego napi^cjem odksztal- conyin, Zeszyty Problemowe BOBRME «Mas- zyny Elektryczne», nr. 24, 1976, s. 51—60.
Sobiczewska G., Sosnowski S., Turowski J., Zeiazowski B.: Sterowanie wozka manewrowego z zilnikiem liniowym dla kolejowych gorek rozrzgdowych. Materialy Migdzynarodowego Sympozjum Polskiego Tow. Cybernetycznego. Zakopane 24—28. V. 1976, s. 469—472.
Sobiczewska G., Sosnowski S・，Turowski J.： Dynamika w6zk6w manewrowych i suwnic z silnikami liniowymi. Zeszyty Problemowe BOBRME «Maszyny Elektryczne», nr. 24, 1976, s. 38—42.
Bracewell R.: Przeksztalcenie Fou- riera i jego zastosowania. Warszawa, WNT, 1968.
Hague B.: Electromagnetic problems in electrical engineering. London, Oxford University Press, 1929. (Oraz Moskwa 1934). 。
Нейман Л. p., Калантаров П. Л.: Теоретические основы электротехники. Т. Ill, М.. Госэиергоиздат, 1948.
Apanasewicz S., Miksa G., Przyby- iak D.: Ocena wplywu krzywizny rdzenia, uzwojen i sciany kadzi transformatora n . rozklad pola elektromagnetycznego. Rozpr. Elektrot. 22, nr. 1, 1976, s. 27—40.
Apanasewicz S.: Metody analizy elektromagnetycznego pola rozproszenia 4 transformatorach i strat mocy w roznych przypadkach cz^sciowego ekranowania ich kadzi. Prace Inst. Elektrot, nr. 104, 1977, s. 21—84.
Apanasewicz S., Kaznierski M.: Rozklad pola elektromagnetycznego i strat na powierzchni czc$ciowo ekranowej kad&i. Archiwum Elektrotechniki, nr. 2, 1977.
Boutteau M., Verdon J., Hofer P., Hochart B., Tournier Y., Roge G.: Shortcircuit-behaviour of large power transformers. C1GRE. Paris 1972.
Byczkowska-Lipinska L.： Wplyw czgstotliwosci rezonansowej uzwojen transformatora na sily osiowe wyst?pujgce w czasie zwarcia. Rozprawy Elektrotechn., 22, nr. 1, 1976, s. 27—40.
Jezierski P.： Zastosowanie metody odbic odzwierciadlanych do wyznaczania pola magnetycznego i strat w symetrycznym modelu kadzi о scianach ekranowych. Rozpr. Elektrot., 21, nr. 1, 1975, s. 257—281.
Jezierski P.: О pewnych aspektach stosowania metody odbic -zwierciadlanych w ukladach ekranowych. Rozpr. Elektrot, 23, nr. 1, 1977, s. 45—58.
Krawczyk A.: Metoda obliczen elek- tromagnetycznych transformatorow z ■ uzwo- jeniami foliowymi. Polit, Lodzka. Praca doktorska, 1977.
Kuiikowski J.: Metoda obliczania osiowych sil zwarciowych w transformatorach, przystosowana do zaprogramowania na maszyn^ cyfrowa. Archiwum Elektrot., XIII, nr. 4； 1964, s. 773-795. 一 . 口
Mullineux N・.Reed J・ R； White I. J.: Current distribution in sheet and foil-wound transformers. Proc. IEE. No 1, 1969, s. 127—129.
14. Rogowski W.: Uber die Streufela und der Streuinduktionskoeffizienten eines Transformers mit Scheibenwicklung und aeteilten Endspullen. Mitt, uber Forschung- sarbeiten VDI, Heft 7i, 1909, s. 1 —36.
16 Roth E.： Inductance due aux furtes magnetiques dans les transformateurs a bo- bines cylindriques et efforts exercessur^ enroulements. Revue Gen.映 L 雕:吗貶 Paris 40, 1936, s. 259—268, 291—303, 323—36.
Rydzewski Z.: Obliczanie rozkladu indukcji strumienia rozproszertia oraz sil osiowych, dzialajQcych na uzwojenia trans- formatoru. Prace Nauk. Polit. Szczeciriskiej, nr. 37, 1975, s. 161 — 169.
Sykulski J.: Obliczanie pola elek- tromagnetycznego i strat w ukladach trans- formatorowych ekranowych. Praca doktor- ska Polit. Lodzka, 1978.
Turowski J.: Wzor na straty mocy w kadziach nieekranowych wielkich transfor- matorow jednofazowych. Rozpr. Elektrot. XV, nr. 1, 1969, s. 149—176.
Turowski J., Byczkowska L.: Obliczanie strat mocy w. kadziach transformato- row za pomoCQ maszyny mateniatycznej. Materialy Sesji 25-Iecia Wydz. Elektr. Polit. Lodzkiej. Z. 2, Maj 1970, s. 102—111.
Turowski J., Pietzak S.: Sposdb ekranowania kadzi transformatorow. Patent PRL, nr. 62683—16.11.1971, KI. 21 d« 50.
Turowski J.: Analiza porownawcza istniej^cych metod obliczania strat mocy w kadziach i cz?§ciach konstrukcyjnych transformatorow. Prace Inst. Elektrot. XX, nr. 72, 1972, s. 17—35.
Turowski J.: Metoda obliczania strat. dodatkowych w uzwojeniach transformatorow wykonanych z folii, tasm i szyn. Materialy ■ Symposjum Polit. L<5dzkiej i Inst. Elektrotechn. Uniejow 26—28,09.1974.
Turowski J.. Additional losses in foll-and bar-wound transformers. IEEE PES Winter Meeting, New York, January 25—30.1976. Paper N A-76151-1, catalog PES № 76, CH 1075—1—PWR.
Turowski J.: Generalised equations of electromechanical and electrodynamical energy convertion in transformers. Intern. Symp. on electrodynamics. Lodz, 18—— 20.10.1979. Oraz Rozpr. Elektrot. nr. 4, 1980, s. 911—927.
Watts G. B.: A mathematical treatment of dynamic behaviour of a power transformer winding under axial short-circuit forces. Proceedings IEE, № 3, 1963, s. 551.
Liwinski W.： Nagrzewnice induk- cyjne skrosne. Warszawa, WTN, 1968.
Лозинский M. Г.: Поверхностная закалка н индукционный нагрев стали. М,: Машгиз, 1949.
Maksymiuk J.: Aparaty elektryczne. Podstawy doboru i eksploatacji. Warszawa, WNT, 1977.
Buchhoitz H.: Das Magnetfeld der Wirbelstrome in einem elektrischen Induk- tionsofen und andere daraus ableitsbare Wirbelstromfelder. Arch, fur Elektrot. XLIII, № 6, 1958, s. 355—376.
Fikus F.: Pole magnetyczne w cy- lindrycznych nagrzewnicach indukcyjnych о skonczonej dlugosci. Zesz. Nauk. Polit Slaskiej. Hutnictwo nr. 4, 1974, s. 1 —74.
Fikus F., Sajdak Cz., Wieczorek T. W.: Obliczani pola elektromagne- tycznego i sil ponderomotorycznych w cy- lindrvcznvch mieszadlach do cieklych meta- H Arch. Elektrot. nr. 1, XXVIII, 1979, s. 189—201. ,
Kazmierski M.: Pole elektromagne- tyczne i straty w kadziach transformatorow wywolane pradem odplywow. Polit. L6dz- ka, Praca doktorska, 1974.
Krakowski M.： Eddy current losses in a shielded or unshielded ferromagnetic solid due to a. c. flowing through parallel conductors. Rozpr. Elektrot. 22, nr. 2, 1976, s. 239—268. , z „
9. Timotin A., Tuguiea A., Fiuerasu C.； Quasi — stationary field of stright conductors through which a. c. flows in the presence of a plane shield of finite thickness. Rew. Roum. Sci. Techa. Electrot. et Energ. U, № 3, 1966, s. 307—327.
3 46 703 46 703 3 3 43 3 3 455ской электродииамнки .1.2.1.Уравненияэлектродннамикндля систем, неподвижных в пространстве 1.2.2.Уравнения электродииамнки дпя медленно движущихся сред (и《с)1.2.3.Упрощенные методы расчетов1.3.Определение граничных условий1.4.Обзор численных методов .1.4.1.Метод конечных разиостгн (метод сеток)1.4.2.Метод Монте-Карло1.4.3.Метод интегральных уравнений1.5.Приближенные вариационные методы1.5.1.Метод Рнтца1.5.2.Метод Канторовича .1.5.3.Метод Галеркина.1.6.Метод конечных элементов1.6.1.Формы уравнения Эйлера н соответствующие нм фуикцио-налы1.6.2.Метод конечных элементов для вихревых полей.1.7.Метод магнитных цепей1.8.Диалоговые методы анализа и расчета электромагнитных полей 1.9.Синтез электромагнитных полей 1.10.Выбор численного метода .ской электродииамнки .1.2.1.Уравненияэлектродннамикндля систем, неподвижных в пространстве 1.2.2.Уравнения электродииамнки дпя медленно движущихся сред (и《с)1.2.3.Упрощенные методы расчетов1.3.Определение граничных условий1.4.Обзор численных методов .1.4.1.Метод конечных разиостгн (метод сеток)1.4.2.Метод Монте-Карло1.4.3.Метод интегральных уравнений1.5.Приближенные вариационные методы1.5.1.Метод Рнтца1.5.2.Метод Канторовича .1.5.3.Метод Галеркина.1.6.Метод конечных элементов1.6.1.Формы уравнения Эйлера н соответствующие нм фуикцио-налы1.6.2.Метод конечных элементов для вихревых полей.1.7.Метод магнитных цепей1.8.Диалоговые методы анализа и расчета электромагнитных полей 1.9.Синтез электромагнитных полей 1.10.Выбор численного метода .1.1,2, Эффективность исследований1.2. Основные уравнения техннче-1.1,2, Эффективность исследований1.2. Основные уравнения техннче-182024282833333435353636182024282833333435353636363941« ««363941« ««2.2.1.2.2.2.2.3.2.2.1.2.2.2.2.3.2222222248 506667 7070 717148 506667 7070 717175757775757778797978797981828687888990918182868788899091Глава шестаяГлава шестаяСинхронные машиныСинхронные машины92939293
3 46 70
3 46 70
3 3 3 4
3 3 3 4
5
5
ской электродииамнки .
1.2.1.
Уравненияэлектродннамикн
для систем, неподвижных в пространстве
1.2.2.
Уравнения электродииамнки дпя медленно движущихся сред (и《с)
1.2.3.
Упрощенные методы расчетов
1.3.
Определение граничных условий
1.4.
Обзор численных методов .
1.4.1.
Метод конечных разиостгн (метод сеток)
1.4.2.
Метод Монте-Карло
1.4.3.
Метод интегральных уравнений
1.5.
Приближенные вариационные методы
1.5.1.
Метод Рнтца
1.5.2.
Метод Канторовича .
1.5.3.
Метод Галеркина.
1.6.
Метод конечных элементов
1.6.1.
Формы уравнения Эйлера н соответствующие нм фуикцио-
налы
1.6.2.
Метод конечных элементов для вихревых полей.
1.7.
Метод магнитных цепей
1.8.
Диалоговые методы анализа и расчета электромагнитных полей
1.9.
Синтез электромагнитных полей
1.10.
Выбор численного метода .
ской электродииамнки .
1.2.1.
Уравненияэлектродннамикн
для систем, неподвижных в пространстве
1.2.2.
Уравнения электродииамнки дпя медленно движущихся сред (и《с)
1.2.3.
Упрощенные методы расчетов
1.3.
Определение граничных условий
1.4.
Обзор численных методов .
1.4.1.
Метод конечных разиостгн (метод сеток)
1.4.2.
Метод Монте-Карло
1.4.3.
Метод интегральных уравнений
1.5.
Приближенные вариационные методы
1.5.1.
Метод Рнтца
1.5.2.
Метод Канторовича .
1.5.3.
Метод Галеркина.
1.6.
Метод конечных элементов
1.6.1.
Формы уравнения Эйлера н соответствующие нм фуикцио-
налы
1.6.2.
Метод конечных элементов для вихревых полей.
1.7.
Метод магнитных цепей
1.8.
Диалоговые методы анализа и расчета электромагнитных полей
1.9.
Синтез электромагнитных полей
1.10.
Выбор численного метода .
1.1,2, Эффективность исследований
1.2. Основные уравнения техннче-
1.1,2, Эффективность исследований
1.2. Основные уравнения техннче-
182024282833333435353636
182024282833333435353636
363941« ««
363941« ««
2.2.1.
2.2.2.
2.3.
2.2.1.
2.2.2.
2.3.
2222
2222
48 50
66
67 70
70 71
71
48 50
66
67 70
70 71
71
75
75
77
75
75
77
78
79
79
78
79
79
81
82
86
87
88
89
90
91
81
82
86
87
88
89
90
91
Глава шестая
Глава шестая
Синхронные машины
Синхронные машины
92
93
92
93
DJVUed byA. Lushnikov
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора русского издания Предисловие к русскому изданию От автора Список основных обозиачеинП Введение
Глава п е р в а и
Методика расчетов
Организация н эффективность исследований
Исследовательский цикл
Глава в то р а и
Оболочки и экраны
Классификация экранов .
Плоские электромагинтные экраны
Непроницаемые экраны . Плоские проницаемые экраны Цилиндрические электромагнитные экраны Коробчатые электромагнитные экраны Магнитные экраны . Продольные экраны Поперечные экраны Плоские магнитостатические экраны в двумерном поле
Глава третьи
Поля возбуждении электрических машин переменного тока
Вращающиесн поли в зазоре электрической машины .
Магнитодвижущая сила однофазной обмоткн .
Несимметричные двухфазные обмоткн
Симметричные m-фазные обмотки, питаемые n-й временной гармонической симметричного m-фазйого тока
Бегущие поля в зазоре линейного двигателя
Принцип действия .
Расчетная модель линейного двигателя с непрерывным распределением МДС якоря ..
Поле линейного двигателя конечной длины
Поле двигателя бесконечно длинного и бесконечно широкого
Поля вращательно-бегущие
Гармонически? поля, обусловленные переменной магнитной проводимостью зазора .
Расчетная модель
Индукция в зазоре под пазами (рис. 3.13,6).
Индукция на торце якоря .
Глава четвертая
Расчет электромагнитных параметров электрических машин
Математическая модель
Элементы матрицы активных сопротивлений
. Матрицы активных сопротивлений
Влияние вытеснения тока на активное сопротнвлеине .93
Элементы матрицы нндуктив- поетей98
Типы индуктивностей ...98
Собственная индуктивность статора или ротора ...98
Взаимные индуктивности только статора нлн только ротора109
Взаимные индуктивности между обмотками статора н ротора ПО
Глава п я т а и
Асинхронные электрические машины
Поля возбуждения н параметры статора111
Роторы с глубокими пазами, двусторонние линейные двигатели с немагнитной вторичной частью, двигатели с полым ротором 111
Массивные роторы н линейные двигатели с массивной ферромагнитной вторичной частью 115
Поле в зазоре115
Расчет параметров на основе распределения индукции в за* зоре118
Массивный стальной ротор асинхронного двигателя нлн турбогенератора120
Полый ротор нлн тонкостенный вторичный элемент линейного двустороннего двигателя122
Линейный двигатель с экранн* рованной вторичной частью123
Поле н параметры линейного цилиндрического двигатели123
G.I.Поле возбуждения ипараметры статора126
Поле беспазовых электрических машин и крногенераторов.126
Проблема торцевойзоныротора 128
Поле торцевой зоны128
Упрощенная расчетная модель зоны лобовых частей статора при симметричной нагрузке 129
Влияние клиньев на параметры ротора турбогенератора при несимметричной нагрузке .132
Силы, действующие на пазовую часть обмоток ...136
Основы расчета полей н снл в лобовых частях обмоток137
Основы расчета переходных процессов в роторе140
Экранирование в турбогенераторах 144
Обычные машины ....144
Экраны крногенераторов .144
I л а в а седьм а я
Электромашииные элементы автоматики
Расчет параметров двухфазных двигателей
Управляемые линейные двигатели
Защитное экранироваине ..
Метод зеркальных отражений в стальной плите ....
7.32 Метод зеркальных отражений в стальном цилиндре ..
Глава восьмая
Трансформаторы
Методы определения н аналн* за полей возбуждения .
Обобщенный метод .
Расчет квазнстатнческнх полей
Расчет реактивных сопротивлений трансформатора с помощью цифровой ЭВМ (метод Рабинса)
Математическое моделирование поля рассеянного трехфазного трансформатора .
Основы расчета электродинамических сил
Потерн мощности в баке н стальных элементах конструкции трансформаторов н методы нх экранирования .
Метод расчета
Расчет поля на поверхности тела
Потери в неэкраннроваином баке н элементах конструкции
Экранирование бака
Потерн мощности в обмотках нз фольги и ленты .
Аналитические выражения .
Численный метод решения интегральных уравнении Фредгольма
863. Смешанное электромагнитное it тепловое поле обмоток из фольги
Глава де в я т а и
Электротермические и распределительные устройства
Поля возбуждения шин н возбудителей
Прохождение переменного тока через цнлиндрнческнй токо- ввод
Индукционный нагрев цилиндрических тел
Проннкновеине энергии в нагреваемое тело при индукционном нагреве
Электродинамические силы в токовводах электрических аппаратов
Список литературы
ской электродииамнки .1.2.1.Уравненияэлектродннамикндля систем, неподвижных в пространстве 1.2.2.Уравнения электродииамнки дпя медленно движущихся сред (и《с)1.2.3.Упрощенные методы расчетов1.3.Определение граничных условий1.4.Обзор численных методов .1.4.1.Метод конечных разиостгн (метод сеток)1.4.2.Метод Монте-Карло1.4.3.Метод интегральных уравнений1.5.Приближенные вариационные методы1.5.1.Метод Рнтца1.5.2.Метод Канторовича .1.5.3.Метод Галеркина.1.6.Метод конечных элементов1.6.1.Формы уравнения Эйлера н соответствующие нм фуикцио-налы1.6.2.Метод конечных элементов для вихревых полей.1.7.Метод магнитных цепей1.8.Диалоговые методы анализа и расчета электромагнитных полей 1.9.Синтез электромагнитных полей 1.10.Выбор численного метода .ской электродииамнки .1.2.1.Уравненияэлектродннамикндля систем, неподвижных в пространстве 1.2.2.Уравнения электродииамнки дпя медленно движущихся сред (и《с)1.2.3.Упрощенные методы расчетов1.3.Определение граничных условий1.4.Обзор численных методов .1.4.1.Метод конечных разиостгн (метод сеток)1.4.2.Метод Монте-Карло1.4.3.Метод интегральных уравнений1.5.Приближенные вариационные методы1.5.1.Метод Рнтца1.5.2.Метод Канторовича .1.5.3.Метод Галеркина.1.6.Метод конечных элементов1.6.1.Формы уравнения Эйлера н соответствующие нм фуикцио-налы1.6.2.Метод конечных элементов для вихревых полей.1.7.Метод магнитных цепей1.8.Диалоговые методы анализа и расчета электромагнитных полей 1.9.Синтез электромагнитных полей 1.10.Выбор численного метода .1.1,2, Эффективность исследований1.2. Основные уравнения техннче-1.1,2, Эффективность исследований1.2. Основные уравнения техннче-55182024282833333435353636182024282833333435353636363941« ««363941« ««3 46 703 46 702.2.1.2.2.2.2.3.2.2.1.2.2.2.2.3.222222223 3 3 43 3 3 448 506667 7070 717148 506667 7070 717175757775757778797978797981828687888990918182868788899091Глава шестаяГлава шестаяСинхронные машиныСинхронные машины92939293
ской электродииамнки .
1.2.1.
Уравненияэлектродннамикн
для систем, неподвижных в пространстве
1.2.2.
Уравнения электродииамнки дпя медленно движущихся сред (и《с)
1.2.3.
Упрощенные методы расчетов
1.3.
Определение граничных условий
1.4.
Обзор численных методов .
1.4.1.
Метод конечных разиостгн (метод сеток)
1.4.2.
Метод Монте-Карло
1.4.3.
Метод интегральных уравнений
1.5.
Приближенные вариационные методы
1.5.1.
Метод Рнтца
1.5.2.
Метод Канторовича .
1.5.3.
Метод Галеркина.
1.6.
Метод конечных элементов
1.6.1.
Формы уравнения Эйлера н соответствующие нм фуикцио-
налы
1.6.2.
Метод конечных элементов для вихревых полей.
1.7.
Метод магнитных цепей
1.8.
Диалоговые методы анализа и расчета электромагнитных полей
1.9.
Синтез электромагнитных полей
1.10.
Выбор численного метода .
ской электродииамнки .
1.2.1.
Уравненияэлектродннамикн
для систем, неподвижных в пространстве
1.2.2.
Уравнения электродииамнки дпя медленно движущихся сред (и《с)
1.2.3.
Упрощенные методы расчетов
1.3.
Определение граничных условий
1.4.
Обзор численных методов .
1.4.1.
Метод конечных разиостгн (метод сеток)
1.4.2.
Метод Монте-Карло
1.4.3.
Метод интегральных уравнений
1.5.
Приближенные вариационные методы
1.5.1.
Метод Рнтца
1.5.2.
Метод Канторовича .
1.5.3.
Метод Галеркина.
1.6.
Метод конечных элементов
1.6.1.
Формы уравнения Эйлера н соответствующие нм фуикцио-
налы
1.6.2.
Метод конечных элементов для вихревых полей.
1.7.
Метод магнитных цепей
1.8.
Диалоговые методы анализа и расчета электромагнитных полей
1.9.
Синтез электромагнитных полей
1.10.
Выбор численного метода .
1.1,2, Эффективность исследований
1.2. Основные уравнения техннче-
1.1,2, Эффективность исследований
1.2. Основные уравнения техннче-
5
5
182024282833333435353636
182024282833333435353636
363941« ««
363941« ««
3 46 70
3 46 70
2.2.1.
2.2.2.
2.3.
2.2.1.
2.2.2.
2.3.
2222
2222
3 3 3 4
3 3 3 4
48 50
66
67 70
70 71
71
48 50
66
67 70
70 71
71
75
75
77
75
75
77
78
79
79
78
79
79
81
82
86
87
88
89
90
91
81
82
86
87
88
89
90
91
Глава шестая
Глава шестая
Синхронные машины
Синхронные машины
92
93
92
93
DJVUed byA. Lushnikov
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора русского издания Предисловие к русскому изданию От автора Список основных обозиачеинП Введение
Глава п е р в а и
Методика расчетов
Организация н эффективность исследований
Исследовательский цикл
Глава в то р а и
Оболочки и экраны
Классификация экранов .
Плоские электромагинтные экраны
Непроницаемые экраны . Плоские проницаемые экраны Цилиндрические электромагнитные экраны Коробчатые электромагнитные экраны Магнитные экраны . Продольные экраны Поперечные экраны Плоские магнитостатические экраны в двумерном поле
Глава третьи
Поля возбуждении электрических машин переменного тока
Вращающиесн поли в зазоре электрической машины .
Магнитодвижущая сила однофазной обмоткн .
Несимметричные двухфазные обмоткн
Симметричные m-фазные обмотки, питаемые n-й временной гармонической симметричного m-фазйого тока
Бегущие поля в зазоре линейного двигателя
Принцип действия .
Расчетная модель линейного двигателя с непрерывным распределением МДС якоря ..
Поле линейного двигателя конечной длины
Поле двигателя бесконечно длинного и бесконечно широкого
Поля вращательно-бегущие
Гармонически? поля, обусловленные переменной магнитной проводимостью зазора .
Расчетная модель
Индукция в зазоре под пазами (рис. 3.13,6).
Индукция на торце якоря .
Глава четвертая
Расчет электромагнитных параметров электрических машин
Математическая модель
Элементы матрицы активных сопротивлений
. Матрицы активных сопротивлений
Влияние вытеснения тока на активное сопротнвлеине .93
Элементы матрицы нндуктив- поетей98
Типы индуктивностей ...98
Собственная индуктивность статора или ротора ...98
Взаимные индуктивности только статора нлн только ротора109
Взаимные индуктивности между обмотками статора н ротора ПО
Глава п я т а и
Асинхронные электрические машины
Поля возбуждения н параметры статора111
Роторы с глубокими пазами, двусторонние линейные двигатели с немагнитной вторичной частью, двигатели с полым ротором 111
Массивные роторы н линейные двигатели с массивной ферромагнитной вторичной частью 115
Поле в зазоре115
Расчет параметров на основе распределения индукции в за* зоре118
Массивный стальной ротор асинхронного двигателя нлн турбогенератора120
Полый ротор нлн тонкостенный вторичный элемент линейного двустороннего двигателя122
Линейный двигатель с экранн* рованной вторичной частью123
Поле н параметры линейного цилиндрического двигатели123
G.I.Поле возбуждения ипараметры статора126
Поле беспазовых электрических машин и крногенераторов.126
Проблема торцевойзоныротора 128
Поле торцевой зоны128
Упрощенная расчетная модель зоны лобовых частей статора при симметричной нагрузке 129
Влияние клиньев на параметры ротора турбогенератора при несимметричной нагрузке .132
Силы, действующие на пазовую часть обмоток ...136
Основы расчета полей н снл в лобовых частях обмоток137
Основы расчета переходных процессов в роторе140
Экранирование в турбогенераторах 144
Обычные машины ....144
Экраны крногенераторов .144
I л а в а седьм а я
Электромашииные элементы автоматики
Расчет параметров двухфазных двигателей
Управляемые линейные двигатели
Защитное экранироваине ..
Метод зеркальных отражений в стальной плите ....
7.32 Метод зеркальных отражений в стальном цилиндре ..
Глава восьмая
Трансформаторы
Методы определения н аналн* за полей возбуждения .
Обобщенный метод .
Расчет квазнстатнческнх полей
Расчет реактивных сопротивлений трансформатора с помощью цифровой ЭВМ (метод Рабинса)
Математическое моделирование поля рассеянного трехфазного трансформатора .
Основы расчета электродинамических сил
Потерн мощности в баке н стальных элементах конструкции трансформаторов н методы нх экранирования .
Метод расчета
Расчет поля на поверхности тела
Потери в неэкраннроваином баке н элементах конструкции
Экранирование бака
Потерн мощности в обмотках нз фольги и ленты .
Аналитические выражения .
Численный метод решения интегральных уравнении Фредгольма
863. Смешанное электромагнитное it тепловое поле обмоток из фольги
Глава де в я т а и
Электротермические и распределительные устройства
Поля возбуждения шин н возбудителей
Прохождение переменного тока через цнлиндрнческнй токо- ввод
Индукционный нагрев цилиндрических тел
Проннкновеине энергии в нагреваемое тело при индукционном нагреве
Электродинамические силы в токовводах электрических аппаратов
Список литературы
ББК 31.261
Т88
УДК 621.313.04.013.001.63
Рецензент доктор техн, наук В. В, Домбровский
JANUSZ TUROWSKI
OBLICZENIA ELEKTROMAGNETYCZNЕ ELEMENTOWMASZYN I URZADZEN ELEKTRYCZNYCH
Wydawnictwa Naukowo — Techniczne, Warszawa, 1982
Туровский Я.
T88 Электромагнитные расчеты элементов электрических машин: Пер. с польск.——М.: Энергоатом- издат, 1986. — 200 с. : ил.
Рассматриваются применение, теория и методы электродинамики для электромагнитных расчетов иоиструктнвиых элементов электрических машин, трансформаторов, электрических аппаратов н других электротехнических устройств.
Для инженеров, научных работников и аспирантов, занимающихся прикладными вопросами теории электромагнитных процессов.
т 2302030000-361
Т 051(01)-86— М4・86ББК 31.261
ПРОИЗВОДСТВЕННОЕ ИЗДАНИЕ
Януш Туровский
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ РАСЧЕТЫ ЭЛЕМЕНТОВ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
Редактор Г. С. Тамояи
Редактор издательства Т. Н. Платова
Художественные редакторы Г. И. Панфилова, В. А. Гозак-Хозак
Переплет художника Н. Т. Ярешко
Технический редактор Н. П. Собакина
Корректор И. А. Володяева
ИБ № 1211
Сдано в набор 13.02.86Подписано в печать. 2 2.07. 86
Формат 70Х100х/1в Бумага типографская № 3 Гарнитура литературная
Печать высокая Усл. печ. л. 16,25 Усл. кр.-отт. 16,33 Уч,-изд. л, 16,64
Тираж 4400 зкз* Заказ 5096 Цена 1 р. 40 к.
Энергоатомнздат. 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МПО «Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова» Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР 口。 дела№ издательств, полиграфии н книжной торговли. 113054, Москва, Валовая, 28.
© Copyright by Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1982
© Перевод на русский язык, Энергоатомнздат, 1986