Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА
Д.Б. ЮДИН
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
МОСКВА "НАУКА" ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1989
ББК 22.18 Ю16
УЖ 519.816
Юдин Д.Б. Вычислительные методы теории принятия ранений. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 320 с. (Теория и методы системного анализа.). - ISBN 5-02-014109-7.
Рассматриваются экономные вычислительные методы принятия решений. Излагаются необходимые сведения о бинарных отношениях, о функциях выбора и о возможных подходах к оптимизации по бинарному отношению. Приводится обзор современных эффективных методов линейного и выпуклого программирования, которые могут быть использованы в вычислительных схемах алгоритмов выбора. Излагаются разные версии достаточно универа сальной модели - обобщенного математического программирования (ОМП), в которую укладываются многие задачи принятия решений. Разрабатывается и оценивается конструктивная схема анализа и численного решения линейных и выпуклых задач ОМП.'
Для специалистов в области теории принятия решений, прикладной математики, системного анализа, теории управления.
Табл. 1. Ил. 12. Библио1р. 179 назв.
Рецензент
доктор физико-математических наук Цурков ВЛ.
Редакционная коллегия серии
"Теория и методы системного анализа":
академик ДМ. Гвишиани (председатель),
академик СВ. Емельянов (заместитель председателя),
академик С.С. Шаталин,
доктор экономических наук КЗ. Мильнер,
доктор технических наук Ю.С. Попков
1402050000-036053 (02)-891402050000-036053 (02)-89153-89153-89ISBN 5-02-014109-7ISBN 5-02-014109-7© Издательство ”Наука”.Главная редакция физико-математической литературы, 1989© Издательство ”Наука”.Главная редакция физико-математической литературы, 1989
1402050000-036053 (02)-89
1402050000-036053 (02)-89
153-89
153-89
ISBN 5-02-014109-7
ISBN 5-02-014109-7
© Издательство ”Наука”.
Главная редакция физико-математической литературы, 1989
© Издательство ”Наука”.
Главная редакция физико-математической литературы, 1989
ПРЕДИСЛОВИЕ
Управление системой, проектирование устройства, планирование деятельности и вообще принятие решений предполагает, как правило, достижение некоторой цели или, по крайней мере, последовательное приближение к некоторому наиболее предпочтительному состоянию или поведению. Термины ’’управление”, ’’проектирование”, ’’планирование”, ’’решение” в научной й особенно научно-популярной литературе встречаются в сочетании с характеристиками ’’целенаправленное”, ’’целеустремленное”, ’’оптимальное”. При этом понятие целей и путей ее достижения обычно не разъясняется: авторы апеллируют к интуиции читателя. Между тем в сколь- нибудь серьезных ситуациях принятия решений формирование цели как в содержательном, так и в формальном смысле представляет собой далеко не простую и не всегда однозначно формулируемую задачу.
Только в простейших случаях удается указать шкалу — целевую функцию, значения которой измеряют качество решения. Для качественного и численного анализа возникающих при этом задач оптимизации решения развиты теория и методы математического программирования. -
В более сложных ситуациях качество решения — его полезность — не может быть (во всяком случае непосредственно) оценено единственной функцией и даже несколькими шкалами. Механизм рационального выбора в таких случаях требует некоторой дополнительной косвенной информации, позволяющей по крайней мере сравнивать альтернативы. Таково, в частности, положение дел при выборе решений в многокритериальных ситуациях, когда изучаются многоцелевые системы, в теории групповых решений, когда решение должно учитывать интересы различных лиц, и при выборе стратегий рационального поведения в конфликтных ситуациях. Во всех этих случаях выбор равновесного, компромиссного, справедливого решения требует дополнительно априорного определения понятий равновесия, компромисса, справедливости.
В ряде разделов теории принятия решений имеются различные определения рационального компромисса. Часто понятие компромисса задается набором аксиоматически сформулированных требований к решению или к порождающему его механизму выбора. Различные ’’естественные” наборы требований приводят к различным определениям ’’справедливости”. В отдельных случаях, но далеко не всегда, указываются дополнительные особенности ситуации, при которых то или иное определение равновесия можно считать более приемлемым. '
В других случаях определение рационального выбора связывают с изучением и систематизацией опыта специалистов, зарекомендовавших себя на практике в той или иной проблемной области. Обработка представительной выборки наблюдений за решениями и действиями опытных диспетчеров, диагностов, экспертов позволяет получить представление о так называемой функции выбора — зависимости принимаемых решений от ситуаций, встречающихся в рассматриваемом классе задач. Это может оказаться достаточным, чтобы при правдоподобных допущениях о классе ситуаций построить механизм (компактную вычислительную процедуру), реализующий в каждой ситуации решение, в некотором смысле близкое к тому, которое принял бы в тех же условиях специалист, опыт которого отражен в функции выбора. .
В общем случае определение ’’рационального, выбора”, ’’компромисса” или ’’справедливости” (если оно вообще возможно) выходит за рамки проблематики формальных дисциплин, не представляет собой математическую задачу, а является скорей предметом психологии, социальных наук и политики. Тем не менее в экономике, в технике и в ряде других областей человеческой деятельности имеются многочисленные задачи выбора решений, в которых принцип определения компромисса не вызывает у специалистов разногласий.
В теории принятия решений изучаются не только формально-логические, нои психологические, экономико-математические и социологические аспекты проблемы. До сих пор здесь больше споров, чем согласованных подходов. Тем не менее в работах последних лет, главным образом формального толка, обсуждаются и аргументируются условия, при которых различные определения равновесия могут быть использованы для постановки и решения тех или иных классов прикладных задач. Однако за исключением весьма ограниченного числа случаев обсуждение принципов рационального выбора не сопровождается разработкой конструктивных методов, реализующих такой выбор.
В предлагаемой монографии мы не собираемся вступать в дискуссию о подходах к определению компромисса при выборе решения. Пока еще такие дискуссии рождают больше жара, чем света. Наша цель — расширить конструктивные возможности принципов согласования целей и интересов — разработать вычислительные методы приемлемой трудоемкости, позволяющие выбрать компромиссное решение при различных определениях понятия ’’компромисс”. 1
Современная теория выбора решений представляет собой синтез моделей и методов, возникших в различных дисциплинах — в математическом программировании, в исследовании операций, в математической экономике, в автоматическом регулировании. Исторически сложились различные подходы и соответственно различные языки теории выбора решений - язык критериев качества, язык бинарных отношений, язык функций выбора, аксиоматический язык. Отсюда разнообразие понятий и терминов, относящихся к близким проблемам. В этом имеются достоинства и недостатки. Различные языки по-разному чувствительны к отдельным аспектам принятия решений. Однако изложение одних и тех же или близких проблем в различных понятиях и терминах усложняет исследование и освоение принципов и механизмов принятия рациональных решений.
Анализ индикаторов предпочтений, лежащих в основе теории полезности, позволил в тех случаях, когда это возможно, перекинуть мост между бинарными отношениями и критериями качества. Однако далеко не всегда можно поставить в соответствие бинарному отношению скалярную функцию. Существуют ситуации, когда бинарное отношение можно характеризовать вектор-функцией критериев (например, выбор по паретовскому принципу, который не сводится к скалярной оптимизации). Тем не менее бинарные отношения также охватывают далеко не все ситуации выбора, представляющие интерес для теории принятия решений. Нередки случаи, когда из содержательных соображений следует считать результат сравнения пары альтернатив зависящим от контекста выбора — от других альтернатив, входящих в множество предъявленных вариантов решений. Возникают также ситуации выбора, когда попарное сравнение альтернатив вообще лишено смысла. В частности, бинарые отношения вряд ли могут быть использованы, если требуется выбрать ’’типичный” вариант или ’’оригинальную” альтернативу из заданного множества вариантов. В таких случаях представляет особый интерес третий подход и соответственно третий язык теории принятия решений - язык функций выбора. Аргументом функции выбора является не отдельная альтернатива и не пара вариантов, подлежащих сравнению, а все предъявленное множество вариантов, из которого следует выбрать ’’лучшие”.
Выбор можно также характеризовать его свойствами. Требования к рациональному решению обычно формулируются в виде набора аксиом. Аксиоматический язык используется в теории групповых решений для определения понятий ’’справедливость”, ’’согласованность” и в теории игр для определения понятий ’’равновесие”, ’’компромисс”.
Целесообразно разделять языки принятия решений на два класса - языки концепций выбора и языки механизмов выбора. Концепции выбора ставят в соответствие каждой ситуации набор ’’лучших” решений или набор свойств ’’лучших” решений. Язык механизмов - это язык алгоритмов выбора. На языке концепций отвечают на вопрос ’’что выбирать”, на языке механизмов — ’’как выбирать”. Язык функций выбора и аксиоматический язык — это языки концепций выбора, язык математического программирования и язык бинарных отношений — примеры языке® механизмов выбора. В терминах [1] языки первого класса определяют внешнее описание выбора, а языки второго класса - его внутреннее описание. Следует полагать, что функция выбора, если под этим термином понимать и такие ее версии как условная, динамическая и стохастическая функции выбора, представляет собой наиболее естественное, универсальное и удобное для анализа описание концепции выбора. Отсюда - целесообразность выражения в терминах функций выбора результатов, формируемых на других языках теории принятия решений. Интерес представляет также построение механизмов принятия решений, реализующих любую функцию выбора или функции выбора того или иного класса.
Этим вопросам, главным образом, и посвящена монография.
Между двумя направлениями теории принятия решений, определяемыми функциями выбора и реализующими их вычислительными процедурами, лежит широкий спектр идей и работ, относящихся к рациональному выбору. Мы их, однако, обошли в монографии. Во-первых, потому, что
ежи представляются нам менее завершенными. Во-вторых, потому, что нельзя объять необъятное.
В монографии можно выделить обзорные и оригинальные главы. Обзорные главы посвящены общим сведениям о бинарных отношениях и функциях выбора и некоторым вспомогательным результатам, изложенным или намеченным в различных источниках, главным образом, в периодической литературе последних лет. Оригинальные главы содержат описание методов и оценку трудоемкости общих и специальных вычислительных схем, реализующих различные концепции выбора.
Вряд ли можно (да и вряд ли целесообразно) говорить об унификации моделей принятия решений, предназначенных для качественных исследований. Смысловая трактовка конкретного класса задач, специфика структуры и те или другие детали содержательной интерпретации задач класса могут оказаться определяющими для выявления качественных характеристик решения. Что же касается вычислительных методов принятия решений, то унификация идей и алгоритмов - важное условие прогресса в этой области. В связи с этим центральное место в монографии отводится универсальным процедурам принятия решений — обобщенному математическому программированию (ОМП), его упрощенной версии - математическому программированию в порядковых шкалах (МППШ) и его естественному расширению - многошаговому обобщенному математическому программированию (МнОМП). Частные реализации соответствую- щих вычислительных схем представляют собой методы анализа для спе- циальных разделов теории принятия решений.
Утверждения, приведенные в обзорной части монографии, как правило, не доказываются. Исключение представляют лишь те результаты, в которых процесс доказательства оказывается конструктивным или способствует уточнению смысла утверждения.
Результаты оригинальной части монографии сопровождаются достаточно подробной аргументацией.
* Отдельные главы монографии и рукопись в целом автор обсуждал со своими коллегами А.С. Немировским, Л.А. Шоломовым, Э.В. Цоем, М.Г. Гафтом, А.С. Красненкером и А.Д. Юдиным. Их советы и замечания способствовали уточнению результатов и совершенствованию аргументации. Всем им автор весьма признателен. Оставшиеся недочеты и погрешности целиком на совести автора.
Глава I
БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
. Введение
Бинарные отношения представляют собой важную математическую категорию, используемую в логике, в алгебре, в математической экономике и других разделах науки. В последние десятилетия обозначилась роль бинарных отношений в общей теории принятия решений.
Основные понятия теории бинарных отношений сформировались еще в прошлом веке. Частные задачи, связанные с бинарными отношениями, встречаются уже в исследованиях де Моргана (1860) и Фреге (1879). Первое систематическое изложение теории бинарных отношений содержится в третьем томе ’’Алгебры логики” Шредера [88] (1895). В связи с проблемами логики и оснований математики бинарные отношения рассматривались Уайтхедом и Расселом в ’’Principia Mathematica” [93] (1910). В настоящее время можно найти обсуждение различных понятий теории бинарных отношений в руководствах по теории множеств и общей алгебре [12, 23]. Наиболее подробное изложение различных аспектов теории бинарных отношений на русском языке имеется в работах Риге [41 ], Вагнера [13], Шрейдера [50] и Кируты, Рубинова и Яновской [21]. К сожалению, в теоретических и прикладных работах по этому вопросу до сих пор нет единой терминологии. Приведенный ниже краткий обзор основных результатов теории бинарных отношений ориентируется главным образом на прикладные исследования по принятию решений.
В теории принятия решений рассматриваются два подхода к измерению качества решения — кардинальный (количественный) и ординальный (порядковый). Классический кардинальный подход приписывает каждому решению количественную оценку — число - значение некоторой функции (показателя качества решения). Кардинальный подход к оценке качества решения не охватывает многих естественных ситуаций выбора. Далеко не всегда удается оценивать качество решения единой функцией. Существенно более широкие приложения у ординального (порядкового, или качественного) подхода к оценке решений. Порядковый подход не требует оценки каждого фиксированного решения, а связан лишь со сравнением любой пары решений и выделением более предпочтительного. Формализм ординального подхода основан на теории бинарных отношений.
Пусть G некоторое множество объектов (конечное, счетное или несчетное). В зависимости от контекста будем называть их элементами, объектами, вариантами или альтернативами. Рассмотрим декартово произведение
GX G = G2. Любое его подмножество R^GXGопределяет некоторое бинарное отношение между элементами xEG. Пусть элементы х, у EG. Будем говорить, что объекты (элементы) х и у находятся в бинарном отношении R (и записывать xRy или х ^ у), если (х, у) Е R.
Язык бинарных отношений позволяет сравнивать по качественным признакам объекты произвольной природы. Каждому типу качественной информации соответствует определенный класс отношений. С помощью бинарных отношений можно описать разнообразные типы соответствия между элементами множества. Характер отношений определяется истолкованием содержательного смысла сравнения альтернатив. В зависимости от смысла, вкладываемого в понятие ’’сравнение”, соответствия, определяемые бинарными отношениями, могут быть отношениями родства, включения, доминирования, блокировки, сходства, порядка и т.д. Чтобы бинарное отношение могло истолковываться в тех или иных содержательных терминах, оно должно удовлетворять некоторым формальным требованиям, которые ограничивают выбор множества R С G X G, определяюще го соответствующее бинарное отношение.
Естественное обобщение бинарных отношений — это тернарные и вообще и-арные отношения. Однако усложнение анализа, связанное с оперирр- ванием более сложными категориями, по-видимому, не оправдывается полученными с их помощью эффектами. Ряд результатов, учитывающих множественные отношения (в.частности, зависимость выбора от ситуации - от контекста выбора), могут быть получены с помощью систем бинарных отношений или посредством бинарных отношений между множествами вариантов. Бинарные отношения позволяют формировать конструкции принятия решений, лишенные недостатков непосредственного сравнения пар объектов. Так,введенные далее схемы многошагового обобщенного математического программирования дают возможность описать с помощью бинарных отношений любой мыслимый механизм выбора.
Отметим еще, что в теории принятия решений отказ от бинарности (от выбора, основанного лишь на сравнении пар и не учитывающего общую обстановку) не проходит бесследно. Возникают ситуации, когда некоторым участникам, определяющим решение, выгод но скрывать свой истинные предпочтения и вносить дезинформацию.
Действия над бинарными отношениями
Над бинарными отношениями можно проводить различные операции. Эти операции естественно сводятся к соответствующим действиям над множествами, определяющими отношения-операнды. Операции над бинарными отношениями позволяют по некоторым известным отношениям между наборами элементов получать логические следствия, - может быть, не столь очевидные, как исходные, — отношения между элементами рассматриваемых наборов.
Введем определения.
Пустое подмножество ф в G X G назьшают нуль отношением, а само множество G X G - универсальным отношением. Диагональ множества G X G, т.е. множество Д = {(х, х) | х Е G ), назьшают единичным бинарным отношением или отношением равенства в G. 8
Перечислим некоторые действия над бинарным# отношениями.
Объединением RXUR2 отношений Rx hR2 называется бинарное отношение, которое включает все пары (х, у), содержащиеся в Ri или R2.
Пересечением RXC\R2 отношений Ах и R2 называется бинарное отношение, которое содержит только общие для Rx hR2 пары (х, уУ Если Rx и R2 не имеют общих пар, то говорят, что их пересечение пусто, и записывают Rx ^R2 = ф.
Разностью Rx \R2 отношений Rx и R2 называют бинарное отношение, составленное из тех пар (х, у), которые содержатся в R i и не содержатся В R 2.’
Симметрической разностью отношений R i и R2 называется отношение Я такое,чтоR = (Rx_U^i)\(^i n^2) = (^i VM^WA^i).
Дополнением R к отношению R называют бинарное отношение, содержащее те и только те пары (х, у) из G X_G, которые не входят в R» т.е. R = (G XG) \ R. Ясно, что пересечение R О R = ф.•
Обратным отношением R"1 к отношению R называют бинарное отношение, содержащее пару (х, у") в том и только в том случае, когда (^у, х) Е Е R, т.е. xR"xy ^yRx,*_
Нетрудао доказать, что (Л~х ух = R и R^ = (R у1..
Двойственным отношением Rd к отношению R называется отношение, определяемое формулой Rd = R~X=^G X G)\ R ~ 1.
Сужением RG^ отношения R = RG) определенного на G, на подмножество Gx С G называют бинарное отношение, состоящее из тех пар (х, у) Е R, для которыхxEGx,у EGX1T.eRGx ”&g n(Gi X G^.
Композицией (произведением) Rx ° R2 отношений Rx и R2 называют бинарное отношение, которое содержит пару (х, у') тогда и только тогда, когда существует z Е G такой, что (х, z) Е Rх, (z, у) ЕR2.
k-й степенью Rk отношения R называют бинарное отношение, которое содержит пару (х, у) тогда и только тогда, когда существует цепочка элементов х = х0, х ь х2,... ,хк = у,в которой (ху,Ху+ V)ER для / = = 0,1,... ,к — 1. Ясно, что Rk =Rk~x о R.
Отношение R2 содержит Rx, если Rx С R2.
. Перечислим некоторые свойства приведенных операций.
Если на множестве G заданы бинарные отношения Rb iEI, то
( О R{yx = О R7\ ( и R^"1 = и R7\ (R,o RX1 =R~^ о R~x
i^ i iei tei tei 111
Композиция (произведение) бинарных отношений ассоциативна:
(^1 ° R13 ° -^3 =R1 ° (Rl ° -^з)*
Для сужения отношений Rb iEI, заданных на G> на подмножество Gx С G справедливы равенства
(/?(, )-* =(R-^g( n R()g = n (R^g (URik-U (Rt)G
1 zez 1 iei 1 iei 1 - tei 1
Для любых отношений Rx> R2> R3 справедливо равенство
(2?! U R2^) о R3 = (Rx о R3) U (R2 о R3).
Для любыхRx,Ri,R3 справедливо Включение
(^1 Г) R^ ° R3 (77 (^1 0 ^з) ^ (^2 ° ^з)-
Если Rx CR2»toR~i ^Rix> Ri 0 R3 CR2oR3 hR3qRx CR3oR2.
Для любых отношений jRj и R3
(Ri UR^-R? OR?, (Rt П R1')d = R^UR^, (Rd)d=R.
Способы задания бинарных отношений
Бинарное отношение R между элементами X/ конечного множества (/ = 1,..., л) можно задавать матрицей R = II Гу 1 из нулей и единиц, в кото рой гу = 1, если XiRxj, и гу = 0, если не выполняется xtRxj.
Пусть R = II Гу II, R = 117# I, R -1=II Гу11, Rd = II Гу I — матрицы, отвечающие бинарному отношению R, его дополнению R, обратному отношению R"1 и двойственному отношению Rd. Тогда V i, j 7у= 1 — Гу, Гу1 = rjb rd=\ — Гц.
Если Rx = Ir^1^ ■ и R3 = llr^ll— матрицы бинарных отношений Rx и Ri соответственно, то матрица 1
R= Ir^ I» отвечающая объединению Rx URX> состоит из элементов гу = r^ vy^ i / Е 1, й, где v — знак дизъюнкции;
R = 1г//1, отвечающая пересечению Rx CtR2, состоит из элементов гу = г^M^\i»j€ 1,и, где л — знак конъюнкции;
R = I Гу II, отвечающая композиции R1 о R2) равна булеву произведению матрицах и/?2.
Отсюда следует упомянутое выше свойство ассоциативности композиции (Л1 ° ^2) ° R3 ~ Ri ° (Я2 ° R3) ”Ri0 Ri0 R3•
Для единичного (или диагонального) отношения Д имеем Ту = 1 при / = / и гу = 0 при г ^/. Для универсального отношения гу = 1 ■ V/, /.
Бинарное отношение на конечном множестве элементов можно задавать также ориентированным графом Г (Я), вершины которого соответствуют элементам хь а стрелка из х,в Ху отвечает отношению xtRxp Граф Г(Л) есть геометрическое изображение бинарного отношения подобно тому, как график представляет собой геометрическое изобоажение функции.
Граф Г(Я-1) получается из графа Г(А) изменением направления всех дуг. Чтобы перейти от графа Г(Л) к графу Г (jRd), необходимо:
исключить из Г(Я) все пары противоположных дуг и все петли;
присоединить новые противоположные дуги (х,у) и ( J,x;) , соответствующие парам вершин х иу, не связанным в Г(Я) дугой. '
добавить все петли (х,х,), которых не было в графе Г(Я).
В графе универсального отношения G X G дуги соединяют любую пару вершин. В графе диагонального отношения Д содержатся только петли при всех верпщнах, а других дуг нет.
В более общем случае, когда множество альтернатив G не обязательно конечно, можно задавать бинарное отношение его срезами (сечениями). Верхний срез GR{x) отношения R в точке х это — множество элементов 10
y^Gтаких,что (у, х)GR, тл.
Gr^={У еG | (У, X)еR }={У еg |yRx^.
Аналогично определяется нижний срез Hr (х) отношения R в точке х£
Hr(x) =Vy е G | (х,у)еR) = (у е G I xRy}.
Легко видеть, что Vx е G Grx n r, 00 = GR>(x) n GR1 (x);Hr nRi(x) = = HRi (x) П НК1<х>, GR(x) = G\Gr(x\, Hr(x) = G\HR(x); Gr-i (x) = HR^x\ HR l(x) = GR(xy Сд(х) = Нд(х)={х) ;Ggi(x) = Hg1(x)= G.
Частным бинарным отношениям, ограниченным некоторыми условиями, соответствуют частные булевы матрицы и орграфы в случае конечного множества альтернатив и частные классы срезов (сечений) в общем случае. Выделение бинарных отношений, обладающих специальными свойствами, позволяет приспособить их к анализу конкретных взаимодействий между альтернативами х Е G, интерпретируемыми в содержательных терминах различных дисциплин.
§ 4. Свойства бинарных отношений
Перечислим некоторые часто используемые свойства частных классов бинарный отношений.
Отношение R называется рефлексивным, если Vx Е GxRx, т.е. если отношение R выполняется между объектом и самим собой. Другими словами, R рефлексивно, если единичное отношение Д CR. В матрице I ту II рефлексивного отношения rti = 1, V/. В графе Г (Я) при каждой вершине имеется петля. Любой элемент х Е G принадлежит и верхнему и нижнему срезуbx:xEG^(x) и хЕЯ^(х) VxEG.
Отношение R называется антирефлексивным, если (х, х) ^ R Мх Е G, т.е. если отношение R может выполняться только для несовпадающих объектов. Для антирефлексивного отношения хКу^хФу. В матрице II Ту II антирефлексивного отношения ти = О V/. В графе Г(А) отсутствуют петли. Любой элемент х Е G не принадлежит ни верхнему, ни нижнему срезувх: x^G^(x) и x^HR(x) VxEG.
Отношение R назьшается симметричным, если Vx yEG(x, у) Е Е R =► (у, х) Е R. В матрице .11 г у II симметричного отношения ту = ту Mi, /; В графе Г(Л) вместе с дугой (xz, Ху) содержится дуга (ху, х,). Верхний и нижний срезы R в точке х совпадают для любогохЕб. Легко видеть, что для симметричного отношения R = R-1.
Отношение R назьшается антисимметричным, если из (х, у) Е R и ( у, х) Е R следует, что х =у, т.е. Мх,у EG(xRy) А ( yRx) =* х = у. Другими словами, R антисимметрично, если R А А"1 С Д.
В матрице I г у II антисимметричного отношения ТуГу = 0 для i Ф j. Граф Г(Я) не содержит одновременно дуг (хь Ху) и (xj, х,) при I Ф j. При любыххEG и yEHR(x\ хФу, нижний срезЯ^(-у) не содержитх. Тоже относится к верхним срезам. Диагональное отношение Д одновременно симметрично и антисимметрично.
Отношение R назьшается асимметричным, если R OR-1 =ф, т.е. если по крайней мере одно из соотноше^шй xRy и yRx несправедливо. Для асимметричного отношения xRy yRx Vx,у ЕG.В матрице асимметрич-
кого отношения ТцГц’ = О V/,/. Граф Г(Д) не спдрржит одновременно дуг <хьх^ и (х^х,) Mij. Нижний срез HR<y> не содержит х для любых х € G и у € Hr (х) . Таким же свойством обладает верхний срез.
Отношение R ^ = R О R -1 называют симметричной частью бинарного отношения R, а отношение R^ = R\R^ - асимметричной частью отношения R. Отношение R^ всегда симметрично, a R^ — асимметрично. Если R само симметрично, то R^ = R, если R асимметрично, то Rw = R.
Отношение R называется транзитивным, если Vx,у, zEG из (х, у) Е R и (у, z) Е R следует (х, z) Е R. Другими словами* R транзитивно, если R oR CR. .
В матрице || Гц || транзитивного отношения из rlk тк, = 1 следует тц = 1. В графе Г(Д) существование дуги из х в у через некоторое z Е G гарантирует наличие дуги (х, у). Для каждого х Е Gny Е GR(x) справедлив во Gr^C Gr(x).
Отношение R называется негатранзитивным, если его дополнение R транзитивно.
В матрице II тц || негатранзитивного отношения из г^ = 0 и тк)- = 0 следует тм = 0.•
Отношение R называется сильно транзитивным, если оно одновременно транзитивно и негатранзитивно. В матрице || Гц || сильно транзитивного отношения из rlk rkj = 1 следует Гц = 1,аиз^ = rkj = 0 вытекает Гц = .0. 10. Отношение называется слабо транзитивным (псев дотранзитивным), если из xR ^у и yRz следует xRz (здесь R^ = R A R -1).'
Отношение At называется транзитивным относительно отношения R2, если.
из (х,у)еЛ! и (у,z)еЯ2 следует (x,z<)ЕДп
из (х,у)еЛ2 и (y,z)eAj следует (x,z)eA!.
Ясно, что транзитивность отношения R относительно самого себя есть обычная транзитивность R.
Отношение R называется ацикличным, если Rn АД-1 = ф для любых п. Ацикличность означает, что из xRzx, zx Rz2zn_ xRy следует x Ф у. В ацикличном отношении R отсутствуют циклы произвольной длины:
V(x= Хо,хп ... ,хл_1,хл=у)П{(хДх1)л ... л (хл_!Ду)л(уДх)}.
В матрице || Г//1| ацикличного отношения из rikxrkik^ ---rkn^- 1 следует i Ф ].
Если вершины х и у графа Г(Д) соединены путем, то в Г(Д) нет дуги (у, х).Из21 EGr(x\z2 EGr(zx\. .. ,у EGrC^-^ следует, что ^л(Д') не содержит х. Аналогичное условие имеет место для нижних срезов. Ацикличное отношение асимметрично.
Отношение Д называется полным (совершенным, доязным), если Мх,у EG либо (х,у)еД,либо (у,х)6Д„ либо выполняются оба включения. В матрице полного отношения V/, /либоГц = 1,либог/,= 1, либо справедливы оба равенства. В графе Г(Д) полного отношения дугой соединяются либо х и у, либо у и х, либо одновременно пары веп-
шин (х,у) и (л*)- Дия полного отношения GR(x)UHR(x)xG Vx € G. Полное отношение рефлексивно.
Отношение R называется слабополным или слабосвязным, если Мх,у EG таких, что х Фу либо (х,^)€Л, либо ^y,x^ER. В матрице слабосвязного отношения ^i^j, либо г^=\, либо г//= 1. В графе Г(А) слабосвязного отношения Vx Фу дугой соединяются либо х и у, либо у и х, либо присутствуют обе дуги. Для слабосвязного отношения (x)UG^(x)U^(x) = G X/xEG.
Отношение R называется транзитивно полным, если для любых п из xxRx3,x1Rx3xn_xRxn следует сравнимость хх и хл, тл. xxRxn или хп Rxx.
Отношение R называют транзитивным замыканием отношения R, если оно является пересечением всех транзитивных отношений, содержащих/?.
5. Связи между свойствами бинарных отношений
Приведем без доказательств некоторые простые утверждения о связях между свойствами бинарных отношений. В дальнейшем используется только часть из них. Остальные - полезные упражнения.
Если бинарное отношение R рефлексивно, то этим свойством обладает и I?"1.
Если бинарное отношение R симметрично, то и R-1 симметрично. Больше того, А симметрично тогда и только тогда, когда R = R ”1.
Если бинарное отношение R антисимметрично, то и R-1 антисимметрично. ■
Если бинарное отношение R асимметрично, то и R -1 асимметрично.
Если бинарное отношение R транзитивно, то и R -1 транзитивно.
Если бинарное отношение R рефлексивно, то двойственное отношение Rd антирефлексивно. .Если R антирефлексивно, то Rd рефлексивно.
Бинарное отношение R симметрично тогда и только тогда, когда симметрично двойственное отношение Rd.
Бинарное отношение R асимметрично тогда и только тогда, когда двойственное отношение Rd полно.
Бинарное отношение R негатранзитивно тогда и только тогда, когда двойственное отношение Rd транзитивно.
Бинарное отношение R слабосвязно тогда и только тогда, когда двойственное отношение Rd антисимметрично.
Если бинарное отношение R асимметрично, то оно и антирефлексивно.-
Объединение произвольного числа рефлексивных отношений является рефлексивным отношением.
Пересечение произвольного числа рефлексивных отношений является рефлексивным отношением.
Объединение произвольного числа антирефлексивных отношений является антирефлексивным отношением.
Пересечение произвольного числа антирефлексивных отношений является антирефлексивным отношением.
Объединение произвольного числа симметричных отношений является симметричным отношением.
Пересечение произвольного числа симметричных отношений является симметричным отношением.
Для того чтобы композиция 7?! о/?2 симметричных отношений была симметрична, необходимо и достаточно, чтобы Rx oR2 = R2 oRb
Пересечение произвольного числа антисимметричных отношений является антисимметричным отношением.
Объединение Rx иЯ2 антисимметричных отношений Rx и R2 антисимметрично в том и только в том случае, когда Rx CtR2x £ Д (где Д — единичное (диагональное) отношение).
Если бинарное отношение R асимметрично, то пересечение отношений R A R! асимметрично при любом R х.
Объединение Rx U/?2 асимметричных отношений асимметрично тогда и только тогда, когда Rx A R2X = ф.
Пересечение любого числа транзитивных отношений является транзитивным отношением.
Если два бинарных отношения транзитивны и одно из них транзитивно относительно другого, то объединение этих отношений тразитивно.
Если бинарное отношение R транзитивно, то его симметричная часть R^ и асимметричная часть R^также транзитивны. Обратное, вообще говоря, неверно: из транзитивности R^ и R^ не следует транзитивность R. Это выполняется лишь, если отношение R ^в^ транзитивно относительно R^X
Если R ацикличное бинарное отношение, то оно асимметрично
Если R — антирефлексивное транзитивное бинарное отношение то оно ациклично.
Если бинарное отношение R симметрично, транзитивно и Ух Зу: xRy, то оно рефлексивно.
Если бинарное отношение R антирефлексивно и транзитивно, то оно асимметрично.
Если бинарное отношение R асимметрично и негатранзитивно, то оно транзитивно.
Если бинарное отношение R антирефлексивно, транзитивно и слабо полно, то оно негатранзитивно.
Если бинарное отношение R ациклично и слабо полно, то оно нега- транзитивно.
Бинарное отношение R негатранзитивно тогда и только тогда, когда Vx,y,zeG xRy => (xflz) V (zRy).,
Если бинарные отношения Rx и R2 рефлексивны, то Ях U Я2С CRX oRb
Бинарное отношение R асимметрично тогда и только тогда, когда оно совпадает с асимметричной частью двойственного отношения Rd.
Бинарное отношение R полно тогда и только тогда, когда его асимметричная часть R ^ совпадает с двойственным отношением R d.
Из ацикличности и транзитивной полноты вытекает транзитивность.
Если R транзитивно, то оно совпадает со своим транзитивным замыканием R = R, и наоборот, если R = ^, то R транзитивно.
14
Если отношение Ri содержит отношение R2, то и транзитивное амыкание Rx содержит транзитивное замыкание R2 :
R2 ~ Ri ^ Ri ” ^i*
Если отношение R рефлексивно, то рефлексивно и его транзитивное замыкание R.
Отношения R и R совпадают.
Если Rx и R2 рефлексивны, то рефлексивна и их композиция Л1 ° ^2 •
Транзитивное замыкание R симметричного отношения R симметрично.
Ни для какого отношения не может быть R=Rd.
Отношение R U (R ORd) = RU (Л)^всегда полно.
Для любого отношения R = (R -1 \Я) U (R riRd).
Для любого отношения R "? С R U (R О R -1).
Для полного отношения RCR"1 i^R-1 =R U (R ПЛ"1).
Если для Л асимметрично, то Rd и R - полные отношения.
Для асимметричного отношения Л*1 С R и R = R”1 U(R HRdy
Если R антисимметрично и рефлексивно, то Rd и R слабо полны.
Если Rx hR2 полные отношения, то Л! о R2 полно.
Глава II
СПЕЦИАЛЬНЫЕ БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
Упорядочения и безразличие
Выделим классы бинарных отношений, обладающих свойствами, естественными для процессов принятия решений.
Чтобы использовать бинарные отношения для сравнения вариантов из некоторого множества, целесообразно ввести понятия упорядочения (строгого и нестрогого) и безразличия.
Минимальное требование к строгому упорядочению (строгому превосходству) — это асимметричность соответствующего отношения Р. Это условие и служит определением строгого упорядочения. Итак, строгое упорядочение Р — это асимметричное бинарное отношение. Как мы видели в § 5 гл. I, из асимметричности бинарного отношения следует его антирефлексивность. Следовательно, строгое упорядочение Р - это асимметричное, антирефлексивное бинарное отношение.
Под отношением безразличия будем понимать отношение /, исключающее строгое превосходство одного элемента над другим. Оно может быть выражено через строгое упорядочение Рв виде
хТу <=* (xPy)^ (уРх);
иногда вместо х!у используется обозначение х у. Из приведенного соотношения и определения строгого упорядочения следует, что отношение безразличия / симметрично и рефлексивно. Эти два свойства могут служить определением отношения безразличия. Таким образом, отношение безразличия (в другой терминологии отношение толерантности) - это симметричное и рефлексивное бинарное отношение.
Отношение безразличия между вариантами может возникнуть в одном из трех случаев:
лицо, принимающее решение (ИПР), считает, что нет разницы (в смысле отношения Р) между вариантами хи у •
ЛПР не уверено в строгом превосходстве одного из вариантов над другим (в строгом упорядочении вариантов между собой);
ЛПР считает варианты хи у несравнимыми между собой. .
Отношения строгого упорядочения Р и безразличия / индуцируют отношение R нестрогого упорядочения R=PUJ.
Отсюда следует, что отношение R полно (а потому и рефлексивно). Полнота может служить определением нестрогого упорядочения.
16
Используя свойства действий над бинарными отношениями, легко проверить справедливость следующих утверждений.
Утверждение 1. Строгое упорядочение и нестрогое упорядочение образуют двойственную пару отношений
Р = Rd = R"1, R = Pd = P~l.
Утверждение 2. Имеет место соотношение
Т и Р и Р"х = GXG*
Из определения I и R и утверждения 1 следует, что отношение безразличия/ является симметричной частью нестрогого упорядочения R, а строгое упорядочение Р - асимметричной частью R, т.е.
I = Pd n ^у1 = R П R1 = ^<J>,
Р = RV = R\R(1) = Rw.
Слабый порядок
. Введенные отношения - строгого и нестрогого упорядочения и безразличия - определяют весьма грубые подходы к сравнению вариантов, не обладающие достаточной определенностью и избирательностью. Для того чтобы использовать бинарные отношения как инструмент рационального выбора из множества объектов произвольной природы, необходимо наделить отношения дополнительными более жесткими свойствами. Для сравнения и выбора вариантов естественно использовать отношения, обладающие такими свойствами, как транзитивность и негатранзитивность. Сузим класс строгих упорядочений, добавляя к свойству асимметричности соответствующего бинарного отношения негатранзитивность либо транзитивность. Получим новые классы отношений, более приемлемые в задачах выбора решений.
Будем называть слабым порядком асимметричное негатранзитивное бинарное отношение Р. Другими словами, слабый порядок Р — это негатранзитивное строгое упорядочение. Примером слабого порядка является отношение ’’больше” (>) на любом подьеюжестве G вещественной прямой.
По аналогии с рассуждениями предыдущего параграфа можно по слабому порядку Р индуцировать два бинарных отношения IhRx
xly *=► (хРу) А <уРх).(1)
Наряду с х/у будем использовать запись х^у. Отличие от введенных ранее обозначений /и ^ связано с тем, что для слабых порядков это отношение обладает специальными свойствами.
Как будет показано ниже, если Р - слабый порядок, то бинарное отношение /, определяемое приведенным соотношением, рефлексивно, симметрично и транзитивно. Бинарное отношение, обладающее этими свойствами, называется эквивалентностью. Можно сказать, что отношение эквивалентности — это транзитивное отношение безразличия.
Слабый порядок Р и отношение эквивалентности / порождают нестрогий слабый порядок R как объединение слабого порядка и эквивалентности
R = Р U /, те. xRy *=► (хРу) V (xly).
Д.Б. Юдин*®*
Дальше будет показано, что таким образом порождаемое отношение R транзитивно и полно. Эти свойства могут служить определением нестрогого слабого порядка.
Примером нестрогого слабого порядка является отношение ’’больше или равно” (>) на любом подмножестве G вещественной прямой. Из определения отношений слабого порядка и нестрогого слабого порядка вытекает.
Утверждение 3. Слабый порядок Р и нестрогий слабый порядок R образуют двойственную пару отношений
R=Pd = p~V
Из утверждения 3 и определений RylI следует, в частности, чгб отношение эквивалентности — симметричная часть нестрогого слабого порядка/?, а слабый порядок - асимметричная часть R :
I = R П Я'1 = Rt*\ Р = R \/ = RW.
Утверждение 4. Пусть Р — отношение слабого порядка, а / — отношение, определяемое формулой (1). Для любых х, у Е G выполняется одно и только одно из трех соотношений хРу, уРх, xly..
Имеет место
Утверждение 5 [46]. Слабый порядок — транзитивное отношение.
Доказательство. Слабый порядок Р асимметричен и негатранзи- тивен. Легко видеть, что отношение Р негатранзитивно тогда и только тогда, когда
хРу => Vz (xPz) V (zPy).(2)
Действительно, пусть это не так, и имеет место (хРу, xPz, zPy^. Тогда из негатранзитивности Р вытекает хРу9 что противоречит хРу. Поэтому из негатранзитивности Р следует (2). Верно и обратное — иэ (2) вытекает негатранзитивность Р. Пусть это не так, и имеет место (хРу, yPz, xPz\ Тогда xPz =► П((х/у) v (уРг)), и (2) нарушено.
Предположим теперь, что хРу и yPz. Тогда по (2) должно быть (xPz)v(zPy) и (yPx)v(xPz). В силу асимметрии слабого порядка хРу и уРх невыполнимы одновременно (равно как и уРги zPy). Поэтому должно быть xPz. Следовательно, отношение Р транзитивно. Утверждение 5 доказано.
Утверждение 6. Если Р - слабый порядок, то бинарное отношение /, определяемое формулой (1), рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Доказательство. Рефлексивность и симметричность / вытекают из определения (1). Пусть/нетранзитивно, т.е. xly9ylz9 но xlz. Тогда в соответствии с утверждением 4 либо xPzx либо zPx. В силу негатранзитивности слабого порядка Р должно выполняться соотношение (2) и, поскольку должно иметь место (xPz)v(zPx), то должно удовлетворяться одно из соотношений xPy9yPz9zPy и уРх. Последнее же противоречит предположению xly^ylz. Транзитивность отношения /доказана. Таким образом, отношение I есть отношение эквивалентности.
2. Назовем сильным порядком слабосвязный (слабополный) слабый порядок.
18
Пусть Р — слабый порядок на G. Обозначим через G(I множество классов эквивалентности на G в смысле ■ отношения /. Условимся говорить, что два класса X и У из G/I находятся в отношении Р, если в этих классах можно выбрать по элементу х Е X и у Е У, так что хРу, т.е.
(MX, У Е G/Г) (XPY ^(3xeX,y€ У^хРуУ
В этом случае скажем, что Р порождается слабым порядком Р.
Приведем без доказательства,следующее
Утверждение 7. Бинарное отношение Р на множестве классов эквивалентности G/I, порожденное слабым порядком Р, является сильным порядком (т.е. асимметрично, негатранзитивно и слабосвязно).
Таким образом, по слабому порядку Р на множестве G можно построить сильный порядок Р, ” склеив” некоторые элементы из G.
Имеет место
Утверждение 8. Нестрогий слабый порядок R = Р UI транзитивен и полон.
Доказательство. Транзитивность R следует из транзитивности Р и / и утверждения 7. Допустим, что отношение R неполно, т.е. для некоторых х, у имеет место (xRy) Л (yRx).
Тогда в силу определения R имеет место (хРу) л (хТу) л (уРх). А это противоречит утверждению 4.
Приведем без доказательства сводку свойств пары двойственных отношений PhlR — слабого порядка и нестрогого слабого порядка.
Утверждение 9. Пусть Р и Я - слабый порядок и нестрогий слабый порядок на (7, а7 - отношение эквивалентности. Для всехх, у, zEG имеют место соотношения [44,46]
(хРу) л (yRz) => xPz,
(xRy) л (yPz) => xPz,
(хРу) A (yPz) => xPz,
(хРу) A (yRz) =► xRz,
(хЯу)л (yPz) => xRz,
(xRy) л (yRz) => xRz,
(xPy) =► (xPz) v (zPy).
(xPy) A (ylz^ => xPz,
(xly) л (yPz) => xPz,
(x/y) A (ylz) =* xlz.
Эквивалентность
Мы определили отношение эквивалентности I как рефлексивное, симметричное и транзитивное бинарное отношение.
Укажем другое (содержательное) определение отношения эквивалентности, равносильное приведенному выше. Введем понятие разбиения множества G. Система (конечная или бесконечная) непустых подмножеств ^61,62,...)} множества G называется разбиением G. если G = U Gt и
19192*
19
19
Gt П Gj = ф при г Ф]. Понятие разбиения позволяет дать конструктивное определение отношению эквивалентности.
Отношение / на множестве G называется эквивалентностью, если существует разбиение {Gn G^, ...) множества G такое, что соотношение xly выполняется тогда и только тогда, когда х и у принадлежат некоторому одному и тому же классу G< этого разбиения.
Утверждение о равносильности этого определения эквивалентности приведенному ранее формулируется следующим образом.
Утверждение 10. Если бинарное отношение / на множестве G рефлексивно, симметрично и транзитивно, то существует разбиение {Gi, G^,...} множества G такое, что соотношение xly выполняется тогда и только тогда, когда х и у принадлежат одному и тому же классу разбиения. Обратно: если задано разбиение {G1# G2, ...) множества G и отношение xly определено как принадлежность х и у одному и тому же классу разбиения, то 1 рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Доказательство. Пусть бинарное отношение I рефлексивно, симметрично и транзитивно. Обозначим через Gx множество
Gx ={ z \xIzY
Легко видеть, что для Vx, yEG либо Gx = Gy, либо Gx П Gy = ф. Действительно, пусть Gx A Gy Ф ф. Покажем, что Gx ~Gy. Пусть z € Gx П Gy. Тогда по определению Gx и Gy имеет место xlz и ylz. В силу симметричности I имеем ylz =* zly, а по транзитивности I из xlz и z 1у следует xly. Пусть теперь v — произвольный элемент Gy, т.е. ylv. Из xly и ylv следует xlv, т.е. v Е Gx. Таким образом, Gy С Gx. Точно так же доказывается, что Gx С Gy. Следовательно, Gx = Gy. Эти рассуждения и рефлексивность отношения / приводят к выводу, что множества вида Gx образуют разбиение множества G. Пусть теперь имеет место xly. По определению это значит, что у Е Gx. Но в силу рефлексивности I выполнено xlx и, стало быть, х Е Gx. Следовательно, х и у принадлежат одному и тому же классу разбиения. Пусть теперь, наоборот, и Е Gx и v Е Gx. Покажем, что ulv. Действительно, из приведенных включений следует, что xlu и xlv, По симметричности I имеет также место ulx. Вследствие транзитивности'/ из ulx и xlv вытекает ulv.
Докажем теперь обратное утверждение. Пусть kGx> G2,...} — разбиение множества G. Поскольку U G^ = G, то любой х Е G входит в некоторый класс Gj. Отсюда вытекает xlx, т.е. отношение I рефлексивно. Если х и у входят в G<, то и у и х входят в Gt, т.е. из xly вытекает ylx - отношение / симметрично. Пусть теперь имеют место xly и ylz. Это значит, что х и у входят в класс Gt, а у и г - в Gj . Классы Gt и G, содержат общий элемент у. Стало быть, Gj = Gj,a тогда и х Е Gj и z Е G^ т.е. имеет место xlz, и, следовательно, отношение / — транзитивно. Утверждение доказано.
Как видим, в процессе доказательства не использовалась дискретность множества G и конечность или счетность разбиения. Запись разбиения в виде { Gi, G2,....} принята лишь для упрощения обозначений.
Отношение эквивалентности подробно исследовано в [50]. Там, в частности, указаны условия, при которых те или иные операции над отно- 20 '
шениями эквивалентности дают в результате отношение эквивалентности. Приведем эти условия без доказательства.
Будем обозначать бинарное отношение R на множестве G парой (R, G). Прямой суммой бинарных отношений (Rx> G|) и (R2> G^ называется бинарное отношение Ц<х и ^2» Gx U G2). Прямая сумма обозначается символом е. Таким образом,
(^1,^1) Ф (^2,^2) = № и ^2, Gx U G2).
Если Gx A G2 = ф, aRx hR2 — отношения эквивалентности, то их прямая сумма также является отношением эквивалентности..
Пусть множество G можно разбить на два непересекающихся множества Gx и G2 (из которых одно может быть пустым), так что
(RX>G) = (Лц,С1) ф (.Ri2, G2y
(R2, G) = (Я2ь Gi) ® №2, G2),
и при этом Rxx С А2Ь a R22 С Rx2. В этом случае бинарные отношения Rx и R2 называются когерентными.
Имеют место следующие свойства операций над отношениями эквивалентности.
Объединение Ix U /2 отношений эквивалентности 1Х и /2 представляет собой отношение эквивалентности в том и только в том случае, когда Jx и /2 когерентны.■
Объединение Ix U /2 эквивалентностей 1Х и /2 является отношением эквивалентности в том и только в том случае, когда оно совпадает с композицией этих отношений, т.е. когда Ix U 12 = 1Х о /2.
Композиция 1Х о /2 отношений эквивалентности 1Х и /2 представляет собой отношение эквивалентности в том и только в том случае, когда она коммутативна, т.е. когда 1Х о 12 -12 о 1х.
Качественный порядок
В §2 указывалось, что отношение строгого упорядочения - асимметричное бинарное отношение - недостаточно избирательно и определенно и более жесткий подход к сравнению вариантов должен наделить используемое бинарное отношение, помимо свойства симметричности, еще и такими свойствами, как негатранзитивность или транзитивность. В § 2 из класса отношений строгого упорядочения были выделены асимметричные негатранзитивные отношения - отношения слабого порядка. Здесь будет рассмотрен другой подкласс отношений строгого упорядочения — асимметричные транзитивные бинарные отношения. В [44] такие отношения называются качественным порядком. (Смысл этого названия будет пояснен дальше.) Другое эквивалентное определение качественного порядка - анти рефлек сив ное, транзитивное бинарное отношение (в ряде работ такие отношения называются строгим частичным порядком).
Легко видеть, что слабый порядок является и качественным порядком на G (из асимметричности и негатранзитивности бинарного отношения следует его транзитивность). Обратное, вообще говоря, неверно.
Примером качественного порядка Р является порядок на вещественной прямой,различающий лишь достаточно удаленные между собой точки:
хРу *=* х > у + 1.
В этом примере, как легко проверить, отношение Р не является негатран- зитивным и, следовательно, не является слабым порядком.
Граф отношения качественного порядка Р на конечном множестве G не содержит контуров. И обратно, всякому графу без контуров может быть сопоставлен качественный порядок. Пусть имеется граф без контуров. Определим на множестве вершин этого графа отношение Р : хРу, если существует путь, ведущий по направлению стрелок из х в у: Такое бинарное отношение на графе без контуров антирефлексивно и транзитивно, т.е. представляет собой качественный порядок. Легко видеть, что пересечение любого числа качественных порядков представляет собой качественный порядок. Назовем отношение R = Pd, двойственное к качественному порядку Р, нестрогим качественным порядком. Нетрудно проверить, что нестрогий качественный порядок полон и негатранзитивен. Полнота и негатранзи- тивность могут служить определением нестрогого качественного порядка.
Любой нестрогий слабый порядок является и нестрогим качественным порядком. Обратное, вообще говоря, неверно.
Примером нестрогого качественного порядка является порядок на вещественной прямой, не различающий близких точек: xRy *=* х > у — 1. В этом примере нестрогий качественный порядок R не является нестрогим слабым порядком, поскольку для R здесь не выполнено условие негатран- зитивности..•
Приведем без доказательств несколько утверждений о качественных порядках, позволяющих, в частности, оправдать название этого отношения и пояснить природу различия между свойствами слабого порядка и качественного порядка. ''
Пусть Р - слабый порядок на G. Индуцируемое по формуле (1) порядком Р отношение безразличия / является, как мы видели, отношением эквивалентности, т.е. рефлексивно, симметрично и транзитивно. Пусть теперь Р ^^ есть качественный порядок на G. Индуцируемое им по формуле
xjWy *=* X У *=* ^хР^у^ А (уР^х)
отношение качественного безразличия является рефлексивным, симметричным, но в общем случае уже не транзитивным бинарным отношением на G, т.е. не является отношением эквивалентности. Это значит, что качественные порядки отличаются от слабых порядков меньшей точностью, избирательностью, определенностью. Качественные порядки используются для выбора варианта,- когда ЛПР пренебрегает некоторыми потерями в отдельных компонентах выбираемого вектора, а считается, главным образом, с качественными характеристиками вариантов. Двойственность качественного и нестрогого качественного порядков и определение качественного безразличия означает, что качественный порядок и качественное безразличие представляют собой соответственно асимметричную и симметричную части нестрогого качественного порядка.
Отношение / ^ качественного безразличия индуцирует по формуле
xjWy ^z Е G^xl^z *=* yl^z^
отношение эквивалентности 1^ - рефлексивное, симметричное, транзитивное отношение. Таким образом, отношение качественного безразличия 1^ оказывается отношением эквивалентности /^ тогда, когда из безразличия х к какому-либо z Е G следует, что у также находится в отношении качественного безразличия с z и наоборот.
Приведем без доказательств еще некоторые свойства качественных порядков [46].
Утверждение 11. Пусть Р^ - качественный порядок на G, а 1^ и /^ - порождаемые им качественное безразличие и эквивалентность. Тогда Vх, у.Е G выполняется ровно одно из четырех соотношений
хР^у, уР^х, xl^y, (xl^y) Л (хГ^уУ
Пусть Pw и 1^ - качественный порядок и эквивалентность на G, а Р^к^ - отношение на G/I^, порождаемое Р^ (те> (VX, YEG/I^) (XPwY^(3xEX, y.EY)xPwyy
Имеет место
Утверждение 12. Бинарное отношение Р ^ на множестве классов эквивалентности Gjl^, порожденное качественным порядком, также является отношением качественного порядка.
Таким образом, по качественному порядку на G можно построить качественный порядок на G(I^, ’’склеив” некоторые элементы из G.
Для двойственной пары качественных отношений (качественного порядка Р^ и нестрогого качественного порядка R^) и порожденных ими отношений качественного безразличия / ^ и качественной эквивалентности / ^ имеет место утверждение, аналогичное утверждению 9 для слабого и нестрогого слабого порядков и определяемой ими эквивалентности.
Утверждение 13. Пусть Р^ и R ^ - качественный и нестрогий качественный порядки, а /1*) и jW _ порожденные ими качественное безразличие и качественная эквивалентность. Vx, у, z Е G имеют место соотношения [44,46]:
(хР^у) л (yR^z) =► xR^z,
(xR^y) л (yP^z) => xR^z,
(xP^y) Л (yR ^z) =► xP^z,
(xR ^y) л (yP^z)* xP^z,
(xR ^y) л (yR ^z) =* xP^z,
(xP^y) =► ^xP^z^ v (zR^yV
(xP^y) - (xRwz) v (zP^y),
(xl^y) <=> U^^ yP^z} A kzP^x *=* zP^y),
(xP^y) A (yl^z) => xP^z,
(xl^y) A (yPwz) =► xP^z.
5. Интервальный порядок и полупорядок
Как мы видели, слабый порядок обладает более жесткими характеристиками, чем качественный порядок. Отношение безразличия, порождаемое слабым порядком, транзитивно и, следовательно, является эквивалентностью. Безразличие, индуцируемое качественным порядком, не обязано быть транзитивным и, вообще говоря, не совпадает с отношением эквивалентности.•
Введем классы бинарных отношений, занимающих промежуточное положение между слабым порядком и качественным порядком.
Назовем полутранзитивным порядком Р бинарное отношение на G, обладающее следующим свойством: V х, у, z, LEG из хРу и yPz следует либо xPt, либо tPz.
Назовем интервальным порядком Р антирефлексивное бинарное отношение на G, обладающее следующим свойством: Vx, у, z, LEG из хРу и zPt следует xPt или zPy. Можно показать, что интервальный порядок транзитивен и, таким образом, является качественным порядком.
Полутранзитивный интервальный порядок будем называть полупорядком.
Класс интервальных порядков и его подкласс - полупорядки обладают некоторыми свойствами, позволяющими использовать их для сравнения пар объектов в ситуациях, в которых слабый порядок не может быть применен из-за транзитивности определяемого им отношения безразличия, а качественный порядок оказывается чересчур грубым инструментом сравнения из-за недостаточной разрешающей способности.
Интервальный порядок Р и порождаемое им отношение безразличия / индуцируют на множестве G два бинарных отношения Рх иРг:
хРху *=* 3z EG'. (x/z) A (^Ру\
xP2y ^>3zEG: (xPz) A (zly). '
Имеет место следующее
Утверждение 14. Отношения Рх и^, определяемые интервальным порядком Р, являются слабыми порядками, а отношение эквивалентности /,
отвечающее интервальному порядку, определяется через отношения эквивалентности /1 и /2, соответствующие слабым порядкам Рх и Р2, по формуле
xly *=* (х/^) Л (х12у), где xIvy^^xPiy^K^yPixY xl2y ^{хР2у) 1\(уР2х).
Построим множество У, состоящее из элементов, взятых по одному из каждого класса эквивалентности, принадлежащего G/L где / - отношение эквивалентности, соответствующее интервальному порядку Р.
Приведем в соответствие каждому элементу х Е Y ’’искусственный” элемент х*. Обозначим множество таких элементов через Y* и определим на У U У* отношение Р3, полагая
уР3х *■* уРхх,(а)
У*Р3х* *=> уР2х,(0)
уР3х* ^ уРх,(?)
у*Р3х yRx,(5)
где R — нестрогое бинарное отношение, определяемое интервальным поряд
ком Р, R = P U 1,аРх и Р2 - слабые порядки из утверждения 14.
Оказывается, что таким образом определенное отношение Р3 является слабым порядком на У U Y*.
Имеет место
Утверждение 15. Бинарное отношение Р3, индуцируемое интервальным порядком Р по соотношениям (а) - (0), является слабым порядком.
Это утверждение существенно используется при построении численного представления для интервального порядка.
Утверждение 15 можно усилить для полупорядков.
Пусть для полупорядка Р, представляющего собой полутранзитивный интервальный порядок, определены указанным выше способом отношения Рх иР2. Определим еще на G отношение Ро по формуле
хР0У ^ (хРху) V (хР3у) Vx, у Е G.
Имеет место следующее
Утверждение 15г. Бинарное отношение Ро» порожденное полупоряд ком Р, является слабым порядком на G.
Дальше при рассмотрении численных представлений специальных бинарных отношений мы снова придем к выводу, что интервальные порядки обладают характеристиками более жесткими, чем качественные порядки, однако более грубыми, чем слабые порядки.
6. Другое специальные бинарные отношения
В параграфе 4 мы рассматривали отношение качественного порядка на G и порожденное им двойственное отношение - отношение нестрогого качественного порядка. Кроме того, как мы видели, качественный порядок индуцирует на G отношения качественного безразличия и качественной эквивалентности.
Здесь мы рассмотрим другие бинарные отношения, так или иначе связанные с качественным порядком.
Качественный порядок Р - это асимметричное транзитивное бинарное отношение. Другое эквивалентное определение качественного порядка - это антирефлексивное и транзитивное бинарное отношение. Качественный порядок Р во втором определении в литературе часто называется (чтобы подчеркнуть неполноту отношения) строгим частичным порядком.
Со строгим частичным порядком Р связан нестрогий частичный порядок R, определяемый по формуле R = Р U Д, где Д - единичное (диагональное) отношение.
Из приведенной формулы следует, что порядок R рефлексивен, транзитивен и антисимметричен. Эти три свойства, из которых ни одноне следует из других, могут служить определением нестрогого частичного порядка. Подчеркнем, что хотя понятия качественного и строгого частичного порядка совпадают, понятия нестрогого качественного и нестрогого частичного порядка различны.
Множество G, на котором задан нестрогий частичный порядок, называется частично упорядоченным. Пусть между частично упорядоченными G и G1 установлено взаимно однозначное соответствие ф: ф(х) ^х1, хЕ G, х1 Е G*. Если из xRy, где х, у. Е G, всегда следует ф (x)R ф (у) и обратно, то ф называется изоморфизмом между G и G1, а сами множества G и G* - изоморфными частично упорядоченными множествами.
Будем говорить, что частично упорядоченное множество Gx изоморфно вкладывается в частично упорядоченное множество G2, если существует изоморфное отображение Gx на некоторое подмножество G^ множества G2, причем G2 рассматривается с нестрогим частичным порядком, индуцированным в нем нестрогим частичным порядком множества G2.
Легко видеть, что если Р — строгий частичный порядок, то и Р*-1 также строгий частичный порядок. Если R нестрогий частичный порядок, то R ПГ1 = Д.
Действительно, по определению R
R П Я”1 = ф U Д) П ф"1 и Д) = (Р П Р"1) и ф П Д) и
и ф'1 П Д)*и Д = фОфифиД = Д.
Приведем примеры строгого и нестрогого частичного порядка.
Отношение теоретико-множественного включения на множестве подмножеств множества G является частичным порядком. Строгое включение С определяет строгий частичный порядок, нестрогое включение С - нестрогий частичный порядок.
Частичный порядок по включению играет особую роль в теории частично упорядоченных множеств. Имеет место
Утверждение 16. Всякое частично упорядоченное множество изоморфно вкладывается в множество 2я всех подмножеств некоторого множества Я, частично упорядоченного по включению. В качестве Н можно взять, например, само множество Q. ' ,
Простое доказательство этого утверждения можно найти в [23] *
Рассмотрим еще примеры строгого и нестрогого частичного порядка.
Отношения Р и R, определенные на множестве всех непрерывных функций на отрезке [a, Z>] по формулам
fPq) <=> /(х) > ^(х)Vx G [a, Z>],
fRvp <=> /(х) > i(x)Vx е [а, ЬА?
являются соответственно строгим и нестрогим частичным порядком.
Отношения Р и R, определенные на множестве всех натуральных чисел по формулам
хРу *=* — — целое число, большее 1,
У х xRy *=> — — целое число, У
является соответственно строгим и нестрогим частичным порядком.
Обобщением нестрогого частичного порядка, впрочем, как и обобщением отношения эквивалентности, является отношение квазипорядка, или предпорядка, - рефлексивное, транзитивное бинарное отношение. Симметричный квазипорядок является отношением эквивалентности. Антисимметричный квазипорядок является нестрогим частичным порядком.
Если отношение R есть одновременно эквивалентность и нестрогий частичный порядок, то оно есть единичное отношение Д — отношение равенства на G. Соответствующее разбиение множества G состоит из подмножеств множества G, содержащих ровно по одному элементу.
Легко видеть, что если R — квазипорядок, то отношение R A R”1 рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. R OR”1 — отношение эквивалентности.
Пусть R - квазипорядок на множестве G, a I = R О R”1 — отношение эквивалентности. Обозначим через R отношение на G/I, порождаемое R (T.eXV^, YEG(lXXRY *=> (ЗхЕХ, yEY)xRy).
Имеет место утверждение, аналогичное утверждениям 7 и 12.
Утверждение 17. Отношение R на множестве классов эквивалентности G/J, порожденное нестрогим частичным предпочтением (квазипорядком) R, является нестрогим частичным порядком.
Таким образом, по квазипорядку на G можно построить нестрогий частичный порядок на СЦ, ’’склеив” некоторые элементы из G.
При решении задач выбора часто удобно рассуждать в терминах ’’предпочтений”. Предпочтение - это бинарной отношение, наделенное некоторыми специальными свойствами.
Отношение квазипорядка (предпорядка) называют также нестрогим частичным предпочтением.
Под строгим частичным предпочтением будем подразумевать антиреф- лексивное, транзитивное бинарное отношение. Используя введенные раньше термины, можно сказать, что это отношение качественного (либо строгого частичного) порядка.
Из антирефлексивности и транзитивности строгого частичного предпочтения следует его асимметричность и ацикличность.
Назовем строгим порядком слабополное (слабосвязное) строгое частичное предпочтение, т.е. антирефлексивное, транзитивное, слабополное бинарное отношения. Нетрудно проверить, что строгий порядок негатранзитивен и потому является сильным порядком (п. 2.2). Обратно, сильный порядок обладает всеми свойствами строгого порядка, т.е. эти понятия совпадают. Будем называть нестрогим порядком полный (связный) нестрогий частичный порядок, т.е. рефлексивное, транзитивное, антисимметричное, полное бинарное отношение. Нестрогий порядок называют также линейным порядком, а строгий порядок - строгим линейным порядком.
Справедливо
Утверждение 18. Если Р - строгий порядок, то Л = Р U Д - нестрогий порядок. И обратно, если R — нестрогий порядок, то Р = R \ Д — строгий порядок.
Назовем слабополное строгое частичное предпочтение строгим предпочтением, а полное нестрогое частичное предпочтение (связный квазипорядок) — нестрогим предпочтением. Таким образом, строгое предпочтение — это антирефлексивное, транзитивное слабополное бинарное отношение, т.е. строгий порядок, а нестрогое предпочтение — рефлексивное, транзитивное, полное бинарное отношение, т.е. нестрогий слабый порядок.
Если в утверждении 17 заменить нестрогое частичное предпочтение на нестрогое предпочтение, то порождаемый им нестрогий частичный порядок R на множестве классов эквивалентности G/I заменится на нестрогий порядок.
Приведем без доказательств некоторые простые утверждения об операциях над порядками и предпочтениями. Доказательства приведенных утверждений можно найти, например, в [50].
Утверждение 19. Если R^ и R^ - нестрогие частичные порядки (строгие частичные порядки, квазипорядки), то пересечение Ai A R^ также является нестрогим частичным порядком (строгим частичным порядком, квазипорядком). Пересечение строгого и нестрогого частичного порядков есть строгий частичный порядок.
Свойство полноты не обязательно сохраняется при пересечении порядков. Пересечение строгих порядков Р П Р-1 = ф, а пересечение нестрогих порядков R ПК-1 = Д. И в том и в другом случае пересечение не содержит ни одной пары различных элементов и, следовательно, не является полным бинарным отношением. Объединение строгих или нестрогих частичных или полных порядков, вообще говоря, не является порядком. Пусть, например, R — нестрогий порядок на G, тогда и Р-1 - нестрогий порядок на G, но R U Л-1 = G X G - универсальное бинарное отношение и, следовательно, не является порядком.
Композиция строгих или нестрогих, частичных или полных порядков также, вообще говоря, не является порядком. Например, для нестрогого порядка R отношение R о R"*1 = GXG - универсальное бинарное отношение, не являющееся порядком.
В таблице 1 указано, какие специальные бинарные отношения (т.е. какие наборы свойств бинарных отношений и при каких условиях) замкнуты от- 28
Специальные бинарные отношения.
Операции
Rx CXR^
rxur2
R । о R^
L Строгое упорядочение (асимметричность)
(♦)
(1)
(1)
2. Безразличие (симметричность, рефлексив-
(+)
(+)
(-)
иость)
3. Нестрогое упорядочение (полнота)
(-)
(+)
(+)
4. Слабый порядок (асимметричность, нега-
(5)
(1) A (4) (1)A(6)A
транзитивность)
A (7)
5. Эквивалентность (рефлексивность, сим-
(+)
(8)
(-)
метричность, транзитивность)
б. Нестрогий слабый порядок (транзитив
(-)
(4)
(4)
ность, полнота)
7. Качественный порядок (асимметричность,
(+)
(1) A (4)
(1) A (6)
транзитивность)
8. Нестрогий качественный порядок, (нега-
(-)
(+)
(7)
транзитивность, полнота)
9. Нестрогий частичный порядок (рефлексив
(-)
(3) A (4)
(-)
ность, антисимметричность, транзитив
ность).
10. Квазипорядок (рефлексивность, транзи
(+)
(4)
(4)
тивность)
11. Строгий порядок (антирефлексивность,
(-)
<-)
(-)
транзитивность, слабая полнота)
12. Нестрогий порядок (антисимметричность,
(-)
(-)
(-)
транзитивность, полнота)
носительно операций пересечения, объединения и композиции. Знак (+) в таблице означает замкнутость отношения, указанного в строке, по операции, определяющей столбец. Знак (—) фиксирует отсутствие замкнутости соответствующего набора свойств отношений по операции, указанной в столбце. Цифры, помеченные в некоторых клетках таблицы, указывают номера приведенных ниже условий, при которых бинарные отношения, определяемые номером строки, замкнуты относительно операций, отвечающих номеру столбца.
Условия на пары бинарных отношений Rx и R2:
Rx П R2X = ф,
Rx П R^1 С Д,
Rx П R^ = Д,
Rx и R^ взаимно транзитивны,
Ai и R2 взаимно транзитивны,
R2 транзитивно относительно 7?!,
R2 транзитивно относительно Rx,
Rx и R2 когерентны.
Тип отношений
Свойство отношений
Рефлексивность
Анти- рефлексивность
Симметричность
Анти- симет- рич- ность
Асимметричность
Транзитивность
Нега- тран- зитив- ность
Полнота
Слабая полнота
Ацикличность
Строгое упорядочение Безразличие (толерантность)
♦
(♦)
♦
*
Эквивалентность
♦
*
♦
Нестрогое упорядочение
Слабый порядок
(*)
(*)
*
(•)
*
*
(*)
(♦)
Нестрогий слабый порядок (нестрогое предпочтение)
(*)
♦
(*)
*
(*)
Качественный порядок (строгий частичный порядок, строгое частичное предпочтение) Нестрогий качественный порядок
(♦)
(*)
*
♦
*
♦
(♦)
(•)
Квазипорядок (предпорядок, нестрогое частичное предпочтение)
♦
*
Нестрогий частичный порядок
*
*
♦
Строгий порядок (сильный порядок,
*
(*)
*
(*) )
♦
(♦)
строгое предпочтение)
Нестрогий порядок (линейный порядок)
(»)
♦
*
(»)
♦
(*)
Пример: Символ (1) л (6) л (7) в таблице 1 означает, что слабый порядок замкнут относительно композиции R^ о Ri при выполнении условий (1), (6) и (7), т.е. когдаRx ^Rix не пересекаются, а Л2 иЛ2 транзитивны относительно Aj. Символ (8) в пятой строке таблицы 1 означает, что отношение эквивалентности замкнуто относительно объединения при условии когерентности Rx и Ri.
Приведем в заключение сводку определяющих свойств специальных бинарных отношений, используемых в теории принятия решений (табл. 2). Знак ♦ показывает, что отмеченное свойство входит в определение типа отношений. Знак (♦) означает, что отмеченное свойство вытекает из остальных. В таблице указаны используемые здесь названия типов отношений.
В литературе нет твердо установившейся терминологии по типам отношений. Принятому здесь термину строгое упорядочение соответствует в [46] термин ’’предпочтение”, а в [40] и [22] — ’’строгое предпочтение”. Принятому здесь термину нестрогое упорядочение соответствует в [22] ’’слабое предпочтение”.
Вместо термина слабый порядок в [46] и [21] принят термин ’’слабое упорядочение”, а в [44] — ’’предпочтение”.
Принятому здесь термину нестрогий слабый порядок соответствует в [21] ’’совершенное упорядочение”, а в [38] —’’предпочтение”. Принятому здесь термину качественный порядок соответствует в [40] ’’строгий порядок” ив [21] - ’’строгое частичное упорядочение”. Принятому здесь термину нестрогий частичный порядок соответствуете [21] и [23] ’’частичное упорядочение”, а в [40] - ’’нестрогий порядок”. Принятым здесь терминам строгий и нестрогий порядки соответствуют в [40] ’’совершен! гй строгий” и ’’совершенный нестрогий” порядки.
7. Особенности бинарных отношений
на непрерывных множествах
Все приведенные до сих пор рассуждения о специальных бинарных отношениях относятся в равной степени к отношениям, заданным на дискретных (конечных и счетных) и непрерывных множествах G (подмно жествах топологических пространств Е).
Ниже будут обсуждаться дополнитёльные свойства и особенности уп< рядочений на непрерывных множествах. Речь будет идти о понятиях непрерывности упорядочений относительно топологии на Е и выпуклости упорядочений.
В содержательных терминах непрерывность упорядочений означает, что если лицо, принимающее решение, предпочитает вариант У варианту у» то оно предпочтет и элемент х элементу у, если х и у ’’близки” соответственно к х и у. Приведем формальное определение понятия непрерывность упорядочений.
Пусть множество вариантов G, на котором задано строгое упорядочение Р, является топологическим пространством. Если отношение Р обладает индикатором (так называемой функцией полезности) (см. гл. V), то свойство непрерывности отношения может быть выражено в терминах непрерывности индикатора. В противном случае требуется более тонкая тополо-
гическая классификация отношений и более разветвленная терминология. Подробно эти вопросы рассмотрены в [21]. Мы же ограничимся здесь более грубыми рассуждениями, относящимися, главным образом, к строгим и нестрогим упорядочениям. Однако введенных ниже понятий окажется вполне достаточно для последующих приложений.
Приведем два определения непрерывности упорядочений.
Определение I. Отношение R нестрогого упорядочения на G называется непрерывным, если множество {(х, у^\хРу^» где Р - соответствующее строгое упорядочение, является открытым подмножеством декартова произведения GXG.
Определение II. Отношение R нестрогого упорядочения на G называется непрерывным, если верхние и нижние срезы соответствующего строгого упорядочения Р (множества {xlxjPx} и {х|хАг2}) открыты в G Мхг, х2 Е G, или, что то же самое, верхние и нижние срезы R (множества {x|Xi/?x} и {х|хЛх2}) замкнуты в (7 при каждом хьх2 EG.
Можно показать, что оба приведенных определения непрерывности упорядочения эквивалентны между собой.
В непрерывных моделях теории принятия решений, как и в теории оптимизации непрерывных функций на топологических пространствах, особую роль играют выпуклые (вогнутые) структуры.
Приведем определения вогнутого упорядочения на выпуклом множестве G.-
Пусть множество G, на котором определены строгое Р и соответствующее нестрогое R упорядочения, выпукло. Отношение R на G вогнуто, если выполняется одно из приведенных ниже условий (I), 01), (III).
Множество {х|хЯг} является выпуклым подмножеством G при каждом.z EG.
xRy^ {Хх + (1 -X^y^Ry Мх,у EG, 0< Х< 1.
Множество \.x\xPz^ является выпуклым подмножеством G при каждом zEG.
Имеет место
Утверждение 20. Условия (I), (II), (III) эквивалентны.
Пусть по-прежнему множество G выпукло. Приведем усиленные условия вогнутости упорядочений.
Если хРу для х, у Е G, то { Хх + (1 - Х)у}Ру для 0 < X < 1.
Если xRy, х Фу, х, у Е G, то ( Хх + (1 - X)yVy для 0 < X < 1 (строгая вогнутость).
Имеет место
Утверждение 21.
(0 (V)^(II).
0*0 (V)->(iv).
(ш) Если нестрогое упорядочение R непрерывно, то (IV) -* (II). Доказательства утверждений (20) и (21) можно найти в [38].
Глава III
ФУНКЦИЯ ВЫБОРА
Введение
L1. Обсудим вначале в содержательных терминах понятия, связанные с функцией выбора. Класс задач принятия решений описывается множеством однотипных ситуаций, в условиях которых предстоит произвести выбор. Будем характеризовать условия конкретной задачи класса множеством решений, которые в принципе могут быть приняты в соответствующей ситуации. Ситуацию, описанную в терминах определяемых ею возможных решений, будем называть также предъявлением. Итак, понятия ’’задача класса”, ’’ситуация” и ’’предъявление” можно здесь рассматривать как синонимы, выраженные .каждое в своих терминах.
Подмножество возможных в данной ситуации решений, каждое из которых является ’’хорошим” решением для соответствующей задачи класса, будем называть выбором.
Функция выбора - это многозначное отображение, определяющее зависимость выбора от предъявления.
В виде функции выбора может быть записана реакция опытного диспетчера, управляющего воздушным движением, на ту или иную обстановку на земле и в воздухе. В форме функции выбора могут быть зафиксированы действия опытного сталевара, управляющего плавкой, в зависимости от условий, определяющих качество плавки. Диагнозы болезней, установленные опытным специалистом, наблюдающим больных определенного профиля, и предлагаемые им схемы лечения также могут быть записаны в терминах функций выбора. Число подобных примеров можно умножить. Функция выбора, записанная для достаточно большого количества ситуаций определенного класса, может служить основанием для автоматизации процесса выбора решений в соответствующем классе задач. Можно ожидать, что функция выбора является подходящим средством для описания и решения задач, формулируемых в проблематике искусственного интеллекта.
Обозначим через G множество в принципе возможных решений для всех задач класса, через X С G — множество в принципе возможных решений для конкретной задачи X класса (для конкретной ситуации X), а через С(X) С С X— множество ’’хороших” решений задачи X. Отображение Y = С(Х) С X представляет собой функцию выбора.
Таким образом, функция выбора определяет концепцию выбора. Другими словами, функция выбора определяет понятие ’’рациональный”,
’’справедливый”, ’’компромиссный” выбор в ситуации X, принадлежащей заданному классу ситуаций.
Другое фундаментальное понятие теории принятия решений - механизм выбора — указывает, как произвести выбор, рациональный с точки зрения заданной функции выбора. Механизм выбора может быть реализован как алгоритм или организационная система, способные в указанной ситуации обеспечить выбор решения, соответствующий заданной концепции рационального выбора.
В теории принятия решений рассматриваются частичные и полные функции выбора. Частичные функции выбора определяют рациональные решения не для всех ситуаций изучаемого класса. Они обычно отражают накопленные знания и опыт. Пополнение функции выбора - расширение множества ситуаций, на которых определен рациональный выбор, может производиться либо за счет дополнительного экспериментирования, либо за счет приписывания функции выбора некоторых свойств, определяемых содержательными особенностями изучаемого класса задач.
Функция выбора непосредственно приводит в соответствие каждой ситуации выбора ’’рациональное” решение независимо от механизма выбора и от условий, определяющих ’’рациональный” выбор. Отсюда универсальность и простота функции выбора, как средства, описывающего выбор. Однако обилие ситуаций в реальных классах задач принятия решений приводит к тому, что функция выбора, не связанная с конкретным механизмом выбора решений или не удовлетворяющая конкретному набору требований к рациональному решению, не может быть компактно записана и для ее практического использования необходима чрезмерно большая память. *
Для расширения круга приложений функций выбора к проблематике принятия решений представляет интерес классификация функций выбора по реализующим их механизмам и по набору характеристик, которые определяют понятие ’’рациональное” решение для соответствующей функции выбора. Сравнивая различные механизмы, отвечающие одной и той же функции выбора, можно выбрать наиболее экономные (в том или ином смысле) механизмы, реализующие заданную концепцию выбора. Такого рода вопросам уделяется внимание в ряде последующих глав.
Приведем формальное определение функции выбора.
Пусть множество G представляет собой (конечное или бесконечное) множество альтернатив, а ® — семейство некоторых подмножеств множества G. Пара (G, 58 ) называется обстановкой, а элемент X семейства 53 — предъявлением.
Выбор в обстановке (G, ® ) сопоставляет предъявлению X Е $ его подмножество ¥ = С (X) С X — множество альтернатив х Е X, отобранных (лицом, принимающим решение, или посредством некоторого механизма выбора) в предъявлении X. Отображение Y - С(Х^ называется функцией выбора. Если 59 С 2е, функция выбора называется частичной, если ® = 2е, функция выбора — полная. Функция выбора может быть задана таблицей, набором свойств (аксиом), механизмом выбора, или гибридным путем (таблицей значений на ограниченном числе опорных предъявлений и свойствами или механизмом выбора для интерполяции таблицы).
Приведем несколько примеров функций выбора, отвечающих различным механизмам принятия решений.
Скалярный оптимизационный механизм - выбор лучшего по заданному скалярному критерию качества / (х) варианта х Е X
СоС^^ ( xG%|x = argmax/(x)}.
Условно-экстремальный механизм — выбор, определяемый схемой математического программирования с целевой функцией /о(х) и функционалами ограничений /Дх), / = 1,... ,т,
^„(Т) = { х G^lx = arg[max/0(x): /Дл)< 0, i = 1,... ,m]}.
Оптимизационный механизм доминирования, определяемый бинарным отношением R» ,
CR^= VxEXWyEX xRyL
Механизм блокировки» определяемый бинарным отношением R» - выбор ”не улучшаемых” по R элементов X,
CR(X)= {xexivyex yRx). '
(Если R не полное или не антисимметричное бинарное отношение, то Cr (X), вообще говоря, отличается от CR (X). Легко видеть, что CR (X) = = С^^Х) и CR(X) = CR (X)» где Rd — отношение, двойственное к R^
Механизм ограничений» определяемый бинарным отношением R и заданным элементом и Е G» — выбор элементов х Е X» ’’лучших” по R фиксированного элемента и Е G»
Cu(X) = {xEX\xRu}.
Механизм блокирующих ограничений» определяемый бинарным отношением R и заданным элементом и Е G» — выбор х Е X» неблокируемых фиксированным элементом и Е G»
CU(X)= {xEX\uRx}
(Си(Х)»вробще говоря, отличается от Си (X)) •
Паретовский механизм» определяемый вектор-функцией критериев (/,(*)}$"=!. _’
СП(Х) = { х е Х| Эу G X: М/) >ЛW. i = 1m}.
Механизм лексико-графической оптимизации, определяемый вектор- функцией критериев {/, (х)} ” ,, ft упорядочены по важности,
СЛ(Х) = {xGXm|X, = argmax fM,i-Xm, Х0=Х}.
Механизм лексико-графической оптимизации с уступками, определяемый вектор-функцией {/^(х)}^ и вектором уступок (бД^:
Слу (X) = { х GХт | Xt = arg[/,(x): max/,(х) - 8 < ''xi-i
< /#(х)< max /Дх)], i = lт; Хо = X}.
^-1
Совокупно-экстремальный механизм. Для любого предъявления X выбираются точки, доставляющие максимум на X по крайней мере одной из компонент заданной вектор-функции /(х) = {/Дх))^,
Ссэ(Х)={хЕХ|3/ Му^Х My)<fi(x)L
Турнирный механизм, определяемый бинарным отношением R, представляет собой скалярный оптимизационный механизм с критерием /r W > специальным образом зависящим от R,
fR^ = S fR(x,y), где у ex
fR(x,y) =fR(x,y) =если (xRy) д (.yRx), 0, если (уЛх) Л (xRy), 1
fR(x,y) =
fR(x,y) =
- в других случаях.
С^Х^ = { х ЕХ| х = arg тах/Л<х)}.
Механизм центров тяжести для обстановки (G, ® ), в которой S3 — множество выпуклых подмножеств множества G, сопоставляет каждому предъявлению X С $ его центр тяжести
$xdx '
СЦТ(Х) = хЕХ\х =— •
Jdx х •
Сильнодоминантный механизм доминирования, определяемый бинарным отношением R С G X 2G,
C^X^^kxEXWfYCX xRY}.
Сильнодоминантный механизм блокировки, определяемый бинарным отношением R С G X 2?,
ссд(Х) = {хех|уУсх YRxk
Слабодоминантный механизм доминирования, определяемый бинарным отношением R С G X 2°,
Ccn^=kxeX\Myex 3YCX: [у Е У] л [хЛУ]}.
Слабодоминантный механизм блокировки, определяемый бинарным отношением R С G X 2°,
C^X^txEXlByEX 3YCX: [у€У] л [УЯх]}.
Гипердоминантный механизм доминирования, определяемый бинарным отношением R С 2G X 2°,
СгдУС^ { YxCXWfY^CX YXRY^.
Гипердоминантный механизм блокировки, определяемый бинарным отношением R С 2° X 2°,
CrTO = { Yx С Х| vy2 С X Y^Yx}.
Механизм голосования (мажоритарный выбор или выбор по большинству^ , определяемый вектор-функцией критериев {/Дх)}” р
CM.jW = {^e^lV^Gy Ssign[/f(x)-/,(j)] > 0}.
Заметим, что если в примерах 7, 9, 19 отождествлять вариант х с егс вектором оценок z - (zt,... ,«zwY где zt = //(х), i = 1, m, то паретов- скую Сд^), лексико-графическую Сп(Х) и мажоритарную CMaj(^) функции выбора можно представить, как функции выбора, определяемые соответственно векторными оптимизационными механизмами блокировки С^ЧГ), СКл(Г), СЯ“(^),где
xRBy *=* (Vf) (xt >yt) Л (3/) (Xj >yf),
xRny <=*(30 ((Xi ^JA ...A (Xt_x =yt_X> A (X,>yf)),
xRm УS sign(x# - y^ > 0.
В приведенных примерах функция выбора выражается через механизм выбора. Вообще говоря, представляется более естественным обратный подход. Из содержательных соображений или по результатам наблюдений за действиями эксперта или лица, принимающего решение, строится функция выбора - зависимость множества ’’лучших” вариантов от множества предъявленных вариантов — и определяется механизм, реализующий эту зависимость. Такому подходу посвящены последующие главы.
Классификация функций выбора
Непосредственное задание функций выбора в виде таблицы, в которой каждому допустимому предъявлению сопоставляется выбор, в сколь- нибудь сложной обстановке (при немалой мощности множеств G и Я) является чрезвычайно трудоемкой, практически неподъемной работой, требующей огромной памяти. К такому заданию функций выбора приходится прибегать в тех случаях, когда ставится задача автоматизации некоторого типа интеллектуальной деятельности, механизм и характеристики которой неизвестны. Обычно для изучения механизма принятия решения опытным специалистом (экспертом) в определенном классе задач управления явно недостаточно объяснений лица, принимающего решение. Накопленная информация о выборе решения специалистом в большом числе однотипных ситуаций является, как правило, более объективным исходным материалом для формулировки правдоподобных гипотез о механизме выбора и о свойствах экспертных решений.
Для автоматизации интеллектуальных решений в определенной области создаются экспертные системы, основой которых являются так называемые базы знаний. Понятие базы знаний до сих пор четко не определено и в различных работах истолковывается по-своему. Представляется, что под базой знаний в той или иной интеллектуальной области целесообразно понимать частичную функцию выбора, отражающую опыт эксперта, и механизм, пополняющий ее. В качестве подобного механизма может быть
применена, например, интерактивная система, позволяющая по подходящему аксиоматическому определению рационального выбора и известной частичной функции выбора восстановить ее значение на заданном предъявлении.
К непосредственному табличному описанию функции выбора по результатам наблюдений за поведением опытного ЛПР целесообразно прибегать только в экспертных системах, для которых нет компактной записи зависимости выбора от предъявления. Компактная запись функции выбора возможна в двух случаях: когда известен механизм, реализующий выбор (например, некоторый экстремальный принцип или система неравенств), и когда известен набор условий (требований или аксиом), определяющий рациональный выбор. В первом случае говорят о поэлементной записи функции выбора, во втором случае — о целостном описании Y = С(Х).
Обозначим через 2 множество всевозможных функций выбора. Выделим из множества 2 два подмножества 20 и 2Х функций выбора, часто встречающихся в прикладных задачах. Подмножество 20 включает все функции непустого выбора т.е. такие, что С(Х) Ф ф при всех X Ф ф.
В подмножество 2 t включают все функции однозначного выбора, т.е. функции выбора, сопоставляющие каждому предъявлению X Фф единственное решение х= С(Х) С X. Ясно, что St С 20 С 2.
В классической теории выбора, связанной, главным образом, с математической экономикой, особую роль играют функции выбора, порожденные бинарными отношениями (см. § 1 CR(X) и Сл(Х)). Они будут подробнее рассмотрены дальше. Здесь только отметим, что в соответствии с результатом Сена [89]:
Бинарное отношение R порождает функцию выбора, принадлежащую к подклассу 20, в том и только в том случае, когда отношение R» рассматриваемое как отношение блокировки, ациклично.
Бинарное отношение R порождает однозначную функцию выбора CR(X), т.е. функцию, принадлежащую подклассу 21$ в том и только в том случае, когда R не только ациклично, но и слабо полно.
В работах Айзермана и Малишевского [2] - [5] рассмотрены введенные в различных исследованиях характеристические свойства функций выбора и на их основе построена классификация функций выбора, связанная с порождающими их механизмами.
Приведем без доказательств соответствующие результаты и классификацию.
Рассмотрим четыре характеристических свойства функций выбора.
Говорят, что функция выбора С(Х)удовлетворяет характеристическому свойству
наследования (Я),если
YCX^C<Y)DC(X^nYt
согласия (С),если
Х= YUZ^C(Y)nC(Z}CC(X)9
отбрасывания (О) (независимости от отбрасывания отвергнутых вариантов) , если
С(Х) С Y С X => С(У) = С(Х\
константности (К) (или строгого наследования), если
ПСХЛ^С^^ф или С(А) = ф}=>С(У)=УАС(А).
Здесь X, Y,Z* ф.
Каждое из перечисленных свойств выделяет в пространстве функций выбора фундаментальную область, которую будем обозначать соответственно через Н, С, О и К. В подмножествах £0 и Ei функций выбора будем обозначать соответствующие области через Н^С^, О^, Кр и Я1, Ci, Oj, Ai. Обозначим дополнения этих областей в Е через Н; С и О соответственно. Оказывается, что эти области и их пересечения могут быть приняты в качестве естественной основы для классификации функций выбора и порождающих их механизмов [1].
В частности, имеет место
Утверждение 1.1° [1]. Характеристические свойства Я, Си О независимы в совокупности, т.е. в множестве S функций выбора все восемь областей Я А С А О, Я А С А О,..., Я А С А О непусты.
2°. КСЯАСАО.
3°. В подмножестве Si функций выбора фундаментальные области Я1,01, Kt сливаются в одну.
Заметим, что сколь бы естественными не представлялись характеристические свойства функций выбора, можно указать вполне осмысленные задачи, в том числе и практически интересные, которые приводят к выбору, не удовлетворяющему ни одному из характеристических свойств. Приведем пример такой задачи, построенный Э.В. Цоем. Речь идет о выборе центра круга (шара) максимального радиуса, целиком принадлежащего заданной области X множества G. Примем в качестве множества G некоторое множество, содержащее прямоугольник с вершинами (0,0), (0,4), (2,0), (2,4). Подмножества X С G будем считать предъявлениями. Обозначим через р(х, ЭА) минимальное расстояние от точки х Е X до границы области X. В этих терминах функцию выбора, определяющую решение задачи на предъявлении X, можно записать в виде
С<Х) = (хЕХ\х = arg шах р(х, ЭА)}.
Покажем, что таким образом определенная функция выбора не принадлежит фундаментальным областям Я, К, О и С.
Пусть предъявление X определяется прямоугольником с вершинами (0,0), (0,4), (2,0), (2,4), а предъявление Y С X - квадратом с вершинами (0,0), (0,2), (2,0), (2,2) (см. рис. 3.1). Ясно, что С(А) — геометрическое место центров кругов максимального радиуса, полностью содержащихся в А; С(А) есть отрезок, соединяющий точки (1,1) и (1,3), а С(У) содержит единственную точку - (1,1). Пересечение отрезка С(А) с квадратом Y представляет собой отрезок [(1,1), (1,2)]. Таким образом, из У С А не следует С(У) D У А С (А), т.е. свойство наследования для рассматриваемой функции выбора не удовлетворяется. По тем же причинам не удовлетворяется и свойство строгого наследования (свойство константности) К.
Пусть теперь по-прежнему предъявление А - прямоугольник с вершинами (0,0), (0,4), (2,0), (2,4), а предъявление У - квадрат с вершинами (0,1), (0,3), (2,1), (2,3). С(А) - по-прежнему отрезок [(1,1), (1,3)],
39
а С(У) — точка (1,2). Включение С (%) С Y С X имеет место, но из него не вытекает С (Д') = С(У ). Таким образом, условие О также не удовлетворяется.
Покажем, что и условие согласия (С) также нарушается. Обозначим через S прямоугольник с вершинами А = ^—, <)^, В = (1Й, 0), С = = (1^,3), D = (%,3),а через Z - прямоугольник с вершинами А, В,С* =
Рис. 3.1Рис. 3.2
= (Ш, 4), D* = (%, 4) (см. рис. 3.2). В качестве предъявления У примем X\S. Тогда С(%) отрезок - [(1,1), (1,3)], С(У) - отрезок MN = = [(Й,ЗЙ), (!%,3%)],aC(Z) -отрезок [(1, %), (1,3%)]. Под предъявлением X будем понимать объединение X = У UZ. Ясно, что X по-прежнему прямоугольник с вершинами (0,0), (0,4), (2,0), (2,4). Пересечение С(У) П C(Z) содержит единственную точку ^1, 3—^. В рассматриваемом примере С^Х^ "^ C(Y) A C(Z). Следовательно, условие согласия С также нарушается.
Приведенный пример позволяет утверждать, что результаты, относящиеся только к функциям выбора, содержащимся в фундаментальных областях, не дают еще основания судить об особенностях всех функций выбора, представляющих практический интерес.
Сен [89] доказал следующее
Утверждение 2, Для того чтобы функция выбора С (%), X С G, порождалась бинарным отношением R на G (т.е. для того чтобы функция выбора определялась оптимизационным механизмом доминирования или блокировки) , необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала областиН ПС.
Айзерман и Малишевский конкретизировали результат Сена. Они рассматривают три уровня функций выбора, порожденных бинарными отношениями. К первому уровню они относят все функции выбора, порожденные любыми бинарными отношениями. Подкласс функций выбора, порождаемый качественными порядками, относится к функциям второго уровня. Более точно это означает, что качественный порядок задается на некотором подмножестве G* С G, а варианты из G\G* считаются непри- 40
емлемыми, т:е. не выбираются ни в каких предъявлениях. Более узкий подкласс функций выбора, определяемый слабыми порядками (на G' С G), образует функции третьего уровня.
Как мы увидим в гл. V, слабые порядки и только они обладают индикаторами бинарных отношений. Это значит, что функции выбора третьего уровня и только они соответствуют скалярным оптимизационным механизмам.
Во введенных терминах справедлива следующая детализация теоремы Сена [1]. .
Утверждение 3. I9. Для того чтобы функция выбора порождалась качественным порядком, необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала области Я А С О О.
2°. Для того чтобы функция выбора порождалась слабым порядком, необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала области К.
В [1] приведено следующее
Утверждение 4. 1°. Для того чтобы функция выбора принадлежала области Я, необходимо и достаточно, чтобы она порождалась некоторым сильнодоминантным механизмом доминирования.
2°. Для того чтобы функция выбора принадлежала области С, необходимо и достаточно, чтобы она определялась некоторым слабодоминантным механизмом доминирования.
3°. Для того чтобы функция выбора принадлежала области О, необходимо и достаточно, чтобы она порождалась некоторым гипердоминантным механизмом доминирования, выделяющим из каждого X С G единственное Y.
Существуют, конечно, и другие механизмы, порождающие все функции, принадлежащие каждой из рассматриваемых областей. Некоторые из этих механизмов-указаны в [21]. В связи с этим представляют интерес следующие соображения.
Пусть Rx,..., Rk — бинарные отношения на G, С 1(Х) .- функции выбора, порожденные бинарными отношениями R^ определяющими выбор недоминируемых по Rt элементов X. Определим по произвольной булевой функции ^(«i,..., otk) функцию выбора С( • ) = C(RX,... ,Нк,ф) на G по формуле х G С(Х) *=* ф (ах,..., ак) = 1, где
[ 1, если xGCRl(X3,
«/ = R. (*}
I 0, если х £ С \Х).
Строго говоря, не всякая функция С (У), получаемая этим способом, является функцией выбора, т.е. удовлетворяет включению CQC^ С X. Мы будем исключать из рассмотрения множества, для которых включения С (%) СХ нарушены.
Оказывается, что любую функцию выбора можно представить через функции выбора CR,(X), определяемые бинарными отношениями. Имеет место
Утверждение 5 [31]. Для любой функции выбора С( ) на G существуют бинарные отношения Rx,..., Rk и булева функция ф(аг,..., ак) такие, что
С() = С(^ь...,^^).
В частности, если булева функция ф оказывается мажоритарной (т.е. ^(«i,..., а&) = фм («1,..., а&) равна 1 тогда и только тогда, когда больше половины переменных равны 1), класс функций выбора,определяемых бинарными отношениями R^ по приведенной формуле, совпадает с классом Н функций выбора, удовлетворяющих характеристическому свойству наследования.
Класс функций выбора, определяемых мажоритарной булевой функцией (или так называемой функцией голосования), будем обозначать классом МФВ. Итак, справедливо
Утверждение 6. Область в 5, определяемая классом МФВ, совпадает с фундаментальной областью Н.
Аналогичный результат имеет место и для функций выбора, определяемых бинарными отношениями Kj, i = 1,..., к^ и булевой функцией к
ф(аг,..., а^ = ф« (cq,..., ак) = V «/, где at определены в (♦). Об- /=1
ласть в S, определяемая классом С = C(Rt, . . . , Rk» ф$3> также совпадает с фундаментальной областью Н.
В заключение параграфа приведем теорему Эрроу [73], положившую начало этой проблематике, и ее обобщения из [1].
Утверждение 7. 1°. Для того чтобы функция выбора была реализуема некоторым скалярным оптимизационным механизмом, необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала области К.
2°. Для того чтобы функция выбора была реализуема некоторым паре- товским механизмом, определяемым вектор-функцией критериев, необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала областиН О СП О.
3°. Для того чтобы функция выбора была реализуема совокупно-экстремальным механизмом, необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала области НПО.
Как уже отмечалось, слабые порядки и только они описываются скалярным оптимизационным механизмом. Поэтому п. 1 утверждения 7 эквивалентен п. 2 утверждения 3. Пункт 2 утверждения 7 совпадает с п. 4 утверждения 3, поскольку имеет место следующий факт, вытекающий из результатов гл. V.
Утверждение 8. Функция выбора С(-) является паретовской тогда и только тогда, когда она порождается качественным порядком.
Заметим, что пример из п. 2.3 отнюдь не противоречит п. 1 утверждения 7, поскольку целевой функционал задачи р(х, ЭХ) - функция не только от точки х 6 I, но и от границы ЭХ предъявления X, а в определении скалярного оптимизационного механизма (см. п. 1.2) критерий качества /(х) решения зависит только от точки х G X.
Более общая задача* типа примера из п. 2.3 — это задача вписывания в заданное выпуклое тело эллипсоида максимального объема. Решение такой задачи требуется в одном из современных методов выпуклой опти- мтйации (см. § 2 гл. VII ’’Метод вписанных эллипсоидов”). Таким образом, экстремальные механизмы выбора (в некотором смысле традиционные) далеко не исчерпываются скалярной оптимизацией в смысле п. 1.2.
2.5. Представляет интерес следующий результат.
Для того чтобы построить полную функцию выбора С(Х), удовлетворяющую условию строгого наследования (и такую, что при X ^ ф 42
С (20 Ф ф), достаточно знать ее значения не более чем на п предъявлениях Вх = = C(GV В2 = C(G\C(G)),..., Вк = = сХАк-х\Вк-х^ > где А^ — At — X\Bi_\^ Ах - G, i = 1 ,...,*< л (здесь и - число альернатив в множестве (7).
Рассмотрим дерево с вершинами-множествами Ах = G, Вх = С(Л1), Ал-х = = At\Bb Bi = С(А^ i = 1,2,..., к - 1 (См. рис. 3.3).
• к
Ясно, что Bt П Bi Ф ф при i Ф) и U Bi = i=i
= G. Это значит, что { Bj }* - разбиение множества G. Поэтому VX Е 2е найдется минимальный номер i такой, что C^Aj) А ОХ ФфиХС А(. Тогда по свойству строгого наследования (свойству К)
C(X) = C(Ai)OX^BtOX.
Ясно, чтб если функция выбора удовлетворяет свойству наследования (Я) то построенная таким обр зом частичная функция выбора дня предъявлений Вх, В2,..., Вк, к < и, позволяет восстановить полную миноранту С (У), т.е. функцию С.(Х) такую, что УТ 6 2е C.WС С(Х).
§ 3. Операции над функциями выбора
Рассмотрим операции объединения, пересечения и суперпозиции функций выбора и установим, какие операции сохраняют свойства функций выбора и не выводят функции из той или иной области множества S.
Изучим также вслед за [1, 70] вопрос о разложении сложных функций выбора по функциям более простых классов.
Введем операторы F^, F^, F^jp ^(KrL) и ^(T)’ преобразующие одни функции выбора в другие соответственно по формулам
С(Х)= U CtW» С(ЛГ)= П Ск<Х\ieiкек
С(Х)= U П CtAX\ С(Х)= О и CkiW>
i^Ij^Jiкек 1еьк
CW = Ct^Ct-iC ..C2(CxW).)Y
Обозначим через SP с соответствующими индексами (U, П, ип, пи, ®) преобразование класса Q функций выбора, определяемое как отдельным оператором F, так и классом операторов У.
В работах Малишевского, аннотированных в [1], установлены классы функций выбора, в которые перечисленные операторы переводят функции выбора из фундаментальных областей Я, С, О, К и их пересечений.
Приведем некоторые из полученных там результатов.
Будем говорить, что область Q С 2 замкнута относительно оператора F, если при любых С/() EQ, i = 1,... ,N, имеет место С( ) = F(Cj(-),... ..., С„()) Е Q. Область Q замкнута относительно класса ^ операторов, если она замкнута относительно каждого оператора F из этого класса.
Мы будем дальше говорить о замкнутости области Q С 2 относительно преобразования 9\ имея в виду в зависимости от контекста замкнутость Q относительно оператора F или класса S*.
Имеют место следующие утверждения
Утверждение 9. В пространстве S всех функций выбора
1°. Область Н замкнута относительно преобразований ^и и SPn:
^и(Я)= УП(Н) = Н.
2°. Область С замкнута относительно Уп:
з^с^с
3°. Область О замкнута относительно Зи:
3^(0)= О.
Следствие.
1°. Область Н замкнута относительно ^ил = 5*ли:
^ил(Я) = ^ли(Я) = Я. '
2°. Область Я П С замкнута относительно Зп:
^Л(ЯПС) = ЯПС.
3°. Область Я Г) О замкнута относительно З^:
Уи(ЯПО) = ЯПО.’
Утверждение 10. В пространстве 2 всех функций выбора более широкие фундаментальные области и множество Б в целом могут быть получены из более узких фундаментальных областей с помощью преобразований 3*и, Зп, ^ил и^ли по следующим формулам:
Г. ЯПО = 3^ (ЯП СП О),
2°. НПО = Зи(К),
3°. Я = ^(НПС),
4°. 2 = 3>и(С),
5°. ЯПС =3»П(ЯПСПО),
6°. Я =^Л(ЯПО),
7° с = ^(СОО),
8°. 2 = 3^(0),
9°. Я = 3»ил(ЯПСПО) = Зпи(НПСП0),
10°. Я = Зип(К) = ^ли(Я),'
11°. Б = ^ил(СПО) = ^ли(СГЮ). .
Для преобразования суперпозиции 3®, отвечающей последовательному использованию функций выбора, не имеют места столь простые
соотношения между фундаментальными областями множества функций выбора как те, которые выполняются для Уи, 5*°, 9>ип и Рассмотрим преобразование SP®, образованное двухместной суперпозицией функций выбора С (ЛО = Сх(Х) ®С2(Й0 =C2(Ci(J0).
Если Ci и С2 содержатся в одной области Q пространства S или So, то введенное ранее понятие замкнутости области относительно оператора или класса операторов сохраняет смысл. Если же Cj й С2 относятся к разным областям (Cj Е Й!, С2 G Q2), то целесообразно ввести понятия условной замкнутости области Qx относительно Q2 (или Q2 относительно Qxy Область Qx С 2 (или So) назовем условно замкнутой относительно Q2, если ^®«?1, Q2) С Qi - Аналогично определяется условная замкнутость 02 относительно Qx. В этих терминах имеет место утверждение [8].
Утверждение 11.1°. В пространстве Zo функций выбора область Ко замкнута безусловно относительно преобразования суперпозиции З6®, т.е.^0(Ко,Яо) = ^о.
2°. Ни одна из фундаментальных областей Яо, Со, Оо и их пересечений не замкнута относительно преобразования 3*®.
3°. Каждая из фундаментальных областей и их пересечений, взятые в качестве Q2, условно замкнуты' на второй ступени суперпозиции при Qx = Ко на первой ступени.
4°. Каждая из фундаментальных областей и их пересечений, взятые в качестве Q^, не замкнуты ни при какой из фундаментальных областей и их пересечений, принятых в качестве Qx.
5°. Никакая из фундаментальных областей и их пересечений не является условно замкнутой в качестве Qx при Q^ = Ко (и тем более при Q2, совпадающей с одной из фундаментальных областей или с их пересечениями).
6°. 5>®(ЯПС, ЯПС) С С.
Декомпозиция функций выбора
1. Под декомпозицией функций выбора мы будем понимать представление функций выбора из одних классов с помощью функций из других более простых классов. Исходную функцию выбора будем называть композицией составляющих. Приведем предложенные в последние годы конструкции, позволяющие представить функции выбора из фундаментальных областей и произвольные функции выбора через функции из более простых классов.
Декомпозиция функций выбора позволяет обсуждать выбор в достаточно общей ситуации в терминах более простых ситуаций, например, на языке критериев или на языке тех или иных специальных бинарных отношений. Таким образом, по результатам решения более простых задач удается построить решение исходной более сложной задачи.
Простейшей декомпозицией функции выбора является ее ’’разложение в ряд” по функциям из более узких классов. Функция выбора С(Х)
к
представляется в виде ’’линейной комбинации” С(Х) = U [У, ПС/(ЛЭ] > коэффициенты которой — фиксированные предъявления У/ (не зависящие от %), a Q (J0 “ функции из некоторого специального класса.
. В работах Алескерова, ^авалишина, Литвакова ([8], [9]) доказано
Утверждение 12. Для любой функции выбора, удовлетворяющей характеристическому свойству наследования (С (У) Е Я), существуют такие к9 Y< ^ G и С<(Х) Е Ко» i = 1» ... ,к9 что имеет место разложение
CQO = U [У,ПС,(Х)1.
В частности, если С(Х) — совокупно-экстремальная функция выбора, a Cj(X) — функции выбора, порождаемые линейными порядками, то можно взять Yi = G9 и, таким образом,
С(Х)= U С,(Х). i= 1
На утверждения 5 и б из § 2 можно также смотреть как на определе-' ние декомпозиций функций выбора из фундаментальной области Н. Утверждение 6 в других терминах означает, что любая функция выбора из области Н может быть представлена в виде мажоритарного выбора (с помощью функции голосования) по некоторой системе функций, порождаемых бинарными отношениями. Можно, однако, доказать, что при этом для почти всех функций из Н число используемых отношений экспоненциально растет с ростом числа вариантов (при 20 вариантах это, грубо говоря, миллион отношений). Это означает, что доказательство справедливости тех или иных декомпозиций функций выбора из определенных классов еще ничего не говорит о возможности конструктивной реализации этих представлений. Для оценки практической реализуемости декомпозиций необходимо дополнить качественные исследования о существовании тех или иных представлений функций выбора фиксированных классов построением соответствующих экстремальных конструкций и изучением их сложностных характеристик.
Функции выбора, порождаемые механизмами выбора, которые основаны на бинарных отношениях и используют операции U, А и суперпозиции, обладают следующим свойством. Если предъявляется единственный вариант х и он приемлем "(т.е. ЗХ £ G такой, что х Е С(Х)), то х выбирается
(31)(хЕОД)=>С({х})={х}.
Класс таких функций выбора обозначим через 2° (в отличие от 20 Класса функций непустого выбора).
В [1] анонсирован результат Малишевского, который в несколько уточненной формулировке имеет следующий вид.
Утверждение 13. Любая функция выбора CQ0 Е 2° представима в виде разложения по суперпозициям функций, порождаемым бинарными отношениями,
cw= и П C^ U Л С\фк(ХЙ9 ’ tel j^Ji kGKlELk *
где все составляющие функции выбора С1>фк( •) и С2,у( •) могут быть взяты из фундаментальной области Н П С ПО9 т.е. определяются качественными порядками.
46
Оценки сложности этого представления, однако, не приводятся.
В [54] и [55] приведены более простые декомпозиции произвольных функций выбора
Утверждение 14 [54]. Любая функция выбора С(Х) ЕЕ0 представима в виде мажоритарной операции (операции голосования)
Г к* 11
Ма](Уь...,Уа= U (У} А...ПУ,Д t = —— , JX <ЛХ< . . .< к 1тL 2 J
от суперпозиций функций выбора, порождаемых произвольными бинарными отношениями
С(Х) = Maj ^дЦСхдОПУ ... ,С2Л(С1Л(%))).
Здесь составляющие функции выбора Ci,/() и С2,/(е) принадлежат более широкой фундаментальной области (Я А 0, чем в утверждении 13 (НПСПО).
Можно, однако, получить представление любой функции выбора через функции, порожденные даже более узким классом бинарных отношений, чем произвольные качественные порядки, а именно полупорядками. Имеет место •
Утверждение 15 [55]. Любая функция выбора С(Х) Е 2° может быть представлена через функции, порождаемые полупорядками, в виде
С(Х) = п ис1>ц(С2>ц(Х)У
Если взять функции, участвующие в этом разложении, из еще более узкого класса - из класса функций выбора порождаемых слабыми порядками, т.е. из фундаментальной области К, то Представление из утверждения 15 не может быть гарантировано для любой функции выбора. Однако несколько более сложное представление, чем в утверждении 15, но более простое, чем в утверждении 13, гарантирует декомпозицию произвольной функции выбора. Имеет место
Утверждение 16. Любая функция выбора CQO ЕЕ0 может быть представлена в виде*
С(Х) = П U C2iii(CVij(X) U С’^ОПЬ
где функции Cxj^ •), Схд^ •) и С2,//( •) порождаются слабыми порядками и даже, более того, строгими порядками.
Этот факт вытекает из доказательства теоремы 1 в [70].
Последний результат интерпретируется в терминах организационных систем. Структура системы, предназначенной для реализации произвольной функции выбора, может быть представлена в виде набора двухступенчатых управляющих звеньев, каждая ступень которых руководствуется своим скалярным критерием качества. Решение системы является некоторой теоретико-множественной функцией от решений отдельных ступеней управляющих звеньев.
Аппроксимация функций выбора
1. Функция выбора — логически весьма простое понятие. Тем не менее непосредственная запись функции выбора, например в виде таблицы, при немалом числе вариантов и предъявлений - практически неподъемная задача. Качественное описание таких функций и их использование для решения конкретных практических задач вызывает серьезные затруднения. Для манипулирования с функциями выбора целесообразно иметь их упрощенные представления, в каких-то смыслах мало отличающиеся от рассматриваемых функций, легко обозримые и допускающие описание исходных объектов с помощью более простых и наглядных понятий, либо с помощью уже изученных экономно записываемых функций выбора, либо с помощью конструктивных механизмов, обеспечивающих реализацию приближенных представлений. Таким образом, возникает задача аппроксимации функций выбора наиболее близкими в определенном смысле к ним функциями из заданных классов.
Первые постановки таких задач принадлежат Фишберну [83] и Шоломо- ву [52]. Достаточно общие результаты в этом направлении получены Литваковым [27,28,29].
В работах Шоломова рассматривались аппроксимации произвольной частичной функции выбора в произвольной обстановке (G, 53 ) функциями, представимыми бинарными отношениями. В работах Литвако- ва [27, 28] речь шла о приближении любой полной функции выбора (53 = 2G) другой функцией из некоторого заданного класса. В более поздней работе [29] результаты, полученные для полных функций выбора, обобщены на частичные функции.
Приведем некоторые определения.
Мажорантой частичной функции выбора (С, 93 ) называется всякая полная функция С*, для которой С*(Х) 2 С(Х) МХЕ 53 .
Обозначим множество мажорант для функции С (У)
П(С)=(С*ЕЪ\СЧХ> 2 С(Х) MXES>.
Минорантой частичной функции выбора (С, ® ) называется всякая полная функция Се, для которой Се(ЛЭ ~ С (Jf) V X Е ®.
Обозначим множество минорант для функции С(Х)
- ЦС) = {C,ES |С,(ЛЭС С(Х) МХЕ®).
Пусть Q — некоторый класс полных функций выбора.
Назовем верхней аппроксимацией функции выбора (С, 5Э ) в классе Q функцию Св Е Q, если для любой мажоранты С* Е D(C) выполнено MX С„(Х) ^С\Х).
Нижней аппроксимацией функции выбора (С, 53 ) в классе Q называется функция Сн Е Q, если для любой миноранты С, Е £ (С) выполняется MX CH(X)^C,(X).
Отметим, что включения С*(Х) 2 Се(Х) и СВ(Х) ^СН(Х) гарантируются лишь для X Е S3 и не обязательно выполняются на предъявлениях Х^ 53 .
Верхние и нижние аппроксимации существуют отнюдь не для всех функций выбора. Представляют интерес условия существования аппроксимаций. В [52] доказано следующее
48
Утверждение 17. Для любой функции выбора (С, $ ) существует верхняя аппроксимация в классе функций, представимых бинарными отношениями. Она реализуется бинарным отношением доминирования R
xRy ^{зуе®: хес(Х), у£ХУ
Это отношение R называется выявленным отношением Самуэлсона.
Для полных функций в [27, 28] получены необходимые и достаточные условия для существования верхних и нижних аппроксимаций из класса Q.
Утверждение 18.1°. Для того чтобы верхняя аппроксимация из класса Q существовала для произвольной функции выбора СЕ 2, необходимо и достаточно, чтобы область Q удовлетворяла условиям
vcbc2eQ С1(ЛЭпс2(АЭее,
Q содержит ’’тождественную” функцию ^(Х) = X VXE2G.
. Для того чтобы нижняя аппроксимация из класса Q существовала для произвольной функции выбора С Е 2, необходимо и достаточно, чтобы область Q удовлетворяла условиям
a)VCbC2eQ Cx(X)UC2(X)E.Q,
Qсодержит ’’нулевую”функцию выбора СФ(Х) = ф Ч XE2G.
Если С(Х) ^ Q и в классе Q существует такой набор функций {Q(J)J, что С(ХУ = nCjQf), то функция С(Х) не имеет верхней аппроксимации.
Если С(Х) ^ Q и в Q существует такой набор { С/ (X) }, что С(Х) = UQ Qf), i
то функция С(Х) не имеет нижней аппроксимации.
В [28] и [29] в качестве класса Q аппроксимирующих функций выбора рассмотрены фундаментальные области Я, Си О и некоторые их пересечения и выписаны соответствующие верхние и нижние аппроксимации для полных функций выбора.
Утверждение 19. Пусть С(Х) - произвольная полная функция выбора на 2. Тогда
в классе Q = Н существуют верхняя и нижняя аппроксимации функции выбора С,
в классе Q = С существует верхняя аппроксимация функции выбора С, а нижняя возможна лишь как тривиальная (т.е. только для С из того же класса),-
в классе Q = O существует нижняя аппроксимация функции выбора С, а верхняя возможна лишь как тривиальная,
в классе Q = Н П С существует верхняя аппроксимация функции выбора С, а нижняя аппроксимация существует для функций выбора, удовлетворяющих условию
Vx, у^уЕСЦх.у» уЕС(Х)1
(так называемому прямому условию Кондорсе), и только для них.
в классе Q = H А О существует нижняя аппроксимация.
5.3. Пусть С — произвольная полная функция выбора, Qx, Q2 — заданные классы функций выбора, удовлетворяющие условиям утверждения 18.
В [29] введены два алгоритма построения аппроксимации функций выбора {бь g2(С)}и {0(C)}.
49494. Д.Б. Юдин
49
49
Алгоритм {Qi, 62(C)} позволяет эффективно строить аппроксимацию произвольной функции С в пересечении классов Qx А 62» если известны алгоритмы построения аппроксимаций в каждом из этих классов для любой функции С. Верхняя (нижняя) аппроксимация функции С в классе Qx A Q2 строится следующим образом. Найдем Сх - верхнюю (нижнюю) аппроксимацию С в классе Qx, затем С2 - аппроксимацию Сх в классе 62» далее С3 — аппроксимацию С2 в классе Qx и тд. Указанный процесс через конечное число шагов приведет к функции Св (Сн) - верхней (нижней) аппроксимации функции С в классе Qx C\Q2.
Алгоритм 0(C) - представляет собой рекуррентную процедуру построения нижней аппроксимации С для случая, когда в качестве класса аппроксимирующих функций выбрана фундаментальная область О. Нижняя аппроксимация С в классе О строится следующим образом.
Выберем пару Предъявлений X1, Xм таких, что
№') С Xм С ^] л VC(X*)^C(XM)V *
т.е. предъявлений, при которых нарушается условие О независимости от отбрасывания отвергнутых вариантов. Положим Сх = С, где С — аппроксимируемая функция выбора, и построим последовательность
( С^Х^ПС^Х") при X = Xе или X = Х\ I Ct(X) при X ^ X' и X Ф X".
Функция выбора С задана на конечном множестве вариантов. Поэтому через конечное число итераций г = /0 процедура выдает функцию C1q(X), для которой условие О выполняется. Эта функция и представляет собой нижнюю аппроксимацию функции выбора С в классе О.
В [29] установлен явный вид функций из фундаментальных областей Я, С и О и их пересечений, аппроксимирующих произвольную полную функцию выбора.
Утверждение 20. Г. Верхняя аппроксимация произвольной полной функции выбора С в классе Я имеет вид
СВ(Х) = U С(2)ПХ, z э х
а нижняя аппроксимация С в Я представима в виде
СН(Х) = Х\ U \Z\C(Z)V Z^X-
2°. Верхняя аппроксимация произвольной полной функции выбора Св классе С имеет вид
св(Х) ={ ye'xwxex 3Z^x. [xez] Л [yeC(Z)D,
а нижняя аппроксимация функции С в классе С существует только для С(Х) Е С (тривиальная ситуация).
3°. Верхняя аппроксимация функции выбора С в классе О существует только в тривиальной ситуации, когда С(Х) Е О, а нижняя аппроксимация С в классе О реализуется алгоритмом О (С).
4°. Нижняя аппроксимация произвольной функции выбора С в классе Я П О реализуется алгоритмом { Я, 0(C)}.
5°. Верхняя аппроксимация произвольной функции выбора С в классе НОС реализуется выявленным отношением Самуэлсона.
Пункт 5° утверждения 20 представляет собой следствие из утверждения 17.
В [29] - условия существования аппроксимаций, сформулированные для полных функций выбора, обобщены на случай частичных функций. В частности, в [29] показано, что утверждение 18 переносится на случай частичных функций выбора, если заменить в условиях 1°а, 1°б, 2°а, 2°б класс Q его подклассом Qo> содержащим полные функции выбора- из Q. Qo = Q И 2, где по-прежнему S - множество всех функций выбора с областью определения 2е.
Логическое описание функций выбора
Исследование функций выбора при конечном числе альтернатив и разработка различных форм представления сложных функций выбора через более простые существенно упрощается с помощью их логического описания, предложенного Л.А. Шоломовым в [51].
Не будем здесь различать варианты и их номера. Таким образом, G = {1,2,. .. , и). Будем задавать предъявленияX С G булевым набором X = (хх>..., хп), где xt = 1, если i Е X и xt = 0 при г £ X. Следовательно универсальному множеству G соответствует вектор (1,..., 1), а пустому множеству ф — вектор (0, . . . , 0). Пусть на G задана функция выбора С(Х). Выбор С(Х) описывается семейством булевых функций С^(ХХ /=!,...,«,
cww =cww =если i е CW>
cww =
cww =
0, если i 4 cw.
Условие CW - X в булевых терминах записывается в виде C^W = = x,C(/)(f (/>), где С^(Х^) — булева функция от п - 1 переменных, полученная из С^\Х) подстановкой х, = 1. Функция С^\^^^), если она отлична от константы, может быть записана в виде некоторой конъюнктивной нормальной формы
(1)(1)с^(х^ = л а^Чх^»
(1)
(1)
где ®^Чх^) = \!x®L Здесь s и / пробегают некоторые множества ин-
дексов, Oj Е (0, 1}, в запись х° означает х и х соответственно при а = = 1 и о = 0.
Условие принадлежности С(Х) к множеству 5° означает, что либо
C(O(jf(O) является константой, либо’
С^^Ъ»! ... xt_x xt*x... хп = хх... Xi-X xf+1 :.. х„.(2)
Последнее соотношение, как легко видеть, имеет место тогда и только тогда, когда в каждой дизъюнкции ®^ содержится некоторый член с отрицанием, т.е.
5151V/ ЕМ? Vs3/ : о, = 0.
51
51
4*
Булева функция С^(Х) описывает выбор варианта z без учета правильности выбора остальных вариантов. Набор функций С^\Х) для i = = 1, . . . , п является логическим представлением функции выбора С(Х").
Приведем логические описания некоторых простых функций выбора, с помощью которых можно формировать произвольные сложные функции.
Функция выбора Cr (X), соответствующая оптимизационному механизму доминирования по бинарному отношению R, определяется набором булевых функций-
c№) = xt Л xb i=\,...,n.(3)
R)^н-(t) '
Эта запись означает, что вариант f Е 1, л будет выбран, если i Е X и если любой вариант / Е 1, л такой, что (7, /) ^R, не входит в X.
Аналогичным образом, с функцией выбора CR (X), соответствующей механизму блокировки по бинарному отношению/?, можно связать систему булевых функций
CM)-*# л xb i = 1п.(4)
WfeGRw '
Вариант г Е 1, л будет отобран функцией выбора С(Х), если i Е X и если любой вариант / Е 1, л такой, что ( /, О Е R, не входит в X.
Функция выбора Cr^QO по допустимости, соответствующая механизму доминирующих ограничений по бинарному отношению R и заданному множеству вариантов U G, представимому булевым набором U = = («1, ё . . , ип) (ut = 1 при i Е U и Ut = 0 при i ^Ц), определяется системой булевых функций
С^ (X) = xi Л “b i Е Ln.
Аналогичным образом, функция выбора C^.yU (X) по допустимости, соответствующая механизму блокирующих ограничений по отношению R и заданному набору вариантов 17, может быть представлена системой булевых функций
Cf'^CX) = Xj Л йь i = 1,п.
(ОIGGrW
Установим теперь булево представление более сложных функций выбора. Начнем с последовательного выбора по набору отношений R = (Rb:..,Rk)...
По аналогии с полученными ранее выражениями для логических описаний функций выбора, отвечающих различным механизмам выбора, можно получить, что булевы функции С^ „ (X), описывающие последовательный выбор по первым Г отношениям (2 < / < к) , выражаются через функции с^...«,_,<^ ®“'-1 отношений по формулам
^V..»/^ - ^...я,.,^) ,е A(5)
Rt
Последовательно применяя эту формулу при t = 2, . . . , к» находим функции сУ\Х) 5 С^ нк^ - логические описания последовательного выбора по набору бинарных отношений. Здесь предполагается, что выбор на t-м шаге производится по бинарному отношению доминирования. Если на некотором шаге т варианты выбираются по отношению блокировки RTS то логическая операция л в последней формуле производится по jeGRT(f)=U UR-rO-
В частности, при двухэтапном выборе по отношениям блокировки Rx и R^ суперпозиции CR(X) = С^СС^ЛЭ) соответствует логическое описание
С«(Х) = ^«ЧХ) • %й 1е^1№%m -
= */( А X/ ) А (х/ V ( V xp )).(6)
i^GRW ieGRiW peGRi№
Если в последовательном выборе на каждом шаге выбор реализуется не бинарным отношением, а другим механизмом с известным логическим представлением, то результирующее булево описание функции выбора без труда определяется через составляющие логические функции. Пусть, например, функция выбора образована некоторой суперпозицией С(Х) = = С2(С1(ЛЭ). Для нее
^(У) = ^(Ср^А)Ср^)),i=lп.(7)
Зная булевы описания Сх и С2, нетрудно восстановить логические функции, соответствующие выбору С.
Пусть теперь С(Х) образована композицией
С(^ = ^.(^.....CtM),
где F^Yх . . . , Yk^ - монотонная (т.е. выражаемая через U и П) теоретико-множественная операция.
Логические представления С^\Х) предполагаются известными. Для того чтобы получить булево описание выбора С (ЛЭ, следует выразить F(YX, . . . , У^) через операции U и О и построить по ней булеву функцию /(уь .,. . , ук), заменив действия U и П на булевы операции V и А соответственно и аргументы У/ — булевыми переменными yt. Тогда логическое описание С^(Х) функции С (ЛЭ следующим образом выразится через булевы представления С^\Х) составляющих функций выбора:
С^Ф = /(C^W,..., С^Ф\ i = 1,..., п.
Используя приведенные соотношения, запишем булево представление функции выбора, реализуемой механизмом так называемого обобщенного математического программирования (см. гл. X).
Механизм обобщенного математического программирования (ОМП) представляет собой механизм оптимизации (доминирования или блокировки) по бинарному отношению Яо на допустимом множестве вариантов, определяемом системой ограничений по отношениям Rj доминирования
53
или блокировки и заданными множествами векторов Up. Механизм ОМП может быть записан в виде
Opt?? 0 (n и Adm^p, upQO) =
= OptRо (F(AdmR,, у, (X),..., Adm*m, umW)
(Adm - admissible — допустимый).
Здесь в зависимости от того, рассматриваются ли механизмы доминирования или блокировки,
Opt^PO ^^xEXXMyEXxR^,
AdmR^ и$^ = { х еX | Vи G Us xRsu), или
Opt^/X) = {xGX|V^GX yRox},
AdmRji U,(X) = { X GX | Vи G Us uR,x}.
F - монотонная теоретико-множественная операция.
Будем здесь для определенности рассматривать только механизмы доминирования.
Введем булевы переменные
( 1/ i^X,U, )^USt
I 0, i^X, 1 I 0, i№ и положим
X = <xx,..., xn\ Up = (u^,..., u^\ p = 1,... ,m,
U= (^.....UmY
Определим два набора булевых функций:
С^ЧХ Щ = 1 ~ f G AU Adm^, Up(X) =
- F(Adm^p Up (X), p G 1, m ),
С^ЧХ У) = 1 <=> z G OptRo(nUAdmRp, Up^= OptR.(C(X, U)).
Набору функций С^ЧХ UXi = 1n однозначно соответствует обобщенная функция выбора С(Х, £/), и=(Ц1,.,., U^, и наоборот.
Булевы описания С^\Х, Щ можно получить, если присутствующую в их определении теоретико-множественную функцию Е(¥1э . . . , Ут) выразить через операции П, U и сопоставить ей булеву функцию /(уь • • • > Ут^ заменив П и U логическими операциями Л и V и пере
обозначив аргументы У/ через yt. Учитывая введенные ранее булевы представления для функций выбора Cr^u . по допустимости, получаем
Л «<m>), /ея- (0 1Л «<m>), /ея- (0 1Cy4x,U) = xtf< Л «.<*), /еНд«) 1
Л «<m>), /ея- (0 1
Л «<m>), /ея- (0 1
где Я-(0 = ( /1 IRh-
В соответствии с логическим описанием функции выбора, отвечающей механизму доминирования по бинарному отношению Ro» получаем
CW(X, U) = C^QC, thCW(X, U) = C^QC, thследующее выражение для С^Хх t/) = OptRo(C^(X, U)):
CW(X, U) = C^QC, th
CW(X, U) = C^QC, th
= Xjf( Л ы.(1); /ея- «) IV /( Л й,(1),./еяйЮ 1= Xjf( Л ы.(1); /ея- «) IV /( Л й,(1),./еяйЮ 1Л СУЧХ th =,ghr^.
= Xjf( Л ы.(1); /ея- «) I
V /( Л й,(1),./еяйЮ 1
= Xjf( Л ы.(1); /ея- «) I
V /( Л й,(1),./еяйЮ 1
.., л и^)^ V*i v
/ея= (0 1 ieh- w
Л iifm>)\
ieHR (z) '
По известной обобщенной функции выбора С(Х, 1Г) могут быть выписаны соответствующие булевы функции С^\Х, U),i = 1,. .. , и. Если эти функции допускают представление приведенного выше вида, то, как нетрудно доказать, оно строится однозначно и по нему восстанавливается соответствующий механизм обобщенного математического програм-
мирования.
Воспользуемся логическими описаниями различных механизмов выбора для выражения произвольной функции выбора из класса 2° через простейшие функции, реализуемые строгими порядками [70]. Правда, это представление оказывается далеко не самым экономным. Однако, как мы увидим, в дальнейшем (см. гл. XII) оно служит основой для важных выводов о механизмах, реализующих произвольные функции выбора на конечном множестве вариантов.
Для упрощения рассуждений будем считать, что все варианты являются приемлемыми, т.е. условие (2) выполнено при всех i.
Как было сказано в начале этого параграфа, булево представление . любой функции выбора из S0 (если только С^(Х^) не является константой) может быть записано в виде‘
Cw(X°h= AS^^), S^«Vxp,(8)
где каждая дизъюнкция $^ содержит некоторый член х°1 с Оу = 0.
Сопоставим каждой дизъюнкции ®^ функцию выбора
Ct,s(X) = U ClMQC) U U CL4CLI$(X> ^CLiQh\ ~(9)
*/ IСГ/ = оf\Oj= 1
где£/ - строгий порядок со старшим элементом i^Lq — строгий порядок со старшим элементом г и следующим за ним элементом /. Через $ здесь обозначен индекс некоторой перепоенной xj, входящей в дизъюнкцию $^ с отрицанием. Такие переменные, как мы видели, должны содержаться в каждой дизъюнкции 3)^.
Положим
С^Х) = А СМ(Х).(Ю)
-S
Запишем 'булевы представления составляющих функций выбора (9). В соответствии с формулой (4) и с определениями CLM(X) иС^(Х) имеем
С^СЛ) = xi хь ^) W = Х5?Г
Сц^Х^ = ХЬ С^ = Х$Х<^
где ф =ЛXj.
I^GLt<s>J*i
Отсюда, используя представления (6) — (8), получаем
(C^UC^tf) = х^х, v xi4>Y
^U^i^-Xb
C^C^UC^Oy)^) = х^х$ v xf(xt V £)) = Х,(х? V Xj).
При установленных соотношениях булево описание функции выбора (9) принимает вид:
CW(X) = V xtXj V V х^х- V Xj)
*'sj\Oj=0/!»/=!1'
или, поскольку в силу (1) V Х°* = 2>^\ ■/ 1$
Cg(X) = xt(xs v Ж^)-
Переменная Ха поглощается дизъюнкцией SD^* ^. Поэтому С^ QC) = = х^З)^, и вследствие (10)
С^ЧХ) = л Cg(X) = х, ЛЗ)®.
Сравнивая полученное выражение с исходным логическим представлением (1) заданной (произвольной) функции выбора С (ЛЭ, получим
С^ф) = х^О^У
Как мы видели, условие С (ЛЭ - X в булевом описании функций выбора эквивалентно соотношению xtC^^X^ = С^ЛГ).
Мы получили таким образом, что:
С^ЧЛ = С<°(5).(11)
Это равенство получено в предположении С^ЧХ^) ^ const.
В случае С^\Х^^ = 1 зададим функцию CtQC) не формулой (10), а равенством Ct QCy = X; при этом соотношение (11) сохранится.
В результате при каждом г построена функция С/(ЛЭ, которая правильно описывает выбор f-го варианта вне связи с другими. Остается исключить зависимость от г и свести реализации CtQC) при разных / в одну.
Обозначим через £/-/ строгий порядок со старшим элементом / и младшим элементом /. Легко заметить, что
т. ,( 1 при /=/,
л (т 1"Чх^ = {
t*j w\ К^ « Xt ...xi_1xm...x*. при l¥=i.
Учитывая это соотношение и неравенство С^Чх^) Ж^ VI, вытекаю- щееиз (2) и (11), можно убедиться,что
V( Л c^-4xw)) сучх^) = С.(,Чх(,)) = C°\XW).
Это означает, чтог
С(Х) = и ( П СЬМ(Х»ПС,(Х).
Заменив каждую из функций С^(Х) ее выражением (9) —(10), получим представление функции СЕ Е° в виде
С() = nUC^^•(12)
где функции С^^Д-), С^з^-Х С^з^*^ порождаются строгими порядками.
Суперпозиции функций выбора C2(Ci(-)) соответствует последовательному (двухэтапному) применению механизмов выбора, реализующих Cj ( •) и С2 ( •). Композиция U A QA •) отвечает параллельному выбору / i
по каждой из функций Су ( •) и ’’совмещению” полученных таким образом вариантов. Следовательно, на приведенные здесь рассуждения можно смотреть как на обоснование утверждения 16 настоящей главы, которое может быть интерпретировано следующим образом.
Произвольная функция выбора C(J) Е 2° может быть реализована с помощью параллельной системы двухэтапных выборов из предъявления X с применением строгих порядков и компоновки полученных результатов при помощи некоторого набора теоретико-множественных операций.
Это, конечно, далеко не самый экономный из универсальных способов реализации произвольной функции выбора. Более экономные универсальные механизмы выбора будут рассмотрены далее.
Некоторые утверждения о функциях выбора
на непрерывных множествах
Почти во всех рассуждениях настоящей главы предполагалось, что функция выбора задана на дискретном множестве вариантов (альтернатив). В этом параграфе будут рассмотрены некоторые особенности функций выбора на непрерывных множествах.
Пусть ЭС — метрический компакт (компакт, в котором может быть введена метрика), 5 — семейство всех замкнутых подмножеств ЭС.
Точки компакта Сбудем называть аль тернативами, множествах €f- предъявлениями. Теоретико-множественная функция С (X) : ? -+? такая, что CQO^X V У Е ?9 называется функцией выбора на множестве ЭС альтернатив.
Альтернатива х называется приемлемой, если С({х}) Ф ф. В силу С({х}) ^(х) для приемлемых альтернатив С({х}) = {х). Альтернативы, для которых С((х}) = ф, будем называть неприемлемыми.
Предположим, что выполнены следующие условия.
условие строгого наследования
МХЕ? MYE?:Y^X
упс(;о^ф^с(У)=упс(У)
(выбор из подмножества включает всякую альтернативу, выбираемую из множества и лежащую в подмножестве).
если х Е X Е^ их приемлема, то С(Х) Ф ф (если предъявление содержит приемлемую альтернативу, то из него что-то выбирается);
множество ЯГ* всех приемлемых альтернатив непусто;
условия непрерывности: если Х< Е?, Xt^XE^nXj EXt та/
ковы, что xt т>х и X/ EC^Xj) VI, то х Е С(Х) (предел последователь/ -►«
ности альтернатив, выбираемых из сходящейся последовательности предъявлений, выбирается из предельного предъявления).
Напомним, что сходимость последовательности предъявлений Х< Е &, Xt► ХЕ ? означает:
ЧхЕХ 3{х/}: Х(ЕХ< Vi Xt► х
i -► ОО и
V{x,}: XiEXi Vi xi>x^xEX.
i-* oo
Такая сходимость называется сходимостью в метрике Хаусдорфа.
Имеет место
Утверждение 21. Пусть R — бинарное отношение на ЯГ* определяемое условием
хЕС((х,^}) => xRy.
Тогда R — полное, транзитивное, рефлексивное отношение (нестрогое предпочтение), непрерывное на ЯГ* (т.е. график отношения R замкнут в ЯГ* X ЯГ*).'
Доказательство.
‘ Г. При хЕ ЯГ* хЕС((х}) = С({х, х}), так чтоxRx, т.е.R рефлексивно.
2°. Пусть ^* - семейство всех замкнутых подмножеств ЯГ*. Ясно, что при X Е $\ фФХ по (ii) имеем С(Х) Фф,так как X содержит приемлемые альтернативы. Поэтому если х, у Е ОС*, то С({х, у}) Ф ф. Пусть, скажем, х Е С({х, у}). Тогда xRy. Если же у Е С({х, у)), то yRx. Так как С^х» у}) С {х, у), то других случаев быть не может. Следовательно, R полно.
3°. Пусть х, у, z Е ОС* и xRy, yRz. Проверим, что при этом xRz. Для этого рассмотрим А = С((х, у, z)) и докажем, что А Эх. Действительно, пусть А ^ х. Тогда возможно, что Л Э у. В этом случае С((х, у, z}) П А {х, у } Ф ф (это пересечение содержит у) и по (i)
С^х,у» = СЦх,у,г)) П {х,Я =4yL‘
поскольку х А = СЦх, у, z}). Но тогда
СЦх,у^ ={ у} => П(хЛу),
что противоречит условию.
Пусть теперь А ^ х и А фу. ТогдаЛ^{z}и С(\у, z}) = С({х, у, z)) П А { у, z } = ( z } по (i), так что С ({у, z}) = ( z}=>H ( yRz), что снова противоречит условию. Итак,х Е Л и по (i)
СЦх, z}) = C((x,y,z))n{x,z>- А П(х, z) Э х,
т.е. xRz. Транзитивность R доказана.
4°. Осталось проверить, что R непрерывно. Пусть xtRyt) xb yt Е Jr*, Xi *x,yt >у.
I -► «*i -* оо
Требуется доказать, что xRy. В самом деле,
Uf,yt}"U.yL х, е (Х^хьуАУ
xt► х * хеСЦх.у»
/ ОО
по (iv), так что xRy. Утверждение 21 полностью доказано.
Оказывается, что в условиях (i)-(iv) функция выбора может быть реализована скалярным экстремальным механизмом.
Имеет место
Утверждение 22. В условиях (i)-(iv) существует непрерывная функция/: ЭС ->ЕХ такая,что VX'E^ С(Х) = Arg max tf(x) | хЕЛГА Л**}и ЭС* замкнуто.
Доказательство 1 °. Проверим, что ЭС * замкнуто. Действительно, если xt Е ЭС*, Xi ► х, то предъявления {xz)► {х),ипо (iv)
/ оо/ -► оо
хЕ С({х}),такчтохЕ ЭС*.
2°. Проверим,что VXE^' С(Х) = С(Х ОЭС*).
В самом деле, "
(а) Пусть вначале CQC) Ф ф. Убедимся, что тогда С(Х) СХП ЭС*. Поскольку С(Х) — X, то надо проверить лишь, что С(Х) С ЭС*. Но если хЕС(Х), то С((х}) = С(Х) А {х} по (0,так что С({х}) ={х} Фф и х Е ЭС*. (Другими словами, если С (ЛЭ Ф, то С^Х) состоит лишь из приемлемых альтернатив.) Итак, при С(Х) Ф ф С(Х) СХ А ЭС*. Но тогда по (i) С(Х А ЭС*) = С(Х) А (ЛГ А ЭС*) = C(X). Следовательно, при С(ЛЭ # ф утверждение 2° доказано.-
(0) Пусть теперь С^Х) = ф . Тогда и С(Х А ЭС*) = ф (так как если х Е Е CQC А эс*), то х приемлем, но х Е X, а тогда по (ii) С(Х) Ф ф, что противоречит допущению). Итак, 2° доказано.
3°. В соответствии с утверждением 21 бинарное отношение R на ЭС*, определяемое условием х Е С ({х, у}.) ^xRy, рефлексивно, транзитивно, полно и непрерывно. (Далее будем считать, что все альтернативы х Е ЭС*, а предъявления X Е S’*.)‘•
4°. Как будет показано в § 6 гл. V, в условиях утверждения 21 бинарное отношение R имеет непрерывный индикатор
f0;X‘ -> Е1 (xRy ^Мх) ^Л^) Чх,у£Х*У•
Можно считать /0 сужением на X* непрерывной функции /: Х-*Ех (поскольку ЭС* замкнуто в ЭС ).
5°. Пусть ЛГЕ $*, ХФф. Проверим, что
(\Х) = Arg max(/(x) | хЕ X).
Пусть х Е С(Х). Тогда ^у Е X имеем по (i) СЦх, у)) = С(Х) А п { х, у} D х, так что xRy и/(х) > /(у). Отсюда
х Е Arg max{Дx,) | х ' ЕХ}.(13)
Обратно, пусть имеет место (13). Проверим, что х G С(Х). Пусть хе Е Е С(Х). Тогда по доказанному х* Е Arg max {/(V) |х' Е X), так что fW ~f(x*Y Это значит, что xRx*и x*Rx.
По определению тогда х Е С^х, х*}) и х* Е СЦх, х*)), так что С((^, х* }) = { х, х*}. Но { х, х*} П С(Х) D {хе)^ф и по (i) С({х, хе» = = С(Х) А { х, хе). Левая часть этого равенства, как мы видели, есть { х, хе). Отсюда
{х, хе) =С(х)П{х, хе) => хЕС^Х),
что и требовалось доказать.
Итак, С(Х) = Arg max {/(х) I х Е X ) при X Е ^^^ХЕ» С(%) = = С(ХП зс*^ = Arg max {/(х) | хЕХГ>^*>.
Утверждение доказано.
Глава IV
КЛАССИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ РАЦИОНАЛЬНОГО ВЫБОРА
Нормалыше функции выбора
Первые формальные работы по изучению взаимосвязей рационального выбора и определяющего его предпочтения принадлежат, по-види- мому, Е. Слуцкому и П. Саму элсону. Их результаты изложены в терминах и понятиях теории потребительского спроса. Цель таких работ - объяснение вектора спроса, выбираемого потребителем при заданных ценах и фиксированном доходе. В неформальных терминах методы получения функций спроса по так или иначе построенным предпочтениям и определяемой ими функций полезности рассматривались еще в конце прошлого века. Основой современной теории выбора можно считать работу Эрроу [73], в которой он, игнорируя специфику потребительского спроса, обобщил различные подходы к определению рационального выбора через свойства порождающих его бинарных отношений. Эрроу рассматривает непустой выбор CQC^ Ф ф УХ Ф ф и предполагает, что семейство ®, на котором определена С(Х), содержит все конечные подмножества множества G. Та же проблематика при менее жестких условиях рассматривалась в работах А.К. Сена [89,90]..
В этой главе рассматриваются только ’’классические” условия рационального выбора, т.е. обсуждаются лишь случаи, когда концепция выбора определяется бинарным отношением.
Уже отмечалось, что функцию выбора и бинарное отношение можно связать различными путями. Опишем* некоторые подходы к построению бинарного отношения по функции выбора.
Введем бинарное отношение Я, положив
Ух, у EG xRy ^ 3 ХЕ ^ : [хЕС(Х), уЕХ}.
Определим бинарное отношение Rc условием
Ух, у EG xRcy *=> хЕС^х,у^.
Введем отношение Р, полагая
Ух, yEG хРу ^3XES AxECQl\ уЕХ\<ХХ^.
В первом определении х ”по крайней мере не хуже” у, если х Е X выбирается, а у принадлежит предъявлению X и, значит у может быть также выбраш Бинарное отношение Rc индуцировано, функцией выбора в терминах попарного предъявления и сравнения. Бинарное отношение Р, отве-
чающее третьему определению, соответствует тому, что Эрроу для специальных бинарных отношений называет выявленным предпочтением. По отношению Р х предпочитается у, если х выбирается из X, а у Предъявляется, но отвергается. Бинарные отношения, порожденные одной и той же функцией выбора по разным определениям, приводят, вообще говоря, к различным результатам сравнения пар альтернатив. По отношению Р определяется отношение R выявленного нестрогого предпочтения: хку *=> уРх.
Отношение выявленного предпочтения Р индуцирует также отношение ’’неявно выявленного предпочтения” Р*, представляющее собой так называемое конечное замыкание Р; хР*у, если 3^ Е GJ = 0, 1, . . . , п: xQ = х, хп = у, х^хРх^ Отношение Р* будет использовано далее в сильной аксиоме выявленного предпочтения.
2. Рассмотрим функции выбора CR (X) и CR (АГ), порожденные бинарным отношением R (см. гл. II).
В силу определения двойственного к R бинарного отношения Rd (Rd = = ^‘ = (G XG)\R-1) ясно, что CR (У) = CRd (Г) и CR(X) = CRd(X). Поэтому из двух функций выбора, порожденных бинарным отношением Я, будем рассматривать одну (CR(X) или CR(X)).
Поставим в соответствие каждой функции выбора С(Х) ее образ — функцию Сд(АЭ, порожденную бинарным отношением R, построенным по С(Х):
CR(X) ={хеХ| МуЕХ xRy}.
Ясно, что С(Х) - G?W ЧХ Е® , так как по определению бинарного отношения, выявленного по С(АГ), х Е С(Х) означает, что МуЕ X имеет место xRy, т.е. х Е CR (AQ. Однако обратное включение может не выполняться.
Будем называть функцию выбора нормальной, если С(Х) = CR (АО МХЕ®. Нормальная функция выбора полностью определяется бинарным отношением R. Всякая нормальная функция представима некоторым бинарным отношением, и, наоборот, всякая функция, представимая отношением, нормальна.
Ясно, что далеко не все функции выбора являются нормальными.
При ® Ф 2G разным бинарным - отношениям могут соответствовать одинаковце функции выбора.
Условие нормальности полной функции выбора [89, 90] было сформулировано в утверждении 2 из § 2 гл. III. Оно выглядит следующим образом.
Теорема 1. Для нормальности полной функции выбора С^Х^ необходимо и достаточно, чтобы С(АГ) удовлетворяла соотношениям
(Я) если X С У, то С(АГ) 2 С(У) О АГ,
(С) ОД)ПС(АГ2) С С(Хх их2\
Напомним, что (Я) называется условием наследования, а (С) - условием согласия.
Паретовский и лексико-графический механизмы выбора (см. гл. III) порождают нормальные функции выбора Сп (X) и Сл (АГ). Функции выбора Сп (АГ) и Сл (АГ) индуцируют паретовское и лексикографическое бинарные отношения Rn и Ял (см. п. 1.2 гл. III).
62
Отношение Парето Rn определяется формулой
Чх.уЕС СЕ"
xRny ~{VJ€ 1,* х} > у) и 3/0 € 1, и: х/о > y,J.
Множеством Парето Gn называется множество
Gn ={xGG| Чу EG yR,xL
Чтобы определить лексико-графическое бинарное отношение Rn, зададим на { 1, 2, . .. , п } строгий порядок такой, что кг > кг> .. .> кп,г№ kt — номер координаты на i-м месте порядка.'
Отношение лексикографии Rn определяется формулой
Чх, yEG^ Еп xR„y <=> {[xki > УкхА» «ли
к*. = Ук, *хк1 >ykJ,
или , или [xkj = ук1хкп_х = Укп_х и Хкп > ^к„]} .
Отношения Яп и Rn могут быть записаны более компактно, если ввести функции
^X,y)=Xj - У].
Тогда.
xRny ** < 4fE 1, п Д,(х,у) > 0 и Э/о G 1, л: Д/о(х, у) > 0} ,
х«лу<=>{Дк1(х,у)>0, или [Дк1(х,у)=0 и Дкз(х,у)>0'], или . . .,
или [Дк/(х,у) = 0, iE 1, и- 1 и Д*я(х,/) > 0]} .
Отношения Rn и Rn инвариантны относительно переноса. Для них
^x-y = z-w} =>{xRy <=> zRw). '
Отношения Rn и Rn являются координатными отношениями. Для сравнения векторов х и у по этим отношениям достаточно располагать лишь информацией о знаках разностей одноименных координат.
Заметим,, что к координатным отношениям относится также часто используемое мажоритарное бинарное отношение Rmm (см* гл- Ш)> в соответствии с которым вектор х предпочитается вектору у9 если х превышает у в большем числе координат, чем у превышает х:
V х, у 6 G £ Еп xR^y ^ 2 sign (Д/(х, у)) > 0. /= 1
Приведем условие непустоты нормального выбора.
Теорема 2. Для того чтобы нормальный выбор С(АЭ = С* (%) был непуст для любого конечного X £ G, необходимо и достаточно, чтобы порождающее бинарное отношение было ациклично.
Доказательство. Проверим достаточность условия. Пусть R ациклично, х £ G, х Е X. Возможны два случая. Если VyEX имеет место уКх, тогда по определению нормального выбора х Е С(Х) и, следовательно, ФО непусто. Если же найдется у Е X такой, что *yRx9 то либо у Е С(Х)9 либо найдется z Е Х9 при котором имеет место zRy. Продолжая процесс и
63
учитывая конечность множества X и ацикличность R, найдем и Е X такой, что Vu Е X выполнено \)Ru, т.е. и Е С(Д). Таким образом, при ацикличном R нормальный выбор С(Х) = СК(Х) Ф ф.
Убедимся теперь в необходимости утверждения теоремы. Пусть R не ациклично. В этом случае найдется набор альтернатив xt Е G таких, что х< +iRxi (i = 1,. . . , к — 1) и XxRxk. Но тогда по определению выбора по отношению R для предъявления X = {хь х2,... »х^} выбор CQC) = C^QC) пуст. Теорема доказана.
Доказанное утверждение подтверждает высказанный ранее тезис о том, что ацикличность является минимальным требованием для рациональности выбора, порожденного бинарным отношением.
Назовем функцию выбора С(Д) транзитивной» если
Ж U Д2) = С(Хх)Ф ф9
С(Х2 иД3) = С(Х2) Ф ф>^ С(Хх ОД3) = С^).
Введение понятия оправдывается следующим утверждением [31].
Теорема 3. Если бинарное отношение R транзитивно, то и порождаемая им нормальная функция выбора CR(X) транзитивна.
Доказательство. Пусть Cr^X U У) = CR(X) Фф . Это значит, что Vx Е CR(X) и Vy Е У имеет место xRy. Аналогично, если CR^Y UZ) = = СЛ(У) Ф ф, то Vy Е C^Y^» Vz Е Z» справедливо yRz. В силу транзитивности R отсюда следует, что Vx Е CR(X) и Vz EZ имеет место xRz» а это значит, что CRQC> £ CR(X UZ).
Очевидно, что (Vx Е (X\CR(Довыполнено х$ CR(XU Z)V Пусть г Е Е Z\X и z Е CR(Ди Z). Тогда VxG X имеет местоzRx»и,следовательно, Vy Е У справедливо zRy» т.е. z Е CR (YU Z). Это значит, что г Е CR (У) С С У. Отсюда следует, что yRx VxE X. Полученное соотношение противоречит принятому предположению CR (X U У) = CR (Д). Теорема доказана.
Выше был введен паретовский механизм выбора и соответственно паретовская функция выбора Сп (Д).
Напомним в несколько иной форме два характеристических свойства паретовского выбора, приведенные в утверждениях 7 и 8 гл. III.
Класс паретовских функций выбора совпадает с классом нормальных функций выбора, удовлетворяющих условию
(О) {С(Х) С у С дг) => { С(У) = С(Д)}, называемому условием отбрасывания отвергнутых альтернатив.
Функция выбора СП(Д) является паретовской тогда и только тогда, когда она порождается антирефлексивным транзитивным бинарным отношением (т.е. качественным порядком).
Взаимосвязь между условиями рационального выбора
Рассмотрим, следуя К.Дж. Эрроу [73], пять условий, которые могут быть приняты в качестве определений рационального выбора, и установим взаимосвязи между ними. Будем рассматривать лишь полные функции выбора, т.е. функции, для которых ® = 2G.
(Cl) Если ЗХ такой, что х Е С(Х) и у Е С(Х), то хР*у.
(С2) Если XQ У, то Х\С(Х)С Y\C(Y).
(СЗ) Если Х^ У, то С(У) П X С С(Х).
(С4) Если Х^ Y и С(У) ИХ ^ф5то С(Х) = C(Y) ИХ.
(С5) Если хРу, то не существует такого У, что х Е У и у Е С(У).
Условие (С 1) рационального выбора называется сильной аксиомой выявленного предпочтения. Условие (С1) означает, что если х и у - две альтернативы, отобранные из предъявления X посредством функции выбора С(Х), то бинарное отношение Р* неявно выявленного предпочтения не может ’’предпочесть” одну из этих альтернатив другой.
Более слабое (как мы увидим дальше) условие (С2) означает, что если некоторая альтернатива не выбрана из предъявления X, то она не выбирается и при расширении предъявляемого множества альтернатив.
Условие (СЗ) (эквивалентное, как мы увидим далее, условию (С2)) предъявляет собой условие наследования, а несколько более сильное условие (С4) - условие строгого наследования. Условие (С4) означает, что если предъявление У сужается до X и при этом все еще содержит часть элементов из С(У), то ни одна ранее не выбранная альтернатива не может быть выбрана, и ни одна из выбранных альтернатив не отвергается.
Условие (С5) рационального выбора называется слабой аксиомой выявленного предпочтения. Условие (С5) означает, что если бинарное отношение Р выявленного предпочтения ’’предпочитает” альтернативу х альтернативе у, то не существует предъявления У, содержащего х, при котором С(У) отберет у.
Установим теперь взаимосвязь между приведенными условиями рационального выбора.
Теорема 4. Имеет место логическое следование условий рационального выбора, изображенное стрелками на ребрах графа Г с вершинами (С1)-(С5) (рис. 4.1).
Доказательство.
Убедимся, что (С1) =* (С5). Пусть это не так: (С1) имеет место, а (С5) — нет. Из того, что (С5) не выполняется, следует, что можно выбрать альтернативыхиу и предъявление У так, что хРу, х Е У и у Е С(У). При этом возможны два случая: либо х Е У\С(У), либо х Е С(У). Если х Е У\С(У), то уРх. По определению отношения Р* неявно выявленного предпочтения имеем тогда уР* у, что противоречит условию (С1) при х =у. Если же хЕ C(Y), то снова получаем противоречие с (С1), так как* при этом хРу=*хР*у, несмотря на то, что хЕС(У) и yEC(Y).
Докажем, что (С4) =► (С5). Пусть это не так: (С4) выполняется, а (С5) - нет. 'Тогда существуют альтернативы хиу и предъявления X и У такие, что
xECVXY уЕХ\С{Х\ xEY, yEC{Y\ (»)
Из первых двух включений следует, что {х, у) СХ, а (х, у } П С(Х) содержит единственный элемент х. Тогда из (С4) следует, что С({ х, у }) = = х. Но из х Е У и у Е С(У) (см. (♦)) следует, что {х, у) С У, а из у Е Е C(Y) следует (х, у} О С(У)=£ фиуЕ {х,у} П С( У). При этих условиях (С4) ^у Е С({ х, у ) ), что противоречит (если х Фу^ только что полу- s. Д.Б. Юдин 65
ченному соотношению СЦх, у }) = х. Но х = у исключается первыми двумя включениями из (*). Таким образом, (С4) •* (С5).
Проверим теперь, что справедливо и обратное следование: (С5) * * (С4). Пусть это не так: выполняется (С5) и при X С Y и С(У) Л X * ф имеет место С(Х) * С(У) Л X.
Возможен один из двух случаев: либо С(Х)\[С(Т) Л X] =£флибо [С(У) А Х]\С(Х) ^ ф. Пусть имеет место первый случай и у Е Е С(Х)\ [С(У) А X], X Е С(У) А X. Тогда х Е С(У), у Е Y (поскольку
уЕ С(Х) С X С У) иу£С(У) (поскольку у^С(У) О ХиуЕХ). Таким образом, у Е У\С(У) и, следовательно, хРу. Но то, что при этом у Е С(Х)9 х Е Х9 противоречит (С5). Поэтому в рассматриваемом случае (С5) => (С4).
Пусть теперь имеет место второй случай: уЕ [С(У) A Х]\С(Х), х Е Е С(Х). Тогда х Е С(Х) 9у Е Х\С(Х), так что хРу. Но при этом х Е С(Х) С СХС Y и у Е Х\С(Х), что опять противоречит (С5). Таким образом, и в этом случае (С5) =* (С4). Итак, доказано, что (С4) *=► (С5).
Утверждение (С4) * (СЗ) очевидно при С(У) ПХ^ф. Если же С(У)А А X = ф, то (СЗ) имеет место в любом случае. -
Докажем, что (С2) * (СЗ). Пусть X С У. Если выполняется (С2), то [Х\С(Х) ] А С(У) = ф или, что то же самое, [С(У) А X] \С(Х) = ф9 что, в свою очередь, эквивалентно (СЗ). Итак, (С2) => (СЗ). Справедливо и обратное. Если выполняется (СЗ), то [С(У) О ^] \С(Х) = ф или, что то же самое, С(У) А (Х\С(Х)] = ф. Но [Х\С(Х)] С X С У. Отсюда следует условие (С2). Таким образом, (С2) *► (СЗ). Теорема полностью доказана.
До сих пор мы не предполагали специальных свойств бинарного отношения Р выявленного предпочтения и не делали никаких допущений о структуре С(Х).
Пусть теперь R — нестрогое предпочтение, Cr (X) — функция выбора, порожденная предпочтением R9 a Rc — бинарное отношение, индуцированное функцией Cr (X) посредством попарного сравнения (xRcy, если xEC^((x,.y}). Имеет место следующее утверждение:
Теорема 5. Cr (X) удовлетворяет условиям (С1) — (С5). Кроме того, R=Ro
Доказательство. Убедимся в справедливости свойства (С 1) для функции выбора CR (X).
По определению Cr (X) = lx Е X\xRy Vy E X} . Как мы видели, нестрогое предпочтение R определяет отношение Р = Л\А-1 такое, что если найдется X С G, для которого х Е Cr (X) ,у Е X\CR (X), то ^Ру.
~ Функция выбора Cr (X) порождает бинарное отношение Р: Vx, у EG хРу в том и только в том случае, если ЗХ С G: {xECR(X),yE Е X\Cr (X) }. В свою очередь Р индуцирует отношение Р*: хР*у, если 3xtEXJ =0,1,...^п: х0 = х,хп =yzxl_xPxl.
Из определения Р следует, что хРу =► хРу, а в силу транзитивности Р хР*у^хРу. '
Допустим теперь, что ЗХ С G ^ х» у Е CR (X) такие, что хР*у. Тогда будем иметь, что хРу и у Е JT\C(J). Мы пришли к противоречию. Следовательно, y^CRQC^xP*y при х. Справедливость условия (С1) для Cr (X) доказана.
Из теоремы 4 следует тогда, что CR (X) удовлетворяет и свойствам (С2) —(С5). Фунция выбора Cr^X) индуцирует бинарное отношение R^ для которого xRcy, тогда и только тогда, когда х Е Cr ({ х, у }).
По определению Cr (X) х Е Cr^x, у } ) в том и только в том случае, когда xRy и xRx. В силу рефлексивности нестрогого предпочтения xRx имеет место для всех х. Это значит, что xRcy тогда и только тогда, когда xRy, т.е. R=RC. Теорема доказана.
Докажем теперь утверждение, в некотором смысле обратное теореме 5.
Теорема 6. Пусть функция непустого выбора С(Х) удовлетворяет свойству (Cl), (С4) или (С5), R - бинарное отношение, индуцируемое С (%) по формуле
xRy, если хЕСЦх.у}),
a Cr (X) — функция выбора, определяемая R по формуле
CR(X)=UEX\VyEX xRy}.
Тогда R - нестрогое предпочтение, a Cr (X) = С(Х).
Доказательство. В силу теоремы 4 достаточно предположить, что CQC) удовлетворяет (С4). По условию выбор непуст, и функция выбора определена для всех конечных предъявлений, принадлежащих множеству ® = 2е, и, в частности, для произвольной пары альтернатив{х, yY- Это значит, что всегда либо х Е С({х, у}), либо у Е С({х,у}). Следовательно, для бинарного' отношения R, определяемого функцией выбора С(Х), всегда выполняется либо xRy, либо yRx, т.е. бинарное отношение R удовлетворяет условию полноты. Поскольку эти рассуждения справедливы и при х = у, то отношение R и рефлексивно. Покажем, что R, кроме того, транзитивно.
Положим, что имеют место xRy и yRz. Если у = z или х = у, то соотношение xRz очевидно. Пусть теперь х, у» г различны, а предъявление X состоит из этих трех альтернатив, и при этом х С(Х). Если у Е С(Х), то {х, у} ПСУ^^ф, и по условию (С4) имеет место СЦх, у^ = = {х, у} П С(Х). По предположению xRy, т.е. х Е С({х, у} ), и, следовательно, х Е С(Х). Мы пришли к противоречию. Поэтому предположение у Е С(Х) неверно и х С(Х) =*у С(Х). Точно так же убеждаемся, что У ф С(Х) ^ z ф С(Х), Таким образом, в принятых допущениях С(X) = 0,
что противоречит исходному условию о непустоте выбора при любом предъявлении X С G. Это значит, что предположение х £ С(Х) неверно. Итак, х Е С(Х). Тогда х Е { х, z} А С (XV и, следовательно, {х, z} А А С(Х) Ф ф. Поэтому условие (С4) приводит к х Е С((х, z)) или, что то же самое, к xRz. Мы доказали транзитивность R. Следовательно, отношение R полно, рефлексивно и транзитивно и является, таким образом, нестрогим предпочтением.
Покажем, что С(Х) = CR(X). Пустьх Е С(Х),уЕ X. Тогдах Е {х,у ) А А С(А) и, следовательно, х Е С({х, у)) или, что то же,хРу Чу Е X. По определению нормальной функции выбора х Е CR (X) • Таким образом, C(X)CCR(X).
Пусть теперь х Е CR (А), у Е С(Х). Тогда {х, у } А С(Х) Ф ф. Поскольку xRy, то х Е С({х, у)) = {х, у^ A CQC) С С(А), так что CR (х) С С С(Х). Сопоставляя это включение с полученным ранее, находим С(Х) = = CR (X). Теорема доказана.
Установленный результат позволяет усилить утверждение теоремы 4. Имеет место
Теорема 7. Для непустого выбора условие (С1) эквивалентно условиям (С4) и (С5).
Доказательство. Утверждения (С 1) =* (С4) и (С1) =► (С5) следуют из теоремы 4. Докажем обратное: (С1) вытекает из (С4) или (С5). Пусть С(Х) удовлетворяет условию (С4) или (С5). Тогда по теореме б С(Х) = CR (А), где CR (X) - нормальная функция выбора, определяемая нестрогим предпочтением R. По теореме 5 CR (А) удовлетворяет условию (С1).
Узава [91] показал, что условия (С2) или (СЗ) недостаточно для справедливости утверждения теоремы 6. Однако если С (А) - однозначная функция выбора (т.е. определяет единственную альтернативу для каждого предъявления А), то условие (С2) оказывается достаточным для того, чтобы отношение R, определяемое функцией выбора С (А), было нестрогим предпочтением и чтобы С (А) = С^(А).
Однозначная функция выбора представляет интерес для технических приложений, где единственность решения — естественное свойство управления и проектирования. Однако в экономических и социальных приложениях теории принятия решений однозначность выбора является ограничительным обстоятельством. Оно исключает возможность безразличия и предъявляет таким образом жесткие требования к рациональному поведению.
Аксиомы классического рационального выбора
А.К. Сен [89, 90] расширил и в известной степени завершил (для конечного числа вариантов) исследования Эрроу и Узавы по рациональному выбору, основанному на бинарных отношениях.
В предыдущем параграфе приведено три способа построения бинарного отношения по функции выбора:
1°. {3AES: [хЕС(А), уЕХ^ ^xRy.
Соответственно строгое бинарное отношение Р = R^ и отношение / = 68
= R ^ определяются формулами:
хРу о (yRx) Л (xRy\.
хIу о (xRy) л (уЯх).
2°. хЕСЦх,уП^хРсу.
Соответственно
хРсУ ^(yRcX^txRcy^
xlcy о (xRcy) л (yRcx).'
3°. 3X6$: {х6С(Д ^еХ\С(Г)} ^хРу.
Соответственно
xRy ^уРх,
хТу о (х^) Л (уRx).
Следующий пример [89] иллюстрирует различие между разными определениями бинарных отношений по одной и той же функции выбора. Пусть функция выбора следующим образом определена на множестве (x,^,z) :
x = C<U,y>X У~С((у,г}У х = С({х, z}), у = C^x,y,z)).
В соответствии с приведенными отношениями получаем:
xJy, yPz и xPz»
. xPcyt yPcz и xPcz,
xPy, yPz, xPz и уРх.
Из этого примера видно, что отношение Р может оказаться неасимметричным, т.е. Р не обязательно совпадает с R ^. Можно непосредственно убедиться в том, что при любых функциях выбора С(Х)
R = Rc~(P = Pc)*U = Ic),
Rc = R^(Pc^P)^c^7y
R = Ro(P=P)^(^ I).
Для нормальной функции выбора, т.е. для С(Х) - CR (X) ^xGXlVyEX xRy}, X £ G9 имеет место R = RC9 но из R = Rc не следует, что функция выбора нормальна. Если R = R9 то функция выбора нормальна, хотя обратное не гарантируется - из нормальности фукнции выбора, вообще говоря, не следует R = R._~
Как мы видели в п. 1.1 § 1, отношение выявленного предпочтения Р индуцирует отношение ’’неявно выявленного предпочтения” Р*9 представляющее собой конечное замыкание Р. Аналогичным образом отношение R порождает так называемое отношение ’’неявно выявленного предпочтения в широком смысле” (обозначаемое далее через W), представляющее собой конечное замыкание R :
х Wy9 если 3 xt Е G9 / = 0, 1,..., п; •
х0=х9 хп=у : х4_х Rxj.
Отношение IV будет использовано ниже при рассмотрении аксиом рационального выбора.
В приведенных понятиях может быть сформулирован более широкий список аксиом классического рационального выбора, чем в предыдущем параграфе, и доказана их эквивалентность.
Рассмотрение ряда различных интуитивно приемлемых аксиом дает (при совпадении представимых ими классов функций выбора) известное основание для аргументации определения классического рационального выбора.
Будем рассматривать следующие аксиомы рационального выбора (здесь R, Rc, R, Р и W - отношения, определенные выше по функции выбора, Р* — конечное замыкание Р, a W - конечное замыкание R) :
(Al) R является нестрогим предпочтением и С (ЛЭ нормальна,
(А2) Rc является нестрогим предпочтением и С (ЛЭ нормальна,
(АЗ) xRy =► { V X из у Е С(Х) и х Е X следует х Е С(Х) ) ,
(А4) х Wy => { ЧХ из у Е С(Х) ихЕХ следует х Е С(ЛЭ) ,
(А5) xPy^yRx,
(Аб) xP*y^yRx,
(М) R = R,
(А8) Rc=R и С (Л) нормальна.
Имеет место следующее утверждение [89], расширяющее результаты предыдущего параграфа.
Утверждение 1. Условия (А1)-(А8) эквивалентны.
Отдельные фрагменты этого утверждения рассматривались в различных работах. Некоторые расхождения в формулировках результатов, которые можно заметить, объясняются тем, что в одних статьях в качестве предъявлений рассматривались произвольные подмножества G, в других — допускались только предъявления из заданного подмножества множества G. Кроме того, одни работы предполагали многозначность функции выбора, другие - исходили из однозначных (элементнозначных) функций выбора.
Для однозначных функций выбора справедливо
Утверждение 2. Однозначная функция выбора нормальна в том и только в том случае, если R - строгое предпочтение.
Рассмотрим еще несколько аксиом ’’слабой” рациональности, которые при определенных условиях эквивалентны аксиомам (А1)-(А8) классической рациональности.
(А9) Для любых X, Y С G и Vx Е X из х Е С(У) и X С Y следует х Е ec(Z).
Это так называемое свойство а, введенное Черновым [77]. Оно означает, что если х выбирается из некоторого множества У, то он выбирается из всех его подмножеств. Свойство а совпадает с введенным ранее свойством наследования
(АЮ) Для любых X. УС GMx, уЕС^^т Х^ Y, то xEC(Y) только вместе с у Е C(Y).
Это — так называемое свойство 0, введенное Сеном в [89] .Оноозначает, что если х и у выбираются в X С У, то х выбираются в Угольков том случае, если и у выбирается в У.
(All) Пусть M - любой класс предъявлений, а V - объединение всех множеств изМ. Тогда если х Е С(Х) VХЕМ, то х Е С(К).
Условие (АН) означает, что если х выбирается из каждого предъявления некоторого класса, то он выбирается и из объединения предъявлений класса. Оно эквивалентно введенному ранее условию согласия.
(А12) Для любых X, YSzG ъЧх,уЕ С(Х) из X С Y следует, что {х} # *C(Y).
Условие (А12) означает, что если х и у выбираются из предъявления X С У, то ни один из них не представляет однозначного (единственного) выбора в Y.*
Имеют место следующие утверждения.
Утверждения 3. Любая нормальная функция выбора удовлетворяет аксиоме (А9).
Утверждение 4. Однозначная функция выбора удовлетворяет аксиоме (А9) в том и только в том случае, если она удовлетворяет аксиоме (АЗ).
Таким образом, однозначная функция выбора, удовлетворяющая условию (А9), удовлетворяет и (А1)-(А8).
Утверждение 5. Для любой функции выбора условие (А9) означает, что Я =Rc.
Утверждение 6. Любая функция выбора удовлетворяет (АЗ) в том и только в том случае, если она удовлетворяет условиям (А9) и (АЮ).
Таким образом, совместное выполнение условий (А9) и (АЮ) эквивалентно классической рациональности выбора, т.е. выполнению любой из аксиом (А1)-(А8). Это значит, в частности, что (А9) и (АЮ) совместно равносильны аксиоме (А1) и, следовательно, обеспечивают нормальность и транзитивность функции выбора. Теорема 1 настоящей главы означает, что совместное выполнение условий (А9) и (АП) является необходимым и достаточным условием нормальности функций выбора.
Промежуточным свойством функции выбора между нормальностью и нормальностью и транзитивностью является нормальность и квазитранзитивность.
Функция выбора квазитранзитивна, если она порождается квазитран- зитивным отношением (напомним, что нестрогое бинарное отношение квазитранзитивно, если отвечающее ему строгое отношение Р транзитивно. Соответдтвуюшее отношение безразличия / может быть нетранзитивным) .
Утверждение 7. Для нормальной функции выбора CR (X) порождающее ее бинарное соотношение R квазитранзитивно в том и только в том слу чае, когда выполняется условие (А 12).
Глава V
ОПТИМИЗАЦИЯ ПО БИНАРНОМУ ОТНОШЕНИЮ И ИНДИКАТОРЫ
Определение Р- и Р-оптимальности
В последующих главах важную роль играет выбор вариантов, ’’оптимальных” по тому или иному (специальному) бинарному отношению. В связи с этим рассмотрим возможные определения оптимальности по бинарным отношениям. Разные аспекты этой проблемы изучались в [21], [23], [50], [73], [34], [71]. Рассмотрим отдельно случаи строгого (асимметричного) Р и нестрогого R бинарного отношения.
Пусть Р строгое отношение на G._
1°а. Назовем элемент х* Е G максимальным по отношение Р, если у Ас* Му EG.
2°а. Назовем элемент х*Е G наибольшим элементом G по отношению Р, если Му Е G,y Ф х*, имеет место х*Ру.
Пусть теперь R - нестрогое отношение на G.
1°б. Назовем элемент х* Е G максимальным по R» если yRx* =► x*Ry Му EG.
2°б. Назовем элемент х* Е G строго максимальным по R, если yRx* =* =*х* = у Му EG.
3°б. Назовем элемент х*Е G наибольшим по R, если x*Ry Му Е G.
4°б. Назовем элемент х*Е G строго наибольшим поА,еслих*Ау Му Е G nyRx*=*x* = y Му EG.
Вычисление максимального элемента часто называют оптимизацией по блокировке, а наибольшего - оптимизацией по доминированию.
Элемент х* является максимальным для некоторого отношения R в том и только в том случае, когда он оказывается максимальным для строгого отношения Р1 =R^°\ совпадающего с асимметричной частью R.
Наибольший элемент по А и максимальный по Р - двойственные понятия. Элемент х* является P-максимальным в том и только в том случае, когда он является наибольшим для отношения А' = Pd. И, наоборот, элемент х* является R-наибольшим в том и только в том случае, когда он максимален для отношения Р' = Rd.
Для нестрогого упорядочения R понятие строго наибольшего по R элемента совпадает с понятием строго максимального элемента.
Приведем другие определения оптимальных по бинарному отношению элементов, которые при некоторых условиях эквивалентны прежним. Новые определения допускают естественные обобщения понятия оптимального по R элемента множества G.
Введем обозначения Gr(x), Hr(x), Er(x), Nr(x), Gr(x), Hr(x) для множеств элементов, ’’строго предпочитаемых х по R”, ’’строго подчиненных х по R'\ ’’эквивалентных х по R”, ’’несравнимых с х noR'\ ”нестрого предпочитаемыхх по R” и ’’нестрого подчиненных х по R”.
Gr(x)= {y^G, уФх XyRxAxRy^,•
H°r<x) = U6G, у^Х \xRyAyRx},
Er (x) = {У E G, у Ф x | xRy KyRx} U { x},
Nr (x) = {у E G, уФх | xRy AyRx} ,-
^(x) = G^(x)U^(x),
Hr(x) = HUx)UEr(x\
Заметим, что все определения оптимального элемента по произвольному бинарному отношению R, приведенные в предыдущем пункте, могут быть сформулированы в единой стандартной форме. Элемент х* Е G есть оптимальный поR элементна множестве вариантов G, если GR (х*) = ф.
Рассмотрим следующие четыре ,множества — объединения некоторых из перечисленных множеств:
sk 00 = Hr (х) U ER(x) U Nr<x\
Sr(x) = Hr(x)UNr(x),
S3r(x^H°r(x)UEr(x),
^(х) = Я^(х).
Множества S^(x), к = 1 -г 4, порождают четыре множества
®K« = {/eG|S^(x)C SfcMl.
Подчеркнем, что здесь С — знак строгого включения. Поэтому х ^
Зафиксируем некоторое подмножество D С G.
Назовем точку х* Е D к-максимальным элементом (по отношению R на множествеDС G, если SR(x*) является максимальным по включению элементом семейства { 5 ^(х), х Е Р} , 1 <к <4, т.е. если 3z Е D; SR(z) D DS*(x*)..
_ Другими словами, х* Е D является ^-максимальным элементом, если 3z ЕР такого, что $R(z) HDG ^r(x*) ПР.
Множества Sr (х) , 1 < к < 4, представляют собой множества, ’’подчиненные” элементу х отношением R в интуитивно приемлемом смысле. При этом ’’максимальным” Sr(х) отвечают ’’минимальные” G\Sr(x).
Отметим, что G \Sr (х) = Gr(x\
■ G\S2r(x) = Gr(x\
6\5^(х) = 6^(х)иЯя(х), G\SUx) = Gr(x)UNr(x)
— естественные семейства элементов, ”не худших по R, чем х”.
Сопоставим теперь приведенные ранее определения оптимальных по PkR элементов с определением максимального по включению элемента.
Пусть Р — строгое бинарное отношение на G. Нетрудно непосредственно убедиться в справедливости следующего утверждения.
Утверждение 1р.
1°а. Элемент х* максимальный по строгому бинарному отношению Р, представляет собой 2-максимальный по Р элемент, для которого
5>(х*) = Я$(х*)иЯР(х*) = С\{х*} .
2°а. Элемент х* наибольший по строгому бинарному отношению Р, представляет собой 4-максимальный по Р элемент, для которого
^(х*) = Я$(х*) = С\{х*}.
Заметим, что такого элемента х* для которого Sp (х*) = G \ { х* } (соответственно Sp (х») = G \ ( х* }), может не существовать. Но среди множеств ( Sp(x), х Е G } (соответственно Sp^, х Е G) при этом может существовать (а в случае конечного числа альтернатив — всегда существует) максимальное по включению множество. Соответствующий ему элемент х* будет максимальным (соответственно наибольшим) элементом в новой постановке.
Обозначим через G€ максимальное по включению подмножество G такое, что рх (G, G€) = е (рх - расстояние по Хаусдорфу).
Тогда естественно под е-максимальным (соответственно под е-наибольшим) элементом подразумевать элемент х*, для которого Sp(x£) D G€ (соответственно Sp(x^) D G€). Ясно, что такого элемента может не существовать. В то же время в приведенном в § 5 гл. VIII определении в-оптимального по включению элемента такое приближенное решение существует всегда, когда С^ф.
Пусть теперь R — нестрогое бинарное отношение. Сопоставляя определения 1°б — 4°б оптимальных по R элементов с определением ^-максимальных по R элементов, нетрудно убедиться в справедливости следующего утверждения.
Утверждение 1^.
1°б. Элемент х* максимальный по нестрогому бинарному отношению/?, представляет собой 1-максимальный по R элемент, для которого
S^-H^x^ U Ер (х*) U Nr(x*) = G.
2°б. Элемент х* строго максимальный по нестрогому бинарному отношению R, представляет собой 2-максимальный noR элемент, для которого
^(*9 = Я£(*9иЯл(х^^.
3°б. Элемент х», наибольший по нестрогому бинарному отношению R, представляет собой 3-максимальный по R элемент, для которого
4°б. Элемент х* строго наибольший по нестрогому бинарному отношению R, представляет собой 4-максимальный по R элемент, для которого
^(х*) = Я&(х*) = 6\(х*}.
Как видим, ^-оптимальность, которая сводится к оптимизации по включению множества SR(xy существенно более широкое понятие, чем традиционная Р- или R -оптимальность, ^-максимальный по бинарному отношению 74
R элемент x* оказывается и R -оптимальным в традиционном смысле, если Sr(x*") совпадает (в зависимости от типа традиционной оптимизации) с G или с G \ {х*}. Это весьма жесткое требование, и таких элементов может не существовать.
В следующем простом примере бинарного отношения, заданного приведенным на рис. 5.1 нетранзитивным графом, не существует максимального элемента в смысле любого из приведенных традиционных определений.
Однако относительно этого бинарного отношения существуют 1-максимальные элементы. Это элементы Л, В, С, Л ь Bi, Ci.
Традиционное понятие ’’оптимизация по бинарному отношению А”, истолковываемое как доминирование или блокировка по R, страдает рядом недостатков. Нетранзитивность отношений не позволяет использовать для поиска решений эффективные итеративные вычислительные методы. Выбор по отношению, имеющему циклы, может оказаться пустым. Конструктивные методы оптимизации бинарного отношения R на компактных множествах G разработаны только для вогнутых целевых бинарных отношений. ■
Возникает необходимость в обобщении понятие Opt# G, позволяющем эффективно вычислять множества R -оптимальных элементов в тех случаях, когда они существуют, и естественным (интуитивно оправданным) способом расширить понятие R -оптимальности, когда традиционные определения приводят к пустому выбору.
Определение &-оптимальности не уступает в содержательном смысле традиционным определениям оптимальности по бинарному отношению, однако позволяет при этом избежать некоторых недостатков, присущих им. Сопоставление вариантов по бинарному отношению R производится на основе мажорируемых ими множеств альтернатив.
Меняя понятие мажорируемости, получаем различные типы выбора. С бинарным отношением R связывается частичный порядок, индуцируемый отношением включения множеств, и, таким образом, преодолевается ряд трудностей, обусловленных традиционными определениями Opt#G.
Определение ^-максимальных по R элементов естественно, но оно отнюдь не исчерпывает возможные интуитивно оправданные определения Opt#G. Более того, представляются возможными расширения подходов к выбору по бинарному отношению, обогащающие понятие оптимальности, позволяющие учитывать дополнительные требования к решению и в извест-
75
ной мере соответствующие выбору опытных специалистов в сложных ситуациях [71].
Свяжем с каждым бинарным отношением R некоторую частичную функцию выбора C(GR(x) UNr(x)). Будем называть ее корректирующей функцией выбора, а соответствующую оптимизацию — (R, (^-оптимизацией.
Смысл этой функции выбора в том, что из самого широкого множества точек, ”не худших по R” точки х, выбирается подмножество, точки которого, и только они, в дальнейшем считаются точками, не худшими данной точки х относительно R. (R, С)-оптимизацию можно интерпретировать как подход к учету субъективных предпочтений лица, принимающего решение, в рамках, определяемых бинарным отношением/?. Условие х Е C^Gr 00 и U NR 00 ) означает, что точка х не хуже у и относительно нового бинарного отношения W:
W = ( (х, у) | х Е C(GR(y) U NR(у))}.
Таким образом, (R, С)-оптимизация представляет собой составной выбор по R» учитывающий дополнительные условия, накладываемые корректирующей функцией С( •).
Поясним это следующими примерами.
Пример 1. Пусть на множестве G необходимо найти точку х», для которой H^r (х*) является максимальным по включению элементом семейства { Н^у^ \у Е G} (т.е. ^-максимальный элемент при к = 4). Тогда Gr (х» ) U U Nr (Хе ) является минимальным по включению элементом соответствующего семейства.
Таким образом, сравниваются множества
Gr(x)UNr(x) и Си^и^у).
Однако не все точки из NR (х) и NR ОО могут быть существенны для лица, принимающего решение. В этом случае он сравнивает более узкие множества C^Gr (х) UNr (х) ) и C(Gr (у) UNr ОО ).
Для ЛПР могут быть несущественными и некоторые точки из GR (х) и Gr(у). Пусть, например, G — множество участников шахматного турнира. Будем считать, что игрок х сильнее игрока у тогда и только тогда, когда х набрал не меньше очков, чем у. Но если несколько игроков набрали одинаковое число очков, то при необходимости упорядочить их лучший из нихх отвечает не минимальному G^(x), а минимальному С(Ся(х)), где C(G^(x)) - подмножество GR(x) участников, имеющих одинаковую сумму очков и так называемый коэффициент Бергера не меньше (в смысле лексико-графического упорядочения), чемх.
Пример 2 подсказан Красненкером А.С.
Пример 2. Пусть G - прямоугольник ОАВС (см. рис. 5.2), aR - отношение лексикографии. Точка В является оптимальным по доминированию (и по блокировке) элементом G. Верхний срез (7л(х) в точке х - это прямоугольник хА\ВС\. Введем корректирующую функцию выбора СС^Сх)) = Gr(xv), где xv - ближайшая к (xj + v, х2 + v) точка G (у - заданная константа). Рис. 5.2 иллюстрирует случай, когда
52 =(xi *v,x2 + v)EintG.
При этом C(G^(x)) = Gr<Bi^ - прямоугольник с вершинами В и В2 и сторонами, параллельными Охх и Ох2. В этом примере (R, С)-оптимальными будут все точки квадрата, принадлежащего G, с вершиной В и сторонами А 3В = С 3В = v.
Приведенный пример имеет определенное прикладное значение. Здесь с помощью корректирующей функции выбора добавляется условие устой-
Перейдем теперь к формальным* определениям.
Введем множества
^,сМ = {>'КЯ(^)ССл(х) И
C(G^(y)UATR(j))C C(GR(x)UA^(x))}
и их сужения FR с (х) на X ^ G:
fr.cM = < У 16н<У) П X С GR (х) П X,
C(GR(y)UNR(y^ П X С C(GR(x) U NR(x}) ОХ}.
Напомним, что для всех традиционных определений R -оптимальных на X точек х* имеет место Gr(x*) П X = ф.
Точка х Е Gназывается (R, ty-максималъной ((R, С^-оптималъной^ на G, если Fr^x) - минимальный по включению элемент семейства {FRtC(zyy EG), т.е. не существуетz Е G такого, что FR>C^ С Fr^x^
Точка xEG называется (Я, Сумаксимальным ((R, С)-оптимальным) элементом X (условным оптимумом), если F^с^ является минимальным по включению элементом семейства { F^с(у),уех}.
Интуитивная приемлемость введенных определений основана на том, что выбор производится из множества вариантов, которые не хуже данного. Вообще говоря, эти определения могут быть еще несколько расширены, если в выражении для FR>C^ (соответственно FR с<х^ заменить отношения включения произвольным частичным упорядочением. Это, однако, не принципиальная модификация определения оптимизации по бинарному отношению, поскольку, как известно (см. утверждение 16 гл. П), любое частично упорядоченное множество D изоморфно вкладывается в множество всех подмножеств D, упорядоченное по включению.
Все введенные выше определения R-оптимальных элементов отвечают некоторым фиксированным корректирующим функциям выбора С( •) и частичным упорядочениям 3\ совпадающим с отношениями включения.
В частности, если R - строгое отношение, то корректирующая функция выбораС(-), отвечающая максимальному по R элементу, определяется выражением
C(GR(x)U^(x)) = ^(x),
а функция выбора, соответствующая наибольшему по R элементу,
C^r (х) U Nr (х)) = Gr (х) U Nr (х).
Если R — нестрогое отношение на G, то корректирующие функции выбора, отвечающие соответственно максимальному, строго максимальному, наибольшему и строго наибольшему элементу, определяются формулами: .
GM(GR(x3UNR(.x^ = G°R(x),
CcM(GR(*)UArZi(x)) = GR(x)\{x} ,
Св (Gr(х) и Nr (х)) = G°r(x) U Nr (х),
Cch(Gr(x)UNr(x)) = (6Л(х)\{х} )UNR(x).
Корректирующие функции выбора С^С, • ), соответствующие ^-максимальным элементам, имеют вид
C^Gk (х) U Nr(x» = G\Sr (х),
где SR(x) — множества, введенные в п. 3. Таким образом, для А-макси- мальных элементов
Fr,c(x) = 1 y\GUy)CG°R(x) и
(G\SkR(y» С (G\Sr(x))} =(у | GR(y) С G°R(x) и
s^csUy^c^xy
Обозначим множество Я-оптимальных элементов через XR, а множество (R, С) оптимальных - через XRtC.
Имеет место
Утверждение 2. 1) Множество (R, С) оптимальных элементов включает множество Rоптимальных элементов (XRC 2XrY
) Если R — полное бинарное отношение, а корректирующая функция выбора С( • ) монотонна (т.е. X С ¥ ^С(Х) £ С(У))и XR Ф ф, то
Xr.c ~Xr.
Доказательство. 1) Если XR = ф , то утверждение 1) очевидно. Пусть XR Ф ф , х* Е XR. По определению Xr Gr(х*) ПХ= ф. Поэтому FR с(х*) = Ф » и» следовательно, х* Е XRC. Таким образом, XR £ XR C.
) Пусть х ^ XR. Тогда XR СGR (х) А X (поскольку х Е GR (х)). В то же время Vx* Е XR имеем х* Е GR (х) А X, GR (хе) А X = XR. Следовательно, FR C(xy2 XR Vx ^ XR. Поскольку FR C(x*) = ф Vx*E XR, то x XR*c- Отсюда в силу включения Xr XR^C получаем XR>c = Xr.
В последующей части гл. V оптимизация по бинарному отношению понимается в смысле п. 1.1. Оптимизация в более широком смысле, намеченная в п.п. 1.2-1.5, рассматривается в гл. VIII и IX при построении алгоритмов
решения задач математического программирования в порядковых шкалах и обобщенного математического программирования (ОМП) с произвольными бинарными отношениями.
2. Условия существования Р- и /?-оптимальных элементов (случай конечных множеств G)
В [21] приведены условия существования максимального и наибольшего элемента по бинарному отношению для конечных множеств G и топологических пространств. Там же можно найти ссылки на первоисточники, в которых эти результаты получены. Доказательства оригинальных результатов приведены в тексте [21].
Приведем соответствующие утверждения без доказательств.
Вначале рассмотрим условия, гарантирующие существование ’’экстремальных” элементов на любом конечном подмножестве X множества альтернатив G.
Эти условия главным образом связаны с ацикличностью (точнее, с транзитивным замыканием) отн9шения на G. Б^дем обозначать транзитивное замыкание строгого отношения Р через Р или Р^, а транзитивное замыкание асимметричной части R^ нестрогого отношения R через RTW илиР^.
Утверждение 3. Строгое отношение Р обладает максимальным элементом на любом конечном подмножестве X^G вЛтом и только в том случае: когда транзитивное замыкание Р (отношение Р = Р^ ) является качественным порядком.
Утверждение 4. Нестрогое отношение R обладает максимальным элементом на любом конечном подмножестве X 5 G в том и только в том случае, когда транзитивное замыкание асимметричной части R (отношение R ^ = RT ^ ) является качественным порядком.
Утверждение 5. Если нестрогое отношение R рефлексивно, то оно обладает строго максимальным элементом на любом конечном подмножестве X £ G в том и только в том случае, когда транзитивное замыкание R - отношение Я - является нестрогим частичным порядком.
Утверждение 6. Нестрогое отношение R имеет наибольший элемент на любом конечном подмножестве X множества G в том и только в том случае, когда оно является полным, а транзитивное замыкание его асимметричной части (отношение R^ = RT ^) является качественным порядком.
Утверждение 7. Нестрогое отношение R обладает строго наибольшим элементом на любом конечном подмножестве X множества G в том и только в том случае, когда R является линейным порядком.
Утверждение 8. [50]. Пусть Р - строгий порядок (строгое предпочтение) на конечном множестве G. Тогда на G можно выбрать такую нумерацию G = { Xj, х2, . . ,, хп }, что соотношение XjPxt будет выполняться тогда и только тогда, когда j>i.
Это утверждение означает, что любой строгий порядок на конечном множестве G равносилен обычному порядку на некотором отрезке натурального ряда. Для строгих порядков понятия ’’наибольший” и ’’максимальный” элемент по отношению Р на G совпадают.
Если бинарное отношение Р не обладает свойством слабой полноты, то понятия максимального и наибольшего элементов могут не совпадать. Может оказаться, что х максимален, но не находится в соотношении хРу с некоторыми другими элементами, поскольку они могут быть несравнимы с х.
Если порядок на конечном множестве G не является строгим порядком, то элементы этого множества нельзя перенумеровать так, чтобы большим номерам соответствовали более предпочтительные элементы. Более общие результаты будут изложены далее в связи с порядками и индикаторами.
3. Условия существования Р- и Я-оптимальных элементов
(случай бесконечных множеств G)
В утверждениях 3-8 конечность подмножества X множества G или самого множества G существенна. Для так или иначе упорядоченных бесконечных множеств может не существовать максимальных элементов. Например, во множестве всех целых чисел, упорядоченных по возрастанию, нет максимального элемента. Однако для некоторых специальных классов отношений на бесконечных множествах можно доказать существование максимальных и наибольших элементов.
' Напомним и уточним некоторые понятия, которые нам понадобятся в дальнейшем. •
1°а. Строгое отношение Р на топологическом пространстве G полуоткрыто сверху (соответственно снизу), если Vx Е G верхний срез - множество {jl уРх) (соответственно нижний срез - множество { у | хРу))- является открытым.
2° а. Строгое отношение Р на топологическом пространстве G называется открытым ^непрерывным), если график Р - множество {(х, у) | хРу } - открыт в топологии декартова произведения G X G.
1°б. Нестрогое отношение R на топологическом пространстве G называется полузамкнутым (полунепрерывным) снизу (соответственно - сверху), если Vx Е G нижний срез — множество (у | xRy) (соответственно верхний срез - множество {у | .уЯх}) - замкнут в G.
2° б. Нестрогое отношение R на топологическом пространстве замкнуто (непрерывно), если график R - множество {(х, у) |хДу} - замкнуто в GXG.
Имеют место следующие утверждения об условиях существования максимальных и наибольших элементов на компактном множестве G альтернатив [21,34]. #
Утверждение 9. Если строгое отношение Р на компактном топологическом пространстве G вариантов полуоткрыто снизу и для любого конечного подмножества X ^ G найдется такой элемент х Е G, что уРх Чу Е Хто отношение Р обладает на G максимальным элементом.
Утверждение 16. Если нестрогое (полное) отношение R на компактном топологическом пространстве G вариантов полузамкнуто сверху и для любого конечного подмножества X ^ G найдется такой элемент х Е G, что xRy Чу EX.toR обладает на G наибольшим элементом.
Утверждение 11. Если строгое отношение Р непрерывно на компактном топологическом пространстве G, то для любого элемента у Е G существует 80
максимальный элемент х*, удовлетворяющий условию**/^ илих* =
Утверждение 12. Если строгое отношение Р непрерывно на топологическом пространстве G и любое множество Gx всех элементов у Е G, для которых уРх или у = х, компактно, то существует максимальный элемент х* такой, что х*Ру или х* = у.
Условия утверждения 12 вычурны; они выполняются для тех топологий, в которых присоединение точки к открытому множеству дает компакт.
3.2. Важную роль в оптимизации по бинарному отношению цграют отношения нестрогого частичного порядка/?— рефлексивные,транзитивные и антисимметричные бинарные отношения. (Заметим, что отношение R'1, обратное к отношению нестрогого частичного порядка R, само является отношением нестрогого частичного порядка.) Множество G с заданным на нем нестрогим частичным порядком называется частично упорядоченным. Частично упорядоченное множество может содержать линейно упорядоченные подмножества, в которых любые два элемента сравнимы. Такие подмножества называются цепями (возрастающими или убывающими).
Частично упорядоченные множества могут иметь единственный максимальный элемент или много различных максимальных элементов и могут не содержать ни одного максимального элемента.
Определим специальный класс частично упорядоченных множеств (класс вполне упорядоченных множеств), которые удовлетворяют любому из перечисленных далее условий, как оказывается, эквивалентных между собой (см., например, [23]). Эти условия могут быть определены как на конечных, так и на бесконечных множествах.
Условия максимальности. Любое непустое подмножество X частично упорядоченного множества G обладает хотя бы одним максимальным (в X) элементом.
Условие обрыва возрастающих цепей. Любая возрастающая цепь элементов частично упорядоченного множества G
x1R~1x2R"‘1x3 . . . R^x^-1 ....
обрывается на конечном месте. Другими словами, существует такой индекс л, на котором эта цепь стабилизируется, т.е.
х и = хп*1 = • • •э
Условие индуктивности. Пусть все максимальные элементы частично упорядоченного множества G обладают некоторым свойством Л, и из справедливости этого свойства А для всех элементов, строго следующих за некоторым элементом х, может быть выведена справедливость этого свойства для самого элемента х. Тогда все элементы частично упорядоченного множества G обладают свойством А.
Линейно упорядоченное множество, удовлетворяющее любому из перечисленных трех эквивалентных условий, называется вполне упорядоченным. Вполне упорядоченное множество обладает единственным максимальным элементом. Любое подмножество вполне упорядоченного мно-, жества, в свою очередь, вполне упорядочено. Множество целых отрицательных чисел вполне упорядочено в его естественной упорядоченности.
Во вполне упорядоченном множестве для каждого элемента х существует элемент, непосредственно следующий за ним, кроме случая, когда х
6. Д.Б. Юдин81
является максимальным элементом G (минимальным элементом G, упорядоченного отношением Я -1).
При доказательстве эквивалентности свойств вполне упорядоченных множеств, впрочем, как и при использовании теории множеств для обоснования многих других утверждений о бинарных отношениях на топологических пространствах, часто приходится обращаться к так называемой аксиоме выбора.
Аксиома выбора формулируется следующим образом. Любому множеству G можно привести в соответствие некоторую функцию <р, сопоставляющую каждому непустому подмножеству X из G один определенный элемент ф (X) этого подмножества.
Для счетных множеств G аксиома выбора очевидна. В этом случае элементы G могут быть пронумерованы, и требуемая функция ф(Х) может быть получена, например, если каждому непустому XQ G сопоставить элемент подмножества X с наименьшим номером. Для континуальных G обосновать аксиому выбора, по-видимому, нельзя.
Введенные выше понятия частично упорядоченного и вполне упорядоченного множества позволяют сформулировать аксиому выбора в других терминах и глубже понять ее логические основы.
Пусть X — подмножество частично упорядоченного посредством отношения некоторого частичного порядка множества G. Назовем верхней гранью подмножества X в множестве G любой элемент х из G (не, обязательно принадлежащий X), для которого xRy Чу Е X. Аналогичным образом определяется нижняя грань подмножества X в множестве G.
Заметим, что множество М цепей (линейно упорядоченных подмножеств) частично упорядоченного множества G само будет частично упорядоченным при помощи отношения теоретико-множественного включения. Максимальные элементы (если они существуют) множества Л/'называют максимальными цепями.
Во введенных терминах могут быть сформулированы три теоремы и доказана эквивалентность каждой из них аксиоме выбора.
Теорема Цермело. Любое множество можно вполне упорядочить.
Теорема Хаусдорфа. Любая цепь частично упорядоченного множества содержится в некоторой максимальной цепи.
Теорема Куратовского—Цорна. Если любая цепь частично упорядоченного посредством отношения частичной упорядоченности R множества G обладает верхней гранью, то Vx Е G найдется некоторый максимальный элемент х* такой, что x*Rx.
Доказательство эквивалентности каждого из этих утверждений аксиоме выбора имеется, например, в [23].
§ 4. Условия существования Р- и R -оптимальных элементов на выпуклых компактах
Оптимизация вогнутых и выпуклых бинарных отношений на выпуклых компактах оказывается корректной задачей при существенно менее жестких требованиях, чем в общем случае. Рассмотрим условия существования ' максимальных элементов у бинарных отношений на выпуклых компактах. Приведенные ниже утверждения обсуждаются и доказаны в [21]. 82
Утверждение 13. Пусть множество G является выпуклым компактом в евклидовом пространстве Еп, а строгое отношение Р на G
вогнуто,
полунепрерывно снизу в следующем смысле. Если последовательность {хл} сходится к х и уРх, то существует последовательность (у^ такая, что упРхп ^пкуп -*у.
Тогда отношение Р обладает на G максимальным элементом.
Утверждение 14. Пусть множество G является сепарабельным выпуклым компактом, а нестрогое отношение R на G обладает следующими свойствами.
для любого открытого X £ G множество { х I yRx ^у 6 X } открыто.
V х Е G и любой его окрестности Ux элемент' х не содержится в замыкании со Vy I yRx уф Ux}.
Тогда отношение R обладает на G строго максимальным элементом.
Отношение R, в частности, удовлетворяет условиям утверждения 14, если оно вогнуто, имеет замкнутый график и каждый элемент х Е G является крайней точкой среза R — множества (у I yRx) (т.е. (xRx) л (' у + г \
X =— 1 ^Х=у = z).
Множество экстремальных элементов отношений на выпуклых компактах может иметь довольно сложную структуру, однако при некоторых нежестких условиях это множество оказывается выпуклым. Приведем два условия такого рода.
Утверждение 15. Пусть G — выпуклый компакт, а Р - строгое отношение, обладающее на G множеством G* максимальных элементов. Множество G * выпукло, если для 0 < X < 1
хР(Ху + (1 -X)z) => (хРу) v (xPz).
Утверждение 16. Пусть G — выпуклый компакт, a R — нестрогое отношение, обладающее на G множеством G* максимальных элементов. Множество G* выпукло, если при 0 < X < 1 и xR (Ху + (1 — X) г)сушествуют такие хьх2 Е G,4rox = Xxi + (1 -X) x2>xxRyHX2Rz.
Численное представление бинарных отношений
В традиционных моделях управления, планирования и проектирования выбор решения обычно связан с оптимизацией некоторой целевой функции. В простых ситуациях, когда цель выбора очевидна (по крайней мере, в содержательных терминах) и единственна, - а такие ситуации главным образом и рассматриваются на практике-в качестве формального аппарата теории выбора используются развитые в настоящее время методы решения условных и безусловных экстремальных задач. В более сложных и тонких ситуациях при выборе объектов произвольной природы, когда цель выбора не может быть однозначно и четко определена, при поиске компромисса в конфликте или при необходимости согласовать интересы участников выбора, оптимизация по скалярному критерию может потерять смысл. Тем не менее бинарные отношения могут быть использованы во многих таких задачах для сравнения вариантов решения. Как мы видели, при относительно нежестких требованиях к структуре бинарного 6*83
отношения понятия ’^оптимальность” и ’’^оптимальность” оказываются содержательно вполне осмысленными. Однако аппарат оптимизации выбора по заданному бинарному отношению, особенно при бесконечном множестве альтернатив, весьма слабо разработан. В связи с этим оказываются актуальными следующие две задачи. Целесообразно, во-первых, выяснить, в какой мере детально разработанные методы скалярной оптимизации могут быть использованы для выбора решения в сложных ситуациях, не укладывающихся в рамки классических экстремальных задач. Во-вторых, значительный интерес представляет разработка механизмов, позволяющих непосредственно, используя парные сравнения по бинарным отношениями, подготавливать выбор решения в сложных ситуациях. Далее будет уделено внимание и той, и другой задаче.
Традиционная теория полезности, развитая главным образом в математической экономике, устанавливает условия, при которых сравнение и оптимизация по бинарному отношению Р на G эквивалентны сравнению и оптимизации по скалярной функции <р(х) на (7,в частности,по непрерывной или по выпуклой функции. Такие функции называются функциями полезности или индикаторами бинарного отношения (индикаторами I рода).
Не каждому бинарному отношению можно привести в соответствие индикатор. Однако если бинарное отношение обладает хоть одним индикатором, то оно обладает бесчисленным количеством индикаторов. Всякая строго монотонная функция от исходного индикатора является индикатором того же самого бинарного отношения. Верно и обратное, если ^(х) и ф(х) - два индикатора бинарного отношения Р и G, то всегда существует такая строго возрастающая функция/(г), определенная на ^(G), что ^(х^/Х^х)). Функцию /(Г) на <p(G) можно построить следующим образом. Пусть te^(Gy Положим /(О® Ф(х) для некоторого х из множества р"х(Г) = {х|^(х) = О. Это множество определяет класс безразличия ф(х) = ф(у) Vx, у Е ф-г (t). Функция /(г) определена однозначно и строго монотонно возрастает, поскольку, если s, tEvp^G^ и $ > Г, то хРу ЧэсЕ<х(&\уЕ<х(г), так что/(s) = ф(х)> ф(у) = /(0. Соотношение ' ф(х) = /(<р(х)) выполняется по построению.
Таким образом, каждой задаче оптимизации по бинарному отношению соответствует бесчисленное количество скалярных экстремальных задач. Это затрудняет конструктивное использование индикаторов для выбора альтернативы, оптимальной по заданному отношению. Дело в том, что, как правило, скалярные задачи оптимизации, в первую очередь нелинейные, не могут быть точно решены за обозримое время. На практике при решении скалярных экстремальных задач назначается из содержательных : соображений допустимая (абсолютная или относительная) погрешность ' в оптимальном значении целевого функционала, по достижении которой процесс приближения к оптимуму прекращается. Из-за неоднозначного ■ соответствия между оптимизацией по бинарному отношению и оптимизацией по его индикатору теряется смысл в фиксации допустимой погреш- ; ности и, таким образом, отпадают основания для остановки процесса ре- - шения задачи. Поэтому функции полезности - индикаторы бинарных отношений - оказываются применимыми, главным образом, для обсужде- : ния качественных проблем, связанных с установлением свойств бинарных 84
отношений и особенностей оптимизации по бинарным отношениям. Выбор ’’оптимальных” элементов произвольной природы в соответствии с упорядочением, определяемым заданным бинарным отношением, требует специальных конструктивных методов, развивающих и обобщающих методы решения соответствующих скалярных экстремальных задач.
Понятие функции полезности применимо не к любым бинарным отношениям. Если бинарное отношение не ациклично, то ему нельзя привести в соответствие традиционную функцию полезности <р(х). Однако понятие функции полезности может быть обобщено. Любому строгому бинарному отношению можно.привести в соответствие, и притом бесчисленным количеством способов, скалярный индикатор II рода - функцию ф(х,у) на GXG, знак который определяет выбираемую отношением Р альтернативу
хРу ^ ф(х, у^ > 0.
Для нестрогого бинарного отношения R
xRy *=* ф(х, у) > 0.
В случае, когда отношение Р обладает функцией полезности, индикатор II рода бинарного отношения ф(х,У) может быть выражен через функцию полезности <р(х) в виде ф(х,у) - ф(х) - ф(^у); В терминах индикатора II рода могут быть записаны свойства бинарных отношений и охарактеризованы специальные бинарные отношения. Например, в качестве индикатора II рода строгого упорядочения - асимметричного бинарного отношения - может быть взята кососимметричная функция ф(х, у) = = — ф(у,х) Vjc,yEG. Для антирефлексивного бинарного отношения ф(х, х) < 0 Vх Е G. Для рефлексивного бинарного отношения R
ф(х,х) > 0 Х/хЕ G.
Индикатор II рода симметричного бинарного отношения R удовлетворяет неравенству
ф(х,У)ф(У>х') > 0 Vx, у Е G.
Для антисимметричного бинарного отношения
{I l(*.y)l + Му,х) I = i(x,y) + <t>(.y,x)} =* х = у vx,yeG.
Транзитивное бинарное отношение характеризуется импликацией
{min[^(x,y), ^(л^)1 > 0} =* ^ф(х,2) > 0} Vx.y.zEG.
Для негатранзитивного отношения
{ max[<p(x,j), ф(у, z)] < 0} => {^(х, z)<0} Vx,y,z EG.
Индикаторы II рода полного и слабополного отношения удовлетворяют соответственно условиям
Ф(х,у) < 0 => ф(у,х) > 0 Х/х,у Е G,
Ф^х.У^ < 0 =► Ф^У,х^ > 0 Чхъу EG х^у.
Для ацикличного бинарного отношения
{^<-1, X/) > 0, хх,...,хк е G} ^ 4><хк,хх) < 0.
Аналогичным образом записываются условия, связывающие индикаторы II рода результатов действий над бинарными отношениями (объединения, пересечения, композиции и др.) с индикаторами II рода исходных отношений.
В терминах индикаторов II рода могут быть описаны известные механизмы, реализующие частные классы функций выбора и произвольные функции выбора.
Как и традиционная функция полезности, индикатор II рода бинарных отношений оказывается удобным, главным образом, при решении качественных задач, в частности, для установления связей между свойствами бинарных отношений и выяснения условий, при которых осмыслена оптимизация по бинарному отношению. Что же касается конструктивных возможностей выбора решений, то у индикатора II рода они столь же ограничены, как и у традиционных функций полезности. Оптимизация по бинарному отношению требует специальных методов. Конечно, принципы построения методов скалярной оптимизации функций, порождаемых бинарными отношениями, существенно используются дйя конструирования механизмов выбора решений в сложных ситуациях.
Индикаторы бинарных отношений (функции полезности)
Функцией полезности или индикатором строгого отношения Р, заданного на множестве (7, называют функцию ^(х), определенную на (7, такую, что
хРу * <д(х) > <p(j).(1)
Эта запись имеет смысл только для ациклических бинарных отношений.
Часто используют другое, более жесткое определение функции полезности:
хРу ф(х) > ф(уУ(2)
Бинарное отношениеР может быть представлено в виде (2) в томи только в том случае, если Р - слабый порядок. При этом функция ^(х) постоянна на классах безразличия, т.е.
хТу * </>(х) = <#>(»,
где I — отношение безразличия, определяемое порядком Р.
Утверждение 8 § 2, в частности, может быть переформулировано как условие, при котором строгое отношение Р на конечном множестве G имеет индикатор ^(х^ = I.
Бинарное отношение Р не обладает функцией полезности вида (2), если оно или определяемое им отношение безразличия / нетранзитивно.
Нарушение транзитивности отношения безразличия при выборе решений — нередкое явление, наблюдаемое в поведении людей. Оно обычно объясняется наличием порога чувствительности у эксперта, не позволяющего ему различить альтернативы, в некотором смысле близкие между собой. Появляется необходимость в изучении бинарных отношений, представимых в виде
хРу <=> <^(х) > ф^у) + v(y),(3)
где <р - функция полезности, a v > 0 - пороговая функция.
86
Установим, при каких условиях бинарное отношение обладает тем или иным численным представлением..
Приведем утверждение, сопоставляющее различным классам бинарных отношений, заданным на конечном множестве вариантов, те или иные представления с помощью индикаторов.
Утверждение 17. 1°. Каждому слабому порядку Р можно привести в соответствие индикатор <р(х) с нестрогой шкалой (когда различным х могут отвечать одни и те же значения индикатора)
хРу ** (^(х) > уО)-,
2°. Каждому линейному порядку R может быть сопоставлен индикатор <р(х) со строгой шкалой (принимающий для разных х разные значения)
xRy <=> <р(х) > ф^.
3°. Каждому интервальному порядку Р можно сопоставить две функции - индикатор <р(х) и порог различения р(х) > 0, так что
хРу <р(х) > ф(у) + v(y)
(у(х) можно интерпретировать как погрешность измерения).
4°. Каждому полупорядку Р можно привести в соответствие скалярную функцию <р(х) и число v > 0 такие, что
хРу <=> t>(x) > ф^ + V.
5°. Каждому качественному порядку Р можно сопоставить набор скалярных функций фх (х),..., фк (х), так что
хРу <=»(vo (^(х) > ^(у)) л(3/) (ф^х) > Ф^у^,
т.е. качественный порядок определяется паретовским бинарным отношением на множестве критериев фх,..., Фк*
Доказательство. 1°. Пусть G - конечное множество, Р - слабый порядок, R = PUI = Pd - нестрогий слабый порядок (в других терминах - нестрогое предпочтение).
Обозначим, как обычно, верхний срез отношения Р через GP(x) (GP(x) = = ^yEG\yPx^.
В силу асимметрии слабого порядка Р имеет место ровно одна из трех альтернатив - либо хРу, либо уРх, либо xly. Это значит, что имеет место одно из трех включений - либо Gp(x) С Gp(^), либо GP(x) D Gp(j'), либо <7р(х) = GP^yY Обозначим через N(x) число элементов в GP(x). Имеем
хРу ~ GP^ С GP^ ~ N^ > М^),
где N(x) = | G | - N^.
Итак, существует функция N(x) - индикатор слабого порядка Р
хРу 7V(x) > N(y).
Ясно, что для нестрогого слабого порядка
xRy <=> ^х) > N(yY
2°. Путь теперь бинарное отношение, помимо свойств слабого порядка, обладает слабой полнотой, т.е. является строгим порядком. Тогда имеет
место
(хРу) \/ (уРх) v (у—х).
По доказанному слабый порядок Р обладает индикатором
хРу <=> ^(х) > ^( j).
Если порядок Р, кроме того, слабо полон, то Vx, у G G имеет место
(<р(х) > ^(^)) v (^(у) > >р(х)) v (х=у).
Это значит, что в случае строгого (сильного) порядка ^(х) в разных точках принимает разные значения (т.е. индикатор такого отношения является индикатором со строгой шкалой).
Для нестрогого слабого порядка R = Р UI существует функция ф такая, что
xRy ^ <р(х) > ф(у).
Линейный порядок представляет собой сильный порядок, дополненный парами (х, х) Vx. Из приведенных рассуждений ясно, что для линейного порядка существует индикаторная функция ^(х) со строгой шкалой, принимающая разные значения для разных х.
3°. Согласно утверждению 15 гл. II интервальный порядок Р порождает слабый порядок Р3 на множестве YVJY*. Здесь множество Y состоит из элементов, взятых по одному из каждого класса эквивалентности, принадлежащего G/I(I - отношение эквивалентности, порожденное интервальным порядком Р), а У* - множество ’’искусственных” элементов х*, сопоставляемых каждому элементу х G Y. В силу того, что Р3 - слабый порядок, существует вещественнозначная функция /на Уи Y* такая, что V 5, i? Е У U У*
^зт?.^ /W > /(т?).
Положим для х Е У ^(х) = /(х) и v(x) = /(х*) -/(х). Тогда, учитывая свойство (7) слабого порядка Р3 (уР3х* уРх) (см. утверждение 15 гл. II), получаем
уРх <=> ф(у) > ф(х) + v(x) Мх,у Е Y.
Поскольку из свойства (6)отношения Р3 следует х*Р3х, то имеет место р(х) > 0.
Положим <р(х) = ф(у) и р(х) = v(y) при xly и yGY. Тогда соотношение
хРу <=> ^(х) > <р(» + р(» Vx, у € G
следует из утверждения 14 гл. II и следующих импликаций:
(хРу) л (ylz) => xPz,
(xly) A (yPz) =► xPz,
вытекающих для слабых порядков из утверждения 9 гл. II.
4°. Пусть теперь Р — полупорядок - полутранзитивный интервальный порядок. Покажем, что в этом случае можно положить р(х) = р = 1, т.е. что для полупорядка при подходящем выборе ^ имеет место соотношение
хРу <=» ч>(х) > »<У) + 1-
Приведем схему доказательства, принадлежащего П. Суппесу и Дж. Зи- несу. Подробную аргументацию можно найти в [43].
Рассмотрим на числовой прямой Т бинарное отношение У, определяемое соотношением
аУр *=> а > Р + Р.
Легко видеть, что отношение У - полупорядок. Действительно, У антирефлексивно и из (а^Р) А (7^6) = (а > 0 + 1) А (7 > 6 + 1) следует, что если одно из соотношений а >6 + 1 или 7 > Р + 1 неверно, то имеет место другое соотношение. Аналогичным образом проверяется полутранзитивность У. Из (аУР) Л (Р 3^) = (а > Р + 1) А (Р > 7 + 1) вытекает, что если одно из соотношений а > 6 + 1 или 6 > 7 + 1 неверно, то справедливо другое.
Пусть теперь Р — бинарное отношение на множестве классов эквивалентности, порожденное полупорядком Р, т.е.
VX, YGGII XPY^3xEX, yEY^xPy.
Отношение Р, вообще говоря, не является полным.
Введем отношение R mGH такое, что
MZ&GII XRY** ^ZPX =*ZPY) Л VYPZ^XPZ} .
Можно доказать, что бинарное отношение R определяет линейный порядок на GIL т.е. R рефлексивно,антисимметрично, транзитивно и полно на G(L Из XPY следуетДРY, но не наоборот.
Отношение Р индуцирует также отношение безразличия / на множестве классов эквивалентности G/L
Утверждение 4° будет полностью аргументировано, если удастся доказать, что для конечного множества G[I классов эквивалентности полупорядок Р на GJI изоморфен полупорядку ^ на части числовой оси Т.
Для линейного порядка R на G]I = {Хо, Хь ..., Хп)
XiRXi-i и Xi^Xj.v
Определим функцию ф (Х4) = х,, i = 0, 1,..., и, где Xj однозначно определяется следующими условиями:
XJX^x^-^,
(3/,0</<0(ВД Л XiPXi.xV
где / наименьшее из 0 < / <1 удовлетворяющее левой части (2).
Заметим, что каждый класс Xt фигурирует либо в условии (1), либо в условии (2). Если не существует / такого,что XtPXj_x» то имеет место ХДХо и выполняется условие (1)ь Если XtIXj и Х^РХ^ j, то можно найти наименьший номер j такой, что XtPXj_ 1е
Остается проверить, что ф является однозначным соответствием и XiPXj ^х^х,.
Свойство однозначности ф можно доказать, убедившись, что X/ > х(_х. Для этого надо разобрать возможные случаи:
1°. XJX0. 2°. XJXj KXiPXj^ (2Q^X^JX^
2°6. Xi_xPX^ 2°61,/ = z; 2°62, /<0.
Проверка сводится к непосредственному учету соотношений (1) и (2), определяющих х( = ф (Xi) для каждого из возможных случаев.
Покажем теперь, что XtPXk ^xt >хк* 1. Пусть Xj ~ первый по порядку класс эквивалентности, для которого имеет место Х^Х] и XiPXj_ j. Тогда ] - 1 > к и Xj_ 1 > хк. В рассматриваемых условиях х,_ i + 1 < X/, от- кудах, >хк + 1. ~
Пусть теперь х( >хк + 1. Покажем, что отсюда следует XtPXk (естественно, предполагается, что / > к}. Пусть утверждение неверно, тогда XJXk. Пусть Xj — первый класс эквивалентности, для которого верно XJXj. Тогда к > 1 и хк > X/. Случай/=Оисключается.Он приводит к противоречию с соотношением xt >хк* 1, поскольку в этом случае XJX^ иХк1Хо (так как XiRXk), и 0 <Xi < 1 и 0 <хк < 1. Поэтому / > 0. Тогда Xj < Xj + 1, но хк> Xj и xt <хк + 1. Мы снова пришли к противоречию. Соотношение XiPXk *► {Xi > хк + 1} ^ ф (Xi) > ф (Хк) + 1, а вместе с ним и анонсированное утверждение доказаны. -
Заметим, что в доказательстве существенно использована конечность числа классов эквивалентности полупорядка. Неясно, справедливо ли утверждение в случае бесконечного (даже счетного) числа элементов множества СЦ.
5°. Рассмотрим теперь случай, когда бинарное отношение — качественный порядок - асимметричное транзитивное отношение. Предполагается, что множество G содержи! конечное число элементов G = {1, 2,..., N }.
Положим ф<П= {^(j),..., >PnU^ , гае
»лп=»лп=0, если (/А) Л (/:£/),
»лп=
»лп=
если /=/,
k 2, если jPi. '
Ясно, что вектор-функция ф (/) определена для качественного порядкаР всюду на G.
Докажем, что
jPk ^^(j) Rn»^),
где Rn - паретово бинарное отношение, определяемое вектор-функцией критериев ф на множестве G,
01zN) RnOi,Zs> i^f^Ei: zt > tt\
Покажем, что jPk =► ф(ПРп ф(к).
Пусть jPk. Тогда по определению <р (/) при любом фиксированном г ^) = 0=>^)>^) (=0),,
А*(^) = 1 =* z = ^
и в силу]Рк имеет место Ф1(П = 2 > ф{(к) (= 1),
Ф((к) = 2=*кР1,
а поскольку по условию ]Рк, то
кРг =>(/7%) МкРг\
Учитывая транзитивность качественного порядка Р, получаем отсюда
kPi => (jPk)N(kPi)^jPi => ф^П = 2 > ф^
идя любого фиксированного L
Итак, )Рквлечетф(/)>ф(к) яфку^>фк(к"),i.e.jPk^ф(/) Rnф(^).
Покажем, что для качественного порядка Р справедливо и обратное: <Р(/)Я|1*(*)*/А.
Пусть <Х/)ЯП ^(&)-Тогда #*(/)> Фк(fc) = 1-
Неравенство фк(.П > 1 может выполняться либо при фМ) = 2, что по определению ф означает jPk, либо при ф^П = L что означает / = к. Но при j = к равенство ф (/) = ф (к) имеет место для всех компонент вектор-функ- ции ф и, стало быть, ф (/) Кпф (fc) не имеет места. Итак, при ф (/) Кпф (к) выполняется фк^П = 2, что по определению ф означает jPk. Таким образом, ф (/) Рпф (к) ^]Рк. Качественный порядок на множестве G эквивалентен паретову бинарному отношению’на наборе критериев ф1 (/).
Утверждение доказано.
Заметим, что имеются работы, в которых аналогичный результат доказан для критериев другой структуры. Больше того, доказано [84], что результат настоящего пункта справедлив и при числе критериев ф(, меньшем, чем число N элементов множества G. Однако число критериев, с помощью которых может быть представлен любой качественный порядок на ко
нечном числе ТУ вариантов, не может быть меньше I — I .
Таким образом, при конечном числе вариантов линейный порядок (и сильный порядок) характеризуется критерием со строгой шкалой, слабый порядок - критерием с нестрогой шкалой, интервальный порядок - критерием и порогом различия, зависящим от варианта, полупорядок — критерием и постоянным порогом различения, а качественный порядок - набором критериев. Сформулированный результат позволяет следующим образом расположить специальные классы бинарных отношений по возрастающей жесткости определяющих их характеристик:
произвольное бинарное отношение — качественный порядок — интервальный порядок - полупорядок - слабый порядок - сильный порядок.
Каждый последующий класс бинарных отношений включается в предыдущий..
Установим теперь условия, при которых бинарное отношение, заданное на бесконечном множестве вариантов, обладает тем или иным численным представлением. Выясним также, в каких случаях функция полезности непрерывна и вогнута.
Введем, следуя [21], определения
Сечением множества G, на котором задано отношение Р, назовем разбиение о = (S^”\S^ ) множества G такое, что
x€S<~>: (xP^V^xly^^yGS^,
X G S<+>: (уРх) V (xly) =»у G S^X
Семейство сечений (о^ |fc G^f ) множества G, упорядоченного отношением Р, называется порядково-плотным, если М.х,у G G таких, что уРх, существует сечение ок = { S^^, S^ } такое, чтох G S^" -\yGS^>.
Множество G с заданным на нем отношением Р называется порядковое сепарабельным, если оно обладает не более чем счетным порядково-плотным семейством сечений.
Семейство сечений {ок | к G ОС} называется согласованным, если Vi J е X либо S/+> С Sp’, либо Sp> Э S^.
В [21] приведены следующие условия существования функций полезности, менее жесткие, чем у Фишберна [46] и Дебре [81].
Утверждение 18. Для того чтобы отношение Р обладало на G представлением
хРУ=*Ф(х')>ф(,у\(4)
xiy^^xV^yY(5)
необходимо и достаточно, чтобы множество G с заданным на нем отношением Р было порядково-сепарабельным.
Утверждение 19. Для того чтобы представление (4) было двусторонним, т.е. удовлетворяло условию
хРу *>|р(х)><д( у),
необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло условию (5), а отношение Р было слабым порядком.
Утверждение 20. Для того чтобы отношение Р обладало на G представлением
хРу *><р(х) ><р(у) *v(y)
с v (х) > 0, необходимо и достаточно, чтобы множество G с заданным на нем отношением Р имело не более чем счетное порядково-плотное согласованное семейство сечений (о^} , обладающее следующими свойствами:
) если zES^~\ х ES^ и уРх, то yPz,~
) если уРг, то существует такое к, что z Е S^ \ у Е S^ и zly =► ^z Е S^ .'
В литературе изучены также условия, при которых возможно то или иное численное представление бинарных отношений при дополнительных требованиях о полунепрерывности сверху, непрерывности и вогнутости индикатора.
Приведем другие условия [46], гарантирующие наличие индикатора отношений, менее общие, но в ряде случаев легче проверяемые и более конструктивные.
Утверждение 21. Пусть отношение Р — слабый порядок на G, а множество классов эквивалентности G]I счетно. Тогда существует индикатор отношения Р на G, удовлетворяющий условию (2) для любых х, у Е G.
Подчеркнем, что утверждение может не выполняться, если множество G/I окажется никонечным, ни счетным.
Несколько более слабое утверждение можно получить, если заменить слабый порядок на качественный порядок - асимметричное, транзитивное отношение Р. В этом случае отношение безразличия I может не быть транзитивным^ соотношение (1) нельзя гарантировать. Однако если отношение 92
I, соответствующее качественному порядку Р, — отношение эквивалентности, то имеет место следующее утверждение
Утверждение 22. Пусть Р — качественный порядок на G, а множество классов эквивалентности G/I счетно. Тогда существует индикатор отношения Р на G, удовлетворяющий условиям
хРу => <р(х) > i( У) V х, у 6 G,
xly =^ ф(х) = ф(у) Vx,yEG.
Утверждения 21 и 22 могут быть распространены на случай, когда требование счетности G/Jможно заменить более слабым. Введем для этого понятие плотности относительно порядка, несколько более жесткое, чем понятие порядковая плотность, введенная в п. 6.2 настоящего параграфа.
Пусть Р - бинарное отношение на G. Назовем множество Н CG Р-пяот- ным в множестве G, если V х, у Е G\H: хРу 3z Е Н: (xPz) h(zPy).
Введем на множестве классов эквивалентности G/I отношение Р1 так, чтоМ X^EGJI,
ХР^^ЗхЕХ, yEY: хРу.
Во введенных терминах имеет место следующее обобщение утверждения 21.
Утверждение 23. Существует такая функция <р(х) - индикатор Р на множестве G, что соотношение (2) Vx,у EG выполняется в том и только в том случае, когда отношение Р является слабым порядком и существует подмножество множества классов эквивалентности G/I, Р'-плотное в G/I.
Аналогично формулируется следующее обобщение утверждения 22.
Утверждение 24. Пусть Р качественный порядок на G и существует подмножество множества G/I классов эквивалентности, Р1 -плотное в G/I. Тогда существует индикатор <р(х) отношения Р на G такой, что
хРу => ф(х) >ф(у) Xfx.yEG,
xly => ^(х) = ф< у) Vx, у EG.
Подчеркнем, что здесь плотность относительно порядка - условие достаточное, но отнюдь не необходимое для выполнения приведенных импликаций. Обратим также внимание на то, что утверждения 22 и 24 не противоречат п. 5 утверждения 17, в котором рассматривается соответствие вида *=* а не =>, как в утверждениях 22 и 24. '
Лексикографическое бинарное отношение является примером, когда условие плотности относительно порядка нарушается.
Одним из первых сформулировал условия существования индикатора бинарных отношений, заданных на топологическом пространстве, Дебре [81, 82]. Теорема Дебре доказана при несколько более жестких требованиях к бинарному отношению, когда оно представляет собой нестрогое или строгое предпочтение (рефлексивное или антирефлексивное транзитивное и слабополное отношение).
Имеет место
Утверждение 25. Индикатор предпочтений существует, если предпочтение (строгое Рили нестрогое R) непрерывно, а множество представляет собой
связное топологическое пространство, имеющее счетное всюду плотное подмножество.
В случае, когда G — подмножество векторного пространства/Г”, существование счетного всюду плотного подмножества обеспечивается автоматически и для существования индикатора предпочтений достаточно связности множества G и непрерывности предпочтении.
Рассмотрим теперь численное представление в форме (3). Критерий представимости в форме (3), определяемый утверждением 20, трудно- проверяем. Приведем более простое условие для численного представления интервального порядка. Имеет место:
Утверждение 26. [46]. Если отношение Р является интервальным порядком на G, а множество G/I соответствующих классов эквивалентности счетно, то на G существуют индикатор ф(х) и пороговая функция р(х), представляющие Р в форме (3). Справедливо и обратное. Антирефлексив- ное отношение Р, удовлетворяющее соотношению (3), является интервальным порядком.
Пороговая функция р(х), обеспечивающая нетранзитивность отношения безразличия для интервального порядка, определяет интервал безразличия /(х) в точке х. /(х) = Ьр(х), ф(х) + р(х)].
По представлению (3) интервал безразличия Z(x) интервального порядка Р целиком лежит правее Z(y) в том и только в том случае, когда хРу. Если два таких интервала пересекаются, то их элементы находятся в отношении безразличия.
Для полупорядков Р, представляющих собой полутранзитивные интервальные порядки, аналог утверждения 26 может быть доказан при более жестких условиях.
Утверждение 27. Пусть Р является полупорядком на G, а множество соответствующих классов эквивалентности G/I конечно v Тогда существует функция <р(х) на G, при которой
хРу <=*ф(х)>ф(у)+ 1 Vх, у EG.
При соответствующем строго монотонном преобразовании <р(х) можно заменить в этом соотношении 1 на любое положительное число. Пороговая функция р(х) в этом случае не зависит отх, т.е. все интервалы безразличия можно сделать одинаковыми по длине.
До сих пор предполагалось, что элементы х множества G — объекты произвольной природы. В частном случае, когда элементы х — точки подмножества м-мерного векторного пространства Еп, а отношение Р является монотонным слабым порядком, условия существования функции полезности упрощаются и интуитивно истолковываются более естественным образом. При G СЕп существование счетного всюду плотного множества обеспечивается автоматически, так что наличие индикатора отношения можно не обусловливать специальным требованием плотности относительно порядка.-
Пустьх, уеЕ", X = <Х,х„), у = (.У!уп),х > у *=>(х¥= у и
х,- >Уь / = 1,... ,n),G — прямоугольное подмножество Еп, т.е. G — декартово произведение Gf. G =GxX .. .X Gn.
Отношение Р называется монотонным, если х > у ^хРу.
Имеет место
Утверждение 28. Пусть G - прямоугольное подмножество Еп, а Р - монотонный слабый порядок и, кроме того,
W)A(yjRz)=>
=> 3 (X, д) е (0,1): {МХх + (1 - X) z]} Л{ [дх + (1 - д) z] Ру } .
Тогда существует индикатор <р(х) отношения Р, удовлетворяющий условию хРу *=► <р(х) > ^( .у)V х, у Е G.
Утверждение 29. Пусть G - неотрицательный ортант в Еп, а отношение Р - качественный порядок на G, для которого
V(x>y)4yPz)A V[(xPy)A(^>z)] ^xPz,
хРу =>(3z)((x>z)A(z>y)).
Тогда существует индикатор <р(х) отношения Р, для которого
хРу =► ф(х) > ^( у)Xx,yEG.
Здесь условие (а) вместе с антирефлексивностью Р означает, что х>у=» ^уРх, те< возрастание каждой компоненты вектора х не уменьшает превосходство по отношению Р векторах над вектором у. Условие (б) означает, что если вектор х превосходит у по отношению Р, то можно так увеличить (может быть, весьма незначительно) все компоненты вектора у, чтобы х по-прежнему превосходил по отношению Рвозросший вектору.
Представляет интерес выяснение условий, при которых индикатор отношения представляет собой непрерывную функцию. Дело в том, что непрерывный индикатор на соответствующих ограниченных множествах достигает* максимального значения, и это позволяет ставить задачи об ’’оптимизации” выбора по бинарному отношению.
Оказывается, что условий утверждения 28 достаточно, чтобы индикатор ^(х) слабого порядка был непрерывен, а условия утверждения 29 достаточны для непрерывности сверху индикатора <р(х) качественного порядка.
Условия существования вогнутого индикатора предпочтений
В прикладных задачах принятия решения представляют особый интерес такие специальные бинарные отношения, как вогнутые предпочтения, т.е. непрерывные, вогнутые, рефлексивные, транзитивные и полные бинарные отношения. Будем здесь, кроме того, считать, что рассматриваемые отношения регулярны, т.е. множества одинакового уровня - области эквивалентности - имеют размерность ниже размерности области определения предпочтения.
Установим условия (в п. 7.1 - необходимые и достаточные, в п. 7.2 - необходимые, а в п. 7.3 - достаточные) существования вогнутого индикатора предпочтений.
Введем некоторые определения.
Пусть R - бинарное отношение на GCEn, f: G-*G. Отображение / будем называть изотопным, если.
f(x)Rf(y)«xRy.
Будем называть отрезок [х0> xj правильным относительно бинарного отношения R на выпуклом компакте GCEn (R-правильнымУ если х0 точка минимума, a Xi - точка максимума относительно R на G и других точек экстремума на [х0, л^ ] нет.
Утверждение 30. Пусть R - регулярное непрерывное предпочтение на выпуклом компакте G С Еп. Для того чтобы Я имело вогнутый индикатор, необходимо и достаточно, чтобы R было вогнутым и существовало изотопное отображение F : G -+G такое, что для некоторого R -правильно го отрезка [х0, Уо] множество
Т={(а,у)|а<1, yEG, F(y)/?[xo + a(j-o-*o)]} СЕ'ХЕ"
было выпукло и РгЕЛ X = G.
Доказательство. Пусть R имеет вогнутый индикатор /( ). Тогда, очевидно, R вогнуто. В силу непрерывности R и компактности G R имеет на G точки минимума и максимума.
Обозначим через х0 одну из точек минимума, через Xi - одну из точек максимума, а через у0 - ближайшую к х0 точку пересечения отрезка [х0, xj с верхним срезом G^(xi) предпочтения R в точке х>. Будем считать R нетривиальным отношением (в случае тривиального отношения доказываемое утверждение очевидно). Тогда х0 ^уо, ив силу регулярности R отрезок [х0, у о ] R -правильный. Положим
Ч><^) = "7—;—7Г7 ’F(^) = х0 + ЯЖУо - *о).
Отображение F ( • ) изотопное, так как ф ( • ) также индикатор R. Построим множество X по отображению F и правильному отрезку [xG, у0). Множество X является подграфиком функции ф ( • ). Поскольку ф ( • ) вогнута, X выпукло. Необходимость доказана.
Докажем теперь достаточность сформулированных условий вогнутости * индикатора.
Положим ф(у) = sup {a | (а, у) Е X}. Тогда X является подграфиком ф( • ), и поскольку X выпуклое множество, ф( • ) - вогнутая функция. Пусть уь у2 - произвольные точки множества G MytRy2. По определению Ф имеем
^(У^^ЛУг)^^ + Я>,2)(^о-^о)]-
Отсюда Ф^Ух^фС.УгУ А из вогнутости R и правильности отрезка [х0, Уо] вытекает импликация
ЧОх^ФСУт) ^yxRyi-
Комментарий. Фактически ф(у) определяет точку пересечения отрезка [х0, у0 ] с GR (F( ^)), т.е. [х0 + ф( ^)( ^0 - х0)] IR F( у). Множество X - аналог подграфика в случае скалярной вогнутой функции.
Приведем необходимое условие существования вогнутого индикатора непрерывного регулярного предпочтения R.
Утверждение 31. Пусть R — непрерывное регулярное предпочтение на выпуклом замкнутом множестве G СЕп. Для того чтобы R имело вогнутый индикатор, необходимо, чтобы верхний срез GR ( • ) был выпуклым многозначным отображением.
96
Доказательство. Обозначим через /(• ) вогнутый индикатор и зафиксируем произвольные X Е (0,1), х ь х2 Е G, y^GR (хх ), где хх = = Xxi + (1 - X) х2. Пусть для определенности x2Rxx. Вследствие вогнутости R, вытекающей из существования вогнутого индикатора, реализуется одна из двух возможностей:
Lx2PyRxx, где P = R\IRi
yRx2.
В первом случае справедлива цепочка соотношений х2 РуRxxRxx. Луч х(г) = х2 +t( у - х2), t > 0, пересекает границу ^(z) при yRzRxx ровно в одной точке (в силу регулярности RY Отсюда следует существование точки ух EGR(xx) такой, что Xpi +(1 — Х)х2 =у, т.е. у Е XGR(xx) + + (1 - X)GR(x2Y Вследствие произвольности у справедливо включение
Gr(xx)C XG/^xO + G -Х)<7д(х2).
Следовательно, GR( • ) — выпуклое многозначное отображение.
Во втором случае x2Rxx и yEG^x^ CG^XxY Справедливость доказываемого утверждения здесь очевидна.
Приведем достаточное условие существования вогнутого индикатора непрерывного регулярного предпочтения R. Обозначим, как обычно, верхний и нижний срезы R в точке х через GR(x) и HR(xY и пусть SR(x) = = GR(x)OHR(x).
Утверждение 32. Пусть R - непрерывное регулярное предпочтение на выпуклом замкнутом множестве G С En9GR( • ) - выпуклое точечно-множественное отображение и существует прямая /, имеющая непустое пересечение с SR (х) Vx Е G, так что выполнено соотношение
ХНя^ОПЩХ-Х^Н^П lC(XGR(xt) + (l- X)GR(x2»c, где Ас — дополнение множества А. Тогда R имеет вогнутый индикатор.
Доказательство. Возможны два случая:
1°. R не имеет максимальных элементов в G.
2°. R имеет максимальные элементы в G.
Рассмотрим первый случай. Покажем, что при всех х Е G прямая / пересекается с SR(x) ровно в одной точке. Пусть, наоборот, для некоторого у Е G прямая / пересекается с SR (х) в двух точках ух и у2. Из непрерывности R следует, что на [^ьУз] предпочтение R достигает максимума, пусть, для определенности, в точке у0. Из регулярности R вытекает, что Vx Е G П I y0Rx. Из того, что / имеет непустое пересечение с SR (х) Vx Е G, следует, что у0 - максимальный элемент R на G. Но это противоречит предположению об отсутствии максимальных элементов в G. Таким образом, Vx Е G прямая / пересекается с SR(x) ровно в одной точке.
Из выпуклости Gr (х) вытекают следующие включения:
\Н,МП1Ц1 _X)ZfR(x2)n/C(XCR(x1) + (l -X)GR(x2))cC
с (GR(xx)f с HR(xx).
Отсюда следует, что HR ( • ) = HR ( • ) П I - вогнутое точечно-множественное отображение.
7. Д.Б. Юдин97
Обозначим через а(х) точку пересечения прямой / с Sr(x). Тогда V X G (0, 1), V Xi, х^е G имеем
XafrO + G -ХМх^бХЯ^х.Ж! -Х)Я^
где хх = Хх, +(1 -Х)х2.
Из того, что Хх — максимальный элемент в Hr (хх) , вытекает, что
a(xx)/?[Xa(x!) + (l-X)a(x2)].(*)
Отсюда следует существование вогнутого индикатора. Действительно, пусть хг, х2 С I О (7, причем х2Рхх (где Р = R\Ir). Обозначим хх = Х^ + (1 - Х)х2, X Е (0, 1). Покажем, что V X G (0,1) х2РххРхх. Из вогнутости R вытекает, что xxRxx, а из регулярности R следует строгое отношение ххРхх.
Если бы имело место xxRx2l то вне отрезка [xj, х2] нашлась бы точка z Е I П G такая, что zPxx, и соотношение ххРх2 не сможет выполняться вследствие вогнутости R, а соотношение xxIrX2 - по регулярности R. Таким образом, х2 Рхх.
Из приведенных выше рассуждений следует, что t2 > tx *=>х(r2)/tx(tt), где x(0 = Xi *t(x2-Хх).
Введем функцию t ( • ): G -*ЕХ определенную соотношением
a(x) = хх + t(x)(x2 -хх).
Поскольку по определению а(х) имеем xIRa(x), то
t^y) > t^x) <=> yRx V x,yEG.
Следовательно, t ( • ) — индикатор R. Из соотношения ( ♦) следует, что
{X! + Г(Хх + (1 -ХХу)(х2 -Х1)}Я{Х(Х1 + Г(х)(х2 -*1)) +
+ (1 -Х)(х, +г(у))(х2 -х,)}.
Отсюда получаем
Г(Хх + (1-XV)>Xr(x) + (l-Х)Г(.У) VXG(0,1) Xfx.yGG, что и доказывает вогнутость t ( • ).
Рассмотрим теперь второй случай. Будем считать, что R нетривиально. (Если R - тривиальное предпочтение, справедливость утверждения очевидна.) Пересечение / с GR (хе), где хе - максимальный элемент R на G, является связным замкнутым собственным подмножеством /. Возможны три случая:
I П Gr(x,> = у»,■
I П Gr<x^ = [№,/i], Уо * У1,
/ П G^(x,)={y(0 1ИО=>'о +^О1 -Уо), f>0}, Уо^у,.
Рассмотрим случай (а). Пусть хх £ I ПС, х^ *у0. В силу регулярности R луч I! ■(j'COI ^(0 =Jo+ *(*1 - Jo), t >0} пересекает те Sr (х), с которыми он имеет непустое пересечение, ровно в одной точке.
Если не существует /0 < О такого, что
y(0P{ye+to(xi -Jo)} V у(0 е /,,
то / J пересекает Sr (х) Vx Е G, причем ровно в одной точке. Если же такое Го < 0 существует, то ясно, что указанными свойствами обладает /2 = {j(0 I j(0 = Уо +t(Xi -Уо\ Z < 0}.
Исследуем теперь случай (б). Рассмотрим два луча:
/1 = {j(0lj(0 = Jo+Z(J1 -Jo), t>U,
h ={y(t)\y(t) = Уо+Г(У1 -Уо), z < о}.
По крайней мере один из них имеет непустое пересечение с Sr (х) V х Е (7, причем (в силу регулярности К) пересекает Sr (х) только в одной точке.4
В случае (в) указанным свойством обладает луч
/1 = < j(01 j(0 = Уо + *01 - Jo), t < 0}.
Как и в случае (а), справедливость утверждения вытекает из выпуклости многозначного отображения Gr ( •).
Общие условия существования Р- и 7?-оптимального выбора на компактном множестве вариантов
В предыдущих параграфах излагались условия существования оптимальных в различном смысле вариантов при выборе по бинарным отношениям, принадлежащим к тем или иным специальным классам отношений. Эти условия, как правило, конструктивны и проверяемы. В последнее время появился ряд работ, в которых предприняты попытки привести на едином языке достаточно общие (может быть, не столь легко проверяемые) условия существования оптимального по бинарному отношению выбора, из которых вытекали бы известные частные условия для специальных случаев, сформулированные различными авторами в различных терминах. Обзор подобных работ для компактных множеств вариантов (содержащий, впрочем, и оригинальные результаты автора) приведен в [34].
Некоторые общие определения и утверждения из [34] представляют интерес в связи с последующим изложением.
В предыдущих параграфах, где рассматриваются условия существования ^оптимума и ^оптимума применительно к специальным классам бинарных отношений, вводятся вслед за [21] два определения оптимизации по строгому отношению Р и четыре определения оптимизации по нестрогому отношению R. Таким образом удается отразить особенности оптимизации по различным специальным бинарным отношениям. При подходе к оптимизации по бинарным отношениям, не учитывающем специфики отдельных классов отношений, не могут быть выявлены и соответствующие
тонкие эффекты оптимизации. Поэтому в [34] вводится только одно определение P-оптимизации и два определения P-оптимизации. Приведем эти определения.
Будем называть множеством максимальных на G элементов по строгому отношению Р множество
Мр = { х* Е G | 3 х: хРхЧ .
Назовем множеством наибольших на G элементов по нестрогому отношению R множество
A^={x*6G|Vx6G х*/?х}.
Будем называть множеством максимальных элементов по нестрогому отношению/? множество
Mr = (х* Е G | xRx* => x*Rx}.
Здесь не рассматриваются определенные в § 1 (п. 1.1) наибольший элемент по строгому отношению Р и строго максимальный и строго наибольший элементы по нестрогому отношению R. В [34] не рассматриваются также более общие определения Р- и Rоптимальности из пп. 1.2— 1.5.
Укажем связь между множествами NR и Mr, отвечающими одному и тому же нестрогому бинарному отношению R.
Утверждение 33. 1°. Всегда NR С MR. Для того чтобы NR =MR, необходимо и достаточно, чтобы V х Е G было выполнено условие
[ Зу Е G; xRy] => [ 3 z: (zRx) Л (x/?z)].
2°. Если R транзитивно и Nr Ф ф, то Nr =Mr.
Множества оптимальных по отношениям Р и R элементов могут быть выражены в терминах нижних и верхних срезов соответствующих бинарных отношений в точке х.
Пусть НР (х), Gp (х), Hr (х) , Gr (х) - соответственно нижние и верхние срезы отношений Р и R в точке х. Имеют место следующие выражения для множеств оптимальных элементов по отношениям Р kR.
Утверждение 34.
МР = 6\и{ЯР(х)|х Е G) = Н{£\Яр(х)|х Е G},
Nr = O{Gp(x)|x Е G},
Mr = O{Gp(x) U (С\Яр(х))|х Е GL
Введем понятия, позволяющие сформулировать условия, необходимые и достаточные для непустоты множеств Мр и Nr .
Назовем строгое отношение Р конечно-недоминируемым на G, если для любого конечного множества X С G существует элемент у Е G такой, что
хРу Vx Е X.
Эквивалентное определение конечной недоминируемости строгого отношения Р формулируется следующим образом.
100
Строгое отношение Р конечно-недоминируемо на G, если не существует такого конечного множества X С G, что
и{ЯР(х)|х Е X} = G ।
или, что то же, если для любого конечного множества ХС G выполнено
О {С\ЯР(х)|х Е X}* ф.
Назовем нестрогое отношение R конечно-доминируемым на множестве G, если для любого конечного множества X С G существует элемент у Е G такой, что yRx Чх Е X.
Эквивалентное определение конечной доминируемости нестрогого отношения R формулируется следующим образом.
Нестрогое отношение R конечно-доминируемо» если для любого конечного множества X С G выполнено
О {Gp(x)|x Е X} Ф ф.
В этих терминах формулируются следующие утверждения о необходимых и достаточных условиях непустоты множеств оптимальных по Р и R элементов.
Утверждение 35. Пусть множество G компактно, а все нижние срезы строгого отношения Р — открытые множества (т.е. Ч х Е G Нр (х) - открытое множество). Тогда для того чтобы множество Мр максимальных по отношению Р элементов было непусто, необходимо и достаточно, чтобы Р было конечно-недоминируемо на G.
Утверждение 36. Пусть множество G компактно, а все верхние срезы нестрогого отношения R замкнуты (т.е. Чх Е G Gr(x) — замкнутые множества) . Тогда для того чтобы множество Nr наибольших по отношению R элементов было непусто, необходимо и достаточно, чтобы R было конечнодоминируемо.
Утверждения 35 и 36 вытекают одно из другого, если учесть следующее
Утверждение 37. Для того чтобы множество Мр максимальных элементов по строгому отношению Р совпадало с множеством Nr наибольших элементов по нестрогому отношению R» необходимо и достаточно, чтобы Р и R были двойственными отношениями Р =Rd.
Для непустоты множества MR максимальных по отношению R элементов известно только достаточное условие.
Утверждение 38. Пусть G компактно, а нестрогое отношение R рефлексивно, транзитивно и обладает замкнутыми верхними срезами на G. Тогда множество MR максимальных по отношению R элементов непусто.
Решение многокритериальных задач связано с теми же проблемами, что и оптимизация по бинарному отношению. Естественно, что и вопросы существования оптимальных в том или ином смысле решений многокритериальных задач сводятся к аналогичным вопросам существования оптимального выбора по бинарному отношению.
Многокритериальная задача
{ fiW | г Е I} -* max | х Е G
определена, если указано, в каком смысле следует истолковывать максимум вектор-функции /(х) = {//(х) | i е /), где /, вообще говоря, бесконечное множество индексов.
В литературе обычно под оптимизацией ’вектор-функции /(х) = {/, (х)) подразумевается оптимизация по паретову бинарному отношению. Более общий подход к решению многокритериальных задач (который излагается в гл. X) предполагает оптимизацию (//(х)} по, вообще говоря, произвольному бинарному отношению, отражающему предпочтения лица, принимающего решение.
Напомним определения некоторых понятий, посредством которых формулируются условия существования паретова решения многокритериальных задач. Пусть /(х) = (// (х)|г 6 /}. Положим
Uto >fW ~ {//(х)>ft^ViеП,
{/(X) > f^ ~ ( //(X)>f^V iЕI, f(x) ^f^K
Uto > fW} ^ < ЛМ>ЛО)V ieП.
Назовем точку xE G
(i ) полуэффективным (слабооптимальным по Парето) решением многокритериальной задачи, если Зу Е G: /'(у) > /(х);
(и) эффективным (оптимальным по Парето) решением многокритериальной задачи, если Зу Е G: f(y) > fto>
(iii ) идеальным решением многокритериальной задачи, если Vу Е G выполняется /(х) >f(y).
Обозначим соответственно через 5/, Е/, Ji множества полуэффектив- ных, эффективных и идеальных точек многокритериальной задачи.
Определим нестрогое бинарное отношение R» положив
xRу *=* { /(х) > f(y) }, х, у е G.
Тогда Ji представляет собой множество наибольших элементов, а Е/ — множество максимальных элементов множества G по нестрогому отношению R» т.е. Jj = NR, а Е/ = Mr. Поэтому утверждение 33 можно следующим образом переформулировать в терминах многокритериальных задач.
Утверждение 33'. 1. Всегда Ji С Е/. Для того чтобы Ji = Е/, необходимо и достаточно, чтобы V х Е G выполнялось условие
[3/е/, 3yEG*. fi(y)>fi(x)} =» \3zEG f(z)> /(х)].
сли Ji * ф, то Ji =Е/.
Приведем условия непустоты множества полуэффективных, эффективных и идеальных точек многокритериальной задачи.
Утверждение 39. Для существования полуэффективных точек у многокритериальной задачи достаточно, чтобы хотя бы одна из компонент // (х) достигала максимума на G. Соответствующие точки максимума и включены в множество Si.
Утверждение 40. Пусть множество G компактно и V < Е / ft (х) полунепрерывны сверху на G. Тогда множество Е/ эффективных точек непусто.
Следующее утверждение нетривиально только для случая бесконечного числа частных критериев // (х) многокритериальной задачи.
Утверждение 41. Пусть множество G компактно и V / €/ //(х) полунепрерывны сверху на G. Тогда для того чтобы Jj было непусто, необходимо и достаточно, чтобы непусто было множество J^ , где Iе - любое конечное подмножество множества индексов /.
В [34] показано, что утверждения 40 и 41, сформулированные в терминах паретовых бинарных отношений, вытекают соответственно из общих утверждений 36 и 38.
Глава VI
ОБЗОР ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
Введение
Задачи теории принятия решений и соответственно методы их анализа целесообразно классифицировать в зависимости от концептуальной информации о целях и области определения выбора и от характеристик источников конкретной информации, позволяющей оценивать допустимость предъявленных вариантов и сравнивать их качество. Концептуальная информация о целях и области определения выбора позволяет установить принцип оценки допустимости, согласованности и качества решения. Допустимое множество решений может задаваться своими геометрическими свойствами, либо описываться системами равенств и неравенств или содержательными соображениями — правилами, алгоритмами, позволяющими проверять соответствие любого предъявленного варианта решения требованиям на допустимость.
Выбор может преследовать одну или несколько целей. В первом случае проблем нет. Независимо от того, имеется ли формализованный показатель качества решения, характеризующий степень достижения цели, или существует ’’оракул” - источник информации, указывающий для рассматриваемого варианта его характеристики допустимости и качества, выбор решения сводится к анализу условной экстремальной задачи — в принципе пройденному этапу теории принятия решений.
Существенно более сложна ситуация, в которой выбор требует достижения нескольких целей или решение должно удовлетворять, вообще говоря, несовпадающим интересам нескольких лиц. Здесь возникают проблемы, связанные с установлением и аргументацией понятий ’’равновесие”, ’’согласованность”, ’’компромисс”, ’’справедливость”. Рассматриваются различные подходы к определению этих понятий. На выбор подходящего определения оказывают влияние конкретные особенности решаемой задачи. При этом в каждом отдельном случае характер агрегирования требований к решению в той или иной мере основан на субъективных соображениях эксперта или лица, принимающего решение.
Изучаются три класса путей к установлению компромисса между различными требованиями к решению. Первый класс связан с использованием зарекомендовавших себя на практике механизмов выбора — содержательно оправданных процедур принятия решений. Второй класс путей к установлению понятия ’’компромисс” - так называемый аксиоматический подход - сводится к разработке и формулированию интуитивно рациональных
требований к этому понятию и к доказательству существования процедур (возможно, классов процедур), удовлетворяющих таким требованиям.
Наконец, третий класс путей согласования различных целей и интересов в той или иной области состоит в задании некоторых функций выбора, указывающих для разных обстановок (предъявлений) из заданного множества ситуаций подходящий выбор. Функция выбора может быть установлена, например, на основании наблюдений за действиями (решениями) опытного эксперта — специалиста по решению задач данного типа. Так, в принципе, могут быть установлены функции выбора, отвечающие тipyднoфopмaли- зуемым решениям диспетчера системы управления, диагнозам опытного врача, действиям сталевара, управляющего плавкой.
В терминах функции выбора могут быть описаны и два других подхода к принятию решения в сложных ситуациях, связанные с использованием тех или иных процедур выбора или основанные на различных системах аксиом, — содержательно приемлемых определениях свойств равновесия. Формальные приемы, устанавливающие связь между этими подходами, пред- ствляют практический интерес. Если любой функции выбора можно будет сопоставить процедуру, реализующую ее, а системе аксиом, характеризующей компромиссный выбор, можно будет привести в соответствие функцию выбора, то по свойствам, приписываемым ’’справедливому” ре- шению^можно будет восстановить механизм, автоматически осуществляющий такой выбор. Больше того, тогда окажется возможным по функции выбора, отражающей результаты достаточного объема наблюдений за решениями опытного специалиста, строить автоматизированные процедуры, восстанавливающие (при некоторых естественных допущениях о характере предъявлений) решение специалиста в заданной ситуации с погрешностью, не превышающей заданную.
Подробней эти вопросы будут обсуждаться в последующих главах.
В настоящей главе приводится краткий обзор различных механизмов принятия решений.
В § 2 конспективно излагается современное состояние традиционного математического программирования - механизма решения классических условных экстремальных задач, в которых заданы критерий качества решения - скалярная функция, характеризующая степень достижения цели, и скалярные функционалы, описывающие область допустимых решений. Экономные методы математического программирования используются в последующих главах как вспомогательный аппарат для конструктивных методов принятия решений в более сложных ситуациях, в частности, для механизмов выбора решений в многокритериальных задачах и в конфликтной обстановке. Некоторые из подобных методов линейного и выпуклого программирования, достаточно эффективные на практике, изложены в гл. VII ’’Вспомогательные вычислительные методы”.
В § 3 дано краткое описание математического программирования (выпуклого и линейного) в порядковых шкалах - эффективного механизма ’’оптимального” выбора объектов произвольной природы по результатам их парных сравнений на основе предпочтений лица, принимающего решение.
Рассматривается также случай, когда бинарные отношения, определяющие выбор, могут быть нетранзитивны и неполны.
В S: 4 схема математического программирования в порядковых шкалах обобщается на случай выбора, основанного не на непосредственном сравнении объектов, а на попарном сравнении векторов их характеристик. Соот- ветствующие задачи называются задачами обобщенного математического программирования.
В § 5 приводится характеристика схемы многошагового обобщенного математического программирования, излагаются ее свойства и возможности. Эта схема может рассматриваться как механизм точной или приближенной (с любой требуемой точностью) реализации произвольной функции выбора.
Материалы § § 3-5 далее подробно обсуждаются и аргументируются в гл. VIII, IX и XII.
В § 6 обсуждаются актуальные задачи теории принятия решений. Выявляются предположения, лежащие в основе Современных подходов к выбору решения, которые .подвергаются! критике со стороны ряда специалистов. Намечаются пути преодоления принципиальных и вычислительных трудностей. В частности, предлагается программа исследований, имеющих целью ослабить требования к ЛПР, исключить его рутинную деятельность, сохранив за ним лишь творческие задачи, связанные с выражением его знаний, опыта, шкалы ценностей, идеологических установок и жизненных позиций.
Традиционное математическое программирование
Простейшая ситуация выбора решений соответствует случаю, когда лицо, принимающее решение, преследует единственную цель, и эта цель может быть формально задана в виде скалярной функции — критерия качества выбора — или значения критерия качества могут быть получены для любого допустимого набора значений аргументов. Предполагается также, что известна область определения параметров управления - компонент выбираемого вектора — или во всяком случае для любой заданной точки может быть установлено, является ли она допустимым выбором, т.е. принадлежит ли она области определения критерия качества решения. В такой ситуации задача выбора решения может быть формализована и описана моделью математического программирования.
В задаче математического программирования требуется вычислить л-мер- ный вектор х, оптимизирующий (обращающий в максимум или минимум в зависимости от содержательной постановки задачи) критерий качест- ва решения Мх) при соблюдении ограничений ^(х) > к/, / Е 1,г, х Е Е G, где//,/ ЕО,г,- известные скалярные функционалы, Uj - заданные числа, G - заранее заданное множество и-мерного пространства.
Таким образом, задача математического программирования имеет вид:
/0(х)-*тах \fi(x)>Up /Е 1,г, хЕССЕ”.(1)
В зависимости от свойств функций / = (/о, А, • • • ,/г) и множества G имеют дело с тем или иным классом задач оптимизации.
Если все функции / линейные, a G - многогранное множество, имеют дело с задачами линейного программирования; если среди функций / ветре-
чаются нелинейная — задача оказывается задачей нелинейного программирования. Среди нелинейных экстремальных задач выделяют выпуклые задачи, в которых максимизации подлежат вогнутые функции /0(х) при вогнутых функционалах ограничений fj (х) и выпуклой области G.
Методы качественного анализа задач и вычислительные методы решения существенно зависят от того, является ли G непрерывным или дискретным множеством. Задачи, в которых G содержит конечное или счетное число точек, выделены в специальный раздел математического программирования - целочисленное или дискретное программирование со своими специфическими понятиями и своей проблематикой.
В математическом программировании трудности сводятся, главным образом, к построению экономных вычислительных методов решения задач. Формализация задач, укладывающихся в рамки математического программирования, не связана с принципиальными трудностями - понятие ’’приемлемое решение” здесь обычно без труда определяется извне из содержательных соображений. Совсем иная ситуация возникает при формализации задач теории выбора решений, связанных с достижением многих целей, с согласованием интересов группы лиц, с преодолением конфликтов. Здесь, кроме вычислительных трудностей, появляются труд-- ности концептуального характера, связанные с определением понятий ’’компромисс”, ’’равновесие”, ’’справедливое решение”.
Приведем формальное описание понятий, в терминах которых могут быть охарактеризованы задачи и методы непрерывного математического программирования.
Зафиксируем семейство (/, G) задач математического программирования и снабдим его источником информации об индивидуальных задачах класса - оракулом О. Оракул определяется множеством X допустимых вопросов, множеством Y возможных ответов и функцией наблюдения: ^(х,/): XX (f, G)-* У, приводящей в соответствие каждому вопросу хЕ^по индивидуальной задаче / из рассматриваемого семейства ответ yEY.
Метод $ численного решения задачи представляет собой набор инструкций по формированию очередных вопросов, выбору момента остановки и построению приближенного решения в зависимости от накопленной к очередному шагу информации о решаемой задаче. Метод одновременно ’’идентифицирует” индивидуальную задачу класса (в окрестности ее решения) и решает ее. Решение задачи численным методом 53 с оракулом О происходит итеративно по шагам. На каждом шаге метод ’’задает вопрос” х Е X оракулу и получает от него ответу = ^(х,/) Е У. Каждый следующий вопрос при осуществлении этой процедуры формируется по предыдущим вопросам и ответам.
Метод 53, использующий оракул О для решения задач семейства (Л G), характеризуется своей трудоемкостью и погрешностью. Трудоемкостью метода $ на задаче f класса называется число шагов (число вопросов, задаваемых оракулу), требуемое для решения задачи. Трудоемкостью метода S3 на классе задач называется верхняя грань трудоемкостей индивидуальных задач семейства. Погрешностью метода S3 на задаче f класса (т.е. погрешностью результата г метода S3 в качестве прибли-
же много решения задачи/) называется величина
е = e(z, /) = тах{/. - /0(z), ut - A(z), ...,и,- fr(z)> .
где Д - оптимальное значение целевой функции /0(х) в области своего определения. Погрешностью метода 59 на классе задач называется верхняя грань по / погрешностей ® на индивидуальных задачах класса.
Сложностью (информационной) W(e) решения задач класса (/,(7) с помощью методов 59, использующих оракул О и обеспечивающих приближение с погрешностью, не большей е, называется минимальная трудоемкость, с которой метод 59 может еще решить любую индивидуальную задачу / класса с погрешностью, не превышающей е. Другими словами, сложность (информационная) W(e) класса задач (/,(7) — это минимальное число / шагов, при котором еще существует некоторый метод 59, использующий оракул О и решающий задачи класса с трудоемкостью не более I и погрешностью, не превышающей е.
В [35] оценена информационная сложность различных классов задач математического программирования. В частности, там аргументирована бесперспективность поиска универсальных методов решения любых невыпуклых задач. Информационная сложность класса всех гладких невыпуклых задач нелинейного программирования /(х) max | х Е G оценивается снизу неравенством
/1\^
Nto > c(n,k^J
Здесь с(п, к) — некоторая константа, G - единичный шар в Еп, а функция / дифференцируема на Еп сколь угодно много раз, причем ее частные производные до порядка к включительно не превосходят по модулю 1 во всем пространстве. Предполагается, что оракул сообщает значения производных / всех порядков от 1 до к в любой точке, в которой метод задает ему вопрос. На практике к обычно невелико, к- 1 -г2 (старшие производные мы оценивать не умеем). Таким образом, при немалых и и 1/е разработка метода, годного для любых невыпуклых задач, — безнадежная затея. Целесообразно разрабатывать специальные методы, учитывающие структуру и специфику более узких классов задач. Чем уже этот класс, чем больше особенностей структуры задач может быть учтено, тем больше шансов на ’’изобретение” метода приемлемой трудоемкости. Заметим, что катастрофический рост W(e)c ростом и и 1/е вызван не столько много- экстремальностью, сколько невыпуклостью рассматриваемого класса задач. Одноэкстремальность не является еще тем свойством невыпуклых задач, которое позволяет существенно сократить трудоемкость их решения. Выделение подклассов нелинейных задач, для которых могут быть разработаны эффективные методы анализа, должно быть основано на других структурных свойствах функционалов, определяющих условия задачи.
Класс общих выпуклых задач является достаточно широким классом задач нелинейного программирования, который характеризуется, приемлемой трудоемкостью решения. В то же время в этот класс укладываются многие прикладные задачи.
Для класса общих выпуклых задач получены верхняя и нижняя оценки асимптотики сложности по € -► О [66]:
N(e) < 2,2 ] и In— [,€ < 1,
€
11/1 \
N(e) > — и!п-,€ < e(G\ (eCG) < —) .
12 е\ л2 /
Здесь ]д[ — наименьшее целое число >a,€(G) — зависящая от G величина погрешности, начиная с которой справедлива нижняя оценка сложности. Для тел G с ’’хорошими” геометрическими свойствами (например, для шаров в пространствах Лебега Lp) сложность Wp(e) ограничена сверху полиномом от 1 /е, почти не зависящим от размерности п. График, привел ценный на рис. 6.1, иллюстрирует изменение сложности класса общих выпуклых задач для случая, когда тело G хорошо аппроксимируется евклидовым шаром.
В главе VII приведены алгоритмы некоторых эффективных методов выпуклого программирования, которые могут быть также использованы как вспомогательные методы для решения задач обобщенного выпуклого программирования.
. Обсудим теперь подходы к анализу задач дискретного математического программирования - задач вида (1), в которых множество G содержит конечное или счетное число точек. При конечном числе альтернатив можно всегда выбрать лучший вариант, перебирая альтернативы и сравнивая их между собой. Однако при немалом числе допустимых вариантов перебор требует астрономического числа вычислений. Важно выяснить,
есть ли надежда построить достаточно общие и эффективные вычислительные методы точного или приближенного решения массовых вычислительных задач дискретной математики. Если таких надежд нет, то следует, по-видимому, разбивать массовые дискретные задачи на все более узкие классы и строить более эффективные методы, основанные на изучении особенностей частных подклассов задач. Накопленный опыт и результаты теории вычислительной сложности, возникшей два десятилетия тому назад, заставляют склоняться именно к этому выводу.
Известно относительно небольшое число классов дискретных задач, трудоемкость решения которых растет как полином от размерности задачи
109
(от числа переменных, подлежащих вычислению). Сформулировано огромное число содержательных классов задач, для решения которых построены методы с экспоненциальной относительно размерности задачи трудоемкостью, но не найдено методов с полиномиальной сложностью. Больше того, указано большое число классов задач, так называемых универсальных задач (их насчитывается уже тысячи и к ним относятся многие часто встречающиеся на практике комбинаторные задачи) - в некотором смысле максимально трудоемких. Доказано, что если хотя бы для одного из этих классов задач будет построен полиномиальный метод решения, то удастся построить методы полиномиальной сложности для любой задачи дискретного математического программирования. Вопрос о существовании полиномиально разрешимых универсальных переборных задач четко поставлен и формализован, но до сих пор не решен. Решение этого вопроса является одной из важнейших проблем теории вычислительной сложности.
Заметим, что теория информационной сложности нелинейного программирования и теория вычислительной сложности дискретного программирования отражают разные аспекты сложности классов задач. Теория информационной сложности предусматривает идентификацию задачи в процессе диалога лица, принимающего решение, и оракула. Для задач нелинейного программирования в общей постановке нет ’’естественного” способа выделения индивидуальной задачи класса. В теории вычислительной сложности нет необходимости в идентификации задачи - в ней рассматриваются классы задач, для которых просто решается вопрос о кодировании индивидуальных задач класса. Таким образом, в теории вычислительной сложности задача считается идентифицированной своим кодом, но ограничиваются средства, которые можно применять для преобразования заданного кода задачи в код решения. Это должен быть алгоритм; обращение к таблице, (бесконечной) или использование случайного механизма недопустимы. В теории информационной сложности, напротив, применяемые средства никак не ограничены, но зато информацию о решаемой задаче разрешается получать в рамках строго регламентированного диалога.
Математическое программирование в порядковых шкалах (МППШ)
Традиционная схема математического программирования, требующая задания целевой функции - критерия качества выбора - и функционалов ограничений, выделяющих область определения задачи, удобная, привычная, но отнюдь не обязательная составная часть механизма принятия решения. Многолетний человеческий опыт выбора решений, обобщенный в различных прикладных дисциплинах, далеко не всегда связывается с необходимостью указания (даже словесного) окончательной цели выбора и рамок множества допустимых решений. Решение принимают люди, и для них часто понятие последовательного предпочтения одного из сравниваемых вариантов другому — более естественный путь выбора рациональной альтернативы, чем формулировка цели и приближение к ней. При этом допустимое множество альтернатив нередко целесообразно задавать не неравенствами, выделяющими приемлемые варианты, а некоторыми усло- 110
виями предпочтения выбираемых вариантов определенным, заранее заданным альтернативам. Такие ситуации встречаются, в частности, когда выбор должен обеспечить достижение ряда целей, а его допустимость определяют разные лица, ведающие различными ресурсами, ограничивающими выбор. Так, например (см. [61]), предпочтения в номенклатуре предметов, удовлетворяющих ту или иную потребность населения, определяются торговыми организациями, а возможности производства устанавливаются предпочтениями промышленных предприятий, зависящими от наличного оборудования и сырья. Рациональный заказ торговых организаций промышленности может быть, таким образом, формализован как выбор номенклатуры предметов заданного назначения, оптимизирующий предпочтения торговли и учитывающий предпочтения промышленных предприятий, участвующих в изготовлении заказа. В свою очередь, выявление торговыми организациями платежеспособного спроса - набора продуктов, предпочитаемого той или иной группой населения, производится в результате наблюдения за предпочтениями потребителей. Обработка этой информации дает основания для планирования производства, удовлетворяющего спрос. Аналогичным образом строятся модели, согласовывающие интересы заказчиков с возможностями исполнителей в различных отраслях человеческой деятельности.
Обобщение схемы математического программирования и переход от моделей, требующих задания функционалов, определяющих цели и ограничения задачи, к моделям, учитывающим предпочтения лиц, участвующих в выборе решения, расширяет диапазон приложений теории экстремальных задач. Специалисты по математической экономике подчеркивают, например, что теория полезности, возникшая в 1870-х годах, была чрезмерно стеснена приверженностью своих основоположников к таким малосущественным вопросам, как количественная измеримость полезности. Освободившись от этих связывающих ее ограничений и перейдя от количественных к порядковым понятиям, классическая идея полезности выросла в современную теорию потребительского предпочтения. Можно ожидать, что обобщение схемы математического программирования и переход от количественных шкал к порядковым окажется полезным и в других приложениях теории принятия решений.
Рассмотрим простейший переход от условной экстремальной задачи в количественных шкалах к задаче в порядковых шкалах.
Пусть G - некоторое фиксированное компактное множество в Еп, RjJ* = 0,1,..., г, — рефлексивные, транзитивные и полные бинарные отношения на шаре, содержащем G, - предпочтения. Ro - предпочтение лица, принимающего решение,/?/,/= 1,..., г, могут интерпретироваться как предпочтения лиц, ограничивающих каждый по-своему множество допустимых планов. Некоторые из отношений Rj могут определяться обычными функциональными неравенствами, ограничивающими диапазоны изменения различных компонент решения.
Обозначим через u/,/ = 1,... ,г, заданные априори точки G и будем считать, что план хЕ G допустим по /-му ограничению, если xRjUj. Соответственно назовем точку xEG допустимым решением, если xRjUp i е Т?7
Задача математического программирования в порядковых шкалах (МППШ) представляет собой задачу выбора ’’наилучшегс” (в смысле би- парного отношения Ro - см. гл. V) среди допустимых решений. В ней требуется найти х* такое, что
x*Rox \xRj-ui» x*Rjii^ / Е l,r, х.х* Е G.(1)
Другая запись задачи математического программирования в порядковых шкалах, допускающая различные обобщения, имеет вид
х► тах|хД/М/, / Е l,r, х Е G.(2)
Пусть 3) - множество допустимых точек:
3 = ( х Е G \ xRjUj, / Е 1,г } .
Предположим, что ® Ф ф, т.е. множество допустимых решений задачи (2) непусто. Выберем некоторую метрику || • || в Еп и обозначим через Plhllto расстояние (в метрике II• II) от точки хдо множества (7, решений задачи (2).
Приближенное (с погрешностью не более е) решение х задачи (2) есть любая точка х Е 3), не худшая (в смысле R^ наихудшей точки х|*11 множества G*. Здесь G* = (хЕ ф |рц.ц(х)< е} — е-окрестность множества G* точных решений (в ®) задачи (2).
Вряд ли можно ожидать разработки процедуры приемлемой трудоемкости для произвольных задач математического программирования в порядковых шкалах. В § 2 было указано, что для достаточно широких классов нелинейных задач традиционного математического программирования не существует методов приближенного решения, трудоемкость которых приемлемым образом растет с ростом размерности задачи. Для дискретных экстремальных задач существование таких методов также весьма проблематично. Этот вывод естественно переносится и на задачи математического программирования в порядковых шкалах. В связи с этим мы ограничимся рассмотрением выпуклого математического программирования в порядковых шкалах, т.е. задач, в которых множество G выпукло, а предпочтения Rh j Е 0, г, определяющие условия задачи (2), вогнуты. Для таких задач в гл. VIII разработан диалоговый метод решения - процедура, позволяющая по последовательно предъявляемым (в соответствии с требованиями метода) альтернативам и получаемой локальной информации о предпочтениях Rj на соответствующих парах вариантов получить е-приближенное решение задачи. Там же приводится оценка трудоемкости метода, которая оказывается вполне приемлемой. При расширении понятия ’’оптимизация по бинарному отношению”, приведенном в гл. V, и соответственно при расширении понятия ”€-оптимальное по Ro решение” (см. гл. VIII) удается обобщить метод решения выпуклой задачи математического программирования в порядковых шкалах на случай произвольных (нерефлексивных, неполных и не транзитивных) бинарных отношений.
Обобщенное математическое программирование (ОМП)
Выбор рационального решения интуитивно связан с так или иначе понимаемой оптимизацией. В простейшем случае, когда задан показатель качества решения - шкала, устанавливающая полезность каждой допустимой альтернативы, возникаю? лишь технические задачи, связанные с вычислением максимума или минимума функции того или иного класса на допустимом множестве альтернатив. Как мы уже видели, изучение моделей и методов решения условных экстремальных задач - предмет ставшей уже классической дисциплины - математического программирования вместе с его динамическими и стохастическими версиями.
К анализу моделей математического программирования сводится решение задач проектирования технических систем вполне определенного назначения. В рамки математического программирования укладываются задачи планирования при четко сформулированном критерии качества плана. Р^конец, математическое программирование может быть использовано в качестве аппарата синтеза одноцелевых систем управления. Однако в исследовании теоретических проблем экономики, социологии, военного дела и других дисциплин, связанных с выбором рациональных решений, роль традиционного математического программирования более скромна. В экономической теории возможности математического программирования ограничены изучением экономической системы, управляемой единой волей и контролирующей все аспекты решений. Такая хозяйственная система описывается моделью экономики Робинзона Крузо. В реалистических моделях экономики развитие системы определяется интересами многих лиц. Каждый участник хозяйственной системы — производитель и потребитель - имеет свои представления о наилучшем распределении ресурсов и благ. Основная задача экономической науки - разработка путей ’’рациональной” организации системы, установление ’’равновесных” ’’справедливых” норм распределения благ — не укладывается в рамки классической теории математического программирования. Еще более сложна проблема ’’справедливого” распределения прав и обязанностей в общественных науках. Выбор ’’компромиссных” групповых решений требует принципиально новых подходов, существенно более широких и гибких, чем в традиционной теории оптимизации. Аналогичные трудности возникают при проектировании многоцелевых систем. Современные сложные системы, обеспечивающие производство и управление, предназначены для решения разнообразных задач и должны удовлетворять многим, порой взаимоисключающим, требованиям. Как в каждом отдельном случае агрегировать критерии качества системы, отражающие различные цели, поставленные перед ней, - одна из важнейших задач теории принятия решений. Задача еще больше усложняется, когда выбор решений происходит в конфликтной ситуации и каждый участник конфликта своими действиями не способен определить значения всех переменных, влияющих на достижение его целей. ’’Игровые” проблемы являются не только разделами теории конкурентной экономики, военной науки и дипломатии. В том иж ином виде они встречаются при решении различных задач организации производства, проектирования технических систем, управления технологическими процессами.
Как видим, в основе различных разделов теории принятия решений лежат такие понятия, как равновесие, компромисс, справедливость. Мы, конечно, далеки от мысли выразить человеческие ценности и общественные идеалы числом. Разработка и совершенствование шкалы ценностей - стимулов человеческого поведения — не является задачей математики, точнее, является задачей не только математики.. Это главная проблема науки, искусства, морали, связанная со смыслом человеческого существования. Тем не менее нам представляются возможными обобщения понятий и вычислительных методов оптимизации, расширяющие круг прикладных задач, для которых могут быть получены рациональные решения, отвечающие историческому опыту и интуиции специалистов.
Настоящий параграф посвящен обобщенному математическому программированию - методологии, которая распространяет принципы и методы традиционного математического программирования, предполагающего скалярные критерии качества и функционалы ограничений, на случай векторных критериев и векторных ограничений. В отличие от традиционной теории оптимизации схемы обобщенного математического программирования (ОМП) не оценивают допустимость и качество каждой альтернативы, а приближаются к решению в процессе сравнения пар альтернатив. Оптимизация и ограничения в ОМП трактуются в терминах бинарных отношений, в частности, в терминах отношений предпочтения. В общем случае оптимизация и ограничения по бинарным отношениям определяются неоднозначно. Интерпретация этих понятий зависит от содержательного смысла условий задачи и свойств бинарных отношений, по которым производится оптимизация или выделение допустимых альтернатив.
Во многих случаях ОМП представляет собой естественный подход к численному решению многокритериальных задач, к принятию групповых решений и к анализу конфликтных ситуаций. Предлагаемый подход к выбору решений существенно учитывает предпочтения лиц, принимающих решение (ЛПР). При этом предполагается, что каждый участник процесса принятия решений индуцирует на множестве альтернатив некоторые бинарные отношения и сохраняет их в процессе решения задачи.
Формальная запись модели ОМП - естественного обобщения схемы традиционного математического программирования и расширения модели математического программирования в порядковых шкалах — имеет вид
/о№ - тах(Я0) \№RjUb j е ГТ х 6 G £ Е".
При стандартных определениях оптимизации по бинарному отношению приведенная запись означает следующее. Требуется вычислить вектор’х* такой, что
/о(х*)КоГо(х)\Г1(х*)К1ЦЬ
ff(x)Rfuh j G 77 х, х* G G Q En. .
Здесь fj(x\ ]G^, r, - вектор-функции в Ет\ и,- - фиксированный вектор в Ет\ Rj9 jG0,r 9- бинарные отношения на G £ Еп.
В соответствии с замечаниями § 1 гл. V понятия оптимизации по бинарному отношениюRq {х 6 G | /0(х) -* тах(Я0) } и ограничений по бинарному отношению Rj {xGG\fj (x)Rj и, ) могут быть расширены и использова- 114
ны следующим образом.
{х G G 1/оМ -* тах(/?о)} **
** {х ещ ^у ев s£t (/0М) э s*e (Лоо)),
(х е G | fj^RjUj } *=* { х G G | $£ (/Дх)) D S^ (М/)) ,
Для одного из значений fc = 1 -5-4. Определения множеств ^ (•) см. в § 1 гл. V. Под оптимизацией по бинарному отношению можно также понимать (R, С) -оптимизацию (см. п. 1.5 гл. V).
Выбор типа оптимизации и ограничений определяется содержательными особенностями задачи.
Ясно, что в приведенные схемы укладываются многие задачи теории принятия решений и среди них-задачи, для которых до сих пор не было конструктивных методов анализа.
Замена вектор-функции fo(x) на скалярную функцию, оптимизации по бинарному отношению Ro - на естественную скалярную оптимизацию, вектор-функций./у(х),/6 1, г, — на скалярные функции, а ограничения по Rj — на обычные скалярные, неравенства переводит модель ОМП в традиционную модель математического программирования. При fj(x) = x, jEO, г, модель обобщенного математического программирования переходит в модель математического программирования в порядковых шкалах. Заметим, что любой задаче ОМП мозюю привести в соответствие некоторую эквивалентную задачу математического программирования в порядковых шкалах, если заменить бинарные отношения Rj, j Е 0, г, на Rj по формулам
/o(^o/o(j) ** xRoy; fj^RjUj <=> xR/S/, j G 1, r.
Многие прикладные задачи теории принятия решений могут быть поставлены как в терминах математического программирования в порядковых шкалах (МППШ), так и в терминах обобщенного математического программирования (ОМП). Выбору объекта, производимому при непосредственном сравнении пар объектов, отвечает модель МППШ. Выбору объекта, основанному на сравнении его характеристик, соответствует модель ОМП. Структура модели МППШ существенно проще структуры модели ОМП. Однако размерность вектора х, определяющего объект, обычно существенно выше размерностей векторов-характеристик, по которым оценивается качество и возможности реализации объекта. Выбор модели, формализующей задачу принятия решений, зависит, кроме того, от свойств вектор-функции fj^xY jEO, г, и бинарных отношений Rj nRj, jEO, г.
8*8*В традиционном математическом программировании конструктивные методы решения разработаны для непрерывных выпуклых задач и дискретных задач с полиномиальной сложностью. Показано, что сложность класса невыпуклых задач экспоненциально растет с ростом размерности задачи. Имеются серьезные основания ожидать, что для большинства дискретных экстремальных задач не существует методов решения, сложность которых растет полиномиально с ростом размерности задачи. Следует полагать, что аналогичные трудности возникнут и при разработке методов
8*
8*
115
решения задач ОМП. По-видимому, методы приемлемой трудоемкости можно разработать только для тех классов задач ОМП, в которых характеристики вектор-функций //(х), области определения решения G и используемых бинарных отношений Rj удовлетворяют некоторым специальным требованиям. Так, конструктивные методы анализа непрерывных задач ОМП построены для случаев, когда составляющие вектор-функций /7(х) — линейные или.вогнутые функции, G — выпуклое множество, а бинарные отношения Ri - непрерывные, вогнутые, монотонные и регулярные предпочтения.
Напомним, что бинарные отношения представляют собой предпочтения, если они рефлексивны, транзитивны и полны. Бинарное отношение непрерывно, если множество {(x,y)\xRy } замкнуто в G X G, Полное отношение R на выпуклом множестве G называется вогнутым, если X/ х, у, z Е G таких, что z^yvt и z -выпуклая комбинациях и. у, из xRy следует zRy. В содержательных терминах вогнутость бинарного отношения требует, чтобы каждый элемент на отрезке предпочитался худшему из концов. Бинарное отношение R монотонно, если из х>у следует xRy. Отношение R регулярно, если множество точек, эквивалентных х (в соответствии с отношением эквивалентности, порожденным R)» не имеет внутренности Vx Е G.
Модели ОМП с выпуклыми множествами G, вогнутыми ^(х) и вогнутыми бинарными отношениями Rj будем называть моделями обобщенного выпуклого программирования (ОВП). Заметим, что к моделям ОВП могут быть сведены задачи ОМП с определенным образом согласованными между собой невогнутыми бинарными отношениями R, и невогнутыми вектор-функциями f^x). Бинарные отношения Rj соответствующей задачи математического программирования в порядковых шкалах должны быть вогнуты.
Для решения задач ОВП и, в частности, задач обобщенного линейного программирования (ОЛП) разработаны экономные вычислительные методы и оценена их трудоемкость. Предложенные методы удается обобщить и приспособить для решения задач ОМП, в которых можно отказаться от требования рефлексивности, транзитивности и полноты бинарных отношений Rj. Однако в непрерывных задачах ОМП требования вогнутости fl и Rj (или определенной согласованности характеристик fj и Rp позволяющей считать задачу выпуклой) необходимо сохранять. По-видимому, только в этом случае можно гарантировать приемлемый рост трудоемкости решения задач с возрастанием их размерности. Выделение задач ОМП, определяемых вогнутыми бинарными отношениями со специальными свойствами, позволяет упростить соответствующие методы анализа.
Что касается дискретных задач ОМП, то здесь возникают те же пробле- ьф1, что и в традиционном дискретном математическом программировании. Всякое продвижение в целочисленном программировании естественным образом переносится и на обобщенное целочисленное программирование (ОЦП).
. Разработанные методы ОМП упрощаются и могут быть эффективно использованы для анализа рациональных схем многокритериальной оптимизации, отвечающих случаю, когда агрегирование частных критериев производится в соответствии с предпочтениями лица, принимающего реше- 116
ние. Схема многокритериальной оптимизации может быть получена из модели ОМП, если исключить из нее векторные ограничения - ограничения вида fi ^RjUj - и сохранить лишь стандартные скалярные ограничения - неравенства вида gf (x)<0. В задачах выпуклой многокритериальной оптимизации ряд технических трудностей, связанных с решением задачи ОВП, отпадает. Больше того, громоздкие процедуры решения задачи ОВП становятся здесь гораздо более прозрачными.
Заметим, что в многокритериальных задачах так же, как и в ОВП, метод эллипсоидов, используемый в качестве вспомогательного инструмента, может быть заменен методом симплексов (см. гл. VII, § 1,4). При этом, однако, несколько ухудшаются теоретические оценки трудоемкости процесса поиска решения - число обращений к оракулу, гарантирующее решение задачи с погрешностью, не превышающей заданную, увеличивается. Имеются, тем не менее, интуитивные основания ожидать, что в практических расчетах этот эффект, как правило, не будет сказываться. Классический симплексный метод линейного программирования теоретически представляет собой метод с экспоненциальной вычислительной сложностью. Однако на практике он не только не уступает методу эллипсоидов — методу с полиномиальной сложностью, но обычно (при немалой размерности задачи) существенно превосходит его. По-видимому,если оценивать трудоемкость процедур решения задач не по наихудшему случаю, а в ’’среднем”, определенным в соответствии с распределением ’’встречающихся” задач, расхождение между теоретическими и практическими оценками исчезнет.
Заметим, что выбор лучшего метода решения многокритериальной задачи, использующего предпочтения ЛПР, представляет собой, в свою очередь, многокритериальную задачу. Трудоемкость метода определяется, с одной стороны, числом вопросов к ЛПР, сравнивающему векторы показателей качества на различных планах, и, с другой стороны, числом обращений к оракулу, определяющему значения (и градиенты) функций fj(x) и gj(x) на предъявляемых ему планах. Автор, выступающий здесь в роли ЛПР, выбрал в гл. IX-XII лексико-графический подход к оптимизации метода. От метода, в первую очередь, требовалась субоптимальность по числу вопросов к ЛПР, и при этом условии число обращений к оракулу следовало по возможности сократить. Предполагалось, что творческая работа ЛПР.требует серьезного методологического и технического обеспечения и является существенно более трудоемкой, чем работа оракула, определяющего' локальную информацию о функциях ffa) и g<(x).
Заметим в заключение параграфа, что методы решения задачи ОВП и соответственно ее частного случая - специальной постановки многокритериальной задачи - подробно изложены в гл. X, XI применительно к рефлексивным, транзитивным и полным бинарным отношениям. Там же методы обобщены и конспективно описаны применительно к произвольным вогнутым бинарным отношениям. В необходимых случаях, когда при естественных определениях оптимума по бинарному отношению задача ОВП не имеет решения, понятие оптимизации по бинарному отношению обобщается в соответствии с соображениями, изложенными в гл. V. Общая идея методов решения задач ОВП при этом сохраняется.
5. Многошаговые задачи
обобщенного математического программирования
Как мы видели {см.. гл. III), общий подход к принятию решений, способный выразить любую концепцию выбора, определяется функцией выбора (ФВ) — теоретико-множественным отображением, позволяющим выделить из всех возможных решений в данной ситуации (для данного предъявления) приемлемые решения. Различные уточнения функций выбора, такие, как динамическая ФВ, стохастическая ФВ, параметрическая ФВ, условная ФВ, позволяют учесть специфику условий выбора и упрощают запись соответствующих процедур принятия решения. Функции выбора могут быть выявлены по результатам наблюдений за фактически осуществляемым опытными специалистами выбором. ФВ могут быть также заданы системой аксиом, формулирующих требования к рациональному выбору. Наконец, ФВ могут быть определены механизмами выбора - вычислительными процедурами принятия решений.
В практических ситуациях число потенциально возможных предъявлений, отвечающих задачам фиксированного класса, астрономически велико. Поэтому задание ФВ таблицей нереально. Автоматизация выбора требует задания механизма выбора - вычислительного метода, реализующего соответствующую ФВ для всевозможных предъявлений. В связи с этим возникает задача представления произвольной функции выбора реализующим ее механизмом. В главе III рассматривались частные механизмы выбора, реализующие различные ФВ. Классический механизм выбора — условная или безусловная оптимизация некоторого скалярного показателя качества решения — реализует весьма узкий класс ФВ. Более широкий класс функций может быть реализован оптимизацией по бинарному отношению, схемой математического программирования в порядковых шкалах и моделью обобщенного математического программирования. В гл. Ill—IV приведены компактные условия, которым должна удовлетворять ФВ для того, чтобы ее можно было воспроизвести оптимизацией по скалярному критерию или по бинарному отношению. Для приложений, однако, важно указать класс механизмов, которые реализуют произвольную ФВ, отвечающую, по крайней мере, конечному числу альтернатив. Последняя оговорка, впрочем, несущественна, поскольку на любом компактном ьможестве можно заменить ФВ ее е-аппроксимацией, отвечающей конечному числу альтернатив и отличающейся от исходной ФВ (в метрике Хаусдорфа) не более, чем на заданную величину е.
В [70] предложена многошаговая схема обобщенного математического программирования (МнОМП), реализующая произвольную функцию выбора на конечном множестве вариантов.
Схема МнОМП предполагает некоторое расширение понятия ’’задача ОМП” и соответственно ее частного случая задачи МППШ. Это расширение сводится к тому, что допустимое множество решений разрешается получать из множеств решений, выделяемых отдельными ограничениями задачи (xRjUj), не только их пересечением, но и их объединением. В связи с этим будем записывать задачу МППШ (одношаговую) в виде
Opt^ (Z) | Z = П U Adm^. Usi {X),
где
Adm^ ^(ЛГ)” {х е ДГ| Vu € Usj xRsfu}
- множество допустимых по ограничению с номером sj решений- из множества X. Здесь X^G - предъявление, Usj — заданное множество параметров и (Adm - admissible — допустимый).
Предполагается, что понятие ’’оптимизации по бинарному отношению ^о ” (Opt^o(Z)) фиксировано в соответствии с любым из определений, введенных в гл. V. Это может быть, например, оптимизация по доминированию:
х е Opt£°m(X) *-> (X г X) Л (Vy е X xRy), или оптимизация по блокировке:
х е Opt®’(У) <=> (х е X)A(V/ е X yRx),
или, в более общем случае, (Я, С)-оптимизация. Аналогичным образом рассматриваются различные варианты допустимости Adm^ у (ХУ (Напомним, что понятия оптимизации по доминированию и по блокировке двойственны в том смысле, что
Opt^om^ = Opt®1^), Opt®1^) = Opt^rw.
Аналогично
Adm^™(JT) = Adm^ ^X), Adm”* „(X) = Adm^W-)
Перенумеровывая в записи задачи МППШ пары у числами р9 получим
Z = CU Adm» у т, рр
и одношаговая задача МППШ принимает вид:
Opt* о (Z) | Z = пи Adm* и (ХУ рр р
Аналогичным образом можно записать расширенную задачу ОМП:
Opt^(2>)\г = HU Adm^ Up (х\
где, если под оптимизацией по Ro и допустимостью по Rp, Up понимать, например, оптимизацию и допустимость по доминированию
OptJjJTP U^X^y^X f0{x)R^{y)},
MmRp, UpW -UexweGU,j, {x)Rp и}.
Так же, как и в § 4 настоящей главы, можно в соответствии с замечаниями § 1 гл. V расширить определения оптимизации и допустимости, заменив их оптимизацией по включению и ограничениями по включению множеств 5^ (/оМ) и Sr (fp(x))9 определяемых бинарными отношениями Ro и /?р.°Выбор типа оптимизации и допустимости устанавливается особенностями постановки задачи — характеристиками используемых бинарных отношений и областей их определения.
Наиболее широкие определения оптимизации и допустимости по бинарному отношению — это (R, С)-оптимизация и, соответственно, (R, С)-допустимость.
Схеме ОМП соответствует та же запись, что и для задачи ОМП, но в ней предъявление X — произвольное подмножество множества G. Таким образом, схема ОМП представляет собой множество задач ОМП, каждая из которых отвечает фиксированному предъявлению X. Таким же образом будем различать задачу и схему для других механизмов выбора.
Решению задачи ОМП соответствует, вообще говоря, некоторое множество вариантов. Чтобы сократить его, можно использовать некоторые другие ограничения и некоторое другое оптимизирующее отношение. Решение исходной задачи ОМП может быть принято в качестве входа (предъявления) для другой задачи ОМП. Эти рассуждения можно продолжить. Таким образом приходим к последовательной многошаговой схеме ОМП. На шаге t, t = 1,..., к» решается задача
Z^flUAdn/^ ^(.Х^Ч
xw = ор1/о(0(г<'>), t = i,..., к,
R о
где Х^~х^ — результат предыдущего шага, Х^ = X. Последовательная схема - это суперпозиция задач ОМП. Последовательная схема не реализует все функции выбора. В частности, в рамках последовательной схемы не могут быть сформулированы некоторые экстремальные задачи. К ним относится задача о минимаксе. Недостаток последовательной схемы можно устранить, если разрешить использовать на шаге t результаты любых предыдущих шагов:
ДО
ZW = пи Adm4t) <^*4 tp < t, РКр
х№=орАг<*Ч
где Х^р^ - результат шага tp, tp < t, Х^ = X - предъявление. Результатом многошаговой задачи является Х^.
Обозначим через Jt множество всех tp таких, что Х^р^ используется на шаге t. Набор J = (Л,..., Jk) будем называть информационной структурой схемы. Для последовательной структуры (ПсОМП) Jt = {t - 1} , t Е Е 1, *; для параллельной структуры (ПрОМП) Jx = J2 = • • • ~Jk- i = I О L Jk = {1,..., k — 1}; для последовательно-параллельной структуры (ПсПрОМП) (3sb..., Sp, 1 < st < ... < $i = k - 1) Jx = (0), JSi+x = = { 0} (/ = !,/- 1), Jk = ( $i> • • •, s^ ,Jt = { t - 1} в остальных случаях; для древовидной структуры (ДрОМП) (3 s, 1 < $ < к - 1) J х = .. .=JS = = { 0 }, каждое/ = 1, - 1 входит ровно в одно множество Jt, t >/.
Выделим из всех функций выбора CQC) класс S0 функций, обладающих свойством (п. 4.2 гл. III)
(VxEG)((3JO(x€C(2O)^C((x}^
Для содержательных функций выбора это свойство естественно и неустранимо.
Обозначим через МнОМП (2) класс многошаговых схем, использующих бинарные отношения только из класса Q. Будем рассматривать 4 класса отношений L, V, Ри R (L С W С Р С Л): строгого порядка, слабого порядка, качественного порядка и произвольных отношений.
Имеют место следующие утверждения [70]:
Теорема 1. Класс МнОМП (И7) реализует любую ФВ из Е°.
Теорема 2. Класс МнОМП (£) реализует любую однозначную ФВ из Е° (т.е. любую ФВ, выбирающую из каждого предъявления не более одного варианта).
(Здесь мы расширили понятие однозначной функции выбора по сравнению с классом S i (гл. Ш), допустив пустой выбор, чтобы учесть возможность неприемлемых вариантов.)
Усилить теорему 1, заменив W на £, нельзя.
Укажем, при каких информационных структурах класс многошаговых схем ОМП реализует произвольную ФВ из S 0 и приведем оценки энтропии Я„(Я)=1ов2|^<я>|,где|^<я>|— число всюду определенных ФВ над л-эле- ментным множеством G, реализуемых многошаговыми схемами класса К (доказательства этих утверждений приведены в [56, 70]).
Теорема 3. Класс МнОМП (2) реализует произвольную функцию выбора из S0 при любом Q D W. Для него Нп (МнОМП) ~ п 2п~1.
Теорема 4. Класс ПсОМП реализует не все ФВ из S0. Для него
- п2 log2 п^Нп (ПсОМП) ^ л2 log2 и.
4
Теорема 5. Класс ПрОМП реализует не все ФВ из 2°. Для него /2л„ .
Я„ (ПрОМП) ~ у2я"1.
Я
Эта оценка справедлива для ПрОМП (2) при любом Q^W.
Теорема 6. Класс ПсПрОМП реализует любую ФВ из S 0. Для него
Я„ (ПсПрОМП) ~л2”‘1.
Однако класс ПсПрОМП обладает меньшими ’’функциональными возможностями” по сравнению с классом МнОМП: если ограничиться отношениями из V, класс ПсПрОМП (W^ уже не может реализовать все ФВ из S0. Для ПсПрОМП (И7)_
/2л’
Нп (ПсПрОМП(ИО) V— 2”-1. 'я
Если же заменить класс И7 слабых порядков на класс Р качественных порядков и даже полупорядков, то механизмами из ПсПрОМП (Р) окажется возможным реализовать любую ФВ из S 0.
Теорема 7. Класс ДрОМП обладает равными функциональными возможностями с МнОМП (оба реализуют все ФВ из S0 при одних и тех же 2). Для него
Я„ (ДрОМП) ~п2я~1.
В классе, одношаговых схем ОМП реализуется лишь малая доля ФВ из 2°. Для него
Я„(ОМП) -л2.
Обозначим через т (S) число шагов многошаговой схемы S и назовем сложностью ФВ CG 2° в классе МнОМП (О величину
те(С) = min{r(S)| 56МН0МП (6): Cs = С),
где Cs означает ФВ, реализуемую схемой S.
Под сложностью класса механизмов МнОМП (6) будем понимать величину
Te(M) = max{Te(C)|CGS^) },
где S® л) — множество всех ФВ из S0 над л-элементным множеством G.
Имеет место
Теорема 8. Для любых Q, Q D W, существуют константы Cj и c-i такие, что
С1Л <т^(л)<с2л.
Чтобы изучить поведение сложности классов ФВ на неполном множестве предъявлений ®C2G, на котором они заданы (наблюдаются), введем функции
tq ($, п, ^) = max { tq (С) | ® (С) = ® }.
ЗдесьN-1®| - мощность множества ®. Запись $(С) = S3 означает, что множество допустимых предъявлений ФВ совпадает со множеством 58.
Будем считать, что N является некоторой функцией п и растет вместе с п. Все неравенства, в которых участвуют функции от л, предполагаются выполненными, начиная с некоторого л. Утверждение, что почти все объекты, зависящие от параметра л, удовлетворяют некоторому свойству, означает, что доля тех объектов, которые этим свойством не обладают, стремится к нулю с ростом л.
Имеет место
Теорема 9. Для любых классов отношений Q, Q D W.
1°. Существует константа сх такая, что почти для всех множеств предъявлений 59 с параметрами (л, N)
Tq(®, п, N) < сх (log2 л + log2?V).
2°. Если N при некотором с удовлетворяет условию N> спХо^п, то существует с2 такая, что почти для всех множеств 58 с параметрами (л, W)
те(58,л, ^>c2log2jV.
Сужение класса схем МнОМП до его подклассов с последовательнопараллельной или древовидной информационной структурой не приводит к существенному увеличению сложности класса механизмов: порядок оценок не меняется.
Заметим, что теоремы 1-9 доказаны в [57, 70] конструктивно. Идея построения схемы МнОМП (W) для произвольной ФВ СЕ Б° (и схемы МнОМП (IA для однозначной ФВ) состоит в следующем. Рассматривается функция (X), описывающая выбор объекта х Е G (без учета правильности выбора остальных объектов). С помощью операций пересечения и объединения производится декомпозиция Сх(Х) на ’’фрагменты”, в каждом из которых выбор объекта х зависит от других объектов у Е X мо- 122
нотонно (наличие у способствует выбору х) или антимонотонно (наличием запрещает выбор х). Антимонотонная зависимость реализуется в схеме путем оптимизации по подходящему отношению, а монотонная — посредством последовательной оптимизации по паре отношений. На этой основе строится реализация для с(х), а различные с^,х EG, совмещаются в одну функцию С путем объединения при подходящем выборе ограничений. Все построения проводятся с помощью логического (булева) представления ФВ и механизмов выбора [51, 52]. Схема доказательств теорем 1 и 2 будёт приведена в п. 3.4 гл. XII. ,
53. Построение механизма выбора (схемы МнОМП) производится на основе информации о выборе на ограниченном множестве ®C2G предъявлений. Сам же механизм выбора предполагается использовать при произвольных предъявлениях X Q G. Представляет интерес оценка качества прогноза выбора в тех ситуациях, в которых он не наблюдался.
В главе ХП на основе вероятностных неравенств Хеффдинга [85] для сумм независимых случайных величин и их интерпретации в терминах распознавания образов [14]» получены (при некоторых приемлемых предположениях) оценки достаточного числа наблюдений за качеством реализации ФВ механизмом заданного класса, позволяющие судить о качестве воспроизведения ФВ на произвольных предъявлениях. Чем более универсальным является механизм, тем больше информации он требует для своего построения. Наоборот, чем меньше энтропия Нп(М) класса М механизмов (чем уже его возможности), тем меньшим может быть объем выборки, позволяющий по качеству реализации ФВ на контрольных предъявлениях судить о качестве реализации ФВ на произвольных предъявлениях из G.
Как мы видели, энтропия классов многошаговых схем с различными информационными структурами достаточно велика. Это значит, что для построения схемы МнОМП с немалым числом шагов, восстанавливающей ФВ с заданной точностью, требуется чрезмерно много наблюдений за реализациями ФВ. Кроме того, вычислительная сложность решения задач МнОМП быстро растет с увеличением числа шагов г. В связи с этим возникает проблема аппроксимации ФВ функциями, реализуемыми более простыми механизмами, такими, например, как схема безусловной оптимизации по бинарному отношению, одно- и двухшаговая схема ОМП. Эти вопросы обсуждаются в гл. XII при рассмотрении вычислительных методов многошагового математического программирования.
Актуальные задаш теории выбора решений
В сколь-нибудь сложных ситуациях, когда цель выбора нельзя выразить единственным критерием, принятие решений существенно зависит от шкалы ценностей лица, принимающего решение. До сих пор мы выражали субъективные установки ЛПР его предпочтениями - бинарными отношениями, индуцированными на множестве альтернатив. Рассматриваемые далее вычислительные методы принятия решений предполагают несвойственные творческой личности в значительной мере рутинные обязанности ЛПР. Методы ОМП и МнОМП требуют от источника информации многократного сравнения пар объектов (альтернатив) или набора их характеристик. При этом допускается, что ЛПР сохраняет индуцированные им бинарные отношения в течение всего процесса подготовки и принятия решения.
Последнее предположение воспринимается критически многими специалистами, хотя современная теория экспертных оценок и теория выявленного спроса основаны на аналогичных допущениях. Чтобы устранить или по крайней мере ослабить основания для критики принятого подхода к выбору решений в сложных ситуациях, следовало бы исключить из схемы ОМП и МнОМП рутинные задачи ЛПР и снизить требования к чрезмерной стабильности характеризующих его бинарных отношений.
В относительно простых одноцелевых задачах принятия решений, в которых критерий качества решения и ограничения на характеристики решения заданы (по крайней мере, в содержательных терминах), нет необходимости различать ЛПР и оракул — источник информации о функциях, определяющих условия задачи. В этом случае решение полностью определяется объективными условиями задачи. Здесь требуется лишь источник информации о характеристиках решения и нет места для проявления субъективных установок ЛПР.
Другое дело - многокритериальные задачи, групповые решения или выбор стратегии поведения в конфликтной ситуации. В таких задачах, помимо условий, определяемых объективными характеристиками допустимых решений, необходимы еще соображения о способе согласования различных порой противоречивых требований к решению. Мы уже указывали, что в этом вопросе нет, да и не может быть единого приемлемого для всех подхода. Компромисс определяет ЛПР, наделенный правами и ответственностью. Формальные методы обеспечивают при этом лишь логическую не- противоречийость решений ЛПР. Формальные методы позволяют, кроме того, прогнозировать последствия тех или иных решений ЛПР при заданных сценариях эволюции условий задачи.
В задачах традиционного математического программирования предполагается диалог метода (вычислителя или ЭВМ) с оракулом — источником информации - экспертом или имитационной моделью. Число вопросов метода может быть достаточно большим. Естественно, что и в сложных задачах принятия решений необходим оракул - источник информации об объективных характеристиках условий задачи - и он должен быть готов отвечать на многочисленные вопросы метода. ЛПР — обычно руководитель соответствующего ранга - несет ответственность за принципы согласования требований к решению. Число вопросов, которые могут быть ему заданы, должно быть ограничено, и ответы на них должны дать основание методу (вычислителю или ЭВМ) обеспечить решение задачи.
Наметим целесообразную с нашей точки зрения, но далеко не полностью выполненную программу исследований, позволяющую ослабить требования к ЛПР, сохранив за ним лишь творческие задачи.
Мы установили соответствие между функциями выбора и задачами МнОМП. Любой функции выбора на конечном множестве альтернатив отвечает (причем не единственным образом) схема МнОМП. Для любой ФВ на компактном множестве альтернатив , это соответствие приближенное. Оно может быть обеспечено с любой заранее заданной степенью точности. Таким образом, любую заданную концепцию выбора можно реализовать с помощью конструктивно определяемого ею механизма выбора - схемы МнОМП.
С другой стороны, рациональный в том или ином смысле выбор, те или иные не противоречащие опыту, интуиции и логике понятия ’’равновесие”, ’’компромисс”, ’’справедливость” могут быть определены с помощью соответствующей системы аксиом, фиксирующих постулируемые свойства этих понятий. ’’Классические” условия рационального выбора - приемлемые свойства ФВ приведены в § 1 гл. IV. Из литературы известны многочисленные аксиоматические определения устойчивого выбора, справедливого компромисса. Так, в работах Кини и Райфы [20], Миркина [33], Кемени и Снртла [19] и других приводятся системы аксиом, по-разному определяющие понятия рационального агрегированного критерия в многокритериальной задаче или компромиссного выбора в задаче группового решения. В монографии Неймана и Моргенштерна [37], а в последние годы - в работах Вил каса [15] и Воробьева [16] и многих других аксиоматически определяются понятия равновесия для игр различной структуры. Можно соглашаться или не соглашаться с аксиоматическими определениями равновесия, компромисса, справедливости, развиваемыми различными авторами. Но большинству из них нельзя отказать в логической непротиворечивости и в интуитивной соответствии здравому смыслу. Различные системы аксиом, соответствующие одним и тем же неформальным гуманитарным понятиям, отражают различные шкалы ценностей, и выбор их в качестве основы для принятия решений в конкретной ситуации определяется субъективными установками ЛПР - его опытом, знаниями, воспитанием, идеологией.
Каждой системе аксиом, определяющей понятие ’’компромисс”, может быть приведена в соответствие функция выбора или класс функций выбора. Ведь в конце концов постулируемые свойства ’’рационального” выбора являются требованиями к функции выбора. Независимо от того, в каких терминах сформулированы исходные аксиомы, определяющие понятие ’’компромиссное” решение, их можно в принципе переформулировать как требования к структуре функции выбора.
Участие ЛПР в процедурах принятия решений при этом радикально меняется. Отпадает необходимость в рутинном последовательном сравнении альтернатив. Задача ЛПР становится творческой. От него требуется указать, какая из предъявленных систем аксиом, определяющих понятие ’’рациональный выбор”, больше соответствует исследуемой ситуации. Если отобранной системе аксиом отвечает не единственная функция выбора, ЛПР должен выделить из них наиболее подходящую изучаемой задаче. Это может потребовать расширения набора аксиом дополнительным ограничением на выбор. Вместо предпочтений на множестве альтернатив от ЛПР теперь требуются предпочтения на множестве четко определенных понятий ’’компромисс”. Таких понятий обычно много меньше, чем объектов выбора в исходной задаче. Однако их сравнение предъявляет гораздо более жесткие требования к ЛПР, чем сравнение объектов.
Другой подход к выделению подходящей функции выбора (ФВ), удовлетворяющей заданной системе аксиом, требует от ЛПР указания рациональных с его точки зрения значений ФВ на некотором подмножестве типичных предъявлений.
Следующий этап - построение и решение одношаговой или многошаговой задачи ОМП по принятым аксиоматически требованиям к ФВ - уже не
нуждается в участии ЛПР. Обязанности, возлагаемые при таком подходе на ЛПР, предполагают его понимание места решаемой задачи в более широкой проблеме, наличие у него шкалы человеческих и общественных ценностей и готовность нести ответственность за принятое решение.
Выполнение намеченной программы требует
выделения признаков, характеризующих классы ситуаций принятия решений;
расширения набора систем аксиом, которые могут служить в тех или иных условиях определением компромисса, равновесия, справедливости;
установления соответствия между системами аксиом, определяющими рациональный выбор, и индуцируемыми ими функциями выбора.
Конечно, четкая постановка и анализ подобных задач выходят за рамки формальных дисциплин. Это вечные проблемы, эволюционирующие вместе с условиями жизни. Следует, однако, полагать, что при любом уровне неформальных и формализованных знаний и опыта выбор определения таких понятий, как ’’справедливое решение”, в заданных конкретных условиях допускает известный произвол. Окончательный выбор за ЛПР.
Цель формальной теории принятия решений - гарантировать логическую непротиворечивость выбранных концепций ’’компромисса” и основанных на них процедур выбора. Формальная теория должна, кроме того, разрабатывать механизмы выбора, позволяющие освободить ЛПР от трудоемких рутинных операций и обеспечить ему возможность проявить свои знания , опыт и ответственность.
Далее неформальные проблемы теории принятия решений остаются в
стороне.
Глава VII
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
Между вычислительными методами теории принятия решений (в частности, обобщенного математического программирования) и традиционными методами оптимизации имеется известная преемственность и взаимосвязь. Так же как методы решения многомерных экстремальных задач содержат в качестве вспомогательной процедуры методы одномерной оптимизации, так и методы векторной оптимизации используют в качестве вспомогательных фрагментов различные версии классического математического программирования. В частности, методы обобщенного выпуклого и обобщенного линейного программирования используют в качестве составных фрагментов традиционные методы выпуклого и линейного программирования.
В настоящей главе излагаются современные вычислительные методы решения выпуклых и линейных условных экстремальных задач.
В § 1 приводятся теоретические основы эффективного метода эллипсоидов (МЭ) (его первоначальное название ’’модифицированный метод центров тяжести” (ММЦТ)), который может быть использован как метод выпуклого [35, 67] и, в частности, как метод линейного программирования [49, 78]. Здесь приведена только версия метода эллипсоидов для выпуклого программирования, поскольку, как показали проведенные расчеты [74], он не дает для линейных задач большой размерности сокращения объемов вычислений по сравнению с классическим симплекс-методом линейного программирования.
В § 2 рассматривается и оценивается модификация метода эллипсоидов, предложенная Л.Г. Хачияном и др. - ’’метод вписанных эллипсоидов” (МВЭ). В МВЭ число шагов такого же порядка, что и в методе центров тяжести, однако каждая итерация существенно сложней, чем в МЭ.
В § 3 и 4 приведены версии метода симцлексов (МС) (не путать с классическим симплексным методом Данцига для линейного программирования), предложенного независимо друг от друга Ямницким Б. и Левиным Л.А. [94] для решения систем линейных неравенств и Булатовым В.П. и др. [7, 10, 11]— для выпуклого программирования. В § 3 изложена версия метода симплексов для решения систем линейных неравенств [94], а в § 4 — ее обобщения для решения общей задачи выпуклого программирования. В § 5 рассмотрена другая версия метода симплексов [7, 10, 11] для выпуклого программирования.
В § § 6 и 7 описаны новые полиномиальные методы линейного программирования, предложенные в последние годы индусским математиком Нарендрой Кармаркаром [87] и советским математиком А.С. Немировским [36]. Как показывают проведенные расчеты, эти методы оказались эффективными. Они не уступают и, по-видимому, даже превосходят симплексный метод Данцига.
Изложение и обоснование всех методов, описанных в главе, сопровождается оценкой их трудоемкости.
Все изложенные здесь методы оптимизации используются или могут быть использованы в качестве эффективных вспомогательных алгоритмов для построения механизмов выбора в задачах, не укладывающихся в рамки традиционной скалярной оптимизации.
Рассмотренные вычислительные методы представляют собой разработки последних лет. Их эффективность аргументируется соответствующими формальными рассуждениями и подтверждается при тестировании на разнообразных, но пока еще не слишком широких классах задач.
Общая особенность приведенных здесь вычислительных методов заключается в следующем. Для решения задачи каждым из этих методов следует предварительно представить ее область определения в некотором стандартном удобном для анализа виде (в виде шара, симплекса, пересечения шара и линейного многообразия и тд.). Исходная ситуация позволяет на первом шаге итеративного процесса решения задачи существенно улучшить значение ее целевого функционала. После первого шага ситуация меняется — область локализацйи решения сокращается и теряет свою стандартную начальную форму. Переход ко второму шагу начинается с некоторого преобразования координат, которое придает новой области определения задачи исходную стандартную форму, удобную для очередного улучшения значения целевого функционала. Таким образом, каждая итерация описанных методов связана с оптимизацией целевого функционала на множестве некоторой стандартной формы. Это не последняя причина эффективности методов и простоты оценки их трудоемкости.
Разные версии метода эллипсоидов и метода симплексов используют в качестве преобразования координат, позволяющего начинать каждую итерацию метода со стандартного вида условий задачи, аффинное преобразование, а метод Кармаркара и метод Немировского используют для этой цели проективное преобразование.
Метод эллипсоидов (МЭ)
Метод эллипсоидов — метод решения произвольных выпуклых экстремальных задач вида
fo(x) -► min | fj(x) < 0, 7=1,... ,m, xEG. (1) Здесь //(x), / = 0, 1, . . . , m, - непрерывные выпуклые (не обязательно гладкие) функции, G — выпуклый кбмпакт с непустой внутренностью. Всегда можно считать G шаром или эллипсоидом. Дело в том, что выпуклое множество G можно описать системой выпуклых неравенств /у (х) < < 0, / = 1, ...,*, и, погрузив G §^шар, считать последние неравенства вклю-
ценными в систему
fj^ < 0, ]=\,...)т.
Введем выпуклую функцию fm*i (х) = р(х, G) — расстояние от. точки х до выпуклого компакта G. Тогда условие х Е G примет вид/т + 1 (х) <0 и задача (1) перепишется в форме
/о(х) min |/у(х) < 0, j = 1,... ,т, т + 1.(2)
Если G = Wo - шар радиуса г0 с центром в Xi, то
/m+i(x) = Р(^, ^) = max {0, Их-Xi И -r0L
Алгоритм метода эллипсоидов состоит из последовательности однотипных итераций, приводящих шаг за шагом к сокращению объема области локализации решения.
К началу z-й итерации имеется эллипсоид Wt_x с центром в xt и система координат Of _ 1, в которой Wt _ i — шар того же объема, что и эллипсоид. К началу z-й итерации известны также радиус rt_x шара l^f _i и величина — наименьшее значение целевого функционала/0 (х), достигнутое за предшествующие (z — 1) итераций. На начальном шаге О о — система координат, в которой Wo — шар радиуса г0 (шар, в который погружена область G),
/° = +оое
Приведем геометрическое описание метода.
На z-й итерации проверяют вначале, принадлежит ли точка xt - центр
шара Wj_x — внутренности области G. Если X/ Е int G, то строится опорный функционал р^ + j к /m+i(x) = p(x, G). / Легко проверить, что \ . xt - хг \ если G =- шар радиуса г о с центром в ххлоРт*х = ;г )
X/ - Xj II /
ционалу f0 (х) в точке X/. Пусть для i -й итерации т + 1, если/(0 = . Аесли0,еслиционалу f0 (х) в точке X/. Пусть для i -й итерации т + 1, если/(0 = . Аесли0,еслиЕсли X/ Е int G, но какое-либо из условий fj (х) <0, / Е Т7т, нарушается в точке X/, то строится опорный функционал р/(х/) к fj^ в xv Если же X/ Е int G и все ограничения f^ < 0, / Е \,т, удовлетворяются в точке Х/,то строим опорный функционал Po(Xj) к целевому функ
ционалу f0 (х) в точке X/. Пусть для i -й итерации т + 1, если
/(0 = . Аесли
0,если
ционалу f0 (х) в точке X/. Пусть для i -й итерации т + 1, если
/(0 = . Аесли
0,если
Таким образом, в любом случае на z-й итерации определяется опорный
функционал Pj у),
если
/т+1(х/)>0,
%i+i’
pro =i
Р/, jei.m
, если
/m+iM =0, 3/€l,m: J/(xf)>0,
Po,
если
/m+i(xf) = 0, fj(.Xi) < 0 VjEMn,
xt int G,
XjE int G, но 3/Е1,т: //(x,)>0, х( E int G, ffaft <0 V/ E 1, m.
указывающий направление гиперплоскости, рассекающей W/.i на две части с непустой внутренностью. Только в одной из них может быть локализовано искомое решение.
Если направление разделяющей гиперплоскости определяется опорным функционалом Рцд^ то в части Wt_x> в которой находится решение, должно быть
/КО^ < fKi^xi) •(3)
При / (О = т + 1 это неравенство означает, что точки части Wt _i, содержащей решение, отстоят от G не дальше, чем xt. При / (z) Е 1, /и, отвечающем нарушенному в х, ограничению, неравенство (3) отделяет точки IV/ _ j, в которых невязки в / (z) -м ограничении не превышают невязку в точке xt. Наконец, при / (О = 0 неравенство (3) требует, чтобы значение целевого функционала на решении не превышало бы его величины в точке Xj.
В силу выпуклости /у (х) J = 0,1,..., т, т + 1, имеем
//М.+ О’/, * -*/) < fMV(4)
При условиях (4) неравенства (3) переписываются в виде:
P/G)CO < PiU^t-
Это значит, что искомое решение задачи содержится в полушарии
W{ =Uewi_1 \ркох < рщ^А-
Выделение полушария Wb локализующего решение, с помощью гиперплоскости р/ (/) ^ = ру (/) Х(, проходящей через центр И/, _ i, называют версией метода эллипсоидов без глубоких отсечений. В более эффективной, вообще говоря, версии метода — с глубокими отсечениями - можно усилить неравенства (3).
Множество, в котором может быть реализовано решение, удовлетворяет неравенствам
{
Опри j = \э... >т> т + 1,
..'(5)
min(/0(^,), /' 1) - /' при / = 0.
При условиях (4) (т.е. при выпуклых /у(х)) неравенства (5) переписываются в виде
О >О >/о(^)-/'+(Ро’*-^),/=°-/о(^)-/'+(Ро’*-^),/=°-Введем обозначениеако -{.Ио(Х/)-ГВведем обозначениеако -{.Ио(Х/)-Г■ fj<x^ + (^, X-xt\ /= 1т, m + 1,
О >
О >
/о(^)-/'+(Ро’*-^),/=°-
/о(^)-/'+(Ро’*-^),/=°-
Введем обозначение
ако -{.
Ио(Х/)-Г
Введем обозначение
ако -{.
Ио(Х/)-Г
при / = 0.при / = 0.при / = 1, . .., т, m + 1,
при / = 0.
при / = 0.
Тогда выражение для области локализации решения принимает вид Wj = {хе W(_v | dfW + (р/(/), х -х.) < 0}.
Область W/ представляет собой сегмент шара ^ _ j, отделяемый гиперплоскостью, ортогональной направлению Рщ^ и проходящей через точку dj ^^ на оси Pi (/) (мы ведем рассуждения в системе координат 0/_i, в которой Wt _ J - шар радиуса Г/ _ i с центром в точке х( = 0 и разделяющая гиперплоскость с нормалью Pj(t) параллельна одной из координатных гиперплоскостей).
Для того чтобы начать очередной (/ + 1)-й шаг в ситуации, аналогичной началу /-го шага, следует преобразовать сегмент Wt в шар Wt. Это может быть сделано двумя способами. В [35] и [66] на основании сегмента как на диаметральной гиперплоскости строится полушарие. Затем полушарие включается в эллипсоид минимального объема и далее растяжением и сжатием координат эллипсоид преобразовывается в шар Wt того же объема.
Процедуру построения шара можно, однако, рационализировать, если опустить этап превращения сегмента в полушарие, и сразу описывать эллипсоид минимального объема вокруг сегмента и далее преобразовать эллипсоид в шар того же объема [74]. '
Все связанные с такого рода преобразованиями соотношения, необходимые для формирования вычислительной схемы метода эллипсоидов, вытекают из решения следующей задачи.
Задача: требуется описать эллипсоид минимального объема вокруг сегмента шара радиуса 1, отделяемого гиперплоскостью, проходящей через точку (d + И)р перпендикулярно направлению р(р - единичный вектор).
По соображениям симметрии искомый эллипсоид будет эллипсоидом вращения с осью р и центром в точке (d + Л)р. На рис. 7.1 изображено двумерное сечение шара и эллипсоида, проходящее через ось р. Уравнение эллипсоида
(t - d - A)2 s2
+v=1-
где t - проекция точки на ось (-р), as— проекция на ортогональную к р гиперплоскость. Ясно, что граница искомого эллипсоида должна проходить через точки г = 1,5=0иГ=^, s = V1 - J2. Поэтому
(1 -d-hf(1 -d-hfА2 1 - d2V * —=LА2 1 - d2V * —=L
(1 -d-hf
(1 -d-hf
А2 1 - d2
V * —=L
А2 1 - d2
V * —=L
Из этих уравнений определяем оси эллипсоида:
а = 1 - d - h,а = 1 - d - h,bi = О+^С1 "d” А)2" (l-d-2A)
а = 1 - d - h,
а = 1 - d - h,
Квадрат отношения объема эллипсоида к объему исходного шара
_ (l+dyVl-d-A)2" f (1 -d-^)”"1
Остается выбрать А, минимизирующее f.
Из условия = 0 получаем
dh
1 — d h = .
и + 1
Таким образом центр эллипсоида, описанного вокруг сегмента, расположен на оси р на расстоянии
1 - d \*nd d + h = d + =
и + 1 и + 1
от центра шара Wt_i.
Объем эллипсоида, описанного вокруг сегмента, в \Л? раз меньше объема исходного шара радиуса 1. Следовательно, эквивалентный радиус эллипсоида вычисляется из соотношений
£
pln^al^y* =
^№г _ ZA12^£2<Lz£z^^ -
‘” \(1 -d-2hy * 1 /~
п-1
+ d \ 2п /I — d \
\( 1 _ d - ) = 2-2d\ и + 1/
-d — /
л + I /
”™” + 1 п / я + 1 \ "in
= (1 + d) 2" (!-</) 2" -( -)
•л + 1 X и - 1 /
«(1 -d)п +1«(1 -d)п +1+ 2лИ-1/J+ 2лИ-1/J
«(1 -d)п +1
«(1 -d)п +1
+ 2л
И-1/J
+ 2л
И-1/J
Если радиус исходного шара не 1, a rz_j, а гиперплоскость, отсекающая сегмент, проходит на расстоянии d от центра шара (d < гf _ j), то экви-
валентный радиус эллипсоида, описанного вокруг сегмента, равен:валентный радиус эллипсоида, описанного вокруг сегмента, равен:
валентный радиус эллипсоида, описанного вокруг сегмента, равен:
валентный радиус эллипсоида, описанного вокруг сегмента, равен:
Оценим величину рп(п) = VY* - сокращение объема области локализации решения за одну итерацию метода. Для оценки рассмотрим худший случай, когда d = 0.
Имеем
пП *
Р 00ld=o = п 4- 1П -
(п + 1) 2 (и - 1) 2
Результаты вычислений:
п
2
3
4
10
100
-1п \прп^
1,046
1,019
1,011
1,002
1,001
1.7. Уравнение эллипсоида минимального объема, описанного вокруг сегмента, который отсечен от шара радиуса 1 с центром в нуле гиперплоскостью, проходящей на расстоянии d + h от центра шара, записывается в
соответствии с приведенными рассуждениями в виде
1 + nd V _1 - d п - 1t) s2 • • 1 + п /1 *d п + 11 + nd V _1 - d п - 1t) s2 • • 1 + п /1 *d п + 1
1 + nd V _1 - d п - 1
t) s2 • •
1 + п /1 *d п + 1
1 + nd V _1 - d п - 1
t) s2 • •
1 + п /1 *d п + 1
Сделав замену переменных
л(1 —$ = X1 + лл(1 —$ = X1 + л1*dл+1 ,Г7 Л (6)1 - dл - 11*dл+1 ,Г7 Л (6)1 - dл - 1, л(1 - d^ 1 *nd
л(1 —
$ = X
1 + л
л(1 —
$ = X
1 + л
1*dл+1 ,
Г7 Л (6)
1 - dл - 1
1*dл+1 ,
Г7 Л (6)
1 - dл - 1
t=Xt — +
1 +п 1 + л
получим, что уравнение эллипсоида в координатах t\ s' есть (r')2+(s')2 <.
Параметр X следует выбрать так, чтобы преобразование координат сохраняло объем. Для этого должно быть
= 1= 1Хл(1-d) //1 -d X”-1
= 1
= 1
( Xn-J—; )
1 + п \ л2 - 1 /
или
л-1’
(1 + л)(л2 - 1) 2 откуда п +1п-1
или, вводя обозначение
1
1 -d \ 2"
1 *d )
приходим к следующим формулам для преобразования координат от ,1
системы О, в которой эллипсоид есть шар радиуса - с центром в нуле,
к исходной системе О:
t = к"-‘г' +t = к"-‘г' +1 +nd1 +и ’1 +nd1 +и ’1 , s = — S . к
t = к"-‘г' +
t = к"-‘г' +
1 +nd
1 +и ’
1 +nd
1 +и ’
Это значит, что координаты О получаются из координат бУ сдвигом начала 1 + nd
координат вдоль оси р в точку, изменением единицы масшта-
1 + ”
ба вдоль оси р в к”™1 раз и в ортогональной к р гиперплоскости — в 1 .
- раз. к
Обозначим через Рр оператор проектирования на ось р (ортопроектор
PiPi
на р). Оператор Рр - это матрица с элементами- , где р = (рь ..., рл) -
разложение вектора р в исходных координатах. Оператор Р^ проектирования на ортогональное дополнение к р находится как Ру = I — Pps где / - единичная матрица.
Таким образом, преобразование координат от О' к О проводится по формуле
1 + nd р
где
Ар = к”"1?, + — Pi - «"-‘Рр + — Ц-Рр) = кк
(к”"1(к”"11 — I. к1 — I. к
(к”"1
(к”"1
1 — I. к
1 — I. к
Из полученной выше оценки для pn(n)=V5 сокращения объема области локализации решения за одну итерацию следует (см., например, [74]), что метод эллипсоидов приводит к решению с погрешностью, не превышаю
щей е, не более, чем на Т = ] 2м (п + 1) In — [ шагов, где г0 - радиус исход- т
ного шара, содержащего G, а г — радиус е-окрестности решения.
Метод вписанных эллипсоидов (МВЭ)
Как известно [35], любая гиперплоскость, проходящая через центр тяжести и-мерного выпуклого тела, делит его на две части так, что отношение объема большей из них к объему всего тела не превышает
/ и V1
а(п) = 1 — (} < 1.
\ п + \)е
Следовательно, относительная погрешность е решения выпуклой задачи min{/(x)|x6G}
методом центров тяжести (МЦТ) за N шагов
N
/1 V
€ <( 1) . \е /
Чтобы гарантировать относительную погрешность, не превосходящую е, достаточно применить МЦТ с числом шагов, не большим
п ] In - [ е1
N < + 1 < 2, 19л ] In — [ + 1.
е
In fl (л)
Такова оценка минимального числа обращений к оракулу в произвольной задаче выпуклого программирования. Для метода эллипсоидов, который удобно применительно к рассмотрениям настоящего параграфа называть методом описанных эллипсоидов, оценка числа итераций в п раз хуже:
N < 2na ] In - [ + 2.
€
МЦТ в чистом виде, однако, не реализуем, поскольку неизвестны сколь- нибудь экономные методы вычисления координат центра тяжести произвольного выпуклого тела не очень малой размерности. В [48] предложена модификация метода эллипсоидов с числом обращений к оракулу того же порядка, что и в МЦТ, но с существенно более трудоемкими итерациями, чем в методе эллипсоидов. Этот метод естественно называть методом вписанных эллипсоидов.
В многокритериальных задачах, решаемых в критериальном пространстве, размерность переменных (число критериев) обычно невысока, а число обращений к ЛИР желательно по возможности сократить. Следует полагать, что в таких задачах рассматриваемый ниже метод может оказаться полезным. „
В методе вписанных эллипсоидов в исходную выпуклую область вписывается эллипсоид максимального объема. Через его центр проводится гиперплоскость, делящая тело G на две части. В ту часть G, в которой оказалась точка, отвечающая минимуму целевого функционала, вписыва- 136
ется эллипсоид максимального объема, через его центр проводится гиперплоскость, и процедура повторяется. Оказывается, что скорость убывания объемов вписываемых таким образом эллипсоидов имеет тот же порядок, что и обусловленная методом центров тяжести скорость убывания объемов частей G, в которых находится искомый минимум / (х). Однако каждая итерация метода вписанных эллипсоидов (МВЭ) гораздо сложней, чем в ставшем уже традиционным методе эллипсоидов (МЭ).
В МЭ все итерации однотипны (и связаны с описанием эллипсоида минимального объема вокруг полушария или сегмента шара). В МВЭ итерация меняет свой характер от шага к шагу и связана с вписыванием эллипсоида максимального объема каждый раз в новое выпуклое тело. Вписывание эллипсоида максимального объема в произвольное выпуклое тело (впрочем, как и описывание эллипсоида минимального объема вокруг любого выпуклого тела) представляет собой задачу вьшуклого программирования. Она может быть решена любым методом вьшуклого программирования. Если выпуклое тело G — выпуклый многогранник, то описывание эллипсоида минимального и вписывание эллипсоида максимального объема сводятся к решению выпуклой зацачщ не требующему специального источника информации. Для построения эллипсоида минимального объема вокруг выпуклого многогранника достаточно знать его вершины. Для вписывания эллипсоида максимального объема в выпуклый многогранник достаточно знать его грани, т.е. систему линейных неравенств, определяющих многогранник.
Эллипсоид полностью характеризуется положительно определенной симметричной матрицей Л и вектором х центра эллипсоида.
Пусть G С Еп — выпуклый компакт с непустой внутренностью, Е„ — пространство симметричных и X и-матриц, Е ^ - подмножество Ел, образованное положительно определенными матрицами, Е*„ — замыкание Е„ — подмножество неотрицательно определенных матриц.•
Обозначим множество параметров (х, Л) эллипсоидов, вписанных в G, через E(G):
2(G) ={( х,Л)|хЕ£л, ЛЕЕ* x^Au^G Ми; и^и < О.
Рассмотрим эллипсоид U, вписанный в G;
U ={х *Аи \ити < 1} =’
= х +{и |(Л ^и, А -1и) < 1} = х + {и |(4“2и,<0 < О.(7)
Объем эллипсоида U равен
ПИ
я2я2
= det Л = |K|det^, (л \. /п \
- + 1 )det^-1 Г( - + 1 ) 2/\2/
где | Г | — объем единичного тара в Еп. -
Вычисление параметров эллипсоида максимального объема, вписанного в G, сводится к следующей экстремальной задаче:
^(Л) = In (detЛ) -* max |(х, Л)ЕЕ(С).(8)
Лемма 1. Задача (8) является задачей выпуклого программирования.
Доказательство. Компактность Е (G) и наличие у Е (<7) непустой внутренности очевидны. Проверим выпуклость Е(<7) и вогнутость F (Д') на Ел.
Пусть (х, Л), (у, В) е S(G) и д е [0, 1]. Для и, и1 и < 1, имеем х + Аи 6 G, у + Ви € G =* (рх + .(1 - д)у) + (рА + (1 - ц)В)ие G=* *(jix*(.\-^y, дЛ+(1-д)В)еЕ(С).
Покажем, что F(A) — вогнутая функция на выпуклом множестве Е„.
Пусть А, BE Е„ и д 6 [0,1]. Имеем:
det (дЛ +(1 -д)В) =
= ае1[Л*(д + (1-д)Л~*ВЛ-*)Л%] =
= AetA^ det Л^е1(д + (1 -цуД-^ВА^) =
= det Л det (д + (1 - цУД^ВА-*).
Пусть XiХ„ - собственные числа матрицы А'^ВА-^. Тогда п
det(ju + (1 — ц)А~%ВА~%) = П (д + (1 - д)Х,). Таким образом 1
п
det (д А + (1 - д)В) = det А • П (д + (1 - д) X/). Отсюда в силу вогнуто- 1
сти In t
^дЛ+(1—д)В) = F(A) + 2Ь(д + (1 -д)Х,) > 1
> F^) + 2 (д1п 1 +(1 -д)1пХ,) =
1
= FM) + (1 -д)1пП X, = F(4) + (l — д) In (det (Л-%ВЛ_%)) = 1
= F^) + (l -д) In (det В det Л'1) = дF(Л) + (l -Д)F(B),
т.е. F^A^ — вогнутая функция на выпуклом множестве 2^.
Приведем некоторые замечания, которые будут дальше использованы при построении и обосновании метода вписанных эллипсоидов.
Снабдим пространство Ел симметричных матриц скалярным произведением
(Л, В) = tr(4B) = f 2 t AMBjb
Здесь tr A — след матрицы A — сумма ее диагональных элементов.
Имеет место
Лемма 2. Пусть матрица А 6 S^. Тогда VF (А) =А-1.
Доказательство.
F(A +efl) = F(Л(7 + eЛ•1B)) = F^) + FQ + еЛ'*В).
Отсюда:
- (F(4 +eB)-FW) = - ln(det(Z + eЛ~1B)).
€€
Очевидно, при е -* 0 det(J + eQ) = 1 + etrQ + о(е). Поэтому
lim - (Е(Д + eBVF(A^ = tr (A ^B) = (A ^.BX т.е. ЧЕ(Д)=А '*. e-*O €,
Лемма 3. Пусть G — выпуклый многогранник,
(vEEn \a'v < bj, ] = 1,... ,m}.
Тогда 2 (G) выделяется в En X 2^ неравенствами
НЛ^Н + (ahx) < bb 1 < / < m,(9)
где || и || = (vT,u)1/2.
Доказательство. Эллипсоид U (см. (7)), определяемыйматри- цей А и центром х, принадлежит многограннику a^v <bp j Е 1, т, если
(аьх + Лы) < bi V и иТи < 1, j Е 1,т,
т.е. если
(а^Аи^^арх) < bb V и иТи < 1, ] Е \9т, а последняя система неравенств эквивалентна неравенствам (9). Действительно, шах{(я/, Лн)1мти < 1} = || Adj ||.
В соответствии с леммой 1 задача (8) является задачей выпуклого программирования. Пусть (х* Л*)—ее решение hF^ = F(Д*У Обозначим через (х€, А е) EX (G) параметры эллипсоида, вписанного в G, такого, что
F^ > Ед — е.(10)
Проведем через центр эллипсоида гиперплоскость П. Пусть Gn — часть С, отсеченная гиперплоскостью П. Рассмотрим вписанный в Gn эллипсоид с параметрами (у, В) Е 2(Gn). Для характеристики метода вписанных эллипсоидов следует оценить, как быстро от итерации к итерации будут сокращаться максимальные объемы эллипсоидов, вписанных в соответствующие части G. Для этого оценим снизу разность
F*g-F(B\
Не ограничивая общности, можно считать, что А€ и Be 2^.
Рассмотрим эллипсоиды
U = {хе *Аеи |цтц < 1} = х€ +{и | (А^и, и) < 1},
V = {у+Ви Хи1 и < 1} = у + {и |F~2u, и) < 1}.
Очевидно, U, V С G.
Как известно, любую пару положительно определенных форм можно представить в некотором базисе (координаты относительно которого обозначим через z) в виде
(A2z, z) и (A“2z, z),
где A - диагональная матрица с положительными диагональными элементами. Другими словами, существует невырожденная матрица С такая, что
ста;1с= а2, а;2 = (С')"‘л3с_‘',
сТв-2с = л-2, в-2 = (с’)-,л-2с-‘.
Введем преобразование Еп на себя T(z) = х0 + Сг,
где х0 = % (*е +уУ и положим
Рассмотрим эллипсоиды
Uo = a + b |(A2z,z) < 1}, Fo = — а + (z | (A~2z, z) < 1}.
Легко видеть, что Г(<70)=У и T(F0)=F.
Действительно,
П^о) = х0 + th + {О | (A2z, z) < 1} =
= хе +{« | (A2C"1m,C"1m) < 1} =
= Xe+tMiaC’^’A2^1^,^) < 1) = xe+U\(A;2u,u) < 1} = и.
Аналогично проверяется, что Г(К0) = V.
Обозначим Go = Сч(^)- Используя приведенные выше соотношения, получим:
Fbe« F<C-XA^ = Fb-F^,
F{Ae} = FCA’^ + F^,
F(S) = F(A) + F(Q.
Таким образом,
Fb -F^ = Fb. -F(A),
и, согласно (10),
F(A-*)> Fb. -e.(11)
Кроме того, a ^ int Fo, поскольку центр xe эллипсоида Uне лежите эллипсоиде V (F — эллипсоид, содержащийся в Gn) •
Мы пришли к выводу, что требуемая оценка снизу Fq— F (В) совпадает с оценкой снизу Fb. — F(A) при условии, что а int Fo.
Пусть £ GF”. Рассмотрим опорную функцию к Go
p«) = max{($,x)|x6G0}
и поляруG»
Go=U\PG)<U.
Заметим, что 0 6 int Go, поскольку а и -а лежат в inf Go. Поэтому р ({) > 0.
По определению опорной функции р (О к Go имеем
р (Q = max { max (8, z), max (£, z) ) = zeu, zev.
= max{(a, $)+1| A-1 g ||, (-a, $) + || A$ « }
(поскольку max {(u, z) I (Dz, Dz) < 1) = max {(u, D-1v) I (u, v) < 1} = = max (((D-1)Tt/,u)|(u,u)<l} = || (ZF1)T«||).
Итак, || Л"181|< р (5) - (я, 5); II Л g || = р (5) + (я, 5).
Отсюда
II Л’15IIII ЛЯКр’Ф-СМ)2.
Но 1151|2 = (5,5) = (Л^Л^Л) =(Л5,А-‘5) =||Л-,5Н11Л5 ||. Поэтому
Таким образом, для любого £ G Еп справедливо неравенство Ш2<Р2«)-(аЛ)2.
Если теперь g G Go, то р3 ($) < 1. Стало быть,,
G0C (ШН2+(<х,$)2<1} =5,
т.е. поляра Go содержится в эллипсоиде S. Поэтому Go содержит поляру S- множество { х | (х, $) < 1, V | € 5 }. Уравнение эллипсоида S в подходящих ортогональных координатах имеет вид
S $2+(1 + 11я||2)$2<1,
1
а уравнение его поляры, очевидно,
п — 1х и
2 X? +" ,
Итак, Go содержит эллипсоид W, уравнение которого в подходящих ортогональных координатах есть IIJFbcU2 < 1, где М - матрица из S^ с собственными числами 1,..., 1, V1 + II «|Р-
и— 1
HoF^ =F^*) = max{F(^)i(x,^)eS(G0)}.
Поэтому
F^e > F(M) = In V1 + II я lla -
Далее из я ^ int Ко следует, что ЦЛ-1 "2я|| > 1 (поскольку Уо = = (х||Л-1 (я + х)|| < 1}). Поэтому ||я|| > ViminX/. Пусть minX; = Xi.
i
Тогда
F^o >F(M)> In VI + -^ .
С другой стороны, область Go содержит эллипсоиды Uo и Vo:
U0=a* (A-^IHvIKl), r0 = —я + { Ли | ||u||< 1 > .
Поэтому Go содержит и эллипсоид
^(A + A-^vIHvIKl! =Si.
Отсюда по определению Fq$ :
>ln>ln22
>ln
>ln
2
2
Полученные оценки для F^ приводят к неравенству
1
/>
Fq > maxFq > maxIn \/1 + —, In
Fq > max
Fq > max
42
В соответствии с неравенством (11) F(A-1) > Fq* — е. Но F(A) = = -F(Л"1). Поэтому
Очевидно, maxОчевидно, maxM4M4X2> 1 + — , где Xe - положитель-X2> 1 + — , где Xe - положитель-Fq* - F(A) > 2 Fq* - е > In I max
Очевидно, max
Очевидно, max
M
4
M
4
X2
> 1 + — , где Xe - положитель-
X2
> 1 + — , где Xe - положитель-
ный корень уравнения
X2X2
X2
X2
т.е.Хе = К\^.
Поэтому Fq - F(A) > ln(l + —) - е. Но, как мы видели, Fq - *\8/9•
-F(A) -Fq — F{B). Поэтому Fq -F(B) > In — - c.
Поскольку пара (у, В) Е S (Gn) произвольна, то отсюда:
(12)(12)9 Fp - Fp > In — - е. G Gn 8
(12)
(12)
Подытожим приведенные рассуждения. Пусть G С Еп — выпуклый компакт с непустой внутренностью. Впишем в него эллипсоид максимального объема
{х*+Л*п HIп||<1} =
= х* + { и|((Л*)-1и, (Л*)“хи)< 1} .
Обозначим Fq = F(A*) = In det Л *.
Рассмотрим произвольный эллипсоид { хе + Лем|||м|| < 1}, содержащийся в Си имеющий £(Ле) > Fq - е.
Гиперплоскость П, проходящая через центр этого эллипсоида, отсекает от G тело Gn-
Впишем в Gn эллипсоид максимального объема. Пусть ему соответствует симметричная положительно определенная матрица В*.
Обозначим Fr = In det В *.'
Объемы эллипсоидов, характеризуемых матрицами А* и В* соответственно, равны: УА* = | К^е1Л* и VB» = | K|detB*, где | К[ - объем
единичного шара в Еп. В силу (12) имеем
8
< In — + е
Gn G 9
или
^в* < 8
Va* 9
Назовем вписанный в тело G эллипсоид максимального объема G-максимальным.
Имеет место следующее утверждение.
Лемма 4. Отношение объема Gn-максимального эллипсоида к объему
8
G-максимального эллипсоида не превышает —.
В [49] приведена более сильная оценка:
Ув»8
<0,843 <0,888 ...= -.,
(Вспомним, что для метода центров тяжести отношение объема тела Gn
1
к объему тела G не превышает 1 - — - 0,633. Здесь тело Gn - часть G, е
отсекаемая от G произвольной гиперплоскостью П, проходящей через центр тяжести G.)
Оценим трудоемкость вычислительной схемы выпуклой оптимизации, основанной на идее метода вписанных эллипсоидов.
Будем решать задачу
/(х)-*тш|хЕССЕл,(13)
где G - выпуклый компакт в Еп с непустой внутренностью, /(х) — непрерывная квазивыпуклая функция. Предположим, что V х Е int G оракул способен указывать вектор ф(х), ф(х) ^ 0 при х > arg min/ такой, что
G
(<р(х), z - х)<0 VzEG: /(z) </(х).ПоложимGe =Argmin{/(x)|xЕ G}.
Предлагается следующая схема решения задачи (13).
Пусть Go = G и уже построены Go D ... D Gk-1; Gs - выпуклый компакт с непустой внутренностью.
На к-м шаге решается вспомогательная задача
( 9^: FC^maxKx.^eSCGfc-i).
Пусть (xfc, А к) е^-приближенное решение ( 5^), т.е.
^.^GS^-i) и F(Ak)>F^k i— ек.
Положим
Gk= U^Gk-i |(<р(х*),2-хк)<0}
(при ф^х^ = 0 останавливаемся и полагаем решение исходной задачи равным Хк).
9
Обозначим хк = argmin{/(х)|х 6 {xi,..., х^}} , и пусть In — - е>
> а>0и
/(е) = шах {/(х) | х = ей + (1 - e)z, и 6 G,z 6 G* }.
Имеет место
Теорема. При всех к ка
Дх^ГСпе п ).
объем едиобъем едиДоказательство. Обозначим через | К| =
объем еди
объем еди
ничного шара в Еп. Объем выпуклого тела G не меньше объема любого вписанного в него эллипсоида, в частности, эллипсоида с матрицей Л*, т.е.
|G|>| K|exp{FJ} = 1 Гл*|.
С другой стороны, известна и оценка объема |G| сверху через объем I Гле| (теорема Фрица Джона) *)
I G К л” | К|ехр{^}. '
Аналогично для Gk |С^|<и”| K|exp{F^}.
Из неравенства (12) вытекает, что
Fg~fg >Ц1п~ -е)>ка. к \ 8/
Сопоставляя приведенные неравенства, получаем:
|Gfc |<n”e~*®|G|.
Если при данном 6, 0 < е < 1, Ge = eG + (1 - e)Ge, то объем | Gc | = е”! G |. Стало быть, при 6”|G| > иле~*а|(7| множество G€\Gk непусто. Но в G\Gk по определению хк /(х) > f(xk), так что /*(е) > f(xk). Итак, ка
при е> пе п получаем/(х*) </*(е), т.е. ка
f(xk)<f(ne ” ). п п
Другими словами, при к > — In — обеспечивается требуемая точность ре- а е
шения (по значению целевого функционала).
Вычислительная схема метода вписанных эллипсоидов достаточно конструктивна, если G - выпуклый многогранник. Обсудим соответствующую процедуру.
Свяжем с каждой парой (у, Q),y & Еп, Q - невырожденная (возможно, несимметричная) и X и-матрица, эллипсоид
^O,G)={>' + Gz|||z||<l}.
Предположим, что Go = G есть многогранник вида
U^En\a]u<bh Kj<N^
и известны у0, Qo и 0О ^ 1 такие, что
ГСио, Qo)CGCV(yo,poQy.
Пусть уже построены, как описано выше, Go, Gi,..., Gk_x> причем
Gk_x = (uEEnU]u<bh 1 <j<Nk_xL
и известныyk_x ,Qk-1,^k_x >1 такие,что ^(Ук-XiQk-xW Gk_i С Г^-!,^-! Qk_xY Предположим также, что на предыдущих шагах было обеспечено
9
€,<~1п~, 1</<&-1.
7 28
Опишем последовательность операций fc-го шага. 19
al) Решение задачи ( ^fc) с efc < — In —.
Положим:
Нк_х = lz ЕЕп Ijt-i + Qk_ \ 2 EGk_x ^ =
^zEE"^^/)^*/^К/СЛ^}.
Ясно, что Нк~х есть аффинный образ Gk_x при отображении z -*ук-х + + Qk_xz, причем Нк_! содержит шар {Hz II < 1} и содержится в шаре { II z II ^Зк_ 1} .
а2) Будем решать задачу
(3^): Е(Л)-> max | Е(Л)> — %, (х,А^(Нк.хУ
Условие Е(Л) > - ^ введено для удобства вычислительной процедуры. Оно сокращает область определения допустимых матриц и исключает таким образом особенности, связанные с близостькн!еТ Л к нулю.
Учитывая лемму 3, можно переписать задачу ^^ в виде
1
In det Л -* max | Л Е In det Л >,
(14)
\\Aa;U(abz)<bh K/<^-i,
где а; = Qk- xab bj = bj- а]ук_ i.
Легко непосредственно убедиться, что (О, X/) — допустимый план зада-
чи ^к) при— <Х<1.
145145е
145
145
Д.Б. Юдин
- 1 /1 \ _ 1 /1 X
Возьмем X = - ( 1 + — ) и р = - ( 1) и положим
2\^/2\Ve/
И'=1 (2,Л)е£”Х£„ |lzlP +М -Х7|2 <- р2|. I2 J
Здесь | Л | = (tr (Л2))1/2 - норма Л в евклидовом пространстве S„; и ■н «II -<4jc II
НЛО- операторная норма матрицы Л; IIЛ n = шах.
'И* II
Пусть Нк-х — множество допустимых планов задачи (9*^- Убедимся, что WCH°k-v
В самом деле, если (z, Л) € И/, то при I u | < 1 имеем:
II z + Лк II = II z + Х1и + (4 - Х7) w К
<1Х7ы II + lz+ (4 - Х7)м И<
< Х+llz 11+11(4 - Х7)м К _
< Х+ IIzH |Л - Х7|<Х + -2—х^= Х + р= 1. V2
и, следовательно, z * Au Е Нк-х> т.е. удовлетворяются условия U^II + (^, z) <bj, 1 </<А^_1, задачи (14).
Выполнение условия А Е Х£ очевидно, поскольку из определения следует, что для любой точки W имеет место _ р—1
А >\J/>(Х -р)/>/>0,
V2Ve
и отсюда же
1 In det А >.
2
С другой стороны, пусть М — шар в Еп X 2Л: М={(г,л)е Еп ХХп | II z II2 +|Л |2 <(1 +л)^!} .
Убедимся, что М D Нк_ i. Действительно, если (z, А) ^ М» то либо II z II > >0*-!, либо\А |2 >Л0|_1<
Проверим, что в обоих случаях V (z, А) не лежит в Я^_ t, т.е. (z, А) не удовлетворяет системе неравенств \\A5j II + (5р z) <6у, 1 </ <№-i, задачи (14). Действительно, в первом случае уже z £ Нк_х (напомним, что Нк_! содержится в шаре {IIW II < 0к„ i } ), а во втором - среди собственных чисел А (сумма квадратов которых й есть как раз |Л|2) одно по модулю больше gk_ х. Поэтому diam V (z, А) > 20к_ х, что невозможно при F(z,A) СЯк_хС {IIWlKftt-i}.
Итак, М D Я^-1 D И/, причем для радиусов r(W) и г^М^ шаров W и М имеем:
<к х/прк-1.<к х/прк-1.г(Д<) ^УГТпрк-1 _У1+и^!
<к х/прк-1.
<к х/прк-1.
\ Ve / 2V2 где к — абсолютная константа.
146
Изменение F ( • ) на Нк-! не превосходит
1
- + и1п^_!
(поскольку по условию задачи (^) F(A) > — % при (z, Л) Е Я^-i, а собственные числа матрицы А не больше ^к-х» откуда следует, что п
тах^(Л)<1пП Д<л1п0л_1).
Используем теперь для решения задачи (^) метод эллипсоидов, 19
настроив его на абсолютную погрешность - In—. Для применения метода достаточно:
— априори располагать шаром, содержащим Нк-х (У нас он есть ~ это М),
— уметь на каждом шаге для предъявленной точки (z, А) Е Еп X Ел проверять включение (z, Л) Е 1п1Я^_ х. Если оно выполнено, нужно уметь вычислить VF^) (мы это также умеем: по лемме 2 VF^) = Л~1). Если (z, Л) ^ Нк- 1, необходимо найти такое Ф Е Еп X Ел, Ф Ф 0, что
Нк_г G Ци,В)еЕпХ^п | ^u-z,B -Л),Ф)<0}.
Проверка включения (z. Л) Е Нк-х и построение в случае (z, Л) ^ ф Нк-х требуемого Ф производятся следующим образом.
По данным (z, Л) выполняем следующие операции.
Приводим квадратичную форму (Лм, к) к взвешенной сумме квадратов, скажем, методом Лагранжа (метод дает матрицу В detS Ф 0, такую, что ВТАВ диагональна). Если фтА В^ц > 0 Vz Е 1, и, то Л > 0. В противном случае для того z0, для которого (BTAB^iot <0, линейная форма от Q Е Ел (непостоянная) B^Q) = (BTQB")i()io неположительна при Q = А и неотрицательна при Q Е Е^. Стало быть, в этом последнем случае (z, Л) Нк-1 и можно взять Ф = (0, ^qB^ • )).
Пусть теперь выполнено А Е £^. Вычисляя F (Л), проверяем, верно 1
ли, чтоF(Л)
Если F (Л) <- - ,то (z, Л) фНк-х>Д можно взять:
Ф = (0, VF^)).1
Пусть, наконец, Л Е е£ и выполнено F(A) > — - . Тогда проверяем неравенства
ll^ll + (^,z)<6z, l<)<Nk_x
(условия задачи (14)). Если все они выполнены как строгие, то (z, Л) Е £ И11Я^_!. В противном случае при некотором / имеем IIASj II + (а^ z) > > bj и можно взять
Uaf II /
Итак, все этапы итерации метода эллипсоидов обеспечены. Для решения
х19
задачи (У*) с абсолютной погрешностью, не превышающей — In —, доста
точно сделать
2 (dim Гл)21п2 (dim Гл)21п{ изменение F на Нк_ J{ изменение F на Нк_ J
2 (dim Гл)21п
2 (dim Гл)21п
{ изменение F на Нк_ J
{ изменение F на Нк_ J
итераций, что в соответствии с приведенными рассуждениями не больше К = к2и41п(к1^_1 \^),
где «1 и к2 — абсолютные константы.
Решив задачу (^-1) с абсолютной погрешностью, не большей
9
- In -, мы найдем (z^, Ак) € 2 (Нк- i) с
8
19
Эллипсоид максимального объема, вписанный в Нк-х> определяется параметрами (z к, А к).
Рассмотрим эллипсоид
(^Jt-i ^Bk-xzk) * {Bk-iAkU | lu IK 1} .
Он, очевидно, может быть представлен в виде
Хк + { Аки | IImIK 1},
где
Хк~Ук-х *Bk-izk> Ak = (Bk-iAkAk В к-1У^2
^Ак на самом деле вычислять не требуется). При 3T0mFq^_1 - F (А к) = 19
= FHk_1 "F(Ak)< — In — , хк - центр очередного эллипсоида.
Число линейных неравенств, определяющих очередной многогранник Gk» увеличится на единицу Nk = Nk_1 + 1. К неравенствам, определяющим Gk- х ~ Vu Е Еп\а]и Cbp 1 </ <Nk_ i } , добавится неравенство а^и < <bNk» rneaNk =ф(Хк)» bNk = <Ф<хк),хк)»Ф (х^ - направляющий вектор гиперплоскости, проходящей через хк и отсекающей от Gk-1 часть, в которой f(u)<f(xky
Остается построитьук, Вк и 0^.
Рассмотрим отображение
Тк^”хк * ^Рк — \Ak)z9
и пусть
Sk^T-kHGkY Sk = Tk4Gk-xY
По построению Sk содержит единичный шар с центром в нуле. Более того, всякий содержащийся в Sk эллипсоид имеет объем, не превышающий
/19\exp ( — In — ) \28//19\exp ( — In — ) \28/I КI, где | V Г - объем единичного шара в Еп. Действительно,
/19\
exp ( — In — ) \28/
/19\
exp ( — In — ) \28/
пусть $ С Sk> S3 — эллипсоид максимального объема, вписанный в 5^ . Тогда Tfc(58) С Тк($к) = Gk_x — эллипсоид максимального объема, вписанный в шар, для которого справедливо соотношение:
19
1п(Г(ГИ®))) - ln(7fc« u III и К 1} ))< - In ~ ,
поскольку ln(r(TH^))) = ^G^^IK 1} ))) = F<AkY
Отсюда
F(T*(S)),И®)19
^({t/lklKl}))Г((«|Ы<1))2 8
и, следовательно, объем Sk-максимального эллипсоида S3
/19\/93|К|
К(®)<ехр(-1п-)|Г| = У-|Г| =—•
\28/82у2
Последнее неравенство, справедливо для эллипсоида максимального объема, тем более справедливо для любого другого вписанного в Sk эллипсоида.
Нетрудно видеть, что тогда Sk содержится в шаре радиуса к4л, где абсолютная константа к4 будет оценена в следующем пункте.
Обозначим фк = (Вк_1АкУф(хк\ Имеем sk = ие§к\(фк,^<ог
(Действительно, положим Мк = { z Е Sk | (фк, zk) <0} . ТогдаМк CSkC С 8^. Пусть z ЕМк; Tkz -у Е Gk_ j по определению Sk и включениюМк £ С Sk. Поскольку z ЕМк, то (ф (х^),у) <0. Из того, что д' Е Gk_ х, следует (по определению Gk) у Е Gk. Отсюда z = Тк\у^ Е Tkx(Gk) = Sk. Таким образом, Мк = Sk.)
Пусть
Фк
Г' Вк = ^Вк~1^к> Ук^Тк^.
2 II Фк II
71 \
Ясно, что Sk содержит эллипсоид Kl вк, — I 1 и содержится в эллипсоиде / / 1\ \\ 2 /
И^Д ик4 + -k 1
Поэтому Gfc содержит эллипсоид V (у^, Вк) и содержится в эллипсоиде У(ук, (271X4 + 1)^).
Итак, при к > 1 можно взять рк = 2лк4 + 1.
В заключение оценим к4.
Пусть G — вьшуклый компакт в Еп, содержащий единичный шар V = = (х | 0 х II < 1} , и объем всякого эллипсоида W, содержащегося в G, удовлетворяет условию
(15)(15)IB'Ka+g)! Г|.
(15)
(15)
. Обозначим т = max {Их ll|x_G G} и оценим т сверху. Пусть г = Их* I, х* Е G. Тогда G содержит тело G, получающееся вращением плоской области Go вокруг оси Ох» (см^рис. 7.2). Пусть Wo - эллипсоид максимального объема, содержащийся в G. Из соображений симметрии Wo есть результат вращения эллипса Wo (пунктир на рис. 7.2) вокруг Ох*. Этот эллипс задает- (х - О2 у2
ся уравнением- + — < 1. Его полуось X = 1 + г, и он должен
касаться прямых, ограничивающих Go. Уравнение ’’верхней” из них имеет вид:
(
IXх - гг-х
arcsin - I (х - г) ==- - .
. Г// Г Vr2 - 1
Произведем преобразование координат, переводящее Wo в единичный круг:
t х -1, у
X =, у = — .
+Ги
В координатах х', у1 уравнение рассматриваемой прямой принимает вид:
PX/^^Jy' + fl *0х* = r-t.(16)
Условие касания эллипса Wo и ’’верхней” прямой, ограничивающей Go, приобретает вид:.
-l) + (l+tf.(17)
Действительно, точка Р касания указанной прямой с эллипсоидом (шаром в новых координатах) имеет координаты v (1 + t, p\/r2 - 1), т.е. принадлежит прямой, ортогональной касательной к шару. Условие принадлежности точкиР прямой (16) записывается в виде:
р<(1 + О2 + д2(г2 - l)) = r- t,
откуда г- t
V =;;—;.
(1 + г)2 + д2(г2 - 1)
Точка jP, кроме того, лежит на окружности: у2((1 + Z)2 + д2(г2 - 1)) = 1.
Отсюда
у -у((1 + Z)2 + д2(г2 - 1)) = у(г- т)= 1, т.е. у = l/(r - t). Таким образом, 1 _ _ r-t
т-t V (1 +Z)2 +д2(Г2 - 1) ’
откуда вытекает запись уравнения (17).
Из (17) получаем д2 = (г — 1 - 2г)/(г - 1). (I ^0 I \2
1 = д2^”~*^Х2 = ip(f). Имеем
z4 (r-1-2s)”-1(l+s)2
Максимизируя <p(s) по s, мы должны получить$*=/(поскольку %по определению - эллипсоид максимального объема, вписанный в G). дрг - п
Условие= 0 дает г - л = (л + l)f или (при г > л) t =. При этом
Эгл + 1
/л + 1\" 11 г +1I И'о 121 /г + 1\2
Но ( )> —, а > 1. Поэтому ^ (О = < -т ( )
\л-1/ е2 г-1|К|2е2Кл+1/
Учитывая (15), получаем:
г + 1
< 1 + а, е и + 1
откуда
г < (1 + о^е^п + 1) - 1.
И, следовательно,
(1 + а)е(л + 1) - 1
к4 < max = (1 + а)2^—1.
п > 1>1
В частности, при G = Sk, как мы видели в п. 2.9, 1 + а = ехр^— ln-^у. Поэтому
к4 < V 2е - 15.
Метод симплексов (МС) для решения систем линейных неравенств
Метод симплексов (МС), как и метод эллипсоидов (МЭ), является методом выпуклого программирования, основанным на идеях метода центров тяжести (МЦТ), восходящих к [24]. Вместо эллипсоида минимального объема, описываемого на каждом шаге МЭ вокруг области, ’’подозрительной на экстремум”, в МС рассматривается симплекс малого объема, содержащий эту область. Использование эллипсоида и симплекса в конструктивных реализациях МЦТ определяется тем, что центр тяжести этих тел легко вычисляется. У эллипсоида — это точка пересечения его осей, а координаты центра тяжести симплекса равны среднеарифметическим значе-
। « +1 ниям координат его вершин хе = S х/.
п + 1 !
МС отличается от метода центральных сечений (метода центров тяжести), предложенного в [24], существенно более экономным приемом построения симплекса малого объема, содержащего область, ’’подозрительную на экстремум”.
В МС, как и в методе центральных сечений, на каждой итерации через центр тяжести очередного симплекса проводится гиперплоскость, разделяющая симплекс на два многогранника. В одном из них содержится искомый экстремум. Вокруг этого многогранника следует описать симплекс малого объема, меньшего, чем объем симплекса, с которого начиналась итерация. В [24] для этого требовалось q^n) отсечений. Из рассуждений [24] следует лишь грубая оценка q^n) < п • In п. В методе симплексов <7(и) = 1.
В [94] приведена версия МС применительно к решению задач линейного программирования, или, что практически то же самое, применительно к решению системы линейных неравенств.
В [94] решается задача: найти хЕ Rn такой, что
Ах > 0,(18)
где А — m X «-матрица ранга п (т>
В таком виде может быть записана и задача линейного программирования. Оптимальные планы прямой и двойственной задач линейного программирования являются решением системы линейных неравенств, состоящей из ограничений той и другой задачи, и неравенства между их линейными формами.
Пусть е > 0, е Е Rm. Без ограничения общности будем искать решение (18), нормированное условием
(е. Ах) = 1.(19)
Будем считать, что система (18), (19) имеет решение.
Обозначим через В (л X т) -матрицу с неотрицательными элементами такую, что det (В А) Ф 0.-
Ясно, что множество X решений (18), (19) содержится в множестве решений системы
ВАх > 0,(е, Ах) = 1.(20)
Множество решений (20) — обозначим его Дв — есть л-вершинный симплекс, лежащий в гиперплоскости (с. Ах) = 1. Его грани задаются уравнениями
(21)(21)((ВЛ),, х) = 0,(е, Ах) = 1.
(21)
(21)
Здесь ^BA)t - i-я строка (л X л)-матрицы В А.
Пусть хе — центр тяжести симплекса Дв; хь ...,хп — вершины этого симплекса. Предположим, что х* не есть решение системы (18), (19). Найдем матрицу В*, которая определяет симплекс Дв», содержащий
множество Xрешений (18), (19),.
Дв, = <х\В*Ах > 0,(р, Ах) = 1}
и имеет объем I Дв» I < I Дв I (здесь речь идет о (л - 1)-мерном объеме в плоскости (19)).
Пусть а = Л/ — та строка матрицы Л, для которой не выполняется неравенство (18) в х*, т.е.
(а, х#) = (Л/, лс*) < 0,(22)
а хк - та вершина Д5 , для которой (a, Xj ) минимально:
(а, хк) = mm(atXj). i
Мы нумеруем вершины Дв, исходя из следующих соображений. Грани Дв в соответствии с (21) задаются уравнениями
BjAx = 0,(е, Лх)=1,(21')
где В, - j-я строка матрицы В. Вершина Дв , противостоящая грани (21г), нумеруется номером / и обозначается Xj.
Положим b = ВкА (Вк — к-я строка В, b .— л-мерная вектор-строка).
Построим матрицу В1 следующим образом. Увеличим ki-я элемент матрицы В для всех г на величину
л > 2,л > 2,(23)(23)(6. хк)
л > 2,
л > 2,
(23)
(23)
(а, х*)(п2 -2 л) ’
и сохраним прочие элементы.
(24)(24)Поскольку уравнения граней Дв имеют вид (21г), то уравнения всех граней Дв#, кроме к-я, те же, что и у Дв, а уравнение к-я грани Дв •
(24)
(24)
(b + ta)x = 0,(b + ta)x = 0,(е, Ах) = 1,
(b + ta)x = 0,
(b + ta)x = 0,
в то время как уравнение к-й грани Д в
Ьх = 0,(е, Ах) = 1.
Поэтому хк - общая вершина Дд и Ав», а исходящие из нее ребра ^в* направлены вдоль соответствующих ребер симплекса Дв:
х' - хк = еДх. - хк\ j Ф к(25)
(х f- вершины ^ве).
Матрица В1, как и матрица В, состоит из неотрицательных элементов, поскольку Г > 0.
Действительно, (Ь, Хк) = (В кА, хк) > 0, так как вершина хк симплекса Дв противолежит грани (В кА, х) = 0, (е, Ах) = 1, а симплекс Ав задается неравенствами (20). Кроме того, и (а, хк) = (А<, Хк) > 0. В самом деле, если бы было (а, хк) < 0, то в силу выбора индекса к было бы верно (a, Xj ) < 0, 1 </ < п, а тогда для любых х имело бы место 1 0х>О). Это следует из того, что множество решений X системы (18), (19) лежит в Дв, а <а, х) = (Л/, х) 0 Vx € Дв в силу (я, Ху) ^ 0, 1 ^ / ^и, и, стало быть, X = ф. Таким образом, ^Ь, хк) > 0 и (а, Хк) > 0 и, следовательно, t > 0.
Новый симплекс &в» содержит часть Д старого симплекса ^в :
Д = ^Bt П Дв = (х \BkAx + Л/Х > 0, BjAx > 0,
/ Ф к, (е, Лх)=1} П{х|^Лх > 0, BjAx > 0,
/ Ф к, (е, Ах) = 1} =(х Е Дв | Л/Х > 0}.
Симплекс Ав* содержит множество X решений системы неравенств (18). Ниже будет показано, что объем ^в• по крайней мере в 1 +* -^
раз меньше объема симплекса Дв. Таким образом, от шага к шагу сокращается объем симплекса, содержащего решение системы (18).
Вычислим предварительно координаты вершин х*-, / Ф к, сим
плекса Дп» и оценим .
=IVI ,
Вершина х-, j. Ф к, принадлежит к-й грани Ав». Поэтому в соответствии с (24)
(b + t^x’j = 0,/ Ф к.
Учитывая (24),получаем:
(6 + ta)(xk + ej(xj - xjO) = 0.
Отсюда
1 (b*ta)(xk -x^(6 + ta^Xj
— = = i.
в) (b + td)xk(b + ta)xk
Ho bxj =0, / Ф к, поскольку при j Ф к вершина х,- принадлежит ^-й грани симплекса Дд, уравнение которой Ьх = 0, (е,Ах) = 1. Следовательно, .
taxi
— = iе
<4 (b + ta^xk
Таким образом, длины ребер Дв • получаются из длин соответствующих ребер Д^ делением на
taXj bxk + ta(xk - х^
— =1= .(26)
ej(b*ta)Xj ^b + ta)xk
Поэтому
1^1- П — .(27)
I ^в ' i * к ^i
1 bxk
По выбору индекса к а(хк - хЛ > 0. Поэтому — >. Учитывая
е, (b + td)xk
выражение (23) для t, получаем:
1(л - I)2'1(л - I)2'— >^= —!1
1
(л - I)2'
1
(л - I)2'
" (ь „ ^ V , + _Д_ \ ахк^п1 — 2 л)/л2 — 2 л
. (28)
В силу (26) .1их)
— = (л - 1) - 2 =
j * к ejj ф к (Р ^ t°^xk
я tax= taxb = (л- 1) - 5 +.
/ = 1 (6 + ta^Xk (6 + td)xk
Но в соответствии с (22) я х, ах, = а ^ — < 0. / = 1 ”.
Поэтому
^1tax к.
5 — > (и — 1) +,
или, подставляя в это неравенство значение t из (23),
5 — > п - 1 + -—= п-ц.(29)
i * к е,(п- I)2
Из (27) и (28)
— > д > О, Б —>п-ц.(30)
е)j * к ej
Отсюда
П — > д""2(л - (и - 1)д).(31)
i*k ej-
Действительно, S In (1 /еу) - вогнутая функция переменных 1/еу. Эго знак
чит, что ее минимум достигается в крайней точке ее области определения - многогранника (30). Координаты всех вершин этого многогранника определяются следующим условием: п— 2 из 1/еу равны д, а одно 1 /е7- равно
п - (п -1) д. Поэтому П — ограничено снизу величиной д”-2(и- (и-1)д). i*k ej
Учитывая значение д из (28), получаем из (31):
_1п\
П — > pi V— — (л - 1)1=
j Ф к ej\ Д/
я_1/ «(«"О2,.^д""
= Д (;(Л - 1)1 = .
к(л-о2-1v7}i
Л-1 I Дв |.
Теперь можно оценить отношение объемов . Сопоставляя (27)
|^в.|
с последним неравенством, получаем (учитывая выражение (28) для д):
= (И - 1)1П ( 1 -= (И - 1)1П ( 1 -1(л - I)21(л - I)2д”-1
= (И - 1)1П ( 1 -
= (И - 1)1П ( 1 -
1
(л - I)2
1
(л - I)2
In | Дв | - In | Дв- | > In
/1
— In ( 1 — \п-
-) = _(И_1) 2—:— 1 У1 /(л - 1)2/
1
= S—т
1 /(л - О' ~ / 1
1
i Цп - I)2' 1
+ 2|7
з V(«- 1У
1
/(л - 1)2/-1
• 1
2(и- I)2
1 "
57
1 /(л - 1)'
1
“ 2(л - I)3/1
> г (1 - 2(л - I)2 \ л — 1
При больших п
In > ~ In ( 1 +—) .
|AS I 2(и — I)2\2(и —I)2/
Таким образом, имеет место следующее утверждение.
Либо х* — центр тяжести симплекса Дв является решением исходной системы неравенств (18), либо, переходя от матрицы В кВ\ получаем симплекс Д^', содержащий множество X решений исходной системы неравенств, и при этом объем Д^» меньше объема Дв по крайней мере 1 в 1 + —- раз.
2л2
§ 4. Метод симплексов для решения общей задачи выпуклого программирования
Рассмотрим общую задачу выпуклого программирования
/о(х) -► min 14(х) < 0,/ = 1пи
xEG^R”.'(32)
Здесь f^ (х), / = 0,1,..., ш, - выпуклые функции, G - выпуклый компакт с непустой внутренностью. Будем считать G = G0 симплексом. Если это не так, заменим G симплексом До, содержащим область G.
Как и в методе эллипсоидов, введем выпуклую функцию /m+i(x) = = р(х, G) — расстояние от точки х до области G. Тогда условие х Е G примет вид fm +1 (х) < 0, и задача (32) перепишется в форме
/0(х)тт|//(х) < О, /= 1,2,..., т + 1.(32')
Описание общей схемы МС не отличается от описания общей схемы МЭ (см. [67]). Следует только всюду заменить эллипсоиды И^на симплексы Д/, а области Wt = { х Е Wt_ j | Pj^x < Pj^xt}, содержащие искомое решение (если оно существует), на области Д^ = {х G Д/_ j |р/</)Х Cp^^xJ. При версии метода с глубоким отсечением следует заменить области
И'/ = (х G Wt_x |dz(0 + (Рд/), х-Х/) < 0} на
Д, = {хЕДм |d/(/) + (рко> x-х,) < 0}.
Здесь Х( - центр тяжести эллипсоида (соответственно симплекса) на /-й итерации.
Опишем особенности шага МС для решения выпуклых задач.
На каждом шаге МС имеется симплекс Д в Я" с вершинами xt, ...
п+1
• • •, хл+1 и центром тяжести х* = S X/. Кроме того, имеется
и +1 1
вектор р - опорный функционал к одному из функционалов f^ г = 0, 1, ..., т, т* 1, задачи (32') и константа d. Область, ’’подозрительная
на экстремум”, представляет собой часть симплекса Д: Д = { х 6 Д |d + (х - х*, р) < 0}.
Обозначим
<^(х) = d + <х-х„ р\
^ = ^(х,) = d + (X(-x„ р),1 < i < л + 1,(33)
где х, - вершина симплекса Д. Суммируя (33) по /, получаем:
Л+ 1
2 ф« = (и + V)d.(34)
Пусть к — номер из 1, л +1, который отвечает наименьшему <pt. Таким образом,
Фк < Фь i е 1,и + 1.(35)
Будем искать вершины Хр i G 1, л + 1, симплекса Д', содержащего область Д,в виде:
Х'к = хк,
x't = хк + ef(x{ - хк), i€I= { 1,2,..., Л-1.Л + 1л + 1).
Здесь ez > 0 - подлежащие определению параметры.
Формулы (36) означают, что симплекс Д'имеет вершину в точке хк и ребра, идущие вдоль ребер симплекса Д. Ясно, что отношение объемов Д' и Д равно
Параметры е< — отношения длин ребер симплексов Д' и Д — должны обеспечить минимум отношения (37) при условии Д £ Д', или, что то же, при условии, что вершины Д лежат в Д'.
Пусть/(+)= {z6/|iz>0},/(_)={/Е/|(^<0}. Возможны 3 случая А, В и С.
Случай А. фк > 0. По определению номера к в этом случае ф< > 0, i Е Е 1, п + 1, и, следовательно, <р(х) > 0. Это значит, что либо Д пусто, либо Д лежит в гиперплоскости <р(х) = 0.
Если Д = ф, задача не имеет решения. Если Д принадлежит гиперплоскости <р(х) = 0, то объем | Д | = 0 и задача решена.
Далее будем считать ^ < 0.~
Случай В. 1^ = ф. Тогда область Д уже симплекс с вершинами (36) и
е! ~ ei:»1 е I-(38)
Ф) + I Фк I Ф}~Фк
Случай С. фк <0 и/(_) ¥=0. В силу (34) и^>0в этом случае/(+)=# ф.
Запишем выражения для вершин Д. Координаты вершин ut области Д, лежащих на ребрах, которые исходят из хк, при t Е1^ определяются
(391(391по формуле ut = xk* Tt(xt-xk),
(391
(391
где lift I*Фк
Tt = =
I Ф1 I + I Фк I Фх - Фк
Вершины ^области Д, лежащие на ребрах, которые исходят из хк, при s Е /(_) совпадают с вершинами х$ симплекса Д:
us = xs.(41)
Как видим, us можно определить по формулам (39) при ts= 1. Наконец, координаты вершин uts многогранника Д, лежащих на ребрах, которые связывают вершины xt симплекса Д (Г 6Ц^ с вершинами xs (sEJ^^, вычисляются по формуле
Uts = Tt$xt + (1 -Tt$)xs = х, + Tt^Xt-Xg), (42)
где
(43)(43)Tts = = •
(43)
(43)
Ф/ + I Фз I Ф1 - Фз
Запишем теперь условия принадлежности вершин иъ uS) uts области Д симплексу Д', определяемому вершинами (36).
При t EJ(+^ вершина ut многогранника Д лежит на прямой, содержащей ребро хкх\ симплекса Д'. Вершина ut принадлежит симплексу Д', если отрезок хк ut не длиннее ребра xkxV Учитывая (39) и (36), можно переписать условие xkut < xkxt в виде:
хк + Tt(xt-xk) <хк + et(xt~xky
Следовательно, условие принадлежности иъ tEI^K Д' сводится к неравенствам
et > тъ t Е Iw(44)
Аналогичным образом получаем условие для us Е Д' при sEJ^_y.
es > 1, s е I^v(45)
Условие принадлежности вершин uts, t Е /(+), s Е I^ многогранника Д симплексу Д' заключается в том, что луч xkuts пересекает ребро xsxt симплекса Д'в точке х0, лежащей вне отрезка xkuts. Точка х0 пересечения отрезка х^и луча xkuts определяется значениями а и 0, для которых
ах$ + (1 -а)х' = 0хк + (1 -0)uts.
Здесь 0 < а < 1. Вершина uts области Д принадлежит Д', если 0 < 0. В соответствии с (36) и (42) последнее равенство принимает вид
aVe$x$ + (1 -e4)xft] + (1 -d)Yetxt + (1 -е^х^ =
= Рхк + (1 -№t$xt + (1 -Tf$)x$L t e z(+),$£/(-),
или
ае,х, + (1 -a^etxt + [а(1 -q) + (1 -а)(1 -et^xk =
= gxk + (1 -^rtsxt + (1 -0)(1 - т„)х„ t € Iw, s e /(_).(46)
Чтобы вычислить значения а и 0, определяющие точку х0, приравниваем коэффициенты при xs,xtH хкиз правой и левой частей равенства (46). Получаем:
aes =^-^\-TtsY
(1 -a)et = (1 -0)rt$,
“(1 ~^) + (1 -«)(! -erW,
r e /(+), s e где
1 -ти _ a jr» _ 1 ~a e, 1 -0 ’ e, 1 — j3 ’
ae$ + (1 -a)et = 1- 0, t E Z(+), s 6 Ц_у
Третье из этих равенств является следствием первых двух. Поэтому его можно опустить. Складывая первые два равенства, получаем:
’А’ ,6'<*>- ’ е'<->(47)
е$ et 1-0
Как мы видели, условие utsЕ Д' эквивалентно неравенству 0<О или в силу (47) неравенству
Т Т
- + — < 1, t Е 1^, s Е /(_).(48) eset
Таким образом, условия принадлежности вершин ut) uS) uts многогранни
ка Д симплексу Дг записываются в виде:
et > Tt, t е /(+),
(49)(+)• $ € к->(49)(+)• $ € к->с, > 1, s Е Ц_у
(49)
(+)• $ € к->
(49)
(+)• $ € к->
е$ et I |
Вычислим —-j - отношение объемов симплексов, содержащих области, ’’подозрительные на экстремум”, на двух последовательных шагах МС.
В соответствии с (37) = П в/. Параметры et должны быть
1^11^1| Д' |
выбраны так, чтобы они обеспечили минимизацию или максими-
I А| зацию
(50)(50)м - П 1 | Д I tel et
(50)
(50)
при Д С Д'. Такой выбор et позволяет из всех симплексов Д', построенных указанным способом (с вершиной хк и ребрами, идущими вдоль ребер Д) и содержащих область Д, выбрать симплекс Д'минимального объема.
Введем новые переменные
11
х? - — - 1, г е /(+), х, - 1 — —, $ е /(_). et *ез
Ясно, что Xf > О, X, > О, поскольку согласно (45) es > 1, s Е /(_>, а из геометрических соображений, определяемых идеей метода, et < 1, tEJ^y
В новых переменных:
^ = П (1+Х,) П (1 -X,)(51)
|Д I ,G/(+),G/(-)
Перепишем неравенства (49) в новых переменных. Имеем:
1
1 < 1 + Xf < —, t е Iw,
О < X, < 1, s G /(_), (1-т,,)(1-х$) + т„(1+ха<1, teiw sez(_) или, учитывая выражения (40) и (43) для т, и тм,
о<х.<——,teL.x,
1^1(+)
0<Х5<1, se/^p(52)
^t< — K. tEIw sEI^y
Обозначим через J^ множество тех t E 1^, для которых ^t > 0, и пусть J^ = /(_). При t E J^ = /(_) W(+) (т.е. при г, для которых 4>t = 0) положим \t = 0.
Таким образом, переменные Xf, t Е /(+), Х„ s Е J(^), которые определяют симплекс Д' минимального объема, содержащий область А, являются решением задачи математического программирования:
П (1 + Хг) П (1-Х,)^тах,(53)
teJW sGJ(~) o<xf<-^-, tejw
0<X,<l, sej(_p(54)
Xf<- - Xs, tEJ^, sEJ^_y
Положим
Xf ” ^^fi ^^*^(4-)> X$ -* ^ I ф$ I) s^«^_^*■
Первое и второе из условий (54) заменятся неравенствами 1 0<#< ,
I ^к I
1 О , s£J(_\.
1^1( }
Поскольку, по определению индекса к, | ф$ | < | фк |, то первые два условия (54) заменятся неравенствами
1 О<0< .
ы
Третье из условий (54) в новых переменных — тождественное неравенство d < д.
Таким образом, задача (53)-(54) эквивалентна следующей одномерной условной экстремальной задаче:
Л(д) = П (1 + dy,) П (1 - #| <& |)-* max, rGJ(+) ■,G/(-)
1
О < i? < .(55)
Пусть решение этой задачи 0*. Координаты вершин симплекса △' вычисляются по формулам
x^Xk + e^Xi-Xk),
где
i-tej^,i = sEJ^_y г^к,i = teiw = {г I v?r = о >, i = к.-i-tej^,i = sEJ^_y г^к,i = teiw = {г I v?r = о >, i = к.-(56)(56)- ' 1 _ 1
i-tej^,
i = sEJ^_y г^к,
i = teiw = {г I v?r = о >, i = к.-
i-tej^,
i = sEJ^_y г^к,
i = teiw = {г I v?r = о >, i = к.-
(56)
(56)
1 + Xf 1 + &*>Pt
_ 11 е<~ 1-х/ i-^l^l’
1, . о.
Напомним, что формулы (56) относятся к случаю С, когда ^ < О и J(_) *Ф-
Целевая функция к(^) задачи (55) логарифмически вогнута. Поэтому решение д* задачи (55) можно получить дихотомией (последовательным делением отрезка [0, l/li^l] пополам). Как мы увидим ниже, чтобы гарантировать решение требуемой точности любой выпуклой задачи методом симплексов за число шагов, определяемое оценкой сложности МС, необходимо решать вспомогательные одномерные задачи (55) с высокой точностью.
Приведем теперь алгоритм построения симплекса Д', представляющий собой основной вычислительный этап каждого шага МС.
Вычисляем
Ф1 = (р,х - хе) + d, 1 < / < л + 1, и находим к: фк = min^. При фк > 0 останавливаемся. Если при этом
Д = ф, задача не имеет решения. Если Д ^ ф, то при этом | Д | = 0, и задача решена; хе - ее решение. Третьего при фк > 0 не может быть.
Строим множества
А+)= О1^>0}, J(_)= U\i*k, ^<01, J(o) = {il^ = 0}.
При J(_) = ф полагаем:
ге1,л +1, Ф< + I Фк I
и переходим к (д).
При J(_) Ф ф решаем одномерную условную экстремальную задачу:
Н^) = П (1 + Оф) П (1 — #| ^ |)->шах, ,G/(+),G/(-)
1 0<#< :
I Фк i
Пусть О - найденное (точное или приближенное) решение этой задачи с h (#) > 1. Полагаем:
iGJ<*yi*k, i£JwiGJ<*yi*k, i£Jw1
iGJ<*y
i*k, i£Jw
iGJ<*y
i*k, i£Jw
+ 0ф(
1et= ' —^—;,1-01^1
. 1,
и переходим к (д). д) Полагаем:
xb Фг= 0,/ Ф к.
i = k.
Хк* в(<Х(-хк^ ф{Ф0, 1фк.
При этом
I Д' I = 1
1Д1 м§У
Приведем оценку трудоемкости МС, •предполагая точное решение вспомогательной задачи (55).
Обозначим:
»lv>fcl = X, gt=--,;.
I Фк II Фк I
Задача (55) перепишется в виде:
П (1 + \gt") П (1 + \g) -► max,
tG/(+),GJ(-)
0<Х<1.
При этом по выбору к g, > — 1, s € J^, gt > О, t € J^, а в соответствии с (34)
rGJ^UJ^|^fc|
Ясно, что трудоемкость МС при отказе от глубоких отсечений будет не ниже, чем в случае, когда они допускаются. Поэтому для оценки сверху трудоемкости МС положим d = 0.
Обозначим J = J(+) U J^. Вспомогательная задача выбора параметра X принимает вид
^,(Х)= П (l+Xgr)->max|0CXCl.(57)
ге/
При этом
gr>-l, rej, Xgr = i.(58)
rej
Функция In ф- (X) = S in(l + Xgr) вогнута nogr. Поэтому ее минимум no gT,r^ J» при условиях (58) достигается в крайней точке области определения gF, т.е. при одном из gF, равном | /1, и прочих gF, равных — 1. Здесь I J| Си — число точек множества/. Таким образом,
^(X)>mm^(X)=M*) = (l-*)l/|_1(l+*l-'l) =
— К)®-1 (1 *®Х),.
где а = | J |, 1 < о < п.
Вспомним теперь, что
| Д| Л Л
— =Л(д)=^(Х),
где ^ — решение задачи (55) и соответственно X — решение задачи (57). Поэтому
1пу^=М,(Л)>Мо(Х.),(59)
где X е — решение задачи
toOO = (l -Х)*"^ + аХ)->шах|0<Х<1.
Легко видеть, что условный минимум ^о М ПРИ условиях 0 < X < 1
1 совпадает с ее безусловным минимумом и достигается при Хе = — . При
этом из неравенства (59) получаем:
“ 1 / 1 \ 1 / 1\
= 2 — (1- — )>
1=2 10* \ О1 V 2сг\ О/
При не малых о (т.е. для задач большой размерности л)
|Д|/1\/1\
In — >1п(1 + ; )>1п(1 + '
|Д'|\2а2/X 2лу
Это значит, что за один шаг метода объем симплекса Д' уменьшится (по / 1 \ отношению к объему Д) не менее, чем в (1 + —; ) раз.
.X 2л2/
За N шагов объем симплекса Д#, содержащего очередную область, ’’подозрительную на экстремум”, уменьшится по сравнению с объемом исходного симплекса До, содержащего область определения задачи, не /1 V
менее, чем в ( 1 + —; I раз.
X 2л2/
После N шагов естественно принять в качестве приближенного решения задачи (32') выпуклого программирования лучшую (по значению целевого функционала /0) точку х, для которой /0 ^) = min /о (•*/) • Здесь tee (JV)
Xj — центр тяжести симплекса, содержащего область, ’’подозрительную на экстремум” на i-м шаге, а 6 (N) — множество номеров итераций i <N,
на которых центр тяжести xt очередного симплекса удовлетворяет всем условиям задачи (32*).
Абсолютная погрешность е точки х в качестве приближенного решения задачи (32') равна.
/|Д^|\‘/”’/14'14^"
е<(—— )(шах/о -min/0} *( —— I (max/0-min/0) .
X I До I/XI Д I/
Соответственно относительная погрешность
е /|Д'|\^Я
у =<( 1,
max/о - min/оXIД I /
Таким образом,
или
N /1 \1
- 1п(1 + — )<1п-, и X2л3/у
откуда
ЛГ<2л3Ь-.(60)
V 4Л. Покажем, что замена точного решения вспомогательной задачи (55). приближенным увеличивает трудоемкость МС.
Вычислим приближенное решение v задачи (55), исходя из следующих соображений. Имеем:
П (1+^^)>1 + ^ 5 ф<,
п (1-^|^|)>1~S S 1<&1.
sGJ(_)sGJ^__^
Отсюда.
й(0)>(1 + »SW)(1 -W(_))= 1 +0(S(+)-$(_>)-02S(+)S(_), где
SW = J, A, 5(_)= Z |<^ |. f€/(+)sG/H
В соответствии (34) имеем:
S(+) - 5(_) *Фк = (п* 1)Д(61)
Поэтому
й (0) > 1 + 0[(л + l)d + I ^ I] - ^Sw$(_).(62)
Пусть Л(_) — число элементов множества/<-). Поскольку
1^1^ 1^*1, $6/(_), то S(_) = Z 1<д4 I <«(_)! фк |.
В силу (61)
$(+) = $(_) + (л + l)d + | фк I ^(”(-) + 1)1 At I + (” + 1)Л
Тогда
$(+) 5(_) < Л(_) | <рк I [(и<—) + ОI Фк I+ (и + 0^1 =
= Ilk I2 л(—) (л(—) + 1 + у), где (л + l)d 7 = —~ - I Фк I
Неравенство (62) принимает вид
й (0) > 1 + »I фк I (1 + 7) - ^ I Фк 12«(-) («(-) +1+7).(63)
Приближенное решение 0 задачи (55) обращает в максимум правую часть (63) при^Е [0,1/|^|].'
Максимум правой части (63) по А достигается при
1 + у»|^ 1=<1
2Л(-)(Л{_) + 1+ 7)
и равен
1 4л(_)(л(_) + 1)-1 4л(_)(л(_) + 1)-~ а.(1 + у)2
1 4л(_)(л(_) + 1)-
1 4л(_)(л(_) + 1)-
й(0) = Г + —> 1 +
4и(_)(Л(_) + 1+т)
Поскольку /(+) * ф, ТО Л(_) + 1 < л. Поэтому ~ А1А ~ А1
й (»)> 1 + —, и й(»)>й(»)> 1 + —. 4л24л1
Таким образом, отношение объемов симплексов Д и Д' при приближенном решении вспомогательной задачи (55) равно
I Д I А 1 =ад>1 +
I А |4м2
Оценивая так же, как и в предыдущем пункте, трудоемкость МС, получаем следующую оценку числа шагов N, характеризующего относительную погрешность р решения задачи (32#) выпуклого программирования при принятом способе приближенного ‘решения вспомогательной задачи (55):
Ж4л31п-. (64) р
Сравнивая (60) и (64), видим, что приближенное решение одномерной экстремальной задачи (55) вдвое ухудшает оценку трудоемкости МС.
Другая версия метода симплексов
для выпуклого программирования
В [7, 10, 11] описаны другие версии метода симплексов для решения задач выпуклого программирования, основанные на ином способе погружения усеченного симплекса в другой симплекс.
Рассмотрим ортогональный симплекс в Еп: л
Sn = lxeEn\^ xt<n* 1, xt>^ iEA^n}.
1
Вершины этого симплекса:
х° = (0,0,... ,0), х1 = (л + 1,0,... ,0), х2 = (0,и + 1,..., 0),...
.. .,х” = (0,0,...,и + 1).
х = (1,1,..., 1) — центр тяжести симплекса Sn.
Проведем гиперплоскость Яо: (а, х - х) = 0 через центр тяжести Sn. Она рассекает симплекс 5” на две части:
Я! ={хе$”|(д,х-х)>0} и Я2~{хЕ5л|(а,х-х)<0}.
Рассмотрим усеченный симплекс
5= {хе$”|(а,х-х)<0}.
Требуется погрузить S в и-мерный симплекс V, объем которого был бы меньше объема 8п.
Докажем вспомогательное утверждение.
Лемма 1. Среди вершин симплекса 5” можно укзазатъ вершины Zj Е Нх и z2 ^ Н2 такие, что гиперплоскость Яо отсекает на лучах, исходящих из точек Zj и z2 к другим вершинам S”, неотрицательные отрезки.
Доказательство. Симплекс 5” имеет п + 1 вершин. Гиперплоскость Яо содержит не более, чем и - 1 вершин симплекса. В противном случае Яо проходила бы через п вершин Sn и его центр тяжести х, т.е. через и + 1 аффинно независимых точек, чего не может быть, поскольку размерность Яо равна и - 1. Множество Нх содержит по крайней мере одну вершину 5”. Если бы это было не так, то все вершины S” содержались бы в Яо U Я2 и х ~ центр тяжести 5” - принадлежал бы Я2 как внутренняя точка симплекса 5”, в то время как по условию х Е Яо. Аналогично Я2 содержит хотя бы одну вершину 8п.
Пусть ух — некоторая вершина симплекса S”, лежащая в Нх. Если найдется такая вершина симплекса 5” (обозначим ее ух), что на луче, исходящем из ух к ух» Но отсекает отрицательный отрезок, то это означает, что ^2 ^ Нх » и на луче, исходящем из у2 к уг, Яо отсекает положительный/Отре- зок. Действительно, пусть z — точка пересечения прямой, проходящей через Ух и у2» с гиперплоскостью Яо. Тогда по предположению уi Е (z, у2]. Если бы ух Е Но» то и ух Е Яо в силу выпуклости Яо. Но уг ЕНх» поэтому ух принадлежит либо Нх» либо Я2., Если ух Е Нх»то поскольку z - граничная точка полупространства, пересечение которого с 5” есть Нх, а ух — внутренняя точка Нх» то ух - внутренняя точка того же полупространства, T.e.^j Е Я2, что противоречит предположению^ Е Нх.
Следовательно, ух Е Нх. Если существует вершина у3 симплекса 5” такая, что на луче, исходящем из у2 в ^3, Яо отсекает отрицательный отрезок, то уз также принадлежит Нх. Продолжаем процесс из точки у3. Через некоторое число шагов мы можем снова вернуться в пройденную точку. Но каждое ребро обходится только один раз. Поэтому в силу конечности числа ребер 8п процесс за конечное число шагов приведет в точку Zx Е Нх» обладающую предписанным в условиях леммы свойством. Аналогично Нх содержит точку z2, обладающую тем же свойством. Лемма доказана.
Назовем свойство вершин симплекса 5”, установленное леммой 1. свойством (а). Другими словами, будем говорить, что вершина х1 симплекса 8п обладает свойством (а), если х7 ^ S и гиперплоскость Яо: (а, х - х) = 0 отсекает на лучах, исходящих из х7 к другим вершинам симплекса, неотрицательные отрезки.
Не ограничивая общности, можно считать х° = (0,..., 0) ф S» т.е. (а, х) < 0. В противном случае можно перенести начало координат в точку х7 £ S, а векторы х1 - х*\ ..., х”*1 — х^ ортогонализировать.
Лемма 2. Пусть х° ^ 5 и обладает свойством (а). Тогда ^ < 0 V z Е Е 1,и, причем если а* = 0, то вектор х1 параллелен гиперплоскости Но* (а, х - х) = 0 и х* £ S.
Доказательство. Гиперплоскость Но: (а, х - х) * 0 отсекает на каждой координатной оси неотрицательный отрезок. Пусть на /-й оси отсекается отрезок ненулевой длины. Если х^ Е 5, то (а, х^ < (а, х) и, следовательно, а, < 0. Если х7 5, то по српйству (а) ЭХ > 0 такое, что
XV принадлежит гиперплоскости (д, х - х) = 0. Следовательно, и в этом случае а) < 0. Пусть теперь на /-й оси отсекается отрезок нулевой длины. Это значит, что /-я координатная ось параллельна гиперплоскости (а, х - х) = 0. Следовательно, расстояние от вершины х^ до Яо равно расстоянию х° до этой гиперплоскости, т.е. (д, х0 = (д, х°) = 0. Отсюда следует, что д7* = 0 и х1 Е S.
Введем обозначения: I = {/1Д/ < 0 }, р = S д# < 0. Пусть число ин-
/ег
дексов в множестве I равно пх.
Приведем следующую процедуру построения симплекса Г, содержащего усеченный симплекс 5 и имеющего объем меньший, чем объем Sn.
Симплекс V строим исходя из условий (д, х) < 0, д/ < 0, f Е 1, п, или, что то же, 5 д/ = р <0. Выберем вершину симплекса V с координатами
рР
0<Ь^< — , где ie = arg min — , b^ = 0, z # ze. ai*i ^
Остальные n вершин (обозначим их xz) определим из системы уравнений
(65)(65)(х,х/) = и+1,
(65)
(65)
х1 = b + Xl(gj - b\ 1Е\,п, .
где n-мерный вектор gt вычисляется по формулам
Р0,0,о,..., оР0,0,о,..., опри /Е/,при /Е/,
Р
0,0,о,..., о
Р
0,0,о,..., о
при /Е/,
при /Е/,
(^1, Ъ2,..., bj_ j, 1, b^x. \bn) при z ^/.
Докажем, что симплекс V с вершинами Ь, х1,..., х п ‘содержит усеченный симплекс S. Имеет место
Лемма3.со (^х^х2,... ,x”)D S.
Доказательство. Гиперплоскость Яо пересекает z -ю координат
ную ось в точке ——х^. Поэтому x**GS. Согласно (65) х * - х
Пусть х* е S. По лемме 2 д; < 0. Из (65) следует, что Р при z ^ и, z Е I, является точкой пересечения луча, исходящего из точки Ь, с лучом, исходящим из х1* и проходящим через хЛ Из определения точки b следует, что пересечение луча, исходящего из b и проходящего через точку пересе- чения гиперплоскости Яо с /-й координатной осью, с лучом х^х^ происходит вне S\ т.е.х^ является выпуклой комбинацией х * = х е и хЛ
Пусть теперь x^tS и а,- < 0. Тогда Яо пересекает отрезок [х *, х^] во внутренней точке. В соответствии с (65) эта точка и есть х Л Рассмотрим еще случай, когда х^ ф S uaj = 0. Тогда х^ является пересечением гиперплоскости, параллельной Яо и проходящей через Ь, Сребром х^х'**. Таким образом, все крайние точки 5 принадлежат co(Z>, х1,..., х”), откуда и следует утверждение леммы.
Разрешим систему (65) относительно X. Получим
х1-b=\\gt-b\ \l= —zG/,(66)
p!at-bu
и
(67)(67)x'-6 = c,) z^/,
(67)
(67)
где с* - вектор с компонентами c*j = 0 при j * i и c^ = n + 1 - bt,, i ф I. Найдем объем симплекса V (Ь), построенного на векторах (66) — (67).
Он равен модулю определителя, составленного из координат векторов (66) и (67), деленному на л!
/ bu ai. \
(л + 1-6/ )"(1) р"'
X р /
I К(6)| =—^.
(
р\ (Р\/ Р\
bU )(ьи ) • • •(bi. )Л1Л2 - ап.
01/\аг/Vnt/1
■ Здесь «1 — число элементов в Z. Не ограничивая общности, можно считать/ = (1,2,... ,nj).
Перепишем выражение для | К(6) | в виде:
(68)(68)(л + 1-6/е)" ^ p(at Г(6)| = -^ П —.
(68)
(68)
и!/+1 (Plat-Ь,J
i*i.'
Лемма 4. Справедливо неравенство
|И6)|/ и \"/ п \"-1
о= inf —<1I ()
0<bu<-L- Is”! \« + ‘/ \п-Ч *°i*
Доказательство. Пусть вначале число индексов в / пх > 1. Тогда p)at > 1, и при b^ = 1 из (68) следует:
Р
1 Р-at *
Учтем неравенство между среднеарифметическим и среднегеометри
ческим и соотношение plat > 1. Получим:
П —<(—;—)<().
1=1 р-сц \пх~\/ \л - 1/ i ¥= /*
Пусть теперь л х = 1. Тогда при bi* = 1
I Г(6)| =I Г(6)| =(и + 1-6,,)"л!(и + 1-6,,)"л!и" л! 'и" л! '
I Г(6)| =
I Г(6)| =
(и + 1-6,,)"л!
(и + 1-6,,)"л!
и" л! '
и" л! '
Таким образом, во всех случаях
п- 1п- 1(69)(69)
п- 1
п- 1
(69)
(69)
Алгоритм рассматриваемой версии метода симплексов для выпуклого программирования построен по общей схеме метода отсечений.
На каждом шаге построенный к этому моменту симплекс ортогонализируется в соответствии с условием (а) леммы 1. Через центр тяжести ортогонального симплекса проводится гиперплоскость так, чтобы одно из определяемых ею подпространств содержало все решения исходной выпуклой задачи. Усеченный таким образом симплекс погружается описанным выше путем в симплекс, объем которого меньше объема симплекса, построенного на предыдущем шаге, и тд.
Если на некотором шаге число элементов множества L пх = 1, то параметр b процедуры совпадает с единичным вектором, соответствующим
min — . Если пх > 1, то параметр Ъ — Ъ^ м является решением однопараметрической выпуклой задачи:
(и + 1 - bi>n
'fM =— л- ~7-* inf’
п (— -ЬиАi= М*и\<4/ 1-
-Р
О < Ь, < min — . iei at
Подробное описание вычислительных процедур, отвечающих изложенной здесь версии метода симплексов в выпуклом программировании, содержится в [10]. Там же указываются некоторые недостатки версии и намечаются пути их устранения. Отмечается, что для задач линейного программирования погружение допустимой области в симплекс представляется более естественным, чем в эллипсоид. Кроме того, начальный симплекс может быть сформирован неравенствами — ограничениями задачи. Впрочем, такие же замечания могут быть сделаны и относительно версии метода симплексов, изложенной в § 3.
Сравнение описанной здесь версии метода симплексов с методом эллипсоидов, приведенное в [10], предполагает классическую версию метода эллипсоидов [67]% Однако для описанной в § 1 настоящей главы более экономной версии метода эллипсоидов (так называемая версия с глубокими отсечениями) выводы [10] нуждаются в уточнении.
Метод Кармаркара
1. Изложенные выше метод эллипсоидов (МЭ) и метод симплексов (МС) представляют собой методы выпуклого программирования. Однако каждый из них можно приспособить для решения задач линейного программирования. Стандартные конечные методы линейного программирования характеризуются, как известно, экспоненциальной вычислительной сложностью. В отличие от них версии МЭ и МС для решения задач линейного программирования обладают полиномиальной сложностью.
Впервые полиномиальный алгоритм решения задач линейного программирования предложен Л.Г. Хачияном [48]. В основе этого алгоритма лежит метод эллипсоидов. Однако, как показали многочисленные*расчеты, теоре-
171
тические преимущества полиномиального МЭ над экспоненциальным классическим симплекс-методом на практике не подтвердились. В литературе нет сообщений, позволяющих сопоставить эмпирические оценки линейной версии МС и стандартного симплекс-метода.
Совсем недавно (в 1984 г.) Н. Кармаркар [87] предложил полиномиальный метод линейного программирования. Практическая проверка подтвердила эффективность метода. В статье А. Шрайвера*) приведены теоретические оценки трудоемкости версии Хачияна метода эллипсоидов для линейного программирования и базовой версии метода Кармаркара. Предполагается, что решению подлежат задачи с целыми коэффициентами матрицы условий А и вектора ограничений Ь. Через Т обозначается наибольшее значение абсолютной величины коэффициентов А и Ь. Предполагается также, что Т > и, m<n (т — число ограничений, п - число переменных задачи). В этих условиях трудоемкость решения задач линейного программирования по методу эллипсоидов определяется величиной й^181п2Т), а трудоемкость метода Кармаркара — О (и1 In2 Г) битовых операций. За счет специальной организации вычислений по методу Кармаркара удается при сохранении идеи версии алгоритма снизить теоретическую оценку трудоемкости метода Кармаркара до д(и6,51п2 Г) битовых операций.
В [39] описан опыт использования метода Кармаркара на серии тестовых задач. Эта работа и другие сообщения позволяют предполагать, что метод Кармаркара во всяком случае не уступает классическому симплекс- методу.
Обсуждение метода Кармаркара стимулировало последующие работы в этом направлении. '
Изложим идею метода Кармаркара. Пусть Д - правильный симплекс в Еп, w - его центр, a L — линейное многообразие.•
Рассмотрим задачу линейного программирования
(с, х)-> min | х Е Д A L.(70)
Метод Кармаркара непосредственно применим к задачам вида (70), в которых
wEZ,(71)
min ( (с, х) | хЕДА£)=0.(72)
К этому виду может быть сведена произвольная задача линейного программирования. При этом, однако, увеличивается размерность задачи.
Алгоритм Кармаркара решения задачи (70) строит последовательность точекх , х1,...,х* по формуле
V = ^(x/~1), х° = w.(73)
Опишем операции, определяющие функцию ф.
Пусть к началу t -й итерации имеется точка х1 ~1 Е int Д A L. Следующие три этапа составляют содержание i -й итерации.
Произведем проективное преобразование 7/, сохраняющее симплекс Д и переводящее х1 ~1 в центр w симплекса Д, L — в некоторое линейное
♦)Schrejver A. The New Linear Programming Method of Karmarkar // CWI newsletter. - 1985. - № 8. - P. 2-14.
многообразие L< Э w, а линейную форму (с, х) — в дробно-линейную фор му. Обозначим ее числитель через (сурХ).
Спроектируем вектор су( на Z,. Обозначим полученный вектор через cyt и сдвинемся из точки w в у, в направлении cyt на расстояние, не выводящее точку у< из симплекса Д. В базовой версии метода это расстояние равно половине радиуса шара, вписанного в Д.
С помощью обратного проективного преобразования Т71 возвращаемся в исходную систему коордйнат. Точка х1, в которую при этом перейдёт У/, и есть очередное i -й приближение к решению.
Покажем, что намеченный итеративный процесс сходится к решению задачи (70) со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем -G)
Обозначим вершины симплекса в Еп через 60, Ъх,..., Ъп и через с^ (х) — барицентрические координаты точки х Е Д:
<Ч^>0, S О/(х) = 1, х = S o^to^i
00,
(заметим, что при До = { х Е Еп*х | х > 0, S X/ = 1} барицентрические коо
ординаты точки х относительно вершин До совпадают с декартовыми координатами х/ в£л+1).
Исследуем поведение функции
, х (с, х) (с, х) ==~:
(По,(х)) 7 о
заданной на int Д, при проективном преобразовании Д на себя.
Для любых двух точек и1, и1 Е int Д имеется единственное проективное преобразование Д на себя, Переводящее и1 в t/. Оно задается формулой
Под действием преобразования Т< функция g (х) переходит в
(74)(74)gr^-gQlHxD-^T-,1^)
(74)
(74)
где вектор cTj выражается через компоненты вектора с и параметры преобразований Г/, а линейное многообразие L преобразовывается в линейное многообразие LTi = Lt. Легко видеть, что задача линейного программирования ’
(^ТрХ)-^ min | х Е Д П Lh
которая сопоставляется преобразованием Tt задаче (70), также удовлетворяет условиям (71) и (72), т.е.
(75)(75)wGLb min{(cTpx)|xG ^e\Lt} =0.
(75)
(75)
Обозначим через К пересечение вписанного в Д шара с L^ =-^1; это шарв£/ радиуса р.
Поскольку Д лежит в шаре, радиус которого в п раз больше радиуса вписанного в Д шара, то и Д A Lt принадлежит шару радиуса пр.
(РТр zi) <(РТр zi) <Следовательно, найдется точка z< G К, для которой
(РТр zi) <
(РТр zi) <
(76)
Минимальное значение линейной формы (стР х) на Д П Lt (равное нулю в соответствии с (75)) достигается на границе Д A L^. Минимальное значение линейной формы (с^, х) на К достигается в точке zt на границе шара К и не превышает значения ^с^, £/) в любой точке К. Поэтому в силу (76)
А /
(Су,^! 1~- WcTvwY 1\ п/ 1
Аналогичное неравенство имеет место для всех точек отрезка, соединяющего zt и w, т.е. для всех т, 0 <т < 1:х
А/ т\
(сТр TZ( + (1 - т) w) = (сГр z,(t)) < ( 11(сГ/, w).
Поэтому в соответствии с (74)
/ т\
(77)(77)( 1)(ст W) \ п/
(77)
(77)
Кт((?1(т)) <——
1 vAz^
Положим х* (т) = Tf1(z1 (т)). Поскольку zt (т) € Д Л Li, то по определению Lt х* (т) G Д Л L, и по определениюgT( имеем:
^(х,(т))=^г,(2,(т)).
Учитывая (77), получим:
^'(Т))<^——^(7).(78)
^/(т))
При т = 0 z< (т) совпадает с w - центром Д, а V достигает максимума на Д как раз в центре. Поэтому
(79)(79)а
(79)
(79)
— ^(т))|т = о = О.
Таким образом, правая часть (78) при малых т убывает с ростом т (числитель убывает линейно, а знаменатель в силу (79) меняется медленно).
Несложный подсчет показывает, что ^ ( - 1 < кпф (0), кп = 1 — О
Поэтому, положив xf =хПоэтому, положив xf =х( }” K(z,(0))( }” K(z,(0))<к„<к„'(-V\2/(стг w)'(-V\2/(стг w)получим из (78):получим из (78):«0)«0)= к.= к., (сТр W) ” V(T,(X^, (сТр W) ” V(T,(X^п ^(х'-1)) Клп ^(х'-1)) Кл(^.pW) = кл(^.pW) = клg(x‘-vg(x‘-v
Поэтому, положив xf =х
Поэтому, положив xf =х
( }” K(z,(0))
( }” K(z,(0))
<к„
<к„
'(-V\2/(стг w)
'(-V\2/(стг w)
получим из (78):
получим из (78):
«0)
«0)
= к.
= к.
, (сТр W) ” V(T,(X^
, (сТр W) ” V(T,(X^
п ^(х'-1)) Кл
п ^(х'-1)) Кл
(^.pW) = кл
(^.pW) = кл
g(x‘-v
g(x‘-v
(Мы учли, что K(z,(0)) > И|= V (w).) Таким образом, gtx^ <к' g(x°) = к' g(w\Отсюда(с.х1) < , (c,w)Г(х') ^Кп V(w) *(Мы учли, что K(z,(0)) > И|= V (w).) Таким образом, gtx^ <к' g(x°) = к' g(w\Отсюда(с.х1) < , (c,w)Г(х') ^Кп V(w) *V^^x1^ > УфАх1"1^ =V^^x1^ > УфАх1"1^ =
(Мы учли, что K(z,(0)) > И|
= V (w).) Таким образом, gtx^ <к' g(x°) = к' g(w\
Отсюда
(с.х1) < , (c,w)
Г(х') ^Кп V(w) *
(Мы учли, что K(z,(0)) > И|
= V (w).) Таким образом, gtx^ <к' g(x°) = к' g(w\
Отсюда
(с.х1) < , (c,w)
Г(х') ^Кп V(w) *
V^^x1^ > УфАх1"1^ =
V^^x1^ > УфАх1"1^ =
а поскольку К (х) < К(w), х Е Д, то (с, х1) <к*п (с, w), т.е. метод сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем кл = 1 — 0^—^.
63. Приведем описание конструкции метода Кармаркара.
Ядро метода составляет итеративная процедура решения следующей задачи:
^0:.{Лх = 0, (с,х)<0, хЕД}.
л
Здесь Д = (хЕ£”|х> 0 S X/ = 1) - симплекс в Еп, А - матрица / — 1
размера m X и, с Е Еп.
Начальная точка для решения 9% х° =— центр симплекса Д.
\и п/
Предполагается, и это существенно для метода Кармаркара, что
Лх° = 0,
( min(c, х) | х Е Д, Ах = 0 ) =0.
Ниже приводится процедура построения последовательности точек х°, х1,..., такой,что
(80)(80)*€ Д, Ахк = 0, (с, х*+1)<( 1)(с, х*),
(80)
(80)
\ п/
где а > 0 - абсолютная константа. (Допускается, что (с, х°) > 0; в противном случае х° уже есть решение задачи 5q-) Таким образом, хк удовлетворяет всем ограничениям задачи, кроме условия (II) (с, х*) =0, а невязка в этом условии убывает в геометрической прогрессии со знаменателем
1-0 ^—^ ^в соответствующей схеме МЭ знаменатель был бы 1 -
Опишем процедуру решения задачи SP0. (Редукция общей задачи линейного программирования к задаче Уо будет приведена в п. 6.5.)
Введем функцию
^) =^) =(^)П (xtyin(^)П (xtyin
^) =
^) =
(^)
П (xtyin
(^)
П (xtyin
Здесь и далее, если не оговорено противное,
x€int0A = {xG Д |х>0 }.
На int0A ^(х) определена.
Пусть х G into Д — точка, для которой
Ах =0, g(x)>0.(81)
Опишем способ перехода от точки х к точке Тх, для которой Тх Е into Д, А(Тх) = О, и
— №\ • п/
Рассмотрим проективное преобразование Г симплекса Д:
. ( *1*1*2*2*„*П I*
I TiXjXj TiXjXj^xixi J
Перечислим свойства преобразования Г.
Г — взаимнооднозначно отображает симплекс Д на себя: при этом
х есть образ при отображении Г центра хи =(-,...,- ) симплекса Д.
\и п/
Функция g(x) = g(Tx) имеет вид
g(x) = g(Tx)-^ -,(82)
(ПхО^СП х^1"
11
где с= {с^ь с2х2,... ,спхп}.
Условие
Л(Гх) = 0(83)
при х Е Д эквивалентно условию
Ах = 0,(84)
где А = AD, D — диагональная матрица с элементами хх, ..., хп на диагонали.
По условию (II) существует точка х* е Д такая, что Ах* = 0 и (с, х? ) = 0. Пусть х * Е Д такова, что Г х * = х*; тогда очевидно
Ах* = 0 и (£ х •) < 0.(85)
Рассмотрим в гиперплоскости П = (х Е Еп | 2 X/ = 1}, натянутой на 1
симплекс Д, два шара Ко и К^ с центром в центре тяжести х° симплекса Д. Шар Ко описан вокруг Д, его радиус г0> а радиус шара ру рг0, где
0 < 0 <(рис. 7.3). Заметим, что шарвписан в Д, так что
п - 1
при 0 < 0 < —Ур целиком лежит внутри Д. Имеем
Лх°=0.__(86)
(В самом деле, А (Гх°) = 0, поскольку Гх° = х, а Ах = 0 по предположению (81). Согласно свойству (3) преобразования Г, условия (83) и (84) при х Е Д эквивалентны, т.е.
Л(Гх°) = 0 => Лх° = 0.)
Фиксируем 0 и решим задачу минимизации линейной формы ( с, х) на пересечении полупространства Ах = 0 и щара Кр
(с, х) min | Ах = 0, х Е У^.(87)
Эту задачу легко решить (все рассмотрения ведутся в гиперплоскости П).
Ах = 0 - плоскость, проходящая согласно (86) через центр х° ’’шара” У^ так что надо минимизировать линейную формулу (с, х) на ’’круге”
(х € Ур, Ах =0). Для этого достаточно спроектировать вектор с на мно
гообразие (х 6 П, Лх = 0}.
Обозначим решение этой задачи через хр.
Докажем, что приведенная конструкция (п. (а) - (г)) обеспечивает процедуру построения последовательности хк, удовлетворяющей условиям (80).
Заметим, что точка 7=х°+0(х* — х°) лежит в Vg (поскольку | х * — х° | < г0 — ведь весь симплекс Д содержится в Ко) и удовлетворяет условию Ау = 0 (так как Лх° = 0 и Ах* = 0, см. (85) и (86)). Поэтому у - допустимый план задачи (87). Стало быть,
(Лхр) < (J.y) = (сх°)(1 -Ht x*)fi.
Но по (85) (с, х *) <0. Поэтому
(88)(88)(89)(89)И < а-0хг;хо).
(88)
(88)
(89)
(89)
Из (88) и (82) следует: (^х°)1
g(x0) < (1 -0) —J - —7—1 - (П^),)"(Пх,)"
11
a 1Y'"
I * и ) = (1 - 0)^(х°) .
( П(хД)1/п
Таким образом,обозначая Ц = л (x^)z, имеем
. . _ 0 х-В 8(хр) < g(*).
(ПГ,)1/"
Л
Поскольку хр Е △, то S Ц = п. Кроме того, 1
2 (Г, - 1)2=П2 |Х0-Х° |2 <п202г§=и202(1 -^)=02(п-1)л.
Поэтому, полагая 0 =, 0 < X <, т, = Z, - 1, получаем
12\/"2
2^ = 0,2 т2 < X2 -^- .(90)
”'1/л11
Оценим теперь ( П tj) снизу. При X < из (90) следует |т/1 < у.
< = 12<Т
Поэтому In (1 + т/) > г, - кт2, где к — абсолютная константа. Отсюда
Л —ЛЛк ^2
In (( П 0)" ) > ^ 2 (т,- - кт2) = - £ 2 т2 >— .
Итак, iкХ1
(П^) >е , 0 е. 0<Х<.
1и — 12 V"2
При этих соотношениях из (89) следует: " «X2кХ1 —X
^(^)<i(x0/l^— \ "' 1 <7(х°)е ” “ 1 .
\ п - V
Выберем X, удовлетворяющую неравенствам
0<Х<—, кХ2 — X < 0.
2^2
Рассуждения настоящего пункта приводят тогда к следующему выводу.
Для некоторых абсолютных констант X* и д* (Д * > 0) при Р = —— и - 1
конструкция п. а) - г) из 6.2 обеспечивает оценку _ д *
g(x9) < е ” 1 g(x°).
Напомним, что по построению х.р 6 Р^ С int0A и Лх^ = 0. Полагая Тх = Гхр, получаем в соответствии с определением "g:
_ м * g(Tx) < е ” Vx), Тх 6 int0A, А(Тх ) = 0, чего мы и добивались в п. б) конструкции. Таким образом, доказано, что схема а)—г) обеспечивает построение последовательности хк, удовлетворяющей условиям (80).
Отправляясь от х°, строим х* = Тх1-1, так что при всех i
х1 Е lnt0А, Ах1 = 0 и м*О-Р £(*') < е " * ^(л°).
По определению х° — центр тяжести Д. Итак, д*(*-О
(с, х*) < (с,х°)е П1 гк, п к - ( Пх^п
7 = 1J
где гк = < 1, поскольку П х7- < — при х Е Д,
/ j_Ай/ пп
\п *** п)
Последовательность х°, ..., хк, построенная в соответствии с предъявленной процедурой, удовлетворяет таким образом условиям (80). Следовательно, (а) — (г) представляет собой итеративный алгоритм решения задачи 3^.
Приведем теперь редукцию общей задачи линейного Программирования к задаче до, в которой предполагается выполнение условий (I) и (II).
Как известно, общая задача линейного программирования может быть сведена к системе линейных равенств и неравенств, описывающих ограничения пары двойственных задач. Другими словами, любую задачу линейного программирования можно свести к задаче
( ^1): Лх = 6, х > 0, хе Ек,
где Л = || ац || — т X ^-матрица, b GEm, b = (6]bm).
Будем предполагать, что априори имеется оценка нормы решения задачи 3\. Подходящим масштабированием можно привести задачу к виду, к
когда ее решение удовлетворяем условию S х, < 1.
1
Введем две дополнительных переменных х*+1 и л>+2 и рассмотрим следующие объекты:
- вектор
У G Ек*г: у = (хххк, хк*1, хк+2У,
- точку
0 е Емг уО _ /—!__L_
'\ к + 2 к + 2
- матрицу А порядка m X (^ +2) такую, что
_ к
(Ay), = Е аду, - ЬДух + ...*Ук *Ук*\ ^Ук^г) + 1
(1 *
+ ^^УмМЦ - 77т 2 aw \ К т 2 1
— вектор
с^Е^Ч с ={0, .... 0, 1, 0}т.
к
Решение задачи У^ определяется решением следующей задачи 3 0 типа 3%:
(S%): {тт(еТу) | Ay = 0, (с, у) < 0, у е Д),
где
к*1
1=<уЕЕк^\у>^ 2 ^=1}; (^у)<0^^!<0.
Заметим, что точка yv = I , ..., 1, очевидно, удовлетворяет ус-
\& + 2 к + 2/
ловиям Ау° = 0, у0 Е Д, а задача 3% имеет решение. Таким образом выполняется требование (I) к задаче 3%. При Ук*х < 0 выполняется также требование (II). * '
Если хе = (х*, ..., х*) — решение 3^, для которого Sx* < 1, то*
у* = (х?,..., х£, 0, 1 — 2 хJ) - решение 3d 0.
Первые к компонент любого решения задачи ^0 составляют решение задачи 3°1е Таким образом, задача 9\ сводится к задаче типа 3%. При этом выполняются все предположения, принятые относительно задачи 3%. Как видим, сведение общей задачи линейного программирования к задаче типа З^о связано с существенным увеличением размерности задачи.
Описание шага итеративной процедуры, проведенное в п. 6.2, предназначено скорей для аргументации идеи метода, чем для характеристики вычислительной схемы.
Шаг алгоритма Кармаркара состоит из проективного преобразования, оставляющего неподвижными вершины симплекса Д в Еп и переводящего текущее приближение хк к оптимуму в центр х° = w симплекса Д, сдвига из центра симплекса в направлении преобразованного антиградиента целевой функции на расстояние, равное половине радиуса шара, вписанного
в Д, и возвращения в исходную систему координат.
IADIADПусть D — диагональная матрица с компонентами вектора хк на диагона-
IAD
IAD
, где ет = (1,..., 1). В матричной форме одна
итерация х**1 = ф(хк) определяется следующей последовательностью операций:1
ср = [Z-^(B^F^JDc,
b = х° — аг где г = — радиус шара, вписанного
II св И » V^nQi -J)
в симплекс, а Е (0, 1) (рекомендуется а = ~ для поглощения ошибок округления и повышения устойчивости алгоритма),
3. хк*х
Db
e^Db *
Таким образом, на каждой итерации вектор хк переводится проективным преобразованием, сохраняющим симплекс Д, в его центр. Преобразованный градиент De проектируется на подпространство ADx = 0, етх = 1 (операция 1°). Затем производится сдвиг из центра симплекса в направлении антиградиента целевого функционала () на такое расстояние
\ II св II /
а
- —, чтобы следующее приближение не вышло за пределы
V2л (и - 1)
симплекса Д (операция 2° ). И наконец, построенный таким образом вектор b переводится в исходную систему координат обратным проективным преобразованием (операция 3°). Это и будет очередное приближение х^1.
Метод останавливается при достижении допустимого плана х с таким
(с, х)
значением линейной формы (с, х), что — <2 , где q — заданный
(с, X?)
параметр, определяющий требования к точности решения задачи.
в [47] приведена модификация алгоритма Кармаркара, ориентированная не на традиционные ЭВМ фон-Неймановского типа, а на параллельные или конвейерные ЭВМ - на так называемые систолические вычислители — специализированные вычислители, в которых задачи линейного программи
рования решаются аппаратно. Такой вычислитель имеет 2 и+~ (т +4)(т+1) клеток (простых процессоров), тп ячеек памяти (л - число переменных, т — число ограничений задачи). Время выполнения одной итерации равно 5 т + 2 и + 0(1) тактов. Число итераций не превышает величины порядка
О\п In — L где М - максимум модуля исходных данных, а € - требуемая точность.
Проективный метод
Описанный в предыдущем параграфе метод Кармаркара (в дальнейшем — метод К) указал новые пути повышения эффективности алгоритмов решения задач линейного программирования. В настоящем параграфе излагается предложенная А.С. Немировским модификация метода Кармаркара [36] (в дальнейшем метод N^), делающая очередной шаг в этом направлении. Теоретическая оценка скорости сходимости алгоритма N для общей задачи линейного программирования совпадает с оценкой скорости сходимости метода К для задач, удовлетворяющих дополнительным условиям.
Как мы видели, метод К непосредственно применим к задачам вида:
( ^о): {(<Л *) "^ min Mx = 0уХ Е Д = (х > О, S X/ =1)}
при дополнительных условиях
AdP =Aw = 0, где ^ = w= ~ е^ =-~ (1,1),
L* = О, где L* — оптимальное значение целевого функционала задачи По
другами словами, метод К непосредственно применим лишь к отысканию неотрицательных решений системы линейных неравенств при дополнительном допущении, что система Ах = 0 имеет решение х = ej.
Конечно, к такому виду можно свести произвольную задачу линейного программирования (при наличии верхних оценок норм решений прямой и двойственной задач). Но за это приходится платить существенным увеличением размерности исходной задачи.
В приведенном ниже описании метода N [36] приводится процедура решения задачи ( 3%), не предполагающая выполнения условий (I) и (II).
Подчеркнем, что даже в том случае, когда требования (I) и (II) удовлетворяются, метод N отнюдь не вырождается в метод К.
Легко показать, что увеличивая число переменных лишь на единицу и сохраняя количество ограничений, можно свести произвольную задачу линейного программирования к задаче типа ( 3%). При этом естественно предполагается, что известна априорная оценка сверху нормы решения, ко-
п
торую всегда можно представить в виде S х;- < I. Чтобы свести задачу 1
линейного программирования
(с, х) -► min | Ах = Ь, х > О, S х/ = 1
/ = 1
к виду ( 3%), достаточно дополнить искомый вектор х (и + 1)-й компонентой хл+1, положить сп*х = 0, дополнить матрицу А столбцом из нулей, отвечающим дополнительной переменной хл+1, и вычесть из каждого из элементов /-й строки матрицы условий А соответствующую компоненту bj вектора ограничений Ь.
Изложим идею метода N.
Будем решать задачу ( 3q), не требуя выполнения условий (I) и (II). Обозначим через ® вписанный в Д шар. Его радиус р.
Пусть /(х) = — дробно-линейная функция без особенностей в Д,
Ь(х)
L — линейное многообразие в Еп. Рассмотрим две задачи:
g>U ЬУ /(х) -* min | х Е Д П L,(91)
^(/, LY /(х) -> min |х Е $ О L.(92)
К первой из этих задач сводится (при заданной оценке сверху нормы решения) произвольная задача дробно-линейного (а стало быть, и линейного)
183
программирования. В частности, задача ( 9q) является задачей вида S^LL}. В ней /(х) = (с, х), а линейное многообразие L определяется п
системой линейных уравнений Ах = О, Ex, = 1. Вторая задача имеет более удобную для анализа область определения. Если шар ® пересекается с линейным многообразием L, то решение задачи S6 лежит на границе соответствующего ’’круга”. Если условия задачи У несовместны, то в качестве ее ’’решения” будем *по определению принимать точку Z, ближайшую к центру тяжести w симплекса Д._
Метод N строит по определенным правилам последовательность { ^/} задач вида Ф и соответственно последовательность { У/ } задач вида У. Обозначим через X/ решение задачи У,.
Опишем правила построения задач последовательности {#/), точнее, правила перехода от задачи ^/-i к 9^.
Пусть х,„1 — решение задачи ^/-i, если она совместна, и ближайшая к w - центру тяжести Д — точка Ь^^ если задача несовместна. Если й-i е ®, у Е $ — план задачи У^^, для которого //_j(y) < < //-i(x/_i), то и весь полуинтервал [у, х/„1) состоит из планов задачи &,, на которых значение // -i меньше, чем в точке х/ „1. Стало быть, [у, х^) не пересекается с ®.
Вектор 5 (z - 1) =Х/_! -w определяет полупространство
(^-ws 50-1)) > ^4i- 1)50-D,
в котором находится решение задачи SPt-x — точка, в которой значение / меньше, чем в х^х. Ясно, что это неравенство выполняется при xt_x^ ® уже для всех у Е L^x- При этом 5т0 - 1)5 (z - 1) > р2. Действительно, при xt_t Ед® 5Т (i - 1)5 0 - 1) = р2 (в силу дробнолиней- ности / решение совместной задачи SP t_x достигается на границе ®) и 5т0 - 050 - 0 >Р2 при ®ОЬ(_х = Ф-
Сопоставим вектору 5, определяющему полупространство (у—w, 5) > > 5Т5 > Р2, проективное преобразование, переводящее симплекс Д в себя,
[1-7(081 ]^1
[1 -7(8)0 ]Х„ '
Т4х) =
S [1-7(8)8/]х/ . 1
2 [1-7(8)8/К 1
где
^ " 77^^ = max {0,51, ..., 5и>. 1 + лтг(5)
В результате проективного преобразования т^1”1^ дробнолинейная функция //-1(х) — целевой функционал задач 3t_x и 3<-х преобразовывается в /,(х) — целевой функционал задач 3t и 3tl а линейное многообразие Z/-i преобразовывается в L^. Это соответствует переходу от задач 3t_x и 31_х к задачам S^ и 3^
Обозначим решение задачи 3t через X/ и рассмотрим вектор 8(0® = х# — w, определяющий полупространство (у — w, £ (/)) > $Т(О$(О> в котором лежат допустимые планы задачи 3(, лучшие по значению целевого функционала /(х), чем х,.
Построим функцию
У(х) = П х/.
/ = 1
Оказывается (и на этом основана вычислительная схема и оценка трудоемкости метода TV), что для всякого у Е Д, принадлежащего полупространству (у - w, 8) > gT 8 > р2, имеет место неравенство
^(Г^)) > кй(»,(93)
где к > 1 -Абсолютная константа.
С другой стороны, функция V (х), которую можно рассматривать как функцию Ляпунова рассматриваемого метода, не может беспредельно расти. Ее максимум достигается в центре тяжести w = ^^ > — > “^симплекса Д и равен п” п. На этом и основана идея метода N.
Преобразование т^^”1^ естественным образом — заменой переменных — переводит задачу 3t _х в задачу 3{ аналогичной структуры.
Пусть задача 30 невырождена в том смысле, что множество Lq =
п
= {х | Ах = О, S х/ = 1} пересекается с int Д. Обозначим 1
z* = arg max {К(х) | х Е Lq АД},
так что V(z*) > 0. Обозначим, кроме того, через х* решение задачи 30) и пусть 0 < 6 < 1, a ze = ez* + (1 - е)х* - близкий (при малом е) к оптимальному допустимый план Зо. Задача 31 получается из 30 проективной заменой переменных, сохраняющей симплекс Д. Пусть z€(z) — допустимый план 3^ отвечающий ze, а х^ — план 30> соответствующий плану х/ задачи 3i9 если X/ Е ®, и xt = ♦ при х, 0 S3. Обозначим через х* лучший (по значению стх) среди планов хх, ..., xt (при xz = ♦ полагаем ет(*) = +°°). Будем считать план xf /-м приближенным решением задачи Зо, форми-
руемым процедурой N. Оценим скорость сходимости с^х1 к стх* = с*. Заметим для этого, что если при некоторых к и € имеем
стхК > с'ге,(94)
то при всех 1 < к либо xt £ 98, либо /((xf) > /, (ze (i)). Поскольку ze (О - допустимый план У,, то отсюда следует, что при i < к
^)М) - w) > ГО) ГО > р2 ,'
так что
F(T«<%0)) > к V^zeQ^ > р2.
Но T^ze(i) = ?е0 + 1), и следовательно,
V(ze(k + 1)) > Kk+1V(zey
Поскольку V(z) < F(w) при z е Д, получаем отсюда:
к* + 1к* + 1
к* + 1
к* + 1
или
к <к <1 , V(w) In 1пк K(ze)1 , V(w) In 1пк K(ze)(95)(95)
к <
к <
1 , V(w) In 1пк K(ze)
1 , V(w) In 1пк K(ze)
(95)
(95)
Итак, (94) влечет за собой (95). Откуда следует, что неравенство
^11 V^
к > In
1пк У(ге) влечет за собой стхк < cTze..
Оценка скорости сходимости процедуры N вытекает отсюда (см. ниже теорему^) с помощью простых наблюдений:
V(z€) > enV(z*y cTz€ < се + €CT(z* -х*\
Обсудим подробней метод N. Введем следующие обозначения:
Ех = кхЕЕп t^Xj = О, /
Lo = ( х ЕЕХ | Ах = 0},
fo(x) = (с,ху у0 = l0 п д, у; = Уо U (*}.
Пусть S — группа диагональных матриц порядка и с положительными элементами по диагонали. Приведем в соответствие каждой матрице D Е$ проективное преобразование То^, переводящее симплекс Д в себя:•
TD^ = (e^D^xy^^x.
Нетрудно показать, что
Г
—1 —Т т —
D ~ TD-" !Dx " 1DX D2-
Приведем краткое описание метода N [36]. К ьй итерации (/>1) метод располагает следующими объектами: D(i — 1) Е 3) и x(i — 1) Е Y$. При z = 1 D(O) = la ~ единичная диагональная матрица, 5(0) Е ¥$ - произвольный элемент Yq .
Множества, векторы и функции, используемые в последовательных итерациях процедуры, связаны следующими соотношениями:
Lt_x = ^хЕЕх MP(z- 1)х = 0),
у1_х=ь1_1пд, у;_, = у,-! и {♦},
aT(i — 1)х
Л-1М =: ^-0= DQ-iy,
by - 1)х
b(i — V) = DQ-\^en.
(Проективное преобразование TD^ переводит линейную форму в дробнолинейную.) Продолжим fl-x и TD) РЕЗ)сДнаД*=Ди { ♦), положив Л-1(*) = +°°, rD(«)= ♦. Легко видеть, что
^/~i - t'dg-o^o); y/-i = ^(/„^(Уо), fi-x(TDy_x^ = f0(xY х = Д*.
Опишем вычислительную процедуру /-й итерации метода N. х1
НЛ . Вычисляем ортогональную проекцию u(z) центра тяжести w = — еп п исходного симплекса Д на многообразие Ь^х. Если u(f) ф ЫД, то полагаем:
7(0 = ♦, ^(0 = u(i)-w
и переходим к N. 2°. В противном случае переходим к N. 3°.
N. 2°. Проверяем, пересекается др симплекс Д с гиперплоскостью П(0 = = {х Е Еп | |т(0(х - и (О) = 0}. Если пересечение Д О П(0 = ф, принимаем решение о несовместности задачи #V Если Д П П(Г) Ф ф, переходим к N. 6°.
N. 3°. Вычисляем ортогональные проекции a(i — 1), b Q — 1) векторов a(i — 1), b(i - 1) на подпространство Lt_x - n(z) так, что сужение ^_х функции//„х на 1^_х имеет вид:
Pi-x *aT(i — 1)х
^-i “•
qt-x +6T(z- 1)х
Переходим к N. 4°^
N. 4°. Если //_! постоянная на Lt_ t, то полагаем
^(0= т-^п(НП\у^-и^
(здесь ЭД = { х Е Д | 3 z: X/ = 0 )) и останавливаемся, объявив x(z) точным решением задачи. В противном случае переходим к N. 5°.
N. 5°. Находим точку y(i) минимума дробно-линейной функции ^/_, на пересечении симплекса Д с (не более чем двумерной) аффинной плоскостью Fb натянутой на точки uQ\ a(i- 1), ^ (z - 1).
Выбираем какую-либо точку у (О G Lt_x Л Д такую, что <Д/-1(У(0) < < ^-1(у(0)- (В качестве у (i) можно взять, например, точку y(i) или вершину Д Л L j _ 1, в которой ^; _ j не больше, чем в УО).)
Обозначим q(i) = - 7</>/-1(У(0)- Определим у(0 как ортогональную проекцию u (1) на многообразие (х е Еп I^^COC* - У(0) = 0} и положим 5(0 = u(f) — w. Переходим к N. 6°.
N. 6°. Определим
0(0 = 00-1)0(5(0).
*(0 = ^(/-оСУСО).
а,..( *0- О. если /о(х(О) > fo(*V - 1)),
x(z) = । _ к х(0 в противном случае.
На этом Ля итерация заканчивается.
Для характеристики и оценки метода N введем для £ е Еп, £ Ф О, следующие функции:
^(0 = max (0,^,..., Sn),
III Ihи
^ = ^;^ = ”ll$ll2; ^ =77;
irtt)l^nir^)
0(5) = diagO-^z)-*; e
Q(5) = 0(5)min{a(5), 0(1))In-.
Положим
Уо Л intA * ф,
У(х) = П х/э x e Д, i
z* = argmax (У(х) |x € Уо), i
6. = nVn(z*\
S(i)= ZQ^(O\ i
e(0 = 9;1expL~S(0L(96)
I n )
Свойства метода N, используемые для решения задачи ^0> устанавливаются следующими утверждениями [36].
Теорема Ni. Если метод N, примененный к задаче 3^, остановился на некоторой итерации по правилу N. 2°, то задача несовместна, а в случае остановки на итерации i по правилу N. 4° вектор x(z) является точным решением задачи.
Теорема N2. Пусть Уо О int Д Ф ф. Тогда для всех /, для которых метод N не остановился на первых г шагах, выполняются следующие 188
соотношения
5(0 > ( S II $(/) |g и К/) п - ) ^ > iln^,
*(97)
€(Г) < 1 =* 5(0 e Уо, (ст, х(0) < L* + е(0«^т» z*)~L*), где L* - оптимальное значение целевого функционала задачи ^0-
Сравним полученные оценки с полученными в § 6 оценками эффективности решения по методу Кармаркара (методу К) задачи 3%, удовлетворяющей дополнительным требованиям:
Ах° = Aw = 0,
L* = 0.
Для задачи 3%, удовлетворяющей условию (I), 0е = 1, a z* = w. В этом случае из (96) и (97) следует, что для всех i имеем
(ст,х(0) < £*+ехр{- — In— > ((c,w)-Ze). I и 2 J
Этот результат совпадает с теоретической оценкой скорости сходимости метода К (см. п. 6.3 § 6), где (ст, w) = (с,х°), rk < 1 и в силу условия (II) L* = 0.
Таким образом, оценка скорости сходимости метода N при решении* задачи 3%, не обязательно удовлетворяющей условию (II), оказывается такой же, как и оценка скорости сходимости метода К при решении задач типа ^о, Для которых выполняется требование (II).
В работе [36] сообщается о сравнительном тестировании методов К и N. Из приведенных расчетов вытекает следующий вывод. Несмотря на то что область непосредственной применимости метода N шире, чем у метода К, эффективность метода N во всяком случае не ниже эффективности метода К.
Для сравнения методов N и К в ситуациях, в которых они оба применимы (для задач типа 3^0, удовлетворяющих условиям (I) и (II)), целесообразно записать соответствующие вычислительные процедуры в одних и тех же понятиях и терминах.
Итерацию метода К (см. § 6 п. 6.5) можно переписать в понятиях, введенных для изложения метода N, в следующем виде:
^(0 = *(0 = ^оа-пОЧО),
D(f) = D(i — l)diag(«7(0),
«У(0 = «п +7,6(0-_
Здесь предполагается, что х(0) = w, D(0) = Z^, $ (0 — ортогональная проекция вектора (-D(i- 1)с) на подпространство <х GEn |Л0(/ - 1)х = 0, (е т, х) = 0}, 7/ - константа, принадлежащая отрезку [0,1 /я(- $ (0)1 •
_ Vn
В базовой версии метода К 7f = .
2V^T 115(0112
Глава УШ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В ПОРЯДКОВЫХ ШКАЛАХ
Введение
Принципиальные трудности в принятии решений возникают, как только начинают появляться факторы неопределенности в постановке задачи, а без них не обходится ни одна сколь-нибудь серьезная практическая проблема выбора решений. Неопределенность может быть связана с неполнотой информации об условиях задачи — об обстоятельствах, в которых следует принять решение. В таких ситуациях способы уточнения постановки задачи изучаются в стохастическом программировании. Неопределенность может также вызываться отсутствием в исходной постановке задачи информации о том, как примирить различные цели, к которым стремятся в многокритериальных задачах, как установить ’’компромисс” между интересами различных'участников групповых решений, как определить понятие ’’справедливость” при разрешении той или иной конфликтной/ ситуации. В таких случаях уточнение постановки задачи требует дополнительной информации, полученной от экспертов, от арбитров, в результате моделирования или соглашения, основанного на так или иначе организованных переговорах. Далеко не всегда могут быть указаны объективные обстоятельства, позволяющие однозначно уточнить постановку задачи. Нередко основным источником дополнительной информации является лицо, принимающее решение (ЛПР), субъективные предпочтения которого (основанные на его опыте, знаниях и идеологических установках) оказываются единственным способом уточнения постановки задачи. В других случаях необходимая информация уточняется в процессе переговоров представительной группы лиц, обладающих различными шкалами ценности.
Многолетний человеческий опыт выбора решений, обобщенный в различных прикладных дисциплинах, далеко не всегда связывается, да и не всегда даже в принципе может связываться, с указанием (хотя бы неформальным) четкой и для всех приемлемой цели выбора. Решения принимают люди, и для них часто последовательное предпочтение одного из сравниваемых вариантов другому — более естественный и более доступный путь выбора решения, чем согласование интересов — построение агрегированной цели и приближение к ней. При этом допустимое множество альтернатив может ограничиваться некоторыми условиями предпочтения выбираемых вариантов определенным, заранее заданным альтернативам, характеризующим потенциальные возможности выбора. Так выявление платежеспособного спроса - набора продуктов, подлежащих производству
и удовлетворяющих спрос населения, основывается на результатах наблюдений за предпочтениями потребителей, а планирование производства должно учитывать предпочтения отраслей промышленности, определяющих множество допустимых (по ресурсам и технологии) планов.
Задачи подобного типа укладываются в схемы так называемого математического программирования в порядковых шкалах (МППШ). В § 2 обсуждются постановки задач МППШ. В § 3 излагаются методы решения выпуклых задач МППШ, в которых бинарные отношения рефлексивны, транзитивны и полны. Вычислительные методы существенно упрощаются для задач линейного программирования в порядковых шкалах. Такие задачи рассматриваются в § 4. § 5 посвящен более сложным выпуклым задачам МППШ, в которых бинарные отношения, определяющие модель, вообще говоря, произвольны.
Напомним определения некоторых понятий, используемых в настоящей главе.
Бинарное отношение R называется предпочтением (нестрогим) если оно рефлексивно, транзитивно и полно.
Отношение R называется полунепрерывным сверху (снизу), если верхний срез GR(x) = {у G G\yRx^ (соответственно нижний срез HR^ = = { у G G |хЯу}) замкнут в G Чх Е G. Отношение R называется непрерывным на G, если оно одновременно полунепрерывно сверх и снизу, или, что то же самое, если множество {(х, у) |хЯу} замкнуто в G X G.
Во всей главе предполагается, что G - замкнутое подмножество Еп. В §§ 2—3 рассматривается оптимизация (в смысле доминирования) по предпочтению R. Пусть X^G. Элемент х Е X называется наиболее (наименее) предпочтительным в X в смысле предпочтения R» если xRy(yRx) Vy е X.
В [21] доказано следующее утверждение.
Если отношение предпочтения R непрерывно и множество X компактно, то X содержит по крайней мере один наиболее (наименее) предпочтительный элемент. Множество всех наиболее (наименее) предпочтительных элементов замкнуто.
В § 5 рассматриваются задачи математического программирования в порядковых шкалах при произвольных отношениях R. В таких задачах оптимум по R может не существовать (т.е. такого элемента х Е X» что xRy Vу Е X может не оказаться). В этом случае под оптимизацией по бинарному отношению R будем понимать вычисление максимального элемента для какого-либо из значений к = 1 -г4 (см. гл. V, а также [71]). Оптимизация по бинарному отношению в более широком смысле — так называемая (R, С)-оптимизация - рассматривается в п. 5.4.
Напомним, что точка х Е X называется к-максимальным элементом по отношению R» если SR(x) является максимальным по включению элементом семейства{SR(х),хЕХ^к=1Л4.
Здесь множестваSR(x^ определяются через множества элементовН^(х) (строго подчиненных х по A), ER(x) (эквивалентных х по R) и NR(x) (несравнимых с х по R) по следующим формулам:
$£(*) = Н№ и Er to и NRto>
^М = H»to U Nr to.
s№= Я°(х) U ER(x\
Sto= Н»(хУ
Множества Sr (х), к = 14-4 порождают четыре множества
®^ = (z Е GIS^Qc) С S^(z)}, к = 14-4.
Здесь символ С означает строгое включение. Поэтому х £ ®r^. Заметим, что расширению могут подлежать не только понятие максимизации по бинарному отношению Ro, но и ограничения по бинарным отношениям Rp Вместо ограничения xRjU, выделяющего множество допустимых решений, можно рассматривать ограничения типа (х G ЛГ|5^(х) D S^GO), для одного из к = 14-4. Выбор типа оптимизации и ограничений определяется содержательными особенностями задачи.
Напомним еще некоторые определения, которые понадобятся в дальнейшем.
Полное отношение R на выпуклом множестве G называется вогнутым, если выполяется одно из следующих эквивалентных условий:
множества GR(x) точек у, предпочтительных х по R, выпуклы Vx € G,
(0) множества (7^ (х) точек у, строго предпочтительных х по R, выпуклы V.x € G,
(у) из xRy для х, у е G следует
{Хх + (1 -X)y)Ry, 0 < X < I,
4x,y,z из z €[х, у] следует zRx или zRy.
Если R — произвольное бинарное отношение, то множества Sr (х) и порождаемые ими JB* (х), к = 1 4- 4, индуцируют 4 типа вогнутости бинарных отношений. Бинарное отношение/? на выпуклом множестве GQE^ называется к-вогнутым, если G\ S^^) иД?£(х) выпуклы. Выпуклость ^(х) требуются из-за того, что в дальнейшем не предполагается транзитивность и вогнутость (в традиционном смысле) бинарного отношения/?.
Введенное ранее определение вогнутости для полного отношения tR удовлетворяет определению 2-вогнутого отношения. Различные типы вогнутости бинарных отношений соответствуют разным типам максимальных (оптимальных) по/? элементов.
Полное, непрерывное, вогнутое отношение называется регулярным, если при непустом Gr (х) (множестве точек строго предпочтительных х) точки, эквивалентные х, должны быть граничными для верхнего среза Gr (х) , а не внутренними. Другими словами, отношение R регулярно, если множество точек, эквивалентныхх, имеет пустую внутренность Vx Е G.
Постановка и подходы к решению задачи математического программирования в порядковых шкалах
Приведем формальное определение задачи математического программирования в порядковых шкалах (МППШ).
Пусть G — некоторое фиксированное компактное множество в En,Rj, j = 0, 1, ..., m, - рефлексивные, транзитивные и полные бинарные отно- 192
шения на некотором шаре, содержащем G ; Ro — предпочтение лица, принимающего решение; RjJ = 1m, могут интерпретироваться как предпочтения лиц, принимающих участие в выборе решения, ограничивая каждый по-своему множество допустимых планов. Некоторые из отношений Rj могут определяться обычными функциональными неравенствами, ограничивающими диапазон изменения различных компонент решения. Будем считать, что Rj, j = 1, ..., т, непрерывны, а множество G имеет непустую внутренность.
Обозначим через Uj,j- 1, ..., т, заданные априори точки G и будем считать, что х Е G допустимо по /-му ограничению, если xRjUj. Соответственно назовем точку х Е G допустимым решением, если xRuj, 1 </ < т,
Задача математического программирования в порядковых шкалах (МППШ) представляет собой задачу выбора наилучшего решения (в смысле отношения Яо) среди допустимых решений. В ней требуется найти вектор х* такой, что
x*Rox \xRjtij, 1 < j < т, x*RjUj, 1 < / < т; х, х* Е G. (1)
Пусть G -т-множество допустимых точек:'
G = (х Е G\xRjUj, 1 < / < m}.
Если G * ф, то множество G* решений задачи (1) непусто. Выберем некоторую метрику || • || в Еп и обозначим через р ц. ц (х) расстояние (в метрике Н-П) от точки х до множества решений задачи (1).
Приближенное (погрешности не более е) решение задачи (1) по определению есть любая точка х Е G, не худшая (в смысле Ro) наихудшей точки х * 11 множества G *. Здесь G * = {х Е G | р ц. ц (х) < е } — окрестность множества точных решений G* в G.
Назовем задачу (1) a-регулярной, если | G | > ап | G | ( | Л | лебегов и-мерный объем Л). Будем называть задачу регулярной, если она «-регу
лярна при некотором а > 0, т.е. если G имеет непустую внутренность. Дальше будем считать, что а = ( | G | / | G | )1^л.
Наша цель - предложить диалоговый метод решения задач МППШ. Требуется привести процедуру, позволяющую по последовательно предъявляемым альтернативам и получаемой локальной информации о предпочтениях Rj установить за возможно меньшее число шагов е-приближенное решение каждой предъявленной задачи (1) фиксированного класса. Из работ по традиционному математическому программированию (см. [35, 66]) известно, что для достаточно широких классов нелинейных задач не существует методов приближенного решения, трудоемкость которых приемлемым образом растет с ростом размерности задачи. Для дискретных экстремальных задач существование таких методов весьма проблематично (см., например, [68]). Этот вывод естественно переносится и на задачи МППШ.
В связи с этим будем в дальнейшем рассматривать только задачи более узкого, но важного для приложений класса - задачи выпуклого программирования в порядковых шкалах.
13. Д.Б. Юдин193
Задача (1) называется выпуклой задачей МППШ, если G С Еп - выпуклый компакт, int G Ф ф, а отношения предпочтения Rj , 0 < ] < т, — вогнуты, непрерывны и регулярны.
Если х £ G*, х Е G, то выпуклое множество Gro (х) = {у Е G | уЛох) в силу регулярности Ro имеет х своей граничной точкой, а его внутренность непуста, Аналогично, если для некоторого х Е G не выполнено условие xRjUj , то х - граничная точка выпуклого множества Gr.^ = = { у Е G | yRjx), внутренность которого непуста. В силу непрерывности предпочтений Rj все множества Gr. (х), / = О, 1, ..., т, замкнуты. Таким образом, наши предположения о бинарных отношениях гарантируют существование функционала ^0W * 0 такого, что G^o(x) С С { У I О' — х» ф0 (*)) < 0 } (при х Е G \ G*), и функционалов фj (х) Ф О (при / > 1, xRjUj) таких, что Gr.(х) С {у| (у — х, ^/(х)) СО}. Функционалы <Poto и ф)^ принадлежат соответственно множествам Ф0(х) и Ф/(х) опорных направлений к множествам G^o(x) и Gr. (х) в точке х.
Направления, определяемые функционалами ^/(х), / = 0, 1, ..., т, совпадают с направлениями градиента (а в негладком случае — с направлениями опорных функционалов) выпуклых индикаторов, если таковые имеются среди индикаторов, отвечающих заданным отношениям предпочтения Rj. Это направления роста предпочтений.
Диалоговые методы решения задачи выпуклого программирования в порядковых шкалах различаются по возможностям источника информации, который считается доступным для них. Мы будем рассматривать два типа таких источников - оракулы нулевого и первого порядка. Оба они в состоянии по (любой) предъявленной паре альтернатив х, у Е G сказать, как эти альтернативы соотносятся друг с другом по каждому из предпочтений Rj, j. > 0, т.е. для каждого / > О указать, какой их трех мыслимых случаев: xPjy, yPjX, xljy, имеет место. Оракул первого порядка, кроме этого, может сообщить для всех / опорные функционалы фj (х) к соответствующим предпочтениям в предъявленной ему точке х Е G. (Если эти опорные функционалы не определены для данных х, /. - это возможно лишь тогда, когда х не есть граничная точка множества Gr^x^, т.е. х — наилучшая в смысле Rj точка G, - то в качестве фj (х) сообщается произвольный ненулевой функционал.)
Ниже будут построены методы, использующие как оракул первого, так и оракул нулевого порядка. Предложенные методы допускают явную оценку скорости сходимости, притом довольно высокую — как у геометрической прогрессии со знаменателем, зависящим лишь от размерности пространства. Этот факт заслуживает специального обсуждения. Дело в том, что с практической точки зрения одна только сходимость любого численного метода еще ничего не значит, - для практики важна ее скорость. Применительно к оптимизации предпочтений этот вопрос связан со специфической проблемой разумного измерения погрешности. В задачах оптимизации — 194
будь то оптимизация предпочтений или функций - имеется два основных способа измерения погрешности приближений: отклонение приближенного решения х от множества точных решений G* (в какой-нибудь метрике G) и отклонение показателей, которые мы оптимизируем, в точке х от их оптимальных значений.
Первый способ кажется вполне универсальным. Известно, однако, что эффективное в этом смысле приближение точного решения даже в задачах минимизации выпуклых функций требует наложения на функцию дополнительного условия типа строгой выпуклости. Лишь после этого удается построить методы минимизации с явно выписываемой оценкой погрешности. Таким образом, оптимизируя предпочтение и интересуясь сходимостью приближений к множеству точных решений по метрике О, мы должны были бы, желая получить конструктивные результаты, а не просто теорему сходимости, наложить на предпочтение дополнительные к выпуклости условия (типа существования строго выпуклого индикатора). Это - неестественный путь, так как указанное свойство трудно интерпретировать в терминах самого предпочтения. Такое требование представляется искусственным.
Втордй способ — анализ отклонений показателей от их оптимальных значений - для предпочтений вовсе не годится. Само предпочтение различает альтернативы слишком грубо (’’лучше - хуже”, но не ’’немного лучше — заметно лучше”), и для выбора оптимального плана надо было бы сравнивать значения какого-нибудь индикатора данного предпочтения. Но последнее бессмысленно, так как индикатор не определен однозначно. Выбрав подходящий индикатор, мы можем для самого примитивного метода обеспечить как угодно быструю сходимость по значениям этого индикатора. Соображения такого рода привели автора [92] к выводу о том, что при оптимизации предпочтений можно говорить лишь о сходимости, а вопрос о ее скорости нельзя поставить разумно. Если бы этот вывод был правилен, то вообще нельзя было бы говорить всерьез о численных методах оптимизации предпочтений. Однако в действительности дело обстоит вполне благополучно. Представляется, что данное выше определение приближения погрешности е весьма удовлетворительно решает проблему измерения погрешности. Действительно, при малом € допустимый план, отстоящий не более чем на е от множества точных решений, должен быть хорошим приближением к оптимальному плану (как бы мы ни понимали слово ’’хороший”). В частности, таким хорошим приближением должна быть точка х € (пока что мы рассуждаем в духе первого способа измерения погрешности). Но ведь на самом деле нас интересуют лишь свойства альтернатив, выражаемые в терминах заданных предпочтений. Поэтому любая допустимая точка G, которая в смысле предпочтения Ro не хуже х€ , будет по крайней мере столь же хорошим приближением к оптимуму, как и само х^ 11. Таким образом, приведенное понятие е-приближенно- го решения вполне разумно с содержательной точки зрения (и не использует никаких произвольно выбираемых индикаторов). В то же время, как было сказано, отыскание е-приближенных в этом смысле решений можно провести конструктивно, с явной оценкой числа шагов.
19519513е
195
195
Субоптимальные по числу обращений к источнику информации методы решения задач выпуклого программирования в порядковых шкалах представляют собой естественное обобщение метода центров тяжести (МЦТ) и модифицированного метода центров тяжести (ММЦТ, или, как его теперь называют, метода эллипсоидов), первоначально разработанных применительно к задачам традиционного выпуклого программирования (см. [35]).
Методы решения задач выпуклого программирования
в порядковых шкалах
Опишем теперь методы решения задачи выпуклого программирования в порядковых шкалах, использующие оракул первого порядка. Как и соответствующие методы оптимизации, они будут называться МЦТ и ММЦТ. Методы работают по шагам, к /-му из которых (/ > 1) имеются: выпуклый компакт Gt_xС Еп такой, что int Gt_x * Ф- При этом мы предполагаем, что int G # ф; это не ограничивает общности рассуждений. Для МЦТ Go = G; для ММЦТ Go - какой-нибудь эллипсоид, содержащий G, и все Gt_x - также эллипсоиды. На /-м шаге последовательно проводятся следующие действия.
1°. Находится х, - центр тяжести Gj-x- Проверяется, справедливо ли включение xt Е G (из последующего станет ясно, что для МЦТ х{ Е G при всех /, так что указанное включение выполнено автоматически; не выполняться оно может лишь для ММЦТ). Если xt Е G, то переходим к п. 2°, иначе — к п. 3°.
2°. Предлагается оракулу сравнить альтернативу xt с альтернативой Uj,
1 < / < т. Если при некотором / Е 1, т условие xtRjUj не выполнено, то установим т?/ = ^/(х;) и перейдем к п. 5°. Если при всех / Е 1, т имеем xtRjUj (точку х/ назовем в этом случае допустимой), то переходим к п. 4°.
3°. Обращение к п. 3° происходит в случае xt ^ G. В этом случае можно указать ненулевой линейный функционал T)t, разделяющий X/ и выпуклый компакт^: GC^y | (у — xi9 т?/) < 0}. Кроме того, как отмечалось выше, обращение к п. 3° возможно лишь для ММЦТ. В этом случае G^_x - эллипсоид. Определяем G^ как эллипсоид минимального объема, содержащий ’’полуэллипсоид” {у Е Gj-x I (У — xt> ty) < 0}. Шаг окончен. Увеличиваем i на единицу и переходим к п. 1°. (По поводу алгоритмической реализации правила п. 3° и метода ММЦТ в целом см. гл. VII § 1.)
4°. Обратившись к оракулу, находим т?/ = ф0(х<) • Переходим к п. 5°.
5°. Определяем G^ как:
множество { xEGt_x I (х - хь ty) < 0} для МЦТ,
эллипсоид наименьшего объема, содержащий ’’полуэллипсоид”, {xGGH | (х-х/,П/)<0}для ММЦТ.
Шаг закончен. Увеличиваем / на единицу и переходим к п. 1°.
В параллель с построением областей G^ будем еще строить точки х* — наилучшие (в смысле Ro) среди допустимых точек Xj, ] < /, построенных 196
на первых i шагах. Отметим, что построение X1, ..., X* требует O(i) обращений к оракулу.
Следующая теорема устанавливает скорость сходимости полученных методов.
Теорема 1. При решении задачи выпуклого программирования в порядковых шкалах методами МЦТ и ММЦТ для всякого е > 0 условие
х Roxe выполняется:.
при применении МЦТ - для всех i > сп In (dy . ц (G)/ea ),
при применении ММЦТ - для всех i>cn2 In (0dy . у (G)/ea ).
Здесь с - абсолютная константа, d^. ц (G) - диаметр G в метрике || • ||, 0 = = (Юо I/IGI)1/".
Доказательство теоремы пЪлучается из рассуждений ( [35] гл. 2), относящихся к случаю обычных выпуклых экстремальных задач, внесением очевидных изменений. Здесь ограничимся случаем безусловных задач (т = 0), в котором идея конструкции проявляется наиболее выпукло.
Прежде всего, справедливы неравенства для объемов: | С<*х | <qn | G/1, где ^ = 1 - 1/е для МЦТ и л /п - 1 х1/2”
? = )
У^Л” + 1/
для ММЦТ. Это чисто геометрические факты (не зависящие от того, что именно - предпочтение или функция - оптимизируется). Отсюда следует, что | Gj | < qnl | GoI. Пусть теперь 0 < 6< 1 и таково, что
|G,-|<0”|G|( = ^|G| при т = 0).(2)
Отметим, что 0Jy. й (G) окрестность G^ множества G* в G (которое при т = 0 есть просто G) имеет объем, не меньший 0”|G| (= 0”|G|): эта
окрестность содержит множество вида,. 6G + (1 - 0)х* (хе 6 GJ, имеюсь)
щее нужный объем. (При т > 0 аналогичная оценка объема G, была бы — п(6)
(Оа ) | G |.) В условиях (2) С/ не может содержать G* . Стало быть, ■(в)
для некоторого х Е G* имеем х ^ G/. Из правил формирования G, следует, что xsRox для х Е (G,-! \ G,) A G (для т > 0 аналогичное соотношение выполнялось бы для всякого допустимого х Е (Gj-j \ G,) П G);
поэтому x*R^x. Так как х лежит в 6d^. у (G) -окрестности Ge в G, то
II-IIх Rox edII-IIх Rox edИтак, х^охИтак, х^ох4 • IIМц.ц«?)4 • IIМц.ц«?)при выполнении (2). Отсюда и из нерапри выполнении (2). Отсюда и из нера
II-II
х Rox ed
II-II
х Rox ed
Итак, х^ох
Итак, х^ох
4 • II
Мц.ц«?)
4 • II
Мц.ц«?)
при выполнении (2). Отсюда и из нера
при выполнении (2). Отсюда и из нера
венства для объемов G, следуют утверждения теоремы.
При отсутствии достаточных содержательных (теоретических, экспериментальных или интуитивных) оснований для построения опорных функ-
ци о нал о в ф! (х) в точках х Е G приходится ориентироваться на оракула нулевого порядка, способного лишь сравнивать альтернативы по имеющимся предпочтениям. В этом случае мы все еще сможем предложить метод с геометрической скоростью сходимости, однако эта скорость будет значительно хуже вести себя при увеличении размерности задачи, чем в случае оракула первого порядка. Описываемый ниже метод является непосредственным обобщением метода решения выпуклых условно-экстремальных задач при оракуле нулевого порядка (см. [35] гл. IX). Изложим конструкцию в геометрических терминах; алгоритмическое описание строится по геометрическому так же, как ив [35].
Будем считать, что int G Ф ф. Пусть Go - эллипсоид, содержащий G и 0 = ( I Go | / | G |)1/”. Пусть хх - центр Go и О о - система координат, в которой Go - шар с центром в 0. Описываемый метод работает по шагам, к f-му из которых имеются: эллипсоид G^x, являющийся шаром радиуса г/ с центром 0 в координатах 0<_х • Элемент объема в координатах 0<_х - тот же, что и в координатах О о- Пусть х, - центр эллипсоида G(-x (в исходных координатах, в которых описана задача).
Все построения /-го шага описываются в евклидовой структуре этого шага, в которой О t-х — декартова система координат.
На /-м шаге проводятся следующие операции.
1°. Если шар Uj радиуса Г;/(100м) с центром в xt не лежит целиком в G, то находим xt Е Ut \ G и строим гиперплоскость П/, разделяющую х< и G. Обозначим через П/ полупространство с границей П/, содержащее G, и рассмотрим множество ^ ={ П/ П G<_x} (в евклидовой структуре /-го шага это множество - шар без сферической ’’шапочки”). Выбираем в качестве (7/ эллипсоид наименьшего объема, содержащий Wt, а в качестве О^ — систему координат, в которой G< - шар с центром в 0, притом такую, что элемент объема в координатах О^ — тот же, что и в координатах О(-х • Шаг закончен.
2.°. Пусть теперь Ui С G. Впишем в Uj правильный симплекс Д. Пусть
0, X/ - допустимая точка,
/(О =
] Е 1, т такое, что UjRjXi, если xt недопустима.
Отметим, что для вычисления /(/) достаточно один раз обратиться к оракулу (мы считаем, что однократное обращение к нему доставляет результат сравнения предъявленной точки с точками их, ..., ит по предпочтениям RX1..., Rm соответственно).
Пусть для краткости R, (/) = R. Найдем худшую (везде далее ’’лучший” и ’’худший”, если не оговорено противное, относятся к предпочтению R) среди вершин Д; обозначим ее уi. Далее, говоря о выборе худшей точки (из конечного их множества), мы имеем в виду, что для осуществления выбора следует должное число раз обратиться к оракулу. Введем следующую терминологию. Правильной пирамидой Д(у) с вершиной у £xt будем называть симплекс, у которого: '
одна из вершин — у; противолежащее основание — правильный (и — 1)-мерный симплекс; боковые ребра, исходящие из у» равны по длине и ортогональны радиус-векторам своих (отличных от у^ концов;
у — xt коллинеарно высоте Д (У);
угол между высотой и боковыми гранями Д(у) равен фп = агссоа(1/2и), т.е. грани касаются кругового конуса с осью у — xt) вершиной у и раствором угла 2 фп.
Построим правильную пирамиду Дх = Д(У1) с вершиной ух. Если ух не является худшей из вершин Д i, то обозначим через у^ худшук) из этих вершин, построим правильную пирамиду Д2 = ДОъ) и посмотрим, является ли у2 худшей из ее вершин. Если нет, то обозначим через у3 худшую из вершин Д2, построим Д3 = Д (у3) и т.д. Чуть позже мы увидим, что описываемый процесс через конечное число шагов оборвется построением очередной правильной пирамиды Д^ = Д(у&)> У которой ук окажется худшей вершиной. Пусть теперь Kt - круговой конус с осью (х;,.у^),.вершиной^ и раствором угла 2фп\ тогда
KtC (х ЕЕ” | 3X,z: x-yk = -Mz-ykY Х>0, ze^ .(3)
Пусть Gj - эллипсоид наименьшего объема, описанный вокруг Gj_x\Kt. Обозначим через О{ систему координат с тем же, что и О0, элементом объема, в которой Gt — шар с центром в 0. Шаг закончен.
Параллельно построению точек xt будем строить точки х1 - лучшие (по предпочтениюRq) среди точек (х/; KiJ(0=0).
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 2. В сделанных выше предположениях о решаемой задаче математического программирования в порядковых шкалах (вогнутость и регулярность) для описанного метода при всяком € > 0 условие х/Л0^^И выполняются для всех i > CjM21п(0^ц.ц (G)/ea), ^^ как выполнение шага требует не более с2и51пи обращений к оракулу нулевого порядка.
Здесь Ci и с2 — абсолютные константы.
Доказательство. 1. Убедимся, что множество*) Gt=lxE 6 G IxEqX*} при х1 Е G* содержится в Gt. Для доказательства проведем индукцию по L Для i = 0 утверждение тривиально ввиду Go D G. Пусть оно верно для i = s — 1; докажем, что оно верно и для i = s. Прежде всего, если на шаге s реализовался случай 1°, то доказывать нечего — в этом случае Gs О G = Gs_x A G. Пусть теперь на шаге s не реализовался случай 1°, так что применялись правила п. 2°. Используем обозначения из их описания. Так как предпочтение R вогнуто и ух — худшая из вершин Д, то
xRyx при всех х Е Д.(4)
Далее, пусть построение правильных пирамид Д>,... не кончилось к моменту Z, т.е. определены пирамиды Д1,..., Д/. По построению yxPyi> УгРуз Л • • , У1 -1 Pyi • Кроме того, в метрике, в которой координаты Os_ i — евклидовы, по свойствам В - 3) правильной пирамиды) l^r+т - xsl ^
< sin^nlj'r - xj, т.е. |yz - xj < (sin^)' 11 Ji - xj. В то же время угРуь что в силу (4) означает, что yt t А. Последнее невозможно при (sin^)*”1 < — (так как (ljnf\yx -х»1 - радиус шара, вписанного в А).
и
Итак, (sin^n) > —> откуда следует, что процесс построения пирамид п *
А/ действительно оборвется за конечное время, причем это время может быть явно оценено. Эта оценка приводит к требуемой в теореме оценке числа обращений к оракулу на одном шаге работы метода.
Пусть теперь к - номер последней пирамиды, построенной на рассматриваемом шаге. Как мы видели,
УхКУк- (5)
Кроме того, ук — наихудшая из вершин Д^. В силу вогнутости и регулярности отношения R отсюда сразу следует, что в конусе, симметричном относительно ук конусу направлений из ук в А, все точки (лежащие, разумеется, в G) не лучше ук. Указанный конус содержит Ks. Принимая во внимание еще и (5), получаем
xsRx при х ЕKs A G (6)
или, учитывая определение Gs,
xsRx при xG(G,\G,_i)nG. (7)
Отсюда следует, что при / ($) > 0 точки (Gs\Ge_x) n G не являются допустимыми для решаемой задачи вместе с точкой х$. Стало быть, из Gs С G и Gs С Gs~x следует Gs С Gs, что и требуется. Пусть теперь j(s) = 0. Из наших рассуждений следует на самом деле чуть более сильное, чем (7), соотношение:
ухРх, x^(Gs\Gs_x)^G. (8) В рассматриваемом случае R = Ro. Если теперь xsPoyi (а не просто xs Royi), то xsPqx при х Е (Gs\Gs_x) A G, и, как и выше, Gs С Gs. Убедимся теперь, что соотношение xsP0^i действительно имеет место. В самом деле, иначе внутренняя точка множества А (именно, х$) была бы по Ro эквивалентна худшей (в смысле Ro) точке этого множества. ^ силу регулярности Ro последнее возможно лишь в случае, когда xs Е G - лучшая в смысле Ro точка G, что по исходному предположению не так. Итак, включение Gs CGS прих$ ф G* доказано.
Как и в [35], имеем |GS | <#л |Gs_j I, где q = q(n) = 1 - dn!n2, причем величины dn отделены от нуля. Пусть теперь 9 Е (0, 1) и / таково, что
|G,|<e”|G|. . (9) Тогда Gj не может содержать 0^ц.ц (G)-окрестности G^ G* в G (в частности, Gt *G их* определено); стало быть, найдетсях Е G*\Gj. По доказанному либо при данном i точка х* допустима и оптимальна в G в смысле Ro, либо Gl С G^ так что х ^ G^ Так как х Е G<e), то ЯЛ0^д J (Гх •
Вместе с тем х Е GXG1, так что х* Rox. Итак, при выполнении (9) имеем во всех случаях: х1 определено и x^o^^jl • Кроме того, из сказанного выше об объемах { Gt} следует, что (9) выполнено для всех?, удовлетворяющих оценке / > сп11п(0/а 0) (с — подходящая абсолютная константа). Отсюда немедленно следует требуемая теоремой оценка погрешности. ‘
Отметим в заключение следующее. Пусть а Е (0, 1] и G — выпуклый компакт в Еп с непустой внутренностью. Оказывается, что на семействе всех a-регулярных выпуклых задач математического программирования в порядковых шкалах на данном G метод МЦТ в асимптотике по 6 -► 0 улучшается по трудоемкости (т.е. по числу обращений к оракулу, при котором гарантируется решение любой задачи указанного семейства с погрешностью е) не более, чем в абсолютную константу раз (какие бы мыслимые использующие тот же оракул детерминированные методы не рассматривались в качестве конкурирующих). Аналогичные утверждения верны и для ММЦТ (и версии последнего метода, ориентированной на оракул нулевого порядка), но с заменой абсолютной константы на подходящий полином от п. Таким образом, предъявленные методы теоретически являются существенно неулучшаемыми по трудоемкости (по крайней мере, в асимптотике по погрешности).
Линейное программирование в порядковых шкалах
Изложим, следуя [59], предложенный в этой статье важный частный случай модели МППШ - модель линейного программирования в порядковых шкалах (ЛППШ). В ЛППШ существенно упрощаются проблемы, связанные с информационным наполнением моделей и вычислительными методами. Будем по-прежнему рассматривать рефлексивные, транзитивные и полные бинарные отношения.
Напомним некоторые определения.
Бинарное отношение R называется нетривиальным, если существуют х, у Е G такие, что хРу; монотонным, если из х > у следует, что xRy, а из х >у =*хРу; непрерывным, если множества Gr (х) = { у Е G\yRx } и Hr (х)’ = { у Е G\xRy } замкнуты в G для всех х Е G. Кроме того, будем называть бинарное отношение R регулярным сверху (снизу), если для х, у, z Е G, х Ф у из условий xIRy и z = Хх + (1 - Х)у, X Е (0, 1), следует, что xRz (zRx). Бинарное отношение регулярное сверху и снизу будем называть регулярным. Для непрерывных нестрогих предпочтений регулярность сверху (снизу) означает, что int {^l^/^x} = ф, если х не является наилучшей (наихудшей) по предпочтению R точкой множества G. Другими словами, предпочтение R регулярно сверху (снизу), если из хРу следует, что для любой точки z Е (х, у) гРу (xPz).
Назовем бинарное отношение R вогнутым, если Gr (х) - выпуклые множетсва для всех х Е G, и выпуклым, если множества Hr (х) - выпуклы при всех х Е G. Эквивалентное определение вогнутого отношения: из xRy для х, у Е G следует, что (Хх + (1 - X)y)Ry для всех ХЕ [0, 1], т.е. выпуклая комбинация х и у не хуже худшей из х и у. Эквивалентное определение выпуклого отношения: из xRy для х, у Е G следует, что
xR (Xx + (1 — X)y) для всех ХЕ [0, 1J, т.е. выпуклая комбинация х и у не лучше лучшей из х и у. Приведенные определения вогнутых и выпуклых отношений являются естественным обобщением определений вогнутых и выпуклых функций. Это оправдывает расхождение введенной здесь терминологии с принятой в литературе, где отношение, названное нами вогнутым, называется выпуклым.
Будем называть бинарное отношение R линейным, если оно является одновременно и вогнутым, и выпуклым (не следует путать введенное здесь понятие линейного бинарного отношения с принятым в литературе понятием линейного порядка). Справедливы следующие утверждения.
Теорема З.^Тусть R — нетривиальное непрерывное регулярное нестрогое предпочтение на Еп. Тогда следующие условия эквивалентны.
Множество R - выпуклое подмножество Е1п.
Для всех х Е Еп множества GR (х) и HR(x), определяемые предпочтением R, выпуклы (т.е. R - линейное бинарное отношение).
Предпочтение R имеет линейный индикатор.
Доказательство. (I) =* (П). Пусть уг, у2 Е GR (х) для некоторого х Е Еп, т.е. (ух> х) Е R и (у2, х) Е R. Тогда для всех X Е [0, 1] в силу выпуклости множества R справедливо (X^i + (1 — Х)у2, *) = = X^i, х) + (1 - Х)(у2, *) е Я, т.е. Х^! + (1 - Х)у2 Е G(x). Следовательно, множество Gr (х) - выпукло. Аналогично показывается выпуклость множества HR (х).
=* (III). По теореме Никайдо [38] непрерывное предпочтение R на связном множестве G имеет индикатор. Покажем, что R имеет линейный индикатор. Обозначим GR (х) ={ z | zPx} и HR (х) = {z | xPzY В силу не- тривиальности и полноты R для любого х Е Еп множества GR (х) и HR (х) непусты. Из выпуклости GR (х) и HR (х) и транзитивности R следует, что G°(x) и Н^х) - выпуклы. Таким образом, существует единственная (в силу регулярности R) гиперплоскость, разделяющая GR (х) и HR (х), (HR (х) и GR (х)). Обозначим единичный направляющий вектор этой гиперплоскости через сх. Тогда для любых х, у.Е Еп таких, что хРу справедливо {z | cxz *> схх} A {z | cyz < суу) = ф. Действительно, если это не так, то существует z Е Еп такой, что z Е GR (х) и z Е HR (у) С HR (х), т.е. z Е Gr (х) А Я® (х) , но Gr (х) А Я R (х) = ф для всех х Е Еп. Следовательно, гиперплоскости { z | cxz = схх} и { z | cyz = суу } параллельны и Сх = Су — с.
При этом если хРу, то сх > су, и ^сх > су} *=>xRy. Таким образом, / (х) = сх — линейный индикатор предпочтения R.
=> (I). Пусть (x^^i), (х2>у2) ER. Тогда для любого ХЕ [0, 1] c(XXi + (1 - Х)х2) = Xcxi + (1 - Х)сх2 > Хеу! + (1 - Х)еу2 =с(Ху! + + (1 - Х).у2), т.е. Х(хп уг) + (1 - Х)(х2,^2) € ^- Следовательно, R - выпуклое множество. Теорема доказана.
Следствие. Если линейное отношение предпочтения R монотонно, то с > 0.
202
Замечание. Как было отмечено, требование регулярности R означает в данном случае, что внутренность классов эквивалентности, индуцируемых предпочтением R, пуста. Отказ от этого требования не гарантирует существования линейного индикатора у линейного предпочтения R. Гарантируется лишь существование кусочно-аффинного (вообще говоря, невыпуклого) индикатора R.
Назовем сигнализатором отношения предпочтения R функцию g: G Ех такую, что из хРу следует g(x) > g^ (это означает также, что из g(x) > g (у) следует, что xRy). Условия теоремы 3 без требования регулярности линейного отношения предпочтения R определяют условия существования линейного сигнализатора.
Теорема 4. Пусть R — нетривиальное непрерывное регулярное сверху нестрогое отношение предпочтения на выпуклом компакте G С Еп, Я®(^е), G^y*^ - выпуклые множества для всех у* Е В» где В - множество лучших в смысле предпочтения R точек G. Тогда следующие условия эквивалентны:
Множество R(C^ — сужение R на С = cl Я0 (у*) — выпуклое подмножество Е 2 ”.
Gr ( •) и Hr (•) — вогнутые точечно-множественные отображения на С. *
R имеет линейный сигнализатор на С и вогнутый индикатор на G, совпадающий с сигнализатором на С и постоянный на В.
(Напомним, что точечно-множественное отображение F; G -^2G1 называется вогнутым на G, если для всех хх> х2 Е G и любого X Е [0, 1] F(Xxt + (1 - Х)х^ DXFCq) + (1 - Х)Я(х2).)
Доказательство. (I) =► (П). Для любых (Xi, yi), (х2, у2) Е Е R (С) и любого ХЕ [0, 1] в силу выпуклости множества R (С) справедливо (Xxj + (1 - Х)х2, Х^ + (1 -Х)у2) ER^cy Таким образом, имеет место G#(XXi + (1 - Х)х2) Э Xyt + (1 - Х)у2. Следовательно, Gr (Ххх + (1 - Х)х2) D X Gr (xj + (1 - X)Gr (х2) для всех хь х2 ЕС и любого X Е [0,1]. Это означает, что GR ( • ) — вогнутое точечно-множественное отображение на С. Аналогично имеем, что Hr ( •) — вогнутое точечно-множественное отображение на С. При этом, очевидно, Gr (х) иЯд(х) — выпуклые компактные подмножества С при всех х Е С, т.е. R — линейное предпочтение.
=► (III). Непрерывное бинарное отношение R на выпуклом компакте G имеет (в силу леммы Никайдо [38]) точку минимума х*. Причем в силу регулярности сверху R хе — граничная точка G, а из нетривиально- сти R вытекает, что у*Рх\ где у* — некоторая максимальная точка из 2). Не ограничивая общности, можно считать, что других точек экстремума на [х*, jp*] нет. Из выпуклости G^(x) и Hr^ и регулярности сверху R получаем, что для всех х ЕС таких, что у *Рх и хРх\ множества G^ (х) и Я® (х) непустые й непересекающиеся иг кроме того, существует единственная разделяющая йх гиперплоскость. Гиперплоскость, разделяющая G® (х) и Я® (х), пересекает отрезок [х*, у * ] (так как х* и у * лежат
в разных полупространствах), причем в единственной (по регулярности сверху предпочтения К) и, очевидно, внутренней точке [х\ ^*]. Обозначим ее через Л(х), тогда существует представление Л(х) = = х* + ф (x)(j * — х*), где ф (х) Е (0,1). В силу вогнутости точечно-множественного отображения Hr (•) имеем для всех х, у Е С и любого X е [0, 1] Н(Хх +(1 - Х)^) -Hr^Xx + (1 - Х)^)) D XHR(x) + + (1 — Х)Я^(у) = ХЯ^(Л(х)) + (1 — Х)Яя(Л(у)). Таким образом, для всех х, у.Е С и любого ХЕ [0, 1] Л(Хх+(1~Х)^)Л(ХЛ(х) + (1~Х)Л(у)) и, следовательно, ф^Хх + (1 - Х)^) > Х^(х) + (1 - Х)^(у).
Аналогично в силу вогнутости точечно-множественного отображения Gr( • ) получаем^что для всех xt у.Е С и любого X е [0, 1] справедливо <р(Хх + (1 — Х)^) <Х^(х) + (1 — Х)^^). Таким образом, ф^ — аффинная функция. Если xlx\ то положим ф^ = 0. Ясно, что если xRy, то Ф^ > ф(у), и наоборот. Следовательно, ф^ — аффинный индикатор R на С. Если продолжить его на G, то получим аффинный сигнализатор, а если положить ф(у) = 1 при yly\ то получим вогнутый индикатор; из аффинного сигнализатора получаем линейный.
=* (I). Так же, как и в теореме 3. Теорема доказана.
Замечание. Если предпочтение R, кроме того, регулярно снизу, то C=G, R(C) =Я, а условие (III) теоремы заменяется на
(III)': R имеет линейный индикатор на G.
Рассмотрим задачу математического программирования в порядковых шкалах:"
тах{х \xRjUj, j = 1,..., т, х Е G).(10)
Будем называть задачу (10) задачей линейного программирования в порядковых шкалах, если все бинарные отношения, определяющие ее, являются линейными предпочтениями, а область G - выпуклым многогранным множеством. Рассмотрим задачу традиционного линейного программирования:
тах(сохо |с7х > Ь/, / =1т, х Е G>,(11)
где с, — единичные направляющие векторы линейных сигнализаторов линейных предпочтений Rj, a b^CjUp j Е 0, т.
Из теоремы 3 вытекает следующее утверждение.
Теорема 5. Пусть все бинарные отношения Rp j = 0,..., т, определяющие условия задачи (10 ), являются линейными предпочтениями на Е\ а область G - выпуклое многогранное множество. Тогда множество оптимальных решений задачи (11) является подмножеством множества оптимальных решений задачи (10). Если, кроме того, все предпочтения Rj регулярны, то множества оптимальных решений задач (10) и (11) совпадают.
Из теоремы 4 получаем, что справедлива следующая
Теорема 6. Пусть все бинарные отношения Rj, j = 0т, определяющие условия задачи (10), являются нетривиальными, непрерывными, регулярными сверху линейными предпочтениями на выпуклом компакте
X С Еп и выполнено одно из трех условий теоремы 4, а область G С X - выпуклое многогранное множество. Тогда множество оптимальных решений задачи (11) является подмножеством множества оптимальных решений задачи (10). При этом, если все предпочтения Rj регулярны снизу, то и множество оптимальных решений задачи (10) включено в множество оптимальных решений задачи (11), т.е. эти множества совпадают.
Чтобы завершить конструктивное сведение задачи линейного программирования в порядковых шкалах к задаче традиционного линейного программирования, необходимо еще указать метод построения линейного сигнализатора (индикатора) регулярного сверху линейного предпочтения.
Приведем достаточно простую процедуру использования оракула нулевого порядка для построения линейного сигнализатора. Напомним, что оракул нулевого порядка для любой пары точек х, у Е Еп (или х, у Е X С Еп) может указать, какое выполняется соотношение: хРу, уРх или xly.
Рассмотрим симплекс с центром тяжести в некоторой точке х Е G такой, что все его вершины xt> I. = 0,..., и, также лежат в G. Случай, когда все х< находятся только в Gr(x) (или только в Яд (х)), невозможен, поскольку тогда точка х оказалась бы внутренней точкой множества Gr (х) (соответственно Hr^x)). Пусть к вершин симплекса лежат на разделяющей Gr(x) и Я^(х) гиперплоскости (это точки, эквивалентные х по предпочтению К). Тогда из оставшихся п + 1 — к вершин часть (кх > 1) лежит в Gr(x), а к2(к2 = п + 1 - к — кх > 1^-в HR(x\ Следовательно, имеются кх к^ > и — к отрезков на ребрах симплекса, соединяющих вершины, лежащие по разные стороны разделяющей гиперплоскости. Возьмем произвольные п — к — 1 из этих отрезков. С помощью оракула нулевого порядка и метода деления пополам можно с любой заранее заданной степенью точности найти на каждом из этих отрезков точку, принадлежащую разделяющей гиперплоскости. Полученные таким образом п — к — 1 вместе с к вершинами симплекса, лежащими на разделяющей гиперплоскости, и с точкой х определяют и аффинно-независимых точек, которые однозначно задают искомую гиперплоскость.
В качестве примера рассмотрим задачу линейного программирования в порядковых шкалах:
max{j | Ji + 2у3 < 3, 2j, *уг < 2,/ь у2 > 0},(12)
R
где бинарное отношение Я задается следующим образом:
R = {z е Е* | zT = Кы, ы 6 Е®},(13)
(
10 110 0
010 011
00 1010
00 0 10 1
Подобрав соответствующие о), нетрудно убедиться, что R рефлексивно, транзитивно и полно. Кроме того, как видно из (13), множество R - выпуклый компакт в Е*. Таким образом, R — линейное предпочтение и, следовательно, по теореме 4 имеет линейный сигнализатор.
Рассмотрим симплекс с вершинами (0,0), (0,1), (1,0). Его центр тяжести находится в точке (1/3, 1/3). Вершина (0,0) симплекса хуже, а вершина (0, 1) лучше, чем (1/3, 1/3). Применяя метод деления пополам на ребре симплекса (0,0), (0,1), получаем (1/3; 1/3) Р (0,1/2), (0,3/4) Р (1/3, 1/3), (1/3, 1/3) Р (0,5/8), (0,11/16) Р (1/3, 1/3), (1/3, 1/3) Р (0, 21/32), т.е. лежащая на разделяющей гиперплоскости точка находится между (0,21/32) и (0,11/16). Продолжая процесс деления пополам, можно получить точку (0,2/3). Таким образом, функция /(х) =ххХ^2 является соответствующим сигнализатором предпочтения R. Мы получили, что задача линейного программирования в порядковых шкалах (12) эквивалентна задаче традиционного линейного программирования
(14)(14)max{Xi + x2 |Xi + 2x2 < 3,2x> + x2 < 2,xb x2 > 0}.
(14)
(14)
Решение задачи (14) достигается в точке х* = ^ , 1 ^у; следовательно, решение задачи (12) у* = ( ~, 1 ^Y
§ 5. Задача математического программирования
в порядковых шкалах с произвольными бинарными отношениями
Выше при конструировании методов решения задач выпуклого и линейного программирования в порядковых шкалах предполагалось, что определяющие их бинарные отношения рефлексивны, транзитивны и полны. Подобные допущения о бинарных отношениях, определяющих ограничения задачи, несущественны. Отказ от рефлексивности и полноты целевого бинарного отношения также не вызывает сколь-нибудь серьезных трудностей. Другое дело - построение метода решения задач МППШ с нетранзитивным целевым бинарным отношением /?0-Здесь необходимы новые подходы к определению оптимального по Ro элемента, к анализу схем МППШ и синтезу методов решения задач МППШ. Соответствующие определения ^-максимального элемента и ^-вогнутого бинарного отношения R приведены в § 1.
Перепишем задачу (1) математического программирования в порядковых шкалах, введенную в § 1, в виде:-
х -* max (Яо) I xRjUj, j G i^m, x G G.(1')
Расширим эту модель в соответствии с введенными в § 1 четырьмя типами максимальных элементов. Определим задачу МППШ ^-го типа:
х -* тах(Яо, Srq( •))\xRjUj, j G \,т, х G G.(15)
Здесь Rj , j. G 0, т, произвольные бинарные отношения на G. В задаче (15) вычисляется ^-максимальный элемент относительно Ro на множестве допустимых планов.
206
Будем говорить, что задача (15) в порядковых шкалах является вогнутой задачей типа к, если G - выпуклое подмножество Еп, Ro — ^-вогнутое бинарное отношение, Rj, j.E 1, m, - 2-вогнутые бинарные отношения.
Введем на G вспомогательное бинарное отношение кк
S(k,R0) = Цх.у) EGX G\SR^x) D SR(>^)h
т.е. xS(k, R0)y ^(Sr* (x) D SRo (^) ). Заметим, что при этом ®Rq (х) = » Gg^ke яо)00, т.е. ®Rо(х) является строгим верхним сечением (срезом) отношения S^k, R^ - множеством элементов G, строго ’’лучших” х по отношению S^k, R^).
Тогда задача (15) эквивалентна задаче в порядковых шкалах, введенной в § 1, при транзитивном целевом бинарном отношении S(k, Ro) и произвольных бинарных отношениях Rj в ограничениях:
х -* max (S^k, Ro)) | xRjUj, j Е X^m, x E G.(16)
Выделим два множества, соответствующих для каждой точки х понятиям множества элементов, существенно не худших х и существенно не лучших х относительно S(k, Ro). В качестве первого из них примем Gs(k,R0) М = со({х} U S*o (х)), а в качестве второго Hs(k,Re") (х) = = G\co({x} U 58^ (х)). Если Ro вогнуто, то множество Gs^kiR^ (х) может содержать, кроме строго лучших, эквивалентные и несравнимые по S(k, Ro) элементы, но не содержит элементы, строго худшие х по отношению S(k9RQ).
При к = 2 (т.е. при традиционной оптимизации) и вогнутом, непрерывном и регулярном Ro замыкание со({х} U S^ (х))совпадает с <7до(х) - множеством элементов, не худших х по отношению Ro. Соответственно G\со ({ х } U ®^о (х) ) совпадает с HR<) (х).
МножетсвоЯ5(^до) (х) будем называть хвостом точки х.
Введем определение е-оптимального решения задачи (15).
Отношение 8(к9 Ro) вводилось так, что х предпочитался у, если множество элементов, подчиненных точке х, включало множество элементов, подчиненных точке у.
Причина, по которой мы предпочитаем работать с Gs^kR^ и Hs^kR^, а не со стандартными верхними и нижними срезами отношения S(k, Ro), кроется в том, что даже для ^-вогнутого Ro верхний срез в точке х ддя S(k9 Ro) не обязан быть выпуклым. Кроме того, Gs^kR^ (•) по определению привязан к х и учитывает возможную неполноту Ro, в то время как стандартный верхний срез Gs^kiR^ (•) в силу транзитивности 5(к, Ro) один и тот же для всех элементов, эквивалентных х.
Обозначим через 3) множество допустимых планов задачи (15).
Назовем точку х€ ЕЗ) е-оптималъным решением задачи (15) ^-го типа, если
VyЕ$Rq(хе)П 2) Px(fiS(k R^(y)9 Йз^к.К^^е))*^6-
Здесь рх (•, •) - расстояние по Хаусдорфу, Hs ^д,) (•) = ®\GS (*,»,)(•), А — замыкание А.
Смысл введенного определения в том, что точка Х€ является е-оптималь- ным решением задачи (15) тогда и только тогда, когда е-оптимален ее хвост, т.е. если для некоторой точки .у € Gg^k R^ (хе) А 2) хвост ’’больше”, чем у хе, то не более, чем на е.
Введенный таким образом е-оптимальный план является и е-оптималь- ным в смысле § 2. (Обратное не всегда верно. Однако для выпукло-вогнутых бинарных отношений оба определения е-оптимального плана совпадают.)
Введем понятие обобщенного оптимального плана задачи (15).
Назовем последовательность {хл)Г допустимых планов задачи (15) обобщенным оптимальным планом задачи, если V п Е N хп является 1 '’.
—оптимальным планом задачи (15). п
Имеет место
Теорема 7. Если множество допустимых планов задачи (15) непусто и для некоторого х0 Е 5D ®^ (х0) А 2) ограничено, то существует обобщенный оптимальный план задачи (15).
Доказательство: Если 59^ (х0) А 2) = Ф, то х0 - оптимальный план задачи (16) и стационарная последовательность {хл}~, где хп = х0 VnEN, является обобщенным оптимальным планом задачи.
Предположим теперь, что 59^ (х0) А 2) # ф. Заметим, что ®^ (х0) не содержит полностью 2). Если бы это было не так, то это означало бы, что Хо Е ^^ (х0), и, следовательно,
Sr^o)^ Sr^x^.•
Пусть {Т^^ (у), у Е 2)0 ) , где Т^в (у) = SD\®ro (у), - максимальная цепь подмножеств семейства { Г^ (у), у Е 3D ) , содержащая цепь из одного множества Т^ (ко)- Существование максимальной цепи вытекает из теоремы Хаусдорфа (см., например, [17]). Соответствующее этой максимальной цепи семейство { 2) А 59^ (у), у Е 2>о } является семейством непустых вложеннных компактов. Поэтому пересечение множеств этого семейства непусто. Обозначим его ®. Тогда Vn Е N найдется уп Е 2)0 такое, что - 1
рх(®, 3D A ^R0(yn)) <»
где рх - метрика Хаусдорфа.
Ясно, что ^Уп^Т - обобщенный оптимальный план задачи (15).
В дальнейшем будем считать задачу (15) вогнутой fc-го типа, a G — выпуклым компактом. Предъявим к оракулу — источнику информации, определяющей метод решения задачи (15) ^-го типа, следующие требования.
Оракул сообщает по запросу лица, принимающего решение (ЛПР), Vx, у Е G, принадлежит ли х множеству GR.(y^ для любого из бинарных отношений Rp j Е \9т9 определяющих ограничения. Если х 4 Gr. (у), 208
оракул сообщает единичный направляющий вектор С;(х, у) гиперплоскости, проходящей через точкух и разделяющей х и GR^(y).
Оракул сообщает по запросу ЛПР о целевом бинарном отношении Ro, принадлежит ли точка х Е G при заданном у EG множеству SBr^ (у) =
= { z 15до (у) Sr о (z) } (заметим, что всегда х ^ $R<> (х) ).
Если х ^ Sr^ (у), оракул сообщает единичный направляющий вектор Со (х, у) гиперплоскости, проходящей через х и разделяющей х и®£о (у). Если х Е S^ (у), полагаем Со (х, у) = 0.
По запросу ЛПР для любого х Е Еп оракул сообщает, принадлежит ли х множеству G. Если х G, то оракул сообщает единичный вектор гиперплоскости, проходящей через х и разделяющей х и G.
Алгоритм решения задачи (15). Будем считать, что область определения задачи (15) непуста (3)^ ф) и содержит внутреннюю точку z вместе со своей г-окрестностью — шаром радиуса г, a G входит в Gq — шар радиуса г0-,
Приведем модификацию метода эллипсоидов для решения задачи (15) fc-го типа. Выделим алгоритм определения допустимого плана и алгоритм вычисления е-оптимального плана при фиксированном допустимом плане (е < г0) •
Алгоритм определения допустимого плана
Ш а г 0. Полагаем Mo = Go, х0 - центр Go. Если х0 ^ 2D, переходим к шагу 1, а если х0 Е 2D, полагаем х* = х0 и останавливаемся.
Шаг /(/ > 0). Обозначим через Mt эллипсоид минимального объема, содержащий множество
l(d(xz_1), X -х,_1)>0},
если xz_ 1 t G, либо множество*
{х ЕМ^! | (с,- (х^.х, и^. X - Х,_ ц ) > 0} ,
если х/„! Е G, но при этом в точке х^х нарушается/-е ограничение xR, и,-.
Здесь d(xz_j) — направляющий вектор гиперплоскости, проходящей через точку xz_ j и разделяющей xz_! и G, а с, (xz_ t, и^ - единичный направляющий вектор гиперплоскости, проходящей через точку и разделяющей XZ _ 1 И Gr. (Uj) .
Обозначим через xz центр тяжести М^ Если xi^SD, переходим к шагу Z + 1, если Xi Е 3D, полагаем х* = xz и останавливаемся.
г0
Ясно [74], что не позднее шага с номером Lo = ]2п(п + 1) In — [ г
алгоритм определит допустимый план хе = xL<> задачи (15).
Алгоритм вычисления е-оптимального плана при фиксированном допустимом плане х* = Х£ о.
Ш а г 0. Обозначим через Мо эллипсоид минимального объема, содержащий множество
VxEM* |(Cq (хе,хе), х -хе)> 0} ,
где М* - эллипсоид, построенный при определении допустимого плана
х* =xL . Обозначим через х0 центр тяжести Мо.
°1 г€Г
Положим Lx (е) = ]2и(л + 1) In — [, р = — , L^ = Lx (e)r - Lo.
p 2r$
Если Xo ^ ®, полагаем L = 1 и переходим к пункту 1 шага 1. Еслих0 £2) и x0S(k, R0)xe) полагаем х* = х0, L = 0 и переходим к пункту 2 шага 1.
Шаг Z(Z>0).
Пункт 1. Обозначим через Mi эллипсоид минимального объема, содержащий множество
^хЕМ^х \(Cj(xl_i)Ui)) X-XZ_O> 0},
если Xj_x € <7, но нарушается /-е ограничение задачи (15), либо множество
VxEM^x \(d(x^x)9 х-Х/.ОХ)} , если xz_ 1 ^ G.
Обозначим через xz центр тяжести М^ Если х< ^ф , то увеличиваем L на 1, при L < L (е) переходим к пункту 1 шага Z + 1, при L > L (е) — к пункту 3 шага Z + 1. Если xt Е 3D и xz S(к, R^x#9 полагаем х* = xz (т.е. принимаем xz в качестве начального допустимого решения), L = 0 и при Z > L (е) переходим к пункту 3 шага Z + 1, при Z < L (е) переходим к пункт ту 2 шага Z + 1.
Если xz Е 2) и x*S(k, RQ)xh увеличиваем L на 1 и при ! > !(е) переходим к пункту 3 шага Z + 1, а при L < L (е) - к пункту 2 шага Z + 1.
Пункт 2. Обозначим через Мг эллипсоид минимального объема, содержащий множество
КхЕМг_х l(co (xz_i,xe),x -х,_1)>0) ,
xz — центр тяжести Мг.
Если Xi фф , увеличиваем L на 1 и при L < L (е) переходим к пункту 1 шага Z + 1, а при L > L (е) — к пункту 3 шага Z + 1.
Если xz Е 3D и xiS(k, Rq)x*9 полагаем х* = xz, L = 0 и при1>L^ переходим к пункту 3 шага Z + 1, а при Z < L (е) переходим к пункту 2 шага Z + 1.
Если хх Еф и x^S(k9RQ)xh увеличиваем! на 1,при!> !(е) переходим к пункту 3 шага Z + 1, при! < !(е) - к пункту 2 шага Z + 1,
Пункт 3. Останавливаемся, принимаем х* в качестве е-оптимального решения задачи (15).
Обоснование метода. Каждая точка z Е Ф входит в 3D вместе с ’’конусом” co((z} U$ (х, г)), основанием которого является шар радиуса г. Пересечение окрестности z (шара ^ (z, е) радиуса € с центром в точке z) с ’’конусом” имеет объем, не меньший, чем объем шара радиу- ег са —т .
2г о
Как известно (см., например, [74]), для метода эллипсоидов справедлива следующая оценка отношения объемов эллипсоидов Mk^x и Мк:
л -1
= jl(_2L_V~< -^)
\мк | л +1 \л2 -1/"
Если Z > 2л (л + 1) In —, где р = —- , то объем Mi будет меньше началь- Р
ного объема шара Мо = Go в рп раз, так что он не может содержать пересечение окрестности z — шара S(z, е) радиуса е с центром в точке z ESD — с упомянутым выше ’’конусом”.
Если некоторая точка х* не является е-оптимальной, то найдется точка z Е 59^ П 2) такая, что
S(z, е)ПЗ) С Gs(k>R<>)(xan $СМЬ
чего не может быть из-за соотношения объемов (здесь Mi — последний эллипсоид, построенный методом).
При переходе от одного эллипсоида к другому точки, сравнимые с исходным допустимым решением, лучшие из сформированных к данному моменту, сохраняются. Поэтому на вычисление допустимого и €-оптималь- ного решения потребуется в сумме не более 2£i (е) шагов.
Пусть теперь оптимизация по бинарному отношению понимается в расширенном смысле, введенном в п. 1.5 гл. V. В терминах (R, С) оптимизации задача (Iх) математического программирования в порядковых шкалах принимает вид:
x^max(R0,C)\xRjUj, jE\,m, xEG.(17)
Введем, следуя п. 1.5 гл. V, множества
^0,c(.x)= (jp I <7*о М И
C^gRo О) и NRo (у)) с C(GRp (X) и NRo (х)) }.
Назовем задачу (17) вогнутой, если
1Q. G — выпуклое множество.
2°. Rj — вогнутые (в традиционном смысле) бинарные отношения, j Е 1, т,
3°. FR<>t с (х) ~ выпуклое множество Vx ЕЕп.
Пусть 2) — множество допустимых планов задаем (17). Назовем точку x*G 2) (Ro, С)оптимальным планом задачи (17), если hz Е 2) такого, что
^о,с(^)пЗ)с^о>с(х*)п2) ,
Как видим, определение ^-оптимального элемента может быть получено из определения (Ro, С)-оптимума заменой Fro>c(«) на ®Ro (•)• Аналогичным образом определение (е, Ro, С)-оптимального элемента можно получить из определения ^-оптимального (для ^-оптимизации) элемента, заменив в нем SR (•) на FR h, с (•). Введем множества
^k0,cW = со({х}и FRoiC(x>y, Н^.с^ = 3)\GRoiC^.
Назовем точку хе £ SD (е,Я0,С)-оптимальным планом задачи (17), если ^у ^.с^п®
Рх^я0.с(у\ HR<>iC(x€y) < е.
Предъявим к оракулу, участвующему в решении задачи (17), требования, аналогичные требованиям а)-в) из п. 5.1 к источнику информации о задаче (15), в которых множества ®^ (х) заменены HaF^o>c(x). При этом условии оказывается возможным использовать алгоритм из п. 53 для вычисления (е, Ro, С)-оптимального плана задачи (17). Естественно, что роль бинарного отношения S(k, 2?0) будет в этом случае играть отношение
C(R0V {(x,j)eGXG|G»o(j) Э G»o(x) и
C(GRe (у) U NRt(y» D C(GRe (х) U NRe(x^ , (18) т.е.
x(C(R0)y ^ <^0W D G»o(x) и
C(Gr^ U Nr^ D C^GR^ U ^о(х))} .
В заключение сформулируем основные выводы параграфа. Введенная здесь (R, С) оптимизация сводится к традиционной оптимизации по бинарному отношению C(R), сформированному в соответствии с формулой (18) по исходному бинарному отношению R и корректирующей функции выбора С(*). Для бинарного отношения R» для которого классическое определение Opt# G теряет смысл, оптимизация по бинарному отношению C(R) при естественном подборе корректирующей функции выбора интуитивно представляется приемлемой.
Если исходное бинарное отношение R полно, а корректирующая функция выбора монотонна, то оптимизация по бинарному отношению С(К) дает тот же результат, что и оптимизация по R.
Таким образом, модели МППШ с произвольными вогнутыми бинарными отношениями могут быть сведены при помощи вспомогательных корректирующих функций выбора к стандартным моделям выпуклого программирования в порядковых шкалах, для которых разработаны конструктивные методы анализа.
Глава IX
ОБОБЩЕННОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПГОГРАММИРОВАНИЕ (ОМП)
Введение-
Традиционная схема математического программирования охватывает многие широко используемые модели принятия решений. Формальная запись задачи математического программирования имеет вид
fo(x) -* шах |/^) > us, s G 1,г, х Е G С Ет.(1)
Здесь №\ s GO, г , — скалярные функции векторного аргумента х, определенные на заданном множестве G; и$ — фиксированные скаляры.
Для последующих обобщений удобно будет использовать следующую эквивалентную запись задачи. Требуется найти такой вектор х*, что
х* G G, fs(x*) > us, s G M? /о(^*) > /оМ Vx G G:
fs^>us, $E\j.(2)
В настоящее время теория принятия решений существенно расширилась и включила в себя такие разделы, как многокритериальная оптимизация, групповые решения и теория игр. Оптимальный выбор в соответствующих моделях не укладывается в традиционные рамки схемы (1). Наметилась тенденция разрабатывать свои частные подходы к вычислению ’’оптимального” выбора (плана, управления, проекта) для каждого частного класса моделей любого из разделов теории принятия решений. В то же время развитие вычислительных методов в рамках этой теории требует унификации подходов к оптимальному выбору. Представляется, что основой гакой унификации может служить естественное обобщение схемы (2), в которой скалярные функции Л(х), s Е 0, г , заменены на вектор-функ- ции, скаляры us - на фиксированные векторы us, а неравенства и ’’оптимизация” интерпретируются в терминах некоторых бинарных отношений Rs, s = (0,1,... ,г).
Назовем задачей обобщенного математического программирования (ОМП) задачу, в которой требуется найти такой векторх*, что
Xе е G, ^(х^^щ, $ е l,r, fo(x*)Rojo(x) Чх € G:
fs(x)Rsus, S е 1, г,(3)
где f$(x) — вектор-функция в E”s, a Rs - бинарное отношение на Еп$ , s е о, г.
Если Ro неполно, то вместо соотношения fo(x*)Rofo(x") следует ввести в определение задачи ОМП соотношение /0(х) ^ ^о(/о(^*)), где ^о (у) - строгий верхний срез Ro в точке у (множество точек G, ’’строго лучших” по Ro, чему).
По техническим соображениям удобно выделять ограничения, записываемые в виде обычных неравенств, gj(x) < О, /Е 1, к9 где^Дх) - скалярная функция вектора х. Таким образом, будем считать, что в задаче обобщенного математического программирования требуется найти вектор хе такой, что
х* EG, fs(x*)Rsus, s Е l,r, gj(x*) < О, / E 1,*,
foO^RoMx) Mx E G: fs(x)RsuS9 s E l,r,(4)
gj(x) < 0, / E 1,^.
Чтобы упростить запись задачи и исследование методов ее решения, гпп
примем и =2 и$, введем пространство Еп = Е 0 X ... X Е г9 вектор-
»=о
функцию
Дх) = { /Дх), Л (х), ...,fr(x^= t Ш,.... f^(x\ . . .
и вектор
и, «{ О,.... О, «„ 0,..., 0 } .
$ -1'
оs + 1
Введем, кроме того, отношения Rs на Еп: если и9 и1 Е Еп9 то uRsu *=► <=► (uVRstu)^ где (•), - проекция на Еп$. Поставим в соответствие ограничению fs(x)Rsus эквивалентное ограничение f(x)RsuS9 где us ЕЕп таково, что (us)s = us. В этих терминах постановка задачи (4) принимает вид: требуется найти такой вектор х*9 что
х* Е G9 f(x*)RsiiS9 s Е 177, g^x*^ < 0, / Е 17Г,
Kx*^RoKx^ Mx Е G: f(x)RsuS9 s E Г^,(5)
gj(x) < 0, / E 1 ,k.
В случае неполноты Ro следует вместо /(х*)Л0/(х) ввести Дх) ^
К о
В дальнейшем отбросим знак ^ над Rs и us. Это не вызовет недоразумений.
Пусть норма на Еп есть П Нсо - максимум модуля координат. Введем некоторые обозначения: D - верхняя оценка || • И*-диаметра /(G), 214
У G f(G) и
W = {j G En\yi-D < y, < yi + D, I G 177),(6)
Gg = {x G G |^(x) < 0, / G ij),(7)
Q = (y G IT|3x G Gg: f^ > y),(8)
Qw = t? G Q\yRs“s« $ e l>'h(9)
Q. = {У G Qw\yRov Vv G e(R))(10)
(предполагается, что Gg и Q^R у имеют непустую внутренность). '
В этих обозначениях множество решений задачи (5) определяется формулой (здесь и далее в этой главе, кроме § 8, предполагается, что отношения R$, s G 0, г, монотонны, a Ro - полно)
G.= VT4Qa^GgL . (11)
Точка хЕЕт называется е-приближением решения задачи (5), если выполнены условия
X е qg, f(x) е q(rv Hx)Roy(e^ (12) где Xе) "" ’^ худшая” по отношению Ro точка е-окрестности Qe. Эта окрестность имеет вид
Gee= (l-e)Qe + eQw С {у Е 2(/?) IPh i^W < 2De }, (13) где р у. || w (у) - расстояние (в метрике II - II «>) от .у до Qe; Q* замкнута.
Ограничимся рассмотрением непрерывных отношений. Напомним, что отношение R называется непрерывным, если множество { (х, ^)|хЯ^} замкнуто в G X G.
Математическая теория принятия решений имеет дело с двумя классами задач. К первому относятся те, которые определяются содержательной сущностью различных разделов теории принятия решений. В них требуется при том или ином наборе условий установить бинарные отношения Rj, определяющие в заданных конкретных ситуациях следующие понятия: рационально агрегированный критерий (в задачах многокритериальной оптимизации); рационально агрегированное предпочтение лица, принимающего решение ’ (в теории групповых решений); равновесие или компромисс (в теории игр).
В задачах второго класса отношения R, (или механизмы, их обусловливающие) предполагаются заданными. Проблема здесь в разработке экономных вычислительных методов, обеспечивающих конструктивный выбор решения при условии, что вопросы, связанные с агрегированием критериев и предпочтений и установлением подходящих понятий компромисса, уже ясны.
Постановки задач первого класса существенно связаны с конкретными особенностями ситуации, в которой принимается решение. Здесь вряд ли можно говорить об унификации соответствующих моделей. Методы качественного анализа задач первого класса, по-видимому, не могут быть оторваны от их содержательной специфики и по необходимости должны быть различными для разных разделов теории принятия решений. Что же касает-
ся подходов к задачам второго класса, для которых требуются вычислительные методы оптимального выбора при заданных отношениях Rj или механизмах их формирования, то они не зависят от специфики разделов теории принятия решений и укладываются в схему обобщенного математического программирования и его расширения — многошагового ОМП (см. гл. XII). Разработка и исследование методов ОМП и составляют содержание данной главы.
Подходы к анализу задач
обобщенного математического программирования
Во многих случаях (в частности, когда множество f^G^ замкнуто и связно в £”, а отношения предпочтения Rj непрерывны) можно свести (причем неоднозначно) задачу обобщенного математического программирования вида (3) или (4) к задаче традиционного математического программирования вида (1) или (2). Во всех этих случаях бинарному отношению R соответствуют скалярные функции V — индикаторы отношений такие, что
flWiW~ Vjlf^ > V^fj^ ^(х\ f,^ G /(G).
В таких случаях обобщенная задача может быть переписана в терминах индикаторов бинарных отношений в виде традиционной задачи математического программирования. Однако подобное сведение, вообще говоря, неконструктивно, да и нецелесообразно. Дело в том, что если отношению R соответствует один индикатор, то ему отвечает и бесконечное множество других индикаторов, полученных один из другого с помощью строго монотонных преобразований. Один и тот же порядок отвечает бесконечному числу целевых функций с совпадающими экстремальными точками. Это не позволяет вычислять приближенное значение оптимума с погрешностью по целевому функционалу, не превышающей заданную. Задание ограничений на выбор плана в порядковых шкалах оказывается гораздо более гибким методом выделения множества допустимых решений, чем количественные отношения. Следует также учесть, что порядковые отношения между характеристиками вариантов, из которых должен быть выбран лучший, доступнее принимающему решение, чем количественные отношения. Содержательно бинарное отношение — более простой объект, чем критерий.
Таким образом, практический интерес могут представлять главным образом методы решения задач обобщенного математического программирования в их естественной форме, предполагающей задание целей и ограничений набором бинарных отношений.
В данной главе предлагаются диалоговые методы решения задач обобщенного математического программирования. Описываемые процедуры позволяют по последовательно предъявляемым альтернативам и получаемой локальной информации о компонентах вектор-функции/Л(х) и об отношениях R $ установить за возможно меньшее число шагов €-приближенное решение предъявленной задачи фиксированного класса. Источник информации о локальных характеристиках функций, входящих в условия задачи, называется в дальнейшем ’’оракулом”, а источник локальной ин- 216 ।
формации о предпочтениях - лицом, принимающим решение (ЛПР). Диалоговые процедуры решения задач обобщенного математического программирования . различаются по возможностям источников информации. Мы будем рассматривать оракул первого порядка и ЛПР нулевого и первого порядков. Оракул первого порядка способен для каждой предъявленной альтернативы xG G указать значения компонент функций fs (x^gj (*) и их градиентов (или опорных функционалов) в точке х. ЛПР нулевого и первого порядков в состоянии по любой паре альтернатив х,у G G и соответствующим значениям вектор-функций fs(x)GEns определить, как эти альтернативы соотносятся друг с другом по каждому из отношений RS)s =0, 1,..., г, т.е. для каждого 5 указать, какой из трех мыслимых случаев fs(x) Psfs(y), fs^Psfs^ или fs (х)Isfs(y) (соответственно для 5 > 1 fs(x>Psus,usPsfs(x) или fs^IsUs) имеет место. ЛПР первого- порядка, кроме того, может сообщить для всех s опорные функционалы Ф$ (х) к соответствующим отношениям (к множествам Gs (х) = (у Е Е G | yR s х}) в предъявленной ему точке хЕ G.
Вначале будем рассматривать задачи обобщенного математического программирования вида (4) или (5), в которых отношения RjJ = 0,1,... ..., г, - нестрогие предпочтения. Под Qe (см. (10)) в этом случае понимается множество ’’наибольших” (по Ro) элементов из Q^. В § 8 будем рассматривать задачи ОМП с произвольными бинарными отношениями. Соответственно будет расширено понятие ’’наибольшие” элементы. Вряд ли можно ожидать создания конструктивных методов решения задач обобщенного математического программирования в столь общей постановке. Поэтому будем в дальнейшем (исключая § 8) рассматривать только задачи более узкого, но важного для приложений класса - задачи обобщенного выпуклого программирования (ОВП), в которых бинарные отношения Rj рефлексивны, транзитивны и полны.
Напомним необходимые определения.
Полное отношение R на выпуклом множестве G называется вогнутым,' если 4x,y,z Е G таких, что z Фу и z — выпуклая комбинация х,у, из xRy следует zRy. В содержательных терминах вогнутость отношений требует, чтобы каждый элемент на отрезке предпочитался худшему из концов.
Напомним, что отношение R монотонно, если из х^у следует xRy и из х>у следует хРу, где Р — строгое отношение, соответствующее нестрогому предпочтению R.
В соответствии с замечаниями п. 2.1 непрерывные вогнутые отношения на выпуклом компакте GCEn имеют индикатор. Вогнутость отношений гарантирует квазивогнутость индикаторных функций, которые определяются порядком с точностью до непрерывного строго монотонного преобразования. Напомним, что функция V (х) называется квазивогнутой на выпуклом множестве GCEn, если множества {у Е G I К (у) > К(х)} выпуклы VxEG.*
Эквивалентное определение вогнутых предпочтений дается следующим утверждением:
Бинарное отношение предпочтения R на выпуклом компакте G С Еп вогнуто в том и только в том случае, если для него существует строго квази- вогнутый индикатор предпочтения V (х) - такая непрерывная строго ква-
зивогнутая функция V: G -* Е1, что
xRy^ Г(х)> V^yY
Функция V(х) строго квазивогнута, если множества {xG G I К(х) > а) выпуклы Vs и множества {хG G I К(х) =а )не содержат (приа < шах К(х)) jcGG
внутренних относительно G точек (последнее эквивалентно тому, что из К(х) > Г (у) следует К(Хх + (1 - X) у)) > К(у), 0< Х<1).
Таким образом, (4) является задачей ОВП, если G - выпуклое множество; RS1 s = 0, 1,..., г, - вогнутые отношения; gj(x)J = 1, 2,..., к, — выпуклые функции, компоненты fs (х), 5 = 0,1,..., г, - вогнутые функции.
Заметим, что к модели ОВП могут быть сведены многие задачи обобщенного математического программирования с определенным образом согласованными между собой невогнутыми бинарными отношениями Rs и невогнутыми вектор-функциямиД.
Чтобы установить трудоемкость методов решения задач обобщенного математического программирования, необходимо уметь не только доказывать сходимость методов, но и оценивать (это важно для организации вычислений) скорость сходимости. Для этого следует указать способ измере- йия погрешности плана и дать определение е-приближенного решения задачи.
В главе VIII обсуждаются достоинства и недостатки основных способов измерения погрешности приближений в задачах оптимизации функций и оптимизации предпочтений.-
Введенное выше определение €-приближенного решения задачи (см. (12)) естественным образом решает проблему измерения погрешности. При малом € допустимый план, вектор у = f(x) характеристик которого отстоит не более чем на 2De от множества Q*, должен быть хорошим приближением к оптимальному плану в любом содержательно разумном понимали термина ’’хороший”.
В частности, таким приближением должен быть план х с вектором характеристик /(х) =^(6). Но нас интересуют лишь свойства планов, выражаемые в терминах предпочтений векторов их характеристик. Поэтому любой план хЕ Gg, для которого f(x) EQ^ и f (x)7?oj(e), будет по крайней мере столь же хорошим приближением к оптимуму, как и план х с вектором характеристик у (е).
Следовательно, определение (12) вполне разумно с содержательной точки зрения и не использует никаких произвольно выбираемых индикаторов. В то же время удается сформировать конструктивные методы построения е-приближенных в этом смысле решений и явно оценить трудоемкость этих методов.
Идея методов решения задач
обобщенного выпуклого программирования
Для решения задач традиционного выпуклого программирования разработаны экономные методы: метод центров тяжести (МЦТ) и модифицированный метод центров тяжести (ММЦТ) или, как его теперь называют, метод эллипсоидов (МЭ) [35].
218
Идея этих методов в гл. VIII распространена на задачи выпуклого программирования в порядковых шкалах. Последние могут быть включены в частную модель ОВП, в которой f(x) = х, а условия типажу (х) <0 отсутствуют.
Предлагаемые в настоящей главе методы решения задач ОВП комбинируют версии МЦТ (и ММЦТ), приспособленные к решению задач традиционного выпуклого программирования и задач математического программирования в порядковых шкалах.
Приведем наводящие соображения, поясняющие идею и основные этапы предлагаемых методов решения задач ОВП./
Решение задачи ОВП (в предположении, что предпочтения Rs,s Е 0, г монотонны) может быть получено как решение выпуклой экстремальной задачи в порядковых шкалах, в которой область определения планов задана неявно. Для того чтобы удостовериться, принадлежит ли заданная точка области допустимых решений задачи в порядковых шкалах, следует решить систему выпуклых неравенств или, что практически то же самое, задачу традиционного выпуклого программирования.
Пользуясь обозначениями п. 1.1 § 1, запишем соответствующую формулировку задачи обобщенного математического программирования в следующем виде.
Требуется найти точку у* Е Qe, где области Q* и Q^ заданы соотношениями (9), (10), а множество Q — неявно условиями (8). Кроме того, найдя у*, необходимо построить х* Е Gg: /(х*) > у*. Решение этой системы неравенств оказывается одним из решений задачи обобщенного математического программирования. Множество всех ее решений описывается, очевидно, соотношением (11).
Вычисление у* (задача I) — задача математического программирования в порядковых шкалах, а определение х* (задача II) - задача традиционного математического программирования. Трудности сочетания методов решения задач I и II обусловлены неявной формой задания области Q. Серьезные технические затруднения связаны также с выбором допустимых погрешностей итеративного решения составляющих задач, при которрм экономным образом обеспечивается требуемая точность решения результирующей задачи.
Источники локальной информации, используемые при решении неравенств или экстремальных задач в порядковых шкалах, могут быть нулевого или первого порядков. В первом случае они выдают значения функционалов задачи в опрашиваемых точках или ранжируют предъявляемые векторы. Во втором случае они, помимо этого, способны указать опорные функционалы к функциям или предпочтениям в этих точках или строить гиперплоскости, отделяющие предъявленные точки от множеств, которым они не принадлежат.
Приведем грубую схему решения задачи ОВП. Начнем решение с вычисления центра тяжести yi = yx(W) II- II w-шара И7 = И^. Чтобы установить, принадлежит ли ух области Q, необходимо решить систему выпуклых неравенств (задачу II) при у -ух. При этом могут возникнуть два случая: система неравенств несовместна или имеет решение. В первом случае метод решения задачи II выдает линейный функционал, по которому строится
гиперплоскость, отделяющая уг от Q. Функционал ^ формируется в соответствии со следующими соображениями.
Несовместность задачи II при данном у означает, что функция ау (х) - = max (j^,1Х -fAx)) имеет на Qg положительный минимум. Предпо- 1 <1 <и1
ложим, что мы нашли этот минимум х и знаем Gg. Тогда в соответствии с необходимыми условиями минимума ау (х) для некоторых ^z > 0 имеем:
- S фXfAx^х— х )>0 VxEGg(14)
ККп 11
И
s Ф1(.У<Г)-№^>0-(15)
/ = 1
ПустьА,(х) = (/;(х),х - х^/Хх);/;^)^/^),... ,/1„(х)),'(16)
Qy = { иеЕп\3xG Gg: h(x)>u).(17)
Очевидно, h(x^ > f(x), так что Qy D Q. В то же время Qy однозначно определяется по Gg и х, и коль скоро известно множество Gg и вектор х, то можно построить и область Qy. Заметим теперь, что у ф Qy. В самом п
деле, ХфАуух - А/(х)) достигает минимума по х Е Gg при х = х (в силу 1
(14)) и этот минимум положителен (в силу (15)). Следовательно,
s MyW-Hx»>0 VxEGg9
откуда
f МУ№-ий>0 Xu^Qy.(18)
Таким образом, ф = (ф19..., фп) разделяет у и Qy9 а тогда и подавно разделяет у и Q С Qy.
В последующей итерации, которая строится по тому же принципу, роль Wo = W будет играть область
Wi = {yew01 (^j'-yiMXo),(19)
если используется МЦТ, и эллипсоид минимального объема, содержащий W1$npH применении ММЦТ для решения задачи I. Если же окажется, что У1 € Q (и при этом из системы выпуклых неравенств будет установлен X! Е Gg такой, что/(хх) =У1), то проверяем (с помощью ЛПР) выполнение условий yxRsus, s = 1,..., г. Пусть какое-либо из них, скажем Jfe, не выполняется и £_- опорный функционал к предпочтению R_ в точке У1 =/(^i) (т.е. опорный функционал к множеству W0(yi) = { z Е Ц/о| zR_y 11) • Положим в таком случае:
w, =^еи/0|Цг,у-/(ха^/(20)
Если же yxi sus Vs Е { 1,..., г }, то находим ^0 - ненулевой опорный функционал к предпочтениюRo в точке^х =/(хх) и полагаем
Wi = (УЕ Wo Кео^-ЯхОХО}.(21)
При использовании МЦТ принимаем ^ = И^! и переходим к следующей итерации, в которой роль у i ^i^o) играет у2 =^2(^1) — центр тяжести области Wj, а при ММЦТ в качестве Wx рассматриваем эллипсоид минимального объема, содержащий Wt> находим его центр у2(И\), проверяем, принадлежит ли у2 области Q, и тд.
На каждой итерации решения задачи обобщенного выпуклого программирования устанавливается, таким образом, принадлежит ли очередная точка у/Области 0. Будем называть процедуру, проверяющую разрешимость соответствующей системы выпуклых неравенств (решающую задачу II), процедурой сепарации (разделения) sep. Процедура sep = sep(yz) позволяет по фиксированному вектору yt построить линейный функционал Ф, разделяющий у, и Wt (если система неравенств несовместна), или вычислить х/ G Gg такой, что /(х/) > У/, и перейти к проверке условийytRsus.
Каждая итерация процесса решения задачи I позволяет перейти от области И//_1 локализации решения к области ^ меньшего объема. Будем называть итерацию процесса решения задачи I процедурой локализации Loc = = Loc (Wi). Последовательное применение процедур Loc стягивает области допустимых планов у к е-окрестности решения: | WJC со| W^ |. При
1с
использовании МЦТ со = 1, а при ММЦТ со = 1, где с > 0 -
еп
константа.
В § § 4, 5 описываются минимальные требования к процедурам sep (у) и Loc(W), обеспечивающие возложенные на них функции. Методы МЦТ и ММЦТ удовлетворяют этим требованиям, но отнюдь не исчерпывают множество процедур sep и Loc.
Соответствующие версии МЦТ и ММЦТ являются подходящими реализациями процедур sep и Loc, если основное требование к методу - по возможности сократить число обращений к ЛПР и к ’’оракулу”. При иных критериях качества метода решения ОВП целесообразно рассматривать другие реализации процедур sep и Loc.
В приведенном грубом и несколько идеализированном описании схемы решения задачи ОВП, естественно, опущены многие детали алгоритма. Строгое формальное изложение и обоснование метода (см. §§ 4-6) построения е-приближенного решения задачи ОВП требует дополнительных довольно тонких рассуждений, которые, однако, не меняют изложенной здесь сути метода.
Как уже указывалось, технические трудности в формировании процедур sep и Loc и в обосновании их роли в построении е-приближенного решения задачи ОВП определяются в значительной мере необходимостью учета допустимой погрешности. Процедуры sep и Loc, помимо точки у и области W соответственно, зависят еще от параметра 6 > 0, характеризующего требования к качеству отсечения и локализации, при которых обеспечивается заданная точность приближенного решения.
Приведем формальное описание требований к sep (у, 6) и Loc (И/, 6) и обоснуем и оценим трудоемкость некоторых версий этих процедур.
Процедуры сепарации
Процедура sep(y, 6) использует в качестве входа у Е Еп, 6 > 0 и выдает на выходе либо (I, х), либо (II, <р), где I (соответственно II) - тип выхода, х Е Gg, ф Е Rn, II ф llt = 1, где II ф 1^ - сумма модулей координат ф.
Процедура sep(y, 8) должна удовлетворять следующим требованиям:
Osep) Pl. и(У. Q) < 5/2 * $ер(у, 6) = (/, х),
(Щер) sep(у, 8) = (I, х) =* IIу - и L < 6 для некоторого и </(х),
8 ч
(iiisep) sep ( у, 8) = (II, ./>)=> sup (ф, и> + - < (ф, у). vGQ4
Опишем две версии процедуры сепарации: sepn основанную на идеях МЦТ, и sep2, использующую принципы построения ММЦТ.
Правила, описывающие sepx на входе (у, 8), таковы:
°. Вычисляем Ру. цw (у, ИО- Если
3
Pb^y,W)>~5,(22)
4
6.
то находим ф Е Еп: I^ 12 = 1 и (ф^у) = sup (ф, z) + -. Результатом 'zew4
sepi(y, 3) объявляем (II, <р).
2°. Пусть теперь
3
(23)
Будем строить последовательности выпуклых компактов Gt С Ет с непустой внутренностью, выпуклых функций g р^ (х), j Е { 1,..., к }, вогнутых функций f^ ^Д Е {1,.. ., п } в соответствии со следующими правилами:
при/ =0 Go =G,g}0)( ) = -оо, 1 </<fc;/<0)()=yz + D, К <7<м;
при г > 1 строим центр тяжестиXj области Gj_v.
Возможны три попарно несовместных случая:
1,- з/=/Х/)е {1,...Л>: gz(xa>0,
2,-. V/e {1,...,^}, ^/(хасо, но 3 7 = 70)6 (1,... ,л}:
fi^ <У! - 8,.
3ЬХПЕ {1,... Д} g,<Xi)<0X/lE {!,...,«} /,(х,)>У/-8.
В случае 3; переходим к d). В случае 1/, 2/ полагаем:
g(°(x) = max{ gV* °(х), g^Xi) ^(g^Xf), x - x,)} , /6 {1,... , к ),
/№= ( fil ^W в случае 1ь
I min(//,”1)(x), /z(x/)+(/;(x/),x - X/)} в случае 2/.
Области Gt определяются следующими соотношениями:
G.=G.={xeGf-jIg^x^O,/€ {!,...,*}} в случае^, (x€GM|#j')(x)< 0,/6(1,...,*};
G.=
G.=
fi^Xx^yi - 6, /6 {1п }} в случае 2/.
В sepj, как видим, Gt С Gt _ х.
Переходим к с).
Обозначим:,
(?w= {x£Gz| ^(х^О, /6Л»,
Q^= ly^W^xEG^: Г^Чх^Уь /е {!,...,л}}.
Вычислим Рн• Ное (.У. О^Ъ- Если Рц.^ (.У, Q^) < (3/4)8, то увеличиваем / на 1 и снова обращаемся в Ь). В противном случае находим ф Е Еп: II <р llt =
6
= 1 и < ф, у) > sup (ф, z) + - . Полагаем sepx (у, 6) = (II, ф') и оста- zEQvl4
навливаемся.*Л
Пусть обращение к d) произошло при i = L Полагаем sepi(y, 6) = = (I, х*) и останавливаемся.
‘ 43. Правила, описывающие sep2, отличаются от правил процедуры sepi пунктами 2° а) и 2° б). Кроме того, в правилах sep2 имеется еще пункт 2°е). Все остальные пункты правил sep2 идентичны соответствующим пунктам правил sept.
Выпишем только те пункты правил sep2, которые отличают эту процедуру от версии sepi:
2°а) при z = О Go - эллипсоид, содержащий G, gj°\ •), и//0)( • ) определяются так же, как и в sepi;
2°в) при i > 1 G{ - эллипсоид, который строится следующим образом. Строим центр xt эллипсоида Gt_x- Возможны 4 случая:
О/. x^G,
1». xt EG и I,-,
2?. х( EG и 2/,
3*. Xi E G и 3/.
В случае О/ полагаем:
gji\x)=gp-1\x), ie { 1,. ..,£} ;//'^x)^/'-1^), /е {!,...,«}.
Находим опорный, функционал $/ к рц.ц(х, G) в х = xt (II- II - какая- нибудь норма на Ет) и переходим к е).
В случаях 1* и 2/ определяем g^Cx) и /z( \х), так же, как и для sepi в случаях 1/ и 2/ соответственно.
Кроме того, полагаем:
Э^(/)<Х/) в ^У436 1 ь
7 ЭЛ(/)(Х/) в слУчае 2* •
Если в случае 2* ^Гц^х^ = 0, то ^ - произвольный ненулевой функционал на Ет.
Переходим к е).
В случае 3* переходим к d).
Полагаем G( равным эллипсоиду наименьшего объема, содержащему
^{xGG^iK^, x-xz)<0}.
Переходим к с).
4. Убедимся теперь, что описанные процедуры sepi и sep2 действительно являются процедурами сепарации, т.е. удовлетворяют условиям (isep) - — (^sep) •
Теорема 1. Процедуры sepi и sep2 удовлетворяют требованиям (isep) - O^sep) •
Доказательство. При выполнении неравенства (22) утверждения теоремы очевидны. Будем в дальнейшем предполагать, что имеет место неравенство (23).
Пусть рассматриваемая процедура кончила свою работу. Если при этом тип результата оказался /, то это значит, что на шаге z, на котором процедура остановилась, имел место случай 3? (3*) и результат процедуры есть (/, х?). По определению 3^(3*) имеем х G Gg и f^x^ >у - 8, где 5 = (8, ... ... , 8). Отсюда следует, что3 v<№iY II и - у L < 8, т.е. условие (iisep) выполнено.Л
Пусть теперь тип выхода будет II. Это означает, что на шаге z, на котором процедура остановилась,
Ри- Ш«(У. Q^)> 7 М^у) > sup (<p,z) + -(24)
4zGQV)4
И sep.(^,5)=0I,V>).
Очевидно, что ^(х) < gj(x\ х G G, )GU,...,kLw f/‘Xx) > ft(x), xEG, IE {1,... ,п} . Поэтому Q^ D f(Gg) и Q^ D QO W. Ясно, что из (24) следует условие (iiisep).
Итак,в предположении, что процедура sep остановилась, доказано выполнение условий (iisep) и (iiisep). Остается проверить условие (isep). '
Пусть рй, и^(у, Q) < 6/2. Это значит, что 3 и G Еп, х Е Gg : v < f(x) и II и -у По» <8/2. В частности, и, -yi>- ЬГ2ДЕ (1,..., л} и)/(x)>^z- 6/2 IE {1,.. ., и } . Но тогда из х Е Gg вытекает, что х Е G^, а из /)(х) > >J, - 6/2 следует, что /,‘Чх)>У} — 6/2, /6 (1,..., и} . Положим:
[ У1 - 8/2 при yi - 8/2 >yi - D и уд - Ь12^уЛD.
vz= _
\ уt-D в противном случае.
Тогда и,- < ff*\x) для всех /G {1,..., л }й uG ^ т.е. иЕ Q^X Вместе с тем при yt - 8/2 G [у; - D ^y^ Р] имеем I yt — vt I < 8/2. Если же yt - 8/2 < <JZ-P, т.е. yz-6/2.<uz,to изyz>Jz-P-(3/4)6 следует I jz - vz I < < (3/4) 8. Наконец, в случае yz - 8/2 >yi + D неравенство /z(x) > yi - 3/2 невозможно и, стало быть, всегда I yt - uz I < (3/4) 3 или рй. । (у, Q^ < <(3/4)5.*
224
Таким образом, при ри. ^w(y, Q) < 5/2 тип результата sep непременно есть/. Это и доказывает выполнение (zSep)- Теорема полностью доказана.
Замечание. Если sep.( у, 6) = (/, х), то по у и х можно указать и: и < /(х) и II v - у И»» < 6 (условие (Дер))- Такое и будем обозначать/б(х).
5. Оценим теперь трудоемкость процедур sep i и sep2.
Теорема 2. Число шагов процедуры sep! не превосходит величины
(25)(26)(27)(25)(26)(27)1 Mx^Ccmln, огуб
(25)
(26)
(27)
(25)
(26)
(27)
а число шагов sep2 не более о 1
Af2(5)< cw2ln .
ау0
Здесь
Доказательство. При выполнении условия (22) утверждения теоремы очевидны. Будем в дальнейшем предполагать, что имеет место неравенство (23).
По стандартным соображениям, используемым при изложении метода и обосновании трудоемкости МЦТ и ММЦТ [35, 68], при i < i имеем:
|G,K 0iGol,(28)
/1
где g = 0m<\ (для sepi Рт = 1, для sep2
\е
0=1- — ,dm > 0, dm ►И\
Нт*ЛЛ>ЛЛг
ГПт 00 J
По тем же стандартным соображениям при х Е G \G, имеем либо х<0^, либо Э/(х) 6 {1,..., и } : /^(х) < уцх-) — 6. Следовательно, если
6 = lxGG,\f(?t) > у-6>,
то G С Gj при всех L Кроме того, G^ ^>Gg при всех I.
Пусть xt - решение задачи
( fln (х) -yi)^- max I х Е G^X( fln (х) -yi)^- max I х Е G^X(^): 7(/)« = min
( fln (х) -yi)^- max I х Е G^X
( fln (х) -yi)^- max I х Е G^X
Введем для 0 <9 < 1 множество G^e = (1 — 9')5q + 9GpX Имеем:
I Gl>e I > 0m I G^ \>em\Gg\= 9т^т I Gok
Пусть
0,<<а-уе)т(29)
Тогда по (28) Gt еХС^ф, и, следовательно, существует точка х4 Е Gi e\Gt. В силу вогнутости 7"(,)(х) и xt Е Gt,e имеем:
/(0№) > (Z^VOXl - 5) + У inf/<'\х).(30)
G
Поскольку xt е G ^\Gb то для некоторого / = 1(х() будет /^\xi) < <У1~ 8,т.е./^(х<)<-6. Таким образом, из (30) следует:
7(0(х,)(1 - 0) < - 6 - 6 inf/(,>(х).(31)
G
Имеем:
infT^x) = inf (min [/(0(х) -уД>>
GG I
(
3 \
2D + - 6 1
4 / (мы учли (23)).
Итак, в силу (31) из (29) вытекает, что
/(0(х,)(1 -6)<-8 + в(2О + - 8k-8(l-0) + 2D0.
X 4 /
Отсюда
(32)(33)(32)(33)/(0№)<_б + 1 — У
(32)
(33)
(32)
(33)
Если в таково, что 2D68
1-64 ’
то из (32) следует, что/^(ij) < - ^8, т.е. (по определению /^(х)) _ .3
min { $1\хд -у,} <--8
I4
или (по определениюх{) min{/,(0(x/)-y(} <"6.
14
Но последнее означает, что
Таким образом, если 9, i таковы, что выполнены неравенства (29), то работа sep. на шаге i останавливается. Итак i, не превосходит первого номера, для которого
буа 8D + 6буа 8D + 6
буа 8D + 6
буа 8D + 6
Учитывая выражения для 0 в процедурах sept и sepa, получаем утверждения теоремы.
Процедуры локализации
Процедура Loc(S, 6) использует в качестве входа множество S из некоторого семейства О выпуклых компактов с непустой внутренностью и параметр 6 > 0. Процедура LocfS, 6) выдает на выходе результат одного из трех видов (I, х, S), (П, х, 5), (Ш, 5), где J, II, Ш - один из трех возможных типов результата, х G Gg, S = ф или 5 Е П. При этом даяШ: у ^ S, для П: 3 s(y) е {1,... »: и^Р,^у; для I:/e (х)Я0Л
Процедура Loc называется GJ-стягивающей на входе (S, 6), если
iSKwISj.(34)
Опишем три версии процедуры локализации. Две йз них - Loci и Loc2 — используют источник информации первого порядка. Loci основана на идеях МЦТ, a Loc2 - на принципах ММЦТ; Loc3 опирается на источник информации нулевого порядка и идеи ММЦТ.
В процедуре Loci в качестве П принимается семейство выпуклых компактов в Еп с непустой внутренностью.
Правила, описывающие Loci на входе 5,6, таковы.
1 . Вычисляем центр тяжести y(S) тела 5 и применяем sep. (у (5), 5). Если результат sep. имеет вид (П, ^), то полагаем
5= {уЕ5|<^у-у(5)><0}
и результатом Loc^S, 8) объявляем (Ш, S).
2°. Если результат sep. (у (5), 8) есть (I, х), то проверяем выполнение условий
Mx)Rsus,sGUг}.(35)
Возможны два случая:
одно из условий (35), скажем s'-е, не выполнено, и £_ — опорный функционал к предпочтению R_ в точке А (х). В этом случае полагаем
S={yE5;<^,y-/6(x)><0)
и объявляем (II, х, 5) результатом Loci;
все условия (35) выполнены,/^ (х)Я,и, Vs Е 1,г и sep.(у (S), 8) = = (I, х). Пусть $о — ненулевой опорный функционал к Ro в точке Л(х). Полагаем 5 = {у Е 51 ($0> У ~fs(x)) <0} и объявляем (1,х, 5) результатом процедуры LoCj (5, 8).
В процедуре L0C2 в качестве П принимается множество эллипсоидов в Еп. Процедура Ьос2 устроена в основном так же, как и L0O1. Отличие от Loci заключается лишь в том, что, построив S, принимаем в качестве S эллипсоид минимального объема, содержащий S (при условии, что int 5 Ф ф). Если int S = ф, полагаем S = ф.
Процедура Loc3 работает с ЛПР нулевого порядка. В Loc3 в качестве П служит, как и в Ьос2, множество эллипсоидов в Еп.
Правила, описывающие Loc3 на входе S, 8, таковы.
1 . Вычисляем у (5) — центр тяжести тела 5 — и применяем sep. (у (5), 8). Если результат sep. имеет вид (П, <р), то полагаем:
^(yesi^.y-xs^o}
и переходим к 3°.
15*227
2 . Если результат sep.(^(S), 5) есть (1,х), то находим s Е {0,...,г}:
_ s Е {1,..., г }: usP8fb (х), если такое s имеется, s =
О, если f6(x)Rsu8> sE (I,...,г}.
Затем проводим следующее построение (в координатах 0$ в Еп с тем же элементом объема, что и у исходных, в которых 8 — шар радиуса рс центром в 0).
Опишем вокруг /§ (х) правильный симплекс Д такой, что радиус описанной вокруг Д сферы равен р/(Ю0л). Пусть у1 — наихудшая (везде далее ’’наихудший” в смысле R_) среди вершин Д. Обозначим для всех .у Е Е\ У * fb^ через Д(у) ^-правильную пирамиду с вершиной .у с высотой, коллинеарной у - Д(х), ребрами (боковыми) — ^ортогональными векторами Д(х) - у1 (у' - концы ребер, отличные от у), углом фп = - arccos 1/(2л) между высотой и боковыми гранями. Если у — худшая из вершин Д (.у), то полагаем Ту = у и К^у^ = {z\y - z лежат в конусе допустимых направлений из у в Д (.у) } . Если .у не является худшей вершиной в Д (у), то обозначим через Ту ту из вершин Д (у), для которой уР-Ту. Строим последовательность у1.^2 = ТУ1, у3 = Ту1,... до тех пор, пока не получим .уz = Ту1. Полагаем 8 ~8\К (у) и переходим к 3°.
3°. Во всех случаях принимаем в качестве 8 эллипсоид минимального объема, содержащий 5 ._
Если Г определено и равно нулю, то Loc3= (1,х, 5), Если 7 определено и Г> 1, toLoc3= (П,х,5).Если$‘ не определено, то Loc3 = (III, 5).
Имеет место следующее утверждение, характеризующее описанные процедуры.
Теорема 3. Процедуры Loci — Loc3 являются процедурами локализации. Если 5 содержит II • Ио-шар радиуса р с центром в у (5) (в центре тяжести тела 5), а 6 <р/100и, то коэффициент со стягивания Loc,(5, 5) на входе (5, 6) равен
— с, с>0 для i = 1, w = с
1, с>0 для / = 2,3.
п
При этом Loc3 требует не более б? (и5 In и) обращений к источнику информации (кЛПР).
Доказательство.
1°. Можно непосредственно убедиться, что процедуры Locj — Loc3 удовлетворяют требованиям из п. 5.1 § 5 к процедуре локализации.
По стандартным соображениям, использованным в [35] для оценки трудоемкости выпуклой оптимизации с ’’оракулом” нулевого порядка, верна и оценка числа обращений к ЛПР для Loc3.
Проверим лишь свойство стягиваемости приведенных процедур локализации.
2°. Пусть 8 содержит I • L -шар радиуса р. _
Если sep(y (S), 5) = (П, ^), то при i = 1 8 содержится в части 5, отсекаемой от нее гипедплоскостью, проходящей через центр тяжести y(S) тела; при i = 2, 3 8 — эллипсоид минимального объема, описанный вокруг этой части.
228
Во всех этих случаях свойство стягиваемости обосновывается стандартными (для МЦТ и ММЦТ с источниками информации первого и нулевого порядка) методами.
Пусть теперь sep. ^у (#), 6) = (I, х).
При / = 2, 3 S содержит I • I*-шар радиуса р с центром в у (#). Поскольку 6 < р/100п, а 1/б(х) -y^S) L <6, то /б(х) содержится в результате S* подобного сжатия# ку (# ) в 100и раз. Значит, в координатах^ имеем lAM ~ У (?) I < pflOOn, и вершина К (К - конус, удаляемый из S для
ftic. 9.1ftic. 9.1
ftic. 9.1
ftic. 9.1
получения #) лежит в шаре радиуса pjSQn с центром в нуле (в координа- с
тах Og). Поэтому стягиваемость с со = 1имеет место и здесь. _ п
При i = 1 (и sepify (#), 6) = (1, х)) # содержится в части, отсекаемой от # гиперплоскостью П, проходящей через/6 (х) и пересекающей I • loo-шар радиуса 6 с центром у (# ). Поскольку р> 100 иб,то/$(х) содержится в результате S'’подобно го сжатия# ку(#) в 100л раз.
Пусть По - гиперплоскость, проходящая через ^(#) параллельно П (см. рис. 9.1). Можно считать, что По О # ф ф (в противном случае I# К < ( 1) I # I по свойствам МЦТ). Именно этот случай изображен на ри-
х ^/ _
сунке. Здесь # - заштрихованная. # — дважды заштрихованная, Д# — однократно заштрихованная, # — незаштрихованная область.
Пусть о — максимальная из площадей сечений # гиперплоскостями, параллельными По и заключенными между По и П. Тогда | Д# | < oh (Л — расстояние между По и П). В то же время плоскость П, параллельная По и отстоящая от нее на \00nh, пересекает # (поскольку П пересекает #*). Следовательно,
1
i#U Д#|>-а100мЛ = lOOoh и
|#иД#|>100( Д#|.
е- 1
Но | # U Д# | <| # j (свойство МЦТ). Таким образом,
~е
1 I д#к
100 е
ISI
и
|SI<1,O1 — |SI, e
что требуется. Теорема доказана.
Замечание. Утверждение о стягиваемости (с очевидными изменениями доказательства) остается верным и тогда, когда условие ”5 содержит H-Цоо-шар радиуса 100мб с центром в ^(5)” заменено на условие ’’при sep.(y(S), 6) = (1,х) вектор у (S) + 100и(/5(х) -y(S)) лежит в S”.
Методы решения задач ОВП
В § 3 приведена грубая схема решения задач ОВП. В соответствии с этой схемой решение задачи ОВП сводится к итеративной последовательности решений системы выпуклых неравенств и задач математического программирования в порядковых шкалах. В § § 4, 5 сформулированы требования к процедурам сепарации и локализации, используемым для решения задач. Там же построены две версии процедуры сепарации — sepi и аерг и три версии процедур локализации- Loci — Loc3. Комбинируя их, можно получить шесть версий методов решения задачи ОВП.
Обозначим через ®£д такой метод, отвечающий параметру 6 > 0 качества решения и использующий процедуру сепарации sepK(y, 6), к = 1, 2, и процедуру локализации LocM (Q, 6), д = 1,2,3.
Пусть Х*+1 = (I, П, III) — тип результата процедуры LocM (Q/, 6). Метод ^5д описывается итеративным процессом
(^/+1,^+1,Ci+i) = Ьосд(5;,6).(36)
Здесь хН1 определено лишь для Х/+1 ^ III. В (36) предполагается, что
бо =бо =W при д = 1,
бо =
бо =
II • ||оо-шар, описанный вокруг W, при д = 2, 3.
Процесс обрывается в первый момент (обозначим его М(6)), когда выполняется одно из следующих двух условий:
(37)(37)e»<(5)"i^i.
(37)
(37)
Хм^Ши 100n(f6(xMVy<QM-i^*y(.QM-i^QM-i. (38)
Остановка процесса ®£д в соответствии с (37) свидетельствует о том, что решение локализовано в области QM столь малого объема, что обеспечена определяемая параметррм 6 точность. Остановка процесса $£д в соответствии с (38) свидетельствует о том, что 6 > eptS^n^n + 1), где р — радиус 1141 «о-шара, содержащегося в Q^r)- Это значит, что множество е- приближений слишком ’’тонкое” и не улавливается процедурой sep с выбранным параметром погрешности 6. Чтобы онаружить е-приближение, необходимо остановить процесс решения с принятым 6 и начать новую итерацию с меньшим значением 6.
Результатом работы $^ считается лучшая (в смысле R^ среди точек множества F = { /(х,)| 1 < / CM, X/ = I). Отметим, что результат SgM не обязательно определен. Если F = ф, результат метода не определен.
Исследуем процесс $^. По условию Q^ имеет непустую внутренность и Qw содержит || • || * -шар радиуса р. В таком случае 6-окрестность 0е» множества решений Q* задачи ОВП в Q^r) содержит ||-|| оо-шар радиуса ер. Имеет место следующая теорема.
Теорема 4. Пусть результат ^д не определен или определен, но не является е-приближенным решением задачи ОВП. Тогда,
ер
Ь>-.•(39)
50м(м + 1)
Доказательство. Проверим, что в условиях теоремы Q* С Q/ для любого / < М (8). Для / = О это включение верно. Пусть теперь Q$ А A (G/\Q/+i) * Ф при некотором / < М. Это означает, что Зу е Q^: у В Е Qj\Qj*x . Последнее невозможно при Х/+1 # I (поскольку при Х/+1 = = III Q/+1D Qj П 0 по определению процедуры Loc, а при Ху+1 = II Q/+i D D Qy П Q^r^. Таким образом, Х/+1 = I и результат ®£д найден. Обозначим его х. По определениюх будем иметь/(х)Я0/(*/+1)- ДДЛее/(^ X X Rofs (ху+1). В силу того, что Ху+1 = I и у ^Q^XQ^x, получаем (по определению процедуры Loc) /б (^/+1)^оУ- Итак, f(x)Roy. Но из у Е Q^ следует, что у^о^^) (где у(^ - худшая по предпочтению Ro точка 6-окрестности множества Q* вб^)) и/(х)/?о^(е),что противоречит условию теоремы.
Мы пришли к выводу, что Q* С Q^ Vj<M(6). Если в момент М(8) выполнено (37), то 16м(б) I < ^(Df 1^1, тогда как 16^ I > (2ер)”, поскольку Q^ содержит ||-1| оо-шар радиуса ер. Из Q* С Qm^ вытекает, что
(2ер)я<1ем(6)|<^У(2Д)п
или ер < 8, что и требуется в (39).
Пусть теперь имеет место (38). Это означает, что ||-|| w-расстояние от ^(Qm-i) Д° границы Qm-x меньше 100иЗ. Отсюда следует, в соответствии с известными результатами о геометрии выпуклых тел (см. п. 6.3), что QM_! содержится в слое между двумя параллельными гиперплоскостями с ||-И*-расстоянием между ними, меньшим, чем (и + 1)100и8. Но этот слой обязан включать и Н-Н^-шар радиуса ер (содержащийся в Q* С С 6м-1), отсюда получаем, что 2бр < (л + 1)100и8. Теорема доказана.
Докажем геометрический факт, использованный при обосновании утверждения теоремы 4..
Пусть ум_ 1 = у (Qm-1) -центр тяжести выпуклого тела Qm- i • Как уже указывалось, в ситуации (38) на границе Qm-x существует точка и такая, что ||и - ум-х II* < 100и8. Проведем через и опорную гиперплоскость П к Qm-x и коснемся Qm-x параллельной П опорной гиперплоскостью П' (см. рис. 9.2). Пусть она касается Qm-x в точке и. Ясно, что тело Qm-x лежит между П и П1. Требуется доказать, что расстояние (в норме Ноо) между П и П' не превышает (п + 1)||и -ум+х II*-
Проведем через ум-i гиперплоскость По, параллельную П, и построим конус К с вершиной и, основанием на П и сечением гиперплоскостью По, равным Qm-\ п По. Гиперплоскость По разбивает К на две части (К* и К") и Qm~i - также на две части (0^-j и 2м-1)* Ясно, что Qm^i с^* uQ^dk-.
Пусть п - нормаль к По. Вычислим и сравним между собой моменты рассматриваемых тел относительно По. Очевидно, f .\(n,y)\dy< f \(n,y)ldy
и
/\(n,y')\dy> /|(л,у)|</у.
В силу того, что По проходит через центр тяжести ум-1 = у(6м-1) тела Qm-л^ моменты Qm-y ^Qm-y относительно По равны между собой: ■ Л Un,y>\dy = J_ Ka.jOldy.
УеОм-\ ' у^9м-1
Поэтому
J \(n,y)\dy< f \(n,y)\dy. уек~уек*
Это значит, что По лежит ближе к вершине и конуса К, чем центр тяжести К (точнее, центр тяжести К лежит в К*). Следовательно, расстоя- ,1
ние между П и П делится По в отношении, превышающем — : 1,
X’l-uobne)^!.! (По,п ^ ~ ■•1( т.е.
Рц-ll., <п0. П^^иРц.ц^ (П, По), чтр и доказывает высказанное утверждение
0ц *цw ПЬ П )<(и + 1)рц.и^ (П, По).
Теперь ясно, как организовать метод решения задачи ОВП. Пусть 5к — решение уравнения
Будем последовательно применять процедуры S^, Sg^,... Пусть х£м — результат S^ (он может быть и не определен). По теореме 4 при всех к, для которых Ьк CepJSOnQi + 1),х^д определен и является е-приб- лиженным решением задачи ОВП. Пусть к(е) — минимальное к, для которого &к <€р/50п(п + 1), или, что то же, для которого
D/D 1\
In — >1п(50м(м+1)1=^(6).
6*\Р €/
Тогда
(40)(40)D.
(40)
(40)
In< 2^(€).
5*(е)
Отсюда видно, что точность решения е задачи ОВП с помощью процедуры 59 $д зависит от параметра 5 и характеристики р решаемой задачи — радиуса || *11^-шара, содержащегося в Q^r). Параметр р характеризует массивность множества допустимых ограничениями планов. При заданном € и известном р можно было бы выбрать 6 = 6к^ (р) так, чтобы процедура 59 £д обеспечила решение требуемой точности. Если же р неизвестно, то приходится строить итеративный процесс S^»..., ^6^, • • • Как показывают оценки из § 7, решение погрешности € произвольной задачи ОВП с любым р > 0 будет построено в некоторый момент к = к^е, р), и суммарная трудоемкость итерационного процесса $^»..., оказывается по порядку такой же, как и у S^M - процедуры, предполагающей знание р. • . - -
К сожалению, при априорно неизвестном р не видно, как^гарантированно обеспечить прерывание итеративной процедуры в момент к = к^е, р). Момент прекращения вычислений определяется в таких случаях из других соображений, например, исходя из допустимых ресурсов машинного времени. .
Оценка трудоемкости метода.
Посмотрим, чего ’’стоит” (в вопросах ЛПР о предпочтениях и в вопросах оракулу первого порядка о fng) х *^.
В соответствии с утверждением теоремы 3 для метода ®gM решения задачи ОВП имеет место неравенство
Qm^ < ^“^ I Qo I < <Л<6> л”'2 I w |.(41)
В силу (37)
I Gm(6)-1 l>^~^ ИП
Учитывая (41), имеем:.
ыМ(6)-1ип/2 । w । >^^ | W |
или
М(5)<сл'<д>1п где
Dy/n
8 *
(42)
/(д) =
Д=1,
д = 2,3,
сп1^ — верхняя оценка 1/(— In из х*п^.
Итак, число обращений к процедуре LocM в S^M не превосходит ве
личины.—
Мд(6) = сп1^ In .(43)
5
Число вопросов к ЛПР в процедурах Loci и Loc2 (при однократном их применении) не превосходит одного, а в процедуре Loc3 не более си5 In и. Поэтому общее число вопросов к ЛПР при применении метода S6 с LocM не превышает
^д(5) = сп1 ^ (1ппУ^ In —^",(44)
где
/(Д) =
/(д), д=1,2, l(pi)n5, д = 3;
/(д) =
О, д=1,2, 1, Д = 3.
При методе ^м погрешность е будет обеспечена в первый момент Л(е) использования ®g£> для которого 8fc(e) <ер/50л(л + 1), или, что то же, в первый момент к = ^(е), для которого
D\/n 50и(и + \)VnD
In> In.(45)
. 8кер
С ростом к числа, стоящие слева в неравенстве (45), удваиваются при увеличении к на единицу. Ясно поэтому, что
D\/n 50м (и +
In<21п —
М<)€Р
(46)
Общее число вопросов ЛПР, которое следует зада1Ь для получения решения погрешности е, в силу (44) не больше
к^ _fc(e)D\/n 77 .=
S NM(6k) = c S In-?- n‘WOnпУм =
k=lк=1 Ок
= сп,м0»пУм ^ 2к Clcn'^Onny^I16^^к-1
= 2сп1^()ппУ^\п
<СП1^0ппУ^\П
Me) 50и(и + 1)\/и D
ер
(47)
(последнее неравенство — в силу (46) ).
234
Итак, общее число обращений к ЛПР для получения решения погрешности е не превосходит (при применении LocM) величины
_ ч Тг,а 50и(и+1)\/лР
= с п1^ (In пУ^ In.(48)
€Р
Каждое обращение к LocM ’’стоит” одного обращения к sepK (к = 1 или к = 2). При этом в процедуре $^ происходит обращение к sepK(-,M-
По теореме 2 одно обращение к sepK ( •, 8^) ’’стоит” не более
А<5*) = ст'^ In —-=
«7»*
= cmr^ In ——— < cmr<-K^ In ^/—(49)
«75*«75*
вопросов к оракулу. Здесь
к = 1.к = 1.г(к) =г(к) =к = 2,к = 2,1/ш, 7 =1/ш, 7 =
к = 1.
к = 1.
г(к) =
г(к) =
к = 2,
к = 2,
1/ш
, 7 =
1/ш
, 7 =
Общее число вопросов к оракулу в ®$£ не превосходит, исходя из (44) и (49), величины
~/ х х Dxfn Dx/и
Мк ц(^к) = стг^п^ In In (50)
^k ^k
Общее число вопросов к оракулу до получения решения погрешности € не больше
^(е)Г) */ и Г Dx/ И1 1
S cm^*Wln -^- ln-^L + 1п —=
* = i8к [ 8кay J
*(е)Г1 1
= 2 cm^*^^* 2* + In — <
* = 1L«7 J
< 4cmr('cW(,1)2k<eJ2k(e) + In — I = L«7 J
= cnf^n1^ In ——- Г In — +. In——
5*(е)LЬк^«7
(51)(51)HkI i(u) iD\/~n
(51)
(51)
= cmr'•к,^r'■,1, InIn .
5*(e)«7S*(e)
Учитывая (46), находим, что это общее число вопросов оракулу до получения решения погрешности е не превосходит величины
Nk^c, P) =
,m nut. «(n + l)Vn"D , «(п + ^хПГО
= cmr^Kfnn,i/ In In .
epayep
Сравнивая оценку (44) и (47) (соответственно (50) и (51)),получаем упомянутый в п. 6.3 § 6 тезис о совпадении по порядку величин суммарной трудоемкости итерационного процесса S^,®^,..., ®^ и трудоемкости процедуры 5Ву д, предполагающей знание параметра р.
§ 8. Задача ОМП с произвольными бинарными отношениями
По аналогии с расширением задачи математического программирования в порядковых шкалах (см. гл. VIII, § 5) введем четыре типа задач обобщенного математического программирования (ОМП)
/0(х) - шах(Ло> S^.Wj^RiUj, jevR x^G.(52)
Здесь //(): ^^ Eni, j € 0,г; R, - бинарные отношения на 3)j^fj(G), i е оГг * = 1-5-4.
Назовем точку х, удовлетворяющую ограничениям задачи (52), е-оптимальным решением задачи ОМП *-го типа, если
VzeS*e(/(xe))n S
Рх (^S(k, R 0 )(/(z)). ^S(k,R „ )(Я^е))) < €,
где^
^(*.Я0)() = ®\со({ ) иЯ^.)),
® —множество допустимых планов задачи (52).
Так же, как и для задачи МППШ, можно показать, что е-оптимальный план задачи ОМП в приведенном здесь смысле является и е-оптимальным планом задачи ОМП в смысле (12) (см. § 2) и наоборот.
Из теоремы 7 гл. УШ следует, что если 5)Ф ф и/0 (®) — ограниченное множество, то Ve > 0 существует е-оптимальное решение задачи (52).
Расширим несколько понятие вогнутой функции. Пусть R - бинарное отношение на выпуклом множестве G СЕп /f^ • ): G -*Еп.
Назовем функцию/( •) R-вогнутой £-го рода, если множества
М^ ^{y^G\f{y)Rf(x)}'
и
М.(х) = ( У еG | S* (Лу)) D S* (/(х))}.
выпуклы Vx G G..
Назовем задачу (52) вогнутой задачей ОМПтипа к, если// (•): G -*Еп*, j € 1, г, Яу-вогнутые функции рода 2, а /0 (• ): G ^Еп* — Я0-вогнутая функция *-го рода. Назовем задачу ОМП типа к нормальной, если:
G выпуклый компакт с непустой внутренностью,
/у (•) непрерывны, / е 0,г,.
S»,M, S^y) открыты Vy е G, a S^y), Е^Ду) замкнуты VyeSDfJ ео,г,
GRj(x) = GR.(y) XfyeER^x\ Vx£G, /€1,г.
Пусть задача (52) - нормальная вогнутая задача ОМП типа к. Положим Q^R^ = {(^, ^) е ^2 I // W ^/// W) и введем в рассмотрение следую- 236
щую задачу в порядковых шкалах, очевидно, вогнутую типа к; ■'
х -> max «KR^X ^Q(Rо}( J) I xQ^ bb / G T^ x G G.(53)
Теорема 5. Если множество 3) планов задачи (52) непусто и V/ €*1, г, ЗЬ) Е G такие, что/у (bj) Е Sr. (и/),то 3bj EG такие, что/у (bj) Е Er. (^), т.е. задачи (52) и (53) эквивалентны.
Доказательство: Пусть х0 Е 3). Если для некоторого / Е 1, г /у (х0) Е G^. (ну), то на отрезке [Гу, х0] 3 г: /у (z) Е ER. (Uj). Предположим, что это не так. Тогда /у ([Гу, х0 ]) связна как непрерывный образ связного множества, и по предположению
№> ^о]) ^ G^^ U s2Rj(ufy
Это противоречит СВЯЗНОСТИ /у ( [Гу, Хо ] ) , ПОСКОЛЬКУ Gr. (Uj) OS r. (llj) = Ф по определению и Gr. (Uj^ Ф ф и Sr. (19) ^ ф . Следовательно, на отрезке [Гу, х0 ] существует точка bj такая, что /у (bj) Е Er^ (itj).
Будем называть задачу (53) ядром задачи (52).
В дальнейшем будем считать, что задача (52) ОМП удовлетворяет условиям теоремы 5. При наличии соответствующего оракула можно использовать приведенный в п. 5.3 гл. VIII алгоритм для решения ядра задачи ОМП (52).
Без специальных условий, налагаемых на отношение Q(RjV информация о ядре (53) задачи (52) не может быть восстановлена по информации об Rj и /у. Достаточным условием для получения информации о Q(/?y) по данным оракула о Rj и /у является монотонность Rj.
Будем говорить, что бинарное отношение R fc-монотонно, если
х >у => (xRy) Л (S^(x) 2 $£(j))
и
х>у =* (хес^ л (S£(x) D SR(y)\
Теорема 6. Предположим, что:
задача (52) нормальна,,
ни одно из ограничений задачи (52) не является избыточным, в) Rj, j* Е 1,г, — 2-вогнутые и 2-монотонные бинарные отношения, г) Rо ^-вогнутое и ^-монотонное бинарное отношение.
Тогда задача ОМП (52) имеет вогнутое типа к ядро.
Док азательство. Покажем, что в условиях утверждения Q^R^, j Е 1, г, есть 2-вогнутое бинарное отношение на G.
Положим Qj = { у Е G | fj (у) Rjfj (х)} , хь х2 Е Qh X Е [0, 1], хх = = Хх! + (1 - Х)х2. Из вогнутости/у ( •) следует, что/у (хх) ^Vy(^i) + + (1 — Х)/у (х2), а из 2-вогнутостиRj вытекает, что
[Х^<х) + (1~Х)/у(х2)}едх)
и
GRjOfjtCv) + О - М№)) С Gr .^f^Y
Из 2-монотонности Rj следует, что /у (хх) Е GR. (fj (х) ), т.е. fj (x\)Rjfj (х). Следовательно, Qy =Gq^R0 (х) выпукло.
Рассмотрим множество Mj = {у G GI S^ (//О')) ^^(//(r))) . Зафиксируем Хе (0,1),хьх2 еМ,,хх = Хх! + (1 -Х)х2.
В силу 2-вогнутости Rj имеем:
S^M^H^-Wx^ э S^(/y(x)).
Из 2-монотонности Rj и вогнутости // (•) следует
S^fjtxx)) ^ StyX^ + (1 -Х)/Дх2))Э5^(//(х)).
Таким образом, Mj - выпуклое множество, a fj - /^-вогнутая рода 2 функция. Аналогичным образом доказывается, что /0(х) Ro -вогнутая рода к функция. Из теоремы 5 следует теперь, что задача (52) имеет вогнутое по типу к ядро.
. 8.4. Приведем общую схему решения монотонной выпуклой задачи ОМП ^-го типа (задачи (52)).
Будем считать, что вектор-функции //(•), / е 0, г, непрерывны на выпуклом компакте G, а множество 3) планов задачи (52) непусто.
Введем вспомогательные бинарные отношения Rj» j Е 0, г, на Ет, г
т = ^ги*. о
Rj ={(х,^) |Х = (х0, Xi, ... , хг), у = (Уо, Уъ •... Уг), XiRiyf}, и рассмотрим вспомогательную задачу в порядковых шкалах
х -* max (Ro, Si ( . )) | xRjU, / E 1, r, x E K,(54)
Ro
где u = (m0 , ux, • • • , wr), Uq E /о (G), V — выпуклый компакт с непустой внутренностью, содержащий coF(G),F( •) = (/0 ( * ),Л ( * ), • • • Л г ( * ))•
В качестве V можно взять, например, параллелепипед с гранями, параллельными координатным гиперплоскостям.
Предъявим к оракулу те же требования, что и в § 5 гл. VIII. Дополнительно предположим лишь, что если х ^ со F(G^, то оракул указывает единичный направляющий вектор, разделяющий х и со F(GY Чтобы унифицировать алгоритм, удобно рассматривать задачу (54) с дополнительным ограничением
х тах(Л0, S~( ))| xRjti, j^\»r,
xRr+1ur+1, xEV,(55)
где ur*x — произвольная граничная точка со F(G), а
G^u^) = С0 F^ - ЕГ .
Задача (55) может быть решена с помощью алгоритма из § 5 гл.VIII для задачи (15), если при этом, конечно, выполняются указанные там условия и требования к оракулу.
е-оптимальное решение х€ задачи (55) индуцирует е-оптимальное решение задачи (52). Действительно, пусть хе - е-оптимальное решение задачи (55). Тогда х€ Е со F(Gy Следовательно, существуют хь . . . , хп EG,
пИ
Хх,..., Х„ Е [О, 1], S X/ = 1 такие, чтохе = SX/F(x/). В силу вогнутос- 11
п~
ти F имеем F( S X/Х/) ^ хе - В силу монотонности R$d Е 1, г, первые г
ограничений задачи (55) удовлетворены, а (г + 1)-е ограничение выполнено по построению. Следовательно, T,\txt - допустимое решение задачу (52). Из неравенства F(E Х/Х;) ^хе вытекает е-оптимальность решения Ё \xt.
1
Таким образом, е-оптимальное решение задачи (52) ОМП строится по хе — е-оптимальному решению вспомогательной задачи (55), как решение системы неравенств
F(x) >хе, xEG.(56)
Сделаем несколько замечаний.
Замечание 1. По аналогии с рассуждениями п. 5.4 гл. VIII можно перейти от задачи ОМП с целевым бинарным отношением Ro к задаче ОМП с целевым отношением С(/?о) (см. (18) гл. VIII) и учесть таким образом введенное в п. 1.5 гл. V расширение понятия оптимизации по бинарному отношению — (R, С)-оптимизацию.
Замечание 2. Если F — не вогнутая вектор-функция, а так называемая выпуклообразная (т.е. функция, переводящая выпуклое множество в выпуклое), то изложенная схема решения задачи (55) сохраняется, только неравенства в системе (56) заменяются равенствами.
Замечание 3. Учет (г + 1)-го ограничения в (55) требует дополнительной информации от оракула. Однако, увеличив размерность задачи, можно исключить потребность в дополнительной информации. Действительно, нетрудно проверить, что условие xEcoF(G) — Е™ эквивалентно разрешимости системы выпуклых неравенств
F^^x.yGG.(57)
Это значит, что (г + 1)-е ограничение в (55) можно заменить системой неравенств (57) и задача (55) может быть переписана в виде
x-^max^jS^^lxRjU, jEl,r;
F(y) >x, yEG, xE V.
Замечание 4. В § 1 задача ОМП вида
f0(xVmax(R0)\fsto sE 1, г,
^(х)<0, ]ЕТд, xEG
с помощью вспомогательных бинарных отношений Rs,векторов us и вспомогательной вектор-функции /(х) сведена к задаче вида
Дх)-^шах(^о) I f^Rsus, sEl,r;
gy(x)<0, jEVk, xEG,
Решение последней задачи в § 3 - 6 сводится к решению последовательности задач в порядковых шкалах и систем выпуклых неравенств. Прием,
предложенный в настоящем параграфе, позволяет свести задачу ОВП к решению одной задачи в порядковых шкалах более высокой размерности
у-*тах(Яо)\У^Ц$> $е1,Г
gz(x)<o,/еГл f(x)>y, xec.yev,.
где V — выпуклый компакт простой структуры (шар или параллелепипед), содержащий /(G). Другой подход к сведению задачи ОВП к задаче МППШ приведен в [72].
Глава X
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
§ 1. Постановка задачи
В настоящей главе излагаются конструктивные методы анализа выпуклых многокритериальных задач, в которых принцип агрегирования показателей качества выбора использует предпочтения лица, принимающего решение (ЛПР). Этот подход в той или иной мере включает и другие известные принципы определения понятия ’’решение многокритериальной задачи”/ Многие из них отражают частные, специальным образом выраженные предпочтения ЛПР над множеством значений компонент векторного критерия качества.
Представляются естественными две постановки многокритериальных задач с агрегированием, основанным на предпочтениях ЛПР.
В первой постановке лицу, принимающему решение, последовательно предъявляются пары планов хь х2 Е С и он выбирает из векторов, удовлетворяющих- условиям задачи, лучший по предпочтению R. В этой постановке выбор оптимального плана х * многокритериальной задачи записывается в следующем виде.
Требуется найти
х* EG СЕп, gy(x*)<0, /=1,...,т;
x*Rx XfxEG: gy(x)<0 V/.(I)
Во второй постановке ЛПР последовательно предъявляются пары векторов f^xx\f^x-x)EЕк показателей эффективности (критериев качества) планов хх, х2 Е G, и он выбирает из планов, удовлетворяющих условиям задачи, план х* с лучшим по предпочтению Ro вектором характеристик/1^).
В этой постановке многокритериальная задача записывается так: требуется найти
х* Е G, gy(x*)<0, j=l,...,m;
f(x*)Rof(x) VxEG: g/(x)<0 V/.(II)
241241Вторая постановка многокритериальной задачи (задача II) может быть сведена к первой постановке (к задаче I). ЛПР, осведомленный о предпоч- гении Ro, вместе с источником информации о /J(x) эквивалентен ЛПР с результирующим отношением предпочтения R. Какой же смысл имеет специальное рассмотрение задачи (II)? Дело здесь в следующем. Разумно предположить, что трудоемкость вычисления fj (и g.) существенно ниже.
241
241
16. д.Б. Юдин
чем трудоемкость построения лицом, принимающим решение, ответа на заданный ему вопрос. Вычисление fj и g^ - обычно задача, решаемая алгоритмически, возможно, на имитационной модели. Сравнение векторов, надо полагать, - творческая задача. Поэтому естественно строить диалоговую процедуру решения многокритериальной задачи так, чтобы по возможности минимизировать число обращений к ЛПР. С другой стороны, оказывается, что это число растет с ростом размерности векторов, которые должен сравнивать ЛПР. В модели (I) эта размерность - и, а в модели (II) - к. Обычно к (размерность вектора показателей) существенно меньше п (числа параметров управления, компонент плана или конструктивных параметров системы). Специальная структура модели (II) позволяет в этом случай получить более экономную (по числу обращений к ЛПР) процедуру диалога, чем в случае общей модели ОМП.
Заметим, что записи (I), (II) еще не представляют собой полных постановок задач. В этих формулировках указывается, что требуется найти, но еще не сказано, с помощью какой информации можно строить искомые решения. Будем в дальнейшем предполагать, что в нашем распоряжении имеются два источника информации. Первый из них (будем его называть оракулом^ в состоянии для любого х Е G (множество G задано априори) сообщать значения и опорные функционалы ограничений g](x),j = 1,. .. в точке х (в задаче (II) еще и значения и опорные функционалы в х к характеристикам fi(x)J = !,...,£). Второй источник информации - лицо, принимающее решение (ЛПР), - предоставляет информацию о предпочтении R в задаче (I) и о предпочтении Ro в задаче (II). Мы будем предполагать, что каковы бы ни были два предъявляемых ЛПР решения и, и из области определения соответствующего предпочтения (т.е. из G для R и из Ек для Яо), ЛПР в состоянии указать лучшее из них в смысле этого отношения. Если каждое из них не хуже другого, то ЛПР должен сказать об этом.
Ниже будут приведены итеративные процедуры аппроксимации искомых наилучших решений. На каждом шаге процедуры йредполагается возможность обращения к указанным источникам информации. Приближенное решение будет, таким образом, строиться в результате диалога с ЛПР. При этом подготовка вопросов к ЛПР производится, в свою очередь, в процессе диалога с оракулом. Процедуры различаются, в частности, типом ЛПР. Рассматриваются ЛПР первого и нулевого порядка: ЛПР! и ЛПР0.
Применительно к задаче (I) ЛП?! в состоянии для каждой пары векторов х, у Е G указать, какой из них предпочтительней в смысле отношения R. Кроме того, ЛПР1 может указать опорную в точке х гиперплоскость к множеству G(x)=lyEG\yRx}, т.е. такой линейный функционал £х на Еп, что G(x) Е {уЕ G|(^,y-x)< 0}?((£, и) - значение функционала £ на векторе и). При этом требуется, чтобы £х ^0, если Эу: уРх (т.е. когдах не является лучшей в смысле R точкой G ).
Соответственно для задачи (II) аналогичные требования предъявляются к отношению Ro. ЛПР1 указывает для каждой пары точек х, у Е Ек предпочтительную в смысле Ro точку и, кроме того, может для Уу ЕЕ^предъ- явить ненулевой функционал т^ на Ек такой, что множество G0(y) = =i { z Е Ек | zRoy } лежит в полупространстве {z | (yiy, г - у ) < 0 }.
ЛПР второго типа (ЛПР0) способно лишь указывать, какой из двух сравниваемых векторов (х,у Е G по предпочтению/? или/(х), /(у) Е Ек по предпочтению /?0) лучше. ЛПР0 не выдает информации об опорных функционалах к множествам G(x) и Go (х).
Метод решения задачи (I)
Будем предполагать, что в задаче (I) G - выпуклый компакт в Еп, gj(x\ / = 1,.. .— выпуклые функции, R — непрерывное вогнутое
монотонное предпочтение на Еп.
Рассмотрим принципы построения интерактивных процедур оптимизации предпочтения в задаче (I).
Пусть II • II - раз и навсегда фиксированная норма на Еп, II * II* - двойственная норма на сопряженном пространстве линейных форм. Расстояние pfl и(х, Н) точки х до множества НСЕп и диаметр d0 (| (Я) множества Н определяются (в норме II • I) соотношениями
р„ „(х,Я) = inf llx-yll, d" „(Я) = sup IIлг — jz II (НСЕп). , уенх,уен
Будем считать, что сообщаемые источником информации опорные функционалы gy (х) имеют равномерно по х Е G ограниченные нормы. Положим, что величины Lj = sup llgy(x) И* или верхние оценки Lj заранее известны.•
Определим понятие е-приближенного решения задачи (I). Пусть
е* = (е0, €!,..., ет), €у > 0, / = 0, 1,... , т, - заданный вектор допустимых абсолютных погрешностей,
G8 = (х Е G | g;(x) < О, / = 1,..., ал } - множество допустимых решений (считаем, что С8=^ф)/.
G* = ( х Е G8 | xRy Vy^G8 } — множество точных решений задачи (I),
G6q -^х^Еп | ри, g(x, G*) < е0 } - €0-окрестностьточныхрешений задачи, х(е0) — худшая (в смысле/?) точка Ge .
Назовем точку х ^приближенным решением задачи (I),если выполнены следующие условия:
(О xEG,'
g/(x)<€/, /=1,...,т,
х/?х(е0).
Наша цель - при данном F построить процедуру отыскания F-приближенного решения задачи (I).
Диалоговые, процедуры оптимизации предпочтения в задаче (I) используют две подпрограммы - разделения sepG(x, 6) и локализации Loc~(Q, 6).
Здесь х ЕЯ”, 6>0, QCEn.
Подпрограмма sep^ (х, 6) имеет вход х Е £*”, 6 > 0 и выход либо (I, х), либо (II, ф), где 1(11) — тип выхода х Е G, ф - функционал на Еп, || ф || * = 1. 16*243
При этом должны выполняться условия:
(Uep) р ।. в(х, G) < 5/2 =* sep(x, 5) = (I, х),
(iisep) sep(x, 6) = (I,x)=> lx-х IK3,
(iiiSep) sep(x, 8) = (II,^)=> sup <<д у> + 3/4<<1, x>, .yeG
или, что то же:
sep(x, 8) = (II, <р) ^G С { у j <ф, у - х> < - 8/4} .
Грубо говоря, подпрограмма разделения строит точку х Е G, если х близка (по норме II • II) к G (результат типа I) и строит гиперплоскость, разделяющую х и G, если х не близка к G (результат типа II).
Если G задано априори, то для построения подпрограммы sepG(x, 3) достаточно уметь находить ближайшую (в метрике, порождаемой нормой II • II) к точке х Е Еп точку яс(х) Е G и разделять гиперплоскостями G и не пересекающиеся с G II • ll-шары. (Здесь ^(х) - проекция точки х Е Еп на множество G.) Имея х и 8, строим irG (х). Если р й. й (х, G ) = II х -(х) IK
< 3, полагаем х = яс(х) и приписываем результату тип I. В противном случае, пусть кр, II кр II* = 1, разделяет G и II • ll-шар радиуса 5 с центром в х; тогда результату приписываем тип II.
Алгоритмическая реализация этих построений зависит от способа задания G и нормы II • II. Соответствующие пояснения приведены в [35] и [68] при изложении модифицированного метода центров тяжести для решения задач выпуклого программирования.
Подпрограмма разделения sepG(x, 8) может быть фрагментом более сложной подпрограммы локализации Loc-(Q, 3).
Подпрограмма локализации Loc-(Q, 5) имеет на входе пару 3 > О и выпуклый компакт Q С Еп из некоторого семейства П выпуклых компактов с непустой внутренностью. На выходе подпрограммы Loc возможен один из двух результатов: (I, Q, х) или (II, Q). Здесь 1(11) — тип результата, Q - выпуклый компакт из Еп либо принадлежащий Л, либо не имеющий внутренности (и, возможно, пустой), а х Е G. При этом выполняются следующие условия: V/EQ\2hK6/4(j) (5/4-окрестностьу (замкнутая) в метрике II • II) справедливо одно из соотношений:
(°0 ^8,4^ У') G^ G = ф,
(Р) ayEVb^yy^G.ajET^
(у) 5/(5) <€/,/€ 1, m, и xRy для некоторого у Е Г5 (у),.
и результат имеет тип I.
Кроме того, в случае, когда имеет место результат типа I, выполняются неравенства
^(хКе/,/=1т..(1)
Назовем подпрограмму Loc-(Q, 3) си-стягивающей, где 0 < о? < 1, если VQC П V5>06-
\Q\Cw\QV(2)
со-стягивающая подпрограмма Loc переводит выпуклое компактное множество Q е И в выпуклый компакт Q меньшего объема. При этом либо QC И, либо intQ = 0 (и, возможно, Q = ф).
Действие подпрограммы локализации может быть, грубо говоря, охарактеризовано следующим образом.
Если Q\Q содержит II • ll-шар малого радиуса, принадлежащий G, и для всех точек IIе ll-шара выполняется условие л(1), то процедура локализации указывает, помимо выпуклого компакта Q, точку х, удовлетворяющую условиям (1) и не менее предпочтительную (в смысле отношения/?), чем некоторая точка из этого Iе ll-шара (результат типа I). В противном случае подпрограмма Loc ограничивается построением множества Q (результат типа П).
Построим теперь метод SB решения задачи (I), использующий некоторую подпрограмму Loc-(Q, 6):
Пусть число вопросов, задаваемых ЛПР подпрограммой Loc~(Q, 5) на любом входе, не превосходит N<
Метод S3 представляет собой конечношаговый метод, трудоемкость которого (число шагов, гарантирующее погрешность решения, не превышающую F = (е0, еь ..., еш)) будет оценена ниже. К f-му шагу работы метода имеется область Qi-x ЕН. При этом Qo — какая-нибудь область из И, содержащая G. Обозначим через d диаметр Qo и положим
£о = 1, 5 = min e^L^ О <j < т
(3)(3)(18€0 1
(3)
(3)
у = mini — ,, —}.
I 2 5d d 1
На г -м шаге строится Qt = Loo- (Q/ _ i, 3). Если | Qt I > у”I Qo I, то переходим к шагу i + 1. В противном случае считаем, что метод выдал F-приближенное решение. Точка х определяется как лучшая (в смысле /?) точка xt среди компонент выхода подпрограммы Loc, на шагах, для которых тип результата был I.
Имеет место утверждение
Теорема 1. Пусть Loc_( •, • ) — ^^стягивающая подпрограмма локализации. Тогда результат х работы метода S3 есть ^-приближенное решение задачи (I), а число вопросов к ЛПР, гарантирующее построение х (трудоемкость 59), не более
N(T) = NN(T) = Nп In 1/у In l/wп In 1/у In l/w(4)(4)
N(T) = N
N(T) = N
п In 1/у In l/w
п In 1/у In l/w
(4)
(4)
Доказательство:10. Поскольку подпрограмма Loc^ (^-стягивающая, то | 5/1 <о/ | Qo I- По конструкции метода решение будет достигнуто при I Q; I < у” I Qo I • Из этих неравенств получаем, что метод остановится после числа шагов, не превышающего величины W(e ) из (4).
2°. Остается проверить, что х определено и представляет собой е’-приб- лиженное решение задачи. Собственно говоря, требуется лишь проверить, что х определено и xRx (е0) • В самом деле, из (1) и определения х следует,
что если х определено, то х Е G й g/(x) <€/,/ = 1,..., т. При xRx(e0) отсюда вытекает, что х есть е-приближенное решение задачи (I).
Пусть Gy = ( х Е Qo |х = (1 - у) хе + ух', х» Е Ge, х* Е Qo }. Тогда IG*7 |> у"| Со I- С другой стороны, в силу правила остановки метода 59 |G7| > | Q^\ (i - число шагов работы метода $ ). Стало быть, Зх = = (1 - у) х» + ух\ х» Е G*, х* Е Qo такой,что х £ Q*. А это значит, что xEQt\Qm при некотором/, 0 <z <i.
На шаге с этим номером i должно выполняться одно из условий (а) — - (у)4 В силу х Е G7 имеем:
/__6
P|.|(x,G)<pM(x, GJ<yd <-.
4
Случай (а), таким образом, исключается. Равным образом невозможен и случай (0). В этом случае нашлось бы у, I х - у II < 8/4 и / Е 1, m такие, 410 8)^ > €/ ~ ^L/S и у Е G. Поскольку Р|.ц(х, G») < 8/4, то Ри • и(Я ^*) < 5/2 и gj (у) < Ljbll, что дало бы €у < 3Ljb, а это противоречит (3).
Следовательно, н* «таге / имеет место случай (у). В частности, результат подпрограммы Loc имеет тип I их определено. В силу (у) имеемxf R Зс для некоторого х Е Кб(х), и по правилу формированиях xRxie Итак, х/?х. Но pg. |(х, G») <yd + 8 <е0, так что xRx(eo). Теорема доказана.
Замечание. Рассмотрим случай, когда ограничения gj (х) < 0 отсутствуют. В этом случае результат х применения метода S, настроенного на погрешность €0(е0 > 0), обладает следующим свойством. Если х0 Е G и х0(е0) - худшая в смысле R точка I • 1-шара радиуса е0 с центром в х0, тохЛх0(€0).
- Подчеркнем, что этот факт вытекает из доказательства, но нет следует из формулировки теоремы 1. Действительно, x*Rx0 прихеЕ Ge, но отсюда еще не следует, что х (е0) Rx0(е0).
Конкретные версии подпрограммы Loc
Рассмотрим несколько реализаций подпрограммы Loc, использующих диалог с JlllPj и ЛПР0.
Подпрограмма Loci, основанная на идее метода центров тяжести, использует диалог с ЛП?!. Семейство П в этой версии состоит из выпуклых компактов в Еп с непустой внутренностью.
Процедура Loci устроена следующим образом. Имея Q и 3, вычисляем центр тяжести x(Q) тела Q и применяем подпрограмму sep<;(x(Q), 6). Если выход подпрограммы sep - (П, ^), то результат Loci - (II, 0), где
Q = kx&Q\ (^х-х((2))<0}.
Если выход подпрограммы sep — 0, х), выясняем у оракула значения gj ^,1 = 1m gj(x),i = 1. • • л» m.
Возможны два случая. Еслиgj^y^ejj = 1,..., m, то обращаемся к ЛП? ! за характеристикой предпочтения А в точке х (за опорным функцио-
налом к множеству G(x) = {у 6 G| уДх} в точке х). Пусть 8* — ответ ЛПРь a f$ = £„ при $л ^ 0 и $ а — произвольный ^ненулевой функционал на Е” при f а = о. В этом случае результат Loci - (I, Q, х), где х - уже полученный выход подпрограммы sep, а выпуклый компакт Q определяется-соотношением'
Q = { х е Q I gj^ + (g, (х), X - x(Q)) < е/,
/=1т, (£a,x-x(Q))<0).
Если же 3 / е 1, т; g, (х) > е,- призеро(х(5), 8) = (I, х), то объявляем результатом Loc 1 — (II, 6), где
Q = {х еQ |g,^ +(g/(x),x -х(6)) < ez }.
Теорема 2. Loci является (^-стягивающей подпрограммой локализации 1
с о)= 1.
вАА
Доказательство. 1°. Ясно, что х (0) ^ int 0, Q выпуклой и Q С Q. При этих условиях значение со вычисляется с помощью стандартных оценок для метода центров тяжести (см. [35] или [68]).
2°. Убедимся, что Loc 1 удовлетворяет требованиям процедуры локализации. Зафиксируем Q Е П,8>ОиуЕ0\0. Пусть выход подпрограммы sep - (П, <р). Тогда в силу свойств sep:
<<А •*«?)>> sup (ф, z) + 8/4. хЕ G
По определению Q из у Е Q\Q следует:
(y>,j)>(<A*(6)).■
Поэтому (ф, у^ > sup (ф, z) + 8/4,итак как ll<pll*= 1,то справедливо (а), z Е G
Пусть теперь выход sep - (I, х) и gj (х) < €jj = 1,..., т, и при этом не имеет места (а). Тогда 3yG V^ (у) О G. Если при этом ( ^У~х^» > 0, то выполняется (у), поскольку lx - x(Q) К8. Если при тех же условиях (выход sep — (I, х), gj (х) <ez и (а) не имеет места) ( ^,у- x(Q))< <0, то, учитывая, что у € Q\Q,
3 / е 1, zn: gj(x) +(gj(x),y - x(Q))> e,, т.е.■■
</( 50 > gj^ +(g/(x),y-x)>e;-
- LyOy - у II + llx(Q)-x II) > ej - 26Lj.
Следовательно, выполняется условие (0).
• Итак, если выход sep — (I, х) и^(х) < ej, / = 1,..., т, то имеет место одно из условий (а), (0) или (у). Кроме того, только в этом случае выход Loc 1 есть (I, Q, х).
Пусть, наконец, выход sep - (I, х) и 3/ G 1, т: g, (х^> е/. Если при этом не имеет места (а) иу 6 F$/4(j) Г) G, то в силу y^Q, y^Q
3 / е 17m: gj<x) + (g)(x), у - x(Q)) > е,- *
=*gj^ + ($/(*), y-x^ej- 2bLh■
и выполняется соотношение ф). Теорема доказана.
Подчеркнем, что в подпрограмме Loc 1 на любом входе 1ЩР1 задается только один вопрос (N= 1).
Подпрограмма Loc 2, основанная на модифицированном методе центров тяжести, использует также диалог с ЛП?!. Семейство П в этой версии — множество эллипсоидов в Еп.
Процедура Loc 2 устроена следующим образом. Пусть х (Q) — центр Q. Применим подпрограмму sepc(x(0), л5). Если выход подпрограммы sep — (П, <р), то результат Loc 2 - (П/Q) где Q - эллипсоид минимального объема, содержащий Q. а
Q = кх EQ\^x-x(Q)) < 0).
Если выход подпрограммы sep — (7, х), выясняем у оракула значения 8j(x\ ] = 1, ..., m, gy(x), /= 1,... ,m. Возможны два случая. Если£у(х)< < €/, / = 1, ..., т, то обращаемся к ЛШ^ за опорным функционалом $ а к G(x) в точке х. В этом случае результат Loc2 — (7, Q, х), где Q - эллипсоид наименьшего объема, содержащий Q.
G = {X eeidj, x-x(Q))< о},.
ах — выход подпрограммы sep.
Если же при sepG(x(Q), 6) = (7, х) 3/ Е 1, т: g^(x) > €*, то полагаем Loc2 = (II, Q), где Q — эллипсоид минимального объема, содержащий Q = {xeQ|(^(x), x-x(Q)) < е#У
Теорема 3. Loc 2 — со-стягивающая процедура локализации с со = = 1 - dn/n, dn>0, lim dn > 0.
л -► oo-
Доказательство. Стягивающие свойства процедуры Loc 2 вытекают из обоснования модифицированного метода центров тяжести (см. [35]). Те же рассуждения, что и в доказательстве теоремы 2, позволяют убедиться, что Loc 2 - подпрограмма локализации.
Отметим, что, как и в Loci, в подпрограмме Loc2 на любом входе ЛП?! задается только один вопрос (N = 1).
В методе S, использующем Loci, предполагается возможность определять центр тяжести произвольного компакта Qt Е П. Поэтому построение множества Qt на шаге i в ситуации sepG(x(Q/_1), 5) = (I, xt) допускает учет всех условий, позволяющих сократить объем Q<. (Это, правда, не улучшает оценки трудоемкости метода.) В методе ®, использующем Loc2, множества Q/ Е П — эллипсоиды минимального объема, содержащие Qt. Алгоритм построения этих эллипсоидов (см. описание модифицированного метода центров тяжести в [35] или [68]) предполагает, что
Qi - ’’полуэллипсоид”, полученный сечением Qt_ t одной гиперплоскостью, проходящей через центр Qi-x* Поэтому при построении Qt в версии S, использующей Ьос2, учитывается только одно линейное неравенство, высекающее Qi из Qt-x* Отсюда различие в соотношениях, определяющих Qi в описанных версиях метода ®.
. Подпрограмма ЬосЗ использует ЛПР0. В качестве семейства И принимается, как и в версии Ьос2, множество эллипсоидов в Еп.
Пусть х(0) - центр Q. Применим sepG(x(0), 6). Если выход подпрограммы sep - (II, ф), то результат ЬосЗ - (П, Q), где Q определяется так же, как и в Ьос2.
Если sep^(x(Q), 5) = (I, х) и 3/ Е 1, т: g^x) > ер то результат ЬосЗ строится так же, как и результат Ьос2 для этих7 условий. Если же sepG^CQX 5) = (I, х), но gj^ < €/, / = 1, . . ; , m, то Ьос 3 = (I, 0,х), где х получено процедурой sepe, a Q строится следующим образом.
Пусть О - координаты в Еп, в которых Q есть шар радиуса 1 с центром в 0. Примем О за декартовы координаты и проведем указанные ниже построения, использующие полученную евклидову структуру.
Пусть W - шар радиуса 1/(100 и) с центром в х (здесь и далее все построения в координатах О), А - правильный симплекс, вписанный в W, у0 - его наихудшая (в смысле R) вершина. Рассмотрим правильную пирамиду А0 с вершиной у0, высотой, коллинеарной у0 -х, углом фп = = arc cos 1/2 л между высотой и боковыми гранями и боковыми ребрами, ортогональными радиус-векторам своих концов (лежащих на основании пирамиды); радиус-векторы проводятся из х.
Пусть у1 - худшая (по предпочтению R) среди вершин Д°. Если у1 = = у0, оборвем процесс. Если же у1 ^ у0, то построим А1 для у1 так же, как Д° для у0. Если у1 - худшая (по R) среди вершин А1, то оборвем процесс. В противном случае найдем с помощью ЛПР0 худшую вершину у2 пирамиды А1 и т.д. Как показано в [35], описанный процесс оборвется на некотором шаге построением правильной пирамиды Д5^ у которой ys - худшая (по Я) вершина. Построим конус К, центрально-симметричный относительно ys конусу направлений из ys в А5. Пусть К — свит К на вектор (—х). Примем в качестве Q эллипсоид минимального объема, содержащий Q\K.
Теорема 4. ЬосЗ представляет собой подпрограмму локализации, со- стягивающую с со = 1 - dn/n9 dn> 0, lim dn > 0. Реализация ЬосЗ Л -► *
требует не более ^ = си5 In и обращений к ЛПР0, с - абсолютная константа.
Доказательств о. Второе и третье утверждения теоремы доказываются точно так же, как и их аналоги в [35]. Необходимо доказать лишь, что ЬосЗ действительно представляет собой процедуру локализации. В случае sepe ^(Q^ 6) = (II, ф) и в случае sep^ (x(Q), 6) = (I, х), но 3/ Е
Е 1, т: gj(x) > €/ доказательство проводится так же, как и для Loci. Остается рассмотреть лишь случай, когда sepG (x(Q), 6) = (1,5) и при этом gj(x) < €/, / = 1, ..., т. Докажем, что в этом случае имеет место условие (у). Действительно, в этом случае gj(x) < е^ / 6 1, т, и результат Loc3 имеет тип I. Необходимо только проверить, что при у Е Q\Q имеем xRy для некоторого у Е K6(j). Но при у Е Q\Q непременно у = у + + (х - х(О) Е К. По определению К и в силу вогнутости предпочтения R (и поскольку ys - худшая по R вершина Д5) имеем ysRy. Но по построению xRy^ ,у° Ryx,... ,ys~ xRys, т.е. xRy, что и требуется.
4. Метод решения задачи (II)
Рассмотрим теперь задачу (II).
Требуется найти
х* EG, g/(x*) < 0, / = L ..., т:
f(x4Rof(x) Ух EG: g^ < 0,/=1,...,т.(II)
Будем предполагать, что g/(x), / = 1, ..., т, - выпуклые липшицевы функции на G, а//(х), z = 1, ..., £, - вогнутые липщицевы функции на G; Ro — вогнутое и монотонное предпочтение на Ек; опорные функционалы gj (х), j = 1, ..., т, и fi(x), i= 1, .:.., к имеют равномерно по х Е G ограниченные нормы.
Снабдим Еп некоторой фиксированной нормой ||*||, а Ек — нормой 11^ II оо = max |yf |.
1 < i < к
Положим
Ь/ = sup ||gy(x)IL, hi = sup ||//(x)||1 x G G 7x G G
и предположим, что Lj и ht или их верхние оценки заранее известны.
Пусть G^ = {у Е Ек | Зх Е G8: f(x) >у^, где, как и прежде, G8 = = {xEG|gy(x)<0, /= 1,... ,mY-
Поскольку предпочтение Ro предполагается монотонным, то оптимальный на G по Rq план является эффективным (оптимальным по Парето) планом. Из монотонности Ro следует также, что точным решением задачи (II) служит такое х* Е G, что f(x*) - лучшая в смысле Ro точка сЛ
Пусть по-прежнему Г = (е0, €>,..., ет\ €/ > О, ] = 0, 1, ..., т. Назовем х Е G ^приближенным решением задачи (II), если
(О g^x) < €/, / = 1,... ,т,.
(и)если С^-^У EG^\yRoz У zEGHk Уо^о^- худшаяв смыслеЯ0 точка из €0-окрестности G{в норме || • || *, то/(х)Ло^о(во)-
Обозначим через W ||-||-шар радиуса d(2 = d0 max hj с центром 1 < / < к
в у0 = Цх0У где х0 какая-нибудь точка G, d0 - диаметр G в норме || • II-
II • || *-шар W представляет собой ^-мерный параллелепипед W = { у G Ек | at < у{ < bb / = 1к>.
Положим
Gr,e = {^GHZ|3xGGg,r. f^ ^ у}
где Gg’ е = { х Е G | gj (х) < €/, / = 1,..., m ).
Очевидно, G^€ П G{ Ф ф. Пусть у* Е G^,e О G{ и V* — €о-окрест
ность у * в метрике || • || *.
Построим метод отыскания ё-приближенного решения задачи (II). Допустим, что мы умеем для любого 5 > 0 строить подпрограмму
sep^y; е (у, 5), причем так, что в случае, когда результат у процедуры
*РОЛ*РОЛ5 (у, 5) имеет тип I, подпрограмма вместе с у выдает х Е Gg'e ,
*РОЛ
*РОЛ
для которого /(F) > у.
Основываясь на рассуждениях п. 2.5, сформируем настроенный на погрешность €0 и основанный на процедуре sep^^ g (у, 6) метод оптимизации предпочтения Ло на множестве G ^ € . Метод использует (^-стягиваю
щую подпрограмму локализации Loc, каждый шаг которой ’’стоит” N обращений к ЛПР. В качестве априорной верхней оценки диаметра G^*€ в норме || • || * примем величину d.
В соответствии с выводами п. 2.5 метода сформируем €0-приближен- ное решение задачи не позднее, чем после
N(€o) < ^N(€o) < ^^lnd/€0Inl/cj^lnd/€0Inl/cj
N(€o) < ^
N(€o) < ^
^lnd/€0Inl/cj
^lnd/€0Inl/cj
вопросов к ЛПР (полагаем d > е0; только этот случай нетривиален). В частности, используя Loci, получим ^е0) ^c^lnd/eo; используя Loc2, получим N^o) < с2fc2 InVkdleQ. (В обоих случаях обращаемся к ЛПР>.) Наконец, используя Loc3 и обращаясь к ЛПР0, получим N(e0) < < С3 к1 In к In\fk d/e0, ct — абсолютные, константы.
Обозначим через у *(б0) худшую в смысле Ro точку Ре : y*(eo)floF*(€o)- Тогда вследствие замечания к теореме 1 (область G е не содержит ограничений типа g/(y) < 0) имеемУК0У*(€0). В силу конструкции рассматриваемого метода у есть одна из точек yt (у{ - результат типа I применения подпрограммы sep^y,^). По сделанному выше предположению о про
цедуре sep^^g мы можем тогда указать х Е Gg,€ такой, что /(х)>у.
Ясно, что х и есть искомое е -приближенное решение задачи (II).
Построим две версии процедуры sep^yg : sepl и sep2. Зафиксируем уЕ£*и6>0и опишем последовательность действий, определяющих подпрограммы sep 1 и sep2.
Процедуры sep. имеют на входе уЕЕк, 6 > 0, а на выходе - либо (I, у, х ), либо (II, ф), где I (II) - тип результата, у Е W, х Е G; ф - функционал наЕ*: фЕфку, ||^Hi = 1
Вычисляем р у. л (у, W). Если
РнО'Л) > (3/4)8,(5)
то найдем ф Е (ЕкУ, || tplli = 1, такое, что (ф, у) > sup (ф, z) + 8/4,
zG W
и будем считать sepl = (II, ф^. Если (5) не выполняется, перейдем к 2).
Строим последовательности:
выпуклых компактов Gt С Еп с непустой внутренностью,
выпуклых функций g^\x\ s = 1,.'.., т,
вогнутых функций f^\x), j = 1,..., к.
Построение G„ £Чх\ ^(^ ведется в соответствии со следующими правилами:
0°. Для sepl: Go = G; для sep2 Go - эллипсоид, содержащий G. Для обеих процедур g^O = -°°, s = 1, ..., т; Г^Ч ) = 8/, j = 1, ..., к.
При / > 1 множества Gt и функции g^ и f^ строятся по правилу 1°. При этом для sepl Gj С Gj_x, а для sep2 Gt - эллипсоиды. Правила 2°г- 4° для обеих процедур одинаковы. Этап построения Gb g^ и f^ будем называть шагом L
Выпишем правила 1°-4° для шага L
1°. Для sep 1: на шаге i строится центр тяжести Xj области Gj_ i. При этом может встретиться один из трех взаимоисключающих друг друга случаев:
1/. 3s = $(0 Е l,m: gs<Xi) > €„
2b Vs Е l,m gs(Xi) < €„ но 3/ = /(z)El,^ ^(х^ <у, - 8,
3b Vs Е \,т gs(Xi) < 6, и V/ Е \,к fj^x^ > у, - 8.
В случае 3/ переходим к 3°.-
В случаях 1/, 2/ полагаем для $ Е 1, т :
К^Чх) = maxl^'^xX&M + C^toX X- х,))(6)
g^W и для / € 1,Л
/0^=^(/-1)(х) в слУ^е h.
’ Хmin {f^""1 ^х), f} (xz) + ( fj (xz), х - xz) } в случае 2,.
Xf<x)(7)
В случае 1#
Gt= {x&Gi_i\g^(x)<es, s=l,.:.,m},(8)
а в случае 2/
Gi= {xeG,., |g(°(x) < е„ s=l,...,m; f^(x) > у, - 8 }.(9)
Переходим к 2°.
2°. Пусть
Gf* = {xeG|^°(x) < е„ s=lm)
И
Gp = ly*eW\3xeGp •. Р^>У), /=1Л}.
Вычислим Рц.ц„ (у, G,’e ). Если Рц.ц,, (.у, Gf’е )< (3/4)6, то увеличи- наем / на 1 и переходим к 1°. В противном случае находим <р Е (Еку, ll^lli = 1 такое, что(<р,у)> sup _ (^,z) + 5/4и переходим к 4°.
z G G^’ 6Л
3°. Пусть обращение к этому правилу произошло при / = /. Полагаем, что процедура sep закончилась результатом (I, у, х), где вектор/: у, = = max{ Qj, у,- - 6}, / = 1,..., к, а х = хг
4°. Пусть обращение к правилу 4° произошло при i = L Полагаем, что процедура sep закончилась результатом (II, <р).
На этом завершается описание step 1. Далее будет показано, что оно корректно, т.е. что при i < / Gt имеет непустую внутренность, а следовательно, шаг i + 1 возможен.
Как уже указывалось, описание подпрограммы sep 2 отличается от описания sep 1 только правилом 1°.
1° для sep2. На шаге / строим центр xz эллипсоида G/_ i. При этом может встретиться один из четырех взаимоисключающих случаев.
О/. Xi G,
1/. Xf Е G, 3$ Е \9т9 s = s(i): gs(xt)>€S9
2/. хкЕ G, Vs Е \9т gs(x^ < eS9 но
з/ = ДО е 1,A: ^(Xj) < У) - 6,
3/. xt 6 G, Vs € l,m gs(Xi) < e$,
V/ e FJ fj^ > y, - 8.
В случае 3, переходам к 3°.
В случае 0,- полагаем:*
g^W = gp4x\ fpx) = fpn(A seTJn, 1еТл, (10) обозначаем через 17 / ненулевой опорный функционал к Рц.ц(‘, G) в точке X/ и переходим к 5°.
В случае 1; определяем g^ (х), s Е 1, т, по (6), полагаем 171 равным (ненулевому, поскольку mings(x) < 0) опорному в X/ функционалу к
G
^^\ " ), аГрН ' ) =//'-1\' ),/ = 1> • • •, fc, и переходим к 5°.
В случае 2f определяем g^'( • ) по (6), а/уО1( - ) - по (7). Полагаем iii равным опорному в xt функдаоналу к /^ > ( • ). Обозначим
_( - Пь Vt * 0,
( произвольный ненулевой функционал на Е , ту,- = 0.
Переходим к 5°.
5°. Полагаем Gt равным эллипсоиду наименьшего объема, содержащему множество
G^txEGJ^x-Х/ХО}.
Переходим к 2°.
4.4. Убедимся теперь, что подпрограммы sep 1 и sep 2 - действительно процедуры разделения, и установим их свойства.
Положим
F(e) = min{i, min es!Lsd^}.(11)
К s< т
0 (8) = min { 1, б/(8d0 max h; ) } .
K/<k
Имеет место следующее утверждение:
Теорема 5. sep 1 и sep 2 — процедуры разделения. При этом число шагов sep 1 не превосходит
М1(€,6) = сл(1п(1/р~(е)) + ^^(12)
а число шагов sep 2 не больше
М2(ё, 6) = сл2(1п(0/Г(ё)0(6)) + 1,(12')
где В = (| Go 1/1 G | У /”, а с - абсолютная константа.
Доказательство. 1 °. Утверждение теоремы очевидно при условии (5). Поэтому далее считаем, что
2°. Допустим вначале, что рассматриваемая процедура закончена. Докажем, что в этом случае справедливы предложения:
(О Ерли sep^^ ^ = (Г, у, х), то IIу - у L <8,/(х)>у, у Е G^ €.
(ii) Если sep f - = (II, ф\ то II <рИх = 1 и(^ у)> sup , _(<р,z)+ 8/4.(14)
В самом деле, посылка (i) может встретиться лишь тогда, когда на шаге i имел место случай Зр. Но тогда gs (х*) < е,, s Е 1, т, х^ Е G, и fj (х^) = =/у (х) > у, - &J Е 1, ^. Кроме того,/(G) CW, так что/у (х ) > Пу,/ Е 1, к. Поэтому /(х) > У В силу (13) уу > Ду - (3/4)8. Если у, — 8 > Пу, то у, = а^ и у, < й} + 3, так что \yj - yj | Стах (8, (3/4)6) = 3. Если же У! - 5 >Пу, то у -у, - 8 и \у] -у, | <8. Итак, lly -ylL <8. Далее, в силу /(х) > У и Уу> а, имеем У Е IV, а тогда и уЕ G^’€ по определению G^,e (следует учесть, чтох Е Gg>c ). Утверждение (i) доказано.
Посылка (ii) может иметь место лишь при ри . |w (у, С{*€ ) > (3/4)8. Из правил формирования g^^ ,fS1^ следует, что при всех i < i (а также и при i =i, если не имеет места 3/) верны неравенства:
VxGG gp\x) < g$(x), sE 1, m;
(15)(15)ff°(x) >//(х), j € l,fc
(15)
(15)
В частности, при указанных г Gf*€ D Gg,c .
Поскольку fp^ (х) > fj(x), то Gp D G^’€ при i <i0 (здесь z0 = i, если 3< не имеет места; в противном случае /0 = i - О- В случае, когда
А А
посылка (ii) верна, z 0 = z, и так как результат sep есть в этом случае функционал <р, разделяющий нужным образом G/,e и у, он и подавно обеспечивает требуемое разделение G^** и у. Утверждение (ii) доказано.
3°. Докажем теперь, что если /</ таково, что
IGJ < (0(6)7(ё))"|С|,(16)
TO Z = Z.
В самом деле, пусть i < i, условие (16) выполнено, и X/ есть решение задачи
(Pi):fU4^= min Up4x) - у,) ■* max \xeGf?. (17)
Обозначим Через Gt множество х(* (1 - 0(6)) + 0(8) Gf’e. Заметим, что G?’e D G8,e . Поскольку max gs (x) < Lsd0) min (max gs (x)) < 0, x e Gg s
to G8,€ содержит подобный образ G с коэффициентом подобия 77 (ё). Стало быть,
Ю^?|>7л(ё)|С;| и |$|>0(6)р(б)|С|.(18)
Далее, у (О _ липшицево относительно нормы II • II с константой max hp Поэтому, если х Е Gt \Gj (такое х существует в силу (16) / е 1Л и (18)),то
Г^Чх) > f^Xf) - 9(6) d0 max_ Л, > f^) - 6/8.(19)
/ G 1, к
С другой стороны, х Е Gpe их< ^ Gj. В силу последнего обстоятельства и определения Gt возможно одно из двух. Либо 3 s Е 1, т: gp^ (х) > > €s, либо 3 / Е 1, к: fp ) (х) <у/- -6. Первая альтернатива нереализуема из-за х Е G^*6. При второй альтернативе / ^^ (х) <- 6, и (19) приводит к неравенству
fW^ < (-7/8)6 <(~3/4)8.(20)
Итак, max _ f ^\х) < (-3/4)6, так что р„ „ (у, Gpe) > (3/4)5.
Но так как i < z, это невозможно. Полученное противоречие доказывает неравенство (16). Попутно доказана корректность sep 1.
4°. Покажем, что в случае Р| . ^ (^, Gz*e) <5/2 процедуры sep 1, sep 2 не могут окончиться по правилу ^. Предположим противное. Тогда выпол-
няется (13). В этом случае^кроме того, Gp6 D G^*6 ирц . uw (у, Gpe>) > > (3/4)6. (Включение G^,e D G^’€ было доказано в и. 2° в предположениях (13) и г </.) Если процедуры sep оканчиваются по правилу 4°, то ^о = i. Но неравенства рн . 1ов (у, Gf^) <6/2 и pi. |w (у, Gp€) > (3/4)5 для G['€ D G^,€ невозможны одновременно. Это и доказывает утверждение настоящего пункта.
Итак, при ри . |w (^ G^*е) <5/2 посылка (И) невозможна. Этот вывод вместе с (i), (ii) доказывает, что результат процедур sep 1 и sep 2 (если он вообще определен) удовлетворяет требованиям к подпрограмме разделения, сформулированным в п. 2.3 § 2.
5°. Остается проверить, что результаты sep 1, sep 2 всегда определены и что справедливы оценки (12) и (12') для числа шагов этих процедур.
) l^^ih) l^^ih/1
) l^^ih
) l^^ih
Заметим, что по построению Gt для sep 1 I Gt | < (1 - — \ е
Go = G, а ддя sep2 I Gt | <0(п) I Gt _х 1,0(п) = 1 - dn/n, dn >0, limdn = = 1/2. Следовательно, для sep 1 при i > ^(6,5), а для sep 2 при i > > ^(Г, 6) имеет место (16). В силу рассуждений п. 3° это означает, что п <МХ (е, 5) для sep 1 и п <М2^ 8) для sep 2. Теорема ^доказана.
Результаты п. 4.2—4.4 позволяют сформировать метод S отыскания ёГ-приближенного решения задачи (II), т.е. решения задачи оптимизации предпочтения Ro на множество Gf,c .
Положим d^ = di . i(G), 5 = (1/4)е. В качестве метода S3 может быть принят любой из методов п. 2.5, использующий в качестве подпрограммы sePG/,e (у, 6) процедуру sep 1 или sep 2. Эти процедуры, выдавая результат у типа I, выдают также и х Е G: gs(x) <€$,$ Е l,m,f(x) > у. Результат $ есть один из результатов типа I процедур sep^y^ .Соответствующее х является "е -приближенным решением задачи (II).
Оценки, приведенные выше, позволяют сделать следующие выводы.' Число обращений метода $ к ЛПР не превосходит:-
при использовании Loc 1 — О(к 1п(1/0(5))),
при использовании Loc 2 - О(к2 ln(fc/0(6))),
при использовании Loc 3 — О(^7 In к 1п(^/5(0)))."
Число обращений к оракулу (для вычисления значений g,f,g',f в заданных точках) не превышает (на одно обращение к ЛПР)
при использовании sep 1 - О(п 1п(1/Г(ё)0(6))), при использовании sep 2 - О^п2 1п(0/$7(ё)0(6))).
Анализ свойств метода центров тяжести, имеющийся в [35], приводит к следующим выводам. При известных функциях ft и gj нельзя уменьшить по порядку число вопросов к ЛПР, задаваемых методом с процедурой Loc 1. Если функции /у и gf не заданы, то подготовка каждого вопроса к ЛПР требует приближенного решения системы выпуклых неравенств, что 256
по трудоемкости эквивалентно решению задачи выпуклого программирования той же размерности. Как видно из приведенных оценок и свойств метода центров тяжести, трудоемкость метода S, использующего процедуру sep 1, может быть лишь незначительно (на логарифмический член) уменьшена по порядку, что является вполне приемлемой данью достаточно сложной структуре задачи.
В заключение главы сделаем следующее замечание. В модели (I) и (II) укладываются практически все известные постановки многокритериальных задач. Тем не менее можно указать более широкий подход к векторной оптимизации.
Понятие ’’решение многокритериальной задачи” в известной мере субъективно и зависит от шкалы ценностей ЛПР, который не только принимает решение, но и готов нести ответственность за его последствия. Формально любая концепция выбора описывается функцией выбора. Поэтому можно связывать многокритериальную оптимизацию не с предпочтением ЛПР, а с функцией выбора на допустимом множестве значений векторного критерия. Произвольная функция выбора может быть реализована многошаговой схемой ОМП (схемой МйОМП - см. § 5 гл. VI и гл. XII). Это значит, что в самом общем случае многокритериальная оптимизация сводится к решению задачи МнОМП.
Для функций выбора ЛПР, удовлетворяющих условиям наследования и согласия (см. гл. III), механизм выбора—оптимизация бинарного отношения на предъявлении (на множестве допустимых решений). В этом случае мы приходим к вычислительным методам многокритериальной оптимизации, подобным описанным в настоящей главе.
Глава XI
ЗАДАЧИ ОБОБЩЕННОГО ВЫПУКЛОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ЛИНЕЙНЫМИ ПРЕДПОЧТЕНИЯМИ
§1.Введение
В предыдущих главах постановки и методы решения задач традиционного математического программирования обобщаются на случай векторных целевых функций и функционалов ограничений. Модель математического программирования в порядковых шкалах представляет собой, грубо говоря, модель обобщенного линейного программирования. В главе IX рассматривается задача обобщенного математического (нелинейного) программирования (ОМП) и предложены и оценены конструктивные методы решения задач обобщенного выпуклого программирования (ОВП). Обе упомянутые схемы существенно расширяют возможности теории и вычислительных методов принятия решений.
Следует, однако, подчеркнуть, что даже экономные методы решения задач ОМП достаточно трудоемки. При решении задач немалой размерности они требуют относительно большого числа обращений к лицу, принимающему решение (ЛПР), и к оракулу за локальной информацией о предпочтениях и функционалах условий задачи. В связи с этим представляет интерес сузить классы изучаемых моделей, выделив наиболее часто встречающиеся предпочтения и функционалы, и упростить таким образом решение соответствующих задач.
Такие попытки предприняты в [59] (см. также § 4 гл. VIII), где рассмотрены задачи линейного программирования в порядковых шкалах, и в настоящей главе, в которой изучаются методы решения задач ОВП с линейными (выпукло-вогнутыми) предпочтениями. Содержание этой главы составляет предмет статьи [60]..
Напомним некоторые определения. Пусть R —. бинарное отношение на замкнутом множестве G^En. Введем обозначения: GR^ = = tyEG\ yRxVHR^ = {yEG\xRy},GQR(x} = {yEG\yPx},H^ = { у E G | xPy }, где уРх означает, что yRx, но xRy.'
Будем говорить, что бинарное отношение R
вогнуто, если GR (х) выпукло для всех х Е G,
выпукло, если HR(x) выпукло для всехх Е G,
линейно (выпукло-вогнуто), еслй ^(х) hHr(0c) выпуклы для всех xEG,
монотонно, если из х ^у следует, что xRy и из х > у следует, что хРу.
Если xRy и yRx, будем говорить, что х и у эквивалентны относительно R, и записывать в виде xlRy.
258
Будем называть бинарное отношение R
нетривиальным, если существуют x^.x^EG такие, что XiA2,
непрерывным, если R замкнутое подмножество G X G,
регулярным, если для любой прямой / и всех х Е G из того, что Z A Gr (х) A Hr (х) Ф ф и Z A G^(x) содержит отрезок ненулевой длины, следует, что Z AG^(x) = ф .
Будем называть нормальным предпочтением рефлексивное, транзитивное, непрерывное, регулярное, полное бинарное отношение R на замкнутом множестве G СЕп..
Легко видеть, что поверхности безразличия (уровни эквивалентности) линейных регулярных предпочтений R в немаксимальных относительно R точках G — гиперплоскости. Если предпочтение R линейно во всем пространстве Еп, то эти гиперплоскости параллельны. Если R линейно только на G, то эти гиперплоскости могут пересекаться вне G.
Постановка задачи и идея метода
Рассмотрим следующую задачу ОМП:
fo(x\—► шах 1Л(х)Я^, selT^xEG.(1)
^оп
Здесь G - выпуклый компакт в Em,fs: G-*E s — вогнутая непрерывная функция, $ Е 0*, г, Rs — нормальное, линейное монотонное предпочтение на выпуклом компакте®, СЕп$ 9s Е 0,г.
Будем предполагать выполненными следующие соотношения:
Л(С)и{м,}с int®„ sgT7; /o(G)cint3)o;
int SDs + ф, s G 0, r.
Пусть e, 6j, . . . , 6r - заданные константы, 6 = (6n ^.. ,6r),e >0,6 > 0.
Будем называть точку x0 E G (e, 6)-оптимальным решением задачи (1), если выполнены следующие условия:
О р№0), ск$(и^ < б„ $ е ТГг,
2)Яя.(/о(*о))О Г(в, С^слю» * ф VXес0.
Здесь Go - множество допустимых планов задачи (1),а К(е, ^/?o(/oW)) - е-окрестность (7до (/оСО).*,
Условие 2) в этом определении означает, что х0 является е-оптималь- ным решением задачи (1) в смысле гл. IX, т.е./о(хо) не хуже худшего вектора из егокрестности GRq (/0 (*•))> где х* - некоторое оптимальное решение задачи (1).
Приведем метод решения задачи (1), использующий специфику линейных предпочтений и потому более экономный по числу обращений к ЛПР, чем изложенный для более общего случая в гл. IX.
Пусть z0 и Zj - оценки снизу и сверху соответственно оптимального значения /oW, причем хотя бы одна из них лежит в int ®0. Поставим в соответствие исходной задаче (1) задачу
z► max ко(z)/оМ > c0(z)z,
Ro
^(х) > с$и$, sGl.r, xGG, zG [Zo.zj:(2)
17*259
Здесь c0(z) - единичный направляющий вектор гиперплоскости, разделяющей Ядо (z) и GR <1^ (гиперплоскости безразличия), с, — единичный направляющий вектор гиперплоскости, разделяющей HR$(us^ и GRi(u8Y Ь^уяннетъст^^ Gr^u^ = ( ts G Ss | cst, > c,u,) , s e ТГ^ т.е.
Gr^u^ — пересечение полупространства csts > csus и Ss. Аналогично Gro(z) = { t0 E 2)0 I co(z)to > c0(z) z } . Следовательно, задача (2) эквивалентна задаче
z► max | /0(х) Roz, fs(x) Rsus, s E 1, r;
Ro
xEG; zE^.z^.(3)
Последняя, как легко видеть,, эквивалентна задаче (1). Стало быть, и задача (2) эквивалентна исходной задаче (1). Поскольку z меняется на отрезке [z0, z^ то для решения задачи (2) можно применить одномерный метод центров тяжести — дихотомию. Действительно, для всех z Е G l*o>*i] zi^ Gro(z). Поэтому если для некоторого z* Е [z0,Zi] система ограничений задачи (2) имеет непустое множество решений, то оптимальное z Е [z\ Z|]* Если система ограничений задачи (2) несовместна, то оптимальное z G [z0, z^. Поэтому эта система ограничений при любом фиксированном z является системой выпуклых неравенств.
Таким образом, для решения задачи (2), эквивалентной исходной задаче (1), требуется получить оценки z0 и zx и затем, последовательно применяя дихотомию, проверять совместность систем выпуклых неравенств. Легко видеть, что если Rs монотонно, то с$ > 0, s G О, г.
По предположению us Е int Ss, s G 1, г. Поэтому cs > 0, s Е 1,г. Если хотя бы одна из точек z0, Zi принадлежит int So» т° в силу выпуклости So ttz0 + (1 - a) ZiG int 3)о ДляО< а< 1. Поскольку z0 и zx -оценки (снизу и сверху) оптимального значения ДМ, то для достижения оптимального плана достаточно двигаться вдоль отрезка [z0, г > ] * Если в качестве г о принять /0(^0), где х0 — 6-допустимое решение, то снова в силу исходных предположений z0 Е int Sq.
Алгоритм метода
Рассмотрим вначале случай ЛПР первого порядка.
Шаг 1 (получение оценок z0 и z t) * За одно обращение к ЛПР первого порядка находим cS9 s Е 1, г. Вычисляем произвольное решение х0 системы выпуклых неравенств
(4)(4)сЛ^х") > csuS9 sE\,r, xEG.
(4)
(4)
Полагаем z0 = /о(^о)-
Затем находим е/2-оптимальное (в смысле гл. VIII) решение следующей задачи в порядковых шкалахz
z► max I z G So(5)
и берем его в качестве z х.
260
Ш а г 2. Полагаем ах = z0, Ьх - z j, tx = —. Проверяем совмест
ность системы выпуклых неравенств
^о(О/оМ > c^t; csfs(x) > csus, sE 17r, xEG(6)
при t = 11. Если система (6) совместна при t = tx, полагаем a2 = 11, b2 = bx, r2 =~ ^2 + ^2^* ® противном случае полагаем a2 = ax, b2 = tx, t2 = = %(a2 + b2) и переходим к выяснению совместности системы (6) при t = t2..
Шаг /+1. Имеем отрезок \ab bz], /, = Й(п/ + Ь^.
Если система (6) совместна при t = tb полагаем al + x - tt, bt+x = bH h+i = % (ai+i + ^z+i); B противном случае a1+1 = аъ bt+x = tb tl+x =
1
- ^ ^*i + ^z+i)-
Если bt - ai <e/2, процесс останавливается; в противном случае переходим к шагу / + 2.,
Покажем, что при непустом множестве допустимых решений описанный процесс приводит к е-оптимальному решению в смысле гл. VHI (т.е. к (е, 6) -оптимальному решению в принятой здесь терминологии).
Пусть процесс остановился на (Z + 1)-м шаге. Это значит, что при t = ai система (6) разрешима и справедливо соотношение aiRofo^x^Robi, где хе - произвольное оптимальное решение задачи (1). Его существование следует из непрерывности предпочтений и функций и компактности G. Следовательно, при / >/ +1 р(аг,^в(/0(^)))<е/2.
Приведем теперь алгоритм метода для случая ЛПР нулевого порядка.
Опишем сначала процедуру имитации ЛПР первого порядка по ответам ЛПР нулевого порядка. Для этого (т.е. для построения гиперплоскости, разделяющей GR$ (/) и HR$ (у)) можно использовать следующую процедуру, идея которой была предложена в [59].
В силу непрерывности Rs на Ss имеются точки максимума и минимума относительно предпочтения Rs. Пусть у0 - одна из минимальных точек, а ух — одна из максимальных. В силу включения fs (G) С int 2), и монотонности Rs справедливо соотношение yxPsyRsyo для всех у Е fs(Gy Более того, соотношение ух PsyPsyо справедливо для всех у Е int 5DS.
Пусть у Е int 9)$. Построим симплекс с достаточно малым ребром у, так, чтобы все его вершины лежали в а центр тяжести совпадал су.
Предположим, что к вершин симплекса лежат н# разделяющей гиперплоскости между Gr$ (у) и Hr$ (у)- Поскольку у не максимальный элемент Ss относительно Rsi то в силу вогнутости Rs оставшиеся вершины не могут все лежать в G^$ (j). Существуют по крайней мере ns - к пар вершин, в которых одна из вершин лежит в (7д$ (у), а Другая ~ в Н^,(уУ Используя ЛПР нулевого порядка и деление отрезка (соответствующего ребра симплекса) пополам, можно с любой наперед заданной точностью
получить ns - к пар точек, в которых точки пары лежат в разных полупространствах, определяемых гиперплоскостью, разделяющей GR (у) и Hr Ду). Если бы мы могли точно указать точки, лежащие на пересечении отрезков, определяемых этими парами точек, с разделяющей гиперплоскостью, то, присоединив к ним к точек (вершин симплекса, изначально лежащих на гиперплоскости), можно было бы получить и аффинно-независимых точек, принадлежащих гиперплоскости (гиперплоскости безразличия) и однозначно ее определяющих.
Пусть s £ 1, г. Построим гиперплоскость безразличия в точке us. Обозначим через S(n) правильный симплекс в Еп с вершинами в точках (1,0, . . . ,0), (0, 1,0, . . . ,0), . . . , (0,0, . . . ,0, 1), (а, а, ..., а). При
у
а = — [1 + (1 + л) /2] симплекс правильный. (Действительно, длина реб- л
ра 5 (л) равна 21/г. Для правильного симплекса (а - I)2 + (л - 1)а2 = у .1 + 0 + и)* \
= (2^2)2. Отсюда а = л /
Рассмотрим симплекс, подобный 5(л5), с центром тяжести в us и ребром 7^. Обозначим через 0$ диаметр 3DS. Пусть максимальное расстояние между точками в парах, о которых речь шла выше, не превышает as. Обозначим через ах, . . . ,ап$-к точки в парах, лежащих ’’выше” разделяющей гиперплоскости, через ЬХ9 . . . , Ъп$_к9 — лежащие ’’ниже” разделяющей гиперплоскости, а вершины симплекса, лежащие на ней, через tX9\ . . , tk. Пусть по-прежнему cs — единичный направляющий вектор гиперплоскости безразличия. Определим с’$ как решение задачи к
S I с'(Г,- - м,) |2 -* min | с^а, > csus, i = 1
c'$^f < c'$us, /€1, n$ — k; c, > 0, lc,l = 1.(7)
Из построения видно, что расстояние в метрике Хаусдорфа между гиперплоскостью безразличия и ее аппроксимацией по точкам tt, а^ bj не превышает а$.
Несложные вычисления показывают, что радиус шара, вписанного в симплекс 5 (л), в (2л (л +1)) % раз меньше длины ребра.
Поскольку диаметр 5DS равен PS9 то шар с центром в us радиуса 0S содержит 3)s. Следовательно, симплекс с длиной ребра 0s(2ns(ns + 1))^, подобный S(ns)9 тем более содержит SDs. Внутри этого симплекса расстояние по Хаусдорфу между пересечением симплекса с истинной гиперплоскостью безразличия, проведенной через us, и пересечением симплекса с asV
аппроксимацией этой гиперплоскости не превосходит— P$(2ns(ns +1)) .
Следовательно, для того чтобы расстояние между любой точкой пересечения аппроксимирующей гиперплоскости с S^hGr$(us) не превышало 6,/2, достаточно принять а5 удовлетворяющим неравенству
— №,(л, + 1))* <v •(8)
2
Отсюда-
*YS6S
О < а. <лг .
20s(2n$(n$ + I))4
Обозначим через с$ единичный направляющий вектор аппроксимирующей гиперплоскости, построенной при а,, удовлетворяющем (8). Из построения вытекает, что множество допустимых решений системы выпуклых неравенств
,,
CsfsW > с^ - — , SEl,r; xEG,(9)
включает в себя множество допустимых решений задачи (1) и входит в множество 6-допустимых решений задачи (1), т.е. таких, что выполняется условие (2) определения (е, 6)-оптимального решения задачи (1).
Опищем теперь результирующий алгоритм.
Ш а г 1. Определяются описанным выше методом направляющие векторы cs,s G 1,г.
Шаг 2. Определяются оценки сверху и снизу оптимального значения Мх) относительного.'
Для получения оценки снизу находим произвольное решение системы (9). Полагаем z0 =/(х0). В качестве zx берем е/2-оптимальное решение задачи в порядковых шкалах (5).
Шаг / + 1. Шаг проводится аналогично (I + 1)-му шагу алгоритма для ЛПР первого порядка.
Пусть в точках z0 и Zj построены симплексы, подобные 5^п0У с центрами тяжести в точках z0 и гх соответственно и длинами ребер уОо и yOi. Положим у0 = min (уоо, 7оГ)- Тогда в каждой точке z G [z0, zj можно построить вследствие выпуклости 2)0 симплекс с центром тяжести в z, подобный 5(и0), с длиной ребра у0- Следовательно, чтобы обеспечить требуемую погрешность (в смысле определения из п. 2.1), достаточно выбирать погрешность «о дихотомии на ребрах симплекса в промежутке
О<«о <—тг,
2Д>(2ло(По + 1))* где 0о - диаметр ®0.•
Доказательство сходимости приведенной процедуры к (е, 6)-оптимальному решению задачи (1) проводится так же, как и для ЛПР первого, порядка. .■
Оценка трудоемкости методов
Число обращений алгоритма из п. 3.1 к ЛПР первого порядка не превос- 11 Г
ходит г + 1 + log2 — I .Здесь/ - длина отрезка [z0,Zi].
Число обращений к ЛПР нулевого порядка алгоритма из п. 3.3 не превышает
S (л, +1 + log2: )+
$ = 1X J5,[/
+ 1 «о + 1 + log2 ) х log2 ~ .
' JеI/ J е L
Определение оценок z0 н z! оптимального значения /0(х) значительно упрощается, если /0(О содержится в некотором параллелепипеде, входящем в int 2)0- В этом случае вследствие монотонности Ro можно в качестве z0 взять вершину параллелепипеда с минимальными компонентами, а в качестве z t ^ с максимальными компонентами.
$ 5. Некоторые частные случаи
Пусть Ro - линейное (выпукло-вогнутое) монотонное нормальное предпочтение на Еп°. Как вытекает из результатов § 4 гл. VIII, задача (1) в этом случае сводится к обычной задаче традиционного выпуклого программирования. Действительно, в этом случае Ro имеет линейный индикатор соу с с0 > 0 (см. теорему 3 из § 4 гл. VIII), и, следовательно, задача (1) эквивалентна следующей стандартной задаче выпуклого программирования:
Co/oW -* maxl^Z/x) > csus, s E l,r; x E G. * (10)
Поскольку c0 в этом случае не зависит от z, то для определения ' (е, 6)-оптимального решения требуется г + 1 обращение к ИПР первого порядка. При работе с ЛПР нулевого порядка число обращений соот
2 (n, + 1 +з = 0 \2 (n, + 1 +з = 0 \ветственно равно
2 (n, + 1 +
з = 0 \
2 (n, + 1 +
з = 0 \
6,
Здесь 60 =е, 6S — диаметр некоторого вьшуклого компакта, внутренность которого содержит fs№").
Пусть теперь Яд - линейное нормальное нетривиальное монотонное бинарное отношение на выпуклом компакте So с ^”e (а не на £л°, как выше)/. Обозначим через у* одну из максимальных точек Яо относительно Ro- В силу монотонностиRo замыкание Я^ (уе) есть Яо- Тогда в силу теоремы 4 § 4 гл. Vin Ro имеет линейный сигнализатор ♦) на Яо и вогнутый индикатор на Яд, совпадающий с сигнализатором на Я^Су») и постоянный на множестве {z |z/^o уе). Следовательно, и в этом случае задача ОВП (1) также сводится к обычной задаче традиционного вьшуклого программирования.
Откажемся теперь от требования регулярности бинарного отношения R и. рассмотрим линейное непрерывное предпочтение на Еп. Докажем, что и в этом случае R имеет линейный сигнализатор на Еп.
Пусть R нетривиально (для тривиального предпочтения утверждение очевидно). Обозначим через у0 точку, не являющуюся минимальной (по К). Тогда Я^(уо) # ф и существует гиперплоскость, разделяющая 6я(у0) и Н^уоУ Обозначим ее единичный направляющий вектор через с(у0). И вообще, обозначим через с(у) единичный направляющий вектор гиперплоскости, разделяющий G£ (у) и HR (у), если у - не максимальный элемент Еп относительно Я, и GR (у) и Нр (у), если у — максимальный
♦) Напомним, что сигнализатор бинарного отношения R, Определенного на G. это функция <: G-^E1 такая, что из хРу следуетд^х) >g(y).
264
элемент Еп относительна R. Очевидно, что с(у) = c(z) для всех у, z ЕЕп, поэтому отбросим аргумент в обозначении направляющего вектора. Линейная функция ф(у) = суи будет искомым сигнализатором R на Еп.
Будем говорить, что R нестрого монотонно, если из х >у следует xRy и для любого х ЕЕп существует z ^ О такой, что zPx. Для нестрого монотонного предпочтения R очевидно, что с > 0.
Таким образом, даже при отсутствии регулярности можно свести задачу обобщенного математического программирования с вогнутыми Д(х), s Е 0, г, и линейными непрерывными нестрого монотонными предпочтениями к обычной задаче традиционного выпуклого* программирования.
Модифицируем метод ’’симйлекса” построения разделяющей гиперплоскости для случая нерегулярности предпочтения R.
Пусть 3) С intS, 3) и 3) — выпуклые подмножества Еп, для всех у Е 3) У1 РуРу о и хотя бы одна из точек Уа,У1 принадлежит int 2).
Если У\Рул то на отрезке [у,У1] методом деления пополам с помощью ЛПР нулевого порядка найдем ближайшую к ух точку, эквивалентную у. Применим в точке у метод симплекса, описанный выше для случая регулярного предпочтения, и найдем направляющий вектор с (у) гиперплоскости, разделяющей G^(y) и HR^y^. Полупространство (zlc(y)z > с(у)у} содержит б£ (у). .
В случае, когда уТкУх» найдем на отрезке [у0, у) ближайшую к у0 точку, эквивалентную у. Применим в этой точке метод симплекса. Получим направляющий вектор гиперплоскости, разделяющей GR(y) иН&(у).
Проведем все вычисления с точностями, принятыми для случая регулярного предпочтения. Полученное при этом решение задачи (10) будет (е, 6)-оптимальным решением.
Таким образом^ условие регулярности R, введенное выше, оказывается несущественным при сведении задачи ОВП с линейными, непрерывными, нестрого монотонными предпочтениями, определенными на всем Еп, к традиционной задаче выпуклого программирования.
Ядро задачи ОВП
Изложенный выше метод решения задач ОВП с линейными предпочтениями эффективен тогда, когда имеется возможность оценки z0 и zv (имеется опытный ЛПР, способный давать нижние и верхние оценки вектора /оМ, или известен параллелепипед, содержащий /0(G), — концы одной из его диагоналей определяют z0 hz^.B противном случае возникает необходимость в решении вспомогательной задачи в порядковых шкалах. Используя, однако, специфику линейных предпочтений, можно свести задачу ОВП к некоторой задаче в порядковых шкалах - к ее ’’ядру” - и исключить необходимость во вспомогательных задачах для вычисления z0 и Zi. •
- Разберем для простоты случай ЛПР первого порядка.
Построим по предпочтению Ro и вектор-функции /о(О предпочтение Qo следующим образом: xQoy ^fo^Rofo^y).
При линейном предпочтении Яо и вогнутой вектор-функции /о(О построенное таким образом предпочтение Qo вогнуто.
Обозначая по-прежнему через cs единичные направляющие векторы гиперплоскостей, разделяющих Gr^u^ и Hr^u^, перепишем исходную задачу (1) в виде'
х► max |^Л(х) > csus, s Е l,r; х Е G.(11)
Со
Будем называть задачу (11) математического программирования в порядковых шкалах ядром исходной задачи ОВП (1). Векторы cs вычисляются с помощью процедуры из п. 3.2 по информации ЛПР нулевого порядка для R$.*
Для предпочтения Qo мы располагаем только ЛПР нулевого порядка. Оказывается, однако, что в рассматриваемом случае и нет нужды в ЛПР первого порядка для Qo. Действительно, в силу линейности Ro
{.У коМ/оОО > Со(х)/о(*)} = { Л/оООЯо/оСО) = Gq0(xV
Здесь с0(х) — единичный направляющий вектор гиперплоскости, отделяю- шей GRoV<>(x')) от Hr$ (/о(х)).
Таким образом, по ЛПР первого порядка для исходной задачи можно эффективно строить само множество Gq а не его аппроксимацию. Ядро задачи (1) является задачей в порядковых шкалах достаточно простой структуры: ее ЛПР для каждой точки х указывает множество Gqo(x) всех точек, не худших х.•
Приведем алгоритм решения задачи (11), основанный на принципах метода центров тяжести.,
Ш а г 0. Полагаем 2)0 = { У k € G, csfs(y) > csus - 8S, s Е 1, г }. Находим х0 — центр тяжести 3)0 - и с0(х0). Если So = Ф. то множество 6-приближенных планов пусто. Если So Ф, переходим к следующему шагу. '
Шаг/, Полагаем Sz = Si-i И {у koto-D/oOO > ^(^-DX X/0(^z-i) +‘е}. Если ®z = ф, принимаем в качестве е-приближенного ре-, шения точку xz_ t. Если Sz ^ ф, находим xt - центр тяжести Sz - и переходим к следующему шагу.
Очевидно, что алгоритм сходится к (е, 6)-оптимальному решению за конечное число шагов.
Как видим, допущение о линейности предпочтений существенно упрощает процедуру решения задачи ОМП.
Глава ХП
МНОГОШАГОВЫЕ СХЕМЫ ОБОБЩЕННОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Введение
Современная теория принятия решений представляет собой синтез моделей и методов, возникших в различных дисциплинах — математическом программировании, теории игр, исследовании операций, автоматическом регулировании. Исторически сложились различные подходы и, соответственно; различные языки теории принятия решений — язык критериев, язык бинарных отношений, язык функций выбора. В терминах критериев и бинарных отношений описываются механизмы выбора - конструктивные методы принятия решений. В терминах функций выбора определяются принципы отбора рациональных решений, отвечающие различным понятиям ’’рациональности”, ’’равновесия”, ’’компромисса”. В простейших задачах принятия решений удается сопоставить принцип принятия решений и механизм выбора. В литературе (см. например, [89], также гл. III) рассмотрены условия, при которых функция выбора может быть реализована оптимизацией по скалярному критерию или оптимизацией по бинарному отношению. Эти случаи охватывают, однако, ничтожно малую часть возможных функций выбора. Представляет интерес установление связи между произвольными функциями выбора и механизмами выбора. Такая взаимосвязь обеспевдвает каждому принципу принятия решений соответствующую вычислительную процедуру выбора. Без установления этой связи не может быть речи об автоматизации процессов принятия решений.
Настоящая глава посвящена построению и обсуждению механизма, позволяющего точно реализовать функцию выбора на конечном числе вариантов, и приближенно, но с любой заранее заданной степенью точности — произвольный принцип выбора на компактном множестве вариантов.
Традиционная схема математического программирования охватывает многие предложенные практикой модели принятия решений. Речь идет о моделях, формализованных в терминах критериев. В рамки математического программирования укладываются задачи проектирования технических систем фиксированного назначения, задачи планирования при четко сформулированном критерии качества плана, задачи синтеза одноцелевых систем управления. Однако при исследовании теоретических проблем экономики, социологии, военного дела и других дисциплин, в которых приходится учитывать много целей и интересы ряда лиц, роль традиционной оптимизации оказывается более скромной.
Один из подходов к выбору ’’компромиссных” решении, учитывающих субъективные факторы лиц, принимающих решение, или другие факторы, не поддающиеся измерению, основан на использовании бинарных отношении. Язык бинарных отношении применим, если выбор может быть произведен только по информации о результатах попарного сравнения вариантов. Схема обобщенного математического программирования, изложенная в гл. IX, позволяет распространить некоторые методы традиционного математического программирования на более сложные ситуации, когда качество решения и ограничения на область его определения характеризуются не скалярными, а векторными функционалами. Модели обобщенного математического программирования описываются на языке бинарных отношений. .
В более общем случае выбора, когда язык бинарных отношений непосредственно не применим, в частности, когда результат сравнения пары вариантов зависит от других возможных вариантов решеюся (от ”кон- текста’1’ ситуации); либо когда попарное сравнение вариантов лишено смысла ■ (например, если требуется выбрать ’’типичный” наиболее часто встречающийся вариант), используется язык функций выбора^ Функщш выбора могут быть в принципе описаны таблицей, сопоставляющей каждой допустимой ситуации (каждому предьявленшо JT, принадлежащему заранее заданному множеству предъявлений) решение или некоторое множество возможных вариантов решения. Другой вид задания функции выбора- это перечень ее свойств - аксиоматические требования к рациональному решению. И тот, и другой подходы представляют собой достаточно универсальную возможность для определения понятия ’’рациональное решение”. Однако описывая результат выбора, язык функций выбора не отражает структуру механизма, лежащего в основе выбора, и не указывает вычислительную процедуру, позволяющую автоматически по предъявленной ситуации установить рациональное решение. * - -
В, настоящей главе предлагаются и исследуются механизмы принятия решений, позволяющие точно или приближенно реализовать произвольные функции выбора. Предложенные модели могут быть использованы для экстраполяции поведения человеко-машинных систем по результатам наблюдений, для прогнозирования спроса по результатам выборочного обследования, для построения экспертных систем в разлиадых1 областях интеллектуальной деятельности, особенно в ситуациях, в которых принятие решений должно производиться в условиях, вредных для организма.
В § 5 гл. VI была введена удобная для последующего изложения запись несколько расширенных схем математического программирования в порядковых шкалах (МППШ) и обобщенного математического программирования (ОМП). 4
Пусть G представляет собой множество всех вариантов, которые могут встретиться в процессе выбора в заданном классе задач. Подмножеств^ X С G будем, как и ранее, называть предъявлениями. Они характеризуют ситуации, в которых производится выбор.
Пусть R - некоторое бинарное отношение на множестве G. Будем рассматривать разные типы оптимальности по отношению R. Выбор типа оптимальности в каждом конкретном случае определяется содержательными особенностями задачи и свойствами соответствующих бинарных
отношений. Так, например, оптимизация по доминированию означает
X е Opt^*0"^) ** (х е АГ) л фу G X xRyy а оптимизация по блокировке
х g opt^1^) *=* (х е х)л (Vj е х yRx).
Имеют место соотношения
Opt№ - Ор^°т(АГ), Opt£om(AT) = Opt^AT), где Rd — бинарное отношение, двойственное к R: Rd = R~*.
В главе V введены другие определения оптимизации по бинарному отношению, при которых можно говорить о максимальном по R элементе х Е X даже в том случае, когда множества Opt^om(X) и Opt^W оказываются пустыми.
В соответствии с введенными там показателями имеем еще четыре типа наибольших элементов:
X е Opt*(ДГ) *-* (х € х>Л фу е х s*(х) э s^y)\ к-14-4, где множества SR (х) определяются через множества элементов Н^ (х) - строго подчиненных х по R, ER (х) - эквивалентных х по R, и NR(x) — не сравнимых с х по R с помощью следующих неравенств:
•= #№ U Е^х) U Nr(x\
^(х) = Я»(х) U NR(x),
S3r(x) = H°r(x) U Er(x),
SR(x) = Н»(х).
В принципе, можно говорить еще о четырех типах оптимизации по R, если в определении Opt^A^ заменить доминирование по включению блокировкой по включению:
х G Opt*(AT) ~ (х G D^ фу 6 X S^y> ф S^.
Если под оптимизацией по R подразумевается не максимизация, а минимизация, то в определении Opt^(Z) вместо множества SR(x) элементов, подчиненных элементу х, следует использовать множества G\SR(x) элементов, '’доминирующих” х.
Аналогичным образом вводятся множества Adm^^C^) элементов х Е X, допустимых (admissible) по ограничению, определяемому бинарным отношением R и параметрами uEU.
Так, допустимость по доминированию:
х е Adm^OT) *=> (X G АГ) л (Vu G U xRu); допустимость по блокировке:
х е AdmB’yCX) <=> (X G АГ)Л (Vw G U uRx).
Имеют место соотношения
Adm^W = Adm^ у (АГ), Adm»' ^ = Adm^™ (АГ).
В зависимости от содержательных особенностей задачи могут быть использованы еще четыре типа допустимости:
х е Adm* ^(Х) ** (х еХ)л (Vи е и SR(x) D S^(u)), если допустимые элементы х доминируют параметры и 6 17, и
х е Adm* „(Х) ~ <х еX)л (Vu 6 U 8^(и) Ф SkR(x)),
если допустимые элементы х не блокируются параметрами uEU.
В п. 1.5 гл. V описан еще более общий подход к оптимизации по бинарному отношению — так называемая (R, С)-оптимизация Opt^O^). По аналогии с приведенными здесь рассуждениями может быть введена и (R, С) -допустимость Adm ^ u^W •
В дальнейшем будем опускать символ, означающий тип оптимизации или допустимости, предполагая, что они фиксированы и определяются в каждом отдельном случае содержательными соображениями.
Введенные определения ’’оптимизация по Ro” и ’’допустимость по Rp, ^р ’’позволяют записывать задачу математического программирования в порядковых шкалах (расширенную, допускающую использование не только пересечения множеств, определяемых отдельными ограничениями, но и их объединения) в следующем виде:
Ор^0 (Z) | Z =пи Adm»,.(1)
Используя монотонные теоретико-множественные функции, можно переписать задачу в более удобном для анализа виде. Для этого введем некоторые определения.-
Под ^-местной теоретико-множественной операцией F(Xx,..., Хк) на множестве G будем понимать функцию, аргументами и значениями которой являются подмножества G, удовлетворяющую при любых х, у EG, Хр Yj QGJE ТГк, условию.
{ <хЕХх ^yEYx>^...^<xEXk^yEYk^^
Операцию F будем называть монотонной, если
{ (Xi D ГОЛ... л(^ D Г*)} ^F(Xx,... ,Xk)DF(Yx ,...,Yk\
Среди монотонных функций имеются две тривиальные: F(Xx,..., Хк) = = фи F QCX,... ,Хк) = G. В дальнейшем будем рассматривать только нетривиальные монотонные операции F. Известно, что всякая такая операция, и только такая, может быть представлена в виде U П посредством конечного числа двуместных операций. Это значит, что задачу (1) ОМП можно переписать в виде .-
Opt»o (Z) | Z = F(Adm~ ~ (X)),,(2)
где Я =(R1,...,RqY U=<UxUqY
F(Adm~~ (20) = F(Adm» Xiut(X),..., MmRq, Uq(X)).
Здесь q - общее число отношений RS)- (и множеств U^.
Здесь и в дальнейшем при рассмотрении более общих моделей будем использовать наряду с задачей (2) ОМП схему ОМП, которая также записывается в виде (2), но в ней X Q G произвольно. Таким образом, схеме ОМП соответствует множество задач ОМП, каждая из которых получается фиксацией X.
Многошаговая схема
обобщенного математического программирования (МнОМП)
На практике в сложных задачах управления, планирования и проектирования решение часто принимается соответствующим образом сформированной организационной структурой. Это может быть иерархическая последовательная структура, когда на каждом следующем уровне уточняется решение, принятое на более высоком уровне. Это может быть параллельная структура, когда по одной и той же информации параллельно принимаются решения, отражающие различные аспекты управления и мнения, опыт и .предпочтения различных специалистов, а затем принятые решения сравниваются, обобщаются и так'или иначе агрегируются. В зависимости от характера задачи подготовка окончательного выбора может производиться и с помощью других организационных структур, которые обеспечивают ’’демократическое” решение проблемы, учитывающее знания и шкалы ценностей лиц и коллективов, заинтересованных в решении. .
Формализация подобного подхода к выбору решения приводит к многошаговым схемам ОМП, у которых на каждом шаге t используется не только результат предыдущего шага t - 1, но й других предшествующих шагов.
Опишем общую многошаговую схему ОМП.
Пусть число шагов равно к > 2 [69]. На шаге г, t Е 1, к, решается задача OptR(O(Z<')) | Z^ = F(O(Adni~ (0 ^(Z^0)),(3)
где
F<#>(Adm~(,)<yotf^
= F<f)(Adm^f) „^(.Х^ ’),..., Adm^^xW)),
J^ = (/ь • • I lq)» Х^р^ , р Е 1, q, - результат шага ]PJP < t, Х^ = = Х - предъявление. Результатом (решением) схемы является Х^.
Обозначим через Jt множество всех ]р таких, что Х^р^ используется на шаге t. Набор J = (/ь ..., /*) будем называть информационной структурой схемы. Она определяется особенностями решаемой задачи и возможностями переработки и хранения информации. -.
Представляется, что прикладным задачам принятия решения чаще других будут соответствовать классы многошаговых схем обобщенного математического программирования (МнОМП) с последовательной, параллельной, последовательно-параллельной и древовидной информационными структурами. Будем их обозначать ПсОМП, ПрОМП, ПсПрОМП и ДрОМП соответственно. При необходимости будем указывать в скобках класс Q используемых бинарных отношений (например, ПсОМП (Ь) - класс задач МнОМП с последовательной информационной структурой, использующих
отношения строгого (линейного) порядка). Напомним определения этих типов информационных структур (см. п. 5.2 гл. VI).
Для класса ПсОМП многошаговых схем с последовательной информационной структурой Jt- (г-1},г€1,£. Для класса ПрОМП многошаговых схем с параллельной информационной структурой^ = ... = Jk_x = = (0),/*={!,...,6-1).В классе ПсПрОМП информационная структура соответствует многошаговой схеме, состоящей из нескольких независимых последовательных ветвей (от шага Г до sb от sj + 1до $2,..., от st_x + 1 до st = к - 1), результаты которых используются лишь на шаге к. Для нее Jx = JSx*x = .. = JSt_x*\ = (0), Jk = { Si, • - •, sk} , Jt = = { t — 1} в остальных случаях. Приведенные классы схем являются частными случаями многошаговой схемы ДрОМП с древовидной информационной структурой. Структура ДрОМП задается двумя условиями:
) Эх Ks<6- 1, для которого/j = /2 = • • =JS” ( Oh
) каждое число/ 6 1,6 — 1 входит ровно в одно множество Jt,t>]..
3. Схемы МнОМП и функции выбора
Схемы МнОМП представляют собой широкий класс механизмов выбора. Возможности реализации функций выбора (ФВ) из того или иного класса существенно зависят от информационной структуры схемы МнОМП. Схеме 5 соответствует ФВ С^(Х), значением которой на предъявлении X является результат х^ последнего шага. Приведем несколько примеров механизмов выбора и укажем схемы МнОМП, реализующие ФВ, соответствующие этим механизмам^
1°. Выбор по оптимизации бинарного отношения
C^m = Opt^).(4)
Уже отмечалось, что имеют место различные определения оптимизации по бинарному отношению. Предполагается, что тип оптимизации фиксируется и в записи не указывается.
2°. Последовательный выбор по набору бинарных отношений (суперпозиция). Набору отношений R = (Л1Rk^ соответствует ФВ
C^X) = CRk<...CRi(CRi(X)')...y. (5)
3°. Параллельный выбор по набору бинарных отношений (композиция). Набору отношений R = (Rx>... ,Rk) и монотонной теоретико-множественной операции F (Yx,..., Y^ соответствует ФВ'
C^pW = F^Cr A^ ' i С*№(6)
4°. Последовательно-параллельный выбор. Последовательности наборов отношений Rx,... 9 Rk и монотонной теоретико-множественной операции F соответствует ФВ
CR R.F^^^^^(?)
Все перечисленные ФВ используют выбор по оптимальности. Нередко используется и выбор по допустимости.
5°. Выбор по допустимости. Бинарному отношению R С G2 и множеству эталонных вариантов U С G отвечает ФВ
CRluW = K4mRiUQ0.(8)
Как и в случае выбора по оптимальности, имеются различные определения понятия допустимости по бинарному отношению. Предполагается, что тип допустимости фиксируется и в записи не указывается.
Нетрудно видеть, чток
CrKi ик^ • • Cr3 , tz2 ^Rx> ut №) •••) = * <?xCr<’ ui^'
Это значит, что последовательный выбор по допустимости сводится к параллельному. Отсюда следует также, что и последовательно-параллельный выбор по допустимости сводится к параллельному. Заметим, что при выборе по оптимальности все эти три механизма существенно различны. Они реализуют разные классы ФВ. Таким образом, к перечисленным типам выбора добавляется еще один.
~ 6°. Параллельный выбор по допустимости. Набору бинарных отношений R = (/?!,..., Rk^ набору множеств U = (Цг,..., Uk) и монотонной теоретико-множественной операции Ff У/,..., У^) соответствует ФВ
CR5л^ = ^CR ^....Сщ,, «х^.<9>
Все перечисленные ФВ могут быть реализованы схемами МнОМП.
Последовательный выбор (5) реализуется схемой ПсОМП, на шаге t (t Е 1, Л) которой производится безусловная оптимизация по отношению Rt. Формально на шаге t решается задача
Opt^/Z W) | Z^ = Adm,.,*^»-^,
где - тривиальное отношение доминирования, для которого все варианты эквивалентны, ан — произвольный вариант из U.
Последовательному выбору соответствует последовательная информационная структура.\
Параллельный выбор (б) реализуется схемой ПрОМП, на шаге t (t Е Е 1,Л} которой производится безусловная оптимизация по отношению Rt (вычисляется^*' ~^Rt(X)), а на последнем шаге t + 1 решается задача
Opt^Z^^IZ^^FCAdmRO »^)),..., AdmR-jU(^(k^
где R° и и имеют тот же смысл, что и для последовательного выбора.
Параллельному выбору отвечает параллельная информационная структура.
Последовательно-параллельный выбор по оптимальности (7) реализуется многошаговой схемой ПсПрОМП с параллельно-последовательной информационной структурой.
Параллельный выбор по допустимости (9) реализуется одношаговой схемой
Opt^o(Z)jZ = F(AdmS7yW).
Как видим, многошаговые схемы ОМП обладают достаточно широкими возможностями. Мы увидим ниже, что с помощью схем МнОМП можно реализовать практически произвольную ФВ на конечном множестве вариантов.
За исключением § 6 будем дальше в этой главе рассматривать случай, когда множество G конечно. Будем называть класс механизмов выбора полным, если для любой ФВ С(-) найдется реализующий ее механизм из этого класса.
Пусть С(Х) - произвольная ФВ на множестве G. Будем называть вариант х EG приемлемым, если существует предъявление X £ G, для которого х Е С(Х). Все содержательные механизмы выбора, основанные на сравнении вариантов, обладают следующим свойством: если предъявляется единственный вариант и он приемлем, то он выбирается. Формально это свойство записывается в виде
(ЗХ)(х Е С(Х)) => С({х» = { х}, (10)
Класс всех ФВ, обладающих свойством (10), мы обозначили в п. 4.2 гл. III через Е°. Будем называть класс механизмов выбора полным в.ослабленном смысле, если для любой ФВ из Е° найдется реализующий ее механизм из этого класса. Различие между понятиями полноты и полноты в ослабленном смысле проявляется лишь в одноэлементных ситуациях, когда проблем с выбором не возникает. .
Назовем ФВ С(-) однозначной, если при X£ G множество С(Х) состоит не более чем из одного варианта. Соответственно класс механизмов выбора назовем 1-полным (в ослабленном смысле), если для любой однозначной функции из Е° существует реализующий ее механизм из рассматриваемого класса. .
Будем обозначать через МнОМП (Q) класс всех многошаговых схем ОМП, в которых используются бинарные отношения только из фиксированного класса отношений Q. Будем рассматривать три класса отношений L, W и R(L CW CR) - классы отношений строгого порядка, слабого порядка и произвольных отношений. Как мы видели, отношения из классов L и W играют особую роль, поскольку каждое из них может быть представлено индикатором. Отношение L является строгим порядком в том и только в том случае, если оно обладает индикатором со строгой шкалой (принимающим при разных х разные значения). Отношение W является слабым порядком тогда и только тогда, когда оно обладает индикатором с нестрогой шкалой (который при разных х может принимать Одинаковые значения).
Основной результат настоящей главы составляют следующие утверждения, уже упоминавшиеся в п. 5.3 гл. VI.
Теорема 1. Класс МнОМП (W} полон (в ослабленном смысле).
Теорема Г. КлассМнОМП (£) 1-полон (в ослабленном смысле).
Таким образом, какова. бы ни была функция выбора (полученная, например, по результатам наблюдений за действиями диспетчера, эксперта, диагноста или опытного специалиста в любой другой области), всегда можно построить реализующую ее многошаговую схему. В случае, когда ФВ не является однозначной, каждое отношение из соответствующей схемы МнОМП может быть выбрано из класса W, т.е. является слабым порядком. Усилить этот результат, заменив класс W йа L, нельзя, поскольку отношение строгого порядка, по которому производится оптимизация на последнем шаге, оставляет не более одного варианта, а неоднозначные ФВ так не могут быть реализованы. Однако для произвольной ФВ из Е° возможна
реализация схемой МнОМП, в которой на всех шагах кроме последнего используются отношения строгого порядка, а на последнем — слабого порядка. Этот вывод следует из доказательства теоремы 1. Из теоремы 1' вытекает, что в важном частном случае однозначных ФВ в реализующем их механизме МнОМП всегда можно обойтись отношениями строгого порядка (см. [69], [70] ).
В § 5 гл. VI приведены без доказательства некоторые утверждения о числе ФВ, которые могут быть реализованы схемой МнОМП с ограниченной информационной структурой, какой-либо из тех, которые обсуждались в предыдущем параграфе. Доказательства этих результатов можно найти в {56, 57,70].
Аргументация утверждений теоремы 1 и Г представляет собой некоторую модификацию рассуждений из п. 6.4 гл. III. Там по произвольной ФВ С € 2° был построен набор функций Сь отвечающих значениям /, для которых С^\Х^) Ф 0. Функция Cj правильно реализует выбор варианта / (см. гл. ,Ш (10)). В случае С^\Х^) ф const она задается выражениями (8) -(9) гл III, а при С^(Х^) = 1 Q полагается равной X.
Как и ап. 3.1 настоящей главы, можно построить схему, на некоторых шагах которой реализуются функции С^Х") в соответствии с соотношениями (8) и (9) гл. ИГ для всех / таких, что С^(Х^ ф const. Добавим к ней еще один шаг:
OptRJZ)\Z = U Adm^.^qm), i | С(/)(Х (/)) ф О
где Rq является некоторым строгим порядком Lo, если С — однозначная функция, и — тривиальным слабым порядком Wo = ф, если СЕ 2° — произвольная функция. Полученная схема реализует С(-). Действительно, Admb/>/(Cf(X)) выделяет единственный элемент I, причем лишь в тех предъявлениях X, для которых г Е С(Х). Отсюда следует, что множество Z совпадает с С^). Последующая оптимизация по Rq является фиктивной и не изменяет выбора. В случае, когда R0 — слабый порядок, это очевидно, а для однозначных функций выбора этот вывод вытекает из того, что Z содержит не более одного варианта.
4. Оценка качества прогноза
выбора механизмами заданного класса
В настоящей главе исследуются процедуры принятия решения, реализующие любую концепцию рациональности, выраженную функцией выбора. Показано, что произвольная функция выбора может быть представлена оптимизирующим механизмом - схемой МнОМП. Необходимо, однако, отметить следующее. Если имеется явное описание функции выбора для всевозможных предъявлений, то вопрос о построении механизма выбора не встает - выбор для любого предъявления определен. Тогда в чем же практическая ценность полученных результатов?
Изучение систем и процессов, представляющих интерес для естественных (да и для общественных) наук, обычно основывается на наблюдении
последовательности реализаций состояний системы, возможно, при различных начальных условиях и различных состояниях среды. Часто реально наблюдаемый выбор можно рассматривать как выбор на ’’достаточно представительном” множестве предъявлений. Это дает основание предполагать, что механизм выбора, восстановленный по накопленному материалу, будет удовлетворительно работать и на других предъявлениях.
Таким образом, результаты главы могут быть использованы для конструирования правдоподобных гипотез о механизмах, определяющих поведение наблюдаемых процессов, и для выявления их скрытых закономерностей. Предложенные методы могут быть использованы для экстраполяции поведения человеко-машинных систем и, в частности, для прогнозирования спроса. Принятая здесь методология позволяет заменить известное из математической экономики понятие ’’выявленное предпочтение” более широким понятием ’’выявленный механизм выбора”. На основе наблюдений за работой опытного диспетчера, оператора или диагноста на достаточно представительном множестве ситуаций можно построить модель их поведения. Экстраполяция механизмов выбора может быть использована в задачах принятия решений в условиях дефицита времени, когда эксперты достаточно подробно разрабатывают некоторое (представительное) множество сценариев и стратегию лиц, принимающих решение, а система должна обеспечить оперативный выбор линии поведения, причем не обязательно в ситуациях, предусмотренных сценариями.
Во всех указанных случаях построение механизма выбора из некоторого класса JK* механизмов, способных точно или приближенно реализовать изучаемую функцию выбора С(Х) на множестве G, производится на основе информации о выборе на ограниченной представительной выборке 53 = { Хг,..., XN } е (2е)N предъявлений. Сам же механизм выбора предполагается использовать при произвольных предъявлениях X ^G.
Представляет интерес анализ качества выбора (при тех или иных статистических гипотезах о предъявлениях) в тех ситуациях, в которых он не наблюдается, и оценка длины N выборки, гарантирующей заданное качество прогнозирования полной функции выбора по наблюдаемой частичной. Приведем две такие оценки, отвечающие различным характеристикам качества прогноза.
Первая оценка предложена в [57].
Фиксируем некоторое понятие ’’ошибки” реализации функции выбора С(Х) механизмом выбора М на предъявлении X. Будем задавать ошибку функцией тс(М, X), равной 1, когда ”реализация См(Х) ошибочна”, и О, когда ’’ошибки нет”. Примерами таких функций являются
гС(М,Х) = 0 ~ СМ(Х) = С(Х),'
гс(М,Х) = 0 ~ UCM(X) £ С(Х^
^ №) *ф^ см^ *^■.
И др.
Пусть ФВ С(-) наблюдается на множестве предъявлений S = { Хх,... ..., XN). Обозначим через Vn,c(M, S') частость ошибок, возникающих при реализации ФВ С(-) механизмомМ на выборке S, .
.
vN.c(M,S) = - Хгс(М,Х).■
N 1 = 1
Примем, что выборка SB - последовательность независимых случайных предъявлений, появляющихся с вероятностью Р(ХУ Величина Рс^М^ = = S Tq^M» Х)Р(Х) представляет собой вероятность ошибки, возни*
XG2G'
кающей при реализации ФВ С(-) механизмомМ.
При фиксированном механизме М имеет место следующая версия закона больших чисел — неравенство Хеффдинга\\4, 85]:
M\PCW-Vn,c(MX)\ > е } < 2e-1<1N.
Пусть М принадлежит некоторому априорно заданному классу Л механизмов. Вероятность У того, что хотя бы для одного механизма М ЕЛ выполнено неравенство'
l^cW-^.cWSB)! > е,
не превышает Ап^М^е”1^1^» где Ап(Л) - число всюду определенных ФВ на л-элементном множестве G, реализуемых механизмами класса Л. Найдем^из условия У<Т1 < 1. Имеем
1
где^ Нп{Л) = log2 |ЛЛ( JK )| - энтропия класса Л. Здесь 1Ап(Л)1 - мощность множества Ап (.Лу-‘.
Таким образом, с вероятностью 1 — 17 можно утверждать, что если объем N выборки удовлетворяет последнему неравенству, то Р(М) < < vN с(М, ®) * е для любого механизма М е Л. Отсюда видно, что чем меньше энтропия класса Л^ тем меньше достаточный объем выборки, позволяющий по наблюдаемой частичной ФВ прогнозировать полную ФВ. Наоборот, чем более универсален класс механизмов - чем больше энтропия класса тем больше информации требуется для построения механизма, восстанавливающего произвольную ФВ на G с погрешностью, не превышающей заданную.
Приведем еще одну оценку достаточной длины выборки, отвечающей другой характеристике качества прогноза полной ФВ по частичной.
Пусть на выборке S = { Хх, ..., XN) наблюдается частичная ФВ СДХУ ХЕ®. Эта частичная ФВ выделяет из класса Л механизмы выбора М, для которых
См№) = Се№), /=1N/(11)
Пусть Р(Х) - распределение вероятностей предъявлений ХЕ 2s, X Ф ф, а Хх, ..., XN - независимые, в совокупности распределенные по Р(Х) предъявления. Поскольку ХХ) ..., XN — случайная выборка, то и механизмы М Е Л, удовлетворяющие (11), выбираются случайным образом и зависят от С*. Хх, ..., XN) т.е. М = М(Се, Хх, ..., XNy где М - способ построения механизмов. Обычно способ построения М определяет не любые механизмы из Л, а некоторый подкласс Л С «Ж, реализующий произвольные функции выбора, представимые механизмами из Л.
Назовем величину
И/^,^,...,^) =
дефектом качества прогноза полной функции выбора С*(Х) по выборке 5В.
Установим, при какой длине N выборки 58 дефект W(Ce) Хх, ..., XN^ качества прогноза полной ФВ Се (•) с вероятностью, не менее 1 - 17, не превысит е(0<е<1,0<17<1 - заданные числа). Соответствующая длина N выборки 59 должна гарантировать выполнение неравенства
^ = 3» (С., е) =
= Рг{№XNY\W<C„ Xl,...,XN) > е} < 1?.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 2. При длине N выборки 58, удовлетворяющей неравенству
N > — {In | J^ | — tor?>,(12)
€
обеспечивается с вероятностью 1 - 17 прогноз полной функции выбора с дефектом не более е.
Доказательство. Пусть <4 — множество механизмов выбора из Л с дефектом прогноза, большим е.
Л=^МеЛ6: PiUe2G\См(Х)*С.(Х)У>е1.
По определению величины 5*= ^(С«, е)
^(С„ е) = Рг (№,... ,XN) 1М(С„Х1XN)e Л }.
Пусть для М G Л Вм - событие { (ATj,..., ^)| См(X/) = С. (Ху),/ = = 1N }. Из того, что М -М(С9 ,ХгXN) G Л следует, что событие Вм имеет место. Поэтому
PiМ(С., Xi, . . ,Х„)еЛ^ 5 Pr(SM).
мем
Очевидно, Рг(Яд/) < (1 - е)^ Отсюда
5 Рг(Вм)<|Л 1(1-е^ОЛК!-e)w. м е<д
Таким образом,
3»=^£С., е) = Рг (№,..., XN) | W<C., Xlt...,XN)>e} =
= Pi(M(C.,Xi,.,XN)eAl < 5 Pr(BM)<.
мем
< | Jr| (1 -€^<1^16-^
1A
ПриN> — (In \Л| — In 17) имеем €
^ = ^(C»,€)<7?,
что и требовалось доказать.'
Следует заметить, что аналогичная оценка достаточного (для обучения) объема представительной выборки получена из иных соображений в терминах распознавания образов в статье В.Н. Вапника и А.Я. Червоненкиса ”06 одном классе алгоритмов обучения распознавания образов” (Автоматика и телемеханика. - 1964. - № 6. - С. 937 - 945).
Введем обозначевде
ЛЛ In |^|
KG*) = iog2k<i = —-—.
In 2
Подчеркнем, что JC(Jt), вообще говоря, отличается от введенной в § 5 гл. VI и использованной в предыдущем пункте энтропии Нп(М) класса •X, измеряемой двоичным логарифмом числа всюду определенных ФВ, реализуемых механизмами из ЛИ. Неравенство (12), переписанное в виде
1А
N>- РС(ЛГ)1п2-1п77], €
показывает, что чем меньше Ж*(ЛИ), тем меньше достаточный объем выборки ®, гарантирующий малый дефект прогноза: (т.е. порождающий ошибочные значения ФВ на малом числе предъявлений). Наоборот,чем шире класс Лк механизмов выбора, тем больше требуется информации для удовлетворительного прогнозирования ФВ на ненаблюдаемых предъявлениях. Л*
Величина ^(Л) существенно зависит от используемого метода М построения механизмов выбора, и без указания метода М она не может быть подсчитана. Если метод.М таков, что построенным с его помощью разным механизмам М соответствуют различные функции выбора Сд/С), то жЦ^=нп^ (где Hn(JK) - энтропия класса ЛИ, см. § 5 гл. VI или п. 4.2 гл. XII). Это условие выполнено, например, для механизмов выбора по бинарному отношению. Для них величина ЗС совпадает с энтропией Нп класса механизмов. В общем случае имеет место неравенство
К(Л)> Нп^.;
Напомним (в обозначениях из § 5 гл. VI) оценки энтропии для некоторых классов механизмов выбора:
Я„ (МпОМП)~п2”-1,'
- n2log2n< Я„ (ПсОМП) <«2log2n, 4/^ н 1
Я„ (ПрОМП) ~v2"-*.
7Г
Я„ (ПсПрОМП) ~п2”-*,
Я„ (ДрОМП) ~л2м,
Я„(ОМП)~и2.'
Энтропия класса механизмов оптимизации по произвольному бинарному отношению равна и2, а энтропия класса механизмов оптимизации по строгому или слабому порядку асимптотически приближается величиной п log2fl.
Классы МнОМП, ПсПрОМП и ДрОМП являются универсальными и постановка задачи прогнозирования механизмами этих классов лишена практического смысла. Однако, если ограничить у схем МнОМП число шагов т, то энтропия Я^(т-ОМП) оценивается величиной [57]
Ял(т-ОМП) <2т+1 + тп2
и при малых т задачи синтеза и прогноза функций выбора становятся достаточно конструктивными.
Приведем пример выявления механизма выбора М из некоторого класа «Ж механизмов, позволяющего восстановить полную функцию выбора по частичной.
Рассмотрим случай, когда класс Л механизмов состоит из бинарных отношений - слабых или линейных порядков. Конкретный механизм Л/, реализующий концепцию выбора в задачах изучаемого класса, должен быть восстановлен по результатам наблюдений за решениями эксперта (ЛПР) на представительной выборке предъявлений или по некоторому архиву, хранящему опыт рациональных решений некоторого подмножества задач из рассматриваемой проблемной области.
Ситуации, в которых механизм выбора принадлежит классу бинарных отношений, характерен для многокритериальных задач. Формальные подходы к решению таких задач обычно сводятся к оптимизации вектора критериев по бинарному отношению, отражающему предпочтения ЛПР.
Пусть в результате наблюдения за решениями экспертов (ЛПР) введено упорядочение на выборке значений целевого вектора в допустимых точках Xi Е X. Результаты наблюдений позволяют построить орграф Г с N вершинами, отвечающими целевым векторам выборки. Орграф определяет неполное бинарное отношение R на множестве значений вектора-критерия /(х) = {ft (х) } ^ 1. Орграф используется для построения индикатора соответствующего слабого порядка. Этот индикатор может быть затем распространен на множество всех значений целевого вектора, отвечающих допустимым решениям задачи.
Построение индикатора существенно упрощается при достаточно естественном предположении о наличии среди индикаторов искомого бинарного отношения линейной формы.
Пусть/*= {/•*}” , = (Л^ШТл/' = (/{}”=! = {//(*/)>" - две вершины орграфа Г, П/* предпочтительней/^ по отношению Я. В принятых предположениях это означает, что существует линейная форма m'
S Gift такая, что 1 = 1
m, m
af> s afV(»)
i = 1 1 i = 1,
Рассмотрим систему линейных неравенств вида (♦), где к,/пробегают номера всех пар вершин графа Г, соединенных ориентированным ребром. Решение системы линейных относительно с{ неравенств может быть получено стандартными методами линейного программирования. Функция m
S с///(х)может теперь рассматриваться как искомый индикатор бинарного / = 1
отношения на множестве значений вектора VftHx^t = i V х Е X. Решение многокритериальной задачи сводится, таким образом, к вычислению оптимального плана задачи традиционного математического программирования m
ct fi(x) max | x E X.•
i = i
Выбор предельно упрощается, если предъявление X состоит из конечного числа вариантов.
Решение системы неравенств (♦) может оказаться тривиальным: сх = ... ... = ст = 0. Чтобы избёжать этого, достаточно в правую часть хотя бы одного из неравенств системы добавить положительный свободный член (например, +1). Выбор неравенства, в которое добавляется свободный член, определяется содержательным смыслом задачи: оно отвечает таким / и к, что Xj заведомо предпочтительнее варианта хк.«
5. Синтез многошаговых схем выбора
Как уже указывалось, при реальных значениях и, N, е, 17 вряд ли можно восстановить по результатам наблюдений схемы МнОМП с не малым числом шагов. Кроме того, вычислительная сложность решения задач МнОМП быстро растет с увеличением числа шагов. В связи с этим возникает проблема аппроксимации ФВ функциями, реализуемыми схемой МнОМП с малым числом шагов.■
Ниже приводятся без доказательств полученные до сих пор результаты по синтезу и аппроксимации ФВ простейшими схемами МнОМП. Они сформулированы и доказаны в [57] и в цитированных там источниках.
Задача синтеза схем МнОМП состоит в том, чтобы по заданной ФВ С( • ) Е 2° построить реализующую ее схему. Синтез схемы обычно производится на основе реально наблюдаемого выбора. Поэтому функция С(Х) может быть задана не на всех предъявлениях, а на некотором подмножестве 98 С 2е. Такую функцию С(Х), X G 9В будем записывать'В виде (С, 58) и называть частичной, а при 58 = 2 е — полной. Для частичной ФВ условие, характеризующее класс Е°, записывается в виде
((3XES)xEC(X))A({x) е$)=>.
=>С({х})=(х}.,
Таким образом, в задаче синтеза по частичной ФВ (С,®) Е 2° требуется построить многошаговую схему S, для которой CS(XT) = С(Х),Х Е58.
По уже упомянутым соображениям практический интерес представляют одно- и двухшаговые схемы ОМП и частный случай задачи ОМП — задача безусловной оптимизации (Б О)
Opt^(X)|JrCG.
Если множество допустимых предъявлений ограничено множеством 98 С 2G, то задача БО записывается в виде
Opt^mi^E ®.
Оптимизацию и допустимость по бинарному отношению можно, вообще говоря, понимать в любом из указанных в § 1 смысле. Однако для более компактного изложения нам удобно будет в этом параграфе (там, где не оговорено противное) понимать под Opt^(X) и АдтЛ>с/(Х) оптимизацию и допустимость по блокировке.
В случаях, когда исследуемые ФВ не представимы простейшими схемами МнОМП, будем рассматривать приближенные реализации (аппроксимации) ФВ в классах этих схем.
Напомним некоторые определения из § 5 гл. III.
Мажорантой (минорантой) частичной ФВ (С,®) называется всякая полная функция С* (соответственно С»), для которой С*(Х) D С(Х), ХЕ® (соответственно С*(Х) С С (Л), X Е ®)е
Верхней (нижней) аппроксимацией ФВ (С, S) на классе Q полных ФВ называется функция Св G Q (соответственно Сн Е Q) такая, что для любой мажоранты С* Е Q (миноранты С*Е Q) выполнено: V X Cb(X) С С*(Х) (соответственно V X Сн (X) D С;(Х)).
Подчеркнем, что включения СВ(Х) D Сн (X) и С*(Х) D С*(Х) гарантируются только для X Е ®.
Нижняя (верхняя) аппроксимация в классе Q существует не всегда. Поэтому вместо нижней (верхней) аппроксимации часто приходится довольствоваться ”неулучшаемыми” максимальными минорантами (минимальными мажорантами). Миноранта С»*Е 0ФВ (С,®) называется максимальной в классе Q, если не существует миноранты С* Е Q, С* Ф С* *, такой, что VX С**(Х) С С4Х). (Соответственно мажоранта С**(Х) Е Q ФВ (С, 5В ) называется минимальной в классе 5, если не существует мажоранты С* Е Q, С* Ф С**, такой, что MX C**(X)'DC*(X).) Максимальные миноранты и минимальные мажоранты могут определяться неоднозначно.
Рассмотрим следующие три пары задач синтеза и аппроксимации. 1 al) синтез частичных ФВ, представимых схемами безусловной оптимизаций (БО) (случай (С, 58) Е БО),
а2) аппроксимация произвольной ФВ функциями из класса БО (случай (СЯ)^БО),'
синтез ФВ, представимых схемами ОМП (случай (С, 5В) Е ОМП),
аппроксимация произвольной ФВ функциями из класса ОМП (случай (С,®)^ОМП),
в1) синтез ФВ, представимых двухшаговыми схемами ОМП (случай (С,«)Е 2-ОМП),
в2) аппроксимация произвольной ФВ функциями из класса 2-ОМП (случай (С, 5В) 4 2-ОМП).
Приведем результаты, относящиеся к задаче синтеза ФВ, представимых схемами БО, и к задаче аппроксимации ФВ (С,®) ^ БО.
Обозначим ФВ, представимую бинарным отношением R, через CR(X). Пусть (С,®) - произвольная частичная ФВ на множестве G = { 1, 2,... ..^п)»СЕ^.,
Введем множества
^ = U X, iEVi,'
. XesB, tec(X)
и построим отношение блокировки^, положив
0^(1) = ^ = G\£b.(13)
где Gr (i) означает { / | jRi} . Имеет место.v
Теорема 3. Если (С,®) Е БО, то С реализуется отношением R, т.е. C(X)=c^(X),xe®.Л
Свяжем с ФВ (С,^) отношение доминирования R:
IR] <=> (3 X Е®) (i Е С(Х\ j Е X)*
называемое выявленным отношением Самуэлсона. 282
AV.A у
Легко видеть, что R = Ra (отношения R и R двойственны). Отсюда вытекает известный факт, доказанный Рихтером.
Теорема 3 . Если (С,®) Е БО, то С реализуется выявленным отношением Самуэлсона.
Имеет место следующее необходимое и достаточное условие реализуемости частичной ФВ схемой БО.
Теорема 4. ФВ (С,®) Е БО тогда и только тогда, когда
V/ мхе® iec(X) ^iexc^b
Необходимое и достаточное условие реализуемости полной ФВ схемой БО было приведено в теореме 1 гл. IV. Повторим его здесь для замкнутости изложения.
Теорема 5. Полная ФВ С Е БО тогда и только тогда, когда она обладает свойствами наследования
MX, У (XCY)^C(X)3C(Y)OX и согласия
MX, Y C(XU У)ЭС(Х^ПС(УУ
Пусть теперь ФВ (С, S3) ф БО. Приведем результаты, устанавливающие возможности приближенной реализации ФВ в классе БО. Имеет место:
Теорема 6. Для любой ФВ (С,®) существует верхняя аппроксимация в классе БО. Она реализуется отношением блокировки R (13) (а также отношением доминирования R, представляющим собой выявленное отношение Самуэлсона).
Нижняя аппроксимация произвольной ФВ существует не всегда.
Теорема 7. Нижняя аппроксимация ФВ (С, ®) в классе БО существует в том и только в том случае, когда
МХЕ® С(Х)ЭС~(Х),'
где отношение блокировки R, реализующее нижнюю аппроксимацию, когда она существует, определяется формулой
iS-AUO ^aU^C(U,j3)\
В тех случаях, когда нижней аппроксимации не существует, вместо нее используют какую-либо максимальную миноранту. Метод нахождения всех максимальных минорант приведен в [57].
Обсудим результаты, относящиеся к синтезу одношаговых схем ОМП для частичных ФВ (С,®), представимых такими схемами, и к аппроксимации ФВ (С,®) ф ОМП. Будем называть класс ФВ, представимых схемами ОМП, классом ОМП.
Пусть G* С G — некоторое подмножество вариантов. Назовем продолжением отношения Rg • C_G* X G* на множество G отношение
RG\G С G X G: (z, j)eRG. G ~ (i, DERG,.
Свяжем с множеством G* отношение блокировки WG« CGXG:
WG.= Uij^ieG1, jeG\G'},(14)
являющееся слабым порядком. Сопоставим произвольной (не обязательно
283
из 2°) ФВ (С, S ) множества
2® = U IU{|}, i^G, xeai ie CW
и введем отношение блокировкиRG> CG' X G\ положив
G^c,(i) = G'\2®, i£G*.(15)
Кроме того, построим по ФВ (С,93) последовательность множеств
Gi^ {/I {/}ея СЩП = ФЪ
G^ = G^\ и {/[ЭЛГЕЙ: ieX\C(X\ X\U)EG^
и обозначим через G^-^ результат стабилизации этой последовательности, т.е. G^ = G^, где s определяется из условия G £7| = G^- '.
Положим G^ = G\G^~X Имеет место
Теорема 8. Если ФВ (С,®) Е ОМП, то она реализуется схемой ОМП вида °Р^ G w QWZ- ^wG^ u СП
где RgW>g - продолжение отношения (15) при G* = G^+^; WG(+) получено по формуле (14), и - произвольный вариант из С^.
Пусть теперь ФВ (C,S) £ ОМП. Возникает вопрос об аппроксимации (С, 58) функциями из класса ОМП. Оказывается, в классе ОМП не существует ни верхней, ни нижней аппроксимаций. Можно, однако, стрбить верхние аппроксимации в ослабленном смысле.
Пусть G* С G. Обозначим через G'-ОМП класс полных ФВ, реализуемых схемами ОМП, в которых: множество допустимых вариантов совпадает с G* (т.е. AUAdm^ уO(G) = Gfy Будем называть верхнюю аппроксимацию в классе G'-ОМП верхней С’-аппроксимацией. Если она существует, то она единственна.
Для ФВ (С, 58) имеет смысл рассматривать верхние G '-аппроксимации, лишь если G’ D G , где
Gw = {z|(3xeS)(iec(X))}.
Имеет место
Теорема 9. Для любого G1 D G^ верхняя G'-аппроксимация ФВ (С, S) в классе ОМП существует и задается схемой
Optv (Z)|Z = Adm^ е (X), KGt,GG\u
где RQe G - продолжение отношения (15), WG* построено в соответствии с (14), и — вариант из G'.
Назовем почти точной верхней аппроксимацией в классе ОМП полную ФВ С1 такую, что для любой мажоранты С* ФВ (С,®) и любого неодноэлементного предъявления X С\Х) DC^I). Поскольку в одноэлементных предъявлениях проблем с выбором не возникает, то почти точная верхняя аппроксимация может использоваться в качестве верхней. Имеет место■
Теорема 10. Верхняя G-аппроксимация является почти точной. Она получается безусловной оптимизацией по RG, т.е. С^Х") = С^(Х).
Назовем сужением ФВ (С, 59) на множество G* CG функцию (С*,®*) на множестве G1, где
<хпс*\хе«>, С(Х*) = ( n с(Х))пс’, х'е^'.
X I Х*=Х П G*
Обозначим сужение через (C,S)Ge. -
Построение нижней аппроксимации и максимальных минорант ФВ (С,®) в классе ОМП сводится к соответствующим конструкциям для ее сужения (С,59)в классе БО и может быть проведено намеченными выше
методами.
Имеют место следующие утверждения. .
Теорема 11. Нижняя аппроксимация ФВ (C,S) в классе ОМП существует тогда и только тогда, когда существует нижняя аппроксимация Сн в классе БО функции (C,S) ^+^. При этом, если Сн реализуется отношение R z.x С G^^^XG^^,то нижняя аппроксимация ФВ (С,ДВ) в классе
ОМП реализуется схемой
(16)(16)Opt, (Z)|Z = Adm„ W. \ G'
(16)
(16)
где R ( .х - продолжение отношения R г.х, W ,.х построено в соот- \ G.' G' }
ветствии с (14), и — произвольный вариант из G <+).
Теорема 12. Между максимальными минорантами в классе ОМП ФВ (С,®) и максимальными минорантами в классе БО ее сужения (С, 59.)
имеет место взаимно однозначное соответствие. При этом, если максимальная миноранта функции (С, 58.)реализуется некоторым отношением
R (+), то соответствующая ей максимальная миноранта ФВ (С, 59) реализуется схемой ОМП (16).-
Приведем теперь результаты, относящиеся к задаче синтеза ФВ, представимых схемами 2-ОМП, и к задаче аппроксимации ФВ(С,$) £ 2-ОМП. Имеет место
Теорема 13. Если ФВ представима двухшаговой схемой ОМП, т.е. если (C,S) 6 2-ОМП, то она может быть реализована двухшаговой последовательной схемой.
Однако выяснение вопроса, содержится ли ФВ (С, 59 ) в классе 2-ОМП, при немалом числе вариантов в G * связано с трудностями. Из результата [53] следует, что это J^^-полная задача. Тем более сложной задачей является синтез двухшаговой схемы. Можно ожидать конструктивных подходов, по-видимому, лишь к синтезу относительно частных двухшаговых схем.
Пусть, например, известно, что наблюдаемая ФВ (С,®) Е 2-ОМП может быть получена при помощи двухшаговой схемы (не известной нам), в которой на втором шаге оптимизация производится по качественному отноше- (2)
нию R о .В этом случае реализация ФВ в классе 2-ОМП может быть проведена эффективно.•
Пусть С\Х) = С^^(Х) - почти точная верхняя аппроксимация функции (С,^) на классе ОМП (см. теорему 10). Образуем ФВ (С.S3), где
S=^x\x=cXx\xeg^, С(Х)= а п с(Х),
х | х = С’(Х)
и в соответствии с теоремой 8 построим по ней схему ОМП. Имечт место
Теорема 14. Если ФВ (С, 38), реализуется двухшаговой схемой, в кото* рои к о является качественным порядком, то она реализуется двухшаговой последовательной схемой, полученной приписыванием схем ОМП для С1 и (С,®). ''"
Пусть теперь ФВ (С, 38) ^ 2-ОМП. В силу того, что пересечение и объединение полных ФВ из 2-ОМП не обязательно содержится в 2-ОМП, в классе 2-ОМП не существует ни верхней, ни нижней аппроксимации (утверждение 18 из гл. III). Тем самым построение приближенных реализаций таких ФВ в классе 2-ОМП усложняется^
Для построения приближенных реализаций ФВ в классе 2-ОМП может оказаться полезной следующая
Теорема 15. Если ФВ G, С2 Е ОМП, то последовательная двухшаговая схема, полученная приписыванием друг к другу схем для Сх и С2, реали-
АА•
зует ФВ С, удовлетворяющую включениям Сх^Х^ D С(Х) D С2(Х) для всех X, для которых Сх (X) D С2(Х).
Пусть теперь требуется реализовать ФВ (С, 38 ). Примем в качестве Cj и С2 ее мажоранту и миноранту в классе ОМП. Тогда V X Е $ будут выполняться соотношения Сх (X) D С (X) D С2 (X). В соответствии с теоремой 15 ФВ С также будет удовлетворять соотношениям
G(X) р С(Х) D С2(Х), X Е38 ,
и при подходящем выборе мажоранты и миноранты может оказаться ’’близкой” к (С,^). В качестве Сх естественно выбирать почти точную аппроксимацию, а в качестве С2 - одну из максимальных минорант.
6. Функции выбора на компактном множестве вариантов
Основные результаты настоящей главы (теоремы 1 и 2) о реализации произвольной ФВ схемой МнОМП доказаны для дискретного случая, когда ФВ задана на конечном множестве G вариантов. Эти результаты могут, однако, быть распространены (но уже как приближенные с оценкой погрешности) на произвольные ФВ, заданные на компактном множестве G.
286
Оказывается, для любой ФВ, заданной на произвольном множестве G, можно V 6 > 0 построить е-аппроксимацию, для которой существует реализующая ее схема МнОМП. Задача упрощается в случае выпуклого компактного множества G и ФВ с выпуклыми предъявлениями. Ниже обсуждаются оба эти случая. В п. 6.2 рассматривается непрерывный выбор на компактном множестве, а в п. 6.3 - выпуклый выбор на выпуклом компакте.
Непрерывный выбор на компактах.
Пусть G - компакт в Еп, являющийся замыканием связной области, K(G) - семейство всех связных компактных подмножеств G, а С( •) “ функция выбора на G, т.е. С( ): K<G) ^K(G)9 С(Х) СХДХ* 0}=> =► {С^Х^ф^и С( •) непрерывна в метрике Хаусдорфа. Под € -аппроксимацией Се(Х) функции выбора С(Х) будем понимать ФВ Се(-): K(G) ^K(G) такую,что X/XEK(G) рх(С(Х)9 С€(Х)) < е.
Будем предполагать, что С( •) определена и непрерывна на Л (2)), где 2) — параллелепипед с гранями, параллельными координатным плоскостям. Имеет место '
Теорема 16. Для функции выбора С( *) и Ve > 0 существует схема МнОМП, реализующая некоторую ее е-аппроксимацию.
Доказательство. В силу компактности 3) семейство К (2)) является компактным в метрике Хаусдорфа. Поэтому Ve > 0 36(e) > 0 такие, что
Рх(Х, П<5(е)^р/С(;Г),С(УЭ)<-| ЧХ, уек<ау {€)
— ’*
Произведем последовательность сечений 2) (а вместе с ним и G).
Шаг 1. Проведем через центр тяжести 2) сечение, параллельное плоскости хл-1 = 0.
Исходный параллелепипед 2) разбивается на два: 2)0 и 2)j. Соответственно G разбивается на два подмножества: 2)о ^ G, SDX С*\ G.
Ш а г 2. Проведем через центры тяжести 2)0 и 2)j сечения, параллельные координатной плоскости хл_2 = 0. Получим 4 множества: 2)0<ь 5оь ®ю> 2)ц- Соответственно G разбивается на 4 подмножества: G А 2)Оо, Gn2)Oi, Gn2)1o, Gn 2)и.
Ш а г к. Имеем 2*-1 множеств вида ®hxh;...hk_v> где^Е {0,1}. Проведем через их центры тяжести сечения, параллельные координатной плоскости хп_к = 0лри£< п HTn_modfl(t) =0при£> л. Таким образом, для каждой точки х Е 9) получим последовательность содержащих ее вложенных подмножеств:
®ht 3SDhih;D...D ®hlhl...hkD...(17)
1 Поскольку diam 2)/, h Л, = diam 2), то x является единственной
2 •••г к 1
2 " точкой пересечения последовательности вложенных компактов (17).
287
Зафиксируем к такое, что
diamS)
< €j. Обозначим через Nk мноокест-
во двоичных дробей с к знаками после запятой. Если г Е Nk имеет вид О, h^... hk, то Фн^ hi eeehk будем обозначать через фг. Построим отображение
<p(x) = {r | rENk, хЕ ФД.
Определим на множестве 5(Nk) всех подмножеств Nk функцию С(-):
CW = ^(C( U 9)hlh;...hk)y
О, ht h^... hRe X 1 2 к
Очевидно, что монотонно, т.е.
XCY^^X)^^ ХГХУ^Ф.
Тогда имеем:
С(У) = <р(С( U 3)r))^^( U ®r) = * MX^Nk. rexrex
Таким образом, С(*) — дискретная функция выбора на Nk.
При фиксированном к функция С( •) однозначно определяется функцией выбора С( *). Для С( •) по ^еореме 1 существует реализующая ее схема МнОМП. Построим по функции С( •) функцию Се( •):
Се(Л0 = С( и Фл^х VX^S.
re^w
Оценим в метрике Хаусдорфа расстояние между С(Х) и СДХ):
Рх(С(ЛГ),Се№)<рх(С(Л),С( U ®г)) +
ххге^р(Х)
+РАС( и ФГ\С( и ФЛ^^.(18)
х re<p(X)ге^х^
В силу непрерывности С( •) и выбора к имеем
р(Х. и $,)<€,
х ге*х)
и первое слагаемое в (18) меньше е>. Поскольку X С U Фг и rG ф(Х)
diam Фу < €j VrE ф(Х), то и второе слагаемое в (18) также меньше е1е Следовательно,
Рх№^С€1ХЛ<1ех <е.
Поэтому Се(-) является е-аппроксимацией функции выбора С(-).
Выпуклый выбор на выпуклых компактах.
Пусть G — выпуклый компакт в Еп.
Обозначим через K^G^ семейство всех компактных подмножеств G, а через n(G) — семейство всех вьшуклых компактных подмножеств G.
Пусть С( ’) - функция выбора на G с выпуклыми предъявлениями, т.е. С(Г)^Х Х/ХЕП(С).
Будем считать, что С( •) определена на более широком множестве U^G, т) — на замыкании т-окрестности G, т.е.
С(У K(U(G,t^K(№
Положим, кроме того, что С( •) непрерывна в метрике Хаусдорфа
р (т?, 9 = шах { тахр(л J), max р(х, i?)}
ЛУ € ifх G t
и является выпуклым выбором на U(G, ту т.е.
С(Х) С х МХЕ щи(р9 т)).
Введем определение. __
Отображение Се( •): П(^(С, т)) -> n(t/(G, т)) назовем е-аппроксима- цией функции выбора С( * ), если
МХЕ П(1/(С, т)) Рх(Се(Х), ОД)< 6.
Дий выпуклого выбора на выпуклых компактах утверждение 16 доказывается проще, чем для общего случая непрерывного выбора на компактах. Значительно проще и построение е-аппроксимации ФВ. Приведем соответствующие рассуждения..'
В соответствии с теоремой Бляшке (см. ХадвигерГ. Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии. - М.: Наука, 1966, а также Макаров и Рубинов [32]) снабженное метрикой Хаусдорфа семейство П (Я ) всех компактных подмножеств компактного множества Я также компактно. Это значит, что множество K(U(G, т)) компактно и функция выбора,
С( ): K(U(G,t»-*K(U(G,t^.
равномерно непрерывна на K(U(G, т)). Поэтому для любого фиксированного е > 0 существует 6 > 0, не зависящее от X, такое, что
• рха п < 6 * p/cw. qd) < у,
XX, YGK(U(G, тУ)
/ €\
Положим ех = min (у, 5, т 1 и зафиксируем некоторую е^сеть St на U(G, т)..
Поставим в соответствие каждому предъявлению X € П (G) выпуклый многогранник G,(X) с вершинами в точках ерсети Si такой, что У С CGe(X), pxaGe(Xy2<ev'
Обозначим через С( •) дискретную функцию выборе на 5П определенную следующим образом:
С(ЛЭ= exG,(C(co JQ)n^ XXGSx, где ехК — множество крайних точек К.
Функция С( •) однозначно определяется функцией выбора С( •) при фиксированной et -сети S t. Для нее по теореме 1, как для функции выбора на конечном множестве вариантов, существует реализующая ее схема МнОМП.
19. ДБ. Юдин289
По функции выбора С( •) на дискретном множестве вариантов построим функцию се(-у
Се(ЛЭ = со C(Ge(X) П 5Т) Х/Хе И(СУ
По определению Ge(X) множество co(Ge(.¥) A Si) совпадает с Ge(X). Поэтому'
САХ) = со Ge(C(GAX))) = GAC(Ge(X))).'
Имеем:
Px(Ge(C(GAX))), С(Х)) <Px(GAC(Ge(X))), C(Ge(X)))+
*€€
^Рх№е^У C(X)) < — + — = €.
Следовательно, однозначно восстанавливаемая по функции выбора С( •) на дискретном множестве вариантов функция Се( •) является е-ап- проксимацией исходной функции выбора С( • ). -
6.4. В заключение параграфа и главы отметим, что функция выбора представляет собой многозначное (множественно-множественное) отображение и в нетривиальных случаях не может быть представлена удобной аналитической (формульной) записью или компактной таблицей. Естественное представление функций выбора (или классов функций) — аксиоматическое описание их свойств.
Дальнейшее развитие исследований должно привесит к процедурам принятия решений по аксиоматически сформулированные свойствам функции выбора, отражающим приемлемую для лиц, принимающих решение, концепцию понятия ’’компромисс”. Представляется, что четкая постановка и анализ такой проблемы придадут новый импульс развертыванию работ по теории и методам принятия решений в многокритериальных задачах, при групповом выборе и в конфликтных ситуациях.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Основные главы книги, в которых изучаются различные вычислительные процедуры принятия решений в сложных ситуациях, рассчитаны главным образом на математиков-вычислителей. Заключение хотелось бы ориентировать на лиц, принимающих решения, на прикладников, заинтересованных в перспективах повышения эффективности принятия решений при многих, порой противоречивых требованиях к выбору, при необходимости согласовывать интересы участников переговоров, которые руководствуются различными шкалами ценностей.
Подчеркнем, что на намеченные здесь предложения следует смотреть скорей как на некоторую программу исследований, вытекающую из современного состояния теории принятия решений, чем на изложение аргументированных рецептов.
Жизнь человека, коллектива и общества в целом — сплошная цепь решений. Многие решения, особенно личного характера, принимаются инстинктивно и при соблюдении требований ’’здравого смысла” слабо сказываются на состоянии лица, принимающего решение, и на его окружении. Иное дело производственные и социальные решения — особенно в нестандартных ситуациях.
Чем интенсивнее взаимосвязи в коллективе, тем более сильное влияние на судьбу коллектива приобретает решение каждого его члена. Когда в тесной комнате скапливается много людей, трудно шагнуть, чтобы не наступить при этом кому-нибудь на ногу. -
Рациональное решение — это слаженная работа коллектива, соответствие проекта своему назначению, эффективное управление, достижение договоренности и разрешение конфликта. Чем выше на иерархической лестнице располагается лицо, принимающее решение, тем серьезней могут оказаться последствия принятого решения. Выбор решения в сложных ситуациях требует научной поддержки.
291291Можно считать, что подходы к принятию решений оформились как самостоятельная дисциплина, точней, как межнаучная проблема, во второй половине нашего века. В результате исследований, проводимых математиками, психологами, экономистами и социологами, возникли две ветви этой дисциплины — теория принятия рациональных решений (математическая теория выбора решений) и психологическая или поведенческая теория выбора. Первая из них требует ответа на вопросы ’’что следует называть
291
291
19е
рациональным решением?” и ’’как принимать рациональные решения?”. Вторая теория отвечает на вопросы ”как в действительности люди принимают личностные и организационные решения?” и ’’какие ошибки они при этом совершают?”.
Серьезные последствия принятых решений во многих ответственных ситуациях заставляют задумываться над синтезом разных ветвей теории принятия решений. При построении математической теории необходимо учитывать выявленные психологические особенности личности. Важно также, чтобы строго аргументированные выводы математической теории решений стимулировали с помощью соответствующих механизмов организацию воспитания и образования, культурные и законодательные акты.
Целесообразность применения математики в психологии в настоящее время общепризнана. Гораздо меньше внимания уделяется учету влияния психологических фактов в формальных системах поддержки принятия решений. Стоит в связи с этим напомнить, что, обсуждая аналогичные проблемы синтеза принципов нейрологии и вычислительной техники, Джон фон Нейман подчеркивал, что ”... изучая нейрологию, можно узнать о машинах гораздо больше, чем узнать о нейрологии, изучая маппшы”.
Следует полагать, что взаимное проникновение методологии и результатов математической и психологической теорий принятия решений — необходимое условие эффективного согласования целей, провозглашаемых обществом, и практических решений, принимаемых исполнительной властью на разных уровнях. Синтез выводов математической и психологической теорий поможет наметить пути устранения расхождений между словом и делом, между призывами й действиями. ,
Каждая постановка задачи принятия решения предполагает, что известны цель или множество целей выбора, заданы условия, которые выделяют область допустимых решений, и имеется некоторая информация об интересах лиц, участвующих в выборе. Интересы лиц, принимающих решения, естественно, могут различаться между собой.
В случае, когда цель выбора одна, и интересы лиц, участвующих в выборе решения, совпадают, принципиальных трудностей нет. Подготовка решения связана с техническими трудностями, обусловленными сложностью поиска компонент * решения, которое удовлетворяет условиям задачи и обеспечивает (с погрешностью, не превышающей заданную) достижение цели. Проблемы появляются, когда целей несколько, или интересы лиц, принимающих решение, не совпадают. В подобных ситуациях далеко не всегда существуют объективные соображения, позволяющие однозначно произвести рациональный выбор. Субъективные элементы - шкалы ценностей лиц, принимающих решение, — играют в таких случаях важную, если не решающую роль.
В сложных технических, экономических и социальных проблемах принятие решений связано с концептуальными и вычислительными трудностями. Большой объем информации, которую нужно учитывать, заставляет решать подобные задачи на нескольких уровнях. Выбор по необходимости становится иерархическим. На верхнем уровне определяется, что следует в заданных условиях считать рациональным выбором. Объектами выбора здесь являются такие обобщенные понятия, кек функция выбора или аксиоматически 292
определенные категории ’’компромисс”, ’’равновесие”, ’’справедливость” применительно к условиям изучаемого класса задач.
№ последующих этапах требования к компромиссному выбору уточняются (дезагрегируются). Окончательное решение принимается на последнем этапе (на низшем уровне) в терминах объектов или действий, подлежащих выбору.
В обсуждаемой схеме процесса принятия решений предполагается, что для каждого конкретного класса задач выбора должны разрабатываться (вначале на содержательном, а затем и на формальном уровне) возможные требования к понятию ”компромисс”. Лицо, принимающее решение, должно отобрать из них те требования, которые с его точки зрения определяют рациональный выбор. Формально требования к выбору формулируются в виде множества аксиом, любые непротиворечивые наборы которых отражают возможные определения понятия ’’компромиссное”, ”рав- новесное”, ’’рациональное” решение в задачах соответствующего класса. В неформальных терминах социальных задач глобального масштаба подобные системы аксиом — это конституции, кодексы законов, нормы поведения, принятые обществом.
В каком-то смысле можно смотреть на мировую литературу, да и на всю человеческую культуру в целом, как на выражаемые теми или иными средствами взгляды на понятие ’’справедливость”, существовавшие в различные эпохи, для различных классов и у разных народов.
Ясно, что ведущую роль в разработке понятия ’’рациональный выбор” должны играть специалисты, обладающие знаниями и опытом в соответствующем классе прикладных задач. Роль математика здесь ограничена формализацией требований к выбору, исключением логических противоречий и оценкой последствий, к которым приводит та или иная аксиоматика, определяющая справедливое решение. Это крайне сложные и тонкие задачи. Дело в том, что изменение некоторых нюансов в аксиомах рационального выбора может приводить к совершенно неожиданным и неоправданным решениям. Исследование возникающих здесь проблем - одна из основных задач теории выбора.
Рассмотрим двухуровневую систему принятия решений. На верхнем уровне формируется концепщш выбора, способствующая принятию реще- ния в интересах системы в целом. При необходимости разрабатывается также набор допустимых мероприятий, воздействующих соответствующим образом на предпочтения (шкалы ценностей} лиц, принимающих решение на нижнем уровне.
ЛПР верхнего уровня выбирает из предъявляемого ему множества наборов аксиом — требований к рациональному выбору — набор непротиворечивых аксиом, отвечающих (по его мнению) интересам системы. Каждый такой набор, определящий понятие ”компромиссное решение”, порождает класс функций выбора на множестве объектов, подлежащих сравнению и оценке.
Накопленный опыт и неформальные знания, фиксируя рациональный выбор на некотором Ограниченном множестве йредьявлений, сужают класс функций выбора, удовлетворяющих аксиоматически установленной концепции рациональности, и при необходимости корректирует требования к ’’справедливому” компромиссу.
Мы уже знаем, что произвольной функции выбора соответствует механизм выбора — многошаговая схема обобщенного математического программирования. Этот механизм позволяет точно или, по крайней мере, с любой заранее заданной степенью точности реализовать решения, рациональные с точки зрения накопленного опыта и обусловленные функцией выбора или породившей ее системой аксиом.
Возможны различные подходы к построению механизма выбора на нижнем уровне. В принципе механизм может быть реализован в виде автомата, системы программ для ЭВМ или предписаний для исполнителей.
В этом случае решение на нижнем уровне полностью отвечает установленным требованиям к рациональному выбору. Такая система выбора решений носит, однако, административный характер и не использует человеческий фактор на уровне исполнителей. .
Механизм выбора на нижнем уровне может быть также реализован в виде некоторой организационной структуры — . управляющего органа с участием лиц, принимающих решение. Их личные предпочтения зачастую не согласованы с интересами системы, сформулированными на верхнем уровне. При такой реализации процесса принятия решений вышестоящий ЛПР должен не только определить понятие ’’рациональный выбор”, но и позаботиться о корректировке предпочтений ДПР нижнего .уровня и о согласовании их с интересами системы. Такой механизм выбора решений демократичен. Он так или иначе учитывает предпочтения всех лиц, участвующих в принятии решений. Однако организация согласованной процедуры выбора в этом случае значительно сложней. Одна из причин, усложняющих процесс принятия согласованного, решения, — необходимость защиты от манипулирования (от преднамеренного рассогласбвания решения в интересах отдельных лиц, участвующих в принятии решения). Подробный обзор работ по манипулированию выбором и методам защиты от манипулирования содержится в [25].
В каждом фиксированном классе проблем управления конкретные условия принятия решений определяют подходящую процедуру выбора и соответственно распределение задач между ЛИР и автоматом.
Принятие решений на нижнем уровне может проводиться по разным схемам — при непосредственном сравнении объектов, подлежащих выбору, или при сравнении тех или иных векторов, их характеристик. Формальные аналоги этих схем — математическое программирование в порядковых шкалах и обобщенное математическое программирование. При автоматизированном решении задачи, когда концепции рациональности, установленной на верхнем уровне, приводится в соответствие реализуемый на ЭВМ формальный механизм выбора, можно обеспечить один и тот же результат при работе по любой из указанных схем. Предпочтения на множестве объектов однозначно индуцируют предпочтения на множестве векторов-критериев, характеризующих объекты. Если же механизм выбора на нижнем уровне реализован в виде некоторого управляющего органа и решение принимают люди, то разные схемы будут, как правило, приводить к разным результатам. И чем сложнее задача, тем большим может оказаться расхождение между решениями, отвечающими разным постановкам.
Выбор по непосредственному сравнению объектов может существенно отличаться от выбора, основанного на сравнении векторов-характеристик 294
объектов. Объясняется эго, в частности, тем, что, как бы тщательно ни выбирались характеристики объектов, информация о векторах-критериях качества ранения дает неадекватное описание объектов выбора. Некоторая информация об объектах теряется при описании их набором характеристик, и некоторая информация, не имеющая непосредственного отношения к сравниваемым объектам, привносится при этом в модель. Кроме того, выбор подходящей системы критериев качества в известной мере субъективен.
Но не в этом главная причина расхождения результатов выбора при использовании управляющим органом разных схем принятия решения. Главное, ио-видимому, в том, что человеческое мышление не приспособлено эволюцией к естественному с формальной точки зрения переходу от предпочтений на множестве объектов к предпочтениям на множестве наборов их характеристик.
В зависимости от специфики решаемой задачи и психологических особенностей и практического опыта ЛПР для него более привычным и в некотором смысле более объективным может оказаться либо выбор по непосредственному сравнению объектов, либо по сопоставлению векто- ров-критериев.
При постановке задачи в терминах обобщенного математического программирования выбор вектора критериев существенным образом сказывается на решении. Непродуманная система показателей, спущенная планирующим органом предприятию, может стимулировать решения, не отвечающие интересам общества. Если, например, среди показателей, по которым оценивается выполнение плана металлообрабатывающего предприятия, содержится вес сданного металлолома, то адмшшстрация не будет заинтересована во внедрении металлосберегающей технологии, сокращающей отходы металла в стружку.
Заметим, что в предлагаемых на страницах монографии вычислительных методах выбор на любом уровне (как эго следует из описанных в предыдущих главах процедур принятия решения) происходит в процессе диалога между специалистом по математической теории решений и ЛПР соответствующего уровня.
Чем более мощным оказывается множество допустимых решений и чем выше размерность сравниваемых вектордв, тем больше потребуется элементарных актов диалога для того, чтобы выявить функцию выбора или предпочтения ЛПР и получить таким образом решение требуемого качества. Обычно множество объектов, из которого производится выбор, существенно шире множества наборов характеристик объектов. Кроме того, размерность вектора критериев обычно гораздо ниже размерности вектора, идентифицирующего объект выбора. Чем выше уровень принятия решений, тем более обобщенными характеристиками оперирует Л11Р, тем короче диалог, определяющий выбор. Это как раз и согласуется со степенью ответственности и дефицита времени лиц, принимающих решение на разных ступенях иерархической системы управления,
Следует полагать, что на верхнем уровне, где выбору подлежит концепция рациональности решения в изучаемом классе ситуаций, число заранее подготовленных специалистами аксиом, из которых должна быть отобрана непротиворечивая система свойств компромисса, будет относительно невелико. Следовательно, можно надеяться, что ответственному ЛПР, осна-
95
щенному системой математической поддержки принятия решений, которая позволяет оценивать возможные последствия выбора, удастся выразить свое отношение к концепции рациональности за приемлемое время.
Приведенные рассуждения аргументируют следующий подход к выбору рационального решения в сложных ситуациях.
Вначале формируется частичная функция выбора, отражающая накопленные знания и опыт принятия рациональных решений в изучаемом классе ситуаций. Для пополнения частичной функции выбора разрабатывается (в содержательных, а затем и в формальных терминах) множество аксиом — интуитивно приемлемых возможных свойств понятия "рациональный выбор" в рассматриваемом классе задач принятия решений. На следующем этапе в результате диалога специалиста по теории принятия решений с ЛИР из исходного множества аксиом выделяется некоторое подмножество — логически непротиворечивая система аксиом, характеризующая точку зрения ЛПР на концепцию рациональности в изучаемом классе проблем и согласованная с исходной частичной функцией выбора. Каждой непротиворечивой системе аксиом отвечает функция выбора или некоторое множество функций выбора. Произвольной функции выбора можно привести в соответствие многошаговую схему обобщенного математического програмьшрования — механизм, обеспечивающий рациональный (с точки зрения ЛПР) выбор решения.
Каждый из перечисленных этапов подготовки решения связан со сложными математическими задачами. Одна из наиболее ответственных и трудоемких задач заключается в следующем.
Прежде чем предъявлять ЛПР множество аксиом — возможных требований к понятию "рациональный компромисс", необходимо их тщательно исследовать и выяснить, не приведут ли'безобидные и, на первый взгляд, вполне естественные аксиомы к неожиданным и нежелательным выводам. А такие случаи возможны.'
Приведем и обсудим некоторые системы аксиом, выражающие возможные требования к определению рационального группового решения в разных классах задач. В одном случае естественные, казалось бы, требования приводят к парадоксальному выводу. В других случаях выбор, определяемый аксиомами о рациональном компромиссе, соответствует накопленному опыту и интуиции. (В рассматриваемых примерах отсутствует предварительный этап, фиксирующий априорные знания и опыт.) -
Первый пример известен под названием парадокса Эрроу. Ему посвящена обширная литература. Мы приведем интерпретацию парадокса, принадлежащую Экланду [58].
Пусть имеется вектор П благ и требуется справедливо распределить его между т членами общества. Каждый член общества понимает справедливость по-своему в соответствии со своим предпочтением Rbi = 1т, на множестве векторов распределений благ. Другими словами, каждый индивидуум может указать для любой пары X и Y распределений благ между членами общества, какое из них является для него более предпочтительным.
Задача заключается в установлении компромиссного (группового) предпочтения Rr, отражающего общественное мнение по поводу "справедливого” распределения благ.
296
Какие требования следует предъявить к ’’справедливому” групповому решению?
Следующие аксиомы — свойства рационального группового предпочтения — представляются естественными.
I. Аксиома полноты. Групповое предпочтение RT должно быть полным бинарным отношением, т. е. Rr должно позволять сравнивать любую пару X и Y распределений благ между членами общества и указывать более предпочтительное из них, если таковое имеется.
П. Аксиома транзитивности. Групповое предпочтение X должно быть транзитивным отношением: если X предпочтительней для общества, чем У, а У предпочтительней Z, то X предпочтительней Z:
(XRr У) д (YRTZ^=> XRTZ.
Ш. Аксиома определенности. Групповое (общественное) предпочтение RT должно полностью определяться набором индивидуальных предпочтений R< членов общества
R,RmV,
IV. Аксиома единогласия. Если все члены общества предпочитают рас- пределетше X распределению У, то и для общества X предпочтительней У:
Vi: XRtY^XRTY.
V. Аксиома независимости. Результат сравнения распределений X и У не зависит от того, какие еще возможны распределения вектора благ между членами общества. Формально, пусть Rt и Rb i = 1,..., m, два семейства индавидуальных предпочтений, a RT = ^(Ri»... ,Rm) и RT = = У(/?1, .., Rm) - соответствующие групповые предпочтения; тогда
{ Vr (XR(Y ^ XRtУ) } => { XRT Y <=* XRT Y }.
Другими словами, результат сравнения любой пары распределений не зависит от контекста выбора,’'
Все сформулированные аксиомы представляются вполне естественными. Тем не менее из них вытекает следующее неожиданное утверждение.
Аксиомы I-V не противоречивы в том и только в том случае, если общественное предпочтение Rr совпадает с индивидуальным предпочтением Rl одного из членов общества.”
Это утверждение называется в литературе парадоксом Эрроу, а условие, при котором аксиомы I - V совместны - правилом диктатора. '
И.Экланд [58], обсуждая возможности согласования индивидуальных и групповых интересов, замечает, что легче согласовать идей, Чем потребности. Проще добиться единогласия в политике, чем в * экономике. Участники экономической системы эгоистичны, и не существует естественного приспособления их потребностей друг другу.
Наиболее критичной аксиомой среди перечисленных свойств рационального коллективного выбора является аксиома V - аксиома независимости. Оказывается, имеет место следующее утверждение.
Если выполняются требования I—IV, то существует правило формирования группового предпочтения по индивидуальным предпочтениям, отличное от правила диктатора. Однако при этом не удовлетворяется аксиома независимости (аксиома V).
В последние годы появился ряд работ (см., например, [45, 96]),позволяющих в какой-то мере ослабить (но не устранить) эффекты, связанные с парадоксом Эрроу.
Приведенные рассуждения показывают, сколь осторожно нужно подходить к установлению свойств рационального компромисса. Система аксиом рационального выбора должна удовлетворять дополнительным требованиям, которые, в частности, обеспечивают устойчивость определяемого аксиомами компромисса.
Рассмотрим теперь другой пример аксиоматического определения требований к рациональному групповому выбору. Приведенный ниже набор аксиом конструктивен и служит основанием для построения механизма выбора.
В теории принятия решений (в частности, в теории группового выбора) часто возникает необходимость в определении понятия ’’близость” между упорядочениями. Обсудим пример аксиоматического определения рационального согласования индивидуальных и группового упорядочений. Достаточно естественным свойством такого согласования может быть минимальное отклонение ’’справедливого” группового упорядочения от индивидуальных упорядочений. Все дело в том, как определить ’’метрику” в пространстве упорядочений - ’’расстояние” между упорядочениями. Ниже под упорядочениями будем подразумевать бинарные отношения R, матрицы || ту || которых удовлетворяют следующим свойствам:
) ty” +1,0 или -1,
если Г// > 0 и Tjk > 0, то т1к > 0, причем г^ = 0 только, если г у = = Tjk = 0.
В [19] сформулированы следующие требования к рациональному определению’’расстояния” dCRx.R^ между упорядочениями Rx и Я2 на конечном множестве объектов.
Аксиома!. d(Rx,R^>09причем d(Rt,R2)-0 тогда и только тогда, когда Ri = R2.
АксиомаП. d(RV,R2y=d(R29RxY
Аксиома Ш. d(Ri,jR2) + d(R29R3)> d(Ri9R3) (неравенство треугольника), причем равенство достигается в том и только в том случае, когда
iR2j *=> Г/}^+ г^3)> 0, где г^ и г^ - элементы матриц для Ri и R3.
Второе условие в аксиоме III содержательно означает, что R2 лежит на “прямой”, соединяющей Rx и R^.
Аксиомы !—Ill, — это обычные требования, предъявляемые к любой “метрике”.(
Аксиома IV. “Расстояние” не зависит от переименования объектов. Если упорядочения Rx й R2 получены из R i и R2 одной и той же перестановкой объектов; то
Аксиома V. Если два упорядочения совпадают на всех парах объектов, кроме некоторого подмножества S пар объектов, то расстояние между любыми двумя упорядочениями на множестве всех пар объектов совпадает с расстоянием между этими упорядочениями на подмножестве S.
298
Аксиома VI. Минимальное положительное расстояние между двумя упорядочениями равно единице.
(Последняя аксиома используется лишь для масштабирования — для выбора единицы измерения расстояний»)
Оказывается, что аксиомы I-VI единственным образом определяют ’’расстояние” между упорядочениями Кг и R2. Имеет место утверждение [19]:
d(/?b*a)=4- S Ir^-r^l.
U
В [75, 76, 79, 80, 95] рассматривались несколько иные системы аксиом и предъявлялись другие требования к бинарным отношениям. Соответственно получены видоизмененные выражения для ’’расстояния” в пространстве упорядочений.
Полученный результат может быть использован для постановки и анализа различных задач теории принятия решений. В частности, он определяет возможные подходы к групповым решениям. Как уже указывалось, Представляется вполне естественным, что рациональное с точки зрения коллектива упорядочение должно быть наименее отклоняющимся от индивидуальных упорядочений членов коллектива. Согласимся с тем, что ’’расстояние” между групповым и индивидуальными упорядочениями удовлетворяет аксиомам I-VI. Тогда выбор ’’справедливого” группового упорядочения Rr по индивидуальным упорядочениям Rh i = 1,..., m, сводится к решению следующей задачи дискретного программирования:
т
Z d(Rt-Rj)-*min|R- е D.
/=1
Формальная запись выражения для области D фиксирует тот-факрчто искомаяматрица II г^ || упорядочения Я, удойлетворяевус®с1виям<1)-г-3).
Приведем еще один пример непосредствещюгопсрехседюисиггемы аксиом, определяющих понятие ’’рациональное решение”, к описавд» соответствующего механизма принятия решений: Речь«дет»в^адачвххмклЙсова- ния интересов и мнений при определении коэффициента тоудов0го*¥частия членов бригады в работе коллективам
Эффективность бригадной форь^орЛнизамщиктруде^ зависит от того, й какой мереоцлататрудабудет.помнению «темовбри- гады, определяться ихтрудавым,ва<ладоМ:Опредеие^екоэффишкита трудового участия (КТУ) представляет собой задачу группоцрго, выбора. Опишем предлагаемый в [18] аксиоматический подход а’’справедливому” установлению КТУ (предполагается, что размер оплаты труда про- порционаденКТУ)
Пуста бригада соргоит ид фрабупямговиIk^lSWfr^№<т брщ-ады- участвуют в определении КТУ каждого,рабртадса.Обознащ^ ко^я - ^ «Kb№»M^^^ цд|9О<)0|1*з|1ьф<^^/-^ра{&тщ|К%- Жерт
венно считать, что О Х к^ <; Г, ^ , Кц “^ Vr..'3'адача. группового выоора
заключается в построении отображения, переводящего матрицу К = || ку || индивидуальных решении в вектор к = (fci, *.., кт^ группового решения.
В [18] сформулированы следующие требования (аксиомы) к рациональному преобразованию F.
I. Аксиома универсальности. Отображение F определено для любых т
(п X т)-матриц К = || ку II, 0 <&#< 1, S ку = 1 Чи
П. Аксиома инвариантности. Если вектор к = (^, 1.., кт^ определяет групповое решение — результат применения отображения F к матрице К, то вектор ^к при любом 0 > 0 также является групповым решением. ,)' -. т"
(В дальнейшем будем считать, что S kt = 1.)
1
Ш. Аксиома независимости. Если все участники выбора не меняют своего выбора относительно КТУ какого-либо члена бригады, как бы ни складывались их мнения относительно других работников, то не меняется и групповое решение о КТУ этого работника.
Формально аксиома независимости формулируется следующим образом. Если при изменении матрицы К = || ку Ц остается неизменным Z-й столбец, то не меняется и Z-й элемент вектора к группового решения. Отсюда следует, что отображение F матрицы К = || ку || в вектор к = (к\кт^ может быть заменено набором частных отображений Ft каждого столбца матрицы || ку || в соответствующий элемент kt вектора к группового решения.
Аксиома равноправия. Все члены бригады равноправны относительно процедуры выбора, т.е.
Аксиома единогласия. Если все участники выбора дают одну и ту же оценку некоторому члену бригады, то эта же оценка сохраняется и в групповом решении. -;.
Аксиома симметрии. Все участники выбора (члены совета бригады) равноправны.
Имеет место следующее утверждение.
При выполнении аксиом I—VI КТУ kj /-го члена бригады, определяемый групповым решением, совпадает со средне-арифметическим значением коэффициентов ку, установленных каждым из участников выбора,
Д
kt*— S ку.
п i=i
В [18] рассматривается более общий случай, не требующий выполнения аксиомы VI (симметрии). Аксиомы I-V определяют целый класс допустимых процедур группового решения.
. Рассмотренные выше примеры аксиоматического подхода к определению рационального группового решения иллюстрируют возможности построения механизма выбора по заданным требованиям к нему. Аналогичным образом можно по аксиоматическим требованиям к концепции ’’рациональности” строить функции выбора, отвечающие разным принципам
агрегирования показателей в многокритериальных задачах, тем или иным подходам к согласованию интересов при групповом выборе и различным определениям понятия ^компромисс” в конфликтных ситуациях.
Концепция выбора — многогранная категория. Какие бы требования ни предъявлялись к концепции рационального решения, всегда можно ожидать, что, по крайней мере в отдельных ситуациях, появится необходимость выяснить, удовлетворяет ди функция выбора некоторому дополнительному свойству, естественному для рационального решения в этой ситуации. Потребуется установить, вытекает ли это свойство из исходного аксиоматического определения функции выбора и совместимо ли оно с : этиь« аксиомами. Возникает вопрос, всегда ли это можно сделать, в какой мере конечный набор аксиом может исчерпывающим образом охарактеризовать качество выбора? Другими словами, всегда ли знание аксиоматически определенного принципа рациональности позволяет обоснованно принять решение?
Теорема Гёделя о неполноте системы аксиомдает основания для сомнений в существовали положительного ответа на этот вопрос. Гёдель показал, что в широком классе достаточно богатых формальных систем всегда найдется утверждаете (назовем его утверждением X), истинность или ложность которого нельзя проверить, исходя из набора аксиом, определяющих правила вывода (доказательства) ’’истинности” или ’’ложности” в системе. Расширив набор аксиом, добавив к исходному набору еще одну (например, аксиому об истинности утверждения X), получим новую систему аксиом, в которой, однако, обязательно найдется другое утверждение Х\ невыво- дамоеиз новой системы аксиом. Хотя расширенная система аксиом позволяет вывести больше истинных предложений, чем старая, тем не менее всегда можно найти утверждения, недоказуемые и в новой системе аксиом. Другими словами, не существует конечного набора аксиом, определяющих правила логического вывода ’’истинности” утверждений, достаточного для того, чтобы с его помощью вывести все истинные утверждения богатой формальной теории.
Таким образом, самая страстная мечта Лейбница — о возможности создания такой вычислительной машины, которая могла бы решать все мате- матиЧесьяе, а заодно и философские проблемы, - Сказывается неосуществимой.
Гёдель доказал свою теорему для аксиом арифметики (для системы постулатов о свойствах целых чисел). Однако суть его утверждения переносится й на многие другие системы, удовлетворяющие некоторым вполне правдоподобным допущениям. Имеются основания (правда, пока скорей интуитивные, чем доказательные) ожидать, что и система принятия решений, определяемая аксиоматическими требованиями к функции выбора, удовлетворяет этим допущениям. Многие математические проблемы могут быть сформулированы в терминах выбора. Так, например, можно определить функцию выбора, которая бы из любого конечного множества утверждений арифметики выбирала истинные. Если бы эта функция была конечно аксиоматизируемой, то отсюда следовало бы, что можно построить конечную систему аксиом для арифметики. Но это противоречит теореме Гёделя. Таким образом, существуют содержательные функции выбора, не допускающие полного описания с помощью конечного набора аксиом. Можно
думать, что эта ситуация имеет место и для функций выбора, возникающих в задачах принятия решений. Другими словами, теорема Гёделя наводит на мысль, что любая конечная непротиворечивая система аксиом рационального выбора неполна. Однако идея доказательства теоремы Гёделя не может быть непосредственно использована для обоснования этой гипотезы. Дело в том, что Гёдель, говоря о неполноте систем аксиом — фундаменте формальных теорий, предполагает, что понятие ”истинности” является исходным и не связано с набором аксиом и правил вывода, используемых для установления истинности или ложности утверждений теории. В теории же рационального выбора не предполагается априорного задания понятия ’’рациональность”
Тем не менее представляется, что утверждение о неполноте произвольной непротиворечивой системы аксиом рационального выбора справедливо Формальным основанием для такого вывода может служить близкое к теореме Гёделя утверждение (доказанное Чёрчем) о неразрешимости проблемы проверки истинности формул в исчислении предикатов.
Примем, что аксиомы, определяющие рациональный выбор, выделяют класс функций выбора на достаточно богатом (по крайней мере счетном) множестве предъявлений. Каждая аксиома рационального выбора обычно записывается с помощью формулы исчисления предикатов (т.е. посредством предикатов, кванторов и логических связок). Пусть имеется некоторый набор аксиом (формул) At, ’... ,Ак и пусть В — некоторое свойство функции выбора. Свойство В может быть также представлено некоторой формулой В исчисления предикатов: Требуется проверив, вытекает ли свойство В из набора аксиом Ли,'... ,Ак и совместимо ли свойство В с системой Аг/..., А ^.Проверка первого утверждения сводится к выяснению истинности формулы А1 А ... А Ак -^В, а проверка второго утверждения — к установлению выполнимости формулы Л! л ... лЛ* АВ^или, что то же самое, к проверке тождественной истинности формулы Ах V ... .:.мАк мву
Известно, что задача установления истинности формул в исчислении предикатов алгоритмически неразрешима. Это утверждение доказано и применительно ко многим более частным моделям^ Общая схема принятия решений весьма широка и, по-видимому, утверждение Чёрча справедливо и для нее. Это значит, что невозможно построить регулярную процедуру, позволяющую выяснить; обладают ли все функции выбора, заданные системой аксиом, некоторым свойством В, рациональным с точки зрения ЛИР, имеются ли в этом классе функций выбора такие, которые этим свойством обладают, либо это свойство противоречит аксиомам. Конечно, можно расширить исходную систему и ввести аксиому, постулирующую, например, истинность (рациональность) свойства В. Но и в новой системе аксиом ситуация повторится.
Таким образом, произвольная непротиворечивая система аксиом рационального выбора неспособна обеспечить ’’достаточно исчерпывающее” описание ’’рационального” выбора. Стало быть, в любой сколь угодно тщательно продуманной системе планирования или управления могут встретиться ситуации, когда решений, входящих в компетенцию верхнего уровня, окажется недостаточно для ’’рационального” выбора на нижнем уровне. В таких ситуациях ЛПР на нижнем уровне будет вынужден дополнить 302
исходное аксиоматическое определение функции выбора требованием, уточняющим понятие "рациональное решение”. Другими словами, на любом уровне управления может возникнуть необходимость самостоятельного выбора ответственного решения. По-видимому, подобные ситуации отнюдь не исключения. Их учет и определяет роль человеческого фактора в планировании и управлении. -
Итак, какими бы свойствами мы ни наделяли понятия "компромисс”, "равновесие”, "справедливость”, какие бы требования ни предъявлялись к этим категориям, всегда найдутся ситуации, когда этих требований окажется недостаточно для решения вопроса о компромиссном, равновесном, справедливом выборе.. Появится необходимость во введении дополнительных свойств рационального выбора. И модификация требований к рациональному решению может продолжаться сколь угодно долго. Говоря словами Пола Розенблюма, "Человеку никогда не избавиться от необходимости пользоваться своим умом, сколько бы он ума ни приложил к этому".
ДОПОЛНЕНИЕ■
ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ И СИНТЕЗ ЗНАНИЙ
. 1. Вычислительные методы теории принятия решений, изложенные в монографии, могут рассматриваться как конструктивная основа рационального выбора. Традиционно в теорию принятия решений включаются оптимизация по скалярному и векторному критерию, групповые решения и разрешение конфликтов (теория игр). Число приложении этих дисциплин все расширяется и охватывает в настоящее время большое количество задач в технике, экономике и социальных науках. Все эти задачи так или иначе связаны с установлением концепции выбора и построением вычислительных методов реализации решения. Соответствующие понятия — функция выбора и механизм выбора — позволяют с единой точки зрения подходить к различным задачам планирования, управления, проектирования и организации.
Имеются основания ожидать, что некоторое обобщение этих понятий позволит существенно расширить область приложения теории принятия решений и использовать их в информатике, в теории искусственного интеллекта и в естественных науках. Речь идет о так называемой ’’инженерии знаний” или, точнее, о ’’синтезе знаний”.
Проблемы искусственного интеллекта и теории принятия решений близки. Понятие ’’интеллект” собственно и подразумевает способность принимать рациональные решения.
Исторически сложилось так, что языки теории принятия решений и теории искусственного интеллекта различны. Если первая дисциплина оперирует главным образом со строгими формальными понятиями, то проблемы искусственного интеллекта обсуждаются в основном на неформальном уровне. Однако в последние годы различие в подходах к этим проблемам постепенно сглаживается.
В современной вычислительной технике и теории искусственного интеллекта понятие ’’база данных” совершенствуется и эволюционирует в ’’базу знаний”. Это новое понятие определяется пока главным образом на эвристическом уровне и существенно связано с рассматриваемой проблемной областью и с конкретными способами приобретения, передачи и представления знаний. Известные подходы к представлению знаний посредством,, например, системы продукций, фреймов, семантических сетей ограничивают область применения базы знаний имеющимися техническими возможностями ее реализации. Архитектура экспертных систем определяет
структуру базы знании и классы задач, для решения которых она может быть использована.
По-видимому, целесообразно поставить вопрос о базе знаний шире - четче определить это понятие и установить достаточно общие и гибкие структуры фиксации и расширения знаний. Важно также разобраться в требованиях, которые должны быть предъявлены к методам синтеза знаний из разных источников, или знаний, характеризующих различные аспекты одних и тех же явлений и объектов.
В теории принятия решений базу знаний естественно определить как - пару — функция выбора и реализующий ее механизм выбора. Напомним, что функция выбора (ФВ) — это теоретико-множественное отображение, сопоставляющее каждому предъявлению (заданному в терминах возможных решений) рациональное решение.
Представляется, что формальная аналогия между многими проблемными областями и классами задач принятия решений создает предпосылки для определения базы знаний в соответствующих классах задач. Самые разно- - образные проблемные области можно рассматривать как множества однородных (в том или ином смысле) задач или ситуаций, которые непосредственно или с помощью некоторого преобразования записываются в терминах множества априорно возможных решений (реакций, гипотез, закономерностей, диагнозов). Такие представления задач или ситуаций класса будем называть предъявлениями. Цель исследования — выделить из предъявлений подмножество рациональных решений (наиболее правдоподобных гипотез, закономерностей, диагнозов, реакций) или, что то же самое, построить ФВ на предъявлениях соответствующей проблемной области.
В тех случаях, когда ситуации могут быть непосредственно выражены в терминах множества априорных решений (или априорных реакций), естественно по аналогии с теорией принятия решений понимать под базой знаний функцию выбора соответствующей проблемы.
В случаях, в которых не удаётся описать ситуации в виде предъявлений, можно расширить понятие ФВ. Обобщенная функция выбора (ОФВ) содержит дополнительное преобразование, приводящее в соответствие ситуациям класса некоторые предъявления (множества априорно возможных в этих ситуациях решений). ,
Традиционная теория выбора классифицирует ФВ и сопоставляет разным классам ФВ механизмы выбора. Ряд результатов классической теории может быть расширен и перенесен на ОФВ. Для класса ОФВ, удовлетворяющих условиям, аналогичным условиям наследования и согласия, могут быть построены механизмы выбора и оценены объемы частичных ОФВ, позволяющие восстановить полную ОФВ.
В терминах ОФВ и реализующих ее механизмов естественно определить понятие ’’база знаний” для многих классов задач, непосредственно не связанных с теорией принятия решений. База знаний в некоторой проблемной области характеризуется парой — ОФВ (в относительно простых случаях — ФВ) и реализующий ее механизм выбора. Упоминаемые в литературе эвристические определения базы знаний для частных способов представления знаний укладываются в эту схему.
В терминах ОФВ и отвечающих им механизмов выбора могут быть посавиавы и исследованы разнообразные задачи пополнения знании и порождаим новых знаний в результате согласованного объединения знании, жостунающих от разных источников или отражающих разные аспекты изучаемых явлении. Будем называть такие задачи задачами синтеза знаний. Изложим идеи синтеза знаний применительно к проблемным областям, в которых база знаний может быть определена в терминах традиционной ML В более сложном случае, когда для представления знаний необходима СИЮ, приведенные ниже принципы в основном сохраняются, хотя ж требухи известного уточнения.
Будам называть задачу пополнения знаний от одного источника (переход от частичной ФВ к полной ФВ) одномерной задачей синтеза, а за-» дачу согласованного объединения знаний от п историков (порождение1 нотах знаний или установление правдоподобных гипотез) п-мерной задача» апле» знаний.
Некоторые формальные задачи одномерного синтеза при разных дрнущеднях о свойствах ФВ (представляющих знания) рассмотрены» в | 2 (в. 2.5) главы Ш и § 4 главы XII. Результаты в этом направлении, могут быть существенно расширены для различных проблемных областей и обобщены на случай, когда база знаний определяется в терминах ОФВ.
Пусть теперь мы имеем две ФВ (или ОФВ), относящиеся к одной и той же или двум близким проблемным областям. Они соответствуют разным источникам знаний по одной проблеме или разным аспектам одного ж того же изучаемого объекта. Пусть эти ФВ G (•) и С2 ( ) заданы соответственно на множествах Gx и G2. Возникает вопрос, какие новые знание (какую новую ФВ С( )) можно при тех или иных условиях син- тезвровать на декартовом произведении G = Gx X G2 по ФВ, заданным соответственно на Gx и G2. Ясно, что новые знания должны в существенном ояредепяться заранее сформулированными условиями согласовании» жедудащ^ющими синтетическую ФВ С(-) по координатам ФВС^ (•)
Кас известий,. в теории принятия решений имеются многие логически- иафопворе#вв№ интуитивно приемлемые определения таких понятий, как ряваовеси^, компромисс, справедливость. Точно так же рациональные усярпаи «ошиваввания при синтезе знаний определяются неоднозначно. Ввяееве интуитивно рациональные условия согласования приводят, к роэпнявыве локиявоси приемлемым гипотезам о новых закономерностях.
Пари «ВСИ) и С2() вместе с условием согласования определяет двумерную задвву синтеза знаний. При определенных (достаточно естественных) амшехневх координатных ФВ и условий согласования синте- тжмекаж W CV) ж® Gx X G2 устанавливается по ограниченной инфор- маедн о СИ~) ж С2(). Разработка правил вычисления ФВ С(-) на Gi X Gx ио значиным Сх (•) на Gx и С2 (•) на G2 и составляет предмет даумчдаогосияшезбв знаний. *
Анятоитаанве образом определяется ^мерная задача синтеза знаний.
Приведем примеры рациональных с нашей точки зрения условий оогласямкннвж
Если предъявление X синтетической ФВ С(-) может быть пред- стааиего в виде декартова произведения предъявлений Хх и Х2 координат-:
ных ФВ Cl (•) и С, (•), ТО С(Х) = С^ X Х2) = С, (X,) X С2(Х2). В противном случае С(X2 Xi ХХ2) 2 (G (Xi) ХС2 (Х2)) ЛХ
Некоторое уточнение условий (а) согласования состоят в том, что в синтетический выбор включается все, что выбирается но всем координатным ФВ, и не включается то, что не выбирается ни по одной из координатных ФВ.'
Пусть X С С = Gt X С2 — предъявление синтетической ФВ С(-). Обозначим.■
С/(Х) = Рг^ [С!(РгС1Х)]ПХ,
С2' (X) = Рг^ [С2 (Рг^С/ (X))] Л С,' (X) и, соответственно, ,
С2"(Х)=Рг-‘ [С2(Ргс,Х)] ЛХ, '
СГ (X) = Рг-ЧС, (PrG, С/ (X))] Л С2" (X).
Здесь Рг/У — проекция Y на А. Во введенных отображениях записывается следующее интуитивно оправданное условие согласования:
С(Х)=С2'(Х)иС1*(Х).
Некоторая модафикация условий (в) имеет вид
С(Х)С С(Х)С [С2' (X)и С" (X)] U С(Х), где''
С (X) = [Q (Pr^ X) X С2 (РгСаХ)] АX.
Рассматриваются и другие более перспективные, но сложные в реализации принципы согласования. Получены достаточные условия, которым должны удовлетворять ФВ, и принципы согласования, позволяющие по ограниченной информации о координатных ФВ восстановить синтетическую ФВ С(Х) или по крайней мере ее сечение (теоретико-множественное отображение Се (X) С С(Х) VX С (7).
5. В заключение уместно сделать следующие замечания.
В одномерном синтезе знаний - в задачах расширения и пополнения знаний, отвечающих одной ФВ, вряд ли можно ожидать, что в обозримом будущем экспертная система способна в сложных ситуациях подготавливать "более эффективные” решения, чем опытный талантливый эксперт. В многомерном синтезе знаний ситуация иная. Коммуникационные барьеры в обмене информацией тормозят синтез знаний, которыми обладают специалисты различного профиля. Эволюция жизни довела до совершенства человеческий мозг, но мало преуспела в создании совершенных форм согласования мнений и синтеза знаний в коллективах.
Имеются основания предполагать, что целенаправленный многомерный синтез знаний проще организовать с автоматами фиксированной структуры и предсказуемым поведением, чем с неформально мыслящими людьми. Напрашивается вывод, что в сложных задачах синтеза знаний искусственный интеллект в обозримом будущем имеет более благоприятные перспективы, чем живой мозг. Во всяком случае симбиоз мозга и схемы многомерного синтеза знаний сулит ускоренное накопление знаний в любой проблемной области, в которой его удастся реализовать.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
А. Цитируемая литература
Айзерман М.А. Некоторые новые задачи общей теории выбора: Обзор одного направления исследований // Автоматика и телемеханика. - 1984. -№ 9.-С. 5-43.
Айзерман М.А, Малишевский А.В. Некоторые аспекты общей теории выбора. Препринт. - М.: ИПУ, 1980.
Айзерман М.А., Малишевский АД. Проблемы логического обоснования в общей теории выбора: Общая модель выбора чи его классически-рациональные основания. Препринт. - М.: ИПУ, 1980.’.
Айзерман М.А, Малишевский А.В. Проблемы логжеского обоснования в общей теории выбора: Уровни и критерии классической рациональности выбора. Препринт. - М.: ИПУ, 1982.•
Айзерман М.А, Малишевский АД. Проблемы логжеского обоснования в общей теории выбора: Примеры анализа рациональности механизмов выбора. Препринт. - М.: ИПУ, 1982.;
Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. - М.: Наука, 1977.
Александров И.А, Анциферов Е.Г., Булатов В.П. К методам центрированных сечений // Тезисы докладов конференции по математическому программировав нию. - Свердловск, 1981. - С 72-73..^
Алескеров Ф. Тм Завалишин Н.В., Литваков БМ О разложении функций выбора но системе более простых функций // Автоматика и телемеханика. - 1979. - № 3. - С. 107-118.
9» Алескеров Ф.Т., Завалишин НД., Литваков Б.М. О разложении функций выбора по системе интервальных.выборов // Автоматика и телемеханика. -1981. -№7. ~. С. 155-160.
10. Аи*епков ЛТ., Белов Б.И., Булатов В.П., Васильев ОД., Срочно.В.А., Тарасе# ко НД. Методы решения задач математического программирования и оптималь ноГо управления. - Новосибирск: Наука, 1984.,'
1L Булатов В.П., Шепотько И.О. Метод центров тяжести ортогональных симплексов для решения задач выпуклого программирования. Методы оптимизации и их пр* ложения. - Новосибирск: Наука, 1982. - G 79-84.
И. Бурбаки Н. Общая топология. - М.: Наука, 1968.
Вагнер ВД. Теория отношений и алгебра частичных отображений // Теория полу-* групп и ее приложения. Вып. 1. Изд-во Саратовского университета, 1965.-С 3-178$
Вапник В.Н., Червоненкис А.Я. Теория распознавания образов. - М.: Наука, 1974,^
Вилкас Э.Й. Несколько замечаний о ситуации равновесия бескоалиционной игры^ п лиц // Литовский Мат. сб. - 1967. - Т. 7, № 4. - С. 583-5 87.
Воробьев Н.Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. - М.: Наука, 1984.
Данфорд Н., Шварц Т. Линейные операторы: Общая теория. - М.: ИЛ, 1962.
Каримов И.А. Экономико-математический анализ коэффициентов трудового уча^ стая // В сб. Принятие оптимальных решений в экономических системах. - Горь^ кий: ГГУ, 1985. - С. 33-39.
Кемени ДМ., Снелл Дж. Кибернетическое моделирование: Некоторые приложения, - М.: Сов. радио, 1972.
Кини РЛ, Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. - М.: Радио и связь, 1981.
Киру та А.Я, Рубинов А.М., Яновская Е.Б. Оптимальный выбор распределений в сложных социально-экономических задачах. - Л.: Наука. 1980.
Кузьмин В.Б. Построение групповых решений в пространствах четких и нечетких бинарных отношений. - М.: Наука, 1982.
Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. - М.: Наука, 1973.
Левин А.Ю. Об одном алгоритме минимизации выпуклых функций // ДАН СССР. - 1965. - Т. 160, № б.-С. 286-290.
Лезина 3Jf. Манипулирование выбором вариантов: Теория агенды // Автоматика и телемеханика, - 1984. - № 4. - С. 5-22.
Литваков 5.Л/. Механизмы выбора, использующие множественно-графовые структуры // Автоматика и телемеханика, - 1980. - № 9, - С. 145-152.
Литваков Б.М. Аппроксимация функций выбора // I Всесоюзное совещание по статистическому и дискретному анализу нечисловой информации, экспертным оценкам иДисКретной оптимизации. Тезисы докладов. - М.- Алма-Ата: ВИНИТИ, 1981. - С. 342-343.
Литваков Б.М. Аппроксимация функций выбора // Автоматика и телемехани- ка. - 1984. - № 9.
Литваков Б.М. Аппроксимация функций выбора на ограниченном множестве Предъявлений // Автоматика и телемеханика. - 1985. - № 2. - С. 124-129.
ЛьюсРД., Райф88 & Игры и решения. - М.: ИЛ, 1961.
Макаров И. М., Виноградская Т.М., Рубчинский А.М., Соколов В.Б. Теория выбора и принятия решений. - М.; Наука, 1982.
Макаров В.Л., Рубинов А.М. Математическая теория экономической динамики и равновесия. - М.: Наука, 1973.
Миркин Б.Г. Проблема группового выбора. - М,: Наука, 1974.
Наумов Г.Е. Существование оптимального выбора на компактном множестве альтернатив // Автоматика и телемеханика. - 1985. - № 3. - С. 5-27.
Немировский А.С., Юдин Д.Б. Сложность задач и эффективность методов оптимизации, - М.: Наука, 1979.
Немировский А. С. Об одном алгоритме типа Кармаркара // Изв. АН СССР. Тех- ническая кибернетика. - 1987. - № 1. - С, 105-118.
Фон Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. - М.: Наука,,1970.
Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. - М.: Мир, 1972.
Нурминский ЕЛ., Андрусенко Н.К, СтецюкП.И. О новом полиномиальном алгоритме линейного программирования // Кибернетика. - Киев: Наукова думка, 1985. — с. 118-120.
Подиновский В.В., Ногин В.Д Парето-оптимальные решения многокриториаль- ных задач. - М.: Наука, 198£.
Риге Ж. Бинарные отношения, замыкания, соответствия Галуа // Кибернетический сборник. — 1963.— № 7.
СмаллШсР.М. Принцесса или тигр. - М.: Мир, 1985.
Суппес П„ Занес Дж. Основы теории измерений // Психологические измерения. - М.: Мир, 1967.
Тангян А.С. Модели социального выбора с конечным и бесконечным числом участников. Препринт ЦЭМИ АН СССР. - М.: 1979.
Тангян А.С. Агрегирование в модели социального выбора. Препринт ЦЭМИ АН СССР. - М.: 1979.
Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. - М.: Наука, 1978.
Фрумкин М.А. Систолический вычислитель для решения задач линейного программирования // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1988. - № 1. - С. 51 - 59.
Хачиян Л.Г. Полиномиальный алгоритм линейного программирования // ДАН СССР. - 1979. - Т. 244, № 5. - С. 1093-1096.
Хачиян ЛГ., Тарасов СП., Эрлих НН Метод вписанных эллипсоидов // ДАН СССР. - 1987. - Т. 298, № 5. - С. 1081-1085.
Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. - М.: Наука, 1971..
Шоломов ЛА. Логические методы в задачах согласованного выбора. Препринт ВНИИСИ. -М.: 1978.
Шоломов ЛА. Применение логических методов в задачах последовательного выбора. Препринт ВНИИСИ. - М.: 1980.
Шоломов ЛА. Логические методы композиции функций выбора. Препринт ВНИИСИ. -М.: 1981.
Шоломов ЛА. О сложности одного механизма выбора со свойством универсальности // Труды ВНИИСИ. - 1984. - № 11. - С. 63-68.
Шоломов ЛА. Оценка сложностных характеристик одного механизма выбора с участием нескольких лиц // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1985. - №2. - С. 3-13.
Шоломов ЛА., Юдин ДБ. Сложность многошаговых схем обобщенного математического программирования // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1988. - №1.-0 13-22.
Шоломов ЛА., Юдин ДБ. Синтез многошаговых схем выбора // Автоматика и телемеханика. - 1986. - № 10. - С 115-126.
Экланд И. Элементы математической экономики. - М.: Мир, 1983.
Юдин АЛ, Цой Э.В. Линейное программирование в порядковых шкалах // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1984. - № 1. - С 15-19.
Юдин АЛ., Цой Э.В. Задача обобщенного выпуклого программирования с линейными предпочтениями // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1985. - № 1. - С. 34-41.
Юдин АЛ. Методы согласования потребительских предпочтений с технологическими и ресурсными возможностями общества // Межвузовский сборник. Анализ и моделирование экономических процессов. - Горький: Изд. ГГУ, 1987.- С. 5-14.
Юдин ДБ. Математическое программирование в порядковых шкалах // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1982. - № 2. - С. 3-16.
Юдин ДБ. Вычислительные методы многокритериальной оптимизации // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1983. - № 4. - С. 3-16.
Юдин Д.Б. Методы обобщенного выпуклого программирования и оценка их трудоемкости // ДАН СССР. - 1983. - Т. 272, № 1. - С. 40-43.
Юдин Д.Б. Обобщенное математическое программирование // Экономика и математические методы. - 1984. - Т. 20, вып. 1. - с. 148-167.
Юдин ДБ., Немировский A.G Оценка информационной сложности задач математического программирования // Экономика и математические методы. - 1976. - Т. 12,вып. 1.-С. 128-142.•
Юдин Д.Б., Немировский А.С. Информационная сложность и эффективные решения выпуклых экстремальных задач // Экономика и математические методы. - 1976. - Т. 12, вып. 2. - с. 357-369.
Юдин ДБ., Горяшко А.П., Немировский А.С. Математические методы оптимизации устройств и алгоритмов АСУ. - М.: Радио и связь, 1982.-
Юдин ДБ., Шоломов ЛА. Многошаговые схемы обобщенного математического программирования и функции выбора // ДАН СССР. - 1985. - Т. 282, № 5. - С. 1065-1069.
Юдин ДБ., Шоломов ЛА. Обобщенное математическое программирование и функции выбора // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1985. - № 3. - G 3-16.
Юдин ДБ., Цой Э.В. Модели обобщенного математического программирования с произвольными бинарными отношениями // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1987. - № 1. - С. 24-37.
Юдин ДБ., Цой Э.В. Обобщенное выпуклое программирование // Экономика и математические методы. - 1988. - № 5.
Arrow KJ. Rational choice functions and orderings //Econometrica. - 1959.-V. 26. - P. 121-127.
Bland KG., Goldfarb D., Todd M.G. The ellipsoid method // A survey Operations Research. - 19 81. - V. 2 9,No 6. - P. 1039-1091.
Bogart K.P. Reference structures. I. Distances between transitive preference relations // Math. SocioL - 1973. - V. 3. - P. 49-67.
Bogart K.P. Reference structures. II. Distance between asymmetric relations // SIAM J. AppL Math. -1975. - V. 29,No 2. - P. 254-262.
ChemoffH. Rational selection of decision functions // Econometrica. - 1954. -No22.
(ЯЙ PeE., Murray WM Sounders ALA, Wigth ALH. A numerical investigation of ell^soid algorithm for largescafe linear programming // Roc. of a IIASA workshop ’Targe- Scale Linear Rogramming” (2-6 June 1980) / Eds G.B. Dantzig; М.АЛ. Dempster, M.JJCallio. - Laxenbuig: IIASA, 1981. - P. 487-509.
Cook WJ)„ Setford LAL Riority ranking and consensus formation // Manag. Set - 1978. - V. 24,Nol6. - P. 1721 -1732.
Cook W.D., Krees AL Ordinal ranking with intensity of preference // Manag. ScL - 1985. - V. 31.Nol. -P. 20-32.
Maree G. Representation of Reference ordering by a numerical function // Decision Rocesses. - New York, 1954.
Maree G. Theory of Value. - New York, 1959.
№hbum P. RepresentiaMe choice function // Econometrica. - 1976. - V. 44,No5. - P. 1033-1043.
Hiraguchi T. On the dimension of partially ordered sets // ScL Rep. Kanazawa University. -1951. - V. 1. - P. 2.
Hoeffdtng W. Robability inequalities for sums of bounded random variables // American Statistical Assoc. Journ, March. -1963. -P. 13-30.
Jamhon D.T., Lou J.L Semiorders and the theory of choice // Econometrica. -1973. - V.4ijfo$.-P. 901-912.
Karmarkar N. A new polynomial-tkne algorithm for linear programming // Combina- torica. -1984. - V. 4,No4. - P. 373-395.
Schroder E. Vortesungen uber die Algebra der Logik: Ш. Algebra und Logik der Relative. - Leipzig: Teubner, 1895.
Sen AK. Choice functions and revealed preference// Rev. Econ. Studies. - 1971. - V. 38,3 (115). - P. 307-317.
Sen AK. Social choice theory: A re-examination // Econometrica. - 1977. - V. 45, No 1. -РЛ21-127.
Uzawa H. A note on preference and axioms of choice // Annals of the Institute of Sta- tisticti Mathematics. - 1956. -No 8.
Wehrung G. Interactive Identification and Optimization Using a Binary Reference Relation // Oper. Res. - 1978. - V. 26. - P. 2.
Whitehead AN., RaM.B. Principle Mathematica. - Cambridge University Press, 1910.
Yamnitsky B., Levin LA An old linear programming algorithm runs in polynomial time // 23rd AnnuaL Symp. Found. Comput. ScL Chicago П1,3-5 Nov. - Selver Spring, 1982. - P. 327-328.
Yoking H.P. An axiomatization of Borda’s rule // J. Econom. Theory. - 1974. - V. 9, Ndl.-P. 43-52.
FUhburn P. Arrow’s Impossibility Theorem: Coucise Proof and Infinite Voters // Journ. Ec. Theory. -1970. - V. 2, No 11.
Б. Дополнительная литература no задачам и методам теории принятия решений
Айзерман ALA, Алескеров Ф.Т. Задача Эрроу в теории группового выбора // Автоматика и телемеханика, - 1983, - № 9, - С. 104-129.
Айзерман ALA, Алескеров Ф.Т. Функциональные локальные операторы в теории голосований, 1-Ш // Автоматика и телемеханика. - 1984. - № 5. - Q 79-88; 1984. - № 6. - Q 105-114; 1984. - № 7. - С 108-120.
Алескеров Ф.Т. Формальные модели построения коллективных решений // II Всесоюзная конференция по статистическому и диифетному анализу нечисловой информации и экспертным оценкам. - М.: ВИНИТИ, 1984. - Q 10-20.
Бедельбаев АЛ., Дубов Ю.А, Шмульян Б.Л. Адаптивные процедуры принятия решений в многокритериальных задачах // Автоматика и телемеханика. - 1976. - № 1. - С 136-145.
Белкин АР., Левин МЛ. Комбинаторно-графовые модели обработки информации при принятии решений, - М.: Научный совет но комплексной проблеме ’Кибернетика*’ АН СССР, 1985.
Бенайон Р., Ларичев О.И., Монгольфье Ж., Терни Ж. Линейное программирование при многих критериях: Метод ограничений // Автоматика и телемеханика. - 1971.-№ 8. - С. 108-114.
Березовский Б. А, Борзенко В.И., Кемпнер Л.М. Бинарные отношения в многокритериальной оптимизации. - М.: Наука, 1981.
Березовский Б. А., Травкин С.И. Модель многокритериальной оптимизации сдо- минирующим показателем // Автоматика и телемеханика. - 1981. - № 4. - Q 142-146.
Бондарева О.Н. О теоретико-игровых моделях в экономике. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1974.
Борисов В.И. Проблемы векторной оптимизации // Исследование операций: Методологические аспекты. - М.: Наука, 1972.
Борисов А.Н.,ЛевченковА.С. Интервальные методы оценки решений. - Рига: Зи* натне, 1982.
Борисов АН, Алексеев А.В., Крумберг О.А. и др. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной. - Рига: Зинатне, 1982.
Ватель ИА; Ерешко Ф.И. Математика конфликта и сотрудничества. - М. Знание, 1973.
Вилкас ЭЙ Многоцелевая оптимизация // Мат. методы в социальных науках. Вып. 10. - Вильнюс: Изд, ин-та математики и кибернетики АН ЛитССР, 1976. - С 9-17.
Вилкас Э.Й., Майминас КЗ. Решения: теория, информация, моделирование. - М.: Радио и связь, 1981.
Виноградская Т.М. Среднее значение числа неподчиненных решений в многокритериальных задачах // Изд, АН СССР. Техническая кибернетика. - 1976. - № 2. - С. 36-38.
Волкович BJL Многокритериальные задачи и методы их решения // Тр. семинара кибернетика и вычисл. техника. Сложные системы управления. Вып. 1. - Киев: Нау ков а думка, вып. 1,1969.
Вольский В.Н., Литваков БЛ. Соотношение турнирных и графо-доминантных механизмов выбора // Автоматика и телемеханика. - 1986. - № 3. - С. 136-145.
Воробьев НН Коалиционные игры // Теория вероятн. и ее применения. - 1967. - Т, 12, вып. 2. - С 289-306.
Воробьев НН. Современное состояние теории игр // УМН. - 1970. - Т. 25, № 2. - С 81-140.
Воробьев НН. Теория игр: Лекции для экономистов-кибернетиков. - Л.: Изд. ЛГУ, 1974.
Воробьев НН Основы теории игр: Бескоалиционные игры. - М.: Наука, 1984.
Гавриаец Ю.Н Целевые функции социально-экономического планирования. - М.: Экономика, 1983.
Гафт М.Г. Принятие решений при многих критериях. - М.: Знание, 1979.
Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. - М.: Наука, 1971.
Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. - М.: Наука, 1976.
Глотов В. А, Павельев В.В. Векторная стратификация. - М.: Наука, 1984.
Горелик В.А, Кононенко АФ. Теоретико-игровые модели принятая решений в эколого-экономических системах. -М.: Радио и связь, 1982.
Гороховик Е.В. К проблеме векторной оптимизации Ц Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1972. - № 6. - G 63-70.
Гранберг АГ. Проблема транзитивности индивидуальных и групповых предпочтений при построении целевых функций // Количественные методы в социологии. - М.: Наука, 1966.
Данилов В.И. Модели группового выбора (обзор) // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1983. - № 1. - G 143-164.
Данилов В.И. Аксиома Вилля в теории выбора // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1985. - № 3. - С 26-31.
Данилов В.И., Сотсков АН Рациональный выбор и выпуклые предпочтения // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1985. - № 2. - С. 14-23.
Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. - М.: Наука, 1972.
Дубов Ю.А, Травкин С.И., ЯкимецВ.Н. Многокритериальные модели формирования и выбора вариантов систем. - М.: Наука, 1986.
Евланов ЛГ. Теория и практика принятия решений. - М.: Экономика, 1984.
Емельянов СВ., Ларичев О.И. Многокритериальные методы принятия решений. - М.: Экономика, 1984.
Емельянов С.В., Наппельбаум Э.Л Методы исследования сложных систем: Логика рационального выбора Ц Техническая кибернетика. Итоги науки и техники. Т. 8. - М.: ВИНИТИ, 1977. - С. 5-108.
Емельянов СВ., Наппельбаум Э.Л Методы анализа сложных систем: Выбор в условиях неопределенности // Техническая кибернетика. Итоги науки и техники. Т. 9. - М.: ВИНИТИ, 197 7. - С, 169-242.
6.Емельянов СВ., Наппельбаум Э.Л Методы управления сложными системами: Принципы рациональности группового выбора // Техническая кибернетика. Итоги науки и техники. Т. 10. - М.: ВИНИТИ, 1978. - С. 120-214.
Жукбвин BJE. Модели и процедуры принятия решений. - Тбилиси: Мецниереба, 1961.'
Жуковин В.Е. Многокритериальные задачи принятия решений с неопределенностью. - Тбилиси: Мецниереба, 1983.
Кандинский АЛ., КрасненкерА.С. О формировании диалоговых алгоритмов векторной оптимизации // Автоматика и вычислительная техника. - 1977. - № 5. - С.116-127.'
Коэелецкий Ю. Психологическая теория решений. - М.: Прогресс, 1979.
Кононенко ЛФ. Роль информации о функции цели противника в играх двух лиц с фиксированной последовательностью ходов // ЖВМ и МФ. - 1973. - Т. 19. - №12.-С 311-317.
КрасненкерА.СНетои локальных улучшений в задаче векторной оптимизации // Автоматика и телемеханика. - 1975. - № 3. - С. 75-79.
КрасненкерА.С. О качестве алгоритмов векторной оптимизации // Автоматика и телемеханика. - 1984. - № 3. - С. 168-172. "
КрасненкерА.С. Об алгоритмах случайного поиска в задачах векторной оптимизации //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1985. - № 3. - С. 185-188.
Кукушкин Н.С, Морозов В.В. Теория неантагонистических игр. - М.: Изд. МГУ, 1984.
Кукушкин Н.С., Меньшиков И.С, Меньшикова О.Р., Моисеев Н.Н. Устойчивые компромиссы в играх со структурированными функциями выигрыша // ЖВМ и МФ. - 1985. - Т. 25. - № 12. - С. 1761-1775.
Кукушкин Н.С., Меньшикова О.Р., Меньшиков И.С. Конфликты и компромиссы. -М.: Знание, 1986.
Ларичев ОЛ Наука и искусство принятия решений. - М. Наука, 1979.
Ларичев ОЛ. Принятие решений как научное направление // Системные исследования. - М.: Наука, 1982.
Ларичев ОЛ, Поляков ОЛ Человеко-машинные процедуры решения многокритериальных задач математического программирования (обзор) // Экономика и мат. метода. - 1980. - Т. 16, вып. 1. - С. 129-145.
Ларичев ОЛ., Мошкович ЕМ, О возможностях получения от человека непротиворечивых оценок многомерных альтернатив // Дескриптивное исследование процедур принятия решения при многих критериях. - М.: Тр. В НИ И СИ. - 1980. - №9. -С. 58-66..
Ларичев ОЛ, Никифоров А.В. Аналитический обзор процедур решения многокритериальных задач математического программирования // Экономика и мат. методы. - 1986. - Т. 22, вып. 3. - С. 308-323.
ЛевченковВ.С. Теория группового выбора: Алгебраический подход. - М.: Препринт ВНИИСИ, 1985.
Литвак Б.Г. Экспертная информация: Метода получения и анализа. - М.: Радио и связь, 1982.
Миркин Б.Г. Федерации и транзитивность группового выбора // Модели социально-экономических процессов и социальное планирование. 4 М.: Наука, 1979. - С 104-119.
Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. - М.: Наука, 1975.
Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. - М.: Наука, 1981.
Муллен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. - М.: Мир, 1985.
Озерной ftM. Принятие решений (обзор) // Автоматика и телемеханика. - 1971. — № 1L — С 106—12L‘
Озерной ВМ., ГафтМ.Г. Методология решения дискретных многокритериальных задан // Многокритериальные задачи принятия решений. - М.: Машиностроение, 1978. - С. 14-47.
Панкова ЛА., Петровский АМ., Шнейдерман МЛ. Организация экспертизы и анализ экспертной информации. - М.: Наука, 1984.
Подиновский В.В. Об относительной важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений // Многокритериальные задачи принятия решений. - М.: Машиностроение 1978. - С. 48-82.
Подиновский BJB. О построении множества эффективных стратегий в многокритериальных задачах с упорядоченными по важности критериями // ЖВМ и МФ. - 1978. - № 4. - Q 908-915.
Подиновский В.В. Коэффициенты важности критериев в задачах принятия решений // Автоматика и телемеханика. - 1978. - № 10. - С 130-141.
Подиновский ВЛ., Гаврилов ВМ. Оптимизация по последовательно применяемым критериям. - М.: Сов. Водно, 1975.
Полищук ЛИ. Карты паретовской границы, порожденные расслоениями пространства критериев // Методы анализа взаимодействия в экономических системах. - Новосибирск: Наука, 1980. - С. 78-100.
Полищук ЛИ. Методы обобщенного градиента в диалоговых процедурах векторной оптимизации // Автоматика и телемеханика. - 1981. - № 5. - С 109-118.
Полищук ЛИ. Об обобщенных критериях с коэффициентами важности в задачах векторной оптимизации// Автоматика и телемеханика. - 1982. - № 2. - С 5560.-
Поспелов Г.С., Ириков ВЛ. Программно-целевое планирование и управление. - М.: Сов. радио, 1976.
Розен В.В. Применение теории бинарных отношений к теории игр // Математическое моделировашке экономических задач. — Новосибирск: Наука, 1971 С 127-152.
Руд Б. Проблемы и методы принятия решений в задачах с многими целевыми 'функциями // Вопросы анализа и процедуры принятия решений. - М.: Мир, 1976. - С 20-58.
Соболь ИМ., Статников* РЛ Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. - М.: Наука, 1981. *
Соболь ИМ, Статников PJB. Наилучшие решения - где их искать? - М.: Знание, 1982.-
Салуквадзе М.Е. О задаче линейного программирования с векторным критерием качества // Автоматика и телемеханика. - 1972. - № 5. - С, 99-105.
Танеян ЛС. Иерархическая модель группового выбора. Экономика и мат. методы. - 1980. - Т. 16, вып. 3. - С. 519-534.
Хоменюк ВЛ. Элементы теории многоцелевой оптимизации» - М.: Наука, 1978.
Федоров В.В. Численные методы максимина. - М.: Наука, 1979.
Шевяков АЮ., Кирута АЛ. Моделирование сбалансированности и согласования Плановых решений в сфере народ ного благосостояния. - М.: Наука, 1986.
Яновская Е.Б. Смешанное расширение бинарного отношения // Мат. методы в социальных науках. Вып. 6. - Вильнюс: Ин-т математики и кибернетики АН ЛитССР, 1975. - С. 152-166.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава I
Бинарные отношения 7
1. Введение 7
2. Действия над бинарными отношениями 8
3. Способы задания бинарных отношений 1(У
4. Свойства бинарных отношений 11
5. Связи между свойствами бинарных отношений 13
Глава II
Специальные бинарные отношения 16
1. Упорядочения и безразличие 16
2. Слабый порядок' 17
3. Эквивалентность 19
4. Качественный порядок. • 21
5. Интервальный порядок и полупорядок 24
6. Другие специальные бинарные отношения 25
7. Особенности бинарных отношений на непрерывных множествах31
ГлаваШ
Функция выбора 33
1. Введение 33
2. Классификация функций выбора 37
3. Операции над функциями выбора 43
4. Декомпозиция функций выбора 45
5. Аппроксимация функций выбора 48
6. Логическое описаний функций выбора 51
7. Некоторые утверждения о функциях выбора на непрерывных множествах ..57
Глава IV
Классические условия рационального выбора• 61
1. Нормальные функции выбора 61
2. Взаимосвязь между условиями рационального выбора 64
3. Аксиомы классического рационального выбора 68
Глава V
Оптимизация по бинарному отношению и индикаторы 72
1. Определения Р-и Я-оптимальности 72
2. Условия существования Р- и R -оптимальных элементов (случай конечных множеств G) 79
3. Условия существования Р- и R -оптимальных элементов (случай бесконечных множеств G) 80
4. Условия существования Р- и R -оптимальных элементов на выпуклых ' компактах 82
5. Численное представление бинарных отношений 83
6. Индикаторы бинарных отношений (функции полезности) 86
7. Условия существования вогнутого индикатора предпочтений 95
8. Общие условия существования Р- и R-оптимального выбора на компактном множестве вариантов 99
Глава VI
Обзор вычислительных методов теории принятия решений 104
1. Введение. 104
2. Традиционное математическое программирование 106
3. Математическое программирование в порядковых шкалах (МППШ) . .110
4. Обобщенное математическое программирование (ОМП) 113
5. Многошаговые задачи обобщенного математического программирования 118
6. Актуальные задачи теории выбора решений 123
Глава УП
Вспомогательные вычислительные методы 127
Метод эллипсоидов (МЭ) 128
Метод вписанных эллипсоидов (МВЭ) . . 136
Метод симплексов (МС) для решения систем линейных неравенств. . .152
Метод симплексов для решения общей задачи выпуклого программирования 157
Другая версия метода симплексов для выпуклого программирования. . . . \ 167
Метод Кармаркара 171
Проективный метод 182
Глава УШ
Математическое программирование в порядковых шкалах 190
Введение: • • •^
Постановка и подходы к решению задачи математического программи- • рованияв порядковых шкалах 192
Методы решения задач выпуклого программирования в порядковых шкалах 196
Линейное программирование в порядковых шкалах'.201
Задача математического программирования в порядковых шкалах с произвольными бинарными отношениями 206
Глава IX
Обобщенное математическое программирование (ОМП) 213
Введение 2J3
Подходы к анализу задач обобщенного математического программирования 216
Идея методов решения задач обобщенного выпуклого программи-. рования 218
Процедуры сепарации 222
Процедуры локализации 227
Методы решения задач ОВП 230
Оценка трудоемкости метода 233
Задача ОМП с произвольными бинарными отношениями 236
Глава X
Вычислительные методы многокритериальной оптимизации 241
Постановка задачи 241
Метод решения задачи (D 243
Конкретные версии подпрограммы Loc 246
Метод решения задачи (П) 250
Глава XI
Задачи обобщенного выпуклого программирования с линейными предпочтениями 258
Введение 258
Постановка задачи и идея метода 259
Алгоритм метода 260
Оценка трудоемкости методов. . . . * 263
Некоторые частные случаи 264
ЯДро задачи ОВП 265
Глава ХП
Многошаговые схемы обобщенного математического программирования . . . .267
Введение2 267
Многошаговая схема обобщенного математического программирования (МнОМП) 271
Схемы МнОМП и функции выбора 272
Оценка качества прогноза выбора механизмами заданного класса. . . .275
Синтез многошаговых схем выбора 281
Функции выбора на компактном множестве вариантов; 286
Заключение 291
Дополнение 304
Список литературы 308
Научное издание
Мел Давид Беркович
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
Серия ’Теория и методы системного анализа”, выпуск 25
Заведующий редакцией Л.А. Русаков
Редактор Л. А. Шоломов
Художественный редактор Т.Н. Кольченко
Технические редакторы: С.В. Геворкян, С.Н. Баронина
Корректоры: Т.Г. Егорова,Н.П. Круглова, Т.В. Обод
Набор осуществлен в издательстве ив иаборно-печатающих автоматах
ИВ №12601
Сдаео в набор 08.06.88. Подписано к печати 19.09.88. Т-18740
Форма® 60 X 90/16. Бумага книжно-журнальная
Гарнитура Пресс-Роман. Печать офсетная
Усл. печ. л. 20,0. Усл. кр. -отт. 20,0 . Уч.-изд. л. 22,26
Тираж 6150 экз. Тип. зак. 283 Цена 3 руб.
Ордена Трудового Красного Знамени издатеявство ’Наука”
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Четвертая типография издательства "Наука”
630077 г. Новосибирск-77, ул. Станиславского, 2 5
YUDIN D.B.
NUMERICAL METHODS OF DECISION MAKING
Moscow: Nauka, 1989
The summary of the monograph
The monograph is devoted to the numerical methods of decision making in complex situations arising in control, planning, and design problems. In conventional optimization theory, mathematical programming, the objective and the feasible solution set are «opposed to be known. This situation is encountered, however, only in relatively simple problems. The major difficulties involved in modern somehow complex problems are connected with establishing the principle of a rational choice, bi practice, the solution process has to hit a number of targets, to match interests of several persons, to resolve conflicting situations. Such problems fall outside the classical optimization scheme. Normally, the aggregation of criteria (the just choice) is specially defined for every class of problems and ad hoc choice media- nisms, i.e., numerical methods of achieving a tradeoff, are developed. The first probfem consisting of formalization of the rational choice has been studied in the papers writteam recent years. The notion of the choice function which can describe any choice concept is developed, along with the conditions under which the choice function can be realized in the form of optimization with a scalar-valued objective. Only a negligible part of posable choice concepts turns out to satisfy these conditions. A little broader class of the choice functions can be realized by use of binary relations. However, the binary relations do not exhaust the totality of the choice functions.'
Few years ago the author suggested a new choice mechanism, a scheme of generalized mathematical programming (GMP), and developed efficient methods of solving the convex GMP probfems, bi a GMP problem a scalarvalued objective is repheed by a binary relation defined for a vector-valued objective and the inequality constraints by constraints on vectorvalued functionals with respect to a binary relation. This GMP scheme was later extended in various directions. Specifically, a multistep GMP scheme was developed to realize any choice function on a finite number of alternatives and to approximate any choice concept on a compact set of variants to any desired accuracy.
The description of the choice concepts and, primarily, the choice mechanisms, i.e., the numerical methods of decision making, constitutes the subject of this monograph.
Contents and some comments
Introduction. The state of the art of mathematical decision making theory is described and most important proMems of this theory are formulated.
Chapter 1. Binary relations.
Chapter 2. Special Unary relations
Chapter 3. Choice functions.
Chapter 4. Classical conditions of rational choice.
Chapters I to 4 systematically present well-known facts concerning binary relations and choice functions. The fragmentary results known from periodicals and stated in different terms are collected here on a unified basis.
Chapter 5. Optimization subject on. a Unary relation arid indicators.
The classical definitions of optimization with respect to partial orderings are extended to the case when there exists no traditional optimization subject to a binary relation. The
extended optimization with respect to a binary relation is intuitively justifiable and coney- ponds to solutions which are more stable in a sense. The chapter also centres on the interrelation between various binary relations and their indicators, the utility functions.
A survey of the numerical methods of decision making.
This chapter presents a classification and a qualitative characterization of the numerical methods of choice theory. The subject matter is basically described in terms of applied problems and is to facilitate the reading of subsequent chapters 8-12 devoted to thorough description and discussion of the algorithms of decision making in complex situations.
Auxiliary numerical methods.
This chapter deals with the efficient methods of linear and convex programming developed in the most recent years. These methods can be used as an auxiliary means for the numerical procedures of decision making described ip this book. The application of these methods is demonstrated in the subsequent chapters. Among them there are the method of ellipsoids advanced by Yudin and Nemirovsky in 1976, the method of inscribed ellipsoids developed by Khachian and others Лп 1986, the method of simplexes whose various versions were published at the outset of tne 1980s by Levin and Yamnitsky in the USA and Bulatov «id others in the USSR, the Karm^rkar method, 1984, and its efficient modification the projection me* thod suggested by Nemirovsky in 1986. These methods aAd the estimates of their efficiency are interesting on their own.
Mathematical programming in order scales.
Generalized mathematical programming.
Numerical methods of multiobjective optimization.
Chapter 11. Generalized mathematical programming problems with linear preferences.
Chapter 12. Multistep schemes of generalized mathematical programming.
Chapters 8 to 12 are based on the original works of the author and his students. This is a closed cycle of papers on the numerical methods of decision making jn complex situations.
In conclusion, some unsolved problems in the field under consideration are stated and approaches to solving them are presented.