Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ И ВИХРЕВЫЕ ТРАНСЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
МОСКВАФИЗМАТЛИТ2001
УДК 533.6 ББК 22.253.3 Ш65УДК 533.6 ББК 22.253.3 Ш65“Издание осуществлено при поддержке
УДК 533.6 ББК 22.253.3 Ш65
УДК 533.6 ББК 22.253.3 Ш65
ь* <ц>ИРоссийского фонда фундаментальных
J Jисследований по проекту 00-01-14046
Шифрин Э.Г. Потенциальные и вихревые трансзвуковые течения идеального газа. — М.: ФИЗМАТЛИХ 2001. — 320 с. — ISBN 5-9221-0038-6.
В монографии изложены результаты исследований в области теоретической и вычислительной трансзвуковой аэродинамики. Помимо общих вопросов трансзвуковой теории рассматриваются следующие проблемы фундаментально-прикладного характера: трансзвуковое вихревое течение за отошедшей ударной волной; образование и свойства висячих скачков уплотнения; обтекание профиля крыла при больших дозвуковых скоростях полета, в частности, профилирование докритического крыла; профилирование сопла Лаваля в корректной постановке и прямая задача сопла; струйное трансзвуковое обтекание; теория осесимметричных трансзвуковых течений; некоторые вопросы, актуальные для пространственных течений.
Книга предназначена для ночных работников, студентов и аспирантов, специализирующихся в области аэрогазодинамики.
ISBN 5-9221-0038-6ISBN 5-9221-0038-6© ФИЗМАГЛИТ, 2001
ISBN 5-9221-0038-6
ISBN 5-9221-0038-6
© Э.Е Шифрин, 2001
Предисловие 7
Глава 1 Общие свойства трансзвуковых течений идеального газа 9
Определение трансзвуковой газодинамики 9
Вывод дифференциальных уравнений газодинамики («уравнений Эйлера») из интегральных законов сохранения массы, импульса, энергии 10
Первые интегралы уравнений Эйлера для стационарных течений. Газодинамические функции 11
Преобразование уравнении Эйлера с использованием первых интегралов. Локальная система координат; связанная с линиями тока 14
Ударные волны. Соотношения Гюгонио. Ударная поляра. Асимптотика семейства ударных поляр при А о© ~> 1 19
Эллиптико-гиперболический тип уравнений стационарных течений идеального газа. Характеристики 20
Уравнения газодинамики в переменных годографа 25
Течения с вырожденным годографом. Течение Прандтля-Майера (простая волна) в потенциальном течении 26
Риманова поверхность отображения в плоскость годографа. Гомеоморфность отображения на риманову поверхность 28
Отображения в плоскость годографа области дозвуковых скоростей плоских вихревых и потенциальных течений. Использование принципа подобия псев- доаналитических функции. Закон монотонности вектора скорости на звуковой линии 30
Отображения областей сверхзвукового течения в плоскости годографа скорости и давления 33
Отображение границ области течения и их окрестностей 37
Отображение окрестности звуковой линии 41
Прямая звуковая линия в плоском потенциальном течении 42
Поведение характеристик вблизи отрезка прямой звуковой линии 43
Граничные условия на ударной поляре и на образе границы тела 44
Плоское потенциальное течение. Уравнения Чаплыгина. Канонические формы. Приближенные уравнения трансзвуковых течений 46
Некоторые сведения из теории линейных уравнений смешанного типа48
Минимальная область влияния смешанного до- и сверхзвукового течения . . .52
Г л а в а 2 Течение в окрестности точки ортогональности звуковой линии вектору скорости 54
Точки К+, К_. Несуществование точек К_ в плоском потенциальном течении 54
Упрощение уравнений газодинамики вблизи звуковой поверхности. Уравнения Кармана-Фальковича. Приближенные уравнения вихревых трансзвуковых течений 55
Точное решение Фальковича для потенциального течения вблизи центра сопла Лаваля 58
Потенциальные течения со степенными особенностями в окрестности центра сопла 60
Течения спрямой звуковой линией 65
Плоское вихревое течение в окрестности точки К. Точное решение. Отображение в плоскость годографа. Поведение характеристик 68
Осесимметричное вихревое течение в окрестности точки К на оси и вне оси симметрии 72
Трехмерное вихревое течение в окрестности точки К 75
Глава 3 Сопло Лаваля. Проблемы и теоретические исследования 79
Схема течения, М-область в физической плоскости и в плоскости годографа .79
Основные задачи теории сопла 81
Понятие хорошо спрофилированного сопла 84
Требования к точности 85
Длина дозвуковой части сопла 86
Предпочтительная схема сопла 87
Дозвуковая часть бесконечного сопла с прямой звуковой линией. Разрешимость задачи профилирования методом годографа 90
Разрешимость задачи профилирования дозвуковой части сопла конечной длины с прямой звуковой линией 93
Асимптотики дозвуковых течений в соплах Лаваля с прямой звуковой линией 95
Профилирование сопла с криволинейной звуковой линией 99
Профилирование соплового аппарата первой ступени турбины 99
Профилирование контура впускного клапана поршневого двигателя103
Дозвуковое течение в канапе в зависимости от перепада давления на его концах. Переход к работе канала в режиме сопла Лаваля 108
Формулировка прямой задачи сопла Лаваля. Некорректность классической постановки 110
Теорема единственности «в целом» решения прямой задачи сопла в классической постановке 111
Г л а в а 4 Сопло Лаваля. Численные методы решения задачи профилирования и прямой задачи 115
Профилирование плоского сопла численным методом. Постановка задачи в плоскости годографа 115
Алгоритм численного решения. Выделение особенностей. Вычисление координат. Течение в сверхзвуковой области 116
Профилирование осесимметричного сопла 118
Результаты расчетов контуров плоских и осесимметричных сопел. Сравнение с решением прямой задачи в спрофилированном сопле. Экспериментальная проверка. Сопла с сильно изогнутыми стенками 120
Профилирование дозвуковых сопел 123
Численный метод профилирования сопла в плоскости 夕吵 124
Численное решение прямой задачи сопла Лаваля. Плоское течение 124
Дифференциальное уравнение и постановка задачи в плоскости з吵125
Метод численного решения 126
Осесимметричное течение. Уравнения и постановка задачи в плоскости з” •127
О кольцевых соплах для ракетных двигателей 129
Глава 5 Докритическое обтекание профиля 132
Прямая задача. Профиль в несжимаемой жидкости. Условие Жуковского- Чаплыгина. Теорема Жуковского. Критическое число Маха. Теоремы существования и единственности 132
Асимптотика дозвукового обтекания несущего профиля в физической плоскости и в плоскости годографа 135
Преобразование обтекания профиля несжимаемо員 жидкостью. Метод Чаплыгина. Метод Лайтхилла 141
Профилирование крыла по распределению скорости вдоль его дуги143
Профилирование несущего выпуклого крыла в несжимаемо員 жидкости по заданному годографу二 146
Геометрические свойства годографа дозвукового обтекания несущего профиля. Постановка задачи профилирования несущего крыла в идеальном газе методом годографа 155
Несущн員 1aolcритически員 профиль для большой) «цозвуково員 скорости полета .163
Г л а в а 6 Сверхкритическое обтекание профиля дозвуковым потоком169
Потребности техники. Бурное развитие численных методов решения прямо員 задачи обтекания профиля. Модель пространственного безотрывного обтекания ограниченного тела 169
Переопределенность задачи о сверхкритическом обтекании профиля без скачков уплотнения. Аргумент Франкля 171
Разрушение непрерывного течения в сверхзвуков。員 зоне при спрямлении профиля 172
Серповидны員 скаиок мало員 протяженности 176
Сверхкритическое обтекание профиля со скачками уплотнения. Квазиконформ
ность отображения в плоскость 1пр,£. Граничные условия на бесконечности 180
Ограниченность интенсивности скачков 184
Асимптотика hip^ifi на бесконечности. Силы, действующие на профиль при наличии скачков в сверхзвуковых зонах 185
Квазиконформность отображения плоского вихревого течения в плоскость ^191
Обтекание профиля вихревым потоком со скачками уплотнения при произвольной скорости на бесконечности. Топологическая схема течения 196
Глава 7 Трансзвуковое течение вблизи угловой точки 202
Наклон звуков。員 линии в углов。員 точке. Направление выпуклости звуковой линии 203
Отсутствие предельных линий в некоторой) окрестности угловой точки вблизи звуковой линии 206
Асимптотика Вальо-Лаурина. Точное решение Фальковича-Чернова209
К вопросу о единственности асимптотики. Автомодельное решение при п = 3/2 213
Угловая точка при обтекании тела узко員 сверхзвуковой струей. Несуществование степенной асимптотики 215
Глава 8 Трансзвуковое течение за отошедшей унарной волной при обтекании тела сверхзвуковым потоком 219
Необходимость возникновения головной ударной волны при обтекании профиля сверхзвуковым потоком 219
Численное решение задачи обтекания затупленного тела сверхзвуковым потоком с отошедшей ударной волн。員.Сравнение с экспериментом 220
Минимальная область влияния смешанного течения за отошедшей) ударно員 волной) 220
Наклон звуковой линии на теле и на ударной волне в плоском и осесимметричном течении 226
Хара1стерные точки звуковой линии 231
Классификация М-областей 232
СвоИства вихревого течения вблизи звуковой линии 235
Образование скачка уплотнения при спрямлении участка профиля в сверхзвуковой части минимальной области влияния 239
Некоторые свойства Л/-области «в целом». Модель потенциального течения за ударной волной 242
Некоторые свойства А/-области в целом. Вихревое течение за ударной волной 244
О единственности режима обтекания конечного клина с присоединенной ударной волной 249
Г л ав а 9 Вторичные скачки уплотиеиия 252
Причины образования вторичных скачков уплотнения 252
Классификация скачков. Теорема Никольского о хвостовом скачке 254
Теория «простой волны» Фридрихса. Асимптотика скачков на бесконечности .255
Разрушение непрерывного сверхзвукового течения вниз по потоку от М- области 258
Образование вторичного скачка уплотнения при обтекании профиля с изломом контура 261
Сверхзвуковой висячий скачок распространяется вниз по потоку 263
Свойства висячего скачка при обтекании профиля с изломом контура265
Исследование висячих скачков асимптотическими методами. Скачок, выходящий из угловой точки при трансзвуковом обтекании 273
Висячий скачок в простой волне около вогнутого профиля 278
Исследование висячего скачка вблизи точки зарождения 282
О расчетах течений со вторичными скачками уплотнения 290
Глава 10 Обтекание профиля равномерной сверхзвуковой струей 291
Обтекание бесконечного клина. Положение звуковой линии. Формулировка задачи в плоскости годографа 291
Обтекание бесконечного клина звуковой струей 293
Обтекание профиля. Минимальная область влияния 295
«Прямая» и «обратная» задача. О единственности решения 298
Цесимметричное обтекание бесконечного клина струей дозвуковой и звуковой скорости. Формула Прандтля — условие разрешимости задачи 300
Глава 11 Осесимметричные трансзвуковые течения 305
Специальная плоскость годографа 305
Геометрические свойства характеристик в плоскости uw. Невозможность существования точек К_ 307
Наклон звуковой линии на теле и на ударной волне. Классификация минимальных областей влияния 308
Разрушение области непрерывного сверхзвукового течения при деформации контура тела вне минимальной области влияния 310
Квазиконформность u + fw в дозвуковой области 311
Список литературы 312
Предисловие
Вниманию аэродинамиков предлагается видоизмененная книга Shifrin EG., Belotserkovskii О.М. Transonic Vortical Gas Flows, John Wiley & Sons, Chichester—New York — Brisbane — Toronto — Singapore, 1994.
Задачи, связанные с переходом через скорость звука, всегда вызывали большой интерес в аэродинамике. Трудность их исследования обусловлена нелинейным характером изменения типа уравнений в определяющей области с заранее неизвестной границей. Кроме того, там возникают скачки уплотнения — внутренние свободные границы. Анализ осложняется завихренностью потока, интенсивность которой определяется формой скачков. Завихренность может быть признана несущественной лишь в редких случаях.
Трансзвуковые проблемы имеют большое прикладное значение.
Важна задача сверхкритического обтекания самолета потоком большой дозвуковой скорости. При этом на крыле и фюзеляже образуются развитые сверхзвуковые зоны, замыкающиеся, как правило, скачками уплотнения, что приводит к неоправданным потерям энергии. Так как в этом режиме самолет находится большую часть времени, задача проектирования крыла с малым волновым сопротивлением (а еще лучше — без него, если проектировать крыло как докритическое для заданной высокой дозвуковой скорости полета) имеет огромное экономическое и экологическое значение. Этой проблеме в монографии уделяется большое внимание.
Отбор результатов основан на следующем принципе: достаточно общие аналитические исследования структуры и свойств типичных трансзвуковых течений даются по возможности в параллельном изложении с соответствующими численными решениями. Это выражает тенденцию современной прикладной науки к повышению точности вычислений при обязательном углублении математической постановки, что призвано обеспечивать адекватность описания явления.
Содержание сгруппировано вокруг следующих главных проблем.
Прежде всего сделана попытка дать наиболее широкий взгляд на математическую концепцию, основу которой составляет метод годографа С. А. Чаплыгина.
Подробно рассмотрено современное состояние теории и практики сопла Лаваля — наиболее традиционного и типичного о&ьекта трансзвуковой аэродинамики. В последнее время здесь был получен ряд новых результатов, разработаны различные методы численного решения, в том числе—для коротких (крутых) сопел, сопел с прямой звуковой линией, с изломом контура и т.д. Предложена задача профилирования контура сопла (в корректной постановке) с монотонным распределением скорости вдоль стенки, что обеспечивает адекватность модели идеального газа при достаточно больших значениях чисел Рейнольдса. Достигнуто понимание относительно
наиболее предпочтительной схемы сопла. Рассмотрены вопросы разрешимости прямой задачи, в частности, доказана теорема единственности прямой задачи сопла Лаваля (для не близких решений). На основе приведенных материалов можно, пожалуй, утверждать, что классическая проблематика сопла Лаваля близка к завершению.
Другой круг проблем связан с уже упоминавшейся задачей обтекания крыла при больших дозвуковых скоростях полета. Экономические эффекты здесь мотуг оказаться весьма значительными. Список литературы по этой проблеме велик, но содержит в основном численные решения прямой задачи обтекания в разных постановках; сами постановки в ряде случаев нуждаются в критическом анализе и уточнениях. В то же время, как отмечалось, весьма важны подходы к целенаправленному проектированию и оптимизации, хотя бы на «крейсерских» режимах. Некоторым новым идеям в этой области посвящена значительная часть раздела.
Большое внимание уделено развитию подхода Л. Берса по применению аппарата квазиконформных отображений и псевдоаналитических функции для исследования фундаментальных свойств течений. Излагаются новые результаты, полученные для вихревых течений со скачками уплотнения. В частности, обосновывается постановка граничных условий на бесконечности, дается строгое доказательство формул для подъемной силы и волнового сопротивления (расширение теоремы Жуковского).
Обтекание тела сверхзвуковым потоком с отошедшей ударной волной по-прежнему представляет собой одну из важнейших н^чно-прикладных проблем аэроданамики. Ее исследование в рамках традиционного подхода, использующего теорию потенциальных трансзвуковых течений, оказалось невозможным из-за существенной завихренности потока. Это обстоятельство четко проявилось, когда О. М. Белоц^ковским было получено численное решение задачи обтекания тела с отошедшей ударной волной; возникла дискуссия об устройстве области влияния смешанного течения за ударной волной, так как при вычислениях были получены качественные результаты, не объясняемые потенциальной теорией. Дальнейший анализ с учетом завихренности потока привел фактически к появлению нового раздела трансзвуковой аэродинамики — вихревых течении. В этом разделе большое внимание уделено также вопросам существования и свойствам вторичных скачков уплотнения.
Несмотря на то, что значительная часть изложенных результатов относится к потенциальной теории, автор все же счел необходимым акцентировать вихревой характер рассматриваемых трансзвуковых течений, внеся это слово в название книги.
Некоторые из рассмотренных задач представляют собой развитие постановок, предложенных выдающимися аэродинамиками и математиками — А. А. Никольским, Ф. И. Франклем, К. Гудерлеем, Л. Берсом. В основе большинства теоретических результатов лежит метод годографа С. А. Чаплыгина.
Глава 1
Общие свойства трансзвуковых теченийидеального газа
§ 1. Определение трансзвуковой газодинамики
Трансзвуковая газодинамика являете只 разделом динамики идеального газа, характеризуемой следующими ограничениями.
Течение определено в области физического пространства-времени с кусочно гладкой границей.
Течение жидкости в каждой точке области определения характеризуется значениями полей вектора скорости V, плотности массы р и термодинамических величин — плотности внутренней энергии U, температуры Т, давления р.
В силу аксиомы о локальном термодинамическом равновесии все термодинамические величины в каждой точке области определения подчиняются законам и соотношениям классической термодинамики.
В качестве этих законов взяты уравнения состояния совершенного газа — закон Клапейрона (р/(рТ)=丘=const — «газовая постоянная») и калорическое уравнение (U/T = “ = const — теплоемкость при постоянной плотности р). (В несжимаемой жидкости уравнения состояния имеют вид р = const, U/T = с = const.) .
Газ считается идеальньш: тензор напряжений имеет диагональный вид П = -р/, причем под р понимается давление; теплопроводность отсутствует.
В области определения течения V, р, р, Г точки (г, ±) считаются кусочно непрерывно дифференцируемыми (кроме конечного числа внутренних границ — кусочно гладких поверхностей разрыва первого рода). Вместе с принятыми предположениями это позволяет описывать течения системой уравнений Эйлера, которые выводятся из общих законов природы, постулированных в виде интегральных законов баланса массы, импульса, энергии. (Их также называют «интегральными законами сохранения».)
Граница области определения решения уравнений Эйлера в общем случае состоит из поверхностей обтекаемых тел и бесконечно удаленной точки.
В качестве граничных условий для уравнений Эйлера принимаются: на теле — условие непротекания V и = 0, на бесконечности — условия выравнивания. Например, в дозвуковом потенциальном стационарном потоке выравнивается вектор скорости V, в плоском вихревом дозвуковом стационарном течении выравниваются давление р и аргумент скорости /3 (гл. 6); в общем случае постановка адекватных условий на бесконечности требует тщательных исследований.
«Внутренними» границами в области определения течения являются кусочно гладкие поверхности сильного разрыва — ударные волны (скачки уплотнения) и поверхности тангенциального разрыва, в частности, свободные поверхности. На них задаются соотношения между V, р, р, Г («условия Гюгонио»), которые следуют из интегральных законов сохранения.
Важный класс определенной выше системы соответствует установившимся течениям газа. В нем определены понятия до- и сверхзвуковых течений, выражающие эллиптический или гиперболический тип квазилинейных уравнений Эйлера в соответствующих подобластях, отделенных друг от друга поверхностями перехода — «звуковыми» поверхностями. (На них скорость потока равна по модулю местной скорости звука — скорости распространения бесконечно малых возмущений при соответствующих значениях термодинамических величин.) Для нестационарных течений идеального газа понятие и предмет трансзвуковой газодинамики четко не определены.
Трансзвуковая газодинамика 6 широком смысле слова изучает стационарные течения, область определения которых содержит звуковые поверхности.
Трансзвуковая газодинамика в узком смысле изучает эти же течения при дополнительных упрощениях уравнений Эйлера^ оправданных (при строгом подходе) асимптотическим разложением математической задачи по малому параметру, выражающему отличие скорости потока от скорости звука.
Трансзвуковая газодинамика использует в качестве математического аппарата теорию уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа— как в процессе постановки математических задач, так и при качественных исследованиях.
Для получения решений корректно поставленных задач используются современные вычислительные методы, позволяющие, применительно к классам математических задач для уравнений смешанного типа, проводить вычисления с высокой точностью, ограничиваемой лишь техническими возможностями компьютера.
Большую роль в качественных исследованиях задач трансзвуковой газодинамики играет метод годографа С. А. Чаплыгина, предложенный им в классической работе «О газовых струях» [108].
Вывод дифференциальных уравнений газодинамики(«уравнений Эйлера») из интегральных законовсохранения массы, импульса, энергии
Постулированная в общей теории сплошной среды система интегральных балансовых соотношений (интегральных законов сохранения массы, импульса, энергии) представляет собой сумму интегралов по произвольной ограниченной подобласти области определения течения с кусочно гладкой границей — объемных интегралов и интегралов по границе.
Дифференциальные уравнения движения получаются из этой системы следующим образом: все интегралы по поверхности преобразуются 6 интегралы по объему с помощью формулы Остроградского-Гаусса\ в силу
произвольности области интегрирования подынтегральное выражение 6 полученном объемном интеграле приравнивается к нулю.
Этот прием правомерен ввиду принятых ранее предположений о непрерывной дифференцируемости V, р, р, Т в области течения и кусочной гладкости границ рассматриваемых элементарных ограниченных подобластей. Строго говоря, переход к дафференциальным уравнениям возможен лишь в ограниченных подобластях течения, самое большее — во всем пространстве с выколотой бесконечно удаленной точкой. Если же область определения дополняется бесконечно удаленной точкой, применение дифференциальных уравнений в расширенной области становится, вообще говоря, неправомерным. В этом можно убедиться, проверив, удовлетворяют ли найденные решения дифференциальных уравнений балансовым соотношениям в окрестности бесконечно удаленной точки (т. е. сходятся ли несобственные интегралы), либо установив класс функций, для которого возможен предельный переход по монотонно расширяющейся последовательности подобластей, т. е. указав класс течений — с асимптотикой, заведомо допускающей этот предельный переход.
Таким образом, достаточным условием правомерности преобразования 0f • и dS <~> JJT ▽ • f dV в бесконечной области является сходамость объемного интеграла как несобственного или сходимость к конечному пределу последовательности поверхностных интегралов по семейству сфер возрастающего радиуса.
Не останавливаясь на деталях вывода дифференциальных уравнений в принятых выше предположениях (изложение которого можно найти в любом учебнике), приведем окончательный результат при отсутствии внешних сил и источников энергии — арифметически замкнутую систему уравнений идеального совершенного газа — систему уравнений Эйлера:
粤 + ▽ • SV) = 0,察 +(V • y)v + 衿=о,
(1)
傷+ "▽)+ 打・(PV) = 0, p = pRT.
Первое уравнение—следствие закона сохранения массы, второе—закона сохранения импульса, третье—закона сохранения энергии, четвертое— уравнение Клапейрона.
Далее будут рассматриваться только стационарные течения.
Первые интегралы уравнений Эйлера для стационарныхтечений. Газодинамические функции
Траекториями жидких частиц называются интегральные кривые системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
^=V(r<), г = (x,2/,z), V = (u,%m).
В силу теоремы существования и еданственности Пеано, при принятых предположениях относительно поля V через каждую точку области определения течения в четырехм^ном пространстве-времени проходит одна и только одна траектория жидкой частицы.
Линиями тока стационарного течения называются проекции траекторий жидких частиц на трехмерное пространство, т.е. линии тока — интегральные кривые автономной системы
de _ dy _ dzu(c,J/,z) - D(gy,z) - w(x,y,z)
В особых точках этой системы хотя бы две компоненты скорости обращаются в нуль (как будет показано ниже, |V| < оо).
Рассмотрим уравнение энергии. Учитывая уравнение неразрывности V • (р¥) = 0, имеем
V-(pV) = pV-(p/p),
поэтому с учетом уравнения Клапейрона
VE（cf+学『.g+烁）VE（cf+学『.g+烁）=0,=0,
VE（cf+学『.g+烁）
VE（cf+学『.g+烁）
=0,
=0,
% = % + R.
Итак, сумма срТ + |V|2/2 постоянна вдоль линии тока,
Это — первый интеграл системы (1), точнее, подсистемы, состоящей из уравнений неразрывности, энергии и уравнения Клапейрона. Вводя в качестве постоянной «температуру торможения»
嚐L，
формулируем этот результат в виде закона: температура торможения постоянна вдоль линий тока.
Так как |V|2》0, то Т W 鉄.
В термодинамике темперэтура определяется как неотрицательная величина, следовательно, скорость потока ограничена по модулю:
|V| W |V|max = ^/^^5^ = |V|t=o
(если, конечно, ограничена температура торможения).
Температура торможения может меняться от одной линии тока к другой, поэтому ТЬ(^) — произвольная функция на любом двумерном многообразии, пересекающем в области течения каждую линию тока один и только один раз.
Рассмотрим теперь уравнение количества движения. Учитывая тождество
(V • V)V = V(|V|2/2) - V х rotV, умножив скалярно на V, получим
pV. V(|V|2/2)4-V. Vp = 0.
Подставляя V-V(|V|2/2) = -V-V(cpT) и используя закон Клапейрона, найдем другой первый интеграл системы (1)
=0,*=1+ 匹=生.
cv Cv
叱三)=о,v・yG)=o, VVS = 0,叱三)=о,v・yG)=o, VVS = 0,Вновь используя уравнение Клапейрона, этот интеграл можно также представить в виде
叱三)=о,v・yG)=o, VVS = 0,
叱三)=о,v・yG)=o, VVS = 0,
V・V
гце S — энтропия (точнее, плотность энтропии) газа в жвдкой частице в состоянии термодинамического равновесия.
Таким образом, в стационарном течении идеального газа энтропия и температура торможения постоянны вдоль линий тока 9.
Определяя «полное давление» ро и плотность в «заторможенной» жидкой частице ро как
Ро = р\т=т0 = Plv=o) Po =川7=暗=p|v=o,
в результате получаем, что ро и ро постоянны вдоль линий тока (ро)Ро, как и 7Ь — произвольные функции; в силу уравнения Клапейрона независимы лишь две из них).
Далее получим
/ Т、1/(к-1)
Представим соотношение Tq = Т + ^~Представим соотношение Tq = Т + ^~Таким образом, идеальный совершенный газ баротропен вдоль линий тока.
Представим соотношение Tq = Т + ^~
Представим соотношение Tq = Т + ^~
Г 1|V|2
вввде -
Обозначив
MLx = 2cm = 2 产^А =需L,
получим
^ = 1 -= к”，£=^(A)= 丁(入沙7,
/оЛ 4-1ро
0 В нестационарных течениях идеального совершенного газа также существует первый интеграл: величина Т/“т сохраняется в жидкой частице, т. е. d(T/pH)/或=0(Т/ркт)+ +W(T/pJi) = 0. Этот интеграл получается вычитанием из уравнения энергии уравнения
неразрывности и Клапейрона. Его можно записать в виде совершенном газе энтропия сохраняется в жидкой частице.
Для сравнения отметим, что в идеальной несжимаемой жидкости для стационарных течений первым интегралом системы является V • VT = 0, те. имеет-место свойство: движение идеальной несжимаемой жидкости изотермично вдапъ линий тока.
Если считать, что давление неотрицательно, то скорость потока в несжимаемой жидкости также ограничена. (Это следует из дфугого первого интеграла системы—уравнения Бернулли.) Однако оснований для такого предположения нет; эксперимент на малосжимаемой жидкости (воде) показывает; что межет достигаться отрицательное давление в несколько десятков тысяч атмосфер [106].
計6(入)=*)1/(1),
где т(А), е(А), 7г(А) — так называемые «газодинамические функции» — монотонно убывающие функции А е [о,,(靑 + 1)/(靑—1)] (рис. 1.1), удобные при расчетах одномерных течений, так как они затабулированы для довольно широкого диапазона показателей адиабаты к. Применяется также газодинамическая функция q(A)= =[(6 + 1)/2]1/(кт)》£(А) —«удельный расход» газа (по отношению к площади поперечного сечения трубки тока), достигающий максимального значения при А = =1 (см•⑹ в § 5).
Величина асг = у/2кВТ^/(к + 1) называется критической скоростью звука. Смысл этого термина в следующем. В ба
ротропных средах (в которых уравнение состояния имеет вид р = р(р)) скорость звука, т.е. скорость распространения сколь угодно малых возмущений, может быть определена как а = y/dp{p)/dp. Если расширить это понятие на совершенный газ, вычисляя dp и dp вдоль линий тока, то получим а = \JkRT. Тогда из первого интеграла для температуры следует, что
а? =。^ —(靑—l)|V|2/2, a。= ^|т=7()= a|v=o・
Определив % = a||v|=a, получим
* =00,2/(6 + 1) =，2靑氏n/(靑 + 1).
Законность указанного расширения обосновывается теорией характеристик (см. §7).
Преобразование уравнений Эйлера с использованием первыхинтегралов. Локальная система координат, связанная с линиями тока
Преобразуем уравнения Эйлера, используя газодинамические функции и представление V = |V|ni = Aacrni, где ni — единичный вектор скорости.
Напомним некоторые понятия дифференциальной геометрии.
Заметим сначала, что в силу инвариантности уравнений Эйлера относительно замены V о -V, направление вектора скорости на линии тока несущественно. Однако в силу принятого предположения о непрерывности поля скорости, поле ni также непрерывно (за исключением точек V = =0, где оно не определено), поэтому произвольность в задании поля п】 устраняется заданием направления вектора скорости в одной точке области течения, например, на бесконечности.
Будем рассматривать линии тока как непрерывное семейство пространственных кривых, согласованно параметризованных длиной дуги s, отсчитываемой вдоль каждой линии тока, что соответствует заданию линии тока уравнением г = r(s). В силу непрерывности поля скорости линия тока вскод; кроме особых точек, — гладкая кривая, поэтому для нее определено понятие длины дуги.
Сопоставим каждой линии тока сопровождающую правую тройку единичных векторов П1, и?, пз, где П2 — вектор главной нормали, пз — вектор бинормали. На линии тока г = r(s):山=dr/ds — единичный вектор касательной, и? = " (Pr/ds2^ "》0 — кривизна линии тока, т.е. вектор главной нормали направлен к центру кривизны на соприкасающейся ПЛОСКОСТИ. Обозначим Si = S —ДЛИНУ ДУГИ ЛИНИИ ТОКИ, S2, S3 — длины дуг векторных линий полей главных нормалей и бинормалей к линиям тока. В силу непрерывной дафференцируемости поля скорости поля п2, Из непрерывны, поэтому указанные векторные линии существуют.
По определению производной по направлению d/dsi =叫• V, i = 1,2,3, поэтому
==(П1 • V)ni = ХП2-
USi
丄虹+丄也=02 dsi pdsi '丄虹+丄也=02 dsi pdsi '⑵⑵Подставляя V = |V|ni в первые два уравнения системы (1) и умножая второе уравнение скалярно на пх, п2, п3) получим
丄虹+丄也=0
2 dsi pdsi '
丄虹+丄也=0
2 dsi pdsi '
⑵
⑵
div ni + —^尸I= 0,OSI
|V|2“+密=0,
Используя представления
p = р0?Г(入)， P = 00£(入)，|V| =1生]
получимdivni + (l-M2)^^=0,получимdivni + (l-M2)^^=0,ат》 ]ainpo _ 8s2 kM2 8s2'ат》 ]ainpo _ 8s2 kM2 8s2'ainX 1 ainpo — о8s3kM2 8S3 —ainX 1 ainpo — о8s3kM2 8S3 —⑶⑶
получим
divni + (l-M2)^^=0,
получим
divni + (l-M2)^^=0,
ат》 ]ainpo _ 8s2 kM2 8s2'
ат》 ]ainpo _ 8s2 kM2 8s2'
ainX 1 ainpo — о8s3kM2 8S3 —
ainX 1 ainpo — о8s3kM2 8S3 —
⑶
⑶
(второе уравнение (2) превращается в тождество). Здесь число Маха М = М(А) определяется формулой
М =М =м = х / 2а ~ЛУ (^ +W)м = х / 2а ~ЛУ (^ +W)
М =
М =
м = х / 2а ~ЛУ (^ +W)
м = х / 2а ~ЛУ (^ +W)
Система (3) выражена в локальной ортогональной системе координат; связанной с линиями тока. Эта запись полезна при выявлении качественных свойств течений, но она непригодна для решения краевых задач, так как 6 нее входят производные по направлению^ а не частные производные. Переход к частным производным возможен только тогда, когда 6 потоке существует триортогональная система координат, образованная
поверхностями тока (т. е. поверхностями, образованными линиями тока)9 и двумя однопараметрическими семействами поверхностей^ образованными векторными линиями главных нормалей и бинормалей к линиям тока. Условия существования таких координат довольно жесткие. Они выделяют узкий класс течений, содержащий, в частности, плоские и осесимметричные течения.
Из систем (2), (3) могут быть сделаны важные выводы.
Поверхности равного давления в трехмерном течении образованы векторными линиями поля бинормалей к линиям тока.
«Принцип замещения» [152,64]. Расположение в потоке линий тока 〃 поверхностей уровня А не зависит от произвольной функции Т^при заданной функции ро (или наоборот).
Действительно, в системе (3) фигурирует только одна произвольная функция ро.
Если в потоке существует звуковая поверхность М =入=1, ортогональная полю скорости (ш. а линиям тока)9 то она минимальная [85,84].
Действительно, если N—нормаль к поверхности, то дифф^нциальное уравнение минимальной поверхности имеет вид
divN = 0,
поэтому свойство 3 является следствием одного лишь уравнения неразрывности [122]. Условие существования таких поверхностей было рассмотрено в [122], в частности было доказано, что в потенциальных осесимметричных течениях они могут быть только плоскостями, ортогональными оси симметрии.
Рассмотрим теперь плоские и осесимметричные течения, в которых четвертое уравнение (2) удовлетворяется тождественно.
Изменим определение вектора и?. Если раньше это была главная нормаль к линии тока, то теперь под п2 будем понимать вектор, полученный в плоскости течения поворотом вектора 山 на угол тг/2 против часовой стрелки. Пусть 0 = arg V, т.е. представляет собой отсчитываемый против часовой стрелки угол наклона вектора скорости к оси Ох декартовой системы координат в плоскости течения (ось Ох направлена горизонтально вправо, ось Оу — вертикально вверх). Пусть i, j — орты этих осей. Тогда
ni = icos/3 4-jsin/3, n2 = -isin/3 4-jcosjS, 饗=叱黑，
и второе уравнение (3) принимает вид
86 _ 81пХ _1 dlnpo⑷
8si 8s2 kM2 屈 *
Преобразуем первое уравнение (3). Из дифференциальной геометрии известно, что divni = “i + "2, где 々，д — кривизна взаимно ортогональных кривых на поверхности, ортогональной полю 叫，причем выбор этих кривых произволен. (В плоском и осесимметричном течении эта поверхность существует, так как существует семейство ортогональных траекторий к линиям тока.) Итак,
也^1=石；+爾・
В плоском течении д^/дз^ = 0, а в осесимметричном—в силу теоремы Менье — др/дзз = (sin3)/y (ось абсцисс совмещена с осью симметрии, рис. 1.2), поэтому уравнение неразрывности записывается в виде
("2-1)争=黑 +n^,8si ds2 у("2-1)争=黑 +n^,8si ds2 у(5)(5)
("2-1)争=黑 +n^,8si ds2 у
("2-1)争=黑 +n^,8si ds2 у
(5)
(5)
Ом _ _ П2 а/ид(р 坛 а”Ом _ _ П2 а/ид(р 坛 а”8ni _ _n2 dhrdip - hi 838ni _ _n2 dhrdip - hi 83
Ом _ _ П2 а/ид(р 坛 а”
Ом _ _ П2 а/ид(р 坛 а”
8ni _ _n2 dhrdip - hi 83
8ni _ _n2 dhrdip - hi 83
где ^ = 0,1 для плоского и осесимметричного случаев соответственно.
Уравнения (4), (5) можно рассматривать только локально, так как в них фигурируют производные по направлени
ям, а не частные производные по координатам. Введем координаты, связанные с линиями тока. Обозначим через 吵 семейство линий тока, а иерез 夕一семейство их ортогональных траекторий. Тогда д = 1_д_ а = 1 а
8si hi 8，8б2九2 8山，
Л1 = N式+货、无2 =附,+%,
где Л1,无2 —коэффициенты Ламе.
Для производных от коэффициентов
Ламе по координатам ^,吵 имеют место формулы [67]
Эп2 — Hi dhi ^П2 — iii dhi8少 坛即' 即 坛如
Используя некоторые из них при преобразовании уравнений (4), (5) и проводя интегрирование, получим
h2h3q(X) = Ф(^), ftiAexp ^-i / 竺等&)) = ф(^).(6)
Здесь Ф(^), @(9)— произвольные функции, определяющие нумерацию в семействах “，⑴.Коэффициент Ламе Лз = 1 в плоском течении, 无з = У — в осесимметричном. Произвольная функция ро(^) задается распределением полного давления в потоке исходя из формулировки задачи.
Отметим, что первое уравнение (6) интерпретируется как условие постоянства расхода газа через элементарную трубку тока; в одномерном («гидравлическом») приближении из него находится распределение скорости в тонком канале (т. е. в канале с очень пологими стенками) как функция площади поперечного сечения. Второе уравнение (6) для потенциальных течений выражает довольно тривиальный факт; что сколь угодно близкие эквипотенциальные поверхности отстоят друг от друга по нормали на величину пропорциональную модулю скорости.
Подставляя в (4), (5) выражения для коэффициентов Ламе из (6), получаем систему уравнений (в случае плоского потенциального течения —
систему дифференциальных уравнений) в криволинейной системе координат 吵8, связанной с линиями тока. В случае осесимметричного течения под у следует понимать выражение
УУ=Jhisin/3d(p + h2 cos0 d叽
У
У
не зависящее от пути интегрирования в плоскости 吵夕，что доказывается с помощью приведенных выше формул дифференциальной геометрии. Итак, при Ф(^)=①(8)= 1
史=包(81пХ1 dlnpo(研
8屮—h? \ О” kM d” 丿，
])甯=讎+mG /%％苧n,⑺ 粉5%』/峨).
При анализе плоских вихревых течений полезна следующая форма уравнений в локальной системе координат, легко получаемая из (4), (5):
(1 - М2)=6”2 黑，=-6”2 黑 (8)
''齿1加2加2C7S1
Важным свойством этой системы является ее однородность относительно производных, что будет использоваться в дальнейшем (см. гл. 6, § 6).
Уравнения (6) позволяют исследовать отображение в плоскость 夕〃 Действительно, при W侬)=①(夕)=1
a(8，W) — a(8，W)=丄=\2 /XX N，一丄/dlnpo(%
Ж^Г _ Мд)—価_а p V kJ м2 丿，
поэтому отображение области течения в эту плоскость при 0 < А < < ,(6 + 1)/(% - 1) и при у > 0 локально взаимно однозначно 9. Отметим, что если в осесимметричном течении ось симметрии принадлежит области течения, то, определяя Ф(^) так, чтобы она равнялась нулю на линии тока, содержащей отрезок оси симметрии, условие у > 0 можно снять.
Ниже в основном будут рассматриваться плоские течения; при этом случаи осесимметричных и пространственных течений будут каждый раз оговариваться.
Отображения плоских вихревых течений (勺,у) т (8,吵),(％,У)т т(Р, 0) будут подробно рассмотрены в гл. 6 с позиций теории квазиконформных отображений.
§ 5. Ударные волны. Соотношения Гюгонио. Ударная поляра.Асимптотика семейства ударных поляр при Ло© т 1
В динамике идеального газа помимо течений с непрерывными полями скорости рассматриваются также течения с разрывами скорости (первого рода) на конечном числе кусочно гладких ориентируемых поверхностей. На этих поверхностях, которые называются ударными волнами или скачками уплотнения, происходят также разрывы плотности давления и температуры. Ясно, что на поверхностях разрыва дифференциальные уравнения газодинамики не имеют смысла. Поэтому для описания течений в областях, внутри
которых могут находиться поверхности разрыва, используются уравнения баланса массы, импульса и энергии в интегральной форме, в которой фигурируют лишь величины V, р, р, Г, а их производные отсутствуют; благодаря чему эти уравнения баланса имеют смысл.
Рассмотрение балансовых соотношений в сколь угодно тонком слое — окрестности поверхности разрыва — с учетом предположений о кусочной гладкости этой поверхности и о непрерывности V, р, р, Г справа
и слева от нее позволяет получить, с помощью предельного перехода, соотношения между предельными значениями V, р, р, Т (справа и слева) и нормалью к поверхности разрыва п (рис. 1.3).
Эти соотношения носят название условий Гю- гонио. Они правомерны для любой поверхности V1 \ разрыва, перемещающейся с конечной скоростью, ' и записываются одинаковым (инвариантным) образом в подвижной декартовой системе коорданат;“
связанной с поверхностью разрыва, такой, что одаа из координатных плоскостей проходит через век-рис 〔 3
тор скорости и нормаль к поверхности разрыва* *
(либо через два вектора скорости — до и после разрыва). Это означает; что в данной плоскости соотношения между V, р, р, Г по обе стороны разрыва такие же, как и в плоском стационарном течении. Поэтому соотношения Гюгонио для плоского стационарного течения имеют универсальный характер.
Эти соотношения могут быть выражены в виде связей между значениями полных давлений, температур и плотностей торможения, а также соотношениями между коэффициентами скорости и аргументами вектора скорости в параметрической форме вида
^2,^2 = A(Ai,cr, к).(9)
Poi Poi
Конкретные формулы, (см., например, [100])% 丁
здесь не приводятся; отметим только, что 九=% _ а
= 7bi./ 以一
Здесь о — угол наклона поверхности разрыва к направлению вектора скорости перед ударной вол-Рис, 1,4
ной (рис. 1.4) в плоскости, натянутой на Vi и п. Индексами 1,2 отмечены, соответственно, величины перед ударной волной и после нее, причем направление «перед» т «после» определяется направлением перемещения
жидкой частицы через поверхность разрыва. Отметим, что при переходе через ударную волну энтропия изменяется; указанному направлению соответствует возрастание энтропии — как того и требует второе начало термодинамики. Таким образом, течение идеального газа с ударными волнами, в отличие от течения с непрерывным полем скорости, уже необратимо (ср・ §4).
При указанном направлении коэффициент скорости А при переходе через ударную волну не возрастает. При приближенном рассмотрении ударных волн в слабо сверхзвуковом потоке приращение энтропии при переходе через ударную волну оказывается пренебрежимо малым. В этом случае в качестве индикатора направления движения жидких частиц через ударную волну вместо возрастания энтропии берется убывание А.
Из соотношений Гюгонио (9) следует; что компоненты относительной скорости Aze' V2： &2 = A2 cos 伪， &2 =入 2 sin 伪 связаны друг с другом и с относительной скоростью перед ударной волной 入i (можно положить, повернув систему координат, argVi =瓦=0) соотношением [49]
产(^^и*一 иu8 + 1)=他一U8)2包u8 — 1),
график которого (рис. 1.5) в плоскости uv называется ударной поля
рой. Семейство ударных поляр, зависящих от Ai при k = const находится внутри окружности —ударной поляры, соответствующей Ai = ,(k + 1)/(к - 1). Эта окружность не содержит внутри себя точки V = 0, поэтому при преобразовании (% о) т (А,^), гомеоморфном на семействе ударных поляр, это семейство лишь деформируется, но качественных изменений не
происходит.
При 木 т 1 (Ai > 1) семейство ударных поляр описывается асимптотической формулой [32]
О1 _ 02 = ± J 5 "2 (&1 —微2),入В= (1°) У Z内十丄十丄
Отметим, что каждая ударная поляра представляет собой образ в плоскости годографа 入0 ударной волны, возникающей в равномерном сверхзвуковом потоке при Ai = Aqq.
Соотношения р? = Р2(Р1,6*), 仇 = 仇91,。,％), вытекающие из условий Гюгонио, могут рассматриваться как параметрическое задание семейства замкнутых кривых (при постоянных 九 к) — ударных поляр в плоскости р0.
Эллиптико-гиперболический тип уравнений стационарныхтечений идекльного газа. Характеристики
Квазилинейная система (7) (или (8)) имеет смешанный эллиптию- гиперболический тип в зависимости от знака коэффициента М2 — 1 непрерывной функции координат. Область течения состоит из прилегающих друг
к другу областей эллиптичности и гиперболичности. В областях эллиптичности М < 1 (дозвуковые скорости потока), в областях гиперболичности М > 1 (сверхзвуковые скорости). На общих границах этих областей — линиях вырождения типа (в пространстве — на поверхностях вырождения типа) — скорость потока равна скорости звука; эти линии (поверхности) называются звуковыми.
В соответствии с общей теорией уравнений в частных производных [55] в областях гиперболичности существуют действительные характеристики. Напомним, что характеристики представляют собой многообразия, на которых система дифференциальных уравнений не может быть приведена к нормальному виду, т. е. не может быть разрешена относительно производных, выводящих из такого многообразия. Это препятствует применению теоремы Копш-Ковалевской, следовательно, решения задачи Коши с начальными данными на характеристическом многообразии, вообще говоря, не существует. Для его существования (которое в данном случае уже оказывается не единственным) необходимо и достаточно выполнения условий согласования начальных данных, которые называются условиями совместности. Интересно, что эти условия совместности являются не чем иным как характеристиками системы уравнений газовой динамики^ рассматриваемой в переменных годографа, а условиями совместности последней, наоборот, служат уравнения характеристик в физической плоскости.
Так как определение характеристических многообразий является локальным, т. е. сводится к определению характеристических направлений, то правомерно (и удобно) пользоваться уравнениями в локальной системе координат (4), (5). Итак, рассмотрим систему относительно производных по направлениям 91nA/9si, 31nA/3s2, 出?仰1, др/дз2, состоящую из уравнений газовой динамики (4), (5) и двух уравнений, выражающих начальные условия задачи Коши (s — длина дуги, д/ ds — производная по направлению вдоль начального многообразия):
ав — am》 1 dinpo /入 一 as 炉山月
дВ dsi + 即 ds2 —叩 a In 入 dsi + dlnA ds2 — din A dsi ds Os? ds ds' Hsi ds Hs2 ds ds
Приравнивая определитель этой системы нулю, получаем уравнение характеристик первого и второго семейства
1•(n)
dsi ll,n2一1
Иначе говоря, «угол Маха» — угол наклона характеристики к вектору скорости — определяется формулой д = ±arcsin(l/M) (рис. 1.6).
Приравнивая нулю определитель, получаемый заменой какого-либо столбца столбцом правых частей, получаем условия совместности вдоль характеристик соответствующих семейств
d^ = ±^M2-ldlnA^4黑匸е—. (12)
%/ctg^ix/ЛР^Т/М
Все дифференциалы здесь вычисляются вдоль характеристик соответствующих семейств; индекс I, обозначающий характеристику первого семейства, относится к положительному значению радикала.
Условия совместности могут быть также записаны в виде дифференциальных уравнений характеристик в плоскости 1пр,0 (об отображениях (с,у) т (%。)，(с,у) т (р,0) см. § 12):
切=± ——2— dlnpo - N切=± ——2— dlnpo - Nd\nyCtgB±，"2-l/Md\nyCtgB±，"2-l/M(13)(13)
切=± ——2— dlnpo - N
切=± ——2— dlnpo - N
d\nyCtgB±，"2-l/M
d\nyCtgB±，"2-l/M
(13)
(13)
Из уравнений (13), которые равносильны обыкновенным дифференциальным уравнениям
(14)(14)dW _ ± 坛 1
(14)
(14)
眼一坛，" 2 - 1
следует; что характеристики разных семейств касаются друг друга только в двух случаях: на звуковой линии (М = 1), когда они ортогональны вектору скорости, и при М = оо (что соответствует А = ,(& + 】)/(& - 1)— максимальной скорости), когца они касаются вектора скорости.
Рис. 1.6Рис. 1.6Рис. 1.7Рис. 1.7
Рис. 1.6
Рис. 1.6
Рис. 1.7
Рис. 1.7
Уравнения (14) определены в замкнутой области сверхзвукового течения 1 W A W，(& + 1)/(& - 1)・ Через каждую точку внутри этой области, в силу непрерывной дифференцируемости поля V, проходит одна и только одна характеристика каждого из двух семейств, которая может быть продолжена в обе стороны вплоть до границы области определения. На каждой характеристике обоих семейств ⑵ 吵一монотонные функции длины дуги. Поэтому наличие огибающих характеристик или точек их возврата свидетельствует о физической нереализуемости течения, выражающейся в многолистности физической плоскости, рассматриваемой как риманова поверхность некоторого отображения в физическую плоскость.
Будем далее рассматривать только плоские течения.
Из уравнений (13) следует; что характеристики в плоскости lap,仇 независимо от завихренности, всегда наклонены к оси Ор под отрицательным (характеристики первого семейства) и под положительным (характеристики второго семейства) углами. При М = 1 и при М = оо характеристики горизонтальны (рис. 1.7).
В этой плоскости характеристики одного семейства могут иметь огибающие и точки возврата, что связано с возможной многолистностью отображения.
Рассмотрим плоские течения при ро = const. Уравнения (12) в данном случае могут быть проинтегрированы. Интегральные кривые, определяемые выражениями
0 =伉±"т)
представляют собой, как указывалось выше, характеристики уравнений в плоскости годографа А£・ В плоскости A cos 0, A sin 0 эти кривые являются эпициклоидами; сохраним такое название и для их образа в плоскости А/?.
Будем также считать, что случай ро = const соответствует потенциальному течению. Строго говоря, это не так: потенциальны течения, в которых V = Уд, или, что эквивалентно, rot V = 0. Выражая rot V = (-〃？ + v^k с учетом (4) в виде
五2 \кМ2 W 2 d” 丿
получим, что равенства dp。= 0 и rotV = 0 не эквивалентны. Однако, в силу отмеченного в §5 свойства независимости решения, выраженного в терминах %0 от произвольной функции 1Ь (吵)можно всегда считать, что То = const.
Вернемся теперь к случаю плоского вихревого течения dp。 / 0. Разобьем область течения линиями тока на подобласти, в каждой из которых полное давление является монотонной функцией 吵.Будем называть положительным то направление обхода характеристики, вдоль которого полное давление не возрастает.
(а) Образ 6 плоскости А0 отрезка характеристики, содержащегося 6 области монотонности полного давления, пересекает эпициклоиду того же семейства не более одного раза. Отрезок характеристики первого (второго) семейства, проведенный в положительном направлении от точки пересечения с эпициклоидой того же семейства расположен не ниже (не выше) этой эпициклоиды.
Доказательство получается интегрированием (12) вдоль соответствующих характеристик:
± (0 — So)=± (0 — So)=口 din A - / '靠二 dlnpo》口 din A - / '靠二 dlnpo》ldlnA. (15)ldlnA. (15)
± (0 — So)=
± (0 — So)=
口 din A - / '靠二 dlnpo》
口 din A - / '靠二 dlnpo》
ldlnA. (15)
ldlnA. (15)
Положение характеристик в плоскости А0 относительно эпициклоид показано на рис. 1.8; стрелками отмечены положительные направления.
Для вихревых течений можно также получить оценку ширины полосы, ограниченной эпициклоидами одного семейства, внутри которой находится одноименная характеристика.
Рассмотрим сначала область течения, в которой ро (屮)—монотонная ограниченная функция. Обозначим через ротах, Ротт максимальное и минимальное значения полного давления в этойРассмотрим сначала область течения, в которой ро (屮)—монотонная ограниченная функция. Обозначим через ротах, Ротт максимальное и минимальное значения полного давления в этойРис. 1.8Рис. 1.8области. Оценивая второй член в правой части уравнения (15), получимобласти. Оценивая второй член в правой части уравнения (15), получим1 у/м2 -11 у/м2 -1WWW i maxк л/б[1*8)W i maxк л/б[1*8)У^ЯпроУ^Япро=丄1д?2吧2加 pomin=丄1д?2吧2加 pominЗабегая вперед, отметим, что указанная ситуация реализуется, например, в области за выпуклой ударЗабегая вперед, отметим, что указанная ситуация реализуется, например, в области за выпуклой ударной волной, возникающей при обтекании тела равномерным сверхзвуковымной волной, возникающей при обтекании тела равномерным сверхзвуковымпотоком. В этом случае pOmin — значение полного давления в точке ударной волны, в которой она ортогональна вектору скорости (т. е. в точке «прямого» скачка), а ротах — значения ро в набегающем потоке. Используя соотношения на скачке уплотнения (условия Гюгонио), получимпотоком. В этом случае pOmin — значение полного давления в точке ударной волны, в которой она ортогональна вектору скорости (т. е. в точке «прямого» скачка), а ротах — значения ро в набегающем потоке. Используя соотношения на скачке уплотнения (условия Гюгонио), получим
Рассмотрим сначала область течения, в которой ро (屮)—монотонная ограниченная функция. Обозначим через ротах, Ротт максимальное и минимальное значения полного давления в этой
Рассмотрим сначала область течения, в которой ро (屮)—монотонная ограниченная функция. Обозначим через ротах, Ротт максимальное и минимальное значения полного давления в этой
Рис. 1.8
Рис. 1.8
области. Оценивая второй член в правой части уравнения (15), получим
области. Оценивая второй член в правой части уравнения (15), получим
1 у/м2 -1
1 у/м2 -1
W
W
W i max
к л/б[1*8)
W i max
к л/б[1*8)
У^Япро
У^Япро
=丄1д?2吧
2加 pomin
=丄1д?2吧
2加 pomin
Забегая вперед, отметим, что указанная ситуация реализуется, например, в области за выпуклой удар
Забегая вперед, отметим, что указанная ситуация реализуется, например, в области за выпуклой удар
ной волной, возникающей при обтекании тела равномерным сверхзвуковым
ной волной, возникающей при обтекании тела равномерным сверхзвуковым
потоком. В этом случае pOmin — значение полного давления в точке ударной волны, в которой она ортогональна вектору скорости (т. е. в точке «прямого» скачка), а ротах — значения ро в набегающем потоке. Используя соотношения на скачке уплотнения (условия Гюгонио), получим
потоком. В этом случае pOmin — значение полного давления в точке ударной волны, в которой она ортогональна вектору скорости (т. е. в точке «прямого» скачка), а ротах — значения ро в набегающем потоке. Используя соотношения на скачке уплотнения (условия Гюгонио), получим
融鬻^ = ^{21пл°о +告m № -备錢)(1 -冨亳)]}
где Лоо — коэффициент скорости набегающего потока. Для слабо сверхзвукового потока перед ударной волной, т. е. когда A^ —> 1 и этим же свойством обладает поток за ударной волной, может быть получена асимптотическая оценка
dlnpodlnpo= О(М- 1)7/2, ЛооТ1,= О(М- 1)7/2, ЛооТ1,
dlnpo
dlnpo
= О(М- 1)7/2, ЛооТ1,
= О(М- 1)7/2, ЛооТ1,
посколы^ приращение энтропии на слабой ударной волне Дро = =О(Аоо - I)3. Это означает, что если в области за ударной волной, точнее в сверхзвуковой ее подобласти, Л меняется от 1 до Лоо> то характеристики, покрывающие эту подобласть, аппроксимируются эпициклоидами 9 с относительной погрешностью。(乂 - I)7/2.
Пусть теперь ро®) — немонотонная функция во всей области течения, которая, однако, может быть разбита на конечное число подобластей монотонности ро(^). Пусть 口+ ——число подобластей, тде фо > 0, а п_ —— число подобластей, где dp。< 0. Ясно, что |п+ - n_| 1.
В этом случае ширина полосы, ограниченной эпициклоидами (в направлении оси внутри которой находится одноименная характеристика, не
0 Это, однако, не является строгим обоснованием правомерности модели потенциального течения, хотя бы потому, что в рамках такой модели решение краевой задачи может не существовать.
превосходит величины
POmin
Из теории уравнений в частных производных известно, что характеристики —это те кривые, вдоль которых распространяются разрывы производных Л, ^ — «слабые разрывы» решения. Слабые разрывы могут также распространяться вдоль линий тока — если полное давление, как произвольная функция 认 претерпевает слабые разрывы на некотором множестве линий тока. В динамике идеального газа обычно предполагается, что это множество конечно, и, следовательно, ро （吵） — кусочно непрерывно дифференцируемая функция. Более того, и решение обычно ищется в классе функций, кусочно непрерывно дифференцируемых, т.е. разрывы первых производных скорости и давления распространяются лишь по конечному множеству характеристик. （Необходимое условие этого — кусочная гладкость границы области определения решения.） В дозвуковой области течения, где действительных характеристик не сущест^ет, слабые разрывы могут распространяться лишь вдоль линии тока.
Таким образом, указанные предположения обеспечивают возможность разбиения области течения на конечное множество подобластей непрерывной дифференцируемости А, /?, ограниченных характеристиками и линиями тока.
Уравнения газодинамики в переменных годографа
Рассмотрим отображения плоских и осесимметричных течений газа в плоскость годографа скорости 1пА,^0, /3 = argV и в плоскость 1пр,^, которую мы будем сокращенно называть плоскостью годографа давления.
При отображениях Q,y） -> （InЛ,/?）, （х^у） -> （1пр,/3） зависимые и независимые переменные меняются местами.
Пусть 3（/, д）/д（х, у） = fxgy - fygx —якобиан отображения （с, у） т -> （/, д）. Отметим прежде всего, что
叫）=a（f,g） = 1 a（f,g）а（±, у） a（si, б?） hi 坛 a®, w）
Осуществим замену переменных следующим образом:
ainA = a（inA,w）= a（in\w）a（in%s）=
如 —а（з,山）—a（in%6 asw）—
т_а（1пхв）_a（inA向—a®,W） — I? a（si,s2），т_а（1пхв）_a（inA向—a®,W） — I? a（si,s2），as = a（仇夕）=如T 那_—a（3,山）一 ^ЙП，as = a（仇夕）=如T 那_—a（3,山）一 ^ЙП，ain》_a（in入,9）一 09= a®,山）=-丽’即_ a（仇"）_aв 了 如一0（夕,山）-д1пх1Лain》_a（in入,9）一 09= a®,山）=-丽’即_ a（仇"）_aв 了 如一0（夕,山）-д1пх1Л
т_а（1пхв）_a（inA向
—a®,W） — I? a（si,s2），
т_а（1пхв）_a（inA向
—a®,W） — I? a（si,s2），
as = a（仇夕）=如T 那_—a（3,山）一 ^ЙП，
as = a（仇夕）=如T 那_—a（3,山）一 ^ЙП，
ain》_a（in入,9）一 09
= a®,山）=-丽’
即_ a（仇"）_aв 了 如一0（夕,山）-д1пх1Л
ain》_a（in入,9）一 09
= a®,山）=-丽’
即_ a（仇"）_aв 了 如一0（夕,山）-д1пх1Л
Для отображения в плоскость lap, 6 получим аналогично
ainp _ ainp —如 丁 as _ aw 7 as _ 如 7
o(p as '。山 a。'。夕 ainp ' aw ainp ，
j = a(Ep,B) — h h d(inp,p)a®,”)— 1 2丽石］
Подставляя эти выражения в (7), (8), получим
0” —五1 (如1 dlnpo(W)、
福耳=辰总尸7 一林—
("一嚼^急+*汐，
調患j"2識，a-"嗡…"^謠-(⑺ Так как М2,九匕 无2 ——функции р, ро(^)» обе системы нелинейны при ро®)片 const.
Течения с вырожценным годографом. ТечениеПрандтля-Майера (простая волна) в потенциальном течении
казанная в §7 замена переменных невозможна в области, в которой а(1пЛ,6)/а(а:,д) = 0 или д(1пр,0)/д(х,у) = 0. В таких областях течения годограф «вырожден» — образ двумерной замкнутой области представляет собой в плоскости годографа континуум меньшей размерности —кривую или точку. В § 10 будет доказано, что в дозвуковой области выполнение равенств д()пХ^р)/д(х,у) = 0 (в потенциальном течении) и д()пр^)/д(х,у) = 0 (в вихревом течении) возможно только в изолированных точках — за исключением лишь случая равномерного потока. Поэтому области с вырожденным годографом возможны только в сверхзвуковом течении. Обратим внимание, что это не относится к отображению вихревого течения в плоскость uv или, что почти то же самое, в плоскость In Л, 6・
Если течение с вырожденным годографом в непрерывном потоке существует; то его образ в плоскости годографа — характеристика. Действительно, область такого течения в физической плоскости содержит отрезок характеристики, вдоль которой 入 6 * const (р,6 / const). В каждой ее точке выполняется условие совместности, выражаемое в плоскости годографа дифференциальным уравнением характеристик. Это значит, что образ рассматриваемой области содержит интегральную кривую этого дифференциального уравнения. Так как образ рассматриваемой замкнутой области, континуума, по предположению вырожден, то он тоже — одномерное замкнутое связное множество, континуум (отображения (с,у) т (Л,/?), (х,у) —> (р,6), по определению, непрерывны, а связность континуума сохраняется при непрерывных отображениях: непрерывный образ всякого континуума — континуум), поэтому образ области совпадает с указанной характеристикой. Так как в плоскостях In Л,/?, 1пр,6 характеристики
разных семейств не соприкасаются (при 1 < М < оо), следовательно, если образ области — характеристика одного семейства, то в силу непрерывности семейства характеристик она изображает все характеристики этого семейства, а характеристики другого семейства изображаются точками на
этой характеристике.
Потенциальное течение с вырожденным годографом называется тече
нием Прандтля-Майера. Оно существует: его легко построить следующим
способом (рис. 1.9). Зададим гладкую кривую с монотонным изменением касательной вдоль длины дуги. Примем аргумент касательной за аргумент скорости и вычислим распределение Л(з), используя соотношения на характеристике в плоскости годографа (предварительно установив, характеристики какого семейства будут прямыми, и выбрав изображающий течение отрезок характеристики). После этого остается только провести прямолинейные характеристики и найти линии тока течения
как векторные линии — интегральные
кривые поля направлений, проинтегрировав соответствующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений (в соответствующей плоскости) 9.
Установленные свойства позволяют доказать отсутствие аналога течения Прандтля-Майера в вихревом потоке — при любой ро(^) / const. Предположим, что оно существует. Тогда в плоскости 1пр,^ существует некоторая кусочно гладкая кривая 3 = 0(1пр), изображающая течение. Дифференцируя, в силу (12) находим
dlnp кМ2 ''
Решая квадратное уравнение, получим для М2 = М2(1пр) вдоль этой кривой
Заметим, что если некоторая кривая 0 = 0(1пр) является характеристикой, то на ней имеет место оценка:
一 仕”）丽，一 仕”）丽，
一 仕”）丽，
一 仕”）丽，
причем равенство достигается при М = \/^. Отсюда следует, что в каждой из подобластей М > х/2, М < у/2 распределение 0 = ^(1пр) однозначно определяет распределение М = М(1пр), т.е. вдоль каждой характеристики, на которой 0 = const, р = const, также и М = const, что возможно только если ро(吵)=const, т.е. в потенциальном течении.
О В ней одно семейство характеристик состоит из прямых линий.
Таким образом, доказано, что если течение — вихревое (po(V0 / const), то равенство A(lnp,6)/A(c,g) = 0 не может выполняться ни в какой его подобласти. Это означает; что замена переменных (хуу) т (1пЛ,0) в потенциальном течении всегда возможна, кроме подобластей простой волны, а в существенно вихревом течении (т. е. без подобластей, где ро (W)= =const) замена переменных (с, у) т (In Л, 0) возможна всегда.
Риманова поверхность отображения в плоскость годографа.Гомеоморфность отображения на риманову поверхность
В методе годографа С. А. Чаплыгина [108] в качестве независимых переменных рассматриваются компоненты скорости. В этих переменных плоские потенциальные течения описываются линейными уравнениями, однако соответствующие краевые задачи оказываются линейными лишь для узкого класса течений с заранее известной областью определения в плоскости годографа (обтекание клина, струйные течения). И все же метод годографа продолжает использоваться в газоданамике как при качественных исследованиях, так и при решении задач численными методами.
Рассмотрим реально существующее течение газа. Его отображение в плоскость годографа скорости /: (ж, у) т (и, о) в общем случае не взаимно однозначно, поскольку в разных точках физической плоскости может быть один и тот же вектор скорости. При этом множество точек г, прообразов точки V, может быть конечным, счетным или даже несчетным. Такая ситуация, вполне допустимая с физической точки зрения, приводит к определенным неудобствам, если продолжать рассматривать плоскость годографа как двумерное евклидово пространство.
Гораздо более плодотворным представляется рассмотрение римановой поверхности отображения. Это понятие, расширяющее понятие римановой поверхности аналитической функции, определяет ее так, что многозначное отображение 厂】：(％ о) т (%, 2/) может на этой поверхности рассматриваться как однозначное.
В строгой теории абстрактная риманова поверхность представляет собой двумерное ориентируемое многообразие (с краем или без него). При этом проекция римановой поверхности на плоскость (в нашем случае — плоскость годографа uv) представляет собой двумерное накрытие, при котором прообраз (при отображении /) некоторой окрестности U(W) каждой точки W распадается на открытью подмножества, гомеоморфно отображающиеся посредством / на U.
Строение римановой поверхности отображения устанавливается в§ 10,11. А именно, при отображениях дозвуковой области потенциального течения в плоскость uv (соответственно, дозвуковой области вихревого течения в плоскость р0) риманова поверхность имеет такое же строение, как и при отображении (с,у) т (%。)потенциального течения несжимаемой жидкости, т. е. такое же, как и у аналитической функции: точки разветвления изолированы, в каждой точке разветвления скрепляется конечное (как у функции z —方=(w — wq)1^, n — положительное
целое) или счетное (как у z - z0 = ln(w - wo)) число листов. (Это — следствие квазиконформности указанных отображений, см. гл. 6.) В точках разветвления 8(% и)/а(с,у) = 0 (рис. 1.10).
Рис. 1.10
Отображение сверхзвуковых, а также вихревых течений в плоскость uv или рВ обладает другими свойствами.
Прежде всего, могут быть случаи, когда римановой поверхности не существует. Такая ситуация возникает; если д(и, о)/а(с, у)三 0 в некоторой области. Эта область может существовать в сверхзвуковом потенциальном течении и называется простой волной — течением Прандтля-Майера (см. § 8). Ее образ в плоскости годографа uv — отрезок характеристики, поэтому отображение (х,у) —> (u, v) в окрестности этой характеристики не является двумерным накрытием, т. е. отображение не имеет римановой поверхности.
Другое характерное свойство отображений (с, у) —> (и, о) (потенциальное течение), (с, у) —> (p,Q) (вихревое течение) состоит в том, что риманова поверхность не имеет в сверхзвуковой области изолированных точек разветвления (через каждую точку в физической плоскости и в плоскости годографа проходит по две характеристики), но может иметь линии ветвления — связные одномерные множества (на них якобиан отображения меняет знак). Если разрезать область течения вдоль этих линий и вырезать области течения Прандтля-Майера, то каждая подобласть будет обладать римановой поверхностью с краем в общепринятом смысле, состоящим из линий ветвления и границы области течения. Таким образом, риманову поверхность всей области течения можно представить в виде складчатой поверхности — объединения кусков римановых поверхностей с краем (ориентируемых), склеенных вдоль линий ветвления, которые образуют края складок (рис. 1.11) 9.
Как уже говорилось, удобство римановой по- / ; верхности состоит в том, что отображение на нее -
может рассматриваться как однозначное. Поскольку рассматриваемое течение реально существуетРис. LU
в физической плоскости, которая однолистна, отображение взаимно однозначно. Кроме того, по определению решения уравнений газодинамики» поле скорости V(c, у) и поле давления р(х^ у) непрерывно, т. е. отображения (ж, у) т (u, V), (с, у) т(Р,6) непрерывны. (Если область определения
0 Мы здесь придерживаемся другой точки зрения, чем Л. Берс [19], который был против вредной привычки («bad habit») использования понятия накрывающей римановой поверхности в сверхзвуковой части плоскости годографа.
течения содержит скачки уплотнения, то эти отображения непрерывны в каждой подобласти, не содержащей таких скачков.)
Так как всякая ограниченная замкнутая область физической плоскости (двумерного евклидова пространства) является компактом, то из теоремы общей топологии следует; что отображение любой ограниченной замкнутой подобласти реально существующего течения, не содержащей скачков уплотнения, на риманову поверхность в плоскости годографа является гомеоморфизмом (т. е. обратное отображение также непрерывно).
Более сложная ситуация возникает; когда течение в физической плоскости ищется как решение некоторой краевой задачи, сформулированной на римановой поверхности в плосю)сти годографа (она может быть и однолистной). При этом однозначности отображения (u, ь) т (с, у), вообще говоря, может не быть. В таком случае вводят риманову поверхность и в физической плоскости, что позволяет говорить о гомеоморфизме замкнутых ограниченных областей в физической плоскости и в плоскости годографа. Однако построенные подобным образом решения в физичеоюй плоскости нереализуемы, если риманова поверхность в плоскости ху многолистна; признаком локальной неоднолистности (возможна также неоднолистность глобальная) является обращение в нуль якобиана отображения
Край складки в физической плоскости (и его прообраз в плоскости годографа) называется предельной линией. Наиболее «тиинчны» отображения, при которых образ однолистной поверхности двулистен, однако возможны ситуации (см. гл. 9, § 8), котда образом края складки в плоскости годографа является край складки в физической плоскости. Якобиан отображения при этом не меняет знак.
Из сказанного следует; что при использовании метода годографа для построения решений как аналитическими, так и численными методами должно ставиться дополнительное условие физичеоюй реализуемости — однолистности решения в физической плоскости.
Отображения в плоскость годографа области дозвуковыхскоростей плоских вихревых и потенциальных течений.Использование принципа подобия псевдоаналитических функций.
Закон монотонности вектора скорости на звуковой линии
Рассмотрим плоские потенциальные и вихревые течения. Введем плоскости годографа скорости 邓 и давления рВ 9. Направим ось 6 вертикально вверх, оси Л, р — горизонтально вправо.
Уточним, что под 6 понимается непрерывная ветвь аргумента скорости. Она определена в области течения, не содержащей нулей поля скорости, поэтому, ввиду возможной многосвязности области определения течения,
0 Отображение в плоскость рВ впервые исследовалось, по-видимом% Л. И. Седовым [88].
0(с；у), вообще говоря, может быть многозначной функцией; однозначность достигается проведением соответствующих разрезов. (Подробнее об этом см. гл. 6.)
Отображение в плоскость 入0 будем рассматривать как для потенциальных так и для вихревых течений, отображение в плоскость р/3 — для вихревых течений.
Особые точки отображений — нули якобианов
—a(in%e) — a(i”,e)
—ад, у)'」-д(х；у)•
Поскольку значение якобиана не изменяется при повороте системы координат, получим, используя уравнения (4), (5), (8):
/ = a(in 入向=a(in%e)= ат 入即—am 入 ae =
d(x,y) a(Sl,S2) a$l dS2 dS2 Hsi
露)、(*)2+击需*，(⑶ j=需Am(鬻)%*)+(需)]
Как известно, якобиан отображения представляет собой отношение площадей соответствующих ориентированных элементарных площадок: знак якобиана положителен при совпадающих ориентациях и отрицателен при противоположных. Как следует из (18), в области дозвуковых скоростей всегда выполняется неравенство J ^ 0, а в случае потенциальных течений —неравенство / W 0・ При этом I и J могут обращаться в нуль только в изолированных точках: решение задачи Коши с начальными данными dp/dsi = 0, др/д$2 = 0 (или dX/dsi = 0, дХ/д$2 = 0) на линии J = =0 (или 1 = 0 для потенциальных течений) дает тривиальный случай равномерного потока. Аналогичным образом при рассмотрении уравнений движения в плоскости годографа устанавливается изолированность точек дозвуковой области, где J = оо (Z = оо для потенциальных течений).
Уравнения (4), (5) при N = 0, dpo/d^ = 0, М < 1 и (8) при 0 < М < 1 являются равномерно эллиптическими однородными системами, в силу чего их решения реализуют квазиконформные отображения [19].
Действительно, (4), (5) при указанных условиях равносильны системе:
Вх cos 0 + 仇 sin 0 = - (In A" sin 0 + (In A% cos 仇
-仇 sin。+ 負 cos0 = ("2 - 1)[(1пА)ж cos。+ (InA)? sin。], разрешив которую относительно 仇，負，получим
仇=~M2 sin /3 cos /3(1п А)ж + (1 - M2 sin2 /3)(1пА)у,
―負=(1 — М2 cos2 /3)(1п А)ж + М2 sin Р cos /3(1п А)у.()
Эта система равномерно эллиптична при М < 1 (определение равномерной эллиптичности см. [19]). Пусть течение, описываемое системой, существует, тогда коэффициенты (19)—ограниченные измеримые функции и,
Общие свойства трансзвуковых течений идеального госта следовательно, отображение, осуществляемое (19) как линейной системой, с коэффициентами, определяемыми течением, квазиконформно [19].
Более того, переход к «искаженной» скорости [19]
А = У\/1 — М2 din А
позволяет привести (19) к форме системы Бельтрами
仇=—^12ЛХ + рцЛу, б? = —^22Лх + ^1гЛу,
— M2 sin 6 cos 6
—1-M2 sin0
912 —/
—
gii —/,
，1一М2
(/U丿
1 — М2 cos2 021
922 =―尸山七大， g = gig - gi2 =】•
V1 —
Это означает, что отображение z = c +切 тА + 咱 конформно по отношению к римановой метрике [19]:
ds2 = ри dx2 + 2g12 dx dy 4- g?2 dy2.(21)
В силу теоремы о представлении [19]
А + ® = /(%(z)), где x(z) — квазиконформный гомеоморфизм области течения, a f (х)— аналитическая функция (не обязательно однолистная).
Следовательно, строение римановой поверхности отображения (х, у) т т (А, 0) такое же, как и у римановой поверхности некоторой аналитической функции, определенной на х(°), где D — область течения.
Плоское вихревое течение, описываемое уравнениями (8), рассматривается в гл. 6, где показано, что (8) эквивалентна при 0 < М < 1 равномерно эллиптической системе. Следовательно, отображение (в,д) т (1пр,0) квазиконформно и имеет представление
lnp + B = 〃X(z))・
Как известно, если коэффициенты системы типа (19) достаточно гладкие, то она может быть приведена к виду, описывающему псевдоаналити- ческую функцию (к уравнению Карлемана) [19, 25]. Например (20) можно привести к виду
佐=GA中負=-GAq(22)
где
Р = gii^； - 2g12^工小 +g22冠 _ gii& - 2g12&& +922#=aem/ag,?) =，
a £ + 切一квазиконформный гомеоморфизм с метрикой (21).
Система (22), в свою очередь, эквивалентна уравнению Карлемана
①f+^i^停一不)="
①= 0 + »ga, « = е + й/, a = ain|G|/a% B = ain|G|/&.
Принцип подобия для псевдоаналитических функций гласит [19, 22, 25], что
Ф = f(^\(23)
где /(«) — аналитическая функция, а з(«) непрерывна по Гельдеру в замкнутой области определения и ограничена.
Представление (23) весьма полезно при решении краевых задач типа Римана—Гильберта—Привалова [26].
Из неотрицательности J в области дозвуковых скоростей (при М ^ 1)
вытекает следующее правило: обходу 6 физической плоскости границы
области D дозвуковых скоростей, при котором D остается слева, со・ ответствует обход 6 плоскости р/3 образа границы D, при котором образ области также остается слева.
Для потенциальных дозвуковых течений имеет место аналогичное правило, отражающее, в отличие от предыдущего, факт противоположных ориентации областей. Это пра
вило было сформулировано А. А. Ни
кольским и ЕИ. Тагановым в виде «закона монотонности вектора скорости на звуковой линии» [70]: если перемещаться 6 физической плоскости по звуковой линии так9 чтобы область дозвуковых скоростей оставалась слева, то вектор скорости поворачивается по часовой стрелке (рис. 1.12).
Отображения вихревых и потенциальных течений в плоскость Л0 качественно отличаются тем, что в области дозвуковых скоростей могут образовываться складки (для вихревых течений). Они могут продолжаться как складки и в область сверхзвуковых скоростей. Что касается изолированных особенностей, то они аналогичны особенностям отображения потенциальных течений.
Для получения свойств отображений области сверхзвуковых скоростей целесообразно изучить поведение характеристик в плоскостях годографа.
Отображения областей сверхзвукового течения в плоскостигодографа скорости и давления
Как уже отмечалось в §9, типичной особенностью отображения области сверхзвуковой скорости в плоскость годохфафа являются складки римановой поверхности. Складки на соответствующей римановой поверхности могут возникать как при прямом отображении Q,g) т (入 0) (или (х, у) т т(Р)0)), так и при обратном. В первом случае край складки называют линией ветвления, во втором — предельной линией. Наличие предельных линии в решении, построенном в плоскости годографа, свидетельствует о его физической неосуществимости. При переходе через линию ветвления или через предельную линию якобиан J или / меняет знак, проходя соответственно через значения 0 или оо (либо скачком, если край складки —характеристика, несущая разрыв первых производных скорости).
В сверхзвуковом течении не существует изолированных точек ветвления. Действительно, пусть в точке А скреплено п простых листов накрытия римановой поверхности. Тогда из этой точки выходят 4п характеристических лучей (по 4 на каждом простом листе), которые являются образами только четырех характеристических лучей в физической плоскости, что невозможно. Широко известный пример линии ветвления дается течением в сопле Лаваля (рис. 1.13): отображение в плоскость годографа трехлистно, линии ветвления — характеристики KL, КМ. (Подробно об этом в гл. 2, §3.)
Последнее обстоятельство не случайно: в потенциальных течениях линия ветвления отображения в плоскости годографа всегда является характеристикой. Простое геометрическое доказательство этого факта состоит в следующем.
Предположим, что линия ветвления не является характеристикой. Тогда, проведя на первом листе плоскости годографа через произвольную точку А вблизи линии ветвления характеристики разных семейств (рис. 1.14), получим, что продолжения этих характеристик на другой лист плоскости годографа снова пересекутся в точке 4‘，совпадающей с точкой А в силу того, что образы характеристик потенциального течения лежат на эпициклоидах. Но в этом случае (так как отображение физической плоскости на риманову поверхность в плоскости годографа взаимно однозначно) и в физической плоскости две характеристики разных семейств, целиком расположенные в сверхзвуковой области, должны были бы пересечься в двух разных точках — прообразах точек А, 4, чего невозможно.
При отображении вихревого течения в плоскость годографа 入0 и р0 линия ветвления в общем случае не является характеристикой.
С целью изучения строения линий ветвления отображения, рассмотрим вопрос о гладкости характеристик в плоскостях годографа скорости и давления. Гладкость характеристик в физической плоскости, как следует из (11), обеспечивается непрерывностью поля скорости. Поэтому характеристики являются гладкими кривыми на каждом куске римановой поверхности, на котором отображение в плоскость годографа даффеоморфно (каждый такой кусок ограничен линиями ветвления и линиями, несущими разрывы первых производных).
Рассмотрим сначала отображение плоского потенциального течения в плоскость 入民 Так как образ характеристики представляет собой отрезок гладкой кривой — эпициклоиды, то характеристика в плоскости 入0 —— связное объединение отрезков эпициклоиды, в общем случае налегающих друг на друга. Граничные точки налегающих соседних отрезков —
точки возврата характеристики. Итак, в плоском потенциальном течении характеристика в плоскости 入0 — либо гладкая кривая, либо кривая с точками возврата. При этом соседние накладывающиеся друг на друга отрезки эпициклоиды принадлежат соседним простым листам римановой поверхности отображения в плоскость годографа, общая граница которых, край складки, представляет собой множество точек возврата характеристик одного семейства (и, как было показано выше — характеристику другого семейства).
Обратимся теперь к случаю отображения плоского вихревого течения в плоскость 入0. В соответствии с вышесказанным, предполагая кусочную гладкость течения, рассмотрим сначала отображения каждого куска гладкости —куска физической плоскости, на котором производные А,仇 Po(B) непрерывны. Возьмем соотношение (12) вдоль какой-либо характеристики, например — вдоль характеристики первого семейства. Разделив (12) на dsi, где sj — длина дуги характеристики, получим соотношение между производными по направлению характеристики первого семейства
四V做丄〔as】Ш2 asi J
=《7二I(空D -工二空侬) , (24)
(含=sin" =三).
Угол наклона характеристики в плоскости 1пА,/3 определяется как 7 = =arctg[(d^/dsi)/(dhiX/dsi)]. Поскольку на рассматриваемом куске физической плоскости 6 = 0(si), А = A(si) —непрерывно дафференцируемые функции, то угол 7 = 7(si) непрерывен вдоль характеристики, т.е. характеристика в плоскости 入понимаемая как кривая, параметризованная длиной дуги si в физической плоскости, — либо гладкая кривая, либо имеет точки возврата. Но последнее, в силу (24), может быть только в тех точках, где dp^/d^ = 0. Таким образом, получим, что (入向一 образ характеристики существенно вихревого течения — гладкая кривая (в области кусочной гладкости течения). Если в ней риманова поверхность отображения (%, у) т (А, 0) неоднолистна, то край складки — огибающая характеристик обоих семейств. (Из этого свойства легко получить связь между производной dp^/d^ и градиентом скрости на краю складки.)
Изучим теперь, как ведет себя характеристика при переходе с одного куска гладкости на другой. Если в точке перехода 如/d” 0 0, то
=ae/as] g)+ - amx/asi=ae/as] g)+ - amx/asi+=内（一击青耦鶴H+=内（一击青耦鶴H
=ae/as] g)+ - amx/asi
=ae/as] g)+ - amx/asi
+=内（一击青耦鶴H
+=内（一击青耦鶴H
Оби/ие своИст8a трансзвукозых течений “Оеаль"。?。203a т.е. (%0) —образ характеристики в точке пересечения со слабым разрывом (распространяющимся по характеристике другого семейства или по линии тока) имеет излом.
Итак, в общем случае край складки римановой поверхности отображения (с, у) т (入向 一это огибающая характеристик, либо характеристика, либо линия тока, причем в двух последаих случаях край складки — линия распространения слабого разрыва, точнее, разрыва первых производных.
Рассмотрим теперь отображение плоского вихревого течения в плоскость 1пр,£・ Из (12) при N = 0 получим
ав = ae/8si =，ЛР -18bip dlnp/dsi kM2
Учитывая, что р/ро = тг(А) — монотонная непрерывная функция и, значит, обратное отображение А = тгГр/ро) —однозначно и непрерывно, вьгоажаем М = М(А) в виде непрерывно庁 фикции М = M(p]pQ. Пусть Ро W) непрерывна. Тогда непрерывность V в физической плоскости влечет непрерывность р®). Таким образом, угол наклона характеристики в плоскости ]пр,0 — непрерывная функция длины дуги этой характеристики в физической плоскости. Следовательно этот угол — непрерывная функция длины дуги характеристики и в плоскости 1пр,/3 — на каждом простом листе римановой поверхности отображения (%, у) т (1пр, ^), причем предельные значения при подходе к краю складки по разным простым листам совпадают (по определению римановой поверхности). Это означает; что характеристика в плоскости 1пр,^ либо гладкая кривая, либо имеет точки возврата. Так как характеристики разных семейств в плоскости 1пр,^ ни в коем случае не соприкасаются (при М 0 1, М 0 оо), то линия ветвления является огибающей характеристик одного семейства и множеством точек возврата характеристик другого семейства, либо — множеством точек возврата характеристик обоих семейств.
Вернемся к отображению в плоскость А^. Разобьем каждую характеристику на отрезки точками, в которых она касается эпициклоид другого семейства. Пусть е — угол наклона линии ветвления к оси ОХ Так как характеристика не может касаться одноименной эпициклоиды в области, где 妣，即 0 0, то имеет место следующая оценка.
На отрезке линии ветвления^ содержащемся 6 области существенной завихренности (где dp。/即 #0) будет выполняться либо tge > > \/Af2 — 1, лмбо tg £ V 二 1.
В заключение этого параграфа приведем выражения для J, I через производные по характеристическим направлениям в физической плоскости: j_ кМ2 3£ др — 1 51пр 51пр
М2 - 1 ds\ 8sn к 3si Osu '
281n入1_
= 3sJ 8sli元^T =
M2 - 1 3si Hsu Мх/м^ТHsu 丿五2 d”，
Отображение границ области течения и их окрестностей 37 a —，m2-1 a ± 1 а
а$1,н М дзг м а$2
Из выражения для J следует; что в точке пересечения с линией ветвления меняют знак производные от р,0 по направлению той характеристики, образ которой в плоскости р/3 имеет точку возврата. Исключительным является случай, когда якобиан J или I меняет знак скачком. В этом случае линия ветвления может быть только ударной волной или характеристикой, несущей разрыв первых производных скорости. Нетрудно установить, на основании общих свойств характеристик гиперболических уравнений, что разрыв якобиана пропорционален разрыву первой производной А или 0.
Напомним (см. § 9), что предельной линией называется край складки отображения плоскости годографа в физическую плоскость; она может возникать, когда решение первоначально строится в плоскости годографа, а лишь затем находится его образ в плоскости течения. В силу нелинейности уравнений, предельная линия в общем случае не будет характеристикой: она является огибающей характеристик одного семейства и множеством точек возврата характеристик другого семейства. Классический пример течения с предельными линиями дает решение Ринглеба [64]. Характеристика может быть предельной линией, если она несет разрыв первых производных поля скоростей. В принципе может возникнуть ситуация, когда характеристика является одновременно и линией ветвления и предельной линией; в этом случае якобиан отображения при переходе через характеристику не изменяет знак, хотя область определения решения в плоскости годографа двулистна; двулистным будет и отображение в физическую плоскость. Пример такого течения приводится в гл. 9 § 9.
Отображение границ области течения и их окрестностей
При исследовании течения в плоскости годографа полезно знать характер отображения границ области течения. Граница области может состоять из отрезков линий тока—контуров тел и свободных поверхностей, ударных волн, характеристик. Самыми простыми являются случаи, когда образ границы в плоскости годографа состоит из заранее известных кривых — отрезков прямых 0 = const (прямолинейная линия тока в физической плоскости), А = const (свободная граница), ударная поляра (ударная волна в равномерном сверхзвуковом потоке). Часто встречается случай, когда на граничной линии тока имеется точка излома. Если касательные к линии тока в этой точке составляют угол меньше % (угол измеряется в области течения), то скорость в ней равна нулю, либо изменяется скачком (из угловой точки исходит скачок уплотнения). Если угол больше тг, обтекание угла будет сверхзвуковым или трансзвуковым. Аналогично случаю плоского потенциального течения [5] для вихревых течений доказывается следующее свойство.
Угловая точка, 6 окрестности которой течение непрерывно, и 6 которой скорость не равна нулю, изображается 6 плоскости годографа отрезком характеристики.
В §7 были получены уравнения （17） плоского вихревого течения в плоскости p0:
1-М . kpM21кМ2P /
Преобразуем с их помощью якобиан J = 3（8,吵）/3（「,6） при М 0 О, М 0 оо:
"絆丽（喏+懒加户
Здесь a/3oi,n — производные по направлениям характеристик в плоскости p0:
黑=譏（%+物（乳в）=
yJ^M^ + M2 - 1 V p 夕 kpM2 丿
По предположению, вблизи угловой точки вектор скорости непрерывен, а в самой точке скорость многозначна. В плоскости р0 угловой точке соответствует некоторая непрерывная кривая 9, на которой, помимо условия ” =0, должно быть задано, что производная ” = 0 по одному из характеристических направлений ^^ или 吵外 равна нулю （это вытекает из равенства J = 0）.
Если данная кривая — не характеристика, решение задачи Коши дает в окрестности угловой точки ” = 0, что невозможно.
Перейдем теперь к исследованию отображений окрестностей участков границы.
Линия тока. Представим якобиан отображения в плоскость 1пр,0 в виде
甯）工"（斷
Угол наклона касательной к линии тока в этой плоскости дается выражением
d0 — dfi/dsi
--ainp/asj
Так как
учитывая формулу (21), получим следующее свойство: если 6 сверхзвуковой области J > О (J < 0), то касательная к образу линии тока 6 плоскости р0 составляет с осью Ор больший (меньший) угол, чем характеристика.
Если линия тока прямолинейна {d^/dsi = 0), то якобианы J и I выражаются в виде
鬻Г，7=("7 (欝广
Поэтому J > 0 (J < 0), I < 0 (Z > 0) при M < 0 (М > 0). Таким образом, прямолинейную линию тока в точке пересечения со звуковой линией пересекает нечетное число линий ветвления отображения 6 плоскость годографа (〃о крайней мере одна).
При М 0 1 прямолинейную линию тока может пересекать только четное число линий ветвления (если М < 1, линии ветвления могут возникать только в плоскости 入0 — в случае вихревых течений).
Свободная граница. На свободной границе имеют место условия р = const, А = const при ” = const. Поэтому ее образ в плоскостях р0,入0 лежит на вертикальной прямой. Для отображения в плоскость р£ получим
независимо от величины скорости. Это означает; чего свободную границу при М > 1 может пересекать только четное число линий ветвления отображения в плоскость р0; в точке пересечения кривизна линии тока обращается в нуль. Для отображения в плоскость 入0 получим
/=空处dsi 0S2
Отсюда видно, что в отличие от предыдущего случая знак якобиана отображения может изменяться.
Головная ударная волна. Из соотношений на скачке уплотнения следует, чего образ головной ударной волны, т. е. ударной волны в равномерном набегающем потоке, в плоскостях 入0 и располагается на заранее известных кривых — «ударных полярах».
Рассмотрим отображение в плоскость 入0. Добавив к уравнениям вихря и неразрывности (4), (5) выражения для полных производных от А,/3 вдоль ударной волны
黑 cosg - £)+ 鵠 sing - в)=雾=窮“，
际 cos(° - S) + 期 sm(a-/3) = - = -x,
получим нелинейную систему для определения частных производных А,仇 Здесь а — угол наклона ударной волны к направлению вектора скорости набегающего потока, отсчитываемый против часовой стрелки (см. рис. 1.4), d/ds — производная по направлению ударной волны, х = da/ds — кривизна ударной волны; производные dBJda, dA/do вычисляются по соотношениям на скачке уплотнения. Производная dpo/^2 в уравнении (13) может быть представлена на ударной волне в виде
<^ро — 4Po 1— dpo “
dsz ds sin(a — 0) do sin(a — 0)
Таким образом, система для определения частных производных имеет правую часть, пропорциональную кривизне ударной волны.
Определитель системы
△ = (М2 — 1) sin2 (а - 0) — cos2 (а - 0) = М2 sin2 (а — 0) — 1 отличен от нуля во всех точках ударной волны, в которых она не вырождается в характеристику. Поэтому частные производные на ударной волне выражаются в виде
「｛需，需，爲露=力(。，瓦”8),、1,2,3,4.(25)
Отсюда следует; что
/ = / (ЕбМоо)諸.
Поэтому 6 точках ударной волны, где f^a^M^ = 0 (w только 6 них) ударную волну пересекает нечетное число линий ветвления.
Численное решение трансцендентного уравнения / = 0 при 1,2《k W 1,6 показало, что оно имеет единственный корень при каждом значении скорости набегающего потока. (В силу симметрии ударной поляры уравнение решалось в верхней полуплоскости.) Схематическое изображение кривой f«、o、MQ = 0 на дааграмме ударных поляр при k = const было дано на рис. 1.5. Данная кривая пересекает ударную поляру в звуковой точке при М^ = 1,6895 (к = 1,4). Связь этого свойства с общим видом минимальной области влияния при обтекании профиля будет указана в гл. 8.
Ударную волну в равномерном набегающем потоке пересекает нечетное число линий ветвления (по крайней мере одна) 6 точке^ где /(fc,a,Afoo)= =0. Кривизна ударной волны в этой точке может и не равняться нулю. Если кривизна ударной волны обращается в нуль при /(fc, a, Afg) 0 0, то ударную волну в такой точке пересекает четное число линий ветвления, или эта точка является изолированным нулем якобиана J.
Аналогичным образом можно исследовать отображение окрестности ударной волны в плоскость р0. Добавляя к уравнениям (8) выражения полных производных от р, 0 вдоль ударной волны и пользуясь соотношениями на скачке уплотнения, получим выражение для якобиана
7 =尸的6m8)川.
Численное решение уравнения F(瓦。，財》) = 0 показывает; что оно не имеет корней. Следовательно, справедливо свойство: ударную волну е равномерном набегающем потоке может пересекать только четное число линий ветвления отображения е плоскость рР，
Отображение окрестности звуковой линии
Звуковой линией называют совместную границу областей до и сверхзвуковой скорости.
Если исключить из рассмотрения частный случай, когда ускорение потока всюду на звуковой линии обращается в бесконечность, для якобиана I при М = 1 получим выражение
/ = др Э1пА = _ (空『1_dlnpo
dsi д$2\ Э31 /kM2 I а$1 丿 dS2
Отсюда видно, что на звуковой линии знак / может изменяться только либо в точках изменения знака производной 8A/@S2, либо в точках изменения знака кривизны линии тока dfi/ds^
Первую точку будем называть точкой К, вторую—точкой L, В точке К зщгковая линия ортогональна вектору скорости и имеет выпуклость по отношению к линиям 夕=const — ортогональным траекториям линий тока. В потенциальном течении точки К и L совпадают («центр сопла Лаваля»),
На звуковой линии др/дз2 = 0, поэтому точка L является кратной особой точкой линии 夕=const.
В связи с тем, что знак I определяется совпадением или несовпадением ориентаций элементарных соответствующих контуров в физической плоскости и в плоскости годографа; имеет место следующее свойство: при перемещении вдоль отрезка звуковой линищ не содержащего точек К и L、 угол наклона вектора скорости к оси симметрии изменяется монотонно. В каждой точке К или L происходит изменение знака производной по направлению звуковой линии. Если точки К и L совпадают (при обращении 6 этой точке вихря 6 нулъ)9 то знак производной не изменяется.
Рис. 1.15
Если точки К и L существуют и К не совпадает с Е, то звуковую линию в каждой из этих точек пересекает нечетное число линий ветвления отображения в плоскость годографа скорости.
Таким образом, течение в окрестности точки К в вихревом потоке имеет качественно другой характер, чем в потенциальном, когда через точку К проходят две линии ветвления в сверхзвуковую область.
Якобиан отображения в плоскость 后 р,0 на звуковой линии принимает вид
—黑鹄М图)2，
поэтому якобиан J обращается в нуль одновременно с кривизной линии тока. Отображение окрестности точки К при этом будет однолистным (рис. 1.15).
Прямая звуковая линия в плоском потенциальном течении
Рассмотрим течение, не совпадающее с равномерным звуковым потоком, в котором на звуковой линии аргумент скорости сохраняет постоянное значение. Выражая в уравнениях (4), (5) производные по направлениям ni, »2 через производные по направлениям единичных векторов нормали и касательной к звуковой линии, получим [70]
加 方加 方= cos 尢= cos 尢(26)(26)
加 方
加 方
= cos 尢
= cos 尢
(26)
(26)
(вектор 〃 направлен в сторону убывания скорости, вектор 丁 направлен так, что при обходе звуковой линии в направлении 丁 область дозвуковых скоростей лежит слева; 6 — угол наклона звуковой линии к вектору скорости).
Из (26) следует, что если 0 = const вдоль некоторого отрезка звуковой линии, то либо 6 = 7г/2, либо дХ/ди = 0. Предположим, что дХ/ди = 0, но в 0 7г/2. Тоща, проведя из двух точек А и В звуковой линии характеристики разных семейств так, чтобы они пересеклись (а они обязательно пересекутся при в / тг/2, А 戶 Iесли А / 1 тождественно во всей обЛ _ i / \ласти течения), получим, в силу равен-
\ства Дд = Дв (проведя также характе-
\ А,ристики в плоскости годографа), что во
ЛК \всем характеристическом треугольнике
nA、0 三 const, А = 1, т.е. этот случай мо-
вх "5]部 жет реализоваться только в равномер
ном звуковом потоке (рис. 1.16). Таким Рнс. 1.16образом, если вдоль некоторого отрезка
звуковой линии 0 = const, то на этом отрезке звуковая линия ортогональна вектору скорости, следовательно, является прямой линией.
Будем далее употреблять термин «прямая звуковая линия» для обозначения этого и только этого случая. (Из приведенного доказательства не следует неосуществимость течения с прямолинейной звуковой линией, не ортогональной вектору скорости, вдоль которой 0 / const.)
§ 15. Поведение характеристик вблизи отрезка прямойзвуковой линии
Имеет место следующее свойство: характеристика, проведенная из любой внутренней точки отрезка прямой звуковой линии9 тождественно совпадает с этим отрезком.
Предположим обратное. Пусть из некоторой внутренней точки С отрезка АВ может быть проведена характеристика CD, имеющая с АВ лишь одну общую точку С. Пусть CD — характеристика второго семейства. Рассмотрим теперь отрезок АС и проведем из некоторой его внутренней точки Е характеристику EF, Если EF — характеристика первого семейства, то проведем характеристику из внутренней точки отрезка АЕ. Так мы построим две характеристики одного семейства; пусть это будут характеристики второго семейства CD и EF. Область между EF и CD покрыта характеристиками второго семейства, не имеюпщми общих точек друг с другом. Они получены продолжением характеристик второго семейства из сверхзвуковой области до границы области определения дифференциального уравнения характеристик — отрезка СЕ звуковой линии
(рис. 1.17).
44оо
4
4
о
о
Так как 0 = const всюду на АВ, то образы всех этих характеристик в плоскости годографа лежат на одной эпициклоиде.
Таким образом, в ограниченной области между характеристиками СР, EF имеет место течение типа простой волны—течение Прандтля-Майера (с одним семейством прямолинейных характеристик, в данном случае — первого семейства). Этого не может быть [70].
Действительно, рассмотрим образ течения в плоскости 夕”. Положим в (6)屮®) = Ф(</?) = 1, тоща уравнения характеристик (13) примут вид
=tga,=tga,а = а(М).а = а(М).妙 I =±9（Л）」
=tga,
=tga,
а = а(М).
а = а(М).
如 1],口一a，“2 _ 1
Рассмотрим течение Прандтля-Майера с прямолинейными характеристиками первого семейства АВ, 4iBi (рис. 1.18); отрезки ВВ，AAi криволинейных характеристик второго семейства имеют одинаковые наклоны в точках А, В, А^ 队
Характеристики ВВ^ ААГ на заданном течении Прандтля-Майера могут быть выбраны так, что все прямые характеристики первого семейства пересекаются в области под характеристикой «1 (и ее продолжением до звуковой линии). По построению
d82 - dsi =6 = 2a -
cosU2
Здесь I —длина прямолинейного отрезка 4В. Далее,
Sind
Поэтому dl/l = tgb da = — ctg2a da. Интегрируя, получим
sin 2aosin 2a T °°，sin 2aosin 2a T °°，7Г7Гa T 5， a。V 5,7Г7Гa T 5， a。V 5,
sin 2ao
sin 2a T °°，
sin 2ao
sin 2a T °°，
7Г7Г
a T 5， a。V 5,
7Г7Г
a T 5， a。V 5,
что и требовалось доказать.
Следствие. Не существует течения Прандтля-Майера^ примыкающего к ограниченному отрезку звуковой линии.
Этот факт имеет важное значение в теории сверхкритического обтекания (см. гл. 6): местная сверхзвуковая зона, ограниченная контуром профиля и звуковой линией не содержит в своей подобласти течения Прандтля- Майера.
Граничные условия на ударной поляре и на образе пэаницы тела
Сформулируем для плоских вихревых течений граничное условие на ударной поляре, аналогичное условию в плоском потенциальном потоке, полученному Ф. И. Франклем [104] и К. Г. Гуцерлеем [32].
На ударной поляре 6 плоскости АД или рб имеет место однородное граничное условие «косой производной^ д^ф/ди = 0 ло непрерывному полю направлений^ заданному на ударной поляре.
Действительно, угол наклона касательной к образу линии тока в плоскости АД или р/3 определяется выражениями d6 =一处dp=_吻
dX — 一前5Л一一函.
С другой стороны, d£ = dp/dsxd£=dp/dsx
不=赤网？5л=如瓜J
Поэтому используя формулы (25), получим на ударной поляре при х / 0, х / оо (см. § 13)
力(о, к, Mg)S + /з(о, к, М^х = о, ще /1 + /з > 0, и аналогичное условие в плоскости р/3.
Для краевых задач с «косой производной» важным фактором является наличие или отсутствие на границе точек, ще векторное поле у касательно к границе. Легко установить, что эти точки являются корнями уравнения /(а,耳 Moo) = 0. Действительно, в них
as/asi — cos(o - в)ав/а$1 + sing - в)ав/а$2 dX/dsi cos(o — S)a*/asi + sin (a — р)д\/дз2 J откуда следует, что
sin(o_0)§ 且叭=0.‘a(si,s2)
Из свойства скачков уплотнения известно, что на ударной волне о / / 6, поэтому в характерной точке I = 0, т.е. /(a,fc,Moo) = 0. В связи с симметрией ударной поляры имеет место свойство: на ударной поляре в плоскости AS существуют две характерные точкиь где поле и касательно к поляре; на ударной поляре 6 плоскости р/З характерных точек нет.
Установим граничные условия на образе контура профиля. Если профиль криволинейный, то его образ в плоскости годографа представляет собой заранее неизвестную кривую 夕=0(Л) (или 0 = ^(р)). Однако то, что кривизна контура профиля является известной функцией угла его наклона, позволяет сформулировать, помимо условия 吵=0, дополнительное соотношение между углом наклона образа контура в плоскости годографа и нормальной производной 吵.Это соотношение выводится аналогично случаю потенциального течения путем выражения кривизны контура через производные 恥，物(или 办，)• Получим сначала дополнительное граничное условие на образе контура в плоскости Обозначим через х(^) кривизну контура в физической плоскости. Учитывая формулы преобразования § 7, получим
"(“)=^ = 一五；i"^S = —"； 1 办(8р吵S -屮bVp)=
Используя условие 物 tgb + 办=0, где 6 = arctg(d^/dp) — угол наклона касательной к образу контура в плоскости годографа, и выражая 无2 из (6) (при Лз = 1) в виде 无2 =卜(入)]-1, получим
^^ ctg6蝙-kpM"p=鵰.
В связи с тем, что на контуре тела ро (吵)=const (вообще говоря, это значение заранее неизвестно) это условие линейно относительно производных ”.
Выведем теперь аналогичное условие в плоскости А民 Преобразуем сначала выражение для якобиана D = В® W)/H(A,夕).
Используя уравнения (4), (5) и формулы соотношений между производными § 7, получим
d，崛中一砌戸以а曙。,
откуда
0吟［崛中一砌［「以念需
Выражая теперь х(Д) в виде
恥初，
получим условие на образе контура. Зол 7 наклона касательной которого к оси ОА определяется формулой 3g + 3入 ctg) = О,
Ц^-^(27)
Величина, характеризующая завихренность на поверхности тела, вообще говоря, заранее неизвестна (при симметричном обтекании тела 蜘/邮= =0). Аналогичным способом может быть получено дополнительное граничное условие для вихревого осесимметричного течения:
Dctg) * ®nS 1 А , Гх(^)1 dlnpo］
呵一МЛ)—L
Напомним, что эти условия должны рассматриваться на неизвестной кривой в плоскости годографа совместно с условием 3 = 0.
Плоское потенциальное течение. Уравнения Чаплыгина.Канонические формы. Приближенные уравнениятрансзвуковых течений
Уравнения плоских потенциальных течений
"2一1)嚮=£(2需’ 黑=ё(л)需 (28)
однородны относительно производных А,仇 Поэтому перемена местами зависимых и независимых переменных по формулам § 7 приводит к уравнениям, не содержащим якобиана D. Это линейные уравнения Чаплыгина, из которых перекрестным дифференцированием может быть получено одно уравнение второго порядка для 〃
Замена переменных А т о(А), где
о
преобразует эти уравнения к канонической форме
8日=-%,80=k(0)物
и, соответственно,
也7“ + К9УФвв = 0.(29)
Здесь
ВДЧ1-А2(^[1-^(а)]-(к+1)/^
А(о) — функция, обратная к а(А).
Преобразование переменной о т 以。)позволяет получить другую каноническую форму уравнения Чаплыгина как уравнения смешанного типа
тгФвв + 也用 + W〃)耽у = 0,(30)
Важным обстоятельством для математических исследований уравнения Чаплыгина является то 9, что 6(0) = 0. Приближенные уравнения трансзвуковых течений могут быть получены из уравнения (29) при аппроксимациях зависимости К (о). Простейшая аппроксимация К(а) = а приводит к уравнению Трикоми. Это же уравнение получается и из (30), если в нем положить Ь(〃)= Ь(0) = 0. В физической плоскости этому соответствует упрощение уравнений (28) при Л т 1, состоящее в замене коэффициентов системы их главными частями (гл. 2, §2), что приводит к уравнениям Кармана-Фальковича [146,98]:
號號8=0也 価屮=叫，Л = 1 + u(k + I)"1, 0 = о(к + 1)т.(31)
Задачи, сформулированные для нелинейной системы (31), составляют предмет трансзвуковой аэродинамики в традиционном ее понимании — в «узком» смысле.
Исключая из (31) v перекрестным дифференцированием, получаем уравнение второго порядка для и
и^зз + Мд — и<ф<ф = 0.
Рассматривая это уравнение как линейное — с коэффициентами, определяемыми решением 価(3, ^) и применяя принцип максимума для равномерно эллиптических уравнений, получим [65]
minu < u(G) < maxu,HGdG
тде dG — граница области G; G принадлежит области дозвуковых скоростей. С помощью предельного перехода устанавливается, что эти неравенства справедливы, если под G понимать всю область дозвуковых скоростей рассматриваемого течения.
1)В [5], где приведены таблица и график зависимости 6(力，указано неверное значение 6(0) = -1,1652.
Аналогичную процедуру можно проделать и с точной системой (28) для потенциальных течений: исключение 0 приводит к однородному уравнению второго порядка для А = 1пЛ
£(A)A@W +£(A)A@W +1 - "2厶(*八A丄d1 - "2厶(*八A丄d
£(A)A@W +
£(A)A@W +
1 - "2厶(*八A丄d
1 - "2厶(*八A丄d
Из принципа максимума следует
minA < A(G) < max Л.
dG ' ' HG
Как следствие получим, что при равномерно дозвуковом обтекании профиля безграничным потоком максимальное и минимальное значения модуля скорости достигаются на контуре профиля. Используя теорему Жиро [65], получим, что дХ/дп < 0 в точке, ще А = Атах, поэтому из (4), (5) следует; что в этой точке профиль выпуклый (здесь п — нормаль к гладкому профилю, направленная внутрь области течения).
Для гладких решений (31) из принципа максимума следует:
3 дозвуковом течении модуль кривизны линии тока достигает максимального значения на границе области.
Дважды продифференцировав первое уравнение (31) по ^ и воспользовавшись системой (31), получим уравнение для кривизны линии тока nм“ _ "阿 + ""@u一1 + 2*3й3 — хи"T = 0.
<号昔国[65] для
решения “(g,山)€ G(G) П C(G), G = {®,山)：號(8, W) < 0}.
Максимальное и минимальное значения ускорения потока 6 дозвуковом течении достигаются на границе области.
Дважды продифференцировав первое уравнение (31) по ^ и воспользовавшись системой (31), получим уравнение для ускорения потока
m(m8)83 一(混8)吵吵+ 3(価3)(価3)8 = 0.
Утверждение следует из принципа максимума [65] для решения Мб”)W Q(G) С Ci(G). Это свойство используется (см. гл.3, § 14) в следующей форме: если u^|dG > 0, то u^ > 0 внутри G.
Некоторые сведения из теории линейных уравненийсмешанного типа
Математическая теория уравнений смешанного типа стала интенсивно развиваться после основополагающих исследований Трикоми. Фундаментальные результаты были получены Франклем, Геллерстедгом, Бабенко. Содержание теории составляет обоснование новых краевых задач в областях, являющихся объединениями подобластей эллиптичности и гиперболичности, установление их корректности в соответствующих классах функций, отыскание эффективных методов построения решений. К важным разделам теории следует отнести также исследования корректности классических задач для эллиптических и гиперболических уравнений, когда граница области содержит отрезки линии вырождения.
Современное состояние теории линейных уравнений смешанного типа и вырождающихся эллиптических и гиперболических уравнений представлено в монографиях [92, 93, 20]. Движение идеального газа описывается квазилинейными уравнениями смешанного типа. Использование теории линейных уравнений для изучения свойств трансзвуковых течений оправдано тем, что каждое решение нелинейного уравнения принадлежит множеству решений некоторого линейного уравнениями, значит; свойства трансзвуковых течений принадлежат 8во>дп1ности свойств решений линейных уравнений. В связи с этим ряд теорем теории линейных уравнений может быть выражен в терминах аэрогазодинамики. Однако при такой интерпретации могут возникать трудности при формулировке условий реализации свойств, классифицируемых по типам линейных уравнений. Линейное уравнение Чаплыгина в плоскости годографа скорости и его упрощенный вариант — уравнение Трикоми — стали первыми и наиболее полно разработанными объектами теории. Следует все же отметить, что болыпинство полученных математических результатов имеют пока лишь ограниченное или косвенное приложение в трансзвуковой аэродинамике. Это связано с тем, что области определения считаются заданными и, следовательно, рассматриваемые задачи могут иметь отношение лишь к проблеме профилирования контура тела. В то же время одна из главных задач аэродинамики — прямая задача внепшего или внутреннего обтекания тела заданной формы, формулируемая в плоскости годографа как задача со свободной границей, остается мало обоснованной.
Отметим также, что вопросы физической реализуемости решений линейных краевых задач до сих пор не подвергались систематическому анализу несмотря на то, что их можно трактовать как дополнительные условия разрешимости соответствующей нелинейной краевой задачи, поставленной в физической плоскости.
Приведем в эвристическом изложении основные понятия и результаты теории линейных уравнении смешанного типа, представляющие интерес с точки зрения задач трансзвуковой аэродинамики.
Произвольное линейное уравнение смешанного типа при достаточно слабых ограничениях может бьпъ приведено к одной из двух канонических форм [92]:
Ут^хх + 也 у + а 叭 + Ьфу + сф = d,(32)
也①+俨屮уу + а也+ 咕 + с” = d.(33)
Тип канонической формы определяет структуру решений уравнения вблизи линии изменения типа уравнения, например, влияет на форму характеристик. Разрепшмость краевых задач, как классических — в подобластях эллиптичности или гиперболичности, так и новых — для смешанных областей, также зависит от типа канонического уравнения, существенные признаки которого зависят от величин m и 6(0).
При приведении произвольного линейного уравнения к каноническому виду не следует забывать о том, что плоскость переменных с, у в (32), (33) является "вспомогательной, поэтому анализ разрешимости краевой зада** чи в исходной плоскости должен содержать исследование однозначности обратного отображения. Любопытно, что такой вспомогательной плоскостью для линеаризованных уравнений плоских потенциальных течений
50 Общие свойства трансзвукозых течений идеальноао 203a Гп. 1 (т.е. уравнений, описывающих течения, близкие к заданному) является плоскость годографа скорости заданного течения, при условии, что в этом течении звуковая линия криволинейна и, следовательно, отрезок линии вырождения в плоскости годографа, принадлежащий образу течения, не стягивается в точку. (Для течений с прямой звуковой линией понятие близости решений требует уточнений.)
Для вырождающихся уравнений эллиптического типа правомерна постановка задач Дирихле, Неймана и так называемой задачи N, коща значение 山 задано на всей границе, кроме отрезка линии вырождения, на котором задана нормальная производная.
Для уравнения (32) задача Дирихле и задача N однозначно разрешимы [92]. Для уравнения (33) разрешимость задачи Дирихле, как было установлено М. В. Келдышем [44,92] определяется величинами т и 6(0). Если задача Дирихле не имеет решения, то оказывается однозначно разрешимой задача, в которой условие на отрезке звуковой линии заменено требованием ограниченности решения. Эта фундаментальная теорема может быть проиллюстрирована примером из теории уравнения Лапласа [20]. Трехмерное уравнение Лапласа при наличии симметрии относительно оси у = 0
%，+ ”уу +「^у = 0
заменой переменных {ж, у} т {x,t = (у/2)?} преобразуется к каноническому виду
也С, + £耽£ +耽=0.
В связи с тем, что для этого уравнения гл = 1, Ь(0) = 1, по теореме М. В. Келдыша решение задачи Дирихле в области, ограниченной отрезком линии вырождения £ = 0 (в которую «переходит» ось симметрии у = 0), не существует; а существует решение задачи, в которой условие для “ при £ = 0 заменено требованием ограниченности ”. Так и должно быть, потому что решение задачи Дирихле для трехмерного уравнения Лапласа в осесимметричной области существует и единственно, в силу осевой симметрии удовлетворяет при у = 0 условию д^ф/ду = 0, а поэтому не может удовлетворять независимому условию для
Для вырождающегося на границе линейного однородного эллиптического уравнения (32) справедливо обобщение теоремы Жиро [32]: во внутренней точке линии вырождения, ще решение достигает максимального значения, производная по направлению внутренней нормали строго отрицательна (см. также [19]). Отсюда с учетом общего принципа максимума следует единственность непрерывного в замкнутой области решения задачи N.
Следует иметь в виду, что для нелинейного вырождающегося эллиптического уравнения этот результат, вообще говоря, не справедлив. Так, система (31) имеет решение с прямой звуковой линией (и = 0 при 9 = go, u < 0 при 9? < 9?о), при этом Ви]8屮 =0 при и = 0 (гл. 2, §5). Парадокс раскрывается тем, что приведение системы (31) к каноническому виду (32) неизбежно связано с переходом в плоскость годографа, в которой указанное решение определено так, что прямая звуковая линия изображается точкой излома границы дозвуковой области, т. е. условие теоремы Жиро о гладкости границы не выполнено.
Для уравнения Чаплыгина в области гиперболичности корректна задача Коши с данными на нехарактеристической кривой, имеющей общую точку с линией вырождения.
Для вырождающегося гиперболического уравнения задача Коши- Гурса состоит в отыскании решения в треугольнике, ограниченном отрезком линии вырождения и характеристиками, выпущенными из его концов; граничные условия заданы на линии вырождения и на одной из характеристик.
Уравнение Трикоми ((32) при m = l, a = b = c = d = 0)B характеристических переменных преобразуется в уравнение Эйлера-Дарбу; для которого известны общее решение и функция Римана [50]. Решение задачи Коши-Гурса выражается в виде квадратур при помощи функции Римана- Адамара [93].
Задача Трикоми состоит в отыскании решения уравнения смешанного типа в области, содержащей отрезок линии вырожцения и ограниченной (в подобласти гиперболичности) характеристиками, выпущенными из его концов. Условие для искомой функции ставится на незамкнутом контуре, состоящем из одной характеристики и границы эллиптической подобласти без отрезка линии вырождения. На рис. 1.19 указана область определения задачи Трикоми и ряда родственных задач.
Однозначная разрешимость задачи Трикоми доказана как для уравнения Трикоми, так и для уравнения Чаплыгина. При доказательствах принимается ряд ограничений относительно формы области вблизи линии вырождения.
Обобщенная задача Трикоми отличается от задачи Трикоми тем, что область гиперболичности ограничивается нехарактеристической кривой (на ней задано граничное условие), которая пересекает каждую характеристику обоих семейств не более одного раза. Обобщенная задача Трикоми представляет наибольший интерес для аэродинамики, так как к ней сводится задача профилирования контура тела. Кроме того, эта задача может входить как составной элемент в алгоритм решения прямой задачи внешнего или
внутреннего обтекания. Условие, накладываемое на границу сверхзвуковой подобласти, помимо того, что оно обеспечивает существование решения математической задачи, необходимо (но, вообще говоря, не достаточно) для однозначности отображения в физическую плоскость.
Рассмотренная в [93] «задача Франкля» возникла при обсуждении формы скачка уплотнения, замыкающего местную сверхзвуковую зону у профиля, после того как Ф. И. Франклем было построено точное решение уравнения Трикоми в плоскости годографа, призванное дап» асимптотическое описание такого течения [104]. Это решение, однако, не могло быть физически реализовано ввиду образования складки в физической плоскости. К сожалению, математические исследования этой задачи (рис. 1.20) концентрировались лишь вокруг вопросов ее разрешимости (в плоскости годографа), в то время как аэродинамику интересует конечный результат— существование такого течения в физической плоскости.
Минимальная область влияния смешанногодо- и сверхзвукового течения
Первый шаг анализа задач трансзвукового обтекания состоит в установлении возможности представления решения общей математической задачи в виде последовательности решений корректных (в некотором классе функций) краевых задач, области определения которых составляют (в сумме и без пересечений) всю область течения.
Такое расщепление не всегда возможно: например, при дозвуковом (докритическом) обтекании профиля его внешность представляет собой область определения решения корректной краевой задачи для эллиптического дифференциального оператора. Наоборот, при чисто сверхзвуковом обтекании область течения может быть разбита на подобласти определения решений корректных математических задач в определенной последовательности. Такая же возможность часто (но не всегда) возникает и при трансзвуковом обтекании тел. (Отметим, что задачи обтекания в силу нелинейности не всегда поддаются строгому анализу. Поэтому каждая отдельная задача предполагается «корректной», если корректен хотя бы ее линейный аналог)
В задачах о стационарном трансзвуковом течении идеального газа первым звеном указанной последовательности всегда является краевая задача, формулируемая в так называемой М-области — минимальной области влияния смешанного до- и сверхзвукового течения. По определению, она представляет собой объединение замкнутой области дозвукового течения и конечного числа примыкающих к ней замкнутых подобластей сверхзвукового течения, каждая из которых характеризуется следующим свойством: через любую точку сверхзвуковой подобласти могут быть проведены характеристики обоих семейств дозвуковой линии — границы дозвуковой области.
Предаолагается, что на границе М-области (точнее, на ее части) физические условия глобальной задачи обтекания позволяют сформулировать условия, определяющие в ней корректную краевую задачу. (На самом деле для большинства задач обтекания эта корректность пока не установлена.) Тогда решение задачи в М-области позволяет получить краевые условия
для гиперболических задач (точнее, для «вырожценных» гиперболических задач) в характеристических треугольниках, примыкающих к М-области, но отличающихся тем, что лишь одно семейство покрывающих их характеристик может быть продолжено до звуковой линии. Затем формулируются
краевые задачи в характеристических треугольниках, примыкающих к предыдущим, ит. д. — пока задача не оказывается «решенной» во всей области
течения.
Сказанное иллюстрирует рис. 1.21, где показана область течения в сопле Лаваля: М-область находится вверх по потоку от кривой
CKD、составленной из характеристики второго (КС) и первого (HD) семейств.
Конкретные примеры расщеплений указанного вида приводятся ниже для разных типов задач обтекания; собственно говоря, решение этих задач, основанное на адекватной схематизации течения в М-области и со- .ставляет содержание книги.
ннРис. 1.21 там, где ставятся краевые условия.Рис. 1.21 там, где ставятся краевые условия.«Физический смысл» сказанного
н
н
Рис. 1.21 там, где ставятся краевые условия.
Рис. 1.21 там, где ставятся краевые условия.
состоит в следующем. Возмущения, задаваемые на границе М-области —
влияют на решение во всей М-области; возмущения граничных условий
в последующих краевых задачах не распространяются на решения предыдущих задач последовательности.
Глава 2
Течение в окрестности точки ортогональностизвуковой линии вектору скорости
Точки К+， К_・ Несуществование точек К_ в плоскомпотенциальном течении
Рассмотрим плоское течение — потенциальное или вихревое (осесимметричное и общее трехмерное течение рассматриваются в §7, 8 этой главы.) Пусть 耽 9 — семейства линий тока и их ортогональных траекторий. (В потенциальном течении в качестве 屮 выбираем потенциал скорости.)
Рассмотрим гладкую звуковую линию — общую границу областей до-, и сверхзвукового течения. Будем называть точками К+, К_ точки звуковой линии, в которой она касается линии 夕=const и обращена выпуклостью (в плоскости 而)в сторону области сверхзвуковых (дозвуковых) скоростей.
Рассмотрим случай, когда звуковая линия не совпадает тождественно с линией 9 = const. В противном случае звуковая линия в каждой точке касается характеристического направления и, значит, является характеристикой. Как было указано в гл. 1, §5, в этом случае звуковая поверхность имеет минимальную площадь, следовательно, звуковая линия в физической плоскости — прямая, в каждой точке которой вектор скорости ей ортогонален.
Из каждой точки С звуковой линии, в которой она не ортогональна вектору скорости, выходит по два характеристических луча I и Псемейства (вдоль них ” одновременно убьшает или возрастает). В достаточно малой окрестности точки К+ это свойство имеет место одновременно для всех точек С, лежащих на звуковой линии по одну сторону от К+・ Переходя к пределу при С -> К+ (с той и с другой стороны точки К+ ), получим, что из точки К+ выходит четыре характеристических луча (рис. 2.1); звуковая линия в точке К+ касается всех лучей, а ее кривизна (конечная или бесконечная) не меньше кривизны гладкой кривой АК^В, составленной из характеристических лучей разных семейств, проведенных из К+ «вверх по потоку» (если принять, что вектор скорости направлен в сторону области сверхзвуковых скоростей).
Это свойство можно выразить аналитически в виде некоторого неравенства относительно первых и вторых производных А(д, ”)в точке К+・
Что касается точки К_, которая, как будет показано ниже, может существовать лишь в вихревом течении, то из нее либо не выходит ни одной характеристики, либо — бесконечное множество (мощности континуума) ——в зависимости от относительной завихренности потока в этой точке, (см. § 6).
В плоском потенциальном течении точек К_ нет [15].
Предположим обратное. Проведем в плоскости д“ из некоторой точки С звуковой линии, лежащей достаточно близко к , прямую СВ — отрезок линии 9 = const. В силу определения точки К_, эта прямая пересечет звуковую линию в некоторой точке В (рис. 2.2). Рассмотрим область сверхзвукового течения, ограниченную дугой СК_В звуковой линии и прямой СВ. Проведем из точки С обе характеристики; одна из них лежит в рассматриваемой области и, следовательно, может быть продолжена до звуковой линии, которую она пересечет в некоторой точке。* С.
В плоскости годографа образы точек С, D принадлежат одной и той же эпициклоиде, и коль скоро А。= А° = 1, получим % =任.В силу закона монотонности вектора скорости на звуковой линии (см. гл. 1, § 10), % S 6。，причем знак равенства может быть только в случае, когда якобиан а(\ 6)/а& г/) = 0 на DK_C. Последнее возможно только либо когда во всей области K-CDK- поток равномерный и прямолинейный, либо если звуковая линия DK_C — линия ветвления, т.е. — характеристика, что может быть только в случае, когда она — прямая. Но тогда на ней 9 = =const, следовательно, нет точки К_. .
Упрощение уравнений газодинамики вблизи звуковойповерхности. Уравнения Кармана-Фальковича.Приближенные уравнения вихревых трансзвуковых течений
Рассмотрим уравнения (1.4), (1.5) плоских течений в локальной естественной системе коорданат
("7需=黑，黑=需一备替・
Положив в (1.6) Ф(^) = 1,①(9)= 1, получим
ЛМехр (一 / ^^ j = 1,五2心)=1.⑵
Выведем приближенные уравнения вихревого трансзвукового течения, имеющего место вблизи некоторой точки звуковой линии [128]. Поместим
начало координат в эту точку. Ограничимся случаем, когда ро ®) — дважды непрерывно дифференцируемая функция, так что
I [Inpo(^) 一 Ьро(О)]=山 + ^%呐2 + о®?),
"。告L
Положим
W = Id2 Inpo I()
入=1 — 〃SW)= 1 — /3，,俏
k + 1k + 1 '
e=%。%+£3空⑷
Л + 1左 + 1
9 = dg。， W = £呐°.
где е — некоторый малый параметр. Подставив (3), (4) в (1), (2), получим при £ Т0
и%。一 ％。= 0, 4。+ %。= 3呐。，3 = (к + 1)(% — 缁).(5)
При ро(^) = const получаем приближенные уравнения плоских потенциальных трансзвуковых течений (уравнения Кармана-Фальковича).
Отметим, что для вывода уравнений Кармана-Фальковича нет необходимости в явном использовании разложений по параметру % что предполагает «игру» масштабами аффинных преобразований А — 1,仇 例 呐 при £ тО. Действительно, достаточно лишь принять, что А — 1《L
Обозначив
и подставив эти представления в уравнения
( 丿如 入即' 如 А即
после предельного перехода при А т 1 получим
ии屮-vy, = 0,-и^ + о夕=0.(7)
Отличие системы (5) от (7) состоит в том, что использование (7) правомерно вблизи всей звуковой линии потенциального течения, а именно в области, где модуль скорости потока близок к скорости звука, а (5) правомерна лишь в окрестности точки пересечения со звуковой поверхностью некоторой линии тока, на которой вычисляются 9 %, %，з.
Учитывая сказанное, дадим вывод приближенных уравнений трансзвуковых вихревых течений, не использующий разложения полного давления
】)Из формулы (1.6) следуем что в плоском потенциальном течении 8(3,W)/8(c,y) = =1 4- O(u), поэтому с той же степенью неточности, что и (7), правомерна также система ””①—v« = 0, —и” + % = 0. Именно она и была получена Т. Ф. Карманом и С. В. Фальковичем [9с, 146].
в степенной ряд и, следовательно, правомерный для описания течения во всей околозвуковой области [130].
Положив в (1), (2) А = 1+■/(%+1), 0 = v/(k -Ь1), перейдем к пределу при и т 0. Учитывая при этом, что
五 2 = 1 + О(〃)，尼=貝№(/^^) =p?*®) + O(u),
получим
MUp = p，*(W)w， w = (uv - k：ld%.M)) P#(W).
Введя вместо 呐 новую независимую переменную Ф по формуле
ФФ=力产(w)即,о=力产(w)即,о
Ф
Ф
=力产(w)即,о
=力产(w)即,о
получим
叫> =% w="w-嘴^, /(% =lnp^+M®(W)). ⑻
Поскольку полное давление в идеальном газе, в силу положительности плотности и температуры, положительно и выражается непрерывной ограниченной функцией, отображение 山 т W гомеоморфно (при 7Ь > 0).
Система (8) может быть сведена к уравнению второго порядка, причем разными способами.
Исключая V перекрестным дифференцированием, получим
Вводя потенциал Ф; по формулам
整=и - /(Ф), Фф = V, получим
爲+ 〃％)% =協W
или
便+ 8/(屮))必=殒.
Вводя потенциал ①〃 по формулам
К=〃， 毁=о +脸％, получим
Эти уравнения в трансзвуковой аэродинамике еще не исследовались.
§ 3. Точное решение Фальковича для потенциального течения вблизицентра сопла Лаваля
⑼⑼С. В. Фальковичем было найдено [98] исключительно простое точное решение системы (7), описывающее течение в окрестности точки К+ — «центра сопла Лаваля» с конечным ускорением потока. Оно имеет полиномиальный вид
⑼
⑼
и = А(р + к 呐Г 。= 4? 9呐 4- — ^326
и представляет собой главную часть аналитического по ⑴，呐 решения точных уравнений потенциальных течений, вычислявшегося [149] в виде рядов Тейлора.
Это решение описывает смешанное до- и сверхзвуковое течение в полосе |^| < 1, которая изображает канал конечной ширины. Отметим, что решение (9) не следует рассматривать при очень больших значениях |д|, так как при этом нарушается предположение о малости |〃|.
Звуковая линия и = 0 является параболой з = —(4/2)呐？； область дозвуковых скоростей расположена слева от нее (рис. 2.3).
Таким образом, «центр сопла» — точка g = =呐=0 — является точкой К+, как и дожно быть в потенциальном течении.
Множество точек, в которых v = 0, состоит из прямой 呐=0 (ось симметрии) и параболы 9 = —(4/6)储；это означает, что в физической плоскости сопло имеет вид сужающегося-расширяющегося канала, причем критическое сечение сопла (прямая, ортогональная оси симметрии, проведенная в наиболее узком месте канала) не совпадает
со звуковой линией. Это означает; что решение (9) описьшает класс течений в сопле Лаваля с криволинейной звуковой линией, причем в связи с тем, что параметр А: А 0, 4 * оо, характеризует ускорение потока в центре сопла, решение (9) дает приближенное описание в окрестности центра сопла с конечным ускорением потока.
Дифференциальное уравнение характеристик (1.14) имеет вид
=±\/^ = 士，А(р +(42/2)吵 2.=±\/^ = 士，А(р +(42/2)吵 2.(Ю)(Ю)
=±\/^ = 士，А(р +(42/2)吵 2.
=±\/^ = 士，А(р +(42/2)吵 2.
(Ю)
(Ю)
Это уравнение (точнее, более сложное уравнение, соответствующее вихревому течению) будет проинтегрировано во всей области определения в §6. Здесь мы укажем только интегральные кривые, проходящие через центр сопла. Отыскивая их в виде парабол 9 = В^^ получим из (10) квадратное уравнение для В, которое дает В】=-4/4, & = 4/2.
Это означает, что четыре характеристических луча, исходящих из точки К+, представляются параболами 9 = —4川/4,⑴— А^2/2 (вторая — зеркальное отражение звуковой линии). Парабола (р = -А^2/6, на которой
касательные к линиям тока горизонтальны, лежит между характеристическими параболами.
Характеристическая парабола 9 = А^ ]2 является линией ветвления отображения в плоскость годографа. Это можно доказать, исходя лишь из того, что линия ветвления — характеристика. Впрочем, в данном простом случае это можно получить непосредственной проверкой. Трехлистная риманова поверхность отображения показана на рис. 1.13.
Решение (9) аналитично во всей области определения. Однако кроме него на базе формул (9) может быть построено кусочно аналитическое решение с разрывами производных вдоль характеристик, проходящих через точку К+・ Это решение имеет вид (9), но с разными постоянными 4,人 вместо 4 в областях 9 W -А^2/4, g》А^/2. Первая соответствует М- области, вторая — области определения решения задачи Коши с данными на оси симметрии 呐=0 при 9》0: 〃 =厶29, о = 0 для вырождающейся в точке К+ гиперболической системы (7).
Собственно говоря, возможность построения такого кусочно аналитического решения определяется разрешимостью задачи Гурса в каждом из двух характеристических треугольников с вершинами в точке К+ (ввиду симметрии достаточно рассмотреть лишь один из них):
9 =驾匕 " =4纣 2,v = |л^3,
4^2М”21 ЛЗ /3
Нетривиальность этой задачи связана с вырождением гиперболической системы в точке К+・
В принципе вопрос о разрешимости этой задачи в классе непрерывных функций допускает исследование в общем виде (по-видамому, достаточно полное) с помощью преобразования годографа, так как уравнение Трикоми 〃观и + ^uu = 0 — «образ» системы Кармана-Фальковича (7) — в характеристических переменных д, А преобразуется в уравнение Эйлера-Дарбу
Jk。，
для которого известна функция Римана [50].
Однако в [98] была предпринята попытка построения решения этой задачи в аналитической форме, которая позже была завершена и обобщена на течения со степенными особенностями в распределении скорости вдоль оси сопла (а также на течения в окрестности центра осесимметричного сопла) О. С. Рыжовым и Ю.Б. Лифшицем [84]. Идея этого подхода основана на том, что рассматриваемая задача допускает формулировку в «автомодельных» переменных, что позволяет сначала перейти от системы уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, а затем — к одному обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка. Вообще говоря, такой подход обладает меньшей общностью на классе непрерывных течений, но зато позволяет строить обобщенные решения, описывающие течения с ударными волнами,
на которых выполняются условия Гюгонио. Краткое описание результатов этих исследований приводится в §4.
В связи с вопросом об автомодельных решениях уравнений Кармана- Фальковича отметим следующее обстоятельство. Образ в плоскости годографа скорости каждого такого автомодельного решения представляет собой решение обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка, общее решение которого выражается через гипергеометрические функции. Система этих решений, дополненная формулами аналитического продолжения, приведенная в монографии [32], воспроизведена в §4.
Потенциальные течения со степенными особенностямив окрестности центра сопла
Итак, для отыскания неаналитических течений в окрестности центра сопла была сформулирована задача [84]: найти решение уравнений (7)
uuip — 0山=0,—и屮 + о夕=0,
удовлетворяющее при ” = 0 условиям
8V0:。= 0, и = Zig, 8〉0: V = 0, и =人⑵4丿2 > 0.*)
Решение этой задачи описывает асимптотические типы течений с конечным, отличным от нуля ускорением в центре сопла.
В более общей постановке вместо (11) рассматривают условия [84]
^ < 0 : V = 0, и = 4|д卜， 9>0： о = 0, и = Л^З卜； (即) Ai, Л2 > 0, 0 < fc < 2.
Тогда класс решений будет включать и решения с ускорением потока, обращающимся в нуль или бесконечность. Все эти решения принадлежат классу решений уравнений (7) со степенными особенностями на звуковой линии.
Большинство известных точных решений уравнение (7) принадлежат этому классу При его изучении оказались плодотворными два подхода, основанные на том, что как в физических переменных, так и в переменных годографа уравнения трансзвуковых течений имеют автомодельные решения.
В физической плоскости компоненты скорости 〃 =夕工，。=网 можно представить в виде
u =з Ad7 仔)，。 =6"I% 仔)，
Подставляя эти формулы в уравнения (7) и исключая д, получим дифференциальное уравнение второго порядка (штрихом обозначены производные по С = 9/宓
(产 一 ML)/〃 + (尸)2 + n(3n - 5)0Z - 2(2n - 3)(n - 1)/ = 0. (13)
Величина п связана с показателем к формулой п = 2/(2 - Л). Порядок этого уравнения может быть понижен заменой переменных
/ = 《尸⑺，落=叽l111kl.
В результате получим
d" _ 一6尸 一 5n山 + 6尸2 + 7尸" + “2
dF =(M-尸)"•g
Исследование фазовой плоскости этого уравнения при 1 < п < оо путем анализа особых точек и нахождения сепаратрис — разделяющих интегральных кривых — позволило установить ряд важных асимптотических свойств решений задачи Коши (12).
Прежде чем переходить к их изложению, опишем класс автомодельных решений в переменных годографа. Существование этого класса определяется групповыми свойствами уравнения Трикоми, его инвариантностью относительно преобразования подобия. Следуя [32], решения уравнения Трикоми для функции тока 也(％ о) будем искать в виде
”=[-£+^o2『g(£"), f = u(^o) / , ~оо < j < 00,(15)
где G(f,» — решение обыкновенного дафференциального уравнения
d2G5 U dG 9£с
Функция G&j) выражается через гипергеометрические ряды.
Приведем представления Ga(^j), Gs(^, J), взятые из [32] — линейно независимые решения, симметричные или антисимметричные относительно оси о = 0. Вследствие наличия особенности в точке f = 1 (которая соответствует характеристикам в плоскости uv, проходящим через точку и =。= 0) решение G не может быть аналитически продолжено через эту точку, поэтому будут указаны две отдельные составляющие решения, одна для области 1 ^ ^ < оо, другая — для области -8 < £ W 1. Итак, в окрестности положительной полуоси о = 0 (точнее, при 1cse 8)
Gs = (1 - fl尸尸(一工 一/ + 1, ±§-3),
Ga = (1 - L3)-女-3/2f(_j + 今 _?• + ^, *-3)
В окрестности точки £ = 1 при f》1
「= / зч г (1/2) Г (2j+ 1/6)
8 Tr(J + l/2)r(J + l/6)
X 尸(一工一j + ^，^ - 2/J - f-3) +
+(1 _ r3)j+i/6Г(1/2)Г(/2^1/6) *
х尸0 + ±7. + *^_27，1-03),
У _3”嘴鶴制嶽
X 尸(~J + I，-J + I，I - 2Л 1 - C3) +
._ 厂3了+1/6厂3/2 F(3/2)F(-2j - 1/6)
I《F(T + 5/6) F (1/2-j)
x尸0 + */ + 1^ + 2a1-£-3).
В окрестности отрицательной полуоси v = 0 при -оо < ^ < О
G& =尸(-j,-j + I，I，(1 一 Т)т),
Ga = (1 - d)T/2尸(_/ + i, j + I，I，(1 一 T)T)•
В окрестности оси u = 0 при -1 < ^ < 1
гГ(1/2)Г(1/3)/
Gl(1 「0 + 1/2)Г(-/ + 1/3)尸(力 7 + 牙于'丿
式丄V丿rq + i/6)F(-力[3十3’ 3十6'3人丿'
££3riГ (1/3) Г (3/2)/ ..+ 1 2
£
£
Ga 7 r(j + l)F(_j + 5/6) I 7 十 2,з'
£4 一3J5 -6J+1 _^0£4 一3J5 -6J+1 _^0〃3/2)F(—1/3)(
£4 一3J5 -6J
+1 _^0
£4 一3J5 -6J
+1 _^0
臥 V 丿 F(j +2/3)F(1/2-3) \ 7
В окрестности £ = 1 при £ W 1
r・ 2F (1/2) F ⑵ + 1/6) sinbrU + 5/6)] 「(/ +1/2)「0 + 1/6)
X 尸(一厶 ^ - Л I - 2J,1 ~ T)+
丄 —戸、计 1/6 2r (1/2) F ⑵ + 1/6) sin^r㈠ + 2/3)] +(T)
xF(j + i,j + |,g + -2j,l-^3),
rF(1/2)F(2亍 + 1/6)sin[7r(j + 1/3)】
GU) FG + l)F(j + 2/3)*
x 尸(一厶 ^ — A V — 2A 1 — T)+
,nf зу+1/б F (1/2) F (—2/ - 1/6) sinE—j + 1/6)]
*r(-j + 5/6)r(-j + l/2) x
Между автомодельными решениями в физической плоскости и в плоскости годографа существует соответствие, определяемое следующей формулой: 6f(n - 1) = L
Недостаток использования плоскости годографа для описания автомодельных решений связан с возможной неоднолистностью обратного отображения, при которой начало координат является точкой ветвления. В этом случае в плоскости uv начало коорданат будет седлом линий ” = 0. Выявление этого факта, котда корень уравнения “(f) = 0 не является особой точкой уравнения (16), как правило, затруднительно.
Образование неоднолистности отображения типа складки (предельной линии) также не всегда легко может быть установлено аналитически, так как сводится к исследованию вопроса о существовании решений некоторого трансцендентного уравнения.
Изучение разнообразных асимптотических типов течений вблизи центра Лаваля было проведено О. С. Рыжовым и Ю. Б. Лифшицем [84] путем решения задачи Коши (12). Автомодельные решения (13), (14) изучались в фазовой плоскости 尸而(и в плоскости годографа). Первый путь оказалось возможным развить и на осесимметричные течения.
Непрерывное решение (соответствующее течению без скачков уплотнения) представляет собой совокупность решений: а) задачи Коши в области AKL с данными на луче KL (в М-области), б) задачи Коши в области DKM с данными на луче КМ, в) задачи Гурса с данными на характеристиках KD, КА (рис. 2.3). Нетривиальность задач Коши и Гурса в областях DKM и AKD, обусловленная вырождением типа гиперболического уравнения в точке К, состоит в том, что непрерывное решение в окрестности точки К не всегда существует ввиду образования предельных линий ——складок в физической плоскости. При этом в ряде случаев оказывается возможным построение решения со скачком уплотнения, исходящим из центра сопла. Принципиальная схе-А 冗
ма такого течения изображена на рис. 2.4. Она отличается от схемы>
на рис. 2.3 тем, что кривая KR — не характеристика, а скачок уплот- к\
нения. Важно отметить, что скачок уплотнения всетда распространяет-Рис. 2.4
ся из центра сопла вниз по потоку.
Это свойство находит объяснение в гл. 6, где доказывается, что точка зарождения скачка всетда находатся от него вверх по потоку.
В случае конечных ускорений потока в центре сопла (задача (11)) непрерывные течения существуют при
1/4 W 4/4 W 1.
Эти неравенства были впервые установлены Ф. И. Франклем [104].
Течения со скачком уплотнения и сверхзвуковой скоростью после него получаются при
0 < 4/4 < 1/4.
Для общих автомодельных течений с Л / 1 непрерывные течения осуществляются при
[4血忐-力sin"g- 23)「W*W
4 [sin7r ^i 一 2, sin7r (^ _'] , (17) а течения co сверхзвуковым скачком уплотнения — при
О < ^ < RsinTT 售—/) sin7r Q - 2‘].
При 厶2 = 0 во всей области за ударной волной реализуется равномерный звуковой поток. (Напомним, что j = (1/6)(п - 1)" = (2 — k)/(6k).) Если А2/А1, превосходит верхнюю грань неравенства (17), то течение физически нереализуемо, так как возникающие предельные линии нельзя устранить введением скачков уплотнения.
В рассмотренном классе особое положение занимают решения, аналитические на характеристике КА. В монографии [84] эти решения характеризуются тем, что в нйх линии тока в точке пересечения с характеристикой не имеют особенностей, no3iwy для их осуществления не нужно прибегать к каким-либо искусственным приемам, придавая стенкам сопла специальную форму.
Заключительная часть высказывания неверна, так как попытка осуществления изолированного точного решения (а все автомодельные решения — изолированные) всегда сопряжена с необходимостью абсолютно точного воспроизведения формы границы независимо от того, является она аналитической или кусочно аналитической кривой.
Тем не менее, факт существования решений, аналитических на характеристике КА, имеет принципиальное значение. Всего в настоящее время известно три физически реализуемых решения. Первое из них — это решение С.В. Фальковича [98] (9) при fc = 1, в котором А2 = Ai. Второе и третье были найдены О. С. Рыжовым и Ю.Б. Лифшицем [84] при к = 4/3:
^= [4sinj]4/3[(sin§) (l + 4sin^.smJ)]_4/3«0,415
и при к = 20/11: А2/А1 а 0,111.
Решение при к = 4/3 обладает разрывом третьих производных скорости, распространяющимся вдоль характеристики KD. Этот разрыв возникает в центре сопла самопроизвольно.
В решении при k = 20/11 в центре сопла также самопроизвольно возникает скачок уплотнения со сверхзвуковой скоростью за скачком.
Исследованный класс автомодельных решений имеет огромную познавательную ценность, иллюстрируя разнообразие асимптотических возможностей течений в соплах. Однако вопрос о том, какая из этих возможностей реализуется при течении в реальном сопле, иначе говоря, при решении прямой задачи, остается открытым.
В связи с тем, что в изученном классе автомодельных решений контуры сопел при разных значениях к иногда оказываются довольно близкими, возникает также вопрос о способах профилирования сопел с заданным асимптотическим типом или, другими словами — об определении характера и меры возмущений контура сопла, оставляющих неизменным его асимптотический тип.
Течения с прямой звуковой линией
Для течений в соплах общим (в смысле реализации его путем решения прямой задачи о течении в канале заданной формы) является случай криволинейной звуковой линии. Действительно, реализация течения с прямой звуковой линией требует выполнения некоторых дополнительных условий. Одно из них — условие нулевой кривизны стенки сопла в критическом (самом узком) сечении. Оно вытекает из уравнения отсутствия вихря
空=атлdsi 0S2 •
Достаточные условия реализации прямой звуковой линии в канале заданной формы в настоящее время не известны. Известно лишь, что такие сопла могут быть спрофилированы (см. гл. 3,4).
Несмотря на свой исключительный характер, течения с прямой звуковой линией широко изучаются и используются в теории сопла и на практике. Основанием для этого является гипотеза о корректности прямой задачи сопла в достаточно широком классе функций, в пользу которой свидетель- ст^ют теоремы единственности этой задачи (см. гл. 3, § 14).
Преимущества сопел с прямой звуковой линией связаны с возможностью отдельного профилирования до- и сверхзвуковой частей сопла, а также — с возможностью использования схемы сопла с угловой точкой, расположенной на прямой звуковой линии. Поэтому задача асимптотического исследования течений с прямой звуковой линией привлекала многих авторов (см. библиографию в [84]). Исследования проводились в основном в классе автомодельных решений (соответствующих задаче Коши (12) при А: = 2) в виде
где
Зд = 4/£ + 2£ + (/-4£2/ а / удовлетворяет уравнению
(/一线)尸 + (尸)2 + 2s尸一2/ = 1.
Эти решения, в частности, содержат (21).
Наиболее полные результаты были получены Л. В. Овсянниковым [92, 93]. Следует однако сказать, что его выкладки оказались довольно громоздкими, поэтому мы приведем здесь более простое изложение, основанное на методе годографа.
В плоскости годографа образом прямой звуковой линии всетда является точка (например, u = о = 0), а так как функция тока ” при перемещении
3 Э. Е Шифрин
по прямой звуковой линии монотонно возрастает; то в этой точке 吵 имеет разрыв первого рода (в окрестности этой точки линии уровня 吵 образуют узел).
кости (точнее, в плоскостикости (точнее, в плоскостиКак уже упоминалось, автомодельным решениям в физической плос-
кости (точнее, в плоскости
кости (точнее, в плоскости
3”)соответствуют автомодельные решения в плоскости годографа, выражающиеся через гипергеометрические функции. Оказывается, решение этого класса, описывающее течение с прямой звуковой линией (при * = 2) может быть определено квадратурой [80].
Положим j = 0 в автомодельном решении уравнения Трикоми (號吵^ -吵皿=0):
吵=同3小(Z,/z=W， (18)
что соответствует равенству к = 2.
Имеем 吵(％ь) = 9(z,0)=吵(z), где ”(z) —решение обыкновенного дифференциального уравнения 吵〃 (4z?— -9) + 10山々2 = 0. Интегрирование дает
三聶… (19)
Положив 吵=0 при u 片 0, получим (рис. 2.5)
(z3-9/4)5Q(z3-9/4)5Q(9/—3 严(9/—3 严±oo
(z3-9/4)5Q
(z3-9/4)5Q
(9/—3 严
(9/—3 严
(20)(20)z€[-8, (9/4)】”
(20)
(20)
ze[(9/4)1/3,oo].
Это решение было построено в [136, 91] в виде рядов (см. § 4). В связи с тем, что z — четная функция v, а
с = Т汕丄=resign%lv=0 3 U lz=±8 同'
получаем, что ^(u, v)=吵⑶^川病外 一нечетная функция v.
Формулы (20) определяют ” в верхней или в нижней полуплоскости годографа. Решение не аналитично на характеристиках z = (9/4) 1戸; поскольку на них 吵=const, то эти характеристики — образы угловых точек (см. гл. 1, § 13). Таким образом, постоянная Ci определяется краевым
условием для ” в зависимости от того, в какой из подобластей аналитичности рассматривается решение (20). (Обратим внимание, что интеграл (20) сходится при всех z, поэтому ” < 8.) В каждой подобласти аналитичности W(zj — строго монотонная функция, поэтому в этих подобластях предельных линий нет: отображение каждой подобласти в физическую плоскость однозначно.
Решение, определенное при z е [-оо, (9/4)1/3] , представляет собой течение, изображенное на рис. 2.6.
Рис. 2.6Рис. 2.6
Рис. 2.6
Рис. 2.6
В этом течении звуковая линия состоит из прямой 夕 =0 н двух линий тока ” = 士呪.Любая линия тока 他 | W 呪 может быть принята за стенку дозвуковой части сопла (см. гл. 3, § 7).
Решение, определенное при z W [(O/d)1/3,^] , т.е. в области между характеристиками в плоскости годографа, описывает взаимодействие двух центрированных волн (рис. 2.7)
Течения, изображенные на рис. 2.6,2.7 могут быть произвольным образом (т. е. при разных масштабах) сопряжены вдоль прямой звуковой линии и = 0, которая является характеристикой (рис. 2.8).
Рис. 2.7Рис. 2.7Рис. 2.8Рис. 2.8
Рис. 2.7
Рис. 2.7
Рис. 2.8
Рис. 2.8
Контур спрямляющего участка сопла AD, на котором поток разгоняется до заданного постоянного значения сверхзвуковой скорости (на характеристике BD) профилируется методом «простой» волны, так как в области ADB одно семейство характеристик — прямые линии (см. гл.1,§9).
з*
Решение (20) дает пример течения с не гладкой звуковой линией.
Что касается автомодельных решений с fc > 2 (j < 0), то эти решения также могут описывать течения в соплах с прямой звуковой линией. Их исследование в переменных 夕，” было проведено в [72] (подробное изложение дано в [84]). Эти решения вместе с решением (20) представляют собой множество асимптотик течений в соплах с прямой звуковой линией.
Более подробно об условиях реализации той или иной степенной асимптотики и о существовании асимптотик не степенного характера см. в гл. 3 § 9.
§ 6. Плоское вихревое течение в окрестности точки К・Точное решение. Отображение в плоскость годографа.Поведение характеристик [128]
Рассмотрим плоское вихревое течение в окрестности точки К звуковой линии, в которой она ортогональна вектору скорости. Существование по крайней мере одной такой точки при обтекании гладкого выпуклого профиля с отошедшей ударной волной при Moo > M0(fc) (М)(1,4)а1,69) доказывается в гл.8, §5 (рис.2.9). Кроме того, точка К существует в сверхзвуковой перерасширенной струе, если ее ось симметрии пересекается ударной волной («диском Маха»), вниз по потоку от которой имеет место переход дозвукового течения
в сверхзвуковое. В этом случае точка К есть точка пересечения звуковой линии в завихренной струе с осью симметрии (рис. 2.9).
Рассмотрим приближенные уравнения плоского вихревого течения (5), полученные в §2:
UU, - %。= 0,%。+ %。= 3状,3 = (к + 1)(Ж1 -閱),
"鲁7。死用十丄内十丄
3 = f280，山=£w°.
Для системы (5) можно найти точное решение, аналогичное точному решению С.В. Фальковича уравнений потенциального трансзвукового течения I), с помощью которого был исследован асимптотический характер потока в окрестности центра сопла Лаваля при условии конечности ускорения потока в точке К.
Решение (5), описывающее течение в окрестности точки К, имеет вид
u = 49_丄^ 什吵2,0 = Cg + jpg吵 一 4（4g二纪）也3,
。=（w）%=需乳，" = -（f嗡g
Звуковая линия м = 0 представляет в плоскости параболу обращенную выпуклостью в сторону области сверхзвуковых скоростей при з < 屋 и в сторону области дозвуковых скоростей — при w > А2. Эти условия совпадают с оценками, полученными в гл. 8 § 6 путем исследования точных уравнений.
В гл. 8 § 6 доказывается существование нечетного числа линий ветвления, пересекающих звуковую линию в точке К при С * 0. На линии ветвления 8(%г;)/а(з, ”)= 0. Воспользовавшись формулами (21), получим, что линия ветвления представляет собой параболу
8=唸强吵+"产一研
Таким образом, если ускорение потока в точке К конечно, С * 0 н з * / А2 (при з = 4‘ звуковая линия — прямая), то звуковую линию в точке К пересекает еданственная линия ветвления.
Найдем отображение окрестности точки К в плоскость годографа. Исключая из (21) переменную 夕，получим для определения 也 кубичное уравнение
i А2 (А2 — з)吵з + 1 做屋 _ 5吵2 + 从2価砂 + (Qn — Av) = 0. (22)
Дискриминант этого уравнения выражается в виде
0 =尤 一 (3а*m*+ 2畸ь* + и：-飙出：+ 6m*а?=(%一内)(%一。2),
也,2 = ； [за*m* + 20 ± (a；-価*)3/?].
】)В [40] были позже найдены автомодельные решения (5) вида
и = 3 v7⑹，V = 3»2“3g ⑹，s =夕(£”2)7.
При и* > С/ имеем D > 0 и уравнение (22) имеет один вещественный корень; при и* < С? уравнение имеет один корень при % > 也 и ь* < < V2 (D > 0); при г；2 < V* < V1 уравнение (22) имеет три корня (D < 0); при % =也 или % =也一два корня, при % =也=也一 один. Таким образом, отображение окрестности точки К в плоскость uv
имеет вид складчатой поверхности, изображенной на рис. 2.10 при С > 0.
Линия ветвления (край складки) пересекает звуковую линию в точке К, а также в точке L, в которой кривизна линии тока обращается в нуль. Линии тока 而=const представляют собой в плоскости годографа, так же как и в потенциальном течении (9), прямые
1 U = х—с +4v1 U = х—с +4v4吁左9；-з)4吁左9；-з)吗』2二吗』2二'ис иЛиния ветвления будет их огибающей. Она име
1 U = х—
с +4v
1 U = х—
с +4v
4吁左9；-з)
4吁左9；-з)
吗』2二
吗』2二
ет точку возврата, которая при А2 > о; расположена в области дозвуковых скоростей, а при А2 < о; — в области сверхзвуковых скоростей.
=—и = —А(р +=—и = —А(р +22Исследуем теперь поведение характеристик в окрестности точки К. Дифференциальное уравнение характеристик в плоскости з” имеет вид
=—и = —А(р +
=—и = —А(р +
2
2
Введением переменных х = А^, у2 = (1 — cj/A2)/2 это уравнение преобразуется к виду
~d]nx = y 力±^ + 乂/^) dy
Интегрируя и возвращаясь к прежним переменным, получим
吵(1 干 4 JW -森)exp (1 干 4，-『拉=&，= °；
У卜君干需(1 T) 一為 卜хp｛土2(Т)一1/2 X
х arctg(-r)-V2 ^1 (1 - ±L)- ^) 7 т ij I = с, r<o.
Анализ этих формул позволяет установить качественную картину расположения характеристик (рис. 2.11) в плоскости 夕吵 при различных значениях параметра г = 9 —就/4?.
Рис. 2.11
При р = о;/Л2 < 1 расположение характеристик качественно такое же, как и в потенциальном течении; через точку К проходят две параболы — характеристики разных семейств
土代=〃12(23)
При р = 1 прямая звуковая линия будет огибающей характеристик, которые являются параболами 吵=±2，夕/4 + С (заметим, что для исследования характера течения при з =屋 необходимо учитывать члены более высокого порядка малости).
При р > 1 звуковая линия будет параболой, обращенной выпуклостью в сторону дозвукового течения. Здесь возможны три случая.
При 1 < р < 9/8 сверхзвуковая область, расположенная в плоскости 夕吵 сверху от оси симметрии (картина симметрична относительно
оси 吵=0) разбивается на три подобласти звуковой линией, осью симметрии и двумя характеристиками первого семейства, проходящими через точку К и являющиеся параболами 从i,2・
Установим расположение характеристик первого семейства относительно семейства парабол д = -д/(А^2). Характеристики первого семейства, исходящие из звуковой линии, содержатся в области между звуковой линией и характеристикой первого семейства д = д2； они приближаются к точке К, пересекая параболы с возрастающими значениями д вплоть до параболы 〃 = 〃2・
Характеристики первого семейства в области между характеристиками первого семейства 〃 = 〃2 H 〃 = 〃i приближаются к точке К, пересекая параболы с возрастающими значениями д вплоть до параболы 〃 =偿・
При удалении от точки К они пересекают параболы с возрастающими значениями 〃.
В области между характеристикой 〃 = 〃i и осью симметрии характеристики первого семейства будут отражением от оси симметрии характеристик второго семейства, проведенных из звуковой линии; если передвигаться по характеристике первого семейства, удаляясь от оси симметрии, то она пересекает параболы с убывающими значениями д.
При р = 9/8 характеристики 〃 =例 н 〃 =偿 совпадают. Характеристики первого семейства, исходящие из звуковой линии расположены в области между звуковой линией д = 1/16 и характеристикой д = 1/8; они приближаются к точке К, пересекая параболы с возрастающими значениями 〃.Характеристики первого семейства, расположенные в области между характеристикой д = 1/8 и осью симметрии, будут отражением от оси симметрии характеристик второго семейства, исходящих из звуковой линии; если передвигаться вдоль характеристики первого семейства, удаляясь от оси симметрии, то она будет пересекать параболы с убывающими значениями д.
При р = 9/8 из точки К не выходит характеристик.
Каждая характеристика пересекает звуковую линию дважды: сверху и снизу от оси симметрии.
Отметим, что поведение характеристик в окрестности линии вырождения в общем случае исследовалось в [60, 62].
Осесимметричное вихревое течение в окрестности точки К на оси и вне оси симметрии
Рассмотрим течение в окрестности точки К в осесимметричном вихревом потоке [102]. В отличие от плоского случая здесь существенно различать точки К, расположенные на оси и вне оси симметрии. Примеры существования точки К такие же, как и в предыдущем параграфе.
Уравнения движения возьмем в форме (1.4), (1.5), (1.6)
需噥+苧，器=需+焉瞪，(24) ftiAexp ( [= Ф(^),五2qQ)g = F®)・(25)
Выведем приближенные уравнения вихревого трансзвукового течения, имеющего место в окрестности точки К, лежащей вне оси симметрии.
Поместим начало координат в точку К. Будем считать, что в некоторой окрестности точки К энтропия является достаточно гладкой функцией, так что
S3)=夕吵+ 呼 +。侬2)・(26)
Положим
g = e2,,屮=呐明》=1 一 可佟阜=1 - / У?/*),(27)
"阮+密^氏一歹若需+
+巒(淤汚(喏y +ё3嘗总(28)
где 的，So — значения в точке К.
Представим у в виде
y(3,吵)=уо +，in 万 dsi + /x)s 万 ds2 = оо
=Уо + 厶1 sin В dg + 厶2 cos 夕 d耽 (29) оо
Здесь интегралы по з 吵 вычисляются соответственно вдоль линий 吵= =const, 8 = const. Положим в (25) F(^)=①(⑴=1. Подставляя (26), (28) в (24), (25), (29) получим при 6To систему уравнений для U, V
U% =V^+ D, + Е^.%。+V^= G^。，
D = (k + D(^^D = (k + D(^^2 sir? Во2 sir? ВоЕ =Е =(12sin/30-15sin3^0),(12sin/30-15sin3^0),
D = (k + D(^^
D = (k + D(^^
2 sir? Во
2 sir? Во
Е =
Е =
(12sin/30-15sin3^0),
(12sin/30-15sin3^0),
G =蚩 G"就 + S%osA)-欝).
Эта система имеет точное решение, аналогичное (21) §6. Возвращаясь к зависимым переменным u, v, определенным в (27), и к независимым переменным 夕，联 получим
七』%2,4 = 一伏 + 1)釣К，
+
3 -4
+ 豐 si
+ H一田
о = (к + 1)
+ R"生*『咋(30)
Первая формула (30) имеет тот же вид, что и первая формула (21) предыдущего параграфа. Поэтому картина расположения характеристик в плоскости W в окрестности точки К имеет такой же вид, как и в плоском вихревом течении при соответствующих значениях параметров. (Уравнения характеристик в плоскости 屮1ф имеют вид (dg/d吵产=-u.)
Рассмотрим теперь течение в окрестности точки пересечения звуковой линии с осью симметрии. Поместив начало координат в точку К, положим
8=£28。，吵=6吵°，
:=1 一睇缘崙，(31)
*® 哂 _ 3V(^°,^°)
夕-Т7Г -•
Положим в (25) @(夕)=1,尸®) = ”. Будем считать, что формула (26) также имеет место в окрестности точки К; при этом из условия симметрии вытекает; что dS/d吵=0 при 吵=0. Подставляя (30) в (25), получим при £ т 0
尼=1 + 0(^2),坛=^ (1 + O(d)).(32)
Используя (30), (32), получим
2/(夕,吵)=/in0dsi+ /os/3ds2 = оо
9。电。W。。
=發 yki sin 0 d，+ £ /^2 cos 0 d^° = i /^- d* + O(£')・ (33) ооо
Отсюда следует; что
y = ^°+O(£4)・(34)
Подставляя (30), (32), (34) в (24), получим систему уравнений для U"W。), Р(，^°)(прн£тО)
U% = %。+ 詼 ％。+ % = G『 G = *S〃L・
Эта система также имеет точное решение, аналогичное (21) §6. Возвращаясь к зависимьш переменным и, о (30) и к независимым переменным 夕, 叽 получим
u = 48一u = 48一А2 /<3_24G/3
u = 48一
u = 48一
о = -у^jg—吵•
Легко видеть, что асимптотический характер течения здесь такой же, как и в плоском случае. Однако если точка расположена за ударной волной, энтропия S(吵)имеет на оси симметрии максимум. Поэтому S〃 W 0 в точке К, откуда следует; что в этом случае звуковая линия всегда обращена выпуклостью в сторону сверхзвукового течения.
Трехмерное вихревое течение в окрестности точки К [103]
Исследуем аналогичным способом общий случай вихревого трехмерного течения, которое, например, может иметь место при пространственном обтекании тел с ударной волной.
В соответствии с «принципом замещения» (см. гл. 1), достаточно ограничиться рассмотрением течений с постоянной температурой торможения, так как распределение ее в потоке не влияет на расположение линий тока и поверхностей А = const. Потенциальное течение в окрестности точки К исследовано в [84].
Уравнения газовой динамики в форме Крокко в декартовой системе координат имеют вид
2w(u^ - g) + v(uy - %)=
M% - %) + w(yz - wy)=焉Sy,
u(g - %) + v(wy -vz) = — sz,(35)
炉网 + V2Vy + w2w^ + UV(yx + Uy) + UW(WX + Uz) +
+ wv(yz + Wy) = a^(ux + Oy + g),
2a2 = (k + 1) - (k — l)(u2 + о? + w2).
Здесь и, v, w —компоненты скорости, отнесенные к а —критическому значению скорости звука, s — энтропия, к — показатель адиабаты, Я — газовая постоянная.
Поместим начало координат в точку К ортогональности звуковой поверхности вектору скорости, совместив ось абсцисс с направлением вектора
скорости в этой точке. Положим в окрестности точки К
х = О(е2), y,z- О(е), u = 1 4- ^V, s = es^ 4- e2S,
О = £0 ⑴ + е%。) + &3匕 w = 6t(/1) + g21y (2) + g3 w,(36)
“KW = O⑴.
Здесь g — малый параметр, характеризующий размер окрестности точки А;многочлены s⑴,о⑴,ги⑴=0(1).
Подставляя (34) в (35) и переходя к пределу при е т 0, получим 増)-w^ = 0, kRv^ = s$), Sx = О,
kRw^ = s,% 也％ ⑴ + w^w^ = to, + 増)，%一% = + +加⑴(時)一必")，偿-Uz = % +0⑴®「一 破％,(37)
(% + 1)UUX - % 一 忆 + 宁®⑴2 + 加吗% +
+ 0 ⑴(% + %)+ 加⑴(a + W^^ +o(i%⑴ ®「+ 吗D) +
+ о⑴甸“ + w^2w^ 4- о⑵ of)+ tu⑵tup) = 0.
Из инвариантности первого уравнения этой системы относительно поворотов вокруг оси КХ следует; что
o(D = ay + 0z, w^ = Sy _ az,
и, значит; шестое и седьмое уравнения системы (35) принимают вид
%一% =蛋，WlU一装
Система (35) является неопределенной (коэффициенты многочленов s^, o(D, w^, о(2),叨(2) определяются неоднозначно). Это означает; что из локального рассмотрения, без исследования задачи «в целом», может быть установлен только характер течения с точностью до некоторых параметров. Часть этих параметров в потенциальном течении обращается в нуль; другие, например а,仇 остаются неопределенными и в этом случае.
Система (35) имеет точное решение
U = агх + 仇才 +。32? + a4yz, S = Ьгу2 + Ъ^^ + Ьзух,
V = сгху + с2cz + c3y2z + qgz? + с^ + cez3,(38)
W = dixy + d2xz + d^z + d4yz2 + d5J/3 + d^.
Коэффициент ai здесь определяется величиной ускорения потока в точке 宜；можно считать, что ai > 0. Подставляя (36) в (35), получаем неопределенную систему относительно коэффициентов a「b「q, &・
Поверхности А = const (в частности, звуковая поверхность) представляют в окрестности точки К семейства гиперболических или эллиптических параболоидов. В последнем случае, в отличие от потенциального течения, звуковая поверхность может быть обращена выпуклостью в сторону области дозвуковых скоростей.
Исследуем теперь поведение характеристических поверхностей в окрестности точки К. Характеристическая поверхность является огибающей элементарных конусов Маха, построенных в каждой точке области сверхзвуковых скоростей. Если обозначить через N единичный вектор нормали к характеристической поверхности z = X(y,z), то уравнение последней может быть записано в виде
N-V _ 1i-Xyj-Xxk
NT =历 =«+х： + х?・
Отсюда получим
|м —现缈I= J_(39)
+ x?，炉 +1? + 炉 “
Здесь V — вектор скорости, М — число Маха. Подставляя (34) в (37), получим при е т 0:
(Ху + ”⑴У + (% + 加】))2 =(』)(и +
Обозначим х = X + ау2/2 + 伙/z - az2/2. Используя первое выражение (36), повернем систему координат вокруг оси Кх, так чтобы коэффициент % обратился в нуль
xj + X； + 耿 + 制2 + 酸2 = 0.(40)
Здесь а, Ь, с — некоторые постоянные.
Уравнение (36) может быть проинтегрировано методом характеристик. (Характеристики (38) являются бихарактеристиками системы (35).) В соответствии с [55] имеем
^ = 2伊+力，江22,曾=%, (砌 孳=-ap — 2M 也=—aq — 2cz.
asas
Здесь s — параметр вдоль характеристики. Из второго и четвертого, третьего и пятого уравнений системы (39) следует
у" + ау' + 4Ьу = 0, z〃 + az' + 4cz = 0.
Решение этих уравнений записывается в виде
у = Ci exp (^"^s) + Q exp (-A/s) ,Л2 = а2 - 16b,
z = К exp (^~^s) + № exp (-"产$) ,д2 = а2 - 16с.
Интегрируя первое уравнение системы (39), получим
X =今& - а) ехр[(А - a)s] - ^^(2 - 経)exp(-as)-
一悽(入 + a) exp[-(A + a)s] + 寸(〃 一 а) ехр[(д - a)s]-
- ^『(d - a2) exp(-as)- 今3 + а) ехр[-(д + a)s]. (42)
Постоянные Ci, Q, Ki, № в зависимости от знаков дискриминантов А2, “2 могут принимать действительные или комплексные значения, так однако, чтобы выражения для х, У, z оставались действительными.
Глава 3
Сопло Лаваля. Проблемы и теоретическиеисследования
§ 1. Схема течения, М-область в физическойплоскости и в плоскости годографа
Соплом Лаваля называется устройство, разгоняющее поток до сверхзвуковой скорости. Оно применяется в реактивных двигателях, аэродинамических трубах, в паровых и газовых турбинах и обычно представляет собой канал круглого или прямоугольного поперечного сечения. Внутри канала имеется сужение, а на его концах поддерживается перепад давления, необходимый для перехода потока через скорость звука. Сверхзвуковой поток, создаваемый в сопле, как правило, должен быть равномерным; это обеспечивается выбором контура стенок сопла путем решения соответствующей математической задачи.
Принципиальная схема течения газа в сопле приведена на рис. 3.1. Дозвуковой поток, поступающий в симметричный канал, разгоняется до
Рис. 3.1Рис. 3.1звуковой скорости в сужающейся части канала. Звуковая линия АК^ в общем случае криволинейная, пересекает литическое сечение канала MN (штрихи) так, что точка К (центр сопла) находится вниз по потоку от MN. Минимальная область влияния смешанного течения (М-об- ласть) состоит из области дозвуковых скоростей и треугольника АВК
Рис. 3.1
Рис. 3.1
(ВК — характеристика второго семейства, выпущенная из центра сопла). К Af-области примыкают области сверхзвукового течения (вырожденного в точке К) в характеристических треугольниках ВСК (I). KCD (П), CDE (Ш). В треугольнике Ш с прямолинейной характеристикой первого семейства DE поток выравнивается; если сопло плоское, то течение в нем имеет характер простой волны, т. е. все характеристики первого семейства в нем прямолинейны.
Возможные модификации схемы рис. 3.1 связаны с образованием в Af-области местных сверхзвуковых зон, а также с удлинением сверхзвуковой части сопла при увеличении числа характеристических треугольников или, иначе говоря, при «усечении» треугольника П стенкой канала (рис. 3.1). Наиболее существенная модификация схемы рис. 3.1 будет при прямой звуковой линии, когца Af-область не содержит сверхзвуковых подобластей.
а течения в сверхзвуковой и дозвуковой областях не зависят друг от друга. Как будет показано в § 6, в этом случае наиболее предпочтительна схема сопла с угловой точкой на звуковой линии (см. рис. 2.8). При этом сверхзвуковая часть сопла состоит только из области АКБ расширения потока вокруг угловой точки А и области выравнивания ADB (характеристический треугольник Ш). В области АКВ уравнения гиперболического типа вырождаются на прямой АК,
Рассмотрим теперь основные свойства отображения М-области в плоскость годографа. Предположим, что существует плоское симметричное стационарное потенциальное течение газа в сопле Лаваля без местных
Ее граница состоит из отрезкаЕе граница состоит из отрезкасверхзвуковых зон в дозвуковой области. Тогда образ Af-области в плоскости годографа Л0 обладает следующими свойствами:
Ее граница состоит из отрезка
Ее граница состоит из отрезка
Если в физической плоскости звуковая линия криволинейна и в дозвуковой части нет сверхзвуковых включений, то функция тока 也 удовлетворяющая уравнению Чаплыгина, является решением задачи Трикоми-Франкля, формулируемой в некоторой области К АВС (рис. 3.2). АК оси 6 = 0, характеристики КС
и кривой АВС, сверхзвуковой участок которой, ВС, лежит внутри характеристического треугольника KBD и пересекает каждую характе-
ристику первого или второго семейства, проведенную в этом треугольнике, не более одного раза. На АК и АВС, образах оси симметрии и стенки сопла,吵 принимает постоянные, но различные значения, например 0 и 1.
Если в физической плоскости звуковая линия прямая и в дозвуковой части сопла нет сверхзвуковых включений, то образ Af-области целиком лежит в дозвуковой части плоскости годографа. Граница образа М-области содержит точку звуковой линии, изображающую прямую звуковую линию физической плоскости. Граница образа Af-области может содержать не только одну точку, но и некоторый отрезок звуковой линии. В этом случае образом прямой звуковой линии в физической плоскости будет только одна точка этого отрезка (рис. 3.3).
В точке, изображающей прямую звуковую линию, функция тока 吵 претерпевает разрыв первого рода.
В случае сопла бесконечной длины, но конечной ширины, образом входного сечения сопла является точка, расположенная на оси симметрии, так как угол наклона стенки сопла при приближении к этой точке должен стремиться к нулю, а скорость стремится к величине, определяемой расходным соотношением и, следовательно, не равна нулю. Функция тока в этой точке имеет разрыв первого рода.
В случае сопла бесконечной длины и с пшриной, возрастающей при перемещении к входной части, образом входного сечения будет либо отрезок (если пшрина возрастает пропорционально длине), либо точка (при более медленном росте) оси А = 0.
Если сопло конечной длины, то изображение входного сечения определяется связью 尸(仇 А) = 0;от нее также зависит граничное значение для функции тока. Так, если на входе в сопло, а именно, на некоторой линии 夕=const, реализуется простейшая связь: 0 = 0, то образом входного сечения будет отрезок оси 0 = 0, на котором 勿=0. Действительно (рис. 3.4),
61з=зо = 0 а £^1з=зо =0 》8入 |°=о = 0 * 物 1е=о = 0.
Расположение входного сечения сопла в физической плоскости будет зависеть от всех параметров решения ”(入 /?), в том числе и от координат концевых точек отрезка 6 = 6. (Подробнее об этом см. § 5.)
Основные задачи теории сопла
В теории сопла Лаваля различают две основные задачи — задачу профилирования контура сопла, удовлетворяющего ряду технических требований, и прямую задачу целью которой является определение параметров потока в канале заданной формы. Хотя постановка обеих задач ввиду нелинейности уравнений производится применительно к соплу в целом, определяющее воздействие на все течение оказывают решения этих задач в А1-области, которая в прямой задаче отыскивается в процессе решения.
Прямая задача сопла Лаваля состоит в определении поля скоростей в канале заданной формы. Ее решение имеет разнообразные технические применения, в частности, позволяет судить о качестве профилирования и изготовления контура сопла. Большую важность представляют математические исследования корректности задачи — вопросов существования, единственности и непрерывной зависимости решения прямой задачи от граничных условий. По существу это вопросы адекватности модели идеального газа, применяемой (в комбинации с теорией пограничного слоя) для описания реального движения газа. Они освещают условия реализуемости стационарного безотрывного течения, его устойчивость и независимость от процедуры запуска сопла, свойство течения быть непрерывным или иметь скачки уплотнения. По большинству названных проблем в настоящее время получены лишь отдельные результаты, тем
не менее мнение о корректности прямой задачи в достаточно широком классе функций общепринято и является логическим обоснованием разработки алгоритмов численного решения. Получаемая информация после дополнительной обработки с целью учета влияния пограничного слоя (если он существует — как решение соответствующей краевой задачи для уравнений пограничного слоя) может интерпретироваться как «экспериментальная» —почти наравне с результатами аэродинамического эксперимента.
Впервые попытка численного решения прямой задачи сопла Лаваля была предаринята Я. И. Алихашкиным, Ф. П. Фаворским, П. И. Чушкиным одно- и двухполосным методом интегральных соотношений [2].
В работах [46,39] были разработаны численные методы сеток на основе метода установления К. И. Бабенко, Г И. Воскресенского, А. Н. Любимова, В. В. Русанова [4] и метода С. К. Годунова [29]. В настоящее время существует много различных численных методов, решающих прямую задачу сопла. Описание одного из них, основанного на модификации метода [153] приводится в гл. 4, § 7-10.
В задаче профилирования сопла, как и в прямой задаче, основная трудность состоит в получении решения в М-области. В области сверхзвуковых скоростей решение последовательно строится в примыкающих друг к другу характеристических треугольниках по краевым условиям, заданным либо на двух характеристиках (задача Гурса), либо на характеристике и на теле. Трансзвуковой характер имеют только задачи в примыкающих к М-области характеристических треугольниках, ввиду вырождения типа гиперболического уравнения.
Современный подход к решению задачи профилирования состоит в численном решении корректно поставленных задач. Однако и до сих пор в технике можно встретиться с «традиционным» приемом профилирования сопел, утвердившимся в 30-х годах в эпоху массовой постройки аэродинамических труб. Этот прием состоит в том, что контур сопла в дозвуковой части выбирается «приближенно» в виде некоторой гладкой кривой, а сверхзвуковая часть профилируется методом характеристик без использования информации о решении в М-области, но на основании заменяющих ее дополнительных предаоложений (например, предаоложе- ния о прямой звуковой линии или предположения о том что на начальном участке сверхзвуковой части сформировано течение от источника). Следует отметить, что так спрофилировано подавляющее большинство существующих в настоящее время сопел аэродинамических труб [82]; приемлемая степень равномерности потока на выходе была достигнута ценой увеличения полости сопел (грубо говоря, поток при этом становится как бы одномерным). Однако неоправданное удлинение сопел нежелательно по техническим соображениям, в особенности для гиперзвуковых труб.
Первые попытки разработки н^чно обоснованных методов профилирования связаны с решением так называемой «обратной» задачи, основанной на решении задачи Коши, когда поле скоростей в сопле определяется по заданному на оси симметрии распределению скорости. Как известно, для уравнений эллиптического типа эта задача некорректна — ее решение хотя
и существует при аналитических начальных данных, но не зависит от них непрерывно.
Это свойство устанавливается примером Адамара ——последовательность значений гармонических функций на прямой y?n = (1/n) sin пх ch пу при п -> оо стремится к нулю на прямой у = 0, но неограниченно возрастает при у，0 (при этом a^n/ag = 0 при у = 0).
В современной математике существует подход к решению некорректных в классическом смысле, но условно корректных задач, и разработаны соответствующие вычислительные алгоритмы. Однако вычисления могут быть произведены только с некоторой конечной точностью, которая зависит от типа уравнения (особенно если оно вырождается), размеров и формы области определения решения и от разрядности компьютера.
Это обстоятельство применительно к задаче о сопле представляет собой серьезное ограничение. Иначе говоря, сопла с достаточно крутыми стенками (а именно такие сопла практически наиболее интересны) не могут быть спрофилированы с требуемой для техники точностью. В свое время большое преимущество решения обратной задачи сопла было связано с быстродействием алгоритма, однако по мере развития вычислительной техники это перестало иметь значение.
Одна из первых попыток численного решения задачи профилирования сопла путем решения обратной задачи как условно корректной (использовалось сглаживание осцилляций) была предпринята в [131]. Профилировался контур CD центрального тела кольцевого сопла (рис. 3.5) по заданному на известном контуре АВ распределению скорости. Задача вычисления координат контура решалась в переменных 仍 吵.Результаты расчетов показаны на рис. 3.6.
Метод профилирования плоских и осесимметричных сопел путем решения обратной задачи был разработан в работах У 匚 Пирумова, подробному изложению которых посвящена монография [77].
В связи с указанными выше трудаостями обратной задачи стали интенсивно развиваться численные методы решения задачи профилирования на основе корректных математических постановок (см. гп. 4, § 1). Технические условия предъявляемые к профилируемому сопл^ обычно сводятся лишь к заданию его ширины во входном и выходном сечениях и числа Маха в рабочей части, поэтому при профилировании сопла существует довольно
большой произвол в выборе краевых условий математической задачи. Это позволяет принять дополнительное условие монотонности скорости вдоль стенки сопла, заведомо обеспечивающее безотрывность пограничного слоя, а значит и течения в целом, что является необходимым условием адекватности применяемой модели.
Таким образом, методы, позволяющие профилировать сопла с возрастающей скоростью потока вдоль стенки имеют существенные преимущества перед методами, основанными на решении прямой задачи, когда сначала определяется поле скоростей во всем канале произвольной формы, выделяется Л/-область и по данным на ее границе производится перепрофилирование сверхзвуковой части сопла. Реализуемость безотрывного течения в так спрофилированном сопле, в случае, если скорость вдоль стенки оказывается не монотонной, может бьпъ обеспечена лишь ограничениями на число Рейнольдса.
В гп. 4 § 1~3, 6 дается изложение двух численных методов решения задачи профилирования с монотонно возрастающей скоростью на стенке сопла. (Идея метода годографа профилирования контурсж сопел в M-области в корректной постановке была впервые предложена 匸 Ю. Степановым [94, 95].)
Понятие хорошо спрофилированного сопла
Область дозвуковых скоростей хорошо спрофилированного сопла не должна содержать местных сверхзвуковых включений. Такие зоны, как правило, «замыкаются» скачками уплотнения, в которых происходят потери энергии. Кроме того, они могут бьпъ причиной отрыва пограничного слоя. Поэтому при профилировании сопла желательно исходить из того, что М・ область состоит из области доз^ковых скоростей и примыкающего к ней вдоль звуковой линии криволинейного треугольника, ограниченного так называемой предельной характеристикой, выпущенной из точки пересечения звуковой линии с осью симметрии. В этом треугольнике скорость сверхзвуковая. Если звуковая линия прямая, то М-область совпадает с областью дозвуковых скоростей.
В понятие хорошо спрофилированного сопла целесообразно также включить свойство монотонности скорости на стенке сопла, обеспечивающее, как уже говорилось, безотрывность пограничного слоя при любых числах Рейнольдса.
С точки зрения технологии изготовления желательно, чтобы контур сопла Лаваля имел лишь одно сужение и не имел лшпних «волн», не оправданных существом дела. Это означает; что часть контура между входным и критическим (самым узким) сечениями должна состоять из двух участков с кривизнами разных знаков.
Несколько слов о соплах с прямой звуковой линией. Как известно, в таких течениях кривизна линии тока на звуковой линии обращается в нуль. Это послужило причиной распространенного заблуждения, что сопла с прямой звуковой линией «длиннее» сопел с криволинейной звуковой линией (см. [84] с. 163). (Под «длиной» здесь понимается некоторая
§4 Требобания к точности 85 неопределенная длина «горловины» сопла.) Однако результаты решения задачи профилирования с прямой звуковой линией показали (гл. 4, § 1), что на практике существуют гораздо более длинные сопла с криволинейной звуковой линией. (Такиесопла получаются обычно при использовании полуэмпирических методов профилирования, так как стремление уменьшить неравномерность потока приводит к выбору более пологих контуров.)
Требования к точности
К точности расчета координат сопел должны предъявляться самые высокие требования. Действительно, от равномерности потока в трубах зависит точность определения аэродинамических характеристик летательных аппаратов, а равномерность потока газовой струи реактивного двигателя способствует достижению максимальной тяги.
Современные представления о необходимой степени равномерности потока в рабочей части сверхзвуковой аэродинамической трубы определяют максимальную величину отклонений числа Маха от среднего значения в долях процента. Важным фактором, характеризующим качество потока, является также спектральная характеристика неравномерности: ясно, что в соплах аэродинамических труб наиболее нежелательны возмущения с длиной волны порядка характерного размера модели. Эти условия и определяют высокие требования к точности расчетов: она должна превосходить возможности металлообработки. Следует заметить, что в настоящее время в большинстве трубных сопел неравномерность потока по числу М не меньше ±(1 — 2)%, а точность расчетов ±(1 - 3)% в задачах внешней аэродинамики все еще считается удовлетворительной. Таким образом, точность расчета сопел должна значительно превышать точность расчета других задач аэродинамики и находится, фактически, на грани возможностей современной вычислительной техники. При этом весьма важно также знать, в каких местах расчетной области происходит концентрация вычислительной погрешности. Таким местом, несомненно, является область трансзвуковых скоростей, поэтому точность профилирования должна бьпъ выше всего именно в окрестности критического сечения сопла.
Ось симметрии осесимметричного сопла также является «зоной риска», так как возмущения, идущие от стенок в сверхзвуковой части концентрируются именно на оси симметрии [153].
Анализ точности потоков в соплах должен учитывать все аспекты, в том числе и влияние пограничного слоя на стенках трубы. Общепринято мнение, что это влияние компенсируется поправками на «толщину вытеснения» пограничного слоя, однако правомерность такой корректировки не очень обоснована для течений в каналах. Более того, она не всегда и осуществима. Например, так называемые «плоские сопла» аэродинамических труб имеют на самом деле прямоугольное сечение; коррекция влияния пограничного слоя на боковых Стенках, где поток не является равномерным, невозможна.
Длина дозвуковой части сопла
Сопло Лаваля как реальное устройство имеет конечную длину. Однако математическая теория оперирует с соплом бесконечной длины, хотя нет существенных препятствий для изучения сопел конечной длины.
Эта тенденция легко объяснима тем, что при изучении сопел бесконечной длины можно абстрагироваться от дополнительных технических устройств, которыми оснащаются аэродинамические трубы. Эти устройства не оказывают определяющего влияния на трансзвуковой характер течения, поэтому легче исследовать «базовую» модель течения, отвлекаясь от посторонних факторов.
Однако модель бесконечно длинного сопла, используемая в теоретических исследованиях, не слишком пригодна для вычисления решений, определенных в конечной области и воспроизводящих течения реального газа с учетом всех действующих факторов. Адекватная интерпретация граничных условий, осуществляющихся в действительности на входе в сопло представляет собой важную проблему. Строго говоря, эта проблема находится вне рамок модели идеального газа. Наиболее простая умозрительная интерпретация состоит в формулировке граничного условия либо для аргумента, либо для модуля скорости во входном сечении аэродинамической трубы. Что касается прямой задачи, то для нее установлена единственность решения при условии выравнивания направления потока, т.е. аргумента скорости (см. гп. 3, § 15).
Длина сопла является одним из важнейших технических факторов.
Если длина сверхзвуковой части может быть сокращена путем выбора оптимальной схемы (§ 6), то вопрос о длине дозвуковой части следует рассматривать с позиции сопла конечной длины. При этом главную трудность составляет проблема реализации сформулированного граничного условия на входе в сопло.
Пусть, например, на входе в сопло задано условие выравнивания направления потока. Решение прямой задачи с этим условием позволяет найти во входном сечении распределение модуля скорости, неравномерность которого, очевидно, тем сильнее, чем короче сопло. В связи с тем, что принятое граничное условие дает лишь схематическое описание суммарного воздействия всех устройств на подводящем тракте, возникает вопрос, какая степень неравномерности не мешает выполнению этого условия с заданной степенью точности.
При формальном подходе дозвуковая часть сопла может быть спрофилирована сколь угодно короткой, однако при реализации расчетная схема течения может не осуществиться. Указанная проблема остается открытой до настоящего времени.
За неимением лучшего, при изготовлении реального сопла обычно используется конечный участок профиля сопла бесконечной длины, а выбор положения входного сечения определяется требованиями к степени равномерности потока на выходе из сопла, ибо именно там; в конце концов, проявятся погрешности реализации граничного условия на входе.
Другой способ состоит в профилировании сопла конечной длины с условием выравнивания модуля скорости потока во входном сечении ——в предположении, что это граничное условие может бьпъ относительно точно реализовано технически.
Предпочтительная схема сопла [125]
Как указывалось выше, при выборе конструктивной схемы сопла существует некоторый произвол, который может быть использован для оптимизации, проводящейся с учетом как аэродинамических, так и технологоэкономических факторов. Очевидно, что для сопла с равномерным потоком на выходе все сводится к простой закономерности — чем короче, тем лучше. Поэтому целесообразно применение схемы сопла с изломом контура, позволяющей максимально сократить длину сверхзвуковой части. Как показывает опыт профилирования, положение точки излома на контуре мало сказывается на длине сопла, но существенно влияет на характер течения. Проанализируем это воздействие с целью установления наиболее предаочтительного положения угловой точки. В общем случае
Рис. 3.7Рис. 3.7
Рис. 3.7
Рис. 3.7
Рис. 3.8Рис. 3.8
Рис. 3.8
Рис. 3.8
угловая точка может быть расположена либо в сверхзвуковой части сопла, либо в минимальной области влияния смешанного до- и сверхзвукового
течения; отдельный случаи представляет сверхзвуковое течение с угловой
точкой, примыкающее к дозвуковому течению с прямой звуковой линией (рис. 3.7 а, б, с соответственно). Будем исходить из предпосылки, что
вниз по потоку от последней характеристики АВ узла разрежения течение является простой волной, т. е. имеет прямые характеристики (первого семейства).
Рассмотрим сначала случаи прямой звуковой линии (рис. 3.7 е). В плоскости годографа скорости Tg область АВК показана на рис. 3.8 (эпициклоида
41 &2 — образ угловой точки, эпициклои
да А2В —образ последней характеристики узла разрежения, КВ —образ
оси симметрии).
Условия ^ = 1 на 442 и ^ = 0 на КВ для функции тока определяют корректную краевую задачу для уравнения Чаплыгина. Если значение Ад близко к единице, это решение приближенно выражается точным решением
уравнения Трикоми [80] (см. гл. 2, § 5)
g«U^ ^(Г^' а = 2).
Это решение определено на одном листе плоскости годографа. Оно не имеет предельных линии и может бьпъ реализовано физически; по- видимому; это останется в силе и для соответствующего решения уравнения Чаплыгана. Таким образом, можно утверждать, что при передвижении по характеристике АВ от точки А к точке В скорость монотонно возрастает (в связи с однолистностью решения в плоскости годографа). Профилирование контура АС методом простой волны дает кривую без самопересечений, так как прямые характеристики первого семейства в области АВС расходятся. Это доказывает отсутствие скачков уплотнения в области АВС и монотонность разгона потока в направлении от А к С.
Рассмотрим теперь случай расположения угловой точки в минимальной области влияния смешанного течения с криволинейной звуковой линией (рис. 3.7 б); при этом несущественно, что разгон потока в угловой точке А может начинаться и не от звуковой скорости. В плоскости годографа 邓 образ области АКВМА двулистен (рис. 3.9): характеристика первого семейства КМ, как известно из теории сопла Лаваля (гл. 2), является лини-
Рис. 3.9Рис. 3.10
ей ветвления, т. е.—краем складки в плоскости годографа. (При этом в силу закона монотонности вектора скорости на звуковой линии /За» < 04 • Все характеристики узла, лежащие вниз по потоку от характеристики 友兄 проходящей из угловой точки в центр сопла, пересекая характеристику КМ. переходят на другой лист в плоскости годографа. Итак, если на выходе из сопла скорость сверхзвуковая, то характеристика АМВ разбивается характеристикой КМ на два отрезка — на АМ скорость убывает, на МВ скорость возрастает (при движении в направлении от А к В). В соответствии с этим по свойств «простой волны» в области АВС, если там течение непрерывно, на отрезке контура сопла АЕ скорость падает, а на отрезке ЕС — возрастает (при движении от А к С). В предельном случае
звуковой скорости на выходе из сопла, котда точки М, В, К совпадают; вдоль всего участка АС скорость падает. Падение скорости на стенке сопла может стать причиной отрыва пограничного слоя (в некотором диапазоне чисел Re), поэтому сопла с замедлением потока на стенке не являются всережимными по Re.
Кроме того, в соплах по схеме рис. 3.7 6 в области АВС будет происходить пересечение прямолинейных характеристик первого семейства, по крайней мере при значениях скорости на выходе из сопла, близких к скорости звука. Собственно говоря, это означает несуществование течения типа «простой волны» в области АВС, т.е. невозможность спрофилировать контур АС, исходя из условия равномерности потока на характеристике ВС.
Для доказательства рассмотрим случай Ав = 1. Построим на рис. 3.10 минимальную область влияния смешанного течения с угловой точкой и криволинейной звуковой линией, ограниченную предельной характерн- стикой АК. Задача состоит в построении контура АС, обеспечивающего равномерный звуковой поток на вертикальной прямой КС.
Предположим, что искомое решение типа простой волны в тр^гольшь ке АКС существует. В плоскости годографа оно изображается характеристикой АгК(рис. 3.9), поэтому контур сопла АС лежит выше прямой АЕ с отрицательным углом наклона к оси симметрии касательной к контуру в точке А на выходе из угловой точки (рис. 3.10). Выберем точку Р на вертикальной прямой КС так, чтобы длина отрезка РК не превосходила половины отрезка КЕ. Проведем прямую QP параллельно оси симметрии. Будем считать, что точка Р взята настолько близко к К, что на отрезке характеристики QK направление выпуклости не меняется. Такой отрезок QK существует в силу монотонности скорости на характеристике ОК вблизи К (рис. 3.9) и в связи с тем, что на ней /? = О(А - I)3/2 при А 1.
Всюду на характеристике АК /? < 0, т. е. вектор скорости в точке Q лежит под прямой QP. Построим зеркальное отражение QS отрезка характеристики QK с касательной QR к кривой QS в точке Q. Ясно, что прямолинейная характеристика первого семейства QT лежит ниже прямой QR, которая расположена ниже кривой QS в силу ее выпуклости. По построению, точка S ниже Е, поэтому характеристика QT пересекает характеристику КС внутри области течения, что и требовалось доказать.
Решение типа простой волны непрерывно зависит в области АВС от значения скорости в точке В. Поэтому раз пересечение характеристик (точка Т) при 入в = 1 происходит внутри области течения, это также будет справедливо и в некотором промежутке Ав > 1, пока точка Т не пересечет контур сопла.
Доказательство существования скачка уплотнения при трансзвуковом обтекании выпуклого угла (см. гл. 9, § 8), выходящего из угловой точки, в данном случае неприменимо, так как в нем течение за предельной характеристикой предполагалось невырожденным (т.е не являющимся простой волной).
По поводу схемы сопла с угловой точкой в сверхзвуковой области (рис. 3.7 а) заметим, что немонотонность скорости на стенке сопла аналогичным образом зависит от расположения угловой точки относительно
характеристики первого семейства, исходящей из центра сопла и являющейся краем складки в плоскости годографа. Немонотонность будет иметь место, если угловая точка лежит вверх по потоку от характеристики КЕ. Ясно, что в этом случае сопло будет длиннее, чем сопло по схеме рис. 3.7 в.
Проведенный анализ показывает; что сопла с угловой точкой, выполненные по схеме с прямой звуковой линией, наиболее предпочтительны. Профилирование дозвуковой части сопла может бьпъ выполнено методом § 1 или § 7 гл. 4, что обеспечивает монотонность скорости на стенке на всем ее протяжении.
§ 7. Дозвуковая часть бесконечного сопла с прямой звуковой линией.Разрешимость задачи профилирования методом годографа
С целью формулировки задачи профилирования сопла вспомним (см. § 1), какими геометрическими свойствами в плоскости годографа обладает область определения решения, описывающего дозвуковое течение в сопле Лаваля с прямой звуковой линией.
Будем анализировать только «хорошие» сопла (в смысле § 3), т. е. с монотонно возрастающей скоростью потока вдоль стенки и без сверхзвуковых включений. Так как на стенках сопла, в силу условия непротекания, W принимает постоянные значения, например 0 или 1, и так как скорость непрерывна в замкнутой области определения решения, граница области содержит две кривые 切也 в полуплоскости Л ^ 1, на которых задано ” =0, ” = L Эти кривые имеют общую точку при Л = 1, изображающую прямую звуковую линию, в которой граничное значение для “ имеет разрыв первого рода. В силу принятого предположения, вдоль каждой кривой Л(«) — монотонная функция длины дуги. Если сопло бесконечной длины, но конечной ширины (стенки параллельны на бесконечности), то обе кривые имеют общую точку А = Л* > 0, /? = /?♦, соответствующую потоку на входе в сопло; Л* определяется расходным соотношением и расстоянием между стенками сопла (относительно длины отрезка звуковой линии), а 仇一угол наклона касательной к стенке (без ограничения общности принимаем, что аргумент вектора скорости на звуковой линии равен нулю).
Если принять дополнительное предположение о симметрии сопла относительно горизонтальной оси (оно не обязательно, но, как правило, обусловлено техническими соображениями), то выбирая в качестве одной из стенок ось симметрии /? = 0, получим, что граница dG области определения G представляет собой замкнутую жорданову кривую, состоящую из двух дуг — отрезка оси /? = 0, Л € [Аф, 1] (кривая £о) н кривой Z^ с концами в точках Ai, /? = 0;入=入*, /? = 0, во внутренних точках которой /? > 0 (рис. 3.11).
Если стенка сопла бесконечной длины наклонена к оси симметрии на бесконечности под некоторым углом 仇，то скорость на входе равна нулю и граница области определения отличается тем, что она еще содержит отрезок оси А = 0, /? € [О,/?о], на котором ” = 仇(рис. 3.12).
Течение в сопле конечной длины обладает некоторыми дополнительными свойствами; оно рассматривается в §8. Отметим, что dG может
Рис. 3.11 Рис. 3.12Рис. 3.11 Рис. 3.12
Рис. 3.11 Рис. 3.12
Рис. 3.11 Рис. 3.12
содержать отрезки прямых А = const, в том числе и отрезок звуковой линии. В последнем случае звуковая скорость будет достигаться не только в критическом сечении сопла, но и на его стенке (рис. 1.13); именно в такой постановке оказалось удобным решать задачу профилирования (см. гл. 4, §1).
Дозвуковая часть сопла с прямой звуковой линией, но не монотонным распределением скорости вдоль стенки (без сверхзвуковых включений) имеет вид, изображенный на рис. 3.14: граница области 8G на многолистной в общем случае римановой поверхности проецируется на плоскость годографа в виде замкнутой самопересекающейся кривой. В отличие от случая сопла с монотонным распределением скорости вдоль стенки, распределение скорости вдоль оси симметрии может оказаться немонотонным.
Рис. 3.13 Рис. 3.14Рис. 3.13 Рис. 3.14
Рис. 3.13 Рис. 3.14
Рис. 3.13 Рис. 3.14
Рассмотрим подробно задачу о течении в бесконечном сопле с параллельными стенками на входе. В силу вышесказанного, в области G получаем обобщенную задачу Дирихле для функции тока с разрывным (кусочно постоянным) граничным условием. В плоскости годографа ” удовлетворяет в точной постановке уравнению Чаплыгина, а в приближенной постановке, часто применяемой для выявления главных качественных особенностей трансзвукового характера — уравнению Трикоми.
Обобщенность сформулированной задачи связана с наличием разрыва граничной функции в двух точках, одна из которых находится в области равномерной эллиптичности, а другая — на линии вырождения (на звуковой линии). Под решением обобщенной задачи Дирихле будем понимать, следуя [56,96], регулярное внутри области определения решение дафферен- циального уравнения, ограниченное в замкнутой области и принимающее заданные граничные значения во всех точках непрерывности граничной функции (с конечным числом точек разрыва).
Существование решения сформулированной обобщенной задачи Дирихле доказывается тем же способом, которым доказывается существование
решения задачи Дирихле с непрерывным граничным условием для вырождающегося на границе эллиптического уравнения [92]. А именно, кусочно постоянная граничная функция ”|aG, доопределяется до функции /(А, 0), определенной и ограниченной в замкнутой области G и непрерывной вскщ^ кроме точек разрыва ”|aG・
Затем рассматривается последовательность решений задач Дирихле определенных в подобластях Gh С G, полученных из G отсечением окрестности линии вырождения: 1 - А Л и Л-окрестности точки разрыва в области эллиптичности; граничное значение для “а определяется значением на dGh функции /(А,уЗ).
Последовательность решений {麻} равномерно ограничена (в силу принципа максимума) и равностепенно непрерывна при Л < Ло в каждой подобласти Gh。; последнее следует из интегрального представления 麻 с помощью функции Грина в 豆。.Поэтому в силу теоремы Арцела последовательность {^л} при 无 т 0 сходится к непрерывной функции (всюду кроме отрезка линии вырождения и точки разрыва в области эллиптичности), ограниченной в замкнутой G, которая, в силу интегрального представления, дважды непрерывно дифференцируема в G, следовательно, является регулярным решением дифференциального уравнения, принимающим заданные граничные значения вскщ)； кроме точек разрыва граничной функции и отрезка линии вырождения. Если граница области содержит этот отрезок (как, например, показано на рис. 3.13), то непрерывность 而 в точках непрерывности ф\эо на этом отрезке доказывается, как и в [92], с помопц»ю барьера (который существует в точках звуковой линии как для уравнения Чаплыгина, так и для уравнения Трикоми — и вообще для всех линейных эллиптических уравнений «трикомиевского» типа вырождения (1.32)).
Вопрос о единственности решения сформулированной задачи представляется более сложным.
Дадим доказательство единственности решения обобщенной задачи Дирихле для случая уравнения Трикоми.
Для простоты рассмотрим отдельно случаи, когда точка разрыва находится на линии вырождения и когда она находится в области эллиптичности.
Рассуждение повторяет аналогичное доказательство [56, 96] для решения обобщенной задачи Дирихле в ограниченной области для уравнения Лапласа. Последнее основано на применении принципа максимума с использованием в качестве мажоранты функции
U = eln L ……2• ,(1)
，(С — Со)? + (у — Jo)?
обладающей следующими свойствами (D — диаметр области G).
U —решение уравнения Лапласа.
U》0. 3. U т 8 при (с, у) т (хо,2/о)«
Справедливость принципа максимума для вырождающихся эллиптических уравнений указана в [24].
Пусть точка разрыва находится на линии вырождения. Тогда берем в качестве U точное решение уравнения Трикоми
U = е[9(о — vo)2 — 4г?]Т/б.
Оно неотрицательно при и ^ 0 и обращается в бесконечность при V ~> vo, tx Т 0.
Пусть теперь точка разрыва находится в области эллиптичности. Возьмем в качестве U/е первое фундаментальное решение уравнения Трикоми [93]
"(哈T/6尸你舄
TYE｛謡亂呜林。1 +。(1)｝，宀一2)
；,｝ = ® - Vo)2 + ^ [(-U)3/2 干(_网)3/2] , ° = $•
Это точное решение уравнения Трикоми неотрицательно при u V 0 и обращается в бесконечность при а -> 0.
В общем случае, когда рассматриваются две точки разрыва, в качестве U берется сумма решений (1) и (2).
Таким образом, если принять, что обобщенная задача Дирихле имеет единственное решение не только для уравнения Трикоми, но и для уравнения Чаплыгина, то решение этой задачи можно рассматривать как корректную процедуру профилирования дозвуковой части сопла методом годографа: после построения ” в G может быть найдена нормальная производная 8”/8n|aG (если dG — достаточно гладкая кривая), что позволяет далее вычислить декартовы координаты контура сопла (более подробно см. гл. 4, § 2).
§ 8. Разрешимость задачи профилирования дозвуковой части соплаконечной длины с прямой звуковой линией
Как уже говорилось в § 5, годограф сопла конечной длины зависит от граничного условия, которое может быть реализовано технически на входе в сопло. В аэродинамических трубах для этого обычно применяют решетки, сетки и т.д. Будем считать, что спрямляющие устройства обеспечивают условие горизонтальности потока в некотором сечении х = const. Тогда это можно выразить в виде условия 夕 = 0 при g = const, откуда следует д^/дф = 0 при 尸=0, или д^р/дХ = 0 при 6 = 0・
Считая что во входном сечении (на границе области течения) выполняются уравнения движения, получим окончательно д^/др = 0 при 尸=0.
(Как будет показано ниже, задание конкретного значения постоянной 3 = const, что равносильно указанию координаты входного сечения, оказывается переопределяющим: эта постоянная определяется в процессе решения задачи профилирования.) На этом участке оси 尸=0, соответствующем входному сечению, А меняется в некотором даапазоне [Ai, Аг]; годограф течения в сопле конечной длины изображен на рис. 3.14.
В некоторых случаях, исходя из желания «получше» выпрямить поток во входной части сопла, сразу после входного сечения на стенке сопла делают прямолинейный участок, параллельный оси симметрии (рис. 3.15).
Таким образом, в общем случае ось 0 = 0 содержит образ оси симметрии DA, образ входного сечения DC и образ прямолинейного участка СВ стенки сопла. Так как д® ”) /8(% 0) W 0 при А ^ 1, то контур сопла и его образ в плоскости годографа ориентированы противоположно. Из этого следует; что если потребовать, чтобы на криволинейной части ВА стенки сопла скорость не убывала, то получим, что на отрезке BCD оси В = =0 скорость не возрастает при движении от D к С и далее от С к В. Таким образом, доказано свойство: либо на криволинейной части стенки симметричного сопла скорость — немонотонная функция длины дуги, либо во входном сечении скорость убывает при движении от оси симметрии, а если на стенке сопла есть прямолинейный участок СВ, параллельный оси симметрии и примыкающий к входному сечению^ то при движении по СВ от входного сечения скорость монотонно убывает.
Из доказанного следует вывод, важный для техникитрямолинейный участок после входной части сопла делать нецелесообразно, так как происходящее на нем торможение потока может привести к отрыву пограничного слоя, а значит ——и всего потока.
Вернемся к краевой задаче, соответствующей соплу конечной длины. Ее можно сформулировать следующим образом.
В области G, ограниченной жордановой кривой, содержащей отрезок оси 尸=0 о примыкающей к линии вырождения эллиптического оператора (Чаплыгина или Трикоми) найти регулярное решение, ограниченное в G, непрерывное в G\4, непрерьтнодафференцируемое в GU{(A,0):尸=0, Ac < А < Ар} и удовлетворяющее условиям
” =0при” =1при8”/80 = 0при” =0при” =1при8”/80 = 0при8 = 0, Ар ^ А < 1; (А,8) е [СВАУ
” =0при
” =1при
8”/80 = 0при
” =0при
” =1при
8”/80 = 0при
0 = 0, Ас < А < Ар.
Эта задача представляет собой обобщенную задачу с косой производной; ее обобщенность состоит в наличии разрыва первого рода искомой функции в точке А звуковой линии.
Докажем однозначную разрешимость этой задачи, полагая, что граница области G целиком задана (имеется в виду положение точки 力).
Существование решения доказывается: а) для любого вырождающегося эллиптического дифференциального оператора, если 8G не содержит никакого отрезка линии вырождения, б) для оператора с вырождением типа
Трикоми (в том числе и для уравнения Чаплыгина), если dG содержит отрезок линии вырожцения. Что касается еданственности, то доказательство приводится лишь для уравнения Трикоми.
Доказательство существования основано на той же идее, что и доказательство существования обобщенной задачи Дирихле (см. § 7). Точнее, оно полностью идентично, если проверить выполнение следующих условий.
Решения 以 в усеченных областях G% (G% получается удалением из G полосы А》1 - Л) существую!； единственны и допускают интегральное представление с помощью функции Грина (как ив §7, граничное значение для “％ при А = 1 - Л задается функцией /(》,£))•
Множество {%} равномерно ограничено.
Выполнение условия 2 следует из принципа максимума и из принципа Заремба-Жиро, состоящего в том, что в точке максимума или минимума решения эллиптического уравнения на границе области нормальная производная решения отлична от нуля.
Условие 1 также выполняется. Действительно, в каждой области Gh рассматривается задача:
” =0
при
”0, А° W 入 W 1 - А
W = 1
при
(А向 € [СВЕ];
” =/(入 e)k=if
при
А = 1 —儿 0 W S W Se；
即/00 = о
при
£ = 0, •》C < 入 < 入口.
Решение этой задачи дается симметричным решением ”(Х8) = =“(А, -В) задачи Дирихле в области с разрезом вдоль отрезка CD оси S = 0, полученной объединением с исходной областью ее зеркального отражения относительно оси 尸=0. (Ее решение можно найти и непосредственно, используя теорию псевдоаналитических функций и решение смешанной задачи аналитических функций [26].) Итак, решение “％ существует, единственно и может быть представлено в интегральной форме с помопц>ю функции Грина.
9. Асимптотики дозвуковых течений в соплах Лаваля с прямойзвуковойлинией
Будем называть асимптотикой дозвукового течения в сопле Лаваля с прямой звуковой линией точное решение уравнения Чаплыгина (или Трикоми), определенное и ограниченное в полуплоскости эллиптичности и обладающее свойством, что линии уровня ” образуют узел в точке звуковой линии, в которой задан разрыв первого рода граничного условия обобщенной задачи Дщ)ихле, и что значения решения на границе области определения этой задачи отличаются от граничного условия последней на непрерывную функцию (в достаточно малой окрестности точки разрыва). В силу единственности решения обобщенной задачи Дирихле в каждой фиксированной области определения асимптотика единственна.
Возникает вопрос, как асимптотика зависит от формы границы области и можно ли определить асимптотику заранее, зная лишь границу области, не решая задачу Дирихле.
Положительный ответ на второй вопрос может оказаться полезным при решении задачи профилирования сопла численным методом с выделением главной части разрывного решения в окрестности точки разрыва граничного условия. Так, в теории уравнения Лапласа производится редукция обобщенной задачи Дирихле к классической путем выделения асимптотики — гармонической функции (h/a) arg(z — zo), где Л — скачок граничного условия, а — внутренний угол по области между касательными к границе в точке разрыва [56]. Однако этот прием можно применять только при а > О (если контур гладкий, то а = тг). Но так как обобщенная задача Дирихле однозначно разрешима и в случае, котда точка разрыва является точкой заострения границы [55], то это означает; что в последнем случае существует другая асимптотика (построить ее можно с помопхью конформного отображения).
Аналогичная ситуация возникает в случае уравнения Трикоми.
В гл. 2, § 5 рассматривалось автомодельное решение уравнения Трикоми вида ” = ”(и/°2/з), представленного формулой (2.20), линии уровня которого — полукубические параболы. Это решение, в частности, описывает дозвуковое течение с прямой звуковой линией, в котором скорость в окрестности звуковой линии 屮=0 растет по закону -и =厶屮？ + • • • Среди автомодельных решении уравнения Трикоми вида
“=(―4|? + 9病> g(G), g = u 信)/, -oo < j < оо, (3) решения с j < 0 дают примеры течений в сопле с прямой звуковой линией и разгоном потока по закону —u = A\(p\k + ... , 2 v k V 8.
Покажем, что:
в классе (3) только решения при j ^ 0 могут быть асимптотиками течений в сопле с прямой звуковой линией;
из всех решений обобщенной задачи Дирихле, в зависимости от формы 8G в окрестности точки разрыва ” на линии вырождения, могут быть выделены классы j W 0 с асимптотиками (3);
существуют решения обобщенной задачи Дирихле, не имеющие асимптотик в классе (3).
Рассмотрим автомодельные решения уравнения Трикоми вида (3). Будем рассматривать только антисимметричные решения G, описывающие течения в соплах, симметричных относительно оси ” = 0. Поэтому граница области определения обобщенной задачи Дирихле содержит полуось v = 0, u W 0, на которой задано условие ” = 0. Образ стенки сопла изображается некоторой кривой L, лежащей в полуплоскости u W 0 и выходящей из точки и = о = 0. Будем считать, что эта кривая задана уравнением вида V = v(u), где V = о(и) —непрерывная функция (в исключительном случае Е может быть отрезком полуоси и = 0, рис. 3.16), и на ней задано условие ” =”о € (0,1].
В силу непрерывности о(и) имеем: lim v(u) = 0.
Рис. 3.16
Из представления (3) следует, что
(U映。6(6,方=现(同3 +竽
Если j = 0, то lim Ge(€, 0) = V^o ； если j > 0, то lim G<j(S,j) = 8, (14,0)тО(з)тО
а если j > 0, то lim Ga{^,j) = 0. (u,v)-*0
Из формул ел. 2, § 4 следует; что Ge(^, J) < оо всюду при и ^ 0, поэтому асимптотиками могут быть решения (3) только при j W 0.
Пусть о(и) = о(岡3/2) при и -> 0. Тогда в силу непрерывности G⑹
I把。/J/…)=G。 (肥。扁河'=
=Ga(-8,/) =岡3|引呪=；二 *
|м|тОI 吵0, J —
Это равенство выполняется для любого j < 0 в силу антисимметричности Ga(S, j). Вспоминая (см. гл. 2, §4), что при £ т -оо
Ga = (1 -白尸/2尸(_?• +笳• +工受}
получим
Зи(“)
поэтому
同比次=言^ +…0 心)=(2/3)现同3/2+3团
Таким образом, если на кривой Е
3 v(u) = А\и\п + ... , П > -,
4 Э. Е Шифрин
98 Сопло Лабаля> Проблемы и теоретические исследоеания Гл. 3 задано условие 山=const, то асимптотикой является решение вида (3) при j = 1/2 — n/З с граничным условием ” = 34/2 + /(и) на параболе V = А\и\пу где /(и) —непрерывная функция, /(0) = 0.
При этом весь узел линий уровня 耽 проходящих через точку и = V = 0, т. е. узел образов линий тока, пересекающих прямую звуковую линию, имеет асимптотическое представление в виде семейства v = =a|u『,0 а А.
Пусть теперь |u|3/2 = o®(u)), и т 0. Тогда
1把俨(前施,3) = Ga (躋面爲产"=
= Ga(0，j)=耽偿『 = {*, ；£
Возвращаясь к уложенному в § 4 гл. 2
Ga =-"1/3)门3/2)(1 2 з\
a I 3 r(j + l»(-j + 5/6)2十 2'3* 丿
£зГ7 г (-1/3) Г (3/2)/1.5 4 з) (4)
々丿 r0 + 2/3)r㈠+ 1/2) (⑶
получим, что предыдущее равенство может выполняться при j < 0 только если f = -1, когда первый член в выражении для Ga тождественно равен нулю. В этом случае при § т 0
Ga(3—1) =-S + O(G)=呪偿) =j> o = g(^)+。(岡)・
Однако этот случай не может быть признан асимптотикой симметричного сопла, так как v ~> оо при ^о т 0, что не позволяет включить ось симметрии сопла в узел линий ” = const.
Таким образом, остается только случай j = 0. Формула (4) при j = 0 приводится к виду
「少m 一 -1/3)"3/2) 一 Г(-1/3)Г(3/2)71 5 4 3)
~Г(5/6)~Г(2/3)Г(1/2) 4 \3,6, 3,?丿.
Напомним, что G§(S,O) = const, а Ga(^,0) выражается квадратурой (2.20).
Поэтому при и т 6
「门 1/3)门3/2)厂(一1/3)-3/2)"_
Г (5/6) 十 Г (2/3) Г (1/2) (3v/2)2/3
,Г (1/3) Г (3/2),
一 -5/6)+…
Таким образом, случай, котда кривая L задана в виде v = v(u), где 岡3/2 = o®(u)), описывается асимптотикой (3) при j = 0 (рис. 3.17).
Эта же асимптотика описывает случай, котда кривая L задана уравнением v = C|u|3/2 + +。(同3" .
Таким образом, решения вида (3) являются асимптотиками обобщенных задач Дирихле в окрестности звуковой точки разрыва (описывающих течения с прямой звуковой линией в симметричных соплах Лаваля), если кривая L аппроксимируется параболой v = A|u|n + . • • , n》3/2, или если 同3/2 = o®(u)). Во всех остальных случаях решения (3) не могут быть использованы в качестве асимптотик (например, если v = A\u\n/hi\u\ + .. • , n》3/2 ит.д.).
Профилирование сопла с криволинейнойзвуковой линией
Отличие задачи профилирования от задач, рассмотренных в §7, 8 состоит в том, что вместо обобщенной задачи Мрихле или обобщенной задачи с наклонной производной рассматривается либо обобщенная задача Трикоми-Франкля, либо «франклевское обобщение» смешанной задачи (задачи с наклонной производной). Формулировки этих задач проиллюстрированы на рис. 3.18. Кривая в сверхзвуковой области пересекает каждую характеристику не более одного раза. Если L — характеристика, то ее прообраз — угловая точка.
Профилирование соплового аппаратапервой ступени турбины
Сопла первой ступени турбины представляют собой решетку профилированных каналов, расположенных по периферии неподвижного диска большого диаметра (по сравнению с характерным размером канала) и предназначенных для формирования кольцевого сверхзвукового равномерного потока, истекающего из неподвижной тороидальной камеры-накопителя (или камеры сгорания), находящейся в неподвижном корпусе турбины. Направление сверхзвукового потока составляет ненулевой азимутальный угол с осью симметрии турбины (с целью достижения максимальной подъемной силы на решетке профилей — лопаток, жестко соединенных с вращающимся рабочим колесом турбины). Современные турбины многоступенчаты: поток после обтекания лопаток первой ступени поступает в решетку лопаток «направляющего аппарата» (жестко соединенного с неподвижным корпусом), где изменяются его величина и направление, а затем — в лопаточный рабочий аппарат второй ступени (жестко соединенный с первым) ит.д.—
до полного срабатывания энергии газа (или пара); при этом число ступеней может доходить до двадцати.
Остановимся здесь только на возможности применения метода, описанного в § 2—8 для профилирования сопел первой ступени.
В силу относительной малости высоты каналов по сравнению с диаметром окружности, на которой они расположены, будем приближенно рассматртвать периодическую решетку плоских профилей.
Будем исходить из целесообразности профилирования соплового аппарата минимальной длины при условии монотонного возрастания скорости вдоль стенки сопла, что, во-первых, обеспечивает воспроизводимость схемы безотрывного обтекания, а во-вторых, минимальность потерь на трение в ткпраиичнш слое.
В ссхэтветствии со сказанным, сконструируем сверхзвуковую часть сопла с угловыми точками на пересенениях стенок сопла с прямой звуковой линией. Сверхзвуковая часть симметрична относительно оси GG — направления равн<жерного сверхзвукового потока на выходе из сопла; прямая GG — составляет с осью симметрии турбины НН угол а (это азимутальный угол: прямая GG выбрана так, что GG и НН лежат в одной плоскости). Прямолинейный отрезок CF контура сопла параллелен GG. Во избежание образования отрыва в области между решеткой сопел и лопатками первой ступени, кромка F должна быть острой (касательная к BF в точке F параллельна CF (рис. 3.19)).
Доз^ковая часть профиля ЛОВ, образующего стенку сопла, асимметрична и определяется решением следующей (сингулярной) задачи Дирихле
Рис. 3.19
в плоскости годографа (рис. 3.20). Обозначим ОО i критические точки на профилях АОВ^ %1。1瓦 一точки разветвления линий тока ” = 0, ” = 1 на ЛОВ, 4О1В1. В плоскости годографа образами этих точек (и других точек разветвления) являются отрезки {А = 0, ^о ~ 开/2 W 8о + тг/2} на бесконечнолистной римановой поверхности отображения периодической области определения в плоскость годографа (瓦一угол наклона
Рис. 3.20
внутренней но^али к АОВ в точке О; контур АОВ предполагается гладким). Обозначим через Аоо, & параметры дозвукового потока во входном сечении камеры-накопителя; как станет ясно из дальнейшего, это сечение следует считать бесконечно удаленным. (Понятие входного сечения весьма условно; на самом деле поток в камере, а значит и в сопловом
канале является трехмерным; эту абстракцию приходится использовать для внутренней непротиворечивости модели.) Эти параметры не независимы, так как связаны друг с другом и со скоростью дозвукового потока на входе расходными и геометрическими соотношениями (рис. 3.19)
纵入一 〃%Z) cos08' 贝人尸)-〃月尸)cosa'
откуда следует; чтоQ(^oo) COS^oo =откуда следует; чтоQ(^oo) COS^oo =Z(E,F)Z(E,F)E(ZiZ)E(ZiZ)^(Ар) cos а, Лоо < 1, А尸 > 1.^(Ар) cos а, Лоо < 1, А尸 > 1.
откуда следует; что
Q(^oo) COS^oo =
откуда следует; что
Q(^oo) COS^oo =
Z(E,F)
Z(E,F)
E(ZiZ)
E(ZiZ)
^(Ар) cos а, Лоо < 1, А尸 > 1.
^(Ар) cos а, Лоо < 1, А尸 > 1.
Годограф области ZOBAiOiZ^Z показан на рис. 3.20, изображающем один простой лист бесконечнолистной римановой поверхности отображения в плоскость годографа скорости с точкой ветвления (A^,仇о) логарифмического типа. Для наглядности на рис. 3.20 разрезы, выделяющие этот простой лист; проведены по линиям тока 也=0,也=1, точнее, по их кускам от входного сечения до точек разветвления. Образы этих линий тока в силу периодичности течения совпадают друг с другом. Таким образом, эта кривая является линией разрыва первого рода решения 吵, причем этот разрыв постоянен вдоль всей линии разрыва. Две произвольные кривые О"В и OJAx, монотонные по отношению к линиям А = const, изображают стенки соплового профиля ОВ и 54; они пересекаются в точке Bi Ai на звуковой линии, изображающей прямую звуковую линию. В этой точке граничное значение ^ имеет разрыв первого рода. Граничные условия сформулированной сингулярной задачи Дирихле и линии уровня решения показаны на рис. 3.20.
Синтулярность этой задачи определена наличием двух сингулярных компонент; одна из ю>торых определяет наличие единичного скачка ^ вдоль разреза, проведенного произвольным образом из точки (A^, %) до границы области определения, а другая — разрывом граничного условия в звуковой точке. Если выделить из решения первую сингулярность, то получится обобщенная задача Дирихле, изученная ранее.
Если бы решение 也 было гармонической функцией, то в окрестности точки (Лоо, &8) оно должно было бы выражаться в виде
^ = (2тг)-1 arg(w - Woo) + Ф, тде w — сопряженная комплексная скорость, Ф — ретулярная в области определения решения гармоническая функция. Но так как на самом деле должно быть решением уравнения Чаплыгина, то сингулярная компонента представляет собой псевдоаналитический аналог мнимой части логарифма, т.е. решение следующей краевой задачи: “ определено и ограничено всюду в области эллиптичности уравнения, т.е. при А < 1 ретулярно всюд^ кроме произвольной жордановой кривой, выходящей из точки (Ag, ^) к границе области определения, при переходе через которую происходит скачок решения, всюду на этой кривой равный единице; всюду в области определения, кроме точки (М, %) ^ имеет непрерывные первые (а значит — и все) производные. Решение этой задачи может быть получено методами теории псевдоаналитических функций с помощью обобщенного интеграла типа Коши [25]. Как упоминалось, выделение этой сингулярной
компоненты решения сводит задачу к обобщенной задаче Дирихле, которая уже рассматривалась в §7.
Отметим, что логарифмический характер сингулярности приводит к то- mj^ что входное сечение находится на бесконечном удалении (потенци
ал скорости имеет главный член асимптотического разложения в виде ln|w — Wool).
(Для уравнения Трикоми решение с особенностью, соответствующей мнимой части логарифма было построено С. В. Фальковичем [32].)
В сверхзвуковой части (рис. 3.20) показана область определения решения, соответствующего течению в сверхзвуковой части канала.
Условие физической реализуемости решения этой задачи, построенного в плоскости годографа, состоит в том, чтобы линия уровня ” = 0, ” = =1 проходила через середину отрезка О'О" оси А = 0 длиной тг, как показано на рис. 3.20. Выполнение
этого условия достигается подбором свободного параметра 民》.
Описанная выше постановка была уточнена и вьгаислительно реализована в [155, 156, 42, 41]. Типичные результаты, именно контуры сопловых лопаток вместе с периодом решетки показаны на рис. 3.21. Поскольку дозвуковая часть конструировалась так, чтобы звуковая линия была прямолинейной, в сверхзвуковой части использовался контур
с угловой точкой на звуковой линии.
На рис. 3.21 показаны два варианта сверхзвуковой части. В одном из них сверхзвуковая часть лопаточного канала профилировалась как симметричное сопло Лаваля (с разворотом потока в угловых точках на соседних лопатках), в другом в качестве стенки лопатки использовалась линия тока течения Прандтля-Майера.
Расчеты проводились как для случая, когда поток во входном сечении был ортогонален фронту решетки, так и в общем случае ненулевого азимутального угла. При этом только менялась асимптотика для функции тока, которая должна содержать логарифмический член. Этот последний случай может использоваться для конструирования лопаточных каналов последующих ступеней турбины.
Профилирование контура впускного клапана поршневогодвигателя [154,76J
Вышеизложенные идеи оказалось возможным применить для конструирования впускного клапана поршневого двигателя, в частности — автомобильного двигателя внутреннего сгорания.
Как показывает опыт, значительная часть цикла всасывания воздуха или топливной смеси через впускной клапан поршневого двигателя происходит при сверхкритическом перепаде давления. (В особенной степени
это относится к двигателю с надщувом, в котором воздух предварительно сжат с помощью специального устройства.) Это означает; что в течение значительной части процесса впуска канал клапана работает как сопло Лаваля. Повидимому; в силу традиции это обстоятельство до сих пор не учитывалось конструкторами двигателей: общепринятая фор<а клапанного канала (рис. 3.22) не выглядит аэродинамически эффективной. Действительно, клапан имеет цилиндрический шток и конический посадоч-
Рис. 3.22 Рис. 3.23
ный участок, сопрягаемые дугой окружности. Криволинейная часть контура при подходе к коническому участку имеет касательную, ортогональную (или почти ортогональную) оси клапана. Сопряжение происходит с изломом гладкого контура. Течение в таком канале невозможно описать даже грубо, так как почти наверняка здесь происходит нестационарный отрыв потока, для которого нет адекватных моделей описания.
Цель состояла в изменении формы клапана таким образом, чтобы обеспечить потенциальное безотрывное течение с максимальным расходом в режиме сверхкритического перепада давления. Кроме того, желательно, чтобы новая схема была наиболее близка к традиционной и не требовала кардинальных технологических и конструктивных изменений.
Основным техническим критерием при проектировании является величина газонаполнения при заданном ходе клапана. О важности проблемы сввдетельствует факт, что в последнее время большое распространение получили двигатели с четырьмя клапанами на каждом цилиндре.
При профилировании сопел Лаваля и сопловых лопаток турбин наиболее предпочтительной оказалась схема с плоской звуковой поверхностью. Однако для осесимметричного потенциального течения было доказано [151], что звуковая поверхность, совпадающая с характеристической, может быть только плоскостью, ортогональной оси симметрии. Поэтому если использовать схем^ в которой дозвуковое и сверхзвуковое течения независимы друг от друга, то обязательно придется юонсти<иро- вагь дозвуковой участок канала с плоской звуковой поверхностью, ортогональной оси клапана. В этом случае дозвуковой частью канала является контур кольцевого сопла Лаваля с плоской звуковой поверхностью,
а в качестве сверхзвуковой части можно взять, как наилучший контур, линию тока течения, аналогичного течению Прандгля-Майфа. При этом в угловой кромке (на седле клапана) происходит интенсивный разворот потока. Однако применение тапэй схемы приводит к существенному увеличеншо хода клапана, что вряд ли приемлемо с технической точки зр&яяя.
Таким образом, более предпочтительной оказывается схема с криволинейной звуковой поверхностью. Наиболее простой вариант такого клапана показан на (рис. 3.23). Контур клапана имеет несколько характерных особенностей. Во-первых, его цилиндрическая и коническая части связаны между собой пхадао, без изломов контура. Во-вторых, что особенно важно, форма криволинейного участка находится путем решения ко^фектной математической задачи профилирования. Эта задача 4PMyлижется в плоскости годографа скорости.
Рассмотрим снпала плоское течение. Возьмем минимальную область влияния смешанного до- и сверхзвукового течения в плоскости годографа и граничные условия для фующии тока плоского или осесимметричного течения (рис. 3.24).
Течение в области ABCDE в плоском случае описывается уравнением Чаплыгина. Минимальная область влияния может бьпъ выбрана так, чтобы подобласть дозвукового течения изображалась прямоугольником. (Такой выбор делается для простоты; в общем случае форма дозвуковой подобласти произвольна, однако желательно, чтобы каждая часть границы области, соответствующая той или иной стенке канала, располагалась в плоскости годографа монотонно относительно прямых постоянной скорости, что соответствует монотонному изменению скорости потока вдоль стенки. Это важно, так
как монотонно возрастающее распределение скорости обеспечивает безотрывность потока при любых числах Рейнольдса.) Подобласть сверхзвукового течения изображается примыкающим вдоль отрезка звуковой линии характеристическим треугольником. Краевое условие для функции тока задается в виде кусочно постоянной функции:
Ф = —1 на 04; 屮=—1 на АВ;
(5) Ф = -1 на ВС; Ф = 0 на OD\ Ф = 0 на ED.
Разрыв первого рода в точке О соответствует бесконечно уцаленной точке. Итак, сформулирована обобщенная задача Трикоми. (Краевое условие (5) одинаково для плоского и осесимметричного течений).
Соответствующий контур клапана в физической плоскости состоит из цилиндрической части ОА, отрезка постоянной скорости потока АВ и конической части ВС. В рамках этой схемы течение замедляется на стенке штока клапана на участке ОА (в другой схеме этот недостаток будет устранен). Криволинейная звуковая линия выходит в физической
плоскости из угловой точки на седле клапана (в плоскости годографа она изображается характеристикой уравнения Чаплыгина DE как в плоском, так и в осесимметричном течении) и заканчивается на коническом участке клапана. Характеристика СЕ, в соответствии с теорией задачи Трикоми- Франкля, свободна от граничного условия. В области между звуковой линией и предельной характеристикой течение определяется особенностью типа Прандтля-Майера, порождаемой угловой точкой.
Как известно [11], задача Трикоми с непрерывным граничным условием для уравнения Чаплыгина корректна. Сформулированная задача отличается от нее тем, что граничное условие имеет разрыв первого рода. Однако в классе ограниченных функций такая задача тоже корректна (см. § 8).
Сначала задача была решена приближенно, путем сведение ее к краевой задаче для уравнения Трикоми (вместо уравнения Чаплыпша) с интегральным краевым условием на звуковой линии. Действительно, для решения уравнения Трикоми в характеристическом треугольнике с однородным граничным условием на характеристике имеет место [10, И] соотношение между функцией тока и ее нормальной производной на звуковой линии:
旌加 + Ф77 = 0,
^=^^-^ -(Гж о
или после обращения интегрального уравнения Абеля
84sin("3) рФ(ртгк J dtо84sin("3) рФ(ртгк J dtо(£-£)-2/з必, 1/=0(£-£)-2/з必, 1/=0⑹⑹
8
4sin("3) рФ(ртгк J dt
о
8
4sin("3) рФ(ртгк J dt
о
(£-£)-2/з必, 1/=0
(£-£)-2/з必, 1/=0
⑹
⑹
4 а 4,017, к а 1,014.
Это соотношение можно принять за краевое условие. Тогда сформулированная выше задача в прямоугольнике ABCD для уравнения смешанного типа сводится к краевой задаче для вырождающегося на звуковой линии эллиптического уравнения в прямоугольнике. Аналогичная формула имеет место и для уравнения Чаплыгина; в этом более общем случае формула (3) представляет собой главный член ее асимптотического разложения.
При решении задачи численным методом использовалась прямоугольная сетка с постоянными шагами. Аппроксимирующая система алгебраических уравнений, как обычно в методе сеток, получалась заменой производных в уравнении Чаплыгина центральными разностными формулами второго порядка точности на гладких решениях. Решение алгебраической системы проводилось методом итераций по явной двухслойной схеме Якоби. Интегральное граничное условие на звуковой линии заменялось разностным условием для двух соседних итераций, аппроксимирующим исходное условие в сходящемся итерационном процессе.
В общем случае задача Трикоми решалась численным методом в области зллиптико-гиперболниеского типа уравнения Чаплыгина с использованием разностной схемы 9.
Координаты контура клапана вычислялись, как обычно, контурным интегрированием пр границе области.
Два параметра — значение скорости потока на бесконечности и наименьшая скорость — определяют геометрию вычисляемого контура для решений, область определения которых в плоскости годографа является прямоугольником. Варьирование этих параметров приводит к изменению хода клапана, что позволяет проводить оптимизацию.
Рис. 3.25 Рис. 3.26Рис. 3.25 Рис. 3.26
Рис. 3.25 Рис. 3.26
Рис. 3.25 Рис. 3.26
Рассмотренный случай плоского течения имеет методический характер. Практически важным является осесимметричное течение. В § 3 гл. 4 приведено уравнение в переменных годографа, описывающее осесимметричное течение. Оно представляет собой обобщенное уравнение Чаплыгина с нелинейной правой частью, содержащей якобиан преобразования в плоскость годографа и значение расстояния от оси симметрии в физической плоскости.
В осесимметричном случае решается задача в той же постановке, что и ранее.
Как было сказано, характерной чертой рассматриваемой до сих пор схемы течения было замедление потока на некотором участке цилиндрического штока клапана. Во избежание этого была выбрана схема, в которой течение уже нище не замедляется на стенке клапана.
Рассмотрим на плоскости годографа область ABCDEFGOQ2 A (рис. 3.25), состоящую из двух прямоугольников и характеристического треугольника. В физической плоскости этой области соответствует течение, показанное на рис. 3.25. На участках стенок ОА, ВС, OG, FD происходит
0 Филиппов А. Ф. Численный метод для решения задачи Трикоми. Изв. АН СССР. Сер. Метем., Т. 21, № 1. 1957.
разгон потока, а на АВ и GF — его разворот (точка О бесконечно удалена). Условия для функции тока на границе области в плоскости годографа показаны на рис. 3.26. На отрезке 5 5 для осесимметричного течения значение функции Ф задается в виде 吵=sin/З (в плоском случае зависимость линейная). Это соответствует потоку с источником в бесконечно удаленной точке. Таким образом при решении задачи в этой постановке скорость потока монотонно возрастает вдоль стенок, что обеспечивает безотрывность пограничного слоя при любом числе Рейнольдса. Кроме того, эта схема гораздо более близка к реальной конструкции.
Численное решение этой задачи проводилось описанным выше методом. Отличие состоит в том, что на каждой итерации сначала выполнялась прогонка в области OAFGO (последовательно по всем столбцам этой области), затем выполнялась прогонка по горизонтальной строке узлов сетки AF, и далее в области ABCDEF так же, как описано выше.
Дозвуковое течение в канале в зависимости от перепададавления на его концах. Переход
к работе канала в режиме сопла Лаваля
Перейдем к рассмотрению прямой задачи сопла Лаваля — задачи об определении поля течения в канале заданной формы, обладающего свой- ством, что в нем происходит переход через скорость звука от дозвуковой скорости на входе в сопло к сверхзвуковой на выходе. Это может бьпъ осуществлено только при условии, что между входным и выходным сечениями канала подцерживается достаточно большой, «сверхкритический» перепад давления. Если же, наоборот, перепад давлений достаточно мал, то в канале существует равномерно доз^ковое течение.
Действительно, как указано [19], задача о равномерно дозвуковом течении газа в бесконечно длинном канале с граничными условиями 也6 = =0, ”欣 ="о, тде "о — достаточно малая постоянная, а обозначают стенки канала, имеет единственное решение, определяемое расходом газа 呪，который определяет скорость потока в сечении, где поток выравнивается (на входе или на выходе).
В свою очередь, скорость газа в этом сечении однознэтно определяется перепадом давлеш^ р27Pl на концах канала, если площади их поперечных сечений неодинаковы. Обозначим индексом 2 выходное сечение. Пусть задано / =理任工 # 1, g = m/pi < 1, найдем Ai, A2.
С помощью газодинамических фушщий (см. гл. 1, §4) выражаем
旦=22n =木吶)=МММ)т(М)二尢吶)Pl = 3(%) 1
尸 1q(%)%e(M)%“(％)「(％) Азт(Лз)р2 %「(％) g
Учитывая, что
g MM)，
получим окончательно
=%”〃匕 g =涔(1 —眾-】佯)(1 —尸g5T/k) Т .(7)
Ограничение достаточной малости расхода обусловлено условием отсутствия сверхзвуковых зон, поэтому эти формулы применимы для вычисления точных значений скорости на концах канала лишь при достаточно малых скоростях.
При дозвуковых скоростях потока расход газа через канал — монотонная функция скорости. Поэтому из (7) следует, что указанный режим реализуется при перепадах давления, достаточно близких к единице. Итак, для каждого заданного канала (при / / 1) существует такой 1фитический перепад давлений, что при g* V g V 1 в канале существует равномерно дозвуковое течение, единственным образом определяемое этим перепадом.
При больших значениях 呪 описание процесса течения носит эвристический характер. А именно, предполагается, что после достижения постоянной 吵о критического значения 吵J в канале возникают сверхз^ковые зоны. Вообще говоря, как указано в гл. 6, в этих зонах могут бьпъ скачки уплотнения, что приводит к потерям полного давления. После того как эти зоны, возникающие у стенок канала сомкнутся (при достаточно большом значении 吵о), возникают предпосылки реализации течения с переходом через скорость звука — при достаточно большом перепаде давлений. Этот перепад, вообще говоря, может быть установлен лишь ориентировочно даже в случае, котда в потоке имеется только одна звуковая линия (т. е. кота нет сверхзвуковых включений в области, лежащей вверх по потоку от звуковой линии). Это связано с тем, что звуковая линия криволинейна. (Точное значение сверхкритического перепада давлений можно найти лишь для сопла с щ)ямой звуковой линией; оно зависит от отношения площадей на входе в сопло и в самом узком сечении канала.)
Подчеркнем, что параметры 吵о, g вряд ли представляют собой взаимно однозначные характеристики множества течений в канале. Тем более неправомерно связывать их с процессом запуска сопла, даже в квазистационарной постановке.
Итак, пусть перепад давлений настолько велик, что канал работает в режиме сопла Лаваля, создавая свд)хзвуковой поток на выходе. (Это высказывание —завуалированное предположение о существовании решения прямой задачи сопла Лаваля в максимально широком классе функций, допускаемом понятием течения.).
Возникает естественный вопрос: если в дозвуковом режиме расход газа единственным образом определялся перепадом давления, то сохранится ли эта единственность для работы канала в режиме сопла Лаваля, если о существовании, единственности и непрерывной зависимости переходного режима ничего не известно? Иначе говор% единственно ли решение, описывающее течение в сопле Лаваля? Эта проблема, имеющая прикладное значение, была поставлша Ф. И. Франклем, посвятившим ее и^чеяию много внимания и приведшим ряд 叩гументов pro и contra. Окончательный отвец однако, не был им получен. Неединственность охфеделяется различной формой криволинейной звуковой линии. Аргументе»», косвенно
свидетельствующим в пользу предположения о неединственности, является высокая степень близости контуров сопел, соответствующих решениям в классе (см. гл. 2, § 4) с fc = 1 и fc = 4/3, представляющим различные асимптотические типы течений [84].
Однако, прежде чем переходить к исследованию проблемы Ф. И. Франкля, уточним, что имеется в виду под прямой задачей, а именно, в каком классе следует искать ее решение.
Формулировка прямой задачи сопла Лаваля. Некорректностьклассической постановки
Ограничимся случаем бесконечного (точнее, полубесконечного) канала с параллельными стенками на входе. Будем рассматривать симметричный канал, так что одна стенка канала представляет собой ось симметрии — ось у = 0.
Под классическим решением прямой задачи сопла будем понимать ретулярное решение системы уравнений плоских потенциальных течений идеального газа, определенное внутри канала, непрерывное в замкнутой области определения и удовлетворяющее условиям непротекания на стенках Ci,2 канала 0\cli2 = Bi,2(s), где B(s) —угол наклона стенки канала, условию выравнивания потока во входном сечении)8 -> 0, А -> Ао, с -> -8 и условию А ^ 1, ж = жо (постоянные Ло, со заранее не заданы).
Из разрешимости задачи профилирования (см. § 7) следует существование каналов, для которых прямая задача в классической постановке разрешима.
Однако можно утверждать, что если для некоторого канала существует классическое решение с криволинейной звуковой линией, то, вообще говоря, это решение не обладает свойством непрерывной зависимости от граничных условий: существует класс сколь угодно малых деформаций контура, для которых классическое решение уже не существует.
Доказательство следует из теоремы А. А. Никольского-Е И. Таганова (см. гл. 6, § 3), которая гласит, что сколь угодно малое (и сколь угодно гладкое) спрямление контура тела 6 сверхзвуковой подобласти М-области приводит либо к разрушению непрерывного сверхзвукового течения 6 этой подобласти, либо нарушает непрерывную зависимость решения от граничных условий.
Иными словами: либо малое возмущение сильно перестраивает М-об- ласть (вплоть до несуществования решения), либо возникает скачок уплотнения, интенсивность и протяженность которого стремятся к нулю вместе с порождающим его возмущением.
В общем, ситуация полностью идентична течению в сверхзвуковой зоне около профиля при дозвуковом обтекании (см. гл. 6, § 3). Из этого, однако, следует; что прямая задача в классической постановке, вообще Говоря не разрешима. Очевидно, задача становится «более разрешимой» при переходе в класс «обобщенных» решений, описывающих течения с конечным числом кусочно гладких поверхностей разрыва первого рода—скачков уплотнения (с условиями Гюгонио на них).
Хотя задача в такой постановке еще не рассматривалась, можно надеяться на ее разрешимость и непрерывную зависимость от граничных условий. Существование решения задачи «в вариациях» (в некотором классе возмущений) доказано в [61,60,62].
Теорема единственности «в целом» решения прямой задачисопла в классической постановке [120]
Остановимся на вопросе единственности решения прямой задачи в классической постановке. Этот вопрос важен, посколы^ «хорошие» сопла реализуют именно классические решения.
Аналитические исследования проводились Ф. И. Франклем [104] при малых изменениях решения относительно исходного — задача формулировалась в плоскости годографа для линейного уравнения в вариациях. Строгие доказательства теоремы единственности «в малом» были получены в [61,74].
В связи с тем, что в плоскости годографа область определения решения содержала отрезок линии вырождения, доказательство соответствовало случаю, когда в качестве основного выбиралось решение с криволинейной звуковой линией в физической плоскости.
Ниже для двух классов течений (один из них содержит сопла с прямой звуковой линией) приводится доказательство единственности решения «в целом», без предположения об инфинитезимальной близости возможных решений. При этом, как и в [61, 74], используется упрощение уравнений движения для околозвуковых скоростей потока.
Будем рассматривать течение в сопле заданной формы, при условии, что скорость потока мало отличается от скорости звука. В §2 гл. 2 были получены для этого случая приближенные уравнения Кармана-Фальковича
uи(p = ^w， uв = ^3. (8)
При переходе от точных уравнений плоских потенциальных течений к (8) при А т 1 было также получено, что ® Л1 = 1 + О(А - 1), поэтому необходимым условием правомерности системы (8) является малость относительных изменений поперечного сечения канала.
Обозначим 夕 через х,也 ——через у. Вводя потенциал Ф(х, у), Фж = и, ①у = V, получаем из (8)
圏/2). = Ф”1r (9)
В зависимости от протяженности канала можно говорить о сопле Лаваля бесконечной или конечной длины.
Формулировка прямой задачи сопла Лаваля бесконечной длины такова: 6 полуполосе D = {0 ^у —8 W с W С = const} найти решение (9): ①(с,у) € G(D) С。2(。)，удовлетворяющее условиям Фу(х,0) = /1(х), Фу (с,1)=於(с) w обладающее свойствам: существуют постоянные а. А, а < А^ С такие, что ©工(立,у) < 0 при ж < а, Ф(с, у)》0 при с》4
Для сопла конечной длины формулировка задачи отличается от предыдущей тем, что область определения решения — прямоугольник
0 = {OWyWl, BWcW。}” при с = В (на входе в сопло) задается направление потока 6“В, у) = /з(у); при этом а < В.
Если решение существует; то D содержит минимальную область влияния смешанного до- и сверхзвукового течения, но не совпадает с ней, за исключением случая прямой звуковой линии (М-область состоит из области эллиптичности и прилегающих областей гиперболичности, покрываемых характеристиками обоих семейств, выпущенными из линий вырождения).
Требования к функциям /1,2(с), задающим угол наклона касательной к контуру сопла, должны определяться условиями существования решения приближенного уравнения (8). В частности, для сопла бесконечной длины необходимо, чтобы Ит /1,2 (с) = 0.
Теорема 1. Если существует решение ④式立必)сформулированной выше задачи^ обладающее в ней свойством Ф1*х》0, то не существует другого решения^ отличающегося от ®i(c,y) более чем на постоянное слагаемое.
Пусть в одной и той же области D существуют два решения сформулированной прямой задачи ①，2(工,％)♦
Совпадения минимальных областей влияния не требуется, предполагается талию, что оба решения имеют продолжения с непрерывным полем скоростей V®，2 в одну и ту же область D, на правой границе которой 。① 1,2/82》0, х = С・ Разность 屮 = 险工- ®? удовлетворяет уравнению (коэффициенты W(x^y)^ У(/у), U(x^ у), зависящие от Ф1,2(^» у), можно считать известными)
W 屮工工 + 匕Wc = 33no W =рФ1х + (1 -p)®2x,
V =р®2с + (1-Р)®1н,
где p — некоторое число. При р = 1/2 имеет место симметричная форма
(U(px)x = ^уу(11)
Для сопла бесконечной и конечной длины граничные условия будут соответственно
(12)(12)ЗуЗ, 0)=网(сJ) = 0, -ОО w С W с；
(12)
(12)
Зу (土, 0) = Зу (с, 1) = 0, B<cW。； .
网(В,2/)=0, OWyWL
В соответствии с формулировкой задачи, (10) является уравнением смешанного типа, так как W(С,у) > 0, W(-oo^y) < 0. Для сопла конечной длины W(B^y) < 0, 0 4 у W L
Умножим (10) при р = 1/3 на у?х и проинтегрируем по прямоугольнику G = {0^y^l, В^х^С}; для сопла конечной длины G = D. Применяя формулу Трина, получаем
2夕立网 dx + (W冠 + wj)匆 + 〃 磋垂 1нс dxdy = 0.G
С учетом (12), (13) получим
о
厶W硅+若)1Н=g两+/w成+ %)1g月吻+ 〃冠®1工工也也=0・ 01G
Для сопла конечной длины в силу граничного условия при с = В все интегралы неотрицательны, поэтому 夕=const.
圖i<〃圖i<〃Если сопло бесконечной длины, то на входе в сопло поток выравнивается, т. е. % т 0, Зс т const, х т -оо. Выбирая | В | достаточно большим, получаем при 3 / const
圖i<〃
圖i<〃
^^ixxdxdy,
так как при увеличении |В| последний интеграл увеличивается. Таким образом, и здесь получим 3 = const.
Замечание. Класс сопел с неотрицательным ускорением потока Ф1ЖХ》0 не пуст. Так, если использовать при профилировании сопла метод годографа (см. гл. 4, § 1), позволяющий получать сопла с неотрицательным ускорением потока на стенке и с прямой звуковой линией, то выполнение условия Ф1ЖХ》0 обеспечивается в области дозвуковых скоростей в силу принципа максимума. Действительно,④1HH удовлетворяет при 季匕 < 0 уравнению эллиптического типа
^1«(^1®®)®Ж + ЗФ1хх(Ф1хх)х —(① 1сн)уу = 0,
а на границе области (при Ф1Ж ^ 0)по построению Ф1Ж®》0.
Рассмотрим теперь класс течений с прямой звуковой линией, без местных сверхзвуковых зон. Для этих решений, когда они существуют; положение звуковой линии заранее известно — это сечение канала минимальной площади.
Теорема 2. Не существует двух различных (с точностью до постоянного слагаемого} решений прямой задачи, эллиптических 6 одной и той же области D, вырождающихся на прямолинейном отрезке границы х —- С»
Умножив ()1)на разность решений 夕，проинтегрируем по прямоугольнику G = {0 ^ г/ ^ 1, BW^W С}・ Применяя формулу Грина, получим с учетом (10), (13) и условия U = 0 при х = С
/ о
]и*\н=в(1у + ]j\*-U*)dxdy = 0.
Gy
Аналогично из (11) получим также
о
Ju<p4=b dy = O・
Для сопла конечной длины, в силу условия ^у = 0, ж = В, имеем 夕=const, с = В, поэтому
о j^U(p(px\x=sBdy = Q.
Для сопла бесконечной длины при В т -8 имеемlim2U = ит(Ф1Ж + Фг®) = const < О,поэтому Зс т 0 но[и 屮屮工 k=Bdy ТО.
Так как U < 0 в D, то получим 夕=const.
Примечание. В [87] похожим способом была получена теорема единственности для некоторой задачи, которую условно можно назвать «прямой задачей сопла Лаваля» для уравнений безвихревого околозвукового течения вязкого (!) газа. В этой задаче, по сравнению с прямой задачей для идеального газ% необходимо дополнительно задавать распределения скорости во входном и выходном сечениях «сопла». Единственность имеет место при дополнительном условии положительности ускорения потока в обоих решениях, что, конечно, является ограничением по сравнению с теоремой 1. Но, главное, не ясно, переходит ли указанная задача для вязкого газа в задачу для идеального газа при исчезновении вязкости, т. е. исчезают ли при этом дополнительные граничные условия на входе и выходе из канала.
Глава 4
Сопло Лаваля. Численные методы решения задачипрофилирования и прямой задачи
§ 1. Профилирование плоского сопла численным методом.Постановка задачи в плоскости годографа
Идея сведения задачи профилирования сопла к корректной математической задаче основана на использовании плоскости годографа [94, 95]. Выбрав (почти произвольно) область определения решения для функции тока, подчинив ее лишь некоторым общим условиям, сформулируем задачу Трикоме-Франкля или Дирихле (первую ——для случая криволинейной, вторую — для случая прямой звуковой линии в физической плоскости). Решив задачу численным методом, получим возможность для вычисления координат стенки сопла путем интегрирования вдоль границы области.
Рассмотрим сначала плоское сопло [80]. Выбор формы Af-области в значительной мере определяет схему течения в сопле. Произведем этот выбор, руководствуясь тем, что профилируется сопло без ограничения на крутизну стенки, бесконечной длины, конечной ширины, с прямой звуковой линией и монотонно возрастающей скоростью вдоль контура.
Все эти требования будут удовлетворены, если в качестве М-области взять, например, прямоугольник, опирающийся одной стороной на звуковую линию.
Итак, в дозвуковой области формулируется задача Дирихле в прямоугольнике G со сторонами 0 = const, 丁 = const для уравнения Чаплыгина (т* - 丁)必s + 4(1 - т)т2г*^тт + 4тт* [1 + т(1 - (fc - 1)Т]力=0, (1) где т = A2(fc - l)/(fc + 1), т* = A2(fc — l)/(k + 1).
Граничные условия для функции тока
*^* *^* *^**^* *^* *^*=0,То < т < т*,0 = 0；=1,丁 = /ъ0 < 0 W 仇;=1,То W 丁 W Т*,0 =仇；=0,То < т < т*,0 = 0；=1,丁 = /ъ0 < 0 W 仇;=1,То W 丁 W Т*,0 =仇；=1, т = т*,0 < 0《仇.=1, т = т*,0 < 0《仇.
*^* *^* *^*
*^* *^* *^*
=0,
То < т < т*,
0 = 0；
=1,
丁 = /ъ
0 < 0 W 仇;
=1,
То W 丁 W Т*,
0 =仇；
=0,
То < т < т*,
0 = 0；
=1,
丁 = /ъ
0 < 0 W 仇;
=1,
То W 丁 W Т*,
0 =仇；
=1, т = т*,0 < 0《仇.
=1, т = т*,0 < 0《仇.
На рис. 4.1 изображена область определения решения в плоскости годографа и ее прообраз в физической плоскости. В силу постановки задачи, прообраз обладает тем свойством, что стенка сопла состоит из прямолинейного участка Ьс и двух участков постоянной скорости а^ (точка @2 находится на бесконечном удалении) и сс^, на котором скорость — звуковая.
Образом прямой звуковой линии является точка О. Вопросы разрешимости указанной задачи рассмотрены в §7 гл.З.
.Рис. 4.1
Асимптотический тип течения в профилируемом сопле (функция тока (лраничена) определяется тем, что разрывное граничное условие (с разрывом первого рода) задается на лучах 0 = 0, т = т*. Главный член асимптотики описывается решением (2.20) уравнения Трикоми. Считая решение сформулированной задачи Дирихле единственным (в классе ограниченных фушсций), можно свести его построение к задаче 兩рихле с непрерывным граничным условием, выделяя сингулярные компоненты решения. Так, если 耽,2 — решения уравнения Чаплыгина, удовлетворяющие разрывным граничным условиям
耽=0,
tq<t,
В = о；
耽=L
T = TQ,
o<6；
吵 2 = 0,
т < т*,
6 = 0；
耽=1,
7 = 丁*,
8 = о,
то, представляя решение исходной задэти в виде суммы V = Vi + V2 + 6з, получим для ^з задачу Дирихле с непрерывным граничным условием:
^з =0,т0тт*,/3 = 0;
^з =-耽，т = mВ》о；
V3 = -V1,7= 丁*,6》0；
耽=1一耽一耽，70w7w7*, S = 6q・
Для уравнения Чаплыгина точные решения 耽,2 не найдены, однако для уравнения Трикоми они известны:耽 дается формулой (2.20),耽, являющееся аналогом гармонической функции arctg(8/(丁 一 т)), было получено С. В. Фальковичем [32].
Алгоритм численного решения. Выделенве особенностей.Вычисление координат. Течение в сверхзвуковой области
Аппроксимирующая алгебраическая система задачи получается при замене в уравнении Чаплыгина производных центральными разностными отношениями по схеме «крест». Г^остейший итерационный процесс соответствует схеме простой ит^ацин с перено8M центральной точки пятиточечного шаблона в последующую итерацию (схема Асоби). Оцнш»
его сходимость довольно медленная. Применение прогонки на лучах 丁 = =const приводит к существенному увеличению быстродействия алгоритма. Этому способствует то обстоятельство, что коэффициенты уравнения зависят только от 丁.
Непосредственная разностная аппроксимация задачи на равномерной сетке фактически сглаживает разрывы граничного условия в угловых точках, что может; вообще говоря, привести к потере точности.
В [3] изучалась соответствующая погрешность в некотором классе разностных схем для уравнения Лапласа. Оказалось, что ошибка порядка единицы сосредоточена только вблизи самой точки разрыва, а вдали от иее в худшем случае имеет порядок。(状)，где 九一шаг сетки.
Опыт решения задачи без выделения особенностей показал, что организация алгоритма без выделения особенностей, предпочтительная в силу своей простоты, обладает при этом достаточной точностью. К тому же при этом достигается единообразие при распространении метода на течения с осевой симметрией.
После получения решения задачи Дирихле координаты контура сопла вычисляются по формулам
dx =盡7 pa (- sin0 .吵工 + cos0" 丁工吵0)+
+ d0(-sin。♦山+ 8S0♦入恥),
++dy = j^y 卜入(cos0 •恥 + sin0
+
+
+ @9 (cos ・Vf + cos ^9 • А^д)
Интегрирование производится вдоль контура, состоящего из трех сторон прямоугольника (рис. 4.1), в направлении от точки D (прообраз точки А находится на бесконечном удалении, так как в этой точке функция тока имеет логарифмическую особенность). На рассматриваемом контуре V = 1, поэтому под знаком интеграла в выражениях для ж, у содержится только нормальная шюизводная функции тока на границе. Для со^фанения погрешности 。(九2) при вычислении координат можно было бы воспользоваться односторонними трехточечными разностными формулами. Однако в данном случае, ввиду особенностей строения границы области, предпочтительнее использовать следующий прием. Нормальная производная на границе вьпшсляется по односторонней разностной (двухточечной) формуле с поправкой O(h), пропорциональной второй нормальной производной. Последняя, в свою очередь, выражается из уравнения Чаплыгина через btoroo тангенциальную производную, равную нулю, и через первую производную 吵т, которая либо является нормальной производной, либо также равна нулю как тангенциальная производная. Этот прием позволяет вычислить нормальную производную на границе с погрешностью O(h2) по двухточечной разностаой формуле.
В сверхзвуковой части, в соответствии с соображениями §6гл.2 выбирается течение с угловой точкой, в которой поток разворачивается от звуковой линии, т. е. с угловой точкой, расположенной в критическом сечении сопла. Схема течения изображена на рисунках 3.7 в, 3.8. Течение в треугольнике АВК является результатом взаимодействия двух центрированных волн. Течение в треугольнике АСВ представляет собой простую волну (с прямолинейными характеристиками первого семейства). В плоскости годографа область АВК изображается треугольником А^^В (414 — характеристика первого семейства, А^В —характеристика второго семейства, ВК — отрезок оси 8 = 0). Область АСВ изображается характеристикой 42氏 Для решения в области АВК (А^В) граничные условия таковы: ^ = 1 на А1А2, ^ = 0 на ВК.
В связи с тем, что уравнение гиперболического типа, описывающее течение в сверхзвуковой области, вырождается на прямой звуковой линии, расчет во всей области АВК не может быть произведен методом характеристик: необходимо каким-то способом «отойти» от звуковой линии.
В работе [43] для этого используется разложение в ряд. Другой способ, употреблявшийся в работе [80], состоит в использовании точного решения (2.20), являющегося асимптотикой соответствующего решения в плоскости годографа. Данные на характеристике EF, достаточно близкой к точке К, получаются из этого решения, после чего методом характеристик строится решение в области FEA2B. Контур АС, ограничивающий область простой волны, получается как решение обыкновенного дифференциального уравнения по данным на последней характеристике узла АВ.
Профилирование осесимметричного сопла [78]
При исследовании осесимметричных течений метод годографа не применялся, так как ввиду неоднородности уравнений относительно производных переход к переменным ——компонентам скорости — приводит к нелинейным уравнениям, содержащим якобиан преобразования. Однако если решение задачи предполагается производить численным методом, то это не является непреодолимым препятствием.
Как было показано выше, корректная задача профилирования сопла наиболее естественным образом формулируется именно в плоскости годографа. Это обстоятельство послужило основой для разработки метода профилирования осесимметричного сопла, аналогичного описанному в § 1,2.
В переменных Чаплыгина 0, 丁 уравнения осесимметричных потенциальных течений имеют вид
皐侦丁"2(1 -丁)"(1)cos例 + ■侦丁 1/2(1 - т)1/(1)sin例=0, g⑵
召戸/2 sin 例一畠T1/2 cos 例=0.
Произведем замену зависимых и независимых переменных, выразив производные тх, ту, ^ж, 0y через производные жт, х^, уТ, у^ по формулам
вида (см. гл. 1, § 8):
Dtx =附Dtx =附D =D =а(/у)д^'а(/у)д^'
Dtx =附
Dtx =附
D =
D =
а(/у)
д^'
а(/у)
д^'
Из (2) получим
Ст COS)3 + Ут sin。一Ст COS)3 + Ут sin。一2г)(；二刁(％ sin。- "6 8S0) + *。= О,2г)(；二刁(％ sin。- "6 8S0) + *。= О,⑶⑶
Ст COS)3 + Ут sin。一
Ст COS)3 + Ут sin。一
2г)(；二刁(％ sin。- "6 8S0) + *。= О,
2г)(；二刁(％ sin。- "6 8S0) + *。= О,
⑶
⑶
工3 cos。+ % sin。+ 2т(сг sin。一 yT cos。)= 0.
Пусть V — функция тока. Тогда
也=也斗 + 仇圻=-2/，^(1 一 7)1/*T)(4 sin0- yT cos/3),
物=—уУ?(1 — 7)i/3—D(C6sin8 - ye 8；0).
Разрешая систему (3) относительно производных жг,阴 圻，场 получим
Q(丁) yj =-A(丁) cos0办—Q(r)D sin)3 cos)3 - sin0吵Т，
Q(丁)УУт = cos^r - Q(r)D sin2 6 — R(丁)sin 0^6，
Q(丁)2/2/6=cos 即6 + 2 丁 sinB%,
Q(r) yxp = 2т cos^r + sinBVf.
Здесь R(丁)=,QT) =(1 - J/(i)・
Якобиан D также выражается через производные 力，物：
0= 2“； +r幅
-Q(幅+1/七)・
Перекрестно дифференцируя выражения для уут, уу^, получим уравнение для функции тока, в левой части которого стоит оператор Чаплыгина 2丁V" + (3 - 2丁R)Vr + R吵66 = -Q(2Z?8s6 + Of).(4)
Величина у2 в выражении для D определяется формулой
У2 = ^у / 卜sBV? + ^у sin'% dp.о
Остановимся на течениях с прямой звуковой линией. В дозвуковой области плоскости годографа формулируем задачу Дирихле в прямоугольнике G со сторонами 丁 = const, Д = const, опирающемся на отрезок звуковой линии 丁 = 丁* (рис. 4.1). Задача Дирихле в прямоугольнике G решается для уравнения (4). Граничные условия для функции тока задаются в виде кусочно постоянной функции
V = °, “ =L “ =1, “ =1,V = °, “ =L “ =1, “ =1,70 < ^ < Т*, 7 = Е, 丁Q W 丁 W 丁*, 丁 = 丁*，70 < ^ < Т*, 7 = Е, 丁Q W 丁 W 丁*, 丁 = 丁*，6 = 0；0 < 6 W 仇；6 =仇；0 V 6 W仇，6 = 0；0 < 6 W 仇；6 =仇；0 V 6 W仇，
V = °, “ =L “ =1, “ =1,
V = °, “ =L “ =1, “ =1,
70 < ^ < Т*, 7 = Е, 丁Q W 丁 W 丁*, 丁 = 丁*，
70 < ^ < Т*, 7 = Е, 丁Q W 丁 W 丁*, 丁 = 丁*，
6 = 0；
0 < 6 W 仇；
6 =仇；
0 V 6 W仇，
6 = 0；
0 < 6 W 仇；
6 =仇；
0 V 6 W仇，
Область определения решения в плоскости годографа и ее прообраз в физической плоскости качественно такие же, как и в плоском случае: контур сопла, в силу постановки задачи, состоит из прямолинейного участка Ьс, на котором поток монотонно разгоняется и двух участков постоянной скорости: ад, на котором скорость равна заданной величине скорости во входном сечении сопла, и cd, на котором скорость звуковая.
Аппроксимирующая система алгебраических уравнений для уравнения (4) получена заменой в дифференциальном уравнении производных центральными разностными формулами. Ретоше аппроксимирующей системы проводилось, аналогично плоскому случаю, методом итерации с прогонкой вдоль прямых 丁 = const.
Вычисление координат стенки сопла проводится, как и в плоском случае, интегрированием выражений для хт,附 у— у^.
Одна из трудностей численного решения задачи профилирования дозвуковой части осесимметричного сопла обусловлена наличием в уравнении смешанной производной. Ее аппроксимация по формуле
^^：=(外+1,升1 -g+i,j-i - ^i-ij+i + ^i-U-i)表・
приводит к неустойчивости схемы, определенной на девятиточечном шаблоне. Во избежание неустойчивости использовалась формула аппроксимации [86]
絲=^h^^ -砲+i，jt + kz + "л，-
-^t-ij+i + 忆+i - 2忆.).
Специфическая особенность численного решения (свойственная не только осесимметричному, но и плоскому случаю) заключается в том, что если входная скорость достаточно мала, то погрешность расчета вблизи АВ возрастает из-за обращения в нуль коэффициента 吵”.Чтобы избежать увеличения погрешности при профилировании сопел этого класса целесообразно применять растяжение координаты 丁 так, чтобы значение т = 0 переходило в новых координатах в бесконечно удаленную точку При расчете сопел с нулевой входной скоростью в этом нет необходимости.
Результаты расчетов контуров плоских и осесимметричных сопел.
Сравнение с решением прямой задачи в спрофилированном сопле.Экспериментальная проверка. Сопла с сильно изогнутыми стенками
По метода изложенному в § 1-3 были проведены расчеты различных контуров дозвуковых и сверхзвуковых частей плоских и осесимметричных сопел. Основные результаты расчетов — контуры сопел — приведены на рис. 4.2.
Сверхзвуковой участок характеризуется числом Маха на выходе. Контуры дозвуковых участков, характеризуются различными значениями входной скорости 丁吕 и угла наклона разгонного участка 仇.
Обратим внимание на профиль So = 90°, ть = 0, так как здесь длина профилированного участка минимальна. Фактически контур доз^пювой части 1фоцставляет собой границу струи, истекающей из плоского экрана в затопленное пространство с давлением, соответствующим звуковой сксфости. Полученные контуры сопел (1фоме случая ть = 0) состоят из двух участков постоянной скорости и прямолинейного участка, на котором тфоисходит разгон потока^ что обеспечивает выполнение важного условия монотонности скорости
вдоль стенки сопла. На рис. 4.2 при-Рис 4 2
ведены также контуры сверхзвуковых участков с угловой точкой на прямой звуковой линии.
В связи с тем, что физический процесс течения газа в сопле в какой- то мере эквивалентен (с математической точки зрения) решению прямой задачи сопла Лаваля, необходимо было исследовать вопрос, принадлежат ли спрофилированные сопла области корректности этой задачи.
Проверка производилась в численном эксперименте путем решения прямой задачи сопла Лаваля в спрофилированных соплах методом второго порядка точности, изложенным в, §7-10. В качестве исходных данных брались координаты спрофилированных сопел; получаемое распределение
смфости вдоль стенки сопла сравнивалось с тем, которое служило исходным при решении задачи щюфилирования. Проверка проводилась для широкой серии контуров сопел и во всех случаях было получено хорошее совпадение.
Максимальная погрепшость коэффициента скорости на контуре сопла, угол наклона разгонного участка которого 伉=45°, при использовании расчетной сетки 160 х 100 (обычно использовалась расчетная сетка 120 х х 120) составляет 0,9%, а средняя погрепшость по контуру исключая точки разрыва второй производной -0,4%. Средняя погрепшость и среднеквадратическое отклонение коэффициента скорости в критическкж сечении сопла равны соответственно 0,4% и 0,5%.
Необходимо отметить, что указанные погрешности являются суммарными погрешностями решения задачи профилирования.
Прямая задача, так же как задача профилирования, решалась на различных сетках.
При стремлении шага прямой задачи к нулю была определена «чистая» погрешность задачи профилирования 0,25%.
При профилировании сопла Лаваля путем решения корректной 1фаевой задачи в плоскости годографа», никаких ограничений на высоту прямоугольника 伉 не накладывается. В плоскости годографа угол наклона разгонного участка может быть задан любым положительным числом. Если взять Во > тг/2, то после отображения решения в физическую плоскость получится сопло со впадиной на дозвуковом участке контура. При этом, по построению, вдоль стенки сопла скорость либо постоянна, либо монотонно возрастает. На рис. 4.3 приведен контур дозвукового участка сопла с прямой звуковой линией при 仇=Зтг/4, q = 0,008 [81].
Для полученного контура сопла была решена также прямая задача сопла Лаваля численным методом, приведенным в §7. По вычисленным координатам контура и условию выравнивания потока на входе в сопло было определено поле течения в сопле, в том числе и на его стенках [81].
На рис. 4.3 точками отмечено распределение скорости вдоль стенки сопла; сплошная линия соответствует распределению скорости, задаваемому при решении задачи профилирования. Если учесть, что решение задачи профилирования проводилось на сетке 70x70, а решение прямой задачи—на сетке 70 х 25, то среднее отличие этих распределений 0,45% (характеризующее суммарную погрешность двух методов) можно признать вполне удовлетворительным.
Результаты сравнения показали также, что сопло (рис. 4.3) принадлежит области корректности решения прямой задачи сопла Лаваля, которая в какой-то мере адекватна физической задаче получения потока газа с данными параметрами и степенью равномерности.
Отмеченное выше свойство отсутствия областей замедления газа на стенке сопла, по принятым в настоящее время представлениям, гарантирует существование безотрывного пограничного слоя, а значит; и безотрывность течения в целом (рассматриваемого теперь как решение уравнений Навье- Стокса при достаточно большом числе Рейнольдса). Эта представления основываются как на теории пограничного слоя [73], так и на полуэмпири- ческих «локальных» критериях отрыва.
По мето期 изложенному в §3 были проведены расчеты контуров дозвуковых частей осесимметричных сопел с прямой звуковой линией.
Полученные контуры в силу постановки задачи состоят из двух участков постоянной скорости (кроме случая, когда т0 = 0) и прямолинейного участка, что обеспечивает выполнение важного условия монотонности скорости на стенке сопла.
Проверка воспроизводимости решения была проведена путем решения прямой задачи сопла Лаваля численным методом второго порядка точности (см. § И). Полученное поле скоростей в таком сопле показало высокую степень равномерности потока. Средняя погрешность коэффициента скорости по контуру (исключая точки разрыва его кривизны) составила 0,67%.
Высокая точность метода профилирования была подтверждена также при экспериментальной проверке сопла для Af = 6 на выходе, изготовленного по координатам, рассчитанным методом § 3. Неравномерность &М[М поля потока на выходе из сопла не превосходила величины ±0,5%.
Эксперимент показал также фактическое отсутствие концентрации неравномерности потока на оси симметрии, что также свидетельствует о высоком качестве сопла.
Следует также отметить, что это сопло оказалось в два раза короче, чем сопло, спрофилированное традиционным способом.
Кроме указанного осесимметричного сопл% в ЦНИИМАШ в 70-х годах был реализован широкий класс плоских сопел, спрофилированных методом § 1, 2. Поток на выходе из этих сопел имеет высокую степень равномерности; сами сопла оказались гораздо короче своих прототипов, полученных традиционным способом. Аэродинамические трубы с этими соплами до настоящего времени успешно эксплуатируются в ЦНИИМАШ.
Профилирование дозвуковых сопел
Дозвуковые части сопел с прямой звуковой линией, спрофилированные описанным методом, могут использоваться в технике в дозвуковых аэродинамических трубах.
Конечно, при этом следует иметь в виду, что само понятие дозвуковой аэродинамической трубы условно из-за принципиальной невозможности точного воспроизведения обтекания тела безграничным дозвуковым потоком, так как влияние стенок, определяемое формой обтекаемого тела не может быть учтено никакими поправками. Тем не менее, аэродинамические характеристики тел в дозвуковом режиме полета знать необходамо, хотя бы и неточно, поэтому дозвуковые аэродана- мические трубы существуют.
Профили дозвуковых частей сопел, получен
ные методом § 1-3, не совсем подходят для этой цели из-за условий постоянства скорости на участках ab, cd, так как при работе сопла в нерасчетном режиме (т. е. в режиме дозвукового канала) при больших дозвуковых скоростях в выходном сечении, на стенках сопла будет реализоваться немонотонное
Рис. 4.5Рис. 4.5
Рис. 4.5
Рис. 4.5
распределение скорости. Для создания некоторого «запаса монотонности» задача профилирования сопла конечной длины решалась в трапециевидных областях, изображенных на рис. 4.4.
На рис. 4.5 приведены контур сопла и распределения скорости вдоль стенки сопла (использованные как граничные условия задачи профилирования и полученные в численном эксперименте) для расчетного режима.
Важно отметить технологичность прямолинейного участка контура сопла, которой в соплах с большим поджатием составляет значительную часть контура сопла (для использования в режиме дозвукового сопла считаются предпочтительными каналы с большим поджатием).
§ 6・ Численный метод профилирования сопла в плоскости 夕吵
Другой численный метод профилирования сопла путем решения корректной математической задачи был предложен в [75]. В этом методе за независимые переменные были взяты 外 как и в методе решения прямой задачи § 7. Сходство с методом § 7 усиливается из-за того, что в качестве искомых функций были выбраны число М и 0. Аналогичными друг дфугу оказались и методы решения, основанные на идеях релаксационного метода Мармена-Коула. Главное же различие этих методов определяется разными граничными условиями. В методе, изложенном в §7, на стенке сопла задается нелинейное условие, выражающее нормальную производную коэффициента скорости через кривизну контура сопла; в [75] на стенке сопла задается распределение скорости, а кривизна контура сопла определяется после построения решения для скорости. Другое отличие связано с тем, что метод [75] был сначала применен для профилирования сопла с прямой звуковой линией, поэтому для отыскания решения в дозвуковой части сопла требовалась постановка граничного условия А = 1, g = const. Впрочем, это ограничение метода не является существенным и может быть снято. При этом вместо условия А = 1,⑴ = const, как и в методе §7, следует ставить условие А > 1,⑴=const.
Численное решение прямой задачи сопла Лаваля.Плоское течение [135]
В работах [134,135] был разработан метод численного решения прямой задачи сопла Лаваля, использующий схему разностной аппроксимации, предложенную в [153]. Рассматривается уравнение второго порядка смешанного типа для коэффициента скорости в ортогональной системе координат; связанной с линиями тока, что позволяет при формулировке задачи в полуполосе изучать сопла с крутыми стенками. Система разностных уравнений с изменяютцимся в зависимости от типа уравнения шаблоном решается методом итераций с использованием прогонки на каждой итерации. В качестве примеров рассчитаны течения в соплах спрофилированных методом годографа. (Метод предназначен для расчета течений в «хороших» соплах (без скачков уплотнения), поэтому его неконсервативность не важна.)
Прямая задача сопла Лаваля состоит в определении поля скоростей смешанного до- и сверхзвукового течения в канале заданной формы, имеющем по крайней мере одно сужение. Для осуществления такого течения требуется поддержание на концах канала сверхкритического перепада давления. При численном решении задачи это условие реализуется путем выбора
в качестве начального приближения соответствующего поля скоростей — дозвукового на входе в сопло и сверхзвукового на выходе из него.
В настоящее время имеется ряд методов численного решения прямой задачи сопла Лаваля, наприм^ [麻,39], использующие схемы установления. Кроме того, решение прямой задачи можно находить среди множества решений обратной задачи [77].
Однако методы установления сходятся довольно медленно. Существенно увеличить скорость сходимости при численном решении уравнений смешанного типа позволяет использование метода верхней релаксации [153].
В развитие этого подхода, опробованного на расчетах внешнего трансзвукового обтекания в рамках уравнений малых возмущений, предлагается метод решения прямой задачи, обладающий следующими характерными чертами.
Задача сведена к краевой задаче для одного дифференциального уравнения второго порядка. Это дает некоторое преимущество по сравнению с методами [46,39], где решается система уравнений.
Применение односторонних разностных формул в области сверх- з吗нового течения в сочетании с методсш прогонки хорошо согласуется с фактом отсутствия граничного условия на выходе из сопла, где скорость сверхзвуковая.
Используемая аппроксимация дифференциального уравнения имеет погрешность второго порядка на гладких решошях.
Выбор независимых переменных, связанных с линиями тока, позволяет применить простую схему аппроксимации граничного условия с погрешностью второго порядка и в сочетании с выбранными конечно- разностными отношениями обеспечивает устойчивость прогонки, а также приводит к формулировке задачи в полуполосе, что позволяет исследовать течение в каналах с произвольно искривленными стенками.
Применение метода блочной релаксации для решения системы алгебраических уравнении на каждой итерации обеспечивает высокую скорость сходимости итерационного процесса.
Дифференциальное уравнение и постановказадачи в плоскости 夕吵
В криволинейной системе координат, образованной семействами линий тока и их ортогональных траекторий ⑴，система уравнений газовой динамики для плоского безвихревого течения идеального газа имеет вид (1.4), (1.5), (1.6)
Л1А =①(8), Mq(入)=尸(W)・ (6)
Выберем ①(8)= A(^,D) = А(^), тогда на стенках сопла ” = 士D, hi = 1 (рассматривается симметричное сопло), следовательно,夕一длина дуги стенки сопла. Положим также 尸®) = [(к + 1)/2产/(И).
Перекрестно дифференцируя уравнения системы (5), (6) и исключая /?, получим
员即m1)(内入叽-[-А—
咁=1一挣， или в окончательном виде
%+1「 $,
入(》2 — I)》* — А?(з)入丁％ - 1 (А)%” + [Ba； + 2卜^, +
「 2]店+1
++ А2(з)丁口(А)$ _ А(》2 _ 1)需儿=0. (7)
Уравнение (7) имеет смешанный эллиптико-гиперболический тип. Математическая формулировка прямой задачи сопла Лаваля бесконечной длины для уравнения (7) такова: в полуполосе G = {—оо W 8 W G 0 W 也 W D} найти решение, удовлетворяющее условиям
a^ = 0,也=0;
入吵戸/(кт)(А) = х(^),也=D;
lim А = Aqo < 1, А > 1, 8 = С;
ЗТ —оо
тде “(8)— кривизна контура сопла.
Постоянная С (заранее неизвестная) определяется как значение 夕 на выходе из сопла; постоянная D, характеризующая расход газа через сопло, также заранее неизвестна.
Условие для 入吵(g,D), полученное из второго уравнения системы (3) должно выполняться во всех точках контура, в которых кривизна “(g) непрерывна.
Для сопла конечной длины вместо условия lim А = Аоо < 1 ставится
ЗТ—оо условие
奇瘍 ％ = "(”)，^ = в<с,
где 〃(V0 — кривизна линии равного потенциала 夕=В.
Это условие задает распределение угла наклона вектора скорости на входе в сопло.
Метод численного решения
При численном решения уравнения (7) используются идеи метода [153] для решения квазилинейного уравнения ФЖФЖХ = Фуу —уравнения малых возмущений при околозвуковых скоростях. Метод предполагает использование двух конечно-разностных схем аппроксимации производных для
областей эллиптичности и гиперболичности дифференциального уравнения. Аналогично [153], в области эллиптичности уравнения (6) применяются центральные разностные отношения второго порядка точности для производных, а в области гиперболичности — односторонние разностные отношения для производных по <р
入зз = (A^)^2(2Aij - 5A<-ij + 4、-2j -、-3,力，
儿=(2恥尸(3%, - 4%-1, + Аi-2,>),
и центральные разностные отношения для производных по 耽 где i,J — соответственно номера линий <р = const,吵=const. Полученная с помощью этой конечно-разностной аппроксимации система алгебраических уравнений решалась итерационным методом; для ускорения сходимости применялась блочная релаксация с параметрами з € (1,2) при А < 1, з V 1 при А > 1.
На каждой итерации применялся метод прогонки вдоль линий ⑴= =const. Решение начинается с линии ⑴=В н заканчивается на линии 8 = С, на которой А > 1. Используемые конечно-разностные формулы обеспечивают устойчивость прогонки.
Число итераций, необходимое для получения решения с заданной точностью, определяется, в основном, скоростью сходимости в области эллиптичности. Последняя, в свою очередь, зависит от значения параметра релаксации з для этой области, которое при численном решении задачи выбирается экспериментальным путем.
Положение граничной линии тока “ = D должно соответствовать контуру сопла в физической плоскости. Для этого в процессе итераций необходимо поддерживать постоянство ординаты входного сечения сопла 2/0, из выражения для которой определяется величина Д^ для следующей итерации, которая в процессе итераций стремится к некоторому предельно** му значению, определяя тем самым величину D.
На каждой итерации расчет ведется до линии ⑴=const, на которой А > 1 и положение которой может меняться в процессе счета. Если в расчет включается новая линия ⑴=const, то начальное распределение коэффициента скорости на ней задается в виде 入i+ij = 2入；,一A^ij.
Апробация метода производилась в основном путем решения прямой задачи в классе сопел, спрофилированных методом §2и обладающих четко выраженным свойством постоянства скорости на двух участках контура. Как говорилось, среди сопел этого класса было и сопло с углом наклона прямолинейного участка 仇=Зтг/4 (§4).
Осесимметричное течение. Уравнения и постановка задачив плоскости 夕叩
Метод, изложенный выше, был обобщен в [137] на случай осесимметричного сопла. Это позволило сохранить все преимущества, связанные с постановкой задачи в плоскости 夕耽
'Ьфавнения осесимметричного безвихревого течения идеального газа в ортогональной системе координат, связанной с линиями тока, имеют вид (1・4)-(1.6)
81n* _ 1 as sin£ 1 加 _ 1 a In 入 / Л1 д(р 坛即 у ' h\ 8屮 h] &ф ')
Л1Д = @(8), 五2旳(入)=尸(吵)•
Замкнутая система уравнений получается добавлением уравнения
у = ykisin/Jd^ + hz cos/3d吵.
Выберем
小(8)=入(W,D) = А(з),F^)[(k^l)/i\^k^ = у{В^)=的仲).
FlepeiqjecTHo дифференцируя и исключая /?, получим одно уравнение второго поряцка
k + 1+ 2А2(8)--1 (入)吊+k + 1+ 2А2(8)--1 (入)吊+(9)(9)入(入2 - 1)入33 -A2(8)入心-1 (a)a^ + [-7ТТ- + 2 & +
k + 1
+ 2А2(8)--1 (入)吊+
k + 1
+ 2А2(8)--1 (入)吊+
(9)
(9)
+尸+尸
+尸
+尸
+ А(А2 - 1) [2
2cos0 -普入т* - 1 РЛ2(у?)т^ - 1
me u/yog),Q®) = [^^Ц^в •
Как видно, уравнение (7) содержит также 仇 у, для определения которых используется первое уравнение системы (8) и уравнения
W =坛cos/? = /&), 八卩=А(з)(Ю)
с граничными условиями у =户=吵=0.
В уравнении (7) при у т 0 возникает необходимость в раскрытии неопределенностей Р = у/уо, %/у, sin/3/y.
По правилу Лопиталя
sM£ 包 (А2 — 1)Ау2Ат(лГ『・
Последний предел получен с учетом первого уравнения (10). Подставляя эти выражения в (10), получим уравнение, описывающее течение вблизи оси симметрии. Это уравнение используется вместе с условием симметрии 入屮=0 для получения прогоночных коэффициентов. Кроме того, щ)и* ближенное уравнение целесообразно использовать вблизи оси симметрии для ускорения итерационного процесса на начальной его стадии, когда погрешность вычисления рассматриваемых коэффициентов при неудачном выборе начального приближения может принимать сингулярный характер.
Математическая формулировка прямой задачи осесимметричного сопла аналогична формулировке для плоского сопла. В случае сопла бесконечной длины решение ищется в полуполосе G; оно должно удовлетворять следующим граничным условиям:
%, = 0,吵=0,
% =^ф = Dy
lim А<1,А(С,^) > 1.
夕一^一8
Последнее условие (10) служит для определения положения выходного сечения, которое можно назвать «первым сверхзвуковым лучом». С целью экономии времени полуполосу G целесообразно ограничивать именно этим лучом, так как решение прямой задачи в сверхзвуковой части сопла вниз по потоку от этого луча может быть произведено более быстрым методом. Положение этого сечения заранее неизвестно, поэтому в алгоритме предусмотрена возможность его «перемещения» в итерационном процессе.
Для сопла конечной длины к условиям (10) следует добавить условие на входе в сопло (см. гл. 3, § 8), например, условие выравнивания аргумента скорости, равносильное условию 儿 |з=в = 0.
О кольцевых соплах для ракетных двигателей
При конструировании ракетных двигателей неоднократно возникала идея использования сопел с центральным телом. Такие сопла при прочих равных условиях имеют существенные преимущества, так как площадь поверхности сверхзвуковой части приблизительно в три раза меньше, чем наиболее коротких сопел, выполненных по обычной схеме. Однако до настоящего времени удачных реализаций такой схемы не существовало.
Причина этого, по нашему мнению, состоит в том, что в период бурного развития ракетной техники, когда закладывались традиции конструирования двигателей, еще не было ни достаточно мощных компьютеров, ни адекватной математической теории трансзвуковых течений газа. Поэтому основное внимание было обращено на разработку «инженерных» методик. Однако их применение для конструирования кольцевого ракетного двигателя было обречено на неудачу. Действительно, характерная особенность такого двигателя состоит в том, что высота критического сечения сопла является малой величиной, пропорциональной расстоянию от оси симметрии (при той же площади критического сечения, что и в обычном сопле). Это означает, что к точности аэродинамического проектирования кольцевого
двигателя должны предъявляться гораздо более высокие требования — по сравнению с двигателем обычной конструкции. Поэтому хороший кольцевой двигатель не мог быть спроектирован на основе приближенных методик.
По нашему мнению, наиболее предпочтительным является сопло с плоской звуковой поверхностью, ортогональной оси симметрии. Во-первых, это позволяет проектировать дозвуковую часть сопла (камеру сгорания двигателя) независимо от сверхзвуковой части. Во-вторых, можно применить схему с изломом образующей стенки сопла в месте пересечения со звуковой поверхностью. Эта схема имеет то преимущество, что поток монотонно ускоряется вдоль всей сверхзвуковой части контура сопла. (В отличие от этого, излом образующей стенки сопла с криволинейной звуковой поверхностью приводит к образованию зоны торможения потока.)
Излом образующей стенки сопла позволяет спроектировать сопла минимальной длины.
Рис. 4.6
Для проектирования дозвуковой части сопла с плоской звуковой поверхностью, в котором поток монотонно разгоняется вдоль стенки, целесообразно применять метод, изложенный в § 1-3.
Форма сверхзвуковой части сопла (образующей центрального тела) рассчитывается методом характеристик. Поле сверхзвукового течения состоит из двух подобластей. В первой происходит разгон потока при развороте в угловой точке на центральном теле. Эта область ограничена прямой звуковой линией, последней характеристикой узла разрежения и цилиндрической обечайкой — внешней стенкой сопла (параллельной оси симметрии), являющейся продолжением границы дозвуковой области. Вторая подобласть (в которой происходит выравнивание сверхзвукового потока) ограничена последней характеристикой узла разрежения, образующей центрального тела и прямолинейной характеристикой, на которой сверхзвуковой поток параллелен оси симметрии. Son излома образующей центрального тела
Рис. 4.7
подбирается из условия, чтобы эта образующая достигала оси симметрии, касаясь ее.
На рисунках 4.6, 4.7 показана сверхзвуковая часть образующей центрального тела и — для сравнения — контур сверхзвуковой части традиционного сопла Лаваля с угловыми точками (к = 1,2; М = 4,88) и (к = =1,2; М = 2,82), соответственно. Площади поверхности центрального тела отличаются в три раза. Расчеты были проведены студентом МФТИ В. Готовцевым.
Глава 5
Докритическое обтекание профиля
Прямая задача. Профиль в несжимаемой жидкости.Условие Жуковского-Чаплыгина. Теорема Янковского.Критическое число Маха. Теоремы существования и единственности
Прямой задачей внешнего обтекания профиля называется задача определения поля скоростей безграничного стационарного потока с заданной скоростью на бесконечном удалении. Крыло (самолета) предполагается при этом настолько длинным, что правомерно описание в рамках уравнении плоского течения.
В рамках модели несжимаемой жидкости эта классическая задача имеет исчерпывающее решение, получаемое методами теории функции комплексного переменного. А именно, рассматривается следующая краевая задача для аналитической (во внешности профиля) функции — сопряженной комплексной скорости 而=и - 2, где и, v — горизонтальная и вертикальная компоненты вектора скорости: найти w(z) по заданному на профиле условию непротекания и условию на бесконечности w т т Wqo, z т оо, где Woo — заданная постоянная, соответствующая скорости набегающего потока. Заметим, что в этой постановке уже присутствует ограничение, выделяющее класс безотрывных обтеканий: оно состоит в том, что во внешности профиля отыскивается безвихревое течение с непрерывно дифференцируемым полем скорости. Этот класс не исчерпывает всех возможных схем обтеканий, допускаемых системой уравнений идеальной несжимаемой жидкости. В него не входит, например, обтекание по схеме Кирхгофа с каверной, заполненной средой с постоянным давлением, или схему Бэтчелора, в которой может возникать ограниченная стационарная отрывная область с замкнутыми линиями тока и с постоянной, отличной от нуля завихренностью. Таким образом, важным условием реализуемости сформулированной схемы является условие безотрывности пограничного слоя, относительно которого, помимо того, что он настолько тонкий, что пренебрежимо мало изменяет контур профиля, предполагается также, что он существует и устойчив. Математическая теория пограничного слоя гласит, что эти свойства выполняются, когда распределение скорости вдоль стенки профиля в решении для идеального газа — монотонно возрастающая функция, либо, если это не так (а при обтекании профиля это всегда не так), то если замедление потока в этом распределении не слишком велико [73]. Аналогичный результат получен также экспериментальным путем: безотрыв- ность обтекания имеет место, когда темп замедления потока ограничен некоторой постоянной, зависящей от чисел Маха и Рейнольдса [ПО].
Из сказанного следует, что схема безотрывного обтекания может иметь место при некоторых режимах обтекания крыла; интуитивно ясно, что такая схема заведомо не реализуется, если поставить крыло «поперек потока».
Так как схема безотрывного обтекания крыла наиболее проста математически и к тому же энергетически предпочтительна (в ней реализуются только потери на трение в пограничном слое), она имеет наиболее детальное и строгое описание.
Сформулированная выше задана для комплексной скорости математически может бьпъ сильно упрощена, если перейти к эквивалентной задаче об отыскании комплексного потенциала ①=⑴ + 汕 где ⑴一потенциал скорости,吵一функция тока; w(z) = d@(z)/dz. Краевые условия при этом ставятся так: hA@(z) = 0 на профиле, ®(z)= 而gz + •. • при z т 8. Так как аналитическая функция в окрестности бесконечно удаленной точки имеет разложение
W(z) = Woo + — +
то интегрируя получим
①(z) =%z++ , Е=С ⑴ /7Г2 \ Z /
Таким образом, комплексный потенциал имеет на бесконечности две сингулярные компоненты — полюс и логарифм. Постоянный множитель перед логарифмическим членом должен быть чисто мнимым, так как функция тока непрерывна и однозначна на замкнутом контуре, охватывающем профиль (это следует из безотрывности обтекания). Таким образом, при обходе профиля по этому контуру потенциал скорости получает конечное приращение (не зависящее от выбора контура). Если считать, что обе сингулярные компоненты заданы (первая определяется скоростью набегающего потока), то регулярная компонента комплексного потенциала — непрерывная в замкнутой внешности профиля аналитическая функция — определяется однозначно условием на профиле. Итак, безотрывное обтекание профиля несжимаемой жидкостью существует и единственно, если задан коэффшш- ент Г перед логарифмическим членом в(1) или условие, позволяющее его определить единственным образом.
Для профилей, гладких всюду, кроме одной точки — так называемой «острой задней кромки», в которой касательная к контуру имеет разрыв первого рода (причем внутренний угол (по телу крыла) — острый), таким условием является «условие Жуковского-Чаплыгина». Последнее состоит в требовании непрерывности скорости потока на контуре профиля. Это условие однозначно определяет постоянную Г (которая есть не что иное как циркуляция скорости на профиле), что может быть доказано с помощью конформного отображения внешности профиля на внешность единичного круга (это, собственно говоря, решает прямую задачу), либо доказательством теоремы единственности [141], воспроизведенным в [19] для случая обтекания профиля сжимаемым газом.
Циркуляция Г и скорость набегающего потока по теореме Жуковского определяют подъемную силу крыла — главный вектор сил давления на крыло — она ортогональна направлению скорости набегающего потока и равна p|woo|r. В [45] было доказано, что формула Жуковского справедлива и в случае плоского потенциального обтекания профиля дозвуковым (на бесконечности) потоком идеального совершенного газа.
Безотрывное обтекание профиля потоком сжимаемого газа топологически эквивалентно обтеканию профиля несжимаемой жидкостью. Это доказано в [19] с помощью теории квазиконформных отображений (отображение физической плоскости в плоскость 夕” квазиконформно, если в потоке отсутствуют скачки уплотнения и если скорость не достигает предельного значения, т.е. если М < сю). Таким образом, как указывается в [19], это утверждение справедливо не только в случае равномерно дозвуковых обтеканий, но и тогда, когда образуются сверхзвуковые включения с непрерывным полем скорости.
Задача безотрывного обтекания профиля с острой задней кромкой дозвуковым (на бесконечности) потоком совершенного газа была впервые рассмотрена М. В. Келдышем и Ф. И. Франю1ем [45]. Ими была доказана теорема существования и единственности решения задачи обтекания профиля потоком достаточно малой дозвуковой скорости, подчиняющегося условию Жуковского-Чаплыгина. Полученные в процессе доказательства строгие асимптотические оценки решения в окрестности бесконечно удаленной точки позволили обосновать справедливость теоремы Жуковского для совершенного газа.
Анализ годографа обтекания профиля (см. § 6) показывает, что максимальное значение скорости потока при М^ < 1 достигается на профиле. Поэтому следует ожидать, что при увеличении скорости набегающего потока настает момент; когда на профиле достигается скорость звука; соответствующее этому режиму значение скорости набегающего потока называется критическим.
Критическое число Маха зависит только от формы профиля (имеется в виду профиль с острой задней кромкой, обтекание которого подчиняется условию Жуковского-Чаплыгина).
Обтекание профиля равномерно дозвуковым потоком называется «до- критическим». В этом названии отражено предооложение (не доказанное), что докритическое обтекание возможно только при М^ < М^.
В теореме Келдыша-Франкля не была установлена связь между М® и верхней границей чисел Маха, при которых эта теорема правомерна. Эта связь, а точнее, полная теорема существования и единственности [138,141] гарантирует для каждого профиля с острой задней кромкой существование такого М^ что при 0 < М^ < М^ существует единственное решение прямой задачи обтекания профиля, удовлетворяющее условию Жуковского- Чаплыгина, причем скорость непрерывно зависит от М^. (В теореме Келдыша-Франкля эта зависимость аналитическая.) Максимальное число М на профиле стремится к нулю при Mg -> 0 и к еданице при Mqq -> Мф. При Моо > Мф наступает «сверхкритическое» обтекание, характеризуемое появлением сверхзвуковых включений. В силу изменения типа уравнения в сверхзвуковых подобластях, прямая задача обтекания
§ 2 Асимптотика дозвуковоао обтекания несущего профиля 135 становится переопределенной; это приводит к необходимости постановки задачи обтекания в более широком классе функций — со скачками уплотнения. Более подробное изложение проблемы сверхкритического обтекания дозвуковым (на бесконечности) потоком дается в гл. 6.
Асимптотика дозвукового обтекания несущего профиляв физической плоскости и в плоскости годографа
Несущим профилем крыла называется профиль, обладающий подъемной силой. По теореме Жуковского крыло обладает подъемной силой, если цир^ляция скорости на его контуре отлична от нуля. В свою очередь, существование ненулевой циркуляции связано с определенной структурой потока в окрестности бесконечно удаленной точки, задаваемой его асимптотикой. Впервые строгие асимптотики для потенциала скорости и его производных были найдены в [45] (для случая обтекания профиля потоком достаточно малой скорости). Позже асимптотики для потенциала и для самой скорости были уточнены [138, 148, 141]. Для несущего профиля они определяются формулами [19]
昨 и-芻 7^V+°”I)，°<6<L (3) Здесь w = u + tv = ^x + i(py — комплексная скорость, z = z + iy, 尸 = ^/1 — M^, U = k = Woo, Г — цир^ляция скорости, индекс сю соответствует бесконечно удаленной точке.
Отметим, что на основе этих формул был установлен [141] (для несущего профиля) факт взаимно однозначного соответствия между физической плоскостью и плоскостью годографа в окрестности бесконечности: наоборот; Г = 0 влечет вывод, что образ бесконечно удаленной точки в плоскости годографа является точкой ветвления некоторого порядка п > 1 римановой поверхности отображения. Этот важный факт будет использован в дальнейшем.
Формула (3) с учетом зависимости плотности от скорости позволяет получить асимптотическое представление и для функции тока 吵.Отнесем w к скорости звука в покоящемся газе. Тогда р = ро[1 — (k — Ijww^]1/^"1^, где ро — плотность заторможенного газа, к — показатель адиабаты. Из (3) следует
ww = U2- —+ O(|z「i)・
Далее,
Р [1 +髪匸尚河不+0(1牛1),
耽Q = 08 [и _ J力亨 +O(|z「I),
也=也=+ O(|z「f+ O(|z「f
也=
也=
+ O(|z「f
+ O(|z「f
%) = Ро[1 - (* - 1)и/2w(1),© =；二若+ ?滋.
L — (К — 1)U /2
Интегрируя 吵屮吵н гю у н ж, получим
吵=Аю (ug _ ^ In «2 +£2g2)+ 尸式①)+ 0(|z「6),
” =-Ps^m，。？ +02 犷 +尸2(3/) +O(|z|Y)・
Приравнивая эти выражения, получим 尸i(z) = 0, Ez(g) = p^Uy、т. е. окончательно
吵=08 (из/ - ^ In 厶2 + £2у2)+ O(|z| Y).(4)
Сопоставляя формулы (2) и (4), обратим внимание на множитель £ перед логарифмическим членом в (4).
При изучении в плоскости годографа задач, связанных с обтеканием профиля, возникает необходимость иметь представление решения в виде суммы регулярной и сингулярных компонент. Эта форма должна соответствовать асимптотическому разложению вблизи образа бесконечно удаленной точки. Как уже упоминалось, отображение окрестности бесконечно удаленной точки течения с ненулевой цир!дшяцией в плоскость годографа взаимно однозначно. Казалось бы, для получения необходимой асимптотики достаточно по (3) произвести замену переменных z -> w в (2), (4) аналогично случаю несжимаемой жидкости, когда из формул
рр 1
(p + i^ = Uz + —]nz + f(z), 而=z + —- + 尸(z),
где /(z) —регулярная в окрестности точки z = сю аналитическая функция, следует
"亲用+g®))
夕+碑=^計万-張т® - и)‘ + Q®)，
где p(w), g(w) — регулярные в окрестности точки w ^U аналитические функции.
Однако в случае сжимаемого газа таким способом могут быть правильно вычислены лишь первые члены разложения 夕，吵(из-за остаточного члена O(|z「iY) в (3) вместо O(z~2). Вычисление второго сингулярного члена асимптотики (при Г / 0) основано на теории псевдоаналитических функций [19,25].
Рассмотрим модифицированный комплексный потенциал Ф = R? + £吵 в аффинно-преобразованной плоскости годографа
|w|
s = In |w| + /(，1 - Af2 — 1) dln|w|, 6 = argw, Я = p(l — Л/2)-1, о
В этих переменных уравнения Чаплыгина имеют вид [19]
R屮8 = 叽，R屮3 = W■
Вводя комплексные переменные о = s + 招，彳=s — i仇 получим
%+ 4(① + 對=0,4 =
4 ds(5)
|4| < оо при М <1.
Это уравнение псевдоаналитическоб функции, поэтому в соответствии с принципом подобия [19,25] имеет место представление
①= 〃о)*9),(6)
где /(а) — аналитическая функция, а з(о) непрерывна по Гельдеру в G — замкнутой области определения Ф (область G ограничена в плоскости годографа а и принадлежит дозвуковой ее полуплоскости).
Выразим ж, у через компоненты скорости u, v. Из (3) следует; что при w т U
尸他-U)2 + М = (^) (ж2 + 户力)Т + 0(|z「2T),
s = In U + №『” + /3、— АР 一 1) dln|iu| + о
+ 回/2 (,i — мт — i) + 0(1 刨一 и)'=
=Sg + 回钾4 + O(|w| - U)2,$8 = s(U)=県,
и — U = |w| cos 0 — U = \w\ — U + O(02),
v = |w| sing = U9 + O[0(|w| — U)],
I。一 aool2 = (s — sg)2 + 夕2 =
=他:*+' +8刨一u产+0也(画-⑴产=
=(為)"+俨才尸+ 51产6).
Отсюда следует, что |а -県］=0(假尸).Поэтому
1"県|=(篇)空 +力 +0(1"。8产),炉+典2=(嘉)2匸%+。(1"。8尸).
Из (3) получим
У =-盜(и — U)(a：2 + 齡?2) + O(|z|iY)=
T乏号+ 8…8尸)，(7)
工=務3? +典2) +。(同1)=
=金］^ +。"8尸一8)
Выражая 夕，” из (2), (4) с помощью (7), (8), получим
①=R(p +琢=［货+ 0(匕-。81)］з+涉=
=第+翳arctg 产)+
+ 5嚟 In W-Sg)2 + 02 + 0(1。-08f-1). (9)
Остаточный член 0(|o — obop-】)в этом выражении появился в результате использования формул перехода (7), (8); его величина допускает наличие логарифмической составляющей In |о — bg |. Втоже время в связи с тем, что z, у в реально существующем течении являются однозначными функциями переменных годографа, остаточные члены не могут содержать слагаемых вида arg (а —県).Это означает; что единственная возможность согласовать формулу (9) с принципом подобия (6) состоит в выделении логарифмической компоненты из остаточного члена. Например, выражение для у вместо (7) может быть записано в виде
"=e 当 + е y^ m " 唄1+。(1"联尸)，(1。) в то время как выражение (8) может быть оставлено прежним. В результате получим
①=铝3万一唯)+ 51…8L)・⑴)
Остаточные члены в выражениях (8), (10), (11) сохраняют при этом возможность содержать слагаемые вида 百(匕-県]).
Формула (11) выражает асимптотик псевдоаналитической функции Ф вблизи образа бесконечно удаленной точки через аналитические функции. Однако наличие остаточного члена не позволяет использовать ее для разделения на регулярную и сингулярные компоненты.
Необходимое уточнение формулы (11) можно получить, если использовать вместо функций (а — 1п(а — а) подобные им псевдоаналитиче- ские функции. Эти функции существуют.
В [25] были введены и изучены псевдоаналитические функции 3i(z,£) q32(z,±)
В связи с тем, что эти решения уравнения (5) определены во всей плоскости, доопределим коэффициент А вне области G, положив там А = =0. Функции 3i,2(z,t) непрерывны по Гельдеру по обеим переменным, 31,2(Z, t) т 0, |z — t| т 0.
Таким образом, в качестве эквивалента функции [-2г(а -県)尸 может быть выбрано Х?(汙,県).
В общей теории [25] доказывается осуществимость преобразования однозначных аналитических функций в псевдоаналитические с помощью интегралов по области. Если подвергнуть такому преобразованию однозначную ветвь Inz, выделенную с помощью разреза, то полученная псев- доаналитическая функция будет иметь представление
①* =lnze3(z).
При переходе через разрез Ф* получает приращение
[Ф*] = [ew](lnz)+ - 2теш~.
Приращение модифицированного потенциала Ф = R屮 + 碑 при обходе по любому замкнутому контуру охватывающему образ бесконечно удаленной точки, должно быть действительной величиной, пропорциональной R в точке пересечения контура с разрезом. Это обстоятельство затрудняет использование ①* в качестве эквивалента Inz в формуле (11), так как 3(z) должна удовлетворять определенным граничным условиям на берегах разреза, т. е. должна быть решением некоторой краевой задачи. Эквивалент In z, обладающий требуемым свойством, может быть построен иначе, с помощью обобщенного интеграла типа Коши, имеющего вид [25]:
①** =工(ci^z^gifydt - Q2(z,t)g(t)dt,(12)
L
где L — кривая Жордана, g(t) — суммируемая на L функция, Ci,2 = Xi(z,t) ± iX2(z,t) —«нормальныеядра» [25]. Для интеграла (12) справедливы формулы Сохоцкого.
Выберем в качестве L прямолинейный отрезок [а»,県+ »%], Ооо + 〃& ^ G, a g(G) возьмем в виде g(G) = Л(воо)Г, тоща (12) примет
вид
6** = 吟穴 户式方,08 +诏)曲.(13)
о
В концевой точке отрезка интегрирования 汙=а^ этот интеграл имеет логарифмическую особенность в силу представления
e31 ①,e
так как 仍(亍,,)удовлетворяет условию Гельдера по обеим переменным (доказательство аналогично [26]), а именно
6** = —)1п(а -。8)+ 0(1),万—＞。8・
Таким образом, пседцоаналитическая функция, представленная интегралом (13) имеет ту же асимптотику, что и логарифмический член в (И) и, кроме того, правильно описывает приращение комплексного потенциала Ф при обходе области G.
Из теории псевдоаналитических функций известно, что каждая изолированная особая точка представляет собой либо существенную особенность, либо полюс, либо устранимую особенность.
Так как отображение течения с цир^ляцией в плоскость годографа взаимно одаозначно в окрестности бесконечно удаленной точки, из формулы (11) следует, что сингулярная часть Ф содержит только члены, эквивалентные полюсу и логарифму т. е.
埶汙)=-些Х2(亍《8)+^+(14)
?г
о
тде Фо(^) —регулярная в точке 県 псевдоаналитическая функция.
Итак, имеет место аналогия межцу структурами решений в плоскости годографа для сжимаемого газа и несжимаемой жидкости; их количественное различие определяется не только различием плоскостей годографа, но и дополнительным множителем перед логарифмическим членом в формуле (14).
При выводе формулы (11) использовалось условие однозначности координат с,у・ С другой стороны, выполнение формулы (11) обеспечивает однозначность 土, у в окрестности бесконечно удаленной точки. В этом можно убедиться, интегрируя выражение dz = dfijw + Оф/(pw) с учетом (11) по замкнутому контуру; охватывающему точку 万=県•
Возвращаясь к вопросу о логарифмических членах в (8), (10), заметим, что их существование определяется наличием члена вида |z - t| In |z - t| в разложении 5(z,t) при |z —力| т 0, который допускается оценкой 32(z,t) W K\z -1| In |z - t|, справедливой при 4 e C(6 [25].
В существовании такого члена в разложении можно убедиться непосредственно, анализируя течение сжимаемого газа, получаемое из течения несжимаемой жидкости с помощью метода Лайтхилла [58].
Для газа Чаплыгина (к = —1, р = V1 ~ М2), как и следовало ожидать, (14)принимает вад
◎⑺小(办
При этом остаточные члены в (8), (10) не содержат логарифмов.
§ 3. Преобразование обтекания профиля несжимаемой жидкостью.Метод Чаплыгина. Метод Лайтхнлла
Переход в сороковых годах авиации на большие дозвуковые скорости полета привел к усиленным исследованиям обтекания крыла с учетом сжимаемости воздуха. Техническая задача состояла в разработке методов профилирования 1фыла с заданными аэродинамическими свойствами —— подъемной силой, моментными характеристиками и т.д. (Эта задача, рассматриваемая в более широкой постановке, актуальна и по сей день как задача профилирования оптимального крыла, причем оптимизация прово дится по большому числу технических параметров.) Отсутствие в то время быстродействующей вычислительной техники, а следовательно, и эффективных возможностей численного решения краевых задач для нелине曲<ых уравнений газовой динамики» определило преимущественное развитие аналитических методов, развивающих, в основном, метод С. А. Чаплыгина.
Следует отметить, что хотя эти методы имели и имеют до сих пор большое познавательное значение, рассчитывать в их рамках хотя бы на «подход» к решению технической проблемы не имело большого смысла.
Действительно, метод Чаплыгина-Лайтхилла основан на идее непрерывного преобразования решения задачи обтекания профиля несжимаемой жидкостью в некоторое решение уравнений идеального газа, соответствующее обтеканию деформированного профиля. Если даже исходный профиль был оптимальным в потоке несжимаемой жидкости, то эта оптимальность нарушится при его перестроении, так что неизвестно, что лучше; перестраивать профиль» либо оставить его неизменным для движения в сжимаемом газе — ведь как следует из теоремы существования [141] (см. § 1), аэродинамические характеристики непрерывно зависят от М> Пожалуй, единственное существенное преимущество метода Лайтхнлла состоит в возможности профилирования крыла для полета в сверхжрити. ческом режиме, но с непрерывным течением в местной сверхзвуковой зоне (без скачков уплотнения).
Как известно, метод Чаплыгина, примененный для решения задачи об истечении струи газа с дозвуковой скоростью [108], был затем обоснован Л. В. Овсянниковым и для случая звуковой струи [72]. Метод основан на «подобии» разложений “нкх^й тока несжимаемой жщщости и совершенного газа в рады Фурье по 夕一аргументу скорости
吵=£cnw"sinn仇(15)
W = £丁也(丁)血叩=52 enrn/2F(an, bn, n 4-1, r) sinn^.(16)
Здесь 7 = w2/w^ax — переменная Чаплыгина, w, В — модуль и аргумент скорости, ^п(^) —функции Чаплыгина,尸一гипергеометрическая функция,
1(£-1)21(£-1)2
1(£-1)2
1(£-1)2
числа /г могут быть нецелыми.
В работе [58] коэффициенты еп выбирались в виде
"尸(J：, П + 6), (⑺
где коэффициенты сп определены течением несжимаемой жидкости, 丁 1 = Wj/w^ax, wi — характерное значение скорости (например, на границе струи). Если взять для простоты wi = 1, то ri = w~^. При wmax т т оо, т.е. при Mqq т 0, разложения (15), (16) эквивалентны. Кроме того, асимптотическая эквивалентность рядов имеет место и при гу т 叫 что в задаче об истечении струи обеспечивает выполнение граничного условия на ее границе.
Прямое обобщение метода Чаплыгина на случай обтекания профиля безграничным потоком невозможно по следующим причинам:
Область определения решения принадлежит многолистной римановой поверхности в плоскости годографа (в задаче о струе она однолистна).
Из-за наличия на профиле двух критических точек (точек разветвления потока, в которых скорость обращается в нуль) решение во всей области определения не может быть представлено единым степенным рядом (16) даже для частного случая однолистного годографа. Это приводит к необходимости использования для аналитического продолжения рядов не только с положительными, но и с отрицательными п. Однако если ряды (15) были построены как аналитические продолжения друг друга в соседних подобластях, то соответствующие ряды Чаплыгина уже не обладают свойством взаимной аналитической продолжимости.
Отыскание контура профиля является следующим этапом после построения решения для функции тока. (Профиль отличается от своего прототипа в несжимаемой жидкости.) Требование замкнутости контура, необходимое для физической реализуемости решения, приводит к дополнительным условиям, которые в методе Чаплыгина в общем случае не удовлетворяются.
В окрестности образа бесконечно удаленной точки в плоскости годографа функция тока как в несжимаемой жидкости, так и в газе должна обладать совершенно определенным асимптотическим разложением — с двумя сингулярными членами при наличии циркуляции (см. выше (14), § 2).
С целью устранения указанных трудностей М. Лайтхиллом [58] был предложен и обоснован (это обоснование, как будет показано, все же нельзя признать исчерпывающим) способ модификации метода Чаплыгина, состоящий в построении систем функций /(n,ri) (разных для обтекания с циркуляцией и без нее) для преобразования коэффициентов ряда (15) по формулам en = cn/(n,ri) вместо (17).
В методе Лаитхилла трудности, перечисленные в пп. 1-3, были преодолены. При этом удалось найти класс профилей, обтекаемых потоком сжимаемого газа в широком диапазоне чисел Л/оо, в том числе и при Моо > Мф (без скачков уплотнения). А именно, было показано, что если число Мао не очень сильно превышает М^ то имеет место течение с непрерывным полем скоростей в сверхзвуковой зоне—предельные линии при этом находятся внутри профиля. Получаемые таким образом профили обладают аналитическим контуром (кроме задней кромки).
Все же следует отметить, что метод Лаитхилла нельзя отнести к категории «точных». Его неточность (в том виде, в каком он был опубликован в 1948 е [58]) обусловлена невозможностью выполнения условия (по крайней мере для течений с циркуляцией), состоящего в весьма жестких требованиях к асимптотике решения в окрестности бесконечно удаленной точки (14), §2. Эти требования, если так можно выразиться «измеряют скорость» расходимости степенных рядов, причем первый член асимптотики определяет главный член скорости расходимости ряда, а второй — остаточный член этой скорости. В конструкции метода не предусмотрена возможность выполнения двух этих условий: по построению ряды Фурье для функции тока Ф иее прототипа 吵 обладают лишь свойством асимптотической эквивалентности в окрестности образа бесконечно удаленной точки (отношение соответствующих коэффициентов Фурье имеет асимптотик 1 + О(1/п) при п -> оо). Но это обеспечивает лишь расходимость ряда Фурье для Ф, чего, конечно, недостаточно для вьшолнения асимптотических условий на бесконечности. Это обстоятельство не могло быть учтено в [58], так как строгие асимптотические формулы (2), (3) и их следствие (14) были получены гораздо позднее.
В §6 обсуждается еще одна специфическая особенность метода Лай- тхилла, проявляющаяся при построении несущих профилей. Она состоит в том, что и профиль-прототип, и преобразованный профиль должны иметь в задней кромке точку возврата, такую, чтобы скорость потока в задней кромке была ненулевой.
Профилирование крыла по распределению скоростивдоль его дуги
В связи с тем, что критическое число Маха зависит от формы профиля, большое практическое значение имеет задача профилирования несущего крыла, при обтекании которого потоком заданной дозвуковой скорости М^ нигде на профиле не образуется сверхзвуковых зон.
Разные подаоды к этой задаче определяются видом задаваемой на профилируемом крыле информации. В конце 40-х годов Е Е Тумашевым и М. Т. Нужиным была развита постановка задачи профилирования крыла, в которой задавалось распределение скорости как функция длины дуги профиля. Полное решение этой задачи для несжимаемой жидкости, приведенное в монографии [97], состоит вкратце в следующем.
Заданное распределение скорости должно обладать двумя точками торможения —критическими точками, в которых происходит разветвление потока, обтекающего крыло. По этому распределению интегрированием (от
передней литической точки до задней) находится распределение потенциала, скачок которого в задней литической точке определяет циркуляцию скорости. Приравнивание значений потенциала в точках торможения его значениям в критических точках при обтекании круга (с той же циркуляцией) потоком единичной скорости на бесконечности позволяет найти радиус круга и устанавливает взаимно однозначное соответствие точек профиля и точек окружности. Аналитическая функция, осуществляющая конформное отображение внешности крыла на внешность круга при соответствии бесконечно удаленных точек и отсутствии поворота на беско* нечности определяется единственным образом как решение задачи Шварца (задача Шварца определяет аналитическую фушащю по заданной на границе области ее действительной или мнимой части) [26]. Коэффициент растяжения отображения в бесконечно удаленной точке выражает скорость набегающего потока.
Построенная аналитическая функция в общем случае, однако, будет многозначной. Приравнивание нулю ее вычета относительно бесконечно удаленной точки приводит к двум условиям разрешимости, которым должно удовлетворять выбранное распределение скорости, чтобы искомый контур оказался замкщпым. Кроме того требование отсутствия самопересечений контура накладывает дополнительные ограничения на характер распределения скорости [97].
Таким образом, разрешимость задачи профилирования крыла в постановке [97] зависит от выполнения двух (а в случае, если задана и скорость набегающего потока—то трех) условий разрешимости. Это обстоятельство сильно ограничивает возможности применения указанной постановки, так как добиться выполнения условий разрешимости можно лишь подбором исходного распределения скорости.
Некоторое видоизменение задачи позволяет преодолеть эту трудность. (Однако при этом исчезает главное преимущество, состоящее в том, что задаваемое распределение скорости может быть подчинено оценкам, обеспечивающим безотрывность пограничного слоя при заданном режиме обтекания.)
Измененная постановка состоит в следующем. Пусть единичный круг обтекается, как и искомый профиль, потоком скорости U с циркуляцией Г. Обозначим 例)(G), |wo(0)| — потенциал и модуль скорости на единичной окружности (8 — центральный угол). Тогда
Зо(6) = 2U cos^ — ^夕，
|wq(0)| = 1217sinG - ~；|.
Искомый профиль определяется конформным отображением области течения на внешность iqjyra, поэтому в соответствующих точках профиля и круга значения потенциала скорости одинаковы, а значения модуля скорости — различны. Выберем логарифм отношения скоростей
w(0) = Inw(0) = In13go©))11w(30(0))113go©))11w(30(0))1
w(0) = In
w(0) = In
13go©))11w(30(0))1
13go©))11w(30(0))1
так, чтобы среднее значение з(8) на мфужности и два первых коэффициента Фурье равнялись нулю:
2k2才2ж
〃(0)曲=.(&) sin 6 由=У^(8) cos 6 d&. ооо
Эти три условия обеспечивают со^фанение величины скорости набегающего потока и замкнутость искомого профиля; при произвольной функции з(8) функция
2K
3式8) = 3(8) - ^ /嘿^ 由_ о
2K(8) cos 0 曲 о2K(8) cos 0 曲 о2K0) sin 8 由 о2K0) sin 8 由 о
2K
(8) cos 0 曲 о
2K
(8) cos 0 曲 о
2K
0) sin 8 由 о
2K
0) sin 8 由 о
удовлетворяет этим условиям.
Циркуляция скорости сохранит выбранное значение Г. Действительно, из равенства dtp = wds = wqM (s — длина дуги профиля) следует
Г = Jwq(0) d0 = ^ 嘗% "s w(s) ds. о
В связи с тем, что иг круга), по формулеВ связи с тем, что иг круга), по формуле(6) = lnd6/ds = In \dz()/dz\ (zo —плоскость обтекания Гильберта имеем
В связи с тем, что иг круга), по формуле
В связи с тем, что иг круга), по формуле
2力
m曹=x(方)=3(0)- ^： 4⑹ ctg ^y^ 我.
0
Координаты профиля определяются параметрическим уравнением
z(6) = /г ⑹衣+ с.
Если искомый профиль гладкий, то з(0) должна быть непрерывной функцией, а для профиля с изломом в задней критической точке (но без точки возврата!) должна обращаться в бесконечность как
3(6)~ (1 - ^) ЬР - ^^ £ I^и 6 т ^csin 磊，
где S ——внутренний угол (по профилю) между касательными к профилю в задней кромке (0 < 5 < “)•
Тонкий вопрос об отсутствии точек самопересечения профиля должен исследоваться дополнительно. Достаточные признаки однолистности могут оказаться чрезмерно сильными.
Теория псевдоаналитических функций и квазиконформных отображений в принципе позволяет обобщить изложенный метод на случаи дозвукового течения сжимаемого газа. В монографии [66] 9 это достигнуто путем доказательства существования обобщенного решения задачи Гильберта (содержащей задачу Дирихле) для квазилинейного равномерно эллиптического уравнения, описывающего квазиконформное отображение. Это отображение позволяет найти скорость набегающего потока и профиль крыла по заданному распределению скорости (при условии выполнения двух условии разрешимости, обеспечивающих замкнутость контура), no-видимому тот же результат; но уже для классического решения, может быть получен на основе принципа подобия для псевдоаналитических функций, аналогично теореме существования дозвукового обтекания заданного профиля потоком достаточно малой доз^ковой скорости (см. §2). Псевдоаналитическая функция, выражающая сопряженную комплексную скорость w = и — iv, допускает представление
w = 〃z)eS(z), где /(z) — аналитическая функция, а непрерывная комплекснозначная функция S(z) может быть на профиле выбрана чисто мнимой (при доказательстве существования обтекания S(z) выбирается на профиле действительной). Тоща распределение |w| на профиле будет таким же, как и в несжимаемой жидкости. После определения S(z), удовлетворяющей некоторому нелинейному интегральному уравнению, определяется деформация профиля и значение скорости набегающего потока
Wqo = lim f(z)es^ при Z Т 8.
Цир酬ляция скорости при этом не изменится.
Конечно, изложенное следует рассматривать лишь как схему.
Профилирование несущего выпуклого крыла в несжимаемойжидкости по заданному годографу
Ранее задача профилирования крыла рассматривалась как обратная задача теории аналитических функций. Недостатком этой постановки была необходимость удовлетворения трех условий разрешимости. Кроме того, получающееся решение могло оказаться неоднолистным в физической плоскости.
Рассматриваемая ниже постановка [129] основана на методе годографа. Ее отличие от подхода в работе [97] состоит в том, что задается зависимость F(|w|,argw) = 0, а зависимость |w(s)| подлежит определению. (На профиле, как это принято и в работе [97], имеет место условие непротекания.) Разрешимость задачи обеспечивается двулистностью области в плоскости w ввиду наличия двух свободных параметров—координат точки ветвления. Однолистность в физической плоскости обеспечивается геометрическими свойствами границы области.
О Монография была сильно раскритикована в [1].
Впервые вопрос о профилировании крыла по заданному годографу был поставлен в работе [158]. Впоследствии было установлено, что замкнутость контура обеспечивается асимптотическим условием при w т w^ [89]. В то же время были отмечены трудности решения задачи в общей постановке, связанные с условиями в критических точках. В [89] был также построен класс профилей подбором зависимости w от вспомогательного переменного, однако это не имело прямого отношения к исходному методу. В дальнейшем задача профилирования развивалась в направлении, описанном в работе [97].
Установим строение римановой поверхности годографа обтекания несущего гладкого выпуклого профиля с острой задней кромкой. Докажем, что при наличии на профиле двух критических точек риманова поверхность двулистна и имеет одну точку ветвления wc внутри области.
Как известно, существует единственное решение ①(z) для комплексного потенциала безотрывного обтекания профиля несжимаемой жидкостью с заданной скоростью на бесконечности, удовлетворяющее условию Жуковского-Чаплыгина. Аналитическая во внешности профиля G функция 研z) = dФ/dz осуществляет отображение на многолистную, в общем случае, область D. Ввиду гладкости профиля (кроме задней кромки, в которой, по условию Жуковского-Чаплыгина |w| < оо, область D ограничена. Проекция ее границы L на плоскость w, выражающая зависимость F(|w|,arg w) = 0, является замкнутой кривой с точками самопересечения или самоприкосновения, так как на профиле существуют две критические точки 5,2, в которых w = 0. В исключительном случае они могут совпадать, однако это, как и случай Г = О (Г — циркуляция), не будет приниматься во внимание.
При обходе профиля от кромки по часовой стрелке аргумент 丁 касательной к профилю, монотонно убывая, получает приращение -(тг + а), где а — внутренний угол в острой кромке О2 (0 < а < тг).
Критические точки разбивают контур профиля на два участка, на каждом из которых скорость направлена от 5 к 5, поэтому на верхнем участке arg w = т, а на нижнем arg w = т — тг. (Выбор непрерывной ветви arg w = =丁 一 тг определяется асимптотикой w ~ z — z(Oi) при z т z(Oi), из которой следует, что arg w = —Imln而=—arg(z — z(Oi)) + const.) Итак, при обходе строго выпуклого профиля по часовой стрелке arg w монотонно убывает, получая в точках Oi)2 приращения тг, а; при этом приращение arg w на каждом участке меньше 2тг.
Образ каждого участка в плоскости w, дополненный точкой w = 0,— замкнутая жорданова кривая %(2),工=% U 工2・ Ее внутренность — область Z>i(2)— является простым листом римановой поверхности D. Действительно, обходу профиля в плоскости z по часовой стрелке соответствует обход Li(2)в направлении возрастания argw, т.е. против часовой стрелки, в связи с одинаковой ориентацией областей в плоскостях z и w, A U Q U D. Дополнение Di U D2 на плоскости w не содержит точек D, так как D ограничена. Поэтому D = D\\J D2- Так как D — область, то Q = A U 5 R 0・ Таким образом, D двулистна и, следовательно, имеет по крайней мере одну точку ветвления. Докажем, что она одна и лежит внутри D.
Заметим, что L представляет собой замкнутую кривую, полученную попарным перекрестным склеиванием кривых 厶2, разрезанных в точке w = 0. Переход с % на Ь2 и наоборот соответствует переходу через Oi, либо 5・ Поэтому в точке w(Oi), где аргумент скачком изменяется на 7г, L — гладкая кривая, а в точке w(Oi) имеет излом с внутренним углом а (измеренным по области D).
Контур L при w / 0, вообще говоря, не является гладким. Однако он будет таким, если ограничиться классом профилей с непрерывной кривизной, отличной от нуля. Действительно, 1фивизна и din\w\/ds пропорцио нальны компонентам производной dw/dz, непрерывной на профиле, а их отношение выражает угол наклона касательной к Е.
По обобщенному принципу аргумента [26] для аналитической и однозначной в области G функции /(%), непрерывно продолжаемой на границу G вскщ^ 1фоме точек 跺，вблизи которых она представима в виде /(z) ~ (z - %)'*, fc = 1,2,... ,п, имеет место формула
п
2ttN + £)k Re % = [arg /(%)],i
где 7^ — внутренний угол в точке 跺，N — число нулей /(z) внутри G с учетом их кратности; квадратные скобки означают приращение при обходе границы G в положительном направлении.
Полагая /(%) = dw/dz, в G-внешности профиля, получим, в силу асимптотических свойств отображения z w, что
2(тг — а)需~(%-2(02)) 2Тг一а при ntn(O2),
а во всех остальных точках профиля dw/dz ~ 1. Поэтому;
n = 1, )1 = 2тг — a, Ai = —2工一-—,
2*2(…)=[(喈儿.
Чтобы вычислить правую часть этого равенства, положим dz = =ехр(гт) ds, dw = exp(ia) dS, где o(S) — аргумент касательной к L, S(s) —длина дуги Е.
Как отмечалось» при обходе профиля по часовой стрелке т получает приращение -(тг + £, т.е. касательная делает один полный оборот за вычетом величины тг - а (по часовой стрелке). Касательная к L при этом делает на оборот больше, но в противоположном направлении. Поэтому из представления
—=ехр(г(а-т))-
следует
[arg 甥 =[a]L - [r]L = 6“ - 2(“ - a).
Подставляя это значение в предыдущую формулу; получим:
^ = 3.
Нули dw/dz в G — точки ветвления и бесконечно удаленная точка (поскольку в ней |w| < оо), которая при Г / 0 не является точкой ветвления [19]. Из асимптотического разложения dw/dz = -「偿灯力户一+… при z -> оо следует; та) dw/dz при z т 8 имеет нуль второго порядка. Итак, существует только одна точка ветвления z =初 внутри G. Таким образом, область D может быть представлена как результат попарного перекрестного склеивания областей Di,2 , разрезанных по кривой Ез € Z)i U Q2 c концами в точках w = 0, w = wo = w(zo).
Установленные геометрические свойства области D являются необходимыми условиями разрешимости задачи профилирования крыла в указанном классе решений. Сформулируем краевую задачу для комплексного потенциала Ф(В), считая эти условия вьшолненными.
Условие непротекания на профиле записывается в виде
Im埶而)1L=0.
В плоскости z линия тока ^ = 0, разветвляющаяся на теле в критических точках, разбивает окрестность каждой из них на две подобласти 吵之 0. В силу взаимной однозначности отображения B(z) в окрестности О： это свойство будет иметь место и в плоскости w — на простых листах, содержащих точки 历(5,2). Учитывая, что 施 =0, получим
而 ~ 毎 при w w(Oi),
^~d"aT при w -> W(O2).(18)
В окрестности точки ветвления w0 ввиду двулистности D,而一毎о ~ ~ (z - z())2 при z т zo, откуда следует; что
虫(动—Ф(Во) ~ \/w — Wq при W Т Wo.(19)
В G имеет место представление Ф(^) = w^z + Г/(2тгг)1п^ + Фо(^), где ①o(z) — голоморфная функция; Woo — комплексная скорость набегающего потока. При Г / 0 точка Woo не является точкой ветвления w0, т.е. образ бесконечно удаленной точки 而^ принадлежит лишь одному простому листу D; на нем w(oo) = Wq©, анадругом Woo =w(zi), |zi| < oo (если точка Wq© проектируется и на второй лист D).
В окрестности точки Woo = w(oo) на соответствующем простом листе имеет место представление
①(动=盘(苏缉8 一 ^(^ 一 证8)) + фо(w), (20) где ①о(而)голоморфна. Аналитическое продолжение (20) на область D, из которой вырезана окрестность точки 砺)，вместе с представлением (19) в этой окрестности определяет структуру Ф(и) в D.
Итак, приходим к следующей формулировке задачи профилирования.
Пусть на одном из листов области D, имеющей строение, описанное в п. 1, задана точка В» =而(оо)・ Найти теплу ветвления 亚 (w0 / Wqq),
и аналитичес^ю функцию Ф(гу), определенную в D、网,,имеющую представления (19), (20) при w -> wo и w -> Wqo и удовлетворяющую условию Im ①|厶=0 и условиям (18) при w -> iF(Oi,2)・
Сформулированная задача сводится к нелинейному операторному уравнению.
Отобразим D функцией г = y/w — wo на однолистную область Dr. Из (19), (20) следует; что Ф(г) в D имеет представление ①⑺=奈(方8咨 Г8)Tn(r -「8)) + ①。(г),「8 = Vwoo-wo,
удовлетворяет условию 1шФ|ьг = 0 и условиям
—~ г — r(Qi) при г -> r(Oi),
洋 ~- r^Q))2^^^1 при Г -> 7*(。2).(21)
Граница Lr имеет излом лишь в точке /(О?) с внутренним углом а. Отметим, что возможность использования отображения r(w) была указана еще в работе [158].
Отобразим конформно Dr на единичный круг в плоскости д, подчинив д(т) условиям
д(「8)= о, arg (#)Ев +arg (鳥Lf + ^g% = °- (22)
В плоскости g решение, удовлетворяющее условию 1тФ = 0 при \g\ = 1, единственным образом определяется формулой
①(9)=亲 О-Мд-ад)，乳
При этом dФ/dg имеет нули первого порядка в точках gi,2 = ехр(г01)2), & = -arcsin(2a)-* 仇=冗-& (при условии, что 2a > 1). При отображении r — д условия (21) преобразуются к виду
d^/dg ~ д-д(5,2)при д т д(5,2), |д(5,2)| = 1・
Таким образом, задача сводится к отысканию таких двух параметров и。， оо — координат точки ветвления w0, при которых точки единичной окружности g(Oi,2)— образы точек iF(Oi,2)— совпадают с точками д〔,2 = =ехр(〃&,2)—нулями dФ/dg (при условии 2a > 1).
Если точки д(5,2)и gi,2 совпадают, то решение Ф(р) физически реализуемо. Действительно, замкнутость контура обеспечивается формулой (21) [89]. Далее, локальная однолистность G в плоскости z обусловлена тем, что в замкнутой области Dg (кроме точек g(Q,2)) отсутствуют нули НФ/dg. Это означает; что в G нет точек ветвления отображения д т z н точек возврата контура крыла. Однозначность отображения д т z «в целом» обеспечивается монотонностью argw вдоль L (что соответствует вьшуклости профиля) и принятым ограничением, что приращения аргумента касательной к профилю на каждом участке меньше 27r.
Итак, рассматриваемая задача сведена к решению нелинейного операторного уравнения относительно wo)которое имеет вид
A(wq,wl(S)) = 0.(23)
Здесь wo принадлежит некоторой области евклидовой плоскости Е? (Di П D2 \ Woo、0), wl(S) — комплексному пространству Ci (кроме точки w = 0), значения А — плоскости Е?・ Применим к уравнению (23) теорему о неявной операторной функции.
Решение (23) существует для некоторой области Рф, с границей 厶* (отметим это решение звездочкой). В качестве него можно взять решение прямой задачи обтекания произвольного профиля из рассматриваемого класса, удовлетворяющее условию Ж/ковского. Для последнего вьшолня- ется условие 2а* > 1, так как в силу условия Жуковского на профиле существует по крайней мере одна (при 2а* = 1) критическая точка. Если для выбранного профиля 2а* = 1, то почти любая его деформация позволяет добиться вьшолнения условия 2а* > 1, при котором на профиле существуют две критические точки. Область D*, соответствующая обтеканию этого профиля, обладает строением, описанным вп. 1. Рассматривая задачу в области D, близкой к Рф, и предполагая близкими также точки ветвления этих областей, сведем ее к задаче о неявной операторной функции.
В силу непрерывности отображения г = 6^ 二而о по w0 и непре・ рывной зависимости конформного отображения от деформации границы оператор A(wq^wl) непрерывен. Для доказательства однозначной разрешимости (23) в окрестности решения wj = Wq(w^(S)) с помощью теоремы о неявной операторной функции достаточно показать, что в этой окрестности оператор А непрерывно дифференцируем по Фреше по 而。, и что линейный оператор 厶而式而力正力)имеет ограниченный обратный оператор.
Линейное операторное уравнение Awo(Wq,wI)wo = 儿 九 W 后2, относительно wo возникает при построении приближенного решения (23) методом возмущений, когда w0 = w* + w0, ||{50||б2 т 0 (задача в вариациях). Действительно, варьируя (23) по % и WL(S)f получим
^wo(wS，wl)wo + A^L(w^9wl)wL(S) +
+ 31 (近& 破,而0)+ 32 (矶，毎3而力 =°・
Операторы 从而。и A^L — частные производные по Фреше, если они ограничены и
Нт 將沪=0ПРИ II诚 I匾 Т 0，
Нт 將::=0при \\wlWc, т 0.
Выражения для операторов 4⑪° и A^L с требуемыми оценками остаточных членов 31,2 могут быть получены с помощью приближенных формул для конформных отображений близких областей [56, 6]; их применение ограничено требованиями определенной гладкости границ (основной и возмущенной), что приводит к аналогичным условиям в формулировке задачи.
Остановимся на основных моментах решения задачи в вариациях.
Решение отыскивается в области, ограниченной близким к L* контуром, шшсываемым уравнением 切“S) = w^(S) + 值七(S), где малый вектор wl выбирается ортогональным к L* всюд^ кроме точки 屯(。2)・ Согласно постановке задачи, точки 而(。屮)и w^ не варьируются.
При отображении r(w) область Dr деформируется относительно D；, причем главная часть смещения соответствующих точек происходит не только по нормали к 厶；，как при конформных отображениях. Так как 厶； имеет излом в точке т((?2), нормальная к 厶；компонента деформации разрывна в этой точке. Для устранения разрыва сместим дополнительно область D на величину -彳(5): образ точки 5 попадает при этом на прежнее место. Далее отображение производится по этапам:
отображение д*(т) на единичный круг (с прежними условиями нормировки) отображает Dr на деформированный круг со смещением образа бесконечно удаленной точки относительно центра круга;
отображение деформированного круга на единичный круг при котором центр 1фуга неподвижен, а поворот в центре круга равен нулю;
отображение еданичного круга на единшшый круг; при котором образ бесконечно удаленной точки переходит в центр круга, а аргумент отображения определен условием (22).
Каждый этап полностью описывается приближенными формулами [56] с учетом касательных смещений точек границы. Произведя выкладки, соответствующие процедуре сопоставления точек ду и д(5,2), получим систему двух линейных уравнений относительно и。，诟 с остаточными членами。(彷q,而七).Коэффициенты системы непрерывно зависят от wj, 或(S) в некоторой окрестности основного решения. Следовательно, условия теоремы будут выполнены, если определитель системы не равен нулю, т. е. если решение задачи в вариациях единственно. Ввиду громоздкости выкладок предпочтительнее оказалось получить независимое доказательство несуществования двух близких профилей с одинаковым годографом. Это доказательство приводится в п. 3.
В случае сжимаемого газа нетрудно произвести полное обобщение постановки, используя аффинно-преобразованную плоскость годографа и рассматривая в ней псевдоаналитическую функцию — модифицированный комплексный потенциал [19]. Казалось бы, с помощью принципа подобия можно построить решение для докритического крыла, используя в качестве прототипарешение для несжимаемой жидкости и сводя задачу к разрешимому интегральному уравнению. Однако этим способом можно преобразовать лишь непрерывные в D компоненты решения; аналог непрерывной ветви логарифмической компоненты должен вычисляться другим способом, например с помощью обобщенного интеграла типа Коши [25]. Это позволит выполнить условие о постоянной величине разрыва потенциала скорости при Г / 0, которое нарушится, если преобразовать ветвь In z в нетривиальную псевдоаналитическую функцию с помощью интегрального уравнения.
Рассмотрим профиль в режиме циркуляционного обтекания с двумя критическими точками. Обозначим p(z) отображение внешности профиля на внешность единичного круга, р(оо) = оо, arg?8 = 0- Если т — аргумент касательной к профилю, 0 — центральный угол в плоскости р, то
при |р| = 1
argd = arg^=6+^ - 丁⑼，(24)
и по формуле Гильберта при |р| = 1 [26]
21r
^$ = ~Л fc - ^W) ctg + ЬI I +i(9+尹 丁⑼). 0
Если arg 厶=5 / 0,ток этому выражению следует прибавить 话.
Пусть существует профиль, близкий к заданному; такой, что между точками обоих профилей может бьпъ установлено однозначное соответствие по условию совпадения вектора скорости (при обтекании потоком заданной скорости Woo = “ Im U = 0). Отобразим внешность второго профиля на внешность единичного круга отображением р так, чтобы р(оо) = оо и образы угловых точек обоих профилей совпали (зададим поворот 5, компенсирующий сдвиг образа точки О2, argp^ = 5).
Обозначим 6(6) вариацию 0 — сдвиг на единичной окружности образа точки профиля с касательной ехр[гт(в)]. По определению:
|齿(@)| = w(e)|,м@)= т(е), е = в + 0(е),
ще 6(6) считаем непрерывной по Гельдеру; точкой отмечен варьированный профиль.
Для |w| при |р| = 1 имеем выражение [56]
[a - r(a)] ctg ^-^ dak[a - r(a)] ctg ^-^ dak|w| = 2U| sin(6 - 5) - sin^ol exp|w| = 2U| sin(6 - 5) - sin^ol exp1石
[a - r(a)] ctg ^-^ dak
[a - r(a)] ctg ^-^ dak
|w| = 2U| sin(6 - 5) - sin^ol exp
|w| = 2U| sin(6 - 5) - sin^ol exp
a • Г|р^|Go = arcsin 丿广幫.
Если exp(i&,2)— образы критических точек, то & =仇，& = тг - 6()・ В соответствии со сказанным 6 = -%, 6(&) = 6 + % = 0, 6(&)= =6 - Go = 26. Варьируя ln|w| при |р| = 1 по 6, 6, 6о, т и используя соотношение
«6) = "点一 0) = 7⑼+%6) = 7⑼+ ^灰场
получим уравнение для определения 8(6), %:
3一出…+瓦*二您包+(瓦一 0)旦ctg"」一
sin 份一sin 阮十 0 sin 0 - sin 份 о 十 I ° 丿 27r b 2
2%
-^/[沁)-%)協畑?加=0.(25) о
Член с множителем £ присутствует из-за разрывности т(6) в точке 9 = & (7(®о + 2тг) — 7(®о) = 2тг —仇 ^ = 7г — а). Полагая в формуле (25) От% и используя правило Лопиталя, получим
lim -— 60 tgeо 4— lim —
夕一►&)0 — Oq7Г 0t&)0q — О
21r
-lim 4 怨义 ctg。二"da = 0. (26) 0^0O 2“ 丿 ' 丿 do & 2
о
Ограничившись случаем конечной кривизны профиля (кроме точки Ог) и учитывая асимптотическую оценку
Р - Р(02)〜(Z - Z(02))"(“+°) При Z Т Z(O2), получим в окрестности точки разрыва 丁⑼，что
寫=刽剖=o((f。吗。＜户＜" прн ет，。.
Здесь s — длина дуги профиля, dr/ds — его кривизна. Так как 9(6) непрерывна по Гельдеру, получим, что интеграл в смысле главного значения в (26) существует [26], а первый член в (26) имеет оценку 0((6 — ^o)rn~1), О V m W L Поэтому % = 0 (ввиду невозможности скомпенсировать полярную особенность в третьем члене).
Для дальнейшего анализа целесообразно представить уравнение (25) (с учетом равенства % = 0) в виде
^)^^ - ^ /沁呼 ctg * = 0.auNTT J acrZ
0
Умножив на (dT/de)(de/dSy где S — длина дуги образа профиля в плоскости w (направление обхода индуцируется обходом окружности |р| = 1), получим однородное характеристическое уравнение Гильберта [26] относительно u(J) = 9(。) dr(0)/d0:
21r
返?加=0.
0
Обозначив
2%
и = (27Г)т /u(a) ctg (^^) do,о
преобразуем это уравнение в краевое условие задачи Гильберта для аналитической при |р| ＞ 1 функции /(р) = и + 2:
dS 十 dS '
поскольку argw = т и arg w = т - тг на верхнем и нижнем участках профиля, разделенных точками Oi,2 и, следовательно, dr/dS = —dargw/dS.
Для того чтобы f (р), определенная выше при |р| = 1, представляла краевое значение аналитической при |р| > 1 функции, необходимо и доста- 21r
точно [26], чтобы Vqo = /v(a) do = 0. 0_
Используя описание строения области D в плоскости w (см. п. 1), нетрудно установить, что приращение аргумента поля касательных к образу профиля в плоскости Inw при обходе профиля против часовой стрелки составляет —2тг. Это означает; что в классе ограниченных функций индекс внешней задачи Гильберта х = -1.
Установим асимптотику /(р) при р т 8. Из выражения (24) следует; что при |р| = 1
Re / = и =鳥6 =-彳(6)=倉^- argp = Imln^/p),
поэтому f (р) можно определить как f (р) = iln(p'/p) + iC. В связи с тем что профиль в потоке определен с точностью до параллельного переноса.
P(z) = pQz + 0(1〃)，”(z) = pQ + O(l/z2),ln(p7p) = -ln[z(l + O(l/z2))].
Отсюда следует; что условие 忆=0 выполняется при С = 0.
Решение однородной задачи Гильберта при 廿=—1 имеет вид [26]
f (р) = р-1 exp[n(p)](Cip~1 + гС0 -矶р),
где 1т7(р) т 0 при р т 8, Со, Ci (ImСо = 0) — постоянные. Для выполнения равенств (27) следует положить Со, G = 0, поэтому f(p) = 0.
§ 6. Геометрические свойства годографа дозвукового обтеканиянесущего профиля. Постановка задачи профилированиянесущего крыла в идеальном газе методом годографа
Рассмотрим профиль, гладкий всюду, кроме задней острой кромки. Если скорость набегающего потока достаточно мала и выполняется условие Жуковского-Чаплыгина, существует единственное решение задачи безотрывного равномерно дозвукового обтекания этого профиля (см. § 1). Сопряженная комплексная скорость w = u - iv реализует при этом квазикон* формное отображение в плоскость годографа [19]. Поэтому w допускает представление
= f(X(z)) = F(z),(28)
Где /(х) — аналитическая функция, x(z) — квазиконформный гомеоморфизм области течения G (G — внешность профиля в физической плоскости z = x+iy). Для течений с циркуляцией скорости f т(х) в общем случае — многозначная функция, которая, однако, в окрестности образа
бесконечно удаленной точки является однозначной: эта точка не является точкой ветвления отображения и принадлежит одному из простых листов римановой поверхности /(х) [19].
Представлением (28) определяются геометрические свойства образа F(G) области течения в плоскости годографа. Функция F(x) зависит от профиля, но если считать ее известной, образ контура профиля — границы G — представляет собой замкнутую кривую на римановой поверхности функции /(х)« Так как течение дозвуковое, эта кривая является границей ограниченной области F(G).
Отсюда следует; что произвольная замкнутая (вообще говоря, самопе- ресекающаяся) кривая может быть взята в качестве границы области F(G) лишь тогда, когда на нее может быть натянута риманова поверхность. В силу знакоопределенности якобиана отображения (d(u^v)/d(x> у) W 0), расположение приграничной полоски этой поверхности (окрестности границы) единственным образом определяется направлением обхода границы (ориентацией области F(G)).
В общем случае многолистной римановой поверхности граница F(G), рассматриваемая как проекция на плоскость годографа, имеет точки самопересечения или самоприкосновения. Область F©) может при этом быть и локально однолистной (но неоднолистной в целом). Если многолистную область разрезать на простые листы, то каждый разрез представляет собой жорданову кривую. Действительно, прообраз каждого разреза в однолистной области G (в физической плоскости) является совместной границей соседних непересекающихся областей, т. е. жордановой кривой. Если бы в плоскости годографа какой-то разрез состоял из изолированной точки w = wo, то задача Коши с данными u + iv = wo на кривой в физической плоскости — прообразе этой точки — имела бы в силу равномерной эллиптичности уравнений движения лишь тривиальное решение (по теореме Коши-Ковалевской). Далее, каждый разрез, являясь границей соседних простых листов не имеет точек самопересечения, т. е. является жордановой 1фИВОЙ.
Если точка ветвления римановой поверхности лежит внутри G, то в силу регулярности /(%), риманова поверхность в окрестности этой точки имеет конечное число листов. Конечное число листов будет и в окрестности точки ветвления, принадлежащей границе G, т. е. контуру профиля, если он задан аналитической кривой, благодаря чему поле скоростей допускает аналитическое продолжение через границу.
Таким образом, в окрестности точек ветвления w — Wk функция f (х) является алгебраической. Производя последовательно отображения (w - -以)1/叫 гце Пк — число листов в точке ветвления w =吗，получим однолистную область определения в преобразованной плоскости годографа.
Безотрывное равномерно дозвуковое обтекание профиля топологически эквивалентно обтеканию круга несжимаемой жидкостью [19]. Это означает, что линия тока ^ = 0 разветвляется на профиле в двух критических точках 01, 5, одна из которых (будем называть ее «задней») в соответствии с условием Жуковского-Чаплыгина, является острой кромкой крыла.
Критические точки естественным образом разбивают контур крыла на «верхнюю» и «нижнюю» стороны.
В точках 01 и О2 (при 0 < а < тг, а — внутренний угол контура в острой кромке) скорость потока обращается в нуль; при а = 0, когда кромка является точкой возврата, скорость в ней может отличаться от нуля. (Это вытекает из принципа подобия для псевдоаналитической функции — искаженной скорости w* [19].)
Таким образом, при а / 0 точка w = 0 изображает обе критические точки, каждая из которых лежит на простом листе римановой поверхности. При этом в передней критической точке 01 граница области F(G)— гладкая кривая, а в точке О? имеется излом с углом между касательными к кривой 7г — а (т. е. внутренним углом а).
Действительно, схема безотрывного обтекания однозначно определяет направление вектора скорости на профиле — на обеих его сторонах он направлен от 5 к 5・ Поэтому вблизи точки 5 аргументы скорости (на разных сторонах) отличаются на % а в точке О? — на а. (Под arg w понимается непрерывная ветвь, выбранная из условия, что arg w непрерывен на кривой, соединяющей контур с бесконечно удаленной точкой. Это отвечает требованию, что образ бесконечно удаленной точки принадлежит F(G); отсюда, кстати, следует что модуль скорости на бесконечности не превьппает максимального значения скорости на профиле.)
Наряду с плоскостью годографа uv удобно также рассматривать плоскость |w|,argw. В этой плоскости граница F(G) состоит из двух отрезков оси w = 0 и двух кривых — образов верхней и нижней сторон профиля. Обозначим 0{0" — образ передне访 критической точки — отрезок длиной 7г, 0^02 — образ задней критической точки — отрезок длиной а; 0,0/ н。1。2 — образы верхней и нижней сторон профиля. Если профиль строго выпуклый, то при перемещении от 0《к & arg w убывает, а от 0[ к С?2 — возрастает, поэтому F(G) (так же как и в несжимаемой жидкости) принадлежит двулистной римановой поверхности (рис. 5.1). Если же
Рис. 5.1Рис. 5.1Рис. 5.2
Рис. 5.1
Рис. 5.1
профиль не выпуклый (или не строго выпуклый), то 尸(G) может оказаться и однолистной, и п-листной областью.
Пример однолистного годографа дает обтекание профиля с прямоли* нейной нижней стороной, когда циркуляция скорости настолько велика, что точка 01 находится на прямолинейном участке (рис. 5.2). Образом нижней стороны крыла является разрез 0{В0^ где В ——точка ветвления римановой поверхности.
Однолистным также будет годограф профиля, обтекаемого так, что нижняя сторона его вогнута, а верхняя — выпукла (рис. 5.3). Ясно, что это свойство для фиксированного профиля может быть реализовано лишь на дискретном множестве векторов скорости набегающего потока.
Рис. 5.3 Рис. 5.4
Отметим, что если прямая задача обтекания профиля корректна, то при непрерывной деформации профилей, представленных на рис. 5.1-5.3, переводящей их друг в друга, их годографы также непрерывно деформируются друг в друга. При а = 0 скорость в точке Q может быть отлична от нуля; в этом случае годограф также может быть однолистным.
Из теоремы о вращении поля касательных на гладкой замкнутой кривой [51] следует, что приращение аргумента касательной при обходе контура профиля с острой кромкой (с внутренним углом а) составляет величину 7г + а. Поэтому в случае, изображенном на рис. 5.1, приращение аргумента вектора скорости на каждой стороне профиля не превосходит тг + + а (для рис. 5.2 — на верхней стороне). В случае, изображенном на рис. 5.3 (выпукло-вогнутый профиль) величина тг + а представляет собой разность приращений аргумента вектора скорости на выпуклой и вогнутой сторонах профиля (приращения отсчитываются от одной и той же точки О).
На границе F(G) имеют место условия, следующие из условия непротекания. Одно из них ^ = 0(^ — функция тока), другое, выражающее равенство кривизн контура профиля и прилегающей линии тока (всюду; кроме критических точек), после использования уравнений движения (что предполагает непрерывность соответствующих частных производных в замкнутой области определения, кроме критических точек) дает связь между 也s ^v и кривизной контура крыла (см. гл. 1, § 16). В прямой задаче оба эти условия заданы на заранее неизвестной, «свободной» границе. В задаче профилирования, когда задана граница F(G), условие 尸(G) используется при решении краевой задачи, а второе — для построения контура крыла по найденному решению. Задача профилирования сводится при этом к задаче Дирихле в многолистной ограниченной области (однолистной после указанного выше отображения), если присоединить асимптотические условия (4), (14) в точке w = Wg. Однако искомое решение задачи профилирования должно еще удовлетворять двум (при а / 0) дополнительным условиям, имеющим характер условий разрешимости, вытекающих из требований физической реализуемости решения, построенного методом годографа 9. (Напомним, что задание сингулярных членов асимптотики (4), (14) обеспечивает замкнутость прообраза (в физической плоскости) любого замкнутого контура в плоскости годографа, охватывающего точку w = Woo, в том числе и контура профиля, если он при этом получается ограниченным.)
Для получения этих дополнительных условий учтем гомеоморфность отображения достаточно малой окрестности критической точки, откуда следует, что на каждом из отрезков О\О" и 0% (при а / 0) существует точка разветвления линии тока ^ = 0 — седловая точка линий уровня 认 Представление ограниченного вблизи критической точки решения для ^ в виде ряда Чаплыгина
(29)(29)В = , enrn/2F(an, Ьп, п + 1,т) sin 嘿
(29)
(29)
является асимптотическим при 7 T 0, поэтому указанное геометрическое условие эквивалентно требованиям
(30)(30)ei = 0, в2 / О.
(30)
(30)
0 Под физической реализуемостью решения задачи профилирования крыла будем понимать:
Ограниченность и замкнутость контура крыла.、
Отсутствие точек заострений (кроме задней кромки).
Жордановость контура крыла (отсутствие точек самопересечения или самокасания).
Последнее свойство выражает глобальную однолистность области определения течения в физической плоскости.
Нетрудно доказать следующее топологическое свойство: если на гладком замкнутом само- пересекающемся контуре угловая функция касательной монотонная (контур «выпуклый»), то вращение поля касательных при полном обходе контура больше единицы. Отсюда следует; что приращение аргумента касательной при обходе самопересекающегося «выпуклого» контура с острой кромкой (с внутренним углом а) составляет величину тг + а + 2тгп, ще п — целое положительное число.
Поэтому если существует решение задачи профилирования выпуклого крыла (рис. 5.1,5.2), удовлетворяющее свойствам 1,2, то оно удовлетворяет и свойству 3.
Физическая реализуемость решения задачи профилирования в области, изображенной на рис. 5.3, 5.4, не поддается столь простому анализу.
Представления (29) имеют место для кажцой критической точки на соответствующем простом листе. Множества коэффициентов еп для точек 5, 5 не совпадаю!； поэтому условия (30) для этих точек независимы.
В формуле (29) т — переменная Чаплыгина,氏=тг для Oi,氏=а для 5.
Отметим, что из условий (30) и разложения (29) следует; что касательная к подходящей к контуру линии тока 吵=0 (если в критической точке скорость обращается в нуль) является биссектрисой внешнего угла к контуру;
Так как кроме точек 5 и 5 на контуре не должно быть других точек разветвления линии ^ = 0, решения уравнения Чаплыгина не удовлетворяющие условиям (30), физически нереализуемы.
Возможность удовлетворить этим условиям может быть обеспечена только введением в формулировку задачи профилирования двух независи* мых параметров. Для выпуклого профиля, котда годограф обтекания двулистен, при заданной границе F(G) и заданном векторе скорости набегающего потока такими параметрами могут служить координаты точки ветвления отображения. Если же годограф обтекания однолистен, то в качестве параметров могут быть взяты координаты 忆, 心 образа бесконечно удаленной точки. Таким образом, течение с однолистным годографом, как указывалось выше, может существовать только при изолированных значениях Wg. (Из этого утверждения, конечно, не следует, что оно обязательно существует при произвольно заданной кривой — границе 尸(G).)
Физическая нереализуемость при невыполнении условий (30) может проявляться двояко. Во-первых, при вычислении координат точки w = 0 на контуре по формуле
dz= ^ (如 + t^却) (31) с использованием (29) получаются расходящиеся интегралы (логарифмическая особенность). Во-вторых, линия уровня ^ = 0 в области 尸(G), проходящая через точку w = w^, будет опираться на контур не в критической точке. Поэтому нормальные производные на контуре по разные стороны от этой точки разветвления будут иметь разные знаки; вычисления координат приводят к контуру с точкой возврата на боковой поверхности из-за образования в физической плоскости точки ветвления обратного отображения.
Наоборот, условие q = 0 (первое условие (30)) обеспечивает схцци- мость интеграла (31) в окрестности точек 5, О2 (а значит — ограниченность спрофилированного контура). Действительно в силу условия ^ = 0 на 9F(G), имеем (с учетом уравнений движения в плоскости годографа (1.16) см.гл.1,§8)
友=^ =謙("7办鬻~办器прн WT0.
Если в (30) ei = 0, интеграл для вычисления z сходится, если же ei / 0,то имеет логарифмическую особенность.
Отметим, что в связи с тем, <гго решение задачи профилирования подчинено асим1гготическ0му условию (4), для его физической реализуемости достаточно лишь выполнения условий ei = 0 в рядах (29) для ^
в окрестности точек Oi, 5, так как условия s В 0 выполняются при этом автоматически. Действительно, асимптотическое условие (4) выражает то обстоятельство, что для каждого значения 吵 W [-8, оо] из точки w = Woo выходят две и только две полутраектории. Поэтому с учетом принципа экстремума получим, что каждая линия уровня ” = const при 山 R О представляет собой на римановой поверхности 尸(G) замкнутую жорданову кривую с удаленной точкой w =玄％о (которая является узлом всех линий 山=const, (см. рис. 5.5)), а линия уровня 屮=0 состоит из dF(G) и двух кривых, проведенных из точки w = Woo к образам точек Oi, О2 (если 勺=0 для этих точек).
Если контур крыла в задней кромке имеет точку возврата (а = 0)ивэтой точке w В 0, то решение 山 должно быть подчинено только одному условию (30) в передней критической точке; при этом, однако, годограф должен быть однолистным в точке w = 0 (рис. 5.6).
Рис. 5.5Рис. 5.6
Как уже говорилось в § 3, для преобразования течений несжимаемой жидкости в течения идеального газа Лайтхиллом [58] был разработан метод годографа, развивающий метод С. А. Чаплыгина. Этот метод позволяет найти функцию тока 山 течения газа на римановой поверхности в плоскости годографа по заданному на этой поверхности комплексному потенциалу течения несжимаемой жидкости вокруг некоторого профиля; при этом ” и форма преобразованного профиля непрерывно зависят от числа Afoo набегающего потока. Для течений с циркуляцией этот метод однако, можно применять только в случае, когда профиль (исходный и преобразованный) имеет в задней кромке точку возврата, в которой скорость потока не обращается в нуль. В противном случае «...как показал Черри ... при приближении к критической точке z будет стремиться к бесконечности по логарифмическому закону» [58]. Причина этого ограничения состоит в том, что решение для функции тока, получаемое методом Лайтхилл% может уцовлетворить лишь одному условию (30).
Действительно, если условие 勺 =0 вьшолняется для прототипа в обеих точках 01, 5, то его можно «сохранить» лишь в одной из них, так как решение во всей области F(G) получается аналитическим продолжением
6 Э.Е Шифрин
рядов Чаплыгина и при перестроении этих рядов условие ei = 0 во второй критической точке перестает вьшолняться.
Вышесказанное представляет собой, по существу постановку задачи профилирования несущего крыла (т.е. при Г / 0) методом годографа, обобщающую на случай совершенного газа рассмотренную ранее (см. § 5) задачу профилирования крыла, обтекаемого потоком несжимаемой жидкости. При 0 < а < тг, что соответствует реальности, эта постановка может быть подразделена на следующие случаи.
Крыло с выпуклой верхней и вогнутой нижней сторонами (рис. 5.3).
В дозвуковой части плоскости годографа (|w|, arg w) задается замкнутая жорданова кривая 8尸(G), состоящая из двух отрезков О^О, (длиной тг) и О2О2 (длиной а) и двух произвольных кривых О?О$ и。1。幺 вдоль каждой из которых arg w изменяется монотонно (убывает при движении по 0,0$ (О：。，)от О】к О2). В однолистной области, ограниченной этой кривой, отыскивается сингулярное решение задачи Дирихле уравнения Чаплыгина для функции тока 也 удовлетворяющее условию 步 = 0 на 8尸(G), имеющее асимптотическое представление (4) в окрестности образа бесконечно удаленной точки w =仅8, причем положение самой точки Woo подбирается так, чтобы были выполнены условия (30) в точках 5, О^-
Выпуклое крыло с прямолинейной нижней стороной (рис. 5.2).
Отличие от предыдущего случая состоит в том, что кривая 0；0幺 представляет собой два берега разреза. Длина этого разреза, определяемая \wb\, является дополнительным свободным параметром задачи, который, например, может заменить |仅81.
Выпуклое крыло.
Отличие от предыдущих случаев состоит в том, что кривая 8尸(G) задается как граница двулистной области 尸(G) с точкой ветвления w = wo, координаты которой, при фиксированной точке w^, являются свободными параметрами задачи, позволяющими добиться выполнения условий (30). Выпуклость крыла выражается в том, что при движении от О" (0幺)к 0$ (OJ)no кривым 0^02 (3。幺)монотонно убывает arg w.
Невыпуклое крыло.
Отличие от предыдущего случая состоит в том, что кривая "(G) задается как граница области F(G), не менее чем двулистной. Изменение argw вдоль О；О，、4。？ немонотонно. Внутри области 尸(G) могут быть дополнительные точки ветвления, которые являются дополнительными свободными параметрами задачи.
Алгоритм решения сформулированной сингулярной задачи состоит в следующем. После выбора 5F(G), если это понадобится, производится отображение на однолистную область определения с помощью функции Нк(гу — Wk)1^1", где Wk — точки ветвления римановой поверхности отображения G т 尸(G), п*； — их кратность. (При этом отображении псевдо- аналитический характер функции Ф = R(p+i必(см. § 2) сохранится [25].) На преобразованной плоскости отыскивается сингулярное решение (14) §2, зависящее от параметров Woo, w0 (или только от , или от arg 小，|woo | )•
Вычисляется значение сингулярного решения на границе области, а затем с граничным условием—значением этого решения на границе решается регулярная задача Дирихле.
Вычисляется разность сингулярного и регулярного решения и для нее проверяется вьшолнение условий (30). При их невыполнении производится изменение свободных параметров.
Разумеется, предполагается, что все вышеуказанные этапы решения задачи профилирования реализуются численными методами 9.
Разрешимость последней процедуры для области 尸(G), близкой к заданной (а значит разрешимость всей задачи), была установлена для выпуклого крыла, обтекаемого потоком несжимаемой жидаости (см. § 5).
В силу теоремы существования решения прямой задачи обтекания профиля в докритическом режиме (см. § 1), множество решений задачи профилирования не пусто. На множестве решений задачи профилирования может быть поставлена та или иная задача оптимизации. Например, для полета в докритическом режиме с заданной дозвуковой скоростью можно отыскивать крыло с максимальной подъемной силой.
(Отметим, что в силу теоремы сравнения [145, 19], установленной для симметричных (т.е. не несущих) профилей, может быть получена ориентировочная оценка относительной толщины докритического профиля, летящего с заданной дозвуковой скоростью: такой профиль «тоньше» контура, состоящего из двух прямолинейных отрезков, ортогональных потоку на бесконечности, и двух свободных поверхностей с постоянной звуковой скоростью (рис. 5.7).)
Несущий докритический профиль для большой дозвуковойскорости полета
«...вопрос о построении решений, описывающих течения вокруг препятствий... естественно решать путем вычисления течений с данным годографом. Однако это приводит к трудностям в случае циркуляционных течений.» [19]
Подход, изложенный выше, был использован для численного решения задачи профилирования крыла [132]. Именно, в рамках модели идеального газа конструируется несущий профиль для полета с большой дозвуковой скоростью без местных сверхзвуковых зон. На искомом профиле задана
0 Алгоритм вычисления сингулярных решений равномерно эллиптических систем, в основе которого лежит принцип подобия псевдоаналитических функций, предложен в [30].
зависимость между компонентами скорости. Проблема сводится к сингулярной однородной задаче Дирихле для уравнения Чаплыгина в двулистной римановой области в дозвуковой полуплоскости годографа скорости. В итерационный процесс включены процедуры разрезов области на простые листы, их склеивания с помощью прогонки, выделение сингулярных компонент решения. Замкнутость искомого контура обеспечивается двучленной асимптотикой вблизи образа бесконечно удаленной точки. Условие отсутствия на контуре точек возврата используется для определения координат точки ветвления римановой области. Приведены примеры рассчитанных контуров (Моо = 0,6; 0,8; 0,85).
Стремление авиации к повышению скорости полета умеряется резким возрастанием сопротивления из-за образования скачков уплотнения в сверхзвуковых зонах при переходе к сверхкритическому обтеканию. В настоящее время используются профили с умеренными значениями критического числа Мф. Разработке методов конструирования несущих профилей с большими значениями Мф до сих пор препятствовало мнение, что такие профили обязательно будут слишком тонкими. Ниже демонстрируется принципиальная возможность конструирования достаточно толстых высокоскоростных несущих докритических профилей. Приведенные примеры рассчитанных контуров не имеют промышленного значения, так как пока не доказано, что их обтекание безотрывно. Предполагается, что многократное решение базовой задачи профилирования позволит в дальнейшем для каждого значения М^ выделить класс безотрывных профилей и провести в нем оптимизацию.
Общепринятый способ конструирования крыла, состоящий в подборе подходящего решения прямой задачи, недостаточно точен для отыскания прецизионных докритических профилей. Из-за невозможности проводить вычисления в бесконечной области граничные условия переносят на конечное расстояние. Для функции тока там выставляют значения, определяемые асимптотикой на бесконечности. Это приводит к погрешности порядка d/D, где d — хорда профиля, D — диаметр расчетной области. Если задача решается относительно вектора скорости, приходится видоизменять граничные условия: из теоремы Коши- Ковалевской следует; что в дозвуковом потоке идеального газа нельзя задавать постоянный вектор скорости на границе конечной области, так как в этом случае единственным решением во всей области является равномерный дозвуковой поток. Это обстоятельство затрудняет как конструирование, так и вычислительную проверку докритических контуров.
Аналогично, экспериментальная проверка высокоскоростных докритических профилей в аэродинамических трубах невозможна из-за преобладающего влияния стенок и возмущений потока на входе и выходе из трубы.
Постановка задачи была описана в предыдуищх параграфах. Заданы вектор скорости набегающего потока Vg =入цир!дщяция скорости Г и двулистная риманова область Q в дозвуковой полуплоскости Область Q ограничена кривой L, описываемой зависимостью А =入(0) коэффициента скорости от ее аргумента. Функция тока, обращающаяся на £
в нуль, подчиняется в Q уравнению Чаплыгина
(1 - А2)物° + 入(1 - ^| 入2)収入 + (1 - ^т! 2)"入=°' О?)
Выше были установлены необходимые условия разрешимости задачи— характерные свойства (А, £) -образа докритического течения около вьшук- лого профиля. В случае несжимаемой жидкости была доказана достаточность этих условий для однозначной разрешимости задачи профилирования «в малом», т. е. когда исходные данные мало отличаются от тех, для которых решение существует.
Конструируется выпуклый гладкий профиль (с острой задней кромки с внутренним углом), обтекание которого подчинено условию Жуковского- Чаплыгина. В этом случае L — самопересекающаяся кривая, состоящая из двух отрезков оси £, длиной тг и а, и графиков двух непрерывных функций; полное изменение /3 на Е меньше тг + а.
Если Г / 0, то (入8,08)/ Qo，/o), где Qo,<o) —точка ветвления области Q (см. § 2). Поэтому должно быть указано, какому листу принадлежит точка (Аос/Зоо).
Асимптотика обтекания несущего профиля на бесконечности была преобразована в §2 в асимптота^ в плоскости годографа
屮=—^^ Re [(汙—08)т — (1 — М己)т In (汙 一 08)] +
+ 0(1亍-県l)，0 < J < 1. (33)
А
Здесь 0 < 5 < 1, o = s +沮 s = f \/1 — M^ d In A.
о
Сформулированная задача имеет единственное решение. В этом можно убедиться, рассмотрев псевдоаналитическую функцию — модифицированный комплексный потенциал Ф = Rp + £“ 一 решение уравнения Карлемана
Фа+ А(Ф + Ф)=0,44 = -^^.(34)
Преобразовав область Q в однолистную, получим что Ф является решением сингулярной задачи Дирихле в однолистной области для уравнения
我+ 24(S-&)便+ 5) =0.(35)
Из (33) следует; что из точки (М,%©) выходят две кривые, разделяющие области положительных и отрицательных значений. Так как 山|乙= =0, то в силу принципа максимума для уравнения (32) при 入《1 (см. § 19, гл. 1 ), на L существуют две седловые точки линии уровня ” = 0・ Для физической реализуемости решения ^(^> S) необходимо, чтобы эти седловые точки находились на отрезках оси Л = 0. Тогда на остальных
участках кривой L не будет седловых точек, изображающих точки возврата контура.
Реализуемость решения 吵(入 /3) подразумевает также замкнутость контура в физической плоскости и отсутствие самопересечений. Первое обеспечивается асимптотикой (33), а второе тем, что искомый контур выпуклый и вращение касательной на нем меньше 2тг. Итак, для реализуемости контура необходимо и достаточно отсутствия на нем точек возврата, что обеспечивается подбором положения точки (Ло, £о).
Основные процедуры. При разрезах римановой области вводятся дополнительные границы, разбивающие ее на примыкающие друг к другу простые листы. Значения решения на разрезах играют роль граничных значений на дополнительных участках границ листов. Решения на простых листах можно вьпислять независимо друг от друга. Для того, чтобы они представляли собой единое решение, необходимо и достаточно, чтобы на разрезах совпадали между собой 吵 и д^/дп. Это обеспечивается склеиванием листов в процессе итераций с помощью прогонки.
Так как коэффициенты линейного уравнения Чаплыгина зависят только от А, разрез двулистной области на два простые листа целесообразно проводить вдоль отрезков прямых 入=%,仇 W £ 4 仇,2・ Оказалось также удобным разрезать на две части вдоль прямой тот простой лист, на котором лежит точка (入冲限).
Вычисление регулярной компоненты решения (1) на каждом простом листе с криволинейной границей производилось на декартовой сетке в плоскости Л/3 по разностной схеме второго порядка точности «крест». Применялся метод итераций с поочередной прогонкой вдоль прямых Л = const на каждой итерации.
Граничные значения для прогонки (для (п + 1)-й итерации) вычислялись в ближайшем к L узле сетки с помощью формулы Тейлора второго порядка точности с использованием значений в двух приграничных узлах и граничного значения в точке пересечения кривой L с сеточной прямой.
Итерационное склеивание листов с помощью прогонки. Граничные значения для функции тока на четырех берегах разрезов задаются на первой итерации произвольными непрерывными функциями от /3, перекрестно равными друг другу и равными одной и той же величине в точке ветвления. Перекрестное склеивание простых листов в двулистную область осуществляется прогонками вдоль двух разрезов, при которых разностный аналог уравнения (32) рассматривается на сеточных прямых Л = Ло ~ Лд, Л = Ло, Л = Ло + Лд, причем значения 吵⑺ на прямых слева и справа от разреза взяты соответственно на нижнем и верхнем листах и, аналогично, на верхнем и нижнем листах (无入一шаг сетки в направлении Л). Это позволяет найти две функции ^^п+1^|А=Ао- Граничными условиями для прогонок являются величины ^(n+1)(До, /30), 呪(入口,仇)и, соответственно, *+"%禽)，丸(%,仇).
Вычисление 山⑺+叭丸禽).То, что потенциал Ф определен на двулистной поверхности, означает, что Ф(сг) —Ф(оо) ^，сг —的.При отображении уравнение (34) преобразуется в (35), совпадая в точке £ = & с уравнением аналитической функции. Шаблон «крест» в точке £ = & изображается на
двух листах в плоскости а четырьмя точками слева и справа от точки сг = сг0 на расстоянии 九.Поэтому 少+“丸向)равно (с точностью до членов порядка Л2) среднеарифметическому из четырех значений, вьгаисленных на двух листах Q.
Каждому члену асимптотики (33) соответствует сингулярное решение уравнения (34). Их можно вычислять путем решения интегрального уравнения [Вера]
@0)"⑺ехр(中，黑堂匕黑*.(36)
Здесь /(о) = (о — Фоо)-1 или /(о) = 1п(сг — 県)соответственно для каждого члена асимптотики (2). Уравнение (36) можно решать лишь в подобласти того листа, на котором лежит точка, так как алгоритм склейки листов в процессе итераций осуществляет аналитическое продолжение на всю область. Эта подобласть выделялась разрезом вдоль прямой Л = =const < Лоо. Производилась также декомпозиция на сингулярную и регулярную компоненты.
После отыскания точки (入о,仇))исходя из вышеуказанных условий физической реализуемости, вьпислялись координаты контура численным интегрированием вдоль кривой L дифференциальных выражений
=岗^ [加(m2 - 1) » + 入2以切],=岗^ [加(m2 - 1) » + 入2以切],dg = tg0 dx.dg = tg0 dx.(37)(37)
=岗^ [加(m2 - 1) » + 入2以切],
=岗^ [加(m2 - 1) » + 入2以切],
dg = tg0 dx.
dg = tg0 dx.
(37)
(37)
М = 0,85, а = 7г/10, t = 5,3%, Г = 1, X = 12,6М = 0,85, а = 7г/10, t = 5,3%, Г = 1, X = 12,6М = 0,8, а = 7г/10, t = 10,1%, F = 1, X = 4,46М = 0,8, а = 7г/10, t = 10,1%, F = 1, X = 4,46М = 0,8, а = 7г/10, t = 7,36%, Г = 1, X = 6,2М = 0,8, а = 7г/10, t = 7,36%, Г = 1, X = 6,2М = 0,8, а = 7г/12, t = 4,6%, Г = 1, X = 5,5М = 0,8, а = 7г/12, t = 4,6%, Г = 1, X = 5,5М = 0,6, а = 7г/6, t = 19%, F = 1, X = 2,46М = 0,6, а = 7г/6, t = 19%, F = 1, X = 2,46
М = 0,85, а = 7г/10, t = 5,3%, Г = 1, X = 12,6
М = 0,85, а = 7г/10, t = 5,3%, Г = 1, X = 12,6
М = 0,8, а = 7г/10, t = 10,1%, F = 1, X = 4,46
М = 0,8, а = 7г/10, t = 10,1%, F = 1, X = 4,46
М = 0,8, а = 7г/10, t = 7,36%, Г = 1, X = 6,2
М = 0,8, а = 7г/10, t = 7,36%, Г = 1, X = 6,2
М = 0,8, а = 7г/12, t = 4,6%, Г = 1, X = 5,5
М = 0,8, а = 7г/12, t = 4,6%, Г = 1, X = 5,5
М = 0,6, а = 7г/6, t = 19%, F = 1, X = 2,46
М = 0,6, а = 7г/6, t = 19%, F = 1, X = 2,46
Тестирование и результаты расчетов. Целью тестирования было установить, насколько точно может быть воспроизведен единичный крут; обтекаемый несжимаемой жидкостью. Задача решалась при значении показателя адиабаты k = 108 по зависимости ^ = Д(А), взятой из точного решения при Г = 1. Максимальное отличие полученного контура от еди-
М = 0,8, а = 7г/6, t = 7,8%,F = 1, X = 5,65
Рис. 5.8
ничной окружности не превышало 0,001 на сетке 150 х 150. Точность расчетов контролировалась сходимостью по сетке и относительной величиной несовпадения концевых точек контура при интегрировании выражений (37).
Докритические профили были сконструированы для М» = 0,35; 0,4； 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,85 при а = тг/12, тг/10, тг/6 и максимальном значением скорости на профиле Лгаах = 1. Некоторые из них показаны на рис. 5.8.
На рис. 5.9 показано распределение скорости
Л*Л*ООРис. 5.9Рис. 5.9на профиле Mg = 0,8; t = 10%. У большинства сконструированных профилей нижняя сторона состоит из двух гладко сопряженных прямых. У профиля с Моо = 0,8 развитый плоский участок есть и на верхней стороне. Другой характерной чертой является «острая» передняя кромка (на самом деле она тупая), на которой происходит резкое изменение кривизны контура и быстрый разгон потока. Ее наличие помешало тестированию
Л*
Л*
О
О
Рис. 5.9
Рис. 5.9
вычисленных контуров путем решения прямой задачи: попытки использовать метод [147] не увенчались успехом, поскольку он не предназначался для контуров с сильно меняющейся кривизной.
Глава 6
Сверхкритическое обтекание профилядозвуковым потоком
Потребности техники. Бурное развитие численных методоврешения прямой задачи обтекания профиля. Модельпространственного безотрывного обтекания ограниченного тела
Сверхкритическим называется обтекание профиля крыла дозвуковым (на бесюжечности) потоком, когда на нем возникают зоны сверхзвуковых скоростей. Считается, что если при обтекании фиксированного профиля монотонно повышать число М^ то после достижения критического значения Мкр во всем диапазоне Мф < Mg реализуется сверхкритическое обтекание. Как отмечалось в § 1 гл. 5, Мф зависит толыю от формы профиля и показателя адиабаты.
Большое прикладное значение проблемы сверхкритического обтекания связано с тем, что подавляющее большинство крейсерских режимов полета современной пассажирской и грузовой авиации происходит при больших дозвуковых скоростях — т.е. в сверхкритическом диапазоне (если принять во внимание, что создание докритического крыла для полета с большой дозвуковой скоростью требует специальных усилий, например, описанных в гл. 5).
Как будет показано ниже, сверхкритическому режиму свойственна некорректность задачи обтекания в классе непрерывных полей скорости. Иначе говоря, течения в сверхзвуковой области без скачков уплотнения, если эти течения существуют, являются в определенном смысле изолированными. С возрастанием числа Mg выше критического значения М^ наблюдается тенденция увеличения размеров сверхзвуковой зоны и повышения в ней числа М, поэтому при приближении числа М^ к единице происходит повышение интенсивности скачков уплотнения, а значит —— увеличение потерь энергии на «волновое» сопротивление 9.
Конечно, радикальное решение проблемы уменьшения волнового сопротивления состоит в создании для заданного числа докритического крыла (см. гл. 5, § 7), одаако удовлетворительным решением будет и крыло, обтекаемое с малыми сверхзвуковыми зонами — со слабыми и короткими скачками уплотнения, а значит — с небольшим волновым сопротивлением. Именно на таком пути были достигнуты реальные успехи современной
1) Факт появления «волнового» сопротивления свидетельствует о неправомерности теоремы Жуковского для течений со скачками уплотнения в сверхзвуков。说 зоне. Подробно этот вопрос рассмотрен в §7.
авиации ценой огромного объема вьгаислительных и экспериментальны исследований.
На практике «хорошее» крыло получается подбором — путем многократных численных решений прямой задачи обтекания (т. е. задачи обтекания заданного профиля), скомбинированных с направленными деформациями профиля, минимизирующими некоторый функционал.
Этот подход потребовал разработки быстрых и эффективных численных методов решения прямой задачи и такие методы были созданы. Не будем их перечислять и обсуждать их достоинства и недостатки, так как это — предмет весьма бурно развивающейся области вычислительной математики и любое высказывание здесь очень быстро теряет актуальность.
Отметим две главные трудаости. Первая связана с вьшолнением асимптотических условий на бесконечности. Для задач с неограниченной областью определения численное решение может выстраивать двумя способами: как предел последовательности решений в ограниченных расширяющихся областях, либо — путем отображения на ограниченную область. В обоих подходах наиболее тонким моментом является обоснование адекватности воспроизведения асимптотического условия на бесконечности для з (5.4) или для V — в зависимости от выбранных неизвестных.
Вторая трудность связана с необходимостью отыскания решений в классе функций, описывающих течения со скачками уплотнения. В ситуации, когда число скачков и их возможное расположение заранее неизвестно, речь может идти лишь о так называемом «сквозном» счете, когда вьгаисления организуются так, будто скачков нет и поле скоростей — достаточно гладкое; сами скачки при этом интерпретируются как зоны «больших» градиентов.
Так как положение «скачка» при такой локализации определяется с неулучшаемой погрешностью порядка шага сетки, то и суммарная погрешность вьгаислений имеет тот же порядок (даже если принять, что соотношения Гюгонио на «скачках», т. е. на границах зоны больших градиентов воспроизводятся совершенно точно).
Следует также учитывать, что некорректность прямой задачи сверхкритического обтекания может проявляться в неустойчивости реального течения, воспроизведение которой в численном эксперименте требует, вообще говоря, дополнительных усилий.
Все вышесказанное относилось только к изучению двумерных течений, т. е. к крылу «бесконечного размаха». Для изучения же реальных самолетов требуется решение задачи трехмерного обтекания, в постановке которой еще нет полной ясности даже в рамках модели несжимаемой жидкости. Имеется в виду следующее. При изучении трехмерного обтекания несжимаемой жидкостью ограниченного тела, которое производится в классе непрерывных решений уравнения Лапласа для потенциала скорости (задача Неймана), имеет место, как известно, парадокс Даламбера-Эйлера, состоящий в том, что жидкость не оказывает силового воздействия на обтекаемое тело.
Аналогичная ситуация имеет место и при дозвуковом обтекании тела потенциальным потоком газа (при достаточно малой скорости набегающего потока): Гиллбаргом и Финном доказана теорема существования и единственности обтекания с непрерывным потенциалом скорости, а также — асимптотика на бесконечности, из которой следует парадокс Даламбе- ра[117,19].
Отметим, что и в плоском течении в этом классе парадокс Даламбера имеет место: подъемная сила появляется лишь при наличии логарифмического члена в асимптотическом разложении для комплексного потенциала; потенциал скорости при наличии этого члена не является непрерывной функцией во внешности профиля.
В теории крыла конечного размаха (эта теория еще не является математически строгой) подъемная сила появляется при введении в поток так называемой «вихревой пелены», которая представляет собой поверхность разрыва первого рода касательных к вихревой пелене компонент скорости, т. е. является тангенциальным разрывом: она состоит из линий тока, различных на разных сторонах поверхности разрыва; давления по обе стороны разрыва одинаковы. В отличие от случая плоского течения, в котором поле скорости и при циркуляционном обтекании непрерывно, вихревая пелена имеет четкий физический смысл как поверхность сильного разрыва вектора скорости; ее положение в пространстве, зависящее также от строения множества точек прикрепления к обтекаемому телу влияет на поле скорости. Иначе говоря, вихревая пелена, если она существует, в общем случае является свободной поверхностью — ориентируемым двумерным многообразием, определяемым линией прикрепления к телу и условиями д(р/дп = 0,[唱 + 傍]=0, тде квадратные скобки обозначают скачок, Vir, %丁 一 две компоненты тангенциальной скорости.
Потенциал скорости обтекания тела с вихревой пеленой может быть представлен в виде суммы регулярной во внешности тела гармонической функции и формального потенциала двойного слоя — в виде соответствующего интеграла по поверхности пелены (формальность состоит в незамк- нутости этой поверхности и,возможно, в ее негладкости, проявляющейся в спиралевидно-коническом скручивании края). Строгое исследование задачи подразумевает установление максимально широкого класса поверхностей, для которых интеграл по поверхности вихревой пелены обладает обьиными свойствами потенциала двойного слоя, а также возможность определения формы этой поверхности, исходя из полной системы граничных условии задачи обтекания и условия Жуковского-Чаплыгина. Кроме того, невидимом% должно выполняться дополнительное условие, что при непрерывной деформации тела в бесконечный цилиндр составляющая потенциала скорости, соответствующая вихревой пелене, должна непрерывно преобразовываться в непрерывную ветвь arctg 0, где в — полярный угол.
Переопределенность задачи о сверхкритическом обтеканиипрофиля без скачков уплотнения. Аргумент Франкля
Впервые внимание аэродинамиков на факт переопределенности задачи о потенциальном течении газа с местной сверхзвуковой зоной было, по- видимому; обращено в 1946 е работой А. А. Никольского и ЕИ. Таганова [70], в которой на основании простых соображений была установлена изолированность таких течений. А именно, был указан класс сколь угодно малых и сколь угодно гладких деформаций исходного профиля, после которых сверхкритическое обтекание с непрерывным полем скорости (без скачков уплотнения), непрерывно зависящим от деформации профиля.
становится невозможным—даже если оно и существовало. (Эти результаты изложены в § 3.)
После работы [70] проблема корректности обтекания профиля рассматривалось Ф. И. Франклем [104, с. 385]. Им было высказано соображение («аргумент Франкля»), основанное на представлении о единственности решения некоторой краевой задачи, аналогичной изученной ранее «задаче Франкля» для уравнения Трикоми, что было позже доказано К. Моравец [19, 150].
Рис. 6.1Рис. 6.1Аргумент Франкля состоит в следующем. Пусть существует течение идеального газа около профиля с непрерывным полем скорости в местной сверхзвуковой зоне. Выделим в этой зоне треугольник АВС, состоящий из характеристик АС и ВС (рис. 6.1), проведенных из точки С на звуковой линии контура профиля АВ. Обозначим через Е область течения (внепшость профиля), из которой удален треугольник АВС. Франкль обратил внимание на аналогию между задачей Трикоми и краевой зада
Рис. 6.1
Рис. 6.1
чей для построения решения в области Е по условию непротекания на контуре профиля и по условию достижения на бесконечности заданного дозвукового значения скорости.
В силу этой аналогии решение в области Е определяется граничным условием на контуре тела единственным образом. Затем его можно непрерывно продолжить в треугольник АВС путем решения задачи ГУрса (с данными на характеристиках). Ясно, что в общем случае при этом возникнет противоречие с условием непротекания на контуре 4В.
В качестве треугольника АВС может быть взят любой характеристический треугольник с вершиной на звуковой линии. В работах [150, 151] было доказано [19], что если профиль на дуге АВ изменен сколь угодно мало (и гладао), то непрерывное течение с тем же числом Моо вокруг нового профиля невозможно (этот результат «сильнее» приведенной в §3 теоремы [70]). Тем самым аргументу Франкля был придан строгий смысл.
Общепринятая трактовка этого факта, так же как и [70] состоит в том, что сколь угодно малая вариация контура профиля в местной сверхзвуковой зоне с непрерывным полем скоростей (если в качестве исходного взято именно такое течение) приводит к образованию скачков уплотнения. Такая интерпретация не противоречит гипотезе о корректности прямой задачи в классе обобщенных решений (со скачками уплотнения, удовлетворяющими условиям Гюгонио).
Разрушение непрерывного течения в сверхзвуковой зоне приспрямлении профиля
Предположим, что для некоторого профиля при заданной на бесконечности дозвуковой скорости потока существует потенциальное сверхкритическое обтекание — без скачков уплотнения в местной сверхзвуковой
зоне около профиля. Тогда сверхзвуковая зона ограничена только контуром профиля и звуковой линией — жордановой дугой, опирающейся на профиль. Проведем из каждой точки юнтура профиля характеристики разных семейств; они пересекут з吗ювую линию.
В [70] (см. § 16, гл. 1) было доказано, что сверхзвуковая зона в потенциальном течении не может содержать в качестве подобласти течение Прандтля-Майера, поэтому если существует потенциальное сверхкритическое обтекание, то существует риманова поверхность отображения этой зоны в плоскость годографа (отображение на эту поверхность — гомеоморфизм).
Ниже будет показано, что эта риманова поверхность однолистна. Поэтому образ сверхзвуковой зоны в плосюсти годографа содержит образ треугольника CDE, ограниченного характеристиками СЕ и CD (первого и второго семейства) и отрезком DE звуковой линии (рис. 6.2 а). Это значит; что образ контура профиля в окрестности каждой своей точки, кроме этой точки, лежит в плоскости годографа вне замкнутой жордановой кривой, ограниченной эпициклоидами CD и СЕ и отрезком DE прямой А = 1 (рис. 6.2 б), и, следовательно, не может содержать никакого отрезка оси В = const. Это означает; что местная сверхзвуковая зона в по
тенциальном течении не может быть ограничена контуром, содержащим прямолинейный участок.
Рассмотрим прямую задачу сверхкритического потенциального обтекания заданного профиля безграничным дозвуковым потоком в следующей формулировке.
Найти в области D — внешности профиля — односвязной замкнутой области с гладкой границей (контуром профиля) поле скорости V(c,g) W W С(0)ПС1(0), подчиняющееся системе (1.4), (1.5) при ро = const, N = 0, удовлетворяющее граничным условиям на границе D:
• п = 0 на контуре профиля,
Т Voo При Z Т ОО.
Здесь п — нормаль к контуру профиля — непрерывная функция длины дуги контура профиля.
Из установленной выше необходимой геометрической оценки следует; что сформулированная задача некорректна. Действительно, если ее решение
существует; то оно не зависит непрерывно от граничного условия на профиле, так как любое малое сколь угодно гладкое спрямление профиля на границе сверхзвуковой зоны приводит к нарушению геометрической оценки, выражающей необходимое условие существования решения в заданном классе.
Спрямление профиля в классе бесконечно дифференцируемых функций может бьпъ выполнено так: малый криволинейный участок профиля заменяется хордой: полученный негладкий юнтур в непересекающихся
окрестностях концевых точек хорды сглаживается с помощью осреднения по С. Л. Соболеву.
Таким образом, сверхкритическое обтекание кардинально отличается от докритического, поскольку для последнего сформулированная задача корректна. Не исключено, что отмеченная некорректность указанной постановки задачи сверхкритического потенциального обтекания может «исчезнуть» при следующих видоизменениях постановки.
Котда снимается требование потенциальности течения, т.е. котда в течении допускается возникновение скачков уплотнения. Если задача в такой расширенной постановке корректна, то поскольку поле V(c,g) отыскивается уже в классе кусочно непрерывных функций, должно выполняться следующее свойство: если некоторому «недеформированному» профилю соответствует потенциальное сверхкритическое обтекание, то поле V, соответствующее деформированному профилю (вместе с производными первого порядка), равномерно стремится к полю ¥пот потенциального течения в каждой замкнутой подобласти непрерывности поля V, ттда деформация контура стремится к нулю в классе Ci (т. е. при равномерной сходимости координат профилей и нормалей к ним).
_При повышении класса гладкости функций для поля V: V G W Ci(D) Г) Сг(Р). При этом граничное условие на контуре профиля может быть записано, например, в виде:
а。 аыл ——=х или —— =
тде 0 = arg V, х — кривизна контура профиля, заданная функция длины дуги.
Хотя поле V в этой постановке продолжает считаться потенциальным, приведенное выше доказательство отсутствия непрерывной зависимости от граничных условий становится неправомерным, потому что если условие существования решения выражается требованием строгой отрицательности х, то для каждого строго выпуклого профиля деформация, спрямляющая участок контура, уже не может быть выбрана сколь угодно малой.
Некоторое обоснование корректности такой «суженной» постановки состоит в аналогии рассмотренной задачи с прямой задачей сопла Лаваля (в вариациях), для которой доказана ютрректность [54].
Различие между исходной и суженной постановками состоит в том, что в граничном условии V • п = 0 задается вектор-функция n(s), от которой требуется лишь непрерывность, но никакие требования относительно производной \дп/дз\ = |х| —кривизны профиля — не могут быть сформулированы.
При численном решении задачи различие между этими постановками реализуется ввиду некорректности процедуры численного дифференцирования.
Вернемся теперь к доказательству однолистности римановой поверхности отображения сверхзвуковой зоны в плоскость годографа 9.
О В доказательстве [70] не проанализирована «возможность» существования точки К+ на звуковой линии.
Сверхзвуковая зона не может содержать линии ветвления. Действительно, так как прямая А = 1 в плоскости годографа ортогональна характеристикам, то если из какой-либо точки звуковой линии выходит одна линия ветвления, то в этой точке происходит изменение знака приращения 0 вдоль звуковой линии (рис. 6.3). Это противоречит «закону монотонности» вектора скорости [70], согласно которому в потенциальном течении 0 = argV монотонно убывает при движении, вдоль звуковой линии, при котором дозвуковая область находится слева. Если бы из какой- либо точки А звуковой линии выходило две линии ветвления (рис. 6.4) в виде характеристик разных семейств, то каждая линия уровня А > 1
Рис. 6.3Рис. 6.3Рис. 6.4Рис. 6.4
Рис. 6.3
Рис. 6.3
Рис. 6.4
Рис. 6.4
в физической плоскости — прообраз прямой А > 1 — должна была бы пересечь четыре характеристических луча, исходящих из точки 4 Но это возможно только в одном случае — если А есть точка К+ звуковой линии, т. е. точка, в которой она ортогональна линии тока и обращена выпуклостью в сторону сверхзвуковой области. Однако на отрезке звуковой линии, ограничивающем сверхзвуковую зо吧 точек К+ не может быть. Предположим, что такая точка есть. Проведем через нее прямую 夕 = const (рис. 6.5). По определению точки К^ эта прямая в некоторой окрестности К+ лежит в области сверхзвуковых скоростей. Так как сверхзвуковая зона ограничена и ее граница состоит только из звуковой линии и контура профиля, то по крайней мере одна полупрямая 夕=const пересечет звуковую линию. Это означает, что существует замкнутая жорданова кривая L, ограни
чивающая подобласть сверхзвуковой зоны и состоящая из отрезка линии уровня 夕 =(рк+ и отрезка звуковой линии. По определению точки 左+, на L в некоторой окрестности этой точки 夕 ^ Зк+，夕 壬 Зк+・ Поэтому в силу равномерной непрерывности 夕 на L — на звуковой линии существует точка, в которой 夕 достигает минимального значения. Если поле V на звуковой линии непрерывно дафференцируемо, то звуковая линия ——гладкая кривая и эта точка является точкой К_,
но в потенциальном течении таких точек не существует (гл. 2, § 1). Если же звуковая линия имеет излом в точке, где з = y>min|L, то такая точка в потенциальном течении также не может существовать; доказательство совершенно аналогично доказательству несуществования К_ (см. § 1,гл.2).
Серповидный скачок малой протяженности
Предположим, что прямая задача сверхкритаческого обтекания произвольного (гладкого, выпуклого) профиля корректна в расширенной постановке —в классе течений со скачками уплотнения. Предположим, что для некоторого профиля существует сверхкритическое обтекание с непрерывным полем скорости. Подвергнем профиль сколь угодно малой непрерывной деформации (например, спрямлению контура), приводящей к образованию скачка в сверхзвуковой зоне. Возникают следующие вопросы.
Где зарождается скачок?
Как он выглядит сразу после зарождения?
Как уже указывалось в §3, из условия непрерывной зависимости решения от граничных условий задачи следует, ^гго при малых деформациях профиля поле скорости в течении со скачками мало отличается от поля потенциального течения в подобластях, не содержащих скачков уплотнения. Кроме этого, сами скачки — слабые и располагаются вблизи от звуковой линии потенциального течения.
Действительно, спроектируем область течения со скачком на область потенциального невозмущенного течения. Если скачок целиком находится там, где скорость потенциального течения существенно сверхзвуковая, то на скачке должна быть точка, где скорость после скачка дозвуковая 9. Так должно быть и в момент зарождения скачка, что противоречит требованию непрерывности поля скорости потенциального течения.
Из асимптотики семейства ударных поляр при Ag т 1 (см. гл. 1, §6) следует; что касательная к слабому скачку близка к нормали линии тока, поэтому этот скачок не может иметь большую протяженность, так как звуковая линия, ограничивающая сверхзвуковую зону; на большей части своей длины не ортогональна линиям тока. Таким образом, спрямление контура на участке малой длины профиля приводит к возникновению слабого скачка малой длины, т. е. интенсивность, протяженность и расстояние скачка от звуковой линии стремятся к нулю вместе с длиной деформированного участка профиля.
Будем называть концевыми точками скачка конечной длины обе его точки нулевой интенсивности. Для таких скачков верно одно из следующих условий.
Обе концевые точки сверхзвуковые (т.е. в обеих концевых точках скорость сверхзвуковая).
Обе концевые точки з^ковые.
1)В §6 гл.9 будет доказано, что точка зарождения скачка в сверхзвуковом потоке всегда лежит вверх по течению от самого скачка.
Одна точка звуковая, одна сверхзвуковая.
Поэтому если обе концевые точки скачка сверхзвуковые, то скачок имеет серповнщную форму — касается в концевых точках разноименных характеристик. Поэтому на скачке должна быть точка, в которой он ортогонален вектору скорости, а значит; в этой точке скорость за скачком дозвуковая. Следовательно, на скачке существуют: по крайней мере две точки, в которых скорость за скачком звуковая. Это либо концевые точки связного отрезка звуковой линии, ограничивающей область дозвуковых скоростей за скачком (но этот случай был уже ранее отвергнут), либо — концевые точки звуковых линий, прикрепляющихся к скачку (образовавшихся после «разрыва» звуковой линии в потенциальном течении, рис. 6.6).
Рис. 6.6
Оба оставшихся случая характеризуются тем, что по крайней мере одна концевая точка скачка находится на звуковой линии. Однако в настоящее время не существует ни доказательства существования такого скачка, ни доказательства его несуществования.
Собственно говоря, существуют только две возможности — скачок возникает либо в сверхзвуковой точке потока, либо на самой з^ковой линии. Скачок, начинающийся в сверхзвуковой точке, представляет собой обычное явление, ибо таковы все скачки, возникающие вследствие нелинейности уравнения газовой динамики. Скачок, начинающийся на звуковой линии, встречается гораздо реже. Примеры таких скачков дает асимптотическая теория сопла Лаваля, исследующая течение вблизи центра сопла (см. гл. 2, §4).
Однако большинство скачков, начинающихся на звуковой линии, инициируется слабым разрывом (разрывом производных) вдоль характеристики, приходящей от стенки сопла к его центру К; можно сказать, что такие скачки вызваны неаналитичностью контура в точке, отделяющей его часть, принадлежащую М-области. Особый случай представляет пример сопла со скачком уплотнения (fc = 20/11, гл. 2, §4) при аналитическом контуре стенки сопла. В [98] (см. гл. 2, § 4) приведен пример возникающего в центре сопла слабого разрыва (А: = 4/3).
Таким образом, прецедент скачка, «самопроизвольно» зарождающегося на звуковой линии, существует. Правда, этот скачок зарождается в точке К^ звуковой линии, является «сверхзвуковым» (течение за ним сверхзвуковое) и распространяется от точки зарождения вниз по потоку. Следовательно, он не может закончиться в сверхзвуковой точке потока (см. гл. 9, §6)— ни внутри сверхзвуковой области, ни на ее границе — гладком контуре профиля. Поэтому представляет интерес проблема существования скачка
в местной сверхзвуковой зоне, зарождающегося (без «приходящих» особенностей) на звуковой линии, такого, что в некоторой окрестности точки зарождения течение за скачком дозвуковое («дозвуковой» скачок). Однако все попытки построить такой скачок в местной сверхзвуковой зоне, точнее, найти его асимптотику вблизи звуковой линии, оказались безрезультатными. Ф. И. Франкль впервые обратил внимание на простое точное решение, которое, казалось бы, могло служить искомой асимптотикой. В переменных годографа функция тока выражается в виде [104]
吵=—и4 + 6uv2.
Приведенное решение, однако, неприемлемо ввиду многолистности в физической плоскости: перед замыкающим скачком уплотнения образуется трехлистная складка. складка, как было указано Ф. И. Франклем, не может быть устранена введением дополнительного скачка уплотнения.
В дальнейшем разными авторами предпринимались попытки построить другие примеры или модифицировать решение Ф. И. Франкля. Одаако во всех случаях возникала какая-либо непреодолимая трудность: либо течение имело складку в физической плоскости, либо обладало слабым разрывом на приходящей к точке зарождения скачка характеристике 9, либо вместо скачка уплотнения возникал скачок разрежения.
Разумеется, эти факты свидетельствуют лишь о неосуществимости решения, удовлетворяющего определенным требованиям, в классе автомодельных решений уравнений — со степенными особенностями на звуковой линии.
Ф. И. Франклю принадлежит и более общая постановка задачи построения примеров течений с замыкающим скачком уплотнения, начинающимся на звуковой линии. Эта задача формулировалась в плоскости годографа, при этом произвольно задавались кривые, изображающие скачок и часть контура, что свойственно задаче профилирования [104].
Исследование существования и единственности решения этой задачи было проведено в [33] и приводится в монографии [93]. Следует отметить, что весьма принципиальный вопрос о физической реализуемости, т. е. об однолистности физической плоскости, не рассматривался.
Таким образом, в настоящее время более достоверной представляется гипотеза о том, что возникающий в сверхзвуковой зоне скачок имеет сверхзвуковые концевые точки. Однако в момент зарождения скачка, т. е. при сколь угодно малой деформации профиля, его концевые точки, которые
Собственно говоря, не вполне ясны мотивы, по которым отметаются решения со слабыми разрывами на приходящей к точке зарождения скачка характеристике: ведь такой слабый разрыв распространятся по направлению к скачку, т. е. от профиля, лишь при локальной интерпретации решения; если же рассматривать течение в целом, то слабый разрыв распространяется в местной сверхзвуковой зоне от точки зарождения скачка к профилю (вверх по потоку!), затем, если контур профиля сколь угодно гладкий, разрыв отразится и пойдет (опять же против течения!) к звуковой линии и т. д.» испытывая бесконечное число отражений, так что верхняя (по потоку) звуковая точка на профиле будет точкой накопления характеристик, несущих слабый разрыв. Единственное возражение против этой конструкции состоит в том, что слабый разрыв идет от скачка «против течения». Это возражение, однако, не является правомерным, потому что возмущения распространяются вниз по потоку только в чисто сверхзвуковых течениях, в то время как сверхзвуковая зона принадлежит минимальной области влияния смешанного течения.
затем становятся сверхзвуковыми, могут находиться только на звуковой линии.
Доказательство фактически было получено в [70] с помощью априорной оценки градиента скорости потенциального течения в сверхзвуковой зоне (исключая звуковую линию). Идея построения этой оценки такова.
Рассматривается течение с непрерывно дифференцируемым полем cira- рости в сверхзвуковой зоне (граница контура профиля обладает непрерывной кривизной). Из уравнений движения и геометрической оценки на контуре профиля в плоскости годографа (см. § 3, рис. 3.2)
I a In АI
следуют оценки первых производных на контуре профиля:
Здесь х — кривизна контура профиля. Для получения оценки внутри сверхзвуковой области уравнения движения потенциального течения в переменных годографа преобразуются к характеристическим независимым переменным; они сводятся к линейному гиперболическому уравнению второго порядка в канонической форме. Интегрирование этого уравнения (как обыкновенного уравнения первого порядка) вдоль характеристик (но не до звуковой линии) позволяет получить оценки снизу для производных Sin 入，^inA, 9夕，Wb нерез их значения на контуре. Совершаемый затем переход в физическую плоскость (с учетом гомеоморфности отображения сверхзвуковой области) позволяет получить искомую оценку для градиента скорости, которая означает, что если кривизна контура профиля ограничена, то градиент оюрости внутри сверхзвуковой области ограничен. Если скачок имеет сверхзвуковую концевую точку то в этой точке происходит касание характеристик одного семейства (точнее, концевая точка скачка—это точка возврата огибающей характеристик одного семейства), поэтому градиент скорости в концевой точке бесконечен. Таким образом, из полученной оценки следует; что при непрерывной деформации гладаого профиля (изотопии) разрушению непрерывного потенциального течения в сверхзвуковой зоне не может предшествовать образование огибающей характеристик внутри этой зоны. Иначе говоря, скачок“
может зарождаться ТОЛЫЮ на зву-Замыкающий ^
КОВОИ ЛИНИИ.
Из приведенных рассуждений / /1/4
ясно, что на образовавшийся ска- J^— чок должна выходить хотя бы од- С-С на характеристика, проведенная от спрямленного участка профиля.Рис, 6,7
Экспериментальные данные и численные расчеты свидетельствуют о том, что при сверхкритическом обтекании профиля, как правило, реализуется течение с «замыкающими» — развитым (протяженным, не слабым) скантм уплотнения. Этот скачок имеет две или одну (рис. 6.7) сверхзвуковую концевую точку; в последнем случае скачок ортогонально пересекает контур профиля.
Такая структура течения в сверхзвуковой зоне считается устойчивой. Действительно, в работе [34] численным методом с высокой степенью разрешения получена картина обтекания заостренного клина с местной сверхзвуковой зоной и замыкающим скачком (рис. 6.8). Однако следует отметить, что все приведенные выше соображения остаются в силе для области вверх
по потоку от характеристики первого семейства, отделяющей область потенциального течения (рис. 6.7).
Таким образом вопрос о степени устойчивости сверхкритического течения с замыкающим скачком остается пока открытым.
В заключение отметим, что все результаты §3, 4 без всяких изменений переносятся на сверхзвуковые подобласти М-области смешанного до- и сверхзвукового течения в соплах Ла-
Рнс. 6.8валя (см. рис. 1.21, заштрихованы), кроме того,
они могут быть перенесены на сверхзвуковую подобласть (примыкающую к телу) М-области смешанного течения за отошедшей ударной волной (см. рис. 2.9, заштриховано)——при рассмотрении этого течения в рамках потенциальной теории, т. е. при приближенном (асимптотическом) анализе при М^ т 1 — без учета завихренности, вносимой слабой ударной волной. В общем случае вихревого течения за отошедшей ударной волной аналогичные результаты также имеют место (см. гл. 8, § 8).
Сверхкритическое обтекание профиля со скачками уплотнения.Квазиконформность отображения
в плоскость 1пр, 0・ Граничные условия на бесконечности
Рассмотрим крыловой профиль, заданный кусочно гладким контуром Р, летящий с постоянной дозвуковой скоростью —V* в пространстве, заполненном идеальным газом с постоянными термодинамическими параметрами.
Введем коорданатную систему связанную с профилем.
На бесконечности перед профилем задан дозвуковой равномерный ток.
Если скорость |V*| достаточно велика, то реализуется сверхкритаческое обтекание: у профиля образуются сверхзвуковые зоны, в которых, как говорилось выше, почти всегда возникают скачки уплотнения. Кроме того, при пересечении скачков могут возникать тангенциальные разрывы; они возникают также в случаях, когда скачки оканчиваются на профиле. На скачках уплотнения и тангенциальных разрывах, которые, по определению, являются кусочно гладкими кривыми, имеют место соотношения, вытекающие из замкнутой системы уравнений идеального газа в форме законов сохранения. При этом, в соответствии со вторым законом термодинамики, при переходе через скачок энтропия возрастает пропорционально интенсивности скачка. Поэтому в области, покрытой линиями тока, прошедшими через скачки, поток завихрен и вследствие этого не может стать равномерным на бесконечности вниз по потоку от профиля. (Это следует из уравнения
вихря (1.4), так как компоненты скорости не могут одновременно достигать постоянных значений при z ^ х ^ iy -^ оо^ если 劭。(吵)/d吵 / 0.)
Ниже будет доказано, что к постоянным значениям при \z\ т сю стремятся не компоненты скорости, а давление р и аргумент скорости 仇
Как было показано в тл. 1, в области течения, не сод^жащей нулей поля V, замкнутая система уравнений плоского стационарного течения идеального газа с помощью первых интегралов ро = ро(以 臥=顼6) может бьпъ представлена в форме (в соответствии с «принципом замещения» (гл. 1) полагаем 7Ь = const)
甄=出二"一旦学=犷生. (1) as】i-м2 а«2, ds2 as】 ⑴
Если 0 W P W Ро(吵)，то число Маха в соответствии с §5 гл. 1 может быть выражено как
"=等［(噌)(1"二］. ⑵ 尢 +1 p /
Отметим, что линии тока 吵=const могут быть выражены через 仇 Они—суть интегральные кривые системы обыкновенных дифференциальных уравнений, определенной в области течения, не содержащей нулей V:
dz/ds = cos 0 + i sin 仇 z = с + ig.
Если считать po (吵)заданной, то система (1), (2) может рассматриваться как система уравнений относительно р, £. (В действительности ро (吵) определяется из условий на скачках уплотнения, представляющих собой свободные границы внутри области течения.)
В области вверх по потоку от скачков течение потенциально, там ро®) =「о* = const, а в области вниз по потоку от скачков течение вихревое и там ро (吵)W Ро*, что соответствует возрастанию энтропии.
Рассмотрим область течения 2> — внепшость профиля 忆 разрезанную вдоль скачков уплотнения и тангенциальных разрывов. По определению течения идеального газа, V, р, Г е С(。) (на разрезах непрерывность односторонняя), кроме, может быть, точек излома контура Р и точек разветвления (пересечения) скачков.
Установим теперь область непрерывности р,仇
Исключим из V нули V и точку z = 8. Под 尸 понимается непрерывная ветвь аргумента скорости, которая в общем случае является многозначной функцией из-за многосвязности области 2).
Заметим, что разрезы вдоль скачков, концевые точки которых находятся внутри области течения, не дают дополнительных ветвей функции 仇 Это объясняется тем, что вращение поля V на замкнутой жордановой кривой, охватывающей скачок, который находится внутри области течения, равно нулю (V / 0 в окрестности скачка).
Действительно, вращение V можно вычислить как полное приращение вдоль простой дуги скачка угла отклонения вектора скорости на скачке, который в силу соотношений Погонио (ударная поляра) не может достигать значения тг/2. Это соображение относится и к разветвленным (пересекающимся) скачкам, так как в точке излома после скачка возникает особенность
типа Прандтля-Майера, позволяющая непрерывно монотонно соединить разные значения углов отклонения вектора скорости. Так как тангенциальный разрыв является лучом линии тока,尸 может быть определена на нем как непрерывная функция; кроме того, на нем непрерывно и р (в силу соотношений на скачке — тангенциальном разрыве). Это означает, что разрезы вдоль тангенциальных разрывов могут быть аннулированы.
В силу общих свойств течений идеального газа производаые от р, вообще говоря, могут претерпевать разрывы первого рода или обращаться в бесконечность (например, в точках бесконечной кривизны скачков). Эти разрывы могут распространяться как вдоль линий Маха, так и вдоль линий тока. Поэтому производные в (1) следует понимать как обобщенные, т.е. предполагать, что они существуют почти всюду в 7? и что р(с, у),尸(с, у) не только непрерывны, но и абсолютно непрерывны по одаой переменной почти при всех значениях другой. Кроме того, будем предполагать, что первые производаые р, 0 локально суммируемы с квадратом (это обусловлено применением теории квазиконформных отображений, хотя и не имеет ясной физической интерпретации).
Если решение существует, то система (1) может рассматриваться как линейная, коэффициенты которой определяются этим решением. Для любого допустимого решения коэффициенты (1)—измеримые функции, непрерывные всюд^ кроме линий тангенциальных разрывов (где они претерпевают разрывы первого рода вместе с числом Маха М).
Будем исходить из того, что рассматриваемое решение вне достаточно большой окружности \z\ = Я не имеет нулей V и описывает дозвуковое течение, т. е.
。V ^min《"Л^《^inax < 】•
Коэффициенты системы (1) там ограничены.
Преобразуем (1) с помощью формул
£ = cos 碟 + sin 唸 £ = - sin 噥 + cos 竭.
Разрешая (1) относительно производных от р, получим
⑶⑶ainpдуainpдуkM2 дрkM2 др卫J Sinkos尸颦1-М2ду卫J Sinkos尸颦1-М2ду誓=-1^血峥嚨+禺(「m*嚅
⑶
⑶
ainpду
ainpду
kM2 др
kM2 др
卫J Sinkos尸颦1-М2ду
卫J Sinkos尸颦1-М2ду
При |z|》R эта система равномерно эллиптична (см. определение [19]). Поэтому отображение {z : \z\》R} —> {Inp + i/З} квазиконформно. В соответствии с общей теорией имеет место представление [19]
1пр +步= f(x(z)), (4)
где /(%) — аналитическая функция, a x(z) — квазиконформное топологическое отображение области |z| ^ Л на себя (квазиконформный гомеоморфизм). Так как это отображение не определено однозначно, а именно, оно может быть выполнено вслед за произвольным конформным отображением, то можно считать, что оно сохраняет бесконечно удаленную точку
и направление действительной оси в этой точке, т. е.
{z:|z|》R}^~>{x：lxl》R}, Х(^) = Az + ..., |z|T8, А > 0.
Отметим, что представление (4) справедливо и для многозначных отображений.
Как известно [19], квазиконформная функция обладает всеми топологическими свойствами аналитических функций. Кроме того, имеет место условие Гельдера, которое в окрестности бесконечно удаленной точки записывается в виде
鳥к К |；|"Q，Q》L K(Q)> О' |z|》R・
Постоянная Q (константа квазиконформности, коэффициент дилатации) определяется дифференциальным неравенством
Это неравенство инвариантно относительно локальных ортогональных преобразований координат. Поэтому Q может быть выражено с помощью (1)
Q + ^ = supQ + ^ = sup(『+ 1) + (户 + 1)。a +我(『+ 1) + (户 + 1)。a +我
Q + ^ = sup
Q + ^ = sup
(『+ 1) + (户 + 1)。a +我
(『+ 1) + (户 + 1)。a +我
s max < sup (a + 丄)，sup (b + 甘，，(5)
ще aще a=kM"Q - M2)| g==kM"Q - M2)| g=b = kM2 —коэффициенты (1),b = kM2 —коэффициенты (1),W/W (ав/м)'W/W (ав/м)'0 < 0 < oo.0 < 0 < oo.
ще a
ще a
=kM"Q - M2)| g=
=kM"Q - M2)| g=
b = kM2 —коэффициенты (1),
b = kM2 —коэффициенты (1),
W/W (ав/м)'
W/W (ав/м)'
0 < 0 < oo.
0 < 0 < oo.
Итак, Q зависит от значений Мщах, Mmin в области \z\》Я. Если Mmin -> 0, Мтах -> 1, то Q -> ею. Ниже (см. § 7) будет рассматриваться важный случай Q V 2. Из (5) следует достаточное условие того, что Q V 2:
^ < "Мп S "2 s ”总 < -Д^ при А: > |.
Как станет ясно из дальнейшего (§ 6), эти условия могут быть выполнены, если число М на бесконечности вверх по потоку принадлежит указанному интервалу и если скачок уплотнения достаточно слабый.
Квазиконформность 1пр + ££ позволяет установить граничные условия на бесконечности.
При дозвуковом сверхкритическом обтекании профиля выполняются условия р Т р*, /3 т В* при |z| т оо, где р*, 0* — значения р, /3 6 набегающем потенциальном потоке.
По определению решение (3) p(z) —непрерывная однозначная функция во внешности профиля; в силу (4) 1пр(х) гармонична в области Я < х < < оо. Из формул гл. 1, §4 и соотношения для величин полных давлении на
скачке следует; что при R《|z|《8
Ш
к/(к—1)
minpo(^)《maxX) W Р W
W maxpo(^)尸(min入)< Po*・(6)
Поэтому lnp(z) ограничен при |z|》R (а значит; и при 仅|》R)・ Следовательно, точка х = 8 —устранимая особая точка 1пр(х), т. е. 1пр(х)— гармоническая функция в односвязной области |х| 》Я. По известной теореме математики, для всякой функции, гармонической в односвязной области, можно найти сопряженную с ней гармоническую функцию* Поэтому в области |х|》R существует однозначная гармоническая функция 尸(х)・ При этом
/(X)= 1пр + В = lap* + 泅 + ^ + 终 + …，|xl т 8, ⑺ me в качестве конечных пределов 1пр при 仅1 т 8 взяты их известные значения в набегающем потенциальном потоке.
Это — необходимые условия существования решения (3) соответствующего обтеканию профиля при принятых ограничениях. О^ш обобщают условие V т Vo©, справедливость которого в случае потенциального течения была доказана Л. Берсом [19].
Сделаем небольшое замечание об однозначности 尸(z) во всей области течения.
Из приведенного рассуждения следует, что 尸(z) однозначна при |z|》Я.
Ввиду указанного выше свойства однозначности 户 в окрестности скачка, лежащего внутри Р, имеет место свойство: если в поле течения нет нулей V, g(z) — однозначная непрерывная функция в 0.
Это свойство может быть использовано при исследовании отображения в плоскость годографа. Так, например, нетрудно установить, что образ окрестности выпуклого профиля в плоскости годографа принадлежит двулистной римановой поверхности, как и в потенциальном течении. При этом образ скачка, опирающегося на профиль, если он существует; вырезает некоторую часть римановой поверхности.
Отметим, что ситуация, когда в области течения существуют нули V, реальна: например, они возникают при отрывном стационарном обтекании с циркуляционной зоной («схема Бэтчелора»).
Ограниченность интенсивности скачков
Так как на линиях тока, пересекших скачки уплотнения, ро®) < < ро*, то условие р т р* при |z| т оо показывает; что при |zj т т оо вдоль этих линий тока М т М»(吵)< "*, где МФ — число Маха в потенциальном потоке на бесконечности перед профилем, М т т ”8侬)一число Маха в вихревом потоке на бесконечности позади профиля. Поэтому действительно, при |z| 》R поток дозвуковой. Итак, ранее принятое предположение подтверждено.
Другое предположение, что Л/ / 0 при \z\》Я, существенно; именно, имеет место свойство: при каждом фиксированном числе Маха М* < < 1 сверхкритическое Отекание произвольного профиля может существовать только в случае, если интенсивность скачков меньше некоторой предельной величины^ зависящей от М, к・
Это свойство следует из того, что величина Мэо(吵)должна быть положительна; в соответствии с условием (6) М^^) определяется только интенсивностью скачков.
Итак, тгоедельное значение интенсивности скачков определено равенством “8(吵0)= 0 на некоторой воображаемой линии тока.
Например, если каждая линия тока пересекает не более чем один скачок, то poi = Ро*, Р02 = Ро(吵)，где р(и, ро2 — полные давления впереди и позади скачка. Из (6) и условия, что Моо(^) > 0 следует
Р02 PoW '2/
Выполнение этого неравенства необходимо для существования дозвукового обтекания со скачком в сверхзвуковой зоне.
Максимальное значение интенсивности скачка (при всех дозвуковых числах М^ ) таково:
sup MY1sup MY1=^fe)=mfc/(fc_1)=^fe)=mfc/(fc_1)
sup MY1
sup MY1
=^fe)=mfc/(fc_1)
=^fe)=mfc/(fc_1)
(Любопытно, что оно равно критическому значению отношения давлений, которое обеспечивает трансзвуковой режим в сопле Лаваля.)
В качестве следствия отметим свойство: если скачок опирается на профиль и ортогонален ^w, mo число Маха М] перед скачком ограничено^ предельное значение определяется неравенством
^吗［据為（（岑广…
(Левая сторона неравенства — возрастающая функция от Afi.)
Асимптотика Inp + i0 на бесконечности. Силы, действующие на профиль при наличии скачков в сверхзвуковых зонах
Так как f (х) — аналитическая функция, с учетом неравенства Гельдера получаем оценку остаточного члена 1пр + i/З при |z| т 8:
(1пр + ££) - (1пр* + 沮.)=f ((x(z)) - Л» =
= Q(lx|T)=Q(|z|T/Q), Q》l
Эта оценка позволяет вычислить аэродинамическую силу; действующую на профиль.
При дозвуковом обтекании профиля потенциальным потоком идеального совершенного газа, как и при обтекании несжимаемой жидкостью, имеет место теорема Жуковского (строгое доказательство этого обобщения было получено М.В. Келдышем и Ф. И. Франклем [45] независимо от режима обтекания—до- или сверхкритического). Однако при наличии в сверхзвуковых зонах (при М > Л1кр) скачков уплотнения потенциальность обтекания нарушается и доказательство теоремы Жуковского уже неправомерно. Более того, сама теорема становится неверной, так как из эксперимента известно о появлении в этом случае силы, действующей на тело в направлении потока — волнового сопротивления. Как будет показано ниже, эта сила действительно существует; кроме того, можно говорить о возникновении «волновой» компоненты подъемной силы.
Итак, рассмотрим вопрос о силовом воздействии газа на профиль при дозвуковом сверхкритическом обтекании профиля подробно.
Главный вектор сил давления газа, действующего на профиль, определяется так:
R = Xi + Y» = - jpndl,
где п — внешняя нормаль к профилю.
Уравнение баланса количества движения для стационарного течения идеального газа в интегральной форме имеет вид
J(〃W + рЕ) • п 或=О,
где Е — единичный тензор, W — диадное произведение векторов скорости, контур интегрирования — граница области течения (проходимая в положительном направлении), в замыкании которой вектор скорости V, давление р и плотность р непрерывны.
Если внутри области течения находятся скачки уплотнения и тангенциальные разрывы, то они в принципе, должны выделяться как разрезы. Однако, так как на них величины V, р, р связаны соотношениями Гюгонио, то вдоль каждой такой линии разреза выполняется соотношение
[〃W + рЕ] • п = О, ще квадратные скобки означают разрыв первого рода, взятый на разных берегах разреза. Поэтому интегрирование фактически проводится по замкнутому контуру профиля и по окружности С достаточно большого радиуса, охватывающей профиль.
Так как на профиле V • п = 0, то
(8)(8)
(8)
(8)
В силу асимптотики (7) имеем при \z\ т оо
Р=Роо+В ^ = ^оо+В, P,B = O(|z|T/Q), Q》l, где константа квазиконформности Q (см. § 6) зависит только от коэффициентов системы (3), т. е. от fc и максимального и минимального значений числа М вне круга достаточно большого радиуса. Без ограничения общности (совместив ось Ох с направлением V при |z| т 8)можно положить боо =0.
Получим асимптотические представления для Аир.
Обозначим через 入8®) предельное значение А на окружности радиуса \z\c при \z\c т оо. На линиях тока, прошедших через скачки уплотнения 入8(吵)/ const, а на остальных —। в силу потенциальности набегающего на профиль потока — это предельнее значение постоянно и соответствует скорости набегающего потока; обозначим это постоянное значение 入*.
Обозначим А =入8®) + Л, где А т 0 при \z\ т оо. Подставляя это представление в формулу для давления р = Ро®тг(Х),
Роо+Р=(开(入00)+ 知А)РО®) (Poo = sup Р),
\СМ|》=Л8(У0/|z|T8
откуда следует, что тг(Л8(吵))=pg/po®), т.е.
襄W)=(卢I)卜一(晶广
m涔)m涔)(1)/圻(1)/圻
m涔)
m涔)
(1)/圻
(1)/圻
Здесь pg — постоянное полное давление в набегающем потенциальном потоке. Далее,
А = рк + 1 1 т(Хоо)А = рк + 1 1 т(Хоо)T(入8)= 1 - ® ］入黑T(入8)= 1 - ® ］入黑
А = рк + 1 1 т(Хоо)
А = рк + 1 1 т(Хоо)
T(入8)= 1 - ® ］入黑
T(入8)= 1 - ® ］入黑
Воспользовавшись уравнением состояния (законом Клайперона) и тем обстоятельством, что при переходе через скачок уплотнения температура торможения не изменяется (без ограничения общности, в соответствии с §5 гл. 1, полагаем 7Ь(吵)=То = const), получаем
例⑻=等,
поэтому из формулы для плотности р =例(吵)跃入)следует
p=2=一厶二£…=
尸 ВТ Л7Ьт(Лоо + Л)
=£；(：，》1 + ^^)： + ：А + °(|z「"Q)=
=Poo (吵)+ %
R = O(|z|T/Q) при \z\ т оо.
Для компонент вектора скорости и, и получим представления u = Acos^axp = акр(Аоо +A) + O(|z|-2/q), о = Asin^Sа^ = ОкрХооВ + O(|z|T/Q).
Здесь акр = \2kRTQ/(k +1)]1/2 —критическая скорость звука. Обозначим加8 =加8(吵)=入8(吵)。叩， U = aа叩, V ="8(吵)。叩5
т.е.
微=Woo(^) + U, о = V,U^V = O(|z|T/Q) при \z\ т оо.
Величины роо(^), Wqo(^) так же, как и 入оо(吵)принимают постоянные значения р*, 叫，入* на линиях тока, не прошедших через скачки уплотнения.
Подставляя полученные асимптотические представления в формулы (8)
и переходя к пределу при \z\ т при Q < 2 c точностью до членов 力内=* +代工心Ady 2k/
оо, получим, повторяя выкладки [45] O(|z|-(2/Q)+i), O(|z|T/Q)
甫白^町=-^PooW^ooWUdy,
-/°8®加8®)Udx = -p*w* Ude,
pu(y dx - и dy) = ^* pWoo(v dx — и dy) +
=J P(Woo —叫)® de — udy) + w* , p(2
=- / ®8(吵)一叫)d吵一 GW'
=У (w* - Woo^)) d^ - ^
=/ ®*-
^* pU (y dx — и dg)= )dx — и dy) — ^* pUudy = 夕 pUwoo dy =
PooWoot^ dy =
-WooW) d吵一p^w^ 力 Udg,
G(W)
J ро® dx — и dy) = — , pWooV 町=-f A»^»V dy =
=p*w* ^ Vdy - /(PooWqo - p*w#)V dy = —p*叫,V dg.
GW
Интеграл / (•)即 распространен на множество точек окружности, G(W)
которые пересекаются линиями тока, прошедшими через скачки уплотнения. Поскольку последние находятся в ограниченных сверхзвуковых зонах, то mesG(W) < 8 при |z|c т оо. Поэтому при |z|c т оо оказалось возможным сделать замену вида
,р£%齡£W)V dy = р皿 ^Vdy.
Окончательно имеем 9
х = /®*-1Уоо®)) ~吵=。叩 / (X — 入оо(吵))dVs (9) G(W)G®
Y = -pm* judx-^Vdy = -p*gFoo.(10)
Таким образом, в отличие от потенциального течения, при наличии скачков уплотнения возникает сила сопротивлениях X (она имеет направление вектора скорости набегающего потока), пропорциональная интенсивности скачков и их протяженности. Что касается подъемной силы Y, то она формально выражается так же, как и в теореме Жуковского, однако отличается тем, что циркуляция Гоо вычисляется на бесконечном удалении от профиля. В потенциальном потоке % и циркуляция скорости Го по контуру профиля одинаковы, но в вихревом течении они различны. Таким образом, «волновая» компонента подъемной силы равна -р*д(Г*8 — Го).
Прежде чем переходить к вычислению связи между Г^ и Го, отметим еще раз, что формулы (9), (10) получены при отбрасывании остаточных членов порядка О (|z「2/Q+i), что правомерно лишь при Q < 2. В потенциальном течении остаточные члены имеют порядок |z|2* что соответствует Q = 1. Это следует из асимптотик (5.2), (5.3), установленных в [138, 148, 141], но неизвестных во время публикации [45]. В вихревом течении равенство Q = 1, а значит» и оценки 尸,В = О (|z|T)не доказаны.
Отметим все же, что значение Q, вычисленное по формуле (5), дает лишь оцеш^ постоянной Гельдера в формуле (7); истинное значение последней может оказаться другим. Однако до тех пор, пока это истинное значение не установлено, приходится довольствоваться оценкой (5), что, конечно, приводит к сужению диапазона применимости (по числу ) формул для X и Y.
0 Асимптотика (9) для слабых ударных волн совпадает (по крайней мере по порядку величины) с соответствующей формулой [48], полученной эвристическим путем.
Так как формальная оценка главного члена в выражении для Y есть ° (|z|-"/Q)+i), то возникает вопрос, а будет ли при этом циркуляция Гоо конечной?
На основе проведенного анализа можно утверждать, что если существует решение прямой задачи обтекания с Q < 2,то циркуляция Гоо конечна. Действительно, если существует решение задачи сверхкритического дозвукового обтекания со скачками уплотнения, то в силу кусочной непрерывности и ограниченности вектора скорости на профиле давление также ограничено на профиле и кусочно непрерывно, поэтому интеграл, выражающий подъемную силу Y = — / р n*j dl конечен, а значит, и % < оо.
Установим теперь связь между Гоо и Го.
В силу теоремы Стокса
jj vdy + и dx = Jj(% — uy) dxdy = jj з dx dy, 3GGG
где a = k • rot V.
В классической формулировке G —ограниченная область непрерывной дифференцируемости поля V = ui + oj, в замыкании которой поле V непрерывно. Требование непрерывной дифференцируемости, однако, можно ослабить, заменив его условием существования у V обобщенных первых производных, суммируемых (с первой степенью) по области течения G, т. е. условием абсолютной непрерывности V по каждой переменной. Поэтому 「。о =「о + £「$ + £г*т + jj 3dxdy.(11)
Эта формула справедлива и в неограниченной области G, каковой является внешность профиля, если рассматривать ее как предел на монотонно расширяющейся последовательности областей. Поскольку при Q < 2 предел левой части Г^ < оо, то и правая часть конечна, хотя отдельные интегралы могут расходиться. (Если тангенциальный разрьш существует, то ff a; dx dy —^ оо и Гт —^ оо при |z|c т 8.)
Рис. 6.9Рис. 6.9Здесь Гоо — циркуляция скорости по окружности бесконечно большого радиуса, Го —циркуляция скорости по контуру профиля, Г^, Гт —циркуляции скорости по конечному числу контуров, состоящих из берегов разрезов, выделяющих скачки уплотнения (Fs) и тангенциальные разрывы (Гт). В формулах для отдельных циркуляций компоненты скорости могут иметь конечное число точек разрыва первого рода, что не препятствует пониманию интегралов в смысле Римана. Все циркуляции в (11) вьпшсляются при обхо
Рис. 6.9
Рис. 6.9
де контуров против часовой стрелки. На рис. 6.9 показаны скачки уплотнения АВ и CD、тангенциальный разрыв SQ, области завихренности Gi, G?.
В силу условий Гюгонио касательная компонента скорости непрерывна на скачках уплотнения, поэтому все Г\ = 0.
Так как циркуляция скорости на профиле конечна, то Гоо конечна тогда и только тогда, когда конечна сумма
£ Г’ + jj з dx dy.
В заключение заметим, что приведенное теоретическое исследование имеет также практическое значение, так как ясно показывает роль граничных условий на бесконечности. Их воспроизведение в численном эксперименте всегда сопряжено с большими трудностями, однако любая неточность сразу же приводит к погрешности вычисления аэродинамической силы, в том числе и из-за неадекватного воспроизведения бесконечной области течения.
Квазиконформность отображения плоского вихревоготечения в плоскость 夕叩
Излагаемые результаты относятся к произвольным плоским вихревым стационарным течениям, в том числа — к сверхзвуковым, со скачками уплотнения и тангенциальными разрывами.
Как и в § 5-7, будем понимать под V область течения с непрерывным полем V, из которой удалены нули V. Поэтому граница V состоит из границ обтекаемых тел, разрезов вдоль скачков уплотнения и тангенциальных разрывов, а также из границ достаточно малых окрестностей нулей V. Будем считать, что в Р не достигается предельная скорость, т. е. 0 < М < < ОО.
Если в V существует стационарное течение идеального газа с полем V, непрерывным по Липшицу (для этого достаточно, чтобы почти всюду в V существовали ограниченные частные производные V), то в силу теоремы Пикара через каждую точку проходит по одной линии уровня семейств g = const,也=const — интегральных кривых уравнений
® = const),(3 = const).® = const),(3 = const).(12)(12)dy = “(с, у)dx u(x, у)dy __ u(c, у)dx "(с,У)
® = const),
(3 = const).
® = const),
(3 = const).
(12)
(12)
Эти кривые могут быть продолжены вплоть до границы любой замкнутой подобласти, целиком содержащейся в V.
Это означает; что система уравнений (1.4), (1.5) в локальной системе координат, содержащая производные по направлениям линий тока и их нормалей, может быть выражена как система уравнений в частных производных в криволинейных ортогональных координатах 屮,吵；при этом
a =工包Ssi Ai 8夕'a =工包Ssi Ai 8夕'a =丄包3S2 九2 8” 'a =丄包3S2 九2 8” '
a =工包
Ssi Ai 8夕'
a =工包
Ssi Ai 8夕'
a =丄包3S2 九2 8” '
a =丄包3S2 九2 8” '
где 吋 1 = Rd,где 吋 1 = Rd,h^1 = I▽吵 I —коэффициенты Ламе этих семейств.
где 吋 1 = Rd,
где 吋 1 = Rd,
В гл. 1, §5 были получены выражения (1.6) для hi, /12 как первые интегралы уравнений (1.4), (1.5)
坛心)=尸®), Л1(А)4噜紋)=委(в).
M吁3丿 S3)
Так как hi,八2,入？ q(入)неотрицательны, то и произвольные функции Г(^),委(8)неотрицательны. Хотя эти формулы были получены в предположении непрерывно” дифференцируемости функций 6, А, ро, ® 八2, они остаются также правомерными (т. е. могут рассматриваться как расширение) и в случае, когда относительно указанных функций предполагается только абсолютная непрерывность по каждой переменной. (При этом, конечно, остается в силе предположение о существовании и единственности интегральных кривых уравнений (12) в каждой точке области.) Будем предполагать, что это справедливо всюду в Р, за исключением лишь точек излома контура тела и точек пересечения скачков, где, как говорилось в §7, возникает сингулярность типа Прандтля-Майера. Фактически это означает, что, например, функции р(с, у), 0(工,у) предполагаются абсолютно непрерывными там, где они непрерывны.
Заметим, что формулы (13) справедливые всюд^ кроме выколотых нулей V, могут использоваться для качественного анализа семейств 3,也 при А т 0. Например, поскольку q(入)~ А при 入 т 0, то h2 T 8 при 入 т 0 с такой же скоростью, как и в несжимаемой жидкости; что же касается поведения hi при А -> 0, то в отличие от случая потенциального течения (при ро(^) = const) возможно как hi т 0, так и hi -> оо. Поскольку Лг нигде не обращается в нуль (0 W g(A) ^ 1) то, в отличие от течения несжимаемой жидкости, различные линии тока не могут неограниченно сближаться, т. е. иметь особые точки типа узла, фокуса, а также предельные циклы. Это же справедливо и для линий 3 = 0 в области, где А / 0.
Введение криволинейных ксюрдинат 瀬 определяет в каждой подобласти абсолютной непрерывности 瓦 А, ро(血)отображение (с, у) т(Р,6), для которого в § 5 гл. 1 было отмечено свойство локальной однолистности при 0 < ЛГ < оо.
Более того, в каждой точке такой подобласти это отображение является квазиконформным. Действительно, в силу (13) имеем
eхри/击甯m)矗,Vxk踹
опосда следует; что 屮，也 удовлетворяют системе 9
R屮*=九，RPL 一也，R =需£(入)exP g /击 嘴2d也)•(14)
】)В комплексной форме система (14) записывается в виде Qz = q^iz, С = 3 + iW, z = =土+iy, G = (1 — К?)" + К)", |勿| < 1 при 0 V R V 00. Поменяв местами зависимые и независимые переменные, получим систему Бельтрами у^ = 土夕/R, —Уз = R±w，которая в комплексной форме записывается в виде 个=gi^n, qi =—敦.
Если область 0 ограничена, то эта система равномерно эллиптична при 0 < < Л/min W М W Мпах < оо. Если же область 0 бесконечна, то равномерная эллиптичность обеспечивается дополнительным условием, что полное давление ро®) является функцией ограниченной вариации. Это условие, например, требует определенной скорости затухания (на бесконечности) скачков, возникающих при обтекании тел равномерным сверхзвуковым потоком.
Выберем ①(р),尸(V) ограниченными кусочно непрерывными функциями, отличными от нуля (委(р),尸(V) устанавливают нумерацию семейств з, V). Система (14) реализует квазиконформное отображение, которое в соответствии с общей теорией [19] представимо в виде
р + 蹄=/(X(z)), где /(%) —аналитическая функция, *(z) —квазиконформный гомеоморфизм области. Как известно [19] квазиконформный гомеоморфизм обладает всеми важнейшими свойствами конформных отображений.
Аналитическая функция /(*) локально однолистна» потому что |а(Р, W)/a(c, 2/)| = hf %《'/ 0, но в целом может быть многозначной из- за многосвязности области Р. В связи с тем, что Rp|, |V^| однозначны в Р, значения 屮 + ip на соседних листах накрывающей римановой поверхности отличаются на постоянное слагаемое. При желании можно добиться однозначности р + 池 проведя соответствующие разрезы, после чего р + £” становится кусочно непрерывной, однако часто удобнее сохранить непрерывность, потеряв однозначность.
Рассмотрим теперь вопрос, может ли кусочно квазиконформное отображение, каковым, очевидно, является отображение z т р + i” во всей области течения (с сильными разрывами V внутри), представлять собой квазиконформное отображение всей области течения на некоторую область в плоскости р”.
Ответ будет положительным, если путем выбора произвольных функций Ф®), 尸(V) можно добиться непрерывности функций р(с,у),吵(с, у) на общих границах подобластей квазиконформности; этими границами являются скачки уплотнения и тангенциальные разрывы. В этом случае система (14) может рассматриваться во всей области течения, так как коэффициент Я — ограниченная измеримая функция (напомним, что нули V выколоты!).
Рассмотрим сначала тангенциальные разрывы. Поскольку они являются линиями тока, то на них ”(с, у) может быть определена как непрерывная функция при любой 尸(“)• Покажем, что на тангенциальном разрыве и р(с,у) непрерывна. Действительно, второе уравнение (1) с учетом формул гл. 1, §5 может быть записано в виде
Рассмотрим интеграл
/ ^2 即 „=const
7 3.匚 Шифрин
На тангенциальном разрыве р непрерывно (а, значит, и, по предооло- жению, абсолютно непрерывно), а число Маха М имеет разрыв первого рода. Поэтому этот интеграл существует в смысле Лебега (при А / 0) и является непрерывной функцией 屮 на тангенциальном разрыве. Поэтому из формулы
Л1 =① *(з) ехрЛ1 =① *(з) ехр(V\ Wo(V\ WoShip8”Ship8”d吵d吵
Л1 =① *(з) ехр
Л1 =① *(з) ехр
(V\ Wo
(V\ Wo
Ship8”
Ship8”
d吵
d吵
где ①*(夕)=①(3), следует, что 八1(夕,吵)/巾*(夕)непрерывна на тангенциальном разрыве как функция от 吵.Это означает, что 夕(工,у) — непрерывна на тангенциальном разрыве при одной и той же функции ①(夕)по разные стороны от него.
Нижний предел интегрирования 吵о определен по-своему на каждой кривой 夕=const, т.е.吵о =吵о(з)・ Будем считать, что эта функция непрерывна.
Отметим, что так как на тангенциальном разрыве А и, следовательно, 鼠入)имеют разрывы первого рода, из первого уравнения (13) следует, что 八2 также имеет разрыв первого рода, не устраняемый подбором F (吵). Действительно,
Ы = о = ^4у [1п7Г(А)] = - рпро®)] =
к&)] / / [1про(^)] = const •
Отметим также, что при переходе через тангенциальный разрыв интеграл
/^^^
имеет разрыв первого рода, который в силу вышесказанного равен
既/击dmPo®)d吵= %1И强端
Перейдем теперь к рассмотрению 夕，吵 на скачках уплотнения. В силу интегрального балансового соотношения — закона сохранения массы — функция тока непрерывна на скачке. Поэтому произвольные функции F®) по разные стороны от скачка должны быть связаны соотношением
F+®) 一 bo”)二 Но®)
F-停)-夕+оЗ) -р+о®)'
Сказанное иллюстрирует рис. 6.10, выполненный при условии непрерывности 吵(и 夕)на скачке. Ясно, что для этого необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты Ламе по разные стороны от скачка были связаны соотношениями:
五^ — sin(cr — В)ht — cos(cr — В)《К、
hjsin a 'A[ cos a
Поэтому
3一) = sing - в) р^ ®)而5-一^— PoW"
что выражает одно из условий Гюгонио.
Из второго равенства (15) и второй формулы (13) следует
①+(3)=cos(a - ^) A-旷 3 — cos а Л+ Р①+(3)=cos(a - ^) A-旷 3 — cos а Л+ Р1122dlnpo dipdlnpo dip
①+(3)=cos(a - ^) A-
旷 3 — cos а Л+ Р
①+(3)=cos(a - ^) A-
旷 3 — cos а Л+ Р
1
1
2
2
dlnpo dip
dlnpo dip
Рис. 6.10Рис. 6.10Интегралы здесь вычисляются вдоль одной и той же кривой g = const, но, вообще говоря, от разных точек 吵也⑴，которые лежат в областях до и после скачка. Если кривая g = const пересекает скачок только один раз, то можно положить 宓也⑺ = 吵*(8), где 吵*(8)— значение 吵 на скачке для выбранной кривой з = const. В этом случае формула упрощается.
Рис. 6.10
Рис. 6.10
Отметим, что приведенные выше формулы определяют произвольные функции при переходе через скачок так, что они остают
ся ограниченными и не обращаются в нуль (отношение cos(cr-^)/cos(a) при о т тг/2 (при этом 尸 т 6) имеет конечный ненулевой предел).
Предложенная конструкция является локальной, т.е. позволяет находить ①+(з),
F+(吵)на «выходящем» из скачка луче кри
вой з = const,吵=const по известному значению на входящем в скачок луче из условий непрерывности 屮(“)на этих лучах. В силу того, что никакая точка на скачке не может представлять собой совпадающие концы отрезка кривой g = const,(吵=const), проведенной по области непрерывности V (при перемещении по кривой g = const 吵 монотонно возрастает (и наоборот) в силу ортогональности 屮，吵),то для того, чтобы сделать эту процедуру глобальной, достаточно лишь выбрать направление перемещения по множеству кривых g = const, (например «сверху — вниз»). Количество пересекаемых при этом скачков не имеет значения.
Так как число скачков конечно, то функции Ф(у?), F(吵)кусочно непрерывны (разрывы могут возникать в точках пересечения скачков).
Таким образом, функции 屮,吵 могут быть определены как непрерывные во всей области течения 0. Запомним, что коэффициент Я на скачках
и тангенциальных разрывах претерпевает разрывы первого рода, однако это допускается теорией квазиконформных отображений.)
Итак, доказано свойство: для всякого плоского стационарного вихревого течения идеального газа (в котором ро®) — функция ограниченной вариации) во всей области течения (кроме окрестностей нулей поля К) существуют криволинейные координаты 弘 吵，причем отображение z т т 3 + j步 квазиконформно.
Для получения общего представления этого отображения положим Я = 1 в вырезанных окрестностях нулей 9 V, а также внутри областей, соответствующих обтекаемым телам. Тогда система (14) определена во всей плоскости z и в соответствии с общей теорией [19,25]
З + 邮= g(y(z)), где д(м) — аналитическая функция в области х(Р), a x(z) — квазиконформный («полный») гомеоморфизм физической плоскости на себя, сохраняющий бесконечно удаленную точку и направление вещественной оси в этой точке.
Доказанное свойство представляет собой расширение теоремы Л. Берса [ 19] о квазиконформности отображения z » С в потенциальном течении, которая использовалась им при топологическом анализе ряда конкретных задач аэродинамики; Л. Берсом были также отмечены трудаости, возникающие из-за наличия скачков уплотнения.
В качестве первого примера использования полученного свойства укажем следующее (доказательство дословно повторяет [19]): плоское вихревое течение идеального газа (без нулей поля К) в бесконечном канале ограниченной ширины топологически эквивалентно равномерному течению идеальной несжимаемой жидкости в канале постоянной ширины(6 полосе).
В качестве другого примера в следующем параграфе рассматривается задача обтекания профиля.
Обтекание профиля вихревым потоком со скачкамиуплотнения при произвольной скорости на бесконечности.
Топологическая схема течения 2)
Используем свойство квазиконформности отображения z т С = =(р + i^ для изучения обтекания профиля при любой (не только дозвуковой) скорости набегающего потока. Установим общую геометрическую картину течения (топологическую схему) при принятых ранее (см. §8) ограничениях:
полное давление является функцией ограниченной вариации;
в области течения отсутствуют нули поля V.
Первое условие выражает характер изменения po(V0，если ро (吵) — не монотонная функция с бесконечным числом колебаний.
Рассмотрим крыловой профиль Р, представляемый замкнутой жордановой кривой. Предположим, что существует стационарное обтекание этого профиля безграничным потоком идеального газа, в котором 7Ь = const (см. гл. 1).
При обтекании могут возникать скачки уплотнения, так что поток следует считать вихревым.
Будем исходить также из предположения (которое подтверждается в дальнейшем), что на профиле есть нули поля V — «критические» точки,
О В потенциальном течении нули V принадлежат области квазиконформности П =屮 + 汕 ^По сод^жанию этот параграф ближе к гл. 8, но по математическому аппаргпу примыкает к предыдущему.
точки разветвления линии тока 6 = 0. Это обстоятельство осложняет исследование, так как в отличие от случая потенциального обтекания отображение z т С уже не квазиконформно в замыкании внешности профиля 1).
Поэтому мы исследуем сначала отображение z т С для «приближенного» течения, которое отличается от реального только в достаточно малой сферической окрестности Е^ профиля (Е(‘)一 объединение всех сфер радиуса £ с центрами на профиле). Будем считать, что в этой окрестности имеет место потенциальное течение несжимаемой жидкости, причем функция тока этого течения на границе дЕ^ совпадает со значениями 也 реального течения снаружи дЕ^ и, кроме того, на контуре 尸.Тем самым сформулирована задача Дирихле для гармонической функции тока внугри 8e厶).
Отображение z т。описывается тем же самым уравнением, что и для реального течения: но
nJ 箫И)ехР&АИ凱4 Z€0、EH Z W E(£)"
I F3)'，
гце произвольные функции Ф(')(з), F^(^) определяются функциями ①(⑴ и условиями непрерывности значений 屮,也 на границе НЕ®.
Будем считать, что кусочно непрерывные функции ①(з), F(^),吵*(8) выбраны в реальном течении так, что 屮 и 吵 непрерывны на сильных разрывах; «исходные» значения ①(⑺ выберем так, чтобы g была непрерывна всюду в области течения (функция тока непрерывна во внешности профиля в силу условия непротекания). Это можно сделать, определяя нумерацию всех линий уровня g = const путем введения нумерации вдоль кусков линий тока таких, что:
каждая кривая g = const пересекает один и только один кусок линии тока;
направление возрастания 屮 вдоль каждого куска совпадает с направлением согласованной параметризации семейства линий тока 也=const;
1)В отличие от потенциального течения, когда равномерная эллиптичность системы (14) нарушается лишь в точках Л/ = оо, в вихревом потоке коэффициент К может обращаться в нуль или в бесконечность в нулях V, если подынтегральная функция в (14) имеет в них неинтегрируемую особенность. Так, если 4po/d“ ~ 1, A|^=Const |§2严，m》1, то
偿需掷=/爲甯^ =/编需的*图/器.
скачки нумераций 屮 на одной и той же кривой g = const — границе соседних нумераций — равны нулю.
Последнее достигается, во-первых, добавлением постоянных слагаемых, а, во-вторых, — изменением нумерации на одном из кусков линии тока с учетом требования 2 путем умножения приращения нумерации на этом куске на постоянное число. Кроме того, вся нумерация может быть нормирована определенным образом путем умножения на постоянную.
В соответствии со сказанным в §8, каковы бы ни были произвольные функции ①(з),尸3), не обращающиеся в нуль или в бесконечность, отображение внешности 力一области «приближенного» течения — является квазиконформным и представляется в виде
C(e)=g(e)№)(z)],(16)
где д(е)(м) — аналитическая функция, а квазиконформный гомеоморфизм 廿(G(z) можно выбрать так, чтобы он отображал замыкание внешности единичного круга с сохранением бесконечно удаленной точки и направления в ней вещественной оси.
В силу условия непротекания на профиле
Img(G(y) = 0 при |х| = 1.(17)
Покажем, что при |х| -> оо должно вьшолняться условие д^ = Ах + +…
В силу (14) в каждой точке непрерывности V в области течения существует непрерывная производная
^-="'^业)=8工一0网 + e也 + %=(R + 1)(% 一 ё网.)=
=然L3工一 〃吵У)=便+ 1)卩816-‘° =
二*青 + 青)ef,
где G — непрерывная ветвь аргумента скорости. На сильных разрывах и на границе Е® эта производная имеет разрывы первого рода, т. е. является кусочно непрерывной функцией во внешности профиля. В силу описанной выше процедуры введения координат 屮，吵 кусочно непрерывные функции ①(3),方®) могут быть выбраны равномерно ограниченными и отграниченными от нуля. Поэтому существуют постоянные G, Q такие, что вне достаточно большой окружности, содержащей Р,
I OZ/11 九2
Это означает, что при \z\ -> оо
G|z| WM +渺I WG|z|.(18)
Итак, отображение z т。⑻ сохраняет бесконечно удаленную точку.
Квазиконформный гомеоморфизм 廿(')(z) удовлетворяет оценкам, вытекающим при \z\ т 8 из условия Гельдера для прямого и обратного отображений 1/х о 1/z:
為卜啡「' 咼к喔0<aWL
Поэтому
K^\z\a ^ |x(z)| W К^а\х^а.(19)
Получим также, что точка х = оо не является существенно особой для д(е)(м) и что, следовательно, д(')(м) ~ хт при m ^ 1 — целое число. Поэтому
C3\z\mQ W |С⑷I ^ C4\z\m^a.(20)
Сопоставляя (18) с (19), получим, что m = 1, а = 1 (последнее означает, что отображение 1/х о 1/z в точке z = ” = 8 непрерывно по Липшицу).
Итак, д^ = Ах + ...
Так как
而⑻ , b е,.
——Л. -\1—л + ... при х ―> оо,
то g = Ах + В In ” + ... — многозначная функция при В R 0. С учетом условия (17) получим, что
д^ = А^ к + iB^ In х +,ImB(£)=0.(21)
Это решение зависит от трех постоянных Re/(£), Im4(e), В^; постоянная В^ должна удовлетворять условию |В| W 2|А|, чтобы в поле течения не было нулей поля V.
Формулы (16), (21) устанавливают топологическую эквивалентность «приближенного» течения потенциальному обтеканию круга несжимаемой жидкостью.
По описанному выше построению,(р(х, у) — непрерывная функция во внешности профиля, т. е. В^ = 0. Далее, без ограничения общности можно принять, что |4(£)| = 1. Что касается arg А(е\ то эта величина также должна быть выбрана постоянной: она задает угол поворота оси О屮 относительно оси Он, т.е. suparctg(^/y?) при |Л| -> оо. (Заметим, что эта величина не выражает, вообще говоря, величину аргумента скорости на бесконечности, так как он может совершать колебания, не стремясь ни к какому пределу.)
Итак, получено, что g(G(x) = д(”)= е1ах + е~1а/х.
Поэтому отображение С(£)(м) при Ve > 0 представляет собой квазиконформный гомеоморфизм замыкания внепшости профиля на замыкание плоскости С, разрезанной вдоль некоторого постоянного отрезка оси О(р (будем считать, что координаты 屮 нормированы именно так).
В теории квазиконформных отображений есть теорема [25]: пусть Gn, n = 1,2, ..., — возрастающая последовательность подобластей области
G,Gn С Gn+i, G = supGn при п -> оо. Пусть 6 области G задано уравнение вида Wy = gwx. Пусть sup |q(z)| = gn < 1, причем возможно zWGn
%* т 1 叩〃 п т оо. Тогда в области G существует глобальный гомеоморфизм этого уравнения, В каждой ограниченной и замкнутой подобласти области G свойства этого гомеоморфизма аналогичны свойствам гомеоморфизмов, изученных выше (имеется 6 виду квазиконформность).
Помянутый гомеоморфизм строится как предел последовательности квазиконформных гомеоморфизмов.
В силу этой теоремы существует гомеоморфизм области 0 на внешность отрезка вдоль действительной оси в плоскости Л, управляемый уравнениями (14), квазиконформный в любой ограниченной замкнутой подобласти 0. Этот гомеоморфизм Q(z) является пределом последовательности C(f)(z) в каждой ограниченной замкнутой подобласти 0 (в норме С).
Покажем, что имеет место представление
Im C(z) = р (x(z)), где x(z) — гомеоморфизм внешности профиля на внешность единичного круга, а р(х) —гармоническая функция (р(х) = Img(")), удовлетворяющая условию р(х) = 0, |х| = 1.
Последовательности {。⑷(z)} соответствует последовательность квазиконформных гомеоморфизмов {x(°(z)}, отображающих внешность профиля на внешность единичного круга. Поэтому строго монотонно возрастающей последовательности областей {Р \ Е(£),£ т 0} в плоскости z соответствует строго монотонно возрастающая последовательность областей 廿(е)(0 \ Е(£)) (это обеспечивается общими свойствами квазиконформных отображений); при этом любая фиксированная точка внешности единичного круга содержится во всех х^(Р \ Е(П) при £<£(). В этом смысле последовательность {「⑻} границ ”⑻一образов границ 后⑷一 сходится к единичной окружности. На этих границах {「⑷} в плоскости ” заданы граничные условия для р^ (х): р^ = hnSG = 1т ^(Г^). Вейлу непрерывности g(”) max|Img(F(£)| т оо при £ т 8. По известной теореме для гармонических функций [55] при £ т 8
ImQ(£)(z) = Imp (廿⑷(z)) т Im(x(z)) = p(x(z)), z W 0、E(>
Таким образом, установлено, что семейство линий тока топологически эквивалентно семейству линий тока бесциркуляционного потенциального обтекания единичного круга несжимаемой жидкостью.
Заметим, что гомеоморфизм x(z), вообще говоря, может оказаться непродолжимым на единичную окружность; в этом случае семейство линий 3 = const будет топологически эквивалентным изопотенциальным линиям в течении несжимаемой жидкости только (в открытой) внешности профиля Р (например, можно ожидать образования узлов линий 夕=const на контуре).
Отметим также, что приведенное рассуждение не может быть применено для исследования вихревых течений с изолированными нулями V
внутри области, так как в этом случае теорема о непрерывной зависимости гармонической функции по области не имеет места.
Поэтому вихревые течения идеального газа с нулями V внутри области течения представляют собой топологические классы, не эквивалентные потенциальным. Роль сжимаемости, однако, как и в случае потенциальных течений, менее существенна: очевидно, нетрудно доказать топологическую эквивалентность вихревых течений с нулями V внутри области течения аналогичным вихревым течениям несжимаемой жидкости (при дополнительном условии ограниченности числа М). Примеры упомянутого класса течений дают так называемые «вихрепотенциальные» течения, описывающие образование циртошящюнных отрывных зон при обтекании профиля по схеме Бэтчелора.
Глава 7
Трансзвуковое течение вблизи угловой точки
В аэроданамике широкий интерес вызвало изучение обтекания негладких тел. Такова сегментально-коническая форма космического летательного аппарата.
При сверхзвуковом обтекании тел с угловой точкой весьма интересен режим, когда звуковая линия, отделяющая область дозвуковых скоростей за ударной волной, выходит из точки излома. Кроме этого режима, возможны еще два: в одном из них звуковая линия отделяет местную сверхзвуковую зону на теле, а в другом точка излома лежит в чисто сверхзвуковой области течения.
Наличие точки излома придает некоторую специфику постановке задачи в М области. С другой стороны, экспериментальные исследования и систематические расчеты, проводившиеся разными методами с практическими целями, позволили накопить важный численно-эмпирический материал об общих свойствах таких течений.
Эти факторы обусловили необходимость проведения тщательного анализа обнаруженных свойств и условий их проявления. Так, например, широко распространено мнение, что наличие угловой точки (при трансзвуковом режиме) всегда приводит к образованию висячего скачка уплотнения, или что ее наличие всегда служит причиной отрыва пограничного слоя. На самом деле, как показано в §8 ел.9, висячий скачок возникает из-за конечной кривизны стенки непосредственно за угловой точкой, в результате взаимодействия сингулярности течения вблизи этой точки со стенкой. (Упрощенно это можно назвать «перерасширением» потока вблизи угловой точки по отношению к тому течению, которое может осуществиться за ней, вблизи стенки.) Отрыв пограничного слоя вызывается торможением потока вдоль стенки непосредственно за угловой точкой (в самой угловой точке замедление потока достигает бесконечного значения); это торможение обусловлено той же причиной, что и образование скачка.
Можно, однако, утверждать, что упомянутый феномен угловой точки — висячий скачок и вызываемый им отрыв пограничного слоя ——имеет место не всегда. Таким будет, во-первых, режим, когда стенка за угловой точкой спрофилирована специальным образом (кривизна ее должна обращаться в бесконечность по специальному закону), а, во-вторых, скачок будет отсутствовать при прямой звуковой линии и соответствующей профилировке контура стенки по теории простой волны (с конечной кривизной) (см. гл. 4, § 1).
При детальном исследовании оказалось интересным и необходимым (в некоторых алгоритмах численного решения задачи в целом) выделить главную часть решения, описывающую поток в непосредственной близости от угловой точки профиля. Впервые особенность такого рода получил Р. Вальо-Лаурин [157].
Последующий анализ показал, однако, что решение [157] не описывает всех возникающих в газодинамике ситуаций этого типа. Кроме того, возникли сомнения в единственности этой асимптотики: было найдено другое физически реализуемое точное решение, удовлетворяющее всем условиям того же типа. Ниже дается изложение этих результатов.
Устанавливаются также некоторые характерные свойства течений с угловой точкой при довольно общих предположениях.
Течение, имеющее характер трансзвукового обтекания с угловой точкой, может возникать не только вблизи угловой точки на теле. Аналогичное явление происходит вблизи точки пересечения ударной волны с границей достаточно узкой сверхзвуковой струи, обтекающей какое-либо тело. Однако здесь, в отличие от предыдущего, не удается провести столь подробное исследование по той причине, что рассматриваемая асимптотика, как показывается в § 5, не принадлежит классу степенных особенностей, хорошо изученных в трансзвуковой аэродинамике.
Наклон звуковой линии в угловой точке.Направление выпуклости звуковой линии [130]
Рассматривается класс решений уравнений газодинамики в плоскости годографа (в трансзвуковом приближении рассматриваются решения уравнения Трикоми), которым в физической плоскости соответствуют течения с угловой точкой, вблизи которой происходит переход через скорость звука. Устанавливается форма звуковой линии вблизи угловой точки.
Итак, функция тока плоского потенциального трансзвукового течения 63, °) в плоскости годографа uv является решением уравнения Трикоми
(1)(1)^Рии = W^vv.
(1)
(1)
Здесь А = l + ^k + l^u+O^u), /3 = (k + l)~5 + 0®), А—коэффициент скорости, 3 — угол наклона вектора скорости.
Без ограничения общности можно считать, что функция тока течения, содержащего в физической плоскости угловую точку О, из которой выходит звуковая линия, в плоскости годографа определена решением задачи Коши-Гурса с граничными уело- виями 6 = 丁®) при и = 0, о<0н6 = 0на характеристике первого семейства, проведенной из точки 5 (рис. 7.1).
Рассмотрим решение некоторой смешанной краевой задачи типа Трикоми для уравнения в обла- ста D, состоящей из подобласти дозвуковых ско-*-
ростей и сверхзвуковой подобласти, ограниченной 1 в плоскости uv отрезком звуковой линии и характери-Рис 7 】
стикой первого семейства, на которой задано условие''
吵=0 (что влечет, в силу § 13 гл. 1 налнин^тловой точки в физической плоскости). Будем считать, что 6(% о) € C(D)f]C2(D). Решение 6(%。) будем рассматривать только в достаточно малой окрестности точки Q.
Полагаем, что 丁®) — непрерывно дифференцируемая функция при V > 0; r(v)，0 при о W 0; т(0) = 0.
Кроме того, в §2 будем предполагать, что 丁®) — монотонная функция при достаточно малых значениях о. При анализе используется свойство, что угол наклона характеристики в физической плоскости — монотонная функция скорости:
= 土"72・⑵
Будем рассматривать класс течений, годограф которых в окрестности точки 01 одаолистен (рис. 7.1), т. е. область определения решения в сверхзвуковой части заключена на одном листе между характеристикой О1О2 и положительной осью о. Тогда получим, что угол наклона характеристики в физической плоскости является монотонной функцией длины ее дуги.
При исследовании будет также использоваться плоскость 夕吵(夕— потенциал скорости,吵一функция тока). Как известно [19], отображение физической плоскости в плоскость 夕吵 взаимно однозначно при 0 А < < Атах. Свойство монотонной зависимости угла наклона характеристики от длины дуги сохраняется и в плоскости 夕次
Будем обозначать точки в физической плоскости и в плоскости 夕吵 большими буквами, а их образы в плоскости годографа — малыми.
Покажем, что если звуковая линия 6 точке О является гладкой кривой с монотонно поворачивающейся вдоль дуги касательной^ то она 6 этой точке ортогональна вектору скорости 6 звуковой точке (при начале разгона} и обращена выпуклостью 6 сторону области дозвуковых скоростей.
Заметим, что доказательство этого свойства, данное в [90, с. 615], справедливо только в предположении непрерывности производаых 〃夕,期屮 в точке 5 плоскости годографа.
Звуковая линия в угловой точке не может составлять острый угол с осью 夕，так как при этом касательная к звуковой линии совпадала бы с одной из прямых узла характеристик в точке О, соответствующей скорости и > 0 (рис. 7.2). Это невозможно, так как разгон потока в точке О начинается от звуковой скорости.
Предположим теперь, что звуковая линия составляет в точке О тупой угол с осью о либо, в случае прямого угла, обращена выпуклостью в сторону сверхзвуковой области (рис. 7.3).
Проведем характеристику второго семейства из точки А звуковой линии. Принимается, что изображением угловой точки в плоскости годографа является характеристика первого семейства, следовательно, узел в точке О состоит из характеристик второго семейства.
Из закона монотонности вектора скорости на звуковой линии (см. гл. 1, § 11) следует; что va > 05 (рис. 7.1). Учитывая одаолистность области определения решения в плоскости годографа, получим, что характеристика второго семейства ab заканчивается на характеристике первого семейства OiO2- Отсюда следует, что в физической плоскости точка В совпадает с угловой точкой.
Так как характеристика АВ — второго семейства, она может войти в точку О только со стороны второго или четвертого квадрантов плоскости рф (рис. 7.3).
По предположению, точка А находится в третьем квадранте точки О. Нетрудно установить, что в достаточно малой окрестности точки А характеристика АВ находится в ее четвертом квадранте. Поэтому если характеристика входит в T04igr О из второго квадранта точки О, то на ней должно быть нечетное число точек возврата, а если из четвертого — то четное.
Рис. 7.4 Рис. 7.5Рис. 7.4 Рис. 7.5
Рис. 7.4 Рис. 7.5
Рис. 7.4 Рис. 7.5
Точка возврата характеристики в физической плоскости может быть только в месте ее пересечения с предельной линией — огибающей характеристик другого семейства. В этом случае либо во втором, либо в четвертом квадранте точки О должна существовать огибающая характеристик первого семейства (предельная линия). Так как огибающая в каждой точке имеет наклон соответствующей характеристики, то она может войти в точку
(а войти в нее она должна ввиду произвольности точки А) только из первого или третьего квадрантов, что противоречит предыдущему.
Условие одаолистности годографа в окрестности точки О является существенным, так как можно представить течение (рис. 7.4) с двулистным годографом (линия ветвления — характеристика ОС), со звуковой линией, обращенной выпуклостью в сторону области сверхзвуковых скоростей.
Требования гладкости и выпуклости звуковой линии в точке О не являются существенными. Если звуковая линия не обладает этими свойствами, то аналогично предыдущему доказывается следующее: отрезок звуковой линии расположен в четвертом квадранте точки О на плоскости 夕吵； пересечение этого квадранта с областью дозвуковых скоростей не содержит отрезка линии 夕=при А; > 0 (рис. 7.5).
Отсутствие предельных линий в некоторой окрестностиугловой точки вблизи звуковой линии [130]
Ниже рассматривается вопрос об одаолистности сверхзвуковой области, соответствующей области определения решения 吵(и, о) в физической плоскости.
Условия 吵=0 на характеристике и 丁(。)> 0 при v > 0, обеспечивают отсутствие линий 吵=0, проходящих в области определения решения в плоскости годографа из точки Q (в противном случае могла бы быть сформулирована задача Коши-Гурса с нулевыми данными на характеристике и на этой линии). Таким образом, одаозначность решения в физической плоскости зависит только от наличия или отсутствия предельных линий, выходящих из точки О].
Покажем, что на звуковой линии при о > 0 нет точек предельной линии. На предельной линии J =吵^ - “吵^ = 0, поэтому в точках звуковой линии при V > 0 будет фи = 0. Как известно, из условия 吵=0 на характеристике следует соотношение [20, 93]
/、/ m、д/5 d / 丁⑴ 勿32/3Г3(1/3)
о
Выполняя дафференцирование аналогично [20, с. 85], получим (если 丁(о) удовлетворяет условию Гельдера с а > 2/3)
о
Ввиду сделаннных выше предположений о функции 丁(о) (r(v) > r(t) при о > & r(v)》0) имеем z/(o) > 0 при о > 0. Таким образом, на звуковой линии при V > 0 не существует точек предельной линии.
Заметим, что это свойство справедливо и в случае, когда на характеристике задано условие ^ = /®) W 0, где /®) — монотонная функция, удовлетворяющая условию Гельдера с а > 5/6, так как при этом [93]
2万)，,厶.、 _ 2 /r(v) - r(t) ^ , r(v) 7r^叫一g/初可山+
—空]/6 /f®/2)-f(〃2)」f®/2)
671/(。一尸/6 血Х J/з >5
—2?/з7r71 — ЗГ3(1/3)*
Покажем теперь, что в достаточно малой сверхзвуковой окрестности точки 5 не существует предельных линий.
Предположим обратное. Рассмотрим в плоскости uv область сверхзвуковых скоростей, примыкающую к звуковой линии, ограниченную предельной линией и не содержащую внутри других предельных линий.
Прообраз этой области в физической плоскости однолистен и, в соответствии с § 1, лежит в четвертом квадранте точки О. Предельная линия выходит из точки О, поэтому она является огибающей характеристик второго семейства.
Остановимся сначала на случае, когда на предельной линии в плоскости годографа и — монотонная функция длины дуги. Это означает в соответствии с (2), что в физической плоскости угол наклона предельной линии — огибающей характеристик — изменяется монотонно, поэтому она касается в угловой точке оси 吵 и обращена выпуклостью в сторону звуковой линии. (В плоскости 9吵 предельная линия «входит» в точку 01.)
Проведем из произвольной точки А (достаточно близкой к точке О) характеристику второго семейства. Из рассмотрения годографа (как и в § 1) следует, что она должна войти в угловую точку. Однако предварительно эта характеристика коснется огибающей; обозначим точку касания через Е (рис. 7.6).
Аналогично § 1 можно установить, что все предельные линии, выходящие из точки 01, могут быть только огибающими характе
ристик второго семейства, поэтому продолжение характеристики АЕ (за точку Е) не имеет точек возврата.
Проведем касательную к характеристике в точке Е. Так как угол наклона характеристики является монотонной функцией длины ее дуги,
продолжение характеристики АЕ и предельная линия ОЕ лежат по разные стороны от этой касательной. (На продолжении характеристики, в силу рис. 7.6, и > ue, а на предельной линии ЕО: и < ue.) Отсюда следует, что характеристика АЕ не может бьпъ продолжена до угловой точки.
Рис. 7.7Рис. 7.7Перейдем теперь к случаю, когда на предельной линии в плоскости годографа и — немонотонная функция длины дуги. (Также как и выше, имеется в виду «первая» предельная линия.)
Рис. 7.7
Рис. 7.7
Из предыдущего ясно, что если продолжить характеристику АЕ за точку Е отрезком BE касательной к характеристике в точке Е, то этот отрезок должен пересечь ось 夕,так как в противном случае характеристика АЕ не сможет быть продолжена до точки О (на BE: и > 〃е)・
芻=f ®)，夕=fm®),芻=f ®)，夕=fm®),⑶⑶Пусть 夕=屮(6) —уравнение предельной линии. Тогда если
芻=f ®)，夕=fm®),
芻=f ®)，夕=fm®),
⑶
⑶
то в координатах рис： 7.7 получим
⑷⑷к®) > 0, m(^) > 0, m(^) > к®) при 吵 > 0.
⑷
⑷
Из связности предельной линии в плоскости годографа и в физической плоскости следует непрерывность функции к®) = «7®) при 6》0, U®) = и(9®),明.
В связи с тем, что
m®)= 一曙=1 /k®)d 耽о
получим, применяя правило Лопиталя при 6 T 0, sup m(^) = к(°) = °・ 吵т+0
С другой стороны, из (3) путем дифференцирования получим
(5)(5)m3)+吵芻=М6)・
(5)
(5)
Поэтому из (4), (5) следует dm сс
曲 V 0 при ^>0.
Это значит, что m(V0 является монотонно убывающей положительной функцией, поэтому sup m(^) > 0. Таким образом, приходим к противо- 叩一>+0 речию.
§ 3. Асимптотика Вальо-Л^рнна [157]. Точное решениеФальковича-Чернова [99]
Асимптотическое исследование решения краевой задачи вблизи характерной точки границы в общем случае имеет целью получение априорной информации о решении, не зависящей от краевых условий на удаленной от этой точки части границы. При этом необходимо, чтобы решение любой краевой задачи (из некоторого класса) вблизи указанной точки имело в качестве главного члена асимптотического разложения более или менее однозначно определенное точное решение. Существование такого решения — «асимптотики» — не является само собой разумеющимся.
При определении этого решения во внимание принимаются только те граничные условия корректно поставленной задачи, которые задаются на участках границы вблизи рассматриваемой точки. Если область определения решения содержит эллиптическую подобласть, то решение указанной локальной задачи не единственно. Однако, как правило, выбор надлежащего асимптотического представления удается произвести, воспользовавшись дополнительными требованиями. Например, при обтекании угла это будет условие, что линия тока, проходящая через угловую точку, является границей течения — внутри области течения не содержится других линий тока, входящих в угловую точку. Как будет показано в § 4, это условие в данном конкретном случае не позволяет все же сделать однозначный, выбор.
При постановке задачи следует уточнить, что рассматривается именно трансзвуковое обтекание выпуклого угла. Действительно, дозвуковое обтекание выпуклого угла не существует; так как тоща из принципа подобия для псевдоаналитических функций следовало бы, что в угловой точке скорость обращается в бесконечность. Асимптотика чисто сверхзвукового обтекания, когда поток в достаточно малой окрестности угловой точки
Рис. 7.8Рис. 7.8сверхзвуковой, дается течением Прандтля-Майера. Ниже будет рассматриваться только течение, дозвуковое вблизи одной стороны угла и сверхзвуковое вблизи другой стороны. Итак, рассмотрим окрестность угловой точки О (рис. 7.8). Пусть поток вблизи стенки ОА — дозвуковой, а вблизи ОВ — сверхзвуковой. Отсюда следует; что существует звуковая линия ОС. В сверхзвуковой подобласти, начиная от звуковой линии, совершается разворот потока на угол 6 между касательными к стенкам в точке О. Разворот сопровождается разгоном потока и заканчивается на некоторой характеристике первого семейства ОО; область OCD покрыта характеристиками первого семейства, об-
Рис. 7.8
Рис. 7.8
разующими в точке О узел, причем только на характеристиках, близких к началу разворота, скорость близка к скорости звука. В области DOB поток — чисто сверхзвуковой.
Таким образом, граница окрестности точки О, в которой отыскивается асимптотическое представление, не имеет круговой формы, т. е. независимо
от размера в сверхзвуковой части она приближается к точке О и «входит» в нее. Это приводит к следующей формулировке граничных условий.
На дозвуковом луче стенки ОА задано условие непротекания.
Вблизи точки О при подходе к звуковой линии со стороны сверхзвукового течения поток разворачивается по Прандтлю-Майеру.
Именно так была сформулирована задача в физической плоскости в работе [157].
В плоскости годографа скорости задача формулируется (и решается) гораздо проще. Возможность применения плоскости годографа при рассмотрении течения, характерного не только для плоских потенциальных, но и для вихревых и пространственных течений, обосновывается тем, что с физической точки зрения эти эффекты должны иметь вторичный характер и не должны оказывать существенного воздействия; более подробно об этом будет сказано в §4.
Итак, граничными условиями в плоскости годографа будут:
условие ^ = 0 на некоторой кривой, пересекающей звуковую линию и изображающей дозвуковой луч линии тока ОА; эта кривая должна быть подобрана так, чтобы после определения решения на ней вьшолнялась заданная связь между кривизной и углом наклона стенки;
в сверхзвуковой части область определения решения ограничена характеристикой (второго семейства), на которой задано то же самое условие 吵=0.
Задача сильно упрощается, если считать, что кривизна луча ОА в точке О равна нулю. Предполагается, что случай отличной от нуля, но конечной кривизны может быть учтен в высших приближениях асимптотического разложения. Это обстоятельство также более подробно обсуждается в §4. Тогда условие 1 задается на прямой ОА в физической плоскости либо на линии /3 = 0 в плоскости годографа.
В связи с тем, что характерная скорость потока в рассматриваемой окрестности равна скорости звука, естественно сделать допущение, что поток описывается уравнениями трансзвуковых течений Фальковича- Кармана
Wj； — Vy, Uy — vx,(6)
где ось Ох направлена по касательной к лучу ОА в точке О, ось Оу — по нормали к ней; А = 1 + (к + 1)-％ + О(〃)，/3 = (к + 1)т° + О®), /3 — угол наклона вектора скорости.
В плоскости годографа системе (6) соответствует уравнение
^ии = 〃九 и,
где 吵(〃,V)— функция тока.
Решение сформулированной задачи отыскивалось в [157] в классе автомодельных решений уравнений (см. гл. 2, §4) трансзвуковых течений в физической плоскости, когда*
〃=产 1)/(0，。=产 Dg ⑹，£ = j •⑺
Для / получается обыкновенное уравнение
(/ - n2Q)/〃 + п(3п - 5)е/ - 2(2п 一 3)(п - 1)/ = О, порядок которого удается понизить (см. гл. 2, § 4) при переходе к переменным
尸(力=爭，次9)=卷9 = In乱
d/ф __ —6尸一5n^ + 6尸2 + 7尸” + “2/о\
dF -(Y - 尸)“.()
Указанные автомодельные решения можно исследовать также, написав соответствующее (7) выражение для потенциала скорости
①(с,У)= 2/3n-2P(£), что дает уравнение
(// - p^^)pft + 5n(n - 1)纽-3(n - l)(3n - 2)p = 0, порядок которого также может быть понижен введением переменных s = p/Q,严力=dp/d£,
ds -(£-36)(土_m)，(
d£ — dsT =二石，
Показатель автомодельности п является величиной подлежащей определению. Фазовые плоскости st и 尸夕 подробно изучались в работах [32, 84]. Р. Вальо-Лгурин использовал для исследования плоскость st.
Опишем процедуру отыскания нужного решения в плоскости Рф. Как было установлено [84], линия тока изображается особой точкой 4 (А = 0, ^ = 0), представляющей собой критический узел интегральных кривых уравнения (8).
При этом кривизна линии тока, вычисляемая на этих кривых вблизи особой точки, пропорциональна с(2п-з)/п 叩 всех интегральных кривых, кроме одной, соответствующей главному направлению узла, на которой она равна нулю. Особая точка В (F = 1, ^ = 0 — седло) изображает центрированную простую волну. Поэтому решению с прямой линией тока в дозвуковой области должна соответствовать интегральная кривая, которая, выходя из узла А как его главное направление, при некотором значении параметра п попадает в седло В. Таким образом, имеет место задача на собственные значения. Эта задача решалась [157] численно, при этом было найдено значение п = 5/4. Найденная интегральная кривая на фазовой плоскости (F = 0,砂=0) нигде не пересекает прямую 尸= поэтому решение не содержит предельных линий и может быть реализовано в действительности.
Дальнейшие аналитические исследования подтвердили правильность значения п = 5/4, причем это оказалось возможным сделать двумя способами —в физической плоскости и в плоскости годографа.
С. В. Фалькович и И. А. Чернов, исследуя широкий класс алгебраических точных решений уравнения (9) [99], получили и точное решение, соответствующее значению п = 5/4. Как показала проверка, это решение удовлетворяет поставленным граничным условиям. В параметрической форме оно выражается в виде
125] 15 • 25/12\
lnCS = (Z-l)-5/8 卜+汇3/8
При этом t выражается в виде
Рассмотрим теперь эту задачу в плоскости годографа скорости.
Как уже упоминалось, необходимо найти решение уравнения Трикоми для функции тока, удовлетворяющее условию 砂=0 на луче и = 0, и < О и на характеристике и = (2/3)炉/2 ПрИ п > о.
Будем искать решение в классе решений со степенной особенностью на звуковой линии (см. гл. 2, § 4)
也=(-6+#)%(£,力 £ = u(汨 (Ю)
Каждое отдельное решение, характеризуемое параметром j, соответствует автомодельному решению в физической плоскости с параметром n = 1 + + (6订1.
Граничное условие 砂=0 при v = 0, и < 0 будет выполнено, если взять антисимметричное решение этого класса.
Используя формулы аналитического продолжения гипергеометрических функций (см. гл. 2, § 4), можно убедиться, что второе граничное условие будет выполнено, если j = к - 1/3, fc = 1,2,3,...
Таким образом, решение для функции тока может быть представлено в виде ряда по антисимметричным решениям (2.15) при j = к — 1/3, к = =1,2,3,... Коэффициент при первом члене не может равняться нулю. (Так как все частные решения при fc = 2,3,... имеют нули в интересующей нас области [32, с. 228], это было бы равносильно многозначности в физической плоскости.) Таким образом, главным членом решения будет частное решение при j = 2/3, соответствующее решению (7) при п = 5/4.
Нетрудно установить, что данное решение описывает также главный член в осесимметричном и вихревом потоке, если в окрестности тела вихрь является величиной。(砂一〃2)Построенное решение представляет асимптотику течения в области вверх по потоку от характеристики OD — последней характеристики узла разрежения. Асимптотика в области DOB —
вниз по потоку от этой характеристики—должна определяться как решение задачи типа Коши-Гурса с начальными данными на характеристике OD (эти данные дает приведенная выше асимптотика) и условием непротекания на стенке ОВ. Искривление стенки вблизи точки О имеет определяющий характер. Случаи прямой стенки ОВ разобран в §8 гл.9; показано, что при этом непрерывного решения не существует: в области вверх по потоку от характеристики OD из точки О распространяется скачок уплотнения, имеющий в этой точке нулевую интенсивность.
К вопросу о единственности асимптотики.Автомодельное решение при п = 3/2 [62]
Вопрос единственности асимптотики вблизи угловой точки является нетривиальным (имеются в виду не формально разные, асимптотически эквивалентные выражения, а существенно отличающиеся особенности). Действительно, отыскание пригодаого решения производилось в довольно узком классе автомодельных решений — решений со степенными особенностями на звуковой линии. Так как система этих функций не является полной в достаточно широком классе функций, описывающих физически интересные решения, возникает вопрос, всегда ли течение вблизи угловой точки профиля в качестве главного члена содержит особенность Вальо- Лг^рина.
Исследование [62], которое приводится ниже, свидетельствует, что на этот вопрос скорее всего надо дать отрицательный ответ.
Напомним, что для главного члена были поставлены следующие граничные условия.
При приближении к угловой точке из области сверхзвуковых скоростей решение стремится к течению Прандтля-Майера.
На контуре тела в дозвуковой области и = 0. Если контур тела — аналитическая кривая, в частности, если кривизна не равна нулю, то это может быть учтено последующими членами разложения [157].
Нетрудно установить, что в плоскости годографа конечность кривизны учитывается прибавлением к антисимметричному (по и) решению (10), взятому при / = 2/3, решения (10) с j = 1; симметричная его часть (преобладающая вблизи отрицательной оси и) имеет вид R$)= 3経 + и3. Образ дозвукового отрезка контура тела в окрестности точки О при этом задается уравнением и = О (К|мр/2), ^ к —кривизна тела в точке О.
Покажем, что существует другое автомодельное решение, удовлетворяющее условию 1 и имеющее конечную кривизну линии тока в дозвуковой области. Это решение описывает также главный член в осесимметричном и в вихревом потоке, если вихрь на поверхности тела ограничен.
Уравнения плоских (N = 0) и осесимметричных (N = 1) вихревых течений могут быть представлены в окрестности звуковой точки О в виде
ии^ = и” +任毘N,叫=и” + %也叫
Здесь член Wq^ характеризует завихренность; семейства 砂 и g выбраны так, что (嗚 + 喲=1,觴 + 嗚)=1.
Рассмотрим сначала случай плоского потенциального течения.
Качественное исследований решений класса (7) целесообразно проводить в плоскости FQ (рис. 7.9).
Интегральная кривая, соответствующая решению, должна выходить из критического узла A (F = 0,砂=0), изображающего линию тока, и входить в седло В (F = 1,^ = 0), изображающее центрированную
простую волну, проходя точку Е (质 = -2F,F т -оо), изображающую ось 弘 только один раз.
Кривизна линии тока, вьмис- ляемая на интегральных кривых в окрестности узла А, пропорциональна g(2n-3)/n ДД5! всех интегральных кривых, кроме одной, соответствующей главному направлению узла, на которой она равна нулю. Эта
интегральная кривая попадает в седло
Рис/7-9В при п = 5/4.
При п = 3/2 кривизна линии тока, вьпшсленная вдоль любой инте
гральной кривой узла, конечна. Поэтому искомое решение будет изображать интегральная кривая, проведенная указанным образом из узла А в седло В, если она существует и не касается в точке А исключительного направления
узла.
Это решение существует. Действительно, соответствующее решение в плоскости годографа ^(u.v) принадлежит классу решений уравнения Трикоми
也(и, V)= v2iz2j+i/6F °• + 储 + 务 2j + 亚)，z = l-录
обращающихся в нуль на характеристике первого семейства и = =(2/3)и3/2 (рис. 7.10).
Параметр j выражается через n: 1/j = 6(п-1), поэтому в окрестности характеристики и = (2/3)и3/2
Путем аналитического продолжения получим в окрестности отрицательной оси
Из этих формул видно, что уравнение 砂=0 не имеет решений в первом квадранте плоскости uv (сверху от характеристики и = (2/3)и3/2), атакже во втором квадранте. В третьем квадранте имеется решение С = |u|3/v2 (рис. 7.10); С не зависит от кривизны линии тока. Следовательно, профиль в дозвуковой области должен быть выпуклым.
Построенное решение одаолистно в плоскости го- 叶 дографа.у
В связи с этим звуковая линия, в соответствии
с § 1, в физической плоскости обращена выпуклостью —►
в сторону области дозвуковых скоростей (так же как и при п = 5/4)./
Расчет соответствующей интегральной кривой1
в фазовой плоскости FQ показал, что она не доходит доРис 710
линии F = п2. Следовательно, в решении отсутствуют
предельные линии и оно является однолистным в плоскости течения. (Это согласуется с § 2.)
Обозначим кривизну контура тела в точке О через К (при подходе из области дозвуковых скоростей). Тогда получим, что на теле и = (К2с)1/з,/з.
В случае осесимметричного и вихревого течения (когда вихрь конечен) и и и выражаются в виде
U = @f0 О = МЗ- ^^^N + V^/Zg®),£=黃.(П)
Заметим, что решение (7) с п = 3/2 не принималось во внимание в [157] из-за того, что вихревой и осесимметричный члены в уравнениях движения оставались некомпенсированными. В решении (11) эти члены компенсируются добавками Wq(p и ^sin^o/z/o)-
Угловая точка при обтекании тела узкой сверхзвуковой струей.Несуществование степенной асимптотики
Другой пример особенности типа угловой точки возникает при обтекании тела достаточно узкой сверхзвуковой струей с отошедшей ударной волной. Струя должна быть уже M-области смешанного течения, возникающего при обтекании этого же тела безграничным потоком той же скорости. При обтекании некоторых тел бесконечной длины (например, бесконечного клина) безграничным потоком М-области конечного размера может и не быть (ударная волна уходит на бесконечность), а струйное обтекание этих тел осуществимо, в этом случае угловая точка образуется при любой ширине струи (определяемой по отношению к характерному размеру тела).
Особенность типа угловой точки образуется в месте пересечения отошедшей ударной волны с границей струи. Как показано в [115] (гл. 10, § 1),из этой точки выходит звуковая линия (строгое доказательство дано для случая малых сверхзвуковых скоростей набегающего потока, когда в соответствии с трансзвуковой теорией, допустимо пренебрегать изменениями энтропии на ударной волне). В связи с тем, что струя распространяется в пространстве с постоянным давлением, соответствующим сверхзвуковой скорости
набегающего потока, газ в граничной линии тока, проходя через точку ударной волны, в которой скорость за ударной волной звуксюая, должен затем разогнаться снова до скорости набегающего потока (если отвлечься от потерь полного давления). Поэтому указанная точка будет особой, угловой.
По сравнению с угловой точкой на профиле отличие состоит в том, что вместо условия непротекания на дозвуковом отрезке линии тока задаются условия Гюгонио на ударной волне. При формулировке задачи в плоскости годографа в дозвуковой части плоскости (на ударной поляре) требуется выполнение условия
Ви = C(v)^v при и = и(〃).
Вблизи точки О это условие может бьпъ упрощено:
Фи = Cb^v при V = -Ы.Фи = Cb^v при V = -Ы.(12)(12)
Фи = Cb^v при V = -Ы.
Фи = Cb^v при V = -Ы.
(12)
(12)
Здесь к — касательная к ударной поляре в звуковой точке. Условие (12) интерпретируется как требование, чтобы на касательной к ударной поляре линии тока, пересекающие ее, были параллельны некоторому заданному направлению (рис. 7.11).
Сформулированная локальная задача, как уже говорилось выше, может
иметь смысл только при условии, что она описывает главную часть решения
корректно поставленной краевой задачи, которая вблизи рассматриваемой
точки имеет указанные граничные условия. Было бы интересно проследить.
какими свойствами обладают краевые задачи, соответствующие (12).
Простейшей краевой задачей здесь, по-видимому; будет задача Трикоми, в которой граничное условие в дозвуковой области задано на кривой, не ортогональной звуковой линии.
Теорема существования и единственности решения задачи Трикоми рассматривалась К. И. Бабенко [93]: для уравнения Трикоми ему удалось снять обьи- но накладываемое ограничение на форму
контура в дозвуковой части вблизи звуковой линии (это условие требует по
меньшей мере ортогональности контура звуковой линии). При этом решение обладает свойством, что его производные могут обращаться в бесконечность порядка ниже 2/3 (т.е.丸，丸 =OR? + 病)一。/3)+£, где £ > 0). Покажем, что это решение (точнее говоря, решение сформулированной выше задачи об угловой точки в струе) не может быть представлено в виде асимптотического ряда по решениям уравнения Трикоми (10) со степенными особенностями на звуковой линии.
Итак, будем искать решение вблизи точки О плоскости годографа в виде
рядарядаОО
ряда
ряда
(13)(13)= £а 帥 k&N)k=0
(13)
(13)
по системе частных решений, обращающихся в нуль на характеристике и = 2/3〃з/2,
叽=^^^F^k + 1/12，心 + 7/12,2心 + l,z),z = l- 4u3/(9v2), дл > 0(〃 = j + 1/12) •
В дозвуковой части границы достаточно требовать выполнения граничного условия хотя бы в асимптотическом смысле, т. е.
sup ((-G)叽)=О
u—>0, ” тО
на прямой о = —ku или, иначе, при z = 1 + (4/9)fc-3v, где v > 0, и т 0. Таким образом, для определения коэффициентов а* необходимо рассматривать аналитическое продолжение гипергеометрической функции F(〃k + 1/12, дЛ + 7/12,2〃加 + l,z) в области, содержащей точку z = =1 (которая соответствует звуковой линии). Обозначив соответствующие коэффициенты через 玩，Ck (они выражаются через 〃*), получим
唳=/〃*т/б {f^F (-“к + 今-〃加 + ^' ^ J — z) +
. u. 5. 11 4 -
+ 〃懣F (-必+ ^,-4 +還扌
Обозначим первую из этих гипергеометрических функций через %, а вторую —через F2k- Штрихом будем обозначать производные гипергеометрических функций.
Получим
滎=舟…/6 {篆(版殒+以台显)+恭巴J,
讐=(2"k - I) #17/6 ^p^ + 分寿?2, 一
2…/60闻+以赤風)醬-v^-^2Ck_u_F2k
Нетрудно убедиться, что при до / 1/12 формула (12) может быть выполнена при определенном подборе коэффициентов 伙 и параметров 用 только в случае, если 历 =0, так как только в этом случае исчезает некомпенсируемый член v2^°^7^Fik^ Вычисление с помощью формул, приведенных в гл. 2, § 4, с точностью до постоянного множителя дает Ьо = = ~sin(7r/6), поэтому граничное условие (12) при до / 1/12 не может быть выполнено.
В случае д0 = 1/12 формулы для。砂加/。〃 и Э^л/^ выглядят по- другом^ так как не будет членов М〃1/б и р^ В зтом случае условие (12) может быть выполнено, однако это решение непригодно, так как главная часть решения разрывна в точке и = 0, и = 0: линиями уровня решения ^о являются параболы и = (7^2/3, образующие узел в точке v = 0, и = 0.
Таким образом, искомое решение не может быть представлено в виде ряда (13).
Подробный анализ этой ситуации побуждает обратить внимание на следующее обстоятельство, относящееся к постулатам трансзвуковой теории. Как уже упоминалось, при обтекании тел слабо сверхзвуковым потоком в этой теории допускается пренебрегать изменениями энтропии на возникающих ударных волнах, так как они имеют порядок (М? 一 1)з Строго говоря, это может оказаться не всегда справедливым. Действительно, в уравнении вихря
Н0 ^1пЛ 1 dlnpo
М =高-标X(14)
последний член пропорционален не только (М2 — I)3 (на ударной волне в набегающем потоке), но и кривизне ударной волны, которая может оказаться бесконечной в некоторой точке. Нетрудно установить (см., например, гл. 1, § 13), что все члены в уравнении (14) будут при этом иметь одинаковый порядок. Не исключено, что в некоторых задачах вихревой член может оставаться существенным при самых малых величинах (М^ — 1) в некоторой уменьшающейся в размерах области, имеющей характер пограничного слоя (в смысле теории сращиваемых асимптотических разложений).
Глава 8
Трансзвуковое течение за отошедшей ударной волной приобтекании тела сверхзвуковым потоком
§ 1. Необходимость возникновения головной ударной волны приобтекании профиля сверхзвуковым потоком
Точный смысл названия этого параграфа несколько другой: несуществование плоского сверхзвукового обтекания ограниченного или полубес- конечного тела безграничным равномерным на бесконечности потоком с непрерывным полем скорости,
Рис. 8.1Рис. 8.1Пусть обтекается гладкое ограниченное или полу бесконечное тело (в последнем случае касательная к телу должна стремиться к направлению потока на бесконечности). Так как тело гладкое, то в силу условия непротекания в критической точке на теле (в точке разветвления потока) скорость V равна нулю. В силу непрерывности V, существует область дозвуковых скоростей, содержащая эту точку, ограниченная звуковой линией. Вдоль звуковой линии argV — монотонная функция длины дуги argV / / const, так как случай arg V = const соответствует прямой звуковой линии (см. гл. 1, § 15). Проведем из двух различных точек звуковой линии характеристики одного семейства до бесконечности. Их образы в плоскости
Рис. 8.1
Рис. 8.1
Рис. 8.2
годографа 邓 проходэт через различные точки прямой А = 1, поэтому они нище не пересекаются, следовательно, не могут оба содержать одну и ту же точку (Лоо, &), изображающую поток на бесконечном удалении (рис. 8.1).
Пусть обтекается негладкое тело. Для того чтобы в критической точке было V / 0, необходамо, чтобы в ней контур тела (профиля) имел точку возврата. Пусть всюду во внешности профиля А > 1. Проведем характеристики ОА, ОВ из критической точки О вниз по потоку. Они прямые, так как выпущенные из каждой их точки характеристики другого семейства уходят на бесконечность и, следовательно, их образы в плоскости А£ содержат
точку (A»,, /Зоо). Поэтому характеристики О А, ОВ ограничивают область простой волны, в которой поток отличается от равномерного, поскольку на теле в силу условия непротекания £ = arg V / const. Но это невозможно, так как прямые характеристики простой волны уходэт на бесконечность (рис. 8.2).
Численное решение задачи обтекания затупленного теласверхзвуковым потоком с отошедшей уцарной волной.
Сравнение с экспериментом
В связи с развитием ракетно-космической техники одной из самых актуальных задач аэродинамики пятидесяггых годов была задача обтекания затупленного тела сверхзвуковым потоком. Эта задача представлялась весьма трудной по следующим причинам.
Возникающая отошедшая ударная волна играет роль свободной границы области течения.
В области между телом и отошедшей уцарной волной поток движется как с доз^ковой, так и со сверхзвуковой скоростью, поэтому течение имеет трансзвуковой характер — описывается уравнениями смешанного типа.
Течение существенно завихрено.
Предлагавшиеся сначала «обратные» методы (например, [144]), в которых тело отыскивалось по заданной ударной волне, в силу некорректности задачи Коши в области эллиптичности оказались не очень удачными, что даже породило в отношении этой задачи некоторый пессимизм. Поэтому весьма неожиданным оказалось решение (его подробное описание дано в [49]), полученное О. М. Белоцерковским [7,8,9,10,11,14,15,16] методом интегральных соотношений, предложенным в общем виде А. А. Дородницыным на Ш Всесоюзном математическом съезде в 1956 匸
Как показал тщательный эксперимент, проведенный ЕМ. Рябинко- вым [13], в расчетах был достигнут весьма высокий уровень точности. (На рисунках 8.3-8.5 приведены полученные расчетом и в эксперименте формы отошедшей уцарной волны при обтекании сферы и эллипсоидов вращения при разных числах М^; на рисунках 8.6,8.7 даны сравнения распределения давления по сфере и эллипсоиду. На рис. 8.8 воспроизведено [13] сравнение с экспериментом зависимости от М» величины отхода ударной волны при обтекании сферы.) Рассмотренная задача оказалась, по существу первой задачей трансзвуковой вихревой аэродинамики, в рамках которой удалось сформулировать и понять рвд новых и интересных явлений, некоторые из которых анализируются ниже.
§ 3・ Минимальная область влияния смешанного течения заотошедшей уцарной волной
При обтекании гладкого тела равномерным сверхзвуковым потоком возникает отошедшая ударная волна, за которой вблизи передаей части тела течение дозвуковое. Область дозвукового течения ограничена поверхностью тела, уцарной волной и одной или несколькими звуковыми поверхностями, так как при обтекании тел достаточно сложной формы в дозвуковой области
Рис. 8.5
Рис. 8.8
могут возникать сверхзвуковые включения (местные сверхзвуковые зоны). Как правило, эти зоны содержат вторичные скачки уплотнения, поверхности которых также могут принадлежать границе области дозвуковых скоростей. Дозвуковая область оказывает определяющее влияние на все течение за ударной волной.
Математическая задача, позволяющ^ построить дозвуковой поток, ставится в более широю)й области — в так называемой минимальной области влияния смешанного до- и сверхзвукового течения, которую мы называем (см. гл. 3, § 1) M-областью. Для двумерных (плоских и осесимметричных) течений она состоит из области дозвуковых скоростей и прилегающих к ней сверхз^ковых областей, каждая из которых покрыта характеристиками обоих семейств, выпущенными из точек границы дозвутвой области. Поэтому граница М-области в общем случае содержит отрезки характеристик. Из этого определения следует, что малые возмущения границы М-области распространяются по всей М-области.
Наиболее простой пример области смешанного течения дает теория сопла Лаваля: хорошо спрофилированное сопло содержит М-область, в которой течение непрерывно (отсутствуют скачки уплотнения). Область смешанного течения может возникать также и при обтекании тела потоком дозвуковой (на бесконечном удалении) скорости. Если эта скорость достаточно велика, т. е. превосходит некоторое критическое значение, вблизи тела образуется зона сверхзвукового потока. Хотя в принципе возможен случай непрерывного течения, типичным является образование в этой зоне скачка уплотнения. М-областью здесь является вся область течения — внешность обтекаемого тела.
Вопрос о постановке корректной задачи в М-области относится к компетенции теории нелинейных уравнений смешанного типа. Наиболее существенным образом нелинейность уравнений проявляется вблизи звуковой линии — линии изменения типа уравнения. Действительно, если предположить, что коэффициенты квазилинейного уравнения, ю)торые на самом деле зависят от решения краевой задачи, известны, то полученное таким образом линейное уравнение может быть приведено к одной из канонических форм. Тип канонической формы и определяет характер вырождения уравнения вблизи звуковой линии, который проявляется наиболее существенным образом в вопросе о правильной постановке основных краевых задач. Так, теорема М. В. Келдыша (см. гл. 1, § 18) в зависимости от типа канонической формы устанавливает корректность либо задачи Дирихле, либо задачи Е в области эллиптичности, примыкающей к линии вырождения.
Для квазилинейного уравнения плоских потенциальных течений новые независимые переменные т/, в которых уравнение Чаплыгина единственным образом приводится к каноническому виду; связаны с компонентами скорости (см. гл. 1, § 18).
В связи с тем, что в (1.32) т = 1, 6(°) = 0, то по теореме М. В. Келдыша, в области эллиптичности уравнения, граница ю)торой содержит тюнечный отрезок линии вырождения, юрректна задача Дирихле. Решения этой задачи при непрерывном граничном условии для функции тока 吵 описывают класс дозвуковых течений с криволинейной звуковой линией. Этот случай вырождения типа уравнения естественно называть общим, в отличие
от исключительного случая, котда звуковая линия прямая. В плоскости годографа (при использовании канонических переменных 小 £) главное отличие исключительного случая состоит в том, что весь отрезок прямой звуковой линии изображается точкой на оси т/ = 0, поэтому функция тока в этой точке имеет разрыв первого рода. Криволинейная звуковая линия может касаться характеристик только в особых точках (точках К, см. гл. 2), но прямая звуковая линия сама является характеристикой, поэтому в последнем случае М-область состоит только из области дозвуковых скоростей.
В общем случае криволинейной звуковой линии естественно предполагать, что аналитичность решений уравнений эллиптического типа имеет место вплоть до линии вырождения — з^ковой линии. Это означает; что класс решений уравнений газодинамики в М-области состоит из функций, аналитических в дозвуковой области и непрерывных в сверхзвую)вой —— со слабыми разрывами, распространяющимися (быть может) вдоль изолированных характеристик. Упрощенно криволинейную звуковую линию в М-области можно представлять состоящей из конечного числа отрезков, внутри каждого из которых вектор скорости — аналитическая функция длины дуги. Таким образом, М-о&1асть представляет собой объединение подобластей эллиптичности и гиперболичности; решения корректных краевых задач в этих подобластях должны сращиваться (по условиям непрерывности 吵，吵п) почти во всех точках звуковой линии. Так как в рассматриваемом случае звуковая линия не является характеристикой, отсюда следует требование непрерывности на звуковой линии обеих компонент вектора скорости.
В качестве составных задач, на основе которых компонуется описание течения в М-области, можно, например, рассматривать задачу Дирихле в области эллиптичности и задачу Коши-Гурса в области гиперболичности (как краевые условия в ней задаются значения искомой функции 屮 на звуковой линии и на характеристике). Тотда построение решения в М-области будет состоять в подборе распределения искомой функции 吵 на звую)вой линии, исходя из условия непрерывности ее нормальной производной. Отсюда следует; что произвольное граничное условие нельзя задавать на всей границе М-области — от него должна быть освобождена одна из двух характеристик, ограничивающих каждый характеристический треугольник, примыкающий к звуковой линии.
Сложность вопроса о корректной постановке краевой задачи в М-области можно проиллюстрировать на модели плоского обтекания профиля слабо сверхзвуковым потоком в предположении, что изменения энтропии на головной ударной волне пренебрежимо малы. Хотя в этом случае можно использовать плоскость годографа скорости, нелинейный характер краевой задачи сохраняется, так как одна из границ М-области в плоскости годографа — образ контура профиля (иначе говоря, распределение скорости вдоль профиля)——остается неизвестной. Эта кривая должна подбираться с учетом выполнения на ней двух граничных условий—условия непротекания и условия для наклонной производной ((1.27), гл. 1, § 16).
Трудности задачи усугубляются тем, что с самого начала неизвестна качественная картина течения, зависящая от количества и расположения
звуковых линий. Так, при обтекании профиля сложной формы могут оказаться «правдоподобными» совершенно различные конфигурации М-области, характеризуемые положениями звуковых точек на профиле. Более того, вполне возможно образование внутри М-области сверхзвуковых подобластей, что приводит к необходимости рассмотрения задачи на многолистной римановой поверхности в плоскости годографа. Таким образом, прямая задача обтекания профиля чрезвычайно сложна даже при указанном упрощенном подходе. Существенное упрощение получается при исследовании задачи методами теории возмущений, когда рассматривается класс решений, близких к некоторому известному решению; в плоскости годографа формулируется линейная краевая задача в области, определяемой заданным решением.
Существует; однако, тело, для которого вопрос о корректной постановке задачи может бьпъ в принципе изучен при естественных априорных предположениях о схеме течения достаточно полно. Это тело — конечный симметричный клин; изображением его стенки в плосю)сти годографа является прямая £ = const. Ф. И. Франкль показал [104], что при обтекании клина звуковая линия не может опираться на его сторону во внутренней точке9 поэтому если решение существует, то звуковая линия выходит из задней острой кромки клина, в окрестности которой (за звуковой линией) поток расширяется, с асимптотикой течения Прандтля-Майера. ЛГ-область ОАВСО в физической плоскости и в плоскости годографа показана на рис. 8.9 при условии достаточно низкого давления за кромкой А на задней
Рис. 8.9
стороне клина. Граничное условие 吵=0 задано на ю)нтуре А2А1О2О1С, условие 吵。=а(о)吵万(см. гл. 1, § 16) — на дозвуковом отрезке ВС ударной поляры. Образ угловой точки—отрезок характеристики 414? (см. гл. 1, § 13). На характеристике В4 граничное условие не задано. Здесь функция тока 吵 ——решение уравнения Чаплыгина. Сформулированная задача является задачей типа Трикоми, однако отличается от нее условием косой производной на ударной поляре.
В настоящее время для этой задачи теорема существования не доказана даже для уравнения Трикоми; единственность решения для уравнения Чаплыгина — при достаточно малом значении Лд2 была доказана Ф.И. Франклем [104]. (Для простейшей модели уравнения смешанного типа—так называемого уравнения Лаврентьева-Бицадзе—существование и единственность решении задачи сверхзвукового обтекания конечного
8 Э.Е Шифрин
или бесконечного клина безграничным потоком или равномерной струей устанавливается методами теории аналитических функций.)
Для М-области общего вида, возникающей при обтекании произвольного тела, существование решения, понимаемого в классическом смысле, по- видимому, не имеет места. Действительно, простые геометрические оценки, получаемые из анализа формы М-области в плоскости годографа (рис. 8.10)
Рис. 8.10Рис. 8.10показываю!； что при обтекании криволинейного гладкого профиля корректная краевая задача может быть сформулирована только при условии, что сверхзвук ковой отрезок образа профиля (6 М-области) пересекает каждую характеристику не более одного раза (что предписывается теорией задач типа Трикоми).
Рис. 8.10
Рис. 8.10
Это условие позволяет заранее выделить класс тел, поле потока возле которых не может быть непрерывным. Этому классу, в частности, принадлежат профили, контуры которых содержат спрямленные участки сколь угодно малой длины (см. гл. 6, § 4). Таким образом, при обтекании произвольного тела можно предполагать лишь существование обобщенного решения, содерщажего внутри М-области скачки уплотнения.
Ввиду упомянутых трудностей анализ М-области (в общем случае вихревого плоского и осесимметричного течения за ударной волной) будет производится на основе наиболее простой схемы течения, навеянной аналогией с задачей обтекания клина. Как показывают результаты решения прямой задачи численными методами, эта схема действительно реализуется при обтекании широкого класса практически важных тел [13].
Систематические численные исследования плоского и осесимметричного обтекания равномерным сверхзвуковым потоком гладких выпуклых тел и тел с угловой точкой в трансзвуковой области показали, что на практике реализуются три главных типа формы М-области. При плоском симметричном обтекании реализуются только типы I, П; переход одного типа в другой определяется числом М^ набегающего потока и показателем адиабаты. В осесимметричном течении могут встречаться все три типа, причем тип М-области будет зависеть и от формы тела (в значительной степени — от кривизны тела в звутювой точке и от кривизны ударной волны на оси симметрии). Подробная классификация М-областей и соответствующие теоретические исследования приводятся в §6.
§ 4. Наклон звуковой линии на теле и на ударной волне в плоскоми осесимметричном течении
В связи с тем, что на звуковой линии характеристики ортогональны линиям тока, важным фактором, характеризующим форму звуковой линии (а следовательно, и форму М-области) является угол ее наклона к линии тока. С. А. Христианович отметил [107], что точка звуковой линии, в которой ее направление совпадает с направлением характеристик (мы называем ее
точкой К) является особой — из этой точки выходят не два характеристических луча, а четыре (см. рис. 2.1) или даже больше, как было показано для точек К в вихревом течении (см. гл. 2, § 6).
Наличием или отсутствием на звуковой линии точек К определяются глобальные свойства ЛГ-области, а именно ю)личество и расположение примыкающих к звуковой линии сверхзвую)вых подобластей.
Таким образом, полезно заранее знать величины углов наклона звуковой линии к линии тока в характерных точках Af-области — на пересечениях звуковой линии с телом и с ударной волной. Эта информация позволяет сделать качественный вывод о числе и расположении точек К разного типа, что может служить основой классификации Af-областей. Итак, установим оценки для угла наклона звуковой линии на теле и на ударной волне, следуя [8].
Оценка на теле вытекает из уравнения вихря, записанного в локальной системе координат, связанной с линиями тока (см. гл. 1, § 5); в этой форме оно одинаково в плоском и осесимметричном течении
88 — 81nx _ ] dlnpo ⑴ 8sl 8s2 KM2 ds2 *
Здесь a/3si — производная по направлению вектора сю)рости, д/дв2 — производная по направлению нормали к линии тока, полученной поворотом вектора сю)рости на прямой угол против часовой стрелки.
Используя соотношение на линии А = const (в частности, на звуковой линии) получим
sign7 = signg = -sign 際匿 + 苏din居)]•
При плоском симметричном обтекании равномерным сверхзвуковым потокам с отошедшей ударной волной вихрь на теле равен нулю, поэтому звуковая линия, выходящая из точки выпуклости профиля (где AS/8si < < 0), составляет острый угол с направлением линии тока, соответствующим увеличению скорости (рис. 8.11). Так будет и в случае несимметричного обтекания профиля, если критическая линия тока (разветвляющаяся
Рис. 8.11Рис. 8.11Рис. 8.12Рис. 8.12
Рис. 8.11
Рис. 8.11
Рис. 8.12
Рис. 8.12
в точке торможения О) не проходит через точку ортогональности ударной волны вектору июрости (тде достигается минимальное значение полного давления): по крайней мере на одной стороне профиля угол 7 острый (рис. 8.12). Здесь использовано предположение о том, что головная ударная
8*
волна в каждой своей точке обращена выпуклостью в сторону набегающего потока.
При осесимметричном обтекании равномерным сверхзвуковым потоком с отошедшей ударной волной, когда тело находится на оси симметрии, вихрь на теле конечен [105]. Конечный вихрь на теле (хотя на оси симметрии вихрь равен нулю) получается из-за того, что коэффициент Ламе 无2 по направлению нормали к линии тока при приближении линии тока к телу стремится к нулю как у, где у — орданата точки пересечения этой линии тока с ударной волной. При конечной кривизне ударной волны вихрь вблизи точки пересечения ударной волны с осью симметрии также пропорционален у. Конечность кривизны ударной волны 6 этой точке доказана 6 [123].
Таким образом, в осесимметричном течении угол наклона звуковой линии к телу может быть острым или тупым 6 зависимости от того, какой член 6 формуле (7)——с кривизной тела или вихревой ——преобладает. При достаточно малых значениях скорости набегающего потока завихренность несущественна, поэтому угол будет острым. Наоборот; при больших скоростях набегающего потока может преобладать вихревой член, тогда угол будет тупым. Расчет обтекания эллипсоидов вращения, представляющих, повидимом^ довольно широкий класс практически интересных гладких выпуклых тел, показал, что изменение угла с острого на тупой происходит в зависимости от отношения осей эллипсоида при следующих значениях чисел Моо при к = 1,4 [13]:
Моо = 2 при е = 0,5,
Моо = 3,15 при е = 1 (сфера),
Моо = 4,2 при е = 1,5.
При е》2 угол будет острым при всех значениях чисел М^ • Здесь е — отношение длин осей эллипсоида (поперечной к продольной).
Таким образом, увеличение затупления передней части тела приводит к тому, что в формуле (1) кривизна тела в звуковой точке преобладает над вихревым членом в более широком диапазоне чисел Mg набегающего потока. Это глобальное свойство решения в Af-области, имеет простое, хотя и не очень строгое объяснение. Действительно, если АВ ——линия тока (рис. 8.13), то вихревой член в звуковой точке С можно выразить в виде
=鼬=鼬jdlnpo I A2山]L d$2 \B /l2)A Jjdlnpo I A2山]L d$2 \B /l2)A J
=鼬
=鼬
jdlnpo I A2山]
L d$2 \B /l2)A J
jdlnpo I A2山]
L d$2 \B /l2)A J
lim [d1np0 —\ 沙4心4)B->D I d9 r d$2 r!/b^(Ab)(4tC) 9
-d21np0УвУ4д(》4)_『Inpo «2 yc ⑵
-BTD 曲2 B [dy\в увд(Ав)-曲2 D g(l/》8)'
me К = dO/dy при 8 = 0 — кривизна ударной волны в точке ортогональности оси симметрии. Из соотношений на скачке уплотнения получим
1『1про =22Mm1 4Mm
% 由2 g=o = TH 十 2 + (k-1m 十 左-12a腸-(左-1)
Таким образом, при k # 1 |dlnpo/ds21c W А^М^усК2^ где A(k1Moo) —некоторая постоянная.
Если учесть, что кривизна ударной волны К определяется глобальными свойствами решения в М-области, то представляется возможной такая
деформация тела вблизи звуковой точки, которая мало изменяет кривизну ударной волны, но сильно изменяет кривизну тела вблизи звуковой точки, делая ее больше величины АусК2; после проведения такой деформации угол наклона звуковой линии станет острым (даже если до деформации он был тупым). Увеличение кривизны тела вблизи звуковой точки равносильно увеличению затупления; этим и объясняется при
веденная выше зависимость от соотноше- Рис 8 13 ния осей эллипсоидов. * *
В предположениях теории гиперзвуковых течений получим, что dlnpo/ds21c т 8 м, следовательно, вихревой член в (1) будет преобладающим (кривизна ударной волны К имеет порядок кривизны тела).
Рассмотрим теперь звуковую точку на ударной волне. Для определения угла наклона звуковой линии на ударной волне при плоском или осесимметричном обтекании тела равномерным сверхзвуковым потоком необходимо выразить кривизну линии тока d^/dsi через кривизну К ударной волны, так как член dpQ/ds2 также выражается через нее из соотношений Гюго- нио [8].
Это удается сделать (ср. гл. 1, § 13), если наряду с уравнениями плоского (N = 0, или осесимметричного (^ = 1) течения
8s^InA __1 dlnpo8slOs? - kM2 ds28s^InA __1 dlnpo8slOs? - kM2 ds2（MJ）需-需=*N（MJ）需-需=*N
8s^InA __1 dlnpo
8slOs? - kM2 ds2
8s^InA __1 dlnpo
8slOs? - kM2 ds2
（MJ）需-需=*N
（MJ）需-需=*N
рассмотреть дифференциальные соотношения для А и /3 на ударной волне, вытекающие из условий Гюгонио
学 cos(a - S) + 学 sin(a -£) = ? =
Ssi '' Os?ds do
絹 cos(a — 8) + 等 sin(a -£) = * =
Здесь dA/do, d£/do —известные функции A/qq, k. Полученная система четырех уравнений линейна относительно неизвестных 5A/9si, OA/0S2, 36/。81, d/3/ds2- Правая часть системы в плосю)м случае пропорциональна К, а в осесимметричном случае в нее еще входит слагаемое, пропорциональное у — ординате звуковой точки на ударной волне. Система линейно независимая.
Таким образом, в плоском течении производные 9A/5si, 9А/Эз2) d^/dsi, d0/ds2 пропорциональны К, поэтому угол наклона звуковой линии, определяемый при К R 0 м при К R 8 нерез отношение
производных 3入/3$1 и 3入/3$2, зависит толыю от скорости набегающего потока и показателя адиабаты к, но не зависит от формы ударной волны и, следовательно, от формы тела в М-области. (При бесконечной или нулевой кривизне ударной волны рассматриваемая точка будет особой точю)й обыкновенного дифференциального уравнения для определения линий уровня скорости.)
Исследование полученной формулы сводится к решению трансцендентного уравнения. Расчет; проведенный в [8], показал, что для каждого значения к из наиболее употребительного диапазона 1,2 W к W 1,6 существует такая постоянная %(к), что при Mg W М)(^) угол р между звуковой линией и векторам скорости тупой^ а при М^ > М()(к)—— острый (рис. 8.14). (Угол р = тг +)отсчитывается от звуковой линии
Рис. 8.14 Рис. 8.15
к вектору скорости против часовой стрелки.) Зависимость %(к) (почти линейная) дается на рис. 8.15.
Результаты работы [8] показывают также, что dX/ds\ > 0 при А = =1, т.е. звуковая линия лежит s секторе между вектором скорости и дозвуковым отрезком ударной волны (рис. 8.14).
В осесимметричном течении дело обстоит сложнее — здесь значение угла р будет зависеть еще и от кривизны ударной волны, определяемой, в свою очередь, формой тела. Однаю> полученное выше свойство может быть частично распространено и на осесимметричный поток [17].
Действительно, в случае осесимметричного течения знак угла наклона звуковой линии на ударной волне, в соответствии с вышесказанным, определяется формулой
signal = sign R=^.
В [17] показано, что правая часть непрерывна по аргументу R/у. Это значит; что при R/y т 0 наклон звуковой линии будет таким же, как и в плоском случае. При R/y / 0 он определяется положением изображающей течение точки на плосю)сти R/y, М^ относительно разделительной кривой — решения уравнения F(R/y, Mg /)=0.
Форма разделительной кривой зависит от знака угла наклона вектора скорости в звуковой точке ударной волны; оба возможных варианта приведены на рис. 8.16. В связи с тем, что R/y > 0 при /3 > 0, при Moo > М)(Л), независимо от значения R/y, угол наклона р звуковой линии к вектору скорости — острый, а при /3 < 0, Mq© < М^(к) угол р при всех R/y — тупой. (На рис. 8.16: д = (Ag - 1)/[，(及 + 1)加一1) - 1].)
6>06<0
Случай /3 < 0 может иметь место при обтекании кольцевого крыла.
При остальных значениях /3, М^ угол р, зависит от R/y: он определяется положением на соответствующей плоскости R/y^ Mg относительной разделительной кривой.
В случае, когда кривизна ударной волны в звуковой точке обращается в бесконечность, главный член течения вблизи этой точки будет таким же, как и в плоском потоке. При нулевой кривизне ударной волны звуковая линия касается ударной волны в звуковой точке.
Представляет интерес, каким будет угол р на ударной волне при достаточно малых значениях Mg, т.е. при М^ т 1. Из рис. 8.16 видно, что если lim R/y < оо при т 1, то угол будет таким же, как и в плоском течении (т. е. тупым). Однако строгое определение этого предела требует специального исследования (см. гл. 11).
Характерные точки звуковой линии
Мы называем точкой К точку ортогональности звуковой линии вектору скорости (см. гл. 2).
Точки К подразделяем на точки К+ и К- в зависимости от направления выпуклости звуковой линии: в точке К+ звуковая линия обращена выпуклостью в сторону области сверхзвуковых скоростей, в точке К_ — наоборот.
Точкой L называем точку звуковой линии, в которой кривизна линии тока (как функция длины дуги звуковой линии) изменяет знак.
В потенциальном течении точки К н L совпадают («центр» сопла Лаваля).
В плоском потенциальном течении точек К_ не существует(см. гл. 2).
В вихревом течении точки К_ могут существовать. Это обстоятельство затрудняет предварительный анализ М-областей по оценкам угла наклона звуковой линии на теле и на ударной волне, полученным в предыдущем параграфе, так как нельзя исключить возможность образования пар точек К+, К_ • Покажем, что эти пары действительно могут появляться.
В качестве «контрольного» варианта возьмем непрерывное обтекание выпуклого профиля потенциальным потоком с местной сверхзвуковой зоной (см. рис. 6.2): на звуковой линии точек К нет. (Изолированные точные решения с непрерывным течением в местной сверхзвуковой зоне существуют; таким, например, является течение Ринглеба в некоторой области [64].)
Пусть теперь профиль обтекается потоком, состоящим из двух потенциальных потоков с разными значениями полных давлений pOi и р02)причем линия контактного разрыва пересекает сверхзвуковую 30吧 как показано на рис. 8.17, a poi > Ро2・ Нетрудно видеть, что основание А^В^ верхней
Рис. 8.17
подобласти сверхзвуковой зоны (лежащей выше контактного разрыва) из- за равенства давлений на контактном разрыве будет шире верхней стороны 482 нижней подобласти. Если теперь разрыв полного давления poi - Рог «размыть» по некоторой струйке тока, сделав распределение полного давления в потоке непрерывно дифференцируемым, то звуковая линия станет непрерывной гладкой кривой. Если это размывание произведено в достаточно узкой струйке, то в силу принципа непрерывной зависимости течения от граничных условий, звуковая линия будет мало отличаться от ломаной CA2A1B1B2D. Это означает, что вблизи точек 41^2 и BiB2 возникнут две пары точек К+, К_ •
Аналогичное явление наблюдалось при численных исследованиях обтекания тела неравномерным сверхзвуковым потоком.
Классификация Мобластей [18]
Исходя из результатов §4, установим основные типы М-областей, принципиально возможные при обтекании плоских или осесимметричных тел с отошедшей ударной волной.
Будем проводить классификацию по признаку наличия в M-области характерных сверхзвуковых подобластей, каждая из которых может граничить с соседней только в точке К звуковой линии.
Ограничимся классом непрерывных течений в Af-области за ударной волной.
Дадим классификацию сверхзвуковых подобластей Af-области (напомним, что любая из них покрывается характеристиками обоих семейств, выпущенных из звуковой линии). Предполагается, что каждая подобласть максимальная, т. е. не содержится ни в какой другой сверхзвуковой подобласти М-области.
Итак, сверхзвуковую подобласть М-области будем называть: зоной А — если она ограничена звуковой линией, контуром тела и характеристикой; зоной В — если она ограничена звуковой линией, ударной волной и характеристикой; зоной С — если она ограничена звуковой линией и двумя пресекающимися характеристиками разных семейств (рис. 8.18).
Имеется в виду, что характеристики, ограничивающие эти зоны, принадлежат границе М-области, так что М-область является объединением дозвуковой подобласти с зонами А, В, С.
Если бы точки К- не могли существовать (как в потенциальном течении), строение зон А и В было бы весьма простым и целиком определялось только локальными признаками, исследованными в §2, — углами наклона звуковой линии на теле и на ударной волне; зона С в этом случае не могла бы осуществиться, так как она должна содержать хоть одну точку К_. Возможность возникновения точек К_, а значит и «дополнительных» точек К+, строго говоря, уничтожает пути получения априорной информации о форме М-области. В сложившейся ситуации, по-видимому; правомерно применение принципа максимальной простоты звуковой линии, который состоит в том, что форма звуковой линии предполагается настолько простой (т. е. с наименьшим числом точек К+, К_ на ней), насколыю это допускают граничные условия и другие параметры задачи.
Следует отметить, что все имеющиеся к настоящему времени численные результаты убеждают в справедливости этого принципа. В классификации М-областей [127], в которой указаны три типа М-области (они соответствуют трем типам приводимой ниже классификации), возможность образования точек по-видимому; даже не принималась во внимание.
Наглядное изображение М-областей получается в плоскости з吵.Однако при использовании этой плоскости следует иметь в виду, что контур тела изображается отрезком оси 吵=0, т. е. информация о форме тела исчезает.
При симметричном обтекании под М-областью будем понимать только подобласть М-области, лежащую по одну сторону от оси симметрии. При плоском несимметричном обтекании отдельно изучаются подобласти, лежащие по разные стороны от критической линии тока.
Будем причислять М-область к первому ти吧 если она содержит зону А, но не содержит зону В, ко второму — если она содержит и зону А, и зону В, к третьему — если она содержит зону В, но не содержит зону А, к четвертому типу — если М-область содержит только зону С. (Таким образом, зона С может содержаться в М-области любого типа, однако принципом максимальной простоты звуковой линии она «вычеркивается» из типов I, П, Ш.)
На рис. 8.19 изображены эти четыре типа в плоскости 夕耽 Все эти
Рис. 8.19Рис. 8.19типы могут быть реализованы в неравномерном набегающем потоке.
Рис. 8.19
Рис. 8.19
Признаки, исследованные в §2 с учетом принципа «максимальной простоты» звуковой линии, позволяют утверждать, что при плоском симметричном обтекании выпуклого тела равномерным сверхзвуковым потоком реализуются только два типа М-области — первый тип при Mg < М0(к), второй тип — при Mqo > М0(к). При плоском несимметричном обтекании М^ < Мо(^) может иметь место, наряду с первым типом, четвертый тип, а при Moo > MQ(k) — наряду со вторым
типом — третий тип М-области. Действительно, если линия максимума энтропии не совпадает с критической линией тока, то на одной из сторон профиля (каждой стороне соответствует один из двух лучей критической линии тока) будет 班/曲2 < 0 (если головная ударная волна выпуклая). При этом вполне может быть, что кривизна тела в звуковой точке не превосходит по модулю величины (l/k)(dpo/ds2), тогда, в соответствии с §2, угол 7 на теле будет тупой и в зависимости от скорости набегающего потока может реализоваться третий или четвертый тип М-области.
В осесимметричном течении, когда тело находится на оси симметрии (набегающий поток равномерный), возможны, по-видимом^ все четыре типа. Из результатов §2 следует, что при М^ > М0(к) независимо от кривизны ударной волны и формы тела всегда будет второй или третий тип М-области, а первый или четвертый тип может иметь место только при Mg < Мо (初
При Mqo < Мо(к) может также осуществляться второй или третий тип. Это определяется значениями параметров Mg и R/y (в звуковой точке ударной волны), обусловливающими положение рассматриваемого режима
относительно кривой R/y = /(Mqq,*), разделяющей второй и третий типы; значения чисел М», при которых происходит разделение на первый, второй (третий) типы М-области:
Mi = 1,1 - 1,15 при е = 1,
Mi = 1,15 - 1,2 при е = 2.
Таким образом, с увеличением затупления тела диапазон существования первого типа М-области расширяется незначительно.
Значения чисел Маха, разделяющих П-Ш типы М-области, находятся из условия ортогональности звуковой линии телу (р = тг/2). Из [13] следует, что М2 = 2 (е = 0,5); 3,15 (е = 0,1); 4,20 (е = 1,5), причем при е》2,0 “2 = сю, т. е. для сильно затупленных тел Ш тип области влияния будет отсутствовать.
При обтекании сферы (к = 1,4) существуют все три типа М-областей. При обтекании торца область влияния Ш типа не реализуется [13].
Из полученных результатов можно сделать следующие выводы.
В плоском (N = 0) и осесимметричном (N = 1) случаях при сверхзвуковом обтекании выпуклых затупленных тел I тип области влияния имеет место только при Mg < M)(fc) (для N = 0 — при Mg W Mo(fc)); при Mg > Мо{к) всегда реализуется И (N = 0) или Ш (N = 1) типы М-области.
В осесимметричном случае разделение областей влияния происходит при следующих значениях чисел Маха набегающего потока:
I тип при 1 < Мю < Afi, где Mi < Мо(А：),
П тип при Mi < М» < М2, Ш тип при М2 < Мю・
С увеличением затупленности тела (ростом е) величина Mi незначительно возрастает, а М2 —> оо (для сильно захупленньк тел при е》2 Ш тип области влияния не реализуется).
Четвертый тип М-области при обтекании плоских или осесимметричных тел равномерным сверхзвуковым потоком при численных исследованиях и в экспериментах не наблюдался.
§ 7. Свойства вихревого течения вблизи звуковой линии [118]
Рассмотрим случай симметричного обтекания профиля с отошедшей ударной волной.
Пусть функция тока 吵(с, у) равна нулю на критической линии тока, состоящей из отрезка оси симметрии и контура профиля. Ввиду симметрии существует такое число 吵о > 0, что при 吵(с, у) < 吵о энтропия S является невозрастающей функцией 耽(Если направление выпуклости головной ударной волны неизменно на всем ее протяжении, то S(而)будет невозрастающей функцией во всей полуплоскости течения.) Будем называть зоной 3 1) область сверхзвукового течения, в которой ^ < ^о и ограниченную отрезком контура профиля, характеристикой первого семейства и отрезком звуковой линии, в каждой точке которого угол 7 является
0 Термин «зона 3» введен по аналогии с терминами «зона 1» и «зона 2» работы [70].
острым. Как следует из § 2, при плоском симметричном обтекании зона 3 всегда существует.
Если передвигаться вдаль отрезка звуковой линии9 ограничивающего зону 3, так, чтобы область дозвуковых скоростей лежала слева, вектор скорости монотонно поворачивается по часовой стрелке.
(Как было показано А. А. Никольским и ЕИ. Тагановым в [70] (см. гл. 1, § 11), в потенциальном течении этот «закон монотонности вектора скорости» выполняется на всей звуковой линии.)
Действительно, из определения зоны 3 следует; что в ней dpo/ds?》0 и на звуковой линии 81n A/Hs? W 0. Поэтому из уравнения
(1)(1)80 — 8 In》1 dlnpo
(1)
(1)
8si Зб2 kM2 ds2
(см. гл. 1) получим, что d/3/dsi W 0 (т. е. в зоне 3 не содержится точек L).
ССкости 入6 через образ точкикости 入6 через образ точкиИспользуя эти оценки, получим, что на указанном отрезке звуковой линии
С
С
кости 入6 через образ точки
кости 入6 через образ точки
wo.
аз, у)
В зоне 3 имеют место неравенства 纵》6с》6в, где С —точка зоны 3, АС — характеристика второго семейства, ВС — характеристика первого семейства, А и В — точки на звуковой линии (рис. 8.20).
Действительно, проведем в плос- эпициклоиду второго семейства С4
и эпициклоиду первого семейства СВ*. В соответствии со свойством
характеристик в вихревом течении (а, гл. 1, § 7)
Ва^Ва.^Вс и 呢 & Вв. & %•
Отсюда, с учетом свойства (а), следует, что линия равного 6, пересекающая в некоторой точке отрезок звуковой линии, ограничивающий зону 3, расположена между характеристиками, проведенными из этой точки.
Если перемещаться по звуковой линии, вниз по потоку от которой течение сверхзвуковое, по направлению к звуковой точке на ударной волне, то в достаточно малой окрестности этой точки вектор скорости поворачивается по часовой стрелке при Mg < Mo(k) и против часовой стрелки при "8 > "。(%).
Из того обстоятельства, что вниз по потоку от звуковой линии течение сверхзвуковое, следует; что в некоторой окрестности звуковой точки F на ударной волне функция S (吵)一невозрастающая.
При Mg < Мо(к) в некоторой окрестности точки F угол 7 будет острым (см. § 3). Поэтому
凱
（需+费釣COSE
Если Moo > MQ{k), то из каждой сверхзвуковой точки ударной волны,
расположенной достаточно близко к точке F, к звуковой линии выходят обе характеристики в положительном направлении (в направлении возрастания энтропии). Пусть PQ ——характеристика второго семейства (Q — точка
на звуковой линии). Ее образ в плоскости А/3 лежит по свойству a di. 1, §7 не выше эпициклоиды 尸Q* второго семейства, проведенной из образа точки Р на ударной поляре (Q* — точка на звуковой линии). Если
Из этого вытекает, что при ”8 < %(*) число линий ветвления, пересекающих звуковую линию, равно нулю или четно, а при Mx, > Mo(fc) — нечетно. Таким образом, из этого свойства и свойств §3 вытекает следствие: при симметричном обтекании выпуклого профиля с отошедшей ударной волной число точек Е на звуковой 〃〃■Из этого вытекает, что при ”8 < %(*) число линий ветвления, пересекающих звуковую линию, равно нулю или четно, а при Mx, > Mo(fc) — нечетно. Таким образом, из этого свойства и свойств §3 вытекает следствие: при симметричном обтекании выпуклого профиля с отошедшей ударной волной число точек Е на звуковой 〃〃■Рис. 8.21Рис. 8.21выбрать точку Р достаточно близко к точке F, то отрезок эпициклоиды 尸Q* расположен ниже отрезка ударной поляры 尸尸，поскольку при А = =1 и ”8 / 8 угол наклона ударной поляры к оси ОЛ отрицательный, а эпициклоиды — равен нулю. Отсюда следует, что 0q < Bf (рис. 8.21).
Из этого вытекает, что при ”8 < %(*) число линий ветвления, пересекающих звуковую линию, равно нулю или четно, а при Mx, > Mo(fc) — нечетно. Таким образом, из этого свойства и свойств §3 вытекает следствие: при симметричном обтекании выпуклого профиля с отошедшей ударной волной число точек Е на звуковой 〃〃■
Из этого вытекает, что при ”8 < %(*) число линий ветвления, пересекающих звуковую линию, равно нулю или четно, а при Mx, > Mo(fc) — нечетно. Таким образом, из этого свойства и свойств §3 вытекает следствие: при симметричном обтекании выпуклого профиля с отошедшей ударной волной число точек Е на звуковой 〃〃■
Рис. 8.21
Рис. 8.21
，〃弘 проходящей от профиля к ударной волне, равно нулю или четно.
Рассмотрим точку К звуковой линии. В точке К+ будет 乎入伊^ 》О, в точке К_ — 92А/5в2 W 0.
На звуковой линии имеет место формула
言（釣=（釣院）\⑵
Действительно, продифференцировав уравнение неразрывности
（”-1喈=黑（”-1喈=黑⑶⑶
（”-1喈=黑
（”-1喈=黑
⑶
⑶
по направлению Di при А = 1, получим, если производная 92A/9s2 ограничена,
言(需)=估+1)管)•
Воспользовавшись одним из уравнений Гаусса-Кодацци [57], получим (2). Продифференцируем теперь уравнение вихря (1)
д/3 — ainX 1 dlnpo
Hsi3s?kM2 ds?
по направлению и? в точке К, воспользуемся формулой (2) и уравнением (1). Получим
矗匿)?+…第嘿+謐・
Из уравнения неразрывности следует; что ds? = ММ = d^/q(X) (см. ГЛ. 1, §5).
Итак, имеет место свойство: 6 точке К с ограниченными первыми w вторыми производными А,5 имеют место неравенства
1d2s1rm* + 1)初一虎及2伐+ 1)1d2s1rm* + 1)初一虎及2伐+ 1)в точкев точке
1d2s1
rm* + 1)初一虎及2伐+ 1)
1d2s1
rm* + 1)初一虎及2伐+ 1)
в точке
в точке
Рассмотрим теперь точку К+・ Проведем через нее характеристику К^А
второго семейства по направлению возрастания 吵 и характеристику первого семейства К+В по направлению убывания 吵.
В точке К+, 6 которой производная dS/d^ непрерывна и не о6・ ращается 6 нуль^ 〃о крайней мере одна линия ветвления^ проходящая
через нее 6 сверхзвуковую область, расположена вниз по течению от линии АК^В.
Проведем окружность достаточно малого радиуса с центром в точке К+. Без ограничения общности можно считать, что внутри окружности S(g)— невозрастающая функция (рис. 8.22)
Пусть А и В — точки пересечения окружности с характеристиками К^А и К+В; С и Р — точки пересечения со звуковой линией; gc ＞他.
По свойству гл. 1, § 14 при пере- мещении вдоль звуковой линии от точки D к точке К+ угол 6 не возрастает; а при перемещении от точки К+ к точке С — не убывает.
Каждая точка треугольника К^СА принадлежит характеристике второго семейства, проведенной из отрезка звуковой линии К^С
в отрицательном направлении, поэтому образ треугольника К+С4 в плоскости 邓 расположен, по свойству аги. 1, §7, не ниже эпициклоиды второго семейства, проведенной из образа точки К+.
Каждая точка треугольника К+СА принадлежит характеристике первого семейства, проведенной из отрезка звуковой линии K^D в положительном направлении, поэтому образ треугольника K^.DB в плоскости 入/3 расположен, по свойству а гл. 1, §7, не ниже эпициклоиды первого семейства, проведенной из образа точки К+・
Проведем через точку К+ характеристику второго семейства К+Е в направлении убывания ； ее образ в плоскости А/3 расположен не выше эпициклоиды второго семейства, проведенной из образа точки К+. Отсюда следует, что линия ветвления, являющаяся частью границы образа области K^CAEBDK^.^ расположена не выше эпициклоиды второго семейства, проведенной из образа точки К+・ Поэтому в плоскости течения эта линия ветвления расположена в области К+4ЕВК+，т.е. ниже по течению от линии АК+В.
§ 8. Образование скачка уплотнения при спрямлении участкапрофиля в сверхзвуковой части минимальной области влияния [117]
А. А. Никольским и Г. И. Тагановым [70] (см. гл. 6, § 3) было показано, что потенциальное течение в местной сверхзвуковой зоне (в зоне 1) разрушается, если произвести спрямление произвольного участка контура, ограничивающего эту зону. Ниже приводится родственный результат для случая симметричного обтекания гладкого выпуклого профиля равномерным сверхзвуковым потоком с отошедшей ударной волной.
Итак, рассматривается плоское течение идеального газа за отошедшей ударной волной, обладающее в некоторой окрестности звуковой точки О на контуре профиля свойствами непрерывности вектора скорости и его первых производных.
Пусть 吵(с, у) — функция тока, обращающаяся в нуль на критической линии тока, состоящей из отрезка оси симметрии и контура профиля. Ввиду симметрии течения, существует такое число 吵о > 0, что при 吵у) < 吵о энтропия является невозрастающей функцией 吵.Будем называть зоной 3 подобласть зоны 1, в которой 叭х, у) < ^о-
Отрезок контура профиля, ограничивающий в зоне 3 е-окрестность звуковой точки контура, отображение которой в плоскость годографа однолистно, не может содержать прямолинейный участок; вдоль этого отрезка контура имеет место оценка |9A/9si| W хАtgа, где 死 = \dp/dsi\ — кривизна контура, а = arcsin(l/Af).
Существование е-окрестности звуковой точки профиля (入,6), отображение которой однолистно, вытекает из условия строгой выпуклости профиля dp/ds\ < 0.
Так как из каждой точки отрезка линии тока, содержащегося в зоне 3, обе характеристики проходят к звуковой линии в отрицательном направлении, то из свойств а гл. 1, §7, а гл.8, §7 вытекает, что образ любого отрезка линии тока, содержащегося в сверхзвуковой подобласти е-окрестности, не пересекается в плоскости годографа А/3 с треугольником, образованным отрезками эпициклоид (характеристик потенциального течения), проведенных из каждой его точки к звуковой линии. Поэтому для угла наклона 夕 образа контура к оси А имеет место оценка (рис. 8.22)
^例=隅2飙
откуда следует
W хА tg а.
Если на контуре существует прямолинейный отрезок, то его образ в плоскости》6 лежит на прямой /3 =仇 или является точкой. Первое невозможно, потому что при А / 1 \dp/d>\》ctg а/А > 0. Предположим второе. Тогда вдоль всего прямолинейного отрезка имеет место /3 =仇 и А = Ао. Решая задачу Коши с этими начальными данными, убеждаемся, что течение внутри построенного характеристического треугольника имеет прямолинейные линии тока, параллельные прямолинейному отрезку контура, вдоль которых ркорость постоянна, т.е. А = А(^), причем 入®)—
неубывающая функция. Это означает; что весь характеристический треугольник изображается в плоскости годографа отрезком линии 0 =瓦, расположенный вне образа окрестности зоны 3, что невозможно.
Таким образом, спрямление некоторого участка контура, расположенного в е-окрестности звуковой точки, независимо от его длины приводит либо к такой деформации звуковой линии и характеристик, что обе характеристики, выходящие из любой точки спрямленного участка, уже не попадают на звуковую линию, либо к образованию скачка уплотнения, либо к нарушению однолистности отображения в первоначальной £ -окрестности с образованием линии ветвления, пересекающей контур.
Первый случай, по-видимому, не имеет места, так как тогда решение прямой задачи обтекания не было бы единственным, либо отсутствовала бы непрерывная зависимость решения от граничных условии.
Покажем, что в случае нарушения однолистности в £ -окрестности должны возникнуть изменения потока, зависящие не от длины спрямленного участка, а только от его местоположения. Заметим, что спрямление можно произвести так, чтобы деформированный контур имел сколько угодно непрерывных производных.
Рассмотрим точку W пересечения с контуром образовавшейся линии ветвления. Якобиан 3(А, 0)/д(х,у) обращается в ней в нуль, если течение останется гладким, или изменяет знак (не обязательно проходя через нуль), если из этой точки будет распространяться разрыв первых производных А, 0.
Рассмотрим случай, когда якобиан обращается в точке W в нуль.
Учитывая, что на контуре dS/ds2 = 0, и используя уравнения движения, получим в точке W
а(хе)=处处=о8(%, у) 一 3s Егп —'
где а/Не, а/Зон —производные по направлениям характеристик второго и первого семейств.
Обозначим характеристику первого семейства £ = const (характеристику второго семейства п = const), если она проходит через точку звуковой линии, в которой В = £ (В =寸).Ввиду того, что др/дз W 0 вдоль отрезка звуковой линии, ограничивающего зону 3, такое определение оправдано. Здесь д/дз — производная по направлению звуковой линии; оценка д/3/дз 4 0 вытекает из свойства а §7.
Без ограничения общности можно считать, что в точке W
Так как d% = 成/(启 + С^)1/2 sin 2а, получим, что если в точке W М / 1 и М / оо, то либо дХ/д^ = 0, либо 遂 + £j = 0.
Равенство G + 臨 =0 невозможно в изолированной точке, так как характеристики не имеют кратных особых точек в плоскости течения. Если бы это равенство имело место вдоль всей характеристики, то это противоречило бы неравенству д/З/дз < 0, имеющему место на звуковой
линии в £-окрестности точки 0, так как при А = 1 90/ds = д^/дз = =дг^/дз. Таким образом, получим, что в точке W дХ/д^ = 0.
Проинтегрируем соотношения на характеристиках
士d0i,n = ctga din А + 幻^dS
вдоль характеристик первого и второго семейств от звуковой линии до произвольной точки （3 "） зоны 3. Получим
8 =奴入）+ /器籌面+ 6=”
Л
3（入）=/竽认1
一月="入）+/鬣^成+"=f
Продифференцируем эти соотношения по ^ и исключим д^/д^. Если точка （3 力 находится на контуре, получим
2詈喂+尸（3力=a
•⑷片e•⑷片eF（E）= 1 -壶/貳心）如嚼誌3）曲+dS 1dз，冠+吟
•⑷
片e
•⑷
片e
Если до проведения деформации производная дХ/д^ непрерывна, то непрерывно и выражение 尸（3〃）. В звуковой точке контура 左（3八= =1, поэтому существует окрестность этой точки, в которой 尸（3 ту） > > р, 0 < р < 1, где р — некоторая постоянная. Отсюда следует; что если спрямленный контур расположен достаточно близко к звуковой точке профиля, то значение 取&^） изменится в точке W не менее чем на р、 независимо от длины этого участка.
Тот же самый вывод получим и в случае, котда из точки W распространяется разрыв якобиана. Итак, доказано: если задача внешнего обтекания профиля с отошедшей волной корректна, то ее решение (за ударной волной), вообще говоря, не является непрерывным.
§ 9. Некоторые свойства ЛТобластн «в целом». Модельпотенциального течения за ударной волной
Установим ряд свойств М-области, вытекающих из факта существования решения краевой задачи, сформулированной в плоскости годографа, и из общих свойств отображения в эту плоскость. Описываемые свойства
справедливы при некоторых дополнительных ограничениях и для плоских вихревых течений, описываемых точными уравнениями идеального газа (см. § 10), однако использование модели безвихревого трансзвукового течения позволяет достичь максимальной простоты и лаконичности доказательств.
Предположим, что при обтекании некоторого тела равномерным сверхзвуковым потоком возникает область дозвуковых скоростей, примыкающая к ударной волне и ограниченная, помимо нее, только звуковой линией.
Тогда ограничивающий область отрезок ударной волны в каждой точке обращен выпуклостью в сторону области за ударной волной (рис. 8.23).
Действительно, в силу локальной однолистности отображения течения в плоскость годографа (см. гл. 1, § 11) образом рассматриваемой дозвуковой области является область, лежащая внутри фигуры, образованной петлей ударной поляры и отрезком звуковой ли
нии. Если бы существовала точка перегиба ударной волны, то ее образ в плоскости годографа — точка возврата на ударной поляре — был бы концевой точкой разреза образа области за ударной волной (рис. 8.23).
В этом случае образ области за ударной волной должен был бы выходить за петлю ударной поляры, что невозможно. Направление выпуклости ударной волны определяется отрицательным знаком якобиана отображения, устанавливающим ориентацию области в плоскости годографа.
Установим теперь направление выпуклости отошедшей ударной волны на границе М-области, возникающей при обтекании гладкого профиля [119].
Рассмотрим сначала случай выпуклого профиля.
На рис. 8.24 показаны дозвуковая часть М-области и ее образ в плоскости годографа в предположении, что М-область не содержит местных сверхзвуковых зон. В силу гладкости и выпуклости профиля, его образ в плоскости годографа состоит из отрезка Oi О2 прямой А = 0 (критическая точка) и кривых 54 5В, при движении вдоль которых в направлении
к звуковой линии (указанном стрелками) угол £ не возрастает на О2А и не убывает на О^В. При движении вдоль этих кривых скорость может изменяться немонотонно (штрихи в плоскости годографа).
Кривые О1А и О2В не могут пересекать дозвуковой отрезок ударной поляры, так как в этом случае нарушился бы «закон монотонности» вектора скорости на звуковой линии, вытекающий из свойства локальной однолистности отображения дозвуковых областей. Поэтому образ дозвуковой области целиком расположен вне петли ударной поляры. Это означает, что на ударной волне не существует точек перегиба (см. рис. 8.24).
Если контур профиля не является выпуклой кривой во всех своих точках, то часть образа дозвуковой области при наличии точек перегиба F, Н на ударной волне (и только в этом случае) будет лежать внутри петли ударной поляры. В плоскости годографа при этом образуется двулистная поверхность (типа винтовой) с точками возврата на ударной поляре F, Н (рис. 8.25).
Однако при непрерывной деформации исходного профиля в выпуклый, непрерывное преобразование течения в М-области невозможно, что противоречит предположению о корректности задачи. Действительно, при таком преобразовании петля образа контура, содержащая внутри себя точки F, Н стянулась бы в точк); лежащую на дозвуковом отрезке ударной поляры. В силу локальной однолистности отображения дозвуковой области это невозможно 9.
Рассмотрим вопрос о режиме обтекания конечного клина с присоединенной ударной волной. Как известно, из соотношений на скачке уплотнения следует, что при обтекании бесконечного клина могут быть два режима: один соответствует более сильному скачку уплотнения, второй —более слабому. Однако при обтекании конечного клина реализуется только режим со слабым скачком уплотнения. Это свойство было доказано Ф. И. Франклем [104] при условии, что приращения энтропии на ударной
I) То, что ударная волна, возникающая при обтекании невыпуклого профиля, обращена на дозвуковом отрезке выпуклостью в сторону набегающего потока, было замечено в [27] при проведении расчетов соответствующих обтеканий.
волне несущественны (т.е. при М^ -> 1). А. А. Никольский в [68] развил доказательство Ф.И. Франкля на случай течения для чисел Mg, удовлетворяющих неравенству Moo < m(h), где т(к) —некоторая постоянная, зависящая от показателя адиабаты к (см. § И).
Изложим доказательство Ф. И. Франкля. Рассмотрим обтекание конечного клина с присоединенной ударной волной, когда течение за ней в некоторой окрестности острия дозвуковое. Так всетда будет при сильном скачке уплотнения (точнее, так было бы, если бы он существовал), а при слабом, в зависимости от числа Mg и угла 伉 раствора клина, течение может быть как сверхзвуковым, так и дозвуковым.
Рис. 8.26
Рассмотрим отображение дозвуковой области в плоскость годографа. Граница образа области дозвуковых скоростей за сильной ударной волной представляет собой самопересекающуюся кривую С14В, состоящую из отрезков ударной поляры и прямых Д = /?0, А = 1, если 81VBо V 伪, тде Bi — значение 0 в точке пересечения ударной поляры с прямой А = 1, 02 — максимальное значение 0 на ударной поляре. При 8 VBi образ дозвуковой области (за сильным скачком) целиком лежит внутри петли ударной поляры. Оба случая неосуществимы ввиду свойства локальной однолистности отображения (рис. 8.26).
§ 10. Некоторые свойства М-области в целом. Вихревое течение заударной волной [124]
Рассмотрим плоское вихревое течение за гладкой ударной волной в равномерном сверхзвуковом потоке. Исследование будем производить с помощью отображения в плоскость годографа давления р^. Как было показано в гл. 1, отображение области дозвуковых скоростей в эту плоскость не имеет складок; выполняется следующее правило: обходу границы области Q дозвуковых скоростей^ при котором область остается слева в плоскости р0 соответствует обход образа границы Q, при котором образ Q остается также слева.
Образ ударной волны в плоскости р£ располагается на замкнутой кривой 8 = 8(р), ще функция /3(р) определена соотношениями на скачке уплотнения. Отметим на этой кривой — ударной поляре — «дозвуковой отрезок» bsb' (рис. 8.27); при передвижении по ударной поляре от точки s к точке п скорость увеличивается, а давление убывает (s изображает точку
ортогональности ударной волны вектору скорости, п — точку, в которой ударная волна вырождается в характеристику).
Обозначим через Т точку изменения выпуклости ударной волны по отношению к внешней нормали. Если на ударной волне существует точка Г, то из соотношений на скачке уплотнения следует; что перемещению вдоль ударной волны мимо точки Т соответствует перемещение по ударной поляре с точкой возврата в 力 образе точки Т. Если в Т скорость дозвуковая, то, в соответствии с правилом обхода, образ ударной волны в некоторой окрестности t будет разрезом в образе области за ударной волной (рис. 8.28).
Б. Анализ формулы для давления за скачком уплотнения позволяет установить, что при 1 < М^ < у (к) ударная поляра пересекает (рис. 8.27) прямую
Точки пересечения принадлежат дозвуковому отрезку ударной поляры. (Здесь Моо, Роо — число Маха и полное давление в набегающем потоке, “(к) — некоторая постоянная; обозначим, кроме того, число Маха в точках пересечения ударной поляры с прямой р = р* через ЛГ* = "*(卜), а минимальное значение числа Маха на ударной поляре — через Л^.) Это означает, что при 1 < М^ W 〃(%,"*) (хде д(Л,Мф) — некоторая постоянная, ц(к,М^) < “(А:) (рис. 8.29)) отрезок ударной поляры, на котором Ms ^ М ^ М^у расположен правее прямой р = р*, т.е. на этом отрезке
В связи с тем, что на звуковой линии
(Ро ——полное давление в области за ударной волной), образ звуковой линии 6 плоскости р£ расположен левее прямой р = р*.
В дальнейшем ограничимся случаями, когда граница области дозвуковых скоростей не содержит вторичных скачков уплотнения.
Пусть граница области Q дозвуковых скоростей состоит из отрезков гладаой ударной волны и звуковых линий. При М^ < 〃(冗Mg) отрезок ударной волны (принадлежащий границе Q), на котором М < М*, 6 каждой своей точке обращен выпуклостью 6 сторону области заударной волной (рис. 8.23).
Предположим обратное: пусть на указанном отрезке ударной волны имеется точка Т. Тогда существует подобласть F области Q, образ которой
в плоскости р0 расположен вне петли ударной поляры правее прямой р = Pt. Действительно, это следует из свойства а, если образ ударной волны в окрестности точки Т лежит на ударной поляре левее точки t. Если же образ ударной волны расположен на ударной поляре правее точки t, то образ 尸 принадлежит окрестности точки s, самой правой точки ударной поляры, так как без ограничения общности можно счи
тать, что на ударной поляре между точками % и s нет других точек 九 Так как давление в потоке ограничено, образ области F должен быть ограничен
справа.
В связи с тем, что граница Q состоит только из отрезков ударной волны и звуковых линий и ввиду отсутствия при М < 1 линий ветвления (при отображении со складками граница образа области может содержать край складки — линию ветвления) граница образа F, в точках которой р > pt, может быть только образом отрезка звуковой линии. Однако в соответствии со свойствами Б, в при Mg < 〃的 Мф) это невозможно.
Таким образом получено, что ударная волна на некотором дозвуковом отрезке (при М < М*) не содержит точек Т и что образ окрестности этого отрезка расположен внутри петлиударной поляры. Применяя правило обхода границы области и соотношения на скачке уплотнения, получим, что ударная волна на этом отрезке обращена выпуклостью в сторону области заударной волной.
Такое течение с «вогнутой» ударной волной, по-видимому, имеет место при истечении сверхзвуковой струи в пространство с повышенным давлением, на режиме нерегулярного отражения косого скачка уплотнения от оси симметрии струи (см. рис. 2.9).
Перейдем теперь к области Q, граница которой содержит отрезок контура профиля. Рассмотрим обтекание гладкого выпуклого профиля с отошедшей ударной волной. Критической называется точка, в которой приходящая на профиль линия тока разветвляется на две; в критической точке скорость равна нулю.
Пусть при сверхзвуковом обтекании гладкого выпуклого профиля, единственного во всем потоке, имеют место следующие свойства.
Ударная волна гладкая на всем протяжении.
Граница области Q дозвуковых скоростей не содержит вторичных скачков уплотнения.
Критическая точка на профиле — единственная. Если Mg < < 〃(瓦 Л/*), то отрезок ударной волны (принадлежащей границе Q), на кагором М < Мф, в каждой точке обращен выпуклостью в сторону набегающего потока.
Рассмотрим отображение в плоскость р0. Так как профиль гладкий, образ критической точки О представляет собой отрезок О1О2 прямой р = =const длиной 7г (рис. 8.30). Контур профиля изображается кривыми, продолжающими этот отрезок с разных концов. В связи с вьшуклостью профиля, при перемещении по кривой, примыкающей к верхнему концу
Рис. 8.30
отрезка Oi, угол возрастает; при перемещении по кривой, примыкающей к нижнему концу отрезка 5, угол /3 убывает (см. рис. 8.24).
Отрезок 0。2 лежит вне петли ударной поляры, правее ее (см. рис. 8.24). Действительно, в точке О
Р = Ро》Роз-
Равенство здесь вьшолняется только в случае, когда в критическую точку попадает линия тока, проходящая через точку S ортогональности ударной волны вектору скорости. В точке s
Р = POs -< POs,
следовательно, давление в точке s меньше давления в точке О. Здесь роз, Л5 — полное давление и коэффициент скорости в точке S; Л5 > 0.
Образом ударной волны в плоскости р/3 будет вся петля ударной поляры. Число точек £ на ударной поляре равно нулю или четно. Действительно, так как ударная волна на бесконечном удалении вырождается в характеристики разных семейств (в верхней полуплоскости — в характеристику первого семейства, в нижней полуплоскости — в характеристику второго семейства), изображениями этих окрестностей в плоскости р0 будут отрезки ударной поляры, ограниченные точкой п снизу и сверху соответственно; образ ударной волны, ввиду ее гладкости будет непрерывной кривой. Если на ударной волне существуют точки Т, то ударная поляра разбивается
точками £ (изображениями Т)на отрезки, покрываемые при перемещении вдоль ударной волны нечетное, но различное число раз.
Предположим теперь, что на указанном отрезке ударной волны имеется точка Т. Без ограничения общности будем считать, что образ £ этой точки лежит в верхней полуплоскости рВ, т. е.仇》0. Точка t ограничивает отрезок, который покрывается (при перемещении вдоль уцарной волны) не менее трех раз. Используя правило обхода границы дозвуковой области, можно убедиться, что в окрестности точки £ вне петли ударной поляры существует не менее двух листов образа дозвуковой области. Эти листы показаны на рис. 8.30 в зависимости от того, в какой стороне от точки £ на ударной поляре (справа или слева) лежит образ уцарной волны в окрестности точки t Ввиду отсутствия при М 1 линий ветвления эти листы не могут быть скреплены один с другим вдоль некоторой линии.
В связи с тем, что оба листа содержат правый верхний квадрант ate окрестности точки £ (он расположен вне петли ударной поляры) границы листов пересекают этот квадрант. Поэтому на каждом листе существует отрезок границы дозвуковой области Q, не принадлежащий ударной поляре и расположенный правее точки £ (т. е. на этом отрезке р > pt), характеризуемый тем, что при перемещении вдоль него в направлении возрастания угла образ области Q (в некоторой окрестности отрезка) лежит слева от него. Используя правило обхода границы дозвуковой области, можно убедиться, что образ контура профиля не удовлетворяет этому условию из-за его выпуклости, а образ звуковой линии — ввиду свойств а, б. Следовательно, указанным отрезком границы может быть только образ О1О2 критической точки О. Отрезок OiO2 может, однако, ограничивать только один лист образа Q, так как при М < 1 линий ветвления не существует.
Полученное противоречие доказывает неправильность предположения о существовании точек Т на указанном выше отрезке ударной волны.
Образ области Q 6 окрестности этого отрезка лежит вне петли ударной поляры. Применяя правило обхода границы Q, получим, что ударная волна при этом отрезке обращена выпуклостью 6 сторону набегающего потока.
Рассмотрим теперь обтекание заостренного выпуклого профиля с присоединенной уцарной волной, когда течение за ней в некоторой окрестности острия дозвуковое. Такой режим может осуществиться, как следует из анализа ударной поляры, при некотором соотношении между числом 儿展 и углом наклона профиля (в острие) к вектору скорости набегающего потока.
Пусть при сверхзвуковом обтекании заостренного выпуклого профиля с присоединенной уцарной волной имеют место следующие свойства.
Ударная волна гладкая на всем протяжении от точки присоединения.
Граница области Q дозвуковых скоростей, расположенной в некоторой окрестности острия, не содержит вторичных скачков уплотнения.
Если Моо < 〃(瓦 т*), то отрезок ударной волны, на котором М < М* (если граница Q содержит такой отрезок), в каждой точке обращен выпуклостью в сторону набегающего потока.
Доказательство аналогично доказательству предыдущего свойства.
11. О единственности режима обтекания конечного клинас присоединеннойг ударной волной 9
Как известно, из соотношений на скачке уплотнения следует, что при обтекании бесконечного клина с присоединенной ударной волной могут быть два режима: первый соответствует более сильному скачку уплотнения, второй — более слабому. Считается, что при обтекании конечного клина реализуется только «слабый» скачок. Это было доказано Ф. И. Франклем [104] (§9) при условии, что можно пренебречь изменениями энтропии на ударной волне (при Мэо т 1 )•
Докажем теперь это свойство для вихревого течения за ударной волной, в случае когца Мю < m(k), гце т{к) —некоторая постоянная, зависящая от показателя адиабаты к (предполагается, что к > 1).
Рассмотрим обтекание конечного клина с присоединенной ударной волной, когда течение за ней в некоторой окрестности острия клина дозвуковое. Так всегда будет при «сильном» скачке уплотнения, а при «слабом», в зависимости от числа М^ и угла 氏 раствора клина, течение может быть как сверхзвуковым, так и дозвуковым.
Примем следующие предположения.
Клин (или составное тело, передней частью которого он является)— единственное тело, расположенное в потоке.
фарная волна гладкая на всем протяжении от точки присоединения.
Если клин является передней частью составного тела, то скорость дозвуковая только на стенке клина.
Если имеются местные сверхзвуковые зоны, то граница области дозвуковых скоростей не содержит вторичных скачков уплотнения.
Допускается, что звуковая линия, ограничивающая дозвуковую область, расположенную у острия клина, может выходить и не из угловой точки А (рис. 8.31). (При Mg т 1, котда поток можно считать потенциальным,
Рис. 8.31 Рис. 8.32Рис. 8.31 Рис. 8.32
Рис. 8.31 Рис. 8.32
Рис. 8.31 Рис. 8.32
Ф- И. Франклем [104] было доказано, что звуковая линия выходит из угловой точки, однако в случае вихревого течения это доказательство неприменимо.)
Доказательство, полученное впервые А. А. Никольским [68], почти не отличается от приведенного.
Рассмотрим отображение в плоскость р^.
Обозначим через d, d‘ точки максимального отклонения вектора скорости на ударной поляре (рис. 8.32).
Образом стенки клина является отрезок прямой 0 = Во. В связи с тем, что ударная волна присоеданенная, 0 V 仇 V 鱼.
Предположим, что имеет место течение с «сильным» скачком уплотнения. Тогда образ точки С (острия клина) будет лежать на отрезке ударной поляры ds (рис. 8.32).
Покажем, что образ звуковой линии (звуковых линий) должен содержать интервал, на котором р > рс.
Будем перемещаться по ударной волне от точки С к бесконечно удаленной точке N (область за ударной волной остается при этом справа). Соответствующая траектория на ударной поляре выходит из точки с и входит в точку п, изображающую набегающий поток, по направлению, при котором угол 0 убывает (на рис. 8.32 показано стрелкой), так как ударная волна на бесконечном расстоянии от тела вырождается в характеристику» составляющую острый угол с вектором скорости набегающего потока (угол отсчитывается против часовой стрелки). В связи с тем, что ударная волна предполагается гладкой, перемещение вдоль ударной поляры является непрерывным. Поэтому независимо от того, имеет это перемещение точки возврата или нет, на дозвуковом отрезке ударной поляры существует отрезок се, который проходит в направлении от точки с к точке п (рис. 8.32). Обозначим его прообраз на ударной волне через CqE (точка Со может совпадать с С); скорость в точках этого отрезка дозвуковая.
В соответствии с правилом обхода границы дозвуковой области, образ окрестности отрезка СоВ, лежащий за ударной волной, расположен справа от направленного отрезка се (рис. 8.32). Он должен быть ограничен образом звуковой линии, отрезок которого, следовательно, также расположен справа от отрезка се. (Образ области дозвуковых скоростей ограничен, так как давление в потоке ограничено.) Действительно, так как при М ^ 1 линий ветвления не существует; образ дозвуковой области, в силу предположений 1, 3, 4, может быть ограничен только образом стенки клина, ударной полярой и образом звуковой линии (звуковых линий). Это означает; что на звуковой лииии имеется интервал, на котором р > %
Покажем, что этого не может быть при М^ < m(fc), тде m(k) — некоторая постоянная. Действительно, вдоль звуковой линии
/ 2 、"/("г)/ 2 、к/(кт)
где ро ——полное давление в области за ударной волной, poi — полное давление в набегающем потоке. С другой стороны, рс》「山 значит из оценки р > рс на звуковой линии следует оценка
/ 2 、k/(k-l)
Используя соотношения на скачке уплотнения, получим отсюда 号t+(学+ 2图也+备)
Нетрудно установить, что если fc > 1, то это неравенство выполняется только при Moo > т(к). Действительно, при Mg т оо это неравенство выполняется, если fc > 1. С другой стороны, при достаточно малых значениях (应8 — 1)это неравенство можно представить в виде
^占("а - 1) + О ((“8 - I)2) <
V1 + 2 占(М8-1) + О(("оо-1)2), (6) и, следовательно, если fc > 0, то существует такое т(к), что при 1 < тпоо < m(k) неравенство не выполняется.
Расчет дает следующие значения постоянных т(к): т = 1,66 при к = =1,2; т = 1,711 при 用=1,4; т = 1,760 при к = 1,6.
Таким образом, доказано, что если М» < тп(к)^ то у острия конечного клина может реализоваться только «слабый» скачок уплотнения.
При выпуклости составного профиля, передней частью которого является клин, предположение 3 можно отбросить. Более того, доказательство допускает обобщение на случай выпуклого заостренного профиля: здесь достаточно только убедиться, что образ контура выпуклого профиля не может служить границей образа окрестности отрезка CqE, расположенного в правом верхнем квадранте точки с.
Условие выпуклости профиля является существенным. Действительно, течение с «сильным» скачком уплотнения можно построить, приняв за твердую стенку одну из линий тока в течении за отошедшей ударной волной (лежащую в некоторой окрестности точки ортогональности ударной волны вектору скорости) 9. Как следует из граничного условия для функции тока на ударной поляре (наиболее просто оно описывается при М» т 1), полученный профиль будет вогнутым в окрестности острия, если выбранная линия тока проходит через точку ударной волны, в которой та обращена выпуклостью в сторону набегающего потока.
Это соображение высказывалось 匸匚 Черным.
Глава 9
Вторичные скачки уплотнения
На определенных режимах сверхзвукового обтекания затупленных тел в поле течения за отошедшей ударной волной возникают вторичные (или иначе — внутренние, висячие) скачки уплотнения. Они оказывают существенное влияние на аэродинамические характеристики тел. Расчетным путем эти скачки впервые были обнаружены П. И. Чушкиным [111] при изучении обтекания гладко затупленного клина и конуса; В.Ф. Ивановым [13] были построены скачки в области за головной ударной волной при расчете обтекания затупленного конуса с изломом образующей контура. Образование вторичных скачков уплотнения ранее наблюдалось и в экспериментах, однако причины их появления не были тогда достаточно изучены. М. Лайтхиллом, например, высказывалось мнение [90], что причиной образования вторичного скачка является отрыв и последующее прилипание пограничного слоя в окрестности угловой точки (по этому поводу см. § 11); были предположения, что появление таких скачков в расчетах связано с заданием «грубых» начальных данных и т.п.
В этой главе приводится ряд результатов исследований численными и аналитическими методами — доказывается существование скачков при обтекании тел различной формы, устанавливаются их общие свойства, проводится асимптотический анализ вблизи точек их зарождения, дается описание численных результатов.
Причины образования вторичных скачков уплотнения
Как известно (например, [55]), существенное отличие нелинейных уравнений в частных производных гиперболического типа от линейных проявляется, помимо прочего, в том, что непрерывное решение задачи Коши для нелинейного уравнения существует, вообще говоря, лишь в достаточно малой окрестности начального многообразия. Это связано с тем, что заранее неизвестные характеристики нелинейного уравнения, выстраиваемые в процессе решения задачи Коши, могут пересекаться (даже при весьма гладких начальных функциях) и, следовательно, образовывать «складки» в решении на конечном расстоянии от начального многообразия (рис. 9.1).
Таким образом, область существования непрерывного сверхзвукового течения в физической плоскости может быть ограничена огибающей одноименных характеристик — краем складки решения. На огибающей (которая называется предельной линией) градиент скорости бесконечен («градиентная катастрофа» [55]). Появление огибающей свидетельствует о невозможности построения непрерывного решения соответствующей краевой задачи «в целом»: из-за образующейся многолистности физической плоскости возникает необходимость в построении обобщенного
решения. Последнее для уравнений газодинамики получается путем введения в область определения непрерывного решения поверхностей или линий разрывов первого рода для составляющих скорости. На них должны выполняться условия Гюгонио, а также теорема Цемплена, гласящая, что при переходе через поверхность разрыва в направлении движения потока скорость не возрастает [49].
Скачки (разрывы) в обобщенном решении призваны устранять возникшую многолист- ность, т.е. область, многократно покрываемую одноименными характеристиками; при этом наличие скачка изменяет решение на том листе, который находится в области за скачком.
Следовательно, «самопроизвольно» зародившийся скачок уплотнения должен выходить из
той точки, где «начинается» огибающая характеристик. Это может быть либо точка возврата огибающей, либо точка пересечения с огибающей линии слабого разрыва первых производаых составляющих скорости, по одну сторону от которой огибающая существует, а по другую — нет (рис. 9.2).
В точке зарождения интенсивность вторичного скачка равна нулю, он касается характеристики соответствующего семейства.
Сформулируем теперь задачу о построении решения с вторичным скачком уплотнения.
Пусть газ на рис. 9.2 движется слева направо. Обозначим FO и OG — края складки, образовавшейся в непрерывном* решении (FO и OG — ветви огибающей характеристик), ОВ — характеристический луч второго семейства, выпущенный вниз по потоку. Решение вверх по потоку от скачка остается неизменным, т.е. скачок проходит по одному из листов многолистной поверхности решения (рис. 9.2), не возмущая его до характеристики ОВ.
Решение «за скачком» (в области АОВ на рис. 9.2) должно строиться одновременно с самим скачком, на котором выполняются условия Гюгонио; на характеристике ОВ оно непрерывно (по скорости) примыкает к решению «перед скачком».
По характеристике ОВ распространяется слабый разрыв — разрыв производных скорости — даже если решение было аналитическим вдоль «приходящей» характеристики ЕО.
В точке возврата огибающей, которая служит точкой зарождения висячего скачка, интенсивность его, как уже отмечалось, равна нулю.
Сформулированная здесь задача о построении висячего скачка близка к задаче о распаде произвольного разрыва, подробно проанализированной в [83].
Классификация скачков. Теорема Никольскогоо хвостовом скачке
При анализе сверхзвуковых течений с поверхностями разрыва (обобщенных решений уравнений газодинамики) целесообразно произвести определенную классификацию.
Будем называть в дальнейшем:
Головной ударной волной — поверхность разрыва, возникающую в равномерном (или неравномерном) сверхзвуковом потоке перед телом. В случае отошедшей ударной волны между этой поверхностью разрыва и телом существует область дозвуковых скоростей, порождающая соответствующую М-область. Аналогичный случай имеет место и при некоторых режимах обтекания с присоединенной ударной волной у заостренного тела. (Доказательство существования головной ударной волны см. в гл. 8, § 1.)
Вторичным скачком уплотнения — скачок уплотнения в области за головной ударной волной.
Сверхзвуковым или дозвуковым будем называть всякий скачок уплотнения в той его части, где течение за скачком соответственно сверхзвуковое или дозвуковое. В зависимости от угла наклона скачка его можно относить к первому или второму семейству: угол наклона скачка первого (второго) семейства к вектору скорости имеет тот же знак, что и угол наклона одноименной характеристики в области перед скачком. Скачки разных семейств могут гладко переходить друг в друга только в точке ортогональности скачка к вектору скорости.
Точкой зарождения скачка будем называть точку его нулевой интенсивности.
Висячим скачком — скачок, зарождающийся в сверхзвуковой точке потока. Причины образования висячего скачка указаны в § 1.
Звуковым скачком — скачок, зарождающийся в звуковой точке потока. Причины образования звукового скачка различны в зависимости от того, находится он в М-области или вне ее: это определяет формулировку задачи для построения скачка.
Если в потоке образуется несколько скачков, то они могут пересекаться. Пересечение скачков сопровождается появлением тангенциального
разрыва — разрыва энтропии. Задача построения сверхзвукового течения за точкой пересечения скачков близка к задаче о распаде произвольного разрыва, поставленной Риманом и изученной в строгой постановке [83] для широкого класса уравнений гиперболического типа.
Если пересекаются скачки одного семейства, то возникает А-образный скачок и тангенциальный разрыв (в слабо сверхзвуковом потоке тангенциальный разрыв не принимается во внимание).
При обтекании плоского ромбовидного тела в окрестности его задней кромки образуется хвостовой скачок (рис. 9.3). В зависимости от скорости и угла наклона профиля в задней кромке может осуществляться режим
Рис. 9.3Рис. 9.3сверхзвукового скачка, либо дозвукового скачка («отошедшего» от оси симметрии).
Рис. 9.3
Рис. 9.3
По теореме А. А. Никольского [69] при осевой симметрии непрерывное сверхзвуковое течение на задней кромке не существует (если контур не касается оси симметрии}. Доказательство проводится от противного: достаточно проинтегрировать соотношение вдоль характеристики П семейства, проходящей через точку А, чтобы получить логарифмическую особенность (если бы в точке А достигалась предельная скорость, особенности бы не
было, однако эта возможность исключается из рассмотрения).
Хвостовой скачок является одним из примеров вторичного скачка уплотнения. Однако, как будет показано в § 5-7 при обтекании тел сверхзвуковым потоком кроме него может возникать и висячий скачок; эти два скачка, если они оба существуют, пересекаются, образуя А-образный скачок.
Теория «простой волны» Фридрихса. Асимптотика скачковна бесконечности
Теория сверхзвукового обтекания тонкого тела, основанная на аппроксимации уравнения для потенциала скорости волновым уравнением, ввиду его линейности, не позволяет обнаружить эффекты, связанные с образованием ударных волн.
В связи с этим К. Фридрихе предложил метод анализа плоских сверхзвуковых течений со скачками уплотнения на большом удалении от профиля [143, 90]. Аналогичный метод был использован независимо Л. Д. Ландау [59].
Метод основан на следующей аппроксимации.
Из условий Гюгонио на скачке уплотнения следует соотношение между составляющими скорости до и после скачка. В плоскости годографа ему соответствует некоторая кривая — ударная поляра. Семейство ударных поляр, зависящее от параметра — скорости перед скачком — дано на рис. 1.5; скорость за скачком представляется какой-либо точкой на поляре. Если интенсивность скачка мала, то при переходе через скачок состояние потока изменяется мало.
Как известно, имеет место свойство: ударная поляра в точке, изображающей поток перед скачком9 касается характеристики потенциального течения и их кривизны е этой точке совпадают.
Таким образом, для слабых скачков уплотнения каждая ветвь ударной поляры с большой точностью аппроксимируется касательной характеристикой потенциального течения.
Это свойство согласуется с тем, что для слабых скачков изменения энтропии также малы. Так как завихренность за ударной волной, возникшей в потенциальном потоке, пропорциональна кривизне ударной волны, для анализа скачка на бесконечном удалении от тела, где его кривизна стремится к нулю, допущение о пренебрежимой малости завихренности становится тем более оправданным.
Помимо ударной поляры и формулы для приращения энтропии, из условий Гюгонио вытекает также соотношение, определяющее угол наклона скачка в физической плоскости в зависимости от составляющих скорости до и после скачка; если они известны в некоторой области потока, то это соотношение записывается как обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка.
Рассмотрим симметричное обтекание профиля равномерным сверхзвуковым потоком (рис. 9.4). Метод Фридрихса состоит в том, что поток всюду считается простой волной. (Простой волной называется потенциальное течение с прямолинейными характеристиками одного семейства
Рис. 9.4
(см. гл. 1, § 9).) В плоскости годографа такое течение изображается характеристикой, причем если прямыми будут характеристики первого семейства, то образ этого течения в плоскости годографа — характеристика второго семейства. Это определяет зависимость между углом наклона вектора скорости и модулем скорости, а также углом наклона прямолинейной характеристики. Пусть профиль достаточно тонкий и течение всюду сверхзвуковое. (Профиль заострен спереди и сзади настолько сильно, что возникающие ударные волны — присоединенные.) В соответствии с основным допущением, область течения может быть покрыта прямолинейными характеристиками первого семейства, причем существуют две треугольные области АВС и DFGy покрываемые характеристиками дважды; в этих областях
могут быть вычислены правые части обыкновенных дифференциальных уравнений для определения ударных волн.
Полученные в результате интегрирования ударные волны BL и GM (они выпускаются из передней и задней кромок профиля) отделяют области QBL и KGM равномерного сверхзвукового потока одной и той же скорости впереди и позади профиля от области простой волны LBPGM. Таким образом, метод Фридрихса позволяет очень просто получить форму ударных волн и поток между ними. Одно из соотношений на скачке уплотнения при этом выполняется точно, а два других — приближенно.
В плоскости годографа все течение изображается отрезком характеристики 1-2. Точка О изображает равномерный поток в областях QBL и KGM и характеристику РН, в точке 尸 угол наклона касательной к профилю равен нулю, отрезок 1-0 изображает ударную волну LB и область за волной LBPH, отрезок 0-2 ударную волну ЕМ и область перед ней HPGM.
Построенное приближенное решение обладает следующими свойствами.
В ударную волну LB входят все характеристики из области QBL перед волной, а в области за волной ее пересекают все характеристики, выпущенные из отрезка профиля ВР.
В ударную волну GM (хвостовой скачок) попадают все характеристики, выпущенные из отрезка профиля PG и из области равномерного потока MGK.
Ударные волны вдали от профиля зависят только от его формы в окрестности горизонтального участка — вблизи точки Р. Асимптотически (на бесконечном удалении от профиля) ударные волны LB и GM описываются формулами [59]
у = кх + Лж1/2 + ...,
у = кх — Вж1у/2 + ...,
где у = кх — уравнение характеристики РН (рис. 9.4), а коэффициенты Л, В определяются формой профиля и скоростью потока.
В области между ударными волнами LB и ЕМ на больших уда
лениях от профиля скорость меняется по линейному закону; градиент скорости обратно пропорционален расстоянию от профиля [59] (рис. 9.5).
Подробное описание метода Фридрихса и полученных с его помощью результатов дано в [90].
При рассмотрении профиля, простирающегося вниз по потоку до бесконечности —когца его образующая становится параллельной оси симметрии или в случае клиновидного профиля, метод Фридрихса
дает возможность обнаружить только переднюю ударную волну; за характеристикой РН поток будет равномерным и прямолинейным.
9 Э.Г. Шифрин
Как будет показано в §7, при обтекании таких тел в области за головной ударной волной висячий скачок все же возникает. Этот пример показывает; что метод «простой волны» «не замечает» некоторых эффектов, являющихся для него слишком тонкими.
Следует отметить, что метод Фридрихса, если его понимать несколько шире, чем метод определения формы ударной волны при обтекании тонкого профиля, имеет фундаментальное значение при асимптотическом описании висячих скачков уплотнения вблизи точек зарождения.
Разрушение непрерывного сверхзвукового течения вниз по потоку от М-области [126]
Рассмотрим симметричное обтекание выпуклого профиля (гладкого или с угловой точкой, из которой выходит звуковая линия к ударной волне) равномерным сверхзвуковым потоком идеального газа с отошедшей ударной волной. Пусть функция тока равна нулю на критической линии тока. Ввиду симметрии будем рассматривать только верхнюю полуплоскость течения, в которой функция тока положительна.
Если течение непрерывно в M-области, то, как было показано в гл. 8 для гладкого профиля, частью ее границы всегда является характеристика АВ первого семейства, проведенная из некоторой точки В профиля к звуковой линии. В случае, когда звуковая линия выходит из угловой точки профиля, исследование, проведенное в § 1 гл. 7 показало, что звуковая линия в этой точке ортогональна предельному положению касательной при подходе к угловой точке из дозвуковой области.
Точка Л (рис. 9.6) может быть расположена как в поле течения, так и на ударной волне. Проведем из точки А к контуру профиля характеристику второго семейства АС.
Предположим существование такого профиля, что течение за ударной волной обладает следующими свойствами.
Энтропия в минимальной области влияния является монотонно убывающей функцией от функции тока (т. е. ударная волна является выпуклой на всем отрезке, ограничивающем М-область).
Течение в области за ударной волной непрерывно (не содержит скачков уплотнения).
Рассмотрим сначала обтекание гладкого профиля. Проинтегрировав соотношения совместности на характеристиках
士d/?i,2 = ctg a din 入 +sin 2a dS, sin а =
вдоль соответствующих характеристик в направлении возрастания энтропии от точки А до контура профиля, получим
(1)(1)Рв ^ Ра + 1\ = Ра+ 2^ / sin 2a dS, (AB)
(1)
(1)
6c 4 Ga —厶=Ga — ^^ J sin 2a dS. (AC)
Так как оба интеграла 厶 и 厶 неотрицательны, на контуре профиля между точками В и С должна существовать точка О, в которой 任=勿 (см. рис. 9.6).
Подвергнем профиль непрерывной деформации, заменяя часть контура, расположенную вниз по потоку от некоторой точки Е касательной к профилю в этой точке, а затем передвигая точку Е вверх по течению вплоть до точки D. Покажем, что не успеет точка Е совпасть с точкой О, как произойдет нарушение какого-либо из сделанных выше предположений 1,2.
Предположим обратное. Рассмотрим интеграл / sin 2a dS вдоль характеристики АС при произвольном положении точки Е, т. е. при Е € [D,瓦]. Этот интеграл в вихревом потоке строго положителен, так как он может обращаться в нуль только в случае, когда характеристика АС совпадает со звуковой линией. Поэтому в классе непрерывных решений существует
/ sin 2a dS./ sin 2a dS.(AC)(AC)
/ sin 2a dS.
/ sin 2a dS.
(AC)
(AC)
Определим точку G на первоначальном профиле равенством
8G = Bd - ۥ
Ввиду выпуклости профиля точка G лежит между точками D и С. Если поместить точку Е между точками 0 и G, т.е. если Bd ^ Be > Bg, то получим
Вс = Be > Bg = 3d — £ = Ва — 謚 inf / sin 2a dS,
Ee[DC]丿
(AC)
что противоречит второму неравенству (1).
Обозначим через А(Е) максимальный характеристический треугольник, с вершиной в точке Е, имеющий основанием отрезок контура профиля, расположенный вниз по течению от точки Е. Следуя [49], будем называть задачей 3 задачу построения в характеристическом треугольнике
непрерывного сверхзвукового течения по заданному на характеристике распределению скорости и условию непротекания на примыкающей твердой стенке. Из сказанного следует, что на первоначальном профиле существует такая точка Н, /?н 4 6g, что при Be < Вн задача 3 имеет непрерывное решение во всем треугольнике Д(Е), а при Be > 8н не имеет.
При совмещении точки Е с точкой G в 厶(Е) возникает скачок уплотнения или образуется местная зона дозвукового течения. (Как известно из теории нелинейных гиперболических уравнений, задача Коши при достаточно гладких начальных данных имеет непрерывное решение, вообще говоря, лишь в достаточно малой области. При решении задачи «в целом» решения может не быть либо из-за образования огибающей характеристик и, следовательно, висячего скачка уплотнения, либо из-за возникновения внутри области определения искомого решения подобласти эллиптичности (т. е. подобласти дозвуковых скоростей).)
Установим некоторые оценки для угла %. Обозначим Mg число Маха набегающего потока; 7 ——угол на ударной волне наклона звуковой линии к вектору скорости, отсчитываемый против часовой стрелки; при М^ < < Л/。(左)угол 7 острый, при Mg > Mo(k) угол 7 тупой (см. гл. 8, §3). Предположим, что при М^ < 躱(6) на звуковой линии не существует точек К, тогда точка Л есть звуковая точка на ударной волне и угол 8а определяется с помощью ударной поляры.
В случае, когда Mg > M0(k) будем предполагать, что на отрезке звуковой линии между ударной волной и точкой Л не содержится точек К, а также точек L, в которых меняет знак кривизна линии тока. В этом случае, как показано в гл. 8, § 6, при перемещении по звуковой линии от точки Л по направлению к ударной волне вектор скорости поворачивается против часовой стрелки, т. е. угол 0 будет возрастать. Это означает, что при М^ > > Мо(к) угол Ва будет меньше угла наклона вектора скорости в звуковой точке на ударной поляре.
Таким образом показано, что если при обтекании бесконечного затупленного клина равномерным сверхзвуковым потоком постепенно увеличивать угол 仇 раствора клина или уменьшать Mg так, чтобы поток за ударной волной на бесконечности все время был сверхзвуковым, то при некотором значении параметров (仇 или 儿展)в потоке возникает либо скачок уплотнения, либо местная дозвуковая зона изэнтропи- чески заторможенного газа (последнее, no-видимому в общем случае невозможно). Возникший скачок уплотнения при дальнейшем увеличении угла раствора клина может перемещаться вверх по течению; при попадании его в минимальную область влияния произойдет ее перестройка.
Полученный результат может быть распространен и на случай обтекания выпуклого профиля с угловой точкой.
Без ограничения общности можно полагать, что характеристика первого семейства АВ, ограничивающая минимальную область влияния, содержится внутри узла характеристик первого семейства, исходящих из угловой точки, так как случай, когда весь узел характеристик принадлежит минимальной области влияния, аналогичен случаю обтекания гладкого профиля (рис. 9.7).
Рис. 9.7Рис. 9.7Деформацию первоначального контура будем производить аналогичным образом, передвигая точку Е вверх по течению до угловой точки, после чего в случае необходимости можно произвести дополнительную деформацию — поворот прямолинейного отрезка контура вокруг угловой точки против часовой стрелки; при этом последняя характери
Рис. 9.7
Рис. 9.7
стика узла разрежения будет перемещаться по направлению к характеристике АВ, ограничивающей минимальную область влияния. Легко убедиться, аналогично предыдущему, что не успеет отрезок контура профиля вниз по течению от угловой
точки стать параллельным вектору
скорости в точке А (при этом последняя характеристика узла разрежения еще не совпадает с характеристикой АВ), как произойдет разрушение
непрерывного сверхзвукового течения.
Заметим, что требование прямолинейности контура вниз по потоку от точки Е может быть заменено более слабым требованием, чтобы изменение наклона касательной к профилю дальше от точки Е было достаточно малым.
§ 5・ Образование вторичного скачка уплотнения при обтеканиипрофиля с изломом контура [127]
Как отмечалось в § 1, при расчете обтекания тел с изломом образующей В. Ф. Ивановым [13] было получено решение с висячим скачком уплотнения в области за головной ударной волной. Это явление и ранее наблюдалось в экспериментах, однако причина его не была достаточно ясна.
Ниже необходимость возникновения висячего скачка и его свойства в плоском потоке идеального газа устанавливаются аналитически. Исследуется случай малой сверхзвуковой скорости набегающего потока, когда изменениями энтропии на ударной волне можно пренебречь; при этом также используется возможность трансзвуковой аппроксимации ударной поляры и пересекающих ее характеристик.
Рассмотрим обтекание равномерным сверхзвуковым потоком профиля с изломом образующей (в точке излома угол вьшуклый). Без ограничения общности возьмем симметричное обтекание, так что достаточно исследовать только верхнюю полуплоскость течения. Точка излома (обозначим ее через А) отделяет передний отрезок контура ОА от заднего AF (О — передняя кромка профиля в случае присоединенной ударной волны или критическая точка — в случае волны отошедшей, F — задняя кромка профиля).
Отрезок ОА (конечной длины) в общем случае может быть криволинейным; отдельно рассматривается случай прямолинейного отрезка ОА, когда
головная ударная волна ——присоединенная, а течение за ней — сверхзвуковое. Отрезок AF в основном будет считаться прямолинейным. Угол его наклона к оси симметрии обозначим через 仇(положительное направление отсчета углов — против часовой стрелки). Длина отрезка AF при 仇》О бесконечна, при,仇 < 0 — конечна. Если отрезок AF криволинейный, то под /о будем понимать угол наклона профиля в точке F (при конечной длине AF) или угол наклона его асимптоты (если длина AF бесконечна). При /о〉0 будем считать 仇 настолько малым, чтобы около клина с углом раствора 2^о существовало течение с присоединенной ударной волной (за которой скорость сверхзвуковая); предполагается, что такое течение имеет место на бесконечном удалении.
Обозначим через 仇 и 伪 углы наклона к оси симметрии касательной к профилю в точке А на отрезках ОА и AF\ ввиду выпуклости профиля в точке излома 仇〉仇・
Исследование проводится с помощью отображения области за ударной волной с декартовой системой координат (с, у) (ось х совпадает с осью симметрии) в плоскость годографа скорости uv: и = (к -^- 1)1/3(Л — 1), о = 6 (трансзвуковая аппроксимация). Точки в физической плоскости будем обозначать большими буквами, их образы в плоскости годографа — малыми.
Рассмотрим сначала обтекание с присоединенной ударной волной профиля с прямолинейными отрезками О А и AF при /о = /2 = 0- На рис. 9.8 ОВ——прямолинейный отрезок ударной волны, 4方,AC, AD—прямолинейные отрезки характеристик первого семейства, BE — характеристика второго семейства.
Рис. 9.8
Отобразим область за ударной волной в плоскость uv.
Образ области ОВЕАО —отрезок характеристики а^2 второго семейства о = С - (2/3)i?/2 ； точка а】с ординатой о】 лежит на ударной поляре у = 2T々Moo + и)1/2(к — и), точка 敗 лежит на оси и. (Уравнения характеристик и ударной поляры даны в трансзвуковой аппроксимации.)
При малых сверхзвуковьхх скоростях имеет место свойство а) отрезок характеристики, проведенный из точки ударной поляры в сторону увеличения и, лежит вне петли ударной поляры.
Легко вьгшсляется, что на ударной поляре при 0 ^ u < Ug угол наклона характеристики к оси и больше по абсолютной величине угла наклона ударной поляры. Далее остается только учесть, что в плоскости uv характеристики инварианты относительно сдвига в направлении оси v.
Из этого свойства следует; что в точке 例 будет и > к.
Таким образом, в верхней полуплоскости uv существует точка пересечения отрезка характеристики а^ и характеристики первого семейства пс, проведенной из точки ударной поляры, изображающей равномерный поток перед ударной волной.
Если при обтекании с присоединенной ударной волной профиля с прямолинейными отрезками ОА и AF течение в области заударной волной всюду сверхзвуковое, то оно не является непрерывным.
Рассмотрим в физической плоскости узел характеристик первого семейства, выходящих из угловой точки А (будем далее называть его узлом А). Если течение за ударной волной всюду сверхзвуковое, то каждая характеристика узла либо пересекает ударную волну, либо уходит на бесконечность. В соответствии с этим в плоскости uv каждая характеристика первого семейства, проходящая через характеристику aia2, должна либо попасть на ударную поляру, либо в точку п, также лежащую на ударной поляре и изображающую равномерный прямолинейный поток на бесконечном удалении.
Таким образом, получается противоречие, так как характеристики первого семейства, выходящие из точек отрезка са? в плоскости uv не могут попасть на ударную поляру. Следовательно, если течение за ударной волной сверхзвуковое, должен возникнуть вторичный скачок уплотнения.
Это свойство при надлежащем изменении формулировки распространяется на случай отошедшей ударной волны; в соответствии с «законом монотонности» (см. гл. 1, §11) характеристика, изображающая угловую точку, располагается в плоскости uv вне ударной поляры (выше ее).
Предположение о прямолинейности отрезков ОА и AF не является существенным. Если профиль криволинейный и ^ < 0, для доказательства достаточно потребовать, чтобы было /2 > Вс・ Если отрезок AF прямолинейный, это условие примет вид /о < ^с.
Доказательство этого свойства может быть проведено и в рамках точных уравнений газовой динамики с учетом завихренности, если предположить, что скорость набегающего потока достаточно мала; причины образования вторичного скачка при достаточно высокой скорости набегающего потока обсуждались в [29].
Сверхзвуковой висячий скачок распространяетсявниз по потоку [127]
Для дальнейшего удобно сформулировать известное свойство взаимного расположения скачка уплотнения и характеристик (см., например, [64]).
Угол наклона скачка уплотнения к вектору скорости в области до скачка больше угла Маха в соответствующей точке, а в области за скачком — наоборот.
Будем называть началом (концом) висячего скачка ту его точку; в которой значение g на скачке является наименьшим (наибольшим). В концевой точке, расположенной в потоке, интенсивность скачка равна нулю.
Если некоторому перемещению в физической плоскости соответствует убывание (возрастание) потенциала скорости у, будем говорить, что это перемещение вверх (вниз) по потоку.
П. Висячий скачок уплотнения располагается вниз по потоку от точки нулевой интенсивности.
Не нарушая общности, ограничимся при доказательстве рассмотрением висячего скачка второго семейства, изображенного на рис. 9.9 в координатах (化吵).(Сплошные линии — характеристики, пунктир — скачки). Покажем, что случай рис. 9.9 6 осуществиться не может.
Предположим обратное. В соответствии с I из точки L (начало скачка) в направлении вверх по потоку выходят два характеристических луча второго семейства (по разные стороны от скачка), касательные друг к другу. Пусть М — точка на характеристическом луче в области до скачка, взятая достаточно близко к точке L)МК —характеристика первого семейства, К — точка на характеристическом луче второго семейства в области после скачка, N(N_、N+) — точка пересечения характеристики МК со скачком— до и после скачка.
В связи с тем, что лучи ML и KL касаются в точке 厶 будет выполняться неравенство ж > 7м (7 — угол наклона характеристики в плоскости з吵 к линии 吵=const).
Действительно, если характеристики ML и KL обращены выпуклостями в разные стороны друг к другу, то вблизи точки L будет выполняться неравенство 17Kl > |?ь| > |7м|-
Пусть теперь характеристики вблизи L обращены выпуклостями в одну сторону. Возьмем уравнения характеристик в виде у = у{х) и до =啾陶, при этом в точках (д, х) и (до,窃)углы 7 одинаковы. Тогда
争二粤， g - go = k(g)(c - g). ax axo
Здесь K(xq) — угловой коэффициент прямых, соединяющих точки с равными 7 на характеристиках KL и ML.
Продифференцировав второе уравнение по g и воспользовавшись первым уравнением, получим,
Интегрирование дает
T (。+/嚮"s)= = (。+匿)匿)L，
Постоянная С должна быть приравнена нулю, так как в противном случае к обращалось бы в бесконечность при s т 0 в любой системе координат, что невозможно.
Таким образом, в точке L выполняется равенство k = dgo/dcoL.
Если в точке L скорость сверхзвуковая, то направление характеристик
Рис. 9.10Рис. 9.10первого семейства в точках М, К вблизи L будет отличаться от направлений линий 7 = const. Отсюда нетрудно получить, что |)к| > |)Л1|，поэтому ujvf〉мк・ Если в точке L скорость звуковая, тот же результат получается из анализа формулы для к с учетом знака производной d/ds (dy0/dx()) в окрестности точки L.
Рис. 9.10
Рис. 9.10
——отрезки ударных поляр——отрезки ударных полярРассмотрение отображения окрестности точки L в плоскость uv с использованием I дает противоположное неравенство ик > им- На рис. 9.10 показаны два возможных случая положения точки п_ (п^ и п^) относительно точки т; здесь п^п^\ n?)k⑴，ng%⑵一характеристики первого семейства, 起)疋)，n^n^
——отрезки ударных поляр
——отрезки ударных поляр
второго семейства.
В [59] было высказано предположение о невозможности вырождения на звуковой линии «приходящего» висячего скачка; приведенное доказательство распространяется и на этот случай.
Свойства висячего скачка при обтекании профиляс изломом контура [127]
Предположим, что возникшие в области за ударной волной вторичные скачки (один или несколько) являются висячими скачками первого семейства (и течение за ними всюду сверхзвуковое).
Определим основные свойства этих скачков, которые далее будем называть просто скачками. В плоскости uv образы точек на скачке в области до и после скачка лежат на отрезке ударной поляры
。2 = 01 + 2T/2(М1 + U2)"2(U1 - U2), 。2》。1 •
Образ вершины выпуклого угла профиля представляет 6 плоскости uv отрезок характеристики, проходимой без точек возврата. Образ окрестности вершины^ покрываемой характеристиками узла (расположенного 6 этой вершине) 6 плоскости uv, однолистен и лежит по одну сторону от характеристики — образа вершины угла.
То, что угловая точка изображается в плоскости годографа характеристикой, показано в [5] (см. также гл. 1, § 12). Отсюда следует, что в этой точке имеется узел характеристик другого семейства.
Как известно, отображение физической плоскости ху в плоскость 屮1ф является при 0 < Л <，(к + 1)/(% — 1) локально взаимно однозначным (см. гл. 1, § 5). Это означает; что угловая точка в плоскости g吵 изображается точкой.
Угол 7 наклона характеристики в плоскости у吵 к линии 吵 =const вычисляется по формуле
畸=爆=鍔加7产（1+^"广
Здесь Д1,九2 ——коэффициенты Ламе, dsi =九"％ ds? = h2d也 M — число Маха, 〃 一 угол Маха.
В плоскости з吵 характеристики, выходящие из угловой точки, расположены в дикритическом узле в порядке убывания % т. е. в порядке возрастания скорости. Поэтому при наличии точек возврата на характеристике, изображающей угловую точку в плоскости uv, в плоскости 3vs а значит и в физической плоскости, была бы складка, что невозможно.
Рассмотрим в плоскости uv образ окрестности G угловой точки, покрываемой характеристиками узла. Предположим, что на изображающем угловую точку отрезке характеристики существует такая точка, что слева от нее G лежит по одну сторону от ад, а справа — по другую. В этом случае должна быть складка отображения в плоскость uv; край складки в потенциальном течении, как известно (см. гл. 1, § 10) — характеристика. Эта характеристика и образ угловой точки ——разных семейств, следовательно, линия ветвления — характеристика узла. Легко видеть далее, что вдоль характеристик узла, сколь угодно близких к этой характеристике, но расположенных по разные стороны от нее, распределения скорости были бы различны, так как в плоскости годографа они лежат по разные стороны от характеристики 肉敗.Это невозможно, так как на характеристике поток непрерывен.
П. Начало скачка не может лежать на внутренних характеристиках узла А.
Скачок не может выходить из точки А, имея в ней ненулевую интенсивность и касаясь одной из внутренних ха/ рактеристик узла, так как это противоречило бы / //аналитичности решения Прандтля-Майера.
/川//Скачок не может выходить из точки А, имея
/^/// в ней нулевую интенсивность, так как в против- ,ном случае касательная к скачку была бы одной из /линий дикритического узла характеристик в точке А, что привело бы к двулистности в физической плоскости.
Предположим теперь, что скачок начинается на некотором удалении от точки А в области, покрываемой характеристиками узла. Из свойства I сле- Рис. 9.11дует, что характеристики, выходящие из точки А,
проходят после пересечения со скачком в обратном направлении и, следовательно, снова входят в точку А (рис. 9.11).
Этого не может быть, так как соединяя в плоскости uv характеристики, выходящие из отрезка ударной поляры, соответствующие скачку первого семейства (пунктир на рис. 9.8), получим, что отображение окрестности точки А будет многолистным, что противоречит I.
Рассмотрим частный случай обтекания профиля с прямолинейными отрезками ОА и AF, когда течение за присоединенной ударной волной сверхзвуковое. Обозначим через Н область, ограниченную характеристикой второго семейства ED и характеристиками первого семейства, проходящими через точки Е и D в направлении от профиля (рис. 9.8). Так как область Н примыкает к треугольнику ADE^ в котором поток равномерный и прямолинейный, течение в ней является простой волной (прямолинейными будут характеристики второго семейства). Характеристика ADN является границей области Н.
Ш. В случае, когда существует область Н9 начало скачка не может лежать ни 6 Н, ни на характеристике ADN.
Предположим обратное. Образ в плоскости uv линии скачка (после скачка) в некоторой окрестности его начала будет характеристикой первого семейства, проходящей через точку 敗.
Проведя через любую точку этой характеристики отрезок ударной поляры, соответствующей скачку первого семейства, получим, что образ линии скачка (перед скачком) лежит вне области, покрываемой характеристиками первого семейства, выходящими из отрезка 肉例.Это противоречит П, так как характеристики первого семейства, проведенные из скачка (в некоторой окрестности его начала) в области перед скачком, либо принадлежат узлу 4 либо содержатся в области Н.
ИзП §6 вытекают следствия.
Конец скачка первого семейства^ где он вырождается 6 характеристику, лежит на бесконечном удалении от профиля.
Если скачок первого семейства пересекает ударную волну или другой скачок, то 6 точке пересечения интенсивность его не равна нулю.
Далее.
На ударной волне I = d(u9v) /д(х9у) W 0.
В связи с тем, что в точках ударной волны и < Ug, при малых значениях Ug течение в окрестности ударной волны описывается уравнениями
трансзвуковых течений
⑵⑵(к + 1У^ии^ = w， (% + 1)“з 叫=标勿
⑵
⑵
Присоединяя к этим уравнениям производные по направлению ударной волны, упрощенные в трансзвуковом диапазоне скоростей:
гг , du du
。/ +W =获=毎"，м + ^ =芯=毎"，
получим на ударной волне систему для определения производных и⑦ 。夕,标叩，。叩；так же как и правая часть системы, эти производаые пропорциональны ”. Здесь В ——угол наклона ударной волны к оси 0吵, d/ds — производная по направлению ударной волны; производные d/d<5, du/d6 вычисляются по соотношениям на ударной волне в трансзвуковом
приближении:
_26(炉 、2炉
°，U = Q^^~U^(3)
6 = (к + 1)1/з，(к + м)/2.
Якобиан I = d(u,v)/d(x,y) = Н(м,。)/3(化吵)на ударной волне выражается в виде
/ = j^y(^ - к)”? W О-
Как известно, в дозвуковой области 1^0.
Следствие. Если характеристика является линией ветвления, то ее отражение от ударной волны (характеристика другого семейства)— также линия ветвления.
Далее.
Если некоторый отрезок характеристики — линия ветвления, то и вся характеристика ——линия ветвления.
Предположим, что некоторая точка внутри области течения ограничивает отрезок характеристики, являющийся линией ветвления. В связи с тем, что линия ветвления не может кончиться внутри области течения, эта точка будет также ограничивать линию ветвления — отрезок характеристики другого семейства. Таким образом, окрестность этой точки в физической плоскости разбивается четырьмя характеристическими лучами на четыре сектора, в трех из которых I имеет один знак, а в четвертом — другой. Этого не может быть, так как области с разными знаками I однолистно отобразятся при этом на один и тот же сектор, образованный в плоскости uv двумя характеристическими лучами разных семейств (ср. с гл. 1, § 12).
Обозначим через Q область, ограниченную ударной волной, отрезком профиля ОА, висячим скачком и последней характеристикой узла А (см. рис. 9.8). В соответствии с П, Ш, начало скачка лежит либо на этой характеристике, либо на характеристике первого семейства, расположенной от нее вниз по потоку. Рассмотрев отображение области Q в плоскость годографа, можно установить, что течение в области Q не зависит от формы профиля на отрезке AF. (Это свойство наблюдалось и в расчете [13].) Возьмем, например, случай прямолинейного отрезка ОА, когда течение за присоединенной ударной волной сверхзвуковое. Образ области Q содержится в области Т, ограниченной ударной полярой а^п, характеристикой второго семейства 旬敗(в точке 敗：о = оо) и характеристиками первого и второго семейства а2т и пт (см. рис. 9.8). Для определения функции тока 吵 в области Т задаются граничные условия:
吵=〃м) на характеристике 肉敗，
на ударной поляре [32].
Функция /(и) определяется как значение функции тока на характеристике второго семейства BD (см. рис. 9.8).
В случае отошедшей ударной волны область Т содержит минимальную область влияния отрезка ОА; граница подобласти сверхзвуковых скоростей
области Г содержит, кроме указанных выше частей, отрезок линии и = О, соединяющий ударную поляру и характеристику а^-
Отображение области Q 6 плоскость uv однолистно, при этом / W 0.
Как известно, / W 0 при u W 0 (см. гл. 1), поэтому достаточно доказать однолистность отображения сверхзвуковой подобласти Т.
Из свойства I следует, что характеристики первого семейства (они принадлежат узлу А) не могут быть линиями ветвления. Из свойств Y VI следует, что линиями ветвления не будут также и характеристики второго семейства, выходящие из уцарной волны, так как в противном случае каждая из них была бы отражением от уцарной волны линии ветвления — характеристики первого семейства, выходящей из узла А. В случае отошедшей ударной волны граница подобласти Т содержит звуковую линию; применив вместо V «закон монотонности» вместе с I получим, что линиями ветвления не могут быть также и характеристики выходящие из звуковой линии. Используя Y получим, что / W 0 в области Т,
Из этого свойства вытекает следствие: отрезок ударной волны, ограничивающий область Q, обращен выпуклостью в сторону набегающего потока.
VHL На прямолинейном отрезке профиля / W 0 при и < 0, I ^ 0 при и〉0.
Преобразуя выражение для I с использованием (2), получим при dv/d(p = 0, что / = (к + 1)1/3标嗯.
Если характеристика является линией ветвления^ то ее отражение от прямолинейного профиля (характеристика другого семейства) также является линией ветвления.
Обозначим через Z начало скачка, ограничивающего область Q, через V — точку пересечения последней характеристики узла А со скачком (если скачок начинается не на этой характеристике). Проведем характеристику второго семейства ZW до пересечения с профилем в точке W. Пусть 尸一область, ограниченная характеристиками AZ, ZW и отрезком профиля AW (если точка Z лежит на последней характеристике узла) или область, ограниченная характеристикой AV, скачком VZ, характеристикой ZW и отрезком профиля AW.
Из свойства VII и свойств VI, УШ следует следующее свойство.
При обтекании профиля с прямолинейным отрезком AF последняя характеристика узла А является линией ветвления. (Если существует область Н, то по разные стороны от нее I имеет разные знаки.) Отображение области 尸 в плоскость uv однолистно, при этом I》0;叩〃 перемещении по отрезку AF от точки А скорость монотонно убывает.
При обтекании профиля с прямолинейным отрезком AF при /о W 0 скачок не пересекает ударную волну} помимо него не существует других висячих скачков первого семейства 9.
0 Последнее утверждение не вытекает из теории потока на бесконечном удалении от профиля [59]; как указал О. С. Рыжов, эта теория допускает существование ударных волн, расположенных между головной и хвостовой ударными волнами, но с более быстрым законом убывания интенсивности скачка.
Обозначим (u,v) — образ линии скачка, ограничивающего область Q в области до скачка через L_. а в области после скачка — через L+. Линия Е_ содержится в области Т. Так как соответствующие точки линий и 工+ соединяются отрезками ударных поляр первого семействами, то используя свойство I §5, получим, что линия 工+ лежит в плоскости uv в области, расположенной сверху от характеристики второго семейства тп. (Имеется в виду вся характеристика.)
Предположим, что скачок, ограничивающий область Q, пересекает ударную волну; обозначим точку пересечения через S. Проведем из точки S характеристику первого семейства к профилю 6 sl (из свойства I следует, что характеристика SSi проходит к профилю, не пересекая других скачков первого семейства, если даже они и существуют). Из точки Si проведем характеристику второго семейства S1S2 до пересечения в точке S? либо со скачком, либо с ударной волной.
По предположению, точка S расположена на конечном расстоянии от профиля, значение скорости в точке S (за скачком) меньше скорости набегающего потока. Следовательно, точка s, (u, v) -образ S, не совпадает с точкой п, т. е. vs > vn.
Произведя построения характеристик ssi и S1S2, получим, что точка s? лежит в плоскости uv под характеристикой тп (рис. 9.12). Это означает,
Рис. 9.12Рис. 9.12что точка $2 не принадлежит линии 厶.Кроме того, из свойства I §5 следует, что точка s? не может лежать и на ударной поляре. Таким образом, предположение о пересечении скачка и ударной волны на конечном расстоянии привело к противоречию.
Рис. 9.12
Рис. 9.12
Для доказательства единственности скачка достаточно установить, в соответствии со свойством I, что область за скачком, покрытая характеристиками первого семейства (назо-
вем эту область Я) не ограничивается вниз по потоку никакой характеристи
кой первого семейства. (Пересекающиеся скачки, например, А-образный скачок будем считать одаим скачком.)
Предположим обратное. Тогда существует «последняя» характеристика первого семейства а, пересекающая скачок на бесконечном удалении от профиля. Покажем, что образ этой характеристики — точка п. Действительно, (и, V)-образ области R и характеристика а лежат выше характеристики тп. При этом на отрезке профиля, принадлежащего области 凡 будет и ип (заметим, с учетом УШ, что эта оценка будет и на линии 厶 в некоторой окрестности точки п). Если образ характеристики лежит выше тп, то некоторая окрестность точки ее пересечения с профилем лежит выше прямой о = 0. Однако это противоречит УШ.
Таким образом, получено, что если характеристика а существует, то поток на ней равномерный и прямолинейный. Это означает, что в некоторой подобласти Я, ограниченной скачком, течение является простой
волной (прямыми при этом будут характеристики первого семейства). Следовательно, некоторый отрезок линии 七+ в окрестности точки п лежит на характеристике тп. При этом, однако, соответствующий отрезок линии £_ лежал бы, по свойству I §5, ниже характеристики mn, что невозможно.
Имеют место следующие оценки.
На отрезке линии £_, ограничивающем образ области Q, du/ds < 0, \dv/du\ W {•
На отрезке линии £_, ограничивающем образ области Р, \dv/du\》у/й.
При обтекании профиля с прямолинейным отрезком AF при vo = О на линии 七+ в окрестности точки n, du/ds < 0.
Если висячий скачок начинается на последней характеристике узла А, то при обтекании профиля с прямолинейным отрезком AF на линии L+ в окрестности точки начала скачка du/ds < 0.
Здесь s —длина дуги скачка, отсчитываемая в направлении от профиля.
Оценки 1, 2, 4 выводятся из свойств VII, IX и свойства VI с учетом порядка, в котором скачок пересекается характеристиками в физической плоскости. Оценка 3 следует из условия, полученного при доказательстве свойства X, что на линии £十 в окрестности точки п имеет место и^ ип.
ХП. При обтекании профиля с прямолинейным отрезком AF при 仇 =0 скачок на бесконечном удалении обращен выпуклостью 6 сторону области за скачком 9.
Продифференцировав по s второе выражение (3), получим
d〃+ du~ _43 dB
ds ds (« + i)2/3 ds •
Использовав оценки 1, 3 XI, получим d5/ds W 0.
При обтекании ромбовидного профиля при и。=仇 V 0 из точки F выходит «хвостовой» скачок. Если течение непрерывно зависит от параметра /?о> то по крайней мере при достаточно малых значениях 仇 помимо хвостого скачка существует еще и внутренний скачок. Действительно, при 00 To точка 尸 удаляется в бесконечность и хвостовой скачок исчезает; следовательно, скачок, существование которого доказано при 仇， не является хвостовым.
Из X с учетом П §6 вытекает следствие: в случае, когда при обтекании профиля с прямолинейным отрезком AF м /?о < 0, существует внутренний скачок, хвостовой 〃 внутренний скачок пересекаются, образуя Х-образный скачок.
Рассмотрим обтекание профиля с прямолинейным отрезком AF при % > 0. При обтекании такого профиля висячий скачок может и не возникать.
9 Следствия из W и ХП согласуются с теорией потока на бесконечном удалении от профиля [59, 143].
В случае, когда при обтекании профиля с прямолинейным отрезкам AF при В。> 0 существует скачок, он пересекает ударную волну. В точке пересечения на ударной волне за скачком и > и^. Ударная волна на отрезке, расположенном вниз по течению。加 точки пересечения со скачком [или от точки пересечения с последней характеристикой узла А, если скачка не существует), состоит из бесконечного числа участков с попарно различными знаками кривизны ударной волны; «колебания» угла наклона ударной волны при удалении от профиля затухают 1).
Предположим, что скачок не пересекает ударную волну. Так как поток на бесконечности становится равномерным и прямолинейным, скачок там вырождается в характеристику первого семейства. Возникает противоречие, так как в равномерном потоке около клина характеристика первого семейства проходит от клина к ударной волне.
Интенсивность скачка в точке S пересечения с ударной волной отлична от нуля (IV). Из точки S при этом выходит волна разрежения, так как ударная поляра, проведенная из некоторой точки другой ударной поляры не пересекается с ней (лежит внутри нее; на это свойство ударных поляр в трансзвуковом приближении указано в примечании научного редактора Л. В. Овсянникова [32, с. 182]). Нетрудно установить, что волна разрежения представляется узлом характеристик второго семейства.
Аналогично тому, как в X доказывается невозможность пересечения скачка с ударной волной, можно доказать, что в точке S на ударной волне за скачком будет v < vo-
Легко убедиться, что ударная волна на отрезке вниз по потоку от точки S не будет прямолинейной; для этого достаточно провести характеристики второго семейства узла разрежения до отрезка AF^ а затем провести их отражения — характеристики первого семейства — к ударной волне.
Возьмем произвольную точку на ударной поляре вниз по потоку от точки S (если скачков несколько, то в качестве S берется точка пересечения с последним скачком). Проведем из нее ха- V арактеристику первого семейства к профи-
лю, затем—характеристику второго семей- ства к ударной волне и т.д. Образы этих X.характеристик в плоскости годографа обра-
0о Iзуют спираль, состоящую из отрезков соот-
J—ветствующих характеристик; с помощью а)
получим, что эта «спираль» накручива- ется на точку пересечения ударной поляры qIс прямой V = г>о (рис. 9.13). Таким образом,
ударная волна состоит из чередующихся
Рнс. 9.13отрезков с разными знаками кривизны; «ам
плитуда» колебаний угла наклона ударной волны убывает. Аналогичным путем это свойство доказывается и в случае отсутствия скачка уплотнения.
О Свойство «колебания» угла наклона ударной волны находится в соответствии с теорией распространения возмущений при обтекании клиновидного профиля [109].
§ 8. Исследование висячих скачков асимптотическимиметодами. Скачок, выходящий из угловой точкипри трансзвуковом обтекании [121]
В §3 была установлена необходимость возникновения скачка при обтекании профиля с изломом образующей и изучались его основные свойства. При этом, однако, остался невыясненным вопрос о положении точки начала скачка.
С точки зрения А. Ферри [90, с. 616], скачок начинается в угловой точке в результате образования «огибающей волн сжатия», отраженных от твердой стенки. Это предположение, одаако, оставалось недоказанным.
Ниже проводится асимптотическое исследование взаимодействия трансзвукового течения в окрестности угловой точки, порождаемого степенной особенностью, с прямолинейной стенкой вниз по потоку от этой точки. Указывается класс особенностей, для которых непрерывное решение, построенное первоначально в плоскости годографа, физически неосуществимо (из-за образования складки); этот класс, в частности, содержит решение, указанное Р. Вальо-Ларином [157] (см. гл. 7, § 3).
Таким образом, устанавливаются предпосылки для образования скачка уплотнения.
Если скачок уплотнения существует, то он действительно выходит из точки 4 касаясь «последней» характеристики узла разрежения (это свойство согласуется с результатами § 5).
Анализ положения предельных линий указывает на несколько иную, чем указано А. Ферри, природу возникновения скачка; существенно, что один из краев складки в физической плоскости (в непрерывном решении) является характеристикой («последняя» характеристика узла разрежения), несущей разрыв первых производных составляющих скорости.
Исследование проводится в трансзвуковой аппроксимации: поток безвихревой; в плоскости годографа uv функция тока удовлетворяет уравнению Трикоми грии = и%р, 〃 =(入-l)(k + I)1/3, A —коэффициент скорости, v 三 В — угол наклона вектора скорости.
Итак, рассмотрим обтекание выпуклого угла со звуковой линией, выходящей из угловой точки А.
Обозначим через АВ звуковую линию, АС — «последнюю» характеристику узла разрежения (полагаем, что узел образуется характеристиками первого семейства), AD —прямолинейную стенку в сверхзвуковой области (рис. 9.14).
Будем исходить из того, что главный член функции тока 呪(〃,吟 описывающий трансзвуковое течение вблизи 4 (выше по потоку от характеристики АС), принадлежит классу точных решений уравнения Трикоми, однолистных в плоскости годографа и имеющих распределение ^ на звуковой линии по степенному закону (от о). Таким решением, например, является решение [157].
Решение 砂o(u, v) обращается в нуль на характеристике а^ второго семейства, изображающей в плоскости годографа угловую точку. Как показано в гл. 7, § 1, решению 呪(〃,о) соответствует течение со звуковой линией, ортогональной в точке 4 «звуковому» направлению вектора скорости
и обращенной выпуклостью в сторону сверхзвуковой области; в плоскости годографа существует окрестность точки а： (рис. 9.15, характеристика 仰。2 — образ угловой точки), в которой отсутствуют предельные линии (на предельной линии якобиан г = 9(х, y)/9(u,v)= 〃此一此 меняет знак).
Будем считать, что угол между касательными к контуру в точке А настолько мал, что точка а? содержится в указанной окрестности.
Таким образом, в области ВАС, как и в дозвуювой области, будет В « 0. (Знак г определяет ориентации соответствующих элементарных контуров в плоскостях ху и uv; при г > 0 ориентации одинаковы, при г < 0 — различны.)
Введем в плоскости годоп)афа характеристические переменные 厶 М; А, д по формулам
£ = и — ^〃з/2, М = V + |^3^2» А = L — Lo, д = М — Mo»
где £о, М)—значения 厶 М в точке。2・
Так как £ 4 0 в ВАС, образ характеристики АС в плоскости uv лежит ниже точки а? (т.е. на ней и < 认，рис. 9.15).
Из предыдущего следует, что на характеристике a2c (入=0, 4 4。) будет 0о = А(—д)п, п > 0; без ограничения общности можно положить 4 = 1.
Показатель п может быть как больше, так и меньше единицы. Действительно, решение 0о(〃,и) вблизи характеристики ад имеет вид (см., например, [32]; гл. 2, § 4)
现=(9v2- 4〃3产厂4“尸(〃 + M，〃 + W，2" + 1, ^г^.
поэтому в окрестности точки а?, где и > 0,
现(и, и)=(-"产 +0(产).
Решению [157] соответствует 〃 = 2/3, п = 2〃 = 4/3 > 1.
Таким образом, этому решению непосредственно соответствует течение с прямолинейной стенюй в дозвуковой области, кривизна профиля учитывается последующими членами асимптотичесюго разложения.
В § 4 гл. 7 приводится другое решение, описывающее обтекание выпуклого профиля конечной кривизны на дозвуковом отрезке линии тока; ему соответствует 〃 = 5/12, п = 5/6 < 1.
Вопрос о том, какая именно особенность реализуется при обтекании тел, является открытым. По-видамому, его надо рассматривать в более широком классе функций, исходя из свойств решений задачи «в целом».
Образ области CAD в плоскости годографа ограничен тем отрезком прямой V = va2, на котором u ^ иа2; в противном случае область CAD содержала бы прообраз характеристики первого семейства a2 c Отсюда следует, что образы областей CAD и ВАС перекрывают друг друга, т.е. лежат на разных листах плоскости годографа, скрепленных вдоль характеристики a2 c (как известно, край складки, возникающей при отображении плоского потенциального потока в плоскость годографа, является характеристикой).
Таким образом, для асимптотического описания течения в области CAD необходимо решить следующую задачу: найти в области da2 c в плоскости годографа функцию ^(u, v), удовлетворяющую уравнению Трикоми и граничным условиям
0 = 141n + о®") при А = 0, д < 0;
(4) 0 = 0 при 入=価(Hada?).
При переходе к характеристическим коорданатам уравнение Трикоми преобразуется в уравнение Эйлера-Дарбу
Решение задачи Гурса для этого уравнения можно выразить с помощью функции Римана V (см., например, [50]) через произвольные функции <^(М), f(L) —значения 屮 на характеристиках:
0("/) = ^M)V(M,Lq-Л!/) + f(£)V(M)/;ME) 4-
Mo
丿⑺R體* - y^^L^
(D〃31 1 ^-M)^-L)\
V(^M.L)^V(^M.L)^①一旷e一拉产旧/g亚-因丿
V(^M.L)^
V(^M.L)^
Удовлетворяя граничным условия, получим
奴М)=夕 3) = |“ + 心)f (Е) = /(А) = -А" + О(А)・
Воспользовавшись теоремой о среднем Боннэ и разложениями функции Римана и ее производных в окрестности неособой точки М = Mq, L = Lo,
получим асимптотические представления для 叽少л,九 в окрестности точки а?:
少=8(4)+ /(*)+ • . • = 14f-An,
吵л =尸(入)+ a9(儿)+ …=a!д|П - пап-1 + …，(5)
少〃 =“(4)- а/(А) + …=+ аДп +
=6(М0 - Lo) > 0.
Установим наличие предельных линий в решении 少 в области са2 d.
В характеристических переменных
% =唸-% = (，й丸-叭J(《丸 + 丸)=WM^A, поэтому с учетом (5) получим, что предельной линией 少入=0 в области са2d при n > 1 будет кривая А = (&/几)1/(九一1)|川『,касающаяся в точке。2 оси -д Qe на рис. 9.15). Предельная линия 恥=0 лежит вне области da2 c.
При n < 1 предельных линий в окрестности точки а? нет, т. е. при n < 1 существует такая окрестность точки а?, в которой построенное решение физически осуществимо.
Ниже будем рассматривать только случай n > 1.
На образе прямолинейной стенки da? будет i = u^ 》0, поэтому £》0 в области dt^e, а в области caze £ & 0, т. е. знаки i в областях са2е и aia2c, лежащих на соседних листах плоскости годографа, одинаковы.
Это означает, что характеристика АС является краем складки не только в плоскости годографа, но и в физической плоскости.
Таким образом, физическая плоскость в окрестности точки 4 является трехлистной. На первом листе лежит дозвуковая область и область, покры-
Рис. 9.16Рис. 9.16ваемая характеристиками узла. На втором листе, скрепленном с первым вдоль характеристики АС, лежит прообраз области саге. Третий лист скрепляется со вторым вдоль предельной линии АЕ — огибающей характеристик первого семейства. На нем лежит прообраз области еа2d (рис. 9.16).
Рис. 9.16
Рис. 9.16
Край складки — характеристика АС — не является предельной
линией в обычном смысле слова, когда под этим понимается огибающая характеристик в физической плоскости, причем производные 丸，九 терпят на ней разрыв.
Каждая характеристика второго семейства, выпущенная из звуковой линии, в месте встречи с характеристикой АС имеет точку возврата; вторую точку возврата она имеет на предельной линии АЕ.
Форма характеристик на каждом из листов физической плоскости показана на рис. 9.16 (ее нетрудно установить, пользуясь уравнением характеристик dx/dy = с учетом их расположения на листах плоскости годографа).
Построенное непрерывное решение неосуществимо ввиду многолист- ности в физической плоскости. Поэтому если вниз по потоку от звуковой линии существует безотрывное течение, то оно должно содержать скачок
уплотнения.
В §7 было показано, что скачок не может располагаться внутри области ВАС. Отсюда следует, что скачок может начинаться в точке А, касаясь характеристики АС, т.е. имея в точке 4 нулевую интенсивность. При
Рис. 9.17Рис. 9.17дальнейшем распространении он пересекает характеристики узла, близкие к АС (рис. 9.17).
Рис. 9.17
Рис. 9.17
Вблизи точки 4 скачок отклоняет вектор скорости вверх (в системе координат рис. 9.17), т. е. по терминологии гл. 9, § 2 является скачком первого семейства. В §6 было доказано, что вблизи своей концевой точки скачок располагается вниз от нее по потоку. Отсюда следует,
что если за скачком, выходящим из точ
ки А, скорость всюду сверхзвуковая, то он не может закончиться (с нулевой интенсивностью) на конечном расстоянии от тела.
Если характеристика АС находится в минимальной области влияния смешанного течения, то и скачок находится в этой области (так, например, будет; когда угловая точка вызывает образование местной сверхзвуковой зоны, или в обтекании с отошедшей ударной волной без местной сверхзвуковой зоны при определенном соотношении между углами наклона профиля в точке излома и скоростью набегающего потока). При этом гладкий скачок уплотнения на некотором своем участке будет ограничивать спереди область дозвуковых скоростей (рис. 9.17). (Вопрос осуществимости конфигураций с гладким скачком уплотнения, указанных на рис. 9.17, требует специального исследования.)
Если скачок находится вне минимальной области влияния, то он будет распространяться либо до бесконечности, либо до пересечения с головной ударной волной (при обтекании безграничным сверхзвуковым потоком). Эти случаи исследовались в § 7.
Задача построения соответствующего течения со скачком уплотнения в этом параграфе не рассматривается 9. Здесь только заметим, что образ течения в области после скачка лежит на другом листе плоскости годографа, чем образ течения в области перед скачком (решение перед скачком считается неизменным). Эти листы ограничены линиями А = Ai(s), А = = *2(s), д = ^i(s), д = 〃2(s), изображающими скачок в областях до
и после скачка.
Решение за скачком и кривые *1,2 (s), 41,2 (s) определяются по условиям непрерывности х(и, v), у(и, v) и потенциала скорости в соответствующих точках, определяемых одинаковыми значениями параметра s; эти точки соединяются отрезками ударных поляр. Кроме того, решение за скачком
О Этот скачок построен в [60], см. также [38, 37, 36].
должно удовлетворять условию непротекания на прямолинейной стенке; оно не должно содержать предельных линий.
Анализ в первом приближении перечисленных условий с использованием асимптотических формул (5) позволяет определить решение за скачком: это будет решение за характеристикой АС, построенное выше. Для кривых, изображающих скачок, с учетом теоремы Цемплена получаются оценки (при A, 4 T 0):
А] = o(4i), А2 =。(〃2),儿2 = 41 + о(^),
》2> (g)"3(一〃2)"/(f
Детальное определение формы скачка следует проводить с использованием вместо (5) формул, содержащих последующие члены асимптотических разложений (так как это будет сделано применительно к другой задаче в § 10). Не исключено, что при этом могут оказаться существенными члены второго порядка малости в выражении для 少о(и,и) перед скачком уплотнения.
Отметим, что аналогичный анализ, проведенный для случая «отрыва» потока в точке 4 (вместо второго условия (4) задано 少=0 при и = иа2), показал отсутствие предельных линий вниз по потоку от характеристики АС.
§ 9. Висячий скачок в простой волне около вогнутого профиля [101]
Рассматривается задача о возникновении скачка уплотнения в течении типа простой волны, примыкающем к области равномерного сверхзвукового потока.
При построении скачка уплотнения принято использовать метод К. Фри- дрихса [143],в основе которого лежит допущение о пренебрежимой малости возмущения, вносимого ударной волной в окрестности ее начала. При
Рис. 9.18Рис. 9.18этом на течении типа простой волны удается провести кривую (скачок уплотнения), на которой условия Гюгонио удовлетворяются асимптотически (Ударная поляра заменяется характеристикой).
Рис. 9.18
Рис. 9.18
Однако, как показано ниже, в области влияния скачка уплотнения точное решение типа простой волны не всегда является асимптотическим представлением решения соответствующей краевой задачи: вдоль характеристики АВ (рис. 9.18) при некоторых условиях может распространяться разрыв первых производных составляющих скорости.
Итак, рассмотрим течение типа простой волны при обтекании вогнутого профиля, касающегося в острие О направления набегающего равномерного потока. Как известно, если кривизна профиля в точ-
ке О не равна нулю, прямолинейные характеристики первого семейства образуют огибающую. Будем считать, что точка возврата огибающей лежит
на характеристике первого семейства О А, выходящей из острия профиля (если эта точка возврата находится в области простой волны).
Найдем форму ударной волны АС и течение за ней в достаточно малом треугольнике АВС (ВС и АВ — характеристики первого и второго семейств).
Будем решать задачу при малой сверхзвуковой скорости набегающего потока, когда изменения энтропии на ударной волне несущественны и применимы уравнения трансзвуковых течений.
В плоскости годографа uv имеем следующую краевую задачу для функции тока 0(〃, v).
Найти решение уравнения Трикоми 吵uu = w^vv, удовлетворяющее условиям
0 = /®) на характеристике 4В,丸=Е丸 на ударной поляре.
Область определения решения 吵(〃,о) содержит треугольник АВС (рис. 9.19).
В трансзвуковой постановке уравнения характеристик в плоскости годографа
V = ^£/2 + 厶 ° = — ^〃з/2 _|_ ”， уравнение ударной поляры
а коэффициент Е в (6) задается формулой
Е =Е =7〃 + к5〃 + 3〃87〃 + к5〃 + 3〃8
Е =
Е =
7〃 + к
5〃 + 3〃8
7〃 + к
5〃 + 3〃8
Рис. 9.19Рис. 9.19以=」炉 血'一 27-16 庐以=」炉 血'一 27-16 庐+ 0(*3).+ 0(*3).⑻⑻
Рис. 9.19
Рис. 9.19
以=」炉 血'一 27-16 庐
以=」炉 血'一 27-16 庐
+ 0(*3).
+ 0(*3).
⑻
⑻
Функция /(V)на границе течения типа простой волны определяется формой профиля.
Будем использовать характеристические переменные L, М, а также А, д (см. § 8):
*=e+方4 = М-$ a=；嚏2
В этих переменных уравнение Трикоми переходит в уравнение Эйлера-Дарбу (см. § 8), а уравнение ударной поляры принимает вид
Граничное условие на ударной поляре записывается в виде
Определим функцию /(v). Уравнение прямых характеристик первого семейства простой волны (рис. 9.18)
у = т(и)х + Р(и).(9)
Ограничимся случаем, когда 6(м) — достаточное число раз дифференцируемая функция. Обозначим через 仇 значение г-й производной функции 6(〃)при и = 〃оо и потребуем, чтобы 丛 R 0. Тогда координаты точки 4 будут
ха = 2(k + I)】"〃弘 2尸］,沙4 = 2〃00 Gl.
Проведем из точки А характеристику второго семейства АВ. Функция / определяется на ней распределением величины у - да:
/ = n。@ f)=誅:(伪 + 熱)* +
+蟲传去一自)+宀(仇+号±户+。2.(10)
В этом соотношении нужно оставить справа только член низшего порядка малости по Л. Поэтому в общем случае
/ = G*+o(M),(Н)
где G — коэффициент, зависящий от 〃^,仇 и 尸几，а 几一целое положительное число; если п > 2, то значения первых п-1 производных функции 6(〃)в точке А выражаются через 仇.
Вспоминая формулы (4) §8, имеем асимптотические выражения для решения задачи Гурса и его производных:
吵=夕(〃)+ /(А),也(%)=尸(入)+ ag(〃)，
(12) 办="(〃)-a/Q), a" = 6a > 0.
Определим функцию 夕(〃)из условия на ударной поляре. Подставив (12) в (8) и используя (7), (11), получим при Л,/1->0:,
〃"(〃)+ |夕3) + 小т〃з 信)(D/3 8nnGu-bi/2 = о
Решение этого уравнения имеет вид
心)=砚1)/3, Я = -3-8"(|)(П-4)/3 办G吧 1/2, откуда по (12) имеем
吵=GM + H〃ST)/3 + …(13)
Обозначим через ди/да, dv/да производные по направлению характеристики первого семейства. Покажем, что из (13) следует, что при п > 4 производные ди/да, dv/da отличны от нуля на характеристике АВ (при /1 = 0).
Действительно, в трансзвуковом приближении
^ =(k + D"V^ +薪
где 夕一потенциал скорости,吵一функция тока. Подставляя сюда производаые “夕，。力，“山，。山，выраженные через 吵屮 吵屮 и переходя к характеристическим переменным, получим
а” _ 1 а。_ ]
8о 2\/^“ J 8о 2“从
Таким образом, при п》4 решение типа простой волны не является асимптотическим представлением точного решения за скачком уплотнения: воспользовавшись формулами (12), получим, что при п = 4 производные иа, % ограничены (отличны от нуля) на характеристике АВ, а при п > 4 изменяются как А~п (при д = О, X т 0). Поэтому порядки роста этих решений в окрестности характеристики АВ различны (в простой волне % = % = 0).
Отметим, что это расхождение не сказывается при определении формы ударной волны в первом приближении (кривизны скачка уплотнения в точке Л).
Обозначив & = и — Uqo, У = у —沙从，по теории К. Фридрихса [143] имеем
票+ 2一可(!『仿)+ё]滥+愆+ 沙 +饪(諸一卷办…]
где в правой части следует оставить член низшего порядка малости по е. Переходя к характеристическим координатам, выражаем е в виде е = = —4(3/2)1/з总2〃1/з, и (14) преобразуется в уравнение
嘅+ " = *М耍国
интегрируя которое находим У = Н〃6-1)/з + ...
С другой стороны, это же выражение непосредственно следует из (13) и (7) в связи с тем, что Y =㈠— “а + О® —吵а)・
Величину кривизны хд ударной волны в точке Л можно найти из соотношения
dYdY dp.
dsd〃 d6
где s — длина дуги линии скачка,夕一угол наклона скачка к оси абсцисс. Вычисляя производные, получим
(n — 1)Н \ 2 /从то
Приведем теперь пример контура, при котором характеристика АВ будет линией разрыва первых производных u, v в физической плоскости. Пусть функция ЗЗ) в уравнении простой волны (9) такова, что 仇 # 0, 仇 / 0, /Зз / 0, 仇 # 0 при г > 3. С помощью несложных, хотя и громоздких выкладок можно убедиться, что эта простая волна порождается
контуром вида
у = ах2 + bd + сж4 + ...,
仁訂心聶(孤十扔仁)， (15) e = ^?" (*" 执眺8 + ；医嗫-孤03城)•
Здесь о = (6 + I)-1/3. Положив n = 4 в (11), из (10) находим связь между 02, Вз и 仇.Подставляя ее в (15), выразим коэффициенты Ь и с в виде
Таким образом, существует семейство достаточно гладких контуров, при обтекании которых с висячим скачком уплотнения из точки начала скачка распространяется разрыв первых производаых составляющих скорости.
§ 10. Исследование висячего скачка вблизи точки зарождения [113]
ВВССРис. 9.20Рис. 9.20В этом параграфе производится построение висячего скачка уплотнения в плоском неравномерном сверхзвуковом потоке идеального газа. Так же, как и в предыдущих параграфах этой главы, применяется метод годографа, используются формулы асимптотического представления решения и его первых производных (в двух приближениях). Рассматривается «общий» случай аналитического решения в плоскости годографа в точке зарождения скачка. Исследуются условия зарождения скачка в сверхзвуковой точке потока. Устанавливается тип предельной линии, допуска/ ющей построение скачка: оказывается, что скачок можно провести не во всяком течении со складкой в физической плоскости.
В
В
С
С
Рис. 9.20
Рис. 9.20
Как и выше, задача решается в трансзвуковом приближении, когда изменения энтропии на ударной волне несущественны, а потенциал Лежандра 夕(％ v) = их -F + оу — 0(х, у) [55] описывается уравнением Трикоми ^UU =[32].
Здесь g(c,y) — потенциал скорости, ось х декартовых координат в физической плоскости направлена по вектору скорости в точке О возникновения скачка.
Пусть возникающий скачок вблизи точки О отклоняет
вектор скорости вверх, т.е. касается в точке О характеристики первого семейства ОС. На рис. 9.20 ОА — скачок, ОВ — характеристика второго семейства..
Потенциал Лежандра g перед скачком (в области вверх по потоку от линии АО В) считается известной аналитической функцией переменных u, V. В физической плоскости течение не является простой волной.
Обозначим Ф потенциал Лежандра за скачком уплотнения (вниз по потоку от линии АОВ); Ф(и, v) также удовлетворяет уравнению Трикоми и связан с з(〃, V)условиями на скачке ОА и на характеристике ОВ.
Как и выше, введем характеристические переменные, сохранив за потенциалом Лежандра прежнее обозначение д(Х,〃). Уравнение Трикоми при этом преобразуется в уравнение Эйлера-Дарбу
з~(16)
Положим 3° =①° = 0 (индексом «градус» отмечены значения в точке О).
Так как точка О в физической плоскости — начало координат, из (16) и соотношений
с = Зю У = 3V(17)
следует
味=喝=暇从=①；=稣=戦从=0■(18)
Запишем в переменных А, д граничные условия для Ф(Л, д).
На характеристике ОВ (д = 0) из условия непрерывности решения следует
Ф(Л,0) = ^(Л,0).(19)
Скачок уплотнения в плоскости годографа изображается кривыми 1, 2 (до и после скачка): u = 〃i(s), v = vi(s), и = u2(s), v = v2(s), s — параметр на скачке. В преобразованной плоскости годографа им соответствуют кривые Л = 入山)，д = 从i(s), А = 入2($),儿 = 儿2(s)・ Из условия непрерывности х, у на скачке с учетом (17) следует
^U(U1(S),V1(S)) = Фи(^2(5),^2(5)),
^v(ui(s),Vi(s)) = Фи(и2(«),г；2(5)).
В характеристических переменных получим (в граничных условиях для краткости вместо 〃i(s), ^(Ai(3),Mi(s)) будем писать ui, 3 и т. д.)
2Ф〃 =2Ф〃 =(\ 1/3-а +- Ai )a + 〃2 —入2 /_(\ 1/3-а +- Ai )a + 〃2 —入2 /_3〃 + 1 —3〃 + 1 —а +…「 a + 42 -入2丿а +…「 a + 42 -入2丿2Фл2Фл1 9+"一斗/[ка + 〃2 -入2丿 _1 9+"一斗/[ка + 〃2 -入2丿 _3〃 + 1 + ( ~г〕I+ 42 —入2 /3〃 + 1 + ( ~г〕I+ 42 —入2 /^Л,(20)^Л,(20)Зл・Зл・
2Ф〃 =
2Ф〃 =
(\ 1/3-
а +- Ai )
a + 〃2 —入2 /_
(\ 1/3-
а +- Ai )
a + 〃2 —入2 /_
3〃 + 1 —
3〃 + 1 —
а +…「 a + 42 -入2丿
а +…「 a + 42 -入2丿
2Фл
2Фл
1 9+"一斗/[
ка + 〃2 -入2丿 _
1 9+"一斗/[
ка + 〃2 -入2丿 _
3〃 + 1 + ( ~г〕I
+ 42 —入2 /
3〃 + 1 + ( ~г〕I
+ 42 —入2 /
^Л,
(20)
^Л,
(20)
Зл・
Зл・
На скачке уплотнения касательные составляющие скорости непрерывны. Это равносильно непрерывности потенциала скорости
-g + Ui^u + Vi^u = -ф + “2% +。2%・
С учетом (20) отсюда получим
①=з + ^ [(а + 〃2 —入2)2/3 — (а + 〃1 — М)"з] х
х (а + Д1 —入I)?/% — 3入)+
+ ^(М2 — 〃1 + 入2 —入i)(3〃 + 3л) • (21)
Связь между нормальными к волне составляющими скорости записывается в виде уравнения ударной поляры
02 一= J"1F2(u1 -u2).
В переменных А, д получим
8(〃2 — 〃1 + % — Ai)2 = 9 [(a + 从1 — Ai)2 — (a + 〃2 —入2)[ *
x [(a + Д1 — Ai)2/3 + (a + 〃2 —为)"^] . (22)
Будем исходить из того, что область определения решения в плоскости годографа однолистна. Используя известное свойство взаимного расположения характеристик и скачка уплотнения (угол Маха до скачка меньше угла наклона скачка, а за скачком — наоборот, гл. 8, § 6), получим, что каждая из кривых 1,2в плоскости годографа пересекается характеристиками не более одаого раза; кривые 1, 2 лежат по одну сторону от характеристики д = О в разных квадрантах точки 0. Без ограничения общности будем считать, что на этих кривых 〃 < 0 (рис. 9.21).
Учитывая, что。2 -。1〉0 必 號2 —號1 < 0, получим
入2 — М〉0,入1 <0,入2〉0, Д1 < 0, 〃2 < 0・(23)
Если считать Д1 параметром, то кривые 1, 2 определяются тремя ФУhкЦИЯМй a =%(〃1), a =入2(从1),从=从2(从1).
Таким образом, получается следующая задача: найти решение Ф(А, д) уравнения (16), которое на характеристике 2 дд = 0 удовлетворяет условию (19), а на
А” скачке уплотнения вместе с неизвестными
v\функциями А1(Д1),入2(〃1),从 2 31) подчиня-
^к/хУ ется условиям (20)-(22). Кроме того, должны /С ^\ выполняться неравенства (23) и условия (18).
При построении решения в первом при- 51^»Д I ближении будем пользоваться формулами (4).
1 [ Функции Lo) = g(Af),夕(Afo,L)=
=p(L) перед скачком уплотнения представ-
Рис. 9.21ляются степенными рядами (значения 夕 на
характеристиках). Если принять, что асимптотическое разложение функции G(M) = Ф(М, Lo) в области за скачком уплотнения допускает почленное дифференцирование и что G(M)— знакопостоянная монотонная функция, то для 夕，夕厶,дм,①,①l, Фм получим аналогичные (15) выражения. (Учитывается, что по (19) P(L)= = Ф(М^Ь)=р(Ь).)
Оставляя в уравнении ударной поляры и граничных условиях только главные члены (при А 0 ), получим
从2=〃1,(24)
①从=心-a(% - М)”(25)
①a = да - a(入2 - M)8〃，(26)
①=8+ (入2 -入1)8入一^ (入2 -入1)28从•(27)
Принято считать, что скачок возникает только при наличии складки в физической плоскости. Край складки является огибающей характеристик (скачок начинается в точке возврата огибающей и касается ее в этой точке); в плоскости годографа ей соответствует предельная линия, на которой якобиан a(N,y)/a(%。)меняет знак.
В координатах L, М уравнение предельной линии имеет вид
УьУм = 0,(28)
где у =屮” также является решением уравнения (16). Нетрудно установить, что огибающей характеристик первого семейства соответствует предельная линия уь = 0.
По формулам (5) имеем
У = q(Af) + r(L), ум = ^(М) - ar(L), yL = r(L) + aq(M).
Легко видеть, что здесь q{M) = g(M) + ... , r(L) = p(L) + ...
В соответствии с рисунками 9.20, 9.21, имеем q(M) = —Атр^-1 + + …，t(L) = -BZA/-1 + …，где I — четные числа, m ^ 2, Z ^ 2, Л, В ——положительные постоянные. Из условия наличия только одной предельной линии 沙厶=0 получим m = 2, Z》4 л уравнение предельной линии примет вид (с учетом формул (4))
р.= -^4^А，~2 + --)% = 4 (или6,8,10,...).(29)
Переходим к отысканию решения Ф(Е, М) по условиям (19), (24)-(27).
Пусть Ф(^о,М) = G(必)=。(-〃尸 + … Подставляя в (25)-(27) асимптотические выражения вместо Ф, Ф^,①м, 3,夕厶，Вм, получим в первом приближении
-Cni-p,^-1 +аВХ^ =
=-24〃1 + аВ# - (Д2 - М)а(8〃：т + 仪4诵)，(30)
-助乂-i - »т)+ Са(-〃 1 广=
=—Aotp^ — (% - М)а(-24〃1 + аВХ；), (31)
С(—〃1)" — В(Х； — X) = —4〃；—(入2 — Ai)(J3ZAi-1 + Аар^) +
+ ^(入2 - M)2(2/〃i - а8乂). (32)
Интерес представляют только те случаи, когда после образования скачка складка в физической плоскости исчезает, т. е. когда кривые 1,2 «вырезают» предельную линию в плоскости годографа. Из (29) следует, что при этом должно быть
(33)(33)〃1 =。(乂 2),从2 =。(乂 2), 〃1,2 < 0・
(33)
(33)
Обозначим через & наименьший порядок функций 入式〃1),入2(〃2)при 从 1 т 0. Так как 2》4, из (32) следует, что
从 7 = 0(1).(34)
Используя эту оценку, получим из (32), учитывая, что по (23) Ai / Л2,
从1界W后m-2T.(35)
2Ла М - Ai 24a
t=o
Таким образом, оценки (23) могут быть усилены: если К — некоторая постоянная, то Д1 = Kf + …
Подставляя эту оценку в (30) получим, как и в области перед скачком,
n = 2, С =-А.(36)
Подставляя (35) в (32) и отбрасывая члены более высокого порядка малости, получим
2(入:一A2)= (Aj -入2*-1 + ，1乂-1 一 乂)2.(37)
Уравнения (35), (37) определяют функции M(〃i), Л2(Д1).
Обозначив х = А1/А2, получим из (37)
尸(с) = х1 - 6n"i + kc - 1 = 0, к = 1/(1 - 2) > 0.
Интерес представляют, в соответствии с (23), только отрицательные решения этого уравнения. Анализ графика функции 尸(с) при четном I показывает, что существует единственный отрицательный корень, х = —1. Из (35) получим
"1 =八；2 ПРИ А1 < °；
(38) 从 1 = -農^乂-2nРИ 入2 > 0
Кривые 1,2 лежат в области между характеристикой д = 0 и предельной линией и, следовательно, «вырезают» ее.
Нетрудно убедиться, что в случае отсутствия предельной линии (I = =2, оценка (33) принимается во внимание) система (30)-(32) имеет только решение Ai = А2, соответствующее непрерывному течению.
Приведенное исследование доказывает справедливость обычно принимаемого положения (являющегося развитием метода простой волны К. Фри- дрихса), гласящего, что характеристика второго семейства 08, исходящая из начала скачка, не несет разрыва первых производных составляющих скорости.
Таким образом, независимо от типа предельной линии, указываемого числом 厶 скачок в первом приближении представляет собой линию склеивания первого и третьего листов складки (в физической плоскости) невозмущенного скачком течения; склеивание производится единственным образом.
Чтобы найти величину слабого разрыва, испытываемого потенциалом Лежандра на характеристике 08, построим второе приближение. Оставляя
в уравнениях (20), (21) члены первого и второго порядка малости, получим вместо (25X27)
Фд = [1 + а(》2 —入1)]夕丛—а(》2 — М)8л,
@л = 口 + а(》2 — М»3л — &(入2 — Ai)[l + 2a(% + 2А2)]^Д,(39)
-a(入2 - Ai)2 [1 + ^(7% + 5为)]券.(40)
Оставляя члены второго порядка малости в уравнении ударной поляры (22), получим
М2 = Mi + ±『(入2 - Ai)3 = Mi +("-J" •(41)
Отсюда и из (38) следует
“2 = “I + ^ (響广2 1〃Т"・(42)
Ниже понадобятся асимптотические формулы второго приближения для 3，^л, 3〃 на скачке уплотнения.
Чтобы избежать громоздких выкладок, составим их следующим образом, используя линейность уравнения (16).
В точных выражениях для 夕，夕入，屮核(см. § 5, 6), соответствующих решению задачи Гурса с условиями
3(М Lo) = -ЛЛ з(МН) = -В*,
функция Римана и ее производные разлагаются в ряды Тейлора (при Mq / Z/o эти функции аналитические). На кривых 1, 2, т. е. при 从屮 ~ ~ X? производятся оценки членов разложения и оставляются члены первого и второго порядка малости.
В полученные выражения добавляются члены первого порядка малости, порожденные решениями Д^, ДФ задачи Гурса с условиями
^{M.L^ = Qi/?+t】, 厶奴减/) = △①(МН) = ЕМ+р,
△埶M/o) = Q2|"+%
где 厶》1, а》1, 土2 > 0;打,pi —целые числа.
На кривых 1, 2 производится сравнение добавленных членов с имевшимися ранее; члены более высокого порядка малости отбрасываются.
В результате получим
3 = [-ВЛ1 - 4〃2] + ЕХ+р + аА^ + Q]|〃|2+t】，
心=[-2Ад] - 24а〃А -(2 + 土i)Qi|川中】，(43)
Зл = [SIX1-1] + (I +p)EM+pt - Аад2.
Здесь в квадратные скобки заключены члены первого порядка малости.
Для Ф, Фм, ①入 получаются аналогичные выражения при замене Qi т Q2, %1 т 力2・
Под 〃，入 в (42 ) понимаются Д1, X(〃i) и соответственно 〃2(〃i), 入2(〃1), рассмативаемые с учетом членов второго порядка малости:
尢=潦"®1) + Х%1),
小 小(44)
入2弓% (从1) +入2 (儿1)。
Зависимости 潦"(〃1), 入貝(〃1), 儿2З1) определяются формулами (38), (41).
Подставим выражения (42), (43) в первое уравнение (39). Отбросив члены высших порядков малости, получим, после взаимного уничтожения членов первого порядка
(2 + t2网2|〃1 尸‘2 + 幫(若)-X") + 2Ладха^ =
=2/叫相)+ а (若)-w))2/儿i. (45)
Так как I》4, наименьший порядок членов этого уравнения будет С/. Отсюда получим
/ = 4, t2=^, Q2=^ 登’S=^^-(46)
Таким образом, если при решении какой-либо задачи методом годографа в некоторой сверхзвуковой точке физической плоскости образуется складка, то такое решение может быть реализовано введением скачка, выходящего из этой точки, только в случае, когда соответствующая предельная линия в плоскости годографа имеет вид квадратной параболы (вблизи этой точки). При этом, конечно, имеется ввиду только «общий» случай, когда точка зарождения складки не лежит на линии слабого разрыва решения.
Это условие имеет простое геометрическое объяснение. Действительно, в характеристических переменных ударная поляра вблизи точки нулевой интенсивности скачка является кубической параболой (41), поэтому соответствующие друг другу точки на кривых 1,2, лежащих по разные стороны от характеристики А = 0 (рис. 9.21), могут быть соединены полярой, только если на этих кривых % =。(片戸).
С другой стороны, условие «вырезания» (23) гласит:佐=。(入了), поэтому из всех случаев I = 4, 6, 8, ... может реализоваться только случай I = 4.
Подстановка формул (41 )-(44) во второе и третье уравнения дает возможность однозначно определить X，)，岩)，которые оказываются пропорциональными Д1.
Интересно отметить, что 入丝 若)не зависят от Qi, а от Е зависит линейно (при р = 1; при р > 1 следует положить Е = 0).
Рис. 9.22
Рис. 9.23
1。Э. Г. Шифрин
О расчетах течений со вторичными скачками уплотнения
Образование вторичных скачков уплотнения было многократно зафиксировано в численных решениях задач обтекания различных удлиненных тел: гладкого затупленного клина или конуса, двойного клина или конуса, цилиндрического торца и т.д. [13, 63,112].
Вторичные скачки очень четко видны также на фотографиях [24], но на большинстве из них, относящихся к обтеканию тел с изломом контура, явно присутствуют отрывные зоны за угловой точкой, судя по первому впечатлению, инициирующие образование скачка. Однако на снимке №267 (обтекание полусферы с цилиндром при М = 1,96) «...нет никаких признаков отрыва в месте соединения сферы с цилиндром» [24], в то время как слабый вторичный скачок все еще можно разглядеть. Таким образом, возникает впечатление (и оно усиливается тем, что скачки регистрируются в численных решениях, моделирующих безотрывное обтекание), что не отрыв пограничного слоя инициирует скачок, а наоборот — наличие вторичного скачка, порождаемого «глобальными» обстоятельствами, вызывает отрыв пограничного слоя (с областью отрыва малой протяженности), который и зафиксирован на большинстве фотографий в [24].
На рисунках 9.22, 9.23 приведены наиболее характерные изображения вторичных скачков, полученные В. Ф. Ивановым при расчетах обтеканий сегментально-конических тел [13]. На рис. 9.23 четко видао, что область влияния затупления и трансзвукового излома простирается далеко вниз по потоку захватывая большой участок ударной волны. Это явление, конечно, имеет простое объяснение, но, будучи получено впервые, весьма впечатляет.
Вторичные скачки уплотнения возникают; конечно, и в трехмерных течениях. Об этом свидетельствуют, например, расчеты [47] сеточнохарактеристическим методом сверхзвуковых обтеканий гладко сопряженного двойного клина.
Глава 10
Обтекание профиля равномернойсверхзвуковой струей
Обтекание бесконечного клина. Положение звуковой линии.Формулировка задачи в плоскости годографа [115]
Задача обтекания тел сверхзвуковой струей с отошедшей ударной волной является важной задачей современной аэродинамики, привлекающей внимание исследователей. Так, в работе [23] изучалось падение сверхзвуковой струи на стенку: методом интегральных соотношений в первом приближении было построено численное решение при Ms》3. Ниже приводятся аналитические исследования обтекания в основном для случая малой сверхзвуковой скорости набегающего потока, когда изменениями энтропии на ударной волне можно пренебречь.
Рассмотрим плоское симметричное обтекание бесконечного клина равномерной сверхзвуковой струей с отошедшей ударной волной.
Установим характер течения в окрестности точки А пересечения ударной волны и границы струи, распространяющейся в среде с постоянным давлением pg. Из соотношения для давлений на скачке уплотнения в точке А
Р2 _ 2кМ^ sin2 о — k + 1
piк + 1
следует, что либо в точке А ударная волна вырождается в характеристику либо в окрестности точки А в области между ударной волной и границей струи происходит дополнительный разгон потока, т. е. точка А является особой. (Здесь ст — угол наклона ударной волны к вектору скорости набегающего потока.) В области дозвуковых скоростей таких особенностей не существует; поэтому течение в окрестности точки является либо сверхзвуковым, либо смешанным. Покажем, что может осуществиться только последний случай.
Особенность в точке А (если она существует) — типа Прандтля- Майера. Это означает, что в сверхзвуковой части плоскости годографа область определения решения ограничена некоторой эпициклоидой, на которой функция тока постоянна.
Предположим, что звуковая линия выходит не из точки А, а из некоторой точки С, расположенной на ударной волне внутри струи. Так будет и в случае сверхзвуковой особенности в точке 4, и в случае, когда ударная волна в точке % вырождается в характеристику. Рассмотрим отображение области за ударной волной в плоскость 入0. Для краткости будем называть ю*
эпициклоидой образ характеристики. В соответствии с законом монотонности вектора скорости на звуковой линии (см. гл. 1, § 11) образ звуковой линии в плоскости Л0 расположен на оси Л = 0 выше образа точки С (рис. 10.1). Так как угол наклона ударной поляры к оси 0 = 0 в точке с отрицательный, а эпициклоиды — равен нулю, то эпициклоиды второго
Рис. 10.1Рис. 10.1
Рис. 10.1
Рис. 10.1
семейства, проведенные в достаточно малой окрестности точки с через ударную поляру; могут окончиться, в зависимости от величины отрезка са только либо на ударной поляре, либо на эпициклоиде первого семейства аа! (которая является образом точки А), либо на отрезке а!е линии Л = =const, изображающем границу струи. Этого не может быть, так как тогда соответствующие характеристики в физической плоскости начинались бы и оканчивались на границе струи.
Таким образом, течение в окрестности точки А является трансзвуковым: звуковая линия выходит из точки 4 Заметим, что особенность в точке А не поддается изучению с помощью автомодельных трансзвуковых решений из-за невозможности удовлетворить граничным условиям на ударной волне ни точно, ни асимптотически (см. гл. 7, § 5).
На рис. 10.2 показана минимальная область влияния смешанного течения в физической плоскости и в плоскорти годографа для случая, когда число Лоо достаточно мало относительно угла раствора клина; при этом все характеристики узла А содержатся в минимальной области влияния. (При достаточно большом числе Ag минимальной области влияния будет принадлежать только часть характеристик узла разрежения, и «последняя» характеристика узла будет оканчиваться на клине: здесь имеется аналогия с задачей сверхзвукового истечения струи из резервуара [32].)
Звуковая точка на клине аналогична центру сопла: звуковая линия здесь ортогональна стенке клина и обращена выпуклостью в сторону области сверхзвуковых скоростей.
В точке А звуковая линия ортогональна вектору скорости за ударной волной (см. гл. 7, § 1) и обращена выпуклостью в сторону области дозвуковых скоростей; это объясняется тем, что все характеристики второго семейства, проведенные в плоскости годографа в достаточно малой окрестности точки а через эпициклоиду первого семейства аа\ попадают на звуковую линию.
Рис. 10.2
На границе минимальной области влияния в плоскости годографа имеют место следующие граничные условия для функции тока:
W = 0 при 0 = 0, 0 W 入 W Хв (ось симметрии),
“ =0 при Л = 0, 0 W 0 W 8о (точка торможения),
“ =0 при 0 =仇，0 W 入 W 1 (стенка клина),
“ =1 на эпициклоиде первого семейства аа! при 1 W 入 W 入 8,
“ =1 при 入=Xg、Ba《В《Be (границаструи),
д^/ди = 0 на ударной поляре ВА при 入в W》W 入4・
Последнее граничное условие для уравнения Чаплыгина было установлено Ф. И. Франклем [104] (см. гл. 1). Здесь д/ди —производная по некоторому полю направлений, заданному на ударной поляре. На эпициклоиде de, изображающей предельную характеристику, граничного условия нет.
Указанные граничные условий определяют для уравнения Чаплыгина задачу Франкля, обобщенную в том смысле, что на части границы в области эллиптичности задано условие «косой производной». Обобщенная задача Трикоми изучалась впервые Ф. И. Франклем, доказавшим теорему единственности обтекания конечного клина с отошедшей ударной волной [104].
Обтекание бесконечного клина звуковой струей [115]
Рассмотрим предельный случай звуковой скорости набегающего потока. При Л8Tl область определения решения станет прямоугольником, граничные условия на прямолинейных отрезках границы останутся неизменными.
Установим, как преобразуется граничное условие на ударной поляре при Л8 Tl. При малых значениях (Ag — 1)это условие может быть записано в виде (см. также [32, с. 146])
九=We (七 j 4) / (7uoq 4- u)(5uoo + Зи)""1,
Л = 1 + (fc + 1)一〃九 + oQ)
и при Лоо т 1 переходит в условие, что линии тока, выходящие из точки А (в которую стягивается ударная поляра), образуют узел с главным направлением вдоль дозвуковой оси 0 = 0 и исключительным направлением вдоль
звуковой линии.
Покажем, чтоПокажем, чтоРис. 10.3Рис. 10.3решение ”，удовлетворяющее условиям на границе
Покажем, что
Покажем, что
Рис. 10.3
Рис. 10.3
прямоугольника (рис. 10.3), удовлетворяет также и последнему условию в точке А Доказательство проведем в трансзвуковой постановке, заменяя уравнение Чаплыгина в окрестности звуковой линии уравнением Трикоми Wuu = Wbb； прямоугольник при этом преобразуется в полуполосу (точка Л = =0 перейдет в точку и = -оо, а граничные условия останутся прежними).
Представим решение ” в виде
W =耽 + 耽 一 "3,
где решения 耽 удовлетворяют следующим граничным условиям:
耽=1 при ” = 0, 0 < £ W 仇，
血=0 при 0 = 0, —оо < и < 0, 血=/(и) при £ =仇，-оо < и < О,
血=1 при 〃 = 0, 6 W 0 W 0о,
“2 = 0 при 0 = 0о, -оо < и < О,
“2 = /(〃)при £ = 0, -оо < U < О,
“з = /(^) при 0 = 0, 0 = 0о, -оо < и < О,
“з = 1 при 〃 = О, О V 0 < &)•
Здесь /(и) — некоторая функция, которая будет определена ниже: /(0) = 1, /(-оо) = 0.
Для ”1 имеется точное решение (20) § 5 гл. 2
Постоянные О】и Q определяются из граничных условий Wi = 0 при 0 = 0 и 耽=0 при и = 0 (с учетом формул гл. 2, § 4)
「(5/6) а — q- -f(3/2"(1/3)，
Функция /(и) определяется как значение решения 耽 при В =氏、 —оо < и < 0.
Линии тока решения 耽 образуют узел линий z = const, поэтому условие в точке А (на «уцарной поляре») удовлетворяется. Легко убедиться, что ”i(z) — монотонная функция при — 8 v z W 0.
Решение 耽 аналогично 耽.
Граничные условия для решений 耽 и ”з непрерывны в точке А, поэтому решение ” имеет здесь такой же характер, как и решение 耽.
Таким образом, при 入8 т 1 рассматриваемая задача Франкля переходит в задачу Дирихле для прямоугольника, расположенного в области эллиптичности, одна из сторон которого лежит на звуковой линии (рис. 10.3).
Решение ее может быть построено методом С. А. Чаплыгина [108]. Для уравнения Чаплыгина имеем
电：工包g К У k znk(a)电：工包g К У k znk(a)а =а =(1)(1)ктгктг砥'砥'г =г =用 一 1\2用 一 1\2к-1mк-1m
电：工包g К У k znk(a)
电：工包g К У k znk(a)
а =
а =
(1)
(1)
ктг
ктг
砥'
砥'
г =
г =
用 一 1\2
用 一 1\2
к-1
m
к-1
m
Здесь znk (г) — функции Чаплыгина, ограниченные при г = 0, штрих у знака суммы означает, что суммирование производится по нечетным к. (В случае уравнения Трикоми решение разлагается в ряд по частным решениям "к/з(黑叫)sin器
где Ki/3(z) —функция Макдональда.)
Решение (1)в плоскости годографа симметрично относительно оси 0 =
=仇/2; в физической плоскости этому соответствует симметрия относительно оси у = -xtg(^0/2)
(рис. 10.4).
К решению (1) применим весь анализ работы [72] (исследование сходимости рядов); отсюда следует, что в струе имеются две прямые звуковые линии АВ и ED、расположенные на конечном расстоянии от носика клина. К этим звуковым
линиям слева и справа примыкают рИс. 10.4 два равномерных звуковых потока.
«Составная» звуковая линия BAED является предельным положением ударной волны, звуковой линии, предельной характеристики и границы струи (пунктир на рис. 10.4) при 入 т 1.
Решение вида (1) можно получить и в несимметричном случае, но только при условии, что точка торможения расположена в носике клина (в противном случае вследствие обтекания острия образуется местная сверхзвуковая зона); это условие связывает между собой угол атаки и смещение струи относительно клина.
Обтекание профиля. Минимальная область влияния [116]
При анализе обтекания бесконечного клина (см. § 1) было установлено, что звуковая линия выходит из точки пересечения ударной волны с границей струи. Это доказательство может быть применено без изменений к случаю обтекания профиля, если угол наклона его касательной к оси симметрии всюду превышает угол 伉 отклонения вектора скорости в звуковой точке ударной волны, т.е. если на профиле |例 > |0*|. (Если профиль в каждой точке вогнутый, это условие является лишним.)
Аналогичный результат имеет место и в случае невыполнения этого условия, если ширина струи (по отношению к характерному размеру профиля) достаточно мала, так что точка пересечения ударной волны с границей струи принадлежит минимальной области влияния смешанного течения за ударной волной.
Действительно, в противном случае звуковая линия должна выходить
из некоторой точки ударной волны внутри струи (на свободной границе скорость сверхзвуковая), и следовательно, существует отрезок ударной волны, на котором скорость сверхзвуковая. В связи с тем, что этот отрезок принадлежит границе минимальной области влияния, характеристики,
проведенные из него, могут оканчиваться только на звуковой линии (пред
полагается, что течение непрерывно).
Этого не может бьпъ, так как образ звуковой линии в плоскости Л0 в соответствии с «законом монотонности» гл. 2, § 11 расположен на линии Л = 0
не ниже з^ковой точки ударной поляры, сверхзвуковой отрезок которой, наоборот; лежит ниже этой точки (т.е. на нем 6 V 仇).На рис. 10.5 показано положение характеристик, выпущенных из ударной поляры относительно образа звуковой линии.
При установлении формы минимальной области влияния оказывается полезным использовать свой-
Рис. 10.5ство, что на звуковой линии в по
тенциальном течении не существует точек К_, расположенных внутри области течения (см. гл. 2, § 1).
Ввиду отсутствия точек К_ на звуковой линии может быть не более одной точки 女+・
Рассмотрим случай вьшуклого профиля. Установим форму минимальной области влияния, когда ширина струи достаточно мала, так что точка пересечения ударной волны с границей струи принадлежит минимальной области влияния.
Так как на границе струи скорость сверхзвуковая, в этой точке будет происходить расширение потока от з^ковой скорости за ударной волной; будем называть ее «угловой точкой».
В гл. 7, § 1 при достаточно общих Предположениях было показано, что звуковая линия в угловой точке ортогональна вектору скорости в звуковой точке и обращена выпуклостью в сторону области дозвуковых скоростей (если звуковая линия в угловой точке гладкая и имеет в ней выпуклость).
При обтекании выпуклого профиля угол наклона звуковой линии к вектору скорости, обращенному в сторону увеличения скорости, острый, поэтому на звуковой линии существует точка К^ (рис. 10.6).
Точка К^ аналогична центру сопла Лаваля (но несимметричного). Заранее неизвестно, какой именно тип особенности здесь будет осуществляться. Ввиду асимметрии, для изучения особенности здесь должны привлекаться, помимо антисимметричных решений уравнения Трикоми для
Рис. 10.6
функции тока, еще и симметричные (по 0) решения. Систематическое исследование центра сопла Лаваля в классе степенных особенностей дано в монографии [84].
Как и в случае бесконечного клина, при обтекании профиля граница минимальной области влияния может содержать отрезок свободной границы (рис. 10.6). Представляет интерес также случай обтекания всюду вогнутого профиля. Звуковая линия здесь всегда выходит из угловой точки. Минимальная область влияния показана на рис. 10.7.
Рис. 10.7Рис. 10.7
Рис. 10.7
Рис. 10.7
Если угол при вершине 仇 достаточно велик (0。＞ 0*, способ определения 3* ясен из рис. 10.7), может реализоваться только первый случай рис. 10.7.
Звуковая линия в точке составляет с вектором скорости тупой угол. Поэтому при обтекании вогнутого профиля на звуковой линии не существует точек К+・
«Прямая» и «обратная» задача. О единственностирешения [116]
Как частный случай выпуклого профиля, рассмотрим обтекание конечного клина. При этом стенка клина должна быть короче отрезка дозвуковой скорости на стенке бесконечного клина (с тем же углом при вершине, обтекаемого струей той же ширины). С другой стороны, клин должен быть длиннее того клина, минимальная область влияния которого при обтекании безграничным потоком помещается внутри струи.
Если конечный клин является передней частью составного тела предполагается также, что выпуклый угол между касательными в точке излома достаточно велик.
Граница минимальной области влияния в плоскости годографа состоит из известных кривых: отрезков прямых 仇,£ =仇,Л = 0 (линии тока), ударной поляры, характеристик oq и qm (угловые точки в струе и на клине), характеристик кс2 и 儿敗(или kd) (рис. 10.8).
Рис. 10.8
Здесь, как и прежде, могут представиться два случая обтекания в зависимости от величины угла разворота в точке А В связи с тем, что положение точки К+ (т. е. параметр 0к) заранее неизвестно, нельзя сказать, какой из этих двух режимов имеет место.
Если считать в «обратной задаче» 0к известным параметром, то для функции тока ^(Л, 0), удовлетворяющей уравнению Чаплыгина, формулируется обобщенная задача Франкля (на дозвуковом отрезке ударной поляры задается условие 屮入=а(入)“夕,§ 1).
Здесь существенно, что в точке А (т.е. на。1敗)может быть всегда задано условие 屮=1 (при условии на стенке клина “ = 0).
Если сформулированная задача имеет решение, то параметр 伝 определяет длину стенки клина. Таким образом, прямая задача отличается от обратной тем, что в первой задается длина клина, а во второй — параметр 0K.
При 0к = 0c минимальная область влияния будет такой же, как и при обтекании бесконечного клина, а при 0K =纵一как при обтекании конечного клина безграничным потоком.
Предположим, что сформулированная обратная задача имеет единственное решение при каждом 0к, За V 0K V %, зависящее от 0K. Тогда существует однозначная непрерывная функция хс = ①с(0к)・ Если зависимость ①с(6к) монотонная, решение прямой задачи будет единственным и наоборот.
Рассмотрим обратную задачу. Следуя [104], можно дать доказательство теоремы единственности «квазирегулярного» решения (без исследования законности применения формулы Грина в окрестности особых точек). Непосредственной проверкой здесь достаточно убедиться, что оценка
4 о
/阿。1。=0切20, 0=/(「ма2)")rflnA, С In А
полученная в [104] из условия “ = 0 на характеристике, остается в силе и в случае, когда это условие задано на произвольной кривой внутри характеристического треугольника, пересекающей каждую характеристику не более одного раза. Граница сверхзвуковой области, помимо этой кривой, может содержать свободные от граничных условий характеристики, выпущенные из звуковой линии.
Вопрос о единственности решения прямой задачи в общем случае остается открытым. Дадим простое доказательство для частного случая обтекания конечного клина звуковой струей в рамках уравнения Трикоми
Wuu = "Wvv・
Предположим, что при обтекании клина звуковой струей существуют два течения, соответствующие двум задачам Трикоми с различными значениями параметра &• Положим ^1,2 = 0 на bdi^, ^1,2 = 1 на bocci)2, В& > 瓦2 (рис. 10.9). Таким образом, граничное значение разрывно в звуковой точке Ь.
Из условия физической реализуемости следует; что 耽,2 ограничены. В гл. 3, §7 доказана единственность ограниченного решения задачи Дирихле с кусочно непрерывным условием при ” < 0 (имеется в виду решение уравнения Трикоми).
Отсюда следует; что решение 耽,2 в окрестности точки b могут быть представлены в виде
^1,2 = 6з + 他5・
Здесь ”з — решение (2.20) (см. гл. 2, § 5),也卢一непрерывные решения, обращающиеся в точке Ь в нуль.
Рис. 10.9
Таким образом, для разности решений W =耽一耽 имеет место задача Трикоми с непрерывным граничным условием (рис. 10.9) ” = 0 на d2boec1,吵=”2 на </泌・
Если решение С физически реализуется, то без ограничения общности можно считать, что ^2 > 0 при Л = 1, £d2 V 0 V 0dl.
Кроме того, так как в решениях ^1,2 — длина клина одинакова, должно быть
/叽(",%) du = 0.ос
Отсюда следует существование по крайней мере двух областей, примыкающих к прямой и = %, в которых функция тока имеет разные знаки. Граница этих областей, линия W = 0, одним концом опирается на прямую и = %.
Другой конец этой кривой не может лежать ни на границе d2boc (тогда в соответствии с принципом максимума для эллиптических уравнений было бы W 三 0), ни в интервале d^^ линии Л = 1 (где ^ = ^2 > 0), ни в интервале。山 линии Л = 1 (по принципу «экстремума» [20, с. 84], для решений задачи Трикоми, обращающихся в нуль на характеристике, было бы W = 0).
Таким образом, исходное предположение о существовании двух различных решений приводит к противоречию.
Несимметричное обтекание бесконечного клина струейдозвуковой и звуковой скорости. Формула Прандтля —условие разрешимости задачи [79]
Рассмотрим случай обтекания бесконечного клина струей с дозвуковой или звуковой скоростью на границе, когца критическая линия тока разветвляется в его вершине. Этот режим может реализоваться лишь при определенном (заранее неизвестном) соотношении геометрических параметров. Задача решается в плоскости годографа численным методом [80], развитым применительно к проблеме профилирования сопла Лаваля. Решение несимметричной задачи, полученное в плоскости годографа, может
быть реализовано физически лишь при определенном соотношении между граничными значениями для функции тока. Это соотношение (обобщающее известную формулу Прандтля [49], выведенную для случая несимметричного обтекания пластины струей несжимаемой жидкости из теоремы импульсов) получено из анализа асимптотики решения вблизи критической точки.
Пусть струя сжимаемого идеального газа обтекает клин, разветвляясь в его вершине. Этот случай исключительный; в общем случае струя обтекает клин, разветвляясь на его боковой стороне с образованием в районе вершины местной сверхзвуковой зоны со скачком уплотнения (рис. 10.10). При дозвуковой скорости на границе струя имеет бесконечную протяженность. При звуковой скорости прямые звуковые линии, отделяющие область двумерного до-
звукового течения от равномерных звуковых потоков, устанавливаются на ко- 臂''％«々dr
нечном расстоянии от острия клина [72] (рис. 10.11).—*
Геометрическими параметрами течения являются угол раствора 仇，угол на-Рис, 1 1
клона 仇，оси клина к оси набегающей струи, смещение е острия клина относительно оси симметрии набегающей струи.
Образ области течения в плоскости годографа т£ является прямоугольником (рис. 10.11): тО1о2 = 0, £бв = 0, Во2A =仇，rAB 4 (k 一 l)/(k + 1) (r — переменная Чаплыгина, 0 — угол наклона вектора скорости). Для
Рис. 10.11
функции тока 也(丁,0), подчиняющейся уравнению Чаплыгина, ставятся граничные условия ^ = 0 на АОВ} » = —1 на BD, » = 0 на AD. Сформулированная задача Дирихле имеет единственное о生аниченное решение (см. гл. 3, § 7), зависящее от параметра С. Выбор С определяется следующими соображениями, связанными с физической реализуемостью решения (с однозначностью отображения в физическую плоскость).
Величина С представляет собой значение функции тока на одной из границ струи в физической плоскости, причем » = -1 на другой границе, ^ = 0 на критической линии тока, находящейся внутри струи, если
302 Обтекание профиля рабнамерноИ сеерхзеуковоИ струей Гп. ]0 решение 吵(т,0) физически реализуется. Отсюда следует; что (7 > 0, и, значит, внутри прямоугольника ABOQ? в плоскости годографа имеется линия уровня решения 吵=0, выходящая из точки D (узла).
Из принципа максимума и из того, что 吵 # 0 на открытых промежутках АВ, BD, следует; что эта линия другим концом опирается на контур АО1О2В. Решение 吵(т,0) может быть физически реализовано, только если эта кривая опирается на контур Q02・ Если это так, из принципа максимума следует, что внутри прямоугольника не существует других линий уровня решения 吵=0, опирающихся одним концом на прямую АО2 или на BOi, поэтому сформулированное условие не только необходимо, но и достаточно для однозначности отображения решения 吵(т,£) в физическую плоскость. Неоднозначность отображения может иметь место только при наличии нулей ▽吵一седловых точек линий уровня 吵一в точках плоскости годографа, не лежащих на прямой О1О2 — образе вершины кйина. Отсутствие таких точек на кривых 吵=0 указано выше; из принципа максимума легко вывести также отсутствие нулей ▽吵 на кривых “ # 0.
Для математической записи сформулированного условия рассмотрим представление решения в виде ряда [108]
吵=£ 价％n(r) sin 嚟.n=l
Здесь Уп") —гипергеометрические функции, использованные Чаплыгиным; уп (г) не имеют нулей при дозвуковых и звуковых значениях т [108].
В окрестности отрезка 5 О2 этот ряд дает асимптотическое разложение по степеням г. Поэтому единственная внутренняя линия уровня 吵= =0 будет выходить из отрезка 55 тогда и только тогда, когда ряд начинается со второго члена, т.е. а】=0, аг / 0. Приравнивая нулю первый коэффициент Фурье граничного значения при г = tab
ВоВ1Во
。=/也小啜期=-户啜如+。/si啜d仇 О0Bl
получим
C = tg2(翳)，(1)
Эта формула является обобщением формулы Прандтля (см. [49]), выведенной из теоремы импульсов для случая несимметричного обтекания пластины струей несжимаемой жидкости (0。= тг). Заметим, что вывод из теоремы импульсов не допускает расширения на случай клина 仇 / тг. Свойством формулы (1), так же как и формулы Прандтля, является независимость от фактора сжимаемости.
Если величина С вычислена по формуле (1), то т2 / 0 и функция 吵 имеет при г т 0 асимптотику
吵=а?丁”仇 sin+ • • • ,(2)
Po
т. е. линия уровня » = 0 пересекает 55 в точке 0 =仇/2・ Это выражает
свойство, что в физической плоскости критическая линия тока в вершине клина касается прямой у = я: tg 仇/2, иначе говоря, в главном приближении вблизи точки торможения течение симметрично 9.
Сформулированная задача Дирихле при С, определенной по формуле (1) решалась численным методом. На рис. 10.12 приводятся результаты расче
тов обтекания клина струей со звуковой скоростью на границе (границы струй, стороны клина и прямые звуковые линии, отделяющие области равномерных звуковых потоков) при следующих значениях параметров: к = 1,4,仇 е {тг/6,7г/3,7г/2}, 仇/仇 € {1/4,1/3}・
Задача решалась без выделения особенностей, возникающих в точках разрыва граничного условия. Сетка так разбивала прямоугольник О\ОчАВь чтобы 0о = =Nh,仇=(М + 1/2)Л, где Л — шаг сетки по направлению £; М М — целые
числа. Граничное значение » = 0 задавалось во всех узлах прямых £ = 0, 6 = 0, £ = £о・
Применявшийся численный метод [80] имеет погрешность О(Л2) на гладких решениях. Однако в рассматриваемой задаче граничная функция
разрывна, поэтому, по-видимому, решение задачи в целом имеет несколько большую погрешность. Вопрос о погрешности решения принципиально важен при истолковании результатов расчетов, рассматриваемых вблизи npЯМ0Й0102.
В связи с тем, что точное решение вблизи этой прямой близко к нулю, погрешность численного решения может оказаться там преобладающей.
Как показали проведенные расчеты, преобладание погрешности над точным решением при сетке 30 х 30, 50 х 50 или 70 х 70 имеет место на двух-четырех лучах г = const; это выражается в том, что линия уровня 吵=0 приходит не на отрезок 55, а на кшдгю・ни6уць из сторон OiB по второму третьему или четвертому лучу. При измельчении сетки наблюдалось приближение линии 而=0 к требуемому положению.
При увеличении угла % эффект преобладания погрешности ослабевал; это объясняется уменьшением показателя степени в асимптотическом представлении (2); уровень погрешности решения при увеличении 仇 остается примерно неизменным, зато при удалении от 55 точность решения возрастает быстрее.
Следует отметить, что при проведении численного эксперимента выявление этого факта потребовало проведения расчетов с завышенным по сравнению с обычно применяющимся количеством итераций — с целью исключения погрешности, связанной с установлением численного решения.
О Полезно сравнить условие получения (1) с (5.30).
При расчете несимметричного обтекания пластины (仇=тг) влияние погрешности наглядно проявляется в том, что стороны АО и ВО не сливаются в одну прямую при грубой сетке; при измельчении сетки расстояние между прямыми стремится к нулю (на рис. 10.13 цифры 1-6 относятся к сеткам 70 х 70, 66 х 66, 62 х 62, 54 х 54, 42 х 42, 30 х 30 соответственно).
Рис. 10.13
Условие бесконечности клина относится только к случаю дозвуковой струи; при обтекании звуковой струей требуется только, чтобы клин был достаточно велик.
Полученные результаты, по-видимому; могут оказаться также пригодными для приближенного описания обтекания заостренного тела (близкого к клину) слабосверхзвуковой струей, так как при этом можно ожидать, в силу непрерывной зависимости решения от граничных условий, близости минимальной области влияния смешанного течения в струе, к области дозвукового течения при обтекании звуковой струей.
Глава И
Осесимметричные трансзвуковые течения [114]
§ 1. Специальная плоскость годографа
Введем специальную плоскость годографа для изучения осесимметричных трансзвуковых течений. Исследование отображений в эту плоскость позволяет обобщить ряд известных свойств плоских трансзвуковых потоков.
Уравнения осесимметричных трансзвуковых потенциальных течений имеют вид
иих = % + 7，% = tty.
Здесь 工,у ——декартова система координат в физической плоскости (ось Ох совпадает с осью симметрии, у = ®|), tt = (к + 1)(А — 1) + •.., V = (fc + 1)£ + …
Обозначив w = “у, приведем эту систему к однородной форме (относительно частных производных)
уиих = io?, wx = у иу.(1)
Введем специальную плоскость годографа uw. Эта плоскость получается растяжением в каждой точке плоскости годографа скорости (и, о) в у раз в направлении оси ”. Пусть оси ж, и направлены горизонтально вправо, оси w, у ——вертикально вверх.
Якобиан отображения в плоскость uv при помощи (1) преобразуется к виду
J ==u^wy - %5 = U(* 一啜(2)
Так как J W 0 при и ^ 0, отображение области дозвуковых скоростей в плоскость uw является локально однолистным (J обращается в нуль только в изолированных точках). Кроме того, ориентации соответствующих контуров в плоскостях ху и uw оказываются противоположными. Поэтому имеет место следующее обобщение «закона монотонности» вектора скорости на звуковой линии, установленного в [70] для плоских потенциальных течений (см. гл. 1, § 11).
Перемещению по звуковой линии, при котором область дозвуковых скоростей остается слева^ соответствует монотонное убывание w.
Если при таком помещении у монотонно возрастает, то будет убывать и V, т. е. вектор скорости монотонно поворачивается по часовой стрелке. Последнее справедливо и в рамках точных уравнений осесимметричных потенциальных течений для участка звуковой линии, где)0 > 0 и где при указанном направлении обхода функция тока ^ монотонно возрастает.
Действительно, уравнения движения имеют вид
("1)需嚏+ *，器=鬻・⑶
При А = 1 получим
3(ln%S) = 3(hi%£)=—期 £]^ _ v3(с,У)一 3(si,S2)— у dsi \dsi) '
при £》0, dX/dsi》0.
При выбранном направлении обхода звуковой линии условие dX[ds»》 》0 равносильно условию монотонного возрастания 吵.Система (1) в плоскости uw преобразуется к виду
yuyw = xu,уи = yxw.(4)
Якобиан j = JT с использованием этих уравнений можно представить в виде
j = ^uVw — ^wVu = у8^^ — *^w)*
В дозвуковой области вне оси симметрии j может обращаться в нуль только в изолированных точках.
Уравнения характеристик в плоскостях ху и uw имеют вид
(默「±今(黑，=(5)
Из первого уравнения следует, что в течении, описываемом приближенной системой уравнений (1), направление звуковой линии является характеристическим в точках К вертикальности звуковой линии; в этих точках J = 0.
Из (5) следует, что в соответствующих точках плоскостей с, In у и uv имеет место взаимная ортогональность разноименных характеристик.
Если обозначить производные по характеристическим направлениям в плоскостях ху и uw через
8 _丄广8丄8瓦+希
3 д . г д
то выражения для J, j преобразуются к виду
⑹⑹7 _ ди ди _ dw dw“ 3sl 3sli 8si 8sn'
⑹
⑹
._ dx dx — 1 dy dy
' 跳"3s дал у до* Зол
С помощью второй формулы (6) легко доказывается, аналогично случаю плоского течения (см. гл. 1), что образ вершины выпуклого угла 6 плоско- emu uv ——характеристика.
Действительно, при обтекании выпуклого угла вектор скорости меняется непрерывно, поэтому его образ будет непрерывной кривой. Скорость
в такой точке многозначна, следовательно в ней f = 0, т. е. равна нулю хотя бы одна из производных ду/да^ ду/да^. Если образ угловой точки не характеристика, то решение задачи Коши с условиями у = const, ду/да = =0 даст у = const на всех характеристиках, выходящих из угловой точки, что невозможно.
Рассмотрим особенности отображения в плоскость uw.
Линия, при переходе через которую в плоскости uw якобиан J меняет знак, называется линией ветвления; она является краем складки отображения в плоскость годографа. В связи с нелинейностью системы (4) линия ветвления в общем случае не будет характеристикой. Исключение возможно, только когда вдоль характеристики распространяется разрыв первых производных составляющих скорости.
В достаточно малой окрестности линии ветвления в плоскости uw характеристики располагаются по одну сторону от края складки. Ввиду непрерывности касательной к характеристике в области непрерывности поля вектора скорости, получим, что в общем случае линия ветвления в плоскости uw состоит из отрезков, каждый из которых является огибающей характеристик одного семейства и геометрическим местом точек возврата характеристик другого семейства. На линии ветвления меняют знак производные от и и w по направлению характеристики того семейства, изображение которой имеет в плоскости uw точку возврата; кривизна этой характеристики в физической плоскости меняет знак.
§ 2. Геометрические свойства характеристик в плоскости uw.Невозможность существования точек К_
Из теоремы существования решения первого уравнения (5) следует; что в области непрерывного сверхзвукового течения у является монотонной функцией длины дуги характеристики. Преобразуем плоскость uw в плоскость tw, где t = (2/3)〃з/2. Уравнения характеристик в плоскости tw будут
(乳=±% ⑺
поэтому угол наклона характеристики в плоскости tw к оси t является монотонной функцией длины ее дуги. Следова
тельно, в плоскости tw на каждом отрезке характеристики без точек возврата кривизна характеристики имеет постоянный знак; отрезки характеристики, граничащие в точке возврата, обращены выпуклостями в сторону друг друга (рис. 11.1).
Рассмотрим характеристику выходящую из произвольной точки О звуковой линии. Если при перемещении по ней от звуковой линии У убывает; то w > wo на характеристике первого семейства и w < wo на характеристике второго семейства.
Доказательство достаточно провести для характеристики первого семейства. Возьмем случай, когда на характеристике в плоскости uw имеются точки возврата, так как в противном случае доказательство тривиально. Разобьем характеристик на отрезки точками возврата и пронумеруем их в направлении от звуковой линии. На первом отрезке будет w > wo. Второй отрезок лежит не ниже касательной к первому отрезку в крайней правой его точке. Поэтому на втором отрезке будет также w > wo и т. д.
Будем называть точку К вертикальности звуковой линии точкой К^ (К-), если звуковая линия в этой точке обращена выпуклостью в сторону области сверхзвуковых (дозвуковых) скоростей.
Покажем, что внутри области течения не существует точек К_ (ср.
с гл. 2, § 1) 9. Предположим, что точка К_
/существует. Возьмем на звуковой линии
/точку 4, в которой уд < ук_, и прове-
Z Д дем из нее характеристику второго семей/ства АВ. Если точка 4 достаточно близка
kJ к J \ к точке К^, то эта характеристика снова -卜\\1 \ подойдет к звуковой линии и пересечет
\ у \ / ее либо в точке К_, либо в некоторой 乂 V точке В, ув > Ук. (рис. 11.2).
I Выше было доказано, что wa < wb- 厶\С другой стороны, из закона монотонно-
4 Q сти w на звуковой линии (см. § 1) следует обратное неравенство wb W wa- Таким Рнс・ 11・2образом, предположение о существовании
точки К_ привело к противоречию.
Как следствие получим отсюда, что на звуковой линии может существовать не более одной точки К+.
§ 3・ Наклон звуковой линии на теле и на ударной волне.Классификация минимальных областей влияния
Установим величину угла наклона звуковой линии на теле.
Контур тела, уравнение которого у =(。資 + Q)"% будем называть w-прямым. Если кривизна контура в некоторой точке больше (меньше) кривизны w-прямого контура, то будем называть его w-выпуклым (w-вогнутым). Образ w-прямого контура в плоскости uw лежит на прямой w = const.
Из уравнений (1) следует, что в звуковой точке контура ди — dw — dw ду dx dx'
поэтому % v 0 в звуковой точке w-вьшуклого контура и> 0 в звуковой
точке w-вогнутого контура.
0 Точка К— существует в вихревом течении. При этом возможны оба варианта расположения характеристик, указанные на рис. 2.2 (см. гл. 2).
Отсюда следует правило: при обтекании w-выпуклого {w-вогнутого) тела касательная к звуковой линии на контуре тела получается поворотам направления оси ж, соответствующего увеличению скорости на острый угол против часовой стрелки (по часовой стрелке).
Заметим, что в рамках точных уравнений (3) имеет место другое свойство асимптотически эквивалентное при u, v -> 0 и отличающееся тем, что слова и «w-выпуклый» и «оси х» должны быть заменены словами «выпуклый» и «вектора скорости».
Установим величину угла наклона звуковой линии в звуковой точке ударной волны, возникающей при обтекании тела равномерным сверхзвуковым потоком.
Обозначим через 6 острый угол между касательной к ударной волне и осью у; 6 > 0, если угол отсчитывается от касательной к ударной волне против часовой стрелки. Соотношения на ударной волне в трансзвуковой аппроксимации записываются в виде
u = 2户-m8, w = 2y6(uQO -户).
Набегающий поток считается слабо сверхзвуковым, поэтому приращениями энтропии на ударной волне можно пренебрегать.
Здесь 观8 — скорость набегающего потока. Присоединив к уравнениям (1) выражения для производных (u, w) по направлению ударной волны, упрощенные в трансзвуковом диапазоне скоростей:
г . du du / *
g6 + 叫=需=謂^ + 嚣=26(^8 -户)+ 2y(以 - 3*)/ получим систему для определения производных %, wx, wy в случае, кохда кривизна ударной волны ограничена (в случае бесконечной кривизны ударной волны особенность будет такая же как и в плоском течении).
В звуковой точке ударной волны
иу = ^(5 - уб'), их = ^(Зу6‘ 一 6).
Поэтому для угла наклона 7 звуковой линии к оси у получим
. W £ У* — 6d6
加 Зу^-6'dy
Анализируя знаки 7, их, %, % 5, получим, что могут осуществиться только случаи, указанные в таблице. В верхней строчке таблицы даны номера вариантов, во второй ——области значений d = 6/(у6‘)，в остальных строчках—знаки величин 6, % их, %, 7. Варианты показаны на рис. 11.3 П°Д соответствующими номерами (толстая линия — ударная волна, тонкая — звуковая линия).
Таблица 1
1
2
3
4
5
d
l<d<3
0<d< 1
d<0
d>3
d< 0
6
+
+
+
—
—
+
+
—
—
+
и工
+
+
—
—
+
Uy
+
—
+
+
+
7
—
+
+
+
—
Эти результаты асимптотически согласуются (при u, v т 0) с аналогичными свойствами, полученными в гл. 8, § 4 для точных уравнений.
Полученные результаты позволяют установить классификацию минимальных областей влияния смешанного течения при обтекании тел разной формы с отошедшей ударной волной. Например, при обтекании w- вьшуклого тела, расположенного на оси симметрии, могут осуществиться только два типа области влияния (рис. 11.4).
Разрушение области непрерывного сверхзвукового течения придеформации контура тела вне минимальной области влияния
Доказанное в §2 геометрическое свойство характеристик в плоскости uw позволяет обобщить на случай осесимметричного трансзвукового течения результат, установленный в § 4 гл. 9 для плоского потока (о разрушении при определенной деформации тела непрерывного сверхзвукового течения в характеристическом треугольнике АВС, примыкающем к минимальной области влияния (рис. 11.4).
Рис. 11.4
Кбазмконформность м + £w е дозеуковой области311
Предположим существование такого w-выпуклого тела, что при обтекании его сверхзвуковым потоком с отошедшей ударной волной существует непрерывное сверхзвуковое течение в треугольнике АВС. (Здесь точка 4 — либо звуковая точка на ударной волне, либо—точка К звуковой линии.) Иначе говоря, предполагается существование «в целом» непрерывного решения «задачи 3» [49] по заданным распределению скорости на характеристике АВ и условию непротекания на стенке ВС. В этом случае из доказанного в §2 следуют оценки wb > гид > wc- Поэтому на отрезке контура ВС существует точка D, в которой wd = w^.
Подвергнем тело непрерывной деформации, заменяя его контур, расположенный вниз по потоку от некоторой точки Е, касательной к контуру в этой точке и передвигая при этом точку Е вверх по потоку вплоть до точки D. При положении точки Е, совпадающей с точкой D, уже не может существовать непрерывного сверхзвукового течения в треугольнике АВС из-за нарушения оценки wd > @с； таким образом, «задача 3» в треугольнике АВС при достаточной близости точки Е к точке D уже не будет иметь решения «в целом». Это означает; что возникнет либо местная зона дозвуковых скоростей, либо скачок уплотнения; не исключено также, что оба эти явления будут одновременно.
§ 5. Квазиконформность и + iw в дозвуковой области
Система (1) равномерно эллиптична вне оси симметрии в дозвуковой области течения. Поэтому ее решения, описывающие дозвуковые осесимметричные течения, не содержащие оси симметрии, могут быть представлены в виде
u-Viw = f S(z)), где /(ту) —аналитическая функция, a tj(z) —квазиконформный гомеоморфизм области течения.
То же самое представление справедливо в любой замкнутой подобласти дозвукового течения, не содержащей оси симметрии. Так же как это было сделано в гл. 6, можно сконструировать последовательность гомеоморфизмов, сходящуюся к гомеомрфизму дозвуковой области, содержащей ось симметрии. Так как w =戸(с) на оси симметрии и w =尸(с) на границе тела, то w =卩⑺，где 卩⑺)一гармоническая функция в области гомеоморфизма области течения.
Аксентьев JL 4, Ильинский И 5., Салимов Р.Б.О книге В. Н. Монахова «Краевые задачи со свободными границами: для эллиптических систем уравнений»// Труды семинара по краевым задачам. — Казань: КГХ 1978. № 15.
Алихашкин Я. Я, Фаворский 4 Я, Чушкин Л. Я О расчете течения в плоском сопле Лаваля 〃 ЖВМ и МФ. 1963•工 3・ № 6.
Андрее В. Б., Кряквина С. А. Аппроксимация задачи о несовершенной скважине 〃 Исследования по теории разностных схем для эллиптических и параболических уравнений. — М.: МГУ； 1973.
Беденко К Я, Воскресенский Г Н, Любимов 4 Н, Русанов 3. В. Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом. — М.: Наука, 1964.
Баранцев Р Г Лекции по трансзвуковой газодинамике. — Л.: ЛГУ 1965.
Батырев А. В. Конформное отображение близких областей. Исследования по современным проблемам теории функций комплексного переменного. — М.: Н^ка, 1960,
Белоцерковский О. М. Обтекание кругового цилиндра с отошедшей ударной волной 〃 ДАН СССР. 1957. Т.113.№3.
Белоцерковский О. М Обтекание симметричного профиля с отошедшей ударной волной 〃 ПММ. 1958.工 22. №2.
Белоцерковский О.М. Расчет обтекания кругового цилиндра с отошедшей ударной волной // Вычислительная математика. 1968. №3.
Белоцерковский О. М. Расчет обтекания осесимметричных тел с отошедшей ударной волной. — М.: ВЦ АН СССЕ 1961.
Белоцерковский О. М. Симметричное обтекание затупленных тел сверхзвуковым потоком совершенного и реального газа // ЖВМ и МФ. 1962.工 2. №6.
Белоцерковский О.М.、Булекбаев /., Грудницкий В.Г. Алгоритмы численных схем метода интегральных соотношений для расчета смешанных течений газа 〃 ЖВМ и МФ. 1966. Т.6. №6.
Белоцерковский О. М, Голомазов М М, Грудницкий Я Г, Душин В К и др. Обтекание затупленных тел сверхзвуковым потоком газа. — М.: ВЦ АН СССЕ 1967.
Белоцерковский О.М.、Голомазов ММ, Шулишнина Н.П. Расчет обтекания затупленных тел с отошедшей ударной волной потоком равновесно диссоциирующего газа // ЖВМ и МФ. 1964. Т. 4. № 2.
Белоцерковский О. М, Душин А К. Сверхзвуковое обтекание затупленных тел неравновесным потоком газа // ЖВМ и МФ. 1964. Т. 4.
Белоцерковский О.М, Седова ЕС, Шугаев Ф.В. Сверхзвуковое обтекание затупленных тел с изломом контура образующей // ЖВМ и МФ. 1966. Т. 6. №5.
Белоцерковский О.М.、Шифрин Э.Г Q наклоне звуковой линии на ударной волне в осесимметричном течении // Изв. АН СССЕ МЖГ. 1967. № 5.
Белоцерковский 0.М, Шифрин Э. Л Трансзвуковые течения за отошедшей ударной волной // ЖВМ и МФ. 1969. Т. 9. № 4.
Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. —М.: ИЛ, 1961.
Бицадзе 4 В Некоторые классы уравнений в частных производных. — М.: Н^ка, 1981.
Бицадзе Л. В. равнения смешанного типа. — М.: AHCCCR 1959.
Боярский К В. Обобщенные решения системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа с разрывными коэффициентами // Матем. сборник. 1957. Т.43. №3.
Буковшин В.Г, Шестова Н.П. Падение плоской сверхзвуковой струи на плоскость под прямым углом // Изв. АН СССЕ МЖГ. 1967. №4.
Ван-Дайк М Альбом течений жидкости и газа. — М.: Мир, 1986.
Векуа 〃 Н. Обобщенные аналитические функции. — М.: Наука, 1988.
Гахов Ф.Д. Краевые задачи. — М.: Наука, 1963.
Гилинский С. М, Теленин £ Ф. Сверхзвуковое обтекание тел различной формы с отошедшей ударной волной // Изв. АН CCCR МЖГ. 1964. № 5.
Годунов С.К, Забродин Л.Я, Иванов М.Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. — М.: Наука, 1976.
Григоренко В. Л., Крайко Л. И О внутренних скачках уплотнения при сверхзвуковом обтекании идеальным газом конфигураций клин-пластина и конус- цилиндр// ПММ. 1986. Т. 50. №1.
Гриценко О. Ю., Шифрин 3. Г Вычисление сингулярных решений эллиптических краевых задач /7 ЖВМ и МФ. 1991. Т. 31. №5.
Гришин 4 В. О разрешимости некоторых задач сверхзвукового обтекания клина в рамках приближения Лаврентьева-Бицадзе // ЯФМ и МФ. 1986. Т. 26. № 12.
Гудерлей К. Г. Теория околозвуковых течений. — М.: ИЛ, 1960.
Девингталь Ю, А О существовании и единственности решения одной задачи Франкля // Изв. вузов, Математика. 1958. Т. 2. № 3.
Еременко В 4, Рыжов О. С. О течении в местной сверхзвуковой зоне у профиля крыла бесконечного размаха // ДАН CCCR 1978.工 240. № 3.
Еремин Я В, Липницкий Ю. М, Шифрин 3. £ Исследование взаимодействия сверхзвуковой струи и дозвукового спутного потока с препятствием // Изв. АН СССЕ МЖЕ 1974. №3.
Есин 4 Я, Чернов И. А. О скачке уплотнения при обтекании выпуклого угла // ПММ. 1977. Т.41. №2.
Есин А.И., Чернов ЯЛ. К вопросу о локальном течении вблизи выпуклого угла // Аэродинамика. СГУ 1978. Т. 6 (9).
Есин А. И., Чернов И. А. О построении равномерно пригодного решения в окрестности звукового излома образующей тела вращения // Аэродинамика. СГУ 1975. Т.4 .⑺.
Иванов М Я., Крайко 4 Н., Михайлов Н. 3. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений // ЖВМ и МФ. 1972. Т. 12. №2,3.
Ильинская Г. £, Лифшиц Ю.Б. О возмущениях трансзвукового потока вызываемых завихренностью // Изв. АН СССЕ МЖГ. 1971. № 1.
Каменецкий Д С. Численный метод решения одной сингулярной задачи для уравнения Чаплыгина в плоскости годографа // Препринт ИПМ им. Келдыша. 1992. №60.
Каменецкий Д. С, Шифрин 3. Г. Профилирование сопловых лопаток Турбины методом годографа//Препринт ИПМ им. Келдыша. 1992. №61.
Кацкова О.Н., Наумова 〃儿 Шмыглевский Ю.Д., Шулишнина Н.П. Опыт расчета плоских и осесимметричных сверхзвуковых течений газа методом характеристик. — М.: ВЦ АН CCCR 1961.
Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // ДАН СССР. 1951. Т. 77. №2.
Келдыш М. 3., Франкль Ф. И. Внешняя задача Неймана для нелинейных эллиптических уравнений с приложением к теории крыла в сжимаемом газе // Изв. АН СССР. сер. матем. 1934. №4 (воспроизведено в [115]).
Киреев В. Я, Лифшиц Ю. К, Михайлов Ю.Я.О решении прямой задачи сопла Лаваля // Уч. зап. ЦАГИ. 1970. Т.1.№1.
Косарев В. И. О расчете сверхзвуковых установившихся течений газа с внутренними скачками уплотнения IIЖВМ и МФ. 1971. Т. 11. №5.
КоулД., Кук Л. Трансзвуковая аэродинамика. — М.: Мир, 1989.
Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. — М.: Наука, 1963. Т. 1,2.
Кошляков Я С, Глинер Э.К, Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. — М.: Наука, 1962.
Красносельский М 4 и др. Векторные поля на плоскости. — М.: Наука, 1963.
Кузьмин А. Г О поведении характеристик уравнения смешанного типа вблизи линии вырождения 〃 Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17. № 11.
Кузьмин А. Г Поведение интегральных кривых уравнения первого порядка в окрестности точки разветвления дискриминантной кривой // Вестник ЛГУ 1981.№7.
Ify3bMUH А. Г. Существование решения прямой задачи сопла Лаваля в вариациях // ЖВМ и МФ. 1984. Т. 24. № 12.
Курант Я Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1964.
Лаврентьев М /., Шабат В В. Методы теории функций комплексного переменного. —М.: Наука, 1958.
Лагалли М Векторное исчисление. — М.: Гостехиздат, 1936.
Лайтхилл Д Преобразование годографа // Современное состояние аэродинамики больших скоростей. — М.: ИЛ, 1955. Т. 1.
Ландау Л. Д., Лившиц Е М. Гидродинамика. — М.: Наука, 1986.
Лифшиц Ю, К, Бойченко 3. С. Трансзвуковое течение около выпуклого угла // Уч. зап. ЦАГИ. 1967. Т. 7. № 12.
Лифшиц Ю.Б., Рыжов О. С. О вариации расхода газа в расчетном режиме работы сопла Лаваля // ЖВМ и МФ. 1966. Т. 6. № 2.
Лифшиц Ю. К, Шифрин Э.Л К задаче о трансзвуковом обтекании выпуклого угла// Изв. АН СССР. МЖГ. 1971. №2.
Любимов А.Н,0 существовании внутренних ударных волн // ДАН СССР. 1970. Т.191.№4.
Мизес 上 Математическая теория течений сжимаемой жидкости.——М.: ИЛ, 1961.
Миранда К. Уравнения с частными производными. — М.: ИЛ, 1957.
Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических и систем уравнений. — Новосибирск: Наука, 1977.
Морс Ф. М, ФешбахГ. Методы теоретической физики. — М.: ИЛ, 1958.
Никольский А. А. О плоских вихревых течениях газа // Тр. ЦАГИ. 1949. №2122. (Воспроизведено в кн.: Теоретические исследования по механике жидкости и газа.)
Никольский А. А. О течениях газа вблизи остроконечных задних кромок тел вращения. 1950. // Сборник теоретических работ по аэрогидродинамике.— М.: Оборонгиз, 1957.
Никольский А. А., Таганов Г. Я Движение газа в местной сверхзвуковой зоне и некоторые условия разрушения потенциального движения // ПММ. 1964. Т.10.№4.
Овсянников Л. В. Исследование газовых течений с прямой звуковой линией // Тр. ЛКВВИА. 1950. №33.
Овсянников 乙 В. Об одном газовом течении с прямой линией перехода 〃 ПММ. 1949. Т. 13. №5.
Олейник О. А. Математические задачи теории пограничного слоя 〃 УМН. 1968. Т・23.№3・
Орел 4 А. Задачи в вариациях для плоских околозвуковых течений газа // ПММ. 197LT.35.№3.
Осипов И. Л. Численный метод построения двумерных сопел // Изв. АН. CCCR МЖГ. 1979. №2.
Пелевин 0.3., Шифрин Э.Г. Профилирование контура впускного клапана двигателя внутреннего сгорания путем решения корректной краевой задачи в плоскости годографа // ЖВМ и МФ. 1999. № 6.
Пирумов У Г, Росляков Л С. Течения газа в соплах. — М.: МГУ 1978.
Подсыпанина Н. А. Использование плоскости годографа при профилировании численным методом осесимметричного сопла Лаваля // Изв. АН СССЕ МЖЕ 1977. №1.
Подсыпанина Н4, Шифрин Э.Г. Несимметричное обтекание клина струей дозвуковой и звуковой скорости // Изв. АН СССР, МЖГ. 1980. №2.
Подсыпанина Н. А., Шифрин 3. Л Об одном методе профилирования коротких плоских сопл 〃 Изв. АН СССР, МЖЕ 1975. № 1.
Подсыпанина Н. А., Шифрин 3. Г, Шулаков М.А.0 возможности безотрывного течения в сопле с сильно изогнутыми стенками // Изв. АН СССЕ МЖГ. 1980. №5.
Поуп 4, Гойн К. Аэродинамические трубы больших скоростей. — М.: Мир, 1968.
Рождественский Е 乙，Яненко Я Я Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. — М.: Наука, 1978.
Рыжов О. С. Исследование трансзвуковых течений в соплах Лаваля.——М.: ВЦ АН СССР, 1965.
Рыжов О. С, Шмыглевский Ю.Д. Об одном свойстве трансзвуковых течений газа//ПММ. 1961. Т. 25. №3.
Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Н^ка, 1971.
Севостьянов Л Д Уравнения околозвуковых течений вязкого газа в естественных координатах // Аэродинамика. 1973. Т.2 (5).
Седов М М. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики.——М.: Наука, 1981.
Симонов Л. А. Построение профилей по годографу скоростей // ПММ. 1941. Т.5.№2.
Сирс У Р Общая теория аэродинамики больших скоростей. — М.: Воениздат, 1962.
Скрипкин 3. Л. Об околозвуковом истечении плоской газовой струи из насадка с параллельными стенками // ПММ. 1955. Т. 19. № 1.
Смирнов М М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. —М.: Наука, 1966.
Смирнов М М. Уравнения смешанного типа. — М.: Наука, 1970.
Степанов Г. Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. — М.: Наука, 1962.
Степанов Л Ю., Гогиш Л. В. Квазиодномерная газодинамика сопел ракетных двигателей.——М.: Машиностроение, 1973.
Тихонов А. Я, Самарский А. А. Уравнения математической физики.——М.: Нгука, 1972.
Тумашев Г Г, Нужин Л/ 工 Обратные краевые задачи и их приложения.— Казань: КГУ； 1965.
Фалькович С В. К теории сопла Лаваля // ПММ. 1946. Т. 10. № 4.
Фалькович С. В., Чернов И. А. Обтекание тел вращения звуковым потоком газа // ПММ. 1964. Т. 28. №2.
Ферри А. Аэродинамика сверхзвуковых течений.——М.: Наука, 1953.
Фидрус 3. Я, Шифрин Э.Г К теории простой волны Фридрихса // Изв. АН СССР； МЖГ. 1971. №3.
Фидрус В. И., Шифрин Э. Г. Осесимметричное вихревое течение в окрестности точки ортогональности звуковой поверхности вектору скорости // Изв. АН СССР,МЖГ. 1968. №1.
Фидрус А И., Шифрин 3. Л Пространственное вихревое течение в окрестности точки ортогональности звуковой поверхности вектору скорости // Изв. АН СССР, МЖГ. 1968. №3.
Франкль Ф. И. Избранные труды по газовой динамике. — М.: Наука, 1973.
Хейз Y4, Пробстейн Р Ф. Теория гиперзвуковых течений.——М.: ИЛ, 1962.
Хейуорт А. Отрицательные давления в жидкостях: как их заставить служить человеку?//УФН. 1972. Т. 108.
Христианович С. А. Обтекание тел газом при высоких дозвуковых скоростях // Тр. ЦАГИ. 1940. Т. 481.
Чаплыгин С. А. О газовых струях. — М.: Гостехиздат, 1949.
Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. — М.: Наука, 1959.
ПО. Чжен 77. Отрывные течения. — М.: Мир, 1972.
Чушкин П. Я Закупленные тела простой формы в сверхзвуковом потоке газа // ПММ. 1960. Т. 24. № 5.
Чушкин П. Я, Шулишнина Н. Л. Таблицы сверхзвукового течения около затупленных конусов. — М.: ВЦ АН СССР, 1961.
Шифрин 3. Л Исследование «висячего» скачка уплотнения вблизи точки зарождения // Изв. АН CCCR МЖЕ 1971-. № 6.
Шифрин 3. Г Исследование осесимметричных трансзвуковых течений с помощью специальной плоскости годографа// ПММ. 1971 .工 35. № 3.
Шифрин Э. Г К задаче обтекания бесконечного клина сверхзвуковой струей // Изв. АН СССЕ МЖГ. 1969. №2.
Шифрин Э. Г К задаче обтекания профиля равномерной сверхзвуковой струей 〃 Изв. АН СССР, МЖГ. 1972. №4.
Шифрин Э. Г К прямой задаче плоского симметричного обтекания гладкого выпуклого профиля с отошедшей ударной волной // ДАН СССР. 1967. Т. 172. №3.
Шифрин Э. Г. Некоторые свойства симметричного обтекания профиля с отошедшей ударной волной // Изв. АН СССР, МЖГ 1966. № 5.
Шифрин 3.77 0 выпуклости ударной волны на дозвуковом отрезке в плоском течении 〃 ПММ. 1969. Т. 33. № 1.
Шифрин Э.Г О единственности «в целом» решения прямой задачи сопла Лаваля//ЖВМ и МФ. 1978. Т. 18. №2.
Шифрин Э.Г О скачке уплотнения при трансзвуковом обтекании выпуклого угла 〃 Изв. АН СССР, МЖГ. 1974. № 5.
Шифрин Э.Г О течениях идеального газа со звуковой поверхностью, совпадающей с характеристической // ПММ. 1965. Т. 29. №4.
Шифрин Э.Г О течениях с дозвуковой особенностью на ударной волне // Изв. АН СССР, МЖГ. 1968. №4.
Шифрин Э.Г О форме отошедшей ударной волны при обтекании профиля // ПММ. 1969. Т. 33. №5.
Шифрин 3. Г Об использовании течений с прямой звуковой линией в соплах с угловыми точками // Изв. АН СССР, МЖГ. 1981. №1.
Шифрин 3. Г. Об одном условии разрушения области непрерывного сверхзвукового течения при обтекании профиля с отошедшей ударной волной // ДАН СССР. 1967. Т. 176. №4.
Шифрин Э.Г. Образование «висячего» скачка уплотнения при обтекании профиля с изломом образующей // ПММ. 1970. Т. 34. №6.
Шифрин 3. Г Плоское вихревое течение в окрестности точки ортогональности звуковой линии вектору скорости // Изв. АН СССР, МЖГ. 1967. № 1.
Шифрин 3. Г. Профилирование несущего выпуклого крыла методом годографа // Численное моделирование в аэрогидродинамике. — М.: Наука, 1986.
Шифрин 3. Г Трансзвуковые течения за отошедшей ударной волной, дис. д-ра физ. мат. наук. — М.: МГУ； 1971.
Шифрин 3.7? Численный метод расчета течений в соплах путем решения задачи Коши // Докл. на Всес. конф, по вычисл. матем. МГУ 22-26 янв. 1965.— М.: АН СССР иМВи ССО РСФСР.
Шифрин 3.匚 Алферов С. А. Несущее докритическое крыло для полета с большой дозвуковой скоростью // Докл. РАН. Т. 369. № 3,1999.
Шифрин 3. Л, Шубников Л В. Анализ осевой фокусировки возмущений в гиперзвуковых трубах // Изв. АН СССР, МЖГ. 1975. № 5.
Шифрин З.Г, Шулаков 拉/. Метод решения прямой задачи сопла Лаваля. Аннотация доклада на семинаре Г. И. Петрова. // Изв. АН СССР, МЖГ 1976. №4.
Шифрин 3.7?, Шулаков Л£ А Решение прямой задачи для плоского сопла Лаваля релаксационным численным методом по схеме Мурмена-Коула // Уч. зап. ЦАГИ. 1981. Т. 12. №3.
Шмыглевский Ю.Д. О некоторых свойствах осесимметричных сверхзвуковых течений газа 〃 ДАН СССР. 1958. Т. 122. № 5.
Шулаков Л£ А Численное решение прямой задачи осесимметричного сопла Лаваля с использованием схемы Мурмена-Коула // Гидроаэромеханика и теория упругости. — Киев: КГУ 1983. Вып. 30.
Bers L. Existense and Uniqueimes of a Subsonic Flow past a Given Profile // Comm. Pure and Appl. Math. 1954. V. 7.
Bers L. Results and Conjectures in the Mathematical Theory of Subsonic and Transonic Gas Flows II Comm. Pure and Appl. Math. 1954. V. 7.
Ehlers E E. On Some Solution of the Hodograph Equation Which Yield Transonic Flows Through a Laval Nozzle //J. of the Aer. Sci. 1955. V. 22. № 2.
Finn RS., Gillbarg D. Asymptotic Behavior and Uniquennes of Plane Subsonic Flows // Comm. Pure and Appl. Math. 1957. V. 10.
Finn R. S., Gillbarg D. Three-Dimensional Subsonic Flows and Asymptotic Estimates for Elliptic Partial Differential Equations // Acta Math. 1957. V. 98.
Friedrichs R O. Formation and Decay of Shock Waves // Comm. Pure and Appl. Math. 1948. №1.
Garabedian P R. Numerical Construction of the Detached Shock Waves // J. of Mathematical Physics. 1957. V.36.
Gillbarg D., Shiffinan 拉 On Bodies Achieving Extreme Values on Critical Mach Number. I //J. of Rational Meeh, and Analysis. 1954. V. 3.
Karman Th. The Similarity Law of Transonic Flow // J. of Math, and Phys. 1947. V.26.
Lifshitz Ju. 3., Velichko S.A. AIRFOIL: A Computer Codes Library for Numerical Analysis of Viscous Transonic Flow around a Wing Section // Rech. Aerospaciale. 1994. № 2. P. 73-83.
Ludford G. S. S. The Behavior at infinity of the Potential Function of a TwoDimensional Subsonic Compressible Flow // J. of Math, and Phys. 1951. V. 30.
Meyer Th. Ueber zweidimensionale Bewegungsvorgange in einem Gas, das mit ueberschallgeschwindigkeit stromt // Mitteil. liber Forschungsarbeit. auf dem Geb. des Ingenieures. 1908, Heft 102.
Morawetz C. S. A Uniquennes Theorem for the Frankl Problem // Comm. Pure and Appl. Math. 1954. V. 7. №4.
Morawetz C. S. On the Non-Existensce of Continuous Transonic Flows Past Profiles. П// Comm. Pure and Appl. Math. 1957. V. 10.
Munk 拉，Prim R. On the Multiplisity of Steady Gas Flows, Having the Some Streamline Pattern // Proc. Nat. Sc. USA. 1947. V. 33.
Murman E Л/, Cole J D Calculation of Plane Steady Transonic Flows // A1AA J. —1971. V. 9. №1.
Shifrin E G. Hodograph Method to Profiling the Contour of Inlet Valve of a piston Engine // Numerical Methods in Laminar and Turbulent Flow. Editors C. Taylor, J. Г Cross Pineridge Press, Swansea, UK. V. 10.
Shifrin E. G., Kamenetskii D. S. Application of the Hodograph Method to Nozzle Guide Vane Profiling // Russian Journal of Computational Mechanics.—N.Y.: Wley &Sons, 1993. №3.
Shifrin E. G., Kamenetskii D S. Hodograph Method for Turbine Guide Vane Profiling // Computational Fluid Dynamics *96. — N. Y.: Wley & Sons, Chichester, 1996.
Vaglio-Laurin R. Transonic rotational flow over a convex corner // J. Fluid Meeh. 1960. №1.
Weinig F Wederstands und Tragflugelprofile mit vorgeschreibener Geschwindigkeiteilung an der Oberflasche // ZAMM. 1929. V. 9.
Научное издание
ШИФРИН Эрнест Григорьевич
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ И ВИХРЕВЫЕТРАНСЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
Редактор О. А. Пенина
Оригинал-макет: В. В. Худяков
ЛР№ 071930 от 06.07.99.
Подписано в печать 27.03.01. Формат 60 х 90/16.Бумага офсетная № 1. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 20. Уч.-изд. л. 23. Тираж 400 экз. Заказ № 1661
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»117864 Москва, Профсоюзная, 90
Отпечатано с готовых диапозитивовв ППП «Типография «Наука»121099 Москва, Шубинский пер., 6
1) Если область течения бесконечна, то дополнительно принимается, что полное давление —
1） Образ угловой точки, принадлежащей границе области течения, принадлежит краю рима*
Э.Г. ШИФРИН