Предисловие редактора перевода

Развитие космических исследований в течение последних 10—— 12 лет вызвало повышенный интерес к проблемам динамики разреженных газов. По мере повышения требований к строгости постановки задач и усложнения самих задач наряду с аналитическими методами их решения стали применяться и вычислительные методы. Обзор численных методов решения кинетических уравнений можно найти в недавно вышедшей монографии М. Н. Когана 】).

Настоящий сборник содержит переводы работ зарубежных исследователей, посвященных обоснованию и применению вычислительных методов в динамике разреженных газов. Работа Хэвиленда, которой открывается сборник, содержит подробное описание метода Монте-Карло в применении к решению уравнения Больцмана. Как указывает автор, особое внимание было обращено на методику расчетов и составления программ. Приведены результаты решения двух конкретных задач, а именно задачи о теплопередаче между неограниченными параллельными плоскостями и задачи о структуре ударной волны. При рассмотрении первой из этих задач брались числа Кнудсена, близкие к единице, и два варианта молекулярной модели.

Один из важных факторов, ограничивающих возможности применения методов Монте-Карло к решению задач динамики разреженных газов, связан с необходимостью большого объема памяти вычислительной машины. Работа Перлмуттера, в которой рассматривается задача о течении Куэтта, указывает возможный путь уменьшения необходимой памяти машины. Этот путь состоит в задании определенного вида функции распределения с сохранением того или иного числа «свободных» параметров. По-видимому, успех такого подхода зависит от того, насколько удачно выбрана форма аппроксимирующей функции.

В работе Иосидзавы метод Монте-Карло, аналогичный методу Хэвиленда, применен к кинетическому анализу химически реагирующего газа. Здесь рассматривается случай покоящегося и однородного газа при упрощенной модели химической реакции. Прослеживаются изменения во времени температуры реагирующей смеси и концентраций ее компонентов.

I) Коган М. Н., Динамика разреженных газов, изд-во《Наука》，М.,

Две небольшие по объему работы Берда интересны тем, что в них продемонстрирован своеобразный подход к применению метода Монте-Карло. Для решения задачи о структуре ударной волны задается некоторое фиксированное число молекул, внезапно вовлекаемых в макроскопическое движение за счет равномерного перемещения ограничивающей стенки. На каждом элементарном интервале времени вся совокупность молекул подвергается «численному эксперименту», определяющему их конечные состояния и положения. За достаточно большой промежуток времени система приходит в стационарное состояние. Наиболее привлекательная сторона метода Берда состоит в том, что он может быть применен к решению задач обтекания тел при произвольных значениях числа Кнудсена.

Представляет интерес и работа Джентри, Харлоу и Мартина, близкая по своим идеям как работе Хэвиленда, так и работам Берда. На примере задачи о течении с поперечным градиентом скорости здесь наряду с другими факторами исследуется влияние закона взаимодействия между молекулами.

Еще один вариант метода Монте-Карло предлагается в статье Нордсика и Хикса. Как видно из заголовка, этот метод в основном сводится к вычислению интеграла столкновений в уравнении Больцмана, При удачном выборе начального приближения путем итераций можно добиться достаточно малой невязки дифференциальной и интегральной частей уравнения. Это проделано для задачи о релаксации и для задачи о структуре ударной волны.

Две работы Гамеля и Вахмана дают достаточное представление о другом распространенном вычислительном методе решения кинетического уравнения — методе дискретных ординат в пространстве скоростей. В первой из этих работ рассматривается задача о течении Куэтта для линеаризованного уравнения Больцмана, во второй решается задача о релаксации газа для нелинейного уравнения.

Читателям сборника следует иметь в виду, что все обозначения сохранены такими нее, как и в оригиналах; вследствие этого один и тот же символ в разных статьях может обозначать различные понятия и наоборот. Вмешательство переводчика и редактора выразилось лишь в исправлении некоторых замеченных нами ошибок и в немногочисленных примечаниях.

Можно надеяться, что сборник будет полезен для инженеров и научных работников, интересующихся решением задач динамики разреженного газа, а также для аспирантов и студентов старших курсов высших учебных заведений соответствующего профиля.

В・ 〃.Шидловскиц

Решение двух задач о молекулярном теченииметодом Монте-Карло )

Дж. К. Хэвиленд

/・ Введение

Методом Монте-Карло на электронной вычислительной машине IBM-709 были получены решения двух известных задач молекулярного течения ——о теплопередаче между параллельными пластинами и о профиле ударной волны. Основная цель применения метода Монте-Карло к этим задачам состояла в развитии численного метода, так как точные аналитические решения уравнения Больцмана отсутствуют. Другой важной целью было получение численных решений с целью проверки имеющихся приближенных аналитических решений.

Хотя знаменитое интегро-дифференциальное уравнение Больцмана было выведено около ста лет назад, до сих пор известно его точное решение только для равновесного случая. Для отдельных задач было построено несколько приближенных решений, но отсутствие точных решений даже для простейших случаев затрудняет оценку пригодности приближенных методов. Интеграл, определяющий действие столкновений, слишком сложен, чтобы применить обычное численное интегрирование, поэтому только метод Монте-Карло представляется эффективным численным методом, пригодным для использования.

Как правило, метод Монте-Карло должен применяться только в тех случаях, когда другие методы оказываются несостоятельными, так как для получения удовлетворительного результата он требует больших затрат машинного времени. Объясняется это тем, что каждый результат, вычисленный методом Монте-Карло, находится путем осреднения серии испытаний и, следовательно, имеет дисперсию, которая обратно пропорциональна общему числу испытаний. Таким образом, хотя и можно с уверенностью заявить, что результат лежит в определенных пределах, возможность статистически《плохого》ответа полностью не исключена. Например, 68% результатов отличаются от точного ответа не более чем на одно стандартное отклонение (стандартное откло-

нение есть корень квадратный из дисперсии), а 5% отличаются на два или более стандартных отклонения.

С другой стороны, метод Монте-Карло имеет определенное преимущество, связанное с тем, что при его применении нет необходимости вводить упрощающие предположения. Таким образом, ожидаемый результат можно считать точным, если исключить влияние ошибок округления, которые появляются при использовании численного метода.

Цель этой статьи ——дополнить работы, опубликованные Левином и автором [18, 19], обратив особое внимание на использованные методы расчетов и программирования. Были получены решения задачи о теплопередаче между двумя пар алл ел ьны ми стенками в трех случаях: для шарообразных твердых молекул при числе Кнудсена 2,0 и для максвелловских молекул при числах Кнудсена 0,53 и 1,64. В каждом случае отношение температур стенок было 4: 1 и коэффициенты аккомодации стенок равны единице. Были найдены решения задачи об ударной волне для шарообразных твердых молекул при числах Маха 1,5, 2,0 и 3,0. Поскольку имевшееся в нашем распоряжении машинное время 1ВМ-709 было строго ограничено, большая часть его была затрачена на исследование ограничений метода и проверку сходимости. Ранее некоторое время было затрачено на проверку ме、 тода в равновесном случае на машине iBM~704. Применимость метода, надо полагать, была доказана, и полученные результаты достаточно точны для того, чтобы сделать выводы, касающиеся относительной точности некоторых приближенных решений.

Начало статьи содержит обсуждение аналитических методов решения уравнения Больцмана, включая обсуждение соотношений между моментами, влияния столкновений и приближенных решений задач о теплопередаче и ударной волне. Затем следует обсуждение общих вопросов применения метода Монте-Карло, а также его приложения к задачам о молекулярных течениях. После этого более детально рассматривается приложение метода Монте-Карло к одномерным задачам молекулярных течений. Наконец, обсуждаются результаты некоторых фактически проведенных расчетов. Вначале рассматривается равновесный случай, затем теплопередача между параллельными стенками и профиль ударной волны. Насколько это касается основной теории, результаты даются большей частью без доказательств. Однако уравнения, использованные в программах на IBM-709, выводятся и записываются полностью так, чтобы опытный программист мог подготовить программу без особых затруднений. За несколькими небольшими исключениями, уравнения приводятся в тексте в форме, использованной при составлении упомянутой программы на IBM-709.,

〃・ Аналитические методы

А. Основы теории молекулярных течений

Функция распределения

Основным уравнением в теории молекулярных течений является интегро-дифференциальное уравнение Больцмана, которое, по существу, является уравнением неразрывности для функции распределения f. Эта функция определяет среднюю плотность молекул в шестимерном фазовом пространстве, которое составляют три пространственные координаты %, у, z и три координаты скоростей 〃陋〃姑 〃z・ Представив эти координаты парой векторов (г, U), можно определить функцию распределения следующим образом:“

f (г, u, t)dr^du^ — среднее число молекул, имеющих скорость и в точке г в момент времени /, в элементе объема фазового пространства dr^du^.

Здесь обозначения d，e), d〃O)символизируют элементы объема dxdydz и duxduyduz соответственно. Замечание о среднем числе

Рис. 1. Система координат для одномерных задач.

Справа -вверху скорости; слева внизу пространственные координаты. Ось х совпадает с направлением изменения движения газа.

молекул сделано потому, что уравнение Больцмана определяет не поведение дискретной системы молекул, а поведение молекул во всех системах, которые внешне являются подобными. Это довольно важное различие, так как поведение дискретной

системы молекул может быть в принципе описано средствами классической механики. Однако если исследуется конкретная задача теории молекулярных течений, то нужно рассматривать все возможные системы, которые имеют одинаковые измеряемые свойства, такие, как распределения начального давления, плотности и потока массы.

В этой статье мы рассмотрим одномерные стационарные течения, в которых функция распределения /(%, и) зависит от одной пространственной координаты х и вектора скорости и. Если имеется цилиндрическая симметрия функции распределения в пространстве скоростей, то эту функцию можно записать в виде F(x, ux, V), где V ——радиальная компонента скорости и У'=〃； + 〃：• Обозначения для системы координат показаны на рис. 1.

Уравнение Больцмана

Для одномерных стационарных молекулярных течений уравнение Больцмана можно записать в виде

"max2 n

ux df (%, u)/0x= j d?⑶[bdb ^ deg Xoo00

X {f (x, u') f (x, v') — f (x, u) f (x, v)}.(1)

Вывод этого уравнения можно найти в литературе обычно в более общей форме, когда слева записывается субстанциальная производная в фазовом пространстве (см., например, [8] или [22]). Переменная интегрирования v является скоростью полевой молекулы, с которой сталкивается пробная молекула, имеющая скорость и; предполагается, что столкновение происходит в очень малой области пространства, так что обе молекулы по существу находятся в точке % в течение всего столкновения. Относительная скорость молекул равна g=|u — v|, а b и е — параметры столкновения. Эти параметры определены на рис. 2 и описывают относительное положение двух молекул до столкновения в цилиндрической системе координат в проекции на плоскость, нормальную к вектору относительной скорости.

Часть подинтегральной функции, содержащая член f(%, u)f(х, v), определяет собой скорость уменьшения функции f за счет столкновений, в то время как часть, содержащая член f(x, u，)f(%, v'), определяет скорость возрастания той же функции за счет столкновений молекул с изменившимися скоростями. Здесь и', V’ 一 скорости двух молекул после столкновения, в то время как u, v — их первоначальные скорости, а Ь, е — пара-

метры столкновения. Вывод члена, определяющего убывание, сравнительно прост; он поясняется на рис. 2. Этот член можно записать в виде ——£(х, u)f(x, и), где интеграл S характеризует собой частоту, с которой молекулы, имеющие скорость и, сталкиваются с другими молекулами.

Выражение для S получается следующим образом. Рассмотрим сначала такие столкновения с полевыми молекулами, имеющими скорость V в элементе dv^\ что параметры столкновений

Пробная молекула

6, е лежат в интервалах db, d& Число таких столкновений за промежуток времени dt равно числу полевых молекул в элементе объема bdbdEgdt и, следовательно, d^dt=dv^bdbdegX Xf(x,v)df. Интегрируя, получаем то выражение £(х, u)f(х, и), которое дано в уравнении (1). Значение предела bmax равно диаметру молекулы, если молекулы моделируются твердыми шарами. Если область действия межмолекулярных сил неограни- чена, то bmax —8 и интеграл, соответствующий этому члену, расходится. Однако интеграл в целом при определенных условиях является сходящимся. Вывод второго члена более труден и основан на обратимости столкновений.

При выводе уравнения Больцмана должны быть сделаны следующие предположения:.

механика столкновений описывается классическим образом;

силовые поля молекул сферически симметричны;

учитываются только бинарные столкновения (в любом столкновении участвуют две молекулы);

молекулы движутся хаотически (существенно то, что при зтом функция распределения пар молекул /&)(%, 口, v) может быть записана в виде f (х, u)f(x, v);

время столкновения исчезающе мало (можно пренебречь изменением скоростей молекул за время столкновения, а также игнорировать вклад потенциальной энергии в полную энергию).

Моменты функции распределения

Числовая плотность молекул и(х) получается путем интегрирования функции распределения по всему пространству скоростей, т. е.

〃(х)= / f(x, u)d〃⑶，⑵

а плотность вероятности р(х, и) получается при нормализации f:

(3)(3)Р(X, и) = f (х, и)/" (х).

(3)

(3)

Среднее по всему пространству скоростей значение(р(х, и) любого свойства молекул (р(х, и) определяется следующим образом:

屮(х, и) = J 屮(х, и) р (%, и) d〃(3)=

=1 ］屮(X, и) f (х, и)山/⑶ I/а (х).(4)

Особый интерес представляет средняя скорость, которая получается, если положить(р=и:

и(%)=| J uf (х, u) d〃⑶}//г(х).(5)

Собственная скорость и ——это скорость молекул, обусловленная тепловым движением и определяемая равенством

и = и + U.(6)

Выражение типа

九(х)屮(х)= J(р(х, u) f (х, u)d〃(3)(7)

часто называют моментом молекулярной функции (р. Некоторые моменты имеют физическое содержание. Например, компонента Рху тензора напряжений является моментом функции тйхйУ1 где m——масса молекулы; эту величину можно определить, рассматривая скорость переноса количества движения через воображаемую границу, движущуюся со средней скоростью молекул.

Компонента s^ вектора потока тепла в свою очередь является моментом величины ^- m«2ux.

Оперируя выражениями для моментов, полезно обратить внимание на их свойство дистрибутивности:

п (а(р + рф) = а〃(р + 0мф.(8)

Перечень моментов, имеющих физическое содержание, дан в табл. 1.

Таблица /

Моменты функции распределения

Момент

Обозначение

Физическое определение

"1

п

Числовая плотность

nm

Р

Массовая плотность

"〃片

〃〃*

Компонента потока частиц

nmux

Р"х

Компонента потока массы

〜2 nmu^.

Р*“

Диагональная компонента тензора напряжений

nmuxUy

Р“у = Р у%

Компонента тензора напряжений

l/3ntnu2

р

Скалярное давление

nmu^

詠X*

Диагональная компонента тензора потока количества движения

nmuxUy

詠*y

Компонента тензора потока количества движения

1/2几俏" 2〃*

S*

Компонента вектора потока тепла

1/2 九m〃5〃 *

舐

Компонента вектора потока энергии

4. Уравнения переноса

Уравнения переноса первоначально были выведены Максвеллом, но их можно получить и из уравнения Больцмана, умножая обе его части на(р(х, и) и интегрируя по скоростям. Поскольку % н и являются независимыми координатами, уравнение переноса свойства <р можно записать в виде

± {аш*<Р (% и)} - м 白叭%, u)= "шах 2Л

=J d〃⑶ J du⑶ J b db ^ deq) (x, u)g Xcooo00

X {/ (尤,u') f (x, vz)-/(x, u) / (x, V)}.(9)

Уравнение (9) можно записать в другом вйде, изменяя порядок интегрирования и учитывая, что d〃'(3)dvf^ = d〃B) dи(з)(это является следствием обратимости упругих столкновений); получим

弥{〃"*"(%, и)} -пих-^(р (х, и)=

%ах 2л

=j d〃⑶f (%, и) J du(3)f(x, v)g J bdb d£ {屮(%, if)—屮(％ u)}. (10) ooco00

Инварианты столкновения

Уравнение (9) можно также записать в виде

备{〃〃*(р (%, и)} -пих-~(р(х, и)=

%ах 2л

=/ J 面⑶/ (х, u) j du(3)f(%, у) g J b db de XОООС00

x {ф(х, u') + <p(x, V，) -фЦ U)r<p(x, v)}. (11)

Очевидно, правая часть уравнения обращается в нуль, когда

<р(х, и') + <р(х, V7) = <Р(Х, и) + ф(х, V).(12)

Это условие выполняется, если <р является некоторым молекулярным свойством, которое сохраняется при столкновении. Имеется три таких свойства: масса, ф—дп; количество движения, 叩=加〃父,тиу или 加〃z； энергия, ф = ^- mu2. Подставляя эти величины по очереди вместо <р, можно получить следующие уравнения сохранения для моментов, определенных в табл. 1：

Q. Сохранение массы. Полагая(р=т, получаем

言 Р〃* = 0.(13)

б. Сохранение количества движения. Полагая ^=muXi muyt гпиг и учитывая уравнение (13), получаем

左必*

=p "*

也+ dx十

dPxx dx

=0,

(14)

d

京心"

= P〃*

均亠

"%y dx

=0,

(15)

d

dx ^xz

= p〃x

五2 [

-5T 十.

dP*z dx

=0.

(16)

а Сохранение энергии. Полагая 屮=｝血〃？ н учитывая уравнения (13) —(16), получаем

dx x dx 2 x dx 2 l dx

+ PxxR + Pwk + P* = = Q (17)

Уравнения Навье — Стокса

Уравнения сохранения (13)——(17) представляют собой уравнения Навье — Стокса для одномерных стационарных течений. Поскольку эти пять уравнений содержат девять независимых переменных, они не могут быть решены без введения дополнительных соотношений между напряжениями Рхх, Рху, Рхг, потоком тепла sx н градиентами в потоке. Удобно прежде всего ввести кинетическую температуру Т, так чтобы величина hT равнялась средней энергии относительного движения, приходящейся на одну степень свободы. Каждая молекула имеет три степени свободы, следовательно,

1 Z7-

kT =至机〃 2.

После этого, пользуясь табл. 1, можно определить, что уравнение состояния имеет вид

p = nhT.(18)

Теперь поток тепла можно выразить через градиент темпера- туры:

s% =—九 d 77d%; Sy = Sz = 0,(19)

где 九——коэффициент теплопроводности. Диагональные компоненты тензора напряжений могут быть выражены через градиенты скорости:

Р*х = Р 一百口 dux!dx,(20)

2

Руи = Р + 彳卩 dujdx,(21)

0-

Pzz = p +y ц dux/dxt(22)

где p, — коэффициент вязкости.

Отметим, что это согласуется с соотношением

р = у(Р> + Руу + В)(23)

которое можно получить из определений, данных в табл. L

Неди а гон ал ьные компоненты имеют вид

Pxn = Pyx =—卩 duv 'dx, Рхг = Pzx =—卩 dUzldx. Pyz = Ргу = О-

(24)

(25)

(26)

Уравнения (19) и (20) приведены для частного случая одномерного течения. В более общем виде эти уравнения выражаются в тензорной форме следующим образом:

гдегдеS[ = — ^dT/dxt，S[ = — ^dT/dxt，р=4 р〃・р=4 р〃・(27)

где

где

S[ = — ^dT/dxt，

S[ = — ^dT/dxt，

р=4 р〃・

р=4 р〃・

(28)

(29)

Легко показать, что правая часть уравнения (28) является симметричным шаровым тензором. Это согласуется с уравнением (29) и требованием, чтобы тензор Р^ был симметричным.

Обобщенная /7-теорема Больцмана

Уравнение (9) можно записать еще и в другой форме:

差{nuxq)(х, u)} -nux-^(f (x, u)=

.匕 max 2л

=Y f d〃⑶ J '⑶ J bdb ^ d£g {屮(x, u) + 屮(x, v)— 8so0

-屮(X, u') — <jp {x, v')} {f (x, u') f (x, v') — f (x, u) f (x, v)}. (30)

Положив (p(%, u) =ln f (x, u) и введя компоненты вектора, определяющего перенос функции Я (см. ниже), в виде

G*= J du^uxf(x, u) In f (x, u),(31)

по определению, данному в табл. 1, получим

"max 21

言Gl」亲阮)tJ，⑶Jdu⑶J bdb\ degX OOoo00

X ln{黑黑;:卦{/(% u，)/(x, v，)-f(x, u)f(x, v)}. (32)

Легко показать, что в правой части этого уравнения стоит неположительная величина, тогда как второй член его левой части равен нулю в соответствии с законом сохранения массы, который выражается уравнением (13), и, следовательно,

噤 &0.(33)

Общая форма этого уравнения имеет вид

喘+ divG《0,(34)

где

/7=| d〃⑶/(%, u)Inf (x,u)(35)

есть известная //-функция Больцмана. В традиционных при- ложениях //-теоремыБольцмана предполагается такая ситуа

ция, в которой G —0; тогда можно показать, что функция Н монотонно убывает до минимума с течением времени. Значение f(x, и)， соответствующее этому минимуму, представляет собой функцию распределения в состоянии равновесия; она должна быть такой, чтобы правая часть уравнения (32) равнялась нулю, т. е.

In f (х, u) + In / (x, v) = In f (%, uz) + In f (%, v) (36)

Однако обобщенная форма, которая выражается уравнением (33), представляет интерес в стационарном случае. При этом можно показать, что G* убывает до минимума с увеличением расстояния в положительном направлении оси % и что распределение, соответствующее этому минимуму, также представляет собой равновесное значение.

& Случай равновесия

Пусть 尸°)(尤，и)——функция распределения системы, находящейся в равновесии. Тогда она должна удовлетворять уравнению (32), откуда следует, что величина 岳投)(%, и) должна сохраняться при столкновениях и быть равной линейной комбинации массы молекулы, количества движения п энергии, поскольку только эти молекулярные свойства сохраняются при столкновениях. Таким образом.

In 尸。)(％, u) = а⑴机 + 吸"пи* + а^^т^ + o^muz + ~ а⑶机〃2, (37)

2 Зак, I37Q

где все а —произвольные множители. Они могут быть выражены через 〃，Г, и, и уравнение (33) можно записать в виде

戸(х, U)i(寫广exp[一翁lu-叫. (38)

Вводя тепловую скорость

。=管『=/,(39)

мы можем также записать выражение (38) в виде

Y(*' U)= 7^7exp [-^lu-u]2].(40)

Написанные выше выражения можно проверить, причем другие интегралы, встречающиеся в этом разделе, можно вычислять с помощью следующих соотношений:

Г(«+ 1)= J xne~xdx, Г (n + 1) == «Г (п), Г ^) = ^2- о

Следовательно,

~，"//# - " с"+| (четные п), у (与丄)！ с向(нечетные п).

Термодинамические эквиваленты моментов

Уравнение состояния газа, находящегося в равновесии, может быть получено из теоремы вириала. Для твердых шарообразных молекул оно может быть записано в виде

p = nk^ (1 + 2加炉/3 + Члены высших порядков), (42) где 0 — термодинамическая температура, а о — диаметр молекулы. Таким образом, если второй вириальный коэффициент 8 много меньше единицы, т. е. *)

В = 2л〃сЗ/з《], (43)

Второй вириальный коэффициент В часто записывается в виде 2n鳥з/з для твердых шарообразных молекул, где 序一число молекул на моль. При этом в тексте В следует заменить на */М

то уравнение состояния с термодинамической температурой 0 по форме совпадает с уравнением состояния (18) с кинетической температурой Т.

Однако величина 0 не определена для газа, который не находится в равновесии. Полезно отметить, что если элемент газа с кинетической температурой Т, находящийся вначале в нерав- новесном состоянии, изолировать и затем разрешить ему релаксировать к равновесному состоянию, то при этом кинетическая температура Т не изменяется, так как она непосредственно связана с полной кинетической энергией молекул, принадлежащих данному элементу. Таким образом, когда газ достигает равновесия, температура Г становится равной тер модин а м и ческой температуре.

Можно показать, что для газа, находящегося в равновесии, энтропия на единицу массы и /7-функция Больцмана связаны соотношением

П=—hH/p + const. (44)

Однако в то время, как энтропия определена только для равновесного случая, функция Н определена во всех случаях. В термодинамике нет переменной, соответствующей вектору G, который является потоком //-функции.

Перечень важных термодинамических свойств газа, находя， щегося в равновесии, дан в табл. 2.

Таблица 2

Термодинамические свойства газа, находящегося в равновесии

Обозначение

Величина

Давление

Р

Я-функция Больцмана

н

(p/他)(in {"/口%3} -3/2)

Энтропия на единицу массы

4

—(Л/m) (in {п/л%3} + const)

Поток //-функции

G

(up/m) (in {/1/п%з}_з/，

Температура

Т

me?/?左

Внутренняя энергия на единицу массы

е

3c2/4

Энтальпия на единицу массы

k

5c2/4

Удельная теплоемкость при постоянном

3 力/2m

объеме

Удельная теплоемкость при постоянном

ср

5也/2机

давлении

Отношение удельных теплоемкостей

Y

5/3

Б. Влияние молекулярных столкновений

Средняя длина свободного пробега твердых

шарообразных молекул

Когда газ, состоящий из твердых шарообразных молекул, находится в равновесии, частота, с которой каждая отдельная молекула сталкивается с другими, равна

R = 2 (2 研2《tic,(45)

а средняя собственная скорость

с — и — 2с/№*.(46)

Максвелловская средняя длина свободного пробега определяется через эти величины следующим образом*

l = c/R= 1/У2ЛМО2.(47)

Она не является точно измеряемой физической величиной. Однако важно то, что она имеет размерность длины и в то же время является функцией только молекулярных свойств. Если £ ——характерный размер, например диаметр тела, погруженного в поток, то число Кнудсена

Кп = //£(48)

является важным безразмерным параметром.

Учитывая, что величины п и а имеют размерность длины в соответствующей степени, мы моти бы составить некий безразмерный параметр из одних только молекулярных характеристик. Обращаясь к уравнению (43), можно видеть, что второй вири- ~2

альный коэффициент В =言冗几巾 как раз и является таким параметром. Он является мерой отклонения от чисто кинетического уравнения состояния (т. е. от уравнения состояния совершенного газа) за счет энергии межмолекулярных столкновений, и существует предположение, что уравнение Больцмана будет неприменимо, если не выполняется условие В《1.

Коэффициенты переноса 卩肘九 можно получить из уравнения переноса, положив соответственно(р=ихиу и и^йх, В этих случаях интегралы от интеграла столкновений не равны нулю и могут быть вычислены при предположении, что функция распределения равна равновесной функции плюс малое возмущение. Результат этого решения не единствен, потому что можно за- да1ься любой формой возмущения. Однако если используется

возмущение наименьшего порядка, то в результатевозмущение наименьшего порядка, то в результате--г 漁г 漁%%лл64mo264mo25тс5тсМ-М-получается(49)(50)получается(49)(50)

возмущение наименьшего порядка, то в результате

возмущение наименьшего порядка, то в результате

-

-

г 漁

г 漁

%

%

л

л

64mo2

64mo2

5тс

5тс

М-

М-

получается

(49)

(50)

получается

(49)

(50)

Такие же результаты дают первые члены ряда во втором приближении по методу Чепмена и Энскога [8]. Добавление трех следующих членов этих рядов увеличивает величину ji в 1,01600 раза, а величину 入一в 1,02512 раза. Из уравнений (47) и (49) следует, что

/ = % = ^Ы行)'=• (51)

Это равенство часто берут в качестве оп р едел я юще го соотношения для средней длины свободного пробега, потому что оно связывает непосредственно измеряемые свойства газа.

Средняя длина свободного пробега для максвелловских молекул

По определению, максвелловские молекулы отталкиваются с силой, обратно пропорциональной расстоянию в пятой степени. Интерес к таким молекулам основывается на том, что для них в уравнениях переноса относительно прост член, обусловленный межмолекулярными столкновениями. Средняя длина свободного пробега не может быть определена для максвелловских молекул тем способом, который был использован для твердых шарообразных молекул,'потому, что каждая молекула взаимодействует с любой другой молекулой, так что их нужно рассматривать в состоянии непрерывного столкновения. Однако можно определить число столкновений, при которых вектор относительной скорости повернется на угол, больший, чем данный минимальный угол. Ниже будет показано, что этот угол % является функцией безразмерной величины и。，которая определяется формулой

% = b WgZ/zx)%,(52)

где х — постоянная в законе, описывающем силу взаимодействия между двумя молекулами,

尸=xl\(53)

а г—расстояние между ними. Таким образом, если определено максимальное значение [ио]шах, соответствующее минимальному углу поворота вектора относительной скорости, го частота стол к-

новений R выражается формулой

"шах 2л

R = ； J d〃⑶/ (%, u) J 彰⑶/ (x, v) g J bdb de = coco00

(54)(55)(54)(55)= — [%]——)"•

(54)

(55)

(54)

(55)

Тогда из уравнений (46) следует

z=_(旦)%=—?£—

+〃[遮ax I %丿/%【亜ax 12g丿

Другое определение средней длины свободного пробега, которое часто встречается в работах о теплопередаче между параллельными стенками, дается формулой

厶=右上⑸(筝广=2読(5)偻)*(56)

где

4 (5) = j sin?%与 dv0 = 0,436.(57)

о

Этот интеграл впервые был вычислен Максвеллом. Если [ио]тах= =0,9919, то Z=/eff. Это соответствует минимальному углу % (углу поворота вектора относительной скорости), равному 73,83°.

Еще одно определение средней длины свободного пробега дает уравнение (51). Используя метод возмущений или второе приближение метода Энскога, можно получить коэффициенты переноса в виде

—hT ( 2m V/2 — me2 / m、％3冗一式5) (一^=3乳-2(5)[方寸，

.5胪 T /2根\% /154\sc、

九=—2⑸)=(4加)上(59)

Тогда из уравнения (51) следует, что

「一 16p - 15我%〃人2(5)‘「一 16p - 15我%〃人2(5)‘(60)(60)

「一 16

p - 15我%〃人2(5)‘

「一 16

p - 15我%〃人2(5)‘

(60)

(60)

Сравнивая уравнения (56) и (60), получаем

(61)(61)仇= 1,2036」

(61)

(61)

Таким образом, три выражения (55), (56) и (60) для средней длины свободного пробега отличаются только постоянными множителями.

Второй вириальный коэффициент для максвелловских моле-

кул равенкул равенВВл/г 7FTл/г 7FT(62)(62)

кул равен

кул равен

В

В

л/г 7FT

л/г 7FT

(62)

(62)

и, так же как и в случае твердых шарообразных молекул, уравнение Больцмана будет неприменимо, если не выполняется условие В《1. Сравнивая различные выражения средней длины свободного пробега и вириального коэффициента для твердых шарообразных и для максвелловских молекул, мы видим, что их можно привести к одному виду, если выбрать для максвелловских молекул такой эффективный молекулярный диаметр пед, что ・ “q 〜(备(63)

Безразмерная форма уравнения Больцмана

Уравнение Больцмана (1) можно переписать в безразмерной форме. Рассмотрим вначале случай твердых шарообразных молекул. Пусть

с0 — характерная тепловая скорость, и0 — характерная числовая плотность, ^о= 1/1^2п0о2— характерная средняя длина свободного пробега.

Тогда мы можем ввести безразмерные а^личины £ =砒,11* = 11自 и т. Д.,尸=嘲m.

Соотношение между Ъ и углом %, на который поворачивается вектор относительной скорости, имеет вид

" maxn

f b db = ； о2「sin % d%.(64)

о0

Кроме того, если задать значения u, v, % н £, то определятся значения К V。Тогда уравнение (1) можно записать в виде

成票(£, u*) = —~-[дх*4 V 2 冗]成票(£, u*) = —~-[дх*4 V 2 冗]л2ndu*") J sinx rf% J d£g*Xо0л2ndu*") J sinx rf% J d£g*Xо0

成票(£, u*) = —~-[

дх*4 V 2 冗]

成票(£, u*) = —~-[

дх*4 V 2 冗]

л2n

du*") J sinx rf% J d£g*Xо0

л2n

du*") J sinx rf% J d£g*Xо0

X ｛「(£, <T)「(£, V*) — 广(£, if)〉(J, vR. (65)

Исходя из выражения (55), характерную среднюю длину свободного пробега для максвелловских молекул можно записать

в следующем виде:

/ — 2co ( т

°n%的[迦]統[2).

Положив

%axI.

[bdb = (2n'mg2)'h[v0]l[ndq(66)

J* пал j

00

где ” = uo/[u(Jmax, можно привести уравнение Больцмана к виду

I2Л

"：£■(“*，u*) = M【du* ⑶卜如 jdexоо()0♦

X {Г (х*,吟户(£,吟一尸(£, u*)广(£, V*)). (67)

Рассмотрим тепловой поток между параллельными стенками. Если эти стенки имеют координаты x~xL и x=Xr при L = =Ха — к，, а тепловые скорости на стенках, определяемые выражением (39), равны с，и о?, то для заданных значений коэффициентов аккомодации все решения могут быть выражены через два параметра. Такими параметрами являются

Kn = 1 Дх* — х；) = %/L — число Кнудсена,

Rt = (cp^J2 — отношение температур стенок.

Кроме того, рассмотрим течение Куэтта между двумя параллельными стенками с тепловыми скоростями cn = cL=co и относительной скоростью сдвига U. Тогда имеем два параметра:

Кп — число Кнудсена,

,[/& —безразмерная скорость сдвига.

В случае плоской ударной волны граничные условия задаются на ±оо. Таким образом, здесь нет параметра, соответствующего числу Кнудсена. Имеются четыре характерные скорости на границах — две тепловые скорости и две массовые скорости потока. Однако все они могут быть связаны числом Маха М, которое становится единственным безразмерным параметром.

Режимы молекулярных течений

Как мы отмечали, уравнение Вольимана справедливо, если В《1, где В — второй вириальный коэффициент. Когда это условие не удовлетворено, газ называют плотным; его поведение от- личэется от поведения совершенного газа. Вполне возможна та・

кая ситуация, когда имело Кнудсена велико для плотного газа н, таким образом, то обстоятельство, что число Кнудсена велико, не обязательно указывает на разреженность газа; это число не определяет справедливость уравнения Больцмана.

Уравнения Больцмана (65) и (67) описывают три основных класса движений газа в зависимости от того, какое из неравенств выполняется: Kn《1； Kn = 1； Kn》1. В первом случае также %— %；》1, так что производная df*/dx* мала и, следовательно, интеграл столкновений в правой части уравнения тоже мал. Единственным выражением в интеграле, которое может стремиться к нулю, является следующее:

戸("u*')「g /) — 〃(" u*)f(x*, v)

В соответствии с уравнением (36) это выражение обращается в нуль в случае равновесия, когда f=f(°). Таким образом, условие Кп《1 означает близость к условиям равновесия; при этом для вычисления коэффициентов переноса, определяемых равенствами (49), (50), (58) и (59), становится пригодным метод возмущений и применимы уравнения Навье—Стокса. Во втором случае % —疝 # 1，так что предположение о близости к равновесию не- справедливо и уравнения Навье ——Стокса не являются больше хорошей аппроксимацией уравнения Больцмана. В третьем слу- qae %： — /[« 1； при этом функция f мало изменяется в пространстве между границами, причем изменение f стремится к нулю в пределе при Кп-> оо. Предположение о том, So f не изменяется, эквивалентно пренебрежению тем малым числом столкновений, которые на самом деле имеют место; эту область чисел

Таблица 3

Режимы течения

Область значений параметров

Режим

Характеристики

число

Кнудсена Кп

вирнальный коэффициент В

Любое

《1 : 1

》1

Конечный

《1

《1

< 1

Плотный газ

Навье—Стокса Больцмана

Кнудсена

Несовершенный газ

Совершенный континуальный газ

Молекулярное течение совершенного газа

Свободномолекулярное течение совершенного газа (столкновениями пренебрегают)

Кнудсена называют обычно областью свободномо.пску<пярного течения.

Четыре режима течения, соответствующие тому, в какую область попадают значения параметров В и Кп, перечисляются в табл. 3.

В. Теплопередача между параллельными стенками

Постановка задачи

Предположим, что пространство между двумя бесконечными параллельными стенками (см. рис. 3) заполнено газом со сред-

Р и с. 3. Обозначения в задаче о теплопередаче между параллельными стенками.

Слева—горячая стенка, справа—холодная стенка.

ней плотностью р. На левой стенке, которая называется горячей, поддерживается абсолютная температура 7匚,тогда как на правой стенке поддерживается более низкая температура TR.

Если предположить, что коэффициент аккомодации равен единице, т. е. что молекулы испускаются в состоянии теплового равновесия со стенками с такой же скоростью, с какой они адсорбируются, то решение можно выразить через два параметра —число Кнудсена Кп и отношение температур RT.

Эту задачу довольно легко решить, если предположить, что функция распределения постоянна в направлениях у и z, имеет цилиндрическую симметрию в пространстве скоростей с осью

симметрии, перпендикулярной стенкам, и поток массы в направлении, параллельном стенкам, отсутствует. Эти предположения, которые можно назвать предположениями об одномерности, симметрии и отсутствии потока массы, не дают возможности рассматривать вопросы о конвективных потоках или неустойчивых состояниях, но согласуются с концепцией молекулярной теплопроводности.

Рассмотрим вначале, что можно вывести из уравнений сохранения. Предпсложение об отсутствии потока массы совместно с требованием об отсутствии протекания газа через стенки можно применить как граничное условие для уравнения (13), и мы получим

(68)

Тогда из уравнения (14) и предположения о симметрии следует, что

尸门=const, ^= P*z = °,尸门=const, ^= P*z = °,(69)(69)

尸门=const, ^= P*z = °,

尸门=const, ^= P*z = °,

(69)

(69)

а из уравнения (17) и предположения об одномерности задачи получим

s#== const, Sy== s? ^3 0.(70)

Поскольку средняя длина свободного пробега в пространстве между стенками изменяется, ее среднее значение I нужно выбрать произвольным образом. Для твердых шарообразных молекул максвелловская средняя длина свободного пробега может быть выражена через среднюю плотность, так что

Kn = 〃L =駆/]，2 лра2£.Kn = 〃L =駆/]，2 лра2£.(71)(71)

Kn = 〃L =駆/]，2 лра2£.

Kn = 〃L =駆/]，2 лра2£.

(71)

(71)

Для максвелловских молекул желательно определить среднее значение /eff [см. соотношения (56)] в соответствии с тем, как это было сделано в имеющейся по данному вопросу литературе. Если средняя температура определена через р и Рхх [которое является постоянным в соответствии с выражением (69)] таким образом, что

Pxx = pkT!m,(72)

то

Км = 丁传『(—)，；2.(73)

2лЛ2(5)£ \ р / \ и /

Вместо соотношений (71) и (73) можно использовать и другие определения числа Кнудсена, но эти выражения сводятся к тем, которые обычно применяются в литературе в предельном случае/?т~> 1, ，

Вблизи каждой из стенок молекулы, движущиеся от стенки, находятся в тепловом равновесии с ней и их функции распределения можно записать, используя уравнение (40), следующим образом:

f(丸‘ u) L > ° = ~^4 exp 卜团' (74)

f(x&，u) l“. < о =exp (—皆，(75)

где Р+, р_ ——плотности соответствующих потоков, движущихся от стенок, а величины cL и cR связаны с TL, " соотношением (39). Кроме того, имеем

Rt-Tr!Tl = {cr',c^. (76)

Свободномолекулярное течение

Решение для свободномолекулярного течения, которое имеет место при Кп —8, интересно потому, что оно является предельным случаем. Влияние столкновений устраняется, если отбросить правую часть уравнения Больцмана, что приводит к следующему результату:

f (х, u) = const.(77)

Таким образом, уравнения (74) и (75) для функций распределения молекул, движущихся от стенок, можно объединить и определить распределение молекул во всем простоанстве еле-Таким образом, уравнения (74) и (75) для функций распределения молекул, движущихся от стенок, можно объединить и определить распределение молекул во всем простоанстве еле-дующим образом:f (% u)=дующим образом:f (% u)=++ттс12с^ттс12с^expexp(78)(78)«х<°«х<°

Таким образом, уравнения (74) и (75) для функций распределения молекул, движущихся от стенок, можно объединить и определить распределение молекул во всем простоанстве еле-

Таким образом, уравнения (74) и (75) для функций распределения молекул, движущихся от стенок, можно объединить и определить распределение молекул во всем простоанстве еле-

дующим образом:

f (% u)=

дующим образом:

f (% u)=

+

+

ттс12с^

ттс12с^

exp

exp

(78)

(78)

«х<°

«х<°

Тогда из уравнений (68) и по определению, данному в табл. 1, получим

р% = ”-% ®+% - P/r) = 0.(79)

Кроме того, имеем

р = р = Р+ + р ,(80)

Р = Рк =《(P+Y, — P-磅)，(81)

sx = sK = :l~'j2^+cl-f)-c^-(82)

Давление и тепловой поток, которые выражаются соотноше- ннямн (81) и (82) соответственно, часто называют кнудсенов* Скими значениями этих величин и отмечают это индексом К: 〃к， Sk. В свободномолекулярном случае нет касательных напряжений, ПОЭТОМУ Рхх= Р^у = Р И РХу — 0.

Другой интересной величиной является безразмерная температура скольжения TJAT, где 7\ — сумма скачков температуры между двумя стенками и примыкающим газом, а АГ ——разность температур стенок. Поскольку в газе нет градиента температуры, то

Г$/АТ=1.(83)

Уравнения (81) и (82) можно привести к безразмерному виду, используя соотношения (76), (79) и (80):

(84)

2

Теплопередача в режиме сплошной среды

Когда Кп《1, справедливы уравнения Навье — Стокса. Уравнения сохранения (13)——(17) уже были применены для того, чтобы получить условия(68) —(70), так как они справедливы во всех случаях. Применяя дополнительно соотношения (18)—— (23), получаем

Р = Р хх = Руу= Pzz =汽忘 т = const,(86)

sx =—九 d Г /dx.(87)

Можно показать, что при Кс —0. TJAT -> 0 и, следовательно, 7(2)=。，7(%r)=Tr・(88)

Q. Твердые шарообразные молекулы. Замечая, что, согласно соотношению (50),九〜Т%, решение уравнения (87) можно найти в виде

?/厶=[1 一(1 一戏)(x 一 切/厶「.(89)

«Легко показать, что

р1+R$ + Rt

—=—f7示k(90)

P 3[1-(1-r?)a一也)月，'

Выражая давление и тепловой поток через соответствующие величины для свободномолекулярного потока, получаем

p/Pk = (1+R"rJ/3 碌(91)

а подставляя ношению

значение 九 из выражения (50), приходим к соот・

—=—— -Кп,(92)

sk 64碎，

где число Кп определено формулой (71).

Максвелловские молекулы. В этом случае, согласно соотношению (58),九〜Т н решение уравнения (87) можно представить в виде

TITl-V-^-^~x^- ОЗ)

Следовательно, имеем

Р1 + R「，、

. =2[1_(1-心)("/闺%.(94)

а также

pIPk = (1+RGI2R* ♦(95)

Подставляя значение 九 из уравнения (58), получаем

S* 5/「%(1+喲(1+协产

m=只5) 砂 кm, (96)

где выражение для Kneff дается соотношением (73)

Решение Лиза

Как видно из уравнений (92) и (96), свободномолекулярное решение дает завышенное значение теплового потока при малых числах Кнудсена, тогда как решение по Навье — Стоксу завышает это значение при больших числах Кнудсена. Оба эти решения основаны на предельных значениях числа Кнудсена, Кп-> 8 и Кп ~> 0. Наиболее интересным режимом является промежуточный режим, когда Кп ^ 1 и когда нужно решать полное уравнение Больцмана.

Приближенным решением задачи о теплопередаче, которое представляет особый интерес, является решение, предложенное Лизом [29]. В этом методе предполагается, что решение имеет

вид

/ U, и)=

Г 2р+(х) m 財(X)ехр

、с沁))

+

心＞0

+

■ 2р_(х) Гхp

12(")1

(97)

"尤＜ 0

где р+(х), р—(%), с+(х), С-(х) являются зависимыми переменными. Используя функцию распределения в этом виде, можно удовлетворить граничным условиям, которые выражаются соотношениями (74) и (75)・

Если предположить, что Кп—8, то формула (97) переходит в соответствующую свободномолекулярному режиму формулу (78), и таким образом в пределе решение Лиза переходит в свободномолекулярное решение.

В общем случае три из четырех зависимых переменных могут быть исключены с помощью уравнений (68)——(70), а одну нужно определить. Для того чтобы определить эту оставшуюся функцию, можно использовать любое из бесконечного числа уравнений переноса, которые получаются, если подставлять в уравнение (10) различные функции ср. Если выбрать простейшую возможную функцию(p = n2wx, то для максвелловских молекул получим довольно удивительный результат: моментное уравнение можно записать в виде

sx =—九 d T[dx,(98)

где 九 определяется выражением (59). Это уравнение совпадает с уравнением (87) для случая сплошной среды, но с иными граничными условиями, если только не рассматривается случай Кп —0. Таким образом, метод Лиза дает точные решения в предельных случаях свободномолекулярного течения и сплошной среды, а также обеспечивает решение в промежуточной области. Последнее не является, однако, точным, так как решается только одно моментное уравнение, а не само уравнение Больцмана.

Для общего случая, объединяющего тепловой поток и течение Куэтта, решение было получено этим методом в работе Лю и Лиза [30]. Оно приведено также в работе Левина и Хэвиленда [28] с использованием обозначений настоящей статьи.

В общем случае нельзя установить соответствия между методом Лиза и решением, соответствующим режиму сплошной среды. В действительности отличительной особенностью метода «Инза является то, что он дает возможность выбора такой функ- распределения, которая имеет правильную форму в сво* бодномолекулярном случае. Когда тот же самый метод испытьь

в а ют для твердых шарообразн ых молекул, то в результате уравнения (98) не получается, а вычисление интеграла столкновений оказывается весьма трудным. В таком случае полуденное урав~ нение нужно решать методами численного интегрирования. Решение этой задачи было выполнено Левином и Хэвилендом [28].

Если для функции распределения используется выражение в виде формулы (97) с четырьмя зависимыми переменными, то такое решение называют четырехмоментным, потому что в нем используются четыре уравнения переноса для четырех моментов. Три из них являются законами сохранения, а четвертое ——уравнением вида (98). В работе было получено также шестимоментное решение для газа из максвелловских молекул. При этом необходимо было проинтегрировать численно систему из трех уравнений, что было выполнено на электронной вычислительной машине 1ВЛА-709.

Другие методы решения

Описанные выше приближенные решения основаны на использовании уравнений переноса и могут быть отнесены к обширному классу моментных методов. Очевидно, такие методы можно было бы расширять, добавляя уравнения переноса для моментов более высокого порядка, и, таким образом, все более улучшать решение. Главной трудностью, которую при этом надо преодолеть, является то, что каждое уравнение переноса вводит еще больше неизвестных моментов, так что общее число неизвестных всегда превышает число уравнений. Эту трудность можно преодолеть, используя какой-нибудь метод усечения получаемой цепочки.

При получении уравнений Навье — Стокса это усечение было сделано с помощью предположения о том, что функцию распределения можно представить в виде ее равновесного значения, умноженного на сумму единицы и возмущающей функции более низкого порядка. Метод возмущений более высокого порядка, который был использован Барнеттом [5, 6], дает в результате тринадцать моментных уравнений. Грэд [12] разложил функцию распределения в ряд по полиномам Эрмита, причем для замыкания системы он приравнивал нулю коэффициенты высшего порядка; таким образом была получена другая система тринадцати моментных уравнений. Ни уравнения Барнетта, ни уравнения Грэда не были применены для решения задачи о теплопередаче между параллельными пластинами. В методе Лиза усечение бесконечной цепочки моментных уравнений достигалось путем ограничения числа зависимых переменных, вводимых в выражение для функции распределения.

Другим подходом к этой проблеме является предварительная линеаризация уравнения Больцмана. Вначале функция распределения записывается в виде

/ = /(0)(1+еФ),(99)

где f(°)— равновесное распределение, е — параметр разложения, а ф ——неизвестная функция. Если это выражение подставить в уравнение Больцмана (1) и приравнять члены при е, получим их д①[дх = £ (Ф),(100)

где L ——линейный интегральный оператор. Первый член даст при этом уравнение

■ iixdfm/dx = G.(101)

Если этот метод применить для максвелловских молекул, то собственными функциями оператора £ в декартовых координатах оказываются полиномы Эрмита или Сонина, а для сферических координат — сферические гармоники. Линеаризованное уравнение было применено для решения задачи о теплопередаче Ван-Чан и Уленбеком [43], Мотт-Смитом [35], Г россом и Зирин- гом [15] и Зирингом [4刀.Гросс и Зиринг получили некоторые из своих результатов, используя полупространственные моментные уравнения. Эти уравнения переноса получаются путем умножения линеаризованного уравнения Больцмана на(р(х, и) и интегрирования по полупространствам скоростей пх<0 или пх>0. Это приближение было принято также в работе Крука [25].

Во всех этих методах решение задач для максвелловских молекул было гораздо легче, чем для молекул всех других типов. Тем не менее Круком и другими [3] была предложена статистическая молекулярная модель, в которой не рассматривался механизм действительных столкновений, а скорость изменения функции распределения считалась пропорциональной ее отклонению от равновесного значения. Так называемое уравнение Крука——Больцмана в простейшей форме записывается следующим образом:

uxdf[dx = -v(fm -f),(102)

где V — частота столкновений.

Для решения уравнения Больцмана предлагались два итерационных метода. Отметив, что уравнение Больцмана можно записать в виде

их dfldx = D —哈(103)

где D——количество молекул, пришедших за единицу времени в данный элемент фазового пространства вследствие столкнове-

ннй, попытаемся решить методом итераций одно из следующих уравнений:

их df{r}ldx + v('T)N)= Q(1)(104)

ИЛИ

ux dfMldx = D<r~'} -v(r-'}f(r-'\(105)

где r—1, r——индексы, которые обозначают последовательные итерации.

Первая схема была использована Уиллисом [44, 45] для решения задачи о теплопередаче с помощью статистической модели Крука, а также * для решения некоторых других задач. Последняя схема была развита Айкенберри и Трусделлом [23], но не применялась при решении задачи о теплопередаче.

В заключение следует отметить, что метод Лиза может дать только приближенные решения уравнения Больцмана при больших отношениях температур для максвелловских или твердых шарообразных молекул. Решения линеаризованного уравнения Больцмана основываются на предположении о том, что отношение температур мало, тогда как решения, данные Уиллисом, основываются на статистической молекулярной модели. Несмотря на это, последние два метода оказываются во многих случаях более точными, чем метод Лиза. Желание выяснить, какое из перечисленных решений было более точным, частично послужило поводом для разработки метода Монте-Карло.

Г. Ударная волна

Постановка задачи

Обычно удобно рассматривать плоскую ударную волну в системе координат, связанной со скачком, как это показано на рис. 4. На нем представлен типичный график плотности, повышающейся в направлении вниз по потоку. Возрастание плотности происходит на конечном расстоянии, и толщина ударной волны произвольно определяется расстоянием, на котором плотность возрастает до максимального значения, если степень изменения задана максимумом наклона.

Необходимо сделать те же самые предположения, которые были сделаны при постановке задачи о теплопередаче, т. е. предположения об одномерности, симметрии и отсутствии потока массы в направлении, перпендикулярном оси симметрии. Таким образом, нельзя рассчитывать на предсказание неустойчивых состояний во фронте ударной волны. Объединяя эти предположения с уравнениями сохранения (13), (14) и (17), по.

лучаем

р〃* = const,

Uy = uz = 0,

(106)

/*# = const.

Р* = Pxz =。，

(107)

^ г = const.

= Sz = 0.

(108)

Если ударная волна движется по невозмущенному газу, можно предположить, что этот газ находится в равновесии на бес-

Толщина ударной волныТолщина ударной волныРис. 4. Обозначения в задаче об ударной волнеРис. 4. Обозначения в задаче об ударной волнеПлотность вниз по потоку “о 8Плотность вниз по потоку “о 8(8,-d''8)d(8,-d''8)d

Толщина ударной волны

Толщина ударной волны

Рис. 4. Обозначения в задаче об ударной волне

Рис. 4. Обозначения в задаче об ударной волне

Плотность вниз по потоку “о 8

Плотность вниз по потоку “о 8

(8,-d''8)d

(8,-d''8)d

конечном расстоянии вверх по потоку, т. е. что

=—晔也1},(109)

где Ui — массовая скорость вверх по потоку.

Тогда условия в ударной волне вниз по потоку должны быть такими, чтобы выполнялись уравнения (106) — (108) н уравнение (33). Таким образом, величина Gx должна монотонно убывать от значения, которое дается формулой (109), до значения, соответствующего другому равновесному распределению. Следовательно,

G*(8)<G*(— 8)(110)

И

、 p2 …J (%一%)2 +」+ -！

/з，и)=^Я"^! 卜 (111)

Используя данные табл. 2, видим, что уравнение (110) удовлетворяется, если

(U2P2/祖In 他/〃"圖 一 I") < (U]P1/叫In {P]//W，'C；} -訪(112)

(113)(114)(115)(113)(114)(115)но из уравнения (106) следует, что

(113)

(114)

(115)

(113)

(114)

(115)

и 2P2 = °1Р1・

Таким образом, получаем соотношения

"/PL v〃/pl_8 и

月(8)> Tl(- 8),

которые непосредственно доказывают, что энтропия возрастает при переходе через ударную волну. Однако при изучении ударных волн большой интерес вызывает поведение величин Gx и 〃/р, потому что они определены и в неравновесном случае и, следовательно, их величина может быть вычислена внутри удар

ной волны. Уравнение (114) можно записать в виде

р2/4 < Р]/4(не)

Уравнения (106) — (108) с учетом выражений (109) и (111) для функции распределения переходят в следующие:

p1u1 = p2u2,(117)

P|(d + Jc：) = p2(俏+ 5М，(118)

Р 凹何+ ]片)=р2%(% +，欧(119)

Преобразуя эти уравнения, получаем

(。1/u1)2 =黄4。2/3 - 1).(120)

ТогдаТогдаm=u1/" =停产01/3.m=u1/" =停产01/3.(М2+3)(5М2-1)I6M2(М2 + 3) 4M2 .(М2+3)(5М2-1)I6M2(М2 + 3) 4M2 .Определяя скорость звука а как значение Ui при И\ = и2, запишем число Маха М для ударной волны

Тогда

Тогда

m=u1/" =停产01/3.

m=u1/" =停产01/3.

(М2+3)(5М2-1)

I6M2

(М2 + 3) 4M2 .

(М2+3)(5М2-1)

I6M2

(М2 + 3) 4M2 .

(121)

(122)

(123)

Таким образом, задавая М, р】и U、или 白，можно легко найти величины р2,厶 и 從 из уравнений (117), (121) — (123). Условие существования ударной волны, которое дается уравнением (116), теперь принимает вид

(124)(124)М> L

(124)

(124)

решение задачи о структуре ударной волны

с помощью уравнений Навье-Стокса

В литературе приводятся различные решения уравнений Навье——Стокса для ударной волны. Наиболее современное решение Гилбарга и Паолуччи [10] было получено для газов, в которых вязкость изменяется в зависимости от температуры по степенному закону. Значение показателя степени было выбрано соответствующим максвелловским молекулам, аргону, гелию и твердым шарообразным молекулам. Было найдено, что решения уравнений сходятся для всех чисел Маха без нарушений, типичных для некоторых моментных методов высокого порядка.

Фактически авторы были склонны интерпретировать успех численных расчетов с помощью такого метода, как указание на то, что уравнений Навье ——Стокса достаточно для описания процессов в ударной волне и что при решении этой задачи нет необходимости использовать уравнение Больпмана. Однако уравнения Навье--Стокса могут быть получены из уравнения Больцмана в предположении, что возмущение функции распределения по отношению к равновесному значению имеет первый порядок и, таким образом, уравнения будут справедливы только тогда, когда возмущения достаточно малы, так что члены более высокого порядка стремятся к нулю.

Шерман и Талбот [40] показали, что возмущения функции распределения, получающейся при решении уравнений Навье —— Стокса для ударной волны при больших числах Маха, имели такую величину, что в некоторой части пространства скоростей плотность распределения становилась отрицательной. Это, конечно, физически бессмысленный результат, который делает достоверность получающихся результатов крайне сомнительной, даже с учетом того, что они являются приближенными.

Бимодальная функция распределения

Мотт-Смит [34] получил приближенное решение задачи об ударной волне в предположении, что функция распределения имеет вид

f(x, u) = V(X)/ (— ОО, u) + [1 -v(x)]/(8, и),(125)

где значения функции на ±оо даются выражениями (109) и (111). Единственной функцией, зависящей от х, является перемешивающая функция v(x).

Кроме трех уравнений сохранения (106)—— (108), требуется привлечь одно дополнительное моментное уравнение, которое мо- быть получено, если подставить подходящее значение 屮 в уравнение (10). Вне зависимости от выбранного значения ср

или модели молекул моментное уравнение приводится к виду dv/dx = — 4v (1 - v)/X(126)

с решением

v= 1/(1+p4”x)= g(i _th{2x/X}),(127)

где начало отсчета % выбрано соответствующим образом. Профиль плотности в ударной волне имеет вид

Р =Ц (Pl + Р2)+ 白Р2 — Pl) th (2х/Х].(128)

Легко показать, что X — толщина волны, соответствующая ее определению на рис. 4. Однако в литературе обычно приводится отношение 厶/X, обратно пропорциональное толщине ударной волны; его можно получить более непосредственно. Здесь /1 — средняя длина свободного пробега в набегающем потоке (в обычных обозначениях /口，которое выражается соотношением (51) для условий в набегающем потоке).

Мотт-Смитом были получены значения 厶/X в зависимости от числа Маха для твердых шарообразных молекул с использованием функций Ф = «2 и «з, а также для молекулярной модели Сатерленда при 屮=〃% Позднее эти величины были получены Зирингом и Эком [48] для максвелловских молекул.

Другие решения задачи об ударной волне

Решение задачи об ударной волне с помощью тринадцатимоментных уравнений Барнетта, упоминавшихся в разд. В, 5, было получено Цёллером [50]. Толщина ударной волны получилась на 30% больше, чем по уравнениям Навье ——Стокса, но при числах Маха, больших чем М=1,23, в решении возникали затухающие колебания, а для чисел Маха, превышающих М=2,36, получить результаты оказалось невозможно.

Позднее Шерман и Талбот [41] пааучили решение с помощью более точного варианта применения уравнений Барнетта; в их решении толщина ударной волны оказалась ближе к той, которая получается при решении уравнений Навье ——Стокса. Используя свои тринадцатимоментные уравнения, Грэд [13] получил решение с толщиной ударной волны даже большей, чем у Цёллера, однако при числах Маха выше М == 1,65 решения не существовало.

В дальнейшем Глансдорф [11] предложил двух ж идкостн ую теорию, в которой два распределения Мотт-Смита рассматривались как отдельные жидкости, но им разрешалось обмениваться

свойствами во время движения через ударную волну. Зиринг и другие [49] улучшили это приближение и получили явно удачные результаты как для твердых шарообразных, так и для максвелловских молекул.

Так же как и в задаче о теплопередаче, для профиля ударной волнн имеются только приближенные решения и мало данных, которые указывали бы, какой метод дает более точные ответы. Методы, основанные на таких уравнениях течения жидкости, как уравнения Навье—-Стокса, Барнетта и Грэда, представляются определенно непригодными для больших чисел Маха. Введение бимодального распределения Мотт-Смита позволяет избежать появления отрицательных значений функции распределения, а также и других трудностей, присущих уравнениям движения жидкостей более высокого порядка. Однако бимодальные и двухжидкостные модели не могут быть обоснованы рационально, хотя они и могут подтверждаться интуитивно.

///. Метод Монте-Карло

А. Общее описание

Определения

Название метода «Монте-Карло》несколько неточно и применяется для обозначения методов решения задач приемами, эквивалентными 《нграм》，в которых результат каждого отдельного события является случайным, а искомый суммарный результат получается усреднением по большому числу таких событий. Некоторые авторитеты утверждают, что этим названием нужно пользоваться лишь при решении детерминистических задач и что, когда решаются статистические задачи, соответствующий метод нужно назвать методом статистических выборок. В действительности метод Монте-Карло не является одним определенным методом и природа решаемой задачи едва ли относится к делу.

Метод Монте-Карло привлек к себе значительное внимание в начале 50-х годов, когда появились быстродействующие вычислительные машины. Однако скоро было установлено, что он не может конкурировать с другими численными методами, если таковые имеются, так что в последующие годы ему оказывали значительно меньшее внимание. Поскольку еще не найдено дру- гого метода решения уравнения Больцмана, численного или аналитического, метод Монте-Карло представляет значительный ин- терсс для применения к молекулярным течениям.

Как на образцы имеющейся литературы сошлемся на ра- боты [4], [7], [24], [31], [3^1, [38].

Генерирование случайных чисел

Существенной частью любой программы метода Монте-Карло для быстродействующей вычислительной машины является подпрограмма генерирования случайных чисел. Как это ни удивительно, имеются различные удачные методы построения таких чисел.

Обычно такие случайные числа получаются из равномерного распределения на единичном интервале. Если плотность распределения вероятности чисел равна Р/?(^)> где ^— случайное число, то равномерная плотность отвечает условиям

Рк 储)=1 при 0〈誘&1,

Рк 儲)=° при 誘 V 0,誘 >1.

Таким образом, вероятность того, что 凝 меньше, чем некоторое число М равна

N

р 设 < N) = \ PR (犠)d% = N.(129)

о

Например, вероятность того, что выбранное случайное число меньше 0,5, должна быть равна 50% и не должна зависегь от того, какое случайное число было выбрано перед этим. Когда не было быстродействующих вычислительных машин, пользовались таблицами случайных чисел или аналоговыми машинами. Хорошим примером аналоговой машины является, конечно, колесо рулетки, но все-таки больше усилий было потрачено на по- пытки выиграть, чем на использование ее для решения других проблем.

Первый численный машинный метод получения случайных чисел принадлежит Дж. фон Нейману и называется методом «середины квадрата». В этом методе поеледовательность случайных чисел получалась из начального числа, имеющего п разрядов, возведением его в квадрат, а затем выбором середины этого квадрата, также состоящей из п цифр. Полученное число рассматривалось как начальное для следующего шага.

Этот метод приводит к остановкам, если во всех разрядах получаются нули; более поздние методы имеют тот недостаток, что образуют циклы, повторяющиеся после некоторого большого числа шагов. Подобно методу середины квадрата, они основываются на отбрасывании большинства значащих цифр после вычисления.

Большинство использующихся генераторов случайных чисел можно классифицировать как рекурсивные конгруэнтные генераторы; они рассмотрены в работе [36]. Эти генераторы можно разделить на три группы: аддитивные, мультипликативные и смешанные. В каждом случае новое случайное число в последовательности получается путем некоторой операции над предыдущим и отбрасыванием большинства значащих цифр. В аддитивном методе серия из m чисел запоминается периодическим образом, причем новое число получают умножением последнего числа на число, отстоящее на m чисел от последнего. При мультипликативном методе новое число получают умножением последнего на константу. В смешанном методе повое число вырабатывается умножением на константу и сложением с другой константой.

При исследованиях, описываемых в данной статье, использовался генератор, впервые запрограммированный в вычислительном центре Массачусетского технологического института. Программа оперирует с десятичными числами, записанными в 35 двоичных разрядах памяти машины, причем n-е число последовательности получается в виде

«„ = «„_, (218 + 3)[mofl 255],(130)

начиная с любого нечетного числа.

Так как умножение на 218 достигается сдвигом, который автоматически сбрасывает высшие разряды чисел, оно занимает мало машинного времени. Метод позволяет получать нечетные числа, которые имеют порядок от 0 до 235э удовлетворяют тестам па случайность и имеют период 233, или больше, чем миллиард. Эти Ч11сла Необходимо разделить на 235, чтобы привести их в область 0 -1, а эта операция сочетается с переходом к плавающей запятой путем подстановки десятичной запятой перед первой значащей цифрой.

Применение метода Монте-Карло для вычисления простых интегралов

Хорошо известным примером применения метода Монт&Кар- 〃о является вычисление интеграла

厶=f f (х) dx,(131)

о

「”e f(x) может быть вычислена при заданных х. В атом слу- ”ае мы выбираем N случайных чисел 譯匕...，%, ...,殿心

вычисляем f (c^J, .. ., f (留D, . • •, f (“n) и берем среднее

N

i^dlNym^i)(132)

i=l

в качестве значения интеграла. Следуя книге Крамера [9] (разд. 15.3 и 27.2), мы убеждаемся, что математическое ожидание вычисляемой величины интеграла можно представить в виде

£ 1Л) = (1,W)2 £ !И^)) = £ !К^)!,(133)

если последовательность случайных чисел действительно случайна. Далее,

4-оо1

Е『函)1= J f(x)pR(x)dx^ J f(x)dx = lu (134) —ooО

где pR ——плотность распределения случайных чисел, которая определяется формулой (129). Следовательно,

E{/；)=/i,(135)

т. е. математическое ожидание вычисленной величины /[ равно искомому значению 厶.Дисперсия полученной случайным путем интегральной суммы равна

.{/；) = (1/№)2d2 {〃酰•)} = (1/N) D2 {f 國} = 07M (136) i=I

где о — стандартное отклонение f (留)• Оно может быть вычислено следующим образом:

- = Q2 -(成)} = e .(留)一Е {f (園}h =

=用产储)一 2"爵)八+用=£d(R)]一比 (137)

если учесть при этом (134). Далее,

4-001

e {产画)} = J 产(%)0攵(%)4%= J f2 (x) dx = /2.(138)

—80

Таким образом, в окончательном виде получим

。2 亿}=巒加= (/2 - А)/м(139)

Уравнения (135) и (139) имеют следующее значение, будем повторять вычисление интеграла /1 методом Монте-Карло, каж-

дып раз используя новую последовательность N случайных чисел. Тогна полученная таким образом величина /； будет иметь стандартное отклонение

О ｛/；｝ = (&把厂(140)

относительно среднего значения величины /ь Обычно ‘2 — неизвестная величина, так же как и /ь Однако оценку для £)(/[) можно получить, вычисляя

A = (1/N)X 尸(酰)(141)

i=I

н полагая

0｛川仁忌叮：(142)

Как пример типичного случая рассмотрим f(х) = 2х. Мы имеем /1 = 1; /2 = у и D ｛/；｝=(】/з%)%・ Таким образом, если бы было использовано 300 случайных чисел, то стандартное отклонение составляло бы 1/30, или 3,3%, относительно среднего значения, равного единице. Чтобы улучшить результат в 10 раз, нужно взять 30 000 случайных чисел, что приведет к увеличению машинного времени в 100 раз. Эти огромные затраты на улучшение точности являются серьезным недостатком метода Монте- Карло.

Выбор случайных переменных

Во многих приложениях метода Монте-Карло необходимо выбирать случайную переменную с данной плотностью распределения. Например, если нужно выбрать случайную величину х, имеющую плотность распределения вероятности р(х), мы сначала возьмем

Рк (或)d磁==р (%) dx(143)

乩 интегрируя, получим

<^= J p^dK=P(x),(144)

「ле P (尤)一случайная функция.

1акнм образом, задавая случайное число 撈,мы должны решить относительно 尤 уравнение (144). В некоторых случаях 尤

может принимать только дискретные значения х?; ，=1,...,/г. Тогда если известны вероятности р» того, что х = х^ для i=l, ••.,〃， то можно решить относительно г неравенства

£ру 誘 <£р, (145) t=I z=1

и ВЗЯТЬ х=хг.

Б. Приложение метода Монте-Карло к задачам о течениях газов

Обзор

Метод Монте-Карло очень широко использовался в связанных с переносом нейтронов задачах, имеющих приложение в ядерной энергетике (см., например, библиографию, составленную Скоттом [38]). Такие задачи обычно линейны, н основные трудности их решения возникают из-за сложной геометрии. Вообще говоря, работа, проделанная в этой области, не приложима к молекулярным течениям, хотя знание некоторых разработанных там «хитростей» может быть полезным.

Некоторое число приложений было развито для свободномолекулярных течений; например, для свободномолекулярного сжатия это сделал Крюгер [26]. Обширные исследования были проведены для изучения равновесного состояния ([1], [32], [37], [42], [46]). При изучении равновесия с помощью электронной вы- числительной машины прослеживалось поведение конечной группы молекул для того, чтобы установить форму уравнения состояния.

Были использованы два различных метода. В первом из них последовательные молекулярные состояния воспроизводил и сь путем случайных блужданий; если при этом • потенциальная энергия возрастала, вопрос о том, реализовать блуждание или нет, решался случайным образом. В другом случае путем решения уравнений движения рассчитывалось движение молекул в течение длительного времени; таким образом, хотя это решение было детерминистическим, среднее распределение молекул по различным состояниям было статистически правильным.

Попытка решения задачи о неравновесном молекулярном течении впервые была предпринята автором (Хэвиленд [17], Левин [27], Хэвиленд и Левин [19], Хэвиленд [18]). Позднее Хикс и Аггарвал [20], [21] развили другой вариант метода Монте-Карло. Оба метода являются итерационными и состоят в построении последовательных приближений к искомой функции распределения. В первом методе, изложенном в этой статье, движение

н столкновение молекул с полевыми молекулами, функция распределения которых дается в предыдущей итерации, прослеживаются до тех пор, пока не накопится достаточно статистических данных для вычисления новой функции распределения. В работе Хикса методом Монте-Карло вычисляется интеграл столкновений, а затем определяется функция распределения в следующей итерации с помощью непосредственного интегрирования уравнения Больцмана.

Изложение идей метода Монте-Карло

Метод Монте-Карло, описанный в этой статье, основывается и а том, что в стационарном течении, которое сохраняется в течение периода времени Т при Т-> оо, среднее время, проведенное молекулами в любой области фазового пространства, пропорционально функции распределения /(%, и). Таким образом, если движение молекулы можно представить в аналитическом виде и если может быть принята соответствующая модель, представляющая случайные столкновения с другими молекулами, то функция распределения вместе с любыми ее моментами может быть вычислена, исходя из времени, проведенного молекулами в каждом элементе фазового пространства.

К сожалению, этого нельзя сделать непосредственно, потому что плотность распределения полевых молекул не может быть определена заранее. Однако можно применить метод итераций, в котором распределение, полученное в предыдущей итерации, используется как функция распределения полевых молекул. Применительно к одномерному стационарному течению это эквивалентно решению уравнения Больцмана по следующей итерационной схеме:

"max 2лuxdf(r\x, и)/дх= J do®) J b db \ d£g XсоОО

X 伊。(х, и')产Т)(х, v')-严)(х, и)产7 (х, V)}, (146)

где f⑺ и f(r-o — результаты последовательных итераций. Решение по методу Монте-Карло не является, конечно, непосредственным решением уравнения (146). Однако если соблюдать осторожность при постановке эквивалентной задачи, то можно обеспечить любую желаемую степень точности, хотя этого и нельзя продемонстрировать ввиду отсутствия точного решения уравне- нмя (146). Также нельзя доказать сходимость схемы (146), од- нако в принципе можно показать численную сходимость. Когда сходимость достигнута, так что /<г)=/(^-0=Д мы получаем

решение уравнения Больцмана "max 2Л

〃* Of (%, u)/0% = J du⑶ J bdb d£g X oo00

X {f(x, 11。f(x, V，) -/ G, u) 〃％ V)}. (147)

Уравнение Больцмана обсуждалось в разд. II, А, 2, где было показано, что оно содержит три основных члена. Первый член в левой части является следствием непрерывности фазового пространства и воспроизводится в методе Монте-Карло прямолинейным движением молекул в промежутках между столкновениями. Второй член — с подинтегральным выражением “％, uz)f (х, Vх)— описывает увеличение числа молекул, обусловленное столкновениями в других частях фазового пространства, и моделируется в методе Монте-Карло появлением молекулы в новой точке фазового пространства в соответствии с динамикой столкновения. Третий член — с подинтегральным выражением f(х, u)f(匕 v)—— характеризует уменьшение числа молекул, обусловленное столкновениями, и воспроизводится в методе Монте-Карло удалением молекулы из некоторой точки фазового пространства после столкновения. Влияние граничных условий моделируется соответствующим воздействием всюду, где бы молекула ни пересекала границу.

Другие схемы

Ряд других схем, предложенных автору, основывается главным образом на возражениях против прослеживания истории только одной молекулы после столкновения н отсутствия учета полевых молекул. Если следить за обеими молекулами, то чрезвычайно усложняется проблема памяти, так как при этом требуется запомнить положение 2п молекул после и столкновений. Возражения, однако, снимаются, если принять схему, подобную использованной Вайнрайтом и Олдером [42], в которой прослеживаются столкновения конечной группы молекул между собой. Такой подход рассматривался в качестве возможного, но был отвергнут из-за большого числа молекул, за которыми нужно следить одновременно.

Однако метод, использованный Хиксом и Аггарвалом [21], комбинирует метод Монге-Карло с непосредственным численным интегрированием. Интеграл столкновений вычисляется методом Монте-Карло с использованием функции распределения из предыдущей итерации, а затем полученное дифференциальное уравнение решается численно, чтобы получить новую итерацию.

Это эквивалентно решению уравнения Больцмана по схеме %ах 2л

ux d/(r) (х, и)/。％ = J d〃⑶ J bdb deg X то00

X ｛产f(尤,—%, v)-兴T)(x, u)产7(x, v)], (148) которая равноценна схеме, определяемой уравнением (105).

/V. Реализация метода на ЭВМ

А. Фазовое пространство и плотность вероятности

Расположение ячеек

Прежде чем рассматривать вычислительную схему метода Монте-Карло, нужно провести соответствующую подготовку для накопления и запоминания данных, необходимых для вычисления функции распределения. Это лучше всего достигается делением фазового пространства на ячейки и накоплением времени, проведенного молекулами в каждой ячейке. Полученное в результате время после соответствующей нормализации определит плотность распределения в виде ожидаемого числа молекул в ячейке.

Как отмечалось ранее, плотность распределения является функцией трех координат х, 〃冥，I/, определенных на рис. 1. Геометрию ячейки в шестимерном фазовом пространстве трудно представить наглядно, но можно рассматривать ее проекцию в пространстве координат в виде призмы с высотой Дх и основанием ДЛ, а также проекцию в пространстве скоростей в виде кольца со средним радиусом I厶，шириной AV и высотой △〃值 Два трехмерных тела, представляющие эти проекции, изображены на рис. 5. Площадь основания АЛ устанавливается в конце каждого вычисления так, чтобы нормализовать вычисленную функцию распределения. Каждая ячейка имеет объем inVh\A\x\ux^V. Она определяется тремя индексами i, f, k, которые соответствуют приращениям в направлениях xz, их.у V^ ■ имеют предельные значения /, J, К. Координаты середины ячейки xh их., Vk могут быть получены из соотношений

* = %)+ «- у) А尤，

f = 1, •.

(149)

UXJ ="% +(/一：) 40，

/ = 1, • •

(150)

乙=（"」）△〃，

也=1,..

.,к

(151)

Границами массива ячеек в направлении оси х являются гочкиГраницами массива ячеек в направлении оси х являются гочкиРис. 5. Ячейки в фазовом пространстве, а — физическое пространство; б — пространство скоростей.Рис. 5. Ячейки в фазовом пространстве, а — физическое пространство; б — пространство скоростей.

Границами массива ячеек в направлении оси х являются гочки

Границами массива ячеек в направлении оси х являются гочки

Рис. 5. Ячейки в фазовом пространстве, а — физическое пространство; б — пространство скоростей.

Рис. 5. Ячейки в фазовом пространстве, а — физическое пространство; б — пространство скоростей.

х0 и %（）+/△%. Границы в направлениях их и V должны были бы

находиться в бесконечности, но они ограничены по практическим причинам. Однако для улучшения молекулярной статистики все молекулы со скоростями их < «Хс считаются попавшими в ячейку / = 1; все молекулы со скоростями 汉х〉〃*（> +J △〃大 считаются по-

павшими в ячейку /=/, и все молекулы со скоростями V > KAV считаются попавшими в ячейку к = К.

Плотность вероятности

Определив 尸行女 как ожидаемое число молекул в ячейке 7, д 力，нужно запомнить //К чисел, чтобы полностью определить функцию распределения. Каждый элемент массива Fijh вычисляют, накапливая полное время, проведенное каждой молекулой в ячейке i, /, k; в конце каждого итерационного цикла выбирают величину АЛ, исходя из требований нормализации.

Функцию распределения в координатах %, 〃、, V можно записать в виде F (x, "%, V) так, что 1)

f (х, u)d/3)= F(%, их, V)dux dV\(152)

заметив, что

尸(％, uXf V。％ 尸订/Ax АЛ А心 AV,(153)

можно заменить любой интеграл суммой

J 屮(％, u)f (尤，u)dzz(3) =

4-сооо2л

=击 J 力'* f 尸(居 〃x, V)dV J 屮'(%, a』，V, 0)d0 %

—co00

2Л

心(I/2nA%A4)£(j, k)Fiik\^{xt, uXj, Vk, 0)d0, (154) 0

где(p'(x, «я, V, 0) =(p(x, u).

Основная программа

Основы логической схемы главной программы показаны на рис. 6. После чтения входных данных и вычисления констант, требуемых для расчета, вычисляется и запоминается трехмерный массив XSECT. Этот массив определяет сечение столкновения между парами молекул в различных ячейках в зависимости от используемо宓 молекулярной модели. Вывод этой величины будет приведен в одном из следующих разделов.

Поскольку требуется запомнить две последовательные итерации, устанавливаются два адреса FA и FB. Первоначальная итерация запоминается в F/1, счетчик итераций устанавливается

冗!) Очевидно, автор имеет в виду следующее соотношение:

J 〃*, 〃м V) VdBdux dV = F (х, 〃* V) duxdV. — Прим, перев.

и

4 Зак. 1370

Чтение вводных данньиВычисление констант. Вычислениеэлементов массива XSECI Вычис-ление и засылко F9)*FA. Установ-ка счетчика итерации г-0Чтение вводных данньиВычисление констант. Вычислениеэлементов массива XSECI Вычис-ление и засылко F9)*FA. Установ-ка счетчика итерации г-0Вычисление ^ А для FA. Вычисление 〃 запись моментов am FAВычисление ^ А для FA. Вычисление 〃 запись моментов am FA""m "工""m "工НетНетОчистка FB Вызов подпрограм-мы итерации F’丄FB,F(Z=FAОчистка FB Вызов подпрограм-мы итерации F’丄FB,F(Z=FAВычисление АА дляРВ. Вычисление 〃 запись моментов от FBВычисление АА дляРВ. Вычисление 〃 запись моментов от FBНетНетr＞「ma工）^~r＞「ma工）^~

Чтение вводных данньиВычисление констант. Вычислениеэлементов массива XSECI Вычис-ление и засылко F9)*FA. Установ-ка счетчика итерации г-0

Чтение вводных данньиВычисление констант. Вычислениеэлементов массива XSECI Вычис-ление и засылко F9)*FA. Установ-ка счетчика итерации г-0

Вычисление ^ А для FA. Вычисление 〃 запись моментов am FA

Вычисление ^ А для FA. Вычисление 〃 запись моментов am FA

""m "工

""m "工

Нет

Нет

Очистка FB Вызов подпрограм-мы итерации F’丄FB,F(Z=FA

Очистка FB Вызов подпрограм-мы итерации F’丄FB,F(Z=FA

Вычисление АА дляРВ. Вычисление 〃 запись моментов от FB

Вычисление АА дляРВ. Вычисление 〃 запись моментов от FB

Нет

Нет

r＞「ma工）^~

r＞「ma工）^~

Очистка FA. Вызов лодлрограммыитераций FE*FA；F(r-"=FB

Рис. 6. Логическая схема главной программы.

на нуль, и программа начинает большой цикл, который содержит в себе две итерации и чередование FA и FB. Итерационная подпрограмма вычисляет функцию распределения 尸⑺ в r-й итерации, используя 尸кт) в (г——1)-й итерации для определения функции распределения полевых молекул. После окончания итерации в соответствии с требованиями нормализации вычисляется, исходя из 尸什)，площадь сечения ячейки А/, а затем вычисляются и запоминаются все требуемые моменты.

Влияние размеров массива ячеек

Помещение молекул со скоростями, лежащими вне массива ячеек, в ближайшую ячейку искажает функцию распределения, так как при этом удаляется ее《хвост》. Рассмотрим равновесное распределение с плотностью, равной единице：

尸(无，红％, U) = exp I「(155)

Часть молекул, попавших в массив, равна

〃*+% 叮％S

Р= j d〃“ j F(°)(%, 〃炉 l/)4V = [l- exp (—破)]erf {閒，(156)

где

(157)(157)erf {%} = (2/冗%) J exp (- X2) d九о

(157)

(157)

— функция ошибок, Hj определяется из соотношения

(158)(158)

(158)

(158)

т. е. пространство ячеек симметрично относительно средней скорости йх и

叫= KAV/%(159)

Значения Р, определяемые формулой (156), приведены в табл. 4. Видно, что в массив ячеек не попадает меньше чем один процент молекул, если 〃. = 2 н 九九=2,5. Однако если эти числа сделать слишком большими, то большинство молекул бу- пет попадать во внутренние ячейки и плотность распределения будет определяться не так хорошо.

Таблица 4

Влияние размера массива ячеек на число включенных в рассмотрение молекул

Л/

erf [明

0,5 0,5205

1,0 0,8427

1,5 0,9661

2,0 0,99532

2,5 0,99959

nk

1-exp (-靖

Часть включенных в рассмотрение молекул

0,5

0,22120

0,1151

0,1864

0,2137

0,22016

0.22111

1,0

0,63212

0,3290

0,5327

0,6107

0,62816

0,63168

1,5

0,89460

0,4656

0,7539

0,8643

0,89041

0,89423

2,0

0,98168

0,5110

0,8273

0,9484

0,97709

0,98128

2,5

0,99807

0,5195

0,8411

0,9642

0,99340

0,99766

5. Требования к памяти

Память должна вмещать две полные функции распределения, каждая из которых имеет //К элементов. Кроме того, для всех молекул, кроме максвелловских, массив XSECT имеет (2/ ——1)К2 элементов, а массив SIGMA, который вычисляется в каждой программе итераций, имеет "К элементов. Никаких других больших блоков памяти не требуется.

Б. Вычисление траекторий молекул

Подпрограмма итераций

На рис. 7 показаны основы логической схемы вычисления новой функции распределения F&)с помощью прослеживания молекул, сталкивающихся с полевыми молекулами, имеющими распределение F(Ji). Схема начинается с вычисления и запоминания трехмерного массива частоты столкновений SIGMA. Общий элемент 2仃々 этого массива представляет собой частоту, с которой молекула в ячейке ijk сталкивается с полевыми молекулами; его определение будет дано ниже.

Затем начинается главный цикл, который повторяется каждый раз, когда молекула достигает границы. Он начинается с выбора молекулы на границе, соответствующей х=х() или %о+/Ах и 1= 1 или /. Первоначальные значения ик и V выбираются в соответствии с принятыми граничными условиями, что может потребовать использования подпрограммы случайных чисел; затем величины / и Л могут быть получены из условий / = тах{1, min(Z, int[(uA-иЛ)/Дих+ 1])},(160)

k = min {К,也“匕公卜 + 1J},(161)

Рис. 7. Логическая схема подпрограммы итераций.

где тах{Л, В} обозначает максимальное из двух чисел Л и В, min{/l, В}—минимальное из чисел Л, В и int{/} — целую часть числа X. Эти символы соответствуют стандартным функциям, принятым в системе ФОРТРАН.

Логика итерационного цикла предусматривает выбор трех молекулярных событий. Такими событиями являются:

столкновение с другими молекулами;

пересечение границы ячейки;

пересечение границы области.

Вначале вычисляется время, прошедшее до столкновения с другой молекулой тс. Пусть Рс(т) ~— вероятность того, что %<т； тогда уравнение

dPc(T)/dT = &"[l - Р/Т)】

(162)

с начальным условием

РК0) = 0

(163)

имеет решение

%(т)= 1 -еТ%»・

(164)

Вероятность того, что частица будет двигаться свободно в течение времени т, выражается формулой

Р£(т) = 1'-Рс(т) = еГ%»，Р£(т) = 1'-Рс(т) = еГ%»，(165)(165)

Р£(т) = 1'-Рс(т) = еГ%»，

Р£(т) = 1'-Рс(т) = еГ%»，

(165)

(165)

а время до столкновения тс может быть выбрано случайно с помощью уравнения (144), если положить

、рК (%) = /%%龙=/，(166)

где Н — случайное число. Если решить это уравнение относительно тс, то получим

% = 一 (111团/&m(167)

'Затем вычисляется время 當七, чтобы пересечь границу ячейки,'Затем вычисляется время 當七, чтобы пересечь границу ячейки,которое требуется для того,которое требуется для того,

'Затем вычисляется время 當七, чтобы пересечь границу ячейки,

'Затем вычисляется время 當七, чтобы пересечь границу ячейки,

которое требуется для того,

которое требуется для того,

тв = maxтв = maxi А% + %о — *i А% + %о — *(i — 1)A% + %。一 ％(i — 1)A% + %。一 ％(168)(168)

тв = max

тв = max

i А% + %о — *

i А% + %о — *

(i — 1)A% + %。一 ％

(i — 1)A% + %。一 ％

(168)

(168)

Если %<тв, то столкновение происходит внутри ячейки; если же тс>тв, то следующим событием будет пересечение границы ячейки. Таким образом, время т, соответствующее следующему событию, есть наименьшее из этих двух. В любом случае величина нхт прибавляется к %, а величина т прибавляется к F：&・ Последняя операция, повторяемая много раз, накапливает требуемые статистические данные.

Если следующим событием будет столкновение, то сначала случайным образом выбирается ячейка соответствующей полевой молекулы, а затем вычисляются компоненты новой скорости их и и' и программа обращается к вычислению нового времени столкновения. Если следующим событием будет пересечение ячейки, то сначала проверяется, не находится ли молекула на границе. В этом случае программа обращается к подпрограмме запуска молекулы с границы. Если нет, то i изменяется на ± 1 в соответствии со знаком их и программа обращается к вычислению нового времени столкновения.

Частота столкновений

Частота, с которой отдельная молекула с фазовыми координатами %, и сталкивается с полевыми молекулами, имеющими распределение f<r-l>(x, v), вычисляется по формуле

"max 2л

S (х, u)= [ f(i)(%, v)gd?⑶[bdb [ de =ooОО

= n"f(x,v)g^axdJ3)(169)

(см. анализ уравнения Больцмана). Заменяя вектор скорости пробной молекулы и компонентами 〃工，U, 6, а вектор скорости полевой молекулы v—компонентами «х, У , 6 и используя формулу (154), мы можем переписать уравнение (169) в следующем виде:

+ оо ОО2 几

£(x, их, V) = -| J duxj dV*F{r~{\x, "；, V*) j d^gb^, (170) —oo00

следовательно,

z# = (1/Ax АЛ) 2 (『，■)尸痣？x&, /*-/+/, k^ (171)

Здесь произвольный элемент массива XSECT определен следующим образом:

2"

Xk, /»-/+/. н = J / 昭】ах g d® ,(172)

6

причем

g = [(% 一 〃d + (匕 cos T _ 乙 cos 9)2 + (吸 sin 9* 一 乙 sin 峭电

(173)

Уравнение (171) дает способ вычисления массива SIGMA частоты столкновений, который должен быть вычислен до начала итерации и используется для вычисления времени столкновения с помощью уравнения (167). Уравнение (172) определяет массив XSECT сечения столкновений, состоящий из (2/——\) К2 элементов, которые должны быть вычислены в начале главной программы. Интеграл в этом уравнении не зависит от 6.

Выбор полевой молекулы

Вероятность того, что полевая молекула имеет компоненты скорости, попадающие в ячейку /*А*, пропорциональна величине

F^k*Xk, /*-/+/,肥・

Предположим, что ячейки пронумерованы в некотором порядке так, что любому номеру п соответствуют индексы 产,力*. Тогда вероятность того, что полевая молекула находится в п-й ячейке, определяется следующим образом:

^ijk^ijkт肥т肥(174)(174)

^ijk

^ijk

т肥

т肥

(174)

(174)

и значение п может быть выбрано случайным образом, как указывает формула (145), с помощью неравенств

1и

£р,<%<』Р"(175)

Г=1г— 1

где 必 ——случайное число.

Если п выбрано, то /*,力* известны и можно вычислить компоненты скорости wx, V полевой молекулы, предполагая, что она находится в центре ячейки, и используя уравнения (150) и (151), в виде

":=% + (「-甘弘， (176) 片=仅* 一切▽• (177)

Операция, символизируемая соотношением (175), фактически сводится к составлению по частям суммы £仃左，поэтому и легко можно найти, проверяя, когда частичная сумма становится больше чем HWi/左. Однако, поскольку эти вычисления необходимо производить после каждого столкновения, решение неравенства (175) отнимает большую часть машинного времени, и необходимо приложить все усилия, чтобы увеличить скорость его

решения. Одной из мер, в результате которых значительно экономится машинное время, является выбор ячеек в таком порядке, чтобы вначале обрабатывались большие величины 尸版"•

Столкновения между молекулами

Пусть две молекулы действуют друг на друга с силой, которая может быть определена с помощью потенциала 屮(г), где г——расстояние между их центрами. Вследствие этого их силовое поле должно быть симметричным, а силы взаимодействия ——равными, противоположными и параллельными линии, соединяющей их центры. Пусть вектор х определяет положение пробной молекулы, у —— положение полевой молекулы, и пусть г= =х — у. Тогда

” г d屮(г)”

机X = _^―=—机 у, (178)

机г =机(х — у) = — 2机г =机(х — у) = — 2Таким образом, движение пробной молекулы в пространстве г (векторное пространство, в котором полевая молекула неподвижна) может быть представлено как движение молекулы массы m под действием силы с потенциалом 2W(г), направленной от начала координат. Легко показать, что траектория пробной молекулы в этом пространстве лежит на плоскости и симметрична относительно оси, которую обычно называют линией апсид. На рис. 8 показана типичная

机г =机(х — у) = — 2

机г =机(х — у) = — 2

О — начало координат, совпадающее с полевой молекулой.О — начало координат, совпадающее с полевой молекулой.траектория с пояснением терминологии, используемой при расчетах столкновений. Вид траектории, представленной на рисунке, соответствует отталкивающей силе.

О — начало координат, совпадающее с полевой молекулой.

О — начало координат, совпадающее с полевой молекулой.

Используя полярные координаты г, 0 в плоскости столкновения и выбирая начало координат и значение 0 так, что оно изменяется от 0 до положительной величины 2<р, запишем условия сохранения энергии и момента количества движения в виде

；机(产 + r2fi2) + 2 屮(г)=扌 mg2,(180)

(181)(181)mr26 — mbg.

(181)

(181)

Исключая из этих двух уравнений время, получаем

備)2 = g■一 产一■屮(Г)，(182)

где 0<6<中，производная dr/d6 отрицательна, а величина ，достигает минимума г。。，когда 6 =屮，где 中——угол наклона линии апсид (см. рис. 8), а гоо является корнем уравнения

今一产一謠"в(Г)= °-

Таким образом,

屮=[(产/匕2 —产—4r4屮(г)]mb2g2)-% 〃(183)

И

Х = н —2屮.(184)

Другим важным результатом, вытекающим из (180) и (181), является соотношение

уравнений

g' = g,

(185)

т. с. равенство относительных скоростей до и после столкновения.

а. Максвелловские молекулы. Если предположить,

что оттал-

кивающая сила между двумя молекулами подчиняется закону

F = xl5,

то уравнение (183) преобразуется к виду

屮=j (产吁—咨—Wmb2gI%dr.

(186)

Используя подстановки

力=b"、

(187)

l，0 = b ("野/2m产，

(188)

甲=j О-"-《№%『) '"а

(189)

0

где

%=%{(1+2 網)%-屮

(190)

есть положительный корень полинома в скобках в (189), это уравнение можно записать также в виде

уравнении

屮=J (1 一 州%)-% (1+/储])一% dp, б

(191)

где

%=明(1+2鱷产+1}%.(192)

Используя затем* подстановку

七/书оо = cos 9,(193)

^l^u^k2!^-^(194)

так что

胪=4〔1-(1+2/喷%].(195)

имеем

屮=]5 — x) = %o (1 -炉产 К 伊В =

=(1+ 2/喷'饮 K[1 - (1 + 2/喷%]},(196)

где

Jt/2

К 伏2} = J( 1 _ 胪 si n2 0)-'/2 do(197)

0

есть эллиптический интеграл первого рода.

молекулымолекулыТвердые шарообразные молекулы. Хотя такие

молекулы

молекулы

можно трактовать как предельный случай молекул с отталки-

вающей силой, их поведение достаточно просто определяется с помощью непосредственного анализа. Схема столкновения между двумя твердыми шарами показана на рис. 9; видно, что так как линия апсид является линией, соединяющей центры

шаров, то

sing) = 6/о.(198)

Важным свойством столкновений твердых шаров является сферическая симметрия рассеяния векторов относительной скорости и их независимость от направления до удара. Это легко доказать следующим образом.

Вероятность того, что параметры столкновения будут ле^ жать в пределах b, b +db и е, е + 4е, равна

р (А е) db de = b db de/ло2.(199)

Отметим, что параметр столкновения е есть угол между плоскостью столкновения и произвольной плоскостью, измеренный в плоскости, нормальной к вектору относительной скорости. Та- ким образом, вероятность попадания в любой элемент площади этой плоскости пропорциональна его площади; отсюда и следует справедливость уравнения (199). Итак,

b db = W sin ф cos(pd(p = yo2sin/ d/.(200)

Следовательно,

P(X» 8)dx d& = p (瓦 £)db rfe = sin / d% 虑/4冗=4。/4冗，(201)

где dS2 ——элемент телесного угла, содержащий в себе d%d& Таким образом, вероятность того, что пробная молекула отскочит в любой данный элемент телесного угла, пропорциональна этому элементу, и рассеяние является сферически симметричным.

Поперечные сечения

〃.Максвелловские молекулы. Угол отклонения вектора относительной скорости х связан с и° уравнением (196). Таким образом, если не учитывать все столкновения, для которых x<%min, то и。имеет соответствующий максимум [ио]тах- Тогда из уравнения (188) определяется значение 匕max, а именно

%aх =件/摩2)% 同max.(202)

Подставляя это выражение в уравнение (172), получаем

Х = п(2%т)%[иМах，(203)

и, следовательно, все элементы массива XSECT равны.

Коэффициенты переноса, такие, как 卩 и 入 в уравнениях (58) и (59), были получены в предположении [uol^axf оо, но поскольку это приведет к бесконечной величине X, то будет невозможно продолжать вычисления. Так как верхний предел и。вхо-

дПт в выражения для 卩 и 入 через коэффициент 厶2(5), который определяется выражением (57), влияние ограниченности [ио]тах на р и & может быть оценено и скорректировано путем соответствующего изменения коэффициента х. Изменим определение, которое было дано выражением (57), записав

【“】тах

4； (5) = f sin2 xi)orfvo.(204)

6

Тогда величины 入 н “ не изменятся, если 乂 заменить на х* по формуле

/ = н{4⑸/4(5产(205)

Значение 4； [5] можно вычислить с помощью интегрирования, однако величину

АД2(5) = Д2(5)-Л；(5)(206)

можно аппроксимировать для малых значений АЛ2(5) следующим образом. Из уравнения (196) можно получить

—_ 2(1 + 2喷‘伙{% [I - (1 + 2/嗡'%]}=

W2

=冗一2(1 — %町4+ • • •) j 0 +%畴4sin20+ .. .)de = о

号 W+ ...,(207)

A?M5)= j sin2%%4%= j 嗚#唠+ …)d% = "/max[电】max

=备哄?点+…•(208)

Отметив, что 4 2(5) =0,436, уравнение (205) можно записать в виде

-=阁口一 —2 ⑸他(5)]2 = «/(!- 0,531 国о]*х)2.(209)

Значения Xmin, ДЛ2(5)/Л2(5) и х*/х даны в табл. 5 в зависимости от [uo]max. В аналитическом исследовании, проведенном в зтой главе, берется [uo]max=L5 и х*/х= 1,10. Для этих величин выражение (207) дает значение Xmin= 13,335°, в то время как с помощью точного решения получаем %= 11,06°.

Таблица 5

Поправки к значениям х

2】max

%min1

△4⑸/4⑸

x*/x

9

0,010°

0,998X10'6

1,00000

6

0,052

11,4X10-6

1,00002

4

0,264

0,00013

1,00026

2

4,219

0,00829

1,01679

1,8

6,430

0,01560

1,03195

1,6

10,299

0,02162

1,06637

1,5

13,335

0,04678

1,10056

1,4

17,569

0,07046

1,15735

1,3

23,634

0,10991

1,26221

Твердые шарообразные молекулы. Если принять bmax=o и сделать подстановку

巾= ｝(е* — е),(2Ю)

то формула (172) примет вид

Ха.尸Т+/.肥=

л

=十 J [("J-"xJ + (Ve* +乙)2一4乙*乙852用%加= о

="[(%-"+(%+吋耳亏■")%•+/ 卽) где

Л/2

Е ｛炉｝ = J (1 —炉 cos2 6) d8(212)

о

есть полный эллиптический интеграл второго рода. Следует отметить, что элементы массива XSECT, как это следует из формулы (211), будут равны, если поменять местами члены со звездочками и без них. Таким образом, хотя полный массив требует запоминания (2J— 1)№ элементов, нужна только четверть этого количества, если запоминать только независимые элементы. К сожалению, практические трудности формирования суммы, которая необходима при решении неравенства (175), без уменьшения скорости делают непрактичной такую экономию памяти массива XSECT.

6. Скорости после столкновения

а. Максвелловские молекулы. Вероятность того, что параметры столкновения Ь, е попадут внутрь какого-либо элемента площади, пропорциональна отношению площади этого элемента к площади круга с радиусом &тах- Однако, поскольку для любой данной относительной скорости величина Ь пропорциональна ио в соответствии с выражением (202), предпочтительнее использовать параметры ио, е.

Выбрав два случайных числа 必i и 解,найдем и。н е следующим образом:

Pl (曾0)如0 - 2% d%/[曾/aх，

(213)

VoDo

J Pl 0) d九=⑵[管o]；nax) J 九"'=欧1・ оо

(214)

Следовательно,

曾0 =[曾 o]max 留 /2

(215)

P2（e）dе =血/2兀

(216)

£e

[p2的d%=(1 /2n) J以=%，

(217)

откуда

Е = 2冗譚2.

(218)

Предположим, что компоненты скоростей их.

V пробной МО-

лекулы известны и компоненты скорости 〃%, V [уравнения (176) и (177)] полевой молекулы выбраны; требуется найти третьи компоненты 0, 0*. Поскольку начальное значение 6 произвольно, будем предполагать, что 0 = 0, и выберем случайное значение 0* так:

6* = 2л^,у(219)

где Н—случайное число. Тогда компоненты скорости и в декартовых координатах имеют вид

〃尤；〃乡=V;uz = 0,(220)

а компоненты v таковы.

% = 〃:；％ = Heos % v2 = V*sin 0*.(221)

Итак, ф дается выражением (196) как функция и0 и компоненты вектора относительной скорости g имеют вид

gx = %-% gg = "«-%；gz="z-%(222)

Компоненты новой скорости пробной молекулы после столкновения равны

《=〃* + (g] + 能)％ sin £ cos ср sin 屮一gx cos2 屮，(223)

Vх = [V2 + {(g cos e)2 + (g* sin e)2} cos2 屮 sin2 屮 +

+ (^ + ^)cos4<p-

—2y 皤 + g?-% 值同 Sin E - ggz cos e)cos q sin 屮—

一 2 Vgy cos2 屮 + 2gx sin £ (爲 + g级％ cos3 屮 sin <p] %•(224)

Хотя эти два уравнения довольно сложны, автор не смог найти более простой формы. Они могут быть получены следующим образом.

Из рис. 8 и равенства (185) с помощью простого геометрического исследования процесса столкновения получим

(u — V)— (if — vz) = 2g cos <pk,(225)

где к ——единичный вектор линии апсид.

Столь же легко получить уравнение сохранения количества движения

(u + V)-(『+ V) = 0,(226)

используя равенство

u' = и — g cos 屮 k.(227)

Если n ——единичный вектор нормали к (и ——v) в плоскости столкновения, то

k = n sin 屮 + g cos <p/g,(228)

следовательно,

u' = u — gn cos 屮 sin <p — g cos2 屮.(229)

Параметр e определяет угол между нормалью и произвольной плоскостью, измеренный в плоскости, нормальной к g. Если предположить, что эта произвольная плоскость нормальна косих, то cos Е = а • п, где а — единичный вектор, компоненты которого удовлетворяют соотношениям

а, = 0, а； +《 =【，

丄 n(230)

a局+a/=0

Решая уравнения (230), получаем

% = - g? 4 + g牙%,% = g« 觴 + g^%.(23i)

(232)(232)(233)(233)(234)(234)(235)(235)n= 1-2金1,自=1一2隔.n= 1-2金1,自=1一2隔.(237)(237)

(232)

(232)

(233)

(233)

(234)

(234)

(235)

(235)

n= 1-2金1,自=1一2隔.

n= 1-2金1,自=1一2隔.

(237)

(237)

Компоненты вектора п удовлетворяют условиям 偿+呜+成=1， 乙与+ 44 = cos e, п^х + пуёу + пгёг = ^.

Решая уравнения (231) и (232), находим

% = —(g. + g：)%sinE/g,

—ёхёу sin £ - ggz cos £g— +漑'

_ g*gz sin £ + ggg COS £侬g(gj + g旷'

Взяв компоненты u' из уравнения (229), получим

4 = их — g勺 cos <T sin ср — gx cos2 (p,y" = }/2 + g2 (% + 成)COS? ф Sill2 (p +

+ (g号 + §2) cos4 <p — 2Vgny cos ср sin ср —

一 2Vgy cos2 9 + 2g (gyny + gzn^ cos3 <p sin Ф.

Подставляя для компонент вектора п выражения (233), мы получаем уравнения (223) и (224).

б. Твердые шарообразные молекулы. Вычиапение компонент скорост ей после столкновений для молекул, которые моделируются твердыми шарами, очень упрощается благодаря тому, что вектор относительной скорости после столкновения g' ориентирован случайным образом. Поэтому, задавая случайный единичный вектор п и предполагая сохранение количества движения [уравнение (226)], легко показать, что

и，= ^ (u + V)+ ^ gn.(236)

Удобный метод вычисления случайных направляющих косинусов могли бы обеспечить уравнения столкновения двух твердых шаров при выборе системы координат, позволяющей упростить вычисления. Это в основном все, что было сделано, за исключением некоторых шагов, предпринятых для того, чтобы избежать вычисления тригонометрических функций. Первым шагом является выбор двух(?л уча иных чисел 必〔и 撈之，затем вычисли ют(? я

5 Зак. 1370

Если 刀2+自2>1, то розыгрыш повторяется, пока не найдется пара таких чисел, для которых

，= d+F《l.(238)

Уравнение (237) дает точки, случайно распределенные в квадрате два на два, но все точки, лежащие вне круга единичного радиуса, отбрасываются; это составляет часть, равную 1——л/4 всех разыгранных молекул.

Итак, пусть

^ = г cos £,幫=，sin f(239)

и

г = sin 义也(240)

Тогда компоненты единичного случайного вектора имеют вид

пх — cosW = 1 —2г2,

пу = sin гр cos 8 = 2^ (1 —产牝(241)

九2 = sin w sin £ = 2問(1 -产)".

Доказательство легко получить, заметив, что компоненты единичного вектора выражены в полярных координатах 屮，а Тогда из написанных выше уравнений следует

р (屮，£)d2 dg = р (q У 對应=對 dl/л =

=r dr d&m = sin 屮 4屮血/4冗=dS2 /4%(242)

т. e. полярные координаты 屮，e ориентированы случайным образом, а п ——случайный единичный вектор.

Теперь выберем угол 0* с помощью уравнения (219). Тогда компоненты новой скорости могут быть записаны следующим образом:

〃' = ]{”*+ 也 +( 1 - 2r)2 g},(243)

VZ=! [(V + %)2 + 脅 + 产(1 一户)g2 +

十 g (1 -产产{■»]% + 自(I/ + %)}] %,(244)

где 。翼,vy, v2 определены соотношениями (221), a g — уравнениями (222).

В・ Изложение результатов

Вычисление моментов

Заменяя интегрирование суммированием, как это было сделано в выражении (154), можно, используя определение (7), представить обобщенные моменты с помощью сокращенной записи

〈九，卩，v); = /г机尺崂〃：卜=mF 他 v] Si [1, g + vJ/Ax ЛЛ, (245) где

s,仇，Tj = S 0, k)u^VlFilk(246)

И

F[g, v] = (1 /2л) J cosH 0sinv 0rfO = 0; ц и/или v нечетные. (247) о

Отметим, что

FQv] = *v,闻， F[0, 0]=1,尸[2, 0]=千， .

13(248)

^[2, 2] = |,F[4, 0] = f.

Во всех исследованиях, изложенных в этом разделе, вычислялись моменты до четвертого порядка включительно. К ним

Таблица 6

Моменты до четвертого порядка

Обозначение

Обозначение прн "广0

Момент

Определение

Р

〈0, 0, 0)

Плотность

0

(1, 0, 0)

Поток массы

Рхх

(2, 0, 0)

Руу

(0, 2, 0)

Тензор потока количества дви-

/nz =詠 уу

Р" = Руу

〈0, 0, 2)

жения

S***

(3, 0, 0)

S*yy

(1, 2, 0)

Тензор потока энергии

**22 ^ Z*yy

S*Z2 ^ S*yy

〈1, 0, 2)

—

Q***#

〈4, 0, 0)

—

Qyyyy

(0, 4, 0)

Qzzzz ^ Qyyyy

(0, 0, 4) j

Тензор четвертого порядка

一

Q**vv

(2, 2, 0)

—

Q*#?2 = QrJCyy

(2, 0, 2)

Qyyzz = 'AQyyyy

(0, 2, 2〉J

относятся девять независимых моментов из четырнадцати моментов, отличных от нуля и представленных в табл. 6.

Наиболее интересны три свернутых тензора (см. табл. 1), например

Л = "у пти? = "|* Л ** + "!■ Луу、(249)

(250)(250)который равен скалярному давлению, когда 〃冗=0. Другим из упомянутых тензоров является тензор

(250)

(250)

》* =万 ПШи^их =万 ^ххх + ^хуу»

который равен вектору потока тепла s*, когда йх=0. Наконец, третий

1 —~148

9 =可 /1 机〃4 =言 Q**** + "у Qxxyy + § Qyyyyy(251)

который определен здесь только при 瓦“=0.

Все эти тензоры могут быть выражены в виде

2 (") &V》.

//-функция Больцмана

Функцию Больцмана Н, которая была определена формулой (35), можно записать в виде

1■ Ах АЛ1■ Ах АЛ1 0，田 Fijk ］口 { 2冗V尼 А%А> А〃“ А4 }，1 0，田 Fijk ］口 { 2冗V尼 А%А> А〃“ А4 }，(252)(252)

1

■ Ах АЛ

1

■ Ах АЛ

1 0，田 Fijk ］口 { 2冗V尼 А%А> А〃“ А4 }，

1 0，田 Fijk ］口 { 2冗V尼 А%А> А〃“ А4 }，

(252)

(252)

причем компонента вектора потока "-функцнн может быть представлена в виде

・ 。々=Ах ад 1 °，A) “XjFiih In { 2叫△% 厶丁 △〃“ 村} •(253)

При выводе этих выражений нужно помнить, что

f", u) = F(%, 〃/)/2叱

F (м, uXf Vk) ^ Ft /Ах АЛ △幺.A V.(254)

Дисперсия моментов

Любой момент функции распределения, вычисляемый во время работы программы Монте-Карло, является статистической выборкой и, следовательно, подвержен случайным отклонениям. Таким образом, если одинаковые моменты будут вычислены несколько раз, каждый раз с помощью различных серий

случайных чисел, результаты будут иметь такие же характеристики, как любая группа статистических замеров, и могут быть описаны с помощью понятий о среднем значении и стандартном отклонении. Задавая это стандартное отклонение, можно устанавливать доверительный уровень для различных оценок интересующей нас величины. Например, доверительный уровень, при котором требуемый момент имеет точность плюс-минус одно стандартное отклонение, равен 68% и т. д.

Чтобы избежать необходимости выполнять такие вычисления, был развит метод оценки дисперсии, подобный тому методу, который был использован при разборе примера в разд. Ш,А,3. Однако для того, чтобы получить оценку дисперсии, использовалась упрощенная модель этой процедуры, потому что метод определения функции распределения с помощью слежения за отдельными молекулами является сравнительно сложным. Эту модель можно описать следующим образом:

Производится случайный выбор ячейки, соответствующей каждому из заданных чисел ^ молекулярных событий.

Относительные вероятности выбора данных ячеек принимаются пропорциональными вычисляемой функции распределения F^k-

Каждому результату придается одинаковый статистический вес.

Имеются, конечно, несколько сильных возражений против такой модели, но ее относительный успех следует считать достаточным, чтобы рекомендовать ее использование в качестве руководства при определении точности данных результатов.

Рассмотрим момент вида

2 ⑺ с“ <4. н»> v“〉,・=

=(加/Ax АА) 2 («) CnF[nn, v„] S J&,四“ + v„], (255)

который вычисляется согласно уравнениям (245)——(247). Ему соответствует момент, вычисляемый по статистической модели, в которой Sj заменено на S；, где

S*[X, r] = (R!N)^^Vx)r. (256)

Здесь R — весовая функция, М — число выбираемых ячеек, которые попадают в положение t, а величина (^Vx)r вычисляется с помощью r-го случайного выбора. Таким образом, модель

момента можно выразить в виде

И(п)Сп{кп, цп, “〉； =

=(K/N) s (n) CnF [%, ■ ?№"%),,(257)

где величина

K = mR4xkA(258)

представляет собой нормализующий множитель. Этот множитель не должен противоречить тому методу нормализации, который используется при вычислении А4, если статистическая модель действительно характеризует реальное явление. Например, предположим, что средняя плотность р определена и что величина ДЛ выбрана соответствующим образом. Тогда мы требуем выполнения условия

р = (1 〃) 2 (i) <0, О, 0〉； = (K/N/)尸[0, 0] 2 ■) 2 ⑴，=К〃・(259)

Таким образом, в этом примере нормализующий множитель равен произведению / на среднюю плотность и, следовательно, имеет нулевую дисперсию, что позволяет упростить вычисление дисперсии других моментов. Это справедливо для любых приложений, в которых число молекул считается фиксированным, но не справедливо в общем случае. Однако общий случай пока что не был рассмотрен и ниже считается, что К имеет нулевую дисперсию.

Уравнение (257) можно записать в виде

А 5) с“ @”, ％, %〉： = (1W)2 必，(260)

Г=1

где

M = KE(〃)C/L，》](◎『％(261)

Тогда, развивая метод, описанный в общих чертах в разд. III,АД получаем

夙2(加以&, %, v“〉p=е」(1/”£»}=

где 七£ ——ожидаемое значение аргумента в ячейке z, а

加｛2 ⑺ с, / “, v„>* ｝ = z)2j(i/M S 屮 J =

=5｛ [(1 IN)幺恥一(1")目｛纟宀｝] ｝=

=(1 /NF (eJ2S叱押J —度|gjJ)=

=(i/m2同z叫+e4n .闵一用N恥I丿=

=(1 INf (E ｛NJ E 仲 2｝ + £ ｛у. (%, — 1)｝皮｛屮｝-庁｛NJ 皮｛屮｝)=

=(1 /N)2 (Е ｛ЛМ [吕｛咽一戌｛4｝] + f£ ｛Nt｝- ■ ｛№｝] E] ｛屮｝)=

=(1 /ЛЭ? (E ｛NJ 丁 ｛屮｝ + 庁｛NJ 皮｛4｝).(263)

При выводе этого результата следует иметь в виду, что 5 и 5 статистически независимы и что имеется М(М—1) пар значений г и s. Следовательно,

Г 2]

ё,• ? X 恥也=e ｛m (m - 1)｝吕｛中押J = (e ｛必｝ - e ｛^I■｝)皮件｝.

I，耍s=lJ

Далее, вероятность того, что ячейка, выбранная случайным образом, будет иметь номер i, дается следующей формулой:

р =■(/，--=」些，国(264)

1 2 (GA k)Fljk 2 ⑴S“0,0]・"呻

Так как N$ — число ячеек, выбранных с вероятностью Рг из общего числа ячеек ^, справедливы следующие соотношения (см. разд. 16.2 монографии [9]):

Е ｛NJ = NPhD2｛^｝ = N? (1 — Р) (265)

Подставив эти выражения в уравнения (262) и (263), получим

Е ｛2 (〃) С" &, %, V"〉；｝=尸咼｛屯｝,(266)

-｛? («) cЙ (4，%, V,〉；｝ = (1 /N)(尸咼峭一尸注? ｛中｝). (267)

Ожидаемое значение Е｛屮｝ случайной величины 屮 можно представить как обобщение выражения (133) с помощью суммирования произведений значений 屮 в каждой ячейке и

вероятностей выбора ячейки. Таким образом, имеем

为｛力И = 2 0,/)亡"访显士0,左)尸〃L

= S,B, 可/SJO, 0](268)

и, подставляя в уравнения (266) значения соответствующих величин (261), (258) и (255), получаем

Е ｛£ (п) Сп〈％, %, v“〉；｝ = PtEi Ж =

=p/ *") CnF 匹,vj g｛心屮屮%｝=

=w 2 («) &F % vn] Si [X„, % + vn]^x A,4 =

= £(〃)&&, %, %〉“(269)

где

A = £G)SJO, 0].(270)

Подобным же образом уравнение (267) приводится к виду 。2 ｛£(〃)&〈"，$,%〉；｝ =

= (%)(｛ дгЬ ｝■£("，о &&F [ц„, v„] F 膈,vj X

X Si 瓦 + 入”四“ + 冉 + v“ + vz] —■｛，(〃) Cn〈M, цп, V》｝ ).(271)

где выражение для R дано формулой (270).

Таким образом, ожидаемое значение момента, соответствующее упрощенной модели, равно вычисляемому моменту при условии, что сделан соответствующий выбор весовой функции R. Дисперсия момента является функцией момента более высокого порядка и обратно пропорциональна числу событий. Модель справедлива во всех случаях, когда число молекул в системе остается фиксированным.

V. Предварительные исследования

А. Оптимальный массив ячеек

Описание

Вопрос о расположении ячеек обсуждался в разд. IV,А,4, где было отмечено, что если размер массива ячеек в пространстве скоростей слишком мал, то число молекул, исключенных из рас-

смотрения, будет слишком велико Были введены два числа

九 к = КАР/с。九 к = КАР/с。(272)(273)(272)(273)

九 к = КАР/с。

九 к = КАР/с。

(272)

(273)

(272)

(273)

и было отмечено, что число исключенных из рассмотрения молекул становилось меньше по мере увеличения Hj и пк. Однако если общее число ячеек остается постоянным, то при возрастании 〃j и пя увеличивается число молекул, попадающих во внутренние ячейки. В то же самое время определение плотности распрелеления становится более《грубым》и информация о распределении уменьшается.

Подобно тому как размер массива ячеек определяется с помощью умножения тепловой скорости с0 на 几丿 и пк, так и размер ячейки определяется величинами AoJq и AV/c0- Влияние изменения всех четырех параметров изучалось с помощью вычисления Fijk для случая равновесия и последующего вычисления моментов вплоть до четвертого порядка, определенных в табл. 6 (при йх=0) с помощью уравнения (245).

2. Расчет равновесного распределенияРавновесное распределение, жением (40), можно записать в2. Расчет равновесного распределенияРавновесное распределение, жением (40), можно записать вкоторое было определено выра^ видекоторое было определено выра^ виде

2. Расчет равновесного распределения

Равновесное распределение, жением (40), можно записать в

2. Расчет равновесного распределения

Равновесное распределение, жением (40), можно записать в

которое было определено выра^ виде

которое было определено выра^ виде

(274)(274)

(274)

(274)

Для того чтобы быть уверенным, что средняя плотность запоминаемого распределения будет равна р°, использовалось определение F^ более точное, чем то, которое дается выражением (153):

△% /+.AV

XX匕〃 = △%△/[匕〃 = △%△/[f Р^(цх, V)duxdV =

X

X

匕〃 = △%△/[

匕〃 = △%△/[

Это уравнение можно видоизменить, чтобы учесть «хвосты» распределения, сделав для этого следующие изменения:

〃х,—]△〃* — —8, Иху + 4Ди^ + °°>

以+白入》8-

В изложенном здесь исследовании значения р0 и с。фактически были выбраны равными единице, так что моменты вычислялись непосредственно в безразмерной форме.

3. Оценка результатов

На рис. 10 и 11 в безразмерном виде показаны отличные от нуля моменты, рассчитанные для равновесного распределения. На первом из этих рисунков показаны компоненты тензоров общего вида, а на втором — компоненты свернутых тензоров. В каждом случае значения / и К принимались равными, соответственно 24 и 12, а 九丿 н “к изменялись таким образом, чтобы выполнялись следующие соотношения:

ДиЛ./с0 = Пу/12, АУ/с0 = пк/12. (276)

Вследствие вида уравнения (275) вычисляемая плотность была в точности равна р0, а все моменты нечетного порядка из-за симметрии были в точности равны нулю. Таким образом, на графиках показаны только семь моментов, не равных нулю.

Для тех случаев, когда nj=nKy видно, что полученные значения наиболее близки к теоретическим, если п」=〃к=2,4; но значения соответствующих моментов очень быстро падают, когда 〃j, Ик принимают значения, меньшие чем 2,4, достигая ошибки порядка ——5% в интервале между 1,5 и 2,2 (точная цифра зависит от вида момента).

С другой стороны, значения моментов медленно возрастают от теоретического значения при увеличении 〃」，пк от 2,4, достигая ошибки +5%, когда эти числа становятся равными 4,8 или больше. Это обусловлено все большим увеличением размера ячейки массива; значение 4,8 соответствует значениям Дих/с0, AU/co, равным 0,4.

После изучения табл. 4 может показаться, что более эффективна система ячеек, получаемая при nj<nK. Поэтому были вычислены моменты для 〃j+mr = 5 с изменяющимся значением

〃j. Результаты, представленные на рис. 11 только для свернутых тензоров, показывают, что наилучшие значения были получены

Рис. 1U. Изучение оптимальной организации памяти. Значения компонент безразмерных тензоров в зависимости от размера ячейки.

Вертикальной штриховой линией (слева) показано значение "『«^ = 2,4 (△〃％, △Р = О,2С0); вертикальной штриховой линией (справа) — значение п^, п^ = 4,8 (А% ДК = 0,4€0).

при nj=nK — 2t5 и что когда числа 〃j и пк отличаются одно от другого, быстро накапливаются отрицательные ошибки.

Р и с. 11. Изучение оптимальной организации па- мяти. Значения компонент безразмерных свернутых тензоров в зависимости от размера ячейки.Р и с. 11. Изучение оптимальной организации па- мяти. Значения компонент безразмерных свернутых тензоров в зависимости от размера ячейки.

Р и с. 11. Изучение оптимальной организации па- мяти. Значения компонент безразмерных свернутых тензоров в зависимости от размера ячейки.

Р и с. 11. Изучение оптимальной организации па- мяти. Значения компонент безразмерных свернутых тензоров в зависимости от размера ячейки.

Вертикальной штриховой линией (слева) показано значе-ние zij = 2,4 (△〃# = О,2с0); вертикальной штриховой линией(справа) — значение , == 4,8 ( △〃* ^ О,4со).

В результате этих исследований для определения массива ячеек были установлены следующие правила:

(277)(277)«у, 〃к》2,4, ^uxlc0, AV/c0<°>4-

(277)

(277)

Поскольку граничные условия частично выражаются через равновесную функцию распределения, интерпретация этих правил не вызывает затруднений. Они дают основание выбрать минимальные значения для J н К равными соответственно 12 и 6.

Б. Пробные расчеты для равновесного случая

Описание

Метод Монте-Карло был проверен на машине IBM-704 для твердых шарообразных молекул путем подстановки начальной итерации, равной равновесному значению, и последующей проверки выполнения первой итерации. Равновесное распределение было вычислено с помощью формулы (275) при Со=1, ро= Ю17, 〃2 = 1,0, о=1,5Х10-\ Ах=10, так что максвелловская средняя длина свободного пробега была равна приблизительно единице, а число Кнудсена равно 0,1. Эти значения гарантировали преобладание межмолекулярных столкновений по сравнению со столкновениями между молекулами и стенкой. Условие нормализации для определения АЛ было принято таким, чтобы р0 в первой итерации имело то же самое значение 10,7, что и в нулевой итерации. Значения /, /, К были выбраны равными соответственно 1, 20, 10 при 孔J=福К=2,5 m

А"/% = АР/со = 0,25.

Подпрограмма итерации состояла фактически из шести независимых серий, так чтобы можно было получить экспериментальное значение дисперсии моментов.

Граничные условия

Поскольку / было равно единице, то молекулы сталкивались со стенкой всякий раз, когда они пересекали границу ячейки. Граничные условия соответствовали полной термической аккомодации, что означает наличие теплового равновесия отражен* ных молекул со стенкой.

Распределение вероятности для молекул, отраженных от стенки, дается формулой

P(б，吁± у eхp(一*1忌 +，%(278)

причем знак плюс или минус выбирается в соответствии с тем, от какой стенки движутся молекулы. Далее, пусть "】н 留2 —— два случайных числа, при наличии которых 〃冥,V выбираются следующим образом:

〃* = ± “ (— In 件产，и = Со (— In 撈2产・(279)

Теоретические значения моментов и дисперсия

25)С门(入"，Nth ^п)25)С门(入"，Nth ^п)ммУдобным выражением обобщенного момента в безразмерном виде является следующее:

25)С门(入"，Nth ^п)

25)С门(入"，Nth ^п)

м

м

圖沙")—-

=&〃) CnF 也，％] /“ 瓦1 Iv 瓦 + v J (280)

где

+ 8

/.因П(1 /几喝")J 那exp (- "'"阅 dux

1 *3 ... (Л — 1 )А

滅при четном % 0при нечетном 九;

Таблица 7

Значения моментов и дисперсий в случае равновесия

Момент

Значение M

Предел дисперсии 曾窘

Р/Ро

1

1

Р«х/Ро^о

0

1/2

P/Pd

1/2

3/4

Pw/P—

1/2

1/2

Sxxxl^0c0

0

15/8

Sxyyl^0

0

1/4

Qxxxx/PoW

3/4

105/16

Q/”JpoW

3/4

27/8

Q%%gg/PoC 力

1/4

3/8

p/p—

1/2

5/12

sjp圈

0

35/32

g/po4

5/4

105/16

+ 8

lv [т]=⑵с产2) j vT+1 exp (— /М) dV =

I (т/2)! при нечетном т,

-I 0 при четном т. 侬2)

Применяя те же самые методы, которые были использованы в разд. IV,В,3, дисперсию момента в безразмерной форме можно представить в виде

0"a吗r':丁 ] = (1 /m(*-对")，(283)

РосО “ “

где / ——число ячеек в направлении х, величина М выражается в виде (280), а

0入=W (九，0 Cn&F [卩小 vnJ Z7 [卩f, vj X

X /〃 [" + 儿]/卩[Ни + 卩е + % + %]• (284)

Значения M и Dg даны в табл. 7.

Анализ результатов

Расчеты, которые были произведены, состояли из шести серий с общим числом столкновений, равным 857. Продолжительность времени, число столкновений, частота столкновений и весовая функция Wn даны в табл. 8. Теоретическая частота столк-

Таблица 8

Пробные расчеты для случая равновесия

Номер серии

Число столкновений

Время

Частота столкновений

Весовая функция Wn

1

123

108,82

1,130

0,1427

2

120

106,47

1,127

0,1396

3

124

97,82

1,268

0,1283

4

125

108,98

1,147

0,1429

5

123

126,78

0,970

0,1662

6

242

213,79

1,132

0,2803

Сумма

857

762,66

1,124

1,0

новений, вычисленная по формуле (45), равна "=1,128. Весовая функция равна доле полного времени, затраченного в n-й серии, и 2(")昭“=1.(285)

Можно показать, что если М^ есть значение М, вычисленное в n-й серии, то среднее взвешенное М равно

Л4 = 2 (и)取“"“；(286)

тогда дисперсия взвешенного момента равна

炉{而} = {X ⑺ Wi{Mn- Mnf}•(287)

Результаты расчетов по методу Монте-Карло для равновесного случая даются в табл. 9 в виде экспериментальных значе-

Таблица 9

Сравнение экспериментальных и теоретических стандартных отклонений для случая равновесия

Момент

Экспериментальные

Теоретические

Вычисленное

среднее по

857 столки.

отклонение

среднее по

1000 столки.

отклонение для

1000 столки.

отклонение ДЛЯ

1000 столкн.

857 столки.

1000 столки.

Р«х/Ро^о

0,0463

0,0098

0,0091

0

0,0224

0,0211

PxJPo*

0,4486

0,0238

0,0220

0,5

0,0224

0,0215

Р"/Ро*

0,4912

0,0208

0,0193

0,5

0,0158

0,0152

р/р。*

0,4763

0,0118

0,0109

0,5

0,0129

^xxxl^Qc0

0,1026

0,0209

0,0193

0

0,0433

Sxyyl^C0

0,0293

0,0097

0,0090

0

0,0158

S〃Po 嫉

0,0243

0,0194

0,0180

0

0,0331

^xxxxl^Qc0

0,6552

0,0792

0,0733

0,75

0,0775

^xxyy'^0cQ

0,2355

0,0177

0,0164

0,25

0,0177

Q”/Po^

0,7118

0,0893

0,0827

0,75

0,0530

?/Poco

1,1159

0,1070

0,0991

1,25

0,0707

ний средневзвешенных моментов, стандартных отклонений для 857 столкновений (корень квадратный из значений, полученных по уравнению (287)) и для 1000 столкновений (пересчитанных с коэффициентом ]Л857/1000 от значения для 857 столкновений). Там же приведены теоретические значения моментов и стандартные отклонения для 1000 столкновений, определенные таким образом, как это было описано в предыдущем разделе. Наконец, даны стандартные отклонения для трех моментов, вычисленных с помощью метода, описанного в разд. IV, В,3. В этой

таблице нет значений моментов более высокого порядка, так как моменты, имеющие порядок выше четвертого, не вычислялись.

Экспериментальные средние значения моментов четных порядков в основном находятся в пределах одного или двух экспериментальных стандартных отклонена访 от теоретических значений. С другой стороны, средние значения моментов нечетных порядков дают не менее пяти экспериментальных стандартных отклонений от теоретического значения, которое для этих моментов равно нулю.

При сравнении теоретических н экспериментальных стандартных отклонений, вычисленных по 1000 столкновений, видно довольно хорошее совпадение для моментов четного порядка, но теоретические значения моментов нечетного порядка более чем в два раза отличаются от экспериментальных. В результате экспериментальные значения всех моментов лежат в пределах одного или двух теоретических стандартных отклонений от теоретических значений.

Так как различные моменты зависят друг от друга, будучи полученными из одной и той же функции распределения, то таких явлений, как склонность всех нечетных моментов к чрезмер- ным ошибкам, можно было ожидать. Однако ошибки в пределах двух стандартных отклонений должны встречаться только один раз из двадцати, а малость экспериментальных стандартных отклонений для нечетных моментов трудно объяснить. Было бы интересно посвятить больше времени этой проблеме, но полученные результаты свидетельствуют о том, что в предложенном методе нет серьезных ошибок.

Совпадение между расчетными и теоретическими стандарт- ными отклонениями удивительно хорошее; оно показывает, что предлагаемый метод расчета должен давать надежные результаты.

VL Теплопередача между параллельными стенками

А. Применение метода Монте-Карло

Граничные условия

Выполнение граничных условий обеспечивается так же, как и в разд. V,6,2. Всякий раз, когда молекула сталкивается с левой стенкой, новые компоненты скорости определяются по формулам

их = cL (— In %)%, V = cL( — In 隔产，(288)

где а — тепловая скорость, связанная с температурой стенки TL выражением (39), а 济，誅2一 два случайных числа.

Аналогично этому, когда молекула сталкивается с правой стенкой, новые компоненты скорости выбираются в виде

〃х = —Cr(—1П 端产，1 = Cr(—In 现2产・(289)

Эти соотношения связаны с предположением о полной тепловой аккомодации на стенках. Часто предполагают, что если молекулы отражаются от стенки, не будучи в тепловом равновесии с ней, то они отражаются зеркальным образом. Если определить коэффициент аккомодации как отношение числа молекул, отраженных в тепловом равновесии со стенкой, к полному числу отраженных молекул, то полная тепловая аккомодация соответствует значению а= 1.

Если требуемое значение а отлично от единицы, то нет необходимости производить случайный выбор способа отражения, а если это сделано, то используемый в действительности коэффициент аккомодации может значительно отличаться от требуемого значения, потому что предусматривается относительно небольшое число розыгрышей. Хотя эта мысль и не была проверена на практике, думается, что наиболее пригодным для наших целей методом будет такой метод, который сохраняет дубликат отражения и который производит выбор, минимизирующий различие между требуемым и получающимся в действительности коэффициентом аккомодации.

Начальная функция распределения

Хотя некоторые из более ранних расчетов были выполнены с помощью распределения Лиза [29], в основной части работы в качестве начальной функции использовалось свободномолекулярное распределение. Это распределение дано выражением (78) и может быть представлено в виде

尸⑹(〃х, Q= 4Pdз exp^-(4 + V2)+

%cL」」与>0

+ H^exp —声(忌+ 1/2),(290)

гдеPz = PCrMz + Cr),гдеPz = PCrMz + Cr),-R」〃* <o

где

Pz = PCrMz + Cr),

где

Pz = PCrMz + Cr),

Pr = pc〃(cz + c^,(291)

Тогда, используя определение F^ по формуле (275) и предполагая, что одна из границ ячеек совпадает с плоскостью 〃宽=0 (при небольшом усложнении программы это требование может

быть исключено), можно получить следующие выражения:

а. "% + /А〃х&°.

吊"=(△% △若 Pr/加) [erf吊"=(△% △若 Pr/加) [erf6. "而+ (/- 1) A"QQ6. "而+ (/- 1) A"QQ(292)(292)FlJk = (^x^ApL|m)\erfFlJk = (^x^ApL|m)\erfCLCL—exp—exp(293)(293)Как и прежде,Как и прежде,打打十义△〃*-> + 8,打打十义△〃*-> + 8,丫卩+ ^△以f 8.丫卩+ ^△以f 8.

吊"=(△% △若 Pr/加) [erf

吊"=(△% △若 Pr/加) [erf

6. "而+ (/- 1) A"QQ

6. "而+ (/- 1) A"QQ

(292)

(292)

FlJk = (^x^ApL|m)\erf

FlJk = (^x^ApL|m)\erf

CL

CL

—exp

—exp

(293)

(293)

Как и прежде,

Как и прежде,

打打十义△〃*-> + 8,

打打十义△〃*-> + 8,

丫卩+ ^△以f 8.

丫卩+ ^△以f 8.

Если коэффициент аккомодации а не равен единице, то выражение (29) необходимо изменить, включив еще два члена.

Нормализация

Условие нормализации легко определяется исходя из требования о том, что средняя плотность р должна иметь заданное значение; это условие было выведено в разд. IV, В, 3:

^A^mR|^xpIf(294)

где

R = X (9 S J0, 0]=，(厶 /,献吊".(295)

Единицы измерения

До сих пор уравнения были записаны в размерных единицах. В этой задаче нет физических постоянных, за исключением температуры, которые зависели бы от используемой системы единиц. Поэтому нам ничто не мешает выбрать такую систему,

в которой полученные результаты выражались бы наиболее просто.

Данная задача характеризуется следующими исходными переменными параметрами:

о—диаметр молекулы, или н — постоянная в законе взаимодействия молекул,

р—средняя плотность,

m—масса молекулы,

£ — расстояние между стенками,

cL — тепловая скорость у левой стенки,

Cr ——тепловая скорость у правой стенки, или RT = (с/с力2 — отношение температур.

В излагаемом здесь исследовании система единиц измерения была выбрана таким образом, чтобы упростить проведение и обработку расчетов. За единицу измерения массы было принято значение т, скорости ——величина сь» длины ——средняя длина свободного пробега Z. С учетом того, что результаты, записанные в безразмерном виде, не зависят от плотности, величина р была принята равной единице. Для максвелловских молекул [uo]max было выбрано равным 1,5. Таким образом, исходными параметрами стали следующие значения:

0 = 2-%-% = 0,4744,

х = 2/3x3(^=0,01274,

(х* = 1,1006х = 0,01402; см. разд. IV, Б, 5а),

6= 1,

机=1,

丄=1/Kn (Кп — число Кнудсена),

4 = 1,

Cr = R#・

Отметим, что в случае максвелловских молекул средняя длина свободного пробега была найдена из уравнения (55). На этой стадии невозможно использовать соотношение (73), так как неизвестно значение Рхх. Отметим также, что во всех расчетах вместо 乂 берется х*.

Когда р и сь равны единице, значения моментов в безразмерном и в размерном виде совпадают. Например, выражения Рхх и PxxlPcl тождественны.

Б. Результаты

Описание рассчитанных серий

Результаты расчетов теплопередачи между параллельными стенками по методу Монте-Карло были опубликованы ранее [19]. Всего было рассчитано девять серий, результаты которых приведены в табл. 10. Четыре различные серии обозначаются буквами А, В, С, D, остальные пять являются дополнительными итерациями и обозначаются цифрами. Расчеты были произведены как для твердых шарообразных (Т. Ш.), так и для максвелловских молекул (М. М.) при одном значении числа Кнудсена в первом случае и при двух во втором. Значения чисел Кнудсена в последнем случае несколько менялись, так как они были вычислены с помощью соотношения (73); значение Рхх в различных сериях было различным. Для серии А в качестве начального распределения было использовано четырехмоментное распределение Лю и Лиза [30], а для серий В, С], Dj—свободномолекулярное распределение, которое дается выражениями (292) и (293). В каждом случае отношение температур было равно 4: 1.

Число событий равно числу перемещений молекулы из одной ячейки фазового пространства в другую вследствие любых причин; термин «число столкновений» относится к фактическим столкновениям между молекулами, после которых выбирались случайным образом новые компоненты скорости, а числа столкновений на горячей и холодной стенках соответствуют числу тех молекул, которые достигли соответствующей стенки и отразились от нее.

Наконец, время на одну итерацию, указанное в табл. 10, относится ко времени, фактически израсходованному на машине IBM-709, за исключением времени, потраченного на операции ввода и вывода.

Во всех описанных расчетах значения I, J, К были выбраны равными 10, 24 и 12 соответственно, что требовало запоминания по 2880 слов для каждой из двух функций распределения и для массива SIGMA, а также 6768 слов для массива XSECT, т. е. общего количества в 15408 слов для случая твердых шарообразных молекул. Минимальные значения nJf nKi которые были определены ранее выражениями (272) и (273) с использованием Cl, были равны 2,4, а значения A/Jcr, Д V/cr были равны 0,4 (отметим, что cR = ~ 。丄)・

Флуктуации

На рис. 12 нанесены значения плотности в каждой из десяти точек между стенками, вычисленные с помощью серии А для

Результаты расчетов теплопередачи методом Монте-Карло

Таблица 10

Номер серии

4

В

&

Сз

&

01

5

4

Молекулы

М. М.

м. м.

т. ш.

т. ш.

Т, Ш.

т. ш.

м. м.

М. М.

м. м.

Число Кнудсена

0,535

1,632

2,0

2,0

2,0

2,0

0,518

0,518

0,524

Начальное распределение

Четырех

моментное

Свободномолекулярное

Свободно- молекулярное

С1

С2

Сз

Свободно- молекулярное

0】

02

Число событий

62 500

100 000

100 000

100 000

100 000

100 000

100 000

100 000

100 000

Число столкновений

30 325

23 545

9 259

9 369

9 385

9 360

49 228

49 456

49 358

Число столкновений на горячей стенке

1 499

3 581

4 361

4 273

4 320

4 337

2318

2 252

2 221

Число столкновений на холодной стенке

1 803

4 038

4 760

4 795

4 724

4 751

2 804

2 890

2887

Время на одну итерацию (мин.)

37,7

35,1

21,0

20,1

20,2

20,2

62,8

61,3

60,6

максвелловских молекул. Две штриховые линии обозначают среднее значение плюс или минус одно стандартное отклонение, вычисленное по формуле (271), а сплошной линией представлено четырехмоментное решение Лю и Лиза [30], которое было

Рис. 12. Сравнение вычисленных и экспериментальных значений стандартного отклонения для плотности. Максвелловские молекулы при Кп ^ 0,53

(серия Д).

Сплошная линия показывает четырехмоментиое решениеЛиза, расстояние между двумя штриховыми линиями соот-ветствует удвоенному вычисленному значению стандартногоотклонения, высота прямоугольников характеризует удвоен-ное экспериментальное значение стандартного отклонения.

использовано как начальное распределение (нулевая итерация). На графике заметны флуктуации порядка нескольких стандартных отклонений. Подобные флуктуации наблюдались также при вычислении других моментов, но для моментов, содержащих нормальную компоненту скорости 〃冥,имела место тенденция

к уменьшению флуктуаций, а для сохраняющихся моментов рйх, Рхх и sx [см. уравнения (68) — (70)] флуктуации лежали внутри одного стандартного отклонения.

Рис. 13. Влияние итераций на изменение плотности. Максвелловские молекулы при Кп = 0,52 (серии Л, °卜 °2 н &)•

Сплошная линия показывает четырехмоментное решениеЛиза, штриховая линия (длинные штрихи) — восьмимомент-ное решение Зирннга； штриховая линия (короткие штрихи)относится к серии Л; О — серия 5, первая итерация; V — се-рия D2. вторая итерация; □ — серия D3, третья итерация.

Поскольку серия А была рассчитана первой, наличие флуктуаций считалось вначале свидетельством того, что в методе оценки стандартных отклонений имеется ошибка. К счастью, эта серия была рассчитана с помощью шести шагов, так что

можно было вычислить экспериментальные стандартные отклонения, рассматривая каждый шаг как независимый результат. Прямоугольники на рис. 12 имеют высоту двух стандартных отклонений, причем, как можно видеть, они имеют тот же порядок

Рис. 14. Колебания плотности для твердых шарообразных молекул после четырех итераций при Кп = 2,0 (серии С[ —CJ.

Сплошная линия показывает четырехмоментное решение,штриховая — восьми моментное решение Гросса и Зиринга;О — серия Сь первая итерация; □ — серия С& четвертаяитерация.

величины, что и рассчитанные значения, но меньше флуктуаций. Таким образом, колебания плотности на шести шагах имели тенденцию повторять друг друга, тогда как они должны были отли* чаться, если бы флуктуации имели случайную природу.

Когда было установлено, что флуктуации не являются случайными и что они поэтому наблюдаются в первой итерации, была рассчитана новая серия при значении /=30 (30 точек между стенками вместо десяти). Флуктуации наблюдались и в новых расчетах, но имели совершенно другой характер, показывая тем самым, что они возникают в результате используемой численной процедуры, а не являются частью решения задачи.

В конце концов была предпринята новая попытка решить эту задачу, используя при этом в качестве начального распределения свободномолекулярное решение; было проведено три итерации. Результаты показаны на рис. 13. Три итерации давали последовательно уменьшающиеся флуктуации, причем флуктуации в серии О】 были меньше, чем в серии А, по-вн〃нмому, вследствие выбора начального распределения. Различия между сериями D2 и Оз имели порядок вычисляемого стандартного отклонения, показывая, что для лучшей сходимости требуется сделать больше серий с меньшими стандартными отклонениями. Для сравнения на этом же рисунке показано восьми моментное решение Зиринга [47]. Оно имеет такую же характерную S-образную форму, что н последняя итерация, серия D^

Другая серия, В, была рассчитана для максвелловских молекул при большем, чем в серии Л, числе Кнудсена. Это привело к уменьшению флуктуаций или вследствие выбора начальной итерации, или из-за большего числа Кнудсена.

Помимо этого, как показано на рис. 14, были вычислены четыре итерации для твердых шарообразных молекул. Третья итерация, С3, обнаруживает сходимость в пределах вычисляемого стандартного отклонения, как и в случае серии D3 для максвелловских молекул. На рис. 14 показаны также восьмимоментное решение Гросса н Зиринга [15] и четырехмоментное решение Левина и Хэвиленда [28]. И вновь легкая характерная S-образность восьмимоментного решения, по-видимому, согласуется с решением Монте-Карло.

Вычисленное стандартное отклонение

В качестве проверки метода вычисления стандартного отклонения было получено экспериментальное значение стандартного отклонения с помощью шести независимых шагов, упомянутых ранее в связи с серией А. Экспериментальное и расчетное значения стандартного отклонения сравниваются в табл. 11 для всех моментов вплоть до четвертого порядка; в ней представлены максимальные и минимальные отношения, полученные в десяти точках между стенками. Следует отметить, что это отношение нигде не превосходит значения, равного 3,1, и что максимальное

Таблица 11

Максимальное и минимальное значения отношения экспериментального и расчетного стандартных отклонений

Момент

Максимальное отношение

Минимальное отношение

Момент

Максимальное отношение

Минимальное отношение

Р

2,25

0,65

S*yy

1,25

0,56

Р〃*

0,23

0,08

s*

0,55

0,27

Р *%

0,53

0,16

Qxxxx

0,44

0,14

Руу

3,1

1,11

Qxxyy

0,64

0,22

р

2,3

0,74

Qyyyy

2,79

1,07

^хххх

0,37

0,12

q

1,98

0,63

отношение превышает единицу только для шести из двенадцати моментов. Таким образом, метод вычисления стандартного отклонения является вполне приемлемым.

Отметим также, что максимальное отклонение очень мало для трех сохраняющихся моментов рйх, Рхх и sx. При применении метода Монте-Карло требование о сохранении массы выполняется автоматически, так как исчезновение молекул не допускается, а поэтому стандартное отклонение для рих должно быть малым. Однако требования о сохранении количества движения и энергии выполняются только в среднем. Малая величина экспериментального стандартного отклонения в этих случаях является серьезным подтверждением правильности используемого метода Монте-Карло.

Функция распределения

На рис. 15 дано распределение нормальных скоростей （=£ 伍）尸亜）как функция xz и их^ полученное в серии С4 для твердых шарообразных молекул. Имеется отчетливый разрыв, соответствующий нулевой скорости и обозначенный пунктирной линией, однако этот разрыв нельзя определить более подробно из-за ограничений, связанных с размерами ячейки. Такого рода разрывы должны ожидаться вблизи стенок, где молекулы, движущиеся от стенки, вследствие влияния граничных условий должны иметь распределение Максвелла ——Больцмана. Для сравнения пунктирными линиями даны распределения для случая свободномолекулярного течения. Эти распределения не изменяются в области между стенками, так как их изменения обусловлены столкновениями молекул、

Холоднаястенка0,95

0,85

〃75

065

〃55

〃，5

“35

〃25

0t15

0,05

Горячая стенка

Рис. 15. Распределение нормальных компонентскоростей для твердых шарообразных молекул приКп = 2,0 (серия С4).

Пунктирной линией показано свободномолекулярное распре-деление.

Следует отметить, что распределения молекул с большими скоростями (т. е. «хвосты» кривых распределения) почти совпадают со свободномолекулярными распределениями и что влияние столкновений ограничивается главным образом медленными молекулами. Поэтому имеется заметное отклонение от двух по, лупространственных распределений Максвелла ——Больцмана, принятых в четырехмоментном решении.

Потоки тепла

В табл. 12 даны значения компоненты безразмерного тензора давления Р%%/р遂 и безразмерного тензора потока тепла sx!^; эти величины должны быть постоянными в соответствии с урав-

"Кп

Рис. 16. Относительные потоки тепла для максвелловскнх молекул.

X — метод Монте-Карло； 7 — четырехмоментиое решение, отношение температур 1,2 : I; 2 — четырехмоментное решение, отношение температур 1,8 ： I； 3 — четырехмоментное решение, отношение температур 4 : 1； 4 — шестимоментное решение, отношение температур 4 ： I ； 5 — линеаризованное решение Ваи-Чан и Уленбека, четвертое приближение; 6 — линеаризованное восьмимоментное полупространственное решение Зирннга.

нениями (69) и (70). Приводятся средние значения и стандарт* ные отклонения; одновременно представлены те же самые величины, деленные на соответствующие с вободном ол екуля рные значения, Рхх/Рк и s^/sr. Значения рк и sK» полученные из уравнений (81) и (82), равны соответственно 0,25 и 0,141047 при Rt=1/4. Относительный скачок температуры Г£/ДГ представляет

Результаты расчетов теплопередачи методом Монте-Карло

Таблица 12

Номер серии

А

в

G

с5

С3

а

5

5

。3

Кп

0,535

1,632

2,0

2,0

2,0

2,0

0,518

0,518

0,524

Р*х f Среднее

0,2749

0,2557

0,2551

0,2541

0,2503

0,2570

0,2575

0,2576

0,2640

рс£ 1 Ст. откл.

0,00471

0,03043

0,00023

0,00030

0,00041

0,00023

—

—

—

尸二[Среднее

1,100

1,023

1,020

1,016

1,001

1,028

1,030

1,031

1,056

Рк 1 Ст. откл.

0,0188

0,0017

0,0092

0,0012

0,0016

0,0009

—

—

—

s* [ Среднее

0,0950

0,1155

0,1171

0,1173

0,1149

0,1188

0,0975

0,0907

0,0924

Р崎 1 Ст. откл.

0,00308

0,00040

0,00054

0,00023

0,00038

0,00020

—

—

—

s* ( Среднее

0,6739

0.8192

0,8305

0,8319

0,8147

0,8422

0,6913

0,6429

0.6550

SK 1 Ст. откл.

0,0218

0,0028

0,0038

0,0016

0,0027

0,0014

—

一

-

TgT

0,6001

0,7766

0,8066

0,7434

0,7569

0,7586

0,7128

0,6017

0,5928

собой сумму перепадов температуры от каждой из двух стенок к газу, деленную на разность температур между двумя стенками, причем в качестве температуры газа берется кинетическая температура, которая была определена выражением (18).

На рис. 16 и 17 даны графики, представляющие основные результаты для относительного потока тепла s%/sr, взятые из

Рис. 17. Относительные потоки тепла для твердых шарообразных молекул.

X, /, 2. 3 — то же, что на рис. 16； 4 — линеаризованное четырехмоментное решение Г росса и Зиринга в полном пространстве; 5 — линеаризованное восьми моментное полупространстве иное решение Гросса и Зиринга.

табл. 12, в зависимости от величины, обратной числу Кнудсена, 1/Кп. На рис. 16 показаны результаты расчетов серий Л, В, Db Z)2, Оз для максвелловских молекул, а также приведены теоретические решения. Такими решениями являются четырехмоментное решение Лю и Лиза [30], представленное для трех значений отношения температур, шестимоментное решение Левина и Хэвиленд а [28], восьмимоментное линеаризованное полупростран- ственное решение Зиринга [47] и линеаризованное четырехмоментное решение Ван-Чан и Уленбека [43]. Так как последние два решения относятся к линеаризованным уравнениям, то в них отношение температур равно единице.

На рис, 17 даны графики, иллюстрирующие решения для твердых шарообразных молекул, включая результаты расчетов серий С】，С2, Сз,。4 по методу Монте-Карло, четырехмоментное решение Левина и Хэвиленда [28] для трех значений отношения

температур, а также линеаризованные четырехмоыентное решение в полном пространстве н восьмимоментное полупростран- ственное решение Гросса и Зиринга [15].

Выводы

В результате вышеизложенных расчетов для задачи о теплопередаче по методу Монте-Карло были сделаны следующие выводы:

Метод является сходящимся в пределах ошибок, вызываемых статистическими флуктуациями.

Метод, используемый для оценки стандартных отклонений, дает отвечающие всем требованиям оценки амплитуды статистических флуктуаций, хотя он завышает оценку флуктуаций вектора теплового потока. Число событий, которые были использованы в качестве выборки объема N для вычисления расчетных стандартных отклонений с помощью уравнения (271), является, по-видимому, достаточным.

Нестатистические флуктуации, возникающие в первой итерации, проявляют тенденцию к затуханию после нескольких итераций. Кажется, что они уменьшаются, если в качестве начального принимается более простое распределение.

Результаты расчетов, полученных с помощью метода Монте-Карло, в большей степени подтверждают линеаризованное решение Гросса и Зиринга [15] для твердых шарообразных молекул, чем нелинейное четырехмоментное решение. Этого можно было ожидать, так как влияние нелинейностей в четырехмоментных решениях (т. е. изменений, связанных с изменением отношения температур от 4 : 1 до 1,2: 1) невелико по сравнению с влиянием точности линеаризованного метода.

Результаты расчетов по методу Монте-Карло склонны подтверждать линеаризованные решения Ван-Чан и Уленбека [43] для максвелловских молекул, а не результаты Зиринга [47]. Для этого случая они также не согласуются с нелинейными четы рехили шестимоментными решениями.

Более детальное описание полученных результатов дано в работе Хэвиленда и Левина [19].

V1L Ударная волна

А. Применение метода Монте-Карло

Граничные условия

Граничные условия на ударной волне, выражаемые уравнениями (121) — (123), относятся к условиям в потоке на плюс или минус бесконечности, тогда как в методе Монте-Карло, как это

было описано ранее, расстояние между двумя границами должно быть строго ограничено, чтобы требуемое число ячеек оставалось в разумных пределах. С другой стороны, если границы слишком близки друг к другу, то получившаяся в результате ударная волна может быть сильно искажена.

Во время первоначального изучения задачи разумное компромиссное решение было найдено при расстоянии между границами, равном приблизительно трем значениям толщины ударной волны. При этом для бимодального распределения, определенного выражением (128), значение аргумента гиперболического тангенса на границах равно ±3 и th{2%/X} равен 士0,995. Это означает, что значение скачка плотности в ударной волне, вычисленного на границах, отличается на 1/2% от его значения, полученного на бесконечности.

Выбрав значение М числа Маха и одну из других величин, например тепловую скорость q в невозмущенном набегающем потоке, можно получить остальные величины с^ Ui и U2 из уравнений (121)——(123). Число молекул, входящих или выходящих через единицу площади границ, дается следующими выражениями:

Число молекул, входящих через границу вверх по потоку.

Nin, = J duxux J dV F(— oo, 〃*, V)= 00

=迫声=笋+2卜+函("川.(296) m2冗厶 2cli\ Cj / J J

Число молекул, уходящих через границу вверх по потоку,

0ОО

Muh = — J duxux J 尸(一оо, ux, V)=

—oo0

=丝■[型二等一义 h-erf ("川.(297) 瓶2冗/2%] [\ Cl

Число молекул, входящих через границу вниз по потоку,

0ОО

Мп?=— / duxux J dV尸(8, ux, V)=

—oo0

若[吗穹-凯-鳴川.(298)

7 Зак. 1370

г. Число молекул, уходящих через границу вниз по потоку,duxux J 四尸(8, "外 V)= о о=驶 Гехр=簪 + 卫卜 + erf(299)г. Число молекул, уходящих через границу вниз по потоку,duxux J 四尸(8, "外 V)= о о=驶 Гехр=簪 + 卫卜 + erf(299)Nout2= JNout2= J

г. Число молекул, уходящих через границу вниз по потоку,

duxux J 四尸(8, "外 V)= о о

=驶 Гехр=簪 + 卫卜 + erf(299)

г. Число молекул, уходящих через границу вниз по потоку,

duxux J 四尸(8, "外 V)= о о

=驶 Гехр=簪 + 卫卜 + erf(299)

Nout2= J

Nout2= J

m2 л；22c& I \ c2 / J J

В приведенных выше формулах функция распределения на границах вверху и внизу по потоку, представленная ранее выражениями (109) и (111), может быть записана в виде

F(—оо,以*,—=团扌焉 е'Р^1(〃*一 "У + HI , (300)

F (+ oo,以，V) = ^^ exp Г- AlL— UI + H l] • (301)

Как только молекула должна вылететь с той или иной границы, нужно сделать выбор границы таким образом, чтобы сохранялось правильное соотношение между Мп, и Ninr Не еле* дует делать случайного выбора, необходимо просто помнить число частиц, уже вошедших через границы,」и 〃皿 соответственно.

Тогда если

部；+布 孤+ %，

то следующая молекула вылетает с границы вверх по потоку, и наоборот.

Если выбрана граница вверх по потоку, то распределение вероятности молекул, входящих через эту границу, можно представить в виде

Р1(〃х, V儿*>o = 〃*F(—8, Ux, V)/M”(302)

Компонента ux выражается через случайное число /“ ее выбирают, разрешая относительно нее следующее уравнение:

两一匠)2m

阳=*=

Сехр[-(『Н〃 О

「Н*Н+с冲+.{/})

exp I— (U Jq)2] + 3M/“(1 + erf {[/%})*'丿

Решение этого уравнения можно записать в виде

ux = c^(UJcb 或)，(304)

где Л (Л, 融)——положительный корень уравнения

(305)(305)费= exp [- (— - A)2]十 冗'\4 (1 + erf m - A})—exp [-們 + 冗%/-+ erf {/})"

(305)

(305)

причем метод определения этого корня дается в приложении.

Компонента R выбирается путем решения уравнения, содержащего второе случайное число 融,а именно

J Л ехр [—(a/cJ2] dA

疫2 =丄=exp [— W/q)2],(306)

J A exp [-(入"1)2]d入

о

откуда

U = Ci(—ln^2)"・(307)

Аналогично этому плотность распределения молекул, входящих через границу внизу по потоку, выражается в виде

Р2("х, U)L<o="x尸(8, "х, V)/Mn2.(308)

Компонента их может быть записана в виде

以=—С2А(—S化2, %),(309)

где функция Л(Д,想)определяется из уравнения (305), а 或i — случайное число. Таким же образом, для компоненты V имеем выражение

V = C2(—ln“2)%,(310)

где 融2 ——второе случайное число.

Начальная функция распределения

При решении задачи об ударной волне в качестве начального распределения использовалось только бимодальное распределение Мотт-Смита [34], определенное ранее выражениями (125) и (127), которое можно записать в виде

尸(х, их, U) = v(x)F(—8, их,吩 + [1-v(x)]F(8, 〃*, v), (311)

где распределения в набегающем потоке и за ударной волной даются формулами (300) и (301), а

V (х) = ； (1 — th {2%/Х}) = 1/(1 + е-4х/х).(312)

Таким образом, нам нужна комбинация двух распределений, каждое из которых может быть определено способом, подобным тому, который описан соотношением (275). Например, функцию распределения в набегаюшем потоке можно представить как

戶(-8,恤，V) duxdV戶(-8,恤，V) duxdV"V* △匕 k^ АУ F(— co) Jk = ^x^A J J

戶(-8,恤，V) duxdV

戶(-8,恤，V) duxdV

巧一呉乙/-} AV

=(А% ЛЛpj/2m) (erf {—=(А% ЛЛpj/2m) (erf {—X I expX I expП-f AVП-f AV—卜 erf{\ 2】/—卜 erf{\ 2】/— exp— exp以j 一万△心一Ui以j 一万△心一UiVa + ^AVClVa + ^AVClCl2】Cl2】XX(313)(313)

=(А% ЛЛpj/2m) (erf {—

=(А% ЛЛpj/2m) (erf {—

X I exp

X I exp

П-f AV

П-f AV

—卜 erf{

\ 2】/

—卜 erf{

\ 2】/

— exp

— exp

以j 一万△心一Ui

以j 一万△心一Ui

Va + ^AV

Cl

Va + ^AV

Cl

Cl

2】

Cl

2】

X

X

(313)

(313)

Подобное же выражение можно записать для функции распределения за ударной волной 尸(8)訟.Далее, полная функция распределения определяется в виде

f"e=心 j J {V(X)F (- oo)jk + [1 - V(X)] F (oo)yft} dx =

=F(8)* - -^ {F (— 8)〃 一 F(8)%} х

X InX In(314)(314)1 + exp [— 4 卜i + 2 A%)/X ]

X In

X In

(314)

(314)

1 + exp 卜 4 卜f — ~ A%)/x]

В приведенном выше уравнении интегральная форма была использована для того, чтобы удовлетворить условиям неразрывности. При такой записи центр ударной волны располагается в начале отсчета координаты х. С помощью относительно простых преобразований это выражение можно записать таким образом, чтобы центр ударной волны оказался в любом требуемом поло* жении, например в середине рассматриваемой области.

Нормализация

Условия нормализации, используемые при расчетах в этом раздепе, основаны на том требовании, чтобы на каждой границе имелся заданный расход газа. Таким образом,

A / _m(%»一"。叫)_血("。枕2一"出)

где "т/ ^}П2 — фактически накопленное полное число молекул, входящих через соответствующие границы, a noutj, nout2 — аналогичные числа молекул, выходящих через границы. В силу сохранения общего числа молекул имеем

打in】—^outj = "out】一九in?,(316)

и условие неразрывности, которое дано уравнением (177), выполняется.

Поскольку при этом методе нормализации полное число мо лекул не фиксируется, то условия, при которых справедливо уравнение (271) для определения дисперсии моментов, не выполняются. На самом деле ожидается, что это уравнение должно давать заниженную оценку дисперсии плотности и, возможно, завышенную оценку дисперсии некоторых других моментов.

Дополнительные моменты

С помощью уравнения (245) вычисляются моменты, которые определяют полный перенос массы, количества движения и энергии в соответствии с выражениями первого столбца табл. 6. Компоненты тензора давления и вектор потока тепла можно вычислить следующим образом (см. определение в табл. 1 и 6):

(317)(318)(319)(320)(321)(322)(317)(318)(319)(320)(321)(322)pхх = "m磅="m。-а)2=/川—◎，

(317)

(318)

(319)

(320)

(321)

(322)

(317)

(318)

(319)

(320)

(321)

(322)

尸纯="(№

12

P--^Pxx +y P",

Sxxx = nmux = nm (〃力—a J = &%%% — 3a*/%* + 2 疋P,

Sxyg = /xyy —北依』uy,

s* =密 S%%% + S*”.

Вычисление дисперсии для этих моментов значительно более сложно, и поэтому оно не проводилось.

Единицы измерения

В расчетах, излагаемых в этом разделе, в качестве единиц измерения были приняты единицы, подобные тем, которые использовались при исследовании теплопередачи в разд. VI,А,4, если не считать того, что расчеты были проведены только для твердых шарообразных молекул. Кроме того, в этом случае число Кнудсена не является параметром, оно заменяется числом Маха. В частности, такими единицами были (см. формулы (121)-(123))

а=0,4744,

/и = 1,

% = 1,

СЛ = (5/6 产М,

Pi = 1,

С2 = {(М2 + 3) (5М2 - D/16M2}%,

[/2 = (5/6)，/г(М2 + 3)/4М,

р2 = 4М2/(М2 + 3).

Как и прежде, средняя длина свободного пробега в этой системе равна единице.

Б. Результаты

Описание рассчитанных серий

Результаты расчетов задачи об ударной волне методом Монте-Карло были опубликованы также в работе [18]. Были произведены расчеты шести серий, сводка результатов которых дана в табл. 13. Пять различных серий обозначаются буквами А, В, С, О, Е, а одна была рассчитана в качестве дополнительной итерации ——она обозначается цифрой. Все расчеты были проведены для твердых шарообразных молекул при трех значениях числа Маха. В каждом случае в качестве начального использовалось бимодальное распределение (314).

Молекулярная статистика, представленная в табл. 13. дает число событий, число столкновений и число вылетающих н попадающих на каждую границу молекул. Кроме того, даны зна- qgHHH /, / н К, минимальные значения Hj и "к [выражения (272)

Серия

А

Bi

&

с

О

Е

Число Маха

2,0

2,0

2,0

3,0

3,0

1,5

Число событий

77 046

80 050

80 044

80 039

80 047

80 039

Число столкновений

40 645

33 912

34 408

32 920

39473

36 947

Число молекул, входящих через гра-

1263

1 601

158Ф

1 702

1 462

1306

ницу вверх по потоку

Число молекул, выходящих через

0

3

4

2

2

4

границу вверх по потоку

Число молекул, входящих через гра-

200

253

250

377

324

136

нипу вниз по потоку

Число молекул, выходящих через

1 463

1 851

1830

2 077

1784

1 438

границу вниз по потоку

/

25

25

25

23

23

30

/

20

20

20

20

20

15

К

9

9

9

10

10

8

mi /"'

2,50

2,50

2,50

2,24

2,24

2,45

n i几к

2,43

2,43

2,43

2,24

2,24

2,62

/ ^х/с max

0,4

0,4

0,4

0,43

0,43

0,4

1 AV/c

0,35

0,35

0,35

0,43

0,43

0,4

Z[X

3,0

2,44

2,44

2,53

3,07

3,19

Время (мин.)

42,8

38,4

37,7

40,0

45,5

33,0

Расчеты ударной волны методом Монте-Карло

Таблица 13

и (273)] и максимальные значения Nujc, AV/c. Расстояния между границами, выраженные через начальную толщину ударной волны X, представлены в виде /Ах/Х. Наконец, дано время расчета одной итерации на машине IBM-709 в минутах.

Следует отметить, что были использованы рекомендованные значения 九j, пк, ^их/с и AV/c. Значение /А%/Х в сериях Вь В2 и С было ниже рекомендованного значения, равного 3.

Рис. 18. Изменение безразмерной плотности в ударной волне при М = 2, серия А, начальная толщина волны 4,17 ср. св. пр. [34]. Сплошной линией показано начальное распределение, штриховыми — первая итерация: два стандартных отклонения.

среднее значение плюс или минус одно расчетное стандартное отклонение. Относительная толщина волны X/儿 используемая для начального распределения, была равна 4,17; это значение было получено из решения Мотт-Смита [34].

Был сделан вывод, что резкие изломы на этом графике указывают на то, что оценка толщины ударной волны по Мотт* Смиту является неточной. Поэтому было решено начать расчет заново, взяв другую толщину ударной волны, а не продолжать итерации. Новое значение X/厶，найденное с помощью решения Гилбарга и Паолуччи [10] для уравнений Навье — Стокса, было

принято равным 3,42; результаты расчета двух итераций, серий Bi и В2, показаны на рис. 19. Кажется, что вторая серия близка к сходимости, но из-за флуктуаций за ударной волной это было трудно определить.

При изучении промежуточных серий было замечено, что флуктуации не являются случайными; очевидно, их происхожде-

Р и с. 19. Изменение безразмерной плотности в ударной волне при М = 2, серии В] и В2, начальная толщина волны 3,42 ср* св. пр. [10].

Сплошной линией показано начальное распределение, штриховыми — пер-вая итерация: два стандартных отклонения, О — вторая итерация.

ние было таким же, что и у флуктуаций, которые наблюдались при решении задачи о теплопередаче. Однако при этом не наблюдалось достаточно сильных тенденций к исчезновению флуктуаций по мере увеличения числа итераций. На рис. 19 представлены результаты, которые можно объяснить тем, что в начальной итерации форма ударной волны приблизительно верна, но ударная волна является несимметричной. Однако нужно помнить, что метод вычисления стандартного отклонения не является совершенно точным и может давать заниженную оценку.

Как и при решении задачи о теплопередаче, флуктуации моментов, содержащих нормальную компоненту скорости, были относительно малы, а моменты р«х, "翼％ и вх [см. уравнения (106)——(108)], которые в данной задаче постоянны, имеют очень малые флуктуации. Это показано на рис. 2Q и 21 для серий Bj Н 8?・

5z

°。

&5

'6

го

5 о z 4

4

N/。

Рис. 20. Безразмерный поток массы при М = 2, серии 8】и В2«Обозначения те же, что на рнс. 19.

工/〃

Рис. 21. Безразмерные потоки количества движения и энергии при М = 2, серии Bi и В2.

Обозначения те же, что на рис. 1$

”32 nmdaae MQE0匚

8 6 4 2

七区?Y

a、*a*NBg DBEahnuox XOEQU

Распределение скоростей, нормальных к ударной волне

На рис. 22 представлены графики функции распределения Х（力）尸订九 скоростей, нормальных к ударной волне, в пяти точках

Рис. 22. Распределение нормальной компоненты скорости при М = 2, серии В】и В2- За единицу измерения по оси ординат принята средняя длина свободного пробега.

Сплошной линией показано начальное распределение, □ — перваяитерация, О — вторая итерация.

для серий Bi и В2- Сплошные линии соответствуют начальному бимодальному распределению; результаты двух итераций по

Рис. 23. Я-функция Больцмана на единицу массы при М = 2, серии & н &.

Обозначения те же, что иа рис. 22.

Обозначения те же. что на рис. 22

методу Монте-Карло хорошо согласуются вплоть до центра ударной волны, а затем при движении вниз по потоку наблюдается избыток молекул с малыми скоростями.

//-функция Больцмана

На рис. 23 представлены значения функции ”/р для серий В\ и В2, где Н является функцией Больцмана, которая была определена выражением (252). Из неравенства (114) следует, что она должна убывать при движении вниз по потоку, что непосредственно связано со скачком энтальпии в ударной волне. Однако это уменьшение значения Н/р не монотонно, так как в центре ударной волны был получен минимум. На рис. 24 представлен график изменения компоненты Gx вектора потока функции Н, где совершенно отчетливо видны флуктуации за ударной волной, причем во второй итерации они значительно меньше, чем в первой. Возможно, что эта величина была бы наиболее удо6~ ной для того, чтобы с ее помощью следить за сходимостью итераций.

Толщина ударной волны

Наличие флуктуаций функции распределения, полученных при применении итерационного метода Монте-Карло, затрудняет определение толщины ударной волны. Поэтому был предложен метод подгонки, в котором бимодальное распределение приспосабливалось к вычисленным точкам. В табл. 14 приведены ре-

Таблица 14

Результаты расчета ударной волны методом Монте-Карло

Серия

Л

в,

в2

С

О

Е

Число Маха

2,0

2,0

2,0

3,0

3,0

1,5

Начальное значение X/厶

4,17

3,42

(3,05)

2,27

2,5

4,7

Окончательное значение X/厶

3,70

3,05

3,05

2,74

2,60

4,85

Окончательное значение IJX

0,271

0,327

0,327

0,365

0,385

0,206

зультаты этих расчетов, а также начальные значения толщины ударной волны X/厶.Соответствующие значения \/Х представлены на рис. 25 в зависимости от числа Маха. Там же даны решения Зиринга и других [49], использующие двухжидкостную модель, и бимодальное решение Мотт-Смита [34] как для твердых шарообразных, так и для максвелловских молекул. Бимодальное решение для максвелловских молекул было дано

Рис. 25. Сводка результатов, полученных для обратной толщины ударной волны.

2 *• решение для твердых шарообразных молекул [10] ； 2 — решение для гелня [10]; 3 — решение для аргона [10]; 4 —решение для максвелловских молекул [10]； 5 — решение для твердых шарообразных молекул [49]; 6—решение для максвелловских молекул [49]; 7~ решение для твердых шарообразных молекул [34]; 5 — решение для максвелловских молекул [34]; 9 — результаты расчетов по методу Монте- Карло, сходимость достигнута; 10— результаты расчетов по методу Монте-Карло, сходимость еще не достигнута; 11 — экспериментальные данные для гелня [39]; 12 — экспериментальные данные для аргона [41]; 13—то же (14J, [16]; 14-то же [2].

Зирингом и Эком [48]. Кроме того, представлены результаты Гилбарга и Паолуччи [10], полученные при решении уравнений Навье — Стокса для твердых шарообразных и максвелловских молекул, а также для молекул с зависимостью между вязкостью и температурой, моделирующей гелий и аргон. Представлены и экспериментальные результаты, взятые из работ [2], [14], [16], [39], [41].

Как было отмечено, в серии Л для числа Маха, равного двум, в качестве начальной использовалась толщина ударной волны, вычисленная по методу Мотт-Смнта [34]. Во второй попытке было использовано ее значение, полученное из решения Гилбарга и Паолуччи [10], а окончательные значения толщины ударной волны в двух итерациях В4 и В2 совпадали и хорошо согласовывались со значением, полученным ЗириИгом и др. [49]. Для числа Маха, равного трем, начальная толщина для серии С была взята по работе Зиринга и др. [49], но окончательное значение было ближе к значению, полученному по методу Мотт-Смита [34]. Результаты расчета второй серии D оказались почти сходящимися при значениях, близких к полученным в серии С. Наконец, была рассчитана серия Е для числа Маха, равного 1,5, с начальной толщиной ударной волны, данной Зирингом и др. [49]. Эти результаты также были близки к сходимости.

Было сделано заключение о том, что результаты, полученные с помощью метода Монте-Карло, подтверждают выводы работы [49] вплоть до числа Маха, равного 2,0, но для больших чисел Маха они резко сближаются со значениями, рассчитанными по методу Мотт-Смита [34].

Выводы

В результате изложенных здесь расчетов по решению задачи об ударной волне в дополнение к выводам, сформулированным в разделе, посвященном задаче о теплопередаче, были сделаны следующие выводы:

Сходимость процесса, оцененная по толщине ударной волны, относительно быстрая.

Сохранение флуктуаций после двух итераций может служить указанием на то, что распределение не является асимметричным относительно центра ударной*волны, как это предполагалось в начальном распределении. Однако оно может указывать и на то, что предположение о бимодальности распределения несправедливо. Этот вопрос должен быть уточнен дальнейшими исследованиями.

Результаты, полученные с помощью метода Монте-Карло, подтверждает выводы работы [49] вплоть до числа Маха,

равного двум, а затем приближаются к значениям, полученным методом Мотт-Смита [34].

Нет причин, которые не позволили бы с таким же успехом повторить расчеты для максвелловских молекул.

Более подробное описание полученных результатов дано в работе [18].

VIII. Другие применения метода Монте-Карло

Оперативная память находящихся в обращении быстродействующих вычислительных машин и современная скорость вычислений являются наиболее важными факторами, ограничивающими применение метода Монте-Карло для решения задач о молекулярных течениях, так как они не допускают использования фазового пространства, имеющего больше трех измерений. Одним из классов задач с тремя координатами, разработанным в данной статье, является класс пространственно-одномерных задач с цилиндрической симметрией в пространстве скоростей. Другим классом задач, который может быть разработан, является класс задач со сферической симметрией в физическом пространстве и цилиндрической симметрией в пространстве ско- ростей. Такие задачи возникают при вычислении теплового потока между концентрическими сферами, а также в предельном случае теплового потока от малой сферы к окружающему газу.

Как только будет возможно решать четырехмерные задачи, можно будет рассмотреть много интересных задач. Среди них задача о течении Куэтта, при решении которой требуется трехмерное пространство скоростей, задача с теплопередаче между цилиндрами, включающая в качестве частного случая теплопередачу от проволоки к окружающему газу, задача о сопротивлении вращающегося цилиндра, а также задача о сопротивлении цилиндра, перемещающегося в осевом направлении.

Задачам, зависящим от времени, уже уделяется серьезное внимание, хотя и не было пока что попыток проведения соответствующих машинных расчетов. В этом случае нужно запомнить только одну функцию распределения, так как непрерывные изменения в ней происходят в процессе вычислений. Одной из интересных задач, зависящих от времени, была бы задача о сферической ударной волне.

Хотя были рассмотрены только газы из твердых шарообразных или максвелловских молекул, описанными методами можно в принципе решать задачи для любых сферически симметричных молекул. Для этого потребовалось бы применить массив XSECT и затабулировать углы отклонения % в зависимости от параметра Столкновения b и относительной скорости g; метод решения за・

дач для молекул, подчиняющихся модифицированному закону (6-ехр) Букингема, был развит в работе Левина (частное сообщение). Рассмотрение двухкомпонентных смесей газов не вносит новых серьезных трудностей, за исключением того, что нужно запоминать две функции распределения. Двухатомные молекулы потребовали бы дополнительных координат, и о них в настоящее время не может быть и речи.

Метод Монте-Карло не особенно удобен для решения конкретных численных задач, так как для того, чтобы получить осмысленный ответ, требуется относительно большое машинное время. Однако многие задачи о молекулярных течениях могут быть решены без упрощающих предположений только этим методом, и поэтому он играет важную роль при исследовании основных задач.

Приложение

Уравнение (305) относительно А (А, Н) решается методом Ньютона. Запишем уравнение в виде

尸= ехр [— (/ — А)?] + ⑪"{ {1 + erf (4 — А)}

I 丿 ехр[— TP]十广》° + erf (4)}，

после чего ошибка для любого заданного значения А равна

Е(А) =撈一尸(А).

Теперь, предполагая, что А5)——результат n-й итерации, чаем решение для (п+1)-го приближения в виде

А(〃+1) _ а(”) Е(А‘“))

где

q' (A) = dE (A)/dA = — dF (A)/dA =— 2A exp I—(A — A)2]exp [— Д2] + "/明{1 + erf (Л)}'

⑴будет⑵ полу-⑶(4)⑴будет⑵ полу-⑶(4)Легко показать, что при А>0 функция 尸(％) будет монотонно убывающей функцией от А с точкой перегиба

⑴

будет

⑵ полу-

⑶

(4)

⑴

будет

⑵ полу-

⑶

(4)

А=4'2+ (/2/4 + 9)%,

так что если эта точка будет выбрана в качестве значения для начальной итерации Л<°\ то итерации будут оставаться в обла- сти А>0 и сходиться к положительному решению.

Литература

Alder В. J., Wainwright Т. Е-, /. Chem Phys., 27, 1208 (1957).

Ballard Н. N., Venable D., Phys. Fluids, 1, 225 (1958).

Bhatnagar P. L., Gross E. P., К г о о к M., Phys. Reu., 94, 511 (1954); русский перевод: сб. «Проблемы современной физики», № 2, 1956.

Brown G. W., In “Modem Mathematics for the EngineerM (E. F. Becken-* bach, ed.), Ch. 12, New York, 1956; русский перевод: сб. «Современная математика для инженеров», под ред. Э. Ф. Беккенбаха, гл. 11, ИЛ, 1958.

Burnett D., Proc. London Math. Soc., 39, 385 (1935).•

Burnett D., Proc. London Math. Soc., 40, 382 (1936).

Cashwell E., Everett C. J., A Practical Manual on the Monte-Carlo Method for Random Walk Problems, New York, 1959.

Чепмен C„ К а у л и н г Т., Математическая теория неоднородных газов, ИЛ, 1960.

К р а м е р Г., Математические методы статистики, ИЛ, 1948.

G i 1 b а г g D., Р а о 1 u с с i D., J. Rational Meeh. Anal., 2, 617 (1953).

Glansdorff P., In "Rarefied Gas Dynamics” (L. Talbot, ed). New York, 1961, p. 475.

Grad H., Communs. Pure A ppi. Math., 2, 331 (1949); руский перевод: сб. Механика № 4, 5 (1952).

Grad Н., Communs. Pure A ppi. Math., 5, 257 (1952).

Greene E. F., Cowan G. R., Hornig D. F., J. Chem. Phys., 19, 427 (1951).

Gross E. P., Z i e r i n g S., Phys. Fluids, 2, 701 (1959).

Hansen К., H о r n i g D. F., Levitt B., L i n z e r M., Myers B. F., In Rarefied Gas Dynamics (L. Talbot, ed.), New York, 1961, p. 593.

Haviland J. K., Monte Carlo Application to Molecular Flows, MIT Fluid Dynamics Res. Lab. Rep. № 61-5; AFCRL Sci. Rept. 648, 1961.

Haviland J. K., In Rarefied Gas Dynamics (J. Laurmann, ed.), vol. 1, New York, 1963, p. 274.

Haviland J. K., Lavin M. L., Phys. Fluids, 5, 1399 (1962).

Hicks B. L., Aggarwal J. K, Numerical Studies of Strong Shock Waves, Part I, Univ, of Illinois, Coordinated Science Lab. CSL Rep. ЫП, 1962.

如 Hicks B. L., A g g a r w a 11 J. K・，Numerical Studies of Strong Shock Waves, Part II, Univ, of Illinois, Coordinated Science Lab. CSL Rep. 1-117, 1963.

Г иршфельдер Д *., Кертис Ч., Берд Р., Молекулярная теория газов н жидкостей, ИЛ, 1961.

Ikenberry Е., Truesdell С., Л Rational Meeh. Anal., 5, 54 (1956).

Kahn H., Applications of Monte Carlo, Rand Corporation Research Mem. RM-1237-AEC. 195G.

К г о о k М., J. Fluid Alec用.，6, 523 (1959); русский перевод: сб. «Некоторые задачи современной аэродинамики», ИЛ, 1961.

Kruger С. Н., The Axial Flow Compressor ir the Free Molecule Range, MIT, Dept, of Meeh. Eng. Rept. DSR-7-8120, 1960.'

Lavin M. L., A Monte Carlo Solution for Heat Transfer in Rarefied Gases, MIT, Fluid Dynamics Res. Lab. Rept. № 61-3; AFOSR 627, 1961.

Lavin M. L„ Haviland J. K., Phys. Fluids, 5, 274 (1962).

Lees L_, A Kinetic Theory Description of Rarefied Gas Flows, Cal. Tech., Hyp. Res. Proj., GALCIT Mem. № 51, 1959.

Lees L. L i u C.-Y., Kinetic Theory Description of Plane Compressible Couette Flow, Cal. Tech., Hyp. Res. Proj,. GALCIT Mem. № 58, 1960.

3|. Metropolis N., U1 a tn $., J. Am. Statistical Assoc., 44, 335 (1949).

Metropolis N., Rosenbluth A. W., Rosenbluth М. N., Те 1- 1 е г А. Н., Т е 11 е г Е., J. Chern. Phys., 21, 1087 (1953).

Meyer Н. A., Symposium on Monte Carlo Methods, New York, 1956.

Mott-Smith H. M., Phys. Rev.t 82, 885 (1951); русский перевод: сб. Механика, № 1 (17) (1953).

Mott-Smith Н. М., A New Approach in the Kinetic Theory of Gases, MIT, Lincoln Lab., Group Rept. V-2, 1954.

Orcutt G. H., Greenberger M., Rivlin A. M., Kerbel J., Microanalysis of Socieconomic Systems — Assimilation Study, New York, 1961.

Rosenbluth M. N., Rosenbluth A. W., J. Chem. Phys., 22, 881 (1954).

Scott R. L., Monte Carlo Method — A Literature Search, AEC Rep. № TID-3541, 1959.

Sherman F. S., NASA TN 3298, 1955.

Sherman F. S., Talbot L., In Rarefied Gas Dynamics (F. M. Devien- ne, ed,). New York, 1960, p. 161; русский перевод: сб. «Газодинамика разреженных газов》，под ред М. Девиена, ИЛ, 1963, 266.

Talbot L., Sherman F. S., Structure of Weak Shock Waves in a Mo- noatomic Gas, NASA Mem. 12-И-58W, 1959.

Wainwright T. E., Alder B. J., Molecular Dynamics Computations for the Hard Sphere System, Univ, of California, Radiation Lab. Rept. UCRL-5251, 1958.

Wang Chang C. S., Uhlenbeck G. E., The Heat Transfer Between Two Parallel Plates as a Function of the Knudsen Number, Univ, of Michigan, Eng. Res. Inst., Project № M999, 1953.

44.45^^^^44.45^^^^Willis D. R., Heat Transfer in a Rarefied Gas Between Parallel Plates at Large Temperature Ratios, Princeton Univ., Aero. Eng. Rept. 615, 1962. Willis D. R., In Rarefied Gas Dynamics (J. A. Laurmann, ed.), vol. 1, New York, 1963, p. 209.

44.45^^^^

44.45^^^^

Wood W. W., Parker F. R., J. Chem. Phys.t 27, 720 (1957).

Z i e г i n g S., Phys. Fluids, 3, 503 (I960).

Zier in g S., E k F., Phys. Fluids, 4, 765 (1961).

Z i eгi n g S., Ek F., Koch P., Phys. Fluids, 4, 975 (1961)； русский перевод: сб. Механика, № 4 (74) (1962).

Zoller К., Z. Physik, 130, 1 (1951)； русский перевод: сб. Механика^ № 6 (10) (1952).

Решение задач о течении Куэтта

и о теплопередаче между параллельными пластинами в разреженном газе методом Монте-КарлоJ)

М. Перлмуттер

Задачи о течении Куэтта и о теплопередаче в разреженном газе, находящемся между параллельными стенками, решаются методом Монте-Карло. Рассматриваются два случая. В одном случае обе стенки неподвижны и имеют различную температуру, в другом ——верхняя стенка движется, но обе стенки имеют одинаковую температуру. Предполагается, что молекулы сталкиваются как твердые сферы и что коэффициент аккомодации стенок равен единице. Отношение температур стенок и скорость стенки считаются настолько большими, что линеаризованное решение неприемлемо. Все расстояние между стенками разбивается на зоны и прослеживается движение пробных молекул поперек канала. Предполагается, что полевые молекулы в каждой зоне имеют свое двустороннее полупространственное максвелловское распределение скоростей. Интересующие нас макроскопические величины, такие, как температура, плотность, касательное напряжение и поток тепла, получаются путем расчета свойств пробных молекул во время их пребывания в каждой зоне. Находятся также средняя тепловая скорость и числовая плотность в каждой зоне, затем они сравниваются с аналогичными величинами. которые, согласно предположению, характеризовали распределение полевых молекул. Процесс итераций считается законченным, когда эти величины совпадут.

Обозначения

С — средняя тепловая скорость (2Rg7)%;

D — ширина канала (расстояние между стенками);

f — функция распределения вероятностей;

Кп — число Кнудсена,九川/Q =机//2 рлРло2;

М — безразмерная скорость u/cWt о；， m — масса молекулы;

N — число молекул в монте-карловской серии, испущенных поверхностью 0; это число пропорционально потоку молекул, покидающих поверхность 0;

Р — давление; Р爺,3;

Рл у — касательное напряжение (—P〈V；U；〉)；

Perlmutter М., Analysis of Couette flow and heat transfer between parallel plates enclosing rarefied gas by Monte Carlo, Rarefied Gas Dynamics, Proceedings of the Fifth International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, held at the University of Oxford, 1966, edited by C. L. Brundin, vol. I, 1967, p. 455—480.

р — номер произвольной зоны, или расчетной поверхности;

%—номер последней расчетной поверхности]

Qfd^V;Qfd^V;Q — свойство пробной молекулы;

Qfd^V;

Qfd^V;

〈Q〉一 осредненная величина

〈Q* — осредненная величина

q — поток тепла;

qT — полный поток энергии;

jR — случайное число в интервале между 0 и 1;

Rg — газовая постоянная;

S — сечение столкновения ла2;

S+, S- —число пробных молекул, проходящих через расчетную поверхность в положительном (отрицательном) направлении х2；

Т — абсолютная температура;

t — безразмерная температура 777\ о：

и — средняя скорость;

% — координата;

— молекулярная скорость;

—тепловая скорость; 0 — и;

* — скорость после столкновения;

у — определяется уравнениями (Б5) и (Б6);

е — определяется уравнениями (Б5) и (Б6);

т] — коэффициент вязкости;

н — коэффициент теплопроводности;

0 — частота столкновений пробных молекул с полевыми;

Z — длина пробега между столкновениями;

入初一средняя длина свободного пробега в максвелловском газе при плотности р и тепловой скорости С;

Х5 — средняя длина свободного пробега;

卩—безразмерная скорость;

卩к, / 一 определяется уравнением (АН);

р— плотность;

о — диаметр молекулы (модель твердых сфер);

q — угол между скоростями пробной и полевой молекул.

Индексы

А — усреднение по сечению канала;

М — максвелловский;

М = 0 — относится к случаю, когда обе стенки неподвижны; р — одно из ряда возрастающих целых чисел;

р^ — последнее число одного ряда;

R — относительная скорость;

г — радиальная координата в цилиндрической системе; s — пробная молекула;

/— полевая молекула;

叫 0; w, 1 — на стенке 0; на стенке 1;

0, 1 — у величин, вычисляемых вблизи стенок 0, 1;

2, 3 — направления осей координат;

+,положительное или отрицательное направление по оси *2・

Введение

В данной работе рассматривается разреженный газ, заключенный между двумя стенками. Анализируются два случая: в одном из них обе стенки неподвижны и температура их различна; в другом ——стенки имеют одинаковую температуру, но одна из стенок движется. Предполагается, что молекулы сталкиваются как твердые сферы, а коэффициент аккомодации стенок равен единице. Задача решается методом Монте-Карло, т. е. методом, использующим процедуру розыгрыша случайных величин. Истории пробных молекул воспроизводятся с помощью розыгрышей по соответствующим функциям распределения вероятностей в точках принятия решений. Интересующие нас макроскопические свойства можно получить, если проследить за движением этих пробных молекул через газ и осреднить определенные молекулярные признаки в различных точках. Этот метод уменьшает сложность решения, так как соотношения для розыгрыша истории молекулы относительно просты. При этом можно избежать упрощающих предположений, которые делаются в более распространенных аналитических методах. Однако метод Монте-Карло требует проведения многочисленных вычислений на быстродействующих электронных вычислительных машинах для того, чтобы получить требуемое большое количество историй пробных молекул.

Гросс и Зиринг [1] рассмотрели задачу о течении Куэтта для случая небольшой относительной скорости пластин, имеющих одинаковую температуру. Они также рассмотрели случай, когда обе стенки неподвижны, но имеют различную температуру [2]. Была использована линеаризованная форма уравнения Больцмана, так как разности относительных скоростей и температур стенок предполагались небольшими. Локальная функция распределения была аппроксимирована полупространственными полиномами в пространстве скоростей. Коэффициенты этих полиномов, зависящие от времени, были найдены из полупростран- ственных моментных уравнений.

Лю и Лиз [3] решили задачу о течении Куэтта в разреженном газе с теплопередачей, предполагая, что столкновения происходят по максвелловскому закону. Они считали, что локальная функция распределения является двусторонней полупростран- ственной максвелловской функцией. Эта функция распределения подставляется в моментные уравнения, из которых затем нахоХят ее параметры. С их помощью можно найти макроскопические характеристики течения.

Тот же самый подход был использован Левином и Хэвилен- дом [4] для решения задачи с неподвижными стенками, которые имеют различные температуры, причем предполагалось, что молекулы сталкиваются как твердые сферы.

Метод Монте-Карло был использован ранее автором [5] при решении задач о движении разреженных газов для исследования движения бесстолкновительной плазмы в канале с внешним магнитным полем. Хэвиленд [6] использовал метод Монте- Карло, чтобы рассмотреть разреженный газ、из молекул, сталкивающихся как твердые шары, заключенный между непо- движными параллельными стенками, температуры которых различны. В этой работе прослеживались истории пробных молекул, сталкивающихся с полевыми во время движения между стенкямн. Зная истории пробных молекул, можно получить таблицы распределения компонент скоростей в различных зонах, на которые был разделен весь канал. Эти таблицы могут быть использованы затем как распределение скоростей полевых молекул в следующей итерации историй пробных молекул. После совпадения функции распределения скоростей в двух последовательных итерациях интересующие нас макроскопические величины, такие, как температура, плотность и поток тепла, могут быть вычислены как моменты функции распределения в каждой зоне.

В данной работе также прослеживается движение пробных молекул между стенками. При этом, однако, предполагается, что функция распределения скоростей полевых молекул является двухроточной полупространственной максвелловской функцией, как предложили «Лю и «Лиз в работе [3]. Рассчитывая свойства пробных молекул в выбранных точках сечения канала, можно найти как параметры функции распределения, так и макроскопические свойства потока, например температуру, профиль скорости, поток тепла и касательное напряжение. Этот метод был использован автором [7. 8] при решении задачи о теплопередаче между неподвижными п ар а л лел ьными пластинами с различной температурой. При этом предполагалось, что локальная функция распределения полевых молекул максвелловская, а не двух・ Поточная полупространственная.

Розыгрыш истории пробной молекулы

Макет решаемой задачи показан на рис. 1. Стенка с координатой %2=0 неподвижна и имеет температуру Т〃,，о・ Другая стенка с координатой 尤2=1 движется со скоростью 〃吟】при тем-

* Расчетные поверхности.* Расчетные поверхности.1. Модель задачи!1. Модель задачи!ирир

* Расчетные поверхности.

* Расчетные поверхности.

1. Модель задачи!

1. Модель задачи!

ир

ир

2P,2P,expexp⑴⑴V2VoV2Vo

2P,

2P,

exp

exp

⑴

⑴

V2Vo

V2Vo

пературе TWt 卜 Пространство между стенками разделено на зоны. Предполагается, что в каждой зоне распределение тепловых скоростей полевых молекул является двухпоточным полу- пространственным максвелловским распределением, которое может быть представлено в виде

f£2P+

%>o%>oP。= P+。+ P_L =再г I exp

%>o

%>o

где f+ относится к молекулам, проекция скорости которых V? положительна, a f_ ——к молекулам с отрицательным значением проекции скорости %.

Предполагается, что имеет место полная аккомодация молекул, отраженных от стенки, т. е. они имеют максвелловское ра。-

пределение при температуре стенки. Как показано в работах [6] и [8], скорости пробных молекул, покидающих стенку, выражаются формулами

匕=(一徹 ln&J\(2а)

Vi = (— СЗп R%)% cos 2e 旦 + %,(26)

匕=(—%lnR17ysin2 吗，伽)

где R — случайное число в интервале (0, 1), полученное для каждой пробной молекулы, вылетающей из стенки.

Длина свободного пробега

После того как пробная молекула покидает стенку, нужно вычислить длину ее свободного пробега, чтобы определить, произойдет ли столкновение прежде, чем молекула пересечет всю первую зону. Вероятность того, что столкновение пробной молекулы произойдет на отрезке пути между 入 и 入+d儿 равна [8, 9] exp (―入/s)

где 九s ——средняя длина свободного пробега пробной молекулы, движущейся со скоростью Vs в данной зоне. Длина пути, пройденного молекулой до столкновения, может быть разыграна по этому распределению с помощью той же процедуры выбора случайного числа, которая была использована ранее для выбора скорости пробной молекулы, покидающей поверхность:

%= — %Е&.(4)

Чтобы выбрать случайную величину 入 с таким распределением, необходимо знать среднюю длину свободного пробега Xs для пробной молекулы в данной зоне. Если направленные любым образом скорости полевых молекул имеют максвелловское распределение со средней тепловой скоростью С и плотностью р, то средняя длина свободного пробега пробных молекул 入м, как показано в приложении А, дается следующей формулой:

К2л Kn Vs

+ /Й

где Кп — обычным образом определенное число Кнудсена для газа, молекулы которого сталкиваются как твердые сферы и имеют максвелловское распределение. Предполагается, что по- левые молекулы имеют двухпоточное полупространственное

максвелловское распределение скоростей [уравнение (1)], а поэтому среднюю длину свободного пробега можно получить на основе допущения, что распределение полевых молекул состоит из двух полных максвелловских функций распределения в каждой зоне

ft = 1м+ + 1м^ ⑹

где fM+ и /м- — максвелловские функции распределения с плотностями 2р+ и 2р_ и тепловыми скоростями С+ и С_ соответственно. При этом, однако, считается, что молекулы fM+ со скоростями 丿2<0 и молекулы fM_ со скоростями V2>0 не существуют. Это позволяет использовать при вычислении средней длины свободного пробега соотношения, соответствующие максвелловской функции распределения. Поэтому значение средней длины свободного пробега пробных молекул, движущихся через газ с такой функцией распределения, как показано в приложении А, дается соотношением

где 九加+ и 九м_ вычисляются по формуле (5).

После того как с помощью уравнения (4) разыграна длина свободного пробега, ее сравнивают с расстоянием, которое молекула должна пройти, чтобы пересечь зону. Если X больше этого расстояния, то пробная молекула начинает свое движение с границы следующей зоны с прежней скоростью и процедура повторяется. В противном случае происходит столкновение и нужно вычислить скорость пробной молекулы после столкновения.

Розыгрыш скорости пробной молекулы после столкновения

Чтобы определить компоненты скорости пробной молекулы после столкновения, необходимо сначала узнать скорость полевой молекулы, которая с ней столкнулась. Так как имеются две локальные функции распределения полевых молекул fM+ и f^_, то сначала должно быть выбрано то или иное из распределений полевых молекул ——партнеров по столкновению. Доля молекул, приходящих с распределением /^+, равна 九$4лт+・ Поэтому разыграем случайное число, и если R < 九$/九肉十，то компоненты скорости партнера по столкновению будем разыгрывать по распределению fM^ Уравнения, с помощью которых можно вычислить компоненты скорости полевой молекулы ——партнера по столкновению, — даны в приложении Б.

Если 丫2厶 разыгранная по распределению『初十,отрицательна или если V2b разыгранная по f〃_, положительна, то партнер по столкновению считается несуществующим. Это объясняется тем, что, как было указано выше, половины молекул, имеющих распределения fM+ и fM_, не существует. В этом случае пробная молекула продолжает свое движение из точки столкновения с первоначальной скоростью.

После столкновения с выбранной полевой молекулой компоненты скорости V* пробной молекулы определяются [8] по формулам

広=J(Vis + Ua) + VR(l —/)%〃，(8а)

VL = 4 (V2S + V2<) + V« (1 - ^,(86)

VL = 4 (V3s + V3<) + V« (1 - 62)，/2S,(8b)

где Vr определяется соотношением (A2). Величины 〃 и £ получаются с помощью выборки двух случайных чисел, вводимых в соотношения

" = 2/?"一1, S = 2/?s-1, 挟="2 + 日2,⑼

где b2 должно быть меньше 1, в противном случае следует разыграть новые случайные числа для вычисления // и Е.

Движение пробной молекулы продолжается после этого из точки, в которой произошло столкновение, с новыми компонентами скорости. История пробной молекулы завершается, когда она возвращается на поверхность, с которой она вылетела.

Расчет макроскопических параметров потока

Макроскопическими характеристиками газа, которые тре- 'буется вычислить, являются плотность, температура, скорость и поток тепла внутри канала. Эти свойства были вычислены на заранее выбранных расчетных поверхностях, расположенных внутри канала, как показано на рис. 1. Среднее значение потока величины Q через расчетную поверхность р записывается [8] В виде

р MQ〉, = &〈％Q〉+)„ + (р— “&〉)=

=噌4心1-底Q)J・0。)

Если Q принять равным 1/%, то получим

(11)(11)

(11)

(11)

Таким образом, суммируя обратные величины скоростей V2 пробных молекул при пересечении ими контрольных поверхностей, можно найти локальные плотности р+, р_ молекул с положительными или отрицательными значениями компоненты скорости 〃2, а также локальную плотность р. Средняя плотность в сечении канала может быть получена затем путем осреднения плотности по всем контрольным поверхностям во всех зонах.

Если в качестве Q взять Vi/V2» то из уравнения (10) следует

Деление на соответствующую плотность, полученную ранее, дает локальную среднюю скорость 〃+ для молекул с 丿2 > 0 н среднюю скорость "- для молекул с У2<0, а также локальную среднюю скорость 〃.

Кинетическая энергия теплового движения молекул на единицу массы одноатомного газа равна числу степеней свободы, умноженному на %RgT・ Это может быть записано в виде

Тогда из уравнения (10) следует

亡=而飴;(七)1t仁)-t⑵］一證;亡=而飴;(七)1t仁)-t⑵］一證;Тепловая скорость молекул со скоростью V2>0 выражается в видеТепловая скорость молекул со скоростью V2>0 выражается в виде

亡=而飴;(七)1t仁)-t⑵］一證;

亡=而飴;(七)1t仁)-t⑵］一證;

Тепловая скорость молекул со скоростью V2>0 выражается в виде

Тепловая скорость молекул со скоростью V2>0 выражается в виде

н аналогично для молекул со скоростью V2<0

Можно показать, что касательные напряжения Pi2 = P〈V；V0 выражаются в виде

Pi2 = P〈VM〉= ^^(£%-E%).(17)

Поток полной энергии поперек канала равен

9L》5俨)〉=^F [ t 俨)一 t 俨)](18)

(19)(19)Поток тепловой энергии поперек канала равен g = (l/2)p〈V；(，)〉， и из уравнения (18) следует

(19)

(19)

9=处一%p12・

С помощью этих уравнений могут быть найдены интересующие нас макроскопические характеристики. Затем величины р+, р_, С+, С_ сравниваются с аналогичными величинами для полевых молекул; итерационный процесс продолжается до тех пор, пока они не совпадут. При этом с помощью вышеприведенных уравнений получаем локальные значения температуры, плотности, касательного напряжения и потока энергии.

Результаты и выводы

Вначале была рассмотрена задача о потоке тепла между неподвижными стенками при отношении температур на них tw, i = 0,25. На рис. 2 показана локальная температура, деленная на температуру горячей стенки. Локальная плотность, деленная на среднюю по сечению канала плотность, дана на рис. 3. На рис. 4 приводится график изменения потока тепла, отнесенного к потоку тепла в бесстолкновительном случае, рассмотренном в приложении В.

Наблюдается хорошее совпадение полученных результатов с результатами, полученными Хэвилендом с помощью другой разновидности метода Монте-Карло [6]. Решение Гросса и Зи- ринга [2] для линеаризованного уравнения дает очень хорошее совпадение с полученными результатами, за исключением профиля температуры. В линеаризованном решении [2] температура на центральной линии канала равна полусумме температур стенок. В настоящей работе для Кп=2 температура на центральной линии канала значительно ниже этого значения; это является причиной большого расхождения результатов.

В работе Лю и Лиза [3] в нелинейном случае плотность и температура имеют правильную величину, но несколько отличаются по градиенту. Величина потока тепла в нелинейном решении получается несколько выше, чем в других решениях.

Рис. 2. Распределение температур; отношение температур стенок 0,25; число Маха стенки М = 0, x/D — безразмерное расстояние от стенки.

Метод Монте-Карло — при числах Киудсеиа: I"。20 (□) ,2(0) (темнымизначками даются результаты работы [6]), (0,5) (△).

Аналитические решения： I — 4-момеитное нелинейное [4], Кп = 2; 2 — 8-мо-ментное линейное [2], Кн = 2; 3 — сплошная среда, Кп>0; 4 — бесстолк-новительное, Кп > 8； 5 — в режиме со скольжением.

На графиках также показаны результаты расчета с помощью уравнений для сплошной среды с учетом скольжения. Эти результаты получены при введении в уравнения газообразной сплошной среды ее температуры (приложение Г). Они получены благодаря использованию таких скачков температур возле стенок, которые дают наилучшее совпадение плотностей и температур с нашим решением. Однако, когда был вычислен поток тепла с использованием таких же скачков температуры и значения теплопроводности для сплошной среды, было найдено, что он значительно выше по сравнению с другими решениями. Так как решения по теории режима скольжения с теплопроводностью, соответствующей сплошной среде, считаются примени-

мыми при условиях, близких к континуальному режиму, то этот результат не является неожиданным.

Поток тепла в различных контрольных сечениях канала представлен на рис. 5. Теоретически он должен быть одинако-

Р и с. 3. Отношение плотностей для различных чисел Кнудсена; отношение температур 0,25; число Маха стенки М = 0, x/D — безразмерное расстояние от горячей стенки.

Метод Монте-Карло — при числах Кнудсена: 1 • 1020 (□), 2 (О) (тем-ными значками даются результаты работы [6])> 0.5 (А).

Аналитические решения: / — бесстолкновительное, Кп -> оо； 2 — 8-моментиое линейное [2], Kn^2； 3 — 4-моментное нелинейное [4], Кп = 2; 4 — сплошная среда, Кп -> 0; 5 — режим со скольжением.

вым во всех точках поперек канала (приложение Г), хотя в предлагаемом методе решения это условие не используется. Однако оно выполняется, что видно из соответствующего графика.

Чтобы оценить доверительные пределы полученных результатов, расчеты были повторены 20 раз, причем каждый раз число пробных молекул было равно 2500, а число Кнудсена Кп==0,5. Температура и плотность имели величину 6, близкую к 1% относительно их величины с вероятностью 95%, тогда как относительная величина 0 для потока тепла была около 2%.

Рис. 4. Безразмерный поток тепла; отношение температур 0,25; число Маха стенки М = 0.Рис. 4. Безразмерный поток тепла; отношение температур 0,25; число Маха стенки М = 0.Метод Монте-Карло: О результаты данной работы, • результаты работы [6].Аналитические решения: △ режим со скольжением； 1 — бесстолкновитель-ноё, Кп -> оо； 2 — 8-момеитное линейное [2]; 5 — 4-моментное нелинейное [4];4—сплошная среда, Кп -> 0.

Рис. 4. Безразмерный поток тепла; отношение температур 0,25; число Маха стенки М = 0.

Рис. 4. Безразмерный поток тепла; отношение температур 0,25; число Маха стенки М = 0.

3 а 2 а Й19Г——^ —.-пи SP刃 助“3 а 2 а Й19Г——^ —.-пи SP刃 助“Kn=7

3 а 2 а Й19Г——^ —.-пи SP刃 助“

3 а 2 а Й19Г——^ —.-пи SP刃 助“

9，°，― —О"，—' 6' - OО

0,5

G5 0,6"7"80.9】〃n/DG5 0,6"7"80.9】〃n/D•О^―-~С—- <]<]о

G5 0,6"7"80.9】〃

n/D

G5 0,6"7"80.9】〃

n/D

В приложении Д приводятся выкладки и уравнения, использованные при оценке 6.

Был рассмотрен также второй случай, когда обе стенки имеют одинаковую температуру, но одна из них движется со скоростью, характеризующейся числом M.w—uwJCwl9 равным 4.

Рис. 6. Отношение скоростей для различных чисел Кнудсена; число Маха стенки М = 4; отношение температур стенок равно 1, RD — безразмерное расстояние от центра канала.Рис. 6. Отношение скоростей для различных чисел Кнудсена; число Маха стенки М = 4; отношение температур стенок равно 1, RD — безразмерное расстояние от центра канала.Рис. 7. Распределение температур для различных чисел Кнудсена; число Маха стеики М = 4; отношение температур стенок равно 1.Рис. 7. Распределение температур для различных чисел Кнудсена; число Маха стеики М = 4; отношение температур стенок равно 1.Метод Монте-Карло — при числах Кнуд-сена: 1 (△), 2 (О), 1 - КРОСП).Аналитические решения: / -* линеаризо-ванное [1], Кп = 1 ； 2 — сплошная среда,Кп -> 0; 3 — бесстолкновительное,Кп -> со.Метод Монте-Карло — при числах Кнуд-сена: 1 (△), 2 (О), 1 - КРОСП).Аналитические решения: / -* линеаризо-ванное [1], Кп = 1 ； 2 — сплошная среда,Кп -> 0; 3 — бесстолкновительное,Кп -> со.Метод Монте-Карло — при числах Кнудсена: 1 ♦ 1伊° (□), 2 (О), 1 (△). Аналитические решения: I — бесстолкновительное, Кп -> «>;2 —сплошная среда, Кп -> 0.Метод Монте-Карло — при числах Кнудсена: 1 ♦ 1伊° (□), 2 (О), 1 (△). Аналитические решения: I — бесстолкновительное, Кп -> «>;2 —сплошная среда, Кп -> 0.

Рис. 6. Отношение скоростей для различных чисел Кнудсена; число Маха стенки М = 4; отношение температур стенок равно 1, RD — безразмерное расстояние от центра канала.

Рис. 6. Отношение скоростей для различных чисел Кнудсена; число Маха стенки М = 4; отношение температур стенок равно 1, RD — безразмерное расстояние от центра канала.

Рис. 7. Распределение температур для различных чисел Кнудсена; число Маха стеики М = 4; отношение температур стенок равно 1.

Рис. 7. Распределение температур для различных чисел Кнудсена; число Маха стеики М = 4; отношение температур стенок равно 1.

Метод Монте-Карло — при числах Кнуд-сена: 1 (△), 2 (О), 1 - КРОСП).

Аналитические решения: / -* линеаризо-ванное [1], Кп = 1 ； 2 — сплошная среда,Кп -> 0; 3 — бесстолкновительное,

Кп -> со.

Метод Монте-Карло — при числах Кнуд-сена: 1 (△), 2 (О), 1 - КРОСП).

Аналитические решения: / -* линеаризо-ванное [1], Кп = 1 ； 2 — сплошная среда,Кп -> 0; 3 — бесстолкновительное,

Кп -> со.

Метод Монте-Карло — при числах Кнудсена: 1 ♦ 1伊° (□), 2 (О), 1 (△). Аналитические решения: I — бесстолкновительное, Кп -> «>;2 —

сплошная среда, Кп -> 0.

Метод Монте-Карло — при числах Кнудсена: 1 ♦ 1伊° (□), 2 (О), 1 (△). Аналитические решения: I — бесстолкновительное, Кп -> «>;2 —

сплошная среда, Кп -> 0.

Профиль скорости показан на рис. 6. Линеаризованное решение [1] плохо согласуется с полученными результатами, что и следовало ожидать для нелинейного случая с большим числом Маха на стенке.

Профиль температуры поперек канала представлен на рис. 7. Имеет место существенное возрастание температуры для малых чисел Кнудсена из-за того, что направленный поток молекул, покидающих движущуюся стенку, сталкивается с беспорядочно движущимися молекулами. Вследствие этого уменьшается величина средней направленной скорости движения газа. Недостающая часть направленной кинетической энергии переходит

9 Зак. 1370

в энергию теплового движения, что и дает повышение температуры.

Касательные напряжения в канале, представленные на рис. 8, отнесены к касательным напряжениям для бесстолкновительного случая [уравнение (В5)]. Полученные результаты лежат выше, чем результаты для линеаризованного решения работы [1]. Полный поток энергии поперек канала, отнесенный к полному потоку энергии в бесстолкновительном случае [уравне-

Р и с. 8. Безразмерное касательное напряжение; отношение температур равно 1; число Маха стенки М = 4.

Аналитические решения: / — сплошная среда, Кп -> 0； 2 — линеаризованное [1];

3 — бесстолкновительное, Кп -> 叫

ние (В6)], имеет ту же величину, что и безразмерное касательное напряжение в изучаемом случае. Это также показано на рис. 8, где представлены кривые изменения касательных напряжений и полного потока тепла. Кроме того, с помощью микроскопических законов сохранения и моментных уравнений можно показать, что касательные напряжения, и полный поток тепла должны оставаться постоянными поперек канала. Хотя эти условия не используются в предлагаемом методе, результаты, представленные на рис. 9, показывают, что касательные напряжения и полный поток энергии близки к постоянным значениям на различных контрольных поверхностях поперек канала.

В заключение отметим, что метод Монте-Карло дает достаточно хорошие результаты при решении этой задачи, не требуя слишком серьезных предположений. Основным недостатком метода является увеличение необходимого для вычислений машинного времени при уменьшении числа Кнудсена.

Приведем несколько характерных примеров затраты времени при 10 000 пробных молекулах на машине IBM-7094: Кп = = 30, 8 川〃н; Кп = 2, 10 мин\ Кп = 0,5, 15 мин. Это увеличение времени затрудняет получение результатов с помощью предлагаемой процедуры для малых чисел Кнудсена. В большей части

力^8Я——В——b8■■■■■

IIII1111——IJ'0 G 呢 0J В "5 "60,7〃8 倣 1,0r/DIIII1111——IJ'0 G 呢 0J В "5 "60,7〃8 倣 1,0r/D«8

IIII1111——IJ

'0 G 呢 0J В "5 "60,7〃8 倣 1,0

r/D

IIII1111——IJ

'0 G 呢 0J В "5 "60,7〃8 倣 1,0

r/D

■fe—k

P н c. 9. Безразмерный поток полной энергии и касатель-ное напряжение; отношение температур равно 1; числоМаха стенки М=4.

Метод Монте-Карло — при числах Кнудсена: 1 • !020 (□), 2 (О),

1 (2・

Касательное напряжение обозначено темными значками, поток пол- 1/931/9

ной энергии (л 劣加4。叽0)/(冗'。/〜。叽。)j^^^ - светлыми значками.

расчетов проводились три итерации для 50 000 пробных молекул.

Этот метод является очень гибким и может быть легко использован при решении других задач о переносе, когда более общепринятые методы приводят к ряду затруднений.

Приложение Л. Вычисление средней длины

.свободного пробега

Число столкновений в единицу времени rf© пробной молекулы, движущейся со скоростью Vs среди полевых молекул, лежащих в элементе объема пространства скоростей dV； $ для твер- дых шарообразных молекул [8] равно

d@^pftVRSdVl(Al)

где Vr — скорость полевых молекул относительно пробных молекул до столкновения, которая может быть записана в виде

Vr = l(V„- V，+ 伍L /sF + (%,一匕四". (A2)

Если вычесть локальную среднюю скорость щ как из скоростей пробных молекул, так и из скоростей полевых молекул, то можно записать частоту столкновений для максвелловского

распределения полевых молекул в видераспределения полевых молекул в виде(АЗ)(АЗ)

распределения полевых молекул в виде

распределения полевых молекул в виде

(АЗ)

(АЗ)

(Аба)(Аба)Затем преобразование переменных путем поворота осей с использованием углов Эйлера [8, 10] дает

(Аба)

(Аба)

где

%s

Vit = A7iVjt,

Xs К

-Ms

(A4a)

局=

F 県

%s

- ％sV2s

♦(А4б)

0

匕s к

Обратное преобразование

записывается в виде

Vn = AijVjt,

(A5a)

где

“2s一 ％s°

Vrs%s

Ms%s%s

4尸

■以Vs

,(A56)

-/sXs-/sZsVrs

причем % = (%"+ 成)" h / =(片 + 遼.

Тогда уравнение (АЗ) принимает вид

^Й^ 卜 хp (一罰m:+ 04 - /y + /tЖ.

Переходя к сферическим координатам по формулам

(Абб)(Абб)(A7)(A7)V】=К cos 0 sin 学，V】=У； cos <р, Уз/ = Vt sinG sin 屮,

(Абб)

(Абб)

(A7)

(A7)

получаем

CpS

d@M = ^^ [exp (— g2)]場四火 sin 9 d(p d0 d%

(A8)(A8)где 卩一безразмерная скорость V'/C и

(A8)

(A8)

Nr =傍 + 晦一 2明 cos <₽)".

Чтобы получить полную частоту столкновений пробных молекул, уравнение (А7) должно быть проинтегрировано по 屮,0 и jif. Интегрирование по 6 от 0 до л дает

d®M (闻=簪f- [exp (—唠]呦r 4 叫，(A9)

I Hs + ^l^s, если %>跳

“R * - j % + 吧3出，естн 叱 > %(Al°)

Интегрируя уравнение (A9) no 卩t от 0 до 8, получаем полную частоту столкновений 0М для пробных молекул, движущихся со скоростью 卩$ через газ Максвелла:

®〃 =虫‘伊£>• +(erg(АП)

机 L 冗\ 2ks 〃

Безразмерная средняя длина свободного пробега определяется, как и в работе [6], в форме отношения скорости пробных молекул к полной частоте столкновений, т. е.

Если имеется два различных газа Максвелла с распределениями fM и /м_, полная частота столкновений выражается как @ = 6加+ + 6附_, где 6附+ н 0^ находятся из уравнения, аналогичного (А12), но с другими плотностью и средней тепловой скоростью. Поскольку kjD выражается через Vs/0, то

(А13)(А13)

(А13)

(А13)

Приложение Б. Розыгрыш скоростей полевой молекулыпри столкновении

Распределение скоростей полевых молекул — партнеров по столкновению для пробных молекул, проходящих среди полевых молекул с максвелловским распределением, дается (см. [6])

выражением

мм46川46川[ехр(— nJ)]痙卩r sin ср 典 d%a [exp(—《)]+』(erf %) (% + 圭)[ехр(— nJ)]痙卩r sin ср 典 d%a [exp(—《)]+』(erf %) (% + 圭)(Б1)(Б1)

м

м

46川

46川

[ехр(— nJ)]痙卩r sin ср 典 d%

a [exp(—《)]+』(erf %) (% + 圭)

[ехр(— nJ)]痙卩r sin ср 典 d%

a [exp(—《)]+』(erf %) (% + 圭)

(Б1)

(Б1)

Распределение по 0 полевых молекул, сталкивающихся с пробными, имеет вид

%48 =喘 или 8 = 2п&.(Б2)

4卜xp （一靖］"觴4叫4卜xp （一靖］"觴4叫九户尸九户尸(БЗ)(БЗ)Распределение по 卩寸 полевых молекул получается из безусловного распределения

4卜xp （一靖］"觴4叫

4卜xp （一靖］"觴4叫

九户尸

九户尸

(БЗ)

(БЗ)

卜хр(—/)] + к” (erf %) {"s + 费)

Тогда 卩£ может быть разыграно с помощью этого распределения

при использовании соотношения

R =Y (%,同)+£ ⑴S宀) (В4)

“ [exp (-电+m%(erf%(%+^)

где e=0, когда 阳> 固，и

Y (% ⑵=_2"m [exp (-"割 + 七 MП 仁h M()-

-4 ?[exp (一 嗡一白[exp (一噺 + 啜(erf 氏).(Б5)

Когда же 卩S < рg то y(卩s,h方)=Y("s，卩s) И

£ = 一 2 [exp (-哨](* + 1 + "，+ [2 exp(-噂](^~ + 1) •(Б6)

Чтобы найти <р для полевых молекул, нужно записать распределение полевых молекул как произведение безусловного распределения на условное распределение

跑警虬=f（氏）f （叫闻.跑警虬=f（氏）f （叫闻.(Б7)(Б7)Затем необходимо разыграть <р с помощью условного распределения卩Rsin屮西Затем необходимо разыграть <р с помощью условного распределения卩Rsin屮西/ (<р I 闻=/ (<р I 闻=2"r, a2"r, a(БЗ)(БЗ)

跑警虬=f（氏）f （叫闻.

跑警虬=f（氏）f （叫闻.

(Б7)

(Б7)

Затем необходимо разыграть <р с помощью условного распределения

卩Rsin屮西

Затем необходимо разыграть <р с помощью условного распределения

卩Rsin屮西

/ (<р I 闻=

/ (<р I 闻=

2"r, a

2"r, a

(БЗ)

(БЗ)

Величину 屮 для данного pz найдем, как и ранее, из выражения

R(p =R(p =腺一1 ― - % F 侬+年+ 2叫炉—m-%13腺一1 ― - % F 侬+年+ 2叫炉—m-%13(Б9)(Б9)

R(p =

R(p =

腺一1 ― - % F 侬+年+ 2叫炉—m-%13

腺一1 ― - % F 侬+年+ 2叫炉—m-%13

(Б9)

(Б9)

% =。+6(/+唄氏)% =。+6(/+唄氏)Если пренебречь молекулярными столкновениями, то локальная функция распределения дается выражениемЕсли пренебречь молекулярными столкновениями, то локальная функция распределения дается выражением

% =。+6(/+唄氏)

% =。+6(/+唄氏)

Если пренебречь молекулярными столкновениями, то локальная функция распределения дается выражением

Если пренебречь молекулярными столкновениями, то локальная функция распределения дается выражением

После розыгрыша q), p，t и 0 необходимо найти компоненты скорости Vи, используя уравнение (Абб). Затем из уравнения (А4) получим

(Б 10а)

(Б 106)

(БЮв)

Приложение В. Решение при отсутствии столкновений

Тогда локальная плотность представляется в виде р(1) =р = =р+о+р-：. Поскольку массового движения поперек канала нет, можно записать

Р〈％〉= 土 [р+. о С* о — Р—| Сз J = 0.

Комбинируя приведенные выражения, получаем

(В2)(В2)(■广信)「一学

(В2)

(В2)

Поток, параллельный стенкам канала, равен

\ Р+，。,

〃1 ==下一 〃1,叫 0 + 一0 一 "1,叫 1・

Локальная температура выражается в виде

〈* + 協 + 遅〉-уМ2.

/叫0以叫0/

После интегрирования это выражение принимает вид

/= 1(号 м£о+半м2, 1-М2)+ *(1 + 啬」)•(В4)

Касательное напряжение Pi2 = p(ViV2) после интегрирования представляется в виде

ЗТ‘"Р Q

碉爲= L(Mw.o-Mw,i).(В5)

Полный поток энергии 9丁 = ^〈V^l^〉+〃1尸12 будет равен

♦勾т_Р+.ОР-1 £%Р+,0 М. Рт М」1

P(2Rg%g%- Р р 叫1 р 2 р 2%・

Приложение Г. Решение для случая сплошной среды

Максвелловские уравнения переноса, которые описывают скорость изменения величины Q в элементе объема физического пространства, имеют вид

詣（Р〈匕Q〉）』Q,詣（Р〈匕Q〉）』Q,(П)(П)

詣（Р〈匕Q〉）』Q,

詣（Р〈匕Q〉）』Q,

(П)

(П)

где AQ — скорость изменения данного молекулярного признака Q, обусловленная столкновениями. Этот член равен нулю, если величина Q сохраняется во время столкновения. Это происходит в том случае, когда Q равно 1, V или Н, что соответствует сохранению массы, количества движения и энергии; тогда имеем

詣(Р4)= о,(Г2)

P%需一詮 Р〈匕匕〉一4 %，(「3)

治 3，哨 + 詣("Р")訖。〈V/：〉)+ 詣 3,%•) = 0.(f4)

Введение таких понятий, как коэффициент теплопроводности газа, коэффициент вязкости и статическое давление 戶，дает из-

вестные уравнения Навье—Стокса

(Г5)(Г6)(Г5)(Г6)吁犷-2"(t欝吁犷-2"(t欝彳 р〈匕 V‘2〉=%=_ 乂备

(Г5)

(Г6)

(Г5)

(Г6)

吁犷-2"(t欝

吁犷-2"(t欝

Поскольку в рассматриваемом случае ни одна из функций не зависит от х】или %з, уравнения упрощаются и дают ^1=^(%2), р постоянно поперек канала и Р】2 =—卩(0〃i/d%2) (постоянно), a также д2+〃1p12=9T (постоянно).

Для твердых шарообразных молекул в предположении малого отклонения локальной функции распределения от равновесия коэффициенты теплопроводности и вязкости могут быть записаны (см. [6]) в виде

у 75/п R殳С。

5 "。=而恒近 (Г7) 吁▼，出二病备^ (r8)

Когда обе стенки неподвижны,夕=―K(dT/dXi)t откуда легко

получается, что

/м-0= [1 — (1 — 〃： 1) %]：

Поркольку давление поперек канала не меняется, то, используя уравнение состояния идеального газа, получаем

(Г9)(Г9)(且)=1+11+%」.

(Г9)

(Г9)

\рд/м-03(/)м=о

Поток тепла поперек канала может быть найден в виде

1 =号減"(1 一询)кn.(ПО)

1 Л 64

М-0

может(ГП)может(ГП)Если верхняя стенка движется, уравнение энергии быть записано в виде

может

(ГП)

может

(ГП)

Используя соотношения (卩0「/乂) = 2/3, Ср=5/2^,его можно переписать так:

д /4 c 8 内 \

瓦(f + ^M -而不 m) = 。.(门2)

Если верхняя стенка движется со скоростью 〃心〔и обе стенки имеют одинаковую температуру, интегрирование этого уравнения дает

/ = ^М(М®,】一М)+1. (ПЗ)

Уравнение для величины Р12 может быть приведено к виду

(Г14)(Г14)3-M瑞.

(Г14)

(Г14)

Последнее уравнение можно проинтегрировать, в результатеПоследнее уравнение можно проинтегрировать, в результатечего получимчего получимX |(15)'/г-^X |(15)'/г-^Г М…2M ) 1、(15+М' 广丿Г М…2M ) 1、(15+М' 广丿(П5)(П5)I(M^i + 15)4I(M^i + 15)4arc sinarc sin

Последнее уравнение можно проинтегрировать, в результате

Последнее уравнение можно проинтегрировать, в результате

чего получим

чего получим

X |(15)'/г-^

X |(15)'/г-^

Г М…2M ) 1、(15+М' 广丿

Г М…2M ) 1、(15+М' 广丿

(П5)

(П5)

I(M^i + 15)

4

I(M^i + 15)

4

arc sin

arc sin

Формула (Г15) дает неявное выражение для профиля скорости поперек канала. Этот результат может быть использован совместно с уравнением (ПЗ) для того, чтобы получить распределение температуры между стенками канала.

Таким же образом, интегрируя уравнение (Г 14) в пределах от х—0 до 1, можно получить следующее выражение:

РС0РС05л Кп5л Кп1616|М叫丨(М^+15) 1 22 /Т5|М叫丨(М^+15) 1 22 /Т5arcsin(<^)]l-(rl6)arcsin(<^)]l-(rl6)

РС0

РС0

5л Кп

5л Кп

16

16

|М叫丨(М^+15) 1 22 /Т5

|М叫丨(М^+15) 1 22 /Т5

arcsin(<^)]l-(rl6)

arcsin(<^)]l-(rl6)

уравнение(Г 17)уравнение(Г 17)Чтобы получить полный поток тепла, интегрируем (ГП)：■

уравнение

(Г 17)

уравнение

(Г 17)

Приложение Д. Доверительные пределы результатов

Результирующее значение величины Q определяется для некоторого числа пробных молекул. Повторение этого процесса Л раз даст ряд выборок величины Q. Среднее этих k значений даст 0， которое является средним значением данного рода выборок. Если бы было получено бесконечное число значений Q, оно со- Ставнло бы совокупность Q с некоторым средним (Q). Задача

состоит в том, чтобы найти величину 6, такую, что абсолютная разность между〈Q〉н Q была бы меньше, чем 6 с вероятностью 95%. Центральная предельная теорема_утверждает, что распределение средних значений выборки f(。) приближается к нормальному распределению со средним значением, равным среднему значению этой совокупности, и дисперсией, равной дисперсии этой совокупности, деленной на k, причем объем выборки усредняется для того, чтобы получить среднее значение выборки. Поскольку доверительный интервал в 95% определяется как удвоенное стандартное отклонение, 6 = 2S//s%, где X2 — приближенное значение дисперсии совокупности, полученной при нахождении дисперсии ряда выборок, то имеем

@一”）力

(Д1)(Д1)~1一 I

(Д1)

(Д1)

Отсюда 95%-ный доверительный интервал 6 получается в виде

KQ〉-Ql<6 = 2(今手广.(Д2)

Литература

Gross Е. Р., Ziering S., Phys. F/〃ids, 1, 215 (1958); русский перевод: сб. Механика, № 6 (58), 3—20 (1959).

Gross Е. Р., Z i е г i п g S., Phys. Fluids, 2, 701 (1959).

L i u C. Y., Lees L, Rarefied Gas Dynamics (L. Talbot, ed.). Academic Press, Inc., 1961, 391.

Lavin M. L., Haviland J. K-, Phys. Fluids, 5, 274 (1962).

Perlmutter M., Rarefied Gas Dynamics, vol. 2 (J. H. de Leew ed.). Academic Press, Inc., 1966, 1.

Haviland J. K., Applications in hydrodynamics, vol. 4, of Methods in Computational Physics (V. Alder ed.), Academic Press, Inc., 1965; русский перевод см. на стр. 7 настоящего сборника.

Perlmutter М., Solution of rarefied gas transport problems, Paper 65-WA/HT-38 ASME, 1965.

Perlmutter M., Rarefied gas heat transfer between parallel plates by Monte Carlo method, to be presented at the 3td International Heat Transfer Conference, Chicago, Ill, Aug., 1966.

Kennard E. H., Kinetic theory of gases with an introduction to statistical mechanics, McGraw Hill Book Co.. I-c., New York. 1938.

Голдстейн Г., Классическая механика, ГЙТТЛ, 1957.

Структура ударной волны в газе, состоящемиз твердых шарообразных молекул】)

Дж. А. Берд

Рассматривается газ из твердых шарообразных молекул, который первоначально находится в состоянии термодинамического равновесия между двумя бесконечными плоскими параллельными зеркально отражающими стенками. Чтобы изучить ударную волну, образующуюся, когда одна стейка внезапно приобретает постоянную скорость относительно другой, используется метод Монте-Карло. Предлагаемый метод по существу сводится к проведению «численного эксперимента» с таким модельным газом при помощи электронной вычислительной машины с очень большим быстродействием. Представлены профили плотности для чисел Маха от 1,5 до 30. Они сравниваются с профилями, полученными различными аналитическими методами.

Введение

Трудности, связанные с аналитическим решением задачи о структуре сильной ударной волны, широко обсуждались в работах многих исследователей, например Талбота [8]. Решение, основанное на уравнениях Навье—Стокса, проверено экспериментально для слабых ударных волн, но почти несомненно является неверным для очень сильных ударных волн. Предлагался также ряд кинетических решений для сильных ударных волн. Однако все эти теории содержат разного рода приближения, а эксперименты с сильными ударными волнами недостаточно точны для того, чтобы служить средством контроля.

В данной работе представлены результаты численного эксперимента, выполненного с приспособленной для этого моделью газа, состоящего из твердых шарообразных молекул. Вначале газ находится в равновесии между двумя бесконечными плоскими параллельными и зеркально отражающими стенками. Для изучения ударной волны, которая образуется, когда одна стенка внезапно приобретает постоянную скорость относительно другой стенки, применяется метод Монте-Карло. В отличие от итерационного метода Монте-Карло, развитого Хэвилендом [3], в нашем методе структура ударной волны на любой стадии нахо-

Bird G. A., Shock-v/ave structure in a rigid sphere gas. Rarefied Gas Dynamics, Proceedings of the Fourth International Symposium of Rarefied Gas Dynamics, held at the Institute for Aerospace Studies University of Toronto, 1964, edited by J. H. de Leeuw, vol. I, 1965, p. 216—222.

дится непосредственно, без обращений на любой стадии к решению, полученному аналитическими методами.

Профили плотности в ударной волне определяются для чисел Маха в диапазоне от 1,5 до 30 н сравниваются с профилями, полученными путем решения уравнений Навье——Стокса Гилбаргом и Паолуччи [2], а также с помощью бимодальной модели Мотт-Смита [5].

Описание метода

Начальные данные

Устанавливается начальное положение стенок и между ними помещается N。молекул с максвелловским распределением по скоростям и с наиболее вероятной скоростью молекул, равной 1/р. Для данного расстояния между стенками и данной числовой плотности молекул количество средних свободных пробегов между стенками определяется заданием молекулярного радиуса о. Он выбирается таким образом, чтобы расстояние между стенками было велико по сравнению с ожидаемой толщиной ударной волны. Поскольку течение является одномерным, для каждой молекулы необходимо запомнить только одну координату по оси %, направленной перпендикулярно стенкам. Для каждой молекулы необходимо запомнить также три компоненты скорости.-

В момент времени /=0 одной из стенок мгновенно при- дается скорость

где М$ ——желаемое число Маха ударной волны, а величину 0 удобно положить равной единице.

Б. Общая последовательность действий

Частота столкновений для пары молекул, имеющих относительную скорость tv, в газе с локальной числовой плотностью N дается выражением

ла^^г.

Поэтому с каждым таким столкновением время возрастает на величину

库=(2/m)(而2"场尸.

Идеальным методом был бы такой, при котором движение молекул и стенки происходило бы одновременно с расчетом столкновений. Однако получается значительная экономия машинного времени, если положение молекул и стенки остаются неизменными, пока рассчитываются столкновения, число которых соответствует некоторому интервалу времени 統(этот интервал много меньше, чем среднее время между столкновениями). Все молекулы и стенки затем передвигаются на расстояния, пропорциональные tm и их текущим скороегям. В случае необходимости проводится расчет столкновений между молекулами и стенками.

Профили скоростей и плотности между стенками замеряются через гораздо большие интервалы времени.

Расчет столкновений

При расчете столкновений необходимо учитывать тот факт, Ч7о вероятность столкновения пары молекул пропорциональна местной плотности газа и относительной скорости молекул. Первым шагом в принятом методе является случайный выбор одной молекулы. Затем разыгрывается числовая плотность в окрест пости этой молекулы и молекула принимается или отвергается таким образом, что вероятность сохранения пропорциональна этой местной плотности. Вторая молекула выбирается случайным образом в соответствии с условием, что ее координата х должна лежать внутри интервала, равного половине местной средней длины свободного пробега первой молекулы, и с «правильной» стороны от нее (чтобы могло произойти столкновение). Затем определяется относительная скорость этих молекул и пара отвергается или принимается таким образом, что вероятность того, что пара будет принята, прямо пропорциональна найденной относительной скорости.

Интервал, равный половине средней длины свободного пробега, выбирается потому, что молекулы движутся в пространстве в любом направлении, а не вдоль оси *, н хотя их относительные скорости таковы, что они сближаются, компоненты их абсолютных скоростей в Направлении оси 尤 могут иметь одинаковые или противоположные знаки. Вместо того чтобы принимать все пары молекул, разделяемые расстоянием меньше указанного среднего интервала, было бы предпочтительнее выбирать пары с расстояниями между ними, распределенными около этого среднего. Однако этому мешают соображения о времени вычислений, а испытания пока бывают, ч го изменение принятого условия почти не влияет на результаты.

После того как пара молекул принимается, случайным образом выбирается линия центров столкновения (см. [4]) и заново вычисляются компоненты скоростей молекул (см., напри- мер, [6]).

Г. Некоторые подробности рабочего процесса

Расчеты были выполнены на вычислительной машине 《Ат* лас» в Манчестерском университете. Эта машина имеет скорость порядка 500000 команд в секунду н в среднем хватало приблизительно тридцати минут, чтобы получить профиль плотности для ударной волны со стандартным отклонением от двух до четырех процентов.

В каждом расчете использовалось от одной до двух тысяч молекул. Повышение точности достигалось путем осреднения профилей, случайно выбранных в интервалах за полностью сформированной ударной волной. При этом предполагалось, что ударная волна перемещается со скоростью, которая получается из уравнения Рэнкина—Гюгонио. Тот факт, что систематических отклонений в профиле при последующих выборочных проверках не было, указывает на то, что ударная волна действительно перемещается с этой скоростью.

Результаты расчетов и их обсуждение

На рис. 1——4 профили плотности в ударной волне, полученные при численном эксперименте с модельным газом, сравниваются с профилями, полученными при решении уравнений Навье——Стокса с коэффициентом вязкости и числом Прандтля, соответствующими газу из твердых шарообразных молекул. На них также представлено решение Мотт-Смита (для твердых шарообразных молекул с уравнением переноса, полученным при умножении уравнения Больцмана на w2). Плотность и средняя длина свободного пробега обозначены соответственно через р н 九；индексом 1 обозначены невозмушенные значения в набегающем потоке.

На рис. I представлены результаты двух отдельных серий расчетов для числа Маха, равного 1,5. Согласование с теоретическими профилями довольно хорошее, несколько лучшее с профилем, полученным по методу Мотт-Смита. Для числа Маха, равного 3 (рис. 2), профиль для модельного газа дает несколько большую толщину, чем профиль по Мотт-Смиту, и значительно большую, чем профиль по Навье ——Стоксу. Профиль, полученный по теории Зиринга и других [9], дает меньшую Толшнну, чем по Мотт-Смиту, а для случая газа из твердьгх

ТО -8 -b -4-202468 Ю

Рис. 1. Профиль плотности в ударной волне приМ$= 1,5.

Сплошной линией показано решение уравнений Навье — Стокса, штриховой — решение Мотт-Смита; вертикальные отрезки отмечают 土 одно стандартное отклонение; О— Данные для модельного газа, серия 1; □ — то же, серия 2.

Рис. 2. Профиль плотности в ударной волне при М$ =3.

Обозначения те жет что на рис. 1,

Рис. 3. Профиль плотности в ударной волне прн М$ = 10.

Обозначения те же, что на рис. 1.

Обозначения те же, что на рнс. 1.

Ю Зак. 137Q

шарообразных молекул при числах Маха ударной волны до трех ——меньшую, чем по Навье——Стоксу. Эти результаты, следовательно, не дают никакого подтверждения теории Зиринга, а скорее подтверждают справедливость решения Мотт-Смита.

Рис. 3 и 4 указывают на то обстоятельство, что при увеличении чисел Маха до очень больших величин значительного изменения профиля плотности не наблюдается. Это согласуется с результатами, полученными с помощью очень простой двухжидкостной модели Ротта и Уиттенбери [7]. В противоположность результатам, представленным в работе [1], здесь появляются значительные отклонения от профиля, который дают уравнения Навье—Стокса как в области вверх по потоку, так и вниз по потоку от центра ударной волны.

Заключительные замечания

Оказалось возможным построить расчетную модель газа, с помощью которой могут быть выполнены «численные эксперименты» для течения в переходном режиме. Однако даже при использовании наиболее производительных современных вычислительных машин ограничения на число молекул, которые мо~ гут быть использованы в эксперименте, таковы, что следует ожидать больших случайных флуктуаций в результатах, и трудно прийти к каким-либо определенным выводам. Любую попытку распространить решение в область сплошной среды следует исключить из соображений времени вычислений; этот метод более удобен для решения задач в переходной области, так как он требует меньше времени. Учитывая, что это такая область, в которой требуются решения, совершенно независимые от соответствующих решений для режима сплошной среды и свободномолекулярного режима, предполагается распространить метод на двумерные стационарные течения.

Авюру хотелось бы выразить признательность П. А. Маддену за помощь при составлении вычислительной программы для этой работы.

Литература

Chahine М. Т, In Rarefied Gas Dynamics (J. A Laurmann ed.), vol. I, New York. 1963, p. 260.

Gilbarg D., P а о I u с c i D_,丄 Rat. Meeh. Anal., 2, 617 (1953).

H a v i 1 a n d J. K-, In “Rarefied Gas Dynamics0 (J. A. Laurman, ed.), vol. I, New York. 1963, p. 274.

4.

Jeans 丄，The Dinarnical Theory of Gases, London—New York, 1921, p. 261.

5.

M о 11 - S m i t h H. M., Phys. Rev., 82, 885 (1951); русский перевод: сб. Механика^ № 1 (1953).

6.

Паттерсон Г. Н., Молекулярное течение газов, Физматгиз, 1960.

7.

Rott N., Whitten bury С. G., A Flow Model for Hypersonic Rare-

fied Gas Dynamics with Application to Shock Structure and Sphere Drag, Douglas Aircraft Co. Rep. SM-3824, 1961.

8. Talbot L., Am. Rocket Soc. J., 32, 1009(1962).

9. Z i e г i n g S., Ek F., Koch P., Phys. Fluids, 4, 975 (1961); русский перевод: сб. Механики. № 4 (74) (1962).

Функция распределения скоростейв ударной волне1)

Дж. А. Берд

Структура прямой ударной волны в газе, состоящем из твердых шарообразных молекул, исследуется путем численных экспериментов с модельным газом на цифровой вычислительной машине. Изучается неравновесное соотношение между температурами, coo i ветствующими продольной и поперечной компонентам скоростей, и результаты сравниваются с теорией Йена [5]. Представлены детали функции распределения скоростей для числа Маха в ударной волне, равного десяти. Функция распределения как для продольной, так и для поперечной компонент скоростей приведена для ряда точек профиля ударной волны; производится сравнение с равновесным распределением.

Введение

Задачи газовой динамики, в которых значительное изменение свойств течения происходит на расстоянии порядка средней длины свободного пробега, легко поддаются прямому моделированию с помощью метода Монте-Карло, разработанного автором. Хотя задача о структуре ударной волны уже была рассмотрена автором [1], это было сделано на ранней стадии разработки метода, а с тех пор в него был внесен ряд значительных изменений. Эти усовершенствования снизили требования к вычислительным машинам более чем на порядок, так что метод может быть легко применен на любой современной вычислительной машине среднего или большого размера. В задаче об ударной волне это увеличение скорости не только привело к повышению точности вычисления профиля ударной волны, но и дало возможность получить детали функции распределения скоростей.

Метод состоит в проведении численного эксперимента с модельным газом на вычислительной машине. Реальный газ моделируется совокупностью примерно тысячи твердых шарообразных молекул, которые можно рассматривать в качестве характерных представителей многих триллионов (W2) молекул в действительной ударной волне. Положения и компоненты скоростей модельных молекул запоминаются в вычислительной машине, и по мере того, как временной параметр увеличивается,

')Bird G. A., The velocity distribution function within a shock wave, Journal of Fluid Mechanics, 30, Part 3, 479—487 (1967).

рассчитываются типичные столкновения между этими молекулами.

Требуемое стационарное течение получается как нестационарное течение, возникающее за счет наложения соответствующих граничных условий, при больших значениях времени. В данном случае расчет столкновений начинается с момента времени, равного нулю, причем молекулы начинают движение как однородный поток с требуемым числом Маха вверх по течению от ударной волны. В начальный момент времени в этот поток вводится зеркально отражающий плоский поршень с рабочей поверхностью, перпендикулярной направлению потока. Скорость поршня берется равной скорости вниз по потоку от стационарной прямой ударной волны с числом Маха, соответствующим данному потоку. Кратковременное воздействие, вызванное мгновенным наложением граничных условий, быстро затухает, оставляя в потоке стационарную прямую ударную волну. Интересно отметить, что точка перегиба профиля плотности в этой ударной волне всегда расположена в точке введения поршня.

Описание метода

Поток движется в положительном направлении оси х, а моделируемая область простирается от ——6储 до +6%, где 九i —— средняя длина свободного пробега, выбранная в области вверх по потоку, а величина b достаточно велика для того, чтобы установить границы далеко за пределами ударной волны, центр которой находится в начале координат. Эта область делится на некоторое количество ячеек, которые выбираются достаточно узкими для того, чтобы изменение свойств потока на расстоянии от одной стороны ячейки до другой было малым. Поскольку рассматривается одномерная задача, необходимо вводить в память только координату х каждой модельной молекулы. Запоминаются также три компоненты скорости и номер ячейки.

На первом шаге следует генерировать начальную конфигурацию модельных молекул, характерную для момента времени, равного нулю. Молекулы распределены равномерно в области между границей х=—Ь% вверх по потоку и началом координат. Это означает, что все положения в этой области равновероятны для каждой молекулы и координата х для 〃-й молекулы, х,“ получается с помощью генерирования сл уч ай него числа г из

выражения

%〃 = — г。％.

Последовательность стучайных uhcc’i равномерно распределена в интервале между 0 и 1; она использовалась в нескольких алгоритмах программы. Компоненты скорости молекул имеют распределение, соответствующее газу, находящемуся в максвел* ловском равновесии со средней скоростью потока в направлении оси х, так что его число Маха равно требуемому числу Маха Ms ударной волны. Вероятность того, что какая-либо компонента собственной скорости имеет значение и, умноженное на наиболее вероятную молекулярную скорость при температуре свободного потока, пропорциональна ехр(——〃2). Отношение этой вероятности к максимальному значению вероятности (которое достигается при и=0) также равно ехр(——и2). Требуемое распределение для каждого ряда собственных скоростей может быть, следовательно, получено с помощью общей процедуры для вероятностных переменных [2].

Молекулам затем разрешается двигаться и сталкиваться друг с другом. При этом раздельно рассматриваются два процесса: столкновения, соответствующие интервалу времени Д/т, и перемещение молекул на расстояние, соответствующее интервалу Д/m и их мгновенным скоростям. Искажение траекторий молекул, которое вызывает эта аппроксимация, невелико до тех пор, пока величина A/帆 мала по сравнению со средним временем между столкновениями. Это время имеет порядок (ло2^^)'1, где N ——числовая плотность, о ——диаметр молекулы и urm —— средняя относительная скорость сталкивающихся пар молекул. Величина Д/т выбирается много меньшей, чем приближенно вычисленное среднее время между столкновениями, и проверяется путем записи действительного среднего времени между столкновениями во время работы программы.

Поскольку изменение свойств потока поперек каждой ячейки мало, молекулы в ячейке в любой момент времени можно считать обладающими всеми характерными свойствами для данного положения. Тогда относительным расположением различных молекул внутри ячейки можно пренебречь и вероятность столкновения отдельных пар молекул в ячейке будет зависеть только от их относительной скорости!).

Пара молекул выбиралась случайным образом среди молекул, находящихся в рассматриваемой ячейке, и принималась пли отвергалась таким образом, что вероятность сохранения была пропорциональна относительной скорости vr. Когда пара

】)Рассуждения, касающиеся процедуры выбора второй молекулы для столкновения пары молекул в ранее рассмотренной [1] задаче об ударной волне, были некорректными. Процедура, фактически используемая в более поздней работе о двумерных стационарных течениях [2], была также пекоррекгпа.

принималась, рассчитывалось типичное столкновение между двумя молекулами и новые компоненты скоростей молекул вводились в память на место старых. Случайный выбор параметров столкновения особенно прост для твердых шарообразных молекул, так как все направления для нового вектора относительной скорости равновероятны* При каждом столкновении содержимое счетчика времени для этой ячейки увеличивается на

M = ^IN^^2Nv^\

где Nc ——фактическое число молекул в ячейке. Расчет столкновений в ячейке ведется до тех пор, пока содержимое счетчика времени не достигает значения 从拼.Когда эта процедура выполнена для каждой ячейки, общее время увеличивается на Мт и молекулы передвигаются на соответствующие расстояния.

Комплект молекул в каждой ячейке будет изменяться, так как молекулы движутся; на границах должны быть применены соответствующие граничные условия. Граница %=—dXi, расположенная вверх по потоку от центра волны, рассматривается как источник молекул с компонентами скоростей, характерными для молекул, движущихся вниз по потоку в свободном равновесном течении. Функция распределения молекул, пересекающих поверхность, отличается от функции распределения молекул, находящихся внутри объема. Отношение вероятности компоненты скорости в направлении потока, умноженной на наиболее вероятную тепловую скорость, к максимальной вероятности дается выражением

獻羽产 ехp[1 + 11/(^-(^ + 2円-日.

где U ——отношение скорости потока к наиболее вероятной тепловой скорости. Эти соображения относятся только к положительным значениям U+以,так как генерируются только молекулы, движущиеся вниз по потоку. Любая молекула, которая пересекает эту поверхность в противоположном направлении, рассматривается как 《пропавшая》и удаляется из машинной памяти. Граница вниз по потоку является зеркально отражающей стенкой, которая в момент времени, равный нулю, начинает двигаться из начала координат со скоростью Up, связанной с Ms и скоростью звука на границе вниз по потоку t^ соотношением

После того как поршень проходит за предел моделируемой области в точке х=8入 1, он в конце каждого шага по времени искусственно возвращается в точку 尤=Ь入卜 Молекулы, уходящие в течение шага по времени за точку х=&Хь исключаются из расчета.

Время, которое требуется для того, чтобы поршень достиг границы вниз по потоку от центра, приближенно равно времени, которое требуется для установления стационарного профиля ударной волны. Затем могут быть измерены требующиеся свойства потока. Статистический разброс может быть уменьшен с помощью осреднения нескольких замеров, которые отделяются друг от друга интервалом времени A/s. Этот интервал должен превосходить время, которое требуется для того, чтобы наиболее медленная часть потока молекул пересекла ячейку.

Основой процесса моделирования является метод отбора молекул сталкивающейся пары согласно точной вероятности и последующего увеличения временного параметра на соответствующую величину для каждого отдельного столкновения. Таким образом вычисляется соответствующая серия столкновений для любой функции распределения молекулярных скоростей. Были сделаны только два предположения. Первое разъединяет движение и столкновения молекул и по-настоящему корректно при Д/т, стремящемся к нулю. Второе является предположением об однородности свойств поперек ячейки и становится излишним, если ширина ячейки стремится к нулю. Никаких признаков неустойчивости в потоке, вызванной статистическими флуктуациями, не возникало даже тогда, когда серии составлялись всего из шести модельных молекул в каждой ячейке.

Вычисления были выполнены на английской электронной вычислительной машине KDF-9, расчет типичной серии занимал приблизительно 20 минут.

Результаты

Характерные результаты для профиля плотности в ударной волне показаны на рис. 1 и 2. Результаты, полученные по методу Монте-Карло, совпадают с решением уравнений Навье—— Стокса [3] в пределах ожидаемого статистического разброса для ударной волны при числе Маха 1,5. Как и ожидалось, при увеличении числа Маха толщина ударной волны оказывалась больше соответствующего значения, рассчитанного по уравнениям Навье—Стокса, а на рис. 2 показано, что при Ms= 10 толщина ударной волны имеет значение несколько большее, чем дает расчет по Мотт-Смиту [4].

Наиболее опасным предположением, сделанным в данном методе, является предположение, означающее выбор второй моле-

Рис. 1. Профиль плотности в ударной волне прн числе Маха, равном 1,5.

Сплошной линией показано решение уравнений Навье — Стокса; S — данныедля модельного газа.

2/九，

Р и с. 2. Профиль плотности в ударной волнепри числе Маха, равном 10.

Сплошной линией показано решение уравнений Навье —Стокса, штриховой — решение Мотт-Смита; # — данныедля модельного газа, ширина ячейки 入/4； □ — то же,ширина ячейки М/2; △ —то же, ширина ячейки 入卜

кулы из сталкивающейся пары где угодно внутри ячейки. Ввиду этого расчет для случая М、=10 был выполнен для ряда ячеек с различной шириной. Результаты на рис. 2 показывают, что имеется небольшое систематическое изменение профиля ударной волны при изменении ширины ячейки даже тогда, когда последняя становится почти сравнимой с толщиной ударной волны.

Рис. 3・ Неравновесная температура в ударной волне при числе Маха, равном 3.

^—относительная продольная температура; X — относительная поперечная температура； • — относительная общая температура; Q —температура на границе вниз по потоку, найденная из соотношений Рэикина — Гюгонио.

В качестве показателя степени неравновесности внутри ударной волны дается разность между температурой Гх, связанной с продольной компонентой тепловой скорости, и температурой Т九,связанной с поперечной компонентой. Поэтому в дополнение к общей температуре Г измерялись и эти величины. Типичные результаты показаны на рис. 3 и 4 для ударных волн с числами Маха 3 и 10 соответственно. Эти результаты хорошо согласуются с теорией Йена [5], которая предсказывает максимальное значение продольной температуры, равное 4,28 для Ms = 3 и 42,1 для М$=10.

Функция распределения была замерена для ударной волны при числе Маха 10 и показана на рис. 6 и 7 для каждого из пяти положений, отмеченных на профиле скорости на рис. 5. При построении графика функции распределения fx для продольной скорости на рис. 6 компоненты собственной скорости vx

были приведены к безразмерной форме путем деления их на (2RTQ%, где R ——газовая постоянная. Аналогично этому на рис. 7 показана функция распределения поперечной компоненты собственной скорости 。九，приведенная к безразмерной форме делением на (2RT簡)％. Значения 7\ н Тп в пяти точках ударной волны определялись по рис. 4. Для сравнения сплошной линией

Рис. 4. Неравновесная температура в ударной волне при числе Маха, равном 10.

Обозначения те же, что на рис. 3.

нанесена равновесная (максвелловска я) функция распределения. Пунктирные линии были проведены через точки, соответствующие положениям В, С, D, только для наглядности, поскольку статистический разброс таков, что некоторые небольшие изменения в этих кривых могут не иметь значения.

Точка Л находится около границы ударной волны вверх по потоку, н как продольная, так и поперечная температуры с точностью до статистического разброса совпадают с равновесным распределением. Фактически отклонение этих точек от равновесного распределения свидетельствует о вероятностном разбросе в других распределениях.

Рис. 5. Профиль скорости в ударной волне при числе Маха, равном 10; показаны точки, в которых измерена функция распределения.

Рис. 6. Функция распределения продольных скоростей в ударной волне при числе Маха, равном 10.

Сплошной линией показано максвелловское распределение: О ~ положение Л; X — положение В； △ — положение С; 4—положение D; ■ — положение £.

Вторая точка, 8, расположена как раз в том месте ударной волны, где изменение скорости еще почти незаметно, но где относительная величина продольной температуры достигает

%/l2RT#%/l2RT#Рис. 7. Функция распределения поперечных скоростей в ударной волне при числе Маха, равном 10.Обозначения те же, что иа рис. 6.Рис. 7. Функция распределения поперечных скоростей в ударной волне при числе Маха, равном 10.Обозначения те же, что иа рис. 6.

%/l2RT#

%/l2RT#

Рис. 7. Функция распределения поперечных скоростей в ударной волне при числе Маха, равном 10.

Обозначения те же, что иа рис. 6.

Рис. 7. Функция распределения поперечных скоростей в ударной волне при числе Маха, равном 10.

Обозначения те же, что иа рис. 6.

приблизительно 4,2. Функция распределения показывает, что этот рост почти полностью обусловлен длинным 《хвостом》молекул с большими отрицательными продольными компонентами скоростей. Поскольку средняя скорость положительна в направлении движения, этот 《хвост》 представляет те немногие молекулы, движение которых значительно замедляется при

столкновениях в данной области ударной волны. Функция рас- пределения поперечных скоростей также имеет《хвост》молекул с большими скоростями в этой области ударной волны, но поскольку относительная поперечная температура здесь равна только 1,6, то величина этой компоненты собственной скорости оказывается много меньше.

Третья точка, С, расположена ближе к центру ударной волны, и отрицательный 《хвост》 продольной функции распределения здесь толще и короче. Однако относительное значение продольной температуры в этой области больше семнадцати, так что величина собственных скоростей возрастает. Заметны некоторая асимметрия функции распределения (причем наиболее вероятными оказываются скорости, имеющие малую положительную величину) и небольшой второй пик, который находится с отрицательной стороны. В поперечной функции распределения теперь более заметен высокоскоростной «хвост》и повышенный центральный максимум.

В центре ударной волны, где расположена точка D, видна тенденция к возвращению функций распределения к равновесной форме. Это лучше всего заметно для поперечной функции, а продольная функция остается асимметричной с наиболее вероятной скоростью, сдвинутой даже дальше в положительную сторону. Наконец, хотя точка Е расположена внутри ударной волны, где поперечная и продольная температуры еще не достигли равновесия, функция распределения возвращается почти к равновесной форме.

Литература

Bird G. A., In Rarefied Gas Dynamics (ed. J. H. de Leeuw), vol. 1, New York, 1965, p. 216; русский перевод см. в настоящем сборнике, стр. 140—— 147.

Bird G. A., AIAA 丄，4, 55 (1966); русский перевод: Ракетная техника 〃 космонавтика, № 1, 69 (1966).

G i 1 b а г g D., Р а о 1 u с с i D., J. Rat. Meeh. Anal., 2, 617 (1953).

M о 11 - S in i t h H. M., Phys. Rev., 82, 885 (1951); русский перевод: сб. Механика, № 1 (17) (1953).

Yen STL, Phys. Fluids, 9, 1417 (1966).

Решение задачи о химически реагирующем газеметодом Монте-Карло)

И. Иосидзава

В работе приведен расчет кинетики химически реагирующего газа. Предлагается упрощенная модель газа: две частицы превращаются в двухатомную молекулу благодаря пос ле до вательн ым бинарным столкновениям. На всем протяжении процесса реакции описывается зависимость средней температуры системы, а также концентрации каждого сорта смеси от времени. Получена функция распределения для атомов и молекул.

Введение

Задачи, при решении которых применима кинетическая теория газов, практически ограничены несколькими случаями, в которых отклонение от равновесия мало, или можно постулировать упрощенную форму интеграла столкновений. Однако применение кинетической теории для более сложных, например химически реагирующих, газов почти невозможно. Это по существу верно уже в случае сильной неравновесности, причем трудности чрезвычайно возрастают, если рассматривать газ, состоящий из многих сортов реагирующих частиц. Главной целью этой работы было описание химически реагирующего многокомпонентного газа с помощью метода Монте-Карло; расчеты были проведены на электронной вычислительной машине HITAC-5020. В качестве первого шага в этом направлении применяется простая модель реагирующего газа.

Имеется много исследований применимости метода Монте- Карло в кинетической теории газов. В некоторых из них [1,2, 3,4] рассматривался случай равновесного состояния; поведение конечного числа частиц было прослежено с помощью вычислительной машины для того, чтобы получить уравнение состояния. В одном из этих методов было построено много последователь- .ных конфигураций частиц с помощью задания случайных движений каждой частицы. Неприемлемые конфигурации, если они возникали, не учитывались при вычислении потенциальной

энергии. Будет эта конфигурация отброшена или нет — определялось случайным образом.

В другом методе движения частиц прослеживались путем непосредственного решения уравнений движения. Очевидно, что число частиц при практических расчетах должно быть ограничено, однако предполагалось, что среднее по различным состояниям для относительно малого числа частиц эквивалентно статистическим расчетам.

Были также выполнены исследования применительно к термически неравновесным состояниям [5, 6, 7, 8]. Это были решения задач о теплопередаче между двумя пластинами и о структуре ударной волны. Превосходный обзор этих работ можно найти в работе Хэвиленда [8]. Этот метод основывается на предположении, что время, проведенное пробной частицей в ячейке фазового пространства, пропорционально функции распределения. В других исследованиях неравновесных случаев [9] реша- .пись непосредственно уравнения движения частиц, так же как для случая равновесия.

Метод, использованный в данной работе, в принципе подобен упомянутым методам. Время от времени случайным образом выбирается конечное число частиц, составляющих систему, причем поведение этой системы прослеживается в процессе случайных столкновений.

Модель химической реакции

В настоящее время при строгом моделировании химически реагирующего газа имеется еще много неизвестных факторов. Однако нужно создать модель настолько простую, насколько это возможно без потери существенных характеристик химических реакций. Такими характеристиками являются возникновение и исчезновение компонент, существование промежуточных компонент и тепло, выделяемое при реакциях. Принимая это во внимание, мы слегка видоизменили процесс рекомбинации атомов в нашей модели.

Обычно процесс рекомбинации описывается столкновением трех тел

А + А + X f 4 + X. (1)

Третье тело X в рассмотренном выше процессе играет важную роль как переносчик избыточной энергии5 но в то же самое время оно чрезвычайно увеличивает трудность решения даже в рамках метода Монте-Карло. В предлагаемом методе вместо непосредственного изучения столкновения трех тел использованы

последовательные бинарные столкновения; это сделано путем введения промежуточных компонент в активированном состоя- нии, когда два из трех атомов находятся очень близко друг от друга. Предполагается, что промежуточная компонента пре- враща-ется в молекулу при последующих столкновениях с другими частицами. При этом предположении вместо выражения (1) рассматриваются следующие процессы:

4 + А —> 力2,(2)

人2 + X —■> 力 2 + X.(3)

Следовательно, используемый здесь газ состоит из трех сортов частиц: атомы Л, промежуточные активированные пары атомов Ло н молекулы А2. В дальнейшем А； и 力2 будут обозначаться буквами В и С соответственно.

Столкновения между частицами делятся на три различных типа: активирующие, неупругие и упругие. Они обозначаются символами

активирующие

А + А-^В,

(4а)

неупругие

В + А-^С + А,

(46)

в + в-^с + с,

(4в)

В +Cf С + С,

(4г)

упругие

А + А^А+А,

(4д)

А + С^А + С,

(4е)

C + CNC + C.

(4ж)

Для простоты процесс столкновений рассматривается в рамках классической механики, а именно как столкновение двух твердых шаров, даже для промежуточных активированных пар. Формулы для столкновительных процессов (4а) и (4д) устанавливают, что некоторые из (А——А) -столкновений являются активирующими, а остальные упругими. Путем введения энергии активации h они разделяются на две группы. Если относительная кинетическая энергия двух Л-частиц перед столкновением больше, чем указанная энергия активации, то они становятся неплотно соединенной парой, отделенной небольшим промежутком, которую будем называть компонентой В. Потенциал взаимодействия частиц, кроме взаимодействий типа А ——4, предполагается таким, как для твердых шаров; он показан на рис. 1, а.

11 Зак. 1370

Для столкновений типа А ——Л он видоизменяется, чтобы включить эффекты энергии активации н теплоты реакции, и показан на рис. 1,6. Используя этот потенциал взаимодействия, можно отличать взаимодействия (4а) н (4д) с помощью простого критерия

Ь 乏 ГАА (1 — y^j " О упругие, < активирующие^, (5)

где fe —параметр столкновения, гАА — минимальное расстояние между атомами в свободном состоянии, р, — приведенная масса,

Рис. 1. Потенциалы вза имодействия частиц.Рис. 1. Потенциалы вза имодействия частиц.

Рис. 1. Потенциалы вза имодействия частиц.

Рис. 1. Потенциалы вза имодействия частиц.

U — относительная скорость в абсолютной системе координат, А — энергия активации. В столкновительных процессах (46), (4в) и (4г) частица В переходит в состояние обычной молекулы с теплотой реакции Q. Кроме этих особых процессов столкнове* ний, имеются обычные упругие столкновения, которые описываются соотношениями (4д), (4е) и (4ж)・

Хотя эта модель реакций довольно искусственна и не позволяет описать важные эффекты обратных реакций, она вполне удовлетворительна, когда рассматривается только процесс рекомбинации.

Алгоритм метода Монте-Карло

Случайные числа

Для генерирования случайных чисел ради экономии времени принят так называемый конгруэнтный аддитивный метод. Случайное число с номером / в последовательности генерируется по правилу

⑹⑹Rn产 RnbI + RnfMod = 1,0,

⑹

⑹

где Rn — случайное число из восьми разрядов; предполагается, что эти случайные числа равномерно распределены в интервале О, 1. Для начала подпрограммы требуется подготовить два начальных случайных числа, выбираемых из таблицы случайных чисел.

Проверка случайности последовательности была проведена до ее применения в методе Монте-Карло. Она удовлетворительно соответствовала большинству требований. Другие характеристики не так хороши. Этого трудно избежать при использовании аддитивного процесса генерирования, но, выбирая случайные числа с некоторым интервалом, это легко можно поправить.

32 Допущения

При моделировании процесса химической реакции в газе были сделаны некоторые упрощающие решение пр ед пол ожения.

Газ однороден в конфигурационном пространстве и покоится. Следовательно, разумно предположить, что функция распределения может быть представлена в виде функции, зависящей в каждый момент времени только от абсолютной скорости.

Можно пренебречь всеми столкновениями, кроме бинарных. Все бинарные столкновения происходят мгновенно и могут быть описаны средствами механики Ньютона.

Газ находится в состоянии молекулярного хаоса, вследствие чего предполагается, что конечное число случайно выбранных частиц будет представлять все частицы реагирующего газа.

Функции плотности вероятности

Благодаря .введенным предположениям независимыми переменными для плотности распределения являются сорт частицы, абсолютная скорость и время, которые обозначаются индексами t / и й соответственно. С помощью этих индексов плотность вероятности записывается в виде，尸)(/), что означает вероятность присутствия f частиц “访 компоненты в элементе пространства абсолютных скоростей Vj ——Аи/2, Oj+Au/2 в момент времени tk. Соотношения, связывающие предложенные обозначения с обычной системой обозначений, имеют вид

Av

2П"

f^ (/)= / J j fiiy, t^v^inGdBd^dv, (7)

где i= 1, 2 и 3 соответствуют компонентам Л, В и С. Пространство абсолютных скоростей делится на конечное число ячеек, каждая из которых имеет размер Аи с центром в точке ⑦一 центральной точке j-й ячейки. В предложенной модели необходимо ввести дополнительно плотность вероятности для внутренней энергии. Она определяется соотношением

⑻⑻ej+ —

⑻

⑻

型)(j)= J g(E)d£„ ДЕЕг —

где g(E) —плотность распределения вероятностей для внутренней энергии. Пространство внутренних энергий рассматривается так же, как и пространство абсолютных скоростей. Введение функции //)(/) основывается на допущении, что для плотности распределения компоненты В возможно разделение переменных и и £.

Оптимальное число и размер ячеек для функций плотности вероятностей должны быть определены, исходя из двух точек зрения, а именно надежности результатов и допустимого времени вычислений. На основе данных нескольких предварительных расчетов они были выбраны следующим образом: /щах = 30, Ди=200 м/сек и АЕ=500° К для области параметров, используемых в вычислениях.

Выборка частив

Если задаются плотность распределения и числовая плотность в момент tky то величины, устанавливающие свойства частицы, определяются с помощью случайных чисел. Индекс г, определяющий компоненту, получается просто путем решения неравенства

翳 <Rn*'，,⑼

产=0г=0

где п^ — числовая плотность z-й компоненты, а 〃о равно нулю. После того как определен индекс г, определяем индекс абсолютной скорости /, решая неравенство

7-1/•

工犀)0')<Rn<£y(『).(10)

「0『0

⑴)⑴)Абсолютная скорость получается в виде v= Vj + (Rn 一0,5) Au.

⑴)

⑴)

Два дополнительных случайных числа определяют углы ориентации 0 и ср вектора скорости v:

Таким образом, мы имеемТаким образом, мы имеем6 = JiRn,屮= 2nRn.6 = JiRn,屮= 2nRn.(12)(12)(13)(13)

Таким образом, мы имеем

Таким образом, мы имеем

6 = JiRn,屮= 2nRn.

6 = JiRn,屮= 2nRn.

(12)

(12)

(13)

(13)

Если »=2, т. е. выбрана частица компоненты 5, такая же процедура необходима для того, чтобы выбрать Е.

Индекс компоненты i определяет также массу и радиус частицы, необходимые для решения задачи о столкновении частиц, которая будет обсуждена в последней части.

Основные принципы процесса итераций

Для того чтобы описать поведение химически реагирующего газа в зависимости от времени, принят принцип непосредственного моделирования. В момент времени ^ плотность распределения f^ (/) получается с помощью принятого начального распределения или данных случайной выборки по методу Монте- Карло. Они используются для случайной выборки новой проб* ной частицы и партнера по столкновению и остаются неизменными в течение интервала времени △£, равного нескольким временам между столкновениями. Чтобы изучать изменение системы во времени, используется конечное число пробных частиц. Для этой цели каждой пробной частице придается дополнительная память, которая называеуся счетчиком времени и куда вначале засылаются нули.

Пробные частицы блуждают из-за столкновений с каждый раз заново разыгрываемыми полевыми частицами. Для этого каждая пробная частица имеет пять ячеек памяти: одну для сорта частицы, три для компонент скорости и одну для внутренней энергии. После столкновения каждый накопитель для пробной молекулы заполняется вновь полученной соответствующей величиной и в счетчике времени накапливается время свободного пробега, полученное из опыта с пробной частицей. Этот процесс продолжается до тех пор, пока содержимое счетчика времени не превысит значения 灰+i = 4+Af. Затем выполняют ту же процедуру для следующей пробной частицы. При всех процессах столкновений запоминаются также данные о состоянии

полевых частиц после их столкновения с пробными; это необходимо для последующей статистической обработки. Если

Рис. 2. Логическая программа метода Моите-Карло.С. В. — счетчик времени.Рис. 2. Логическая программа метода Моите-Карло.С. В. — счетчик времени.

Рис. 2. Логическая программа метода Моите-Карло.

С. В. — счетчик времени.

Рис. 2. Логическая программа метода Моите-Карло.

С. В. — счетчик времени.

таты.таты.этим пренебречь, то не будет выполняться закон сохранения знергнн системы и будут получаться неприемлемые резуль

таты.

таты.

После окончания блужданий всех пробных частиц выполняются необходимые статистические расчеты. В этих расчетах используются данные о тех пробных частицах, которые испытали столкновения несколько раз, и данные о полевых части- цах, испытавших единственное столкновение. В то же самое время заново вычисляется плотность распределения вероятности для следующего интервала времени. Затем процесс итераций возвращается в первоначальную фазу. Следует отметить, что при переходе от 益 к 九+i содержимое счетчика времени не изменяется, несмотря на другие, заново разыгрываемые характеристики пробных частиц. Чтобы кратко представить этот процесс, на рис. 2 приведена логическая программа метода Монте- Карло, используемого в данной работе.

36 Процесс столкновений

В этом подразделе приведены некоторые соображения о процессе столкновений.

Частота столкновений. Частота столкновений, с которой пробные частицы f-й компоненты, имеющие скорость V*, сталкиваются с полевыми частицами, имеющими плотность вероятностей 力(V,友)，выражается формулой

з

г(广，v*) = E〃/J J ... / f/(v, 〃)|v*-v|Qdft>dv. (14)

Учитывая ранее сказанное, уравнение (14) после некоторых преобразований можно приближенно представить в виде

г (Г, V*)=岑 2 “ 亿 + г,*)2 £ № (/)屮 0,鸣， (15)

Al六1

где

%・(3q +vj > и*,

， I 弓(3。*2 + 呼)//, 与 V/.

Время между столкновениями. Если использовать выражение (15) для частоты столкновений, то время между столкновениями определяется с помощью случайного числа формулой

, In Rn九= .—

Подробный вывод этой формулы можно найти в работе [8]. Время между столкновениями накапливается в соответствующем счетчике времени, что необходимо для вычисления времени развития процесса.

Механика столкновений. Если рассматриваемый счетчик времени указывает величину, меньшую предельного времени 4+1, то пробная частица сталкивается с другой частицей, выбранной случайно в момент времени th. Когда разыгран партнер по столкновению путем случайной выборки, определяются также два параметра столкновения

ь = (/р + Гпарт) Rn, е = 2л Rn. (17)

Характеристики сталкивающихся частиц и параметры столкновения полностью определяют характеристики частиц после столкновения.

Как уже говорилось в § 2, столкновения разделяются на 3 категории. В активирующих столкновениях законы сохранения количества движения и энергии имеют вид

т^А + m^At = ^в^, (18)

4 тЛ + 4 mAVAt = I，П^ + ^ - Q> (19)

где £ — внутренняя энергия, которая должна быть введена таким образом, чтобы она не противоречила уравнению сохранения количества движения (18). В уравнениях (18) и (19) индекс 1 указывает, что соответствующая величина определяет свойства партнера по столкновению, а тильда обозначает величины после столкновений. Для столкновений типа Л——Л (активирующих или упругих) внутренняя энергия определяется уравнением (5). Подстановка уравнения (18) в (19) дает

E=Q +州I (20)

где и = |~ — %|.

Это означает, что в столкновениях такого типа запись данных о партнере по столкновению не производится, а вся информация относительно двух частиц А содержится в ячейке, соот- ветствующей вновь созданной пробной частице В.

Обсудим теперь механику неупругих столкновений, которые описываются выражениями (46), (4в) и (4г)・ При этих столкновениях законы сохранения количества движения и энергии записываются в -виде

т^в + mxvx— mcvc + mrvr, (21)

^ mBv^ + у т^х + ^ = у тс°с + У mvvr (22)

Если X относится к компонентам Л или С, то У также обо

значает величины, относящиеся к X обозначает компоненту В, то У и в левой части уравнения (22) должен быть еще дополнительный член. В процессе, который описывается уравнениями (21) и (22), внутренняя энергия преобразуется в кинетическую, которая может быть измерена в виде температуры. Уравнения (21) и (22) дают четыре уравнения для шести неизвестных величин, и. следовательно, нужно привлечь еще два дополнительных соотношения. Они могут быть довольно произвольными, если при этом не очень сильно нарушается физическая ситуа-

компонентам Л или С. Если указывает на компоненту Скомпонентам Л или С. Если указывает на компоненту СРи с. 3 Параметр е, инвариант- ный при столкновении.Ри с. 3 Параметр е, инвариант- ный при столкновении.ция. В данном случае предполагается, что эти соотношения оставляют инвариантным параметр жениях молекул по схеме, показанной еле столкновения даются формулами

компонентам Л или С. Если указывает на компоненту С

компонентам Л или С. Если указывает на компоненту С

Ри с. 3 Параметр е, инвариант- ный при столкновении.

Ри с. 3 Параметр е, инвариант- ный при столкновении.

е при столкновениях и страна рис. 3. Скорости пое при столкновениях и страна рис. 3. Скорости поVcf-畸先(U-U), % = Vx + %Z (U—办

е при столкновениях и страна рис. 3. Скорости по

е при столкновениях и страна рис. 3. Скорости по

(23a)(236)(23a)(236)L^+E^^U\L^+E^^U\(24)(24)где U=Vb—Vx и 0 = Vc—vy и используются соотношения mB= =mc и т^ = ту. Величину относительной скорости после столкновения можно определить, переписав уравнение (22) в виде

(23a)

(236)

(23a)

(236)

L^+E^^U\

L^+E^^U\

(24)

(24)

(cos 6 cos屮 cos 6 sin ①sine(cos 6 cos屮 cos 6 sin ①sine-sin ①cos Ф0-sin ①cos Ф0

(cos 6 cos屮 cos 6 sin ①

sine

(cos 6 cos屮 cos 6 sin ①

sine

-sin ①cos Ф0

-sin ①cos Ф0

Ее направление определяется на основании предположений об отражении. Если U представить в полярных координатах (U,е,(р), то U определяется следующим образом:

— sin 0 cos <p\ /sin 2己 cos e、

—sin 6 sin <p sin 2^sin e j Uf (25) cos6 / \ —cos2g /

где 冗——2g ——угол отклонения (угол между U и U), a g дается выражением

I = arc sin?—).(26)

\ Fp 十「парт/

Проведенное выше рассмотрение неупругих столкновений может быть применено и для расчета упругих столкновений, если во всех уравнениях положить Е=0.

Результаты и обсуждение)

Были просчитаны десять рядов с пятью комбинациями Л и Q, указанными в табл. 1.

Таблица /

Номер варианта (число пробных частиц)

1000°к

2000° К

зооо° к

5000°К

11 (200)

12 (300)

13 (400)

14 (800)

21 (300)

22 (400)

31 (300)

10 000°К

41 (200)

42 (300)

51 (300)

В начале вычислений газ, согласно предположению, состоял только из компоненты А в тепловом равновесии. Предполагалось, что газ имел в начальный момент температуру, равную 500° К, и давление 0,1 атм. Использовалась модель частиц, которая обладала такими свойствами, что ее можно было сравнивать с кислородом. Время расчета составляло примерно 0,1 сек для одного столкновения, включая все статистические вычисления. На рис. 4 и 5 показаны кривые роста средней температуры в зависимости от времени; ясно видно влияние энергии активации и теплоты реакции на рост температуры. Когда каждое состояние приближается к равновесному, появляются флуктуации расчетных значений средней температуры. Их появление можно объяснить относительно малым числом частиц и сравнительно большим размером ячеек, которые используются для описания системы, а также марковским характером процесса построения плотности распределения. Конечное значение температуры по-

ручается из закона сохранения полной энергии

nfiTi 4- -^ tiikQ = ~ nfkTf.(27)

Используя соотношение 2〃丁="心 получаем

t・70%e*

Рис. 4. Изменение температуры (°К) в зависимости от времени при q = 5000° К.

I)九=IOOQ°K： случай II (△), случай 12 (□), случай 13 (•), случай 14(0).

2)比=2000。к： случай 21 (X), случай 22 ( + ).•

3) /1 = 3000。К： случай 31 (■).

бовалось бы слишком много вычислительного времени, чтобы рассчитать поведение системы до тех пор, пока она не достиг- нет полностью равновесного состояния.

Мы не имеем никакого решения, даже приближенного, чтобы сравнить с ним проведенные расчеты. Для того чтобы оценить точность результатов в каждый момент времени, вычисляются стандартные отклонения статистических величин. В качестве примера приведем следующие данные. Стандартные отклонения для температуры в основном меньше 170° К для пре- дельных случаев большой теплоты реакции и малого числа пробных частиц. Однако, поскольку принятая последовательная

вычислительная схема является марковской, малые отклонения от точных величин в каждый момент могут накапливаться и привести к большим отклонениям.

На рис. 6 и 7 показаны изменения числовой плотности, отнесенной к полной числовой плотности в каждый момент времени.

Рис. 5. Изменение температуры (°К) в зависимости от времени при Q = 10 000° К.

/) Л = 2000° К： случай 41 (△), случай 42 (О)；

2)力= 3000。К: случай 51 (».

Следует отметить уменьшение величины флуктуаций по сравнению с расчетами для температуры. На этих графиках величина концентрации компоненты А измеряется от нуля оси ординат, компоненты В — от единицы, а промежуточная область указывает на наличие компоненты С. Изменение концентрации компоненты 5 приближенно пропорционально производной по времени от концентрации компоненты А. Абсолютная величина концентрации компоненты В всегда мала. Это обусловлено тем фактом, что временной интервал имеет порядок нескольких времен свободного пробега. Однако можно предполагать, что это справедливо и в общем случае, за исключением момента

Рис. 6. Изменение концентрации в зависимости от времени при Q = 5000° К.

Обозначения те же, что и на рис. 4.

Рис. 7. Изменение концентрации в зависимости от времени при Q = 10 000° К.

Обозначения те же, что и на рис. 5.

начала реакции. Исходя из этих результатов, можно подтвердить целесообразность предположения о квазистационарности состояния промежуточной смеси, играющей роль передатчика свойств.

Плотности вероятностей компонент А и С для случаев 13 и 51 представлены на рнс. 8 и 9; характер поведения функции

Рис. 8. Плотность вероятности для случая 13, где Л = 1000° К к Q = 5000° К.

плотности вероятностей в других случаях почти такой же. Сна чала возникает отклонение плотности вероятностей от функции Больцмана, которое показано во втором и третьем рядах на рнс. 9. Столкновения частиц сорта А с частицами сорта В или С сильно повышают энергию части частиц сорта Л. Последующие столкновения между частицами вызывают термализацию полной системы и в то же самое время продолжает существовать столкновительный процесс, приводящий к реакциям. Неравномерность, обусловленная недостаточным числом частиц, не особенно заметна, за исключением особых случаев, таких, какие видны на нижней части рис. 8 для компоненты Л и во

втором ряду для компоненты С на рис. 9. Большое отклонение компоненты А от распределения Больцмана объясняется главным образом исчезновением частиц, а также столкновениями частиц компоненты А с большим числом частиц компоненты С.

Рис. 9. Плотность вероятности для случая 51, где h - 3000° К и Q = 10 000° КРис. 9. Плотность вероятности для случая 51, где h - 3000° К и Q = 10 000° К

Рис. 9. Плотность вероятности для случая 51, где h - 3000° К и Q = 10 000° К

Рис. 9. Плотность вероятности для случая 51, где h - 3000° К и Q = 10 000° К

Отклонение плотности распределения компонент от распределения Больцмана можно также наблюдать, сравнивая изменения их моментов, которые представлены на рис. 10 и 11 для тех же случаев, что и графики на рис. 8 и 9. Вычисляются моменты

咼=仆=咼=仆=2 （«2 + ч2 + ®2） /8Ra?a

咼=

仆=

咼=

仆=

-（"安4 + 小）/（8/?仇）2,（29）

2（"%2 + d趾2 + 山也2）8RaTa \2

где N& — число соответствующих частиц, Ra = n/ma и 几一температура компоненты а. Суммирование распространяется на все участвующие в процессе частицы, для которых были получены данные. Физическая интерпретация первого уравнения (32) про- ста, но физическая интерпретация второго н третьего уравнений отчасти неясна. Поскольку предполагалась однородность вкон-

Р и с. 10. Изменение моментов компонент А м С в зависимости от времени для случая 13, где h = 1000° К и Q = 5000。К.Р и с. 10. Изменение моментов компонент А м С в зависимости от времени для случая 13, где h = 1000° К и Q = 5000。К.Рис. И. Изменение моментов компонент Л и С в зависимости от в ре* мени для случая 51, где /г= 1000°К и Q = 5000° К.Рис. И. Изменение моментов компонент Л и С в зависимости от в ре* мени для случая 51, где /г= 1000°К и Q = 5000° К.

Р и с. 10. Изменение моментов компонент А м С в зависимости от времени для случая 13, где h = 1000° К и Q = 5000。К.

Р и с. 10. Изменение моментов компонент А м С в зависимости от времени для случая 13, где h = 1000° К и Q = 5000。К.

Рис. И. Изменение моментов компонент Л и С в зависимости от в ре* мени для случая 51, где /г= 1000°К и Q = 5000° К.

Рис. И. Изменение моментов компонент Л и С в зависимости от в ре* мени для случая 51, где /г= 1000°К и Q = 5000° К.

[ерез В обозначены равновесные значения; О компонента А; • компонента С.[ерез В обозначены равновесные значения; О компонента А; • компонента С.Обозначения те же, что и на рис. 10,Обозначения те же, что и на рис. 10,

[ерез В обозначены равновесные значения; О компонента А; • компонента С.

[ерез В обозначены равновесные значения; О компонента А; • компонента С.

Обозначения те же, что и на рис. 10,

Обозначения те же, что и на рис. 10,

фигурационном пространстве, другие кинетические тензоры нельзя использовать для контроля порядка отклонения от распределения Больцмана. Процессы отклонения или приближения к распределению Больцмана при химических реакциях можно наглядно понять, сравнивая изменение этих моментов на рис. 10 и 11 с видом плотностей вероятностей на рис. 8 и 9.

При рассмотрении этих результатов обнаружилось, что обычные методы, такие, как разложение в ряды функции распределения, не могут быть применены непосредственно для изучения неравновесных состояний при сильных отклонениях от равновесия. Химическая неравновесность существенно отличается от термической неравновесности. При рассмотрении такой системы методами кинетической теории газов следует отдать предпочтение бимодальным аппроксимациям, подобным аппро-

ксимации Мотт-Смита [10], а не методам возмущений (таким, как в работе [11]). Хотелось бы привлечь больше внимания к этому направлению исследований.

Выводы

Поведение реагирующего газа может быть правильно описано при рассмотрении относительно малого числа частиц. Несмотря на то что была принята очень простая модель химической реакции, оказалось возможным обнаружить существенные свойства явления. Но для того чтобы распространить этот метод на более реальные случаи, необходимо разработать различные приемы ускорения расчетов или же ожидать новых вычислительных машин с большим быстродействием.

Отчетливо показан вид функций плотности вероятностей процесса химической реакции. Чтобы заполнить пробел между теорией и вычислительными экспериментами, требуется провести еще ряд исследований.

Флуктуации температуры слишком велики на последней стадии химического процесса. Их следовало бы уменьшить путем увеличения числа пробных частиц и ячеек плотности вероятностей, что, однако, потребовало бы большого времени для вычислений.

Литература

23.4 S23.4 S67.&Q-67.&Q-10.L10.LMetropolis N., et al., J. Chetn. Phys., 21, 1087 (1953)

23.4 S

23.4 S

67.&Q-

67.&Q-

10.L

10.L

Rosenbluth M. N., et aL,丄 Chern. Phys., 22, 881 (1954).

Wood W. W., et al.,丄 Chem Phys., 27, 720 (1957).

Alder B. J„ et al., J. Chetn. Phys, 27, 1208 (1957)

Lavin M. L., MIT, Fluid Dynamics Res. Lab. Rep. № 61-63; AFOSR 627, 1961.

Haviland J. K, et al., Phys. Fluids, 5, 1399 (1962).

Haviland J K., Rarefied Gas Dynamics, vol. 1, Academic Press, N. Y., 1963, p. 274.

Haviland J. K., Methods in Computational Physics, vol. 4, 1965, p. 109; русский перевод см. на стр. 7 настоящего сборника.

Gentry R. A., Harlow F. Н., Martin R. Е., Methods in Computational Physics, vol 4. 1965, p. 211; русский перевод см. на стр. 178 настоящего сборника.

Mott-Smith Н. М., Phys. Rev., 82, 885 (1951); русский перевод: сб. Механика, № 1 (17), 72—85 (1953).

Grad Н., Communs Pure and A ppi. Math., 2, № 4, 331 (1949); русский перевод: сб. Механика. № 4 (14), 71—97 (1952).

1? Зак. 1370

Численные эксперименты для решения задачмолекулярной динамики1)

Р. Джентри, Ф, Харлоу, Р. Мартин

Введение 〜

В литературе по молекулярной кинематике неизменно подчеркивается необходимость в решающих экспериментах, с которыми можно было бы сравнивать приближенные теоретические результаты. Изложенное здесь исследование было предпринято для того, чтобы до некоторой степени возместить отсутствие таких экспериментов. Однако мы использовали при этом метод, совершенно не похожий на методы, применяемые при постановке эксперимента, метод, появление которого стало возможным благодаря существованию больших быстродействующих машин. Наши «эксперименты» состоят из подробных расчетов траекторий многочисленных, не имеющих размера частиц, взаимодействие которых задается некоторой силовой функцией; взаимодействие этих частиц с находящимися в непосредственной близости стенками происходит таким образом, как этого требуют соответствующие граничные условия. Эти численные эксперименты очень похожи на физический эксперимент, за исключением того, что в наших численных экспериментах имеется полный и точный контроль над начальными и граничными условиями, а также над действующими между частицами силами; кроме того, можно изучать все аспекты получаемых результатов со всеми требуемыми подробностями.

В начале статьи описан метод, с помощью которого выполняются эксперименты. Затем для простых задач производится сравнение полученных результатов с известными точными решениями и тем самым устанавливается законность применения численного эксперимента как основы для сравнений с теорией. В следующем разделе получены некоторые новые аналитические результаты для различных существенно неравновесных состояний, показывающие также, как используется на машине

"Gentry R. A., Harlow F. Н., Martin R. Е., Computer experiments for molecular dynamics problems, Methods in Computational Physics, Advances in Research and Applications, vol. 4, Applications in Hydrodynamics, 1965, p. 211—245. '

итерационный метод решения системы интегральных уравнений, возникающих при решении задачи. Наконец в последнем разделе показано, как можно использовать численные эксперименты в качестве решающего критерия для проверки этих и других аналитических результатов.

Предшествующие исследования такого рода были выполнены Олдером и Уэйнрайтом [3, 4, 11], О л дером [2], Вудом и Паркером [13], Вудом и др. [14], Хэвилендом [9], Левином [10], но все эти работы в некоторых отношениях отличаются от нашей. Олдер и Уайнрайт рассматривали только твердые шарообразные молекулы и старались устранить из расчетов все эффекты стенок. Вуд и др. использовали частный случай метода Монте- Карло и к тому же не заботились об учете влияния стенок. Хэ- виленд и Левин также использовали метод Монте-Карло и учитывали влияния ограничивающих стенок; однако они рассматривали только бинарные столкновения. В нашей работе допускаются взаимодействия каждой частицы со всеми соседними частицами в соответствии с простым законом взаимодействия, при котором сила обратно пропорциональна некоторой степени расстояния.

Предлагаемый метод можно использовать для изучения усложненных ситуаций молекулярной динамики даже при отсутствии анализа, который связывал бы физические свойства с математической моделью взаимодействия. Одним из таких примеров является поведение молекулярной системы при больших градиентах температуры и скорости; другим примером служит влияние изменения закона взаимодействия и граничных условий.

В этой работе обсуждаются основы метода моделирования главным образом для изучения поведения совокупности молекул в течениях с поперечным градиентом скорости, когда частицы заключены между двумя плоскими параллельными стенками. Для того чтобы показать обоснованность экспериментов, а также проиллюстрировать уровень испытываемых флуктуаций, приводятся результаты сравнения с точной теорией для случая, когда силы взаимодействия между частицами равны нулю. Затем обсуждается простая релаксационная модель Бхатнагара и др. [5], которую ниже будем называть моделью БГК, и дается новый вариант ее решения. После обсуждения поведения решений в предельном случае слабого взаимодействия и малых градиентов скорости мы сравниваем новые решения с экспериментальными результатами, в которых характерные скорости жидкости являются большими, и показываем, что совпадение во многих случаях лучше, чем этого можно было ожидать.

Эксперименты на электронных вычислительных машинах

Основная цель этих экспериментальных расчетов — представить контролируемые результаты, которые можно было бы сравнивать с результатами, получаемыми аналитическими методами. Сравнение с физическими экспери мента м и было бы также интересно и полезно, но это не было сделано по следующей причине: вычислительные эксперименты были выполнены пока только для двумерных совокупностей молекул, чтобы、можно было получить наилучшую возможную статистику с учетом ограниченности памяти и быстродействия имеющихся вычислительных машин. С точки зрения наших основных намерений это не важно, так как все существенные особенности реальных трехмерных совокупностей встречаются также и при расчете двумерных и все существующие теоретические методы легко видоизменяются для этого случая.

. Расчет траекторий частиц

机н = 2%，机н = 2%，Метод, который мы используем, является в принципе простым и прямым. Он включает в себя последовательное интег* рирование по времени траектории частицы, описываемой дифференциальными уравнениями движения

机н = 2%，

机н = 2%，

（1）

⑵’

где Tj и gj — координаты и скорости частицы /, m — масса частицы (здесь она одинакова для всех частиц), a F订一сила,действующая на частицу i со стороны частицы /. Во всех проведенных до сего времени исследованиях использовались двухчастичные силовые функции, которые направлены вдоль линий центров и зависят только от расстояния между частицами. Однако нетрудно сделать обобщения (например, для случая полярных молекул).

В идеальном случае суммирование в уравнении (1) нужно было бы производить по всем частицам системы； однако на практике имеет место значительная экономия вычислительного времени, если ограничиться сложением сил, действующих со стороны тех соседних молекул, влияние которых наиболее заметно. Поэтому силы, действующие на данную частицу, определяются путем суммирования сил от всех соседних частиц, на-

ходящихся от нее на расстоянии меньшем, чем некоторый заданный радиус. Этот радиус определяется методом последовательных приближений как минимальное расстояние, при котором нельзя найти заметных различий в интересующих нас функционалах.

Эволюция истории частиц во времени происходит в течение последовательности конечных интервалов продолжительности 6/, которые образуют систему циклов по времени, обозначенных индексом и. Таким образом, координаты и скорости в конце (п+ 1)-го цикла вычисляются с помощью конечно-разностной аппроксимации уравнений (1) и (2) через известные координаты и скорости в конце 〃-го цикла:

守；欧+《工用， (з)

r片=叶+6弯产. ⑷

Отметим, что в уравнении (4) для вычисления новых координат используются новые скорости. Применение прежней скорости привело бы в результате к безусловной вычислительной неустойчивости, в то время как форма, записанная выше, может быть устойчивой при достаточно малых б Л

На практике обнаруживается, что требование точности результатов налагает более строгое ограничение на размер 6/, чем то, которое необходимо для устойчивости. С помощью уравнений (3) и (4) можно показать, что условие сохранения суммы потенциальной и кинетической энергий в разностных уравнениях выполняется не точно и что расхождение за один цикл пропорционально б/2. Таким образом, погрешности, накопленные в течение некоторого характерного времени задачи, пропорциональны 6/ и наше требование о том, чтобы ошибка, полученная при вычислении энергии, была пренебрежимо малой, оказывается более строгим, чем требование устойчивости.

Б. Граничные условия

Частицы располагаются в двумерном 《ящике》，который образуется двумя стенками и замыкается соответствующими условиями на концах. Левые и правые концы во всех расчетах, описание которых будет дано, играют пассивную роль. Они являются либо твердыми зеркально отражающими границами, либо периодическими границами. Частицы, которые ударяются о зеркальную границу, возвращаются в систему с той же тангенциальной и противоположной по знаку нормальной компо* нентами скорости. В случае периодической границы область, в

которой производился расчет, рассматривалась как один из периодов бесконечной периодической системы, так что частицы, находящиеся, например, вблизи правой границы, взаимодействуют как раз с теми внешними частицами, положения которых сдвинуты на один период по сравнению с частицами, только что попавшими внутрь области через левую границу. Аналогично этому частицыv выходящие с одного конца, входят через другой периодически/Более важна трактовка верхней или нижней стенок, которые могут быть зеркальными или диффузадми.

Диффузно отражающие стенки можно охарактеризовать гремя величинами: координатой стенки, единичной нормалью п (направленной от стенки внутрь) и функцией вероятностей 立(自).Последняя определяется таким образом, что P(g)d* ——вероятность того, что частица, которая ударилась о стенку, возвратится в систему со скоростью в интервале 售，自+啕.

Отдельные частицы при вычислениях рассматриваются следующим образом. Всякий раз, когда частица пересекает ограничивающую газ стенку, генерируются с равномерной вероят- ностью два случайных числа ех и е^ из интервала (0, 1) (для трехмерных расчетов нужно было бы генерировать три числа). Индексы выбраны в соответствии с соглашением, которое будет использовано в дальнейшем, что ось х горизонтальна н параллельна стенкам, а ось у вертикальна и перпендикулярна стенкам. Следовательно, компоненты |х и ^ скорости после отражения выражаются в виде

%=J©jd|%|P(d⑸

— ОО О

同I8

%= J矶館I d%p@.⑹

О—ОО

Знак & выбирается так, чтобы п •自〉0. Отметим, что подразу」 мевается выполнение следующего тождества:

J d%Jdl%lp(g) = l.

— ОО 0

Граничным условием на стенке можно дать статистическую интерпретацию с помощью одночастичной функции распределения f(r,W), которая определяет плотность частиц в точке г со скоростью 三.В основе этой интерпретации лежит соотношение между значением функции распределения на стенке и вероятностью эмиссии Р&), выражающее равенство потоков частиц

к стенке и от стенки:

Е •谛(Г®, 9 =—尸⑹ J П 万(г®, 9 眼(7)

где rw—координата стенки. Интегрирование производится по всем значениям 自‘,для которых 自'・п<0. Эю соотношение справедливо для таких значений 自，которые удовлетворяют условию |-п>0.

Двум другим типам стенок соответствуют разновидности общих диффузных условий, при которых компоненты скоростей частиц, попадающих на стенку, полностью забываются, а компоненты скоростей частиц, вылетающих со стенки, определяются температурой стенки. Встречаются варианты； отличающиеся от других степенью, в которой стенка сохраняет тепловое равновесие с частицами, находящимися рядом с ней. В этом отношении мы можем представлять себе стенку как резервуар, устроенный так, что потоки частиц, направленные внутрь, и потоки, направленные наружу, равны. Два процесса, происходящих в резервуаре, нарушают равновесное состояние, которое в противном случае имело бы место у стенки. Один из них обусловлен потоком входящих частиц. Однако мы будем пренебрегать этим процессом, предполагая, что его можно моделировать, придавая стенке частично зеркальные свойства. Другой процесс вызван потоком выходящих молекул. Так как движущиеся быстро частицы вылетают с большей вероятностью, чем движущиеся медленно, то влияние высокоскоростной части функции распределения в резервуаре непрерывно уменьшается. Таким образом, конкурируют скорости двух процессов: одной является скорость релаксации резервуара к равновесию с температурой стенки, другой является скорость убывания высокоскоростной части функции распределения, обусловленная эмиссией •частиц. Если скорость релаксации велика, то функция распределения вылетающих частиц на стенке будет распределением Максвелла——Больцмана с температурой и скоростью, соответствующими стенке. Тогда из уравнения (7) для частиц, удовлетворяющих условиям п-§>0 и п • U=0, следует

尸⑶=KG • Е exp [—矗倡一U)2],(8)

где U и Tw — скорость и температура стенки, а К—постоянная нормализации:

Однако если скорость релаксации мала, то

尸售)= ^ехр [—遥(& —и)].(10)

Соответствующая функция распределения для вылетающих частиц на стенке принимает весьма специфический вид:

№—М 六 ехр[_ 訝(А5[.(1；)

Вначале кажется, что сингулярное поведение этой функции распределения совершенно несовместимо с ожидаемым поведением. Однако после проведения расчетов, использующих эти два экстремальных типа граничных условий, мы пришли к заключению, что результаты для большинства интересных величин заметно различаются только на расстоянии одного среднего свободного пробега от стенки. Хотя можно ожидать, что реальные стенки будут иметь свойства, промежуточные между этими двумя крайностями, в данной работе мы всегда использовали более удобные представления, соответствующие выражению (8). В более реальных приближениях следовало бы сочетать свойства обоих разобранных вариантов со свойствами зеркально отражающих стенок.

. Начальные условии

В начале численного эксперимента регулярным образом задаются положения частиц так, что они образуют решетку. При задании компонент скорости частицы прежде всего случайно выбирается направление компоненты скорости, перпендикулярной к ограничивающим стенкам, которое устанавливает, из какой стенки вылетает частица. Скорости частиц выбираются затем с помощью распределения вероятностей, соответствующих стенке, с которой вылетает частица (этот процесс дает в результате асимметричное распределение скоростей, характеризующих ограниченную систему невзаимодействующих частиц).

В начале эксперимента системе представляется возможность достаточно долго эволюционировать во времени, чтобы дать возможность установиться стационарному распределению; только после этого начинаются наблюдения.

(1L Экспериментальное исследование течения с поперечным градиентом скорости для невзаимодействующих частиц

А. Теоретическое решение

Пусть совокупность невзаимодействующих частиц заключена между двумя полубесконечными рассеивающими стенками,

Рис. 1. Конфигурация ограничивающих стенок для течения с поперечным градиентом скорости.

имеющими одинаковую температуру; характерное поперечное сечение представлено на рис. 1. Этим стенкам соответствуют следующие вероятности эмиссии:

PI(§) = -^^exp[-m(12)

Р2 (?) = - -^^ ехр [- (? - U)2 П(13)

где 俨三 2hTw[m,(14)

а индексы 1 и 2 относятся соответственно к нижней и верхней стенкам. Верхняя стенка движется со скоростью U; в этом разделе мы учитываем только движение с поперечным градиентом скорости. В разд. II мы показали, что граничные условия типа тех, которые используются здесь, соответствуют максвелловскому распределению скоростей для частиц, движущихся от стенок. Поскольку частицы при движении от одной стенки к другой не взаимодействуют друг с другом, поведение каждой частицы полностью определяется условиями на той стенке, с которой она в последний раз столкнулась. Таким образом, все частицы,

движущиеся к верхней стенке, имеют максвелловское распределение скоростей, определяемое граничными условиями на нижней стенке, тогда как противоположное утверждение справедливо для частиц, движущихся к нижней стенке:

確)=去 ехр[—С +騎网 £>0,(15)

")=》exp{—%-U)2+ 蜀們,£<。， (16)

где 方一число частиц на единицу площади, в данном случае постоянное. Различные интересующие нас моменты можно получить с помощью обычных соотношений кинетической теории: Компоненты скорости газа

"g=/jd髭/售) = 0,(И)

〃* =《Jd雄/⑹=U/2.(18)

Давление

руу= J d物学@ = nkTw.(19)

Касательное напряжение

~ = J诡团&舗⑥=-需.(20)

Поток кинетической энергий

Q"= J嫌愕£佬+帥0一■.(21)

Температура газа

7 = ♦ J 必愕 K『■ + 財]f《)=&(1 + 冴/2),(22)

где

и = и/F.(23)

Б. Анализ численных экспериментов

Потоки таких величин, как Р”，Рху9 а также Q^ легко определяются с помощью оценки скорости переноса соответствующей величины к ограничивающей стенке за некоторый период времени. Например, касательное напряжение определяется с по-

мощью простого соотношения

忆=芸，(24)

где Рх — проекция на ось х общего количества движения, перенесенного к стенке длиной L за время £ При увеличении времени измерения значение, полученное этим методом, асимптотически приближается к истинному стационарному значению (за

7 〃 у % Zа sm&7 〃 у % Zа sm&

7 〃 у % Zа sm&

7 〃 у % Zа sm&

0,g

〃7

Рис. 2. Относительное значение измеренного касательногонапряжения в зависимости от времени.

достаточно большой отрезок времени число происходящих столкновений становится достаточно большим для того, чтобы уменьшить относительный эффект флуктуаций до очень малой величины). Относительное влияние флуктуаций в зависимости от времени можно наблюдать, представляя на графике в зависимости от времени отношение PxILtPxy^ где Рху — значение, предсказываемое нашей теорией. График этого отношения представлен на рис. 2 для задачи, при решении которой использовалось 100 частиц, причем силы, действующие между частицами, были равны нулю, а относительная скорость » имела значение 1,414. В течение интервала времени, данного на графике, произошло около 2600 столкновений на каждой стенке. Мы видим, что в пределах нескольких сотен столкновений приведенное выше отношение близко к единице. Пунктирные линии ограничивают вероятностные пределы (с вероятностью 95%),предсказываемые теорией флуктуаций для данного случая. В соответствии

с теорией эти пределы даются неравенством

—Ц——1 < Ltpxy—Ц——1 < Ltpxy22(25)(25)

—Ц——1 < Ltpxy

—Ц——1 < Ltpxy

2

2

(25)

(25)

Здесь N ——число столкновений со стенкой за время £ Требуемое число столкновений определяется с помощью этого выражения таким образом, чтобы уровень флуктуаций не превосходил данного минимального значения. В стационарных задачах число столкновений частиц с ограничивающей стенкой про- порционально времени т рассчитываемой серии (не путать с t.

текущим временем задачи). Это означает, что время расчета, которое необходимо для того, чтобы достигнуть данного уровня флуктуаций, подчиняется соотношению

(26)(26)ГЛГЛ一 constT = —r—

(26)

(26)

ГЛ

ГЛ

Приведенное выше выражение строго ограничивает пригодность методов данного типа при рассмотрении задач, в которых U мало. Например, для задачи» где 心=0』，для того, чтобы предельное значение флуктуаций было около 10%, потребовался бы эксперимент, в котором Л^^40 ООО. Кроме того, моменты более высокого порядка более чувствительны к флуктуациям. Например, флуктуации в потоке кинетической энергии Q〃 пропорциональны俨了初

Мы обнаружили, что характерные флуктуации в экспериментах для течения с поперечным градиентом скорости с учетом взаимодействия частиц оказываются больше, чем в описанном выше случае. К тому же из-за ограниченности машинного времени наибольшее значение N выбиралось в пределах одной- двух тысяч. Отсюда следует, что для сохранения приемлемого уровня флуктуаций значение U нужно брать большим примерно 0,5.

Когда решаются задачи с учетом взаимодействия частиц, полезно следить не только за влиянием взаимодействий со стенками. Изменение локальных свойств газа в пространстве определяется таким образом: область с полной высотой А делится на десять полос длиной £ и шириной Ау, где

(27)(27)%=/,

(27)

(27)

а затем в каждой из десяти полос вычисляются интересующие нас средние величины. Изменение плотности частиц в зависимости от расстояния от ограничивающих стенок рассчитывается с помощью выборки в каждой из десяти областей определен-

ного числа частиц для каждого из регулярных временных интервалов и вычисления среднего времени. Пусть индекс i соответствует полосе, центр которой лежит на расстоянии (i+l/2)^y от нижней стенки. Тогда средняя плотность частиц〈м。для этой полосы дается выражением

м

<^=AiwS^^-(28)

Здесь

/尸川(29)

(30)(31)(30)(31)представляет собой момент времени, когда было сделано /-е измерение, ап?——число частиц в полосе i в момент времени %. Затем можно найти действительное пространственное распределение, предполагая, что

(30)

(31)

(30)

(31)

Действительно,Действительно,"(/)=s\

Действительно,

Действительно,

/+万知

〈"〉=击 J n 匂)dy.

Это означает, что будет проявляться тенденция к осреднению значительных изменений п на расстоянии А". Вообще говоря, при фиксированном числе частиц это решение нельзя улучшить с помощью уменьшения размера полос, так как вместе с этим уменьшением возрастает относительное влияние флуктуаций.

Профиль скорости газа определяется подобным же образом. Вначале в каждой полосе вычисляется среднее значение (Pj) импульса. Затем определяется скорость газа с помощью соотношения

〈或=文紐欧 (32)

Аналогичным образом можно найти распределение температуры, воспользовавшись выражением

(33)(33)5/2) (〈/> -〈〃〉》

(33)

(33)

Эти соотношения постоянно используются в следующих разделах для вычисления изменений моментов в физическом пространстве.

IV. Приближенная теория стационарного режима

А. Уравнение БГК

Распределение по скоростям в газе в отсутствие внешних сил подчиняется уравнению

■! + ?» = %，(34)

где 6〃6/ — столкновительный член. Однако в большинстве случаев сложный вид столкновительного члена ограничивает круг задач, для которых можно получить решение. Уравнение БГК, характерной чертой которого является простой вид столкновн- тельного члена, недавно было использовано в работах [7, 12] для решения нескольких задай кинетической теории. Вследствие своей простоты и наглядности оно применялось для качественного изучения влияния ограничивающих стенок. Уравнение БГК можно получить как аппроксимацию уравнения Больцмана для межмолекулярных сил специального типа; однако возможность его применения в случае более общих законов взаи^ модействия или при экстремальных условиях мало исследована. Поэтому представляется уместным сосредоточить вначале наши усилия на попытке сравнить результаты, полученные при решении уравнения БГК, с нашими численными экспериментами.

В уравнении БГК столкновительный член описывает простой релаксационный процесс:

普=3[〃(皿一丹.(35)

Функция f0 имеет вид максвелловского распределения скоростей

% (г，舒=2SWT ехр { — 机居 一 U (r)F/2政(Г)}・(36)

Она является функцией, к которой локально релаксирует газ; таким образом, имеем

〃=jf必，(37)

«и= J fldl,(38)

nkT=~-\f^-v^^.(39)

Упрощенный столкновительный член в уравнении БГК предсказывает, что в отсутствие градиентов распределение скоростей приближается к максвелловскому распределению. Кроме

газа, количества в стационарномгаза, количества в стационарномтого, он согласуется с обычными законами сохранения массы

газа, количества в стационарном

газа, количества в стационарном

движения и энергии, которые означают, что состоянии величины

P"WmJ尚诡，

Pxy^m ^ flxiyd^, Qgm号』％《-uг罐

(40)

не зависят от у.

В этом решении стенка имеет скорость только в направлении х. Тогда из соображений симметрии следует, что

〃产 0.(41)

и что функция f (г, I，/) не зависит от координаты %. Если рассматривать только стационарные решения, то уравнение (34) упрощается:

冬祭=8伽(*■)%-〃•(42)

Величина со может быть функцией локальных переменных; однако мы будем считать ее постоянной. В этом случае, интегрируя уравнение (42), получаем

'у•

f 匕 J) = ехр (- ®у&) R 焦)+ 嘛| J dt/n (夕)％ (/, E) exp (®力晶).(43)

0_

Здесь функция R(g) характеризует влияние ограничивающих стенок.

Вид распределения по скоростям на ограничивающих стенках определяется путем применения уравнения (7), равенства потоков на верхней и нижней стенках:

y = h-. f(h, S = - A 焦)屋 J 据局 J 恋/仇 F),%<0，(44)

0—oo

0oo

耳 >о. (45)耳 >о. (45)= 0："0/) = 一Р雜)[] J d££u J 巡7(0, m),

耳 >о. (45)

耳 >о. (45)

Для того чтобы удовлетворить этим соотношениям, нужно расчленить общее решение на две части. Пусть

f (у, 5) = exp (善

'卜*《)+ 崎'/ “"〃(/) % (“,日 exp (替"),(46)

%>。，

гУ]

f (У J) = exp (二^

)R-(9 + 崎1 J dyn(y")f0(y, g) exp (聲),(47) %<o.

Далее, применяя граничные условия при y—h и при у = 0, можно определить две функции R+(W) и /?~(|). Тогда получим

R^^-k^P,^},(48)

R飞)=—k^P^ exp (з/偈)一

h

一崎1 J dy,n(y,)f0(y,, Sexp(co%q). (49)

6

Здесь k\ и 左2 ——потоки частиц, падающих соответственно на нижнюю и верхнюю стенки:

О8

(50)(51)(50)(51)自=—J d%& J 篋J(0,虱

(50)

(51)

(50)

(51)

心=J%% j WJ他,S.

0—ОО

(52)(52)Поскольку в этой задаче оба потока равны, мн гложем опу стить индексы, т. е.

(52)

(52)

4]==左 2 ==瓦

Таким образом, формальное выражение для распределения скоростей можно записать в виде f(y,自)= /^”К)ехр(*) +

+ 崎I J dy'n (勿 /'о (к,園 ехр [二飞二S ] ,% > 0, (53)

Ну, 3 =一崛e@eхp[包丁卜 h

—崎I J d/“ (К) % (/, g) exp p°(%-")卜 %<0. (54)

Б. Моменты распределения скоростей

Функция распределения скоростей связана со своими моментами сложной зависимостью; однако можно получить формальные выражения для всех интересующих нас моментов. Тогда в результате формального интегрирования получается замкнутая система интегральных уравнений, которая составляет центральную часть аналитического исследования задачи.

Система из трех интегральных уравнений для плотности, скорости и температуры получается с помощью определений (37), (38), (39): 一

“ (у) = 2郎т {尸0(Wt//P) + Fo [w (Л - y)IP]} +

h

+ 3 J dyrn (/) [P (/)「I 尸T [з I у - К I 用(/)], (55) 0

nux (y) = 2呼-〔и 尸 о H (h —初0] +

h

+ ® J dtfn (/) [p (/)]"' ux (/)尸т [a I 〃 一川用(/)], (56) О

兩® = 2邰一】{ F^y^ [与 +《(r/)] + ^F^y!^ +

+尸0[3 (也一")用][与■ +成(人一y)] +俨尸2[3 (人- 9)/8] } + h

+ 3 j d/〃(K)a(/)「?F_j9^1] X О

X [ В £)+ (〃*(у) — их(^))2] + 俨(〃')尸i[■『(；'[]}• (57)

13 Зак. 1370

Здесь

6(")=/综"(58)

И

k^^\dyrn (/)尸0 [((0//Р (/)] /[1- 2% (叫閒.(59)

О

При определении функции Fp(/) мы использовали такие же обозначения, как в работе Абрамовича [1]:

Fp (х) = J dzzp exp [— (г + 工⑵]. о

Перепишем теперь эти Пусть

s ="他，

выражения в безразмерном виде.

応(s) = 〃x(q)/U, a =(oh/р, d -依呻.

(60)

n (s) = n (y)ltl, 吊(s) = В («/)/₽,

Здесь

п =

万 J dyn (у). 0

(61)

В дальнейшем очень важную роль будет играть параметр а, который является мерой интенсивности взаимодействия между частицами. Используя приведенные выше выражения, получаем

п (s) = 2d {尸° (as) + 尸° [а (1 — s)]} +

+ « f ds^n $) R S)『尸一 J 片,「I, (62) L Y (s。J

冷〃 Js) q 2 dp。[a (1 — s)] +

1

+ «/ dsG (s，) № (s')]- % (s，) Г—】[■£；]] ,(63)

где

d = a J dsG(sz)尸° [as=T(s，)]/[ 1 - 2/\ (а)],(65)

О

g](S)=尸0(as) [] + U2u^ (s)] + 尸2 (as),(66)

g2 (s,『)={尸-1 [a I s -门」О] К V2 О + U2 (mx(s)- ux (U) )2]+

+ 浴(丁)F Jals- 丁兩(J)]}. (67)

Можно получить также формальные выражения и для других интересующих нас моментов:

Давление

Руу =，пкТ4(а, U).(68)

Касательное напряжение

Рху = mn^ UG2(a, U).(69)

Поток кинетической энергии

Qy =机呻3Gз (a, 0}.(70)

Здесь

Gi(a,⑦= “2&(а) + ^М可 +

+ a J dsG S)。S) Л [a a- U)而 3)], (71) 0

G2 (a, U) = — d + a [ dsfn (s。〃* (sz) Fo [a (1 — s，)；Y (s7)],(72)

о

G3(a,历=d [% (a) + 2F3 (a) - ■!-囲 +

+ ^ a j ds% S) { & 口 (1 一 丁痴(U)] [^Ц^ + ◎码(『)]+

о

+ r回)尸2[a(1-u)内®)]}. (73)

Решение моментных уравнений

Для того чтобы получить полное решение задачи, необходимо решить вначале систему из трех интегральных уравнений, которые определяют 九,〃彳 и y- Чтобы получить приближенное решение для этих функций, мы использовали численный метод. Однако любое численное решение должно давать значения, удо-

влетворяющие следующим соотношениям:

n(s) = п(\ — s),(74)

7(s)#(l—s),(75)

葭⑸ +〃х(1—s)= 1,(76)

J dsn(s)=\.(77)

0

Первые три условия являются следствиями инвариантности относительно преобразования Галилея, т. е. единственным эффектом преобразования Галилея является прибавление к скорости газа их некоторого постоянного вектора. Четвертое уравнение является условием нормализации.

Для решения трех интегральных уравнений относительно 玄 йх и у мы использовали метод итераций. Итерационный процесс начинается с решения для системы невзаимодействующих частиц, которое согласуется с приведенными выше свойствами: 疝(s)=l,(78)

R(s)=l,(79)

"o(s) = J,(80)

d°= I//工(81)

Основной итерационный процесс проводится следующим образом:

Значения 脑,或,丫‘ и 出,полученные в /-й итерации, используются для того, чтобы получить новые значения из следующих соотношений:

7+1 (s) = 2d，{F。(as) + & [a (1 — s)]} +

+ a / ds，/ (s，) [▼ (s)「i F-i [a I s — s，I /▼ (s，)], (82)

*1 (s)=曲+i (s)]T 卜〃尸0 [a (1 — s)] + 1

+ a J dsfnJ (sz) [Y7 (sQ]'1 〃{ (s，) F_] [a [ s — s，| M(s,)] ,(83)

о

2 (s)二！ [3Ys)『[2〃 [gi (s) + gi (1 - s)] +

+ a J dsO? (s) [R (s，)「g2 (s,•

/+1⑸f /+1/+1⑸f /+1ds 勿"1 (s').ds 勿"1 (s').Затем выражение для п^+1 перенормируется следующим образом:

/+1⑸f /+1

/+1⑸f /+1

ds 勿"1 (s').

ds 勿"1 (s').

(84)

Вычисляются другие функции G『\ d{", G^, G「.

Проверяется выполнение соотношений

胆г f片+日

V £,/ = L 2, 3, 4,

(85)

где

力=d,

(86)

% = Gi,

(87)

/3 =g2，

(88)

。=g3，

(89)

а 8 — малое число, которое выбирается так, что при дальнейшем уменьшении эта разность становится пренебрежимо малой. Если все приведенные выше соотношения удовлетворены, то процесс итераций прекращается и в качестве решения принимаются значения, полученные в (/+ 1)-й итерации; в противном случае процесс продолжается.

На практике 7, их и '‘зависят от s сложным образом, что мешает вычислить полученные интегралы в замкнутом виде. Это означает, что вышеупомянутые функции нужно определять в дискретных точках, используя для вычисления необходимых интегралов численные методы.

/ Для вычисления интегралов мы выбрали наиболее простой из возможных методов, использующий следующее приближение:

hN

J f(s)ds^^s^fl,(90)

где

ft^ f [« — 4) A，](91)

и

As 三 h!N.(92)

При использовании этого метода значения Я, и, у можно вычислять в каждой из N точек с помощью последовательных приближений. Вначале в каждой из N точек Si определяются значения

n?,吟 Yp причем

(93)

Затем эти значения используются при вычислении интегралов с помощью квадратурных формул для того, чтобы получить 耳,码,%■•

Мы показали эмпирически, что этот метод в интересующих нас случаях сходится и что для некоторых предельных случаев

Рис. 3. Число итераций, необходимых для достижения сходимости.Рис. 3. Число итераций, необходимых для достижения сходимости.

Рис. 3. Число итераций, необходимых для достижения сходимости.

Рис. 3. Число итераций, необходимых для достижения сходимости.

он дает правильные решения. Для того чтобы обеспечить проверку точности решения, значение N в различных пробных задачах систематически увеличивалось. Во всех случаях обнаружи-

валось, что хорошие результаты можно получить при、=200. Всюду использовалось значение е= 10-4.

Этот итерационный метод удобен для получения решений при малых значениях а, поскольку при слабых взаимодействиях между частицами точное решение мало отличается от пробного; однако при больших а сходимость оказывается медленной. На рис. 3 представлен график числа итераций, необходимых для сходимости при различных значениях €7. По-видимому, число итераций при умеренных значениях а изменяется линейно в зависимости от а и, следовательно, машинное время, необходимое для получения решения, возрастает при этом также линейно.

При больших значениях а ( — 5) для ^=200 и е= 10-4 время решения на машине IBM-7094 равно 20 мин.

Г. Решения для малых значений U

Точность нашего численного решения можно проверить для предельного случая, когда О《1, так как в этом случае можно пренебречь изменениями плотности и температуры газа; кроме того, величина скорости газа и при этом всюду мала по сравнению с характерной скоростью р. Поэтому мы можем представить функцию распределения скоростей в виде

fs7(l +<Р),(94)

где

『=2^^ ехр (—机自 2/2* %),(95)

а 屮一малая величина. Если пренебречь изменениями плотности и температуры, то распределение скоростей можно разложить В ряд

『7(1+爷+。阍咻о6)

Подставляя приведенные выше выражения для / и fо в уравнение (42), получаем

自Р石f（1 + 屮）=s/（F" -屮），（97）

где члены второго порядка малости отброшены. Это уравнение сводится к следующему:

1 士西 ,2勾务/%/ = —学+飞L，1 士西 ,2勾务/%/ = —学+飞L，(98)(98)

1 士西 ,2勾务/%/ = —学+飞L，

1 士西 ,2勾务/%/ = —学+飞L，

(98)

(98)

которое можно переписать в виде

гдеигдеи0 0V, п荷"С"石9 + 29/",с =《/Р为三"JP = j de% (с) Ф (c) cy.0 0V, п荷"С"石9 + 29/",с =《/Р为三"JP = j de% (с) Ф (c) cy.(99)(99)(100)(100)

где

и

где

и

0 0V, п

荷"С"石9 + 29/",

с =《/Р

为三"JP = j de% (с) Ф (c) cy.

0 0V, п

荷"С"石9 + 29/",

с =《/Р

为三"JP = j de% (с) Ф (c) cy.

(99)

(99)

(100)

(100)

В работах [7, 8] получены и проанализированы решения приведенного выше уравнения для граничных задач кинетической тео-

Рис. 4. Безразмерное касательное напряжение как функция ct (U《1).Рис. 4. Безразмерное касательное напряжение как функция ct (U《1).

Рис. 4. Безразмерное касательное напряжение как функция ct (U《1).

Рис. 4. Безразмерное касательное напряжение как функция ct (U《1).

/ — численное решение, U《 I; 2 — решение "] (пер-вое приближение); 3 — решение [7] (второе прибли-жение).

рии. В этих работах f является функцией трех компонент скорости &, Е〃，&. Однако если £7《1 и если пренебречь нагревом вследствие вязкости, то третья координата £z не влияет на вид безразмерных величин Рху и 窃у. В работе [7] показано, что <р

Рис. 5. Скорость скольжения на стейке в зависимости от a (U « 1).

/ — численное решение, U《 1; 2—решение [7] (пер-вое приближение); 5 — решение [7] (второе приближе-ние).

можно представить в виде степенных рядов

屮=% \ 或& (%),с* > о,

二。(101)

$ = Q \ 或4 (х),Сх < 0.

Затем при усечении этого ряда получается приближенное решение. Приближения первого и второго порядков для напряжения и для распределения скоростей в газе были получены с помощью функций

"с屮、丨 (102)

若= %(А；(х) + с/：(%)).

На рис. 4 показана зависимость безразмерного касательного напряжения G2(a, О) от а в предельном случае О《1. Приближение первого порядка, полученное в работе [7], значительно отличается от наших численных результатов. Однако приближение второго порядка довольно хорошо согласуется с нашими результатами. Кажется, что если бы при решении линеаризованного уравнения было получено приближение третьего порядка* оно еще больше приблизилось бы к нашему численному решению. Последняя работа Г росса 'и Зиринга [8] подтверждает это. Авторы использовали аналогичный метод при решении задачи о сдвиговом течении между ограничивающими стенками для линеаризованного уравнения Больцмана. В их работе было показано, что приближение третьего порядка для Рху очень слабо отличается от приближения второго порядка. Кроме того, значение Рху в приближении третьего порядка было несколько больше, чем в приближении второго порядка для всех указанных значений а.

Для того чтобы сравнить распределение скоростей в газе, мы представили скачок скорости Дй = м (0) в зависимости от параметра а (рис. 5) и вновь получили хорошее совпадение.

Сравнение теоретических результатов с экспериментом

Определение s

До сих пор все рассмотренные нами решения не зависели от вида межмолекулярных сил. Для того чтобы связать теоретические результаты с нашими экспериментальными данными, мы

должны определить величину со, а также параметры, характеризующие межмолекулярные силы через локальные характеристики газа.

Вначале мы получили выражение для со с помощью подробного изучения свойств уравнения Больцмана н его связи с уравнением БГК. Чтобы получить решение первого приближения в виде

f = fo(l+①)， (ЮЗ)

был использован метод последовательных приближений Чепмена ——Энскога; рассматривалась система молекул, которые взаимодействуют между собой с сило員 F仃，имеющей вид

(Ю4)

В обозначениях Чепмена н Каулинга [6] можно записать, что

l一小際卜⑹.学凯一/心 где

。产…， А (с) = eg产 S% (с, b⑹Пe-銹留У,

(105)

(Юб)

(Ю7)

(Ю8)

a S({)(с2) — полиномы Сонина. Отметим, что так как в 1 этой работе рассматривается двумерное пространство скоростей, то в приведенных выше решениях мы применяли полиномы другого порядка.

Можно показать, что в приближении первого порядка ①⑴ определяется в виде

①⑴=一丄(—А ⑴(с)- W - - В ⑴:и, (109) п \ m )— dr д Or，

где выражения

А(,) = а1с5^(с2),(ПО)

BUjsLc%(111)

в определенных случаях можно отождествить с решением линеаризованного варианта уравнения (42) при подходящем выборе о).

В частности, имеем

(дТ/дг = 0)傢и = 0)(дТ/дг = 0)傢и = 0)2〃

(дТ/дг = 0)

傢и = 0)

(дТ/дг = 0)

傢и = 0)

(Н2)(Н2)со = у для сдвигового течения,

(Н2)

(Н2)

п

со = — для теплопередачи.

Коэффициенты % н 必 определяются видом данного закона взаимодействия. Для сил общего типа, определенных уравнением (104), можно найти, что

Ь1 = К

^Г^^013)

а】=6

#（呼严碗（U4）

где f(V) и g(v)—некоторые числа порядка единицы. Из этих

2皿 / Т、％/ х \i/(v-i)—皿 / T \% (竺y/g) 旧丿2皿 / Т、％/ х \i/(v-i)—皿 / T \% (竺y/g) 旧丿выражений следует, что

2皿 / Т、％/ х \i/(v-i)

—皿 / T \% (竺y/g) 旧丿

2皿 / Т、％/ х \i/(v-i)

—皿 / T \% (竺y/g) 旧丿

(И5)(116)(И5)(116)(сдвиговое течение), (теплопередача).

(И5)

(116)

(И5)

(116)

Необходимо помнить, что в нашем исследовании характерная температура газа отличается от температуры стенки Т初,так как нагрев за счет вязкости является важным эффектом. В выражении для а мы заменили 紅 на 乃 н использовали эквивалент температуры Т*, который определяется выражением

r=Pyylnk. (И7)

Эта функция имеет то преимущество, что она постоянна для всего газа н возрастает при увеличении U подобно влиянию вязкого нагрева. Фактически она, вероятно, служит лучшим критерием нагрева за счет вязкости, чем локальная температура газа в тех случаях, когда важны граничные эффекты (т. е. при малых а). Нагрев газа за счет вязкости происходит в тех случаях, когда значительная часть кинетической энергии движения жидкости из-за столкновений между частицами переходит во внутреннюю энергию. Этот эффект становится малым, когда мало влияние столкновений. Ранее мы видели, что в предельном случае отсутствия сил взаимодействия между частицами местная температура в газе была больше, чем на стенке, в 1 +£72/2 раз. Это аномальное поведение обусловлено двухпоточным ви* дом распределения скоростей в газе.

Б. Экспериментальные результаты для сил взаимодействия, обратно пропорциональных пятой степени расстояния

Можно показать, что для v = 5

а == 4,69/ш (；# ) • (118)

Этот параметр может быть вычислен для данного эксперимента, так как Т* можно найти из определения (117), используя полученное при эксперименте значение Руу. Однако, чтобы получить ос для теоретического решения, нужно знать теоретическое значение Руу, К счастью, параметр а слабо зависит от Руу и поэтому его можно включить в нтеранноннн成 процесс, описанный в разд. IV. Из соотношения (118) и ранее данных определений Руу и Г* видно, что мы можем представить а в форме

, а = а ⑼/G?, (119) где —

а(。)= 4,696 dh (乂 玲乙产. (120) Значение а на 紅-м шаге итерационного процесса приближенно выражается с помощью следующего соотношения:

а(")=-Mg 尸产. (121)

Когда последовательность значений Gi сходится, а<п) приближается к постоянному значению. Для того чтобы получить решение, а(°)задается в качестве входного параметра. Затем последнее из вычисленных значений а⑺)включается в решение как его составная часть.

С этим законом взаимодействия мы выполнили две серии численных экспериментов, прослеживающих динамику частиц в соответствии с описанием, данным в разд. II. Чтобы проверить теоретические результаты, были получены интересующие нас моменты для двух значений V. В каждом случае интенсивность взаимодействия между молекулами была достаточно мала, так что средняя потенциальная энергия взаимодействия обычно составляла около 1 % от полной энергии системы. Следует отметить, что это отношение энергии можно изменять совершенно независимо от сочетания факторов, которые обусловливают изменение а. Для учета влияния этих изменений необходимо включить в модель БГК еще один параметр; для того чтобы иметь некоторую надежду на последовательное совпадение теоретических и экспериментальных результатов без наличия такого параметра, необходимо, чтобы отношение энергии было малым.

Расчеты были произведены для £7=1,414 и 0=0,707. Большее значение О было выбрано для того, чтобы получить результаты^ которые ясно показали бы влияние вязкого нагрева. С другой

стороны, меньшее значение было выбрано с целью уменьшения эффектов второго порядка. Мы не могли получить хорошие результаты для значений О, меньших 0,707, так как при этом флуктуации становились недопустимо большими. В нескольких случаях мы обнаружили, что для уменьшения относительного влияния флуктуаций необходима серия экспериментов длительностью в четыре часа на машине IBM-7094.

Попытки использования формулы (118) для параметра а с целью согласования теоретических результатов с результатами наших численных экспериментов оказались безуспешными. Это не удивительно, так как выражения для а, полученные в разд. V, А, были основаны на сравнении двух решений, которые несправедливы, если важны нелинейные эффекты типа вязкого нагрева. Кроме того, эти два решения непрерывно зависели от скоростей частиц. Однако ранее мы видели, что в предельном случае, когда а = 0, распределение скоростей терпит разрыв. Частицы, движущиеся к верхней стенке, имеют совсем другое распределение скоростей, чем частицы, движущиеся к нижней стенке. Разрывный характер поведения частиц является важным также в таких системах, где влияние ограничивающих стенок значительно и неизбежно влечет за собой разрывность распределения скоростей.

Нами был подмечен логичный характер различий между теорией и экспериментом по разным показателям. В общем случае теоретическое значение касательного напряжения оказывается заниженным, тогда как давление, наоборот, завышается. Кроме того, теоретическое значение скачка скорости также получается заниженным. Все эти расхождения указывают на то, что значение а было слишком велико.

Затем мы попытались изменить множитель 4,696, фигурирующий в формуле для определения а, с целью добиться лучшего соответствия теории с экспериментальными результатами. Эта попытка оказалась вполне успешной. Мы обнаружили, что хорошее совпадение можно получить с помощью следующего соотношения:

a = K(D)石傑「， (122) где К (£7)——число порядка единицы, которое определялось методом последовательных приближений.

Наилучшее возможное совпадение теории с нашими экспериментальными расчетами дали следующие значения:

(123)(123)К = 2,56, 力=1,414,К =1,94, U = 0,707.

(123)

(123)

Рис. 6. Безразмерное касательное напряжение в зависимости от a (v = 5).

Рис. 7. Безразмерное давление в зависимости от а(V = 5).

Эти значения были использованы во всех сравнениях, которые будут обсуждаться ниже. На рис. 6 представлен график касательного напряжения б2(ат О) в безразмерном виде. В каждой данной точке приводятся оценки влияния флуктуаций посред* ством указания 95%-ного доверительного интервала. Приведенные оценки были получены с помощью изменения флуктуаций

Р и с. 8. Безразмерный поток кинетической энергии в зависимости от а(V = 5).

в течение ряда циклов по времени. Вполне очевидно, что влияние флуктуаций больше при 0=0,707.

Влияние вязкого нагрева на давление было очевидным для обоих значений О. Это видно из рис. 7, где представлен график изменения безразмерной функции Gi(a, О). Модель БГК достаточно хорошо предсказывает рост давления.

Для того чтобы испытать способность модели БГК предсказывать поведение моментов более высокого порядка, вычисляется также поток кинетической энергии. На рис. 8 видно, что влияние флуктуаций весьма ощутимо. Однако этого следовало ожидать, так как Q^ является моментом высокого порядка. Несмотря на разброс, обусловленный флуктуациями, ясно, что тео-

ретические значения, как правило, лежат немного ниже, чем экспериментальные.

Описанный ранее метод определения пространственного изменения свойств газа оказался вполне эффективным. Как видно

из рис. 9, распределение скоростей газа, полученное в наших экспериментах, очень хорошо демонстрирует скачок скорости. Как мы видели ранее, в предельном случае, когда взаимодействие между частицами отсутствует, скачок скорости равен U/2. С другой стороны, при больших значениях а газ должен вести

]4 Зак. 1370

Рис. 10, Профили скорости для двух значений U(V = 5).

Рис. 11. Профили температуры для двух значений a (v == 5).

себя как сплошная среда, для которой скачок скорости равен нулю. На рис. 9 ясно видно уменьшение скачка скорости при увеличении а. Кроме того, на нем представлены теоретические профили скорости газа, которые хорошо согласуются с экспериментальными Это справедливо для всех исследованных нами случаев. На рис. 10 приведена зависимость скачка скорости от а. Хотя оценка статистической недостоверности не получена, мы чувствуем, что расхождения являются вполне совместимыми с неопределенностью оценки скачка скорости по данным, полученным в нашем численном эксперименте.

Модель БГК не нмела успеха при определении профилей плотности и температуры. Эксперименты во всех случаях демонстрируют незначительное изменение плотности. С другой стороны, теория предсказывает более высокую плотность на ограничивающих стенках. Теоретические профили плотности при небольших значениях ос изменяются сравнительно мало С другой стороны, когда были проведены расчеты для больших значений а, получились большие изменения плотности, порядка 10%. Эти большие изменения плотности в экспериментах не наблюдались.

Распределение температур, полученное в эксперименте, в ос« новном было довольно близко к постоянному, хотя н превышало температуру стенок (см. рис. 11). Теоретическое распределение температуры хорошо совпадало с экспериментальным при значениях ос ниже 1. Однако для больших значений а совпадение плохое. Теоретические значения температуры всюду выше значений, полученных при фактических измерениях. Этот факт проиллюстрирован на рис. 11 для случая а—5,21.

Результаты экспериментов для взаимодействия сил, обратно пропорциональных третьей степени расстояния

Мы включили в свою работу также несколько экспериментов для случая, когда v = 3. Этот вид закона взаимодействия интересен тем, что он является “вумерннм аналогом общеизвестных максвелловских молекул. (Функция Ф, связанная с решением уравнения Больцмана в первом приближении, тождественна приближенной функции ①(D, которая использовалась нами при анализе со.) Особенно интересно было узнать, будет ли этот частный вид закона взаимодействия в некотором смысле исключительным.

Для вышеупомянутого закона взаимодействия в разд. V теоретически получено, что

а = 6,29/ш (%傀 丁蹤产 (124)

А4*

Рис. 12. Безразмерное касательное напряже' ние в зависимости от a (v = 3).

Рис. 13. Скачок скорости в зависимости от а 卜= 3).

(в этом случае со является функцией, не зависящей от температуры газа). При использовании такого соотношения совпадение теории с экспериментом оказалось не лучше, чем в случае сил, обратно пропорциональных пятой степени расстояния. Снова было обнаружено, что изменение значения коэффициента 6,29 в уравнении (124) улучшает результаты. Для £7=1,414 мы использовали соотношение

а= 1,2 庇(х/АТ®)%. (125)

Для этого определения а на рис. 12 и 13 представлены результаты зависимости касательного напряжения и скачка скорости от а.

По-видимому, нет специального соотношения, которое сделало бы модель БГК достаточно приемлемой в .случае, когда v=3. Для обоих рассмотренных законов взаимодействия путем надлежащего выбора одного лишь параметра а можно добиться того, чтобы все экспериментальные данные достаточно хорошо совпадали с теоретическими результатами. Исходя из этого, мы можем сделать вывод, что модель БГК имеет более широкий диапазон применимости, чем это было указано ранее, а именно что полное решение модели БГК дает хорошие результаты в тех случаях, когда важны нелинейные эффекты, и может применяться не только к системам, состоящим из максвелловских частиц.

VI. Выводы

Мы рассмотрели свойства небольшой системы частиц, используя при этом электронную вычислительную машину для того, чтобы проследить со всеми деталями траектории частиц по мере того, как они взаимодействуют друг с другом и со стенками. На основании полученных результатов мн смоглн вычислить все интересующие нас моменты для сравнения их с теорией и показали, что можно получить хорошее совпадение для тех случаев, когда известны точные результаты. Более важный результат, полученный в данной работе, состоял в том, что такие численные эксперименты могут давать решающую оценку пригодности теоретических модельных уравнений. Фактически численные результаты могут служить в качестве руководства для разработки новых усовершенствованных моделей.

Численные эксперименты такого типа могли бы быть полезны также при анализе сложных явлений, для которых в настоящее время нет других методов решения, а также в тех случаях, когда действительные эксперименты невозможны. Например, в за， коне взаимодействия между частицами нетрудно учесть как

силы притяжения, так и силы отталкивания и моделировать полярные эффекты. Можно также включить в рассмотрение эффекты испарения или плавления. Связывая результаты посредством применения соответствующих безразмерных параметров, можно было бы надеяться на открытие самых разнообразных и необычных соотношений и стимулировать понимание соответствующих физических процессов в областях, недоступных для исследований другими методами.

Нам хотелось бы выразить признательность за сотрудничество на ранней стадии этого исследования К. В. Хирту, а также Эмме Лу Янг, которая выполнила большую работу по обработке результатов.

Литература

Abra mowitz М., /. Math. P%s., 32, 188 (1953).

Alder В., Proc. Symp. Appl. Math., 15, 335; American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1963.

Alder B., Wainwright T., J. Chern. Phys., 27, 1208 (1957).

Alder B., Wainwright T., J. Chern. Phys., 31, 459 (1959).

Bhatnagar P. L., Gross E. P., К rook M., Phys. Rev., 94, 511 (1954); русский перевод: сб. «Проблемы современной физики», № 2, 1956.

Чепмен С., К а у л и н г Т., Математическая теория неоднородных газов, ИЛ, М., 1960.

Gross Е. Р., Jackson Е. A., Z i е г i n g S., Ann. Phys., 1, 141 (1957); русский перевод: сб. Механика, № 5 (51), 33—55 (1958).

Gross Е. Р., Ziering S., Phys. Fluids, 1. 215 (1958); русский перевод: сб. Механика, № 6 (58), 3—20 (1959).

Haviland J. К-, MIT Fluid Dynamics Lab. Rept 61-5; AFCRL Sci. Rept. 648, 1961.“

Lavin M. L., MIT Fluid Dynamics Lab. Rept. 61-3; AFOSR 627, 1961.

W a i n r i gh t T., Alder B., Nuovo Cimento Suppl., 9, 116 (1958).

/ Willis D. К.» Rarefied Gas Dynamics (J. A. Laurman, ed.), Acad. Press, New York, 1963, p. 209.

Wood W. W., Parker F.,丿 Chern. Phys., 27, 720 (!957).

Wood W W., Parker F., Jacobson J. D., Nuouo Cimento Supply 9, 133 (1958).

Вычисление интеграла столкновений Больцманаметодом Монте-Карло】)

4 Нордсик, Б. Х〃кс

Метод Монте-Карло для решения основного уравнения кинетической теории разреженных газов был разработан и успешно применен к решению двух задач: о релаксации поступательных степеней свободы пространственно однородного газа и о плоской стационарной ударной волне произвольной интенсивности (интенсивность волны ограничивается только размерами ячеек в пространстве скоростей). Это первый и единственный метод, позволяющий вычислить функцию распределения молекулярных скоростей в условиях, далеких от равновесия.

Сущность проблемы состоит в вычислении нелинейного пятимерного интеграла столкновений. Использование квадратурных формул потребовало бы для его вычисления около года работы лучших вычислительных машин нашего времени. Вычислительное время было сокращено до практической величины порядка часа с помощью метода статистической выборки, очень похожего на статистику столкновительных явлений в газе.

Данные вычисления были ограничены анализом рассеяния упругих шарообразных молекул без внутренних степеней свободы. Вычислительная программа без заметного усложнения или увеличения вычислительного времени может быть приспособлена для вычислений с моделями молекул, дифференциальные сечения рассеяния которых отличны от аналогичных сечений для упругих шаров. Введение одной или двух внутренних степеней свободы хотя и увеличит сложность программы и время вычислений, но в практически допустимых пределах.

Чтобы сделать метод более рациональным и надежным, понадобилось решить несколько технических проблем. Удовлетворительный процесс случайных столкновений и выборок нужно было внимательно конструировать н основательно проверить. Кроме того, нужно было корректировать стремление теоретически сохраняющихся величин, таких, как число молекул, импульс и энергия, слегка изменяться из-за ошибок интерполяции и интегрирования, чтобы предотвратить их искажение, существенное при большом числе шагов по времени или при большом числе итераций. В более трудном случае расчета ударной волны стремление фронта ударной волны к расползанию относительно выбранной системы отсчета нужно было устранить, выбрав в качестве независимой переменной плотность, а не расстояние от фронта по нормали. Наконец нужно было разработать метод проверки сходимости итерационной схемы для последовательного улучшения начального пробного решения. В качестве такого решения до сих пор использовалось приближение Мотт-Смита.

Для задачи о релаксации поступательных степеней свободы мы приводим графики поведения функции Больцмана в зависимости от времени для

О Nordsieck A., Hicks В. L, Monte Carlo evaluation of the Boltzmann collision integral, Proceedings of the Fifth International Symposium on Ratefied Gas Dynamics, held at University of Oxford, 1966, edited by C. L. Brundin, vol. I, 1967, p. 695—710.

чисел Маха от 0,5 до 6. При анализе задачи об ударной волне для числа Маха, равного 3,0, представлены контуры функции распределения Мотт-Смита и интеграла столкновений от нее вместе с другими графиками, характе， ризующими решение задачи методом Монте-Карло.

Введение

Основным в кинетической теории разреженных газов является уравнение Больцмана. Аналитическое решение этого уравнения возможно только для условий, близких к равновесию, и для ограниченного числа межмолекулярных потенциалов.

Принципиальным препятствием при решении уравнения Больцмана является его нелинейность и сложность интеграла столкновений в нем. Вычисление интеграла с помощью квадратурных формул не может быть полезным, так как занимает слишком много времени даже на наиболее быстродействующих вычислительных машинах. Поэтому первый из авторов в 1955 г. разработал метод Монте-Карло [1] дл-я численного интегрирования на цифровых вычислительных машинах. Этот метод может быть применен для любой функции распределения скоростей. Мы запрограммировали метод для упругих шарообразных молекул, но распространение его на другие молекулярные модели возможно, если известны дифференциальные сечения.

С тех пор (1955 г.) автор усовершенствовал, тщательно опро・ бовал этот метод и применял его к различным задачам кинети* ческой теории. Настоящая работа впервые дает полное пред* ставление об этом методе. Мы тщательно изучили точность вычислений, что особенно важно для нашей работы из-за сложности интеграла столкновений и возможности широкого применения надежных методов его вычисления. Есть все основания считать, что метод вычислений Монте-Карло справедлив в пределах ожидаемых статистических флуктуаций. Из-за недостатка места более детальное описание точности этого метода не приводится.

Одной из задач кинетической теории, к которой мы применили наш метод Монте-Карло, является задача о «псевдоскачке», т. е. об одном из видов релаксации поступательных степеней свободы молекул [2, 3]. Решение уравнения Больцмана легко осуществляется, как только метод Монте-Карло дает возможность вычислить необходимые интегралы столкновений, и решение получается с одинаковой легкостью для условий, очень близких и очень далеких от равновесия.

Во второй задаче, о структуре ударной волны, для решения уравнений Больцмана необходим более трудный итерационный процесс. Даже оставляя в стороне вопрос о сходимости, вычис-

ление интеграла столкновений методом Монте-Карло может дать новую н существенную информацию об ударной волне. В частности, теперь возможно (см. [4]):

проверять любую функцию распределения, предложенную как приближенное решение уравнения Больцмана для ударной волны или других режимов течения;

непосредственно проверять различные сложные аналитические вычисления, связанные с моментными методами.

Методы Менте-Карло в интерпретации Хэвиленда [5, 6] и Берда [7, 8] также использовались при решении задачи кинетической теории. Ни тот, ни другой из этих методов не дает оценки интегралов столкновений, а поэтому ни один из них не может дать детального, точного и явного решения уравнения Больцмана. Метод Берда, однако, хорошо дополняет наш метод тем, что хотя н является менее точным, но в настоящее время более быстрым и, следовательно, полезен в задачах, имеющих более чем одну независимую переменную.

Схема метода

В методе Монте-Карло интеграл столкновений сначала заменяется интегралом по конечной области пространства скоростей. Это или подобное ему приближение всегда должно быть использовано при вычислении интегралов по бесконечной области. Конечная область объема R берется достаточно большой, такой, чтобы она содержала в себе большинство молекул. Затем среднее значение подинтегральной функции по /? и по всем единичным векторам к, направленным вдоль линии центров молекул, аппроксимируется путем усреднения достаточно большого числа ^ случайных значений подинтегральной функции. Оценка величины интеграла столкновений методом Монте-Карло (со случайной ошибкой, пропорциональной №%) достигается путем умножения полученного среднего значения на объем R. Отметим, что подинтегральное выражение есть функция восьми неза・ висимых переменных, которые являются компонентами трех векторов V, V’ н к, определяющих столкновение. В методе Нордсика предлагается удовлетворительная случайная выборка значений этих переменных в восьмимерном пространстве.

Уравнение Больцмана

Единицы измерения, которыми мы будем пользоваться, являются величинами, оп редел яющим и различные свойства газа; они обозначаются индексом 1. Так, иь 7\ являются единицами измерения числовой плотности п и температуры Г. Единица

измерения длины Ц — 1/2^/2^2= (средняя длина свободного про- бега)]//?. Единица измерения скорости с1 = ^^^Тх\т = ==(средняя скорость) 1 • (л/2). Единицей измерения времени является, следовательно, (среднее время свободного пробега) 1Х ХУ^з/л, а величина 〃i/c； есть единица измерения функции распределения скоростей. В этих единицах измерения уравнение Больцмана можно записать в виде

祭 + 〃祭=£ 一麻=Jsk-"，)ik・v/dv'(dk/4m, (1) где f==/(v, %, т) ——функция распределения скоростей, % ——переменное расстояние, т ——переменное время, единичный вектор к дает направление линии центров при столкновении; vr=v, — v; 力 f', F, F'—четыре величины f, соответствующие четырем скоростям V, v', V, Vх. Интегрирование ведется по полному телесному углу 4л для того, чтобы пределы при интегрировании по к не зависели от v и v'. Обозначение bf напоминает нам, что эта вторая часть интеграла столкновений пропорциональна f(v, х, т)—— факт, важный для разработки устойчивого численного метода интегрирования дифференциального уравнения в случае сильной ударной волны.

Предположения, связанные с геометрией и численными расчетами

Чтобы разработать конкретный алгоритм, который даст оценку интеграла столкновений Больцмана методом Монте- Карло, мы должны сделать несколько допущений, касающихся геометрии и численных расчетов. Большинство из них можно легко видоизменить, если это потребуется в будущем. Во-первых, так как мы ограничимся исследованием течений, обладающих осевой симметрией, представим любой вектор скорости v через его компоненты в цилиндрической системе (?久，dl,0). Вследствие осевой симметрии функция распределения не будет зависеть от 0. При вычислении случайных скоростей мы, однако, должны по- прежнему рассматривать столкновение как трехмерное явление.

Для удобства программирования метода Монте-Карло на вычислительной машине требуется, чтобы область R пространства скоростей охватывала фиксированную систему ячеек. Поэтому мы преобразуем v к новой переменной vm путем введения сдвига начала координат и масштабного множителя Ki в качестве регулируемых параметров. Для любой данной задачи эти параметры фиксированы таким образом, что скорости всех молекул, кроме примерно 0,1%, лежат внутри R. Из-за быстрого (по Гауссу) уменьшения плотности при возрастании скорости

ошибки интегрирования по пространству скоростей совершенно нечувствительны к части молекул, исключенных из R, еслн только эта часть мала.

Разбиение пространства скоростей v» в котором мы задаем фиксированную систему ячеек, было рассчитано таким образом, чтобы дать при вычислении двух частей интеграла столкновений точность порядка 1 % (величины компонент v^ и km, которые используются в вычислениях, соответствуют центрам ячеек в пространствах v^ и km). Мы выбрали 226 ячеек в двумерном пространстве (%, и」)，как показано на рис. 1, которые покрывают область Um《24 в виде полукруга таким образом, что площадь 226 ячеек отличается от площади полукруга меньше чем на 0,1%. В наших вычислениях мы имеем дело с функциями q, b н f, которые зависят только от двух компонент скорости vx и и」 наряду со временем или пространственными координатами. Следовательно, таблицы из 226 величин каждой из этих функций запоминаются в ЭВМ для каждого момента времени или для каждой координаты. В качестве примера графического представления таких функций на рис. 2 показаны изолинии аппроксимации функции распределения по Мотт-Смиту и соответствующего интеграла столкновений внутри сильной ударной волны. Ось 。真 на рисунке перпендикулярна фронту ударной волны.

Единицы разбиения азимутального угла 0 выбирались как нечетное кратное величины (90°/32), так что область изменения 6 от 0 до 2л содержит 64 ячейки. Шестнадцать пар значений sin 0 и cos 6 запоминались в фиксированной таблице, соответствующей области от 0 до л/2. Другие квадранты вводились в вычисления путем случайного выбора знака. Единичный вектор к представлялся 64 сериями из трех направляющих косинусов. Их значения получались при делении первого октанта единичной сферы на 64 равные части. Эти 192 значения величин направляющих косинусов запоминались в вычислительной машине в виде фиксированной таблицы.

Определив таким образом ячейки, которые мы будем использовать в пространстве v и к, можно найти алгоритм метода выборки. Последовательность 37-разрядных псевдослучайных чисел генерируется с помощью усовершенствованного метода Джан- коса [10]. Цифры двоичных разрядов в случайном числе и в последовательности случайных чисел практически некоррелиро- ваны в пределах полностью повторяющегося цикла из 237 чисел С помощью каждого случа員hofo числа мы получаем случайное столкновение, используя двоичные разряды следующим образом: 14 разрядов для вектора v, 14 — для вектора v‘ и 9 ——для еди-

Рис. 1. Пространство скоростей.

Р и с. 2. Изолинии (а — bf) и f в центре ударнойволны по Мотт-Смнту в газе из упругих шарообразныхмолекул (произвольные единицы); М = 3,0; размер вы-борки 2叱

А - 0,3; В-0,1; С-0,03; D - 0,01; Е - 0,003; F - 0,001; G - 0,0003;Я-0,0001.

г «• 0： Ь — — 0,1; с — — 0.03： d ■ — 0,01; е — — 0.0Q3.

ничного вектора к. Это дает последовательность независимых столкновений, случайно выбранных из 237 • (226,^256)2^ 10" ячеек восьмимерного пространства (v, v', к). Столкновение отвергается как «неудавшееся», если V или V', вычисленные из (v, v', к), лежат вне области 口巾《24. Доля столкновений, отброшенных таким образом, равна 0,1583. Значения (^х, V丄,Vx, V±)m являются в действительности округленными значениями и соответствуют ближайшему из центров ячеек в пространстве (%，。丄L'

Различные оценки интеграла столкновений

методом Монте-Карло

Восемь основных оценок

Рассмотрим четыре аппроксимации каждой из функций °"丄《г н 石2丄 m в методе Монте-Карло. Имеем восемь аппроксимирующих функций:

a^J^FFW,什=厶〈"%储

a'^JAFF^M' = /i〈"％〉v，，

d = /i〈"％〉v，戶尸= /】〈FF%〉v，(2)

A'^JAff^.pF』/-"%%,.

В этих равенствах

乙=(8n)226(叫尸，% =［。丄0'丄|h便7)1］。；(3)

здесь мы используем «машинные единицы», определенные выше. Символ внизу каждой усредняемой величины в равенствах (2) указывает, какая из четырех скоростей считается постоянной при усреднении по разыгрываемым столкновениям. Каждая из функций Q, 〃'，Л, 4’ лучше аппроксимирует функцию а и каждая из функций bf, b'f', BF, BF лучше аппроксимирует функцию bf по мере того, как тем или иным способом уменьшаются различного рода ошибки. Однако если эти ошибки конечны, то все четыре функции каждого типа будут различными.

Можно ожидать, что статистические ошибки в методе Монте-Карло для вычисления a nbf будут убывать пропорционально №%, где N ——величина выборки. Мы можем предполагать, что ошибки при вычислении интегралов, соответствующие конечной величине ячеек в пространствах v и к, будут уменьшаться при уменьшении объема ячеек. В нашей программе легко изменить размер ячеек в пространстве скоростей. Ошибка вследствие пренебрежения наличием молекул с большими скоростями будет быстро убывать при убывании &・

«Линейная комбинация оценок

Важным свойством метода Монте-Карло является то, что все восемь функций .в уравнениях (2) могут быть вычислены одновременно и, следовательно, в любой полезной линейной комбинации. Например, рассмотрим оценку q, которая получается при образовании суммы по разыгранным столкновениям

〈FF%〉v = M〃 工尸f'/i, (4) где v остается постоянным при суммировании и Mq равно числу приращений или числу успешных столкновений для каждой ячейки скоростей в процессе выборки. При вычислении такой суммы используется арифметика с фиксированной запятой, чтобы получить неискаженные округлением приращения.

Приращение значения суммы (尸尸Х]/Мо) для каждого случайно выбранного столкновения (v, vz, k) ->(V, Vz) производится в ячейке скорости, обозначенной через v. Аналогично при формировании bf или 力'「мы суммируем (ff'xi/Мо), производя приращение в ячейках v или V’ соответственно. При вычислении А, Д\ BF, В'Р мы используем тот факт, что каждое столкновение (для молекул с центральным силовым полем) обратимо, т. е. если при столкновении (v, v\ k)->(V, V'), то процесс (V, V', — k)>(v, v‘) также является столкновением. Поэтому чтобы получить А, мы суммируем (ff'xi/Mo) по (v, v\ к), считая V постоянной; подобным же образом поступаем для получения Al BF н g'F'.

При одновременном вычислении восьми величин в уравнениях (2) мы симметризуем слагаемые в этих суммах путем умножения на 。丄.При этом достигается два результата: возрастает скорость вычисления восьми оценок и становится возможным достижение хорошей статистики для ячеек, близких к и丄=0, потому что мы можем распределять попадания равномерно по пространству (их,。丄)и только позднее внести поправку при помощи множителя 2зт。；, чтобы обеспечить однородность вероятности столкновений в трехмерном пространстве скоростей.

Восемь функций, определенных равенствами (2), являются основными во всех расчетах по методу Монте-Карло, предложенному Нордсиком. В вычислениях, обсуждаемых в этой работе, и при изучении точности метода мы рассматривали, в частности, три линейные комбинации этих основных функций. Две из них таковы:

а„ = j (о + д'), (5) a =4 ® (%。丄)+ %(一%，"丄)]； ⑹

аналогично записываются выражения для Аи, (bf) w, ..., BF. Уравнение (5) выражает осреднение по двум входящим (или двум выходящим) молекулам. Уравнение (6) выражает осреднение оценок по Монте-Карло и «симметричных» им оценок. В методе Монте-Карло, предложенном Нордсиком, выборки v и vz распределены однородно и независимо в пространстве (vx,。丄)m, Om&24. Поэтому при исследовании попадания в ячейку мы можем сразу учитывать а〃，а не а н а' отдельно.

Другая используемая линейная комбинация имеет видa an = / (а + А)

при аналогичном выражении для (bf)AN- Это осреднение функций Монте-Карло для прямого и обратного столкновений, дающее преимущество единообразия выборки в пространствах v и V.

Все линейные комбинации, которые были определены ранее, удобны для использования в методе Монте-Карло, потому что соответствующие слагаемые в каждом случае могут быть вычислены С ПОМОЩЬЮ ДВуХ ОСНОВНЫХ фуНКЦИЙ ("‘X]) и (尸尸’Xi) почти без дополнительных арифметических действий. Следовательно^ размер выборки по методу Монте-Карло можно фактически увеличить с помощью указанной перестановки операций со штрихованными и нештрихованными молекулами, входящими и выходящими молекулами, прямыми 〃 симметричными им столкновениями.

Поправки для выполнения законов сохранения

Исходной точкой при выводе этих поправок является замечание о том, что точные решения уравнения Больцмана должны удовлетворять уравнениям сохранения, характерным для задачи в целом. Поэтому мы вычисляем малые поправки к 226 значениям интегралов столкновений в смысле наименьших квадратов, что согласуется с законами сохранения.

Почему уместен этот метод коррекции? Любой численный метод вычисления интегралов столкновений является причиной ненулевых ошибок. Следовательно, в двух вычисленных частях интеграла столкновений имеется систематическая ошибка (пре* небрежение наличием нескольких молекул с большими скоростями будет причиной некоторой систематической ошибки мень， шего размера). Решения уравнения Больцмана для псевдоскачка и ударной волны требуют многократного вычисления интеграла столкновений, так что неисправленные систематические ошибки создают нежелательные тенденции в вычисляемом решении. Если, как это наблюдается в нашем методе, эти ошибки невелики, то описанный метод наименьших квадратов дает ве-

личину интеграла столкновений, которая удовлетворяет уравнениям сохранения и в большой степени уменьшает систематические ошибки в вычислениях.

Программа для электронной вычислительной машины

Как отмечено выше, в нашей программе в настоящее время считается, что молекулы взаимодействуют как упругие шары, а функция распределения имеет осевую симметрию. Первое ограничение может быть легко снято. Программа может быть модифицирована таким образом, чтобы снять и второе ограничение. Однако разработанная нами программа без модификации может быть непосредственно применена к решению задач о псевдоскачке, ударной волне и к другим задачам, имеющим только одну переменную в пространстве или времени.

Часть программы, относящаяся к методу Монте-Карло, содержит около 900 слов (пар команд, констант и фиксированных таблиц). Полная программа содержит около 8000 слов, которые включают часть программы, описывающую метод Монте-Карло, программу интегрирования и вычисления моментов и много полезных вспомогательных программ. Как было отмечено ранее, число ячеек, выбранных случайным образом в восьмимерном пространстве (v,v\к), превышает 1011. (Простые непосредственные методы численного интегрирования, сравнимые по точности, потребовали бы примерно 2 • 109 ячеек в семимерном пространстве.) Программа вычисляет параллельно 226 значений каждой из функций aAN и (力/)an, описанных выше, за три минуты на машине CDC-1604 со статистическими флуктуациями порядка 8%.

При любом достаточно точном методе решения уравнения Больцмана необходим эффективный метод контроля и оценки большого количества рассчитанных данных. В наших вычислениях рассчитываются 226 значений каждой из функций f, а и bf для каждой итерации в задаче об ударной волне или на каждом шаге по времени в задаче о релаксации, подобной псевдоскачку.

Мн имеем два способа контроля за этими данными !). Одним из способов контроля является вычисление и вывод большого количества моментов функций『，а или (а — bf). Ошибки нашего численного интегрирования в пространстве скоростей меньше 1 %, за исключением расчетов для моментов высокого порядка или резко изменяющихся подинтегральных функций.

Необходимо помнить, что при создании метода решения сложного уравнения, подобного уравнению Больцмана, необходимо провести гораздо больше испытаний и проверочных вычислений, чем это нужно для окончательных серийных расчетов.

Мы выводим 11 независимых моментов функции распределения f, таких, как плотность, функция Больцмана и ее поток (включая два или три момента, которые должны удовлетворять условиям сохранения). Мы также выводим 9 моментов от функций а и (а — bf), причем некоторые из них по условиям сохранения должны быть равными нулю или по теореме Больцмана отрицательными.

В качестве второго метода контроля мы выводим ряд величин, выражающих зависимости функций f, а и bf от скорости. Исходя из этих данных, можно начертить приближенные изолинии; они дают возможность непосредственно и ярко представить себе характер функций и их изменение при переходе от одного физического или вычислительного состояния к друтому. Размещение изолиний можно произвести с любыми необходимыми интервалами путем изменения таблицы тех значений функций, которые выводятся. Примеры изолиний, достаточно точно построенных таким методом, показаны на рис. 2.

Поведение решений уравнения Больцмана

Мы были особенно заинтересованы в применении метода ААонте-Карло вычисления интеграла столкновений Больцмана при расчете задачи о релаксации посту п а тел ьных степеней свободы (псевдоскачок) и при попытке решения уравнения Больцмана для ударной волны. При решении каждой из этих задач мы получили серьезное, хотя и косвенное, подтверждение справедливости и надежности метода Монте-Карло. При этом мы принимаем в качестве безусловного требования пригодности метода необходимость удовлетворения уравнениям сохранения и необходимость монотонного уменьшения соответствующей функции Больцмана. Очевидно, такие требования должны быть сформулированы, исходя из физической сущности задач, и особенно важны при отсутствии других методов решения этих задач.

Используя среднеквадратичную корректировку интегралов столкновений, мы решили задачу о псевдоскачке [3] и показали точность, устойчивость и сходимость процесса решения, причем эти характеристики зависят от надежности вычисления интеграла столкновений методом Монте-Карло. На рис. 3 демонстрируются некоторые из благоприятных характеристик нашего решения для задачи о псевдоскачке. Функция Больцмана монотонно уменьшается для каждого значения числа Маха М, а флуктуации оказывают незначительное влияние вплоть до последней стадии процесса релаксации. Даже при использовании довольно малой выборки (10 000 столкновений для каждого шага по времени), мы были в состоянии вычислить наклон каждой кривой.

力

м

枕

2-

V

X^IS5X

n

P d с. 3. Функция Больцмана в задаче о релаксации поступательных степеней свободы.

По оси ординат отложено отклонение функции Больцмана от ее асимптотического значения, вычисленного методом Моите-Карло для уравнения Больцмана; по оси абсцисс — среднее число столкновений на одну молекулу.

02468 mlz 14

Рис. 4. Сходимость итерационного решенияуравнения Больцмана для ударной волны (числоМаха 2,5).

По оси ординат отложено отклонение W, по оси абсцисс —число итераций.

на рис. 3 и показать, что между этими наклонами не имеется значительного различия.

Нашей целью начиная с 1958 г. было решение уравнения Больцмана для ударной волны с помощью метода Монте-Карло. Уже несколько лет назад стало ясно, что именно сходимость и устойчивость нашего итеративного метода решения дифференциального уравнения Больцмана, а не трудность вычисления интеграла столкновений в нем задерживали наше продвижение в решении этой задачи. В последнее время мы использовали метод поправок, который обеспечивает выполнение уравнений сохранения, и начали получать устойчивые и сходящиеся результаты при рассмотрении внутренней структуры ударной волны.

Эти замечания мы проиллюстрируем данными для ударной волны, которая описывается величинами f(v, %) и (а ——bf) в девяти точках внутри ударной волны. На рис. 4 показана скорость сходимости, полученная для типичной монте-карловской серии при М=2,5 с использованием 213 столкновений в каждой монте- карловской выборке. Относительное среднеквадратичное отклонение 6/ функции f от одной итерации к следующей уменьшается в 7 раз в первых трех итерациях. После 12-й итерации величина 6f уменьшилась до 0,00013, хотя самые большие значения f вблизи холодной границы ударной волны близки к единице.

Данные, приведенные на рис. 5, были получены путем осреднения значений из четырех независимых серий по 12 итераций каждая с 213 столкновений в каждой монте-карловской выборке. Ранее было показано [11], что профиль плотности пх целесообразно представить графиком зависимости градиента плотности dn/dx от приведенной числовой плотности п— (п ——Hi)/(n2 —— 打i), как это сделано на рис. 5. Для ударной волны по Мотт-Смиту эта кривая является параболой. Даже на этой «разведывательной» стадии расчетов при числе выборок 213 имеются некоторые данные о том, что ударная волна существенно асимметрична. Как и следует ожидать, исходя из теоремы Больцмана, больцмановский поток, получаемый из тех же самых четырех серий, монотонно убывает на протяжении всей ударной волны.

Дальнейшие косвенные проверки вычисления интеграла столкновений методом Монте-Карло будут зависеть от сравнений с точными аналитическими решениями уравнения Больцмана для очень слабой и очень сильной ударных волн. Уравнения Навье — Стокса должны правильно описывать внутреннюю структуру слабых ударных волн, а также характеристики ударных волн любой интенсивности вблизи их границ [11]. Хотя и было высказано предположение [12] о том, что модель Мотт- Смита асимптотически правильна для сильных ударных волн, она предсказывает неправильную величину числа Прандтля

вблизи границы волны вниз по потоку [11]. Из-за ошибок, вносимых различными методами, мы не знаем б настоящее время, имеются ли какие-либо значения числа Маха, при которых ошибки методов были бы достаточно малы для того, чтобы сравнение рассчитанных деталей структуры ударной волны имело смысл. Попытки сделать такие сравнения, очевидно, важны как

приведенной числовой плотности п в ударной волне (число Маха 2,5).

Единицы измерения описаны в разд. 3.

для проверки последующих решений, основанных на вычислении интеграла столкновений методом Монте-Карло, так н для определения области справедливости аналитических теорий.

Будущие исследования

Мы опишем здесь кратко целый ряд направлений, которые могут быть приняты в дальнейших исследованиях теперь, при наличии надежного метода вычисления интеграла столкновений Больцмана. Эти различные исследования могут предусматривать либо модификацию нашего метода, либо его приложения, причем эти аспекты, конечно, будут нередко во многом совпадать.

Вначале рассмотрим модификации и исследования метода Монте-Карло, полезные во всех тех приложениях этого метода, которые будут описаны ниже. Возможны следующие модификации метода.

Множество случайных столкновений рассчитывается раз и навсегда, и результаты фиксируются на магнитной ленте или диске. Использование такой записи должно ускорить монте- карловскую часть программы для современной вычислительной машины в пять раз.

Повышается точность вычислений интеграла столкновений путем использования большого количества ячеек пространства скоростей и большего количества выборок столкновений.

Программа модифицируется таким образом, чтобы было можно использовать дифференциальные сечения столкновений, соответствующие произвольно заданным межмолекулярным потенциалам.

Наши вычисления интеграла столкновений для условий, далеких от равновесия, сравниваются с точным и непосредственным численным интегрированием.

Теперь рассмотрим весь класс задач кинетической теории для одноатомных однокомпонентных газов, которые могут быть изучены непосредственно с помощью нашей программы Монте- Карло и соответствуюши х вспомогательных программ без каких-либо значительных изменений. К этому классу относятся задачи с одной независимой переменной, а именно с координатой нли временем, в уравнении Больцмана. Типичными задачами являются задачи о релаксации поступательных степеней свободы (т. е. о любой релаксации такого рода, а не только релаксации псевдоскачка); задача о структуре ударной волны при различных числах Маха и для различных межмолекулярных потенциалов и задачи о разреженных газах, в которых имеются большие градиенты температуры, скорости или давления (другими словами, задачи о теплопередаче, переносе количества движения, диффузии и термодиффузии и задачи о газах, подверженных сильным возмущениям с помощью звука высокой частоты или света).

Будут возможны полезные сравнения решений любой из этих задач, выполненных с помощью метода Монте-Карло, с алгебраической и моментной теориями структуры ударной волны и с соответствующими приближенными теориями других физических явлений. Некоторые из только что описанных нами расчетов могут быть также использованы в качестве основы для описания явлений в неравновесных одноатомных газах, которые содержат малые примеси других веществ. Д«^я понимания целого ряда физических явлений в этих одноатомных газах с

примесью существенную помощь могут оказать результаты, полученные при вычислениях для одноатомных газов с помощью метода Монте-Карло. Мы имеем в виду следующие явления: возбуждение вращательных и колебательных степеней свободы; инициирование ионизации и химических реакций; электростатические поля, которые получаются в предварительно слабо ионизованном газе; прекурсорный эффект в ударной волне.

Имеются также интересные задачи, расчет которых до сего времени не был возможен и которые потребуют более широкого, но не коренного видоизменения нашей программы. Ряд таких задач касается явлений в бинарных и многокомпонентных смесях газов. Рассмотрение их требует некоторого видоизменения алгебраической части и библиотеки в программе Монте-Карло для того, чтобы описать столкновения между разными сортами частиц. Другой ряд задач, который ближе к интересам аэродинамиков, содержит две независимые переменные ——координаты или время. Задачами этого типа являются: задача об инициировании ударной волны, классическая задача о нестационарной теплопередаче, которая могла бы обеспечить полезную проверку вычислений, а также задача о гиперзвуковом течении и теплопередаче в области критической точки и в окрестности тонких тел для чисел Кнудсена, меньших единицы.

Нам хотелось бы выразить благодарность за ценную помощь Дж. К. Аггарвалу и госпоже М. А. Смит за составление программы и анализ данных.

Литература

N ordsieck A.,HicksВ.L., Bull. Amer. Phys.Soc., 10,1183 (1965).

Nordsieck A.,HicksB.L., Bull. Amer. Phys.Soc., 10,1127 (1965)'.

Nordsieck A.,HicksB.L., Paper supmitted toJ. FluidMeeh.

Y e n S. M.. Hicks B.L.,Fifth International Symposiumon Rarefied

Gas Dynamics, vol. 1, 1967, p. 785.

Haviland J. K・，Third International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, vol. 1, 1963, p. 274.

Haviland J. K., Methods in Computational Physics, vol. 4, 1965, p. 109; русский перевод см. на стр. 7 настоящего сборника.

Bird G. A., Phys. Fluids, 6, 1518 (1963)'.

Bird G. A., Fourth International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, vol. 1, 1964, p. 216; русский перевод см. на стр. 140 настоящего сборника.

Mott- Smith Н. М., Phys. Rev., 82, 885 (1951); русский перевод: сб. Механика, № 1 (17), 72—85 (1953).

J u п с о s а М. L., Ballistic Research Laboratories Report 885, Aberdeen Proving Ground, Maryland, 1953.

Hicks B. L., Yen S. M., Coordinated Science Laboratory Report R-244, Univ, of Illinois, Urbana, 1965.

Sakurai A” j. Fluid Mech.t 3, 255 (1957).

Применение метода дискретных ординатк решению задач о течении Куэттадля линеаризованного уравнения Больцмана!)

Б. Гамель, М Вахман

Сформулирован численный метод решения уравнения Больцмана. Метод, изложенный в этой работе, является методом дискретных ординат. Развиты численные приближения с целью определения линеаризованного интеграла столкновений для твердых шарообразных молекул. Получающиеся дифференциальные уравнения решаются для линеаризованного течения Куэтта, причем полученные результаты качественно согласуются с данными предшествующих работ.

Введение

При рассмотрении задач динамики разреженных газов обычно необходимо обращаться к уравнению Больцмана. В общем случае оно является нелинейным интегро-дифференциальным уравнением, причем интеграл в его правой части является пятикратным. В линейных задачах возможно упрощение этого интеграла путем линеаризации и уменьшение порядка интегрирования от пяти до трех; однако даже в этом упрощенном случае при решении интегро-дифференциального уравнения возникают огромные математические трудности. До сих пор при рассмотрении этой задачи различные исследователи (см. [1, 10]) либо постулировали модель, в которой сложный интеграл столкновений заменялся простым членом, либо использовали моментные методы с целью получения приближенных решений для моментов функции распределения [5, 9]. В данной работе в отличие от предшествующих исследований мы приняли ту точку зрения, что для нахождения функции распределения из уравнения Больцмана необходимо сформулировать численный метод. Придерживаясь этой точки зрения, следует аппроксимировать уравнение Больцмана только в смысле численного округления.

Описанный здесь численный метод является методом дискретных ординат. Этот подход включает решение линеаризованного

Hamel В., W a ch m a n М., A discrete ordinate technique for the linearized Boltzmann equation with application to Couette flow, Rarefied Gas Dynamics, Proceedings of the Fourth International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, held at the Institute for Aerospace Studies, University of Toronto, 1964, edited by J. H. de Leeuw, vol. I, 1965, p. 370—393.

уравнения Больцмана для случая твердых шарообразных молекул в дискретных точках пространства скоростей. Мы рассматриваем интеграл столкновений как конечную сумму, используя квадратурные формулы Гаусса и выбирая сетку дискретных точек в пространстве скоростей таким образом, чтобы они совпадали с сеткой точек, необходимых для вычисления интегралов. Выбор квадратурной формулы (и дискретных точек в пространстве скоростей) в общем случае далеко не прост; он определяется свойствами того интеграла, который нужно аппроксимировать, особенно весовой функцией под интегралом и свойствами подинтегрального выражения.

Важно отметить, что метод дискретных ординат был доведен до большого совершенства в теориях излучения и переноса нейтронов. Встречающиеся там интегралы рассеяния в общем случае являются однократными и имеют простой вид, допуская прямое применение квадратурных формул. Однако интеграл столкновений Больцмана в динамике разреженного газа содержит довольно сложные квадратуры и распространение метода дискретных ординат на динамику разреженных газов — задача непростая. Следует подчеркнуть, что до сих пор единственная попытка распространить метод дискретных ординат была сделана Бродуэллом [2, 3]. Бродуэлл заменил интеграл столкновений конечной суммой, сделав предположение о том, что скорости молекул и средняя длина свободного пробега постоянны. Однако он- не учел того, что аппроксимация интеграла столкновений конечной суммой должна быть эквивалентна применению численной квадратурной формулы для вычисления интеграла. Фактически предположения, сделанные Бродуэллом, эквивалентны совершенно грубой формуле, в которой все квадратурные коэффициенты равны. Решение Бродуэлла [3] задачи о линеаризованном течении Куэтта для случая твердых шарообразных молекул отражает этот низкий порядок аппроксимации. Его результаты не дают слоя Кнудсена для малых чисел Кнудсена н являются совершенно неточными в пределе при больших числах Кнудсена. Эта неточность может быть устранена только путем более точной квадратурной аппроксимации, учитываю- щей свойства интеграла столкновений при его замене конечной суммой, а не введением большего количества дискретных точек в рамках того же метода.

В данной работе (см. разд. П) развита численная аппроксимация линеаризованного интеграла столкновений Больцмана для твердых шарообразных молекул. Дифференциальные уравнения, полученные методом дискретных ординат, решались затем для задачи о линеаризованном течении Куэтга (см. разд. Ш). Чгкленные результаты, полученные для линеаризованного

течения Куэтта, обсуждаются в разд. I; нх качественное совпа- дение с результатами предыдущих работ [4, 6] очевидно. Практически с учетом использованного здесь относительно большого числа дискретных точек и легкой приспособляемости данного метода к условиям задачи можно утверждать, что результаты, изложенные здесь, имеют большую точность, чем ранее опубликованные работы по линеаризованному течению Куэтта для твердых шарообразных молекул [4, 6].

Аппроксимация линеаризованного интеграла Больцмана для твердых шарообразных молекул

В этом разделе будет описана квадратурная аппроксимация линеаризованного интеграла Больцмана для твердых шарообразных молекул. Эта аппроксимация даст нам возможность заменить линеаризованное уравнение Больцмана замкнутой системой линейных дифференциальных уравнений, которые являются достаточно гибкими, чтобы применить их к широкой области линеаризованных задач динамики разреженных газов.

Для твердых шарообразных молекул линеаризованный интеграл Больцмана примет вид [6]

歹[/ (Ф (с. Г, 0)] = — % R (с) <р(с, г, о +

+ J ехр(—с；)к(с, С])屮(С[, г, /)g,⑴

где возмушение функции распределения ф(с, г, /) определяется формулами

f (с, г, /) = %(Й/Л)'72ехр(—с2)[1 +ф(с, г, /)],1<р(с)| < 1 ⑵

И

R(c，5)=。2叫一|сlС| +逐后ехp[(岩-用，1⑶

K(c) =n%°2卜%а/©)卜2 -|-ljerf |c|+ exp(—r2)|, |

где о ——диаметр твердой шарообразной молекулы, \—средняя длина свободного пробега, вектор с — безразмерная скорость (c=c/cth), h = (2kT/my^, п0 — постоянная плотность и q ——скорость сталкивающихся молекул (следовательно, Ci является переменной интегрирования). Отметим, что величина /(ф), определенная выше, является безразмерной.'

Построим теперь аппроксимирующую формулу для /(ф) 8 дискретных точках с пространства скоростей путем вычисления интеграла в уравнении (1) с помощью квадратурной формулы

Гаусса. Следует отметить, что если интеграл в уравнении (1) вычисляется с помощью гауссовых квадратурных формул, то переменная интегрирования с】 будет иметь компоненты, являющиеся корнями данных гауссовых квадратур, хотя вектор с является по-прежнему произвольным. Это приводит к выражению для /(ф) через значения неизвестной функции 屮，вычисленной в дискретных скоростных точках с】и с. Выбор квадратурной формулы Гаусса в общем случае не прост. Он определяется областью интегрирования, видом весовой функции под интегралом и свойствами под интегрального выражения.

Чтобы выбрать квадратурные формулы, необходимо учесть определенные особенности интеграла столкновений, а также некоторые аспекты граничных задач кинетической теории. Следует отметить, что в уравнении (3) величина К(с,с】) имеет особенность при с=С]. Поэтому в нашей численной схеме необходимо конструировать сетку так, чтобы система точек {с} и система точек {С]} не имели общих членов. Наше решение этой задачи состоит в следующем: надо взять две различные гауссовы квадратурные формулы, корнями одной из них будут компоненты системы {с}, а корнями другой — компоненты системы {с】}. Вначале мы вычисляем /((р(с)) для системы значений с, которые являются корнями одной квадратурной формулы, тогда как Ci как переменные интегрирования являются корнями другой квадратурной формулы. Затем эти квадратурные фор- мулы меняются ролями. Такое решение приводит к замкнутой симметричной системе. Другие соображения, ведущие к выбору двух различных формул, связаны с физикой граничных задач. Если мы рассматриваем граничные задачи (например, как течение Куэтта), то ясно, что на границе величина (р(с) будет разрывной функцией с-п (п ——единичный вектор нормали к границе); однако внутри рассматриваемой области межмолекулярные столкновения будут сглаживать этот разрыв и функция будет определяться единым образом во всем пространстве скоростей. С этой точки зрения для того, чтобы аппроксимировать двойственный характер функции <р, удобно выбрать две различные гауссовы квадратуры таким образом, чтобы одна из них давала представление функции в полупространстве, а другая —— ьо всем пространстве скоростей. Таким способом мы можем в некотором смысле аппроксимировать физическое поведение <р, особенно если использовать плоскость разрыва в пространстве скоростей для определения полупространственных областей.

Поскольку весовая функция в уравнении (1) имеет вид ехр (—|с|2), мы выбрали для полного пространства аппроксимацию Гаусса—Эрмита. В качестве полупространственной формулы мы применили формулу Гаусса——Лагерра. Хотя эта фор-

мула предназначена для весовой функции вида ехр (——с), мы покажем, как приспособить обычную формулу Гаусса—Лагерра для того, чтобы можно было интегрировать полупространствен- ный интеграл с весовой функцией ехр (—с2).

Вначале рассмотрим формулу Гаусса——Эрмита для полного пространства. Если "厶 i=l, 2m, являются корнями поли- номов Эрмита, то m из этих корней отрицательны и m положительны. Уравнение (1) можно тогда аппроксимировать следующим образом:

2T〃屮(А)) = - пок (А) ф《А) +

2m2m 2m

+ X 儿 N % X 期 [k (a;(4，Hj, %)) ф (%，Hj,m)],⑷

i=I扣 1 /м

где 力厶"力 hh — коэффициенты квадратурной формулы Эрмита н А#=(〃瓦，Н§, Нг) (поскольку А берется пропорциональным !) корням квадратурных формул в полупространстве). Для того чтобы вычислить трехкратный интеграл в уравнении (1), три раза применялись одномерные формулы Гаусса ——Эрмита.

В качестве второй квадратурной формулы мы используем модифицированную формулу Гаусса—Лаггера. Вначале разделим интегралы из правой части уравнения (1) на восемь полу- пространственных интегралов:

ОО ОО ОО ОО ОО ООо ОО ОО ОО О ОО

J /卜门』+Ш +』н +

—Ьо —оо —со ООО —оо 000—оо О

О Ото оо оо О 0 оо 0 оо О О ООО+』』』+』』』+』』』+』』』+』/ J•⑸

—ОО —СО О 0 0 —ОО —8 О —оо 0 —ОО —ОО —ОО —8 —8

Введем преобразование A=rW, где компоненты W—корни полиномов Лагерра, а 卩一постоянная, которая используется для того, чтобы приспособить подинтегральное выражение, имеющее весовую функцию ехр (—|с|2), к применению квадратурной формулы Лагерра—Гаусса. В разд. IV объясняется, как выбирать " Уравнение (1) можно переписать в виде

Г/(ф(Н)) = п0К(Н)ф(Н) +

+ 卩3 J exp[_(|uzx| + |rj + |r2|)]x

Xexp[一|"W|2 + | / | + | 办 | + |%|]k(h;("以，"取肥"吃))X

X(PM,皿,N%)dW. (6)

Поскольку интегрирование по Лагерру выполняется в области 0《1卜《8, преобразуем уравнение (6) с помощью уравнения (5) следующим образом:

九T/Q(H)) = 〃oR(H)屮(H) + dI exp(—|%| — |/| — |*zl)X 0

x{exp(-|Ap+(rj + |rj + |r2|)X

1 I 1

K(H; H—D'A』,(一"A”,(一1)* AJ) X

i=0 j»0 A=0

X 屮((一1)A, (—WA“, (—l『Az)}dW.(7)

Интеграл в уравнении (7) теперь имеет надлежащую весовую функцию, а именно ехр(——| Wx\——；Wy\ ——\W2'), и полупростран- ственную область интегрирования. Теперь мы можем применить для интегрирования формулу Гаусса——力агерра, где Wi4 i=l,... …，m, — корни полиномов Лагерра. Если учесть, что мы имеем 2m корней Лагерра, 1. е.呼3 i=1m. 11 —昭厶 i=l, ..., m, то уравнение (1) можно аппроксимировать следующим образом:

2т 2m 2m

r7(<p(H)) = -n0K(H)<р(Н)+ 侦 £ 4 У。£ 〃 X /=1/=1k=\

Хехр [一-(吟 + /+吟)+ |%| + |%| + |叫|] X

X ^(H; n(wk9 Wh ГП)Ф(Н(ГЪ r7, W^ (8) где li=lm+i — квадратурные коэффициенты Лагерра. Очевидно, что не всегда необходимо брать две квадратурные формулы типа трехкратных квадратур Лагерра и Эрмита. Иногда, исходя из физических соображений, выгодно оценивать интеграл по какой-либо одной схеме. Ясно, что смешанные схемы также возможны, поскольку система {с} не имеет общих членов с системой {С1}.

На данном этапе мы задали конкретный вид квадратурных формул Эрмита для полного пространства и Лагерра для полупространства; было показано, как использовать эти формулы для получения замкнутой системы дифференциальных уравнений. Система является замкнутой, потому что в каждой точке пространства скоростей, где вычисляется 7(g), существует уравнение относительно функции <р.

Предположим, что эта система из 2(2т)3 значений <р задается в некоторой линейной последовательности путем записи в определенном порядке Н» и А], т. е. задается взаимно однознач-

ное соответствие указанных значений с целыми числами от 1 до 2(2т)3. Это позволит нам записать нашу систему в матричной форме. Сначала введем следующее обозначение в уравнении (8):

叫仇ехр [_哄曜 + 吗+Т) + |%| + |，| + М]]х

XK(Hs；"(U^, Wh 吃))= %.『,

где S и т——индексы, которые определяются порядком записи Н$ и Ат = н(1%, Wj,忆)；& т= 1,…，(2/п)з. Введем еще одно обозначение в уравнении (8), а именно

-%R(Hs) = 6s・

Подобную же процедуру используем для преобразования уравнения (4); обозначим

hihjhkK (А$；(%，〃/，修))=Ys, т

и

—n0K(As) = rs.

Тогда уравнение (1) можно аппроксимировать следующими уравнениями:

{2机)8

二7伸(Hs)l = ^(Hs) = &<₽(%)+ £ Ps.tWA)，

S = 1,..., (2仆У

九 IJ № (A$)]=芻(A$) =「s 屮(As) + £ Ys, т 9 (H J,

5=1,..., (2m)3,

где

d Э d 0万 F+cf + a•而.

Уравнения (9) можно записать в следующей матричной форме, где число элементов матрицы А равно \2(2m)3]x\2(2m)s\:

(10)(10)券(％)I ГФ(Н5)1舒仆)J" b(As)J

(10)

(10)

Матрица А составлена из четырех матриц, каждая из которых содержит (2m)3X(2m)3 элементов:

где

О ~

—диагональная матрица,

B(2m)s 一о -

—диагональная матрица;

Г (2m) _

Р12• • • Bl(2m)3

Р22• - • p2(2/np

_ B(2m№ 1Bl2/n)3 2 •・・ B(2m)3(2巾)3 _

YllVi2- ■ • Yl (2m)3

Y21Y22・・・ 丫2 (2m)3

41 =：:；•

一 Y(2/n)3 1Y(2w)8 2 • • • Y(2/n)3 (2/n)s_

В разд. Ill обсуждается решение уравнения (10) при гра- личных условиях, соответствующих линеаризованному течению Куэтта.

Граничная задача для линеаризованного

течения Куэтта

Верхняя пластина движется со скоростью U'/2 в направлении у, нижняя пластина движется со скоростью —U'/2 в направлении у.

U，《cth (гth一тепловая скорость).

Л4олекулы газа моделируются твердыми шарами с конечным сечением столкновения.

Л4олекулы отражаются от каждой пластины диффузным образом.

При этих условиях можно показать (см., например, [6]), что уравнение Больцмана после линеаризации принимает форму

с*要(X，с) = а/[ф(х, с)],(И)

где вид q> и J(q)) определяется равенствами (1) и (2), сх принято равным q/cth, х принято равным x/d, a a = n0a2jrd=d/X есть величина, обратная числу Кнудсена. Линеаризованные граничные условия для уравнения (11) берутся в виде

f = af^(l + Ucy), с*<0, х =

I(12)

f=bf(s(l —Uq), сх > 0,% =—芽，

/(0)= п0 伍加产 exp (— с2),(13)

где 叁 и су — проекции вектора с на оси % н у, a U= U'/cth・ Постоянные о и А определяются из следующих условий: число частиц между пластинами постоянно; не имеется потока

Рис. 1. Течение Куэтта.

массы в направлении оси 尤.Из условий симметрии (см. рис. I) следует, что 屮(招勿)=—屮(一х,—сх) и a = b. Кроме того, поскольку U'《Cth, плотность газа между пластинами постоянна и равна «о, так что a = b= L

Следовательно, граничные условия принимают вид 0 (3' с) = + %, сх < 0,

9 (一扌，с) = 一 U%,сх > 0.

Следует отметить, что если rf(p (с)/dt—cxd^)(с) jdx, то уравнение (10) принимает вид

(14)(14)%s 窑"(Hs)Г<р(н5)1

(14)

(14)

A*s 謂(2_1■叭As)」

где HxS и AxS— компоненты по х от Hs и As соответственно. Очевидно, что если разделить каждый из (2m)3 элементов верхних строк матрицы а/ на соответствующие значения Hks и каждый из (2优)з элементов нижних строк той же матрицы на соответствующие значения A*s, то получим матрицу а/' и

соотношение

(15)(15)霊(Н9 =3，|>(Hs)-

(15)

(15)

需(AR Ь(Л5)]

Матрица а/' состоит из элементов, которые являются функциями скорости. Следовательно, матрица аЛ, по отношению к переменной х имеет постоянные коэффициенты. Уравнение (15) имеет решение, которое можно представить в виде

(16)(16)中（尤，%）］ 、 0…7）产闻，Hs）］

(16)

(16)

$（X, As） 1［中（与，As）」

Предположим, что при выборе порядка записи, соответствующем задаче о течении Куэтта, первые (2т)з/2 членов как Hs, так и As имеют положительные компоненты в направлении оси х. Решим тогда уравнение (16) с граничными условиями

%о = —(Р = — U с у,сх > 0,

1(17)

% =了，^ = + UСу,сх < 0.

Если исследовать формальное решение (16) и граничные условия (17), то можно заметить, что на каждой границе известна только половина функции распределения. Поэтому нельзя рассматривать уравнение (16) как решение задачи с началь-

ными данными, поскольку ни на одной из границ не известна полная функция распределения.

Далее уравнение (16) преобразовывается таким образом, чтобы неизвестная на каждой границе часть функции распределения выражалась бы в форме линейной алгебраической комбинации известных граничных величин. Тогда решение задачи в целом сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений.

На данном этапе удобно разделить матрицу Q = exp [а/'(х——х0)] на 16 отдельных равных секций, каждая из которых состоит из (2т)6/4 элементов. Сделаем это следующим образом. Рассмотрим первые (2m)3/2 столбцов матрицы Q. Умножим эти первые (2/71)3/2 столбцов на (p(Hs) в соответствии с тем порядком, в котором записана W(Hs) и при котором соответствующие Hxs > 0. Следующие (2他)3/2 столбцов О умножим на (p(Hs) с H^s <0- Третий блок из (2т)3/2 столбцов умножим на 屮(А$) с _\*s>0, а последний блок из (2^з)/2 столбцов умножим на q、(As) с A.vs<0. Следовательно, мы получили матрицу ◎, разае- пенную на блоки из четырех столбцов. Аналогичным образом разделим строки, т. е. в соответствии с тем, будет ли величина d^(Hs)/dx содержать HxS>0 или %s<0, а величина d^(Ks)ldx соответственно Лх§>0 или Axs<0. В результате всех этих действий матрица будет разделена на 16 секций, что можно представить в виде

"司用31rL rl [ 1"司用31rL rl [ 1t rL 1 1t rL 1 1_HJ I・i T^J T^i- 3 7 15 rL rL_HJ I・i T^J T^i- 3 7 15 rL rLн 出121н 出121句句

"司用31rL rl [ 1

"司用31rL rl [ 1

t rL 1 1

t rL 1 1

_HJ I・i T^J T^i- 3 7 15 rL rL

_HJ I・i T^J T^i- 3 7 15 rL rL

н 出121

н 出121

句

句

Как мы увидим вскоре, эта идея записи матриц в определенном порядке и разбиения их на секции предназначалась для того, чтобы сформулировать нашу конкретную граничную задачу. Подставляя граничные условия (17) в уравнение (16), получаем запись нашей граничной задачи в следующем виде:

⑵“)3/2 {

一唱,Q

-[1] И [3]⑷一

~-VHyS

(2m)3/2{

U%s

[5] [6] [7] [8]

一MT' %)

• (18)

(2")з/2{

虫'As)

[9] [10J [11] [12]

—UAgS

(2m)3/2 {

J Ays一

[13] [14J [15] [16j_

一屮（一^，As） _

Если теперь обозначить i-p матрицу с числом элементов (2/п)з/2Х (2机)3/2 в каждой из 16 секций через [i], то уравнение (18) можно переписать таким образом, что все неизвестные величины находятся в одной его части, а все известные ——в другой:

'[1]^ + [3] UAvS -

(/ + [5]) [/^ + [7] UAyS=

[9]иН* +【11]иА”=

i[13] UH〃s + (/ + [15])UA“_

[4][8][12][16][4][8][12][16]「一I⑵О

[4]

[8]

[12]

[16]

[4]

[8]

[12]

[16]

О[6]О

О[10]—/

0[14]0

Здесь / ——единичная матрица с числом элементов (2т)3/2х X (2m) 3/2, а 0 обозначает нулевую матрицу с тем же числом элементов.

Уравнение (19) является чисто алгебраическим соотношением. Эта система 2 (2m)3 линейных уравнений с 2 (2m)3 неизвестными, причем неизвестными являются значения функции распределения на границах в дискретных точках пространства скоростей. Это соотношение можно еще более упростить, так как в уравнении (19) второй и четвертый ряды из (2т)3/2 уравнений не зависят от первого и третьего рядов. Тогда мы имеем (2m)3 линейных уравнений, записываемых в виде

-(/ + [5])0"" + [7] UA恥 .[13] UH〃s +(/ +【15] UAyS

'[6] [8]].[14] [16]]

中（-义，也

Ф

• (20)

Решение этих линейных алгебраических уравнений представляет собой решение всей граничной задачи о течении Куэтта.

Следует также отметить, что мы имеем <р не только в дискретных точках пространства скоростей, но что эти точки являются корнями квадратурных формул. Это чрезвычайно удоб-

но для вычисления моментов. Например, имеем

—2+°°

.^^^ = "F J ехр(—|ср)屮(х, С)С/"С2

2/n 2m 2?n

"工色，%，期&"/p(x, h)

f=l左=1

+ 8

喘(统(x)) = n-% J exp (— с2) ф (x, c) cy de ”

2tn 2m 2m

七工勾，hbH^{x, H)

1=1/=1

где

ФФ= 〃▲，(％-%)= 〃▲，(％-%)屮屮(22)(22)Если известны значения <р(%, Hs) и ф(х,Лв) в точках %=±〔/2, то можно использовать преобразование

Ф

Ф

= 〃▲，(％-%)

= 〃▲，(％-%)

屮

屮

(22)

(22)

屮(招Hs)

•学 3 As) .

чтобы найти (р(%, Hs), ср (х, Л s) во всех точках интервала 1/2 > % > ~，2・ Эти величины, как и прежде, будут вычислены в дискретных точках пространства скоростей, являющихся корнями квадратурных полиномов; тогда легко вычислить моменты этих величин в точках указанного интервала %.

Результаты

А. Моменты

В предыдущих разделах был описан метод аппроксимации линеаризованного интеграла столкновений Больцмана для твердых шарообразных молекул в дискретных точках пространства скоростей; полученная система линейных дифференциальных уравнений была применена для решения задачи о течении Куэтта. В этом разделе представлены результаты соответствующих расчетов. Эти расчеты основаны на аппроксимации, которая получается, если в выражениях, приведенных в разд. II и ill, принять ，孔=2 (т. е. при использовании четырехточечной

квадратурной формулы). При этом в уравнении (20) получаются матрицы с числом элементов 64X64, что лежит в пределах возможностей, предоставляемых современными стандартными программами вычисления матриц. Сетка, которая получается при этом, является 64-точечной сеткой значений <р в каждой из квадратур Лаггера и Эрмита. Эти результаты обсуждаются с учетом приближений, присущих данной работе, и сравниваются с результатами, полученными в предшествующих исследованиях [4. 6]. Были вычислены представляющие интерес макроскопические величины: касательное напряжение и скорость потока, а также функция распределения. Обсудим вначале расчет касательного напряжения и скорости течения н сравним полученные результаты с результатами предшествующих работ.

Чтобы вычислить макроскопические напряжение и скорость, используем следующие определения:

W,。(芻>/机)=』ехр(—СЗТС'С/尸с,―[ ехр (— с2) ^Cyd-c.(2 叫/т)/2.1У

Применение квадратурной формулы при вычислении этих интегралов дает возможность использовать значения q?, вычисленные в дискретных квадратурных точках [см. уравнение (21)]. Следовательно, мы вычисляем рху и д?” используя уравнения (20) и (22) для вычисления <р, и применяем квадратурную формулу для вычисления интегралов (23) (см. табл, i п 2). На

Таблица /

Макроскопическое напряжение P*y/(Pxy)f,m

а

LHH - LLL

LLL—HHH

HHL — НН"

1/256

0,996

1/128

0,992

1/64

0,985

1/32

0,971

1/16

0,947

1/8

0,908

1/4

0,853

1/2

0,778

1

0,647

0,587

2

0,441

0,461

4

0,274

рис. 2 и 3 даны рху и qy (%=0) в зависимости от а, а на рис. 4 даны q，x) в зависимости от %, где а — параметр.

Таблица 2

Макроскопическая скорость на нижней пластине 4у(* = 0)

Свободномолекулярное течение: qy (х = 0)=0 Сплошная среда: qy (х = 0) = 5,0 • IL

а

LHH—LLL

LLL — ННН

HHL — ННН

1/256 1/128 1/64

1/32

1/16

2

4

-4,4068041 • 10一5

-8,6870153- 10~5

-1,6889957- 10*"4

-3,2001814 - 10"4

-5,7933009 • 10~4

-9,7485042 • 10"4 一 1,4812426 • ICT' -2,0048441 • ICT' —2,4994552 • 10~3

-2,5478463- 10"3

— 3,26037092 • 10-3

—3,0763354 • к

-3,9818682 • 10~3

Важной чертой метода дискретных ординат, описанного в данной работе, является одновременное использование двух различных квадратурных формул. Та гибкость, которую придает методу использование двух различных квадратурных формул, разрешает нам изменять квадратурные выражения так, чтобы учесть влияние границ и межмолекулярных столкновений по мере перехода от больших значений числа Кнудсена к малым.

В предельном случае при больших числах Кнудсена а《% важную роль играют частицы, отраженные от границ, и существенно то, что функция распределения является полу пространственной. В этом режиме необходимо использовать полупро- странственные квадратурные формулы; квадратуры выполняются с помощью формул, которые придают больший вес корням в полупространстве. Квадратурные формулы имеют корни, которые обозначаются буквами LLL н LHH (L обозначает систему корней полиномов Лагерра для полупространства, Н ——систему корней полиномов Эрмита для полного пространства; порядок соответствует интегрированию по %, у, г).

Как указано в приложении А, можно получить (при а +0) приближенное выражение для <р, что дает возможность вычислить limp*j при а->0 и limдрху!да при а ->0 (подробности

-2го-2го犷犷дадаW °'8^ °'5，华勿纭 G оEJr4§CFW °'8^ °'5，华勿纭 G оEJr4§CFOVAOVAо □о □备备备丄3备丄3/й/й7_%7_%7-87-877772222ааРис. 2. Макроскопическое напряжение в зависимости от -а ^ Кп-1.LHH-LLL (О), LLL-HHH (△), HHL—HHU (□), Гросс и Зи-ринг [6] (О).Рис. 2. Макроскопическое напряжение в зависимости от -а ^ Кп-1.LHH-LLL (О), LLL-HHH (△), HHL—HHU (□), Гросс и Зи-ринг [6] (О).70-3犷2/"//〃70-3犷2/"//〃44ооT*.s"z;0T*.s"z;0е ое о8Оо?,,(8Оо?,,(_L J_1 丄 1256 128 6^ 32 /6 842а_L J_1 丄 1256 128 6^ 32 /6 842а

-2го

-2го

犷

犷

да

да

W °'8^ °'5，华勿纭 G о

EJr4§CF

W °'8^ °'5，华勿纭 G о

EJr4§CF

OVA

OVA

о □

о □

备

备

备丄3

备丄3

/й

/й

7_%

7_%

7-8

7-8

77

77

22

22

а

а

Рис. 2. Макроскопическое напряжение в зависимости от -а ^ Кп-1.

LHH-LLL (О), LLL-HHH (△), HHL—HHU (□), Гросс и Зи-ринг [6] (О).

Рис. 2. Макроскопическое напряжение в зависимости от -а ^ Кп-1.

LHH-LLL (О), LLL-HHH (△), HHL—HHU (□), Гросс и Зи-ринг [6] (О).

70-3犷2/"//〃

70-3犷2/"//〃

4

4

о

о

T*.s"z;0

T*.s"z;0

е о

е о

8

Оо?,,(

8

Оо?,,(

_L J_1 丄 1

256 128 6^ 32 /6 842

а

_L J_1 丄 1

256 128 6^ 32 /6 842

а

Рис. 3. Макроскопическая скорость на иижней пластине взависимости от а (обозначения те же, что и на рис. 2).

см. в приложении А). Путем изменения произвольного множителя ц (который появляется при определении полупространствен- ных • полиномов) мы можем рассчитать значения lim рху при а->0, отличающиеся от точных не более чем на 7%, а также значения lim дрху/да при а ->0, отличающиеся в пределах 7%

Рис. 4. Скорость потока q?• 10-3 в зависимости отх. а = 1/16 (О), а = 1/4 (△), а= 1 (▽), а = 2 (□).

от значений, полученных при итерациях Кнудсена. Следует, однако, отметить, что если множитель ц будет подобран так, чтобы получить точное значение lim рху при а->0, то lim дрху/да при а -> 0 будет отличаться от значения, полученного с помощью итераций Кнудсена, приблизительно на 15%. Возможно, что эти результаты одинаково удовлетворительны, поскольку еще не известно соотношение между lim дрху/да при а->0, полученным при кнудсеновской итерации, и точным значением той же величины. Отклонение от точных значений величин при а->0 объясняется главным образом тем, что квадратурная формула LLL — LHH, которая использовалась в этом предельном случае, не вполне полупространственна. Ошибки в предельном случае, при сс ->0, обусловлены главным образом компонентами полиномов Эрмита в полном пространстве.

По мере того как частицы, которые претерпели столкновения, становятся такими же важными, как и частицы,

отраженные от границ, функция распределения становится все более представимой в полном пространстве. Чтобы учесть эту тенденцию, мы использовали в области чисел Кнудсена 1《а《5 следующую квадратурную схему: LLL—ННН, другими словами, формулы с одинаковым весом в полупространстве. При дальнейшем увеличении числа Кнудсена решающее значение приобретают межмолекулярные столкновения и повсюду, за исключением малой области вблизи границы (слой Кнудсена), функция распределения представлена в полном пространстве. Поэтому при а》2 мы выбрали квадратурную схему вида ННН——HHL. Наиболее типичными для этого режима являются результаты, полученные для больших значений а. На рис. 4 можно отметить, что при увеличении а профиль скорости потока вблизи границ начинает проявлять свойства, характерные для слоя Кнудсена, и становится линейным при приближении к центральной линии. Как отмечено в приложении Б, точные результаты представлены здесь только при а《4. Хотя предложенный метод все еще не имеет дефектов, при выбранном способе расчета трудность вычислений возрастает при увеличении а, так что возможность расчетов при больших значениях а зависит от качества применяемой вычис лител ьной машины. Интересно отметить, что метод разделения задачи о течении Кузтта на различные режимы в зависимости от числа Кнудсена и выбора различных комбинаций квадратур в полном пространстве и в полупространстве для каждого режима аналогичен методу, предложенному Круком [8] для решения нелинейных задач динамики разреженных газов. Крук предложил использовать различные комбинации полиномиальных разложений в полном пространстве и в полупространстве для различных режимов по числам Кнудсена. Таким образом можно учесть влияние границ и межмолекулярных столкновений на функцию распределения. Одним из существенных преимуществ метода дискретных ординат является его гибкость, которая позволяет использовать различные комбинации квадратурных формул в пределах принятого формализма; это может быть полезно при решении линеаризованных задач с размерностью, превышающей единицу.

Отмеченное выше сходство между методом полиномиальных разложений и методом дискретных ординат было отчетливо выделено в еще более ранней работе Крука [7]. В этой работе Крук доказал, что аппроксимация функции распределения в дискретных точках эквивалентна усечению моментных выражений при полиномиальном разложении. Из анализа этой работы может создаться впечатление, что одномерный метод дискретных ординат, в котором используется 几 точек, эквивалентен полино-

миальному разложению, содержащему п членов. Однако исходя из сделанных замечаний можно предположить, что использованная здесь трехмерная сетка из 64 точек соответствует полиномиальному разложению довольно высокого порядка с тем дополнительным преимуществом, что разрешается изменение разложений в соответствии с тем, какой режим задается числом Кнудсена.

Следует отметить, впрочем, что в представленной работе поведение 屮 как функции от сх при а->0 не похоже на поведение полинома. Фактически мы замечаем (см. приложение А), что(р(сх)〜ехр (а%*). Это несколько удивляет (см., например, [6]), потому что мы не ожидали такого поведения (при а ->0) от аппроксимации, подобной полиномиальной, на которой основана наша работа.

Это один из тех пунктов, в которых предложенная работа качественно отличается от работ с применением моментных методов. По-видимому, это отличие определяется тем, что вначале решаются дифференциальные уравнения относительно <р, а затем с помощью квадратурных формул вычисляются моменты. В моментных методах 屮 выражается вначале в виде полиномиального разложения н коэффициенты вычисляются из моментных уравнений. Важным обстоятельством является то, что в данной работе поведение <р не искажается за счет предварительного осреднения (при вычислении моментов); выражение для функции 屮 является точным решением уравнения (16), и аппроксимация делалась именно для него.

Б. Сравнение с другими работами

На сегодняшний день наиболее точное решение задачи о линеаризованном течении Куэтта для твердых шарообразных мо* лекул приведено в работе Гросса н Зиринга [6] с некоторыми поправками, сделанными Черчиньяни [4]. Гросс и Зиринг аппроксимировали функцию ф полупространственными полиномами вида

<р± (с, х)=確(х) cu + af (х) Cg%, (24) где 〃丰 н 〃f — полупространственные коэффициенты, зависящие от координаты физического пространства и определяемые из по- лупространственных моментных уравнений. Это приближение дает для величин рху и дрху/да в случае твердых шарообразных молекул результаты, которые являются точными (итерация Кнудсена) в пределе при а ->0; однако при а> 8 полупространственные коэффициенты не становятся равными. Чер- чиньяни объясняет это противоречие неполнотой уравнения (1).

Однако если ввести множитель Ь(|с|) таким образом, чтобы равенство (24) имело вид

<р土 (с, %)=啞(х) cy-\-af (x)b(\c\) сусх, (25)

то в предельном случае а -> оо получается решение Чепмена — Энскога для всего пространства. Черчиньяни не использовал, однако, выражение (25) для расчетов во всей области а. Он предположил, что численное различие результатов, которое получается при введении множителя Ь(]с|), мало для всех а. Это разумно, хотя было бы интересно увидеть влияние соответствующей поправки. Поэтому при сравнении наших результатов с результатами Гросса и Зиринга [6] нужно помнить, что их результаты были получены с помощью выражения (24) и не включали множитель Ь(|с|), который ввел Черчиньяни.

В пределе, при а->0, простое полупространственное разложение (24) Гросса и Зиринга точно удовлетворяет граничным условиям и дает точное значение lim рху при а->0, а также значение lim дрху/да при а ->0, соответствующее итерации Кнудсена. Однако, как указали Гросс и Зиринг, поведение 屮 как функции от сх при а->0 при полиномиальных разложениях не таково, каким должно быть. Сравнивая его с результатами данной работы, мы замечаем, что у нас <р(cXf)^ exp (a/^z) при а —0. Кроме того, на рис. 2 и 3 видно, что численное различие между результатами Гросса и Зиринга и данной работы при сс《1/2 мало (при условии, что рху в данной работе нормализуется путем деления на (pXy)t.m.)-

При а》1/2 можно ожидать, что большое число используемых корней (т. е. высокий порядок разложения) и полезное сочетание полупространственных и пространственных корней даст возможность получить более точные результаты. Действительно, наибольшие отклонения результатов данной работы от результатов Г росса и Зиринга наблюдаются при а>】/2・ Подводя итоги этого сравнения, можно сказать, что при а<7г полностью полупространственное разложение Г росса и Зиринга должно давать достаточно точные результаты (за исключением зависимости 9 от 。久),тогда как при а>!/г присущая данной работе гибкость и возможность брать большее число членов делают предложенный метод более привлекательным.

В. Расчеты функции Q

Интересной особенностью данных расчетов является то, что возмущение функции распределения вычисляется непосредст* венно для квадратурных точек. Изучение результатов вычисле*

ния функции(р(с^) интересно потому, что они дают возможность проверить выполнение законов симметрии и сохранения и, кроме того, наглядно показать эволюцию функции распределения от свободномолекулярного режима к континуальному. Интересно отметить, что в задаче имеются различные типы симметрии. Первое такое свойство симметрии может быть записано в виде <р (х, су)=——(р(х,——су)； оно показывает, что функция <р ведет себя как полином по нечетным степеням су. Далее мы замечаем, что q)(x, с?)=屮(％, —с ) и(р(%, %)=—屮(一％, —%). Кроме

3soО

А△ 二 △

艺

<>000000 О OOQOO00OO

-0,125-a25 也3巧 一25

工

Рис. 5. Макроскопическое напряжение р*у в за-висимости от х.

а =1/16 (Q), а=1/4(2 а = 2 (□), а = 4 (О).

того, на рис. 5 видно, что, согласно результатам расчетов, значение рху постоянно по всей области между плоскостями. Описанные выше свойства симметрии и постоянство рху свидетельствуют о том, что при расчетах выполняются законы сохранения для линеаризованного течения Куэтта.

На рис. 6 и 7 дана функция распределения 屮 у нижней пластины в зависимости от с覚.Интересно отметить полупростран- ственный характер функции 屮 на границе при малых значениях а и переход к континуальному пределу при увеличении а. На рис. 8 мы вновь видим зависимость <р от сх, но теперь в точках, лежащих на центральной линии между пластинами. Представленные здесь результаты вполне наглядно показывают эволюцию ф от функции, имеющей полупространственный характер при малых а, к 山ункннн, линейной по сх н соответствующей результатам Чепмена и Энскога при а=2. На рис. 9 и 10 представлена также зависимость <р от cz; она интересна потому.

Рис. 6. Возмущение функции распределения на нижней пластине, (р (с*, 0,52, 0,52) • 10~3, в зависимости от с*.

а=1/16 (О), а= 1/2 (□), а«2 (△)

Предельное значение р для сплошной среды

厶

厶

-11

20 -W

о

Предельное значение р для свободномолекулярного течения

Рис. 7. Возмущение функции распределения на нижней пластине, 屮(с*, 1,65, 1,65) • 10~3, в зависимости от сх (обозначения те же, что и на рис. 6).

78济

74

72 妙 8

6 4

屮+uconst для всех а

纟N-6力刃表%w也

乙

течениятечения54 354 3

течения

течения

54 3

54 3

△ о

Предельное значение 屮~ - 办弁 свободномоленулярного .

Предельное значение 夕・ для свободномоленуляр - него течения

-~^О

□ △

11

Ю2,0

Предельное значение 屮 * для сплошной среды

Рис. 8. Возмущение функции распределения на централь-ной линии,屮(с%, 0,52, 0,52) • 10*"3, в зависимости от сх(обозначения те же, что и на рис. 6).

9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

Рис. 9. Эффект учета компоненты скорости сг на централь-ной линии,屮(—0,62, 0,52, с%) • 103.

a-l (△). a-2 (O).

что все другие исследователи пренебрегали изменением <р в зависимости от G, в то время как в данной работе эта зависимость учитывается. На рис. 9 показано, что на центральной линии существует практически очень слабая зависимость 叩 от сг, тогда как на поверхности пластины (рис. 10) имеется большее

Рис. 10. Эффект компоненты скорости cz на ннжней пластине, q (—0,52, 0,52, cz) • 10^3.»】(△) a-₽2 (О).Рис. 10. Эффект компоненты скорости cz на ннжней пластине, q (—0,52, 0,52, cz) • 10^3.»】(△) a-₽2 (О).

Рис. 10. Эффект компоненты скорости cz на ннжней пластине, q (—0,52, 0,52, cz) • 10^3.

»】(△) a-₽2 (О).

Рис. 10. Эффект компоненты скорости cz на ннжней пластине, q (—0,52, 0,52, cz) • 10^3.

»】(△) a-₽2 (О).

отклонение ср от постоянного значения, хотя н тоже слабое. Это подтверждает двумерный характер задачи о течении Куэтта.

Приложение А. Предельный случай малых значений а

В этом приложении описано поведение 屮 при а->0 и показано, как соотношение (16) используется для вычисления limpd%) при а->0 и limдрху(х)/да при а->0:

+ 8

Нш рху (х) = яг% Г ехр( — с2) qc* [lim 屮(х, с)] de.

"f °一ea今0

Так как limexp[oTT(x — %о)] при а -> 0 равен /, то можно написать следующее соотношение для <р:

m針::)=篇m針::)=篇Hs))А8))'Hs))А8))'(26)(26)

m針::)=篇

m針::)=篇

Hs))

А8))'

Hs))

А8))'

(26)

(26)

где / — единичная матрица. Граничные условия дают тогда всю информацию, которая требуется для того, чтобы вычислить lim рху (х) при а->0.

Метод вычисления lim дрху/да при а ->0 несколько сложнее и требует некоторого обсуждения поведения функции ф. Изучая уравнение (16), можно заметить, что если не принимать во внимание матрицу Af (которая не зависит от а), решение 9(%) очень близко к экспоненциальной функции от а/с与；так как А' является матрицей, которая постоянна во всей области изменения числа Кнудсена, ясно, что множитель ехр(а/с%) действи

тельно определяет, как изменяется решение при изменении числа Кнудсена. Следует отметить, что, поскольку а является параметром, а не переменной, всегда можно разложить экспоненту по степеням малых значений и вычислить наклон, т. е. lirn дрху(х)/да при а -> 0. Предположим, что поскольку а мало, то можно принять е°" у / + аА‘.

Разобьем матрицу Af на блоки так же, как это было сделано для Q:

-Л； 4 Лз 4-

А^ Ле Д? Лв

4 =//,/ •

4 Лю Лц Л12

_А；з Ди Л is 4；б_

то частную про- можно записатьто частную про- можно записатьПоскольку мы предполагаем, что Q=/+aA', изводную по а левой части уравнения (20) следующим образом:

то частную про- можно записать

то частную про- можно записать

О Q + «Л5)UHys + ^AjU/^ys °а [ aAhUHgs + (/ + аЛ；5) U&ys

j Лб ЛвUm Л；6j Лб ЛвUm Л；6/ + а/б .а/】/ + а/б .а/】遥-/ + a4i6 一遥-/ + a4i6 一XX♦ (27)♦ (27)

j Лб Лв

Um Л；6

j Лб Лв

Um Л；6

/ + а/б .а/】

/ + а/б .а/】

遥-

/ + a4i6 一

遥-

/ + a4i6 一

X

X

♦ (27)

♦ (27)

L五中［一万，

Однако поскольку lim(р(—%,。)при а -> 0 равен —UcyS и

° С + 函3 UHys + ^AjV^ys ] _『4。％s + ^U^ysа.о 0a . aA{3UHys + (/ + a/is) UA^s J L 川3口〃舔十 A^UAys _

то из уравнения (27) следует

lim」『—' 时 =Г(Д5 + Д；) UHyS + (Д； + Д8)UAyS

—° 為⑶(—У，As) -("；3 + Л14)U"ys + (片5 + Л16)UAgs

Таким образом, мы имеем limдц)/да при а->0 в дискретных точках пространства скоростей, которые являются корнями наших квадратурных формул. Так как

0+°°

(28)(28)理僚=W] ехр(—|с|2)関窯 QCzdC,

(28)

(28)

то после этого можно применить квадратурные формулы к уравнению (28) и вычислить lim дрх/да при а->0.

Приложение Б. Случай^ когда а > 1

Когда а> 1, то элементы матрицы е"' становятся большими по сравнению с единицей. Тогда, очевидно, матрица в уравнении (19) оказывается по мере роста а все более и более плохо обусловленной )- Это происходит из-за того, что четные субматрицы [2], ..., [16] становятся столь большими, что относительное значение матрицы / уменьшается. Тогда мы можем ожидать, что любое решение, которое мы сумеем получить, будет утрачивать значащие цифры при увеличении а. Любое, какое только можно ожидать, решение 屮 будет правильным в пределах собственного вектора матрицы, близкого к машинному нулю). Иначе говоря, будут существовать такие решения 屮i уравнения (20), для которых

/ [6] [8]\h(-7> Н^)1теГ7 + [5] UHyS + [7] UAIIS 一

1口4] 口6]丿，(—J, As)_TL[13] UHyS + (l + [15]UAvS)_'

Здесь символ m обозначает число значащих цифр при расчете, тогда как 屮i будет иметь тот же самый порядок, что и <р.

Так как из теории известно, что существует пять нулевых

значений собственных векторов 学心 i=l, ..., 5, то нужно искать

5

решение в виде 屮=屮+ X 力^屮力 где ^b^i представляет собой собственный вектор, равный машинному нулю, и где 屮 удовлетворяет следующим условиям:

рху(х), рассчитанная через <р, постоянна для всех значений х между пластинами;

qy (х) монотонно уменьшается при отходе от пластины с координатой %=i/2 и достигает нулевого значения при %=0.

При численных расчетах течения Куэтта удовлетворительные результаты могли быть получены только для случаев а = 2 и а=4. В случае а=8 было потеряно столь большое количество значащих цифр, что даже у стенки результаты были неудовлетворительными.

В случае когда а=2, единственная корректировка, которую нужно было сделать с учетом нулевых собственных векторов, была вызвана тем, что величина qy(x), вычисленная через ф, не равнялась в точности нулю на центральной линии. Эта корректировка легко осуществл я л а сь с помощью нулевых собственных векторов.

Для а=4 величины рху и q。, вычисленные только через 屮， вели себя в окрестности границы надлежащим образом. Однако при подходе к центральной линии, особенно в точке %= =0,375 ( = 1/2—(1/2а), величины рху и д〃 вели себя неправильно. Затем были найдены пять независимых собственных значений, равных машинному нулю, и были решены следующие пять уравнений относительно Ь/

5

%。(%)+—♦%№)=。，

5

Рхи。®) + 2 biPxy. (%)=乙。(х =。,5),

где %i=0,375, %2=0,25, х3=0,175, %4=0, a qy^ руо представляют собой величины, которые были вычислены только через <р, тогда как 9“, рху являются величинами, вычисленными через <р” 口「？二нльность этих результатов может быть показана следующим образом:

Б

2 &/ф< сохраняет собственное значение равным машин- ному нулю;

5

рху (х) = рх^о (х) + S ^iPXy.M остается постоянным и равным р*砲(х = 0,5) внутри области 0,5》％》0;

3)ЯуМ-Яу.М + ^ь^х)0,5>х>0.3)ЯуМ-Яу.М + ^ь^х)0,5>х>0.правильно ведет себя в областиправильно ведет себя в области

3)ЯуМ-Яу.М + ^ь^х)

0,5>х>0.

3)ЯуМ-Яу.М + ^ь^х)

0,5>х>0.

правильно ведет себя в области

правильно ведет себя в области

Литература

Bhatnagar Р. L., Gross Е. Р., К го о к М., Phys. Rev.t 94, 511 (1954); русский перевод: сб. «Проблемы современной физики», № 2, 1956.

Broadwell J. Е., Study of rarefied shear flow by the discrete velocity method, STL Rep. 9813-6001-RU000. 1963

Broadwell J. Е.» Application of a discrete velocity model to the Boltzmann equation in shear flows, STL Rep. 9813-6004-RU000, 1963.

Cercignani C., Nuovo cimento, 27, 1240 (1963).

Gross E. P., Jackson E. A., Z i e г i n g S., Ann. Phys. (N. Y_), 1, 141 (1957); русский перевод: сб. Механика, № 5 (51), 33—55 (1958).

Gross E. P., Ziering S., Phys. Fluids, 1, 215 (1958); русский перевод: сб. Механика, № 6 (58), 3—20 (1959).

Кгооk М., /. Astrophys., 122, 488 (1955).

К г о ok М., J. Fluid Meeh., 6, 523 (1959).

Lees L., A kinetic theory description of rarefied gas flows, Calif. Inst of Technol., Cuggenheim Aeronaut. Lab. Rep. № 51, 1959.

Welander P., Arkiv fysikt 7, 44 (1954),

Метод дискретных ординат для решениянелинейного уравнения Больцмана применительнок задаче о релаксации псевдоскачка 1)

". Бахман, 5. Гамель

Введение

На Четвертом международном симпозиуме по динамике разреженных газов Вахман и Гамель [2] представили работу, в которой детально обсуждался метод численного решения линеаризованного уравнения Больцмана для твердых шарообразных молекул. Принятая точка зрения заключалась в том, что после линеаризации уравнения Больцмана потеря точности происходит лишь из-за ошибок округления. Изложенный в работе [2] метод был методом дискретных ординат н состоял в решении линеаризованного уравнения Больцмана для твердых шарообразных молекул в дискретных точках пространства скоростей, причем интеграл столкновений был аппроксимирован конечной суммой с помощью гауссовских квадратурных формул. Этим методом было дано удовлетворительное решение задачи о линеаризованном течении Куэтта. Численный метод, предложенный в работе [2], теперь модифицирован для решения нелинейного уравнения Больцмана для твердых шарообразных молекул.

С точки зрения численных расчетов нелинейное уравнение Больцмана значительно более сложно по сравнению с линеаризованным. Трудности при решении нелинейного уравнения являются следствием того, что в уравнении Больцмана имеется пятикратный интеграл; после линеаризации пятикратный интеграл столкновений становится трехкратным. В линейном случае можно явно выполнить интегрирование по углам, поскольку частицы рассеиваются от известного максвелловского фона. Это уменьшение порядка интегрирования позволяет выбрать такую сетку в пространстве скоростей, что число дифференциальных уравнений равно числу переменных, f(Vi, г, £), н нет необходимости в интерполяции. В нелинейном уравнении Больцмана нельзя уменьшить порядок интегрирования и ограничиться

1)Wachman М., Hamel В. В., A discrete ordinate technique for the non-linear Boltzman equation with application to pseudo-shock relaxation. Proceedings of the Fifth International Symposium on Rarefied Gas Dynamies, held at the University of Oxford, 1966, edited by C. L. Brundin, vol. I, 1967, p. 67U694.

обычной сеткой дискретных ординат в пространстве скоростей уже невозможно. Это происходит потому, что частицы, которые имели скорость % (на сетке) перед столкновением, после него приобретут скорость vfe, значение которой не обязательно находится на сетке. Чтобы преодолеть это затруднение, необходим сложный метод интерполяции в пространстве скоростей. Следовательно, для нелинейного уравнения Больцмана мы должны в дополнение к гауссовской квадратурной формуле для аппроксимации интеграла использовать интерполяционную схему. Интерполяция требует особого выбора сетки точек, на ко- торых базируются вычисления. Выбор сеток, поскольку число точек в них ограничено, является очень тонкой процедурой. Было проведено изучение многих параметров сеток, необходимое для того, чтобы выбрать сетку, которая, по-видимому, лучше всего удовлетворяла законам сохранения.

В настоящей работе мы применили метод дискретных ординат к нелинейному уравнению Больцмана для твердых шарообразных молекул. Была решена задача о нелинейной релаксации псевдоскачка в однородном пространстве. Иначе говоря, мы рассмотрели газ из твердых шарообразных молекул, имеющий функцию распределения fo(v) в момент f=0, не зависящую от г, и затем нашли для последующих f, как f(v, f) релаксирует к максвелловской функции. Введенный выше термин 《псевдо- скачок» выделяет класс начальных функций f0(v), которые мы рассмотрели; fo(v) состоит из двух максвелловских распределений со средними скоростями —е и +е, направленными по оси х. По мере того как эти распределения взаимодействуют благодаря столкновениям, их средние скорости превращаются в тепловые и при f -> 8 мы будем иметь одно-единственное максвелловское распределение со средней скоростью。久=0. Мы можем представлять себе это явление как ударную волну в пространстве скоростей и поэтому ввести термин «псевдоскачок».

Насколько нам известно, это первое численное решение нелинейного уравнения Больцмана для твердых шарообразных молекул, а поэтому для нас было важно, чтобы рассмотренная задача была достаточно проста для сравнения с различными приближенными методами и достаточно интересной физически для того, чтобы уяснить сущность важного физического явления. Выбранная задача легко решается для нелинейного уравнения Крука; она была решена ранее методом Монте-Карло [3]. Это дает нам счастливую возможность сравнения с методом Монте-Карло и разрешает оценить некоторые недостатки модели Крука; кроме того, мы получаем ясное представление о функции распределения, которая возникает при термализации упорядоченного движения в гидродинамической ударной волне.

Кратко изложим некоторые выводы из нашей работы. Прежде всего заметим, что наши резу/ьтатн качественно н в разумных пределах количественно согласуются с результатами, полученными Хиксом [3] методом Монте-Карло для тензора напряжений, поведение которого характеризовалось одним временем релаксации. Во-вторых, мы можем сказать, что модели типа модели Крука с одним временем релаксации дают хорошую аппроксимацию для таких моментов, как тензор напряжений, однако они совершенно непригодны для предсказания деталей функции распределения; при этом особенно большие трудности имеют место для частиц с малыми скоростями. В-третьих, сложный метод дискретных ординат, использованный здесь, представляется вполне пригодным для численного описания весьма сложного перераспределения частиц в пространстве скоростей за счет столкновений.

Аналитический и численный методы

Мы предлагаем численную схему решения задачи о релаксации пространственно однородного газа путем непосредственного использования уравнения Больцмана.

Начнем с замечания, что все предположения, которые будут сделаны, будут обусловлены ошибками усечения.

Мы знаем далее, что если все требующиеся величины непрерывны, то теоретически можно сделать ошибку как угодно малой путем соответствующего увеличения порядка аппроксимации.

Пусть f(V)—функция распределения молекул, где v — трехмерный вектор скорости. Определим 屮(v) соотношением f(v)= =е~ 哪(v).

Тогда уравнение Больцмана примет вид

оо оо оо 2л П/2

*=— j j j j j eY仲(v)屮化)一“(v + %)屮(g-%)]X —OO —8 —8 00

X I 5 — v I sin 6 cos 0 dO de d§, (2.1)

где компоненты вектора % определяются в виде

X, = g {2 (& — S) COS2 e + u g - V |2 — I £ 一 勿円％ . sin (26) cos(e - g)},

I = x, у, г

и где

% = 0；

cos 包=一位*-0)&-"‘);i = x, у.

[I 自一V [2 - (口 一 О*)?] /" I g - V I? - (1」—)2]厶

— зт + 48л— зт + 48л—3T + £ “ =~S~—3T + £ “ =~S~02 =02 =от интегрирования по углам —1《屮1&1, —1《屮2《1.Д与外от интегрирования по углам —1《屮1&1, —1《屮2《1.Д与外перейдем и ф2, где НИЯ ПО ф1перейдем и ф2, где НИЯ ПО ф1к интегрированию по(pi численного интегрирова-к интегрированию по(pi численного интегрирова-Поскольку наша задача является задачей о релаксации, мы начнем счет с поверхности f(v) или v|)(v) при / = 0 и проследим ее изменение во времени. Нам требуется в таком случае найти 的2Idt, вычислив для этого правую часть уравнения (2.1). Чтобы сделать это, мы должны использовать численные квадратуры для пятикратного интеграла. После простого преобразования

— зт + 48л

— зт + 48л

—3T + £ “ =~S~

—3T + £ “ =~S~

02 =

02 =

от интегрирования по углам —1《屮1&1, —1《屮2《1.Д与外

от интегрирования по углам —1《屮1&1, —1《屮2《1.Д与外

перейдем и ф2, где НИЯ ПО ф1

перейдем и ф2, где НИЯ ПО ф1

к интегрированию по(pi численного интегрирова-

к интегрированию по(pi численного интегрирова-

и(р2 воспользуемся квадратурной формулой Гаусса——

Лежандра. Если мы используем формулу для (pi в т\ точках, и формулу для ф2 в 切2 точках, то после вычисления £ в 团1 точках и 0 в т2 точках получим, что для любой пары фиксированных величин V,自 будем иметь 加团诊 различных величин для каждой компоненты вектора %. Если мы используем «-точечную формулу Гаусса——Эрмита для того, чтобы выполнить интегрирование по g, то при этом получим сетку из п3 точек (^х,自沙，gz), каждая из которых для данного v будет сдвигаться 加]加2 раз при интегрировании по углам. Таким образом, для того чтобы вычислить внутренний интеграл в точках (их, и。， Oz), мы должны знать 州 для каждого вектора v, для п3 векторов 自,для гАт\Шу векторов v+x и для 出⑪恤 векторов 自一％.

Если ввести обозначение

尸 F 恥，学2； V)= 2(V)w售)一中(V + 1 (/，学2))屮仁 - % 31，92))] X

X |”v|cos墨他+l)sin子@2+ 1),

то можно написать наши гауссовские квадратуры для вычисления d^(v)/dt в виде

п п п т、 т 士

娱-孚2££』1>%%мрх

i=l /=1 k=\ а=1 B=1

X F (畐,.4, Ф1«, 6. V), (2.2)

где Hi,j,h 亿 /,左=1, ••・，〃)一 весовые множители Эрмита, Et, j,h 亿 /, ^ = 1, ..., n) — корни полиномов Эрмита и Ла> р (а=1, •••, тр ₽ = 1, ..., т2) -- весовые множители Лежандра, а 屮кг,屮2日(°= 1, • • •,机/ 6=1, .・.，机2)一 корни полиномов Лежандра. Предположим, что решение начинается с некоторой данной начальной поверхности “(v) при /=0. Мы можем точно вычислить правую часть уравнения (2.1) и перейти к программе решения дифференциального уравнения (в нашем случае

мы выбрали шаговую схему Ланцоша [4]), чтобы решить систему уравнений d(p(vj/d/ на нашей сетке значений v и таким образом получить ®(v) в момент △/. Для того чтобы продолжить наше интегрирование по времени, нужно знать 巾 не только во всех точках v, но также в точках g, v+%, g—%, т. е. в точках, которые требуются в уравнении (2.2). Очевидно, мы имеем возможность запомнить 巾 только в точках v. Также ясно, что не может быть конечной сетки значений v, которая давала бы 屮 во всех точках v, g, v+y, |——％, так как для любого v немедленно потребуется 屮 в точке v+%. *

Мы преодолели эти затруднения, выбрав наши v таким образом, чтобы эта сетка v обеспечивала и соответствующую интерполяционную сетку для наиболее важной области в пространстве скоростей. Это не безупречное решение нашей проблемы. Прежде всего можно ожидать, что сетка точек, в которых вычисляется 牛，окажется такой, что во многих точках придется экстраполировать. Несомненно, в крайних точках сетки v придется экстраполировать на подмножество векторов v+%. Экстраполяция вносит ошибки гораздо большие, чем ошибки интерполяции. Конечно, можно выбрать нашу сетку v таким образом, что крайние значения v будут так далеки, что не о чем будет и беспокоиться, потому что в конце концов нам важна функция /(V)= е-唄屮(V), а для больших значений v она мала. Тогда, для того чтобы избежать больших ошибок при интерполяции, потребуется взять громадное количество точек, а это очень дорого. Нас ограничивают возможности машин и главным образом стоимость расчета даже для скромного числа точек (мы использовали сетку из 5= 125 точек v).

При использовании такого скромного комплекта точек сетки их размещение играет решающую роль. Точки не могут располагаться слишком далеко друг от друга из-за проблемы интерполяции. Они не могут занимать слишком малую область, так как точность вычисления функции ухудшается вследствие ошибок экстраполяции и эти ошибки будут переходить в значения функции -ф(у) в наиболее важной области пространства скоростей.

Вначале мы можем решить вопрос о том, насколько соответствует интерполяционная сетка кривой ^(v). Можно предположить, что функция 巾(V) более сложна для интегрирования в начале процесса релаксации, так как в конце процесса

f(V)= e^vi^ (v) переходит в максвелловскую функцию, если правильно выбраны координатные оси. Однако из этого не следует, что сетка не должна непрерывно изменяться с течением времени. Если, как это имеет место в нашем случае, сначала W(v)=屮(。冥),сделанное выше утверждение справедливо только для направления vx. Мы ничего не можем сказать о трудностях интерполирования для направлений vyt vZT поскольку не знаем заранее, как изменяется i|)(v). Эта проблема заслуживает внимательного изучения путем изменения сеток и количества точек в них.

Результаты, которые приводятся ниже, связаны с двумя случаями — близким к линейному и нелинейному. Случай, близкий к линейному, не представляет трудностей. После изучения некоторых параметров (с сеткой, фиксированной во времени) в нелинейном случае мы остановились на сетках, одинаковых по 。打 Uy, ?z：——1,0；——0,7； 0; 0,7; 1,0. Приведенные ниже результаты, вычисленные вплоть до времени одного столкновения, являются довольно хорошими, если учесть трудности, связанные с их получением.

Имеются дополнительные трудности в выборе сетки, связанные с тем, что для каждого момента времени нам нужно вы* числить величины

СО ОО ОООО ОО ОО

N= J J "卡屮偉隔 匕=J J Je-%(EK4E, —oo —-oo —oo—oo —oo —oo

i = %,劣 2,

E=『『『内餌娠(2.3)

—oo — oo —oo

E'= J J J e-貝屮(E)寻能，i = x, y, z. —oo —-oo —oo

Для того чтобы вычислить эти интегралы, необходимо иметь 屮(自)в точках 自,которые являются корнями полиномов Эрмита, но не совпадают с точками нашей сетки. Это означает, что необходимо применять интерполяцию н экстр а полицию, а свойства выражений (2.3) в этом отношении отличаются от свойств уравнений (2.1). Этим определяется дополнительное ограничение в выборе точек сетки. В результате нашего выбора точек сетки пришлось отказаться от квадратурных формул Гаусса— Эрмита 5-го порядка для уравнения (2.3) и применить формулы 3-го порядка. Это было сделано потому, что корни полинома 3-го порядка расположены гораздо лучше для интерпр-

лирования и экстраполирования по отношению к нашей сетке. Поскольку уравнение (2.3) не является основным в задаче, это не вносит ошибок в процессе релаксации. Так как схема Гаусса——Эрмита n-го порядка эквивалентна полиномиальной аппроксимации (2〃——1)-го порядка, трехточечная формула Гаусса— Эрмита для уравнения (2.3) эквивалентна полиномиальной аппроксимации 5-го порядка.

Результаты

В этой части мы рассмотрим масштабы и способы приведения величин к безразмерному виду и обсудим физический смысл результатов, полученных при решении задачи о релаксации. Мы также сравним наши результаты с результатами, полученными методом Монте-Карло [3], н, кроме того, обсудим законность моделей типа модели Крука для этой задачи. Наконец мы рассмотрим численные ошибки, которые характерны для данного метода, и их влияние на точность результатов.

Единицы измерения и определения

Вначале отметим, что при выполнении вычислений была использована система «машинных единиц». Эти единицы возникали при нормализации уравнения Больцмана с помощью следующих формул (величины со штрихами являются размерными):

где Vo, То и 〃о ——величины, входящие в выражение для начальной функции распределения

:,= 4 ""mУ吟,，6+守/方

0 2лйГоI m

которая в безразмерных переменных записывается в внде

18 Зак. 137Q

После этого уравнение Больцмана записывается так:

* = — J (f(v)fi(Vi)-吊)geos ©sine d0d£d3%,

где f — функция распределения после столкновения. Полная числовая плотность газа 八2 = 2〃[ постоянна, а в „машинных единицах4* полная плотность равна М= J fod3v == 2л8/г. Средняя скорость газа равна нулю для всех /, а полная энергия газа Е『3/гТ[ + V：m = 3/гТ； = J f^vf2d3vr постоянна и в безразмерной форме выражается в виде

耳嗚=3 + 2呪耳嗚=3 + 2呪т'9g"十3，т'9g"十3，

耳嗚=3 + 2呪

耳嗚=3 + 2呪

т'9

g"十3，

т'9

g"十3，

а в «машинных единицах»

Ео= J %絞-з? = 3冗％ [i -|-|-е2]

Асимптотической формой функции распределения будет

в «машинных единицах»

При иллюстрации наших результатов на графиках показаны величины

品三 J f °2 d3u,耳 T f%d%,品三 J f °2 d3u,耳 T f%d%,J三j此d%，Ez= J，巧 &.J三j此d%，Ez= J，巧 &.

品三 J f °2 d3u,耳 T f%d%,

品三 J f °2 d3u,耳 T f%d%,

J三j此d%，Ez= J，巧 &.

J三j此d%，Ez= J，巧 &.

Мы рассматриваем также время столкновения т； ref, которое является характерным временем между столкновениями для газа из твердых шарообразных молекул при температуре Го и Пр (см. [1]):

,=,叵

% r?f — 7co 4.2 ;

7,00000,93907,00000,9390e/坛e/坛0,000000,00000Количество движенияКоличество движения1,0000 0г99901,0000 0г9990液=。％2 %2 % % %2 % %2 % % 敷 ％ Z0Рис. I. Законы сохранения, £ = 0,!.液=。％2 %2 % % %2 % %2 % % 敷 ％ Z0Рис. I. Законы сохранения, £ = 0,!.Е/坛僅 (e一 .-о-—-qgo-Ноличество движении 加 0=0Е/坛僅 (e一 .-о-—-qgo-Ноличество движении 加 0=00,900,90

7,0000

0,9390

7,0000

0,9390

e/坛

e/坛

0,00000

0,00000

Количество движения

Количество движения

1,0000 0г9990

1,0000 0г9990

液=。％2 %2 % % %2 % %2 % % 敷 ％ Z0

Рис. I. Законы сохранения, £ = 0,!.

液=。％2 %2 % % %2 % %2 % % 敷 ％ Z0

Рис. I. Законы сохранения, £ = 0,!.

Е/坛

僅 (e一 .-о-—-

qgo-

Ноличество движении 加 0=0

Е/坛

僅 (e一 .-о-—-

qgo-

Ноличество движении 加 0=0

0,90

0,90

I I I I I I1l11-

0 勿 0,2“3“40t53 少"80,9“ U

Рис. 2. Законы сохранения, £ = 1,0.

!8*

так что по абсциссе на наших графиках откладывается вели- чина “и

Б. Физическое описание процесса релаксации

К-ласс функций распределения при £ = 0, который мы рассматриваем, задается в виде

причем в наших расчетах |е| =0,1 и |е| = 1,0, что соответствует линейной и нелинейной релаксации. Для линейного случая

(|е|=0,1) имеем (%—，8)"о《1, н в пространстве скоростей необходимы небольшие изменения, чтобы привести газ к Д». Однако для 同= 1,0 функция /о далека от равновесия и началь-

ная и конечная функции распределения качественно весьма отличны одна от другой. Обозначим |е| через е. Чтобы о^а теризовать процесс релаксации, определим разность мо\4е^тов (р(/) =£х——£У/Ео； эта величина пропорциональна обычно^ ка_ сательному напряжению тХх： гхх=р—Рхх. Она будет хара Керн：

важ-важ-зовать степень неравновесности. Помимо этого, если нам

важ-

важ-

ны детали функции распределения, мы можем ввести BejjH4HHV 6(V, /) = (f—foo)/(fo—『8)как более детальный показатель 口 ближения к равновесию в пространстве скоростей. '

Сначала рассмотрим рис. 3, на котором показано, как изме. няется f(vXt 0,0) при изменении 〃觴 皿 для £=1； здесь Нагляд： но видна природа перехода упорядоченной скорости (представ- ленной горбами в %) в тепловое движение; отметим, чт0 при- близительно за время одного промежутка между сто^Кнове, ниями QZref) Функция распределения переходит от % к цадкод

почти изотропной функции в пространстве скоростей. При детальном рассмотрении релаксации с помощью функции 0(^х, vyy uz; t) на рис. 6 замечаем, что за время интервала между столкновениями величина 0(1, 0, 0; /) убывает в е-】раз так, что первоначальные горбы в функции распределения исчезают

Ех/ЕоЕх/Ео0,4700 0^500 0,4300 0,4700 0^900 «37% 0,35000,4700 0^500 0,4300 0,4700 0^900 «37% 0,35000,5300 匸 0,5200 0,51000^9000,5300 匸 0,5200 0,51000^900

Ех/Ео

Ех/Ео

0,4700 0^500 0,4300 0,4700 0^900 «37% 0,3500

0,4700 0^500 0,4300 0,4700 0^900 «37% 0,3500

0,5300 匸 0,5200 0,5100

0^900

0,5300 匸 0,5200 0,5100

0^900

0^300 0^100

33Рис. 5. Релаксация энергии,Рис. 5. Релаксация энергии,1,0.1,0.0,2900 0,2700 0,2500

3

3

Рис. 5. Релаксация энергии,

Рис. 5. Релаксация энергии,

1,0.

1,0.

U2400 “2300

при /*Т, ref Однако 0(0,0,0; /) при 片=%® е山е очень далеко от равновесия. Действительно, экстраполяция по рис. 6 указывает, что требуется приблизительно 3,25t； ref для изменения 0(0,0,0; /) в с— раз. Весьма замечательной особенностью рис. 6 является то, что хотя время релаксации, единственное для всех частей пространства скоростей, является плохим приближением, кажется разумным аппроксимировать отдельные группы выражением

8(v*, f) = exp(J吟.

В кинетической теории чаще имеют дело с моментами, а не с функцией f, так что интересно рассмотреть поведение величин EJEo, Еу/Ео и (Ек—Еу)1Ео・

На рис. 4 и 5 показан процесс перехода к равномерному распределению энергии по всем направлениям, осуществляемый путем столкновений, так как при f->8 Ex=Ey=Ez = ^EQ.

Рис. 6. Функция распределения, £=1,0.

Модель Крука: 6 = ехр (—bt), b = (Т。)％.

Возможно, что более поучителен рис. 7, где представлена зависимость (Ех——Ey)IEq от / для е= 1,0 в полулогарифмическом масштабе; здесь мы наблюдаем весьма замечательный результат: этот процесс характеризуется единственным временем релак-

Из физических соображений и из результатов, полученных Хиксом [3], можно ожидать, что b=d(7&)% для всех е, где d— числовая постоянная. При использовании зтого выражения наш

результат для е= 1,0 дает 6= (l,47)-i(Tg)%. К сожалению, для случая е=0,1 мы были не в состоянии найти зависимость 6 от Tg, поскольку вычитание чисел одинакового порядка делает эти

Рис. 7. Релаксация энергии, £=1,0.

вычисления 6 недостоверными (хотя (£^—£^)/£0 н для случая е=0,1 записывается в форме (3.1)).

Подводя итоги, можно сказать, что релаксация в пространстве скоростей происходит различным образом для различных групп скоростей. Поскольку (£х—Еу) /Ео (для этой задачи) зависит от наличия горбов в функции f, мы нашли, что эта величина подчиняется простому релаксационному уравнению (3.1) с временем, характеризующим момент исчезновения горбов: f'七(2/3) (%产 V ref- Однако мы заметим, что полное приближение к равновесию центра функции распределения происходит за гораздо больший промежуток времени, который качественно может быть представлен в виде Г = (Tg)% (丁［ ref).

Сравнение с расчетами по методу Монте-Карло

Здесь мы сравним наши результаты с результатами, полученными Хиксом по схеме Монте-Карло. Эти результаты качественно согласуются с нашими в том смысле, что для всех рассмотренных е им было найдено, что зависимость (七“一Eq)/Eq от 力 является прямой линией в полулогарифмическом масштабе. Мы получили такой же результат для е=0,1 и 1,0. В наших обозначениях результаты Хикса [3] могут быть записаны в виде 『=『ехр(-—} \%//=0\% ref /

бике. = (1,27尸(%产，

что можно сравнить с нашим результатом для b = (1,47)Г[ (Т^л. вычисленным для случая е= 1,0 в разд. ЗБ. Имея в виду трудности вычислений и большие различия в использованных методах, согласование результатов может рассматриваться как удовлетворительное. Непосредственное сравнение функции распределения в деталях не было возможным, так как результаты, приведенные для метода Монте-Карло, имели форму, несовместимую с нашей.

В заключение мы можем констатировать, что метод Монте- Карло для этой задачи качественно и в приемлемой степени количественно согласуется с результатами нашего исследования.

Г. Сравнение с моделью Крука

Использование моделей типа модели Крука становится широко распространенным в кинетической теории, поэтому полезно иметь непосредственное сравнение решений нелинейной задачи с помощью модели Крука и уравнения Больцмана. Модель Крука для этой задачи записывается в виде

务一丑7』(3-2)

где т[ может быть функцией скорости, но здесь мы ограничимся постоянным временем между столкновениями т[, выбор которого весьма произволен. Можно сразу написать решение 喚 уравнения (3.2) в форме

/ = % + (%- L) е"/‘ = (%【1 一 е“/可 + %，/&)• (3.3)

Отметим, что мотт-смитовская бимодальная смесь Д» н /о то

ждественно удовлетворяет уравнению Крука, так что такое

бимодальное решение уравнения Больцмана для должно обладать во многом теми же свойствами, Теперь мы составим разность моментов Ех—Еу и

этой задачи что и (3.3). из (3.2) по-этой задачи что и (3.3). из (3.2) по-лучимлучим

этой задачи что и (3.3). из (3.2) по-

этой задачи что и (3.3). из (3.2) по-

лучим

лучим

(3.4)(3.4)так что

(3.4)

(3.4)

Модель Крука, следовательно, предсказывает то же самое единственное время релаксации, которое обсуждалось в разд. ЗБ для моментов. Однако рассмотрим величину 6 (см. рис. 6) с помощью модели Крука:

(3.5)

Модель Крука дает, таким образом, совершенно недостаточное описание релаксации в пространстве скоростей, так как все группы скоростей описываются одним временем релаксации т[. Чтобы показать зависимость (3.5) на рис. 6, выберем Н = = &ref)(Tg)%. Как можно увидеть из рис. 6, модель Крука, по-видимому, дает более существенные погрешности для частиц с малыми скоростями. Приближение к равновесию для центра f требует гораздо большего времени. Подводя итог нашему сравнению, мы можем сказать, что моменты, полученные из модели Крука [уравнение (3.4)], имеют неожиданно хороший вид и что оно предсказывает единственное время экспоненциального затухания величины (Е^—Еу)/Е0. Это должно дать некоторую уверенность при использовании модели Крука для вычисления моментов. Однако модель Крука неточно описывает поведение функции распределения, и можно сказать, что зависимость функции распределения от времени, вычисленная по модели Крука, верна лишь качественно.

Д. Анализ точности

Как обсуждалось ранее, основными источниками ошибок являются интерполяция и экстраполяция, поскольку из нашей сетки в 125 точках нам нужно найти величину функции распределения во всех тех точках, которые сдвинуты относительно сетки из-за столкновений. При выборе сетки надо в основном следить за тем, чтобы выполнялись законы сохранения массы, ко*

личества движения и энергии. Импульс при этом наименее чувствителен, поскольку симметрия задачи в пространстве скоростей почти гарантирует, что %=0・ Однако мы обнаруживаем, что масса и энергия теряются на каждом шаге по времени. При е=1,0 теряется 7,5% первоначальной энергии и 8% первоначальной массы после / * т； ref. Эта ошибка мала по абсолютной величине; мы можем, впрочем, проследить более детально, как она влияет на вычисления на каждом шаге по времени.

На каждом шаге по времени энергия Ех, Еу и Ez перерас- предел я ется. Пусть 厶旦=&)一品 А£х/ = (£х)«-о ~(Ех\ н ^Еу1 = =(E^q — (Ey)t; тогда мы можем определить полное изменение энергии |A£*f|+2[△£*»£I, которое является показателем того изменения энергии, которое характеризует физику релаксации. Теперь мы можем сравнить эту энергию с накопленной потерей энергии АЕ*:

а「|АЕ//(—| + 2|А~|)・

При f'=6% г. величина а、достигает 16%, при 〃二%%.— 20% и при tr =^%rc ref получается 32%. Мы, следовательно, видим, что полная потеря энергии, которая составляла только 7,5%, является не самым важным показателем ошибки. По-внднмому, ее надо сравнить с теми изменениями энергии, которые характеризуют процесс.

Литература

Чепмен См К а у л и н г Т., Математическая теория неоднородных газов, ИЛ, М., 1960.

Hamel В. В,, W а с h m a n М” Proc, of the Fourth International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, 1964. Vol. 1, 1965, p. 370; русский перевод см. на стр. 231 настоящего сборника.

Hicks В. L., University of Illinois, Coordinated Science Laboratory Report R-236, 1965.

Lanczos C., Linear differentia] operators, Van Nostrand, 1961.

Содержание

Предисловие редактора перевода . ....5

Дж. К. Хэвиленд. Решение двух задач о молекулярном течении методом Монте-Карло.. •....・ 7

Л! Перлмуттер. Решение задач о течении Куэтта и о теплопередаче между параллельными пластинами в разреженном газе методом Монте-Карло ..-.. .116

Дж. А. Берд. Структура ударной волны в газе, состоящем из твердых шарообразных молекул. .. . . . 140

Док. Л. Берд. Функция распределения скоростей в ударной волне . . . 148

И. Иосидзава. Решение задачи о химически реагирующем газе методом Монте-Карло ..... . 159

Р. Джентри, Ф. Харлоу, Р. Мартин. Численные эксперименты для решения задач молекулярной динамики . .. 178

А. Нордсик, Б. Хикс, Вычисление интеграла столкновений Больцмана методом Монте-Карло 215

Б. Гамелъ, М. Вахман. Применение метода дискретных ординат к решению задач о течении Куэтта для линеаризованного уравнения Больцмана.. , . . 231

М. Вахман, 6. Гамель. Метод дискретных ординат для решения нелинейного уравнения Больцмана применительно к задаче о релаксации псевдоскачка 259

Сборник

ВЫЧИСЛ ИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫВ ДИНАМИКЕ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ

Редакторы Г. М Ильичеваи П. Я. Корсоюцкая

Художник А. Я. Лерман

Художественный редактор В. И* ШаповаловТехнический редактор М. 〃. ГрибоваКорректор О. К. Румянцева

Сдано в производство 26/VII 1968 г.

Подписано к печати 4/XII 1968 г.

Бумага № l.60X90Vte= 8.75 бум. л.

17.50 печ. л. Уч.-изд. л. 15,30.

Изд. № 1/4823. Б.З. № 36- 1968—№26.

Цена I р. 28 к. Зак. 1370.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МНР»

Москва, I-й Рижский пер.. 2

Ленинградская типография № 2нменн Евгении СоколовойГлавполиграфпрома Комитета по печатипри Совете Министров СССР

Измайловский проспект, 29

I

0

ляются вычисления производных, а эта схема сводит к минимуму вычисле

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ

МЕТОДЫ

В ДИНАМИКЕ

РАЗРЕЖЕННЫХ

ГАЗОВ

Вычислительные методы в ДИНАМИКЕ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ

Перевод с английского

Е・ Ф. ЛИМАРА

Под редакцией

В. П. ШИДЛОВСКОГО

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МНР» • МОСКВА 1969

УДК 533.5+681

В настоящее время весьма интенсивно ведутся исследования по динамике разреженных газов в первую очередь в связи с требованиями ракетной и космической техники, причем все большее распространение получают вычислительные методы. Обоснованию и приложению этих методов и посвящены работы, включенные в книгу. Значительная часть работ посвящена различным вариантам применения метода Монте-Карло к решению конкретных задач (о теплопередаче между параллельными плоскостями, о структуре ударной волны, о течении 'Куэтта, о течении с поперечным градиентом скорости, о течении химически реагирующего газа). В то же время дается достаточное представление о другом распространенном вычислительном методе решения кинетического уравнения — методе дискретных координат в пространстве скоростей.

Книга представит интерес для научных работников и инженеров, занимающихся исследованиями по динамике разреженных газов, а также для математиков-вычислителен. Она доступна аспирантам и студентам старших курсов университетов и технических вузов.

Редакция литературы по математическим наукам

Инд. 2-4-3